Lehrbuch der s j h m - für das Unter Gymnasium. Von m. /ranz Močnik, k. k. Schulraih und Volkoschul-Inspektor für Kram. Awcile Mlilljeilung. Für die III. und IV. Klasse. Dritte vermehrte Auflage. <» W i e n. Verlag von Carl Gerold. 1851 Druck von Carl Gerold und Sohn. Erster Abschnitt. Von den entgegengesetzten Größen. Z. i. (§s gibt Größen, welche mit einander in Verbindung gebracht sich gegenseitig vermindern oder auch ganz aufheben. Solche Größen sind z. B. Einnahme und Ausgabe; 20 fl. Einnahme und 8 fl. Aus¬ gabe machen 12 fl. wirkliche Einnahme; 8 fl. Einnahme und 20 fl. Ausgabe sind so viel als 12 fl. Ausgabe; 20 fl. Einnahme und 20 fl. Ausgabe bewirken weder Einnahme noch Ausgabe. Im ersten Falle werden also 20 fl. Einnahme durch 8 fl. Ausgabe, im zweiten 20 fl. Ausgabe durch 8 fl. Einnahme vermindert; im dritten Falle heben sich Einnahme und Aufgabe gänzlich auf. In derselben Beziehung, wie Einnahme und Ausgabe, stehen auch Vermögen und Schulden, Gewinn und Verlust, Ueberschuß und Mangel, Bewegung nach vorwärts und nach rückwärts, nach auf¬ wärts und nach abwärts, Wärme und Kälte u.s. w. Solche Größen nun, welche mit einander in Verbindung ge¬ bracht, sich gegenseitig vermindern oder auch ganz aufheben, werden entgegengesetzte Größen genannt. Von je zwei entgegengesetzten Größen kann die eine als etwas Wirkliches, als etwas V o rha n d en es betrachtet werden; die an¬ dere zeigt dann das Gegenthcil, etwas Mangelndes an. Man nennt darum die erstere Größe p ositiv, die letztere negativ. Es ist an und für sich gleichgiltig, welche von zwei entgegen¬ gesetzten Größen man für die positive annehmen will; man kann z. B. daS Vermögen als positiv und die Schulden als negativ an¬ sehen, man kann aber auch die Schulden für die positive Größe wäh¬ len, wo dann das Vermögen als negativ betrachtet werden muß. In der Rechnung hängt diese Wahl von der Natur der Aufgabe ab. Will man z. B. daS Vermögen einer Person schätzen, so betrachtet man die Vermögenspostenals positiv, die Schuldposten als negativ; will man dagegen die Schuldsumme ausmitteln, so werden die Schuldposten als positiv und die Vermögcnsposten als negativ angesehen. Illoönik, Arithmetik, il. Abth, S. Aufl. k L §. 2. Den Begriff der entgegengesetzten Größen braucht man nicht, wie wir es in dem Vorhergehenden gethan haben, auf benannte Zah¬ len, als Einnahme und Ausgabe, Vermögen und Schulden, ... zu beschränken; er gilt eben so auch von unbenannten Zahlen. Geht man nämlich in unserem Zahlensysteme von der Null aus, so erhält man durch allmäliges Hinzusetzen der Einheit die Zah¬ lenreihe: O — s- 1, 0 -ch- 2, 0 —s- 3, 0 -ch- 4, 0 -ch- 5, 0 -ch- 6, . . . oder, da die Null weggelassen werden kann: -ch- l, —s- 2, -ch- 3, —s- 4, -ch- 5, -ch- 6, . , . So wie nun durch die Addizion der Einheit die Zahlen nach auf¬ wärts schreiten, so geschieht das Fortschreiten der Zahlen nach ab¬ wärts durch die Subtrakzion der Einheit, z. B. 6, 5, 4, 3, 2, i, o Es ist jedoch nicht nöthig, bei der Null stehen zu bleiben, man kann auch unter dieselbe hinabsteigen, wodurch man die Zahlenreihe: 0 — I, 0 — 2, 0 — 3, 0 — 4, 0 — s, 0 — 6, . . . oder nach Weglassung der Null: I, 2, 3, 4, 5, 6, . . . erhält. Man hat also, wenn man die zwei Zahlenreihen zu beiden Seiten ihres gemeinschaftlichen Ausgangspunktes, der Null, zusam¬ menstellt: . . . -ch- 4, -s- 3, -j- 2, -ch- I, 0, — I, — 2, 3, — 4, . . . In der Zahlenseite, welche über o hinaufsteigt, ist jede Zahl als zu der Null zu addirend, somit als ein Ueberschuß über o zu betrachten; in der Zahlcnseite, welche unter Null herabsteigt, er¬ scheint jede Zahl als von der Null zu su b t r ahir e nd, und zeigt daher an, wie viele Einheiten noch mangeln, um 0 zu haben. Die Zahlen zu beiden Seiten der Null sind also einander entgegen¬ gesetzt. Da die mit -s- bezeichneten Zahlen einen Ueberschuß über 0, also etwas Vorhandenes, die mit — bezeichneten dagegen etwas Man¬ gelndes anzeigen, so müssen erstere als positiv, letztere als nega- tiv betrachtet werden. Man kann daher auch sagen: E i n e Z a hl, w e lch e i n d e r R e ch n u n g a l s h i n z uzu^ gebend, alsAddend erscheint, heiß t p o si ti v; eineZah aber, welche in d e r R e ch n u n g als h i n w e g z u n e h m e n d ' als Subtrahend erscheint, heißt negativ. Diese Erklärung ist auch bei benannten entgegengesetzten Zah¬ lengrößen anwendbar. Fragt man z. V. nach dem Vermögen eines 3 Menschen, so sind, wie wir oben bemerkt haben, die Vermögensposicn als positiv, die Schuldpostcn als negativ anzusehen; nun wirken die Vermögensposten auf das Vermögen vermehrend, die Schuld¬ posten aber vermindernd ein, es sind also wirklich die positiven Gro¬ ßen als hinzuzugcbend, die negativen als hinwegzunehmend zu be¬ trachten. Will man wissen, wie weit ein Mensch, welcher einige Schritte nach vorwärts und einige Schritte nach rückwärts gemacht hat, von seinem ursprünglichen Standpunkte aus nach vorwärts ge¬ kommen ist, in welchem Falle also die Bewegung nach vorwärts als positiv, und jene nach rückwärts als negativ anzusehen ist; so ist ge¬ wiß, daß auf die in Frage stehende Weite die Schritte nach vorwärts vermehrend, dagegen jene nach rückwärts vermindernd einwirkcn, daß man also die positiven Größen als additiv, dis negativen als subtrak- tiv betrachten müsse. Aus der hier begründeten Erklärung der positiven und negativen Größen folgt, daß die positiven das Zeichen-s-, die negativen das Zeichen— erhalten müssen. Das Zeichen -ss- wird am Anfänge eines Zahlenausdruckesund nach dem Gleichheitszeichen nicht angeschrieben; das Zeichen — darf nie weggelassen werden. Wenn daher vor einer Zahl kein Zeichen steht, so ist sie als positiv anzusehen; z. B. 4 be¬ deutet so viel als -j- 4. Wenn man die Zahlen an und für sich, absolut, betrachtet, so ist jene die größere, welche mehrere Einheiten enthält; anders ist es bei entgegengesetzten Zahlen. Da in der Zahlenreihe: -s-4, -ss 3, -ch- 2, -s-l,O, — I, — 2, — 3, — 4 jede rechts folgende Zahl um I kleiner ist, so folgt: -ss 4 —s- 3 —ss 2 — s- I 0 — I — 2 — 3 — 4 ; wo das Zeichen > ausdrückt, daß die Zahl in der Oeffnung größer ist, als die Zahl an der Spitze. Während also bei den positiven Zahlen jene die größere ist, in welcher mehr Einheiten vorkommen, ist bei den negativen Zahlen jene die größere, welche weniger Einheiten enthält. l. Zusammeilziehell entgegengesetzter Zahlen. §. 3. Zwei oder mehrere mit den Zeichen -ss- oder — versehene Zahlen lassen sich immer in eine einzige zusammenziehen, und zwar nach fol¬ genden Regeln: I. Zahlen, welche alle positiv oder alle negativ sind, werden r s d uzirt, wenn man ihrer Summe das gemeinschaftliche Zeichen v o r a u s s etzt. 1 4 -j-3-s-S —-j-8. Wenn man nämlich zuerst 3 und dann 5 hinzugeben soll, so ist dieses eben so viel, als wenn man 8 hinzugeben sollte. Z. B. 3 st. Vermögen und ^5 st. Vermögen sind 8 st. Vermö¬ gen ; 3 Schritte vorwärts und 5 Schritte vorwärts sind 8 Schritte nach vorwärts; 3 Grad Wärme und 5 Grad Wärme geben 8 Grad Wärme —s- 7 -ss 5 -ss 3 -ss- 6 ----- — f- 21 -j- 812 -j- 818 -j- 231 ? -f- 5084 -f- 59 -j- 31857 -ss 21563 — ? — 4 — 7 — — ll. Denn man hat 4 und 7 hinwegzunehmen, somit zusammen li hinwcgzunehmen. Z. B. 4 st. Schulden und 7 st. Schulden machen 11 Gulden Schulden; wer zuerst 4, dann 7 Sprossen auf einer Leiter heruntersteiat, ist im Ganzen um II Sprossen heruntergestiegen. — 1 — 13 — 7 — Ig — — 31 — 73 — 85 — 47 — 91 — ? — 2468 — 3579 — 8154 — 37926 — ? 2. Zwei gleiche, aber mit ent gegengese ten Zei- chen versehene Zahlen heben sich ganz auf. -j- 5 — 5 — 0. Wenn man nämlich s hinzusetzen und 5 hin¬ wegnehmen soll, so ist dies eben so viel, als wenn man nichts hinzu¬ geben und nichts hinwegnehmen würde. Z. B. 5 st. Vermögen und 5 st. Schulden heben sich ganz aus, weil man, um die Schulden zu tilgen, gerade das ganze Vermögen hergeben muß; 5 st. Gewinn und 5 st. Verlust heben sich gänzlich auf. 3. Zwei ungleiche Zahlen, von denen die eine positiv, die andere negativ ist, werden zusammenge¬ zogen, wenn man die kleinere von der größeren sub- trahirt und dem Reste das Zeichen der größeren vor¬ aus setzt. -f-io— 6------f-4. Man hat nämlich io hinzuzugebcn und 6 hinwegnehmen; denkt man sich die hinzuzugebenden 10 in 6 und 4 zerlegt, so bleiben, da 6 wieder hinweggenommen werden sollen, nur noch 4 als wirklich hinzuzugebend. Z. B.: Wer 10 st. gewinnt und 6 st. verliert, hat im Ganzen einen Gewinn von 4 st.; wer io Schritte vorwärts und 6 Schritte rückwärts macht, befindet sich um 4 Schritte vorwärts von dem Orte, von dein er sich zu bewegen anfing. ss-6 — io — — 4. Soll man 6 hinzugeben und io hinweg¬ nehmen, so müssen zuerst die hinzugegebenen 6 hinweggenommen wer¬ den, wodurch das Hinzugegebene aufgehoben wird, und dann bleiben noch 4 als hinwegzunehmend. Z. B. 6 st. Einnahme und io st. Aus¬ gabe sind so viel als 4 st. Ausgabe; wer 6 st. Vermögen und io st. Schulden hat, muß sein ganzes Vermögen hergeben, um einen Theil seiner Schulden, nämlich 6 st., zu tilgen, worauf ihm noch 4 st. Schul¬ den bleiben; wenn ein Körper um 6 Fuß steigt und dann um io Fuß Z auf seinen ursprünglichen Ort unr.4 Fuß — 66 -st 51 oo — 1348 -s- 215 — ? -s- 7094 — 9213 --- ? 4. Hat man mehrere Zahlen, von denen einige positiv, andere negativ sind, zu sam m e n z u z i eh e n, so r c d uzirt man z n e r st d i e p o s it i v e n, d a n n d i e n e g a ti v e n Zahlen, und endlich die beiden dadurch erhaltenen Resultate. —st. 5 -st 8 — 3 ----- —st 13 — 3 ----- —st 10 -s- 2 — 5 -st 8— 7 — -s- 10— 12— — 2 -s- 4 -st 12 20 -st 8 25 ----- -st 24 — 45 ----- — 21 — 3 -st 9 — 8 — 15 -st 48 -st 10 — Z- 67 — 26 ----- -st- 41. -st 15 33 — 49 -st 16 ----? — 208 -st 749 — 337 -st 214 ----? -st 5106 — 2189 — 34 -st 186 — 3715 ? -st 15 — 214 -st 3201 — 1578 — 24568 -st 30756 —? — 77908 -st 25792 — 12 -st 813 -st 21957—? kl. Die vier Rechnungsarten mit entgegen¬ gesetzten Zahlen. 1. Die Addizion. §. 4. Beim Addiren sucht man eine Zahl, welche zwei.oder mehreren gegebenen Zahlen zusammengenommen gleich ist. Um daher entge¬ gengesetzte Zahlen zu addiren, darf man sie nur mit ihren Zeichen neben einander setzen und dann zusummenziehen. Eine mit dem Zeichen -st oder — versehene Zahl, welche zu einer Zahl addirt oder von ihr subtrahirt werden soll, umgibt man mit Klammern; es bedeutet z. B. -st 3-st (—4) die Summe und _st g — ( - 4) den Unterschied der Zahlen -st 3 und — 4. Beispiele. -st 6 -st (-st 2) --- —st 6 -st 2 --- -st 8 -j-6-st(— 2)-----st6 — 2----st4 — 6 —st (—st 2f ---- -— 6 —st 2 --- — 4 _ 6-st(— 2)--- — 6 — 2— — 8 welche Ausdrücke man auch so darstellen konnte: 6 -I- 6 -^2 -ff 6 -ff 2 ----- -ff^ — 6 -ff- 2 6 -ff 2 -------- 4 -ff Z3-ff (— 12) — 12345 (-ff -ff 381345 -ff (— — 908642 -ff (— -j- 6 —L -ff 6 — 2 ----- -j- 4 — 6 — 2 — 6 — 2 ----- — 8. — ? .3824) — ? 479258) ----- ? 91378) 2. Die Subtrakzion. 8- 5. Dabei können in Beziehung der Zeichen vier Fälle verkommen, -ff 8 — (-ff 3), -ch- 8 — (— 3), — 8 — (-ff 3), — 8 — 3), welche wir der Reihe nach betrachten wollen. g) -ff 3 von -ff- 8 abziehen heißt eine solche Zahl suchen, welche zu -j- 3 addirt, -ff 8 gibt; diese Zahl ist offenbar -ff 5; somit hat man: -ff- 8 — (-ff 3) ---- -ff 5 ---- —ff 8 -—- 3. b) — 3 von-ff 8 subtrahiren heißt eine Zahl suchen, welche zu —3 addirt, -s- 8 gibt; nun muß man zu — 3 zuerst -ff 3 addiren, um o zu erhalten, und zu o noch -ff- 8, um -ff 8 zu bekommen; man muß also zu — 3 die Zahl -ff- 8 -ff 3 addiren, damit -ff 8 hcrauökomme, daher: -ff-8 — (- 3)-----ff8-ff3------ff1I. o) Um -ff 3 von — 8 abzuziehen, sucht man eine Zahl, welche zu -ff- 3 addirt — 8 gibt; nun muß zu -ff 3 zuerst— 3 addirt werden, damit man o erhalte, und zu o noch — 8, damit — 8 herauskomme; zu -ff 3 muß also im Ganzen — 8 — 3 addirt werden, um — 8 zu erhalten, daher ist: — 8 — (-ff 3)---- — 8-3--- — II. «ff Hat man endlich — 3 von — 8 abzuziehen, so ist eine solche Zahl zu finden, welche zu — 3 addirt —8 gibt; diese Zahl ist — 5 ; man hat also: — 8—-(— 3)--- — 5------ 8-ff3. Stellt man diese Ergebnisse zusammen: -ff 8 — (-ff 3) ----- -ff 8 — 3 ----- -ff 5, -ff8 — (— 3)---ff8-ff3-----ffII, — 8— (-ff 3)----- 8 — 3------ II, — 8 — (— 3)----- — 8-ff3------- 5; oder auch in folgender Form: 7 Minuend: -s- 8 Subtrahend: -s- 3 Rest: -j- 8 — 3 --- -j- 5 4- « — 3 -s- 8 -s- 3 ---- -j- II. Minuend: — 8 — 8 Subtrahend: -j- 3 — 3 Rest: — 8 — 3 — ji ^8^ -j- 3 — — 5 so ergibt sich folgende Regel: Entgegeng esetzteZahlen werden subtrahirt, wenn man den Subtrahend mit dem entgegengesetzten Zei¬ chen zu dem Minuend addirt. Der positive Subtrahend erscheint also nach der Subtrakzion negativ, der negative positiv. Daß das Subtrahiren einer positiven Zahl ein wirkliches Hinwegnehmen ist, erscheint sich für klar und na¬ türlich ; auffallender ist es auf den ersten Blick, daß das Subtrahiren einer negativen Zahl so viel ist, als das Hinzusetzen einer gleichen po¬ sitiven Zahl. Das Auffallende verschwindet übrigens, wenn man auf den Begriff der entgegengesetzten Größen näher eingeht. Um Jeman¬ den 10 fl. Schulden wegzunehmen, muß man ihm io fl. Vermögen geben, damit er jene Schulden tilgt; wenn man Jemanden io fl. Ausgabe wegnimmt, ihm also diese Aufgabe erspart, so ist dies eben so viel, als wenn man ihn io fl. einnehmen ließe, damit er jene Aus¬ gabe deckt; um 10 fl. Verlust wegzunehmen, muß man 10 fl. Ge¬ winn machen, damit jener Verlust ausgeglichen wird; will Jemand io Schritte, die er nach rückwärts gemacht hat, zurücknehmen, so muß er io Schritte nach vorwärts gehen. Man sieht aus allen diesen Bei¬ spielen, daß daö Hinwegnehmen von — io eben so viel ist, als das Hinzusetzen von -s- 10. Beispiele. — 343 — (-s- 212) —? -s- 1S78 — (— 1374) -s- 39072 — (Z- 18902) ? — 395107 — (— 402864) 3. Die Multiplikazion. 8. 6. Auch bei der Multiplikazion haben wir in Bezug auf die Zeichen der beiden Faktoren vier Fälle zu unterscheiden: Z- S . -s- 3, -s- 5 . - 3, - 5 . -j- 3, — 5 - - 3. 8) Es sei erstlich -s- 5 mit -s- 3 zu multipliziren. Dabei hat man aus -s- 5 ein Resultat so zu bilden, wie -s- 3 aus der Einheit entstanden ist; -s- 3 ist aus der Einheit entstanden, indem man 8 die Einheit 3mal als Addend setzte, nämlich -s-3-----ss-1 -s- 1 ; man wird daher auch -s- 5 3mal als Addend setzen; folglich: -ss 5 . -ss 3 ------ -s- 5 -s- 5 -ss 5 ----- ^ 15- t>) Äst ss- 5 mit — 3 zu multipliziren, so muß man aus -s- s auf dieselbe Art eine neue Zahl bilden, wie — 3 aus der Einheit ge¬ bildet wurde; — 3 iß nun aus der Einheit entstanden, indem man dieselbe 3mal als Subtrahend setzte, denn — 3 — — 1 — i — 1; daher wird man auch -s- 5 3mal als Subtrahend setzen; -s- s als Subtrahend gesetzt gibt nun — 5 ; man hat daher: -s-5. — 3 — — 5 — 5 — 5 — — 15. c) Bei dem Produkte — 5 . -s- 3 schließt man : S mit ss- 3 multipli¬ ziren heißt aus — 5 ein Resultat so entstehen lassen, wie -j- 3 aus der Einheit hervorging; -s- 3 ist aus der Einheit entstanden, indem dieselbe 3mal als Addend gesetzt wurde; man wird daher auch —5 3mal als Addend, also mit unverändertem Zeichen nehmen, wodurch man bekommt: — 5.P-3----- — 5 — 5— 5----— 15. ci) Ist endlich — 5 mit — 3 zu multipliziren, so muß man aus — 5 nach dem Vorbilde von — 3 eine neue Zahl bilden; — 3 ist aber aus der Einheit entstanden, indem man dieselbe 3mal als Subtrahend setzte; man wird also auch —-5 3mal als Subtra¬ hend, somit mit geändertem Zeichen nehmen, folglich ist: -5. — 3-----s-5-f-5-j-5----s-I5. Es ist also: "ss 5 . —ss 3 ----- -ss 15, -s- -i . — 3 ----- 15, — 5 . -j- 3 ----- 15, — 5 . — 3 ---- -s- 15, woraus folgt: Zwei glcichbezeichnete Faktoren geben ein posi¬ tives, zwei ungleichbezeichnete ein negatives Pro¬ dukt. Zugleich sieht man, daß das Multipliziren mit einem positiven Multiplikator ein wiederholtes Addiren, das Multipliziren mit einem negativen Multiplikator ein wiederholtes Hinwegnehmen des Multi- plikands ist. Als Erläuterung des Vorhergehenden mögen folgende Beispiele dienen: Wer s st. Gewinn 3mal gemacht hat, gewinnt 15 fl.; wer 5 Schritte nach vorwärts 3mal gemacht hat, ist um 15 Schritte nach vorwärts gekommen; also -s- 5 . -s- 3 ----- -s- 15. Wenn man Zemanden 5 fl. Gewinn 3mal hinwegnimmt, so hat man ihm dadurch einen Verlust von 15 ss zugezogen; wenn man 5 Tritte, die auf den Sprossen einer Leiter nach aufwärts gemacht wur- 9 den, 3mal zurücknimmt, so ist man dadurch um i s Tritte nach ab¬ wärts gekommen; es ist somit -st s . — 3--- — 15. Wer eine Ausgabe von 5 fl. 3mal macht, gibt 15 fl. aus; wer 5 Schritte nach rückwärts 3mal macht, legt dadurch IS Schritte nach rückwärts zurück; also — 5 . -st 3 — — IS Wer Jemanden 5 fl. Verlust 3mal hinwegnimmt, hat ihm einen Gewinn von is fl. zugemittelt; nimmt Jemand S Schritte nach rück¬ wärts 3mal zurück, so hat er dadurch is Schritte nach vorwärts ge¬ macht ; mithin ist — S. — 3 --- -st is. Sind mehr als zwei entgegengesetzte Zahlen mit einander zu multipliziren, so ist Folgendes zu merken: Wenn alle Faktoren positiv sind, so ist auch das Produkt positiv. Z. B.: -st2.-st3.-st4----st6.->-4----st24, -s-2.-st3.-st4.-st5^-st24.-st5----st 120. Sind alleFaktoren negativ, so ist das Produkt positiv oder negativ, je nachdem die Anzahl der Fak¬ toren eine gerade oder ungerade ist. Z. B. : — 2. — 3. — 4----st6. — 4--- — 24, 2.-3.- 4. — 5---- — 24. — 5 — -st 120, — 2.—-3. — 4. — 5. — 6---st!20. — 6 — — 720, — 2. — 3. — 4. — S . 6 . — 7— — 720 . — 7 --- -- -j- 5040. Sind endlich die Faktoren t Heils positiv, theils negativ, so richtet sich das Zeichen des Produktes bloß nach der Anzahl der negativen Faktoren; das Produkt wird nämlich positiv oder negativ, je nach¬ dem jene Anzahl eine geradeoder ungerade ist. Z. B.: -st2.-st3. — 4-^-st6. — 4--- — 24, -st 2 . -st 3 . — 4 . — 5 — — 24.— 5 — -st 720, -st 2 . -st 3 . — 4 . — S . -st 6 — -st 120 . -st 6 — 720, -st 2 . -st 3 . — 4 . — 5 . -st 6 . — 7 -st 720 . —. 7 --- ---- — 5040. Beispiele. -st 3IS . — 519 —? — 1356 . — 248 — 428 . — 376 . — 219 -st 783 . — 570 . — 138 — ? — 2906 . -st 2076 . — 149 . — 89 -st 137 . — 28 . — 119 . -st 83 . — 75 . — 125 —? 10 4. Die Division. §. 7. Das Divisionsverfahren läßt sich auS dem Satze herleiten, daß der Quozient mit dem Divisor multiplizirt den Di¬ vidend geben muß. n) 3st erstlich -s- 12 durch -s- 4 zu dividiren, so muß der Quozient -j- 3 sein, weil nur eine positive Zahl -s- 3 mit einer positiven -f- 4 multiplizirt, ein positives Produkt -s- 12 geben kann, also: -f- 12 : -f- 4 ---- -s- 3. b) Es sei -s- 12 durch — 4 zu dividiren; hier muß man den Quo- zienten 3 so bezeichnen, daß er mit— 4 multiplizirt, -s- 12 gibt; nun kann nur eine negative Zahl mit einer negativen mul¬ tiplizirt, ein positives Produkt geben; der Quozient muß also negativ sein und man hat: -s- 12 : — 4 — 3. 0) Um — 12 durch -f- 4 zu dividiren, muß man eine Zahl suchen, welche mit -s- 4 multiplizirt, — 12 gibt; diese Zahl kann nur — 3 sein; somit: — 12 : -s- 4 - 3. 6) Durch dieselbe Schlußfolge erhält man auch: — 12 : — 4 ---- -j- 3. Der Quozient ist also positiv, wenn Dividend und Divisor gleiche Zeichen haben, und negativ, wenn Dividend und Divisor ungleich bezeichnet sind. Beispiele. — 42435 : -f- 345 ---? — 861971 : — 3407 — ? -ch- 326393 : — 529 — 6709716 : -- 729 — 123456789 : -s- 24679 —? Iweiter Abschnitt. Von den algebraischen Größen §. 8. Von dcn Zahlen, die wir bisher angewendet haben, und die mit Ziffern ausgedrückt werden, zeigt jede eine ganz bestimmte Menge von Einheiten an; sie werden besondere Zahlen genannt. So drückt die besondere Zahl 7 eine genau bestimmte Anzahl von Einhei¬ ten aus, indem man sich darunter weder mehr noch weniger als 7 Einheiten vorstellen kann. Wegen dieser Eigenschaft der besondernZah- len können aber auch die Rechnungen, die man mit ihnen ausführt, nurfür einzelne besondere Fälle gelten, und müßten so ost erneuert werden, als nur die mindeste Veränderung in der Angabe gemacht wird. Um nun auch allgemeine Rechnungen, die für alle ähnlichen Fälle gelten und von den besondern Wertsten der in einer Aufgabe vorkommenden Größen ganz unabhängig sind, vornehmen zu können, war man aus die Einführung von Zahlen bedacht, welche jede beliebige Menge von Einheiten und deren Theilen bedeuten können, und welche darum a l l g e m e i n e Z a h l e n genannt werden. Als die zweckmäßigste Bezeichnung für solche allgemeine Zahlen stellten sich die Buchsta¬ ben dar, und zwar die kleinen lateinischen. So bedeutet z. B. a eine allgemeine Zahl, unter welcher man sich jede willkürliche Menge von Einheiten oder deren Theilen vorftellen kann; s kann l, 2, io, — 20, ß, oder jede andere positive oder negative Zahl anzeigen. Nur ist zu merken, daß jeder Buchstabe den Werth, den man ihm beim Anfänge der Rechnung beigelegt hat, durch die ganze Rechnung beibehalten muß; nimmt man für a in irgend einer Aufgabe einen bestimmten Werth, z. B. S an, so muß man in dieser Ausgabe für a durchgängig den Werth s beibehalten. Wenn in einer Rechnung verschiedene Buchstaben vorkommen, so werden dadurch im Allgemeinen auch eben so viele verschiedeneZah- len angedeutet; in besonderen Fällen ist es jedoch möglich, daß zwei Buchstaben denselben Werth haben. Die Wahl der Buchstaben zu allgemeinen Zahlzeichen rührt wahrscheinlich davon her, daß man anfänglich die Wörter seblst in 12 die Rechnung setzte, und später nur die Anfangsbuchstaben beibehielt. Wir haben z. B. in der Prozentrechnung nachgewiesen, daß der Er¬ trag der Prozente berechnet wird, wenn man die Summe, worauf sich die Prozente beziehen, mit den Prozenten multiplizirt, und das Produkt durch 100 dividirt. Man könnte diesen Satz auf folgende Art allgemein ersichtlich machen: Ertraa — Summe X Prozent lNO ' oder, wenn man statt der Wörter nur ihre Anfangsbuchstaben setzt, und zwar die kleinen lateinischen, o 100 Hier kann « jede willkürliche große oder kleine Summe, p jedes beliebige Prozent vorstellen; o ist dann die Zahl, welche den zu der angenommenen Summe und dem angenommenen Prozent gehörigen Ertrag anzeigt. Der Ausdruck o — stellt daher den oben angeführten Satz ganz allgemein und doch so klar dar, daß ihn jeder sogleich herauslesen kann, wenn er nur die Bedeutung der Buchstaben e, 8, p, kennt. Die Lehre vom Rechnen mit Buchstaben heißt die allgemeine Arithmetik oder Algebra, zum Unterschiede von der beson¬ deren Arithmetik, in welcher nur besondere Zahlen angewendet werden. 9. Häufig kommt eine und dieselbe allgemeine Zahl öfters als Ad- dend oder Subtrahend vor; in diesem Falle schreibt man die allgemeine Zahl nur einmal an und setzt ihr die Zahl vor, wie oft sie als Addend oder Subtrahend steht, mit dem Zeichen der Addizion oder Sub- trakzion. Z. B.: statt -st. u "st a -st u —st a "st u schreibt man "st 5 a oder bloß a, „ — b — b — b — k> „ „ — 4 d. Diese vor der allgemeinen Größe stehende Zahl -st 5 oder — 4 wird der Koeffizient genannt. Der Koeffizient zeigt also an, wie oft die hinter ihm stehende allgemeine Größe als Addend oder Subtrahend gesetzt werden soll, je nachdem derselbe positiv oder ne¬ gativ ist. Steht bei einem Buchstaben kein Koeffizient, so ist,, darunter der Koeffizient l, welcher nie ungeschrieben wird, zu verstehen; es ist dem¬ nach a so viel als i u, und — g so viel als — l u. Man kann sehr zweckmäßig den Koeffizienten als Zahl und den Buchstaben als ihren Namen ansehen, so daß in Sa der Koejfizient 5 die Anzahl von Einheiten und a die Art derselben bedeutet, so wie z. B. in 5 Gulden die Ziffer 5 die Zahl und Gulden ihren Namen angibt. Wenn zwei oder mehrere Buchstaben mit einander zu multipli- 13 ziren sind, so wird das Multiplikationszeichen gewöhnlich weggelassen. Z. B.: statt s x d oder n . I» schreibt man sd, „ a X k X c „ i, . b „ „ sbo. Der Ausdruck ab« darf mit jenem a-std-sto nicht verwechselt werden, da ersterer ein Produkt, letzterer eine Summe vorstellt. Setzt man z. B. n---2, d —3 , o —4, so ist: ubo — 2 . 3 . 4 — 24, n -st ll -st 6 ---- 2 -st 3 —st 4 ----- 9. Der Koeffizient einer allgemeinen Größe kann immer als Fak¬ tor derselben betrachtet werden; denn es ist z. B.: 5 A ----- N —st 8 —st u —st u —st n — u . 5 — 5 . u; — 4 b o --- — b o — do — bo — do — bo . — 4 — — 4. de. 10. Eine Größe, welche aus einem Koeffizienten und einem Buch¬ staben oder auch mehreren ohne Zeichen mit einander verbundenen Buchstaben bestehet, wird ein einfacher algebraischer Aus¬ druckgenannt; z. B. u, 2s d, — 3 a 9 X, 5boo^^. Eine Größe, welche mehrere einfache durch das Zeichen -st oder — verbundene Ausdrücke enthält, heißt ein zusammengesetzter Ausdruck; die einzelnen durch das Zeichen -st oder — verbundenen Bestandtheile eines solchen Ausdruckes nennt man seine Th ei le oder Glieder. Enthält der Ausdruck zwei Glieder, so heißt er insbesondere ein Binom; eine dreigliedrige Größe wird einTri n om, eine mehr¬ gliedrige ein Polynom genannt. So sind: u-stl), 2m — 3n, sxx — Binome, a — Ii-ste, 2ax-st3l)>s-st4ox, 3 nun — 2 aal) -st nHP Trinome, und alle diese Größen zusammengesetzte Ausdrücke. Wenn mit zusammengesetzten Größen Rechnungsoperationen vor¬ zunehmen sind, so werden sie in Klammern eingeschlossen. Um z. B. anzuzeigen, daß a-st I, mit o-st ll zu multipliziren ist, schreibt man (a-std). (o-stll); würde man die Klammern weglaffen und a-stb. o-stä schreiben, so würde dieser Ausdruck nicht bedeuten, daß a 4-k mit o-stck zu multipliziren ist, sondern daß man nur k mit v zu mul- tipliziren und zu dem Produkte a und ä zu addiren habe. Setzt man z. B.: gn2, I) — 3, o — 4, <1 — 5, so ist (a-st b) . (o -st ci) — (2 -st 3) . (4 -st 5) — 5 . 9 — 45 , S -j- b . o -st ü ----- 2-st3 . 4-stS-2-stl2-st5----->9. §. l l. Wenn in zwei algebraischen Ausdrücken gleiche Buchstaben, und diese auch in gleicher Anzahl Vorkommen, so heißen jene Ausdrücke 14 schi chartig oder homogen; die Koeffizienten können auch ber¬ eden sein. Dagegen heißen zwei algebraische Ausdrücke ungleich¬ artig oder heterogen, wenn sie entweder verschiedene Buchstaben, oder gleiche Buchstaben aber in ungleicher Anzahl enthalten, Z. B. : 2a, 5a j ad, 3 ad f sind gleichartige, 5mxx, 8mxx ' / 3a, 3d ) 5mn, — 2mp f ungleichartige Größen. 3 3 X, 3 s a X! Zwei oder mehrere gleichartige Ausdrücke kön¬ nen immer in einen einfachen Ausdruck zusammenge¬ zogen werden, wenn man ihre Koeffizienten nach den Reduktions¬ regeln für entgegengesetzte Zahlen zusammenzieht, und den Buchsta¬ benausdruck, als bloßen Namen, nur einmal schreibt. Beispiele. 1) a-f-3a-f-3a^(I-f-3-s-3)a — 7a. 2) —3bx — 2dx — 8bx---- — 13 dx. 3) 2 ade — 2ado —0. 4) 5 ad — 3ad —2ad. 5) adx — 4adx —— 3adx. 6) inp— 2inp-s-3mp —2m p. 7) 8dd^^-j-2bd7y—7bd^y —3dk^y. 8) 7ax — 4dx — 3sx-f-2d^-----4ax — 2 o 9) 5k -f- 3k — 4d -s- 3x 4d -s- 3x. 10) aa -s-sd -j-ad-^-dd---: ga-s-2ad-j-dd 11) 5 in -j- 6 m — 15 in 3 in — ? 12) 3px — px — 2 px -s- 4 px — px — ? 13) 7am — 4 — 2 a m -f- 8 / — 2x-s-3am---? I. Die vier Rechnungsarten mit einfachen alge¬ braischen Ausdrücken. 1. Die Addizion. §. 12. Einfache algebraische Ausdrücke werden addirt, wenn man sie mit unveränderten Zeichen neben einander setzt, und, wenn sie gleichartig sind, zusammenzieht. 15 Beispiele. 1) -s-s -s-(-s- st) ----- -s- s -s- b. 2) -s- g -s-(—st) —-s- s— p. 3) — s-s-(-j-st) — —s-j-st. 4) — g-s-(—b) —— s —p. Diese Addizionen könnte man auch so darstellrn: 2. Subtrakzion. §. 13. Beim Subtrahiren einfacher algebraischer Ausdrücke gilt dieselbe Regel, wie beim Subtrahiren entgegengesetzter Zahlen. Um dieses zu erweisen, wollen wir die Fälle, welche hinsichtlich der Zeichen vorkom¬ men können, nach der Reihe in Betrachtung ziehen. s) Es soll von -s- s die Größe -s- st subtrahirt werden. Der Mi¬ nuend -s-a bleibt ungeändert, wenn man ihm -s-st und —b hin¬ zusetzt; statt -s-skann man also-s-s-s-b — b setzen. Nimmt man nun von dem so ausgedrückten Minuend -j-a-s-b —b den Sub¬ trahend -s-d hinweg, so bleibt -j-s-—st als Rest; man hat also: Minuend -j- s statt-s-s darf-s-s-s-b— st gesetzt werden. Subtrahend Z- b / davon -s-d hinweggenommen, bleibt -s-s —b als Mst. st) Ist von -s-s die Größe —st zu subtrahiren, so hat man: Minuend -s- s ) oder -s- s -s- b — p Subtrahend — b / davon -- b abgezogen bleibt -s- s -s- b als Rest. c) Von —s soll -s- st subtrahirt werden. Es ist. Minuend — s oder — a -s- b st Subtrahend -s- d / davon -s- d hinweggenommen bleibt — UT",; als Rest. st) Zst von s die Größe —st zu subtrahiren, so hat man; 16 Minuend -—ui oder — s -st d — d Subtrahend — d / davon — d weggenommsn bleibt als Rest. Man hat demnach: -st u — (-st d) — -st n — I> -st u —. (— b) — -st g -st b — g — (-st b) — — s — b — s — (— b) — — a-stl> d. h. Einfache algebraische Ausdrücke werden s u btra- hirt, wenn man zu dem u ngcgänd erten Minuend den mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Subtra¬ hend hinzugesetzt. Wenn der Subtrahend unter den Minuend geschrieben wird, so pflegt man im Subtrahend das geänderte Zeichen sogleich unter das gegebene zu setzen. Sind Minuend und Subtrahend gleichartig, so wird die Redukzion vorgenommen. Beisp iele. 3. Die Multiplikazion. 8- 14. Besondere Zahlen kann man wirklich multipliziren, d. i. man erhält als Produkt eine neue Zahl, in welcher von den Faktoren durch¬ aus keine Spur mehr zu finden ist, z. B. 3x6 — 18. Bei Buchsta¬ ben ist dieses der Fall nicht; ihr Produkt kann nur angezeigt werden, indem man sie ohne Zeichen neben einander setzt, und zwar wegen der leichtern Uebersicht in alphabetischer Ordnung. So wird daö Produkt aus s und b durch ub, das Produkt aussp und I,g durch ubpg an¬ gezeigt. 17 Es seien nun die einfachen Ausdrücke 5 s und —4 b mit einan¬ der zu multipliziren. Da man die Koeffizienten als Faktoren der Buch¬ staben betrachten kann und die Faktoren in jeder beliebigen Ordnung mit einander multiplizirt dasselbe Produkt geben, so hat man: 5 n X — 4b — äx — 4 x a xb — — 2üx u b -----— 20 u b. Einfache algebraische Ausdrücke werden daher mul¬ tiplizirt, wenn man die Koeffizienten nach den Regeln für entge¬ gengesetzte Zahlen multiplizirt und ihr Produkt dem Produkte der Buchstaben vorauösetzt. Beispiele. I) 3) 5) 7) 8) 9) IO) 1k) 12) 13) k4) IS) — s- a . — s- b ------ — s- u b. ——' a . —s- b ------ —— ab. 7a . 5b ----- 35 ob. 2) -s g . — b ------- ab. 4) — o. — b------s-sd. 6) — 3 x . 8 m — 24 m x. 3ux . — 4b^ — — I2sbx^. — 8om . — - 3) — ad : -j- s — — b. 4) — ab . — a — -s- b. 5) 6mx : 2x — 3m. 6) 12 am : — 3m — — 4a. 7) — 20 nab : — 5 ab — 4a. 8) — —7 sc. , 5 L S) lOab : — 2bo —— —. o 8a 10) — 8am : -- mm --- — m 11) abx : 5abv — 55 , 3 I) in 12) — 3 bmx : 4axx — — -—. 4a x 13) — Slabclxx:3bäx----? 14) 22 5 m m 5 : 2 5 m 5 5 — ? 15) 3INM2: — 32 an 5-^7? II. D i e v i e r N e ch n n n g s a r t e n m j t z ttsa m m e n g esetz- teualgebraischenAus d rücken, oder dieAttflösung der Klamm ern. 1. Die Addizion. §. 16. Zusammengesetzte a l g e b r a i s ch e A u s d rü ck e s i n d als addirt zu betrachten, wenn man sie mit ungeänderten Zeichen neben einander stellt. Kommen in der Summe gleichartige Ausdrücke vor, so werden sie zusammengezogcn. In solchen Fällen thut man am besten, wenn man die Addenden unter einander schreibt, und zwar so, daß die gleich.- artigen Größen gerade unter einander zu stehen kommen. Beispiele. 1) a-s- (b-s-o) — a Z-b-s-o. 2) 3a — 2b -s- (3o — 4cl) --- 3a — 2b -s- 3o — 4cl. 3) Sa-s-2x-s-(3b—-2)0-s-(3o— 2 — 5o — 6ll -j- 7e. 5) 83 — 4bst-3o—(6ust-2b — 3o,— 8u — 4k st- 3o — 68 — 21' -j- 3o — 28 — 61) st- 66 10) 5xx -j- 7x — S - (3xx — 2x — 6) — . . . . 11) 2ux — 31' — (5 8 st—2 b) st- (4 3 — b) ^: . .. 12) 8mmm — 7min^ — 31N77 — (3mm^ — 5,7177 st- 877) --- .. 3. DK MMpükaziou. 8. 18. Bei der Multiplikazion zusammengesetzter Ausdrücke müssen wir zwei Falle in Betrachtung ziehen: entweder ist nur der eine Faktor zusammengesetzt und der andere einfach, oder es sind beide Faktoren zusammengesetzte Ausdrücke. 1. Wenn der eine Faktor ein zusammengesetzter und der andere ein einfacher Ausdruck ist. Es sei 3 mit b-s-o — ä zu multipliziren. Hier muß man aus a eine neue Zahl so bilden , wie b st-o— cl aus der Einheit entstanden ist; bst-o — cl ist aus der Einheit entstanden, indem man zuerst b, dann o, endlich — 6 bildete, und die Resultate addirte; man wird daher auch aus 3 zuerst ein Resultat so bilden, wie b aus der Einheit entstand, d. i. 3 mit b multipliziren; dann wird man aus 3 ein Re¬ sultat nach dem Vorbilde von 0 suchen, d. i. 3 mit e multipliziren; endlich muß man aus 3 auch ein Resultat so bilden, wie — ä aus der Einheit entstanden ist, d. i u mit—cl multipliziren, und diese drei Resultate in eine Summe bringen. Es ist also 8 , (bst- 0 — 6) — u . b st- 3 . est- 3 . — <1 — 3 b st- 3 0 — 3 cl. Da es für das Produkt gleichgiltig ist, in welcher Ordnung die Faktoren multiplizirt werden, so ist auch (bst-6 — d) . 3 --- ab st- 30 — acl. Daraus folgt: 21 Ein zusammengesetzter Ausdruck wird mit einem einfachen multiplizirt, wenn man jeden Theil des z u s a m m e n g e s e H t e n A u s d r u ck e s m i t dem einfachen m u I-- tiplizirt, und diese Theilprodukte addirt. Beispiele. 1) 5n . (3b -s- 4v — cl) ----- ISsb -f- 20uo — 5 i» ä 2) — 3nx . (b^— 202 -j-5) ----- — Zgbx^-j- 6nox2—15nx 3) (6n — Sb) . 3o — 18 uo — 15 bo 4) (7 m— 6n-si- 5 p) . — 3x — — 2lmx-s- 18 nx — 15 px 5) (2-s-3a—4nn—5naa) . 6an—12sn -s- 18nau — 24sssa -— 30aansa 6) (3 nx— Sb^—02). — 2 mp —— 6 mnpx-j- 10 bmp^-f- 2 cmp2 7) (5 nn — 3n-j-2). — 6nx— ... 8) 8b)s . (1— 2x-ch- 3xx) . 9) (7 n m -j- 6 b n — 5op-s-4ilg).3kx — ... §. 19. 2. Wenn beide Faktoren zusammengesetzte Ausdrücke sind. Dieser Fall laßt sich ans den frühern zurückführen. Hat man z.B. n-sib-sie mit n-si p-s- 2) — . > ' 12) (3x — 77) (5x 27) (3»x — 4b7) . 4. Die Division. §. 20. Beim Dividiren zusammengesetzter algebraischer Ausdrücke ton¬ nen drei Fälle vorkommen: entweder ist der Dividend zusammengesetzt und der Divisor einfach, oder ist der Dividend einfach und der Divi¬ sor zusammengesetzt, oder es sind Dividend und Divisor zusammen¬ gesetzte Ausdrücke. 23 j. Wenn der Dividend ein zusammengesetzter und der Divisor ein einfacher Ausdruck ist. ES ist (8-std-sto).p---ap-stdp-stop. Wenn man nun das Produkt zweier Faktoren durch den einen Fak¬ tor dividirk, so muß der andere Faktor zum Vorschein kommen; es muß also (8p-stdp-step):p — a-std-sto sein ; aber a, b, c sind die Quozienten, welche man erhält, wenn man folgeweise 8 p, bp, ep durch p dividirt; daher gilt der Satz: Ein zusammengesetzter Ausdruck wird durch ei¬ nen einfachen dividirk, wenn man jeden Th eil dessel¬ ben durch den einfachen Divisor dividirt. Beispiele. 1) (8 ab — 12 ae) : 4a --- 2d — 3e 2) (15 am — 10dm -s- 20em) : -— 5m — — 3a -st 2d — 4o 3) (18am^—27 bn^s-st 36 ep^) : — 9^ —— 2 am-st 3 bn— 4 op 4) (20admn — 16aemp-st 9a — - a-i-b s-pb s-^b , 3b 9) 2 g -s- . x 10) 5u — 21) 3sa — 4bd 5a — 6b H) 2 - 3a 4" 4aa K. 24. Beispiele über die Darstellung mehrerer Brüche mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner. 1. Es seien die Brüche auf den kleinsten gemein¬ schaftlichen Nenner zu bringen. Der kleinste gemeinschaftliche Nenner ist 2.3.5--30 ; man hat daher i 15a 30 : 2 — 15 , n X 15 — 15 u, also 2 — ; 30 : 3 -- 10, 2ax 10 -- 20a, „ — ' 3 30 30 : 5 -- 6, 3sx 6 I8ri, „ 2. Man bringe die Brüche auf den kleinsten gemein¬ schaftlichen Nenner. Da d und 7 §. 27. Beispiele über das Multipliziren der Brüche. I) a k a m ni — — b 2) 3 4 ab 2 l> --- ? 2 a 3) 2abx 3 m 10 ab 6 x — 5 0 — --- 3 m 4) 5) 6) 7) 8) -s- . 3s — .3s--^384-^d (^ - 7 ) ' ) - (x -s- V) -- - (x4-y)--2xx m p lllp II q nq 2a 3!) 4e Labe 3m 4n 5p 5mnp S'7-xx V v/ V xv' 30 s) 10) H) 12) 13) d > /2K X _ chso -p K 2b — Sso 3e/ X5e / gg ' 2 ki) -P 7 s K o — 30 s s o o ISoo §. 28. Dritter Abschnitt. Bon den Potenzen nnd Wurzelgrösten. §. 29. Wenn eine Zahl mehrere Male als Faktor gesetzt wird, so nennt man das Produkt eine Potenz jener Zahl, und zwar die so vielte Potenz, als wie oft jene Zahl als Faktor gesetzt wurde; die Zahl, welche öfters als Faktor gesetzt wird, heißt eine Wurzel des erhal¬ tenen Produktes, und zwar die so v i e l t e W u r z c l, als wie oft sie als Faktor gesetzt werden muß, um jenes Produkt zu geben. Z. B.: 3x3---- 9 3 X 3 X 3 — 27 3x3x3x3--- 8t 3x3x3x3x3 — 243. Hier ist 9 die 2te Potenz, 27 die 3te, 81 die 4te, 243 die 5te Potenz von 3; umgekehrt ist 3 die 2te Wurzel von 9, die 3te Wurzel von 27, die 4te von 81, die Ste von 243. Die zweite Potenz wird gewöhnlich auch das Quadrat, die dritte Potenz der Kubus genannt; eben so heißt die zweite Wurzel die O. u a d ratw u r z e l, die dritte die Kubikwurzel. Die Zahl, welche anzeigt, wie oft die Wurzel als Faktor gesetzt werden muß, damit eine andere Zahl als Potenz herauskomme, wird der Erponent genannt. In den früheren Beispielen stellen die Zah¬ len 2, 3, 4, 5 nach der Reihe die Exponenten vor. Durch das Zusammentreten der Potenz und der Wurzel ergeben sich zwei wichtige Rechnungsoperazionen, das Pot en zi re n und das W u r z e l a u s z i e h en. E i n e Z a hl zur 2 t en, 3 t e n, . . . m t e n P o t e n z erhe¬ ben, heißt diese Zahl 2mal, 3mal, . . . mmal als Faktor setzen; z. B. 3 zur 4ten Potenz erheben, heißt 3 4mal als Faktor setzen, 3x3x3x3 — 8l,die 4te Potenz von 3 ist also 81. Diese Operazion wird dadurch angezeigt, daß man der Wurzel rechts oben den Exponenten beisetzt; es ist also: 3^---- 3 X 3 X 3 X 3 4^ ----- 4 X 4 x 4 — u . a . u . u. u. 32 Der Exponent i wird nicht angeschrieben , so daß a so viel bedeutet als g*. Die Begriffe Koeffizient und Potenzerponent müssen von einan¬ der wohl unterschieden werden; es ist: 4s — s-j-s-s-g-s-s, s^ — s . a . s . g, welche Ausrücke wesentlich verschieden sind; setzt man z. B. a —3, so ist: 4a ------ 3 -ss 3 -s- 3 -s- 3 ---- 12, a»---3 - 3 . 3 . 3 ----- 81. Aus einer Zahl die 2 te, 3te, . . . m t e Wu rz e l a us- ziehen, heißt eine Zahl suchen, welche 2mal, 3inal, ...mmal als Faktor gesetzt, jene vorgelegte Zahl gibt; z. B. aus 32 die 5te Wur¬ zel ausziehen, heißt eine Zahl suchen, welche 5mal als Faktor gesetzt, 32 gibt; diese Zahl ist 2, den 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ---- 32. Für d<,S Wurzelausziehen hat man das Zeichen ^/, in dessen Oeffnung der Ex¬ ponent gesetzt wird; so bezeichnet man die ste Wurzel aus 32 durch V"32. Bei der zweiten Wurzel wird der Exponent 2 nicht angeschrie- 2 ben, so das x/5 so viel bedeutet als ^/5; es kann hier kein Mißver¬ ständnis; entstehen, weil die erste Wurzel einer Zahl immer der Zahl selbst gleich ist, und man daher bei der ersten Wurzel gar kein Wur¬ zelzeichen anzuschreiben braucht. I. Zeichen der Potenzen. Z. 30. Betrachten wir zuerst die Potenzen einer positiven Wurzel -s-a; es ist: (Z- a) -s— a -s- a ----- -s— a a — s- a", (Z— a)^ ----- -s- a . -s— a . — s- a ----- -ff ass ----- -s- a^, (-s— as^ ----- -s- a . — s- a . -s- a . -ff- a ---- -ff- a a a a ---^ -ff- a^, u. s. w. Eine positive Wurzel g ibt also, zueiner geraden oder ungeraden Potenz erhoben, stets ein positives Resultat. Anders ist es bei einer negativen Wurzel - a; man hat: (—g)2 —— u. —n —-s-aa —-ssa?, —g. —a— - ass —— s"*, - g. — s. — s. — g — -s-sasa — -ff-s^, ( ^0 5 — A , -— a . — s . — a . — s . - a s s s s — s , Daraus ist ersichtlich, daß eine negative Wurzel, zu 33 einer geraden Potenz erhoben, ein positives, zu ei¬ ner ungeraden Potenz erhoben, ein negatives Resul¬ tat gibt. II. Die vie r Rechnungsarten mitP otenzgrößen. §. 3l. 1. Das Addiren und Subtrahiren. Für das Addiren und Subtrahiren der Potenzgrößen gelten dieselben Sätze, wie sür das Addiren und Subtrahiren algebraischer Ausdrücke überhaupt. Eine Zusammenziehung im Resultate kann nur dann Statt finden, wenn die Potenzgrößen g l eich art ig find, d i. wenn sie sowohl gleiche Wurzeln als gleiche Exponenten haben. Beispiele. 1) -s- (— 41)») --- 3a» — 41)». 2) 3a» — (— 4 b») ----- 3a» -s- 4b». S) 2a» -s- (5 a?) — (3a) ---- 2a» -s- 5a- — 3a. 4) 3a- -s- (— 5 a-) — (4 a?) — (— 7 a«) ---- 3a^ — 5 a? — 4a^ -s- 7a^ — a^ 5) 7a?b» — 3a»b^ -s- 4a»k^ — 2a?b» sa^b» -s- a»b*. §. 32. 2. Da« Multipliziren. Bei der Multiplikazion werden die Potenzgrößen ohne Zeichen neben einander gestellt. Z. B. - a»x? xb^2 a»bx^^^; 3ad^m^ . — 5b^n»-^ - lsad^m^n». Eine Abkürzung kann nur dann eintreten, wenn die Potenzgrö¬ ßen entweder gleiche Wurzeln oder gleiche Exponenten haben. a) Wenn die Wurzeln gleich find. a» . a ---- a a . a ----- aaa — a», a» . a» --- aaa . aa ---- aaaaa — a», a» . a» — aaaaa . aaa ----- aaaaaaaa ----- a», a» . a? . a» ----- aaa . aa . aaaa ----- aaaa aaaaa — a». Man sieht, daß der Exponent im Produkte gleich ist den Expo¬ nenten der Faktoren zusammengenommen. Potcnzgrößen der¬ selben Wurzel werden also multiplizirt, wenn man diegemeinschaftliche Wurzel beibehält, und ihr die Summe aus den Exponenten der Faktoren zum Expo- nenten gibt. Menili, Arithmetik, n. Abth. z. Aufl. 3 24 1) a» . — 3a ----- - 3 »3. 2) öm^x . 2 m x^ ----- tOm^x^. 3) — 3»bx^ . — r^x» — 3«^xb. 4) ögd^)^ . — 2b^^^ ---- — I2ril)^6. 5) 2s^mbx^ . — Zsm^x? . 4»bmx^ — — 24 8^8^x3. 6) 5a»I>2 . 3 a o^ . — 21)3,1 . — 4gc^l>^ — I20-^I^o^cI°. 7) 7 n^x — 2iix — . . . 8) 8mbp^ . — 7m^n^p . 3mn2p» . n^ . b) Wenn di- Potenzerpouenten gleich sind. Man hat: n? . k? — 3g . 1, I> --^ ub . ab — (ab)2 <-»» . b^ ---- aaa . bbb — ab . 3b . ab ----- (ab)3 a» . b» ----- 88aa . bbbb ----- ab . ab . 8b . 8b — (ab)» a" . b^ . — 8aa.bbb.c:ec----8be. a b o . a b v — (a b o)3. Potenzgrößen desselben Exponenten werden da¬ her m i t e i n a n d e r m u lt i p l i zi r t, w c n n m a n d i e W u r z e l n mul tiplizirt, und ihr Produkt zur gemeinschaftlichen Potenz erhebt. Beispiele. 1) 2^ . 53 --- (2 . 5)3 — IvA 2) 4» . 5» . 5» ----- (4 . 5 . 5)» --- 100». 3) 2^ . a^ . b^ ---- (2ab)^. 4) (X -s- 7)3 (X — 7)3 --- (x3 — 7^)2. 5) x» . 7» . L» . 3» — . . . -> <:o-- - - §. 32. 3. Das Dividiren. Poteuzgrößen werden auf dieselbe Art, wie algebraische Großen überhaupt, dwidirt. Z. B.: 24a3d3o» : 6i>2<;» ----- 4b^; iZab^x^ : — 3b^)2 — — Eine Abkürzung im Verfahren kann nur dann Statt haben, wenn entweder die Wurzeln oder die Exponenten gleich sind. a) Wenn die Wurzeln gleich sind. Betrachten wir zuerst den Fall, wo der Exponent deS Dividends größer ist als jener der Divisors. Man findet: 8^ : 82 ----- 38888 : 88 ---- 883 ----- 33, 36 : 8» — 8888 88 : 8388 ----- 8 8 ---- 32, ft» I 8 ----8333 -3 ----883 ------- »3, 35 so daß der Exponent des Quozienten immer gleich ist dem Exponen¬ ten des Dividends weniger jenem des Divisors. Ist der,Exponent des Dividends kleiner als der Exponent im Divisor, so erscheint der Quozient in Form eines Bruches; man hat z-B. 1 a' gggg . gggggggg — l : aaag ----- Drückt man nun den Bruch — durch a->" aus, was man eine Potenz mit negativen Exponenten nennt, wäbrend a"> eine Potenz mit p ositiven Exponenten heißt; so ist: g? : g^ — — g 3, L' gZ : g^ --- — g-2, a a^ : a» ----- — s-4 und man sieht, daß auch in diesem Falle der Potenzexponent im Quo¬ zienten erhalten wird, wenn man von dem Exponenten im Dividend jenen des Divisors subtrahirt. Es seien endlich die Exponenten im Dividend und im Divisor gleich, z. B. beide gleich 3, so ist gZ : g3 — i. In diesem Falle ist also der Quozient ke i n e Potenz von a, sondern die Einheit. Betrachtet man daher l auch als eine Potenz von a, und zwar als die Ote, so daß M ----- l ist, so hat man gb ; i ----- gO, und eö findet die in den beiden früheren Fällen nachgewiesene Gesetz¬ mäßigkeit auch in diesem Falle Statt. Man kann daher allgemein sagen: Potenzgrößen derselben Wurzel werden divi- dirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel bei be¬ hält, und ihr zum Exponenten eine Zahl gibt, welche gleich ist dem Exponenten deöDividends weniger dem Exponenten des Divisors. B ei sp i el e. >) 12 : 3»3 — 4 2) — I8gZ : 6»^ — 3g-2 —- 3) I6g^x^ : — — — 4ax" 3 * 36 4) 30 : 5x"^ --- 6x-'^^ — 5) m^x* : mp^x^ — m^x 6) at^e^ : — ado — — dc^ 7) 35x^7^2^ : 7x^2° ---- . . - 8) 4r?m^x° : — 5g"m^x — . . . d) Wenn die Potenzcrponenten gleich sind. ES ist: a° an» a a a p° . ' H' dbbb li'b'l-b Vb/ Daraus folgt: Potenzgrößen desselben Exponenten werden dividirt, wenn man die Wurzeln dividirt, und ihren Quozienten zur gemeinschaftlichn Potenz erhebt. Beispiele. >» -- (ado-^ -o : c«m-xx)- - (^E)° -° 4) (48a^b*x^)^ : (6g d^X)^ ---... 5) (3mn?pv)b . ^4^-^ -^ , . . §. 33. 4. Rechn« ngs oper azionen mit geordneten alge¬ braischen Ausdrücken. Wenn in einem mehrgliedrigen algebraischen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Wurzel vorkommen, so Pflegt man wegen der leichteren Uebersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzerponenten jener Wurzel zu ordnen. Fängt man mit der höchsten Potenz an, und läßt dann immer niedrigere Potenzen folgen, so heißt das Polynom fallend geordnet; seht man dagegen zuerst jenes Glied, wel¬ ches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Wurzel enthält, und geht dann zu immer höheren Potenzen über, so nennt man das Polynom steigend geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 5 x- -s- I — 3 x -s- x" — 4 x» — 6 x» fallend geordnet folgende Form: 2) (Sg^bo^ : (Säe)* 37 x° — 6x^ — 4x^ -j- Sx? -- Sx -j- I, und steigend geordnet : I — 3 X -st 5x4 — 4 x^ — 6x4 -st x^. Die Rechnungöoperazionen mit geordneten Polynomen werden auf dieselbe Art vorgenommen , wie mit zusammengesetzten algebrai¬ schen Ausdrücken überhaupt. Beim Addiren und Subtrahiren stellt man die gleichartigen Glieder unter einander, und zieht sie zusammen. Dasselbe geschieht beim Multiplizircn in den Theilprodukten. Beim Dividiren muß beim Anschreiben deö jedesmaligen Restes dieselbe Anordnung beobachtet werden, welche im Dividende und im Divisor vorherrscht. Beispiele. Ä. Addizio». 1) x^ — 5x4 -st 3 x — 6 3x4 -st 2x4 -st 5 X -st 8 4x^ — 3x4 -st 8 x -st 2 2) x4 — 3x4z? -st 5x^r -st 7x^» -st x4^ — 3x^2 — 3x> 4 — 8^4 x4 — 2x4^ -st 2x4^4 -st 4x^4 — 8^4. b. Subtrakzion. 1) 5 l>4 — 4 u4 -st 3 — 2 u —st I 3 <)4 — 3 ^4 — 5 -st 5 u —st 7 2 »4 — i>4 -st 8»4 — 7u — 6 2) S -st 8m — 7m4 — 6m4 -st 5 m* — 5 -st 4m — 3 u>4 -st 2i»4 — m* -st — -st — -st 14 -st 4m — 4m^ — 8i»4 -st 6m4. o. Multiplikazion. 1) x4 — 8x4 -st 5 x — 3 x — 2 _ 3 x4 — 24x4 -st ISx^ — 21 x — 2x4 -s- 16x4 — lOx -st 14 3x4 _ 26x4 __ Z,x -st 14 2) 3 -st 4x -st 5x4 — gx- 4 — 5x — 6x4 _ ?2 -st I6x -st 20x4 — 24x4 — I5x — 20x4 — 25x4 -st 30x4 — 18x4 — 24 x4 — 30x4 -st 36 x° 12 -st x — ISx? — 73xb -st 36x° 3 8 3) x? — - x^ -j- x» — x? x - I x -I- I __ ——. X« — x° x^ >— X» X? — X -s- x° - x" -j- X» — x2 -s. X — I _ _ ^ 4) (s^ -s- g» -s- »2 -s- s -s- I) (s — I) — s^ — 1 5) (m^ -s- 2 m — 8) (s? — 2 m -j- 3) — — 4 m» -s- 12 m — S 6) (3s» — 5^1) -(- 7sl)2 — 4Ii») (2»2 — 5sl, -s- 31^) — 6gE> — 2S s^b -s- 48s» 1)2 — 58 »2 I)» -s- 41 s b^ — 12 b». 7) (2 p» — 3p2 — 8p -s- 12) (3 p2 -s- 7p — 9) ----- . . . 8) (x—I) (x —2) (x —3) . 9) (2 x — 3) (3 x — 4) (4 x — S) (5 x - 6) -----.. . 10) (3a2--g L»-j).2) (5 »2-j-7s — 6) (s» - 2 s-s-5) . . . 11) (4x2 — g^—(x» — 2x^-j-2f2) (2x^-1-Sx^-j-3)-2) 4. Division. 1) (6x» — 15x2 ^2x — 3) : (x» — 2x -j- I) — 6x—3 6x» — 12x2 -j- 6x — __ — — 3x2 -j- gx— 3 — 3x2 ßx — 3 H _ -t- ü 2) (9x^—I9x2-s- I2x- S):(3x2 — 2x-s- I)----3x2-!-2x - 5 9x^ — 6x»-j- 3x2 — _ -s- 6x» — I9x» j2x ^-6x» — ^4x2-)- 2x — 15x2 ^ox — 5 — 15x2 -s- lOx — 5 0 3) (k>4 —1) : (s -4- i) — s» — »21g — 1 -s- s» 39 4) (x^ — I) ' (x — I) — Z- x.3 -f- x^ -Z- x -s- I 5) (I 6m^ — 8m V-s-n*) : (4m'-s-4nin Z-n^) — 4m2—4inn-s-n^ 6) 7^-^-20^--2I^ 187-s-27) : (7^-27-3) -- - 47- >67-9 7) (7x'° - 25x°7^-j-48x°7^—23^7^Sx^7^) : (7x^ — 4.^72 — x° — 3x^7^-ff- 5x? 7^ 8) (8p^27) : (4pr—gp_j_9) ^ . . . 9) (m^- I) (m — I) ----.. . 10) (m^— I) : (m — I) I l) (a^ 4-4b^) : (a? - 2iib-fi2b^) — . . . 12) (2x'^7bxb-^b V-§-2l)bx-^-.24^) . (2x^—3>)x -j- 4K2) -----.,. M. D a s P o t e N z l r e N M l t R ü ck sl ch t a II f v e r sch l e d e tt e Wurzeln. §. 34. 1. Potenzireu einer Summe oder Differenz. Es wird für den Zweck dieses Lehrbuches genügen, zu zeigen, wie die Summe oder Differenz zweier Zahlen, d. i. ein Binom auf die zweite und dritte Potenz erhoben wird. Um das Quadrat des Binoms s-Z-b zu erhalten, darf man das¬ selbe nur mit a-ff-b multipliziren ; man findet dadurch (a-j-b)------ a- -ff- 2 ab -ff- d«. Eben so erhält man: (a — k)? — a-* — 2 ab -s- b?. Das Quadrat eines Binoms ist also gleich dem Quadrate des ersten Theiles, denffdopPeltenProdukte beider Th eile, und demQuadratedeszweitenTheiles. Die beiden Quadrate sind immer positiv, das Zeichen des dop¬ pelten Produktes ist -ff- oder —, je nachdem die beiden Theile des gegebenen Binoms einerlei oder entgegengesetzte Zeichen haben. Multiplizirt man das Quadrat einer Zahl mit dieser Zahl selbst, so erhält man ihren Kubus. Es ist also (a -j- bh^ ^-- (a? -ff- 2ab _s_ 1)2) (a -ff- b) ---- a° Z- 3s^k -ff- gab- -ff- b» und (a — b)b ----- (a^ — 2 ab -ff- b^) (a — b) ----- »3 — 3a?b -ff- 3ab^ — b^. Der Kubus eines Binoms ist also gleich dem Ku¬ bus des ersten Theiles, dem dreifachen Quadrate des ersten Theiles multiplizirt mit dem zweiten Theile, dem dreifachen ersten Theile multiplizirt mit dem Quadrate des zweiten Theiles, und dem Kubus deö zweiten Theiles. 40 Wenn der zweite Theil des Binoms negativ ist, so sind auch der zweite und vierte Bestandtheil im Kubuö negativ zu nehmen. Beispiele. (üb)? — ul) . ul) — uudl) — (ul>)^ — ul) . ub . ul> — uuul)l)l) u^I)^, (ud)'^ — ul) . ul) . ul) . ul) — auuul)l)l)I> — u^l)^. Ein Produkt wird daher zu einer Potenz erhoben, wenn man j e d e n F a k t o r z u j e n c r P o t e n z erhebt, und diese Potenzen mit einander m n lti p li z ir t. Beispiele. I) (x^)^ — 2) (2x)^— 8x^ 3) (5 uxP ------ 625 (ux)'t ------ 625 i^x^ 4) (lv»do)°----- lvoooo u°l)°t)° 5) (ubo)>o^... 6) (3 um x>)"------. 3. Potenziren eines Ouozienten (Bruches). Man hat Ein Bruch wird daher zu einer Potenz erhoben' wenn man Zähler und Nenner zu derselben PotenZ erhebt, und die Potenz deßZählerö durch diePotenZ des Nenners dividirt. Beispiele. /m -l- w" -l- 2 MI) -p n° -- -- 4l 4. Potcuzirm eurer Potenz. ES ist — k»» . — n" it2 j^2 ^2 ^2 ^8 ___ .^2.4 (S'")2 g"> . g"> — U'^'" zw")^ il"> . iw> . a'" — u^'" Eine Potenz wird also zu einer Potenz erhoben, wenn man die Wurzel zum Produkte der Exponen¬ ten erhebt. Bei sp ie le. l) 3) 5) 7) 9) (i»°? --- u" 2) (3 in? u 2)2 — 9m^n^ 4) . 6) V 4d-n')-V (2t>x2-s-3d^2)3 . 8) /3a'x 7bx' X» V 12 n V (I0u2)^ — 1000 u° /2nx">2 /-4n'x'X V3lsVV (S s- — 6^-)- , (- i) iV. Erheben aufs Quadrat und Ausziehen der Quadratwurzel bet besonderen Zahlen. 8. 36. Das Quadrat einer Zahl wird gefunden, wenn man diese Zahl mit sich selbst multiplizirt. Z. B.: 3052 zo5 X 305 93025, ,2->2 _ 2 L _ « » » (I 25)2 1.25 X I 25 --- 1 5625. Es ist von selbst klar, daß das Quadrat eines Dezimalbruches doppelt soviel Dezimalen enthält, als der gegebene Dizimalbruch, woraus folgt, daß im Quadrate die Dezimalen immer in gerader An¬ zahl Vorkommen müssen. Die Quadrate der einzifferigen Zahlen sind: Quadratwurzel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Quadrat I, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 8l. 42 Wege» der späteren Begründung der Lehre vom Ausziehen der Quadratwurzel soll hier noch ein anderes Verfahren, eine Zahl auss Quadrat zu erheben, entwickelt werden. Um z. B. 47 auss Quadrat zu erhebe», zerlege man diese Zahl in zwei Theile 40-st 7, und bilde das Quadrat »ach der Formel (a-std)2 — Man erhält: 472—(40-s-7)2 —40»-s-2X40X7-s- 72. Um eine dreizifferige Zahl 368 zum Quadrate zu erheben, zer¬ lege man sie ebenfalls in zwei Theile 360-st8, und man hat 3682---(360 Z-8)2---Z6l)2-s-2 x 360 X 8 -s-82; aber nach der früher angeführten Formel ist 3602 — (300-j- 60)2 ---3002 Z-2 X 300 X 60 Z-602 daher, wenn oben statt 3602 Werth gesetzt wird, 3682---3002-f- 2 x 300x60 _st 61)2-st 2 X 360 X 8 Z-82 , oder wenn man diese Bestandtheile unter einander schreibt, 135424. Auf dieselbe Art erhält man auch 5943844. Wenn man die Stellung der Ziffern in den einzelnen Bestand- theilen gehörig berücksichtiget, so können die Nullen beim Anschreiben ganz weggelassen werden; man braucht nur zu bedenken, daß jeder folgende Bestandtheil um eine Null weniger enthält, daher um eine 5943844. 43 AuS diesen und anderen auf ähnliche Weise durchgeführten Bei¬ spielen ergibt sich für das Quadrat einer m e h r z i f f e r i g e n Zahl folgendes Bildungsgesetz: 1. Die erste oder höchste Ziffer der Wurzel gibt ihr eigenes Quadrat. 2. Jede folgende Ziffer gibt im Quadrate zwei Bestandthcile: das Doppelte der ihr vorangehenden Zahl multiplizirt mit dieser Zif¬ fer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Werden alle diese Bestandtheile so unter einander geschrieben, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addirt, so ist die Summe das Quadrat der vorgeleg¬ ten Wurzel. 6) Wie groß ist die Fläche eines Quadrates, dessen jede Seite 3^ s" ist? (Man erhebe die Lange einer Seite aufs Quadrat.) 7) Was kostet ein quadratförmiger Bauplatz, dessen Seite 9" 3^ ist, wenn jede Quadratklaster mit 3S st. 20 kr. bezahlt wird? 37. Das Verfahren, nach welchem aus einer Zahl die Quadratwur¬ zel ausgezogen wird, läßt sich aus dem Gesetze ableiten, nach welchem die Ziffern der Quadratwurzel in dem Quadrate zusammenzestellt er¬ scheinen. Erhebt man z. B. 7342 zum Quadrate, so hat man: 44 S3'90,49i64 Da die erste Wurzelziffer im Quadrate eine oder zwei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen zuwachsen, so enthält das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viel Ziffern, als deren die Wurzel hat, oder um eine we¬ niger. Lheilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Klaffen zu zwei Ziffern, wo sodann die erste Klasse links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Klassen, als die Qua¬ dratwurzel Ziffern enthält. Die einzelnen Ziffern der Quadratwurzel werden nun durch fol¬ gende Betrachtungen ausgcmittelt. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer kommt in der ersten Klaffe vor; man findet daher die erste Ziffer der Quadratwurzel, wenn man die höchste Ziffer nimmt, deren Quadrat in der ersten Klaffe enthalten ist; diese ist 7. Erhebt man die erste Wurzelziffer 7 zum Quadrate, zieht dieses von der ersten Klasse ab, und seht zu dem Reste 4 die zweite Klaffe 90 hinzu, so kommen in der so entstehenden Zahl 490 die Bestand- theile vor, welche die zweite Wurzelziffer hervorbringt, nämlich das Produkt auö ihr und der doppelten ersten Ziffer, und ihr Quadrat, und zwar erstreckt sich das Produkt auö der zweiten und doppelten er¬ sten Wurzelziffer nur biö auf die erste Ziffer in der zweiten Klasse, ist also in 49 enthalten Dividirt man daher die Zahl, welche aus dem früheren Reste und der zweiten Klasse entsteht, mit Ausschluß der letzten Ziffer, nämlich 49, durch das Doppelte der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 14, so erhält man die zweite Wurzelziffer 3. — Wenn dann die Bestandtheile des Quadrates, welche aus dieser zweiten Zif¬ fer der Wurzel hervorgehen, zu bilden sind, so kann man, anstatt zuerst die doppelte erste Wurzelziffcr mit der zweiten, dann diese zweite Wurzelziffer mit sich selbst zu multipliziren, daö zweite Produkt um eine Stelle weiter rechts unter daö erste zu stellen, und hierauf die Addizion zu verrichten, kürzer verfahren, menn man sogleich zu der doppelten ersten Wurzelziffer, d. i. zu dem Divisor 14 die zweite Ziffer anhängt, und die so gebildete Zahl l43 mit der zweiten Wur¬ zelziffer 3 multiplizirt. Man kann nämlich anstatt 2 . 7 . 3 — 14 . 3 — 42 . kürzer 143 . 3 — 429 3- -- 3.3--^' machen. 45 i Wird das Ergebnis; 429 aus der zweiten Wurzel; ffer von dem Reste der ersten zwei Klassen subtrahirt, und zu dem Neste 61 die dritte Klaffe hinzugesetzt, so enthält die dadurch entstehende Zahl 6149 die Bestandtheile, welche die dritte Wurzelziffer im Quadrate hervorbringt, und zwar kommt das Produkt aus dieser Wurzelziffer und dem Doppelten der ihr vorangehenden bereits bekannten Zahl in der Zahl 6149 mit Ausschluß der letzten Ziffer, also in 614 vor. Di- vidirt man daher 614 durch das Doppelte 146 der bereits gefundenen Wurzel, so ist der Quozient die dritte Ziffer der Wurzel. Die Be- standtheile des Quadrates, welche aus dieser neuen Ziffer hervorgehcn, werden gebildet, wenn man zu dem Doppelten der früheren Wurzel¬ ziffern, nämlich zum Divisor 146, die neu gefundene Ziffer anhängt, und diese Zahl 1464 mit der neuen Wurzelziffer 4 multiplizirt. Zieht man dieses Produkt 5856 von dem früheren Dividende mit Einschluß der letzten Ziffer ab, setzt zu dem Reste 293 die nächst- folgende Klaffe hinzu, und dividirt die dadurch entstehende Zahl mit Hinweglassung der letzten Ziffer, also 2936, durch das Doppelte der bereits entwickelten Wurzel, nämlich durch 2x734 — 1468, so er¬ hält man die vierte Wurzelziffer 2. Die ganze Rechnung wird demnach so stehen: ^/53^9 ch4 9,6 4 --- 7342 49 2 X 7 — 14 49 0 : 143 X 3 42^9 2 X 73 — 146 "6 14 9 : 1464 x 4 S 85 6 2 X 734 --- 1468 2 93 6 4 : 14682 X 2 2 93 6 4 Man kann das Produkt aus dem jedesmaligen Divisor, nach¬ dem man ihm die neu gefundene Ziffer anhängt,tund aus dieser neuen Ziffer sogleich während des Multiplizirens von dem Dividende abzic- hen. Die Rechnung sicht dann: v/53j9ch4 9j6 4 — 4 9 0 : 6 149 : 29 36,4 : 7312 143 X 3 1464 X 4 14682 X 2. AuS diesen und anderen Beispielen, an denen man die hier ge¬ machten Folgerungen durchführt, ergibt sich für das Ausziehen der Q u a d ratwur z cl folgendes Verfahren: I. Man thcilc die Zahl, von den Einheiten angefangen, in Klas¬ sen zu zwei Ziffern; die erste Klasse zur Linken kann auch nur eine Ziffer enthalten. Bei einem Dezimalbruchc geschieht die Einthcilung der Ganzen vom Dezimalpunkte gegen die Linke, und die Eintheilung 46 der Dezimulen vom Dezimalpunkte gegen die Rechte; wenn in den Dezimalen die letzte Klaffe rechts nur ei ie Ziffer enthalten sollte, so wird, damit die Anzahl der Dezimalen eine gerade werde, eine Null angehängt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Quadrat in der ersten Klasse zur Linken enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Diese Ziffer wird zum Quadrat erhoben, und dasselbe von der ersten Klasse subtrahirt. 3. Die folgenden Ziffern der Quadratwurzel werden durch die Division gefunden. Man setze nämlich zu dem Reste die nächstfolgende Klaffe hinzu; diese Zahl, mit Hinweglassung der letzten Ziffer, ist der Dividend. Den Divisor findet man, wenn man den bereits gefunde¬ nen Theik der Wurzel mit 2 multiplizirt. Nun wird dividjrt, und der Quozient als eine neue Ziffer in die Wurzel, und zugleich zu dem Di¬ visor geschrieben. 4. Der so veränderte Divisor wird dann mit der neu gefun¬ denen Ziffer der Wurzel multiplizirt, und das Produkt von dem Di¬ vidende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer sogleich wäh¬ rend der Multiplikazion selbst abgezogen. Läßt sich dieses Produkt nicht abziehen, so ist die neue Ziffer der Wurzel zu groß; man muß sie da¬ her nach und nach kleiner nehmen, bis man subtrahiren kann. 5. Zu dem Reste setze man wieder die nächste Klasse hinzu, und wiederhole dasselbe Verfahren wie früher, bis man alle Zifferklaffen heruntergesetzt hat. Findet man 0 als eine Ziffer der Wurzel, so kann man, ohne zu multipliziren und abzuziehen, sogleich die nächste Klasse herabsetzen, nur muß diese Null sowohl in die Wurzel als zu dem Di¬ visor geschrieben werden. 6. Enthält das Quadrat Dezimalklassen, so setzt man in der Wurzel den Dezimalpunkt, bevor man die erste Klasse von Dezimalen in Rechnung zieht. 7. Bleibt zuletzt kein Nest, so hat man die Quadratwurzel voll¬ ständig gefunden, und die vorgelegte Zahl ist ein vollkommenes Qua¬ drat. Bleibt aber am Ende ein Rest, so ist die Wurzel nicht vollkom¬ men genau; sie kann jedoch mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezi¬ malen bestimmt werden, indem man nämlich jedem Neste eine Klasse von zwei Nullen anhängt, und übrigens so wie vorhin vorfährt. Beispiele. 1) ^/3j7 6§3 6 --- 194 2 7,6 : 29 X 9 l 5 3,6 : 384 X 4 2) ^/34^8 6^7 8^4 4P k ---- 59Ü49 9 8,6 : 109 X 9 'S 7,8 4,4 ; II804 X4 ,0 6 2 8 0,1 : 118089 X 9 47 3) ^/3jl 5 — 17-7182 . . , 2 15 : 27 X 7 2 60,0 : 347 X 7 l'7I0,0 : 3544 X 4 292 40.0 : 35488 X 8 8 49 60,0 354962 x 2 I 39 67 6 4) v/'?!? 6'6 2,2 5 — 42-15 17,6 : 82 1 2 6 2 : 841 4 2 1 2,5 : 8425 5) ^5j74-3 1^7 8^Ig — 23-9857 . . . I 7 4 : 43 453.1 : 469 4107.8 : 4788 2 77 41.0 : 47965 37 58'50,0 : 479707 4 00 55,1 8 - V " - " 6 5,0 : ,83 10 10,0 : 1865 77 50,0 : 18704 2 68 40,0 : 187081 81 31 90,0 : 1870824 64 87 04 Soll die Quadratwurzel sehr viele Dezimalstellen enthalten, so kann die Arbeit bedeutend abgekürzt werden. Nachdem man nämlich um eine Ziffer mehr als die halbe Anzahl der Wurzelziffern nach dem gewöhnlichen Versahren gefunden hat, läßt man, anstatt zu dem Reste eine neue Klaffe anzuhängen, in dem neuen Divisor die letzte Ziffer weg, und entwickelt die folgenden Wurzelziffern mittelst der abgekürz¬ ten Division. Z. B. 7) Um die Quadratwurzel aus 7-3891 in 7 Dezimalen zu er¬ halten , so hat man vollständig >/7-3 8j9 l ---- 2-7182899 . . . 3 3 8' : 47 99,1 : 541 45 00,0 : 5428 1 57 60.0! : 54362 48 87 6^0.0 : 543648 5 38 4 1 60.0 : 5436569 49 1 2 47 90,0 : 54365789 1 9 55 79 9 48 abgekürzt >/7-38j9l --- 2 7182899 . . 3 38 : 47 991 : 541 45000 : 5428 157600 : 54362 48876 : 54,3,6,4 5385 492 3 8)/1'5 7182^35^0 -- 5,7 I 38,2 : 1573,5 : 69 92,0 : 19 67,6 : 2 089 7 9 4 9) >/582169 ? I I) >/0'000256 --- ? 13) v/321 --- ? 15) x/3 52 --- ? i7) /izz -- ? 1'2562783 . . 22 245 2506 25122 15 1,2 4 10) >/6849-2176 ----- ? 12) >/0'0144144036 ----- ? 14) >/235689 ---- ? 16) >/0-35821 ----- ? 18) >/U - ? 19) Eine quadratformigc Wiese hat einen Flachenraum von 1201^" 28^; wie groß ist die Länge einer Seite? Um aus dem Flächeninhalte eines Quadrates die Länge ei¬ ner Seite zu finden, muß man auö dem Flächeninhalte die Quadratwurzel ausziehen. 2201^0 28^' ----- 432640- >/43264 — 208' — 34°4<. 20) Die Fläche eines Quadrates ist 20" 150- 16^"; wie groß ist eine Seite? — 1° 3- 4--. 21) Wie groß ist die Seite eines Quadrates, welches so groß ist, als drei Quadrate zusammengenommcn, deren Seiten 1- 4", 2- I", 2- 3-- sind? 22) Ein Haus, dessen Grundfläche die Form eines Rechteckes hat, ist 12" 5^ lang und 8° 4- breit; wie groß ist die Entfernung zweier entgegengesetzter Ecken deö Hauses? — Die Länge und die Breite des Hauses kann man als Katheten eines rechtwinkeligen Dreieckes betrachten, dessen Hypothenuse dann die Entfernung zweier ent¬ gegengesetzter Ecken ist. Wenn aber in einem rechtwinketigcn Dreiecke die beiden Katheten gegeben sind, so findet man die Hy¬ pothenuse, wenn man jede Kathete zum Quadrate erhebt, diese Quadrate addirl, und aus der Summe die Quadratwurzel auszieht. 49 Länge -- 12° 5' --- 77't . 77- --- 5929 Breite --- 8° 4' --- 52H^ - 25- 2704 Hypoth. — ^/8633---92-91'--- — 15°2'11". 23) Wie lang muß eine Leiter sein, damit sie bei einem Gebäude 2°2' hoch hinaufreiche, wenn sie unten l°2' weit vom Gebäude aufgestellt werden soll? 24) Eine Thür, welche 7-2' hoch und 4-5' breit ist, soll mit Kreuz¬ bug versehen werden; wie lang muß ein Kreuzbug werden? 25) Der Boden eines Zimmers ist 5° 8' 4" lang und 4° i' 8" breit; der Boden eines anderen Zimmers hat den gleichen Flä¬ cheninhalt, aber die Form eines Quadrates; wie groß ist eine Seite desselben? 26) Wie groß ist der Halbmesser einesKreises, dessen Fläche 3^'52^" enthält? — 1' io". Hier muß man den Flächeninhalt durch 3 1416 dividiren, und aus dem Quozienten die Quadratwurzel ausziehen. 27) Jemand will eine Scheibe machen, welche 2^' 39^" enthalten soll; wie groß wird er den Halbmesser dazu nehmen? V. Erheben auf den K u b u s u n d Ausziehen der Kubikwurzel bei besonderen Zahlen §. 38. Um eine Zahl zum Kubus zu erheben, darf man dieselbe nur dreimal alö Faktor setzen. Z. B.-. 738° — 738 X 738 X 738 — 401947272 _ 72S IS I« 16 - 4096 7-02°--- 7.02 X 7-02 X 7-02 --- 345 948408. Aus dem dritten Beispiele ist ersichtlich, daß der Kubus eines Dezimalbruches dreimal so viel Dezimalen enthalten müsse, als der gegebene Dezimalbruch, daß somit in einem vollständigen Kubus die Anzahl der Dezimalen immer ein Vielfaches von 3 ist. Die dritten Potenzen der einzifferigen Zahlen sind: Kubikwurzel: I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; Kubus: I, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Um später die Lehre vom Ausziehen der Kubikwurzel begründen zu können, soll hier ein zweites Verfahren, eine Zahl zum Kubus zu erbeben, abgeleitet, und dabei die Formel (u st)« --- g° -st 3g-k -st 3ut>- -st b° zu Grunde gelegt werden. Monik, Arithmetik, 2. Akth. 3. Auff. 4 ZO Um z. B. 57 nach dieser Formel auf den Kubus zu erheben, hat man 57» -- (LO -j- 7)»--- 50» -ss 3 X 50» X 7 -s- 3 X 50 X -s- Ist eine dreizifferige Zahl 429 zum Kubus zu zerlegen, so zer¬ lege man sie zuerst in zwei Theile, 420 und 9, und man hat nach der obigen Formel 429»--(420 -j-9)»-- 420»-s- 3 x 420»x9-s-3x420x9»-s-9»; aber nach derselben Formel ist 420» -- (400 -s- 204» — 400» -s- 3 X 100»X 20 Z- 3 X 400 X 20» -s- 20»; daher, wenn oben statt 420» dieser Werth gesetzt wird, 429» — 400» -s- 3 X 400» X 20 -j- 3 X 400 X 20» -s- 20» -s- 3 X 420» X 9 -s- 3 X 420 X 9» -j- 9» ; oder wenn man die einzelnen Bestandtheile unter einander schreibt und wirklich entwickelt, Eben so erhält man auch 2116874304^ Die Nullen kann man beim Anschreiben der einzelnen Bestand- theile auch ganz weglassen, nur muß jeder folgende Bestandtheil um eine Stelle weiter rechts hinaus gerückt werden. Mit Uebergehung der Nullen stellen sich die zwei letzten Beispiele so heraus: 51 429° 4° . . . 3 X 4^ x 2 . . . 3 X 4 X 22 . . . 2° . . . 3 X 422 x S 3 X 42 X 92 . . . 9° . . . 64. 96. 48. 8. 47628. 10206 - 729 Aus diesen Beispielen ergibt sich für die BildungdesKu- bus einer mehrzifferigen Zahl folgendes Verfahren: 1. Man nehme den Kubus der ersten Ziffer der Wurzel. 2. Von jeder folgenden Wurzelziffer bilde man drei Bestandtheile, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl, multipli- zirt mit dieser Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multiplizirt mit dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Kubus. 3. Diese Bestandtheile werden in der Ordnung so unter einander geschrieben, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint und dann addirt. I) 3915° 3° 3 X 32 X 9 3 X 3 X 92 9° 3 X 392 x I 3 X 39 X I* 1° 3 X 3912 x 5 3 X 391 X 52 5° B ei spie le. 27. 243. 729. 729 . 4536. 117 . I. 2293215. 29325 . 125 4 * 60006085875 52 2) 2-1806» 2» . 3 X 2- X I 3 X 2 X 1» 3 X 21- X 8 3 X 21 X 8? 8» 3 X 2180? X 6 3 X 2180 X 6" 6» . . 8. . . 12. 6 . I. . . 10584. . . 4032. . . 512... . . 85543200. . . 235440. 216 10368788674616 3) 237» ----- ? 4) 17-83» ----- ? 5) 0 081052» ---- ? 6) Wie groß ist der Körperinhalt eines Würfels, dessen Seite 2^ 8^ beträgt? (Man erhebe die Lange der Seite zum Kubus) 7) Die Seite eines Quadersteines ist 1-74Z wie groß ist der Ku¬ bikinhalt? 8. 39. Bei der Entwickelung des Verfahrens für das Ausziehen der Ku¬ bikwurzel wird es am zweckmäßigsten sein, in Betrachtung zu ziehen, wie im Kubus die Bestandtheile der Kubikwurzel zusammengestellt er¬ scheinen, um sie beim WurzclauSzieheu wieder gehörig aus einander nehmen zu können. Erhebt man zu diesem Ende z. B. 4567 zum Kubus, so hat man 4567» 95^256,152s263 Indem die erste Wurzelziffer im Kubus eine, zwei oder drei Stellen gibt, und wegen jeder folgenden Wurzelziffer im Kubus im¬ mer drei Stellen zuwachsen, so enthält der Kubus einer Zahl immer entweder dreimal so viel Ziffern als deren die Kubikwurzel hat, oder um eine oder zwei weniger. Theilt man daher den Kubus, von der Rechten angefangen, in Klaffen zu drei Ziffern, wo die erste Klaffe zur Linken auch nur eine oder zwei Ziffern enthalten kann, so hat man so viele Klassen, als die Kubikwurzel Ziffern enthält. 53 Um die einzelnen Ziffern der Kubikwurzel auszumitteln, werden folgende Betrachtungen verhilflich sein. Der Kubus der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Klasse ent¬ halten; die erste Ziffer der Kubikwurzel wird daher gefunden, wenn man die höchste Ziffer nimmt, deren Kubus in der ersten Klasse vor¬ kommt; in 95 ist der Kubus von 4, nämlich 64 enthalten; die erste Wurzelziffer ist demnach 4. Wird der Kubus der ersten Wurzelziffer von der ersten Klaffe abgezogen, und zu dem Reste 31 die zweite Klaffe herabgesetzt, so ent¬ hält diese Zahl 31256 die drei Bestandtheile, welche aus der zweiten Wurzelziffer hervorgehen, nämlich das dreifache Quadrat der ersten Ziffer multiplizirt mit der zweiten, die dreifache erste Ziffer multipli- zirt mit dem Quadrate der zweiten, und den Kubus der zweiten Ziffer, jeden Bestandtheil um eine Stelle weiter gegen die Rechte gerückt, und zwar erstreckt sich das dreifache Quadrat der ersten Wurzelziffer multiplizirt mit der zweiten nur auf die erste Ziffer in der zweiten Klasse. Wird daher 31256 mit Hinweglassung der zwei letzten Ziffern durch das dreifache Quadrat der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 48, dividirt, so erhält man die zweite Wurzelziffer 5. Entwickelt man die drei Bestandtheile, welche diese neue Wur¬ zelziffer im Kubus hervorbringt, und rückt jeden derselben um eine Stelle weiter gegen die Rechte, subtrahirt dann diese drei Zahlen von dem Reste der ersten zwei Klaffen, und setzt zu dem neuen Reste 4131 die dritte Klasse hinzu, so muß die so gebildete Zahl 4I3II52 die drei Bestandtheile enthalten, welche die dritte Wurzelziffer im Kubus hervorbringt, und zwar kommt das dreifache Quadrat der ersten zwei Ziffern, als Zahl betrachtet, multiplizirt mit der dritten Wurzelziffer, in jener Zahl, mit Ausschluß der letzten zwei Ziffern, also in 41311, vor. Dividirt man dahr 41311 durch das dreifache Quadrat derZahl, welche die ersten zwei Wurzelziffern bilden, nämlich durch 6075, so erhält man 6 als die dritte Wurzelziffer. Bildet man nun die drei Bestandtheile, welche diese neue Wur¬ zelziffer hervorbringt, indem man jeden derselben um eine Stelle wei¬ ter rechts rückt, subtrahirt dieselben von dem Reste der ersten drei Klas¬ sen, und setzt zu dem neuen Reste 437336 die vierte Klaffe herab, so ist in dieser Zahl 437336263, mit Hinweglassung der beiden letzten Ziffern, also in 4373362 das dreifache Quadrat aus den ersten drei Ziffern der Wurzel, als Zahl betrachtet, multiplizirt mit der vierten Wurzelziffer enthalten. Wird daher 4373362 durch das dreifache Qua¬ drat der ersten drei Ziffern, nämlich durch 623808, dividirt, so erhält man die vierte Wurzclziffer 7. Die ganze Rechnung steht: 54 z v/95,256! 152,263 ---- 4567 Beim Ausziehen der Kubikwurzel ist dem Vorher¬ gehenden gemäß folgendes Verfahren anzuwenden: 1. Man theile die Zahl, von den Einheiten angefangen, gegen die Linke in Klaffen zu drei Ziffern; die erste Klasse zur Linken kann auch nur eine oder zwei Ziffern enthalten. Kommen in der gegebenen Zahl auch Dezimalen vor, so werden diese, vom Dezimalpunkte ange¬ fangen, gegen die Rechte hin in Klassen eingetheilt; hat die letzte De¬ zimalklasse zur Rechten weniger als drei Ziffern, so werden die fehlen¬ den durch Nullen ergänzt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Kubus in der ersten Klaffe zur Linken enthalten ist, und schreibe sie als die erste Ziffer der Wur¬ zel an. Diese Ziffer wird zum KubuS erhoben, und derselbe von der ersten Klaffe abgezogen. 3. Die folgenden Ziffern der Kubikwurzel werden durch die Di¬ vision gefunden: Setzt man zu dem letzten Reste die nächstfolgende Klasse hinzu, so bildet diese Zahl nach Ausschluß der zwei letzten Zif¬ fern rechts den Dividend; der Divisor ist das dreifache Quadrat des bereits gefundenen TheileS der Kubikwurzel. Der Quozient wird als eine neue Ziffer in die Wurzel geschrieben. 4. Man bildet die Bestandtheile, welche diese neue Ziffer im Ku- bus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehen¬ den Zahl multiplizirt mit dieser Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multiplizirt mit dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren eigenen Kubus, schreibt den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden fol¬ genden aber um eine Stelle weiter rechts darunter, und subtrahirt die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Dividende mit Zu¬ ziehung der früher weggelassencn zwei Ziffern. Läßt sich diese Summe nicht abziehen, so ist die neue Ziffer der Wurzel zu groß; man muß sie daher nach und nach kleiner nehmen, bis man subtrahiren kann. 55 Z. Zu dem Reste setzt man wieder die nächste Klasse hinzu, und wiederhole dasselbe Verfahren, wie früher, bis man alle Zifferklassen hcruntergesetzt hat. Findet man o als eine Ziffer der Wurzel, so kann man, ohne die drei Bestandtheile zu entwickeln und abzuziehen, sogleich die nächste Klasse hcrabsetzen, nur muß man in die Wurzel eine und zu dem Divisor zwei Nullen schreiben. 6. Kommen in der vorgclegten Zahl Dezimalklassen vor, so setzt man in die Wurzel den Dezimalpunkt, bevor man die erste Klasse von Dezimalen in Rechnung zieht. 7. Bleibt zuletzt kein Rest, so hat man die Kubikwurzel vollstän¬ dig gefunden, und die gegebene Zahl ist ein vollkommener Kubus. Bleikck aber am Ende ein Rest, so ist die Kubikwurzel nicht vollkom- men genau; sic kann jedoch mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezi¬ malen bestimmt werden, indem man nämlich jedem Reste eine Klasse von drei Nullen anhängt, und übrigens wie vorhin verfährt. I) ^/I4ss608 ----- 52 125 15 6 08 : 75 15 0 60 8 Beispiele. 2) ^>3ss5 17^5 78jl 25 ----- 3125 27 : 27 -Z 5.17 2 7 S 1 7 26 5,78 2883 5 76 6 3 7 2 8 1 46 2 50 1.25 : 2S2032 I 46 0 16 0 2 34 0 0 1 25 56 3) ^/7j8 24 --- 19-852 . . . I 6X24 : 3 2 7 2 4 3 7 29 9 650.00 : 1083 8664 364 8 5 12 616 080,00 : 1I76I2 588 060 I 485 O 1 25 26 533 750,00 : 1 1820675 23 641 350 2 382 0 8 8 2 890 0^792 4) v/242 9 70^624 — 6 24 216 26 » 70 21 6' 7 2 8 4 6 42 6,24 : 11532 4 6 12 8 29 7 6 64 S) >/S^ -- ^/5 187^5 o» -- 1731 . 1 H.87 : 3 2 1 I 47 3 43 2 74 5,00 867 2 60 1 4 5 9 27 9 7 830,00 : 89787 8 9 787 51 9 I 7991 09 57 3 6) x/v.000j07„ — O 0412 . . . 64 7) S) II) 13) 15) 17) 18) 19) 20) 21) 22) Kubikzoll beträgt? — 76". Um aus dem Körperinhalte eines Würfels die Länge einer Seite zu finden, zieht man aus dem Körperinhalte die Kubik¬ wurzel. Der Inhalt eines Würfels beträgt 4 Kub/ 237 Kub."; wie lang ist eine Seite desselben? — 1/ 7" 3"'. Wie lang ist die Seite eines Würfels, welcher so viel Raum enthält, als zwei Würfel zusammen, deren Seiten 2^ 5" und 1' 8" sind? Ein Kupferschmied hat einen würfelförmigen Kessel zu verfertigen, der 5 Eimer 18 Maß fassen soll, wie lang muß eine Seite des¬ selben werden, wenn 1 Eimer i 792 Kubikfuß enthält? Wie groß ist der Durchmesser einer Kugel, deren Kubikinhalt 25 Kub? 1402 Kub." beträgt? Man multiplizire den Körperinhalt mit i 9099, und ziehe aus dem Produkte die Kubikwurzel aus. Eine messingene Kugel wiegt 4 Pfund; wie groß ist der Durch¬ messer derselben, wenn ein Kubikzoll Messing 8^ Loth wiegt? Vierter Abschnitt. Die K v mbina zionslehre § 40. Die K o m b i n azi o n sle hr e beschäftigt sich im Allgemeinen mit der verschiedenen Anordnung und Zusammenstellung gegebener Größen. Jede solche gegebene Größe heißt ein Element, und jede Verbindung mehrerer Elemente eine Gruppe oder Komplerion. Bei der Kombinazionslehre kommen zweiHauptaufgaben in Betrachtung. Es kann verlangt werden, daß man alle verschiedenen Stellun. gen angibt, in die eine bestimmte Anzahl Elemente gebracht werden kann, wobei jede Komplerion alle gegebenen Elemente enthalten soll. So geben die drei Buchstaben g, b, o sechs verschiedene Stellungen, nbo, aob, bao, doa, oul>, obu. Man nennt diese Versetzung der Elemente das Permutiren. Es kann ferner verlangt werden, daß man auS einer gegebenen Anzahl von Elementen alle Verbindungen zu zwei, zu drei, zu vier, . . . Elementen bilde, wobei übrigens auf die Stellung der Elemente keine Rücksicht genommen wird. Ein solches Verbinden von gegebenen Elementen nennt man das K o m b i n i r e n. Die Verbindungen zu zwei Elementen heißen Amben oder Kombinazionender zweiten Klasse, jene zu drei Elementen Lernen oder Ko m b in az i o n e n der d ritten Klasse, zu vier Elementen Q uater n e n oder K o nu¬ tz i n a z i o n e n der vierten Klasse u. f w. Die vier Buchsta¬ be« s, b, o, geben sechs Amben ab, ao, sci, ho, bä, oci; vier Ler¬ nen allo, adä, uoci, bocl; und eine Quaterne aboä. Sowohl bei den Versetzungen als bei den Verbindungen kommt es auf zwei Sachen an, auf die w irk l i ch e B i l du n g der ver¬ langten Gruppen, und auf die Bestimmung ihrer Anzahl. Die einzelnen Elemente pflegt man entweder mit den in natür¬ licher Ordnung auseinander folgenden Zahlen, welche Zeiger hei¬ ßen, oder mit Buchstaben zu bezeichnen. 59 Eine Gruppe von Elementen heißt gut geordnet, wenn der niederste Zeiger die erste Stelle einnimmt, hierauf ein immer höherer Zeiger folgt, und der höchste am letzten Platze vorkommt, z. B. 123, 134; dagegen ist 132 nicht gut geordnet. Von zwei Komplerionen, welche eine gleiche Anzahl Zeiger enthalten, heißt jene die höhere, welche als Zahl ausgesprochen einen höheren Werth hat; z B. die Gruppe 132 ist höher als 123, eben so 234 höher als 124. Bei Buchstaben sieht man diejenigen als mit einem höheren Zei¬ ger behaftet an, welche im Alphabete spater vorkommen; es ist dem¬ nach die Komplerion adoll gut geordnet, nobll dagegen nicht; fer¬ ner stellt avdll eine höhere Komplerion vor als ab oll. I. Pe rmutazionen. 8. 41. I. Um von mehreren gegebenen Elementen alle m ög l ich e n P e rm u t a z i o n e n zu bilden, schreibe man die Ele¬ mente zuerst gut geordnet hin; von dieser niedrigsten Komplevion übergehe man zu der nächst höheren, indem man nur die zwei letzten Elemente ihre Platze wechseln laßt; da in der Stellung der letzten zwei Elemente keine weitere Aend,rung mehr vorgenommen werden kann, so wird an die Stelle des dritten Elementes von rückwärts das nächst höhere Element gesetzt, dem man die andern zwei Elemente wieder gut geordnet folgen läßt; sodann verwechselt man von Neuem die zwei letzten Elemente. Auf diese Weise geht man von der jedes¬ maligen Komplerion zu der nächsthöheren über, bis man zur höchsten kommt, welche daran erkannt wird, daß darin die Elemente in Ver¬ gleich gegen die erste Gruppe gerade in umgekehrter Ordnung vor¬ kommen. Z. B.: Das nämliche Verfahren gilt auch, wenn unter den Elementen, die man zu permutiren hat, mehrere einander gleich sind. Z. B.: 60 2. Aus der Art, wie die Permutazionen gebildet werden, läßt sich leicht auch ihre Anzahl bestimmen. Es soll zuerst der Fall betrachtet werden, wo die gegebenen Elemente unter einander verschieden sind. Bei einem Elemente a ist nur eine Stellung möglich. Zwei Elemente a und b lassen zwei Stellungen zu, nämlich ab und b a. Von drei Elementen a, b, v kann jedes 2mal am ersten Platze stehen, während die anderen zwei permutirt nachfolgen; daher es 2x3 — 6 verschiedene Stellungen gibt. Bei vier Elementen a, b, o, ä kann jedes so ost am ersten Platze stehen, als wie oft sich die anderen drei nachfolgenden Elemente ver¬ setzen lassen, somit 6mal; man hat daher 6 Permutazionen, wo a die erste Stelle einnimmt, eben so viele, wo b, wo o, wo ei am er¬ sten Platze stehet; also zusammen 6 x 4 — 24 verschiedene Stell langen. Eben so überzeugt man sich, daß 5 Elemente 24 . 5 — 120 Permutazionen geben. Drückt man die Anzahl aller Permutazionen von n verschiede¬ nen Elementen durch (Permutazionszahl von n) aus, so ist nach dem Vorhergehenden k>, — l --- 2 — l . 2 . 3 --- I . 2 . 3 Iss, --- . 4 --- I . 2 . 3 . 4 I'z --- . 5 --- I . 2 . 3 . 4 . ö daher allgemein — I . 2 . 3 . 4 . . . . (N —- 4) . ll. Die Permutazionszahl einer gegebenen Anzahl von verschiedenen Elementen ist also gleichdem Pro¬ dukte aus der Reihe der natürlichen Zahlen von 4 61 b i § zu d er Z a hl, welche die A n z a hl d er Ele m e n t e an- gibt. Das Produkt i , 2 . 3 . 4 . . . . (n — i) . n pflegt man durch das Symbol n! außzudrücken ; daher 2 !,?z-- 3!, 4!.?..--»! 8- 43. Kleiner fällt die Anzahl der möglichen Permutazionen aus, wenn mehrere gleiche Elemente vorkommen. Es seien z. B. die Permutazionszahl der Elemente a, b, b, b, o zu bestimmen. Versieht man die drei gleichen Elemente I) mit Zeigern und betrachtet g, I),, bz, c als ganz verschiedene Elemente, so wäre die Anzahl der Permutazionen 5! ----- 120. Denkt man sich diese Permutazionen wirklich gebildet, so wird man sehen, daß es immer mehrere Komplerionen gibt, in denen u und o dieselbe Stelle einneh¬ men , und die sich nur durch die verschiedene Stellung von b, b-r unterscheiden, und zwar gibt es, da b, b? b» nach dem Vorhergehen den 3! — 6 verschiedene Stellungen zulassen, für jede Stellung von n und o immer 6 Permutazionen, welche sich durch die bloße Versetzung der mit Zeigern versehenen Elemente unterscheiden; so hat man z. B. folgende Permutazionen, wo n am ersten und o am dritten Platze vorkommt. 1 . 2 . I . 4 . I . 2 . 3 ul), ebz bz , ab, ebz 1)2, ril»2 ob, I)z, ul>2 obz !), , sbz os)^ l>2, ubz i),. Läßt man hier die Zeiger weg, d. h. betrachtet man die drei l, wieder als gleiche Elemente, so werden alle diese 6 Permutazionen in eine einzige ubebb übergehen. Auf dieselbe Art werden von den 120 Permutazionen, sobald man die Zeiger beseitiget, je 6 gleich werden und somit auf eine einzige zurückgeführt. Man muß also die Permuta¬ zionszahl aller Elemente durch die Permutazionszahl der gleichen Ele¬ mente dividiren; die Anzahl aller verschiedenen Permutazionen der 5' 120 Elemente ubblw ist demnach ----- — 20. Ausgleiche Weise überzeugt man sich, daß die Elemente nlMbo 6 k 1 2 3 4 5 6 ' j, '' ----- 30 verschiedene Permutazionen geben. Würden unter io gleichen Elementen nebst 4 gleichen auch noch andere 3 gleiche Elemente vorkommen, so müßte man aus ähnlichen Gründen die Permutazionszahl — wegen der 3 gleichen Elemente noch durch 3! dividiren; die Anzahl aller verschiedenen Permulazio- nen wäre daher4.56 . 7.8.9.10 — 25200 4! 3! 62 §. 44. Beisp j e le. 1) Wie oft können 6 Gäste ihre Plähe am Tische wechseln, bis sie in allen möglichen Ordnungen gesessen sind? 6!— 1.2. 3. 4. 5. 6 — 720mal. 2) Wie vielmal können die 24 Buchstaben des Alphabets verseht werden? 24! ----- 620 448 401 733 239 439 360 voomal. 3) Wie viel verschiedene Stellungen geben eine weiße, zwei blaue und drei rothe Kugeln? 6! 1.2 3.4 5.6 - --- -— 60. 2!3! 1-2.12.3 4) Auf wie viele Arten lassen sich fünf Fächer mit drei verschiedenen Kugeln, deren eine weiß, die andere gelb, die dritte roth ist, be¬ sehen ? Es werden immer drei Fächer mit Kugeln besetzt, während zwei Fächer leer bleiben; denkt man sich die zwei leeren Fä¬ cher mit o besetzt, so hat man 5 Elemente, unter denen 0 zweimal vorkommt; daher gibt öS ----- i — go Urten der Besetzung. 5) Wie oft lassen sich die Faktoren der Produkte sbvüok, s-bo ------ sabo, s^ocl, g"—" d- permutiren? U. Kombinazionen. §. 45. Man unterscheidet Kombinazionen ohne und mit Wieder¬ holungen, je nachdem dasselbe Element in einer Komplerion nur einmal oder auch mehrmal Vorkommen darf. I. Bei der Bildung der Kombinazionen geht man, wie beim Permutiren, stets von niedrigeren Komplerionen zu höhe¬ ren über. Um aus mehreren gegebenen Elementen alle Amben ohne Wie¬ derholungen zu bilden, verbindet man jedes Element mit allen nach. üe. 63 Um die Lernen ohne Wiederholungen zu erhalten, verbindet man jede Ambe mit allen nachfolgenden Elementen. Z. B.: 123, 124; 134; gkc, gbch alxr; uoä, uoo: g(le; 234. beä, boo; bäo; oll 6. Ausgleiche Weife geschieht die Bildung der Quaternen, Quin- ternen, . . . ohne Wiederholungen. Will man aus mehreren gegebenen Elementen alle Amben mit Wiederholungen bilden, so verbinde man jedes Element mit sich selbst, und mit allen nachfolgenden Elementen. Z. B. Die Lernen mit Wiederholungen erhält man, wenn man jede Ambe mit Wiederholungen zuerst mit dem höchsten darin vorkommen¬ den Elemente, und dann mit allen nachfolgenden Elementen ver¬ bindet. Z. B.: III, 112, 113, 114; 122, 123, 124; 133, 134 ; 134; 222, 223, 224; 233, 234; 244 ; 333, 334; 344 ; 444. Nach denselben Grundsätzen werden auch die Quaternen, Quin- ternen, . . . mit Wiederholungen gebildet. §. 46. 2. Die Anzahl der verschiedenen Kombinazionen aus mehreren gegebenen Elementen ergibt sich aus folgenden Betrach¬ tungen. Sind z. B. fünf Elemente », I>, c, ä. o gegeben, so erhält man sicher alle Amben ohne Wiederholungen, wenn man zuerst das Element a mit allen übrigen Elementen verbindet, dann eben so mit k und den noch folgenden Elementen verfährt. Man erhält, wenn man die aus jedem Elemente hervorgehenden Amben in eine Reihe schreibt: Offenbar hat man hier so viele Reihen, als Elemente da sind, nämlich 5; und in jeder Reihe eine Ambe weniger als man Elemente zu verbinden hat, somit 4; die Anzahl aller Amben ist also 5x4 Allein jede Ambe kommt zweimal vor; z. B. die Ambe b o, indem 64 man b mit e, und indem man o mit ll verbindet; daher gibt es nur —— — IS verschiedene Amben. Wären n Elemente gegeben, so hätte man n Reihen, und in jeder Reihe n — i Amben, zusammen n (n — i); da aber darunter immer zwei gleiche vorkommen, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben n (a-1) ""i . 2 ' Es ist ferner gewiß, daß man alle Lernen ohne Wiederholungen erhalten wird, wenn man jede Ambe mit allen Elementen verbindet, nur mit den zwei Elementen nicht, Man hat somit: Ambe ab gibt sbo, ab6, abo; „ ao „ abo, aoü, so«; „ ad „ abch aod, ade; ,/ »o „ sbs, »06, »de; „ Im „ »bo, ded, boo ; welche in der Ambe vorkommen Ambe bd gibt abd, bod, bdo; „ 1)6 „ »bk, boo, bde; „ od „ soä, doll, ods; „ 06 /, »oo, Koo, ode; ff de „ »de, bde, ode. Hier sind so viele Reihen, als früher Amben da waren, also - -7-- io, und in jeder Reihe zwei Lernen weniger, als Elemente zu kombiniren sind, nämlich 3; zusammen also Lernen, Allein jede Lerne kommt dreimal vor; folglich ist die letzte Zahl noch durch 3 zu dividiren, und inan hat ,o verschiedene Ler¬ nen. Für n Elemente hätte man ' '''"Z Lernen. Eben so überzeugt man sich, daß bei « Elementen die Anzahl aller Quaternen --- " l" D 2) (n - 3) 1.2.3. 4 „ „ „ Quinternen -- " - 0 (» - 2) (,.-3) ( ,> - 4) 1.2. 3 4 . 5 U. s. w. ist. Das Gesetz, welches in diesen Zahlen herrscht, ist leicht zu Über¬ blicken. Die Anzahl der Kombinazioncn irgend einer Klasse ohne Wie¬ derholungen läßt sich nämlich durch einen Bruch darstellen, worin so¬ wohl der Zähler als der Nenner so viele Faktoren enthalt, als Ele¬ mente in einer Kombinazion vorkommen ; der erste Faktor im Zähler ist gleich der Anzahl aller Elemente, jeder folgende um l kleiner; der Nenner ist die natürliche Reihe der Faktoren von i bis zu der Zahl welche die Anzahl Elemente in einer Kombinazion ausdrückt. 8. 47. Auf ähnlichen Betrachtungen beruhet auch die Bestimmung der Zahl der Kvmbinazionen mit Wiederholungen. 65 Hat man wieder z. B. fünf Elemente a, b, o, 6, 6, so wird man gewiß alle Amben mit Wiederholungen erhalten, wenn man jedes Element mit sich selbst, und dann noch mit allen Elementen, auch sich selbst nicht ausgenommen, verbindet. Schreibt man die Amben, die aus einer solchen Verbindung ei¬ nes jeden Elementes hervorgehen, in eine Reihe, so hat man ; u gibt so, an, M, so, u6, so; d „ bb, ub, bb, do, bch bs; o „ co, so, bo, oo, o6, 06) 6 „ 66, uü, 1)6, e6, 66, 6o; 6 „ 66, U6, 1)6, 06, 6o, 66. Man erhält also so viele Reihen als Elemente da sind, und in jeder Reihe um eine Ambe mehr, somit 5 Reihen, deren jede 6 Am¬ ben enthält, zusammen 5 . 6 Amben. Weil nun darunter jede Ambe 5 6 2mal vorkommt, so ist — 15 die Anzahl aller verschiedenen Amben. Für »Elemente erhielte man nReihen, und in jeder Reihe n-s-i Amben, zusammen n (n -si- 1); die Anzahl aller verschiedenen Amben wäre somit Um sicher alle Lernen mit Wiederholungen zu erhalten, darf man nur jede Ambe zuerst mir den zwei Elementen, die darin vorkommen, und dann noch mit allen Elementen verbinden. Dadurch gibt die Ambe SU . . . usu, »an, sau, sM, auo, auch uuo; „ „ ul) . . . uachArjch, uub, M>, Mo, sb6, ubs; „ „ uo . . . uso, seo, »so, sllo, ueo, se6, soe; „ „ u6 . . . ua6, uüä, such abch uo6, u66, u6o; „ „ U6 . . . US6, U66, UU6, sbe, uce, u6o, S66; „ „ bb . . . l)I)I), bl)b, MI), bbb, 1)1)6, 1)1)6, 1)1)6; „ „ 1)6 .. . I)l)6, 1)66, Mo, 1)1)6, boo, bo6, 1)66; u. s. f. Hier kommen so viele Reihen vor, als Amben mit Wiederho¬ lungen da waren, also und in jeder Reihe 2 Lernen mehr, als Elemente gegeben sind, hier 7 Lernen; zusammen also, -v § Allein jede Lerne kommt 3mal vor, folglich ist die Anzahl aller ver¬ schiedenen Lernen -— h. Wären n Elemente gegeben, so hätte t . 2 . 3 man 0' Reihen, und in jeder n -s- 2 Lernen, also im Ganzen " 0' Lernen, worunter aber je 3 gleich sind; die Anzahl der verschiedenen Lernen mit Wiederholungen wäre also » (i) 6" 1) (l) st" 2) 1 . 3 Äoealch Arithmetik, II. Abth. S. Aufl, 66 Eben so findet man als die Anzahl der Quaternen mit Wiederholungen (« ^ 3)^ , Q«in«rn,° , „ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 U. s. w. Man sieht sogleich, daß sich die Zahl der Kombinazionen irgend einer Klasse mit Wiederholungen von der Zahl der Kombinazionen der¬ selben Klasse ohne Wiederholungen nur dadurch unterscheidet, daß bei der erstern die Faktoren des Zählers um 1 wachsen, während sie bei der letztem um I abnehmeu. §. 48. Beispiele. 1) Wie viele Amben, Lernen, Quaternen, Quinternen geben die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie? Anzahl der Amben — — 400s, 90.89.88 „ „ Lernen — -—z ---- 117480 90.89.88.87 „ „ Quaternen - --—- — L555I99 1 . 2 . 3 . 4 „ „ Quinternen — ^0 ' b8.8^ . 86 43949268. 2) Wie viele Amben, Lernen, Quaternen, Quinternen geben die in einer Ziehung erscheinenden 5 Nummern der Zahlenlottcrie? 5 4 Anzahl der Amben — ? — io, ». 5.4.3 „ „ Lernen -- uz ------ 10, L 2 „ „ Quaternen ---- ----- S, 5.4.3.2.1 " " Qumternen - 12.3.4.5 3) Wie viel verschiedene Würse sind mit zwei Würfeln möglich? Die Anzahl verschiedener Würfe ist offenbar gleich der An¬ zahl Amben mit Wiederholungen von 6 Elementen, also - 21. 1 . 2 4) Wie viele Kombinazionen der ersten, zweiten, dritten, . . . Klasse mit oder ohne Wiederholung geben 7 Elemente? 4) Wie viele ein-, zwei-, drei-, vierzifferige Zahlen können mit den Ziffern 3, 4, 5, 6 geschrieben werden? (Hier ist mit dem Kom- biniren auch das Permutiren zu verbinden.) Fünfter Abschnitt. Zusammengesetzte Verhältnißrechnnngen i. Von den z n samin e n g eseßt e n Verhältnissen und P roporz t o n en. 8. 49. Wenn man in mehreren gegebenen Verhältnissen alle Vorder- glieder mit einander, und eben so alle Hinterglieder mit einander mul- tiplizirt, so bilden die Produkte ein neues Verhältnis;, welches in Hinsicht der gegebenen einfachen Verhältnisse ein zusammen¬ gesetztes genannt wird; z. B.-. l 1:2 » : ll einfache Verhältnisse <3:4 o : cl t 5 : 7 o : t zusammengesetztes Verhältniß IS : 56 uoe - bäk. Der Erponent eines zusammengesetzten Verhältnisses ist gleich dem Produkte aus den Erponenten der einfachen Verhältnisse. Zusammengesetzte Verhältnisse kommen in der Anwendung überall vor, wo Großen mit einander zu vergleichen sind, die von mehreren anderen Großen abhängen. So hängt z. B. die Fläche eines Recht¬ eckes von der Länge und Breite desselben ab. Ist nun das Verhält¬ niß der Flächen zweier Rechtecke zu bestimmen, deren erstes 5" lang und 3° breit, das zweite 7" lang und 4° breit ist, so hat man erstlich: Verhältniß der Langen s : 7, „ „ Breiten 3 : 4. Die Fläche des ersten Rechteckes wird offenbar dieselbe bleiben, wenn man dasselbe statt 3" nur 1° breit, dafür aber 3mal länger, also 15" lang annimmt, eben so kann man das zweite Rechteck ohne seine Fläche zu ändern, statt 4" nur l° breit, und dagegen 4>nal län- ger, somit 28° lang annehmen. Die beiden Flächen und ihr gegensei¬ tiges Verhältniß bleiben also ungeändert, wenn man bei beide» Recht¬ ecken dieselbe Breite i°, und die Längen is° sind 28° annimmt; in diesem Falle aber hängen die Flächen, weil die Breite gleich ist, nur 5 * 68 von den Langen 15"und 28° ab, und eS ist somit das Verhältnis; der beiden Flächen gleich 15 : 28 oder 5 x 3 : 7 x 4. Das Verhältnis; der Flächen der zwei Rechtecke ist also ein zusammengesetz¬ tes Verhältnis; aus den einfachen Verhältnissen der Längen und der Breiten. Man pflegt ßich kürzer so auszudrücken: die Fläche eines Rechteckes steht im zusammengesetzten Verhältnisse der Länge und der Breite. Auf dieselbe Art stehen im zusammengesetzten Verhältnisse: die Länge des zurückgelegten Weges mit der darauf verwendeten Zeit und Geschwindigkeit, die Große des Lohnes mit der Zahl der Arbeiter, Tage und Arbeitsstunden; der Fuhrlohn mit der Länge des Weges, und dem Gewichte der Waare; der Zins mit dem Kapitale, dem Pro¬ zente und der Zeit; der Gewinn mit der Einlage und der Zeit. §. 50. Wenn man i n zw e i o d e r m c h r e r e n P r o p o r z i o n c n d i e g l e ich v i e lt e n Glieder m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i r t - so geben die Produkte in derselben Ordnung w i e d e e i n e P r op o rzio n. Ist a : I; — c : ci m : n ---- p : q rv : x — V : ? so muß auch snnv : knx — : ckssx sein. Dis Richtigkeit davon ist leicht cinzusehen. Die Verhältnisse n : d, m : n, : x sind solgcweiss gleich den Verhältnissen n ü, p : g, : z; daher müssen auch die aus ihnen gebildeten zusammengesetzten Verhältnisse umvv : dnx und opy: «iqz einander gleich sein, oder es muß die Proporzion nmrv : tinx — : äc;z bestehen. Diese letzte Proporzion heisst in Bezug auf die gegebenen ein¬ fachen Proporzionen eine zusammengesetzte. So folgt aus den einfachen Pro-! 0:8 x-7 ^7 :8 porzionen j z 1^9 ^'2 --5 die zusammenges.Prop. 15 .- 24---270.432; x^z: 27z--- 350 :264 oder x: 2 — 350:264 Die zufammetigesetzte Negeldetri. Z. si. Wenn eine Art von Zahlen mit zwei oder mehreren andereü Arten einzeln genommen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse steht, und es ist eine Reihe zusammengehöriger Zahlen aller dieser Arten 69 bekannt, voli eine,' andern Reihe zusammengehöriger Zahlen aber eine derselben unbekannt und zu suchen, so heißt die Rechnung, durch welche man diese unbekannte Zahl findet, die zusammengesetzte R e g e ld e tr i. Z. B. 18 Ze itner werden 20 M ilen weit um 24 Gulden ver¬ führt, m>s viel Gulden w rd die Fracht betragen, damit is Zentner 30 Mellen weit geführt werden? Antwort: 32 Gulden. Hier kom¬ men drei Arten von Zahlen vor, dis Anzahl Zentner, die Anzahl Mei¬ len, und die Anzahl Gulden; die Fracht steht in geradem Verhältnisse mit dem Gewichte der Waare und mit der Länge des Weges; von die¬ sen drei Arten ist eine Reihe zusammengehöriger Zahlen bekannt, näm¬ lich: >8 Zentner werden 20 Meilen weit um 24 Gulden verführt; von einer anhern Reihe zusammengehöriger Zahlen, nämlich: is Zentner werden 30 Meilen weit um 32 Gulden geführt, sind nur zwei Zahlen bekannt, eine (32 Gnlden) aber unbekannt und zu su- chen. Dies; ist also eine Aufgabe der zusammengesetzten Rcgeldctri. §. 52. Jede Aufgabe der zusammengesetzten Regeldetri kann in mehrere Aufgaben der einfachen Regeldetri zerlegt, und auf diese Art aufgelo- set werden, wie dieses aus dem folgenden Beispiele erhellet. Aus 20 Pfund Garn bekommt man 3 Stück Zeug, jedes 40 Ellen lang und 6 Viertel breit; wie viel Stück bekommt man aus I7S Pfund Garn, wenn jedes Stück 36 Ellen lang und 5 Viertel breit sein soll? Diese Aufgabe der zusammengesetzten Regeldetri kann, indem man jedesmal nur eine Art vvn Zahlen sich andern läßt, in folgende drei Aufgaben der einfachen Regeldetri zerlegt werden. a. Aus 20 Pfund Garn bekommt man 3 Stück Zeug, jedes 40 Ellen lang und 6 Viertel breit; wie viel Stück werden aus 175 Pfund gemacht, wenn jedes Stück 40 Ellen lang und 6 Viertel breit ist?— Oder: aus 20 Pfund Garn bekommt man 3 Stück Zeug; wie viel Stück werden anS 175 Pfund gemacht, wenn die übrigen Bedingungen gleich sind? — Zur Auflösung hat man 20 Pfd. 3 Stück 7 : 3 — 175 : 20 175 „ V „ daher — 264 Stück. I>. Aus 175 Pfund Garn werden 264 Stück Zeug von 40 Ellen Länge und 6 Viertel Breite gemacht; wie viel Stück bekommt man aus 175 Pfund, wenn die Länge eines Stückes 36 Ellen und die Breite 6 Viertel betragen soll? —Oder: wenn ein Stück 40 Ellen lang ist, bekommt man 26s Stück; wie viel Stück wird man unter übrigens gleichen Umständen bekommen, wenn die Länge eines Stückes nur 36 Ellen beträgt? — Die Rechnung steht: 40 Ellen Länge 26s Stück ? ; 26s — 40 : 36 36 „ / „ woraus 2 — 29s Stück. 70 o. Aus 175 Pfund Garn werden 29^ Stück Zeug, jedes 36 Ecken lang und 6 Viertel breit gemacht; wie viel Stück bekommt man aus 175 Pfund, wenn ein Stück 36 Ellen lang nnd 5 Viertel breit sein soll? — Oder kürzer: wenn ein Stück 6 Viertel breit ist, so bekommt man aus einer bestimmten Menge Garn 29^ Stück; wie viel Stück wird man bekommen , wenn die Breite nur 5 Viertel beträgt nnd die übrigen Umstände gleich bleiben? — Zur Auflösung hat man: 6 Viertel Breits 29^ Stück x: 29^ --- 6:5 5 „ X „ also X — 35 Stück, Aus allen drei Ausgaben folgt: Wenn aus 20 Pfund Garn 3 Stück Zeug, jedes 40 Ellen lang und 6 Viertel breit, gemacht werden, so bekommt man ans 175 Pfd. Garn 35 Stück Zeug, jedes 36 Ellen lang und 5 Viertel breit. Die hier vorgenommene Methode, eine Aufgabe der zusammen¬ gesetzten Regeldetri aufzulösen, ist wegen ihrer Weitläufigkeit nicht geeignet, um allgemein angewcndet zu werden; allein sie führt durch sehr einfache Schlüffe auf ein kürzeres Verfahren, die Auflösung vor- zunchmen. Man stelle nämlich die erhaltenen Proporzionen zusam¬ men, behalte aber dabei statt der gefundenen Zahlen 26^ und 29^-die Buchstaben y und 2 bei; man hat y : 3 — 175 : 20 2 : --- 40 : 36 x : 2 — 6.5 72X : 372 --- 175 . 40 . 6 : 20 . 36 . 5 s Durch Multiplikazion >der gleichnam. Glie- j der erhält man wieder eine Proporzion. Kürzt man hier das erste Verhältniß durch und 2 ab, so bleibt x : 3 — 175 . 40 . 6 : 20 . 36 . 5, was man der leichteren Ueberficht wegen auch so schreiben kann x: 3 --- 175 : 20 40 : 36 6 : 5 wo man sich denken muß, daß die unter einander stehenden Zahlen zu multipliziren sind. Das Verhältniß x : 3 ist demnach gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus 175 : 20, 40 : 36 und 6 : 5. Vergleicht man die Ordnung der Zahlen in diesen Verhältnissen mit der Stellung der Zahlen in der Aufgabe, nämlich X Stück 175 Pfd. 36 Ellen Länge 5 Viertel Breite 3 „ 2 0 „ 4 0 „ „6 „ „ so findet man, daß die zu x Stück und 3 Stück gehörigen Zahlen der Pfunde, welche mit der Anzahl Stück gerade proporzionirt sind, in der nämlichen, die zugehörigen Zahlen der Länge und Breite aber, welche mit der Anzahl Stück verkehrt proporzionirt sind, in umgekehr? ter Ordnung zu einem Verhältnisse verbunden erscheinen. 71 Daraus ergibt sich folgender Satz: Wenn eine Art von Zahlen von mehreren ande¬ ren Arten so ab hängt, daßsie mit denselben einzeln genommen theils gerade theils verkehrt proporzio- nirtisi, so ist das Verhält n iß zwischen je zwei Zah¬ len der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Ver¬ hältnisse aus den einfachen Verhältnissenzwischen den zugehörigen Zahlen jeder andern Art, in der nämlichen oder in umgekehrter Ordnung genommen, je nachdem die Zahlen dieser Art mit den Zahlen der erstenArt gerade oder verkehrt proporzionirt sind. §. 53. Auf diesem Satze beruhet nun eine ganz einfache Methode, um die Aufgaben der zusammengesetzten Regeldetri aufzulösen. Man verfahre dabei nach folgenden Regeln: 1. Man setze die unbekannte und die damit gleichnamige Zahl in das erste Verhältnis 2. Das zweite Verhältniß der Proporzion ist ein zusammen¬ gesetztes, dessen einfache Verhältnisse man findet, wenn man die Art von x mit jeder andern Art vergleicht, um zu sehen, ob die beiden Arten gerade oder verkehrt proporzionirt sind, und dann die beiden zu x und der mit ihr gleichnamigen Zahl dazu gehörigen Zahlen einer je¬ den Art in derselben oder in umgekehrter Ordnung nimmt, je nachdem diese Art mit der Art von x gerade oder verkehrt proporzionirt ist. Diese Verhältnisse werden unter einander geschrieben. 3. Die Proporzion wird aufgelöset, indem man das Produkt aller in den innern Gliedern vorkommenden Faktoren durch das Pro¬ dukt aller in den äußeren Gliedern befindlichen Faktoren dividirt. Da¬ bei wird die Strichmethode mit Vortheil angewendet. Beispiele. 1) Wenn 12^ Ztr. um 28? fl. 32 Meilen geführt werden, wie viel Ztr. werden um 43^ fl. 28 Meilen verführt? Man vergleicht hier zuerst Ztr. und fl.; für 2-, 3-, 4mal so viel Ztr. müssen auch 2-, 3-, 4mal so viel fl. Fracht gezahlt werden ; diese beiden Arten von Zahlen sind also gerade proporzionirt, darum 72 seht man die zu x Ztr. und 12^ Ztr. gehörigen Zahlen der Gulden in derselben Ordnung in ein Verhältnis!, nämlich 43; : 28ß. Dann ver¬ gleicht man die Ztr. und Meilen, indem man sagt: 2-, 3--, 4mal so viel Ztr. werden um dasselbe Geld nur die Hälfte, den dritten, vier¬ ten Theil von so viel Meilen geführt werden; die beiden Arten von Zahlen sind also verkehrt proporzionirt, und man setzt die zu x Ztr. und 12^ Ztr. gehörigen Zahlen der Meilen in umgekehrter Ordnung ins Verhältnis, nämlich 32 : 28. Die Auflösung der Proporzion ge¬ schieht nach der Strichmcthode. 2) 12 Arbeiter bekommen für 3 Arbeitstage 28 fl.; wie viel werden 15 Arbeiter für 5 Tage bekommen? 12 Arbeiter 3 Tage 28 fl. x : 28 — 15 : 12 15 „ 5 „ x „ 5:3 woraus X — 58^ fl. 3) Ein Kapital von 3600 fl. bringt in 4' Jahren 972 fl.Zins; wie viel Zins bekommt man von 5650 fl. Kap. in 2fh Jahren? 3600 fl. Kap. 4; Jahr 972 fl. ZinS x : 972 5650 : 3600 5650 „ „ 2z „ x „ „ 2^ : 4L daher x — 847' fl. Zins. 4) 100 fl. Kapital geben in I Jahre 5^ fl. Zins; wie viel fl. Ka¬ pital muß man anlegen, um in 2^ Jahren 300 fl. Interesse zu erhalten? 5) 542 30 6) 100 fl. Kap. I Jahr 52 fl. ZinS x : 100 --- I : 2^ x „ „ 2; „ 300„ „ 300 : 52 folglich x ----- 2424-^ fl. Kapital. Zu einem Stücke Zeug, welches 542 Ellen lang und iL Ellen breit ist, braucht man 36 Pfund Garn; wie viel Garn wird zu einem Stücke von 30 Ellen Länge und 12 Ellen Breite erfordere lich sein? Ellen lang iL Ellen brpit 36 Pfd. x : 36 ---- 30 : 542 » „ 1Zv „ x „ ' ^4 woraus x — 16^M Pfd. folgt. Ein Fuhrmann verspricht 28 Ztr. 25 Meilen weit'um 46 fl. zu führen. Nachdem er 8 Meilen weit gefahren, kommt ihm der Auftrag zu, eine andere Straße cinzuschlagen, 10 Ztr. mehr aufzuladen und 12 Meilen weiter zu fahren, als anfänglich be¬ dungen war. Wie viel Frachtlohn wird ihm gebühren? Hier muß man zuerst die Fracht für 28 Ztr., welche 8 Mei¬ len weit, dann für 28 Z- 10 ----- 38 Ztr-, welche 25 — 8-f- 12—29 Meilen weit geführt werden, berechnen, und beide Beträge addiren. 25 Meilen 46 fl. 28 Ztr. 25 Meilen 46 fl. « „ x „ Z8 „ 29 „ v „ x : 46 --- 8 : 25 y : 46 ----- 38 : 28 also x — fl. 14 „ 43 " 29 : 25 72 ,, 25 also 7 ----- fl. 72 „ 25 ganze Fracht fl. 87 „ 8. 73 7) Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Kanal von 375^ Länge zu Stande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich io Stun¬ den arbeiten, einen eben solchen Kanal von 600 Fuß Länge vollenden? 20 Arbeiter 12 St. täglich 5 Wochen 375/ Länge 12 „ 10 „ „ x „ 600^ „ X : 5 --- 20 -. 12 l 12 : lo > woraus x ----- 16 Wochen. 600 : 375 ) 8) Wenn 12 Weber in 3 Monaten 28 Stück Leinwand, jedes 30 Ellen lang und 5 Viertel breit, verfertigen, da sie monatlich 25 Tage und täglich 12 Stunden arbeiten; in wie viel Monaten verfertigen 22 Weber, welche monatlich 24 Tage und täglich 10 Stunden arbeiten, 66 Stück Leinwand, das Stück 35 Ellen lang und 6 Viertel breit? — In 6^ Monaten. 9) Wenn 6 Mann in 5 Tagen 28; fl. verdienen, in wie viel Tagen werden unter übrigens gleichen Umständen 16 Mann 532 fl. verdienen? — In 35 Tagen. 10) 16 Pfund Flachs geben 10 Ellen Leinwand, wenn dieselbe 1 Elle breit ist; wie viel Ellen geben 36 Pfund Flachs, wenn die Leinwand 6 Viertel breit ist? — 15^ Ellen. 11) Ein Fuhrmann erhält, um 28^ Ztr. 46^ Meilen weit zu führen, 68^ fl. als Bezahlung; wie viel muß man ihm zahlen, damit er 354 Ztr. 40 Meilen weit führe? 12) Zss einem Fußboden braucht man 28 Breter, deren jedes io^ 8" lang und 9" breit ist; wie viele Breter werden zu demselben Fußboden erforderlich sein, wenn jedes 9^ 4" lang und 1' breit ist ? 13) 20 Arbeiter vollenden einen 30" langen Graben in 15 Tagen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten; wie viel Stunden müssen 18 Arbeiter täglich arbeiten, um einen 24" langen Graben in 16 Tagen zu Stande zu bringen? 14) Um 35 Laternen 108 Stunden lang brennen zu lassen, braucht man 42-Ztr. Oel; wie viel Oel ist erforderlich, wenn 50 solche Laternen 245 Stunden lang brennen sollen? 15) Von einer Wiese, welche 256 Klafter lang und 36 Klafter breit ist, werden 10 Wagen Heu gewonnen, von welchen jeder 272 Ztr. Ladung hat; wie viel Wagen Heu, jeden zu 30 Ztr., wird man verhältnißmäßig von einer Wiese gewinnen, die 192 Klafter lang und 96 Klafter breit ist? 16) 100 fl. Kapital geben in 1 Jahre 5 fl. Interesse; g) wie viel Interesse geben 3748 fl. in 22 Jahren; h) in welcher Zeit geben 78352 fl. Kapital 6332 fl. Zins; c) welches Kapital gibt in 2ß Jahren 720 fl. 13 kr. ZinS? 17) Wenn aus 72 Pfund Garn 4 Stück Leinwand von 42 Ellen Länge und E Men Breite gewebt werden, so ist die Frage: g) wie 74 viel Stück von 48 Ellen Länge « Ellen Breite wird man aus 1231 Pfund Garn weben; I)) wie viel Ellen wird das Stück halten, wenn man aus 155 Pfund Garn 7 Stück t Elle breite Leinwand webt; 0) wie breit wird die Leinwand sein, wenn man aus 8z Pfund Garn 4 Stück zu 45 Ellen weben will; ü) wie viel Pfund Garn sind erforderlich, um 10 Stück zu weben, deren jedes 48 Ellen lang und ß Ellen breit ist? Einfache In teressen rech n u n g. 54. Jedes Gut, welches entweder in einer Unternehmung nutzbrin¬ gend verwendet, oder einem Andern in der Absicht überlassen wird, um dadurch eine Vergrößerung jenes Gütervorrathes zu erzielen, wird ein K apitalim weitern Sinne genannt. Im en gern Sinne versteht man unter Kapital eine Geld¬ summe, welche man Jemanden unter der Bedingung leiht, daß er für die Benützung einen bestimmten Geldbetrag entrichtet, endlich aber doch die ganze Geldsumme zurückzuzahlen verpflichtet ist. Das Geld, welches für die Benützung des Kapitals entrichtet wird, heißt Zins oder Interesse; es wird nach Prozenten bestimmt, welche sich, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, auf ein Jahr beziehen; z. B. ein Kapital ist zu ZPg angelegt, heißt: von je 100 fl. Kapital erhält man in einem Jahre 5 fl. In¬ teresse. Die Jnteressenrechnung ist demnach auch eine Prozentrechnung, nur muß dabei auch auf die Zeit, während welcher ein Kapital an¬ gelegt bleibt, Rücksicht genommen werden. Es wird dabei gewöhnlich jeder Monat zu 30 Tagen, und daher das Jahr zu 360 Tagen an¬ genommen. Bei der Jnteressenrechnung kommen vier Bestimmungen vor: das Kapital, die Zei t, das Prozent und das I n t er e sse. Jede dieser vier Bestimmungen hängt von den drei übrigen ab, und kann aus denselben berechnet werden. Alle Aufgaben der Jnteressenrechnung können durch die zusam¬ mengesetzte Regcldetri aufgelöset werden, nur muß man die Bestim¬ mung der Prozente gehörig zerlegen. Z. B. anstatt: zu 5"/o, stellt man den Satz auf: 100 fl. Kapital geben in 1 Jahre 5 fl. Interesse. Eben so wird die Frage: zu x°/o, so ausgedrückt: x fl. Interesse geben 100 fl. Kapital in 1 Jahre? Um übrigens nicht bei jeder Aufgabe der Jnteressenrechnung eine zusammengesetzte Negeldetrj ansetzcn müssen, soll hier für jeden Fall 75 nur ein Beispiel nach der Regeldetri aufgestellt, und aus dem Resul¬ tate eine allgemeine Regel für die Berechnung aller zu jenem Falle gehörigen Aufgaben abgeleitet werden. 1. Berechnung der Interessen. §. 55. Eö sei ein Kapital von 3000 fl. zu 5°/g angelegt; wie viel In¬ teresse gibt es in 4 Jahren? Man hat zur Bestimmung der Interessen folgende Regeldetri: x fl. Int. 3000 fl. Kap. 4 Jahr x: 5 ---- 3000 : ioo 5 „ IOO » „ I „ 4:1 also X -- 3000.^00--— - -- 600 st. Daraus folgt: Das Interesse wird gefunden, wenn man das Produkt aus dem Kapitale mit den Prozenten und Jahren durch 100 dividirt. Bei der Ausrechnung bedient man sich meistens mit Vortheil der Strichmethode. Beispiele. 1) Wie viel Zins geben 2350 fl. zu 4^ in 2 Jahren? 2350 X 4 X 2 löö — 188 fl. Interesse. 2) 3) 4) 5) Wie viel Interesse geben fl. 785 „ 45 zu 4^"/, in 3^ Jahren? 100 785§ 4z 3^ Antwort: fl. 114 Wie viel Zins bekommt man von fl. 3215 Jahren 7 Monaten? 55 „ 18 zu 5z°/o in 2 100 3215^ sz 2^ Antwort: fl. 485 56. Ein Kapital von 5844 fl. ist durch 3^ Jahre zu 4^°/„ angelegt; was tragt es in dieser Zeit an Zins? — fl. 886 „ 20. Wie vjel Interesse geben 3105 fl. 54 kr. zu 5"/, in 2 Jahren und 1 Monate? 6) Man berechne das Interesse von 2777 fl. zu 4ß«/o in iß Jahren. 7) hat zwei Kapitalien angelegt: 3580 fl. zu 5^ "/<, durch i Jahr s Monate, und 2895^fl. zu 6 o/o durch 2 Jahre 4 Monate; welches Kapital bringt'mehr Zinsen, und um wie viel nnhr als das andere? 76 §. 56. Noch einfacher als nach der Strichrechnung geschieht dis Be¬ stimmung der Interessen nach folgenden Regeln, deren Richtigkeit von selbst erhellet: 1. Das Interesse für ein Jahr findetman nach derProzent- rechnung, wenn man das Kapital mit dem Prozent multiplizirt, und das Produkt durch 100 dividirll 2. DasJnteresse fü r meh r ere J a h r e wird gefunden, wenn man das Interesse für ein Jahr mit der Anzahl der Jahre multi¬ plizirt. 3. Kommen auch Monate und Tage vor, so bedient man sich der walschen Praktik; man zerlegt nämlich die Monate in aliquote Theile eines Jahres, und nimmt aus dem jährlichen Interesse eben solche Theile; die Tage aber zerlegt man in aliquote Theile eines Mo¬ nates, und nimmt eben solche Theile aus dem monatlichen Interesse. Alle diese Beträge werden dann zu dem Interesse auf Jahre addirt. Beispiele. I) Man berechne das einjährige Interesse von 31 24 sl. zu s"/g 156 20 — sl. 156 „ von st. 35 78 „ 15 zu 6"/o 78-25 — 214 69 50 — st. 214 » 2) Wie viel Interessen geben 21 83 st. zu 4"/g in 3 Jahren 87H st. für 1 Jahr 261-96 st. für 3 Jahre Antwort: st. 261 „ 58. 3) Wie viel Interesse geben Monaten? von 3800 st. zu 4"/o 22 I52fl. von st. 9 57 zu 44 'X, 38 28 42 3 19 4147 --- st. 41 „ 28. 147 88 st. zu 5^o/o in 4 Jahren 739^40" 36-97 776-37 st. in I Jahre 3105-48 st. in 4 Jahren. Antwort: st. 3105 „ 29. 2848 st. zu 5 'X, i" 3 Jahren und 4 28 48 st. zu 5"/g in 3 Jahren 4 Mon. 142-40 für 1 Jahr 427-2 für 3 Jah^e 47-467 „ 4 Monate — Jahr 474-667 --- st. 474 „ 40. 4) Wie groß ist das Interesse von st. 5244 „ 33 zu 5i"X> u> 3 Jahren 5 Monaten 20 Lagen? 77 52 44-55 zu 5^ in 3 J. S M. 20 T. 262 22'75 13 II 14 275-33 89 in 1 Jahre 826 01 67 „ 3 Jahren 91-77 96 „ 4 Monaten — 1 Jahr 22-94 49 „ I Monate — v. 4 Mon. 7-64 83 „ IO Tagen -- z Monat 7 64 83 „ 10 Tagen 956 03 78 -- fi. 956 „ 2. 5) Ein Kapital von fl. 8425 „ 18 liegt durch 4 Jahre I I Monate zu 44 »/0 an; wie viel Interessen dringt es?— fl. 1864 „ 5. 6) Wie viel Interesse geben fl. 2514 „ 57 zu 5 "/„ in 5 Jahren 8 Monaten 26 Lagen? — fl. 721 „ 39. 7) Wie groß ist das Interesse von 3457 fl. zu 4^ in 2 Jahren 7 Monaten 18 Tagen? — fl. 409 „ 39. 8) Wie viel Zinö geben 724 fl. zu 4§«/o >>' 4 Jahren I I Monaten 27 Tagen ? — st. 171 „ 40. Man berechne noch das Interesse: 9) Von 9007 fl. 40 kr. zu 5 0/0 in IO Monaten. 10) Von 1133 fl. 20 kr. zu 4§°/o in 3 Jahren 1 Monat. 11) Von 950-235 fl. zu 44°/o in 2 Jahren II Monaten 17Tagen. 12) Von 7185 fl. 49 kr. zu 42"/) in 3 Jahren 7 Monaten 12 Tagen. 13) Non I0l9-38fl. zu 5^o/o in 9 Monaten 21 Tagen. 14) Von 3407 fl. 5 kr. zu 6 0/0 in 1 Jahr 2 Monaten 7 Tagen. 57. Wenn das Interesse, wie dies häufig der Fall ist ist, bloß für ei n e b est i mm t e An z ahl Tage berechnet werden soll, so pflegt man zuerst das Interesse zu 6 'jch zu bestimmen, und daraus das In¬ teresse für jedes andere Prozent mittelst der wälschen Praktik abzu¬ leiten. Um das Verfahren zur Berechnung der 6 °/„ Interessen zu ent¬ wickeln, sei folgendes Beispiel: ein Kapital von 2345 fl. ist zu 6 angelegt, wie viel Interesse gibt eS in 137 Tagen? Nach der zusam¬ mengesetzten Regeldetri hat man X fl. Int. 2345 fl. Kap. 137 Tag. X : 6 — 2345 : 100 6 „ „ 100 „ ,, 360 „ 137 ; 360 2345 X 137 X 6 2345 X 137 " 36000 KE Das Interesse zu 6"/g auf Tage wird also gefun¬ den, wenn man d a s K a p i t a l m i t d e r A n z a h l T a g e m u l- 78 tiplizirt, unddas Produkt durch 6000 dividirt, indem man zuerst durch 1000 und dann durch 6 dividirt. Die Kreuzer des Kapitals pflegt man während der Rechnung meistens unberücksichtiget zu lassen, vergrößert jedoch , wenn 30 oder mehr als 30 kr. vorhanden sind, die Anzahl der Gulden um i; sonst werden die Kreuzer in Dezimalen von Gulden verwandelt. Beispiele. 1) Wie viel Interesse geben 2790 fl. zu 6 °/g in 85 Tagen? 27 90 X 85 223 20 237 150 - «000 -- 8 39-525 — fl. 39 „ 32. 2) Wie groß ist das Interesse von fl. 2349 „ 15 zu 6"/o in 182 Tagen? mit Weglassung der Kreuzer genau 234 9 X 182 234 9'25 X 182 187 92 187 9 400 427.518 427'5 5350 " 71 253 — fl. 71 „ 15 71'2 589 — fl. 71 „ 16. 3) Wie viel Interesse geben 758 fl. zu 6"/g vom 13. April bis lez- ten Dezember? vom 13. Apr. bis 13. Dez. sind 8 Mon. — 240 Tage „ 13. Dez. „ 30. „ „ 17 zusammen 257 Tage. 758 X 257 151 6 37 90 194 806 32 468 -- fl. 32 „ 28. 4) Wie groß ist das Interesse von 3572 fl. Kapital zu 6"/g in 217 Tagen? — fl. 129 „ ii. 5) Wie viel Interesse geben fl. 2350 „ 47 zu 6"/, in 17 Tagen? — fl. 6 „ 40. 6) Man berechne das Interesse von 1265 fl. zu 4"/„ in 231 Tagen. 1265 X 231 37 95 292 215 " 48-702 zu 6 o/„ ab 16 234 zu 2^. — - von 6"/„ 3H8 zu 40/0 Antwort: fl. 32 „ 28. 79 7) Wie groß ist das Interesse von fl. 3402 „ 9 zu 7^°/<> in 125 Tagen? 3402 x 125 425 250 70-875 zu 6 "/g 11'812 „ 1»/o 2'953 „ z°/o 85-640 ----- fl. 85 „ 38. 8) Wie viel Interesse geben 9110 fl. zu 5 vom 2. Mai bis 15. Oktober? vom 2. Mai bis 2. Okt. 150 Tage 911 0 x 163 „ 2. Okt. „ 15. Okt. 13 „ 546 60 163 Tage 1484 930 247-488 zu 6"/g — 41-248 „ 1»/o 206-240 — fl. 206 „ 14. 9) Wie Viel Zins bekommt man von 9217 fl. zu 3 °/o in 174 Ta¬ gen?— fl. 133 ,, 39. 10) Wie viel Zins geben 8635 „ 25 zu 4i°/o in 223 Tagen? — fl. 240 „ 43. 11) Wie viel Interesse gebe» fl. 12425 „ 18 zu 4"/o vom I. August bis 5. April? — fl. 336 „ 52. 12) Wie groß ist das Interesse von fl. 4286 ,, 42 zu 5 "/g vom 18. Dezember bis 15. April. 13) Jemand hat zu beziehen: das Interesse von 3045 fl. zu 6 für 233 Tage, ,, „ ,, 2813 „„ 5 o/o vom 17. April bis 22. September, » „ ,, 4008 „ „ 4§«/o „ 24.Mai „ 7.Attgust; wie viel beträgt das ganze Interesse? 14) hatte an ö zu zahlen: am i3. April 387 fl. 17 kr. „ 25. Mai 1245 „ 38 „ „ 2. Juni 2008 „ 48 „ Dagegen hatte L an zu bezahlen: am 20. April 1533 fl. 38 kr. „ 15. Mai 2112 „ 8 „ „ 20. „ 972 „ 15 „ Am 30. Juni wird die Abrechnung gemacht; wie viel bleibt da L an ä schuldig, wenn die Interessen zu 5 "/<> gerechnet werden? 80 2. Berechnung des Kapitals. §. 58. ES sei z. B. die Größe eines Kapitals zu finden, welches zu S°/o in 3 Jahren 519 fl. Interessen trägt. Man hat zur Berechnung folgende zusammengesetzte Regeldetri: x fl. Kap. 3 Jahr. 519 fl. Int. x : 100 1 : 3 100 „ „ I ,, 5 „ „ 519 ! 5 „ 519X100 also X — — x 3 > — 3460 fl. Das Kapital wird also gefunden, wenn man das lOOfacheJnteressedurchdas Produkt aus den Pro¬ zenten undJahrcn dividirt. Beispiele. 1) Welches Kapnal gibt zu 4 "/j, in 4 Jahren 448 fl. Interessen? 448X100 ——— 2800 fl. 4x4 ° 2) Jemand bezieht in 54 Jahren 948 fl. Interesse; wie groß ist das Kapital bei 6 "/s, ? 6 !948 54-100 Antwort: fl. 3009 » 31. 3) Wie groß ist das Kapital, welches zu 54 jährlich fl. 202 „ 24 ZinS abwirst? 54 202ß jioo" Antwort: fl. 3680. 4) Ein Haus gibt im Durchschnitte jährlich 586 fl. reinen Ertrag; welchen Kaufpreis wird man dafür ansetzen, wenn man es zu 5°/o verkaufen, d. i. für jede 5 fl. Reinertrag 100 fl. Kaufschil¬ ling oder Kapital haben will?— 11720 fl. 5) Welches Kapital gibt zu 44 »/j, in l Jahre 4 Monaten 324 fl. Interesse? — S400 fl. 6) Wie groß muß das Kapital sein, damit es zu 54°/, in 2ß Jah¬ ren 738^ fl. Interesse bringt? 7) Welches Kapital gibt zu 5^°/g in 1 Jahre 9 Monaten 248 fl. 35 kr. Interesse? 3.- B e r e ch n uu g d e r Z eit. 8- 59. Es soll die Zeit bestimmt werden, durch welche ein Kapital von 1925 fl. zu 5 0/0 anliegen muß, um 385 fl. Zins zu tragen. Nach der Regeldetri hat man 8! x Jahre 1925 fl. Kap. 385 fl. Int. x: i --- ioo: 1925 1 „ 100 „ „ 5 „ « 385 : 5 daher x --- x 100 Jahre. 1925 x 5 D i e A n z a h l J a h r ew i r d also gefunden, wenn man das Ivofache Interesse durch d a S Produkt aus dem KapitalundProzentdividirt. Beispiele. 1) Wie lange muß ein Kapital von 2180 fl. tu 6 angelegt blei¬ ben, damit es 744 fl. Interessen einbringt? 2) In wie viel Zeit geben fl. 5737 „ 33 Kapital zu 5^°/^ ein In¬ teresse von fl. 1814 „ 30? 5737^1814^ 5^ I 100' Antwort: In 5-75 --- 5S Jahren. 3) Wie lange muß ein Kapital von 9824^ fl. zu 5^ ansstehen, damit es fl. 1132 /, 49 Interessen eintragt? 9824ZlI32zz Szl 100 2-2499 Jahre 2 Jahre 2 Mon. 29Tage. 4) Wie lange muß ein Kapital von fl. 5212 „ 40 anliegen, um zu 5» "/o fl- 712 „ 48 Interesse einzutragen? — 2 Jahie 7 Mo¬ nate 8 Tage. 5) In welcher Zeit erhalt man von fl. 9421 „ 17 zu 4^°^ fl, 269 „ 45 Zins? — In 7 Monaten 19 Tagen. 6) In wie viel Zeit geben fl. 3855 „ 40 zu s^"/o 721 fl.Interesse? 7) In wie viel Zeit geben 1237 fl. 30 kr. Kapital bei 6"/° 84 fl. 9 kr. Zins? 6 4. Berechnung der Prozente. §. 60. Ist z. B. zu finden, zu wie viel 0/0 ein Kapital von 8000 fl. angelegt werden muß, damit eS in 3 Jahren 960 fl. Interessen ein¬ bringt, so Hai man folgende zusammengesetzte Regeldetri: x fl. Int. 100 fl. Kap. 1 Jahr x : 960 — 100 : 8000 960 ,, „ 8000 „ „ 3 „ 1:3 „ 960 x 100 »MU Das Prozent wird demnach gefunden, wenn man das loofache Interesse durch das Produkt auS dem Kapitale und den Jahren dividirt. Novmk, Arithmetik, n. rivth. S. Aufl. 82 i) 2) 3) 4) ö) 6) 7) Beispiele. Zu wie viel "/<> muß ein Kapital von 3445 fl. angelegt werden, um in 1 Zähren 689 fl. Interesse zu geben? Zu Z 3445 X 4 — 5 /o- Ein Kapital von 5500 fl. gibt jährlich 330 fl. Interessen; zu wie viel "/o Verzinset eß sich? 330 x 100 -U« °° Zu wie viel o/„ verzinset sich ein Kapital von fl. 4755 „ 15, wel¬ ches in 3 Zähren 3 Monaten 850 fl. Interessen gibt? 4755^850 Si Zu wie viel «Hs, ist ein Kavital von fl. 4585 100 Antwort: zu 5^"/„. Zu wie viel «Hf, ist einKavital von fl. 4585 „ 3t angelegt, wenn es in 3^ Zahr 844^ fl. Interessen gibt ? — Zu 5- Jemand zahlt von einem k. Dukaten monatlich 3 kr. Zins; wie viel "/o macht dieses?— I3f"/o> Zu wie viel verinteressirt sich ein Kapital von 6800 fl., wel¬ ches in 2 Jahren 4 Monaten 12 Tagen fl. 844 „ 54 Interessen gibt? Eilr Kapital von 3150 fl. trägt in 8 Monaten 73^ fl. Zntcreffe; zu wie viel verzinset es sich? Die Terminrech nu ng. 8- 61. Häufig tritt der Fall ein, daß die Bezahlung einer Summe theilweise in bestimmten Zeitsristen oder Terminen bedungen wird. ES kann nun dem Schuldner oder dem Gläubiger oder beiden zugleich erwünscht sein, wenn die ganze Summe aus einmal berichtiget wird, wobei jedoch weder dem Schuldner noch dem Gläubiger ein Vortheil zum Nachtheile des andern erwachsen darf. Der Zeitpunkt, wann die Gesammtzahlung geleistet werden muß, damit weder der Schuldner noch der Gläubiger einen Nachtheil habe, wird der mittlere Ter¬ min genannt, und die Rechnung, nach welcher derselbe bestimmt ' wird, die Term i n r e chn u n g. Um das bei der Terminrechnung zu beobachtende Verfahren ab¬ zuleiten, soll folgendes Beispiel durchgeführt werden. Jemand ist 6000 fl. schuldig, und verpflichtet sich, 2000 fl. nach 2 Monaten, 2500fl. nach 4 Monaten, und 1500 fl. nach io Mona¬ ten zu bezahlen; wann wird die Zahlung erfolgen müssen, wenn er die ganze Summe auf einmal abtragen will? 83 Bei der bedungenen Zahlungsweise Hai der Schuldner den Vor- theil, die Interessen von 2000 fl. durch 2 Monate, von 2500 fl. durch 4 Monate, und von 1500 fl. durch 10 Monate zu genießen. Eben so viel Interessen muß der Schuldner, damit er keinen Nachtheil habe, auch genießen, wenn er die ganze Schuld auf einmal entrichten soll, so daß man bei der vorliegenden Aufgabe eigentlich folgende Frage zu beantworten hat: In wie viel (x) Monaten wird die Summe 6000 aller Terminzahlungen eben so viel Interesse geben, als die ein¬ zelnen Terminzahlungen in den dazu gehörigen Zeitfristen. Es geben nun 6000 x x Kap. in i Mon. - „ „ - ^ 2000 X 2 „ „ I „ 2500 „ „ 4 „ I tercsse >2500 x 4 „ „ 1 „ 1500 „ „ lO „ ) !tsoo X lv „ „1 „ daher muß das Interesse des Kapitals 6000 xx in l Monate eben so groß sein, als die Interessen der Kapitalien 2000 x 2 — 4000, 2500x 4 — 10000, 1500 X 10 —15000 ebenfalls in I Monate; dieses aber kann, da in beiden Fällen die Zeit gleich ist und auch das¬ selbe Prozent vorausgesetzt werden muß, nur dann Statt finden, wenn das erste Kapital gleich ist der Summe aus den drei letzteren Kapi¬ talien ; es muß somit 6000 XX — 29000 sein. Wenn man aber das Produkt zweier Faktoren, und den einen dieser Faktoren kennt, so wird der andere durch die Division gefunden. Der mittlere Tennm x wird also erhalten, wenn man 29000, d. i. die Summe aus den Produkten aller Terminzahlungen in die zugehö¬ rigen Zeiten, durch 6000, d. i. durch die Summe aller Terminzahlun¬ gen, dividirt ; es ist nämlich x ---- — 4ß Monat. Daraus ergibt sich für die T e r m i n rech n u n g folgendes Ver¬ fahr en: 1. Man multiplizire jede Terminzahlung mit der Zeit, nach welcher sie geleistet werden soll. 2. Man addirt sowohl die Terminzahlungen, als die erhalte¬ nen Produkte, und dividirt die zweite Summe durch die erste; der Quozient zeigt den mittleren Termin an. 6000 Kap. in x Mon.l eben so k sssroo .. 2 „ r viel In- ! Beispiele. 1) Eine Summe voir loooo fl. ist in vier Raten zu bezahlen, und zwar: 3000 fl. nach 4 Monaten, 2500 fl. nach 6 Monaten, 2000 fl nach 8 Monaten, und der Rest nach 1 Jahre; wenn nun die ganze Summe aus einmal erlegt wird, wann soll dieses geschehen? 6 * 84 Die Gcsammtzahlung wird demnach nach 7 Monaten 9 Tagen zu erfolgen haben. Um sich von der Richtigkeit zu überzeugen, untersuche man, ob der Schuldner wirklich bei der Eesammtzahlung denselben Vortheil hat alö bei den ratenweisen Zahlungen, wenn man irgend ein Pro¬ zent, z. B. 5"/, annimmt. Bei den ratenweisen Zahlungen genießt der Schuldner die Interessen von 3609 sl. durch 4 Monate — fl 50 ,, „ v „ 2500 ,, v ,/ „ 2000 „ „ p ff v 2500 „ „ 6 ,, „ 62 ft 30 8 „ — u 66 „ 40 12 „ „ 12 5 „ zusammen fl. 304 „ lO Berichtiget der Schuldner die ganze Summe von 10000 fl. nach 7 Monaten 9 Tagen, so genießt er dabei an Interessen auch fl. 304 „ >0. Der Schuldner hat also bei dieser Zahlungsmeise weder einen Vortheil noch einen Nachtheil, woraus von selbst folgt, daß auch der Gläubiger dabei weder gewinnt noch verliert. 2) Jemand ist vertragsmäßig verpflichtet, 12000 fl. alsogleich, 9000 fl. nach 4 Monaten, 9000 fl nach 8 Monaten, 9000 fl. nach 12 Monaten, und 9000 fl. nach 16 Monaten zu zahlen. Wann wird die Zahlung geschehen müssen, wenn sie auf einmal gelei¬ stet werden soll? 120 : 16 --- 7^ Monat. — Antwort: nach 7^ Monaten. Da hier die einzelnen Beträge ein gemeinschaftliches Maß haben, so können sie abgekürzt werden, und zwar zuerst durch 1000, und dann durch 3. 3) Jemand hat 20000 fl. so zu entrichten, daß er 4000 fl. sogleich, 4000 fl. nach 3 Monaten, 5000 fl. nach 6 Monaten, und den Rest nach 10 Monaten bezahlt. Er wünscht nun die ganzeSchuld auf einmal zu tilgen; nach wie viel Monaren wird dieses ge¬ schehen müssen? 85 4AM X O -°°-- O 4Mg x 3 ----- 12 5SM x 6 ----- 30 Rest 7MS X 10 — 70 20 112 : 20 — 5 6. Nach 5 Monaten 18 Tagen. 4) Jemand kauft einen Acker um 6000 fl., wovon er 1500 fl. nach 4 Monaten, 1000 fl. nach 6 Monaten, 2000 fl. nach 9 Mona¬ ten, und den Rest nach i Jahre bezahlen soll. Wann kann er die ganze Summe aus einmal erlegen, wenn weder der Käufer noch der Verkäufer einen Vortheil oder Nachtheil haben soll? — Nach 8 Monaten. 5) Wann müssen 1800 fl. auf einmal bezahlt werden, wenn man 300 fl. nach l Jahr, 400 fl. nach iH Jahr, 500 fl. nach 2^Jah¬ ren, und den Rest nach 3^ Jahren ohne Zins zu zahlen schul¬ dig ist? 6) Jemand hat 1000 fl. sogleich, ioso fl. nach 2 Monaten, llOO fl. nach 4 Monaten, I!50fl. nach 6 Monaten, 1200 fl. nach 8 Mo¬ naten, 1250 fl. nach 19 Monaten zu zahlen; wann muß die Zahlung geichehen, wenn die Summe aller jener Terminzahlun¬ gen aus einmal erlegt werden soll? M. Die Gesellschaftsrechnung. 8- 62. Die G e se l l sch a f t s r e ch n u n g wird angewendst, wenn ein s Zahl in mehrere Theile so getheilt werden soll, daß diese Theile in ei¬ nem bestimmten Verhältnisse stehen. Dis Zahlen, durch welche dieses Verhältnis; ansgedrückt wird, heißen V er h ä l t n i ß z a h l e n. Z. B. Zu einem Handelsgeschäfte verbinden sich drei Personen; legt 8500 fl-, 8 9800 fl., 6 10000 fl. in den Handelsfond; wenn nun der ganze Gewinn 3400 fl. betrögt, wie viel davon gebührt ei¬ nem jeden? — Hier muß der Gewinn verhältnismäßig nach den Ein¬ lagen getheilt werden; diese Aufgabe gehört also zur Gesellschaftsrech¬ nung und zwar bilden die Einlagen 8500, 9800, 10000 die Verhält- nißzahleu. Kommt in einer Aufgabe nur eine Reihe von Verhältniß- zahlen vor, so nennt man die Gesellschaftsrechnung eine einfache; werden aber m ehrere Reihe n von Verhältnißzahlen gegeben, so heißt das Rechnungsverfahren die z u s a m m e n g e s e tz t e Gesellschafts¬ rechnung. Die GesellschafLSrechnung kommt bei Handelsgesellschaften zur Theilung des Gewinnes in Anwendung, ferner bei Bankerotten, Erb- 86 schäften, Schiffsantheilen, Steuervertheilungen, Vermischungen und verschiedenen anderen Geschäften vor. 63. Um die Regeln für die einfache Gesellschaftsrechnung zu ent¬ wickeln, soll folgende Aufgabe gelöset werden : Drei Personen treten zu einem Handelsgeschäfte zusammen, und zwar gibt 2800 sl. , U 3600 fl. und 0 4000 fl.; sie gewinnen da¬ mit 1300 fl.; wie viel von diesem Gewinne entfallt aus jede der drei Personen? Hier muß der Gewinn nach Verhältniß der Einlagen getheilt werden, dieVerhältnißzahlen sind also 2800, 3600, 4000. DaSVer- bältniß mehrerer Zahlen wird nicht geändert, wenn man sie alle mit derselben Zahl multiplizirt oder dividirt; kürzt man daher die früheren Zahlen durch 100 ab, so bekommt man 28, 36, 40, und kürzt man noch durch 4 ab, so sind die auf die einfachste Form gebrachten Ver- hältnißzahlcn 7, 9, 10. Der ganze Gewinn von 1300 fl. muß daher so vcrtheilt werden, daß auf^.7, auf 6 9 und auf 0 10, also auf alle zusammen 26 gleiche Lheile kommen; dividirt man die zu vertheilendc Zahl 1300 fl. durch 26, was die Summe aller Verhältnißzahlen ist, so zeigt der Quozicnt 50 fl. einen solchen Theil an; da aber /V 7, 6 9, 6 10 solche Theilc bekommt, so muß man 50 fl. noch mit den einzelnen Verhältnißzahlen muliiplizkren; nämlich: 50 x 7 — 350 fl. gewinnt .50 X 9 --- 450 „ „ 6, 50 X 10 — 500 „ „ 6. 1300 fl. ganzer Gewinn. Beider einfachen G esel ls ch a ft s r e ch n u n g sind dem¬ nach folgende Regeln zu beobachten: 1. Man schreibe die Verhältnißzahlen unter einander. ' Sind sic Brüche, so multiplizire man sie alle mit dem kleinsten gemeinschaft¬ lichen Nenner; haben alle Verhältnißzahlen ein gemeinschaftliches Maß, so kürze man sie dadurch ab. 2. Die auf die einfachste Form gebrachten Verhältnißzahlen werden addirt. 3. Man dividire die zu vertheilende Zahl durch die Summe der Verhältnißzahlen, und multiplizire den erhaltenen Quozienten nach und nach mit jeder Vcrhältnißzabl; die Produkte sind die gesuch¬ ten Lheile. Beispiele und Aufgaben. I) Die Bestandthsile des Schießpulvers sind: 75 Lheile Salpeter, 13 Lheile Kohlen und 12 Lheile Schwefel; wie viel von jedem dieser Besiandthcile wird zu 800 Pfund Schießpulver erfordert? 87 2) Es sollen 5610 fl. nach dem Verhältnisse der Zahlen 4, ß, E, » unter st, L, 0, 0 vertheilt werden. 231 00 3) Vier Personen treten zum Betriebe eines Geschäftes zusammen, und zwar st mit einer Einlage von 4500 sl. , L mit 5400 fl., 0 mit 6000 fl., v mit 9600 fl. Wenn nnn das Geschäft einen Gewinn von 4248 sl. abwirst, wst viel kommt aus jeden Theil: nehmer? 848 830 650 550 40 4) Zu einem Brückenbaue, der fl. 5241 „ 21 kostet, sollen drei Gemeinden beitragen. Die Gemeinde st ist von der Brücke 1 Meile, ö 2 und (l 3 Meilen entfernt. Wie viel wird jede Ge¬ meinde beisteuern, wenn die Zahlungen im umgekehrten Verhält¬ nisse der Entfernungen, also nach den Verhältnißzahlen 1, 2' 5 zu geschehen haben? st I 6 X 476 486 — 2858 916 fl. — fl. 2858 „ 55 L 3 X 476 486 --- 1429-458 „ --- „ 1429 „ 28 6 2 X 476-486 952 972 „ ----- „ 952 „ 58 5241-35 .st 1^ 476-4863 fl. 5241 „ 21 5) Ein Kreis hat vier Bezirke, von denen st fl. 2845 „ 28, k fl. 1748 „ 37, 6 fl. 2106 „ 29, o fl. 3019 „ 53 Steuer zahle. Wenn nun dieser Kreis eine besondere Zahlung von fl. 548 zu leisten hat, wie viel wird jeder Bezirk im Verhältnisse der Steuer¬ quote zu entrichten haben? 88 ä fl. 2845 „ 28 ----- fl. 2845-467 8 „ 1748 „ 87 --- „ 1748-61 7 6 „ 2106 „ 29 ----- » 2106'483 v „ 3019 „ 53 ----- „ 3019 883 845 : 9720 450 — 0 0869301. zahlt 0.0869301 X 2845 467 ----- 247-357 fl. ----- fl. 247 „ 22 6 „ 0 0869301 X 1748-617 — 152 007 „ ----- „ 152 „ — 6 „ 0-0869301 X 2106-483 ----- I83.II7 „ „ 183 „ 7 II „ 0-0869301 X 3019 883 ----- 262-519 „ „ 262 „ 31 fl. 845 VI 6) Ein Kaufmann, welcher an 7845 fl., an 8 10824 fl., an 6 8305 fl., an D 15234 fl., an 8 4211 fl. schuldig ist, fallirt. Wenn nun sein Vermögen fl. 21428 „ 37 beträgt, wie viel wird jeder Gläubiger bekommen? — Ffl. 3621 „ 31, 8 fl. 4996 „ 44, 6 fl. 3833 „ 52, v fl. 7032 „ 33, 8 fl. 1943 „ 57. 7) Jemand hinterläßt ein Vermögen von fl. 15845 , welches unter seine drei Erben so vertheilt werden soll, daß 2mal so viel als 8, und 8 3mal so viel als 0 betommt. Was erhält jeder Erbe? — So oft 6 l fl. erhält, bekommt 8 3 fl. und rX 6 fl. ; dieE-b- theile von A, 8 und 6 stehen also im Verhältnisse 6 : 3 - l, so daß fl. 9507, 8 fl. 4753 „ 30, 0 fl. 1584 „ 30 erhalt. 8) Für die Versendung von 2133 Pfd. Kaffee, 1735 Pfs. Zucker und 923 Pfd. Pfeffer werden 65 fl. 18 kr. Fracht gezahlt; wie viel kommt auf jeden dieser Artikel? 9) Bei gute,- rother Tinte rechnet man auf 1 Maß Weinessig, 2Loth Alaun, 2 Pfo. Fernambuk, 2^ Loth arabischen Gummi. Wollte man nun aus 3 Psd. 27 Loth dieser trockenen MÜchnng rothe Tinte bereiten, wie viel von jedem der drei letzteren Bestandtheile mußte genommen, und wie viel Weinessig dazu gesetzt werden? 10) Bei einem Geschäfte, zu welchem 3240 fl. , 8 1827 fl., 6 2380 fl., 0 3185 fl. hergibt, werden 581^ fl. gewonnen; wie viel kommt auf jeden? i l) Man theile die Zahl 3555 im Verhältnisse der Zahlen V i. 12) Zu Porzellan nimmt man 25 Theile Thon, 2 Theile Kies, I Tbeil GyPS; wie viel von jedem dieser Bestandtheile braucht man zu einer Masse von IO5 Pfund? 13) Zu einem Geschäfte gibt /V 1250 fl-, 8 2000 fl. , 6 2750 fl., l) 3000 fl. Wenn 1260 fl. gewonnen werden, und F? außer seinem verhältnismäßigen Antheile wegen seiner besonder« Dienstleistung noch 50/0 des Gewinnes erhält; wie viel kommt auf jeden? §. 64. Bei der zusammengesetzten Gesellschastsrcchnung, in welcher meh¬ rere Reihen von Verhältnißzahlen angegeben werden, hängen die ein¬ zelnen Theile von den Produkten der darauf bezüglichen Verhältnis- 89 zahlen ab, wodurch jede zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung auf eine einfache zurückgeführt werden kann. Wenn z. B. zu einem Handelsfonde l3000 fl. durch 4 Mo¬ nate, 8 aber 10000 fl durch 6 Monate hergibt, und dabei ein Ge¬ winn von 5000 fl. erzielt wird, so ist dieser Gewinn nach Verhältniß der Einlagen und zugleich nach Verhältnis der Zeit zu theilen. Allein da es gleichviel ist, ob -V 13000 fl. durch 4 Monate, 6 10000 „ „ 6 Monate, oder ob 13000 X 4 — 52000 fl. durch 1 Monat, L 10000 X 6 ----- 60000 „ » 1 Monat zur Benützung überläßt, so müssen auch in beiden Fällen auf und !1 dieselben Antheile am Gewinne entfallen. Weil nun im zweiten Falle die Zeit der Benützung dieselbe ist, so wird dec Gewinn nur nach Verhältniß der Einlagen, d. i. der Produkte 52000 und 60000 unter und k zu vertheileu sein; diese Zahlen bilden sonach die Verhält- nißzahlen einer einfachen Geselljchaftsrcchnung. Bei der z u s a m m e n g e se tzt e n G e s e l l s ch a f t s r e ch n u n g sind daher folgende Regeln zu beobachten: 1. Man schreibe die Verhältnißzahlen, welche auf denselben Lheil Bezug haben, neben einander. 2. Mau multiplizire die neben einander stehenden Verhältniß- zahlen mit einander. 3. Die erhaltenen Produkte betrachte man als Verhältnißzah- len einer einfachen Gesellschaftsrechnung, nach welcher daun die wei¬ tere Auslosung erfolgt. Beispiele und Ausgaben. 1) Ein Fuhrmann verpflichtet sich, um einen Lohn von 112 fl. drei Ladungen, und zwar 24 Ztr. 15 Meilen weit, 30 Ztr. 20 Mei¬ len weit und 26 Ztr. 25 Meilen weit zu führen. Was gebührt ihm für jede einzelne Ladung? 24 X 15 36S; 0'69565 X 36 ---- 25'043 fl. ----- fl. 25 „ S 30 X 20 600; 0 69565 x 60 — 41'739 „ ----- 41 ,, 44 26 X 25 658; 0-69565 X 65 ---- 45'217 „ ----- „ 45 „ 13 112 .161 — 0'69565 fl. 112 2) Zu einem Geschäfte vereinigen sich drei Personen; gibt 8200 fl. auf 5 Monats, L l osoo fl. auf 4 Monate, 0 12000 fl. auf 3 Monate her. Das Geschäft bringt einen Gewinn von 4520 fl.; wie viel davon wird jede der drei Personen erhalten? —- fl. 1557 v 18, L fl. 1595 „ 18, 6 fl. I3g7 „ 24. 3- Bei einem Brückenbaue waren 3 Gemeinden beschäftiget. Aus der Gemeinde arbeiteten 22 Mann durch lO Tage zu 9 Stun¬ den, aus der Gemeinde ll 18 Mann durch 9 Tage zu 10 Stun¬ den, aus der Gemeinde 6 15 Mann durch 5 Tage zu 12 Stun- 90 den täglich. Wenn nun dafür ein Lohn von 400 fl. verabfolgt wird, wie viel wird jede einzelne Gemeinde bekommen? — Die Gemeinde hat 176 fl., L 144 fl., 6 80 fl. zu erhalten. 4).^ beginnt am I. Jänner ein Geschäft mit 8000 fl. Kapital, am 1. Mai tritt 8 mit 5000 fl., und am 1. Juli 6 mit 6000 fl. bei; wenn sich nun mit Ende Dezember ein Gewinn von 1180 fl. 20 kr. ergibt, wie viel gebührt davon jedem der drei Theilnehmer? IV. Die A ll e g a zi o n s r e ch n ung. §. 65. Die Allegazions- oder auch V erIN i sch u n g s r e ch n u n g wird angewendet, wenn man das Verhältniß finden will, in welchem zwei oder mehrere gleichartige Dinge von verschiedenem Gehalte mit einander verbunden werden müssen, um eine Mittelgattung von be¬ stimmtem Gehalte zu bekommen. Z. B. Ein Silberarbeiter braucht I3löthiges Silber, er hat aber nur feines und l llöthiges Silber vorräthig; in welchem Ver¬ hältnisse müßte er diese beiden Gattungen legiren, damit die Legirung genau i slothig sei? Derlei Aufgaben werden nach der Allegazionsrech- nung aufgelöset. Die Gattung, welche man beim Mischen erhalten will, muß im¬ mer besser als die geringste, und geringer als die beste der Gattungen sein, die man zur Mischung verwendet. Wasser und Kupfer werden, wenn man sie zur Herabsetzung des Gehaltes des Weines und der ed¬ len Metalle damit verbindet, ihrem Werthe nach gleich Null gesetzt, und nur der Menge nach berücksichtiget. Bei den meisten Aufgaben muß, nachdem man durch dieAllega- zionsrechnung das Verhältniß der Mischung gefunden hat, die weitere Auflösung nach der Gesellschaftsrechnung vorgenommen werden. 8. 66. Wem; man aus zwei gegebenen Gattungen eine Mittelgattung erhalten will, so muß bei der Mischung das, was der geringeren Gat¬ tung bis zur Mittelgattung abgeht, die bessere durch ihren Ucberschuß ersetzen; jemehr sich also die geringere Gattung von der Mittelgat¬ tung unterscheidet, destp mehr von der bessern Gattung muß zur Mi¬ schung genommen werden; die Menge der besseren Gattung oder die Verhältnißzahl der Mischung für die bessere Gattung wird also durch den Unterschiedzwischen der Mittelgattung und der geringeren angezeigt. Eben so muß das, was die bessere Gattung mehr werth ist als die Mittelgattung, durch Hinzusetzen der schlechteren ausgegli¬ chen werden; man wird also um so mehr von der geringeren Gattung 91 in die Mischling aufnehmen, je mehr sich die bessere Gattung von der Mittelgattung unterscheidet; dieser Unterschied ist also die Verhält- nißzahl der Mischung für die gringere Gattung. Wenn daher nur zwei G a tt un g en unter einander gemischt werden sollen, um daraus eine bestimmte Mittelgattung zu erhalten, so beobachte man folgendes Verfahren: 1. Man schreibe die beiden zu vermischenden Gattungen unter einander, und setze links dazwischen die Mittelgattung. 2. Man ziehe die geringere Gattung von der Mittelgattung ab, und setze den Unterschied rechts neben die bessere Gattung; dann ziehe man die MittelgaUung von der besseren ab und schreibe den Unter¬ schied rechts neben die geringere Gattung. Diese Unterschiede sind die Verhältnißzahlen der Mischung für die nebenstehenden Gattungen. B e ispiele. 1) Ein Wirth will zweierlei Weine, den einen zu 20 kr., den an¬ dern zu 48 kr. so mischen, das, eine Maß der Mischung 40 kr. wcrth ist; in welchem Verhältnisse wird die Mischung geschehen müssen? üch 8i2 Der Unterschied zwischen der Mittelgattung 40 40 ssscho,5 und der geringeren 20 ist 20 und wird neben die bessere 48 hinzugesetzt; der Unterschied zwischen der Mittelgattung 40 und besseren 48 ist 8, und wird neben die geringere 20 hingeschrieben. Die Verhältnißzahlen der Mischung sind also 8 und 20, oder abge¬ kürzt 2 und 5; d. h. der Wirth muß von dem schlechteren Weine 2 Theilc, von dem besseren aber 5 eben solche Theile zur Mischung ver¬ wenden ; wollte er z. B. 10 Maß Wein zu 20 kr. nehmen, so müßten 25 Maß zu 48 kr. dazu gemischt werden, weil aus X : 10 --- 5 : 2 sich x —25 ergibt. Daß eine Maß dieser Mischung wirklich 40 kr. werth ist, findet man durch die Durchschnittsrechnung; es ist io Maß zu 20 kr. --- 200 kr. 25 „ „48 „ 1200 „ 35 Maß der Mischung 1400 kr. daher i „ „ „ 40 kr. 2) Ein Kaufmann will aus Kaffee im Preise zu 40 fl. und zu30fl. 28 Ztr. zu 32 fl. mischen; wie viel Ztr. muß er von jeder Sorte nehmen? 40 2!i Die Mengs von 28 Ztr. muß also im Verhalt- sisi 8,4 niffe i : 4 getheit werden; man hat nach der Ge- sellschaftsrcchnung: I; I X 5§ — 5ß Ztr. von der Sorte zu 40 fl. 4; 4 X — 22^ „ „ „ „ „ 30 „ 28 : H 5Z. Um sich von der Richtigkeit zu überzeugen, wendet man die Durchschnittsrechnung an; man erhält 92 SZ Ztr. zu 40 fl. ----- 224 fl. 22Z „ „ 30 „ ---- 672 „ 28 Zii^ .... 896 fl. daher i Ztr. 32 fl. 3) Ein Wirth hat zweierlei Weine, den Eimer zu 15 fl. und zu 24 fl.; er will durch Mischung dieser beiden Gattungen lO Ei¬ mer zu 2l fl. erhalten; wie viel muß er von jeder Gattung dazu verwenden? 21 — 6!? x 3^ ---- 6Z Timer zu 24 fl. 15 s!^x 3g — 3z „ „is „ 10 : 3 ---- 3Z Probe. 6ß Eimer zu 24 fl. — 160 fl. 3Z „ „15 /, ---- 50 „ fö Eimer der Mischung 210 fl. also I Eimer "21 fl. 4) Jemand will aus feinem und lOlöthigen Silber 16 Mark I3flö- thiges Silber legiren; wie viel von jeder Gattung muß er dazu nehmen? 3 t6>3tzsi i x A --- SZ Mark feines Silber ^2^1 7 x ß - 6Z „ lOlöth. „ 16 : 18 -- - Z. Probe. 9ß Mark feines Silber enthalten I56Z Lth. fein Silber 6Z „ lOloth. „ „ 62^ „ » „ iHark der Legirung .... 2 i8tz Lth. fein Silber daher kommen auf 1 Mark I3Z Lth. fein Silber. 5) Ein Silberarbeiter hat 6 Mark feines Silber; wie viel Kupfer muß er damit legiren, um I3lbthigeS Silber zu bekommen? 13 daher x : 6 ------ 3 : 13, ai 3 woraus x ----- 1^ Mark Kupfer. Probe. 6 Mark I6löth. --- 96 Lth. fein Silber " 0 „ ----- 0 /, „ » 7-^ Mark . . . 96 Lth. sein Silber 1 Mark . . . 13 Lth. fein Silber. 6) Ein Goldarbeiter will aus 17 und 23karatigem Golde 2^ Mark 2lkaratiges Gold legiren, wie viel muß er von jeder Sorte dazu nehmen? — Vom I7karatigem GoldeMark, vom 23karatigen I§ Mark. ° 7) Zwei Gattungen Kaffee, zu 18 kr. und zu 28 kr. daS Pfund, sol¬ len so gemischt werden, daß man einen Zentner zu 2 4 kr. das Pfund erhält; wie viel von jeder Gattung muß dazu genommen werden? — 40 Pfund zu 18 kr. und 60 Pfund zu 28 kr. 93 8) Ein Essighändler will seinen zu starken Essig mit Wasser verdün¬ nen; unverdünnt würde er die Maß um 16 kr. verkaufen; wenn er 12^ Eimer verdünnten Essig erhalten, und die Maß davon um 12 kr. verkaufen will, wie viel Essig und wie viel Wasser muß er zu der Mischung nehmen? S) Aus 16 und 22karatigem Gold will man 4 Mark I8karatiges schmelzen; wie viel muß von jeder Sorte genommen werden? IO) Wievrel feines Silberund wie viel Kupfer muß man nehmen, um Mark llßlöthiges Silber zu bekommen? 8. 67. Häufig soll man auch mehr als zwei Gattungen zur Mischung verwenden, und zu diesem Ende das Mischungsverhältnis ausmitteln. Die Auflösung dieser Aufgabe ist unbestimmt; es lassen sich nämlich verschiedene Zusammensetzungen vornehmen, welche alle aus die be¬ stimmte Mittelgauung führen. Sollen m e h r a l s z w e i G a ttu n g e n mit einer gemischt wer¬ den, um eine Mittelgattung zu erhalten, so geht man dabei von dem Grundsätze aus: wenn man immer eine bessere und eine schlechtere Gattung so zusammenseht, daß man die verlangte Mittelgattung er¬ hält, so wiid gewiß auch durch alle diese Mischungen zusammen genom¬ men dieselbe Mittelgattung zum Vorschein kommen. Daraus ergibt sich zur Auffindung deS Mischungsverhältnisses folgendes Ver¬ fahren: 1. Man schreibe die zu vermischenden Gattungen in der Ord¬ nung von der besten bis zur geringsten, oder umgekehrt unter einan¬ der; links wird die Mittelgattung gesetzt. 2. Man nehme nach und nach immer eine bessere und eine ge¬ ringere Gattung und vergleiche sic mir der Mittelgattung ; den Unter¬ schied zwischen der Mittelgattung und der geringeren setze man rechts neben der besseien Gattung, den Unterschied zwischen der mittleren und besseren Gattung schreibe man rechts neben der geringeren an. So fahre man fort, bis jede Gattung mit einer anderen verbunden er¬ scheint. Oesters wird eine Gattung auch mit mehreren anderen zu¬ sammengesetzt, und zwar dann, wenn die Anzahl der besseren Gattun¬ gen jener der geringeren nicht gleich ist, oder wenn man von einer Gattung eine größere Menge zur Mischung verwenden will; in sol¬ chen Fällen kommen dann neben jener Gattung mehrere Unterschiede zu stehen. Der Unterschied, welcher neben jeder Gattung steht, oder wenn mehrere Unterschiede da sind, ihre Summe ist die Verhäitnißzahl der Mischung für die betreffende Gattung. Beispiele und Aufgaben. i) Ein Silberarbeiter braucht illlöthiges Silber; er besitzt aber nur feines und islöthiges Silber und muß daher auch Kupfer dazu mischen; in welchem Verhältnisse muß nun die Legirung vorgenommen wercn? 94 16 13 13 15 13 13 13— O 3 -f- 215 Hier verbindet man zuerst I6löthiges Silber und Kupfer (Olothiges Silber), dann 15 und Olothiges, und erhält so die Verhältnißzahlen 13, 13 und 5. Wenn man z. B. 13 Mark feines Silber und 13 Mark I5löthi- ges Silber nimmt, so muß man 5 Mark Kupfer dazu setzen, um I3lö-- thiges Silber zu bekommen; es ist wirklich 13 Mark ü 16 Lth. 208 Lth. Silber 13 „ ü 15 „ 195 „ „ 5 „ ä 0 „ ---- 0 „ „ 31 Mark der Legirung 403 Lth. sein Silber. also kommen aus i Mark 13 Lth. fein Silber. 2) Aus 8löthigem, lOlothigem und feinem Silber sollen 15 Mark I3lothiges Silber legirt werden; wie viel Mark sind von jeder Sorte zu nehmen? 8 15 : 14 1^. 3 3 5 8 13 -0 16 3 x -- 3^ Mark 3 x 1^ -- 3^ » 8X1^ --8^ , Probe. 3^ Mark 8löth. Silber — 25° Loth fein „ 10 „ „ — 32^ // „ 8k . 16 „ „ — I37z „ „ 15 Mark Legirung ... 195 Loth fein. also i Mark 13 Loth fein. 3) Ein Wirth will viererlei Weine zu 15 fl., zu 18 fl., zu 24 fl., zu 28 fl. so mischen, daß er 38 Eimer zu 20 fl. erhalte; wie viel Eimer muß er von jeder Sorte dazu nehmen? Diese Aufgabe läßt verschiedene Auflösungen zu. a. Man verbinde die beste und schlechteste, und dann die beiden Mittelgattungen. 15 20 8 18 6 24 8 28 5 X 2 X 2 X 2 X 2 38 : 19 — 2 — 16 Eimer ä 15 fl. — 240 fl. --^ 8 „ ä 18 „ ----- 144 — 4 „ ä 24 „ — 96 „ ----10 „ s 28 „ 280 „ "38 Eimer .... 760 fl. i Eimer kostet wirklich 20^l? I». Man verbinde mit 6, 8 mit v. 15 8 18 20 ÖH 4X2 8X2 S X 2 v 28 2 X2 38 : n — 2 ----- 8 Eimer ü 15 fl. — 120 fl. ----- 16 „ ü 18 „ — 288 „ ----- 10 „ ä 24 „ 240 „ ----- 4 „ Ü 28 „ ----- 112 „ 38 Eimer .... 760 fl. also kostet I Eimer 20 fl. 95 14 38 28 — 14 14 4 4 5 S v IS 18 24 28 8 12 !' 2 7 zu v Eimer 'L — 16^ k)_6- sL «L o. Man verbinde mit 6, mit v, 8 mit 6. is' 8 18 'O 6-24 v 28 38 Eimer fl. - 244^fl. „ -- 97^ „ „ — 228 „ „ — 190 „ . . 760^7 i Eimer kostet also 20 st. Welche Verbindungen lassen sich hier noch vornehmen, und in welchem Falle wäre die eine oder die andere vorzuziehen? 4) Aus lOlötbigem, lllöthigem, i slöthigem Silber und ausKupfer sollen 10 Mark I3löthjges Silber legirt werden; wie viel Mark wird man von jeder Sorte dazu nehmen müssen?— Vom lOlö- thigen Silber nimmt man ß Mark, vom «Ilöthigen A Mark, vom islöthigen ?2 Mark, vom Kupfer Mark. Welche Ver¬ bindungen genügen ebenfalls der Aufgabe? 5) Ein Kaufmann hat fünf verschiedene Sorten Kaffee, den Zent¬ ner zu 30 fl., zu 38 ff, zu 42 fl., zu 45 fl., zu so fl.; welche Verbindungsarten lassen sich vornehmen, um eine Sorte Kaffee zu erhalten, wovon der Zentner 40 fl. kostet? V. Die Kettenre ch n u ng. §. 68. ES gibt Aufgaben, zu deren Auflösung solche Mittelbcstimmun- gen erforderlich sind, daß jede derselben zwei ungleichartige am Wer- the gleiche Größen enthält, die einzeln entweder mit einerGröße einer andern Mittelbestimmung oder der Aufgabe selbst gleichnamig sind. Die Rechnungsart, durch welche solche Aufgaben gclöset werden, heißt wegen der innigen Verkettung der dabei vorkommenden Größen die K e t t e n.r e ch n u n g. Z. B. Auf wie viel Gulden K. M. kommen 128 Wiener Pfund einer Waare, wovon 65 Hamburger Pfund 524 Mark Banko betra¬ gen? — Zur Lösung dieser Aufgabe muß man nothwendig die Ver¬ hältnisse zwischen dem Hamburger Pfund und dem Wiener Pfund, zwischen der Mark Banko und dem Gulden K. M. kennen; man er¬ sieht dieselben aus folgenden Bestimmungen: 100 Hamburger Pfd. machen 86Z Wiener Pfd., 200 Mark Banko betrogen 146 Gulden K. M. Mit Hilfe dieser Mittelbestimmungen, deren jede zwei ungleich¬ artige gleiche Größen enthält, die einzeln mit den Größen der Aufgabe gleichnamig sind, kann nun die unbekannte Zahl gefunden werden. Dicß ist also eine Aufgabe, bei welcher die Kettenrechnung angewen¬ det wird. 96 Jede Ausgabe der Kettenrechnung kann durch wiederholte An¬ wendung der einfachen Regeldetri aufgelöset werden. So läßt sich die vorliegende Aufgabe in folgende drei Aufgaben zerlegen: g) Wie viel Wiener Pfd. machen 65 Hamb. Pfd., wenn 100Hamb. Pfd. 86z- Wien. Pfd. betragen? yWien.Pfd. 65 Hamb.Pfd. 7 : 86z — 65 : ioo 86z „ „ IOO „ „ also 7 ^--- 56 225 Wien. Pfd. b) Wie viel fl. K. M. betragen 524 M. B., wenn 200 M. B. 146 fl. K. M. machen? 2 fl. K. M. 524 Mark B. 2 : 146 — 524 : 200 146 „ „ 200 „ also 2 ----- 382-52 fl. K. M. e) Wie viel fl. K. M. kosien 128 Wien. Pfd.. wenn 56-225 Wien. Pfd. 382-52 fl. K.M. kosten? x fl. K.M. 128 Wien. Pfd. X : 382-52 — 128 : 56-224 382-52 „ „ 56-225 „ folglich x ^-- 870'779 fl. K. M. ---- fl. 870 „ 47. Eine solche wiederholte Anwendung der einfachen Regeldetri führt zwar zum gewünschten Resultate, ist aber zu weitläufig; daher soll ein Verfahren abgeleitet werden, nach welchem die Aufgaben der Kettenrechnung mittelst eines einzigen Ansatzes aufgelöset werden. Stellt man die erhaltenen drei Proporzionen zusammen, indem man jedoch in cher ersten die beiden Verhältnisse verwechselt, und in der dritten statt der gefundenen Zahlen 56-225 und 382'52 die Buch¬ staben 7 und 2 beibchält, so hat man 65 : IOO ----- 7 : 86z > durch Multiplikazion der gleichnami- 2 : 146 — 524: 200 f gen Glieder erhält man wieder eine Pro- x : 2 — 128 : 7 j porzion XX2X65 .- 2X 100X 146 — 7X 524X 128 - 7x86z X 200 Kürzt man das erste Verhältnis; mit 2 und das zweite mit 7 ab, so ist x X 65 : IOO X 146 — 524 X 128 : 86^ X 20. Das Produkt der äußern Glieder ist gleich dem Produkte der innern Glieder, daher X X 86z X 65 X 20 ----- 128 X IOO X 524 X 146, und 128 X 100 X S24 X 14« * — 86' X 65 X Ä Um den Zusammenhang dieses Ausdruckes mit den Zahlen der Aufgabe zu ersehen, bringe man diese auf diejenige Form, in welcher die Kettenverbindung am deutlichsten in die Augen fällt. Man fange nämlich mit der Frage an, indem man zuerst x mit seiner Benennung und daneben die Große setzt, welche mit x gleichen Werth hat und deren Betrag eben gesucht wird; darunter setze man die einzelnen Mittelbestimmungen so, daß die erste Große einer jeden Bestimmung 97 mit der zweiten Größe der vorhergehenden Bestimmung gleichen Na¬ men hak. Bei dieser Anordnung wird die zweite Größe der letzten Be¬ stimmung mit x gleichnamig erscheinen. Die hier betrachtete Aufgabe wird unter dieser Form so stehen: fl. K.M. x kosten 128 Wien. Pfd. wenn Wr. Pfd. 86^ ... . ioo Hamb. Pfd. betragen, wenn Hamb. Pfd. 6S .... 524 Mark B. kosten, und wenn Mark B. 200 146 fl. Ä. M. machen. Vergleicht mau nun diesen Ansatz mit dem oben für x gefunde¬ nen Ausdrucke, so sieht mau sogleich, daß x gleich ist dem Produkte al¬ ler im Ansätze rechts stehenden Zahlen dividirt durch daS Produkt aller links vorkommenden bekannten Zahlen. Würde man zwischen beiden Reihen von Zahlen einen aufrechten Strich ziehen, so könnte der Werth von x nach der Strichmethode gesunden werden. §. 69. Aus allem diesen ergibt sich für die Ketten rechnung folgen¬ des Verfahren: 1. Man ziehe einen aufrechten Strich und schreibe x mit seiner Be¬ nennung links, die bekannte Größe aber, deren Betrag gesucht wird, und die daher mit x gleichen Werth hat, rechts des Striches. 2. Darunter setze man alle Mittelbcstimmungen, und zwar fange man jedesmal links mit einer Größe an, welche mit der nächst- vorhergchenden Größe auf der rechten Seite völlig gleichen Na¬ men und gleiche Natur hat, und rechts neben jede Größe kommt diejenige Größe, welche mit ihr gleichen Werth hat. Kommt eine mehrnamige Zahl vor, so muß sie in eine einnamige verwandelt werden. — Wenn alle Mittelbcstimmungen in die Kette ausge¬ nommen wurden, was man daran erkennt, daß die letzte Größe rechts mit x gleiches Namens und gleicher Natur ist, so ist der Ansatz vollendet. 3. Die Auflösung erfolgt nach der Strichmethode. Beispiele und Aufgaben. 1) Was kosten 3 Ztr. einer Waare, wenn man 5 Loth um 18 kr. bekommt fl. x 3 Ztr. 1 100 Pfd. 1 32 Lth. S 18 kr. 60 1 fl.; woraus x -- 576 fl. Man setzt x mit dem Namen, hier Gulden, links, und rechts die Größe 3 Ztr., deren Werth man sucht. Da man mit Ztr. aufhört, so muß die folgende Mittelbestimmung mit Ztr. anfangen; dieses ge- Noönik, Arithmetik, 11, Abth. r. Auff. 7 98 schieht, indem man folgert : wennl Ztr.... 100 Pfund enthalt. Hier hort man rechts mit Pfd. aus, so muß man wieder links mit Pfd. anfan¬ gen; dich geschieht, indem man ansetzt; wenn l Pfd. ... 32 Loth enthält. Nun bildet man den Uebergang von der Waare zum Preise dadurch, daß man sagt: wenn 5 Loth ... I8kr. kosten. Hier hört man mit Kreuzern auf; x bedeutet aber Gulden, darumzieht man noch die Mittelbestimmung zu Hülfe: wenn 60 kr. . . . I st. geben. Da nun die letzte Größe rechts mit x gleichen Namen hat, so ist der Ansatz fertig. Zur Auflösung desselben bedient man sich der Strichmethode. 2) 3) Ein Landmann gibt einem Wirthe 13z Metzen Weizen zu 2z fl; wie viel Wein muß ihm dafür der Wirth geben, den Eimer zu 8^ fl. gerechnet? Eimer x I3z Metzen 1 2z fl. 8ß 1 Eimer; also x — 7z Eimer. In Odessa kostet l Lschetwert Weizen 22 Bankrubel; wie hoch kommt l Wie¬ ner Metzen zu stehen, wenn 2 Tschet- wert 5 Star, wenn IO Star 12 Wien. Metzen machen, und wenn loo Bank¬ rubel 4sz fl. K.M. betragen? fl. x l W. Metz. 12 io Star 5^2 Tschetw. l 22 Bankrub. ioo^45z fl. X ----- 3-337 fl. ----- fl. 3 „ 20. 4) Wie viel Londner Ztr. ma¬ chen 253 Wien. Ztr., wenn 100 Lond. Pf. — 81 Wien. Pfd., und wenn i Londn. Ztr. 112 Lond. Pfd. enthält? Londn. Ztr. x 253 Wien. Ztr. I 100 Wien. Pfd. 81 100 Londn. Pfd. II2 I Londn. Ztr. X--- 278-88 Ldn. Ztr. 5) In Hamburg kostet i Hamb.Pfd.Kaffeh 5^ Schilling, wie hoch in K. M. kommen 5'- Wien. Ztr., wenn 100 Hamb. Pfd. — 86z Wien. Pfd., und 200 Mark — 146^ fl. K. angenommen werden, wenn endlich i Mark 16 Schill, enthält? 5z Schill. I Mark fl. x stz Wien. Ztr. I 100 Wien. Pfd. 86z 100 Hamb. Pfd. I ' 16 200 I4t>z fl. 6) 7) X ------ 30S-97I fl. ----- fl. 30S „ 58. Jemand kaust 3 Ztr. 54 Pfd. um Ii8fl. ein. Wie theuer wird er i Pfd. verkaufen, wenn er die um loofl. eingekaufte Waareum 120 fl. verkaufen will? kr. Verkaufxll Pfd. 354 1 18 fl. Einkauf 100 120 fl. Verkauf I 60 kr. V erkauf x ----- 24 kr. Ein Silberbarren ist 14z Mark schwer, und zwar enthält jede Mark 13 Loth fein Silber; wie viel ist der Silberbarr. werth, wenn 16 Lth. fein Silber zu 2vz fl. gerechnet werden? fl.x I4z Mark I 13 Lth. fein Silb. 16 20z fl. x --- 237-98st fl. ----- 237 „ 5S. 99 8) In London kostet ein 4 Pfund Laib Brot von der besten Gattung io Pences; wie viel Wiener Loth müßte nach demselben Verhältnisse eine Kreuzersemmel wiegen? I Pfund Sterling hat 20 Schilling zu 12 Pences, 2^ Pfd. St. machen 20 fl. K. M.; ferner sind 100 Pfd. uvoir-81 Wiener Pfd. xLth.Il kr. 6o!l fl. 20 2^ Pfd. St. I 20 Schill. 1 12 Penc. 10 4 Pfd. gvnir 100 81 Wien. Pfd. 1^32 Loth x 4^ Loth. Wenn man 923 Pfd. einer Waare um fl. 295 „ 20 einkauft und den Zentner um 29 fl. verkauft; hat man dabei Gewinn oder Verlust, und zwar wie viel Um den Gewinn oder Verlust in Prozenten zu bestimmen, fangt man die Kette mit der Frage an: x fl. Einnahme beim Verkaufe geben 100 fl. Ausgabe beim Einkäufe. Ist das Resultat der Kettenrechnung größer als 100, so hat man Gewinn, und zwar zeigt die Zahl, um welche die gefundene Einnahme größer als ,00 ist, die Gewinn an; kommt weniger als >00 heraus, so hat man Verlust, und zwar zeigt die Zahl, um welche die gefundene Einnahme kleiner als 100 ist, die Verlust "/s, an; kommt gerade ioo heraus, so hat man weder Gewinn noch Verlust. xfl. Einnahme 295^ IOO ioo fl. Ausgabe 923 Pfd. 29 fl. Einnahme. X — 90 63 fl. Einnahme, also IOO 90 63 9'37 o/o Verlust. 10) Jemand kaust 80 Eimer Wein zu 14 fl. und verkauft dann die Maß zu 24 kr.; wie viel "/s, gewinnt oder verliert er? x fl. Einnahme 14 I 60 100 fl. Ausgabe 40 Maß 24 kr. Einnahme I fl. Einnahme X --- I!4ß fl. Einnahme; daher 14^ "/o Gewinn. I I) Jemand kauft den Ztr. Oel um 30 fl. und muß dann das Pfund um 18 kr. verkarsten; wie viel Gewinn oder Verlust hat er dabei? x fl. Einnahme 30 1 60 IOO fl. Ausgabe IOO Pfund 18 kr. Einnahme I fl. Einnahme x — ioo fl. Einnahme. Es ist also bei dem Verkaufe weder gewonnen noch verloren worden. 12) In Oesterreich gehen 20 fl. auf eine Mark fein Silber und 67U s 4^ fl. auf eine Mark Gold, fein 23Z Karat; welches Verhäir- niß haben daselbst Gold und Silber gegen einander? 7 * 100 x Mark fein Silber i 23ß I 20 i Mark fein Gold 24 Karat fein Gold 67 N 4z fl. I Mark fein Silber. x — 15 2873 Mark fein Silber. Eine Mark sein Gold gilt daher in Oesterreich 15 2873mal so viel als eine Mark fein Silber, oder e§ verhält sich Gold zu Silber wie 15 2873 : I. 13) Eine Ium ausliiavii hat 3-897828 vknari feines Silber; wie viel 1,11-6 gehen auf eine kölnische Mark sein Silber, wenn 29 metrische Pfd. — 124 köln. Mark und iooo Dcnari----1 metr. Pfd. sind? — 60 Stuck. 14) Ein Wiener Joch enthalt 57-557, ein preußischer Morgen 25-532 französische Ares; wie viel Wiener Joch hält ein Grundstück, welches nach preußischem Maße I37js Morgen groß ist? 15) Wie viele französische Meter gehen auf die österreichische Meile von 4000 Wiener Klafter, wenn i Wiener Fuß 0-31611 Meter enthält? 16) DerHamburger Zentner hat 112 Hamburger Pfd., wovon jedes 0 4846 Kilogramm enthält, und das Wiener Pfd. wiegt 0 56 Kilogramm; wie viel st. K. M. kostet der Wiener Zentner einer Waare, wovon 3 Hamburger Zentner 208^ Mark Banko kosten, wenn man 200 Mark Banko zu 163^ fl. K. M- rechnet? 17) Jemand kaust 4 Stück Tuch zu 32Ellen um 430fl.; wie theuer muß er die Elle verkaufen, wenn er i0°/„ gewinnen will? 18) Wie viel Wiener Pfd. beträgt der preußische Zentner von 112 Pfd, wenn l Wiener Pfd. o 56 Kilogramm und l preuß. Psd. — 0-4677 Kilogramm ist. 19) Man verwandle 100 preußische Friedrichsd'or nach ihrem innern Geldwenhe in kais. Dukaten. — Aus einer kölnischen Mark Gold, 260 Grän fein, werden 35 Friedrichsd'or geprägt; dagegen gehen von k. Dukaten aufeineköln. MarkGold, 23^Karat sein, 67 Stück 20) Die jährliche Weinausfuhr aus Oporto in Portugal beträgt im Durchschnitte 34280 ?ip38; wie viel sind das österr. Eimer? — I ?ipa — 26 ^Imucliis zu 12 Oanbaila«; 1 Lunlisäa — 1 3867 Ur; ein Wiener Maß — i-4isi I.tter. Zinsesziüsrech nung. §. 70. Bei Verzinsungen von Kapitalien geschieht es häufig, daß dis Interessen am Ende eines jeden ganzen oder halben Jahres zum Kapi¬ tale geschlagen und mit diesem zugleich wieder verzinst werden; man 101 sagt in diesem Falle: das Kapital ist ans Zins von Zins oder a ufZi n se sz insen angelegt. Die Zinseszinsen werden auch zu¬ sammen g e setz t e Interessen genannt, während die gewöhnlichen Interessen einfache heißen. Um den Werth eines Geldbetrages nach einer bestimmten Zeit, wahrend welcher die Zinsen nach einer bestimmten Periode wieder zum Kapitale geschlagen und mit diesem verzinst werden, zu erhalten, könnte man das Interesse für jede einzelne Periode berechnen, und jedesmal zu dem Anfangskapitale jener Periode addiren. Z. B. Wie hoch werden 2000 fl. Kapital in 4 Jahren anwach¬ sen, wenn man die Interessen am Ende eines jeden Jahres zum Kapitale schlägt und von Neuem verzinset? Anfangskapital fl. 2000 Zins des I. Jahres „ 100 Kapital zu Ende des l. Jahres fl. 2löo Zins des 2. Jahres „ 105 Kapital zu Ende des 2. Jahres fl. 2205 Zins des 3. Jahres „ k 10'25 Kapital zu Ende deö 3. Jahres fl. 231525 Zins des 4. JahreS „ > 15- 7625 Kapital zu Ende des 4. Jahres fl. 2431 0125 — fl. 243t „i. Nach den einfachen Interessen wäre dcr ZinS in t Jahre 100 fl., also in 4 Jahren 400 fl., wahrens das Erträgniß nach Zinseszinfln fl. 43t „i ist; der Unterschied von fl. 3t „ 1, geht also aus den Zin¬ seszinsen hervor. Da die vorhergehende Rechnung sehr weitläufig ist, so soll hier ein anderes, kürzeres Verfahren entwickelt werden, nach welchem man das Anwachsen mittelst Zinseszinsen berechnen kann. 100 fl. am Anfänge eines Jahres sind zu 5"/o verzinset am Ende desselben JahreS 105 fl., also i fl. den toosten Theil von 105, näm¬ lich t'O5 fl. werth. Man hat daher für das frühere Beispiel folgende Kettenrechnung: x fl.Werth am Ende des 4.Jahr. l i t i 2000 fl. Anfangskapital t-05 fl. am Ende des t. Jahres 1'05 „ „ „ „ 2. „ 1'05 „ v v 8. „ 1'05 „ „ ,, „ 4. „ x---2000 Xi 05x1'05 X 1 05 X 1'05 oder x —2000 x (1'05)4. Man muß also i-05, d. i. die Zahl, welche gefunden wird, wenn man zu 100 das Prozent 5 addirt, und diese Summe 105 durch 100 dividirt, 4inal, d. i. so oftmal, als Jahre da sind, als Faktor setzen, und dann das Anfangskapital damit multipliziren. (1'05)4 gibt 1'215506 und 2000 X 1'215506 — 2431 012 --- fl. 2431 „ 1, wie oben. 102 Würde man die Interessen nicht ganzjährig, sondern am Ende eines jeden halben Jahres zum Kapitale schlagen, so hätte man, da IOO fl. nach einem Halbjahre I02-S fl. werth sind, i fl. also den W-rth von i 025 fl. bekommt, folgende Kette: x--- 2000x(1 025)" Hier iii also 1-025, d. i. die Zahl, welche erhalten wird, wenn man zu 100 das Prozent 2 5 für ein halbes Jahr addirt und die Summe 102-5 durch >00 dividirt, zur 8ten, d. i. zur sovielten Po¬ tenz zu erheben, als Halbjahre da sind, und mit der so erhaltenen Zahl das Anfangskapital zu multipliziren. Die Zahlen (1-05)^ und (1-025)" kann man Aufzinsungö- faktoren nennen. U m daher den Werth eines Kapitals nach einer be¬ stimmten Zeit, während welcher Zins von Zins ge¬ rechnet wird, zu finden, multiplizirl man das gege¬ bene Kapital mit dem entsprechenden AufzinsungS» faktor. Es wird aber der entsprechende Aufzinsungsfaktor berechnet, wenn man zu 100 das Prozent für eine Zeitperiode addirt, diese Summe durch 100 dividirt, und den Quozienten zur sovielten Potenz erhebt, als Zeitperioden da sind. Zur Berechnung des Aufzinsungsfaktors für 6 Perioden, wenn der Zinsfuß z. B. 4"/, ist, hat man 104X1 04 112 4 8 6 4 x 1 124864 416 4 6 8,4,2,11 (2) 1 0816 X 1 04 1 1 2 4 8 6 4 43264 1 1 2 4 8 6 (3) 1 124864 2 2 4 9 7 4 4 9 9 9 00 68 5 (I 04)" --- 1 2 6 5 3 1 9. Die folgende Tabelle enthält die bereits ausgerechneten Aufzinsungs¬ faktoren für 2, 3, 4, 5 Prozent und l, 2, 3,...29, 30 Zeitperiodev. 103 Beispiele. I) Ein Kapital von soso fl. ist zu 5"/^ Zinseszins angelegt; wie hoch wird es bei ganzjähriger Kapitalisirung in 6 Jahren an- wachsen? Dec Aufzinsungsfaktor für 6 Zeitperioden und 5 "Z, ist l 340096 ; man hat daher 5000 X 1'340 096 6 700-480 — fl. 6700 „ 29. 104 2) Wie hoch wird cin zu 4 "/f, Zins von Zins angelegtes Kapital van 1234 fl. in 7 Jahren bei halbjähriger Kapitalisazion an¬ wachsen ? Hier sind 14 Halbjahre und das halbjährige Prozent, näm¬ lich 2 Hf, in Rechnung zu bringen; der entsprechende Auf¬ zinsungsfaktor ist 1'319479, und man hat 1234 X I 319 479 4 321 I 319 479 263 896 39 584 5 278 3) 4) S) // // durch 5, . . . die 2205 000 1050 000 4000 000 und die Betrag aus der // // // // // l/ 0 // // // // // // // // // // 0 2241'949 2241 „ 57. I 265319 325 X 1'216653 325 X I 169859 325 X I 124864 325 X 1081600 325 X 1 040000 1. Summe 2. 3. 4. 5. 6. Gesammtbetragnach6Jahr. 325 x 6-898295 — I 628'237 — st- 1628 „ 14. Wie viel werden 5800 fl. zu Hf, Zinseszins bei ganzjähriger Ka- pitalisirung nach 20 Jahren werth sein? 5800 X 1'8061,1 10475 444 ---- fl. 10475 ,, 27. Ein Vater legt zu Gunsten seines jetzt 13jährigen Sohnes 2300 fl. in die Sparkasse ein, welche mit 40/f, jährlich verzinst, Interessen halbjährig zum Kapitale schlägt. Welchen wird der Sohn, wenn er das 24ste Jahr erreicht hat, Sparkasse beziehen? Man hat hier 22 Halbjahre und 2 halbjährig, 2300 X I 545980 ---- 3555'754 — fl. 3555 „ Jemand ist verpflichtet, 3000 fl. nach l Jahre, 2000 fl. nach 2 Jahren, 1000 fl. nach 3 Jahren und 4000 fl nach 4 Jahren zu bezahlen; wie viel werden alle diese Beträge nach 4 Jahren werth sein, wenn man 5 Hf, Zinseszins rechnet, und wenn die Kapitalisirung ganzjährig geschieht? 3000 fl. nach 1 Jahre zahlbar, sind nach 4 Jahren fl. 3472-975 werth 2000 „ 1000 „ 4000 ,, 2 Jahren „ 3 ,, „ 4 " „ _ ganzer Betrag nach 4 Jahren fl. 10727-875 --- fl. 10727 „ 52. 6) Jemand legt durch 6 Jahre zu Anfänge eines jeden derselben 325 fl. aus Zins vonZins; wie hoch wird das Kapital bei ganz¬ jähriger Kapitalisazion zu 4ssf, in jener Zeit anwachsen? Da die erste Summe durch 6, die zweite sechste durch 1 Jahr anliegt, so hat man nach 6 Jahren 325 daher 45. 105 7) Welchen Werth hat ein Kapital von fl. 3758 „ 24 bei 5 Zinseszins nach 18 Jahren? 8) Ein Vater will seinem Sohne gleich bei der Geburt ein Kapi¬ tal sichern, welches dem Letzten, im 24sten Lebensjahre ausgc- zahlt wird. Zu dem Ende legt er gleich jetzt den Betrag von 1250 fi. in eine Versicherungsanstalt, welche 4^ gibt. Welche Summe wird diese Anstalt, wenn die Zinsen jährlich zum Kapitale ge¬ schlagen worden sind, dem Sohne auszuzahlen haben? S) Jemand legt zu Anfänge jedes halben Jahres durch 12 Jahre hinter einander 40 fl. in eine Sparkasse, bei welcher halbjährige Kapitalisirung mit 2"^ Statt findet. Wie groß ist sein Erspar- niß nach dieser Zeit? 10) Bei einem Hausverkause wird dem Käufer freigestellt, jetzt gleich 6000 fl. zu erlegen und das zweite und dritte Jahr zu derselben Zeit eine gleiche Summe; oder zur Zeit des letzten Termins in einer Summe 19000 fl. zu entrichten. Da der Käufer seine Gel¬ der in seinem Geschäfte mit 5^ Nutzen verwenden kann, so möchte er wissen, auf welche der Bedingungen er, um seinen Vortheil zu wahren, cingehen müsse. 1 Jahre 2 Jahren 3 „ 1 §. 72. Um die umgekehrte Aufgabe zu lösen, wie nämlich der Werih eines Geldbetrages vor einer gewissen Zeit mit Rücksicht auf Zinses¬ zinsen bestimmt wird, wird man wieder die Kettenrechnung zu Hilfe ziehen. Man suche z. B. den Werth, den ein Betrag von 2000 fl. vor 3 Jahren hat, den Zins von Zins zu 4 gerechnet, und zwar bei ganzjähriger Kapitalisazion.— 100 fl. sind nach einem Jahre i04fl., daher j fl. den lOOsten Thcil von 104, d. i. 1-04 fl. wcrth; umge¬ kehrt muß also der Werth von sein. Man hat daher die Kette: x fl. Werth vor 3 Jahren 1 04 1-04 1-04 1-04 fl. um 1 Jahr früher nur i fi. 2000 fl. gegenwärtiger Werth 1 fl. Werth vor » ... ' (104U' Es ist also I durch den Aufzinsungsfaktor (l 04») zu dividiren, und mit der dadurch erhaltenen Zahl der gegebene Geldbetrag 2000 zu multipliziren. Da (1'04)»--- 1'124864 und somit --- 0 888996 ist, so hat Man x— 2000 X 0-888996 — 1777-992 — fl. 1778. Wäre hier die Kapitalisazion halbjährig vorausgesetzt worden, so hatte man nur das halbe Prozent, also 2 nehmen, dagegen i durch (1-02)6, wejs 6 halbe Jahre vorkommen, dividiren, und folglich 2000 mit multipliziren müssen. 1 fl. Werth k » » woraus x — — 2000 (1-04)' 106 D" Zahlen undsollen Abzinsungsfakto¬ ren heißen. Um daher den Werth eines Geldbetrages vor einer bestimmte «Zeit mit Rück sicht auf Zinseszins en zu fin¬ den, mu ltiplizirtman je nen Betrag mit dem entspre¬ ch end- n Abzinsu ngs faktor. Es wird aber dieser Abzinsungs¬ faktor berechnet, wenn man 1 durch den entsprechenden Aufzinsungs¬ faktor dividirt. Zn der folgenden Tabelle erscheinen die Abzinsungsfaktoren für 2, 3, 4, s Prozent und l, 2, 3, ... 29, 30 Zeitperioden bereits aus¬ gerechnet. 107 §. 73. Beispiele. 1) Wie viel sind 4000 fl. nach 5 Jahren zahlbar bei ganzjähriger Kapitalisazion zu 4"/^ Zinseszins gegenwärtig, d. i. um s Jahre früher, werth? Für 5 Perioden und 4 hat man den Abzinsungsfaktor 0'821927, daher 4000 X 0'821927 ---- 3287-708 ---- fl. 3287 „ 42. 2) Welchen Werth haben fl. 73,0 „ 45 vor 15 Jahren, 5°/o Zin¬ seszins und ganzjährige Kapitalisirung vorausgesetzt? 7310 75 X 0-481017 — 3516 595 — fl. 3516 „ 36. 3) Wie viel Kapital muß man zu 4"/o Zius von Zins anlegen, da¬ mit es bei halbjähriger Verzinsung in 12 Jahren auf 5200 fl. anwachse? Der Abzinsungsfaktor für 24 Perioden und 2 Prozent ist 0-621722, man hat daher 5200 X 0 621722 — 3232 954 --- fl. 3232 „ 57. 4) Ein 60jähriger Mann will bei seinem Absterben seinem treuen Diener einen Bezug von 800 fl. versichern. Welche Einlage muß er in die Versorgungsanstalt machen, wenn diese ganzjährig zu 4°/o kapitalisirt? Da die mittlere Lebensdauer eines 60jährigen Menschen 12 Jahre ist, so ist diese Aufgabe mit der folgenden gleich¬ bedeutend: wie oiel Kapital muß man anlegen, damit es in 12 Jahren zu 4 Zinseszins auf 800 fl. anwachse; oder: welchen Werth haben 800 fl. vor 12 Jahren bei 4 «/o Zins von Zins? Man hat also 800 X 0 624597 --- 498 678 ---- fl. 498 » 41 Einlage. 5) Zu einem Gute finden sich drei Käufer. will 18000 fl. sogleich baar bezahlen ; 6 bietet 20000 fl. an, aber so, daß er nur 10000 fl. sogleich, und die andere Hälfte erst nach 5 Jahren erlegen will; 6 bietet auch 20000 fl. und zwar 5000 fl. sogleich, 8000 fl. nach 3 Jahren und den Rest nach 4 Jahren zahlbar. Welcher von den drei Kauflustigen Hot wohl am meisten angeboten, wenn man die Kapitalisirung ganzjährig zu 5"/o Zinseszins annimmt? Hier muß man alle Zahlungen auf dieselbe Zeit rcduziren; man sucht z. B. den gegenwärtigen Werth aller Anbote. ä bietet baar sogleich fl. 18000 ö bietet ..... sogleich fl. 10000 und ioooo fl. nach 5 Jahr , oder „ „ 7835 „16 zusammen sogleich fl. 17835 „ 16 6 bietet sogleich fl. 5000 8000 fl. nach 3 Jahren, oder „ „ 6910 „ 42 7000 „„ 4 „ „ ,, „ 5758 „55 zusammen sogleich fl. 17669 ,57 hat also den vortheilhaftesten Anbot gemacht, 108 6) will dem 6 eine Geldsumme geben, damit ihm dieser durch 5 Jahre am Ende eines jeden Jahres 586 fl. auszahle; wie groß wird jene Summe bei 4"/„ Zinseszins und ganzjähriger Kapi¬ tal isirung sein müssen? Hier muß man berechnen, was der erste Jahresbetrag von 586 fl. um I Jahr früher, der zweite um 2 Jahre früher, ... der fünfte um 5 Jahre früher werth ist. 586 fl. um l Jahr früher ---- 586 x 0 961539 ,, „ „ 2 „ „ -- 586 X 0 924556 „ „ » 3 „ „ ---- 586 X 0 888996 „ „ „ 4 „ „ 586 X 0'854804 „ „ „ 5 „ „ — 586 X 6-821927 Gegenwärtiger Gesammtwerth — 586 X 4-451822 — 2608-768. — fl. 2608 „ 46. 7) Welches Kapital wächst bei 4) — s? — t>2; 3x — 5 — 2x -st 3. Die Ausdrucke zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens heißen Theile der Gleichung, und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. Zn der Gleichung 3x — 5 — 2x -st 3 ist3x — S der erste, 2x-st3 der zweite Theil; jeder dieser beiden Theile besteht aus zwei Gliedern. Man unterscheidet zweierlei Gleichungen, identische und Be¬ st im m u n g sg le i ch u n g e n Eine identische Gleichung gilt für jeden Werth der darin vorkommenden noch unbestimmten Größen; diese Eigenschaft haben die obigen Gleichungen u — u und (u -st b) (a — b) — g? —d?, welche richtig bleiben, man mag für <» und b was immer für Werthe setzen. B e st i m m u n g s g l e i ch n n g e n dagegen sind solche, welche nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werthe der darin vorkommenden Unbekannten giltig sind. So ist 3x—5—2x-st3 eine Bestimmungsgleichung, weil ihr nur der Werth x —8 Genüge leistet. Die Werthe einer Bestimmungsgleichung auffinden, welche ihr Genüge leisten, heißt die Gleichung a u flö s en. Nach der Anzahl der Unbekannten, welche in einer Gleichung vorkommen, unterscheidet man Gleichungen mit einer, Mit zwei oder mit mehreren Unbekannten. Z. B. 7x — 3 --- 4x ist eine Gleichung mit einer, 5x—37 — 8 eine Gleichung mit zwei, 7x —37—52-st 4 eine Gleichung mit drei Unbekannten. Nach dem höchsten P o t e n zer p o n e n ten der Unbe¬ kannten werden die Gleichungen in jene des ersten, zweiten, dritten . . . Grades eingethcilt. So sind 2x — 37 — 7s Gkichungen des ersten Grades, 110 x- _f- _ 2x^ Gleichungen des zweiten Grades. In dieser Anleitung soll nur von den Bestimmnngsgleichungen des ersten Grades mit einer einzigen Unbekannten die Rede sein. I. Auflösung derGleich ungen deserstenGrades mit einer Unbekannten. 8- 75. Eine Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten ist als aufgelöset zu betrachten, wenn die Unbekannte für sich allein vor dem Gleichheitszeichen steht, und hinter demselben nur bekannte Zahlen vorkommen. Wenn man z. B. aus der Gleichung 6x-j-4x—780—3x das Resultat x —60 findet, so ist jene Gleichung aufgelöset. Das Auflösen der Gleichungen des ersten Grades beruhet auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Ausdrücken gleiche Ver¬ änderungen vornimmt, so müssen wieder gleiche Aus¬ drücke zum Vorschein kommen. Auö diesem allgemeinen Grundsätze ergeben sich folgende beson¬ dere Sätze: 1. Gleiches zu Gleichem addirt, gibt gleiche Sum¬ men. Ist g-^l) und o — ci, so muß auch a -ss c —b-s- cl sein. 2. Gleiches von Gleichem subtrahirt, gibt gleiche Reste. Istn — b und o— 6, so muß auch s — e —b — «l sein. Zu Folge dieser beiden Sätze kann jedes Glied auf einer Seite der Gleichung weggelaßsen und auf die andere Seite mit dem entge¬ gengesetzten Zeichen übertragen werden. Hat man z. B. x-s-a —b, so istx —b — s; durch diese Versetzung ist nichts anderes geschehen, als daß von beiden Theilen der Gleichung -s- g subtrahirt wurde. Aus Sx— 16—3x folgt Sx -s- 3x --- 16 ; hier wurde auf beiden Sei¬ ten 3x dazu addirt, oder, was gleich viel ist, —3x subtrahirt. 3. Gleiches mit Gleichem muitiplizirt, gibt gleiche Produkte. Ist und so muß auch uo —bll sein. Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich die Brüche in einer Gleichung wegschaffen; man darf nur beide Theile der Gleichung mit einem ge¬ meinschaftlichen Vielfachen der Nenner multipliziren. Z. B. Aus —folgt, wenn man mit n muitiplizirt, x —gb —ao. 111 Eben so gibt — 2 — wenn beide Thule mit 2 x 3 — 6 multiplizirt werden, 3x —12 —2x. 4, Gleiches durch Gleiches dividirt, gibt gleiche O. u o z i e n L en. Ist und e----st, so muß auch s : e---b : st sein. Es ist daher erlaubt, beide Theile einer Gleichung durch dieselbe Zahl zu dividiren, wodurch die Gleichung häufig aus eine einfachere Gestalt gebracht wird. So gibt 6x ----- 24 die einfachere Gleichung x — 4. §. 76. Um durch Anwendung der vorhergehenden Sätze eine Glei¬ chung des ersten Grades mit einer Unbekannten auf- zu losen, verfährt man auf folgende Art: 1. Wenn die Gleichung Brüche enthält, so werden diese wegge¬ schafft, indem man beide Theile der Gleichung mit dem kleinsten ge¬ meinschaftlichen Vielfachen aller Nenner multiplizirt. 2. Kommen in der Gleichung zusammengesetzte, durch Klammern verbundene Ausdrücke vor, so werden die durch Klammern angezeigten Operazionen wirklich ausgeführt. 3. Es werden alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, auf die erste Seite der Gleichung gebracht und zusammengezogen ; die bekannten Glieder dagegen werden auf die zweite Seite übertragen und ebenfalls zusammengezogcn. 4. Man befreit die Unbekannte von ihrem Koeffizienten, indem man beide Theile der Gleichung durch denselben dividirt. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, darf man nur den gefundenen Werth für die Unbekannte in die gegebene Gleichung substituiren, und die Ausdrücke auf beiden Seiten auf die einfachste Gestalt bringen. Erhält man beiderseits einerlei Resultat, so ist die Auflösung richtig; im entgegengesetzten Falle wäre sie un¬ richtig. Beispiele. 1) 3x — 8 — 13 Auflösung. 3x ----- IS -s- 8 Probe. 3 x 7 — 8 ------ 13 3x ----- 21 21 — 8 — 13 x — 7 13 — 13 2) 12 (x— I) ----- 3x -s- 24 Auflös. I2x —12-----3x-s-24 Probe. 12 (4 — I)----3X 4-s-24 I2x — 3x-----24-s-12 12 X 3 ----- 12 -s- 24 Sx ---- 36 36 ----- 36 x — 4 112 6) 7) 8) 9) 5 is s 3 Probe. ^------lo —5 5-- 5 9 s 1 ----- 2 2 ------ 2 3 (x-f- I) — 4 (x- I) ------ 6 (2x—15). 2x -s-1 x — 3 — 3x -j- 7 5) 6 (x —2) -- 2 (3x-s-I) 1 — 4 (2x->-3) Ausi. 6x —12 — 6x—-2----- I—8x—12 6x —6x-s-8x----1 — I2-s-I2-P2 8x------3 X----Z. 7x-- -s- 2 (x— I) ----- 8x -j- I 49x—4x-s-14x—14 — 56x-s-7 49x —4x-j-14x —56x---- 7 -j-14 3 x ----- 21 x— 7. X x-j-1 . X—2^2x 2 —3x 2 2 3 ' " II 4 66x -s- 44 (x -s- I) -j- 33 (x — 2) ----- 24x — 33 (2 — 3x) — 396 66x-s-44x -P 44-s-33x —66 ---- 24x— 66 -f- 99x — 396 66x-s- 44x-s- 33x-t-24x — 99x------ 66 —396 — 44-j-66 20 X — — 440 x—— 22. Man löse noch folgende Gleichungen auf: 10) - .0^ 14 >2) 9 5 10 x-4-7 -----—!-2. 5 x — 6 x-l-4 —-3 ----- 10-— 6 5 „ x 3) - --- X — 5 Aufl. X —2x — io x — 2x------- 10 — x------10. x—10 x-l-3 x —3 5 9 Aufl. 9 (X -l- 3) — 5 (X— 3) -^- SO Probe. 2 Sx -f- 27 — 5x-s- 15 ----- 90 Sx -- üx ----- 90 — 27— 15 4x ----- 48 x ----- 12. 113 !!. Anwendung der Gleichungen auf die Auflö¬ sung von Aufgaben. §. 78. In jeder Aufgabe werden gewisse Bedingungen angegeben, de¬ nen die zu suchenden Zahlen Genüge leisten sollen. Das erste Ge¬ schäft bei der algebraischen Auflösung einer Aufgabe besteht darin, daß man die gegebenen Bedingungen in die algebraische Zeichensprache überträgt, was man das An setzen der Gleichungen nennt. Dafür gibt es keine allgemeinen Regeln; Scharfsinn und eine durch Lösung vieler Aufgaben erworbene Uebung werden in jedem einzelnen Falle angeben, wie die zu bestimmende Unbekannte nach den Bedingungen der Aufgabe zu behandeln und in eine Gleichung zu bringen ist. Ist die Gleichung angesetzt, so gibt ihre Auflösung den gesuchten Werth für die Unbekannte. Es ist Anfängern sehr anzurathen, daß sie die verschiedenen Aufgaben, auch ohne Ansatz einer Gleichung, durch bloße Verstandes¬ schlüsse im Kopfe aufzulösen versuchen. Bei den erster» Aufgaben er¬ scheint in dieser Anleitung nebst der algebraischen Lösung auch jene im Kopfe angegeben, bei den weitern Ausgaben wird diese dem eigenen Nachdenken der Schüler überlassen. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung einer Aufgabe zu über¬ zeugen, untersuche man, ob durch den gefundenen Werth der Unbekann¬ ten auch wirklich die Bedingungen der Aufgabe erfüllt werden. , 1. Ausgaben mit Beifügung des Ansatzes. §. 79. I. Man suche eine Zahl, deren 5faches und 7faches zusammen 96 beträgt. Im Kopfe. Das ssache und 7fache macht das I2fache; 96 ist also das I2fache von der gesuchten Zahl, oder diese Zahl ist der I2te Thcil von 96, mithin 8. Algebraisch. Es sei x die gesuchte Zahl; ihr 5faches ist 5x, das 7fache 7x. Nach der Bedingung der Aufgabe muß also Sx -ss 7x ----- 96 sein: löst man diese Gleichung auf, so ergibt sich x— 8. Probe. 5. 8 -ss 7 . 8 ----- 40 -j- 56 ----- 96. 2. Wie heißt die Zahl, deren 5facheß um 42 vermehrt ihr 8facheS gibt. Im Kopfe. Um aus dem Lfachen das 8fache zu erhalten, muß man das 3fache dazu setzen. Wenn man nun aus dem 5fachen auä> durch Hinzusetzung von 42 das 8fache bekommt, so muß 42 gleich dem Jfachen der Zahl sein, und daher die gesuchte Zahl der dritte Lheil von 42, d. L. 14. Algebraisch. Ist x die gesuchte Zahl, so ist 5x ihr 5 faches, 8x ihr 8facheS. Nun muß ersteres um 42 vermehrt werden, um das letz¬ tere zu geben, somit hat man 5x-ss42—8x, und daraus x------i4. liloeiuk, Arithmetik, !I. Abth. z. Aust. 8 114 Probe. 5 X 14 -s- 42 --- 70 -s- 42 — 112, 8x14— 112. 8) Welche Zahl ist cs, deren SfacheS um 72 vermindert ihr sfaches gibt ? Zm Kopfe. Um aus dem Sfachen das sfache zu erhalten, muß man das 4fache abziehen. Soll also das 9fache durch die Verminde¬ rung um 72 in das Sfache übergehen, so muß 72 das 4fache der ge¬ suchten Zahl vorstellen, die Zahl selbst also der 4te Theil von 72, so¬ mit 18 sein. Algebraisch. Heißt x die verlangte Zahl, so ist Sx ihr 9faches, Sx ihr sfaches, und es muß nach der Bedingung der Aufgabe 9x — 72 — Sx sein, woraus x — 18 folgt. Probe. 9 x 18 — 72 — 162 — 72 --- so, 5 X 18 --- 90. 4) Die Hälfte und der dritte Theil einer Zahl betragen 25 ; wie groß ist die Zahl? Im Kopfe. 4 und sind ßg wenn nun ß von der Zahl, d. i. das Sfache von dem 6ten Theile der gesuchten Zahl 25 ist, so ist 6x25--^150 das 5fache von der ganzen Zahl, daher diese Zahl selbst der 5te Theil von 150, somit 30. Algebraisch. Heißt x die gesuchte Zahl, so ist ihre Hälfte^, und der dritte Theil daher nach der Bedingung der Aufgabe ' r-4-^25 2^3 folglich x — 30. Probe. M _s_ ^2 is -s- io --- 25. 5) Das sfache einer Zahl ist nm 86 größer als ihre Hälfte und ihr Fünftel zusammengenommen; wie heißt die Zahl? Im Kopfe. Z und 4 sind ; das Sfache der gesuchten Zahl soll also um 86 größer sein als 7mal der lote Theil, somit das SOfache um 860 größer als das 7fache; das sofache ist aber um das 43fache größer als das7fache, es muß also 860 das 43fache der gesuchten Zahl, also diese der 43ste Theil von 860, mithin 20 sein. Algebraisch. Wenn x die gesuchte Zahl vorstellt, so ist Sx ihr 4faches, - ihre Hälfte und ihr Fünftel, und man hat Sx- 86 woraus x ---- 20 folgt. Probe. 5 x 20 — 100 100 — 14 ^86. M io -s- 4-- 14. 6) Jemand wird gefragt, wie viel Geld er bei sich hat. Er antwor¬ tet : wenn ich noch halb so viel hätte, als ich jetzt habe, weniger 2 st. so hatte ich 16 fl. Wie viel Gulden hat er bei sich? Im'Kopfe Eine Zahl um ihre Hälfte vermehrt, gibt 3mal die Hälfte, und dieses um 2 vermindert muß 16, also 3mal die Halste 113 18 geben; daher ist die Hälfte der Zahl der dritte Theil von 18, d.i. 6, und somit die Zahl selbst 12. Algebraisch. Es sei x die Anzahl der Gulden, die der Gefragte bei sich hat, so ist die Hälfte davon, und eö muß nach der Bedin¬ gung der Aufgabe X -ft 2-- 16 sein, woraus x — 12 hervorgeht. Probe. 12 -ft — 2-- 12-ft 6 — 2 ---16. §. 80. 7) Ein Reisender wird gefragt, wie viel Meilen er zurückgelegt hat. Er gibt zur Antwort: wenn ich 48 Meilen mehr zurückgelegt hätte, so würde ich 3mal so weit gekommen sein als jetzt. Wie viel Meilen hat er zurückgelegt? Es sei x die Anzahl der zurückgelegten Meilen. Hätte der Rei¬ sende 48 Meilen mehr zurückgelegt, so würde er x-s-48 Meilen ge¬ macht haben, und da er in diesem Falle 3mal so weit, also 3xMeilen weit gekommen wäre, so ist x -ft 48 — 3x, daher/x --- 24. Probe. 24 -ft 48 72, 3 X 24 ----- 72. 8) Ein Kaufmann kaufte ein Stück Tuch, die Elle zu 3§ fl.; hier¬ auf verkaufte er dasselbe zu 4i fl. die Elle. Wenn er nun dabei 2l fl. gewonnen hat, wie viel Ellen enthält das Stück? Bei dieser Aufgabe wird als stillschweigende Bedingung voraus¬ gesetzt, daß der Gewinn gleich ist derVerkaufssumme weniger der Ein¬ kaufssumme. Es sei x die Anzahl der Ellen, so ist die Verkaufssumme für x Ellen ----- 4^ . x — die Einkaufssumme für x Ellen — 3^ . x — daher 13x 15x_21 woraus x — 36 folgt. Probe. 36 Ellen zu 4^ fl. geben 156 fl. beim Verkaufe 36 „ „ 3^ „ „ 135 „ „ Einkäufe 21 fl. Gewinn. S) Jemand wurde um sein Alter gefragt und sagte: Mein Alter nach 10 Jahren wird doppelt so groß sein, als mein Alter vor 4 Jahren war. Wie alt war er? Setzt man die Anzahl seiner Jahre ----- x, so ist sein Alter nach 10 Jahren --- x -ft 10, sein Alter vor 4 Jahren --- x — 4. Da nun nach der Bedingung der Aufgabe die erste Zahl doppelt 8 * 116 so groß soin muß, als die zweite, so wird, damit man eine Gleichung bekomme, die zweite Zahl mit 2 multiplizirt; daher ist X -ss 10 --- 2 (x —4), woraus x — 18 folgt. Probe. Alter nach 10 Jahren — 28 Jahre Alter vor 4 Jahren — 14 Jahre, und wirklich ist 28 — 2 x 14. 10) Ein Vater ist 32, sein Sohn 2 Jahre alt; nach wie viel Jahren wird der Vater gerade 3mal so alt sein als sein Sohn? Nach x Jahren. Nach dieser Zeit wird der Vater 32-ssx, der Sohn 2 -j-x Jahre alt, und da nach der Bedingung der Aufgabe die erste Zahl 3mal so groß ist als die zweite, so muß man, damit die Gleich¬ heit hergestellt werde, die zweite Zahl mit 3 mnltiplizircn; man hat also die Gleichung: 82 -s- x 3 (2 —ss x), welcher der Werth x — 13 Genüge leistet. Probe. Nach 13 Jahren wird der Vater 45, der Sohn 15 Jahre alt, daher der Vater wirklich 3mal so alt als der Sohn. 11) Ein Menschenfreund wollte eine Summe, die er eben bei sich hatte, unter io Arme vertheilen. Gibt er jedem 10 kr., so hat er eben jo viel zu wenig, als er zu viel hat, wenn er jedem nur 18 kr. geben will. Wie viel Kreuzer hatte er bei sich? Es sei x die Anzahl der Kreuzer. Will er jedem Armen 20 kr. geben, so hat er 200 — x Kreuzer zu wenig; will er jedem 18 kr. geben, so hat er x— 180 Kreuzer zu viel. Da nun diese beiden Zahlen gleich sein müssen, so ist 200 — x X — 180, woraus x ----- 190 folgt. 12) Ein Herr versprach seinem Bedienten jährlich ein Kleid und 60 Gulden. Nach zwei Monaten wird der Bediente entlassen und erhält das Kleid. Wie hoch wurde ihm dieses angerechnet? Es sei der Werth deS Klcideö — x sl. Der ganzjährige Lohn beträgt also x -j- 60 Gulden, folglich der Lohn für zwei Monate fl ; da nun der Bediente für diese Zeit das Kleid, also X fl. im Werthe bekommen hat, so muß X -l- 60 daher x ----- 12 sein. 13) Ein Kourier geht nach und macht täglich 12 Meilen; einen Tag spater wird ihm ein zweiter Kourier nachgeschickt; wie viel Meilen muß dieser täglich zurücklcgen, damit er den ersten Kou¬ rier in 4 Tagen einhole? Bedeutet x die Anzahl der Meilen, welche der zweite Kourier täglich zurücklegen muß, so werden von ihm in 4 Tagen 4x Meilen gemacht; der erste Kourier, welcher einen Tag länger auf dem Wege ist, wird in diesen Tagen 12x5-- 60 Meilen machen. Da nun die 117 von beiden Kourieren zurückgelegten Wegs, wenn sie zusammenkom- men, gleich sein muffen, so hat man 4x ----- 60, somit x ----- 15. §. 81. Man kann oft auch Aufgaben, in denen nach mehreren Unbe¬ kannten gefragt wird, sehr leicht durch eins Gleichung mit einer ein¬ zigen Unbekannten auflösen, wie dieß aus den folgenden Beispielen ersichtlich ist. 13) Ich denke mir zwei Zahlen, von denen die erste um 3 kleiner ist ist als die zweite; multiplizire ich die erste mit 4 und ziehe vom Produkte 18 ab, so erhalte ich die zweite. Welches sind die zwei Zahlen? Heißt X die ersteZahl, so ist x-ff 3 die zweite. Man hat daher nach den Bedin gungen der Aufgabe 4x — 18—x-s-3, woraus x —7 hervorgehet, und daher x-ff 3—10. Probe. Die zweite Zahl io ist wirklich um 3 größer als die erste 7; ferner gibt das 4fache von 7 weniger 18 zur Differenz 10, d. i. die zweite Zahl. 15) Man theile 50 in zwei Theile, so daß der eine Theil um 6 klei¬ ner ist als der andere. Heißt der größere Theil x, so ist 50 — x der kleinere, und man muß nach den Bedingungen der Aufgabe zu dem kleineren Theile 50 — x noch 6 dazu addiren, um den größeren x zu erhalten; es ist daher x — 50 — x -ff 6, woraus x 28, und 50 — x — 22 hcrvorgehet. 16) Ein Vater ist gegenwärtig 2mal so alt als sein Sohn; vor 15 Jahren war er 5mal so alt als der Sohn. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? DerSohn sei X Jahre alt, soistdasAlterdesVaters 2xJahre; vor 15 Jahren war also der Vater 2x—15, der Sohn x — i5Jahre alt. Man hat daher die Gleichung 2x — 15 — 5 (x—15), woraus man x-^-20 und 2x—40 erhält. Der Vater ist also 40, der Sohn 20 Jahre alt. 17) Ein Knabe sagte: ich und mein Vater sind 60 Jahre alt; ich habe aber nur den 4ten Theil von dem Alter meines Vaters. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? Das Alter des Vaters sei x, also jenes des Sohnes Jahre, so hat man x -ff — 60, woraus x-----48 und 12 hervorgeht. Der Vater ist also 48, der Sohn 12 Jahre alt. 18) Unter drei Knaben werden 100 Groschen so vcrtheilt, daß der zweite doppelt so viel als der erste, und der dritte um IO mehr WI n 118 als die Halste dessen bekommt, was der erste und zweite zusam¬ men erhalten. Wie viel Groschen bekommt jeder der drei Knaben? Heißt x die Anzahl Groschen, welche bekommt, soist2x„ „ „ „ v „ 2 x - 2-„ daher x-st2x -st -f- io— 100, welche Gleichung x — 20 gibt. bekommt also x — 20 Groschen lf // V 2x 40 „ 0 „ -st 10 -- 40 „ IS) Ein Knabe gibt seinem ältesten Bruder die Hälfte seiner Nüsse, weniger 8, dem zweiten die Hälfte des Restes weniger 8 , dem dritten wieder 8 weniger als die Hälfte des jetzigen Restes, und so auch dem vierten 8 weniger als die Hälfte des neuen Restes; die noch übrigen 20Stücke behält er selbst. Wieviel Nüsse hatte er anfänglich und wie viele gab er jedem Bruder? Heißt x die anfängliche Zahl der Nüsse, so gab er dem ersten Bruder ^—8, und es blieben noch x— -st 8 — ^-st8; der zweite Bruder bekam -st 4 — 8 — — 4; und es blieben noch -st 8 — — 4 — - -st 12; der dritte Bruder bekam -st 6 -- 8 --- 4 i 8 ' es blieben noch -st 12 — — 2^) -l- 14; 4 Vo > o - — 2, und 8 ' davon erhielt der vierte Bruder -st 7 — 8 — I, so daß noch -st 14 — übrig bleiben. Der Rest soll V16 / 16 aber 20 betragen; mithin ist -j- 15 --- 20, 16 i ' woraus x 80 folgt. Der Knabe hatte also anfänglich 80 Nüsse, und gab 119 L. Aufgaben zur Selbstübung im Ansätze. 82. 1) Welche Zahl ist um 23 größer, als die Summe aus ihrem vier¬ ten, fünften und sechsten Thcile? — Die Zahl 60. 2) Man suche eine Zahl von der Beschaffenheit, daß, wenn man sie durch 3 dividirt, eben so viel herauskommt, als wenn man von ihr 32 abzicht.— Die Zahl ist 48. Z) Ich denke mir eine Zahl. Wenn ich dieselbe mit 3 multiplizire, 8 dazu addire, die Summe durch 8 dividire und von dem Quo- zienten 4 abziehe, so erhalte ich 0. Welche Zahl habe ich mir ge¬ dacht? — Die Zahl 8. 4) Ein Lehrer gab auf die Frage, wie viel Schüler er habe, fol¬ gende Antwort: die Hälfte meiner Schüler beträgt 16 mehr als der sechste und neunte Lheil derselben. Wie viel Schüler hatte er? — 72 Schüler. 5) Jemand war vor 8 Jahren 4mal so alt, als der 5te Theil seines gegenwärtigen Alters beträgt; wie alt ist er jetzt?— 40 Jahre. 6) Jemand wurde nach seinem Alter gefragt. Er antwortete: nach 12 Jahren werde ich 4mal so alt sein, als ich vor 12 Jahren war. Wie alt ist er? — 20 Jahre. 7) Ein Vater sagt: Ich bin jetzt 40 Jahre alt, mein älterer Sohn 16, mein jüngerer 3; nach wie viel Jahren werden meine Söhne zusammen so viele Jahre zählen als ich? — Nach 21 Jahren. 8) Ein Bauernmädchen wurde nach der Anzahl Eier gefragt , die sie im Korbe trug. Drei Viertel davon, erwiederte sie, betragen 5 mehr, als fünf Achtel davon machen. Wie viel Eier waren im Korbe? — 40 Eier. 9) Zwei Kouriere gehen von nach L ab; der erste legt täglich 10 Meilen, der zweite 15 Meilen zurück. Wenn nun der zweite um 4 Tage später von ä abgegangen ist als der erste, in wie viel Lagen wird er den ersten einholen? — In 8 Lagen. 10) Von L gegen 6 marschirt ein feindliches Heer und macht täglich 4 Meilen; von aus will man demselben nachsetzcn, um es in 5 Tagen einzuholen, wie viele Meilen müssen täglich zurück¬ gelegt werde», wenn die Entfernung zwischen und Lio Mei¬ len beträgt? — 6 Meilen täglich. I I) Einem Boten, der von aus vor 6 Tagen abging und täglich 6 Meilen macht, wird von L aus, welchen Ort er berührte, ein zweiter Bote nachgescndet, welcher täglich 10 Meilen macht; in wie viel Tagen wird er den ersten einholen, wenn die Entfernung zwischen und L 11 Meilen beträgt? 12) Hätte 120 st. mehr, so würde er gerade so viel über 400 sl. besitzen, als ihm jetzt noch daran fehlen. Wie viel fl. hat er? 13) Wenn man von einer Summejdie Hälfte wcgnimmt, von dem Reste wieder die Hälfte, und'von dem neuen Reste nochmals die Hälfte7 so bleiben 37 st. übrig. Wie groß war die anfängliche Summe? 120 14) Welche zwei Zahlen geben 81 zur Summe und 35 zurDifferenz? — Die Zahlen 58 und 23. 15) Zwei Brüder zahlen gegenwärtig zusammen 47 Zahre. Vor io Zähren war der altere Bruder gerade doppelt so alt als der jün¬ gere. Wie alt ist jeder? — Der ältere Bruder ist 28, der jün¬ gere 19 Jahre alt. 16) Ein Vater ist jetzt 3mal so alt als sein Sohn, nach 12 Jahren wird er nur doppelt so alt als der Sohn sein. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? — Der Vater hat 36, der Sohn 12 Jahrs. 17) Man soll die Zahl 76 in zwei Thcile so theilen , daß, wenn der größere durch I I und der kleinere durch 7 dividirt wird, die Quozienteu zusammen 8 ausmachen. Welche Theile sind es? — 55 und 21. 18) Es sollen 140 fl. unter 5 Personen so vertheilt werden, daß jede folgende 4 fl. weniger bekommt. Wie viel erhält jede Person?— bekommt 36, 8 32, 6 28, v 24, 8 20 Gulden. 19) Auf einem Tische lag eine bestimmte Summe Geldes. sagt: ich habe 2mal so viel Geld; 8, ich habe 3mal so viel Geld; 0, ich habe die Hälfte von dem, was und 8 zusammen baden. Wenn nun alle zusammen 240 fl. hatten; wie viel Geld lag auf dem Tische und wie viel besaß jeder? 20) Von zwei Spielern hatte 4mal so viel Geld als 8. Nachdem aber an 8 5 fl. verloren hat, hatte nur noch 3mal so viel als 8. Wie viel Geld hatte jeder am Anfänge des Spieles? 21) In einer Gesellschaft waren 3mal so viel Herren als Damen; nachdem aber später drei Herren mit 4 Damen dazu kamen, wa¬ ren nur 2mal so viel Herren als Damen. Wie viel Herren und Damen waren Anfangs da? 22) Jemand hat zwei goldene Dosen, die eine ist von der andern werth, und kostet deßhalb um 14 fl. weniger. Wie theuer ist jede Dose? 23) Ich habe mir zwei Zahlen gedacht, welche um I verschieden sind. Dividire ich die größere durch 4 und die kleinere durch 8, so sind die Quozienten ebenfalls um 1 verschieden. Welches sind die zwei Zahlen? 24) Hier dies Grabmal deckt DiophantuS sterbliche Hülle, Und in des Trefflichen Kunst zeigt es sein Alter Dir an. Knabe zu sein, gewährt ihm der Schöpfer ein Sechstel des Lebens, Und ein Zwölftel der Zeit ward er ein Jüngling genannt. Roch ein Siebentel schwand, da fand er des Lebens Gefährtin, Und fünf Jahre darauf ward ihm ein liebliches Kind. Halb nur hatte der Sohn des Vaters Alter vollendet, Als ihn plötzlich der Tod seinem Erzeuger entriß. Noch vier Jahre betrauert' er ihn im schmerzlichen Kummer, Und nun sage das Ziel, welches er selber erreicht. Inhalts - Berzeichnitz der zweiten Abtheilung der Arithmetik. Erster Abschnitt. Seite Bon den entgegengesetzten Größefl . . . . 1 I. Zusammen ziehen entgegengesetzter Zahlen . . . . 3 >1. Die vier Rechnungsarten mit entgegengesetzten Zahlen 5 1. Die Addizion.5 2. Die Subtrakzion.6 3 Die Multiplikazion.7 4. Die Division.10 Zweiter Abschnitt. Bon den algebraischen Großen .... 11 l. Die vier Rechnungsarten mit einfachen algebraischen Ausdrücken.14 1. Das Addiren.14 2. Das Subtrahiren.15 3. Das Multipiiziren.16 4. Das Dividiren.17 l. Die vier Rechnungsarten mit zusammengesetzten algc- bra i s ch e n Au s drück c n.18 1. Das Addiren . 18 2. Das Subtrahiren.19 3. Das Multipiizircn.26 4. Das Dividiren.'.22 III DaSRcchnen mit gebrochenen alge braischenAusdrücken 26 Dritter Abschnitt. Bon den Potenzen und Wurzolgrößen .... 31 I. ZeichcnderPotenzcn.32 II. D i c v i e r R e ch n n n g s ar t e n m i t P o t e n z g r ö ß e n. ... 33 1. DaS Addiren und Subtrahiren.33 2. Das Multipliziren.33 3. DaS Dividiren. 34 4. Ncchiiungsvperazionen mit geordneten algebraischen Aus¬ drücken.36 III. Das P o ten zire n m i t R ü ck s i ch t a u sv er sch i e d e n e Wurzeln 39 IV. Erheben a u f's Quadrat und A u sziehen der Quadrat¬ wurz e l b e i b c so n d er e n Z a h I e n . 41 V. Erheben auf den Kubus und Ausziehen der Kubik¬ wurzel .49 IV Vierter Abschnitt. Seite Die Kombinazionslehre. 58 I. Permutazionen.59 II. K om b i n a z i o n e n . . . .. 62 Fünfter Abschnitt- Zusammengesetzte Verhältnißrechnungcn. ... 67 I. Bonden zusammengesetzten Verhältnissen und Pro- P o r z i o n e n. 67 II. Die zusammengesetzte Regcldetri. 68 Einfache Jntercffenrcchnung. 74 Terminrcchnung. 82 III D i e G e se ll sch a ft sr e ch n u n g.85 IV D i e A ll e g a z i o n s r e ch n un g. 90 V. Die Kette urechnuug. . . 95 Zinseszinsrechnung. « . . 190 Sechster Abschnitt. ltzleichnngendes erstenGrades mit einer einzigen Unbekannten 109 I. Auflösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten.110 II. Anwendung der Gleichungen aus die Auflösung von Aufgaben.113 1 Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes.113 2. Aufgaben zur Selbstübung im Ansätze.119 UMOM» Ik c» k2 0) s L) s s SSI80I