UDK — UDC 05:624 G R A D B E N I V E S T N I K SGP KONSTRUKTOR MARIBOR: Stanovanjska soseska S-21 ob Ljubljanski cesti v Mariboru, kjer je v gradnji 1000 stanovanj V S t B I N A - C O N U N T S Članki, študije, razprave BORUT DOBO VIŠEK: Articles, studies, proceedings Rotacijske lupine in njihovi d e l i ...........................................................121 Shells of revolution and their sectors JOŽE KUŠAR—JOŽE MARINKO: Utemeljenost zidanja v o p e k i ............................................................... 131 Building with brick material Iz naših kolektivov From our enterprises BOGDAN MELIHAR: Junijski sestanki gradbenih p o d j e t i j ........................................................ 135 Angažiranost v letu 1972 .................................................................. 135 Zakaj ni dovolj cementa . . . . .......................................................135 Dragocene izkušnje ob licitaciji za nadaljevanje odseka avtoceste . . 136 Akcijski program stabilizacije v »G ra d isu « .............................................. 137 VII. kongres sindikata g ra d b in cev ........................................... . 137 Novi most v B re ž ica h ................................................................................. 137 SGP Konstruktor je organiziral športno s r e č a n je ........................... 137 In memoriam Ivo Vodopivec, dipl. inž, 137 Vesti iz inozemstva Vibracijska sita za proizvodnjo gradbenih m aterialov.................. 133 From foreign countries Vesti News Razširjeni sestanek za hidrotehnični beton jugoslovanskega komi teja za visoke p r e g r a d e ........................................................................ 139 Strokovna vprašanja za XI. mednarodni kongres za visoke pregrade 139 Prikazi in ccene New books DUŠAN GREGORKA: Priročnik za izračunavanje toplotnih izgub v zgradbah.................. 140 Vesti iz ZGIT Priročnik za armirani beton I. d e l ............................................................141 News from ACE Strokovni o g l e d i ....................................................................................... 141 Informacije Zavoda za raziskavo Vpliv kemičnih dodatkov (aditivov) na termične lastnosti betona . . 145 materiala in konstrukcij v Ljubljani Reports of Institute for material and structures research in Ljubljana O dgovorni urednik: Sergej Bubnov, dipl. inž. Tehnični urednik : prof. B ogo Fatur Uredniški od bor : Janko B leiweis, dipl. inž., Vladim ir Čadež, dipl. inž., M arjan Gaspari, dipl. inž., dr. Miloš M arinček, Maks M egušar, dipl. inž., Anton Podgoršek, Saša Škulj, dipl. inž., V iktor Turnšek, dipl. inž. R evijo izdaja Zveza gradbenih inženirjev in tehnikov za Slovenijo, Ljubljana, E rjavčeva 15, telefon 23 158. Tek. račun pri Narodni banki 501-8-114/1. T iska tiskarna »Toneta T om šiča« v L jubljani. Revija izhaja m esečno. Letna naročnina sku paj s članarino znaša 50 din, za študente 20 din, za podjetja , zavode in ustanove 300 din G R A D B E N I VESTNIH GLASILO ZVEZE GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SR SLOVENIJE ŠT. 6-7 — LETNIK 21 - 1972 Rotacijske lupine in njihovi deli UDK 629.074.7 1. UVOD Rotacijska ploskev nastane, kadar rotira rav ninski črtni lik, imenovan profil, okrog rotacijske osi, ki leži v njegovi ravnini. Profilove točke opi sujejo pri tem kroge, imenovane vzporedniki. Ro tacijske lupine imajo rotacijsko središčno ploskev. Po postopku, ki je opisan v pričujočem sestavku, je mogoče računati statično stanje teh lupin le, če je njihov profil poligonalen. K er lahko poljubni krivulji priredimo poligon, je postopek uporaben tudi za lupine s krivočrtnimi profili. Od popolnih rotacijskih lupin z zaključenimi vzporedniki se v postopku deloma razlikujejo iz seki rotacijskih lupin, ki so omejeni z dvema konč nima profiloma in predstavljajo zato njihovi vzpo redniki le krogove izseke. Kot med ravninama obeh končnih profilov je središčni kot, ki ga ozna čujemo z 2 0. Pri popolni rotacijski lupini je to polni kot. Z večanjem rotacijskih radijev, to je z odda ljevanjem rotacijske osi od profila, se manjša ukrivljenost lupine in njenih vzporednikov. V li- mitnem primeru preidejo izseki rotacijskih lupin v prizmatične lupine, njihovi vzporedniki posta nejo ravni in se preimenujejo v tvornice. V članku [1] opisane prizmatične lupine so torej le limitni primer rotacijskih izsekov; obravnavane so bile posebej, ker je bila pri njih mogoča analitična rešitev sistema diferencialnih enačb. Pri rotacij skih lupinah določamo prenosne matrike in ob- težbene vektorje iz sistema diferencialnih enačb po numeričnem postopku. V vseh drugih podrob nostih je potek računa pri obeh vrstah lupin isti, zato se v pričujočem sestavku ne moremo izogniti nekaterim ponovitvam. 2. KOORDINATNI SISTEMI Ker dopušča postopek le lupine s poligonal- nim profilom, so le-te sestavljene samo iz odsekov stožcev s skupno rotacijsko osjo. Lega poljubne točke na lupini je podana s koordinatami »0«, »s« in »z«, ki tvorijo lokalni koordinatni sistem stožčevega odseka. Pomen koordinat kaže slika 1. Ordinato »s« merimo po tako imenovanem poldnevniku, to je po presečnici profilne ravnine DR. BORUT DOBOVISEK, DIPL. INŽ. s središčno ploskvijo stožca. Poldnevnik oklepa z ravnino vzporednika kot »
.cosf+ Qs r - M ^ r 0 2.5 - % s sin f +Nse .r-N &sr = 0 2.6 Ns = d£ v'+ y ( u ' + v c o s f - w sinj>)J 2.7 Nq. = D ^-Jrfw + vcosf - w s in f) + v v j 2.8 Ns& 2 ~ [J ' + y ( v - ucosj>)J 2.9 2.10 Ms = K ^ w " + p y w " + w c o s f j j 2.11 Mq. = - h ;[p (p w " + w ’ cosj>)+') w “J 2.12 - K ( 1 - 'D ) [ j - w - -} iW ‘ COSfJ 2.13 M&S - ~ Hso- 2. K ?s = ■IV' 2.15 % = w " r 2.16 20+V) Eh Ns& 2.17 Pri tem so relacije med notranjimi statičnimi količinami in deformacijami v enačbah (2.7) do (2.14) zaradi osnovnih predpostavk deloma samo približne, kar je zlasti razvidno iz enačbe (2.10), ki je v nasprotju s pravilno ravnotežno enačbo (2.6) . Kot je v tehnični teoriji lupin običajno, upo števamo v nadaljnjem enačbo (2.10), enačbo (2.6) pa črtamo. S tem predpostavimo, da sta poleg tor- zijskih momentov tudi strižni sili po velikosti ena ki, kot je razvidno iz enačb (2.14) in (2.10). Za do ločitev količin stanja zadoščajo enačbe (2.1) do (2.17) brez enačbe (2.6). Z neupoštevanjem enačbe (2.6) povzročimo malenkostno napako, njen vpliv na stanje lupine lahko ocenimo iz končnih rezulta tov (glej točko 5.6). S tem nastavkom je zagotovljeno, da je stanje pri kotu 0 enako stanju pri kotu 0 + 2 n. Za zaključen stožčasti obroč, katerega stanje je večkrat simetrično in je pri kotu 0 enako stanju 2 n pri kotu 0 + ------ , vzamemo nastavek: j m = 0, 1, 2, 3, 4 , . . . n = 0, 1, 2, 3, 4 , . . . ctm = m ■ j an = n ■ j Za izsek stožčastega obroča, ki se na obeh končnih profilih priključuje na membrano, je na stavek podoben nastavku za prizmatične lupine: m = 0, 2, 4, 6, . . . n = 1, 3, 5, 7 , . . . n am — ------ -m . . . 6 2 # n an = ------ • n 2 # 5.3 Nastavek rešitve in sistem navadnih diferencialnih enačb V smislu točke 5.1 volimo za rešitev sistema enačb (2) naslednji nastavek: U ~ - g u mcosdrm& + v - ^ v ms in o C j} + m w = S w msinoCß + t = % fs d s in o (nß- + A4* = - Ž N sm cosc(„-& + A4 = ž £ N smsirio(J9- + m Qs = S s i n e t a + Ms 7 +m A/ft = S N emsinoC„-9- + O* = - S Q ^ c o s o C ß - + M*. = ŽM^sinoCjZ + M » = - S M ^ c o s e C ^ O - + % = ~ ? % <, co s o C ” 'e - + & = " ' i : « - COSoĈ + Nastavek (6) avtomatično zadovoljuje vse rob ne pogoje ob obeh končnih membranah. Če je pri zaključenem obroču tudi stanje lupi ne rotacijsko, to je enako pri poljubnem kotu 0 , potem upoštevamo od nastavkov (4) in (5) samo ničelni člen (m = 0 in n = 0). Pri izseku lahko nastopa tak primer samo pri čisti torziji okrog rotacijske osi, v vseh drugih obtežnih primerih je stanje pri različnih kotih 0 različno. Fourierjevi koeficienti v nastavku (3) so od visni le od spremenljivke »s«. Ker obravnavamo vsak člen Fourier j eve razvrstitve obtežbe ločeno, vstavimo le del nastavka za poljubni »m« ali »n« v sistem enačb (2). Predznaki nastavka so postav ljeni tako, da so nadaljnja izvajanja za »m« in »n« enaka. Po vstavitvi nastavka je vsaka enačba si stema (2) deljiva s trigonometrično funkcijo. Pre ostale količine so odvisne samo od »s«, parcialne odvode lahko zamenjamo z navadnimi. V tako dobljenem novem sistemu enačb je med seboj neodvisnih le osem količin stanja, ki jih združimo v vektor stanja Zn: Zn = (un, Vn, W n, 99sn, N s@n, Nsn, Qsn, M sn) T . . . 7 Če združimo ostale količine v vektor Z„: Zn = (),s0n) V Sni N g n, Qeni M g ni M sen)^i . . . 8 S uns indn-Q- Z Vn C O S d - , ß n S Wn C O S c t $ - S f mcos<£„& S N sinoC -9- n sen " Z Nsnc o s c C ß S Q ^ c o s c C ß Z MsnCOScCß- -S ’ N9nC0SoCn& S Q ^s incC tfi- Z M ^co sc^ß n S M ^ s i n a C ß J Z J ip sinoCß- n -Jen S x s in d iß - n <->sen n Za zaključen stožčasti obroč velja: m = 0, 1, 2, 3, 4 , . . . n = 0, 1, 2, 3, 4 , . . . lahko podamo njihovo odvisnost od vektorja sta nja Z z enačbo: Zn Hn • Zn am = m a n — n Matrika Hn je podana v tabeli I. TABELA I cosf r o6> 2 r D d-V ) \ \s in f v r 7 D ; i g ; K D ( l- \ f ) y p - D d - V ) ^ ^ s l -L(-(l-\))c<.n cosf s in f r r r - K (i-v ) £ s tn l + W -V )J !LS p lc<£Z , COSjP VAa_ oć„ s/n^ r r D d - y ^ c s s l ca s ^ ' oCn r -0 -S > )c a s l - D a ^ ^ - s j n Ž coslf 2K 0-V )Jy i £25j ? * +K(1-\fl - ^ - T * 0 7 - V i l - S ^ £ * c -1) s i n f _ cos-? r - v # 2 K d -V )* j i + * K d - ^ c% ’ f - i - r ; - w ^ 2 ( M ) Eh ■ • r D ( l - V ) ~ - D d - V ) £ f Z -D O -V 1) - ^ v ■ K ( i-v )S ^ -2 n s l+ *K (1 - V ) - f - — cf-n r K ( l - V ) ^ - ' -i> -K (1 -V - fLQ̂ _____________________________ — _______ ______________________ \ Komponente vektorja stanja povezuje med se boj preostali sistem osmih navadnih linearnih di ferencialnih enačb z nekonstantnimi koeficienti, ki ga podajamo v matrični obliki: Z „ • A n • Z n + B„ . . . 10 Matrika A n je podana v tabeli I, v vektorju Bn je združen vpliv neposredne zunanje obtežbe lupi ne na odvod vektorja stanja. 5.4 Numerična rešitev sistema diferencialnih enačb Sistem enačb (10) rešujemo po numeričnem po stopku »Runge-Kutta« [15]. Po tem postopku izra čunamo iz začetnih vrednosti pri ordinati »s« vek tor stanja na vzporedniku, ki je oddaljen za dolžino koraka »k«. Če označimo vrednosti pri ordinati »s« z ničlo, vrednosti pri ordinati »s + k/2« z rimsko dvojko in vrednosti pri ordinati »s + k« z rimsko štirico, lah ko napišemo rešitev: Zn, XV Pn • Z n, 0 d" On . . . 11 kjer je prenosna matrika (I = enotna matrika): + 4 A n, II + An, iv + + k (An, II • A„,o + A2n,II + An, IV • An, n) + + ---- (A2n, II • An, o + An, IV • A2n,n) + 2 k 3 + ---- An, iv • A 2n II • An, 0 4 . . . 12 in obtežbeni vektor: On k 6 Bn, 0 + 4 Bn, II + Bn, IV + + k (An, ii • Bn, o + An, n • Bn, ii + A n, iv • Bn, n) + k2 d-------(A2n, II • Bn, 0 + An, i v • A n, II • Bn, II) + 2 k 3 + ----An, iv • An, II • Bn, 0 4 . . . 13 Bistvene važnosti je pravilno voljena dolžina koraka »k«. Metoda Runge-Kutta dovoljuje sicer poljubno spreminjanje le-te od prereza do prereza, vendar jo lahko spreminjamo šele na podlagi ugo tovljene napake. Pri sistemih diferencialnih enačb pa je praktično mogoče ugotoviti napako samo s ponovnim integriranjem z manjšim korakom, kar zahteva precej računskega časa. Zato je ugodnejše voliti dolžino koraka po izkušnjah ter šele pri re zultatih ugotavljati pravilnost izbire. Ta postopek je priporočljiv zlasti pri računu podobnih konstruk cij, ko smo izbiro že pri prvi preverili in uporab ljamo isto pri vseh naslednjih. Pri prvi med po- . dobnimi konstrukcijami lahko določamo optimalno, to je največjo dovoljeno dolžino koraka z večkrat nim računanjem, primerjanjem rezultatov in ugo tavljanjem konvergence. Predolg korak povzroči poleg napačnih rezul tatov tudi neizpolnjene robne pogoje, tako da je napaka opazna pri končnih rezultatih (glej točko 5.6). ! Kadar je dolžina elementovega odseka v ra čunskem modelu večja od dovoljene dolžine koraka, razdelimo odsek na pododseke in te obravnavamo po redukcijskem postopku. 5.5 Račun lupine kot celote Za vsako delno stanje (za vsak člen Fourier- jeve razvrstitve obtežbe) poteka račun celotne lu pine po kombinaciji deformacijskega in redukcij skega postopka. Tukaj navajamo samo nekaj po sebnosti, ker je sam postopek znan iz literature [2], Pri redukcijskem postopku je poleg prenosne matrike (12) in obtežbenega vektorja (13) važna še transformacijska matrika lokalnega koordinatnega sistema. Ta je enostavno določljiva, ker je odvisna le od nagiba