245 KB17 KB200820252020Budden, Markletnik:18številka:2str. 281-288ISSN:1855-3966COBISSID_HOST:41166339URN:URN:NBN:SI:doc-DMRDIX09enUniverza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologijeArs mathematica contemporaneaanti-Ramsey numbersanti-Ramseyeva številaGallai coloringsGallaieva barvanjamavrični trikotnikirainbow trianglesSchur numbersSchurova številaSchur numbers involving rainbow colorings|In this paper, we introduce two different generalizations of Schur numbers that involve rainbow colorings. Motivated by well-known generalizations of Ramsey numbers, we first define the rainbow Schur number ?$RS(n)$? to be the minimum number of colors needed such that every coloring of ?$\{1, 2, \dots , n\}$?, in which all available colors are used, contains a rainbow solution to ?$a+b=c$?. It is shown that ?$$RS(n)=\lfloor \log_2(n)\rfloor + 2, \quad \text{for all} \; n \ge 3.$$? Second, we consider the Gallai-Schur number ?$GS(n)$?, defined to be the least natural number such that every ?$n$?-coloring of ?$\{1, 2,\dots, GS(n)\}$? that lacks rainbow solutions to the equation ?$a+b=c$? necessarily contains a monochromatic solution to this equation. By connecting this number with the ?$n$?-color Gallai-Ramsey number for triangles, it is shown that for all ?$n \ge 3$?, ?$$ GS(n) = \begin{cases} 5^k & \text{if} \; n=2k \\ 2 \cdot 5^k & \text{if} \; n=2k+1. \\ \end{cases}$$?V članku vpeljemo dve posplošitvi Schurovih števil, povezani z mavričnimi barvanji. Spodbujeni z dobro znanimi posplošitvami Ramseyevih števil, najprej definiramo mavrično Schurovo število ?$RS(n)$? kot najmanjše število barv, potrebnih za to, da vsako barvanje množice ?$\{1, 2, \dots , n\}$?, v katerem so uporabljene vse barve, ki so na voljo, vsebuje mavrično rešitev enačbe ?$a+b=c$?. Dokažemo, da velja ?$$RS(n)=\lfloor \log_2(n)\rfloor + 2, \quad \text{for all} \; n \ge 3.$$? Kot drugo, obravnavamo Gallai-Schurovo število ?$GS(n)$?, definirano kot najmanjše naravno število, pri katerem velja, da vsako ?$n$?-barvanje množice ?$\{1, 2,\dots, GS(n)\}$?, ki ne premore mavričnih rešitev enačbe ?$a+b=c$?, neizogibno vsebuje enobarvno rešitev te enačbe. To število povežemo z ?$n$?-barvnim Gallai-Ramseyevim številom za trikotnike in dokažemo, da za vse ?$n \ge 3$? velja ?$$ GS(n) = \begin{cases} 5^k & \text{if} \; n=2k \\ 2 \cdot 5^k & \text{if} \; n=2k+1. \\ \end{cases}$$?TEXTznanstveno časopisjejournalsSlovenian National E-content AggregatorNational and University Library of SloveniaUniverza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije