2 Uvod Čeprav smo kot posamezniki unikatni in redko predvidljivi, raziskave kažejo, da se kolek- tivno pogosto ne obnašamo zelo druga če od delcev v snovi [1]. Številni vidiki kolektivnega obnašanja v človeških družbah so se namre č izkazali kot presenetljivo predvidljivi in dobro opisljivi z enostavnimi matemati čnimi modeli, zato so bile metode statisti čne fizike prenesene na mnoge družbene pojave in izzive sodobnega časa. Med primeri so promet [2], kriminal [3], širjenje epidemij [4], odklanjanje cepljenja [5], spodbujanje sodelovanja [6], podnebne spremembe [7], prekomerna raba antibiotikov [8] pa tudi iskanje moralnosti [9], če naštejemo samo nekatere. Zanimivo je, da se morebitne povezave med fiziko in družbo v literaturi pojavljajo že stoletja. Pred ve č kot 200 leti je francoski politik in ekonomist Henri de Saint-Simon tako med prvimi razmišljal, da bi bilo človeško družbo mogo če opisati z zakoni, ki bi bili sorodni tistim v fiziki [10]. Podobne zamisli je že v 17. stoletju imel angleški filozof Thomas Hobbes, ko je svojo te- orijo države utemeljil tudi na zakonih gibanja, še posebej na principu inercije, ki ga je v tistih časih odkril Galileo Galilej [11]. T ako imenovano »nevidno roko«, ki jo je v drugi polovici 18. stoletja predlagal škotski ekonomist Adam Smith, danes lahko ponovno prepoznamo v teoriji družbene in ekonomske samoorganizacije pa tudi samoorganizacije v fizikalnih sistemih zu- Epidemije Prof. dr. Matjaž Perc Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za fiziko Izvleček Nekatere lastnosti človeškega obnašanja v velikih skupinah so natan čno opisljive in napovedljive. V tem smo ljudje, čeprav smo kot posamezniki vsak po svoje posebni in unikatni, precej podobni delcem v snovi. Statisti čna fizika se je v preteklih dveh desetletjih izkazala kot zelo u činkovita za opisovanje pojavov zunaj klasi čne fizike. Fizika druž- benih sistemov tako prou čuje kolektivne pojave, do katerih pride zaradi interakcij med posamezniki, ki se obnašajo kot elementarne enote v ve čjih socialnih strukturah. V tem članku bomo predstavili enostaven matemati čni model, ki opisuje širjenje epidemije. Raziskali bomo vpliv strukture omrežja na širjenje epidemije ter pomen samoizolacije za zajezitev širjenja. Članek spremlja tudi uporabniku prijazna simulacija, ki jo je mogo če brez programiranja uporabiti v šoli. Ključne besede: epidemija, omrežje, mali svet, fizika družbe Epidemics Abstract Certain characteristics of human behaviour in large groups are describable and predictable. In this regard people, though special and unique as individuals, quite resemble particles in matter. Over the past two decades, statistical physics has proved to be highly effective in describing phenomena outside of classical physics. The physics of social systems studies collective phenomena that occur due to interactions between individuals who act as elementary units in larger social structures. The article will present a simple mathematical model that describes the spread of an epi- demic. It will research the impact of the network’s structure on the spread of the epidemic and the importance of self-isolation for containing the spread. The article comes with a user-friendly simulation that can be used in school and does not require programming. Keywords: epidemic, network, small world, social physics Fizika v šoli 3 Strokovni prispevek Širjenje epidemije lahko matematično opišemo z modelom, v katerem je vsakemu posamezniku dodeljeno eno od treh stanj, in sicer dovzeten, okužen in ozdravljen. naj ravnovesja [12, 13]. Številni ekonomisti so »nevidno roko« takrat v ekonomiji imeli za tako zanesljivo kot gravitacija [14]. Nadalje, ko so v 19. stoletju razvijali fizikalne zakone materije kot ogromnega kolektiva atomov in molekul, je to navdihnilo tudi statistično obravnavo druž- be in odstrlo pogled na predvidljiva povpre čja v njej. Prav tako kot lahko naklju čno gibanje molekul plina v kolektivu opišemo z matemati čno enostavno plinsko ena čbo, je obstajalo upanje, da bi tudi sodobne človeške družbe lahko bile predvidljive kot veliki kolektivi posa- meznikov . Kot je zapisal Philip Ball [10], je bilo zgodnje družboslovje morda zares ustvarjeno z neizre čenim prepri čanjem in vero, da obstaja nekakšna »fizika družbe«. Kljub tej dolgi in zanimivi zgodovini pa se je ta veja fizike pri čela zares razvijati šele tik pred koncem 20. stoletja in nam postregla z nekaterimi fascinantnimi odkritji na sti čišču fizikal- nih in družbenih ved. K temu razvoju je prispeval napredek v statistiki in teoreti čni fiziki pa tudi razvoj znanosti o omrežjih [15] in ra čunskega družboslovja [16], ne nazadnje pa tudi neprestane inovacije v ra čunalništvu in informacijski tehnologiji. Rezultat je današnja fizika družbe ali fizika družbenih sistemov [17], ki se v svetu vse bolj uveljavlja kot veda, ki nam lahko pomaga ustvarjati boljši jutri. Eden od pomembnejših vidikov boljše prihodnosti je tudi boljše obvladovanje in napove- dovanje epidemij [18], čemur je posvečen ta članek. V nadaljevanju bomo tako predstavili enostaven matemati čni model, ki opisuje širjenje epidemije. Še posebej bomo raziskali vpliv strukture omrežja na širjenje epidemije ter pomen samoizolacije za zajezitev širjenja. Članek spremlja tudi uporabniku prijazna simulacija, ki jo je mogo če brez programiranja uporabiti v šoli. Dostopna je na matjazperc.com/epidemije. Matematični model Širjenje epidemije lahko matemati čno opišemo z modelom, v katerem je vsakemu posame- zniku dodeljeno eno od treh stanj, in sicer dovzeten, okužen in ozdravljen. V angleš čini temu modelu pravimo »susceptible-infectious-recovered« ali tako imenovani »SIR model« [4, 5]. Gre seveda za minimalni model, ki ne upošteva človeškega obnašanja in tudi ne mnogih dru- gih vidikov širjenja epidemije, kot so zajezitveni ukrepi ali samoizolacija. Kot osnovo za naš model vzemimo kvadratno mrežo L × L, kjer je vsak posameznik i pove- zan s svojimi štirimi najbližjimi sosedi na vzhodu, zahodu, severu in jugu. Ob času t = 0 naj bo ve čina posameznikov v stanju dovzeten (S), le majhen delež posameznikov na sredini kva- dratne mreže pa naj bo v stanju okužen (I). T akšno za četno stanje je prikazano na sliki 1 levo zgoraj. Model bomo simulirali z metodo Monte Carlo, ki s pomo čjo generatorja naklju čnih števil izbira posameznike na mreži in njihove sosede ter s ponavljanjem velikega števila ele- mentarnih korakov omogo ča vpogled v rešitve tovrstnih modelov. Natan čneje, za dokon čanje vsakega koraka simulacije Monte Carlo moramo izvesti L 2 naslednjih elementarnih korakov. Najprej z generatorjem naklju čnih števil naklju čno izberemo enega posameznika i. Potem imamo naslednje možnosti: (i) Če je ta posameznik i v stanju dovzeten, potem prav tako naklju čno izberemo še enega izmed njegovih štirih sosedov j. Če je sosed j v stanju okužen, potem tudi posameznik i postane okužen z verjetnostjo p. Kolikor ve čja je verjetnost p, toliko hitreje se epidemija širi. Za primer bomo v tem članku vzeli p = 0.8, čeprav podobne glavne zaklju čke dobimo tudi z drugimi vrednostmi 0  p  1. Če pa je sosed j v stanjih dovzeten ali ozdravljen, se s posameznikom i ne zgodi ni č. (ii) Če je naklju čno izbrani posameznik i v sta- nju okužen, potem preverimo, ali je od za četka njegove okužbe minil vsaj čas T, pri čemer se ta čas meri v celotnih korakih simulacije. Če je čas T minil, postane posameznik i ozdravljen, sicer pa ostaja okužen. Času T v angleš čini pravimo »recovery time«, torej čas, ki ga posame- zniki v povpre čju potrebujejo za ozdravitev. Čim daljši je čas T, tem ve čji delež populacije se okuži, in nasprotno, čim krajši je čas T, tem manjši je ta delež. (iii) Če je naklju čno izbrani posameznik i v stanju ozdravljen, se ne zgodi ni č. Iz opisanega sledi, da ima znotraj enega celotnega koraka simulacije vsak posameznik v pov- pre čju enkrat možnost, da ga generator naklju čnih števil izbere in da se ali okuži ali, če je že okužen, ozdravi. Simulacija se kon ča, ko delež okuženih pade na ni č. 4 Rezultati Za čeli bomo s predstavitvijo rezultatov, ki jih dobimo z verjetnostjo za okužbo p = 0.8 ter časom za ozdravitev T = 40 celotnih korakov simulacije Monte Carlo. Uporabili bomo kva- dratno mrežo velikosti 250 × 250 s periodi čnimi robnimi pogoji, kjer so ob času t = 0 vsi posamezniki v stanju dovzeten (S) (modra), razen 97 posameznikov na sredini mreže, ki so v stanju okužen (I) (rde ča), kot je prikazano na sliki 1 levo zgoraj. Spomnimo, da periodi čni robni pogoji preprosto povežejo vse posameznike na robovih kvadratne mreže z njihovimi sosedi na drugi strani. T ako se znebimo vpliva kon čne velikosti kvadratne mreže, ki s perio- di čnimi robnimi pogoji, ob predpostavki dovolj velikega L × L (veliko ve čji od tipi čnih vzor- cev, ki jih opazimo med simulacijo), deluje kot neskon čna. Če sledimo zaporedju prostorskih porazdelitev stanj na sliki 1 zgoraj od leve proti desni, vidimo, da se število okuženih ve ča. T oda ko čas simulacije t preseže čas za ozdravitev T se pojavijo tudi ozdravljeni (R) (zelena). Medtem ko fronta okuženih napreduje proti robovom mreže, se ve ča tudi delež ozdravljenih, delež dovzetnih pa stalno pada. Na koncu nam ostanejo samo ozdravljeni in simulacija je končana. Časovni potek tega razvoja je z deleži posameznih stanj prikazan na sliki 1 spodaj. Če zgornjo simulacijo ponovimo tako, da pri enakem času za ozdravitev T = 40 uporabimo manjšo verjetnost za okužbo p, ugotovimo, da je fronta okuženih nekoliko tanjša, da epide- mija napreduje po časneje ter da je vrh deleža okuženih nižji kot pri višjih vrednostih p. Če pa simulacijo ponovimo tako, da pri enaki verjetnosti za okužbo p = 0.8 uporabimo daljši čas T, ugotovimo, da se epidemija širi enako hitro, da je fronta okuženih debelejša (približno za enak faktor, kot je daljši čas T), in posledično, da je tudi vrh deleža okuženih višji kot pri nižjih vrednostih T. Bralcu na tem mestu priporo čamo, da si naloži uporabniku prijazno si- mulacijo, dostopno na matjazperc.com/epidemije, ter sam preizkusi razli čne možnosti. Slika 1: Potek epidemije na kvadratni mreži velikosti 250 × 250 s periodičnimi robnimi pogoji, kot ga do- bimo z verjetnostjo za okužbo p = 0.8 in časom za ozdravitev T = 40. Prostorske porazdelitve stanj so pri- kazane v zgornji vrsti, od leve proti desni ob času t = 0, 54, 223, 305 in 420 korakov simulacije Monte Carlo (MCK). Spodaj je prikazan časovni potek tega razvoja z deleži posameznih stanj. Spodaj in zgoraj so nasled- nje barve in oznake: dovzeten (S) (modra), okužen (I) (rdeča), ozdravljen (R) (zelena). Kot vemo, pa kvadratna mreža, ki smo jo uporabljali do zdaj, družbenih omrežij ne opiše prav dobro. Da bi se vsaj malo približali stvarnosti, lahko nek delež povezav q v kvadratni mreži naklju čno prevežemo. Tako dobimo bližnjice oziroma neposredne povezave med sicer na mreži oddaljenimi posamezniki. T o mo čno zmanjša povpre čno pot, ki jo moramo prehoditi, da med sabo povežemo vse možne pare. S tem dobimo mrežo »malega sveta«, kot sta jo prva teoreti čno opisala Duncan J. Watts in Steven H. Strogatz leta 1998 [19]. Dejstvo, da lahko v družbenih omrežjih, ki imajo ve č milijonov posameznikov , med sabo povežemo katerikoli par v povpre čju z najve č približno šestimi povezavami (tako imenovani »six degrees of separati- on«), je ena izmed njihovih najpomembnejših lastnosti. Izkaže se, da če naklju čno prevežemo le en odstotek povezav v kvadratni mreži, že dobimo mali svet [19]. Bralcu na tem mestu priporočamo, da si naloži uporabniku prijazno simulacijo, dostopno na matjazperc.com/ epidemije, ter sam preizkusi različne možnosti. Fizika v šoli 5 Strokovni prispevek Slika 2: Potek epidemije na mreži malega sveta (naključno prevezan en odstotek povezav) velikosti 250 × 250 s periodičnimi robnimi pogoji, kot ga dobimo z verjetnostjo za okužbo p = 0.8 in časom za ozdravitev T = 40. Prostorske porazdelitve stanj so prikazane v zgornji vrsti, od leve proti desni ob času t = 0, 20, 60, 95 in 120 korakov simulacije Monte Carlo (MCK). Na spodnjih dveh slikah je prikazan časovni potek tega razvoja z deleži posameznih stanj na linearni (sredina) in logaritemski skali (spodaj). Črtkana siva črta spodaj pri- kazuje premico s strmino 0.062 ± 0.001, kar natančno opisuje eksponentno rast s prirastkom ≈ 0.15 na en korak simulacije. Barve in oznake so enake kot na sliki 1. Slika 2 prikazuje širjenje epidemije pod natan čno enakimi pogoji kot slika 1, le da smo na- mesto kvadratne mreže uporabili mrežo malega sveta, ki smo jo dobili tako, da smo naši kva- dratni mreži naklju čno prevezali en odstotek povezav. Kot lahko vidimo, se po časno difuzno širjenje fronte okuženih s slike 1 zamenja z zelo hitrim izbruhom okuženih po celotni mreži. Vrh deleža okuženih nastopi veliko prej in je tudi veliko višji kot na kvadratni mreži. Neko- Slika 3: Potek epidemije na mreži malega sveta (naključno prevezan en odstotek povezav) velikosti 250 × 250 s periodičnimi robnimi pogoji, kot ga dobimo z verjetnostjo za okužbo p = 0.8 in časom za ozdravitev T = 40. Vpeljana je samoizolacija v štirih krogih s po 3908 posamezniki, kjer je le petodstotna verjetnost, da bo posameznik i znotraj kroga obiskal svojega naključno izbranega soseda j. Prostorske porazdelitve stanj so prikazane v zgornji vrsti, od leve proti desni ob času t = 0, 54, 94, 183 in 537 korakov simulacije Monte Carlo (MCK). Spodaj je prikazan časovni potek tega razvoja z deleži posameznih stanj. Barve in oznake so enake kot na sliki 1. Kot zanimivost: povprečna rast novih potrjenih primerov med pandemijo covida 19 je bila v številnih evropskih državah zelo podobna. 6 liko natan čneje: če časovni potek narišemo z logaritemsko skalo deležev posameznih stanj, vidimo, da se delež okuženih ve ča eksponentno s prirastkom  0.15 na en korak simulacije. Kot zanimivost: povpre čna rast novih potrjenih primerov med pandemijo covida 19 je bila v številnih evropskih državah zelo podobna [18]. T udi na tem mestu bralcu priporo čamo, da s simulacijo, dostopno na matjazperc.com/epidemije, preizkusi razli čne vrednosti deleža na- klju čno prevezanih povezav v kvadratni mreži in preveri, kako ve čji in manjši deleži vplivajo na širjenje epidemije. Kot zadnji primer si poglejmo še vpliv samoizolacije na širjenje epidemije. Za to na mreži malega sveta s slike 2 definirajmo štiri kroge s po 3908 posamezniki, kjer vpeljemo enako le petodstotno verjetnost, da bo posameznik i znotraj kroga obiskal svojega naključno izbranega soseda j. V izvirni razli čici koraka simulacije, in za vse preostale posameznike zunaj omenje- nih krogov, je ta verjetnost vselej 100 %, zato je do sedaj sploh nismo omenjali. Slika 3 prika- zuje širjenje epidemije pod natan čno enakimi pogoji kot slika 2, z razliko od prej omenjenih štirih krogov. Kot lahko vidimo, se približno 22 % vseh posameznikov nikoli ne okuži. Na mreži velikosti 250 × 250 to ustreza 13.750 posameznikom, kar deljeno s štiri pomeni pribli- žno 3438. Seveda so vsi ti posamezniki znotraj prej definiranih krogov s po 3908 posamezniki, od koder sledi, da je stroga samoizolacija skoraj 90-odstotno u činkovita pri prepre čevanju okužb. Poudariti velja, da to drži tudi za mreže malega sveta, čeprav se u činkovitost samoizo- lacije manjša z ve čanjem deleža naklju čno prevezanih povezav (bližnjic) v kvadratni mreži. Zaključek V članku smo na kratko predstavili zgodovino fizike družbenih sistemov ter izpostavili njen pomen pri trenutnih raziskavah prometa [2], kriminala [3], širjenja epidemij [4], odklanjanja cepljenja [5], spodbujanja sodelovanja [6], podnebnih sprememb [7], prekomerne rabe anti- biotikov [8] pa tudi iskanja moralnosti [9]. Fizika družbenih sistemov, ali kar fizika družbe, je danes uveljavljena veja fizike [1], ki ji namenjajo velik del mednarodne periodike pa tudi posebne izdaje v priznanih fizikalnih in interdisciplinarnih revijah [17]. V članku smo kot primer raziskav v fiziki družbe predstavili enostaven matemati čni model, ki opisuje širjenje epidemije. Glede na to, da je trenutno čas širjenja pandemije covida 19, ki hudo pustoši še posebej v Italiji in Španiji, pa tudi v Veliki Britaniji in Združenih državah Amerike, je to vsekakor zanimiva in aktualna tema [18]. Širjenje epidemije smo matemati čno opisali z modelom, v katerem je vsakemu posamezniku dodeljeno eno od treh stanj, in sicer dovzeten, okužen in ozdravljen (SIR model) [4, 5]. Pokazali smo, kako se širjenje epidemije pohitri, če samo majhen delež povezav v kvadratni mreži naklju čno prevežemo tako, da do- bimo omrežje malega sveta. Še posebej smo izpostavili eksponentno rast okuženih, ki nastopi v tem primeru, podobno kot lahko danes v stvarnem času ugotovimo za širjenje pandemije covida 19. Prav tako smo pokazali, da je stroga samoizolacija lahko tudi do 90-odstotno u čin- kovita, čeprav njena u činkovitost pada z deležem bližnjic med daljnimi sosedi na omrežju. Za konec naj še poudarimo, da so ti zaklju čki v veliki meri neodvisni od smiselnih za četnih pogojev, na primer od za četnega števila okuženih ali od števila posameznikov, ki so samoizo- lirani, in veljajo tudi za druge vrste regularnih mrež ter družbenih omrežij. Med podajanjem rezultatov smo bralcu nakazali tudi zanimive poskuse, ki jih lahko izvede sam s pomo čjo uporabniku prijazne simulacije, dostopne na matjazperc.com/epidemije. V zadovoljstvo in veselje nam bo, če bo ta članek bralca navdušil za fiziko družbenih sistemov in če bo ta veja fizike s časoma našla pot tudi v osnovnošolske in srednješolske u čilnice. Kot lahko vidimo, se približno 22 % vseh posameznikov nikoli ne okuži. Stroga samoizolacija skoraj 90-odstotno učinkovita pri preprečevanju okužb. Fizika v šoli 7 Strokovni prispevki Viri in literatura [1] Castellano, C., Fortunato, S., in Loreto, V. (2009). Statistical physics of social dynamics. Rev. Mod. Phys. 81, 591. [2] Helbing, D. (2001). Traffi c and related self-driven many-particle systems. Rev. Mod. Phys. 73, 1067. [3] D’Orsogna, M. R. in Perc, M. (2015). Statistical physics of crime: A review. Phys. Life Rev. 12, 1. [4] Pastor-Satorras, R., Castellano, C., Van Mieghem, P ., in Vespignani, A. (2015). Epidemic processes in complex networks. Rev. Mod. Phys. 87, 925. [5] Wang, Z., Bauch, C. T., Bhattacharyya, S., d’Onofrio, A., Manfredi, P ., Perc, M., Perra, N., Salathe, M., in Zhao, D. (2016). Statistical physics of vaccination. Phys. Rep. 664, 1. [6] Perc, M., Jordan, J. J., Rand, D. G., Wang, Z., Boccaletti, S., in Szolnoki, A. (2017). Statistical physics of human cooperation. Phys. Rep. 687, 1. [7] Pacheco, J. M., Vasconcelos, V. V., in Santos, F. C. (2014). Climate change governance, cooperation and self-organization. Phys. Life Rev. 11, 573. [8] Chen, X. in Fu, F. (2018). Social learning of prescribing behavior can promote population optimum of antibiotic use. Front. Phys. 6, 193. [9] Capraro, V. in Perc, M. (2018). Grand challenges in social physics: In pursuit of moral behavior. Front. Phys. 6, 107. [10] Ball, P . Why Society is a Complex Matter (Springer, Berlin, 2012). [11] Windolph, F. L. Leviathan and Natural Law (Princeton University Press, Princeton NJ, 1951). [12] Mantegna, R. N. in Stanley, H. E. Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance (Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1999). [13] Helbing, D. Social Self-organization (Springer, Berlin, 2012). [14] Smith, A. The Theory of Moral Sentiments (Strand & Edinburgh, U.K., 1759). [15] Barabasi, A.-L. (2012). The network takeover. Nat. Phys. 8, 14. [16] Lazer, D., Pentland, A., Adamic, L., Aral, S., Barabasi, A.-L., Brewer, D., Christakis, N., Contractor, N., Fowler, J., Gutmann, M., et al. (2009). Computational social science. Science 323, 721. [17] Perc, M. (2019). The social physics collective, Sci. Rep. 9, 16549. [18] Perc, M., Gorišek Miksić, N., Slavinec, M., in Stožer, A. (2020). Forecasting COVID-19. Front. Phys. 8, 127. [19] Watts, D. J. in Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of 'small world' networks. Nature 393, 440.