Contributions to a noncommutative real algebraic geometry - Zalar, Aljaž (visokošolska dela, 2017)
Študiramo Positivstellensätze iz nekomutativne realne algebraične geometrije. Med njimi se osredotočimo na posebna primera. Verzija matričnega Fejér-Rieszovega izreka karakterizira pozitivno semidefinitne matrične polinome na realni osi. Ta karakterizacija je že bila razširjena iz realne osi na disjunktno unijo končno mnogo zaprtih intervalov v primeru skalarnih polinomov in na primer enega samega zaprtega intervala v primeru matričnih polinomov. Prvi cilj tega dela je ugotoviti, kaj se da povedati za matrične polinome in disjunktno unijo končno mnogo zaprtih intervalov. Algebraična zagotovila za pozitivnost nekomutativnih matričnih polinomov na matrično konveksnih množicah, kot je množica rešitev linearne matrične neenakosti, so nedavno pritegnila pozornost med realnimi algebraičnimi geometri in veliko je že bilo narejenega. Ker je vsaka zaprta matrična konveksna množica, ki vsebuje izhodišče, množica rešitev linearne operatorske neenakosti (LON), to motivira drugi cilj tega dela, ki je razširitev zagotovil za pozitivnost iz matričnih na operatorske polinome. Naš glavni rezultat pri študiju prvega problema je karakterizacija brez imenovalcev v primeru kompaktnih unij, ki se imenuje Kompaktni Positivstellensatz. Tehnika v dokazu je predelava Schurovih komplementov in odprava imenovalcev z uporabo znanih rezultatov za skalarne polinome. Konstruiramo tudi protiprimere za razširitev te karakterizacije na skoraj vse nekompaktne unije. S študijem povezav med matričnimi polinomi in Laurentovimi matričnimi polinomi izpeljemo matrični Positivstellensatz na disjunktni uniji končno mnogo zaprtih lokov na enotski kompleksni krožnici. Z uporabo tega rezultata nato izpeljemo Nekompaktni Positivstellensatz za nekompaktno unijo zaprtih intervalov na realni osi, v katerem nastopajo le enostavni imenovalci. Naš prvi rezultat pri študiju drugega problema je algebraično zagotovilo za dominacijo množic rešitev eničnih LONov, ki se imenuje Linearni Positivstellensatz. Glavni uporabljeni tehniki sta popolna pozitivnost in teorija operatorskih algeber. Predstavimo tudi primere, ki pokažejo, da je predpostavka eničnosti potrebna. Opišemo tudi polaro LONa. Nato se osredotočimo na vprašanje enakosti množic rešitev dveh LONov, kar se izkaže za težji problem. Predstavimo odgovor za LONe s kompaktnimi operatorskimi koeficienti, ki se imenuje Linearni Gleichstellensatz. Ta pove, da sta pri predpostavki minimialnosti LONa unitarno ekvivalentna. Ideja je razumeti unitalne ?$C^*$?-algebre, generirane s koeficienti LONa, in ?$*$?-homomorfizme med njimi. S primeri pokažemo, da se izrek ne razširi na poljubne LONe. Na koncu izpeljemo Konveksni Positivstellensatz, ki karakterizira nekomutativne matrične polinome, pozitivno semidefinitne na množici rešitev LONa. V primeru ene spremenljivke pa ga razširimo na operatorske polinome.
Keywords: free positivity; kvadratni moduli; linear operator inequality; linearna operatorska neenakost; nekomutativni polinomi; noncommutative polynomials; positive polynomials; Positivstellensatz; pozitivni polinomi; prosta pozitivnost; quadratic module; real algebraic geometry; realna algebraična geometrija; spectrahedron; spektraeder