entropija in nered
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
J. Strnad je opisal nekaj napak, ki so pogoste v fizikalnih učbenikih [1]. Omenil je tudi težave pri nazorni opredelitvi entropije kot merilu za nered, saj je pojem nereda tezko smiselno opredeliti. Navaja, da je tezko uvideti, da se pri reverzibilnih pojavih nered toplotno izoliranega sistema ne spremeni. Prav tako naj ne bi bilo jasno, zakaj ima kos snovi s prostornino 2V dvakrat večji „nered" kot enak kos snovi s prostornino V pri enakih okolisčinah. Končno poda primer računa povečanja entropije pri podhlajeni vodi, ko del vode ireverzibilno zmrzne. Menim, da je v soli smiselno povezati entropijo s kaksnim intuitivnim pojmom. Študentje si gotovo izdelajo svoj mentalni model za entropijo, ki pač ni povezan z verjetnostno gostoto v faznem prostoru. Preprost primer, ki morda ni vseobsezen, a je dovolj bogat, da studentom pomaga, je morda naslednji:
1. Razpršenost ali nered?
Zamislimo si N neinteragirajočih delčev na premiči, ki so vsi vezani na skupno izhodisče s harmonično silo, to je silo, s katero deluje na deleč pripeta vzmet:
F = -kx.
Delči so v toplotnem ravnovesju, torej je povprečna kinetična energija posameznega delča enaka njegovi povprečni potenčialni energiji, to je kßT/2, pač po ekvipartičijskem teoremu. Velja torej:
1 , ^ ^ ^ kßT
-ip') ^(x2) =
2m	2	2
S trikotnimi oklepaji smo označili povprečne vrednosti količin, ki jih oklepajo. Sedaj pa si mislimo, da v toplotno izoliranem sistemu teh delčev počasi zmanjsujemo konstanto vzmeti k. Notranja energija sistema teh delčev se seveda začne spreminjati, ker se pri tem spreminjata ip2) in ix2). Le kako? Iz enačb, ki vodijo posamezen deleč:
dx p dt m'
dP = - kx, dt
hitro izpeljemo, da veljajo za povprečne vrednosti tele enačbe:
d(x2) 2
dt m
d{pP) dt
m
= - 2k{xp),
= m (P2)- k(x2).
Pri stacionarnem stanju je torej (xp) = 0 in zato iz zadnje enačbe sledi enakost povprečne kinetične in proznostne energije. Pri prav počasnem spreminjanju konstante k gremo skozi virtualno stačionarna stanja in iz zgornjih enačb kaj hitro sledi
(x2)
dWn = N (x2^ dk .
Spremembo notranje energije Wn torej lahko izračunamo brez tezav. Pri povečevanju konstante k notranja energija torej narasča. Kako pa je v tem primeru s povprečjema (x2) in (p2)?
Hitro se prepričamo, da pada (x2) kot k-1/2, (p2) pa raste kot k1/2. Gre torej za adiabatno stiskanje sistema, kjer se prostornina manjsa, temperatura pa povečuje. Ker je sistem izoliran, lahko spremembo notranje energije pripisemo delu zunanje sile, ki nekako uravnava konstanto k. Sedaj pa definirajmo entropijo sistema kot
S = NkB ln((x2)(p2)-(xp)2).
V tej definičiji je pri (xp) = 0 nered dobro definiran kot razprsenost lege in razprsenost gibalne količine vseh delčev. Sistem z dvakrat večjim stevilom delčev ima torej dvakrat večjo entropijo. Brez tezav uvidimo, da je tako definirana entropija pri toplotno izoliranem sistemu konstantna, torej
expsdS « ddt((x2)(p2)-(xp)2) = 0.
Mimogrede, zgornja enačba velja tudi pri nenadni spremembi koefičienta k, ko sistem ni stačionaren. Pri reverzibilni spremembi sistema v toplotnem kontaktu z rezervoarjem pa velja, kot smo navajeni
ds = d^.
Kako, da se „nered" pri dS = 0 ne spremeni? Razprsenost lege se zmanjsa, razprsenost gibalne količine pa poveča, skupni „nered" torej ostane enak.
Pri delcih, zaprtih v enodimenzionalno „škatlo" z dolžino L, velja pri spremembi toplotno izoliranih delcev enacba:
L (p2) a LT = konst.
Entropijo stacionarnega stanja torej definiramo tu kot
S a ln(L(p2)).
Pod neredom" spet razumemo razprsenost lege delcev, ki je kar sorazmerna z dolzino „skatle" L, in razprsenost gibalne kolicine.
Pri idealnem plinu v treh dimenzijah imamo podobne razmere. Tu je ne-dolocenost lege povezana s prostornino plina, nedolocenost gibalne kolicine pa s temperaturo, saj velja
(p = 2 kB T 2m 2
in pri reverzibilni spremembi izoliranega plina
V K-1T = konst. Entropija je potem do aditivne konstante
S = mcv ln(VK-1(p2)). Njena sprememba pri toplotno izoliranem sistemu je seveda res
dS = 0.
Tu takoj uvidimo, da razprsenost lege v definiciji entropije nikakor ni enotna, saj je pri idealnem plinu le-ta odvisna od parametra k.
Ce vidimo v razprsenosti lege delcev in njihove gibalne kolicine „nered", je povezava entropije z „neredom", vsaj na osnovni stopnji pouka, cisto smiselna. Morda je „razprsenost energije in lege" za entropijo boljsa intuitivna povezava od ohlgipno razumljenega „nereda".
2. Podhlajena voda?
Študentom fizike je znan stavek iz ucbenika I. Kuscerja in S. Žumra [2]: „Kako naj sicer razumemo, da je „nered" v podhlajeni vodi manjsi kot potem, ko ustrezni del vode ireverzibilno zmrzne?" Izraza pac dvom o povezavi entropije in „nereda". Voda je sicer vsakdanja snov, ni pa preprosta snov. Podhlajena voda pa je se bolj zapletena, saj njene lastnosti se vedno prou-cujejo. Je pa seveda presenetljivo in za pouk zanimivo, da na videz obicajna voda kar nenadoma „pobegne", del jo zmrzne, vse skupaj pa se segreje do
ledisca. Nekatere podhlajene snovi z visjo temperaturo ledišča so celo uporabne kot vir toplote, ki ga na izletu po Zelji aktiviramo.
J. Strnad v [1] navaja, da je sprememba entropije podhlajene vode, ko le-ta „uide" in vidimo led in nekaj vode, podana z:
/ To	T \
AS = mc^i ln ^ - 1 + - .
V T T0/
Tu je T0 temperatura ledisCa, T pa temperatura podhlajene vode, ko se ni zmrznila. Res je sprememba pozitivna, kot se pri ireverzibilni spremembi spodobi, a je zelo majhna, iz zgornje enačbe sledi z razvojem:
AS«m^ (f )2.
Tu smo z AT oznacili razliko med temperaturo ledisca T0 in temperaturo podhlajene vode T. Tako majhna sprememba pa kliče po previdnosti. Ali smo spremembo entropije podhlajene vode in vode pri ledisCu res dobro izračunali iz
dQ,
ASP ^ T
To je sicer dobra ocena, a povsem prav seveda to ni, saj ne bi smeli uporabiti enačaja, ker hladimo vodo prek metastabilnih in ne stacionarnih stanj. Vsak hip nam voda lahko „pobegne" v led. Entropijo takih stanj je verjetno nemogoče natančno določiti. Kako pa bi to storili bolje? Morda je boljsa pot, da vodo hladimo in ji obenem povecujemo tlak. S tem preprecimo, da bi zmrznila. Tlaki so sicer neverjetno veliki, a tovrstni poskus je izvedljiv. Ko dosezemo temperaturo T, tlak popustimo na začetno vrednost in seveda upamo, da nam pri tem voda ne „pobegne". Med popusčanjem moramo vodo dodatno greti, saj oddaja delo in bi se izolirana ohladila pod T. S podatki o stisljivosti vode pri povečanem tlaku, krivulji tlaka v odvisnosti od temperature vode, pri katerem ravno preprečimo zmrzovanje, dobimo za AS vrednost, ki je se manjsa od zgoraj navedene. Torej je razprava o večjem „redu" v podhlajeni vodi kot potem, ko le-ta „pobegne", in trditvi, da „nereida" in entropije pač ne gre povezovati, vsaj s pedagoskega stalisča siblia. Kako se nedoločenosti leg in gibalnih količin molekul v podhlajeni vodi spremenijo potem, ko voda pobegne" pa res ne moremo z lahkoto uvideti, se posebno, če so te spremembe zelo majhne. Res pa je, da je razlika med „pobeglo" in podhlajeno vodo na videz izredno velika, a za „pobeg" gotovo ni odločilna le razlika entropij.
Morda bo ta zapis v prid studentom in tudi učiteljem pri „boljsi razlagi in utemeljitvi [2]".
LITERATURA
[1]	J. Strnad, O napakah v učbenikih fizike, Obzornik mat. fiz. 59 (2012), str. 225.
[2]	I. Kuscer in S. Žumer, Toplota, DMFA-zaloZniStvo 1987, stran 139.