Matematika v šol i 2018, letnik 24 2 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana IZ TEORIJE ZA PRAKSO Osnovnošolski učitelji o uporabi žepnega računala Uporaba žepnega računala pri učencih z učnimi težavami IZ RAZREDA: Numerično računalo pri vsebini integral MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO: Spomini na akademika prof. dr. Ivana Vidava (1918-2015) Zavod Republike Slovenije za šolstvo Matematika v šoli 2018, letnik 24 VSEBINA mag. Mateja Sirnik Uvodnik IZ TEORIJE ZA PRAKSO Jerneja Bone Osnovnošolski učitelji o uporabi žepnega računala..........................................................................2 mag. Apolonija Jerko Uporaba žepnega računala pri učencih z učnimi težavami......................................................11 mag. Sonja Rajh Z žepnim računalom usvajamo nove vsebine pri pouku matematike v osnovni šoli.....................................................................................................................................................................17 IZ RAZREDA Irena Rauter Repija Numerično računalo pri vsebini integral..................................................................................................39 dr. Marko Razpet Moessnerjevo sito.........................................................................................................................................................46 Urška Puncer Algebra bločnih diagramov..................................................................................................................................47 Magda Pipenbaher Računamo gostoto človeka..................................................................................................................................53 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO mag. Milena Strnad Spomini na akademika prof. dr. Ivana Vidava (1918-2015).....................................................56 NOVICE mag. Mateja Sirnik Utrinki s 4. mednarodne Konference o učenju in poučevanju matematike 2018...........................................................................................................................................................62 2 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK ISSN 1318-010X MATEMATIKA V ŠOLI letnik XXIV, številka 2, 2018 Izdajatelj in založnik: Zavod RS za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Odgovorna urednica: mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Uredniški odbor: dr. Darja Antolin Drešar, Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo, mag. Melita Gorše Pihler, Zavod RS za šolstvo, dr. Marjan Jerman, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, Silva Kmetič, Sabina Kumer, Šolski center Krško - Sevnica, dr. Zlatan Magajna, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, dr. Sandra Mršnik, Zavod RS za šolstvo, mag. Sonja Rajh, Zavod RS za šolstvo, Simona Vreš, Gimnazija Ravne na Koroškem, dr. Amalija Žakelj, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta, dr. Lucija Željko, Osnovna šola Dravlje, dr. Herremans Adriaan, Universiteit Antwerpen, Belgija, dr. Jasmina Milinkovič, Pedagoška fakulteta Beograd, Srbija, dr. Evgenia Sendova, Institute of Matematics and Informatics at the Bulgarian academy of Sciences, Bolgarija. Jezikovni pregled: Katja Križnik Jeraj Prevod povzetkov v angleščino: Ensitra prevajanje, Brigita Vogrinec, s. p. Urednica založbe: Andreja Nagode Oblikovanje: Simon Kajtna Ilustracije: Davor Grgičevič Fotografije: avtorji člankov in foto dokumentacija uredništva Računalniški prelom in tisk: Design Demšar, d. o. o., Present, d. o. o. Naklada: 520 izvodov Prispevke pošljite na naslov: Zavod RS za šolstvo, OE Kranj (za revijo Matematika v šoli), Kidričeva 53, 4000 Kranj, e-naslov: mateja.sirnik@zrss.si Naročila: Zavod RS za šolstvo - založba, Poljanska cesta 28, 1000 Ljubljana, faks: 01/30 05 199, e-naslov: zalozba@zrss.si Letna naročnina (2 številki): 22,00 EUR za šole in ustanove, 16,50 € za fizične osebe. Cena posamezne številke v prosti prodaji je 13,00 EUR. Revija Matematika v šoli je vpisana v razvid medijev, ki ga vodi Ministrstvo za kulturo, pod zaporedno številko 568. Revija je indeksirana in vključena v mednarodne baze podatkov: MathEduc - Mathematics Education Database, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik (ZDM), Co-operative Online Bibliographic System and Services (COBISS) © Zavod Republike Slovenije za šolstvo, 2018 Vse pravice pridržane. Brez založnikovega pisnega dovoljenja ni dovoljeno nobenega dela te revije na kakršenkoli način reproducirati, kopirati ali kako drugače razširjati. Ta prepoved se nanaša tako na mehanske oblike reprodukcije (fotokopiranje) kot na elektronske (snemanje ali prepisovanje na kakršenkoli pomnilniški medij). Spoštovani bralci revije Matematika v šoli! V pričujoči številki revije Matematika v šoli pišemo o računalu kot pripomočku pri pouku matematike. Od kod računalo? Prva računala so izumili Babilonci okoli 2400 let pr. n. št. Premikali so kamenčke po posebnih žlebičkih, ki so jih kasneje začeli dajati na žice. Taka računala so imenovali abak. V sedemnajstem stoletju si je Gottfried Wilhelm Leibniz prvi izdelal računski stroj. Na začetku 17. stoletja je John Napier izumil logaritem in kmalu so se pojavila prva logaritemska računala, ki so bila nepogrešljiv pripomoček vsakega tehničnega strokovnjaka in znanstvenika. Sedaj tako računalo najdemo samo še v muzejih in pri kakšnem skrbnem učitelju, ki ga je spravil za spomin. V zadnjih petdesetih letih so jih popolnoma izpodrinila numerična žepna računala. Tudi v našem šolskem prostoru si je računalo v tem času utiralo svojo pot. Do kod smo prišli, lahko berete v prispevkih. Bistvo poučevanja matematike je načrtovati situacije, kjer lahko uporabimo računalo kot pripomoček za usvajanje novih matematičnih znanj. Nadalje nam računalo služi kot pripomoček za reševanje problemov, ko izvajamo različne računske postopke, in kot pripomoček za učence s slabo avtomatiziranimi aritmetičnimi dejstvi in postopki. Pri svojem delu lahko uporabite pripravljene učne liste, ki jih objavljamo, ali pa dobite ideje za izboljšavo le-teh. Poleti smo bili na konferenci o učenju in poučevanju matematike. Posamezne prispevke bomo objavili v tej in v naslednjih številkah revije, z namenom, da ostanejo med nami. Na konferenci je bila ena od tem dvig motivacije za učenje matematike. Eden od odgovorov je zagotovo učenje s preiskovanjem. Nekaj primerov preiskovanja objavljamo v tej številki, v naslednji pa bomo s primeri nadaljevali. Kakšen pečat je pustil na področju matematičnega izobraževanja in raziskovanja dr. Ivan Vidav, vidimo iz besed prof. Milene Strnad, ki je zapisala svoje spomine nanj. V svojem matematičnem ustvarjanju je gotovo lahko zgled vsem mladim raziskovalcem. Želim vam prijetne zimske dni, mag. Mateja SIRNIK, odgovorna urednica Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. 1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Osnovnošolski učitelji o uporabi žepnega računala Jerneja Bone Zavod RS za šolstvo Povzetek V prispevku predstavimo odgovore na vprašanja, zastavljena v anketi učiteljem osnovne šole, ki poučujejo matematiko od 6. do 9. razreda. Vprašanja so pokrivala naslednja področja: uvajanje žepnega računala v pouk in izbor vsebin učnega načrta, kjer učenci uporabijo žepna računala, tehnično ter metodično in didaktično uporabo žepnega računala, mnenja učiteljev do trditev, povezanih z uporabo žepnega računala. K odgovorom podamo krajše komentarje in primere nalog, ki so jih v anketi zapisali učitelji ali smo jih izbrali sami. Naloge smo smiselno umestili k posameznim odgovorom in tako pripomogli, da nazorneje predstavimo uporabo žepnega računala. Ključne besede: žepno računalo, matematika, osnovna šola Primary School Teachers on Calculator Use Abstract The article presents the answers to the questions of a survey performed among primary school mathematics teachers of grades 6-9. The questions were applied to the following areas: introducing calculators in class, selection of school curriculum content where students use calculators, technical, methodical and didactic use of the calculator, teachers' opinions on statements concerning calculator use. The answers include short comments and task examples given by the teachers in the survey or those that we selected ourselves. The tasks were added to individual answers so as to more clearly reflect calculator use. Keywords: calculator, mathematics, primary school Metodologija V šolskem letu 2015/16 smo učitelje matematike v osnovni šoli (ki poučujejo matematiko od 6. do 9. razreda) in so vpisani v spletno učilnico ŠS-Matematika študijska OŠ, prosili, da se odzovejo povabilu in odgovorijo na anonimni spletni vprašalnik o uporabi žepnega računala pri pouku matematike v osnovni šoli. Povabilu se je odzvalo 262 učiteljev, kar predstavlja 44 % učiteljev, ki so se v šolskem letu 2015/16 udeležili študijske skupine (590 učiteljev). Na vprašalnik so lahko odgovarjali tudi učitelji, ki se srečanja študijske skupine v živo niso udeležili. Vprašalnik je bil narejen z Google Drive in je vseboval 17 vprašanj, ki smo jih sestavile takrat delujoče članice Predmetne skupine za matematiko na Zavodu RS za šolstvo. Uvajanje žepnega računala Več raziskav je narejenih o uvajanju žepnega računala v pouk matematike. Hodnik Čadež (2000) omenja več različnih raziskav, kjer so rezultati pokazali, da učenci z uporabo žepnega računala bolje razumejo kvantitativni pomena števila, da so boljši reševalci problemov, pozitivno vlogo žepnega računala na motivacijo učencev in pozitiven odnos do matematike, večje samozaupanje v matematično znanje, da ima žepno računalo pomembno vlogo pri vzpostavljanju problemskih situacij, da učenci z uporabo žepnih računal pridobijo enaka znanja algoritmov pisnega računanja, kot bi jih pridobili brez uporabe žepnih računal pri poučevanju, da uporaba žepnih računal lahko izboljša njihove veščine pisnega računanja. Številne raziskave in metaraziskave o vplivu uvedbe računal na pridobljeno matematično znanje niso dale enotnega odgovora. Po svetu in pri nas se je med učitelji, kljub določenim izkazanim pozitivnim vplivom, ki so ga pokazale raziskave, utrdilo stališče »back to basics« (nazaj k osnovi), ki poudarja pomembnost učenja in utrjevanja osnovnih računskih postopkov brez uporabe računala kot računskega pripomočka (Magajna, 2014). Uporaba povsem preprostih računal je v šolski praksi še danes, kljub številnim raziskavam in kljub takim ali drugačnim zapisom v šolskih predpisih, še vedno nedorečena tako na osnovnošolski kot na srednješolski stopnji. Omenja, da se stopnja in način vključevanja močno razlikujeta od šole do šole, od učitelja do učitelja. Ponekod se pri danem pripomočku izkaže, da 2 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Prikaz 1: V katerem razredu prvič uvedete žepno računalo? njegova uporaba vodi k boljšemu znanju, pri drugem, da se znanje ne izboljša ali se celo poslabša (Magajna, 2014). V anketi smo učitelje vprašali, v katerem razredu prvič uvedejo žepno računalo (Prikaz 1) v pouk matematike. V 6. razredu se največ učencev seznani in začne uporabljati žepno računalo pri pouku matematike, kar je pričakovano, saj se v učnem načrtu prvič pojavijo cilji, zapisani v povezavi z žepnim računalom. Sledita 7. in 8. razred, najmanj učencev prvič uporabi žepno računalo v 9. razredu. Prva uporaba žepnega računala v višjih razredih (okoli 30 %) nakazuje, da učitelji ne uresničujejo ciljev iz učnega načrta oz. ne sledijo ciljem učnega načrta za posamezni razred. Kaj je vzrok za tako odločitev učiteljev? Ugibamo lahko, da se uporabi žepnega računala izogibajo, morda se jim zdi neprimerno, da žepno računalo uporabijo, morda si z neuresničevanjem ciljev učnega načrta, ki so povezani z žepnim računalom, prihranijo nekaj ur pouka, ki jih namenijo drugim vsebinam. Učitelju je učni načrt predpisan in ga je dolžan uresničevati. Žepno računalo in sklopi iz učnega načrta Če so učitelji odgovorili, da žepno računalo uvedejo v 6. razredu, so označili tisti sklop iz Učnega načrta za matematiko (UN), pri katerih učenci prvič uporabijo žepno računalo. Prikaz 2 opiše, katere sklope so učitelji omenjali. Največ učiteljev je izbralo učne sklope v povezavi s števili, kar je pričakovano, saj so v teh sklopih v 6. razredu zapisani cilji v povezavi z uporabo žepnega računala. Uporabo žepnega računala učitelji navajajo tudi pri sklopih iz teme druge vsebine v učnem načrtu. Navajamo nekaj primerov nalog iz posameznih sklopov. Naloge in primere so predlagali učitelji v anketi. Sklop: Naravna števila Dana so števila 9, 49 in 85. Zapiši čim več številskih izrazov in pri tem uporabi eno ali več računskih operacij. Izračunaj njihove vrednosti. Ali opaziš kakšno lastnost (posebnost)? Ali lahko izračunaš vrednost vsakega izraza, ki si ga zapisal? Če ne -pojasni, zakaj ne. Sklop: Računske operacije in njihove lastnosti Preverjanje izračunanih vrednosti številskih izrazov, v katerih nastopajo decimalna števila. Ugotavljanje pravila za množenje in deljenje decimalnih števil s potencami števila 10. Pri katerem sklopu iz učnega načrta uvedete žepno računalo? Matematični probemi in problemi z življenjskimi situacijam Zbiranje in predstavitev podatkov Logika In jezik Racionalna števila Povezan ost količin Enačbe In neenačbe Računske operacije in njihove lastnosti Naravna števila Merjenje Transformacije Liki In telesa Geometrijski pojmi 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Delež učiteljev {v %), ki solzbraliposamezni učni sklop Izračunaj vrednosti številskih izrazov: A: 0,2 + 0,75 : (1 - 0,75) B: 0,75 : 0,075 - (0,65 + 2,95) Kateri izraz ima večjo vrednost? Za koliko? Kolikokrat? Prikaz 2: Sklop iz UN v 6. razredu, kjer uvedejo učitelji žepno računalo. 3 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Sklop: Racionalna števila Ugotavljanje pravila za zaokroževanje decimalnih števil in povezave med desetiškim ulomkom in decimalnim številom. Opazuj, kako zaokroža žepno računalo. Sklop: Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami Naloge, kjer je cilj razumevanje vsebine naloge in ne računski algoritmi. Učenci so usmerjeni v iskanje ustrezne strategije, do izračuna si pomagajo z žepnim računalom. Številski izrazi in postopki morajo biti zapisani. Ob izbranem odgovoru, da žepno računalo učitelji uvedejo prvič v pouk v 3. vzgoj-no-izobraževalnem obdobju, so morali učitelji v anketi označili tisti sklop iz učnega načrta, kjer žepno računalo uporabijo učenci prvič (Prikaz 3). Ponovno je največ učiteljev izbralo učne sklope v povezavi s števili, kar je pričakovano, saj so v teh sklopih v 3. VIO v učnem načrtu zapisani cilji v povezavi z uporabo žepnega računala. Uporabo žepnega računala učitelji navajajo tudi pri sklopih iz teme druge vsebine ter pri geometriji. S primeri nalog, ki so jih učitelji zapisali v vprašalniku, ilustriramo uporabo žepnega računala pri izbranih sklopih. Sklop: Geometrijski pojmi Naloge, kjer žepno računalo uporabijo pri računanju obsega in ploščine geometrijskih likov, obsegu in ploščini kroga in delov kroga, uporabi Pitagorovega izreka, pri računanju površine in prostornine geometrijskih teles, sestavljenih teles in vrtenin. Pri tovrstnih nalogah izvajanje računskih operacij ni prednostna naloga, ampak damo prednost strategiji reševanja problema. Podatki so realni. Površina lesene pravilne štiristrane prizme je 143,65 cm2. Velikost osnovne ploskve te prizme je 42,25 cm2. Izračunaj maso te prizme, če veš, da je gostota lesa 0,725 kg/m3. Sklop: Racionalna števila Ugotavljanje pravila za krajšanje ulom-kov, za zapis ulomka večjega od 1 na celi del in ulomek, ki je manjši od 1. Sklop: Računske operacije z ulomki Uporaba žepnega računala za preverjanje izračunanih vrednosti številskih izrazov, v katerih nastopajo ulomki in decimalna števila. Najprej izračunaj vrednost številskega izraza brez uporabe žepnega računala, nato preveri rezultat z uporabo žepnega računala. Ali se rezultata ujemata? Če ne, zakaj misliš, da ne? Kje si naredil napako? Popravi napako. Raziskovanje, v čem se razlikujejo desetiški in nedesetiški ulomki. Sklop: Realna števila Raziskovanje razlik med racionalnimi in iracionalnimi števili. Sklop: Potence Preverjanje vrednosti številskih izrazov, v katerih nastopajo koreni in potence. Ugotavljanje pravil pri kvadriranju in ko-renjenju decimalnih števil in celih števil, ki se končujejo z ničlami. Delno korenjenje in racionalizacija. Zapis velikih in majhnih števil s potenco. Približno kolikokrat je masa protona večja od mase elektrona? Sklop: Računske operacije in njihove lastnosti Preverjanje veljavnosti računskih zakonov pri različnih množicah števil. Uporaba žepnega računala za preverjanje izračunanih vrednosti številskih izrazov, v katerih nastopajo števila iz različnih množic števil. Sklop: Zbiranje, urejanje in predstavitev podatkov Naloge, kjer nastopa veliko število podatkov in je treba izračunati aritmetično sredino, mediano, medčetrtinski razmik ali izračun verjetnosti pri večjem številu podatkov. Sklop: Odstotni račun, premo in obratno sorazmerje Reševanje besedilnih nalog pri odstotnem računu, obratnem in premem sorazmerju, kjer so podatki realni. Cilj naloge je rešitev problema in uporaba pravilne strategije. Na leto izkopljejo po vsem svetu 2,1 milijona ton zlata. Največji delež zlata izkopljejo v Južnoafriški republiki, okrog 29 %. Koliko ton zlata izkopljejo v Južnoafriški republiki? Sklop: Matematični problemi in problemi iz življenjskih situacij Enako kot pri 6. razredu. Tehnični vidik uporabe žepnega računala Načini, s katerimi učitelji vpeljujejo uporabo žepnega računala, so raznoliki (Prikaz 4). Spodbujajoče je, da se učitelji zavedajo, da so oni tisti, ki so dolžni učence sistematično vpeljati v uporabo žepnih računal in jih naučiti tehnike dela z njim: uporabe določenih tipk (oklepaji, predznačena števila, decimalna števila, ulomki, enote Pri katerem sklopu iz učnega načrta uvedete žepno računalo? Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami Izkušnje s slučajnimi dogodki Merila za sredino in razpršenost Zbiranje, urejanje in predstavitev podatkov Enačbe in neenačbe Funkcije Odstotni račun ter premo in obratno sorazmerje Izrazi potence Računske operacije in njihove lastnosti Realna števila računske operacije z ulomki Racionalna števila Naravna števila Transformacije Geometrijski pojmi 5 10 15 20 25 SO Delež učiteljev (v %), ki so izbrali posamezni učni sklop Prikaz 3: Sklop iz UN v 3. VIO, kjer uvedejo žepno računalo. 4 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Načini vpeljevanja Odgovori učiteljev Uporabe računala se naučijo učenci sami doma s pomočjo učiteljevih navodil (npr. učni list). 3 % Učenec se nauči doma samostojno (npr. s pomočjo staršev, sošolcev, prijateljev, internetom ...). 2,3 % Učence sistematično vpeljem v uporabo računal v šoli in jih poučim o rabi posameznih ukazov. 90,1 % Učenec se nauči uporabe računala pri drugih predmetih. 1,5 % Drugo. 3 % Prikaz 4: Načini vpeljevanja žepnega računala v pouk V katerem razredu učenci še uporabljajo žepno računalo? 9. razred 8. razred I 7. razred I 6. razred 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Delež učiteljev (v %), ki uporabljajožepnoraiunalovposameznem razredu Prikaz 5: Uporaba žepnega računala od 6. do 9. razreda. za velikosti kotov, potenciranje, korenjen-je, spomin ...). Pri tem si lahko pomagajo z učnim plakatom, emulatorjem in drugimi pomagali. Učenci se morajo v osnovni šoli naučiti uporabljati žepno računalo, da ne bodo imeli težav in ga bodo lahko uporabljali tudi pri drugih predmetih v osnovni, kasneje pa tudi v srednji šoli (Bone, 2011). Če se uporabnik (učenec) ne nauči primerno uporabljati pripomočka (žepnega računala) oz. če učitelj ne posveti dovolj pozornosti uvajanju pripomočka, lahko ta postane vir nepotrebnih težav: pripomoček se obnaša na učencu nerazumljiv način, prihaja do napak, ki se jih učenec niti ne zaveda, učenec s pripomočkom enostavno ne zmore opraviti naloge kljub ustreznemu matematičnemu znanju (Ma-gajna, 2014). Učitelji so v vprašalniku izbrali tiste razrede, kjer pripravijo dejavnosti ali naloge z uporabo žepnega računala (Prikaz 5). Učenci uporabljajo žepno računalo v vseh razredih, od 6. do 9., kar pomeni, da z leti nadgrajujejo spoznavanje posameznih ra- čunskih operacij na žepnem računalu in se urijo v vešči uporabi žepnega računala. Opaziti je, da se z vsakim letom izobraževanja povečuje uporaba žepnega računala pri pouku matematike. Na uporabo žepnega računala prav gotovo vpliva tudi izvedbena rešitev uporabe v razredu. Učitelji v veliki večini navajajo, da imajo v šoli komplet računal, ki ga učenci uporabljajo oz. učenci uporabljajo svoja računala (Prikaz 6). Učitelji učencem svetujejo, kakšen tip žepnih računal naj kupijo. V gradivu Učila in učni pripomočki najdemo zapisano: V osnovni šoli priporočamo uporabo žepnega računala z dvovrstičnim zaslonom, ki omogoča preverjanje vnosa podatkov in popravljanje oz. preverjanje rezultatov. Računalo upošteva vrstni red računskih operacij. Računalo ima običajne preproste matematične funkcije in konstante (kvadratni koren, potenciranje, kvadriran-je, n). Odstotki, statistične funkcije ter trigonometrijske funkcije so v računalih standardno prisotne, a za osnovnošolski pouk niso pomembne. Pri uporabi žepnega računala je učitelju lahko v veliko podporo emulator. Emulator je programska oprema, ki prikaže virtualno računalo, enako realnemu žepnemu računalu, ki ga uporabljajo učenci (Bone, 2011). Ali učitelji poznajo in uporabljajo emulator, smo poizvedovali z vprašanjem o njegovi uporabi pri pouku. Presenetilo nas je, da ga polovica učiteljev pozna, nekaj od teh ga tudi uporablja. Veliko je še takih učiteljev, ki ne poznajo prednosti emula- Kakšna je izvedbena rešitev za žepna računala v razredu? Učenci uporabljajo enoten šolski komplet računal. Učenci imajo svoja računala, ki so praviloma različnih tipov. Šola predlaga učencem tip računal, zato imajo učenci praviloma enak tip računal. Drugo 0 10 20 30 40 50 60 Delež učiteljev (v%), ki je izbralo odgovor Prikaz 6: Izvedbena rešitev uporabe žepnih računal v razredu 5 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Prikaz 7: Uporaba emulatorja pri pouku. torjev, jih ne poznajo in tudi ne uporabljajo (Prikaz 7). Žepno računalo uporabljajo učenci tudi pri drugih predmetih, npr. pri fiziki, zato je povezovanje med učitelji pomembno. Učitelji se glede uporabe žepnega računala zelo različno medsebojno povezujejo in sodelujejo (Prikaz 8). 1 Avtor naloge je Goran Bezjak, ZRSŠ. Pri fiziki smiselno uporabimo žepno računalo predvsem pri nalogah, kjer računamo z realnimi podatki in kjer v formulah nastopajo kvadrati oz. kvadratni koreni. Eno takih nalog1 predstavljamo v nadaljevanju, kjer pri poenostavljanju formul dobimo v0 = J2gh, z žepnim računalom pa izračunamo ^/2 ■ 9,81 ■ 0,58. Metodično-didaktični vidik uporabe žepnega računala Uporabo žepnega računala spodbujamo v vseh fazah učnega procesa. Učitelji odgovarjajo, da učenci največkrat uporabljajo žepno računalo pri ponavljanju in utrjevanju, nato sledi obravnava novih vsebin, zelo redko pa žepno računalo uporabijo pri ocenjevanju znanja (Prikaz 9). Pri od- Ali kot učitelj uporabljate emulator (simulacija žepnega računala na računalniku)? 29% 37% Ne poznam in ne uporabljam ■ Poznam in ne uporabljam ■ Poznam in uporabljam Na sliki (Slika 1) je prikazan skok skokice (prerezana žogica za tenis). Na začetku je skokica v napetem stanju in ima takrat prožnostno energijo. Del prožnostne energije se pretvori v skok skokice. Skokica skoči 58 cm visoko. Izračunaj hitrost skokice v trenutku, ko se odlepi od podlage. Rezultat zapiši v m/s in km/h. Kako se pri uporabi žepnega računala povezujete z drugimi učitelji? 16% 34% i Se ne povezujem, i Povezujem se le z učiteljem fizike. Povezujem se z različnimi učitelji (npr. naravoslovnih predmetov). Poučujem matematiko in fiziko ter se z drugimi ne povezujem. Slika 1: Skokica Prikaz 8: Povezovanje med učitelji glede uporabe žepnega računala. 6 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ TEORIJE ZA PRAKSO V kateri fazi učnega procesa učenci uporabijo žepno računalo? Pri obravnavi novih vsebin (pojmov. konceptov) Pri ponavljanju in utrjevanju Pri ocenjevanju Drugo H 0 20 40 60 80 100 Delež učiteljev (v %), ki so izbrali dani odgovor Prikaz 9: Faze učnega procesa in uporaba žepnega računala. govoru so učitelji lahko izbrali več odgovorov. Ocenjevanje Hodnik Čadež (2000, str. 33) omenja, da ena od raziskav navaja, da učenci (tako zelo dobri reševalci kot tudi slabši reševalci), ki uporabljajo žepna računala pri matematičnih testih, dosegajo boljše rezultate tako pri osnovnih računskih operacijah kot pri reševanju problemov. Navajamo prirejena primera naloge iz tujega zunanjega preverjanja znanja, kjer je dovoljena uporaba žepnega računala. Poglej spodnjo enakost. 35 + 102 = 7x Kolikšna je vrednost eksponenta x, da bo enakost veljala? Zapiši potek reševanja. Ponavljanje in utrjevanje Naloge so usmerjene v preverjanje rešitev in izvajanje računskih operacij. Učenci najprej vrednost številskega izraza ali rešitev ocenijo, nato izračunajo in ob zaključku preverijo svojo rešitev z rešitvijo, ki jo dobijo z žepnim računalom. Ob neujemanju rešitev ugotavljajo, kje so naredili napako in jo odpravijo. Napaka je lahko pri tipkanju na žepno računalo, lahko pa se pojavi pri računanju vrednosti številskega izraza. Obravnava novih vsebin (konceptov, pojmov) S preiskovanjem (vodenim ali samostojnim) z žepnim računalom učenci ugotavljajo pravila in zakonitosti. Samostojno odkrivanje novih pravil in zakonitosti prispeva k trajnejši zapomnitvi pravil in boljšemu razumevanju. Pri reševanju naloge potrebuješ spodnje podatke o kokošjih jajcih: Približna masa (v gramih) je podana s formulo: m,-, '•■jajca 10 kjer je y višina jajca. = ^■1,15, Višina nekega jajca je 5,5 cm. Kolikšna je masa takega jajca? Zapiši potek reševanja. Masa jajca (g) Velikost jajca Manj od 53 g Majhno Od 53 g do 63 g Srednje veliko Od 63 g do 73 g Veliko Več kot 73 g Zelo veliko y Nekaj primerov, kjer učenci samostojno ali vodeno: • ugotavlj aj o pravilo za množenj e in deljenje decimalnih števil s potencami števila 10, • preverjajo veljavnost računskih zakonov pri računanju z ulomki, • preverjajo veljavnost računskih zakonov pri računanju s koreni, • ugotavljajo, kolikšno je razmerje obsega in premera kroga. Glede na faze pouka lahko žepno računalo uporabimo z različnimi nameni. Največ učencev uporablja pri pouku matematike žepno računalo kot orodje, ki računa namesto njih: za preverjanje rešitev, izvajanje računskih operacij. Veliko učiteljev nameni uporabo pri preiskovanju in reševanju problemov, kjer ni v ospredju znanje računskih operacije, temveč ugotavljanje pravil, zakonitosti ter usmerjenost v rešitev problema in iskanje ustrezne strategije za reševanje. Najmanj uporabljajo učenci žepno računalo pri uvajanju novih pojmov (Prikaz 10). Preverjanje rešitev Najpogosteje se žepno računalo uporablja v osnovni šoli zato, da učenci z njim preverjajo izračune v fazi ponavljanja in utrjevanja. Uporabo žepnega računala za preverjanje rešitev (vrednost številskih izrazov, ustreznost rešitve enačbe) priporočamo ob koncu obravnavanih vsebin, takrat ko so že utrjeni ustni in pisni algoritmi računanja v različnih množicah števil. Ob tem se učenci učijo pravilne rabe tipk in pravilnega zaporedja tipk. Izvajanje računskih operacij Ta namen najpogosteje vključujemo v fazo ponavljanja in utrjevanja. Učence navajamo, da najprej ocenijo vrednost številskega izraza, izračunajo njegovo vrednost in nato rezultat preverijo še z uporabo žepnega računala. Tudi tu priporočamo uporabo žepnega računala ob koncu obravnavanih vsebin, takrat ko so že utrjeni ustni in pisni algoritmi računanja v različnih množicah števil. Uvajanje novih pojmov Če uporabljamo žepno računalo z namenom uvajanja novih pojmov, je to močno povezano s fazo pouka, ko uvajamo nove vsebine, ko učenci spoznavajo nova pravila in nove zakonitosti. 7 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 S kakšnim namenom uporabljajo učenci žepno računalo? Kot pripomoček pri preiskovanju Kot pripomoček pri uvajanju novih pojmov - . Drugo 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Delež učiteljev (v %), ki so izbrali dani odgovor Prikaz 10: Namen uporabe žepnega računala Nekaj primerov: • ugotavljanje pravil pri potenciranju ali korenjenju, • raziskovanje periodičnih decimalnih števil, • povezovanje pojmov kvadrat in kvadratni koren števila. Reševanje problemov Žepno računalo je smiselno uporabiti pri reševanju nalog, kjer je v ospredju učenčev miselni proces (kognitivni cilji): razmišljanje, sklepanje, iskanje ustrezne strategije ter matematično znanje, v ozadju je računanje vrednosti številskih izrazov. Učitelj zahteva, da se zapišejo strategije reševanja naloge, postopke in številske izraze, nato z žepnim računalom izračunajo vrednost številskih izrazov oz. si pomagajo do končnega rezultata. (npr.: besedilne naloge, kjer je potrebno množenje in deljenje z decimalnimi števili). V nalogah so najpogosteje uporabljeni realni podatki, so pa to naloge iz različnih vsebin učnega načrta. Anja želi najugodnejši nakup ploščic za tla v kopalnici. V prodajalni je dobila cenik. Za katere ploščice naj se odloči, da bo nakup najugodnejši? Koliko denarja bo porabila za nakup ploščic? (slika cenika vsebuje različne dimenzije ploščic, število ploščic v paketu, cena paketa in cena ploščic na m2) Preiskovanje Žepno računalo uporabimo pri preiskovanju zato, da olajšamo učenje drugih vsebin, da je učenje usmerjeno na iskanje zakonitosti in pravil, s tem pa spodbuja- mo doseganje kognitivnih ciljev. Navajamo primera: Ugotavljanje pravil: • za deljivost števil, • za povezavo med D (a, b) in v (a, b). Zapiši različna decimalna števila. Z žepnim računalom jih pretvori v ulomek. Kaj ugotoviš? Zapiši različne ulomke. Z žepnim računalom jih pretvori v decimalno število. Kaj ugotoviš? Uporabo žepnega računala je smiselno vpeljevati tudi pri domačih nalogah. Nihče izmed učiteljev ni označil odgovora (Prikaz 11), da zelo pogosto pri domačih nalogah dovoli uporabo žepnega računala. Največ odgovorov je, da je domača naloga iz matematike redko taka, da uporabijo učenci žepno računalo. Mnenja učiteljev do uporabe žepnega računala Žepno računalo je orodje, ki olajša računanje, a ne samo to. Žepno računalo lahko uporabimo kot spoznavno sredstvo in sredstvo za razvoj številskih in količinskih predstav, sredstvo za spoznavanje in razumevanje računskih operacij, sredstvo za eksperimentiranje in raziskovanje, sredstvo za reševanje problemskih nalog, sredstvo za preverjanje in testiranje rezultatov, napovedi, ocen ... (Bone, 2011) Z nekaterimi trditvami smo preverjali mnenja učiteljev do uporabe žepnega računala. Za vsak odgovor so učitelji v anketi odgovarjali s stopnjo strinjanja: 1 - se ne strinjam, 2 - se delno ne strinjam, 3 - se delno strinjam, 4 - se popolnoma strinjam. V nadaljevanju prikazujemo odgovore učiteljev na zastavljene trditve (Prikaz 12). Za odločitev »se popolnoma strinjam« je največ učiteljev (14,9 %) izbralo trditev, da žepno računalo pomaga pri razvoju sklepanja. Za odločitev »se ne strinjam« se je največ učiteljev (20,7 %) opredelilo za trditev, da žepno računalo pomaga učencem pri razvoju računskih spretnosti. Kako pogosto pripravite domačo nalogo, pri kateri osmislite uporabo žepnega računala? 0% 23% 48% Zelo pogosto (skoraj pri vsaki domači nalogi) Pogosto (60 %-80 %) Občasno (40 %-60 %) Redko (20 %-40 %) Skoraj nikoli (0 %-20 %) Prikaz 11: Domača naloga iz matematike in osmišljena uporaba žepnega računala 8 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Stališča učiteljev do uporabe žepnega računala 45 1 40 _0J oo àXi~>0 ~=1 (Bon Klanjšček, 2012). Preden zapišemo geometrijski pomen določenega integrala, z numeričnim računalom raziščimo, kako je ploščina lika, ki ga graf zvezne funkcije oklepa z abscisno osjo na danem intervalu, povezana z vrednostjo določenega integrala. V ta namen vzemimo funkcijo f s predpisom f(x) = -x + 4 in poglejmo lik, ki ga graf funkcije f na intervalu [0,6] oklepa z abscisno osjo, kot prikazuje slika 1. Ker ima funkcija f na intervalu [0, 4] pozitivne vrednosti in na intervalu [4, 6] negativne vrednosti, zaradi lažjega razumevanja razdelimo lik med grafom funkcije f in abscisno osjo pri x = 4 na dva dela. Ploščino lika SL, ki ga sestavljata dva pravokotna trikotnika s ploščinama S1 in S2 (slika 1) izračunajmo z uporabo obrazca za računanje ploščine pravokotnega trikotnika, za računanje 39 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Slika 1: Lik med grafom funkcije in abscisno osjo. določenega integrala pa uporabimo numerično računalo, kot je prikazano na sliki 2. Izračunane ploščine in dobljene vrednosti določenega integrala zapišimo v preglednico 1. Preglednica 1: S = f (~x + 4)dx = J 0 S2= f (~x + 4) dx = J 4 SL = f (~x + 4) dx = Jo Dijaki nato primerjajo izračunane ploščine in vrednosti določenega integrala. Ugotovimo, da sta na intervalu [0, 4] ploščina in določeni integral oba pozitivna, na intervalu [4, 6] pa je določeni integral negativen. Vprašamo se, zakaj je prišlo do tega. Pogledamo definicijo določenega integrala, kjer vidimo, da je predznak določenega integrala odvisen od predznaka funkcijskih vrednosti na danem intervalu. Na intervalu [4, 6] so vse funkcijske vrednosti negativne, zato je tudi vrednost določenega integrala negativna. Posebej poglejmo, zakaj na intervalu [0, 6] pride do razlike med izračunano ploščino lika in vrednostjo določenega integrala. Ploščina je na celotnem intervalu enaka vsoti ploščin, medtem ko je vrednost določenega integrala enaka razliki med ploščinama likov, ki ležita nad in pod abscisno osjo. Vse skupaj strnemo v geometrijski pomen določenega integrala: • Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in povsod nene-gativna (f > 0), je integral fb f(x)dx enak ploščini lika, ki je omejen z abscisno osjo, grafom funkcije f ter premicama x = a in x = b. • Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in povsod negativna (f < 0), je integral fbf(x)dx negativen in enak nasprotni vrednosti ploščine lika, omejenega z grafom funkcije f, abscisno osjo ter premicama x = a in x = b. • Če je funkcija f na intervalu [a, b] pozitivna in negativna, je določeni integral fb f(x)dx enak razliki med ploščinami likov, ki ležijo nad osjo x, in ploščinami likov, ki ležijo pod osjo x (liki so omejeni z grafom funkcije in abscisno osjo na danem intervalu). (Bon Klanjšček, M. in ostali, 2012). Raziskujemo lastnosti določenega integrala - iu.tmTJ r.- iCif,:-JL ; «; rt ji- . UPO □ □□□□ aoesoo * • BBS ^^ r L ■ ■ . -'"■. ai T vir/'-/ |Q H. UL □ E 1DE3B fll aaaa i^ooea£aoJ T «SE ..... ■ ■ a bo □ QQDB ORC3DD Slika 2: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Izpolnjena preglednica 1: 4.4 Si = -r=8 f {-x + 4) dx = 8 Jo 2-2 f 6 52 = ~T = 2 + 4) dx = -2 J4 SL = S1 + S2 = 8 + 2 = 10 i (~x + 4) dx - 6 Jo Z numeričnim računalom (slika 3 in slika 4) izračunamo še nekaj vrednosti, ki so vezane na lastnosti določenega integrala. Rezultate zapišemo v preglednico 2 in preglednico 3. Preglednica 2: J 4((-x) + (4)) dx = 0 f (-x) dx+ f (4) dx = J 0 Jo J 2 ■ + 4) dx = 0 2 ■ f (~x + 4) dx = Jo Slika 3: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. 40 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Preglednica 3: f4 f3 r4 (-x + 4)dx = 1 (-x + 4) dx + I (-x + 4) dx = J 0 'o h f4 r o (-X+4)dx = (~x + 4)dx = J 0 h f1 f4 (-X+4)dx = {-x + 4)dx = Ji J4 Slika 4: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Z dijaki se nato pogovorimo o dobljenih rezultatih in zapišemo naslednje lastnosti določenega integrala. • Določeni integral vsote dveh funkcij je enak vsoti določenih integralov posameznih funkcij: b b b J(f(x) + g(x)) dx = J f(x) dx + j g{x) dx a a a • Določeni integral zmnožka funkcije s številom je enak zmnožku števila in določenega integrala funkcije: b b j k ■ f{pc) dx = k ■ j f{pc) dx a a • Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b] in točka c poljubna točka na tem intervalu, je: b c b //««-jV« <"+//««* a a c • Če meji določenega integrala med seboj zamenjamo, integral spremeni predznak: Prvi del, v katerem smo raziskovali geometrijski pomen in lastnosti določenega integrala, zaključimo z zapisom osnovne formule integralskega računa, ki podaja zvezo med določenim in nedoločenim integralom. Nato nekatere vrednosti določenega integrala, ki smo jih prej dobili z računalom, utemeljimo še računsko. Osnovni izrek integralnega računa (Newton-Leibnizova formula) Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], je fb f(x)dx = F(b) - F(a), kjer je F poljuben nedoločeni integral funkcije f F'(x) = f(x) (Bon Klanjšček, M. in ostali, 2012). Preverimo naslednje vrednosti določenega integrala z računanjem določenega integrala po osnovni formuli integralskega računa: Jo4(-*+4)«fc = - y+4*IŽ = (-y+4-4)-(-y+4-°) = 8 Vidimo, da so izračune vrednosti enake kot v izpolnjeni preglednici 1. Za vajo izračunamo še določena integrala: f3 X2 13 / 32 \ / O2 \ 15 ¡fMdx = -jf(xUx Če sta meji enaki, ima integral vrednost 0. a Vidimo, da je z izbiro delilne točke pri x = 3 vrednost določenega integrala na [0, 6] ravno tako enaka 6. J {-x + 4) dx) = J^ (~x + 4) dx + £ (~x + 4) dx = y + = 6 Tudi te rezultate lahko preverimo na sliki 1 s pomočjo ploščin in ustreznim predznakom določenega integrala. V nadaljevanju si oglejmo še en primer uporabe numeričnega računala, in sicer kako numerično računalo uporabljamo za preverjanje rezultatov. Pri reševanju naslednje naloge bomo vse rešitve utemeljili računsko, nato pa rezultate preverili še z računalom. // «4.-0 a (Bon Klanjšček, 2012). 41 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Naloga Na sliki je narisan graf funkcije f [—3,3] -> IR s predpisom f(x) = -x3 —~x + l in na njem točke A, B, C, D in E (slika 5). 2 2 Slika 5: Graf funkcije f. a) Izračunajte koordinate točk A, B, C, D in E. b) Natančno izračunajte koordinati presečišča grafa funkcije f s premico x — V2 = 0. c) Izračunajte absciso presečišča grafa funkcije f s premico y = 3. Rezultat zapišite na dve mesti natančno. č) Zapišite vrednosti spremenljivke x, za katere je f(x) > 0. d) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f in abscisno osjo. Rešitev naloge a) Izračunajte koordinate točk A, B, C, D in E. Točki A in D: Računsko Ker je funkcija f definirana na intervalu [-3, 3], sta abscisi točk A in D enaki xA = -3 in xD = 3. Izračunajmo njuni ordinati. Va = /(-3) = \ ■ (-3)3 - \ ■ (-3) + 1 = -8 yD=f( 3)=i-33-^-3 + l = 10 Zapišemo koordinati točke A in D: A(-3, -8) in D(3, 10) Rezultat preverimo z računalom Slika 6 prikazuje, kako z računalom preverimo ordinato točke A. Nato še enkrat uporabimo ukaz CALC in preverimo ordinato točke D. Vnesemo izraz in uporabimo ukaz CALC. Slika 6: Računanje ordinate točke A z numeričnim računalom. Točki B in C: Računsko V točkah B in C graf funkcije f seka abscisno os. Z uporabo Hornerjevega algoritma izračunamo ničli funkcije f. 1 , 3 -x3 -~x+l = 0 2 2 | + 2) (x - l)2 = 0 x1 — —2 in x2t3 — 1 Zapišemo koordinati točke B in C: B(-2, 0) in C(1, 0). Rezultat preverimo z računalom Na računalu izberemo ukaz za računanje ničel polinoma tretje stopnje. * * ¿»^ * • - — -4 - l 4 l> n ■ POBOB OHŒ3G1D Vnesemo vrednosti koeficientov a, b, c in d. Preberemo eno ničlo: x1 = -2 T m.r l 1-11 " - | I ** I HM 11 I t"'"' ■ 1 ' I—I1 DBOOD ODGOD Preberemo drugo ničlo: x2 = 1 Slika 7: Računanje ničel z numeričnim računalom. 42 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Točki E in C: Računsko Izračunamo prvi odvod funkcije f ter izračunamo abscisi stacionarnih točk. /'(*) = |*2-| = |(*-l)(x + l) -(* + l)(*-l) = 0 — %2 — 1 Izračunamo pripadajoči ordinati yE = f(-1) = 2 in yC = f(1) = 0 ter zapišemo koordinati točk E in C: E(-1, 2) in C(1, 0). Rezultat preverimo z računalom Rezultat preverimo z računalom r * II L' .- I r ■; □ □□ ' aaooD □ HQQD Zapišemo odvod funkcije f in izraz izenačimo z 0. -I . i, - ■ . H ^ L r .- - ipmhMIIM ETffTTnSM Izberemo ukaz SOLVE. Preberemo absciso prve točke xE = -1 in nato še absciso druge točke xC = 1. Slika 8: Računanje ničel odvoda z numeričnim računalom. Z numeričnim računalom preverimo ordinati točk E in C na podoben način, kot smo to naredili za ordinato točke A. b) Natančno izračunajte koordinati presečišča grafa funkcije f s premico x — VŽ = 0. Računsko Iz enačbe x — y[2 = Q izrazimo x = s/2 ter izračunamo ordinato presečišča. 1 _3 3 ,— y=--V2 — —1 V2 + 1 V = 2 2-V2 Zapišemo koordinati presečišča: P (V2, j Vnesemo izraz in uporabimo ukaz CALC. Slika 9: Računanje ordinate presečišča z numeričnim računalom. c) Izračunajte absciso presečišča grafa funkcije f s premico y = 3. Rezultat zapišite na dve mesti natančno. Računsko 1 , 3 -x3 -~x + l = 3 2 2 X3 - 3x - 4 = 0 Hitro se lahko prepričamo, da enačba nima celoštevilskih rešitev. Iz narisanega grafa lahko razberemo, da bo abscisa presečišča nekje med x = 2 in x = 3. Uporabimo metodo bi-sekcije in izračunamo rešitev x = 2,2 na dve mesti natančno. Rezultat preverimo z računalom Z računalom imamo več možnosti za preizkus. Uporabimo lahko ukaz za reševanje polinomske enačbe 3. stopnje ax3 + bx2 + cx + d = 0 ali pa zapišemo enačbo ~x3 — -x + l = 3 in z ukazom SOLVE dobimo približek x = 2,2. Lahko pa rezultat preverimo, kot prikazuje slika 9. Vnesemo izraz in uporabimo ukaz SOLVE. Vstavimo y = 3. Preberemo absciso presečišča 2,2. Slika 10: Računanje abscise presečišča z numeričnim računalom. 43 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 č) Zapišite vrednosti spremenljivke x, za katere je f (x) > 0. Rešitev preberemo z grafa Potem, ko smo izračunali koordinate točk na grafu funkcije f, lahko iz slike preberemo f (x) > 0 rešitev neenačbe: x e [-3, -2] U {1} V1 10 T D i s 7 e s A E3 P i A ' r J -6 -5 -4 ^ Ï2 -i -1 ■2 1 2 3 4 5 flj- c -Z ■4 -5 -e -7 i A -S Rezultat preverimo z računalom Na računalu izberemo ukaz za reševanje polinomske neenačbe tretje stopnje axi + bx2 + cx + d < 0. i"rrrrr OBO ■'■- Vnesemo koeficiente a, b, c in d. ^«J r- : t ¡K-t h » ¡iP c .1 i ±' ■ jf - *sJ I fc- fes* .t dW«*^!** -..... fj, -T- » I-W.M. 11 T—l-I Preberemo rešitev: x G (—, -2] U {1} Slika 11: Reševanje polinomske neenačbe z numeričnim računalom. Rezultat, ki je prikazan na računalu za funkcijo f, ki je definirana le na intervalu [3, 3], ni pravilen. Tega se moramo zavedati in predlagane rešitve pravilno uporabiti: x G [-3, -2] U {1} d) Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije f in abscisno osjo. Računsko Slika 12: Lik med grafom funkcije f in abscisno osjo. Najprej izračunajmo ploščino lika, ki ga graf funkcije f(x) =-x3 —~x+l oklepa z abscisno osjo na intervalu [-3, -2]? 2 -2 I (h3-32x + 1)dx = h4-34x2+x\-3 = -3 (§(_2)4 " \(_2)2 + (_2)) " (s(_3)4 " l(_3)2 + (_3)) Izračunani integral ima na intervalu [-3, -2] negativno vrednost, saj na tem intervalu graf funkcije f leži pod abscisno osjo. Ploščina lika med grafom funkcije f in abscisno osjo na tem delu enaka S« = —. 1 8 Na podoben način lahko za vajo izračunamo še preostala dva določena integrala ter rezultate vpišemo v preglednico. V preglednico zapišemo še vrednosti pripadajočih ploščin. 44 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Izpolnjena preglednica: r~2 27 27 3 J ^ f(x) dx = ~ — Si = — = 3 -1 8 8 f1 27 27 3 J f(x) dx = — S2= —=3-2 8 8 J f{x) dx = 6 S3 = 6 r3 51 3 J f(x) dx = 6 J-3 Sl=S1 + S2+S3=-=12- Rezultat preverimo z računalom Z računalom izračunamo določene integrale, npr.: Slika 13: Računanje določenega integrala z numeričnim računalom. Zaključek Predstavljena uporaba numeričnega računala je samo ena od možnosti, ki jih lahko uporabimo v razredu za raziskovanje in reševanje problemov ter utrjevanje znanja. Aktivno učenje dijakom pomaga, da so sami vključeni v proces izgradnje matematičnega znanja, da vsebine bolje razumejo in si jih lažje zapomnijo. Glede na zmožnosti in interese dijakov ter glede na zahtevnost posameznega programa preiskovane lastnosti podkrepimo še z dokazi. Učitelji matematike od dijakov pričakujemo, da vse rešitve nalog utemeljijo računsko in rezultate kritično ocenijo. Ob tem večkrat pozabimo, da je današnja generacija dijakov drugačna, tako rekoč rojena s tehnologijo. Naša naloga je, da se s smiselno rabo tehnologije pri pouku skušamo čim bolj približati njihovemu načinu učenja in razmišljanja v procesu usvajanja novih vsebin, tudi pri utrjevanju, poglabljanju in ocenjevanju znanja. Vir | Bon Klanjšček, M. idr. (2012). Matematika 4. Zbirka nalog za gimnazije. Ljubljana: DZS. 45 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Moessnerjevo sito dr. Marko Razpet Aleksandrijski učenjak Eratosten iz Kirene, grško 'EpaToai!)£vr]c; o Kupr)vaio<; (276-194 pnš.), je bil vodja slovite aleksandrijske knjižnice, narisal je zemljevid takrat znanega sveta, genialno in razmeroma natančno je izračunal velikost Zemlje. Matematiki pa ga poznamo predvsem po postopku, kako iz zaporedja naravnih števil izločiti praštevila. Temu slikovito pravimo Eratostenovo sito. Z naravnimi števili so se ljudje vedno radi ukvarjali, tudi nema-tematiki. Veliko zanimivih lastnosti naravnih števil so odkrili razvedrilni ali rekreativni matematiki. Eden takih je bil Nemec Alfred Moessner iz Gunzenhausna na Bavarskem, o katerem ne vemo prav veliko, razen da je iznašel postopek, kako iz naravnih števil izluščiti zaporedje k-tih potenc. Postopek imenujemo Moessnerjevo sito. Moessner ga je leta 1951 brez dokaza objavil v neki publikaciji Bavarske akademije znanosti. Že istega leta je znani nemški matematik Oscar Perron (1880-1975) objavil dokaz o pravilnosti Moessnerjevega postopka. Preden nadaljujemo, povejmo, da so členi s1, s2, s3, ... zaporedja delnih vsot danega številskega zaporedja a1, a2, a3, ... definirani takole: s, = a,, s„ = a, + a, s = a, + a + a„,... 1 12 1 2 3 1 2 3' Da pridemo do zaporedja kvadratov 12, 22, 32, ..., po Moessner-ju najprej zapišemo primerno dolgo zaporedje naravnih števil, nato pa v njem prečrtamo vsak drugi člen, začenši z drugim. Za dobljeno okleščeno zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot in že smo pri zaporedju kvadratov. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Do zaporedja kubov 13, 23, 33, ... pridemo po Moessnerju tako, da najprej zapišemo primerno dolgo zaporedje naravnih števil, nato pa v njem prečrtamo vsak tretji člen, začenši s tretjim. Za dobljeno okleščeno zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot, nato pa v njem prečrtamo vsak drugi člen, začenši z drugim, in za novo zaporedje zapišemo zaporedje delnih vsot. Dobimo zaporedje kubov. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 4 5 78 10 11 13 14 16 17 13 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108 13 7 12 19 27 37 48 61 75 91 +08 1 7 19 37 61 91 1 8 27 64 125 216 Prav tako pridemo do bikvadratov (četrtih potenc). Prečrtamo vsak četrti člen v zaporedju naravnih števil. Zapišemo zaporedje delnih vsot dobljenega zaporedja in v njem prečrtamo vsak tretji člen. Zapišemo zaporedje delnih vsot novega zaporedja in v njem prečrtamo vsak drugi člen. Nazadnje zapišemo zaporedje delnih vsot slednjega zaporedja. Dobimo zaporedje bikvadratov. Sedaj, ko obvladamo postopek, lahko v tabeli nekaj vrstic izpustimo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 3 6 11 17 24 33 43 54 67 81 96 113 14 15 32 65+08 175 256 369 1 16 81 256 625 46 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Algebra bločnih diagramov Urška Puncer Povzetek Modeliranje je postopek, s katerim realni proces pretvorimo na matematični model. Modeliranje se velikokrat uporablja na elektro področju pri vodenju sistemov. Za preučevani proces pretvorimo obstoječe enačbe v bloč-ni diagram, potem pa ga s pravili algebre poenostavimo v čim bolj osnovno obliko. V prispevku je prikazana ura matematike, v kateri dijaki s pomočjo delovnega lista spoznajo osnovne pojme ter pravila algebre, ki veljajo za bločne diagrame. Pravila dokažemo z uporabo računskih zakonov ter ekvivalentnim preoblikovanjem enačb. Ključne besede: bločni diagram, računski zakoni, ekvivalentno preoblikovanje enačb Algebra of Block Diagrams Abstract Modelling is the process by which a real process is transformed into a mathematical model. Modelling is widely used in the field of electrical engineering in the management of systems. For the studied process, the existing equation is transformed into a block diagram and then simplified with algebraic rules in the most basic form. We can prove the rules using the commutative, associative and distributive laws and turning simple equations. Key words: block diagram, commutative, associative and distributive laws Uvod Na vseh nivojih srednješolskega izobraževanja se pri matematiki obravnavajo številske množice. Od naravnih števil dalje se pri vsaki množici pojavljajo komutativno-stni zakon za seštevanje in množenje, asociativnostni zakon za seštevanje in množenje ter distributivnostni zakon. Dijaki vedno sprašujejo, zakaj je zakone sploh treba obravnavati, saj so na ravni števil tako očitni. V algebri bločnih diagramov sem našla primer, da dijakom pokažem, da so ti zakoni pomembni tudi v praksi. Ura je prilagojena za konec prvega letnika tehniške šole. Temo obravnavamo v skupinah s tremi ali štirimi dijaki. Po razporejanju sledi kratek uvod o modeliranju. Modeliranje je postopek, s katerim realni proces pretvorimo na matematični model. Modeliranje se velikokrat uporablja na elektro področju pri vodenju sistemov. Za preučevani proces pretvorimo obstoječe enačbe v bloč-ni diagram, potem pa ga s pravili algebre poenostavimo v čim bolj osnovno obliko. Prednost bločnih diagramov je njihova nazornost in preglednost. Za obravnavanje teme sem pripravila delovni list (Priloga 1), na katerem so najprej zapisani in prikazani osnovni pojmi (Slika 1) ter enačbe (Slika 2-9), ki jih predstavljajo. Ime Simbol Matematična enačba Blok (Na levi strani je vhodni signal, na desni pa izhodni signal. Blok na sredini pove zvezo med vhodom in izhodom.) b = a ■ G Sumacijska točka (ponazarja seštevanje ali odštevanje dveh signalov) c = a ± b Razcepišče (pove, da določen signal deluje na različnih mestih v bločnem diagramu) Povratna zanka Slika 1: Osnovni pojmi (prirejeno po Zupančič, 2018) 47 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Potem sledi tabela, v kateri so osnovne povezave med bloki in pravila algebre bločnih diagramov. Vsa ta pravila najprej doka-žemo z uporabo osnovnih računskih zakonov, ekvivalentnim preoblikovanjem enačb ter osnovnih sistemov enačb. Na koncu se pogovorimo, katera pravila smo uporabili. Nekaj primerov naredimo skupaj. Potem jih spodbudim k samostojnemu delu po skupinah, sama pa hodim med skupinami, jih spodbujam k razmišljanju in odgovarjam na vprašanja. Za dokazovanje izpišemo enačbe iz zgornjega diagrama in jih preoblikujemo v enačbo, ki ustreza spodnjemu diagramu. Ime Redukcija zaporedne vezave Ekvivalentna diagrama G) G, G, Kaj smo uporabili? Slika 2 Za prvi diagram (Slika 2) velja b = c • G in c = a • Gt. Enačbi združimo in dobimo b = c • G2 = (a • G1) • G2 = a • (G1 • G2). Uporabili smo asociativnostni zakon za množenje. 2 Redukcija vzporedne vezave Slika 3 Za prvi diagram (Slika 3) velja b = a • G1 + a • G2. Izpostavimo a in dobimo b = a • (G1 + G2). Uporabili smo izpostavljanje skupnega faktorja. Redukcija zanke C. 1 - G( ■ G, Za prvi diagram (Slika 4) veljata enačbi b = c • G1 in c = a + b • G2. Če enačbi združimo, dobimo b = c • G1 = (a + b • G2) • G1 = a • G1 + b • G2 • G1 . Iz enačbe izrazimo b in dobimo b - b • G2- G1 = a • G1 b • (1 - G2• Gj = a • G1 G21 1 1 b = a; Gj • G2 1. 1 - Gr G1 Za G1 • G2 = 1 velja b • 0 = a • G1, torej a = 0. Uporabili smo sistem enačb, distributivnostni zakon, izpostavljanje skupnega faktorja in obravnavanje linearne enačbe s parametri. 4 Zamenjava vrstnega reda zaporednih blokov a c b G, (7 a d b __^ a G "i Slika 5 Iz prve točke sledi, da lahko enačbi prvega diagrama (Slika 5) združimo in zapišemo kot b = a • Gr G2. b = a • G^ G2 = a • G2- G1 = d • G1, kjer je d = a • G2. To pa sta enačbi drugega diagrama. Uporabili smo komutativnostni zakon za množenje. Zamenjava vrstnega reda zaporednih sumacijskih točk Slika 6 Prvemu diagramu (Slika 6) pripada enačba d = (a ± b) ± c. Nato jo preoblikujemo in dobimo d = (a ± b) ± c = a + (± b ± c) = a + (± c ± b) = (a ± c) ± b, kar je enačba drugega diagrama. Uporabili smo asociativnostni in komutativnostni zakon za seštevanje. Pri tej točki dijake opozorim na izpostavljanje znaka za seštevanje pred oklepajem. 5 3 Slika 4 48 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Zamenjava vrstnega reda zaporednih razcepišč Slika 7 Premik sumacijske točke za blok Slika 8 Zapišemo enačbo (Slika 8), ki pripada prvemu diagramu, uporabimo distributivnostni zakon in dobimo enačbo, ki pripada drugemu diagramu. c = (a ± b) • G1 = a • G1 ± b • G1. Razcepišče pomeni (Slika 7), da isti signal deluje na različnih mestih, zato lahko razcepišča med sabo menjamo. Premik sumacijske točke pred blok Slika 9 Ob uporabi izpostavljanja skupnega faktorja in obratne vrednosti pokažemo (Slika 9), da velja c = a • G, ± b = a • G, ± b • -1 • G1 = (a ± b • • G,. G1 ' G, Po pregledu tabele s pravili sledi naloga, v kateri ta pravila uporabimo. 6 8 7 49 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Rešitev naloge: Odziv dijakov na uro je bil pozitiven. Všeč jim je bilo predvsem to, da smo se dotaknili njihovega področja, pri tem pa utrdili matematično predznanje. Zaključek Algebro bločnih diagramov uporabljajo na področju elektrotehnike, vendar sem delovni list sestavila povsem splošno, tako da je primeren tudi za druge smeri. V opisani uri se dijaki urijo v dokazovanju, preoblikovanju enačb, uporabljajo številske zakone ter diagrame povezujejo z enačbami in obratno. Pri temi spoznajo uporabnost računskih zakonov, ki so jim na ravni števil tako samoumevni. Tema je zelo primerna za skupinsko delo, saj je snov za vse popolnoma nova in med dijaki ni večjih razlik v predznanju. Viri Puncer, U. (2018). Bločna algebra. Zbornik razširjenih povzetkov KUPM 2018. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Str. 86, 87. http://msc.fe.uni-lj.si/Download/Zupancic/AVS/AVS.pdf (21. 3. 2018). https://www.slideshare.net/tendeo/control-chap3 (21. 3. 2018). https://www.tutorialspoint.com/control_systems/control_systems_block_diagram_algebra.htm (21. 3. 2018). 50 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 DELOVNI LIST: ALGEBRA BLOČNIH DIAGRAMOV Osnovni pojmi: Ime Simbol Matematična enačba Blok (Na levi strani je vhodni signal, na desni pa izhodni signal. Blok na sredini pove zvezo med vhodom in izhodom.) b = a ■ G Sumacijska točka (ponazarja seštevanje ali odštevanje dveh signalov) + b c = a ± b Razcepišče (pove, da določen signal deluje na različnih mestih v bločnem diagramu) Povratna zanka Osnovna pravila algebre: Ime Ekvivalentna diagrama in dokaz ekvivalence Kaj smo uporabili? Redukcija zaporedne vezave GrGa Redukcija vzporedne vezave Redukcija zanke Zamenjava vrstnega reda zaporednih blokov a C b G, n __^ "i a G; d G, b Zamenjava vrstnega reda zaporednih suma-cijskih točk 2 3 4 5 51 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK 52 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA Računamo gostoto človeka Magda Pipenbaher Osnovna šola Franca Lešnika-Vuka Slivnica pri Mariboru Povzetek Kako nadgraditi pouk nadarjenim učencem in v njih spodbuditi razmišljanje ter zanimanje za iskanje potrebnih ter zadostnih podatkov, vključiti medpredmetno povezavo, z uporabo že pridobljenega znanja iz različnih področij pridobiti s preiskovanjem nove rezultate, nova spoznanja? Nadarjeni učenci 9. razredov so samostojno raziskali ter izračunali približek gostote človeškega telesa. Nadarjenim učencem 7. razredov pa je to uspelo z navodili in s smernicami. V skupinah so učenci, ki imajo dobro razvito miselno-spoznavalno področje, učno-storilnostno področje, dobro motivacijo in so močni na socialno-čustvenem področju. Ključne besede: medpredmetna povezava, valj in krogla, gostota človeškega telesa Accounting the humanity Abstract How can we make classes more interesting for talented students to stimulate their thinking and interest that would incite them to look for the necessary and sufficient information, include cross-curricular connections and use the knowledge they have already gained in different other areas in researching and acquiring new results and new findings? The gifted ninth graders independently studied and calculated the average density of the human body, while the gifted seventh graders accomplished the same with instructions and guidance. The groups included students with well-developed mental cognitive processes, learning-performance processes, good motivation and social-emotional learning. Keywords: cross-curricular connection, cylinder and sphere, density of the human body Raziskovanje učencev 9. razreda Opazovanje Z opazovanjem svojega telesa so učenci 9. razredov sklepali, da so posamezni deli naših teles podobni valju in glava krogli. Da lahko izračunajo gostoto telesa, morajo izračunati prostornino telesa in telesu stehtati maso. Shemo človeškega telesa (Augar-de, 2009) je bilo treba razdeliti na geometrijska telesa, katerih prostornino znajo izračunati, zato so shemo razdelili na kroglo in valj. Svoje ugotovitve so zapisali v obliki, kot je prikazano v preglednici 1. Preglednica 1: Preglednica delov telesa in njihovo števila. Oštevilčeni del Del telesa Število delov telesa telesa 1. glava 1 2. vrat 1 3. trup 1 4. nadlahet 2 5. podlahet 2 6. dlan 2 7. pest 2 8. stegno 2 9. meča 2 10. stopalo 2 53 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Slika 1: Človeško telo. Meritve Na osnovi sheme - delitev človeškega telesa, so učenci izpolnili preglednico 2 z meritvami in izračunom prostornine posameznega dela telesa. Merili so s šiviljskim metrom. Izračun Potrebna je bila še masa učenca, na katerem so opravili meritve. Masa učenca je 42,2 kg in prostornina 43 dm3. Sledil je izračun gostote telesa 0,98 ki je presenetljivo dober približek gostote človeškega telesa. obseg nadlahti dolžina nadlahti obseg podlahti dolžina podlahti obseg pesti dolžina pesti obseg podplata dolžina stopala obseg glave obseg vratu, višina vrata obseg trupa, višina trupa obseg stegna, dolžina stegna obseg mecnice dolžina golenice Slika 2: Shema - delitev človeškega telesa. Raziskovanje učencev 7. razreda Nadarjeni učenci 7. razredov so z ustreznimi pisnimi navodili in s preprosto uvodno razlago v literaturi (Vorderman, 2014) poiskali potreben obrazec3 za prostornino valja (V = nr2v), prostornino krogle (V = —j-), obseg kroga (o = 2nr), konstanto (n = 3,14), obrazec za izračun gostote = — (—j)). V pomoč so dobili sliki številka 1 in 2 ter prazni preglednici 1 in 2. Računali so s kalkulatorjem in zaokrožili rezultat na dve decimalni mesti. Tudi sedmošolci so prišli do dobrega približka gostote človeškega telesa, to je 1,05 ^ (Johnson, 1996). Učenci so izdelali plakat v merilu 1 : 1. Na papir so obrisali telo učenca, pri katerem so potekale vse meritve obsegov delov telesa. Na osnovi meritev so naredili zloženke z imenom dela telesa, meritvami in izračunanimi prostorninami, ki so jih prilepili na plakat na ustrezen del telesa. Preglednica 2: Meritve in izračuni prostornine posameznega dela telesa. Oštevilčeni del telesa Del telesa Število delov telesa Obseg (o) [cm] Višina (v) [cm] Polmer [cm] Prostornina [cm3] 1. glava 1 56,0 6 8,9 2951,5 2. vrat 1 29,5 / 4,7 416,2 3. trup 1 69,0 60 11,0 22796,4 4. nadlahet 2 2,0 30 3,5 2308 5. podlahet 2 17,5 22 2,8 1083,2 7. pest 2 14,5 16 2,3 332,2 8. stegno 2 38,0 36 6,0 8138,8 9. golenica 2 26,0 34 4,1 3589,2 10. stopalo 2 21,0 20 3,3 1367,8 SKUPAJ / / / / 42983,3 54 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 IZ RAZREDA GOSTOTA TELESA O/ Go£o Skupni pogovor z učenci 7. in 9. razreda Sledil je pogovor z obema skupinama učencev. Zastavila sem jim vprašanje, ali bi lahko gostoto človeškega telesa izračunali še na kateri drug način. Med nadarjenimi učenci se je vnela debata in s skupnimi idejami so devetošolci ugotovili, da obstaja še druga možnost, ki bi zahtevala bistveno manj računanja. Stehtati bi morali učenca in mu izmeriti prostornino tako, da bi se potopil v posodo, napolnjeno z vodo, v kateri je prostornina vode znana. Dvig vode v posodi bi predstavljal prostornino učenca. Imeli bi dva podatka, potrebna za izračun gostote človeškega telesa. Tega v učilnici, žal, ni bilo mogoče izvesti. MERILO 1 : 1 Slika 3: Gostota telesa. Zaključek Z dvema skupinama učencev z različnim predznanjem smo preiskavo uspešno izvedli in realizirali zastavljene cilje. Devetošolci so samostojno poiskali ustrezne podatke, formule, narisali sheme, tabele, izmerili in izračunali gostoto, medtem ko so učenci sedmih razredov potrebovali pri celotnem procesu pridobivanja podatkov vse do realizacije zastavljenega cilja nekoliko več razlage, smernic in napotkov. Viri in literatura Augarde, Steve. (2009). Leonardo da Vinci. Murska Sobota: Pomurska založba. Johnson, Keith. (1996). Fizika: razlage fizikalnih pojavov. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. Stockley, Corinne. (2015). Slikovni priročnik. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. Vorderman, Carol idr. (2014). Matematika: po korakih do odličnega znanja. Ljubljana: Mladinska knjiga. 55 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Spomini na akademika prof. dr. Ivana Vidava (1918-2015) mag. Milena Strnad Povzetek Članek na željo urednice prinaša nekaj spominov avtorice na našega akademika prof. dr. Ivana Vidava, velikega matematika in velikega človeka. Za vse tiste, ki ne poznajo dobro njegove življenjske poti, najprej navede le najpomembnejše prelomnice v profesorjevem življenju. S tem pokaže, da je bil prof. Vidav od mladih nog do konca življenja predan matematiki. Članek vseskozi poudarja nenavadno profesorjevo skromnost. Posebej ga predstavi tudi kot izrednega predavatelja. Memories on academician prof. dr. Ivan Vidav (1918-2015) Abstract The present paper on request of the editor brings the autor's memories on Slovenian academician and great mathematician prof. dr. Ivan Vidav. For all those who do not know well his life, the paper begins with fundamental facts on professor's life which also shows that he was dedicated to mathematics even as a youngster. Emphasize is on his unusual modesty and especially on his ability of being extraordinary lecturer. Oris profesorjevega življenja Ivan Vidav je bil rojen leta 1918 na Opčinah nad Trstom v Italiji zavednim slovenskim staršem kot najmlajši od petih otrok. Družina se je, ko je imel Ivan dve leti, preselila v vas Krčevina v bližini Maribora. Po uspešno končani osnovni šoli je nadaljeval študij v štajerski prestolnici, kjer se je ves čas bivanja preživljal z inštrukcijami, da je razbremenil starše in jim tudi finančno pomagal. Leta 1937 je z odliko maturiral in takoj nadaljeval študij matematike in fizike na takratni Filozofski fakulteti Univerze v Ljubljani. Študijski program te smeri, ki je takrat obsegal predmetna področja teoretično matematiko, uporabno matematiko in uporabno fiziko, je poslušal pri priznanih profesorjih. Matematiko pri akademiku dr. Josipu Plemlju (1873-1967), soustanovitelju Univerze v Ljubljani in njenem prvem rektorju, ter pri priznanem matematiku dr. Rihardu Zupančiču (1878-1949), fiziko pa pri izumitelju na področju elektrotehnike in letalstva prof. Juliju Nardinu (1877-1959) in akademiku prof. dr. Antonu Peterlinu (19081993), ki je v Ljubljani leta 1947 ustanovil Institut Jožef Stefan. Reven študent Ivan je že v prvem letniku študija opozoril nase s svojim izjemnim matematičnim talentom in znanjem, zato ni naključje, da ga je profesor Plemelj vzel k sebi v svoj kabinet za pomožnega asistenta. Dal mu je nalogo, da naj skrbi za izposojo knjig in naj postavi na noge nastajajočo matematično knjižnico. Profesor Plemelj mu je s tem omogočil dostop do matematične literature in tudi do pogostih pogovorov z njim o problemih z različnih matematičnih področij izven študijskega programa. Naneslo je, da je nekako ob koncu Vidavovega tretjega letnika profesor Plemelj v enem od njunih pogovorov omenil nerešen Kleinov problem o petih singularnih točkah s področja analitičnih funkcij. Lahko si predstavljamo, kako je bil profesor Plemelj presenečen, ko mu je študent Vidav po vrnitvi s počitnic v pogovoru omenil, da je rešil tisto uganko [2]. S tem si je Vidav v Plemljevih očeh pridobil velikanski ugled in spoštovanje ter si nehote pridobil temo za doktorsko disertacijo, še preden je diplomiral. Tako je, pa ne samo zaradi vojnih razmer, Ivan Vidav še pred zaključkom četrtega letnika, v aprilu leta 1941, z odliko na vseh predmetnih področjih diplomiral na Univerzi v Ljubljani, takoj zatem, v maju leta 1941, pa tudi promoviral za doktorja filozofije z disertacijo Kleinovi problemi v teoriji linearnih diferencialnih enačb. Plemljeva zasluga pri takojšnji prepoznavnosti dr. Vidava tudi navzven je bila, da je poskrbel, da je Vidavova disertacija izšla tudi kot poseben zvezek pri Slovenski akademiji znanosti in umetnosti. To, da je življenje naključno povezalo ne samo dva velika slovenska matematika, ampak tudi velika človeka, pove dejstvo, da si profesor Plemelj ni nikoli lastil nobenih zaslug pri Vidavovi rešitvi Kleinovega problema. Mladi doktor znanosti Ivan Vidav je zatem opravil postdoktorski študij še na Univerzi v Rimu, kjer je študiral od novembra leta 1941 do junija leta 1942. Kmalu zatem je bil deportiran v Gonars, skupaj z drugimi študenti, s katerimi je bil nastanjen v ljubljanskem Oražnovem domu. To je bila zanj bridka življenjska izkušnja, čeprav je bil iz ujetništva že po dobrem mesecu rešen s 56 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO posredovanjem Slovenske akademije znanosti in umetnosti. Ko se je pozneje ukvarjal s teorijo aproksimacij, se je v letih 1952 in 1954 tudi nekajkrat izpopolnjeval pri prof. Szolemu Mandelbrojtu v Parizu. Dve leti po diplomi in doktoratu je leta 1943 na domači ustanovi napredoval iz pomožnega Plemljevega asistenta v honorarnega, vsaka nadaljnja tri leta pa je stopil še za stopničko višje: postal je docent in nato izredni profesor, leta 1954 je bil izvoljen za rednega profesorja za matematiko na Filozofski fakulteti1 Univerze v Ljubljani, kjer je vse do svoje upokojitve leta 1986 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo predaval različne predmete na vseh stopnjah študija. Po upokojitvi je še polno desetletje svoje znanje razdajal svojim doktorandom in študentom na podiplomskem študiju različnih smeri in vodil razne postdoktorske seminarje. Leto po njegovi upokojitvi je Univerza v Ljubljani profesorja Vi-dava, ki je bil že vse od leta 1958 izredni, od leta 1962 pa tudi redni član Slovenske akademije znanosti in umetnosti, počastila še s svojim najvišjim priznanjem, z izvolitvijo v zaslužnega profesorja, trideset let zatem pa mu je podelila še častni doktorat. Profesor Vidav se ni prevzel niti ob prejemu številnih znanstvenih in državnih priznanj, ki so spremljala njegovo bogato strokovno kariero in so izhajala iz njegovega širokega, globokega znanja ter izjemne intuicije njegovega raziskovanja na številnih strokovnih področjih, od diferencialnih enačb, funkcionalne analize in njene uporabe v transportni teoriji nevtronov ter algebre, niti ob pridobljenem mednarodnem ugledu2. Profesor Ivan Vidav je umrl v Ljubljani 6. septembra 2015. Profesor Vidav - oče slovenskih matematikov Profesorja Ivana Vidava upravičeno imenujemo 'oče' slovenskih matematikov, raziskovalcev in učiteljev, tako kot imenujemo prof. Josipa Plemlja 'oče' ljubljanske univerze. Profesor Vidav je kot izjemen matematik in raziskovalec na univerzi ne le nadaljeval pot profesorja Plemlja, ampak jo je kot izvrsten poznavalec tudi novih matematičnih smeri še obogatil. S svojim širokim znanjem je postavil ambiciozen program študija matematike in ga z izjemno dovršenimi predavanji, ki jih je podprl s svojimi univerzitetnimi učbeniki in z odgovornim in vestnim delom, postavil na visoko raven. Kot predavatelj več matematičnih predmetov je izobrazil številne generacije slovenskih matematikov, ki so postali odlični raziskovalci ali pa srednješolski profesorji. Po Plemljevem zgledu je med njimi prepoznaval najboljše. Te je jemal pod svoje okrilje, da so pri njem doktorirali in se navzeli njegovega odnosa do matematike. Nekateri so pozneje postali njegovi sodelavci, ki so tako kot profesor Vidav hkrati poučevali in raziskovali, drugi pa so nadaljevali svoje uspešne kariere na različnih področjih drugod. Med številnimi funkcijami, ki jih je profesor Vidav opravljal, omenimo le, da je bil več let tudi predstojnik matematičnega oddelka. Skoraj pet desetletij je na ljubljanski univerzi bdel nad študijskimi programi matematike, ki so se z leti spreminjali, delili in dograjevali. Tako se je v študijskem letu 1985/86 iztekajočemu prvotnemu programu Matematika s fiziko pedagoške smeri pridružil nov program Matematika v treh različnih smereh, uporabna, pedagoška in teoretična, leto zatem pa še program Računalništvo z matematiko pedagoške smeri. Vse te zunanje spremembe, ki so doletele profesorjevo ustanovo, pa niso spremenile Vidavovega pogleda na matematiko. S svojo izjemno osebnostjo je dosegel to, da se 'duh njegove šole' ohranja v vseh danes obstoječih smereh študija matematike tudi po njegovem odhodu. Obseg profesorjevega delovanja Profesor Vidav je pustil globoke sledi v razvoju slovenske matematike v 20. stoletju. Napisal je prve visokošolske učbenike matematike in ustanovil ter skrbel za matematične knjižne zbirke. Že v zgodnjih šestdesetih letih je napisal odlične knjižice Rešeni in nerešeni problemi matematike, Algebra ter Števila in matematične teorije3, ki jih je namenil popularizaciji matematike. Vseskozi je objavljal tudi članke v društveni reviji Obzornik za matematiko in fiziko, v reviji za mladino Presek in v tujih revijah. Neizbrisen pečat je profesor Vidav pustil tudi v Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, pri katerem je bolj ali manj aktivno sodeloval vse od njegove ustanovitve leta 1949 do svoje visoke starosti. Deloval je v različnih vodstvenih funkcijah, med drugim je bil tudi predsednik društva. Dolga leta je urejal Obzornik za matematiko in fiziko in bdel nad matematičnimi tekmovanji. Leta 1988 je postal častni član društva. S svojimi dovršenimi predavanji, ki jih je znal prilagoditi dometu znanja poslušalcev, je dodal društvu še posebno težo, vsem učiteljem, ki so ga prihajali množično poslušat iz vse Slovenije,4 pa je z njimi posredno 'vlival' dodatno energijo za njihovo poučevanje in jih posredno animiral, da so številni med njimi veliko postorili za popularizacijo matematike med učečo se mladino, ki je dosegala in še dosega izjemne uspehe na različnih matematičnih tekmovanjih doma in v tujini. Dodam naj še to, da je profesor Vidav z veseljem predaval srednješolskim profesorjem tudi potem, ko je skrb za izpopolnjevanje učiteljev fizike in matematike s sekretarjev za pedagoško dejavnost pri DMFA Slovenije prešla pod okrilje ustreznih oddelkov Fakultete za matematiko in fiziko. Profesor Vidav je zaslužen tudi za odstranitev preprek naše ljubljanske alme mater, ki je vse do leta 1985/86 srednješolskim profesorjem na FMF preprečevala dostop do kvalitetnega podiplomskega študija, usmerjenega le v matematiko. S tem je naredil 1 Poudariti velja, da je v tem času Filozofska fakulteta Univerze v Ljubljani organizacijsko preživela več transformacij. Tako je bil leta 1960 študij matematike in fizike preimenovan v Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo (FNT), leta 1995 pa v današnjo Fakulteto za matematiko in fiziko (FMF). 2 Podrobnejši vpogled v življenje in delo profesorja Vidava prinašajo jubilejni zbornik [3] in več člankov v Obzorniku, npr. [1, 2], ter knjiga [4]. 3 Nekaj del profesorja Vidava je izšlo pri SAZU, knjige iz zbirke SIGMA pa sprva pri Mladinski knjigi, dokler niso prešle pod okrilje nekdanjega društvenega založništva, ki se danes imenuje DMFA - založništvo, kjer je tudi sicer izdal največ del. 4 Na njegovo predavanje leta 1990 je prišlo 120 učiteljev. 57 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 velik korak naprej v smislu zmanjševanja razkoraka med uporabnimi in teoretičnimi ter pedagoškimi matematiki. S tem ko je v prvi skupini5 te smeri profesor sam prevzel kar dva od petih predmetov, Analitično geometrijo v prostoru in Teorijo mere, ter sodeloval v komisiji pri nekaterih magistrskih izpitih in zagovorih magistrskih nalog, se je prepričal, da je tudi ta program mogoče izvesti na primerno visoki ravni. Pozneje je po en predmet profesor Vidav predaval še trem skupinam magistrskih študentov, a ne v zaporednih letih. Jasno je, da je (in bo) na magistrskem študiju pedagoške smeri (tako kot pri vseh drugih smereh na FMF) tudi osip,6 zagotovo pa so vsi, ki so absolvirali vsaj prvi ali pa celo oba letnika in niso prišli čisto do cilja, v tem času pridobili veliko znanja in postali še boljši srednješolski profesorji. Profesorjevo neizgovorjeno sporočilo učiteljem Na magistrskem študiju matematike pedagoške smeri7, ki ni vključeval nobenega predmeta iz didaktike, metodike ali psihologije, ampak samo poglobitev in razširitev matematičnega znanja, nam je profesor Vidav s svojimi popolnimi predavanji ne le razumljivo podajal obravnavano matematično snov, ampak nam je s svojim zgledom kvalitetnega poučevanja vsako uro posebej pokazal izvedbo vseh, za dobro poučevanje potrebnih veščin iz prej omenjenih predmetov. Ob tem je nam učiteljem hkrati postavljal tudi ogledalo za presojo našega poučevanja. Nehote nas je s svojo pojavnostjo opozarjal tudi na pogosto pozabljeno dejstvo, da igra pomembno vlogo pri učiteljevi uspešnosti poučevanja tudi njegova osebnost, iz katere izhaja odnos do predmeta in do slušateljev. Prav vsem, tudi tistim, ki niso na koncu magistri-rali, a so ga poslušali, je tudi zato dal veliko. Vsem bralcem, ki niste imeli sreče, da bi bili študentje profesorja Vidava, naj naslednji kratek opis njegovih predavanj ponudi vsaj delček vpogleda v profesorjev poučevalski dar. Profesor Vidav je našo predavalnico na podiplomskem študiju vsakič spremenil v resnični 'hram, svetišče učenosti', v katerem smo se dobro počutili. To je dosegel s prepletom razumljivo podane snovi, z berljivim in do potankosti prostorsko premišljenim zapisom povedanega na tabli, ki ga je vedno tekoče izvedel brez kakršnihkoli napak v natančno predpisanem času. Tega ni presegel nikoli, niti takrat, ko se je v njegovo realizacijo prikradla zunanja motnja. Ta se je zgodila, ko je prihajajočega profesorja na hodniku pred predavalnico ustavil in zapletel v očitno pomemben pogovor tudi naš nepozabni profesor, izjemen retorik prof. dr. Niko Prijatelj, ki je šele tik po končanem odmoru zapustil našo predavalnico. Z malo navihanim pričakovanjem, kako se bo iztekla naslednja ura, smo v tišini čakali profesorja Vidava. V predavalnico je s skoraj 15-minutno zamudo stopil brez naglice in takoj začel umirjeno predavati na svoj ustaljeni način, s kratko ponovitvijo bistvene vsebine iz prejšnjega predavanja, na katero se je navezovala najavljena vsebina novega. Potem so sledili izreki, leme in dokazi. Predavanje je profesor (tako kot vsa druga prej in pozneje) zaključil točno, in to vsebinsko zaokroženo, ne da bi hitel ali se vedel kakorkoli drugače. Bili smo očarani, tako kot smo bili tudi vedno znova in znova, ko smo med predavanji sledili pravi profesorjevi umetnosti brisanja table, s katerim si je pridobil prazen prostor za nadaljevanje zapisa. To je počel tako premišljeno, da so na tabli ostajale zapisane vse potrebne trditve, na katere se je v razvoju predavanja skliceval, na koncu predavanja pa je na tabli ostalo zapisano bistvo obravnavane snovi. In to je počel brez kakršnekoli predloge ali zapisa na listku. Skratka, vsaka ura njegovih predavanj je vključevala tudi vrhunsko izvedbo vseh teoretično predpisanih in zvezno izvedenih didaktičnih korakov. Na izpitih je bil strog, a spoštljiv sogovorec in ne izpraševalec, ki ti nažene strah v kosti. Prav začutil si, kako se veseli, če je šel odgovor v pravo smer, in kar slutil si, da bi trpel, če ne bi bilo tako. Skratka, jasno je pokazal, da pri študentu išče znanje in ne neznanja. Utrinki z mojih strokovnih srečanj s profesorjem Dokler sem profesorja Vidava poznala le skozi njegova dela in prihajala z njim v stik le kot poslušalka njegovih predavanj ali njegova študentka, sem v njem videla predvsem vrhunskega matematika in izjemnega predavatelja, ki na katedru ni nikoli nastopal kot igralec, ampak je preprosto 'izginil' in postal kar 'Matematika sama'. Misli so vrele iz njega in se z njegovo roko pregledno zapisovale na tablo. Vse je bilo popolno, a brez vsakršnega pridiha predavateljeve želje, da bi on stopil v ospredje, ampak je to mesto prepustil vsebini predavanja. Pozneje sem se s profesorjem srečevala na Fakulteti za matematiko in fiziko kot sekretarka za pedagoško dejavnost DMFA Slovenije in več let tudi kot organizatorka permanentnega izobraževanja matematike na FMF. Do njega sem prihajala s prošnjami za njegova predavanja, ki naj bi jih imel za srednješolske učitelje. V najinih kratkih in jedrnatih pogovorih se mi je profesor Vidav razkril kot izjemno vljuden, prijazen gospod, z uglajenim nastopom, v katerem ni bilo niti najmanjše sledi vzvišenosti. Vedno me je zbrano poslušal in mi ni nikoli segel v besedo. Najino sodelovanje se je pričelo tako, da je profesor mojo prvo prošnjo odklonil, a ne v smislu zavrnitve kar tako, ampak zaradi svoje zaskrbljenosti, češ da sam ni zmožen izbrati prave teme, ki bi utegnila zanimati poslušalce in bi bila hkrati zanje tudi razumljiva. To je utemeljil s svojim dolgoletnim odmikom od srednje šole, iz katere je, kot je poudaril, »že davno vse pozabil«, in me blagohotno usmeril z mojo prošnjo k svojim mlajšim kolegom. Sklonila sem glavo, ob slovesu pa sem mu samo mimogrede omenila, da bi srednješolske profesorje gotovo zanimalo kaj s področja stožnic, ker mi v tistem trenutku ni nič drugega padlo 5 Prvi skupini je v 32 letih, od leta 1985 do uveljavitve bolonjske reforme leta 2008, sledilo še 23 razpisov, ne vedno v zaporednih letih. Do zdaj se je na vse razpise skupaj prijavilo 120 slušateljev, ki so bili razporejeni v 19 skupin, od katerih nobena ni številčno presegla prve, ki je štela 17 slušateljev. 6 V prvo skupino se nas je vpisalo 17, v drugem letniku nas je bilo 14, magistriralo nas je šest. V 32 letih obstoja te smeri jih je od 120 vpisanih magistriralo 55. 7 Sprva se je ta smer študija imenovala Tretja stopnja. 58 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO na pamet. Prijetno presenečena sem že kak dan zatem od profesorja dobila naslov predavanja Racionalne in celoštevilske točke na stožnicah. To mi je potrdilo, da je bila profesorjevo stiska glede izbire snovi resnična, zato sem v bodoče vsako leto prišla k njemu vedno že s seznamom možnih tem. Tega sem sestavila skupaj z učitelji, ko so prihajali množično iz vse Slovenije na vsa društvena predavanja in pozneje na matematične seminarje permanentnega izobraževanja. Le konec leta 1991 profesor med predlaganimi temami za naslednje leto ni našel sebi primerne. To mi je sporočil pisno in svojo odločitev utemeljil s tem, da so po njegovi presoji vse teme metodičnega značaja, in zaključil: »V tem oziru pa nimam nobenih praktičnih izkušenj.« Iz zapisanega se lahko razbere, da je profesor vsako delo, ki ga je sprejel, opravil z velikim občutkom odgovornosti. To pa je glede na njegove izjemne sposobnosti pomenilo, da je bilo predavanje vedno popolno. Profesor je imel v obdobju najinega sodelovanja za srednješolske profesorje naslednja predavanja: 1987: Racionalne in celoštevilske točke na stožnicah, ki ga je ponovil tudi na Tehnični univerzi v Mariboru; • 1989: Kvadratne enačbe; • 1990: Kompleksna števila v algebri, analizi in geometriji; • 1991: Zveznosti in diferenciabilnosti; • 1993: Diofantske enačbe v srednji šoli. To zadnje predavanje se mi je najbolj zasidralo v spomin. Ko sem se mu po predavanju zahvalila, me je takrat petinsedemdesetletni profesor presenetil z vprašanjem: »Ali vas, gospa profesor, tokrat jaz lahko nekaj prosim?« Po moji pritrditvi je nadaljeval: »Lepo prosim, da me več ne prosite za novo predavanje. Težko vam bi ga odrekel, a mislim, da je čas, da se umaknem. Ni več spodobno, sem prestar.« Iz globokega spoštovanja do profesorja in hvaležnosti za vse, kar je že naredil tudi za srednješolske profesorje, ga nisem začela prepričevati, ampak sem njegovi prošnji ustregla. Utrinki z zasebnih srečanj s profesorjem Da zdaj profesor Vidav živi v mojem spominu predvsem kot izjemno skromen, a velik človek, se da razbrati že iz vsega doslej povedanega. To njegovo lastnost, ki sem jo do takrat doživljala bolj kot zadržanost, sem prepoznala šele pozneje, po številnih osebnih prijateljskih stikih, ki jih je po naključju počasi spletlo življenje, med profesorjem, mojim možem Janezom in menoj. Zgodilo se je, da sva bila konec januarja leta 1989 z možem zelo na hitro in nepričakovano poklicana v tujino na zahteven možev zdravstveni poseg. Takoj sva odletela, a nekateri problemi, ki so ostali doma, so zahtevali rešitev. Med njimi sta bila vsebinsko in časovno neopredeljeno predavanje profesorja Vidava za srednješolske učitelje in zapolnitev vrzeli pri trinajstem društvenem seminarju iz fizike, ki ga je za 10. in 11. februar organiziralo DMFA Slovenije ob sodelovanju Oddelka za fiziko FNT, Instituta Jožef Slika 1: Najprej samo kolega, potem tudi prijatelja (Foto: Peter Legiša, 1998) Stefan, Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko ter Zavoda za šolstvo SRS. Vrzel bi nastala zaradi moževe odsotnosti. Profesorju Vidavu sem se zato pisno opravičila in mu ob tem samo omenila problem, ki je nastal zaradi moževe odsotnosti. Profesor Vidav ni samo z uvidevnostjo sprejel mojega opravičila, ampak je poskrbel, da sta bila zapleta razrešena. Uredil je vse potrebno glede izvedbe svojega predavanja z naslovom Kvadratne enačbe, hkrati pa tudi poskrbel, da je namesto moža na hitro vskočil drug fizik, mene pa razbremenil kontaktiranja z organizatorji seminarja, kar ni bilo tako preprosto, kot je zdaj v digitalnem času. S tem aktivnim in človeško toplim odzivom, ki je presegel normalen kolegialni odziv, je profesor Vidav naredil prvi korak v smeri prijateljskega zbližanja z mojim možem, katerega plodno delo je pozorno spremljal. Pozneje je to vez še poglabljal s svojimi občasnimi telefonskimi klici, s katerimi je od daleč spremljal moževo okrevanje, in vse to nadgradil s pošiljanjem prisrčnih voščil z dobrimi željami, ki nama jih je od takrat dalje pošiljal ob vsakem pomembnem prazniku do konca svojega življenja. Po letu 1994 se je to naše dopisovanje spontano nadgradilo v pogostejše telefonske pogovore in tudi v občasna srečanja pri nas Slika 2: Na proslavi profesorjeve devetdesetletnice leta 2008 (Foto: Marko Razpet) 59 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 doma ali pa pri profesorju Vidavu. To je med nami tremi spletlo tople prijateljske vezi, profesor je začel spremljati tudi moje delo, pisanje srednješolskih in pozneje osnovnošolskih učbenikov, med obema profesorjema (tako sta drug drugega vedno naslavljala) pa je še poglobilo njuno medsebojno globoko občudovanje in spoštovanje. Profesorjevo že omenjeno uglajeno vedenje naj ilustrira opis poteka vsakokratnega našega srečanja. Vedno, ko smo se dogovorili za srečanje, sva zaradi težav s parkiranjem šla po profesorja oba, ga pripeljala v najin dom in pozneje pospremila nazaj. Profesor nikoli ni prestopil najinega praga brez lepega šopka, ki ga je do prihoda spretno skrival. Po skromni pogostitvi, ki je bila vedno postranskega pomena, je nastopil glavni del druženja. Začeli smo razpravljati o tekočih dogodkih ali se spominjali starih in ob tem obujali spomine na svoja doživetja. Pogosto so ti pogovori zašli v zgodovinske vode, pogovarjali smo se tudi o temah z drugih področij. Večkrat pa sta oba moža, oba strokovnjaka na svojih področjih, začela razpravljati o raznih problemih, ki so povezovali obe njuni znanstveni veji, matematiko in fiziko. Kar kresale so se misli, padale so domneve, postavljala so se vprašanja. In če je ob tem padla kaka pohvala na profesorjev račun, mu je postalo kar nekam nerodno in jo je vedno poskušal vsaj omiliti, če že ne povsem ovreči. Enako skromno je profesor Vidav deloval tudi vsakič, ko sem ga obiskala pri njem doma na Ilirski ulici 7 ali pozneje v Domu starejših občanov na Taboru 10, ko sem mu prinesla pravkar izdani učbenik8 ali kake druge malenkosti, ki bi mu utegnile koristiti, ali samo kako rožico. Vedno me je pričakal že pri vratih, saj sem se mu najavila tako v stolpnici kot pozneje pri vratarju v domu. Po najinem pozdravu je vedno pričel najin pogovor z vprašanjem: »Kako je kaj z zdravjem in počutjem gospoda profesorja?« Potem se je zanimal za njegovo trenutno delo ali pohvalil Janezov zapis v časopisu ali članek, če je pravkar izšel. O vsem je bil na tekočem. Vedno je občudoval Janezovo zmožnost hitrega pisanja, ob tem pa vsakič dodal, da je on žal po naravi vse preveč len in da dejansko ne dela nič. Noben moj upravičeni ugovor, da to ni ravno tako, ni bil sprejet. Zaleglo ni niti to, da sem mu omenila, da vidim na njegovi mizi vedno polno papirja, popisanega s svinčnikom, na polici pa vedno druge tuje matematične knjige. Vedno me je zavrnil rekoč: »Veste, matematika je sicer zelo stara gospa, ampak ima rada le mlajše gospode. To, kar počnem zdaj sam, je pa samo igra. Zdaj veliko poslušam radio, berem časopis Delo, da vem, kaj se dogaja.« Potožil je, da sicer rad seže po knjigi, a da ima s tem težave zaradi oči. Te so se začele pojavljati že pred prihodom v dom in so bile tudi vzrok, da je opustil gledanje televizije. To, da je kljub slabemu vidu vedno pregledal tudi vse moje učbenike in pohvalil moje delo, mi je in mi še vedno veliko pomeni. Z zanimanjem je profesor Vidav poslušal vse o novostih, ki so se v teh letih dogajale v osnovni in srednji šoli. Samo enkrat sem profesorja vprašala za nasvet, kako bi lahko najbolj razumljivo razložila neko snov pri pisanju učbenika za deveti razred, in mu ob tem nasula nekaj svojih idej, a sem ostala brez odgovora. Dejal je, da si ne upa ničesar svetovati niti glede poučevanja v gimnaziji, kaj šele za devetletno šolanje, ker ni podkovan v metodiki. Vedno sva delček pogovora namenila tudi njegovemu zdravju. Največkrat pa mi je pripovedoval razne utrinke iz svojega otroštva in o bridkih izkušnjah, ki jih je doživljala njegova družina med vojno. Pogosto je povedal tudi kak utrinek iz svoje internacije v Gonarsu. O tem je kdaj stekla beseda tudi pri nas doma. Čeprav je na te slabe izkušnje gledal zelo racionalno, pa se je v njegovi pripovedi pogosto zaznala tudi žalost. Ob tem je navadno poudaril, da je bilo to izkustvo zanj grenko in težko, a malenkostno glede na številne druge sotrpine, ki so v Gonarsu preživeli veliko več časa kot on. Skoraj pa ni minilo srečanje, kjerkoli je že bilo, da ni obujal spominov na prigode s profesorjem Plemljem. Izostale niso niti anekdote. Povedal je, da mu je profesor Plemelj nekoč potožil: »Ja, zdaj pa vem, da sem star, saj mi je nekdo na polnem tramvaju, ko sem vstopil, odstopil sedež.« Iz pripovedi se je vedno čutilo, da profesor Vidav ni nikoli pozabil naklonjenosti in pomoči svojega profesorja, ki je je bil deležen v mladosti, in njegovih velikih uspehov. Vedno je dal vedeti, da mu je bil profesor Plemelj vseskozi vodnik, svetovalec, vzornik in pozneje, ko sta postala sodelavca, tudi dober prijatelj. Po letu 2003, ko je odšel od nas tudi profesor Prijatelj, je pogosto tekla beseda tudi o njem. Z možem sta nekajkrat nadaljevala prekinjene filozofske razprave, ki sta jih nekoč oba moža, vsak posebej, obravnavala s profesorjem Prijateljem. Meni je navadno pripovedoval, kako je v Gonarsu spoznal profesorja Prijatelja, največkrat pa je obujal spomine na njune zanimive pogovore, te je najbolj pogrešal, z njunih pogostih sprehodov na Ljubljanski grad ali ob Ljubljanici pod njim. Opisoval je tudi zanimive dogodivščine, ki sta jih doživljala na skupnih izletih z avtom po Sloveniji. Ob tem sva se včasih tudi nasmejala. Po pripovedi sem sklepala, da je bil profesor Prijatelj za profesorjem Plemljem njegov največji prijatelj in da te vrzeli, ki je nastala za njima, ni zapolnil nihče. Večkrat je na teh srečanjih profesor Vidav omenil svoje staranje, ki poteka povsem v nasprotju z njegovimi pričakovanji. Dejal je: »Predstavljal sem si, da je staranje zvezna funkcija, zdaj pa ugotavljam, da to ne drži, ker ima skoke«. Povedano je podkrepil s slikama grafov obeh funkcij, ki jih je narisal z roko po zraku. Prišel pa je čas, ko profesor, ki je rad hodil na sprehode ob Ljubljanici ali do tržnice, ni več zapustil Doma starejših občanov. Tako so izostala tudi naša srečanja pri nas doma. Ni se dal pregovoriti. Vedno znova in znova mi je na šaljiv način na vabila odgovarjal z razlago: »Veste, to je tako. Zdaj živim v drugi državi, v domu, izgubil pa sem potni list in zato ne morem nikamor.« Domnevam, da je k tej odločitvi veliko pripomogla tudi profesorjeva zelo slaba izkušnja, ko sta ga nekoč, ko je odhajal iz banke, 8 Profesorju sem prinašala na vpogled vse zanimive nove matematične knjige in učbenike, ki sem jih izdala kot urednica ali soavtorica ali avtorica pri DZS. 60 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO obstopila dva moža in ga oropala. Tako se je kar več let sprehajal samo še po sobi, po stopnicah in poleti po balkonu. Profesor Vidav je bil prežet s skromnostjo in v poznih letih tudi nekako vdan v usodo. Nikoli se ni pritoževal ne nad težkimi dogodki v svojem življenju ne nad bivanjem v Domu starejših občanov. Nikoli ni niti z besedo omenil, da je verjetno z vsemi številnimi zadolžitvami, ki jih je vestno opravljal poleg svojega pisanja in predavanj na univerzi, društvu in drugod, zavestno žrtvoval veliko svojega ustvarjalnega časa takrat, ko je bil še mlad. Nasprotno, vedno je poudarjal, da je imel v življenju veliko srečo. Vsakič, ko sem mu prinesla kako domačo dobroto, jo je po pregovarjanju s hvaležnostjo sicer sprejel, a vedno poudaril, da zares ne potrebuje ničesar, ker v domu zelo lepo skrbijo zanj. Ima vsega dovolj in preveč. Z veseljem pa je sprejel kako dobroto, ki je bila primerna, da jo je delil s svojimi sostanovalci iz nadstropja na vsakotedenskih srečanjih, ki so ga razveseljevala. Od profesorja sem samo enkrat slišala, da se je iskrivo in z rahlim nasmeškom pohvalil, da je edini prebivalec svoje »nove domovine«, ki še ni nikoli uporabil dvigala, čeprav je bival sprva v tretjem in potem v drugem nadstropju. V zvezi s tem je dejal, da ne razume sostanovalcev, ki pa obratno kot on, četudi bi lahko, nikoli ne uporabljajo stopnic. Pripoved o spominih na profesorja pa ne bi bila celovita, če bi zamolčala, da mi je profesor Vidav enkrat v letu 2011 izročil svojo razpravo o elegantni matematični rešitvi sicer znanega in tudi na nek način že rešenega fizikalnega problema iz relativnostne teorije s prošnjo, naj jo nesem možu v presojo. Izkazalo se je, da je bil ta zapis dozorel sad ene njunih najbolj živahnih razprav pri nas doma. Še danes čutim posebno vznemirljivo vzdušje, ki se je naselilo v sobo ob njuni živahni in prav razvneti razpravi. Moža je profesorjevo odkritje, do katerega je prišel pri 93 letih, navdušilo, saj se mu je zdela profesorjeva matematična rešitev fizikalnega problema elegantna in zanimiva. Kot nematematik pa si vseeno ni drznil dati končne ocene. Ko je pridobil pohvalo in odobravanje o napisanem od tudi izjemnega matematika, sem navdušenje obeh prenesla profesorju Vidavu, a ta se je ob mojem poročilu samo nasmehnil. Dobila sem vtis, da je zadovoljen, a samo za hip. Takoj zatem je zamahnil z roko in rekel: »Ne, ne! Ta zapis ni dozorel za objavo«. Razumljivo, profesor Vidav ni dal od sebe ničesar, kar po njegovi strogi presoji ni bilo dovršeno. Da to ni bil osamljen primer uspešnega profesorjevega raziskovanja v visoki starosti in odklonitve objave, pokaže profesorjev duhovit komentar njegove rešitve Eulerjevega algebraičnega problema v prispevku [2. str. 180] profesorja Milana Hladnika, ki jo je profesor utemelji takole: »To je tako, kot bi šel čez Triglav na Šmarno goro.« Sklepna misel Več desetletij trajajoča druženja niso pokazala samo znanih dejstev, da je bil profesor Vidav vrhunski, pronicljiv matematik, odličen znanstvenik in učitelj ter skromen, a pokončen mož, ki je stal za svojimi odločitvami, ampak se je pokazalo tudi to, da se je pod njegovim videzom zadržanosti skrival iskriv, duhovit in pronicljiv sogovorec, predvsem pa tankočuten, dober, razumevajoč in radodaren mož, ki je tudi finančno, preko sklada, podpiral nadebudne študente. Ugotovitev, da je profesor Vidav ostal prodoren raziskovalec tudi v visoki starosti, čeprav je to venomer zanikal, pa pokaže, da je vse življenje ohranil svoje visoke kriterije predvsem do svojega dela in ostal skromen mož, ki ni iskal pohval in čudenja, ampak popolnost. Zahvala Iskreno se zahvaljujem prof. dr. Petru Legiši in prof. dr. Marku Razpetu za fotografiji, kolegu Aleksandru Si-moniču, dipl. mat., za tehnično pomoč in Danijeli Čibej, prof., za lektoriranje. Viri in literatura [1] J. Globevnik. (2015). V spomin akademiku Ivanu Vidavu (1918-2015). Obzornik za matematiko in fiziko, 62, št. 5, 180-183. [2] M. Hladnik. (2015). Razmišljanja o profesorju Ivanu Vidavu. Obzornik za matematiko in fiziko, 62, št. 5, 183-187. [3] I. Vidav. (2008). Jubilejni zbornik Ivan Vidav - 90 let. Ljubljana: DMFA - založništvo. [4] I. Vidav. (2016). O deljenju z ostankom in še o čem. Ljubljana: DMFA - založništvo. 61 NOVICE Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Utrinki s 4. mednarodne Konference o učenju in poučevanju matematike 2018 mag. Mateja Sirnik Zavod RS za šolstvo V Kongresnem centru Laško je 27. in 28. junija 2018 potekala 4. mednarodna konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM 2018. Namenjena je bila učiteljem, ki poučujejo matematiko od 1. razreda osnovne šole do zaključnega letnika srednje šole, ter strokovnjakom na področju matematičnega izobraževanja. Dogodka se je udeležilo čez 500 učiteljev. Konferenco je povezovala vodja programskega odbora mag. Mojca Suban, da je organizacijsko vse teklo, pa ima največ zaslug vodja organizacijskega odbora mag. Sonja Rajh. Osrednje vsebine konference so bile: • Učenje in poučevanje matematike s preiskovanjem • Algebra • Odnos do učenja in poučevanja matematike Delo na konferenci je potekalo v obliki plenarnih predavanj z vabljenimi predavatelji, predstavitev, okrogle mize, delavnic in natečaja. Dr. Martin Kindt nam je pokazal različne povezave med algebro in geometrijo, ki jih lahko uporabljamo pri razumevanju algebrskih vsebin. Vidik, da začetno algebro lahko razumemo kot oblikovanje posplošitev iz konkretnih aritmetičnih dejstev in da vsebini vzorci in zaporedja ponujata možnosti za razvoj alge-braičnega mišljenja, nam je predstavila dr. Vida Manfreda Kolar. O tem, kako uvajati različne pristope poučevanja s preiskovanjem so nam spregovorili hrvaški partnerji v projektu Meria dr. Matija Bašič in dr. Željka Milin Šipuš ter mag. Mojca Suban. Barbara Japelj je delila z nami rezultate mednarodnih raziskav, ki kažejo, da je znanje naših otrok vrhunsko in kaj narediti, da bi do njega prišli prav vsi. Predavatelja iz Zagreba M. Bašič in Ž. Milin Šipuš Plenarni predavatelj M. Kindt Delavnice na konferenci 62 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Na delavnicah in sekcijskih predstavitvah smo imeli možnost prisluhniti številnim primerom iz prakse. Dr. Uroš Kuzman nam je dogodek še humoristično dopolnil s prispevkom Matematika za nematematike. Če se vprašamo, kako dvigniti motivacijo za učenje matematike, bi večina odgovorila - težko. Ker pa on pravi, da tudi v matematiki velja težko ^ nemogoče, se je vredno truditi dalje. Uroš Kuzman: Matematika za nematematike Na natečaju so zato učitelji lahko sodelovali z učenci, kjer so izbirali med dvema naslovoma: • »IVAN VIDAV - pomemben soustvarjalec matematike v Sloveniji« • »ŽogoMatika« gpm- -1 Izdelek iz natečaja »Žogomatika« V letu 2018 poteka 100. obletnica rojstva slovenskega matematika Ivana Vidava. Namen natečaja je bil ozaveščanje o pomembnosti odkritij na področju znanosti, spoznavanje zgodovinskega razvoja matematike in znanih matematikov ter ustvarjanje na razpisano temo. Prof. dr. Marko Razpet nam je predstavil svoj pogled na prof. dr. Ivana Vidava. M. Razpet o dr. Ivanu Vidavu 63 NOVICE Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Naša sodelavka Amela Sambolic Beganovic je poskrbela za enotno podobo članic Predmetne skupine za matematiko na ZRSŠ. Zahvaljujemo se vsem predavateljem, sodelavcem ZRSŠ in udeležencem konference, ki ste pomagali ustvariti ta dogodek. Vidimo in srečamo se spet na naslednji konferenci. Vabljeni. Še več utrinkov in gradiva najdete na spletni strani konference: https://www.zrss.si/kupm2018/. in na Facebooku: https://www. facebook.com/kupmzrss/. Članice Predmetne skupine za matematiko in Silva Kmetič Iz plenarnega predavanja M. Kindta Reševanje kvadratne enačbe iz predstavitve M. Kindta 64 Mathematics in school CONTENTS Mateja Sirnik Editorial i 2018, Volume 24 FROM THE THEORY FOR PRACTICE Jerneja Bone Primary School Teachers on Calculator Use . Apolonija Jerko Calculator Use by Students with Learning Difficulties................... Sonja Rajh Learning New Content in Primary School Mathematics Class Using a Calculator ......................................................................................................... 17 FROM THE CLASSROOM Irena Rauter Repija Using a Calculator to Learn Integrals Marko Razpet Moessner's Sieve................................................. Urška Puncer Algebra of Block Diagrams . Magda Pipenbaher Accounting The Humanity .. 39 46 47 53 MATHEMATICS THROUGH HISTORY Milena Strnad Memories on Academician Prof. Dr. Ivana Vidava (1918-2015)............................................56 NEWS Mateja Sirnik From the 4th International Conference on Learning and Teaching Mathematics KUPM 2018..................................................... 62 2 IZ ZALOŽBE ZAVODA RS ZA ŠOLSTVO Formativno spremljanje v podporo učenju Priročnik za učitelje in druge strokovne sodelavce Priročnik obsega 7 zvezkov, zbranih v mapi, cena 12,40 € • Zakaj formativno spremljati • Nameni učenja In kriteriji uspešnosti • Dokazi • Povratna informacija • Vprašanja v podporo učenju • Samovrednotenje, vrstniško vrednotenje • Formativno spremljanje v vrtcu 5* tt *■■ 6 f /A. lil ^^ tflOdlMro uioflju = Priročniki po predmetih in področjih Formativno spremljanje na RAZREDNI STOPNJI Formativno spremljanje pri MATEMATIKI Formativno spremljanje pri ZGODOVINI Napovedujemo: Formativno spremljanje pri DELU SVETOVALNIH DELAVCEV Formativno spremljanje kot PODPORA UČENCEM S POSEBNIMI POTREBAMI Zavod Republike Slovenije za šolstvo Naročanje: • po pošti (Zavod RS za šolstvo, Poljanska c. 28,1000 Ljubljana) • po faksu (01/3005-199) • po elektronski pošti (zalozba@zrss.sl) • na spletni strani (http://www.zrss.si) K i® iap laP □M mk revije ZRSŠ facebook ZRSŠ twitter ZRSŠ