  ̌      ̌   
P 47 (2019/2020) 1 25
Gaussova eliminacija
K Š
Gaussov postopek oziroma Gaussova eliminaci-
ja je postopek za reševanje sistemov linearnih
enačb.
Kako bi rešili spodnji sistem?
2x + 4y = 10
x −y = 2
V šoli nas učijo preprostega in logičnega postopka;
najprej prvo spremenljivko iz prve enačbe izrazimo
z drugo (npr. x = 5−2y), jo vstavimo v drugo enačbo
((5−2y)−y = 2), rešimo dobljeno enačbo (y = 1) in
rešitev vstavimo v prvo enačbo (x = 5−2y = 5−2 =
3). Tako je v našem primeru dobljena rešitev x = 3,
y = 1. Ta postopek vedno deluje, a je precej zamu-
den. Lahko bi ga uporabili tudi za sistem osmih line-
arnih enačb z osmimi neznankami ali (v splošnem)
za sistemm enačb z n neznankami. A koliko časa bi
nam to vzelo? Obstaja preprostejši in hitrejši način.
Drugi način je, da eno enačbo (npr. drugo) po-
množimo s takšnim številom, da je koeficient pred
eno neznanko enak v obeh enačbah (npr. s številom
2, da dobimo 2 pred x). Tako dobimo nov sistem
2x + 4y = 10
2x − 2y = 4
in dobljeni enačbi odštejemo. S tem se znebimo
spremenljivke x in ostane nam le ena enačba in ena
neznanka (6y = 6), kar pa je precej lažje rešiti. Ta
postopek se že približa ideji Gaussove eliminacije,
le da bomo to počeli na bolj sistematičen in pregle-
dnejši način.
Matrike kot sistemi linearnih enačb
Geometrijski pomen sistema linearnih enačb
Ob besedni zvezi linearna enačba dobimo asociacijo
na premico. Res je v ravnini množica rešitev linearne
enačbe ax+by = c premica. Ko rešujemo sistem li-
nearnih enačb z dvema neznankama (torej v ravnini),
iščemo točke v preseku premic, ki jih predstavljajo
naše enačbe. Koliko je lahko takih točk?
Denimo, da imamo dve premici v ravnini. Lahko
sta vzporedni (sistem nima rešitve; slika 1), lahko
se sekata v eni točki (rešitev sistema je ena sama;
slika 2) ali pa sovpadata (enačbi predstavljata isto
premico; slika 3). V zadnjem primeru je množica
rešitev cela premica.
V tridimenzionalnem prostoru linearna enačba
predstavlja ravnino. Sistem dveh linearnih enačb s
tremi spremenljivkami torej predstavlja presek dveh
ravnin. Ta je podobno kot v zgornjem primeru lahko
prazen, lahko je premica ali pa ravnina (enačbi pred-
stavljata isto ravnino). Če imamo sistem treh enačb
s tremi neznankami, nas zanima presek treh ravnin,
ki je lahko prazen, točka, premica ali ravnina.
Nas bodo zanimali sistemi s poljubnim številom
enačb in poljubnim številom neznank. Reševali bo-
mo torej sistemem enačb z n neznankami. Ker si n-
dimenzionalne prostore težje predstavljamo kot rav-
nino ali prostor, bomo sisteme predstavili v drugačni
obliki.
Matrika sistema
Najprej se spomnimo, da je linearna enačba enačba
z več neznankami, pri čemer so potence vsake ne-
znanke enake 1 ali 0 (če neznanka v enačbi ne na-
stopa). Vsaka linearna enačba n neznank je oblike
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = d,
kjer x1, x2, ..., xn predstavljajo n različnih spremen-
ljivk, a1, a2 ..., an pa koeficiente pred njimi. Za n ≤ 4
bomo spremenljivke pisali kot x, y , z in w.
Sistem m linearnih enačb z n neznankami bomo
predstavili z matriko. Matrika je le matematično ime
za tabelo, v katero vpisujemo števila, da so podatki
bolje urejeni. Če ima matrika m vrstic in n stolpcev,
pravimo, da je velikosti m×n.
V našem primeru je matrika le drugačen, bolj kom-
pakten zapis sistema linearnih enačb, ki ga tudi
lažje shranimo v računalnik. V matriko velikosti
  ̌      ̌   
P 47 (2019/2020) 126
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x −y = 2
x −y = 3
SLIKA 1.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(3,1)x −y = 2
2x + 4y = 10
SLIKA 2.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x −y = 2
2x − 2y = 4
SLIKA 3.
m× (n+ 1) zapišemo koeficiente pred neznankami.
Vsaka vrstica naj predstavlja eno enačbo iz sistema,
pri tem pa moramo biti pozorni, da je vrstni red
spremenljivk v vseh enačbah enak. Če v i-ti (i ≤ m)
enačbi spremenljivka xj (j ≤ n) ne nastopa, vza-
memo aij = 0.
Tako sistem
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = d1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = d2
...
am1x1 + am2x2 + . . . amnxn = dm
predstavlja matrika






a11 a12 · · · a1n d1
a21 a22 · · · a2n d2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 · · · amn dm






.
Enačaje predstavlja črtkana črta, ki nas dodatno
spomni, da gre za sistem enačb.
Primer. Zgornji sistem 2x + 4y = 10 in x − y = 2
predstavlja matrika
[
2 4 10
1 −1 2
]
.
Rekli bomo, da sta si matriki A in B podobni, če sta
rešitvi sistemov, ki jih predstavljata, enaki. To bomo
označevali z vijugico, kot npr. A ∼ B.
Množico rešitev bomo zapisali kot urejen par, tro-
jico oz. v splošnem n-terico, kjer j-to mesto pred-
stavlja vrednost xj . Rešitev x = 3 in y = 1 bi tako
zapisali kot (3,1).
Gaussova eliminacija
Končno se lahko posvetimo reševanju sistema. Z Ga-
ussovo eliminacijo bomo sistem le poenostavili do
hitro rešljivega sistema. Prvih nekaj, recimo j, spre-
menljivk bomo izrazili z zadnjimi. Tako bomo dobili
rešitev oblike
(f1(xj+1, . . . , xn), f2(xj+1, . . . , xn), . . . ,
fj(xj+1, . . . , xn), xj+1, xj+2, . . . xn),
  ̌      ̌   
P 47 (2019/2020) 1 27
torej n-terice, ki imajo morda nekaj prostih spre-
menljivk, namesto katerih lahko vstavimo poljubno
realno število (to so naše zadnje spremenljivke xj+1
do xn), pa še vedno dobimo rešitev. V zgornjem pri-
meru funkcije fk zgolj ponazarjajo, da so prve spre-
menljivke izražene s kasnejšimi.
Če razmislimo, kako bi izgledala matrika takega
sistema, ugotovimo, da ima naslednjo strukturo:










1 0 0 ♦ · · · ♦
0
. . . 0
...
. . .
...
0 0 1 ♦ · · · ♦
0 · · · 0 0 0 ⋆... . . .
...
. . . 0
0 · · · 0 0 · · · 0










j
j
Na mestih ♦ so poljubna realna števila, na mestu ⋆
pa 0 ali 1. V vsaki enačbi nad vodoravno črto nastopa
nekaj izmed zadnjih n − j spremenljivk in natanko
ena izmed prvih j spremenljivk. Prva enačba nam
npr. predstavlja enačbo
x1 + 0x2 + . . .+ 0xj + aj+1xj+1 + . . .+ anxn = d,
torej
x1 + aj+1xj+1 + . . .+ anxn = d,
v kateri ni spremenljivk x2, x3, . . . , xj .
V matriki imamo pod črto ničelne vrstice (razen
morda prve). Število teh nam pove, koliko enačb (se-
veda ne poljubnih) je v sistemu odveč, torej koliko bi
jih lahko izbrisali, pa bi rešitev še ostala ista. Npr.,
če enačbi predstavljata isto premico, lahko eno brez
zadržkov odmislimo.
Naš j izračunamo takole:
j = število enačb(m)− število ničelnih vrstic
v želeni matriki.
Pri izračunu j kot ničelno vrstico upoštevamo tudi
vrstico z ⋆, četudi je ⋆ = 1.
Zvezdica nam pove, ali je sistem rešljiv ali ne. Če
je na mestu ⋆ enica, ta vrstica predstavlja enačbo
0 = 1, kar pa seveda ne drži, in sistem ni rešljiv. Če
je ⋆ = 0, tudi ta vrstica predstavlja enačbo 0 = 0,
pri čemer ni nič spornega, tako nam je prvih j spre-
menljivk uspelo izraziti z zadnjimi n − j spremen-
ljivkami.
Tako bi izgledale želene matrike za nerešljiv sis-
tem (A), sistem z natanko eno rešitvijo (B) in sistem
z rešitvijo z eno prosto spremenljivko (C):
A =



1 0 1 2
0 1 2 5
0 0 0 1


 , B =



1 0 0 2
0 1 0 5
0 0 1 1


 ,
C =



1 0 1 2
0 1 2 5
0 0 0 0


 .
Kako dobimo takšno matriko? Katere so dovoljene
poteze, torej katere so poteze, ki ne spremenijo reši-
tve sistema? Seveda lahko vsako enačbo pomnožimo
z neničelnim številom in rešitev ostane ista, ali pa
enačbi med seboj zamenjamo. Kaj pa še lahko sto-
rimo? Pri Gaussovi eliminaciji uporabljamo tri po-
teze, ki jih označimo z V1, V2 in V3:
V1– menjava vrstic.
[
2 4 10
1 −1 2
]
∼
[
1 −1 2
2 4 10
]
.
V matriki lahko med seboj zamenjamo poljubni
vrstici. S tem pravzaprav zamenjamo dve enačbi,
vrstni red enačb v sistemu pa ni pomemben.
V2– množenje vrstice z neničelnim številom.
[
2 4 10
1 −1 2
]
∼
[
1 2 5
1 −1 2
]
.
Če enačbo pomnožimo z neničelnim številom, se
množica rešitev ne spremeni. V primeru smo dru-
go vrstico množili z 12 , torej delili z 2. Z manjšimi
števili je pač lažje računati.
V3– prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi vr-
stici.
[
2 4 10
1 −1 2
]
∼
[
2 4 10
1+ (−22) −1+ (−
4
2) 2+ (−
10
2 )
]
∼
[
2 4 10
0 −3 −3
]
.
Če neka n-terica reši prvo in drugo enačbo, bo re-
šila tudi njuno vsoto. Pred tem pa po točki V2
  ̌      ̌   
P 47 (2019/2020) 128
lahko eno izmed vrstic tudi pomnožimo s kakš-
nim številom. V primeru smo drugi vrstici prišteli
(−12)-kratnik prve. Tako smo se v zadnji vrstici
znebili prve spremenljivke in si že nekoliko poe-
nostavili sistem.
Opomba. Dovoljena je tudi menjava stolpcev (S1),
a moramo biti pri tem pozorni na spremenjen vrstni
red spremenljivk v enačbah, kajti menjava stolpcev
ustreza preimenovanju spremenljivk.
Najprej en krajši primer.
Primer. Rešitev sistema 2x + 4y = 10 in x −y = 2:
[
2 4 10
1 −1 2
]
∼
[
1 2 5
1 −1 2
]
∼
[
1 2 5
0 −3 −3
]
∼
[
1 2 5
0 1 1
]
∼
[
1 0 3
0 1 1
]
.
Zaporedje korakov je: V2 (prvo vrstico delimo z 2),
V3 (od druge vrstice odštejemo prvo), V2 na drugi
vrstici in V3 (prvi vrstici prištejemo (−2)-kratnik
druge).
Dobimo nov sistem, ki ga preberemo iz zadnje ma-
trike in se glasi x = 3 in y = 1. Naša rešitev je torej
(x,y) = (3,1).
Splošni Gaussov postopek bomo razložili na sis-
temu štirih enačb s štirimi neznankami, s tega pri-
mera pa bralec lahko sklepa na reševanje splošnega
sistema enačb.
Gaussov postopek na sistemu štirih enačb s štirimi
neznankami
Imamo sistem:
3y + 3z + 21w = 36,
x +y − z − 2w = −2,
−z − 5w = −8,
x +y + 3w = 6.
Sistemu priredimo matriko





0 3 3 21 36
1 1 −1 −2 −2
0 0 −1 −5 −8
1 1 0 3 6





.
V prvem delu bomo ustvarili zgornje trikotno ma-
triko, torej matriko, ki ima pod diagonalo same ničle
(naša matrika bo imela na diagonali enice).
Poiščemo poljubno neničelno število ∗ v prvem
stolpcu (ta vedno obstaja, saj spremenljivka x na-
stopa v vsaj eni enačbi). V našem primeru naj bo
to druga vrstica. Z menjavo vrstic (V1) premaknemo
to vrstico na prvo mesto in celotno vrstico delimo z
∗ (V2), da v levem zgornjem kotu dobimo enico (v
našem primeru delimo z 1).
Z uporabo V3 vsaki od spodnjih vstic prištejemo
ustrezen večkratnik prve vrstice, da dobimo v levem
stolpcu pod enico same ničle. V naši matriki je po-
trebno prišteti (−1)-kratnik prve vrstice le zadnji.





0 3 3 21 36
1 1 −1 −2 −2
0 0 −1 −5 −8
1 1 0 3 6





∼





1 1 −1 −2 −2
0 3 3 21 36
0 0 −1 −5 −8
1 1 0 3 6





∼





1 1 −1 −2 −2
0 3 3 21 36
0 0 −1 −5 −8
0 0 1 5 8





.
Postopek nadaljujemo na manjših podmatrikah.





1 1 −1 −2 −2
0 3 3 21 36
0 0 −1 −5 −8
0 0 1 5 8





∼





1 1 −1 −2 −2
0 1 1 7 12
0 0 −1 −5 −8
0 0 1 5 8





∼





1 1 −1 −2 −2
0 1 1 7 12
0 0 1 5 8
0 0 0 0 0





.
Na ta način dobimo zgornje trikotno matriko. V na-
šem primeru so v zadnji vrstici same ničle (torej tudi
⋆ iz zgoraj omenjene želene matrike), zato je sistem
  ̌      ̌   
P 47 (2019/2020) 1 29
rešljiv. Imamo štiri vrstice, od teh je ena ničelna. Na
tem koraku že vidimo j naše želene matrike. Ta je
enak j = 4− 1 = 3.





1 1 −1 −2 −2
0 1 1 7 12
0 0 1 5 8
0 0 0 0 0





.
j = 3
j = 3
V drugem delu bomo začeli spodaj desno in uničevali
števila nad diagonalo.
Z V3 spremenimo j-ti stolpec v stolpec, v katerem
je na j-tem mestu enica, nad njo pa same ničle tako,
da vsaki od zgornjih j−1 vrstic prištejemo ustrezen
večkratnik j-te vrstice. V našem primeru prvi vrstici
prištejemo tretjo vrstico, drugi pa (−1)-kratnik tre-
tje vrstice.
To ponovimo in od zgornjih j−2 vrstic odštejemo
ustrezne večkratnike (j − 1)-e vrstice. V našem pri-
meru prvi vrstici odštejemo drugo. Postopek nada-
ljujemo, dokler gre.





1 1 −1 −2 −2
0 1 1 7 12
0 0 1 5 8
0 0 0 0 0





∼





1 1 0 3 6
0 1 0 2 4
0 0 1 5 8
0 0 0 0 0





∼





1 0 0 1 2
0 1 0 2 4
0 0 1 5 8
0 0 0 0 0





.
Prišli smo do želene oblike matrike, ki predstavlja
sistem:
x +w = 2
y + 2w = 4
z + 5w = 8
0 = 0.
Rešitev našega sistema je torej
(x,y, z,w) = (2−w,4− 2w,8− 5w,w),
kjer je w poljubno realno število. Naredimo še pre-
izkus z vstavljanjem rešitve v sistem.
3 · (4− 2w)+ 3 · (8− 5w)+ 21w =
12− 6w + 24− 15w + 21w = 36
(2−w)+ (4− 2w)− (8− 5w)− 2w =
2−w + 4− 2w − 8+ 5w − 2w = −2
− (8− 5w)− 5w = −8+ 5w − 5w = −8
(2−w)+ (4− 2w)+ 3w =
2−w + 4− 2w + 3w = 6.
Oglejmo si primer nerešljivega sistema:
x + z = 2
y + 2z = 4
−2x +y = 3.
Sistemu priredimo matriko in jo preoblikujemo z Ga-
ussovim postopkom:



1 0 1 2
0 1 2 4
−2 1 0 3


 ∼



1 0 1 2
0 1 2 4
0 1 2 7


 ∼



1 0 1 2
0 1 2 4
0 0 0 3


 ∼



1 0 1 2
0 1 2 4
0 0 0 1


 .
Na mestu ⋆ je enica, torej sistem ni rešljiv.
Omenimo še, da nam število prostih spremenljivk
v rešitvi pove dimenzijo preseka. Če proste spremen-
ljivke ni, je rešitev ena sama točka, torej 0-dimenzio-
nalen prostor. Če imamo eno prosto spremenljivko,
je v preseku premica, če sta dve, pa ravnina.
Na primeru sistema štirih enačb s štirimi neznan-
kami smo se naučili postopka, ki ga brez težav lahko
uporabimo na poljubnih sistemih. Nadobuden bralec
je vabljen, da ga poskusi implementirati v splošnem.
×××
www.obzornik.si
www.dmfa.si