ŠOLA
REŠEVANJE TREH VELIKIH STAROGRŠKIH
PROBLEMOV
MARJAN JERMAN
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 12F05, 97H40
Trije klasični starogrški problemi, podvojitev kocke, kvadratura kroga in trisekcija
kota, niso rešljivi samo z uporabo neoznačenega ravnila in šestila. V prispevku so opisane
nekatere zanimive antične nestandardne rešitve teh treh problemov.
SOLVING THE THREE CLASSICAL GREEK PROBLEMS
The three classical ancient Greek problems, doubling the cube, squaring the circle
and trisecting an angle cannot be solved using ruler and compass only. Some interesting
ancient non-standard solutions of these problems are described.
Uvod
Teon iz Smirne1 je med komentarji izgubljene Eratostenove2 knjige Platoni-
cus zapisal zgodbo, ki je kasneje postala znana kot problem z Delosa. Okrog
leta 430 pr. Kr. je približno četrtino prebivalcev grškega otoka Delosa po-
morila kuga. Kot je bilo takrat običajno, so šli predstavniki otoka po nasvet
k oraklju v Apolonov tempelj v Delfe. Odgovoril jim je, da se bodo kuge
znebili, če podvojijo prostornino Apolonovega oltarja [v obliki kocke]. Raz-
lične zgodbe govorijo o tem, da so rokodelci najprej nad oltarjem zgradili še
en enak oltar, tako podvojili prostornino, a s tem pokvarili njegovo obliko.
Ko so nato poskusili s podvojitvijo vseh stranic, so prostorino povečali za
osemkrat. Po dolgotrajnih neuspešnih poskusih so za pomoč prosili Pla-
tona.3 Ta jim je povedal, da si orakelj v resnici ni želel večjega oltarja, je pa
želel s to nalogo osramotiti Grke zaradi njihovega zanemarjanja matematike
in prezira do geometrije.
Zgodbo s podobno matematično vsebino najdemo tudi v Evtocijevem4
komentarju Arhimedove5 razprave O sferi in valju. V sicer ponarejenem
1Teon iz Smirne (75–135), grški matematik, ki je v večini svojih del komentiral dela
starejših matematikov in filozofov, predvsem pitagorejcev in Platona.
2Eratosten iz Kirene (276–195 pr. Kr.), grški matematik, geograf, pesnik, astronom in
atlet.
3Platon (424–348 pr. Kr.), Sokratov študent, grški filozof in matematik.
4Evtocij iz Aškalona (480–540), grški matematik.
5Arhimed iz Sirakuze (287–212 pr. Kr.), grški matematik, fizik in astronom.
182 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
Reševanje treh velikih starogrških problemov
pismu, ki naj bi ga Eratosten pisal kralju Ptolemaju, je zapisan mit o uža-
loščenem kralju Krete Minosu.6 Njegov sin Glavk je med lovljenjem miši
padel v vrč medu in se utopil. Ko je kralj videl, da je vsaka stranica sinove
grobnice dolga le 100 čevljev, se mu je zdela premajhna za zadnje počiva-
lišče kraljevskega potomca. Zato je obrtnikom naročil, naj ohranijo njeno
obliko, prostornino pa podvojijo.
Druga dva velika problema, kvadratura kroga in trisekcija kota, nimata
tako slikovitega izvora, sta pa zagotovo zelo stara in razvpita. Že v Rhin-
dovem papirusu,7 ki je bil napisan leta 1650 pr. Kr., je zastavljena naloga,
kako konstruirati stranico kvadrata, ki je ploščinsko enak danemu krogu. Iz
Aristofanove8 igre Ptiči iz leta 414 pr. Kr. celo izvira poimenovanje “kva-
dratura kroga” za neplodne poskuse doseči nemogoče. Tudi trisekcija kota
je zelo star problem. Antični matematiki, med njimi tudi Hipokrat9 in Ni-
komed,10 so se intuitivno zavedali, da problema ni mogoče rešiti samo z
ravnilom in šestilom, zato so se reševanja lotili s pomočjo dodatnih orodij.
Izumili so mehanične naprave in nove krivulje, s pomočjo katerih je bila
trisekcija mogoča.
Da je samo z neoznačenim ravnilom in šestilom v splošnem nemogoče
skonstruirati stranico kocke, ki ima dvakratno prostornino, je ob obilni zlo-
rabi opija in kofeina pokazal šele Pierre Wantzel11 leta 1837. V istem delu
je tudi dokazal, da ni možna trisekcija kota, in karakteriziral vse pravilne
večkotnike, ki se dajo narisati samo z ravnilom in šestilom.12 Problem kva-
drature kroga je bil dokončno dokazan kot nerešljiv šele leta 1882, ko je Carl
Lindemann13 pokazal, da je število π transcendentno.
Poenostavljeno rečeno, konstruktibilna števila so rešitve sistema dveh
enačb, od katerih je lahko vsaka linearna (enačba premice skozi že konstru-
irani točki) ali kvadratna (enačba krožnice s središčem v že konstruirani
točki, ki ima za polmer razdaljo med že narisanima točkama), za koefici-
ente pa imata konstruktibilna števila, ki smo jih dobili v prejšnjih korakih.
Tako je 1 konstruktibilno število, vsa preostala pa so dobljena s smiselnim
končnim zaporedjem štirih osnovnih računskih operacij in kvadratnih kore-
6Glede na arheološke najdbe v Knososu je morda v zgodbi nekaj resnice.
7Rhindov papirus je prepis dokumenta iz leta 1850 pr. Kr., verjame pa se celo, da
njegova vsebina izvira iz let približno 3400 pr. Kr.
8Aristofan (446–386 pr. Kr.), pisec komedij. Še danes je v celoti ohranjenih 40 njegovih
del.
9Hipokrat s Hiosa (470–410 pr. Kr.), grški matematik (in ne znani zdravnik).
10Nikomed (280–210 pr. Kr.), grški matematik, ki je izumil konhoido, s pomočjo katere
je mogoča trisekcija kota.
11Pierre Wantzel (1814–1848), francoski matematik.
12Samo z ravnilom in šestilom je možno skonstruirati natanko tiste pravilne večko-
tnike, katerih število stranic je produkt dvojk in Fermatovih praštevil. Nekateri štejejo
konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika za četrti veliki starogški problem. Drugače
od prejšnjih treh ga je rešil C. F. Gauss (1777–1855) leta 1796. Rešitev je v skladu z
Wantzlovo ugotovitvijo: 17 = 22
2
+ 1 je praštevilo.
13Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939), nemški matematik.
182–192 183
Marjan Jerman
nov. V jeziku moderne algebre pravimo, da imajo konstruktibilna števila
minimalni polinom z racionalnimi koeficienti in stopnjo 2n.
Število 3
√
2 je ničla v Q[x] nerazcepnega polinoma x3 − 2 = 0, število
π pa ni ničla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. Nekatere kote
se seveda da tretjiniti, možna je recimo trisekcija pravega kota, običajno pa
pokažemo, da ni možna trisekcija kota 60◦. Če bi bila trisekcija možna, bi
lahko s pomočjo pravokotne projekcije narisali tudi daljico dolžine cos 20◦.
Zaradi enakosti
1
2
= cos(60◦) = cos(3 · 20◦) = 4 cos3(20◦) − 3 cos(20◦)
je cos 20◦ ničla polinoma 8x3 −6x−1 = 0. Lahko je videti, da je ta polinom
v Q[x] nerazcepen, zato trisekcija kota 60◦ ni možna.
V nadaljevanju prispevka bodo navedene nekatere zanimive nestandar-
dne rešitve teh treh problemov. Bralca vabim, naj pri vsaki od njih ugotovi,
zakaj ni izvedljiva le z ravnilom in šestilom.
Podvojitev kocke
Že Hipokrat je spoznal, da je za podvojitev kocke dovolj najti daljici dolžin
x in y v vmesnem sorazmerju: če je
a
x
=
x
y
=
y
b
,
potem je
(
y
b
)3
=
a
x
· x
y
· y
b
=
a
b
.
V primeru, ko izberemo a = 2b, velja y3 : b3 = 2 : 1.
Daljici v iskanem vmesnem sorazmerju je na najbolj impresiven način
našel Arhitas.14 Rešitev najdemo med Evtocijevimi komentarji, kjer morda
citira Evdemovo15 Zgodovino geometrije. Arhitas si je pri rešitvi genialno
pomagal z gibanjem in s tretjo razsežnostjo prostora. Plutarh16 piše, da je ta
nekonvencionalna rešitev zelo ujezila idealističnega Platona, ki je dovoljeval
le ravninsko uporabo ravnila in šestila.
Zaradi lažjega opisa in utemeljitve pravilnosti Arhitove rešitve si bomo
pomagali z analitično geometrijo. Zavedati pa se je treba, da je koordina-
tni sistem, ki je učinkovita povezava med evklidsko geometrijo in algebro,
odkril šele René Descartes17 v 17. stoletju. Zgodovinsko je pomembno, da
lahko celotni analitični račun nadomestimo z dobro geometrijsko predstavo
14Arhitas (428–347 pr. Kr.), pripadnik pitagorejcev, začetnik mehanike.
15Evdem z Rodosa (370–300 pr. Kr.), Aristotelov učenec.
16Plutarh (46–120), zgodovinar, biograf in esejist.
17René Descartes (1596–1650), francoski filozof in matematik.
184 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
Reševanje treh velikih starogrških problemov
A
B
K1 K2
1 x
y
1 x
z
Slika 1. Arhitova podvojitev kocke.
in nekaterimi elementarnimi geometrijskimi premisleki, ki so zapisani že v
Evklidovih Elementih. Večkrat je treba zvito uporabiti podobnosti triko-
tnikov in potenco točke na krog.
Vsi opisi bodo potekali v običajnem kartezičnem koordinatnem sistemu
v R3. Pokazali bomo, kako podvojiti kocko s prostornino 1.
V ravnini z = 0 imejmo krožnico K1 s središčem (1, 0, 0) in polmerom
1. Ploskev V je pokončni valj, ki ima krožnico K1 : (x − 1)2 + y2 = 1 na
svojem plašču,
V : x2 + y2 = 2x.
Krožnico K2 dobimo z vrtežem krožnice K1 okrog abscisne osi za pravi kot.
Leži v ravnini y = 0. Če krožnico K2 zavrtimo okrog osi z, dobimo torus
T brez sredinske luknje. Kot je običajno pri rotacijskih telesih, enačbo za
T najlažje napišemo v cilindričnih koordinatah. Pri vsakem polarnem kotu
dobimo enako krožnico:
(r − 1)2 + z2 = 1, r =
√
x2 + y2,
zato je enačba torusa
T : x2 + y2 + z2 = 2
√
x2 + y2.
182–192 185
Marjan Jerman
Točka A(1
2
,
√
3
2
, 0) leži na krožnici K1 in je od izhodišča O(0, 0, 0) oddaljena
za 1. Premica
p : x = 2, z = 0,
ki je tangenta na krožnico K1, seka poltrak z začetkom v O in skozi A v
točki B. Če zavrtimo OB okrog abscisne osi, dobimo del plašča stožca z
enačbo x
√
3 =
√
y2 + z2, ki leži na neskončnem dvojnem stožcu
S : x2 + y2 + z2 = 4x2.
Točka C(x, y, z) naj bo presečišče vseh treh ploskev V, T in S v prvem
oktantu, točka D(x, y, 0) pa njena pravokotna projekcija na ravnino z = 0.
Enačba torusa T pove, da za koordinate točke C velja
√
x2 + y2 + z2 = 2
√
x2 + y2
√
x2 + y2 + z2
,
iz enačbe valja V in stožca S pa dobimo
x2 + y2 + z2 = (2x)2 =
(
x2 + y2
)2
.
Tako smo našli iskano vmesno sorazmerje med OC in OD:
2
√
x2 + y2 + z2
=
√
x2 + y2 + z2
√
x2 + y2
=
√
x2 + y2
1
.
Če pomnožimo zgornje tri ulomke, namreč dobimo
(
√
x2 + y2
)3
= 2,
kar pomeni, da je OD stranica podvojene kocke s prostornino 2.
Še bolj nezadovoljen bi bil Platon z Eratostenovo mehanično napravo,
imenovano mesolab,18 prav tako namenjeno podvojitvi kocke.
Naprava je sestavljena iz dveh vzporednih vodil in treh skladnih pravo-
kotnih trikotnikov (slika 2). Trikotnik ACB je fiksen, trikotnika BED in
DGF pa se lahko premikata levo in desno po vodilih. Na spodnjem delu
slike je primer premaknjenih trikotnikov B̄ED in D̄GF . Z O označimo
pravokotno projekcijo točke A na spodnje vodilo.
Na stranici FG si izberimo točko Z tako, da bo ZG = 1
2
OA. Z X ozna-
čimo presečišče stranice BC s stranico B̄E premaknjenega trikotnika B̄ED,
z Y pa presek stranice DE premaknjenega trikotnika B̄ED in stranice D̄G
18Napravo je prvič omenil veliki grški matematik Papos iz Aleksandrije (290–350).
186 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
Reševanje treh velikih starogrških problemov
A B D F
C E GO
O
A B
C
B̄ D
E
X Y
D̄ F
G
Z
U
Slika 2. Eratostenova naprava.
premaknjenega trikotnika D̄GF . Trikotnika BDE in DGF je treba poma-
kniti v levo, tako da bodo točke A, X, Y in Z ležale na isti premici p.19
Naj bo U presek premice p s spodnjim vodilom po zahtevanem premiku
trikotnikov.
Najprej po Talesovem izreku o razmerjih v trikotniku AOU velja
AO
XC
=
OU
CU
=
AU
XU
.
Razmerja v trikotnikih ACU in XCU nam zaporedoma povejo, da je
AU
XU
=
CU
EU
=
XC
Y E
.
Z enakim premislekom dobimo XC
Y E
= Y E
ZG
. Tako smo našli vmesno soraz-
merje
AO
XC
=
XC
Y E
=
Y E
ZG
in AO : XC = 3
√
2 : 1. V primeru, ko vzamemo AO = 2 in ZG = 1, je
Y E = 3
√
2 stranica podvojene kocke.
19Bralci se lahko z napravo poigrajo na spletni strani demonstrations.wolfram.com/-
TheEratosthenesMachineForFindingTheCubeRootOfTwo/. Simulacijo je prispeval slo-
venski matematik dr. Izidor Hafner.
182–192 187
Marjan Jerman
Eratosten je še dodal, da lahko napravi dodamo nove skladne trikotnike
in s tem dobimo dodatna vmesna sorazmerja.20 Prav tako je svetoval, da se
zaradi enostavnosti njegove naprave ni vredno mučiti z Arhitovimi zaplete-
nimi preseki ploskev.
S podvojitvijo kocke so se ukvarjali tudi drugi veliki matematiki. Me-
najhmos21 si je pomagal s presekom parabole in hiperbole. Nikomed22 je
v ta namen izumil novo krivuljo konhoido,23 Diokles24 pa cisoido.25 Apo-
lonij26, Heron27 in Filon28 pa so izumili metodo, pri kateri je treba ravnilo
zasukati tako, da so določene daljice, ki jih ravnilo odreže, enako dolge.
Trisekcija kota
Veliko bolj enostavna in mehanično lažje izvedljiva je antična trisekcija kota,
skicirana na sliki 3. Zelo verjetno jo je izumil Arhimed, zanjo pa vemo
iz Tabitovega29 arabskega prevoda Knjige lem, ki jo s pridržki štejejo za
Arhimedovo delo.
Naj bo ϕ kot z vrhom V , ki ga želimo razdeliti na tri dele. Če je kot ϕ
top, ga lahko razrežemo na pravi kot in ostri kot. Pravi kot se da enostavno
razdeliti na tri dele, zato lahko brez škode za splošnost privzamemo, da je
kot ϕ oster.
X ϕ/3
Y
V
ϕ
A
B
C
Slika 3. Arhimedova trisekcija kota.
20To se enostavno vidi iz zadnje izpeljave.
21Menajhmos (380–320 pr. Kr.), grški matematik in geometer.
22Nikomed (280–210 pr. Kr.), grški matematik.
23Parametrična enačba konhoide je x = a + b cos t, y = a tg t + b sin t, a 6= 0.
24Diokles (240–180 pr. Kr.), grški matematik in geometer.
25Cisoido lahko podamo z enačbo y2 = x
3
2a−x
.
26Apolonij iz Perge (262–190 pr. Kr.), grški geometer in astronom.
27Heron iz Aleksandrije (10–70), grški matematik in inženir.
28Filon (pribl. 4. stoletje pr. Kr.), grški arhitekt.
29Tabit Ibn Kora (826–901), arabski matematik, fizik, astronom in prevajalec.
188 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
Reševanje treh velikih starogrških problemov
Najprej narišimo krožnico s središčem V in poljubnim polmerom. Kro-
žnica naj seka kraka kota ϕ v točkah A in B. Levo od V potegnimo poltrak
iz V , ki leži na isti premici kot polmer V A. Sedaj vzmemimo ravnilo in ga
fiksirajmo v točki B. Ravnilo naj odreže poltrak v točki X in seka krožnico
v točkah Y in B. Vrtimo ga okrog B, dokler razdalja XY ne postane enaka
polmeru krožnice. Na koncu narišemo poltrak iz V , ki leži v notranjosti
kota ϕ in je vzporeden ravnilu. Če poltrak seka krožnico v točki C, trdimo,
da je kot ∠CV A tretjina kota ϕ.
Najprej zaradi izmeničnih kotov velja ∠CV B = ∠V BY . Trikotnik BV Y
je enakokrak, zato je ∠V BY = ∠BY V . Zunanji kot ∠BY V trikotnika
XV Y pri oglišču Y je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov ∠Y XV +
∠Y V X, ki pa sta zaradi našega izbora XY = Y V enaka. Tako zaradi
vzporednosti ravnila in daljice V C dobimo ∠CV B = 2∠Y XV = 2∠CV A,
to pa smo želeli pokazati.
D B Y
V C A
M
X
Slika 4. Hipokratova trisekcija kota.
Na sliki 4 je skicirana še ena simpatična metoda za trisekcijo kota, ki jo
je poznal že Hipokrat. Naj bo ϕ kot z vrhom V in krakoma V A in V B.
Narišimo pravokotnik V CBD z diagonalo V B in osnovnico V C na kraku
V A. Iz točke D potegnimo poltrak v smeri B. Ravnilo, ki ga fiksiramo v V ,
naj seka stranico CB v X in poltrak iz D v Y . Vrtimo ga okrog V , dokler
ne postane razdalja XY dvakratnik razdalje V B. Trdimo, da je kot ∠XV A
tretjina kota ϕ.
To vidimo recimo takole: Najprej s točko M razpolovimo daljico XY .
Glede na lego ravnila je XM = MY = V B = BM . Zadnja enakost velja,
ker je trikotnik XY B pravokoten in je po Talesovem izreku MB polmer
njegove očrtane krožnice. Zato sta trikotnika V MB in BMY enakokraka.
Velja:
∠BV M = ∠V MB = ∠MBY + ∠MY B = 2∠MY B = 2∠Y V A,
to pa je bilo treba pokazati.
Trisekcija kota je možna tudi z Nikomedovo konhoido in s Hipijevo30
30Hipija (živel v 5. stoletju pr. Kr.), sofist.
182–192 189
Marjan Jerman
kvadratriso, ki je bila prvotno namenjena kvadraturi kroga.
Kvadratura kroga
Okrog leta 420 pr. Kr. je grški sofist Hipija izumil novo krivuljo, za katero
je kasneje Dinostrat31 pokazal, da omogoča kvadraturo kroga, zato so jo
poimenovali kvadratrisa.
Vzemimo pravokotni krožni izsek OAB z vrhom O in polmerom 1. Točka
Q naj z enakomerno hitrostjo potuje po loku AB, točka R pa po kraku OB.
Točki Q in R naj začneta potovati istočasno proti točki B, R iz točke O in
Q iz točke A, premikata pa naj se tako hitro, da hkrati prispeta v točko B.
Kvadratrisa je krivulja, ki jo sestavljajo preseki daljice OQ s pravokotnico
na OB v točki R v vsakem trenutku tega gibanja.
A
B
R
Q
P
ϕ
y
xO A
B
y
P
O
y
3
P ′
ϕ
3
Slika 5. Na levi sliki je skicirana definicija Hipijeve kvadratrise. Desna skica pa kaže,
kako si s kvadratriso pomagamo pri tretjinjenju kota.
Kvadratriso najlažje opišemo, če postavimo krožni izsek v pravokotni
koordinatni sistem takole: O(0, 0), A(1, 0) in B(0, 1). Presek daljice OQ
in pravokotnice v R(0, y) označimo s P , kot ∠AOQ pa s ϕ. Po definiciji
kvadratrise je y : ϕ = 1 : π
2
. Zato koordinati točke P (x, y) na kvadratrisi za
y ∈ (0, 1] zadoščata enačbi
x = y ctg ϕ = y ctg πy
2
.
V primeru y = 0 kvadratriso zvezno razširimo:
x(0) = lim
yց0
y ctg πy
2
= lim
yց0
y
tg πy
2
= lim
yց0
cos2 πy
2
π
2
= 2
π
.
Tako bi s pomočjo kvadratrise lahko narisali število 2
π
. Z uporabo podobno-
sti je možno z ravnilom in šestilom risati produkte in kvociente že konstru-
iranih števil, s pomočjo Talesovega izreka pa se da risati tudi korene. Zato
31Dinostrat (390–320 pr. Kr.), grški matematik in geometer, Menajhmov brat.
190 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
Reševanje treh velikih starogrških problemov
bi lahko v nekaj korakih iz števila 2
π
dobili tudi število
√
π, ki je stranica
kvadrata s ploščino π.
Antifon32 je poskušal priti do kvadrature kroga z zaporednim včrtova-
njem pravilnih večkotnikov s čedalje več stranicami, Arhimed si je pomagal
s spiralo, Apolonij pa je za kvadraturo izumil novo krivuljo, ki se je žal
izgubila skozi zgodovino.33
S kvadratriso je možna tudi trisekcija kota. Spet se lahko omejimo na
primer, ko je kot, ki ga želimo tretjiniti, oster. Kot ϕ postavimo tako,
da se eden od krakov pokriva z nosilko daljice OA, drugi krak pa seka
kvadratriso v točki P (x, y). Po definiciji kvadratrise je ϕ = y · π
2
. Naj bo
R(0, y) pravokotna projekcija točke P na ordinatno os. Daljico OR lahko
tretjinimo samo s šestilom in ravnilom, naj bo R′(0, y
3
). Pravokotnica na
OB iz R′ seka kvadratriso v točki P ′(x′, y
3
). Ponovno uporabimo definicijo
kvadratrise in dobimo
∠P ′OA = y
3
· π
2
= ϕ
3
.
Zanimivo je, da v zapuščini grške antične matematike ne najdemo prav
nobenega napačnega dokaza o možnosti rešitve katerega od opisanih treh
problemov z ravnilom in šestilom. To priča o idealistični naravi starogr-
ških matematikov, ki so skušali strogo slediti Platonovi viziji matematike.
Praktične zemljemerske, davčne in celo verske potrebe pa so skozi zgodovino
prinesle kar nekaj približnih rešitev. Prispevek končajmo z egipčansko in
indijsko aproksimacijo kvadrature kroga.
Naloga številka 50 v Rhindovem papirusu sprašuje po ploščini krožnega
polja s premerom 9 khetov.34 Pisar Ahmes je napisal odgovor takole: Od-
vzemi devetino premera, dobiš 8. Sedaj število 8 pomnoži samo s sabo.
Ploščina je 64.
Egipčani še niso poznali simboličnega zapisa in so splošne formule raz-
lagali s primeri. Danes bi egipčansko formulo za ploščino napisali takole:
p =
(
8
9
· 2r
)2
= 256
81
r2.
Od tod vidimo, da so za π uporabljali približek 256
81
.
= 3,16. Stranica kva-
drata, ki je ploščinsko enak danemu krogu, pa je približno a = 16
9
r.
Indijsko rešitev najdemo v Sulbasutrah, dodatku k indijskim Vedam, ki
izvirajo iz let med 15. in 5. stoletjem pr. Kr. Vede opisujejo žrtvovalne ritu-
ale, ki so bili pomemben del tedanje vere, Sulbasutre pa vsebujejo navodila
za konstrukcije oltarjev. Veliko konstrukcij, ki so izvedene z vlečenjem vrvi,
je popolnoma korektnih. Zelo navdušujoča je na primer metoda, ki poišče
kvadrat, ki je ploščinsko enak danemu pravokotniku.
32Antifon (konec 5. stoletja pr. Kr.), sofist.
33O krivulji je ostal le podatek, da je „sestra“ kohloide.
341 khet = 100 kubitov, 1 kubit = 6 dlani, 1 dlan = 4 prste, 1 prst = 1,88 cm.
182–192 191
Marjan Jerman
13
15
· 2r
3x
x
Slika 6. Indijska kvadratura kroga.
Njihova metoda za kvadraturo kroga pa ni točna. Za stranico ustreznega
kvadrata so vzeli 13
15
premera danega kroga. To ustreza približku
π
.
= 676
225
.
= 3.
V istem delu obravnavajo tudi obraten problem. Krog, ki naj bi bil
ploščinsko enak danemu kvadratu, najdejo takole: Najprej kvadratu očrtaj
krog. Nato skozi središče kroga potegni pravokotnico na eno od stranic
kvadrata. Del pravokotnice zunaj kvadrata in v notranjosti kroga razdeli
na tri enake dele. Iskani krog gre čez prvo tretjino, ki je bližja kvadratu,
torej
r = 1
3
(a
√
2
2
− a
2
) + a
2
= a
6
(
2 +
√
2
)
.
Zanimivo je, da nam konstrukcija tokrat da drugačen približek za
π
.
=
(
6
2+
√
2
)2 .
= 3,088.
LITERATURA
[1] J. J. O’Connor in E. F. Robertson, The MacTutor History of Mathematics archive,
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
[2] E. W. Hobson, „Squaring the circle“, a history of the problem, Cambridge University
Press, 1913.
[3] L. Houghtalin in S. Sumner, Lessons for classics from the history of mathematics,
The Classical Journal 104 (2009) 4, 315–362.
[4] C. A. Huffman, Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician
king, Cambridge University Press, 2005.
[5] T. W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1974.
[6] Stanford encyclopedia of phylosophy, Archytas, http://plato.stanford.edu/entries-
/archytas
192 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5