α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 05-13 Metode reševanja besedilnih in problemskih nalog Methods of Solving Textual and Problem Tasks Silva Kmetič Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek V nizu šestih prispevkov je predstavljeno strokovno delo Pred- metne skupine za matematiko na Zavodu RS za šolstvo z uči- telji matematike na študijskih skupinah. Po študijskih srečan- jih smo na daljavo v spletni učilnici izmenjali izkušnje, kako lahko spodbujamo in razvijamo različne strategije reševanja problemov. Preizkušeni primeri so ilustrirani z domiselnimi rešitvami učencev, komentarji njihovih učiteljev in z zaključki moderatork posameznih aktivnosti. V tem prispevku predsta- vimo izhodišča za izbiro strokovne teme, razloge in cilje de- javnosti. Ključne besede: problemske in besedilne naloge, metode re- ševanja Σ Abstract The expert work of the Subject group for Mathematics at the National Education Institute of RS with mathematics teachers in study groups is here presented in a series of six articles. Af- ter live meetings we used distance learning to exchange experi- ences on promoting and developing different strategies of prob- lem solving through the virtual classroom. Tested examples are illustrated with the imaginative solutions of pupils, the com- 06 Metode reševanja besedilnih in problemskih nalog α Uvod Predstavili bomo del dejavnosti, ki jih je izvedla Predmetna skupina za matematiko na ZRSŠ v sodelovanju z učitelji matemati- ke v šolskem letu 2010/11. Nekaj mesecev zapored smo predstavili po eno metodo za reševanje problemov in predlagali preizkus v razredu. Učitelji so metode reševanja pre- izkušali, 118 učiteljev pa je svoje izkušnje v obliki poročila tudi oddalo v spletni učilnici študijske skupine za matematiko v osnovni šoli. V razpravo so se vključevali tudi drugi učitelji s posameznimi komentarji in s svo- jimi izkušnjami z reševanjem problemskih nalog. Prejeli smo tudi nekaj dodatnih za- nimivih besedilnih oz. problemskih nalog. Besedilne naloge oz. probleme so reševali učenci od 6. do 9. razreda v okviru rednega ali dodatnega pouka matematike. V slovenski praksi poučevanja mate- matike so besedilne naloge zelo pogoste in razmejitev pojmov besedilna in problemska naloga ni povsem jasna. To je tudi razlog za krovno temo študijskih srečanj v šolskih letih 2010/11 in 2011/12 Od besedilnih do prob- lemskih nalog. Cilji dela na daljavo na temo Metode reše- vanja besedilnih in problemskih nalog so bili: – razviti strokovno razpravo o poučevanju reševanja besedilnih oziroma problems- kih nalog, – izmenjati različne izkušnje in s tem boga- titi poučevalno prakso, – ustvariti nabor v praksi preizkušenih prob- lemskih nalog, – strokovno uživati ob proučevanju misel- nih procesov naših učencev … Na študijskih srečanjih smo raziskovali, kaj bi bila smiselna definicija besedilne oz. problemske naloge, kaj lahko vpliva na uspeš- nost reševanja besedilnih nalog, kaj še lahko naredimo pri svojem pouku drugače ... Zače- li smo z vlogo jezika in konteksta, nato smo se posvetili klasifikaciji besedilnih nalog gle- de na posamezno računsko operacijo in njen razvojni vidik. Spoznanja ob teh dejavnostih naj bi vodila do odločitev o potrebni dife- renciaciji pouka pri razvijanju sposobnosti reševanja besedilnih oz. problemskih nalog. Nadaljevanje srečanj v živo je bilo delo na daljavo, ki smo ga izpeljali v dveh smereh: 1. v analizo uspešnosti učencev pri uporabi računskih operacij v enostavnih besedil- nih nalogah 1 , 2. v spodbujanje uporabe različnih metod reševanja problemskih nalog (objavljeno v spletni učilnici za osnovno šolo). V tem in v naslednjih petih prispevkih predstavljamo samo rezultate druge točke. 1 Objavljeno v spletni učilnici študijske skupine za ma- tematiko za osnovno šolo. ments of their teachers and the conclusions of the moderators of individual activities.Starting points for the selection of an expert topic and the reasons and objectives of the activity are presented in this paper. Keywords: problem and textual tasks, methods for problem solving 07 β Nekaj iz teorije V literaturi lahko najdemo veliko prispev- kov, povezanih z besedilnimi in problems- kimi nalogami. Zanimiv je že problem defi- nicije, kaj je problemska in kaj besedilna na- loga ter kaj njihova funkcija v izobraževanju matematike. Izognili se bomo teorijam in raziskavam ter se v tem in v naslednjih pe- tih prispevkih 2 osredotočili samo na izvede- ne dejavnosti, za katere smo menili, da bi se lahko trajneje in pozitivno odzrcalile v učni praksi. Lotili smo se načinov reševanja bese- dilnih oziroma problemskih nalog. Najpogosteje se v poučevalni praksi omen- ja metoda ključnih besed. Učenci izpišejo podatke in podčrtajo ključne besede, ki jih povežejo z računsko operacijo; npr. glagol 'povečati', povežejo z operacijo seštevanja in 'ima manj' z odštevanjem. Drugi pogosti na- potek je: 'Narišite po besedilni nalogi sliko'. Splošnim napotkom o natančnem branju se doda še katera od različic seznama napotkov po Polyi (1985): Razumevanje problema, izdelava načrta reševanja, izvajanje načrta reševanja in pogled nazaj. Osredotočili smo se na drugo in tretjo točko s seznama zato, da učenci obogatijo svoje izkušnje pri reše- vanju in niso usmerjeni samo v uporabo for- mule oz. v reševanje z enačbo. Menimo, da je omenjeni nabor metod ob navodilu izpiši podatke preskromen, morda celo kdaj zavaja, npr. metoda ključnih besed, ali pa zavira na- predovanje učenca pri razvoju problemskih znanj, če ne zna nastaviti enačbe. V besedilni nalogi zapisano dati nekaj lahko pomeni v matematičnem opisu seštevanje ali odštevan- je. Naslednja pogosta dejavnost je pravično 2 Metoda napačne predpostavke, metoda reševanja na- zaj, grafično aritmetična metoda, metoda postopnega približevanja, metoda iskanja vzorcev. deliti, ki tudi otrokom lahko pomeni poleg želene možnosti deliti na enake dele druga- čen način delitve. Namen uporabe besedilnih nalog je raz- nolik. Z besedilnimi nalogami razvijamo in preverjamo matematično terminologijo (za- piši in izračunaj vsoto produkta in količnika danih števil …), uporabo računskih opera- cij v enostavnih in sestavljenih nalogah ter v različnih kontekstih, torej razvijamo zmož- nost povezovanja in prenosa znanja, poj- mov, postopkov, metod in spretnosti. Učenci prepoznavajo različne ključne besede za de- javnosti s količinami, ki se prevedejo v ra- čunske operacije z merskimi števili in mers- kimi enotami. Z razvojem matematičnih vse- bin se tudi kontekst nalog bogati, številom v matematičnem kontekstu se najprej priključi količina število konkretnih stvari (svinčnikov, igrač, zabojev, dogodkov …), nato količine, ki jih ne moremo ugotavljati s štetjem, am- pak z merjenjem. To so naloge, ki vključu- jejo dolžino, maso, čas, količine, povezane z denarjem, ploščino, prostornino, hitrost … torej njihova merska števila in merske enote. V primerih reševanja kompleksnih ali za učenca celo problemskih nalog pričakujemo, da bo učenec pri reševanju uporabil mate- matični opis, sprva nastavil aritmetični iz- raz, pozneje pa algebrskega oziroma enačbo. Osredotočeni smo na končni cilj pouka ma- tematike, ki se razbere iz preglednice (Preg- lednica 1), kjer so izpisani bistveni standar- di znanja, povezani z reševanjem besedilnih in problemskih nalog. 'Podporni' standar- di znanja niso povezani samo z reševanjem problemskih nalog. Na primer cilji kot oce- nijo rezultate in meritve (ugotovijo smiselni približek) so pomembno znanje za uspešno reševanje problemov. V vsakem triletju so opredeljeni tudi z ustreznim standardom, ki 08 Metode reševanja besedilnih in problemskih nalog pa ga ni v preglednici. Zaradi preglednosti navajamo samo najočitneje povezane z reše- vanjem besedilnih in problemski nalog. Reševanje problemov je proces razvoja in iskanje strategij, skratka za učenca 'nabiran- je' izkušenj, ki traja in mora biti postopno, zato standarda, opiše problemsko situacijo z izrazom ali enačbo, ne smemo pričakovati prehitro. Bogate izkušnje bodo učenca pri- peljale do uspešnega reševalca, ki uporablja pri reševanju problemov tako formalne kot neformalne matematične metode. Če učenec ne zna rešiti problema matematično 'elegant- no', ga spodbujamo k uporabi drugih mate- matično manj formalnih strategij. Te morda ne dajo vseh rezultatov ali pa postopek ni splošen, kar pomeni, da ne zagotavlja re- šitve za vsak podoben problem. Če se učenec zaveda pomanjkljivosti takšnih postopkov, je s tem prav tako obogatil svoje matematične znanje. T udi izkušeni reševalci matematičnih problemov ne znajo rešiti vsakega problema. Če ne najdejo matematične formalne poti, se odločajo za drugačne pristope, da vsaj vidi- Prvo vzgojno-izobraževalno obdobje Drugo vzgojno-izobraževalno obdobje Tretje vzgojno-izobraževalno obdobje Standard znanja – reši besedilne naloge iz vsakdanjega življenja – reši matematične probleme in probleme iz vsakdanjega življenja, – pri reševanju (besedilnih) problemov uporablja različ- ne bralne strategije ter kri- tično razmišlja o potrebnih in zadostnih podatkih, – uporablja različne strategije pri reševanju problemov, povezanih z obsegom in ploščino, – opiše problemsko situacijo z matematičnim jezikom; – uporablja matematiko pri reševanju problemov iz vsakdanjega življenja, – pri reševanju besedilnih na- log uporablja bralne strategi- je in besedilno nalogo opiše z matematičnim jezikom, – pri reševanju (besedilnih) problemov kritično razmiš- lja o potrebnih in zadostnih podatkih, – se kritično opredeli do inter- pretiranih podatkov, – opiše problemsko situacijo z izrazom ali enačbo; 'Podporni' standardi znanja – pozna in uporablja računske operacije: seštevanje, odšte- vanje, množenje in deljenje ter njihove lastnosti, – poišče manjkajoči člen pri računih seštevanja, odšte- vanja, množenja in deljenja, – bere podatke iz preglednic in prikazov, – predstavi zbrane podatke, – prepozna, nadaljuje in obli- kuje vzorec, – pozna matematično termi- nologijo. – pozna in uporablja matema- tično terminologijo, – uporablja žepno računalo, – smiselno zaokroži število, – razlikuje med obsegom in ploščino, površino in pros- tornino, – meri, zapiše, pretvarja in ra- čuna z merskimi količinami, – … – matematični jezik uporablja pri sporazumevanju, – uporablja pojem spremen- ljivke, računa z algebrskimi izrazi, – življenjske situacije prikaže z modeli, – izrazi neznanko iz matema- tičnih formul, – prepozna odnose med količinami in jih uporablja v problemskih situacijah, – … [Preglednica 1] Nekateri standardi, ki jih pokrivamo z reševanjem problemskih nalog (Učni načrt, Program osnovna šola, MATEMATIKA, 2008/2011). 09 jo, ali rešitev obstaja. V šolski matematiki so običajno vsi problemi rešljivi. Učitelj rešitev in pot pozna in razloži svoj način reševanja, kar pa vedno ne zagotavlja razvoja miselnih procesov posameznemu učencu. Z dejavnostmi v spletni učilnici smo že- leli spodbuditi ozaveščanje mogoče uporabe različnih strategij reševanja. Metod reševanja načeloma ne poučujemo, ampak jih spodbu- jamo, ko je potrebno. Ko učenec ne zna rešiti naloge po 'formalizirani' poti, ga usmerimo k metodi, ki jo bo lahko sam razvil in izpeljal ter z dejavnim ukvarjanjem s problemi sča- soma tudi formaliziral svojo pot reševanja z aritmetičnim izrazom ali z enačbo. Z vpra- šanji spodbujamo razmišljanje in dejavnosti učencev: Ali lahko oceniš rezultat? Poskusi s predvidenim rezultatom in sklepaj s konca (nazaj). Poskusi na slepo (z naključno izbranim številom ...). Tako lahko učenec poglobi razumevanje problema in morda dobi idejo, kako začeti, kar je običajno največja zadrega učencev. Po- magata tudi vprašanji: Ali bi znal nalogo rešiti z drugačnimi podatki? Ali bi znal rešiti podobno nalogo? γ O metodah reševanja besedilnih in problemskih nalog Besedilno oziroma problemsko nalogo obi- čajno rešujemo z uporabo Descartove t. i. algebrske metode reševanja od zaključnih razredov osnovne šole dalje. Zanjo je značil- no, da poiščemo znane količine ali podatke in neznane količine (neznanke ali spremen- ljivke) ter odnose med podatki in spremen- ljivkami. Najpomembnejši odnos omogoča zapis enačbe oz. enačb (odvisno od števila neznank) in nato sledi reševanje enačbe. Rešitev enačbe preverimo glede na besedilo naloge, saj je mogoče, da smo napačno ses- tavili ali rešili enačbo, nato interpretiramo rešitev v kontekstu in napišemo odgovor ali poročilo. Poglejmo si za ilustracijo tri različne pos- topke reševanja iste naloge: z enačbo, z arit- metičnimi izrazi in s kombinacijo metod. Primer: Ribiči in ribe Trije ribiči so skupaj ulovili 29 rib. Zače- li so pripravljati ribjo enolončnico. Prvi je za enolončnico prispeval 5 svojih rib, drugi 4 ribe in tretji 2 ribi. Vsem je ostalo enako število rib. Koliko rib je ulovil vsak izmed njih? Rešitev: 11, 10, 8 Učenec 9. razreda (Slika 1) je za neznan- ko x izbral število rib posameznega ribiča po kuhanju enolončnice, ko je ribičem osta- lo enako število rib. Z algebrskimi izrazi je opisal ulov posameznega ribiča ter nastavil enačbo po besedilu naloge. Učenec je nalogo uspešno rešil in s tem izkazal, da z razumevanjem uporablja jezik algebre pri reševanje tovrstnih besedilnih nalog. Algebrska metoda je samoumevna za ne- koga, ki ima za seboj več let učenja matema- tike. Učenci pa se z reševanjem besedilnih nalog srečajo veliko prej, kot so sposobni razumeti pojem neznanke ali spremenljivke, pojem enačbe, algebrske postopke reševanja enačb in sistemov enačb. 010 Metode reševanja besedilnih in problemskih nalog Učenec 7. razreda (Slika 2) je uspešno re- šil nalogo z opisom realne situacije z aritme- tičnimi izrazi. Z elegantnim postopkom iz- kazuje, da razume aritmetične izraze in dob- ljene rezultate računskih operacij. Učenec razume pojem enakosti oziroma ekvivalentnosti med številskimi izrazi in pra- vilno uporablja matematične simbole za za- pis svojih sklepov. 'Obšel' je pojem neznanka oz. spremenljivka. Nekateri učenci razvijajo svoje strategije reševanja nalog. Učenec 8. razreda (Slika 3) je predpostavil, da imajo na začetku vsi ribiči enako število rib, in sicer 9. Število 9 bi lahko bilo naključno, približek tretjine od 29 ali pa povezano s številom 18, ki pomeni število rib, ki niso v enolončnici. Zaradi zapisa ostanka 2 v rešitvi, lahko potrdimo drugo domnevo. V drugem koraku reševanja je učenec svoj poskus uspešno popravil glede na napačen izid prvega poskusa. Učenčev postopek bi lahko umestili k metodi reševanja s konca, metodi napačne predpostavke in k metodi izboljšanih poskusov. [Slika 1] Uspešna uporaba algebrske metode [Slika 2] Eleganten opis problema s številskimi izrazi. 011 Nobeden od učencev pa na viden način ne preizkuša pravilnosti rešitve. Učencem, ki ne razumejo naloge, najprej pomagamo nalogo razumeti. Preverimo, kakšno je njihovo razumevanje problema, nato pa jih usmerjamo z vprašanji. Če ne znajo izdelati načrta reševanja in začeti reše- vati naloge, ker še ne znajo zanesljivo upo- rabljati aritmetike oziroma algebre za opise problemskih situacij, lahko pomagamo z na- migi in usmeritvami k uporabi drugih pos- topkov reševanja npr.: – metoda napačne predpostavke, – metoda reševanja nazaj, – grafično-aritmetična metoda, – metoda postopnega približevanja, – metoda iskanja vzorcev … Ko se odločimo, da bomo spodbujali re- ševanje nalog z različnimi strategijami, naj bi bile dane problemske naloge tako zahtevne, da jih učenci z že znanimi postopki ne znajo rešiti. To pomeni, da morajo učenci v dani učni situaciji: 1. biti v zadregi, kako sploh začeti, 2. problemsko situacijo razumeti, predvsem kontekst, če gre za kontekstualizirano na- logo, 3. imeti potrebno matematično znanje. Notranji učni pogovor učenca naj bi bil, kje in kako začeti reševati, kaj vem, kaj bi moral vedeti, kaj lahko izračunam, kolikšna bi lahko bila rešitev, lahko uporabim katero izmed možnosti, kot so sistematično posku- šanje, sklepanje s konca ... Učitelj naj bi dal izhodiščni namig za re- ševanje, in ne navodil za reševanje. Predvide- ti je treba, da bodo nekateri učenci reševali problem drugače, torej uporabili svojo me- todo. Ti naj bodo spodbujani pri reševanju po lastni poti. δ Primeri vprašanj, ki spodbujajo razmišljanje v procesu reševanja problemske naloge Na začetku Ali razumeš problem? Poznaš vse poj- me, besede? Kaj moraš izračunati? Kaj se moraš vprašati? Opiši problem s svojimi besedami. Nariši sliko, diagram, uredi podatke … Kateri pripomoček boš uporabil? Poskusi drugače. Ali lahko napoveš rezultat? Kako pa boš to zapisal? Katere podatke imaš? Ali imaš dovolj podatkov? Kaj želiš izvedeti? Poišči 'skrite' podatke. … [Slika 3] Način reševanja je kombinacija različnih metod 012 Metode reševanja besedilnih in problemskih nalog Za tiste, ki so obtičali Kaj si naredil do zdaj? Kaj bi ti lahko pomagalo rešiti prob- lem? Primerjajte svoje delo v skupini. … Posredovanje učitelja med reševanjem Kaj pa misliš s tem? Zakaj si se odločil, da boš to napravil tako? Razloži, kako si razmišljal? Misliš, da to velja tudi za druga števila (like …)? Misliš, da to velja splošno? … Po koncu dejavnosti Kako si prišel do odgovora? Preveri svoje rezultate. Ali si našel vse rešitve? Kako si preveril svoj rezultat? Razloži svoj postopek. Kaj pa je bistveno? Kje pa lahko to uporabimo? Kaj bi drugič napravil drugače? Kaj pa, če bi začel tako? … ε Za konec Po uvodnem strokovnem delu v živo se je so- delovanje z učitelji in med njimi nadaljevalo v spletni učilnici. Spletna učilnica se je izka- zala kot uporabno okolje in delo na daljavo primerna oblika dela, ker so učitelji lahko preizkus v razredu načrtovali v skladu s svojo letno pripravo. Izbrani primeri, predstavljeni v naslednjih petih prispevkih, so dragocena zakladnica miselnih procesov učencev, komentarji uči- teljev pa bogatijo naša skupna strokovna pri- zadevanja. Oddana poročila učiteljev so bila ponazorjena večinoma z uspešnimi potmi do rešitev. Za didaktiko pouka matematike so pomembne tudi delno uspešne in napačne poti, ki nam razkrivajo, s katerimi težavami se srečujejo učenci. V prihodnje bi si želeli, da učitelji objavljajo tudi neuspele poskuse, z dodano analizo zmot in napačnih predstav ter s posredovanjem učitelja, ki so učenca pripeljale prek ovir na poti reševanja. Izkazalo se je, da je uporaba drugih me- tod reševanja manj učinkovita, ko učenci že znajo uporabljati za reševanje problemov enačbe. Iz zapisanega, ki sledi temu uvod- nemu prispevku, lahko sklepamo, da učen- ci, preden spoznajo reševanje problemov z enačbami, pogosteje uporabljajo različne metode, da imajo težave s pravilnostjo zapi- sov aritmetičnih in algebrskih enakosti in da jih sistematično delo z veliko poskusi ne raz- veseljuje, torej težijo k elegantnejšim in ma- tematično zgoščenim postopkom reševanja. Delo na daljavo je spremljalo tudi nekaj napak, ki so jih opazili tako učenci kot učitel- ji, jih smiselno odpravili, vključili v razpravo ali pa nadgradili. Ključni namen ukvarjanja z reševanjem besedilnih in problemskih nalog je poveča- ti število zagnanih reševalcev matematičnih problemov. V matematiko vstopajo učenci s svojim delom, s samostojnim odkrivanjem matematičnih zakonitosti in strategij reševan- ja problemov. Če na tej poti lahko učencem svetuje uči- telj, bodo morda napredovali uspešneje in hitreje ali pa izboljšali odnos do predmeta. Učitelji smo pri tem lahko uspešnejši, če de- limo svoje izkušnje in ideje. 013 Pri branju naslednjih petih prispevkov o reševanju matematičnih problemov opa- zimo, da se pri reševanju različne metode mnogokrat prepletajo. Iste metode srečamo v literaturi tudi pod drugačnimi imeni. Ob- staja še več metod, kot na primer: – Različni pogledi – Reševanje lažjega, analognega primera – Pomoč z ekstremnimi primeri – Vizualizacija problema – Ugibanje, poskušanje in testiranje – Izčrpavanje (vseh) možnosti – Organizirati podatke – Logično sklepati – … V reviji Matematika v šoli je bilo na to temo že objavljenih veliko prispevkov, na osno- vi katerih lahko bogatimo svoje pedagoš- ke izkušnje. Vabljeni še k branju priročnika (Suban, Kmetič in drugi, 2013), kjer sta re- ševanju problemov in modeliranju namenjeni dve obsežni poglavji različnih avtorjev. η Literatura 1. Magajna, Z. (2003): Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku matematike, Matematika v šoli. Letnik 10, št. 3/4 (2002/2003), str. 129–138. 2. Polya, G. (1985): Kako rešujemo matematične proble- me, DMFA Slovenije Ljubljana. 3. Suban, M., Kmetič, S. in drugi (2013): Posodobitve po- uka v osnovnošolski praksi, Matematika.