      P 48 (2020/2021) 212 Lebdeča vrtavka A L Magneti so znani že iz pradavnine, najstarejše omembe so kitajskega izvora in segajo kakšnih 2500 let nazaj. Drug na drugega delujejo, ne da bi se dotikali, kar nas še danes prevzame. Sicer tudi teža deluje tako, le da je tako vsakdanja, da se ji ne čudimo več. Magneti pa se ne le privlačijo, temveč se tudi odbijajo, in to z znatnimi silami, ki jih jasno začutimo že z golimi rokami. Pri elektro- statiki so te lahko tudi odbojne, a so mnogo manj izrazite. Hitro pomislimo, da bi razpostavili magnete tako, da bi njihova odbojna sila na izbrano postavljeni ma- gnet izničila njegovo težo. Magnet bi tedaj lebdel. Lebdenje pač preseneča. Pomislimo na nekatere pti- ce in žuželke, tu so največji junaki kolibriji, pa na drone in helikopterje. Poskusi v tej smeri se nikoli ne posrečijo. Nepritr- jeni magnet, ki naj bi lebdel, vedno nekam pobegne ali pa se zasuče in trešči v druge magnete. Na leseno paličico nataknjeni magnet pa ne more pobegniti in lebdi nad močnim obročastim magnetom (glej sliko 1). Ne tako dolgo nazaj, v sedemdesetih letih prej- šnjega stoletja, pa se je posrečilo brez opore obdr- žati v zraku vrtečo se magnetno vrtavko. Na sliki 2 je vidna postavitev spodnjega obročastega magneta in lega lebdeče vrtavke. Odkritje je bilo patentirano in je osnova priljubljeni igrači, ki jo lahko kupimo pod imenom Levitron (glej sliko 3). Na spodnji ma- gnet, ki leži na mizi, postavimo tanko vodoravno plo- ščo, na njej pa na sredini zavrtimo vrtavko . To se posreči, ker je pod vrtavko luknja. Potem počasi dvi- gamo ploščo, dokler vrtavka ne obvisi v zraku. Pri tem moramo poskrbeti, da ima vrtavka ravno pra- všnjo maso. To najdemo z dodajanjem priloženih drobnih uteži, ki jih natikamo na vrtavko. Na spletu najdemo vrsto navodil, kako si tako igračo izdelamo sami. Izdelava pa ni prav preprosta, ker potrebu- jemo kar nekaj stvari, ki jih ni lahko dobiti, terja pa tudi precej potrpljenja pri iskanju pravih lastnosti vrtavke. SLIKA 1. Lebdeči magnet, napeljan na palico, ki poskrbi, da se magnet ne more obrniti in pobegniti. Teža zgornjega magneta je enaka odbojni sili med magnetoma. Zakaj vrtavka lebdi? Prijavitelj patenta je imel ve- like težave, preden je prepričal uradnike, da je nje- gov predlog mogoče uresničiti. Kot bomo videli, je lebdenje sicer izvedljivo, vendar le za las. Hkrati ga omogočata posebna zgradba magnetnega polja obro- častega magneta in dinamika vrtavke. Najprej si oglejmo magnetno polje spodnjega obročastega magneta. Zgornja ploskev obroča naj bo severni pol (N), spodnja pa južni (S). V magnetu si lahko zamislimo množico drobnih magnetnih di- polov, vsak je sestavljen iz magnetnega monopola N (sever) in prav tako velikega monopola S (jug). Pri tem monopole N in S postavimo navpično enega nad       P 48 (2020/2021) 2 13 SLIKA 2. Lebdeča vrtavka nad obročastim magnetom – zasnova igrače Levitron SLIKA 3. Posnetek lebdeče vrtavke pri Levitronu drugim. S to zamislijo pridemo do pravega magne- tnega polja stran od monopolov, čeprav dobro vemo, da magnetnih monopolov v naravi ne najdemo. Ven- dar tako zamišljeni magnetni dipoli verno odražajo magnetno polje drobnih tokovnih zank, ki pa jih je znotraj magneta vse polno. Gostoto magnetnega polja ~B prav preprosto izra- čunamo tako, da množico magnetnih dipolov poraz- delimo v obroč in seštejemo njihove prispevke k po- lju v prostoru. Tako dobljeno polje je predstavljeno z vektorji na sliki 4 in silnicami na sliki 5. Polje smo izračunali numerično z ustreznim računalniškim programom v dovolj gosto posejanih točkah v pro- storu nad magnetom. SLIKA 4. Magnetno polje obročastega magneta v ravnini, ki jo določa si- metrijska os. Vektorji magnetne poljske gostote ~B so prikazani v izbranih točkah ravnine. Vektorji, prikazani z rdečo barvo, so zaradi preglednosti po velikosti zmanjšani. Ko v magnetno polje spodnjega magneta posta- vimo obročasti magnet vrtavke, nas zanimajo pred- vsem sile nanjo. Polje sil pa ne sovpada z magnetnim poljem. To hitro uvidimo, če si spet zamislimo ma- gnetni dipol, sestavljen iz magnetnih monopolov. Na posamezna monopola deluje sila ~Fm = em~B ,       P 48 (2020/2021) 214 SLIKA 5. Magnetno polje obročastega magneta, predstavljeno s silnicami. kjer je em magnetni naboj monopola. Na celotni di- pol deluje vsota sil na posamezna monopola. Če sta monopola v magnetnem polju z enako gostoto ~B, sile na dipol ni, ker sta magnetna naboja emN in emS na- sprotna. Če pa je monopol N v drugačnem polju kot S, je sila na dipol od nič različna. Magnetna sila na dipol bo torej ~FmD = em(~BN − ~BS) , kjer sta ~BN in ~BS magnetni polji na mestih mono- polov N in S. Za silo je odločilna sprememba ma- gnetnega polja ~B vzdolž veznice med poloma N in S v dipolu vrtavkinega magneta. Ker poznamo go- stoto magnetnega polja ~B v poljubni točki nad osnov- nim magnetom, hitro pridemo do polja sil na vrtavko (glej sliko 6). Z znano lego vrtavke pa pridemo do sile nanjo z vektorskim seštevanjem sil posameznih dipolov v njenem magnetu. Navpično silo na vrtavko smo predstavili na sliki 7. Ko je vrtavka dovolj visoko nad spodnjim magne- tom, jo le-ta odbija navzgor. Sila z višino narašča, potem pa začne padati. Če je teža vrtavke primerna in jo postavimo v del, kjer magnetna sila nanjo pada, bi vrtavka našla točko, kjer bi bila vsota njene teže in magnetne sile enaka nič. Vrtavka bi tam lebdela, če bi bilo njeno težišče natančno na geomterijski osi. Pri rahlem dvigu bi prevladala teža navzdol, pri spu- SLIKA 6. Polje sil na magnetni dipol, ki ga postavimo v navpǐcni smeri. stu pa magnetna sila navzgor. Zaradi teže in sile ma- gneta bi bila vrtavka v navpični smeri v stabilnem ravnovesju. Za lebdenje pa mora biti vrtavka v stabilnem rav- novesju tudi v vodoravni ravnini. Ne moremo na- mreč pričakovati, da bo vrtavkina os vedno natančno sovpadala s simetrijsko osjo spodnjega magneta. Tu pa je glede stabilnega ravnovesja ravno obratno kot v navpični smeri. Vrtavka je v vodoravni ravnini sta- bilna le na višinah pod maksimumom magnetne od- bojne sile. Tam pa vrtavka ni stabilna v navpični smeri. Torej lebdenje ni možno. To so odkritelju zatrjevali mnogi fiziki ter tudi uradniki patentnega zavoda in imeli so skoraj prav. Skoraj zato, ker so privzeli, da je os vrtenja povsem navpična tudi, ko je vrtavka izmaknjena od simetrijske osi spodnjega magneta. Pri zmernem vrtenju pa se os vrtenja za- radi navora na vrtavko v magnetnem polju in posle- dično njene precesije nagne ter sledi smeri gostote magnetnega polja ~B. Zaradi tega majhnega nagiba se vodoravna magnetna sila kvalitativno spremeni. Na sliki 8 so prikazane sile na vrtavko, ko je njena os povsem navpična, na sliki 9 pa, ko je rahlo nagnjena v smeri magnetnega polja v njeni, po osi x, izma- knjeni legi. Vidimo, da se vodoravna sila spremeni, in sicer tako, da potisne vrtavko nazaj k simetrijski osi spodnjega magneta.       P 48 (2020/2021) 2 15 SLIKA 7. Navpǐcne sila na vrtavko, ki jo postavimo v magnetno polje obročastega magneta. Os vrtavke je postavljena navpǐcno. SLIKA 8. Sile na dele vrtavke, ko semetrijska os obročastega magneta in vrtilna os vrtavke sovpadata. SLIKA 9. Ko se vrtavka oddalji od simetrijske osi in hkrati nagne, ker njena os sledi magnetnemu polju obročastega magneta, se sile nanjo spremenijo tako, da jo potiskajo nazaj v izhodiščno lego. Slika navpične in vodoravne magnetne sile je se- daj nekoliko drugačna (glej sliko 10). V zelo ozkem, le kakih 5 mm širokem pasu višin blizu vrha nav- pične sile, je vrtavka v stabilnem ravnovesju, tako v navpični smeri kot v vodoravni ravnini (sivi pas na sliki 10). Vrtavka torej lahko lebdi, le zelo na- tančno moramo ujeti njeno težo, da smo tik nad vr- hom navpične magnetne sile. To storimo z okroglimi ploščicami različnih polmerov, debelin in iz različ- nih snovi, ki jih nameščamo na vrtavko. Prilagoditev mase moramo opraviti sami, ker sta moči magnetov nekoliko odvisni od njune temperature in železnih predmetov v okolici. Z nekaj vaje obvladamo zagon na dvižni plošči in previdno dviganje do lebdenja. Čeprav je opisana igrača zahtevna, smo z lebdečo vrtavko obilno na- grajeni, saj jo lahko opazujemo kar nekaj minut. Iz- popolnjene igrače te vrste imajo vgrajeno vezje, ki poganja vrtavko, da le-ta lebdi poljubno dolgo časa. A to že po malem posega v aktivno nadzorovano leb- denje, kjer lebdeči magnet obdržimo v ravnovesju s krmilnimi tuljavicami. O tem pa kdaj prihodnjič. SLIKA 10. Vodoravna Fv in navpǐcna Fn magnetna sila na vrtavko, ki je malo izmaknjena iz ravnovesne lege in nagnjena tako, da je njena os v smeri magnetnega polja spodnjega magneta. V si- vem pasu je vrtavka v stabilnem ravnovesju. Na vodoravno os grafa nanašamo višino, merjeno od srednje vodoravne ravnine obročastega magneta. Merilo je relativno glede na srednji pol- mer magneta. ×××