i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 76 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory, Ameri-
can Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2014, 371
strani.
Učbenik je namenjen študentom vǐsjih
letnikov, ki želijo spoznati osnovne me-
tode analitične teorije števil. Avtor v
uvodu pravi, da knjiga ne zahteva po-
sebnega predznanja, razen poznavanja
osnov kompleksne analize, algebre in li-
nearne algebre. Vsako poglavje zaokro-
žijo vaje oziroma naloge ter zelo podro-
bne, zanimive in poučne zgodovinske
opombe in reference na knjige in članke,
v katerih so predstavljene teme obravna-
vane podrobneje.
Analitična teorija števil se v glavnem
posveča aproksimativnemu preštevanju
objektov iz teorije števil, kot so npr. pra-
števila, delitelji, rešitve diofantskih enačb,
točke mrež znotraj danega območja, razčlenitve celih števil, itd. Vendar njen
domet ni omejen le na preštevanje števil, in za nekatere probleme (npr. v
algebraični teoriji števil) dajo njene metode tudi eksaktne rešitve.
Prototip in eden zgodovinsko prvih primerov aproksimativnega prešte-
vanja v teoriji števil je praštevilski izrek, ki število π(x) praštevil p ≤ x
aproksimira s t. i. integralnim logaritmom li(x) =
∫ x
2
du
log(u) .
Relacijo limx→∞
π(x)
li(x) = 1, ki jo je na podlagi empiričnega opažanja,
kako se praštevila vse bolj redčijo v tabeli števil do 1000, okrog 1792 for-
muliral mladi Gauss, najprej v obliki zakona oziroma hipoteze, da je na
intervalih (x − h, x] približno h/ log(x) praštevil, in ki so jo najbolǰsi ma-
tematiki s klasičnimi metodami zaman poskušali dokazati več kot sto let,
sta leta 1896 neodvisno dokazala Jacques Hadamard in Charles de la Vallée
Pousin na temelju idej Bernharda Riemanna, z uporabo kompleksne analize
na Riemannovi zeta funkciji ζ(s) =
∑∞
n=1 n
−s, kar je pomenilo prvo veliko
zmagoslavje analitične teorije števil.
Na gornjem zgledu lepo vidimo, kako matematika v svojem nastajanju,
76 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 77 — #2 i
i
i
i
i
i
A Course in Analytic Number Theory
drugače od poučevanja matematike, ki terja izčǐsčene definicije, strogost
in ekonomičnost, zahteva bujno domǐsljijo ter kreativen in drzen skok v
neznano, tega presežka pa zgolj z asketsko logiko in dedukcijo, ki ostajata
v varni domeni znanega, ni mogoče doseči. Seveda pa dokazi pomembnih
izrekov poleg dobre začetne ideje, ki raziskovanje pravilno usmeri, praviloma
zahtevajo vztrajnost, domiselnost in osredotočenost na cilj v vseh fazah dela;
nekateri matematiki zato začenjajo vse svoje dokaze s črkami Q. E. D. – kot
opomin, da se v gozdu neštetih možnih poti ne smejo izgubiti, ampak morajo
svoje delo kronati z otipljivim rezultatom!
Ker je porazdelitev praštevil eden ključnih problemov v teoriji števil, so
matematiki vztrajno iskali in našli še mnoge bolǰse ocene za funkcijo π(x).
Tako je npr. v knjigi dokazan rezultat |π(x)−
∫ x
2
du
log(u) | ≤ Cxe
−c log1/10(x) za
x ≥ x0.
V analitični teoriji števil so pomembne tudi ocene velikosti napake pri
aproksimaciji f(x) v g(x) neke aritmetične funkcije f : N → R z neko
analitično funkcijo g(x) : R → R. Tipičen tak problem je t. i. Dirichletov
problem deliteljev. Če označimo število deliteljev naravnega števila n z d(n),
potem lahko povprečno število teh deliteljev 1x
∑
n≤x d(n) aproksimiramo z
log(x) + 2γ − 1, kjer je γ = 0,57772 . . . Euler-Mascheronijeva konstanta.
Kako hitro pri tej aproksimaciji absolutna napaka konvergira k 0, ko gre
x → ∞? To je Dirichletov problem deliteljev iz leta 1838, ki ima bogato
zgodovino in je še do danes nerešen.
Delitelji in praštevila sodijo v t. i. multiplikativno teorijo števil. Metode
analitične teorije števil pa so uporabne tudi v t. i. aditivni teoriji števil, npr.
za dokaz Waringove domneve iz leta 1770 (prvi jo je dokazal David Hilbert
1909), da se da vsako naravno število n izraziti kot vsota n =
∑g(k)
i=1 a
k
i
omejenega števila k-tih potenc nenegativnih celih števil ai, pri čemer je to
število g(k) <∞ odvisno od k.
Poglavja so (glede medsebojne odvisnosti) urejena po shemi: 1→ (2, 3),
3 → (4, 5), 5 → (6, 7, 8), 8 → (9, 10) in imajo naslednje naslove oziroma
vsebino:
V prvem poglavju z naslovom Aritmetične funkcije je najprej opisana
metoda Čebǐseva, s katero je mogoče dokazati π(x) v li(x), njena začetna
ideja pa je zelo preprosta. Ker je po zgoraj omenjenem praštevilskem izreku
gostota praštevil do n približno 1/log(n), se pri preštevanju praštevil zdi
naravneje vsakemu praštevilu dati utež log(p) namesto 1. Tako je Čebǐsev
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 77
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 78 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
vpeljal uteženo preštevalno funkcijo ϑ(x) =
∑
p≤x log(p). Ker pa so potence
praštevil razmeroma redke, je vpeljal še eno preštevalno funkcijo ψ(x) =∑
pk≤x log(p). Ti dve funkciji sta aproksimativno enaki, z njima pa lahko
praštevilski izrek izrazimo v obliki ψ(x) v x oziroma ϑ(x) v x. Za bolǰso
predstavo o zahtevnosti teh izpeljav povejmo le, da ustrezni dokaz v knjigi
zavzema skoraj tri strani!
Z izbolǰsano verzijo svoje metode je Čebǐsev našel za funkcijo ψ(x) na-
slednji meji: 0,921 · x ≤ ψ(x) ≤ 1, 106 · x za vse dovolj velike x, in upo-
rabil ti meji za prvi dokaz Bertrandovega postulata, ki pravi, da za vsak
x ≥ 2 obstaja najmanj eno praštevilo na intervalu (x/2, x]. Ta njegov čla-
nek iz leta 1850 velja za začetek študija lokalne porazdelitve praštevil. V
knjigi je podan kraǰsi dokaz Bertrandovega postulata iz dveh delov: i) za
2 ≤ x ≤ 797 trditev sledi iz opažanja E. G. H. Landaua, da je v zapo-
redju praštevil 2, 3, 5, 7, 11, 17, 31, 59, 107, 211, 401, 797 vsako število manǰse
od dvakratnika svojega predhodnika; ii) za x ≥ 797 pa se da (na podlagi
Ramanujanove ideje in z veliko računske spretnosti) razliko ϑ(x) − ϑ(x/2)
omejiti navzdol s funkcijo f(x) = log(2)3 −log(4x)−
3 logn2(x)
2 log(2) −4 log(2)x
1/2, ki
ima za x ≥ 797 pozitiven odvod f ′(x) > 0, v točki x = 797 pa ima pozitivno
vrednost f(797) = 1,2, torej je ϑ(x)− ϑ(x/2) ≥ f(x) > 0, Q. E. D.
Knjiga pomeni nekaj standardnih orodij, ki se uporabljajo v analitični
teoriji števil. Tako npr. dolge račune z neenakostmi zelo poenostavi Ba-
chmannov zapis f(x) = O(g(x)), ki pomeni, da obstaja neka konstanta
C > 0 in neko realno število x0, da velja |f(x)| ≤ Cg(x) na intervalu
x ≥ x0; pri ocenjevanju integralov na intervalu I dostikrat pride prav Höl-
derjeva neenakost
∫
I |f(x)g(x)|dx ≤ (
∫
I |f(x)|
pdx)1/p(
∫
I |g(x)|
qdx)1/q, kjer
je 1 < p, q < ∞ in 1/p + 1/q = 1; morda najpogosteje uporabljano orodje
v analitični teoriji števil je parcialna sumacija (diskretna analogija inte-
gracije per partes), katere osnovna verzija je identiteta:
∑n
m=1 ambm =
bn
∑n
m=1 am −
∑n−1
m=1(bm+1 − bm)
∑m
k=1 ak. Za ocenjevanje uteženih vsot
aritmetičnih funkcij f : N→ C je zelo uporabna formula parcialne sumacije∑
n≤x f(n)g(n) = F (x)g(x)−
∫ x
1 F (u)g
′(u)du, kjer je F (u) =
∑
n≤x f(n) su-
macijska funkcija aritmetične funkcije f , g pa je zvezna funkcija z odsekoma
zveznim odvodom na (1,∞].
Kot primer zahtevneǰse metode, predstavljene v Overholtovi knjigi, ome-
nimo metodo normalnega reda (angl. normal order method) P. Turána, opi-
sano v drugem poglavju knjige. Realna funkcija g je normalni red za realno
78 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 79 — #4 i
i
i
i
i
i
A Course in Analytic Number Theory
funkcijo f , če za vsak ε > 0 velja neenakost −εg(n) ≤ f(n)− g(n) ≤ εg(n)
za n ≤ x z največ oε(x) izjemami, kjer je f(x) = o(g(x)) Landauova mali-o
notacija za limx→+∞ f(x)/g(x) = 0.
G. H. Hardy in S. A. Ramanujan sta pokazala, da imata funkciji ω(n) =∑
p|n 1 različnih praštevilskih deliteljev števila n in Ω(n) =
∑
pk|n 1 vseh
deliteljev števila n obe normalni red log(log(n)). To je v knjigi dokazano s
Turánovo metodo, ki ima tudi verjetnostno interpretacijo. Turánov dokaz
pa je odprl polje raziskovanja, ki se imenuje verjetnostna teorija števil.
V tretjem poglavju z naslovom Karakterji in Eulerjevi produkti je doka-
zana identiteta
∏
p
∑∞
k=0 f(p
k) =
∑∞
n=1 f(n), ki velja za poljubno nenega-
tivno multiplikativno aritmetično funkcijo f , tj. tako, ki ni identično enaka
nič in za katero je f(mn) = f(m)f(n) , če je le gcd(m,n) = 1. Obravnavane
so tudi Dirichletove vrste
∑∞
n=1 ann
−s s koeficienti an ∈ C in spremenljivko
s ∈ C. Dirichletovo vrsto
∑∞
n=1 f(n)n
−s aritmetične funkcije f imamo lahko
za rodovno funkcijo funkcije f . Podobno kot so formalne potenčne vrste∑∞
n=0 anz
n uporabne v aditivni teoriji števil zaradi lastnosti zmzn = zm+n
monomov, tako so Dirichletove vrste primerne za multiplikativne probleme
zaradi lastnosti m−sn−s = (mn)−s Dirichletovih monomov.
Pomembno vlogo v analitični teoriji števil igrajo tudi ideje iz harmonične
analize; ta način je vpeljal Dirichlet okrog 1830. Kot pravi M. Overholt, v
harmonični analizi študirajo aproksimacije ali celo natančne reprezentacije
funkcij s končnimi linearnimi kombinacijami f(x) = c1b1(x)+c2b2(x)+ · · ·+
cNbN (x), ali pa z neskončnimi vrstami ali integrali, kjer si vse bazne funkcije
bn(x) delijo neko skupno simetrijsko lastnost. Le-ta je navadno določena
z delovanjem neke grupe na prostoru, na katerem so funkcije definirane.
Najbolj znan primer so klasične Fourierove vrste f(x) v
∑∞
n=−∞ fne(nx),
kjer so vse bazne funkcije e(nx), dane z e(x) = e2πix periodične s periodo 1.
Najpreprosteǰsi primer uporabe harmonične analize v analitični teoriji
števil se nanaša na tiste aritmetične funkcije f : Z → C, ki so periodične s
periodo q. Le-te so izomorfne prostoru kompleksnih funkcij na ciklični grupi
Z/Zq. V knjigi je kot primer izpeljan Fourierov razvoj Legendrovega simbola
(np ) = p
−1/2 ∑p
k=1
√
p
τp
(kp )e(kn/p). Posplošitev teh metod naravno vodi do
zelo uporabnega koncepta reprezentacij grup. Če namreč neko abstraktno
grupo G, o kateri sicer ne vemo veliko, homomorfno preslikamo npr. v neko
grupo matrik, lahko z metodami linearne algebre študiramo prvotno grupo
G. Vendar so reprezentacije grup pomembne ne samo v teoriji grup, ampak
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 79
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 80 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
tudi v analitični teoriji števil, in sicer za generiranje baznih funkcij v smislu
zgoraj skicirane harmonične analize aritmetičnih funkcij.
Tako je npr. Dirichlet s pomočjo idej harmonične analize dokazal izrek o
praštevilih v aritmetičnih zaporedjih, enega pomembnih mejnikov v teoriji
števil, ki pravi: Če sta p in q naravni, tuji si števili, potem aritmetično
zaporedje pm + q, kjer m = 0, 1, 2, . . . , vsebuje neskončno mnogo praštevil.
Pri svojem dokazu pa se ni mogel nasloniti na teorijo grup, saj je bil pojem
grupe okrog 1830 znan le v obliki permutacijskih grup rešitev polinomskih
enačb.
Četrto poglavje je posvečeno krožni metodi, ki je uporabna v diofantski
analizi. Z njo se da oceniti število celoštevilskih rešitev različnih polinom-
skih enačb nad Z, kadar je število neznank dovolj veliko. V knjigi je razvita
do mere, da se da z njo dokazati Waringovo domnevo. Ta metoda se je
najprej pojavila v članku Hardyja in Ramanujana (1917) o particijski funk-
ciji p(n), ki šteje, na koliko načinov lahko zapǐsemo n kot vsoto naravnih
števil, pri čemer vrstni red ni važen. Z analizo singularnosti njene rodovne
funkcije f(z) =
∑∞
n=0 p(n)z
n, ki se jo da predstaviti z neskončnim produk-
tom f(z) =
∏
(1− zm)−1, ter z uporabo Cauchyjeve integralske formule sta
dobila asimptotsko oceno p(n) v
eπ
√
2n/3
4n
√
3
.
V petem poglavju je predstavljena metoda konturnih integralov, s katero
se da dobiti asimptotske ocene za sumacijske funkcije F (x) =
∑
n≤x an iz
ustreznih Dirichletovih vrst A(s) =
∑∞
n=1 ann
−s s pomočjo teorije residuov.
S to metodo je v šestem poglavju dokazan praštevilski izrek π(x) v
ψ(x) =
∑
pk≤x log(p) v obliki, da obstaja c > 0, da je ψ(x) =
x+O(xe−c·log
1/10(x)), ko x→ +∞.
Morebitnega bralca naj opozorimo, da težavnost knjige iz poglavja v
poglavje narašča. Ob tem se spomnimo Evklidove opazke, da ni kraljevske
poti v matematiko.
V sedmem poglavju je praštevilski izrek posplošen na aritmetična za-
poredja n ≡ a (mod q). Že sama formulacija Siegel-Walfiszovega izreka je
zahtevna, dokaz prav tako.
V osmem poglavju so obravnavane Fourierove vrste, Poissonova for-
mula, Jacobijeva funkcija theta ϑ : C × H → C, definirana s predpi-
som ϑ(z, τ) =
∑∞
n=−∞ e
πin2τe(nz), nadalje funkcija gama Γ(s), ki jo po
Weierstrassu lahko definiramo s pomočjo neskončnega produkta v obliki
80 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2