     
P 46 (2018/2019) 3 11
Uglajena števila
M R
Matematiki so si za naravna števila, ki imajo ta-
ko ali drugačno lastnost, izmislili celo kopico po-
sebnih izrazov. Nekatere dobro poznamo, na pri-
mer sodo število, liho število, praštevilo, sestavlje-
no število, trikotniško število. Manj znana so mor-
da uglajena ali trapezna števila, ki si jih bomo ne-
koliko natančneje ogledali v nadaljevanju.
Nekatera naravna števila lahko zapišemo kot vso-
to vsaj dveh zaporednih naravnih števil na en sam
način, nekatera pa na dva ali celo več načinov. Taka
števila so poimenovali uglajena števila, v angleščini
polite numbers. Angleški pridevnik polite pomeni
vljuden, lepo vzgojen, uglajen, kultiviran, eleganten.
Število zapisov naravnega števila N z vsoto zapore-
dnih naravnih števil je njegova uglajenost, angleško
politeness. Označimo jo z ugl(N).
Primeri:
3 = 1+ 2, 5 = 2+ 3, 9 = 4+ 5 = 2+ 3+ 4 ;
69 = 9+ 10+ 11+ 12+ 13+ 14 = 34+ 35
= 22+ 23+ 24.
Števila 3,5,9,69 so zato uglajena. Velja: ugl(3) =
ugl(5) = 1,ugl(9) = 2,ugl(69) = 3. Zanimivo je,
da števil 1,2,4,8,16, . . ., to je potenc 2n z nenega-
tivnimi celimi eksponenti n, ne moremo zapisati kot
vsoto zaporednih naravnih števil na noben način.
Števila 2n so neuglajena in ugl(2n) = 0.
Vsa liha števila razen 1 so uglajena, ker velja 2n+
1 = n+ (n+ 1). Videli bomo, da so vsa naravna šte-
vila, razen potenc števila 2, uglajena števila. Potem-
takem bi marsikdo menil, da uglajena števila niso
zanimiva. Vendarle pa je le pomembno, kako sploh
ugotovimo, ali je dano naravno število N uglajeno,
koliko je ugl(N) in kako ga lahko zapišemo kot vsoto
zaporednih naravnih števil.
Da bi bilo N uglajeno število, morata obstajati celi
števili m ≥ 0 in d > 1, za kateri velja
(m+ 1)+ (m+ 2)+ . . .+ (m+ d) = N.
Na levi strani imamo d členov aritmetičnega zapo-
redja, katerega prvi člen je m + 1, zadnji pa m + d.
Vsota teh členov je, kot je dobro znano,
1
2
d((m+ 1)+ (m+ d)) = 1
2
d(2m+ d+ 1).
Pogoj uglajenosti števila N je torej enačba
d(2m+ d+ 1) = 2N.
Iz nje se takoj vidi, da potenca N = 2n ne more biti
uglajeno število. V enačbi d(2m + d + 1) = 2n+1
namreč d ne more biti niti sodo niti liho število. Če
bi bil d sod, bi dobili na levi strani produkt sodega
in lihega števila, kar ne more biti potenca števila 2.
Če pa je d lih, pa prav tako ne.
Če število 2N ni potenca števila 2, ga očitno lahko
vsaj na en način izrazimo kot produkt sodega in li-
hega števila, recimo 2N = PQ, pri čemer je 1 < P <
Q. Ker v relaciji d(2m + d + 1) = 2N = PQ velja
d < 2m+d+1, izberemo kar d = P in 2m+d+1 = Q.
S tem imamo m = (Q − P − 1)/2. Če je d = P sodo
(liho) število, je Q liho (sodo) število. Števili P in Q
sta različnih parnosti, zato je število Q− P − 1 sodo
in posledično m naravno število.
Primeri: Naj bo N = 2018. Imamo 2N = 4036 =
4·1009. To je edini razcep števila 4036 na sodi in lihi
faktor. Če izberemo P = 4 in Q = 1009, dobimo d =
Q = 4 inm = (Q−P−1)/2 = (1009−4−1)/2 = 502.
Res je 2018 = 503+504+505+506 in ugl(2018) = 1.
Uglajenost števila je lahko tudi zelo velika. Da ne
bomo pretiravali, vzemimo število N = 90. V tem
primeru je 2N = 180 = 4 · 32 · 5. To število ima 5
razcepov na sodi in lihi faktor z ustreznimi d = P in
Q ter m = (Q− P − 1)/2:
2N = 180 = 4 · 45;d = 4,m = 20;
2N = 180 = 12 · 15;d = 12,m = 1;
2N = 180 = 9 · 20;d = 9,m = 5;
2N = 180 = 3 · 60;d = 3,m = 28;
2N = 180 = 5 · 36;d = 5,m = 15.
     
P 46 (2018/2019) 312
Zato je ugl(90) = 5, zapisi v obliki vsot zaporednih
naravnih števil pa so:
90=21+ 22+ 23+ 24
=2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12+13
=6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13+ 14
=29+ 30+ 31 = 16+ 17+ 18+ 19+ 20.
Zanima nas, kako bi najhitreje izračunali ugl(N). Do-
volj je prešteti vse lihe delitelje števila
2N = 2αpβ11 p
β2
2 . . . p
βr
r . Z vsakim od njih dobimo
enega od faktorjev P,Q v razcepu 2N = PQ. Pre-
ostali je z njim natančno določen. Lihi delitelji šte-
vila 2N so oblike p
γ1
1 p
γ2
2 . . . p
γr
r , kjer so γ1, γ2, . . . , γr
nenegativna cela števila in 0 ≤ γ1 ≤ β1,0 ≤ γ2 ≤
β2, . . . ,0 ≤ γr ≤ βr . Število vseh lihih deliteljev šte-
vila 2N je zato po osnovnem izreku kombinatorike
enako produktu (β1 + 1)(β2 + 1) . . . (βr + 1). Izločiti
pa moramo primer γ1 = γ2 = . . . = γr = 0, ki nam da
delitelj 1 in s tem d = 1, ki pa za izračun uglajenosti
števila ne pride v poštev. Tako smo našli formulo
ugl(N) = (β1 + 1)(β2 + 1) . . . (βr + 1)− 1.
Primeri. ugl(100) = ugl(22 · 52) = (2 + 1) − 1 =
2,ugl(1000) = ugl(23 · 53) = (3 + 1) − 1 = 3,
ugl(1350) = ugl(2 · 33 · 52) = (3 + 1)(2 + 1) − 1 =
11,ugl(3100) = (100+ 1)− 1 = 100.
Iz zadnjega primera vidimo, da je uglajenost lahko
poljubno velika, saj je na primer ugl(pk) = k za po-
ljubno liho praštevilo p in poljubno naravno število
k. Za različni lihi praštevili p in q imata potenci pk
in qk isto uglajenost, v številu d členov v vsoti pa se
lahko razločujeta, kot spoznamo v nalogi na koncu
prispevka.
Na sliki 1 je nekaj začetnih točk (n,ugl(n)) v ko-
ordinatnem sistemu.
Matematika Joachim Lambek (1922–2014) in Leo
Moser (1921-1970) sta celo našla funkcijo, s katero
izračunamo n-to uglajeno število:
f(n) = n+ 1+ ⌊log2(n+ 1+ log2(n+ 1))⌋.
Pri tem pomeni ⌊u⌋ celi del realnega števila u, to je
največje celo število, ki ne presega u.
Med uglajena števila spadajo vsa trikotniška šte-
vila
Tn = 1+ 2+ . . .+n =
1
2
n(n+ 1),
razen T1 = 1. Ustrezajo m = 0 in d = n. Očitno je
vsako uglajeno število N razlika dveh trikotniških:
N = Tm+d − Tm.
Pri tem vzamemo T0 = 0. Podobno kot lahko tri-
kotniška števila figurativno predstavimo s točkami,
zloženimi v trikotnik, lahko uglajena števila predsta-
vimo s točkami, zloženimi v trapez. Zato nekateri
(na primer [1]) uglajena števila imenujejo kar trape-
zna števila. Slika 2 predstavlja uglajeno število 27 na
3 načine, ker ima uglajenost enako 3.
SLIKA 2.
Naloga. Naj bo p liho praštevilo, k pa naravno
število. Dokaži, da je pk vsota dveh zaporednih na-
ravnih števil. Če pa je k > 2, je pk tudi vsota 2p
zaporednih naravnih števil, od (pk−1 − 2p + 1)/2 do
(pk−1 + 2p − 1)/2.
Literatura
[1] C. Gamer, D. W. Roeder, J. J. Watkins, Trapezoi-
dal numbers, Mathematics Magazine 58 (1985),
št. 2, str. 108–110.
SLIKA 1.
×××