Zbornik gozdarstva in tesarstva, Ljubljana, 23, 1983, s. 235- 272 
Oxf 561- 015.5 
Math. Subj. Class. (1980) 92A90 
Izvleček: 
CEDILNIK, A.: PRODANOVA RASTNA FUNKCIJA 
V sestavku so zbrane formule o rastni funkciji 
y = x2 l(a + bx + cx2) 
pri poljubni izbiri koeficientov a, b, c. Dodanih je nekaj napotkov za prilagajanje te funk-
cije numeričnim podatkom 
Abstract: 
CEDILNIK, A.: PRODAN GROWTH FUNCTION 
In the article there are collected formulas on growth tunction 
Y = x2l(a + bx + ~x2) 
where the coefficients a, b, c are optional. Added are some instructions on the app/ica-
tion of this function to numerica/ data. 
235 
dr. A_,nton Cedilnik, dipl. mat. 
docent 
Biotehniška fakulteta, VTOZD za gozdarstvo 
61000 Ljubljana, Večna pot 83, YU 
236 
KAZALO VSEBINE Stran: 
Izvleček in abstract 
UVOD 238 
1. SPLOŠNO O RASTNIH FUNKCIJAH 238 
2. OSNOVNE FORMULE PRODANOVE RASTI 242 
3. TIPI PRODANOVE RASTI 245 
4. GRAFI 253 
5. APROKSIMACIJA 257 
6. TAYLORJEVA VRSTA 262 
7. PRIMER 263 
DODATEK: KUBIČNA ENAČBA 269 
SUMMARY 271 
LITERATURA 272 
237 
UVOD 
Funkcijo r(t) = t2 t (a + bt + ct2), ki danes nos, ime po MICHAILu 
PRODANu, je v gozdarstvu prvi uporabil JOHANN WILHELM HOSS-
FELD že leta 1822, verjetno v oblikl z asimptoto, torej če so koeficienti 
a, b in c pozitivni. Uporaba te funkcije ima potemtakem že dolgo tradi-
cijo in dandanes je priljubljena bolj kot kdajkoli prej, ker zaradi uporabe 
računalnikov njena relativna kompliciranost ni več problem. Zato je 
naravno vprašanje, ali ima dejstvo, da ta funkcija tako uspešno opisuje 
rast dreves, k~kšno biološko osnovo. Odgovor je nikalen: funkcija je le 
dovolj fleksibilna in nima nikakršnega biološkega ozadja. Pa še 
navkljub njeni gibkosti je uporabna samo za opisovanje enakomerne 
neovirane rasti dreves ali sestojev. Ce je rast količkaj problematična, je 
iskanje kakršne koli prilagoditvene funkcije precej neumestno in raje 
uporabljamo metode numerične analize. 
Tole delo naj bi bilo predvsem priročnik o Predanovi rasti. Morebitni 
uporabnik najprej prilagodi Predanovo funkcijo svojim numeričnim 
podatkom, upoštevaje (ali pa tudi ne) napotke Iz 5. razdelka. Potem 
določi tip rasti in izračuna količine, ki ga zanimajo,- vse po formulah iz 
3. razdelka. V pomoč so grafi v 4. razdelku in preprost primer obdelan 
v 7. razdelku. Prav ta primer pa kaže, da je zelo pomembna izbira 
metode aproksimacije in nasploh tiste predpostavke, ki jih uporabnik 
naredi po svoji presoji glede na predmet obdelave, ki pa ne sodijo v 
koncept tega dela, saj niso matematične narave. 
Da pa bi bilo delo v pomoč tudi uporabniku, ki dela s kako drugo rast-
no funkcijo, je vsebina nekoliko obsežnejša; dodanih je nekaj splošnih 
dejstev o rastnih funkcijah in samo zato so obdelani tudi taki tipi 
Predanove rasti, ki sicer v praksi ne nastopajo. Skratka, v razdelkih od 
2. do 6. je podan primer analize neke rasti. 
· 1. SPLOSNO O RASTNIH FUNKCIJAH 
Rastna funkcija r = r(t) je realna povsod definirana funkcija, ki zadošča 
naslednjim štirim lastnostim 
(R1) r(t) je naraščajoča funkcija; 
(R2) r(t) je z leve zvezna funkcija; 
(R3) r(-co) = lim r(t) = O; 
x- -co 
(R4) r(co} = lim r(t) < co 
X - co 
238 
Rastna funkcija je torej z nenegativno konstanto V = r(c::o) pomnožena 
porazdelitvena funkcija. Konstanto V imenujemo končna velikost. Ta 
definicija rastne funkcije je še preveč splošna, da bi bila uporabna v 
praksi. Zato ji dodamo dve zahtevi. 
Biološka rastna funkcija je rastna funkcija r = r(t) z dodatnima lastnos~ 
tirna: 
(BR1) Eksistirata števili R in S, da je 
r(R) = O , 
r(S) = V, 
za vsak t med R in S pa je O < r(t) < V . 
(BR2) Eksistira funkcija p = p(t) , da je 
(1) 
(2) 
t . 
r(t) = f p(u)du (3) 
- o:> 
pri čemer je p(t) taka, da jo lahko zapišemo kot razliko dveh 
rastnih funkcij. 
Ce je t čas, potem (BR1) pove, da je rast časovno omejena. Rje začetek, 
S pa konec rasti. (BR2) pa zagotavlja, da lahko govorimo o prirastku in 
da je rast zvezna. Slika biološke rasti je torej vedno taka, kot kaže 
Slika 1. 
Funkcija p(t) je definirana z integralom (3) in njene vrednosti v 
posameznih točkah niso enolično določene. Zato se domenimo za 
dodatek k definiciji: 
p(t) 1.. [. lim p(t) 
2 U,,,t 
+ lim p(u) ·1 
u ' t 
Slika 1 OBICAJNA OBLIKA 
BIOLOSKE RASTNE 
FUNKCIJE 
Usual form of bio/ogical 
growth function 
(4) 
(r) 
s (t) 
239 
To pomeni, da če je p(t) v neki točki t0 nezvezna, je tam njena vrednost 
ravno sredi m~d levo in desno limito (Slika 2). Definicija je dobra, ker 
ima vsaka fun~cija p iz (BR2) zagotovo levo in desno limito v vsaki točki. 
Slika 2 NEZVEZ~OST 
, PRIR~STNE FUNKCIJE 
Oiscontlnuity of current 
increment function 
(p) 
lirr. p(u) 
u \ to 
r;(t ) 
o 
C 
----~ 
----~ 
1 
t 
o 
t) 
Tako definirani funkciji p (t) bomo rekli prirastna funkcija in je očitno 
omejena in nenegativna. Njena analogija v verjetnostnem računu, je go-
stota porazdelitve. Pogoj, da je p(t) razlika dveh rastnih funkcij, ni hud, 
saj je taka vsaka integrabilna omejena odsekoma monotona funkcija. 
Izkaže se, da sta rastna in prirastna funkcija skoraj povsod odvedljiyi 
(skoraj povsod pomeni povsod razen na množici točk, ki jih lahko 
pokrijemo z intervali s poljubno majhno skupno dolžino). Torej je skoraj 
povsod 
p(t) = r'(t) (5) 
Definirajmo še rastni pospešek: 
q(t) = p'(t) (6) 
kjer ta odveč pač eksistira. 
Vpeljimo še dve funkciji. Poprečni prirastek: 
p(t) = lim --1&_ = 1 r{ t) , t =t- R 1 u;t u-R 
1 
t - R 
1 
o , t = R 
(7) 
in rastni potencial: 
p*(t) = lim V - r(u} = 1 V - r{t} ,t'4:S \ 
u 't S-u 
1 
s - t 
1 o , t = s 
(8) 
240 
Poprečni prirastek je poprečna vrednost prirastne funkcije na intervalu 
[R, t], rastni potencial pa je poprečna vrednost prirastne funkcije na 
intervalu [t,S]. O rastnem potencialu je smiselno govoriti le, če je S v 
kakšnem smislu "naravni" konec rasti. 
Obe funkciji sta zvezni povsod razen morda p v R, kjer je zvezna z leve, 
in p* v S, kjer je zvezna z desne. 
lim p(t) = lim p(t) (9) 
t\R t\R 
lim p*(t) = lim p(t) (10) 
ti S tlS 
Izven intervala [R,S] sta precej nezanimivi. Za vsak t ~Oje 
p(R-t) = p*(S + t) = O (11) 
p(S + t) = p*(R - t) = -S,---R-=--V_+_t __ 
Izraz 
D = S~ R = p(S) = p*(R) 
imenujemo končni poprečni prirastek. 
(12) 
(13} 
Ce je p(t0 ) = p(t0 ), je t0 za p(t) stacionarna ali ekstremalna točka. če je 
p*(t0 ) = p(t0 ), je t0 za p*(t) spet stacionarna ali ekstremalna točka. 
Med R in S velja, da 
p(t) strogo narašča tam, kjer je p(t) < p(t), 
p(t) strogo pada tam, kjer je p(t) > p(t), 
p*(t) strogo narašča tam, kjer je p*(t) > p(t), 
p*(t) strogo pada tam, kjer je p*(t) < p(t). 
V skladu s tem definirajmo za točke na intervalu [R, S]: 
inicialna faza = {ti p(t) 
optimalna faza = {tjp(t) 
terminalna faza = {t l p(t) 
faza stagnacije = [t I p(t) 
..:::. -
~ --
> 
> 
p(t) 
p(t) 
p(t) 
p(t) 
241 
, p*(t) > p(t)} 
' p*(t) ~ p(t) f 
' p*(t) ~ p(t) t 
' -p*(t) > p(t)} 
Meje med fazami so v teh definicijah ostro določene. V aplikaciji pa se 
običajno faze zvezno prelivajo druga v drugo in tako moramo tudi razu-
meti gornje definicije. 
Ce je prirastek p(t) v točki t zvezna funkcija, je za t '4, R 
p(t) - p(t) = (t - R)p '(t) (14) 
in za t -=1= S 
p*(t) - p(t) = (S - t)p*1(t) (15) 
V točkah, kjer je p(t) = p(t) (oziroma p*(t) = p(t) ), gre tangenta na kri-
vuljo r = r(t) skozi točko (R, Q_) (oziroma (S, V) ). Krivulji p = p(t) in 
p* = p*(t) se sekata natanko v tistih točkah, kjer se sekata krivulja 
r = r(t) in premica y = D(x - R), ki je zveznica točk (R, O) in (S, V). 
2. OSNOVNE FORMULE PRODANOVE RASTI 
Prodanova rast je biološka rast, katere rastna funkcija se na območju 
spreminjanja, torej med R in S, izraža s Prodanovo funkcijo 
r(t) = t2 / (a + bt + ct2). 
Edina ničla Predanove funkcije je pri t = O, zato zveznost rastne funk-
cije implicira: R = O, S >O. 
Obrat formule (16) za a = O je 
S = bV/(1 - cV) 
za a t O pa 
S= 2a 
- b + vb2 - 4ac + 4a ! V 
(18) 
(19) 
242 
Prirastna funkcija: 
p(t) = 
1 i(O) 
p(S) 
1 
t(2a + bt) 
(a + bt + ct2)2 
, t < O ali t 
, t = o 
, t = s 
,O<t<S 
(20) 
p(t) je zvezna in odvedljiva funkcija povsod razen morda pri t = O ali 
t = S. Za a = O je 
p(O) = 
2
1 llm p(t) c: 1b (21) 
t\o 2 
za a =f: O pa je p( O) = O. V prvem primeru je p(t) pri t = O nezvezna, v 
drugem pa zvezna. 
p(S) = _1_ lim p(t) = S(2a + bS) 
2 t I s 2(a + bS + cS2)2 
(22) 
Pri t = S je p(t) zvezna le, če je p(S) = o, kar pa je možno samo pri 
a > O, c > O, O > b > -2V'ac (tip /), in sicer za 
S = -2alb (23) 
To je potemtakem edini primer, ko je prirastna funkcija v celoti zvezna. 
Rastni pospešek: 
q(t) = p'(t) = 2(a2 - 3act2 - bct3), o < t < s 
/ 
o . , < o ali , > s l 
(a + bt + ct2)3 
Ce je a = O , je 
lim q(t) = -2c/b2 
t' o 
lim q(t) = -2bcl(b + cs)3 
t I $ 
243 
(24) 
(25) 
(26) 
Ce pa je a -4 O , je 
lim q(t) = 2/a 
t ' o 
lim q(t) = 2(a2 - 3acs2 - bcS3) 
t ,; s (a + bS + cS2)3 
(27) 
(28) 
q(t) pri t = O in t = S ni nikoli definiran, ker p(t( ni tam nikoli odvedlji-
va funkcija. 
Za študij rastnega pospeška, pa tudi prirastne funkcije, potrebujemo še 
naslednji odvod: 
p"(t) = 6(ct2 - a) (bct
2 + 4act + ab) , o < t < S ( 
o . t < o ali t > s l 
(a + bt + ct2)4 
Poprečni prirastek: 
p(t) = (~(a + bt + ct2) 
VI t 
Rastni potencial: 
' t 'S o 
'o< t 
't ~ s 
(29) 
(30) 
IV/(S-t) ,tSO \ p*(t) = as + (a + bS)t o < t < s (31) 
1 ~ + bS + cs2) (a + bt + ct2) : , ~ S 1 
p(S) = p"(O) = D = VIS = S/(a + bS + cS2) (32) 
Na intervalu O < t < S veljata formuli: 
p(t} p(t) = t(ct2 -a) 
(a + bt + ct2)2 
(33) 
p*(t) _ p(t) = {S - t) [(cSt - a)2 - ct2(a + bS + cs2)] 
(a + bS + cS2) (a + bt + ct2)2 
(34) 
Prodanova rast ima 2 ali 3 faze rasti, ki so vedno intervali, torej povezafle 
množice. Faze si sledijo po vrstnem redu: inicialna - optimalna - ter-
minalna. Nikoli pa ne nastopa faza stagnacije. 
244 
Prirastna funkcija ima včasih absolutni maksimum. Označimo čas 
absolutnega maksimuma s P. Vedno je O < P < S in vedno je P v opti-
malni fazi. če je P enolično določen, je najmanjša pozitivna rešitev 
enačbe 
bcP3 + 3acP2 - a2 = O 
V splošnem pa je P vsako število med o in S, ki zadošča (35). 
3. TIPI PRODANOVE RASTI 
r t2/(a + bt + ct2) 
'a = O, b > O 
C = 0 
Tip B 
C> 0 
Tip C 
b < O 
Tip E 
c <O 
Tip D 
b 
Tip f 
o 
a > O 
C = 0 
b > O 
Fip G 
b ~ - ;;, \j7ic -2 yač < b < O 
Tip H Tip I 
Tip A I a = o . b > o . c < o . s < -b/c 
Grafi: r = r(t) (Slika 3), p = p(t) (Slika 10), q = q(t) (Slika 16) 
Zgornja meja za S je pol Predanove funkcije in odvodov. 
245 
(35) 
C > 0 
b~C 
Tip J 
Faze: [O,S) 
{S) 
lnlclalna faza 
optimalna faza za S ~ -b/(2c) 
terminalna faza za S < -b/(2c) 
Tip B a = c = O , b > O 
Enakomerna zvezna rast 
Grafi: r = r(t) (Slika 4), p = p(t) (Slika 11), q = q(t) (Slika 17) 
Prodanova funkcija je linearna, odvoda sta konstanti. 
Faze: l O 3 
(O ,S) 
(SJ 
o< p < s 
p(P) = 1 lb 
inicialna faza 
optimalna faza 
Terminalna faza 
(katerakoli vrednost ! ) 
Tip C I a = O , b > O , c > O , V < 1 le 
Grafi: r = r(t) (Slika 5), p = p(t) (Slika 12), q = q(t) (Slika 18) 
(36) 
Predanova funkcija ima za t - c:o asimptoto r = 1 I c, odvoda pa imata 
asimptoti p = O in q = O. 
Faze: (o) inicialna faza za S<blc 
optimalna faza za S ~ blc 
(O ,S] terminalna faza 
Tip o I a > o . C < o . s< :a 
. -b + b2 - 4ac 
Grafi: r = r(t) (Slika 6), p = p(t) (Slika 13), q = q(t) (Slika 16) 
Zgornja meja za S je pol Predanove funkcije in odvodov. 
246 
inicialna faza Faze: [o.s) 
{SJ optimalna faza za S ~ -bl(2c) 
terminalna faza za S < -bl(2c) 
Tip E I a > o , b < O , c = O , S < -a I b j 
Grafi: r = r(t) (Slika 6), p = p(t) (Slika 13), q = q(t) (Slika 16) 
Zgornja meja za S je pol Predanove funkcije in odvodov. 
Faze: [O,S) 
{SJ , 
inicialna faza 
optimalna faza 
Tip F I a > O , b = c = O 1 
Grafi: r = r(t) (Slika 6), p = p(t) (Slika 14), q = q(t) (Slika 19) 
Prodanova funkcija je kvadratna, prvi odvod je linearna in drugi odvod 
konstantna funkcija. 
Faze [O,S) 
{s1 
inicialna faza 
optimalna faza 
Tip G I a > O , b > O , c = O 
Grafi. r = r(t) (Slika 6), p = p(t) (Slika 15), q = q(t) (Slika 20) 
Prodanova funkcija ima za t - = asimptoto r = (bt - a} / b2, prvi odvod 
p = 1 I b in drugi odvod q = O. 
Faze: [ O, S) inicialna faza 
{SJ terminalna faza 
Tip H a > 0 , C > 0 , b 'S -2 {ac , S < ~8__ ____ _ 
-b + v b2 -4ac 
Za tip H velja vse Isto kot za tip E. 
247 
Tip I 
a > O , c > 0 , O > b > -2 y'ac 
s ~ -2alb (......, V ~ 4al(4ac - b2)) 
Grafi: r = r(t), q = q(t) (Slika 7), p = p(t), p = p(t), p* = p*(t) (Slika 
8) 
Zgornja meja za S je maksimum Prodanove funkcije. Prvi odvod ima 
prevoja (in drugi odvod ekstrema) v točki B in C: 
C = -2alb - V4a2/b2 - a/c (37) 
r--
8 = + vale (38) 
Prevoj Prodanove funkcije, maksimum prvega odvoda in ničla drugega 
odvoda so v točki P: 
p = _ 2: ( ; - cos ; [ 1t + arccos (1 - :a: ) 1) (39) 
P je absolutni maksimum prirastne funkcije le, če je S > P. Tedaj je: 
C'S,A<P<B 
kjer je 
a 
A = ------:1==·'=======-
cS + vc(a + bS + cS2) 
A = C<=> S = -2alb 
Za S > C je: 
r(C) = VaC (2 VaC - V4ac - b2) 
c(4ac - b2) 
-b . v:;;;~ (2 Vse.+ ~·b2 ) 
p(C) = (4ac - b2)2 
q(C) 
2c(2 i,r.;;;;; + V 4ac - b2)2 
(4ac - b2)2 
Za s > B se funkciji p(t) in p"(t) sekata in sicer v točki 
248 
(40) 
(41) 
(42) 
(43) 
(44) 
T = a/(cS) 
Veljata oceni: 
C < -b/(2c) S T 
A < T < B 
Za S > B veljajo še naslednje trditve: 
a = isr 
r(T) = DT 
P(T) = p*(T) = D 
p(T) = o2(b + 2cS) 
q(T) = 2cD3(c2s3Ja - 3cS - b) 
viič - B (8) r(B) = c(2 -vac + b) - P 
p(B) = p(B) = 11(2 vač + b) 
q(B) = -2cl(2,fač + b)2 
Faze: S~ P =>[O,S) 
(Sl 
inicialna faza 
optimalna faza za S ~ -bi (2c) 
terminalna faza za S > -bf (?c) 
P < S ~ B => [O,A) 
[A,S) 
{sJ 
inicialna faza 
optimalna faza 
še optimalna faza za S ~ -bf (2c) 
terminalna faza za S > -bf (2c) 
S> B => [o,A) inicialna faza 
[ A, BJ optimalna faza 
(B,S] terminalna faza 
(45) 
(46) 
(47) 
(48) 
(49) 
(50) 
(51) 
(52) 
(53) 
(54) 
(55) 
Ker je B > -bf (2c), velja nasploh, da je S v optimalni fazi za S s 
-b/(2c), in v terminalni fazi za S > -bf (2c). 
-b/(2c) je šibek približek za P: 
/ P - (-b/(2c)) / < 0"09623(-2alb) (56) 
249 
Tip,. , Posebni primer: S = -2alb 1 
V = 4a/(4ac - b2) 
p(t) =( O t(2a + bt) 
(a + bt + ct2)2 
1 
V/(S-t) 
p*(t) = V(2a + bt) 
1 is(a + bt + ct2) 
, t S ~ ali t i1: S ) 
,O<t<S 
, t ~ o 
, o < t 
,t'i:S 
(57) 
(58) 
(59) 
(60) 
p,p In p* so povsod zvezne funkcije, r pa je celo povsod zvezno odvedlji-
va funkcija. 
P je absolutni maksimum prirastne funkcije in je: 
P = S [ ; - cos ; ( TC + arccos P ) l 
kjer je 
p =;; 1 - b2 !(2ac) t: (-1, 1) 
D = -2bl(4ac - b2) 
A = C = S( 1 - V ( 1 + P ) / 2) 
a = sv'u - p)l2 
< s _ A )2 = 82 _ 82 
T = -bl(2c) = S(1 - P )/2 
r(A) = V(1 -Y(1 + P )/2)/2 
r(B) = V(1 +"/(1- P)/2)12 
r( D = V(1 - P ) 12 
2SO 
(61) 
(62) 
(63) 
(64) ,, · 
(65) 
(66) 
(67) 
(68) 
(žf) 
(70) 
p(A) = p*(A) = 0(1 + ✓ 21(1 + P) )/2 
p(B) = p(B) = 0(1 + \12/(1 - P) )/2 
P(D = 20 
p(A) = p*(B) = 0/2 
V naslednjih formulah naj bo 
Q = Bac2 t (4ac - t,2)2 = 2vs-2 t (1 - p 2) 
lim q(t) = Q(1 + p )2 
t 'o 
lim q(t) = -0(1 - , )2 
t , s 
q(A) = 0(1 + VU + f )12)2 
q(B) = -Q(t + V (1 - f )/ 2)2 = - 2c2 r(B)2 
a 
q(D = lim q(t) + lim q(t) = 40y 
t\o t~S 
Faze: [O, A) 
[A, B] 
(8,S] 
inicialna faza 
optimalna faza 
terminalna faza 
Tip J I a >O, b ~ O, c > O, V < 1/c 
Hossfeldova rast 
Grafi: r = r(t), q = q(t) (Slika 9), p = p(t), ;s = p(t), 
p* = p*(t) (Slika 8) 
(71) 
(72) 
(73) 
(74) 
(75) 
(76) 
(77) 
(78) 
(79) 
(80) 
Prodanova funkcija ima za t -o:>asimptoto r = 11 c, odvoda pa imata 
asimptoto p = O oziroma q = o. Prvi odvod Ima en ·sam prevoj (In 
drugi odvod minimum) v točki 8 (enačba (38) ). Prevoj Prodanove funkci-
je, maksimum prvega odvoda in ničla drugega odvoda so v točki P; če je 
f= t,21 (2ac) -1 (81) 
251 
je za p = -1 (to je za b = O) 
P = + V a I (3c) = lim P = 1 im P 
b,o b/o 
za -1 < r ~ 1 je 
P = ~ [ 2cos ( i arccos f ) - 1 J 
in za f ii:.' 1 
P=~ [Vr+Vr2 -1 + Vr-vr-/-1] 
Dodatno še velja: če je f = 1, je 
P = alb 
in za f = O je 
p = ~ <1/3 - 1) 
P je absolutni maksimum prirastne funkcije le, če Je S > P. 
Tedaj je 
A < P < B 
kjer je A podan z enačbo (41 ). 
(82) 
(83) 
(84) 
(85) 
(86) 
(87) 
Za S > B se funkciji p in p* sekata v točki T iz enačbe (45). Tedaj 
veljajo še formule (47) - (55). 
Faze: S s P => 
P<S~B => 
S > B =:> [O,A) 
fA,8) 
B,S] 
[0,S) iniclalna faza 
tsJ terminalna faza 
[O,A) inicialna faza 
[A,S) optimalna faza 
{sJ terminalna faza 
iniclalna faza 
optimalna faza 
terminalna faza 
252 
4. GRAFI 
V tem razdelku podajamo grafe različnih tipov Prodanove rasti: grafe 
rastnih funkcij r(t), prirastnih funkcij p(t) in rastnih pospeškov q(t). V 
prejšnjem razdelku je pri vsakem tipu omenjeno, kateri grafi mu pri-
padajo. 
In this paragraph we give graphs of different types of Prodan growth: 
graphs of growth functions r(t), of current increments p(t), and of 
growth accelerations q(t). In a discriptlon of each type in the previous 
paragraph it is mentioned which graphs belong to that type. 
v--------
r = r(t) 
o s ( t) o s ( t) 
Slika 3 Slika 4 
v ------ -
r r(t) 
o s s t) 
Slika 5 Slika 6 
253 
Slika 7 
30 
v 
2'; 
20 
15 
10 
5 
Slika 
C'40 
c· 35 
c· 3c 
C'25 
o· 20 
c· 15 C 
c· 10 
o· C'5 
o 
- - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - --_:-:.,;-:,.;:-:;.;---~ 
s 
o·ooe 
e 
10 
A, T p E 100 150 s 
254 
(t) 
190 
(t) 
190 
p ::: p (t) 
(t) o 
Slika 10 Slika 11 
255 
1 
1 
1 
+ 
s 
(t) 
(t) 
1 
+ 
o s (t) o 
Slika 12 
p = p (t) 
o s 
Slika 14 
(t) 
Slika 16 
256 
p = p (t) 
Slika 13 
p = p (t) 
Slika 15 
q = q (t) 
Slika 17 
s 
1 
1 
1 
1 
s 
(t) 
t) 
q = a (t) 
(t) 
o s t) 
Slika 18 Slika 19 
o s (t) 
Slika 20 
5. APROKSIMACIJA 
Imejmo dano tabelarično odvisnost dveh znakov, x in y, kjer je y neka 
rast: 
Ys 
Tabela 1 
Za prilagoditev Prodanove funkcije tem podatkom moramo imeti še ali 
konec rasti S ali pa končno velikost V ; S > O ali V > o . Najprej 
tabelo prilagodimo: 
(a) Iz tabele odstranimo točke (xk, Yk) z xk ~ O, ker je Prodanova funk-
cija tam že določena. 
257 
(b) če imamo podan S, potem vse točke (xk, Yk) z xk > S zamenjamo s 
točkami (S, Yk) . 
(c) če imamo podan V, potem vse točke (xk,Yk) z Yk > V zamenjamo s 
točkami (xk, V) . 
če pa o S in V ničesar ne vemo, ju postavimo (enega od njiju) tako 
velika, da na podatke ne vplivata več. 
Zamenjajmo še imeni spremenljivk: x - t , y - r , pa imamo novo 
tabelo: 
'n Tabela 2 
Ker ima Prodanova funkcija 3 parametre, morajo biti v Tabeli 2 vsaj trije 
različni tk 1 
Podatkom v Tabeli 2 po izbrani metodi, o kateri bo govor pozneje, prila-
godimo funkcijo r = t2 / (a + bt + ct2). če ima prilagojena funkcija 
a > o ali pa a = O in b > o, jo sprejmemo, v nasprotnem primeru pa 
zavrnemo s trditvijo, da podatki ne ustrezajo Predanovi rasti. če je torej 
prilagojena funkcija ustrezna, izračunamo S ali V, katerega pač še nismo 
imeli. V primeru, ko se S ali V ne pokoravata zahtevam, ki jih Imamo pri 
tipih A, C, D, E, H, I in J, moramo razmisliti, ali je s podanim S oziroma 
V vse v redu; če je, spet zaključimo, da rast ni Prodanova; v nasprotnem 
primeru pa S oziroma V popravimo in celotri postopek prilagajanja po 
potrebi ponovimo. 
Nato določimo stopnjo prilagoditve. Naj bo: 
s s 
11 = ! ,L Yk , ~ = ! ,L r(xk) (88) 
k=1 k=1 
Pri tem je treba paziti na dve dejstvi: za xk s O je r(xk) = O In za 
xk ~ S je r(xk) = V; xk In Yk so seveda iz Tabele 1. 
258 
Stopnja prilagoditve je tedaj: 
s 
L, [ y k - '7 ] • [ r ( xk) - ~ J 
k= k=l 
(~ [Yk -"/]2. ~ [r(xk) - }]2 )1/2 
Vedno velja: 
-1 'S k ~ 1 (90) 
če je k ~ O , spet zavrnemo prilagojeno funkcijo, za k > O pa jo sma-
tramo za verjetno in sicer tem bolj, čim bliže 1 je k. 
Prilagoditev po metodi najmanjših kvadratov 
Imejmo torej Tabelo 2 in ji prilagodimo funkcijo r = r(t) v obliki 
a + bt + ct2 = t2r 1 
po metodi najmanjših kvadratov; pri tem naj bo 
t2 
k 
A k = a + btk + c1 -'k 
To bomo storili na dva načina. 
(A) Pomnožimo (91) z ,rm : 
a,rm + brt1-m + crt2-m = ,2-m 
259 
(91) 
(92) 
(93) 
n 
F(a,b,c) = L[arktkm + brkt~-m + crkt~-m - t~-mJ2 
k=l 
= t [ t~-m b. ] 2 
k=l r(tk) k 
Od tod sledi normalni sistem: 
a L 2+--2m rkvk L 2 l-2m + b rktk + 
L 2 l-2m a rk~k Li 2 2-2m + b rktk + 
a "7 2t2-2m 
L,rk k + b ,L r~tt2m + 
(Vse sumacije gredo od 1 do n) 
Iz (94) sledi, da meri funkcija 
c L r2t2-2m 
k k 
cL r2t3-2m 
k k 
l: 2 4-2m c rktk 
a(t) = 12-m J r(t) = 1-m(a + bt + ct2) 
"\7 2-2m 
Lrktk 
L r t3-2m 
k k 
= ~ r t4-2m 
k k 
(94) 
(95) 
(96) 
kakovost prilagoditve: večja ko je njena vrednost na nekem območju, 
boljša je tam prilagoditev podatkom. Sliki 21 in 22 kažeta obliko funkcije 
a(t) za tipa/ in J in za tri najbolj uporabne m: O, 1 in 2. 
(a) 
(t) 
Slika 21 Kakovost prilagoditve za tip 
J (S = -2al b) po formuli (93) 
Quality of approximation for type 
I (S = -2alb) according to 
formula (93) 
(a) 
(t) 
Slika 22 Kakovost prilagoditve za tip 
J po formuli (93) 
Quality of approximation for type 
J according to formula (93) 
260 
Omenimo še, da je pri m = 2 funkcija F(a,b,c) Iz (94) vsota kvadratov 
relativnih odklonov. 
(B) Privzemimo, da je 'k za vsak k = 1,2, ... ,n pozitiven in tudi ne pre-
blizu o. Pomnožimo enačbo (91) s rm: 
at•m + bt1•m + ct2•m = t2-m,-1 (97) 
Za to obliko Prodanove funkcije nam metoda najmanjših kvadratov da: 
n 
F( a, b, c) = L [atkm + btt-m + ct~-m - t 2-m /rk]2 = 
k==l 
(98) 
Normalni sistem: 
(Vse sumacije gredo od 1 do n) 
Kakovost prilagoditve meri funkcija 
(100) 
Sliki 23 in 24 kažeta obliko funkcije a(t) za tipa / in J in za m = -2, -1, O, 
1 in 2. 
261 
(a) 
(a) 
O T (t) o (t) 
Slika 23 Kakovost prilagoditve za tip/ 
(S - 2alb) po formuli (97) 
Slika 24 Kakovost prilagoditve za tip 
J po formuli (97) 
Quality of approximation for type / 
(S = -2alb) according to formula 
(97) 
Quality of approximation tor type J 
according to formula (97) 
6. TAYLORJEVA VRSTA 
Taylorjeva vrsta Prodanove funkcije: 
(A) a = O 
r(t) ~ [1 - ctlb + (ctlb)2 -(ctlb)3 + (ctlb)4 - ... ] 
(B) a f. O 
() t2 [t b t b2-ac t2- b3-2abc.1J + r t = - -- + 2 3 r--a a a a 
b4 - 3ab2c + a2c2 
+ 4 a 
t4 - .. .] 
Konvergenca vrste (101 ): 
c = O ==> t je poljuben 
c =;: o ==> Iti < b/lcl 
Konvergenca vrste (102): 
b = c = O => t je poljuben 
b =t, c = O => Iti < a/lbl 
262 
(101) 
(102) 
c =f. O =o- 1 ti < ~ mini b ± J/f · 4ac f 
Konvergenca vrst (101 in (102) posebej na intervalu [ O,S]: 
Tip C: t < blc 
b - Vt>2 -4ac Tip o (v primeru b >O): t <---''-'
2
-c_.....;;.;.;;. __ 
Tip G: t < alb 
Tip / : t <·,fa[c ( = 8) 
Tip J (v primeru b ~ 2 6c) : t < YaTč ( = B) 
b - -V t>2 - 4ac 
Tip J (v primeru bi?: 2vac'): t < 2c 
V ostalih primerih je ustrezna vrsta konvergentna. 
Recimo, da aproksimiramo (po katerikoli metodi) dano rast za relativno 
majhne t s polinomom, ki Izhaja iz točke (0,0) : 
r(t) ~ A t + at2 + ct3 + ot4 + ... (103) 
Potem si lahko mislimo, da je ta polinom začetek Taylorjeve vrste za 
Predanovo funkcijo, katere koeficiente izračunamo po naslednjih formu-
lah: 
za A -:tz O je 
a O , b = 11 A , c = - B / A2 (104) 
za A = O , B =t= O je 
a = 11 B , b = -CI a2 1 C = (C2 - BO)! a3 (105) 
7. PRIMER 
Tipa / in J daleč največkrat nastopata v praksi, zato si ju oglejmo na 
primeru. Pri vsakem izračunu bomo dodali na skrajni desni številko 
formule, ki je bila uporabljena. števila na koncu računanja po presoji 
zaokrožimo, pri rasti dreves običajno takole: čase t na 1 decimalko, vred-
nosti r(t) na 2 decimalki, vrednosti p(t), p(t) in p*(t) na 3 decimalke ter 
vrednosti q(f) na 4 decimalke. 
263 
Imejmo podano tabelo meritev neke rasti: 
X 8 18 28 42 52 64 84 97 107 
y 0·3 1·3 5·3 9·3 13·3 17·3 21•3 23·3 25·3 
;1 117 130 26"6 27"8 Tabela 3 
Opomba. To je tabela višinske rasti smreke (Picea excelsa). x je starost 
v letih in y višina v metrih. Tabela je dobljena z interpolacijo in ekstra-
polacijo letnic na nekaj presekih debla (V. Puhek). 
Tabele ni treba spreminjati v smislu točk (a) - (c) na strani 23, ker 
domnevamo iz tabele, da rast še ni zaključena (oziroma S > 130 in 
V > 27·8). Zato: s = n = 11. Vseeno pa bomo pri aP.roksimaciji 
uporabljali tk za xk in 'k za Yk· 
(A) Denimo, da meritve v začetku rasti niso natančne in da želimo čim 
natančnejšo aproksimacijo ob koncu rasti. Zaradi prve predpostavke 
bomo uporabili normalni sistem (95), glede na drugo predpostavko pa 
bomo vzeli m = O 
I rf = 3· 70961. 1o3 
L rftk = 3·75317.1o5 
""r2t2 = 4·02638. 107 
Lkk 
211 = 4·49005. 109 
'i.rf 'k = 5· 14473. 1011 
V normalnem sistemu delimo prvo enačbo z 103, drugo z 105 in tretjo z 
107. 
3· 70961 a + 375·317 b + 40263·8 c = 1620·95 
3·75317 a + 402·638 b + 44900·5 c = 1757·81 
4·02638 a + 449·005 b + 51447·3 c = 1978·38 
Iz sistema dobimo: a = 123·009 
b = 0·16432 
C = 0·0273934 
in od tod teoretične Yk(teor.) = r(xk) : 
264 
xk r(xk) r(xk) -
8 0·51 0·2 
18 2·40 1·1 
28 5"26 -o·o 
42 9·90 0"6 
52 13·15 -0·2 
64 16"67 -0"6 
84 21·3s 0·1 
97 23·72 c·4 
107 25·21 -0·1 
117 26"47 -0·1 
130 27·33 o·o 
Izračunajmo stopnjo prilagoditve. 
IYk = 171·100 
IYi = 3709·61 
LYkf(Xk) = 3709· 74 
L r(xk) = 172·480 
}'.r(xk)2 = 3712·11 
yk 
Tabela 4 
Po formuli (89) je stopnja prilagoditve k = 0·9992. k je zelo blizu 1, kar 
pomeni, da je prilagoditev zelo dobra. 
Sedaj, ko je aproksimacija za nami, analizirajmo rast. Očitno gre za tip 
J. Manjka nam še en podatek, konec rasti S ali končna velikost V, pri 
čemer moramo upoštevati, da je zgornja meja za V: 
V< 1/c = 36·51 
Recimo, da smo iz nekih razlogov postavili: S 
naslednji rezultati: 
V= 31·96 
A = 10·9 
T = 22·5 
r = -0•99599 
265 
= 200* Potem sledijo 
(formula 16) 
(f. 41) 
(f. 45) 
(f. 81) 
P = 38·4 
B = 67·0 
D = p(D = p*(D = p(S) = p* (O) = 0· 160 
r(A) = 0·92 
r(n = 3·59 
r(P) = 8·68 
p(B) = p(B) = 0·261 
r(B) = 17·47 
p(A) = 0.·085 
p*(B) = 0· 109 
p(A) = p*(A) = 0· 164 
p(D = 0·284 
p(P) = 0·336 
2 p(S) = lim p(t) = lim p*(t) = 0·036 
tJIS ti S 
lim q(t) = 0·0163 
t" o 
lim q(t) = - 0·0004 
t .,, s 
q(A) = 0·0133 
q(D = 0·0072 
q(B) = 0·0037 
Faze: [0,A) inicialna faza (dolžina faze 10·9) 
[A,B] optimalna faza (dolžina 56·2) 
(B,S] terminalna faza (dolžina 133·0) 
Slika 9 ustreza temu primeru. 
(f. 83) 
(f. 38) 
(f. 32, 50) 
(f. 17) 
(f. 49) 
(f. 17) 
(f. 54) 
(f. 53) 
(f. 7) 
(f. 8) 
(f. 8) 
(f. 51) 
(f. 20) 
(f. 22) 
(f. 27) 
(f. 28) 
(f. 24) 
(f. 52) 
(f. 55) 
(B) Yk oziroma rk so pozitivni, vzemimo še, da so vsi dovolj daleč od O; 
potem lahko uporabimo normalni sistem (99). Tudi tokrat se bomo odlo-
čili za m = O In sicer zato, ker tedaj lahko uporabimo računalniški pro-
gramski paket SPSS. Natančnost prilagoditve bo po Slikah 23 in 24 naj-
boljša v začetku in na koncu rasti, najslabša pa okoli točke zrelosti B. 
L t2 = 6· 82390. 1 o4 
k 
21 = 7·03417.1o6 
21 = 7· 70319. 1o8 
2.t/lrk = 2·98683.1o5 
266 
V normalnem sistemu delimo drugo enačbo z 102 in tretjo z 104. 
11 a + 747·000 b + 68239·0 c = 3550·39 
7.47000 a + 682·390 b + 70341· 7 C = 2986·86 
6.82390 a + 703·417 b + 77031·9 C = 3070·09 
Iz sistema dobimo: a = 234·454 
b = -2·67192 
C = 0· 0434842 
xk r(xk) r(xk) -
8 c·30 -o·o 
18 1"62 0·3 
28 4•05 -1·3 
42 8"87 -0•4 
52 12·69 -o·s 
'L.L Q, 16.96 -0·3 
84 22·27 1·0 
97 24•43 1·1 
107 25·65 0·3 
117 26·47 -0·1 
130 27·17 i -0·6 
i 
Izračunajmo stopnjo prilagoditve! 
= 171·100 
= 3709·61 
LYkf(Xk) = 3721·25 
Po formuli (89) Je: k = 0· 9978 
,_ 
yk 
Tabela 5 
Anallzlrajmo rasti Tokrat se Je Izkazalo, da gre za rast tipa /. Manjkajoči 
podatek S oziroma V bomo pa nadoknadili kar z največjim možnim S: 
267 
S = 175·5 
V= 27·88 
f> = 0·64987 
A = C = 16·1 
T = 30·7 
P = 46·7 
B = 73·4 
r(A) = 1·28 
r(n = 4·88 
r(P) = 10·68 
r(B) = 19· 77 
D = 75(n = p*(n = p(S) = p*(0) = 0· 159 
p(A) = p*(B) = 0·079 
p(A) = p*(A) = 0· 167 
P(n = o-318 
p(P) = 0·384 
p(B) = p(B) = 0·269 
Q = 0·00313 
lim q(t) = 0·0085 
t'- o 
lim q(t) = 0·0004 
t .f s 
q(A) = 0·0114 
q(n = 0-0081 
q(B) = 0·0063 
Faze: [0,A) 
[A,8] 
(8,S] 
inicialna faza (dolžina faze 16·1) 
optimalna faza (dolžina 57·3) 
terminalna faza (dolžina 102·1) 
Sliki 7 in 8 ustrezata temu primeru. 
(formula 57) 
(f. 58) 
(f. 62) 
(f. 64) 
(f. 67) 
(f. 61) 
(f. 38) 
(f. 68) 
(f. 70) 
(f. 17) 
(f. 69) 
(f. 32) 
(f. 74) 
(f. 71) 
(f. 73) 
(f. 59) 
(f. 72) 
(f. 75) 
(f. 76) 
(f. 77) 
(f. 78) 
(f. 80) 
(f. 79) 
V obeh primerih so primerljivi le podatki, ki so neodvisni od izbire 
točke S. To so: P, B, r(P), r(B), p(P), p(B), q(B) In llm q(t). 
h„o 
Samo dejstvo, da smo dobili na dva načina z Istimi podatki tako 
različne rezultate, kaže, kako pomembna je odločitev glede načina aprok-
simacije in izbire vrednosti S ter V. Proti nevarnosti subjektivnega odlo-
čanja pa se lahko borimo na znan način: z mnogimi in natančnimi merit-
vami. 
268 
DODATEK 
Realne rešitve enačbe I a: x3 + ~ x2 + r x + a = o 
Ce je: 1 z = - {3 / (3:x) _J 
P = y /(3x) - z2 
Q = z3_ (YZ + s )/(2x) 
potem: 1 x = y + z 1 
kjer je y rešitev enačbe y3 + 3Py - 2Q = O . 
X:/: 0 
Za o2 + p3 > o je samo ena rešitev realna, za o2 + p3 ~ o pa so vse 
rešitve realne. 
= o 
Y = o ·l 
269 
{
l,u>O} 
sgn u O, u O 
-1 , u( O 
Y1 ~ 2s -s 
y1 ~ < = 2s.cos(-
1
- arccos r + 2n'i'13) ,c:,~ 3 
n 0,1,2 
u lul .sgn u 
(y) 
Slika 25 
y = arccos x 
(x v radiani!:) 
-1 o 1 (x) 
270 
SUMMARY 
We define the growth function as a function lncreaslng from O to some positive V, 
between two points, the beginning and the end of certain growth. Besides we demand 
that this function is an integral of a so ca/fed current increment function. 
In the artif;le we analyse the growth function which is defined by Prodan function 
r = t2 t (a + bt + ct2) and which is very frequently used tor approximation of tree 
growth. 
In paragraph 1 and 2 we define the main obfekts of such growth. In paragraph 3 there is 
a list of different types of Prodan growth, considering the va/ues of coefficients a, b, c. 
These types, the growth function together with its first and second derivative, are 
graphically shown in paragraph 4. In the sth and 7th paragraph some different ways of 
approximation of Prodan function to numerical data, by the least squares method, are 
given. 
This article is intended to be a collection of formulas, so we omitted calculations and 
proofs. 
271 
LITERATURA 
1. Cedilnik A.: O rastnih funkcijah, Zb. gozdarstva in lesarstva, 17 (1979), no. 2, 351-392. 
2. Prodan M.: Forstliche Biometrie, MOnchen, BLV Verlagsgesellschaft 1961. 
3. Stamenkovic V.: Prirast i proizvodnost stabala i šumskih sastojina, Univerzitet u Beo-
gradu 1974 
272