IZ TEORIJE ZA PRAKSO 2 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Pomen formativnega spremljanja pri učenju in poučevanju matematike mag. Mateja Sirnik in mag. Mojca Suban Zavod Republike Slovenije za šolstvo Povzetek V prispevku obravnavamo formativno spremljanje pri matematiki in predstavimo razvojno delo na tem pod- ročju. Ukvarjamo se z vprašanji, kako lahko vplivamo na procese učenja in poučevanja matematike ter kako jih lahko usmerjamo na produktiven način. Osrednjo vlogo v takem procesu učenja odigra spremljanje znan- ja v formativni funkciji, ki vpliva na odločitve učitelja in učenca v zvezi z nadaljnjim učenjem. Učenci naj bi prevzemali aktivnejšo vlogo pri regulaciji lastnega učenja in večjo odgovornost za učne dosežke. Skozi primere prikažemo nekatere strategije elementov formativnega spremljanja pri pouku matematike. Ključne besede: formativno spremljanje, matematika, povratna informacija, predznanje, cilji, kriteriji uspeš- nosti, dokazi o učenju, samovrednotenje Importance of Formative Assessment in Learning and Teaching Mathematics Abstract This paper discusses formative assessment in Mathematics and presents how this field is being developed. It deals with questions of how we can influence the processes of learning and teaching Mathematics and how we can guide them productively. The central role in this process is held by the formative function of knowledge as- sessment, which influences the decisions made by the teacher and student regarding further learning. Students take on a more active role in regulating their own learning and greater responsibility for their attainment. Examples are used to demonstrate the key strategies of the elements of formative assessment in Mathematics lessons. Keywords: formative assessment, Mathematics, feedback, prior knowledge, objectives, success criteria, evi- dence of learning, self-assessment Uvod V literaturi je mogoče najti različne opredelitve pojma formativ- no spremljanje/preverjanje (formative assessment 1 ). Paul Black in Dylan Wiliam (1998a) ga opredeljujeta kot »vse tiste dejav- nosti učiteljev in/ali učencev, s katerimi zagotavljajo povratne in- formacije, s pomočjo katerih prihaja do modifikacije poučevanja in učenja, v katerega so vpeti«. V OECD-ejevem pregledu prak- se formativnega preverjanja v osmih izobraževalnih sistemih (Avstralija-Queensland, Kanada, Danska, Anglija, Finska, Italija, Nova Zelandija in Škotska) »se formativno preverjanje nanaša na pogosto, interaktivno vrednotenje napredka pri učencih in njiho- vega razumevanja z namenom, da se ugotovijo njihove potrebe in se temu primerno prilagodi učenje« (Looney, 2005 v Wiliam, 2013). 1 Slovenski prevod termina formative assessment v formativno spremljanje/preverjanje temelji na tem, da ima preverjanje kot sestavni del učenja vpliv na nadaljnje učenje in poučevan- je ter v tej vlogi nosi formativno funkcijo, ki je ocenjevanje (angl. grading) nima. Od domačih avtorjev navedimo opredelitev Maretič-Požarni- kove (2000), ki sprotno ali formativno preverjanje (spremljanje) opredeli kot proces, ki poteka kontinuirano, med samim učnim procesom, z namenom zbrati in dajati povratne informacije za čim učinkovitejše krmarjenje (usmerjanje) pouka in učenja. Komljančeva (2008) opredeljuje formativno spremljanje tudi kot opazovanje, vodenje učenca k napredku, servisiranje učitelja in učenca za odpravljanje šibkosti v znanju. Wiliam (2013) zaokroži dosedanje definicije in jih nadgradi v naslednjo opredelitev: »Preverjanje deluje formativno, če učitelji, učenci in njihovi vrstniki pridobivajo dokaze o napredku učencev, ki jih interpre- tirajo in uporabijo za odločitve o naslednjih korakih v procesu poučevanja. Tako postanejo odločitve boljše ali bolje podprte, IZ TEORIJE ZA PRAKSO 3 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 kot bi bile odločitve brez teh dokazov.« Pri tem opozarja, da ni vsaka formativna uporaba informacij enako učinkovita in da so najboljša preverjanja tista, ki omogočajo vpogled v učne težave ter nakažejo možnost izboljšave. Dylan Wiliam izpostavlja 5 ključnih strategij, s katerimi lahko vplivamo na kakovost učenja in poučevanja ter posledično na učne dosežke (Slika 1). V nadaljevanju se bomo bolj podrobno posvetili posameznim strategijam oziroma elementom, ozaveš- čali njihov pomen in jih ilustrirali s primeri. Razjasnitev, soudeleženost pri odločanju in razumevanju namenov učenja in kriterijev za uspeh. Priprava takšnih dejavnosti v razredu, s katerimi je mogoče pridobiti dokaze o učenju. Zagotavljanje povratnih informacij, ki učence potiskajo naprej. Aktiviranje učencev, da postanejo drug drugemu vir učenja. Aktiviranje učencev za samoobvladovanje njihovega učenja. Slika 1: Pet ključnih strategij za izboljšanje kakovosti učenja in poučevanja (Wiliam, 2013) V središče procesa formativnega spremljanja je postavljen uče- nec in nanj osredinjena vprašanja: • kje je učenec v svojem učenju/kaj zna/katera znanja obvla- duje, • kam želi priti/kaj se želi naučiti/kaj želi znati, • kako bo do tja prišel/kako se bo naučil? Vloga učitelja se ob tem iz tradicionalne vloge prenašalca znanja spreminja v smeri moderatorja in usmerjevalca učnega procesa. Preverjanje predznanja Pri načrtovanju učnega procesa naj bi izhajali iz predznanja učencev. Za učenje matematike je pomembna strukturiranost znanja učencev: odnosi med usvojenimi pojmi, lastnostmi, torej obstoječa kognitivna struktura. Skozi dejavnosti prever- janja predznanja učencev prihaja do aktiviranja predznanja in ugotavljanja napačnih pojmovnih predstav. Z dejavnostmi aktiviranja predznanja omogočimo navezovanje novih vsebin na obstoječe pojmovne strukture, hkrati pa ugotavljamo nepo- polne in napačne pojmovne predstave. Ko jih prepoznamo, lah- ko poskrbimo za njihovo preoblikovanje. Učitelj pridobi informacije o tem, kaj učenci že znajo, kakšne predstave že imajo, kako poglobljeno nekaj znajo in zmorejo ka- kor tudi njihov odnos in stališča. Ugotovljeno predznanje omo- goči osredinjenje na učenje oziroma načrtovanje učenja in pou- čevanja. Učitelj odkriva razkorak med obstoječo in pričakovano ravnjo učnih dosežkov. Gre za kognitivno pripravo na učenje, miselno čustveno vzbujanje pozornosti in aktivacijo učencev. Pomen predznanja se odraža tudi v izjavi psihologa D. Ausbella: »Če bi moral skrčiti vso pedagoško psihologijo na eno samo nače- lo, bi rekel: najvažnejši posamezen dejavnik, ki vpliva na učenje, je to, kar učenec že zna… Ugotovi to in ga poučuj s tem v skladu.« (Požarnik, 2000) Številne raziskave potrjujejo pomen predznanja. Korelacijski koeficienti med predznanjem in poznejšim znanjem se gibljejo okrog 0,70, med sposobnostmi in znanjem pa so redko čez 0,50 (Požarnik, 2000). Tako vidimo, kako pomembno vlogo ima sis- tematično preverjanje obsega in strukture predznanja učencev. Vlogo predznanja pri učenju so proučevali tudi v raziskavi TIMSS 2011 (Japelj Pavešić, 2012). V vprašalniku so učitelji oce- nili, v kolikšni meri njihovo poučevanje omejuje pomanjkanje matematičnega predznanja in spretnosti učencev. Izbirali so med odgovori: • poučevanje ni omejeno, • poučevanje je deloma omejeno, • poučevanje je zelo omejeno, Dobili so rezultate, ki so prikazani v preglednici 1. Izkazalo se je, da je ena pomembnejših omejitev pri poučevanju matematičnih vsebin predznanje. S tem se kaže, kako pomembno Preglednica 1: Dosežki glede na odgovore, koliko je poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja matematičnega predznanja v 4. razredu Odstotki učencev, za katere so učitelji sporočili, da je njihovo poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja predznanja in spretnosti učencev Poučevanje ni omejeno Poučevanje je deloma omejeno Poučevanje je zelo omejeno Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Slovenija 33 527 57 509 11 494 Mednarodno povprečje 27 506 61 489 12 467 IZ TEORIJE ZA PRAKSO 4 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 kumentiramo. Poglejmo si nekaj načinov, s katerimi lahko pre- verjamo predznanje. Pred vsebino ploščina in obseg trikotnika in štirikotnika v 7. razredu je učitelj preverjal predznanje razumevanja pojma ploščina in pojma obseg z odprtimi vprašanji na učnem listu (Slika 2). S takimi dejavnostmi ugotovimo, na kateri konceptualni in pro- ceduralni stopnji je učenec. Seveda pa se samo ob enkratnem pos- je sistematično preverjanje predznanja pri pouku matematike. Opozoriti je treba, da ti deleži ne govorijo o tem, kolikšni so v resnici primanjkljaji v predznanju učencev, pač pa o tem, kako problem občutijo učitelji. Pri tem gre za osebna mnenja učitel- jev. Pri naših spremljavah pouka se je že večkrat pokazalo, da so bila pričakovanja učitelja glede predznanja učencev večja kot se je pokazalo pri sistematičnem preverjanju predznanja. Zato je pomembno načrtno preverjanje predznanja, ki ga ustrezno do- Slika 2: Izdelek učenca pri preverjanju predznanja Preglednica 2: Dosežki glede na odgovore, koliko je poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja matematičnega predznanja v 8. razredu Odstotki učencev, za katere so učitelji sporočili, da je njihovo poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja predznanja in spretnosti učencev Poučevanje ni omejeno Poučevanje je deloma omejeno Poučevanje je zelo omejeno Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Slovenija 14 538 66 507 19 476 Mednarodno povprečje 15 490 57 471 28 443 IZ TEORIJE ZA PRAKSO 5 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 kusu takega preverjanja predznanja v veliko primerih pokažejo težave pri pisnem sporočanju učencev. V preverjanje predznanja lahko vključimo tudi samovrednotenje lastnega znanja. Primer takega gradiva vidimo na sliki 3 (Kme- tič, 2016). Kako dobro (po)znam ploščino in obseg lika? Ime: Pobrskaj po svojem spominu Pojem Dobro Sem že slišal(a) Nimam pojma Zapiši definicijo ali opiši z besedami, s sliko, primerom Obseg lika Ploščina lika Slika 3: Preverjanje predznanja z elementi samovrednotenja Tudi vprašanja izbirnega tipa (Slika 4) so lahko eden od pristo- pov preverjanja znanja. Nadgradimo jih z utemeljevanjem izbra- nih odgovorov (Kmetič, 2016). Sooblikovanje ciljev učenja in kriterijev uspešnosti Kako uspešen je lahko učenec pri učenju, če ne razume, kaj je cilj njegovega učenja? Z načrtnim in sistematičnim vključevanjem učencev v sooblikovanje ciljev in kriterijev uspešnosti lahko dvome o tem zmanjšamo. Učno ciljno načrtovanje pouka temelji na učnih ciljih, ki so za- pisani v učnih načrtih. Pogosto so zapisani v strokovnem jeziku, ki je učencem nerazumljiv. Z namenom ozaveščanja pri učencih, kaj in kako se učijo, jih moramo preoblikovati, dopolniti in se z njimi pogovoriti, tako da so jim razumljivi ter da skozi njih vidijo smisel učenja. Cilji učenja učencem (Holcar, 2016): • pomagajo odgovoriti na vprašanje, kam grem in kaj se priča- kuje, da bom znal, • naredijo učenje bolj transparentno, • spodbujajo učence k razmišljanju o učenju, prevzemanju od- govornosti za lastno učenje. Učitelj naj zagotovi, da so (Holcar, 2016): • cilji jasni, dosegljivi, realistični, časovno opredeljeni in pove- zani z dolgoročnimi cilji/večjo sliko učenja, • cilji zapisani v jeziku, da jih učenci razumejo, • cilji zapisani na vidnem mestu, da jih učenci lahko kadarkoli preberejo (v zvezku, na učnem listu, na plakatu v razredu …), • povezave med učnimi cilji ter učnimi dejavnostmi vidne. Kriteriji uspešnosti naj bodo oblikovani tako, da z njimi lahko ovrednotimo kakovost zbranih dokazov o učenju. Kriteriji uspešnosti (Holcar, 2016): • odgovorijo na vprašanje, kako vem, da sem dosegel učni cilj oziroma da sem uspešen, • so osnova za spremljanje napredka, • so osnova za podajanje kakovostne povratne informacije, • so osnova za načrtovanje dejavnosti pri pouku, • so osnova za samovrednotenje, vrstniško vrednotenje, • so učencu v pomoč pri oblikovanju lastnih ciljev. Kaj kažejo raziskave o udeleženosti učencev pri načrtovanju cil- jev in kriterijev? Če učitelj načrtuje kriterije uspešnosti, še preden bo natančneje načrtoval dejavnosti za poučevanje in učenje v razredu, se čas načrtovanja dejavnosti skrajša za 50 % (Bostner in ostali, 2015, v Clarke, 2005). Učenci se najbolje učijo takrat, ko razumejo, kaj se učijo, in ko vedo, kaj se od njih pričakuje (Bostner in ostali, 2015, v Black, 2007). Jasni kriteriji vrednotenja lahko izboljšujejo učenje zaradi bolj- še narave pogovorov - usmerjenost v vsebino in evalviranje sta večja (Bostner in ostali, 2015, v Coohen idr. 2002). Velikokrat se sprašujemo, v kolikšni meri so učenci res lahko soudeleženi pri načrtovanju ciljev učenja. Zagotovo je precej uč- nih situacij, kjer lahko po analogiji predhodnega učenja učence že vnaprej pripeljemo do tega, kaj bo cilj nadaljnjega učenja. Slika 4: Naloga izbirnega tipa z dodanim utemeljevanjem Zastavi se nam vprašanje, kakšna so kakovostna vprašanja, s ka- terimi dobimo povratno informacijo o znanju učencev in kako zastavljanje vprašanj izpeljati pri pouku. Pri tem poskusimo oza- veščati naslednja načela za oblikovanje vprašanj: • oblikujemo odprta vprašanja, • načrtujemo čas za razmišljanje, posvetovanje in odgovor ter vprašanja, ki odpirajo razpravo v razredu, • ne prekinjamo učencev pri sporočanju, sprejemamo delne/ napačne odgovore, • spodbujamo kritično mišljenje (kako, zakaj, razloži, pod kakš- nimi pogoji, primerjaj …), • vztrajamo pri daljših odgovorih, • spodbujamo vprašanja učencev, ki vodijo k novim vprašan- jem, • omogočamo vključevanje vseh učencev, • povratna informacija je takšna, da spodbuja nova vprašanja. Nepravilni rezultati oziroma odgovori pri takem načinu učenja spremenijo svoj pomen, dobijo formativno podobo in so osnova za nadaljnje učenje. Ploščino danega lika lahko izračunam na enega od naslednjih načinov. Obkroži pravilni odgovor. 10 cm 6 cm a) 10 cm + 6 cm b) 2 · (10 cm + 6 cm) c) 2 · 10 cm + 2 · 6 cm č) 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm d) 10 cm · 6 cm e) 10 cm · 6 cm · 10 cm · 6 cm Pojasni svojo izbiro. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 6 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 S prej predstavljenimi dejavnostmi smo preverili razumevanje pojmov ploščina lika in obseg lika, učence pa želimo pripeljati do dolgoročnega cilja Znam izračunati ploščino poljubnega lika. To lahko naredimo s primernimi vprašanji, kot so na primer: • S katerimi geometrijskimi liki smo se letos ukvarjali pri ma- tematiki? • Katerim geometrijskim likom znaš izračunati ploščino? • Kaj bi se lahko še naučil? V ta namen lahko uporabimo strategijo VŽN (Kaj že vem? Kaj se želim naučiti? Kaj sem se naučil?). Katere geometrijske like poznam? Kaj jim znam izračunati? Dejavnost: izdelamo pojmovno shemo geometrijskih likov Kaj se želim naučiti? Izračunati ploščino poljubnega lika. Kaj sem se naučil? Zbiram dokaze o lastnem učenju. Kaj znam: • Razumem in razložim formule za ploščino trikotnika in različnih štirikotnikov. • Z različnimi strategijami izračunam ploščino trikotnika, štirikotnikov. • Uporabim znanje o ploščini v problemskih nalogah. Česa se še nisem naučil? Izračunati ploščino poljubnega večkotnika in ploščino kroga. Omenjeno metodo lahko nadgradimo tudi z vprašanjem: Kako sem se učil? Kako sem prišel do formul za ploščino trikotnika, različnih štirikotnikov? Za cilj Izračunam ploščino poljubnih trikotnikov in štirikotni- kov lahko sooblikujemo kriterije uspešnosti, kot so prikazani v preglednici 3. Glede na naravo matematičnih vsebin se o ciljih učenja večkrat pogovarjamo z učenci šele po izvedeni učni situaciji preiskovan- ja, ko odkrijemo novo matematično zakonitost ali pravilo. Na primer: pri Pitagorovem izreku, trikotniški neenakosti najprej učitelj zastavi preiskovanje, tako da učenci samostojno odkri- jejo zvezo med trikotnikovimi stranicami, potem pa poskušajo uzavestiti, kaj so se s tem naučili in na kakšne načine lahko to matematično znanje uporabijo. Zbiranje dokazov o učenju Kako dokazujem, da sem cilj dosegel? Kaj so dokazi o učenju? Dokazi so vsa gradiva in informacije, ki izkazujejo, kje na poti do učnega cilja je v nekem trenutku učenec. Ustrezno načrtovane dejavnosti pri pouku matematike, ki izhaja- jo iz učnih ciljev, naj omogočajo zbiranje različnih dokazov o učenju učencev in razumevanju učnih vsebin. Na podlagi zbra- nih dokazov učitelj dobi vpogled v razumevanje in napredek učencev ter prilagaja nadaljnje učenje in usmerja učenčeve pro- cese učenja. Dokaze o učenju učenci zbirajo v vseh fazah učnega procesa. Dokazi o učenju so že dejavnosti preverjanja predznanja, ak- tivnega usvajanja novih vsebin, utrjevanja, raziskovanja, pri če- mer je treba poudariti, da temeljijo na ciljih učenja, standardih znanja in znanih kriterijih uspešnosti. Naloga učitelja je zago- toviti raznolike dokaze, s katerimi lahko kakovostno ugotav- lja, kje na poti učenja so učenci. Pri matematiki morajo dokazi vključevati dejavnosti, s katerimi učenec izkaže razumevanje novih matematičnih pojmov, kar pomeni, da mora biti učenje naravnano tako, da so učenci aktivni izgrajevalci lastnega znanja. Npr. raziskovanje formule za ploščino paralelograma naj bo na- Kriteriji uspešnosti POJMI • Poznam in razumem formule za ploščino različnih likov (kvadrat, pravokotnik, paralelogram, romb, trapez, deltoid, trikotnik, pravokotni trikotnik …). POSTOPKI • Ocenim ploščino. • Glede na podatke izberem ustrezno strategijo: zmerim potrebne podatke, lik preoblikujem v ploščinsko enak lik, ki mu znam izračunati ploščino, uporabim ustrezno formulo, izračunam ploščino, primerjam izračunano ploščino z oceno, zapišem rezultat v ustrezni ploščinski enoti. KOMUNIKACIJA/SPOROČANJE/UTEMELJEVANJE • Pisno in ustno predstavim pojme, postopke v povezavi s ploščino. • Pravilno uporabljam matematično terminologijo in simboliko (pisno in ustno): risanje skic, zapisi formul, številski izrazi, besedni zapisi. • Smiselno in logično utemeljujem situacije, kjer uporabljam pridobljeno znanje. PROBLEMSKA ZNANJA • Uporabljam pojem ploščina v problemskih nalogah. • Raziskujem in samostojno oblikujem vzorce, kjer uporabljam pojme: geometrijski liki, ploščina, obseg. Preglednica 3: Kriteriji uspešnosti za cilj: Izračunam ploščino poljubnih trikotnikov in štirikotnikov. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 7 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 črtovano tako, da bodo učenci samostojno prišli do formule. To od učitelja zahteva, da predhodno načrtuje aktivnost vodenega ali samostojnega raziskovanja, med poukom pa učence opazuje, spremlja in usmerja na poti učenja. V nadaljevanju lahko razumevanje formule za ploščino parale- lograma preverimo z naslednjima nalogama: Povratna informacija Zelo pomemben dejavnik v procesu učenja je povratna infor- macija učencu o njegovem napredku. Povratna informacija, ki jo učenec dobi, naj pri njem sproži kognitiven in ne čustven odziv (Wiliam, 2011). Učenca naj usmerja k nadaljnjemu učenju in izboljšanju dosežkov ter spodbuja njegove miselne procese. Kakovostna povratna informacija izhaja iz ciljev in kriterijev us- pešnosti, je konkretna in pravočasna. T ega učinka ne dosežemo z ocenami, točkami in splošnimi komentarji, kot na primer »Zelo si se potrudil«. Učenec potrebuje kvalitativno povratno informa- cijo, ki mu sporoča, kaj že zna, kaj in kako je treba še izboljšati ter ga spodbuja k nadaljnjemu učenju. Učenci v naših šolah pogosto dobijo povratno informacijo v ob- liki številčne ocene kot na sliki 6. Tovrstna informacija ne vse- buje usmeritev, kako dosežek izboljšati, in bolj kot napredek pri učenju spodbuja tekmovalnost. Slika 6: Povratna informacija v obliki številčne ocene Pogosto je opaziti, da učenec v takem primeru ob prejemu ocen- jenega pisnega izdelka najprej pogleda svojo oceno, nato pa oce- no, ki jo je prejel njegov sošolec, in ne tega, kje so njegova pod- ročja za izboljšanje. Pri učencih s šibkim matematičnim znan- jem tovrstna ocena lahko povzroči le začetno izboljšanje, ki ni trajno, ter izgubo motivacije, učenci z višjimi dosežki pa zadržijo visok nivo zanimanja ne glede na tip povratne informacije. To je pokazala izraelska študija, ki je raziskovala vpliv različnega tipa povratne informacije na motivacijo in dosežke učencev, kar pri- kazuje preglednica 4 (Emerson, 2014). Preglednica 4: Vpliv tipa povratne informacije na učenje Skupina Učinek na učenje Motivacija Samo komentar Se izboljša in izboljšanje je po zaporedju nalog trajno. Vpliv sposobnosti: • Učenci z višjimi dosežki zadržijo visok nivo zanimanja ne glede na tip povratne informacije. • Učenci z nižjimi dosežki, ki dobijo oceno, hitro izgubijo interes. Ocena in komentar Konstantno slabšanje. Samo ocena Začetno izboljšanje, ki ni trajno. Zanimivo je tudi, da je hkratna uporaba ocene in komentarja neučinkovita, saj se učenci osredotočijo zgolj na oceno in ne Primer 1: Ploščina paralelograma je 6 cm 2 . a) Kaj lahko poveš o dolžini stranice paralelograma in višini na stranico? Zapiši nekaj možnosti: dolžina stranice višina na stranico b) Nariši enega od paralelogramov iz zgornje preglednice. Koliko rešitev ima naloga? Primer 2: a) Najmanj koliko podatkov potrebuješ, da narišeš poljuben paralelogram? Naštej vsaj tri različne primere. b) Najmanj koliko podatkov potrebuješ, da izračunaš plošči- no poljubnega paralelograma? Naštej različne primere. Dokazi o učenju in napredku učencev so lahko tudi izvedene na- črtovane učne dejavnosti za odkrivanje novih matematičnih poj- mov in postopkov ter povezav med njimi, rešene naloge, izdelki, različni grafični organizatorji, predstavitve problemskih nalog, plakati, portfolio učenca, seminarske naloge, digitalne predsta- vitve, refleksije učencev, ugotovitve učitelja pri opazovanju učen- cev, pogovor z učenci, pogovor učencev … Z naslednjo grafično predstavitvijo (Bačnik, Bone, 2016) na sli- ki 5 lahko učenci v fazi ponavljanja in utrjevanja izkažejo razu- mevanje pojma ploščina paralelograma na različnih področjih spremljanja. Kaj je? Naštej različne strategije: Primer: Primeri iz vsakdanjega življenja - uporaba v življenju. PLOŠČINA PARALELOGRAMA Slika 5: Primer grafičnega organizatorja IZ TEORIJE ZA PRAKSO 8 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 preberejo komentarja, ki bi jim pomagal pri nadaljnjem učenju (Hodgen, Wiliam, 2006). Učinkovita povratna informacija je pozitivno naravnana, objek- tivna, konkretna, konstruktivna in presega okvir dobro/slabo. Učinkovito jo je podati v obliki »sendviča«: pozitivna opažanja, možna področja izboljšanja, pozitivna usmeritev za nadaljnje delo. Na sliki 7 je primer pisne informacije učencu, ki je reševal nalogo z načrtovanjem trikotnika. Učitelj je učencu sporočil, kateri deli konstrukcije so pravilni, kako naj konstrukcijo dopolni in na kaj naj bo v prihodnje bolj pozoren. Tovrstna povratna informacija je bistvena nadgradnja povratne informacije v obliki popravnega znaka za »manjkajoče«. Vir učenja in povratnih informacij lahko predstavljajo učen- ci drug drugemu. Sovrstniki predstavljajo močno potencialno polje za vzajemno učenje in sodelovalno delo. Vloga vrstniške povratne informacije je spodbujati učenje in izboljšati učne dosežke. Učenci lahko drug drugemu podajajo povratno infor- macijo o izdelku ali nalogi, lahko pa opišejo matematični pojem ali postopek s svojimi besedami in tako prispevajo k boljšemu razumevanju pri sošolcu. Ko učenci dobijo priložnost, da razlo- žijo določen matematični pojem ali koncept svojemu sošolcu, na ta način pravzaprav preverijo globino in obseg svojega znanja in razumevanja tega pojma ter se urijo v ubesedovanju lastnih poj- movnih shem. V razredu lahko učitelj organizira delo tako, da spodbuja vrst- niško povratno informacijo s podporo različnih tehnik: dve zvezdi in ena želja, vprašanja skupine ob zaključku učne ure, preveri pri treh pred menoj, naključni poročevalec, klasifikacija napak … Samovrednotenje Učenčevo znanje in napredek ugotavlja ter spremlja učitelj, nuj- no pa je, da so v vrednotenje vključeni tudi učenec in njegovi vrstniki. Samovrednotenje učencu omogoči vpogled v lastno znanje in podpre prepoznavanje močnih ter šibkih področij. Ob tem učenec krepi odgovornost za lastno znanje in jo prevzema nase (Suban, 2013). Učenec razvija sposobnost nadziranja in usmerjanja procesa lastnega učenja. Učenec v tej fazi išče odgo- vore na nekatera ključna vprašanja: Kaj znam in razumem? Kaj sem se naučil? Kaj znam zelo dobro? Česa še ne razumem? Kaj mi ni najbolje uspelo? Zakaj mi ni uspelo? Kako se bom naučil tisto, česar še ne znam? Kdo mi bo pomagal? Eden od pristopov je, da učenec ob koncu obravnave učnega sklopa izpolni preglednico, kjer ovrednoti stopnjo svojega znan- ja. Primer za cilj Učenec/učenka določi delitelje števila je naveden v nadaljevanju na sliki 8 (Suban, 2013). Na sliki 9 pa je primer samovrednotenja v obliki dela delovnega lista z nalogami (Sene- kovič, 2013). Opis učnega cilja Naloga Moje vrednotenje Znam Delno znam Ne znam Učenci/učenke določijo delitelje števila. Zapiši, kdaj je število b delitelj števila a. Zapiši delitelje števila 24. Na paradi je sodelovalo več dečkov in več deklic. Vsak otrok je nosil enako število balonov. Skupno število balonov je bilo 30. Razišči, koliko dečkov in koliko deklic bi lahko sodelovalo na paradi. Slika 8: Primer samovrednotenja usvojenosti cilja iz učnega načrta Samovrednotenje lahko poteka tudi ob podpori različnih vpra- šalnikov, ki jih pripravi učitelj. Če so izdelani v elektronski obliki, je poleg funkcije samovrednotenja to še povratna informacija učitelju o znanju vsakega učenca, ki je hitro dosegljiva in učitelju omogoča, da načrtuje nadaljnje učenje in poučevanje v skladu s pridobljenimi ugotovitvami. V naslednjem primeru je učitelj z elektronskim vprašalnikom preverjal, kakšne so učne navade učencev pri matematiki. V Načrtaj trikotnik ABC: c = 4,6 cm v c = 3,5 cm b = 4 cm Slika 7: Primer pisne povratne informacije učencu Glede na kakovost povratne informacije Nyquist (Wiliam, 2013) razlikuje naslednje različne vrste formativnega preverjanja: • skromna povratna informacija (samo informacija o ocenah), • samo povratna informacija (poleg ocene še cilji, ki naj bi jih učenci dosegli, ali pravilni odgovori na vprašanja), • skromno formativno preverjanje (pravilni rezultati skupaj z razlago), • srednje dobro formativno preverjanje (pravilni rezultati sku- paj z razlago in nekaj specifičnimi napotki za izboljšanje re- zultatov), • učinkovito formativno preverjanje (pravilni rezultati skupaj z razlago in napotki za specifične dejavnosti za izboljšanje rezultatov). Po prejemu povratne informacije je treba pozornost nameniti tudi odzivu učenca. Na primer predvideti je treba čas za spre- jemanje povratne informacije, preveriti je treba, ali je učenec povratno informacijo razumel, in sooblikovati njegovo nadalj- njo učno pot. Učinkovitost povratne informacije je odvisna tudi od njenega izvora – če je izvor zaupanja vreden (npr. učitelj), se njena učin- kovitost poveča. Na rtal si trikotnik, ki ustreza podatkom. Vendar razmisli, ali je bil postopek, s katerim si pri- šel do to ke C, korekten. Raz- misli še, ali je to edina rešitev naloge. Pomožne rte riši manj vidne, skice pa ve je in pregledne. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 9 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 konkretnem vprašanju na sliki 10 ga je zanimalo, katere vire uporabljajo učenci pri svojem učenju. Tako je dobil boljši vpogled v njihove učne navade in to uporabil za načrtovanje učnih dejavnosti, učenci pa je ob tem uzaveščajo lastne učne navade. Iz katerih virov se ponavadi učiš in utrjuješ matematično učno snov? Nikoli Včasih Pogosto Vedno Iz matematičnega zvezka     Iz matematičnega učbenika     Iz matematičnega delovnega zvezka     Iz matematičnih učnih listov     Iz svetovnega sveta podatkov (Interneta)     Iz različnih matematičnih zbirk nalog     Slika 10: Vprašanje v elektronskem vprašalniku o učnih navadah učencev (Redenšek, 2015) Preprost način za spodbuditev samoreflektivnih in samoregula- cijskih procesov je metoda nedokončanih povedi. Učenec lahko razmišlja o svojem učenju ob na primer naslednjih iztočnicah: • Najlažji del mi je bil … • Dokazal sem … • Pred tem nisem vedel … • Moj najljubši del je bil … • Ponosen sem na … • Nisem pričakoval … • Pomembno pri tem učenju se mi zdi … V naslednjem primeru na sliki 11 se koraka preverjanja pred- znanja in samovrednotenja prepletata na istem učnem listu. Prvi stolpec izpolni učenec pred obravnavo učne vsebine in tako pre- veri svoje predznanje. Listek lahko prepogne tako, da odgovore v prvem stolpcu skrije. Ob koncu obravnave se učenec ponovno opredeli do istih trditev, pregleda svoje odgovore in ugotavlja na- predek v svojem znanju. V stolpcu Moje opombe lahko utemelji svoje odgovore, zapiše svoje ugotovitve in načrtuje naslednji ko- rak v učenju. Med raziskavami, ki proučujejo vpliv samovrednotenja na ma- tematično znanje učencev, omenimo raziskavo, ki sta jo izvedla Fontana in Fernandes na Portugalskem (Wiliam, 2011). V ra- ziskavi sta sodelovali eksperimentalna skupina 354 učencev in 25 učiteljev ter kontrolna skupina 313 učencev in 20 učiteljev. V eksperimentalni skupini so učenci v času 20 tednov načrtno razvijali veščine samovrednotenja pod vodstvom učiteljev. Ti so se za uvajanje strategij formativnega spremljanja kontinuirano usposabljali. Ob začetku in koncu raziskave je vseh 667 učencev pisalo stan- dardiziran matematični test. Ob tem so se dosežki učencev v kontrolni skupini izboljšali za 7,8 točk, dosežki učencev v eks- perimentalni skupini pa za 15 točk. Drugače povedano, učenci eksperimentalne skupine so v 20 tednih izboljšali svoje dosežke toliko, kot bi jih sicer v 38 tednih učenja. Slika 9: Primer samovrednotenja usvojenosti učnega cilja skozi delovni list Slika 11: Preverjanje predznanja in samovrednotenje na istem učnem listu Pred obravnavo DA/NE Trditev Po obravnavi DA/NE Moje opombe Vsota kvadratov števil 11 in 15 je (11 + 15) 2 . (a + b) 2 = a 2 + b 2 Če je a 2 = 2, je 3a 2 = 24. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Razvojna naloga Formativno spremljanje na Zavodu RS za šolstvo Elementi formativnega spremljanja se v različnih projektih in nalogah v slovenskem šolskem prostoru pojavljajo od leta 2000. V zadnjem letu na Zavodu RS za šolstvo poteka razvojna naloga Formativno spremljanje/preverjanje na vseh predmetnih področ- jih, v katero so vključeni tudi učitelji praktiki. Pri matematiki je vključenih 12 učiteljev iz osnovnih in srednjih šol, ki preizkušajo in razvijajo elemente formativnega spremljanja pri svojem pou- ku in reflektirajo svoje delo. Pedagoške svetovalke jim zagotav- ljamo strokovno podporo na rednih strokovnih srečanjih in na spremljavah pouka na šolah. Za končne evalvacije je še prezgodaj, vmesne povratne infor- macije učiteljev razvojnikov pa so v večini spodbudne. Učitelji poročajo o tem, da so učenci pozitivno sprejeli spremembe pri pou-ku in da vse bolj prevzemajo odgovornost pri učenju. Eden od učiteljev je zapisal: »Mislim, da je ključna sprememba to, da sproti sledimo kriterijem kakovosti – tako jaz, kot dijaki. Opažam, da bolj pogosto opozarjam na posamezne kriterije (pri pregledu domače naloge, med reševanjem na tablo in samostojnim reševan- jem …). Veliko več se tudi pogovarjamo in s tem izboljšujemo vzdušje, razumevanje in odnose.« Viri Bačnik, A., Bone, J. idr. (2016). Izobraževalni lističi Scientix NA-MA. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Emerson, N. (2014). Using assessment for learning strategies in the mathematics classroom. KUPM 2014. Čatež. Hodgen, J., Wiliam, D. (2006). Mathematics inside the black box: Assessment for learning in the mathematics classroom. London: School of Education, King‘s College. Holcar Brunauer, A. idr. (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju.Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Japelj Pavešić, B. (2012). Znanje matematike in naravoslovje med osnovnošolci v Sloveniji in po svetu. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Kmetič. S. (2016). Interno gradivo razvojne naloge Formativno spremljanje. Lipnik, R. (2016). Interno gradivo razvojne naloge Formativno spremljanje. Looney, J. (2005). Formative assessment: Improving learning in secondary classrooms. Paris: Organisation of Economic Cooperation and Development. Redenšek, P . (2015). Interno gradivo projekta EUfolio. Schoenfeld, H. (2015). Summative and formative assessments in mathematics spporting the goals of the common core standards. Theory into practice. 54: 3, 183-194 Senekovič, J. (2013). Seštevanje in odštevanje racionalnih števil, 8. razred. V Suban, M., Kmetič, S. (ur.), Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Suban, M. (2013). Vrednotenje in samovrednotenje znanja pri matematiki. V Suban, M., Kmetič, S. (ur.), Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Vzgoja in izobraževanje. (2014) l. 45, št. 5-6. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. (dostopno na http://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/viz-5- 5-2014/). Wiliam, D. (2011). Embedded formative assessment. Bloomington: Solution Tree Press. Wiliam, D. (2013). Vloga formativnega vrednotenja v učinkovitih učnih okoljih. V Dumont, H., Istance, D., Benavides, F (ur.), O naravi učenja, uporaba raziskav za navdih prakse. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Zaključek Formativno spremljanje je celovit proces, ki vključuje preverjanje predznanja, sonačrtovanje ciljev in kriterijev uspešnosti, zbiranje dokazov o učenju, podajanje povratne informacije in samovrednotenje in se izvaja v vseh fazah pouka. Osnovni namen dejavnosti učitelja in učencev pri formativnem spremljanju je usmerjen v ugotav- ljanje znanja za izboljšanje učenja in poučevanja. Pri tem je pomemben dejavnik formativna vloga povratne informacije o znanju učenca, kar pomeni, da povratna informacija vpliva na nadaljnje učenje in poučevanje. Wiliam (2013) navaja, da izsledki raziskav na tem področju kažejo, da se z dnevno uporabo praks formativne- ga spremljanja izboljšajo dosežki učencev, v nekaterih primerih se poveča hitrost učenja celo do 70-80 %, tudi če gre za merjenja z zunanjimi standardiziranimi testi. Ta vidik tako odpira mnoge možnosti in priložnosti za izboljšanje učenja in poučevanja ter učnih dosežkov učencev. Razvojno delo z učitelji se v letošnjem letu nadaljuje, pri čemer se predvideva, da se bo mreža sodelujočih uči- teljev še razširila. Tudi mi pričakujemo pozitiven napredek tako pri učnih dosežkih učencev kot pri motivaciji za učenje matematike, pri učiteljih pa pripravljenost, da nadaljujejo s poučevanjem, ki je smiselno povezano z učenjem učencev. ■