Univerza v Ljubljani
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN TEHNOLOGIJO VTO MATEMATIKA IN MEHANIKA
Peter Legiša
HERMITSKI OPERATORJI IN IZOMETRIČNA STRUKTURA BANACHOVIK PROSTOROV
Doktorska disertacija
Ljubljana 1977
KAZALO
I.  Izometricne reprezentacije faktorjev tipa I
na Eanachovih prostorih .............................. 5
II.  W*-algebre na Eanachovih prostorih................ . 19
III.  Grupa izometrij Banachovega prostora .............. 36
Literatura ............................................. 5 7
Delo sem pisal pod vodstvom (in z nemajhno pomočjo) profesorja Ivana Vidava. Od vseh drugih v ljubljanskem matematičnem kolektivu, ki so me bodrili in mi pomagali, pa naj napišem le docenta Josipa Globevnika.
POVZETEK
Obravnavana snov sodi bolj ali manj v izometrično strukturo Eanachovih prostorov. Prvi razdelek je posvečen izometričnim reprezentaci jam von hTeumannovih algebr na Eanachovih prostorih. Če obstaja izometrična upodobitev (ohranjajoča identiteto) faktorja tipa I na Banachovem prostoru  X , ugotovimo, da mora X  vsebovati hilbertove podprostore in imeti (zlasti v nekaterih specialnih primerih) tudi sicer zanimivo strukturo.
V primeru, da imamo na  X  naraščajoče posplošeno zaporedje hermitskih projektorjev z določenimi lastnostmi, pa pokažemo, da obstaja naravna izometrična reprezentacij a von Neumannove algebre tipa I na  X  in da  X  nekako razpade na Hilbertove podprostore. To uporabimo pri kompleksnih Eanachovih prostorin s hiperortogonalno bazo in poleg že znanih dobimo tudi nove rezultate.
Druga polovica dela je posvečena iskanju zadostnih pogojev za to, da je grupa %    vseh linearnih izometrij Eanachovega prostora  X  nase Eanach-Liejeva grupa v normi topologiji. Najdena pogoja zahtevata, da obstajata dovolj majhni okolici U. ,\T identitete v *&. , tako da lahko vsak element iz V povežemo z identiteto s potjo po \L    , ki je bodisi odvedljiva bodisi ima končno dolžino. Pokažemo tudi, da  &• je Eanach-Liejeva grupa, če je  X  kompleksen in ima hiperortogonalno bazo.
AMS(MOS) klasifikacija (1970): 22E65, 46B99, 46H15, 46L1C, 46L20, 47B05, 47C10, 47D10.
5
I.   IZOMETRICNE REPREZENTACIJE FAKTORJEV TIPA I NA BANACHOVIH PROSTORIH
Imejmo kompleksen Hilbertov prostor  K , kompleksen Banachov prostor X  in izometrično reprezentacijo algebre "^(K)  vseh omejenih linearnih operatorjev na  K na prostoru  X . Privzemimo še, da reprezentacija preslika identiteto v identiteto. Vprašamo se, kaj lahko potem povemo o strukturi prostora  X .
0 omejenih reprezentacijah algebre vseh omejenih operatorjev na Banachovem prostoru  X  v algebri vseh omejenih operatorjev na Banachovem prostoru  Y  govori članek E.Berksona in H. Porte [2']-. Precej idej najdemo v članku Ivana Vidava The group of isometries and the structure of a finite dimensional normed space [2UJ. Najprej pa preglejmo nekaj definicij in pomožnih rezultatov.
Definicija. Naj  bo  X  Banachov prostor in  konvergentna
vrsta v njem. Pravimo, da je ta vrsta brezpogojno  konvergentna,
če za vsako permutacijo  p: K —> N vrsta   tudi konvergira v  X .
Definicija.  Naj bo spet  X  Banachov prostor in  vrsta v njem. Pravimo, da je ta vrsta šibko brezpogojno konvergentna, če za vsak omejen linearen funkcional  f na  X  ( f e X* ) konvergira brezpogojno vrsta 
Definicija.  Naj bo  X  linearen topološki prostor in
 . Z  3 označimo družino vseh končnih podmnožic v  A , delno urejeno z inkluzijo. Pravimo, da vrsta  neurejeno konvergira, če konvergira posplošeno zaporedje s členi

"A
6
1.1.  Izrek. , (Bessaga - Pelczvnski [3]). Eanachov prostor X vsebuje vrsto, ki je šibko brezpogojno konvergentna, pa ni brezpogojno konvergentna, natanko takrat, ko  X  vsebuje podprostor, izomorfen prostoru  cn .
Potrebovali bomo tudi nekaj rezultatov iz teorije numeričnih zakladov operatorjev. Ustrezne dokaze lahko najdemo v knjižici Eonsalla in Duncana [*+].
Naj bo od zdaj naprej  A  kompleksna Eanachova algebra z enoto  1 , H ll|= 1 , in  A*  prostor zveznih linearnih funkcionalov na A .
Definicij a.  Algebrski numerični zaklad elementa • a 6 A  označimo z  V(a)  in definiramo z ; .
1.2.  Izrek.  Za vsak  je 
Definicija. Element  h €• A  je hermitski, če je 
Množico vseh hermitskih elementov algebre  A označimo s  H(A) .
Izrek.  Naj bo  hčA . Naslednje lastnosti so ekvivalentne:
(1) 
-i
(2) 
(3) za vsak realen  t
Vidimo, da o tem, ali je element  h  hermitski, odloča le enorazsežni podprostor, napet na  1  in  h .
Izrek.(Vidav). H(A)  je realen Banachov prostor in če sta

1.3.  Izrek.(Vidav). Naj bo  . Potem je  V(h)  konveksna ogrinjača spektra elementa ' .
7
1.4.  Izrek.(Sinclair). Naj l    . Potem je spektralni radij elementa  h  enak normi.
Posledica. Če je 
Izrek.  H(A) + iK(A)  je zaprt podprostor v  A ; H(A) + iH(A) je algebra natanko  takrat, ko je za vsak 
V  H(A) + iH(A)  uvedimo involucijo takole: 

1.5.  Izrek.(Vidav - Palmer). Če je  K(A) + iH(A)  algebra, je C"-algebra.
Naj bo zdaj  X kompleksen Banachov prostor, "£(X)  algebra vseh omejenih linearnih operatorjev na 
Definicija.  Prostorski numerični zaklad operatorja  T  označimo z  V(T)  in definiramo kot

1.6.  Izrek.  Zaprta konveksna ogrinjača množice  V(T)  je algebrski numerični zaklad za T  kot element algebre N1(X) .
Definicija.  Operator    je hermitski natanko takrat, ko
je  T  hermitski element algebre "£(X) . Množico vseh hermitskih operatorjev na  X označimo s  >{(X) . Operator   je
poševno simetričen, če je  iS S  3£(X) . Hermitski operator A6^(X) je pozitiven natanko takrat, ko je vsaka točka spektra operatorja A  nenegativno realno število 
1.7.  Lema.  Množica vseh hermitskih operatorjev na  X  in množica vseh pozitivnih operatorjev na  X  sta zaprti v šibki operatorski topologiji. Operator   je hermitski (pozitiven) natanko takrat, ko njegov prostorski numerični zaklad leži v 
3
Dokaz.  Maj bo.  .. Iz 1.6 sledi, da je  T  hermitski
natanko takrat, ko njegov prostorski numerični zaklad leži na realni osi. *e   je posplošeno zaporedje, sestavljeno iz hermitskih operatorjev na  X , ter  v šibki operatorski
topologiji, v posebnem i  za vse take 
da je . Ker so potem vsi , velja to
tudi za T  in.je tako  T  hermitski.
Pokažimo še, da je operator   pozitiven natanko
takrat, ko njegov prostorski numerični zaklad leži v  F  . Res, če je   in  , po 1.3  sledi, da je algebrski
numerični zaklad operatorja A (ki vsebuje po 1.6 prostorskega) vsebovan v . Če je narobe prostorski numerični zaklad operatorja A vsebovan v , velja to tudi po 1.6 za algebrskega, ta pa vsebuje  . Naprej pa gre dokaz kot zgoraj.
Do konca tega razdelka bomo imeli opravka z naslednjo situacijo:  K je kompleksen Hilbertov prostor,  X  kompleksen Banachov prostor in  izometričen homomorfizem
algebr, ki preslika identiteto v identiteto. Algebro  lahko na naraven način opremimo z involucijo:    . Ker je 
 podalgebra v  . Jasno je tudi, da je zaradi izometričnosti preslikave r izpolnjena enakost r(A)* = r(A) natanko takrat, ko je r(A) hermitski operator na prostoru  X , se pravi  . Tako je !
izometrični *-izomorfizem.
Eno naših osnovnih orožij bo tale rezultat:
1.8. Lema.  Naj bo   družina paroma ortogonalnih
ekvivalentnih neničelnih projektorjev v . Izberimo  in naj ekvivalenco med  posreduje 
 Vzemimo vektor  f  z normo  1  v pro*storu r(P)X  in ozraMno
množica kompleksnih števil, tako da   konvergira, konvergira tudi 
9
Označimo   . Potem je  Z^ hilbertov
podprostor v  X  (s tem hočemo reči, da je  Zf Hilbertov prostor v normi, ki jo podeduje od prostora  X ) z bazo  Če sta  f ,g f r(P)X  linearno neodvisna, je 
Dokaz. Vemo, da je  P.V.P = V.  in  V*V. = 0  za  i i A     (i.itl)'.
------11                                     13                                        J    'J
Tako je  .Pa naj bo {t-;i£l} taka
množica kompleksnih števil,   da je  . Potem je seveda
le števno mnogo števil  t.     različnih od  0 . če je  J  končna podmnožica v  I  in 
Od tod zelo lahko vidimo, da   konvergira. Res: če sta
K, L  končni podmnožici v  I  in  K D L , je :
 . Označimo 
Očitno je potem  '  in tako  T  parcialna
izometrija. Ker je  r  izometrična preslikava, '  tudi
konvergira, in sicer k  r(T) . Ker je 

 . Tako vrsta  res konvergira in norma njene
vsote je enaka  ). Očitno je Z~   =
 izometrično izomorfen prostoru -t nad množico  I  in tako Hilbertov prostor z ortonormirano bazo

Naj bosta   linearno neodvisna. Če je
 , lahko zapišemo       in od tod
 ; . Uporabimo na tej zadnji neenakosti  r(Vv) , pa dobimo, da je  < . Tako je
 za vsak  i  in od tod  x = 0 .
10
Naj bo zdaj   ortonormirana baza prostora  K  in
 definirani   s  • , kjer je < , >
skalami produkt v  K   . Če je  J  končna podmnožica v  I , označimo se  ) .
1.9. Trditev.  Naj bo preslikava  r  taka, da je  r(P.) enorazsežen projektor za vsak  i 6 1  in da   neurejeno
konvergira k identiteti prostora  X  v krepki operatorski topologiji. Potem je  X  Hilbertov prostor in obstaja linearna izometrija  U  prostora  K na prostor  X , da je  (Z drugimi besedami,  r  je ekvivalentna identični upodobitvi.)
Dokaz.  Uporabimo lemo 1.8 z oznakami vred. Vsi prostori 
so enorazsežni. Vzemimo poljuben  x6X . Potem je 
 . Od tod je   . Ker je
Zf poln, je   . Tako je res  X = Zf  Hilbertov prostor z
ortcnormirano bazo. Predpis  e. i-->  f.  (i £l)
 r     i     i
inducira izometrični izomorfizem U: K —^X , tako da je . Za v s ak    in od tod  . Vidimo, da je
oziroma. Označimo  e- = e .
 L                                   !o
V.  je bil poljuben operator, ki posreduje ekvivalenco med projektorjema  P  in  P. . Zato lahko mirno privzamemo, da je
 . Ker  V.  preslika  r, je
 . Od tod je tudi  za  j i   i,
se pravi    za  j i   i . Vemo pa, da je 
 . Iz prejšnjega pa sledi, da je tudi 3  za  j i   i . Očitno je tako
 oziroma  Vzemimo poljuben operator  ) . Ker je  za vsak  i , je . Ker je  P  enorazsežen
projektor , je  P^(K)P  enorazsežna algebra , se pravi
 . Tako je tudi   ,
•1 i
1 1
se pravi 
 . No,   . Od tod je 
 . . Števila \t. . ;i ,j t I J- tako natančno določajo operator A . Torej je po zgornjem U  r(A)L --  A oziroma   . Reprezentacija  r  je ekvivalentna
identični reprezentaciji in ) .
Izpustimo zdaj zahtevo, da so prostori  r(P.)X  enorazsežni. Če sta  i,j ti   , sta prostora  r(P.)X  in  r(P. )X  izor.etrično izomorfna. V dokaz vzemimo, da kot v 1.8 ekvivalenco med P.  = P  in  P.  posreduje  V. : 
Od tod je    in ni
težko videti, da  r(V.)  preslika izometrično  r(P)X  na  r(P.)X .
1.10. Izrek.  Naj bo reprezentacija  r taka, da končne vsote operatorjev  r(P.)  krepko konvergirajo k identičnemu operatorju na  X . Naj bo • poljubna algebrajska baza prostora
r(P)X . Obstaja družina Hilbertovih podprostorov v  X,
tako da je njihova algebrajska direktna vsota gosta v  X , da so ti podprostori invariantni za  r  in da je na njih  r ekvivalentna identični reprezentaciji (se pravi, da so med drugim vsi  Z   izometrično izomorfni prostoru  K ).
Dokaz.  Spet uporabimo lemo 1.8 in njene oznake. Pokažimo, da
podprostori  Z_ reducirajo upodobitev  r . Naj bo 
Dovolj je, da vidimo, da je    za vsak  i 6 I . še
manj, ker je za  i i   i      , je dovolj, da pokažemo,
da je. No, ker je  V.P = V.  in  PV* = V* ,
J     '     J    i     i       11
je   . Ker je  P  enorazsežen,
je  PVvAP = t.P  za neki  t.6 C , se pravi, da je J     i     i                                 i    '    r           '    J 
 v Od tod je 
 . . Ker končne vsote operatorjev r(P.)  krepko konvergirajo k identiteti prostora  X  in je  Z~ zaprt, je res   in tako  Z~  reducira upodobitev  r .
12
Na Z f  pa deluje reprezentacija  r  tako kot v 1.6 in je 'potem tu ekvivalentna identični reprezentaciji.
Naj bo zdaj  alge:: raj ska baza za prostor  r(?)X .
Iz 1.6 vemo, da je za  c i   d   ; . Naj bo  xfcX
poljuben. Če je L  > 0 , obstaja končna podmnožica  JCI , da je
 . Ker  r(V.)  preslika  r(P)X  izometrično
na  r(P^)X , je algebrajska baza za  r(?-)X .
Tako je    (končna vsota!). Naj bo
 . Potem je  , se
pravi   . Res je  gosta   v  X
Zdaj naj bo  r: T?(K) —* *t(X)     poljubna izometrična reprezentacija z lastnostjo  . Če je 
naraščajoče posplošeno zaporedje projektorjev na  K , ki krepko konvergira k  IK , ni rečeno, da posplošeno zaporedje
 konvergira k  IY  v krepki operatorski topologiji.
1.11. Primer.  Označimo z ^^CK)  algebro vseh kompaktnih operatorjev na kompleksnem Hilbertovem prostoru  K  in naj bo
 Calkinova algebra ter q: ^(K) —> f(K) kvocientni homomorfizem. Ker je f(K) C*-algebra, obstaja Kilbertov prostor  K^ in *{-monomorf izem  ,
tako da je   ( r' je recimo univerzalna  repre-
zentacija). Naj bo  X  Hilbertova vsota prostorov  K  in  K' in reprezentacija  r direktna vsota identične reprezentacije na  K ter reprezentacije  r^q  . Očitno je  r *-monomorfizem in   . Ker je operator A £- t(K)     pozitiven natanko
takrat, ko obstaja  B 6 ^C(K) , da je  A = B*B , r  prevede pozitivne elemente v pozitivne in tako ohranja urejenost med hermitskimi operatorji. Naj bo  . Iz enačbe
 dobimo, da je   .Od
tod je . Ker pa  r  vsebuje identično reprezentacijo
algebre    in tako  r  izometrična.
13
Naj bopoljubno posplošeno zaporedje končno
razsežnih projek orjev v  , ki krepko konvergira  Potem posplošeno zaporedje  krepko konvergira
 , kjer je   projektor na  vzdolž . Od tod sledi, da algebra   ni zaprta v krepki operatorski topologiji
prostora  . Če bi namreč bila, bi bil   , se
pravi , kjer je  E  projektor iz.  Ker 
tudi ohranja urejenost in jeza vsak ,
bi bil  za vsak  q e Q.  Potem pa bi bil  E = I., in od
tod  - protislovje.
1.12.  Vrnimo se spet k splošni situaciji. Naj bo spet  K Kilbertov prostor,  X  Eanachov prostor (oba nad  C )  in
 izometrična reprezentacij a,. Naj
bo \    sister.-končno razsežnih paromaotnih 
projektorjev v   v krepki
operatorski topologiji. %   naj bo družina vseh končnih podmnožic v  . Naj
bo  Y  zaprtje linearnega prostora in
Z = 0 {ker r(ER);R€^} . Lahko je videti, da je  Pokažimo, da  Y  in Z  reducirata upodobitev  r  in da sta neodvisna od izbire sistema 
Naj bo  L končno razsežen podprostor v  K  in  (e,.,...,e }
ortonormirana baza za  L . Izberimo . Obstajajo podmnožice
]  , da je  , če je 
Označimo Naj bodo 
ff\**k                                                            rr.
 Vidimo, da je 
 , Tako je  Naj bo zdaj  A  izrojen operator iz  Potem za vsak £ > 0
obstaja po zgornjem  , da za velja 
"                         (Tu je  C  odvisen le od dimenzije
prostora . Dokazali smo, da je
 Ln od tod seveda 
1 -
Če je torej  Q- -poljuben končno razsežen projektor na  K ,,
in od tod je  r(0)x : 
 - •   5
 ,. se pravi , da j e  Ce je tako 
kak drug sistem končno razsežnih paroma pravokotnih projektorjev na  K  , je .V primeru, da končne vsote teh
projektorjev konverirajo k  I„  v krepki operatorski topologiji, pa lahko argument obrnemo in ugotovimo, da je  Tako vidimo, da je  Y res neodvisen od izbire sistema ^P.:i€- I r.
Naj bo . Za vsak   je  AER  izrojen operator
in po prejšnjem   po normi. Vidimo, da
r(A)  preslika prostor . Ker je   zvezen in
 gosta v   res ohranja 
Vzemimo, da je  in naj bo  Q  spet končno razsežen projektor v   . Ker  , tudi 
 in seveda  Tako je .  . Kot prej vidimo, da je  Z
neodvisen od izbire sistema • . če je  »je
A*E„  izrojen operator. Tako   in od tod
 . Se pravi, da je  Res je torej  Z  invarianten za  . Če je A  izrojen operator v  , obstaja končno razsežen projektor  P  v  t(K)   , da je  PA = A . Če je  z 6 Z , je  r(A)z 6 Z  in tako 
 po zgornjem. Skratka,  r(A)(Z = 0 za vsak izrojen operator A .
Naj bo . Če je  »je očitno 
 . Ker je   za vsak  R , je 
tudi za vsak . Torej operatorji krepko 
konvergirajo k identiteti. Za reprezentacijo  lahko
13
tako uporabimo izrek 1.10 . Opazimo še tole: če je 
in   za vsak   ,  je   . Operator  r(A)  je
tako povsem določen z 
1.13. Denimo, da je  . Oglejmo si redukcijo reprezentacije r na Z in jo označimo z r". Za vsak izrojen operator Aef(K) je po prejšnjem , Ker je vsak kompakten operator na
K  limita izrojenih ter  r' omejena, je  r'Cf;zf(K)) = 0 . Očitno je , Jedro reprezentacije  r" je pravi dvostranski
ideal v   ki vsebuje . Zaradi lažje obravnave privzemimo, da je  K  separabilen. Potem je po [8] edini tak ideal kar  . V tem primeru obstaja homomorfizem
  Calkinova algebra), da je
 kvocientni homomorfizem. Pri tem je  r" *-izomorfizem na C*-algebro   in tako
tudi izometričen.
Prav lahko je videti, da   vsebuje kontinuum paroma pravokotnih projektorjev, ekvivalentnih identiteti. Res: naj bo
 bijektivna preslikava. Vzemimo poljuben  in mu priredimo običajno zaporedje desetiških ulomkov ,
ki konvertirajo k  x . Označimo 
Naj bo  sistem paroma pravokotnih enorazsežnih
projektorjev na  K  in  v krepki operatorski
topologiji. Maj bo  . Seveda je  P
neskončno razsežen projektor na  K  in tako ekvivalenten identiteti. Od tod je  k(P )  tudi ekvivalenten identiteti algebre  . Če je   inočitno
končno razsežen projektor. Tako je     , se pravi,
da sta   ortogonalna.
Od tu pa sledi po 1.8, da Z  vsebuje Hilbertov podprostor dimenzije kontinuum.
Pripomnimo še na tem mestu, da nam lema 1.8 pomaga lahko tudi pri raziskavi izometričnih reprezentacij faktorjev tipa II in III na Banachovem prostoru  X . (0 tipih von Meumannovih algebr se lahko poučimo v Schwartzu [23]). Tako lahko v primeru
16
faktorja tipa II zmeraj dobimo v njem poljubno število paroma pravokotnih ekvivalentnih neničelnih projektorjev in t. ko v  X Hilbertove podprostore s poljubno končno dimenzijo.
1.14.  Vrnimo se spet k situaciji v 1.12 . Vprašamo se lahko, kdaj je . Zadosten pogoj za to je, da  X  ne vsebuje
nobenega podprostora, izomorfnega prostoru . Res: vzemimo poljuben  , označimo  in si oglejmo vrsto
 Če ta vrsta ne konvergira neurejeno, trdimo, da obstaja vrsta ki tudi ne konvergira. Obstaja
namreč tako pozitivno število £,  , da za vsak  S c V.  lahke najdemo tak  in da je
Potem lahko dobimo tak  , da  in        da je
 . Vrsta  očitno ne konvergira.
Vzemimo zdaj poljuben . Če  ne bi absolutno
konvergirala, bi za vsako pozitivno število  M  lahko našli tak   , da bi bila . Ker pa je 
 , vrsta   absolutno
konvergira. Torej je   šibko brezpogojno konvergentna,
in če  X  ne vsebuje nobenega podprostora, izomorfnega  1.4  vrsta  brezpogojno konvergira - protislovje. Naj torej  neurejeno konvergira. Njeno limito
označimo s . Očitno je . Kot posledica izreka o enakomerni omejenosti je  P  omejen linearen operator. Po lemi   je  P hermitski operator na . Ker je za vsak 
 projektor z normo  1 ,
2  konvergira k  P  v krepki operatorski topologiji. Tako je res
 Videli smo, da je . Ker je 
17
oziroma za vsa-  , je 
Od tod je  in  ter 
1.15.  Ostajamo pri situaciji iz 1.12 . Privzemimo zdaj, da je X separabilen . Potem mora biti tudi  K  separabilen. V nasprotnem primeru bi namreč po 1.8  vseboval neseparabilen Hilbertov podprostor. Prav tako vidimo iz 1.13, da mora biti v tem primeru  Velja pa še več: , kar nam pove lera
H.1 iz C2J. V našem primeru je dokaz nekoliko razumijivejši kot v referenci. Oglejmo si maksimalno komutativno C*-podalgebro v
 ki vsebuje vse projektorje     , in jo označimo z   J~t   . Znano je ( [_20,str. 16"]) , da je spekter  S  te algebre Stonov prostor (zaprtje vsake odprte množice v  S  je odprto). Oglejmo si zvezno linearno preslikavo , definirano s 
 Zdaj uporabimo tale Grothendieckov rezultat ([16, str. 163, korolar 1J) : Naj bo  F  Kausdorffov lokalno konveksen poln separabilen prostor in  K  Stonov prostor. Vsaka zvezna linearna presikava iz  C(K)  v  F  je šibko kompaktna, se pravi, da preslika enotno kroglo prostora       v šibko relativno kompaktno množico. 
Ker je množica  I  števna, lahko privzamemo, da je 
Naj bo  (i$ n) . Ker je algebra vit izometrično
izomorfna algebri  C(S) , ima zaporedje s členi 
vsaj eno stekališče  y  v šibki topologiji. Za vsako naravno
število  m naj bo   in   zaprtje konveksne
ogrinjače množice A  v normni topologiji. Potem je  B  zaprta
m                                                                         m
tudi v šibki topologiji. Točka y  leži v  B   in jo lahko poljubno dobro aproksimiramo s konveksnimi kombinacijami elementov iz  A  . Maj bo  h  poljubno pozitivno število. Obstajajo pozitivna števila  t.,...,t,  z vsoto  1  in naravna števila , vsa večja ali enaka  m , da je
 . Vsekakor je 
13
 , Ker je  , je
 .No,  h  je bil poljubno pozitivno število. Tako je za vsako naravno število  m . Vrnimo se
nazaj k zgornji aproksimaciji in naj bo . Potem je

 tako konvergira v krepki operatorski topologiji. Limitni
operator je zvezen in ga označimo s  P . Ker je 
2        .2 vsak krepko konvergira k  P  . Tako je  P  = P .
Seveda je  za vsak  n .
Tako je .Od tod je 
19
II.   V/*-ALGEBRE NA BANACHOVIH PROSTORIH
V tem razdelku bomo na problem izometričnih reprezentacij faktorjev tipa I in sploh von Neumannovih algebr na  Banachovih prostorih pogledali malo drugače. Naj bo   prostor vseh hermitskih nneratoriev na kompleksnem Banachovem prostoru  X . Če je   algebra, je po Vidav-Palmerjevem izreku (1.5) C*-algebra. Vprašamo se lahko, kdaj je ta C*-algebra tudi W"-algebra, se pravi, da je dual nekega Banachovega prostora.
V literaturi najdemo o tem več člankov (ki se precej prekrivajo)..
Omenimo le £lj in [22J . Iz zadnjega članka poberemo
Izrek.  Naj bo in Jz   C*-alge.bra. Če je
zaprtje (3  enotne krogle algebre A v šibki operatorski
topologiji šibko operatorsko kompaktna množica, je 
W*-algebra.
Pogoji tega izreka niso najbolj simpatični. Še najbolj uporabna je tale
Posledica.  Če je  X  refleksiven in   algebra,
je W"-algebra.
Namreč,  X  je refleksiven natanko takrat, ko je enotna krogla v   kompaktna v šibki operatorski topologiji.
V tem delu bomo pokazali, da obstaja razred Banachovih prostorov  X , ki niso nujno refleksivni, pa je pri njih
 W*-algebra. Najprej pa si oglejmo primer prostora, pri katerem  je  C--algebra, pa ni algebra.
Trditev.  Naj bo  S  kompakten Hausdorffov prostor in  C(S) prostor vseh zveznih kompleksnih funkcij na  S , opremljen z enakomerno normo. Operator  je hermitski natanko
takrat, ko obstaja , , tako da je  za
vsak 
Če torej označimo  CCS) = X , dobimo preslikavo iz  CCS) na   , ki vsaki funkciji priredi ustrezni operator
20
množenja. Še več: to je očitno izometrični :':-izomorfizerr. C*-algebre  CCS)  na C*-algebro 
Dokaz trditve same lahko najdemo v Bonsallu in Duncanu
 Prav nič težko pa tudi ni to pokazati s pomočjo klasične Banach-Stonove karakterizacije izometrij prostora  C(S) nase 
Posledica.  Če je  je C*-algebra,
pa ni W*-algebra.
Dokaz.  Videli smo, da je  Definirajno
za vsako naravno število  n  funkcijo takole:
;  sicer. Zaporedje
naraščajoče in navzgor omejeno, pa nima supremuma v   . Zato ni W*-algebra. (0 lastnostih W*-algebr
bomo podrobneje govorili kasneje. Če je  CCS)  W*-algebra, je znano, da je  S  Stonov prostor, se pravi, da je zaprtje vsake odprte množice v  S  odprto.)
Po tem hitrem pregledu položaja sledi nekaj materiala iz teorije W*-algebr. Privzeli bomo, da poznamo osnove teorije von Neumannovih algebr na Kilbertovih prostorih. Ustrezni referenci sta Dixmier [9] in Schwartz [23j. Sicer pa se bomo v glavnem držali Sakaia [20].
Definicija. C*-algebra  A  je  W*-algebra, če je izorr.etrično izomorfna dualu nekega Banachovega prostora  A... , se pravi

Izrek.  C*-algebra A  je W*-algebra natanko takrat, ko obstaja Hilbertov prostor  H  in "-izomorfizem algebre  A  na neko von Neumannovo algebro na  H , to je *-podalgebro v   , zaprto v šibki operatorski topologiji.
Izkaže se, da je prostor  A.,: (do izometričnega izomorfizra) enolično določen. Šibko ^-topologijo na  A  (topologijo Cf(A,A...)) imenujemo kratko šibka topologija na  A  ali  ^-topologija . (Če je  A  že šibko operatorsko zaprta *-podalgebra v HCr)    ,
21
kjer je  H  Hilbertov prostor, se na enotni'krogli algebre  A C-topologija in šibka operatorska topologija ujemata.) Množica, sebiadjungiranih elementov v  A  in množica pozitivnih elementov v A  sta zaprti v CT-topologij i.
Vsako naraščajoče navzgor omejeno posplošeno zaporedje sebiadjungiranih elementov v A  ima supremum, ki je obenem limita tega zaporedja v 0"-topologiji. Za pozitiven linearen funkcional  f na A pravimo, da je normalen, če za vsako naraščajoče omejeno posplošeno zaporedje  pozitivnih
elementov v  A  velja  . Znano je, da je
pozitiven linearen funkcional na A  normalen natanko takrat, ko je cr-zvezen. Družina  T  normalnih pozitivnih funkcionalov na  A  je totalna na  A , se pravi, da iz  ter  za vsak   sledi  a = 0 . Zaprti linearni podprostor v A* , ki ga generira množica , je ravno  A...  (pravzaprav slika prostora  A...  pri kanonični vložitvi 
Zelo važna bo za nas Kadisonova karakterizacij a W&-algebr[l7J:
2.1. Izrek.  Naj bo  B  C*-algebra, v kateri ima vsako naraščajoče navzgor omejeno posplošeno zaporedje sebiadjungiranih elementov supremum. Obstaja naj še družina pozitivnih
linearnih funkcionalov na  B , ki je totalna na  B  in njeni elementi ohranjajo supremume naraščajočih omejenih posplošenih zaporedij sebiadjungiranih elementov. Potem je  3  T.\7*-algebra.
Med prostori, s katerimi se bomo ukvarjali, so tudi prostori s hiperortogonalno bazo. Precizirajmo: zaporedje  elementov Eanachovega prostora  X  je hiperortogonalna baza prostora  X , če lahko vsak element v  X  zapišeno na en in en sam način kot konvergentno vrsto  skalarji)
ter če izza vsak  n  sledi
ahko je preveriti, da je operator  E  , ki vsakemu   priredi vektor       , enorazsežen hermitski projektor. Prostor  X  ima tako kar precej hermitskih operatorjev.. Fleming in Jamison sta v f^i2] in [l3j dokazala, da kompleksen
22
Banachov prostor  X  s hiperortogonalno bazo nekako razpade na Hilbertove podprostore in da je  algebra.
Karakterizirala sta tudi izometrije prostora  X . Pri ten so jina bili v ponoč ustrezni rezultati za končno razsežne prostore s hiperortogonalno bazo, ki so jih neodvisno objavili Schneider in Turner [21] ter Vidav £24] . Pozneje sta Kalton in Wood [18] prišla do neke posplošitve z drugimi metodami. Tu si bomo ogledali spet drugačno posplošitev in pri tem dokazali še nekaj novega, namreč, da je v primeru, ko ima  X  hiperortogonalno bazo,    tudi W*-algebra. Idejo za to mi je dal
profesor Ivan Vidav: najprej pokažemo, da je  W*-algebra in od tod nadaljujemo študij lastnosti prostora  X .
2.2. Izrek.  Naj bo  X  kompleksen Banachov prostor in  naraščajoče posplošeno zaporedje hermitskih projektorjev, ki krepko konvergira k identiteti prostora  X . Za vsak  i t I  naj
končno razsežna algebra. Označimo še   Potem veljajo naslednje stvari:
a) Maj bo naraščajoče navzgor omejeno posplošeno zaporedje pozitivnih elementov v -t . Potem ina to zaporedje supremum v algebri Jt    in ta supremum je obenem limita posplošenega zaporedja  {A(b)j  v krepki operatorski topologiji. Naj bo  Za vsak
 definiran z  Naj bo ter linearna lupina množice 
(kot podmnožice v ). Vsi elementi v   so normalni pozitivni funkcionali na algebri in sestavljajo totalno družino na rt   . Tako je Ji    W*-algebra. Na enotni krogli v     se a"-topoiogi ja in šibka topologija, ki jo inducira množica  , ujemata. Naj bo  zaprti podprostor, ki ga ^^^erirajo vsi normalni
pozitivni funkcionali na  Potem je gost v v normni topologiji.
b) Obstaja družina paroma pravokotnih centralnih projektorjev v J{,   , tako da je    faktor tipa I za vsak z in da je  direktna vsota idealov 
' 2-3
c)  če sta  ! poljubna minimalna projektorja, sta prostora   izometrično izomorfna. Dimenzijo vektors ga prostora označimo z      Obstaja družina  Hilbertovih podprostorov v  tako da je za
 moč množice     " s enaka n   in algebrajska direktna vsota vseh podprostorov  je gosta v  
d)  Naj bo  surjektivna izornetrij a. Potem  V  ohranja ali le zamenja podprostore . Če  V  ohranja podprostor  G X, lahko zapišemo  , kjer je  U  unitaren element v
 W  pa komutira :: vsakim elementom v  Če je  poljuben minimalen projektor v  je delovanje
izometrije na      določeno z delovanjem operaterja  W  na QX . 
Dokaz.  Prvi korak:  je algebra.
Maj bo operator Potem A  preslika podprostor
 vase. Tudi 
 preslika podprostor  vase. Torej je  i izometrija prostora   nase za vsak 
Ker pa je  hermitski
operator na Preslikavaočitino preslika
j. 
 "-izomorfno v .C*-algebro  Naj bo zdaj   . Vzemimo poljuben   in poljuben
 in pokažimo, da je . Naj bo 
Obstaja indeks  . Kot
smo videli, je hermitski operator na Po
predpostavki je hermitski na . Od tod je za 
Ker je (po 1.4) za vsak  i , posplošeno zaporedje
i  krepko konvergira k  A . Iz podobnega razloga
2U
( ||P.AP.|! < ]|AH )  (P.AP.)   krepko konvertira k  A  . -'anko.je
2 videti, da tudi  exp(it(P.AP.) )  krepko konvergira 
Če bo  i  dovolj pozen in obenem še , bo tako

Ker je bil  poljubno izbran, je tako 
Od tod seveda takoj sledi, da je  in s tem
konec dokaza prvega koraka.
Podlema 1.  Naj bo naraščajoče navzgor omejeno
posplošeno zaporedje pozitivnih elementov algebre . Potem ima to zaporedje supremum v algebri  in ta šupremum je obenem limita tega posplošenega zaporedja v krepki operatorski topologij i.
Dokaz.  Brez škode lahko privzamemo, da je  za
vsak  Naj bo  i £ I . Oglejmo si posplošeno zaporedje
 . Ker je za element 
je tudi 
pozitiven element. Tako je  naraščajoče
posplošeno zaporedje, navzgor omejeno s  P. . To zaporedje je
vsebovano v C*-algebri , ki je *-izomorfna neki
podalgebri v končno razsežni C*-algebri 
Tako je W:':-algebra in  sup  obstaja
in je enak šibki limiti posplošenega zaporedja 
Prostorje končno razsežen, zato je šibka limita na
njem enaka normni. Posplošeno zaporedje  torej
konvergira v normi.
Za vsak 
!lP. ,   se  pravi
M
Ker  je    \\ A(b')-A(b) II  4  HA(b')l\   ^  1   ,            ||C A(b') -A(b) )t II
((A(b')-A(b))XPi)*((A(b')-ACb))iPi)   11= l|(A(b')-A(b) )i?iH 2 <  €
1     < i
25
Od tod je 
Vidi se, da je Cauchvjevo posplošeno zaporedje
v  in tako konvergentno. Za vsak torej posplošeno
zaporedje  konvergira. Upoštevajmo, da je množica
 gosta v  X Zin  tako druge kategorije v  X ),
pa vidimo, da po Eanach-Steinhausovem izreku    obstaja
b za vsak  . Če to limito označimo z  , je  A omejen
linearen operator na  X . Po lemi 1.7 je  A hermitski operator
na  X . Ker je vsaka  točka množice   robna, je 
=   . Naj bo množica pozitivnih elementov algebre ft.
Potem je (spet po 1.7) . Pokažimo, da je 
Res: ker je  v krepki
operatorski topologiji. Ker je algebra  končno razsežna,
je . Fiksirajmo . Potem je
 za vsak . Ker
 v krepki operatorski topologiji in je  HP.ll ^ 1 ,
 Množica ./t* je po 1.7 zaprta v j.
krepki operatorski topologiji in zato je  , se pravi,
da je  A  zgornja meja posplošenega zaporedja {A(b)jr . Denimo, da bi bil za vsak . Fiksirajmo  . Kot
na začetku dokaza vidimo, da je  za vsak  b€ 3.
Tako je .Se pravi, da je
za vsak       , Od tod kot zgoraj sledi, da je
-L. -L. 
 . Res je 
Nadaljujmo z dokazom točke a) . Za vsak  je
 ravno prostorski numerični zaklad operatorja T.
Če je torej je po 1.7  g   pozitiven linearen
a
25
funkcional na , . Denimo, da- je 
za vsak . Potem je prostorski numerični zaklad
operatorja  C  enak {0} . Po.1.3 in 1.5 sledi, da je 
Ker je  , je  . Družina £* je tako res
totalna na 
Denimo, da imamo spet naraščajoče omejeno posplošeno zaporedje   pozitivnih operatorjev na Jb    s supremumom A . Naj bo in . Po podlemi 1  je 
 Tako je = lim   in od  tod
g(A) = sup (g(A(b)) ;b t .  . Po izreku 2.1 je Jb     res W*-algebra.
Označili smo  . Vsak element v  je,
kot smo pravkar spoznali, normalen pozitiven funkcional na Jb in tako zvezen v  Šibka
topologija, ki jo inducira množica na  (kratko
 -topologija) je šibkejša od -topologije. Ker je družina  totalna, je -topologija Hausdorffova. Spomnimo se, da je
^-topologija pravzaprav šibka ^-topologij a in da je zato v njej enotna krogla v kompaktna, pa vidimo, da se na enotni krogli v Jb  -topologija in (^-topologija res ujemata. Ker
je  £. linearna lupina množice T   , je vsak element v  £, zvezen v 3^ -topologij i.  £, -topologija je torej enaka topologiji. Ker je že 3*  totalna, je dualnost za 
 . Če je torej  f 6 Jb*     zvezen v -topologiji, je   . Pokažimo zdaj, da je   gost v 
Maj bo . Izberimo poljuben  . Ker se na enotni
krogli  algebre . topologija in topologija ujemata,
obstaja zaprta konveksna uravnovešena okolica U  točke 0  v
Tr  -topologiji, da je za vsak  x£Unft4   |f(x)|<£  . Oglejmo si
zdaj (znano) dualnost , V okviru te dualnosti lahko
zapišemo  .  za
vsak . Ker je topologija šibkejša od CT-topoiogije,
to je topologije   , ta pa šibkejša od 
 je  U  zaprta v   Ker je  U  tudi
27
konveksna in uravnovešena, je .. Tudi , f je zaprta v
 , od tod v   in je tako 
Naj bo  Ker je , je 
Tako  kot  sta konveksni, uravnovešeni, -zapr
 pa je tudi  -kompaktna, ker je , 

(Spomnimo se še, da je  ravno šibka "-topologija na
 . Tako je -zaprta množica, obenem pa
konveksna in balansirana, na kratko  No,  . -Po drugi strani pa
 in od tod  Tako je  Obstajata  in od tod
To pa se pravi, da je  g  zvezen v -topologiji. Torej res lahko  f poljubno dobro po normi aproksimiramo s funkcionali iz  . S tem smo pokazali, da je gost v 
b)  Videli smo, da je za vsak   končno razsežna
W"-algebra. Izberimo v njej minimalne paroma pravokotne
projektorje, tako da je
Naj bodo      vsi projektorji      , ki jih dobimo z
razcepom vseh . Očitno so  minimalni tudi v celi algebr
in je takoenorazsežna algebra za vsak  t . Z  G,
označimo centralno pokritje operatorja (to je, najmanjši
centralni projektor, ki vsebuje . Naj bo
Znano je, da je tudi W*-algebra. Pokažimo, da je  G itG
faktor. Če je  Q  neničeln centralni projektor v   , je  Q
centralen v . Res:  za vsak   je  QA = QGA = OGAG =
Ker posplošeno zaporedje   krepko konvergira k
identiteti, obstaja 
23
Ker je  Q  centralen, je  QS   projektor, vsebovan v  S^. • Upoštevajmo, da je  S  minimalen, pa vidimo, da je G  vsebuje  Q  in  Q  vsebuje     , zato je  Q = G . Center algebre  GJtG  je tako trivialen in je  G h G  faktor. Ker  G&G vsebuje minimalne projektorje  (S ) , ti pa so Abelovi, je to faktor tipa I . (Enako lahko dokažemo, da je cela algebra &, tipa I . )
Če je , obstaja  z , da je  . Kot
prej je , pa vidimo, da je 
Naj bodo  ravno vsa različna centralna pokritja
projektorjev iz družine , Vsak operator
končna vsota projektorjev ,   Od tod vidimo, da 
 neurejeno konvergira k     L  v krepki operatorski topologij i.
Podlema 2.  Denimo, da imamo za vsak dan operator
 , in naj bo  sup Obstaja natanko en
 , tako da je   za vsak  Pri tem je
 hermitski, je  A  hermitski
Dokaz.  Naj bo  končna podmnožica v  Z .
Označimo  in naj bo
 . Ker je  A*A. = 0 za , Naj bo  M =
 . Vzemimo poljubno naravno število m . Potem je     in od tod
 . Ker je sebiadjungiran, je  Tako je  . Od tod takoj sledi, da je 
Ker je                      je
Vsak   razcepimo:  , kjer sta   in 
hermitska operatorja v  Razcepimo še   takole:
29
 . Ker je   veljajo pogoji podlene.  Spet naj bo za vsako končno podmnožico 
 . Če množice K delno uredimo z inkluzijo, je očitno   naraščajoče in navzgor omejeno posplošeno zaporedje in ima tako v supremum, ki ga označimo z . Vemo, da je B tudi limita posplošenega zaporedja ■ v krepki operatorski topologiji (podlema 1). Za vsak  je tako 
Naj bo zdaj še v  krepki operatorski topologiji
 . Potem je za vsak  z . Analogno
izračunajmo  C . Če torej označimo v krepki
operatorski topologiji, je   za vsak  z .
Pa denimo, da je   in za vsak  z . Ker
 krepko konvergira k identiteti, je  Enotna krogla algebre  je zaprta v topologiji. Ker je   za vsak  K , je tudi  . Jasno
pa je, da je , Tako je res 
Denimo še, da so vsi  A   hermitski. Potem so vsi  hermitski. Ker je   zaprta v krepki operatorski
topologiji, je tudi  A  hermitski.
Podlema 2  nam tako daje *-izomorfizem direktne vsote algebr   v algebro . Seveda je ta izomorfizem na (inverzni izomorfizem je kar)  in je tako
 res direktna vsota idealov 
30
c)  Naj bo . Ker je   faktor tipa I , obstaj Hilbertov prostor  K  in *-izomorfizem r  algebre   na
 . Če sta  S,T  minimalna projektorja v  G JlG   , sta  r  (S) in  minimalna v   , torej enorazsežna in zato
ekvivalentna. Obstaja , da je in 
Lahko je videti (te vrste sklepe smo imeli že v prvem poglavju), da  V  izometrično preslika  SX  na ' 
Naj bo   Kot smo videli, 
neurejeno konvergira k  I,,  v krepki operatorski topologiji. Če
 in je tako za vsak Od
tod vidimo, da končne vsote operatorjev  krepko
konvergirajo k  G , to je k identiteti algebre je po
podlemi 1 tudi supremum teh končnih vsot. Operatorji  S.  (j £ J) so minimalni v   in paroma pravokotni. Jasno je, da  je preslikava algebre , dana z 
izometričen homomorfizem. Uporabimo torej izrek 1.10, pa je ta točka pri kraju.
d)   Denimo, da je poljubna surjektivna izometrija. če je  A hermitski operator na  X , je lahko videti, da je
 spethermitski operator na.  Od tod je jasno, da predpis   določa "-avtomorfizem  f  algebre Jt    • Če je 1 , je   spet od   različen centralen projektor in faktor. Obstaja  , da je  Torej je. Ker je  faktor in  centralen, je očitno   se pravi  ali  . Tako je \ 
Denimo zdaj, da  V  ohranja prostor  , se pravi  Preslikava in njej inverzna preslikava EV
ohranjata algebro  Torej je  A j—► VAV    "-avtomorfizem
31
-algebre  . Ker je  faktor tipa I , je to notranji avtomorfizem. Obstaja unitaren element =
 Označimo . Potem je 

Naj bo  Q  minimalen projektor v  . Potem W ohranja   . Ker je  faktor tipa I, lahko (kot v dokazu točke b) najdemo družino paroma pravokotnih ekvivalentnih
minimalnih projektorjev v  , tako da je  za neki
 in da je supremum končnih vsot teh operatorjev enak  Po podlemi 1 te končne vsote tudi konvergirajo v krepki operatorski topologiji. Denimo, da poznamo Naj
 posreduje ekvivalenco med    . Če je 
 res določen z   . Množica je gosta v , pa smo s tem pri
kraju.
Oglejmo si zdaj kot aplikacijo naših rezultatov prostore s hiperortogonalno bazo. Privoščimo si lahko majhno posplošitev:
2.3. Definicija.  iMnožica  elementov Eanachovega
prostora X  je razširjena hiperortogonalna baza  za  X , če
veljata naslednji dve stvari:
a) Obstaja enolično določena množica linearnih
funkcionalov na  X , tako da za vsak 
neurejeno konvergira k 
b) 
Pokažimo, da so funkcionali  f.  v definiciji 2.3  zvezni. Res: naj bo =
32
 Potem je in od tod
 , torej  Definirajmo linearni operator   na  takole:  Očitno je je projektor.
Naj bo od zdaj naprej  X  kompleksen Banachov prostor. Potem je  hermitski projektor. Namreč: 
Naj bo  R  končna podmnožica v  Potem je  končno razsežen prostor s hiperortogonalno bazo
 Vidav ter Schneider in Turner so pokazali  da je potem algebra. Tako vidimo, da za  X
veljajo pogoji izreka 2.2. Ker so projektorji  E.  enorazsežni, mnogi rezultati dobijo lepšo obliko, dokažemo pa lahko tudi nekaj novih. Najprej pa še ena definicija:
2.4. Definicija.([24] ). Naj bo X kompleksen Banachov prostor in Y Hilbertov podprostor v X . Pravimo, da je Y pravilno vložen Hilbertov podprostor v X , če obstaja podprostor Z v X, da je in da je za vsak unitaren operator U  na  Y
operator U©I„  izometrija prostora X nase.
2.5. Izrek.   Naj bo  X kompleksen Eanachov prostor z razširjeno hiperortogonalno bazo in , Potem
je A     W*-algebra. Če je naraščajoče navzgor
omejeno posplošeno zaporedje pozitivnih elementov v St   , je njegov supremum enak limiti tega posplošenega zaporedja v krepki operatorski topologiji. Naj bo 
definiran z  ter
 linearna lupina množice  . Vsi elementi v so normalni pozitivni funkcionali na algebri in sestavljajo totalno
33
družino na  . Na enotni krogli v  se (T-toj^ologij a in šibka topologija, ki jo inducira množica 7     , ujemata. Še več: naj bo  zaprti podprostor, ki ga generirajo vsi
normalni pozitivni funkcionali na Jh   . Potem je  £. gost v Jt.,; v normni topologiji.
Obstaja družina paroma pravokotnih centralnih
projektorjev v Jt    , tako da jepravilno vložen
Kilbertov podprostor v  X  za vsak z  in da je preslikava i zomorfizem algebre it na direktno
vsoto algebr    surjektivna izometrija,
V  ohranja ali le zamenja podprostore  X  . Kadar  V  ohranja   Lahko zapišemo , kjer je  unitaren element v
Dok
az.  Naj bo  {e.;i € IJr razširjena hiperortogonalna baza za
ustrezni funkcionali ter  definirani z
. Videli smo, da so  E.  enorazsežni hermitski   '        i
projektorji ter tako minimalni v ifc . Če je
obstaja , da je. Ker je  enorazsežen,     po
točki b izreka 2.2 obsta3a Hilbertov podprostor Z  v »ki je gost v  (in tako enak ), da je  Jasno je, da je preslikava  izometrična in tako *-izomorfizem. Tako je zaradi 2.2 preslikava
 res *-izomorfizem.
Pokažimo še, da so vsi prostori pravilno vloženi
Hilbertovi podprostori. Pa naj bo U  unitaren operator ha  X^ . Po prejšnjem je  Seveda je 
 in je tako V  unitaren operator v  ■„    . Jasno je, da je U*" tudi izometrija prostora  X  nase.
Ostanek dokaza je trivialen.
2.6. Primer.  Naj bo   (prostor vseh kompleksnih zaporedij,
ki konvergirajo k  0 , s supremum normo). Znano je, da     ni
refleksiven. Celo šibko poln po zaporedjih ni; se pravi, da obstaja zaporedje elementov v     , tako da  {f(x. )}* konvergira za vsak  f£  c* , pri tem pa        nima šibke limite.
3 H
Za vsako naravno število ' i  naj ho  e. č c   zaporedje, ki ima
i   o
na i-tem mestu  1 , sicer pa same ničle. Očitno je 
hiperortogonalna baza prostora c  . Uporabimo zdaj izrek 2.5
(z oznakami vred). Naj bo  projektor, ki zaporedju
priredi njegov i-ti člen:Ker so proipktn-ri
centralni, komutirajo z vsemi E. . če prostor              ne bi
bil enorazsežen, bi vseboval prostor 
Mmax"-normo)  in tako ne bi bil Kilbertov. Torej so vsi  X
J                      z
eno-razsežni,za vsak  n . Vsak linearen
operator na   je množenje z nekim kompleksnim številom. Torej je algebra j*t *-izomorfha W*-algebri  na tale način: vsakemu
 priredimo . Inverzni izomorfizem vsakemu
 priredi , definiran s 
Za vsak  e bil .  določen z  =
= f(Bx)  in ' ,  £ pa je bila linearna
lupina množice'   £"    . Poglejmo, kaj so vse te množice v našem primeru!
Pa naj. bo   in  Vemo, da je 
ZA    , točneje rečeno, vsak zvezen linearen funkcional na  c
o
je skalarno množenje z elementom prostora -i  . Zapisimo torej
 Potem je  Računajmo: 
 . Torej je . Naj bo
 ;er je  za vsak  n , mora biti
očitno  )x \= i  za vsak  n €. I . Element   je v   , zato je  I  končna množica. Za vsak 
 , Od tod vidimox da je £ sestavljen iz skalarnih množenj z zaporedji, ki imajo le končno členov različnih od  0 .
' Spomnimo s,e, da je , točneje rečeno, zvezni
linearni funkcionali na so ravno skalama množenja z omejenimi zaporedji. Tako je vsako skalarno množenje s fiksnim

zaporedjem iz o~-zvezen linearen funkcional na W*-algebri
 za vsak  normalen pozitiven funkcional. Def inirajrr.o linearni funkcional
 Predpis   je
"-izomorfizem algebre  na in zato ohranja urejenost, supremume itd. Od tod je tudi  normalen pozitiven funkcional. Z   smo označili linearni podprostor v , ki ga generira-jo vsi normalni pozitivni funkcionali. Vidimo, da je  prava podmnožica v 
\
3G
III.   GRUPA IZOMETRIJ EANACHOVEGA PROSTORA
Vse nase dosedanje delo je bilo pravzaprav posvečeno vprašanju, kdaj imajo nekateri Banachovi prostori podobne lastnosti kot Hilbertov prostor. Tudi zadnje poglavje ne bo izjema. Surjektivne linearne izometrije Hilbertovega prostora so ravno unitarni operatorji. Unitarna grupa pa je v norrcni topologiji zmerom realna Banach-Liejeva grupa. Tako se odpravimo iskat pogoje, pri katerih je grupa surjektivnih linearnih izometrij v normni topologiji Banach-Liejeva grupa.
Naj bo torej   Banachov prostor in   grupa
vseh obrnljivih elementov, opremljena z normno topologijo. S označimo podgrupo v  GL(X) , sestavljeno iz vseh izometrij. Ker je »je    zaprta podgrupa v
GL(X) . Če je X končno razsežen, je   končno razsežna Liejeva grupa in tako tudi  Liejeva grupa. V neskončno razsežnem prostoru stvar ni tako preprosta. L.A.Harris in W.Kaup sta v članku [l^] sicer pokazala, da je Banach-Liejeva grupa, če je X kompleksen in enotna krogla B prostora X homogeno področje (se pravi, da za poljubna  obstaja
bijektivna preslikava  , tako da je in da
sta  in  Frechetovo odvedljivi v kompleksnem smislu). Obenem pa sta navedla primer kompleksnega Banachovega prostora   , za katerega  ni Liejeva grupa.
Tu se bomo problema lotili z druge strani. Pokazali bomo, da <§. je Banach-Liejeva grupa, če zadošča  nekaterim - dovolj hudim -zahtevam. Mimogrede bomo tudi videli, da je za kompleksen Banachov prostor z (razširjeno) hiperortogonalno bazo grupa izometrij Banach-Liejeva grupa in celo Liejeva podgrupa v  GL(X).
Sklenimo še majhen dogovor. Če je  X  Banachov prostor,   in  , definiramo logaritem operatorja A
takole:

37
Napravimo najprej kratek sprehod med definicijami in lastnostmi neskončno razsežnih Liejevih grup. Omejili se bomo na realne Liejeve grupe, čeprav vsi rezultati, razen tistih, pri.katerih je posebej navedeno, da gre za realni primer, veljajo tudi v kompleksnem. Podrobnejšo in popolnejšo informacijo dobimo v Eourbakijevih knjigah Varietes differentielles et analytiques ter Groupes et algebres de Lie [7,6] ter v članku [.10] .
Naj bosta  X,Y  realna Banachova prostora in  n  naravno število. Preslikava  je zvezen homogen polinom reda
n , če obstaja taka n-linearna zvezna preslikava
 ,daje   za vsak 
če definiramo  postane prostor vseli
zveznih homogenih polinomov reda Eanachov
prostor.
Denimo, da imamo za vsako naravno število  n  dan zvezen homogen polinom  P   reda  n  iz  Potem pravimo, da
je    formalna potenčna vrsta  iz . To vrsto
pišemo tudi kot , Pravimo, da je  konvergentna, če je  , (Inverzno vrednost tega števila
imenujemo konvergenčni radij te vrste.)
Definicij a.  Naj bo  U  odprta podmnožica   v  X . Preslikava
 je analitična, če za vsak   obstaja konvergentna
formalna potenčna vrsta  in okolica  V  točke   , da je za vsak izpolnjeno 
Če je  analitična, je neskončnokrat
odvedljiva v Frechetovem smislu.
Naj bo  M topološki prostor. Karta na  M  je trojica  (U,f,X), kjer je  U  odprta podmnožica v  M ,  X  realen Banachov prostor in  f  homeomorfizem množice  U  na odprto podmnožico v  X .
38
Karti  na  sta kompatibilni, če je
bodisi  bodisi ^n sta preslikavi
analitični. Množica  kart na  M je atlas na M,
če je {u.}  pokritje za  M  in so karte v Jb    paroma kompatibil-ne. Atlasa A in 2) na M  sta ekvivalentna, če je  spet atlas na M . Ekvivalenčne razrede atlasov na M  imenujemo analitične strukture na  M . Prostor M  s fiksno analitično strukturo imenujemo realna analitična Banachova mnogoterost. V prihodnje bomo "realna" in "Banachova" večkrat kar spuščali in govorili o analitični mnogoterosti  M . Vsak atlas iz dane analitične strukture na  M  imenujemo atlas mnogoterosti  M . Karte atlasa mnogoterosti  M  so karte mnogoterosti  M . Pravimo, da je karta  (U,f,X)  mnogoterosti  M  karta mnogoterosti  M  v točki , če je 
Naj bo M  analitična mnogoterost in  NCM . Denimo, da za vsak x€N obstaja karta  (U,f,X)  mnogoterosti  M  in razcep   prostora  X  na dva zaprta podprostora, tako da je   homeomorfizem. Potem obstaja natančno ena analitična struktura na  N , tako da so  karte mnogoterosti  N . Pravimo, da je  N  s to strukturo podmnogoterost mnogoterosti  M .
"Tangentni funktor" T  za analitične mnogoterosti je definiran kot običajno. Naj bo  M  analitična mnogoterost,  x£M  in
 karta mnogoterosti , tako da je  Oglejmo si dvojice  , kjer je  karta mnogoterosti  M  v
točki , Definirajmo:  sta
ekvivalentni, če odvod preslikave  v točki  x  preslika
 . Ekvivalenčne razrede imenujemo tangentne vektorje mnogoterosti  , Vsi tangentni vektorji v  x  sestavljajo
množico . Če je  fiksna karta v  x , preslikava
določa bijekcijo iz. Množico  T M
  .X.
opremimo s strukturo Banachovega prostora, tako da je ta bijekcija izomorfizem. Lahko je videti, A*   * °  ■*"« struktura do izomorfizma neodvisna od izbire karte   s to strukturo
imenujemo tangentni prostor mnogoterosti  M  v točki  x .
39
Če je  N  podmnogoterost mnogoterosti  M  in  x6N , je  T N
na naraven način zaprt podprostor z zaprtim komplementom v T M .
Naj bosta  M,N  analitični mnogoterosti. Precizirajmo: zvezna preslikava  h: M —► N  je analitična, če za vsako karto  L = = (V,g,Y)  mnogoterosti  N  in vsako karto  K = (U,f,X)  mnogoterosti  M , tako da je  h(U) CV , velja, da je
-1                                              ...
gohof   : f(U) —»g(V)  analitična. Definirajmo še preslikavo
T h : T M -->T,f     'N  s  (T h)( K,e ) =
x    x      h(x)       x     ■ 
kjer D  pomeni odvod. Velja, da je  T h  zvezna in linearna.
Če sta  M,M  analitični mnogoterosti, obstaja natančno ena analitična struktura na  M*N , tako da so njene karte produkti kart za M  in  N .
Naj bo zdaj  G  topološka grupa in realna analitična Banachova
mnogoterost. Če je preslikava  (x,y) i--+ xy   iz  G* G  v  G
analitična, pravimo, da je  G  realna Eanach-Liej eva grupa ( kratko realna Liejeva grupa ali celo Liejeva grupa).
Primer.  Naj bo  X  Banachov prostor in  GL(X)  grupa vseh obrnljivih operatorjev iz     (z normno topologijo).  GL(X) je odprta podmnožica v   in tako analitična mnogoterost. Lahko je videti, da sta produkt in prehod k inverznemu elementu analitični preslikavi. Tako je  GL(X)  Liejeva grupa.
Naj bo  G  Liejeva grupa in  H podgrupa v  G . Pravimo, da je  H  Liejeva podgrupa v  G , če je  K  podmnogoterost v  G .
3«1« Izrek.  ([6,str.101]).  Naj bo  G  Liejeva grupa in  K podgrupa v  G . če obstaja taka odprta okolica U  enote v  G , da je  HHU  podmnogoterost v  G , je  H  Liejeva podgrupa v  G .
Naj bo  G  Liejeva grupa in nevtralni element. Naj bo (U,f,X)  karta za G  v  e . Prostor T (G) lahko, kot vemo,
40
opremimo s strukturo Banachovega prostora, tako da je izomorfen prostoru   . Še več, v  lahko vpeljemo komutator [ , *} ,
tako da postane  T (G)  Liejeva algebra in da je preslikava
-1     e (x,y) i—*■ xy   zvezna. Prostor T (G)  s to strukturo imenujemo
Liejeva algebra grupe  G  in označimo kratko  L(G) . Obstaja
natanko ena analitična preslikava   tako da je
za
poljubne skalarje  s,s" ter b £ L(G) . Preslikavo ^f  imenujemo
eksponentna preslikava za G . Če je  f poljuben morfizem  (to
je, analitičen homomorfizem) iz Liejeve grupe skalarjev v  G  in
 za vsak skalar  s . Povejmo še,
da eksponentna preslikava preslika  L(G)  na neko okolico
elementa  e  v  G  in da je za poljubna  x,yeL(G)
(2)
 kjer je  X  Banachov prostor, je lahko videti, da je  L(G) =  ^(X) , komutator običajni komutator ( fA,B] = AB - BA )  in eksponentna preslikava kar običajna.
Oglejmo si Campbell-Hausdorffovo formulo v Dvnkinovi verziji ( [6, str.60-63] ) :
3.2. Izrek.  Naj bosta U,V  taka operatorja na Banachovem prostoru  X , da je . Potem obstaja
log(exp(U)exp(V)) = h(U,V)  in ga lahko zapišemo kot konvergentno vrsto, v kateri nastopajo kot členi  U,V  ter operatorji oblike [W1tW2t. .. [W _1,W ]] ...]  , kjer je  W.  bodisi  U  bodisi  V , pomnoženi z racionalnimi števili. Velja še

Naj bo še  L  Liejeva algebra in normiran prostor obenem. Obstaja naj tak  M>0 , da je . Vstavimo v
vrsto za funkcijo  h( , )  kot argumenta elementa . Potem nam to določa analitično funkcijo

41
Realne Liejeve grupe imajo nekatere prav lepe lastnosti. Tako velja ([6, str. 225-227]):
3.3. Izrek.   Naj bosta  G,K  realni Liejevi grupi in  f: G- -* h zvezen homomorfizem. Fotem je  f  analitičen.
3»H. Izrek.  Maj bo  G  topološka grupa in  U  odprta simetrična okolica enote  e  v  G . Denimo, da je  U  opremljena z realno analitično strukturo in da obstaja odprta okolica  V  enote v  G,
da je  V^ C u  in da je
-1      . .                     .
a)  x »—► x   analitična preslikava iz  U  v U
b)   (x,y) \--> xy  analitična preslikava iz  V* V  v  u
(Od tod sledi, da je  U  realna lokalna Liejeva grupa ali realna Liejeva grupuskula v Bourbakijevi terminologiji.) Potem je  G realna Liejeva grupa.
Naj bo zdaj  X  Banachov prostor in  podgrupa v  GL(X) , opremljena z normno topologijo. Vprašamo se lahko, kdaj je 2č realna Liejeva grupa ali celo Liejeva podgrupa v  GL(X) . Pa naj bo  Liejeva algebra za eksponentna preslikava. Vzemimo poljuben  a£L(<tf) . Preslikava
 , dana s   : , nam določa zvezno
enoparametrično grupo v ^ C"t(X) . Obstaja natanko en operator
 za vsak  in (2)  (formuli pred izrekom 3.2) takoj sledi, da je
 (realno) linearna preslikava, ki ohranja komutat^-i0- <*<° t«3  je  exp(sF(a)) = I  za vsak  s  in
od tod  za vsak . Ker je \ompozitum presli-
kave  s »—>  sa  in  preslikave = a . Od tod
je seveda  se pravi, da je  F  iniektivna preslikava.
Jasno je, da je  F  homeomorfizem na  . Če v tem smislu
izenačimo  in  lahko rečemo, da je 
D O d D rO StO10     T'                 Y }        tt-\     H 3     -\ i=t     ciVcnnnantna     nnool i Vaua     Vajp    Običajna.
Še več,   . Res,
če je  zvezen
homomorfizem     Liejeve grupe  f.  v realno Liejevo grupo ^
Označimo ga s     \y . ?o izreku 3.3  je  analitičen in torej
42
morfizem Liejevih grup. Označimo  (T~ y )1 = a£L(X) • Potem je, kot smo rekli, in od tod  F(a) = T .
Povzemimo:  Če je  in realna Liejeva grupa v
normni topologiji, je  L(2t ) = {t 6 "£(X) ;exp (sT) £ ^j- za vsak s€ $  in eksponentna preslikava iz  L(^£)  v 3€ kar običajna.
Zdaj bomo stvari nekoliko obrnili.
3.5.  Lema.  Naj bo  X  Banachov prostor in  zaprta podgrupa v  GL(X) . Označimo   za ""k  Potem je   zaprt realen linearen podprostor v    in celo realna Liejeva algebra za običajni komutator:  [^ T, S J =
= TS - ST .
Dokaz.  Iz formul (1) in (2) pred izrekom 3.2 takoj sleci, da je      realna Liejeva algebra z običajnim komutatorjem. Fa denimo,  da imamo zaporedje  in da 
Pri fiksnem  s  exp(sT ) ---> exp(sT) . Ker je 3£ zaprta, je
n m-foo
tudi  exp(sT) £ 
3.6.Trditev. Naj bosta kot  v 3.5 . Denimo, da je expi ) okolica enote v . Potem je )  realna Liejeva grupa z Liejevo algebro 
Dokaz.  Maj bo odprta okolica identitete  I  v  , vsebovana v  in v odprti enotni krogli okrog  I , ter  =  . Tudi je odprta okolica identitete v  Vsak  lahko zapišemo na en in en sam način kot  exp(logA), kjer je logaritem definiran z ustrezno potenčno vrsto. Seveda je  log  in    odprta podmnožica v . Okolico "U. imamo lahko za analitično mnogoterost z eno samo karto i  . Takoj vidimo, da je preslikava   iz IL v  It analitična. Res: analitična je preslikava iz  log(XC)  v
 . Naj bo zdaj  iT
43
odprta okolica identitete v  , vsebovana v odprti krogli s polmerom  r okrog identitete in taka, da je   . Videli
bomo, da je preslikava iz , dana z 
analitična. Karta za je kar  i  Tako je treba pokazati samo še, da je 
analitična preslikava iz   Prav to
pa trdi Campbell-Rausdorffov izrek (3.2), če je le polmer  r krogle, v kateri je vsebovana V    , dovolj majhen. Po 3.4 je ^i res realna Liejeva grupa.
S tem orožjem se bomo lotili najprej Eanachovih prostorov z razširjeno hiperortogonalno bazo. Napišimo še tale izrek ([19, str. 309]):
3•?. Izrek.  Naj bo  H  kompleksen Hilbertov prostor in  normalen operator. Obstaja hoirlorn^r,fi'7an   algebre vseh
omejenih Borelovih funkcij na   , tako da
identiteta \---+  T

3.8. Izrek.  Naj bo  X  kompleksen Banachov prostor z razširjeno hiperortogonalno bazo in  grupa vseh linearnih surjektivnih izometrij prostora X , opremljena z normno topologijo. Potem je  realna Liejeva grupa v  GL(X) . Povezana komponenta identitete v grupi    pa je unitarna grupa W"-algebre  
  prostor vseh hermitskih operatorjev na  X ).
Dokaz.  Po izreku 2.5 je v  l\7*-algebra in
obstaja družina   paroma pravokotnih neničelnih
centralnin projektorjev v ,  Hilbertov
podprostor v  za vsak  z  in da je 
uu
"-izpmorfizeir. algebre  na direktno vsoto algebr 
Z Vl   označimo grupo unitarnin operatorjev algebre <jt
Če je  V 6   ,  V  ohranja ali le zamenja podprostore    . Denimo, da  V  ohranja vse unitaren ope^+nr za vsak  z . (Tako je u* ravno množica vseh izometrij v , ki ohranjajo vse podprostore  Xr .) Spekter operatorja  V   leži na enotni krožnici. Obstaja funkcija
 zvezna povsod, razen morda pri  t = 1 , da je exp(i^(T)) = t  in   za vsak . Vzemimo
homomorfizem iz 3.7 in označimo  Ker je €
realna funkciia*,ie    hermitski operator. Velja se  exp(iA ) =   in   . Obstaja natanko en hermitski operator
, Potem je seveda  lezi na enoparametnčni grupi Dokazali smo torej, da je U. 
Pa denimo, da je  in . Potem  W  prevede
neki podprostor X  v podprostor  X^ >•, kjer je z'   i   z . .\Taj bo  . Iz računa 
Torej sta tako U. kot  ^*~U, odprti podmnožici v  ^ . Od tod je res 
Naj bo zdaj  za vsak 
Očitno je  realen linearen podprostor v  . Pokažimo, da
je  zaprt! Res, če je   zaporedje elementov v in
;eveda
 zaprt, je tudi
 Označimo še . Tudi   je zaprt
realen linearen podprostor v , Očitno je 
Označimo zdaj  Vemo, da je
 karta za  . Vemo še, da 
 Tako je očitno  homennorfizem in je frft^s        podmnogoterost v  GL(X) . Fo 3.1 je Liejeva podgrupa v  GL(X) .
45
Denimo zdaj, da prostor  X  zadošča samo pogojem izreka 2.2 . Spet je   algebra in obstaja družina 
paroma pravokotnih centralnih projektorjev v Jt    , da je  G^ifc-G^ faktor tipa I za vsak  z  in da je Jt   direktna vsota idealov G ibG  . Spet naj bo  tt unitarna grupa algebre Jt    ,  fi- grupa . izometrij prostora  X  in 80 njena povezana komponenta identitete. S Žt   označimo podgrupo v & , sestavljeno iz vseh izometrij, ki ohranjajo vse  X  . Če je  V €  & ,  V  ohranja ali le zamenja podprostore  X  = G X . Prav kot v dokazu prejšnjega izreka vidimo, da je $t    odprta in zaprta v  ^ . Tako  Očitno je Žt    tudi edinka v     in diskretna grupa. Iz prejšnjega dokaza vidimo tudi, da je tL povezana in tako
 Dokažimo, da je Lt zaprta edinka v <ft . Res: naj bo
V 6 ^ in  Potem je  V|X  = U W  , kjer je  U   unitaren
z         z   z                             z
element   v     G  AG   |X       in     W_     komutira  z   vsemi   elementi   v z        z1    z
G. AG   \ X     .   Tako   je z        z     z 
AA                                                                      A
. Obstaja    unitaren. Tako je
 . Torej je    , pri čemer je
 zaprta edinka v ^ in ^ odprta edinka v 
Zdaj prehajamo k drugi točki našega programa. Pri privzetju nekaterih lokalnih lastnosti grupe izometrij Eanachovega prostora bomo skušali dokazati, da je ta grupa Liejeva. Zapišimo kar
3.9.  Izrek.   Naj bo  X  Eanachov prostor (realen ali kompleksen) in ^C zaprta omejena podgrupa v  GL(X) . Denimo, ča  obstajata dovolj majhni okolici tA, » IT identitete v  ^ , tako da   lanko vsak element iz ]f   povežemo z identiteto z odvedljivo potjo
po  iJL . Potem je ^ v normni topologiji realna Eanach-Liejeva grupa.
Za dokaz bomo potrebovali pomožne rezultate:
3.10.  Lema.  Naj bo  X  normiran prostor in  A,E fc f(X) . Potenje za vsako naravno število  n
fl 
46
Dokaz.  Računajmo:

Pri tem pa je

3.11. Lema.  Naj bo  X Banachov prostor in ^jC    zanrta podgrupa . Denimo, da je  U(t)  odvedljiva pot v     in 
  . Potem je                                , se pravi, da
je   (oznaka iz 3.5).
Dokaz .   Zapisimo 
zapisimo
Vzemimo poljuben pozitiven  £ in naj bo  n  tako velik, da je
 . Označimo  sA(t) = A in  nE(s/n) = B . Vsekakor je . Ker,
je po 3.10  H 
Po predpostavki je  . Za dovolj majhen 
je izraz poljubno majhen. V vsaki okolici
operatorja  je torej element množice . Ker je
 zaprta, je lema dokazana.
U7
3.12. Lema.  Naj bosta ^, ^  kot v 3.5 . Denimo, da ir.ar.o množico operatorjev  , tako da je 
in        i
(1)
Potem  obstaja     E £ 3£T   ,   da   je       "p"J exP  A.   =   exp   5     in     ||B|\ < 1   .
3*0               J
. Dokaz.  Po Campbell-Kausdorffovi formuli (3.2) lahke zapišemo

 Od tod je
Spet lahko uporabimo Campbell-riausdorf fovo formulo in zapišemo   in
D-jkaz izreka 3. 9 .  Naj bo  Ker je 
je         . Definirajmo novo normo        takole:
Očitno je  Ker je  za vsak
 in je tako nova normaekvivalentna prvotni. Tudi norma, ki jo lil IU inducira v   , je ekvivalentna običajni: 

48
Vsi elementi v "& so v novi normi izometrije. Torej lahko mirno privzamemo, da je ^ zaprta podgrupa v grupi surjektivnih linearnih izometrij prostora  X .
Naj bosta Ut, \T okolici z danimi lastnostmi. Frivzemimo, da je Ut vsebovana v odprti krogli s polmerom (l/8)ln2 . Naj bo
 . Obstaja odvedljiva pot  U(t)  po ,

Vzemimo poljuben obstaja tako pozitivno sievno čkz)   , aa ]e I
I 
Intervalčki (t-5(t),t+£(t))  pokrivajo  [0,l] . Od tod lahko
dobimo končno podpokritje tega intervala. Označimo s  tn,...,t
središča intervalčkov iz tega podpokritja. Mirno lahko privzamemo,
da je  Izberimo za vsak  k med  1  in
n  še tako točko 
Privzemimo še, da je  s_ = 0  in  s  „ = 1 . Naj bo  A(t) =
J    0                        n+1        J

H u
 (i)
Privzemimo zdaj, da je  6  tako majhen, da je  H£ < (l/8)ln2 in označimo  Potem je
 za vsak  r
Ker je 
 in so po 3.11 vsi lahko uporabimo lemo 3.12 in
zapišemo    , kjer je 
Naj bo 
Ker je logaritem v krogu s polmerom  1  okrog identitete zvezna funkcija in je bil t     poljuben, ugotovimo, da v vsaki okolici operatorja  obstajajo elementi podprostora je
^T  zaprt. Tako je  in trditev 3.6 dokonča dokaz.
Precej eleganten je tale izrek:
3.13. Izrek.  Naj bo  X  Eanachov prostor, grupa vseh linearnih surjektivnih izometrij na  X  ter fc maksimalna komutativna podgrupa v  . Deniiro, da obstaja okolica F identitete v (v topologiji, inducirani z normo), tako da za vsak   in vsak  obstaja množica  {_L' ,...,U ^ elementov v  , da je  ter
 . Potem je ^ realna Banach-Liejeva grupa v topologiji, ki jo inducira norma na  V£(X) .
50
Za dokaz bomo potrebovali tri leme. V vseh naj bo  A Banachova algebra z enoto  1 .
3.14. Lema.   Naj bo       takšen, da je. Poten:
je  
I 
Dokaz. 
_ -i
Podobno se dokaže druga ocena.
3« 15. Lema.   Naj bo  I 
Dokaz . 
Pravimo, da je element  a(A poševno simetričen, če je Uexp(sa)ll = 1  za vsako realno število  s .
3.16. Lema.   Naj bo tak, da za vsak obstaja naravno število  n  z lastnostjo  Potem je  a  poševno simetričen.
Dokaz.   Funkcija je konveksna funkcija
realne spremenljivke  t . Ker je    in 
je  . Podobno je   za
t . Torej je  za vsak 
Naj bo zdaj  s  poljubno realno število in  m  tako naravno
število, da je . Potem je 
 po prejšnji
Tn
oceni. Ker je    , je tudi
51
||exp(sa)l\ ^ exp(£\s\ ) . No,  £  je bil poljuben  in je tako Uexp(sa)\\ 4 1 • Ker je tudi  ||exp (-sa)l\ ^ 1 , je jasno, ča  je |jexp(sa)H = 1 . Tako je  a  res poševno simetričen.
Dokaz izreka 3.13 .  Ker je maksimalna komutativna podgrupa v  in je topologija na Hausdorffova, je  zaprta v  in tako v  GL(X) . Privzamemo lahko, da je okolica iT vsebovana v odprti enotni krogli s središčem v  I . Naj bo  U e iT Pokažimo, da je  A = log U  poševno simetričen operator. Fiksi-rajmo . Po predpostavki lahko najdemo elemente

Po   3.16 je  A  res poševno simetričen operator. Seveda A komutira z vsemi elementi v . Tako tudi za vsako realno število  t  izometrija  exp(tA)  komutira z vsemi elementi v  Ker je     naksimalna komutativna podgrupa v     , je exp(tA)   . Po 3.6 takoj zaključimo, da je  Liejeva grupa.
V nekomutativnem primeru vsa stvar na žalost ni videti tako preprosta. Pri nekoliko ostrejših pogojih pa vseeno pridemo co istih zaključkov:
52
Definicija.      Naj   bo     X     normiran  prostor   in     f:   [a,b]   —*> X funkcija.   Če   je     D   = £a = dp <: d. ^ . . .   <d   -h"}.,  poljubna  končna
delitev  intervala     [a,b]   ,   naj   bo     Vr(f)   =   jr^ \\f (d. ) -f (d.   , A\
u                b            i            l-i; . .
Če obstaja  sup V_(f)  po vseh mogočih delitvah  D , mu pravimo krepki totalni razmah funkcije  f  na [a,b] in ga označimo z V(f;a,b) . če je  p: [0,1] —*- X  pot  in  V(p;G,l)  obstaja, pravimo, da je pot  p  izmerij iva (rektifikabilna) in  V(p i 0,1) njena dolžina.
3.17. Izrek.  Naj bo  X  Eanachov prostor in <A grupa vseh linearnih surjektivnih izometrij prostora  X , opremljena z normno topologijo. Denimo, da obstajata dovolj majhni okolici U, , iT identitete v  &. , tako da lahko vsak element iz T povežemo z identiteto z izmerljivo potjo po \^    . Potem je 8 realna Eanach-Liejeva grupa.
Dokaz.  Privzemimo, da je tt vsebovana v odprti krogli s polmerom  (l/8)ln2  okrog identitete. Naj bo  H  element okolice V    in  U(t)   ( t € [0,1] )  izmerljiva pot v ^ , tako da je U(0) = I ,  U(l) = H  in  HU(t)-I!| < (l/8)ln2  za vsak  t . Pokazali bomo, da je  log H = log(U(l)) poševno simetričen operator.
Pa naj bo   0^a<b^l  in  D delitev intervala  [a,b] :
a=tn ct. (...< "tn = ^ * ^ množico vseh delitev intervala  [a,b]
vpeljemo delno urejenost na običajni način:  D^ D^ , če je  D'
nadaljevanje delitve  D . Vsaki delitvi  D  danega intervala
priredimo operatorja
AD = ClogCUCt.r^Ct.^))    ED = ^UCt.r^UCt.^-UCt.))
2
ter število  cn = H HU(t. , )-U(t. ) \\     . Trdimo, da obstaja
U            K                1+1               1
Ker je pot  U  zvezna, lahko kot običajno dokažemo, da je V(U;a,t)  zvezna funkcija spremenljivke  t . Za vsak  6^0 lahko najdemo delitev  E = {,a = en < e. c  ••• <.e =b   5 da je
53
 za vsak  i . Naj bo . Potem je
 . Dokazali smo, da j e 
Po 3.14 je 
 . Če torej obstaja  , obstaja
tudi  in sta obe limiti enaki. Trdimo pa še več: v tem
primeru je poševno simetričen operator.
Res, naj bo  dovolj majhno pozitivno število. Pišimo
 . Izberimo delitev intervala  , tako da je

Tako je   Naj bo  n
število delilnih točk v  D . Računajmo (z uporabo leme 3.15):

po zgoraj pridelani neenačbi. Od tod je

Po 3.16 je  A res poševno simetričen operator.
Lotimo se zdaj eksistence  lim B~ . Denimo, da delitvi  D dodamo točko  s  in dobimo novo delitev  C . Naj bo  Potem je

Denimo zdaj, da med delilni točki  t.  in  t. -  natresemo J '                                                               i      l + l
namesto ene točke  s  več točk:  Novo
delitev intervala  £a,b]  označimo z  F . Naj bo še  sQ = t.
in  s  = t. . . Računajmo: n   i + l                    J
54
 (ne pozabimo, ca
gre za izometrije), je
 (1)
Funkcija U  je na  Qa,bJ  enakomerno zvezna. Za vsako
pozitivno število  £ obstaja tak  da iz 
sledi , je potem
 . Od tod vidimo,
da je v primeru, ko je delitev  D  tako fina, da je
za vsak  i  in  F poljubno nadaljevanje delitve  D 
. Zato   lim B~  res obstaja.   D   J
Označimo zdaj . Naj   bo  n  naravno število.
Obstaja delitev  D  intervala  t°>l]    > sestavljena iz točk
 , tako da je    Po
lemi 3.14 je za dovolj velik  n

Mislimo si zdaj, da je v prejšnji obravnavi  a = w.  in

Upoštevajmo, da je   , pa iz (1) vidimo, da j

Z uporabo prejšnje ocene lahko tako zapišemo
(2)
55
Ocenimo zdaj izraz

n  dovolj velik. Tako je

če je  n  dovolj velik, je   exp(3n  M) < 2   in   exp(2n  M )<   . Od tod je za dovolj velik  n
Končno je v tem primeru

Če je  n  dovolj velik, lahko tako uporabimo 3.13 in zapišemo
, kjer je  B  poševno simetričen operator z normo pod  1 . Od tod je po zgornjem

Ker je     za vsak   (prostor
poševno simetričnih operatorjev) po 3.5 zaprt, je tudi  log (L (D) poševno simetričen. Uporabimo še 3.6, pa smo končali.
Za konec napišimo še tale izrek, ki utegne biti zanimiv zlasti za refleksivne Banachove prostore  X  (v katerih je enotna krogla v  )  kompaktna v šibki operatorski topologiji) :
56
3.18. Izrek.   Naj bo  X  kompleksen Eanachov prostor  in {b.} posplošeno zaporedje linearnih surjektivnih izometrij prostora

X , ki konvergira po normi k identiteti. Naj bo  A. =
 sicer. Denimo, da obstaja limita posplošenega zaporedja A.  v šibki operatorski topologiji. Potem je ta limita poševno simetričen operator.
Dokaz.  Naj bo  V(T)  algebrski numerični zaklad operatorja T v algebri  ^£(X) . Po 1.2  je   max {Re z;z £ V(T)} =
 . Od tod je 
 če   in od tod trivialno max i Podobno je   ,
se pravi, da   leži desno od imaginarne osi.
in  , je 
 J.                       J.   J-
. Od tod vidimo, da je  V(A.)  oddaljen od imaginarne osi na levo kvečjemu za ,. Torej je algebrski numerični zaklad operatorja A.  vsebovan v pasu  Prostorski numerični zaklad operatorja  A.  je po 1.6 vsebovan v algebrskem. Naj bo  v šibki operatorski topologiji.
Ker , je prostorski numerični zaklad operatorja  A
na imaginarni osi. Algebrski numerični zaklad za  A pa je zaprta konveksna ogrinjača prostorskega (1.6). Tako je res  A poševno simetričen operator.
57
LITERATURA
1.  E.Eerkson, Action of W*-algebras in Banach spaces, Math.Ann. 189(1970) ,261-271.
2.  E.Eerkson & H.Porta, Representations of &CA)   , J. Funct. Anal. 3(1969), 1-34.
3.  C.Bessaga & A.Pelczynski, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces, Studia Math. 17(195.9) ,
151-164.
4.  F.F.Bonsall & J.Duncan, Numerical ranges of operators on normed spaces and of elements of normed algebras, Vol.I, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1971.
5.  F.F.Bonsall & J.Duncan, Numerical ranges II, Cambridge Univ. Press, Cambridge 197 3.
6.  N.Eourbaki, Groupes et algebres de Lie, Chap. 2&3, Hermann, Pariš 19 72.
7. N.Eourbaki, Varietes differentielles et analytiques (Fascicule de resultats), Paragraphes 1 a 7, Hermann, Pariš 1967.
8. J.W.Calkin, Two sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert spaces, Ann.Math. 42(1941), 839-372.
9. J.Dixmier, Les algebres d^operateurs dans l^espace hilbertien (Algebres de von Neumann), Gauthier-Villars, Pariš 1957.
10. A.Douadv, Le probleme des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d^un espace analytique donne , Ann. Inst.Fourier 16(1966), 1-95.
11.  M.Dunford & J.T.Schwartz, Linear operators, Part I, Interscience, New York 1957.
12.  R. J. Fleming & J.E.Jamison, Hermitian and adjoint abelian operators on certain Banach spaces, Pacific J.Math. 5 2 (1974), 67-85.
58
13.  R. J. Fleming & J.E.Jamison, Isojr.etries on certain Banach spaces, J.London Math.Soc. (2)9(1974), 121-127.
14.  L.A.Harris & W.Kaup, Linear algebraic groups in Infinite dimensions, to appear in Ill.J.Math. .
15.  E.Hille & R.S.Phillips, Functional analysis and semigroups, AMS Colloquium Publications 31, Amer. Math. Soc. , Providence , R.I. 1957.
16. A.Grothendieck, Sur les applications lineaires faiblement compactes d^espace du type C(K), Canadian J.Math. 5(1953), 129-173.
17.  R.V.Kadison, Operator algebras with a faithful weakly closed representation, Ann.Math. 54(1956), 175-181.
18.  N.J.Kalton & G.V.Kood, Orthonorm.al systems in Banach spaces and their applications, Math.Proč.Camb.Phil.Soc. 79(1976), 493-510.
19. V.Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New. York 1973.
20.  S.Sakai, C*-algebras and V/*-algebras, Springer, Erg.d.Math. 60, Berlin-Heidelberg-New York 1971.
21. K.Schneider & R.E.L.Turner, Matrices Hermitian for an absolute norm, Linear and Multilinear Algebra 1(1973), 9-31.
22. P.G.Spain, V.7*-closure of a Vs':-algebra, J.London Math.Soc. (2)7(1973), 385-386.
23. J.T.Schwartz, W*-algebra, Notes on Mathematics and its Applications, Gordon & Breach, New York 1967.
24.  I.Vidav, The group of isometries and the structure of a finite dimensional normed space, Linear Algebra Appl. 14 (1967), 227-236.