Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 UDK - UDC 620.172.21 Izvirni znanstveni članek - Original scientific paper (1.01) Časovno odvisno vedenje pogonskih jermenov pod vplivom periodične mehanske obremenitve - analiza lokacije enojne spektralne črte Time-Dependent Behaviour of Drive Belts under Periodic Mechanical Loading - An Analysis of the Location of a Single Line Spectrum Barbara Zupančič - Anatolij Nikonov - Urška Florjančič - Igor Emri (Fakulteta za strojništvo, Ljubljana) Pri zagotavljanju vzdržljivosti motorjev je kritična trajnost pogonskih jermenov. Zato je razumevanje mehanizmov, ki na trajnost jermenov vplivajo, velikega pomena. S tem prispevkom nadaljujemo raziskavo o časovno odvisnem obnašanju dinamično obremenjenih elastomernih izdelkov. V ta namen je bil razvit teoretični model, ki omogoča analizo nabiranja napetostno-deformacijskega stanja [1]. Razvoj modela temelji na konstitutivnem modeliranju prenosnih jermenov, ki so izpostavljeni zobati periodični obremenitvi med obratovanjem motorja. V vsakem obremenitvenem ciklu je elastomerni material izpostavljen kombinaciji pojavov lezenja in kasnitve. V določenih razmerah, ki jih definirata geometrijska oblika jermena in kotna hitrost obratovanja jermenic, pojav kasnitve med dvema zaporednima cikloma ni končan. Tako material vstopi v naslednjo obremenitveno fazo s preostalo deformacijo. Posledično se deformacijsko stanje prične nabirati, kar vodi do utrjevanja materiala, nastajanja razpok in končno lahko tudi do odpovedi jermena. Dosedanji izsledki raziskave so pokazali, da obstajajo kritične razmere obremenjevanja, pri katerih se pojavi postopek nabiranja deformacije. Predvidevamo lahko, da bo izdelek med obremenjevanjem v kritičnih razmerah (oz. v bližini) skoraj zagotovo odpovedal! Kritične razmere obremenjevanja so odvisne od zakasnilnega časa materiala (opredeljuje ga lokacija spektra), medtem ko j e velikost nabrane deformacije odvisna od jakosti (intenzivnosti) pripadajoče spektralne diskretne linije. Iz tega lahko sklepamo, da je mehanski spekter polimernega materiala, iz katerega je izdelek narejen, odločilna materialna funkcija za napoved trajnosti dinamično obremenjenih elastomernih izdelkov. V tem prispevku analiziramo vpliv lokacije enojne spektralne linije na kritične obratovalne razmere. Rezultati analize kažejo, da daljši odzivni časi materiala pomenijo nižje kritične obratovalne kotne hitrosti. © 2007 Strojniški vestnik. Vse pravice pridržane. (Ključne besede: časovno odvisno modeliranje, prenosni jermeni, viskoelastične analize, mehanski spektri) A drive belt's durability is a critical factor for the sustainable operation of engines. Thus, understanding the mechanisms that affect their durability is extremely important. In this paper we present the continuation of our research on the time-dependent behavior of dynamically loaded elastomeric products. For this purpose the constitutve model has been developed, which made possible the analyses of the stress-strain state [1]. The development of the costitutive model is based on the modelling of the transmission belts when exposed to tooth-like periodic mechanical loading during the operation of the engine. Within each loading cycle the elastomeric material undergoes a combination of creep and the retardation process. Under certain conditions, defined by the drive belt's geometry and the pulleys' angular velocity, the retardation process between two loadings cannot be fully completed to a strain-free state. Consequently, the strain state starts to accumulate, which leads to hardening of the material, crack formation, and ultimately to the failure of the belt. The results have shown that there exists some critical loading conditions for the strain-accumulation process to occur. We can predict that the product will almost certainly fail if it operates under critical conditions, which depend on the retardation time (location of the spectrum). The magnitude of the accumulated strain is dictated by the intensity of the spectrum line. Thus, the mechanical spectrum of the 696 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 polymeric material, from which the product is made, is the most important material function for predicting the durability of the polymeric product. In this paper we analyze the effect of the location of a single spectrum line on the critical operating conditions. We found that longer response times for a material mean lower critical operating angular velocities. © 2007 Journal of Mechanical Engineering. All rights reserved. (Keywords: time-dependent constitutive modeling, transmission belts, viscoelastic analysis, mechanical spectrum) 1 OBREMENITVENI POGOJI POGONSKEGA JERMENA 1 THE LOADING CONDITIONS OF A DRIVE BELT Tip obremenitve pogonskega jermena je bil določen s tržnim MKE paketom ANSYS, pri čemer smo privzeli elastično obnašanje vseh komponent jermena. Jermen je bil prednapet s silo F in obremenjen z želenim momentom M, tako da je bila sila prednapetja razdeljena na silo Fl v natezni veji jermena in silo F2 v razbremenitveni veji jermena, kakor je shematično prikazano na sliki 1. Na sliki je hkrati označena tudi medosna razdalja med jermenicama l, polmer jermenic R, ter časa tl in t2, ki označujeta začetek in konec stika jermena z jermenico. Gibanje, ko se izbrana točka na jermenu pri vrtenju pogonske in gnane jermenice vrne v začetno lego, imenujemo zaključen obremenitveni cikel jermena. Za viskoelastično analizo smo izbrali točko pod zobom jermena, v kateri ima časovni potek strižne napetosti znotraj vsakega obremenitvenega cikla obliko sunka. Izbrana lokacija je prikazana na sliki 2a in označena z A, medtem ko slika 2b prikazuje pripadajoči časovno odvisni razvoj strižne napetosti. V prvem približku lahko potek strižne napetosti modeliramo z razliko dveh koračnih The loading conditions of a synchronous belt were determined with the commercial FEM program ANSYS, assuming the elastic behaviour of all the belt components. The belt was pre-stressed with a force F and loaded with the desired torque M, so that the pre-stressing force was appropriately divided into the strand on the tension side, F1, and on the slack side, F2, as schematically shown in Fig. 1. The figure also indicates the distance between two pulleys, l, their radius, R, and the times, t1 and t2, which indicate when the belt enters and leaves the driving pulley. The driving pulley and the driven pulley were then rotated in such way that a selected point on the belt would return to the initial position. The described movement we designated as a complete loading cycle of the belt. For the present viscoelastic analysis we selected the location on the belt tooth where the shear stress state within each loading cycle has the form of an impulse function. The selected location is shown in Fig. 2a and is indicated as A, while Fig. 2b shows the corresponding calculated time-dependent evolution of the stress state. In the first approximation the shear stress can be modelled as the difference between two step Ft Fj t, SI. 1. Shematičen prikaz obremenitve in geometrijske oblike jermena Fig. 1. Schematics of the belt’s loading conditions and its geometry Časovno odvisno vedenje pogonskih jermenov - Time-Dependent Behaviour of Drive Belts 697 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 (a) (b) A Smer gibanja Direction of movement 1 cycle SI. 2. Časovno odvisni razvoj strižne napetosti v točki A v zaključenem obremenitvenem ciklu Fig. 2. The time-evolution of the shear stresses at point A within a complete loading cycle funkcij z jakostjo striga t , kakor je prikazano na sliki 2b. Torej: functions with the shear intensity, t , as shown in Fig. 2b. Hence: T(t) = T(0)h(t) + TE{h[t-t1-(n-1)t;]-h[t-t2-(n-1)t;]} (1), za tX Iz zadnjega je razvidno, da je tudi prirastek zbrane deformacije Ar (n; n = 1,2,3, ...,N) za n posamezen cikel odvisen od geometrijske oblike jermena k= UR, kotne hitrosti jermenic 03, števila obremenitvenih ciklov N in zakasnilnega spektra materiala {L., A; t = 1,2,...,K}. Lokacijo kritične kotne hitrosti obratovanja 0)CR, pri kateri je zbiranje deformacije ATn(n; n = 1,2,3, ...,N) najintenzivnejše, matematično določimo z naslednjo enačbo: We can also see that the strain accumulated in each consecutive cycle, Ar (n; n = 1,2,3, ...,N) depends on the geometry of the belt, K= /R, the angular velocity of the pulleys, 03, the number of completed cycles, N, and the retardation spectrum of the material, {L., A; t = 1,2,...,K}. The location of the critical angular velocity 03CR, of the belt-drive, at which ATn(n; n = 1,2,3, ...,N) has an extremum, can be determined from: d {AF»Lffl =0 (11). Z upoštevanjem dejstva, da je Ar (n) funkcija geometrijskih parametrov jermena, števila obremenitvenih ciklov in časovno odvisnih materialnih lastnosti, podobno velja tudi za kritično kotno hitrost 03CR. Na podlagi teoretičnega ozadja, predstavljenega v [1], smo v sklopu nadaljnjih raziskav sistematično analizirali vpliv geometrijske oblike jermena, števila obremenitvenih ciklov in lokacije enojne spektralne linije na lokacijo kritične kotne hitrosti 03CR in postopek zbiranja deformacije. 2.2 Vpliv geometrijske oblike jermena Za popis vpliva geometrijske oblike jermena, ki jo izrazimo s razmerjem K = /R, analiziramo deformacijo, zbrano v prvem ciklu , n = N = 1, pri čemer časovno odvisno materialno lastnost popišemo z najpreprostejšim spektrom, t. j. z enojno spektralno linijo. V tem primeru se izraz za Ar (n) poenostavi do oblike: ATn(n = 1) = T0L1e Zbrano deformacijsko stanje po prvem ciklu obratovanja je kot funkcija kotne hitrosti, T(o3, N = 1) = Ar (03, n = 1), prikazano na sliki 3. Rezultati se nanašanjo na tri različne vrednosti parametra K in retradacijski čas X1 = 100 s [3]. Za izbrane vrednosti N = n = 1 (en obremenitveni cikel) in^T= 1 (enojna spektralna linija), lahko lokacijo kritične kotne hitrosti 03cr(k) določimo analitično iz en.(ll) v sklenjeni obliki: ®cr(k) = Taking into consideration that Ar (n) is a function of the drive belt’s geometrical parameters, the number of consecutive cycles, and the material time-dependent property, the same holds also for the location of 03CR. Considering the theoretical background in [1] we aimed our further research at a systematic analysis of the effect of belt-drive geometry, the number of loading cycles and the single spectrum line location at the location of 03CR and the strain-accumulation process. 2.2 The effect of the belt-drive geometry To grasp the influence of the belt-drive geometry, expressed by the ratio k= I/R, we shall analyze the strain accumulated during the first cycle, n = Af = 1, and keep the spectrum as simple as possible, i.e., assume that the time-dependency of the material can be modelled with a single spectral line. In this case the expression for Ar («) becomes: coX1 1 fflA1 (12). The strain accumulated during the first cycle as a function of frequency, T(03, N = 1) = Ar (03, n = 1), is shown in Fig. 3. The results are also displayed for three different values of Kand for \ = 100 s [3]. When N = n = 1 (one loading cycle) and K = 1 (single spectral line), the location of the critical angular velocity, 03cr(k), can be determined as the closed form solution of Eq.(11). In this case we express 03cr(k) as: n \ ln K + Tl (13). i=1 K 700 Zupančič B. - Nikonov A. - FlorjančičU. - Entri I. Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 Sl. 3. Vpliv geometrijske oblike jermena K = l/R, na postopek zbiranja deformacije v prvem obremenitvenem ciklu pri X = 100 s Fig. 3. The effect of belt-drive geometry, K = l/R, on the strain accumulated during the first cycle, forX1 = 100 s Kritična kotna hitrost 0)cr(k) podaja informacijo o pogojih obratovanja jermenic in jermena, pri katerih je zbiranje deformacije največje. Seveda pa se postopek zbiranja deformacije odvija tudi pri obratovalnih kotnih hitrostih, ki so večje ali manjše od kritične, 0)cr(k). Iz zgornje analize lahko povzamemo, da mora biti razmerje K= l/R čim večje, seveda v mejah uporabnosti jermena. The critical angular velocity, 0)cr(k), indicates the operational conditions for the belt drive at which the magnitude of the accumulated strain achieves its maximum. Of course, strain accumulation also occurs at angular velocities that are larger or smaller than 0)CR(K). From the analysis presented in this section we can summarize that k= l/R should be chosen to be as large as the drive-belt application allows. 2.3 Vpliv števila obremenitvenih ciklov 2.3 The effect of the number of completed cycles Pri analizi vpliva števila obremenitvenih ciklov še vedno ohranimo predpostavko o najpreprostejšem modeliranju časovno odvisne materialne lastnosti z enojno spektralno črto, locirano pri odzivnem času A> = 100 s. Izberemo vrednost geometrijskega parametra K = 7i. V tem primeru se izraz za prirastek zbrane deformacije poenostavi do oblike: ATn(n) = T0L1e 7i(4n-3) aX\ To analyze the effect of the number of loading cycles we shall again keep the material time-dependence simple by using the same single spectral line model as before, with X1 = 100 s. We shall let K=n. The expression for the strain accumulation in each consecutive cycle then becomes: 1-e C0X\ 1,2,3,---,N (14). Lokacijo kritične kotne hitrosti 0)CR(n) ponovno določimo iz en.(ll), ki se v primeru enojne spektralne črte pri X1 = 100 s in k = % preoblikuje v: The location of 0)CR(n) can be obtained from Eq.(11), which for a single spectral line X1 = 100 s and k= % reads: 3Arn(n) 3 du) du) ^fL e 7t(4n-3) 1-e COX1 (15), Časovno odvisno vedenje pogonskih jermenov - Time-Dependent Behaviour of Drive Belts 701 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 rešitev te enačbe pa lahko podamo v sklenjeni obliki: coCR(n) = Pomembno je opozoriti, da je kritična kotna hitrost v zgornjem izrazu, 0)CR(n), neposredno povezana z zakasnilnim časom materiala, X1, ki nazorno poudari pomembnost časovne odvisnosti lastnosti materiala. Zbiranje deformacije se s povečevanjem zaporedne številke obremenitvenega cikla n zmanjšuje, kar je prikazano na sliki 4, kjer je AT (ft) n) prikazana kot funkcija logft) za različne zaporedne obremenitvene cikle. Največjo vrednost prirastka zbrane deformacije Arm ax(mcs,K = n,n), za določen obremenitveni cikel določimo s kombinacijo en. (16) in en. (14): and has the closed-form solution: 71 \ln 4n-2 4/1-3 (16). Arm ax (fi>cR,K = k, n) = T0L1 1 4/1-2 It is important to note that the critical angular velocity, 0)CR(n), is directly related to the retardation time of the material, X1, which clearly emphasizes the importance of the material’s time-dependent. The amount of accumulated strain in each consecutive cycle decreases as n increases. This is demonstrated in Fig. 4, where Ar (ft) n) is shown as a function of logft) for different numbers of completed cycles. The corresponding peak value of the accumulated strain in each loading cycle, Armax(ö)CÄ,JC = 3i,«), is obtained by combining Eq.(16) and (14) to render: ; n = 1,2,3,---,N (17). 4/1-3 4«-2 Opozorimo na pogoj: It is important to stress that the condition lim Arm ax ( (0CR ,K = Ti,n) = limT0Z1 1 4/1-2 4/J-3 4/1-2 (4»-3) 0 (18), ki pomeni, da bo zbiranje deformacije čedalje šibkejše, ko w->°°. Poleg tega pa za kumulativno zbrano deformacijsko stanje glede na število obremenitvenih ciklov velja: limrm ax(a)CA,^) = limT0AË prevails, which means that the strain accumulated in each cycle will tend towards zero as w->°°. However, it is also true that the accumulated strain: 1 4/1-2 4/1-3 (4»-3) (19), -3 -2 -1 log a CR (n =5) logo) CR (/)=10) |ogaj,1/s Sl. 4. AT/G), n) kot funkcija logft) za različne zaporedne številke obremenitvenega cikla pri X = 100 s in K= n Fig. 4. Arjco, n) as a function of log(0 for different numbers of loading cycles, for X — 100 s and K— n 702 Zupančič B. - Nikonov A. - FlorjančičU. - Entri I. Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 kar pomeni, da bo jermen skoraj zagotovo odpovedal, če bo obratoval pri kritični kotni hitrosti. Rezultati te analize kažejo, da bi obratovanje jermena pri kritični kotni hitrosti ali v njeni bližini zelo verjetno lahko vodilo do porušitve po določenem številu obremenitvenih ciklov. Časovni okvir tega postopka je odvisen od deformacijskega stanja materiala, ki lahko vodi do porušitve, in amplitude uporabljene napetosti T0 (sl. 2). 2.4 Vpliv lokacije enojne spektralne črte X which means that if a belt was to operate constantly at the critical angular velocity it will always fail! From this analysis we can conclude that belts that operate mostly at, or in the vicinity of, the critical angular velocity will almost certainly fail. The time frame of this process depends on the material failure strain and the amplitude of the applied stress, ?0 (see Fig. 2). 2.4 The effect of a single spectrum line location, ?1 Iz analize vpliva števila obremenitvenih ciklov in vpliva geometrijske oblike na postopek zbiranja deformacije je razvidno, da sta izraza en.(13) in en.(16) za kritično hitrost odvisna od pozicije spektralne črte, t. j. zakasnilnega časa X . Če združimo izraza en.(13) in en.(16) s privzetkom, da je N = n = 1 in je K = % za spekter z enojno spektralno črto, dobimo naslednji izraz za kritično kotno hitrost: (0CR(n) Diagram na sliki 5 kaže, da pri N = n = \ (en obremenitveni cikel) in K = 1 (enojna spektralna črta), se lokacija kritične kotne hitrosti pri določeni vrednosti geometrijskega parametra K=% pomika k manjšim kotnim hitrostim, ko povečujemo odzivne čase. From studying the effect of the number of loading cycles and the effect of geometry on the strain-accumulation process it is evident that expressions for the critical angular velocity in Eq.(13) and Eq.(16) depend on the position of a single spectrum line, i.e., the retardation time, X1. If we bring together Eq.(13) and Eq.(16), assuming that N = « = 1 and je K=rc for a single spectrum line, we obtain the following expression for the critical angular velocity: n \ln2 (20). Fig. 5 shows that when N = n = 1 (one loading cycle) and K = 1 (single spectral line), the location of the critical angular velocity at a defined geometry ? = ? is moving to lower values when the spectral line is located at longer retardation times. 3UUU 4500 4000 ; \ -u-W =n = 1 K = Jt 3500 \ s 3000 i ^ 2500 3 2000 \ 1500 \ 1000 \ 500 0 -------------------------^""»^ ¦ u U -4-3-2-10 1 2 3 4 log J.,,5 (lokacija enojne spektralne linije) (location of a single spectrum line) SI. 5. Vpliv lokacije zakasnilnega časa X na kritično obratovalno kotno hitrost Fig. 5. The effect of the location of the retardation time X on the critical operating angular velocity Časovno odvisno vedenje pogonskih jermenov - Time-Dependent Behaviour of Drive Belts 703 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 3 SKLEPI 3 CONCLUSIONS Iz predstavljenega lahko povzamemo, da jermeni izkazujejo zbiranje deformacijskega stanja če so pri obratovanju izpostavljeni določenim kotnim hitrostim. Postopek zbiranja je najbolj intenziven pri t.i. kritični kotni hitrosti, ki je med drugim odvisna od razmerja med medosno razdaljo jermenic in polmerov jermenic. Pri dani geometrijski obliki se kritična hitrost povečuje s povečevanjem števila obremenitvenih ciklov. Obenem pa se velikost zbrane deformacije zmanjšuje nelinearno, ko se zaporedna številka cikla povečuje. To pomeni, da se postopek zbiranja deformacije upočasnjuje s številom obremenitvenih ciklov in je po določenem številu zanemarljiv. Vendar pa, če bo jermen deloval pri kritični kotni hitrosti ali v njeni bližini, bo skoraj zagotovo prišlo do njegove porušitve. Analiza je pokazala, da je kritična kotna hitrost odvisna tudi od zakasnilnega časa materiala, ki opredeljuje lokacijo mehanskega spektra. Pri materialih z daljšimi odzivnimi časi (to pomeni, da je spekter v območju daljših zakasnilnih časov) se glede na teoretične izsledke tega prispevka postopek zbiranja deformacijskega stanja najintenzivneje pojavlja pri manjših obratovalnih kotnih hitrostih. Obenem je velikost zbrane deformacije opredeljena z intenziteto diskretne spektralne črte, ki pripada določenemu zakasnilnemu času. Iz izvedene analize je mogoče sklepati, da je mehanski spekter elastomernega materiala, iz katerega je jermen izdelan, najpomembnejša materialna funkcija za napovedovanje trajnosti pogonskih jermenov ali drugih dinamično obremenjenih elastomernih izdelkov. From the presented analysis we can conclude that drive belts will exhibit an accumulation of strain when exposed to operation at certain angular velocities. The strain accumulation will be most intensive at some critical angular velocity that is proportional to the ratio of the belt length and the diameter of the pulleys. For a given belt geometry the critical angular velocity increases with the number of loading cycles. At the same time the magnitude of the accumulated strain decreases non-linearly as the number of loading cycles increases. Hence, the strain-accumulation process slows down with the increasing number of loading cycles and is negligible after a certain number of loadings. But in any case, if the belt operates at, or in close proximity to, its critical angular velocity it will almost certainly fail. The analysis has shown that the critical angular velocity also depended on the material retardation time, which defined the location of the mechanical spectrum. According to our theoretical results materials with longer response times (meaning that the spectrum line is located at a higher retardation time) would exhibit the most intensive strain-accumulation process at lower operating angular velocities. At the same time the analysis has also shown that the magnitude of the accumulated strain was dictated by the strength of the corresponding discrete spectrum line. Thus, the mechanical spectrum of the elastomeric material from which the belt is constructed is an important material function for predicting the durability of drive belts and similar dynamically loaded elastomeric products. 4 LITERATURA 4 REFERENCES [1] Emri, L, Kramar, J., Hribar, A., Nikonov, A., Florjančič, U. (2006) Time-dependent constitutive modeling of drive belts -1. The effect of geometry and number of loading cycles, Mechanics of Time-dependent Materials 2006, Vol. 10, Iss 3, Springer, p.p. 245-262, ISSN 1385-2000 [2] Tschoegl, N.W. (1989) The phenomenological theory of linear viscoelastic behavior: An introduction, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York , 1989, ISBN 3-540-19173-9 [3] Emri, L, Prodan, T. (2006) A measuring system for bulk and shear characterization of polymers, Experimental Mechanics, Vol. 46, 4, Springer-Verlag, Boston, 2006, p.p. 429-439, ISSN 0014-4851 704 Zupančič B. - Nikonov A. - Florjančič U. - Entri I. Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 53(2007)10, 696-705 Naslov avtorjev: Barbara Zupančič dr. Anatolij Nikonov dr. Urška Florjančič prof. dr. Igor Emri Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Aškerčeva 6 1000 Ljubljana barbara.zupancic@fs.uni-lj.si Authors’ Address: Barbara Zupančič Dr. Anatolij Nikonov Dr. Urška Florjančič Prof. Dr. Igor Emri University of Ljubljana Faculty of Mechanical Eng. Aškerčeva 6 1000 Ljubljana barbara.zupancic@fs.uni-lj.si Prejeto: 17.7.2007 Received: Sprejeto: 28.9.2007 Accepted: Odprto za diskusijo: 1 leto Open for discussion: 1 year Časovno odvisno vedenje pogonskih jermenov - Time-Dependent Behaviour of Drive Belts 705