IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Algebra bločnih diagramov Urška Puncer Povzetek Modeliranje je postopek, s katerim realni proces pretvorimo na matematični model. Modeliranje se velikokrat uporablja na elektro področju pri vodenju sistemov. Za preučevani proces pretvorimo obstoječe enačbe v bloč- ni diagram, potem pa ga s pravili algebre poenostavimo v čim bolj osnovno obliko. V prispevku je prikazana ura matematike, v kateri dijaki s pomočjo delovnega lista spoznajo osnovne pojme ter pravila algebre, ki vel- jajo za bločne diagrame. Pravila dokažemo z uporabo računskih zakonov ter ekvivalentnim preoblikovanjem enačb. Ključne besede: bločni diagram, računski zakoni, ekvivalentno preoblikovanje enačb Algebra of Block Diagrams Abstract Modelling is the process by which a real process is transformed into a mathematical model. Modelling is widely used in the field of electrical engineering in the management of systems. For the studied process, the existing equation is transformed into a block diagram and then simplified with algebraic rules in the most ba- sic form. We can prove the rules using the commutative, associative and distributive laws and turning simple equations. Key words: block diagram, commutative, associative and distributive laws Uvod Na vseh nivojih srednješolskega izobraževanja se pri matematiki obravnavajo številske množice. Od naravnih števil dalje se pri vsaki množici pojavljajo komutativno- stni zakon za seštevanje in množenje, asociativnostni zakon za seštevanje in množenje ter distributivnostni zakon. Dijaki vedno sprašujejo, zakaj je zakone sploh treba obravnavati, saj so na ravni števil tako očitni. V al- gebri bločnih diagramov sem našla primer, da dijakom pokažem, da so ti zakoni pomembni tudi v praksi. Ura je prilagojena za konec prvega letnika tehniške šole. T emo obravnavamo v skupinah s tremi ali štirimi dijaki. Po razporejanju sledi kratek uvod o modeliranju. Modeliranje je postopek, s katerim realni proces pretvo- rimo na matematični model. Modeliranje se velikokrat uporablja na elektro področju pri vodenju sistemov. Za preučevani proces pretvorimo obstoječe enačbe v bloč- ni diagram, potem pa ga s pravili algebre poenostavimo v čim bolj osnovno obliko. Prednost bločnih diagramov je njihova nazornost in preglednost. Za obravnavanje teme sem pripravila delovni list (Pri- loga 1), na katerem so najprej zapisani in prikazani osnovni pojmi (Slika 1) ter enačbe (Slika 2–9), ki jih predstavljajo. Ime Simbol Mate- matična enačba Blok (Na levi strani je vhodni signal, na desni pa izhodni signal. Blok na sredini pove zvezo med vhodom in izhodom.) b = a · G Sumacijska točka (ponazarja seštevanje ali odštevanje dveh signalov) c = a ± b Razcepišče (pove, da določen signal deluje na različnih mestih v bločnem diagramu) Povratna zanka Slika 1: Osnovni pojmi (prirejeno po Zupančič, 2018) IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Potem sledi tabela, v kateri so osnovne povezave med bloki in pravila algebre bločnih diagramov. Vsa ta pravila najprej doka- žemo z uporabo osnovnih računskih zakonov, ekvivalentnim preoblikovanjem enačb ter osnovnih sistemov enačb. Na koncu se pogovorimo, katera pravila smo uporabili. Nekaj primerov naredimo skupaj. Potem jih spodbudim k samostojnemu delu po skupinah, sama pa hodim med skupinami, jih spodbujam k razmišljanju in odgovarjam na vprašanja. Za dokazovanje izpišemo enačbe iz zgornjega diagrama in jih pre- oblikujemo v enačbo, ki ustreza spodnjemu diagramu. Ime Ekvivalentna diagrama Kaj smo upora- bili? 1 Redukcija zaporedne vezave Slika 2 Za prvi diagram (Slika 2) velja b = c · G in c = a · G 1 . Enačbi združimo in dobimo b = c · G 2 = (a · G 1 ) · G 2 = a · ( G 1 · G 2 ) . Uporabili smo asociativnostni zakon za množenje. 2 Redukcija vzporedne vezave Slika 3 Za prvi diagram (Slika 3) velja b = a · G 1 + a · G 2 . Izpostavimo a in dobimo b = a · (G 1 + G 2 ) . Uporabili smo izpostavljanje skupnega faktorja. 3 Redukcija zanke Slika 4 Za prvi diagram (Slika 4) veljata enačbi b = c · G 1 in c = a + b · G 2 . Če enačbi združimo, dobimo b = c · G 1 = (a + b · G 2 ) · G 1 = a · G 1 + b · G 2 · G 1 . Iz enačbe izrazi- mo b in dobimo b – b · G 2 · G 1 = a · G 1 b · (1 – G 2 · G 1 ) = a · G 1 b = G 1 1 – G 2 · G 1 · a; G 1 · G 2 ≠ 1. Za G 1 · G 2 = 1 velja b · 0 = a · G 1 , torej a = 0. Uporabili smo sistem enačb, distributivnostni zakon, izposta- vljanje skupnega faktorja in obravnavanje linearne enačbe s pa- rametri. 4 Zamenjava vrstnega reda zaporednih blokov Slika 5 Iz prve točke sledi, da lahko enačbi prvega diagrama (Slika 5) združimo in zapišemo kot b = a · G 1 · G 2 . b = a · G 1 · G 2 = a · G 2 · G 1 = d · G 1 , kjer je d = a · G 2 . To pa sta enačbi drugega diagrama. Uporabili smo komutativnostni zakon za množenje. 5 Zamenjava vrstnega reda zaporednih sumacijskih točk Slika 6 Prvemu diagramu (Slika 6) pripada enačba d = (a ± b) ± c. Nato jo preoblikujemo in dobimo d = (a ± b) ± c = a + (± b ± c) = a + (± c ± b) = (a ± c) ± b , kar je enačba drugega diagrama. Uporabili smo asociativnostni in komutativnostni zakon za seš- tevanje. Pri tej točki dijake opozorim na izpostavljanje znaka za seštevan- je pred oklepajem. IZ RAZREDA 49 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 6 Zamenjava vrstnega reda zaporednih razcepišč Slika 7 Razcepišče pomeni (Slika 7), da isti signal deluje na različnih mestih, zato lahko razcepišča med sabo menjamo. 7 Premik sumacijske točke za blok Slika 8 Zapišemo enačbo (Slika 8), ki pripada prvemu diagramu, upo- rabimo distributivnostni zakon in dobimo enačbo, ki pripada drugemu diagramu. c = (a ± b) · G 1 = a · G 1 ± b · G 1 . 8 Premik sumacijske točke pred blok Slika 9 Ob uporabi izpostavljanja skupnega faktorja in obratne vred- nosti pokažemo (Slika 9), da velja c = a · G 1 ± b = a · G 1 ± b · 1 G 1 · G 1 = ‰ a ± b · 1 G 1 � · G 1 . Po pregledu tabele s pravili sledi naloga, v kateri ta pravila upo- rabimo. Naloga Na sliki so štirje diagrami. Z uporabo zgornjih pravil ugotovi, kateri so ekvivalentni in jih poenostavi do osnovne oblike. IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 50 Rešitev naloge: Odziv dijakov na uro je bil pozitiven. Všeč jim je bilo predvsem to, da smo se dotaknili njihovega področja, pri tem pa utrdili matematično predznanje. Zaključek Algebro bločnih diagramov uporabljajo na področju elektrotehnike, vendar sem delovni list sestavila povsem splošno, tako da je primeren tudi za druge smeri. V opisani uri se dijaki urijo v dokazovanju, preoblikovanju enačb, uporabljajo številske zakone ter diagrame povezujejo z enačbami in obratno. Pri temi spoznajo uporab- nost računskih zakonov, ki so jim na ravni števil tako samoumevni. Tema je zelo primerna za skupinsko delo, saj je snov za vse popolnoma nova in med dijaki ni večjih razlik v predznanju. Viri Puncer, U. (2018). Bločna algebra. Zbornik razširjenih povzetkov KUPM 2018. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Str. 86, 87. http://msc.fe.uni-lj.si/Download/Zupancic/AVS/AVS.pdf (21. 3. 2018). https://www.slideshare.net/tendeo/control-chap3 (21. 3. 2018). https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_block_diagram_algebra.htm (21. 3. 2018). DEl OVNI lIST: Al GEBRA Bl OČNIH DIAGRAMOV 51 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Osnovni pojmi: Ime Simbol Matematična enačba Blok (Na levi strani je vhodni signal, na desni pa izhodni signal. Blok na sredini pove zvezo med vhodom in izhodom.) b = a · G Sumacijska točka (ponazarja seštevanje ali odštevanje dveh signalov) c = a ± b Razcepišče (pove, da določen signal deluje na različnih mestih v bločnem diagramu) Povratna zanka Osnovna pravila algebre: Ime Ekvivalentna diagrama in dokaz ekvivalence Kaj smo uporabili? 1 Redukcija zaporedne vezave 2 Redukcija vzporedne vezave 3 Redukcija zanke 4 Zamenjava vrstne- ga reda zaporednih blokov 5 Zamenjava vrstnega reda zaporednih suma- cijskih točk 52 DEl OVNI lIST: Al GEBRA Bl OČNIH DIAGRAMOV Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 6 Zamenjava vrstne- ga reda zaporednih razcepišč 7 Premik sumacijske točke za blok 8 Premik sumacijske točke pred blok Naloga: Na sliki so štirje diagrami. Z uporabo zgornjih pravil ugotovi, kateri so ekvivalentni in jih poenostavi do osnovne oblike.