Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo -'.■..i vi.-r^i Ii 11111 l 111111 h ml»jjJ» lh MiTiliTil:;;: PODIPLOMSKI ŠTUDIJ GRADBENIŠTVA DOKTORSKI ŠTUDIJ Kandidatka: ANKA ILC, univ. dipl. inž. grad. NELINEARNA ANALIZA MASIVNEGA BETONA PRI POSTOPNI GRADNJI Doktorska disertacija štev.: 229 NONLINEAR ANALYSIS OF MASSIVE CONCRETE AT SUCCESSIVE CONSTRUCTION Doctoral thesis No.: 229 Temo doktorske disertacije je odobrila Komisija za doktorski študij UL na 18. redni seji, dne 8. julija 2011. Za mentorja je bil imenovan izr. prof. dr. Igor Planinc, za somentorja pa doc. dr. Gregor Trtnik (IGMAT). Ljubljana, 8. april 2013 Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo i 1111| i ltji 111 h i iil 11 ili M i mjMi Komisijo za oceno ustreznosti teme doktorske disertacije v sestavi: - izr. prof. dr. Igor Planine, - prof. dr. Goran Turk, - doc. dr. Andrej Zajc, IRMA, Ljubljana, - doe. dr. Gregor Trtnik, IGMAT, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 19. redni seji, dne 30. marca 2011. Poročevalce za oceno doktorske disertacije v sestavi: - doc. dr. Andrej Zajc, IRMA, Ljubljana, - prof. dr. Goran Turk, - doc. dr. Andrej Kryžanowski, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 37. redni seji, dne 30. januarja 2013. Komisijo za zagovor doktorske disertacije v sestavi: - prof. dr. Matjaž Mikoš, dekan UL FGG, predsednik, - prof. dr. Igor Planinc, mentor, - doc. dr. Gregor Trtnik, IGMAT, somentor, - doc. dr. Andrej Zajc, IRMA, Ljubljana, - prof. dr. Goran Turk, - doc. dr. Andrej Kryžanowski, je imenoval Senat Fakultete za gradbeništvo in geodezijo na 39. redni seji, dne 27. marca 2013. Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo i 1111| i ltji 111 h i iil 11 ili M i mjMi IZJAVA O AVTORSTVU Podpisana ANKA ILC, univ. dipl. inž. grad., izjavljam, da sem avtorica doktorske disertacije z naslovom: »NELINEARNA ANALIZA MASIVNEGA BETONA PRI POSTOPNI GRADNJI«. Izjavljam, da je elektronska različica v vsem enaka tiskani različici. Izjavljam, da dovoljujem objavo elektronske različice v repozitoriju UL FGG. Ljubljana, 8. april 2013. (podpis) BIBLIOGRAFSKO-DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK UDK: Avtor: Mentor: Somentor: Naslov: Tip dokumenta: Obseg in oprema: Ključne besede: 519.61/.64:624.012.44:691.3(043.3) Anka Ilc prof. dr. Igor Planine doc. dr. Gregor Trtnik Nelinearna analiza masivnega betona pri postopni gradnji doktorska disertacija 105 str., 22 pregl., 62 sl., 215 en. nelinearna analiza, sveZi masivni beton, porozni material, popolnoma povezan problem, hidratacija cementa, postopna gradnja, poladiabatni poskus Izvlecek V doktorski disertaciji smo prikazali numeriCno analizo svežega masivnega betona, to je betona, pri katerem moramo nadzorovati povišanje temperature, do katerega pride zaradi sprošcanja hidratacijske toplote pri vezavi cementa. Disertacija je razdeljena na dva dela. V prvem delu prikazujemo racunski model, s katerim rešujemo popolnoma povezan problem prenašanja vode, vlaznega zraka in toplote v svezem betonu z mehansko analizo. Osnovne enacbe so izpeljane na podlagi modela poroznega materiala, ki beton opiše kot material, sestavljen iz trdnega skeleta in por, ki so napolnjene z vodo in vlaznim zrakom. Sistem šestih nelinearnih diferencialnih enacb, v katerih so neznanke zracni tlak, kapilarni tlak, temperatura in pomiki trdnega skeleta, rešujemo z metodo koncnih elementov. Po prikazanem numericnem postopku smo pripravili program PreTeDis. Rezultate, ki smo jih z njim pridobili, smo primerjali z eksperimentalnimi in ugotovili dobro ujemanje, iz cesar lahko sklepamo, daje opisan numericni postopek primeren za analizo svezega masivnega betona. V drugem delu disertacije je prikazana toplotna analiza svezega betona. Osnovno enacbo prevajanja toplote smo rešili z metodo koncnih elementov s programom TeEx, ki smo ga dopolnili z moznostjo modeliranja postopne gradnje in osoncenja vodoravne površine ter z moznostjo dolocitve adiabatne krivulje z nevronsko mrezo. Predlagali smo nacin upoštevanja vpliva armature na razpored temperatur v betonu. S primerjavo med eksperimentalnimi in numericnimi rezultati smo ugotovili, da lahko z opisanim nu-mericnim postopkom dokaj natancno napovemo potek temperatur v betonu. Z numericnim modeliranjem poladiabatnega poskusa smo ugotovili, da lahko z njim dobro dolocimo zvišanje temperature v betonu zaradi hidratacije. BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION UDC: Author: Supervisor: Co-supervisor: Title: Document type: Notes: Key words: 519.61/.64:624.012.44:691.3(043.3) Anka Ilc prof. dr. Igor Planinc assist. prof. dr. Gregor Trtnik Nonlinear analysis of mass concrete at successive construction Ph. D. Thesis 105 p., 22 tab., 62 fig., 215 eq. nonlinear analysis, mass concrete at early age, porous material, fully coupled problem, cement hydration, successive construction, semi-adiabatic test Abstract The presented doctoral thesis deals with numerical analysis of fresh mass concrete, that is concrete whose temperature rise due to heat of cement hydration must be controlled. The thesis consists of two parts. In the first part, a numerical model which solves a fully coupled problem of water, moist air, and heat transfer in fresh concrete and mechanical analysis is presented. Basic equations are deduced from the model of the porous body, which describes concrete as a material, composed of solid skeleton and pores filled with water and moist air. A system of six nonlinear differential equations, where the basic variables are gas pressure, capillary pressure, temperature, and displacement vector of the solid skeleton, is solved with the finite element method. A computer programme named PreTeDis is prepared following the presented numerical procedure. Numerical results of the programme are compared to the experiment and they show a good agreement, which indicates that the numerical procedure is adequate to the analysis of concrete at early age. In the second part of the thesis, a temperature analysis of the fresh concrete is presented. The basic equation of the heat transfer is solved with the finite element method by the computer programme TeEx which has been supplemented with the possibility of modelling successive construction, insolation of the horizontal surface and the possibility of determination the adiabatic temperature rise with neural network. A method of modelling the impact of the reinforcement on the temperatures is suggested. The comparison between the experimental and numerical results shows that the numerical procedure is able to correctly predict the temperatures in concrete. The results of the numerical modelling of the semi-adiabatic test show that it is suitable for the determination of the adiabatic temperature rise due to hydration. ZAHVALE Za pomoC pri delu se zahvaljujem mentorju prof. dr. Igorju Planincu in somentorju doc. dr. Gregorju Trtniku. Posebej se za vso spodbudo in podporo zahvaljujem prof. dr. Goranu Turku. Hvala tudi vsem ostalim na Katedri za mehaniko. Hvala, ker ste mi stali ob strani, tudi ko ni šlo vse po naCrtu. Za podporo mojemu raziskovalnemu delu se zahvaljujem mojima mentorjema v podjetju Primorje, dr. Petru Kantetu in dr. Branku Bandlju. Hvala zdajšnjim sodelavcem, predvsem Zvonku CotiCu, za nasvete in pomocš pri eksperimentalnem delu. Hvala druzini in prijateljem, še posebej pa hvala Eriku, Leonu in Tadeju. KAZALO VSEBINE 1 UVOD 1 1.1 Masivni beton................................................................................1 1.2 NumeriCna analiza svezega betona..........................................................3 1.3 Vsebina dela..................................................................................5 2 POVEZAN PROBLEM PRENAŠANJA VODE, VLAŽNEGA ZRAKA IN TOPLOTE Z MEHANSKO ANALIZO V SVEZEM BETONU 6 2.1 Osnovne enaCbe termodinamike............................................................7 2.1.1 EnaCbe o ohranitvi mase............................................................8 2.1.2 Enacšba o ohranitvi energije ........................................................11 2.1.3 Ravnotezna enaCba..................................................................12 2.1.4 Sistem osnovnih enaCb termodinamike ............................................12 2.1.5 Osnovne spremenljivke ..............................................................13 2.2 KonstituCijski zakoni........................................................................14 2.2.1 HidrataCija Cementa ................................................................14 2.2.2 Poroznost............................................................................16 2.2.3 Gostote, tlaki in molske mase ......................................................16 2.2.4 SorpCijske izoterme..................................................................17 2.2.5 Gibanje tekoCin......................................................................18 2.2.6 Prevajanje toplote....................................................................19 2.2.7 PrinCip efektivnih napetosti in deformatije ........................................19 2.2.8 Lezenje..............................................................................22 2.3 NumeriCno reševanje sistema osnovnih enaCb termodinamike..............................27 2.3.1 Sistem osnovnih enaCb termodinamike ............................................27 2.3.2 Princip virtualnega dela ............................................................29 2.3.3 Krajevna integracija................................................................30 2.3.4 Časovna integracija..................................................................35 2.3.5 Numericni algoritem................................................................35 2.4 Numericni primeri ..........................................................................36 2.4.1 Adiabatni poskus....................................................................37 2.4.2 Avtogeno krcenje cementne paste..................................................38 2.4.3 Armiranobetonska temeljna plošca..................................................43 2.5 Primerjava reševanja popolnoma povezanega problema z dvofaznim postopkom..........48 2.5.1 Dvofazni postopek..................................................................48 2.5.2 Primer: armiranobetonska temeljna plošca..........................................48 3 TOPLOTNA ANALIZA SVEŽEGA BETONA 50 3.1 Osnovna enacba prevajanja toplote..........................................................50 3.2 Dolocitev sprošcanja hidratacijske toplote v adiabatnih pogojih............................51 3.2.1 Matematicno modeliranje adiabatne krivulje........................................52 3.2.2 Poladiabatni poskus ................................................................52 3.2.3 Primer: numericno modeliranje poladiabatnega poskusa..........................53 3.2.4 Dolocšitev adiabatne krivulje z nevronsko mrezšo ....................................61 3.2.5 Primer: betonski valj ................................................................65 3.3 Modeliranje osonCenja vodoravne površine ................................................67 3.3.1 Vpadni kot sonCnih zarkov na vodoravno površino................................68 3.3.2 Toplotni tok SonCa, ki dosezše Zemljino povrsšino . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.3 Primer: spodnja pasniCa temelja hladilnega stolpa v šestem bloku Termoelektrarne Soštanj........................................................................69 3.4 Postopna gradnja............................................................................72 3.4.1 Dodajanje in odvzemanje konCnih elementov in robnih pogojev..................73 3.4.2 Modeliranje toplotne izolaCije ali opaza............................................73 3.4.3 Primer: armiranobetonski vodnjak na ReberniCah..................................74 3.4.4 Primer: temelj mostu Cez reko Mileno v UlCinju....................................83 3.5 Vpliv armature na razpored temperatur v betonu ............................................89 3.5.1 Vpliv na sprošCanje hidratadjske toplote ..........................................89 3.5.2 Vpliv na materialne karakteristike armiranega betona..............................89 3.5.3 Primer: prevajanje toplote skozi betonski valj......................................91 3.5.4 Primer: steber hladilnega stolpa v šestem bloku Termoelektrarne Soštanj .... 92 4 ZAKLJUČKI 96 5 POVZETEK 98 6 SUMMARY 100 KAZALO SLIK LIST OF FIGURES 1.1 Temperaturno polje po masivnem betonskem prerezu med hidratacijo......................2 1.1 Temperature field in massive concrete section during hydration............................2 2.1 Sestava betona [23]..........................................................................6 2.1 The composition of concrete [23]............................................................6 2.2 Model sestave betona in prikaz njenega spreminjanja zaradi hidratacije....................7 2.2 Model of concrete's composition and its changing due to hydration of cement..............7 2.3 Hitrost delca plina v področju mešanja vodne pare in suhega zraka........................10 2.3 Velocity of a small part of gas in the area where water vapour and dry air mix............10 2.4 Faze hidratacijskega procesa [48, 45]........................................................14 2.4 Stages during the hydration process [48, 45]................................................14 2.5 Mehanski model lezenja......................................................................22 2.5 Mechanical model for creep..................................................................22 2.6 Shematski prikaz moznih oblik meniskusa tekoane v pori..................................26 2.6 Shematic display of possible forms of meniscus of a liquid in a pore......................26 2.7 Stirivozlišcni izoparametricni ravninski koncni element....................................34 2.7 Isoparametric plane finite element with four nodes..........................................34 2.8 Mreza koncnih elementov in robni pogoji za modeliranje adiabatnega poskusa............37 2.8 Finite elements mesh and boundary conditions for modelling the adiabatic experiment. . 37 2.9 Primerjava med eksperimentalnimi in numericnimi rezultati................................38 2.9 Comparison of experimental and numerical results..........................................38 2.10 Mreza koncnih elementov in robni pogoji za poskus merjenja relativne vlaznosti..........40 2.10 Finite elements mesh and boundary conditions for modelling the relative humidity mea-surements......................................................................................40 2.11 Primerjava med enodimenzionalnim in dvodimenzionalnim modelom......................41 2.11 Comparison between one dimensional and two dimensional model............ 41 2.12 Primerjava med eksperimentalno in numeriCno doloCenim potekom relativne vlažnosti v središCu preizkušanca.................................... 41 2.12 Comparison of experimentally and numerically determinated course of relative humidity in the centre of specimen................................... 41 2.13 Dilatometer [35]....................................... 42 2.13 Dilatometer [35]....................................... 42 2.14 Mreža koncnih elementov in robni pogoji za poskus merjenja pomikov. ......... 42 2.14 Finite elements mesh and boundary conditions for modelling the displacement measure-ments............................................. 42 2.15 Primerjava med eksperimentalno in numericno dolocenim vzdolžnim pomikom v tocki D. 43 2.15 Comparison of experimentally and numerically determinated longitudinal displacement at point D........................................... 43 2.16 Gradnja temeljev glavnega tehnološkega objekta šestega bloka v termoelektrarni Soštanj. 43 2.16 Construction of foundations of main power facility of the 6th unit at Soštanj power plant. 43 2.17 Mreza koncnih elementov in robni pogoji.......................... 44 2.17 Finite elements mesh and boundary conditions....................... 44 2.18 Primerjava med eksperimentalno in numericno doloceno temperaturo........... 46 2.18 Comparison between experimentally and numerically determined temperature...... 46 2.19 Primerjava med vrednostmi kapilarnega tlaka, relativne vlage, temperature in navpicnega pomika pri razlicni relativni vlaznosti zunanjega zraka................... 47 2.19 Comparison between the values of capillary pressure, relative humidity, temperature and vertical displacement at different relative humidity of the surrounding air......... 47 2.20 Primerjava med vrednostmi kapilarnega tlaka, relativne vlage, temperature in navpicnega pomika pri razlicni debelini plošce v............................. 47 2.20 Comparison between the values of capillary pressure, relative humidity, temperature and vertical displacement at different thickness of the plate v.................. 47 2.21 Primerjava med vrednostmi kapilarnega tlaka, relativne vlage, temperature in vertikalnega pomika v primeru, ko smo reševali popolnoma povezan problem in v primeru, ko smo reševali problem po dvofaznem postopku........................ 49 2.21 Comparison between the values of capillary pressure, relative humidity, temperature and vertical displacement in the case fully coupled problem is solved and in the case the problem is solved in two phases............................... 49 3.1 Izvedba poladiabatnega poskusa.............................. 52 3.1 Execution of semi-adiabatic experiment.......................... 52 3.2 Geometrija preizkušanca pri poladiabatnem poskusu in merilna mesta.......... 53 3.2 Geometry of a specimen at semiadiabatic test and the measuring points.......... 53 3.3 Mreza koncnih elementov za 2D in 3D model....................... 55 3.3 Finite element mesh for 2D and 3D model......................... 55 3.4 Temperatura v središcu preizkušanca - primerjava med 2D in 3D modelom za beton B1. 56 3.4 Temperature in the centre of the specimen - the comparison between the two-dimensional and three-dimensional model for the concrete's mixture B1................. 56 3.5 Temperatura v središcu in v vogalu preizkušanca - primerjava med izracunanimi in eksperimentalno dolocenimi vrednostmi za beton A1...................... 57 3.5 Temperature in the centre and in the corner of the specimen - a comparison between numerical and experimental values for the concrete's mixture A1............. 57 3.6 Primerjava med izracunanim in eksperimentalno dolocenim potekom temperature v središcu preizkušanca za betonske mešanice iz serije A....................... 57 3.6 Comparison between numerically and experimentally determined temperature in the centre of the specimen for concrete mixtures from the series A................. 57 3.7 Primerjava med izracunanim in eksperimentalno dolocenim potekom temperature v središcu preizkušanca za betonske mešanice iz serije B........................ 58 3.7 Comparison between numerically and experimentally determined temperature in the centre of the specimen for concrete mixtures from the series B................. 58 3.8 Primerjava med izracunanim in eksperimentalno dolocenim potekom temperature v središcu preizkušanca za betonske mešanice iz serije C........................ 58 3.8 Comparison between numerically and experimentally determined temperature in the centre of the specimen for concrete mixtures from the series C................. 58 3.9 Primerjava med potekom adiabatnih krivulj in temperatur v središcu za betonski mešanici B2 in C1........................................... 59 3.9 Comparison between adiabatic curves and temperatures in the centre of the specimen for the concrete's mixtures B2 and C1.............................. 59 3.10 Primerjava med eksperimentalno dolocenimi adiabatnimi krivuljami za betonske mešanice iz serije A........................................... 60 3.10 Comparison between experimentally determined adiabatic curves for concrete mixtures from the series A....................................... 60 3.11 VeCslojna usmerjena umetna nevronska mreza..............................................62 3.11 Multi-layer feed-forward artificial neural network..........................................62 3.12 Primerjava adiabatne krivulje in temperature v središcu valja za razlicno vsebnost cementa v betonski mešanici....................................................................66 3.12 Comparison of adiabatic curve and temperature in the centre of the cilinder for different concrete mixtures with different cement content..............................................66 3.13 Primerjava adiabatne krivulje in temperature v središcu valja za razlicne vrste cementa. . 67 3.13 Comparison of adiabatic curve and temperature in the centre of the cilinder for different concrete mixtures with different types of cement............................................67 3.14 Primerjava adiabatne krivulje in temperature v središcu valja za razlicno vodocementno razmerje betonske mesšanice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.14 Comparison of adiabatic curve and temperature in the centre of the cilinder for different concrete mixtures with different water to cement ratio......................................67 3.15 Vpadni kot soncnih zarkov na Zemljo........................................................68 3.15 Incident angle of solar radiation on Earth....................................................68 3.16 Hladilni stolp bloka 6 v Termoelektrarni Soštanj............................................70 3.16 Cooling tower of unit 6 of Soštanj thermal power plant....................................70 3.17 Prerez temelja hladilnega stolpa na mestu meritev in polozaj merskih tock................70 3.17 Cross section of the foundation of the cooling tower and placement of measuring points. 70 3.18 Primerjava med izmerjenim in numericno dolocenim potekom temperatur v merskih tockah, ce upoštevamo in ce ne upoštevamo vpliv osoncenja................................71 3.18 Comparison between experimentally and numerically determined temperature at measuring points whether solar radiation is or is not taken into account............................71 3.19 Shematski prikaz dodajanja novih koncnih elementov v globalno mrezo koncnih elementov. 74 3.19 Shematic display of the addition of the new finite element into the global mesh of finite elements......................................................................................74 3.20 Gradnja armiranobetonskega vodnjaka......................................................75 3.20 Construction of reinforced concrete well....................................................75 3.21 Geometrijski podatki masivnega armiranobetonskega vodnjaka in lege merskih tock. . . 75 3.21 Geometry of massive concrete well and position of measuring points......................75 3.22 Izmerjene vrednosti temperature. ..........................................................76 3.22 Measured values of temperature............................... 76 3.23 Adiabatne krivulje, uporabljene pri analizi betonskega vodnjaka.............. 77 3.23 Adiabatic curves, used for the analysis of the concrete well................ 77 3.24 Primerjava med izmerjenimi in izraCunanimi temperaturami v merskih toCkah S1 in V1. . 78 3.24 Comparison between measured and numerically determined values of temperature at points S1 and V1....................................... 78 3.25 Primerjava med izmerjenimi in izraCunanimi temperaturami v središCnih merskih toCkah betonskih slojev za raCun z upoštevanjem enakih oziroma razliCnih adiabatnih krivulj v posameznih slojih. ..................................... 79 3.25 Comparison between experimentally and numerically determined values of temperature at the centre of concrete layers considering the same or different adiabatic curves for different layers........................................ 79 3.26 Primerjava med izraCunanimi in izmerjenimi temperaturami v središCu prvega in drugega sloja vodnjaka pri postopni gradnji in v primeru, Ce postopne gradnje v analizi ne bi upoštevali........................................... 79 3.26 Comparison between experimentally and numerically determined values of temperature at the centre of the first and the second layer with and without considering successive construction.......................................... 79 3.27 Primerjava med izraCunanim temperaturnim potekom v središCu druge plasti pri dejanski gradnji in v primeru, ko v predhodni plasti ni hidratacije.................. 80 3.27 Comparison between numerically determined values of temperature in the centre of the second layer at actual course of construction and in the case when there is no hydration in the previous layer..................................... 80 3.28 Most Port Milena med gradnjo............................... 84 3.28 Bridge Port Milena under construction........................... 84 3.29 Tridimenzionalen prikaz stebra mostu Port Milena..................... 84 3.29 Tridimensional display of a column of bridge Port Milena................. 84 3.30 Dnevno nihanje temperature zraka............................. 85 3.30 Daily oscillation of air temperature............................. 85 3.31 Primerjava med najvišjimi dosezenimi temperaturami in najveCjimi gradienti v betonskem temelju za betonsko mešanico A pri razliCnih temperaturah zraka, pri Cemer je zaCetna temperatura betona 20°C, in razliCnih zaCetnih temperaturah betona, pri Cemer je maksimalna temperatura zraka 25°C........................... 86 3.31 Comparison between maximal temperature and maximal temperature gradient in con-crete foundation for concrete mixture A at different air temperatures while initial con-crete temperature remains 20°C, and different initial concrete temperatures while maximal air temperature remains 25°C.............................. 86 3.32 Primerjava med najvišjimi dosezenimi temperaturami in največjimi gradienti v betonskem temelju pri zacetni temperaturi betona 20°C in maksimalni temperaturi zraka 25 °C za razlicne betonske mešanice razlicne debeline temelja.................. 87 3.32 Comparison between maximal temperature and maximal temperature gradient in concrete foundation at initial concrete temperature 20°C and air temperature 25°C for different concrete mixtures and different thickness of the foundation.............. 87 3.33 Primerjava med najvišjimi dosezenimi temperaturami in najvecjimi gradienti v betonskem temelju pri zacetni temperaturi betona 20°C in maksimalni temperaturi zraka 25 °C za betonsko mešanico A, ce 2.5 m debel temelj zabetoniramo naenkrat ali pa v dveh fazah po 1.25 m z medsebojnim casovnim presledkom en dan oziroma dva dneva..... 87 3.33 Comparison between maximal temperature and maximal temperature gradient in concrete foundation for concrete mixture A at initial concrete temperature 20° C and air temperature 25°C if a 2.5 m thick foundation is cast at a time or in two phases of thickness 1.25 m at intervals of one or two days............................ 87 3.34 Primerjava med najvišjimi dosezenimi temperaturami in najvecjimi gradienti v betonskem temelju za razlicne betonske mešanice in pri razlicni dinamiki gradnje........ 88 3.34 Comparison between maximal temperature and maximal temperature gradient in concrete foundation for different concrete mixture and at different course of construction. . . 88 3.35 Modeliranje armiranega betona kot sestavljeni in kot homogeni material.......... 90 3.35 Modelling reinforced concrete as a composed and as a homogeneous material....... 90 3.36 Temperaturni odziv modela 1 in modela 2 pri razlicnih vrednostih toplotne prevodnosti. 91 3.36 Temperature response of model 1 and 2 for different values of thermal conductivity. . . 93 3.37 Steber hladilnega stolpa bloka 6 v Termoelektrarni Soštanj................. 92 3.37 Column of the cooling tower of unit 6 of Soštanj thermal power plant........... 93 3.38 Temperaturni odziv modela 1 in modela 2 pri razlicšnih vrednostih toplotne prevodnosti. 94 3.38 Temperature response of model 1 and 2 for different values of thermal conductivity. . . 94 3.39 Primerjava med racunskim in izmerjenim potekom temperatur v merskih tockah pri eksperimentalno doloceni adiabatni krivulji........................... 95 3.39 Comparison between numerically and experimentally determined temperature at measu- ring points at experimentally defined adiabatic curve.................... 95 3.40 Primerjava med raCunskim in izmerjenim potekom temperatur v merskih toCkah pri prilagojeni adiabatni krivulji.................................. 95 3.40 Comparison between numerically and experimentally determined temperature at measu- ring points at adapted adiabatic curve............................ 95 KAZALO PREGLEDNIC LIST OF TABLES 2.1 Razlika med navidezno in dejansko gostoto..................................................8 2.1 Difference between the apparent and intrinsic density......................................8 2.2 Materialni parametri betona..................................................................37 2.2 Material parameters of concrete..............................................................37 2.3 Materialni parametri cementne paste........................................................39 2.3 Material parameters of cement paste........................................................39 2.4 Materialni parametri betona in kamnine......................................................45 2.4 Material parameters of concrete and rock....................................................45 3.1 Parametri adiabatne krivulje in zacetna temperatura betona..................................54 3.1 Parameters of the adiabatic curve and the initial temperature of concrete....................54 3.2 Materialni parametri..........................................................................54 3.2 Material parameters..........................................................................54 3.3 Primerjava eksperimentalno in numericno dolocene najvišje dosezene temperature. ... 56 3.3 Comparison between the experimentally and numerically determined highest temperature............................................................................................56 3.4 Parametri adiabatne krivulje, aproksimirane z enacbo (3.6)..................................60 3.4 Parameters of the adiabatic curve approximated by the equation (3.6)......................60 3.5 Seznam betonskih mešanic, na katerih smo izvedli adiabatni poskus, in njihovi parametri. 64 3.5 List of concrete mixtures used to perform adiabatic test, and their parameters..............64 3.6 Materialni parametri..........................................................................65 3.6 Material parameters..........................................................................65 3.7 Specificnahidratacijska toplota cementa....................................................66 3.7 Specific hydration heat of cement............................................................66 3.8 Materialni parametri betona in kamnine......................................................71 3.8 Material parameters of concrete and rock....................................................71 3.9 Trajanje osoncenja za Celje [13]............................................................72 3.9 Duration of insolation in Celje [13]..........................................................72 3.10 Materialni parametri betona in zemljine......................................................77 3.10 Material parameters of concrete and soil....................................................77 3.11 Najvišje temperature in najvecji temperaturni gradient betonskega sloja v odvisnosti od debeline sloja in casovnih presledkov med betoniranji slojev................................81 3.11 Maximal temperature and temperature gradient in the concrete layer depending on the layer's thickness and intervals between construction........................................81 3.12 Optimalni rezim gradnje masivnega armiranobetonskega vodnjaka........................82 3.12 Optimal course of construction of reinforced concrete well................................82 3.13 Parametricna študija vpliva znacilnih parametrov na najvišjo temperaturo in najvecji temperaturni gradient pri postopni gradnji masivnega armiranobetonskega vodnjaka..........82 3.13 Study of the impact of distinctive parameters on maximal temperature and maximal temperature gradient at successive construction of massive reinforced concrete well............82 3.14 Temperature v betonu pri razlicnih debelinah izolacije za primer debeline plasti 4 m in casovnega razmaka med betoniranji 1 teden..................................................83 3.14 Concrete temperatures at different thickness od isolation for a 4 m thick layers cast at intervals of one week..........................................................................83 3.15 Lastnosti betonskih mešanic..................................................................85 3.15 Material properties of concrete mixtures....................................................85 3.16 Materialni parametri betona in armature....................................................91 3.16 Material parameters of concrete and reinforcement..........................................91 3.17 Geometrija prerezov na merilnih mestih....................................................92 3.17 Section geometry at measuring points........................................................92 3.18 Materialni parametri betona in armature....................................................92 3.18 Material parameters of concrete and reinforcement..........................................92 1 UVOD 1.1 Masivni beton Ameriški institut za beton (ACI) opredeljuje masivni beton kot vsak beton z dovolj velikimi dimenzijami, da so potrebni posebni ukrepi za nadzorovanje sproščanja hidratacijske toplote in spremljajoče spremembe prostornine, da bi zmanjšali razpoke. Nedoločenost te definicije skuša več avtorjev popraviti s preprostimi inzenirskimi pravili, po katerih je kot masiven opredeljen tak betonski element, ki ima najmanjšo dimenzijo večjo od določene vrednosti, ki se giblje od 0.5 m do 2 m. Gajda in VanGeem [22] na podlagi teh priporočil opredeljujeta za masiven vsak beton, ki ima bodisi debelino večjo od 0.9 m bodisi pri manjši debelini vsebuje več kot 335 kg/m3 čementa ali čement, ki dosega visoke zgodnje trdnosti. Vidimo, da se betonski elementi, ki jih tako opredelimo kot masivne, pojavljajo na vseh področjih gradbeništva. Poleg betonskih jezov, ki so klasičen primer masivnega betona, so betonski bloki velike debeline tudi temelji in stebri tako mostov in viaduktov kot tudi stavb. Zaradi različnih zahtev se vedno pogosteje uporabljajo betoni z visoko vsebnostjo čementa, pri katerih je debelina elementa, ki lahko povzroči pregrevanje betona, nizja. Podobno so ze elementi z manjšimi debelinami lahko kritični pri uporabi betona z nizjo gostoto, saj ima ta manjšo toplotno kapačiteto, zato se zaradi enake količine energije bolj segreje kot gostejši beton. V prvih dneh po vgradnji se v svezemu betonu dogajajo velike spremembe. Njihov glavni vzrok je hidratačija čementa, kemijska reakčija, med katero voda reagira z zrni čementa in skupaj tvorijo trdno čementno pasto. Med strjevanjem se fizikalne lastnosti betona neprestano spreminjajo: poroznost in vsebnost vode se znizujeta, medtem ko se togost in trdnost zvišujeta. Potekajoča kemijska reakčija je eksotermna in posledično se v betonu lahko znatno zviša temperatura, kot je na primeru betonskega valja debeline 0.45 m prikazano na sliki 1.1. Tanjši elementi imajo tako razmerje med površino in prostornino, da se sproščena toplota brez tezav odvaja v okoličo, pri masivnih betonih pa je njeno odvajanje otezeno zaradi velike debeline betonskega elementa. Beton se zato segreva, kar še dodatno pospeši hidratačijo in povzroči še hitrejše sproščanje hidratačijske toplote. Visoka temperatura betona zmanjšuje tlačno trdnost, povečuje njegovo poroznost ter povzroča zakasnjeno tvorjenje etringita, hkrati pa se površina betona, če ni dobro izolirana, manj segreje od njegovega jedra (slika 1.1), kar povzročši natezne napetosti, zaradi katerih lahko nastanejo razpoke. Pri veliki začetni hitrosti hidratačije hidratačijski produkti nimajo dovolj časa, da se z difuzijo enakomerno razporedijo v čementni pasti, ker jim pot zapirajo novi in novi hidratačijski produkti. Ob zrnu čementa tako nastane gosta ovojniča hidratačijskih produktov, ki onemogoča tako nadaljnjo hidratačijo kot tudi enakomerno prerazporeditev produktov po čelotni čementni pasti. Cš e poteka hidratačija pri višji temperaturi, je končna trdnost betona manjša, hkrati pa je večja tako njegova poroznost kot tudi prostornina por večjega premera [16]. Ce je beton izpostavljen temperaturam višjim od od 65°C, se tvori kalčijev aluminat monosulfat hidrat kot trdni produkt hidratačije trikalčijevega aluminata [16]. Ko se prične temperatura v betonu spuščati, postane monosulfat nestabilen in se ob stiku z vodo prične v razpokah in votlinah tvoriti etringit (kalčijev aluminat trisulfat hidrat), ki je sičer običšajna sestavina hidratiziranega portlanskega čementa in njegova tvorba v zaCetni fazi hidratacije ima pozitiven vpliv. Toda transformacija monosulfata v etringit povzroCi 2.3 kratno povecanje volumna, prav tako pa napetosti povzroca tudi tvorba kristalov in absorpcija vode [16]. Ce napetosti prekoracijo natezno trdnost cementnega kamna, nastanejo razpoke, po katerih lahko v beton prihaja nova voda, ki omogoca nastanek novega etringita. To je dolgotrajen proces, katerega posledice se lahko pojavijo šele leta po casu izgradnje, lahko pa povzroci mocno razpokanost in propad betonskega elementa. Betoni, ki niso izpostavljeni vodi, in betoni, ki vsebujejo vecjo kolicino dodatkov, ki nevarnost opisane reakcije zmanjšujejo, na primer elektrofiltrski pepel ali zlindra, so odporni na tak način propadanja. -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Slika 1.1: Temperaturno polje po masivnem betonskem prerezu med hidratacijo. Figure 1.1: Temperature field in massive concrete section during hydration. Poleg opisanih problemov, ki jih povzroca segrevanje betona, pa se pri hidrataciji cementa porablja voda, kar povzroci njegovo izsuševanje in s tem krcenje. Tako kot temperaturni gradient tudi krcenje povzroci zvišanje nateznih napetosti. Ker je natezna trdnost betona nizka, morajo biti te napetosti dovolj majhne, da preprecimo nastanek razpok. S tem poleg nosilnosti zagotovimo tudi zadostno trajnost betona, saj predstavljajo razpoke poti, po katerih v beton vdira voda z za beton škodljivimi snovmi. Temperaturo betona in s tem tudi temperaturni gradient poskušamo pri gradnji omejiti na vec nacinov, med katerimi so najpogostejši vgradnja masivnega betonskega elementa v vec tanjših slojih, hlajenje betona ali njegovih sestavnih delov pred ali po betoniranju ter izbira primerne betonske mesšanice. Na kolicino in dinamiko sprošcanja hidratacijske toplote najbolj vpliva vrsta in kolicina veziva. Z ukrepi, ki zmanjšujejo kolicino potrebne vode (dodajanje plastifikatorjev in aerantov), dosezemo, daje ob danem vodocementnem razmerju, ki je v tesni povezavi s trdnostjo in poroznostjo, kolicina veziva manjša. Na natezno trdnost betona lahko vplivamo z izbiro oblike agregata, saj pri lomljenemu agregatu k natezni trdnosti pripomore vecje trenje med zrni, zato je le-ta za priblizno polovico vecja kot pri naravnem agregatu. Poleg tega se natezna trdnost betona veca z manjšanjem maksimalnega zrna agregata. Z izbiro vrste agregata vplivamo tudi na elasticni modul in koeficient toplotnega raztezanja betona. Vidimo, da lahko na dogajanje v betonu vplivamo z vrsto ukrepov. Da lahko med njimi izberemo kombinacijo, ki bo hkrati ekonomicna in bo izpolnjevala tehnicne zahteve, moramo ze pred gradnjo ta vpliv oceniti. Ker bi bili zaradi velikosti preizkušanca eksperimenti dragi, se je pri tem smiselno posluzevati numericnega modeliranja. S tehnicnimi predpisi ali s pogodbo med izvajalcem del in investitorjem je pogosto predpisana le najvišja dovoljena temperatura betona, vcasih pa tudi največji dovoljeni temperaturni gradient. Ker je kriterij za nastanek razpok prekoracitev natezne trdnosti betona, ki jo lahko z omejitvijo temperaturnega gradienta kvecjemu ocenimo, so te zahteve postavljene dovolj nizko, da so na varni strani [22]. Ce sta edina kriterija ustreznosti tehnologije gradnje dovolj nizka temperatura betona in dovolj majhen temperaturni gradient, da ze toplotna analiza odgovor na vprašanje, ali izbrani ukrepi zadošcajo tema kriterijema, v kolikor pa zelimo poznati dejanske deformacije in napetosti v betonu, potrebujemo tudi racun njegove vlaznosti in pomikov. 1.2 Numericna analiza svežega betona Raziskovalci opisujejo beton kot porozni material, ki ga sestavljajo trdni skelet in pore, ki jih napolnjujejo kapilarna voda in vlazen zrak. Pri hidrataciji cementa se sprošca hidratacijska toplota, kar povzroci zvišanje temperature materiala. Sprememba temperature betona povzroa premikanje vode, vlage in suhega zraka po betonu ter fazne spremembe vode, kar vpliva na kapilarni in zracni tlak, ki povzrocita spremembe napetostnega stanja betona. Poraba vode zaradi hidratacije povzroci izsuševanje betona, ki je vzrok dela krcenja, pri Bazantovem modelu [6, 7] pa relativna vlaznost vpliva tudi na lezenje. Po drugi strani tudi prenos vode in vlaznega zraka vpliva na temperaturo v betonu, saj premikajoce se tekocine s seboj nosijo tudi toploto, pri izparevanju oziroma kondenzaciji vode se toplota porablja oziroma sprošca, kolicina vode v betonu ima vpliv na hitrost hidratacijske reakcije [25, 32], pa tudi visoka specificna toplota vode povzroci pocasnejše segrevanje betona. Kljub vsemu naštetemu veliko avtorjev zanemari vpliv vlage na temperaturo in napetosti v betonu [3, 14, 32], drugi upoštevajo le vpliv vlage na razvoj hidratacije [41], nekateri pa racunajo povezan problem prevajanja toplote, vode in vlaznega zraka [33,47] in na podlagi teh rezultatov racunajo mehanski odziv konstrukcije. V zadnjem casu posamezni avtorji [18, 24, 27, 39] rešujejo tudi popolnoma povezan termo - hidro - mehanski model, pri cemer upoštevajo vpliv hitrosti trdnega skeleta na ravnovesje mas in toplote. Ti modeli so vecinoma prilagojeni racunu odziva betona pri pozaru, v delu [25, 26] pa je model prilagojen za racšun svezšega betona. Pri vseh modelih neznanke izracunamo iz parcialnih diferencialnih enacb, ki opisujejo ravnovesje energij (temperaturni del), ravnovesje mas zraka in vode (hidromehanski del) in ravnovesje momentov (mehanski del). Sistem enacb vecina avtorjev racuna z metodo koncnih elementov [3, 14, 15, 25, 26, 33, 34, 39, 47, 49], nekateri pa tudi z metodo kontrolnih volumnov na osnovi diferencne metode [34]. Ker so enacbe nelinearne, jih je treba reševati z inkrementno - iteracijskimi metodami, na primer z Newtonovo iteracijsko metodo. Modeliranje postopne gradnje predstavlja dodaten izziv, ki se ga raziskovalci praviloma lotijo z metodo koncnih elementov [3, 34], katerih število se med racunom spreminja, ko modeliramo dodajanje novih slojev konstrukcije. V delu [34] je opisan racun temperature pri postopni gradnji pregrade, v delih [3, 32] pa je k temu dodan še matematicno locen racun napetosti. Osnovna znacilnost svezega betona je, da v njem poteka hidratacija cementa. Njena hitrost v adiabatnih pogojih je odvisna od sestave betona in vecina avtorjev jo doloci na podlagi adiabatnega [14, 25, 34,49] ali poladiabatnega poskusa [43]. Pri adiabatnem poskusu skušamo prepreciti izgubo energije z izolacijo tako, da skušamo s temperaturo okolice betona cimbolj slediti temperaturi strjujocega se betona, medtem ko pri poladiabatnem poskusu preizkušanec le izoliramo in racunsko popravimo rezultate tako, da opisujejo adiabatno stanje. Maekawa s sodelavci v delu [41] poda postopek, s katerim lahko hitrost hidratacije dolocimo tudi kot vsoto hitrosti hidratacije posameznih oksidov, ki sestavljajo cement, in mineralnih dodatkov. Na ta nacin lahko hitrost sprošcanja hidratacijske toplote v adiabatnih pogojih dolocimo brez eksperimenta, le na podlagi podatkov o sestavi betona, kar je uporabno predvsem pri nacrtovanju betonske mešanice, ko bi radi preverili obnašanje vec razlicnih betonov. Podobno lahko adiabatni potek hidratacije brez dodatnega eksperimenta dolocimo z nevronskimi mrezami [48], ki na podlagi njene sestave dolocšijo obnasšanje nove betonske mesšanice iz rezultatov adiabatnih poskusov za betonske mešanice s podobnimi sestavami. Ker se pri strjevanju betona na gradbišcu del toplote izgublja, se adiabatno krivuljo popravi z Arrhe-niusovo zrelostno funkcijo [14, 32, 41, 49]. Hidratacijska reakcija se zaustavi, ce zacne primanjkovati cementa ali vode. Ker pri sodobnih betonih z nizkim vodocementnim faktorjem praviloma prej zmanjka voda, na hitrost sprošcanja hidratacijske toplote vpliva tudi relativna vlaznost zraka v porah betona. To vecina avtorjev zanemari, primera objav, kjer je relativna vlaznost upoštevana, pa sta [25, 41]. Pri hidrataciji cementa se povecuje delez trdne snovi, zato pa se spreminjajo tudi fizikalne lastnosti betona, najbolj trdnost, elasticni modul, poroznost in prepustnost [14, 15, 25]. Odvisnost poroznosti od poteka hidratacije je opisana s Powersovim modelom [11,37] ali pa z empiricnimi formulami [28]. Vpliv stopnje hidratacije na prepustnost je opisan v delu [28], njen vpliv na trdnost in elasticni modul betona pa je podan z empiricnimi zvezami na podlagi eksperimentalnih rezultatov v delih [14, 20]. Na obnašanje betona mocno vplivajo tudi sorpcijske izoterme, ki povezujejo kolicino vode v betonu z relativno vlaznostjo zraka v njegovih porah. Nekateri to zvezo dolocijo v odvisnosti od lastnosti betonske mešanice [18, 33], drugi pa z eksperimentom [4]. V obeh primerih je zveza dolocena za beton, v katerem je hidratacija ze potekla. V delu [40] je kolicina vode v betonu odvisna od poteka hidratacije in ne od relativne vlaznosti betona. Vecina avtorjev povezuje deformacije betona s totalnimi napetostmi [14, 15, 32, 33], Lewis in Schrefler pa sta v delu [39] na podlagi Terzaghijeve teorije deformacije poroznih snovi povezala z efektivnimi napetostmi, ki so razlika med totalnimi napetostmi in povprecno napetostjo tekocine v porah. Princip efektivnih napetosti ima za posledico samodejno upoštevanje krcenja kot posledice izsuševanja, saj se zaradi zmanjšanja relativne vlaznosti v porah poveca kapilarni tlak, kar poveca pritisk tekocine na skelet in s tem povzroci njegovo krcenje. Ostali avtorji krcenje zaradi sušenja betona upoštevajo kot dodatno deformacijo, odvisno od spremembe vlaznosti, ali pa ga zanemarijo in upoštevajo le avtogeno krcenje. Lezenje pomembno prispeva k deformacijam v betonu, zato ga vsi avtorji upoštevajo, vendar na razlicen nacin. Pogosto je uporabljen Bazantov model, kot na primer v delih [15, 26]. Casovno odvisnost lezenja v teoriji strjevanja [8, 9] razlaga s spreminjanjem sestave betona zaradi njegove hidratacije. Ce naj to drzi, bi moralo biti lezenje po enem letu, ko se zakljuci hidratacija cementa, koncano, kar pa ni res, saj se nadaljuje še vec let. Zato je veriga Kelvinovih ali Maxwellovih elementov, ki opisujejo lezenje po tej teoriji, dopolnjena z dodatnim elementom zaradi relaksacije mikroprednapetosti [6, 7]. Te napetosti nastanejo v betonu zaradi velike kolicine por zelo majhnega premera, v katerih se ob visoki relativni vlaznosti na zacetku strjevanja betona razvije visok vodni tlak, ki ga te napetosti uravnotezijo. Sprošcajo se še vrsto let, njihovo sprošcanje pa pospeši povišana temperatura ali pa povecana natezna napetost. V nasprotju s tem modelom Gawin s sodelavci [26] lezenje poveze z efektivnimi napetostmi, kar Bazantov model dopolni tako, da upošteva tudi vpliv sušenja na lezenje, s cimer dobi boljše ujemanje z eksperimentalnimi rezultati. 1.3 Vsebina dela Doktorska disertacija je razdeljena na dva dela. V prvem delu prikazujemo raCunski model, s katerim rešujemo popolnoma povezan problem prenašanja vode, vlaznega zraka, toplote in napetosti po svezem betonu. Osnovne enaCbe, ki so na podlagi modela poroznega materiala, ki sta ga razvila Lewis in Schre-fler [39], v delu [25] prilagojene za svezi beton, so dopolnjene s konstitucijskimi zakoni. Opisano je numericšno resševanje dobljenega nelinearnega sistema diferencialnih enacšb z metodo koncšnih elementov. Po prikazanem numeriCnem postopku smo pripravili program PreTeDis v programskem okolju Matlab. Poglavje zakljuCujejo numeriCni primeri, s katerimi numeriCne rezultate primerjamo z eksperimentalnimi, ter primerjava reševanja popolnoma povezanega problema z dvofaznim postopkom, v katerem najprej rešujemo problem prevajanja toplote in vlage, nato pa na osnovi teh rezultatov izraCunamo pomike. V drugem delu disertacije je prikazana toplotna analiza betona, pri kateri zanemarimo vpliv vlaznosti in deformacij betona na njegovo temperaturo in hidratacijo cementa. Osnovno enaCbo prevajanja toplote rešujemo z metodo konCnih elementov s programom TeEx, ki smo ga pripravili v programskem okolju Matlab. Prikazujemo doloCitev sprošCanja hidratacijske toplote v adiabatnih pogojih s poladiabatnim poskusom in z nevronsko mrezo. Poleg moznosti doloCitve adiabatne krivulje z nevronsko mrezo je program TeEx dopolnjen še z moznostjo modeliranja osonCenja vodoravne površine in z moznostjo modeliranja postopne gradnje. Na koncu je prikazan še naCin modeliranja vpliva temperature na razpored temperatur v betonu. TeoretiCna razlaga je dopolnjena s primeri, v katerih primerjamo eksperimentalne rezultate z numeriCnimi. 2 POVEZAN PROBLEM PRENAŠANJA VODE, VLAŽNEGA ZRAKA IN TOPLOTE Z MEHANSKO ANALIZO V SVEZEM BETONU Beton je kompozitni material, ki na vseh nivojih, od velikosti nekaj nanometrov do nekaj centimetrov, izkazuje slucajno strukturo, prikazano na sliki 2.1 [23]. Zgornji sliki sta posneti z opticnim mikroskopom in sta v manjšem merilu - razmik med crnima crticama na ravnilih na dnu slik znaša 1 mm. Na zgornji levi sliki jasno vidimo razlicno velika zrna agregata in zmes, ki jih obdaja in je sestavljena iz finih zrn agregata in cementne paste (zgornja desna slika na sliki (2.1)). Majhne crne lise na tej sliki so zrna cementa, ki še niso hidratizirala. Podobna zrna so na spodnji desni sliki, ki je posneta z elektronskim mikroskopom in je v še večjem merilu, bele barve. Premer največjega zrna na sliki je 10 ^m. Predeli sive barve so razlicšni hidratacijski produkti, ki skupaj z agregatnimi zrni tvorijo trdno fazo v sestavi cementnih materialov. Cš rne lise so kapilarne pore, ki prepredajo vso cementno pasto in predstavljajo kanale, po katerih potuje voda, zrak, pa tudi druge snovi. Slika spodaj desno je povecava glavnega hidratacijskega produkta - CSH gela. Dolzina slike je priblizno 100 nm, na njej pa vidimo, da so v betonu tudi zelo drobne pore, ki jih imenujemo gelske pore. Slika 2.1: Sestava betona [23]. Figure 2.1: The composition of concrete [23]. To kompleksno strukturo betona raziskovalci navadno opišejo z modelom, pri katerem je beton porozni material, sestavljen iz trdnega skeleta (v nadaljevanju oznacšen kot s) in kapilarnih por. Le-to so pore, vecje od 0.01 ^m [6], napolnjene s prosto (tudi kapilarno ali nevezano) vodo (oznaka w) in vlaznim zrakom (oznaka g), ki je zmes suhega zraka (oznaka ga) in vodne pare (oznaka gw). Trdni skelet je sestavljen iz agregata, hidratacijskih produktov in kemijsko vezane vode, pa tudi iz drobnih gelskih por, v katerih je fizikalno vezana ali absorbirana voda. Ta voda v nasprotju s kapilarno vodo ni na razpolago za hidratacijo cementa - da lahko hidratacija cementa sploh poteka, mora biti v betonu vsaj nekaj proste vode. Zaradi hidratacije ali spreminjanja vlaznosti betona se delezi posameznih komponent betona spreminjajo, kot je prikazano na sliki 2.2. suh zrak vodna para a v eelskih pora agregat ^hydr 1 — kapilarne pore — trdni skelet Slika 2.2: Model sestave betona in prikaz njenega spreminjanja zaradi hidratacije (rhydr pomeni stopnjo hidratacije, ki ima vrednost 0 ob zacetku in 1 ob koncu hidratacije). Figure 2.2: Model of concrete's composition and its changing due to hydration of cement (rhydr denotes hydration degree which is 0 at the beginning and 1 at the end of the hydration process). Prikazan model poroznega materiala sta razvila Lewis in Schrefler [39] na osnovi teorije o hibridni mešanici [29, 30, 31]. V delu [27] je bil model prilagojen za beton, izpostavljen pozaru, v delu [25] pa za svezi beton, v katerem poteka hidratacija. V prvem razdelku tega poglavja je prikazana izpeljava osnovnih enacb termodinamike, ki jih s kon-stitucijskimi zakoni v drugem razdelku izrazimo z osnovnimi spremeljivkami. V tretjem razdelku je prikazano reševanje tako dobljenega sistema enacb z numericnimi metodami, v cetrtem pa vse to ilustrira nekaj numericšnih primerov. Na koncu prikazujemo sše primerjamo med resševanjem popolnoma povezanega problema z dvofaznim postopkom, kjer najprej racunamo povezan problem prevajanja vode in temperature, nato pa še pomike. 2.1 Osnovne enacbe termodinamike Beton je torej vecfazni material, ki ga sestavljajo trdna, tekoca in plinasta faza. Termo-hidro-mehanski model betona sestavljajo enacbe o ohranitvi mase za vse sestavne dele betona, enacba o ohranitvi energije in enacšba o mehanskem ravnotezšju. V tem razdelku je prikazana izpeljava osnovnih enacb termodinamike iz makroskopske oblike, ki je izpeljana iz mikroskopske [39]. Na koncu razdelka je prikazan sistem osnovnih enacb, izbrane pa so tudi osnovne spremenljivke sistema. Ker ni upoštevano zmrzovanje in izparevanje vode, vse enacbe veljajo na obmocju med ledišcem in vrelisšcšem vode. 2.1.1 Enacbe o ohranitvi mase Splošna makroskopska oblika enacbe o ohranitvi mase za sestavni del n je [39]: DD pn D t + Pn divvn = Pn en (Pn ), (2.1) kjer je pn navidezna gostota, vn hitrost in pnen (p) prostorninski vir mase sestavnega dela n. Navidezno gostoto sestavnega dela n pn lahko izrazimo z dejansko gostoto sestavnega dela n pn kot: pn = npp, (2.2) kjer je volumski delez sestavnega dela n. Razlika med navidezno in dejansko gostoto sestavnega dela materiala je ilustrirana s primerom betonske mešanice v preglednici 2.1. Preglednica 2.1: Razlika med navidezno pn in dejansko gostoto pn na primeru nesestavljenih (agregat, cement, voda) in sestavljenih materialov (beton). Table 2.1: Difference between the apparent pn and intrinsic density pn on the example of monolithic (aggregate, cement, water) and composite materials (concrete). Material shematski prikaz sestavina pn [kg/m3] pn [kg/m3] agregat agregat agregat (agg) pagg = 2400 nagg = 1 pagg = 2400 cement cement cement (cem) pcem = 3100 ncem = 1 pcem = 3100 voda voda voda (w) pw = 1000 nw = 1 pw = 1000 beton agregat c.HrriHnl vnda agregat (agg) cement (cem) voda (w) skupaj pagg = 2400 nagg = 0.75 pagg = 1800 pcem = 3100 ncem = 0.1 pcem = 310 pw = 1000 nw = 0.15 pw = 150 peff = pagg + pcem + pw = 2260 Oznaka D pomeni materialni odvod glede na premikanje delca, ki pripada sestavnemu delu n. Definiran je kot: w = w +v'grad^. (23) Enacba o ohranitvi mase za trdni skelet Prvi sestavni del betona je trdni skelet, ki ga sestavljajo agregat, cementna zrna in vezana voda. Ce je phydr prostorninska masa vode, ki se porabi pri hidrataciji cementa in predstavlja vir mase skeleta, ima za skelet enaCba o ohranitvi mase (2.1) obliko: s ^Dt + Psdivvs = /?hydr. (2.4) Z n oznaCimo poroznost betona, ki je definirana kot volumski delez kapilarnih por. Volumski delez skeleta ns lahko tako izrazimo kot (1 — n) in z enaCbo (2.2) lahko izrazimo navidezno gostoto betonskega skeleta kot: Ps = (1 — n)ps. (2.5) EnaCbo (2.4) lahko sedaj preoblikujemo kot: 1 — n 15 P — DDn + (i — n)divvs = ^. (2.6) Ps D t Dt p Enacba o ohranitvi mase za tekoco vodo Drugi sestavni del betona je voda v tekoCem agregatnem stanju, to je prosta, nevezana voda. Njena koliCina se zmanjšuje zaradi hidratacije in zaradi izparevanja. Ce oznaCimo prostorninsko maso vodne pare z pvap, dobi enaCba o ohranitvi mase za tekoCo vodo naslednjo obliko: w DPw A' w Dt + Pwdivv = — Phydr — /Pvap. (2.7) Hitrost tekoCe vode vw lahko napišemo kot vsoto vs + vws, kjer je vws relativna hitrost tekoCe vode glede na trdni skelet. Tako lahko ob upoštevanju definicije materialnega odvoda (2.3) enaCbo (2.7) preoblikujemo najprej v: s DPw | _ J- /„.s I „,ws Dt in nato v: + vwsgradpw + Pwdiv(vs + vws) = —/Phydr — /Pvap (2.8) ^ + div(pwvws) + Pwdiv(vs) = —/Phydr — /Pvap (2.9) S Sw oznaCimo stopnjo zasiCenosti por z vodo in z enaCbo (2.2) lahko navidezno gostoto tekoCe vode izrazimo kot: Pw = nSwPw. (2.10) s Iz enaCbe o ohranitvi mase za trdni skelet (2.6) izrazimo Df in vstavimo v enaCbo o ohranitvi mase tekoCe vode (2.9). Ob upoštevanju enaCbe (2.10) dobimo: (1 — n) Dps n Dpw n DSw s 1 , „ w +—+ TT" TTT + divvs + —— div (nSwPwvws) = Ps Dt Pw Dt Sw Dt SwPw PPhydr P^vap + PPhydr (2.11) SwPw Ps Enacba o ohranitvi mase za suh zrak Tretji sestavni del betona je suh zrak. Ker nima nobenih ponorov ali virov mase, ima enaCba o ohranitvi njegove mase obliko: ga Dpp + Pgadivvga = 0. (2.12) Suh zrak tvori skupaj z vodno paro mešanico plinov, v kateri se plina zaradi difuzije mešata, zato imajo delci plina eden glede na drugega neko hitrost, ki jo imenujemo difuzna hitrost. Difuzno hitrost suhega zraka v zraku oznacimo uga, difuzno hitrost vodne pare v zraku pa ugw. Poleg tega se plinska zmes kot celota premika s hitrostjo tezišca vg. Kot je prikazano na sliki 2.3, je hitrost delca zraka, ki pripada sestavini zmesi n, vsota obeh hitrosti: vgn = vg + ugn. (2.13) Slika 2.3: Hitrost delca plina v področju mešanja vodne pare in suhega zraka. Figure 2.3: Velocity of a small part of gas in the area where water vapour and dry air mix. Ce ob enacbi (2.13) upoštevamo še definicijo materialnega odvoda (2.3), dobi enacba (2.12) obliko: D Pg D t + div(pgauga) + Pgadivvg = 0, (2.14) pri cemer lahko Pgauga oznacimo z Jga, ki pomeni difuzni masni tok molekul suhega zraka v celotnem zraku. Ce napišemo hitrost zraka vg kot vsoto vs + vgs, kjer je vgs relativna hitrost zraka glede na trdni skelet, ob ponovnem upoštevanju enacbe (2.3) enacbo (2.14) napišemo kot: s DPp + div(pgavgs) + divJf + Pgadivvs = 0. (2.15) Cš e navidezno gostoto suhega zraka izrazimo z dejansko kot Pga = n( 1 - Sw)pga (2.16) in v enacbo (2.15) vstavimo masno enacbo za trdni skelet (2.6), dobimo: & & & (1 - n) Dps n Dpga n DSw s 1 ^ Tsa +---^--^-^—^ + divvs + --—-divJ da+ ps D t Pga D t 1 - Sw D t (1 - Sw)pga (2 17) 1 Ai^f^f-i a _ /phydr . div (n(1 - Sw)pgavgs) = (1 - Sw)pg* Ps Enačba o ohranitvi mase za vodno paro Za zadnji sestavni del betona, vodno paro, katere edini vir je izparevanje, ima enacba o ohranitvi mase obliko: gw DDp + Pgwdivvgw = pvap. (2.18) Ce v to enacbo vstavimo masno enacbo za trdni skelet (2.6), dobimo na enak nacin kot za suh zrak enacbo: (1 - n) Dps n Dpgw n DSw s 1 7gw ps Dt + pgw Dt - 1 - Sw Dt + + (1 - Sw)pgwdiv d + (2 19) 1 c Pvap , pPhydr -div (n(1 - Sw)pgwvgs) = ow + (1 - Sw)pgw ^ y (1 - Sw)pgw P kjer je Jgw difuzni masni tok molekul vodne pare v celotnem zraku. 2.1.2 Enacba o ohranitvi energije Potem ko smo zanemarili clene, ki se nanašajo na sipanje viskozne energije in mehansko delo, ki ga povzrocajo spremembe gostote in spremembe delezev posameznih sestavnih delov betona, ima enacba o ohranitvi energije za n-ti sestavni del betona obliko [39]: D T n PnCp^~Df = Pn- divqn + PnRH - Pnen(p)Hn, (2.20) kjer je Cpn specificna toplota, Tn temperatura, Pn volumski vir toplote, qn toplotni tok in Hn specificna izparilna toplota sestavnega dela n. Clen PnRH predstavlja izmenjavo energije med sestavnimi deli betona, zato za vse sestavne dele betona v neki tocki velja: ^ Pn RH = 0. (2.21) TT Poleg tega predpostavimo, da v vsaki tocki obstaja lokalno termodinamicno ravnovesje, kar pomeni tudi, da je temperatura posameznih sestavnih delov v doloceni tocki enaka, to je Ts = Tw = Tg = T. Ce predpostavimo še, da je celotni toplotni tok enak vsoti toplotnih tokov po posameznih sestavnih delih q = qs + qw + qg, upoštevamo definicijo materialnega odvoda (2.3), izrazimo navidezne gostote z dejanskimi (2.5, 2.10 in 2.16) in napišemo enacbo o ohranitvi energije za beton kot vsoto enacb njenih sestavnih delov (2.20), dobimo: D T (pCp)eff — + (nSwPwCpwvws + n( 1 - Sw)pgCgvgs) gradT + divq = (2 22) phydrAHhydr pvap AHvap, kjer je AHhydr specificna hidratacijska toplota, AHvap specificna izparilna toplota vode, pvap prostornin-ska mase izparjene vode, toplotna kapaciteta (pCp)eff pa je definirana kot: (pCp)eff = (1 - n)psCp + nSwPwCW + n(1 - Sw)pgCg. (2.23) 2.1.3 Ravnotežna enacba Podobno kot enacbo o ohranitvi energije tudi ravnotezno enacbo dobimo tako, da seštejemo ravnotezne enacbe za vse sestavne dele betona. Ko zanemarimo vztrajnostne sile, ima ravnotezna enacba za beton obliko [39]: diva + pg = 0, (2.24) kjer je a tenzor napetosti, g teznostni pospešek in p gostota betona, ki jo izracunamo kot vsoto navideznih gostot njegovih sestavnih delov: p = Ps + Pw + Pg = (1 - n)ps + nSwpw + n(1 - Sw)pg. (2.25) 2.1.4 Sistem osnovnih enacb termodinamike Ker smo enacbo o ohranitvi mase za trdni skelet vstavili v enacbe o ohranitvi mase za tekoco vodo, suh zrak in vodno paro, imamo tri enacbe o ohranitvi mase (2.11, 2.17 in 2.19), enacbo o ohranitvi energije (2.22) in ravnotezno enacbo (2.24), ki jo sestavlja toliko enacb, kolikor dimenzij ima obravnavani problem. Sedaj iz enacbe o ohranitvi mase za tekoco vodo (2.11) izrazimo pvap in ga vstavimo v enacbo o ohranitvi mase za vodno paro (2.19) in v enacbo o ohranitvi energije (2.22). Tako dobimo sistem treh enodimen- zijskih in ene vecdimenzijske enacbe: (1 - n)(1 - ^ DPs + n(1 - sw)D£ - npfDDSw + (1 _ Sw)p8-d,vvs + ps Dt 7 D t r D t div (Jda) + div (n( 1 - Sw)pgavgs) = (1 - Sw)pgaPhydr, (1 - n)((1 - sw)pgw + SwPw) DPs + nSwDpw + n(1 - Sw)Dp!w + n(pw - Pgw)^ + ps Dt Dt Dt ' Dt (pwSw + Pgw(1 - Sw))divvs + div (Jdw) + div (n(1 - Sw)pgwvgs) + w Swpw + (1 - Sw)pgw - ps w ws w - w -div (nSwpwVws) = -s-pPhydr (2.26) DT (pCp)effDt + (nSwpwCpwvws + n(1 - Sw)p8C|v8s) gradT + divq - pwSwdivvsAHvap- f (1 - n)Swpw Dps „ Dpw\ TT DSw TT {-P-~Dt + ^ DT) aHv"P - AHvap- Swpw - ps div (nSwpwVws) AHvap = phydrAHhydr--w-s-AHvap, p div^ + pg = 0. 2.1.5 Osnovne spremenljivke Izbira vektorja pomikov u, temperature T in zracnega tlaka je razumljiva in obicajna, tezje pa je izbrati osnovno spremenljivko, s katero bomo opisali stanje tekoce vode in vodne pare. V ta namen bi lahko uporabili razlicne kolicine, na primer relativno vlaznost, parni tlak, stopnjo zasicenosti por z vodo ali pa kapilarni tlak. Relativno vlaznost je sicer najlazje meriti, vendar pa njena uporaba povzroci numericne tezave pri stanju, ko so pore skoraj popolnoma napolnjene z vodo [25]. Podobno se zgodi, ce izberemo parni tlak. Gawin s sodelavci [25, 27] je za osnovno spremenljivko izbral kapilarni tlak pc, s cimer je dosegel dobro numericno stabilnost modela. Poleg tega je kapilarni tlak neposredno povezan z napetostnim stanjem betona. Za ravnovesno stanje kapilarne vode in vodne pare v porah velja Kelvinov zakon: in ( ^) = -1- , (2.27) Vpgws/ pw RT K ' kjer je pgws zasicen vodni tlak, Mw molska masa vode in R splošna plinska konstanta. Ce v porah ni vode, lahko definiramo vodni potencial kot = RT in ( pw) . (2.28) c Mw Vp8ws J Ce primerjamo enacbi (2.27) in (2.28), lahko formalno definiramo kapilarni tlak tudi za stanje, ko v porah ni vode kot pc = -^cpw. Tako je kapilarni tlak pc definiran po vsem območju vlaznosti in ga lahko izberemo za osnovno spremenljivko. 22.22 Konstitucijski zakoni V prejšnj em poglavju smo predstavili osnovne enaCbe termodinamike in izbrali njihove osnovne spremenljivke. Te so z ostalimi koliCinami, ki v njih nastopajo, povezane preko konstitucijskih zakonov, predstavljemh v tem poglavju po med seboj povezanih podroajih. 2.2.1 Hidratacija cementa Hidratacija cementa je kemijska reakcija, pri kateri cementna zrna reagirajo z vodo in tako skupaj z betonskim agregatom tvorijo trdno fazo v strukturi materiala. Pri njenem poteku se sprošc ahidratacijska toplota, ki jo med drugim lahko izmerimo z adiabatnim ali poladiabatnim poskusom. Koncni rezultat obeh poskusov je adiabatna krivulja, s katero opišemo narašcanje temperature betona zaradi hidratacije cementa v popolnoma izoliranih, to je adiabatnih pogojih. Na sliki 2.4 vidimo, da se hidratacijska toplota ne sprošca enakomerno, ampak zacetni umirjeni fazi (oznaki 1 in 2) sledi obdobje intenzivne hidjajacije (oznaka 3), po kaierem hidratacija potoka vedno pocasneje (oznaki 4 in 5). Slika 2.4: Faze hidratacijskegaprocesa [48, 45]. Figure 2.4: Stages during the hydration process [48, 45]. Stopnjo hidratacije rhydr lahko definiramo na vec nacinov. Tu jo bomo opredelili kot razmerje med prostorninsko maso hidratirane (kemijsko vezane) vode phydr in prostorninsko maso kemijsko vezane vode po koncani hidrataciji pg^.. Ce predpostavimo, da je specificna hidratacijska toplota konstanta med celotnim procesom hidratacije, lahko stopnjo hidratacije izrazimo tudi kot razmerje med toploto, sprošceno zaradi hidratacije v nekem trenutku Qhydr, in celotno hidratacijsko toploto Q^dr: rh d — Phydr _ PhydrAHhydr _ Qhydr (2 29) phydr phydrAHhydr Qtydr pri cemer lahko casovni odvod hidratacijske toplote betona v primeru, ko se njegova temperatura spreminja le zaradi hidratacije, izrazimo kot: Qhydr _ (pCp)effT. (2.30) Cš e predpostavimo, da je toplotna kapaciteta pri adiabatnem poskusu konstantna, lahko cšasovni odvod stopnje hidratacije v adiabatnih pogojih izrazimo kot: rhydr Tad _Tad ' (2.31) T 0 kjer s Tad oznacimo eksperimentalno dolocen potek adiabatne krivulje, s Th koncno (najvišjo) temperaturo adiabatne krivulje in s Tgd zacetno temperaturo adiabatne krivulje. Ker v naravi ne moremo doseci popolnoma izoliranega stanja, ki ga opisuje adiabatna krivulja, sprošcanje toplote popravimo z zrelostno funkcijo [14, 25]. Ta opiše dejstvo, da kemijska reakcija ob višji temperaturi reaktantov poteka hitreje kot ob nizji. V tem modelu smo uporabili Arrheniusovo zrelostno funkcijo [14, 25]. Za casovni odvod stopnje hidratacije tako velja: Tad I Ea \ / Ea T ad rhydr _ Tad - Tad exp I R (PCp)ad Tad 1 exp - RT ) , (2.32) h \ (PCp)eff ) ' kjer je Ea aktivacijska energija. Za poenostavitev numericšnega racšuna eksperimentalno dolocšeno adiabatno krivuljo aproksimiramo z matematicno funkcijo. V delu [2] je adiabatna krivulja modelirana s funkcijo sigmoidne oblike: Tad — aa + baexp (-(ca/t)da), (2.33) kjer so aa, ba, ca in da materialni parametri, doloceni iz rezultatov adiabatnega poskusa po metodi najmanjših kvadratov. V delu [14] sta z matematicno funkcijo Ar aproksimirana prva dva faktorja enacbe (2.32): Ar — Al (A2/km + Kh>rhydr) (1 - rhydr) exp(-^rhydr), (2.34) pri cemer so A1, A2 in n parametri, doloceni iz adiabatne krivulje, Kh pa je razmerje med koncno kolicino vode, ki reagira, in teoreticno kolicino vode, ki bi reagirala, ce se bi v reakciji porabil ves cement. Dolocimo ga po enacbi [14]: - 1.°31W/C (2.35) h 0.194 + w/c kjer je w/c vodocementno razmerje Na hitrost hidratacije cementa pa ne vplivata le adiabatna krivulja betonske mešanice in njena dejanska temperatura, ampak tudi koliCina vlage v betonu. Ta je odvisna od relativne vlaznosti zraka v porah pgw/pgws, njen vpliv pa zajamemo z izrazom (ah je materialni parameter): 4/1 P gw 4 -1 ßf = ^ + «4^1 — 1 > (2.36) s katerim pomnozimo enaCbo (2.32). Stopnjo hidratacije z upoštevanjem vpliva vlaznosti tako izraCunamo kot: rhydr = Arßf exp f—. (2.37) Da bi lahko iz enaCbe (2.29) izraCunali phydr, potrebujemo prostorninsko maso kemijsko vezane vode ob konCani hidrataciji p0°dr. Ce imamo v betonski mešanici dovolj vode, da reagira ves cement, potem se na 100 g cementa CEM I veze 39.3 g vode [11]. Ker v betonski mešanici obiCajno ni dovolj vode in del cementa ostane nepovezan, moramo to vrednost pomnoziti s faktorjem ko (2.35). Ce z Pcem oznaCimo maso cementa v kubiCnem metru betona, lahko />hydr izraCunamo po enaCbi: /hydr = Phydr-^ hydr = 0.23K^Pcem!^hydr. (2.38) Iz enaCb (2.29, 2.30, 2.38) lahko specifiCno hidratacijsko toploto izraCunamo kot: . tt (pcp) too A^hydr = -po-. (2.39) phydr 2.2.2 Poroznost Poroznost (tudi kapilarna poroznost) je definirana kot volumski delez kapilarnih por v betonu [37]. Z napredovanjem hidratacijske reakcije ima beton vedno gostejšo strukturo in njegova poroznost se manjša. V delu [28] je za poroznost cementne paste ncem predlagan empiriCni izraz: = 1 — 1 + 1.31rhydr. (20) 1 + 3.2w/c Da bi dobili poroznost betona n, moramo poroznost cementne paste pomnoziti z volumskim delezem cementne paste v betonu: n = ncem f ^ + M , (2.41) Vpcem pwy kjer je pcem gostota cementa, pw pa zaCetna masa vode v kubiCnem metru betona. 2.2.3 Gostote, tlaki in molske mase Gostota tekoCe vode je odvisna od njene temperature. To odvisnost lahko opišemo z linearno enaCbo: pw = pw0 (1 — ßwT), (2.42) kjer pw0 = 999.84 kg/m3 gostota vode pri 0°C, T je temperatura v °C, ßw = 207 ■ 10-6/°C pa je koeficient toplotnega raztezanja vode. Enacba velja of temperature 0°C naprej, zanemari pa dejstvo, da je gostota vode najvecja pri 4°C. Podobno se gostoto trdnega skeleta v odvisnosti od temperature opišemo z enacbo: ps = ps0 (1 - ßsT), (2.43) kjer je ps0 gostota trdnega skeleta pri 0 °C, ßs pa je koeficient toplotnega raztezanja trdnega skeleta. Kapilarni tlak je definiran kot razlika med tlakom plinaste in tekoce faze [39]. V našem primeru je plinasta faza zracna zmes in je njen tlak pg, tekoca faza pa je voda s tlakom pw. Tako lahko tlak vode v porah zapisšemo kot: pw = pg - pc. (2.44) Zrak v porah obravnavamo kot mešanico dveh idealnih plinov, za katere velja, daje tlak mešanice enak vsoti delnih tlakov njenih sestavin. V obravnavanem primeru je zrak sestavljen iz suhega zraka in vodne pare, zato lahko delni tlak suhega zraka pga izracunamo po enacbi: pga = pg - pgw, (2.45) kjer je pgw delni tlak vodne pare (tudi parni tlak). Izracunamo ga s Kelvinovim zakonom pgw = pgws exp (- — „ .. } , (2.46) pw R(T + 273) pri cemer je Mw = 18 kg/kmol molska masa vode, R = 8314.47 J/K/kmol splošna plinska konstanta in pgws zasicen vodni tlak, ki ga izracunamo po empiricni enacbi: 7.5 T pgws = 618.8710- T+237, (2.47) kjer je tlak v Pa. Ker zrak obravnavamo kot idealni plin, lahko tudi njegovo gostoto izracunamo kot vsoto njegovih sestavnih delov, to je pg = pga + pgw. Gostoto n-tega plina izracunamo po enacbi: pn = , M\ . (2.48) p (T + 273)R V ' Molsko maso zraka Mg dobimo iz enacšbe: ( pgw pga \-1 Mg H + , (2.49) g VpgMw pg M J , V ; kjer je Ma = 29 kg/kmol molska masa suhega zraka. 2.2.4 Sorpcijske izoterme Sorpcijske izoterme opisujejo zvezo med kolicino vode v betonu in relativno vlaznostjo zraka v porah. Gawin s sodelavci [25] je za njen opis uporabil enacbo, ki jo je predlagal Baroghel-Bouny s sodelavci [4]: / ( pc \bs/(bs-1)\ -1/bs Sw = a) , (2.50) kjer sta as in bs materialna parametra, ki ju moramo eksperimentalno doloCiti za ves razpon temperatur in za vsako betonsko mešanico, ki jo Želimo modelirati. Ker je tak eksperiment teZko izvesti, je Davie s sodelavci [18] predlagal drug izraz: nSw = < ' Pcem (nopl PgM pw V Pcem Pgws ) 1/m pgw A za -Pws < 0.96 a ( Sws) + M Pm) + Ä + d za 0.96 < < 1 n m = 1.04 - (T + 10)2 a Pl = i za pgws 1 (2.51) (T + 10)2 + 22.3(25 + 10)2' kjer je pw zacetna gostota vode in so a, b, c in d parametri, doloceni tako, da je Sw zvezno odvedljiva funkcijapgw/pgws. Ce za premostitev intervala od 96 % do 100 % relativne vlaznosti uporabimo polinom, je lahko stopnja zasicenosti vecja od 1, kar je fizikalno nemogoce in lahko povzroci numericne tezave. Zato smo ta izraz nadomestili z: Sw = 1 — c exp —a 1 1 — pgw/pgw (2.52) kjer so a, b in c parametri, doloceni na nacin, daje Sw zvezno odvedljiva funkcija pgw/pgws. Ta funkcija je taka, da doseze vrednost 1 pri pgw/pgws = 1. 2 2.2.5 Gibanje tekočin Ceprav je struktura betona zelo kompleksna, saj vsebuje tako velike razpoke kot tudi mikropore, lahko povprecni tok tekocin še vedno opišemo z Darcyjevim zakonom: krn k nSnvns =--— (gradpn — png), (2.53) ß kjer n oznacuje bodisi zrak (g) ali vodo (w), Sg je stopnja zasicenosti z zrakom in je 1 — Sw, k je tenzor prepustnosti in je materialna karakteristika, krn in ßn oznacujejo relativno prepustnost in dinamicno viskoznost zraka in tekoce vode ter jih izracunamo po enacbah [24, 33]: krw = VSw)1 — )1 — Sw7")")2, (2.54) krg = — — Sw ^ 1 — Sw//^ , (2.55) ßw = = 0.6612(T + 44.15)-1'562, (2.56) ßg = / pga \ 0,608 = ßgw + (ßga — ßgw) ( ) , (2.57) ßgw = 8.85 ■ 10-6 + 3.53 ■ 10-8T, (2.58) ßga = 17.17 ■ 10-6 + 4.73 ■ 10-8T + 2.22 ■ 10-11T2, (2.59) kjer dinamicno viskoznost ßn merimo v Pa s, m je 1/bs, pri cemer je bs enak 2.27 za navadni in 2.06 za visokotrdni beton [4]. Vpliv razpok, ki nastanejo zaradi velikih nateznih napetosti, na prepustnost v modelu ni uposštevan. Za opis mešanja delcev suhega zraka in vodne pare v zracni mešanici uporabimo Fickov zakon, napisan kot [25,33,39]: Jdw = -PgDgwgrad (^ , (2.60) kjer je Dgw efektivni difuzijski tenzor vodne pare v zraku, ki ga izracunamo z izrazom [4, 33]: d i-5 (T + 273)2.072 S_ pg T2 Dgw = Dga = n(1 - Sw)1.87 ■ 10-5 --ö, (2.61) pri cemer sta ö = 0.5 in t = 3 koeficienta, s katerima upoštevamo vpliv ukrivljenost in zozanja por v betonu. 2.2.6 Prevajanje toplote V enacbi (2.23) nastopajo specificne toplote suhega zraka, vode in vodne pare. Doloamo jih v skladu z literaturo [19, 33] po naslednjih enacbah (specificna toplota je v J/kg/°C): Cga = a(T + 273)3 + b(T + 273)2 + c(T + 273) + d, (2.62) kjer so vrednosti parametrov enake: a = -9.8494 ■ 10-8, b = 3.5644 ■ 10-4, c = -1.2162 ■ 10-1 in d = 1.0125 ■ 103, enacba pa velja od -70°C do 1730°C, Cgw = 7.1399(T + 273) - 443 +( a(T + 273A , (2.63) 513.15 kjer sta a = 1.1377 in b = 29.444, enacba velja od 20°C do 2730°C, Cp0 = 2.4768(T + 273) + 3368.2 + ^^ , (2.64) kjer sta a = 1.0854 in b = 31.445, enacba pa velja od 0°C do 100°C, Za specificno izparilno toploto vode AHvap predpostavimo, daje konstantna in ima vrednost 2.26 ■ 106 J/kg. Za opis prevajanja toplote po betonu uporabimo Fourierjev zakon: q = -Aeff gradT, (2.65) pri cemer je Aeff koeficient toplotne prevodnosti in je materialna karakteristika. Beton je izotropen material, zato lahko njegovo toplotno prevodnost opišemo s skalarjem, medtem ko je za splošen, anizotropen material toplotna prevodnost tenzor. 2.2.7 Princip efektivnih napetosti in deformacije Beton je sestavljen iz trdnega skeleta in por, ki so napolnjene z zrakom in vodo. Totalne napetosti a, ki so v ravnovesju z zunanjo obtezbo, so vsota napetosti, ki nastanejo v betonskem skeletu (efektivne napetosti) aeff, in tlaka ps, s katerim tekocine v porah pritiskajo na trdni skelet: a = aeff - aps1, (2.66) kjer je I vektor [1 1 1 0 0 0]T. Napetosti a in aeff so pozitivne v nategu, ps pa v tlaku. Vektorji napetosti (in podobno vektorji deformacij) so oblike: a = [ axx ayy azz axy axz ayz ]T. (2.67) Z Biotovo konstanto a upoštevamo deformabilnost betonskega skeleta [27]. Definirana je kot: a = 1 - KM, (2.68) Ks kjer je KM modul stisljivosti poroznega materiala, Ks pa modul stisljivosti trdnega dela betona. Ker je Ks mnogo vecji od KM, lahko predpostavimo, da velja a = 1 [27]. Ce z xws oznacimo delez površine betonskega skeleta, ki je v stiku z vodo, in upoštevamo enacbo (2.44), lahko tlak ps zapišemo kot: ps = (1 - Xws)pg + Xwspw = (1 - Xws)pg + Xws(pg - pc) = pg - Xwspc. (2.69) Da bi zadostili dejstvu, da je beton pri zracnem tlaku neobremenjen, dodamo na desno stran enacbe (2.69) še clen -patm, ki predstavlja zracni tlak v okolici betona. Tako dobimo enacbo: ps = pg - patm - xwspc. (2.70) Ceprav za zemljine obicajno velja predpostavka, da je xws = Sw, pa ta zveza za betone ne drzi, saj imajo velik delez majhnih por in veliko notranjo površino por [26]. Zato je v delu [26] zveza axws(Sw) dolocena na podlagi eksperimentalnih rezultatov, ki jih je Baroghel-Bouny s sodelavci objavil v delu [4]. Ob predpostavki, daje a enak 1, smo to zvezo za beton obicajnih trdnosti aproksimirali z matematicno funkcijo: xws = 0.1759exp (-(^)1'3"). (2.71) Skupno deformacijo betona etot lahko napišemo kot vsoto: etot = ee + ec + et + čc^ (2.72) kjer so ee elasticne deformacije betonskega skeleta, ki jih povzroca tako zunanja obtezba, kot tudi sušenje, ec deformacije zaradi lezenja (te so natancneje opisane v naslednjem razdelku), et deformacije zaradi spremembe temperature in ech deformacije zaradi kemicnega krcenja. V tem modelu zanemarimo deformacije, ki nastanejo zaradi plasticnih deformacij in razpok v betonu. Ce je E trenutni modul elasticnosti betona, odvisen od stopnje hidratacije, potem velja: daeff = E D dče + dE D če (2.73) kjer je D togostna matrika, ki je inverzna podajnostni matriki G. Za tridimenzijsko napetostno stanje ima obliko: D=G 1 1 - v v v 0 0 0 v 1-v v 0 0 0 v v 1 - v 0 0 0 0 0 0 (1 - 2v)/2 0 0 0 0 0 0 (1 - 2v)/2 0 0 0 0 0 0 (1 - 2v)/2 (2.74) pri Čemer je v Poissonov koliCnik. Vpliv stopnje hidratacije na elastični modul betona določimo po enačbi [20, 26]: E(rhydr) = E(1) (rT--5dr) b , (2.75) kjer sta r0ydr in b odvisna od vrste cementa. Za CEM I velja r0ydr = 0.25 in b = 0.26 [20]. Ker so v tem modelu elasticne deformacije sorazmerne z efektivnimi napetostmi, zajamejo tudi krcenje betona zaradi sušenja. Iz enacb (2.66) in (2.70) lahko izrazimo efektivno napetost trdnega skeleta kot: aeff = a + a(pg - patm - xwspc)I. (2.76) Iz te enacbe lahko vidimo, da se tlacna napetost v betonskem skeletu povecuje, ce se povecuje kapilarni tlak, ta pa se povecuje, ce se zmanjšuje relativna vlaznost zraka v porah (2.27), oziroma, ce se beton suši. Ta povecana tlacna napetost povzroci tlacno deformacijo betona, to je njegovo krcenje. Tako je krcenje betona zaradi njegovega sušenja esh zajeto ze v elasticnih deformacijah in ga ni treba dodatno upoštevati [26], lahko pa ga izracunamo po enacbi: a esh = -^X>cI. (2.77) Deformacije zaradi spremembe temperature opišemo z enacbo: det = ßs/3 dT I. (2.78) Ker je prostornina produktov hidratacijske reakcije manjša od prostornine njenih reaktantov, pride do kemicnega krcenja. Predpostavimo, da to krcenje napreduje enako hitro kot hidratacijska reakcija. Ce z ßch oznacimo prostorninski koeficient kemicnega krcenja, ki je materialni parameter in ga lahko dolocimo med strjevanjem neobremenjenega betona konstantne temperature v vodi, lahko deformacijo zaradi kemicnega krcenja napišemo kot: dech = ßch/3 dThydr I. (2.79) Deformacije etot izrazimo s pomiki u kot: etot = fxx eyy čzz Yxy Yyz 7zx JL dx 0 0 JL dy 0 JL dz 0 JL dy 0 JL dx JL dz 0 0 0 JL Ux dz Uy 0 JL _ Uz dy JL dx - Lu. (2.80) V primeru ravninskega stanja ima enacba (2.80) obliko: r _ " JL £xx dx eyy = 0 Yxy JL . dy 0 JL dy JL dx ux U y (2.81) v primeru osnosimetriCnega stanja pa: 0 €rr ^ipip čzz . Yrz d dr 1 o -d d dz 0 d dz JL dr - ur Uz (2.82) 2.2.8 Lezenje Za opis lezenja betona smo uporabili Bazantov model [6, 7], v katerem je deformacija zaradi lezenja sestavljena iz viskoelasticnih deformacij ev in viskoznega tecenja ef: £c = £v + f (2.83) Viskoelasticne deformacije opisujejo lezenje betona, ki se scasoma zmanjšuje zaradi vecje togosti in viskoznosti betona zaradi napredovanja hidratacije. Viskozne deformacije opišejo dejstvo, da se lezenje pri obtezbi enake intenzitete in trajanja, ki pa je na beton nanešena ob njegovih razlicnih starostih, razlikuje, in sicer se z vecjo starostjo betona manjša še vec let, medtem ko se hidratacija po enem letu zakljuci [6]. Element tečenja Kelvinova veriga v a - p/WS h 1 ----- p/WH i E a £f 1 £v i Slika 2.5: Mehanski model lezenja. Figure 2.5: Mechanical model for creep. Enacbe so najprej izpeljane za enoosno in nato posplošene na triosno napetostno stanje. Viskoelasticne deformacije Lezenje betona lahko opišemo s funkcijo lezenja J(t, t'), ki opisuje deformacijo betona pri casu t, pov-zroceno z enotsko napetostjo, ki bremeni beton od casa t' naprej. S principom superpozicije dobimo enacbo: rt ev(t) = f J(t,t')dv(t'). (2.84) J 0 Da sta lahko poenostavila racun lezenja, sta Bazant in Prasannan v delu [8] predlagala, da se staranje betona opiše z vecanjem volumskega deleza strjenega betona v (t), pri tem pa se funkcijo lezenja J (t, t'), ki opisuje lezenje celotnega materiala, nadomesti s funkcijo lezenja $(t—t'), ki opisuje lezenje strjenega dela betona. Hitrost spreminjana viskoelasticne deformacije ev tedaj izrazimo kot: ev(t) = f Š(t — t')dv(t') = ^, (2.85) v (t) J0 v (t) pri cemer je 7 viskoelasticna mikrodeformacija. Predpona mikro- oznacuje dejstvo, daje to deformacija majhnega delca, ki je sestavni del ze strjenega dela betona, ni pa to deformacija betona kot celote. Časovna integracija funkcije lezenja je racunsko zahtevna, saj zahteva, da v vsakem koraku seštejemo prispevke iz vseh predhodnih casovnih korakov. Zato integral v enacbi (2.85) izrazimo kot Dirichletovo vrsto, ki si jo lahko predstavljamo kot Kelvinovo verigo vzmeti in dušilk (slika 2.5), kjer so Eß in nß elasticni modul in viskoznost ^-te enote verige. Če deformacijo ^-tega clena verige oznacimo z 7ß, lahko diferencialne enacbe Kelvinove verige napišemo kot [9]: N Eß Yß + Vßiß = g, Y = E Yß. (2.86) ß=i Ob predpostavki, da se znotraj kratkega casovnega koraka (tk, tk+1) napetost spreminja linearno, dobimo analiticno rešitev enacb (2.86): gfc 1 _ ^ 7k+1 = t- exp(—Ayß) + — (1 — Ayß) + Av, Eß (2.87) At 1 — exp(-AyM) Ayß = —, Aß = - p Ayß pri cemer Ax oznacuje spremembo kolicine x med casovnim korakom, Tß = E pa so zakasnitveni casi. Ob upoštevanju enacb (2.86) in (2.87) spremembo viskoelasticne mikrodeformacije zapišemo kot: N N 1 - A N / nk \ AY = E Yk+1 — t- = Av £ + E(1 — exp(—Ayß)) ( E- — Y-1 . (2.88) ß=i ß=i ß ß=i \ ß / Če ta izraz vstavimo v enacbo (2.85), dobimo: Av „ --k Ar'' E'' kjer je: Aev = — + Ae'', (2.89) 1 1 "1-A E'' vk+i/^ Eß/, (2.90) 1 N f ak \ '' ^(1 — exp(—Ayß)) (e; — Ykß) , (2.91) Ae'' = vk+V2^v fv yß>> yEß ,ß, ß=1 N ^ pri Cemer se izraz k + 1/2 nanaša na vrednost koliCine na sredini Casovnega koraka v logaritemskem merilu, to je pri Casu tk+1/2 = t0 + ((tfc+1 — t0)(tk — t0))1/2. Z enaCbami (2.87) in (2.89 - 2.91) lahko izraCunamo viskoelastiCni del deformacije lezenja, pri Cemer pa moramo poznati volumski delez strjenega betona v (t) in doloCiti koeficiente E, in t, Kelvinove verige. DoloCitev teh prikazujemo v naslednjem razdelku, za volumski delez strjenega betona pa smo enako kot Gawin s sodelavci [26] predpostavili, daje enak stopnji hidratacije: v(t) = Thydr. (2.92) Določitev koeficientov Kelvinove verige Za Kelvinovo verigo z N enotami, je funkcija lezenja doloCena z Dirichletovo vrsto [12]: $(£) = C A,( 1 — exp(—T0), A, = E_, £ = t — t'. (2.93) Funkcijo lezenja betona doloCimo z eksperimentom ali pa z empiriCnimi obrazci iz lastnosti betonske mešanice, nato pa moramo iz nje doloCiti koeficiente Kelvinove verige. Lahko jih doloCimo neposredno iz eksperimentalnih rezultatov z empiriCnimi obrazci, ki pa veljajo le za doloCen tip funkcije lezenja in s tem le za nekatere betone. Poleg tega lahko iz ene eksperimentalno doloCene funkcije lezenja doloCimo veC razliCnih skupin koeficientov, ki jo vsi dovolj dobro opišejo. Da bi se izognili tem tezavam, sta Bazant in Xi [12] predlagala, da obnašanje betona modeliramo z verigo z neskonCno mnogo Kelvinovimi enotami, ki imajo zakasnitvene Case neskonCno blizu skupaj, in tako A, postane zvezni zakasnitveni spekter L*(t). Ce definiramo L(t) = tL*(t), dobimo: $(£) = J L(t) — exp ^—^^ d(lnr). (2.94) Iz funkcije lezenja lahko doloCimo zvezni zakasnitveni spekter L (t ) po formuli [12]: L (t ) = — lim ^T^ $(k)(kT). (2.95) fc^o (k — 1)! Preprost izraz za funkcijo lezenja, ki se dobro prilagaja eksperimentalnim rezultatom, je funkcija oblike [12]: $(£) = q2 ln + () , (2.96) kjer so q2, n in A0 materialni parametri, ki jih doloCimo iz eksperimentalnih rezultatov, lahko pa jih ocenimo po priporoCilih, ki sta jih Bazant in Baweja navedla v delu [5] za betone iz Portland cementa, za katere veljajo naslednje omejitve: 0.35 < w/c < 0.85, 2.5 < a/c < 13.5, 7 3 ~ (2.97) 160 kg/m3 < pcem < 720 kg/m3 in 17 MPa < /c < 70 MPa, pri Cemer je a/c masno razmerje med koliCino agregata in cementa v betonu, /c pa je 28-dnevna pov-preCna tlaCna trdnost betona. Avtorji v [5] predlagajo, da za nekatere spremenljivke privzamemo vrednosti: n = 0.1, A0 = 1 dan, q2 = 185.4 ■ 10-6 p0em /c-0'9, (2.98) kjer je fc v MPa, pcem v kg in q2 v MPa 1. Za funkcijo lezenja (2.96) lahko za k = 3 zakasnitveni spekter (2.95) aproksimiramo kot: _ f -2n2(3r)2n-3(n - 1 - (3t)n) L(T) V (1 + (3t )n)3 + (2 99) n(n - 2)(3t)n-3(n - 1 - (3t)n) - n2(3r)2n-3\ (3t)3 -q2. (1 + (3t )n)2 J 2 Dajo lahko numericno izvrednotimo, integral v funkciji lezenja (2.94) aproksimiramo z vsoto, pri cemer je priporocljivo uporabljati razmik A(logTß) = 1 [12]: = E L(Tß) (1 - exp (-T^)) ln10 A(logTß). (2.100) Z upoštevanjem navedenega priporocila o razmiku zakasnitvenih casov ter s primerjanjem enacb (2.93, 2.100) lahko dolocimo koeficiente Kelvinove verige: Aß = = L(Tß) ln10 A(logTß), Tß+i = 10 Tß. (2.101) Eß Viskozno tecenje Strjujoci se beton je zelo hidrofilen material, kar pomeni, da ima voda v porah minimalno energijo, ce ima cim vecjo površino (ima konkaven meniskus, kot je prikazano na sliki 2.6) in se hoce zato cimbolj razširiti po stenah por v obliki filma z debelino [6]. Ce je beton zasicen z vodo, je enak debelini petih vodnih molekul. Ker pa ima beton ogromno drobnih por, ki imajo premer manjši od velikosti desetih vodnih molekul, je na teh mestih adsorpcija vode na stene por omejena in na steno pore se pojavi tlak, ki jo hoce razširiti. Ta tlak morajo uravnoteziti beton okrog pore in pa vezi (mostovi), ki premešcajo poro. Zato so ti deli betona lokalno podvrzeni visokim napetostim, ki jih imenujemo mikroprednapetosti. Ker so vezi med molekulami, ki premešcajo poro, zelo obremenjene, se pretrzejo, in nato se lahko vzpostavi nova vez s sosednjo molekulo. Vec takih zdrsov se navzven kaze kot tecenje, ki se s casom zmanjšuje, saj postanejo nekatera mesta striznih zdrsov neaktivna. Viskozno tecenje modeliramo z elementom tecenja, ki je zaporedno vezan h Kelvinovi verigi (slika 2.5). (slika 2.5). Hitrost deformiranja takega elementa lahko izrazimo kot [6]: e f (2.102) n(s) kjer je n(S) efektivna viskoznost, S pa je povprecna mikroprednapetost na mestih lezenja. Bazant je v delu [6] predpostavil naslednjo zvezo med viskoznostjo in mikroprednapetostjo: 1 = cp Sp-1, (2.103) n(s) kjer sta c in p materialna parametra. Enacba, ki doloca relaksacijo mikroprednapetosti, ima obliko [6]: C + njš) = (2-104) tekočina ima konkaven meniskus tekočina ima konveksen meniskus Slika 2.6: Shematski prikaz moznih oblik meniskusa tekocine v pori. Figure 2.6: Shematic display of possible forms of meniscus of a liquid in a pore. kjer je Ym mikroprednapetost, ki jo dolocajo kapilarni tlak, natezna napetost in tlak zaradi rasti kristalov. Ker zadnjega zanemarimo [6], velja: Ym = -cih, (2.105) h kjer je h relativna vlaznost zraka v porah, to je h = pgw/pgws, c1 pa je materialni parameter. Ce oznacimo c0 = Cs c p in v enacbo (2.104) vstavimo enacbi (2.103) in (2.105), dobimo: Š + coSp = -cih. (2.106) h Za vrednost p = 2 ima diferencialna enacba (2.106) analiticno rešitev ob predpostavki, daje dlnh/dt konstanten znotraj cšasovnega koraka: Sfc - ci^A(lnh), fc+1 1 + c0SkWAt , ' kjer je: (tan a£)/a£, ce Ah > 0 in a{ > 10-5, _ (tanh a£)/a£, ce Ah < 0 in a{ > 10-5, a{ = ^Jc0c1At|Alnh|. (2.108) 1, Ce A{ < 10-5; Vpliv temperature in visokih napetosti Pri višjih temperaturah se lezenje poveca, njen vpliv pa zajamemo s faktorjem RT, ki ga dolocimo po enacbi [5]: rt = ex» (R (£ - £)) • (2109) kjer je T0 referencna temperatura (T0 = 293 K) in U =0.18 ■ 110p-0.27fc0.54. (2.110) R Pri visokih napetostih pride do nastanka razpok, zato se lezenje še dodatno pospeši. Ta vpliv zajamemo s faktorjem F(a (t)): FMt)) = ^|0, s = . (2.111) Združitev Bažantove teorije lezenja s principom efektivnih napetosti in posplošitev na triosno napetostno stanje Bazant s sodelavci [6, 7, 8, 9] v svoji teoriji lezenje povezuje s totalnimi napetostmi, Gawin s sodelavci [26] pa z efektivnimi napetostmi betonskega skeleta. V skladu z drugim modelom bomo kot napetost, ki povzrocša lezenje, uposštevali efektivno napetost. Do sedaj so bile enacbe v razdelku Lezenje napisane za enoosno napetostno stanje. Ce jih napišemo za splošno, triosno napetostno stanje, in namesto totalne napetosti napišemo efektivno napetost, a postane G^eff, e postane e ... Tako lahko celotni prirastek lezenja med casoma tk in tk+1 Aec (viskoelasticni in viskozni del) izracu-namo iz enacb: GAaeff .. Aec = _+ Ae- 1 _ 1 1 - Aß E« vk+1/2 ^ Eß ' ß=1 ^ AeC = Rt (Tk+1/2)F (^eff'k+1/2) 1 N /Gf \ \ (2.112) vk+IT2 E(1 - exP(-AVß» (GE— - Yß J + 2cSk+1 G^eff,k 1 _ a Yß+1 = Yß exp(-Ayß) + -— (1 - AVß) + —GA^eff, Eß Eß At 1 - exp(-Ayß) AVß = —, Aß =-:-, Tß AVß pricemer Eß izracunamo iz enacbe (2.101), vk+1/2 iz enacbe (2.92), Sk+1 iz enacbe (2.107), RT(Tk+1/2) iz enacbe (2.109) in F(^eff>k+1/2) iz enacbe (2.111). k \ , o„o. G^eff,kAt 2.3 NumeriCno resevanje sistema osnovnih enaCb termodinamike 2.3.1 Sistem osnovnih enaCb termodinamike S konstitucijskimi zakoni, navedenimi v poglavju 2.2 sistem osnovnih enacb termodinamike (2.26) preoblikujemo, da bi ga izrazili z osnovnimi spremenljivkami pg, pc, T in u, ki smo jih izbrali v poglavju 2.1.5. Tako dobimo sistem enacb: n(1 - Sw) M pg - fn(1 - Sw) M ^ + npga^ ) RT V RT dP dPc (n<1 - Sw)M (dT - T) - w - ^ - "X1 - Sw)) T+ (2.113) (1 - Sw)pga divuu - div ^pgDgagrad^ + div pga^ (-gradpg + pgg)^ = pga —— (1 - ^^Phydn P n „ x Mw dpgw w gw, dS^ O ,Mw f dpgw pgw\ "(1 - Sw) RT ^ + "(p - pg ) ^J p + ("(1 - Sw) R^UT - + "(Pw - Pga)^ - ßsPgw(1 - n)(1 - Sw) - (ßs(1 - ") + ßw")pwSjT+ ((1 - Sw)pgw + Swpw) divuu - div (pgDdwgrad^ + (2.114) / kfcrg \ ( kfcm \ div ( pgw—— (-gradpg + pgg)J + div ( pw—— (-gradpg + gradpc + pwg)J = pgw pw ) —~(1 - Sw) + sSw - 1 ) Phydn PS PS) dS / dS \ -npw^ AHvap p)c + f-«pw^ AHvap + (ßs(1 - ") + ßw")pWSwAHvap + pCpf T- c v kkrw ,w SwPwAHvap divuu - div ( pw(-gradpg + gradpc + pwg) j AHvap- rw / kk div (Aeff gradT) + pwCpw i — (-gradpg + gradpc + pwg) ) gradT+ pgCp (kkr (-gradpg + Pgg^ gradT = ^AHhydr - ^Sw - ^ AHvap^ Phydr n(1 - Sw) Mi ^ pg + fn(1 - Sw) Ml-^ ^ + "(pw - pg) dSc) gpc+ (2.115) >w> RT ^ p - ^ - RT dpc ■ -- ^ ' dpc (n - 1)ßsPs - "SwßwPw + "(1 - Sw)+ "(pw - pg)^ gT + diva = (2.116) " (Ps - SwPw - (1 - Sw)pg) g, pri cšemer je odvod napetosti po cšasu a enak: a = E D (l u - čc - ßs/3 I T - č*) + E D (L u - čc - ßs/3 I T - čch) -a I (pg - xwspc - Xwspc) (2.117) To je nelinearen sistem diferencialnih enacb, ki ga dopolnjujejo zacetni in robni pogoji. Na celotnem obravnavanem obmocju Q in na njegovem robu r velja: pg(t = 0)= p0, pc(t = 0)= p0, T (t = 0)= T0, u(t = 0)= u0, (2.118) kjer so p0, p0, T0 in u0 zacetne vrednosti neznank. Na delu robu rj (a = pg,pc, T, u) so definirani Dirichletovi robni pogoji: pg (t)= pg na rg, pc(t)= pc na rd, T (t) = T na rT, u(t) = U na r£, (2.119) na robu rjj (rj U rjj = ra) pa Cauchyjevi robni pogoji: (n(1 - Sw)pgavgs + Jga) ■ n = qga na rg, (nSwPwvws + n(1 - Sw)pgwvgs + Jgw) ■ n = qgw + qw + ßc(pgw - pfW) na r£, 4 \ „„ t^c (2.120) (-nSwPwvwsAHvap - Aeff gradT) ■ n = qt + ac(T - Tx) + eao(T4 - T^) na rc T, a ■ n = t na , kjer je n enotski vektor, ki je pravokoten na površino in kaze proti plinu, ki obkroza obravnavani beton, qn je masni tok faze n, ki vstopa v beton, qt je toplotni tok, in t je obtezba. plw in T^ sta masna koncentracija vodne pare in temperatura dalecš stran od obravnavanega betona. e je emisivnost povrsšine, a je Stefan - Boltzmannova konstanta, ac in ßc pa sta toplotni in masni prestopni koeficient. 2.3.2 Princip virtualnega dela Da bi jih numericno rešili, enacbe (2.113-2.116) skupaj s pripadajocimi robnimi pogoji (2.119-2.120) integriramo po območju veljavnosti, pomnozimo vsako enacbo s svojo virtualno kolicino öa (enacbo (2.113) pomnozimo z öpg, enacbo (2.114) z öpc, enacbo (2.115) z öT in enacbo (2.115) z öu) in seštejemo. öa je virtualna kolicina, ki je enaka nic na rj in poljubna zvezna funkcija na Q in rjj. Sedaj clene oblike fQ diva öb dQ skupaj s cleni oblike fr a ■ n öb dr z uporabo Gaussovega izreka preoblikujemo: / diva öb dQ - a ■ n öb dr = / (div(a öb) - a ■ gradöb) dQ - a ■ n öb dr = •J O JT J O J T (2 121) = - a ■ gradöb dQ. Jo V preoblikovani enacbi (2.113) tako z upoštevanjem Darcyjevega in Fickovega zakona (2.53, 2.60) seštejemo clene: (-div (pgDgagrad^ + div (pga^ (-gradpg + pgg^ öpg dQ -J (Jga + n(1 - Sw)pgavgs) ■ n öpg dr = (2.122) f ( a pga kkrg \ I pgDgagrad--pga-(-gradpg + pgg) ) gradöpg dQ. Jo \ pg ßg ) Podobno preoblikujemo nekatere Clene enaCbe (2.114): pgw J div ^pgDgwgrad^ + div (pgw—kg (—gradpg + pgg)^ bpc dQ + r / kkrw \ div pw — (—gradpg + gradpc + pwg) bpc dQ — w /n V ß J (Jgw + n(1 — Sw)pgwvgs + nSwpwvws) ■ n bpc dr = (2.123) f f Pgw —krg \ jf f pgDgwgrad^ — pgw(—gradpg + pgg)J gradbpc dQ— —km pw-(—gradpg + gradpc + pwg) ) gradbpc dQ. /n V ßw V enaCbi (2.115) se spremenijo Cleni: — j (div (pw-krw (—gradpg + gradpc + pwg^ AHvap + div (AeffgradT)) bT dQ — J — (nSwPwvwsAHap + AeffgradT) ■ n bT dr = (2.124) f / — krw \ in V w (—gradPg + gradpc + pwg) AHvap + AeffgradT J gradbT dQ. V enaCbi (2.116) pa se spremeni le Clen: / div& bu dQ — & ■ n bu dr = — & gradbu dQ. (2.125) Jn Jr Jn 2.3.3 Krajevna integracija Diskretizacijo sistema osnovnih enaCb po prostoru naredimo z metodo konCnih elementov. Uporabimo izoparametriCni element, kar pomeni, da vrednosti neznank v dani toCki in njene koordinate iz vozlišCnih vrednosti neznank oziroma koordinat interpoliramo z istimi oblikovnimi funkcijami, ki so zdruzene v vektorju N = [N1 N2 ■ ■ ■ Nnv ], kjer je nv število vozlišC elementa [17]: pg = Npg, pc = Npc, T = NT, m = Nu j, x = N®,, (2.126) kjer je m vrednost pomika v i-ti smeri, je i-ta koordinata opazovane toCke, pg, pc, T, U, in X, pa so vozlišCne vrednosti zraCnega in kapilarnega tlaka, temperature, pomika v i-ti smeri in i-te koordinate (i = x, y, z). Sistem enaCb (2.113 - 2.116) skupaj s pripadajoCimi robnimi pogoji (2.119 - 2.120) lahko sedaj uredimo v matriCno obliko: C99 C9c C9t C 9Ux C 9Uy C9Uz ' p 0 Ccc Cct C cUx CcUy CcUz P C 0 C tc Ctt C tUx CtUy CtUz TT + C Ux 9 C uxc C uxt Cuxux CUxUy C Ux U, u x CUy 9 C uy c Cuyt C Uy Ux C Uy Uy C Uy Uz U y _ CUz9 C uz c CUz t CUz, Ux CUzUy CUzUz .Uz . K99 K9c K9t 0 0 0 pg f9 Kc9 Kcc Kct 0 0 0 p c fc Kt9 Ktc Ktt 0 0 0 T fT KUx9 K Uxc KUxt KUxUx KUxUy K UxUz u x f Ux KUy9 KUyc KUyt KUyUx KUyUy KUy Uz u y f Uy KUz9 KUzc K Uz t KUzUx KUzUy KUzUz . U z . f Uz (2.127) kjer so Cab, Kab in f a matrike, odvisne od pg, pC, T in u, zato moramo sistem enaCb reševati iterativno. Ce definiramo vektor neznanih vozlišCnih koliCin a kot a = [pg pc T u]T, lahko sistem enaCb (2.127) zapišemo krajše kot: C či + K a = f. (2.128) Matrike Cab, Kab in f 0 V sistemu enaCb (2.113 - 2.116) nastopajo tudi gradienti osnovnih spremenljivk, ki jo izraCunamo na naCin: gradpg = grad(Npg) = D^pg, gradpC = DNpC, gradT = DnT, gradu = DNüi, (2.129) kjer je Dn matrika oblike: D N dN i dx dNi dy dN1 dz dN2 dx dN2 dy 3N2 dz dNnv dx dNnv dy dNnv dz (2.130) Matriko L, definirano v enaCbi (2.80), lahko izrazimo v obliki L = [Lx Ly Lz]. Matrike Bx, By in Bz lahko sedaj definiramo kot: Bx = LxN, By = Ly N, B z = Lz N. (2.131) Vektor g lahko izrazimo kot g = [gx gy gz]T. V koordinatnem sistemu xyz sta obiCajno gx in gy enaka niC, gz pa ima vrednost -9.81 m/s2. Sedaj lahko matrike, ki nastopajo v prvi enaCbi sistema (2.127), izrazimo kot: C 99 J NTn( 1 - Sw)MaN dQ, Cgc = -I NT[ n( 1 - Sw) Ma dpgw 1 RT dpC 1 a . oa dSw + npga dpC N dQ, (2.132) (2.133) Cgt = I NT (n(1 - Sw)RT (ddp!!-^ -npgadSw-&pga(1 -n)(1-Sw))Nda, (2.134) f Nt(1 - Sw)pgaBj da, (2.135) Jo Cauj = i N (1 - Sw)p /o Kaa = l DN ^gDgadgi + ^^ dQ, (2.136) r dPga KgC = j( DNpgDga^pcDn da, (2.137) c dpa Kgt = y DNNpgDga^T-Dn da, (2.138) f -kg Pga /" fg = DNpga-k-pgg + NT pr(1 - Sw)/)hydrdQ - NTqga dr, (2.139) a 7o Vg Ps 7rg kjer j pomeni smeri koordinatnega sistema (j = x, y ali z). Matrike, ki nastopajo v drugi enacbi sistema (2.127), so: Ccc = /o NT (n(1 - Sw) M £ + n(pw - Pgw) fw-) N da, (2.140) Cct = jQ NT (n(1 - Sw)MT (^ - pTw) + n(pw - pgw)^ ßsPgw(1 - n)(1 - Sw) - (ßs(1 - n) + ßwn)pwS^ Nda, Ccuj = / NT ((1 - Sw)pgw + Swpw) Bj da, o (2.141) (2.142) Ka = /o dN (p«r^ + pgw —g- + pwdn da, (2143) , / 9Pfw -krw \ Kcc = /q DN (^pgDdw- pw-kL Dn da, (2.144) c dPgw Kct = DNpgDgw-dT-Dn da, (2.145) fc = / DN fpgw -krg pg + pw -krwp^ g + N^pJw(1 - Sw) + pSSw - 1) phydr da V ^ V J Vp p y (2.146) NT (qgw + + ßc(pgw - pgw) dr. Matrike tretje enacbe sistema (2.127) lahko napišemo kot: C tc = -I NT npw —c AHvapN da, (2.147) /o dpc C tt = jf NT (-npw ^ AHvap + (ßs(1 - n) + ßwn)pw SwAHvap + pCp)f N da, (2.148) r CtUj = - NTSwPwAHvapBj dQ, (2.149) Jn f — krw Ktg = - / DNpw— AHvapDN dQ, (2.150) Jn ß r -krw Ktc = DNpw—AHvapDN dQ, (2.151) ./n ß Ktt = ^ (Nt (pwCpw (—^ (-gradpg + gradpc + pwg) ) + —krg , , 0 . 0 ^ . ^t (2.152) p§cH(-gradpg + pgg)jj + DNAf Dn dQ, f t = jf -DN pw —pw g + NT (^AHhydr - ( pS Sw - ^ AHva^ phydr dQ- f NT (qt + ac(T - T^) + eao(T4 - T4)) dr. (2.153) Zadnje tri enacbe sistema (2.127) predstavljajo ravnotezne enacbe za vsako od koordinatnih smeri. Matrike, ki v njih nastopajo,so: CUig = ^ (n t n(1 - Sw) Ma gi + BT a N dQ, (2.154) CUiC = Ja fNT fn(1 - Sw)MwRTMaddp!: + n(pw-p^)* - sTa^T l)NdQ, (2.155) = ^ (Nt ((n - 1)ßsps - nSwßwpw + n(1 - Sw) ^^ + n(pw - pg) ddSw^ g ' in + BT ßs/3 E DIN dQ (2.156) Cuiuj = - bt e D Bj dQ, (2.157) Kuic = - BTaxws I N dQ, (2.158) n Kuit = I BT ßs/3 E DIN dQ, (2.159) Cuiuj = - bt e D Bj dQ, (2.160) f Ui = NT (n (ps - Swpw - (1 - Sw)pg) gi) + Jn BT (e D (ec + ech) + E D (ec + e*)) dQ - jf NT tdr. (2.161) n n n Gaussova kvadratura V okviru te naloge smo obravnavali ravninsko deformacijsko in osnosimetriCno stanje, torej dvodimenzionalne probleme. Zaradi lazje numericne integracije integrale, navedene v dodatku, preoblikujemo tako, da jih iz osnovnega koordinatnega sistema xy ali rz transformiramo v koordinatni sistem {n, ki ima koodinatno izhodišce v središcu koncnega elementa, tocke na levem robu elementa imajo koordinato { enako -1, tiste na desnem pa 1, medtem ko imajo tocke na spodnjem robu koordinato n enako -1, tiste na zgornjem pa 1 (slika 2.7). Pri tem se integral v primeru ravninskega deformacijskega stanja spremeni nanacin [17]: J J f(Pg,Pc,T, u,x,y) dxdy = J J f(pg,pc,T, u,{,n) d{dn, (2.162) kjer je J Jacobijeva matrika in jo izracunamo po enacbi: VdNi x. vdNi y d? Xi d? y dx dy ' d? d? dx dy _ &n dn _ V dNi x. Z^ dn Xi d? T dNiy. Z-i dn (2.163) V4 V 1 ,V3 Vl^ ■1 1 V2 -1 Slika 2.7: Stirivozlišcni izoparametricni ravninski koncni element. Figure 2.7: Isoparametric plane finite element with four nodes. Za opisani štirivozlišcni izoparametricni element, ki ima vozlišca oštevilcena v protiurni smeri, ima vektor N obliko [17]: n = 1[(1 - 0(1 - n), (1 + {)(1 - n), (1 + 0(1 + n), (1 - 0(1 + n)]. (2.164) Integrala (2.162) v splošnem ne moremo rešiti analiticno, zato ga rešimo numericno z Gaussovo kvadraturo. To je numericni postopek, ki da priblizek vrednosti integrala tako, da sešteje vrednost funkcije v dolocenih tockah, pomnozene z utezjo. Mesta tock so dolocena tako, da dobimo cimboljši priblizek integrala. Izberemo lahko Gaussovo kvadraturo poljubnega reda, kar pove, koliko tock imamo v posamezni smeri. Koordinate izbranih tock in utezi lahko najdemo npr. v delu [17]. Priblizek integrala (2.162) tako dolocimo po enacbi: f f f (pg,Pc,T, u,{,n) d{dn » ££ W.Wj f (pg, pc, T, u,Ci,n3). (2.165) -1 -1 i j V primeru osnosimetricnega stanja po ravnini rz integriramo po opisanem postopku, pri integriranju v tangencialni smeri ^ pa upoštevamo osno simetrijo: r r r2n / / / f ('Pg,'Pc,T, u,r,z) rdf drdz = 2n / / f (pg,pc,T, u,r,z) r drdz. (2.166) Jr J z Jo 2.3.4 Časovna integracija V sistemu enacb (2.128) nastopajo prvi odvodi osnovnih spremenljivk. Da bi ga numericno rešili, uporabimo direktno integracijsko metodo [17, 49]. Časovno območje, na katerem bi radi poiskali rešitev enacb, razdelimo na manjše casovne korake. Opazujemo casovni korak dolžine öt, ki se zacne pri casu tk in konca pri casu tk+i. Sistem enacb (2.128) zapišemo pri casu tk+ast: Ck+a k+aa5t-k + Kk+a ak+a = f k+a, (2.167) kjer je a parameter, ki ima vrednost na intervalu [0,1]. Obstaja vec metod direktne integracije, ki se razlikujejo po izbiri tega parametra, vendar so brezpogojno stabilne le metode, pri katerih je a > 1/2 [17]. Sedaj lahko enacbo (2.167) zapišemo v obliki: CCk_|_ Kk+a ak+a = fk+a, Kk+a = Kk+a + a + , fk+a = fk+a + a öt ak. (2.168) Predpostavimo, da se vrednosti osnovnih spremenljivk v vozlišcih na opazovanem casovnem koraku spreminjajo linearno in tako njihove vrednosti ob koncu casovnega koraka izracunamo po enacbi: 1 1 - a ak+i = - ak+a +--ak. (2.169) aa 2.3.5 NumeriCni algoritem Če zdruzimo algoritem za racun lezenja, krajevno in casovno integracijo ter reševanje nelinearnega sistema enacb (2.168) z navadno iteracijo, dobimo postopek, po katerem rešimo sistem enacb termodinamike. 1. Racun kolicin, ki se s casom ne spreminjajo: koeficienti Kelvinove verige Eß, matrike N, Dn, Bi, D, J in njihovih medsebojni produkti, ki nastopajo v enacbi (2.168). 2. Racun zacetnih vrednosti kolicin, ki se spreminjajo s casom: , n0, E0. 3. Nov casovni korak tk+1 = tk + öt. 4. Za racun prirastka lezenja in modula elasticnosti ocenimo: ^hyd1 ~ rhydr. (2.170) 5. RaCun prirastka lezenja AeC', modula elastiCnosti zaradi lezenja E'' in mikrodeformacije vzmeti Kelvinove verige iz enaCb (2.112). Deformacijo lezenja in njen odvod nato izraCunamo po enaCbi: ^fc+1 = ek + AeC šk+1 = AeC'/bt. 6. RaCun modula elastiCnosti, ki ga doloCimo po enaCbi: efc+1 = e''-1 + e(rk+1 )-1 -1 (2.171) (2.172) kjer E) doloCimo iz enaCbe (2.75). 7. Reševanje sistema (2.168) z navadno iteracijo, zaCetni priblizek je a k k+a reševanja sistema enaCb z vedno novimi priblizki ak+a: Kk+a(ak+a) ak+a = f k+a(ak+a), ak. Ponavljanje (2.173) a r+1 _ k + a_k + a ar k+a dokler ni izpolnjen pogoj obiCajno majhno število. Pri tem v vsaki iteraciji raCun stopnje hidratacije po enaCbi: < bp, pri Cemer je bp dopustna relativna napaka, ki je r k+a,r _ -pk + -pk+a,rbt r WHr + r hydr , (2.174) hydr x hydr pri Cemer je hitrost hidratacije r^+a^ podana z enaCbo (2.32). 8. RaCun ak+1 iz enaCbe (2.169). 9. RaCun koliCin ob koncu Casovnega koraka z iterativno doloCenimi vrednostmi osnovnih spremen- l;;vk: rk+1 £k+1 £k+1 xws e £k+1 ljivk: 1 hydr, et , ech , Xk+1, Ek+1, ec . 10. RaCun efektivnih napetosti po enaCbah: A& k+1 = Ek+i D eff = Ek+1 AEk+1D Aek+1 Aek+1 Aek+1 Aek+1 Aetot Aec Aet Aech + ek+1 etot e k+1 e k+1 e k+1 ch (2.175) & k+1 k k+1 ' eff = &kff + A&t;ff 11. Ponavljanje korakov 3 - 10, dokler tk+1 + bt ni veCji ali enak konCnemu Casu raCuna. Po tem algoritmu smo pripravili raCunalniški program PreTeDis (Pressure Temperature Displacement) v programskem okolju Matlab. 2.4 Numerični primeri Da bi preverili pravilnost delovanja opisanega numeriCnega postopka in izdelanega raCunalniškega programa, smo najprej izdelali dva primera, s katerima smo skušali dobljene numeriCne rezultate primerjati z eksperimentalnimi in numeriCnimi rezultati iz literature. Nato smo naredili še primer armiranobetonske plošCe, na katerem poleg primerjave z izmerjenimi vrednostmi temperature prikazujemo vpliv posameznih parametrov na dogajanje v betonu. 2.4.1 Adiabatni poskus Izdelali smo numeriCni model adiabatnega poskusa, ki ga je izvedel Bentz s sodelavci in ga opisal v delu [10]. Rezultate smo primerjali z rezultati eksperimenta in z numericnimi rezultati, ki jih je Gawin s sodelavci navedel v delu [25]. Preizkušanec je 60 cm dolg valj s premerom 4 cm, ki je toplotno izoliran in nepropusten za vodo. Njegova dolzina je mnogo vecja od njegovega premera, zato ga modeliramo kot tanek disk. Ker je osnosime-tricen, ga opišemo z 26 štirivozlišcnimi izoparametricnimi osnosimetricnimi koncnimi elementi, katerih dolzina se zmanjšuje proti površini (slika 2.8). Zacetna temperatura betona je 20 °C, zacetna relativna vlaznost zraka v porah je 99.9 % in zacetna stopnja hidratacije je 0.1 [25]. Materialne parametre betona prikazujemo v preglednici 2.2. K * 2 cm t> I ps = 101325 Pa u r" K uz = 0 Slika 2.8: Mreza koncnih elementov in robni pogoji za modeliranje adiabatnega poskusa. Figure 2.8: Finite elements mesh and boundary conditions for modelling the adiabatic experiment. Preglednica 2.2: Materialni parametri betona. Table 2.2: Material parameters of concrete. Parameter Simbol Vrednost Vodocementno razmerje w/c 0.45 Vsebnost cementa pcem 420 kg/m3 Poroznost n 30.6 % Prepustnost k 3 ■ 10-18 m2 Gostota betona Peff 2285 kg/m3 Specificna toplota Cp,eff 1020 J/kg K Toplotna prevodnost Aeff 1.5 W/m K Koeficient toplotnega raztezanja ßs 3.6 ■ 10-5 /K Modul elasticnosti E 24.11 GPa Poisonov kolicnik ß 0.2 Tlacna trdnost pri 28 dnevih fc 26 MPa Parametri v enacbi (2.33) aa 0 °C ba 40 °C Ca 72000 s da 2.5 Parameter v enacbi (2.36) ah 5 Aktivacijska energija Ea 41570 J/mol Parametra v enacbi (2.50) as 25.4 MPa bs 1.8 Parameter v enacbi (2.112) Cc 13.55 ■ 10-9 /MPa2 s Parametra v enacbi (2.107) Co 2.72 ■ 10-3 /MPa s Ci 1.98 MPa Na sliki 2.9 primerjamo dobljene numeriCne rezultate v središCu valja z eksperimentalnimi rezultati in z numeriCnimi rezultati, ki jih je Gawin s sodelavci predstavil v delu [25] (oznaka primer 0). Naredili smo dva primera. V prvem (primer 1) smo uporabili sorpcijske izoterme, podane z enacbo (2.50), ki so bile uporabljene tudi v delu [25]. Ker je v primeru uporabe teh sorpcijskih izoterm tezko dolociti materialne parametre, smo v drugem primeru (primer 2) uporabili še sorpcijske izoterme, podane z enacbama (2.51, 2.52), katerih parametri so odvisni le od lastnosti betonske mešanice in jih je mnogo lazje dolociti. Gas [h] Gas [h] Slika 2.9: Primerjava med eksperimentalnimi in numericnimi rezultati. Figure 2.9: Comparison of experimental and numerical results. Rezultati, prikazani na sliki 2.9 se dobro ujemajo, kar kaze, daje uporabljeni model primeren. Uporaba razlicnih matematicnih funkcij za modeliranje adiabatnega zvišanja temperature v betonu (enacba (2.34)) v primeru 0 in enacba (2.33) v primeru 1 in 2) je vzrok manjšim razlikam med potekom temperatur v primeru 0 in v primerih 1 in 2. Zvišanje temperature v primerih 1 in 2 je skoraj enako, iz cesar lahko sklepamo, da nacin modeliranja sorpcijskih izoterm ne vpliva na razpored temperatur. Po drugi strani opis sorpcijskih izoterm vpliva na relativno vlaznost v betonu, ceprav so rezultati še vedno dovolj blizu, kar kaze na primernost sorpcijskih izoterm, podanih z enacbami (2.51,2.52). 2.4.2 Avtogeno krčenje cementne paste V tem primeru prikazujemo numericni model dveh poskusov, s katerima je Lura s sodelavci v delu [40] analiziral avtogeno krcenje cementne paste. Prvi model opisuje merjenje relativne vlaznosti, drugi pa pomikov zaradi avtogenega krcenja. Oba poskusa sta potekala v izotermnih pogojih pri temperaturi 20°C, preizkušanec pa je bil v obeh primerih zatesnjen, da vanj ni mogla prodirati voda. Oba poskusa smo modelirali od starosti preizkušanca 12 do 144 ur. Lastnosti cementne paste Uporabljen material je bil portlandski cement z oznako CEM I 52.5 R z dodatkom mikrosilike (5.2 % mase cementa). Materialne karakteristike so zbrane v preglednici 2.3. Poroznost cementne paste smo racunali po enacbi (2.40). Preglednica 2.3: Materialni parametri cementne paste. Table 2.3: Material parameters of cement paste. Parameter Simbol Vrednost Vodocementno razmerje w/c 0.37 Vsebnost cementa Pcem 1424 kg/m3 Prepustnost k 0.5 ■ 10-21 m2 Gostota cementne paste Peff 1950 kg/m3 Specificna toplota Cp,eff 770 J/kg K Toplotna prevodnost Aeff 0.45 W/m K Koeficient toplotnega raztezanja ßs 1.5 ■ 10-5 /K Poisonov kolicnik ß 0.2 Tlacna trdnost pri 28 dnevih fc 20 MPa Parametra v enacbi (2.50) as razlicno bs 2.0 Parameter v enacbi (2.96) 92 9.44 ■ 10-6 MPa-1 Parameter v enacbi (2.112) Cc 13.55 ■ 10-9 /MPa2 s Parametra v enacbi (2.107) Co 1.2 ■ 10-1 /MPa s C1 1.98 MPa Potek hidratacije je Lura s sodelavci meril s izotermnim kalorimetrom pri 20°C. V delu [40] je tako prikazan graf dejanske stopnje hidratacije cementa v odvisnosti od casa, ki je definirana kot razmerje med prostorninsko maso kemijsko vezanega cementa in prostorninsko maso vsega cementa. Ta je pri betonih in cementnih pastah z nizkim vodocementnim razmerjem vedno manjša od 1, saj ves cement ne more reagirati, ker se prej porabi vsa voda. Stopnja hidratacije rhydr v predstavljenem numericnem postopku pa je definirana kot razmerje med prostorninsko maso hidratirane (kemijsko vezane) vode Phydr in prostorninsko maso kemijsko vezane vode po koncani hidrataciji pgydr (enacba (2.29), zato moramo stopnjo hidratacije cementa, prikazano v delu [40], pomnoziti s faktorjem k (enacba (2.35)), da dobimo stopnjo hidratacije, ki jo oznacujemo kot rhydr. Spreminjanje stopnje hidratacije v odvisnosti od casa smo nato modelirali s potencno funkcijo: rhydr (t) = -6.597t-0'9128 + 1.018, (2.176) kjer je cas t v urah. Iz podatka, da ima pri poskusu uporabljeni cement potencialno hidratacijsko toploto 535 kJ/kg, smo na podlagi podatkov o sestavi betonske mešanice (preglednica 2.3) izracunali, da je celotna hidratacijska toplota Qgydr enaka 515 MJ/m3. V delu [40] so navedene tudi meritve elasticnega modula pri casih 20 ur, 3 dni in 7 dni. Za modeliranje obnašanja cementne paste v območju med 12 in 144 urami smo spreminjanje elasticnega modula v odvisnosti od casa modelirali s kvadratno enacbo: E (t) = -76.26t2 + 43.18t + 10.32, (2.177) kjer je elasticni modul E v GPa. Numericni model poskusa merjenja relativne vlažnosti Lura s sodelavci je meril relativno vlažnost na majhnih valjih premera 50 mm in višine približno 7 mm. Valji so bili zašciteni pred izmenjavo vode z okolico. Preizkušanec smo modelirali na dva nacina - v prvem primeru smo valj modelirali s 1360 osnosimetricnimi koncnimi elementi, v drugem primeru pa smo zanemarili prevajanje toplote, gibanje vode in zraka ter spreminjanje deformacij po prerezu valja in smo ga modelirali z 34 ravninskimi koncnimi elementi, ki potekajo po višini valja (slika 2.10). V obeh primerih smo uporabili Gaussovo kvadraturo drugega reda in implicitno metodo direktne integracije. Vozlišcne kolicine smo racunali v razlicno dolgih casovnih intervalih, ki so bili na zacetku racuna dolgi 5 s, na koncu pa 1000 s. Robni pogoji so prikazani na sliki 2.10. Toplotni prestopni koeficient ac je 10 W/m2oC. a) Skica preizkušanca 50 mm enodimenzionalni ravninski model b) Dvodimenzionalni model 25 mm u =0 = 101325 Pa T = 20°C dvodimenzionalni osnosimetrični model c) Enodimenzionalni model 101325 Pa T = 20°C IVB ll> uz = 0 T = 20°C "i- Uy~ 0 T = 20°C Slika 2.10: Mreza koncnih elementov in robni pogoji za poskus merjenja relativne vlaznosti. Figure 2.10: Finite elements mesh and boundary conditions for modelling the relative humidity measurements. Na sliki 2.11 so prikazani rezultati enodimenzionalnega in dvodimenzionalnega osnosimetricnega modela. Vidimo, da sta poteka radialnega pomika v tocki B sicer razlicna, vendar pa na potek relativne vlaznosti v tocki A to skoraj nic ne vpliva, saj se rezultati za enodimenzionalen in dvodimenzionalen model prekrivajo. Za racun relativne vlaznosti je torej v tem primeru tudi enodimezionalen model dovolj natancšen. Ugotovili smo, da je potek relativne vlaznosti mocno odvisen od sorpcijskih izoterm, ki jih brez ustreznega eksperimenta tezko dolocimo, zato smo vrednosti parametra a v enacbi (2.50) spreminjali. Na sliki 2.12 vidimo, da se tako dobljeni rezultati med seboj mocno razlikujejo in se za vrednost as = 6 MPa dobro ujemajo z rezultati eksperimenta. Slika 2.11: Primerjava med enodimenzionalnim in dvodimenzionalnim modelom. Figure 2.11: Comparison between one dimensional and two dimensional model. Slika 2.12: Primerjava med eksperimentalno in numeriCno doloCenim potekom relativne vlaznosti v središCu preizkušanca. Figure 2.12: Comparison of experimentally and numerically determinated course of relative humidity in the centre of specimen. Numericni model preizkusa merjenja pomikov Meritve pomikov so bile opravljene z dilatometrom, kije prikazan na sliki 2.13 [35, 36]. Cementna pasta je vgrajena v modele v obliki valja s srednjim premerom 24.5 mm in dolzino 300 mm. PreizkušaneC je na eni strani vpet (leva stran na sliki 2.13), na drugi pa se meri njegov vzdolzni pomik. PlašC valja je iz nagubanega plastiCnega materiala, zaradi katerega smo predpostavili, da se valj deformira le v smeri njegove osi, v prečni smeri pa je tog. Valj smo tako modelirali s 480 osnosimetričnimi končnimi elementi. Vozliščne količine smo računali v različno dolgih časovnih intervalih, ki so bili na začetku računa dolgi 5 s, na koncu pa 1000 s. Robni pogoji so prikazani na sliki 2.14. Ker je preizkušanec potopljen v kopel iz glikola, smo toplotni prestopni koeficient povečali na 1000 W/m2oC. (c) © © © © © © Slika 2.13: Dilatometer [35]. Figure 2.13: Dilatometer [35]. Slika 2.14: Mreza konCnih elementov in robni pogoji za poskus merjenja pomikov. Figure 2.14: Finite elements mesh and boundary Conditions for modelling the displaCement measurements. Na sliki 2.15 je prikazana primerjava med eksperimentalnimi in numeriCnimi rezultati pri razliCnih vrednostih parametra as, ki doloCa obliko sorpCijskih izoterm po enaCbi (2.50). Vidimo, da se eksperimentu najbolj priblizamo pri vrednostih as med 5 in 6 MPa, kar je podobno kot v primeru modeliranja eksperimenta relativne vlaznosti. Iz tega lahko sklepamo, da predstavljeni numeriCni model ob pravi izbiri sorpCijskih izoterm pravilno opiše obnašanje preizkušanCa. Slika 2.15: Primerjava med eksperimentalno in numericno dolocenim vzdolznim pomikom v tocki D. Figure 2.15: Comparison of experimentally and numerically determinated longitudinal displacement at point D. 2.4.3 Armiranobetonska temeljna plošča Glavni tehnološki objekt šestega bloka termoelektrarne Soštanj je temeljen na temeljnih plošcah z najvec-jo debelino 3.2 m, dolzina in širina plošc pa sta bistveno vecji (slika 2.16). Tu prikazujemo analizo razvoja temperature, spremembe relativne vlaznosti in pomika v navpicni smeri za temeljno plošco debeline 2 m na enostavnem, enodimenzionalnem modelu. Najprej je prikazana primerjava med izracšunanim in izmerjenim temperaturnim potekom, nato pa je prikazan vpliv relativne vlaznosti zraka in debeline plošce na temperaturo, relativno vlaznost zraka v porah in vertikalni pomik na vrhu plošce. Slika 2.16: Gradnja temeljev glavnega tehnološkega objekta šestega bloka v termoelektrarni Soštanj. Figure 2.16: Construction of foundations of main power facility of the 6th unit at Soštanj power plant. Numericni model Ker je debelina plošCe precej manjša od njene dolžine in debeline, je plošCa modelirana s stolpcem ravninskih elementov, kot je to prikazano na sliki 2.17. Podplošco je 10 cm debela plast podložnega betona, v model pa je vkljucšena tudi plast zemljine debeline 3 m, na njenem dnu pa je predpisana konstantna temperatura 10°C in konstantna relativna vlažnost 80 %. Na vrhu plošce smo upoštevali prevajanje toplote s konvekcijo in radiacijo. Temperatura zraka je bila merjena in je prikazana na sliki 2.18. Zacetna temperatura betona je znašala 25.5°C, relativna vlaznost 99.5 %, zacetna stopnja hidratacije pa je bila 5 %. Po zemljini sta zacetna temperatura in zacetna relativna vlaznost enakomerno padali tako, da sta pri dnu modela dosegli predpisani konstantni vrednosti. Materialne lastnosti betona in kamnine so zbrane v preglednici 2.4. Potek hidratacije v adiabatnih pogojih smo dolocili s poladiabatnim poskusom. B (3.36) kjer je (pCp)arm toplotna kapaciteta armature. Efektivno toplotno prevodnost sestavljenega materiala Aeff ne moremo racunati kot obtezeno povprecje, ampak vpliv armature dolocimo tako, da skušamo najti nadomestno toplotno prevodnost betona, ki bo taka, da bo temperaturni odziv nadomestnega materiala enak temperaturnemu odzivu betona z armaturo. V ta namen smo pripravili dva modela (slika 3.35): prvi je osnosimetricni model armaturne palice s pripadajocim betonom, v drugem primeru pa je vsa snov modelirana z enotnim, nadomestnim materialom. Polmer armaturne palice r\ je povprecni premer armaturne palice v opazovani smeri, polmer pripadajocega betona r2 pa dolocimo tako, daje prostornina valja enaka prostornini dejanskega betona, ki v povprečju pripada vsaki armaturni palici. a\ je dolzina betonskega elementa v obravnavani smeri, a2 pa je debelina krovnega sloja betona. \z a) Model 1 |z b) Model 2 SÄ ZA. beton SB1 ZB «T .b o .a o B 0 1 SÄ — za. r nadomestni material SB' ZB £ o .a o B 0 1 Slika 3.35: Modeliranje armiranega betona na dva nacina: a) kot sestavljeni materiala in b) kot homogeni material. Figure 3.35: Modelling reinforced concrete in two ways: a) as a composed material and b) as a homogeneous material. Najprej izracunamo odziv prvega modela, nato pa spreminjamo toplotno prevodnost materiala v drugem modelu, dokler odziv drugega modela ne ustreza odzivu prvega. Toplotna prevodnost materiala v drugem modelu, pri kateri se rezultati obeh modelov najbolje ujemajo, je toplotna prevodnost sestavljenega materiala M eff 3.5.3 Primer: prevajanje toplote skozi betonski valj Določšitev materialnih karakteristik armiranega betona najprej prikazujemo na enostavnem primeru betonskega valja, čigar prerez je prikazan na sliki 3.35. Valj je premera 7.9 čm, v osi pa ima armaturno paličo premera 12 mm. Dolzina valja je 1.1 m, krovni sloj betona pa je debeline 5 čm. Njegova začetna temperatura je 20°C. Valj je po plašču toplotno izoliran, na dnu je izpostavljen zraku s temperaturo Ti = 50°C, na vrhu pa je v stiku z zrakom temperature T2 = 20°C (slika 3.35). Toplota se preko površine prevaja s konvekčijo, prestopni koefičient je enak 80000 J/(m2 °C h). Materialni parametri jekla in betona so prikazani v pregledniči (3.16). Pregledniča 3.16: Materialni parametri betona in armature. Table 3.16: Material parameters of čončrete and reinforčement. Material Aeff [J/m h°C] Cp [J/kg°C] P [kg/m3] n[%] Beton 9000 1006 2430 97.9 Armatura 220000 470 7800 2.1 Slika 3.36: Temperaturni odziv modela 1 in modela 2 pri različnih vrednostih toplotne prevodnosti. Figure 3.36: Temperature response of model 1 and 2 for different values of thermal čondučtivity. Toplotno kapačiteto sestavljenega materiala izračunamo po enačbi 3.36 in znaša 2470200 J/°C m3. Toplotno prevodnost določimo po postopku, opisanem v prejšnjem razdelku in sičer tako, da najprej izračunamo temperaturni potek za dva različna modela, za natančnejši model 1 (slika 3.35a) in za model 2, v katerem je armiran beton modeliran kot homogen material (slika 3.35b). Sedaj v štirih karakteri- stiCnih toCkah (slika 3.35) primerjamo rezultate modela 1 z rezultati modela 2, izraCunanimi za razliCne toplotne prevodnosti (slika 3.36). Prava toplotna prevodnost armiranega betona je tista, za katero se rezultati modela 2 najbolje ujemajo z rezultati modela 1. Iz slike 3.36 lahko razberemo, daje v tem primeru odziv modela 1 veCinoma med odzivom modela 2 s toplotno prevodnostjo 12000 J/m h°C in odzivom modela 2 s toplotno prevodnostjo 13000 J/m h°C, zato za toplotno vrednost izberemo vrednost 12500 J/m h° C. Ce bi toplotno prevodnost armiranega betona izraCunali kot obtezeno povpreCje analogno kot toplotno kapaciteto, bi dobili vrednost 13430 J/mh°C, ki je nekoliko višja od vrednosti, ki smo jo izraCunali z nadomestnim modelom. 3.5.4 Primer: steber hladilnega stolpa v šestem bloku Termoelektrarne Šoštanj Hladilni stolp šestega bloka Termoelektrarne Soštanj je natanCneje opisa v razdelku 3.3.3. Na sliki 3.16 lahko vidimo, da njegovo lupino nosi dvaintrideset stebrov oblike poševne prizme (slika 3.37), ki ima v radialni smeri stolpa pri dnu širino 2.615 m, na vrhu pa 1 m. V obodni smeri stolpa je njegova širina po višini konstantna in znaša 1.1 m. Iz armaturnega naCrta smo izraCunali, da predstavlja volumen armature na mestih toCk M1 in M2 3.8 % skupnega volumna, na mestih toCk M3 in M4 pa 2.8 %. Steber je opazen z 18 mm opazšem in vgrajen monolitno. ToCki M1 in M2 sta dovolj oddaljeni od obeh koncev stebra, da lahko beton na njunih mestih modeliramo z ravninskim stanjem. Pri tem zanemarimo ozanje stebra proti vrhu. Ker predpostavimo, da se bo steber skozi opaz intenzivneje hladil kot skozi svoje dno, tudi beton na mestih M3 in M4 modeliramo z ravninskim deformacijskim stanjem. Tako imamo za vsako toCko svoj model z geometrijo, ki ustreza prerezu stebra na opazovanem mestu (preglednica 3.17). Zaradi simetrije smo modelirali le eno Cetrtino prereza stebra. Upoštevali smo konvekcijo, prestopni koeficient zraka smo zaradi opaza znizali na 15000 J/(m2 °C h). Preglednica 3.17: Geometrija prerezov na merilnih mestih. Table 3.17: Section geometry at measuring points. ToCka dolzina [m] širina [m] delez armature [%] M1 2.06 1.10 3.8 M2 2.18 1.10 3.8 M3 2.47 1.10 2.8 M4 2.49 1.10 2.8 Materialni parametri betona in armature so predstavljeni v preglednici 3.18. Adiabatna krivulja je bila doloCena s poladiabatnim poskusom in smo jo modelirali z enaCbo (3.5), pri Cemer imajo njeni parametri vrednosti: aa = 1.44, ba = 40.69, Ca = 16.61 in da = 2.246. Preglednica 3.18: Materialni parametri betona in armature. Table 3.18: Material parameters of concrete and reinforcement. Material Aeff [J/m h°C] Cp [J/kg°C] p [kg/m3] n[%] Beton 9000 1000 2430 96.7 Armatura 220000 470 7800 3.3 Slika 3.37: Steber hladilnega stolpa bloka 6 v Termoelektrarni Soštanj. Vse mere so v mm. Figure 3.37: Column of the cooling tower of unit 6 of Soštanj thermal power plant. All dimensions are in mm. Za racun materialnih karakteristik smo upoštevali povprecni delez armature v betonu, ki znaša 3.3 %. Toplotno kapaciteto sestavljenega materiala smo izracunali po enacbi 3.36 in znaša 2470200 J/°C m3. Pri racunu toplotne prevodnosti smo upoštevali armaturne palice, ki kazejo v opazovani smeri prevajanja toplote. Ker obravnavamo ravninsko stanje in zanemarimo prevajanje toplote vzdolz stebra, so v tem primeru to stremena. Ker je delezš stremen glede na delezš betona v obeh smereh precšnega prereza priblizšno enak, smo v modelu uposštevali povprecšno palico premera 12 mm, pripadajocši volumen betona pa smo izracunali iz podatkov armaturnega nacrta in znaša 7.9 cm, kar je enako kot v prejšnjem primeru. Podobno kot v prejšnjem primeru smo primerjali rezultate natancnejšega modela 1 z rezultati modela 2, v katerem smo podali razlicne vrednosti toplotne prevodnosti (slika 3.35). V modelu 1 smo upoštevali vpliv vzdolzne armature stebra na toplotno kapaciteto stebra tako, da smo specificno toploto betona povecali na 1006 J/kg°C, materialni parametri so bili torej povsem enaki kot pri prejšnjem primeru. V nasprotju z njim pa je bil v tem primeru prestopni koeficient enak 19686 J/ (m2 °C h), saj smo uposštevali vpliv opazša. Poleg tega je bila zunanja temperatura na obeh straneh enaka 20°C, v betonu pa je potekala hidratacija, kar je povzrocilo zvišanje temperature. Kljub tem razlikam pa se nadomestna toplotna prevodnost ni spremenila in je bila še vedno enaka 12500 J/m h°C (slika 3.38), kar kaze na to, da nanjo ne vplivajo robni pogoji in razpored temperature v betonu. Najprej smo izracunali temperature v betonu v primeru, ce vpliva armature ne upoštevamo (primer 1 na sliki 3.39). V primeru 2 smo upoštevali le zmanjšanje sprošcanja hidratacijske toplote zaradi vsebnosti armature v betonu, v primeru 3 pa smo uposštevali tudi vpliv armature na materialne karakteristike v betonu. Slika 3.38: Temperaturni odziv modela 1 in modela 2 pri razlicnih vrednostih toplotne prevodnosti. Figure 3.38: Temperature response of model 1 and 2 for different values of thermal conductivity. Na sliki 3.39 vidimo, daje znizanje temperature v betonu zaradi upoštevanja vpliva armature na spro-šcanje hidratacijske toplote majhno, malce vecje je le pri casu, ko je v betonu najvišja temperatura. Nasprotno uposštevanje vpliva armature na materialne karakteristike v betonu vodi do za priblizšno 3°C nizje temperature, torej ta vpliv vsaj pri visoki vsebnosti armature ni zanemarljiv, je pa pri masivnih betonih stopnja armiranja obicajno nizja. Vidimo, daje tudi v primeru 3 najvišja dosezena temperatura višja od eksperimentalno dolocene, pa tudi vrh je v numericnem izracunu dosezen priblizno 20 ur prej. Vzrok temu je betonska mešanica, ki je bila malce drugacna od tiste, za katero je bil narejen poladiabatni poskus, zato smo spremenili podatke adiabatne krivulje tako, da imajo njeni parametri sedaj vrednosti: aa = 1.44, ba = 52, ca = 25 in da = 1.5. Potek temperatur s spremenjeno adiabatno krivuljo je prikazan na sliki 3.40, kjer vidimo, da se tako eksperimentalni in numericni rezultati ob upoštevanju vpliva armature za tocke M1, M2 in M4 dobro ujemajo. Numericni rezultati za tocko M3 so nekoliko višji od izmerjenih, kar lahko pripišemo dejstvu, da je bil uporabljen dvodimenzionalen model, ki ni upošteval prenašanja energije vzdolz stebra, tocka M3 pa je ze precej blizu njegovega dna. Slika 3.39: Primerjava med racunskim in izmerjenim potekom temperatur v merskih tockah pri eksperimentalno doloceni adiabatni krivulji. Figure 3.39: Comparison between numerically and experimentally determined temperature at measuring points at experimentally defined adiabatic curve. Slika 3.40: Primerjava med racunskim in izmerjenim potekom temperatur v merskih tockah pri prilagojeni adiabatni krivulji. Figure 3.40: Comparison between numerically and experimentally determined temperature at measuring points at adapted adiabatic curve. 4 ZAKLJUČKI V disertaciji smo predstavili numericni model za racun gibanja vlaznega zraka in vode, prevajanja toplote in deformacij svezega betona. Model temelji na delu Lewisa in Schreflerja [39] in Gawina s sodelavci [25, 26] ter na Bazantovem modelu lezenja [6, 7, 8, 9], vendar je dopolnjen z nekoliko drugacnimi konstitucijskimi zakoni. Drugacen je predvsem opis adiabatne krivulje, poroznosti in sorpcijskih izoterm. Na osnovi opisanega numericnega postopka smo pripravili racunalniški program PreTeDis v programskem okolju Matlab, s katerim smo izracunali odziv betona na treh primerih. Na primeru modeliranja adiabatnega poskusa in avtogenega krcenja cementne paste smo rezultate numericnega modela primerjali z eksperimentalnimi rezultati. Vidimo, da se rezultati dobro ujemajo, vendar so rezultati mocno odvisni od parametrov, ki jih je dokaj tezko dolociti, predvsem so za dolocitev obnašanja betona kljucne sorpcijske izoterme. Kljub temu lahko zakljucimo, daje opisani postopek primeren za analizo svezega betona. Reševanje popolnoma povezanega problema smo na primeru armiranobetonske temeljne plošce primerjali z dvofaznim postopkom, pri katerem najprej rešujemo povezan problem gibanja vlaznega zraka in vode ter prevajanja toplote, nato pa na osnovi teh rezultatov dolocimo še pomike trdne faze betona. Ugotovili smo, da so pri tanjših plošcah rezultati skoraj enaki, pri debelejših plošcah pa se razlikujejo za manj kot 10 %. Glede na krajši racunski cas, ki je potreben za racun dvofaznega postopka, je pri tanjših plošcah in v primeru, ko ne rabimo zelo natancnih rezultatov, smiselno racunati po dvofaznem postopku. V drugem delu disertacije smo se osredotocili na toplotno analizo betona, pri cemer smo zanemarili vpliv vlaznosti in deformacij betona na njegovo temperaturo ter na potek hidratacije cementa. V okolju Matlab smo pripravili program TeEx, ki poleg toplotne analize svezega betona omogoca dodajanje in odvzemanje koncnih elementov in robnih pogojev iz sistema ter s tem modeliranje postopne gradnje konstrukcije in modeliranje razopazevanja. Poleg tega smo program dopolnili z moznostjo dolocitve adiabatne krivulje z nevronsko mrezo ter z moznostjo modeliranja osoncenja vodoravne površine. Pravilnost in ustreznost numericnega postopka ter racunalniškega programa smo potrdili s primerjavo rezultatov numericnih modelov s številnimi eksperimenti. Prikazali smo mozšnost dolocšitve temperature zaradi hidratacije v adiabatnih pogojih s poladiabatnim poskusom, kot gaje predlagal Ng s sodelavci [43]. Z numericnim modeliranjem poskusa smo pokazali, da je poladiabatni poskus ustrezen za dolocitev adiabatne krivulje betonske mešanice. Iz tega primera tudi lahko vidimo, daje izbira ustreznega matematicnega modela za opis adiabatne krivulje pomembna za natancšnost izracšunanega poteka temperatur v betonu. Ker je izvedba poladiabatnega ali adiabatnega poskusa zamudna, smo pokazali, kako lahko adiabatno krivuljo mešanice dolocimo na osnovi njenih parametrov z nevronsko mrezo. Ugotovili smo, da lahko z nevronskimi mrezami dobro dolocimo adiabatne krivulje mešanic, ki imajo vrednosti parametrov v okviru razpona parametrov ucnega niza. Z dodajanjem novih adiabatnih krivulj v ucni niz podatkov lahko obseg veljavnosti delovanja nevronskih mrez povecamo. Nevronska mreza ima le nekoliko tezav pri dolocitvi zacetne faze hidratacije. Modeliranje osoncenja vodoravne površine smo prikazali na primeru spodnje pasnice temelja hladilnega stolpa. Rezultati kazejo, da ima osoncenje površine velik vpliv na temperaturo betona blizu površine, sploh v cšasu blizu poletnega solsticija, ko je toplotni tok Sonca, ki dosezše povrsšino na nasši polobli, najvecji. Na beton, ki je od osoncene površine bolj oddaljen, insolacija nima pomembnega vpliva. Modeliranje postopne gradnje smo prikazali na primerih armiranobetonskega vodnjaka in temelja mostu. V prvem primeru smo numericne rezultate primerjali z rezultati meritev in ugotovili, da je upoštevanje vpliva naknadno vgrajenih plasti kljucno za pravilno dolocitev temperature v betonu. Z upoštevanjem vpliva postopne gradnje smo dobili zelo dobro ujemanje rezultatov. V drugem primeru smo prikazali napoved temperature v betonu v odvisnosti od vrste betonske mešanice in debeline vgrajenih plasti. Pokazali smo, da lahko predpisanim omejitvam glede najvišje temperature v betonu in najvecjega gradienta zadostimo z razlicnimi ukrepi. Z numericnim modeliranjem lahko vplive teh ukrepov racunsko ocenimo in s tem pridobimo oceno njihove ustreznosti in zadostnosti. Na koncu smo prikazali sše nacšin uposštevanja vpliva armature na razpored temperature v betonu. Uposšte-vali smo zmanjšanje sprošcanja hidratacijske toplote zaradi manjšega deleza betona v armiranem betonu in vpliv armature na materialne parametre armiranega betona. V primeru zelo gosto armiranega stebra hladilnega stolpa je bil vpliv prvega pojava zanemarljiv, vpliv drugega pa vecji od 10 %. Ce zelimo natancnejši racun, je vpliv armature na potek temperature v betonu smiselno upoštevati, vendar pa to velja le za gosto armirane konstrukcije, kar masivne konstrukcije, pri katerih je potrebna toplotna analiza, ponavadi niso. Toplotna analiza svezega betona je v primerjavi z reševanjem popolnoma povezanega problema hitrejša in lazje obvladljiva, saj ima bistveno manj parametrov. Ce potrebujemo samo toplotni odziv konstrukcije, reševanje popolnoma povezanega problema ni smiselno, saj vlaznost in pomiki ne vplivajo bistveno na temperaturo betona, vsaj ne v obmocju visoke relativne vlaznosti. Ker imajo masivni betoni obicajno dovolj visoko vodocementno razmerje, se tudi relativna vlaznost betona manj zniza kot pa pri visoko-trdnih betonih. Po drugi strani je resševanje popolnoma povezanega problema ali dvofaznega postopka nujno, ce zelimo tudi informacijo o vlaznosti in napetostnem stanju betona. To lahko uporabimo pri napovedi krcenja in pri natancnejšem napovedovanju razpok, s cimer bi lahko varcneje uporabljali ukrepe za nadzor temperature, saj so omejitve najvišje dovoljene temperature in najvecjega gradienta pogosto konservativne. Model povezanega reševanja gibanja vlaznega zraka in vode, prevajanja toplote in deformacij svezega betona bi lahko še izboljšali predvsem s spreminjanjem konstitucijskih zakonov, da bi bili njegovi materialni parametri lazje eksperimentalno dolodjivi in bolj prilagojeni lastnostim svezega betona. Analogno kot je v programu TeEx bi lahko tudi v program PreTeDis vgradili moznost dodajanja in odvzemanja koncnih elementov in robnih pogojev in s tem omogocili dolocitev vlaznosti in pomikov tudi v primeru postopne gradnje. 5 POVZETEK V doktorski disertaciji smo prikazali numeriCno analizo svezega masivnega betona, to je betona, pri katerem moramo nadzorovati povišanje temperature, do katerega pride zaradi sprošCanja hidratacijske toplote pri vezavi cementa. Tanjši betonski elementi namreC preko svoje površine sproti oddajo veCji del toplote, medtem ko se masivnejši elementi znatno segrejejo. Ker visoka temperatura betona in velik temperaturni gradient lahko povzroCita zmanjšanje nosilnosti in trajnosti konstrukcij, moramo ze pred gradnjo pripraviti ukrepe, s katerimi temperaturo omejimo. UCinkovitost teh ukrepov lahko ocenimo z numeriCnim modeliranjem. Doktorska disertacija je razdeljena na dva dela. V prvem delu prikazujemo raCunski model, s katerim rešujemo popolnoma povezan problem prenašanja vode, vlaznega zraka, toplote in napetosti po svezem betonu. Osnovne enaCbe so izpeljane na podlagi modela poroznega materiala, ki beton opiše kot material, sestavljen iz trdnega skeleta in por, ki so napolnjene z vodo in vlaznim zrakom. Deformacija betona je povezana z efektivnimi napetostmi trdnega skeleta, ki so razlika med totalnimi napetostmi in pov-preCno napetostjo tekoCine v porah. Princip efektivnih napetosti ima za posledico samodejno upoštevanje krCenja kot posledice izsuševanja, saj se zaradi zmanjšanja relativne vlaznosti v porah poveCa kapilarni tlak, kar poveCa pritisk tekoCine na skelet in s tem povzroCi njegovo krCenje. Lezenje betona je opisano z Bazantovim modelom, v katerem je deformacija zaradi lezenja sestavljena iz viskoelastiCnih deformacij in viskoznega teCenja. Hidratacija cementa je opredeljena z zvišanjem temperature v adiabatnih pogojih in z Arrheniusovo zrelostno funkcijo. Podali smo dva naCina za doloCitev sorpcijskih izoterm. Z vstavljanjem konstitucijskih zvez v osnovne enaCbe smo za tridimenzionalni problem dobili sistem šestih nelinearnih diferencialnih enaCb s pripadajoCimi robnimi in zaCetnimi pogoji, v katerih so neznanke zraCni tlak, kapilarni tlak, temperatura in pomiki trdnega skeleta. Opisano je numeriCno reševanje dobljenega sistema enaCb z metodo konCnih elementov. Po prikazanem numeriCnem postopku smo pripravili program PreTeDis v programskem okolju Matlab. Rezultate, ki smo jih z njim pridobili, smo primerjali z eksperimentalnimi in ugotovili dobro ujemanje, iz Cesar lahko sklepamo, da je opisan nu-meriCni postopek primeren za analizo svezega betona. Reševanje popolnoma povezanega problema smo primerjali z dvofaznim postopkom, v katerem najprej rešujemo problem prevajanja toplote in vlage, nato pa na osnovi teh rezultatov izraCunamo pomike, in ugotovili, daje tudi dvofazni postopek za raCun tanjših elementov dovolj natanCen. V drugem delu disertacije je prikazana toplotna analiza svezega betona, pri kateri zanemarimo vpliv vlaznosti in deformacij betona na njegovo temperaturo in hidratacijo cementa. Osnovno enaCbo prevajanja toplote smo rešili z metodo konCnih elementov s programom TeEx, ki smo ga pripravili v programskem okolju Matlab. Program smo dopolnili z moznostjo modeliranja osonCenja vodoravne površine in z moznostjo modeliranja postopne gradnje. Analizirali smo vpliv armature na razpored temperatur v betonu. S primerjavo med eksperimentalnimi in numeriCnimi rezultati smo ugotovili, da lahko z opisanim numeriCnim postopkom in pripadajoCim raCunalniškim programom dobro modeliramo dogajanje v svezem betonu in dokaj natanCno napovemo potek temperatur v betonu v odvisnosti od zaCetne temperature betona, lastnosti betonske mešanice in temperature zraka. Prikazali smo tudi doloCitev sprošCanja hidratacijske toplote v adiabatnih pogojih s poladiabatnim poskusom in z nevronsko mrezo. Z numeriCnim modeliranjem poladiabatnega poskusa smo ugotovili, da lahko z njim dobro doloCimo zvišanje temperature v betonu zaradi hidratacije. Za betonske mešanice, ki imajo vrednosti parametrov v okviru razpona parametrov ucšnega niza, moremo to zvisšanje dobro napovedati tudi z uporabo nevronskih mrez. Toplotna analiza svezega betona je v primerjavi z reševanjem popolnoma povezanega problema hitrejša in lazje obvladljiva, saj ima bistveno manj parametrov. Ce potrebujemo le toplotni odziv konstrukcije, reševanje popolnoma povezanega problema ni smiselno, saj vlaznost in pomiki ne vplivajo bistveno na temperaturo betona. Po drugi strani je resševanje popolnoma povezanega problema ali dvofaznega postopka nujno, ce zelimo tudi informacijo o vlaznosti in napetostnem stanju betona. To lahko uporabimo pri napovedi krcenja in pri natancnejšem napovedovanju razpok, s cimer bi lahko varcneje uporabljali ukrepe za nadzor temperature, saj so omejitve najvišje dovoljene temperature in najvecjega gradienta pogosto konservativne. 6 SUMMARY Presented doctoral thesis deals with numerical analysis of massive concrete at an early age. Massive concrete is concrete whose temperature rise due to heat of cement hydration needs to be controlled, since it cannot dissipate the energy through the surface fast enough. As high temperature and high temperature gradient can cause a decrease in bearing capacity and durability of structures, measures to limit the temperature need to be chosen before the construction begins. Efficiency of these measures can be estimated by numerical modelling. The thesis consists of two parts. In the first part, a numerical model which solves a fully coupled problem of water, moist air, heat and tension transfer through fresh concrete is presented. Basic equations are deduced from the model of the porous body, which describes concrete as a material composed of solid skeleton and pores filled with water and moist air. Deformation of concrete is connected with ef-fective stress of solid skeleton, which is the difference between the total stress and the average stress of the liquid in pores. The principle of the effective stress results in automatic consideration of a part of shrinkage which is the consequence of desiccation. A decrease of relative humidity in pores causes an increase in capillary pressure which gives rise to the pressure of liquid onto the skeleton and effects in its shrinkage. The creep of concrete is described by Bazant's model where the creep deformation consists of the viscoelastic and viscous part. The hydration of cement is described by the adiabatic temperature rise and the Arrhenious maturity function. Two methods for the determination of the sorption isotherms are given. After incorporating constitutive equations in the basic equations, a system of six nonlinear differential equations with associated boundary and initial conditions is obtained for a three dimensional problem. The basic variables are gas pressure, capillary pressure, temperature and displacement vector of the solid skeleton. The system is solved numerically with the finite element method. Following the presented numerical procedure, a computer programme named PreTeDis has been developed in the Matlab en-viroment. Numerical results of the programme are compared to the experiment and they show good agreement which indicates that the numerical procedure is adequate to the analysis of concrete at an early age. Solving the fully coupled problem is compared to the two phase procedure where firstly, the problem of moisture and heat transfer is solved, and then the displacements are calculated on the basis of these results. The two phase procedure proved to be adequate to the analysis of the not so thick elements. In the second part of the thesis, a temperature analysis of the fresh concrete is presented. The impact of moisture and the deformation of concrete on its temperature and on the hydration of cement is neglected. The basic equation of the heat transfer is solved with the finite element method by a computer programme TeEx which has been prepared in the Matlab enviroment. The programme has been supplemented with the possibility of modelling the successive construction and the insolation of the horizontal surface. A method for modelling the impact of the reinforcement on the temperatures in reinforced concrete is suggested. The comparison between the experimental and numerical results shows that the numerical procedure and the computer programme describe the proceses that take place in the fresh concrete well and are able to predict the temperatures in concrete with respect to the initial temperature, air temperature and the parameters of the concrete mixture quite accuratelly. Determination of the adiabatic temperature rise with semi-adiabatic experiment and the neural network is described. The results of the numerical modelling of the semi-adiabatic test show that it is suitable for the determination of the adiabatic temperature rise due to hydration. For concrete mixtures which have the values of the input parameters in the range of the parameters of the training series, the adiabatic temperature rise can be adequately predicted with the neural networks as well. In comparison to the fully coupled problem, the temperature analysis of fresh concrete is faster and easier to control as it has fewer parameters. Solving the fully coupled problem is not reasonable if only temperature of the concrete is needed since moisture and displacement does not effect it significantly. However, solving the fully coupled or the two phase procedure is necesary if the information on moisture and stresses of concrete are desired. These information can be used for the prediction of shrinkage and for more accurate prediction of cracks which could lead to a more economical usage of temperature control measures, since the limits of the highest temperature and temperature gradient are usually conservative. VIRI [1] Ambrozic, T. 2001. Aplikacija umetnih nevronskih mrez v napovedovanju ugrezanja zaradi podzemnega rudarjenja. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta (samozalozšba T. Ambrozšicš). [2] Ammar, C., Dutron, P., Motteu, H., Dubois, J. 1973. La progression des betons et des mortiers par basses temperatures. C.S.T.C. - C.R.I.C. - SECO, Bruxelles. [3] Araujo, J. M., Awruch, A. M. 1998. Cracking safety evaluation on gravity concrete dams during the construction phase. Computers and Structures 66, 1, 93-104. [4] Baroghel-Bouny, V., Mainguy, M., Lassabatere T., Coussy, O. 1999. Characterization and identification of equilibrium and transfer moisture properties for ordinary and high performance cementi-tious materials. Cement and concrete research 29, 1225-1238. [5] Bazant, Z.P., Baweja, S., in collaboration with RILEM Committee TC 107-GCS 1995. Creep and shrinkage prediction model for analysis and design of concrete structures — model B3. Materials and Structures (RILEM, Paris) 28, 357-365. [6] Bazant, Z. P., Hauggaard, A. B., Baweja, S., Ulm F.-J. 1997. Microprestress-solidification theory for concrete creep. I: Aging and drying effects. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 123, 11, 1188-1194. [7] Bazant, Z. P., Hauggaard, A. B., Baweja, S. 1997. Microprestress-solidification theory for concrete creep. II: Algorithm and verification. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 123, 11, 11951201. [8] Bazant, Z. P., Prasannan, S. 1989. Solidification theory for concrete creep. I: Formulation. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 115, 1691-1703. [9] Bazant, Z. P., Prasannan, S. 1989. Solidification theory for concrete creep. II. Verification and application. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 115, 1704-1725. [10] Bentz, D. P., Waller, V., de Larrard, F. 1998. Prediction of adiabatic temperature rise in conventional and high-performance concrete using a 3-D microstructural model. Cement and concrete research, 28, 285-297. [11] Brouwers, H. J. H. 2004. The work of Powers and Brownyard revisited. Cement and concrete research 34, 1697-1716. [12] Bazant, Z. P., Xi, Y. 1995. Continuous Retardation spectrum for solidification theory of concrete creep. Journal of engineering mechanics (ASCE) 121, 281-288. [13] Cegnar, M., Gorup, T. 2011. Podnebne razmere v maju 2011. Naše okolje, bilten Agencije RS za okolje, 18,5,3-22. [14] Cervera, M., Oliver, J., Prato, T. 1999. Thermo-Chemo-Mechanical model for concrete I: Hydration and aging. Journal of engineering mechanics 125, 9, 1018-1027. [15] Cervera, M., Oliver, J., Prato, T. 1999. Thermo-Chemo-Mechanical model for concrete II: Damage and creep. Journal of engineering mechanics 125, 9, 1028-1039. [16] Chini, A. R., et alt. 2003. Determination of the Maximum Placement and curing temperatures in mass concrete to avoid durability problems and DEF. Gainesville, University of Florida. [17] Cook, R., Malkus, D., Plesha, M. 1989. Concepts and applications of finite element analysis. New York, Wiley. [18] Davie, C. T., Pearce, C. J., Bicanic, N. 2010. A fully generalised, coupled, multi-phase, hygro-thermo-mechanical model for concrete. Materials nad structure 43, 13-33. [19] Davie, C. T., Pearce, C. J., Bicanic, N. 2006. Coupled heat and moisture transport in concrete at elevated temperatures - effects of capillary pressure and adsorbed water. Numerical heat transfer, Part A, 49, 733-763. [20] De Schutter, G., Taerwe, L. 1996. Degree of hydration based description of mechanical properties of early age concrete. Materials and structures 29, 335-344. [21] Dilger, W. H., Ghali, A., Chan, M., Cheung, M. S., Maes, M. A. 1983. Temperature stresses in composite box girder bridges. Journal of structural engineering, 109, 6. [22] Gajda, J., VanGeem, M. 2002. Controlling temperatures in mass concrete. Concrete international, 24, 1, 59-62. [23] Garboczi, E. J.; Bentz, D. P. 1996. Multiscale picture of concrete and its transport properties: Intro-duction for non-cement researchers. Gaithersburg, National institute of standards and technology. [24] Gawin, D., Majorana, C. E. , Schrefler, B.A. 1999. Numerical analysis of hygro-thermic behaviour and damage of concrete at high temperature. Mechanics of Cohesive-Frictional Materials 4, 37-74. [25] Gawin, D., Pesavento, F., Schrefler, B. A. 2006. Hygro-thermo-chemo-mechanical modelling of concrete at early ages and beyond. Part I: Hydration and hydro-termal phenomena. International journal for numerical methods and engineering 67, 299-331. [26] Gawin, D., Pesavento, F., Schrefler, B. A. 2006. Hygro-thermo-chemo-mechanical modelling of concrete at early ages and beyond. Part II: Shrinkage and creep of concrete. International journal for numerical methods and engineering 67, 332-363. [27] Gawin, D., Pesavento, F., Schrefler, B. A. 2003. Modelling of hygro-thermal behaviour of concrete at high temperature with thermo-chemical end mechanical material degradation. Computer methods in applied mechanics and engineering 192, 1731-1771. [28] Halamickova P., Detwiler, R. J. 1995. Water permeability nad chloride ion diffusion in portland cement mortars: Relationship to sand content and critical pore diameter. Cement and concrete research 25, 780-802. [29] Hassanizadeh, M., Gray, W. G. 1979. General conservation equations for multi-phase systems: 1. Averaging procedure. Advances in water resources 2, 131-144. [30] Hassanizadeh, M., Gray, W. G. 1979. General conservation equations for multi-phase systems: 2. Mass, momenta, energy and entropy equations. Advances in water resources 2, 191-203. [31] Hassanizadeh, M., Gray, W. G. 1980. General conservation equations for multi-phase systems: 3. Constitutive theory for porous media flow. Advances in water resources 3, 25-40. [32] Hattel, J. H., Thorborg, J. 2003. A numerical model for predicting the thermomechanical conditions during hidratation of early age concrete. Applied mathematical modeling 27, 1-26. [33] Hozjan, T. 2009. Nelinearna analiza vpliva pozara na sovprezne linijske konstrukcije, doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo (samozalozba T. Ambrozšicš). [34] Jaafar, M. S., Bayagoob, K. H., Noorzaei, J., Thanoon, W. A. M. 2007. Development of finite element computer code for thermal analysis of roller compact concrete. Advances in engineering software 38, 886-895. [35] Jensen, O. M., Hansen, P. F. 1995. A dilatometer for measuring autogenous deformation in harde-ning Portland cement paste. Materials and structures 28, 406-409. [36] Jensen, O. M. 1996. Dilatometer - further development. Technical university of Denmark, Department of structural engineering and materials. [37] Jensen, O. M., Hansen, P. F. 2001. Water entrained cement-based materials, I. Principles nad theo-retical background. Cement and concrete research 31, 647-654. [38] Kladnik, R. 1983. Nestacionarni temperaturni pojavi v ovojnem sklopu zgradbe. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo. [39] Lewis, R. W., Schrefler, B. A. 1998. The finite element method in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media (2nd edn). Chichester, Wiley. [40] Lura, P., Jensen, O. M., van Breugel, K. 2003. Autogenous shrinkage in high-performance cement paste: An evaluation of basic mechanisms. Cement and concrete research 33, 223-232. [41] Maekawa, K., Chaube, R., Kishi, T. 1999. Modelling of concrete performance. New York, Rou-tledge. [42] Mehta, P. K., Monteiro, P. J. M. 2006. Concrete Microstructure, Properties and Materials. New York, McGraw-Hill. [43] Ng, P. L., Ng, I. Y. T., Kwan, A. K. H. 2008. Heat loss compensation in semi-adiabatic curing test of concrete. ACI materials journal 105, 1, 52-61. [44] Sarle, W. S. Neural network FAQ, Periodic posting to the usernet newsgroup comp.ai.neural-nets, Part 3: Generalization. URL: ftp://ftp.sas.com/pub/neural/FAQ3.html#questions (Pridobljeno 1.10.2012). [45] Schindler, A. K., Dossey, T., McCullough, B. F. 2002. Temperature control during construction to improve the long term performance of portland cement concrete pavements. Austin, Texas Department of Transportation, Research project No. 0-1700-2, The University of Texas at Austin. [46] SIST EN 13670:2010. Izvajanje betonskih konstrukcij. Ljubljana, Slovenski inštitut za standardizacijo. [47] Tenchev, R. T., Li, L. Y., Purkiss, J. A. 2001. Finite element analysis of coupled heat and moistrure transfer in concrete subjected to fire. Numerical heat transfer, Part A, 39, 685-710. [48] Trtnik, G. 2009. Uporaba ultrazvocne metode za analizo vezanja in strjevanja betona. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo (samozalozba G. Trtnik). [49] Turk, G. 1987. Programska oprema za racun nelinearnega in nestacionarnega prevajanja toplote z upoštevanjem raznih robnih pogojev in notranjega vira toplote zaradi hidratacije cementa. Diplomska naloga. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo (samozalozba G. Turk). [50] Turk, G. 1994. Analiza zanesljivosti konstrukcij z upoštevanjem geometrijske in materialne neli-nearnosti. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo (samozalozba G. Turk).