Matematika v šoli Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana 2024, letnik 30 2 Razvijanje algoritmičnega mišljenja Integracija umetne inteligence v poučevanje Raziskovalne naloge iz matematike Matematika v šoli 2024, letnik 30 2 VSEBINA mag. Sonja Rajh Matematika v voščilu .................................................................................................................................................... 1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO dr. Jasmina Ferme, dr. Barbara Arcet, dr. Alenka Lipovec Razvijanje algoritmičnega mišljenja preko pisnega deljenja ................................................... 2 dr. Barbara Arcet Integracija umetne inteligence v poučevanje: Kako učinkovito oblikovati pozive? ................................................................................................................. 8 IZ RAZREDA Ema Ptičak, Tadej Vovk Reševanje polinomskih enačb z želvjo grafiko .................................................................................... 15 Kaja Vreš Raziskovanje kvadratnih palindromov ...................................................................................................... 23 Ana Canzutti Pomen načrtne rabe matematičnih terminov pri pouku matematike ............................ 30 Lidija Venko Naravoslovni dan ........................................................................................................................................................... 39 Jasna Kvenderc Medvešek Nadarjeni in potencialno nadarjeni dijaki pri pouku matematike ..................................... 44 NOVICE mag. Sonja Rajh Konferenca o učenju in poučevanju matematike, KUPM 2024 .............................................. 50 mag. Marija Lesjak Reichenberg, Zvonka Kos in mag. Sonja Rajh Okrogla miza ob izidu tridesetega letnika revije Matematika v šoli ................................. 55 mag. Mateja Sirnik Znanje slovenskih četrtošolcev v mednarodni raziskavi TIMSS ........................................... 59 dr. Borut Jurčič Zlobec Raziskovalne naloge iz matematike na Srečanju mladih raziskovalcev 2024 .......... 60 dr. Ana Slavec Predstavitev knjige Statistika za začetnike .............................................................................................. 64 2 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 UVODNIK Matematika v voščilu Pri novoletnih voščilih pogosto v želje vtkemo del sebe in voščilo oblikuje- mo na način, ki nam je najbližji. Tako kot nekateri kemiki v voščilo vpletejo kemijske simbole (slika 1), matematiki v novoletna voščila vtkemo lepoto, ki jo vidimo v matematiki. Poleg slik z matematičnim motivom (slika 2) so v voščilih pogosti številski izrazi, katerih vrednost je zapisana s številko leta. ISSN 1318-010X MATEMATIKA V ŠOLI letnik XXX, številka 2, 2024 Izdajatelj in založnik: Zavod RS za šolstvo Predstavnica: Jasna Rojc Slika 1: Novoletno drevo iz voščila predmetne Slika 2: Pascalov trikotnik kot novoletna Odgovorna urednica: mag. Sonja Rajh, Zavod RS za šolstvo Uredniški odbor: skupine za kemijo na ZRSŠ za leto 2018. jelka, okrašena z zvezdami. dr. Darja Antolin Drešar, Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo, Ko sem oblikovala voščilo za leto 2024, je bila podobnost s številom 1024 = 210 dr. Andreja Drobnič Vidic, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, očitna. Treba je bilo prišteti le še število 1000 = 103. mag. Melita Gorše Pihler, Zavod RS za šolstvo, mag. Valentina Herbaj, Gimnazija Murska Sobota, Silva Kmetič, pedagoška svetovalka na ZRSŠ v pokoju, Število 2025 je 81 ∙ 25. Ker sta oba faktorja popolna kvadrata, oblikujemo Lidija Pulko, Zavod RS za šolstvo, zapis 2025 = 92 ∙ 52 = 452. Zato vam želim, da bo leto popolnega kvadrata 452 mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo, Tadeja Vrbnjak, Osnovna šola Sveti Tomaž, popolno v vseh dobrih stvareh. Simona Vreš, Gimnazija Ravne na Koroškem, dr. Amalija Žakelj, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta, Član uredniškega odbora revije Matematika v šoli iz Belgije, prof. dr. Adriaan dr. Lucija Željko, Osnovna šola Dravlje, Herremans, mi je poslal voščilo za leto . dr. Herremans Adriaan, Universiteit Antwerpen, Belgija, dr. Nives Baranović, Univerza v Splitu, Filozofska fakulteta, Hrvaška. Torej je 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 +73 + 83 + 93 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + Jezikovni pregled: Andraž Polončič Ruparčič + 343 + 512 + 729 = 2025. Prevod povzetkov v angleščino: Bumblebee, jezikovno svetovanje, Polonca Luznik, s. p. Urednica založbe: Andreja Nagode Ob tem sem se spomnila Nikomahovega izreka, ki je bil pred- Oblikovanje: Simon Kajtna stavljen v 1. številki 26. letnika revije Matematika v šoli (Razpet, Fotografije: avtorji člankov Računalniški prelom: Design Demšar, d. o. o. 2020). Zapomnila sem si ga prav zaradi nazorne geometrijske po- Tisk: Birografika Bori, d. o. o. nazoritve za n = 5 (glejte QR-kodo s povezavo do članka). Naklada: 510 izvodov Prispevke pošljite na naslov: Nikomahov izrek trdi, da je vsota kubov prvih n zaporednih naravnih števil Zavod RS za šolstvo, OE Murska Sobota (za revijo Matematika v šoli), enaka kvadratu n-tega trikotniškega števila, ki pa je vsota prvih n zaporednih Slomškova ulica 33, 9000 Murska Sobota, e-naslov: revija.matematika@zrss.si naravnih števil: 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 Naročila: Zavod RS za šolstvo – založba, Poljanska cesta 28, 1000 Ljubljana, . faks: 01/30 05 199, e-naslov: zalozba@zrss.si Letna naročnina (2 številki): 22,00 EUR za šole in ustanove, 16,50 € Tako lahko število 2025 zapišemo kot kvadrat vsote prvih zaporednih devetih za fizične osebe, 8,50 € za študente in upokojence. Cena posamezne številke v prosti prodaji je 13,00 EUR. naravnih števil: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2 = 452 = 2025. Revija Matematika v šoli je vpisana v razvid medijev, ki ga vodi Ministrstvo za kul- turo, pod zaporedno številko 568. Revija je indeksirana in vključena v mednarodne baze podatkov: MathEduc – Mathematics Education Database, Zentralblatt fur Predlagam, da tudi sami otrokom, učencem ali dijakom predstavimo lepoto Didaktik der Mathematik (ZDM), Co-operative Online Bibliographic System and matematike z oblikovanjem novoletnega voščila. Podajmo jim naše voščilo in Services (COBISS) jih povabimo, da ustvarijo lastno. mag. Sonja Rajh, odgovorna urednica Vir Priznanje avtorstva-Nekomercialno-Brez predelav Razpet, M. (2020). »Nikomahov izrek.« Matematika v šoli, letnik 26, številka 1. https:// Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. www.zrss.si/wp-content/uploads/2023/07/07_MarkoRazpet-1.pdf 1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Razvijanje algoritmičnega mišljenja preko pisnega deljenja Developing Algorithmic Thinking Through Long Division dr. Jasmina Ferme,1, 2 dr. Barbara Arcet,1, 2, 3 dr. Alenka Lipovec1, 2 Pedagoška fakulteta1, Fakulteta za naravoslovje in matematiko2, Ekonomska fakulteta3 Univerze v Mariboru Izvleček Pisno deljenje odpira vrata v svet algoritmičnega in računalniškega mišljenja – dveh ključnih veščin za reše- vanje kompleksnih izzivov. Učenci se skozi ta proces učijo razčlenjevati naloge na obvladljive dele, prepoznati bistvene informacije, oblikovati natančne korake in popravljati morebitne napake. To niso le matematične spretnosti, temveč življenjske veščine, ki jih pripravljajo na tehnološko usmerjeno prihodnost. Raziskave po- udarjajo, da algoritem dolgega načina deljenja omogoča večjo natančnost, sistematičnost ter preglednost ko- rakov pa tudi posplošljivost, zato naj bo prednostna metoda poučevanja. Kratki način pa je odlična izbira za hitrejše reševanje enostavnejših nalog ali izzive za naprednejše učence. Učitelji naj učencem predstavijo tudi alternativne pristope, kot je nizozemska metoda, ki spodbuja razumevanje mestne vrednosti in prilagodljivo reševanje. Pri učenju in poučevanju je pomembno, da učenci usvojijo različne metode pisnega deljenja in po- znajo ter razumejo smisel izvedbe vsakega koraka v postopku pisnega deljenja, saj tako razvijajo tudi temelje za računalniško mišljenje. S temi spretnostmi bodo ne le uspešnejši pri matematiki, temveč tudi bolje pripra- vljeni na reševanje problemov v realnem svetu. Ključne besede: pisno deljenje, tradicionalni algoritmi, algoritmično mišljenje Abstract Long division opens the door to the world of algorithmic and computational thinking - two critical skills for solving complex challenges. This process teaches students to break tasks into manageable chunks, identify essential information, formulate precise steps and correct mistakes. These are not only mathematical skills but also life skills that prepare them for a technology-driven future. According to research, the long-division algo- rithm improves precision, systematicity, transparency of steps, and generalisability and should, therefore, be the preferred teaching method. On the other hand, the short method is ideal for completing easy tasks fast or challenging more advanced learners. Teachers should also introduce students to alternative approaches, such as the Dutch method, which promotes an understanding of place value and adaptability in problem-solving. Students must learn the different methods of long division and grasp the meaning of how to carry out each step in the long division process to create the foundations for computational thinking. These skills will make them more successful in mathematics and better prepare them for real-world situations. Keywords: long division, traditional algorithms, algorithmic thinking Uvod Postopek pisnega deljenja je kompleksen, saj poleg pisnega de- ljenja samega, torej poznavanja postopka, zahteva tudi znanje Glede na učni načrt za matematiko v osnovni šoli je obvladova- številnih drugih matematičnih konceptov, na primer deljenje z nje pisnega deljenja z enomestnim oziroma dvomestnim delite- ostankom, obvladovanje algoritmov pisnega odštevanja in pisne- ljem minimalni standard znanja učencev 4. oziroma 5. razreda. ga množenja ter s tem avtomatizacijo poštevanke. Razumevanje Učenci druge triade morajo tako poznati in obvladovati algori- in učinkovito izvajanje postopka pisnega deljenja dodatno zahte- tem pisnega deljenja, čeprav se zdi, da ga v vsakdanjiku kasneje va tudi obvladovanje koncepta mestne vrednosti ter sposobnost samostojno vedno redkeje izvajajo. Razlog za slednje predsta- ocenjevanja pri računanju. Tako lahko rečemo, da preko pouče- vljajo pametni telefoni in druga tehnologija, ki nam skoraj na vanja pisnega deljenja razvijamo in utrjujemo tudi številne druge vsakem koraku omogoča rabo računala. S tega vidika bi lahko matematične koncepte. rekli, da smisel obvladovanja pisnega deljenja bledi, a treba se je zavedati, da imata poznavanje in obvladovanje omenjenega algo- Poznavanje in obvladovanje algoritma pisnega deljenja ima apli- ritma tudi druge funkcije. kativno vrednost pri kasnejši obravnavi drugih matematičnih 2 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO vsebin in konceptov, kot sta na primer krajšanje ulomkov (reci- po katerem bomo pridobivali vmesne rezultate za rešitev dane mo pri krajšanju ulomka 165 s številom 3 velikokrat mentalno naloge, načrtovali strukturo dejanj in izvajanje te, vse to pa nas 9 izvedemo algoritem pisnega deljenja z enomestnim deliteljem) bo vodilo do rešitve dane naloge. ali pretvorba ulomka v decimalno številko. Pomembna vloga pi- Lehmann (2024) navaja naslednje kognitivne spretnosti, ki so snega deljenja se pokaže tudi pri deljenju polinomov, ki predsta- združene v algoritmičnem mišljenju: dekompozicija, abstrakci- vlja posplošitev algoritma z vidika elementov, ki nastopijo v vlogi ja, ustvarjanje algoritma (algoritmizacija) in odpravljanje napak deljenca in delitelja. algoritma. Omenjene kognitivne spretnosti natančneje opišemo Pri pisnem deljenju gre za izvedbo postopka, sestavljenega iz več v nadaljevanju. zaporednih korakov, ki jih po potrebi večkrat ponovimo. Gre to- Dekompozicija je proces razčlenitve problema ali naloge na manj- rej za izvedbo algoritma, kar implicira, da z izvajanjem pisnega še, obvladljive enote – podprobleme, ki so funkcionalni elementi deljenja razvijamo in krepimo algoritmično mišljenje, eno izmed celotnega sistema (Shute idr., 2017). Ti podproblemi omogočajo nepogrešljivih sposobnosti današnjega časa. Poučevanju pisnega obravnavo in reševanje posameznih delov neodvisno, s čimer se deljenja v funkciji razvijanja algoritmičnega mišljenja se posve- kompleksni problemi poenostavijo, nove situacije pa postanejo timo v tem prispevku. razumljivejše. Na primer, nalogo določanja prostornine sesta- vljenega telesa razbijemo na izračune prostornin posameznih Algoritem in algoritmično mišljenje teles, katerih formule že poznamo. Algoritem je natančno določen nabor navodil, ki se izvajajo v Abstrakcija je proces ustvarjanja modela problema ali sistema z končnem številu korakov za reševanje določenega problema izpostavitvijo bistvenih komponent ter opustitvijo nepomemb- (Baaquie in Kwek, 2023). Lahko bi torej rekli, da je algoritem nih podrobnosti (Shute idr., 2017). Tako se oblikuje poenosta- navodilo za reševanje dane naloge oziroma problema. Z drugimi vljena predstavitev, ki omogoča razumevanje delovanja sistema besedami, gre za zaporedje ukazov ali korakov, ki nas vodijo do in reševanje povezanih problemov. Ključni cilj abstrakcije je rešitve problema. zmanjšanje kompleksnosti, pri čemer se ohrani vse, kar je po- trebno za analizo in rešitev problema. Na primer, pri reševanju Z algoritmi se zelo pogosto srečujemo v vsakdanjiku, že od zgo- problemov največjega pretoka modeliramo sistem kot graf, ki dnjega otroštva, četudi se njihove prisotnosti ne zavedamo. Na vključuje vozlišča in povezave med njimi, pomembne za tok primer zavezovanje vezalk, vožnja avtomobila, sledenje receptu vode, medtem ko neupoštevane podrobnosti, kot so pešpoti, ne pri kuhanju, umivanje zob, uporaba pomivalnega ali pralnega vplivajo na rešitev. stroja, uporaba samopostrežne blagajne ali bankomata, sestavlja- nje pohištva … vse to so primeri, pri katerih z izvedbo določene- Algoritmizacija zajema oblikovanje natančnega zaporedja kora- ga, nam znanega ali podanega postopka opravimo dano nalogo. kov, ki vodijo do rešitve določenega problema (Lehmann, 2024). Proces vključuje identifikacijo vhodnih podatkov, določitev pri- Med osnovnošolskim matematičnim izobraževanjem izvajamo čakovanih izhodov in zasnovo ključnih korakov, ki povezujejo številne postopke, za katere vemo, da nas bodo privedli do reši- eno z drugim. Pri tem so ključni algoritmični koncepti, kot so tve naloge; sledimo postopkom oziroma izvajamo algoritme: ri- ponavljanje (zanke), uporaba vmesnih rezultatov in spremen- šemo krožnico z danim polmerom, pri čemer sledimo znanemu ljivk, ki omogočajo učinkovito izvedbo zapletenih nalog. Algo- postopku konstrukcije; pri preverjanju, ali je dano število deljivo ritmizacija tako omogoča prehod od abstraktnega modela do z 9, seštejemo vse števke števila in določimo, ali je ta vsota de- praktične rešitve, ki jo je mogoče implementirati in preveriti v ljiva z 9; pri izračunu ploščine likov ali prostornine teles upora- različnih situacijah. bimo znane obrazce, s pomočjo Eratostenovega sita določamo praštevila, algoritmom sledimo pri konstrukciji vzporednice ali Odpravljanje napak ali razhroščevanje je postopek sistematične- pravokotnice na dano premico skozi določeno točko itd. Tudi v ga testiranja in prilagajanja algoritma, da bi zagotovili njegovo srednješolski matematiki se sledenje algoritmom ne konča, na pravilnost in učinkovitost (Shute idr., 2017). To vključuje testi- primer uporaba Evklidovega in Hornerjevega algoritma, reševa- ranje algoritma z različnimi vhodnimi podatki, vključno s stan- nje kvadratne enačbe ali iskanje enačbe tangente na graf funkcije dardnimi in robnimi primeri, da se preveri njegovo delovanje v skozi dano točko. vseh scenarijih. Ob odkritju napak sledi iterativno prilagajanje algoritma, dokler ne doseže želenega delovanja. Poleg tega pro- S pojmom algoritem je tesno povezan izraz algoritmično mišlje- ces vključuje razmislek o možnih izboljšavah, kar pripomore k nje. Kot navajata Sadykova in Il’bahtin (2020), je algoritem glav- večji zanesljivosti in optimizaciji algoritma. Tako odpravljanje no orodje obdelave podatkov in hkrati tudi končni rezultat algo- napak ni zgolj zagotavljanje pravilnosti, temveč tudi priložnost ritmičnega mišljenja. Sadykova in Il’bahtin (2020) po pregledu za izboljšanje kakovosti rešitve. številnih definicij algoritmičnega mišljenja navajata, da večina raziskovalcev algoritmično razmišljanje opredeljuje kot sistem Algoritmično mišljenje, dekompozicija in abstrakcija pa so po- diskretnih dejanj, ki jih imenujeta načini oz. poti razmišljanja. leg prepoznave vzorcev tudi sestavni del računalniškega mišlje- Omenjeni načini razmišljanja predstavljajo sistem, sestavljen iz nja (Li idr., 2020). Vloga računalniškega mišljenja je ključna v dveh tipov komponent: 1) vmesne naloge in končna naloga ozi- sodobnih poklicih, kot so programiranje, podatkovna analiza roma cilj; 2) razumevanje operacij, ki naj bi vodile do zaporedja in umetna inteligenca, kar narekuje njegovo vključevanje v iz- in izvedbe teh nalog. Pri algoritmičnem mišljenju gre torej za sis- obraževanje že na osnovno- in srednješolski ravni. Razvoj algo- tem miselnih metod oziroma načinov razmišljanja, ki ga potre- ritmičnega mišljenja je še posebej pomemben v matematiki, saj bujemo za to, da lahko ustvarimo zaporedje oziroma vrstni red, podpira logično in ustvarjalno reševanje problemov ter spodbuja 3 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 prilagodljivost – lastnosti, ki so zelo cenjene na trgu dela. Na- Slika 1: Kako zapisujejo algoritem deljenja na kazuje se tudi, da integracija računalniškega in algoritmičnega Nizozemskem (vir: Fagginger Auer idr., 2018). mišljenja v matematično izobraževanje izboljšuje razumevanje (Kovalchuk idr., 2020; Stephens in Kadijevich, 2020). (3 ∙ 34 = 102). Tokrat ostane 0, kar pome- Pri poučevanju in učenju matematike je pomembno, da učenci ni, da smo zaključili deljenje brez ostan- razumejo in uporabljajo pisne algoritme, kot je deljenje, saj te ka. Na koncu seštejemo, kolikokrat je bil metode pomembno prispevajo k razvoju algoritmičnega razmi- delitelj 34 odštet od deljenca 544. Prvič je šljanja. Čeprav se deljenje v sodobni praksi, vključno z računal- bil odštet desetkrat, nato trikrat in še en- niškimi procesorji, uporablja manj pogosto, ostaja ta operacija krat trikrat. Skupaj torej šestnajstkrat, zato nepogrešljiva na področjih, kot so grafični prikazi in umetna in- je količnik 16. Ta postopek poudarja postopno odštevanje več- teligenca (Zhang, 2020). Prav zato pisni algoritem deljenja pred- kratnikov delitelja, kar omogoča učencem, da razumejo logiko stavlja odlično izhodišče za poglobljen vpogled v uporabnost deljenja in prilagodljivo poiščejo delne količnike. Hkrati metoda algoritmičnega mišljenja v učnem procesu. krepi zavedanje mestne vrednosti. Osnovna razlika med algorit- mom, ki ga uporabljamo v Sloveniji, in tistim, ki ga uporabljajo na Nizozemskem, je v tem, ali se vrednost mesta števk v številu Kako pisno delimo? upošteva ali ignorira. Učenci med izobraževanjem spoznajo različne strategije oziro- Temeljna ideja slovenskega algoritma pisnega deljenja je izvaja- ma načine računanja. Ti se med drugim ločijo tudi po tem, kako nje zaporednih deljenj delov deljenca (delnih deljencev) z delite- operiramo s števili: ali pri tem konstantno upoštevamo koncept ljem. Na vsakem koraku postopka tako izvedemo deljenje delne- mestne vrednosti ali ne (Hickendorff idr., 2018, 2019). ga deljenca z deliteljem, rezultat tega je delni količnik. Produkt med delnim količnikom in deliteljem poimenujemo vmesni pro- V prvem primeru gre za to, da pri računanju vseskozi neposre- dukt, razlika med omenjenima vrednostnima je vmesni ostanek. dno upoštevamo dejstvo, da je naš številski sistem mestni oziro- Vmesni ostanek skupaj z delom danega deljenca tvori nov delni ma pozicijski. Na vsakem koraku računanja torej ne uporabimo deljenec. Vrednosti delnega deljenca, delnega količnika, vmesne- le izbrane števke števila, temveč vseskozi upoštevamo tudi njeno ga produkta ter vmesnega ostanka se tako v zaporednih korakih pozicijo oziroma mesto v številu. Tako neprenehoma operiramo izvedbe algoritma pisnega deljenja spreminjajo. s številom, ki ga števka skupaj z njeno pozicijo v številu predsta- vlja. Na primer, če imamo število 83 in ga obravnavamo na opi- sani način, v procesu računanja ne uporabimo le števila 8, tem- več število 80. Pri seštevanju števil 83 in 12 tako v posameznem koraku seštevanja ne seštejemo števil 8 in 1 (kot posameznih števk števil), temveč 80 + 10. Takšen način računanja običajno izvajamo, ko računamo ustno. V nasprotnem primeru v nekaterih korakih računanja operira- mo le s posameznimi števkami števila, brez upoštevanja njihovih pozicij v številu in s tem zavedanja, katero število pravzaprav po- samezna števka v številu predstavlja. Na primer, pri seštevanju števil 83 in 12 lahko tako v nekem koraku seštevanja seštejemo števili 8 in 1 (in pri tem ni nujno, da se zavedamo, da gre dejan- Slika 2: Terminologija pisnega deljenja. sko za vsoto 80 + 10) ter rezultat, število 9 (lahko brez vedenja, da gre za število 90), zapišemo na ustrezno mesto števila, ki bo V primeru pisnega deljenja z enomestnim deliteljem deljenje predstavljalo vsoto danih dveh števil. Omenjeni način računanja delnega deljenca z deliteljem sovpada z deljenjem z ostankom (v se kaže pri izvedbi tradicionalnih pisnih algoritmov seštevanja, okviru poštevanke). V tem primeru je določitev vmesnega ko- odštevanja, množenja in deljenja, ki jih poučujemo v Sloveniji. V ličnika ter vmesnega ostanka direktna (določitev vmesnega pro- posameznih fazah izvedbe posameznega algoritma namreč ope- dukta lahko celo opustimo). Nasprotno velja, če je delitelj dvo- riramo le s posameznimi števkami danih števil, pri čemer pa je mestno ali večmestno število. Takrat namreč določitev delnega razvijanje številskih predstav potisnjeno v ozadje. količnika ter vmesnega ostanka običajno ni enostavna, ampak Na Nizozemskem so tradicionalni algoritem za operacijo de- zahteva izvedbo dodatnih aktivnosti. V nadaljevanju prispevka ljenja opustili kmalu po letu 2000 v korist nove standardizirane te (skupaj s celotnim algoritmom pisnega deljenja) natančneje strategije: pristopa, ki temelji na celotnih številih (Hickendorff opisujemo. Omejimo se na primer pisnega deljenja z dvome- idr., 2018, 2019). Zapis lahko opazujemo na sliki 1. stnim deliteljem. Na podlagi Slike 1 podrobneje razložimo postopek deljenja 544 Postopek izvedbe algoritma pisnega deljenja s 34 z uporabo metode postopnega odštevanja večkratnikov z dvomestnim deliteljem delitelja. Najprej se od celotnega števila 544 odšteje desetkra- tni delitelj (10 ∙ 34 = 340). Tako se izračuna prvi delni ostanek Postopek izvedbe algoritma pisnega deljenja pričnemo pri najve- 204 (544 – 340 = 204). Nato se od 204 odšteje trikratnik delitelja čji oz. največjih desetiških enotah deljenca. Ponavljamo izvaja- (3 ∙ 34 = 102) in dobi delni ostanek 102 (204 – 102 = 102) Po- nje naslednjih korakov: določimo delni deljenec; določimo delni stopek se ponovi. Od 102 se ponovno odšteje trikratni delitelj količnik; določimo vmesni ostanek. Postopek zaključimo, ko je 4 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO delni deljenec manjši od delitelja. V nadaljevanju natančneje pomočjo algoritmov pisnega množenja (delnega količnika 6 in opišemo navedene tri ponavljajoče se korake v izvedbi algoritma delitelja 78) in odštevanja (vmesnega produkta od delnega de- pisnega deljenja. ljenca 531). Najprej obravnavamo enice: število 6 pomnožimo s številom 8 (enice delitelja), rezultat je 48. Sedaj izvedemo odšte- 1. Določitev delnega deljenca vanje enic: od enic delnega deljenca (531) odštejemo enice pri- Prvodoločeni delni deljenec je število, ki ga tvorijo števke, pred- dobljenega produkta, število 8 (desetice števila 48 si zabeležimo, stavljajoče največje desetiške enote deljenca. To število mora biti ker jim bomo uporabili pri obravnavi desetic števil). Ker odšte- večje od delitelja ter manjše od njegovega desetkratnika (zato da vanje 1 – 8 ni izvedljivo v okviru naravnih števil, lahko z uporabo bo količnik, dobljen pri deljenju delnega deljenca z deliteljem, zakona o ohranitvi razlike ta izraz nadomestimo z izrazom 11 enomestno število), kar od učencev zahteva znanje, vezano na – 8, pri čemer pripišemo 1 k deseticam produkta med delnim ko- primerjanje števil po velikosti. V naslednjih ponovitvah tega ko- ličnikom in deseticami delitelja (ko bomo množili 6 in 7, bomo raka algoritma pisnega deljenja delni deljenec določimo tako, da temu produktu poleg števila 4 prišteli še 1). Rezultat odštevanja, vmesnemu ostanku pripišemo naslednjo, še neuporabljeno štev- število 3, podpišemo pod enice obravnavanega delnega deljenca. ko deljenca. Če takšne števke ni več na voljo, se postopek zaključi. Postopek ponovimo še pri deseticah števil. 2. Določitev delnega količnika Delni količnik je število, ki ustreza vrednosti količnika v enakosti osnovnega izreka o deljenju. To je torej največji mogoči količnik; takšen, da se produkt tega z deliteljem najbolj približa delnemu deljencu, a ga ne preseže. Določitev delnega količnika ni vedno enostavna naloga (Fuson, 2023), kar izvira iz dejstva, da običaj- no nimamo memoriziranih vrednosti produktov dvomestnega števila (delitelja) s poljubnimi enomestnimi naravnimi števili. Slika 3: Kratki način in dolgi način pisnega deljenja. Zato določitev količnika in morebitnega ostanka pri omenjenem Pri dolgem načinu pisnega deljenja določanje ostanka pri delje- deljenju običajno ne poteka direktno, temveč zahteva izvedbo nju delnega deljenca z deliteljem poteka v dveh fazah. Najprej dodatnih postopkov, ki pa jih izvedemo z manj ali več doda- izračunamo produkt med deliteljem in delnim količnikom, nato tnimi zapisi ter na različne načine. Na način določitve delnega pa izvedemo še odštevanje omenjenega produkta od delnega količnika vpliva tudi to, koliko pri pridobitvi delnega količnika deljenca. Za razliko od kratkega načina pisnega deljenja ome- uporabljamo ocenjevanja le-tega (torej ocenjevanja rezultata pri njena množenje in odštevanje nista izvedena nujno s pomočjo deljenju delnega deljenca z deliteljem). Običajno manjša priso- tradicionalnih algoritmov. Pri tem načinu izvedbe algoritma tnost ocenjevanja pri določanju delnega količnika sovpada z več nekoliko bolj poudarimo velikost obravnavanih števil. Pri od- računanja slednjega. Pri računanju gre pravzaprav za računanje števanju delnega deljenca in vmesnega produkta sta ti vredno- produktov med naravnimi števili in deliteljem. Računanje pro- sti zapisani, iz česar je jasno razvidna njuna vrednost (in ne le duktov delitelja z naravnimi števili lahko poteka direktno z mno- vrednosti števk). Glede na to, kako pridobimo omenjeni vmesni ženjem, lahko pa uporabljamo tudi druge strategije, na primer produkt in izračunamo razliko, če ter kam posamezne izračune seštevanje ter kombinacijo seštevanja/odštevanja in množenja napišemo, ločimo več variacij: vmesne produkte lahko na primer (Hickendorff idr., 2019), kar lahko vključuje tudi rabo zakona o določimo in zapišemo v sklopu enega matematičnega izraza ali razčlenjevanju pri računanju. kot posamezne dodatne izračune (stranske račune). V nekaterih primerih so vmesni produkti ter vmesni ostanki določeni men- 3. Določitev vmesnega ostanka talno, izračuni zanje niso zapisani, izraz deljenja pa predvsem Ko določimo ustrezni delni količnik, sledi določitev vmesnega vmesnih produktov ne vključuje. Iz samega zapisa izraza delje- ostanka. Načini njegove določitve se ločijo po tem, ali pred do- nja v takšnih primerih pravzaprav ni mogoče določiti, ali gre za ločitvijo vmesnega ostanka določimo vmesni produkt, ali ne. S dolgo deljenje (kjer so nekateri izračuni izvedeni mentalno) ali tega vidika ločimo dolg in kratek način pisnega deljenja. V krat- prej opisano kratko deljenje. Iz opisa postopka izvedbe algoritma kem načinu deljenja vmesnega produkta ne izračunamo, preden pisnega deljenja pri deljenju z dvomestnim ali večmestnim deli- se lotimo določanja vmesnega ostanka; vrednost oziroma veli- teljem izhaja, da so osnovni koraki algoritma sicer določeni, ne- kost vmesnega produkta tako ni znana; znane bodo le števke, ki v kateri vmesni koraki pa so lahko izvedeni na različne načine (na tem produktu nastopijo. Pri tem načinu izračunamo razliko med primer določitev vmesnega ostanka). Slednje implicira raznoli- delnim deljencem in vmesnim produktom s pomočjo algoritma kost algoritmov pisnega deljenja tako z vidika uporabe strategij pisnega odštevanja. Sočasno oziroma izmenično z izvajanjem računanja kot z vidika različnosti zapisovanja izrazov. tega algoritma poteka tudi izvedba algoritma pisnega množenja (za določitev števk vmesnega produkta). Gre torej za izmenjujo- Izvedba algoritma pisnega deljenja ter njeno razumevanje nista ča se množenje in odštevanje, ki ju izvajamo v posameznih ko- enostavna. To izhaja predvsem iz dejstev, da algoritem pisnega rakih pisnih algoritmov množenja in odštevanja pri obravnavi deljenja vključuje tudi izvedbo drugih računskih operacij, pred- posameznih števk števil. videva ocenjevanje pri računanju ter se v primerjavi z drugimi algoritmi pisnega računanja prične pri najvišjih desetiških eno- Kratki način pisnega deljenja (v fazi določitve vmesnega ostanka) tah. Razumevanje ter izvedba omenjenih elementov pisnega de- ponazarjamo še na primeru deljenja števila 5316 s številom 78 ljenja sta v tesni povezavi s konceptom mestne vrednosti, enim (Slika 3). Ko število 531 delimo s številom 78, dobimo 6. Vmesni izmed zahtevnejših konceptov matematike za učence. Večina na- ostanek pridobimo z izmeničnim množenjem in odštevanjem s pak, ki se zgodijo pri izvedbi algoritma pisnega deljenja, je posle- 5 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 dica slabega razumevanja tega algoritma (kar se kaže na primer v pogosto vodijo do večjega števila napak, in poudarjajo pred- izpuščanju vrednosti 0 v rezultatu – bodisi kot vmesne ali zadnje nosti algoritmov, kot je nizozemski, ki ne temeljijo na števkah števke števila) ter slabega obvladovanja drugih operacij, ki jih (Hickendorff idr., 2018, 2019). Težave z večmestnim deljenjem ta algoritem zahteva (Sturm, 2016). Kot smo omenili, je števi- niso omejene le na učence, temveč se z njimi pogosto srečujejo lo produktov, ki jih določimo z namenom določitve ustreznega tudi učitelji razrednega pouka. Raziskave iz različnih držav ka- delnega količnika odvisno tudi od vloge ocenjevanja delnega ko- žejo, da številni učitelji pri reševanju zahtevnejših nalog deljenja ličnika. Slednje pri učencih in dijakih velikokrat povzroča teža- izkazujejo pomanjkanje samozavesti in omejen nabor strategij. ve. Raziskave namreč kažejo, da imajo učenci glede na osnovne Kljub temu pa učitelji, katerih izobraževanje je poudarjalo ra- računske operacije največ težav ravno pri ocenjevanju rezultata zumevanje številskih odnosov, izstopajo z večjo prilagodljivostjo pri deljenju (Rubenstein, 1985). in uspešnostjo pri poučevanju deljenja (Fernández Verdú idr., 2014; Kaasila idr., 2010; Ortiz-Laso in Diego-Mantecón, 2020). Kratki ali dolgi način? Raziskave o deljenju v slovenskem šolskem prostoru so redke in Vprašanje, ki ga obravnavamo v tem prispevku – ali je primer- temeljijo na majhnih vzorcih učencev, kar otežuje splošne za- nejši kratki ali dolgi način deljenja, ni novo. John (1930) je ugo- ključke o rabi dolgega in kratkega načina. Jamšek (2011) je na tovila, da učenci, ki uporabljajo dolgi način, pri matematičnih vzorcu petošolcev analizirala oba načina, vendar ni mogla potr- problemih dosegajo večjo natančnost in hitrost. Olander in diti hipoteze, da manj uspešni učenci pogosteje uporabljajo daljši Sharp (1932) sta poročala, da dolgi način omogoča do štirikrat način. Polutnik (2017) je v raziskavi s 17 petošolci ugotovil, da več točnih količnikov, kar potrjuje tudi Grossnickle (1936), ki se večina učencev (14) raje odloča za daljši način deljenja, pri opozarja na ključno vlogo učiteljev pri izbiri metode poučevanja. katerem naredijo polovico manj napak kot pri krajšem. Skvarča Tudi Bathelt idr. (1986) so ugotovili, da kratki način pri nemških (2019) je na podlagi pregleda učnih gradiv za 4. razred ugotovila, četrtošolcih povzroča več napak, zlasti pri zahtevnejših primerih da ta pri obravnavi pisnega deljenja z enomestnim deliteljem pri- deljenja. Schulz in Leuders (2018) pa opozarjata, da poučevanje kazujejo kratki način deljenja, nekatera oba načina, nobeno od krajših algoritmov negativno vpliva na razvoj alternativnih stra- pregledanih gradiv pa ne obravnava zgolj dolgega načina delje- tegij in razumevanje številskih odnosov, kar omejuje prilagodlji- nja. V omenjeno obravnavo so bila zajeta naslednja gradiva: Igra vost učencev pri reševanju nalog. Novejše raziskave predvsem števil in oblik (Centa idr., 2006), Matematika 4 (Hodnik Čadež in sledijo pristopom, ki poudarjajo, da učenci potrebujejo pozna- Uran, 2016), Radovednih 5, Matematika 4 (natančnejši podatki vanje več strategij zato, da se lahko odločajo za najučinkovitejšo. niso navedeni), Svet matematičnih čudes 4 (Cotič idr., 2007) ter Če npr. delimo 12012 z 12 je strategija dekompozicije 12012 : 12 Igraje v matematiko 4 (Hernja in Vesenjak, 2002). Pri deljenju = (12000 + 12) : 12 = 1000 + 1 učinkovitejša kot tradicionalni z dvomestnim deliteljem sta v dveh pregledanih gradivih za 5. algoritem pisnega deljenja, kar pa ne velja za 5316 : 68. A tudi razred (Kopasić, 2022; Bajramović idr., 2014) predstavljena oba novejše raziskave kažejo, da algoritmi, ki temeljijo na števkah, načina deljenja. Zaključek Ugotovitve raziskav kažejo, da je dolgi način deljenja primernejši za poučevanje kot standardna metoda, saj zagotavlja večjo natančnost in prilagodljivost, medtem ko kratki način deljenja lahko služi kot učinkovita bližnjica za obetavnejše učence ali enostavnejše primere. Menimo, da primarno poučevanje dolgega načina deljenja v primerjavi s kratkim načinom tudi dandanes nudi nekaj prednosti, izpostavljamo tri. Prva je večja natančnost. Ta metoda deljenja sistematično razbije proces na manjše korake, ki omogočajo boljši fokus in temeljito preverjanje morebitnih napak. To je še posebej pomembno pri deljenju z večmestnimi števili, kjer je kratko deljenje pogosto napornejše zaradi manjšega števila korakov in slabše preglednosti. Druga pomembna prednost dolgega načina je njegova izobraževalna vrednost. Ta metoda učence bolje pripravi na razumevanje kompleksnejših matematičnih konceptov, kot so deljenje polinomov, deljenje v drugih številskih sestavih in druge algebraične razlage deljenja. Dolgi način zahteva in spodbuja globlje razumevanje aritmetičnih princi- pov, saj morajo učenci razumeti pomen vsakega koraka v procesu, kar povečuje njihovo matematično razu- mevanje in logično razmišljanje. Tretja prednost je visoka vizualna preglednost. Vsi koraki postopka so jasno zapisani, kar učencem omogoča, da lažje sledijo celotnemu procesu deljenja in razumejo, kako posamezne števke vplivajo na končni rezultat. Pomembno je poudariti, da je ključnega pomena, da učenci spoznajo več načinov/algoritmov deljenja, saj jim to omogoča prilagodljivo in učinkovito reševanje nalog. S tem pridobijo sposobnost izbire metode, ki je zanje in za dani račun najprimernejša, kar prispeva k boljšemu razumevanju in uspešnosti pri matematičnih izzivih. Literatura Al Fedaghi, S. in Alkhaldi, A. A. (2019). Thinking for computational thinking. International Journal of Advanced Computer Science and Applications (IJACSA), 10(2). https://doi.org/10.14569/IJACSA.2019.0100277 Baaquie, B. E. in Kwek, LC. (2023). Classical Gates and Algorithms. V Quantum Computers. Theory and Algorithms (str. 37–69). Springer, Singapore. https://doi.org/10.1007/978-981-19-7517-2_3 6 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Bajramović, N., Repnik, A., Kociper, M., Cigula, S., Slana Mesarič, M., Antolin Drešar, D., Ferk, E. in Visočnik, D. (2014). Matematika 5: i-učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole. Zavod Republike Slovenije za šolstvo. http://eucbeniki.sio.si/mat5/index.html Bathelt, I. Post, S. in Padberg, F. (1986). Über typische Schülerfehler bei der schriftlichen Division natürlicher Zahlen. Der Mathemati- kunterricht, 32(3), 29–44. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775208 Centa, N., Frigelj, J., Kožuh V. in Rakun Beber, M. (2006). Igra števil in oblik 4. Učbenik za matematiko v 4. razredu osnovne šole (2. izdaja). Založba Rokus Klett d. o. o. Cotič, M., Felda, D., Bremec, B., Pisk, M. in Benčina Smotlak, N. (2007). Svet matematičnih čudes 4, Kako poučevati matematiko v 4. razredu devetletne osnovne šole. Priročnik. DZS, d. d. Fagginger Auer, M. F., Hickendorff, M. in van Putten C. M. (2018) Training Can Increase Students’ Choices for Written Solution Strategies and Performance in Solving Multi-Digit Division Problems. Frontiers in Psychology, 9, 1644. https://doi.org/10.3389/ fpsyg.2018.01644 Fernández Verdú, C., Callejo de la Vega, M.L.in Torres, M. M. (2014) Conocimiento de los estudiantes para maestro cuando interpretan re- spuestas de estudiantes de primaria a problemas de división-medida. [Pre-service teachers’ knowledge when they interpret primary school students’ answers to quotitive division problems]. Enseñanza de las ciencias, 32(3), 407–424. http://dx.doi.org/10.5565/rev/ensciencias Fuson, K. C. (2003). Developing mathematical power in whole number operations. V J. Kilpatrick, W. G. Martin in D. Schifter (Ur.), A re- search companion to principles and standards for school mathematics (str. 68–94). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Grossnickle, F. E. (1936). The Incidence of Error in Division with a One Figure Divisor when Short and Long Forms of Division are Used. The Journal of Educational Research, 29(7), 509–511. Hernja, S. in Vesenjak, P. (2002). Igraje v matematiko 4. Učbenik za pouk matematike v 4. razredu devetletne osnovne šole. Pikal, d. o. o., založništvo. Hickendorff M, Torbeyns J, Verschaffel L. (2018). Grade-related differences in strategy use in multidigit division in two instructional settings. British Journal of Developmental Psychology, 36(2),169–187. https://doi.org/10.1111/bjdp Hickendorff, M.; Torbeyns, J.; Verschaffel, L. (2019). Multi-digit addition, subtraction, multiplication, and division strategies. V Fritz, A., Haase, V.G., Räsänen, P., (Ur.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties: From the Laboratory to the Classroom (str. 543–560). Springer: Cham, Switzerland. Hodnik Čadež, T. in Uran, T. (2016). Matematika 4. 3.del. Matematika za četrti razred osnovne šole. Ljubljana: Modrijan založba, d. o. o. Jamšek, S. (2011). Strategije reševanja nalog pisnega deljenja v 5. razredu osnovne šole. Diplomsko delo. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. John, L. (1930). The Effect of Using the Long-Division Form in Teaching Division by One-Digit Numbers, The Elementary School Jour- nal, 30(9), 675–692. https://www.jstor.org/stable/995877 Kaasila, R., Pehkonen, E. in Hellinen, A. (2010) Finnish pre-service teachers’ and upper secondary students’ understanding of division and reasoning strategies used. Educational Studies in Mathematics, 73, 247–261. https://doi.org/10.1007/s10649-009-9213-1 Kopasić, M. (2022). Radovednih pet, Matematika 5, 3. del, samostojni delovni zvezek. Založba Rokus Klett, d. o. o. Kovalchuk, M., Voievoda, A., Prozor. E. (2020). Algorithmic Thinking as the Meaningful Component of Cognitive Competencies of the Future Engineer. Universal Journal of Educational Research, 8(11B), 6248–6255. https://doi.org/10.13189/ujer.2020.082263 Li, Y., Schoenfeld, A. H., diSessa, A. A., Graesser, A. C., Benson, L. C., English, L. D., in Duschl, R. A. (2020). Computational thinking is more about thinking than computing. Journal for STEM Education Research, 3, 1–18. https://doi.org/10.1007/s41979-020-00030-2 Lehmann, T.H. (2024). How current perspectives on algorithmic thinking can be applied to students’ engagement in algorithmatizing tasks. Mathematics educational Research Journal, 36, 609–643. https://doi.org/10.1007/s13394-023-00462-0 Olander, H. T., Preston Sharp, E. (1932). Long division versus short division. The Journal of Educational Research, 26(1), 6–11. https:// www.jstor.org/stable/27525562 Ortiz-Laso, Z., in Diego-Mantecón, J. M. (2020). Strategies of Pre-Service Early Childhood Teachers for Solving Multi-Digit Division Problems. Sustainability, 12(23), 10217. https://doi.org/10.3390/su122310217 Polutnik, T. (2017). Pisno deljenje z dvomestnim deliteljem. Magistrsko delo. Pedagoška fakulteta, Univerza v Mariboru. Rubenstein, R. N. (1985). Computational estimation and related mathematical skills. Journal for Research in Mathematics Educa- tion,16(2), 106–119. Sadykova, O. V., Il’bahtin, G. G. (2020). The Definition of Algorithmic Thinking. V Proceedings of the International Session on Factors of Regional Extensive Development (FRED 2019), (str. 419–422). https://doi.org/10.2991/fred-19.2020.85 Schulz, A. in Leuders, T. (2018). Learning trajectories towards strategy proficiency in multi-digit division - a latent transition analysis of strategy and error profiles. Learning and. Individual Differences, 66, 54–69. https://doi.org/10.1016/j.lindif.2018.04.014 Shute, V. J., Sun, C., in Asbell-Clarke, J. (2017). Demystifying computational thinking. Educational Research Review, 22, 142–158. https://doi.org/10.1016/j.edurev.2017.09.003 Skvarča, T. (2019). Neformalno znanje o pisnem deljenju pri učencih tretjega in četrtega razreda osnovne šole. Magistrsko delo. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Stephens, M., in Kadijevich, D. M. (2020). Computational/algorithmic thinking. V Lerman, S. (Ur.) Encyclopedia of mathematics educa- tion (str. 117–123). Springer, Cham. https://doi.org/110.1007/978-3-030-15789-0_100044 Sturm, S. (2016). The Great Divide: A Study That Examines the Understanding of Long Division Across Multiple Generations (Doktorska disertacija), State University of New York at Fredonia. https://soar.suny.edu/handle/20.500.12648/258 Zhang, X. D. (2020). A matrix algebra approach to artificial intelligence. Springer. https://doi.org/10.1007/978-981-15-2770-8 7 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Integracija umetne inteligence v poučevanje: Kako učinkovito oblikovati pozive? Integrating AI in Education: Effective Prompting dr. Barbara Arcet Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Pedagoška fakulteta Univerze v Mariboru Izvleček Članek obravnava uporabo generativne umetne inteligence (genUI) v izobraževanju, s posebnim poudarkom na optimizaciji pozivov, ki jih jezikovni modeli umetne inteligence uporabljajo za generiranje vsebine. Namen prispevka je prikazati učinkovitost inženiringa pozivov pri pripravi učnih vsebin ter rezultate delavnice za izobraževanje učiteljev na tem področju. Na delavnici za učitelje matematike in naravoslovja smo predstavili osem ključnih priporočil za optimizacijo pozivov. Udeleženci so na začetku in koncu delavnice zapisali pozive za pripravo učne priprave, kar je omogočilo primerjavo začetnih in končnih pozivov. Rezultati so pokazali, da so udeleženci po delavnici bistveno izboljšali natančnost in specifičnost svojih pozivov ter bolje opredelili cilj- no občinstvo. Največji napredek je bil opažen pri specifičnosti, medtem ko je bilo manj izboljšav pri uporabi negativnih pozivov in poizvedovanju, katere podatke model potrebuje za kakovosten odgovor, kar nakazuje potrebo po nadaljnjem usposabljanju. Glavne ugotovitve članka poudarjajo pomen ustreznega izobraževanja učiteljev za učinkovito integracijo umetne inteligence (UI) v izobraževalni proces. S pravilnim pristopom k pisanju pozivov lahko učitelji bistveno izboljšajo kakovost učnih priprav in učinkoviteje uporabljajo UI v učil- nicah, kar pripomore k boljši pripravi učencev na prihodnost, kjer bo UI igrala vse večjo vlogo. Ključne besede: umetna inteligenca, generativna umetna inteligenca, poziv, izobraževanje Abstract This paper explores Generative Artificial Intelligence (GenAI) in education, focusing on optimising prompts used by AI language models to generate content. The paper aims to demonstrate the effectiveness of prompt engineering in designing learning content and to present the outcomes of a teacher training workshop on this subject. A mathematics and science teacher training workshop proposed eight critical recommendations for improving prompts. The participants jotted down the prompts for their lesson preparation at the beginning and end of the session, allowing them to compare to the prompts before and after. The results demonstrated that the workshop considerably enhanced the accuracy and specificity of the prompts and the target audience. The most significant improvement was observed in specificity. However, there was less improvement in using negative prompts and determining what information the model needs for a qualitative response, indicating the need for further training. The key findings highlight the importance of proper teacher training on effective AI integration in the educational process. With the appropriate approach to writing prompts, teachers can considerably improve the quality of their classroom preparation and use AI more effectively, helping to better prepare students for a future in which AI will play an increasingly crucial role. Keywords: artificial intelligence, generative artificial intelligence, prompt, education O umetni inteligenci osnovnejših med njimi je: Kaj je umetna dve lastnosti, ki sta potrebni za sisteme, inteligenca (UI)? Definicija je izmuzljiva da jih lahko označimo kot umetno inte- V zadnjih letih, še posebej intenzivno pa in pogosto povzroča težave tudi strokov- ligentne. Ti lastnosti sta avtonomnost in od novembra 2022, ko je podjetje OpenAI njakom, ki raziskujejo to področje. Da bi prilagodljivost. Avtonomnost je definira- se izognili pomanjkljivim formulacijam, predstavilo ChatGPT, smo priča izjemne- ki so lahko hkrati preobsežne in neobvla- na kot zmožnost samostojnega izvajanja mu razmahu prostodostopnih modelov dljive, bomo sledili zgledu spletne strani nalog v kompleksnih okoljih brez stalne- umetne inteligence, kar je spodbudilo Elements of AI (Elements of AI, 2024), ga nadzora uporabnika, prilagodljivost njeno uporabo, porajanje dilem, strahov, kjer je na voljo brezplačen spletni tečaj o pa kot sposobnost izboljšanja delovanja z navdušenja in številnih vprašanj. Eno naj- osnovah UI v slovenščini, in izpostavili učenjem iz izkušenj. 8 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Mnogo pripomočkov, ki jih uporabljamo v vsakodnevnem življenju, deluje s pomo- čjo UI. Primeri vključujejo prepoznavo obraza za odklepanje pametnega telefo- na, navigacijo in izbiro optimalne poti do cilja ter aplikacije za učenje tujega jezika. Socialna omrežja in ponudniki pretočnih vsebin, ki nam predlagajo naslednje izbi- re za branje, gledanje ali poslušanje, prav tako uporabljajo različne sisteme UI. UI zaradi svoje integracije v naša življenja prinaša številne koristi in udobje, vendar tudi tveganja in etične dileme. Sistemi UI Slika 1: Naglavni trakovi iz kitajskih šol ter QR-koda do posnetka How China is Using Artificial se učijo na podlagi ogromnih količin po- Intelligence in Classrooms | WSJ https://youtu.be/JMLsHI8aV0g?si=niwCt65XMTDwvA6u datkov, katerih viri so pogosto vprašljivi. Na primer, navigacijski sistem za izbi- biometrična kategorizacija na podla- na ponudnike sistemov UI, ne na nas kot ro najhitrejše poti z ene strani mesta na gi občutljivih podatkov, biometrična uporabnike. drugo potrebuje podatke o lokaciji upo- identifikacija (razen v primerih iskanja rabnikov, ki se gibljejo po mestu. Kako se oseb ali preprečevanja terorističnih počutimo ob misli, da obstaja baza podat- napadov), neciljano zbiranje slik obra- Umetna inteligenca kov, ki natančno ve, kje smo bili v vsakem zov, usmerjanje vedenja in izkoriščanje ranljivosti. v izobraževanju trenutku, ko je bil naš mobilni telefon vklopljen in smo ga imeli pri sebi? Kaj vse 2. Visoko tveganje: Sistemi UI, za kate- Ob vsesplošnem razmahu novih tehnolo- morajo vedeti o nas virtualni pomočniki, re bo potrebno dovoljenje sodnega ali gij, ki so se na različnih področjih trdno da nam olajšajo vsakodnevne opravke? Je drugega neodvisnega organa. Sem so- vpele v naša življenja, je očitno, da bomo naše simpatiziranje z najljubšo politično dijo sistemi, ki se uporabljajo v izobra- tudi v izobraževanju morali stopiti v ko- stranko res naša svobodna izbira, če pa ževanju ali poklicnem usposabljanju, rak z njimi. Digitalna preobrazba, ki jo nas algoritmi UI na socialnih omrežjih saj lahko vplivajo na dostop do izobra- prinaša napredek na področju UI, zahte- zapirajo v mehurčke, ki nam ponujajo le ževanja in karierne poti posameznikov. va prilagoditev izobraževalnih sistemov ozek spekter novic in komentarjev? Kot To vključuje točkovanje izpitov in sis- za pripravo učencev na prihodnost. Dig- že omenjeno, je UI težko definirati, in če teme, ki se uporabljajo za zaposlovanje, Comp2.2: Okvir digitalnih kompetenc je nek pojem težko opredeliti, je še težje upravljanje delavcev ter dostop do sa- za državljane (Vourikari idr., 2022), ki oblikovati zakonodajo, ki bi ga urejala. mozaposlitve (npr. programska opre- podaja digitalne smernice za razvoj na ma za razvrščanje življenjepisov pri ravni EU, v priročniku iz leta 2022 vklju- zaposlovanju). Pred dajanjem na trg čuje kompetence, ki zajemajo tudi znanja, Zakonodaja o umetni bodo zanje veljale stroge obveznosti, spretnosti in stališča s področja UI na inteligenci kot so visoka kakovost podatkovnih vseh petih področjih: informacijska in naborov za vnos v sistem, zmanjševa- podatkovna pismenost; komuniciranje in Evropska unija je kot prva na svetu le- nje tveganj in diskriminatornih rezul- sodelovanje; ustvarjanje digitalnih vsebin; tos marca sprejela celovit pravni okvir o tatov ter beleženje dejavnosti za zago- varnost; reševanje problemov. UI, imenovan Akt o umetni inteligenci tovitev sledljivosti rezultatov. (Evropski parlament, 2024). Cilj tega re- V skladu s temi smernicami smo v okviru 3. Omejeno tveganje: Nanaša se na ne- gulativnega okvira je zagotoviti jasne zah- projekta SETCOM, podprtega z Norve- varnosti, povezane s pomanjkanjem teve in obveznosti glede specifičnih upo- škim finančnim mehanizmom, sodelovali preglednosti pri uporabi UI. Za to vr- rab UI, pri čemer opredeljuje štiri ravni tudi partnerji z Univerze v Mariboru, in sto UI bodo predpisana opozorila, ki tveganja za sisteme UI: sicer Pedagoška fakulteta, Fakulteta za bodo uporabnike informirala, da se, naravoslovje in matematiko ter Filozofska 1. Nesprejemljivo tveganje: Prepoveda- na primer, pogovarjajo s pogovornimi fakulteta. Projekt SETCOM je poudaril ni so sistemi UI, ki ogrožajo varnost, agenti in ne z dejansko osebo. potrebo po integraciji UI v izobraževanje, preživetje in pravice ljudi. Primeri 4. Minimalno tveganje ali brez tvega- kar smo izvedli v sinergiji s socialno-ču- vključujejo sklepanje o čustvenem sta- nja: Večina sistemov UI, ki se trenutno stvenim učenjem. To integracijo smo raz- nju na delovnem mestu ali v izobraže- uporabljajo, spada v to kategorijo. Sem delili na tri sklope: O, Z in ZA. Prvi sklop valnih ustanovah (razen za zdravstve- sodijo navigacijski sistemi, videoigre, (O) se nanaša na izobraževanje o UI, kjer ne ali varnostne namene). Na primer filtri za neželeno e-pošto in podobno. učenci spoznavajo temeljne koncepte, situacija, prikazana v znanem videu primere uporabe in širše implikacije UI. iz kitajske šole, kjer učenci nosijo na- Ta pravni okvir je namenjen zagotavljanju Drugi sklop (Z) obravnava izobraževanje glavne trakove za merjenje pozornosti varnosti in zaščite pravic posameznikov z UI, kjer učitelji uporabljajo UI za olajša- (Slika 1), v EU ne bo dovoljena. Prepo- ob hkratnem spodbujanju inovacij in ra- nje administrativnih nalog, kot so pisanje vedano bo tudi družbeno točkovanje, zvoja na področju UI. Pravila se nanašajo poročil in priprava na pouk, ter neposre- 9 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 dno v razredu, na primer pri preverjanju ocenjenih verjetnosti napove naslednje lahko vsakdo izboljša svojo spretnost po- rešitev nalog z mobilnimi aplikacijami. besede ali fraze v odgovoru. Ravno ta na- govora z UI. Tretji sklop (ZA) pa poudarja odgovor- ključna napoved vpliva na to, da pravilo- nost šol, da učence pripravijo na življenje ma dobimo različne odgovore, če istemu v svetu, kjer je UI vseprisotna, kar vklju- modelu večkrat postavimo isto vprašanje. Priporočila za pogovor čuje soočanje z etičnimi dilemami in zah- Te napovedi se pretvorijo v berljivo bese- tevo po informiranih odločitvah. z genUI dilo, ki se nato filtrira skozi različne »va- rovalke«, da se odstrani morebitna žaljiva V longitudinalni raziskavi (Lipovec idr., vsebina. Odgovor se šteje za dokončan, V nadaljevanju bomo predstavili nekaj 2024), izvedeni v okviru projekta, je bilo ko doseže največjo dovoljeno dolžino priporočil, ki vam bodo pomagala pri do- ugotovljeno, da upoštevanje socialnih in čustvenih aspektov pomembno prispe- žetonov ali izpolni vnaprej določene kri- seganju optimalnih rezultatov v pogovoru terije za ustavitev. Na koncu se odgovor z genUI. Priporočila so plod raziskovanja va k učinkovitosti poučevanja digitalnih spretnosti. Ta raziskava poudarja, da je dodatno obdela za izboljšanje berljivosti in preizkušanja različnih jezikovnih mo- z uporabo oblikovanja, ločil in drugih iz- delov, ki smo jih v času projekta SETCOM celostni pristop k poučevanju, ki vključu- je tako tehnološke kot socialno-čustvene boljšav, kot so začetne besede »Seveda«, izvedli avtorica in sodelavci na projektu. »Razumem« ali »Opravičujem se« (UNE- Vsi podani primeri so bili narejeni junija dimenzije, ključnega pomena za pripravo učencev na prihodnje izzive. SCO, 2023). 2024 z orodjem ChatGPT 3.5 (OpenAI, 2024). V nadaljevanju članka se bomo osredoto- Pomembno je poudariti, da vsebina, ki 1. Postavite jezikovni model v vlogo čili na vidik izobraževanja z UI, in sicer jo generira genUI, ni vedno resnična. Če Postavljanje jezikovnega modela v vlo- predvsem na tiste sisteme UI, ki nam s nismo strokovnjaki na določenem po- go pomeni, da mu dodelite specifično tvorbo in preoblikovanjem vsebine lahko dročju, je včasih težko prepoznati, koliko identiteto ali perspektivo, s katere naj ob smiselni uporabi prihranijo veliko časa resnice je v generiranih besedilih. Zato generira odgovore. To lahko vključuje in poenostavijo delo. je priporočljivo, da nekatere velike jezi- določitev strokovnega področja, polo- kovne modele uporabljamo predvsem za žaja ali konteksta, v katerem naj model nabiranje idej ali oblikovanje besedil (npr. deluje. Takšen pristop omogoča, da Generativna umetna ChatGPT 3.5), za iskanje zanesljivih in- model proizvaja bolj ciljno usmerjene formacij pa raje uporabimo tiste, ki nave- inteligenca in relevantne odgovore, saj se osredo- dejo tudi vir, ki ga lahko preverimo (npr. toča na določeno vlogo, kar izboljšuje Bing, Perplexity). kakovost in natančnost generiranega Generativna umetna inteligenca (genUI) je tehnologija umetne inteligence, ki Omenili smo že besedo »poziv«, ki je slo- besedila. S tem se povečuje uporabnost venska ustreznica pogosteje uporabljane modela za specifične naloge, kot so omogoča ustvarjanje nove vsebine v raz- ličnih oblikah, kot so besedila, slike, glas- angleške besede »prompt«. Poziv se na- tehnične razlage, svetovanje ali ustvar- naša na vhodno besedilo, ki ga podamo janje vsebine v določenem slogu. Na ba, videoposnetki, programska koda in drugo. V tem članku se bomo osredotoči- jezikovnemu modelu, in je lahko v obliki Sliki 2 vidimo primer, kako se je odgo- vor modela izboljšal po tem, ko smo ga li na jezikovne sisteme, namenjene delu z vprašanja, zahteve, naloge, primera itd. postavili v vlogo. besedilom, kjer imajo ključno vlogo veliki To je torej naš del pogovora z genUI. Ker jezikovni modeli (Large Language Mo- je kakovost odgovora, ki ga prejmemo, v 2. Podajte »negativni poziv« dels – LLM), ki omogočajo razumevanje, veliki meri odvisna od našega poziva, je Podajanje »negativnega poziva« po- obdelavo in generiranje besedil v narav- izjemno pomembno, kako ga sestavimo. meni, da v pozivu navedete besede ali nem jeziku. Procesi in tehnike oblikovanja pozivov se teme, ki naj se jim jezikovni model iz- imenujejo inženiring pozivov in pisanje ogne. S tem pristopom lahko usmerite Veliki jezikovni modeli, kot je GPT (Ge- kvalitetnih pozivov naj bi postal dobro generacijo besedila stran od neželenih nerative Pretrained Transformer), ki je plačan poklic prihodnosti (Popli, 2023). vsebin ali kontekstov, kar pomaga pri osnova za ChatGPT, delujejo tako, da Z nekaj nasveti, vaje in raziskovanja pa izboljšanju relevantnosti in uporabno- uporabnikovo vhodno besedilo razdelijo na manjše enote, imenovane žetoni. Ti žetoni predstavljajo besede, zloge in po- samezne znake, uporabljene pri pisanju besedila. GPT nato uporablja statistične vzorce za napovedovanje najverjetnejših besed ali fraz, ki bi lahko tvorile smiseln odgovor. Model prepoznava vzorce, ki se pogosto pojavljajo skupaj v predhodno iz- delani podatkovni zbirki, ki je sestavljena iz ogromne baze besedil s spleta in drugih virov. Postopek delovanja GPT se začne z na- ključno napovedjo, nato pa s pomočjo Slika 2: Primer, kako jezikovnemu modelu dodeliti vlogo. 10 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO primerih, ko se želite izogniti klasič- nim odgovorom in iščete bolj inova- tivne ideje. Na Sliki 3 je primer, kako smo se z dodatnim stavkom v pozivu izognili najbolj tipičnim primerom po- nazoritve ulomkov. 3. Bodite specifični Jasno in podrobno navedite, kaj toč- no želite, da jezikovni model generira. Vključite torej zahtevo o posebnih in- Slika 3: Primer, kako jezikovnemu modelu povedati, česa ne želimo v odgovoru. formacijah, strukturi, tonu ali slogu, ki naj jih model upošteva. S tem pristo- sti odgovorov. Negativni pozivi so še mernih tem v odgovorih, s čimer po- pom zmanjšate dvoumnost in poveča- posebej uporabni, ko želite preprečiti večate varnost in zanesljivost komuni- te verjetnost, da bo model proizvedel pojav določenih občutljivih ali nepri- kacije z jezikovnim modelom, ali pa v odgovore, ki natančno ustrezajo vašim potrebam. Natančnost in specifičnost pomagata modelu bolje razumeti vaše zahteve, kar vodi do bolj koherentnih, relevantnih in kakovostnih rezultatov. Na Sliki 4 vidimo, da je jezikovni mo- del glede na preskopo navodilo pre- vedel besedilo v hrvaščino, kar pa ne pomeni, da ne zna prevajati v sloven- ščino. Ko smo natančneje povedali, v kateri jezik želimo prevod, je to tudi upošteval. 4. Povejte, kdo je ciljna publika Povedati, kdo je ciljna publika, pome- ni, da jezikovnemu modelu jasno na- vedete, komu je vsebina namenjena. Tako lahko vključimo opis demograf- skih značilnosti, interesov, strokovne ravni ali specifičnih potreb bralcev. Z določitvijo ciljne publike lahko model prilagodi ton, jezik in kompleksnost odgovorov, da bolje ustrezajo pričako- Slika 4: Natančneje ko bomo napisali navodilo, boljše rezultate bomo dobili. vanjem in zahtevam občinstva. Ta pri- stop pomaga pri ustvarjanju bolj rele- vantne in učinkovite komunikacije, saj se vsebina natančno ujema s potreba- mi in zanimanji predvidenih bralcev, kar povečuje uporabnost in vrednost generiranega besedila. Na Sliki 5 je primer, kako je jezikovni model svojo razlago kompleksnega pojma ponesel na raven desetletnega otroka, ko smo mu pripisali ciljno publiko. 5. Povejte, v kakšnem slogu pričakujete izhodiščno besedilo Povedati, v kakšnem slogu pričaku- jete izhodiščno besedilo, pomeni, da jezikovnemu modelu jasno navedete želeni slog pisanja. To lahko vključuje določitev, ali naj bo besedilo formal- no ali neformalno, tehnično ali po- ljudnoznanstveno, objektivno ali su- bjektivno ... Z določitvijo sloga lahko model prilagodi svoje odgovore tako, Slika 5: Prilagoditev odgovora starostni skupini ciljne publike. 11 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 vzorce v bazi besedil, na kateri so se učili. Nimajo predstave o besedah in konceptih, o katerih pišejo. Vendar se kljub temu izkaže, da lahko dobimo boljše rezultate na zastavljene mate- matične naloge, če v poziv dodamo zahtevo, naj se reševanja loti korak za korakom. Na Sliki 7 je podan primer, ko smo s tem vprašanjem dosegli, da je jezikovni model pravilno rešil ma- tematično nalogo vključno z razlago vsakega koraka. 8. Vprašajte ga, katere podatke potrebuje Jezikovni modeli sami po sebi niso na- ravnani tako, da bi se zavedali, da jim kakšen podatek manjka. Kot je v radij- skem intervjuju (Val 202, 2023) pove- dal profesor Thomas Dietterich, zaslu- žni profesor na Univerzi v Oregonu in pionir strojnega učenja: »Internet nam je dal možnost, da postavimo vpraša- nje in bolj ali manj dobimo odgovor na skoraj vse. Vendar smo morali klikniti na spletno stran z odgovorom in ga tam poiskati. ChatGPT in podobni modeli pa so že prebrali celoten splet in na nek način ponotranjili vsebino. Težava je v tem, da tega ne počnejo prav, in če mu postavimo vprašanje, na katero ne po- zna odgovora, si ga bo izmislil.« Zato moramo biti mi, uporabniki, tisti, ki se zavedamo njihovih pomanjkljivosti, in jih spodbuditi, naj povedo, kakšne in- formacije potrebujejo od nas, da bodo lahko dobro opravili nalogo, ki smo Slika 6: Jezikovni model upošteva zaželeni slog izhodnega besedila. jim jo dodelili. Na Sliki 8 lahko vidimo, kako smo spodbudili jezikovni model, da ustrezajo specifičnemu tonu in na- dolgih pozivov večkrat upoštevajo in- da nas vpraša o podatkih, ki jih mora činu izražanja, ki je primeren za vašo formacije z začetka ali konca poziva, vedeti za čim boljši odgovor. nalogo. Ta pristop izboljšuje skladnost preskočijo pa tiste s sredine besedila. in koherenco generirane vsebine ter Tako je bolje, če dolgo in kompleksno zagotavlja, da besedilo ustreza vašim vprašanje razdelimo na več manjših, Izvedba delavnice in analiza pričakovanjem glede stila in pristopa, lahko pa kar sam jezikovni model pro- izboljšav pozivov kar povečuje berljivost in učinkovitost simo, naj nam skrajša poziv, ki smo ga komunikacije. Na Sliki 6 lahko opazu- napisali. Optimalna dolžina poziva za jemo, kako je jezikovni model razlago GPT 3.5 naj bi bila tako med 1000 in Opisana priporočila smo predstavili v matematičnega pojma podal v obliki 2000 žetoni, kar je za besedila v angle- sklopu konference na delavnici za učitelje zgodbe. škem jeziku nekje med 750 in 3000 be- matematike in naravoslovja na osnovnih sedami, v slovenskem jeziku pa nekje in srednjih šolah. Na delavnici smo iz- 6. Pišite kratko in jedrnato med 800 in 2600 besedami. vedli preizkus, da bi ugotovili, koliko so Kakor ljudje imajo tudi jezikovni mo- udeleženci upoštevali ta priporočila po deli omejeno sposobnost pozornosti. 7. Vključite navodilo »korak za delavnici. Udeleženci so na začetku in na Čeprav je dobro, da smo v pogovorih z korakom« koncu delavnice prejeli enako nalogo z njimi natančni, moramo po drugi stra- Jezikovne modele moramo razume- navodilom: »Recimo, da želite s pomočjo ni paziti, da ne zaidemo v predolga be- ti kot to, kar so – jezikovni modeli. jezikovnega modela umetne inteligen- sedila, saj vsem delom ne bo mogel po- Od njih pričakovati preveč logičnega ce pripraviti učno pripravo za naslednjo svetiti enake pozornosti. Raziskave so razmišljanja bi bilo napačno, saj ko- učno uro. Zapišite poziv, s katerim bi mo- pokazale (Liu idr., 2024), da v primeru nec koncev delujejo glede na odkrite delu opisali njegovo nalogo.« 12 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Poziv je na začetku in koncu delavni- ce zapisalo 17 udeležencev, kar nam je omogočilo primerjavo zapisov in analizo izboljšav. Ugotavljali smo, kako so se zapi- sani pozivi izboljšali glede na upoštevanje osmih predstavljenih priporočil. Kriterij za ocenjevanje je bila vključenost nasle- dnjih točk: postavljanje jezikovnega mo- dela v vlogo, podajanje negativnega pozi- va, natančnost in specifičnost, določanje ciljne publike, opredelitev sloga izhodišč- nega besedila, jedrnatost, vključitev navo- dil korak za korakom ter poizvedovanje, katere podatke model potrebuje za dober odgovor. Rezultati so prikazani v Tabeli 1, kjer je zabeleženo, koliko udeležencev je izbolj- šalo svoje pozive v primerjavi s prvotnim zapisom glede na posamezno priporočilo. Tabela 1: Izboljšanje pozivov po končani delavnici glede na pozive, napisane pred začetkom delavnice. Priporočilo Število udeležencev, ki so upoštevali priporočilo 1. Postavite jezikovni model v vlogo 2 Slika 7: Z zahtevo razlage korak za korakom povečamo možnosti pravilnega odgovora. 2. Podajte »negativni poziv« 1 3. Bodite specifični 16 4. Povejte, kdo je ciljna publika 7 5. Povejte, v kakšnem slogu pričakujete 1 besedilo 6. Pišite kratko in jedrnato 2 7. Vključite navodilo »korak za korakom« 2 8. Vprašajte model, katere podatke 0 potrebuje Iz zbranih podatkov je razvidno, da je največ udeležencev izboljšalo svoje pozive glede specifičnosti (16 udeležencev), kar kaže na to, da so se po delavnici bolj zave- dali pomena natančnosti in podrobnosti pri oblikovanju pozivov. Sledilo je izbolj- Slika 8: Uporabnik mora sam spodbuditi jezikovni model, da pove, katere podatke potrebuje za šanje pri določanju ciljne publike (7 ude- optimalen odgovor. ležencev), kar kaže na povečan poudarek 13 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 na prilagajanju vsebine specifičnim potre- Posebej izstopa dejstvo, da nihče od ude- ki se osredotočajo na specifične tehnike in bam in interesom bralcev. Manj izboljšav ležencev ni vključil poizvedovanja, katere pristope k inženiringu pozivov, lahko bi- je bilo opaženih pri drugih nasvetih, kot podatke model potrebuje za dober odgo- stveno prispevajo k izboljšanju kakovosti sta postavljanje jezikovnega modela v vlo- vor, kar nakazuje, da je to področje, kjer je interakcije z jezikovnimi modeli UI. go (2 udeleženca) in pisanje kratkih ter je- potrebna dodatna izobraževalna podpo- drnatih pozivov (2 udeleženca). ra. Skupni rezultati kažejo, da delavnice, Zaključek Razmah novih tehnologij, še posebej UI, v vseh vidikih našega življenja, vključno z izobraževanjem, zahteva, da se učitelji prilagodijo in pridobijo nova znanja ter spretnosti. Generativna UI ponuja široko paleto orodij, ki lahko bistveno izboljšajo in poenostavijo pripravo učnih vsebin. Veliki jezikovni modeli, kot je GPT, omogoča- jo učinkovito ustvarjanje naravnega jezika, kar je lahko izjemno koristno za učitelje pri pripravi učnih priprav. V tem kontekstu je ključnega pomena razumeti in uporabiti tehnike inženiringa pozivov, saj kakovost generi- ranih odgovorov močno vpliva na učni proces. Na delavnici v sklopu konference za učitelje matematike in na- ravoslovja smo predstavili osem nasvetov za optimizacijo pozivov, ki so se izkazali za učinkovite pri izboljšanju pozivov udeležencev. Rezultati preizkusa so pokazali, da so udeleženci po delavnici bolj natančno in specifično oblikovali svoje pozive ter bolje opredelili ciljno občinstvo. Kljub temu pa ostajajo izzivi, predvsem pri uporabi negativnih pozivov in poizvedovanju, katere podatke model potrebuje za kakovosten odgovor. To nakazuje potrebo po nadaljnjem izobraževanju in usposabljanju učiteljev na tem področju. Integracija UI v izobraževanje prinaša številne priložnosti, vendar zahteva tudi previdnost in dobro poznava- nje orodij. Z uporabo učinkovitih strategij in pristopov lahko učitelji matematike in naravoslovja izkoristijo potencial UI za izboljšanje učnega procesa, hkrati pa učence pripravijo na življenje v svetu, kjer bo UI igrala vse večjo vlogo. Naša raziskava in izkušnje z delavnice kažejo, da je mogoče z ustreznim pristopom doseči znatne izboljšave v kakovosti interakcije z jezikovnimi modeli, kar bo v prihodnosti ključno za uspešno in učinkovito poučevanje. Literatura Elements of AI. (2024). Pridobljeno 20. 6. 2024 iz https://www.elementsofai.si/ Evropski parlament. (2024). Artificial Intelligence Act [Spletna stran]. Pridobljeno 20. 6. 2024 iz https://artificialintelligenceact.eu/ Lipovec, A., Gartner, S., Krašna, M. (2024). AI literacy meets socio-emotional learning: assessing transformative educational practices in Slovenia. V: Gómez Chova, L. (ur.), González Martínez, C. (ur.), Lees, J. (ur.). INTED 2024: Conference proceedings: 18th annual in- ternational technology, education and development conference: 4.–6. marec 2024, Valencia (Španija). Valencia: IATED Academy, 2024. Str. 4295–4299. Doi: 10.21125/inted.2024.1111 Liu, N., Lin, K., Hewitt, J., Paranjape, A., Bevilacqua, M., Petroni, F., in Liang, P. (2024). Lost in the Middle: How Language Models Use Long Contexts. Transactions of the Association for Computational Linguistics. 12. 157–173. 10.1162/tacl_a_00638. OpenAI. (2024). ChatGPT 3.5 [Veliki jezikovni model]. https://chat.openai.com/chat Popli, N. (14. 4. 2023). The AI job that pays up to $335K – and you don‘t need a computer engineering background. TIME. Pridobljeno 15. 6. 2024 iz https://time.com/6272103/ai-prompt-engineer-job/ UNESCO. (2023). Guidance for generative AI in education and research. [Spletna knjiga]. Pridobljeno 14. 6. 2024 iz https://unesdoc. unesco.org/ark:/48223/pf0000386693 Val 202, (2023). Thomas Dietterich: Pionir strojnega učenja, ki obožuje flamenko. [Radijski intervju 14. 12. 2023]. Pridobljeno 14. 6. 2024 iz https://val202.rtvslo.si/podkast/frekvenca-x/31057643/175008658 Vourikari, R., Klutzer, S., in Punie, Y. (2022). DigComp 2.2: The Digital Compe-tence Framework for Citizens – With new examples of knowledge, skills and attitudes. Luxembourg: Publications Office of the European Union. https://doi.org/10.2760/115376. 14 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Reševanje polinomskih enačb z želvjo grafiko Solving Polynomial Equations with Turtle Graphics Ema Ptičak, dijakinja Škofijske gimnazije Vipava Tadej Vovk, dijak Škofijske gimnazije Vipava Mentor: Alojz Grahor, Škofijska gimnazija Vipava Izvleček V članku predstavimo reševanje polinomskih enačb p(x) = 0 z grafično metodo, ki jo imenujemo »želvja grafi- ka.« S to metodo lahko poiščemo rešitve polinomske enačbe poljubne stopnje, kjer je p(x) polinom z realnimi koeficienti. Programi dinamične geometrije omogočajo izvedbo te metode na zelo prikladen in zanimiv način. Ključne besede: polinomska enačba, dinamična geometrija, želvja grafika Abstract This paper presents the solving of polynomial equations p(x) = 0 employing the so-called turtle graphics, whi- ch we can use to find solutions of a polynomial equation of arbitrary degree where p(x) is a polynomial with real coefficients. With the help of dynamic geometry software, this concept can be user-friendly and engaging.  Keywords: polynomial equation, dynamic geometry, turtle graphics 1 Uvod Če je os parabole vzporedna abscisni osi, teme v točki (r, q), go- rišče v točki , enačba vodnice , je enačba V šolskem letu 2022/23 sva avtorja v okviru Zveze za tehnično parabole: kulturo Slovenije (ZOTKS) sodelovala na 57. Srečanju mladih (y – q)2 raziskovalcev Slovenije z raziskovalno nalogo iz matematike z = 2p(x – r), (1) naslovom Reševanje polinomskih enačb z geometrijo. Najin men- če pa je os parabole vzporedna ordinatni osi, teme v točki (r, q), tor je bil profesor Alojz Grahor, ki se mu zahvaljujeva za idejo, pomoč in podporo. V nalogi sva raziskovala, kako poiščemo re- gorišče v točki , enačba vodnice , je njena šitve enačbe p(x) = 0 kjer je p(x) polinom z realnimi koeficienti. enačba: Obravnavala sva reševanje s parabolami, s tako imenovano želv- (x – r)2 = 2p(y – q). (2) jo grafiko in z matematičnim prepogibanjem papirja. Pri meto- di reševanja s parabolami sva uporabljala program GeoGebra, ki konstruira parabolo, če sta dana gorišče in premica vodnica. Želvja grafika omogoča določeni točki na zaslonu (ki ji rečemo želva), da izrisuje lomljeno črto: lahko se premakne naprej ali nazaj za določeno število »korakov«, v ogliščih pa se zasuka za določen kot. Metoda s prepogibanjem papirja deluje tako, da najprej iz koeficientov polinoma določimo na papirju s koordi- natnim sistemom nekaj izbranih točk in premic ter nato s pre- pogibanjem papirja določimo točko, ki predstavlja rešitev dane enačbe. V zadnjem delu naloge sva z vsemi tremi načini rešila starogrški problem podvojitve kocke. V članku predstavimo na- čin reševanja polinomskih enačb z želvjo grafiko. Utemeljitve in dokazi so navedeni v raziskovalni nalogi (Ptičak in Vovk, 2023). Reševanje kvadratne enačbe 1.1 Parabola Parabolo definiramo kot množico točk v ravnini, ki so enako od- daljene od dane točke G – gorišča in premice vodnice v. Slika 1: »Konstrukcija« parabole s prepogibanjem papirja. 15 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Znano je, da lahko konstruiramo parabolo s prepogibanjem pa- pirja. Ko prepognemo papir, dobimo model premice, ki mu re- čemo pregib. Na pravokotnem papirju izberemo točko G (gorišče) in vzpore- dno s spodnjim robom narišemo premico vodnico. Še bolje je, da za premico vodnico izberemo kar spodnji rob papirja. Premico vodnico (ali spodnji rob papirja) prepogibamo tako, da vodnica poteka skozi gorišče. Praktično je najlažje, da si na premici vo- dnici (spodnjem robu) izberemo niz točk in vsakič papir prepo- gnemo tako, da izbrana točka npr. točka A na vodnici v pokrije gorišče. Na ta način naredimo veliko pregibov. To so tangente na parabolo z goriščem G in premico vodnico. Ogrinjače tangent določajo parabolo (Slika 1). Dokažimo trditev, ki pojasni kon- strukcijo parabole (glejte Trditev 1). Trditev 1: Pregib, ki ga dobimo tako, da premico vodnico pre- pognemo v točko G, je tangenta na parabolo z goriščem G in dano premico vodnico. Slika 3: Povezava rešitev enačbe s smernim koeficientom tangente. Trditev 2: Dana je enačba x2 + bx + c = 0; a, b ∈ . Naj bosta točki A(b, 1) in D(0, c) ter parabola z goriščem v točki A in premico vodnico y = –1. Skozi točko D konstruirajmo tangen- to na parabolo . Smerni koeficient te tangente je enak rešitvi dane enačbe. Dokaz: Enačba parabole je (x – b)2 = 4y oziroma . Na paraboli izberemo točko . Smerni koeficient tan- gente v točki T je enak . Nastavek za enačbo tangente je enak y = kx + n. Ob upoštevanju smernega koeficien- ta k in dejstva, da točka T leži na tangenti, dobimo in enačbo tangente: . Slika 2: K dokazu, da je pregib tangenta na parabolo. Ker tangenta poteka skozi točko D(0, c) dobimo Dokaz: (Glejte Sliko 2.) Na premici vodnici izberemo točko A . Ko vstavimo še t = 2k + b, dobimo enačbo: in naredimo pregib BC tako, da se točka A pokriva s točko G. Za k2 + bk + = 0. vsako točko C, ki leži na premici BC, velja, da je enako oddaljena Sklep: Za smerni koeficient tangente smo dobili enako enačbo, od točk A in G (trikotnik AGC je enakokrak). Toda le ena točka kot je dana na začetku. Torej so rešitve dane enačbe enake smer- med njimi je enako oddaljena od premice vodnice v in točke G. nim koeficientom tangent, ki zadoščajo opisanim pogojem v Tr- Ta leži na presečišču pravokotnice na vodnico skozi točko A in ditvi 2. premico skozi BC. Za vsako drugo točko C, ki leži na premici Q.E.D. (pregibu) skozi BC velja, da njena razdalja do premice vodnice ni enaka razdalji do gorišča |CE| ≠ |CG|. Ker je trikotnik AGB ena- Odkriti moramo postopek, kako poiskati enačbi tistih dveh tan- kokrak, je premica skozi točki B in C (to je dobljeni pregib, ki je gent, ki zadoščata opisanim pogojem, in odčitati njun smerni tangenta na parabolo) pravokotna na premico skozi točki A in G. koeficient. Q.E.D. 1.3 Reševanje kvadratne enačbe z želvjo grafiko 1.2 Izpeljava postopka reševanja kvadratne enačbe z želvjo grafiko Želvja grafika (angl. turtle graphics) je enostaven način vektor- skega risanja v programerskem svetu. Vključena je v enega iz- med prvih izobraževalnih programskih jezikov Logo. Virtualni Dana je kvadratna enačba: želvi uporabnik pove, za koliko in pod kakšnim kotom naj se x2 + bx + c = 0; b, c ∈ . (3) premakne, s svojimi premiki pa »želva« ustvarja »želvjo pot«. Na podlagi te ideje risanja je zasnovana tudi ta metoda. Izpeljali bomo povezavo med rešitvama enačbe (3) in smernimi koeficienti določenih tangent na izbrano parabolo (glejte Trditev Na situacijo, ki jo prikazuje Slika 3, lahko pogledamo drugače. 2). Določimo točke: A(b, 1), B(b, 0), C(0, 0) in D(0, c) (Slika 3). Opazujemo vse štiri označene točke A, B, C in D ter si zamislimo 16 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA pot, ki jo naredi »želva«, ko se sprehodi po poligonu A, B, C in D. V točki A je obrnjena navzdol in naredi pot dolžine 1. Nato se zasuka desno za kot 90° in naredi pot dolžine b. Če je b negati- ven, naredi pot v vzvratni smeri. V točki C se zasuka desno za 90° in naredi pot dolžine c. (Če je c negativen, se premika vzvratno.) Želva se ustavi v točki D. Končni cilj je poiskati enačbo tiste pre- mice skozi D in E, za katero velja, da je pravokotna na daljico AE kjer je točka E izbrana točka daljice BC. Poligonu A – B – C – D običajno pravimo želvja pot. Opisani zadnji del postopka obrnemo (glejte Sliko 3). Narišemo premici – nosilki daljic BC in CD. Na nosilki BC si izberemo pre- mično točko, na primer točko E. V njej naredimo pravokotnico na daljico AE. Nato premikamo točko E po nosilki daljice BC. Ko s »pravokotnico zadenemo točko D«, je smerni koeficient nosil- ke daljice ED enak rešitvi dane enačbe. V točki E, ki leži na nosilki daljice BC, se »notranja« pot AED »odbije kot žogica pri biljardu«, a ne tako, da je vpadni kot enak odbojnemu, ampak sta poti AE in ED med seboj pravokotni. Ta način odboja smo poimenovali »odboj_90«, pa tudi celotni no- tranji poti AED rečemo »odboj_90«. Primer reševanja kvadratne enačbe je prikazan na Sliki 4. Rešena je enačba x2 + 3,5x + 3 = 0. Narišemo želvjo pot A – B – C – D od začetne točke A(3,5, 1) s koraki 1, 3,5 in 3. Želva konča pot v točki D(0, 3). Na nosilki daljice BC izberemo premično točko E in narišemo odboj_90 z začetkom v točki A in odbojem v točki E. S premikanjem točke E poiščemo takšno lego, da gre pravo- kotnica na AE skozi točko D. Takrat odčitamo smerni koeficient nosilke daljice ED, ki je 1,5. Druga možnost je v točki F (smerni koeficient je enak 2). Rešitvi dane enačbe sta torej 1,5 in 2. , , , , Sliki 5a in 5b: Primera reševanja kvadratne enačbe. Rešena je enačba 2x2 – x – 3 = 0. Enačbi ax2 + bx + c = 0 in imata enaki rešitvi. Ker so koeficienti so- razmerni, sta si želvji poti podobni s faktorjem raztega a, ustre- , zni premici pa vzporedni. Smerna koeficienta ustreznih premic sta torej enaka. Slika 4: Reševanje kvadratne enačbe x2 + 3,5x + 3 = 0 z želvjo grafiko. Na Sliki 5a je prikazano reševanje kvadratne enačbe 2 Reševanje kubične enačbe x2 – 5x + 6 = 0. Najprej narišemo želvjo pot A – B – C – D. Le-ta se začne v točki A(–5, 1). Konstruiramo še odboj_90 in s po- Idejo reševanja kvadratne enačbe z želvjo grafiko uporabimo mikanjem določimo lego točke E tako, da se konec želvje poti tudi pri reševanju kubične enačbe x3 + bx2 + cx + d = 0. Želva je pokrije z zadnjo točko odboja_90. Rešitvi sta 2 in 3 (smerna ko- v začetni točki (b, 1), potem pa gre navzdol in nadaljuje po od- eficienta nosilk daljic ED in FD). Na Sliki 5b je prikazan primer sekih 1, b, c, d. Če je koeficient pozitiven, naredi pot naprej, sicer rešitve splošne kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0. Začetek želvje pa vzvratno pot. Vsakič se zasuka za 90° v desno. Njena končna poti A – B – C – D je v točki A(b, a), konec pa v točki D(0, c). točka je točka (d, c). S pomočjo odbojev_90 bomo dobili rešitev, 17 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 ko bomo »zadeli« končno točko želvje poti. Oglejmo si primera (Sliki 6a in 6b). Slika 7: K dokazu reševanja enačbe tretje stopnje s parabolama. Trditev 3: Rešujemo enačbo x3 + bx2 + cx + d = 0. V koordi- natnem sistemu narišemo točki A(b, 1) in E(d, c) ter premici y = –1 in x = –d. Zapišemo enačbi parabol: prvo z goriščem v točki A s premico vodnico y = –1 ter drugo z goriščem v E in premico vodnico x = –d. Smerni koeficienti skupnih tangent obeh parabol so enaki rešitvam dane enačbe (glejte Sliko 7). Dokaz: Enačba prve parabole (A, y = –1) je (x – b)2 = 4y, enačba druge (E, x = –d) pa (y – c)2 = 4dx. Tangenta na prvo parabolo v točki T ima enačbo y = kx – k(b + k). Ker je dobljena tangenta tudi tangenta na drugo parabolo, vstavi- mo dobljeni y v enačbo druge parabole ter poenostavimo. Upo- števamo, da je tudi t = b + 2k. Tako dobimo kvadratno enačbo: k2x2 – 2x(k3 + bk2 + ck + 2d) + k4 + 2bk3 + (b2 + 2c) k2 + 2bck + c2 = 0. Diskriminanta te enačbe mora biti enaka 0: (–2(k3 + bk2 + ck + 2d) + k4)2 – 4k2(k4 + 2bk3 + (b2 + 2c) k2 + + 2bck + c2) = 0, 16d(k3 + bk2 + ck + d) = 0, k3 + bk2 + ck + d = 0. Sliki 6a in 6b: Sklep: Za izračun smernih koeficientov skupnih tangent obeh Primera reševanja kubične enačbe. parabol smo dobili enako enačbo, kot je dana enačba. To pome- Na Sliki 6a je prikazano reševanje enačbe x3 + 7x2 + 14x + 8 = 0 z ni, da so smerni koeficienti skupnih tangent na izbrani paraboli želvjo grafiko. Želvja pot se začne v točki A(7, 1), nato pa opravi enaki rešitvam dane enačbe. pot po odsekih 1, 7, 14 in 8, vsakič se zasuče za pravi kot v desno. Q.E.D. Nato konstruiramo še odboj_90 s premično točko F. Lego točke Zaradi same konstrukcije tangente na parabolo sta daljici AF in F določimo tako, da se končna točka odboja_90 pokrije s končno EG pravokotni na tangento (glejte Sliko 8). Z iste slike je razviden točko želvje poti. Rešitev dane enačbe je enaka smernemu koefi- potek reševanja z želvjo grafiko. Primera sta prikazana na Slikah cientu nosilke daljice FG, to je –4. Na Sliki 6b je prikazana rešitev 6a in 6b. enačbe 2x3 + 3x2 – 5x – 6 = 0. Rešitev je 1,5. Zaradi sorazmernosti koeficientov in enake množice rešitev enačb ax3 + bx2 + cx + d = 0 ter 0; a ≠ 0; sta želvji poti obeh enačb 3 Hornerjev algoritem podobni. V tem poglavju preiskujemo, ali sta postopka, ki smo ju opisali v Teoretično ozadje reševanja enačbe tretje stopnje z želvjo grafiko prejšnjih poglavjih, povezana s Hornerjevim algoritmom. Na Sli- je opisano in dokazano v Trditvi 3. ki 9 je predstavljen polinom tretje stopnje p(x) = x3 + bx2 + cx + d, 18 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA w = x0(c – x0(b – x0)) = x0(c – bx0 + x 2 0 ) = cx 2 0 – bx0 + x 3 0 = = cx0 – bx 2 0 + x 3 0 – d + d. Ko v zadnjo enačbo vstavimo –xo namesto xo, dobimo: w = –cx 2 0 – bx0 – x 3 0 – d + d = –p(x0) + d. Od tod pa sledi p(xo) = d – w. Torej je razlika med abscisama točk B in D enaka vrednosti polinoma p(xo). Hkrati smo dokazali tisto, kar že vemo, da je rešitev enačbe p(x) = 0 (ko točki B in D sovpadata) enaka smernemu koeficientu premice skozi G in H. Q.E.D. Na Sliki 9 je kot primer predstavljena enačba x3 + 7x2 + 14x + 8 = 0. Odboj_90 se konča v točki W, ki ima absciso enako 6. Torej je vrednost polinoma pri xo = –3 enaka p(–3) = d – w = 2. Vrednost –3 je enaka smernemu koeficientu premice skozi točki G in H pa tudi abscisi točke G glede na absciso točke A, ker je ordinata točke A enaka 1, saj je vodilni koeficient polinoma p(x) enak 1. Slika 8: Reševanje enačbe tretje stopnje z želvjo grafiko. Obenem smo dobili tudi količnik in ostanek pri deljenju poli- noma p(x) s polinomom (x + 3). Koeficienti količnika so odseki želvja pot je A – C – D – E – B, odboj_90 pa AGHW. Izpeljimo odboja_90, pri čemer vzamemo za enoto dolžino prvega odse- povezavo med reševanjem z želvjo grafiko in Hornerjevim algo- ka AG. Odseki so 1, 4, 2, ostanek je 2. Tako je: p(x) = (x + 3) ritmom (Trditev 4). (x2 + 4x + 2) + 2. Trditev 4: Naj bo leva stran enačbe p(x) = 0 polinom p(x) = x3 + Ko točki W in B sovpadata, dobimo, da je smerni koeficient + bx2 + cx + d. Vrednost polinoma p(x) pri x = x premice skozi G in H rešitev dane enačbe, odboj_90 pa nam da o je enaka raz- liki abscis točk B in W, kjer je točka B končna točka želvje poti, koeficiente količnika. Iskanje rešitev lahko nadaljujemo kar na W pa končna točka odboja_90 iste poti. odboju_90. Slika 10: Razstavljanje polinoma. Slika 9: K izpeljavi Hornerjevega algoritma na grafični način. Na Sliki 10 je prikazano zaporedno iskanje ničel polinoma p(x) = Dokaz: Naj bo x = xo dolžina daljice CG (glejte Sliko 9). Trikotni- x3 + 6x2 + 11x + 6. Želvja pot je enaka A – C – D – E – B, odboj_90 ki ACG, GDH in HEW so podobni. Tako velja: pa poligon AFHB. Odčitamo ničlo –1 in koeficiente količnika 1, . 5, 6. Torej je: x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 1)(x2 + 5x + 6). Opazimo, da je xo enak smernemu koeficientu premice skozi točki GH, to je tangensu kota DGH. Iz prejšnje trojne enačbe Ta odboj_90 AFHB vzamemo kot novo želvjo pot in narišemo dobimo: y = x0(b – x0), w = x0(c – y): drugi odboj_90: AGB. Smerni koeficient premice skozi BG glede 19 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 na novo ordinatno os HG in novo abscisno os HG je enak –2, konec želvje poti sovpade s koncem odboja_90 (na Sliki 11 je to v količnik pa ima koeficienta 1 in 3. Tako je: točki F). Rešitev x je enaka negativni vrednosti tangensa naklon- skega kota nosilke daljice GH: x = –tanφ. x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3). Utemeljitev. Trikotniki AGB, GHC, HID in IFE so podobni. 4 Reševanje polinomske enačbe višje stopnje Naj bo . V trikotniku GHC velja: , v tri- kotniku HID: , v trikotniku IFE pa podobno Z želvjo grafiko lahko rešujemo tudi polinomske enačbe višjih . stopenj od 3. Oglejmo si primer enačbe četrte stopnje, potem pa posplošimo. Zapišemo drugače: y = x (6 – x), z = x(13 – y), 4 = x(12 – z). Dana naj bo enačba x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 = 0. Slika 11 prika- Razvijmo: 4 = x(12 – z) = x(12 – x(13 – y)) = x(12 – x(13 – x(6 – x)))= zuje rešitev z želvjo grafiko. = x(12 – x(13 – 6x + x2)) = x(12 – 13x + 6x2 – x3) = 12x – 13x2 + 6x3 – x4. Tako dobimo enačbo: x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 4 = 0. V trikotniku AGB velja, da je x = tanφ. Hitro pa vidimo, da do- bimo enačbo enako prvotni enačbi, če x nadomestimo z izra- zom –tanφ. To je tudi vrednost, ki je enaka tangensu naklon- skega kota nosilke daljice GH, kar je enako njenemu smernemu koeficientu. Sklepamo, da bo dokaz pri splošni enačbi stopnje n potekal ena- ko, le koeficienti bodo poljubni, nekaj nadaljnjih korakov »želve« pa bo analognih. Tako da lahko zapišemo: Trditev 5: Polinomsko enačbo xn + an – 1x n – 1 + ... + a3x 3 + a2x 2 + + a1x + a0 = 0 rešujemo po naslednjih korakih: Prvi korak: V koordinatnem sistemu narišemo pot od točke A(an – 1, 1) do končne točke X tako, da začne želva pot v točki A in se potem na vsakem koraku zasuka v desno za 90°. Če je na- slednji koeficient pozitiven, se premakne naprej, sicer pa nazaj za toliko, kolikor je velikost trenutnega koeficienta. Če je koeficient Slika 11: K dokazu, da želvja grafika deluje tudi pri enačbah višje enak 0, se samo zasuka. Želvja pot se konča v točki X na zadnjem stopnje. koraku, ko se želva premakne za koeficient ao. Domneva. V primeru reševanja enačbe x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + Drugi korak: Na vsakem odseku narišemo premice, nosilke od- + 4 = 0 z želvjo grafiko dobimo rešitev dane enačbe takrat, ko sekov. Slika 12: Prvi primer reševanja enačbe pete stopnje. Rešitev je –2. 20 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Slika 13: Drugi primer reševanja enačbe pete stopnje. Rešitev je 2. Tretji korak: Na premici, nosilki drugega odseka, izberemo (gi- Ko točki D in W sovpadeta in dobimo rešitev enačbe p(xo)= 0, bljivo) točko G in jo povežemo z začetno točko A (narišemo da- nam dajo odseki odboja_90 koeficiente količnika. Poglejmo pri- ljico AG). Nadaljujemo risanje poti odboj_90. mere. Upoštevamo, da peljemo želvico po odboju_90 enako kot pri konstrukciji želvje poti. Želva začne pot v začetni točki odbo- Četrti korak: Premikamo točko G po nosilki drugega odseka ja_90 in se na vogalih zasuka za 90° v desno. Odsek, po katerem tako, da zadnja pravokotnica sovpada z zadnjo točko želvje poti, se giblje zadenjsko, ima negativen predznak. Zapišimo primera to je s točko X. s Slik 12 in 13: Rezultat: Smerni koeficient nosilke daljice GH je enak rešitvi Slika 12: dane enačbe. x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 = (x + 2)(x4 + x3 Q.E.D. – 7x2 – x + 6). Podobno, kot smo utemeljili reševanje kvadratne in kubične Slika 13: enačbe z vodilnim koeficientom različnim od 1, velja tudi za re- x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 = (x – 2)(x4 + 5x3 + 5x2 – 5x – 6). ševanje enačbe višje stopnje. Sliki 12 in 13 prikazujeta dve od petih rešitev enačbe 5 Rešitev starogrškega problema x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 = 0. podvojitve kocke Vse rešitve so: 1, –1, 2, –2 in –3. Podvojitev kocke je eden izmed starogrških problemov. Za dano Hornerjev algoritem z želvjo grafiko lahko posplošimo tudi na kocko s stranico a moramo poiskati stranico b nove kocke, ki polinome višje stopnje. Dokaz poteka enako. Ker se položaji ima dvojno prostornino b3 = 2a3. končnih točk želvje poti in odboja_90 razlikujejo, ugotovimo vrednost polinoma p(xo) takole: Enačbo preoblikujemo v . Označimo količnik . Tako dobimo enačbo x3 = 2 oziroma x3 – 2 = 0. Naj bo točka D končna točka želvje poti, točka W pa končna točka odboja_90; vektor vektor v smeri zadnjega premika želve, vek- Iz enačbe x3 – 2 = 0 sledi, da sta točki A(0, 1) in D(–2, 0). Želvico tor pa vektor od točke W do točke D. Števili d in w sta abscisi peljemo od točke A(0, 1) do točke D(–2, 0). Kjer se želva obrne (pri enačbah lihe stopnje) ali ordinati (pri enačbah sode stopnje) na mestu (to je v koordinatnem izhodišču), vsakič narišemo pre- točk D in W. Vrednost polinoma je enaka . mico v njeni smeri. Ti premici služita za konstrukcijo odboja_90 Predznak je pozitiven, ko sta vektorja in enako usmerjena, (glejte Sliko 14). Z opisano metodo lahko rešimo tudi poljubno negativen pa, ko sta ta vektorja različno usmerjena. enačbo x3 – d = 0, le točka D ima koordinati D(–d, 0). 21 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Slika 14: Podvojitev kocke z želvjo grafiko. Zaključek Grafična metoda reševanja polinomskih enačb je zelo zanimiva. Pred razvojem računalniških aplikacij iz di- namične geometrije je bila težko izvedljiva. Znano je, da je Riaz (Riaz, 1962, v Ptičak in Vovk, 2023) izdelal praktični pripomoček. Reševanje kvadratne in kubične enačbe pa lepo poteka tudi s prepogibanjem papirja. V raziskovalni nalogi (Ptičak in Vovk, 2023) je obdelana tudi ta zanimiva metoda. Viri in liter atura Ptičak, E., Vovk, T. (2023). Reševanje polinomskih enačb z geometrijo. Škofijska gimnazija Vipava. Dostopno na naslovu https://zbirke. zotks.si/2023/resources/SS_matem_2965.pdf. Digitalna bralnica ZRSŠ Trajn ostni razvoj 22 https://www.zrss.si/digitalna-bralnica/trajnostni-razvoj/ Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Raziskovanje kvadratnih palindromov Exploring Square Palindromes Kaja Vreš, dijakinja Gimnazije Ravne na Koroškem Mentorji: Dragomir Benko, Šolski center Ravne, Gimnazija Ravne na Koroškem Domen Vreš, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za računalništvo in informatiko Simona Vreš, Šolski center Ravne, Gimnazija Ravne na Koroškem Izvleček Kvadratni palindrom smo definirali kot par števil, za kateri velja, da ima eno število števke v obratnem vr- stnem redu kot drugo, in to velja tudi za njuna kvadrata. V članku predstavimo, kakšni so pogoji, da je število kvadratni palindrom. Ugotovimo, da ne sme prihajati do prenosa enote pri kvadriranju števila. Predstavimo različne primere kvadratnih palindromov in posledice dejstva, da ne sme prihajati do prenosa enote. Ključne besede: palindromi, kvadratni palindromi, indukcija Abstract A square palindrome is a pair of numbers whose digits are in reverse order to the other, and the same applies to their squares. This article describes the prerequisites for a number to be a square palindrome. When squaring an integer, we must ensure that no units are transferred. We give several examples of square palindromes and discuss the implications of the assumption that there must be no transfer of units. Keywords: palindromes, square palindromes, induction 1 Uvod no tako števili, ki imata obrnjen vrstni red števk. To je torej par števil (k, l), za kateri velja: V raziskovalni nalogi iz leta 2022, ki je nastala pod okriljem Gi- mnazije Ravne na Koroškem, raziskujemo dokaj neraziskano področje matematike – kvadratne palindrome. V tem članku so (1) predstavljene bistvene ugotovitve, bralce pa vljudno vabimo, da si dokaze, ki so v tem članku izpuščeni, ogledajo v sami razi- Primer: 122 = 144 skovalni nalogi. Čeprav so kvadratni palindromi v literaturi, ki 212 = 441 (2) preučuje palindrome, velikokrat omenjeni, so navedeni le kot zanimivost. Opomba: Na začetku se osredotočimo na pare števil, ki imajo enako število števk, oziroma na števila, ki nimajo 0 za zadnjo števko. 1.1 Definicija kvadratnega palindroma Palindrom je število, ki se enako prebere naprej in nazaj (si- 1.2 Metode dela metrično število v matematiki). To pomeni, da so v njegovem desetiškem oziroma decimalnem zapisu vse števke razporejene Pri raziskovanju in pisanju naloge smo kot temeljno metodo dela simetrično (prva števka je enaka zadnji, druga števka je enaka uporabljali metodo matematičnega sklepanja in dokazovanja. predzadnji …). Kvadratne palindrome smo opazovali s pomočjo generira- nih kvadratnih palindromov, ki smo jih generirali v programu Lahko ga zapišemo kot: . Microsoft Excel. Grafe smo narisali s pomočjo programa Geo- V raziskovalni nalogi raziskujemo posebno vrsto številskih pa- Gebra. lindromov, ki jo poimenujemo kvadratni palindrom. To poime- novanje uvedemo za potrebe raziskovalnega dela in je še nede- finiran pojem. 2 Generiranje kvadratnih palindromov Kvadratni palindrom dobimo, ko kvadriramo dve števili, ki Najprej smo na podlagi opazovanja poskušali zapisati nekaj po- imata števke v obratnem vrstnem redu in sta njuna kvadrata rav- gojev, ki jim morajo ustrezati števke, da je število kvadratni pa- 23 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 lindrom. S pomočjo aplikacije Microsoft Excel smo zapisali vsa 2.2 Trimestna števila dvo-, tri-, štiri- in petmestna števila. To smo lahko storili, saj program samostojno prepozna zaporedje in smo tako napisali Vrstni red števk trimestnega števila smo obrnili s funkcijo: prvi dve števili, nato pa razširili zaporedje na naslednje celice. Na koncu smo s pomočjo preproste funkcije A^2 izračunali kva- = QUOTIENT(A; 100) + MOD(QUOTIENT(A; 10); 10) * 10 + drate teh števil. + MOD(A; 10) * 100, Funkcija, ki obrne vrstni red števk števila, je malo zahtevnejša pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. in se razlikuje glede na število mest. Zapisali smo jo s pomočjo vgrajenih funkcij QUOTIENT in MOD. Dobljena števila, smo Nato smo dobljena števila ponovno kvadrirali. Rezultati so pri- kvadrirali enako, kot smo kvadrirali prvotna števila. kazani na Sliki 2. Iz te je razvidno, da so trimestni kvadratni pa- lindromi: 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 201, 202, 211, 212, 221, 301, 311. 2.1 Dvomestna števila Ko smo zapisali vsa dvomestna števila in njihove kvadrate, smo 2.3 Štirimestna števila obrnili vrstni red števk s funkcijo: Za obračanje vrstnega reda števk štirimestnega števila smo upo- = QUOTIENT(A; 10) + MOD(A; 10) * 10 rabili funkcijo: pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. = QUOTIENT(A; 1000) + MOD(QUOTIENT(A; 100) ;10) * 10 + + MOD(QUOTIENT(A; 10); 10) * 100 + MOD(A; 10) * 1000, Ko smo dobljena števila kvadrirali, smo lahko opazovali, katera števila so kvadratni palindromi. Dobljeni rezultati so prikazani pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. na Sliki 1. Dvomestna števila, ki so kvadratni palindromi, so: 11, 12, 13, 21, 22, 31. Rezultati so prikazani na Sliki 3. Ugotovili smo, da so štirimestna števila, ki so kvadratni palin- dromi: 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1101, 1102, 1103, 1111, 1112, 1113, 1121, 1122, 1201, 1202, 1211, 1212, 1301, 2001, 2002, 2011, 2101, 2102, 2012, 2021, 2022, 2111, 2121, 2201, 2202, 2211, 3001, 3011, 3101, 3111. 2.4 Petmestna števila Vrstni red števk petmestnega števila smo obrnili s funkcijo: = QUOTIENT(A; 10000) + MOD(QUOTIENT(A; 1000); 10) * 10 + + MOD(QUOTIENT(A; 100); 10) * 100 + MOD(QUOTIENT (A; 10); 10) * 1000 + MOD(A; 10) * 10000, Slika 1: Preglednica dvomestnih kvadratnih palindromov. pri čemer je A število, katerega vrstni red števk želimo obrniti. Slika 2: Preglednica trimestnih kvadratnih palindromov. 24 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Slika 3: Preglednica štirimestnih kvadratnih palindro- mov. Petmestnih števil, ki so kvadratni palindromi, je veliko (90), za v drugem delu potrdimo, da so te števke skupaj z 0 edine, ki se zato si oglejmo le nekaj primerov, in sicer: 10001, 10002, 10003, lahko pojavijo v kvadratnih palindromih. 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10101, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113 … V obeh dokazih predpostavimo, da imamo par števil (k, l), ki tvorita kvadratni palindrom. Njuna desetiška zapisa sta: Nekaj primerov petmestnih kvadratnih palindromov je prikaza- . nih tudi na Sliki 4. V obeh dokazih opazujemo kvadrata teh števil, ki ju zaporedoma označimo z x in y. (3) Eden od pogojev, da je število kvadratni palindrom, je, da je na prvem oziroma zadnjem mestu ena izmed števk 1, 2 ali 3, torej velja: oziroma . 4 Posplošitev za celotno število Slika 4: Primer najdenih petmestnih kvadratnih palindromov. x: y: 2.5 Ugotovitve Z opazovanjem pridobljenih kvadratnih palindromov smo ugo- tovili, da so ti sestavljeni samo iz števk 0, 1, 2 in 3, zato lahko sklepamo, da je to eden od pogojev, da je število kvadratni pa- lindrom. Opazili smo tudi, da se z večanjem števila mest veča število kvadratnih palindromov. 3 Števke, ki tvorijo kvadratni palindrom V raziskovalni nalogi najprej dokažemo, da so lahko na prvem oziroma zadnjem mestu le števke 1, 2 in 3. S pomočjo tega doka- 25 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 1. Ker mora biti a0 ≤ 3 in s tem a 2 0 ≤ 9, ne pride do prenosa enote Iz tega lahko hitro ugotovimo nekaj pravil, ki jih ne smemo pre- z enic na desetice v številu x, saj je a 2 0 ≤ 10. kršiti, da bo neko število kvadratni palindrom. Pri tem nam bo 2. Na zadnje mesto v številu X ne vpliva nobeno drugo me- v pomoč dejstvo, da kvadratni palindrom tvorijo le števke 0, 1, sto, kar pomeni, da je vrednost zadnje števke števila x enaka 2 in 3. vrednosti a 2 0 . Ker morata biti zadnja števka števila x in prva S temi števkami dobimo devet možnosti (1 in 0, 1 in 1, 1 in 2, 1 in števka števila y enaki (da sta to kvadratna palindroma), to po- 3, 2 in 0, 2 in 2, 2 in 3, 3 in 0, 3 in 3), ki nam povedo, katera števila meni, da mora imeti tudi prva števka števila y vrednost a 2 0 . lahko soustvarjajo kvadratni palindrom in katera ne. Iz tega sledi, da drugo mesto v tem številu ne sme vplivati na prvo mesto. Da to drži, mora biti 2a2a0 ≤ 9. Iz teh možnosti smo ugotovili: 3. Sedaj vemo, da velja a 2 0 ≤ 9 in 2a1a0 ≤ 9. Torej je vrednost 1) števki 2 in 3 ne smeta biti v istem številu hkrati, da je le-to še predzadnje števke števila x enaka vrednosti 2a1a0. Ker enice kvadratni palindrom, ne vplivajo na desetice in ker je ta vrednost manjša od deset, 2) v številu je lahko samo ena števka enaka 3. je predzadnja števka x enaka 2a1a0. Da bosta števili x in y kva- dratna palindroma, morata biti tudi druga števka števila y in 4.3 Dodatne omejitve predzadnja števka števila x enaki. Iz tega sledi, da mora imeti tudi druga števka števila y vrednost 2a1a0. Da to drži, ne sme Poleg vseh že ugotovljenih lastnosti in omejitev lahko pri opa- priti do prenosa enote iz tretjega na drugo mesto števila y, zovanju potenc v zapisu števila določimo dodatne omejitve. Te torej tretje mesto ne sme vplivati na drugo. Iz tega sledi, da se razlikujejo glede na to, ali je število mest liho ali sodo. Preden mora veljati (a 2 1 + 2a2a0) ≤ 9. raziščemo te omejitve, si poglejmo še nekaj desetiških zapisov in 4. Ta postopek bi lahko ponavljali, dokler ne bi prišli do prvega značilnosti, ki jih ob tem opazimo. mesta števila x in zadnjega mesta števila y. Z indukcijo do- Trimestno število: kažemo, da se na nobenem mestu ne zgodi prenos enote na naslednje mesto. . 4.1 Pogoji, ki določajo kvadratne palindrome (6) 4.1.1 Potence s sodimi eksponenti Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu trimestnega števila a je 2. Vsota dveh sodih števil je sodo število in vsota dveh lihih števil je sodo število. Ko množimo potence z enako osnovo, storimo to Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu kvadrata danega tri- tako, da osnovo prepišemo, eksponente pa seštejemo. mestnega števila a je 4. Potence s sodim eksponentom (2k) bodo zato pomnožene s ko- Število členov, ki nastopajo v zapisu kvadrata pri posamezni po- eficienti oblike: tenci z osnovo 10 (od najvišje do najnižje stopnje), je: 1, 2, 3, 2, 1. . (4) Štirimestno število: Ker ne sme priti do prenosa enote, iz tega sledi: 1) a 2 k ≤ 9 za 0 ≤ k ≤ n, 2) ak ≤ 3 za 0 ≤ k ≤ n. (7) Kvadrati vseh števk števil k in l so manjši od 10, kar pomeni, da Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu štirimestnega števila mora biti njihova osnovna vrednost manjša ali enaka 3, saj je a je 3. 42 = 16 večje od 10, medtem ko je 32 = 9 manjše od 10. Najvišja stopnja potence števila 10 v zapisu kvadrata danega šti- rimestnega števila a je 6. 4.1.2 Potence z lihimi eksponenti Število členov, ki nastopajo v zapisu kvadrata pri posamezni po- Potence z lihimi eksponenti (2k + 1) bodo pomnožene s koefi- tenci z osnovo 10 (od najvišje do najnižje stopnje), je: 1, 2, 3, 4, cienti oblike: 3, 2, 1. . (5) 4.3.1 Pomembne ugotovitve Prva takšna ugotovitev je, da an vpliva le na koeficiente od poten- ce 10n do potence 102n. Nižje potence, pri kateri ima an vpliv, ni, 4.2 Omejitve ker je najmanjša potenca, s katero lahko množimo potenco 10n, potenca 100 oziroma 1. Pri kvadriranju moramo pomnožiti vsako števko z vsako števko po formuli 2aiaj. Ker smo ugotovili, da ne sme priti do prenosa Druga pomembna ugotovitev je, da je vsota indeksov koeficien- enote v številu, to pomeni, da je 2aiaj ≤ 9. tov v členih pri posamezni potenci števila 10 v zapisu kvadrata 26 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA vedno enaka eksponentu potence števila 10. Tako je v kvadratu Opazimo, da pri sodih n srednja števka števila ne sme biti 3, števila a potenca 10k pomnožena z vsoto členov oblike ai . aj, pri saj pri 10n nastopa poleg še faktor 2ana0, ki ima vrednost vsaj čemer je i + j = k. Če v vsoti sodeluje a 2 i , je 2i = k. ena, saj je an različno od nič, ker je prva števka. Ravno tako je a0 različno od nič, ker je zadnja števka in raziskujemo kvadratne Število členov oblike ai . aj; i + j = k, s katerimi je pomnožena palindrome, ki imajo zadnjo števko različno od 0. potenca 10k v zapisu kvadrata, linearno raste oziroma pada. Zato lahko število členov oblike ai . aj; i + j = k, s katerimi je pomno- Če bi bila števka , bi to pomenilo, da je in bi pri- žena potenca 10k v zapisu kvadrata števila šlo do prenosa enote, saj je 2ana0 zagotovo 1 ali več. izračunamo po formuli: Ta ugotovitev velja samo za kvadratne palindrome z lihim števi- lom števk, saj pri kvadratnih palindromih s sodim številom števk (8) srednje števke ni in člen pri potenci 10n ne nastopa. Največ členov nastopa pri potenci 10n, kjer je tudi presečišče obeh grafov, ki sta prikazana na Sliki 5 in Sliki 6. 5 Kvadratni palindromi, zgrajeni iz enakih števk V tej nalogi smo se ukvarjali tudi s kvadratnimi palindromi, ki so zgrajeni iz enakih števk. Ker smo do te točke ugotovili, da kva- dratne palindrome gradijo le števke 1, 2, 3 in 0, tudi kvadratnih palindromov, zgrajenih iz enakih števk, ne morejo tvoriti katere druge števke, vendar niti vse od teh števk ne tvorijo takšnih kva- dratnih palindromov, saj 0 in 3 ne prideta v poštev. 5.1 Kvadratni palindromi, zgrajeni iz samih enic Kljub temu da je 1 najmanjše naravno število, ob preveliki koli- čini enic v številu pri kvadriranju tega števila pride do prenosa enote in to število posledično ni kvadratni palindrom. S pomoč- jo aplikacije Microsoft Excel smo preverili, največ koliko mest Slika 5: Grafični prikaz števila členov za devetmestno število. lahko ima število, zgrajeno iz samih 1, da je to še lahko kvadratni palindrom. Rezultati so prikazani na Sliki 7. Slika 7: Preglednica kvadratnih palindromov, sestavljenih iz samih enic. Slika 6: Grafični prikaz števila členov za poljuben n. Tretja pomembna ugotovitev je prej navedena oblika vsote čle- nov, s katerimi so pomnožene posamezne potence števila 10. 4.3.2 Kvadratni palindromi z lihim številom števk Če je n sodo število, potem ima osnovno število liho število mest. Indeksi gredo pri števkah od n do pri prvem faktorju in od 0 do pri drugem faktorju. To velja za produkte oblike: 2 . ai . aj. Ker pa je n sodo število, je 10n potenca s sodim ekspo- nentom, iz česar sledi, da se pojavi tudi člen . Slika 8: Kvadriranje osemmestnega in devetmestnega števila, sestavlje- (9) nega iz samih enic. 27 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Ugotovili smo, da ima takšno število lahko 9 mest, da je še kva- dratni palindrom. Pri desetmestnem številu namreč pride do prenosa enote, saj je vsota členov pri potenci 1010 enaka 10. Po- drobno dogajanje pri kvadriranju takšnega devetmestnega in de- setmestnega števila je razvidno na Sliki 8. 5.2 Kvadratni palindromi, sestavljeni iz samih dvojk Ponovno smo si pomagali s programom Microsoft Excel in napi- sali nekaj števil, zgrajenih iz samih 2, ter jih kvadrirali. Rezultati so vidni na Sliki 9. Slika 10: Kvadriranje dvomestnega in trimestnega števila, sestavljene- ga iz samih dvojk. 6 Kvadratni palindromi z različnim številom mest Slika 9: Preglednica kvadratnih palindromov, sestavljenih iz samih dvojk. Posebno obravnavo si zaslužijo tudi naravna števila, ki se končajo z vsaj eno števko 0. Ko zamenjamo vrstni red števk, ima dobljeno Ugotovili smo, da sta takšna kvadratna palindroma samo dva, število v resnici v mestnem zapisu eno ali več mest manj. Kljub saj pri trimestnem številu že pride do prenosa enote, ker je vsota temu bi lahko bila nekatera takšna števila kvadratni palindromi. členov pri potenci 103 enaka 12. Podrobno dogajanje pri kvadri- ranju takšnega dvomestnega in trimestnega števila je razvidno 1202 = 14400 na Sliki 10. 212 = 441 (10) Slika 11: Preglednica dvomestnih in trimestnih kubičnih palindromov. 28 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Število 120 je torej neke vrste kvadratni palindrom, medtem ko 6.1 Možne razširitve število 140 ni. 1402 = 19600 6.1.1 Kubični palindromi 412 = 1681 (11) Podobno, kot smo iskali pogoje, da je neko število kvadratni pa- Ko smo generirali kvadratne palindrome, smo opazili, da je kar lindrom, bi lahko iskali pogoje in lastnosti kubičnih palindro- nekaj takšnih kvadratnih palindromov. Pri dvomestnih številih: mov. 10, 20 in 30. Opazovali bi jih lahko s pomočjo Microsoft Excela, saj je posto- Pri trimestnih številih: 100, 110, 120, 130, 200, 210, 220, 300, 310. pek popolnoma enak, samo da namesto A^2 uporabimo A^3. Rezultati tega so prikazani na Sliki 11. Pri štirimestnih številih so takšni primeri: 1000, 1010, 1020, 1030, 1100, 1110, 1120, 1130, 1200, 1210, 1220, 1300, 2000, 2010, Ko opazujemo kubične palindrome, opazimo, da so sestavljeni 2020, 2100, 2110, 2120, 2200, 2210, 3000, 3010, 3100, 3110. samo iz števk 0, 1 in 2. Kljub temu da lahko te kvadratne palindrome obravnavamo kot kvadratne palindrome z enakim številom mest, zanje ne veljajo 6.1.2 Vsota členov pri isti potenci manjša od 10 vsa pravila in omejitve. Tako lahko imajo takšni kvadratni palin- dromi za srednjo števko 3. Ta omejitev zanje ne drži, ker je pogoj Kljub temu da smo v nalogi točno določili pogoje, kdaj je neko za ustreznost te omejitve, da sta prva in zadnja števka različni od število kvadratni palindrom, ni lahko ugotoviti, ali vsota členov 0, kar zagotavlja, da je 2ana0 enako 1 ali več. V tem primeru to pri isti potenci ni večja oziroma enaka 10. ni zagotovljeno, torej lahko imajo takšni palindromi za srednjo Sicer smo odkrili, da se z višanjem števila mest viša tudi števi- števko 3. lo členov pri isti potenci, vendar je težko določiti, katere števke sestavljajo te člene in kdaj se jih nabere toliko, da brez manjših števk pride do prehoda. Če bi uspeli odkriti še to, bi lahko točno določili, na katera mesta lahko postavimo katera števila in koli- kokrat lahko uporabimo katero od števil. Zaključek Definirali in raziskali smo dokaj neraziskano področje, kvadratne palindrome. Odkrili smo ključne pogoje, da je neko število kvadratni palindrom, in sicer: 1) pri kvadriranju števila ne sme priti do prenosa enote, 2) sestavljen je samo iz števk 0, 1, 2 in 3. Ko smo dokazali, da ne sme prihajati do prenosa enote, smo lahko iz tega dobili dva dodatna pogoja: 1) števki 2 in 3 ne smeta biti hkrati v istem številu, da je le-to še kvadratni palindrom, 2) v številu je lahko samo ena števka enaka 3. Poleg tega smo opazili, da se število kvadratnih palindromov veča z večanjem števila mest. Priloga 1. Excelova datoteka: Kvadratni palindromi.xlsx. Objavljeno na https://www.zrss.si/strokovne-revije/matematika-v-soli/ Viri in literatura Vreš, K. (2023). Kvadratni palindromi. Gimnazija Ravne na Koroškem. Dostopno na naslovu: https://zbirke.zotks.si/2022/resources/ SS_matem_1137.pdf. 29 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Pomen načrtne rabe matematičnih terminov pri pouku matematike Impact of Intentional Use of Mathematical Terminology in Mathematics Classroom Ana Canzutti Osnovna šola Dornberk Izvleček Članek obravnava pomen načrtne rabe in gradnje matematičnega besedišča za izboljšanje razumevanja mate- matičnih konceptov ter spodbujanje učinkovitejše komunikacije v učnem procesu. Predstavljene so praktične strategije, kot so besediščni zid (angl. word wall), učne poti z matematičnimi termini ter aktivnosti, ki pri učencih spodbujajo rabo matematičnega izrazoslovja in diskusijo. Predstavljene so tudi izkušnje iz izvedbe delavnice na konferenci KUPM 2024, kjer so udeleženci preizkusili opisane pristope. Ključne besede: matematično besedišče, obogatena učna pot, besediščni zid, skupne lastnosti in razlike Abstract This article explores the importance of intentionally using and developing mathematical vocabulary to enhan- ce understanding of mathematical concepts and foster more effective communication in the learning process. It introduces practical strategies, such as word walls, learning paths enriched with mathematical terms, and in- teractive activities to encourage to use mathematical terminoligy and discussion. Experiences from the Confe- rence on Teaching and Learning Mathematics, where participants tested these approaches, are also presented. Keywords: mathematical terminology, enriched learning, word wall, commonalities and differences Pomen matematičnega dišča pomagajo učencem graditi samoza- olajšal načrtovanje in spodbujanje rabe besedišča vest pri izražanju in reševanju problemov. matematičnega jezika v praksi. Matematika ni zgolj niz formul in števil, temveč je jezik, ki povezuje abstraktne Učni načrt in matematično Raba matematičnega besedišče besedišča – primerjalna koncepte z realnim svetom. Ključni ele- ment tega jezika je matematično bese- analiza v 7. razredu dišče, ki učencem omogoča natančnejše Načrtno razvijanje in spodbujanje rabe izražanje, bolj poglobljeno razumevanje matematičnega besedišča postaja vse po- Na konkretnem primeru smo želeli raz- in učinkovitejše reševanje matematičnih membnejši del poučevanja, kar odražajo iskati vpliv načrtnega spodbujanja rabe tudi spremembe v osnutkih novih učnih matematičnega besedišča na učenčevo problemov. načrtov. Na srečanjih študijskih skupin za sposobnost ubeseditve postopkov in kon- Matematično besedišče je temelj za raz- matematiko v OŠ, ki so jih avgusta 2024 ceptov. V ta namen sva s kolegico izvedli vijanje štirih sporazumevalnih zmožno- primerjalno analizo med dvema oddelko- izvajale svetovalke za matematiko na Za- sti – poslušanja, govorjenja, branja in ma sedmega razreda pri obravnavi ulom- vodu RS za šolstvo, smo v delovnem gra- kov. V oddelku 1 učiteljica pri pouku ni pisanja. Po raziskavah Hattija, Fisherja in divu lahko zasledili, da bodo v prihodnje usmerjala pozornosti na rabo matema- Freya (2017) natančna raba terminologi- pri posameznih skupinah ciljev znotraj tične terminologije. Učenci so tako lahko je izboljšuje razumevanje matematičnih tem poleg ciljev in standardov znanja uporabljali splošne izraze, na primer tista pojmov in krepi učenčevo sposobnost vključeni tudi seznami strokovnih termi- številka zgoraj, namesto da bi uporabili povezovanja konceptov. Učitelji lahko s nov, povezanih z obravnavano skupino termin števec, pri čemer jih ni popravljala spodbujanjem rabe matematičnega bese- ciljev. Ta sistematični pristop bo učiteljem ali spodbujala k natančnejšemu izražanju. 30 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Preglednica 1: Primerjalna analiza med dvema oddelkoma 7. razreda zano na Sliki 1. Seznam strokovnih terminov oziroma besedišče vključuje Opis postopka Oddelek 1 (16 učencev) Oddelek 2 (17 učencev) ključne izraze, ki jih učenci spoznajo in uporabljajo. Med uro se učitelj večkrat Št. učencev Odstotek Št. učencev Odstotek vrača k temu seznamu, spodbuja rabo Ni opisa 8 50 % 0 0 % navedenih terminov in učence vodi k doslednejši rabi matematičnega jezika Napačen opis 1 6 % 3 18 % v njihovih razlagah in zapisih. Pravilen opis, besedišče zelo pomanjkljivo 6 38 % 0 0 % Pravilen opis, besedišče ustrezno 1 6 % 9 53 % Pravilen opis, besedišče popolnoma ustrezno 0 % 5 29 % Slika 1: Primer zapisa na stranski tabli. Prav tako ni uporabljala pripomočkov, postopek. Pravilen opis z ustreznim 2. Besediščni zid kot je učna pot, obogatena z matematič- besediščem je podalo 53 % učencev, Besediščni zid je interaktivni plakat, ki nimi termini, ki bi učencem pomagala pri medtem ko je 29 % učencev opisalo ga učitelj in učenci ustvarijo skupaj. Na rabi matematičnega strokovnega jezika. postopek s popolnoma ustrezno rabo primer, za osnovne računske operacije Nasprotno pa je v oddelku 2 učiteljica sis- matematičnega jezika. (seštevanje, odštevanje, množenje, de- tematično vključevala spodbude za upo- ljenje) lahko ustvarijo seznam sinoni- rabo matematičnih terminov, učenci pa V tem konkretnem primeru je načrtna mov in izrazov, ki jih uporabljamo za so pri tem uporabljali učne pripomočke, raba matematičnega besedišča pomemb- te računske operacije (Slika 2). Ključ- kot je učna pot z matematičnim besedi- no vplivala na sposobnost učencev, da so nega pomena je, da učenci sodelujejo ščem, kar jim je pomagalo pri doslednosti jasneje izrazili svoje misli in postopke. V pri oblikovanju besediščnega zidu, saj rabe pravilne matematične terminologije. oddelku, kjer je bila raba matematičnega to poveča njihovo vključenost v obli- jezika spodbujana, so učenci ne le bolje kovanje vsebine, kar ugodno vpliva na Učenci so dobili preprosto nalogo, in si- razumeli postopek, temveč so ga znali pogostejšo uporabo zapisov. cer: Ulomek 3 2 5 zapišite z ulomkom, ve- tudi natančneje opisati. To potrjuje, da je čjim od 1, in opišite postopek. načrtno in sistematično spodbujanje rabe Besediščni zid je vizualni pripomoček, ki nenehno spodbuja uporabo ma- ustreznega matematičnega izrazoslovja Vsebino so učenci usvojili v 6. razredu, tematičnega besedišča in diskusijo v pri pouku pomembno za razvoj sporazu- zato je večina učencev prvi del naloge učnem procesu. Lahko bi ga tudi po- mevalnih zmožnosti učencev pri mate- opravila pravilno. Z drugo učiteljico sva imenovali zid besed, pojmovni slovar matiki. izdelke učencev pobrali in se poenotili v ali kako drugače. kriterijih, po katerih sva pregledovali za- pise učencev, ki so opisovali postopek. V Aktivnosti za spodbujanje, preglednici 1 so prikazani rezultati, ki se nanašajo na zapisane opise postopka. izgradnjo in krepitev matematičnega besedišča Interpretacija rezultatov Pri pouku matematike na naši šoli so spodbujanje rabe strokovnih terminov, Rezultati so pokazali na izrazite razlike krepitev njihove uporabe in načrtna iz- med obema oddelkoma. gradnja strokovnega, v našem primeru matematičnega besedišča pripomogle k • Oddelek 1 (16 učencev): 50 % učencev bolj poglobljenemu učenju ter samozave- ni zapisalo opisa postopka, 38 % jih je sti učencev pri reševanju nalog. V nada- podalo pravilen opis, vendar z zelo po- ljevanju so opisane praktične aktivnosti, manjkljivo rabo besedišča, medtem ko ki se lahko izvajajo za dosego teh ciljev: je le 6 % učencev uporabilo ustrezno matematično izrazoslovje. Nihče od 1. Jasno definirani cilji učne ure s učencev ni dosegel popolne rabe ma- seznamom besedišča tematičnega jezika. Vsaka učna ura se začne z zapisom cilja ure, besedišča, ki ga bomo uporabljali, • Oddelek 2 (17 učencev): V tem oddel- in veščin, ki jih bomo razvijali, kar je Slika 2: Primer besediščnega zidu za osnovne ku so bili vsi učenci sposobni zapisati povzeto iz Hattie idr. (2017) in prika- računske operacije. 31 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 3. Učna pot z besediščem nariše zaporedje postaj, ki simbolizi- aktivnost omogoča učencem pregled Učna pot je vizualni pripomoček, ki rajo glavne vsebine poglavja. Učen- nad celotno temo, daje jasno struktu- ga učitelj pripravi oziroma nariše na ci učno pot narišejo v zvezek (Slika ro in usmeritev, katere vsebine bodo začetku obravnave novega poglavja. 5). Med obravnavo posamezne teme obravnavali, ter služi kot pripomoček Gre za prirejeno različico poti učenja, učitelj na tablo ali plakat, učenci pa v pri učenju. Poleg tega učna pot poma- ki jo Hattie omenja v svoji knjigi Vidno zvezek ob postaje dopisujejo matema- ga učencem pri oblikovanju kriterijev učenje za učitelje. Na učno pot učitelj tično besedišče (Slika 3 in Slika 4). Ta uspešnosti. Slika 3: Učna pot »Naravna števila« s pripisanim matematičnim besediščem, 7. razred. Slika 4: Učna pot »Osnovni geometrijski pojmi« z matematičnim besediščem, 6. razred. 32 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA • kartončke z lastnostmi notranjih kotov (npr. »Vsi štirje notranji koti so skladni.«). Naloga skupine je bila, da vsaki sliki štirikotnika priredi ustrezne kartončke z imenom ter lastnostmi stranic, dia- gonal in kotov. Med delom so morali učenci aktivno sodelovati, razpravljati in soočati različna mnenja o pravilni razvrstitvi lastnosti. Skupinska raz- prava jih je spodbujala k natančni rabi matematičnega besedišča, kot so npr. stranica, kot, diagonala, skladnost, vzporednost in pravokotnost, kar je bil pomemben poudarek pri aktivnosti. Učenci so med seboj argumentirali iz- biro posameznih kartončkov ter tako poglabljali svoje znanje o geometrij- skih lastnostih štirikotnikov. S tem so razvijali sposobnost jasne komunikaci- je in natančnega matematičnega izra- žanja. Koti (Slika 7) Učenci so delali v manjših skupinah, kjer je vsaka skupina prejela komplet kartončkov z imeni kotov (kot nič, ostri kot, pravi kot, topi kot, iztegnje- ni kot, vdrti kot in polni kot) ter sliči- cami, ki so ponazarjale različne kote. Njihova naloga je bila, da sličice raz- vrstijo k ustrezni vrsti kota. Poudarek ni bil zgolj na pravilni razvrstitvi, tem- več tudi na argumentaciji izbire, saj so morali učenci svoje mnenje utemeljiti pred drugimi člani skupine. Med dis- kusijo so se soočala različna stališča, učenci pa so pri tem uporabljali mate- matično besedišče, npr. vrh kota, krak kota, notranjost kota in zunanjost kota. Aktivnost je tako spodbujala natančno izražanje in sodelovalno delo. Osnovni geometrijski pojmi (Slika 8) Slika 5: Učna pot vsebine »Ulomki« z matematičnim besediščem učenke iz 7. razreda. Učenci so delali v manjših skupinah, kjer je vsaka skupina prejela komplet 4. Aktivnosti prirejanja in razvrščanja notranjih kotov. Komplet je vseboval kartončkov z imeni osnovnih geo- Aktivnosti prirejanja in razvrščanja pet tipov kartončkov: metrijskih elementov (točka, daljica, spodbujajo učence, da razvijajo poj- • slike štirikotnikov, poltrak, premica, ravnina), slikovnimi movne sheme in povezujejo različne • kartončke z imeni posameznih šti- predstavitvami, simbolnimi zapisi in matematične izraze, simbole in kon- rikotnikov (npr. kvadrat, romb, pra- opisi. Njihova naloga je bila, da pra- cepte. vokotnik, trapez, deltoid, paralelo- vilno povežejo posamezne elemente s pripadajočimi slikami, simboli in Lastnosti štirikotnikov (Slika 6) gram), opisi. Med aktivnostjo so učenci so- Učenci so bili pri tej aktivnosti raz- • kartončke z lastnostmi diagonal deljeni v manjše skupine, pri čemer (npr. »Diagonali sta pravokotni. Di- delovali, izmenjevali mnenja in svoje odločitve utemeljevali z uporabo ma- je vsaka skupina prejela komplet kar- agonali se razpolavljata.«), tematičnega besedišča, kot so točka, tončkov s slikami različnih štiriko- • kartončke z lastnostmi stranic (npr. ravna črta, omejenost, neskončnost in tnikov, njihovim poimenovanjem ter »Ima dva para vzporednih in skla- ploskev. Aktivnost je spodbujala rabo zapisom lastnosti stranic, diagonal in dnih stranic.«), matematičnega izražanja. 33 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 nje in rabo matematičnih terminov. Diskusije med učenci spodbujajo argu- mentirano izražanje mnenj, soočanje idej ter poglabljanje razumevanja kon- ceptov. Aktivnost je posebej primerna za delo v manjših skupinah, kjer učenci sodelujejo in se medsebojno učijo. Na Sliki 9 je prikazan rešen delovni list za aktivnost iskanja skupnih lastnosti in razlik, ki so jih učenci iskali na prime- ru treh parov ulomkov. 6. Spisi z matematično vsebino Pisanje daljših besedil z matematično vsebino je kompleksna aktivnost, kjer učenci pokažejo razumevanje mate- matičnih konceptov, postopkov in iz- razoslovja. Aktivnost lahko poteka v treh fazah: • Prva faza: Pisanje spisa Učenci glede na jasna navodila in kriterije uspešnosti opišejo dolo- čeno temo, razlagajo in primerjajo Slika 6: Rešen primer aktivnosti »Lastnosti štirikotnikov«, 7. razred. postopke ali lastnosti itd. • Druga faza: Vrstniška povratna in- Diskusije z vrstniki o tem, zakaj neki ele- 5. Iskanje skupnih lastnosti in razlik formacija ment pripada določeni kategoriji ali sku- Pri tej aktivnosti učenci primerjajo vsaj Učenci si med seboj preberejo be- pini, krepijo kritično mišljenje in rabo dva matematična elementa (npr. števi- sedila in podajo povratne informa- matematičnih terminov. Aktivnosti so la, like, funkcije) ter iščejo in zapisuje- cije glede na kriterije uspešnosti. primerne za delo v celotnem razredu, jo njihove skupne lastnosti in razlike. Poudarijo, kar je v besedilu dobro manjših skupinah ali parih. Aktivnost zahteva natančno opazova- napisano, ter opozorijo na ustrezno Slika 7: Učenci 6. razreda pri aktivnosti »Koti«. 34 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Slika 8: Rešen primer aktivnosti »Osnovni geometrijski pojmi«, 6. razred. Slika 9: Rešen delovni list učenca za aktivnost iskanja skupnih lastnosti in razlik danih ulomkov. 35 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 rabo matematičnega jezika, jasnost ci v delavnici Matematično besedišče kot skupne lastnosti in razlike treh parov razlage in pravilnost morebitnih orodje za boljše razumevanje matematič- števil, kot je prikazano na Sliki 9. opisanih postopkov. Podajo si tudi nih konceptov (Canzutti, 2024) preizkusili nasvete za izboljšavo, s pomočjo dve aktivnosti: Nato so po skupinah izbrali vsebine iz katerih bodo lahko avtorji izboljšali prej narejenih učnih poti in oblikovali na- svoja dela. 1) Izdelava učne poti: loge (Slika 11 in Slika 12), kjer so primer- Vsaka skupina je izdelala eno učno pot. jali matematične pojme z vidika njihovih • Tretja faza: Učenci izboljšajo svoj Izbirali so med temami: racionalna šte- podobnosti in razlik. S to aktivnostjo smo spis na podlagi dobljene povratne vila (6. razred), štirikotniki (7. razred), pokazali, kako lahko razprava spodbuja informacije, s čimer poglobijo svoje večkotniki (8. razred) in geometrijska kritično mišljenje. razumevanje in natančnost izraža- telesa (9. razred). Po želji so lahko iz- nja. brali drugo temo. Udeleženci so k vsa- Učitelji so na delavnici pridobili praktič- ki postaji na učni poti pripisali ustre- ne strategije, ki jih lahko vključijo v svoje zne matematične termine (Slika 10). poučevanje, kar bo lahko dolgoročno pri- Izvedeni aktivnosti na Aktivnost je učiteljem omogočila prak- spevalo k izboljšanju rabe matematičnega delavnici konference tično izkušnjo dejavnosti, ki spodbuja besedišča pri učencih. KUPM 2024 razvoj matematičnega besedišča. 2) Skupne lastnosti in razlike: Na Konferenci o učenju in poučevanju Udeleženci so se najprej preizkusili z matematike – KUPM 2024 so udeležen- aktivnostjo, kjer so poiskali in zapisali Slika 10: Primer učne poti, ki so jo izdelali udeleženci delavnice. 36 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Slika 11: Primer naloge »Skupne lastnosti in razlike trikotnikov«, ki so jo izdelali udeleženci delavnice. Slika 12: Izdelek udeležencev delavnice: »Skupne lastnosti in razlike štirikotnikov«. 37 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Zaključek Matematično besedišče je več kot le nabor terminov – je orodje, ki odpira vrata do kritičnega mišljenja, ustvar- jalnosti, poglobljenega razumevanja in samozavestnejšega izražanja svojih idej. Z načrtno uporabo opisanih aktivnosti učitelji pri učencih ne gradimo zgolj jezikovne spretnosti, temveč tudi oblikujemo učence, da bodo kritični misleci, sodelovalni partnerji in samostojni raziskovalci. Učitelje vabimo k preizkušanju predstavljenih strategij in deljenju svojih izkušenj, saj skupaj ustvarjamo pro- stor za uspešno učenje matematike. »Daj učencem besede, da izrazijo svoje misli, in dal jim boš sposobnost, da svoje ideje oblikujejo, sprašujejo in ustvarjajo.« OpenAI, 2024 Literatura in viri Canzutti, A. (2024). Matematično besedišče kot orodje za boljše razumevanje matematičnih konceptov (delavnica). KUPM 2024. https:// kupm.zrss.si/matematicno-besedisce-kot-orodje-za-boljse-razumevanje-matematicnih-konceptov-delavnica/ Hattie, J. (2018). Vidno učenje za učitelje: Maksimiranje vpliva na učenje. Griže: Svetovalno-izobraževalni center MI. Hattie, J., Fisher, D., in Frey, N. (2017). Visible learning for mathematics: What works best to optimize student learning. Corwin. OpenAI. (2024). ChatGPT (GPT-4, 5. 11. 2024) [generativni jezikovni model]. https://chat.openai.com/ (Ukaz: »Pravkar sem naredila tudi powerpoint predstavitev, s katero sem zelo zadovoljna. Na zadnjo prosojnico sem zapisala "Hvala za vašo pozornost in sodelovanje." Rada pa bi dodala še kakšen smiselen citat, ki bi bil vmesen, navdihujoč, spodbuden za učitelje in prim- eren za zaključek predstavitve, ki sem ti jo pravkar naložila. Citat naj vsebuje, če se da, besede: besedišče, jezik, poznavanje strokovnih (matematičnih) terminov. Napiši 5 citatov.«) Odgovor orodja UI: » 1. "Besede so orodja misli; ko učenci obvladajo strokovni jezik, odklenejo nova vrata do razumevanja." – Neznan avtor 2. "Matematika je univerzalni jezik, toda brez ustreznega besedišča jo je težko razumeti in deliti." – Neznan avtor 3. "Daj učencem besede, da izrazijo svoje misli, in dal jim boš sposobnost, da svoje ideje oblikujejo, sprašujejo in ustvarjajo." – Neznan avtor 4. "Bogato matematično besedišče omogoča učencem, da oblikujejo misli in gradijo vezi med koncepti – je most med ra- zumevanjem in izražanjem." – Neznan avtor 5. "Poznavanje pravega besedišča pomeni več kot le učenje definicij; pomeni opolnomočenje učencev, da sami raziskujejo in razumejo svet." – Neznan avtor Ti citati poudarjajo moč jezika in terminologije v učnem procesu ter spodbujajo učitelje k temu, da učencem omogočajo dostop do bogatega besedišča. « 38 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Naravoslovni dan Science Day Lidija Venko Osnovna šola Pod goro Slovenske Konjice Izvleček V članku je predstavljen naravoslovni dan v 6. razredu z uporabo matematičnih vsebin. Opisana je izvedba praktičnega dela v razredu in na terenu. Prikazane so vsebine z uporabo matematičnega znanja obsega, plošči- ne, površine, kroga in rimskih številk. Ob nalogah, ki so jih učenci reševali, so opisani matematični problemi z uporabo pridobljenega znanja pri pouku matematike. Nakazane so tudi težave, s katerimi so se učenci sreče- vali pri reševanju. Predstavljene so oblike sodelovanja med učenci. Ključne besede: matematika v praksi, terensko delo, sodelovanje Abstract This article details a sixth-grade science day centred on mathematics, showcasing how to integrate practical activities in the classroom and during fieldwork. The activities are structured around key mathematical con- cepts, such as volume, area, surface area, circle and Roman numerals. The article outlines the mathematical challenges posed to students, how they applied their classroom knowledge to solve them, and the dilemmas that occurred. Additionally, the paper explores the diverse forms of collaborative learning. Keywords: mathematics in practice, fieldwork, collaboration Uvod V Konceptu dni dejavnosti (1998) je zapisano, da učenci pri pou- ku pridobljena teoretična znanja aktivno in sistematično dopol- Matematika je abstraktna in sistematična znanost, ki se ukvarja z njujejo na dnevih dejavnosti. To je tisti del obveznega progra- raziskovanjem števil, količin, oblik, struktur in njihovih medse- ma osnovne šole, kjer medpredmetno povezujejo discipline in bojnih odnosov. Je ena najstarejših znanstvenih disciplin. Mate- medpredmetna področja, vključena v predmetnik osnovne šole. matika je osnova za razvoj drugih ved in ima pomembno vlogo Njihovo vsebino in organizacijsko izvedbo določa letni delovni pri reševanju različnih problemov v vsakdanjem življenju ter na- načrt šole. Dnevi dejavnosti spodbujajo vedoželjnost, aktivnost, predku družbe kot celote. Igra ključno vlogo v izobraževalnem ustvarjalnost in samoiniciativnost učenk ter učencev, jih uspo- sistemu in spodbuja razvoj kritičnega razmišljanja, reševanja sabljajo za samostojno opazovanje in pridobivanje izkušenj ter problemov in logičnega sklepanja (Chat GPT, 2023). znanja, za razvijanje spretnosti ter za samostojno reševanje pro- blemov. Ob teh dejavnostih učenci in učenke znanje različnih Matematika omogoča natančen in sistematičen način razmi- področij med seboj povezujejo v celoto. Nadalje je v Konceptu šljanja. Uporablja se za razvoj tehnologije, raziskovanje vesolja, načrtovanje infrastrukture, reševanje gospodarskih izzivov in še dni dejavnosti zapisano, da naravoslovni dnevi vsebujejo nasle- veliko več. Matematika je osnova za številne inovacije in prispe- dnja področja: biologijo, kemijo, fiziko, astronomijo, gospodinj- va k napredku človeštva na mnogih področjih. Pomembno je, da stvo, geologijo, fizično geografijo, matematiko. Težišče dejavno- otrokom predstavimo matematiko kot zabavno in uporabno ter sti pri oblikovanju naravoslovnega dne izhaja iz naravoslovja. da spodbujamo njihovo radovednost. S pozitivnim pristopom in V 6. razredu imajo učenci v šolskem letu tri naravoslovne dni. ustvarjalnimi metodami lahko pomagamo otrokom razviti trdne Na naši šoli sta dva naravoslovna dneva vsebinsko povezana s temelje v matematiki in spodbujamo njihovo matematično mi- šljenje (Chat GPT, 2023). poukom naravoslovja, tretji pa je bil v šolskem letu 2022/23 prvič povezan s področjem matematičnih vsebin. Med šolskim letom Po pogovorih z učenci in starši lahko sklepamo, da je matemati- sem razmišljala, katere vsebine bi bile primerne, zanimive, upo- ka na naši šoli priljubljen predmet, takoj za športom. Pravijo, da rabne in izvedljive. Odločila sem se za vsebine iz geometrije in zato, ker čas med uro hitro mine, ker se je ni treba učiti … Veliko aritmetike. Naravoslovni dan sem izvedla v zadnjem tednu šol- vsebin pri matematiki je uporabnih, življenjskih, in prav je, da skega leta. Do takrat so bile predelane učne vsebine, na razpolago učitelj že med samo razlago pri obravnavi vsebin na to opozori. je bilo več učilnic, učiteljev in primerno vreme za terensko delo. 39 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Cilji naravoslovnega dne teles poljubno prestavljali tako, da so dobili različne možnosti mrež. Utemeljili so, katere možnosti so napačne in zakaj. Učenci na praktičnih primerih povezujejo teorijo s prakso in Na listu so dobili več narisanih mrež obeh teles (Slika 1). V sku- ponovijo matematične pojme v povezavi s ploščino, obsegom, pini so se posvetovali, iz katerih mrež lahko sestavijo kocko oz. površino, polmerom in premerom krožnice. Samostojno riše- kvader in iz katerih tega ne morejo narediti ter zakaj ne. Vsak jo, izrezujejo, sestavljajo in preizkušajo mreže kocke in kvadra. učenec je izrezal vsaj eno mrežo, iz katere je po prepogibanju Spoznavajo, da je matematika prisotna v različnih življenjskih nastalo geometrijsko telo, in jo z eno mejno ploskvijo prilepil v situacijah. Medsebojno si pomagajo in sodelujejo v skupinskem zvezek. V skupini so primerjali svoje izdelke. praktičnem delu. Cilji iz učnega načrta za matematiko, ki jih realiziramo z navede- nimi dejavnostmi na naravoslovnem dnevu, so: Učenci: • poznajo rimske številske znake, • zapišejo in preberejo števila, zapisana z rimskimi številkami, • poznajo enote za merjenje dolžine in odnose med njimi, • spoznajo ploščinske enote kvadratni meter, ar, hektar in jih povežejo s primeri iz vsakdanjega življenja, • računajo s ploščinskimi enotami, • izračunajo obseg kvadrata z dano dolžino stranic, • opredelijo pojem mreža telesa in oblikujejo različne mreže, • usvojijo pojem polmer in premer kroga, • usvojijo in razlikujejo med pojmoma krožnica in krog. Poleg navedenih ciljev smo učence spodbujali k ocenjevanju meritev, učenci so se urili v strategijah poskušanja in uporabe geometrijskega orodja. Izvedba naravoslovnega dne Navodila za izvedbo naravoslovnega dne so učenci dobili pri uri matematike dva dni pred naravoslovnim dnevom. Izvedeli so, kaj bodo počeli, katere pripomočke bodo potrebovali (zvezek, škarje, lepilo, svinčnik, barvice/flomastri, beli listi, dolga šablo- na, podlaga, magnetni model kocke in kvadra), kako morajo biti oblečeni in obuti. Naravoslovni dan je trajal pet šolskih ur in je Slika 1: Narisane mreže. (Vir: lasten.) bil razdeljen na tri dele. V prvem in drugem delu je bil razred razdeljen na dve skupini. Načrtovanje mreže kocke in kvadra V drugem delu se je učitelju v vsaki skupini pridružil še dodatni učitelj, v tretjem delu pa je sledila evalvacija dela. Sledilo je načrtovanje mreže kocke in kvadra. Učenci so dobili naslednje navodilo: PRVI DEL – DELO V RAZREDU (dve šolski uri) Nariši mrežo kocke (a = 55 mm) in kvadra (a = 75 mm, b = 5 cm in c = 35 mm), pobarvaj nasproti ležeči mejni Oblikovanje skupin ploskvi z isto barvo, mrežo izreži in jo z eno mejno ploskvijo prilepi v zvezek. V vsaki skupini so učenci oblikovali tri skupine (3–4 učenci v skupini). Učitelj je pri oblikovanju skupin upošteval želje učen- cev. Pri načrtovanju mreže kvadra so imeli učenci s slabšo prostorsko predstavljivostjo težave z določanjem nasproti ležeče mejne plo- skve. Pomagali so jim uspešnejši učenci. Če pomoč sošolcev ni Sestavljanje in prepogibanje mreže kocke in kvadra zadoščala, je pomagal tudi učitelj. Na modelu kocke in kvadra so ponovili njune lastnosti (število mejnih ploskev, liki, ki ju omejujejo, število robov, oglišč). Rimske številke Dani model kocke in kvadra so razstavili tako, da je nastala mre- Ponovili smo zapis rimskih številk. Naredili smo nekaj konkre- ža kocke oz. kvadra. Učenci so magnetne mejne ploskve obeh tnih primerov, kako arabsko številko zapišejo z rimskimi števil- 40 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Slika 2: a) mreža kvadra v zvezku, b) mreža kocke v zvezku. (Vir: lasten.) kami in obratno. Rimske številke so učenci uporabili v drugem pet poljubnih letnic rojstva in smrti ter jih je zapisala z rimski- delu naravoslovnega dne. mi številkami. Izračunati so morali tudi starost teh oseb v letih. Nalogo so opravili individualno ali v paru in izpolnili delovni Izdelava letala iz papirja list. Nekaj učencev je imelo težave pri računanju starosti oseb, saj niso vedeli, katero število je odštevanec in katero zmanjševanec. Sledila je zabavna praktična naloga, v kateri so učenci z medse- Bili so presenečeni, da so nekateri živeli samo nekaj mesecev, bojno pomočjo s prepogibanjem iz papirja formata A4 naredili spet drugi pa preko devetdeset let. Učenci so bili na pokopališču poljubno letalo. Ob dani nalogi je učitelj opazil veliko razliko prostorsko in časovno omejeni. Z zapisom rimskih številk niso med spoloma. Uspešnejši so bili dečki, večina deklic pa je nalo- imeli večjih težav. Nekateri učenci so pozabili posamezne znake go uspešno opravila s pomočjo sošolcev. Načini zgibanja so bili in pravila za zapis rimskih števil. različni in prepuščeni iznajdljivosti ter ustvarjalnosti učencev. Naloga 2 Tekmovanje letal so preizkusili na terenu v drugem delu nara- Na poti s pokopališča proti parku Trebnik so se ustavili na asfal- voslovnega dne. tnem parkirišču, kjer so opravili nalogo risanja krožnice. Zasta- vljen jim je bil problem, kako naj narišejo krožnico s polmerom en meter na sredini košarkarskega igrišča. Ugotovili so, da ni- DRUGI DEL – DELO V OKOLICI ŠOLE majo tako velikega šestila. S pomočjo učiteljevih podvprašanj so (dve šolski uri) posamezniki poiskali rešitev. Učenci so v razredu dobili navodila za delo v okolici šole. Posebej Ponovili smo pojma polmer in premer krožnice ter razliko med so bili opozorjeni na primerno obnašanje na pokopališču. Dobili pojmoma krog in krožnica. Nato je vsak par učencev z vrvico in so delovni list, na katerega so reševali naloge na terenu. s kredo narisal krožnico. En konec vrvice sta učenca privezala na palico, drugi pa na odebeljeno barvno kredo. Izmerila sta polmer Pripomočki: zvezek, pisalo, meter (kolut z dolžino 20 m), šest in z iztegnjeno vrvico narisala krožnico. palic (dolžina 0,5 m), debelejše krede, vrvica (1–2 m), papir for- mata A4, delovni list za učence (delovni list na terenu) Naloga 3 Preden smo prispeli v park Trebnik, smo izvedli tekmovanje s Naloga 1 papirnatimi letali. Na bližnjem travniku sta učenca istočasno vr- Prva skupina je odšla na bližnje pokopališče (sedem minut hoje) gla vsak svoje iz papirja izdelano letalo. Učenec, katerega letalo je in je z nagrobnih spomenikov v okolice cerkvice sv. Ane izpisala letelo najdlje, se je pomeril z naslednjim sošolcem. Tekmovanje 41 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Slika 3: Delovni list na terenu. je trajalo tako dolgo, dokler nismo dobili zmagovalca. Učenci so Sledilo je reševanje računskih nalog na delovnem listu. sklepali, da na to, kako daleč letalo poleti, vpliva več dejavni- • Izračunaj obseg kvadratnega zemljišča, ki ima površino en ar. kov. Pojasnili smo, da na to vplivajo veter, način zgibanja letala, • Koliko stane 6,5 ara zemljišča, če stane en ar 8500 evrov? debelina zgibanega papirja, način, kako porinejo letalo v zrak. Učenci so ocenili dolžino poleta letala. Oceno so nato preverili z meritvijo. Ob dani nalogi so učenci zelo uživali. Slika 4: Tekmovanje s papirnatimi letali. Naloga 4 Slika 5: Izmera ara. Nalogo smo izvedli na travniku parka Trebnik. Ponovili smo poj- ma obseg in ploščina ter merske enote za ploščino (kvadratni Druga računska naloga je učencem povzročala nekaj težav pri meter, ar, hektar in pretvornike med njimi). postopku in postavitvi decimalne vejice, ki so jo učenci kar iz- pustili. Učenci so dobili nalogo, da v skupini (štirje učenci) s koraki določijo kvadratno zemljišče v velikosti enega ara. Na začetku Naloga 5 so izmerili, da je njihov korak dolg približno en meter. Nato so Preden so se učenci vrnili v razred, so šli mimo cerkve sv. Jurija, v eno oglišče zapičili palico, naredili deset korakov in označili na kateri je sončna ura z rimskimi številkami. Odčitali so čas na drugo oglišče. S koraki so določili še tretje in četrto oglišče. Dol- sončni uri, ki pa je kazal eno uro manj. Prvi skupini učencev ni žino kvadratnega zemljišča so nato preverili z metrom. Dobili uspelo ugotoviti, zakaj. V drugi skupini pa je en učenec ugotovil, so različne dolžine kvadratnega zemljišča, zato so sklepali, da se da sončna ura kaže eno uro manj zato, ker smo kazalce na uri dolžine njihovih korakov razlikujejo med seboj. prestavili na poletni čas za uro naprej. 42 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA DEL – EVALVACIJA DELA (učilnica, ena šolska ura) Druga skupina je naloge opravljala v nasprotni smeri in zadnjo uro sta se skupini združili. Evalvacijo naravoslovnega dne je uči- telj skupaj z učenci naredil v razredu. Učenci so si med seboj pre- verili urejenost prilepljenih in narisanih mrež kocke in kvadra, računski nalogi na delovnem listu ter preglednico z arabskimi in rimskimi številkami. Učitelj se je z učenci pogovoril o tem, s katerimi matematični- mi vsebinami so se na naravoslovnem dnevu srečali, kje so imeli težave in kako so jih reševali. Povprašal jih je tudi, kako so si razdelili delo v skupini, kako so sodelovali in kaj bi naslednjič izboljšali. Učencem je bil naravoslovni dan všeč. Kljub temu da je bil dan izveden le dva dneva pred počitnicami, so bili za delo motivirani. Med seboj so sodelovali, si pomagali. Posebej jim je bilo všeč, ker je bilo delo praktično naravnano in so velik del časa preživeli v Slika 6: Sončna ura na cerkvi sv. Jurija. naravi. Sklepne misli Učitelj je bil z izvedenim naravoslovnim dnem zadovoljen. Organizacija dela je bila odlična in je potekala nemoteno. Vsebine, ki jih je izbral, so bile dovolj zanimive, uporabne in motivacijske za učence. Presenetila ga je delovna vnema učencev. Opazoval in spremljal je iznajdljivost učencev v novih situacijah in njihovo uporabo znanja v praktičnih primerih. Opazil je, da so bili nekateri učenci pri delu v učilnici (načrtovanje mreže) počasni in nespretni, pri delu v okolici šole pa praktično naravnani, iznajdljivi in pripravljeni poma- gati drug drugemu. Pozitivno so ga presenetili učenci, ki so kazali veliko zanimanje za vse ponujene naloge na naravoslovnem dnevu in so bili ves čas aktivni, čeprav so se prav tako srečali z ovirami, ko naloge niso znali rešiti takoj. V tem primeru so vztrajali, se posvetovali v skupini s preostalimi sošolci in ponovno iskali rešitev. Naslednjič bi učitelj otroke na naravoslovnem dnevu razdelil v čim manjše skupine, ki bi bile heterogene, da bi lahko spretnejši učenci pomagali manj spretnim. Učitelj zelo težko pomaga vsakemu posebej. Vreme v zadnjih junijskih dneh je bilo izjemno vroče. Čeprav so bili učenci primerno oblečeni, imeli so po- krivalo, vodo, so težko prenašali vročino. Naslednjič bi bilo ob takšnih vremenskih situacijah zato smiselno najprej izvesti delo na terenu in šele nato v razredu. Viri in literatura Učni načrt. (2011). Program osnovna šola Matematika. Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod RS za šolstvo. https://www.gov.si/assets/ ministrstva/MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. Koncept dni dejavnosti. (1998). Ministrstvo za izobraževanje: Drugi konceptualni dokumenti. https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MVI/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/Drugi-konceptualni-dokumenti/Dnevi_dejavnosti.pdf. Orodja umetne inteligence OpenAI ChatGPT. (2023, 24. september). https://chat.openai.com/. 43 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Nadarjeni in potencialno nadarjeni dijaki pri pouku matematike Gifted and Potentially Gifted Students in Mathematics Jasna Kvenderc Medvešek Šolski center Novo mesto, Srednja elektro-računalniška šola in tehniška gimnazija Izvleček Članek se osredotoča na delo z nadarjenimi in potencialno nadarjenimi dijaki pri pouku matematike. Pred- stavljeno je, kako lahko med učno uro matematike integriramo različne metode in oblike dela s pomočjo različnih didaktičnih pristopov in strategij. Naloga učitelja nadarjenega dijaka je, da ga v prvi vrsti prepozna ter ga nato ustrezno vodi skozi srednješolsko vertikalo znanja. Namen članka je predstaviti tri primere učne prakse pri pouku matematike. Cilj učnih ur je, da dijaki s pomočjo poliedrov ugotovijo Eulerjevo poliedrsko formulo. Prav tako s pomočjo programov dinamične geometrije spoznajo Eulerjevo premico ter preiščejo logotip za McDonald‘s. V zaključnem delu članka je predstavljen primer uporabe programske opreme Open- SCAD, kjer imajo priložnost spoznavati prostornine narisanih geometrijskih teles. Z izvedenimi učnimi urami nadarjenim in potencialno nadarjenim dijakom ponudimo priložnost, da preiskujejo, se ob dejavnostih ter aktivnostih dopolnjujejo, ob aktivnostih pojasnjujejo svoje razumevanje, interpretirajo problemsko situacijo in predlagajo rešitve. Ključne besede: nadarjen dijak, pouk matematike, primeri učne prakse, učitelj Abstract This article investigates ways of working with gifted and potentially gifted students in the mathematics clas- sroom, focusing on diverse didactic approaches and teaching methods. The process begins with identifying gifted students and guiding them through progressively advanced concepts within the secondary school mathematics curriculum. The article includes three teaching examples designed to engage and challenge these students: deriving Euler‘s polyhedral formula through polyhedral exploration, studying the Euler line with dynamic geometry software and analysing the McDonald‘s logo as a mathematical inquiry, and using Open- SCAD software to explore the volumes of geometric solids designed by students. These activities encourage gifted and potentially gifted students to study mathematical concepts, collaborate, clarify their understanding, interpret problem scenarios, and propose creative solutions. Keywords: gifted students, mathematics instruction, instructional strategies, teacher 1 Uvod Pomembno je, da pri pouku upoštevamo 2 Nadarjeni učenci in dijaki vsakega posameznika ter da pouk kar v Povsem napačno razmišljanje je, da na- največji meri individualiziramo in dife- Nadarjeni učenci so učenci, ki izkazujejo darjenost zadostuje, da bo mladostnik renciramo. Le tako bomo dosegli, da bo visoko nadpovprečne sposobnosti mišlje- uspešen. Pozabljamo, kako pomemb- vsak posameznik napredoval tako hitro in nja ali izjemne dosežke na posameznih no je, da mladostniku nudimo primer- tako daleč, kot zmore, da bo lahko uresni- učnih področjih, v umetnosti ali športu. no okolje, da se bo njegova nadarjenost čil svoje želje, potrebe in interese. Osnovna šola tem učencem zagotavlja lahko optimalno razvila. Pomembne so ustrezne pogoje za vzgojo in izobraževa- Nadarjeni posamezniki potrebujejo po- spodbude iz okolja, ki mladostnika ob- nje tako, da jim prilagodi vsebine, metode sebno pozornost, drugačne vzgojno-izo- daja; osebe, s katerimi je v vsakdanjem in oblike dela pri pouku ter jim omogoči braževalne pristope, drugačne učne oblike vključitev v ustrezno dejavnost razširjene- stiku; odnos, ki ga ima s temi osebami; in metode, drugačne naloge in zadolžitve, ga programa (ZOsn-K, 2024). vzgoja, ki je je deležen, ter zgledi in spod- predvsem pa spodbudno okolje ter mo- bude, ki jih dobi od zanj pomembnih žnost, da svoje potenciale, potrebe in inte- V konceptu Odkrivanje in delo z nadar- oseb. rese razvijejo do najvišje mogoče stopnje. jenimi učenci v devetletni osnovni šoli 44 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA je zapisano, da so – v skladu z ameriško • kaže vpogled v aritmetične probleme, zirajo svoje potenciale, so (Instance in opredelitvijo, zapisano v njihovem zakonu ki sicer zahtevajo pazljivo sklepanje in Dumont, 2010, str. 317–338) takšna, da o izobraževanju iz leta 1978 – nadarjeni brez oklevanja razume matematične so dijaki aktivni udeleženci učnega pro- in talentirani tisti otroci in mladostniki, probleme; cesa, da aktivno sodelujejo pri izgradnji ki so bodisi na predšolski stopnji bodisi • kaže ustvarjalne sposobnosti in domi- in nadgradnji znanja ter izkušenj v coni v osnovni ali srednji šoli pokazali visoke šljijske izraze na področjih, kot so glas- bližnjega razvoja. Osrednja vloga učiteljev dosežke ali potenciale na intelektualnem, ba, ples, drama; pri tem je, da organizirajo učenje; poskr- ustvarjalnem, specifično akademskem, • kaže občutljivost in spretnost v ritmu, bijo, da je učno okolje socialno in inklu- vodstvenem ali umetniškem področju in gibu in gibalnem nadzoru telesa; zivno ter da potekajo strukturirane učne ki poleg rednega šolskega programa po- • zna zadržati osredotočenost tudi dalj interakcije, raznovrstne učne dejavnosti, trebujejo posebej prilagojene programe časa in kaže izjemno odgovornost ter temelječe na sodelovalnem učenju. Učitelj in aktivnosti. Torej med nadarjene in ta- neodvisnost pri delu v razredu; mora poskrbeti, da učno okolje omogoča lentirane po tej opredelitvi štejemo tako • zna realno postaviti visoke standarde razvoj temeljnih spretnosti in veščin za tiste z dejanskimi visokimi dosežki kot zase, je samokritičen pri vrednotenju 21. stoletje, kot so kritično mišljenje in tudi tiste s potencialnimi zmožnostmi za in korigiranju svojih lastnih poskusov; inovativnost, komunikacija, sodelovanje take dosežke, in sicer na naslednjih po- • zna videti problem z več zornih kotov; in kreativnost. Nadalje se morajo učitelji dročjih: splošna intelektualna sposobnost, • temeljito in poglobljeno opazuje ter se zavedati pomembnosti motivacije ter te- specifična akademska (šolska) zmožnost, odziva na nove ideje; meljne vloge čustev pri učnih dosežkih. kreativno ali produktivno mišljenje, spo- • izkazuje socialno in osebnostno ravno- Prav tako je pomembno, da je učno okolje sobnost vodenja, sposobnost za vizualne vesje; personalizirano, prilagojeno individual- in tako imenovane izvajalske umetnosti • doživlja vznemirjenje in zadovoljstvo nim razlikam učencev, vključno z njiho- (Žagar idr., 1999). pri intelektualnih izzivih in vim predznanjem. Učno okolje naj vsebu- • izraža čuječnost in prefinjen smisel za je vzgojno-izobraževalne/učne programe V opredelitvi nadarjenosti v Konceptu humor (Ekspertna skupina, 2019). (vsebine), ki temeljijo na prizadevanju in vzgojno-izobraževalnega dela z nadarje- odgovornem delu, izzivih za vse, a ki niso nimi dijaki v srednjem izobraževanju je čezmerno obremenjujoči. Učna pričako- dodano (tega v opredelitvi v konceptu OŠ vanja naj bodo jasna, strategije ocenjeva- ni), da »psihomotorične sposobnosti v za- 3 Vloga in naloga učitelja dnji ameriški definiciji iz leta 1988 sicer pri delu z nadarjenimi nja usklajene, velik poudarek je tudi na formativnem spremljanju. Pomembna je niso posebej izpostavljene, za naše razme- posamezniki tudi horizontalna in vertikalna poveza- re pa velja, da psihomotorično področje nost med področji znanja in predmeti kot ostaja posebno področje nadarjenosti« Učitelj, ki ima v razredu nadarjene učen- tudi širše z družbo in svetom. (Žagar idr., 2007). ce, mora biti dovolj zrel in sposoben spre- Za nadarjenega posameznika velja, da: jemati posameznike z vrhunskimi spo- Pomembno je omeniti dvajset najpo- membnejših psiholoških načel za delo • kaže izjemne zmožnosti sklepanja in sobnostmi. Za nadarjene dijake najde in izrazite sposobnosti ravnanja z idejami; oblikuje najboljše pogoje za njihov razvoj, z nadarjenimi, kot jih navaja Juriševič (2012): • z lahkoto posplošuje s specifičnih dej- hkrati pa razume in je seznanjen z občutki stev in je zmožen videti slabo opazne osamljenosti in frustracije pri nadarjenih • prepričanja o sposobnostih vplivajo na njihove spoznavne procese in učenje; odnose; dijakih, ki so posledica prehitrega intelek- • ima izjemno sposobnost reševanja pro- tualnega razvoja nad čustvenim in fizič- • predznanje učencev vpliva na njihovo blemov; nim. učenje; • učenčev spoznavni razvoj in učenje ni- • kaže nenehno intelektualno radove- Učitelj odigra ključno vlogo pri delu z na- sta omejena s splošnimi fazami razvoja; dnost, postavlja bistra in prodorna darjenimi, saj preživi z dijaki v šoli največ • podlaga za učenje je kontekst, zato pre- vprašanja; časa in jih ima priložnost dobro opazova- nos učenja v nove kontekste ni spon- • kaže izredno zanimanje za nastanek ti in spoznati z različnih vidikov. Da bo v tan, ampak ga je treba spodbuditi; narave, človeka in univerzuma; nadarjene veroval in jih želel odkrivati ter • pridobivanje dolgoročnega znanja in • ima širok nabor zanimanj, pogosto in- delati z njimi, mora imeti predvsem zna- spretnosti je v veliki meri odvisno od telektualnih; nje o nadarjenih in bogate izkušnje dela z prakse; • razvija svoje interese v pomembne glo- njimi. Le učitelj s takim znanjem in vese- • jasna, pojasnjevalna in pravočasna bine; ljem do dela bo lahko uresničeval glavni povratna informacija učencem je po- • je značilno nadpovprečen v količini in cilj vzgoje in izobraževanja nadarjenih membna za učenje; kakovosti pisanega in govorjenega be- učencev; to je prepoznavanje in negovanje • samouravnavanje učencev pomaga pri sednjaka: močno ga zanima domiselni posebnih sposobnosti (Breceljnik, 2003, učenju; izvor besed in njihove uporabe; rad str. 83–91). • učenčevo ustvarjalnost je mogoče bere knjige, ki so po razumevanju tudi spodbujati; sicer primerne za starejše; Če je v razredu nadarjeni dijak, mora uči- • učenci bolj uživajo pri učenju in so • se hitro in enostavno uči in ohrani ti- telj poskrbeti za spodbudno učno okolje. uspešnejši, kadar so bolj motivirani sto, kar je bilo naučeno; Temeljna načela spodbudnega učnega notranje kot zunanje; • iz spomina natančno prikliče pomemb- okolja v heterogenih oddelkih, v katerih • učenci dalj časa vztrajajo pri zahtevnej- na dejstva; tudi nadarjeni lahko učinkovito reali- ših nalogah in globinsko procesirajo 45 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 informacije, takrat ko jih vodijo cilji kov za različne operacije, razumevanje 5.1 Od Združenega kraljestva obvladovanja namesto cilji dosežkov; pojma količina, razumevanje številskih do Eulerjeve poliedrske formule • pričakovanja učiteljev do učencev vpli- operacij, sposobnosti branja in pisanja vajo na priložnosti, ki jih učenci posve- matematičnih simbolov, razumevanje Učna ura je temeljila na medpredmetnem čajo učenju, na motivacijo učencev in številskih odnosov; povezovanju (matematika in angleščina) njihove učne dosežke; • sposobnost pomnjenja in načrtovanja, v 2. letniku srednjega strokovnega izo- • kratkoročni cilji, ki so specifični in ki je potrebna za reševanje postopkov braževanja, smer tehnik računalništva. zmerno zahtevni, krepijo motivacijo v problemih; Vsi dijaki, ne glede na diferenciacijo, so bolj kot dolgoročni cilji, ki so splošni • sposobnost prostorske predstavljivosti, v uvodnem delu prejeli slikovno gradivo in prezahtevni; ki je potrebna za uporabo papirja in znamenitih simbolov Združenega kra- • učenje poteka v različnih socialnih svinčnika, razumevanje geometrije in ljestva (zastava, dvonadstropni avtobusi, kontekstih; prostorskih odnosov; rdeče telefonske govorilnice, stražarji, • medosebni odnosi in sporazumevanje • sposobnost logičnega zaključevanja in stolp, parlament, Big Ben …). V simbolih so ključni za proces poučevanje-učenje iskanja medsebojnih zvez. so iskali matematične like, jih poimeno- pa tudi za socialni in čustveni razvoj učencev; V nadaljevanju podajamo tri primere uč- vali ter zapisali njihove lastnosti v angle- • dobro čustveno počutje vpliva na učno nih strategij, ki jih je učitelj implementiral škem jeziku (Slika 1). Sledila je predstavi- uspešnost, učenje in razvoj; v redni pouk matematike, kjer je v oddel- tev opravljenega dela posameznih skupin. • pričakovanja o tem, kakšno naj bo ve- kih mogoče prepoznati nadarjene oziro- denje v razredu, in socialna interakcija ma potencialno nadarjene dijake. so naučeni in jih je mogoče oblikovati z uporabo ustreznih načel vedenja in učinkovitim poučevanjem; 5 Primeri prakse • učinkovito vodenje razreda temelji na: a) visokih pričakovanjih, Na Konferenci o učenju in poučevanju b) dosledni skrbi za pozitivne odnose, matematike – KUPM 2024 smo pred- c) zagotavljanju visoke stopnje podpo- stavili primere iz prakse za poučevanje re učencu; nadarjenih dijakov (Kvenderc Medve- • formativno in sumativno ocenjevanje šek, 2024). V posameznih primerih učne sta pomembna in uporabna načina prakse so bili dijaki razdeljeni v skupine. ocenjevanja, vendar zahtevata različne Kako so se razporedili v skupine, je bilo pristope in razlage; odvisno od zastavljene učne ure (mo- • merjenje spretnosti, znanja in zmo- žnost izbire glede na interes, večinoma so žnosti učencev je najbolje izvajati z se lahko tudi prostovoljno zamenjali, ko ocenjevalnimi postopki, ki so psiholo- so začutili, da so določeno znanje usvojili; ško utemeljeni in jih odlikujejo jasno dva učno šibkejša in dva učno zmožnejša opredeljeni standardi kakovosti ter ne- v isti skupini - učitelj določi vloge znotraj pristranskost; skupin). Dijaki so se znotraj skupin po- • razumevanje rezultatov ocenjevanja je govarjali in poslušali ter drug drugemu odvisno od jasnosti, ustreznosti in ne- predstavljali svoje ideje – sodelovanje je pristranskosti njegove razlage. prijateljsko. Slika 1: Dijaki med iskanjem geometrijskih likov v simbolih Združenega kraljestva. 4 Nadarjeni učenci pri pouku matematike Matematično nadarjeni učenci so učen- ci kot vsi drugi, imajo večino običajnih otroških in mladostniških nagnjenj in lastnosti, kljub temu pa imajo tudi vrsto lastnosti in značilnosti, po katerih se ven- darle razlikujejo od svojih vrstnikov. Ma- tematična sposobnost je osnova za mate- matično nadarjenost in pomeni zmožnost spretnega in hitrega operiranja s števili in odnosi med njimi, je rezultat sočasne ak- tivacije naslednjih sposobnosti (Blažič, 2003): • številske sposobnosti, ki vključujejo razumevanje številskih simbolov, zna- Slika 2: Didaktični pripomočki (levo) za preiskovanje poliedrov in dodeljen učni list (desno). 46 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA V drugem delu učne ure so dijaki po sku- v oglišču poliedra in kateri mnogokotni- jaki na razpolago osemindvajset domin. pinah prejeli didaktično gradivo (Slika 2, ki. Simbolni zapis je npr. v obliki a.b.c. Dijaki so z dejavnostjo domine utrjevali levo). Njihova naloga je bila sestaviti pra- Število črk (številk) pove, koliko pravilnih posamezne formule, ki vsebujejo pozna- vilne poliedre ter izpolniti dodeljen učni mnogokotnikov se stika v enem oglišču. vanje ploščine poljubnega trikotnika, list (Slika 2, desno). V primeru a.b.c se trije pravilni mnogo- polmer trikotniku očrtanega in včrtane- kotniki stikajo v enem oglišču. Številke ga kroga, ploščine štirikotnikov, dolžino Nadarjeni in potencialno nadarjeni dijaki a, b in c predstavljajo, za kateri pravilni krožnega loka, višino enakostraničnega so nato ugotavljali, ali obstaja povezava mnogokotnik gre in v katerem zaporedju. trikotnika, sinusni in kosinusni izrek, adi- med številom robov, številom oglišč in V primeru a.b.c si v smeri urinega kazalca cijske izreke itn. številom ploskev. Posamezniki so ugoto- sledijo a-kotnik, b-kotnik, c-kotnik. vili, da je število robov, oglišč in ploskev Nadarjeni ter potencialno nadarjeni dija- povezano z računskima operacijama se- ki pa so med tem s pomočjo dinamične števanja in odštevanja. Ugotovili so zna- 5.2 Z dejavnostma domine in spomin geometrije, ki nam jo omogoča prosto menito Eulerjevo poliedrsko formulo po poti znanja dostopni program GeoGebra, načrtovali O – R + P = 2, ki velja le za enostavne poli- znamenite točke trikotnika (Slika 6). edre in povezuje število oglišč (O), število Cilja učne ure sta bila ponovitev matema- mejnih ploskev (P) in število robov (R). tičnih formul (Slika 5) in preoblikovanje pomembnejših formul v tretjem letniku Matematično nadarjeni dijaki so ugota- srednjega strokovnega izobraževanja. vljali (Slika 3), zakaj ob izračunu dobimo vedno število 2 in zakaj ne npr. 3. Slika 3: Preiskovanje poliedrov ter izpolnjeva- nje učnega lista. Ukvarjali so se tudi s konfiguracijo oglišč (Slika 4). Dijaki so ugotavljali, ali obstaja povezava v številu določenih mnogoko- tnikov ob ogliščih pri posameznih pra- Slika 5: Didaktična igra domine. vilnih poliedrih. Preko štetja in zapisa so prišli do t. i. konfiguracije oglišč. Konfi- Učitelj mora pri izbiri vsebine in pravil guracija oglišč je simbolni zapis, ki pove, dejavnosti izhajati iz dijakov in pogojev koliko pravilnih mnogokotnikov se stika dela. Igra je zasnovana tako, da imajo di- Slika 6: Izdelek dijaka, ki je s pomočjo dina- mične geometrije konstruiral znamenite točke trikotnika (S – središče trikotniku očrtane kro- o žnice, S – središče trikotniku včrtane krožnice v in T – težišče). Dijaki so najprej v programu GeoGebra načrtovali poljubne trikotnike, simetrale notranjih kotov in simetrale stranic triko- tnika, z načrtovanjem so poiskali središče Slika 4: Konfiguracija oglišč, ki jo je navedel nadarjeni dijak. trikotniku včrtane in očrtane krožnice. 47 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 trdnih 3D računalniško podprtih objek- tov. Uporabili smo osnove programskega jezika C++, torej jezika, ki se ga dijaki uči- jo pri strokovnih predmetih. V programu OpenSCAD so dijaki izvajali posamezne računske operacije z množicami točk v prostoru, v našem primeru so to geome- trijska telesa (kocka, kvader, krogla, valj in prisekan stožec (Slika 9)) ter z njimi modelirali različna geometrijska telesa. Slika 7: Primer ustrezno izbranega para med igro spomin. Medtem ko so ostali dijaki računali po- Prav tako so načrtovali vse tri težiščnice vršino in prostornino nastalih narisanih v danem trikotniku. Ugotavljali so, ali ob- teles, so nadarjeni dijaki raziskovali unijo staja povezava med znamenitimi točkami ter presek množic točk v prostoru oz. uni- trikotnika. Da so to ugotovili, so morali jo in presek zgoraj omenjenih geometrij- v isti trikotnik načrtati vse tri znamenite skih teles (iz Slike 9). Unijo ali presek je točke trikotnika. Ugotovili so, da lahko predstavljala množica točk več geometrij- narišejo premico skozi tri znamenite toč- skih teles (Slika 10). ke trikotnika. Premico imenujemo Euler- jeva premica. Prav tako so dijaki drugega letnika sre- dnjega strokovnega izobraževanja s po- močjo didaktične igre spomin utrjevali znanje s področja matematičnih funkcij (5). Nadarjeni ter vedoželjni dijaki pa so med- Komentar nadarjenega dijaka ob zaključ- Slika 10: Primer unije kvadra, krogle in tem raziskovali njim zelo dobro poznan ku zapisanega funkcijskega predpisa za lo- prisekanega stožca (levo) ter presek kvadra in logotip za McDonald‘s (Slika 8). gotip McDonald‘s: Logotip za McDonald‘s krogle (desno). ima simetrično obliko. Simetričnost funk- cije okoli x = 0 zahteva uporabo absolutne V nadaljevanju so raziskovali pojem raz- vrednosti. Absolutna vrednost zagotovi like množic točk v prostoru med največ simetrijo. Parabola ima ničli pri x = 0 in tremi geometrijskimi telesi. Za začetek so x = 4. Njena os simetrije je pri x = 2, kar narisali geometrijsko telo, ki nastane ob pomeni, da je vrh parabole na sredini med upoštevanju razlike med kvadrom in kro- ničlama. Predpis, ki sem ga zapisal kot za- glo (Slika 11). ključek naloge, nakazuje na simetričnost logotipa glede na os x = 0 in ustreza dve- ma »lokoma«, kar je bližje obliki logotipa Slika 8: Raziskovanje logotipa za McDonald‘s McDonald‘s. v programu GeoGebra. Njihova naloga je bila, da so poiskali logo- 5.3 Matematika in OpenSCAD tip na spletu ter ga ustrezno vstavili v pra- vokotni koordinatni sistem v programu V procesu aktivnega učenja v 3. letni- GeoGebra. Na podlagi tega so razisko- ku srednjega strokovnega izobraževa- vali njemu pripadajoči predpis kvadratne nja smo uporabili osnove modelirnika funkcije (na intervalu od –4 do 4), ki sim- OpenSCAD, ki je brezplačna programska bolizira znak za McDonald‘s. Dijaki so k aplikacija za ustvarjanje oz. oblikovanje Slika 11: Razlika med kvadrom in kroglo. izzivu pristopili zelo različno. Njihov sku- pni cilj je bil, da so logotip pozicionirali v koordinatno izhodišče in tako upoštevali njegovo simetrijo. Za začetek so razisko- vali, kako z ustreznim izborom točk, ki le- žijo na logotipu, ugotoviti predpis za npr. desno polovico logotipa (Slika 8). Enačba 2: Dijakovo oblikovanje funkcij- skega predpisa za logotip McDonald‘s. Slika 9: Geometrijska telesa (od leve proti desni): kocka, kvader, krogla, valj in prisekani stožec. 48 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 IZ RAZREDA Medtem ko so nadarjeni ter vedoželjni ugotovijo, kakšno telo se bo izrisalo. V Dijaki so s tem ponovili osnove progra- dijaki urili prostorsko predstavljivost te- programskem jeziku so izvajali računske miranja ter znotraj programske kode les, ki jih prikazujejo slike 9, 10 in 11, so operacije med množicami točk v prosto- ponovili navajanje točk v prostoru (Slika preostali dijaki utrjevali prostorsko pred- ru, med kvadrom, kroglo ter prisekanim 14). Tako je ura matematike vključevala stavljivost tako, da so geometrijska telesa stožcem (Slika 12). osnove programiranja, ki se ga dijaki uči- (kvader, kocko, stožec, prisekani stožec) jo v srednjem strokovnem izobraževanju. sestavljali z magnetnimi didaktičnimi Po izrisu je sledil izračun prostornine po- pripomočki. sameznega geometrijskega telesa. S tem so dijaki ponovili računanje prostornine Še preden so nadarjeni in potencialno kocke, kvadra, krogle, valja ter stožca ozi- nadarjeni dijaki upoštevali razliko med roma prisekanega stožca. posameznimi telesi, so imeli nalogo, da Za zaključek učne ure je za potencialno nadarjene dijake sledila naloga, kjer so dijaki narisali poljubno geometrijsko telo ter ga rotirali po posameznih oseh za do- ločen kot (Slika 13). Slika 14: Programska koda, ki prikazuje poda- janje točk v prostoru (x, y, z). Slika 12: Geometrijski telesi, ki predstavljata razliko med od kvadra odšteto kroglo ter še Slika 13: Rotacija ne odštetim prisekanim stožcem (levo) ter geometrijskega od kvadra odštetima kroglo in prisekanim telesa po osi y za stožcem (desno). kot 45°. Zaključek Pomembno je, da učitelji prepoznamo nadarjene dijake v razredu ter jim nudimo ustrezne didaktične pristope oziroma različne učne strategije. Dijakom na izviren, domiseln in kreativen način ponudimo primerne oblike dela, ki nadarjene privlačijo, zanimajo in jim omogočijo čim več izkušenj, da lahko nadgrajujejo in poglabljajo svoje znanje ter razvijajo svoje talente. Na primeru opisa določenih pojmov smo spoznali globino razume- vanja in tako prepoznali nadarjenega dijaka. Dijakom smo pri pouku omogočili abstraktno razmišljanje in ustvarili učno okolje, kjer so razvijali svoje potenciale. Treba je razvijati vse vrste talentov, ki jih dijaki izkazujejo. Naloga učiteljev je, da smo odprti za nadarjene dijake, da jih skušamo razumeti in jim pomagati, da jih spodbujamo k vedno novim in višjim ciljem ter upo- rabljamo oblike učenja, ki učencem predstavljajo izziv in željo po spoznavanju novega. Literatura Blažič, M. (2003). Nadarjeni izkoriščen ali prezrt potencial. Ljubljana: Pedagoška fakulteta UL. Breceljnik, M. (2003). Nadarjeni učenci – izziv šoli in učitelju. V M. Blažič (ur.), Nadarjeni – izkoriščen ali prezrt potencial: zbornik prispevkov: mednarodni znanstveni simpozij (str. 83–91). Slovensko združenje za nadarjene. Ekspertna skupina za vzgojno-izobraževalno delo z nadarjenimi. 2019. Strokovna izhodišča posodobitve Koncepta odkrivanja nadarjenih otrok, učencev in dijakov ter vzgojno-izobraževalnega del z njimi. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Instance, D., in Dumont, H. (2010). Future directions for learning enivronments in 21st century. V H. Dumont, D. Instance in F. Bena- vides (ur.), The nature of learning; using research to inspire practices (str. 317–338). Paris: OECD, Centre of Educational Research and Inovation. Juriševič, M. (2012). Nadarjeni učenci v slovenski šoli. Ljubljana: Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani. Kvenderc Medvešek, J. (2024). Poučevanje nadarjenega dijaka skozi prizmo učitelja. KUPM 2024. https://kupm.zrss.si/poucevanje- nadarjenega-dijaka-skozi-prizmo-ucitelja/ Zakon o spremembah in dopolnitvah Zakona o osnovni šoli – ZOsn-K (Uradni list RS, št. 16/24 z dne 29. 2. 2024). Žagar, D., Artač, J., Bezič, T., Nagy, M., in Purgaj, S. (1999). Koncept. Odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Žagar, D., Bezič, T., Blažič, A., Boben, D., Nagy, M., Brinar Huš, M., in Marovt, M. (2007). Koncept vzgojno-izobraževalnega dela z nadar- jenimi dijaki v srednjem izobraževanju. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 49 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Konferenca o učenju in poučevanju matematike, KUPM 2024 QR koda spletne strani KUPM V organizaciji Zavoda RS za šolstvo je bila 11. in 12. novembra »Ob povabilu k nagovoru sem premlevala svoje spomine na ši- 2024 v Kongresnem centru Laško izvedena 6. konferenca o uče- rok spekter učencev, dijakov in odraslih, s katerim sem se srečala nju in poučevanju matematike, ki jo poznamo pod akronimom v svojih dobrih treh desetletjih poučevanja. Od bistrih petošol- KUPM. Potekala je v znamenju prenove učnih načrtov in kata- cev, diamantnih maturantov in nagrajencev na olimpijadah iz logov znanja. znanja do učencev iz izredno deprivilegiranih in nespodbudnih Konference so se udeležili učitelji, ki poučujejo matematiko od 1. okolij; dijakov, ki ob vstopu v slovenski šolski sistem niso znali v razreda osnovne šole do zaključnega razreda srednje šole, stro- slovenskem jeziku prešteti do deset, ter odraslih, ki so desetletja kovnjaki na področju matematičnega izobraževanja in gostje. po tem, ko so, večinoma nezadovoljni in nesamozavestni, zapu- Program 57 predavateljev je spremljalo 420 udeležencev konfe- stili šolski sistem, ponovno sedli v šolske klopi. Vse to, skupaj s rence. (Slika 1) prvimi koraki najmlajših v svet matematike, je vaš vsakdan. Do- polnjen z vsem, kar vstopa v družbo in šolski sistem. Od tehno- Uvodni pozdrav je vsem zbranim namenila mag. Branka Hrast logije in umetne inteligence ter želje po vzgoji široko razgledane Debeljak, generalna direktorica Direktorata za srednje in višje mladine, sposobne logičnega in algoritmičnega razmišljanja, do šolstvo ter izobraževanje odraslih na Ministrstvu za vzgojo in iz- prepogosto prisotne želje po poenostavljanju in iskanju lahkih obraževanje. Med drugim je povedala: poti, žal le do dobrih ocen, brez želje po znanju. Slovenski šol- Slika 1 50 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE Slika 4 nje v vse faze učnega procesa. Po celotni vzgojno-izobraževalni vertikali sledimo sistematičnemu in skladnemu razvoju matema- tičnih pojmov, konceptov in procesov od zgodnjega učenja ma- tematike do zahtevnejše matematike v srednji šoli, seveda v skla- du z razvojno stopnjo in starostjo učencev in dijakov. Posebno skrb namenjamo poenotenju terminologije in simbolike ter nju- nemu usklajevanju z drugimi področji. Naš cilj je obenem opol- nomočiti učence in dijake s kompetencami za soočanje z izzivi Slika 2 ski sistem je zaradi vsega naštetega pred pomembnim izzivom: prenovo učnih načrtov in katalogov znanj splošnoizobraževal- nih predmetov v poklicnem in srednjem strokovnem izobraže- vanju, skupaj s poudarjanjem ključne vloge učitelja, od katerega pričakujemo nove in izvirne pristopov k učenju in poučevanju matematike po vsej vertikali in za vse izobraževalne programe. V prenovi posebej poudarjamo pomen varnega in spodbudnega učnega okolja in uporabo raznolikih učnih strategij za aktivno sodelovanje učencev in dijakov pri pouku ter njihovo vključeva- Slika 3 Slika 5 51 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Slika 6 Slika 8 prihodnosti, torej z digitalnimi kompetencami, kompetencami za trajnostni razvoj in s kompetencami podjetnosti, ki vključu- jejo finančno pismenost, ustvarjalnost in zmožnost sodelovanja. Pouk matematike mora zato v čim večji meri vključevati čim več ustreznih spoznavnih oz. miselnih procesov, tako da učenec ali dijak postopoma ponotranja znanje in ga usvoji na višjih takso- nomskih ravneh, ga zna uporabiti, povezovati, interpretirati in ovrednotiti v življenjskih situacijah in na poklicnem področju. V prenovi ohranjamo ciljno zasnovo učnih načrtov in jih poskuša- mo zapisati čim bolj razumljivo in jasno ter zagotoviti, da omo- gočamo dovolj fleksibilno vsebinsko, organizacijsko, didaktično in inkluzivno naravnano izvedbo pouka. Pomembna novost so tudi standardi znanja, skupaj z zapisom minimalnih standardov znanja. Učitelju bodo prav gotovo v pomoč tudi didaktična pri- poročila s seznamom virov, s katerimi si boste lahko pomagali pri uresničevanju ciljev. Gre torej za pomembne spremembe pri poučevanju matematike. Med drugim tudi vzgoje posameznika, da na temelju finančnega znanja uporablja finančne pojme in postopke v različnih življenjskih situacijah, jih analizira, uteme- ljuje, vrednoti in sprejema odgovorne in premišljene odločitve za kakovostno osebno in poklicno življenje. Veseli me tudi, da v prenovi in na današnji konferenci naslavljamo številne možnosti Slika 9 za izboljšave na področju dela z nadarjenimi učenci in dijaki, tistimi, ki hitro usvojijo posamezne standarde znanja in prepo- gosto povedo, da jim je v šoli dolgčas. Ponuditi jim moramo višje miselne izzive in jih motivirati za raziskovalno delo. Umetna in- teligenca nam je pri tem prav gotovo velika pomoč in velik izziv. Posodobljen koncept odkrivanja nadarjenih učencev in dijakov ter dela z njimi zato temelji tudi na razumevanju njihovih oseb- Slika 7 nostnih in emocionalnih lastnosti ter njihovih vedenj.« 52 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE Slika 12 Mag. Mojca Suban in Lidija Pulko sta v uvodnem plenarnem predavanju predstavili prispevek z naslovom Prenova pouka matematike po vertikali in kaj bo zato drugače v osnovni šoli. Slika 10 V Sloveniji od leta 2022 poteka prenova učnih načrtov (UN) v osnovnošolskem in gimnazijskem izobraževanju ter katalogov znanj (KZ) za splošnoizobraževalne predmete v poklicnem in strokovnem izobraževanju. Predmetne kurikularne komisije (PKK) za prenovo so v tem obdobju sredi intenzivnega dela, zato so bila plenarna predavanja prvega dne konference osredotočena prav na to temo. Slika 13 Sledil je plenarni prispevek Prenova pouka matematike v sre- dnji šoli: opolnomočenje dijakov za izzive. V sklopu tega preda- vanja je mag. Mateja Sirnik predstavila prenovo gimnazijskega učnega načrta in mag. Apolonija Jerko prenovo katalogov znanja v poklicno-strokovnem izobraževanju. Dr. Jaka Smrekar je izvedel predavanje z naslovom Logika in množice v šoli in izven nje. (slika 2) Nato so sledila sekcijska predavanja in delavnice, ki so potekala istočasno v šestih dvoranah Kongresnega centra Laško. (slike 3, 4, 5, 6) Izvajali so jih člani PKK za prenovo UN in KZ ter drugi Slika 11 vabljeni predavatelji. 53 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Slika 14 Slika 15 Slika 16 Slika 18 v času spreminjajočih se bralnih navad in umetne inteligence. (slika 13) Oba konferenčna dneva so si lahko udeleženci ogleda- li priložnostno razstavo vseh 30 letnikov revije, ki so jih lahko prelistali in prebirali. (slike 14, 15, 16, 17) Ob tej priložnosti je v digitalni bralnici Založbe Zavoda RS za šolstvo izšla Jubilejna publikacija ob izidu 30. letnika revije Matematika v šoli. Slika 17 Dan smo sklenili s projekcijo filma Šepet metulja in pogovorom z njegovima ustvarjalcema. (slika 7) QR koda do Jubilejne publikacije Drugi konferenčni dan smo namenili umetni inteligenci, digi- talni tehnologiji, algoritmičnemu mišljenju, delu z nadarjenimi Dvodnevno konferenco o učenju in poučevanju matematike smo učenci/dijaki in obeležili 30. letnik revije Matematika v šoli. sklenili s plenarnim predavanjem Slavka Jeriča. Svoj prispevek je naslovil Med pričakovanji in realnostjo. Prof. dr. sc. Blaženka Divjak je v plenarnem predavanju predsta- vila prispevek z naslovom Kako umetna inteligenca spreminja Zahvaljujemo se vsem, ki ste pomagali soustvariti dvodnevni šolo. (slika 8) praznik matematike, tako predavateljem, sodelavcem na Zavodu RS za šolstvo (slika 18) kot tudi udeležencem. Tudi drugi dan konference so bili udeleženci deležni pisanega nabora sekcijskih predavanj in delavnic, ki so istočasno potekale Veselimo se ponovnega strokovnega sodelovanja in druženja na v šestih dvoranah. (Slike 9, 10, 11, 12) 7. KUPM. V veliki dvorani smo izvedli okroglo mizo ob tridesetem letniku Zapisala Sonja Rajh, ZRSŠ revije Matematika v šoli z naslovom Revija Matematika v šoli Avtorica fotografij: Petra Dermota 54 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE Okrogla miza ob izidu tridesetega letnika revije Matematika v šoli mag. Marija Lesjak Reichenberg, Zvonka Kos in mag. Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Naslov okrogle mize, ki je bila na konfe- renci o učenju in poučevanju matematike KUPM 2024 organizirana ob izhajanju tridesetega letnika revije Matematika v šoli – Revija Matematika v šoli v času spreminjajočih se bralnih navad in umetne inteligence: ob 30. letniku re- vije – pogled naprej –, je poveden. Ra- zvoj tehnologij in (posledično tudi) veli- ke spremembe v družbi prinašajo tako v vzgojno-izobraževalni kot tudi založniški prostor mnoge izzive. Kako beremo in kako bomo brali v prihodnje? Kateri bodo nosilci informacij? Bomo zaradi preizku- šene trajnosti nosilca (papir) še nekaj časa revijo lahko brali v tiskani obliki ali pa jo bomo zaradi lagodnosti in možnosti hi- trega priklica informacij (»en klik stran«) brali v digitalni obliki, ne vedoč, ali bo Slika 1: Ali poznate revijo Matematika v šoli? ta informacija po desetletjih še obstaja- la? Tudi razvoj umetne inteligence, sploh velikih jezikovnih modelov, odpira nova kot v šolstvu. Uvajali so se novi srednje- smislu. Bila je pozorno in skrbno (tudi vprašanja o avtorstvu, zaupanju, kritič- šolski izobraževalni programi, novi učni likovno) oblikovana, natisnjena in distri- nem pristopu k prebranemu … načrti za matematiko, znova se je uvajala buirana naročnikom, med katerimi so še matura, pripravljala se je prenova osnov- vedno tako institucije kot posamezniki. Na okrogli mizi so sodelovali dr. Darjo ne šole, srečevati smo se pričenjali z vir- V letih kriz in razvoja digitalnih medijev Felda, ki je bil prvi odgovorni urednik tualnim svetom (Marčić, 2003). Pokazala je ohranila svoje naročnike. Oprema pri- revije, dr. Andrej Bauer, avtor članka, ob- se je potreba po sistematičnem delu na spevkov je sledila zahtevam znanstvenega javljenega v prvi številki revije, dr. Uroš področju didaktike matematike. Revija je polja. Prispevki so opremljeni z izvlečki Ocepek, učitelj matematike in računal- odprla prostor razvoju te discipline, po- in ključnimi besedami, seznam upora- ništva, Jerneja Bone, odgovorna uredni- vabila je k sodelovanju, h komunikaciji, k bljene literature usmerja na preverljivost ca revije med letoma 2009 in 2016, mag. deljenju znanja in informacij. Med avtorji navedenih dejstev, prispevki so od samega Sonja Rajh, odgovorna urednica od leta prispevkov so bili univerzitetni profesorji začetka uredniško in recenzentsko pregle- 2023, in Zvonka Kos, vodja založbe Za- in profesorice, svetovalci in svetovalke na dani. Vpogled v bibliografijo revije kaže voda RS za šolstvo; okroglo mizo je mo- Zavodu RS za šolstvo, učitelji in učiteljice na večanje deleža znanstvenih prispev- derirala mag. Marija Lesjak Reichenberg. ter študenti in študentke (matematike). kov, čeprav se tehtnica še vedno prevesi V pogovor so se s pomočjo tehnologije Marsikatera seminarska naloga je bila v smer strokovnih. V času, ko opažamo vključili tudi udeleženke in udeleženci prirejena za objavo v reviji (s tovrstnimi upad branja in drugačne bralne navade, konference, ki so spremljali dogodek med okoliščinami smo se seznanili na samem je k pisanju, ki je »hrbtna« stran branja, občinstvom. V nadaljevanju zgoščeno na- začetku okrogle mize). Že takrat je bil še težje nagovarjati. Še dobro, da obstajajo vajamo vsebine, ki so bile izpostavljene. zgled tisto, kar je delovalo in deluje še tudi zunanji motivatorji, kot so napredo- danes: profesorji in profesorice na fakul- vanja, Zoisove štipendije za dijake in dija- Ker ni sedanjosti brez preteklosti in ker tetah so spodbujali študente in študentke kinje ter študentke in študentke … in re- je nujno, da v razkrivanju novih znanj, k objavljanju, objavljali pa so seveda tudi viji uspe redno izhajati. Kot edina revija v ko gledamo v prihodnost, »stopamo na sami. Uredniška politika revije je že ta- Sloveniji s področja didaktike matematike ramena svojih prednikov«, smo se v po- krat stremela tudi k preprostemu dejstvu: ponuja prostor za izmenjavo znanja, izku- govoru ozrli na sam začetek izhajanja vzgoji novih piscev. šenj in idej za izboljševanje učnih praks revije. Kako in zakaj se je vse začelo? Za- na vseh stopnjah šolanja. četek devetdesetih let prejšnjega stoletja V treh desetletjih je revija pri svojem so – prav tako kot današnji čas – zazna- razvoju sledila standardom objavljanja Anketa, ki smo jo v okviru okrogle mize movale velike spremembe tako v družbi tako v založniškem kot informacijskem izvedli s pomočjo orodja 1KA, je pokazala 55 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 prepoznavnost in branost revije Matema- tika v šoli. Na vsa štiri zastavljena vprašanja je odgo- vorilo 137 udeleženk in udeležencev. Na vprašanje, ali poznajo revijo Matema- tika v šoli, je pozitivno odgovorilo 94,2 % udeležencev ankete (Slika 1). Ko smo poizvedovali, kdaj oziroma kako berejo revijo – sodelujoči so lahko izbrali več možnosti –, smo dobili naslednje od- govore (Slika 2). Naslednje vprašanje je bilo namenjeno oblikam, v katerih anketiranci in anketi- ranke berejo revijo (Slika 3). Ko smo poizvedovali, ali posamezne pri- Slika 2: Kdaj oziroma kako berete revijo? spevke poiščejo tudi v Arhivu člankov na spletni strani ZRSŠ, je 39,4 % sodelujočih sporočilo, da jih (Slika 4). Arhiv člankov (www.zrss.si/arhiv-clan- kov) je bil v nadaljevanju okrogle mize tudi predstavljen predvsem z vidika is- kanja primernih gradiv v situacijah, ko učitelji potrebujejo nove ideje. Članki v revijah so namreč recenzirani, kar pome- ni, da so strokovno preverjeni in pred- stavljajo kakovosten vir informacij vsem uporabnikom. V uredništvu poskrbijo za dvojno slepo recenzijo (pregledovalci, ki članek recenzirajo, ne vedo, kdo je članek napisal, avtorji člankov pa ne vedo, kdo so bili recenzenti). V nadaljevanju okrogle mize smo se po- svetili reviji Matematika v šoli v času ume- Slika 3: Oblike, v katerih beremo revijo Matematika v šoli. tne inteligence, sploh razmerju bralcev in piscev do velikih jezikovnih modelov. Izhodišče je predstavljala anketa, v kateri je odgovarjalo 122 udeležencev. 73 % jih je odgovorilo, da uporabljajo generativno umetno inteligenco (Slika 5). Na okrogli mizi smo s pomočjo umetne inteligence (z uporabo dveh velikih jezi- kovnih modelov – Copilota in ChatGPT- -ja) takoj obdelalali odgovore sodelujo- čih, ki so odgovarjali na vprašanje »V katere namene uporabljate generativno umetno inteligenco?« Copilot se je tokrat predstavil/-a kot žen- ska in takole podal/-a odgovor (Slika 6). ChatGPT je odgovore nekoliko drugače analiziral; izpostavil je druge glavne sku- pine namenov uporabe in med drugim navedel tudi tipične odgovore, kar daje Slika 4: Ali iščete posamezne članke tudi v Arhivu člankov na spletni strani ZRSŠ? vtis avtentičnosti (Slika 7). 56 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE da jo bomo še naprej lahko brali tako v tiskani kot digitalni obliki. Ugotovimo lahko tudi to, česar na okro- gli mizi nismo eksplicitno izpostavili: da revija Matematika v šoli z jasnim ter ka- kovostnim recenzentskim postopkom in dvojno slepimi recenzijami velike jezikov- ne modele pri njihovem treningu »krmi« s kakovostnimi prispevki in vsebinami, s čimer bo v času vse večje uporabe ume- tne inteligence omogočala kakovostno osnovo za nastajajoča, strojno generirana besedila. Slika 5: Ali uporabljate generativno umetno inteligenco? Primerjava obeh analiz, ki sta jih ustva- rila dva velika jezikovna modela, je po- kazala, da odgovori, pridobljeni z njima, niso identični in da so interpretabilni. Upoštevanje teh dejstev je pomembno v primeru uporabe umetne inteligence pri pouku: svoje dragocene izkušnje upora- be umetne inteligence pri delu z učenci je z nami delil dr. Ocepek in poudaril nujnost urjenja kritičnega pristopanja k vsebinam, s katerimi se srečujemo. Ključno, ko govorimo o tehnologijah in njihovi uporabi, je, kako tehnologijo uporabljamo v izobraževanju in kako jo uporabljamo za izobraževanje. Uporabi umetne inteligence, še posebej velikih jezikovnih modelov, pa je treba posvetiti pozornost v založništvu in v primeru ustvarjanja avtorskih del. Zvon- ka Kos je izpostavila dileme, s katerimi se srečuje uredniški odbor, ko pregleduje prispevke za objavo v reviji Matematika v šoli. Mestoma se namreč pojavi vpraša- nje, ali je del besedila napisal npr. Chat- GPT. Podobno dilemo imajo tudi učitelji, ko pregledujejo npr. seminarske naloge učencev oz. študentov. Zagotovo je smi- selno, da si z novimi orodji pomagamo pri pisanju, saj nam lahko olajšajo delo, je pa do besedil, ki jih ustvari umetna inte- ligenca, treba vzpostaviti kritičen odnos, predvsem pa upoštevati etični vidik. Ko- nec koncev je avtor tisti, ki prevzema od- govornost za napisano. Ob koncu tega zapisa lahko omenimo nekaj ključnih dejstev: da je revija Mate- matika v šoli revija, ki jo učitelji in učite- ljice matematike poznajo in berejo v vseh Slika 6: Copilotova analiza odgovorov udeležencev na vprašanje »V katere namene uporabljate formatih, ki so na voljo, da je aktualna in generativno umetno inteligenco?« 57 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Slika 7: ChatGPT-jeva analiza odgovorov udeležencev na vprašanje »V katere namene uporablja- te generativno umetno inteligenco?« Viri in literatura Marčić, N. (2003). Po prvem desetletju. Matematika v šoli, 10(1,2), 1-2. 58 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE Znanje slovenskih četrtošolcev v mednarodni raziskavi TIMSS, iz predstavitve rezultatov na strokovnem srečanju 4. 12. 2024 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) je redna mednarodna raziskava znanja matematike in naravoslovja. Izvedba TIMSS 2023 zagotavlja 28 let meri- tev trendov, zaključuje prehod na v celoti računalniško merjenje znanja. Prinaša pomembne podatke o oko- liščinah matematičnega in naravo- slovnega izobraževanja, zbrane od učencev, staršev, učiteljev in ravna- teljev šol ter splošne informacije o nacionalnih izobraževalnih sistemih in učnih načrtih. Slovenski dosežek četrtošolcev iz matematike, 514 točk (st. napaka 1,8), je nad mednarodnim povprečjem dosežkov vseh sodelujočih držav, vendar precej pod povprečjem OECD in precej pod povprečjem EU. Povprečni matematični dosežek OECD držav za četrti razred je 525 točk (st. napaka 0,5), povprečni matematični dosežek EU držav je 524 točk (st. napaka 0,6), mednarodno povprečje vseh sodelujočih držav pa je 503 točke (st. napaka 0,4). Preostali rezultati za našo in vse druge države: • mednarodno spletišče: https://timss2023.org • nacionalno poročilo: Znanje matematike in naravoslovja med četrtošolci v Sloveniji in po svetu Naslovnica in QR koda s povezavo do nacionalnega poročila. Učenci se v Sloveniji učijo manj matema- tičnih in naravoslovnih vsebin kot v dru- gih državah. 59 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Veselje do učenja matematike leta 2015 in 2023 Iz prikaza vidimo, da je padel delež otrok, ki se zelo strinjajo z izjavami. Povzela Mateja Sirnik iz predstavljenega gradiva na Pedagoški institut | TIMSS 2023 Vir: www.pei.si/raziskovalna-dejavnost/mednarodne-raziskave/timss/timss.2023 (januar, 2025) Raziskovalne naloge iz matematike na Srečanju mladih raziskovalcev 2024 dr. Borut Jurčič Zlobec Fakulteta za elektrotehniko Univerze v Ljubljani Državno Srečanje mladih raziskovalcev mladimi, približevanje raziskovalne de- Na državno srečanje prispejo naloge, ki Slovenije organizira Zveza za tehnič- javnosti mladim talentiranim učencem so bile izbrane na regijskih srečanjih. Vse no kulturo Slovenije. Namen srečanja je in dijakom ter poglabljanje njihovega šol- prispele naloge z regijskih srečanj dobijo popularizacija znanosti in tehnike med skega znanja. na državnem izboru eno od priznanj. 60 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE V letu 2024 je potekalo že 58. državno sre- Mentor: Miha Šušteršič, prof. mat. Opombe čanje v Murski Soboti. Somentor: mag. Alojz Grahor, prof. mat. • Kvadratnica je kvadrat razdalje med Organizator je dobil v pregled deset Šola: Škofijska gimnazija Vipava dvema točkama. osnovnošolskih in pet srednješolskih na- • Kolinearnost: tri točke ležijo na isti log. Med osnovnošolskimi nalogami smo • UPORABA KONGRUENC premici. Ploščina trikotnika, ki ga raz- izbrali šest nalog za bronasto priznanje. V KRIPTOLOGIJI penjajo, je enaka nič. Preostale so kandidirale za zlato oziroma Avtorica: Jana Avšič • Stežaj dveh premic: Tu se skriva kotna srebrno priznanje. Med srednješolskimi Mentorica: prof. Karmen Kete funkcija s = sin2 ϕ, kjer je ϕ kot med nalogami je vseh pet nalog prišlo v končni izbor za zlato ali srebrno priznanje. Somentor: prof. Jakob Avšič premicama. Šola: Šolski center Nova Gorica, Nova • Omenjena so razmerja stranic v pra- Naloge, ki so kandidirale za zlato oziroma Gorica vokotnem trikotniku, le da so vse ko- srebrno priznanje, so bile predstavljene ličine kvadrirane. pred državno komisijo. Komisijo so se- • Omenjen je stežajni izrek, ki je v bi- stavljali izr. prof. dr. Dominik Benkovič, 2. Kratek opis nagrajenih stvu sinusni izrek, le da so razmerja doc. dr. Polona Repolusk, doc. dr. Mateja nalog kvadrirana. Grašič, asist. Simon Brezovnik in dr. Bo- rut Jurčič Zlobec. • Najdemo tudi kostežajni izrek, 2.1. Naloga: Reševanje trikotnika (c2 + a2 – b2)2 = 4c2a2 (1 – s 2 b ), ki je Sledi pregled tem, ki so bile predstavljene brez uporabe kotnih funkcij kvadriran kosinusov izrek pred državno komisijo. b2 = a2 + c2 – 2ac cos β. • med osnovnošolskimi nalogami: 4 Avtorice so o ciljih naloge napisale:1 • Izpeljan je pogoj, da je vsota notranjih pedagoške, 1 geometrijska, 3 aritme- V nalogi smo zastavili tri cilje:2 kotov trikotnika 180°. tične, 1 iz teorije števil in 1 statistična; • med srednješolskimi nalogami: 1 iz (1) Preučiti koncept razreševanja triko- • Sledijo konstrukcije trikotnikov. teorije števil, 3 geometrijske in 1 iz tnikov brez uporabe običajnih kotnih funkcij. Kar se pa tiče iracionalnih rešitev kvadra- kriptografije. Koncept se imenuje pristop racionalne tne enačbe, so Grki po porazu pitagorej- Anketnih nalog letos ni bilo. Vendar se je trigonometrije. skih racionalnih razmerij, potem ko so med osnovnošolskimi nalogami pojavil domnevno utopili Hipasa, ki je dokazal, (2) Dokazati, da s konceptom racionalne val pedagoških nalog. Komisija jih je oce- da diagonala kvadrata ni izmerljiva z nje- nila za ne najprimernejše, ker nas na sre- trigonometrije lahko razrešimo triko- govo stranico, problem rešili tako, da so čanjih mladih raziskovalcev ne zanima, tnik. govorili o kvadratnih razmerjih in s tem kako drugi rešujejo matematične proble- (3) Narediti primerjavo razreševanja tri- obšli kvadratni koren. Tako so lahko osta- me, ampak bolj to, kako jih rešujejo sami kotnika po obeh konceptih. li pri racionalnih razmerjih. Dalje se Grki učenci in dijaki. Zato ni nobena od peda- niso spuščali v iracionalne vode. goških nalog prišla v ožji izbor za srebrno Nekaj osnovnih formul trigonometrije oziroma zlato priznanje. brez transcendentnih funkcij, ki so ome- Naloga je dosledno izpeljana, vendar je bil njene v nalogi zalogaj za učenke kar velik. Upam, da jih Pri ocenjevanju je komisija poleg samih to ne bo odvrnilo od matematike. Glede nalog ocenjevala tudi njihovo predstavitev. • Kvadratnica : na njihovo minulo delo priporočam, da si za nagrado ogledajo prispevek o projek- tivni geometrijski algebri. Ob lepoti teo- 1. Raziskovalne naloge, rije bodo pozabile na trdo delo pri nalogi nagrajene z zlatim in utrdile občutek, da je matematika lepa. priznanjem za leto 2024 • Pogoj kolinearnosti A, B, C: A Swift Introduction to Projective Geo- Zlato priznanje sta prejeli le dve srednje- metric Algebra – YouTube šolski raziskovalni nalogi. Nalogi sta https://www.youtube.com/ obravnavani po vrsti. Na prvem mestu v watch?v=0i3ocLhbxJ4 kategoriji je naloga, ki jo je komisija oce- • Pitagorov izrek a2 + b2 = c2. nila za najboljšo. • Stežaj dveh premic li = aix + biy + ci, • REŠEVANJE TRIKOTNIKA BREZ i = 1, 2: UPORABE KOTNIH FUNKCIJ Avtorice: Lara Lozar, Nika Mravlja in Tiana Požar QR-koda do posnetka 1 Z osnovno pisavo so zapisani komentarji avtorja. 2 Z ležečo pisavo so prepisi iz raziskovalnih nalog. 61 NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 2.2. Naloga: Uporaba kongruenc (9) Kriptoanaliza tajnopisa, šifriranega s (4) Vsako naravno število razen števila 0 v kriptologiji pomočjo afine transformacije je naslednik nekega naravnega števila. (10) Šifrirni sistem RSA V Montessorijevi konstrukciji število nič Naj nalogo predstavimo kar z avtoričinim predstavlja prazno škatlo, kamor se lahko povzetkom k njej. 2.3. Opombe namestijo druge škatle. Škatla, v kateri se nahaja druga prazna škatla, predstavlja V raziskovalni nalogi želimo pokazati upo- Naloga stoji trdno na nogah. Dijakinja je število 1. Naslednika naravnega števila rabo modularne aritmetike v nekaterih dobimo tako, da v njegovo škatlo dodamo metodah šifriranja ter prikazati delovanje zapisala vse izreke in dokaze, ki jih je po- še eno prazno škatlo. teh metod s pomočjo programskega jezika trebovala. Večino jih je verjetno dokazala Python. V začetnem delu opišemo mate- sama, to je videti iz načina, kako se je lo- V nadaljevanju so avtorji vpeljali kon- matična orodja, ki jih potrebujemo v krip- tila dokazov. strukcijo gnezdenih škatel, imenovali so tologiji, med njimi Eulerjev izrek, reševa- jih polištevila, ki pa jim niso uspeli vdih- Enostavnejša kodiranja izračunajo iz in- niti življenja. Tako je ostalo le pri kon- nje linearne kongruence z eno in z dvema deksa danega znaka v abecedi nov indeks strukciji. neznankama, reševanje sistema dveh line- in zamenjajo dani znak z znakom, ki v arnih kongruenc z dvema neznankama, abecedi stoji na mestu z izračunanim in- Zadeva se je dokončno zapletla, ko so ho- računanje potenc z velikimi eksponenti deksom. teli konstruirati cela števila. V ta namen po danem modulu ter računanje inverza so vpeljali dodatno škatlo, to je antiškatlo, proti modulu tujega števila s pomočjo Eu- Opisala je naslednje načine kodiranja: ki predstavlja antinič. Če se znajdeta v lerjevega izreka in s pomočjo razširjenega (1) Afino kodiranje: Indeks znaka i v abe- škatli nič in antinič, se medsebojno izni- čita. Evklidovega algoritma. V nadaljevanju se cedi se spremeni po formuli ukvarjamo z dvema metodama šifriranja: f(i) = a × i + b(mod r), Tu so storili prvo napako. V obsegu celih šifriranje s pomočjo afine transformacije kjer je r dolžina abecede. S pomočjo števil velja, da je 0 = –0. Zaradi te napake ter RSA šifriranje. Spotoma vpeljemo ma- statistične porazdelitve črk v sloven- so morali žrtvovati distributivni zakon v tematične pripomočke, ki jih potrebujemo skem besedilu ji je uspelo dekodirati obsegu celih števil. Algebrska struktura pri posameznem tipu šifriranja, ter izde- zakodirano besedilo. obsega se je zrušila. lamo računalniške programe, s katerimi (2) Kodiranje RSA je omenjeno v prispev- Vendar jih to ni ustavilo. V nadaljevanju šifriranje prikažemo na konkretnih pri- ku na spletu na zgornjem naslovu. so definirali multištevila gnezdenih ška- merih. V primeru afine transformacije se tel, kjer nastopajo škatle niča in antiniča. ukvarjamo tudi s kriptoanalizo in pokaže- Vse, kar je povedano v nalogi, je tudi pod- Omenili so, da je to pot za konstrukcijo mo, da je ta metoda glede na današnjo moč prto s programi v programskem jeziku elementarnih delcev, kjer nastopajo delci računalniške tehnologije za uporabo preveč python. in antidelci. ranljiva. Seveda nas ta multištevila ne bodo pri- Kratek pregled vsebine 3. Druge naloge peljala do spinorjev. Dobili so napačen namig na prvi stopnji, češ da si njihova (1) Modulska aritmetika Letos je komisija dodelila le dve zlati pri- naloga zasluži objavo v matematični re- viji. Glej https://www.youtube.com/ znanji. Nobena osnovnošolska naloga ni watch?v=lJ3CD9M3nEQ prejela zlatega priznanja. Pot do spinorjev je obravnavana v pri- spevkih na spletu: Vendar bi omenil dve nalogi, ki sta vzbu- https://www.youtube.com/ dili pozornost. watch?v=j5soqexrwqY. 3.1. O konstrukciji obsega celih števil Prva je naloga, ki govori o konstrukciji naravnih števil po metodi Montessori. (2) Osnovni pojmi kriptologije (3) Eulerjev izrek Konstrukcija temelji na Peanovih aksio- (4) Recipročna vrednost a–1 v danem mih za naravna števila. QR-koda do posnetka modulu (r), a–1 × a ≡ 1 (mod r) (1) Število 0 je naravno število. Žal je veliko dela in entuziazma dijakinj (5) Potence z velikimi eksponenti (2) Vsako naravno število n ima nasledni- in dijaka izzvenelo v prazno. Naj jih ohra- ka n'. (6) Linearni sistemi kongruenc brim, da je bilo njihovo delo kljub temu (3) Če za dvoje naravnih števil m in n dragoceno. Z izkušnjami, ki so jih prido- (7) Razširjeni Evklidov algoritem velja, da je m' = n', potem sta števili bili, lahko v nadaljevanju dosežejo lepe (8) Afina transformacija enaki. uspehe. 62 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 NOVICE 3.2. O zlatem rezu V nalogi sta avtorici poskušali iz njihove šolske stavbe izrezati pravokotnike v zla- tem rezu. Če pravokotniku v zlatem rezu QR-koda do dokumenta odstranimo kvadrat z dolžino stranice, ki je enaka manjši od stranic pravokotnika, • Zgradba OZN na sliki z več kot 16 % nam ostane pravokotnik, katerega stranici odstopa od zlatega reza. Seveda pa sta v enakem razmerju kot stranici prvo- vedno lahko popravimo pravokotnik tnega pravokotnika. tako, da bo v zlatem rezu. Enako velja Vir: Posnetek zaslona. za Partenon v Atenah. Sam pojem zlatega reza ima močan mi- • Razmerje zlatega reza je limita količ- stični naboj. V tridesetih letih, odkar nika dveh sosednjih členov Fibonacci- sodelujem pri ocenjevanju raziskovalnih jevega zaporedja. Ti so v nekem smi- nalog iz matematike na srečanjih mla- slu najboljši možni racionalni približ- dih raziskovalcev pod okriljem Zveze za ki zlatega reza. V nalogi je zapisano, tehnično kulturo, je bilo mnogo nalog na da je količnik že po petem členu zelo temo zlatega reza. Ni treba posebej po- QR-koda do aplikacije blizu zlatemu številu in se mu tudi na- prej zelo hitro približuje. Ravno to ni udarjati, da so mrzlično iskali razmerje Navajamo nekaj napačnih trditev o zla- res, bistvo zlatega reza je nekje drugje, povsod, kjer je in kjer ga ni. tem rezu v nalogi. kot smo omenili zgoraj. Res je, da se razmerje zlatega reza pojavlja • Znamenita podoba Vitruvijskega člo- Tudi to je napaka mentorjev, ki so bili v naravi. Vendar je razlog za to posebna veka Leonarda da Vincija ni v zlatem premalo pozorni. Tako skrbno napisana lastnost razmerja, ki je v nekem smislu rezu. Vitruvij je sledil pitagorejcem, naloga ni našla mesta, ki bi si ga lahko najbolj iracionalno število. To dejstvo ki so oboževali racionalna razmerja (harmonija sfer). Tudi zapisi na podo zaslužila. - pride v poštev, kadar imamo opravka z bi človeka govorijo o racionalnih raz- S tem dijakinj nočem oplašiti, ampak ju enakomernimi razporeditvami, kot je na merjih v človeškem telesu. vabim, naj se naslednje leto odločita za primer razporeditev semen pri sončnici. Glej http://matematika.fe.uni-lj.si/ raziskovalno nalogo, pri kateri bi z novim Glej https://scratch.mit.edu/projec- html/people/borut/scratch/Doku- znanjem preverili pravilnost trditev v tej ts/344169437/fullscreen. menti/Vitruvian.pdf. nalogi. Ponujam se za somentorja. DMFA organizira NATEČAJ Matematika, ki se je lahko dotaknete Kako sodelovati? Ustvarite izdelke na temo letošnjega izziva in prek spletne strani (https://www.dmfa.si/Izobrazevanje/Mednarodni- DanMatematike.aspx) oddajte do 3 fotografije s kratkim opisom izdelka. Oddaja izdelkov bo mogoča med 14. 3. in 31. 3. 2025, Letošnji ustvarjalni izziv je sestavljanje matematičnih ele- zato lahko izziv hkrati uporabite za razredne aktivnosti na mentov – matematike z uporabo vsakdanjega fizičnega dan števila π ali že ustvarjeni izdelek natečaja ta dan raz- materiala ali elementov iz gospodinjstva, narave itd., lahko stavite na šoli. so to tudi ljudje. Uporabite umetnost in ustvarjalnost, da naredite skulpture, ki bodo matematiko prenesle iz glave Ocenjevanje izdelkov? in knjig v resnični svet. Komisija DMFA bo izdelke pregledala in izbrala po enega zmagovalca v vsaki kategoriji (vrtec, 1. triletje, 2. triletje, 3. Kdo lahko sodeluje? triletje in srednja šola). Vsi udeleženci prejmejo diplome za Sodelujejo posamezniki ali skupine v vrtcih, osnovnih sodelovanje, nagrajenci pa tudi simbolične nagrade. šolah in srednjih šolah pod mentorstvom učiteljev in/ali vzgojiteljev. Vabljeni k sodelovanju. Za morebitna dodatna vprašanja se obrnite na matematicnidan@dmfa.si NOVICE Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Predstavitev knjige: Statistika za začetnike znanstvenim eksperimentom. To ne drži Slavko Jerič povsem, saj obstajajo napredne statistične metode za obravnavo opazovalnih podat- Cankarjeva založba kov. Ljubljana, 2024 Knjiga v zadnjih poglavjih zajame ši- 294 strani rok nabor tem, od osnov verjetnosti (ki Cena: 29,99 € je sicer bolj matematična disciplina) do praktičnih primerov uporabe statistike v vojaških strategijah, športu, pandemiji Večkrat me kdo prosi za priporočilo po- kovida in podnebnih spremembah. Neka- ljudne knjige o osnovah statistike v slo- tera poglavja so zanimiva in osvetljujejo venskem jeziku, vendar sem pri tem ve- širši kontekst uporabe podatkov, vendar dno v zadregi, saj tovrstno literaturo veči- zaradi raznolikosti tem knjiga na trenutke noma poznam le v angleščini, medtem ko deluje nekoliko nepovezano. je pri nas ta tematika pretežno obravnava- Delo vsebuje tudi tabele in grafične pri- na v učbenikih. Zato sem z zanimanjem kaze podatkov ter ilustracije Ivana Mi- segla po knjigi Statistika za začetnike, ki trevskega v stripovskem slogu. Ilustracije je letos izšla v zbirki Najst pri Cankarje- smiselno dopolnjujejo besedilo in nekate- vi založbi. Knjiga je pritegnila precej po- re so tudi zelo duhovite. Čeprav njihova zornosti z opazno medijsko kampanjo, estetika ne ustreza vsem okusom, so med številnimi pozitivnimi odzivi bralcev in bralci požele tudi pohvale. nedavno osvojeno nagrado zlata hruška podlago za razumevanje statistične ana- v kategoriji izvirne slovenske mladinske lize. V petem poglavju, kjer avtor piše o Naslov knjige se mi zdi nekoliko zavaja- poučne knjige. Avtor Slavko Jerič, znan zbiranju in urejanju podatkov, metode joč, saj sama statistika ni v ospredju. Veli- kot novinar MMC RTV SLO in voditelj nekoliko preveč poenostavi, saj omeji zbi- ko bolje bi knjigo opisala njen podnaslov podkasta Številke, v knjigi na zelo oseben ranje zgolj na opazovanje in spraševanje. ali geslo, uporabljeno v opisu knjige na način predstavi svoj pogled na številke in Pohvalno pa predstavi merske napake in spletni strani založbe: »Vodič po številkah podatke, s čimer skuša približati statistiko razliko med slučajnimi in sistematičnimi na oseben način«. Avtor, ki je po izobraz- širšemu občinstvu. napakami. bi matematik in psiholog, ne pa statistik, knjigo predstavi na lahkoten in humoren, Že podnaslov knjige, Kako številke obli- Šesto in sedmo poglavje sta namenjeni poljuden način, vendar se včasih poglo- kujejo (moj) svet, namiguje, da gre bolj za obravnavi srednjih vrednosti (modus, bljeno razumevanje statističnih metod osebno interpretacijo pomena številk kot mediana, aritmetična sredina), poraz- izgubi. za klasično razlago osnov statistike. Be- delitev in razpršenosti. Avtor ustrezno sedo »številke« avtor pogosto uporablja opozori na omejitve aritmetične sredine Knjiga je primerna za začetnike, ki jih kot sinonim za številčne podatke, čeprav v primeru asimetričnih porazdelitev, kot zanima uvod v statistiko skozi osebne statistika ni omejena zgolj nanje. Prvi po- je porazdelitev plač. V poglavju o razpr- zgodbe in zanimive primere. Učiteljem glavji sta tako bolj posvečeni številkam, šenosti pa ni najbolj posrečen primer za- matematike bi lahko služila kot vir idej za denimo pomenu številke EMŠO, medtem ključnih ocen, saj gre za ordinalno spre- popestritev pouka, vendar ni namenjena ko se osnovna definicija statistike – veda menljivko, za katero izračun aritmetične poglobljenemu razumevanju osnovnih o zbiranju, urejanju, analizi, interpretaciji sredine ni primeren. Kljub temu so raz- konceptov. Čeprav sem glede na nagra- in prikazovanju podatkov – pojavi šele v lage variacijskega razmika, standardnega do in odzive pričakovala nekoliko več, je tretjem poglavju. Tu avtor predstavi tudi odklona in normalne porazdelitve ustre- knjiga v slovenskem jeziku zelo dobrodo- zgodovinski razvoj statistike in njeno zno predstavljene. šla, saj zapolnjuje vrzel v poljudni litera- uporabnost skozi različne primere, od turi o statistiki. Upam, da bo spodbudila vojaških strategij do razvoja testov inte- V osmem poglavju avtor predstavi ko- izid dodatnih del, ki bodo obravnavala ligentnosti, pri čemer ustrezno izpostavi relacijo, ob tem pa poudari razliko med podatke in statistiko še z drugih vidikov omejitve teh testov. korelacijo in vzročnostjo. Opozori na ter vključevala širši nabor metod. primere »sumljivih korelacij«, za katere Četrto poglavje se osredotoča na osnov- se v slovenščini sicer že ustaljeno upora- Doc. dr. Ana Slavec, ne statistične pojme, kot so srednje vre- blja izraz navidezna korelacija. V zaključ- Fakulteta za matematiko, naravoslovje dnosti, variabilnost, populacija, vzorec ku je preveč poenostavljena navedba, da in informacijske tehnologije Univerze in spremenljivke, kar predstavlja ključno vzročne povezave lahko dokažemo zgolj z na Primorskem in InnoRenew CoE 64 Mathematics in school 22024 Volume 30 CONTENTS Sonja Rajh Mathematics in a Greeting Card .......................................................................................................................... 1 FROM THE THEORY FOR PRACTICE Jasmina Ferme, PhD; Barbara Arcet, PhD; Alenka Lipovec, PhD Developing Algorithmic Thinking Through Long Division .......................................................... 2 Barbara Arcet, PhD Integrating AI in Education: Effective Prompting ................................................................................ 8 FROM THE CLASSROOM Ema Ptičak, Tadej Vovk Solving Polynomial Equations with Turtle Graphics ....................................................................... 15 Kaja Vreš Exploring Square Palindromes .......................................................................................................................... 23 Ana Canzutti Impact of Intentional Use of Mathematical Terminology in Mathematics Classroom .................................................................................................................................... 30 Lidija Venko Science Day ......................................................................................................................................................................... 39 Jasna Kvenderc Medvešek Gifted and Potentially Gifted Students in Mathematics .............................................................. 44 NOVICE Sonja Rajh International Conference on Teaching and Learning Mathematics ................................... 50 Marija Lesjak Reichenberg, Zvonka Kos in Sonja Rajh Roundtable Discussion Celebrating Launch of 30th Volume of Mathematics in Schools ....................................................................................................................................... 55 Mateja Sirnik Knowledge of Slovenian Fourth-graders in the International TIMSS Survey ........... 59 Borut Jurčič Zlobec; PhD Mathematics Research Tasks at Young Researchers Meeting 2024 ................................... 60 Ana Slavec; PhD Book Review: Statistics for Beginners ........................................................................................................... 64 Varno in spodbudno u no okolje Brezplačna gradiva na temo varnega in spodbudnega učnega okolja, ki so dostopna v digitalni bralnici ZRSŠ: www.zrss.si/digitalna-bralnica