i
i
“940-Milosevic-Sredini” — 2010/6/14 — 10:33 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 4
Strani 194–196
Dragoljub M. Miloševíc, priredba in prevod Boris
Lavrič:
SREDINI NA TEHTNICI
Ključne besede: matematika, naloge.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/16/940-Milosevic-Lavric.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ITI" -'-ITI" -,1/"n 1CI" I"",
SREDINI NA TEHTNICI
Znamenita neenakost med aritmetično in geometrično sredino pozitivnih štev il
je doživela vrsto različnih dokazov. V dvajsetih letih 18. stoletja jo je dognal
škotski matematik C. Mac/aurin, slabih sto let kasneje pa A .L. Cauchy, po ka-
terem je ponekod celo dob ila ime. Tu bomo predstavili izredno kratek (a manj
poznan) dokaz te neenakosti in nekaj zanimivih posledic.
Najprej opredelimo obe omenjeni sredini.
Naj bodo al, a2, ... , an nenegativna realna števila. Potem je
al +a2 + ...+an
A = -----------
n
njihova aritmetična sredina in
njihova geometrična sredina.
Če sta števili le dve (al in a21.je njuna aritmetična sredinaA = (al +a2) /2
vsaj tolikšna kot njuna geometrična sredina G =~ a2 (torej A ~ GI. kar je
znal utemeljiti že Evklid. Poskusite še vil
Tudi za n >2 velja
(AG)
(1 )
To je neenakost, o kateri smo govorili na začetku prispevka in jo bomo zdaj
dokazali.
Zaradi simetrije v (AG) lahko brez škode predpostavimo, da velja
al '-;;a2 .-;;....-;; an
Potem je nal .-;; al +a2 + ... +an .-;;nan, torej al '-;;A .-;;an . Zato velja
(A -ad(an -A) ~O,od koder dobimo
(al +an -AlA ~ alan
Naprej bo dokaz potekal z matematično indukcijo. Pri n = 1 (AG) očitno velja.
Predpostavimo, da neenakost (AG) drži za n - 1 in jo uporabimo za števila
Tako dobimo oceno
194
8'2 + ... + a n-1 + (<11 + an - A) n-1 - ---------------------- ---- --
A = -------------------- ~ y a'2 ...an-1(al +an -A)
n-1
okdoder s pomočjo (1) pridemo do iskane neenakosti
A n=An - 1.A ~a'2 ...an-1(al +an -A)A ~ al .a'2 ... an
Dokaz je s tem končan, bralca pa vabimo, da s ponovnim sprehodom skozenj
dožene, da v (AG) velja enačaj natanko takrat, kadar je al =a'2 = ... =an'
Poglejmo še nekaj primerov uporabe neenakosti (AG) .
1. Dokažimo, da ima med vsemi kvadri z dano prostornino kocka najmanjšo
površino. Označimo robove kvadra za, b in e. Kocka z enako prostornino
ima rob k = Vijjc in površino 6k'2. Za površino kvadra nam (AG) da
želeno oceno
2 (ab + be + ca) ~ 6 VTabT(i;-e) (ca) =6k'2
2 . Vzemimo poljubno nenegativno realno število x. Postavimo al =a'2 = ...=
=an-1 = 1 in an = 1 + nx v neenakost (AG) pa dobimo oceno
1 + x = 1. (1 + ... + 1 + (1 + nx)) ~ Vf:j:.-nx-
n ' ----'
n-1
ki jo preoblikujemo v znano Bernoullijevo neenakost
(1 +x)n ~ 1 +nx
3. Označimo z Va, Vb in ve višine
trikotnika ABC, z r pa polmer
vanj včrtanega kroga. Dokazali
bomo, da velja neenakost
3r <: ~ Va vb ve
Označimo sp ploščino trikotni-
ka ABC, poglejmo na sliko in za-
beležimo:
aVa = bVb = eVe = 2p = ar + br + er
Od tod z uporabo (AGI dobimo
oceno
1 a+b+e 1 1 1
-= ----= --+ -- + -- ~
r 2p Va Vb Ve
3
~ --------
odkoder sled i iskana neenakost.
A c B
195