IZ RAZREDA 39 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Numerično računalo pri vsebini integral Irena Rauter Repija Gimnazija Franca Miklošiča ljutomer Povzetek V prispevku je opisana uporaba numeričnega računala pri raziskovanju geometrijskega pomena določenega integrala in njegovih lastnosti ter uporaba računala pri preverjanju rezultatov rešenih nalog. Ključne besede: določeni integral, lastnosti določenega integrala, numerično računalo Using a Calculator to Learn Integrals Abstract The article describes calculator use in studying the geometric concept of an integral and its characteristics as well as its use in the verification of the solved tasks. Keywords: certain integral, characteristics of a certain integral, calculator Uvod V srednji šoli je numerično računalo pri pouku matematike sko- raj nepogrešljiv pripomoček. Uporabljamo ga za računanje ko- renov poljubnih stopenj, za računanje vrednosti kotnih funkcij, logaritmov, za preverjanje rezultatov, pri usvajanju novega znanja ter pri preiskovanju in reševanju matematičnih problemov. Najprej poglejmo, kako numerično računalo lahko uporabimo za preiskovanje geometrijskega pomena določenega integrala in nje- govih lastnosti. Na šoli imamo komplet numeričnih računal, ki jih lahko uporabljamo pri pouku matematike. Večina učencev pa pri opisanem pouku uporablja kar svoje računalo. Na šolskem ra- čunalniku imamo nameščen emulator za šolski komplet računal, ki ga uporabimo pri demonstraciji uporabe računala. Do definicije in geometrijskega pomena določenega integrala Za uvod v obravnavano snov z dijaki običajno najprej pogledamo eno izmed aktivnih slik, ki prikazuje, kako s pomočjo ploščine pravokotnikov pridemo do ploščine lika med grafom funkcije in abscisno osjo. Dijaki do takrat že znajo izračunati ploščino štirikotnika in nedoločeni integral, ne poznajo pa še zveze med določenim in nedoločenim integralom. Zatem zapišemo defini- cijo določenega integrala. Definicija določenega integrala: Določeni integral zvezne funkcije f na intervalu [a, b], je limita vsote , kjer je t i poljubna točka z intervala [x i–1 , x i ], ko gredo širine vseh delnih intervalov ∆x i proti 0, število delilnih točk pa v neskončnost: (Bon Klanjšček, 2012). Preden zapišemo geometrijski pomen določenega integrala, z numeričnim računalom raziščimo, kako je ploščina lika, ki ga graf zvezne funkcije oklepa z abscisno osjo na danem intervalu, povezana z vrednostjo določenega integrala. V ta namen vzemimo funkcijo f s predpisom f(x) = –x + 4 in poglejmo lik, ki ga graf funkcije f na intervalu [0,6] oklepa z ab- scisno osjo, kot prikazuje slika 1. Ker ima funkcija f na intervalu [0, 4] pozitivne vrednosti in na intervalu [4, 6] negativne vrednosti, zaradi lažjega razumevanja razdelimo lik med grafom funkcije f in abscisno osjo pri x = 4 na dva dela. Ploščino lika S L , ki ga sestavljata dva pravokotna trikot- nika s ploščinama S 1 in S 2 (slika 1) izračunajmo z uporabo obraz- ca za računanje ploščine pravokotnega trikotnika, za računanje IZ RAZREDA 40 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 določenega integrala pa uporabimo numerično računalo, kot je prikazano na sliki 2. Izračunane ploščine in dobljene vrednosti določenega integrala zapišimo v preglednico 1. Preglednica 1: S 1 = S 2 = S L = Slika 2: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Izpolnjena preglednica 1: Slika 1: Lik med grafom funkcije in abscisno osjo. Dijaki nato primerjajo izračunane ploščine in vrednosti dolo- čenega integrala. Ugotovimo, da sta na intervalu [0, 4] ploščina in določeni integral oba pozitivna, na intervalu [4, 6] pa je do- ločeni integral negativen. Vprašamo se, zakaj je prišlo do tega. Pogledamo definicijo določenega integrala, kjer vidimo, da je predznak določenega integrala odvisen od predznaka funkcij- skih vrednosti na danem intervalu. Na intervalu [4, 6] so vse funkcijske vrednosti negativne, zato je tudi vrednost določe- nega integrala negativna. Posebej poglejmo, zakaj na intervalu [0, 6] pride do razlike med izračunano ploščino lika in vrednostjo določenega integrala. Ploščina je na celotnem intervalu enaka vsoti ploščin, medtem ko je vrednost določenega integrala enaka razliki med ploščinama likov, ki ležita nad in pod abscisno osjo. Vse skupaj strnemo v geometrijski pomen določenega integrala: • Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in povsod nene- gativna (f ≥ 0), je integral ∫ a b f(x)dx enak ploščini lika, ki je omejen z abscisno osjo, grafom funkcije f ter premicama x = a in x = b. • Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in povsod negativ- na (f < 0), je integral ∫ a b f(x)dx negativen in enak nasprotni vrednosti ploščine lika, omejenega z grafom funkcije f, ab- scisno osjo ter premicama x = a in x = b. • Če je funkcija f na intervalu [a, b] pozitivna in negativna, je določeni integral ∫ a b f(x)dx enak razliki med ploščinami likov, ki ležijo nad osjo x, in ploščinami likov, ki ležijo pod osjo x (liki so omejeni z grafom funkcije in abscisno osjo na danem intervalu). (Bon Klanjšček, M. in ostali, 2012). Raziskujemo lastnosti določenega integrala Z numeričnim računalom (slika 3 in slika 4) izračunamo še nekaj vrednosti, ki so vezane na lastnosti določenega integrala. Rezul- tate zapišemo v preglednico 2 in preglednico 3. Preglednica 2: Slika 3: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. IZ RAZREDA 41 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Preglednica 3: Slika 4: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Z dijaki se nato pogovorimo o dobljenih rezultatih in zapišemo naslednje lastnosti določenega integrala. • Določeni integral vsote dveh funkcij je enak vsoti določenih integralov posameznih funkcij: • Določeni integral zmnožka funkcije s številom je enak zmnožku števila in določenega integrala funkcije: • Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b] in točka c poljubna točka na tem intervalu, je: • Če meji določenega integrala med seboj zamenjamo, integral spremeni predznak: • Če sta meji enaki, ima integral vrednost 0. (Bon Klanjšček, 2012). Prvi del, v katerem smo raziskovali geometrijski pomen in last- nosti določenega integrala, zaključimo z zapisom osnovne for- mule integralskega računa, ki podaja zvezo med določenim in nedoločenim integralom. Nato nekatere vrednosti določenega integrala, ki smo jih prej dobili z računalom, utemeljimo še ra- čunsko. Osnovni izrek integralnega računa (Newton-Leibnizova formula) Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], je ∫ a b f(x)dx = F(b) – F(a), kjer je F poljuben nedoločeni integral funkcije f: F'(x) = f(x) (Bon Klanjšček, M. in ostali, 2012). Preverimo naslednje vrednosti določenega integrala z računa- njem določenega integrala po osnovni formuli integralskega ra- čuna: Vidimo, da so izračune vrednosti enake kot v izpolnjeni pregled- nici 1. Za vajo izračunamo še določena integrala: Vidimo, da je z izbiro delilne točke pri x = 3 vrednost določenega integrala na [0, 6] ravno tako enaka 6. Tudi te rezultate lahko preverimo na sliki 1 s pomočjo ploščin in ustreznim predznakom določenega integrala. V nadaljevanju si oglejmo še en primer uporabe numeričnega računala, in sicer kako numerično računalo uporabljamo za pre- verjanje rezultatov. Pri reševanju naslednje naloge bomo vse rešitve utemeljili račun- sko, nato pa rezultate preverili še z računalom. IZ RAZREDA 42 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Naloga Na sliki je narisan graf funkcije f: s predpisom in na njem točke A, B, C, D in E (slika 5). Slika 5: Graf funkcije f. a) Izračunajte koordinate točk A, B, C, D in E. b) Natančno izračunajte koordinati presečišča grafa funkcije f s premico . c) Izračunajte absciso presečišča grafa funkcije f s premico y = 3. Rezultat zapišite na dve mesti natančno. č) Zapišite vrednosti spremenljivke x, za katere je f(x) ≥ 0. d) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f in absci- sno osjo. Vnesemo izraz in uporabimo ukaz CALC. Izberemo x = –3. Ordinata točke A je –8. Slika 6: Računanje ordinate točke A z numeričnim računalom. Točki B in C: Računsko V točkah B in C graf funkcije f seka abscisno os. Z uporabo Hornerjevega algoritma izračunamo ničli funkcije f. Zapišemo koordinati točke B in C: B(–2, 0) in C(1, 0). Rezultat preverimo z računalom Na računalu izberemo ukaz za računanje ničel polinoma tret- je stopnje. Vnesemo vrednosti koeficientov a, b, c in d. Preberemo eno ničlo: x 1 = –2 Preberemo drugo ničlo: x 2 = 1 Slika 7: Računanje ničel z numeričnim računalom. Rešitev naloge a) Izračunajte koordinate točk A, B, C, D in E. Točki A in D: Računsko Ker je funkcija f definirana na intervalu [–3, 3], sta abscisi točk A in D enaki x A = –3 in x D = 3. Izračunajmo njuni or- dinati. Zapišemo koordinati točke A in D: A(–3, –8) in D(3, 10) Rezultat preverimo z računalom Slika 6 prikazuje, kako z računalom preverimo ordinato toč- ke A. Nato še enkrat uporabimo ukaz CALC in preverimo ordinato točke D. IZ RAZREDA 43 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Rezultat preverimo z računalom Vnesemo izraz in uporabimo ukaz CALC. Vstavimo . Preberemo ordinato presečišča . Slika 9: Računanje ordinate presečišča z numeričnim računalom. c) Izračunajte absciso presečišča grafa funkcije f s premico y = 3. Rezultat zapišite na dve mesti natančno. Računsko Hitro se lahko prepričamo, da enačba nima celoštevilskih rešitev. Iz narisanega grafa lahko razberemo, da bo abscisa presečišča nekje med x = 2 in x = 3. Uporabimo metodo bi- sekcije in izračunamo rešitev x = 2,2 na dve mesti natančno. Rezultat preverimo z računalom Z računalom imamo več možnosti za preizkus. Uporabimo lahko ukaz za reševanje polinomske enačbe 3. stopnje ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ali pa zapišemo enačbo in z ukazom SOLVE dobimo približek x = 2,2. Lahko pa rezultat preverimo, kot prikazuje slika 9. Vnesemo izraz in uporabimo ukaz SOLVE. Vstavimo y = 3. Preberemo absciso presečišča 2,2. Slika 10: Računanje abscise presečišča z numeričnim računalom. Točki E in C: Računsko Izračunamo prvi odvod funkcije f ter izračunamo abscisi stacionarnih točk. Izračunamo pripadajoči ordinati y E = f(–1) = 2 in y C = f(1) = 0 ter zapišemo koordinati točk E in C: E(–1, 2) in C(1, 0). Rezultat preverimo z računalom Zapišemo odvod funkcije f in izraz izenačimo z 0. Izberemo ukaz SOLVE. Preberemo absciso prve točke x E = –1 in nato še absciso druge točke x C = 1. Slika 8: Računanje ničel odvoda z numeričnim računalom. Z numeričnim računalom preverimo ordinati točk E in C na podoben način, kot smo to naredili za ordinato točke A. b) Natančno izračunajte koordinati presečišča grafa funkcije f s premico . Računsko Iz enačbe izrazimo ter izračunamo ordi- nato presečišča. Zapišemo koordinati presečišča: IZ RAZREDA 44 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 č) Zapišite vrednosti spremenljivke x, za katere je f (x) ≥ 0. Rešitev preberemo z grafa Potem, ko smo izračunali koordinate točk na grafu funk- cije f, lahko iz slike preberemo f (x) ≥ 0 rešitev neenačbe: x ∈ [–3, –2] ∪ {1} Rezultat preverimo z računalom Na računalu izberemo ukaz za reševanje polinomske ne- enačbe tretje stopnje ax 3 + bx 2 + cx + d ≤ 0. Vnesemo koeficiente a, b, c in d. Preberemo rešitev: x ∈ (–∞, –2] ∪ {1} Slika 11: Reševanje polinomske neenačbe z numeričnim računalom. Rezultat, ki je prikazan na računalu za funkcijo f, ki je de- finirana le na intervalu [3, 3], ni pravilen. Tega se moramo zavedati in predlagane rešitve pravilno uporabiti: x ∈ [–3, –2] ∪ {1} d) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f in abscis- no osjo. Računsko Slika 12: Lik med grafom funkcije f in abscisno osjo. Najprej izračunajmo ploščino lika, ki ga graf funkcije oklepa z abscisno osjo na intervalu [–3, –2]: Izračunani integral ima na intervalu [–3, –2] negativno vred- nost, saj na tem intervalu graf funkcije f leži pod abscisno osjo. Ploščina lika med grafom funkcije f in abscisno osjo na tem delu enaka . Na podoben način lahko za vajo izračunamo še preostala dva določena integrala ter rezultate vpišemo v preglednico. V preglednico zapišemo še vrednosti pripadajočih ploščin. IZ RAZREDA 45 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Izpolnjena preglednica: Rezultat preverimo z računalom Z računalom izračunamo določene integrale, npr.: Slika 13: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Zaključek Predstavljena uporaba numeričnega računala je samo ena od možnosti, ki jih lahko uporabimo v razredu za raziskovanje in reševanje problemov ter utrjevanje znanja. Aktivno učenje dijakom pomaga, da so sami vključeni v proces izgradnje matematičnega znanja, da vsebine bolje razumejo in si jih lažje zapomnijo. Glede na zmožnosti in interese dijakov ter glede na zahtevnost posameznega programa preiskovane lastnosti pod- krepimo še z dokazi. Učitelji matematike od dijakov pričakujemo, da vse rešitve nalog utemeljijo računsko in rezultate kritično oce- nijo. Ob tem večkrat pozabimo, da je današnja generacija dijakov drugačna, tako rekoč rojena s tehnologijo. Naša naloga je, da se s smiselno rabo tehnologije pri pouku skušamo čim bolj približati njihovemu načinu učen- ja in razmišljanja v procesu usvajanja novih vsebin, tudi pri utrjevanju, poglabljanju in ocenjevanju znanja. Vir Bon Klanjšček, M. idr. (2012). Matematika 4. Zbirka nalog za gimnazije. Ljubljana: DZS.