i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 29 — #3 i
i
i
i
i
i
Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Algebras and Beyond
Knjiga ponuja pregled razvoja na področju analize omrežij, natančneje
na področju razvrščanja in bločnega modeliranja omrežij. Na enem me-
stu so združena dognanja, torej metode, pristopi in algoritmi, ki so se več
desetletij razvijala tako na področju matematike, fizike, računalnǐstva in
sociologije ter omogočajo vpogled v strukturo omrežij in razumevanje pro-
cesov, ki omrežja oblikujejo in spreminjajo. Pregled obstoječega znanja
in najodmevneǰsih dosežkov je prikazan s pomočjo bibliometrične analize
znanstvenih del s področja razvrščanja v omrežjih. Na enostaven način,
podkrepljeni s primeri in slikami, so prikazani različni pristopi in algoritmi
pri razvrščanju v omrežjih (npr. hierarhično razvrščanje, metoda vodite-
ljev, bločno modeliranje . . . ) ter nova dognanja v odkrivanju skupnosti,
bločnem modeliranju omrežij z vrednostmi na povezavah, bločnem mode-
liranju predznačenih omrežij, tretmajih za manjkajoče podatke v omrežjih
ter stohastičnem bločnem modeliranju.
Anja Žnidaršič
J. E. Leech, Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Alge-
bras and Beyond, Slovensko društvo za diskretno in uporabno matematiko
in Založba Univerze na Primorskem, 2021, 284 strani.
Predstavljamo četrto knjigo zbirke Fa-
mnitova predavanja. Naslov v slovenšči-
ni bi se glasil: Nekomutativne mreže:
poševne mreže, poševne Boolove algebre
in onkraj. Knjiga je prosto dostopna
na povezavi www.hippocampus.si/-
ISBN/978-961-293-028-8/mobile/-
index.html.
Mreže kot urejenostne oziroma alge-
brske strukture srečamo v učnih načr-
tih univerzitetnih študijskih programov
prve stopnje. V slovenščini najdemo
mreže na primer v učbenikih I. Vidava
(Algebra, 1972) in N. Prijatelja (Mate-
matične strukture I (1964) in II (1967)).
Ponovimo najnujneǰse o mrežah, kar najdemo v omenjenih knjigah, pa
tudi v prvem poglavju knjige, ki jo predstavljamo. Mreža je definirana kot
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 29
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 30 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
neprazna množica L, ki je opremljena z internima binarnima operacijama,
označenima z znakoma ∨ in ∧, za kateri veljajo določeni zakoni. Če sta
a in b poljubna elementa v L, imenujemo a ∨ b unija (angl. join), a ∧ b
pa presek (angl. meet) elementov a in b. Potenčna množica dane množice
S je eden od osnovnih primerov mreže, če vzamemo za operaciji unijo in
presek podmnožic množice S. Iz tega izvirajo tudi ustrezni izrazi in oznake.
Namesto uveljavljenih znakov ∨ in ∧ najdemo v knjigah I. Vidava in N.
Prijatelja znaka ∪ in ∩.
Za operaciji ∨ in ∧ veljajo zakoni idempotentnosti (a∨a = a, a∧a = a),
komutativnosti (a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a), asociativnosti ((a ∨ b) ∨
c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)) in absorpcije (a ∨ (a ∧ b) = a,
a∧ (a∨ b) = a). Zakona idempotentnosti sta sicer logični posledici zakonov
absorpcije, vendar ju vedno navajamo na prvem mestu, ker ju ohranimo pri
nekomutativnih mrežah. Zakoni so dualni, kar pomeni, da se kot celota nič
ne spremenijo, če v njih med seboj zamenjamo znaka ∨ in ∧. Posledično to
velja v teoriji mrež za vsako trditev, ki je izpeljana iz navedenih zakonov.
Neprazna množica L, ki jo delno ureja relacija ≤ in v kateri ima vsak par
elementov a, b za to relacijo natančno zgornjo mejo sup{a, b} in natančno
spodnjo mejo inf{a, b}, je mreža. Obe definiciji sta logično ekvivalentni.
Množica L, ki jo delno ureja relacija ≤ in v kateri ima vsaka podmnožica
za to relacijo natančno zgornjo in spodnjo mejo, je polna mreža. Mreže, ki
imajo še kakšno dodatno lastnost, imajo posebna imena. Poznamo na pri-
mer modularne, distributivne in Boolove mreže. Vsaka distributivna mreža
je modularna.
Knjiga obravnava nekomutativne mreže. Omenjene zakone komutativ-
nosti in absorpcije nadomesti s kakšnimi drugimi zakoni. Preprost primer
nekomutativne mreže je množica L idempotentnih elementov nekomutativ-
nega kolobarja, kadar je L zaprta za operaciji ∨ in ∧, ki sta definirani s
predpisoma a∨ b = a+ b−a · b in a∧ b = a · b. Pri tem je · znak za množenje
v kolobarju. Element a kolobarja je idempotenten, če velja a2 = a · a = a.
Za operaciji ∨ in ∧ lahko hitro ugotovimo, da zanju veljajo zakoni idem-
potentnosti, asociativnosti in absorpcije, zakona komutativnosti pa ne. Pač
pa v L veljata zakona (b ∨ a) ∧ a = a in (b ∧ a) ∨ a = a. To pa je dovolj do-
bra motivacija, zakaj študirati nekomutativne mreže. Opisana množica L je
poseben primer tako imenovane poševne mreže. Velik del knjige obravnava
ravno poševne mreže.
30 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 31 — #5 i
i
i
i
i
i
Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Algebras and Beyond
Glede na to, s kakšnimi zakoni nadomestimo komutativnostna in absorp-
cijska zakona običajne komutativne mreže, dobimo različne vrste nekomuta-
tivnih mrež. Vselej so zakoni v dualnih parih. Tako na primer z zakonoma
a∧ (b∨ a∨ b)∧ a = a in a∨ (b∧ a∧ b)∨ a = a dobimo kvazimreže, z zakoni
a∧ (a∨ b∨a) = a, a∨ (a∧ b∧a) = a, (a∨ b∨a)∧a = a in (a∧ b∧a)∨a = a
pa paramreže.
Pričujoča knjiga ima sedem poglavij, ki pretežno pokrivajo poševne
mreže, kvazimreže in paramreže, poševne mreže idempotentnih elementov v
kolobarjih in poševne Boolove algebre. Prva štiri poglavja so srčika knjige,
zadnja tri pa obravnavajo bolj specializirane teme o poševnih mrežah, po-
ševnih mrežah v kolobarjih in poševnih Boolovih algebrah.
Vsebina je lepo strukturirana. Izreki, leme, trditve, posledice, težji do-
kazi in komentarji, vključno z zgodovinskimi, si sledijo v logičnem zaporedju.
Knjiga je opremljena, kjer je potrebno, s pripadajočimi diagrami in razpre-
delnicami. Na koncu vsakega poglavja so navedeni ustrezni pomembni viri,
na koncu knjige pa še seznam objav po abecednem vrstnem redu avtorjev,
ki so največ pripomogli k razvoju teorije nekomutativnih mrež.
Z velikim zadovoljstvom je treba pripomniti, da v knjigi pogosto sreču-
jemo iz slovenske matematične šole več imen oseb, ki so znatno prispevale
k razvoju teorije nekomutativnih mrež.
Knjiga je prva znanstvena monografija, ki vsebuje glavne rezultate štu-
dija poševnih mrež. Namenjena je predvsem podiplomskim študentom kot
osnovni učbenik, po njej pa bodo posegali tudi raziskovalci, specialisti, ki se
zanimajo za nekomutativne algebre.
Avtor knjige je matematik Jonathan E. Leech. Diplomiral je na havajski
univerzi, doktorat pa je dosegel na kalifornijski univerzi v Los Angelesu.
Matematiko je predaval na več amerǐskih univerzah, bil pa je tudi gostujoči
profesor na univerzah v Španiji, Braziliji in Avstraliji. V svoji akademski
karieri je profesor Leech proučeval algebrske strukture, ki so povezane s
polgrupami. Veliko svojega truda je namenil nekomutativnim mrežam, še
posebej pa poševnim mrežam. Sam ali s soavtorji je objavil več člankov, ki
so postali temelj sodobne teorije nekomutativnih mrež. S svojimi objavami
in predavanji je vzpodbudil mnoge matematike, da so začeli raziskovati na
tem področju.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 31