MATEMATIKA 1 Skripta Avtorja: asist. dr. Tina Sovič izr. prof. dr. Simon Špacapan Maribor, april 2018 Naslov: Matematika 1 Podnaslov: Skripta Avtorja: asist. dr. Tina Sovič (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) izr. prof. dr. Simon Špacapan (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Recenzenta: red. prof. dr. Borut Zalar (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) doc. dr. Rija Erveš (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Grafične priloge: Avtorja Tehnični urednik: doc. dr. Andrej Tibaut (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Oblikovalce ovitka: Jan Perša (Univerzitetna založba Univerze v Mariboru) Izdajateljica: Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija http://www.fgpa.um.si, fgpa@um.si Založnik: Univerzitetna založba Univerze v Mariboru Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija http://press.um.si, zalozba@um.si Izdaja: Prva izdaja. Vrsta publikacije: E-publikacija Dostopno na: http://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/331 Izid: Maribor, april 2018 © Univerzitetna založba Univerze v Mariboru Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, predelava ali druga uporaba tega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, vključno s fotokopiranjem, tiskanjem ali shranjevanjem v elektronski obliki. CIP – Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 51(075.8) SOVIČ, Tina, 1986- Matematika 1 [Elektronski vir] : skripta / avtorja Tina Sovič, Simon Špacapan. - 1. izd. - El. učbenik. - V Mariboru : Univerzitetna založba, 2018 Način dostopa (URL): http://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/331 ISBN 978-961-286-156-8 doi: org/10.18690/978-961-286-156-8 1. Špacapan, Simon COBISS.SI-ID 94349569 ISBN: 978-961-286-156-8 (PDF) DOI: https://doi.org/10.18690/978-961-286-156-8 Cena: Brezplačen izvod. Odgovorna oseba založnika: red. prof. dr. Žan Jan Oplotnik, prorektor Univerze v Mariboru MATEMATIKA 1 SKRIPTA T. Sovič in S. Špacapan Matematika 1 TINA SOVIČ IN SIMON ŠPACAPAN 1 Povzetek Skripta Matematika 1 zajema osnovna znanja matematike, ki ga potrebujejo študentje visokošolskih programov Fakultete za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo. V prvem delu skripte so predstavljena poglavja iz področja analize, v drugem delu pa poglavja iz področja algebre. Natančneje, začnemo z zaporedji, kjer opredelimo osnovne pojme, kot so omejenost, monotonost in konvergenca zaporedja. Sledi poglavje, ki na kratko predstavi kompleksna števila in operacije med njimi. Nato so opisane osnovne elementarne funkcije ter predstavljena pojma limita funkcije in zveznost. Definiramo odvod funkcije in pokažemo njegovo uporabo pri določanju lokalnih ekstremov. Odvodu sledi definicija integrala skupaj z njegovo uporabo. Prvi del skripte zaključuje poglavje o funkcijah dveh spremenljivk. V drugem delu predstavimo geometrijske vektorje in operacije med njimi. V nadaljevanju obravnavamo premice in ravnine v prostoru. Skripto zaključimo s poglavjem o matrikah, kjer opišemo osnovne matrične operacije, sisteme enačb in matriko linearne preslikave. Ključne besede: • zaporedja • funkcije • odvod • integral • vektorji • sistemi enačb • matrike • NASLOVA AVTORJEV: dr. Tina Sovič, asistentka, Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija, e-pošta: tina.sovic@um.si. dr. Simon Špacapan, izredni profesor, Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija, e-pošta: simon.spacapan@um.si. DOI https://doi.org/10.18690/978-961-286-156-8 ISBN 978-961-286-156-8 © 2018 Univerzitetna založba Univerze v Mariboru Dostopno na: http://press.um.si Kazalo Zaporedja 9 Kompleksna ˇ stevila 13 2.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Računske operacije v C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje . . . . . . . . 14 2.2.2 Konjugiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Polarni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Koreni kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Funkcije 17 3.1 Definicija in osnovne lastnosti funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Pregled elementarnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.2 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.3 Potenčna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.4 Korenska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.5 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.6 Racionalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.7 Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.8 Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.9 Trigonometrične funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.10 Krožne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Limita funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Zvezne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Odvod 35 4.1 Definicija in geometrijska interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Lastnosti odvedljivih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Višji odvodi funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 L’Hospitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5 Lokalni ekstremi, naraščanje, padanje . . . . . . . . . . . . . . . . 38 v vi KAZALO 4.6 Konveksnost, konkavnost in prevoji . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.7 Taylorjeva formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Integral 43 5.1 Nedoločeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Integracijske metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Uvedba nove spremenljivke (substitucija) . . . . . . . . . . 44 5.2.2 Integracija po delih (per partes) . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Določeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Funkcije dveh spremenljivk 53 6.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Parcialni odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Lokalni ekstremi funkcije dveh spremenljivk . . . . . . . . . . . . 55 Vektorji 57 7.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Računske operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.2.1 Seštevanje vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.2.2 Odštevanje vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2.3 Množenje vektorja s skalarjem . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2.4 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2.5 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.2.6 Mešani produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.3 Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev . . . . . . . . . . . . 65 7.4 Analitična geometrija v prostoru R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.4.1 Enačba premice v R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.4.2 Enačba ravnine v R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.4.3 Razdalje v R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Matrike 71 8.1 Definicija in posebni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 Računske operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.2.1 Seštevanje matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.2.2 Množenje matrik s skalarjem . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.2.3 Množenje matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.2.4 Transponiranje matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.3 Determinanta matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.4 Inverzna matrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.4.1 Iskanje inverzne matrike s pomočjo razširjene matrike . . . 79 8.4.2 Iskanje inverzne matrike s pomočjo adjungirane matrike . . 80 8.5 Sistemi linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.5.1 Gaussova eliminacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 KAZALO vii 8.5.2 Cramerjevo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.6 Matrika linearne preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Predgovor Skripta je namenjena študentom prvega letnika visokošolskega programa grad- beništvo Univerze v Mariboru. Poglavja, ki so obravnavana v skripti so iz po- dročja algebre in analize, in sledijo učnemu načrtu predmeta Matematika 1. Študent naj uporablja skripto pri učenju in utrjevanju snovi. Ob tem naj omenimo, da skripta ne vsebuje vseh podrobnosti, kot so recimo dokazi in iz- peljave posameznih trditev in izrekov ter rešitve primerov, za katere želimo, da jih študent osvoji pri predmetu Matematika 1. Zato skripta lahko služi zgolj kot vodilo in dopolnilo predavanjam, kjer je snov predstavljena v celoti in kjer so posamezni izreki tudi izpeljani in pospremljeni s številnimi opombami, ki jih razlagajo. Zaporedja Zaporedje je funkcija iz množice naravnih števil N v množico realnih števil R: a : N → R. a(n) imenujemo n-ti člen zaporedja in pišemo a(n) = an. Zaporedja večkrat zapisujemo tudi tako, da navedemo prvih nekaj členov: (an) = (a1, a2, a3, . . .). Zgled 1. Navedimo nekaj znanih primerov zaporedij: a) zaporedje recipročnih vrednosti an = 1 , oziroma a , 1 , 1 , 1 , . . . n n = 1, 12 3 4 5 b) alternirajoče zaporedje recipročnih vrednosti an = (−1)n , oziroma a n n = −1, 1, −1, 1, −1, . . . 2 3 4 5 c) aritmetično zaporedje: an+1 = an + d , a1, d ∈ R č) geometrijsko zaporedje: an+1 = qan , a1, q ∈ R d) Fibonaccijevo zaporedje: a1 = a2 = 1 in an = an−1 + an−2 za n ≥ 3 9 Zaporedje (an) je naraščajoče, če za vsak n ∈ N velja an−1 ≤ an, oziroma an − an−1 ≥ 0. Zaporedje (an) je padajoče, če za vsak n ∈ N velja an−1 ≥ an, oziroma an − an−1 ≤ 0. Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče. Opomba 1.1. ˇ Ce v zgornjih definicijah neenakosti zamenjamo za stroge neena- kosti, dobimo definiciji strogo naraščajočega in strogo padajočega zaporedja. Primer 1. Ali je aritmetično zaporedje monotono? Primer 2. Ali je geometrijsko zaporedje monotono? Primer 3. Ali je Fibonaccijevo zaporedje monotono? Primer 4. Pokaži, da je zaporedje an = 1+n monotono. 2+3n Število M je zgornja meja zaporedja (an), če za vsak n ∈ N velja an ≤ M. Število m je spodnja meja zaporedja (an), če za vsak n ∈ N velja m ≤ an. Zaporedje, ki ima kakšno zgornjo mejo imenujemo navzgor omejeno zapo- redje. Zaporedje, ki ima kakšno spodnjo mejo imenujemo navzdol omejeno zapo- redje. Zaporedje, ki je navzdol in navzgor omejeno, imenujemo omejeno zaporedje. Najmanjšo zgornjo mejo zaporedja (an) imenujemo natančna zgornja meja zaporedja ali supremum zaporedja. Označimo ga z sup(an). Največjo spodnjo mejo zaporedja (an) imenujemo natančna spodnja meja za- poredja ali infimum zaporedja. Označimo ga z inf(an). 10 POGLAVJE 1. ZAPOREDJA Opomba 1.2. Iz zgoraj zapisanih definicij sledi m ≤ inf(an) ≤ an ≤ sup(an) ≤ M za vsak n ∈ N . Primer 5. Naj bo an = 2−3n . 1+n a) ˇ Ce obstaja, zapiši kakšno spodnjo in kakšno zgornjo mejo zaporedja (an) . b) Poišči supremum in infimum zaporedja, če obstajata. Primer 6. Preuči monotonost in omejenost splošnega geometrijskega zaporedja glede na lastnosti parametra q . Naj bo ε > 0 poljubno majhno število. Odprti interval (a − ε, a + ε) imenujemo ε-okolica števila a. a-ε a a+ε R Število a ∈ R je limita zaporedja (an), če velja ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : n ≥ n0 ⇒ |an − a| < ε. Če je a limita zaporedja (an), pišemo a = lim an. n→∞ Opomba 1.3. ˇ Stevilo a ∈ R je limita zaporedja (an) , če so od nekega člena naprej vsi členi zaporedja znotraj ε -okolice števila a . Če zaporedje ima limito, pravimo, da je konvergentno. V nasprotnem primeru rečemo, da je zaporedje divergentno. Število s ∈ R je stekališče zaporedja (an), če vsaka okolica števila s vsebuje neskončno (a ne nujno vseh) členov zaporedja (an). Izrek 1.4. ˇ Ce ima zaporedje več kot eno stekališče, je divergentno. Izrek 1.5. Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno. 11 Trditev 1.6. ˇ Ce je (an) naraščajoče in omejeno zaporedje, potem (an) konvergira k supremumu. ˇ Ce je (an) padajoče in omejeno zaporedje, potem (an) konvergira k infimumu. Zgled 2. Zaporedje 1 n an = 1 + n je konvergentno in velja lim an = e ≈ 2.71828 . n→∞ Izrek 1.7. Naj bosta (an) in (bn) konvergentni zaporedji in naj velja lim an = A n→∞ ter lim bn = B . Potem velja: n→∞ lim (an + bn) = A + B, n→∞ lim (anbn) = AB, n→∞ a A lim n = . n→∞ bn B Opomba 1.8. Zadnja enakost izreka velja, če je bn 6= 0 za vsak n ∈ N in B 6= 0 . Primer 7. Pokaži, da je an = n konvergentno zaporedje. n+1 Primer 8. Ali je zaporedje an = (−1)nn konvergentno? n+1 Primer 9. Izračunaj limito zaporedja an = 3n . 7n+4 Primer 10. Poišči stekališča zaporedja 1 1 1 (an) = 1, , 1, , 1, , . . . . 2 4 6 Primer 11. Naj bo an = 1 . Od katerega člena naprej so vsi členi zaporedja v n2 1 -okolici točke 0 ? 10 12 Kompleksna števila 2.1 Definicija Kompleksna števila so oblike z = x + iy, kjer sta x in y realni števili. Število x imenujemo realni del kompleksnega števila z in ga označimo z Re(z), y imenujemo imaginarni del kompleksnega števila z in ga označimo z Im(z), i pa je imaginarna enota, za katero velja i2 = −1. Množico kompleksnih števil označujemo s C. Torej: C = {x + iy | x, y ∈ R} . Kompleksna števila ponazorimo kot točke v kompleksni ravnini: Im b a+ib a 0 Re 13 2.2. RA ČUNSKE OPERACIJE V C 2.2 Računske operacije v C 2.2.1 Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje Naj bo z1 = a1 + ib1 in z2 = a2 + ib2. Tedaj definiramo z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2), z1 − z2 = (a1 − a2) + i(b1 − b2), z1 · z2 = a1a2 − b1b2 + i(a2b1 + a1b2), z1 a b = 1a2 + b1b2 + i 1a2 − a1b2 . z2 a22 + b22 a22 + b22 2.2.2 Konjugiranje Naj bo z = a + ib. Tedaj kompleksno število ¯ z = a − ib imenujemo konjugirano število števila z. 2.2.3 Absolutna vrednost Naj bo z = a + ib. Tedaj |z| označuje absolutno vrednost kompleksnega števila z, ki je enaka razdalji kompleksnega števila z do koordinatnega izhodišča (če nanj gledamo, kot na točko v kompleksni ravnini). Iz Pitagorovega izreka sledi: √ |z| = a2 + b2. Im b z=a+ib |z| a 0 Re -b z=a-ib 14 POGLAVJE 2. KOMPLEKSNA ŠTEVILA Primer 12. V kompleksni ravnini predstavi množico točk: a) {z ∈ C | 0 < Im(z) < 5} b) {z ∈ C | Im(z) = Re(z) + 1} c) {z ∈ C | |z| = 2} č) {z ∈ C | 1 ≤ |z| ≤ 3} d) {z ∈ C | Re(z) ≥ 0 in |z| ≤ 4} Primer 13. Naj bo z1 = 2 + 3i in z2 = 1 − i . Izračunaj: a) z1 − 2z2 b) z1 · z2 c) z1 z2 č) | ¯ z1 + z2| d) (3z1 + ¯ z2)z1 2.3 Polarni zapis Kompleksno število z = a + ib lahko zapišemo v polarni obliki z = r(cos ϕ + i sin ϕ), √ kjer je r = |z| = a2 + b2 in  arctan b če je a > 0,  a   π + arctan b če je a < 0, ϕ = arg(z) = a π če je a = 0 in b ≥ 0,  2   − π če je a = 0 in b < 0. 2 Im b z=a+ib r=|z| φ a 0 Re 15 2.3. POLARNI ZAPIS Primer 14. ˇ Stevilo z zapiši v polarni obliki in ga predstavi v kompleksni ravnini. a) z = 2 + 3i b) z = −5 + i c) z = −4i Trditev 2.1. Naj bo z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) in z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) . Tedaj je z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)) . Trditev 2.2. Naj bo z = r(cos ϕ + i sin ϕ) in n ∈ Z . Tedaj je zn = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) . 2.3.1 Koreni kompleksnih števil √ Naj bo u ∈ C. Tedaj je n u je vsako kompleksno število z, za katero velja zn = u. Torej: √ n u = z ⇔ zn = u. √ Trditev 2.3. Naj bo u = r(cos ϕ+i sin ϕ) , ϕ ∈ [0, 2π) . Tedaj ima enačba n u = z rešitve √ ϕ 2kπ ϕ 2kπ zk = n r cos + + i sin + , n n n n pri čemer ima parameter vrednosti k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 . Skupno torej obstaja n različnih rešitev. Primer 15. Naj bo z1 = 2 + 3i in z2 = 1 − i . Izračunaj: a) z51 b) z81z−1 2 √ c) oba korena z1 √ č) vse štiri korene 4 z2 Primer 16. Poišči vse možne rešitve spodnjih enačb: a) z2 = 4i b) z3 = 2 − 3i c) z3 + z2 − 2z = 0 16 Funkcije 3.1 Definicija in osnovne lastnosti funkcije Funkcija f : A → B je predpis, ki vsakemu elementu iz množice A priredi natanko en element iz množice B. V tem poglavju bomo obravnavali funkcije f , za katere je A, B ⊆ R in jih imenujemo realne funkcije. Če funkcija f številu x ∈ A priredi število y ∈ B, tedaj pišemo y = f (x) in y imenujemo slika elementa x ali funkcijska vrednost v točki x. Graf realne funkcije f je množica točk Γf = (x, y) ∈ R2 | y = f(x) . Naravno definicijsko območje realne funkcije f je množica Df vseh x ∈ R, za katere je predpis f definiran. Zaloga vrednosti funkcije f je množica vseh rezultatov predpisa f : Zf = {f(x) | x ∈ A} . Opomba 3.1. Za realno funkcijo f lahko definicijsko območje in zalogo vrednosti odčitamo iz grafa funkcije: • Df je projekcija grafa funkcije f na os x . • Zf je projekcija grafa funkcije f na os y . √ Zgled 3. Na sliki je graf funkcije f (x) = 1 + x . Razberemo lahko, da je Df = [0, ∞) in Zf = [1, ∞) . 17 3.1. DEFINICIJA IN OSNOVNE LASTNOSTI FUNKCIJE f Zf Df Funkcija f : A → B je injektivna, če se različna elementa iz množice A preslikata v različna elementa iz množice B: ∀a1, a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2) . Funkcija f : A → B je surjektivna, če je vsak element iz množice B slika kakšnega elementa iz množice A: ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f(a) = b . Funkcija f : A → B je bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati. Naj bosta f : B → C in g : A → B funkciji. Sestavljena funkcija ali kompo- zitum funkcij f in g je funkcija f ◦ g definirana s predpisom (f ◦ g)(x) = f(g(x)) . Opomba 3.2. Kompozitum f ◦ g funkcij f in g je definiran za tiste x ∈ Dg , za katere je g(x) ∈ Df . Funkcija f −1 : B → A je obrat ali inverz funkcije f : A → B, če velja y = f (x) ⇔ f−1(y) = x . Opomba 3.3. Inverz f −1 funkcije f je definiran, če je f bijektivna. Primer 17. Določi sestavljeni funkciji f ◦g in g ◦f , ter njuni definicijski območji in zalogi vrednosti. a) f (x) = x + 3 , g(x) = 2x − 5 b) f (x) = x2 − 3 , g(x) = 2x−5 x+3 c) f (x) = ex , g(x) = sin(x) Primer 18. Določi inverz funkcije f . a) f : R → R, f(x) = x + 3 b) f : [0, ∞) → R, f(x) = x2 − 1 18 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 3.2 Pregled elementarnih funkcij 3.2.1 Linearna funkcija Linearna funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = kx + n, kjer sta k, n ∈ R. Graf linearne funkcije je premica. 1 -2 -1 1 2 -1 -2 -3 Premica skozi točki T1(x1, y1) in T2(x2, y2) ima smerni koeficient y k = 2 − y1 x2 − x1 Primer 19. Zapiši enačbo premice, ki gre skozi točki T1 in T2 . a) T1(3, 2) , T2(−1, 3) b) T1(1, 2) , T2(4, 2) c) T1(4, −2) , T2(4, 5) 3.2.2 Kvadratna funkcija Kvadratna funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = ax2 + bx + c, kjer so a, b, c ∈ R in a 6= 0. 19 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ Graf kvadratne funkcije je parabola. Diskriminanta: D = b2 − 4ac √ Ničle: x D 1,2 = −b± 2a 3 2 -2 2 4 1 -5 -2 -1 1 2 -10 -1 -15 Primer 20. Nariši graf kvadratne funkcije f . a) f (x) = x2 + 5x + 6 b) f (x) = −x2 − 3x + 4 c) f (x) = x2 + x + 1 č) f (x) = −2x2 − 4x − 2 3.2.3 Potenčna funkcija Potenčna funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = xn, kjer je n ∈ Z\{0} in Z označuje množico celih števil, torej Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}. R za n > 0, Df = R \ {0} za n < 0. 20 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 4 1.0 3 0.5 2 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1 -0.5 -2 -1 1 2 -1.0 3.2.4 Korenska funkcija Korenska funkcija je funkcija definirana s predpisom √ f (x) = n x, kjer je n ∈ N, n > 1. Pri tem velja: √ n x = y ⇐⇒ x = yn R za lih n, Df = [0, ∞) za sod n. 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Opomba 3.4. Korenska funkcija je inverzna potenčni funkciji. 21 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ 3.2.5 Polinomi Polinom stopnje n je funkcija definirana s predisom f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, kjer an 6= 0 in ai ∈ R za i = 0, 1, . . . , n. Df = R. 2.0 1.5 1.0 0.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -0.5 Izrek 3.5. Polinom f stopnje n ima največ n realnih ničel. Natančneje, polinom f stopnje n ima natanko n kompleksnih ničel, od katerih so nekatere lahko tudi večkratne. Posledica tega izreka je, da lahko poljuben polinom stopnje n zapišemo v obliki: f (x) = an(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn), kjer so x1, x2, . . . , xn ∈ C ničle polinoma f. Opomba 3.6. Linearna in kvadratna funkcija sta le posebna primera polinoma. Primer 21. Skiciraj graf polinoma f . a) f (x) = x3 − x b) f (x) = x4 − 6x3 − 2x2 + 12x 22 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 3.2.6 Racionalna funkcija Racionalna funkcija je funkcija definirana s predpisom p(x) f (x) = , q(x) kjer sta p in q polinoma. Df = R \ {x | q(x) = 0}. 8 6 4 2 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 Asimptota racionalne funkcije je kvocient, ki ga dobimo pri deljenju polinoma p s polinomom q. Primer 22. Skiciraj graf racionalne funkcije f in zapiši njeno asimptoto. a) f (x) = x−1 x2 b) f (x) = 2x−6 x+2 c) f (x) = x2+5x+6 x+1 23 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ 3.2.7 Eksponentna funkcija Eksponentna funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = ax, kjer je a > 0 in a 6= 1. Df = R, Zf = R+. Če je a ∈ (0, 1), je funkcija f padajoča, sicer je naraščajoča. Pogosta in za nas posebej zanimiva primera eksponentne funkcije sta f1(x) = ex in f2(x) = e−x = (e−1)x. 4 4 3 3 2 2 1 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 5 Pravila za računanje z eksponenti : • a0 = 1 in a1 = a • axay = ax+y • ax = ax−y ay • (ax)y = axy Primer 23. Skiciraj graf funkcije f . a) f (x) = 2x+1 b) f (x) = 3ex − 1 c) f (x) = ( 1)x 3 24 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 3.2.8 Logaritemska funkcija Logaritemska funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = loga(x), kjer je a > 0, a 6= 1. Df = R+, Zf = R. Velja: loga(x) = y ⇐⇒ ay = x Če je a ∈ (0, 1), je funkcija f padajoča, sicer je naraščajoča. 2 1 2 4 6 8 10 -1 -2 Opomba 3.7. Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji. Pravila za računanje z logaritmi: • loga(1) = 0 in loga(a) = 1 • loga(x) + loga(y) = loga(xy) • loga(x) − loga(y) = loga(x) y • loga(xn) = n loga(x) Opomba 3.8. • log10(x) imenujemo desetiški logaritem in ga označujemo z log(x) . • loge(x) imenujemo naravni logaritem in ga označujemo z ln(x) . 25 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ Primer 24. Skiciraj graf funkcije f . a) f (x) = log 1 (x) 2 b) f (x) = log2(x + 1) c) f (x) = 2 log(x) č) f (x) = 1 − ln(x) Primer 25. Reši enačbe. a) 2x+6 = 32 b) 92x−5 = 27 c) 52x−3 = 18 č) 84x+1 = 205 d) 53x+7 = 311 e) 252x−1 = 1253x+4 Primer 26. Reši enačbe. a) log3(7x + 3) = log3(5x + 9) b) log7(x − 3) + log7(x + 3) = log7(14) c) log2(5x + 7) = 5 č) ln(4x − 1) = 3 d) log3(9x + 2) = 4 e) log4(x) + log4(x − 12) = 3 f ) log4(2x + 1) = log4(x + 2) − log4(3) g) log2(x + 1) − log2(x − 4) = 3 h) log6(x + 4) + log6(x − 2) = log6(4x) 26 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 3.2.9 Trigonometrične funkcije Funkcija f (x) = sin(x) 1.0 0.5 -6 -4 -2 2 4 6 -0.5 -1.0 • Df = R • Zf = [−1, 1] • sin(x + 2kπ) = sin(x) za k ∈ Z • Ničle: sin(x) = 0 ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z • Max: sin(x) = 1 ⇐⇒ x = π + 2kπ, k ∈ Z 2 • Min: sin(x) = −1 ⇐⇒ x = −π + 2kπ, k ∈ Z 2 Primer 27. Skiciraj graf funkcije f . a) f (x) = sin(2x + π ) 3 b) f (x) = sin(3x − π ) 2 c) f (x) = sin(5x + π) Funkcija f (x) = cos(x) 1.0 0.5 -6 -4 -2 2 4 6 -0.5 -1.0 • Df = R • Zf = [−1, 1] • cos(x + 2kπ) = cos(x) za k ∈ Z 27 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ • Ničle: cos(x) = 0 ⇐⇒ x = π + kπ, k ∈ Z 2 • Max: cos(x) = 1 ⇐⇒ x = 2kπ, k ∈ Z • Min: cos(x) = −1 ⇐⇒ x = π + 2kπ, k ∈ Z Primer 28. Skiciraj graf funkcije f . a) f (x) = cos(2x + π ) 3 b) f (x) = cos(3x − π ) 2 c) f (x) = cos(5x + π) Funkcija f (x) = tan(x) 6 4 2 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 -6 • tan(x) = sin(x) cos(x) • Df = R \ π + kπ | k ∈ Z 2 • Zf = R • tan(x + kπ) = tan(x) za k ∈ Z • Ničle: tan(x) = 0 ⇐⇒ sin(x) = 0 ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z 28 POGLAVJE 3. FUNKCIJE Lastnosti triginometričnih funkcij 1 sin( x) x cos( x) 1 • sin2(x) + cos2(x) = 1 • sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) • cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) • sin(x + y) = cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y) • cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) x (rad) x (deg) sin(x) cos(x) 0 0 0 1 √ π 30 1 3 6 2 2 √ √ π 45 2 2 4 2 2 √ π 60 3 1 3 2 2 π 90 1 0 2 29 3.2. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJ 3.2.10 Krožne funkcije Krožne funkcije so funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam. Funkcija f (x) = arcsin(x) 1.5 1.0 0.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -0.5 -1.0 -1.5 Funkcija f (x) = arccos(x) 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Funkcija f (x) = arctan(x) 1.0 0.5 -4 -2 2 4 -0.5 -1.0 30 POGLAVJE 3. FUNKCIJE 3.3 Limita funkcije Naj bo a ∈ R. Okolica točke a je vsak odprti interval s središčem v točki a. ε-okolica je množica O(a) = (a − ε, a + ε) , kjer je ε > 0. Punktirana ε-okolica točke a je okolica, ki ji odvzamemo središčno točko. To je množica O·(a) = (a − ε, a + ε) \ {a} , kjer je ε > 0. Število L ∈ R je limita funkcije f, ko gre x proti a, če je f(x) tako blizu L kakor hočemo, če je le x dovolj blizu a. Natančneje: Število L ∈ R je limita funkcije f, ko gre x proti a, če za vsako okolico O(L) števila L, obstaja punktirana okolica O·(a) točke a, tako da velja: x ∈ O·(a) ⇒ f(x) ∈ O(L) . Oziroma: Število L ∈ R je limita funkcije f, ko gre x proti a, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, tako da velja 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε . Če je L je limita funkcije f , ko gre x proti a, to zapišemo kot lim f (x) = L . x→a Primer 29. S pomočjo definicije limite preveri, da velja lim(kx + n) = n . x→0 31 3.4. ZVEZNE FUNKCIJE Primer 30. Izračunaj limito. (x + h)2 − x2 a) lim h→0 h sin(x + h) − sin(x) b) lim h→0 h cos(x + h) − cos(x) c) lim h→0 h Izrek 3.9. Naj bo lim f (x) = A in lim g(x) = B . Potem velja x→a x→a (i) lim(f (x) + g(x)) = A + B. x→a (ii) lim(f (x) · g(x)) = A · B. x→a f (x) A (iii) lim = , če B 6= 0. x→a g(x) B Primer 31. Izračunaj limito. x2 − 1 a) lim + 3x x→1 x − 1 x2 + 2x − 3 b) lim · 4x x→1 x4 − 1 3.4 Zvezne funkcije Funkcija f je zvezna v točki a, če velja lim f (x) = f (a) . x→a Oziroma: Funkcija f je zvezna v točki a, če za vsako okolico O(f(a)) točke f(a) obstaja okolica O(a) točke a, tako da velja x ∈ O(a) ⇒ f(x) ∈ O(f(a)) . 32 POGLAVJE 3. FUNKCIJE Opomba 3.10. Iz definicije sledi, da je funkcija f zvezna v točki a , če se točke blizu a s preslikavo f preslikajo v točke blizu f (a) . Opomba 3.11. Graf funkcije, ki je povsod zvezna, se nikjer ne pretrga. Izrek 3.12. Naj bosta funkciji f in g zvezni v točki a . Potem so v tej točki zvezne tudi funkcije f + g , f · g in f , kjer je g(a) 6= 0 . g Izrek 3.13. Naj bo funkcija g zvezna v točki a in funkcija f zvezna v točki g(a) . Potem je v točki a zvezen tudi kompozitum funkcij f ◦ g . Izrek 3.14. Naj bo funkcija f zvezna na zaprtem intervalu [a, b] . Potem velja: (i) Funkcija f na intervalu [a, b] doseže maksimum M . (ii) Funkcija f na intervalu [a, b] doseže minimum m . (iii) Funkcija f na intervalu [a, b] doseže vse vrednosti med m in M . 33 3.4. ZVEZNE FUNKCIJE 34 Odvod 4.1 Definicija in geometrijska interpretacija Odvod funkcije f v točki x ∈ R je tako število f′(x), da velja f (x + h) − f(x) f ′(x) = lim . h→0 h Če ta limita obstaja rečemo, da je funkcija f odvedljiva v točki x. Funckija f je odvedljiva na intervalu (a, b), če je odvedljiva v vsaki točki tega intervala. Diferenčni količnik, ki nastopa v definiciji odvoda f (x + h) − f(x) h je enak smernemu koeficientu sekante na graf funkcije skozi točki A(x, f (x)) in B(x + h, f (x + h)). y B y=f x ( ) f x+h ( ) df Δ y= f( x+h -f ) x ( ) A f x ( ) x h x+h x Opomba 4.1. Odvod f ′(x) je enak smernemu koeficientu tangente na graf funckije f v točki x . 35 4.2. LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ Diferencial funkcije f v točki x je definiran kot dy = f ′(x) dx . Opomba 4.2. Odvod funkcije f označujemo tudi z dy df f ′(x) = = . dx dx Primer 32. S pomočjo definicije odvoda pokaži, da je d(x2) = 2x . dx 4.2 Lastnosti odvedljivih funkcij Tabela odvodov pogostih elementarnih funkcij f (x) f ′(x) xn nxn−1 sin(x) cos(x) cos(x) − sin(x) tan(x) 1 cos2(x) cot(x) − 1 sin2(x) ax ax ln(a) ex ex arcsin(x) 1 √1−x2 arccos(x) − 1 √1−x2 arctan(x) 1 1+x2 ln(x) 1 x Izrek 4.3. Naj bosta f in g odvedljivi funkciji v točki x . Potem velja (i) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x) , (ii) (f · g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) , ′ (iii) f (x) = f′(x)g(x)−f(x)g′(x), kjer je g(x) 6= 0 . g g2(x) Iz zgornjega izreka (točka (ii)) sledi, da za vsak c ∈ R velja (cf(x))′ = cf′(x). Izrek 4.4. Naj bo funkcija g odvedljiva v točki x in naj bo f odvedljiva v točki g(x) . Potem velja (f ◦ g)′(x) = f′(g(x))g′(x) . 36 POGLAVJE 4. ODVOD Primer 33. Izračunaj odvod funkcije f : a) f (x) = x7 − 3x2 + x − 3 √ b) f (x) = 3x−2 + x c) f (x) = x č) f (x) = 5x ln x d) f (x) = tan(x2) e) f (x) = (tan x)2 Primer 34. Zapiši enačbo tangente na graf funkcije f (x) = x5 + 3x − 2 v točki x0 = 1 . Primer 35. V kateri točki grafa funkcije f (x) = ln x je tangenta vzporedna premici y = x + 3 ? 4.3 Višji odvodi funkcije Naj bo f funkcija in f ′ njen odvod. Če je funkcija f ′ odvedljiva, potem njenemu odvodu rečemo drugi odvod funkcije f in pišemo (f ′)′ = f ′′ . Splošneje velja f (n) = (f (n−1))′ , kjer f (n) označuje n-ti odvod funkcije f za n ≥ 2. Primer 36. Izračunaj prve tri odvode funkcije s predpisom f (x) = sin(x) + x3 . 4.4 L’Hospitalovo pravilo Izrek 4.5 (L’Hospitalovo pravilo). Naj bosta funkciji f in g odvedljivi na neki okolici točke a . Recimo, da sta funkciji g in g′ na tej okolici različni od 0 in da je lim f (x) = lim g(x) = 0 x→a x→a ali lim f (x) = lim g(x) = ∞. x→a x→a 37 4.5. LOKALNI EKSTREMI, NARAŠ ČANJE, PADANJE ˇ f ′(x) Ce obstaja lim , potem velja x→a g′(x) f (x) f ′(x) lim = lim . x→a g(x) x→a g′(x) Primer 37. S pomočjo L’Hospitalovega pravila izračunaj limito. √2 − x2 − x a) lim x→1 1 − x x2 b) lim x→∞ 5x 4.5 Lokalni ekstremi, naraščanje, padanje Funkcija f ima v točki x0 lokalni maksimum, če obstaja δ-okolica točke x0, tako da velja f (x) ≤ f(x0) za vsak x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Funkcija f ima v točki x0 lokalni minimum, če obstaja δ-okolica točke x0, tako da velja f (x) ≥ f(x0) za vsak x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Izrek 4.6. Naj bo f odvedljiva funkcija v točki x0 in naj ima v točki x0 lokalni ekstrem. Potem velja f ′(x0) = 0. Točko x0 , v kateri je f ′(x0) = 0 , imenujemo stacionarna točka funkcije f . Opomba 4.7. Vsak lokalni ekstrem odvedljive funkcije je stacionarna točka. Obratno ne velja, stacionarna točka ni nujno ekstrem. Izrek 4.8 (Rolleov izrek). Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b] in odvedljiva na (a, b) . ˇ Ce je f (a) = f (b) , potem obstaja točka c ∈ (a, b) , tako da velja f ′(c) = 0. 38 POGLAVJE 4. ODVOD Izrek 4.9. Naj bosta funkciji f in g zvezni na intervalu [a, b] in odvedljivi na (a, b) . ˇ Ce je g′(x) 6= 0 za vsak x ∈ (a, b) , potem obstaja točka c ∈ (a, b) , tako da velja f (b) − f(a) f ′(c) = . g(b) − g(a) g′(c) Poseben primer prejšnjega izreka je naslednji izrek. Izrek 4.10 (Lagrangeov izrek). Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b] in odvedljiva na (a, b) . Tedaj obstaja točka c ∈ (a, b) , tako da velja f (b) − f(a) = f′(c). b − a y f(c) f b ( ) y=f x ( ) f a ( ) a c b x Izrek 4.11. Naj bo funkcija f odvedljiva na (a, b) . (i) ˇ Ce je f ′(x) ≥ 0 za vsak x ∈ (a, b) , potem je f naraščajoča na (a, b) . (ii) ˇ Ce je f ′(x) ≤ 0 za vsak x ∈ (a, b) , potem je f padajoča na (a, b) . Izrek 4.12. Naj bo funkcija f dvakrat odvedljiva na neki okolici točke x0 in naj bo f ′(x0) = 0 . (i) ˇ Ce je f ′′(x0) > 0 , potem ima f v točki x0 lokalni minimum. (ii) ˇ Ce je f ′′(x0) < 0 , potem ima f v točki x0 lokalni maksimum. Primer 38. Naj bo f (x) = x3 − x2 . a) Zapiši intervale naračanja in padanja funkcije f . b) Zapiši koordinate lokalnih ekstremov funkcije f . c) Skiciraj graf funkcije f . 39 4.6. KONVEKSNOST, KONKAVNOST IN PREVOJI 4.6 Konveksnost, konkavnost in prevoji Funkcija f je na intervalu [a, b] konveksna oz. ima graf ukrivljen navzgor, če daljica, ki jo določata točki A(x, f (x)) in B(y, f (y)), leži nad grafom funkcije f za vsak x, y ∈ [a, b]. Funkcija f je na intervalu [a, b] konkavna oz. ima graf ukrivljen navzdol, če daljica, ki jo določata točki A(x, f (x)) in B(y, f (y)), leži pod grafom funkcije f za vsak x, y ∈ [a, b]. Točko x0, v kateri funkcija f spremeni ukrivljenost (iz konveksne v konkavno, ali obratno), imenujemo prevoj funkcije f . y=f( x) B y=f x ( ) A B A a x y b a x y b Izrek 4.13. Naj bo funkcija f dvakrat odvedljiva na (a, b) . (i) ˇ Ce je f ′′(x) ≥ 0 za vsak x ∈ (a, b) , potem je f konveksna na (a, b) . (ii) ˇ Ce je f ′′(x) ≤ 0 za vsak x ∈ (a, b) , potem je f konkavna na (a, b) . Izrek 4.14. Naj bo f dvakrat odvedljiva funkcija v točki x0 in naj ima v točki x0 prevoj. Potem velja f ′′(x0) = 0. Primer 39. Naj bo f (x) = x−1 . x2 a) Določi intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije f . b) Določi koordinate prevojev funkcije f . Primer 40. Naj bo f (x) = x2ex . 40 POGLAVJE 4. ODVOD a) Določi intervale naračanja in padanja funkcije f . b) Določi koordinate lokalnih ekstremov funkcije f . c) Določi intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije f . č) Določi koordinate prevojev funkcije f . d) Skiciraj graf funkcije f . 4.7 Taylorjeva formula Naj bo funkcija f večkrat odvedljiva funkcija in n ∈ N. Tedaj polinom f ′′(a) f (n)(a) Qn(x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 2! n! imenujemo Taylorjev polinom stopnje n funkcije f (razvit okoli točke a). Opomba 4.15. Taylorjeve polinome uporabljajo kalkulatorji za računanje pri- bližkov funkcijskih vrednosti odvedljivih funkcij. Izrek 4.16. Naj bo funkcija f (n + 1) -krat odvedljiva funkcija na odprtem inter- valu I in naj bo a ∈ I . Za vsak x ∈ I obstaja ξ ∈ I , ki leži med a in x , tako da velja f (n+1)(ξ) f (x) = Qn(x) + (x − a)n+1 . (n + 1)! Členu f (n+1)(ξ) Rn = (x − a)n+1 (n + 1)! rečemo ostanek Taylorjeve formule. Primer 41. Zapiši Taylorjev polinom stopnje 5 funkcije f (x) = ex √ in približno izračunaj e . Polinom razvij okoli točke a = 0 . Primer 42. Zapiši Taylorjev polinom stopnje 5 funkcije f (x) = sin(x) in približno izračunaj sin(9◦) . Polinom razvij okoli točke a = 0 . 41 4.7. TAYLORJEVA FORMULA Primer 43. Zapiši Taylorjev polinom stopnje 6 funkcije f (x) = cos(x) in približno izračunaj cos(18◦) . Polinom razvij okoli točke a = 0 . Če v Taylorjevi formuli f (x) = Qn(x) + Rn(x), za neko okolico točke a velja lim Rn(x) = 0 za vsak x iz te okolice, tedaj za te n→∞ točke lahko pišemo f ′′(a) ∞ X f (n)(a) f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)2 + . . . = (x − a)n. 2! n! n=0 V tem primeru rečemo, da smo funkcijo f razvili v Taylorjevo vrsto okoli točke a. Opomba 4.17. Definicijsko območje Taylorjeve vrste funkcije f je simetričen interval oblike (−R, R) . Pri tem število R imenujemo konvergenčni polmer Tay- lorjeve vrste funkcije f . Primer 44. Funkcijo f (x) = cos(x) razvij v Taylorjevo vrsto okoli točke a = 0 . Primer 45. Funkcijo f (x) = 1 razvij v Taylorjevo vrsto okoli točke a = 6 . 1−x √ Primer 46. Funkcijo f (x) = 1 + x razvij v Taylorjevo vrsto okoli točke a = 0 . 42 Integral 5.1 Nedoločeni integral Naj bo f : D → R funkcija, kjer je D ⊆ R. Funkcija F , za katero velja F ′(x) = f (x) za vsak x ∈ D, se imenuje nedoločeni integral funkcije f. Označujemo ga z Z F (x) = f (x) dx . Izrek 5.1. ˇ Ce je F (x) nedoločeni integral funkcije f (x) je njen nedoločeni integral tudi funkcija F (x) + C , kjer je C poljubna konstanta. Tabela integralov pogostih elementarnih funkcij f (x) R f (x) dx xn xn+1 + C n+1 1 ln |x| + C x sin(x) − cos(x) + C cos(x) sin(x) + C 1 tan(x) + C cos2(x) − 1 cot(x) sin2(x) ex ex + C 1 √ arcsin( x) + C a2−x2 a √ 1 √ ln |x + x2 + a2| + C a2+x2 1 1 arctan(x) + C a2+x2 a a Primer 47. Pokaži, da je funkcija F (x) = x3 + 6x2 + sin(x) nedoločeni integral funkcije f (x) = 3x2 + 12x + cos(x) . 43 5.2. INTEGRACIJSKE METODE Primer 48. Izračunaj naslednje integrale. a) R x3 dx b) R x11 dx c) R x−22 dx č) R x107,3 dx √ d) R x dx √ e) R (x3 + x) dx f ) R (x7 + 5x3 + 4x + 11) dx g) R 4 dx Trditev 5.2. Za poljubni funkciji f in g velja Z Z Z f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx . Trditev 5.3. Konstanto, ki nastopa kot faktor pod integralskim znakom, lahko nesemo pred integral: Z Z cf (x) dx = c f (x) dx , za c ∈ R. 5.2 Integracijske metode 5.2.1 Uvedba nove spremenljivke (substitucija) Trditev 5.4. Naj bo u = u(x) odvedljiva funkcija. ˇ Ce ima funkcija f (u) ne- določeni integral, potem obstaja tudi nedoločeni integral funkcije f (u(x))u′(x) in velja Z Z f (u) du = f (u(x))u′(x) dx . Primer 49. Izračunaj naslednje integrale. a) R (x + 5)3 dx b) R (x − 22)11 dx 44 POGLAVJE 5. INTEGRAL c) R x(x2 + 4)10 dx √ č) R x + 6 dx √ d) R x x2 + 8 dx e) R sin(x + 3) dx f ) R cos(x + 6) dx g) R x+5 dx x−4 h) R x+3 dx x−9 5.2.2 Integracija po delih (per partes) Trditev 5.5 (formula per partes). Naj bosta u(x) in v(x) odvedljivi funkciji. Potem velja Z Z u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′(x) dx . Opomba 5.6. Formulo običajno zapišemo v obliki Z Z u dv = uv − v du . Primer 50. Izračunaj naslednje integrale. a) R xex dx b) R (x + 6)ex dx c) R x sin(x) dx č) R x cos(x) dx d) R x ln(x) dx 45 5.3. DOLO ČENI INTEGRAL 5.3 Določeni integral Definirajmo določeni integral funkcije f na intervalu [a, b]. Naj bo f omejena funkcija na [a, b]. y y=f( x) a b x Interval [a, b] razdelimo na majhne podintervale s točkami a = s0, s1, s2 . . . , sn−1, sn = b, kjer je s0 < s1 < s2 < · · · < sn−1 < sn . y y=f( x) a=s s s b=s x 1 2 3 n Na vsakem podintervalu [sk−1, sk] izberimo točko xk. 46 POGLAVJE 5. INTEGRAL y f( x1) f( xn) f( x ) 2 f( x3) x x x x s 1 s 2 s 3 n s x 0 1 2 n Definirajmo Riemannovo integralsko vsoto funkcije f glede na zgornjo delitev intervala [a, b] in izbiro točk xk: n X Sn(f ) = f (xk)dk , kjer je dk = sk − sk−1. k=1 y f( x1) f( xn) f( x ) 2 f( x3) x x x x s 1 s 2 s 3 n s x 0 1 2 n y f( x1) f( xn) f( x ) 2 f( x3) x x x x s 1 s 2 s 3 n s x 0 1 2 n 47 5.3. DOLO ČENI INTEGRAL Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b], označimo ga z R b f (x)dx, je a limita integralske vsote, kjer pošljemo ∆ = max {dk} 1≤k≤n proti 0. Torej: n Z b X f (x)dx = lim f (xk)dk . a ∆→0 k=1 Izrek 5.7 (Newton-Leibnitzova formula). Naj bo f zvezna na [a, b] in naj bo F (x) = R f (x)dx . Potem velja Z b f (x) dx = F (b) − F (a) . a Primer 51. Izračunaj naslednje integrale. Z 1 a) (x3 + 3x2 − 2x + 2) dx 0 Z 1 b) (2x4 + x2 − x + 12) dx −1 Z 3 c) (x2 + 8x − 2) dx 1 Z π/2 č) sin(x) dx 0 Z π/2 d) cos(x) dx 0 Z 2 x3 + 3x2 − 2x + 2 e) dx 1 x Z 2 x4 − 2x2 + 6x + 5 f ) dx 1 x 48 POGLAVJE 5. INTEGRAL Izrek 5.8 (Izrek o srednji vrednosti). Naj bo f : [a, b] → R integrabilna funkcija in naj bo m = inf f (x) in M = sup f (x). x∈[a,b] x∈[a,b] Potem obstaja c ∈ [m, M] , tako da velja 1 Z b c = f (x) dx . b − a a Izrek 5.9. Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija. Potem je funkcija F , definirana z Z x F (x) = f (t) dt, a odvedljiva in velja F ′(x) = f (x) za vsak x ∈ [a, b] . Izrek 5.10. Naj bosta f, g : [a, b] → R zvezni in naj bo g(x) ≤ f(x) za vsak x ∈ [a, b] . Potem je ploščina lika, ki ga omejujeta premici x = a in x = b ter grafa funkcij f in g , enaka Z b S = (f (x) − g(x)) dx a y f( x) a b g( x) x √ Primer 52. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) = x in g(x) = x2 . Primer 53. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) = x + 1 in g(x) = xe−x2 na intervalu [0, 2] . 49 5.3. DOLO ČENI INTEGRAL Primer 54. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f (x) = 4x + 16 in g(x) = 2x2 + 10 . Trditev 5.11. Naj bo f : [a, b] → R odvedljiva funkcija. Potem je dolžina loka krivulje y = f (x) od točke A(a, f (a)) do točke B(b, f (b)) enaka Z b p l = 1 + (f ′(x))2 dx . a y=f x ( ) f( a) A f b ( ) B a b Primer 55. Izračunaj dolžino krivulje 2 3 y = (x − 1)2 3 za 1 ≤ x ≤ 4 . Primer 56. Izračunaj dolžino krivulje 1 1 y = x3 + x−1 6 2 od x1 = 1 do x2 = 2 . Primer 57. Izračunaj dolžino krivulje y = ln(cos(x)) √ od točke T 2 1(0, 0) do toˇ cke T2(π , ln( )). 4 2 50 POGLAVJE 5. INTEGRAL Trditev 5.12. Naj bo f : [a, b] → R zvezna nenegativna funkcija. Potem je volumen vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije y = f (x) okoli x -osi, enak Z b V = πf 2(x) dx . a y y=f(x) a b x Primer 58. Izračunaj volumen vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije y = x2 − 4x + 5 okoli x -osi na intervalu 1 ≤ x ≤ 4 . Primer 59. Izračunaj volumen vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije y = x2 + 1 okoli x -osi na intervalu −1 ≤ x ≤ 1 . Funkcija je zvezno odvedljiva, če je odvedljiva in je njen odvod zvezen. Trditev 5.13. Naj bo f : [a, b] → R zvezno odvedljiva funkcija. Potem je površina vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije y = f (x) okoli x -osi, enaka Z b P = 2πf (x)p1 + (f ′(x))2 dx . a Primer 60. Izračunaj površino vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije √ y = 9 − x2 okoli x -osi na intervalu [−2, 2] . Primer 61. Izračunaj površino vrtenine, ki nastane z vrtenjem grafa funkcije 2 y = x 5 okoli x -osi, za 2 ≤ x ≤ 5 . 51 5.3. DOLO ČENI INTEGRAL 52 Funkcije dveh spremenljivk 6.1 Definicija Funkcija dveh spremenljivk je funkcija f : D → R, kjer je D ⊆ R2. Tudi v sledečih definicijah naj bo D ⊆ R2. Graf funkcije f : D → R je množica Γf = {(x, y, z) | z = f(x, y) za (x, y) ∈ D}. Nivojnica funkcije f : D → R na nivoju t ∈ R je množica Nt = {(x, y) | f(x, y) = t}. Presek grafa funkcije f : D → R z xz-ravnino je množica {(x, z) | f(x, 0) = z}. Presek grafa funkcije f : D → R z yz-ravnino je množica {(y, z) | f(0, y) = z}. Primer 62. S pomočjo nivojnic in presekov nariši graf funkcije f . a) f (x, y) = x2 + y2 b) f (x, y) = px2 + y2 53 6.2. PARCIALNI ODVODI 6.2 Parcialni odvodi Parcialni odvod funkcije f : D → R po spremenljivki x v točki (x0, y0) je ∂f f (x (x 0 + h, y0) − f (x0, y0) . ∂x 0, y0) = fx(x0, y0) = lim h→0 h Opomba 6.1. Parcialni odvod po spremenljivki x pove, kako hitro se funkcija f spreminja v x -smeri. Parcialni odvod funkcije f : D → R po spremenljivki y v točki (x0, y0) je ∂f f (x (x 0, y0 + h) − f (x0, y0) . ∂y 0, y0) = fy(x0, y0) = lim h→0 h Opomba 6.2. Parcialni odvod po spremenljivki y pove, kako hitro se funkcija f spreminja v y -smeri. Primer 63. Izračunaj parcialna odvoda fx in fy funkcije f . a) f (x, y) = 3x3 + xy3 b) f (x, y) = 4xy + ex c) f (x, y) = ln(xy) + ex − 3 č) f (x, y) = sin(xy) + ex−y − x d) f (x, y) = cos(x + y) + ey − 3y + 1 54 POGLAVJE 6. FUNKCIJE DVEH SPREMENLJIVK Totalni diferencial funkcije f : D → R v točki (x0, y0) je df = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy . Sprememba funkcijske vrednosti f : D → R v točki (x0, y0) je ∆f = f (x0 + dx, y0 + dy) − f(x0, y0) . Opomba 6.3. Za majhne vrednosti dx in dy je df ≈ ∆f in zato f (x0 + dx, y0 + dy) ≈ f(x0, y0) + df Primer 64. S pomočjo totalnega diferenciala približno izračunaj a) 3 · 1, 023 + 1, 02 · 2, 953 b) 4 · 1, 05 · 2, 98 + e1,05 Parcialni odvodi drugega reda so definirani s predpisi ∂2f ∂ ∂f fxx = = , ∂x2 ∂x ∂x ∂2f ∂ ∂f fyy = = , ∂y2 ∂y ∂y ∂2f ∂ ∂f fxy = = . ∂y∂x ∂y ∂x Primer 65. Izračunaj vse parcialne odvode prvega in drugega reda funkcije f (x, y) = 3x3 + xy3 . 6.3 Lokalni ekstremi funkcije dveh spremenljivk Točka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije f : D → R, če je f (x0, y0) ≥ f(x, y) za vsak (x, y) iz neke okolice točke (x0, y0). Točka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije f : D → R, če je f (x0, y0) ≤ f(x, y) za vsak (x, y) iz neke okolice točke (x0, y0). Točka (x0, y0) je stacionarna točka funkcije f : D → R, če je fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 . 55 6.3. LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJE DVEH SPREMENLJIVK Izrek 6.4. Lokalni maksimum ali minimum parcialno odvedljive funkcije f : D → R lahko nastopi samo v stacionarni točki. Naj bo (x0, y0) stacionarna točka funkcije f : D → R in naj bo • A = fxx(x0, y0) • B = fxy(x0, y0) • C = fyy(x0, y0) . Potem velja: (i) Točka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije f , če je AC −B2 > 0 in A < 0 . (ii) Točka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije f , če je AC − B2 > 0 in A > 0 . (iii) ˇ Ce je AC − B2 < 0 potem (x0, y0) ni niti lokalni maksimum niti lokalni minimum. Primer 66. Izračunaj koordinate vseh lokalnih ekstremov funkcije f (x, y) = 2x3+ 6xy2 − 3y3 − 150x . 56 Vektorji 7.1 Osnovni pojmi Vektorje si predstavljamo kot usmerjene daljice. Začetna in končna točka vektorja sta določeni s krajiščema daljice. Končno točko na skici označimo s puščico. Skupaj določata usmerjenost vektorja. Vektorja imata isto smer, če sta vzporedna. Dolžina vektorja ~v je razdalja od začetne do končne točke vektorja in jo označimo z |~v|. Vektor dolžine 0 imenujemo ničelni vektor in ga označimo z ~0. Vektorja, ki sta enako dolga in imata isto smer ter usmerjenost sta enaka. Vektorja, ki sta enako dolga in imata isto smer ter obratno usmerjenost sta na- sprotna. 57 7.2. RA ČUNSKE OPERACIJE Vsaki točki T (x, y, z) v prostoru R3 pripada vektor ~rT = (x, y, z), ki ga imenujemo krajevni vektor točke T (x, y, z). Vektor ~rT je vektor z začetno točko 0(0, 0, 0) in končno točko T (x, y, z). z T rT y x Vektor z začetkom v točki A in koncem v točki B je −→ AB = ~rB − ~rA. AB rB rA 0 7.2 Računske operacije 7.2.1 Seštevanje vektorjev Naj bo ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3). Tedaj je vsota vektorjev ~a in ~b enaka vektorju ~a + ~b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). 58 POGLAVJE 7. VEKTORJI b a+b a Lastnosti operacije seštevanja vektorjev Za vse ~a,~b, ~c ∈ R3 veljajo naslednje lastnosti. (i) ~a + ~b = ~b + ~a (ii) (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) (iii) ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a (iv) ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~0 a+b+c b a+b a a a c b b 7.2.2 Odštevanje vektorjev Naj bo ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3). Tedaj je razlika vektorjev ~a in ~b enaka vektorju ~a −~b = (a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3). b -b a a-b 59 7.2. RA ČUNSKE OPERACIJE Opomba 7.1. Odštevanje vektorja ~b je enako prištevanju vektorja −~b , torej ~a − ~b = ~a + (−~b) . Tako lastnosti odštevanja lahko enostavno izpeljemo iz lastnosti seštevanja. 7.2.3 Množenje vektorja s skalarjem Naj bo ~a = (a1, a2, a3) in k ∈ R. Tedaj je produkt vektorja ~a s skalarjem k enak vektorju k~a = (ka1, ka2, ka3). 2a a -0.5a -a Lastnosti operacije množenja vektorja s skalarjem Za vse ~a,~b ∈ R3 in vse m, n ∈ R veljajo naslednje lastnosti. (i) m(n~a) = (mn)~a (ii) (m + n)~a = m~a + n~a (iii) m(~a + ~b) = m~a + m~b (iv) 1~a = ~a Primer 67. Podana sta vektorja ~a = (−3, 5, 2) in ~b = (2, −3, 1) . Izračunaj koordinate vektorjev a) ~a + ~b b) 2~a + 3~b c) 3~a − 5~b 60 POGLAVJE 7. VEKTORJI 7.2.4 Skalarni produkt Naj bosta ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3) vektorja. Skalarni produkt vektorjev ~a in ~b je enak številu ~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3. Izrek 7.2. Naj bosta ~a in ~b vektorja v R3 in ϕ kot, ki ga oklepata. Tedaj velja ~a ·~b = |~a||~b| cos ϕ. Posledica 7.3. Dolžina vektorja ~a = (a1, a2, a3) je enaka √ q |~a| = ~a · ~a = a21 + a22 + a23. Posledica 7.4. Vektorja ~a in ~b sta pravokotna natanko tedaj, ko velja ~a ·~b = 0. Posledica 7.5. Kot med vektorjema ~a in ~b je ! ~a ·~b ϕ = arccos . |~a| · |~b| Primer 68. Podana sta vektorja ~a = (−3, 4, 2) in ~b = (−2, 3, 1) . a) Izračunaj |~a| in |~b| . b) Izračunaj ~a ·~b . c) Izračunaj kot med vektorjema ~a in ~b . Trditev 7.6. Naj bo proj ~ ~ab dolˇ zina pravokotne projekcije vektorja ~b na vektor ~a in naj bo proj~~a dolžina pravokotne projekcije vektorja ~a na vektor ~b . ˇ Ce ~a in ~b b oklepata kot ϕ , ki je manjši od π , tedaj velja 2 ~a ·~b = |~a|proj ~ ~ab = |~ b|proj~~a. b 61 7.2. RA ČUNSKE OPERACIJE b φ proj b a a Opomba 7.7. Formula velja tudi v primeru, ko je kot ϕ med vektorjema ~a in ~b večji od π . V tem primeru proj ~b označuje negativno dolžino projekcije vektorja 2 ~a ~b na nosilko vektorja ~a . Primer 69. Podani so vektorji ~a = (−3, 4, 2),~b = (−4, 1, 3) in ~c = (−2, 1, 2) . a) Izračunaj dolžino projekcije vektorja ~a na vektor ~b . b) Izračunaj dolžino projekcije vektorja ~a na vektor ~c . c) Izračunaj dolžino projekcije vektorja ~c na vektor ~b . Lastnosti skalarnega produkta Za vse ~a,~b, ~c ∈ R3 in vsak k ∈ R veljajo naslednje lastnosti. (i) ~a ·~b = ~b · ~a (ii) ~a · (~b + ~c) = ~a ·~b + ~a · ~c (iii) k(~a ·~b) = (k~a) ·~b (iv) ~a · ~a = |~a|2 ≥ 0 7.2.5 Vektorski produkt Naj bo ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3). Tedaj je vektorski produkt vektorjev ~a in ~b enak vektorju ~ i ~j ~k ~a ×~b = a1 a2 a3 = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1). b1 b2 b3 62 POGLAVJE 7. VEKTORJI Opomba 7.8. Vektor ~a × ~b je pravokoten na ~a in ~b . Njegova usmerjenost je določena s pravilom desnosučnega vijaka. Primer 70. Podani so vektorji ~a = (−3, 4, 2),~b = (−4, 1, 3) , ~c = (5, 2, −3) in ~ d = (−2, 1, 2) . a) Izračunaj ~a ×~b . b) Izračunaj ~a × ~c . c) Izračunaj ~c ×~b . č) Določi kakšen vektor, ki je pravokoten na ~c in ~ d in ima dolžino 1 . d) Določi kakšen vektor, ki je pravokoten na ~a in ~ d in ima dolžino 2 . Izrek 7.9. Naj bosta ~a in ~b vektorja, ki oklepata kot ϕ . Tedaj je dolžina vektorskega produkta ~a ×~b enaka plaščini paralelograma, ki ga oklepata ~a in ~b : |~a ×~b| = |~a| · |~b| · sin ϕ. a b × b |a | b × a Primer 71. Podani so vektorji ~a = (−3, 4, 2),~b = (−4, 1, 3) in ~c = (−2, 1, 2) . a) Izračunaj ploščino paralelograma, ki ga napenjata vektorja ~a in ~b . b) Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga napenjata vektorja ~a in ~c . Lastnosti operacije vektorskega produkta Za vse ~a,~b ∈ R3 in vsak k ∈ R veljajo naslednje lastnosti. 63 7.2. RA ČUNSKE OPERACIJE (i) ~a ×~b = −~b × ~a (ii) ~a × (~b + ~c) = ~a ×~b + ~a × ~c (iii) k(~a ×~b) = (k~a) ×~b = ~a × (k~b) Opomba 7.10. ~a ×~b = ~0 natanko tedaj, ko sta vektorja ~a in ~b vzporedna. 7.2.6 Mešani produkt Naj bo ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3) in ~c = (c1, c2, c3). Tedaj je mešani produkt vektorjev ~a, ~b in ~c enak številu a1 a2 a3 (~a,~b, ~c) = (~a ×~b) · ~c = b1 b2 b3 . c1 c2 c3 Opomba 7.11. Za poljubne vektorje ~a , ~b in ~c v prostoru R3 velja: (~a,~b, ~c) = −(~b,~a,~c) = (~c,~a,~b) = −(~a,~c,~b) = (~b,~c,~a) = −(~c,~b,~a). Trditev 7.12. Mešani produkt vektorjev ~a , ~b in ~c v prostoru R3 je po absolutni vrednosti enak volumnu paralelepipeda, ki ga oklepajo ti trije vektorji. c b a Opomba 7.13. Vektorji ~a , ~b in ~c so koplanarni (t.j. ležijo v isti ravnini) natanko tedaj, ko je (~a,~b, ~c) = 0 . Primer 72. Podani so vektorji ~a = (−3, 4, 2),~b = (−4, 1, 3) , ~c = (5, 2, −3) in ~ d = (−2, 1, 2) . a) Izračunaj (~a,~b, ~c) . b) Izračunaj (~ d,~b, ~a) . c) Izračunaj volumen paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji ~a,~b in ~c . č) Ugotovi ali so vektorji ~a, ~c in ~ d koplanarni. 64 POGLAVJE 7. VEKTORJI 7.3 Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev Naj bodo ~ v1, ~ v2, . . . ~ vn vektorji in λ1, λ2, . . . , λn skalarji. Tedaj vektorju λ1 ~ v1 + λ2 ~ v2 + . . . + λn ~ vn pravimo linearna kombinacija vektorjev ~ v1, ~ v2, . . . , ~ vn . Vektorji ~ v1, ~ v2, . . . , ~ vn so linearno neodvisni, če je λ1 ~ v1 + λ2 ~ v2 + . . . + λn ~ vn = ~0 natanko tedaj, ko je λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Vektorji so linearno odvisni, če niso linearno neodvisni. Opomba 7.14. Vektorji so linearno odvisni, če lahko enega izmed njih zapišemo kot linearno kombinacijo preostalih. Baza prostora Rn je vsaka množica n linearno neodvisnih vektorjev iz Rn. Vsak vektor iz Rn lahko zapišemo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Zgled 4. Vektorji ~i = (1, 0, 0) , ~j = (0, 1, 0) in ~k = (0, 0, 1) so baza prostora R3 . Imenujemo jo standardna baza R3 . Opomba 7.15. Vsak vektor ~v = (a, b, c) lahko zapišemo kot linearno kombinacijo vektorjev standardne baze: ~v = a~i + b~j + c~k. Opomba 7.16. Poljubna linearno neodvisna vektorja iz R2 predstavljata bazo ravnine R2 . Poljubni trije vektorji v R2 so linearno odvisni. Opomba 7.17. Poljubni trije linearno neodvisni vektorji iz R3 predstavljajo bazo prostora R3 . Poljubni štirje vektorji v R3 so linearno odvisni. Primer 73. Podani so vektorji ~a = (−3, 4, 2) , ~b = (−4, 1, 3) , ~c = (5, 2, −3) in ~ d = (−2, 1, 2) . a) Izračunaj linearno kombinacijo 3~a + 2~b − 4~c − 5~ d . b) Pokaži, da so vektorji ~v1 = (3, 4), ~v2 = (2, 5) in ~v3 = (−1, 3) linearno odvisni. c) Ugotovi ali so vektorji ~a , ~c in ~ d linearno odvisni. č) Preveri, ali vektorji ~b , ~c in ~ d sestavljajo bazo prostora R3 . 65 7.4. ANALITI ČNA GEOMETRIJA V PROSTORU R3 7.4 Analitična geometrija v prostoru R3 7.4.1 Enačba premice v R3 Premica v prostoru R3 je določena s smernim vektorjem ~s in točko T0. T s T 0 rT p rT 0 0 Opomba 7.18. Do poljubne točke T (x, y, z) na premici p pridemo tako, da preko krajevnega vektorja ~rT najprej pridemo do točke T 0 0 , nato pa se v smeri vektorja ~s premaknemo do točke T . Enačba premice p v smeri vektorja ~s = (s1, s2, s3), ki gre skozi točko T0(x0, y0, z0) je (v različnih oblikah zapisa) sledeča. Vektorska oblika. ~rT = ~rT + t~s, t ∈ R 0 Parametrična oblika. x = x0 + ts1 y = y0 + ts2, t ∈ R z = z0 + ts3 Kanonična oblika. x − x0 y − y z − z = 0 = 0 s1 s2 s3 Primer 74. Podan je vektor ~s = (−3, 4, 2) in točke T0(−2, 1, 2), A(0, 1, −2) , B(4, −1, 3) , C(1, −2, 5) . 66 POGLAVJE 7. VEKTORJI a) Zapiši enačbo premice skozi točko T0 v smeri vektorja ~s . b) Zapiši enačbo premice skozi točki A in B . c) Zapiši enačbo premice skozi točki A in C . č) Zapiši enačbo premice skozi točki B in C . Primer 75. Kolikšen kot oklepa premica p : x−1 = y+2 = z s premico q : x−2 = 2 3 5 7 y+2 = z+1 ? 3 2 Primer 76. Kolikšen kot oklepa premica p : x−1 = y+2 = z z abscisno osjo? 2 3 5 7.4.2 Enačba ravnine v R3 Ravnina v prostoru R3 je določena z normalnim vektorjem ~n in točko T0. Vektor ~n je pravokoten na ravnino, ki jo določa. n T T 0 π rT 0 rT 0 Enačba ravnine π, ki je pravokotna na vektor ~n = (a, b, c) in vsebuje točko T0(x0, y0, z0) je sledeča. Vektorska oblika. (~rT − ~rT ) · ~n = 0 0 Splošna oblika. ax + by + cz = d 67 7.4. ANALITI ČNA GEOMETRIJA V PROSTORU R3 Denimo, da ravnina π seka koordinatne osi v točah (m, 0, 0), (0, n, 0) in (0, 0, p). Tedaj enačbo ravnine π, lahko zapišemo v segmentni obliki. Segmentna oblika. x y z + + = 1 m n p z p n y x m Enačbo ravnine π, ki vsebuje točko T0(x0, y0, z0) in je vzporedna z vektorjema ~a = (a1, a2, a3) in ~b = (b1, b2, b3) lahko enostavno zapišemo v parametrični obliki z dvema parametroma: Parametrična oblika. ~rT = ~rT + α~a + β~b, α, β ∈ R . 0 Primer 77. Zapiši enačbo ravnine z normalnim vektorjem ~n = (−3, 4, 2) , ki vsebuje točko T0(−2, 1, 2) . Primer 78. Zapiši enačbo ravnine, ki je pravokotna na ~n = (−1, 2, 5) in vsebuje točko T0(3, 8, 1) . Primer 79. Zapiši parametrično obliko enačbe ravnine, ki vsebuje točko T0(3, 8, 1) in je vzporedna vektorjema ~a = (−2, 1, −1) in ~b = (3, 0, 2) . Primer 80. Zapiši enačbo ravnine, ki vsebuje točke A(3, 8, 1), B(2, 4, −1) in C(5, −1, 4) . Primer 81. Poišči presek premice ~ rT = (5, 3, −4) + t(5, 1, 2) z ravnino 3x − y + z − 1 = 0 . Primer 82. Kolikšen kot oklepa premica p : x−1 = y+2 = z z ravnino x + y + z = 2 3 5 1 ? Primer 83. Določi pravokotno projekcijo točke A(5, 3, −1) na ravnino 2x − y + z = 2 . 68 POGLAVJE 7. VEKTORJI Enačba ravnine skozi tri nekolinearne točke Naj bodo T1(x1, y1, z1), T2(x2, y2, z2) in T3(x3, y3, z3) tri nekolinearne točke, ki ležijo v ravnini π. Tedaj je pogoj, da točka T (x, y, z) leži na ravnine π enak (~rT − ~rT , ~r − ~r , ~r − ~r ) = 0, 1 T1 T2 T1 T3 oziroma x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Primer 84. Zapiši enačbo ravnine, ki vsebuje točke A(3, 8, 1), B(2, 4, −1) in C(5, −1, 4) . 7.4.3 Razdalje v R3 Razdalja med dvema točkama Naj bo T1(x1, y1, z1) in T2(x2, y2, z2). Razdalja med T1 in T2 je enaka d(T1, T2) = p(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2. Razdalja med točko in premico Premica p naj bo dana z enačbo ~ rT = ~ rT + t~s. Tedaj je razdalja med točko A in 0 premico p enaka |~s × ( ~ r )| d(A, p) = A − ~ rT0 . |~s| Razdalja med točko in ravnino Razdalja med točko T0(x0, y0, z0) in ravnino π : ax + by + cz − d = 0 je enaka |ax d(T 0 + by0 + cz0 − d| 0, π) = √ . a2 + b2 + c2 Primer 85. Izračunaj razdaljo med točkama A(3, 8, 1) in B(2, 4, −1) . Primer 86. Izračunaj razdaljo med točko A(3, 8, 1) in premico ~ rT = (2, 4, 1) + t(1, 4, 3) . Primer 87. Izračunaj razdaljo med točko A(3, 8, 1) in ravnino x−2y+4z+6 = 0 . 69 7.4. ANALITI ČNA GEOMETRIJA V PROSTORU R3 70 Matrike 8.1 Definicija in posebni primeri Matrika je pravokotna shema, ki vsebuje števila:  a  11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =  . . . .  .  .. .. . . ..    am1 am2 . . . amn Matrika razsežnosti (dimenzije) m × n je matrika, ki ima m vrstic in n stolp- cev. Element, ki leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu označimo aij oziroma [A]ij Opomba 8.1. Prvi indeks je indeks vrstice, drugi indeks je indeks stolpca. Zgled 5.  3 −1 2 0  A = 5 7  −8 11 −9 5 0 3 Matrika A je dimenzije 3 × 4 , element a23 = −8 . Matrike, ki imajo ničle povsod (aij = 0 za vse i, j), se imenujejo ničelne matrike. Zgled 6. 0 0 0 O = 0 0 0 Matrika, ki ima enako število vrstic in stolpcev (n × n matrika), se imenuje kvadratna matrika. 71 8.1. DEFINICIJA IN POSEBNI PRIMERI Zgled 7.  3 −1 2  A = 5 7  −8 −9 5 0 Glavna diagonala kvadratne matrike A je diagonala, ki vsebuje elemente aii, kjer je i = 1, 2, . . . , n. Kvadratna matrika, ki je simetrična glede na glavno diagonalo (aij = aji za vse i, j), se imenuje simetrična matrika Zgled 8.  3 −1 2  S = −1 7 −8 2 −8 0 Kvadratna matrika, ki ima ničle povsod, razen na glavni diagonali (aij = 0 za vse i 6= j), se imenuje diagonalna matrika. Zgled 9. 3 0 0 D = 0 7 0   0 0 2 Kvadratna matrika dimenzije n × n, ki ima po glavni diagonali enice, povsod drugod pa ničle (aii = 1 in aij = 0 za vse i 6= j), se imenuje identiteta ali identična matrika dimenzije n. Označimo jo z In. Zgled 10. 1 0 0 I = 0 1 0   0 0 1 Kvadratna matrika, ki ima pod glavno diagonalo same ničle (aij = 0 za vse i > j), se imenuje zgornje trikotna matrika. Zgled 11. 3 8 −5 Z = 0 7 3   0 0 2 Kvadratna matrika, ki ima nad glavno diagonalo same ničle (aij = 0 za vse i < j), se imenuje spodnje trikotna matrika. Zgled 12. 8 0 0 S = 6  −1 0 2 4 5 72 POGLAVJE 8. MATRIKE 8.2 Računske operacije 8.2.1 Seštevanje matrik Seštevamo lahko le matrike istih dimenzij. Vsota dveh m × n matrik A in B je m × n matrika A + B, katere elementi so definirani na naslednji način: [A + B]ij = aij + bij. Zgled 13. 5 −2 7 0 3 1 5 + 0 −2 + 3 7 + 1 5 1 8 + = = 1 3 −5 2 6 −2 1 + 2 3 + 6 −5 − 2 3 9 −7 Opomba 8.2. Na podoben način definiramo tudi odštevanje matrik. 8.2.2 Množenje matrik s skalarjem Produkt števila k ∈ R in m × n matrike A je m × n matrika kA, katere elementi so definirani na naslednji način: [kA]ij = k · aij. Zgled 14. 5 −2 7 15 −6 21 3 · = 1 3 −5 3 9 −15 8.2.3 Množenje matrik Produkt m×n matrike A in n×ℓ matrike B je m×ℓ matrika AB, katere elementi so definirani na naslednji način: n X [AB]ij = aik · bkj. k=1 V formuli nastopajo produkti vrstic in stolpcev. Zgled 15. 5 4 6 · = 4 · 5 + 6 · 1 = 26 1 73 8.2. RA ČUNSKE OPERACIJE Zgled 16. 0 3   3 9  −15 5 −2 7 2 9  −1 · = −7 19 1 3 −5   4 6 26 10 −2 Opomba 8.3. Produkt matrik A in B je definiran samo v primeru, ko je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B . Opomba 8.4. Naj bo I identiteta. Tedaj za poljubno matriko A velja AI = IA = A . 8.2.4 Transponiranje matrike Transponiranka m × n matrike A je n × m matrika AT , katere elementi so definirani na naslednji način: [AT ]ij = aji. Zgled 17.  5 1  5 −2 7 T = −2 3 1 3 −5   7 −5 Opomba 8.5. Pri transponiranju zamenjamo vrstice s stolpci in obratno. Opomba 8.6. Matrika S je simetrična natanko tedaj, ko velja ST = S. Primer 88. Podane so matrike 2 2 1  −1 7 0 −9 7 1  A = 6 3 0  −1 2  , B =  −4 4 in C =  −1 0  . 0 3 −5 3 −4 0 1 −4 −1 Izračunaj: a) 2A + 3B b) AB c) BA 74 POGLAVJE 8. MATRIKE č) CB Lastnosti računskih operacij matrik Za poljubne matrike A, B, C in poljubni k, l ∈ R velja: (i) A + B = B + A (ii) A + 0 = 0 + A = A (iii) A + (−A) = −A + A = 0 (iv) k(A + B) = kA + kB (v) (A + B) + C = A + (B + C) (vi) (k + l)A = kA + lA (vii) (AB)C = A(BC) (viii) AI = IA = A (ix) (A + B)C = AC + BC (x) (AT )T = A Opomba 8.7. Množenje matrik v splošnem ni komutativno, t.j. AB 6= BA . Zato moramo pri množenju matrik paziti, da matrike množimo v pravilnem vrstnem redu. 8.3 Determinanta matrike Determinanta matrike je preslikava det : Rn×n → R, ki kvadratni matriki priredi število na spodaj opisan način. Naj bo A kvadratna matrika dimenzije n × n. Determinanto matrike A označimo z det(A) ali |A|, in jo zapišemo tako: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det(A) = . . . . . .. .. . . .. a n1 an2 . . . ann 75 8.3. DETERMINANTA MATRIKE Determinanto 2 × 2 matrike lahko izračunamo po formuli a b = ad − bc . c d Opomba 8.8. Absolutna vrednost determinante je enaka ploščini paralelograma, ki ga napenjata vektorja ~a = (a, b) in ~b = (c, d) . a b Determinanto 3 × 3 matrike lahko izračunamo s formulo a1 a2 a3 b1 b2 b3 = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 . c1 c2 c3 Opomba 8.9. Absolutna vrednost determinante je enaka volumnu paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji ~a = (a1, a2, a3),~b = (b1, b2, b3) in ~c = (c1, c2, c3) . c b a Naj bo A kvadratna matrika dimenzije n × n. a  11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A =  . . . .  .  .. .. . . ..    an1 an2 . . . ann 76 POGLAVJE 8. MATRIKE Determinanto matrike A lahko izračunamo z razvojem po izbrani vrstici ali stolpcu. a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det(A) = . . . . .. .. . . .. a n1 an2 . . . ann Razvoj determinante po i-ti vrstici: n X det(A) = (−1)i+jaij det(Aij) . j=1 Aij označuje matriko, dobljeno iz matrike A z brisanjem i-te vrstice in j-tega stolpca. Opomba 8.10. Determinanto matrike lahko razvijemo po katerikoli vrstici ali stolpcu. Zaradi enostavnega računanja navadno izberemo tisto vrstico ali stolpec, ki vsebuje največ ničel. Zgled 18. Determinanto razvijmo po prvem stolpcu: 3 1 2 1 2 1 0 1 2 1 0 2 1 0 = 3 1 4 0 + 3 2 1 0 = 36 3 1 4 0 2 1 3 2 1 3 0 2 1 3 Determinanto razvijmo po drugi vrstici: 3 1 2 1 3 2 1 3 1 1 0 2 1 0 = 2 3 4 0 − 1 3 1 0 = 36 3 1 4 0 0 1 3 0 2 3 0 2 1 3 Lastnosti determinant (i) Determinanta zgornje trikotne ali spodnje trikotne matrike je enaka pro- duktu elementov na diagonali. 77 8.3. DETERMINANTA MATRIKE 5 2 18 5 0 −3 2 5 Zgled 19. = 5 · (−3) · (−1) · 2 = 30 0 0 −1 9 0 0 0 2 (ii) Determinanta matrike se ne spremeni, če vrstici/stolpcu prištejemo večkratnik druge vrstice/stolpca. (iii) Če v matriki med seboj zamenjamo dve vrstici/stolpca, njena determinanta spremeni predznak. 5 2 18 2 5 18 Zgled 20. 0 −3 2 = − −3 0 2 3 −1 9 −1 3 9 (iv) Če v matriki A vrstico/stolpec pomnožimo s številom k, se vrednost deter- minante spremeni na k · det A. 10 15 5 · 2 5 · 3 2 3 Zgled 21. = = 5 2 −3 2 −3 2 −3 Primer 89. Izračunaj determinante matrik A, B in C : a)     −9 7 1 0 −1 7 0 2 −1 0 −1 0 6 A = B = 3 −4 4   1 −1   C =  1 −4 −1 0 3 −4 0   0 −1 2 3 b) 1 2 3 4  2 1 3 3 −3 4 −3 0 2 A = B = −1 5 2   4 −2   C = 0 −4 −1 4 3 4 7   0 6 2 0 Primer 90. Izračunaj ploščino paralelograma, ki ga napenjata vektorja ~v1 = (3, 4) in ~v2 = (−4, 1) . Primer 91. Izračunaj volumen paralelepipeda, ki ga napenjajo vektorji ~a = (−1, 3, 4),~b = (−3, 1, 4) in ~c = (1, 0, 5) 78 POGLAVJE 8. MATRIKE 8.4 Inverzna matrika Naj bo A kvadratna matrika. Matrika B je inverzna matrika matrike A, če velja AB = BA = I . V tem primeru pišemo B = A−1, oziroma A = B−1. Primer 92. Preveri, ali sta si matriki A in B inverzni. −1 1 0 −4 0 −1 A = 3  −4 1 in B = −3 0 −1 3 −4 0 0 1 −1 8.4.1 Iskanje inverzne matrike s pomočjo razširjene ma- trike Naj bo A poljubna matrika. Inverzno matriko A−1 poiščemo s pomočjo naslednjih korakov. 1. Zapišemo razširjeno matriko matrike A, t.j. [ A | I ]. 2. Matriko [ A | I ] postopoma preoblikujemo v matriko [ I | A−1 ], pri čemer smemo uporabljati naslednje tri operacije: • Zamenjava dveh vrstic. • Množenje vrstice z neničelnih številom. • Seštevanje dveh vrstic. 3. Iz desne strani razširjene matrike [ I | A−1 ] preberemo iskano matriko A−1. Primer 93. Podane so matrike 2 −1 1  −1 7 0 −9 7 1  A = 1 3 0  −1 2  , B =  −4 4 in C =  −1 0  . 0 0 −1 3 −4 0 1 −4 −1 a) Poišči inverz matrike A . b) Reši matrično enačbo AX + B = C . 79 8.4. INVERZNA MATRIKA 8.4.2 Iskanje inverzne matrike s pomočjo adjungirane ma- trike Naj bo A kvadratna matrika dimenzije n × n. Kofaktor Ai,j matrike A do- bimo tako, da v matriki A izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec, nato izračunamo determinanto dobljene matrike in jo pomnožimo z (−1)i+j.  a  1,1 . . . a1,j−1 a1,j a1,j+1 . . . a1,n .. . . .. .. .. . . ..  . . . . . . .    a  i  −1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n A =  a  i,1 . . . ai,j  −1 ai,j ai,j+1 . . . ai,n  a  i+1,1 . . . ai+1,j  −1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n  .. . . .. .. .. . . ..   . . . . . . .  an,1 . . . an,j−1 an,j an,j+1 . . . an,n a 1,1 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1,n .. . . .. .. . . .. . . . . . . a A i −1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n i,j = (−1)i+j a i+1,1 . . . ai+1,j −1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n .. . . .. .. . . .. . . . . . . an,1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . an,n Adjungirana matrika ˜ A matrike A je matrika, katere elementi so kofaktorji matrike A:  T A  11 A12 . . . A1n A ˜  21 A22 . . . A2n A =  . . . .   .. .. . . ..    An1 An2 . . . Ann Izrek 8.11. ˇ Ce je matrika A obrnljiva (t.j. ima inverz), potem velja 1 A−1 = ˜ A . det(A) Primer 94. S pomočjo adjungirane matrike poišči inverze matrik A, B in C . 2 −1 1  −1 7 0 −9 7 1  A = 1 3 0  −1 2  B =  −4 4 C =  −1 0  0 0 −1 3 −4 0 1 −4 −1 80 POGLAVJE 8. MATRIKE 8.5 Sistemi linearnih enačb Linearni sistem m enačb z n neznankami ima splošno obliko: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Neznanke v sistemu so x1, . . . , xn, številom aij ∈ R pa rečemo koeficienti sis- tema. Rešitev sistema je množica števil x1, . . . , xn, ki zadoščajo vsem m enačbam sistema. Če so vsa števila b1, . . . , bm enaka 0, potem sistemu rečemo homogen sistem, sicer je sistem nehomogen. Koeficiente aij sistema lahko zapišemo v matriko (imenujemo jo matrika sis- tema), števila b1, . . . , bm, ter neznanke x1, . . . , xn pa v vektor (stolpec):  a      11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n  x2   b2  A =  . . . .  x =  .  b =  .  .  .. .. . . ..   ..   ..        am1 am2 . . . amn xn bm Tako lahko zapišemo matrično obliko sistema: Ax = b . Razširjena matrika sistema je matrika, kjer je na levi strani matrika koefici- entov A na desni pa vektor b:  a  11 a12 . . . a1n | b1  a21 a22 . . . a2n | b2     a31 a32 . . . a3n | b3   . . . . .   .. .. . . .. | ..    am1 am2 . . . amn | bm 81 8.5. SISTEMI LINEARNIH ENA ČB Zgled 22. Sistemu enačb x + 3y − 5z = 3 2x + 5y − 2z = −1 2x − 4y + 3z = 2 priredimo razširjeno matriko sistema  1 3 −5 | 3  2 5  −2 | −1 . 2 −4 3 | 2 8.5.1 Gaussova eliminacija Gaussova eliminacija je postopek reševanja sistemov linearnih enačb. Sistemu najprej priredimo razširjeno matriko sistema, nato pa na njej izvedemo posto- pek Gaussove eliminacije opisan spodaj, pri čemer nam je dovoljeno uporabljati naslednje tri operacije: • Zamenjava vrtnega reda vrstic • Prištevanje ene vrstice k drugi • Množenje vrstice z neničelnim številom c Opomba 8.12. Zgornje operacije ustrezajo naslednjim operacijam na sistemu enačb: • Zamenjava vrstnega reda enačb • Prištevanje ene enačbe k drugi • Množenje enačbe z neničelnim številom c Opomba 8.13. Naštete operacije ne spreminjajo množice rešitev danega sistema. Postopek Gaussove eliminacije Pri Gaussovi eliminaciji želimo pod glavno diagonalo razširjene matrike pridobiti ničle. To dosežemo z večkratno uporabo zgoraj naštetih operacij. Začnemo v prvem stolpcu razširjene matrike in s pomočjo elementa a1,1 6= 0 eliminiramo 82 POGLAVJE 8. MATRIKE (uničimo) vse elemente pod njim, to so a21, . . . am1: a  11 a12 . . . a1n | b1  0 ∗ . . . ∗ | ∗     0 ∗ . . . ∗ | ∗   . . . . .   .. .. . . .. | ..    0 ∗ . . . ∗ | ∗ S postopkom nadaljujemo v drugem stolpcu, t.j. s pomočjo elementa v drugi vrstici eliminiramo vse elemente pod njim: a  11 a12 . . . a1n | b1  0 ∗ . . . ∗ | ∗     0 0 . . . ∗ | ∗   . . . . .   .. .. . . .. | ..    0 0 . . . ∗ | ∗ S postopkom nadaljujemo vse do zadnjega stolpca, t.j. dokler ne dobimo zgornje trikotne matrike. Dobljena matrika ima v končni fazi obliko: a  11 a12 . . . a1n | b1  0 ¯ a22 . . . ¯a2n | ¯b2     0 0 . . . ¯ a3n | ¯b3  ,  . . . . .   .. .. . . .. | ..    0 0 . . . ¯ amn | ¯bm kjer je ¯ aij poljubno realno število (lahko tudi 0). Oblika matrike, ki jo dobimo po končani Gaussovi eliminaciji se imenuje sto- pničasta oblika matrike sistema. V tej matriki nobeni dve vrstici nimata prvega neničelnega elementa na isti poziciji (v istem stolpcu). Rešitve sistema sedaj preberemo iz matrike v stopničasti obliki z vzvratno sub- stitucijo: Iz zadnje neničelne vrstice izrazimo zadnjo spremenljivko, t.j. xn. Iz predza- dnje neničelne vrstice preberemo xn−1 in tako dalje vse do prve vrstice, iz katere preberemo spremenljivko x1. Rang matrike Rang matrike A, označimo ga z rang(A), je maksimalno število linearno neod- visnih vektorjev v vrsticah matrike A. 83 8.5. SISTEMI LINEARNIH ENA ČB Izrek 8.14. Rang matrike se ne spremeni, če na vrsticah matrike A izvajamo operacije, ki jih uporabljamo pri Gaussovi eliminaciji. Opomba 8.15. Iz zgornjega izreka sledi, da je rang matrike A enak številu neničelnih vrstic v stopničasti obliki matrike A . Rang razširjene matrike [A|b], označimo ga z rang([A|b]), je enak številu neničelnih vrstic v stopničasti obliki razširjene matrike sistema. Izrek 8.16. Linearni sistem enačb a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ima rešitev natanko tedaj, ko je rang matrike A enak rangu razširjene matrike [A|b] . (i) ˇ Ce je rang( A )=rang([A|b] )= n , potem ima sistem natanko eno rešitev. (ii) ˇ Ce je rang( A )=rang([A|b] )< n , potem ima sistem neskončno rešitev. Primer 95. S pomočjo Gaussove eliminacije reši sistem enačb. a) x + 3y − 5z = 3 2x + 5y − 2z = −1 2x − 4y + 3z = 2 b) x + y − 4z = 1 3x + 2y − z = −3 2x − y + 5z = 4 c) x + y − z + t = 1 3x − 2y − z − 2t = −4 −2x + y + 4z − 4t = −2 č) x + y − 4z = 1 2x + 2y − z = −3 4x + 4y − 2z = 2 84 POGLAVJE 8. MATRIKE 8.5.2 Cramerjevo pravilo Cramerjevo pravilo je formula, ki izraža rešitev sistema n linearnih enačb z n neznankami, ki ima neničelno determinanto matrike sistema. Vzemimo sistem enačb: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn in ga zapišimo v matrični obliki Ax = b:  a      11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n  x2  b2   . . . .   .  =  .  .  .. .. . . ..   ..   ..        am1 am2 . . . amn xn bm Naj bo Ai matrika, ki jo dobimo tako, da v matriki A zamenjamo i-ti stolpec s stolpcem b: a  11 . . . b1 . . . a1n a21 . . . b2 . . . a2n A   i = . . . . .  .. . . . .. . . ..    an1 . . . bn . . . ann Izrek 8.17 (Cramerjevo pravilo). Naj bodo a      11 a12 . . . a1n x1 b1 a21 a22 . . . a2n x2  b2  A =  . . . .  x =  .  in b =  .  .  .. .. . . ..   ..   ..        an1 an2 . . . ann xn bn ˇ Ce je det(A) 6= 0 , ima sistem enačb Ax = b natanko eno rešitev. Vrednosti spremenljivk xi (za i = 1, . . . , n ) so določene s formulo det(A x i) i = det(A) 85 8.6. MATRIKA LINEARNE PRESLIKAVE Primer 96. S pomočjo Cramerjevega pravila reši sistem enačb. a) x + 3y − 5z = 3 2x + 5y − 2z = −1 2x − 4y + 3z = 2 b) x + y − 4z = 1 3x + 2y − z = −3 2x − y + 5z = 4 8.6 Matrika linearne preslikave Linearna preslikava iz Rn v Rm je preslikava A : Rn → Rm, ki ohranja linearne kombinacije vektorjev, kar pomeni A(α~x + β~y) = αA(~x) + βA(~y) za vsak α, β ∈ R in ~x, ~y ∈ Rn. Opomba 8.18. Linearne preslikave lahko opišemo z matrikami. Vsaki linearni preslikavi A : Rn → Rm pripada matrika dimenzije m × n . Primer 97. Preveri, ali je preslikava A linearna. a) A(x, y) = (2x − y, 3x + 2y) b) A(x, y) = (x + y, 5x) c) A(x, y) = (1 + y, x − y) Standardni primeri linearnih preslikav: • Raztegi 86 POGLAVJE 8. MATRIKE • Rotacije • Zrcaljenja • Projekcije Množico n o Ker(A) = ~x ∈ Rn | A(~x) = ~0 imenujemo jedro linearne preslikave A : Rn → Rm. Množico Im(A) = {A(~x) | ~x ∈ Rn} imenujemo slika linearne preslikave A : Rn → Rm. Primer 98. Določi jedro linearne preslikave A(x, y, z) = (2x + y − z, 3x + y, 2z − x). Postopek iskanja matrike linearne preslikave A : Rn → Rm 1. Izberemo bazo obeh prostorov. Naj bo B1 = {e1, e2, . . . , en} baza prostora Rn in B2 = {f1, f2, . . . , fm} baza prostora Rm. 2. S preslikavo A preslikamo vektorje iz baze B1. Tako dobimo slike A(e1), A(e2), . . . , A(en), ki ležijo v prostoru Rm. 3. Dobljene slike razvijemo po bazi B2: A(e1) = a11f1 + a21f2 + . . . + am1fm A(e2) = a12f1 + a22f2 + . . . + am2fm ... A(en) = a1nf1 + a2nf2 + . . . + amnfm 4. Koeficiente zgornjega razvoja zapišemo v stolpce matrike:  a  11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A =  . . . .  .  .. .. . . ..    am1 am2 . . . amn 87 8.6. MATRIKA LINEARNE PRESLIKAVE Zgled 23. Zapišimo matriko linearne preslikave A(x, y, z) = (2x + y − z, x + y, 3z − x − y) glede na standardno bazo B = {~i,~j, ~k} . Slike baznih vektorjev izrazimo z bazo B tako: A(1, 0, 0) = (2, 1, −1) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) A(0, 1, 0) = (1, 1, −1) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) A(0, 0, 1) = (−1, 0, 3) = −1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1) Ko koeficiente zapišemo v stolpce, dobimo matriko :  2 1 −1 A = 1 1 0   . −1 −1 3 Primer 99. Zapiši matriko linearne preslikave A glede na standardno bazo pro- stora R3 . a) A(x, y, z) = (2x + y − z, 3x + y, 2z − x) b) A(x, y, z) = (3x + y + 2z, x + y − z, x + 2y + 3z) Primer 100. Zapiši matriko linearne preslikave, ki ravnino R2 a) prezrcali preko premice y = 2x glede na standardno bazo prostora R2 . b) zavrti v smeri urinega kazalca za kot π glede na standardno bazo prostora 2 R2 . Trditev 8.19. Naj bosta A : Rn → Rm in B : Rm → Rp linearni preslikavi. Tedaj je tudi kompozitum BA : Rn → Rp linearna preslikava. Trditev 8.20. Naj bo AB matrika, ki pripada linearni preslikavi A : Rn → Rm 1 B2 in deluje iz baze B1 v bazo B2 ter BB matrika, ki pripada linearni preslikavi 2 B3 B : Rm → Rp in deluje iz baze B2 v bazo B3 . Tedaj je (BA)B = B · A . 1 B3 B2B3 B1B2 Torej, produkt matrik linearnih preslikav B in A (v ustreznih bazah) je matrika linearne preslikave kompozituma BA . 88 POGLAVJE 8. MATRIKE Primer 101. Zapiši matriko linearne preslikave, ki ravnino R2 najprej zavrti za kot π nato pa projicira na premico y = −3x glede na standardno bazo prostora R2 . 3 Zapišimo nekaj matrik pogostih (splošnih) linearnih preslikav v ravnini. Trditev 8.21. Matrika rotacije ravnine R2 za kot ϕ v pozitivni smeri (v nasprotni smeri urinega kazalca) ima obliko cos ϕ − sin ϕ Rϕ = . sin ϕ cos ϕ Trditev 8.22. Matrika pravokotne projekcije ravnine R2 na premico y = kx ima obliko 1 1 k Py=kx = . 1 + k2 k k2 Trditev 8.23. Matrika pravokotnega zrcaljenja ravnine R2 čez premico y = kx ima obliko 1 1 − k2 2k Zy=kx = . 1 + k2 2k k2 − 1 Delovanje matrike linearne preslikave Naj bo A matrika linearne preslikave A : Rn → Rm glede na bazi {e1, e2, . . . , en} in {f1, f2, . . . , fm}. Če je ~ x = α1e1 + α2e2 + . . . + αnen in A(~x) = β1f1 + β2f2 + . . . βmfm , potem velja α    1 β1 α2   β2  A  .  =  .  .  ..   ..      αn βm Primer 102. Zapiši matriko linearne preslikave, ki projicira točke na premico y = −2x glede na standardno bazo prostora R2 , nato pa izračunaj, kam se s to √ √ preslikavo preslika točka T ( 2, 3) . Smiselnost dobljenega rezultata grafično preveri. 89 Document Outline Zaporedja Kompleksna števila Definicija Racunske operacije v C Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje Konjugiranje Absolutna vrednost Polarni zapis Koreni kompleksnih števil Funkcije Definicija in osnovne lastnosti funkcije Pregled elementarnih funkcij Linearna funkcija Kvadratna funkcija Potencna funkcija Korenska funkcija Polinomi Racionalna funkcija Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Trigonometricne funkcije Krožne funkcije Limita funkcije Zvezne funkcije Odvod Definicija in geometrijska interpretacija Lastnosti odvedljivih funkcij Višji odvodi funkcije L'Hospitalovo pravilo Lokalni ekstremi, narašcanje, padanje Konveksnost, konkavnost in prevoji Taylorjeva formula Integral Nedoloceni integral Integracijske metode Uvedba nove spremenljivke (substitucija) Integracija po delih (per partes) Doloceni integral Funkcije dveh spremenljivk Definicija Parcialni odvodi Lokalni ekstremi funkcije dveh spremenljivk Vektorji Osnovni pojmi Racunske operacije Seštevanje vektorjev Odštevanje vektorjev Množenje vektorja s skalarjem Skalarni produkt Vektorski produkt Mešani produkt Linearna odvisnost in neodvisnost vektorjev Analiticna geometrija v prostoru R3 Enacba premice v R3 Enacba ravnine v R3 Razdalje v R3 Matrike Definicija in posebni primeri Racunske operacije Seštevanje matrik Množenje matrik s skalarjem Množenje matrik Transponiranje matrike Determinanta matrike Inverzna matrika Iskanje inverzne matrike s pomocjo razširjene matrike Iskanje inverzne matrike s pomocjo adjungirane matrike Sistemi linearnih enacb Gaussova eliminacija Cramerjevo pravilo Matrika linearne preslikave