OSNOVE STATISTIKE 
Martin Raič 

RAIČ, Martin Osnove statistike 
© 2018 Martin Raič Samozaložil avtor. Prva izda ja Ljubljana, 2018 Elektronska knjiga, dostopna na 
http://valjhun.fmf.uni-lj.si/~raicm/Poucevanje/BPSt/Statistika_2018.pdf <BR>
Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID=295264768 <BR>ISBN 978-961-288-523-6 (pdf ) 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Predgovor 
Ta knjiga je nastala po predavanjih iz statistike, ki sem jih izvajal na programu Biopsihologija na Fakultati za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije (FAMNIT) na Univerzi na Primorskem. Nadejam se, da bo prišla prav tudi še kje drugje, sa j je statistika široko uporabna veda in se predava na veliko študijskih programih. 
Predavanja sem prevzel tudi zato, ker se je vodstvo fakultete postavilo na stališče, da je dobro, če statistiko predava matematik. Tako je knjiga tudi zastavljena in do neke mere je lahko to tudi njena slabost. Trudil sem se, da v njej ne bi bilo preveč matematike, a mimo nje ne gre. Za globlje razumevanje je potrebno tudi znanje teorije verjetnosti, ki je osnova inferenčne statistike, vendar lahko bralec brez tega predznanja ustrezne odlomke tudi preskoči in se še vedno lahko nauči recepte. 
Zavedam se, da je v knjigi ostala še prenekatera napaka ali nekonsistentnost. Bralec, ki jo opazi, je seveda naprošen, da me na kaj takega nemudoma opozori. Hvaležen bom za vse pripombe. V kolikor bodo upravičene, bodo vsekakor upoštevane pri naslednji izdaji. 
V Ljubljani, junija 2018 
Martin Raič 

martin.raic@fmf.uni-lj.si <BR>
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 



Kazalo 
1. Uvod 9 
1.1 Formalizacija podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
1.2 Merske lestvice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
1.3 Nekaj več o vzorčenju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
1.4 Nekaj več o statističnem sklepanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
2. Obravnava ene statistične spremenljivke: univariatna analiza 23 
2.1 Dihotomne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 
2.1.1 Povzemanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 
2.1.2 Točkasto in intervalsko ocenjevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
2.1.3 Testiranje deleža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.2 Imenske spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 
2.2.1 Frekvenčna porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 
2.2.2 Točkasto ocenjevanje in test skladnosti . . . . . . . . . . . . . . . 37 

2.3 Urejenostne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
2.3.1 Ranžirna vrsta, rangi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
2.3.2 Kumulativne frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
2.3.3 Kvantili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
2.3.4 Točkasto ocenjevanje karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 
2.3.5 Intervalsko ocenjevanje karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . 48 
2.3.6 Testiranje karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 
2.3.7 Primerjava parov: test z znaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 


2.4 Intervalske spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
2.4.1 Mere centralne tendence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 
2.4.2 Mere razpršenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
5 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
2.4.3 Izračun karakteristik iz frekvenčnih porazdelitev . . . . . . . . . . 57 
2.4.4 Standardizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 
2.4.5 Skrajne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
2.4.6 Združevanje vrednosti v razrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 
2.4.7 Normalna (Gaussova) porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 
2.4.8 Točkasto ocenjevanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 
2.4.9 Intervalsko ocenjevanje in testiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
3. Povezanost dveh statističnih spremenljivk – bivariatna analiza 77 
3.1 	<BR>Povezanost dveh imenskih spremenljivk: asociiranost . . . . . . . . . . . 78 
3.1.1 Vrednotenje asociiranosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
3.1.2 Testiranje neasociiranosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 


3.2 	Povezanost dveh intervalskih spremenljivk: koreliranost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 
3.2.1 Kovarianca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 
3.2.2 Pearsonov korelacijski koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 
3.2.3 Testiranje nekoreliranosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 


3.3 	Povezanost intervalske in dihotomne spremenljivke: primerjava povprečij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
3.3.1 Točkovni biserialni korelacijski koeficient . . . . . . . . . . . . . . 94 
3.3.2 Standardizirana razlika povprečij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 
3.3.3 Testiranje enakosti povprečij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 


3.4 	Povezanost intervalske in imenske spremenljivke: analiza variance z enojno klasifikacijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
3.4.1 Pojasnjena in nepojasnjena varianca . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
3.4.2 Testiranje povezanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 


3.5 	Povezanost dveh urejenostnih spremenljivk: Spearmanova koreliranost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 
3.6 	<BR>Povezanost urejenostne in dihotomne spremenljivke . . . . . . . . . . . . 108 
3.7 	Povezanost urejenostne in imenske spremenljivke: Kruskal–Wallisova analiza variance . . . . . . . . . . . . . 112 
3.8 	<BR>Povzetek bivariatne analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 
Tabele 	<BR>117 





M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Tabela 1: Gaussov verjetnostni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Tabela 2: Kvantili Studentove porazdelitve . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Tabela 3: Kvantili porazdelitve hi kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Tabela 4: Kvantili Fisher–Snedecorjeve porazdelitve . . . . . . . . . . . . 125 
Literatura 135 
Viri 137 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
1. 


Uvod 
Statistika je veda, ki preučuje bolj ali manj množične podatke (pojave) ali pa tudi pojme, ki so motivirani z njimi. Med drugim za jema: 
• 	Zbiranje podatkov, torej kako (pri določenih praktičnih, npr. finančnih omejitvah) pravilno zbrati podatke, od katerih lahko pričakujemo čim natančnejšo informacijo 
o zadevi, ki nas zanima. Pomemben del te veje je teorija vzorčenja (angl. sampling). 
Primer: Želimo vedeti, kdo bo zmagal na volitvah. Nikakor ne moremo povprašati vseh volivcev, a tudi če bi jih, ni rečeno, da nam bodo odgovorili enako, kot bodo volili, če nam bodo sploh dali odgovor. Ta motnja je toliko večja, kolikor več časa je še do volitev. Zato predvolilne ankete niso vedno zanesljive, zelo zanesljive pa so vzporedne volitve, če se prav izvedejo. Nekaj več o tem malo kasneje. 
• 	Povzemanje podatkov – temu pravimo opisna statistika (angl. descriptive statistics). 
Primer: kaj vidimo iz naslednjih rezultatov kolokvija: 
50, 63, 52, 19, 69, 31, 40, 35, 47, 25, 35, 70, 99, 28, 52, 79, 68, 42, 55, 55, 0, 32, 58, 50, 28, 25, 67, 55, 60, 35, 27, 50, 55, 39, 75, 54, 
75, 88, 60, 38, 64, 65, 53, 45, 29, 10, 55, 20, 27, 98, 85, 50, 55, 53, 74, 5, 50, 95, 49, 35, 23, 23, 72, 68, 30, 30, 80, 75, 47, 15, 88, 100, 
60, 62, 17, 30, 100, 75, 40, 75, 78, 15, 90, 0, 25, 40, 68, 40, 55, 55, 55, 71, 45, 30, 85, 73, 33, 43, 41, 24, 37, 50, 85, 41, 48, 10, 35, 5, 
40, 93, 33, 55, 20, 98, 56, 70, 25, 65, 68, 74, 80, 90, 57, 40, 15, 62, 37, 65, 25, 12, 49 
.
Prav dosti že ne! Določen vtis nam da povprečni rezultat (aritmetična sredina) 505, veliko pa pove tudi histogram: 
9 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

0–9 10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–100 
Aritmetična sredina je primer statistike. Ta izraz ne pomeni samo vede, temveč pomeni tudi povzetek podatkov. Še en primer statistike je delež vseh študentov, ki so dosegli vsa j polovico vseh možnih točk. 
• 	Vrednotenje podatkov – temu pravimo inferenčna statistika. Njeni najpomembnejši veji sta statistično sklepanje (dajanje sklepov – izjav na podlagi dobljenih podatkov, angl. statistical inference)in statistično odločanje (dajanje navodil, kako ravnati, da bomo v povprečju imeli največjo možno korist, angl. decision theory). 
Primer: neki drugi kolokvij so pisali v dveh skupinah: A in B. Skupina A je v 
.	.
povprečju zbrala 3838 točk od 72 možnih, skupina B pa 3073 točk. Ali lahko trdimo, da je skupina A dobila lažje naloge? Še histogram: 
6 
4 
A B
2 
Tukaj težko kar tako kaj trdimo. Možno je, da je bila skupina A res lažja, možno pa je tudi, da skupino so A pisali boljši študenti (tudi ne da bi izvajalec kolokvija to hotel). Tu nam inferenčna statistika lahko pomaga, a nič ne moremo trditi z gotovostjo. Lahko pa sklepanje nastavimo tako, da se zmotimo denimo največ v 5% primerov. To je osnovna filozofija inferenčne statistike. 
Glede na zgoraj povedano je jasno, da kot matematično podlago za inferenčno statistiko potrebujemo teorijo verjetnosti. Le-to v zelo veliki meri potrebujemo tudi pri vzorčenju (nekaj več o tem malo kasneje). 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
1.1 Formalizacija podatkov 
Podatki so v statistiki vrednosti ene ali več statističnih spremenljivk na statistični množici. Statistično množico sestavljajo enote. Primeri statističnih množic: 
• 	
če delamo anketo, množica anketirancev; 

• 	
če gledamo vreme po različnih krajih, nabor vremenskih postaj; 

• 	
če gledamo spreminjanje cen različnih artiklov s časom, nabor časov (enote so tako npr. 15. januar, 15. februar, 15. marec . . . ); 


Število enot imenujemo numerus in ga navadno označujemo z n, tudi N. 
Statistična spremenljivka je predpis, ki vsaki enoti (potem ko jo pomerimo) priredi določeno vrednost. Množico vrednosti posamezne spremenljivke imenujemo zaloga vrednosti. Statistične spremenljivke navadno označujemo z velikimi tiskanimi črkami s konca abecede, npr. X, Y, Z, njihove vrednosti pa z malimi črkami. Vrednosti statistične spremenljivke X tako navadno označimo z x1, x2,. . . , xn. Tako je xi vrednost spremenljivke X na i-ti enoti statistične množice. 
Primer: vreme po Sloveniji v ponedeljek, 20. februarja 2012, ob 17. uri: 
Postaja  oblačnost  padavine  temperatura (◦C)  smer vetra  hitrost vetra (km/h)  
Kredarica  v oblakih  posamezne snežinke  −13  ↓  4  
Letališče Edvarda Rusjana Maribor  pretežno oblačno  –  2  ↓  11  
Letališče Jožeta Pučnika Ljubljana  oblačno  –  1  ց  4  
Letališče Portorož  oblačno  rahlo dežuje  5  ←  22  
Ljubljana  oblačno  rahlo dežuje  2  ր  4  

Tukaj postaja predstavlja enoto, padavine, oblačnost, temperatura ter smer in hitrost vetra pa so spremenljivke. 
Včasih ni čisto nedvoumno, kaj je statistična množica oz. njene enote. 
Primer: Recimo, da se vprašamo, koliko prebivalcev je imela v povprečju slovenska občina dne 1. 1. 2012. Izvleček iz podatkov: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Ljubljana 280.607, Maribor 111.550, Kranj 55.451, Koper 53.037, . . . , Hodoš 379. 
Vseh občin: 211. 

V tem primeru je enota občina, spremenljivka pa število prebivalcev. Želeno povprečje izračunamo s formulo: 
280.607 + 111.550 + 55.451 + 53.037 + · · · + 379 . .
= 974169 . 
211 
Drugačno vprašanje pa je, v kako veliki občini je v povprečju živel prebivalec Slovenije. V tem primeru je statistična množica sestavljena iz prebivalcev Slovenije in ima 2.055.496 enot. Na njej lahko definiramo dve spremenljivki: občina, v kateri živi dani prebivalec, in število prebivalcev te občine. To je videti približno takole: 
Enota  Občina  Št. prebivalcev  
Zoran Jankovi´c  Ljubljana  280.607  
. . . še 280.606 drugih  Ljubljana  280.607  
Franc Kangler  Maribor  111.550  
. . . še 111.549 drugih  Maribor  111.550  
Mohor Bogataj  Kranj  55.451  
. . . še 55.450 drugih  Kranj  55.451  
Boris Popovi´c  Koper  53.037  
. . . še 53.036 drugih  Koper  53.037  
. . .  . . .  . . .  
Rudolf Bunderla  Hodoš  379  
. . . še 378 drugih  Hodoš  379  

Želeno povprečje je zdaj enako: 
280.607 · 280.607 + 111.550 · 111.550 + 55.451 · 55.451 + 53.037 · 53.037 + · · · + 379 · 379 
2.055.494 
= . 58.501.74 . 

Opazimo, da je višje kot prej, sa j imajo zdaj občine z več prebivalci večjo težo. 
Primer: V spodnji tabeli je prikazano število stanovanj glede na velikost v dveh mestnih območjih v Sloveniji:1 <BR>
do 20  21–40  41–60  61–80  81–100  101 +  
Žalec  29  442  788  351  158  324  
Žiri  5  61  184  197  169  559  

1 Vir: Statistični letopis Republike Slovenije 2012 




M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Zanima nas, ali so se velikosti stanovanj v obeh območjih določale po istem ključu. V tem primeru je enota stanovanje. Populacijo sestavlja 3267 enot, od tega 2092 enot iz Žalca in 1175 enot iz Žirov. Na njej lahko definiramo dve smiselni spremenljivki: velikost stanovanja, ki ima 6 možnih vrednosti in je urejenostna spremenljivka, in mestno območje, ki ima dve možni vrednosti: Žalec in Žiri. Slednja spremenljivka je imenska, a je, ker ima le dve možni vrednosti, tudi dihotomna. 
Narobe pa bi bilo to interpretirati kot množico 12 enot, 6 iz Žalca in 6 iz Žirov, na katerih bi bila definirana razmernostna spremenljivka, ki bi imela na naši množici vrednosti 29, 442, 788, 351, 158, 324, 5, 61, 184, 197, 169 in 559. 
1.2 Merske lestvice 
Merska lestvica se v statistiki nanaša na statistično spremenljivko in pomeni, kakšno strukturo imajo vrednosti meritev spremenljivke oz. katere operacije lahko delamo s temi vrednostmi. Ločimo opisne (kvalitativne, atributivne) in številske (kvantitativne, numerične) merske lestvice. Opisne lestvice se nadalje delijo na: 
• 	
Imenske (nominalne), pri katerih gledamo le gole vrednosti, na katerih ni definiranih nobenih operacij. Primeri: barva, politična stranka, rasa, pasma, skupina. Včasih lahko povemo, katere vrednosti so si blizu oz. sosedne – to je pomembno pri združevanju vrednosti v razrede. 

• 	
Urejenostne (ordinalne), pri katerih lahko povemo, katera vrednost je večja in katera manjša. Primeri: kakovost razpoloženja, čin, stopnja izobrazbe, trdota minerala, odtenek sivine (kadar ocenjujemo na oko). Še zlasti pogosto se urejenostne lestvice pojavljajo pri raznih vprašalnikih, recimo ko imajo anketiranci na vprašanje, kako so razpoloženi, naslednje možne odgovore: 


• zelo slabo • slabo • srednje • dobro • zelo dobro 
Številske lestvice pa se delijo na: 
• 	
Intervalske, pri katerih lahko definiramo razlike med posameznima vrednostma in jih seštevamo, odštevamo ali delimo, medtem ko seštevanje, množenje in deljenje samih vrednosti a priori ni definirano oz. smiselno. Intervalske spremenljivke nimajo vnaprej določenega izhodišča (ničle). Lahko torej recimo povemo, da je razlika med vrednostma a in b dvakratnik razlike med b in c, ni pa recimo smiselno reči, da je vrednost b dvakratnik vrednosti a. Primeri intervalskih spremenljivk: letnica, nadmorska višina (v običajnih okoliščinah), temperatura (v običajnih okoliščinah, ko jo je smiselno gledati v Celzijevih stopinjah, recimo ko je ne povezujemo z energijo molekul). 

• 	
Razmernostne, pri katerih lahko vrednosti same seštevamo, odštevamo in delimo. Le-te imajo naravno izhodišče (ničlo) in lahko recimo povemo, da je vrednost b 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
dvakratnik vredosti a. Primeri: moč motorja, dohodek, odtenek sivine (če jo merimo z instrumentom ali določimo računalniško) in tudi temperatura, kadar jo je smiselno gledati v kelvinih, recimo pri fiziki nizkih temperatur (blizu absolutne ničle), pri kinetični teoriji plinov in pri preučevanju zvezd. 
Krajše pravimo, da je statistična spremenljivka imenska, urejenostna, intervalska oz. razmernostna, če je izmerjena na imenski, urejenostni, intervalski oz. razmernostni merski lestvici. 
Vsako razmernostno spremenljivko lahko gledamo tudi kot intervalsko, vsako intervalsko kot urejenostno in vsako urejenostno kot imensko. Vendar pa pri tem vedno izgubimo nekaj informacije. Posebej veliko jo izgubimo, če urejenostno spremenljivko degradiramo v imensko, zato tega navadno ne počnemo. 
Poseben primer merskih lestvic so dihotomne ali tudi binarne, to so take, ki lahko zavzemajo le dve vrednosti, recimo: 
• 
da/ne; 

• 
za/proti; 

• 
pravilno/nepravilno; 

• 
kontrolna/eksperimentalna skupina. 


Tudi če je dihotomna lestvica opisna, jo lahko včasih naravno obravnavamo kot številsko, navadno tako, da vrednostma priredimo števili 0 in 1. 
Pri primeru z vremenom so padavine, oblačnost in smer vetra imenske spremenljivke, pri katerih lahko povemo, katere vrednosti so si blizu. Temperatura je intervalska, hitrost vetra pa je razmernostna spremenljivka. 
Smer in hitrost vetra lahko združimo v razmernostno vektorsko spremenljivko. Tudi te so pomembne, a se z njimi ne bomo ukvarjali. 
Če bi pri oblačnosti gledali le, koliko neba ni vidnega (meglo bi torej izenačili z oblačnostjo) in tega ne bi kvantitativno merili (recimo v odstotkih), temveč bi le ločili npr. med jasnim, delno oblačnim, pretežno oblačnim in oblačnim vremenom, bi bila oblačnost urejenostna spremenljivka. Delež neba v odstotkih, ki ga zakrivajo oblaki, pa bi bil razmernostna spremenljivka. 
Iz padavin je malo težje narediti urejenostno spremenljivko, ki ne bi mogla biti tudi razmernostna: težko je namreč primerjati dež in sneg. Najbolj objektivno bi bilo meriti, koliko milimetrov padavin pade recimo na uro: to bi bila razmernostna spremenljivka. 
Glavna razlika med urejenostnimi in intervalskimi lestvicami je ta, da ne moremo primerjati razkorakov med posameznimi vrednostmi. Zato tudi ne moremo računati povprečij. Dostikrat sicer urejenostno spremenljivko ‘povišamo’ v intervalsko, tako da vrednostim priredimo številske vrednosti. Rezultati nadaljnje obdelave pa so lahko zavajajoči. V nekem podjetju bi lahko imeli naslednjo strukturo izobrazbe: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Nedokončana osnovna šola  70  
Osnovna šola  5  
Poklicna srednja šola  2  
Gimnazija  1  
Fakulteta  22  

in lahko bi izračunali, da je povprečna izobrazba osnovnošolska. Če pa bi šli fakultetno izobrazbo podrobneje razčlenjevat, bi recimo dobili: 
Nedokončana osnovna šola  70  
Osnovna šola  5  
Poklicna srednja šola  2  
Gimnazija  1  
Visoka strokovna izobrazba  2  
Univerzitetna diploma bolonjske 1. stopnje  0  
Univerzitetna diploma po starih programih  0  
Univerzitetna diploma bolonjske 2. stopnje  0  
Magisterij po starem programu  0  
Doktorat  20  

in izračunali, da je povprečna izobrazba poklicna srednja šola. 

1.3 Nekaj več o vzorčenju 
Često ne moremo zbrati podatkov na vsej statistični množici. Včasih si tega ne moremo finančno privoščiti, včasih (denimo pri testih trkov avtomobilov) pa merjenje pomeni tudi fizično uničenje enote in pač ne moremo uničiti vse statistične množice. Pač pa imamo možnost to narediti na določeni podmnožici. 
Celotni statistični množici pravimo populacija, podmnožici, na kateri zberemo podatke, pa vzorec. Seveda vzorec ne bo dal popolne informacije o populaciji, lahko pa bo dal približno informacijo o določeni statistiki na populaciji. Iskani statistiki na populaciji bomo rekli karakteristika. Cilj vzorčenja je dobiti vzorec, iz katerega se bo dalo dobro oceniti vrednost izbrane karakteristike na populaciji. 
Karakteristika navadno temelji na eni ali več statističnih spremenljivkah. Če se omejimo le na eno spremenljivko, to pomeni, da je odvisna le od porazdelitve te spremenljivke na populaciji. Porazdelitev pa pomeni, kolikšni so deleži posameznih vrednosti – recimo da je 2/3 ljudi za reformo, 1/6 ljudi proti njej, 1/6 pa je nepredeljenih. Če imamo več spremenljivk, pa mora karakteristika temelji na njih, če je odvisna od skupne ali navzkrižne porazdelitve. Ta pa pomeni, kolikšni so deleži kombinacij možnih vrednosti, npr. 5/12 ljudi je žensk in je za reformo. 
Primer. Če nas zanima, katera stranka bo zmagala na volitvah, populacijo tvorijo vsi volivci, spremenljivka pa je stranka, za katero je opredeljen volivec. Karakteristika, ki 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
nas zanima, je stranka, za katero je opredeljenih največ volivcev. To lahko povemo tudi tako, da je zanjo opredeljen največji delež volivcev, torej je odvisna samo od porazdelitve spremenljivke – deležev posameznih strank. 
Nemogoče je povprašati vse volivce, a pogosto lahko zmagovalca volitev dokaj zanesljivo napovemo že iz ankete – vzamemo ustrezen vzorec recimo 1000 volivcev. 
Vzorec omogoča dobro ocenjevanje karakteristike na populaciji, če je reprezentativen. Reprezentativen pomeni, da dobro odslikuje populacijo. Če ocenjujemo vrednost karakteristike, ki temelji na določeni spremenljivki, je dovolj, da dobro odslikuje populacijo, kar zadeva tisto spremenljivko. Vzorec je za določeno spremenljivko popolnoma reprezentativen, če se porazdelitev spremenljivke na vzorcu (empirična porazdelitev ) ujema s porazdelitvijo na populaciji. V tem primeru se vrednost karakteristike na populaciji ujema z vrednostjo ustrezne statistike na vzorcu. Na podlagi predvolilne ankete bomo recimo lahko napovedali delež glasov za določeno stranko: to je karakteristika populacije, ustrezna statistika na vzorcu pa je vzorčni delež volivcev, opredeljenih za to stranko. Seveda pa popolne reprezentativnosti tipično ne moremo doseči, lahko pa dosežemo približno reprezentativnost. Statistika na vzorcu je ocena iskane karakteristike na populaciji 
– bolj ali manj natančna. 
Reprezentativnost je težko doseči, če je vzorec zelo majhen, medtem ko je cela populacija popolnoma reprezentativen vzorec. Pri dobro izvedenem postopku vzorčenja je vzorec tipično dovolj reprezentativen, brž ko je dovolj velik. Za takšno vzorčenje bomo rekli, da je asimptotično reprezentativno (za določeno spremenljivko ali nabor spremenljivk). V tem primeru bo vzorčna statistika za dovolj velik vzorec tipično dober približek iskane populacijske karakteristike – večji kot je vzorec, natančnejši približek lahko pričakujemo. Pravimo, da je statistika dosledna cenilka karakteristike. 
Ta definicija asimptotične reprezentativnosti je sicer matematično nenatančna. Prvič bi bilo treba opredeliti, kaj pomeni, da je vzorec dovolj reprezentativen, za ta namen pa bi bilo treba opredeliti, kdaj je empirična porazdelitev blizu porazdelitve na populaciji. Poleg tega bi bilo treba opredeliti, kaj pomeni dovolj velik vzorec: cela populacija je vsekakor dovolj velik vzorec, a to ni tisto, kar želimo. Niti enega niti drugega tu ne bomo precizirali, pomembno pa je, da ‘dovolj velik vzorec’ ne pomeni, da mora za jemati velik del populacije: glavna ideja vzorčenja je, da o populaciji sklepamo na osnovi njenega majhnega dela. 
Primer: predsedniške volitve v ZDA l. 1936. [19, 21] Pomerila sta se Alfred Landon in Franklin Delano Roosevelt. Pred volitvami je revija Literary Digest izvedla obsežno javnomnenjsko raziskavo, ki je za jela 10 milijonov volivcev. Odgovorilo je več kot 2.300.000 volivcev. Šlo je za verjetno največji vzorec v zgodovini. Rezultat je bil 57% za Landona in 43% za Roosevelta.2 <BR>Kdo pa je dejansko zmagal, se ve: v resnici je bilo za Landona 38%, za Roosevelta pa 62% veljavnih glasovnic. [12, 24]3 <BR>
2 Natančneje, prišlo je 2.376.523 odgovorov, od katerih jih je bilo 1.293.669 za Landona in 972.897 za Roosevelta, preostalih 109.957 pa jih ni bilo niti za enega niti za drugega. [21, <BR>23] <BR>
3 Natančneje, za Landona ali Roosevelta je glasovalo 44.434.510 volivcev (približno 2.7% vseh glasov je bilo za druge kandidate), od tega 16.681.862 (37.54%) za Landona in 27.752.648 (62.46%) za Roosevelta. 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
V istem času pa je mladi statistik George Gallup povprašal le 50.000 volivcev in dobil rezultat 44% za Landona in 56% za Roosevelta.4 <BR>Kljub veliko manjšemu vzorcu je dobil dosti natančnejšo oceno, ki je pravilno napovedala zmagovalca. Gallup pa je napovedal tudi, kakšen bo izid raziskave Literary Digesta: iz vzorca 3.000 anketirancev je napovedal, da bo rezultat 56% za Landona in 44% za Roosevelta. [21] Zmotil se je torej le za odstotek! 
Za dobro oceno je torej bolj od velikosti vzorca pomembno, na kakšen način, po kakšnem protokolu ga vzamemo. Kaže, da je Gallup vzorčil bolje kot Literary Digest. 
Preprosta metoda, s katero se da doseči dosti natančno statistično sklepanje, je sistematično vzorčenje, kjer enote oštevilčimo, nakar v vzorec vzamemo recimo vsako deseto enoto. A tudi tu se lahko skrivajo pasti: če želimo recimo oceniti, koliko ljudi v povprečju v eni uri prečka Titov trg v Kopru in to naredimo tako, da jih štejemo 24 nedelj zapored med 6. in 7. uro zjutraj, ocena ne bo dobra.5 <BR>
Če želimo, da je sistematično vzorčenje učinkovito, torej številčenje ne sme biti povezano z merjenimi spremenljivkami. Preizkušen način, s katerim tovrstno povezanost odpravimo, obenem pa ne poslabšamo natančnosti sklepanja, je vpeljava slučaja v vzorčni načrt: odločitev, katere enote vzeti v vzorec, je slučajna. Temu pravimo verjetnostno vzorčenje. Povedano slikovito, pri tem vzorčenju mečemo kocko. Če je pravilno izvedeno, se vzorčni delež določene vrednosti določene statistične spremenljivke v povprečju6 <BR>ujema s populacijskim. Podobno se vzorčno povprečje spremenljivke v povprečju ujema s populacijskim. Pravimo, da je vzorčni delež oz. povprečje nepristranska cenilka populacijskega. To je že dober korak do majhne napake. 
Najpreprostejši primer verjetnostnega vzorčenja, kjer je prej omenjena neodvisnost skupaj z dodatnimi pogoji izpolnjena, je enostavno slučajno vzorčenje. To pomeni, da so vsi možni vzorci enako verjetni. Na populaciji velikosti 6 npr. obstaja 20 vzorcev velikosti 
3: 
{1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,2,6} {1,3,4}{1,3,5} {1,3,6} {1,4,5} {1,4,6} {1,5,6}{2,3,4} {2,3,5} {2,3,6} {2,4,5} {2,4,6}{2,5,6} {3,4,5} {3,4,6} {3,5,6} {4,5,6} 
Če so res vsi možni vzorci enako verjetni, torej če je “steklenica dobro pretresena”, je vzorčni delež nepristranska ocena populacijskega, enako pa velja tudi za povprečje. Seveda pa bo ocena toliko točnejša, kolikor večji bo vzorec in kolikor manj raznolika bo merjena spremenljivka: enostavno slučajno vzorčenje je asimptotično reprezentativno. Če ocenjujemo delež enot z določeno lastnostjo in ta delež ni preblizu 0 ali 1, je tipična 
√ 
napaka, ki jo naredimo, reda velikosti 1/ n. Le-ta ni odvisen od velikosti populacije. 
4 Natančneje, 44.3% za Landona in 55.7% za Roosevelta. 
5 Ta raziskava sicer ne paše čisto v paradigmo populacija – vzorec, a v dovolj dobrem približku lahko vzamemo, da so enote enourni intervali v določenem obdob ju, spremenljivka pa je število ljudi, ki v posameznem intervalu prečkajo Titov trg. Če štejemo vsako nedeljo ob isti uri, to pomeni, da v vzorec vzamemo vsako 168. enoto, se pravi, da gre za sistematično vzorčenje. 
6 Raba besede povprečje je tu nekoliko nenatančna in ustreza po jmu pričakovane vrednosti iz teorije verjetnosti. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Opomba. Za uporabnika, ki želi zelo natančno oceno, je to slaba novica: če želimo pridobiti eno decimalko, torej dobiti 10-krat natančnejšo oceno, moramo namreč vzeti 100-krat večji vzorec. 
.
Primer. Za vzorec velikosti 23 milijona, kot ga je vzela revija Literary Digest, predvideni 
.
red velikosti napake znaša približno 000066. To je znatno manj od dejanske napake, ki 
.
je znašala 019. Vzorec, ki ga je pri predsedniških volitvah v ZDA leta 1936 vzela revija Literary Digest, je bil torej zelo pristranski. 
A tudi pri Gallupovem vzorcu velikosti 50.000 predvideni red velikosti napake znaša 
..
približno 00045, kar je kar nekajkrat manj od dejanske napake 006. Torej se je tudi Gallup odrezal slabše kot pri enostavnem slučajnem vzorčenju. Vsekakor pa je bil manj pristranski kot Literary Digest. Ta revija se je kmalu po omenjenih volitvah znašla v steča ju. 
Pač pa se predvideni red velikosti napake sklada z dejansko napako pri Gallupovem vzorcu ankatirancev Literary Digesta: za vzorec velikosti 3000 dobimo napako reda veli
..
kosti 0018, dejanska napaka pa je bila manj kot 001. 
Še en primer. Drugi krog predsedniških volitev v Sloveniji 2. 12. 2012 
• 
Delo Stik 27.–29. 11. 2012: Pahor 55%, Türk 24%, ne vem 21%, n = 786. 

• 
Vzporedne volitve (Mediana): Pahor 67.03%, Türk 32.97%, n = 11.629. 

• 
Uradni rezultat: Pahor 478.859 (67.37%), Türk 231.971 (32.63%). 


Če preračunamo rezultate dela Stik le na tiste, ki so se opredelili, dobimo Pahor 70%, 
..
Türk 30% (zaokroženo na 1%). Predvideni red velikosti napake za 079 · 786 = 621 
..
volivcev znaša približno 004. To je več od dejanske napake, ki znaša približno 003. Pri 
.
vzporednih volitvah je predvideni red velikosti napake znašal 00093 in je bil spet večji 
.
od dejanske napake 00034. 
Enostavno slučajno vzorčenje je torej učinkovito, zahteva pa popoln pregled nad celotno populacijo in popolno dostopnost do nje. Na voljo moramo imeti npr. register prebivalstva, poleg tega pa tudi zagotovljen odziv. To velja tudi za sistematično vzorčenje. 
Dostikrat pa nad celotno populacijo nimamo pregleda, lahko pa populacijo razdelimo na več delov in dosežemo popoln pregled nad poljubnim njenim delom (storiti to za vse njene dele pa bi bilo predrago). Če npr. izvajamo raziskavo med oskrbovanci domov za starejše občane, bomo morda lahko v vsakem dobili seznam oskrbovancev, prav tako tudi seznam vseh domov starejših občanov v Sloveniji, skupaj s števili oskrbovancev. Nimamo pa dovolj sredstev, da bi se odpravili v vse domove, temveč se odpravimo le v nekaj domov. V tem primeru bomo vzorčenje izvedli v dveh fazah: najprej bomo izbrali seznam domov, ki jih bomo obiskali (morda bomo pri tem upoštevali tudi, koliko oskrbovancev imajo), nato pa bomo v vsakem od domov, ki ga bomo za jeli v raziskavo, poizvedeli po seznamu oskrbovancev in vzeli enostavni slučajni vzorec. Morda bomo oskrbovance pred 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
tem razdelili še glede na spol, psihofizično stanje in podobno. Pri tem mora biti vnaprej znano, kako bomo ravnali v vsaki situaciji, na katero naletimo (toliko in toliko dementnih, neodziv itd.) Temu pravimo vzorčni načrt. 
Zgoraj opisanemu postopku pravimo stratificirano vzorčenje. Gre za to, da populacijo razdelimo na več podpopulacij, ki jim pravimo stratumi. Za vsak stratum predpišemo, kakšno nadaljnje vzorčenje bomo izvedli na njem, med drugim tudi, koliko enot bo obsegal ustrezni podvzorec. 
Stratificirano vzorčenje se izvede tudi pri vzporednih volitvah, in sicer v v kombinaciji s sistematičnim: najprej se izbere vzorec volišč, nato pa na izbranih voliščih izvedejo sistematično vzorčenje. 
Kot merilo za delitev v stratume izberemo dejavnike, ki v kar se da veliki meri vplivajo na merjene spremenljivke in nad katerimi imamo pregled. Te dejavnike lahko formaliziramo kot statistične spremenljivke. Pogoste spremenljivke, ki služijo kot kriterij za formiranje stratumov, so regija, spol, starost, stopnja izobrazbe, sorta itd. Spremenljivka spol tako določa dva stratuma. Vzorčenje tipično izvedemo tako, da so spremenljivke, ki služijo za formiranje stratumov, na vzorcu porazdeljene čimbolj enako kot na populaciji (temu pravimo proporcionalna alokacija). Če je npr. v populaciji 10% visoko izobraženih, poskusimo doseči, da je tako tudi na vzorcu. Tak vzorec je reprezentativen glede na izobrazbo. Obetamo si, da je, če je vzorec reprezentativen glede na spremenljivke, za katere to lahko dosežemo, približno reprezentativen tudi glede na spremenljivke, ki nas zanimajo. To se lahko zgodi v primeru, če so prve povezane z drugimi. 
Vzorec Literary Digesta je bil zelo daleč od reprezentativnosti. Zakaj? Literary Digest je ankete po pošti pošiljal svojim naročnikom, telefonskim naročnikom, imetnikom avtomobilov, članom raznih elitnih klubov in podobno, skratka volivcem, ki jih je bilo lahko izbrskati. Toda biti naročen na Literary Digest, imeti telefon ali avto ali biti član elitnega kluba je v tistem času pomenilo biti dobro situiran, politična opredelitev pa je lahko zelo odvisna od socialnega položaja. Spomnimo, da je bil to čas velike gospodarske krize, ko je bilo biti dobro situiran še težje kot sicer. Huda težava raziskave Literary Digesta je bila tudi velika neodzivnost, sa j je na anketo odgovorilo le 23% vprašanih. Tudi dejstvo, ali se je kandidat odzval na anketo ali ne, je lahko zelo povezano z vrednostjo merjene spremenljivke, zato je neodzivnost lahko znaten vir pristranskosti. 
1.4 Nekaj več o statističnem sklepanju 
Pri opisni statistiki se osredotočimo le na podatke, ki jih imamo (na to, kar opazimo) in poskusimo narediti smiseln povzetek. Pri inferenčni statistiki pa gledamo podatke kot del nečesa večjega, česar ne poznamo v celoti. Tipičen primer je vzorec iz populacije: vrednosti statistične spremenljivke na vzorcu poznamo, na celotni populaciji pa ne. To pa ni edina možnost. Regresijska analiza se npr. ukvarja z napovedjo dogajanja v prihodnosti na podlagi podatkov iz preteklosti. 
V pričujoči publikaciji se bomo posvetili še naslednji pogosti situaciji: nekajkrat iz
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
vedemo poskus, ki se izide na slučajen način, in na podlagi opaženih izidov poskusimo sklepati o verjetnosti, da se poskus izide na določen način. Primer: pri kovancu, ki ni nujno pošten, nas zanima verjetnost, da pade grb, zato ga nekajkrat vržemo in opaženi delež grbov je ocena za verjetnost, da na kovancu pade grb. 
V splošnem gre pri inferenčni statistiki za to, da opazimo X, želeli pa bi povedati kaj 
o Y (statistično sklepati ).7 <BR>Omenili bomo tri vrste sklepanja: 
• 	
Točkasto ocenjevanje, pri katerem sestavimo algoritem, ki nam za vsako opažanje X vrne oceno Y ≈ Yˆ. Pri tem mora biti količina Yˆopazljiva (deterministično določena z opažanjem X), želeli pa bi narediti čim manjšo napako. Količini Yˆpravimo cenilka za Y. 

Primer: glede na anketo Dela Stik ocenimo, da bo na volitvah približno 70% veljavnih glasovnic za Pahorja (oceno smo zaokrožili na 1%). 

• 	
Intervalsko ocenjevanje, pri katerem poskusimo Y umestiti v opazljiv interval, npr. Ymin < Y < Ymax. Intervalu (Ymin, Ymax)pravimo interval zaupanja. Seveda morata biti meji intervala Ymin in Ymax opazljivi. Če o Y nimamo popolne informacije, izjava Ymin < Y < Ymax tipično ni vedno pravilna, da pa se kontrolirati verjetnost tega statističnega sklepa. Želimo doseči dvoje: 

– 	
Širina intervala naj bo čim manjša. 

– 	
Verjetnost, da je res Ymin < Y < Ymax (verjetnost pokritosti), naj bo v vsakem 




primeru vsa j β. .
Parametru β pravimo stopnja zaupanja. Tipični stopnji zaupanja sta β = 095 in 
.
β = 099. 
Namesto stopnje zaupanja lahko povemo tudi stopnjo tveganja α = 1 − β. Prej 

.
omenjenima tipičnima stopnjama zaupanja torej ustrezata stopnji tveganja α = 005 
.
in α = 001. Stopnja tveganja torej pomeni verjetnost, da se bomo pri sklepanju zmotili. 
Primer: glede na anketo Dela Stik pri stopnji zaupanja 95% (oz. stopnji tveganja 5%) pred volitvami ocenimo, da bo Pahor dobil med 66.3% in 73.6% glasov. 
• 	Testi značilnosti, pri katerem o Y postavimo neko hipotezo (domnevo), npr. Y = y ∗ . Tej hipotezi navadno pravimo ničelna hipoteza in jo označimo s H0. Nasprotje ničelne hipoteze je alternativna hipoteza in jo navadno označimo s H1. Test za vsako opažanje pove, ali ničelno hipotezo zavrnemo in sprejmemo alternativno hipotezo ali pa ne naredimo ničesar. Želimo doseči dvoje: 
7 V teoriji X in Y predstavimo kot slučajni spremenljivki na istem verjetnostnem prostoru, ki pa nima nujno znane verjetnostne mere. Temu pravimo statistični model. Če je porazdelitev vendarle znana, modelu pravimo bayesovski. S takimi modeli se ukvarja bayesovska statistika. Tako jo imenujemo zato, ker temelji na Bayesovi formuli. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
– 	
H0 naj se zavrne v čimveč primerih, ko ne velja. 

– 	
Verjetnost dogodka, da ničelno hipotezo zavrnemo, ko velja, naj bo v vsakem primeru največ α. Omenjenemu dogodku pravimo napaka prve vrste (napako druge vrste bomo definirali malo kasneje). 


Parametru α pravimo stopnja značilnosti. Če ničelno hipotezo zavrnemo pri stopnji 
.
značilnosti α = 005, pravimo, da so odstopanja statistično značilna. Če pa jo 
.
zavrnemo pri α = 001, pa, da so statistično zelo značilna. 
Stopnja značilnosti α pove, koliko smo pogumni pri zavračanju ničelne hipoteze. To je torej stopnja tveganja za napako prve vrste. Pri istem opažanju bomo pri velikih α ničelno hipotezo zavrnili, pri majhnih pa ne. Mejni stopnji značilnosti, ki loči zavrnitev ničelne hipoteze od nezavrnitve, pravimo p-vrednost. Ta je definirana za vsako opažanje pri določenem testu. 
Odločanje, ali ničelno hipotezo zavrnemo ali ne, lahko zastavimo tako, da vsa možna opažanja razvrstimo glede na to, katera kažejo bolj in katera manj zoper ničelno hipotezo, t. j. v prid alternativni hipotezi. Nato izračunamo verjetnost, da, če velja H0, opažanje kaže vsa j toliko zoper H0 kot aktualno opažanje. Če je ta verjetnost manjša ali enaka α, ničelno hipotezo zavrnemo. Pri takem protokolu je omenjena verjetnost p-vrednost opažanja. 
.
Če je p-vrednost manjša ali enaka 005, pravimo, da opažanje statistično značilno 
.
kaže zoper H0, če je manjša ali enaka 001, pa pravimo, da zoper H0 kaže statistično zelo značilno. 
Primer: Loterija Slovenije trdi, da je polovica srečk dobitnih. Kupimo 8 srečk in samo dve zadeneta. V tem primeru ima smisel testirati ničelno hipotezo, da je res polovica vseh srečk dobitnih, proti alternativni, da je dobitnih manj kot polovica srečk. p-vrednost lahko dobimo kot verjetnost, da izmed 8 srečk zadeneta dve ali manj, ob predpostavki, da je verjetnost, da je srečka dobitna, enaka 1/2. Ta verjetnost je enaka: 
�8 �8
1 + 1 + 2 . .
p= 	= 145% ,
28 
torej odstopanja niso statistično značilna. Ne moremo torej sklepati, da Loterija goljufa. 
Primer: Testiramo ničelno hipotezo, da je bilo vzorčenje pri anketi Dela Stik nepristransko, kar v tem primeru pomeni, da so vzorčili iz baze, v kateri je bil delež glasov za oba predsedniška kandidata enak (če se omejimo samo na opredeljene). Alternativna hipoteza trdi, da to ni res, torej da je bilo vzorčenje pristransko. Podobno lahko storimo za vzporedne volitve. Vzorec iz ankete Dela Stik ima glede 
.
na dejanske rezultate volitev p-vrednost 0232. Pri Gallupovi anketi o izidu predsedniških volitev v ZDA leta 1936 pa p-vrednost pride manj kot 10−100. Torej je tudi Gallup vzorčil pristransko (statistično zelo značilno), čeprav je pravilno napovedal zmagovalca. No, tudi Gallup ni v vseh svojih raziskavah napovedal prav. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Pomembno: ničelne hipoteze nikoli ne sprejmemo! Pri primeru z Loterijo nismo rekli, da je Loterija poštena, rekli smo le, da ne moremo reči, da ni poštena. Opažanje, da sta zadeli 2 srečki od 16, namreč podobno kot od situacije, ko je Loterija poštena, 
.
“odstopa” tudi od situacije, ko srečka zadene z verjetnostjo 499%. V slednji situaciji pa ničelna hipoteza ne velja. 
Dogodku, da ničelno hipotezo sprejmemo, čeprav ne velja, pravimo napaka druge vrste. To napako je težko ali celo nemogoče kontrolirati, zato pri testih značilnosti raje pravimo, da ne moremo reči ničesar, kot pa da storimo napako druge vrste. 
Kako izračunati vse navedeno, bomo spoznali v naslednjem poglavju. 
2. 


Obravnava ene statistične spremenljivke: univariatna analiza 
2.1 Dihotomne spremenljivke 
2.1.1 Povzemanje 
Pri dihotomnih spremenljivkah lahko podatke v glavnem povzamemo na dva načina: 
• 	
S frekvencama, ki povesta, koliko enot v statistični množici ima eno in koliko drugo vrednost. Denimo, v predavalnici je 35 slušateljev, od tega 19 žensk in 16 moških. Formalno bomo število enot z določeno lastnostjo označevali z znakom ♯. Če spremenljivko označimo z X, vrednosti pa z a in b, sta frekvenci ♯(X = a)in ♯(X = b). 

• 	
Z relativnima frekvencama oz. deležema ♯(X = a)/n in ♯(X = b)/n. Deleže često povemo v odstotkih. V prejšnjem primeru je bilo med slušatelji v predavalnici (do 


.	.
zaokrožitve natančno) 543% žensk in 457% moških. 
Grafično podatke najpogosteje prikažemo s tortnim grafikonom (če ga narišemo na 
.
roko, potrebujemo kotomer – delež p ustreza kotu p· 3600◦): 

23 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Lahko pa jih prikažemo tudi s histogramom: 

100% 
75% 
50% 
25% 
0% 

ženske moški 

2.1.2 Točkasto in intervalsko ocenjevanje 
Recimo, da se podatki, ki smo jih dobili, nanašajo na vzorec iz neke populacije. Oceniti želimo delež enot v populaciji, ki imajo dano lastnost. To količino bomo označili s θ. Na voljo imamo vzorec iz n enot, od katerih jih ima našo lastnost natanko f. Vrednost f je opažena oz. vzorčna frekvenca. 
Smiselna ocena za populacijski delež θ je opažena relativna frekvenca. Ocenimo torej: 
f 
θ ≈ θˆ= f◦ = . 
n 
Strešica nad črko, ki označuje določeno neznano količino, torej pomeni njeno cenilko ali oceno. Izraz cenilka uporabljamo, ko statistično sklepanje šele načrtujemo, torej preden dobimo podatke. Potem ko podatke že imamo, pa uporabljamo izraz ocena. 
Če je vzorčenje asimptotično reprezentativno, se, ko večamo vzorec, opažena relativna frekvenca bliža populacijskemu deležu. 
Primer. Za oddajo Moja Slovenija, ki je bila dne 2. marca 2013 na sporedu na RTV Slovenija, so 100 Slovencev (moških) med 15. in 75. letom starosti povprašali, ali nameravajo za 8. marec ženski, ki jim je blizu (ženi, partnerici, materi), podariti cvet. Pritrdilno 
.
jim je odgovorilo 85. Torej je n = 100, f = 85 in izračunamo θˆ= f/n = 085 = 85%. Na podlagi ankete torej ocenimo, da približno 85% vseh moških v Sloveniji med 15. in 
75. letom starosti ženski, ki jim je blizu, podari cvet. Bolj formalno, če je θ delež vseh Slovencev med 15. in 75. letom starosti, ki namerava ženski, ki jim je blizu, podariti cvet, 
.
ocenimo θ ≈ 085. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Še en primer: anketa Dela Stik v zvezi z drugim krogom predsedniških volitev v Sloveniji dne 2. 12. 2012, ki je bila izvedena v dneh 27.–29. 11. 2012: za Pahorja se je opredelilo 55%, za Türka 24% vprašanih, 21% pa jih je bilo neopredeljenih. Tedaj za n postavimo število opredeljenih, za f pa število tistih, ki so se opredelili za Pahorja. Točnih podatkov 
. ...
žal ni na voljo, glede na razpoložljivo pa je približno n = (055 + 025)m = 079 m in 
. .
f = 055 m, kjer je m število vprašanih. Torej delež glasov na volitvah za Pahorja, ki ga označimo s θ, ocenimo z: 
.
.f . 055 m 55 . .
ˆ
θ = = .= = 070 . 
n 079 m 79 
Kot smo že omenili, lahko statistično sklepamo ne le o deležu v populaciji, temveč tudi o verjetnosti, da se določen slučajni poskus izide na določen način. Temu pravimo dogodek. V tem primeru je to količina θ. Na voljo imamo n realizacij tega poskusa, za pri čemer privzamemo, da je poskus vsakič sledil istim verjetnostnim zakonitostim. Opažena frekvenca f je zdaj število realizacij, ki so se izšle na izbrani način, t. j. pri katerih se je zgodil izbrani dogodek. Spet ocenimo θ ≈ θˆ= f◦ = f/n. 
Če so izvedbe poskusa med seboj verjetnostno neodvisne, se z večanjem njihovega števila opaženi delež f◦ določenega dogodka bliža verjetnosti θ tega dogodka. To dejstvo je poseben primer zakona velikih števil v teoriji verjetnosti. 
Primer. Niso vsi kovanci pošteni: to je odvisno tudi od načina metanja. Če 50-krat vržemo kovanec in 38-krat pade grb, bomo ocenili, da na tem kovancu pri tem načinu metanja grb pade z verjetnostjo približno 38/50 = 76%. 
Intervalsko ocenjevanje pa je nekoliko bolj zapleteno in zahteva še določene dodatne pogoje. Konstrukcij intervalov zaupanja je celo več in ne odgovarjajo vse glavni zahtevi po pokritosti, t. j. da je verjetnost, da je populacijsko povprečje res v intervalu zaupanja, enaka (najmanj) stopnji zaupanja β. 
Preprosta konstrukcija je Waldov1 <BR>interval zaupanja. Le-ta zahteva naslednje dodatne pogoje: 
• 	
Gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije oz. za neodvisne izvedbe poskusa, pri čemer le-ta vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitistim. 

• 	
Vzorec oz. število izvedb poskusa ni premajhno. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je n ≥ 30. 

• 	
Opažena frekvenca ni preveč skrajna. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je f > 5in n−f > 5. Malo kasneje bomo povedali, kaj se da narediti pri majhnih frekvencah. 


Širina Waldovega intervala zaupanja temelji na standardni napaki : 
 
θˆ(1 − θˆ)
SE =, 
n 
1 Abraham Wald (1902–1950), transilvanski matematik judovskega rodu 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
ki predstavlja tipičen red velikosti razlike med opaženim in dejanskim deležem oz. opaženim deležem in verjetnostjo. Standardno napako pomnožimo z določenim koeficientom c, ki je odvisen od stopnje zaupanja oz. tveganja. V statistiki uporabljamo predvsem stopnji zaupanja 95% in 99% in iskana koeficienta za ti dve stopnji sta: 
. .
β = 95% : c = 196 , β = 99% : c = . 2.58 . 
Vrednosti temeljita na normalni oz. Gaussovi porazdelitvi. Natančneje, koeficient c je kvantil standardne normalne porazdelitve za verjetnost 1+2 β = 1 − α 2 – pišemo c = z(1+β)/2 = z1−α/2. Waldov interval zaupanja je θmin < θ < θmax, kjer je: 
ˆ	ˆ
θmin = θ− cSE , θmax = θ+ cSE . 
Žal se pri Waldovem intervalu zaupanja izkaže, da je dejanska pokritost slabša od deklarirane. To lahko izboljšamo s prisilnim zaokroževanjem, in sicer: 
• 	
Spodnjo mejo zaokrožimo navzdol, zgornjo pa navzgor. 

• 	
Meji zaokrožimo na toliko decimalk, kolikor mest ima velikost vzorca. A če je prva števka 1, le-te ne štejemo. Če ima torej vzorec 200 enot, zaokrožimo na tri, če ima 199 enot, pa le na dve decimalki. 


Primer: anketa iz oddaje Moja Slovenija, kjer je 85 od 100 moških odgovorilo, da namerava ženski, ki jim je blizu, podariti cvet. Če postavimo β = 95%, dobimo: 
SE . =  0.85 · 0.15 100 . = 0.03570714 ,  
.  . . . .  . . 

θmin 085 − 196 · 003570714 0780014 , kar zaokrožimo na 078,
= 	= 
. .... .	.
θmax = 085 + 196 · 003570714 = 0919986 , kar zaokrožimo na 092. 
Pri stopnji zaupanja 95% torej ocenimo, da namerava med 78% in 92% moških v dani kategoriji ženski, ki jim je blizu, podariti cvet. Če bi postavili β = 99%, pa bi dobili: 
. .... .	.
θmin = 085 − 258 · 003570714 = 0757876 , kar zaokrožimo na 075, . .... ..
θmax = 085 + 258 · 003570714 = 0942124 , kar zaokrožimo na 095. 
Opomba. Višja kot je stopnja zaupanja, širši mora biti interval zaupanja: če želimo, da bo naša napoved z večjo verjetnostjo pravilna, moramo biti bolj ohlapni. Edini interval zaupanja s stopnjo zaupanja 100% je interval [0,1], to pa je seveda neuporabno. Sprejeti moramo torej kompromis med natančnostjo in zanesljivostjo. 
Obstaja konstrukcija, ki zagotavlja deklarirano pokritost in pri kateri se širina intervala bliža optimalni, ko večamo vzorec. To je Clopper–Pearsonov interval zaupanja, ki pa je malo težje izračunljiv. Dober kompromis med pokritostjo, optimalnostjo širine in izračunljivostjo je Agresti–Coul lov interval zaupanja.[16] Pri njem izračunamo: 
2 2 f + 2 θ(1 − θ) n˜= n + c , θ = , SE = , = θ SE , = θ SE . 
c �˜˜
˜	˜˜
�θmin − c �θmax + c �
n˜n˜

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer : spet anketa iz oddaje Moja Slovenija, kjer je 85 od 100 moških odgovorilo, da namerava ženski, ki jim je blizu, podariti cvet. Če postavimo β = 95%, dobimo: 
.
85 + 1962 /2 
.2 . .. . .
˜
n˜= 100 + 196= 10384 , θ = = 083705 ,
.
10384 
..
�083705 · 016295 
. . .
SE = = 003624 , 
10384 
. ...
........

= 083705 − 196 · 003624 = 0766 , = 083705 + 196 · 003624 = 0909 .
θmin θmax 
..
Pri stopnji zaupanja 95% torej zdaj ocenimo, da namerava med 766% in 909% moških v dani kategoriji ženski, ki jim je blizu, podariti cvet. Spodnjo mejo smo zaokrožili navzdol, zgornjo pa navzgor. 
Če pa bi vzeli β = 99%, bi dobili: .
85 + 2582 /2 
.2 . .. . .
˜
n˜= 100 + 258= 10666 , θ = = 082813 ,
.
10666 
..
�082813 · 017187 
. . .
SE = = 003653 , 
10666 
. ...
........

= 082813 − 258 · 003653 = 0733 , = 082813 + 258 · 003653 = 0923 .
θmin θmax 
Opomba. Količina θ˜ni čisto enaka θˆ: Agresti–Coullov interval zaupanja je pomaknjen nekoliko stran od krajišč 0 in 1. Prav tako se modificirana standardna napaka �
SE malenkost spreminja z β, medtem ko je nemodificirana standardna napaka SE neodvisna od β. 
Še en primer : prej omenjena anketa Dela Stik v zvezi z drugim krogom predsedniških volitev v Sloveniji. Točni podatki sicer niso na voljo, 
.
.
a v okviru danih (poleg že omenjenih deležev potrebujemo še, da je bilo vprašanih m = 786 volivcev) bo smiselno postaviti 079m = 621 =: n 
.
.
in 055m = 432 =: f. Pri β = 95% dobimo: 
.
432 + 1962/2 
.2 . .. . .
˜
n˜= 621 + 196= 62484 , θ = = 069445 ,
.
62484 
..
�069445 · 030555 
. . 
.
SE = = 001843 , 
62484 
. .... .. .... .
= 069445 − 196 · 001843 = 0658 , = 069445 + 196 · 001843 = 0731 .
θmin θmax 
Pri β = 99% pa dobimo: .
432 + 2582/2 
.2 . .. . .
˜
n˜= 621 + 258= 62766 , θ = = 069358 ,
.
62766 
..
�069358 · 030642 
. . 
.
SE = = 001840 , 
62766 
. ...
........

= 069358 − 258 · 001840 = 0646 , = 069358 + 258 · 001840 = 0742 .
θmin θmax 
..
Torej bi na podlagi ankete pri stopnji zaupanja 95% napovedali, da bo za Pahorja glasovalo med 658% in 731% volivcev. Pri stopnji zaupanja 
..
99% pa bi bila ta napoved med 646% in 742%. 
Primer : vzporedne volitve pri drugem krogu predsedniških volitev v Sloveniji. Čisto točni podatki spet niso na voljo, a vemo, da so vprašali 
.... 
n = 11.629 volivcev, med katerimi se jih je 6703% opredelilo za Pahorja in 3297% za Türka. Postavimo 06703 · 11629 = 7795 =: f. Pri β = 99% dobimo: 
.
7795 + 2582/2 
.2 . .. . .
˜
n˜= 11629 + 258= 116357 , θ = = 0670210 ,
.
116357 
..
�0670210 · 0329790 
. . .
SE = = 0004358 , 
116357 
. .
....
= 0670210 − 258 · 0004358 = 06589 , . . 
θmin 
....
θmax = 0670210 + 258 · 0004358 = 06815 . 
..
Na podlagi vzporednih volitev bi torej pri stopnji zaupanja 99% napovedali, da bo za Pahorja glasovalo med 6589% in 6815% volivcev. 
.
V resnici je na volitvah za Pahorja glasovalo 6737% volivcev, kar je v vseh intervalih zaupanja, ki smo jih obravnavali. 
Tudi Agresti–Coullov interval nam sicer ne zagotavlja v vsakem primeru verjetnosti pokritosti vsaj β, toda verjetnost pokritosti se pri vsakem θ bliža β, ko se n veča. Bližanje je še hitrejše, če gledamo povprečno verjetnost pokritosti, ko θ preteče določen interval. Le-ta je zelo blizu β že za majhne n. 
Če so frekvence zunaj postavljenega okvira legitimnosti Waldovega intervala zaupanja (torej zelo majhne ali zelo velike), si lahko navadno še vseeno pomagamo na preprost 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
način. Če je n ≥ 10 in n ≥ f2, se lahko namreč poslužimo naslednje tabele (vedno gledamo vrednost z majhno frekvenco): 
.	.
β = 095 	β = 099 
f  θmin  θmax  

f  θmin  θmax  

0  0  3.45/n  
1  0.025/n  5.58/n  
2  0.242/n  7.24/n  
3  0.618/n  8.77/n  
4  1.08/n  10.3/n  
5  1.62/n  11.7/n  

0  0  4.94/n  
1  0.005/n  7.43/n  
2  0.103/n  9.28/n  
3  0.337/n  11.0/n  
4  0.672/n  12.6/n  
5  1.07/n  15.7/n  

Po jasnilo. Številke so dobljene iz kvantilov porazdelitve hi kvadrat: če je χ2 (m) kvantil porazdelitve hi kvadrat z m prostostnimi 
p
stopnjami za verjetnost p, za velike n interval zaupanja pride (1 χ2 (2f), 1 χ2 (2f + 2)), če je f > 0. Pri f = 0 pa se izkaže, 
2n (1−β)/2 2n (1+β)/2 da je potrebno vzeti [0, 1 χ02 .025 (16))pri β = 0.95 in [0, 1 χ2 0.005 (24))pri β = 0.99.
2n 	2n 
Primer. V vzorcu je 33 žensk in 2 moška. Recimo, da želimo oceniti delež žensk v populaciji. Legitimnost Waldovega intervala zaupanja spodbije frekvenca moških. A ker je 35 ≥ 10 in 35 ≥ 22, se lahko poslužimo tabele, iz katere odčitamo 95% interval zaupanja 
..
za delež moških, ki znaša od 00069 do 0207. Ustrezni interval zaupanja za ženske znaša 
..
od 0793 do 09931. 
2.1.3 Testiranje deleža 
Tako kot v prejšnjem razdelku naj bo tudi tu θdelež enot v populaciji z določeno lastnostjo ali verjetnost, da se določen poskus izide na določen način. Testiramo ničelno hipotezo H0, da je ta delež oz. verjetnost enaka hipotetičnemu deležu oz. verjetnosti θ∗, na voljo pa imamo vzorec iz n enot, od katerih jih ima našo lastnost natanko f, oziroma n realizacij poskusa, od katerih se jih f izide na izbrani način. 
Podobno kot pri intervalskem ocenjevanju je treba tudi pri testiranju privzeti določene dodatne pogoje. Ti so odvisni od izbire testa. Lahko gledamo tudi obratno – pri določenih pogojih je primeren določen test. Omenili bomo Z-test, ki sicer ni eksakten (kar pomeni, da se dejanska stopnja tveganja ne ujema z deklarirano), se pa preprosto izračuna. Ta zahteva naslednje dodatne pogoje: 
• 	
Gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije oz. za neodvisne izvedbe poskusa, pri čemer le-ta vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. 

• 	
Vzorec oz. število izvedb poskusa ni premajhno. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je n ≥ 30. 

• 	
Pričakovana frekvenca nθ∗ ni preveč skrajna. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je nθ∗ ≥ 5 in n(1 − θ∗)≥ 5. 


Obravnavali bomo tri alternativne hipoteze: H1 ±, da je θ = θ∗ , H1 −, da je θ > θ∗, in H1 −, da je θ < θ∗. Prva alternativna hipoteza je dvostranska, drugi dve pa sta enostranski. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Zato v prvem primeru tudi za test pravimo, da je dvostranski, v drugih dveh primerih pa, da je enostranski. 
Tako kot v prejšnjem razdelku naj ima vzorec velikost n in naj bo v njem f enot z dano lastnostjo. Spet označimo θˆ:= f/n. Ključ do statističnega sklepanja je testna statistika, po kateri se ta test imenuje: 
θˆ− θ∗ θ∗(1 − θ∗)
Z := , kjer je SE = . 
SE n 
Statistika Z je torej razmerje med opaženo razliko in standardno napako. 
Spomnimo se, da ničelno hipotezo zavrnemo, če je p-vrednost manjša od stopnje značilnosti α. p-vrednost pa je odvisna od alternativne hipoteze: 
• 
če je to H±, je p= 1− 2Φ(|Z|);

• 
če je to H1 +, je p= 1 2 − Φ(Z); 

• 
če je to H1 −, je p= 2 1 + Φ(Z). 


1 
Tu je Φ Gaussov verjetnostni integral: 
� z
1 
Φ(z)= √ e −t2/2 dt , 
2π 0 
njegovo vrednost pa lahko odčitamo iz tabele 1. 
Če pa nas ne zanima p-vrednost, temveč izberemo stopnjo značilnosti α, pri kateri bomo ničelno hipotezo zavrnili ali pa nič sklepali, pa potrebujemo le kvantile normalne porazdelitve (več o normalni porazdelitvi v razdelku 2.4.7): 
. .. .. .. .
z0.95 = 165 , z0.975 = 196 , z0.99 = 233 , z0.995 = 258 
Splošneje, za poljuben 0 < γ < 1 velja zγ = Φ−1 γ − 1 2 oziroma γ = Φ(zγ) + 1 2. Zaradi narave stvari, ki jih računamo, so vsi kvantili zaokroženi navzgor. 
Ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H1 ±, če je |Z| > z1−α/2; 

• 
proti H1 +, če je Z > z1−α; 

• 
proti H1 −, če je Z < −z1−α. 


Množici Z-vrednosti, kjer ničelno hipotezo zavrnemo, imenujemo kritično območje. Odvisna je od stopnje značilnosti α in različice testa (enostranski, dvostranski). Test se imenuje Z-test, ker ima testna statistika v primeru veljavnosti ničelne hipoteze približno standardno normalno porazdelitev in zato izračunano vrednost primerjamo s kvantili te porazdelitve, ki jih označujemo s črko z. Koliko je porazdelitev blizu od standardni normalni, ilustrirajmo s stolpčnim grafikonom dejanske porazdelitve in krivuljo standardne 
.
normalne porazdelitve pri n = 100 in θ∗ = 06: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Z
−3 −2 −1 
1 2 3 

Ilustracija p-vrednosti pri isti opaženi testni statistiki Z za različne različice Z-testa – p-vrednost je ploščina osenčenega dela: 
Enostranski test v desno 

Z  
Z  
−Z  Z  

(alternativna hipoteza je 

+111
H− 
H± 
H

): 

): 

Enostranski test v levo 

(alternativna hipoteza je 

Dvostranski test 

(alternativna hipoteza je 

): 
.
Ilustracija kritičnega območja za α = 0

05: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Enostranski test v desno (alternativna hipoteza je H1 +): 
Enostranski test v levo (alternativna hipoteza je H1 −): 
Dvostranski test 
(alternativna hipoteza je H1 ±): 


Primer: anketa Dela Stik v zvezi s predsedniškimi volitvami. Ob predpostavki, da je Delo Stik vzelo enostavni slučajni vzorec, testiramo ničelno hipotezo, da je bila opredeljenost volivcev ob anketiranju enaka kot opredeljenost na volitvah, proti alternativni hipotezi, da temu ni bilo tako: izvedemo torej dvostranski test. Opredeljenost lahko opišemo z deležem volivcev, ki so glasovali za Pahorja. V tem primeru je torej: 
θ = delež vseh volivcev, ki so bili ob izvedbi ankete opredeljeni za Pahorja 
Tega ne poznamo. 

θ ∗ = delež volivcev, ki so na volitvah glasovali za Pahorja 
.

= 06737 , 
θˆ= delež anketirancev, ki so se opredelili za Pahorja, med tistimi, ki so se opredelili .
= 06962 . 
Če se je opredelilo 621 anketirancev, izračunamo: 
....
. 06737 · 03263 . .. 06963 − 06737 . .
SE = = 00188 , Z = .= 1201 . 
621 00188 
. .. ...
Tako dobimo p= 1− 2· Φ(1201) = 023. Ker je p≥ 005, ničelne hipoteze pri α = 005 ne 
.
moremo zavrniti, kaj šele, da bi jo zavrnili pri α = 005. Odstopanja torej niso statistično 
. .
značilna. To se vidi tudi iz tega, da je Z < z0.975 = 196. 
Primer. Recimo spet, da Loterija trdi, da je polovica srečk dobitnih. Kupimo določeno število srečk, med katerimi je spet določeno število dobitnih. Ali lahko trdimo, da Loterija 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
laže? V skladu s trditvijo Loterije bomo postavili θ∗ = 1/2, za alternativno hipotezo pa bomo postavili, da je θ < 1/2, kjer je θ verjetnost, da je posamezna srečka dobitna: primer, ko je ta verjetnost večja od 1/2, nas ne skrbi, zato ga v alternativno hipotezo ne vključimo (izpeljava pokaže, da dobimo isti kriterij odločanja tudi, če za ničelno hipotezo postavimo θ ≥ θ∗). Izvedemo torej enostranski test v levo. 
Denimo, da smo kupili 100 srečk in je dobitnih le 41. Izračunamo: 
....
05· 05 .041 − 05 .
SE = = 005 , Z = .= −18,
100 005 
.. ..
od koder sledi p = 1 2 + Φ(18) = 0036. Ničelno hipotezo torej pri α = 005 zavrnemo, 
..
pri α = 001 pa tega ne moremo storiti. Z drugimi besedami, velja Z < −165, toda 
.
Z > −233, zato so odstopanja statistično značilna, niso pa statistično zelo značilna. Še drugače povedano, če smo pripravljeni sprejeti 5-odstotno tveganje, da Loterijo obtožimo po krivici, bomo rekli, da Loterija laže, če pa smo pripravljeni sprejeti le 1-odstotno tveganje, bomo molčali. 
Primer. Kdaj lahko na podlagi določenega števila metov kovanca trdimo, da ni pošten? Tu spet postavimo θ∗ = 1/2, toda zdaj moramo biti občutljivi na obe strani: za alternativno hipotezo postavimo θ = 1/2. Recimo, da 100-krat vržemo kovanec in 41-krat pade 
..
grb. Tedaj je še vedno Z = −18 (če delamo s popravkom za zveznost, pa pride Z = 17), 
.. .
toda p-vrednost je zdaj enaka 1 − 2Φ(18) = 0072 (ravno dvakratnik prejšnje, to pa je 
.
zato, ker smo občutljivi na dve strani). Z drugimi besedami, velja |Z| < 196. To pomeni, da odstopanja niso statistično značilna. 
√ 
..
Če pa bi kovanec vrgli 1000-krat in bi 410-krat padel grb, bi bilo SE = 005/ 10 = 
√ 
... .
00158 in Z = −18 · 10 = 559. V tem primeru bi bila odstopanja zalo značilna. Iz 
..
tabele 1 se da razbrati, da pride p-vrednost manj kot 000005 (v resnici pride 63· 10−9). 
Primer: Gallupova napoved volilnega izida predsedniških volitev v ZDA leta 1936. V 
.
skladu z uradnim izidom postavimo θ∗ = 038 (gledamo delež tistih, ki so glasovali za 
.
Landona) in v skladu z Gallupovo napovedjo postavimo θˆ= 044. Izvedemo dvostranski test. Spomnimo se, da je Gallup povprašal n = 50.000 volivcev. Izračunamo: 
....
038 · 062 . .044 − 038 . .
SE = = 000217 , Z = .= 2764 ,
50000 000217 
.
Pogled v tabelo 1 pove, da je p-vrednost manjša od 000005 (v resnici je celo manjša od 10−100). Odstopanja so torej statistično več kot zelo značilna, torej lahko tudi za Gallupa rečemo, da je bil njegov vzorec pristranski. Tudi Gallupov inštitut ni pravilno napovedal izidov vseh predsedniških volitev v ZDA. 
Za θ smo tu vzeli delež tistih, ki so glasovali za Landona. Enako bi dobili, tudi če bi gledali delež tistih, ki so glasovali za Roosevelta. 
Primer: Gallupova napoved izida ankete revije Literary Digest. V skladu z izidom an
.
kete postavimo θ∗ = 0571. Za Gallupovo napoved 56% avtor žal ni našel natančnejših 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
..
podatkov, torej vemo le, da je bil Gallupov delež za Landona med 555% in 565%. Izvedemo dvostranski test, pri čemer se spomnimo, da je Gallup povprašal n = 3.000 volivcev. Najprej velja: 
..
0571 · 0429 . .
SE = = 0009036 . 
3000 
. .
Nadalje za θˆ= 0555 dobimo: ..
. 0555 − 0571 . .. .
Z = .= −177 , p= 0077 ,
000936 
. .
za θˆ= 0565 dobimo: ..
. 0555 − 0571 . .. .
Z = .= −066 , p= 051 . 
000936 
Vidimo, da v okviru razpoložljivih podatkov p-vrednost močno variira, vendar odstopanja v nebenem primeru niso statistično značilna. 



2.2 Imenske spremenljivke 
2.2.1 Frekvenčna porazdelitev 
Če ima imenska spremenljivka, ki jo gledamo, fiksen končen nabor možnih vrednosti, je podobno kot pri dihotomni vrednosti smiselno govoriti o frekvencah, torej kolikokrat se je pojavila določena vrednost. Namesto tega lahko povemo tudi relativne frekvence (deleže), torej frekvence, deljene s številom enot. Zapis vseh vrednosti skupaj z (relativnimi) frekvencami imenujemo frekvenčna porazdelitev, ki jo lahko predstavimo v obliki tabele: 
vrednosti  frekvence  relativne frekvence  
a1  f1  f◦ 1  
a2  f2  f◦ 2  
. . .  . . .  . . .  
ak  fk  f◦ k  

◦◦ 
Frekvenca fi je torej število enot, na katerih ima spremenljivka vrednost ai. Število enot z določeno lastnostjo bomo označevali z znakom ♯. Tako lahko s formulo zapišemo: 
fi = ♯(X = ai) ; i = 1,2,. . . , k . 
Velja še: 
1 + f2 + 
fi
◦◦
f1 + f2 + · · · + fk = n , f
f

· + f

1

= 

· · 

k =
, 

.

i 
n 
Frekvenčno porazdelitev imenskih spremenljivk grafično predstavimo s tortnim diagramom (angl. pie chart ali circle graph)ali s histogramom. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Če se naši podatki nanašajo na enostavni slučajni vzorec iz neke populacije, so relativne frekvence tudi točkaste ocene populacijskih deležev. Če so torej θ1, θ2,. . . , θk deleži enot, na katerih ima spremenljivka vrednost a1, a2,. . . , ak, so njihove ocene kar θˆi = fi ◦ . 
Modus je vrednost z najvišjo frekvenco. Označevali ga bomo z M, pogosta oznaka pa je tudi Mo ali Mo. Modusov je lahko več. 
Modus je ena od mer centralne tendence. 
Primer: 32 ljudi so vprašali, kaj v življenju jim največ pomeni.2 <BR>Možni odgovori so bili: 
(D) 
Družina, otroci, starši. 

(F) 
Denar, finančna neodvisnost. 

(Z) 
Zabava, sprostitev. 

(H) 
Hiša, avto, dobre obleke. 

(U) 
Ugled, spoštovanje. 


Odgovori, ki so jih dobili:3 <BR>
F, D, D, U, Z, D, D, D, U, D, D, D, H, D, D, D, F, F, D, U, D, D, H, H, D, D, D, D, D, D, U, Z. 
Frekvenčna porazdelitev: 
vrednosti  frekvence  relativne frekvence  
Družina, otroci, starši  20  0.625 = 62.5%  
Denar, finančna samostojnost  3  0.094 = 9.4%  
Zabava, sprostitev  2  0.063 = 6.3%  
Hiša, avto, dobre obleke  3  0.094 = 9.4%  
Ugled, spoštovanje  4  0.125 = 12.5%  

Histogram in tortni grafikon: 
25 

Družina, starši, otroci 
20 

Denar, finančna samostojnost 
15 
10 

Zabava, sprostitev 
5 
Hiša, avto, lepe obleke 
0 
Ugled, spoštovanje 
D F Z H U Modus je ‘družina, starši, otroci’. 
2 www.anketnik.net, 9. 9. 2010–9. 3. 2011 
3 Vrstni red je izmišljen. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Če vemo, katere vrednosti so si blizu oz. sosedne, lahko definiramo tudi lokalne moduse. Porazdelitev je bimodalna, če ima dva izrazita lokalna modusa, pri čemer enake frekvence na sosednih vrednostih obravnavamo kot en lokalni modus. Porazdelitev je multimodalna, če ima več kot dva izrazita lokalna modusa v prejšnjem smislu. 
Včasih modusi, posebej lokalni, za prvotne vrednosti ne odražajo realne slike. To se zgodi takrat, ko je vrednosti veliko, frekvence pa majhne. 
Primer: rezultati kolokvija iz uvoda (urejeni po velikosti): 
0, 0, 5, 5, 10, 10, 12, 15, 15, 15, 17, 19, 20, 20, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 27, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 35, 35, 35, 35, 
35, 37, 37, 38, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 43, 45, 45, 47, 47, 48, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 55, 55, 55, 55, 
55, 55, 55, 55, 55, 56, 57, 58, 60, 60, 60, 62, 62, 63, 64, 65, 65, 65, 67, 68, 68, 68, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 75, 75, 75, 75, 78, 79, 
80, 80, 85, 85, 85, 88, 88, 90, 90, 93, 95, 98, 98, 99, 100, 100 
Pisalo je 131 študentov, možno pa je bilo zbrati od 0 do 100 točk. Histogram po rezultatih je videti takole: 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
in ni pretirano ilustrativen – je zelo “nažagan”. Tudi modus (55) je lahko zavajajoč. 
A če vemo, katere vrednosti so si blizu oz. sosedne, jih lahko združimo v razrede in na njih gledamo frekvenčno porazdelitev. Na ta način navadno dobimo dosti ilustrativnejši histogram. Obstaja več kriterijev, kako veliki naj bodo razredi. 
√ 
• 	Najbolj grobo je korensko pravilo, po katerem se naredi približno n razredov po 
√ 
približno n enot. Izkaže se, da pride pri velikih statističnih množicah histogram preveč “nažagan” – delitev je prefina. 
• 	
Če želimo manj “nažagan” histogram, uporabimo pravilo tretjega korena, po katerem se naredi približno n1/3 razredov po približno n2/3 enot. Pri tem pravilu pride histogram približno enako “nažagan” ne glede na število enot. 

• 	
Za višje merske lestvice obstajajo še bolj sofisticirana pravila – glej razdelek o intervalskih spremenljivkah. 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: razdelimo v razrede podatke iz prejšnjega primera. Če uporabimo korensko 
√ . .
pravilo, izračunamo 131 = 1144. Še malo zaokrožimo in razdelimo podatke na 10 razredov v razponu po 10 točk. Dobimo: 
25 
20 
15 
10 
5 

Slika je mnogo boljša. Namesto modusa ima pomen modalni razred od 50 do 59 točk. 
.
Oglejmo si še, kaj dobimo, če uporabimo pravilo tretjega korena. Izračunamo 1311/3 = 
.
508 in se odločimo, da podatke razdelimo v 5 razredov v razponu po 20 točk. Dobimo: 
50 
40 
30 
20 
10 


Histogram ima pravilnejšo obliko, a je tudi bolj grob in morda skrije kakšno podrobnost. 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 


2.2.2 Točkasto ocenjevanje in test skladnosti 
Recimo, da se podatki, ki smo jih dobili, nanašajo na vzorec iz neke populacije, ki je približno reprezentativen. Ocenjujemo količine θ1, θ2,. . . , θk, kjer je θi populacijski delež vrednosti i. Tako kot pri dihotomnih spremenljivkah to ocenimo z opaženim oz. vzorčnim deležem oz. relativno frekvenco fi ◦: 
fi
θi ≈ ˆ= f◦ = .
θi i 
n 
.
Tako npr. na podlagi ankete iz prejšnjega primera ocenimo, da približno 625% največ pomeni družina. 
Če je vzorčenje asimptotično reprezentativno, se, ko večamo vzorec, opažene relativne frekvence fi ◦ bližajo populacijskim deležem θi. 
Podobno je, če so opažene vrednosti dobljene iz realizacij določenega slučajnega poskusa. Tedaj spremenljivki, ki jo opazujemo, pravimo slučajna spremenljivka. Poskus mora vsakič potekati po istih verjetnostnih zakonitostih. Tak slučajni poskus je recimo met kocke, slučajna spremenljivka pa je recimo število pik, ki padejo na tej kocki. V tem primeru je θi verjetnost, da je slučajna spremenljivka enaka i-ti vrednosti. Naboru verjetnosti za vse možne vrednosti pravimo verjetnostna porazdelitev te slučajne spremenljivke, porazdelitvi, ki jo dobimo iz opaženih vrednosti, pa pravimo opažena ali empirična porazdelitev. Podobno kot pri vzorčenju bomo tudi za zaporedje izvedb poskusa rekli, da je asimptotično reprezentativno, če se empirična porazdelitev z večanjem števila izvedb bliža verjetnostni. To se zgodi, če je možnih vrednosti končno mnogo in so izvedbe poskusa med seboj verjetnostno neodvisne – to je spet zakon velikih števil. 
Tako kot pri dihotomnih spremenljivkah se da tudi tu pod istimi dodatnimi konstruirati tudi intervale zaupanja, vendar v tem primeru verjetnost pokritosti velja le za posamezno vrednost, ne pa za vse hkrati. Da se sicer konstruirati splošnejše množice zaupanja, katerih elementi so vektorji deležev (torej porazdelitve na populaciji) in s tem doseči pravo verjetnost pokritosti, vendar se tu s tem ne bomo ukvarjali. 
Da pa se testirati ničelno hipotezo o določeni porazdelitvi na populaciji oz. o verjetnostih možnih izidov določenega slučajnega poskusa. Natančneje, testiramo hipotezo, da je θ1 = θ1∗, θ2 = θ2∗ ,. . . , θk = θk∗, alternativna hipoteza pa trdi, da temu ni tako. Ničelna hipoteza torej trdi, da so dejanski populacijski deleži ali verjetnosti θ1, θ2,. . . , θn enaki hipotetičnim populacijskim deležem ali verjetnostim θ1∗, θ2∗ ,. . . , θn∗ . 
Napačno bi bilo testirati vsako vrednost posebej, sa j verjetnost, da ničelno hipotezo zavrnemo, čeprav velja, velja samo za izvedbo posameznega testa, ne pa tudi za izvedbo vseh testov hkrati. Če bi ničelno hipotezo o celotni porazdelitvi zavrnili, brž ko bi zavrnili vsa j eno hipotezo o posamezni vrednosti, bi bila stopnja tveganja, t. j. verjetnost, da ničelno hipotezo zavrnemo, čeprav velja, višja od stopnje tveganja za posamezen test. 
Ena rešitev bi bila sicer, da bi stopnje tveganja pri testih za posamezne vrednosti ustrezno prilagodili; kako prilagoditi, bi morali natančno izračunati, kar pa ni prav lahko. Boljša rešitev je enoten, omnibusni test. Za to ničelno hipotezo je primeren Pearsonov4 <BR>
4 Karl Pearson (1857–1936), angleški matematik in biostatistik 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
test skladnosti, ki je prav tako kot Z-test deleža preprost, a žal ni eksakten. Zahteva tudi podobne pogoje kot test deleža: 
• 	
Gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije oz. za neodvisne izvedbe poskusa, pri čemer le-ta vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. 

• 	
Vzorec oz. število izvedb poskusa ni premajhno. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je n ≥ 30. 

• 	
Pričakovane frekvence nθ1∗, nθ2∗ ,. . . , nθ2 ∗ niso premajhne. Za tipično dogovorjeno natančnost se zahteva, da je nθi ∗ ≥ 5 za vse i. Če to ni res, si lahko pomegamo tako, da združimo bližnje vrednosti. 


Pearsonov test skladnosti temelji na testni statistiki hi kvadrat (angl. chi-squared ): 
k 	kk 
� (θˆi − θi ∗)2 � (fi ◦ − θi ∗)2 � (fi − nθi ∗)2 
χ2 
= n = n = 	. 
θ∗ 	θ∗ nθ∗ 
i 	ii
i=1 	i=1 i=1 
Zgornje izraze lahko razumemo na naslednji način: 
• 	
Prvi izraz primerja ocenjene deleže oz. verjetnosti θˆ1,θˆ2,. . . , θˆk s hipotetičnimi deleži oz. verjetnostmi θ1∗, θ2∗ ,. . . , θk∗ . 

• 	
Drugi izraz dobimo iz prvega, če upoštevamo, da so ocenjeni deleži oz. verjetnosti v resnici kar opažene relativne frekvence f1 ◦, f 2 ◦ ,. . . , f k ◦ . 

• 	
Tretji izraz primerja opažene frekvence f1, f2,. . . , fk s pričakovanimi frekvencami nθ1∗, nθ2∗ ,. . . , nθk∗ . 


Ničelno hipotezo zavrnemo, če je χ2 > χ2 1−α(k − 1). Na desni je kvantil porazdelitve hi kvadrat s k − 1 prostostnimi stopnjami za verjetnost 1− α in je torej kritična vrednost. Kvantile lahko odčitamo iz tabele 3. 
V ozadju kritičnih vrednosti je, da ima, če velja ničelna hipoteza, testna statistika približno porazdelitev hi kvadrat s k − 1 prostostnimi stopnjami. Zato takemu testu pravimo tudi test hi kvadrat. S testi hi kvadrat se bomo še srečali. 
V primeru, ko imamo le dve možni vrednosti (t. j. dihotomno spremenljivko), je Pearsonov test skladnosti ekvivalenten dvostranskemu Z-testu deleža (če hipotezo zavrnemo pri enem testu, jo zavrnemo tudi pri drugem). 
Primer: predčasne volitve v Sloveniji dne 4. 12. 2011. Agencija Mediana je izvedla vzporedne volitve, na katerih je povprašala n = 16.200 volivcev. Rezultati ankete skupaj z uradnimi rezultati volitev so prikazani spodaj. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Stranka  Vzporedne volitve  Uradni rezultat  
Lista Zorana Jankovi´ca – Pozitivna Slovenija  29.08%  28.51%  
Slovenska demokratska stranka  26.54%  26.19%  
Socialni demokrati  10.79%  10.52%  
Lista Gregorja Viranta  8.66%  8.37%  
Demokratična stranka upokojencev Slovenije  6.70%  6.97%  
Slovenska ljudska stranka  6.38%  6.83%  
Nova Slovenija  4.70%  4.88%  
Drugi  7.15%  7.73%  

Na Medianini spletni strani5 <BR>piše, da je bila njihova napoved NATANČNA. Ujemanje je res precejšnje, a tudi število vprašanih volivcev je bilo veliko. Je napoved res natančna v smislu inferenčne statistike? 
Privzemimo, da je Mediana vzorčila korektno, da pa morda volivci pri odgovorih niso bili iskreni. Na volivcih gledamo dve statistični spremenljivki: ena je glas na volitvah, druga pa je odgovor pri anketi. Ničelna hipoteza bo trdila, da sta obe spremenljivki enaki. V tem primeru bo: 
θi = delež kandidatov, ki bi se, če bi bili vprašani, izrekli za i-to listo Tega ne poznamo! 
ˆ
θ = delež anketirancev, ki so se v anketi izrekli za i-to listo 
θi ∗ = delež volivcev, ki so na volitvah glasovali za i-to listo 
Izračunajmo: 
 ......
(02908 − 02851)2 (02654 − 02619)2 (01079 − 01052)2 
χ2 
= 16200.+ .+ .+ 
02851 02619 01052 
......
(00866 − 00837)2 (00670 − 00697)2 (00638 − 00683)2 
+ .+ .+ .+ 
00837 00697 00683 
.... 
(00470 − 00488)2 (00715 − 00773)2 . 
+ .+ .= 
00488 00773
= . 19.98 . 
Ker je 8 skupin, imamo df = 7 prostostnih stopenj. Kvantil porazdelitve hi kvadrat 
.. .
za verjetnost 099 je χ02 .99(7) = 185. To pomeni, da hipotezo, da je Medianin vzorec 
.
nepristranski, zavrnemo tudi pri stopnji značilnosti α = 001: odstopanja so zelo značilna. Mediana se torej v tem primeru ne bi smela preveč hvaliti z natančnostjo (tudi če ni sama kriva, da volivci niso odgovarjali iskreno). 
5 http://www.mediana.si/novice/?stran=1#CmsC58E1C449E3, presneto dne 7. 3. 2013 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 


2.3 Urejenostne spremenljivke 
2.3.1 Ranžirna vrsta, rangi 
Vrednosti urejenostne spremenljivke lahko uredimo po velikosti – razvrstimo v ranžirno vrsto: 
x(1) ≤ x(2) ≤ · ·· ≤ x(n). 
Ranžirna vrsta je natančno določena z zgornjim pogojem in s tem, da se njena frekvenčna porazdelitev ujema s frekvenčno porazdelitvijo statistične spremenljivke. Elementu x(i) pravimo i-ta vrstilna statistika (angl. order statistic). 
Rang dane vrednosti je njen položaj v ranžirni vrsti: rang vrednosti x je enak i, če je x = x(i). 
Če so vse vrednosti spremenljivke X različne in je vrednost x zavzeta, je njen rang natančno določen. Označimo ga z R(x). V tem primeru velja: 
R(x)= ♯(X ≤ x)= ♯(X < x) + 1. 
Primer: če izmerjene vrednosti: 
x1 = 4, x2 = 2, x3 = 75, x4 = 42, x5 = 15, x6 = 63 
razvrstimo v ranžirno vrsto, dobimo: 
x(1) = 2, x(2) = 4, x(3) = 15, x(4) = 42, x(5) = 63, x(6) = 75 
in velja: 
R(2) = 1, R(4) = 2, R(15) = 3, R(42) = 4, R(63) = 5, R(75) = 6. 
Rangi ostalih vrednosti (še) niso definirani. 
Če vrednosti spremenljivke niso vse različne, govorimo o vezeh (angl. ties): vez je skupek dveh ali več enot, na katerih ima spremenljivka enako vrednost. Če so prisotne vezi, rang ni nujno natančno določen. 
Primer: naj bo A < B < C < D < E in naj bo dana ranžirna vrsta podatkov: A, B, B, B, B, C, D, D, D, E . Očitno je R(A)= 1, R(C)= 6 in R(E)= 10. Rang vrednosti B je lahko 2, 3, 4 ali 5, rang vrednosti D pa 7, 8 ali 9. Vsem možnim rangom vrednosti x pravimo surovi rangi. Spodnji rang je najnižji, zgornji rang pa najvišji možni surovi rang. Velja: spodnji rang = ♯(X < x) + 1, zgornji rang = ♯(X ≤ x). 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Spodnji in zgornji rang lahko definiramo za poljubno, ne le zavzeto vrednost. Vezani rang je aritmetična sredina spodnjega in zgornjega ranga in oznaka R(x)bo zadevala to število: 
spodnji rang + zgornji rang ♯(X < x) + ♯(X ≤ x) + 1 
R(x)= = . 
2 2 
.
Tako je v zgornjem primeru R(A)= 1, R(B)= 35, R(C)= 6, R(D)= 8 in R(E)= 10. Če bi namesto A, . . . , E imeli števila, npr.: 
21, 27, 27, 27, 27, 28, 29, 29, 29, 32 , 
....
bi veljalo npr. R(27) = 35, R(30) = R(31) = 95, R(20) = 05 in R(40) = 105. 
Relativni ali tudi kvantilni rang je definiran po predpisu: 
R(x)− 1 r (x)= 2 . 
n 
in ne glede na vezi velja: 
♯(X < x) + ♯(X ≤ x) 
r (x)= . 
2n 
..
V prejšnjem primeru bi tako veljalo r (27) = 03, r (30) = r (31) = 09, r (20) = 0 in r (40) = 1. 
Relativni rang pove položaj posamezne vrednosti glede na skupino. 
Primer: oglejmo si rezultate dveh kolokvijev: 
Ambrož  83  
Blaž  22  
Cvetka  61  
Darja  45  
Emil  49  

Florjan  84  
Gal  86  
Helena  71  
Iva  67  
Jana  67  
Karmen  88  
Lev  89  
Mojca  64  

in se vprašajmo, kdo je glede na svoje kolege pisal bolje: Cvetka ali Gal? 
..

Cvetka ima rang 4 in relativni rang 35/5 = 07, Gal pa ima rang 6 in relativni rang 
..
55/8 = 06875, kar je skoraj enako. 

2.3.2 Kumulativne frekvence 
Če ima urejenostna spremenljivka, ki jo gledamo, fiksen končen nabor možnih vrednosti, lahko spet gledamo frekvenčno porazdelitev. Vrednosti uredimo po velikosti: 
a1 < a2 < · · · < ak 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
ter dodamo še kumulativne frekvence in relativne kumulativne frekvence: 
Fi
Fi = ♯(X ≤ ai)= f1 + f2 + · · · + fi , Fi ◦ = = f1 ◦ + f2 ◦ + · · · + fi ◦ . 
n 
To lahko spet predstavimo v tabeli: 
vrednosti  frekvence  relativne frekvence  kumulativne frekvence  relativne kumulativne frekvence  
F0 = 0  F◦ 0 = 0  
a1  f1  f◦ 1  F1 = f1  F◦ 1 = f◦ 1  
a2  f2  f◦ 2  F2 = F1 + f2  F◦ 2 = F◦ 1 + f◦ 2  
a3  f3  f◦ 3  F3 = F2 + f3  F◦ 3 = F◦ 2 + f◦ 3  
. . .  . . .  . . .  . . .  . . .  
ak  fk  f◦ k  Fk = Fk−1 + fk = n  F◦ k = F◦ k−1 + f◦ k = 1  

Primer: ocene s kolokvijev pri predmetu Verjetnost in statistika na univerzitetnem študiju matematike na UL FMF v študijskem letu 2010/11: 
ocena  fi  Fi  f◦ i  F◦ i  
neg.  25  25  0.391  0.391  
6  13  38  0.203  0.594  
7  12  50  0.188  0.781  
8  7  57  0.109  0.891  
9  3  60  0.047  0.938  
10  4  64  0.063  1  

Iz frekvenčne porazdelitve lahko odčitamo vrstilne statistike, in sicer velja: 
x(i) = aj, če je 1 + Fj−1 ≤ i ≤ Fj. 
Pri določanju i-te vrstilne statistike moramo torej pogledati prvo kumulativno frekvenco, ki je enaka vsaj i. 
Nekaj vrstilnih statistik iz prejšnjega primera: x(40) = 7, x(60) = 9, x(61) = 10. 
Iz kumulativnih frekvenc lahko odčitamo tudi range: vrednost aj ima surove range od 1 + Fj−1 do Fj in vezani rang: 
Fj−1 + Fj + 1 
R(aj)= . 
2 
Seveda so vezani rangi definirani tudi za vrednosti, ki niso zavzete: če je a < a1, je R(a)= 1/2; če je a > ak, je R(a)= n + 1/2. Za aj−1 < a < aj pa je R(a)= Fj−1 + 1/2. Rangi ocen pri prejšnjem primeru: ..
R(neg.)= 13 , R(6) = 32 , R(7) = 445, R(8) = 54 , R(9) = 59 , R(10) = 625. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Podobno lahko iz (relativnih) kumulativnih frekvenc odčitamo tudi relativne range: 
Fj◦ −1 + F◦
Fj−1 + Fj j 
r (aj)= = . 
2n 2 
Poleg tega za a < a1 velja r (a) = 0, za a > ak velja r (a) = 1, za aj−1 < a < aj pa je r (a)= Fj◦ −1. 
Relativni rangi ocen pri prejšnjem primeru: 
. .. .. .

r (neg.)= 0195 , r (6) = 0492 , r (7) = 0688 , . .. .. .
r (8) = 0844 , r (9) = 0914 , r (10) = 0969 . 
Tako kot pri imenskih spremenljivkah lahko tudi tu porazdelitev prikažemo grafično. Tortni grafikon je za urejenostne spremenljivke manj primeren, sa j se iz njega ne vidi urejenost. Primerna pa sta histogram in črtni grafikon (angl. line chart, line graph). Prikažemo lahko razredne in kumulativne frekvence (absolutne ali relativne). Kadar kumulativne frekvence prikazujemo s črtnim grafikonom, vozle postavimo vmes med vrednosti. Takemu črtnemu grafikonu pravimo pravimo ogiva, tudi oživa (angl., fr. ogive, v prvotnem pomenu gotski lok). Če so vozli točno na sredini med vrednostmi in so prikazane relativne frekvence, višina črte nad posamezno vrednostjo ustreza relativnemu rangu. 
Histogram iz razrednih relativnih frekvenc in ogiva pri prejšnjem primeru: 

2.3.3 Kvantili 
Kvantil je površno povedano meja med ustreznim zgodnjim in spodnjim delom statistične množice glede na dano statistično spremenljivko. Malo natančneje, kvantil statistične spremenljivke za določen delež je vrednost, pod katero leži približno dani delež podatkov. 
• 	Kvantilu za delež 1/2 pravimo mediana in jo bomo označevali z m. Pogosta oznaka je tudi Me ali Me. Mediana torej razdeli statistično množico na dve polovici: približno polovica vrednosti leži pod njo, približno polovica pa nad njo. Zato ji pravimo tudi srednja vrednost in je mera centralne tendence. Pri dihotomnih spremenljivkah je mediana enaka modusu. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
• 	
Kvantila za deleža 1/3 in 2/3 sta prvi in drugi tercil. Tercila torej razdelitev statistično množico na tri približno enako velike dele: približno tretjina vrednosti leži pod prvim tercilom, približno tretjina med prvim in drugim tercilom in približno tretjina nad drugim tercilom. 

• 	
Kvantili za deleže 1/4, 1/2 in 3/4 so kvartili. Drugi kvartil je torej mediana. ...

• 	
Kvantilom za deleže 01,02,. . . , 09 pravimo decili. ...

• 	
Kvantilom za deleže 001,002,. . . , 099 pravimo centili ali tudi percentili. 1., 5., 95. in 99. percentil so pomembni v inferenčni statistiki, ker na njih temeljijo dogovorjeni pojmi. Pomembni so tudi q0.005, q0.025, q0.975 in q0.995. 


Precizna definicija kvantila pa žal ni enotna. Tu bomo podali matematično definicijo kvantila. 
Vrednost qγ je kvantil statistične spremenljivke X za delež γ, če velja: 
♯(X < qγ) ≤ γ  in  ♯(X ≤ qγ) ≥ γ.  
n  n  

Primer: dana je ranžirna vrsta: 
10, 10, 20, 30, 50, 80, 130, 210, 340, 550 . Kvantil q0.49 mora izpolnjevati pogoja: ..
♯(X < q0.49)≤ 49 in 	♯(X ≤ q0.49)≥ 49. 
Prvi pogoj izpolnjujejo vrednosti do vključno 50, drugega pa vrednosti od vključno 50 
.
naprej. Torej je 50 edini možni kvantil za delež 049. Kvantil q0.5, torej mediana, pa mora izpolnjevati pogoja: ♯(X < q0.5)≤ 5 in ♯(X ≤ q0.5)≥ 5. 
Prvi pogoj izpolnjujejo vrednosti do vključno 80, drugega pa vrednosti od vključno 50 
.
naprej. Torej je vsako število iz intervala [50,80] lahko kvantil za delež 05. To je kvantilni interval za ta delež. Kvantil q0.1 mora izpolnjevati pogoja: ♯(X < q0.1)≤ 1 in ♯(X ≤ q0.1)≥ 1. 
Prvi pogoj izpolnjujejo vrednosti do vključno 10, drugega pa vrednosti od vključno 10 
.
naprej. Torej je 10 edini možni kvantil za delež 01. Lastnosti kvantilov: 
• 	
Za vsak γ ∈ [0,1] obstaja kvantil dane spremenljivke za delež γ. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

• 	
Kvantili niso nujno enolično določeni. 


′ ′′ 	′ 
• 	Če sta q in q kvantila za isti delež γ ter velja q ≤ q ≤ q ′′ , je tudi q kvantil za ta delež. 
Kvantil za delež γ je vrednost s kvantilnim rangom približno γ. Velja tudi, da je vrednost, ki ima kvantilni rang γ, kvantil za delež γ. Sicer pa lahko kvantile (za deleže, ki niso nujno kvantilni rangi) dobimo iz vrstilnih statistik, in sicer: 
• 	
Kvantil za delež 0 je katero koli število iz (−∞, x(1)]. 

• 	
Kvantil za delež 1 je katero koli število iz [x(n),∞). 

• 	
Če je 0 < γ < 1 in je nγ celo število, je kvantil za delež γ katero koli število iz intervala [x(nγ), x(nγ+1)]. Dobljeni kvantilni interval bomo pisali tudi kot [qγ −, qγ +], krajišči pa imenovali spodnji in zgornji kvantil. 

• 	
Če je 0 < γ < 1 in nγ ni celo število, je kvantil za delež γ enolično določen, in sicer je enak x(⌈nγ⌉) (oznaka ⌈h⌉ tukaj pomeni h, zaokrožen navzgor). V tem primeru bomo postavili qγ − = qγ + = qγ. 


Primer: pri ranžirni vrsti: 
10, 10, 20, 30, 50, 80, 130, 210, 340, 550 
je mediana kar koli iz [x(5), x(6)] = [50,80] (kar smo že ugotovili), tretji kvartil pa je x(8) = 210. 
.	.
Vrednost 20 ima kvantilni rang 025 in je zato tudi kvantil za delež 025; kvantil za 
.
ta delež je enolično določen. Prav tako pa je enolično določen tudi kvantil za delež 026, 
.
prav tako je enak 20, vendar 026 ni kvantilni rang vrednosti 20. 
Pri sodem številu podatkov mediana tipično ni natančno določena: 
�	��� ��� � 

pri lihem pa je: 


Še en primer z rezultati 50 meritev, kjer je s sivo označen interval za 9. decil : 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: pri ocenah s kolokvijev so vsi kvartili natančno določeni. Prvi kvartil je sicer res na intervalu [x(16), x(17)], mediana na [x(32), x(33)] in tretji kvartil [x(48), x(49)], toda x(16) = x(17) = neg., x(32) = x(33) = 6 in x(48) = x(49) = 7, zato lahko zapišemo q1/4 = neg., m = 6 in q3/4 = 7. 
Statistike urejenostnih spremenljivk lahko grafično predstavimo s škatlo z brki (angl. box plot). Navadno narišemo minimalno vrednost, kvartile in maksimalno vrednost, lahko pa tudi kakšne druge statistike. 
Primer: rezultati kolokvijev iz matematike na univerzitetnem študiju gozdarstva na UL BTF v študijskem letu 2004/05 (prikazani so minimalna vrednost, kvartili in maksimalna vrednost): 
1. 
kolokvij: 9, 11, 12, 14, 17, 17, 24, 24, 26, 30, 34, 35, 36, 37, 42, 42, 44, 45, 49, 50, 51, 54, 57, 62, 63, 65, 65, 68, 69 

2. 
kolokvij: 19, 19, 20, 24, 27, 27, 36, 45, 47, 47, 48, 48, 49, 57, 57, 60, 61, 63, 64, 65, 69 

3. 
kolokvij: 32, 32, 39, 42, 43, 47, 49, 50, 50, 53, 53, 56, 60, 62, 68, 68, 69, 69 




2.3.4 Točkasto ocenjevanje karakteristik 
Denimo zdaj, da se podatki, ki smo jih dobili, nanašajo na vzorec iz določene populacije. Želeli bi oceniti vse karakteristike, ki smo jih obravnavali do sedaj in ki so “stabilne”, ko se populacija veča: populacijske relativne range, relativne kumulativne frekvence in kvantile. Vrednosti ustreznih statistik na vzorcu bomo označevali kot doslej, vrednosti karakteristik na populaciji pa takole: 
• 	
relativni rang, ki pripada vrednosti x, z ρ(x); 

• 	
relativno kumulativno frekvenco, ki pripada vrednosti ai, s Φi; 

• 	
kvantil za delež Q s Qγ (kateri koli kvantil za ta delež, a če je populacija velika, so kvantili navadno zelo natančno določeni). 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Na enak način obravnavamo tudi primer, ko so podatki dobljeni kot realizacije določenega slučajnega poskusa. Za točno definicijo je treba poznati osnove teorije verjetnosti. Količina ρ(x) je v tem primeru srednja kumulativna porazdelitvena funkcija v x, t. j. 
1� � 
ρ(x) = 2 P(X < x)+ P(X ≤ x) , količina Φi je zgornja kumulativna porazdelitvena funkcija za vrednost ai, t. j. Φi = P(X ≤ ai), Qγ pa je kvantil ustrezne verjetnostne porazdelitve za verjetnost γ. 
Če so opažene vrednosti dobljene iz približno reprezentativnega vzorca, je prvi dve karakteristiki na populaciji smiselno oceniti z ustreznima statistikama na vzorcu: 
ˆF◦
ˆ=Φi = i .
ρ(x) r (x), 
To lahko storimo tudi za (zgornje in spodnje) kvantile, vendar za določene posebne primere obstajajo tudi druge smiselne cenilke, ki imajo prednosti pred vzorčnimi kvantili samimi po sebi. Omejili se bomo na intervalske spremenljivke, katerih vrednosti na populaciji oz. verjetnostni porazdelitvi so ustrezno razpršene (natančneje, pomembno je, da so zagotovljene vrednosti na dovolj majhnih intervalih, od koder sledi tudi, da so kvantili zelo natančno določeni). Kvantil za delež γ bomo tedaj ocenili na naslednji način, ki ga uporablja tudi excel: 
• 
Izračunamo h = (n − 1)γ + 1. 

• 
Naj bo k celi del števila h. 

• 
Cenilka za Qγ je Qˆγ = x(k) + (h− k)(x(k+1) − x(k)). 


Točkasta ocena za mediano po zgornji metodi je natančno 1 2(m− + m+), torej sredina medianskega intervala. 
To, kar smo tukaj definirali kot oceno za populacijski kvantil na podlagi opaženih podatkov, se često šteje kar kot (pravi) kvantil spremenljivke na danih podatkih. Eden od razlogov je gotovo ta, da je ocena neka točno določena vrednost, medtem ko kvantil po matematični definiciji ni nujno natančno določen. 
Če so opažene vrednosti dobljene iz vzorca in če je vzorčenje asimptotično reprezentativno, se, ko večamo velikost vzorca, ocene omenjenih populacijskih karakteristik bližajo dejanskim vrednostim. Podobno velja, če so opažene vrednosti dobljene iz izvedb slučajnega poskusa, ki so med seboj verjetnostno neodvisne. V tem primeru se tudi empirična porazdelitev bliža verjetnostni porazdelitvi. Natančneje, empirična kumulativna porazdelitvena funkcija se bliža kumulativni porazdelitveni funkciji verjetnostne porazdelitve. To dejstvo se imenuje Glivenko6–Cantellijev7 <BR>izrek in sodi med zakone velikih števil. 
Primer: vzemimo ranžirno vrsto iz vzorca velikosti 11: 
6, 7, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 16, 17. 
.
Oglejmo si npr. 17. percentil. Vrednost na vzorcu je enolično določena: iz ⌈11 · 017⌉ = 2 
.
dobimo q0.17 = x(2) = 7. Za oceno populacijskega prvega kvartila pa dobimo h = 27, 
6 Valerij Ivanovič Glivenko (1897–1940), ukrajinski matematik 
7 Francesco Paolo Cantelli (1875–1966), italijanski matematik 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
...
k = 2 in Qˆ0 17 = x(2) + 07· (x(3) − x(2))= 91. Na spodnjem grafu je s sivo prikazana vzorčna kvantilna funkcija, s črno pa ocena populacijske kvantilne funkcije: 


2.3.5 Intervalsko ocenjevanje karakteristik 
Omejili se bomo na predpostavke, kot smo jih navedli že za dihotomne in imenske spremenljivke. Če so torej podatki dobljeni kot vzorec, privzamemo, da gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije. Če pa so bili dobljeni iz realizacij slučajnega poskusa, privzamemo, da so izvedbe verjetnostno neodvisne in da poskus vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. Obakrat privzamemo, da število podatkov ni premajhno (za tipično dogovorjeno natančnost to pomeni n ≥ 30). 
Kumulativna frekvenca je v resnici delež enot, na katerih statistična spremenljivka ne presega dane vrednosti, zato jo tudi ocenjujemo tako kot delež. Relativni rang pa je povprečje dveh deležev in tudi pri njem se lahko poslužimo istih metod. Vzeli bomo torej Waldov interval zaupanja. 
Primer: ponovno ocene s kolokvijev pri predmetu Verjetnost in statistika na univerzitetnem študiju matematike na UL FMF v študijskem letu 2010/11: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
ocena  fi  Fi  f◦ i  F◦ i  
neg.  25  25  0.391  0.391  
6  13  38  0.203  0.594  
7  12  50  0.188  0.781  
8  7  57  0.109  0.891  
9  3  60  0.047  0.938  
10  4  64  0.063  1  

. .

Ocena 7 ima vzorčno relativno kumulativno frekvenco F

◦ 3 
781 in vzorčni relativni 

0

= 

◦ 
... .
rang r (7) = (0594 + 0781)/2 = 0688. Recimo sedaj, da bi bil to vzorec univerzitetnih študentov matematike, ki so kdaj koli pisali kolokvije iz verjetnosti in statistike (čeprav je pri vzorcu študentov, ki so pisali v določenem letu, reprezentativnost močno vprašljiva). Določimo 95% interval zaupanja za Φ3 in ρ(7) za primer, ko bi bil to enostavni slučajni vzorec iz velike populacije. Pri Φ3 izračunamo: 
..
3 + 
0

781 · 0

219 

. 

. 

. 

.

.

◦ 3 
.

.

SE 

0

0517 , F

− z0.975 · SE 
0

6797 , F

· SE 

0

8823 

= = 

= 

z0.975 
= 

64 

in po zaokrožitvi dobimo interval zaupanja:  
0.67  < Φ3 < 0.89 .  
Pri ρ(7) pa izračunamo:  
�  
SE  . =  0.688 · 0.312 64 . =  0.0579 ,  r (7) − z0.975  · SE  . =  0.5745 ,  r (7) + z0.975  · SE  . =  0.8015  
in po zaokrožitvi dobimo interval zaupanja:  
0.57 < ρ(7)  < 0.81 .  

Intervalsko ocenjevanje kvantilov pa je malo drugačno. Tu ne bomo privzeli predpostavke iz točkastega ocenjevanja, t. j. da gre za intervalsko spremenljivko z razpršenimi vrednostmi. Tako ni nujno, da so kvantili na populaciji oz. verjetnostni porazdelitvi natančno določeni. Intervali zaupanja bodo veljali za cel kvantilni interval, torej za zgornji in spodnji kvantil. 
Če želimo poiskati interval zaupanja za Q

± 
γ 
, najprej izračunamo: 

γ(1 − γ)
SE = , γmin = γ − c · SE , γmax = γ − c · SE , 
n 
kjer je c = z(1+β)/2 že dobro znani kvantil normalne porazdelitve. Interval zaupanja ima obliko: 
−
≤ Q

− 
γ 
≤ Q+ γ ≤ q + 
q 

.

γmin γmax 
Opomba. V nasprotju s točkastim ocenjevanjem tu nismo privzeli, da je spremenljivka intervalska. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: izračunajmo 95% interval zaupanja za 6. decil populacije, iz katere dobimo enostavni slučajni vzorec: 
10, 10, 20, 30, 50, 80, 130, 210, 340, 550 . 
Velja: ..
. .06· 04 . .
c = 196 , SE = = 015492 ,
10 
.... ..... .
γmin = 06− 196 · 015492 = 0296 , γmax = 06 + 196 · 015492 = 0904 , q0− .296 = x(3) = 20 , q0+ .904 = x(10) = 550 , 
od koder sklepamo, da je: 
20 ≤ Q− 0.6 ≤ Q+ ≤ 550 
0.6 . 

2.3.6 Testiranje karakteristik 
Tudi pri testiranju bomo privzeli iste pogoje kot pri intervalskem ocenjevanju. Podobno kot tam velja, da z relativnimi frekvencami in relativnimi rangi ravnamo tako kot z deleži 
– testiramo jih z Z-testom. Če testiramo ničelno hipotezo, da je Φi = Φ∗ i, izračunamo: 
Φ∗(1 − Φ∗) F◦ − Φ∗ 
ii ii
SE = , Z = . 
n SE 
Če testiramo ničelno hipotezo, da je ρ(x)= ρ∗(x), izračunamo: 
ρ∗(x) 1− ρ∗(x) r (x)− ρ∗(x)
SE = , Z = . 
n SE 
Nato testiramo tako, kot smo testirali delež θ. 
Primer: če imamo dan vzorec rezultatov: 
ocena  fi  Fi  f◦ i  F◦ i  
neg.  25  25  0.391  0.391  
6  13  38  0.203  0.594  
7  12  50  0.188  0.781  
8  7  57  0.109  0.891  
9  3  60  0.047  0.938  
10  4  64  0.063  1  

testiramo ničelno hipotezo, da je študentov, ki so pisali 6 ali manj, v celotni populaciji točno polovica, proti alternativni hipotezi, da jih je več kot pol. Izračunajmo: 
....
05· 05 . .0594 − 05 . .
SE = = 00625 , Z = .= 152 . 
64 00625 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
. .
Ker je to manj od z0.95 = 165, odstopanja niso statistično značilna: ničelne hipoteze ne 
.	.
moremo zavrniti niti pri α = 005 niti pri α = 001. Če pa testiramo ničelno hipotezo, da je relativni rang ocene 7 na populaciji enak točno 
.	.
05, proti alternativni hipotezi, da je različen od 05, izračunamo: 
..	..
05· 05 . .	0688 − 05 .
SE = = 00625 , Z = .= 3 
64 	00625 
in dobimo, da so odstopanja statistično zelo značilna. 
Pri testiranju hipotez o kvantilih pa je treba biti previdnejši. Če kvantil ni natančno določen, je treba sploh premisliti, kaj je ničelna in kaj alternativna hipoteza. Če gre za vzorec, ničelna hipoteza H0 trdi, da je Q∗ γ populacijski kvantil za delež γ (če slednji ni natančno določen, je torej Q∗ γ eden od možnih populacijskih kvantilov za ta delež). Alternativna hipoteza pa je lahko: 
• 	
H1 +, da je vsak populacijski kvantil za delež γ večji od Q∗ γ; 

• 	
H1 −, da je vsak populacijski kvantil za delež γ manjši od Q∗ γ; 

• 	
H1 ±, da je vsak populacijski kvantil za delež γ bodisi večji bodisi manjši od Q∗ γ (kar je ekvivalentno izjavi, da je bodisi vsak populacijski kvantil za delež γ večji od Q∗ γ bodisi vsak populacijski kvantil za delež γ manjši od Q∗ γ). 


V primeru, ko so podatki dobljeni iz izvedb slučajnega poskusa, namesto populacijskega kvantila pride kvantil verjetnostne porazdelitve, ki izhaja iz poskusa. 
J
Za testiranje spet izračunamo SE = γ(1 − γ)/n. 
• 	Pri alternativni hipotezi H1 + postavimo c = z1−α in ničelno hipotezo zavrnemo, če )
∗ γ
♯(X≤Qn 
− > Q∗ γ.
γ−c·SE 
je 

< γ − c · SE ali, ekvivalentno, če je q 

• Pri alternativni hipotezi H1 − postavimo c = z1−α in ničelno hipotezo zavrnemo, če 
)
∗ γ
♯(X<Qn 
+ < Q∗ γ.
γ+c·SE 
je 

> γ + c · SE ali, ekvivalentno, če je q 

• Pri alternativni hipotezi H1 ± pa postavimo c = z1−α/2 in ničelno hipotezo zavrnemo, 
∗ γ
) 
q − > Q∗ ali pa q + < Q∗ γ.
γ−c·SE γ γ+c·SE 
.
Primer: Pri prej omenjenih rezultatih kolokvijev pri stopnji značilnosti α = 001 testiramo hipotezo, da je mediana na populaciji enaka 8 (natančneje, da obstaja mediana, 
. .
ki je enaka 8), proti alternativni hipotezi, da je manjša od 8. Velja c = z0.99 = 233 in 
J
...
SE = 05· 05/64 = 00625. Nadalje je: ♯(X < 8) . ..... .
= 0781 > 05 + 233 · 00625 = 0646 ,
64 
∗ γ
♯(X<Q) ♯(X≤Qn n
če je 

· SE ali 

· SE. To je ekvivalentno dejstvu, da je 

> γ +c 

< γ − c 

zato ničelno hipotezo zavrnemo. Odstopanja so torej statistično zelo značilna. To se vidi tudi iz dejstva, da je q + = 7 < 8.
0.646 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

2.3.7 Primerjava parov: test z znaki 
Naj bosta na vsaki enoti populacije definirani dve urejenostni spremenljivki: X in Y. Ničelna in alternativne hipoteze so v tem primeru zapletenejše. Lahko si jih predstavljamo tako, da so prisotni vplivi, ki veča jo X na račun Y, in vplivi, ki veča jo Y na račun X. Ničelna hipoteza H0 pravi, da so ti vplivi uravnovešeni. Če so podatki dobljeni kot vzorec iz populacije, to pomeni, da je delež enot na populaciji, kjer je X > Y , enak deležu enot, kjer je Y > X. Spet bomo obravnavali tri alternativne hipoteze. 
• 	
Alternativna hipoteza v korist spremenljivke X, H1 X, pravi, da vplivi, ki veča jo X na račun Y, prevladujejo nad vplivi, ki delajo nasprotno. Če so podatki dobljeni kot vzorec iz populacije, to pomeni, da je delež enot na populaciji, kjer je X > Y , večji od deleža enot, kjer je Y > X. 

• 	
Alternativna hipoteza v korist spremenljivke Y, H1 Y , pravi, da vplivi, ki veča jo Y na račun X, prevladujejo nad vplivi, ki delajo nasprotno. Če so podatki dobljeni kot vzorec iz populacije, to pomeni, da je delež enot na populaciji, kjer je Y > X, večji od deleža enot, kjer je X > Y . 

• 	
Dvostranska alternativna hipoteza H± pravi, da velja bodisi HX bodisi HY 


1 	11 . 
Podobno formuliramo hipoteze tudi, če so podatki dobljeni iz realizacij slučajnega poskusa: namesto deležev nastopajo verjetnosti. 
Test z znaki gleda stvari, ki v formulaciji ničelne in alternativnih hipotez nastopajo na populaciji oz. verjetnostni porazdelitvi, na vzorcu: na vsaki enot pogledamo, ali je spremenljivka X večja od Y, manjša od Y ali pa sta enaki. Od tod tudi ime testa. 
Tudi tu se bomo omejili na predpostavke, kot smo jih navedli že v prejšnjem razdelku, ko smo testirali kvantile. Če so torej podatki dobljeni kot vzorec, privzamemo, da gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije. Če pa so bili dobljeni iz izvedb slučajnega poskusa, privzamemo, da so le-te verjetnostno neodvisne in da poskus vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. Obakrat privzamemo, da število podatkov ni premajhno (za tipično dogovorjeno natančnost to pomeni n ≥ 30). 
Za ta primer lahko test z znaki kot Z-test: naj bo SX število enot, za katere je X > Y , SY pa število enot, za katere je X < Y . Testna statistika je: 
SX − SY
Z := √ 
SX + SY 
in ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 	
proti H1 X, če je Z > z1−α; 

• 	
proti H1 Y , če je Z < −z1−α; 

• 	
proti H1 ±, če je |Z| > z1−α/2. 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: 50 ljudi so pred ogledom in po ogledu filma povprašali, kako se počutijo: zelo slabo, slabo, srednje, dobro ali zelo dobro. Rezultati so naslednji:8 <BR>
pred  po  

pred  po  

srednje  srednje  
dobro  zelo dobro  
srednje  zelo dobro  
dobro  srednje  
srednje  zelo dobro  
dobro  dobro  
srednje  dobro  
dobro  dobro  
dobro  zelo dobro  
zelo dobro  zelo dobro  
dobro  zelo dobro  
zelo dobro  dobro  
dobro  srednje  
zelo dobro  srednje  
srednje  dobro  
srednje  dobro  
dobro  zelo dobro  
srednje  dobro  
dobro  zelo dobro  
zelo dobro  dobro  
zelo dobro  zelo dobro  
zelo dobro  dobro  
slabo  dobro  
dobro  srednje  
srednje  zelo dobro  

dobro  zelo dobro  
dobro  dobro  
zelo dobro  zelo dobro  
dobro  dobro  
srednje  zelo slabo  
srednje  zelo dobro  
zelo dobro  srednje  
dobro  dobro  
dobro  dobro  
srednje  slabo  
slabo  srednje  
srednje  srednje  
zelo slabo  slabo  
slabo  srednje  
slabo  srednje  
slabo  zelo dobro  
zelo slabo  srednje  
srednje  slabo  
srednje  slabo  
zelo slabo  srednje  
srednje  dobro  
slabo  zelo dobro  
slabo  slabo  
slabo  slabo  
zelo slabo  srednje  

Testirajmo ničelno hipotezo, da ogled filma ne spremeni počutja, proti alternativni hipotezi, da ga spremeni. Ko preštejemo, dobimo, da se je 12 ljudi pred ogledom počutilo boljše kot po ogledu, 25 ljudi pa po ogledu boljše kot pred ogledom; 13 ljudi se je pred in po ogledu počutilo enako. Testna statistika pride: 
12 − 25 . .
Z = √ = −214 . 
37 
.
Če testiramo pri stopnji značilnosti α = 005, moramo |Z| primerjati s kritično vrednostjo 
. .
z0.975 = 196. Hipotezo zavrnemo, torej je ogled filma na naši skupini statistično značilno 
.
vplival na počutje. Če pa testiramo pri stopnji značilnosti α = 001, je kritična vrednost 
. .
z0.995 = 258 in hipoteze ne zavrnemo: ogled ni vplival statistično zelo značilno. 
8 Dejansko so izmišljeni, dobljeni pa so s simulacijo mešanice dveh parov porazdelitev. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 



2.4 Intervalske spremenljivke 
2.4.1 Mere centralne tendence 
Mera centralne tendence za dano statistično spremenljivko nam grobo povedano da vrednost, proti kateri se nagibajo vrednosti te spremenljivke na statistični množici. 
Dve meri centralne tendence smo že spoznali: pri imenskih spremenljivkah je bil to modus, pri urejenostnih pa mediana. Pri intervalskih spremenljivkah pa kot mero centralne tendence najpogosteje gledamo aritmetično sredino (angl. arithmetic mean): 
x1 + x2 + · · · + xn 
x¯= . 
n 
Primer: temperature po Sloveniji v ponedeljek, 20. februarja 2012, ob 17. uri (v Celzijevih stopinjah): 
−13, 2, 1, 5, 2. 
Aritmetična sredina ali povprečje: 
−13 + 2 + 1 + 5 + 2 .
x¯= = −06 
5 
To seveda ni verodostojna ocena za povprečno temperaturo vseh naseljenih krajev v Sloveniji, ker je reprezentativnost tega vzorca močno vprašljiva, a s tem se ne bomo ukvarjali. Kot zanimivost pa naj povemo, da bi bila verodostojnejša ocena za mediano: m = 2. Če bi namreč skrajno temperaturo −13 stopinj, ki je bila izmerjena na Kredarici, zamenjali npr. s temperaturo 0 stopinj, izmerjeno v kakšnem nižje ležečem kraju, bi za povprečje dobili 2 stopinji, mediana pa se ne bi spremenila. Več o skrajnih vrednostih pa malo kasneje. 
Včasih je aritmetično sredino lažje izračunati po u-metodi : za poljubno izhodišče u velja: 
(x1 − u) + (x2 − u) + · · · + (xn − u) 
x¯= u + . 
n Razlikam xi − u pravimo tudi odkloni (angl. deviations). u-metoda izkorišča dejstvo, da se, če vsem podatkom prištejemo neko število, tudi njihova aritmetična sredina poveča za to število. To velja tudi za modus in mediano. 
Primer: 
876, 879, 878, 878, 877 . Če za izhodišče vzamemo u = 876, dobimo: 
0 + 3 + 2 + 2 + 1 ..
x¯= 876 + = 876 + 16 = 8776. 
5 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

2.4.2 Mere razpršenosti 
Mere razpršenosti povedo, za koliko se posamezne vrednosti med seboj razlikujejo. Verjetno najpreprostejša izmed njih je kar razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo. Tej pravimo variacijski razmik (angl. range): 
VR = max − min . 
Variacijski razmik pa navadno ni najbolj verodostojna mera razpršenosti, sa j ga lahko že ena skrajna vrednost znatno spremeni. Verodostojnejša in robustnejša mera je variacijski razmik srednje polovice podatkov, natančneje razlika med tretjim in prvim kvartilom, natančneje med zgornjim tretjim in spodnjim prvim kvartilom. Tej pravimo interkvartilni razmik (angl. interquartile range, midspread, middle fifty): 
IQR = q + − q − .
3/4 1/4 
Lahko gledamo tudi povprečni absolutni odklon (average absolute deviation)od primerne referenčne vrednosti. Če le-to začasno označimo z u, dobimo količino: 
|x1 − u| + |x2 − u| + · · · + |xn − u|
AADu = . 
n 
Ta količina je najmanjša, če za referenčno vrednost u vzamemo mediano. Zato je smiselno gledati povprečni absolutni odmik od mediane: 
|x1 − m| + |x2 − m| + · · · + |xn − m|
AADm = . 
n 
Čeprav mediana ni natančno določena, je zgornja količina vedno natančno določena. Dostikrat za referenčno vrednost vzame tudi aritmetična sredina – dobimo: 
|x1 − x¯| + |x2 − x¯| + · · · + |xn − x¯|
AADx¯= . 
n 
Najlepše računske lastnosti pa ima standardni odklon: 
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · · + (xn − x¯)2 
s = , 
n ki ga lahko izračunamo tudi po u-metodi: 
(x1 − u)2 + (x2 − u)2 + · · · + (xn − u)2 
s = − (¯x − u)2 . 
n 
Kvadratu standardnega odklona pravimo varianca ali disperzija. 
Vse omenjene mere razpršenosti (VR, IQR, AADm, AADx¯in s)ostanejo nespremenjene, če vsem podatkom prištejemo isto število. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: 
80, 80, 90, 110, 110, 130, 140, 140, 140, 370 . 
Prvi in tretji kvartil sta natančno določena: q1/4 = 90, q3/4 = 140, torej je IQR = 50. 
Mediana ni natančno določena – je namreč kar koli iz intervala [110,130]. Toda kar koli iz tega intervala vzamemo za izračun AADm, dobimo isto: 
2· |80 − 110| + |90 − 110| + 2 · |110 − 110| + |130 − 110| + 3 · |140 − 110| + 
10 + |370 − 110| = 45 , 
1 
2· |80 − 130| + |90 − 130| + 2 · |110 − 130| + |130 − 130| + 3 · |140 − 130| + 
10 + |370 − 130| = 45 . 
Nadalje velja: 
2· (−60) + (−50) + 2 · (−30) + (−10) + 230 
x¯= 140 + = 139 ,
10 
1 

AADx¯= 2· |80 − 139| + |90 − 139| + 2 · |110 − 139| + |130 − 139| + 
10 
.
+ 3· |140 − 139| + |370 − 139| = 468. 
Končno je še: 
2· (80 − 139)2 + (90 − 139)2 + 2 · (110 − 139)2 + (130 − 139)2 + (370 − 139)2 1/2 
s = = 
10 
2· (80 − 140)2 + (90 − 140)2 + 2 · (110 − 140)2 + (130 − 140)2 + (370 − 140)2 

= − 

10 
1/2 
− (139 − 140)2 = 
√ 

= 6449 = . 80.3. 
Različne mere razpršenosti so različno občutljive za skrajne vrednosti. Manj občutljivim pravimo, da so robustne. Na naslednjem diagramu so mere razpršenosti razvrščene po robustnosti oz. občutljivosti: 
IQR AAD s VR 
robustna občutljiva 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

2.4.3 Izračun karakteristik iz frekvenčnih porazdelitev 
Vse zgoraj omenjene količine preprosto dobimo iz frekvenčnih porazdelitev. Omenimo le izražavo aritmetične sredine: 
1� � 
x¯= f1a1 + f2a2 + · · · + fkak = 
n = f1 ◦ a1 + f2 ◦ a2 + · · · + fk ◦ ak = 1� � 
= u + f1(a1 − u) + f2(a2 − u) + · · · + fk(ak − u) = 
n = u + f1 ◦(a1 − u) + f2 ◦(a2 − u) + · · · + fk ◦(ak − u) 
in standardnega odklona: 
1� � 
s = f1(a1 − x¯)2 + f2(a2 − x¯)2 + · · · + fk(ak − x¯)2 = 
n 
= f◦(a1 − x¯)2 + f◦(a2 − x¯)2 + · · · + f◦(ak − x¯)2 = 
1 2 k 
1� � 
= f1(a1 − u)2 + f2(a2 − u)2 + · · · + fk(ak − u)2 − (u − x¯)2 = 
n 
= f◦(a1 − u)2 + f◦(a2 − u)2 + · · · + f◦(ak − u)2 − (¯x − u)2 .
1 2 k 
Pravimo, da je x¯tehtana sredina vrednosti a1, a2,. . . , ak z utežmi f1 ◦, f 2 ◦ ,. . . , f k ◦ . V splošnem je tehtana sredina vsak izraz zgornje oblike, pri katerem so uteži nenegativne, njihova vsota pa je 1. 
Primer: pozitivne ocene s kolokvijev pri predmetu Verjetnost in statistika na univerzitetnem študiju matematike na UL FMF v študijskem letu 2010/11: 
ocena  fi  
6  13  
7  12  
8  7  
9  3  
10  4  

Velja: 

13 · 6 + 12 · 7 + 7 · 8 + 3 · 9 + 4 · 10 285 . .
x¯= = = 731 . 
39 39 
Lahko računamo tudi po u-metodi: 
13 · (−2) + 12 · (−1) + 7 · 0 + 3 · 1 + 4 · 2 27 . .
x¯= 8 + = 8− = 731 . 
39 39 Za izračun standardnega odklona je navadno potreben kalkulator. Lahko računamo tako, da damo x¯v spomin in vtipkamo: 
13 · (6 − x¯)2 + 12 · (7 − x¯)2 + 7 · (8 − x¯)2 + 3 · (9 − x¯)2 + 4 · (10 − x¯)2 
s = = 
39 
√ 
. .. .
= 1649 = 1284 , 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
lahko pa računamo tudi po u-metodi: 
13 · (−2)2 + 12 · 12 + 7 · 02 + 3 · 12 + 422 . .
s = 	− (8 − x¯)2 = 1284 . 
39 
Posebej preprosti so izračuni za dihotomne spremenljivke: 
• 	
Če spremenljivka zavzame le vrednosti 0 in 1, je aritmetična sredina enaka kar relativni frekvenci vrednosti 1. 

• 	
Če spremenljivka zavzame vrednost a z relativno frekvenco q, vrednost b pa z relativno frekvenco p, velja: 


√ 
AADm = min{p, q}|b− a| , AADx¯= 2pq|b− a| , s = |b− a| pq . 

2.4.4 Standardizacija 
Standardizacija je postopek, pri katerem od vrednosti odštejemo aritmetične sredine in jih delimo s standardnim odklonom. Dobimo standardizirane vrednosti ali vrednosti v standardnih enotah ali z-vrednosti : 
xi − x¯
zi = . 
s 
Standardizirana vrednost ima podobno vlogo kot kvantilni rang, pove nam položaj posamezne vrednosti glede na skupino. Negativna standardizirana vrednost nam pove, da je vrednost pod povprečjem, pozitivna pa, da je nad povprečjem. 
Standardizirane vrednosti nam omogočajo primerjavo različnih spremenljivk, recimo na isti enoti. 
Primer: spet si oglejmo rezultate dveh kolokvijev: 
Ambrož  83  
Blaž  22  
Cvetka  61  
Darja  45  
Emil  49  

Florjan  84  
Gal  86  
Helena  71  
Iva  67  
Jana  67  
Karmen  88  
Lev  89  
Mojca  64  

in se vprašajmo, kdo je glede na svoje kolege pisal bolje: Cvetka ali Gal? 
Če spremenljivko, ki predstavlja rezultat na prvem kolokviju, označimo z X, spremenljivko, ki predstavlja rezultat na drugem kolokviju, pa z Y, je pri prvem kolokviju x¯= 52 in sX = 20, torej je Cvetkina standardizirana vrednost: 
61 − 52 .
= 045 . 
20 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Cvetkin rezultat je bil torej za slabo polovico standardnega odklona nad povprečjem. Pri drugem kolokviju pa je y¯= 77 in sY = 10, torej je Galova standardizirana vrednost: 
86 − 77 .
= 09. 
10 
Njegov rezultat je bil skoraj za cel standardni odklon nad povprečjem, torej je v smislu standardiziranih vrednosti glede na svojo skupino pisal bolje. 

2.4.5 Skrajne vrednosti 
Včasih določene vrednosti izstopajo – so skrajne, angl. outliers. Te vrednosti moramo včasih izločiti iz obravnave, sa j lahko povzemanje in statistično sklepanje znatno popačijo. Tudi pri grafični predstavitvi podatkov jih je smiselno prikazati posebej. Za skrajne 
−
..
+
vrednosti bomo vzeli tiste, nižje od q 

· IQR, in tiste, višje od q

− 1

5 

+ 1

5· IQR.

1/4 3/4 
Primer: 
80, 80, 90, 110, 110, 130, 140, 140, 140, 370 . Izračunali smo že, da je q1/4 = 90, q3/4 = 140, torej IQR = 50. Iz: 
−
..
− 15· IQR = 15 in q + + 15· IQR = 215 
q

1/4 3/4 
dobimo, da spodaj skrajnih vrednosti ni, medtem ko imamo zgoraj eno skrajno vrednost 
370. 
Primer: razporeditev točk v svetovnem pokalu v alpskem smučanju za ženske, sezona 2012/13.9 <BR>Tekmovalo je 116 smučark. Točke: 
2414, 1101, 1029, 867, 822, 787, 759, 740, 662, 615, 512, 500, 460, 448, 435, 423, 406, 395, 381, 359, 349, 323, 323, 314, 310, 292, 273, 269, 269, 266, 264, 263, 261, 251, 236, 219, 215, 212, 209, 203, 198, 192, 180, 180, 172, 170, 162, 157, 156, 150, 148, 134, 127, 127, 127, 127, 125, 124, 115, 109, 109, 106, 104, 100, 95, 91, 80, 78, 74, 72, 69, 66, 60, 58, 53, 50, 44, 43, 39, 38, 36, 36, 33, 32, 32, 31, 30, 29, 28, 26, 24, 24, 22, 22, 21, 17, 16, 16, 15, 15, 15, 14, 13, 11, 10, 10, 9, 9, 8, 8, 6, 6, 6, 5, 3, 3 
Iz: 
− 
q1/4 = x(29) = 
29 , q + = x(88) = 269 , IQR = 240 ,
3/4 
−
..
− 15· IQR = −331 , q + + 15· IQR = 629 
q

1/4 3/4 
dobimo, da pri dnu ni skrajnih vrednosti, medtem ko je pri vrhu devet skrajnih vrednosti. Če podatke prikažemo npr. s škatlo z brki, jih prikažemo posebej: 
9 Presneto 27. 3. 2013 s strani http://www.fis-ski.com/uk/disciplines/alpine-skiing/cupstandings.html. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 


2.4.6 Združevanje vrednosti v razrede 
Kadar je vrednosti veliko, frekvence pa so majhne (če so vrednosti zelo natančno izmerjene, se vsaka od njih tipično pojavi le enkrat), se splača vrednosti združevati v razrede. Pri tem obstajajo določena pravila: 
• 	
Razredi se ne smejo prekrivati. 

• 	
Pri imenskih spremenljivkah, pri katerih vemo, katere vrednosti so bližnje, morajo razredi obsegati bližnje vrednosti. 

• 	
Pri urejenostnih spremenljivkah mora vsak razred za jemati vrednosti iz določenega intervala. Paziti moramo na enoten dogovor, katera krajišča intervalov (spodnja, zgornja) razred vključuje in katerih ne. 

• 	
Pri intervalskih spremenljivkah lahko določamo širine razredov. Kadar to delamo, se morajo sosedni intervali stikati: zgornja meja prejšnjega razreda se mora ujemati s spodnjo mejo naslednjega. Meje so pomembne za določanje širine razredov (glej spodaj). Izbiramo čimbolj realistične meje: če so podatki, ki so na voljo, zaokroženi, poskusimo predvideti, iz katerih realnih vrednosti je lahko bila dobljena posamezna zaokrožena vrednost. Ne gre vedno za najbližjo vrednost – starost se zaokrožuje navzdol. 

• 	
Skrajne vrednosti prikažemo posebej. 


Ni enotnega pravila, koliko razredov narediti oziroma kako široki naj bodo. 
• 	
V splošnem se lahko držimo že omenjenega pravila tretjega korena, po katerem podatke razdelimo na približno n1/3 razredov po približno n2/3 enot. 

• 	
Če želimo dobiti enako široke razrede, Freedman10 <BR>–Diaconisovo11 <BR>pravilo [20] pravi, 


√ 
naj bo širina posameznega razreda približno 2· IQR/3 n. 
10 David Amiel Freedman (1838–2008), ameriški statistik 
11 Persi Diaconis (1945), ameriški matematik in iluzionist grškega rodu 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Če so razredi in z njimi tudi stolpci v histogramu različno široki, je pomembno, da so (relativne) frekvence sorazmerne ploščinam in ne širinam stolpcev. Višine stolpcev pa so sorazmerne gostotam frekvenc (angl. frequency densities). Če je fi frekvenca, di pa širina i-tega razreda, je gostota frekvence njun kvocient, lahko pa definiramo tudi relativno gostoto: 
f◦
fi ◦ i 
gi = , g = . 
di i di 
Zaradi lažje berljivosti gostote frekvenc često preračunamo na določeno širino razreda. 
Primer: spet vzemimo razporeditev točk v svetovnem pokalu v alpskem smučanju za ženske, sezona 2012/13. Tekmovalo je 116 smučark. Po pravilu tretjega korena mora biti 
√ 
3 . .
v posameznem razredu približno 1162 = 238 smučark. Izločimo pa skrajne vrednosti, za katere smo že izračunali, da so tiste nad 629. Temu sledi naslednja frekvenčna tabela: 
Točke  Frekvenca  Gostota  Rel. gostota  Rel. gostota na 1000 točk  
0 – manj kot 25  26  1.040  0.00897  8.97  
25 – manj kot 75  22  0.440  0.00379  3.79  
75 – manj kot 150  18  0.240  0.00207  2.07  
150 – manj kot 300  25  0.167  0.00144  1.44  
300 – manj kot 650  16  0.046  0.00039  0.39  
650 –  9  skrajne vrednosti  

iz katere dobimo naslednji histogram: 


Jasnejši prikaz glavnine smučark: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

gostota 
točke 
Za širino razredov po Freedman–Diaconisovem pravilu pa se spomnimo na vrstilne statistike: 
q − = x(29) = 29 , q + = x(88) = 269 , IQR = 240 ,
1/4 3/4 
od koder dobimo, da mora biti širina razreda približno: 2· 240 . .
√ = 984 ≈ 100 . 
3 116 
Dobimo naslednjo frekvenčno tabelo: 
Točke  Frekvenca  Rel. frekvenca  
0 – manj kot 100  52  0.452  
100 – manj kot 200  24  0.209  
200 – manj kot 300  15  0.130  
300 – manj kot 400  8  0.067  
400 – manj kot 500  5  0.043  
500 – manj kot 600  2  0.017  
600 – manj kot 700  2  0.017  
700 – manj kot 800  3  0.026  
800 – manj kot 900  2  0.017  
900 – manj kot 1000  0  0.000  
1000 – manj kot 1100  2  0.017  
. . .  . . .  . . .  
2400 – manj kot 2500  1  0.009  

Histogram: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
0.5 
0.4 
0.3 
0.2 
0.1 
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 točke 


2.4.7 Normalna (Gaussova) porazdelitev 
Normalna ali Gaussova porazdelitev je v statistiki zgolj idealizacija – v resnici je to verjetnostna porazdelitev oz. verjetnostni zakon. Statistična spremenljivka X je porazdeljena približno normalno s sredino oz. povprečjem µ in standardnim odklonom σ, če je delež enot, za katere X leži med a in b, kjer je a < b, približno: 
� b ��� � 
1 (x−µ)2 b− µ a − µ 
2σ2
√ e − dx = Φ − Φ . 
σ 2π a σ σ 
Drugače prikazano, histogram porazdelitve sledi Gaussovi krivulji: 


µa b 
in delež enot, za katere X leži med a in b, je približno ploščina osenčenega območja, deljena s ploščino pod celotno krivuljo. Normalna porazdelitev bi pomenila, da: .
• znotraj intervala od µ− σ do µ+ σ leži približno 683% enot; 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
.
• 	
znotraj intervala od µ− 2σ do µ+ 2σ leži približno 955% enot; 
.


• 	
znotraj intervala od µ− 3σ do µ+ 3σ leži približno 997% enot. 
.


• 	
je skrajnih vrednosti približno 07%. 


Na nobeni statistični množici (iz končno mnogo, četudi veliko enot) to ne more veljati za vse a in b. Res pa je, da več kot je enot, natančneje je to lahko doseženo. Res pa je tudi, da veliko enot še malo ni jamstvo za normalno porazdelitev. Tako je npr. porazdelitev točk v svetovnem pokalu iz alpskega smučanja iz prejšnjega razdelka daleč stran od normalne. 
Normalna porazdelitev bi pomenila tudi neskončen variacijski razmik, kar je še en dokaz za to, da nobena končna statistična množica ne more imeti točno normalne porazdelitve. Na končni statistični množici je variacijski razmik vedno končen; a če želimo vedeti, koliko približno bo enak, predpostavka o približni normalnosti ni dovolj, potrebujemo še velikost množice. Večja kot je množica, večji variacijski razmik lahko pričakujemo. Ob približni normalnosti je pri statistični množici iz 100 enot variacijski razmik enak približno 5σ, pri množici iz 10000 enot pa približno 8σ. Precej natančneje pa je določen 
.
interkvartilni razmik: ta je ne glede na velikost statistične množice enak približno 135 σ. 
Porazdelitev intervalske statistične spremenljivke na določeni statistični množici je približno normalna, če sta izpolnjena naslednja dva pogoja: 
• 	
Statistična množica je velika, vrednosti spremenljivke na posameznih enotah pa so slučajne, neodvisne in sledijo istemu verjetnostnemu zakonu. 

• 	
Mehanizem, ki narekuje verjetnostni zakon, deluje tako, da je vrednost spremenljivke rezultat velikega števila med seboj neodvisnih slučajnih vplivov, ki se med seboj seštevajo, nimajo prevelikih ekscesov in med katerimi nobeden posebej ne izstopa. 


Prvi pogoj pride iz zakonov velikih števil, natančneje Glivenko–Cantellijevega izreka, omenjenega že pri urejenostnih spremenljivkah. Drugi pogoj pa pride iz centralnega limitnega izreka, ki pravi, da je slučajna spremenljivka, ki je rezultat veliko neodvisnih vplivov, ki se med seboj seštevajo, nimajo prevelikih ekscesov in med katerimi nobeden posebej ne izstopa, porazdeljena približno normalno. 
Primer: simulacija 100 metov 30 poštenih kovancev. Vsak met predstavlja enoto, statistična spremenljivka pa je skupno število cifer na vseh kovancih v posameznem metu. Histogram skupaj s pripadajočim histogramom verjetnostne porazdelitve (ki bi jo dobili pri veliko metih) in Gaussovo krivuljo, ki predstavlja idealizacijo: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
0.15 
0.1 
0.05 

Razkorak med histogramom in Gaussovo krivuljo lahko nastopi tako zaradi napake v centralnem limitnem izreku kot tudi zaradi napake v centralnem limitnem izreku (oba govorita o približni enakosti porazdelitev, torej dopuščata določeno napako). Razkorak v zgornjem primeru nastopi predvsem zaradi približnosti v Glivenko–Cantellijevem izreku in manj zaradi približnosti v centralnem limitnem izreku. Napaka v Glivenko–Cantellijevem izreku se zmanjša, če povečamo število metov. 
Primer: simulacija 10.000 metov 30 poštenih kovancev (ostalo isto kot pri prejšnjem primeru): 
0.15 
0.1 
0.05 

Vidimo, da je razkorak drastično manjši. Razkorak v naslednjem primeru pa je le ‘prispevek’ napake v centralnem limitnem izreku. 
Primer: verjetnostna porazdelitev metov 30 poštenih kovancev (ki bi jo dobili, če bi poskus ponovili velikokrat): 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
0.15 
0.1 
0.05 

Pri prej prikazanih metih kovanca statistična spremenljivka prešteva cifre. Centralni limitni izrek pa dopušča tudi seštevanje, ki je posplošitev preštevanja. 
Primer: verjetnostna porazdelitev pri metih 30 poštenih kock, statistična spremenljivka je skupno število pik na vseh 30 kockah pri posameznem metu: 
0.04 
0.03 
0.02 
0.01 


2.4.8 Točkasto ocenjevanje 
Spet privzemimo, da se opažene vrednosti nanašajo na vzorec iz populacije ali pa na realizacije določenega slučajnega poskusa. Če gre za vzorec, bomo ocenjevali aritmetično sredino na populaciji, ki jo bomo označili z µ, in standardni odklon na populaciji, ki ga bomo označili s σ. Če pa gre za realizacije poskusa, pa bosta µin σ pričakovana vrednost in standardni odklon verjetnostne porazdelitve, ki izhaja iz poskusa. 
Označimo opažene vrednosti z x1, x2,. . . , xn. Cenilka za aritmetično sredino na populaciji oz. pričakovano vrednost verjetnostne porazdelitve je aritmetična sredina na vzorcu: 
x1 + x2 + · · · + xn 
µˆ= x¯= . 
n 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Pri ocenjevanju standardnega odklona pa naredimo manjši popravek: za oceno populacijskega standardnega odklona vzamemo: 
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · · + (xn − x¯)2 
σˆ= s+ = 	. 
n − 1 
Razlog za ta popravek je, da je potem s2 nepristranska cenilka za σ2, kar pomeni, da bi 
+ 
se, če bi jemali vedno več neodvisnih vzorcev iste velikosti in vsakič ocenili standardni odklon, povprečje ocen za kvadrat standardnega odklona bližalo dejanskemu kvadratu standardnega odklona populacije σ2, medtem ko se, če bi vzeli nepopravljen standardni odklon, to ne bi zgodilo. 
Če je vzorčenje ali izvajanje poskusov asimptotično reprezentativno, se, ko večamo velikost vzorca oz. število izvedb, ocenjeni vrednosti µˆin σˆbližata pravima vrednostma µ in σ. 
Primer: oglejmo si vzorec, na katerem ima statistična spremenljivka vrednosti: 
101, 91, 93, 103, 91, 101, 103, 95, 95 . 
Dobimo:  
101 + 91 + 93 + 103 + 91 + 101 + 103 + 95 + 95  
ˆµ=  9  = 97  
in:  
1 

(
(101 − 97)2 + (91 − 97)2 + (93 − 97)2 + (103 − 97)2 + (91 − 97)2
σˆ= 	+ 
8
) 	1/2 
+ (101 − 97)2 + (103 − 97)2 + (95 − 97)2 + (95 − 97)2= 
= 5. 

2.4.9 Intervalsko ocenjevanje in testiranje 
Tu bomo obravnavali intervalsko ocenjevanje in testiranje populacijskega povprečja µ in standardnega odklona σ, a ob naslednjih dodatnih predpostavkah: 
• 	
Gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije oz. za verjetnostno neodvisne izvedbe poskusa, pri čemer le-ta vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. 

• 	
Populacijska oz. verjetnostna porazdelitev izbrane statistične oz. slučajne spremenljivke je približno normalna (Gaussova). 


Predpostavka o normalni porazdelitvi je močna, a za primer, ko ocenjujemo ali testiramo povprečje, so metode do določene mere robustne: če je vzorec dovolj velik, še vedno delujejo že, če je porazdelitev spremenljivke dovolj lepa, a ne nujno normalna – predvsem morata obstajati matematično upanje in varianca. To sledi iz centralnega limitnega izreka. Drugače pa je pri standardnem odklonu: predpostavka o normalni porazdelitvi je tu ključna. Obstajajo pa bolj zapletene konstrukcije, ki za velike n približno delujejo tudi pri porazdelitvah, ki niso normalne, so pa dovolj “lepe”. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Povprečje pri znanem standardnem odklonu 
Privzemimo, da nas zanima µ, pri čemer σ poznamo. V tem primeru poznamo tudi standardno napako: 
σ 
SE = √ . 
n Potrebovali bomo še kvantil normalne porazdelitve c = z(1+β)/2. Spomnimo se: . .. .. .. .
z0.95 = 165 , z0.975 = 196 , z0.99 = 233 , z0.995 = 258 . Spodnja in zgornja meja intervala zaupanja za µ sta: µmin = x¯− c · SE , µmax = x¯+ c · SE . 
Primer: če bi pri vzorcu iz prejšnjega primera vedeli, da je σ = 5, bi pri β = 95% izračunali: 
SE =  5 √  . = 1.667 ,  c . = 1.96 ,  
9  
.  . . .  . .  . . .  . 

97 − 196 · 1667 9373 , 97 + 196 · 1667 10027 

µmin = = µmax = = . 
Opomba. Če povečamo velikost vzorca, se standardna napaka zmanjša. Z drugimi besedami, več kot imamo na voljo podatkov, natančnejše so naše ocene. 
Zdaj pa si oglejmo še testiranje ničelne hipoteze, da je µ= µ ∗. Tako kot pri testiranju 
∗ , H+
deleža bomo obravnavali tri alternativne hipoteze: H1 ±, da je µ = µ 1 , da je µ > µ ∗ , in H−, da je µ > µ ∗ . Pri alternativni hipotezi H± gre torej za dvostranski, pri H+ in 
1 11 H1 − pa za enostranski test. Testiramo z Z-testom na testni statistiki, ki je razmerje med opaženo razliko in standardno napako: 
x¯− µ ∗ 
Z = ,
SE 
kar pomeni, da ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H±, če je |Z| > z1−α/2;

• 
proti H1 +, če je Z > z1−α; 

• 
proti H1 −, če je Z < −z1−α. 


1 
Primer. Meritve neke količine, porazdeljene normalno N(µ, 5), dajo naslednje vrednosti: 
101, 91, 93, 103, 91, 101, 103, 95, 95 . .
Ta vzorec ima x¯= 97 in SE = 1667. Testirajmo ničelno hipotezo, da je µ = 100. V tem primeru testna statistika pride 
.
Z = −18. Sicer pa moramo test še doreči. Ogledali si bomo več različic. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
.
• 	Pri stopnji značilnosti α = 005 testirajmo ničelno hipotezo proti alternativni hipotezi, da je µ = 100. To pomeni, da moramo absolutno vrednost testne statistike, 
.	. .
|Z| = 18, primerjati z z0.975 = 196. Vidimo, da ničelne hipoteze ne moremo zavrniti. Z drugimi besedami, odstopanja niso statistično značilna. .
• 	Še vedno pri stopnji značilnosti α = 005 testirajmo ničelno hipotezo proti alterna
.
tivni hipotezi, da je µ < 100. Testno statistiko Z = −18 moramo zdaj primerjati 
. .
z −z0.95 = −165. To pomeni, da ničelno hipotezo zdaj zavrnemo. Z drugimi besedami, odstopanja v levo so statistično značilna. Če smo občutljivi le na eno stran, smo lahko tam bolj restriktivni. 
.
• 	Še vedno pri stopnji značilnosti α = 005 testirajmo ničelno hipotezo proti alterna
.
tivni hipotezi, da je µ> 100. Testno statistiko Z = −18 moramo zdaj primerjati z 
. .
z0.95 = 165. Ničelne hipoteze seveda ne zavrnemo. Odstopanja v desno ne morejo biti statistično značilna, če povprečje od ničelne hipoteze odstopa v levo. .
• 	Tokrat pri stopnji značilnosti α = 001 testirajmo ničelno hipotezo proti alternativni 
.
hipotezi, da je µ < 100. Testno statistiko Z = −18 moramo zdaj primerjati z 
. .
−z0.99 = −233 in vidimo, da ničelne hipoteze zdaj ne moremo zavrniti. Odstopanja v levo so torej sicer statistično značilna, niso pa zelo značilna. 
Povprečje pri neznanem standardnem odklonu 
Če standardni odklon ni znan, se da metode iz prejšnjega podrazdelka prilagoditi tako, da standardni odklon σ nadomestimo z njegovo oceno. Tako je standardna napaka zdaj enaka: 
σˆs+
SE = √ = √ . 
n n 
Kvantile standardne normalne porazdelitve pa moramo nadomestiti s kvantili Studentove12 <BR>porazdelitve. Studentova porazdelitev je v resnici cela družina porazdelitev, ki se razlikujejo glede na število prostostnih stopenj df (angl. degrees of freedom). Intuitivno lahko število prostostnih stopenj pri Studentovi porazdelitvi gledamo kot količino informacije, ki jo imamo na voljo za oceno standardnega odklona. V našem primeru je df = n−1, to pa zato, ker smo eno enoto informacije že porabili za ocenjevanje povprečja: če bi povprečje poznali, bi bilo df = n. Kvantil Studentove porazdelitve z df prostostnimi stopnjami za verjetnost p označimo s tp(df). Kvantile lahko odčitamo iz tabele 2 ali pa izračunamo s pomočjo ustrezne programske opreme. 
Spodnja in zgornja meja intervala zaupanja za povprečje imata enako obliko kot prej: 
µmin = x¯− c · SE , µmax = x¯+ c · SE , 
le da je zdaj c = t(1+β)/2(n − 1). 
12 Ime ji je dal angleški statistik William Sealy Gosset (1876–1937), ki je pisal pod psevdonimom Student. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: če pri vzorcu iz prejšnjega primera populacijskega standardnega odklona ne bi poznali, bi pri β = 95% izračunali: 
5 . .. .
SE = √ = 1667 , c = t0.975(8) = 231 , 
9 
. ... .. ... .
µmin = 97 − 231 · 1667 = 9314 , µmax = 97 + 231 · 1667 = 10086 . 
Interval zaupanja je zdaj malo širši: ker zdaj manj vemo, je tudi naša ocena manj natančna. 
Podobno modificiramo tudi testiranje. Ničelno hipotezo H0, da je µ= µ ∗, testiramo s pomočjo testne statistike, ki je spet razmerje med opaženo razliko in standardno napako: 
x¯− µ ∗ 
T := ,
SE 
kjer je spet SE = √ s+. Ničelno hipotezo zavrnemo: 
n 
• 
proti H1 ±: µ= µ ∗, če je |T| > t1−α/2(n − 1); 

• 
proti H1 + : µ> µ ∗, če je T > t1−α(n − 1); 

• 
proti H1 −: µ< µ ∗, če je T < −t1−α(n − 1). 


V ozadju tega je seveda, da ima testna statistika T pri veljavnosti ničelne hipoteze Studentovo porazdelitev z n− 1 prostostnimi stopnjami. Testu, kjer to velja, pravimo T-test. 
.
Primer. Isti vzorec kot pri prejšnjem primeru, le da ne vemo, da je σ = 5. Pri α = 005 testiramo ničelno hipotezo, da je µ= 100, proti alternativni hipotezi, da je µ< 100. 
. ..
Spomnimo se, da je x¯= 97. Izračunajmo še s+ = 5, SE = 1667 in od tod T = −18, kar 
. .
primerjamo z −t0.95(8) = −231. Tokrat ničelne hipoteze ne moremo zavrniti: odstopanja v levo niso statistično značilna. Nauk: če določene reči (recimo standardnega odklona) ne poznamo v popolnosti, moramo biti bolj previdni – tako kot smo bili tudi pri intervalskem ocenjevanju. 
Standardni odklon pri neznanem povprečju 
Pri standardnem odklonu bomo potrebovali porazdelitev hi kvadrat. Spomnimo se, da χ2 p(df)označuje kvantil porazdelitve hi kvadrat z df prostostnimi stopnjami za verjetnost 
p. V našem primeru bo spet df = n − 1. 
Pri konstrukciji intervalov zaupanja bomo potrebovali kvantila: 
χ2 χ2 
c1 = (n − 1) , c2 = (n − 1) .
(1−β)/2(1+β)/2
Spodnja in zgornja meja bosta enaki: 
n − 1 n − 1 
σmin = s+ , σmax = s+ . c2 c1 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Pri vzorcu iz prejšnjega primera bi pri β = 95% izračunali: 
. .. .
χ2 χ2 
c1 = 0.025(8) = 218 , c2 = = 175,
0.975(n − 1) 
8 . .8 . .
σmin = 5· .= 338 , σmax = 5· .= 958 . 
175 218 
Oglejmo si še testiranje ničelne hipoteze H0, da je σ = σ∗. Le-to testiramo s pomočjo testne statistike: 
2
s
χ2 +
:= (n − 1) . 
(σ∗)2 
Spet bomo gledali tri alternativne hipoteze in temu ustrezno postavili kritična območja. Ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H± = σ∗, če je χ2 < χ2 (n − 1) ali χ2 > χ2 (n − 1);

1 : σ α/21−α/2

• 
proti H1 + : σ > σ∗, če je χ2 > χ2 1−α(n − 1); 

• 
proti H1 −: σ < σ∗, če je χ2 < χ12 −α(n − 1). 


Primer. Meritve neke količine, porazdeljene normalno N(µ, σ), dajo naslednje vrednosti: 
99, 90, 108, 111, 97, 93, 90, 106, 104, 102 
.
Pri α = 005 testirajmo ničelno hipotezo, da je σ = 5, proti alternativni hipotezi, da je 
. .
σ = 5. Izračunajmo s+ = 745 in χ2 = 20, kar moramo primerjati s kritičnima vrednostma 
. .. .
χ2 (9) = 270 in χ2 (9) = 190. Torej hipotezo zavrnemo, odstopanja so statistično 
0.0250.025
značilna. 
Primerjava povprečij dveh spremenljivk na istih enotah 
Denimo, da imamo za vsako enoto dani dve intervalski spremenljivki, X in Y. Označimo z µX aritmetično sredino prve, z µY pa aritmetično sredino druge spremenljivke na celotni populaciji. Testiramo ničelno hipotezo H0: µX = µY , alternativno hipotezo pa lahko postavimo na tri načine: dvostransko H1 ±: µX = µY , enostransko v korist X, ki je H1 X : µX > µY in enostransko v korist Y, ki je H1 Y : µX < µY . 
Ta test se prevede na običajni T-test za eno spremenljivko, ki je kar razlika X− Y. Če so torej x1,. . . , xn vrednosti prve, y1,. . . , yn pa vrednosti druge spremenljivke na vzorcu, izračunamo: 
� �2 � �2 
(x1 − y1)− (¯x − y¯) + · · · + (xn − yn)− (¯x − y¯) 
s+ = , 
n − 1 
s+x¯− y¯
SE = √ , T = 
n SE 
in ničelno hipotezo zavrnemo: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
• 
proti H±, če je |T| > t1−α/2(n − 1);

• 
proti H1 X, če je T > t1−α(n − 1); 

• 
proti H1 Y , če je T < −t1−α(n − 1). 


1 
Primer. Pri predmetu Analiza III na Interdisciplinarnem študiju računalništva in matematike na Univerzi v Ljubljani se pišeta dva kolokvija. Rezultati študentov, ki so v študijskem letu 2008/09 pisali oba kolokvija, so zbrani v naslednji tabeli: 
1. kolokvij (X)  2. kolokvij (Y)  X − Y  
89  96  −7  
59  65  −6  
51  79  −28  
98  99  −1  
46  68  −22  
79  60  19  
68  65  3  
63  85  −22  
73  65  8  
52  73  −21  
82  97  −15  
82  100  −18  
50  95  −45  
46  80  −34  
Povprečje  67.0  80.5  −13.5  

Od tod izračunamo: 
. .. .. .

s+ = 1730 , SE = 4624 , T = −292 . 
Izvedemo dvostranski test. Podatkov je 14, torej je prostostnih stopenj 13. Ker je 
. ..
t0.975(13) = 216, ničelno hipotezo pri α = 005 zavrnemo – razlika med kolokvijema je sta
.. .
tistično značilna. Pri α = 001 pa vrednost testne statistike primerjamo s t0.995(13) = 301 in dobimo, da razlika ni statistično zelo značilna. 
Zgoraj opisani test velja ob predpostavki, da je porazdelitev normalna ali dihotomna ali pa da je vzorec dovolj velik. Če temu ni tako, lahko namesto T-testa izvedemo test z znaki. V našem primeru pride: 
8 . .
S+ = 3, S− = 11 , Z = −√ = −214 . 
14 
.. ... .
Pri α = 005 to primerjamo z z0.975 = 196, pri α = 001 pa z z0.995 = 258. Spet dobimo, da je razlika statistično značilna, ni pa zelo značilna. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Testiranje normalne porazdelitve 
Orodja iz inferenčne statistike (intervalskega ocenjevanja in testiranja hipotez) za intervalske spremenljivke, opisana v tem razdelku, so zasnovana ob predpostavki, da ima statistična spremenljivka normalno (Gaussovo) porazdelitev. Ta predpostavka ni vedno izpolnjena in zastavi se vprašanje, ali jo lahko preverimo. Kot nasploh v inferenčni statistiki ne more obstajati algoritem, ki bi na podlagi vzorca dal odgovor da ali ne glede porazdelitve na populaciji, še zlasti pa ne z gotovostjo. Lahko pa hipotezo o normalnosti testiramo. 
Testov normalne porazdelitve je veliko. V večini primerov so najustreznejši t. i. prilagoditveni testi (angl. goodness of fit), ki merijo, koliko empirična (vzročna) porazdelitev odstopa od normalne (ali nasprotno, kako tesno se ji prilega). Tu bomo spoznali Anderson13 <BR>–Darlingov14 <BR>test, natančneje, D’Agostinovo15 <BR>modifikacijo tega testa [17]. Podatke najprej uredimo po velikosti – naredimo ranžirno vrsto: 
X(1) ≤ X(2) ≤ · ·· ≤ X(n). 
Spomnimo se: X(i) je i-ta vrstilna statistika. Podatke standardiziramo – za ta namen izračunamo aritmetično sredino in popravljeni vzorčni standardni odklon: 
  n
X1 + X2 + · · · + Xn   1 
X¯= , s+ =   (Xi − X¯)2 . 
n n − 1 
i=1 
¯
Standardizirane vrednosti so Zi := (Xi − X)/s+. Potrebovali bomo standardizirane vr¯
stilne statistike Z(i) := (X(i) − X)/s+. Iz njih izračunamo Anderson–Darlingovo testno statistiko: 
n �� �� 
11 1 
A2 = −n − (2i− 1)ln + Φ(Z(i)) + (2n − 2i+ 1)ln − Φ(Z(i)) . 
n 2 2 
i=1 
Tu je Φ Gaussov verjetnostni integral: 
� x 
Φ(x)= √ 1 e −z2/2 dz . 2π 0 
Vrednosti te funkcije lahko odčitamo iz tabele 1. Kot smo že omenili, bomo uporabili D’Agostinovo modifikacijo testa, ki temelji na naslenjem popravku Anderson–Darlingove statistike: � ..� 
075 225 
A ∗2 A2 
= 1 + + 
n n2 
Ničelno hipotezo o normalnosti zavrnemo: ..
• pri stopnji značilnosti α = 005, če je A∗2 > 0752; 
13 Theodore Wilbur Anderson (1918–2016), ameriški matematik in statistik 
14 Donald Allan Darling (1915–2014), ameriški statistik 
15 Ralph B D’Agostino, ameriški statistik 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
..
• pri stopnji značilnosti α = 001, če je A∗2 > 1035. 
Primer. Oglejmo si vzorec, na katerem ima statistična spremenljivka vrednosti: 
101, 91, 93, 103, 91, 101, 103, 95, 95 . 
Vrednosti uredimo po velikosti: 
91, 91, 93, 95, 95, 101, 101, 103, 103 . 
Iz X¯= 97 in s+ = 5 dobimo standardizirane vrednosti: .........
−12, −12, −08, −04, −04, 08, 08, 12, 12. 
Anderson–Darlingova statistika je enaka: 
[
1
. ....
A2 
= −9− 1· ln 01151 + 17 ln 08849 + 3 ln 01151 + 15 ln 08849 + 
9
....
+ 5 ln 02119 + 13 ln 07881 + 7 ln 03446 + 11 ln 06554 + 
....
+ 9 ln 03446 + 9 ln 06554 + 11 ln 07881 + 7 ln 02119 + 
....
+ 13 ln 07881 + 5 ln 02119 + 15 ln 08849 + 3 ln 01151 + 
]
+ 17 ln 0.8849 + 1 · ln 0.1151= . 
. .

= 05342 , 
modificirana vrednost pa je enaka: 
. .075 225 . .
A ∗2 
= 05342 1 + + = 05936 . 
9 81 
..
Ker je 05936 < 0752, odstopanja od normalne porazdelitve niso statistično značilna. Če so vrednosti podane v frekvenčni tabeli: 
vrednosti  frekvence  kumulativne frekvence  
a1  f1  F1  
a2  f2  F2  
. . .  . . .  . . .  
ak  fk  Fk  

jih najprej spet standardiziramo – izračunamo: 
 
 
kk k
1  1 aj − X 
 
n = fj = Fk , X¯= fjaj, s+ =fj(aj − X¯)2 , bj = . 
n n − 1 s+
j=1 j=1 j=1 
Anderson–Darlingova testna statistika je enaka: 

k �� �� 
11 1 
A2 = −n − fj (Fj−1 + Fj)ln + Φ(bj) + (2n − Fj−1 − Fj)ln − Φ(bj) , 
n 2 2 
j=1 
modificirana statistika A∗2 pa se iz A2 seveda dobi na isti način kot prej. 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer. Za 860 žensk poizvemo, koliko otrok imajo. Dobimo naslednjo frekvenčno porazdelitev: 
število otrok  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  
število žensk  227  168  320  96  29  11  4  2  2  0  1  

..
Povprečno število otrok na žensko je 1548, popravljeni standardni odklon pa je 1304. Standardiziramo in izračunamo kumulativne frekvence (razred, ki ni zastopan, pa lahko izpustimo): 
bj  −1.187  −0.420  0.347  1.114  1.880  2.647  3.414  4.181  4.947  6.481  
fj  227  168  320  96  29  11  4  2  2  1  
Fj  227  395  715  811  840  851  855  857  859  860  
Fj−1 + Fj  227  622  1110  1526  1651  1691  1706  1712  1716  1719  

Anderson–Darlingova statistika je enaka: 
()
. 1 ..
A2 
= −860 − 227227 ln 01177 + 1493 ln 08823+ 
860 
()
..
+ 168622 ln 03373 + 1098 ln 06627+ 
()
..
+ 3201110 ln 06356 + 610 ln 03654+ 
()
..
+ 961526 ln 08672 + 194 ln 01328+ 
()
..
+ 291651 ln 096997 + 69 ln 003003+ 
()
..
+ 111691 ln 0995941 + 29 ln 0004059+ 
()
..
+ 41706 ln 1− 3202 · 10−4+ 14 ln 3202 · 10−4+ 
()
..
+ 21712 ln 1− 1452 · 10−5+ 8 ln 1452 · 10−5+ 
()
..
+ 21716 ln 1− 3760 · 10−7+ 4 ln 3760 · 10−7+ 
()
..
· 10−11· 10−11
+ 1· 1719 ln 1− 4556 + 1 · ln 4556 
= . 35.036 . 
.075 225 . .
Modificirana vrednost pa je 35036 · 1 + + = 35066. Ker je to večje od 
860 8602 
.
1035, je odstopanje od normalne porazdelitve tokrat statistično zelo značilno. 
Pomembno: če vrednosti Gaussovega verjetnostnega integrala odčitavamo iz tabele 1 in pademo izven tabeliranega območja, ne smemo vedno vzeti kar Φ(z)≈ ±1/2. To vedno 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
privede do ln 0 ali ln 1. Približek ln 1 = 0 je dober, medtem ko vrednost ln 0 ni definirana. Namesto približka Φ(z)≈ ±1/2 pa lahko vzamemo približni obrazec: 
1 1 
−z2/2
− Φ(z)∼ √ e ,
2 z 2π 
ki velja, ko gre z proti plus neskončno. 

3. 




Povezanost dveh statističnih spremenljivk – bivariatna analiza 
V tem poglavju se bomo ukvarjali z dvema statističnima spremenljivkama, definiranima na isti statistični množici. Naučili se bomo dve stvari: 
• 	
Za vsak par merskih lestvic bomo poiskali statistiko, ki bo vrednotila stopnjo povezanosti med spremenljivkama. Čeprav vse statistike niso neposredno primerljive, bomo povedali, katera vrednost določene statistike ustreza določeni vrednosti druge statistike. Uvedli pa bomo tudi opisno (kvalitativno) lestvico povezanosti: neznatna, nizka, zmerna, visoka in zelo visoka. To bo olajšalo primerjavo statistik. 

• 	
Če se podatki nanašajo na vzorec iz določene populacije, lahko izbrana statistika na podatkih služi kot ocena ustrezne karakteristike na populaciji. Podobno, če so podatki dobljeni kot neodvisne realizacije določenega slučajnega poskusa, ki vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim, lahko izbrana statistika služi kot ocena ustrezne karakteristike skupne verjetnostne porazdelitve izbranih slučajnih spremenljivk. Če je vzorčenje oz. izvajanje poskusov asimptotično reprezentativno (glede na obe spremenljivki, gledani skupaj), se, ko večamo velikost vzorca oz. število izvedb poskusa, vrednost statistike na vzorcu bliža vrednosti karakteristike na populaciji oz. verjetnostni porazdelitvi. 

• 	
Za primer, ko je naša statistična množica enostavni slučajni vzorec iz velike populacije, pa bomo za vsak par merskih lestvic konstruirali tudi test hipoteze, da sta statistični spremenljivki na celi populaciji nepovezani (neodvisni). Podobno, če so podatki dobljeni iz verjetnostno neodvisnih izvedb določenega slučajnega poskusa, ki vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim, lahko testiramo hipotezo, da sta spremenljivki verjetnostno neodvisni. 


Tako bo povezanost lahko statistično neznačilna, značilna ali zelo značilna. Statistična značilnost (p-vrednost) je drug pojem kot stopnja povezanosti na vzorcu: pri majhnih vzorcih se lahko zgodi, da je povezanost visoka, a statistično neznačilna. Pri velikih vzorcih pa se lahko zgodi celo, da je povezanost kvalitativno ovrednotena kot neznatna, a je statistično zelo značilna. 
77 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
POZOR! Povezanost dveh statističnih spremenljivk še ne pomeni, da ena od njiju neposredno vpliva na drugo – povezanost ne implicira vzročnosti. Navadno povezanost nastane zaradi tega, ker na obe spremenljivki vpliva neka tretja spremenljivka (lahko zelo posredno), le-to pa je dostikrat težko določiti. 
Primer: Če bi raziskovali povezavo med številom smučarjev in številom primerov gripe, bi bila ta verjetno visoka. To pa ne pomeni, da smučanje povzroča dovzetnost za gripo: oboje se znatno pogosteje pojavlja pozimi. 
3.1 	Povezanost dveh imenskih spremenljivk: asociiranost 
3.1.1 	Vrednotenje asociiranosti 
Asociiranost ugotavljamo na podlagi kontingenčne tabele, kjer so podane frekvence za vse možne kombinacije vrednosti prve in druge spremenljivke: 
b1  b2  · · ·  bl  
a1  f11  f12  · · ·  f1l  f1·  
a2  f21  f22  · · ·  f2l  f2·  
. . .  . . .  . . .  ...  . . .  . . .  
ak  fk1  fk2  · · ·  fkl  fk·  
f·1  f·2  · · ·  f·l  n  

Pri tem so: 
• 	
a1, a2,. . . , ak vrednosti prve spremenljivke, npr. X; 

• 	
b1, b2,. . . , bl vrednosti druge spremenljivke, npr. Y; 

• 	
fij navzkrižne frekvence (angl. joint frequencies, cross-frequencies): navzkrižna frekvenca fij pove, na koliko enotah je X = ai in hkrati Y = bj ali s formulo: 


fij = ♯(X = ai, Y = bj); 
• 	fi· in f·j robne frekvence (angl. marginal frequencies): robne frekvence: 
fi· = fi1 + fi2 + · · · + fil = ♯(X = ai) 
tvorijo frekvenčno porazdelitev spremenljivke X, robne frekvence: 
f·j = f1j + f2j + · · · + flj = ♯(Y = bj) 

pa tvorijo frekvenčno porazdelitev spremenljivke Y. Seveda velja: 
n = f1· + f2· + · · · + fk· = f·1 + f·2 + · · · + f·l . 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Definiramo lahko tudi relativne navzkrižne frekvence in relativne robne frekvence: 
l l
fij fi· f·j
f◦ f◦ f◦ 
ij = , i· = = fij , ·j = = fij . 
nn n 
j=1 i=k 
Primer: barva oči in barva las neke skupine ljudi Absolutne frekvence: 
oči\lasje  rdeči  blond  rjavi, črni  Skupaj  
modre  1  11  1  13  
zelene  0  14  9  23  
rjave  2  2  22  26  
Skupaj  3  27  32  62  

Relativne frekvence: 

oči\lasje  rdeči  blond  rjavi, črni  Skupaj  
modre  0.016  0.177  0.016  0.210  
zelene  0.000  0.226  0.145  0.371  
rjave  0.032  0.032  0.355  0.419  
Skupaj  0.048  0.435  0.516  1.000  

Obstaja veliko številskih mer (pokazateljev) povezanosti. Eden najboljših je Cramérjev1 <BR>koeficient asociiranosti, osnova za njegov izračun pa so pričakovane relativne navzkrižne frekvence: 
f˜◦ f◦ f◦ 
,
ij = i· ·j 
Pričakovane relativne navzkrižne frekvence bi se pri danih relativnih robnih frekvencah pojavile, če bi bili spremenljivki neasociirani, t. j. neodvisni v smislu teorije verjetnosti, če bi statistično množico obravnavali kot verjetnostni prostor, na katerem bi bile vse enote enako verjetne. Če bi bilo npr. v populaciji 20% oseb z modrimi očmi in 50% oseb z rjavimi ali črnimi lasmi ter barva oči in barva las ne bi bili povezani, bi bilo oseb, ki imajo tako modre oči kot tudi rjave ali črne lase, 20% od 50%, kar znaša 10%. Z drugimi 
...
besedami, delež bi bil 02· 05 = 01. V našem prejšnjem primeru so pričakovane relativne navzkrižne frekvence enake: 
oči\lasje  rdeči  blond  rjavi, črni  Skupaj  
modre  0.010  0.091  0.108  0.210  
zelene  0.018  0.162  0.191  0.371  
rjave  0.020  0.183  0.216  0.419  
Skupaj  0.048  0.435  0.516  1.000  

1 Carl Harald Cramér (1893–1985), švedski matematik, aktuar in statistik 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Cramérjev koeficient asociiranosti je zasnovan na razkoraku med opaženimi in pričakovanimi relativnimi frekvencami in je definiran s formulo: 
� �2
k l f◦ − f˜◦
1 
ij ij 
V := 	. 
min{k, l} − 1 f˜◦ 
i=1 j=1 ij 
Pri našem primeru izračunamo: 

......
(0016 − 0010)2 (0177 − 0091)2 (0016 − 0108)2 
.+ .+ .+ 
0010 0091 0108 
......
(0000 − 0018)2 (0226 − 0162)2 (0145 − 0191)2 
+ .+ .+ .+ 
0018 0162 0191 
......
(0032 − 0020)2 (0032 − 0183)2 (0355 − 0216)2 . .
+ .+ .+ .= 043716 ,
0020 0183 0216 
. 1 .. .
V = · 043716 = 047 . 
3− 1 
Lastnosti Cramérjevega koeficienta asociiranosti: 
• 	
Velja 0 ≤ V ≤ 1. 

• 	
Koeficient je minimalen (enak 0)natanko tedaj, ko sta spremenljivki neasociirani. Še več, če so podatki dobljeni kot dovolj velik enostavni slučajni vzorec iz populacije, na kateri sta spremenljivki X in Y neasociirani, je V blizu 0: večji kot je vzorec, bolj natančno to velja. Malo kasneje se bomo naučili, kako testirati neasociiranost na populaciji. 

• 	
Koeficient V je maksimalen (enak 1) natanko tedaj, ko spremenljivki natančno določata druga drugo (sta popolnoma asociirani). 


Kvalitativno opredeljevanje koeficienta asociiranosti je precej subjektivne narave. Tu se bomo držali naslednjih dogovorov: .
• 	do 02: neznatna asociiranost; 
..
• 	od 02 do 04: rahla asociiranost; 
..
• 	od 04 do 07: zmerna asociiranost; 
..
• 	od 07 do 09: močna asociiranost; 
.
• 	od 09 do 1: zelo močna asociiranost. 
Pri primeru z barvo oči in las sta torej spremenljivki zmerno asociirani. 
Če sta obe spremenljivki dihotomni (lahko zavzameta le dve vrednosti) in je njuna porazdelitev podana s kontingenčno tabelo: 
, 
b1  b2  
a1  A  B  
a2  C  D  


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
je izražava Cramérjevega koeficienta asociiranosti preprostejša: 
|AD − BC|
V = J 	. 
(A+ B)(C + D)(A+ C)(B + D) 
Več informacije pa nam da predznačena vrednost: 
AD − BC 
φ = J 	. 
(A+ B)(C + D)(A+ C)(B + D) 
• 	
Če je φ > 0, to pomeni, da se enote, na katerih prva spremenljivka zavzame prvo vrednost, nagibajo k temu, da tudi druga spremenljivka zavzame prvo vrednost; nasprotno se enote, na katerih prva spremenljivka zavzame drugo vrednost, nagibajo k temu, da tudi druga spremenljivka zavzame drugo vrednost. 

• 	
Če je φ < 0, to pomeni, da se enote, na katerih prva spremenljivka zavzame prvo vrednost, nagibajo k temu, da druga spremenljivka zavzame drugo vrednost; nasprotno se enote, na katerih prva spremenljivka zavzame drugo vrednost, nagibajo k temu, da tudi druga spremenljivka zavzame prvo vrednost. 


Primer: rezultati ankete z dvema vprašanjema: 
1. 	
Ali verjamete v horoskop? 

2. 	
Ali verjamete v NLP-je? 


so zbrani v naslednji tabeli: 
Horoskop\NLP  vsa j malo  ne  Skupaj  
vsa j malo  5  7  12  
ne  6  9  15  
Skupaj  11  16  27  

5· 9− 7· 6 . .
Velja φ = √ 	= 0017. 
12 · 15 · 11 · 16 
Gre torej za neznatno pozitivno povezanost. 
3.1.2 Testiranje neasociiranosti 
Ničelno hipotezo, da spremenljivki na celotni populaciji nista asociirani, testiramo s kontingenčnim testom. To je test hi kvadrat, in sicer z enostransko različico v desno in (k − 1)(l− 1) prostostnimi stopnjami, kjer je kot prej k število možnih vrednosti prve, l pa število možnih vrednosti druge spremenljivke. Testna statistika hi kvadrat pa se izraža s formulo: 
� �2
k l 
� � f◦ − f˜◦ � �
ij ij 	2
χ2 = n 	= n min{k, l} − 1 V . 
f˜◦ 
i=1 j=1 ij 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Ničelno hipotezo torej zavrnemo, če je χ2 > χ2 1−α (k − 1)(l − 1) . Če jo zavrnemo pri 
.	.
α = 005, pravimo, da sta spremenljivki značilno asociirani, če jo zavrnemo pri α = 001, pa pravimo, da sta zelo značilno asociirani. 
Opomba. Tudi kontingenčni test hi kvadrat ni eksakten, je zgolj približen. Dovolj natančen je pri naslednjih predpostavkah: 
• 	
Gre za enostavni slučajni vzorec iz velike populacije ali pa neodvisne izvedbe slučajnega poskusa, ki vsakič sledi istim verjetnostnim zakonitostim. 

• 	
Pričakovane absolutne frekvence so najmanj 5: f˜ ij = nf˜ij ◦ ≥ 5 za vse i in j. Ekvivalentno, veljati mora f˜ij ◦ ≥ 5/n. Sicer združimo bližnje razrede. 


Primer: recimo, da prejšnja tabela barv las in oči pripada enostavnemu slučajnemu 
.
vzorcu iz velike populacije. Pri stopnji značilnosti α = 001 testiramo hipotezo, da sta barva oči in barva las na populaciji neasociirani. Najprej poglejmo, ali so sploh izpolnjeni pogoji za izvedbo testa. Za ta namen morajo biti pričakovane relativne navzkrižne fre
. .
kvence vsa j 5/62 = 00806. To pa ni res, zato združimo rdečelasce in blondince. Dobimo: 
Opažene absolutne frekvence: Opažene relativne frekvence: 


modre  12  1  13  
zelene  14  9  23  
rjave  4  22  26  

modre  0.194  0.016  0.210  
zelene  0.226  0.145  0.371  
rjave  0.065  0.355  0.419  



Pričakovane absolutne frekvence: Pričakovane relativne frekvence: 



modre  6.29  6.71  13  
zelene  11.13  11.87  23  
rjave  12.58  13.42  26  

modre  0.101  0.108  0.210  
zelene  0.180  0.191  0.371  
rjave  0.203  0.216  0.419  




M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Cramérjev koeficient asociiranosti bo za združene razrede drugačen: 
....

(0194 − 0101)2 (0016 − 0108)2 
.+ .+ 
0101 0108 
....
(0226 − 0180)2 (0145 − 0191)2 
+ .+ .+ 
0180 0191 
.	...
(0065 − 0203)2 (0355 − 0216)2 . .
+ .+ .= 036799 ,
0203 0216 
.
. 036799 . .
V = = 061 . 
2− 1 
Povezanost torej še vedno pride zmerna. Testna statistika pa pride: 
. .. .

χ2 
= 62 · 036799 = 2282 . . .
Ker kritična vrednost pride χ2 0.99(2) = 921, ničelno hipotezo, da barva oči in barva las nista asociirani, zavrnemo: na našem vzorcu sta barvi statistično zelo značilno asociirani. 



3.2 	Povezanost dveh intervalskih spremenljivk: koreliranost 
Koreliranost pove, v kolikšni meri sta spremenljivki povezani glede na naraščanje in padanje: če se ena od spremenljivk poveča, ali se druga v povprečju poveča, zmanjša ali nič od tega. Zato je koreliranost predznačena količina: možna je pozitivna ali negativna koreliranost. 
Pri preučevanju koreliranosti nam pride prav diagramom razpršenosti (tudi razsevni diagram, angl. scatter plot, scattergraph), kjer podatke predstavimo kot pike v ravnini, pri čemer koordinata x pove vrednost prve, koordinata y pa vrednost druge spremenljivke. 
Primer: vremenska napoved temperatur za naslednjih nekaj dni 
dan  jutranja  dnevna  
petek  14  19  
sobota  12  20  
nedelja  10  21  
ponedeljek  11  22  
torek  12  21  

Pripadajoči diagram razpršenosti: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

Več diagramov razpršenosti pride kasneje, prej pa bomo spoznali, kako koreliranost kvantitativno in kvalitativno opredelimo. 
3.2.1 Kovarianca 
Kovarianca je prvi korak do opredeljevanja povezanosti dveh intervalskih spremenljivk. Če vrednosti prve označimo z x1,. . . , xn, vrednosti druge pa z y1,. . . , yn, je kovarianca enaka: 
(x1 − x¯)(y1 − y¯) + (x2 − x¯)(y2 − y¯) + · · · + (xn − x¯)(yn − y¯)
K = KX,Y := , 
n kjer sta x¯in y¯aritmetični sredini naših spremenljivk: 
x1 + x2 + · · · + xn y1 + y2 + · · · + yn
¯x =  ,  ¯y =  .  
n  n  

Če je kovarianca pozitivna, pravimo, da sta spremenljivki pozitivno korelirani. Če je negativna, sta negativno korelirani. Če je enaka nič, sta nekorelirani. Kovarianca spremenljivke same s seboj je kvadrat standardnega odklona: KX,X = sX 2 . Kovarianco lahko računamo tudi po u-metodi: za poljubna u in v velja: (x1 − u)(y1 − v) + (x2 − u)(y2 − v) + · · · + (xn − u)(yn − v)
KX,Y = − (¯x − u)(¯y− v). 
n 
Primer: Izračun kovariance jutranjih (xi)in dnevnih (yi)temperatur (vzamemo u = 10 in v = 20): 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
dan  xi  yi  xi − 10  yi − 20  (xi − 10)(yi − 20)  
14  19  4  −1  −4  
12  20  2  0  2  
10  21  0  1  0  
11  22  1  2  0  
12  21  2  1  2  
Vsota  9  3  2  
Povprečje  1.8  0.6  0  

. ...
Kovarianca: KX,Y = 0− 18· 06 = −108. Kovarianco lahko računamo tudi iz kontingenčne tabele: 
k l 
1 
KX,Y = fij(ai − x¯)(bj − y¯)= 
n 
i=1 j=1 
k l 

f◦ 
= x)(bj − y¯)= 
ij (ai − ¯i=1 j=1 k l 
1 
= fij(ai − u)(bj − v)− (¯x − u)(¯y− v)= 
n 
i=1 j=1 
k l 

= fij ◦(ai − u)(bj − v)− (¯x − u)(¯y− v). 
i=1 j=1 
Še en primer: med 20 študenti izvedemo anketo z dvema vprašanjema: 
1. 
Koliko ur na dan preživiš na računalniku? 

2. 
Koliko ur na dan preživiš zunaj s prijatelji? 


Rezultati ankete so zbrani v naslednji kontingenčni tabeli (vrstice so ure na računalniku, stolpci pa ure s prijatelji): 
X \ Y  1  2  3  4  5  fi·  
1  1  1  0  0  1  3  
2  2  2  2  0  1  7  
3  3  1  1  0  0  5  
4  0  1  1  1  0  3  
5  1  1  0  0  0  2  
f·j  7  6  4  1  2  20  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Najprej izračunamo povprečja: 
1· 3 + 2 · 7 + 3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 2 .
x¯= = 27,
20 1· 7 + 2 · 6 + 3 · 4 + 4 · 1 + 5 · 2 .
y¯= = 225 . 
20 
.
Anketiranci so, kot trdijo, torej v povprečju na dan preživeli 27 ure za računalnikom in 
.
225 ure s prijatelji. 
Izračun kovariance po u-metodi pri u = 3 (za x) in v = 2 (za y): 
1 
Kx,y = (−2) · (−1) · 1 + (−2) · 0· 1 + (−2) · 1· 0 + (−2) · 2· 0 + (−2) · 3· 1 + 
20 + (−1) · (−1) · 2 + (−1) · 0· 2 + (−1) · 1· 2 + (−1) · 2· 0 + (−1) · 3· 1 + + 0 · (−1) · 3 + 0 · 0· 1 + 0 · 1· 1 + 0 · 2· 0 + 0 · 2· 0 + + 1 · (−1) · 0 + 1 · 0· 1 + 1 · 1· 1 + 1 · 2· 1 + 1 · 2· 0 + 
+ 2· (−1) · 1 + 2 · 0· 1 + 2 · 1· 0 + 2 · 2· 0 + 2 · 2· 0 − 
..
− (27− 3) · (225 − 2) = 
.
= −0225 . 
S pomočjo kovariance na vzorcu lahko točkasto ocenimo kovarianco na celotni populaciji. Vendar pa moramo podobno kot pri standardnem odklonu za nepristransko oceno deliti z n − 1 namesto z n. Če je torej σX,Y populacijska kovarianca, je njena cenilka: 
(x1 − x¯)(y1 − y¯) + (x2 − x¯)(y2 − y¯) + · · · + (xn − x¯)(yn − y¯)
σˆ[X, Y ]= KX,Y + := . 
n − 1 
.
Primer: kovarianca na vzorcu 20 študentov je prišla −0225. Ocena za kovarianco na celotni populaciji pa je: 
20 .. .
σˆ[X, Y ]= KX,Y + = − · 0225 = 0237 . 
19 
Če preučujemo več spremenljivk hkrati (multivariatna analiza), je pomembna kovariančna matrika:   
K11 K12 ... K1r 
 
K22 . . . 
 K21 K2r 
K =  ... .  
. ... 
 .. ..  
Kr1 Kr2 ... Krr 
SKij smo tu označili kovarianco i-te in j-te spremenljivke. Tako na primer v psihometriji (in tudi drugje) pomembno vlogo igra Cronbachov2 <BR>α, ki je razmerje med vsoto kovarianc 
2 Lee Joseph Cronbach (1916–2001), ameriški psiholog 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
parov različnih spremenljivk in vsoto vseh kovarianc (t. j. vključno z variancami), vse skupaj pomnoženo z r/(r − 1): 
r i,j;i =jKij r i Kii 
α = �= 1− �. 
r − 1 	r − 1
i,j Kij 	i,j Kij
Če so komponente nekorelirane, je α = 0. 
Večina metod v multivariatni analizi zahteva matematično analizo matrik, ki temelji na linearni algebri. 

3.2.2 Pearsonov korelacijski koeficient 
Kovarianca sama po sebi ni dobro merilo za stopnjo povezanosti, sa j je odvisna od merskih enot: če npr. eno od spremenljivk pomnožimo s 100 (recimo če jo podamo v centimetrih namesto v metrih), se tudi kovarianca pomnoži s 100. Pearsonov3 <BR>korelacijski koeficient to pomanjkljivost odpravi tako, da kovarianco deli s produktom standardnih odklonov: 
KX,Y 
r = r X,Y = , sX sY 
kjer je: 
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · · + (xn − x¯)2 
sX = 	, 
n 
(y1 − y¯)2 + (y2 − y¯)2 + · · · + (yn − y¯)2 
sY = 	. 
n 
Lastnosti Pearsonovega korelacijskega koeficienta: 
• 	
Definiran je, če nobena od spremenljivk ni konstantna. 

• 	
Velja −1 ≤ r ≤ 1. 

• 	
Če sta X in Y neodvisni (na statistični množici, iz katere so podatki), je r = 0. Velja tudi, da, če podatki temeljijo na velikem enostavnem slučajnem vzorcu iz velike populacije, na kateri sta X in Y neodvisni, je r blizu 0 (malo kasneje pri testiranju se bomo naučili, kako postaviti mejo). 

• 	
Pearsonov korelacijski koeficient je maksimalen (enak 1), če je katera koli od spremenljivk narašča joča linearna funkcija druge. 

• 	
Pearsonov korelacijski koeficient je minimalen (enak −1), če je katera koli od spremenljivk padajoča linearna funkcija druge. 


3 Karl Pearson (1857–1936), angleški matematik in biostatistik 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Pearsonov korelacijski koeficient meri stopnjo linearne povezanosti med statističnima spremenljivkama. 
Absolutna vrednost Pearsonovega korelacijskega koeficienta (| r |) je v grobem primerljiva s Cramérjevim koeficientom asociiranosti. Še več, za par dihotomnih spremenljivk se to dvoje celo ujema, ne glede na to, kateri dve (različni) števili priredimo vrednostma posamezne spremenljivke (ki nista nujno številski – lahko sta le imenski). Če gledamo par urejenostnih dihotomnih spremenljivk in če številske vrednosti priredimo v skladu z urejenostjo, velja r = φ. 
Zato je smiselno, če tudi Pearsonov korelacijski koeficient enako kvalitativno opredeljujemo kot pri Cramérjev koeficient, s tem da lahko sedaj povemo tudi smer povezanosti: 
.
vrednost r = −06 torej pomeni zmerno negativno koreliranost. Kvadratu korelacijskega koeficienta (r2)pravimo determinacijski koeficient. Njegovo kvalitativno opredeljevanje je torej naslednje: .
• do 004: neznatna povezanost; 
..
• od 004 do 016: rahla povezanost; 
..
• od 016 do 049: zmerna povezanost; 
..
• od 049 do 081: močna povezanost; 
.
• od 081 do 1: zelo močna povezanost. 
Primer: pri vremenski napovedi temperatur: 
dan  jutranja  dnevna  
petek  14  19  
sobota  12  20  
nedelja  10  21  
ponedeljek  11  22  
torek  12  21  

pride:  sX . = 1.327 ,  sY . = 1.020 ;  r X,Y . = −1.08 1.327 · 1.020 . = −0.80 .  
. 

Determinacijski koeficient: 064. 
Jutranja in dnevna temperatura sta torej visoko negativno povezani: pri višji jutranji 
temperaturi lahko pričakujemo nižjo dnevno. 

Pri takšni napovedi, kot je ta (za nekaj zaporednih dni) ima pri korelaciji verjetno nejvečjo težo vpliv oblačnosti, ki viša jutranjo, a niža dnevno temperaturo. Pri napovedi za daljše obdobje bi bila korelacija bistveno drugačna. 
Primer: pri kontingenčni tabeli, ki se nanaša na vprašanji, koliko ur anketirani študent preživi na računalniku in koliko s prijatelji: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
X \ Y  1  2  3  4  5  fi·  
1  1  1  0  0  1  3  
2  2  2  2  0  1  7  
3  3  1  1  0  0  5  
4  0  1  1  1  0  3  
5  1  1  0  0  0  2  
f·j  7  6  4  1  2  20  

pride: .
. .. .. −0225 . .
sX = 11874 , sY = 12600 , r X,Y = ..= −015 . 
11874 · 12600 
Gre torej za neznatno negativno povezanost. 
Še nekaj primerov diagramov razpršenosti z različnimi korelacijskimi koeficienti : 
To so rezultati tistih 52 študentov, ki so v študijskem letu 2010/11 na biopsihologiji pisali oba kolokvija iz statistike: 

To so naključno generirani podatki, a naključnost je nastavljena tako, da so nekorelirani. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

Ti podatki so visoko pozitivno korelirani. 


Skrajni primer je korelacija 1, ko gre za linearno odvisnost. 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Tu korelacija ni enaka 1, čeprav sta spremenljivki v deterministični strogo narašča joči povezavi: 

Korelacija je lahko tudi negativna: 


Tukaj je korelacija enaka −1: 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

Še en primer nekoreliranih podatkov: 


Tukaj se y deterministično izraža z x, podatki pa so nekorelirani. 



M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 


3.2.3 	Testiranje nekoreliranosti 
Ničelno hipotezo H0, da sta spremenljivki nekorelirani, testiramo s T-testom, in sicer s pomočjo testne statistike: 
r √ 
T = √ n − 2,
2
1− r kjer je r = r X,Y Pearsonov korelacijski koeficient. Število prostostnih stopenj je n − 2. Aktualne so tri alternativne hipoteze. Ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H±, da sta X in Y korelirani, če je |T| > t1−α/2(n − 2);

• 
proti H1 +, da sta X in Y pozitivno korelirani, če je T > t1−α(n − 2); 

• 
proti H1 −, da sta X in Y negativno korelirani, če je T < −t1−α(n − 2). 


1 
Test je zasnovan ob predpostavki, da sta X in Y na populaciji porazdeljeni normalno. 
.
Primer: pri temperaturah za 5 dni je korelacijski koeficient prišel −080, torej je bila koreliranost visoka. Recimo, da bi šlo za enostavni slučajni vzorec in da bi testirali ničelno hipotezo, da sta jutranja in dnevna temperatura nekorelirani, proti alternativni hipotezi, da sta korelirani. Testna statistika pride: 
.
√
080 . .
T = −√ 3 = −231 .
.
1− 0802 
.	. .
Pri stopnji značilnosti α = 005 to primerjamo s t0.975(3) = 318 in hipoteze ne zavrnemo: koreliranost ni statistično značilna. 
Primer: pri 52 študentih, ki so v študijskem letu 2010/11 na biopsihologiji pisali oba 
.
kolokvija iz statistike, korelacijski koeficient med obema kolokvijema pride 058, torej je koreliranost zmerna. Pa recimo, da bi bil to spet enostavni slučajni vzorec in da bi testirali ničelno hipotezo, prvi in drugi kolokvij nekorelirani, proti alternativni hipotezi, da sta korelirana. Testna statistika pride: 
.
√
058 . .
T = √ 50 = 503 .
.
1− 0582 
. .
Ker je t0.995(50) = 268, je koreliranost statistično zelo značilna, čeprav je “le” zmerna, medtem ko je bila prej koreliranost visoka, a statistično neznačilna. Toda zdaj smo imeli na voljo precej več podatkov. 


3.3 	Povezanost intervalske in dihotomne spremenljivke: primerjava povprečij 
Podatke, kjer sta na isti statistični množici definirani intervalska spremenljivka (recimo U)in dihotomna spremenljivka (recimo G), lahko predstavimo bodisi kot: 
u1, u2,. . . , uN 
g1, g2,. . . , gN 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
bodisi podatke razdelimo glede na vrednost dihotomne spremenljivke. Če le-ta zavzame vrednosti a in b, lahko podatke, na katerih druga spremenljivka zavzame vrednost a, predstavimo z: 
x1, x2,. . . , xm , podatke, na katerih druga spremenljivka zavzame vrednost b, pa z: 
y1, y2,. . . , yn . 
Še drugače, gledati dve spremenljivki, od katerih je druga dihotomna, na eni statistični množici, je ekvivalentno gledanju prve spremenljivke na dveh različnih statističnih množicah (dihotomna spremenljivka nam statistično množico razdeli na dve skupini). 
Primer: pri nekem izpitu gledamo rezultat in spol: 
Ime  Rezultat (ui)  Spol (gi)  
Jan  22  M  
Karmen  39  Ž  
Barbara  73  Ž  
Kristina  34  Ž  
Domen  52  M  
Katja  34  Ž  
Aljaž  39  M  
Rok  52  M  
Sabina  38  Ž  
Diana  53  Ž  
Jerica  59  Ž  
Tilen  43  M  

Rezultate lahko ločimo po spolih: 
Ženske: x1 = 39 , x2 = 73 , x3 = 34 , x4 = 34 , x5 = 38 , x6 = 53 , x7 = 59 . 
Moški: y1 = 22 , y2 = 52 , y3 = 39 , y4 = 52 , y5 = 43 . 
Prikaz s pikami: 
3.3.1 Točkovni biserialni korelacijski koeficient 
Če sta a in b numerični vrednosti, lahko izračunamo Pearsonov korelacijski koeficient. Brž 
ko je a > b, je le-ta enak:  √  
¯x − ¯y  mn  
r pb =  s  m + n ,  


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
ne glede na to, koliko sta vrednosti a in b dejansko enaki. Zato ni nujno, da je dihotomna spremenljivka numerična, lahko je le imenska. Koeficient za ta primer imenujemo točkovni biserialni korelacijski koeficient (angl. point biserial correlation coefficient). 
Oznaka s se tu nanaša na skupni standardni odklon, t. j. standardni odklon spremenljivke U: 
(u1 − u¯)2 + (u2 − u¯)2 + · · · + (uN − u¯)2 
s = = 
N 
(x1 − u¯)2 + · · · + (xm − u¯)2 + (y1 − u¯)2 + · · · + (yn − u¯)2 
= ,
N u¯pa je aritmetična sredina vseh podatkov: u1 + u2 + · · · + uN 
u¯= ,
N 
Pri našem primeru je: . ... .. .. .
2
¯47414416913
x =  14 , ¯y =  6, ¯83 , s 8, s 03 ,u = = =  
torej je:  r pb . =  47.14 − 41.6 13.03  √ 7· 5 7 + 5  . = 0.2097 .  

Točkovni biserialni koeficient je vedno med −1 in 1. Skrajni vrednosti sta doseženi takrat, ko so vse vrednosti na posamezni skupini enake. Vrednost 1 je dosežena takrat, ko so vrednosti na prvi skupini strogo večje od vrednosti na drugi skupini, vrednost −1 pa je dosežena takrat, ko so vrednosti na prvi skupini strogo manjše od vrednosti na drugi skupini. Če so kar vse vrednosti enake, pa koeficient ni definiran. 
Kvalitativno opredeljevanje točkovnega biserialnega koeficienta je enako kot pri Pearsonovem: pri prejšnjem primeru gre torej za rahlo povezanost v korist žensk. Ali drugače, ženske so pisale malo boljše kot moški. 
Aritmetična sredina vseh podatkov je enaka tehtani sredini aritmetičnih sredin posameznih skupin: 
m n 
u¯= x¯+ y¯. 
m + n m + n 
z utežema, ki sta sorazmerni z velikostma skupin, ki ju predstavljata. 
Kvadrat skupnega standardnega odklona, torej skupno varianco, pa lahko zapišemo kot vsoto: 
22 2 
s = sW + sB , 
kjer je: 
m n
2 22 
s ss
W = X + Y 
m + n m + n 
varianca znotraj skupin (angl. within groups)ali tudi nepojasnjena varianca (angl. unexplained variance, pooled variance)in: 
mn 
s 2 = (¯x − y¯)2 
B (m + n)2 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
varianca med skupinama (angl. between groups ali tudi pojasnjena varianca (angl. explained variance). To je tisti del variance, ki jo pojasnjuje skupina, v kateri je podatek. 
Na zgornji in splošnejših razčlenitvah variance temelji analiza variance (angl. analysis of variance, ANOVA), ki je pomemben del inferenčne statistike. Malo kasneje bomo omenili posplošitev na več skupin. 
Kvadrat točkovnega biserialnega korelacijskega koeficienta (točkovni biserialni determinacijski koeficient) predstavlja delež pojasnjene variance ali tudi moč učinka (angl. strength of effect, effect size), sa j velja: 
ss
2 B
s

2 B
2 
= 

=

r 
.

pb 
s

2 W2sB 
2
+

Njegovo kvalitativno opredeljevanje je torej enako kot pri determinacijskem koeficientu. Pri našem primeru je recimo: . .. 7 .5 .
u¯= 4483 = · 4714 + · 416. 
12 12 
Varianca med skupinama (varianca, pojasnjena s spolom), je enaka: 
7· 5 
... .
(4714 − 416)2 = 75
s 

2 B 
= 

. 

(7 + 5)2 
Nadalje je: 

. .. 

. ..

.

.

22
191

3, sX 
13

83 , 

121

8, sY 
11

04 

.

s = 

= 

s = 

= 

X Y 
in varianca znotraj skupin (nepojasnjena varianca) je enaka: 

. 7 .5 .. .
= · 1913 + · 1218 = 1623
s 

2 W
. 

12 12 

. ....

Opazimo, da je res 

s

22 B
+ 

s

2 W
. 

Delež pojasnjene variance je 

169

8 =7

5 + 121

8

= 

= s

enak: .
75 . .. .
.= 004398 = 020972 . 
1698 Če sta obe spremenljivki dihotomni, velja r pb = φ. 

3.3.2 Standardizirana razlika povprečij 
Kot mero za povezanost intervalske in dihotomne spremenljivke lahko gledamo tudi standardizirano razliko povprečij (angl. standardized mean difference)ali tudi Cohenov4 <BR>koeficient : 
x¯− y¯
d = 
sW 
4 Jacob Cohen (1923–1998), ameriški statistik in psiholog 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Točkovni biserialni in Cohenov koeficient nam dajeta isto informacijo, sa j se izražata drug z drugim: 
d m + n r pb 
r pb = � , d = √ � . 
(m+n)2 mn 2
d2 + 1− r 
pb 
mn 
Nudita pa dva različna pogleda: točkovni biserialni korelacijski koeficient je osredotočen bolj na povezanost, Cohenov koeficient pa bolj na razliko. 
V našem primeru je: 
..
. 4714 − 416 . .
d = √ = 0435 .
.
1623 

3.3.3 Testiranje enakosti povprečij 
Recimo, da se opažene vrednosti nanašajo na vzorec iz določene populacije. Tako kot nam dihotomna spremenljivka razdeli vzorec na dva podvzorca, nam tudi populacijo razdeli na dve podpopulaciji. Označimo z µX povprečje spremenljivke na prvi, z µY pa na drugi podpopulaciji. Testiramo ničelno hipotezo H0, da je µX = µY . Pri tem privzamemo, da opazimo predpisano število podatkov na prvi in predpisano število podatkov na drugi podpopulaciji: iz vsake vzamemo enostavni slučajni vzorec, vzorca pa morata biti med seboj neodvisna. Na populaciji torej izvedemo preprosto stratificirano vzorčenje – stratificiramo glede na dihotomno spremenljivko. Za ta namen moramo seveda imeti popoln pregled nad njo. 
Podobno lahko test uporabimo tudi, če so opažene vrednosti dobljene iz izvedb dveh slučajnih poskusov, za katere privzamemo, da so vse med seboj neodvisne. Števili izvedb posameznega poskusa sta lahko različni, morata pa biti predpisani. Poskusa imata lahko različne verjetnostne zakonitosti. V tem primeru je µX pričakovana vrednost slučajne spremenljivke pri prvem, µY pa pri drugem poskusu. 
Ničelno hipotezo testiramo s T-testom, in sicer s pomočjo testne statistike: 
x¯− y¯
T = ,
SE 
kjer je: 
N 
SE = sW+ , 
mn 
(x1 − x¯)2 + · · · + (xm − x¯)2 + (y1 − y¯)2 + · · · + (yn − y¯)2 
sW+ = . 
N − 2 
Število prostostnih stopenj je N − 2, kar pomeni, da ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H1 ±: µX = µY korelirani, če je |T| > t1−α/2(n − 2); 

• 
proti H1 X : µX > µY , če je T > t1−α(n − 2); 

• 
proti H1 Y : µY > µX, če je T < −t1−α(n − 2). 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Test je eksakten pod predpostavko, da je spremenljivka na obeh podpopulacijah porazdeljena normalno in da sta varianci na obeh podpopulacijah enaki (temu pravimo homoskedastičnost ). Če se podatki nanašajo na izvedbe poskusov, predpostavka trdi, da je spremenljivka pri obeh poskusih porazdeljena normalno in da ima pri obeh poskusih enako varianco. Je pa test pri velikih vzorcih v precejšnji meri robusten, kar pomeni, da je stopnja značilnosti še vedno približno drži, tudi če ti dve predpostavki nista tako natančno izpolnjeni. 
. .
Primer: spol in rezultat kolokvija. Pri stopnji značilnosti α = 005 dvostransko testiramo, ali sta spol in rezultat nedvisna. Spomnimo se: 
. .. .. .
m = 7, n = 5, x¯= 4714 , y¯= 4160 , s 2 W = 1623. 
Od tod dobimo: 
. 12 .. .. 12 .. .
sW+ = · 1623 = 1396 , SE = · 1396 = 8173 . 
10 	35 
Testna statistika pride: 
.	.
4714 − 4160 . .
.	= 0678 . 
8173 
. .
Glede na test moramo to primerjati s t0.975(10) = 223, torej hipoteze ne zavrnemo: razlike med spoloma niso statistično značilne. 


3.4 	Povezanost intervalske in imenske spremenljivke: analiza variance z enojno klasifikacijo 
3.4.1 	Pojasnjena in nepojasnjena varianca 
Podatke, kjer sta na isti statistični množici definirani intervalska spremenljivka (recimo X)in imenska spremenljivka (recimo G), lahko spet predstavimo na dva načina. Tako, kot je prej opisano, bomo vrednosti intervalske in imenske spremenljivke tokrat označevali 
z: 
x1, x2,. . . , xn 
g1, g2,. . . , gn 
Lahko pa spet podatke razdelimo glede na vrednost imenske spremenljivke – preindeksiramo jih na naslednji način: 
x11, x12,. . . , x1n1 : vrednosti spremenljivke X, kjer je G = g1 
x21, x22,. . . , x2n2 : vrednosti spremenljivke X, kjer je G = g2 
. 
. 
. xk1, xk2,. . . , xkn2 : vrednosti spremenljivke X, kjer je G = gk 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Seveda velja n1 + n2 + · · · + nk = n. 
Še drugače, na eni statistični množici gledati dve spremenljivki, od katerih je druga imenska, ki zavzame k vrednosti, je ekvivalentno gledanju prve spremenljivke na k različnih statističnih množicah (imenska spremenljivka nam statistično množico razdeli na k skupin). 
Merjenje povezanosti med intervalsko in imensko spremenljivko temelji na analizi variance (natančneje, v našem kontekstu je to analiza variance z enojno klasifikacijo). Označimo z x¯aritmetično sredino na celotni statistični množici: 
x1 + x2 + · · · + xn 
x¯= , 
n 
z x¯1,x¯2,. . . , x¯k pa aritmetične sredine na posameznih skupinah: 
xi1 + xi2 + · · · + xini 
x¯i = , ni 
Tedaj je x¯tehtana sredina aritmetičnih sredin µi: 
n1 n2 nk 
x¯= x¯1 + x¯2 + · · · + x¯k . 
nn n 
Skupna varianca: 
2 (x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · · + (xn − x¯)2 
s = 
n 
spet razpade na nepojasnjeno in pojasnjeno varianco: 
22 2 
s = sW + sB , 
kjer je nepojasnjena varianca ali varianca znotraj skupin tehtana sredina posameznih varianc v skupinah: 
2 (xi1 − x¯i)2 + (xi2 − x¯i)2 + · · · + (xini − x¯i)2 
si = , ni n1 n2 nk
222 2 
sW = s1 + s2 + · · · + sk , 
nn n 
pojasnjena varianca ali varianca med skupinami pa je tehtana sredina kvadratov odklonov aritmetičnih sredin posameznih skupin od skupne aritmetične sredine: 
n1 n2 nk 
s 2 = (¯x1 − x¯)2 + (¯x2 − x¯)2 + · · · + (¯xk − x¯)2 .
B 
nn n 
Lahko jo izračunamo tudi po u-metodi: 
n1 n2 nk 
s 2 = (¯x1 − u)2 + (¯x2 − u)2 + · · · + (¯xk − u)2 − (¯x − u)2 .
B 
nn n 
Zgoraj definirane variance so posplošitve varianc, ki smo jih gledali pri povezanosti intervalske in dihotomne spremenljivke. Tako povezanost intervalske in imenske spremenljivke spet merimo z deležem pojasnjene variance oz. močjo učinka: 
2
s
η2 B 
= ,
2
s
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Delež pojasnjene variance kvalitativno opredeljujemo enako kot determinacijski koeficient: 
.
če je pojasnjenih 25% variance (η2 = 025), to pomeni zmerno povezanost. Opombe: 
• 	
Delež pojasnjene variance je enak nič natanko tedaj, ko so povprečja na vseh skupinah enaka (niso pa enake vse vrednosti spremenljivke). 

• 	
Delež pojasnjene variance je enak ena natanko tedaj, ko so na vsaki skupini vse vrednosti spremenljivke enake (med skupinami pa niso vse enake). 

• 	
Če je intervalska spremenljivka dihotomna, se delež pojasnjene variance ujema s kvadratom Cramérjevega koeficienta asociiranosti: η2 = V2 . Če sta torej obe spremenljivki dihotomni, velja η2 = φ2 . 


Primer: primerjava rezultatov kolokvijev v študijskem letu 2010/11 med študenti biopsihologije pri predmetu Statistika, univerzitetnimi študenti matematike pri predmetu Verjetnost in statistika in študenti praktične matematike pri predmetu Matematika 2. Šteti so le študenti, ki so pisali polno število zahtevanih kolokvijev. 
Biopsihologi (52): 
Univerzitetni matematiki (48): 

Praktični matematiki (22): 

Za delež pojasnjene variance poleg števila študentov v posamezni skupini potrebujemo še aritmetično sredino in standardni odklon. Za posamezne skupine je to enako: 
. .	. .
Biopsihologi: x¯1 = 64885 , s1 = 19603 . . .. .
Univerzitetni matematiki: x¯2 = 63056 , s2 = 14891 . . .. .
Praktični matematiki: x¯3 = 54318 , s3 = 11279 . 
Lotimo se računanja. Najprej seštejmo, koliko je skupaj študentov: 
n = 52 + 48 + 22 = 122 . 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Nato izračunamo skupno povprečje: . .... .
52 48 22 
x¯= · 64885 + · 63056 + · 54318 = 62260 . 
122 122 122 
Podobno dobimo varianco znotraj skupin: 
2 . 52 .48 .22 .. .
sW = · 196032 + · 148912 + · 112792 = 27399 . 
122 122 122 
Varianca med skupinami pa je enaka: . 52 ..48 ..22 ... .
s 2 = (64885 − 62260)2 + (63056 − 62260)2 + · (54318 − 62260)2 = 1456 .
B 
122122122 
Torej je skupna varianca enaka: . ... .
s 2 = 27399 + 1456 = 28855 , 
delež pojasnjene variance pa je: 
.
. 1456 . .
η2 
= .= 00505 . 
28855 
Z drugimi besedami, študijski program pojasni dobrih 5% variance, ostalih slabih 95% variance pa nastane zaradi drugih vplivov. Kvalitativno gre za rahlo povezanost. 
Primer: želimo izmeriti povezavo med pogostnostjo zahajanja v kino in najbolj priljubljeno zvrstjo filma. Za ta namen izvedemo anketo z dvema vprašanjema: 
1. 
Kolikokrat na mesec greš v kino? 

2. 
Katera zvrst filma ti je najbolj všeč? 


(a) 
Komedija. 

(b) 
Akcija. 

(c) 
Romantični film. 

(d) 
Drama. 

(e) 
Grozljivka. 


Pogostnost zahajanja v kino je intervalska, zvrst filma pa imenska spremenljivka. Rezultati ankete so naslednji: 
zvrst filma\št. obiskov kina  0  1  2  Skupaj  Povprečje  
komedija  4  2  2  8  0.75  
akcija  0  1  0  1  1  
romantični  0  3  1  4  1.25  
drama  4  1  2  7  0.7143  
grozljivka  0  0  0  0  –  
Skupaj  8  7  5  20  0.85  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Skupna varianca: 

.	..
2 8· (0 − 085)2 + 7 · (1 − 085)2 + 5 · (2 − 085)2 .
s 	= = 06275 . 
20 
Varianca med skupinami (pojasnjena varianca): 
..	.....

8· (075 − 085)2 + 1 · (1 − 085)2 + 4 · (125 − 085)2 + 7 · (07143 − 085)2 . 
s = 	= 
B 
20 
= . 0.0436 . Delež pojasnjene variance: .
. 00436 . .
η2 
= .= 0069 . 
06275 
.
Različnost najljubših zvrsti filma torej pojasni 69% variance števila obiskov kina. To pomeni rahlo povezanost. 
3.4.2 Testiranje povezanosti 
Recimo zdaj, da so naši podatki dobljeni vzorec iz določene populacije. Želeli bi testirati ničelno hipotezo, da med intervalsko in imensko spremenljivko (skupino) ni povezave, proti alternativni hipotezi, da povezava je. To izvedemo z F-testom na testni statistiki: 
2 η2
n − ksn − k
B
F 	= = 
k− 1 sW 2 k − 1 1− η2 
s (k− 1, n − k)prostostnimi stopnjami, in sicer uporabimo enostransko različico v desno. To pomeni, da ničelno hipotezo zavrnemo, če je F > F1−α(k − 1, n − k) kjer je Fp(r, s) kvantil Fisher5–Snedecorjeve6 <BR>porazdelitve z (r, s)prostostnimi stopnjami. Omenjeni test je eksakten pod naslednjimi predpostavkami: 
• 	
Na vsaki skupini, t. j. za vsako vrednost imenske spremenljivke, vzamemo enostavni slučajni vzorec predpisane velikosti – torej stratificiramo glede na imensko spremenljivko. 

• 	
Vzorci morajo biti med seboj neodvisni. 

• 	
Na vsaki skupini je spremenljivka porazdeljena normalno in vse variance po skupinah so enake (homoskedastičnost). 


Test v resnici testira enakost povprečij na vseh skupinah – to je prava ničelna hipoteza. Alternativna hipoteza trdi nasprotno – da sta vsa j dve povprečji med seboj različni. 
Podobno lahko test uporabimo tudi, če so opažene vrednosti dobljene iz izvedb več slučajnih poskusov, za katere privzamemo, da so vse med seboj neodvisne. Privzamemo, da je slučajna spremenljivka pri vsakem poskusu porazdeljena normalno in da je varianca za vse poskuse enaka. Števila izvedb posameznih poskusov so lahko različna, morata pa biti predpisana. Testira se ničelna hipoteza, da je pričakovana vrednost slučajne spremenljivke pri vseh poskusih enaka. 
5 Sir Ronald Aymler Fisher (1899–1962), angleški statistik in biolog 
6 George Waddel Snedecor (1882–1974), ameriški matematik in statistik 


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: primerjava rezultatov kolokvijev med prej omenjenimi tremi skupinami študentov: F = . 3.162 . .. .
Če testiramo pri stopnji značilnosti α = 005, to primerjamo z F0.95(2,119) = 3072 in dobimo, da je povezava med rezultatom in predmetom, ki ga je študent delal, statistično značilna. Pri tem se pretvarjamo, da gre za enostavni slučajni vzorec. 
3.5 	Povezanost dveh urejenostnih spremenljivk: Spearmanova koreliranost 
Povezanost dveh urejenostnih spremenljivk merimo s Spearmanovim7 <BR>, Kendallovim8 <BR>ali Goodman9–Kruskalovim10 <BR>korelacijskim koeficientom. Najenostavnejši za računanje je prvi, a druga dva imata lepše statistične lastnosti – sta zanesljivejša za statistično sklepanje. Goodman–Kruskalov koeficient je še posebej primeren za podatke iz kontingenčnih tabel, ko je veliko vezi. A zaradi enostavnosti se bomo tu posvetili le Spearmanovemu koeficientu. 
Statistična obravnava urejenostnih spremenljivk često poteka tako, da iz konstruiramo intervalske spremenljivke in nato na njih uporabimo znane metode. Načini so bolj ali manj uspešni in matematično upravičeni. Eden od načinov, ki je v veliko situacijah matematično dobro utemeljen, je, da je ustrezna intervalska spremenljivka kar rang. Tako dobimo tudi Spearmanov koeficient: to je Pearsonov koeficient, izračunan za vezane range. Če z 
(X) (X) (X) 	(Y) (Y) (Y)
R, R,. . . , Rn označimo vezane range spremenljivke X, z R, R,. . . , Rn pa 
12 	12 
vezane range spremenljivke Y po enotah, se kovarianca rangov izraža s formulo: 
=
KR(X),R(Y ) 
� �� � � �� � � �� �
(X) ¯(Y) ¯(X) ¯(Y) ¯(X) ¯(Y) ¯
R− R R− R + R− R R− R + · · · + Rn − R Rn − R
11 22 
= 	, 
n 
kjer je: 
n + 1 
R¯= 
2 
povprečni rang (ker je le-ta celo število ali pa celo število in pol, u-metoda tu ni toliko smiselna). Nato izračunamo še standardna odklona rangov: 
� �2 � �2 � �2
(X) ¯(X) ¯(X) ¯
R1 − R + R2 − R + · · · + Rn − R sR(X) = , 
n 
� �2 � �2 � �2
(Y) (Y) 	(Y)
R− R¯+ R− R¯+ · · · + R− R¯
1 2 	n 
sR(Y ) = 	, 
n 
7 Charles Edward Spearman (1863–1945), angleški psiholog 
8 Sir Maurice George Kendall (1907–1983), angleški statistik 
9 Leo A. Goodman (1928), ameriški statistik 10 William Henry Kruskal (1919–2005), ameriški matematik in statistik 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Če ni vezi, velja kar: 
n2 − 1 
sR(X) = sR(Y ) = ,
12 
sicer pa sta standardna odklona manjša. Spearmanov korelacijski koeficient definiramo po formuli: 
KR(X),R(Y ) 
ρ = ρX,Y := . sR(X) sR(Y ) 
Primer: želimo izmeriti povezavo med zadovoljstvom s telesno težo in subjektivnim vplivom medijev na samopodobo. Za ta namen izvedemo anketo z dvema vprašanjema, pri katerih imamo naslednje izbire: 
1. Ali ste zadovoljni s svojo težo? 
(a) 
Da. 

(b) 
Srednje. 

(c) 
Ne. 


2. V kolikšni meri mediji vplivajo na vašo samopodobo? 
(a) 
Sploh ne vplivajo. 

(b) 
Srednje vplivajo. 

(c) 
Močno vplivajo. 


Obe spremenljivki (zadovoljstvo s telesno težo in vpliv medijev) sta tako urejenostni. Dogovorimo se za naslednjo smer urejenosti: pri zadovoljstvu s telesno težo postavimo: 
da < srednje < ne , 
(torej v resnici gledamo nezadovoljstvo), vpliv medijev pa uredimo takole: 
nič < srednje < močno . 
Denimo, da povprašamo štiri študente in dobimo naslednje odgovore: .
zadovoljen/a s težo  srednje  srednje  ne  da  
mediji vplivajo  srednje  nič  močno  nič  

Pri zadovoljstvu s težo ima odgovor ‘da’ rang 1, odgovor ‘srednje’ rang 25, odgovor 
.
‘ne’ pa rang 4. Pri vplivu medijev pa ima odgovor ‘nič’ rang 15, odgovor ‘srednje’ rang 3, odgovor ‘močno’ pa rang 4. Torej bo: 
(X) .(X) .(X) (X)
R= 25, R= 25, R= 4, R= 1,
1 2 34 
(Y) (X) .(X) (X) .
R= 3, R= 15, R= 4, R= 15.
1 2 34 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
.
Povprečni rang je enak 4+1 = 25. Kovarianca rangov: 
2 
[
1 .......

KR(X),R(Y ) = (25− 25)(3 − 25) + (25− 25)(15− 25) + 
4
]
.....
+ (4 − 25)(4 − 25) + (1 − 25)(15− 25)= 
.
= 09375 . 
Standardna odklona rangov: 
......
(25− 25)2 + (25− 25)2 + (4 − 25)2 + (1 − 25)2 . .
sR(X) = 	= 10607 ,
4 
......
(3 − 25)2 + (15− 25)2 + (4 − 25)2 + (15− 25)2 . .. 
sR(Y ) = 	= 10607 
4 
J 
. .
sta le malo manjša od maksimalne vrednosti (42 − 1)/12 = 1118. Spearmanov korela
cijski koeficient pride: .
. 09375 . .
ρ = ..= 0833 . 
10607 · 10607 
in je pozitiven, kar pomeni, da ljudje, ki mislijo, da imajo mediji večji vpliv na njihovo samopodobo, nagibajo k večjemu nezadovoljstvu s telesno težo in obratno. To je tudi neposredno razvidno iz podatkov. 
Spearmanov korelacijski koeficient je primerljiv s Pearsonovim in ga tudi enako kvalitativno opredeljujemo. Pri primeru s štirimi študenti je bila torej povezanost visoka. 
Če sta obe spremenljivki dihotomni, se Spearmanov in Pearsonov koeficient ujemata. Nasploh ima Spearmanov korelacijski koeficient podobne lastnosti kot Pearsonov: 
• 	
Definiran je, če nobena od spremenljivk ni konstantna. 

• 	
Velja −1 ≤ ρ ≤ 1. 

• 	
Če sta X in Y neodvisni (na statistični množici, iz katere so podatki), je ρ = 0. Velja tudi, da, če podatki temeljijo na velikem enostavnem slučajnem vzorcu iz velike populacije, na kateri sta X in Y neodvisni, je ρ blizu 0 (malo kasneje pri testiranju se bomo naučili, kako postaviti mejo). 

• 	
Spearmanov korelacijski koeficient je maksimalen (enak 1), če je katera koli od spremenljivk strogo narašča joča (a ne nujno linearna) funkcija druge. 

• 	
Spearmanov korelacijski koeficient je minimalen (enak −1), če je katera koli od spremenljivk strogo padajoča (a ne nujno linearna) funkcija druge. 


Spearmanov korelacijski koeficient torej meri stopnjo monotone povezanosti. Podobne lastnosti ima tudi Kendallov korelacijski koeficient (τ). 
Primer: pri naslednjih podatkih: 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 



večja vrednost koordinate x pomeni tudi večjo vrednost koordinate y, zato je ρ = 1. 
. .
Povezava med x in y je deterministična, ni pa linearna, zato r = 1: pride r = 0792. Koreliranost po Pearsonu je torej zgolj visoka, niti ne zelo visoka. 
Spearmanov korelacijski koeficient je preprosto izračunati tudi za podatke iz kontingenčne tabele. Če z R(x)(a)označimo vezani rang vrednosti a glede na spremenljivko X, z R(y)(b)označimo vezani rang vrednosti b glede na spremenljivko Y, velja: 
¯¯
= 1 k l R(x)(ai)− R R(y)(bj)− R ,
KR(x),R(y) fij 
n 
i=1 j=1 
k
1 �� �2
¯
sR(x) = fi· R(x)(ai)− R , 
n 
i=1 
l
1 � �2
¯
sR(y) = f·j R(y)(bj)− R . 
n 
j=1 
Primer: vrnimo se k povezavi med zadovoljstvom s telesno težo in subjektivnim vplivom medijev na samopodobo. Zdaj povprašamo 20 študentov in rezultate zberemo v naslednji kontingenčni tabeli: 
Zad. s težo\Vpliv medijev  ga ni  srednji  močan  Skupaj  
da  8  1  0  9  
srednje  2  1  0  3  
ne  2  4  2  8  
Skupaj  12  6  2  20  


M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
.
¯
Povprečni rang: R = 105. Rangi posameznih odgovorov in njihovi odmiki od povprečnega: 

ai  R(x)(ai)  R(x)(ai)− ¯R  

da  5  −5.5  
srednje  11  0.5  
ne  16.5  6  



bj  R(y)(bj)  R(y)(bj)− ¯R  

ga ni  6.5  −4  
srednji  15.5  5  
močan  19.5  9  


Standardna odklona rangov: 
()
1 ...
sR(x) = 9· (−55)2 + 3 · 052 + 8 · 62= 5296 ,
20
()
1 .
sR(y) = 12 · (−4)2 + 6 · 52 + 2 · 92= 5020 . 
20
Kovarianca rangov: 
1 ...
KR(x),R(y) = 20 8· (−55) · (−4) + 1 · (−55) · 5 + 0 · (−55) · 9 + 
...
+ 2 · 05· (−4) + 1 · 05· 5 + 0 · 05· 9 + 
+ 2· 6· (−4) + 4 · 6· 5 + 2 · 6· 9 = 
.
= 1635 . 
Spearmanov korelacijski koeficient: .
. 1635 . .
ρ = ..= 0615 . 
5296 · 5020 
Tokrat torej dobimo zmerno povezanost, a v isto smer kot prej pri štirih študentih. 
Spearmanovo koreliranost testiramo tako kot Pearsonovo, s T-testom na temelju testne statistike: 
√
ρ 
T = J n − 2. 
1− ρ2 
Ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 
proti H1 ±, da sta X in Y korelirani, če je |T| > t1−α/2(n − 2); 

• 
proti H1 +, da sta X in Y pozitivno korelirani, če je T > t1−α(n − 2); 

• 
proti H1 −, da sta X in Y negativno korelirani, če je T < −t1−α(n − 2). 


Testiranje Spearmanove koreliranosti je dobra alternativa testiranju Pearsonove koreliranosti, če sumimo, da porazdelitev katere od spremenljivk ni normalna, sa j je test Pearsonove koreliranosti zasnovan na predpostavki normalnosti. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Kot zgled testirajmo pri primeru z 20 študenti hipotezo, da nezadovoljstvo s telesno težo in vpliv medijev na samopodobo nista povezana, proti alternativni hipotezi, da se ljudje, ki mislijo, da imajo mediji večji vpliv na njihovo samopodobo, nagibajo k večjemu 
.
nezadovoljstvu s telesno težo in obratno. Postavimo α = 001. Testna statistika pride 
. .	. .
T = 331, kar primerjamo s t0.99(18) = 255. Odstopanja so torej statistično zelo značilna. Z drugimi besedami, ljudje, ki mislijo, da imajo mediji večji vpliv na njihovo samopodobo, se statistično zelo značilno nagibajo k večjemu nezadovoljstvu s telesno težo (in obratno). 
3.6 	Povezanost urejenostne in dihotomne spremenljivke 
Povezanost urejenostne in dihotomne spremenljivke bi se dalo meriti s Spearmanovim korelacijskim koeficientom (izbrani vrstni red vrednosti dihotomne spremenljivke vpliva le na predznak). Vendar pa se navadno uporablja rangovni biserialni koeficient – glej [18, 22]. 
Za izračun tega koeficienta potrebujemo ranžirno vrsto vseh vrednosti prve (urejenostne) spremenljivke. Označimo z R(a)vezani rang vrednosti a glede na to ranžirno vrsto. Nato podatke razdelimo glede na vrednosti druge (dihotomne spremenljivke), nastaneta dve skupini. Naj bodo: 
x1, x2,. . . , xm 
vrednosti prve spremenljivke v prvi skupini, 
y1, y2,. . . , yn 
pa vrednosti prve spremenljivke v drugi skupini. Tedaj lahko izračunamo povprečna ranga obeh skupin: 
R(x1) + R(x2) + · · · + R(xm) R(y1) + R(y2) + · · · + R(yn)
¯	¯
RX = 	, RY = . 
m 	n 
Rangovni biserialni koeficient je definiran kot: 
¯¯¯	¯
2( RX − RY ) 2RX − (m + n + 1) m + n + 1 − 2RY 
r rb == 	= . 
m + nn 	m 
To je modifikacija točkovnega biserialnega koeficienta, izračunanega na rangih. Lastnosti koeficienta: 
• 	
Definiran je vedno. 

• 	
Velja −1 ≤ r rb ≤ 1. 

• 	
Če sta vrednost urejenostne spremenljivke in skupina neodvisni (na statistični množici, iz katere so podatki), je r rb = 0. Velja tudi, da, če podatki temeljijo na velikem enostavnem slučajnem vzorcu iz velike populacije, na kateri sta X in Y neodvisni, je r rb blizu 0 (malo kasneje pri testiranju se bomo naučili, kako postaviti mejo). 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 

• 	
Koeficient r rb je minimalen (enak −1), če so vse vrednosti iz prve skupine 
(x1,. . . , xm)strogo manjše od vseh vrednosti iz druge skupine (y1,. . . , yn). 


• 	
Koeficient r rb je maksimalen (enak 1), če so vse vrednosti iz prve skupine 
(x1,. . . , xm)strogo večje od vseh vrednosti iz druge skupine (y1,. . . , yn). 



Rangovni biserialni koeficient kvalitativno opredeljujemo enako kot vse ostale podobne koeficiente (točkovni biserialni korelacijski, Pearsonov, Spearmanov). 
Primer: Med 17 študenti so izvedli anketo z naslednjima vprašanjema: 
1. 
Ocenite stopnjo stresa pri vas v zadnjih dveh tednih. 
(zelo majhna/majhna/srednja/velika/zelo velika) 


2. 
Ali ste se v zadnjih dveh tednih posvečali študiju bolj kot ponavadi? 
(da/ne) 



Rezultati ankete so naslednji: 
st. stresa\študij  da  ne  Skupaj  Kumulativno  Vezani rang  
zelo majhna  0  0  0  0  –  
majhna  2  5  7  7  4  
srednja  1  2  3  10  9  
velika  5  0  5  15  13  
zelo velika  2  0  2  17  16.5  
Skupaj  10  7  17  

Povprečna ranga sta enaka: 

.
2· 4 + 1 · 9 + 5 · 13 + 2 · 165 .5· 4 + 2 · 9 . .
¯	¯
Rda = 	= 115, Rne = = 5429 ,
10 	7 
rangovni biserialni koeficient pa je enak: 

...	.
. 2(115− 5429) 2· 115− 18 . 18 − 2· 5429 . .
= 	= = = 0714 .
rrb 
17 	7 10 
Povezanost je torej visoka. Z drugimi besedami, študenti, ki so se posvečali študiju, so bili torej precej bolj pod stresom od tistih, ki se študiju niso posvečali. 
Povezavo med skupino in vrednostjo spremenljivke testiramo z inverzijskim testom, ki mu pravimo tudi Wilcoxon11 <BR>–Mann12 <BR>–Whitneyjev13 <BR>test. Osnovni predpostavki testa sta: 
11 Frank Wilcoxon (1892–1965), ameriški kemik in statistik 
12 Henry Berthold Mann, rojen kot Heinrich Mann (1905–2000), avstrijski matematik judovskega rodu, deloval v ZDA 
13 Donald Ransom Whitney (1915–2007), ameriški statistik 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
• 	
Na vsaki skupini, t. j. za vsako vrednost dihotomne spremenljivke, vzamemo enostavni slučajni vzorec predpisane velikosti – torej stratificiramo glede na dihotomno spremenljivko. 

• 	
Vzorca sta med seboj neodvisna. 


Podobno lahko test uporabimo tudi, če so opažene vrednosti dobljene iz izvedb dveh slučajnih poskusov, za katere privzamemo, da so vse med seboj neodvisne. Števili izvedb posameznega poskusa sta lahko različni, morata pa biti predpisani. 
Testiramo ničelno hipotezo, da med skupino in spremenljivko ni povezave, ali natančneje, da je spremenljivka na obeh skupinah oz. pri obeh poskusih enako porazdeljena. 
Za formulacijo alternativne hipoteze pa moramo razumeti stohastično primerjavo porazdelitev. Podobno kot pri testu z znaki je ideja, da je X stohastično večja od Y, če vplivi, ki veča jo X na račun Y, prevladujejo nad vplivi, ki delujejo obratno. Podobno bi bila X stohastično manjša od Y, če vplivi, ki veča jo Y na račun X, prevladujejo nad vplivi, ki delujejo obratno. A to je treba zdaj formulirati za primer, ko sta spremenljivki X in Y definirani na različnih statističnih množicah. 
Precizna definicija je naslednja: X je stohastično večja od Y, če je za vsako fiksno vrednost u delež enot, za katere je X ≥ u, večji ali enak deležu enot, za katere je Y ≥ u. Delež vselej gledamo v okviru statistične množice, na kateri je definirana posamezna spremenljivka. Nadalje je X stohastično strogo večja od Y, če je stohastično večja in če obstaja tudi tak u, da je delež enot, za katere je X ≥ u, strogo večji od deleža enot, za katere je Y ≥ u. Slučajna spremenljivka X je stohastično (strogo) manjša od Y, če je Y stohastično (strogo) manjša od X. 
Primer: če so vse vrednosti X strogo večje od vseh vrednosti Y, je X stohastično strogo večja od Y: 
X 
Y 
Primer: tudi pri teh podatkih je X stohastično strogo večja od Y. 
X 
Y 
Primer: podatki, kjer niti X ni niti stohastično večja niti stohastično manjša od Y. 

a b 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
.	.
Delež enot, kjer je X ≥ a, 06, je strogo manjši od deleža enot, kjer je Y ≥ a, 07. ..
Delež enot, kjer je X ≥ b, 02, je strogo večji od deleža enot, kjer je Y ≥ b, 01. 
Zdaj ko smo pojasnili stohastično primerjavo spremenljivk, lahko formuliramo alternativne hipoteze. Spet bomo gledali tri različice: 
• 	
Enostranska alternativna hipoteza H1 X v korist prve skupine trdi, da je porazdelitev na prvi skupini stohastično strogo večja od porazdelitve na drugi skupini. 

• 	
Enostranska alternativna hipoteza H1 Y v korist druge skupine trdi, da je porazdelitev na drugi skupini stohastično strogo večja od porazdelitve na prvi skupini. 

• 	
Dvostranska alternativna hipoteza H1 ± trdi, da velja ena izmed prej omenjenih enostranskih hipotez. 


Za dovolj velike vzorce je inverzijski test lahko kar Z-test na testni statistiki: 
3mn 
Z := 	,
rrb 
m + n + 1 
kar pomeni, da ničelno hipotezo zavrnemo: 
• 	
proti H1 ±, če je |Z| > z1−α/2; 

• 	
proti H1 X, če je Z > z1−α; 

• 	
proti H1 Y , če je Z < −z1−α. 


Ta test žal ni eksakten: minimalni pogoj za njegovo legitimnost, da je v vsaki skupini vsa j 5 enot, torej m, n ≥ 5. 
Inverzijski test je dobra alternativa T-testu, če sumimo, da porazdelitev katere od spremenljivk zelo odstopa od normalne, sa j je T-test zasnovan na predpostavki normalnosti (čeprav je do neke mere robusten). Predvsem se inverzijski test bolje obnese, če je veliko skrajnih vrednosti. 
Primer. Na podlagi ankete iz prejšnjega primera bi želeli testirati ničelno hipotezo, da posvečanje študiju ne vpliva na stopnjo stresa, proti alternativni hipotezi, da so študenti, ki se posveča jo študiju, bolj pod stresom od tistih, ki se ne. Dobimo: 
kar je večje od 233, torej ničelno hipotezo zavrnemo tudi pri α 001. Z drugimi 

Z = . 0.714  3· 70 . .18 = 244 ,  
.  . . 

z0.99 = 	= 
besedami, študenti, ki so se posvečali študiju, so bili statistično zelo značilno bolj pod stresom od tistih, ki se študiju niso posvečali. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
3.7 	Povezanost urejenostne in imenske spremenljivke: Kruskal–Wallisova analiza variance 
Povezanost urejenostne in imenske spremenljivke merimo s Kruskal14 <BR>–Wallisovim15 <BR>deležem pojasnjene variance. V skladu s splošno filozofijo obravnave urejenostnih spremenljivk je to delež pojasnjene variance za vezane range. Gre torej za vrsto analize variance. 
Če torej imenska spremenljivka G zavzame vrednosti g1, g2,. . . , gk, lahko range urejenostne spremenljivke indeksiramo takole: 
R11, R12,. . . , R1n1 : rangi na enotah, kjer je G = g1 
R21, R22,. . . , R2n2 : rangi na enotah, kjer je G = g2 . 
. 
. 
Rk1, Rk2,. . . , Rkn2 : rangi na enotah, kjer je G = gk 
Seveda velja n1 + n2 + · · · + nk = n. n + 1 
Spet je povprečni rang vedno enak R¯= , skupna varianca pa je enaka: 
2 
2 1 k ni R¯)2 
s = (Rij − 
n 
i=1 j=1 
n2 − 1 
¯¯¯
in če ni vezi, je s 2 = . Če zdaj z R1,R2,. . . , Rk označimo povprečne range na 
12 
posameznih skupinah: 
Ri1 + Ri2 + · · · + Rini
¯
Ri = , ni 
je pojasnjena varianca rangov enaka: 
n1 n2 	nk
¯	¯
s 2 = 	(R¯1 − R)2 + (R¯2 − R)2 + · · · + (R¯k − R¯)2 .
B 
nn 	n 
Kruskal–Wallisov delež pojasnjene variance (moč učinka) pa je enak: 
2
s
η2 B ,
KW = 2
s
Doseže lahko vrednosti od 0 do 1. Vrednost 0 je dosežena takrat, ko so povprečni rangi na vseh skupinah enaki, vrednost 1 pa je dosežena takrat, ko so vse vrednosti na posamezni skupini enake. Kvalitativno ga interpretiramo enako kot običajni delež pojasnjene variance. 
14 William Henry Kruskal (1919–2005), ameriški matematik in statistik 
15 Wilson Allen Wallis (1912–1998), ameriški ekonomist in statistik 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Primer: želimo izmeriti povezavo med počutjem in barvo zgornjega dela oblačila. Za ta namen vzamemo 20 anketirancev in: 
• 	
Jih povprašamo, kako se počutijo, pri čemer jim damo na voljo 5-stopenjsko lestvico. To je urejenostna spremenljivka. 

• 	
Si ogledamo barvo njihovega zgornjega oblačila. Barve razdelimo v štiri kategorije: temne (črna, rjava, siva, temno modra, vijoličasta), bela, svetle (rumena, rdeča, roza, oranžna, zelena, svetlo modra), pisane. To je imenska spremenljivka. 


Rezultati ankete: 
počutje\barva  temna  bela  svetla  pisana  Skupaj  Kum.  Rang  
zelo slabo  0  0  0  0  0  0  –  
slabo  2  0  1  0  3  3  2  
nevtralno  3  2  1  4  10  13  8.5  
kar dobro  4  1  0  1  6  19  16.5  
odlično  1  0  0  0  1  20  20  
Skupaj  10  3  2  5  20  
Povprečni rang  11.55  11.17  5.25  10.10  10.5  

20 + 1 .
Skupni povprečni rang: = 105. 
2 
Povprečni rangi po skupinah v zadnji vrstici tabele so dobljeni na naslednji način: 
[	]
1 
... .
¯
R1 = 2· 2 + 3 · 85 + 4 · 165 + 1 · 20= 1155 ,
10
[	]
1 ... .
¯
R2 = 2· 85 + 1 · 165= 1117 ,
3
[]
1 .. .
¯
R3 = 1· 2 + 1 · 85= 525 ,
2
[	]
1 ... .
¯
R4 = 4· 85 + 1 · 165= 101. 
5
Skupna varianca ranga: 
[	]
1 .....	..

s 2 = 3· (2 − 105)2 + 10 · (85− 105)2 + 6 · (165− 105)2 + 1 · (20 − 105)2= 2815 . 
20
Varianca ranga med skupinami (pojasnjena varianca): 
[	]
2 	. ......... .

sB = 1 10·(1155−105)2+3·(1117−105)2+2·(525−105)2+5·(1010−105)2= 3414 . 
20
Kruskal–Wallisov delež pojasnjene variance: .
. 3414 . .
η2 
= = 0121 .
KW .
2815 
Gre torej za rahlo povezanost. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Pojasnjeno varianco rangov približno testiramo s testom hi kvadrat na testni statistiki: 

12 
K = sB 2 , 
n + 1 
in sicer s k− 1 prostostnimi stopnjami: ničelno hipotezo zavrnemo, če je K > χ2 1−α(k−1). 
Če se opažene vrednosti nanašajo na vzorec iz določene populacije, sta osnovni predpostavki testa spet: 
• 	
Na vsaki skupini, t. j. za vsako vrednost imenske spremenljivke, vzamemo enostavni slučajni vzorec predpisane velikosti – torej stratificiramo glede na imensko spremenljivko. 

• 	
Vzorci sta med seboj neodvisna. 


Podobno lahko test uporabimo tudi, če so opažene vrednosti dobljene iz izvedb več slučajnih poskusov, za katere privzamemo, da so vse med seboj neodvisne. Števila izvedb posameznih poskusov so lahko različni, morajo pa biti predpisana. 
Žal pa test ni eksakten, niti če sta zgornji predpostavki izpolnjeni. Minimalni pogoj za njegovo legitimnost je, da je v vsaki skupini vsa j 5 enot. 
Pri prejšnjem primeru slednji pogoj ni izpolnjen, ni pa izpolnjen tudi pogoj o predpisanem številu enot v posamezni skupini oz. stratifikaciji. Če to odmislimo, si lahko pomagamo tako, da združimo bela in svetla oblačila. Dobimo: 
počutje\barva  temna  svetla  pisana  Skupaj  Kum.  Rang  
zelo slabo  0  0  0  0  0  –  
slabo  2  1  0  3  3  2  
nevtralno  3  3  4  10  13  8.5  
kar dobro  4  1  1  6  19  16.5  
odlično  1  0  0  1  20  20  
Skupaj  10  5  5  20  
Povprečni rang  11.55  8.80  10.10  10.5  

Skupna varianca ranga se ne spremeni, nova pojasnjena varianca pa je: 
[	]
. ....... .

s 2 = 1 10 · (1155 − 105)2 + 5 · (880 − 105)2 + 5 · (1010 − 105)2= 1314 .
B 
20
Testna statistika pride: . 12 .. .
K = · 1314 = 075 . 
21 
.	. .
Pri stopnji značilnosti α = 005 moramo to primerjati s χ2 0.95(3) = 781, torej povezava med počutjem in barvo zgornjega oblačila ni bila statistično značilna. 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 115 
3.8 Povzetek bivariatne analize 
dihotomna  imenska  urejenostna  intervalska  
dihotomna  Cramérjev V, test hi kvadrat  
 
imenska  Cramérjev V, test hi kvadrat  Cramérjev V, test hi kvadrat  
urejenostna  delež rel. ranga, inverzijski test  Kruskal–Wallis, test hi hvadrat  Spearmanov ρ, T-test  
 
intervalska  r pb, T-test  ANOVA, F-test  Spearmanov ρ, T-test  Pearsonov r, T-test  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Tabele 
V tem dodatku so prikazane tabele porazdelitev, ki jih najpogosteje srečamo v statistiki. Vse vrednosti so bile izračunane s programom R. 
117 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 1: 
GAUSSOV VERJETNOSTNI INTEGRAL 

� x
1 11
−t2/2 dt ; −x2/2
Φ(x)= √ e Φ(−x)= −Φ(x) ; x velik =⇒ − Φ(x)∼ √ e 
2π 0 2 x 2π 
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  
0.0  0.0000  0.0040  0.0080  0.0120  0.0160  0.0199  0.0239  0.0279  0.0319  0.0359  
0.1  0.0398  0.0438  0.0478  0.0517  0.0557  0.0596  0.0636  0.0675  0.0714  0.0753  
0.2  0.0793  0.0832  0.0871  0.0910  0.0948  0.0987  0.1026  0.1064  0.1103  0.1141  
0.3  0.1179  0.1217  0.1255  0.1293  0.1331  0.1368  0.1406  0.1443  0.1480  0.1517  
0.4  0.1554  0.1591  0.1628  0.1664  0.1700  0.1736  0.1772  0.1808  0.1844  0.1879  
0.5  0.1915  0.1950  0.1985  0.2019  0.2054  0.2088  0.2123  0.2157  0.2190  0.2224  
0.6  0.2257  0.2291  0.2324  0.2357  0.2389  0.2422  0.2454  0.2486  0.2517  0.2549  
0.7  0.2580  0.2611  0.2642  0.2673  0.2704  0.2734  0.2764  0.2794  0.2823  0.2852  
0.8  0.2881  0.2910  0.2939  0.2967  0.2995  0.3023  0.3051  0.3078  0.3106  0.3133  
0.9  0.3159  0.3186  0.3212  0.3238  0.3264  0.3289  0.3315  0.3340  0.3365  0.3389  
1.0  0.3413  0.3438  0.3461  0.3485  0.3508  0.3531  0.3554  0.3577  0.3599  0.3621  
1.1  0.3643  0.3665  0.3686  0.3708  0.3729  0.3749  0.3770  0.3790  0.3810  0.3830  
1.2  0.3849  0.3869  0.3888  0.3907  0.3925  0.3944  0.3962  0.3980  0.3997  0.4015  
1.3  0.4032  0.4049  0.4066  0.4082  0.4099  0.4115  0.4131  0.4147  0.4162  0.4177  
1.4  0.4192  0.4207  0.4222  0.4236  0.4251  0.4265  0.4279  0.4292  0.4306  0.4319  
1.5  0.4332  0.4345  0.4357  0.4370  0.4382  0.4394  0.4406  0.4418  0.4429  0.4441  
1.6  0.4452  0.4463  0.4474  0.4484  0.4495  0.4505  0.4515  0.4525  0.4535  0.4545  
1.7  0.4554  0.4564  0.4573  0.4582  0.4591  0.4599  0.4608  0.4616  0.4625  0.4633  
1.8  0.4641  0.4649  0.4656  0.4664  0.4671  0.4678  0.4686  0.4693  0.4699  0.4706  
1.9  0.4713  0.4719  0.4726  0.4732  0.4738  0.4744  0.4750  0.4756  0.4761  0.4767  
2.0  0.4772  0.4778  0.4783  0.4788  0.4793  0.4798  0.4803  0.4808  0.4812  0.4817  
2.1  0.4821  0.4826  0.4830  0.4834  0.4838  0.4842  0.4846  0.4850  0.4854  0.4857  
2.2  0.4861  0.4864  0.4868  0.4871  0.4875  0.4878  0.4881  0.4884  0.4887  0.4890  
2.3  0.4893  0.4896  0.4898  0.4901  0.4904  0.4906  0.4909  0.4911  0.4913  0.4916  
2.4  0.4918  0.4920  0.4922  0.4925  0.4927  0.4929  0.4931  0.4932  0.4934  0.4936  
2.5  0.4938  0.4940  0.4941  0.4943  0.4945  0.4946  0.4948  0.4949  0.4951  0.4952  
2.6  0.4953  0.4955  0.4956  0.4957  0.4959  0.4960  0.4961  0.4962  0.4963  0.4964  
2.7  0.4965  0.4966  0.4967  0.4968  0.4969  0.4970  0.4971  0.4972  0.4973  0.4974  
2.8  0.4974  0.4975  0.4976  0.4977  0.4977  0.4978  0.4979  0.4979  0.4980  0.4981  
2.9  0.4981  0.4982  0.4982  0.4983  0.4984  0.4984  0.4985  0.4985  0.4986  0.4986  
3.0  0.4987  0.4987  0.4987  0.4988  0.4988  0.4989  0.4989  0.4989  0.4990  0.4990  
3.1  0.4990  0.4991  0.4991  0.4991  0.4992  0.4992  0.4992  0.4992  0.4993  0.4993  
3.2  0.4993  0.4993  0.4994  0.4994  0.4994  0.4994  0.4994  0.4995  0.4995  0.4995  
3.3  0.4995  0.4995  0.4995  0.4996  0.4996  0.4996  0.4996  0.4996  0.4996  0.4997  
3.4  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4997  0.4998  
3.5  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  0.4998  
3.6  0.4998  0.4998  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  
3.7  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  
3.8  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  0.4999  
3.9  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  0.5000  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 121 
TABELA 2: 
KVANTILI STUDENTOVE PORAZDELITVE 

zp 3 + zp
T ∼ Student(df): P(T < tp(df)) = p; tp(∞)= zp ; df velik =⇒ tp(df)≈ zp + 
4df 
df \p  0.90  0.95  0.975  0.99  0.995  
1  3.08  6.31  12.71  31.82  63.66  
2  1.89  2.92  4.30  6.96  9.92  
3  1.64  2.35  3.18  4.54  5.84  
4  1.53  2.13  2.78  3.75  4.60  
5  1.48  2.02  2.57  3.36  4.03  
6  1.44  1.94  2.45  3.14  3.71  
7  1.42  1.90  2.36  3.00  3.50  
8  1.40  1.86  2.31  2.90  3.36  
9  1.38  1.83  2.26  2.82  3.25  
10  1.37  1.81  2.23  2.76  3.17  
11  1.36  1.80  2.20  2.72  3.11  
12  1.36  1.78  2.18  2.68  3.06  
13  1.35  1.77  2.16  2.65  3.01  
14  1.34  1.76  2.14  2.62  2.98  
15  1.34  1.75  2.13  2.60  2.95  
16  1.34  1.75  2.12  2.58  2.92  
17  1.33  1.74  2.11  2.57  2.90  
18  1.33  1.73  2.10  2.55  2.88  
19  1.33  1.73  2.09  2.54  2.86  
20  1.32  1.72  2.09  2.53  2.84  
21  1.32  1.72  2.08  2.52  2.83  
22  1.32  1.72  2.07  2.51  2.82  
23  1.32  1.71  2.07  2.50  2.81  
24  1.32  1.71  2.06  2.49  2.80  
25  1.32  1.71  2.06  2.48  2.79  
26  1.32  1.71  2.06  2.48  2.78  
27  1.31  1.70  2.05  2.47  2.77  
28  1.31  1.70  2.05  2.47  2.76  
29  1.31  1.70  2.04  2.46  2.76  
30  1.31  1.70  2.04  2.46  2.75  
40  1.30  1.68  2.02  2.42  2.70  
42  1.30  1.68  2.02  2.42  2.70  
44  1.30  1.68  2.02  2.41  2.69  
46  1.30  1.68  2.01  2.41  2.69  
48  1.30  1.68  2.01  2.41  2.68  
50  1.30  1.68  2.01  2.40  2.68  
55  1.30  1.67  2.00  2.40  2.67  
60  1.30  1.67  2.00  2.39  2.66  
120  1.29  1.66  1.98  2.36  2.62  
∞  1.282  1.645  1.960  2.326  2.576  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
123 
TABELA 3: 
KVANTILI PORAZDELITVE HI KVADRAT 

χ2 ∼ χ2(df): P(χ2 < χ2 p(df)) = p 
√ 3 √ 3 
22 22 
df velik =⇒ χ2 ≈ df 1− + √ = df 1− − √ 
p zp z1−p
9df 3 df 9df 3 df 
df \p  0.005  0.01  0.025  0.05  0.1  0.9  0.95  0.975  0.99  0.995  
1  0.00003927  0.0001571  0.0009821  0.003932  0.01579  2.706  3.841  5.024  6.635  7.879  
2  0.01003  0.02010  0.05064  0.1026  0.2107  4.605  5.991  7.378  9.210  10.60  
3  0.07172  0.1148  0.2158  0.3518  0.5844  6.251  7.815  9.348  11.34  12.84  
4  0.2070  0.2971  0.4844  0.7107  1.064  7.779  9.488  11.14  13.28  14.86  
5  0.4117  0.5543  0.8312  1.145  1.610  9.236  11.07  12.83  15.09  16.75  
6  0.6757  0.8721  1.237  1.635  2.204  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  
7  0.9893  1.239  1.690  2.167  2.833  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  
8  1.344  1.646  2.180  2.733  3.490  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  
9  1.735  2.088  2.700  3.325  4.168  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  
10  2.156  2.558  3.247  3.940  4.865  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  
11  2.603  3.053  3.816  4.575  5.578  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  
12  3.074  3.571  4.404  5.226  6.304  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  
13  3.565  4.107  5.009  5.892  7.042  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  
14  4.075  4.660  5.629  6.571  7.790  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  
15  4.601  5.229  6.262  7.261  8.547  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  
16  5.142  5.812  6.908  7.962  9.312  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  
17  5.697  6.408  7.564  8.672  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  
18  6.265  7.015  8.231  9.390  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  
19  6.844  7.633  8.907  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  
20  7.434  8.260  9.591  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  
21  8.034  8.897  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  
22  8.643  9.542  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  
23  9.260  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  
24  9.886  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  
25  10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  
26  11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  
27  11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  
28  12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  
29  13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  
30  13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  
40  20.71  22.16  24.43  26.51  29.05  51.81  55.76  59.34  63.69  66.77  
50  27.99  29.71  32.36  34.76  37.69  63.17  67.50  71.42  76.15  79.49  
60  35.53  37.48  40.48  43.19  46.46  74.40  79.08  83.30  88.38  91.95  
70  43.28  45.44  48.76  51.74  55.33  85.53  90.53  95.02  100.4  104.2  
80  51.17  53.54  57.15  60.39  64.28  96.58  101.9  106.6  112.3  116.3  
90  59.20  61.75  65.65  69.13  73.29  107.6  113.1  118.1  124.1  128.3  
100  67.33  70.06  74.22  77.93  82.36  118.5  124.3  129.6  135.8  140.2  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
125 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.9 
m\n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  
1  39.86  8.526  5.538  4.545  4.06  3.776  3.589  3.458  3.36  3.285  3.225  3.177  
2  49.5  9  5.462  4.325  3.78  3.463  3.257  3.113  3.006  2.924  2.86  2.807  
3  53.59  9.162  5.391  4.191  3.619  3.289  3.074  2.924  2.813  2.728  2.66  2.606  
4  55.83  9.243  5.343  4.107  3.52  3.181  2.961  2.806  2.693  2.605  2.536  2.48  
5  57.24  9.293  5.309  4.051  3.453  3.108  2.883  2.726  2.611  2.522  2.451  2.394  
6  58.2  9.326  5.285  4.01  3.405  3.055  2.827  2.668  2.551  2.461  2.389  2.331  
7  58.91  9.349  5.266  3.979  3.368  3.014  2.785  2.624  2.505  2.414  2.342  2.283  
8  59.44  9.367  5.252  3.955  3.339  2.983  2.752  2.589  2.469  2.377  2.304  2.245  
9  59.86  9.381  5.24  3.936  3.316  2.958  2.725  2.561  2.44  2.347  2.274  2.214  
10  60.19  9.392  5.23  3.92  3.297  2.937  2.703  2.538  2.416  2.323  2.248  2.188  
11  60.47  9.401  5.222  3.907  3.282  2.92  2.684  2.519  2.396  2.302  2.227  2.166  
12  60.71  9.408  5.216  3.896  3.268  2.905  2.668  2.502  2.379  2.284  2.209  2.147  
14  61.07  9.42  5.205  3.878  3.247  2.881  2.643  2.475  2.351  2.255  2.179  2.117  
16  61.35  9.429  5.196  3.864  3.23  2.863  2.623  2.455  2.329  2.233  2.156  2.094  
20  61.74  9.441  5.184  3.844  3.207  2.836  2.595  2.425  2.298  2.201  2.123  2.06  
24  62  9.45  5.176  3.831  3.191  2.818  2.575  2.404  2.277  2.178  2.1  2.036  
30  62.26  9.458  5.168  3.817  3.174  2.8  2.555  2.383  2.255  2.155  2.076  2.011  
40  62.53  9.466  5.16  3.804  3.157  2.781  2.535  2.361  2.232  2.132  2.052  1.986  
50  62.69  9.471  5.155  3.795  3.147  2.77  2.523  2.348  2.218  2.117  2.036  1.97  
75  62.9  9.478  5.148  3.784  3.133  2.754  2.506  2.33  2.199  2.097  2.016  1.949  
100  63.01  9.481  5.144  3.778  3.126  2.746  2.497  2.321  2.189  2.087  2.005  1.938  
200  63.17  9.486  5.139  3.769  3.116  2.734  2.484  2.307  2.174  2.071  1.989  1.921  
500  63.26  9.489  5.136  3.764  3.109  2.727  2.476  2.298  2.165  2.062  1.979  1.911  
∞  63.33  9.491  5.134  3.761  3.105  2.722  2.471  2.293  2.159  2.055  1.972  1.904  

126 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.9 
m\n  14  16  20  24  30  40  50  75  100  200  500  ∞  
1  3.102  3.048  2.975  2.927  2.881  2.835  2.809  2.774  2.756  2.731  2.716  2.706  
2  2.726  2.668  2.589  2.538  2.489  2.44  2.412  2.375  2.356  2.329  2.313  2.303  
3  2.522  2.462  2.38  2.327  2.276  2.226  2.197  2.158  2.139  2.111  2.095  2.084  
4  2.395  2.333  2.249  2.195  2.142  2.091  2.061  2.021  2.002  1.973  1.956  1.945  
5  2.307  2.244  2.158  2.103  2.049  1.997  1.966  1.926  1.906  1.876  1.859  1.847  
6  2.243  2.178  2.091  2.035  1.98  1.927  1.895  1.854  1.834  1.804  1.786  1.774  
7  2.193  2.128  2.04  1.983  1.927  1.873  1.84  1.798  1.778  1.747  1.729  1.717  
8  2.154  2.088  1.999  1.941  1.884  1.829  1.796  1.754  1.732  1.701  1.683  1.67  
9  2.122  2.055  1.965  1.906  1.849  1.793  1.76  1.716  1.695  1.663  1.644  1.632  
10  2.095  2.028  1.937  1.877  1.819  1.763  1.729  1.685  1.663  1.631  1.612  1.599  
11  2.073  2.005  1.913  1.853  1.794  1.737  1.703  1.658  1.636  1.603  1.583  1.57  
12  2.054  1.985  1.892  1.832  1.773  1.715  1.68  1.635  1.612  1.579  1.559  1.546  
14  2.022  1.953  1.859  1.797  1.737  1.678  1.643  1.596  1.573  1.539  1.518  1.505  
16  1.998  1.928  1.833  1.77  1.709  1.649  1.613  1.565  1.542  1.507  1.485  1.471  
20  1.962  1.891  1.794  1.73  1.667  1.605  1.568  1.519  1.494  1.458  1.435  1.421  
24  1.938  1.866  1.767  1.702  1.638  1.574  1.536  1.485  1.46  1.422  1.399  1.383  
30  1.912  1.839  1.738  1.672  1.606  1.541  1.502  1.449  1.423  1.383  1.358  1.342  
40  1.885  1.811  1.708  1.641  1.573  1.506  1.465  1.41  1.382  1.339  1.313  1.295  
50  1.869  1.793  1.69  1.621  1.552  1.483  1.441  1.384  1.355  1.31  1.282  1.263  
75  1.846  1.769  1.664  1.593  1.523  1.451  1.407  1.346  1.315  1.266  1.236  1.214  
100  1.834  1.757  1.65  1.579  1.507  1.434  1.388  1.326  1.293  1.242  1.209  1.185  
200  1.816  1.738  1.629  1.556  1.482  1.406  1.359  1.293  1.257  1.199  1.16  1.13  
500  1.805  1.726  1.616  1.542  1.467  1.389  1.34  1.27  1.232  1.168  1.122  1.082  
∞  1.797  1.718  1.607  1.533  1.456  1.377  1.327  1.254  1.214  1.144  1.087  1  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
127 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.95 
m\n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  
1  161.4  18.51  10.13  7.709  6.608  5.987  5.591  5.318  5.117  4.965  4.844  4.747  
2  199.5  19  9.552  6.944  5.786  5.143  4.737  4.459  4.256  4.103  3.982  3.885  
3  215.7  19.16  9.277  6.591  5.409  4.757  4.347  4.066  3.863  3.708  3.587  3.49  
4  224.6  19.25  9.117  6.388  5.192  4.534  4.12  3.838  3.633  3.478  3.357  3.259  
5  230.2  19.3  9.013  6.256  5.05  4.387  3.972  3.687  3.482  3.326  3.204  3.106  
6  234  19.33  8.941  6.163  4.95  4.284  3.866  3.581  3.374  3.217  3.095  2.996  
7  236.8  19.35  8.887  6.094  4.876  4.207  3.787  3.5  3.293  3.135  3.012  2.913  
8  238.9  19.37  8.845  6.041  4.818  4.147  3.726  3.438  3.23  3.072  2.948  2.849  
9  240.5  19.38  8.812  5.999  4.772  4.099  3.677  3.388  3.179  3.02  2.896  2.796  
10  241.9  19.4  8.786  5.964  4.735  4.06  3.637  3.347  3.137  2.978  2.854  2.753  
11  243  19.4  8.763  5.936  4.704  4.027  3.603  3.313  3.102  2.943  2.818  2.717  
12  243.9  19.41  8.745  5.912  4.678  4  3.575  3.284  3.073  2.913  2.788  2.687  
14  245.4  19.42  8.715  5.873  4.636  3.956  3.529  3.237  3.025  2.865  2.739  2.637  
16  246.5  19.43  8.692  5.844  4.604  3.922  3.494  3.202  2.989  2.828  2.701  2.599  
20  248  19.45  8.66  5.803  4.558  3.874  3.445  3.15  2.936  2.774  2.646  2.544  
24  249.1  19.45  8.639  5.774  4.527  3.841  3.41  3.115  2.9  2.737  2.609  2.505  
30  250.1  19.46  8.617  5.746  4.496  3.808  3.376  3.079  2.864  2.7  2.57  2.466  
40  251.1  19.47  8.594  5.717  4.464  3.774  3.34  3.043  2.826  2.661  2.531  2.426  
50  251.8  19.48  8.581  5.699  4.444  3.754  3.319  3.02  2.803  2.637  2.507  2.401  
75  252.6  19.48  8.563  5.676  4.418  3.726  3.29  2.99  2.771  2.605  2.473  2.367  
100  253  19.49  8.554  5.664  4.405  3.712  3.275  2.975  2.756  2.588  2.457  2.35  
200  253.7  19.49  8.54  5.646  4.385  3.69  3.252  2.951  2.731  2.563  2.431  2.323  
500  254.1  19.49  8.532  5.635  4.373  3.678  3.239  2.937  2.717  2.548  2.415  2.307  
∞  254.3  19.5  8.526  5.628  4.365  3.669  3.23  2.928  2.707  2.538  2.404  2.296  

128 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.95 
m\n  14  16  20  24  30  40  50  75  100  200  500  ∞  
1  4.6  4.494  4.351  4.26  4.171  4.085  4.034  3.968  3.936  3.888  3.86  3.841  
2  3.739  3.634  3.493  3.403  3.316  3.232  3.183  3.119  3.087  3.041  3.014  2.996  
3  3.344  3.239  3.098  3.009  2.922  2.839  2.79  2.727  2.696  2.65  2.623  2.605  
4  3.112  3.007  2.866  2.776  2.69  2.606  2.557  2.494  2.463  2.417  2.39  2.372  
5  2.958  2.852  2.711  2.621  2.534  2.449  2.4  2.337  2.305  2.259  2.232  2.214  
6  2.848  2.741  2.599  2.508  2.421  2.336  2.286  2.222  2.191  2.144  2.117  2.099  
7  2.764  2.657  2.514  2.423  2.334  2.249  2.199  2.134  2.103  2.056  2.028  2.01  
8  2.699  2.591  2.447  2.355  2.266  2.18  2.13  2.064  2.032  1.985  1.957  1.938  
9  2.646  2.538  2.393  2.3  2.211  2.124  2.073  2.007  1.975  1.927  1.899  1.88  
10  2.602  2.494  2.348  2.255  2.165  2.077  2.026  1.959  1.927  1.878  1.85  1.831  
11  2.565  2.456  2.31  2.216  2.126  2.038  1.986  1.919  1.886  1.837  1.808  1.789  
12  2.534  2.425  2.278  2.183  2.092  2.003  1.952  1.884  1.85  1.801  1.772  1.752  
14  2.484  2.373  2.225  2.13  2.037  1.948  1.895  1.826  1.792  1.742  1.712  1.692  
16  2.445  2.333  2.184  2.088  1.995  1.904  1.85  1.78  1.746  1.694  1.664  1.644  
20  2.388  2.276  2.124  2.027  1.932  1.839  1.784  1.712  1.676  1.623  1.592  1.571  
24  2.349  2.235  2.082  1.984  1.887  1.793  1.737  1.663  1.627  1.572  1.539  1.517  
30  2.308  2.194  2.039  1.939  1.841  1.744  1.687  1.611  1.573  1.516  1.482  1.459  
40  2.266  2.151  1.994  1.892  1.792  1.693  1.634  1.555  1.515  1.455  1.419  1.394  
50  2.241  2.124  1.966  1.863  1.761  1.66  1.599  1.518  1.477  1.415  1.376  1.35  
75  2.205  2.087  1.927  1.822  1.718  1.614  1.551  1.466  1.422  1.354  1.312  1.283  
100  2.187  2.068  1.907  1.8  1.695  1.589  1.525  1.437  1.392  1.321  1.275  1.243  
200  2.159  2.039  1.875  1.768  1.66  1.551  1.484  1.391  1.342  1.263  1.21  1.17  
500  2.142  2.022  1.856  1.747  1.637  1.526  1.457  1.36  1.308  1.221  1.159  1.106  
∞  2.131  2.01  1.843  1.733  1.622  1.509  1.438  1.338  1.283  1.189  1.113  1  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
129 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.975 
m\n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  
1  647.8  38.51  17.44  12.22  10.01  8.813  8.073  7.571  7.209  6.937  6.724  6.554  
2  799.5  39  16.04  10.65  8.434  7.26  6.542  6.059  5.715  5.456  5.256  5.096  
3  864.2  39.17  15.44  9.979  7.764  6.599  5.89  5.416  5.078  4.826  4.63  4.474  
4  899.6  39.25  15.1  9.605  7.388  6.227  5.523  5.053  4.718  4.468  4.275  4.121  
5  921.8  39.3  14.88  9.364  7.146  5.988  5.285  4.817  4.484  4.236  4.044  3.891  
6  937.1  39.33  14.73  9.197  6.978  5.82  5.119  4.652  4.32  4.072  3.881  3.728  
7  948.2  39.36  14.62  9.074  6.853  5.695  4.995  4.529  4.197  3.95  3.759  3.607  
8  956.7  39.37  14.54  8.98  6.757  5.6  4.899  4.433  4.102  3.855  3.664  3.512  
9  963.3  39.39  14.47  8.905  6.681  5.523  4.823  4.357  4.026  3.779  3.588  3.436  
10  968.6  39.4  14.42  8.844  6.619  5.461  4.761  4.295  3.964  3.717  3.526  3.374  
11  973  39.41  14.37  8.794  6.568  5.41  4.709  4.243  3.912  3.665  3.474  3.321  
12  976.7  39.41  14.34  8.751  6.525  5.366  4.666  4.2  3.868  3.621  3.43  3.277  
14  982.5  39.43  14.28  8.684  6.456  5.297  4.596  4.13  3.798  3.55  3.359  3.206  
16  986.9  39.44  14.23  8.633  6.403  5.244  4.543  4.076  3.744  3.496  3.304  3.152  
20  993.1  39.45  14.17  8.56  6.329  5.168  4.467  3.999  3.667  3.419  3.226  3.073  
24  997.2  39.46  14.12  8.511  6.278  5.117  4.415  3.947  3.614  3.365  3.173  3.019  
30  1001  39.46  14.08  8.461  6.227  5.065  4.362  3.894  3.56  3.311  3.118  2.963  
40  1006  39.47  14.04  8.411  6.175  5.012  4.309  3.84  3.505  3.255  3.061  2.906  
50  1008  39.48  14.01  8.381  6.144  4.98  4.276  3.807  3.472  3.221  3.027  2.871  
75  1011  39.48  13.97  8.34  6.101  4.937  4.232  3.762  3.426  3.175  2.98  2.824  
100  1013  39.49  13.96  8.319  6.08  4.915  4.21  3.739  3.403  3.152  2.956  2.8  
200  1016  39.49  13.93  8.289  6.048  4.882  4.176  3.705  3.368  3.116  2.92  2.763  
500  1017  39.5  13.91  8.27  6.028  4.862  4.156  3.684  3.347  3.094  2.898  2.74  
∞  1018  39.5  13.9  8.257  6.015  4.849  4.142  3.67  3.333  3.08  2.883  2.725  

130 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.975 
m\n  14  16  20  24  30  40  50  75  100  200  500  ∞  
1  6.298  6.115  5.871  5.717  5.568  5.424  5.34  5.232  5.179  5.1  5.054  5.024  
2  4.857  4.687  4.461  4.319  4.182  4.051  3.975  3.876  3.828  3.758  3.716  3.689  
3  4.242  4.077  3.859  3.721  3.589  3.463  3.39  3.296  3.25  3.182  3.142  3.116  
4  3.892  3.729  3.515  3.379  3.25  3.126  3.054  2.962  2.917  2.85  2.811  2.786  
5  3.663  3.502  3.289  3.155  3.026  2.904  2.833  2.741  2.696  2.63  2.592  2.567  
6  3.501  3.341  3.128  2.995  2.867  2.744  2.674  2.582  2.537  2.472  2.434  2.408  
7  3.38  3.219  3.007  2.874  2.746  2.624  2.553  2.461  2.417  2.351  2.313  2.288  
8  3.285  3.125  2.913  2.779  2.651  2.529  2.458  2.366  2.321  2.256  2.217  2.192  
9  3.209  3.049  2.837  2.703  2.575  2.452  2.381  2.289  2.244  2.178  2.139  2.114  
10  3.147  2.986  2.774  2.64  2.511  2.388  2.317  2.224  2.179  2.113  2.074  2.048  
11  3.095  2.934  2.721  2.586  2.458  2.334  2.263  2.17  2.124  2.058  2.019  1.993  
12  3.05  2.889  2.676  2.541  2.412  2.288  2.216  2.123  2.077  2.01  1.971  1.945  
14  2.979  2.817  2.603  2.468  2.338  2.213  2.14  2.046  2  1.932  1.892  1.866  
16  2.923  2.761  2.547  2.411  2.28  2.154  2.081  1.986  1.939  1.87  1.83  1.803  
20  2.844  2.681  2.464  2.327  2.195  2.068  1.993  1.896  1.849  1.778  1.736  1.708  
24  2.789  2.625  2.408  2.269  2.136  2.007  1.931  1.833  1.784  1.712  1.669  1.64  
30  2.732  2.568  2.349  2.209  2.074  1.943  1.866  1.765  1.715  1.64  1.596  1.566  
40  2.674  2.509  2.287  2.146  2.009  1.875  1.796  1.692  1.64  1.562  1.515  1.484  
50  2.638  2.472  2.249  2.107  1.968  1.832  1.752  1.645  1.592  1.511  1.462  1.428  
75  2.59  2.422  2.197  2.052  1.911  1.772  1.689  1.578  1.522  1.435  1.381  1.345  
100  2.565  2.396  2.17  2.024  1.882  1.741  1.656  1.542  1.483  1.393  1.336  1.296  
200  2.526  2.357  2.128  1.981  1.835  1.691  1.603  1.483  1.42  1.32  1.254  1.205  
500  2.503  2.333  2.103  1.954  1.806  1.659  1.569  1.444  1.378  1.269  1.192  1.128  
∞  2.487  2.316  2.085  1.935  1.787  1.637  1.545  1.417  1.347  1.229  1.137  1  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.99 
m\n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  
1  4052  98.5  34.12  21.2  16.26  13.75  12.25  11.26  10.56  10.04  9.646  9.33  
2  4999  99  30.82  18  13.27  10.92  9.547  8.649  8.022  7.559  7.206  6.927  
3  5403  99.17  29.46  16.69  12.06  9.78  8.451  7.591  6.992  6.552  6.217  5.953  
4  5625  99.25  28.71  15.98  11.39  9.148  7.847  7.006  6.422  5.994  5.668  5.412  
5  5764  99.3  28.24  15.52  10.97  8.746  7.46  6.632  6.057  5.636  5.316  5.064  
6  5859  99.33  27.91  15.21  10.67  8.466  7.191  6.371  5.802  5.386  5.069  4.821  
7  5928  99.36  27.67  14.98  10.46  8.26  6.993  6.178  5.613  5.2  4.886  4.64  
8  5981  99.37  27.49  14.8  10.29  8.102  6.84  6.029  5.467  5.057  4.744  4.499  
9  6022  99.39  27.35  14.66  10.16  7.976  6.719  5.911  5.351  4.942  4.632  4.388  
10  6056  99.4  27.23  14.55  10.05  7.874  6.62  5.814  5.257  4.849  4.539  4.296  
11  6083  99.41  27.13  14.45  9.963  7.79  6.538  5.734  5.178  4.772  4.462  4.22  
12  6106  99.42  27.05  14.37  9.888  7.718  6.469  5.667  5.111  4.706  4.397  4.155  
14  6143  99.43  26.92  14.25  9.77  7.605  6.359  5.559  5.005  4.601  4.293  4.052  
16  6170  99.44  26.83  14.15  9.68  7.519  6.275  5.477  4.924  4.52  4.213  3.972  
20  6209  99.45  26.69  14.02  9.553  7.396  6.155  5.359  4.808  4.405  4.099  3.858  
24  6235  99.46  26.6  13.93  9.466  7.313  6.074  5.279  4.729  4.327  4.021  3.78  
30  6261  99.47  26.5  13.84  9.379  7.229  5.992  5.198  4.649  4.247  3.941  3.701  
40  6287  99.47  26.41  13.75  9.291  7.143  5.908  5.116  4.567  4.165  3.86  3.619  
50  6303  99.48  26.35  13.69  9.238  7.091  5.858  5.065  4.517  4.115  3.81  3.569  
75  6324  99.49  26.28  13.61  9.166  7.022  5.789  4.998  4.449  4.048  3.742  3.501  
100  6334  99.49  26.24  13.58  9.13  6.987  5.755  4.963  4.415  4.014  3.708  3.467  
200  6350  99.49  26.18  13.52  9.075  6.934  5.702  4.911  4.363  3.962  3.656  3.414  
500  6360  99.5  26.15  13.49  9.042  6.902  5.671  4.88  4.332  3.93  3.624  3.382  
∞  6366  99.5  26.13  13.46  9.02  6.88  5.65  4.859  4.311  3.909  3.602  3.361  

132 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.99 
m\n  14  16  20  24  30  40  50  75  100  200  500  ∞  
1  8.862  8.531  8.096  7.823  7.562  7.314  7.171  6.985  6.895  6.763  6.686  6.635  
2  6.515  6.226  5.849  5.614  5.39  5.179  5.057  4.9  4.824  4.713  4.648  4.605  
3  5.564  5.292  4.938  4.718  4.51  4.313  4.199  4.054  3.984  3.881  3.821  3.782  
4  5.035  4.773  4.431  4.218  4.018  3.828  3.72  3.58  3.513  3.414  3.357  3.319  
5  4.695  4.437  4.103  3.895  3.699  3.514  3.408  3.272  3.206  3.11  3.054  3.017  
6  4.456  4.202  3.871  3.667  3.473  3.291  3.186  3.052  2.988  2.893  2.838  2.802  
7  4.278  4.026  3.699  3.496  3.304  3.124  3.02  2.887  2.823  2.73  2.675  2.639  
8  4.14  3.89  3.564  3.363  3.173  2.993  2.89  2.758  2.694  2.601  2.547  2.511  
9  4.03  3.78  3.457  3.256  3.067  2.888  2.785  2.653  2.59  2.497  2.443  2.407  
10  3.939  3.691  3.368  3.168  2.979  2.801  2.698  2.567  2.503  2.411  2.356  2.321  
11  3.864  3.616  3.294  3.094  2.906  2.727  2.625  2.494  2.43  2.338  2.283  2.248  
12  3.8  3.553  3.231  3.032  2.843  2.665  2.562  2.431  2.368  2.275  2.22  2.185  
14  3.698  3.451  3.13  2.93  2.742  2.563  2.461  2.329  2.265  2.172  2.117  2.082  
16  3.619  3.372  3.051  2.852  2.663  2.484  2.382  2.249  2.185  2.091  2.036  2  
20  3.505  3.259  2.938  2.738  2.549  2.369  2.265  2.132  2.067  1.971  1.915  1.878  
24  3.427  3.181  2.859  2.659  2.469  2.288  2.183  2.048  1.983  1.886  1.829  1.791  
30  3.348  3.101  2.778  2.577  2.386  2.203  2.098  1.96  1.893  1.794  1.735  1.696  
40  3.266  3.018  2.695  2.492  2.299  2.114  2.007  1.866  1.797  1.694  1.633  1.592  
50  3.215  2.967  2.643  2.44  2.245  2.058  1.949  1.806  1.735  1.629  1.566  1.523  
75  3.147  2.898  2.572  2.367  2.17  1.98  1.868  1.72  1.646  1.534  1.465  1.419  
100  3.112  2.863  2.535  2.329  2.131  1.938  1.825  1.674  1.598  1.481  1.408  1.358  
200  3.059  2.808  2.479  2.271  2.07  1.874  1.757  1.599  1.518  1.391  1.308  1.247  
500  3.026  2.775  2.445  2.235  2.032  1.833  1.713  1.551  1.466  1.328  1.232  1.153  
∞  3.004  2.753  2.421  2.211  2.006  1.805  1.683  1.516  1.427  1.279  1.164  1  

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
133 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.995 
m\n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  
1  16211  198.5  55.55  31.33  22.78  18.63  16.24  14.69  13.61  12.83  12.23  11.75  
2  19999  199  49.8  26.28  18.31  14.54  12.4  11.04  10.11  9.427  8.912  8.51  
3  21615  199.2  47.47  24.26  16.53  12.92  10.88  9.596  8.717  8.081  7.6  7.226  
4  22500  199.2  46.19  23.15  15.56  12.03  10.05  8.805  7.956  7.343  6.881  6.521  
5  23056  199.3  45.39  22.46  14.94  11.46  9.522  8.302  7.471  6.872  6.422  6.071  
6  23437  199.3  44.84  21.97  14.51  11.07  9.155  7.952  7.134  6.545  6.102  5.757  
7  23715  199.4  44.43  21.62  14.2  10.79  8.885  7.694  6.885  6.302  5.865  5.525  
8  23925  199.4  44.13  21.35  13.96  10.57  8.678  7.496  6.693  6.116  5.682  5.345  
9  24091  199.4  43.88  21.14  13.77  10.39  8.514  7.339  6.541  5.968  5.537  5.202  
10  24224  199.4  43.69  20.97  13.62  10.25  8.38  7.211  6.417  5.847  5.418  5.085  
11  24334  199.4  43.52  20.82  13.49  10.13  8.27  7.104  6.314  5.746  5.32  4.988  
12  24426  199.4  43.39  20.7  13.38  10.03  8.176  7.015  6.227  5.661  5.236  4.906  
14  24572  199.4  43.17  20.51  13.21  9.877  8.028  6.872  6.089  5.526  5.103  4.775  
16  24681  199.4  43.01  20.37  13.09  9.758  7.915  6.763  5.983  5.422  5.001  4.674  
20  24836  199.4  42.78  20.17  12.9  9.589  7.754  6.608  5.832  5.274  4.855  4.53  
24  24940  199.5  42.62  20.03  12.78  9.474  7.645  6.503  5.729  5.173  4.756  4.431  
30  25044  199.5  42.47  19.89  12.66  9.358  7.534  6.396  5.625  5.071  4.654  4.331  
40  25148  199.5  42.31  19.75  12.53  9.241  7.422  6.288  5.519  4.966  4.551  4.228  
50  25211  199.5  42.21  19.67  12.45  9.17  7.354  6.222  5.454  4.902  4.488  4.165  
75  25295  199.5  42.09  19.55  12.35  9.074  7.263  6.133  5.367  4.816  4.402  4.08  
100  25337  199.5  42.02  19.5  12.3  9.026  7.217  6.088  5.322  4.772  4.359  4.037  
200  25401  199.5  41.93  19.41  12.22  8.953  7.147  6.019  5.255  4.706  4.293  3.971  
500  25439  199.5  41.87  19.36  12.17  8.909  7.104  5.978  5.215  4.666  4.252  3.931  
∞  25464  199.5  41.83  19.32  12.14  8.879  7.076  5.951  5.188  4.639  4.226  3.904  

134 
M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
TABELA 4: KVANTILI FISHER–SNEDECORJEVE PORAZDELITVE 
X ∼ F(m, n): P(X < Fp(m, n)) = p Fp(m, n)= 1/F1−p(n, m) p= 0.995 
m\n  14  16  20  24  30  40  50  75  100  200  500  ∞  
1  11.06  10.58  9.944  9.551  9.18  8.828  8.626  8.366  8.241  8.057  7.95  7.879  
2  7.922  7.514  6.986  6.661  6.355  6.066  5.902  5.691  5.589  5.441  5.355  5.298  
3  6.68  6.303  5.818  5.519  5.239  4.976  4.826  4.635  4.542  4.408  4.33  4.279  
4  5.998  5.638  5.174  4.89  4.623  4.374  4.232  4.05  3.963  3.837  3.763  3.715  
5  5.562  5.212  4.762  4.486  4.228  3.986  3.849  3.674  3.589  3.467  3.396  3.35  
6  5.257  4.913  4.472  4.202  3.949  3.713  3.579  3.407  3.325  3.206  3.137  3.091  
7  5.031  4.692  4.257  3.991  3.742  3.509  3.376  3.208  3.127  3.01  2.941  2.897  
8  4.857  4.521  4.09  3.826  3.58  3.35  3.219  3.052  2.972  2.856  2.789  2.744  
9  4.717  4.384  3.956  3.695  3.45  3.222  3.092  2.927  2.847  2.732  2.665  2.621  
10  4.603  4.272  3.847  3.587  3.344  3.117  2.988  2.823  2.744  2.629  2.562  2.519  
11  4.508  4.179  3.756  3.497  3.255  3.028  2.9  2.736  2.657  2.543  2.476  2.432  
12  4.428  4.099  3.678  3.42  3.179  2.953  2.825  2.661  2.583  2.468  2.402  2.358  
14  4.299  3.972  3.553  3.296  3.056  2.831  2.703  2.54  2.461  2.347  2.281  2.237  
16  4.2  3.875  3.457  3.201  2.961  2.737  2.609  2.445  2.367  2.252  2.185  2.142  
20  4.059  3.734  3.318  3.062  2.823  2.598  2.47  2.306  2.227  2.112  2.044  2  
24  3.961  3.638  3.222  2.967  2.727  2.502  2.373  2.208  2.128  2.012  1.943  1.898  
30  3.862  3.539  3.123  2.868  2.628  2.401  2.272  2.105  2.024  1.905  1.835  1.789  
40  3.76  3.437  3.022  2.765  2.524  2.296  2.164  1.995  1.912  1.79  1.717  1.669  
50  3.698  3.375  2.959  2.702  2.459  2.23  2.097  1.925  1.84  1.715  1.64  1.59  
75  3.612  3.29  2.872  2.614  2.37  2.137  2.001  1.824  1.737  1.605  1.525  1.47  
100  3.569  3.246  2.828  2.569  2.323  2.088  1.951  1.771  1.681  1.544  1.46  1.402  
200  3.503  3.18  2.76  2.5  2.251  2.012  1.872  1.685  1.59  1.442  1.346  1.276  
500  3.463  3.139  2.719  2.457  2.207  1.965  1.821  1.629  1.529  1.369  1.26  1.17  
∞  3.436  3.112  2.69  2.428  2.176  1.932  1.786  1.589  1.485  1.314  1.184  1  

Literatura 
[1] A. Ferligoj: Osnove statistike na prosojnicah. Ljubljana, 1997. 
[2] R. Jamnik: Matematična statistika. DZS, Ljubljana, 1980. 
[3] J. A. Čibej: Matematika: kombinatorika, verjetnostni račun, statistika. DZS, Ljubljana, 1994. 
[4] J. Sagadin: Osnovne statistične metode za pedagoge. FF, Ljubljana, 1992. 
[5] M. Blejec: Uvod v statistiko. EF, Ljubljana, 1996. 
[6] L. Pfajfar: Statistika 1. EF, Ljubljana, 2005. 
[7] F. Arh, L. Pfajfar: Statistika 1 z zgledi. EF, Ljubljana, 2005. 
[8] M. Blejec, M. Lovrečič–Saražin, M. Perman, M. Štraus: Statistika. Visoka šola za podjetništvo Piran, 2003. Dosegljivo na: 
http://valjhun.fmf.uni-lj.si/~mihael/ul/vs/pdfpredavanja/gradiva.pdf 
[9] A. Juriši´c: Verjetnostni račun in statistika. Dosegljivo na: 
http://lkrv.fri.uni-lj.si/~ajurisic/stat10/ 
[10] B. Petz: Osnovne statističke metode. Liber, Zagreb, 1985. 
[11] J. A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Thomson/Brooks/Cole, Belmont, 2007. 
[12] D. Freedman, R. Pisani, R. Purves: Statistics. Norton&Company, New York, 1998. 
[13] A. Ferligoj: Naloge iz statističnih metod. Ljubljana, 1981. 
[14] F. Arh, L. Pfajfar: Statistika 1. Zbirka rešenih izpitnih nalog. EF, Ljubljana, 2002. 
[15] M. R. Spiegel: Schaum’s outline of theory and problems of statistics. New York, 1999. 
135 

M. RAIČ: OSNOVE STATISTIKE 
Viri 
[16] A. Agresti, B. A. Coull: Approximate is better than ‘exact’ for interval estimation of binomial proportions. The American Statistician 52 (1998), 119–126. 
[17] 
R. B. D’Agostino: Tests for the Normal Distribution. V knjigi: R. B. D’Agostino, 

M. 
A. Stephens: Goodness-of-Fit Techniques. Marcel Dekker, New York, 1986. 


[18] E. E. Cureton: Rank-biserial correlation. Psychometrika 21 (1956), 287–290. 
[19] B. Z. Doktorov: George Gallup: Biography and Destiny. Poligraf-Inform, Kaluga, 2011. 
[20] D. Freedman, P. Diaconis: On the histogram as a density estimator: L2 theory. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit und verwandte Gebiete 57 (1981), 453–476. 
[21] G. Gallup: The Sophisticated Poll Watcher’s Guide. Princeton Opinion, Princeton, 1972. 
[22] G. V. Glass: Note on rank biserial correlation. Educational and Psychological Measurement 26 (1966), 623–631. 
[23] Landon, 1,293,669; Roosevelt, 972,897. Literary Digest 31. 10. 1936, 5–6. 
[24] P. Squire: Why the 1936 Literary Digest Poll failed. The Public Opinion Quarterly 52 (1988), 125–133. 
137