i
i
“kolofon” — 2018/1/29 — 10:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2017, letnik 64, številka 6, strani 201–240
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2058 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 201 — #1 i
i
i
i
i
i
RIEMANNOVE NIČLE IN PRAŠTEVILA
ALEKSANDER SIMONIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11M26
V članku dokažemo manj znano formulo E. Landaua, ki povezuje seštevanje členov
xρ po netrivialnih ničlah ρ Riemannove funkcije zeta in von Mangoldtovo funkcijo Λ(x).
Formula enostavno ilustrira princip, da lahko iz poznavanja netrivialnih ničel dobimo
praštevila.
RIEMANN’S ZEROS AND PRIMES
We prove not so well-known E. Landau’s formula, which connects the summation
of terms xρ over nontrivial zeros ρ of the Riemann zeta function with the von Mangoldt
function Λ(x). This formula simply illustrates the principle that nontrivial zeros determine
prime numbers.
Uvod
Riemannova funkcija zeta je ena najbolj študiranih funkcij v matematiki.
Georg F. B. Riemann (1826–1866) jo je leta 1859 uvedel kot funkcijo
kompleksne spremenljivke s. Takšno pomembnost ima zaradi neposredne
povezave s praštevili. Temeljnega pomena je enakost
ζ(s) :=
∞∑
n=1
1
ns
=
∏
p
1
1− p−s
(1)
za <{s} > 1, kjer se produkt po praštevilih imenuje Eulerjev produkt. Lo-
garitmiranje in odvajanje formule (1) po spremenljivki s da zvezo
−ζ
′
ζ
(s) =
∞∑
n=1
Λ(n)
ns
, (2)
kjer je Λ(n) von Mangoldtova funkcija. Ta aritmetična funkcija je različna
od nič le pri potencah praštevil, za potenco praštevila p pa je enaka log p.
Nemški matematik Hans C. F. von Mangoldt (1854–1925) jo je leta 1895
vpeljal preko enakosti (2) z namenom bolje razumeti porazdelitev praštevil
in podati dokaze Riemannovih trditev. Prav na podlagi njegovega članka
sta leto pozneje francoski matematik Jacques S. Hadamard (1865–1963)
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 201
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 202 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
in belgijski matematik Charles J. de la Vallée Poussin (1866–1962)
uspela dokazati praštevilski izrek limx→∞ π(x)x
−1 log x = 1, kjer smo s π(x)
označili število praštevil, ki ne presegajo števila x. Že pred njim je tako
funkcijo elementarno obravnaval Pafnutij L. Čebǐsev (1821–1894), ki je
leta 1852 naredil prve pomembne korake k dokazu praštevilskega izreka. Več
o njegovi zgodovini si lahko bralec prebere v članku [3].
Riemann je pokazal, da lahko funkcijo ζ(s) s polravnine <{s} > 1 ana-
litično razširimo na C \ {1}. Pri tem je dokazal funkcijsko enačbo
ζ(1− s) = 2
(2π)s
cos
(πs
2
)
Γ(s)ζ(s), (3)
veljavno za vse s ∈ C \ {1}. Funkcija Γ(s) je Eulerjeva funkcija gama. Ta
enačba odraža simetrijo funkcije zeta glede na kritično premico <{s} = 1/2.
Opazimo, da zaradi enakosti (1) nimamo ničel z realnim delom večjim od
1. Zato so po (3) edine ničle na polravnini <{s} < 0 (imenovane trivialne)
negativna soda števila. Vprašanje ostaja kritični pas 0 ≤ <{s} ≤ 1. Ne-
kateri avtorji izpuščajo enakosti v definiciji, saj je že dolgo časa znano, da
na premici <{s} = 1 (in posledično tudi na <{s} = 0) ni ničel. Kritični
pas vsebuje netrivialne ničle, ki jih označujemo z ρ = β + iγ. Po funkcijski
enačbi so tudi ρ̄, 1 − ρ in 1 − ρ̄ ničle, zato jih je potrebno poznati le na
zgornji polravnini ={s} > 0. Realnih netrivialnih ničel ni. To najenostav-
neje sledi iz enakosti
(
1− 21−s
)
ζ(s) =
∑∞
n=1(−1)n+1n−s, ki jo dobimo po
ustrezni preureditvi členov v (1). Slika 3 prikazuje morebitno ničlo ρ levo
od kritične premice in pripadajočo ničlo 1 − ρ̄. Morebitna zato, ker vse
znane netrivialne ničle ležijo na kritični premici. Riemannova hipoteza je
domneva, da vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici. Po dogovoru z
{γn}∞n=1 označujemo naraščajoče zaporedje imaginarnih delov netrivialnih
ničel na zgornji polravnini. Opozoriti moramo, da pri tem upoštevamo tudi
morebitno večkratnost ničel. Domneva je, da so vse ničle enostavne, vendar
se za zdaj ne ve niti to, ali ta lastnost sledi iz Riemannove hipoteze. Že Rie-
mann je v svojih beležkah izračunal γ1 ≈ 14,14 in nakazal, da je to res prva
ničla na zgornji polravnini, glej [2, str. 159]. Pozneje bomo podali preprost
argument, da na območju |={s}| ≤ 2 ni netrivialnih ničel.
V popularni literaturi o Riemannovi hipotezi je mogoče zaslediti trdi-
tev, da lahko iz zaporedja {γn}∞n=1 dobimo praštevila. Knjiga [9] nam zelo
nazorno pokaže, da moramo vzeti trigonometrijske vsote
cos (γ1 log x) + cos (γ2 log x) + · · ·+ cos (γn log x) .
Grafi nad končnimi intervali, ki jih dobimo z večanjem števila n, imajo na
določenih mestih izrazite vrhove in najvǐsji nastanejo prav nad praštevili.
202 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 203 — #3 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
Bralcu, ki se je že srečal s Fourierovo analizo, zato ne bo tako nenavadno,
da zaporedju {γn}∞n=1 pravijo tudi Riemannov spekter. Razširimo von Man-
goldtovo funkcijo na realna števila tako, da za x /∈ N definiramo Λ(x) = 0.
Obstajajo dokaj splošne eksplicitne formule (npr. Weilova [8, str. 337–343]),
ki povezujejo Λ(x) in ničle ρ, toda iz njih je težko izluščiti preproste argu-
mente za prej opisani pojav. Morda ga še najlažje opǐse naslednja trditev:
za izbran x > 1 velja ∑
0<={ρ}<T
xρ = − T
2π
Λ(x) +O (log T ) . (4)
Spomnimo se, da za realni funkciji f in g izraz f(x) = O(g(x)) pomeni, da
obstaja konstanta C > 0, da za vse dovolj velike x velja |f(x)| < Cg(x).
Formulo (4) je zapisal Edmund G. H. Landau (1877–1938) v [7]. Dokaz
zahteva poznavanje nekaterih pomembnih lastnosti funkcije zeta ter izrek
o residuih. Obravnava je zato primerna tako za začetnika v tej teoriji kot
tudi za nekoga, ki bi rad spoznal manj trivialno uporabo residuov1. Sledili
bomo njegovemu dokazu in pokazali naslednje.
Izrek 1. Za vsak x > 1 velja
Λ(x) = − lim
T→∞
π
T
∑
|={ρ}|<T
xρ, (5)
kjer so ρ netrivialne ničle Riemannove funkcije zeta.
Če je Riemannova domneva pravilna, se nam formula poenostavi v obliko
zgornje trigonometrijske vsote. Za x > 0 enostavno izračunamo
xρ = xβxiγ = xβ (cos (γ log x) + i sin (γ log x)) ,
od koder sledi xρ + xρ̄ = 2xβ cos (γ log x). Za T > γ1 definirajmo
ΛT (x) := −
2π
√
x
T
∑
γn<T
cos (γn log x).
Riemannova domneva (β = 1/2) nam takoj da posledico izreka.
Posledica 2. Privzemimo veljavnost Riemannove domneve. Potem za vsak
x > 1 velja Λ(x) = limT→∞ ΛT (x).
1Zanimivo je, da kljub enostavnosti formule (4) in vizualni nazornosti njene izpeljanke
(5) njunih obravnav ni moč zaslediti v standardnih monografijah o Riemannovi funkciji
zeta, npr. [10, 2, 6]. Je pa zapisana v prvi izdaji Titchmarshove knjige (1930).
201–215 203
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 204 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
2
3 7 13 19 29 37 43 53 61 71 79 89 101
5 11 17 23 31 41 47 59 67 73 83 97
Slika 1. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije Λ(x) na intervalu [2, 102].
Pod grafom so izpisana praštevila.
Limita v izreku in posledici ni enakomerna na vsem intervalu (1,∞), saj
je Λ(x) nezvezna funkcija, medtem ko je ΛT (x) zvezna. Grafa, narejena s
programom Mathematica, na slikah 1 in 2 prikazujeta graf funkcije ΛT (x)
za T = 104 (upoštevamo 10142 ničel) na intervalih [2, 102] in [1950, 2050].
Za primerjavo so s črnimi pikami prikazane tudi neničelne vrednosti von
Mangoldtove funkcije. Pri prvem grafu opazimo dobro ujemanje in ostre
konice, medtem ko na drugem grafu vidimo odstopanja in »divje obnašanje«
med zaporednimi praštevili, ki pa jih lahko še vedno brez težav prepoznamo.
Pri številu 211 = 2048 je mogoče opaziti zelo majhno spremembo v strukturi
grafa.
Organizacija članka je naslednja. Najprej podamo idejo dokaza, kjer z
uporabo teorije residuov prevedemo problem na oceno določenih integralov.
Potem pripravimo orodja iz teorije Riemannove funkcije zeta, s katerimi v
četrtem razdelku primerno ocenimo integrale in s tem dokažemo izrek. Za
zaključek članka omenimo še nekatere posplošitve.
204 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 205 — #5 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
1973 1987 1997 2003 2017 2029
1951 1979 1993 1999 2011 2027 2039
Slika 2. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije Λ(x) na intervalu
[1950, 2050]. Pod grafom so izpisana praštevila.
Ideja dokaza izreka 1
Dokaz temelji na funkcijski enačbi (3) in Hadamardovem produktu po netri-
vialnih ničlah
2π−s/2(s− 1)Γ
(s
2
+ 1
)
ζ(s) = e−Bs
∏
ρ
(
1− s
ρ
)
es/ρ, (6)
kjer je B := 1 + C/2 − log (2
√
π) in C Euler-Mascheronijeva konstanta.
Dokaza obeh enačb lahko najdemo v katerikoli od prej naštetih monografij
o Riemannovi funkciji zeta, npr. [6, izrek 1.6 in razdelek 1.3]. V podrobnosti
izraza (6) se ne bomo podali. Namignimo samo, da je leva stran formule (6)
cela funkcija, katere ničle so samo netrivialne ničle funkcije zeta. Teorijo
produktov, kakršen je zgoraj, pa lahko bralec poǐsče v [1, 5. poglavje].
Zaradi enostavnosti bomo za realna števila a ≤ b in c ≤ d definirali (za-
prte) pravokotnike [a, b] × [c, d] := {z ∈ C : a ≤ <{z} ≤ b, c ≤ ={z} ≤ d}.
Podobno definiramo tudi polodprte in odprte pravokotnike. Daljico s kraji-
ščema z in w na kompleksni ravnini bomo označili z [z, w].
Ničle holomorfne funkcije f na neki odprti množici Ω ⊆ C lahko po-
vežemo z integriranjem po sklenjenih krivuljah. Osnovni rezultat je znan
pod imenom izrek o residuih, glej npr. [1, str. 148–154]. Mi potrebujemo
201–215 205
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 206 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
naslednjo verzijo. Naj bosta f in g holomorfni funkciji na odprti množici
Ω ⊆ C. Recimo, da notranjost pravokotnika P ⊂ Ω vsebuje ničle a1, . . . , aN
(štete z večkratnostmi) funkcije f , na robu ∂P pravokotnika P pa ni ničel.
Potem velja
1
2πi
∫
∂P
f ′
f
(z)g(z)dz =
N∑
n=1
g (an) , (7)
kjer integriramo po pozitivno orientiranem robu ∂P .
Vrnimo se k naši nalogi. Naj bo T > 2. Glede na enakost (7) ni težko
uganiti, da je temeljna ideja dokaza integriranje funkcije xsζ ′(s)/ζ(s) po
robu pravokotnika [−T, 2]× [2, T ], kar lahko vidimo na sliki 3. Po (7) imamo
i
T
(∫ 2+2i
−T+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds +
∫ −T+iT
2+iT
ζ ′
ζ
(s)xsds+
∫ −T+2i
−T+iT
ζ ′
ζ
(s)xsds
)
= − i
T
∫ 2+iT
2+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds− 2π
T
∑
0<={ρ}<T
xρ. (8)
Seveda mora biti T tak, da ni nobenih ničel na daljici [−T + T i, 2 + T i].
Integracija zajame vse ničle ρ z 0 < ={ρ} < T , saj pravokotnik [0, 1] ×
[−2, 2] ne vsebuje ničel. Pokazali bomo, da je absolutna vrednost izraza v
oklepaju manǰsa od D(x) log T , kjer je D(x) neka funkcija. Torej bo po
zgornji enakosti veljalo∣∣∣∣∣∣ iT
∫ 2+iT
2+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds+
2π
T
∑
0<={ρ}<T
xρ
∣∣∣∣∣∣ < D(x) log TT . (9)
Integral v neenakosti (9) lahko preko zveze (2) povežemo z von Mangoldtovo
funkcijo. Natančneje, pokazali bomo, da obstaja funkcija C(x), za katero
velja ∣∣∣∣− iT
∫ 2+iT
2+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds+ Λ(x)
∣∣∣∣ ≤ C(x)T . (10)
Enak postopek lahko naredimo tudi za pravokotnik, ki je zrcalno simetričen
na realno os, tj. pravokotnik [−T, 2]× [−T,−2]. Tedaj seštevamo po ničlah
z imaginarnimi deli na intervalu (−T,−2). Izkaže se, da oceni (9) in (10)
veljata tudi za integriranje po stranici [2 − iT, 2 − 2i]. V kombinaciji s
trikotnǐsko neenakostjo bomo imeli∣∣∣∣∣∣2Λ(x) + 2πT
∑
|={ρ}|<T
xρ
∣∣∣∣∣∣ < 2C(x) +D(x) log TT ,
kar pa že dokazuje izrek 1.
206 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 207 — #7 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
−T −1 0 12 1 2 <
2i∂ ([−T, 2]× [2, T ])
T i
=
1− ρ̄ρ
Slika 3. Območje integracije v dokazu izreka 1. »Odebelitev« kritičnega pasu nam
omogoča študiranje funkcije ζ′/ζ v kritičnem pasu.
Priprava
Zanimala nas bo rast izraza |ζ ′(s)/ζ(s)| na območju |={s}| ≥ 2, kjer seveda
s ni ničla funkcije zeta. Tega se lotimo tako, da najprej razdelimo dano
območje na tri dele: desno od premice <{s} = 2, pas −1 ≤ <{s} ≤ 2 in
levo od premice <{s} = −1. Na prvem delu imamo zvezo (2), za tretji del
bo poskrbela funkcijska enačba (3). Pravi izziv predstavlja drugo območje,
kjer na zvit način uporabimo Hadamardov produkt (6).
Po zamenjavi spremenljivke s z 1− s v (3) ter logaritmiranju in odvaja-
nju, dobimo
ζ ′
ζ
(s) = log(2π) +
π
2
cot
πs
2
− Γ
′
Γ
(1− s)− ζ
′
ζ
(1− s). (11)
Naj bo s iz območja (−∞,−1]× [2,∞). S tem je 1− s iz območja [2,∞)×
(−∞,−2]. Vsak člen absolutno ocenimo. Prvi je konstanta in nam zato ne
dela nobenih težav. Tudi drugi je omejen z neko konstanto, kar se enostavno
preveri z uporabo formule
cot z = i
eiz + e−iz
eiz − e−iz
.
Zadnji člen je po (2) prav tako omejen z neko konstanto, zato preostane še
člen s funkcijo gama. Potrebujemo verzijo Stirlingove formule na polravnini
<{z} ≥ z0 > 0. Za <{z} > 0 imamo
Γ′
Γ
(z)− log z = − 1
2z
−
∫ ∞
0
2xdx
(x2 + z2) (e2πx − 1)
, (12)
201–215 207
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 208 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
glej [1, str. 202]. Razdelimo polravnino <{z} ≥ z0 na |={z}| ≤
(√
2− 1
)
z0
in |={z}| >
(√
2− 1
)
z0, ter x naj bo realno število. Za z iz prvega območja
dobimo
∣∣x2 + z2∣∣ ≥ <{x2 + z2} ≥ <{z}2−={z}2 ≥ 2 (√2− 1) z20 , za drugo
območje pa
∣∣x2 + z2∣∣ ≥ ={x2 + z2} = 2<{z}={z} > 2 (√2− 1) z20 . Torej
je
∣∣x2 + z2∣∣ ≥ 2 (√2− 1) z20 , zato po (12) za <{z} ≥ z0 sledi∣∣∣∣Γ′Γ (z)
∣∣∣∣ ≤ log |z|+ π2 + 12z0 + 124 (√2− 1) z20 , (13)
pri čemer naj si bralec pomaga z integralom na str. 214 v [1]. Enačba (12)
dokazuje tudi simetrijsko lastnost Γ′(z)/Γ(z) = Γ′ (z̄) /Γ (z̄). S tem imajo
tako lastnost vsi členi na desni strani enakosti (11), od koder sledi
ζ ′
ζ
(s) =
ζ ′
ζ
(s̄)
za s ∈ (−∞,−1] × [2,∞). Ker je <{1 − s} ≥ 2, lahko uporabimo oceno
(13) za z0 = 2 in dobimo |Γ′(1− s)/Γ(1− s)| < log |1− s| + 2. Ker je
2 < |1 − s| < |s|2, sledi |Γ′(1− s)/Γ(1− s)| < 2 log |s| + 2. Če vse skupaj
združimo, dobimo |ζ ′(s)/ζ(s)| < 2 log |s| + A za neki A > 0. Toda A <
(2A/ log 2) log |s|. Zato obstaja konstanta C1 > 0, da velja∣∣∣∣ζ ′ζ (s)
∣∣∣∣ < C1 log |s| (14)
za vse s ∈ (−∞,−1]× [2,∞). Zaradi simetrije ta neenakost velja tudi za s̄,
torej na območju (−∞,−1]× (−∞,−2].
Težja je obravnava območja [−1, 2] × [2,∞), saj imamo opravka z ne-
trivialnimi ničlami. Pri tem nam bo v veliko pomoč Hadamardov produkt.
Logaritmiranje in odvajanje izraza (6) nam da
ζ ′
ζ
(s) = log (2π)− 1− C
2
− 1
s− 1
− 1
2
Γ′
Γ
(s
2
+ 1
)
+
∑
ρ
s
ρ (s− ρ)
.
Ključen element v dokazu enakosti (6) je netrivialno dejstvo, da za vsak
ε > 0 vrsta
∑
ρ |ρ|−1−ε konvergira, za ε = 0 pa divergira. Slednje lahko
uporabimo tudi za dokaz, da je netrivialnih ničel neskončno mnogo. Torej
je vrsta v zgornjem izrazu absolutno konvergentna. Za s = 1 jo lahko z
nekaj truda celo izrazimo z znanimi konstantami. V nadaljevanju bomo
to storili za vrsto po ={ρ} > 0, kar je zaradi simetrije med ničlami ravno
polovica celotne vsote. Zgornji izraz za s = 1 ni dobro definiran, vendar
velja lims→1
(
ζ ′(s)/ζ(s) + (s− 1)−1
)
= C, glej [10, str. 20]. Privzemimo,
208 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 209 — #9 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
da poznamo še vrednost Γ′(3/2)/Γ(3/2) = 2−C− log 4, glej npr. [5, 8.365
1 in 8.366 2]. Dobimo
∑
={ρ}>0
1
ρ (1− ρ)
=
∑
ρ=β+iγ
γ>0
β
|ρ|2
+
1− β
|1− ρ|2
+ iγ
(
1
|1− ρ|2
− 1
|ρ|2
)
=
∑
ρ=β+iγ
β>1/2,γ>0
2
(
β
|ρ|2
+
1− β
|1− ρ|2
)
+
∑
ρ=β+iγ
β=1/2,γ>0
4
1 + 4γ2
= B ≈ 0,0231,
kjer je B konstanta iz Hadamardovega produkta. S to enakostjo lahko
pokažemo, da na območju [0, 1] × (0, 2] ni ničel. V nasprotnem primeru bi
za ničlo ρ s tega območja veljalo |ρ| ≤
√
5, |1 − ρ| ≤
√
5 in γ ≤ 2. Če
ničla ne leži na kritični premici, upoštevamo samo prvi člen v drugi vrstici
zgornje enakosti in dobimo B > 2/5, kar je protislovje. Če pa ničla leži na
kritični premici, nam drugi člen da B > 4/17, kar je ponovno protislovje. Če
združimo še ugotovitve iz uvoda, lahko zaključimo, da območje [0, 1]×[−2, 2]
ne vsebuje ničel.
S podobnim argumentom kakor pri dokazu neenakosti (14) ugotovimo,
da obstaja konstanta C ′ > 0, tako da velja∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑
ρ
s
ρ (s− ρ)
∣∣∣∣∣ < C ′ log |s| (15)
za vse s ∈ [−1, 2] × [2,∞). Ta neenakost je že dovolj, da lahko nekaj
povemo o zgornji meji za število netrivialnih ničel v kvadratih z enotskimi
stranicami.
Lema 3. Obstaja konstanta C̃ > 0, da je število ničel Riemannove funkcije
zeta v kvadratu [0, 1]× [t, t+ 1] manǰse kot C̃ log |t| za vse |t| ≥ 2.
Dokaz. Zaradi simetrije lahko predpostavimo t ≥ 2. Izberimo t ≥ 2 in
definirajmo s0 := 2 + it. Po trikotnǐski neenakosti iz (15) sledi∣∣∣∣∣∑
ρ
s0
ρ (s0 − ρ)
∣∣∣∣∣ < C ′ log |s0| − ζ ′ζ (2) < C̃5 log t
za neko konstanto C̃ > 0. Po drugi strani pa se lahko brez težav prepričamo,
201–215 209
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 210 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
da velja∣∣∣∣∣∑
ρ
s0
ρ (s0 − ρ)
∣∣∣∣∣ ≥∑
ρ
<
{
s0
ρ (s0 − ρ)
}
>
∑
ρ
<
{
1
s0 − ρ
}
=
∑
ρ=β+iγ
2− β
(2− β)2 + (t− γ)2
≥
∑
γ
1
4 + (t− γ)2
≥ N
5
,
kjer smo z N označili število ničel iz leme. Ker je s0ρ
−1 (s0 − ρ)−1 = ρ−1 +
(s0 − ρ)−1, sledi druga neenakost. Zadnjo neenakost pa dobimo tako, da
upoštevamo samo ničle iz kvadrata, torej (t− γ)2 ≤ 1. Dokaz leme je s tem
končan.
Izrek 4. Obstaja konstanta C3 > 0, da velja∣∣∣∣∣∣ζ
′
ζ
(s)−
∑
|t−={ρ}|<1
1
s− ρ
∣∣∣∣∣∣ < C3 log |t| (16)
za s = σ + it, pri čemer je σ ∈ [−1, 2] in |t| ≥ 2.
Dokaz. Zaradi simetrije lahko privzamemo t ≥ 2. Izberimo t ≥ 2 in defini-
rajmo s0 := 2 + it. Uporabimo neenakost (15) in dobimo∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑
ρ
s0 − s
(s− ρ) (s0 − ρ)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑
ρ
s
ρ (s− ρ)
+
∑
ρ
s0
ρ (s0 − ρ)
∣∣∣∣∣
< C ′ log |s|+ C ′ log |s0| −
ζ ′
ζ
(2)
≤ 2C ′ log |s0| −
ζ ′
ζ
(2) < C3 log t
za neko konstanto C3 > 0. Ker je vrsta po ničlah absolutno konvergentna,
jo lahko razdelimo na dele∑
|t−={ρ}|<1
+
∑
t+1≤={ρ}
+
∑
0<={ρ}≤t−1
s0 − s
(s− ρ) (s0 − ρ)
+
s0 − s
(s− ρ̄) (s0 − ρ̄)
.
Naj bodo S1, S2 in S3 zaporedoma zgornje vsote. Obravnavajmo S2. Naj bo
n naravno število in ρ ničla z imaginarnim delom na intervalu [t+n, t+n+1].
210 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 211 — #11 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
Potem je |s− ρ| ≥ |= {s− ρ}| ≥ n, |s0 − ρ| ≥ n in |s0 − s| ≤ 3, prav tako
za ρ̄. S temi neenakostmi ocenimo∣∣∣∣∣∣
∑
t+n≤={ρ}<t+n+1
s0 − s
(s− ρ) (s0 − ρ)
+
s0 − s
(s− ρ̄) (s0 − ρ̄)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 6n2N1,
kjer je N1 število ničel v kvadratu [0, 1] × [t + n, t + n + 1]. Po lemi 3 je
N1 < C̃ log (t+ n), zato
|S2| < 6C̃
∞∑
n=1
log (t+ n)
n2
≤ 6C̃
(
log (t+ 1) +
∫ ∞
1
log (t+ x)
x2
dx
)
= 6C̃
(1 + 2t) log (1 + t)
t
.
Torej obstaja konstanta C1 > 0, da je |S2| < C1 log t. Na podoben način
dobimo tudi |S3| < C2 log t za neko konstanto C2 > 0. Imamo∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1 − (S2 + S3)
∣∣∣∣+ |S2 + S3|
<
(
C1 + C2 + C3
)
log t. (17)
Naj bo ρ ničla z imaginarnim delom na intervalu [t − 1, t + 1]. Potem je
|s0 − ρ| ≥ <{s0 − ρ} ≥ 1, |s0 − ρ̄| ≥ 1 in |s− ρ̄| ≥ ={s− ρ̄} ≥ 1. Zato po
neenakosti (17) sledi∣∣∣∣∣∣ζ
′
ζ
(s)−
∑
|t−={ρ}|<1
1
s− ρ
∣∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣S1 −
∑
|t−={ρ}|<1
1
s− ρ
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∑
|t−={ρ}|<1
1
s0 − ρ
− s0 − s
(s− ρ̄) (s0 − ρ̄)
∣∣∣∣∣∣
<
(
C1 + C2 + C3
)
log t+ 4N2,
kjer je N2 število ničel v kvadratu [0, 1] × [t − 1, t + 1]. Po lemi 3 je N2 <
C̃ (log (t− 1) + log t) < 2C̃ log t. Zato s C3 := C1 + C2 + C3 + 8C̃ dobimo
(16).
Izrek 4 je eden izmed pomembneǰsih izrekov teorije Riemannove funk-
cije zeta, katerega dokaz pa je relativno preprost. Uporablja se v dokazu
Riemann–von Mangoldtove formule
N(T ) =
T
2π
log
T
2πe
+O (log T ) , (18)
201–215 211
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 212 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
kjer je N(T ) običajna oznaka za število ničel ρ s pogojem 0 < ={ρ} ≤ T .
Ta formula je natančneǰsa oblika ocene N(T ) = O (T log T ), ki jo dobimo
po lemi 3.
Dokaz
Sedaj smo pripravljeni na dokaz relacije (5) v izreku 1. V dokazu neenakosti
(10) ne potrebujemo ocen iz razdelka Priprava, zato ga bomo najprej na-
redili. Preostanek razdelka je namenjen še tehnično zahtevneǰsemu dokazu
neenakosti (9).
Po relaciji (2) med odvodom logaritma funkcije ζ in von Mangoldtovo
funkcijo Λ imamo
− i
T
∫ 2+iT
2+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds =
i
T
∞∑
n=1
Λ(n)
∫ 2+iT
2+2i
(x
n
)s
ds.
Sumacijo in integracijo lahko zamenjamo, saj je vrsta absolutno konvergen-
tna. Integral na desni strani izračunamo tako, da ločimo primera x = n in
x 6= n. Dobimo
− i
T
∫ 2+iT
2+2i
ζ ′
ζ
(s)xsds+ Λ(x) =
2Λ(x)
T
+
ix2
T
∑
n6=x
Λ(n)
n2 log (x/n)
((x
n
)iT
−
(x
n
)2i)
.
Podobno naredimo še za integral po stranici [2 − iT, 2 − 2i]. Pri tem se v
zgornji formuli spremenita le člena v oklepaju, in sicer T se spremeni v −2
in 2 v −T . Kakorkoli, absolutna vrednost desne strani je v obeh primerih
neka funkcija oblike C(x)T−1. S tem smo dokazali neenakost (10).
Obravnava integrala po daljici [−T + iT,−T + 2i] je zelo enostavna.
Parametrizirajmo daljico s s = −T + it, kjer gre t od T do 2. Ker je
|s| < T + t, nam ocena (14) zagotavlja∣∣∣∣∫ −T+2i
−T+iT
ζ ′
ζ
(s)xsds
∣∣∣∣ ≤ C1xT
∫ T
2
log (T + t)dt
=
C1
xT
(2− T + 2T log (2T )− (T + 2) log (T + 2))
<
4C1T
xT
log T ≤ 4C1
x1/ log x log x
log T,
212 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 213 — #13 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
kjer smo upoštevali x > 1, T > 2 in log (2T ) < 2 log T . Zadnjo neenakost
dobimo tako, da izračunamo maksimum funkcije Tx−T v spremenljivki T .
Podoben postopek z enako oceno naredimo še za stranico [−T−2i,−T−iT ].
Izberimo t, 2 ≤ |t| ≤ T . Integral po daljici [−T + it, 2 + it] razdelimo na
dela po [−T + it,−1 + it] in [−1 + it, 2 + it]. Podobno kakor prej nam ocena
(14) da∣∣∣∣∫ −1+it
−T+it
ζ ′
ζ
(s)xsds
∣∣∣∣ ≤ C1∫ T
1
log (|t|+ σ)x−σdσ ≤ C1 log (|t|+ T )
∫ T
1
x−σdσ
= C1 log (|t|+ T )
(
1
x log x
− 1
xT log x
)
<
2C1 log T
x log x
.
Pomnožimo izraz (16) v izreku 4 z |xs| = xσ, kjer je x > 1 in σ ∈ [−1, 2].
Dobimo ∣∣∣∣∣∣ζ
′
ζ
(s)xs −
∑
|t−={ρ}|<1
xs
s− ρ
∣∣∣∣∣∣ < C3xσ log |t| ≤ C3x2 log |t|.
Od tod sledi∣∣∣∣∣∣
∫ 2+it
−1+it
ζ ′
ζ
(s)xsds−
∑
|t−={ρ}|<1
∫ 2+it
−1+it
xsds
s− ρ
∣∣∣∣∣∣ ≤ 3C3x2 log T.
Naj bo ρ ničla iz pravokotnika [0, 1] × [t, t + 1]. Po izreku o residuih za
pravokotnik [−1, 2]× [t, t+ 2], glej (7) za f(s) = s− ρ in g(s) = xs, velja∫ 2+it
−1+it
xsds
s− ρ
= xρ −
∫ 2+i(t+2)
2+it
xsds
s− ρ
−
∫ −1+i(t+2)
2+i(t+2)
xsds
s− ρ
−
∫ −1+it
−1+i(t+2)
xsds
s− ρ
.
Ker je |s−ρ| ≥ 1 za s po daljicah integracije na desni strani izraza, je abso-
lutna vrednost levega integrala omejena z neko funkcijo C2(x). Upoštevamo
še lemo 3 in dobimo∑
|t−={ρ}|<1
∣∣∣∣∫ 2+it
−1+it
xsds
s− ρ
∣∣∣∣ < 2C̃C2(x) log |t| ≤ 2C̃C2(x) log T.
To nam končno da∣∣∣∣∫ 2+it
−1+it
ζ ′
ζ
(s)xsds
∣∣∣∣ ≤ (2C̃C2(x) + 3C3x2) log T.
201–215 213
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 214 — #14 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Absolutna vrednost integrala po daljici [−T+it, 2+it] za t ∈ [2, T ]∪[−T,−2]
je tako manǰsa kot
(
2C1/(x log x) + 2C̃C2(x) + 3C3x
2
)
log T . Seveda je s
tako oceno omejena tudi absolutna vrednost integrala po daljici [2+it,−T+
it]. S tem smo pokazali, da neenakost (9) velja za
D(x) :=
4C1
x1/ log x log x
+
4C1
x log x
+ 4C̃C2(x) + 6C3x
2.
Posplošitve
Naravno vprašanje je, ali lahko trditev posledice 2 podamo tudi za x ∈ (0, 1).
Primer x = 1 lahko izločimo, saj gre po Riemann–von Mangoldtovi formuli
(18) vrednost ΛT (1) pri T →∞ proti neskončnosti.
Slika 4. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije xΛ(1/x) na intervalu
[1/102, 1/2].
Slika 4 nas prepričuje, da se tudi na tem intervalu dogaja nekaj zanimi-
vega. Opazimo lahko, da nam sedaj funkcija ΛT (x) prepoznava recipročne
vrednosti potenc praštevil. Zakaj? Zaradi simetrije med netrivialnimi ni-
člami velja ∑
|={ρ}|<T
xρ =
∑
|={ρ}|<T
x1−ρ = x
∑
|={ρ}|<T
x−ρ.
214 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 215 — #15 i
i
i
i
i
i
Riemannove ničle in praštevila
Ker je x−1 > 1, lahko uporabimo izrek 1 za x−1. Dobimo
xΛ
(
x−1
)
= − lim
T→∞
π
T
∑
|={ρ}|<T
xρ.
Če je Riemannova domneva pravilna, potem za vsak x ∈ (0, 1) velja
xΛ
(
x−1
)
= limT→∞ ΛT (x). Torej je limT→∞ ΛT (p
−n) = p−n log p za vsako
praštevilo p in vsako naravno število n. Zato najvǐsji vrhovi nastanejo prav
nad obratnimi vrednostmi praštevil, vse skupaj pa gre z večanjem praštevil
proti nič. Oblika grafa na sliki 4 je tako pojasnjena.
Na podoben način, le s skrbneǰsim ocenjevanjem izrazov iz razdelka Do-
kaz, je Steve Gonek v [4] dokazal∑
0<={ρ}<T
xρ = − T
2π
Λ(x) +O (x log (2xT ) log log 3x)
+O
(
log xmin
{
T,
x
〈x〉
})
+O
(
log (2T ) min
{
T,
1
log x
})
,
kjer 〈x〉 pomeni razdaljo od x do najbližje potence praštevila, različne od
x. S tem mu je uspelo poenostaviti dokaze nekaterih pomembnih izrekov, ki
obravnavajo razdalje med zaporednimi ordinatami ničel. Podrobnosti pre-
puščamo radovednim bralcem, ki naj posežejo po spodaj navedeni literaturi.
LITERATURA
[1] L. V. Ahlfors, Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions
of one complex variable, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979.
[2] H. M. Edwards, Riemann’s zeta function, Dover Publications, New York, 2001.
[3] L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, Amer. Math. Monthly 80
(1973), no. 6, 599–615.
[4] S. M. Gonek, An explicit formula of Landau and its applications to the theory of
the zeta-function, A tribute to Emil Grosswald: number theory and related analysis,
Contemp. Math. 143, AMS, 1993, str. 395–413.
[5] I. S. Gradshteyn in I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products, 7th ed.,
Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2007.
[6] A. Ivić, The Riemann zeta-function, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley
& Sons, New York, 1985.
[7] E. Landau, Über die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Ann. 71 (1912), no. 4,
548–564.
[8] S. Lang, Algebraic number theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 110,
Springer-Verlag, New York, 1994.
[9] B. Mazur, W. Stein, Prime numbers and the Riemann hypothesis, Cambridge Uni-
versity Press, 2016.
[10] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, 2nd ed., Oxford Uni-
versity Press, New York, 1986.
201–215 215
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 216 — #1 i
i
i
i
i
i
GRAVITACIJSKI VALOVI,
NOBELOVA NAGRADA ZA FIZIKO 2017
ALEŠ MOHORIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 95.55.Ym, 04.80.Nn
Besedilo podaja kratko zgodovino odkrivanja gravitacijskih valov. Opisane so osnovne
lastnosti valov in način detekcije. Uspešne detekcije valov kažejo na velik raziskovalni
potencial gravitacijske astronomije.
GRAVITATIONAL WAVES,
THE NOBEL PRIZE IN PHYSICS 2017
The article outlines a short history of gravitational wave detection. Fundamental
properties of waves and its detection are described. Recent successful detections show a
great potential of gravitational astronomy.
Nobelovo nagrado za fiziko za leto 2017 so prejeli Kip S. Thorne, Rainer
Weiss in Barry C. Barish za »svoje odločilne prispevke k detektorju LIGO
in opazovanju gravitacijskih valov« [1].
Slika 1. Nobelovci za fiziko za leto 2017: Kip S. Thorne, Rainer Weiss in Barry C. Barish.
vir: Nobel media [1].
Kip S. Thorne je bil rojen leta 1940 v ZDA in je profesor na Kalifor-
nijskem tehnološkem inštitutu (Caltech), ZDA, doktoriral je na Univerzi
Princeton, ZDA. Rainer Weiss je bil rojen leta 1932 v Nemčiji. Je profe-
sor na Tehnološkem inštitutu Massachusetts (MIT), ZDA, doktoriral je na
216 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 217 — #2 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
MIT. Barry C. Barish je bil rojen leta 1936 v ZDA in je profesor na Cal-
techu, doktoriral je na Univerzi Kalifornije, Berkeley. Thorne in Weiss sta
ustanovila projekt LIGO, ki se mu je pridružil še pred nedavnim preminuli
Ronald Drever, Barish pa je najprej deloval na področju fizike visokih ener-
gij, nato pa je postal direktor kolaboracije LIGO, vključil v sodelovanje še
evropski projekt VIRGO in je uspešno vodil tehnološki razvoj detektorjev
LIGO.
Prvi je gravitacijske valove omenil Henri Poincare leta 1905 [2]. Teore-
tično je pred dobrimi sto leti (1916) možnost njihovega obstoja napovedal
Albert Einstein, v članku, ki ga je predložil Pruski akademiji znanosti janu-
arja 1918, pa je opisal njihovo razširjanje in emisijo v šibkem polju.
Gravitacijski valovi v marsičem spominjajo na elektromagnetne valove
[3]. Ker v naravi ni negativnih mas, gravitacijski valovi ne morejo biti izse-
vani v obliki dipolnega sevanja, ki je običajno pri elektromagnetnih valovih,
ampak se pri gravitacijskih valovih pojavlja kot izvor najprej kvadrupol.
Zato in predvsem zaradi šibkosti gravitacijske interakcije so gravitacijski
valovi izjemno šibki. »Moč« elektromagnetne interakcije pogosto izražamo
s konstanto fine strukture αf =
e2
4πε0mec2
mec
~ =
1
137 , »moč« gravitacijske in-
terakcije pa lahko po analogiji izrazimo v obliki αg =
Gmp
c2
mpc
~ = 9,4 · 10
−40!
Einstein se je spraševal, ali bo gravitacijske valove sploh možno zaznati.
Izpostavil je, da odnašajo valovi iz sistema dveh zvezd tako malo energije,
da izgube ni mogoče opaziti v doglednem času, kaj šele, da bi merili valove
neposredno.
Da bi lahko opazili valove, ki izvirajo iz sistema dveh črnih lukenj, prav-
zaprav od začetka ni bilo pričakovano. Črne luknje so bile obravnavane kot
najbolj eksotični objekti, ki bi utegnili biti izvori gravitacijskih valov pri
akustičnih frekvencah, vendar nihče ni pričakoval, da bi lahko obstajalo v
vesolju dovolj črnih lukenj z ravno pravšnjimi masami, ki bi lahko trkale
med seboj. Hulse-Taylorjev pulzar in pozneje odkriti drugi dvojni pulzarji
so se pojavili kot prvi obeti za izvore gravitacijskih valov, ki bi utegnili za
kratek čas izbruhniti pri akustičnih frekvencah. Črni luknji sevata dovolj
močno zato, ker imata zelo veliko maso in sta dovolj majhni, da lahko pred
zlitjem krožita druga okoli druge z visoko frekvenco. Njuno sevanje zaznamo
le tik pred združitvijo, ko je frekvenca kroženja največja in s tem tudi moč
sevanja. Razločen signal se torej pojavi le ob dogodku, ob katerem se sprosti
ogromno energije. Kljub temu potrebujemo izjemno občutljiv detektor [4].
Kako malo je Einstein verjel v gravitacijske valove, priča članek, ki sta ga
skupaj z Nathanom Rosenom poslala v revijo Physical Review. V članku
razpravljata o obstoju gravitacijskih valov, in čeprav prvotno besedilo ni
216–227 217
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 218 — #3 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 2. Gravitacijski val, ki vpade v smeri pravokotni na list, deformira obroč, na kate-
rem so nanizane točkaste mase. Valovanje je transverzalno in ima dve možni polarizaciji,
ki ju navadno označimo s + in × (zgornja vrstica prikazuje polarizacijo +, spodnja pa
×). Vrstici kažeta časovni potek oblike obroča za obe polarizaciji.
ohranjeno, iz Einsteinove korespondence s Karlom Schwarzschildom lahko
sklepamo, da je bil zaključek negativen. Urednik revije je posredoval članek
v pregled Einsteinovemu kolegu, ki je v razmǐsljanju odkril pomanjkljivosti,
teh pa Einstein užaljeno ni hotel komentirati in je članek umaknil iz objave.
Sčasoma je svojo napako spoznal in besedilo objavil drugje, z zaključkom,
da gravitacijski valovi vsekakor obstajajo.
V 1960. letih je Peter Bergmann opisal vpliv gravitacijskih valov na
delce, razporejene po obodu obroča. Val, ki vpade vzporedno z geometrijsko
osjo obroča, povzroči, da se delci na nasprotnih straneh obroča približajo,
delci v smeri pravokotno pa oddaljijo. V naslednji fazi se delci razmaknejo,
tako kot kaže slika 2.
Pojav predstavlja osnovno idejo, kako meriti gravitacijske valove preko
deformacije obroča. Seveda ne gre tako enostavno, da bi premer obroča
merili kar z ravnilom, saj tudi nanj vpliva gravitacijski val. Vendar pa se
ravnilo zaradi togosti razteza in krči drugače, kar vendarle omogoča vsaj
posredno zaznavo spremembe razdalje. Šele pozneje se je rodila ideja, da
bi razdalje merili s časom potovanja svetlobe. Še pred tem je v 1950. letih
potekala živahna debata, ali gravitacijski valovi sploh lahko nosijo energijo.
Pojem energije je namreč tesno povezan z idejo o nespremenljivosti prostora
kot simetriji, ki jo gravitacijski valovi zlomijo, če jih razumemo kot geome-
trijsko motnjo, ki se širi skozi prostor. Dilemo je razrešil Richard Feynman
na prvem kongresu v Chapel Hillu leta 1957. Feynman je opisal idejo dr-
sečih korald, ki je večino prepričala, da gravitacijski valovi zares prenašajo
energijo. Ideja je preprosta: na palici tičita ločeni dve koraldi in trenje med
palico in koraldami ni zanemarljivo. Ko gravitacijski val zaniha palico s
koraldama, koraldi drsita po palici in jo segrejeta. Na ta način se energija
prenese iz valov v notranjo energijo palice in korald.
218 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 219 — #4 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
Slika 3. Z miselnim poskusom drsečih korald pojasnimo način prenosa energije iz gra-
vitacijskih valov v notranjo energijo palice in korald. Gravitacijski val premakne koralde
na palici in notranja energija palice se poveča zaradi trenja.
Serija srečanj v Chapel Hillu ima nenavadno ozadje. Na teh srečanjih
so se srečevali tisti, ki so se zanimali za gravitacijo. Srečanja je denarno
podpiral bogataš Roger W. Babson, ki je svoje bogastvo pripisoval Newto-
novemu gravitacijskemu zakonu. Delnice je kupoval, ko so se vzpenjale, in
jih prodajal, ko so začele padati. Vsaki akciji sledi reakcija, je rad pridigal
tretji Newtonov zakon. Ekscentrični milijonar je postal obseden z gravita-
cijo, saj mu je že v otroštvu utonila sestra. Nesrečo je pripisoval gravitaciji,
ki se ji dekle ni moglo upreti. Ustanovil je sklad za raziskovanje gravitacije
(GRF – Gravity research fundation), katerega namen je bil odkriti način
izolacije, zmanǰsanja ali odboja gravitacije. Vsako leto so razpisali nagrado
za najbolǰsi esej na to temo in med njimi je bilo dokaj ekscentričnih prispev-
kov. Na razpis se je leta 1953 prijavil mladi raziskovalec Bryce DeWitt, ki
je želel z nagrado odplačati hipoteko. Zakaj pa ne? Čez noč je napisal esej,
ki se je tako rekoč posmehoval sami ideji razpisa. Trdil je, da gravitacije
nikoli in nikakor ne moremo manipulirati. Proti pričakovanjem je nagrado
dobil, kar je pozneje opisal kot »najhitreje zasluženih 1000$ v mojem življe-
nju«. Kakorkoli, esej je Babsona prepričal, da svojo filantropijo usmeri v
znanstvene raziskave gravitacije. Seveda okvir GRF ni ustrezal, saj je bil
sklad v znanstvenih krogih deležen le posmeha. S prijateljem, milijonarjem
Agnewom Bahnsonom, sta kontaktirala Johna Archibalda Wheelerja, zna-
nega strokovnjaka za gravitacijo s Princetona, in skupaj so se strinjali, da je
DeWitt primeren vodja novega Inštituta za fiziko polja, ki so ga ustanovili
v Chapel Hillu. Inštitut je začel svoje delovanje leta 1957 s konferenco o
»vlogi gravitacije v fiziki«.
Med udeleženci konference je bil tudi Joseph Weber. Tega so razprave
tako navdušile, da se je lotil izdelave detektorja valov. Zamislil si ga je kot
velik, nekajtonski valj, uporabil je aluminij, z zelo natančnimi piezoelek-
216–227 219
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 220 — #5 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 4. Natančne meritve orbitalnega časa para nevtronskih zvezd so pokazale, da se
kroženje ustavlja skladno z napovedjo splošne teorije relativnosti. Teorija upošteva, da
gravitacijski valovi iz sistema odnašajo energijo. Diagram povzet po [6].
tričnimi merilniki raztezka. Proti koncu 1960. let je že poročal o množici
signalov, ki naj bi v večini izvirali iz sredǐsča Galaksije. Vendar so se te
meritve izkazale za napačne. Po njih naj bi Galaksija vsako leto s sevanjem
gravitacijskih valov izgubila maso, ki ustreza tisočem Sončevih mas. Gala-
ksija bi se že davno razpršila, če bi bili rezultati meritev pravilni. Poskusi,
podobni Webrovim, so sčasoma vodili do spoznanja, da njegova metoda ni
uspešna in je signal, ki ga je meril, nekaj drugega in ne detekcija gravita-
cijskih valov. Sredi 1970. let sta Joseph Hooten Taylor in Alan Russell
Hulse odkrila dvojni sistem nevtronskih zvezd, od katerih je ena pulzar [5].
Natančne meritve obhodnega časa zvezd so pokazale, da par izgublja ener-
gijo skladno s sevanjem gravitacijskih valov. Tako so bili gravitacijski valovi
prvič posredno potrjeni leta 1979. Za ta dosežek sta Taylor in Hulse leta
1993 prejela Nobelovo nagrado.
Potrditev obstoja gravitacijskih valov je vlila nov zagon naporom, da
jih zaznajo neposredno. Metoda z Webrovimi mehanskimi resonatorji se
je izkazala za premalo občutljivo. Zato so raziskovalci začeli razmǐsljati
o novem načinu merjenja spremembe razdalj – z interferometri. Za razvoj
novih načinov gledanja na detekcijo gravitacijskih valov je pomemben članek
[7], v katerem je obravnavana meritev šibkih signalov kot proces zaznavanja
spremembe kvantnega stanja in s tem predstavljeno merilo za sposobnost
zaznavanja tako šibkih signalov, kot jih vzbujajo gravitacijski valovi.
220 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 221 — #6 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
Po izvoru in časovnem poteku gravitacijske valove ločimo na naključne,
periodične in sunkovite. Naključne je težko prepoznati, saj so podobni šumu,
vendar bi jih lahko prepoznali s korelacijo signalov iz različnih detektorjev.
Taki valovi so lahko posledica razmer ob nastanku vesolja. Periodični valovi
izvirajo iz nesimetričnih, vrtečih se, gostih tvorb, ali pa para krožečih teles.
Sunkoviti valovi nastanejo npr. ob sesedenju zvezde, združenju para, eksplo-
ziji. Za vsakega od naštetih pojavov je značilen časovni potek in detektorji
so lahko dovolj občutljivi le na omejenem območju. Ko so začeli razmǐsljati
o zaznavanju gravitacijskih valov, je bilo govora o izvorih in seveda je bilo
v ospredju vprašanje, kateri izvor bi utegnil proizvesti tako močan signal,
da bi ga bilo mogoče zaznati. Od vsega začetka je bilo jasno, da je za za-
znavo potrebna razmeroma velika gostota energijskega toka v gravitacijskem
valu. To se lahko zgodi, če je izvor valovanja dovolj blizu ali pa, če je izvor
tako močan, da sprosti mirovalno energijo zvezde v nekaj nihajih. Bližnji
izvori so lahko znane dvojne zvezde, vendar so njihove orbitalne periode
vsaj nekaj ur, dni, mesecev. Gravitacijskega signala s takega sistema na
Zemlji ne moremo zaznati, ker razdalje na Zemlji niso dovolj stabilne na
tako dolgih časovnih skalah. Za detekcijo gravitacijskih valov s takih izvo-
rov je predviden interferometer LISA, sestavljen iz treh satelitov v oglǐsčih
enakostraničnega trikotnika s stranico skoraj 2 milijona kilometrov. Skoraj
istočasno se je utrnila ideja, da bi zaznavali učinek gravitacijskih valov tudi z
interferometrom na Zemlji. Za to idejo dolgo ni bilo posebnega navdušenja,
ker nismo poznali pojava, ki bi lahko generiral dovolj močne gravitacijske
valove pri frekvencah večjih od nekaj 10 Hz, pri katerih bi bili interferome-
tri na Zemlji teoretično sposobni zaznavati. Šele odkritje dvojnega sistema
nevtronskih zvezd je ponudilo možnost scenarija, po katerem bi sistem po
dovolj dolgem času postal tako tesen, da bi v labodjem spevu, ki traja le
nekaj sekund, oddal dobršen del svoje mase z gravitacijskimi valovi, katerih
frekvenca bi z nekakšnim žvižgom hitro naraščala od nekaj 10 Hz do ne-
kaj kHz. Detektorji LIGO, VIRGO in KAMA so bili načrtovani s ciljem,
da bi mogli zaznati takšne kataklizmične pojave vse do razdalj milijarde
svetlobnih let.
Iznajditelja interferometra za detekcijo gravitacijskih valov pravzaprav
težko določimo, saj se je ideja zanj rodila pri več posameznikih. Osnovo
merilnika predstavlja Michelsonov interferometer, ki ga sestavljata dva med
seboj pravokotna kraka, zaključena z zrcaloma. V kraka usmerimo curka
monokromatične laserske svetlobe, nastala z razcepom vhodnega curka na
polprepustnem zrcalu – delilniku žarka. Svetloba potuje v vsakem kraku
do končnega zrcala in nazaj, kjer se na izhodu združi. Če je pot svetlobe
od delilnika žarka do detektorja natančno enaka v obeh krakih, svetloba
216–227 221
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 222 — #7 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 5. Gravitacijski valovi nastanejo pri različnih pojavih in imajo za pojav značilno
frekvenco. Vrsta detektorja je prilagojena frekvenci.
na detektorju interferira konstruktivno in je najmočneǰsa. Če se razdalji
razlikujeta za polovico valovne dolžine svetlobe, pride na izhodu do de-
struktivne interference. Svetlost izhodnega curka je torej odvisna od razlike
medsebojnih razdalj. Gravitacijski val spremeni ti razdalji in tako ga lahko
zaznamo z merjenjem jakosti izhodne svetlobe. Interferometer je najbolj
učinkovit, če je dolžina njegovih krakov enaka četrtini valovne dolžine gra-
vitacijskega vala. Če želimo meriti valove od trkov nevtronskih zvezd pri
frekvenci 100 Hz, kar ustreza frekvenci na sredini žvižga, bi to ustrezalo
dolžini kraka 750 km, kar pa je nepraktično.
Prvi so idejo merjenja gravitacijskih valov z interferometrom predlagali
v Sovjetski zvezi, najprej 1962 Gertsenshtein in Pustovoit, in pozneje, 1966,
še Vladimir B. Braginski. Ta ideja je zamrla, deloma tudi zato, ker so bili
avtorji za železno zaveso. Zapiski v Webrovem laboratorijskem dnevniku
kažejo, da je tudi on razmǐsljal o interferometru, vendar te ideje ni nikoli
uresničil. To je prvi storil šele njegov študent Robert L. Forward leta 1978.
Z idejo o interferometru se je nato začel ukvarjati Rainer Weiss, ki je na
MIT izdelal interferometer z 1,5-metrskima krakoma. Ko je iskal sredstva
222 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 223 — #8 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
Slika 6. Interferometer za merjenje gravitacijskih valov.
za nadaljnje raziskave, so njegovo vlogo pregledali v Nemčiji, kjer so do te-
daj neuspešno poskušali potrditi Webrove rezultate. Zato so razmǐsljali o
nadgradnji antene, vendar so se po seznanitvi z Weissovimi idejami ogreli za
interferometer. Tako je prǐslo do sodelovanja z njim. V nemškem Garchingu
so izdelali 30-metrski interferometer, kjer so raziskovali načine zmanǰsanja
šuma, ki so jih pozneje uporabili pri amerǐskem sistemu. Med drugim so raz-
iskovali tudi zakasnilno linijo, s katero efektivno podalǰsamo dolžino kraka
tako, da svetlobo vodimo v krak pod majhnim kotom in se svetloba večkrat
odbije od zrcal, preden zapusti interferometer.
Leta 1975 je interferometrična merjenja razdalj med dvema Webrovima
antenama začel raziskovati Ronald Drever, ki je pozneje odšel v Caltech.
Ronald Drever je pokazal, da je možno dolžino kraka efektivno podalǰsati
s tem, da sta roki interferometra Fabry-Perotova resonatorja z ustrezno fi-
neso. Nemška skupina v Garchingu je 1985 pripravila prvi predlog zares
velikega, 3-kilometrskega interferometra, vendar ta ni bil odobren za finan-
ciranje. Podobna usoda je čakala škotski laboratorij, v katerem je nekdaj
216–227 223
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 224 — #9 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 7. Interferometer VIRGO blizu Pise v Italiji ima kraka dolga po 3 km.
delal Drever. Šele skupna vloga s skromneǰsim 600-metrskim predlogom je
bila uspešna leta 1994. Sistem je zdaj operativen pod imenom GEO.
Tik pred sprejetjem projekta škotskih in nemških raziskovalcev so se
za podoben projekt začeli zanimati francoski raziskovalci iz Orsaya, ki so
k sodelovanju privabili italijanske raziskovalce iz Pise in Neaplja. Od leta
1994, ko je bilo potrjeno financiranje projekta VIRGO, sta potem pretekli
še dve leti, da so odkupili zemljǐsča in začeli gradnjo. VIRGO so dokončali
2003 in 2007 se je povezal z amerǐskim sistemom LIGO.
V ZDA sta se z idejo merjenja gravitacijskih valov ukvarjala Kip Thorne
in Weiss. Thorne, priznani teoretik, je potreboval eksperimentatorja, da bi
uresničil idejo interferometričnega merjenja gravitacijskih valov. Razmǐsljal
je o Braginskem, ki pa ga je bilo težko spraviti izza železne zavese. Weiss mu
je predlagal Dreverja, ki je nato prǐsel na Caltech leta 1979. Neenako tekmo-
vanje se je začelo med Weissovo skupino z 1,5-metrskim interferometrom ter
skupino na Caltechu, kjer je Drever sestavil 40-metrski interferometer. Weiss
je poskusil izbolǰsati občutljivost z zakasnilno linijo, Drever pa je v kraka
vstavil Fabry-Perotova interferometra, kar se je izkazalo za bolj učinkovito.
Weiss je leta 1983 pripravil predlog stomilijonskega projekta za večkilometr-
ski interferometer, ki pa ga amerǐska znanstvena fundacija (NSF) ni hotela
financirati brez partnerjev. Izkazalo se je, da Drever ni bil preveč navdu-
šen nad sodelovanjem z Weissom, vendar so ju, s posredovanjem Thorna in
pritiskom od zunaj, vendarle uspeli združiti na projektu. Zaradi stalnega
Weissovega nasprotovanja Dreverjevim tehnološkim rešitvam je projekt za-
stajal in NSF je razpustila trojno vodstvo Thorna, Weissa in Dreverja ter
jih nadomestila z Rochusom Vogtom. Leta 1988 se je začelo financiranje
224 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 225 — #10 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
projekta, vendar ne brez težav. Drever je leta 1992 zapustil skupino, Vogta
pa je 1994 na vodilnem mestu zamenjal Barry Barish, eksperimentator z
izkušnjami vodenja velikih projektov v fiziki visokoenergijskih delcev. Delo
se je nadaljevalo z novim zagonom in svežimi sredstvi. Leta 1994 so začeli
graditi in 1997 so dokončali laboratorija v Hanfordu, Washington State, in
Livingstonu, Louisiana. Tako je začel delovati sistem LIGO (Laser Interfe-
rometer Gravitational-Wave Observatory). Tehnologijo, ki se uporablja v
LIGU, razvijajo v posebnih laboratorijih, prav tako pa s pridom uporabljajo
tehnologijo, razvito drugje.
LIGO je začel z meritvami leta 2002 in gravitacijskih valov niso zaznali
do leta 2010. Takrat so sistem ustavili in začeli z nadgradnjo. Izbolǰsali
so občutljivosti in zmanǰsali seizmični šum s sistemom, ki so ga razvili v
VIRGU. Prenova je stala 200 milijonov dolarjev in je trajala dlje kot na-
črtovano. Leta 2015 so pognali prenovljeni (advanced-)LIGO. Najprej so
sistem preverjali v testnem načinu. In kmalu, še v testnem delovanju, so
zaznali prvi dogodek. Združenje dveh masivnih črnih lukenj je povzročilo
pravi vihar v astronomiji gravitacijskih valov. Še večer pred meritvijo so
testirali odziv na zaviranje tovornjaka v bližini, potem pa je ponoči ob 4:50
prǐslo do dogodka, ki je pretresel podoktorskega raziskovalca v Nemčiji, ki
je bil zadolžen za preverjanje podatkov iz sistema. Ta je najprej pomislil,
da gre za simuliran dogodek, ki ga v sistemu lahko sprožijo, da preverjajo
pravilnost njegovega odziva. Izkazalo pa se je, da gre v resnici za signal, ki
ga je povzročil val, ki je potoval več kot milijardo let in je zatresel sistem
le nekaj dni, preden bi ga uradno prevzeli v uporabo. Od takrat so uspe-
šno zaznali še pet drugih dogodkov in enega, ki je zelo verjeten (tabela 1).
Odkar z LIGOM sodeluje tudi VIRGO, se je močno izbolǰsala natančnost
določanja območja lege izvira na nebu.
Danes smo priča začetkom gravitacijske astronomije. LIGU in VIRGU
se bo kmalu pridružil še detektor, ki ga gradijo na Japonskem, načrtujejo
pa še enega v Indiji. Raziskave potekajo, da bi petega, z imenom LISA,
sestavili v vesolju. Prvi vesoljski testi opreme za LISO so obetavni.
Malo dalǰsa zgodba o množici ljudi, ki je sodelovala pri razvoju drage in
izjemno občutljive mreže detektorjev, naj podčrta, kako velik napor je bil
potreben, da smo končno zaznali gravitacijske valove in odprli novo okno
proti vesolju. Nagrada ni le priznanje trem, temveč celi množici prizadevnih
raziskovalcev. Morda še najbolj manjka priznanje Ronaldu Dreverju, ki je
umrl leta 2017 in je z eksperimentalnega vidika najbolj zaslužen za uspeh
detektorja. Je pa dosežek močno zaznamovan tudi z delom cenjenega slo-
venskega kolega, zaslužnega profesorja ljubljanske univerze Andreja Čadeža.
Na Inštitutu za fiziko polja v Chapel Hillu je zagovarjal doktorsko disertacijo
216–227 225
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 226 — #11 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Dogodek
Razd.
[MPc]
Območje
[st2]
Izsev
[mSc
2]
m1
[mS ]
m2
[mS ]
Tip
GW150914 440 600 3 35 30 ČL
LVT151012 1000 1600 1,5 23 13 ČL
GW151226 440 850 1 14 8 ČL
GW170104 880 1200 2 31 20 ČL
GW170608 340 520 0,9 12 7 ČL
GW170814 540 60 3 31 25 ČL
GW170817 40 28 > 0,03 1,5 1,3 NZ
Tabela 1. Do danes znane detekcije gravitacijskih valov (datum se skriva v imenu do-
godka). Razdalja (razd.) do vira je podana v milijonih parsekov. Natančnost določanja
območja, iz katerega izvirajo valovi, se je močno izbolǰsala, odkar v meritvah LIGO sode-
luje tudi VIRGO. Izsev je izražen z energijo ekvivalentno masi Sonca in pomeni energijo,
ki se izseva z valovi. m1 in m2 sta masi teles, ki sta se združili, mS je masa Sonca, ČL
pomeni črna luknja, NZ pa nevtronska zvezda.
»Colliding Black Holes«. Njegov mentor je bil prav DeWitt in disertacija je
bila prva s to tematiko ter je nastala po Webrovi objavi meritev na vzpod-
budo DeWitta in Wheelerja. Njegovo raziskovanje zlitja črnih lukenj [8, 9,
10] je dalo teoretično osnovo pojavom, ki jih opazujejo z detektorji. Po-
membno je prispeval tudi k eksperimentalni opremi. V delih [11, 12] je
opisan način stabilizacije Michelsonovega interferometra z elektrostatičnim
generatorjem sile, kar zmanǰsa šum merilnika in hkrati služi kontroli lege
zrcal. K stabilnosti sistema in šumu prispeva tudi sipanje svetlobe v kraku
interferometra. Čadež je pojav natančno opisal [13] in konstrukcija zaslonk
v cevi resonatorjev, ki preprečujejo vračanje sipane svetlobe v resonator,
sloni na tem znanju.
Gravitacijski valovi so tudi eno redkih oken, skozi katera lahko zremo
globoko v preteklost vesolja. Opazovanja gravitacijskih valov bodo vseka-
kor poglobila naše znanje o vesolju. Nova spoznanja si obetamo o lastnostih
zelo goste snovi, pojavih pri velikih tlakih ter mehanizmih trkov nevtronskih
zvezd in z njimi povezanimi izbruhi sevanja gama. Opazovanja gravitacijskih
valov nam bodo razkrivala očem nevidne črne luknje in pomagala ugotoviti,
koliko se jih pravzaprav skriva v vesolju. Med koristmi tovrstnih eksperi-
mentov pa ne smemo pozabiti tudi na tehnološke izbolǰsave, ki segajo na
področja vakuumske, optične, kriogenske in laserske tehnologije, vede o ma-
terialih, geodeziji, geologiji kot tudi metodah hitre obdelave velike količine
podatkov.
226 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Mohoric” — 2018/1/29 — 9:40 — page 227 — #12 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017
Slika 8. Dogodek GW170817 je posebej zanimiv, ker so ga zaznali tudi ločeno, po
izbruhu sevanja gama, zasij pa še z optičnimi teleskopi [14]. Je posledica združitve dveh
nevtronskih zvezd in so ga zaznali zato, ker se je zgodil blizu nas. Vir: ESO, N. R. Tanvir,
A. J. Levan in kolaboracija VIN-ROUGE
LITERATURA
[1] The Nobel Prize in Physics 2017, 2017, dostopno na: www.nobelprize.org/nobel_
prizes/physics/laureates/2017/, ogled 15. 11. 2017.
[2] P. Henri, Sur la Dynamique de l’électron, Proc. Acad. Sci. 1905, 140, 1504–1508.
[3] A. Mohorič in A. Čadež, Gravitacijski valovi, Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2, 53–63.
[4] A. Mohorič in A. Čadež, Detekcija gravitacijskih valov, Obzornik mat. fiz. 64 (2017)
3, 91–103.
[5] R. A. Hulse in J. H. Taylor, Discovery of a pulsar in a binary system, Astrophysical
Journal 195 (1975) 51–53.
[6] J. H. Taylor in J. M. Weisberg, A new test of general relativity – Gravitational
radiation and the binary pulsar PSR 1913+16, Astrophysical Journal 253 (1982)
908–920.
[7] C. M. Caves, K. S. Thorne, R. W. P. Drever, V. D. Sandberg in M. Zimmermann, On
the measurement of a weak classical force coupled to a quantum-mechanical oscillator,
I. Issues of principle, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 341–392.
[8] L. Smarr, A. Čadež, B. DeWitt in K. Eppley, Collision of two black holes: Theoretical
framework, Phys. Rev. D14 (1976) 2443–2452.
[9] A. Čadež, Apparent horizons in two-black-hole problem, Annals of physics 83 (1974)
449–457.
[10] A. Čadež, Some remarks on the two-body problem in geometrodynamics, Annals of
physics 91 (1975) 58–74.
[11] A. Čadež in J. Harman, Electrostatic forces in gravity-wave interferometers, Inter-
national symposium on Experimental gravitational physics, ur. Peter F. Michelson,
Hu En-ke in Guido Pizzella, World Scientific Publishing, Singapur (1987) 342–46.
[12] A. Čadež, A. Abramovici, Measuring high mechanical quality factors of bodies made
of bare insulating materials, J. Phys. E: Sci. Instrum. 21 (1988) 453–456.
[13] A. Čadež, Internal scattering in Fabry-Perot cavities, Phys. Rev. A, 41, 11 (1990)
6129–6144.
[14] S. Covino, A. Gomboc, D. Kopač in dr., The unpolarized macronova associated with
the gravitational wave event GW 170817, Nature Astronomy 1 (2017) 791–794.
216–227 227
i
i
“Porocilo” — 2018/1/17 — 12:17 — page 228 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
STROKOVNO SREČANJE IN 70. OBČNI ZBOR DMFA
Tokratno srečanje smo pripravili skupaj s Fakulteto za naravoslovje Univerze
v Novi Gorici.
Udeleženci srečanja so si lahko najprej ogledali laboratorije Fakultete za
naravoslovje v Ajdovščini, nato pa smo nadaljevali z delom v Lanthierijevem
dvorcu v Vipavi.
Navzoče je najprej v imenu fakultete pozdravil dekan prof. dr. Samo
Stanič, sledili sta vabljeni predavanji dveh lanskih nagrajencev. Prejemnik
nagrade RS na področju šolstva za leto 2016 za izjemne dosežke na področju
visokega šolstva, izr. prof. dr. Darjo Felda, je imel predavanje z naslovom
(Ne)smisel preverjanja matematičnega znanja. Prejemnik Zoisovega priz-
nanja za pomembne dosežke iskanj nove fizike v teoriji osnovnih delcev
izr. prof. dr. Jernej Fesel Kamenik pa je imel predavanje z naslovom Izvor
mase in nova fizika visokih energij.
Sledila je okrogla miza o tekmovanjih. Vodil jo je Jurij Bajc.
V okviru predstavitev priprav na tekmovanja in samih tekmovanj so
tajniki tekmovalnih komisij udeležencem opisali specifike posameznih tek-
movanj in priprav nanje. Izpostavljena so bila tekmovanje iz astronomije,
kjer tekmovalcem močno koristijo praktične ure priprav, tekmovanje Kres-
nička, kjer se poskusi, ki so osnova za uspešno udeležbo na tekmovanju,
izvajajo lahko v okviru pouka naravoslovja, in tekmovanje Čmrlj, ker je na
novo postavljeno na začetek šolskega leta. V zvezi s tekmovanjem Čmrlj
je bilo postavljeno vprašanje, zakaj ima to tekmovanje le šolsko stopnjo, in
želja, da bi služilo kot izbor za nadaljnje stopnje tekmovanj iz fizike. Ker
je Čmrlj zamǐsljen le kot tekmovanje za tiste, ki se začenjajo učiti fiziko
v srednji šoli, ga ne moremo, kot je zamǐsljen sedaj, izvajati za izbor na
regijsko tekmovanje skupin I, II ali III. Slǐsali smo tudi mnenje, da se dijaki,
ki ne obiskujejo gimnazij, v manǰsi meri udeležujejo tekmovanj, ker nimajo
praktičnih možnosti za uvrstitev na državno tekmovanje, kar je pomembno
za pridobivanje štipendij. V tekmovalni komisiji za fiziko v srednji šoli bodo
razmislili o možnostih povečanja števila dijakov na državnem tekmovanju.
Čas od 17.00 do 18.30 je bil namenjen občnemu zboru. Po koncu občnega
zbora je sledilo še druženje ob pokušini vin in prigrizku.
Nekateri udeleženci so odšli še na ogled astronomskega observatorija na
Otlici. Astronome sta vodila dva Andreja, Rutar in Guštin.
Za pomoč pri organizaciji dogodkov se zahvaljujemo Andreji Gomboc in
Katji Bricman.
228 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Porocilo” — 2018/1/17 — 12:17 — page 229 — #2 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in 70. občni zbor DMFA
70. občni zbor DMFA
Občnega zbora, ki se je začel ob 17. uri, se je udeležilo 46 članov DMFA
Slovenije (od tega 7 častnih članov DMFA Slovenije). Imel je naslednji
dnevni red:
1. Otvoritev
2. Izvolitev delovnega predsedstva
3. Društvena priznanja
4. Poročila o delu društva
5. Razprava o poročilih
6. Vprašanja in pobude
7. Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2016
8. Razno
Ad 1. Ker je ob 17. uri prisotnih manj kot polovica članov DMFA
Slovenije, začne občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije z
delom ob 17.30.
Ad 2. V delovno predsedstvo so izvoljeni: predsednik Mitja Rosina,
članici Maja Remškar in Lucija Željko, zapisnikar Janez Krušič. Overovate-
lja zapisnika sta Milan Hladnik in Matjaž Željko.
Z minuto molka se občni zbor pokloni spominu na preminule častne
člane. O življenju in delu Petra Venclja, Jožeta Pahorja in Marka Vakslja
govori Mitja Rosina.
Ad 3. Za častnega člana DMFA Slovenije je imenovan dr. Peter
Legǐsa, upokojeni profesor na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani.
Društveno priznanje prejmejo:
• Jana Draksler, učiteljica matematike na OŠ Frana Kranjca Celje,
• dr. Marko Jagodič, učitelj fizike na II. gimnaziji Maribor ter
• Zinka Muhič, učiteljica matematike in fizike na OŠ Center v Novem
mestu.
Vse utemeljitve prebere Boštjan Kuzman.
Ad 4. Poročila o delu društva so objavljena v biltenu 70. občnega zbora,
ki je objavljen na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/ODrustvu/
Dokumenti/OZ2017-bilten.pdf. (Udeleženci občnega zbora so ga dobili
tudi v tiskani obliki.) Dodatnih poročil ni.
Ad 5. Poročila so sprejeta brez dodatnih razprav.
Ad 6. Mitja Rosina predlaga razmislek o možnosti obnovitve odprtih
predavanj; lahko, glede na želje, v različnih krajih po Sloveniji.
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 229
i
i
“Porocilo” — 2018/1/17 — 12:17 — page 230 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Nada Razpet meni, da moramo na svojih strokovnih srečanjih omogočiti
prijavljenim udeležencem predstavitev njihovih del; kot je bilo to že urejeno
do predlani.
Boštjan Kuzman želi nadaljevati z letos obnovljeno poletno šolo za de-
vetošolce v Plemljevi vili na Bledu. Predlaga tudi razmislek o taki orga-
nizacijski obliki društvenih izobraževalnih seminarjev, da se bo udeležba
upoštevala pri pogojih za poklicno napredovanje udeležencev.
Potrjen je sklep upravnega odbora, da se prijavnina za udeležbo na tek-
movanjih v šolskem letu 2017/2018 ne spremeni, če se ne bodo bistveno
spremenili pogoji sofinanciranja.
Za tekmovanja, ki se končajo z mednarodno olimpijado (MaSŠ-A, FiSŠ,
astronomija SŠ), je prijavnina na najnižji stopnji 2,50 EUR, za vsa druga
tekmovanja v organizaciji DMFA Slovenije pa 1,50 EUR. Za udeležbo na
vǐsjih stopnjah tekmovanja prijavnine ni.
Ad 7. O sklepih nadzornega odbora je poročal Janez Krušič:
Predlog poročila o finančnem poslovanju za leto 2016 je 24. 3. 2017
obravnaval nadzorni odbor in ugotovil pravilnost finančnega materialnega
poslovanja. Potem je 11. 4. 2017 poročilo obravnaval tudi upravni odbor ter
ga soglasno potrdil. V zakonskem roku je bilo poročilo predloženo Agenciji
Republike Slovenije za javnopravne evidence in storitve.
Podatki iz bilance stanja in izkaza poslovnega izida za leto 2016:
Prihodki: 286.792 EUR
Stroški 282.162 EUR
Poslovni izid 4.567 EUR
Saldo 31. 12. 2016 95.762 EUR
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2016 je so-
glasno sprejeto.
Ad 8. Mitja Rosina povabi k bolǰsemu izkoristku Plemljeve vile za
društvene dejavnosti in za bivanje društvenih članov, predvsem zunaj glavne
sezone (julij, avgust).
Dušan Modic obudi spomin na 22. (Šmarješke Toplice 1971) in 38. občni
zbor (Novo mesto). Predstavi leta 1971 sprejeto pobudo za izbolǰsanje
– strokovno in materialno – pouka matematike, fizike ter astronomije na
slovenskih šolah in v kakšnem delu je bila ta pobuda uresničena do leta
1986.
Občni zbor se je končal ob 18. uri in 30 minut.
Jurij Bajc, Janez Krušič in Nada Razpet
230 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“kazalo” — 2018/1/17 — 12:24 — page 231 — #1 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 64 (2017)
številke 1–6, strani 1–240
Članki — Articles
Problem izbire najbolǰse tajnice (Matija Vidmar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem
poskusu (Igor Grabec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–19
Polni nabori resničnostnih funkcij in Postova mreža (Lara Vukšić) . . . . . 41–53
Nobelova nagrada za fiziko 2016 (Rok Žitko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–64
Tipi v programskih jezikih in izreki o varnosti programov
(Filip Koprivec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–90
Detekcija gravitacijskih valov (Aleš Mohorič in Andrej Čadež) . . . . . . . . . 91–103
O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih
(Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135
Po sledeh neke geometrijske konstrukcije
(Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170
Riemannove ničle in praštevila (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–215
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017 (Aleš Mohorič) . . . 216–227
Šola — School
Računanje kvartilov v elementarni statistiki (Janez Žerovnik) . . . . . . . . . . 20–31
Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava
TIMSS Advanced? (Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar) . . . . 136–157
O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171–181
Nove knjige — New books
Michael Huber, Mythematics: Solving the 12 labors of Hercules
(Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–III
Christian Ucke in Hans Joachim Schlichting, Spiel, Physik und Spaß,
Physik zum Mitdenken und Nachmachen (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . 65–67
Lucio Russo, The Forgotten Revolution (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . 108–118
Jacques Sesiano, Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the
Arabic Translation Attributed to Qust.ā ibn Lūqā (Marko Razpet) . 119–XI
Benjamin Wardhaugh, A Wealth of Numbers: An Anthology of 500
Years of Popular Mathematical Writing (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . 158–XV
Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems
(Pavle Saksida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX
Carol Parikh, The Unreal Life of Oscar Zariski (Marko Razpet) . . . . . . . . 240–XXIII
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 231
i
i
“kazalo” — 2018/1/17 — 12:24 — page 232 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Vesti — News
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ustanovitev Odbora za ženske pri DMFA (Karin Cvetko Vah) . . . . . . . . . 33
Novi člani društva v letu 2016 (Tadeja Šekoranja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
»Maϕjski vikend« – ali kako si spoznal svoje bodoče kolege
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76–78
Obvestilo (Dragan Mihajlović) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Vabilo (Dragan Mihajlović) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78–79
Cikel poljudnih predavanj I <3 MAT (Anita Buckley) . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104–107
Štiriindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–186
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhova priznanja za leto 2017
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–189
Prof. dr. Peter Križan član SAZU (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189–190
Umrla je Fieldsova nagrajenka (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Poletna šola devetošolcev v Plemljevi vili (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . 191
Nagrade DMFA (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192–196
Strokovno srečanje in 70. občni zbor DMFA
(Jurij Bajc, Janez Krušič in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–230
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231–232
Iz zgodovine — Miscellanea
Aristarh, Plutarh in Voltaire (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–38
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – življenje in delo
(Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233–239
Zanimivosti — Miscellanea
Strnjeno vzorčenje (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–75
Utrinek — Miscellanea
Lukrecij Kar in padanje teles (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–VII
http://www.obzornik.si/
232 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 233 — #1 i
i
i
i
i
i
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646–1716) –
ŽIVLJENJE IN DELO
JURIJ KOVIČ
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Univerza v Ljubljani
FAMNIT, Univerza na Primorskem
Math. Subj. Class. (2010): 01A90, 01A45, 01A50
Leibniz je pomemben ne samo kot matematik, temveč tudi kot filozof in izumitelj.
Tudi 300 let po njegovi smrti je njegovo delo še vedno živo in intenzivno proučevano. V
tem članku je na kratko skiciran njegov prispevek k razvoju matematike.
Leibniz is important not only as a mathematician but also as a philosopher and
inventor. Even 300 years after his death his work is still alive and intensively studied. In
this paper we briefly present his contribution to the development of mathematics.
Uvod
Nemški polihistor Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) je eden od ve-
likanov v zgodovini matematične in filozofske misli ter eden najbolj uni-
verzalnih in najnapredneǰsih mislecev 17. stoletja. Izredno delaven, hitro
učljiv in široko izobražen je Leibniz stremel k iskanju univerzalne metode
(ars inveniendi), ki bi olaǰsala matematično ustvarjanje in odkrivanje novih
spoznanj, ter k veliki sintezi vsega znanja; v zvezi s tem je razmǐsljal tudi
o univerzalnem jeziku (characteristica universalis), ki bi logično sklepanje
reduciral na algebraično manipuliranje s simboli.1 S svojim prispevkom k
matematiki je, predvsem kot eden od iznajditeljev infinitezimalnega računa
ter izumitelj računskega stroja (ki je, za razliko od predhodnih Pascalovih
strojev, »znal« ne samo seštevati in odštevati, temveč tudi množiti in deliti),
pomembno vplival na smer njenega nadaljnjega razvoja. V njegovih razmi-
šljanjih nekateri proučevalci njegovega dela vidijo tudi zametke moderne
matematične logike, posredno pa tudi računalnǐstva.
1Verjel je, da bo s pomočjo tega konceptualnega jezika mogoče reducirati miselne pro-
cese na bolj ali manj mehanične postopke, tako da bo celo najbolj zapletene koncepte
mogoče obravnavati s podobno lahkoto kot številke ali diagrame. Bistvena odlika takšne
simbolične logike naj bi bila v tem, da bi bila možnost zmote, če se držimo njenih pra-
vil, onemogočena [4, str. 182]. Del tega univerzalnega jezika naj bi bil tudi t. i. calculus
ratiocinator, ki naj bi, po mnenju nekaterih (npr. logika Fregeja), anticipiral ideje raču-
nalnǐskih programov (computer software), po mnenju drugih (npr. kibernetika Wienerja)
pa tudi zasnovo samih računalnikov (computer hardware).
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 233
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 234 — #2 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
Pri proučevanju Leibnizevega življenja in dela igrajo poleg njegovih že
izdanih del ter še neobjavljenih rokopisov ključno vlogo tudi številna pisma
iz njegove obsežne korespondence. V tistem času, ko je bilo matematičnih
revij še zelo malo, matematiki pa so ljubosumno skrivali svoja odkritja drug
pred drugim, je bilo izmenjavanje pisem med matematiki ključna oblika
izmenjavanja in širjenja matematičnih idej. Pri tem je, tudi zaradi napak
pri prevajanju in prepisovanju izvirnikov ter zamud pri dostavljanju pisem,
dostikrat prihajalo do obžalovanja vrednih nesporazumov in neutemeljenih
zamer ter obtožb o plagiatorstvu.
Osnovni biografski podatki
Rodil se je 1. julija 1646 v Leipzigu. Oče Friedrich Leibniz, ki je bil profesor
moralne filozofije v Leipzigu, mu je umrl pri šestih letih. Do dvanajstega
leta se je (večinoma sam!) že precej dobro naučil latinščine in grščine, da bi
lahko študiral knjige iz očetove knjižnice. Posebej veliko je bral metafizične
knjige. V šoli je spoznal Aristotelovo logiko in teorijo kategoriziranja znanja,
s katerima pa ni bil posebej zadovoljen. Pri štirinajstih letih se je vpisal na
univerzo v Leipzigu, kjer je, poleg odlično poučevane filozofije in slabo pou-
čevane matematike, študiral tudi retoriko, latinščino, grščino in hebreǰsčino.
Z matematiko se je začel resneje ukvarjati razmeroma pozno. Na univerzi
v Leipzigu je 1666 obranil habilitacijo, niso pa mu dovolili doktorirati iz
prava, češ da je premlad; na univerzi v Altdorfu pa je na podlagi disertacije
De casibus perplexis in iure 1667 doktoriral iz prava. Kmalu po svojem pri-
hodu v Pariz 1672 je začel študirati pri Christanu Huygensu. Od njega se
je naučil pomembne lekcije, da ni dovolj, če matematična dela prebira kot
romane, brez pozornega poglabljanja v podrobnosti, kar je v svojem mla-
dostnem pretiranem optimizmu in zaverovanosti v lastne ustvarjalne moči
počel dotlej, temveč da mora resno preštudirati vso relevantno literaturo s
področja, na katerem želi prispevati kaj novega in pomembnega. V svojih
matematično najbolj ustvarjalnih letih (1672–1676) je živel v Parizu. V teh
letih je ob intenzivnem proučevanju del matematikov preteklosti dobil večino
svojih najbolǰsih matematičnih idej. Po prvem od dveh obiskov Londona,
kjer je angleškim matematikom predstavil svoj računski stroj, je bil 1673
izvoljen za člana Royal Society. Leibniz je bil tudi sposoben diplomat, vešč
številnih jezikov. Ker po izteku svoje diplomatske kariere v Franciji ni dobil
primerne zaposlitve na univerzi, je (nerad, a v odsotnosti bolǰse možnosti)
sprejel službo upravitelja velike knjižnice pri knezu v Hannovru. Tam je, v
zadnjih letih svojega življenja precej zagrenjen zaradi prioritetnega spora z
234 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 235 — #3 i
i
i
i
i
i
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – življenje in delo
Newtonom (glede odkritja infinitezimalnega računa) in neosnovanih obtožb
o plagiatorstvu, tudi umrl 14. novembra 1716. Njegovo smrt so takrat v
znanstvenih krogih komaj registrirali. Danes se Leibnizu na čast prirejajo
kongresi (v letu 2016 je bil že deseti!), še vedno izdajajo njegova zbrana
dela, njegovo delo pa tudi na veliko in sistematično proučujejo, prevajajo,
mnogi pa v njem še vedno najdejo tudi spodbude za svoje ustvarjalno delo.
Po njem se imenuje tudi Leibnizeva nagrada (prvič podeljena 1985, letno
podeljena do deset posameznikom ali raziskovalnim skupinam v Nemčiji za
izjemne raziskovalne dosežke).
Leibniz je bil v marsičem prvi (ali vsaj prvi na Zahodu). Izumil je
(neprotislovni!) diferencialni in integralni račun neodvisno od Isaaca New-
tona (1643–1727). Leibnizeva notacija
∫
za integral (iz leta 1675) in odvod
(kot kvocient diferencialov dydx) se je široko uveljavila takoj od njene objave
dalje. Znan je tudi Leibnizev harmonični trikotnik, po njem se imenujejo
še formula za izračun determinant, pa tudi Leibnizevo integralsko pravilo,
Leibnizeva formula za odvod produkta in Leibnizev test (za konvergenco
alternirajočih vrst). Našel je tudi formulo (oz. počasi konvergirajočo in za
računanje decimalk neuporabno vrsto) za pi: π/4 = 1− 13 +
1
5−
1
7 +
1
9−. . . (iz
leta 1673). Predstavil je binarno aritmetiko in menda celo predlagal njeno
uporabo z uvedbo nekakšnih luknjanih kartic.
Leibnizev Zakon zveznosti: »Natura non facit salta.« oz. »Narava ne
dela skokov.« in Transcendentalni zakon homogenosti sta dobila svojo ma-
tematično implementacijo šele v 20. stoletju (v nestandardni analizi). Bil
je eden od najbolj produktivnih izumiteljev na področju računskih strojev.
Njegov aritmometer je bil prvi masovno proizvajani mehanični kalkulator.
Binarni sistem, ki ga danes uporabljajo vsi računalniki, je našel (prepoznal)
v diagramih znamenite kitajske Knjige sprememb (I Ching). Kako je gle-
dal na računanje, lepo kaže njegova izjava iz njegove razprave o računskem
stroju iz leta 1685: »Kajti ni vredno odličnih mož, da izgubljajo ure kot
sužnji z računskim delom, ki bi ga mirno lahko poverili komurkoli drugemu,
če bi se uporabljali stroji.«
Leibniz je pomembno prispeval tudi k fiziki in tehniki; anticipiral je
koncepte, ki so se pojavili šele mnogo kasneje v filozofiji, verjetnostnem ra-
čunu, biologiji, medicini, geologiji, psihologiji, lingvistiki in računalnǐstvu.
Bil je tudi eden izmed prvih paleontologov. Pisal je dela s področja filozo-
fije, prava, etike, teologije, zgodovine in filologije. Njegovi prispevki k tem
obsežnim področjem so bili raztreseni po različnih znanstvenih revijah, v
desetinah tisočih pisem in v neobjavljenih rokopisih.
233–239 235
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 236 — #4 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
Proučevanje Leibnizevega življenja in dela
Čeprav je od Leibnizeve smrti minilo že 300 let, je njegovo življenje in delo
še vedno predmet intenzivnega proučevanja, ki je doslej obrodilo že več kot
25.000 bibliografskih enot! Proučujejo ga filozofi, matematiki, zgodovinarji,
pa tudi številni drugi raziskovalci, ki ga interpretirajo in osvetljujejo na
najrazličneǰse načine.
V filozofiji je Leibniz najbolj znan po svojem optimizmu oz. zaključku,
da je naš svet, v nekem smislu, najbolǰsi možni svet, ki je sploh lahko bil
ustvarjen. Iz te ideje se je precej norčeval Voltaire (v romanu Kandid ali
optimizem). Leibniz je bil, skupaj z Renéjem Descartesom (1596–1650), av-
torjem Geometrije, tretjega dodatka k Discours de la Methode, Leyden 1637,
in Baruchom Spinozo (1632–1677), avtorjem dela Ethica, more geometrico
demonstrata, Opera postuma, Amsterdam 1677, eden od treh velikih ra-
cionalistov 17. stoletja. Leibnizevo delo je anticipiralo moderno logiko in
analitično filozofijo, vendar se njegova filozofija navezuje tudi na sholastično
tradicijo, kjer so zaključki dobljeni bolj z aplikacijo razuma na prvih načelih
ali preǰsnjih definicijah kot pa na empirični evidenci.
Leibnizeva pisna zapuščina, shranjena v po njem imenovani knjižnici v
Hannovru, spada od 2007 v Unescov seznam svetovne dedǐsčine (Memory of
the World). Leibniz je pisal večinoma v treh jezikih: sholastični latinščini,
nemščini in francoščini. Šele 1895, ko je Bodemann dovršil svoj katalog
Leibnizevih rokopisov in korespondence, je postalo jasno, kako zelo obse-
žna je Leibnizeva zapuščina (nem. Nachlass): okrog 15.000 pisem več kot
1000 prejemnikom in še več kot 40.000 drugih enot. Njeno sistematično
katalogiziranje se je začelo 1901. Ta ambiciozni projekt je moral upoštevati
Leibnizeva dela v sedmih jezikih na okrog 200.000 straneh popisanega in po-
tiskanega papirja. Ta projekt lahko po obsežnosti primerjamo z izdajanjem
Eulerjevih zbranih del (Opera omnia), ki prav tako še ni končano.
Tako veliki projekti so zahteven podvig, saj zahtevajo usklajeno sode-
lovanje velikega števila strokovnjakov (matematikov, zgodovinarjev, jeziko-
slovcev, računalničarjev itd.), in tako tudi sami po sebi predstavljajo po-
memben dogodek oziroma mejnik v zgodovini matematike, tako v vsebin-
skem smislu kot tudi glede vǐsjih standardov natančnosti in strogosti njenih
metod.
Iz te ogromne količine najrazličneǰsih podatkov (iz pisem, rokopisov, Le-
ibnizevih del in del o njem) različni raziskovalci izpeljujejo različno poglo-
bljene prikaze njegovega življenja, dela, osebnosti ter odnosov s sodobniki.
Tako npr. Hofmann, avtor knjige Leibniz v Parizu 1672–1676, ugotavlja,
236 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 237 — #5 i
i
i
i
i
i
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – življenje in delo
da so preǰsnji raziskovalci, ki niso imeli dostopa do primarnih, še neobja-
vljenih virov, pogosto prihajali do posameznih napačnih hipotez v zvezi z
Leibnizevim življenjem in delom [4, str. 294]. Pravi tudi, da je od njega
prevzel metodo svoje študije: »kar se da zvesto poročanje o vseh bistve-
nih detajlih in iskanje povezav, ki pojasnjujejo izvor in rast osnovnih idej,
njihove strukture, njihove učinkovitosti in njihovega končnega namena« [4,
str. 307]. To je zahtevno delo, pri katerem se ni mogoče omejiti na skicira-
nje glavnih dogajanj v grobih potezah, ampak je treba »posvetiti ustrezno
pozornost drobnim detajlom in proučiti njihov pomen in pomembnost v ce-
lotnem vzorcu.« Pozorno branje tega dela je zahtevno, a nagrajujoče delo
tudi za bralca!
Čeprav dela preǰsnjih raziskovalcev glede korektnosti svojih trditev niso
vselej na ravni del kasneǰsih zgodovinarjev, pa vendarle niso brez vredno-
sti, saj v njih lahko najdemo veliko informacij, pomembnih za nadaljnje
raziskovalno delo. Tako je npr. o sporu med Newtonom in Leibnizem po-
leg drobne knjižice [3] iz leta 1956 vredno prebrati npr. tudi poglavje V iz
knjige: Charles Bossut, A General History of Mathematics from the Earliest
Times to the Middle of the Eighteenth Century, natisnjene 1802, v kateri je
avtor dejstva analiziral in skušal iz njih izpeljati logične posledice. Celotno
poglavje je na voljo na strani [1]. Leibnizevo delitev različnih znanstvenih
področij najdemo na strani [5], njegove misli o računskem stroju pa na [7].
Posamezniku je seveda nemogoče proučiti tolikšno obilje virov. Za prvo
orientacijo po Leibnizevem matematičnem prispevku bi morali vsaj v gro-
bem poznati matematično ozadje oziroma obzorje tistega časa: takšna raz-
iskava pokaže, da so bile v tistem času aktualne teme, kot so npr. problem
rektifikacije krivulj (računanje dolžine loka krivulje), neskončne vrste (se-
števanje, konvergenca, uporabe itd.), iskanje rešitev polinomskih enačb (z
zaključenimi formulami po vzoru Cardanovih za enačbe 3. stopnje, pa tudi
z neskončnimi vrstami – v tem je bil mojster zlasti Newton, ki pa svojih
izsledkov ni preveč rad objavljal!), izražanje ploščin likov (pod raznimi kri-
vuljami v koordinatnem sistemu) s ploščinami kroga, stožnic itd., izražanje
stožnic s 5 točkami (Newton). Po drugi strani pa bi morali za pravilno ra-
zumevanje in ovrednotenje najpomembneǰsega Leibnizevega matematičnega
prispevka (iznajdba simbolične verzije infinitezimalnega računa za razliko od
Newtonove, utemeljene bolj na neskončnih vrstah) najprej poznati vso pro-
blematiko neskončno majhnih količin od starogrške matematike dalje, kot
je opisana npr. v poglavju o nestandardni analizi iz knjige [2, str. 237–254].
Šele potem, ko vemo, da je Leibniz pri proučevanju Pascalove zapuščine
naletel na idejo, da je mogoče računati določene integrale tudi s pomočjo
233–239 237
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 238 — #6 i
i
i
i
i
i
Jurij Kovič
trikotnikov, se je smiselno potruditi razumeti enega izmed temeljnih Le-
ibnizevih rezultatov, transmutacijski izrek, s pomočjo katerega je zlahka
izračunal nekatere težje določene integrale. Leibniz je namreč 1673 iznašel
integracijsko metodo, pri kateri je ploščino območja pod konveksno krivuljo
najprej izrazil kot vsoto ploščin trikotnikov s skupnim vrhom, potem pa
vsakega od teh trikotnikov nadomestil s ploščinsko enakim pravokotnikom.
S to metodo je lahko hitro in enostavno dobil vse rezultate predhodnikov,
nanašajoče se na t. i. »geometrijske kvadrature«2.
Proti koncu svojega življenja je Leibniz skušal popisati vsa svoja odkri-
tja. To je bilo praktično nemogoče zaradi gore papirjev, ki jih je popisal
in shranil v vseh teh letih. O Leibnizevih izjemnih sposobnostih in njegovi
univerzalnosti veliko pove Diderotova misel: »Ko človek primerja svoje ta-
lente z Leibnizevimi, je v skušnjavi, da bi vrgel stran svoje knjige in šel tiho
umret v temo kakšnega pozabljenega kota.«
K rehabilitaciji Leibnizevega ugleda v Angliji, zavrnitvi očitkov o nje-
govem plagiatorstvu v zvezi z iznajdbo infinitezimalnega računa in h kri-
tičnemu pogledu na Newtonovo podcenjevalno držo do Leibniza, Flamsteda
in Whitsona je pomembno prispeval Augustus de Morgan [6, str. 101, str.
112–114] v vrsti del, objavljenih v letih med 1846 in 1855. Njegov cilj je bil
korektno predstaviti zgodovinsko resnico ne glede na ozire nacionalnosti, ta-
kšna ali drugačna prepričanja in znanstveni ugled vpletenih v t. i. prioritetni
spor med Newtonom in Leibnizem (ibid, str. 90–91).
Leibnizevi odnosi z matematičnimi sopotniki
Nabor njegovih odkritij in izumov ter seznam področij, na katerih je de-
loval, sta impresivna že sama po sebi. Klasični univerzitetni sistem ni bil
sposoben prenesti tolikšne raziskovalne širine, zato se Leibniz vanj nikoli
ni mogel dobro vklopiti. Njegovih preveč naprednih, v tistem času še ne-
uresničljivih zamisli o univerzalnem znanstvenem jeziku in algoritmizaciji
deduktivnih postopkov (ki so se uveljavile in doživele svojo realizacijo šele
v dobi računalnikov) niso dobro razumeli in sprejemali niti njegovi najbolj
izobraženi sodobniki. V tem smislu je doživljal usodo, blagoslov in preklet-
stvo vseh velikih vizionarjev, ki se kljub intenzivni komunikaciji z drugimi
(Leibniz je imel več kot 600, po nekaterih virih celo 1000 korespondentov)
lahko počutijo intelektualno zelo osamljene in tako rekoč brez kompeten-
2Ta primer dokazuje, da je za globlje razumevanje matematike in prispevka posameznih
matematikov včasih potrebno tudi (za pragmatike časovno prepotratno!) poglabljanje v
zgodovino matematike.
238 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Kovic” — 2018/1/30 — 6:51 — page 239 — #7 i
i
i
i
i
i
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – življenje in delo
tnega sogovornika. Celo njegov mentor Huygens, ki ga je (kot začetnika)
sprva blagohotno opogumljal in podpiral z nasveti, katere avtorje naj štu-
dira in katerim problemom naj se posveti, se je kasneje, ko je identificiral
smer, v katero so se razvijale Leibnizeve ideje, nekoliko odmaknil od njega.
Huygens je bil pač predstavnik stare šole, ki je do svojih posamičnih odkritij
prihajala z genialnimi, nešablonskimi uvidi in prefinjeno geometrijsko intu-
icijo v tradiciji posrednih dokazov Arhimedove metode, in ker je bil v tem
tako zelo izurjen in izpopolnjen, osebno ni čutil nobene potrebe po novih
metodah. Tako tudi ni imel pravega razumevanja ne za Cavalierijevo me-
todo nedeljivih količin (t. i. indivizibilij, npr. paralelnih daljic, iz katerih je
sestavljeno neko območje) ne za Descartesovo algebrsko metodo (ki je geo-
metrijske probleme prevedla na reševanje sistemov enačb) ne za Leibnizevo
zamisel, po kateri bi do novih odkritij v matematiki zlahka prǐsel vsakdo, ki
bi vložil dovolj truda, da obvlada zahtevno, novo, analitično metodo, ki je
bila tedaj v primerjavi s starimi, že do popolnosti prignanimi geometrijskimi
metodami, še precej nerodna [4, str. 298–299].
Zaključimo ta kratki pregled Leibnizevega življenja in dela z mislijo, da
se od njega še vedno lahko veliko naučimo, tako v matematiki sami kot tudi
pri proučevanju njene zgodovine.
LITERATURA
[1] C. Bossut, An Examination of the claims of Leibniz and Newton to the invention of
the analysis of infinites, dostopno na www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/
Bossut_Chapter_V.html.
[2] P. J. Davis in R. Hersch, The Mathematical Experience, 6th printing, Birkhäuser,
Boston-Basel-Stuttgart, 1987.
[3] J. O. Fleckenstein, Der Prioritätstreit zwischen Leibniz und Newton, Beihefte zur
Zeitschrift der Mathematik, 1956.
[4] J. E. Hofmann, Leibniz in Paris 1672–1676, Cambridge University Press, London-
New York, 1974.
[5] Leibniz, Gottfried Wilhelm, v: Encyclopedia.com, dostopno na www.
encyclopedia.com/people/philosophy-and-religion/philosophy-biographies/
gottfried-wilhelm-baron-von-leibniz.
[6] The history of the History of mathematics, Case studies for the Seventeenth, Eigh-
teenth and Nineteenth Centuries (ur. Benjamin Wardhaugh), Peter Lang AG, Inter-
national Academic Publishers, Bern, 2012.
[7] The Most Teachable of Mortals, v: MathPages, dostopno na www.mathpages.com/
home/kmath335/kmath335.htm.
233–239 239
i
i
“Razpet” — 2018/1/17 — 11:09 — page 240 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Carol Parikh, The Unreal Life of Oscar Zariski, Springer, New
York, 2008, 216 strani.
Oscar Zariski se je rodil judovskim
staršem 24. aprila 1899 v Kobrinu, ki
je takrat pripadal carski Rusiji. Da-
nes je Kobrin na jugozahodu Beloru-
sije, nedaleč od poljske meje, vzhodno
od Varšave. Ob rojstvu se je Oscar
pisal Ošer Zarickij, v ruščini Oxer
Zaricki, hebrejsko זריצקי! .אשר Ko
je bil star dve leti, mu je umrl oče.
Njegova mati se je uspešno ukvarjala
s trgovskimi posli, vzdrževala kopico
otrok in jim izdatno pomagala pri šo-
lanju. Oscar se je s šolo srečal najprej
v domačem kraju, nato pa je nada-
ljeval na gimnaziji v mestu Vladimir-
Volinskij, ki je danes na severozahodu
Ukrajine. Zaradi vihre prve svetovne
vojne je zadnja leta gimnazije opravil
v Černigovu, severno od Kijeva. Leta
1918 se je lahko vpisal na filozofijo na kijevski univerzi, čeprav si je želel na
matematiko. Kljub temu pa je obiskoval matematična predavanja in pridno
študiral matematiko. Posebej ga je zanimala algebrska geometrija, s katero
se je ukvarjal do konca svojega življenja. Leta 1920 se je vrnil v rodni
Kobrin, ki je po vojni pripadal Poljski, in leto kasneje s poljskim potnim lis-
tom odpotoval v Italijo. Njegova želja po študiju matematike je bila namreč
neizmerna. Nekaj mesecev je živel v Pisi, ki pa ga je razočarala. Nadejal se
je tudi srečanja z Luigijem Bianchijem, čigar dela je študiral, a ga takrat ni
bilo v Pisi. Pot je nadaljeval do Rima, kjer se je vpisal na univerzo, na ka-
teri so takrat delovali matematiki Guido Castelnuovo, Federigo Enriques in
Francesco Severi, ki so se tudi ukvarjali z algebrsko geometrijo. Leta 1924 je
v Rimu doktoriral iz Galoisove teorije grup pod mentorstvom Guida Castel-
nuova. V Rimu je Ošer spremenil ime in priimek v Oscar Zariski, spoznal
bodočo ženo Yole in dobil sina Rafaela. Poročila sta se v Kobrinu. Zaradi
zanj neugodnih političnih razmer v Italiji je sklenil emigrirati v ZDA. Leta
240 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6
i
i
“Razpet” — 2018/1/17 — 11:09 — page 241 — #2 i
i
i
i
i
i
The Unreal Life of Oscar Zariski
1926 je dobil Rockefellerjevo štipendijo in ob pomoči Salomona Lefschetza
se mu je naslednje leto uspelo preseliti v Baltimore in začeti z delom na
Johns Hopkins University. Leta 1928 sta se mu pridružila žena in sin. Leta
1932 sta dobila še hčerko Vero. Leta 1947 se je Oscar z družino preselil v
Brookline in začel z delom na slovitem Harvardu, kjer je ostal do upokojitve
leta 1969. Umrl je 4. julija 1986 v Brooklinu.
Oscar Zariski je utrdil temelje algebrske geometrije. Na podlagi mo-
derne algebre je ustvaril močna orodja, s katerimi je nadgradil precej intu-
itivno teorijo italijanske šole. Nekdanje študente, ki jih je Oscar usposabljal
na Johns Hopkins University in pozneje na Harvardu, najdemo med naj-
pomembneǰsimi matematiki moderne dobe.
To je v grobem njegovo resnično življenje, kakor ga je Oscar sam opre-
delil. Temelji na številnih knjigah in dokumentih. Oscarjevo neresnično
življenje pa je pisateljica Carol Ann Parikh opisala na podlagi izčrpnih
pogovorov z njegovo družino, kolegi in študenti, kar ji je nekaj let pred
njegovo smrtjo uspelo posneti na magnetofonski trak. Vključila pa je tudi
svoje spomine. Bralec izve veliko podrobnosti o Oscarjevem življenju v
Kobrinu, na ruski gimnaziji, v Kijevu in Rimu. Spremljamo lahko njegov
matematični vzpon in druge matematike v njegovi bližini, spoznamo pa tudi
njegovo ljubezen do družine in skrb, ki jo je posvečal svojim študentom.
V predstavljeno knjigo je vključenih veliko fotografij, večinoma iz družin-
skih albumov. V dodatkih pa najdemo opise nekaterih njegovih objavljenih
člankov in njegovo celotno kronološko urejeno bibliografijo, iz katere je
razvidno, da je tudi po upokojitvi še veliko delal in objavljal. Na koncu
knjige je tudi seznam imen, ki se pojavljajo v besedilu knjige.
Knjiga z enakim naslovom je bila prvič objavljena že leta 1991 pri ame-
rǐski založbi Academic Press, le nekaj let po smrti Oscarja Zariskega. Bila
je dobro sprejeta in bila kmalu razprodana, zato je hvale vredno, da je
ponovno izšla pri založbi Springer. Knjiga je na voljo tudi v digitalni obliki.
Moto knjige, pod katerim je podpisan Zariski, je: »Geometrija je resnično
življenje.«
Marko Razpet
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 XXIII
i
i
“kolofon” — 2018/1/30 — 6:54 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2017
Letnik 64, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Riemannove ničle in praštevila (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–215
Gravitacijski valovi, Nobelova nagrada za fiziko 2017 (Aleš Mohorič) . . 216–227
Vesti
Strokovno srečanje in 70. občni zbor DMFA
(Jurij Bajc, Janez Krušič in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–230
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231–232
Iz zgodovine
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) – življenje in delo
(Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233–239
Nove knjige
Carol Parikh, The Unreal Life of Oscar Zariski (Marko Razpet) . . . . . . . . 240–XXIII
CONTENTS
Articles Pages
Riemann’s zeros and primes (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–215
Gravitational waves, The Nobel prize in physics 2017 (Aleš Mohorič) . . 216–227
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–232
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233–239
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–XXIII
Na naslovnici: Numerična simulacija gravitacijskih valov, ki nastanejo ob zdru-
ževanju dveh nevtronskih zvezd. Objavljeno z dovoljenjem. Vir: relativistična nu-
merična simulacija – T. Dietrich (Max Planck Institute for Gravitational Physics) in
kolaboracija BAM; znanstvena vizualizacija – T. Dietrich, S. Ossokine, H. Pfeiffer,
A. Buonanno (Max Planck Institute for Gravitational Physics).