Računanje sipanega magnetnega polja s pomočjo metode končnih diferenc UDK: 669.14.29:620.1 ASM/SLA: S13c Božidar Brudar UVOD Že precej časa so znane neporušne preiskavne metode, kjer s sipanim magnetnim poljem odkrivamo površinske in podpovršinske napake v feromagnetnih materialih. Če magnetni pretok zadene na špranjo v feroma-gnetnem materialu, se del tega pretoka izogne napaki. Tik nad površino lahko opazimo, da se je v neposredni bližini napake povečala gostota magnetnega pretoka. To pa lahko registriramo s pomočjo suspenzije finih feromagnetnih delcev v olju. Če pa uporabimo katerega od fluorescentnih praškov, pa s pomočjo ultravijolične svetlobe lahko še bolj nazorno pokažemo na lego napake. Prav gotovo pa je to zelo utrujajoč posel za kontrolorja, če mora ure in ure opazovati isto mesto na feromagnetnih izdelkih, posebno še, če gre za masovno proizvodnjo. Večkrat so že poskusili izključiti človeški faktor. Si-pana magnetna polja je mogoče registrirati in izmeriti s pomočjo magnetnega traku ali s pomočjo Hall-ovih sond. Vsako merljivo informacijo o deformaciji magnetnega polja pa lahko tudi shranimo in obdelamo z modernimi računalniki. Tudi v literaturi o neporušnih prei-skavnih metodah se je pojavilo več člankov, ki opisujejo te pojave in jih pojasnjujejo z rezultati praktičnih meritev in matematičnih modelov. Vendar pa se iz člankov2-3 vidi, da gre pri računih za neke vrste nasprotja in tako še vedno ni jasno naslednje: ali je signal, ki ga izmerimo pri sipanem polju, odvisen le od globine razpoke ali pa morda tudi širina pomembno vpliva na izmerjeni signal. To vprašanje je zelo važno, saj je v praksi v večini primerov globina razpoke mnogo bolj pomembna kot širina. V literaturi1-2 pojasnjujejo eksperimentalne rezultate z matematičnimi izračuni, ki so narejeni z metodo končnih elementov. Sam problem je dokaj zanimiv in zato smo izračunali porazdelitev enosmernega magnetnega polja v okolici površinske špranje na feromagnetni plošči z metodo končnih diferenc. Zanimivo je, da se naši računski rezultati ujemajo z eksperimentalnimi rezultati dr. F. For-sterja3. Rezultati, ki pa smo jih dobili za nekaj ekstrem-nih primerov, pa so podobni rezultatom dr. G. Dob-manna. Očitno je, da so pri tem principu pomembne omejitve glede uporabe metode ugotavljanja napak s stresanimi polji. MATEMATIČNA FORMULACIJA Oglejmo si dvodimenzionalni primer: imamo fero-magnetno ploščo v homogenem enosmernem magnetnem polju. Razpoka naj leži pravokotno na magnetni pretok, ki teče vzporedno z ravnino plošče. Magnetne lastnosti (relativna permeabilnost) plošče so prikazane na sliki 1. Ti podatki ustrezajo jeklu Č 0345. Predposta- 1500 - 1000 - 1000 H ( Am1 ) Slika 1 Relativna permeabilnost kot funkcija magnetne poljske jakosti pri jeklu Č 0345. Fig. 1 Relative permeability as a function of the magnetic field strength with the steel Č 0345. W 2 2 9 9 Slika 2 Mreža točk. Fig. 2 Lattice of points. vljamo, da smo uporabili enosmerno magnetno polje z jakostjo H„= 1000 Am-1. Pri računanju uporabimo metodo končnih diferenc. Osnovna shema je narisana na sliki 2. Izberemo si pravokotno mrežo z različnima mrežnima razdaljama v smereh x in y zato, da lahko predpostavljamo različne širine napak. Globino razpoke označimo z D, polovično širino pa z W, debelino plošče z L, ki naj znaša 20 mrežnih razdalj. Izhajamo iz enačbe za skalami potencial U: V2U=0 (1) ki velja v plošči in izven nje. Zaradi simetrije obravnavamo le eno polovico preseka. Posamezne številke v vozliščih mreže označujejo vrsto diferenčne enačbe, ki smo jo na tistem mestu uporabili. Točke (1) ležijo na simetrali, kar je treba v enačbah upoštevati. Točke (3), (4), (5), (6) in (7) ležijo na meji med feromagnetnim materialom in zrakom. Držimo se principa, da se pri prehodu čez mejo ne spreminja normalna komponenta gostote magnetnega pretoka. Iz te zahteve je mogoče formulirati tudi ustrezno diferenčno enačbo. V enačbi B = -n0n gradU (2) je treba izbrati za relativno permeabilnost tolikšno vrednost, da je izpolnjena zahteva glede zveze B in H kot jo kaže slika (1). Za točke (6) in (7) smo uporabili poseben postopek4. Diferenčna enačba, ki jo zapišemo za ti dve točki, je v principu aritmetična srednja vrednost dveh enačb: prve, ki velja za homogeno področje (zunaj ali znotraj feromagnetnega materiala) in druge, ki velja za točke, ki bi ležale na diagonalni meji. Točke (2) in (9) pa naj ležijo tako daleč stran od defekta, da lahko predpostavljamo, da tam velja Hy = 0 in Hx = H0. V točkah (0) in (8) pa imamo diferenčne enačbe, ki ustrezajo enačbi (1), zapisane v običajni obliki. V računalniškem programu je predvideno, da sta mrežni razdalji v smereh x in y različni. Pri numeričnem reševanju smo uporabili Liebman-novo ekstrapolacijsko relaksacijsko metodo. Lastnosti feromagnetnega materiala smo upoštevali tako, da smo toliko časa iskali pravo vrednost p, dokler ni bila razlika med izračunano in resnično vrednostjo ji manjša ali enaka 10. Po nekaj tisoč iteracijah smo izračunali skalami potencial v posameznih točkah mreže. Potem pa smo izračunali še magnetno poljsko jakost in gostoto magnetnega pretoka v materialu in zunaj njega. Vsi rezultati, ki so prikazani na naslednjih slikah, so narisani za primer, ko je oddaljenost od površine plošče enaka eni mrežni razdalji (y= 1). Pri tem pa smo simulirali različne širine s tem, da smo variirali mrežno razdaljo v smeri osi x. REZULTATI Na sliki 3 je narisana porazdelitev komponente Hy zunaj plošče (v oddaljenosti ene mrežne razdalje) za ra zlične širine razpoke. Očitno je, da je maksimalna vrednost sorazmerna z globino razpoke. Razlike v širini razpoke le neznatno vplivajo na Hr Ta rezultat ustreza rezultatom dr. F. Forsterja3. Slika 4 prikazuje komponento Hx kot funkcijo različnih globin pri konstantni širini razpoke (w= 1). Tudi v Tem primeru je mogoče sklepati, da gre za sorazmernost, ki je v literaturi že opisana3. Hy (V = 1) (Am1) Slika 3 Normalna komponenta magnetne poljske jakosti pri y = l. Fig. 3 Normal component of the magnetic field strength at y = l. Hx (Y=1 ) Slika 4 Tangencialna komponenta magnetne poljske jakosti pri y=l. Fig. 4 Tangential component of the magnetic field strength at y = 1. _I_l_l_i_i __I_ I_ -5 0 5 Slika 7 Tangencialna komponenta Hx(x) v odvisnosti od širine razpoke. Fig. 7 Tangential component Hx(x) as a function of width of the crack. Slika 5 Tangencialna komponenta Hx(x) pri različnih širinah in globinah napake. Fig. 5 Tangential component Hx(x) at different »idths and depths of the defect. Hy (Y = 1) (Arrr1) S slike 5 se vidi, daje ta sorazmernost ohranjena tudi, če variiramo širino. Vidi se, da je razlika Hx - H0 sorazmerna z globino razpoke pri poljubni konstantni širini. Po teh rezultatih sodeč izgleda, kot da ima dr. F. Forster prav, ko trdi, daje komponenta Hv sorazmerna globini razpoke in daje praktično neodvisna od njene širine. Tudi njegove trditve v zvezi z vplivom različne oddaljenosti y na porazdelitev Hx(x) smo preverili in potrdili. Predstavljamo si, da magnetni pretok ne more pred-reti stene razpoke in da se mora razpoki izogniti. Zato mora steči deloma iz materiala ven, deloma pa se mora zgostiti v samem materialu pod razpoko. To je tudi mogoče verjeti. V takšni poenostavljeni sliki lahko širino napake zanemarimo. S slike 3 pa lahko nadalje sklepamo, da doseže komponenta Hy svojo maksimalno vrednost prav nad točko 6 po sliki 2 in spremeni svoj predznak, ko prečkamo razpoko. Predpostavljajmo, daje razpoka izredno ozka. V skladu z rezultati, ki smo jih že omenili, bi morala biti komponenta Hv sorazmerna z globino in bi morala na izredno kratki razdalji, ki je enaka širini razpoke, spremeniti svojo smer (!). Spremenili smo mrežno razdaljo v smeri osi x in izračunali polje ob napakah enake globine (D = 9) pri različnih širinah (w = 0.5 w = 0.2 w = 0.1). Rezultati so prikazani na sliki 6. Očitno se potek odvisnosti Hy(x) pri y = 1 močno spreminja s širino razpoke. Tako je na primer signal Hymaks precej manjši pri w/D= 1/90 kot pri w/D= 1/9. Slika 7 prikazuje Hx(x) pri y = 1 in pri D = 9 za pri-mere w = 3, w = 2, w = 1, w = 0.5, w = 0.2 in w = 0.1. Tudi ta komponenta magnetnega polja se močno spreminja s širino špranje. Hx ( Y = 1 ) D=9 (Am"') Slika 6 Normalna komponenta Hy(x) pri D =9 za različne širine. Fig. 6 INormal component Hy(x) at D = 9 for various vvidths. Hx (Y=1) Slika 8 Tangencialna komponenta Hx(x) za ekstremne primere. Fig. 8 Tangential component Hx(x) for the extreme cases. Izbrali smo si tudi tri primere pri w = 0.2 in 0.1 in sicer D = 9, D = 6 in D = 3, da bi videli, če je Hx — H„ sorazmerno z D. Na sliki 8 se lepo vidi, da takšne sorazmernosti ni. Tudi maksimalne vrednosti komponente Hy, izračunane pri y = 1 za različne globine (D = 3, 6, 9), se močno spreminjajo s širino razpoke (slika 9). ZAKLJUČEK Natančen potek izračunavanja enosmernega magnetnega polja v feromagnetnem materialu bo objavljen kasneje. Rezultati, ki smo jih že omenili, pa kažejo zanimive ugotovitve: 1. Če je razmerje D/w 10, pa postaneta obe komponenti Hy in Hx dosti manjši in nista več proporcionalni globini napake. V teh primerih je treba upoštevati tudi širino razpoke. 3. Neporušne preiskavne metode s sipanimi polji imajo svoje omejitve. Merilni aparat naj bi dal tudi informacijo o širini »pulza« Hx(x). Pod določeno mejno širino tega »pulza« v smeri osi x, ki je določena z ma- Hymax ( Y=1) Slika 9 Maksimalna vrednost Hy v odvisnosti od globine razpoke. ' Fig. 9 Maximal value of Hy as a function of depth of the crack. gnetno poljsko jakostjo H„ in z lastnostmi feromagnet-nega materiala, je mogoče izračunati tudi širino napake. Seveda je pa pri tem za izjemno tanke razpoke ta metoda precej manj občutljiva. Potrebno bo pa še dosti praktičnega dela, da bi te matematične rezultate tudi praktično dokazali in tudi določili praktične omejitve same metode. Literatura 1. V. Lord, J. H. Hvang: Defect Characterization from Magne-tic Leakage Fields, British Journal of NDT, Januarv 1977, pp 14-18 2. G. Dobmann, G. Walle: New Set-ups for Mathematical-Numerical Solutions of Magnetic Leakage Flux Testing With D. C. and A. C. Mode in the FRG, 10lh WCNDT, Moskva, 1982, paper 1C-5 3. F. Forster: Neue Erkenntnisse auf dem Gebiet der zersto-rungsfreien Priifung mit magnetischem Streufluss, 3rd Euro-pean Conference on NDT, Firence 15 —18 oktobra 1984, stran 287—303 4. K. J. Binns, P. J. Lawrenson: Analysis and Computation of Electric and Magnetic Field Problems, Pergamon Press, Ox-ford ZUSAMMENFASSUNG Die Forschungen des magrietischen Streuflussverfahrens in ferromagnetischen Materialen haben zu zvvei gegensatzlichen Schlussfolgerungen gefuhrt. Dr. F. Forster behauptet namlich, dass das Signal, das nor-malerweise bei dem Streuflussverfahren gemessen wird, nur von der Tiefe des Risses abhangig ist. Prof. V. Lord und dr. G. Dobmann behaupten aber, dass die Grosse des Signals auch durch die Breite des Risses beeinflusst ist. Dr. Dobmann hat die Magnetfeldverteilung ausgerechnet mit der Methode der endlichen Elemente, wahrend dr. Forster diese Felder gemessen hat. Im Artikel ist das gleiche Problem mit der Methode der endlichen Differenzen gelosst vvorden. Es hat sich gezeigt, dass dr. Forster recht hat, wenn es sich um einem Riss handelt, wo das Verhaltniss der Risstiefe gegen der Breite kleiner oder gleich 10 ist. Wenn es aber um engere Risse geht, die in der Praxis in der Mehrheit sind und die von dr. Forster nicht prak-tisch gepriift vverden konnten, dann wird auch die Breite ein sehr wichtiger Einflussfaktor. In jedem Fall sind auch die von dr. Dobmann veroffent-lichte Resultate falsch. SUMMARY The investigations of the magnetic leakage fields due to the defect in the ferromagnetic material lead to two contradictory statements. Dr. F. Forster namely says that the signal, that is usually measured with the magnetic leakage fields, depends only on the depth of the crack. Prof. V. Lord and dr. G. Dobmann are saying however that also the width of the defect influences the magnitude of the signal. Dr. Dobmann calculated the distribu-tion of the d. c. magnetic field by the method of finite ele-ments, while dr. Forster measured the stray fields. In the article the same problem is solved by the method of finite differences. It has been shovvn that dr. Forster is right, when the ratio depth against width of the crack is smaller than or equal to 10. However with the tighter cracks, that are pre-vailing in the practical work and that could not be experimen-tally proved by dr. Forster, also the width becomes a very im-portant factor. In any čase, however, the results published by dr. Dobmann are vvrong. 3AKJ1K3HEHME flpu HCCJiezioBaHHM pacceaHHa MarHHTHoro nojia Ha oluh6kh b 4)epp0viarHHTH0\i MaTepnajie OKa3anHCb uBa npo-THBonojiojKHbiH yTBep>K.neHH5i. /Ip. (t>. epcTep yTBep)KjiaeT, hto CHrHajI, KOTOpOrO M bi 06bIKH0BeHH0 H3MepseM npn pac-cenBaHHH MarHHTHoro nojia 3aBHCHT HHiiib ot my6HHbi TpemHHbi. npoKe h ujh-pHHa TpemHHbi. /Ip. /Jo6.viaHH BbiHHCJiHJi paccnpenejieHHe oaHoeTopoHHero MarHHTHoro noji« MeToaoM KOHeHHbix 3Jie-MeHTOB, flp. epcTep »e 3to none H3MepiiJi. 3tot )Ke caMbifi Bonpoc B 3TOH CTapTbe pa3pemeH MeTO^OM KOHeMHbIX pa3H0-CTen. OKa3ajiocb, hto yTBep>kiiehha flp. epcTepa otbenaiot onpeaeneHHio, ecjiH oho KacaeTCH TpemHHbi npn KOTopoii ot-HomeHHe rjiy6HHbi npoTHB uiHpHHbi MeHbiue hjih »e paBHH-eTca 10. Ecjih »e rpeuiHHa y»e, hto name Bcero cjiyHaeTca b npaKce, h KOTopbie /lp. OepcTep He Mor npoBepHTb, to bjih-HTejlbHbl.M (jjaKTOpOM HBJlaeTCH TaKJKe H UlHpHHa. Bo BCflKOM cjiynae pe3ynbTaTbi, KOTOpbie o6t,hbhji AP- Ao6m8hh ouih-60HHbI.