UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Janko Bračič ALGEBRE Z LOČLJIVIM SPEKTROM IN BANACHOVI MODULI NAD NJIMI Disertacija Ljubljana, 2001 Zahvaljujem se mentorju profesorju Milanu Hladniku za vsestransko pomoˇc pri nastajanju te disertacije. Meliti, Ajdi in Veroniki Kazalo Povzetek 5 Abstract 7 Poglavje1. Priprave 1 1.1. Uvod 1 1.2. Pregled vsebineinvpraˇsanj 8 1.3. Lokalna spektralna teorija 10 1.4. Definicija modulovinosnovne lastnosti 13 1.5. Banachovi moduli 17 Poglavje2. Krepko harmoniˇcne algebre 22 2.1. Beurling-Arvesonov spekter 22 2.2. Algebrezloˇcljivim spektrom 26 2.3. Spektralniinkospektralni podmoduli 31 2.4. Karakterizacija algeber z loˇcljivim spektrom 36 2.5. Najveˇcja podalgebrazloˇcljivim spektrom 40 Poglavje3. Krepko harmoniˇcni operatorji 44 3.1. Definicija krepko harmoniˇcnih operatorjev 44 3.2. Lastnosti krepko harmoniˇcnih operatorjev 47 3.3. Krepko harmoniˇcni elementarni operatorji 51 Poglavje4. Upodobitve modulov 56 4.1. Prapodmoduli 56 4.2. Kocikliˇcniinmaksimalni podmoduli 59 4.3. Upodobitve modulov 62 4.4. Nerazcepne upodobitve modulov 68 4.5. Hull-kernel topologija 71 4.6. Naravna preslikava 74 Poglavje5. Enostavni multiplikatorji 77 5.1. Toˇckasti multiplikatorji 77 5.2. Enostavni multiplikatorji na Banachovih modulih 85 5.3. Spektralne lastnosti enostavnih multiplikatorjev 90 3 KAZALO 4 Poglavje 6. Banachovi moduli z loˇcljivim spektrom 94 6.1. Algebrezdelno loˇcljivim spektrom 94 6.2. Arvesonov spekter upodobitve modula 96 6.3. Banachovi modulizloˇcljivim spektrom 100 Literatura 104 Seznam oznakinstvarno kazalo 107 Seznam oznak 107 Stvarno kazalo 111 Povzetek Komutativna Banachova algebra z enoto 21 je algebra z ločljivim spektrom, če za poljubna različna karakterja ip in ip na njej obstajata takšna elementa a in b v 21, da velja a& = 0 in cp(a) /0 / VK^)- Algebre z ločljivim spektrom so regularne v smislu Silova, vendar niso nujno polenostavne. Ce je 21 takšna komutativna Banachova algebra z enoto, da za neko podmnožico elementov 2lo v 21 velja (i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2lo ločijo točke v spektru algebre 21 in (ii) vsak element iz 2lo inducira na 21 operator množenja z dekompozi-cijsko lastnostjo (5), potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. Obratno: če je 21 algebra z ločljivim spektrom, potem vsak element iz 21 na vsakem levem Banachovem 2l-modulu inducira super-dekomponibilen operator množenja. Algebre z ločljivim spektrom imajo lepe lastnosti v smislu lokalne spektralne teorije in to se odraža tudi na krepko harmoničnih operatorjih, tj. operatorjih, ki so vsebovani v kakšni algebri operatorjev z ločljivim spektrom. Vsak omejen linearen operator z dovolj bogatim funkcijskim računom je krepko harmoničen in vsak krepko harmoničen operator je dekomponi-bilen. n-terica komutirajočih omejenih linearnih operatorjev na Banachovem prostoru je krepko harmonična, če so vsi operatorji iz n-terice vsebovani v isti algebri z ločljivim spektrom. Vsaka krepko harmonična n-terica je dekomponibilna. Če je E elementaren operator, katerega koeficienti sestavljajo dve krepko harmonični n-terici, potem je E krepko harmoničen operator in njegovi lokalni spektri se na naraven način izražajo z lokalnimi spektri obeh n-teric koeficientov. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kakšen mora biti levi Banachov 2l-modul X, da vsak element iz 21 inducira na X dekomponi-bilen operator? Da lahko odgovorimo na to vprašanje, izdelamo za module teorijo upodobitev, ki razširja teorijo upodobitev algeber. Vpeljano je veliko pojmov, ki na naraven način razširjajo pojme iz teorije algeber na module. Tako, na primer, definiramo tudi module z ločljivim spektrom in odgovor na prej postavljeno vprašanje se glasi: če je X takšen levi Banachov 2l-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter, potem vsak element iz 21 inducira na X dekomponibilen operator množenja. Teorija upodobitev modulov nam omogoča, da vpeljemo razred enostavnih multiplikatorjev na danem Banachovem modulu. Na primer, vsak multiplikator na polenostavni Banachovi algebri je enostaven. Za omenjeni POVZETEK 6 razred multiplikatorjev pokaˇzemo, da imajo podobne lastnosti kot multi-ˇ plikatorji na algebrah. Ce modul na katerem delamo, zadoˇsˇca nekaterim dodatnim pogojem, potem je mnoˇzica vseh enostavnih multiplikatorjev na njem polenostavna komutativna Banachova algebra z enoto. S pomoˇcjo tega lahko izpeljemo trditve, ki so analogne znanim rezultatom o multiplikatorjih na polenostavnih Banachovih algebrah. 2000 Mathematics Subject Classification. 46H15, 46H25, 47B40, 47B47, 47B48. Ključne besede. Algebra z ločljivim spektrom, Arvesonov spekter, dekomponibilen operator množenja, komutativna Banachova algebra, krepko harmoničen operator, modul z ločljivim spektrom, multiplikator, točkasti multiplikator, upodobitev modula. Abstract A unital commutative Banach algebra 21 is spectrally separable if for every pair of distinct characters tp and ip on it there exist a and b in 21 such that ab = 0 and ip(a) = 0 = ^(fe). Every spectrally separable algebra is regular in the sense of Shilov, however they are not necessarily semisimple. If a unital commutative Banach algebra 21 contains a subset 2lo such that (i) the Gelfand transforms of elements in 2lo separate points of the spectrum of 21 and (ii) each element in 2lo induces a multiplication operator on 21 with the decomposition property (5), then 21 is spectrally separable. On the other hand, if 21 is spectrally separable, then any element in 21 induces a super-decomposable multiplication operator on every left Banach 2l-module. Spectrally separable algebras have nice properties in the sense of the local spectral theory and this reflects also on strongly harmonic operators, i.e. operators which are included in some spectrally separable algebra of operators. Every bounded linear operator whose functional calculus is rich enough is strongly harmonic and, on the other hand, every strongly harmonic operator is decomposable. An n-tuple of commuting bounded linear operators on a Banach space is strongly harmonic if there exists a spectrally separable algebra of operators which contains this n-tuple. Every strongly harmonic n-tuple is decomposable. Let E be an elementary operator whose coefficients form two strongly harmonic n-tuples. Then E is a strongly harmonic operator and its local spectra can be computed from the local spectra of the n-tuples of the coefficients in a natural way. Let 21 be a unital commutative Banach algebra. Under what conditions on a left Banach 21-module X is it true that each element in 21 induces a decomposable multiplication operator on X? In order to give an answer to this question we introduce representation theory for modules and this theory is a natural extension of the representation theory of algebras. There are many notions from the theory of algebras which are extended in a natural way to modules. For instance, we introduce a notion of spectrally separable module and answer the above question in the following way. If X is a left Banach 2l-module such that its dual module X* is spectrally separable, then each element in 21 induces a decomposable multiplication operator on X. By the help of the theory of module representations we define simple multipliers on a given Banach module. For example, all multipliers on a semisimple commutative Banach algebra are simple. We show that simple ABSTRACT 8 multipliers have similar properties as multipliers on algebras. Under some additional conditions on a module we can prove that simple multipliers on this module form a semisimple unital commutative Banach algebra. Then the assertions which are similar to the known results about multipliers on algebras can be proven. 2000 Mathematics Subject Classification. 46H15, 46H25, 47B40, 47B47, 47B48. Key words and phrases. Arveson spectrum, commutative Banach algebra, decomposable multiplication operator, multiplier, point multiplier, representation of module, spectrally separable algebra, spectrally separable module, strongly harmonic operator. Priprave V prvem razdelku tega poglavja se bomo seznanili z znanimi rezultati, ki pomenijo nekakˇsno os, okoli katere se bodo vrtela vsa naˇsa nadaljna razmiˇsljanja. V tem razdelku bomo tudi vpeljali najnujnejˇse pojme in oznake — veˇcino terminologije in notacije bomo uvedli v zadnjih razdelkih poglavja. Drugi razdelek je namenjen pregledu vsebine in postavitvi problemov. 1.1. Uvod Kot je dobro znano, se teorija avtomatične zveznosti ukvarja z vprašanji, kdaj iz algebraičnih pogojev sledi zveznost dane linearne preslikave, ki je definirana med dvema linearnima algebrskima strukturama, opremljenima s topologijo. V tem delu se bomo ukvarjali s podobnim fenomenom, le da nas bodo pri linearnih preslikavah namesto zveznosti zanimale tiste lastnosti, ki spadajo v lokalno spektralno teorijo. Naslednji izrek nam bo služil kot ilustracija, hkrati pa bomo ob njem vpeljali pojme, ki jih bomo potrebovali kasneje. Izrek 1.1.1 ([60], izrek 1.2). Naj bo 21 polenostavna komutativna kompleksna Banachova algebra (z ali brez enote). Za vsak a G 21 so ekvivalentne naslednje trditve: (a) Gelfandova transformiranka a je hull-kernel zvezna na S (21). (b) Operator mnoˇzenja Ta : x i—> ax, x G 21, je super-dekomponibilen. (c) Ta je dekomponibilen. (d) Ta ima ˇsibko 2-SDP. S S(21) smo označili množico karakterjev na 21, tj. množico neničelnih multiplikativnih linearnih funkcionalov. V primeru Banachovih algeber so multiplikativni linearni funkcionali vedno zvezni. Velja celo, da njihova norma ne presega 1. Torej je S(2l) podmnožica zaprte enotske krogle v 21*, topološkem dualu algebre 21. Če ima 21 enoto, je \\tp\\ = 1 za vsak ip G S(21). i 1.1. UVOD 2 Komutativna Banachova algebra je polenostavna, če obstaja dovolj karakterjev na njej v smislu, da je [I ker p) = {0}. Y>eL(2l) Kot podmnožica zaprte enotske krogle v 21* je S(21) na naraven način opremljena z relativno šibko * topologijo. Tej topologiji bomo v nadaljevanju rekli Gelfandova topologija, množici S(21) pa nosilni prostor algebre 21, ko bo opremljena s to topologijo. Gelfandova transformiranka elementa a G 21 je funkcija a : S(2l) —> C, ki je definirana z a(

) := (p(a) pri vseh

G L(21). Predpis T : a i—> a je Gelfandova transformacija na 21. Ta preslikava je injektivna natanko tedaj, ko je algebra 21 polenostavna. Gelfandova topologija na S(2l) je najšibkejša topologija, v kateri so Gelfandove transformiranke vseh elementov iz 21 zvezne. Označimo s Co (S (21)) algebro vseh zveznih kompleksnih funkcij na nosilnem prostoru algebre 21, ki imajo ničlo v neskončnosti. Potem je torej 21 := T(21) podalgebra (ne nujno zaprta) v Co(S(2l)). Ce ima algebra 21 enoto, je nosilni prostor kompakten topološki prostor in tedaj je 21 podalgebra v C(E(2l)). Ovoj podmnožice U C 21 je množica h%(JJ) := {(p G S(2l); U C ker

}. Jedro neprazne podmnožice E C S(21) je zaprt ideal k%(E) := J J ker p), jedro prazne množice pa je cela algebra 21. Predpis, ki poljubni množici E C L(21) priredi množico h^k^(E) := h%{k%{E)), je operator zaprtja. Se pravi, da lahko na S(2l) vpeljemo topologijo, v kateri so zaprte natanko tiste množice, ki so ovoji. Tej topologiji pravimo hull-kernel topologija in E(2l), opremljena s to topologijo, je strukturni prostor algebre 21. V splošnem je hull-kernel topologija šibkejša od Gelfandove topologije, če sta topologiji enaki, pravimo, da je 21 regularna algebra (to je ena od ekvivalentnih definicij regularnosti, glejte izrek 7.1.2 v [50]). Več o Banachovih algebrah bo bralec našel v [14], [50], [61] in [63]. Poglejmo zdaj še pojme iz lokalne spektralne teorije. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in B(X) algebra omejenih linearnih operatorjev na X. Operator T G B(X) je dekomponibilen natanko tedaj, ko za poljubno odprto pokritje {U, V} kompleksne ravnine C obstajata takšna podprostora ^ in Z v Lat (T), tj. v mreži zaprtih T-invariantnih podprostorov, da velja X = ^ + Z in (b) Fiksirajmo a G 21, katerega Gelfandova transformiranka je hull-kernel zvezna. Naj bo {U, V} poljubno odprto pokritje kompleksne ravnine. Izberimo takšni odprti množici W\ in W2 v C, za kateri velja C \ U c W\ c W\ c W2 Q W2 Q V. Množici W\ in C\W2 sta torej zaprti in disjunktni. Se pravi, da sta a~l(W\) in a_1(C\ W 2 ) disjunktni hull-kernel zaprti podmnožici v E(2l). Se več, obe množici sta kompaktni tako v hull-kernel kot v Gelfandovi topologiji. Po korolarju 3.6.10 iz [63] obstaja v 21 takšen r, da velja r = 0 na a~ (W\) in r = 1 na a~ (C\W2). Naj bo operator R G 13(21) definiran z Rx := rx, x G 21. Pokazali bomo, da ta operator zadošča pogojem za super-dekomponibilnost operatorja Ta G 13(21) glede na pokritje {U, V}. Jasno je, da R in Ta komutirata. Da bi dokazali inkluzijo a(Ta\im R) C U, vzemimo poljubno število A G C\ U. Zaradi A G W\ in odprtosti množice W\, je razdalja 5 := dist(A,C \ W\) pozitivno število. Se več, za vsak 1.1. UVOD 4 ip G a_1(C \ W\) velja |(a — Xf\(p)\ = \a(ip) — A| > 5 > 0. Torej je |(a — A)~| > 5 > 0 na kompaktni množici a-1 (C \ V^i). Uporabimo lahko izrek 3.6.15 iz [63], ki pravi, da obstaja v 21 takšen a\, da je ((a — \)a\p=l na a- (C\Wi). Jasno, potem je ((a — \)a\ry"=f na a- (C\W\). Ker pa je F = 0 na a_1(M^i), velja ((a — \)a\ry~=fr na celem prostoru E(2l). Polenostavnost algebre 21 nam zagotavlja, da je (a — A)aA?" = r. Sklepamo torej lahko, da je (a — X)a\vx = rx za vse x G 21. Zaradi zveznosti operatorjev množenja od tod sledi (1.1.1) (a — X)a\y = y za vse yLimR. Označimo s Tax operator množenja z a\ na 21. Očitno je podprostor im R invarianten za Tax. Iz (1.1.1) torej sledi {Ta\imR — \)Tax\imR\y = y za vse yGimR. To pomeni, daje operator Ta\im R—X obrnljiv, oziroma A ^ a(Ta\im R). Ker je bilo število A poljubno iz e > 0 na a~ (W2). Množica a~l(W2) je hull-kernel zaprta, zato nam izrek 3.6.15 iz [63] zagotavlja obstoj takšnega elementa b^ G 21, da je ((a —/x)6/U)'^= 1 na a~ (W2). Od tod, podobno kot prej, sledi, da je ((a — fj,)bfj,(l — r)Y~= (1 — r)"~, na celem prostoru E(2l). Potem pa zaradi polenostavnosti algebre 21 spet dobimo (a — /x)6/U(l — r) = 1 — r. Najprej lahko sklepamo, da je (a — /jL)bfj,y = y za vse y G im (I — R), od koder nato sledi obrnljivost operatorja Ta — /j, na im (I — R). 1.1. UVOD 5 Implikaciji (b)=>(c) in (c)=>(d) sta trivialni. Dokažimo, da velja (d)=>(a). To bomo storili s protislovjem. Predpostavimo, da ima operator Ta šibko 2-SDP, Gelfandova transfermiranka a pa ni hull-kernel zvezna. Obstaja torej neka zaprta množica F C C, za katero velja, da E := a-1 (F) ni hull-kernel zaprta v L(21). Vzemimo ip G h^k^(E) \ E in postavimo A := ip(a) eC\F. Ker ima Ta šibko 2-SDP, {C\{A}, C\F} pa je odprto pokritje kompleksne ravnine, obstajata v Lat (Ta) takšna y in Z, da je o~iTa\^) C C \ {A}, a(Ta\Z) CC\F in y + Z = 21. Prva inkluzija nam zagotavlja, da za vsak ye^ obstaja v y takšen y, da je y = (a — X)y. Od tod sledi ip(y) = (ip(o,) — X)ip(y) = 0, kar nam da ip = 0 na y. Naj bo zdaj

poljuben karakter iz E. Potem je /x := (p(a) število v F. Ker je a(Ta\Z) C C \ F, obstaja za vsak z G Z takšen ž G Z, da je z = (a — fi)ž. Od tod sledi ip(z) = (

(a) — fi)

(ž) = 0. To pomeni, da je

= 0 na Z. Ker je bil

poljuben iz E, velja Z C k%{E). Potem pa je ip G h%ik%i(E) C h%i(Z), oziroma ^ = 0 na Z. Upoštevajmo, da je y + Z = 21, pa imamo ip = 0, kar je nemogoče. D Opomba 1.1.2. Iz predhodnega dokaza sledi, da za super-dekomponibi-len operator množenja Ta na polenostavni komutativni Banachovi algebri 21 lahko za operator R, ki nastopa v definiciji super-dekomponibilnosti, vedno izberemo operator množenja z nekim elementom r iz 21 (oziroma iz 21 © C, če 21 nima enote). Naj bo 21 poljubna komutativna Banachova algebra. Označimo Dec2i(2l) := {a G 21; Ta : 21 —> 21 je dekomponibilen}. Izrek 1.1.3 ([60], izrek 1.5). Naj bo 21 polenostavna komutativna Banachova algebra. Potem je Dec%{%l) zaprta podalgebra v 21. Za vsak a G Dec2[(2l) velja: (i) Če je I zaprt ideal v 21, potem je zožitev operatorja Ta na I super-dekomponibilen operator. (ii) Če je 53 poljubna Banachova algebra (ne nujno polenostavna ali komutativna), ki vsebuje 21 kot podalgebro, potem je razširitev Ta : 53 —> 53 operatorjaTa, kije dana zTax = ax, a; G 53, super-dekomponibilen operator. Dokaz. Po izreku 1.1.1 so v Dec^(^i) natanko tisti elementi iz 21, katerih Gelfandove transformiranke so hull-kernel zvezne. Od tod očitno sledi, da je Dec2i(2l) podalgebra v 21. Pokažimo, daje zaprta. Naj bo {flnj^Li poljubno Cauchyjevo zaporedje v Dec<%(%L), ki konvergira k a G 21. Pokazati moramo, 1.1. UVOD 6 da je Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna. Naj bo U C C odprta množica. Predpostavimo, dajea_1([7) neprazna. Vzemimo poljuben

0 poljubno pozitivno število manjše od polovice te razdalje. Z D(A, e) označimo odprti disk v C, katerega središče je v A, njegov polmer pa je e. Pri vsakem indeksu n je a~1(D(A, e)) hull-kernel odprta podmnožica v L(21). Naj bo hq takšen indeks, da iz n > hq sledi \\a — an\\ < e. Pokažimo, da tedaj pri vsakem n > uq velja a~1(D(A,e)) C a~l(U). Res! Če je ip G a~1(D(A, e)), potem je \&(ip) — A| < \a(ip) — an(ip)\ + \an(ip) — A| < \\a — an\\ + e < 2e, od koder sledi a(tp) G U in nato ip G a~l(U). Iz IA — an( 21 super-dekomponibi-len. (d) Za vsak a G 21 je Ta : 21 —> 21 dekomponibilen. (e) Obstaja tak sistem generatorjev 2l0 algebre 21, da ima vsaA; Ta : 21 —> 21, a G 2l0, šibko 2-SDP. Dokaz. Ker v primeru regularnih algeber hull-kernel topologija in Gelfandova topologija na S(2l) sovpadata, je jasno, da iz (a) sledi (b). Implikacija (b)=>(c) sledi iz izreka 1.1.1, implikaciji (c)=>(d) in (d)=>(e) pa sta trivialni. Predpostavimo torej, da velja (e). Po izreku 1.1.1 je za vsak a G 2l0 Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna. Potem pa je hull-kernel zvezna tudi Gelfandova transformiranka b poljubnega elementa b iz algebre, ki jo v 21 generira 2l0- To pomeni, da Dec<%(%L) vsebuje množico, ki je gosta v 21. Zaradi zaprtosti Dec^(^i) je Dec%{%l) = 21 od koder, spet po izreku 1.1.1, sledi, da so vse Gelfandove transformiranke elementov iz 21 hull-kernel zvezne. To pa je mogoče le, če hull-kernel topologija in Gelfandova topologija sovpadata na S(2l), kar je isto kot zahteva, da je 21 regularna. D Ge v izreku, ki ga je dokazal Frunza, polenostavnost izpustimo, dobimo karakterizacijo algeber z ločljivim spektrom. To je poseben razred regularnih algeber, ki jih je študiral Baskakov (glejte [13]). Izrek 1.1.5 (Baskakov). Unitalna komutativna Banachova algebra 21 je algebra z ločljivim spektrom natanko tedaj, ko obstaja takšna podmnožica 2l0 v 21, da velja: (i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2l0 ločijo točke v spektru algebre 21 in (ii) za vsak a G 2l0 je operator množenja Ta : 21 —> 21 dekomponibilen. Dokaz izpustimo, saj bomo v naslednjem poglavju, ko se bomo podrobneje seznanili z algebrami z ločljivim spektrom, dokazali njegovo razširjeno verzijo. Albrecht [5] je pokazal, da v vsaki polenostavni komutativni Banachovi algebri z enoto 21 obstaja največja regularna podalgebra, ki jo bomo v nadaljevanju označili z Reg (21). Izrek 1.1.6 ([60], izrek 2.5). Naj bo 21 polenostavna komutativna Banachova algebra (z ali brez enote). Potem obstaja v 21 največja regularna zaprta podalgebra Reg (21), za katero velja Reg (21) C Dec$i($l). Dokaz. Označimo z 2l0 unijo vseh regularnih zaprtih podalgeber 9Jt v 21. Ce ima 21 enoto 1, potem je 1 G 2l0. Ko pa 21 nima enote, se lahko zgodi, da je 2l0 = {0} in torej tudi Reg (21) = {0}. V nadaljevanju bomo 1.2. PREGLED VSEBINE IN VPRAŠANJ 8 predpostavili, da 2lo ni prazna. Pokazali bomo, da je zaprta podalgebra 53, ki jo v 21 generira 2lo, regularna. Po izreku 1.1.4 je dovolj videti, da je za vsak a G 2lo operator množenja Ta dekomponibilen na 53. Za vsak a G 2to obstaja takšna zaprta regularna podalgebra 9Jt v 21, da je a G 9Jt. Po izreku 1.1.4 je Ta dekomponibilen na 9Jt, toda potem je dekomponibilen tudi na 53 in 21, po trditvi (ii) izreka 1.1.3. To dokazuje, da je 53 regularna in da je 2lo Q Dec<%(%l). Ker pa je Dec<%(%L) zaprta podalgebra v 21, velja 53 C Dec2i(2l). Glede na konstrukcijo je jasno, da je 53 največja regularna zaprta podalgebra v 21. D Izrek 1.1.6 velja tudi, če ne predpostavimo polenostavnosti (glejte izrek 2.8 v [60]). Pripomnimo še, da je v primeru polenostavnih algeber še vedno odprt problem, ali je inkluzija Reg (21) C Dec%(%l) kdaj prava (glejte [53] in tam navedeno literaturo). 1.2. Pregled vsebine in vprašanj V tem razdelku bomo na hitro pregledali vsebino in formulirali vprašanja, s katerimi se bomo ukvarjali. Izhodišče so rezultati v prvem razdelku tega poglavja. Začnimo z drugim poglavjem. V njem bomo izdelali teorijo algeber z ločljivim spektrom, motivacija za to pa so naslednja vprašanja, ki izhajajo iz izrekov 1.1.3, 1.1.4 in 1.1.5. Naj bo X levi Banachov modul nad komutativno Banachovo algebro 21. Z Dec%{X) označimo množico vseh tistih elementov iz 21, ki inducirajo na X dekomponibilen operator množenja. Vprašanje 1.2.1. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kaj mora veljati za 21, da bo pri vsakem levem Banachovem %-modulu X veljalo Decs%(X) =21? Odgovor na zastavljeno vprašanje dajeta izreka 2.4.1 in 2.4.3: enakost Dec%(X) = 21 bo veljala za vse leve Banachove 2l-module natanko tedaj, ko je 21 algebra z ločljivim spektrom. Se več, če je 21 algebra z ločljivim spektrom, inducirajo vsi elementi iz 21 na vsakem levem Banachovem 21-modulu super-dekomponibilne operatorje (izrek 2.4.2). Vprašanje 1.2.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kaj lahko povemo o preseku rixDec2i(X), ki je vzet po vseh levih Banachovih %-modulih? 1.2. PREGLED VSEBINE IN VPRAŠANJ 9 V razdelku 2.5 bomo pokazali, da v vsaki komutativni Banachovi algebri 21 z enoto obstaja najveˇcja podalgebra z loˇcljivim spektrom, Sep (21). Zaradi izreka 2.4.1 velja S ep (21) C rixDec2i(X). Podalgebra Sep (21) se obnaˇsa podobno kot Reg(%l), vendar vpraˇsanje, ali ti dve podalgebri sovpadata, ostaja odprto. Iz karakterizacije algeber z loˇcljivim spektrom sledi njihova tesna povezanost z lokalno spektralno teorijo operatorjev. V tretjem poglavju bomo ˇstudirali krepko harmonične operatorje. Operator T na Banachovem prostoru X je krepko harmoniˇcen, ˇce obstaja takˇsna algebra z loˇcljivim spektrom 21 C B(X), ki vsebuje T in identiˇcni operator /. Naj bosta X in y Banachova prostora in 21 C B()$) ter 53 C B(X) algebri z loˇcljivima spektroma. Potem je B(X, y) — prostor vseh omejenih lineranih preslikav iz X v ^ — Banachov 2l-53-bimodul. Naj bo E elementaren operator na B(X,)$), s koeficienti iz 21, oziroma iz 53. Vpraˇsanje 1.2.3. Ali je E krepko harmoničen operator? Izrek 3.3.1 nam zagotavlja, da je za posebne vrste elementarnih operatorjev odgovor pritrdilen. V sploˇsnem pa dobimo pritrdilen odgovor pri dodatnih predpostavkah, glejte izrek 3.3.3. Vpraˇsanje 1.2.4. Kako so lokalni spektri elementarnega operatorja E odvisni od lokalnih spektrov njegovih koeficientov? Odgovor na vpraˇsanje daje izrek 3.3.11. Ce je 21 polenostavna komutativna Banachova algebra, potem je element a G 21 v Dec2i(2l) natanko tedaj, ko je Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna (izrek 1.1.1). Laursen in Neumann ([56], [53]) sta ta rezultat razˇsirila. Pokazala sta, da velja za nekatere multiplikatorje. Multiplikator iz (levega) Banachovega 2l-modula X v (levi) Banachov 2l-modul y je omejena linearna preslikava T : X —> y, za katero velja T(a ¦ x) = a ¦ Tx (a G 21, x G X). V posebnem je multiplikator na 21 omejen linearen operator T : 21 —> 21, za katerega velja T(ab) = a(Tb) (a, b G 21). Vpraˇsanje 1.2.5. Ali je mogoče omenjeni rezultat dokazati za kakšen razred multiplikatorjev na Banachovih modulih? Da bi vpraˇsanje 1.2.5 bilo smiselno, je potrebno izdelati za module podobna orodja, kot so na voljo pri algebrah. Vpraˇsanje 1.2.6. Kako vpeljati v teorijo Banachovih modulov pojme, ki bodo analogije naslednjih pojmov iz teorije algeber: upodobitev algebre, karakter, Arvesonov spekter, praideal, primitiven ideal, radikal, ...? 1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 10 S tem vprašanjem se ukvarjamo v četrtem poglavju. V petem poglavju pa obravnavamo vprašanje 1.2.5. Za enostavne multiplikatorje na modulih pokažemo, da imajo podobne lastnosti, kot jih imajo multiplikatorji na ko-mutativnih algebrah (slednji so poseben primer enostavnih multiplikator-jev). V zadnjem, šestem, poglavju obravnavamo naslednje vprašanje. Vprašanje 1.2.7. Naj bo A komutativna Banachova algebra z enoto. Kakšen mora biti levi Banachov A-modul X, da velja Dec<^(%) = A ? Za razliko od vprašanja 1.2.1 iščemo zdaj pogoje za modul, ne za algebro. Da bi lahko odgovorili na zastavljeno vprašanje, razširimo pojem Arvesonovega spektra do upodobitev modulov. Nato vpeljemo module z ločljivim spektrom in pokažemo, da velja Dec<^(%) = A za vsak levi Banachov A-modul X, katerega dualni modul X* ima ločljiv spekter (glejte posledico 6.3.7). 1.3. Lokalna spektralna teorija Ta razdelek je namenjen izključno vpeljavi pojmov iz lokalne spektralne teorije. Naši standardni referenci sta [21] in [53], na nekaterih mestih pa se bomo sklicali kar na originalne članke. Osrednji pojem lokalne spektralne teorije — dekomponibilnost — smo že srečali. Dogovorimo se za naslednje oznake. Ce je X kompleksen Banachov prostor, naj bo §(X) mreža vseh zaprtih podprostorov v X. S cl (Q) pa označimo družino vseh zaprtih podmnožic v topološkem prostoru Q. Definicija 1.3.1. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in Q topoloski prostor. Preslikava E : cl (Q) —> §(X) je spektralna kapaciteta tipa (Q, X), če zanjo velja: (i) E(0) = {0} in E(Q) = X. (ii) Za poljubno družino {Fi}i^i zaprtih podmnožic v Q je E(f]-Pi) = l) E(.Fj). i& iel (iii) Če je {G1,... , Gm} odprto pokritje topološkega prostora Q, potem je X = E(G1) + ... + E(GTO). Pojem spektralne kapacitete je vpeljal Apostol leta 1968, naša definicija pa je posplošena verzija, ki jo je dal Frunza v [35] (definicija 3.1). Apostol je vpeljal pojem spektralne kapacitete kot pomoč pri študiju dekomponibilnosti operatorjev. 1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 11 Definicija 1.3.2. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in T G B(X). Za T pravimo, da ima spektralno kapaciteto, če obstaja takšna spektralna kapaciteta E tipa (C,X), za katero velja (a) E slika iz cl (C) v Lat (T) in (b) a(T\E(F)) C F za vsak F G cl (C). Da sta pojem spektralne kapacitete in dekomponibilnosti tesno povezana, kaže naslednji izrek. Izrek 1.3.3. Omejen linearen operator T na kompleksnem Banachovem prostoru X je dekomponibilen natanko tedaj, ko ima spektralno kapaciteto. Se več, spektralna kapaciteta dekomponibilnega operatorja je enolično določena. Za dokaz glejte, recimo, [53], izrek 1.2.23. Da bi lahko povedali, kako je določena spektralna kapaciteta iz izreka, potrebujemo naslednje pojme. Naj bo T poljuben omejen linearen operator na kompleksnem Banachovem prostoru X. Točka z G C je v lokalni resolventni množici Pt(x) operatorja T pri vektorju x G I, če obstajata takšna odprta okolica U točke z in takšna analitična funkcija / : U —> X, da velja (T — A)/(A) = x za vse A G U. Lokalni spekter o~t{x) operatorja T pri a; G X je potem definiran z ctt(x) := C \ prix). Zdaj lahko definiramo lokalne spektralne podprostore operatorja T G B(X). Za poljubno množico S C C je pripadajoči lokalen spektralni pod-prostor dan z Xt(S) := {x G X; ctt(x) C S}. Lokalni spektralni podprostori so invariantni za delovanje operatorja T, vendar v splošnem niso zaprti — niti za zaprto množico S ne. Za X^(0) velja, recimo, da je zaprt natanko tedaj, ko je enak trivialnemu prostoru, slednje pa je ekvivalentno dejstvu, da ima operator T SVEP. Definicija 1.3.4. Operator T G B(X) ima SVEP (single-valued extension property), če za vsako odprto množico U C C velja, da je edina analitična rešitev f : U —> C enačbe (T — A)/(A) = 0 (A G U) funkcija, ki je povsod enaka 0. Ce je T G B(X) dekomponibilen operator, je pri vsaki množici F G cl (C) lokalen spektralni podprostor Xt(F) zaprt. Izkaže se, daje spektralna kapaciteta operatorja T dana z lokalnimi spektralnimi podprostori: E(F) = Xt(F) (F G cl (C)). 1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 12 Motiviran z izrekom 1.3.3 je Frunza vpeljal pojem dekomponibilne n-terice operatorjev ([35], definicija 3.2). Definicija 1.3.5. Komutirajoča n-terica omejenih linearnih operatorjev T = (Ti, ... , Tn) na Banachovem prostoru X je dekomponibilna, če obstaja takšna spektralna kapaciteta E tipa (Cra,X), da velja: (a) TfcE(F) C E(F) za vse F G cl (Cn) in 1 < k < n. (b) Pri vsaki zaprti podmnožici F C Cn je Taylorjev spekter n-terice T na E(F) vsebovan v F, tj. a(T, E(F)) C F (F G cl (C*7-)). Definicije Taylorjevega spektra tu ne bomo navajali, bralec jo bo našel v [65]. Definicija 1.3.6. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in T = (T\, ... , Tn) komutirajoča n-terica omejenih linearnih operatorjev na X. Analitična resolventna množica n-terice T pri x G X je množica p(T, x) vseh z G Cn, za katere velja, da obstaja takšna odprta okolica V točke z in n analitičnih funkcij /i,... , fn na V, ki slikajo v X, da velja x = ((i — Ti)fi(() + ... + (Lra — Tn)fn(Q (( s F). Analitičen lokalni spekter n-terice T pri x G X je definiran z o~(T,x) := Cn \ p(T,x). Izrek 1.3.7. Dekomponibilna n-terica T komutirajočih omejenih linearnih operatorjev na kompleksnem Banachovem prostoru X ima enolično določeno spektralno kapaciteto, ki je dana z E(F) = {x G X; cr(T,x) C F} (F G cl(Cn)). Dokaz izreka 1.3.7 je v [1], izrek 2.6. Kar se tiče n-teric operatorjev, smo končali, pripomnimo le, da je spektralni dekompoziciji n-teric operatorjev delno posvečena tudi monografija [31]. Na koncu tega razdelka vpeljimo še dva pojma, ki sta že dolgo prisotna v lokalni spektralni teoriji operatorjev, katerih pomen pa se je pokazal šele pred kratkim, [6]. Definicija 1.3.8. Operator T G B(X) ima Bishopovo lastnost (/3), ko velja: če je U odprta podmnožica v C in fn : U —> X zaporedje analitičnih funkcij, za katero velja, da (T — X)fn(X) konvergira enakomerno k 0 na vsaki kompaktni podmnožici množice U, potem konvergira zaporedje fn(X) enakomerno k 0 na vsaki kompaktni podmnožici v U. 1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 13 Operator T ima dekompozicijsko lastnost (5), če ima pri poljubnem odprtem pokritju {U1, U2} kompleksne ravnine vsak igl razcep x = 11,1+11,2, pri čemer za vektorja v,k, k = 1,2, velja v,k = (T — A)/fc(A) (A G C \ Uk) in sta fk, k = 1,2, analitični funkciji iz C \ V k v X. Operator T G B(X) je dekomponibilen natanko tedaj, ko ima obe lastnosti, ((3) in (5) (glejte [6] in [53]). V [6] sta Albrecht in Eschmeier pokazala, da sta lastnosti dualna ena drugi: operator T ima Bishopovo lastnost ((3) natanko tedaj, ko ima adjungirani operator T* dekompozicijsko lastnost (5). Ekvivalenca velja tudi, če T in T* med sabo zamenjamo. Za podrobnosti glejte tudi [53]. Izkaže se tudi, da je ((3) natanko tista lastnost, ki določa operatorje, ki so zožitve dekomponibilnih operatorjev na zaprte invariantne podprostore. Lastnost (5) pa določa natanko vse operatorje, ki jih dekom-ponibilni operatorji inducirajo na kvocientnih prostorih (glejte [53]). 1.4. Definicija modulov in osnovne lastnosti Namen tega razdelka je vpeljava nekaterih pojmov, s katerimi bomo delali v nadaljevanju — predvsem imamo v mislih pojem modula in z njim povezane pojme. Navedli bomo nekatere osnovne odnose med definiranimi objekti in nekatere trditve bomo tudi dokazali. Ker pa bo v veliki meri šlo za preproste ugotovitve, bomo marsikateri dokaz izpustili. Večina obravnavane snovi je povzeta iz standardnih referenc, recimo [14] in [61]. Čeprav bi lahko pojem modula zastavili zelo na široko, se bomo omejili na situacijo, ko je modul kompleksen vektorski prostor, na njem pa delujejo preko modulskega množenja elementi kompleksne algebre. V tem razdelku ni predpostavljeno, da bi katera od algeber ali kateri od vektorskih prostorov bil opremljen s topologijo. Definicija 1.4.1. Vektorski prostor X je levi 21-modul, če obstaja takšna preslikava (1.4.1) 21 x X —> X, (a, x) 1—> a • x, da zanjo velja (LM1): pri vsakem a G 21 je La : x 1—> a • x linearna preslikava na X; (LM2): pri vsakem x G X je P(x) : a 1—> a • x linearna preslikava iz 21 v X; (LM3): za vse a1, 0,2 G 21 in x G X je a1 ¦ (0,2 ¦ x) = (0102) • %¦ Če je X levi %-modul, je preslikava (1.4.1) levo modulsko množenje. 1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 14 Podobno definiramo desni %l-modul X. Tu mora obstajati preslikava (1.4.2) 21 x X —> X, (a, a;) i—> x ¦ a, za katero velja (RM1): pri vsakem a G 21 je i?a : x *-^ x ¦ a linearna preslikava na X; (RM2): pri vsakem a; G X je A (a;) : a i—> x ¦ a linearna preslikava iz 21 v X; (RM3): za vse a1, 02 G 21 in x G X je (x ¦ a1) ¦ 0,2 = x ¦ (0,10,2)-Preslikava (1.4.2) z lasnostmi (RM1), (RM2) in (RM3) je desno modulsko množenje. Prostor X je %l-?8-bimodul, če je levi 2l-modul ter desni 53-modul in sta modulski množenji usklajeni z enakostjo (BM): a ¦ (x ¦ b) = (a ¦ x) ¦ b, (a G 21, b G 53, x G X). Zaradi (BM) lahko pišemo kar a-x-b namesto (a-x) ¦ 6, oziroma a-(x-b). Pripomnimo, daje vsak levi 2l-modul 2l-C-bimodul, vsak desni 53-modul pa je C-53-bimodul. Ce je X 2l-5S-bimodul in je 21 = 53, bomo rekli, da je X 2l-bimodul. Zgled 1.4.2. Algebra 21 je 2l-bimodul, če sta levo in desno modulsko množenje definirana z množenjem v algebri. Bolj splošno: glede na običajno množenje v 21 je vsak levi ideal v 21 levi 2l-modul, vsak desni ideal je desni 2l-modul in dvostranski ideal je 2l-bimodul. Zgled 1.4.3. Naj bosta X in ^ vektorska prostora. Z L(X) in L(^) označimo algebri vseh linearnih preslikav na X, oz. na y, z L(X,y) pa prostor vseh linearnih preslikav iz X v y. Ker je komponiranje preslikav asociativno, se ni težko prepričati, daje L(X,y) L(y)-L(X)-bimodul. Definicija 1.4.4. Naj bo X levi^i-modul. Podprostor^ C X je podmodul, če je invarianten za modulsko množenje, tj. če iz y G ^ sledi a-y G ^ za vse a G 21. Podobno definiramo podmodule v desnih modulih in bimodulih. Trivialen podprostor 0 := {0} in cel modul sta vedno podmodula. Očitno je presek podmodulov spet podmodul. Velja torej naslednja trditev. Trditev 1.4.5. Vsaka podmnožica M v levem %-modulu X je vsebovana v nekem najmanjšem podmodulu, ki ga bomo označili z (M). Zlahka preverimo, da je (M) = {a1 ¦ x1 + ... + an ¦ xn; a^ G 21, i^el, n G N}. 1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 15 Naj bo 21 algebra. Oznaˇcimo z 21^ algebro, ki jo dobimo iz algebre 21 tako, da mnoˇzimo v obratnem vrstnem redu. Produkt elementov a in b je torej v 2lop definiran z a o b = ba, pri ˇcemer je na desni strani produkt iz 21. Trditev 1.4.6. Ce je X levi %-modul, potem je X za preslikavo (a, x) i—> x -k a := a ¦ x desni %lop-modul. Podobno je X levi %op-modul ˇce je desni %l-modul. Vsak 21-53-bimodul X je 53op-%op-bimodul. Trditev 1.4.7. Naj bosta 21 in 53 algebri in naj bo X 21-53-bimodul, potem je X tudi levi 21 <8> 53pp -modul. Iz trditev 1.4.6 in 1.4.7 sledi, da ne izgubimo veliko, ˇce se pri obravnavi modulov omejimo na leve module. To bomo v nadaljevanju tudi storili. Dual vektorskega prostora X, tj. prostor vseh linearnih funkcionalov na X, bomo oznaˇcili z X'. ˇ e je X levi (desni) modul nad algebro 21, potem lahko na X' na naraven naˇcin vpeljemo strukturo desnega (levega) 2l-modula. Tako je, na primer, produkt L • a elementa a iz 21 in funkcionala L iz duala levega 2l-modula X definiran z (L • a, x) = (L, a ¦ x), x G X. Zlahka preverimo, da je definicija dobra in da je preslikava (a, L) i—> L • a desno modulsko mnoˇzenje na X'. Podobno definiramo levo modulsko mnoˇzenje na X', ko je X desni 2l-modul. Ce je X 2l-53-bimodul, je X' 53-2l-bimodul. Prostor X' bomo v nadaljevanju imenovali dualni modul, ˇce bo modulsko mnoˇzenje na njem definirano tako, kot smo pravkar opisali. Ce je kateri od vektorskih prostorov X in y modul nad algebro 21, potem lahko prostor L(X, y) na naraven naˇcin opremimo s strukturo 2l-modula. Velja naslednja trditev. Trditev 1.4.8. Naj bo 21 algebra in X ter )$ vektorska prostora. (i) Ce je X levi %-modul, potem je L(X, y) desni %l-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z (T ¦ a)x = T (a ¦ x) (T G L(X, y), a G 21, x G X). (ii) Ce je X desni %-modul, potem je L(X,y) levi %-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z (a ¦ T)x = T(x -a) (T G L(X, y), a G 21, a; G X). (iii) Ce je ^ levi %-modul, potem je L(X,y) levi %-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z (a ¦ T)x = a ¦ Tx (T G L(X, y), a G 21, a; G X). 1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 16 (iv) Ceje^ desni %-modul, potem je L(X,y) desni %l-modul: modulsko množenje je definirano z (T ¦ a)x = Tx -a (T G L(X, y), a G 21, a; G X). Ce je vektorski prostor X levi 2l-modul, vektorski prostor y pa je levi 53-modul, potem iz [6 • (T • a)] o; = b ¦ [(T ¦ a)x] = b ¦ T (a ¦ x) = (b ¦ T)(a ¦ x) = [(b ¦ T) ¦ a]x, (T G L(X, y), a G 21, b G 53, a; G X) sledi, daje L(X, y) 53-2l-bimodul. Na podoben način vidimo, daje L(X, y) 2l-53-bimodul, če je X desni 2l-modul, y pa desni 53-modul. Naj bo 21 algebra in X ter y leva 2l-modula. Preslikava T G L(X,y) je homomorfizem modulov, če velja T(a • x) = a ¦ Tx (a G 21, iel). Ni težko videti, da je množica vseh modulskih homomorflzmov iz X v ^ linearen podprostor v L(X,y), oziroma podalgebra v L(X), če je X = y. Označimo ta podprostor, oziroma podalgebro, z Lf&(X,)$), oziroma z Lgi(X). Homomorflzme desnih modulov in bimodulov definiramo podobno. Podobne so tudi oznake: L(X,y)B z& prostor vseh modulskih homomorflzmov iz desnega 53-modula X v desni 53-modul y, L(X)b za algebro vseh modulskih homomorflzmov iz desnega 53-modula vase, L^(X,^)b, oziroma L^(X)b, pa sta prostor, oziroma algebra, modulskih homomorflzmov, ko sta X in ^ 2l-5S-bimodula. V nadaljevanju bomo na kratko vsakemu modulskemu homomorfizmu rekli multiplikator. Zgled 1.4.9. Naj bo X levi 2l-modul. Potem je P(a;) G Ls%(%l, X) (x G X). Definicija 1.4.10. Naj bo X levi %l-modul. Anihilator množice M C 1 je ann%{Ai) = {a G 21; a ¦ x = 0 za vse x G M}. Očitno je ann%{Ai) = f]x^MkerV{x). Trditev 1.4.11. Naj bo X levi %l-modul in M C X poljubna podmnožica. Potem je ann%{Ai) levi ideal v 21. Ce je M levi podmodul, potem je ann%{Ai) dvostranski ideal v 21. Definicija 1.4.12. Levi %l-modulX je zvest, čejeann%{X) trivialen ideal v 21. 1.5. BANACHOVI MODULI 17 Zgled 1.4.13. Naj bo X levi 2l-modul in 3 dvostranski ideal v 21. Potem je tudi 53 = 21/ 3 algebra. Če je 3 C ann$i(%), potem lahko za vsak ss lin vsak [a] = a+3 G 53 definiramo [a] -a; = a-x. Brez težav se lahko prepričamo, da je s tem množenjem X levi 53-modul. Ko je 3 = ann<^(X), je X zvest levi 53-modul. Zgled 1.4.14. Naj bo zdaj y podmodul v levem 2l-modulu X. Za poljubna a G 21 in [x] = x + ^ G X/y lahko definiramo a ¦ [x] = [a ¦ x] = a ¦ x + y. Izkaže se, da je za to množenje X/y levi 2l-modul. Naj bo X levi modul nad algebro 21, ki ima enoto 1. V nadaljevanju bomo vedno privzeli, da velja 1 • x = x, i6l, torej da je X unitalen modul. Če je 21 algebra brez enote, naj bo 2li := 21 x C (= 21 © C) njena standardna unitizacija. Se pravi, da sta linearni operaciji v 2li definirani po komponentah, množenje pa je dano z (a, a)(b, (3) = (ab + ab + (3a, a(3), (o,, a), (b, /?)g21i. Element (0,1) je enota v 211. Glede na množenje (a, a) ¦ x = a ¦ x + ax, (a, a) G 211, iel, je vsak levi 2l-modul X tudi levi 2li-modul. Naj bo ii neprazna podmnožica v algebri 21 in M neprazna podmnožica v levem 2l-podmodulu X. V nadaljevanju bomo z ii • M označili množico n { > etfc • Xk] ctfc G ii, Xk G M}. fc=i Če je ii singleton {a} bomo uporabili oznako a-M. Podobno bomo v primeru, ko je M singleton {x} pisali ii • x. Ko je 21 algebra z enoto, je 21 • M = (M), najmanši podmodul v X, ki vsebuje množico M C X. Če je 3 levi ideal v algebri 21, potem je 3 ¦ X podmodul v levem 2l-modulu X. Rekli bomo, daje 3-X koideal, ki pripada 3. Lahko se zgodi, da isti koideal pripada več idealom. 1.5. Banachovi moduli V tem razdelku bomo obravnavali module, ki imajo tudi topološko strukturo, natančneje: zanimali nas bodo Banachovi moduli. Tako kot v prejšnjem bomo tudi v tem razdelku izpustili večino dokazov, saj jih je mogoče najti v [14] in [61]. Definicija 1.5.1. Naj bo 21 normirana kompleksna algebra in naj bo X normiran vektorski prostor nad C Potem je X normiran levi 2l-modul, če je levi %-modul, ki zadošča še pogoju 1.5. BANACHOVI MODULI 18 (NLM): obstaja takšna pozitivna konstanta K, da za vse a G 21 in vse x G X velja (1.5.1) \\a ¦ x\\ < -f^||a|| H^ll- Če je normiran levi %l-modul X Banachov prostor, potem govorimo o Banachovem levem 2l-modulu. Podobno definiramo normirane in Banachove desne 2l-module ter normirane in Banachove bimodule. Iz (1.5.1) sledi, da so preslikave La in P(x) iz 1.4.1 (oziroma Ra in A(x), če imamo desne module) zvezne. Če je X normiran levi modul nad normirano algebro 21, potem je modul-sko strukturo mogoče razširiti na napolnitev prostora X. Prav tako je vsak Banachov levi 2l-modul tudi modul nad napolnitvijo algebre 21. To je razlog, da se bomo v nadaljevanju omejili na Banachove module nad Banachovimi algebrami. Ko bomo v nadaljevanju govorili o Banachovem modulu bo vedno privzeto, da je algebra, nad katero je zgrajen, Banachova. Zgledi Banachovih modulov so zaprti ideali v Banachovi algebri 21: levi (desni) zaprt ideal 3 je levi (desni) 2l-modul, dvostranski ideal je 2l-bimodul. Če je X Banachov levi 2l-modul, linearna množica M C X pa je invari-antna za delovanje algebre 21, potem je M zaprt podmodul v X. Namreč, pri vsakem a G 21 je zožitev operatorja množenja La na M omejen operator, ki ga torej lahko zvezno razširimo na M. Trditev 1.5.2. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi %l-modul Če je ^ zaprt podmodul v X, potem je tudi kvocientni prostor X/y Banachov levi %l-modul. Definicija 1.5.3. Banachov levi %l-modul X je izometričen, če velja \\a ¦ x\\ < ||a||||^|| za vse a G 21 in vse iel Trditev 1.5.4. Če je X Banachov levi %-modul, potem obstaja na X takšna norma \\ ¦ \\', ki je ekvivalentna prvotni normi, da je X glede na to normo izometričen Banachov %l-modul. Dokaz. Naj bo 2li = 21 © C. Ker je 21 Banachova algebra, je tudi 2li Banachova algebra: norma je definirana z \\a © a|| = ||a|| + |a|. V zgledu 1.4.14 smo videli, da je X modul nad 2li in da je 1 • x = x za vse a; G X, pri 1.5. BANACHOVI MODULI 19 čemer je 1 (= 0 © 1) enota iz 211. Ker je || (a © a) ¦ x\\ = \\a ¦ x + ax\\ <||a-a;|| + |a:|||a;|| < (i^||a|| + |a|)||a;|| < i^(||a|| + |a|)||a;|| = l^||a © a||||a;||, je X Banachov levi 2li-modul. Pri danem ieX naj bo H^H' := sup{||a-a;||; a G 2li, ||a|| < 1}. Ni težko videti, da je || • ||' norma na X. Zaradi ||1|| = 1 je ||a;|| < sup{||a • x\\; a G 2ti; IMI < 1} = \\XW ¦ Prav tako je H^H' = sup{||a • x\\; a G 2li, ||a|| < 1} < sup{X||a||||a;||; a G 2li, ||a|| < 1} = X||a;||. Torej je norma || • ||' res ekvivalentna prvotni normi. Pokažimo še, da je glede na novo normo X izometričen 2l-modul. Naj bosta a G 21 \ {0} ini s X poljubna. Potem je \\a ¦ x\\' = sup{||6 • (a • x)\\; b G 211, ||6|| < 1} n n ni7 a n 7 o, lun -n = a sup{\\b ¦ j—t ' x\\'i " ^ -^l) " — 1) ||a|| < ||a|| sup{||c ¦ x\\; c G 2li, ||c|| < 1} = llallll^H'. D Če ne bo drugače rečeno, bomo v nadaljevanju za Banachov modul vedno privzeli, da je izometričen. Presek zaprtih podmodulov v levem Banachovem modulu je spet zaprt podmodul, zato je vsaka podmnožica M vsebovana v najmanjšem zaprtem podmodulu, ki ga bomo označili z [M]. Očitno je [M] = (M)- V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj zgledov Banachovih modulov. Zgled 1.5.5. Naj bo 21 poljubna Banachova algebra. Označimo s S(2l) množico vseh kaeakterjev (tj. neničelnih multiplikativnih linearnih funkci-onalov) na 21 in naj bo Eo(2l) = S(2l) U {0}. Spomnimo se, da je S(2l) podmnožica zaprte enotske krogle v 21*. Naj bo ^ G So(21) poljuben. Iz enodimenzionalnega prostora C lahko napravimo Banachov levi 2l-modul tako, da modulsko množenje definiramo z a ¦ z = (f)(a)z, (a G 21, z G C). Pogoju (LM1) je očitno zadoščeno. Zaradi linearnosti velja tudi (LM2), iz multiplikativnosti pa sledi (LM3). Upoštevajmo, da je ||0|| < 1, pa 1.5. BANACHOVI MODULI 20 imamo še (NLM): \a ¦ z\ = \(f)(a)z\ < ||a|||z|. Ta modul bomo v nadaljevanju označili s G Xo(2l) lahko iz X napravimo Banachov levi 2l-modul, če postavimo a ¦ x = (f)(a)x, a G 21, iel Zgled 1.5.7. Naj bo X poljuben Banachov prostor in 21 C B(X) poljubna zaprta podalgebra. Prostor X je Banachov levi 2l-modul, če je modulsko množenje definirano z (T, x) i—> Tx, T G 21, iel, pri čemer je Tx vektor, v katerega T preslika vektor x. Zgled 1.5.8. Naj bo G lokalno kompaktna grupa in dx leva Haarova mera na G. Pri vsakem številu 1 < p < oo je LP(G) Banachov prostor vseh tistih merljivih funkcij / : G —> C (bolje rečeno prostor ekvivalenčnih razredov takih funkcij), za katere velja ll/llp = ( / \f(x)\Pdx) < oo. G Če je p = oo, je L°°(G) Banachov prostor tistih merljivih funkcij / : G —> C, za katere velja ll/lloo = ess-sup / = inf{c G M; \{x G G; \f(x)\ > c}\ = 0} < oo. L1 (G) je Banachova algebra glede na produkt, ki je definiran s konvolucijo (f * g)(x) = / f(xy)g(y~ )dy= I f(y)g(y~ x)dy, f,gGL (G). G G Ce je / G Ll(G) in g G LP (G) (1 < p < oo), potem je / * g G LP (G) in velja ||/* (L, a ¦ x) definiran zvezen linearen funkcional na X. V nadaljevanju bomo ta funkcional označili s L • a. Ni se težko prepričati, da je s preslikavo 21 x X* —> X*, (a, L) i—> L • a, 1.5. BANACHOVI MODULI 21 definirana struktura desnega 2l-modula na X*. Ker velja |(L • a,x)\ = |(L,a ¦ x)\ < ||L||||fl||||#|| pri vseh a; G X, je X* Banachov desni 2l-modul in velja ocena ||L-a|| < ||L|||M|, kar pomeni, da je X* izometriˇcen. Modulu X* bomo v nadaljevanju rekli dualni modul. ˇ e je X desni 2l-modul, ima X* strukturo levega Banachovega 2l-modula. Na koncu razdelka se dogovorimo ˇse za naslednje oznake. Ce je 21 Ba-nachova algebra in sta X ter y leva Banachova 2l-modula, potem naj bo B<&(X,)$) mnoˇzica omejenih multiplikatorjev iz X v y. To je zaprt podpros-torv v B(X,)$), oziroma zaprta podalgebra B%(X) v B(X), ˇce je X = y. V primeru desnih Banachovih 53-modulov, je prostor omejenih multiplikatorjev oznaˇcen z B(X, y)B, oziroma z B(X) 21 (a G 21) dekomponibilen. Takoj se postavi vpraˇsanje, ali je polenostavnost potrebna. V tem poglavju se bomo ukvarjali s tem in sorodnimi problemi. Pokazali bomo, da obstaja razred komutativnih Banachovih algeber z enoto, ki jih lahko karakteriziramo na podoben naˇcin, kot so karakterizirane polenostavne regularne komutativne Banachove algebre v izreku 1.1.4. Omenjene algebre, v nadaljevanju jih bomo imenovali algebre z ločljivim spektrom, so regularne (trditev 2.2.5), a ne nujno polenostavne. Odprto je vpraˇsanje, ali je vsaka regularna komuta-tivna Banachova algebra z enoto tudi algebra z loˇcljivim spektrom. ˇ eprav se v okviru polenostavnih komutativnih Banachovih algeber z enoto razreda regularnih algeber in algeber z loˇcljivim spektrom ujemata, je odgovor na zastavljeno vpraˇsanje verjetno nikalen. Namreˇc, vsaka algebra 21 z loˇcljivim spektrom ima lastnost, da vsak element a iz 21 na vsakem levem Banachovem 2l-modulu inducira super-dekomponibilen operator mnoˇzenja (izrek 2.4.2), kar je zelo moˇcna zahteva. Podobno kot v vsaki komutativni Banachovi algebri obstaja najveˇcja regularna podalgebra (izrek 1.1.6), obstaja v vsaki komutativni Banachovi algebri z enoto najveˇcja podalgebra z loˇcljivim spektrom (izrek 2.5.1). 2.1. Beurling-Arvesonov spekter Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in 9 : 21 —> B(X) zvezna upodobitev algebre 21 na Banachovem prostoru X. Obstaja veˇc naˇcinov, kako definirati spekter upodobitve 9 (glejte [24] in tam navedeno literaturo). Mi se bomo odloˇcili za definicijo, ki ovoju jedra ker 9 (v ?(2l)) pravi spekter upodobitve 9. Ta definicija sloni na Arvesonovi definiciji spektra upodobitve grupne algebre (glejte [11]), zato bomo tako definiran spekter upodobitve 9 22 2.1. BEURLING-ARVESONOV SPEKTER 23 imenovali Arvesonov spekter in ga označili Sp (9). Velja torej Sp(0) :=h%(ker9) ={tp G ^(21); (p(a) = 0 za vse a G 21, za katere je 0(a) = 0}. Definirajmo še lokalni Arvesonov spekter upodobitve 9 pri vektorju iel: Sp${x) := {p G X(2l); (a) = 0 za vse a G 21, za katere je 9{a)x = 0}. Ti dve definiciji bo bralec našel v razdelku 4.12 v [53]. Tam so izpeljane in dokazane tudi nekatere lastnosti Arvesonovega spektra v primeru regularne polenostavne komutativne Banachove algebre. Kot je dobro znano, so moduli tesno povezani z upodobitvami. Če na X vpeljemo modulsko strukturo s predpisom a ¦ x := 9(a)x, a G 21, s s X, in po potrebi obstoječo normo zamenjamo z ekvivalentno (trditev 1.5.4), lahko nanj gledamo kot na izometričen Banachov levi 2l-modul. Jedro upodobitve 9 je seveda isto kot anihilator modula X. Če je y takšen zaprt podprostor v X, da je invarianten za vse 9(a), a G 21, potem je v modulski interpretaciji podmodul v X in njegov anihilator je enak jedru upodobitve 9\y. Slednja je definirana z 9\y(a) := 9(a)\y, a G 21, in je torej upodobitev algebre 21 na y. Definicija 2.1.1. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in X levi Banachov %l-modul. Beurlingov spekter podmnoˇzice 11 v X je Sp%{\L) := h%(ann%{\L)) C S(21). Če je II singleton {x}, bomo pisali Sp%(x) namesto Sp%({x}). Ker lahko na vsako Banachovo algebro gledamo kot na levi modul nad samo sabo, je v primeru komutativnih Banachovih algeber smiselno govoriti o Beurlingovem spektru podmnožice elementov iz algebre. Tako je Beurlingov spekter cele algebre 21 (z enoto ali brez) enak E(2l). Namreč, če je element a G 21 v anihilatorju ann$i(%l), potem mora med drugim veljati tudi a2 = 0, od koder sledi, da je ip(a) = 0 za vse ip G E(2l). Očitno v primeru, ko je 21 komutativna Banachova algebra in je X Banachov levi 21-modul preko upodobitve 9, velja Sp2[(X) = Sp (9). Prav tako v primeru, ko ima 21 enoto, pri vsakem a; G X velja Sp%{x) = Sp%([x\) = Sp(9\\x\) = Sp$(x), kjer je [x] := 21 • x, tj. najmanši zaprt podmodul v X, ki vsebuje x. Da bi si lahko bolje predstavljali, kaj je Beurlingov spekter, dokažimo naslednjo trditev (primerjajte jo z zgledom 4.12.2 v [53]). Uporabili bomo 2.1. BEURLING-ARVESONOV SPEKTER 24 naslednjo oznako u(a) := {p G X(2l); p(a) 7^ 0}, a G 21. Trditev 2.1.2. iVaj 60 21 polenostavna komutativna Banachova algebra z enoto. Za poljuben a G 21 je ann%{a) = k<%(u(a)), kar nam da Sp%{a) = h%{k%{uo{a))). Ce je 21 še regularna, potem je Sp%{a) enak nosilcu supp(a) Gelfandove transformiranke elementa a. Dokaz. Ce je b G 21 takšen, da je ba 7^ 0, potem zaradi polenostavnosti algebre 21 obstaja takšen p G X(2l), daje p(a)p(b) = p(ab) 7^ 0. To pomeni, da je p G u(a) in da 6 ^ ker p) 5 k<%(u(a)). S tem je dokazana inkluzija ks%(u(a)) C ann%{a). Vzemimo zdaj, da b G 21 ni v k<%(u(a)). Potem obstaja v u(a) obstaja takšen

, da je

(b) 7^ 0. Ker je tudi (p(a) 7^ 0, mora veljati ab 7^ 0, kar nam da 6 ^ ann%{a). Zdaj, ko je enakost ann%{a) = k%{uo{a)) dokazana, je jasno, da je Beurlingov spekter elementa a enak hull-kernel zaprtju množice u(a). V primeru regularne algebre hull-kernel topologija in Gelfandova topologija sovpadata, zato je tedaj Beurlingov spekter elementa a enak nosilcu njegove Gelfandove transformiranke. D Zgled 2.1.3. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Njen dual 21* je seveda dualni Banachov 2l-modul, tj. produkt med poljubnima a G 21 in L G 21* je definiran z {a-L,x) = (L, ax), x G 21. Vsak multiplikativen linearen funkcional na 21 je v 21*. Trdimo, da je Sp%{p) = {

} za vse

G L(21). Najprej pokažimo, da je ann%{p) = ker

. Res! Ce je a G ann^(ip), potem pri vsakem x G 21 velja 0 = (a • p){x) = p(ax). Naj bo x = 1, pa dobimo a G ker p). Obrat: če je p(a) = 0, potem pri poljubnem x G 21 velja 0 = p(a)p(x) = p(ax) = (a ¦

)(x), kar nam da a G ann%{p). Ker je ker p = k%{p) in je vsak singleton hull-kernel zaprta množica, velja Sp%{p) = h%{ann%{p)) = h%{k%{p)) = {p}. V naslednji trditvi so naštete osnovne lastnosti Beurlingovega spektra. Trditev 2.1.4. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in naj bo X Banachov levi %l-modul. (i) Za vsako podmnožico 11 C X je Beurlingov spekter Sp%(11) hull-kernel zaprta podmnožica v L(21). Ce ima 21 enoto, je torej Sp%(11) kompaktna množica. (ii) Ce ima 21 enoto, potem je Beurlingov spekter Sp%(11) neprazne množice 11 C X prazen natanko tedaj, ko je 11 = {0}. (iii) Za poljubna a G 21 in x G X veljajo inkluzije h%{k%{uo{a) n Sp%{x))) C Sp%{a ¦ x) C Sp%{a) n Sp%{x). 2.1. BEURLING-ARVESONOV SPEKTER 25 (iv) Sf)$i(%) = Sp%(X*). (v) Za poljuben končen nabor x\,... , xn G X je Sp%{x\ +... + xn) c yJl=iSp%{xk)- Dokaz. Točka (i) sledi iz definicije Beurlingovega spektra. Tudi (ii) je več ali manj očitna: spekter Sp%{\L) je prazen natanko tedaj, ko anihilator ann%(\l) ni vsebovan v nobenem maksimalnem idealu. Slednje pa se v komutativni algebri z enoto lahko zgodi natanko tedaj, ko je ann%{\L) = 21, kar je ekvivalentno enakosti II = {0}. (iii) Naj bo

53 taA; homomorfizem algeber, ki enoto preslika v enoto, daje slika $(21) gosta v 53, potem je tudi 53 algebra z ločljivim spektrom. Dokaz. Ce izenačimo S(2l/X) s podmnožico h%{I) v S(2l) ([50], izrek 7.3.1), spektra S(2lx53) in S(2l®53) pa izenačimo z množicama {(ip, 0); tL> G S(2l)} U {(O,^); ^ S S(53)}, oziroma S(2l) x S(53) (prvo zlahka preverimo, drugo pa je [14], §43 trditev 19), potem (i) in (ii) sledita iz same definicije algeber z ločljivim spektom. (iii) Adjungirana preslikava $' : 21' —> 53' preslika vsak karakter na 53 v karakter na 21, o tem se ni težko prepričati. Ker je slika homomorfizma $ gosta v 53, sta $V in &ip različna karakterja na 21, če sta ip in ip različna karakterja na 53. Ker je 21 algebra z ločljivim spektrom, obstajata takšna a in b v 21, da velja ab = 0 in a(&'ip) 7^ 0 in b(&ip) 7^ 0. Zdaj zlahka preverimo, da za $(a) in $(&) iz 53 velja $(a)$(6) = 0 in ($(a))"vV) 7^ 0 ter ($(6)XXVO 7^ 0- o Posledica 2.2.7. -/Vaj 6osta 21 in 53 poljubni algebri z ločljivima spektroma. Ce je || • ||a takšna križna norma na algebraičnem tenzorskem produktu 21 (g) 53, da je napolnitev 21 ®« 53 čepa produkta glede na normo \\ ¦ \\a Banachova algebra, potem je 21 ®« 53 algebra z ločljivim spektrom. Dokaz. Preslikava $, ki tenzorju ^ieifli ® ^ ^ 2l®53 priredi ta tenzor v 21 (8>a 53, je homomorfizem algeber, njegova slika je gosta in enoto preslika v enoto. Uporabimo točki (ii) in (iii) trditve 2.2.6. D Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Če za vsako podmnožico F c S(2l), ki je zaprta v Gelfandovi topologiji, in vsak ip G S(2l) \ F obstaja takšen element a G 21, da je a(ip) 7^ 0 in Sp%(a) n F = 0, potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. Namreč, naj bosta ip in ip poljubna različna karakterja iz L(21). Ker je množica S(2l), opremljena z Gelfan-dovo topologijo, kompakten Hausdorffov topološki prostor, obstajata takšni odprti okolici U in V, prva točke ip in druga točke ip, da sta U in V disjunktni. Po predpostavki obstajata takšna a in b v 21, da velja a(ip) 7^ 0, b(ip) 7^ 0, Sp%{a) H Uc = 0 in Sp%(b) n Uc = 0. Se pravi, da je Sp%(a) n Sp%(b) = 0, od koder, po trditvi 2.1.4, sledi a& = 0. Naslednja lema trdi, da velja tudi obrat. Lema 2.2.8. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom. Potem za poljubno zaprto podmnožico F C S(21) in vsak ip G S(21) \ F obstaja takšen element a G 21, da velja a()b^(tp) t^ 0, saj ima 21 ločljiv spekter. Po trditvi 2.1.4 od tod sledi, da je Sp%{a^) n u(b^) = 0. Družina {u(b^); tp G F} je odprto pokritje F. Zaradi kompaktnosti F obstajajo takšni tp\,... , ipn v F, da je F C w(6^,1) U ... L)u(b^n) =: C/. Označimo a' := a^,1 ... a^n. Beurlingov spekter Sp%{a') je vsebovan v Sp^a^) n ... n Sp<^(a^n), kar pomeni, da je Sp%{a') C\U = $. Število a'(ip) = a^,1 ((/?).. -a^n (tp) je od nič različno, torej za a = a'((p>)~la! velja a(

) = 1 in Sp%{a) n U = 0. D Pravkar dokazana lema nam omogoča, da poiščemo ovoje spektralnih in kospektralnih idealov v algebri z ločljivim spektrom. Trditev 2.2.9. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in naj bo F C. L(21) neprazna množica. Potem je «2i(2l(F)) = Fc in /&2i(21f) = F. Če je F zaprta množica, je 21(F) zaprt ideal v 21. Dokaz. Poglejmo ideal 21(F). Če je

v Fc, potem očitno za vsak a G 21(F) velja a(

) = 0. Torej je Fc c h%{%l{F)) in zaradi zaprtosti ovoja je tudi Fc c h%(%l(F)). Če je Fc = S(2l), je dokaz končan. Vzemimo torej, da to ni res: obstaja (p ^ Fc. Po lemi 2.2.8 obstaja takšen a G 21, da je a((p) t^ 0 in Sp%(a) n Fc = 0. Od tod sledi Sp%(a) C Fc C F, kar pomeni, da je a G 21(F). Zaradi a(

) ^ 0 mora veljati

L h%{%l{F)). Enakost /&2i(21f) = F se dokaže podobno. Naj bo F zaprta množica in {cra}^1 poljubno zaporedje iz 21(F), ki konvergira k c G 21. Če je

G Fc, potem po lemi 2.2.8 obstaja takšen d G 21, da je d(ip>) = 1 in Sp%{d) C Fc. Velja torej Sp%{d) n Sp$i(cn) = 0 za vse n G N, kar nam da dcra = 0, n G N. Zaradi zveznosti množenja od tod sledi de = 0. Uporabimo trditev 2.1.4, pa imamo u(d) n Sp%{c) = 0, oziroma tL> ^ Sp$i(c), kar smo hoteli videti. D Zdaj lahko dokažemo izboljšano verzijo leme 2.2.8. Trditev 2.2.10. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Če za vsako podmnožico F C S (21), ki je zaprta v Celfandovi topologiji, in vsak

G S(2l)\F obstaja takšen a G 21, daje a(

) ^ 0 in Sp%.(a)r\F = 0, potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. Obrat: če je 21 algebra z ločljivim spektrom, potem za poljubni disjunktni zaprti množici E C S(21) in F C S(21) obstaja takšen a G 21, da je a(r) = 1 za vse t G E in Sp%{a) n F = 0. 2.2. ALGEBRE Z LOČLJIVIM SPEKTROM 30 Dokaz. Prvi del trditve smo dokazali v komentarju pred lemo 2.2.8. Poglejmo obrat. Najprej pripomnimo, da je vsaka zaprta podmnožica v X(2l) kompaktna, saj ima 21 enoto. Naj bosta U in V disjunktni odprti množici, prva okolica množice E in druga okolica množice F. Potem je F C V C Uc in E n Uc = 0. Algebra A je regularna in po trditvi 2.2.9 (iii) velja h%{%luc) = Uc. Uporabimo lahko izrek 7.3.2 iz [50], ki pravi, da obstaja v 2l[/c takšen a, da je a(r) = 1 za vse r G E. Jasno je, da velja a(r) = 0 za vse t G Uc. Pokažimo, da je Sp%{a) n F = 0. Naj bo b poljuben iz %lmc\. Potem je Sp%{b) n Uc = 0, oziroma Sp%{b) C U C Uc. Se pravi, da je 2t(c/c) ^ 2l(Uc). Ker pa je 2l(Uc) zaprt ideal, vsebuje tudi %uc- Beurlingov spekter elementa a, ki je v 2lj/c, je torej podmnožica v Uc. Od tod sledi Sp%{a) n F = 0. D Naslednji izrek je eno najpomembnejših orodij v celotni teoriji algeber z ločljivim spektrom. Povzet je po [12], kjer pa ni dokaza. Izrek 2.2.11 (Razčlenitev enote). Naj bo 21 algebra z loˇcljivim spektrom. Za vsako odprto pokritje U = {Ui,... ,Un} spektra S(2l) obstajajo takˇsni elementi a\,... ,an v 21, za katere velja a\ + ... + an = 1 in Sp^(ak) Q Uk pri vseh k = 1,... ,n. Dokaz. Vsak ep g S(2l) je v neki množici Ui iz pokritja U. Ker je S(2l) Hausdorffov topološki prostor, lahko pri danem ip najdemo takšno odprto okolico W(p točke (p, da je W^ C W^ C U%. Tudi družina {W^;

G S(21)} je odprto pokritje T,(A). Ker je prostor S(21) kompakten, lahko najdemo takšne

\,... ,

m v S(2l), da je S(2l) = M/rY,1 U ... U WLpm. Naj bo LJj unija tistih množic W^., ki so vsebovane v Ui. Pri vsakem indeksu i je torej Ei kompaktna podmnožica v Ui in očitno velja LiU...U En = S (21). Po trditvi 2.2.10 obstajajo takšni a G 21, i = 1,... ,n, da je Ci(r) = 1 za vse r G -Ej in Sp%{ci) n Uf = 0. Označimo b\ = c\, 62 = (1 — Ci)c2, ¦ ¦ ¦ , 6ra = (1 — ci)(l — C2)... (1 — cn-\)cn. Potem je Sp%{bi) C Sp%{ci) C C/j. Z indukcijo zlahka dokažemo, da je 61 + ... + bk = 1 — (1 — c\)... (1 — Ck). Se pravi, da velja b\ + .. . + bn = 1 — (1 — c\)... (1 — cra). Ker je vsak tL> G S(2l) v nekem i?j, velja ipUl — ci) ¦ ¦ ¦ (1 — cra)) = 0 za vse (/? G E(2l). To pomeni, daje c := (1 — ci)... (1 — Cn) v (Gelfandovem) radikalu algebre 21. Potem pa 1 — c ni v nobenem maksimalnem idealu in je torej obrnljiv v 21 (glejte, recimo, korolar 1.1.2 v [50]). Postavimo ai = bi(l — c)-1 pri vseh i = 1,... ,n, pa imamo a\ + ... + an = 1 in Sp%{di) C Ui. D Posledica 2.2.12. Komutativna Banachova algebra z enoto je algebra z loˇcljivim spektrom natanko tedaj, ko v njej velja razˇclenitev enote v smislu izreka 2.2.11. 2.3. SPEKTRALNI IN KOSPEKTRALNI PODMODULI 31 Dokaz. Da ima vsaka algebra z ločljivim spektrom razčlenitev enote, trdi sam izrek 2.2.11. Da velja obrat, vidimo tako, da za poljubni različni točki ip in ip iz X(2l) poiščemo disjunktni odprti okolici U in V, potem pa za odprto pokritje {U, V, X(2l) \ {ip,ip}} uporabimo izrek razčlenitev enote. Obstajajo torej elementi a, b in c v 21, za katere velja a + 6 + c = 1 in Sp%{a) C C/, Sp%{b) C 1/, Sp%{c) C L(21) \ {, ^}- Se pravi, da velja widehata(ip) = 1 in 6(V;) = 1 ter, zaradi disjunktnosti množic U in V, ab = 0. D 2.3. Spektralni in kospektralni podmoduli V tem razdelku bomo nekoliko podrobneje pogledali na spektralne in kospektralne podmodule v Banachovem modulu nad algebro, ki ima ločljiv spekter. V večini dokazov je ključnega pomena izrek o razčlenitvi enote. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov 2l-modul. Za kospektralni podmodul Xp, kjer je F poljubna podmnožica v S(21), vemo, da je zaprt podmodul, saj je to del definicije. Prav tako je v primeru algeber z ločljivim spektrom vsak spektralni ideal 21(F) zaprt, če je F zaprta podmnožica v S(2l) (trditev 2.2.9). Podobna trditev velja za spektralne podmodule. Trditev 2.3.1. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X Banachov levi %l-modul. Če je F C L(21) zaprta, potem je X(F) zaprt podmodul v X, podmodul X*(F) pa je šibko-* zaprt v dualnem Banachovem modulu X*. Dokaz je podoben dokazu trditve 2.2.9, zato ga bomo izpustili. Posledica 2.3.2. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom, X Banachov levi %l-modul in S C L(21) poljubna množica. Če je {xn}^L\ C X takšno zaporedje, ki konvergira k x G X in pri vsakem indeksu n velja Sp%.(xn) C S, potem je Sp%{x) C S. Podobno velja za posplošeno zaporedje {Ci}iei C X*, ki konvergira li^el* v šibki-* topologiji, da je Sp^(^) C S, če je Sp^(^i) C S pri vsakem indeksu i &I. Zdaj bomo pogledali, kako so povezani spektralni in kospektralni podmoduli v danem modulu in v dualnem modulu. Če je X kompleksen Banachov prostor in y C X linearna mnogoterost, naj bo ^ := {^ G X*; (rj,y) = 0 za vse y G ^}. Množica ^ je šibko-* zaprt linearen podprostor v X* in če je X modul nad algebro 21, množica y pa invariantna za delovanje 21, je ^^ podmodul 2.3. SPEKTRALNI IN KOSPEKTRALNI PODMODULI 32 v dualnem Banachovem modulu X*. Naj bo zdaj W linearna mnogoterost v dualu X* Banachovega prostora X. Potem je množica Wj_ := {x G X; (L, x) = 0 za vse L G W} zaprt podprostor. Če je X Banachov 2l-modul, množica W pa podmodul v dualnem modulu, je Wj_ podmodul v X. Za linearno mnogoterost y je (y_L)j_ njeno zaprtje v X, medtem ko je (Wj_) šibko-* zaprtje W v X*. Lema 2.3.3. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X Banachov levi %l-modul. Če za x G X in L G X* velja Sp%{x) n Sp%{^) = 0, potem je L G X(Sp2[(a;)) . Dokaz. Naj bo y G X(Sp2[(a;)) poljuben vektor. Potem tudi zanj velja Sp%{y) nSp2[(^) = 0. Označimo U = Sp%{^)c in V = Sp%{y)c. Očitno sta U in V odprti množici, ki pokrijeta L(21). Po izreku o razčlenitvi enote obstaja takšen a G 21, da je Sp%{a) C C/ in Sp2[(l — a) C F. Potem pa je a • y = y in a • L = 0. Se pravi, da je (L> y) = (L>a ¦ y) = (a' C) y) = o. n Obrat leme 2.3.3 ne velja. Vzemimo namreč, da je 21 algebra z ločljivim spektrom, ki ni polenostavna, in r / 0 element iz radikala. Potem je po trditvi 2.1.4 Sp%{r) neprazna množica. Vzemimo, da je ip G Sp%{r). Ker je Sp$i(ip) = {ip} (glejte zgled 2.1.3), je Sp%{r) n Sp%{tp) = {}. Velja pa G u(a) n S'p<%(L,)- To pomeni, da spekter Sp%{a ¦ L) ni prazna množica, oziroma z drugimi besedami, r? = a • L je netrivialen funkcional. Iz Sp%{rj) Q Sp%{a) n Sp%{^) in Sp%{a) n F = 0 sledi Sp%{rj) n F = 0. Ker je funkcional L v podmodulu X^, je v njem tudi funkcional r?. Naj bos G 1 poljuben vektor. Zaradi Sp%{rj) n F = 0 obstaja takšen 6 G 21, da je Sp%{b) C Fc in Sp2[(l — 6) C Sp%{rj)c. Zdaj imamo (?y, a;) = (?y, 6 • x + (1 — b) ¦ x) = (rj, b ¦ x), saj po lemi 2.3.3 iz Sp%{l — b) n Sp%{rj) = 0 sledi (rj, (1 — b) ¦ x) = 0. Iz Sp%{b¦ x) C Sp%{b) in Sp%{b) n F = 0 izhaja b-x G Xf, zato je (?y, 6• a;) = 0. Ugotovili smo, da je (?y, a;) = 0 pri vseh a; G X. Protislovje, saj je rj ^ 0. Enakost Xf = X*(F)j_ sledi iz pravkar dokazane enakosti X^ = X*(F). (ii) Naj bo L G X^ takšen funkcional, za katerega velja Sp^(^) nF = 0. Ce je x G X(F), je Sp%{x) C F, kar pomeni, da je Sp%{x) n Sp%{^) = 0. Po lemi 2.3.3 od tod sledi {L,x) = 0. Ugotovili smo torej, da velja {L G X*; Sp<%(L) n F = 0} C X(F)-1-, kar nam da inkluzijo X*F C X(F)-1-. Predpostavimo, da je podmodul XL. šibko-* zaprt v X*. Potem je X*F = ((Xp)±) . Dovolj je torej pokazati, da velja inkluzija (X^)j_ C (X(F) )j_ = X(F), saj iz nje sledi željena inkluzija X(F) C ((XL.)j_) = XF. Vzemimo, da vektor a; G X ni v X(F). To pomeni, da v Sp%{x) obstaja takšen ep, ki ni v F. Naj bo a G 21 takšen element, za katerega velja a() 7^ 0, funkcional p> ni v S^pVt). D Posledica 2.3.6. -/Vaj bo 21 algebra z ločljivim spektrom, X Banachov levi %l-modul in )$ C X podmodul. Če je p> G Sp2i(y) in je C/ poljubna odprta okolica te točke, potem obstaja takšen neničelni vektor x G y, da je Sp%{x) C C/. Dokaz. Ker je Spsi^) = Urey'S'pa^), obstaja v y takšen y, da je Sp%{y) H C/ 7^ 0. Naj bo ^ S Sp%{y) n C/. Po lemi 2.2.8 lahko najdemo takšen a G 21, da je a(V0 = 1 in Sp%{a) C C/. Zaradi ^ S w(a) n Sp%{y) je s = o • |/ od 0 različen vektor iz podmodula y, za katerega velja Sp%{x) C Sp%{a) c(/. D Ker inkluzija v drugi točki izreka 2.3.4 ni vedno enakost, je težko povedati, kaj je Beurlingov spekter spektralnega podmodula. Beurlingov spekter kospektralnega podmodula pa znamo določiti. Izrek 2.3.7. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X Banachov levi %l-modul. Za poljubno zaprto množico F C S(21) je (i) Sp$i(Xf) = Sp%(X) \ F in (ii) Sp%(X) n F° C Sp<&(X(F)) C Sp<&(X) D F. Če je množica F enaka zaprtju svoje notranjosti, potem velja Sp<%(X(F)) = Sp<%(X) n F. Dokaz. (i) Naj bo (p & Sp<%(X) \ F poljubna točka in U njena odprta okolica. (Če je Sp<%(X) \ F prazna množica, potem inkluzija Sp<%(X) \ F C Sp$i(Xf) očitno velja.) Naj bo V = U \ F. Tudi to je odprta okolica p>. Se pravi, da obstaja neničelni vektor a; G X, da je Sp%{x) C V C U (posledica 2.3.6). Od tod sledi, da je a; G Xf- Ugotovili smo, da so v vsaki odprti okolici U točke p> točke iz Sp<%(Xf) (saj je Sp<%(Xf) = LlXLxFSps%(x)). Spekter Sp$i(Xf) je zaprta množica, zato je

) = 1 in je Sp%{a) n Sp%{X) \ F = 0, od koder sledi Sp%{a) C F L) Sp%{X)c. Naj bo a; G X takšen vektor, da je Sp%{x) n F = 0. Potem je Sp%{x) n[Fu Sp%{X)c] = [Sp%{x) n F] u [Sp%{x) n Sp%{X)c] = 0, kar nam da Sp%{x) n Sp%{a) = 0. Torej je a ¦ x = 0. Tako smo pokazali, da je a G ann%{X(F\)- Toda potem je a tudi v ann%{Xp)- Ker je p>(a) 7^ 0, karakter p> ni v Sp<%(Xf)- 2.3. SPEKTRALNI IN KOSPEKTRALNI PODMODULI 35 (ii) Ker je X(F) = X(Sp$i(X) n F), nič ne izgubimo, če predpostavimo, da je F C Sp%(X). Uporabimo trditev 2.3.5, pa je jasno, da velja inkluzija Sp$i(X(F)) C F = Sp$i(X) n F. Zaradi predpostavke F C Sp<&(X), je tudi F° C Sp<&(X). Naj bo tL> G -F° in U poljubna odprta okolica p. Potem je tudi V := U n F° odprta okolica p. Po posledici 2.3.6 obstaja takšen neničelni vektor x, da je Sp%{x) C 1/. Vektor x je torej v X(_F°). Ker je x od nič različen je v njegovem spektru vsaj ena točka. To pomeni, da je v vsaki odprti okolici točke p vsaj ena točka iz unije L)xex(F°) Spm(x) ¦ Od tod sledi, da je p v zaprtju te unije, tj. p G \Jx^x(F°)Sp%{x). Ker je bil p poljuben karakter iz F° in ker je ^xLX(F°)Sp%{x) zaprta množica, imamo b° C {JXLX(F0)bP%l{x)- Upoštevajmo, da je ^xeX(F°)bp%l{X) C UXLX(F)bp%l{X) = bp<%(X(r)), pa smo dokazali tudi inkluzijo F° C Sp$i(X(F)). Zdaj, ko vemo, da velja F° C SP2[(X(i?)) C F, je jasno, da imamo povsod enačaje, če je F° = F. D Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom, X Banachov levi 21-modul, fl topološki prostor in / : E(2l) —> Q poljubna zvezna preslikava. Definirajmo preslikavo E/, ki slika iz družine zaprtih podmnožic v Q v družino zaprtih podprostorov v X, tj. iz cl (O,) v S(X), s predpisom E/(F) := X(/~ (F)) (F G cl(Q)). Trditev 2.3.8. Preslikava E/ je spektralna kapaciteta tipa (Q,X). Dokaz. Očitno velja Ej(0) = 0 in Ej(E(2l)) = X. Naj bo {_Fj}jej poljubna družina množic v cl(Q). Potem je {/_1(-Pi)}iei družina zaprtih podmnožic v E(2l). Brez težav lahko preverimo, da je X(/~ (rijei-Fj)) = X(P\iLif~ (F{)) = P\iLiX(f~ (F{)), zato velja E^n^i-Fj) = D^iE f(Fi). Vzemimo poljubno odprto pokritje {G\,... , Gn} prostora Q. Potem je {Uk '¦ f~1(Gk)', k = 1,... ,n} odprto pokritje prostora E(2l). Po izreku o razčlenitvi enote obstajajo v 21 takšni a\,... , an, za katere velja a\ + ... + an = 1 in Sp%{dk) Q Uk Pri vseh k = 1,... ,n. Poljuben x G X lahko 2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 36 zapišemo kot x = a\ ¦ x + ... + an ¦ x, od koder sledi, da je a; G jC(U\) +... + X(Un), saj velja Sp%{dk ¦ x) C Sp%{dk) Q Uk pri vseh k = 1,... ,n. Ker je X(t/fc) ^ X(Uk) ^ ^(/~ (Gfc)) = Ej(Gfc), smo dokazali, da je X C E/(Gi) + ... + Ef(Gn). Obratna inkluzija je seveda trivialna. D 2.4. Karakterizacija algeber z ločljivim spektrom V tem razdelku bomo karakterizirali algebre z ločljivim spektrom s pomočjo lokalne spektralne teorije. Baskakov ( glejte izrek 2 v [12] oz. [13]) je pokazal, da je komutativna Banachova algebra z enoto 21 algebra z ločljivim spektrom natanko tedaj, ko obstaja v 21 takšna podmnožica 2lo, da velja: (i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2lo ločijo točke v S(21) in (ii) za vsak a G 2lo je operator množenja La : b i—> ab, ki slika iz 21 vase, dekomponibilen. Mi bomo ta izrek dokazali po svoje. Se več, naši rezultati bodo močnejši, saj bomo pri šibkejših pogojih dokazali več. Začnimo z naslednjim izrekom, ki posplošuje rezultat Baskakova v eno smer. Izrek 2.4.1. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in naj bo X Banachov levi %l-modul. Potem je za vsak a G 21 operator množenja Ta : X —> X, x i—> a ¦ x, dekomponibilen in njegova spektralna kapaciteta je dana z Ea(F) '¦= X(a~ (F)), F G cl(C). Dokaz. Naj bo a G 21. Ker je Gelfandova transformiranka a zvezna funkcija iz S(2l) v C, je praslika a-1^) zaprte množice FCC zaprta. Po trditvi 2.3.1 je X(a_1(F)) zaprt podmodul v X. Se pravi, daje Ea preslikava, ki slika iz cl (C) v Lat (Ta). Trditev 2.3.8 nam zagotavlja, daje Ea spektralna kapaciteta tipa (C, X). Pokazati moramo, daje spektralna kapaciteta za Ta. Ker Ea slika v Lat (Ta), je pogoju (a) iz definicije 1.3.2 zadoščeno. Edino, kar še moramo videti je, da velja a(Ta\Ea(F)) C F za vsako zaprto podmnožico F v C. Naj bo F zaprta podmnožica v C. Označimo J- = a-1 (F). Za poljubno točko A v Fc obstaja takšna odprta okolica U množice F, da A ^ U. Naj bo IA := a~l(U). Potem seveda velja IA C a~l(U). Označimo še H := Uc in Ti = a~l(H). To sta zaprti množici in očitno velja J- P\ Ti = 0. Ker je 7ic = a~l(Hc) in Hc = U, imamo 7ic C a~l(U). Za spekter kvocientne algebre 21/21 (Ti) po izreku 7.3.1 v [50] velja, da je homeomorfen ovoju h%(%l(J-L)). Potrditvi 2.2.9 pa je h%($i(7i)) =7ic. Se pravi, daje E(2l/2l(?i)) C a~l(U). Poglejmo element a — A + 2l(?i) iz 2l/2l(?i). Za vsak ip G E(2l/2l(?i)) je (p(a — A + 21 (?i)) = a() — A. Ker A ni v U, je a(

) ^ A. Torej število 0 ni v spektru a {a — A + 2l(?i)), kar pomeni, da ima a — A + 2l(?i) inverz v 2l/2l(?i). 2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 37 Obstaja torej takšen b G 21, da velja (b + %l(Tt))(a — A + 2l(?i)) = 1 + 2l(7Y). Vzemimo tak d iz 2l(7i), da je b(a — A) = 1 +d. Pri vsakem a; G X(J-) potem velja Tb\x(f)(Ta\x(T) — ^)x = b(a — X) ¦ X = x -\- d ¦ X. Iz Sp%{d ¦ x) C Sp%{d) n Sp%{x) C ?i n J7 = 0 sledi, da je d • a; = 0. Se pravi, da je ^>lx(F)C^a|x(F) ~~ ^^ = ^ za vse ^ S X(J-"). Torej jeTa|x(^-)—Aobrnljiv. S temjeinkluzija 21, a G 2lo, lastnost (5), potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. 2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 38 Dokaz. Naj bosta ip in ip različna funkcionala iz L(21). V 2lo obstaja takšen a, da je Ao := a(ip) 7^ a(V0 =: /-to- Označimo e = |Ao — /xo| in naj bo U = {z G C; I Ao — z| < ^e}, V = {z G C; |/xo — z| < |e}, W = {z G C; I Ao — z\ > ^e in | /xo — ^ | > je} ter U\ = VL)W in V\ = UL)W. Ker ima La lastnost (5), par {U, U\} pa je odprto pokritje C, lahko poljuben x G 21 zapišemo kot a; = u + «1, kjer je u = (La — A)/(A) za vse A G C \ U, pri čemer je / : C \ U —> 21 analitična funkcija. Podobno je «1 = (La — A)/i(A) za vse A G C \ U\ in neko analitično funkcijo /1 : C \ C/i —> 21. Seveda, a; G 21 lahko zapišemo tudi kot x = v -\- v\, kjer sta pa t> in v\ elementa s podobnimi lastnostmi, le množici U in U\ zamenjamo z množicama V in V\. Vzemimo za a; enoto iz 21. Potem imamo 1 = u-\-(La—A)/i(A), A G C\U\. Ker je Ao v C\U\, sledi iz 1 = u-\-(a — Ao)/i(Ao), daje «(y) = 1. Na podoben način vidimo, da je v(ip) = 1. Pokažimo še, da je uv = 0. Izberimo poljuben L G 21*. Na 21* poglejmo kot na dualni Banachov 21-modul. Ker je / analitična funkcija z vrednostmi v 21, je F(X) := /(A) • L analitična funkcija na C \ U, katere vrednosti so v 21*. Če enakost u = (La — A)/(A), A G C \ U, z desne pomnožimo s L, dobimo (2.4.1) u ¦ L = {La — A)/(A) • L = (a — A)/(A) • L = (L* — A)F(A), A G C \ C/. Torej je ox* (« • L) C C/. Podobno vidimo, da je ol* (v • L) C 1/. Označimo s i? funkcijo, ki slika iz C\U v 21* tako, da številu A priredi funcional v-F(X). Pomnožimo (2.4.1) z leve z v, pa dobimo fu ¦ L = (L* — A)t> • F(A) = (L* — X)H(X), X G C \ C/. Ker je i? analitična, je ox* (t> u ¦ L) C C/. Podobno dobimo ox* (f-u • L) C 1/. Torej je ox* (f-u • L) C [7 n V = 0. Po predpostavki ima operator La lastnost (5), zato ima adjungirani operator L* Bishopovo lastnost ((3) (glejte [53], izrek 2.5.18) in torej SVEP ([53], trditev 1.2.19), kar pa je ekvivalentno enakosti 21*^* (0) = {0} ([53], trditev 1.2.16). Se pravi, da velja v u ¦ L = 0, od koder sledi 0 = (vu • L, 1) = {L,uv). Funkcional L G 21* je bil poljuben, zato je uv = 0. D Izrek 2.4.3 lahko nekoliko izboljšamo. Izrek 2.4.4. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in naj bo X levi Banachov %l-modul. Predpostavimo, da 21 deluje na X ciklično in da je anns%(X) = {0}. Če obstaja v 21 takšna podmnožica 2lo, da Gelfandove transformiranke elementov iz 2lo ločijo točke v S(2l) in ima pri vsakem a G 2lo operator množenja Ta : X —> X lastnost (5), potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. 2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 39 Dokaz. Naj box e 1 cikličen vektor za 21. Velja torej {a-x; a G 21} = X. Vemo, daje P(a;) : a i—> a-x omejena preslikava iz 21 v X. Ker pa je x cikličen, je P(a;) surjekcija. Če je a-x = 0 za nek a G 21, potem je a-b-x = b-a-x = 0 za vse b G 21, od koder zaradi cikličnosti sledi a G ann%{X) = {0}. Se pravi, da je P(a;) injektivna preslikava. Sklepamo lahko, daje inverz P(a;)_1 : X —> 21 zvezen. Naj bo a G 2lo ter Ta in La pripadajoča operatorja množenja na X, oziroma na 21. Potem je P(a;)_1Ta = LaP(a;)_1. Zdaj uporabimo lemo 2 iz [6]. Ta lema — med drugim — trdi naslednje: če sta X in y Banachova prostora, T G B(X) in S G B()$) pa takšna operatorja, da obstaja surjekcija A G B(X, y), ki ju spleta, tj. AT = S A, potem ima S lastnost (5), če jo ima T. Ker Ta ima lastnost (5), jo ima torej tudi La. Uporabimo še izrek 2.4.3 pa je dokaz končan. D Pogoj ann%{X) = {0} v prejšnjem izreku je potreben. Zgled 2.4.5. Poglejmo disk algebro A{&). To je algebra vseh zveznih kompleksnih funkcij na zaprtem enotskem disku D, ki so analitične v njegovi notranjosti D. Ker A{&) ni regularna, ni algebra z ločljivim spektrom. Enodimenzionalen prostor C je levi Banachov yl(D)-modul, če množenje definiramo z / • z := f(0)z pri vseh / G A(D) in vseh z G C. Očitno A(D) deluje ciklično na C. Operator množenja, ki ga inducira / G yl(D) je oblike f(0)I, pri čemer je / identični operator na C. Se pravi, da so izpolnjeni vsi pogoji izreka 2.4.4, razen tistega o anihilatorju, saj ann^(p\(C) ^ {0}. Vprašanje je, ali lahko pogoj o cikličnosti nadomestimo s šibkejšim pogojem. Da ga ne moremo kar izpustiti, kaže naslednji zgled. Zgled 2.4.6. Spet naj bo yl(D) disk algebra. Za levi Banachov yl(D)-modul pa vzemimo C (D), tj. Banachovo algebro vseh zveznih kompleksnih funkcij na D. Vsak operator množenja na C (D) s funkcijo iz A(J3>) je super-dekompobilen, ker je A(J3>) C C (D) in je C (D) algebra z ločljivim spektrom. Očitno velja tudi ann^(p\(C(D)) = {0}. Toda A(D) ne deluje ciklično na C (D). Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X Banachov levi 21-modul. V izreku 2.4.1 smo videli, da je spektralna kapaciteta operatorja množenja T a G B%(X), a G 21, dana z Ea(F) = X(a_1(F)), F G d (C). Ker je spektralna kapaciteta dekomponibilnega operatorja enolično določena in dana z njegovimi analitičnimi spektralnimi podprostori, imamo Xxa(F) = X(a~ (F)) pri vseh F G cl (C). Od tod sledi naslednja trditev. 2.5. NAJVEČJA PODALGEBRA Z LOČLJIVIM SPEKTROM 40 Trditev 2.4.7. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X levi Banachov %l-modul. Potem je za vsak operator množenja Ta, a G 21, na X. Dokaz. Pri danem ieX naj bo F = o~Ta{x). Potem je a; G XTa(F) = X(a_1(F)), kar nam da Sp%(x) C a~l(o~Ta(x)). Po drugi strani, če postavimo F = a(Sj)%(x)), je a; G X(a_1(F)) = Xtu(F) in torej o~Ta{x) C a(Sp2[(a;)). D Na koncu razdelka se vprašajmo, ali bi lahko v izreku 2.4.1 operatorje množenja nadomestili s širšim razredom multiplikatorjev. Naslednji zgled kaže, da se v splošnem to ni mogoče. Zgled 2.4.8. Naj bo G nediskretna lokalno kompaktna Abelova grupa. Z 21 označimo standardno unitizacijo grupne algebre Ll(G) in naj bo X := L1 (G). Ker je 21 polenostavna regularna komutativna Banachova algebra z enoto, je algebra z ločljivim spektrom. Na X deluje 21 na običajen način (modulsko množenje je konvolucija). Iz elementarne teorije multiplikatorjev je znano ([49], §0.1), da lahko multiplikatorje na X izenačimo z algebro M (G) regularnih Borelovih mer na G. Prav tako pa je znano, da vsi multi-plikatorji na Ll(G) niso dekomponibilni (glejte §4.11 v [53]). 2.5. Največja podalgebra z ločljivim spektrom Spomnimo se, da je komutativna Banachova algebra 21 regularna, če je množica S(21), opremljena s hull-kernel topologijo, Hausdorffov topološki prostor (glejte, recimo, definicijo 7.1.4 v [50]). Vsaka komutativna Banachova algebra 21 vsebuje največjo zaprto regularno podalgebro Reg (21). Za polenostavne algebre z enoto je to dokazal Albrecht [5], splošni primer pa so neodvisno dokazali Neumann [60] in Inoue in Takahashi [43] (glejte [53], §4.3). V tem razdelku bomo pokazali, da vsaka komutativna Banachova algebra 21 z enoto vsebuje največjo podalgebro z ločljivim spektrom. V nadaljevanju bomo to podalgebro označevali s Sep (21). Ker je algebra z ločljivim spektrom regularna, velja inkluzija S ep (21) C Regiji). V primeru, ko je 21 še polenostavna, velja zaradi trditve 2.2.5 celo enakost Sep (21) = Reg (21). Obstaja velika podobnost med Sep(21) in Regiji), toda ker ne vemo, ali ima vsaka regularna algebra ločljiv spekter, je odprto tudi vprašanje o enakosti algeber Sep (21) in Reg (21). Izrek 2.5.1. V vsaki komutativni Banachovi algebri z enoto 21 obstaja največja podalgebra, ki je zaprta, vsebuje enoto iz 21 in ima ločljiv spekter. 2.5. NAJVEČJA PODALGEBRA Z LOČLJIVIM SPEKTROM 41 Dokaz. Naj bo J- družina vseh zaprtih podalgeber t v 21, ki vsebujejo enoto iz 21 in imajo ločljiv spekter. Družina J- ni prazna, saj vsebuje Cl. Označimo s S zaprto podalgebro v 21, ki jo generira unija T> = U^^-C Naj bosta

in ip različna karakterja iz L(©). Ce bi veljala enakost (p(a) = ip(a) za vse a G T>, potem bi se

in ip ujemala tudi na S, kar pa ni res. To pomeni, da Gelfandove transformiranke elementov iz T> ločijo točke v L(©). Pri danem a G T> poglejmo operator množenja La : S —> S. Ker je a v T>, obstaja takšna algebra La v družini J-, da je a G oo Iz elementarne Gelfandove teorije sledi, da je spektralni polmer submulti-plikativna polnorma na 21 in da velja r(a) < \\a\\ ter r(a) = max{|A|; A G c(a)} = max{|tL>(a)|;

G S(2l)} za vse a G 21 (za podrobnosti glejte [61], §2.2, ter [50]). Se pravi, da je spektralni polmer norma na 21 natanko tedaj, ko je algebra polenostavna. Ce je II C 21 poljubna podmnožica v komutativni Banachovi algebri 21, bomo najmanjšo množico, ki vsebuje II in ki je zaprta v topologiji, ki jo določa polnorma r, imenovali spektralno zaprtje II v 21. Za podalgebro 53 v algebri z enoto 21 bomo rekli, da je za inverze zaprta, če velja naslednje: kakor hitro je a G 53 takšen, da je v 21 obrnljiv, je tudi njegov inverz a-1 v 53. Trditev 2.5.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. (i) Podalgebra Sep (21) je za inverze zaprta. (ii) Ce je 53 poljubna zaprta podalgebra v 21, ki vsebuje enoto iz 21 in ima loˇcljiv spekter, potem je tudi njeno spektralno zaprtje v 21 algebra z loˇcljivim spektrom. Od tod sledi, da je Sep (21) spektralno zaprta podalgebra v 21. Dokaz. (i) Pa vzemimo, da podalgebra Sep (21) ni za inverze zaprta. To pomeni, da v Sep (21) obstaja takšen a, ki je v 21 obrnljiv, njegov inverz a-1 pa ni v S ep (21). Naj bo 6 zaprta podalgebra v 21, ki jo generira množica Sep (21) U {a-1}. Jasno, Gelfandove transformiranke elementov iz Sep(21) U {a-1} ločijo točke v L(©). Ker je 6 modul nad Sep (21), so vsi operatorji množenja L^ : S —> S, b G Sep (21), dekomponibilni (izrek 2.4.1). V posebnem je dekomponibilen tudi operator La : S —> S. Operator La 2.5. NAJVEČJA PODALGEBRA Z LOČLJIVIM SPEKTROM 42 je obrnljiv, njegov inverz je operator La-i. Ker je inverz obrnljivega dekom-ponibilnega operatorja dekomponibilen (glejte [21], trditev 2.1.12), je La-i dekomponibilen. Zdaj lahko uporabimo izrek 2.4.3, ki nam pove, daje S algebra z ločljivim spektrom. Toda to je v nasprotju z dejstvom, da je Sep (21) največja podalgebra z ločljivim spektrom. (ii) Naj bo 53 zaprta podalgebra v 21, ki vsebuje enoto 1 iz 21 in ki ima ločljiv spekter. Spektralno zaprtje 53 v 21 označimo s (L. Jasno je, da je L zaprta podalgebra v 21 in da je 53 C L. V nadaljevanju bomo sledili idejam iz dokaza trditve 4.3.7 iz [53]. Naj bo (p & L(\rg ni trivialen multiplika-tiven linearen funkcional na 53, saj velja <^|b(1) = y(l) = 1. Se pravi, da preslikava R, ki karakterju

G L( G L(L) \ F velja, da R(ip) ne pripada Gelfandovemu zaprtju množice R(F) v L(53). Namreč, če bi, bi lahko dobili posplošeno zaporedje {

i}iei Q F, za katerega bi veljalo R(

i) —> R(tp) v Gelfandovi topologiji prostora L(53), kar pa je ekvivalentno ipi(b) —>

(b) za vse 6 G 53. Naj bosta c G L ter e > 0 poljubna. Ker je L spektralno zaprtje 53, lahko najdemo takšen b G 53, da je r(b — c) < e. Poleg tega pa obstaja takšen indeks j G I, da velja \ipi(b) — ip(b)\ < e za vse i G I, za katere velja i > j. Potem pa lahko ocenimo |tL>i(c) — (c)| < \(fi{c) — i(c) —> y?(c) za vsak c G L, oziroma

L F. Protislovje. Ce sta torej (p in ip različna karakterja iz L((a)tp(b) = ip\B(ci)tp\fs{b) ^ 0. To pomeni, da je L algebra z ločljivim spektrom. D Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov 21-modul. Označimo z Dec%{X) množico vseh tistih elementov a iz 21, za katere velja, da je pripadajoči operator množenja Ta : X —> X dekomponibilen. Ker je vsak levi Banachov 2l-modul tudi levi Banachov Sep (2l)-modul, je zaradi izreka 2.4.1 jasno, da je Sep (21) C Dec<^(%). V splošnem ni znano, ali je Dec%{X) algebra, toda za posebni primer, ko je X = 21, je že Apostol pokazal, da je Dec^(^i) zaprta podalgebra v 21 (glejte [10] in trditev 4.4.9 v [53] za splošnejši primer, ko 21 nima enote, ampak ima le omejeno približno enoto). Algebro Dec<%(%L) bomo imenovali Apostolova algebra. Trditev 2.5.3. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Obravnavajmo naslednje transfinitno zaporedje zaprtih podalgeber v 21. Postavimo 2.5. NAJVEČJA PODALGEBRA Z LOČLJIVIM SPEKTROM 43 2lo := 21 in 2la-|-i := Dec%a{%la), če je a ordinalno število. Za poljubno li-mitno ordinalno število a pa naj bo 21« := n{2ls; (3 < a}. Zaporedje {21«}« je od nekod naprej konstantno in ta konstantna vrednost je Sep (21). Dokaz. Jasno je, da je zaporedje algeber padajoče. Ker obstajajo or-dinalna števila, ki presegajo število elementov v 21, je jasno, da mora biti zaporedje od nekod naprej konstantno. Označimo to konstantno vrednost s S. Glede na lastnost algebre S ep (21) je očitno, da je ta algebra v vsaki algebri iz zaporedja, torej tudi v S. Po drugi strani pa zaradi S = Dccq{&) velja, da je S algebra z ločljivim spektrom. Ker je Sep (21) največja podal-gebra z ločljivim spektrom v 21, je torej S C Sep(%l). D Zadnja trditev je analog trditve 4.4.16 iz [53] in naš dokaz je le rahlo spremenjen dokaz omenjene trditve. Trditev 4.4.16 iz [53] govori o Reg (21) in tam ni zahtevano, da ima algebra enoto, vendar pa mora biti polenostavna. Kot smo že omenili, v primeru polenostavnih algeber z enoto Reg (21) in Sep (21) sovpadata. Zgornja trditev torej še dodatno kaže na veliko podobnost med Reg (21) in Sep (21). Krepko harmonični operatorji Kot smo videli v poglavju o krepko harmoničnih algebrah, se lastnosti algeber z ločljivim spektrom odražajo na operatorjih množenja z elementi iz teh algeber. V tem poglavju bomo skušali to še bolj neposredno izkoristiti in bomo algebre z ločljivim spektrom uporabili kot orodje v teoriji operatorjev na Banachovih prostorih. V prvem razdelku bomo vpeljali razred krepko harmoničnih operatorjev v nadaljevanju pa študirali njihove lastnosti s stališča lokalne spektralne teorije. V drugem delu poglavja nas bodo zanimali predvsem krepko harmonični elementarni operatorji. 3.1. Definicija krepko harmoničnih operatorjev V tem razdelku bomo definirali krepko harmonične operatorje in pokazali, da je razred le-teh dokaj velik. Definicija 3.1.1. Omejen linearen operator T na kompleksnem Bana-chovem prostoru X je krepko harmoničen, če je vsebovan v neki zaprti pod-algebri 21 C B(X), ki je algebra z ločljivim spektrom, pri čemer je identični operator I njena enota. Krepko harmonični operatorji obstajajo. Zgled 3.1.2. Naj bo 21 poljubna algebra z ločljivim spektrom in X poljuben Banachov levi 2l-modul. Ce je $ : 21 —> B(X) homomorfizem, ki elementu a G 21 priredi operator množenja Ta na X, potem je po trditvi 2.2.6 (iii) podalgebra $(21) C B(X) z ločljivim spektrom. Njena enota je identični operator, saj je $(1) = I. Vsi operatorji množenja Ta, a G 21, so torej krepko harmonični operatorji. V zgledu smo videli, da so operatorji množenja z elementi iz algebre z ločljivim spektrom krepko harmonični operatorji na poljubnem Banachovem levem modulu. Za te operatorje pa vemo (glejte izrek 2.4.2), da so super-dekomponibilni. Izkaže se, da to velja za vsak krepko harmoničen operator. Trditev 3.1.3. Vsak krepko harmoničen operator je super-dekomponibi-len. 44 3.1. DEFINICIJA KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 45 Dokaz. Naj bo T g B(X) krepko harmoničen operator in naj bo 21 C B(X) takšna algebra z ločljivim spektrom, ki vsebuje T in L Glede na množenje S ¦ x := Sx, S G 21, x G X, je X Banachov levi 2l-modul. Po izreku 2.4.2 je operator množenja s T na X, tj. operator x i—> T ¦ x, super-dekomponibilen. Toda očitno je ta operator enak operatorju T. D Naslednja dva zgleda kažeta, da je razred krepko harmoničnih operatorjev dokaj velik. Zgled 3.1.4. Topološki prostor je popolnoma nepovezan, če nobena njegova povezana podmnožica ne vsebuje več kot ene točke. Po trditvi 1.4.5 iz [53], je vsak operator T G B(X), ki ima popolnoma nepovezan spekter, super-dekomponibilen. Pokazali bomo, da so operatorji te vrste krepko harmonični. Namreč, naj bo T G B(X) operator s popolnoma nepovezanim spektrom in naj bo 21 C B(X) zaprta podalgebra, ki jo generirata operator T in identični operator /. Očitno je 21 komutativna Banachova algebra z enoto in, kot je dobro znano, sta prostora X(2l), opremljen z Gelfandovo topologijo, in a (T) homeomorfna. Se pravi, da je S(2l) popolnoma nepovezan prostor. Zgled 1.4.11 iz [53] pa kaže, daje tedaj vsak operator množenja L$ '¦ 21 —> 21, S G 21, super-dekomponibilen. Ker Gelfandove transformiranke elementov iz 21 ločijo točke v S(2l), je po izreku 2.4.3 21 algebra z ločljivim spektrom. Zgled 3.1.5. Naj bo Q zaprta podmnožica v C. Podalgebra 21 v algebri vseh zveznih kompleksnih funkcij na Q, C(Q), je za inverze zaprta dopustna algebra (glejte [53], strani 44-46), če velja (a) funkciji 1 : z i—> 1, z G si, in id : z *-^ z, z L Q, sta v 21; (b) za vsako odprto pokritje {U\,... Un} množice Q obstajajo takšne funkcije /i,... , fn v 21 da velja /fc(sl) f= [0,1], supp(fk) Q Uk, 1 < k < n, in Y^k=i fk(z) = 1 za vse z G fl, pri čemer je supp(f) := {z G C; f(z) ^ 0} nosilec funkcije / G 21; (c) za vsako funkcijo / G 21 in vsako točko ( L supp (/) je funkcija 737 ; Z G Si \ {(,} 0 ; z = ( v 21; in (d) če ie f G 21 takšna, da obstaja -, in ie to funkcija v C(Q), potem ie -, tudi v 21. Naj bo X Banachov prostor. Preslikava U : 21 —> B(X), kjer je 21 za inverze zaprta dopustna algebra, je 2l-spektralna funkcija, če je algebraičen ho-momorfizem in je U(l) identični operator na X. Albrecht je v [1], (trditev 3.6) pokazal, daje funkcija ( i—> U(/^), katere vrednosti ležijo v B(X), analitična na komplementu nosilca supp(f). Se pravi, daje U 2l-spektralna funkcija v smislu definicije 3.1.3 iz [21]. Operator T G B(X) je %-skalaren, če obstaja 3.1. DEFINICIJA KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 46 takšna 2l-spektralna funkcija U, za katero velja \J(id) = T (definicija 3.1.18 v [21]). Ce ima 2l-skalaren operator T G B(X) takšno 2l-spektralno funkcijo, ki komutira z vsakim operatorjem, ki komutira s T, potem je T regularen 2l-skalaren. Naj bo T G B(X) 2l-skalaren operator, pri čemer je 21 za inverze zaprta dopustna algebra, in naj bo U neka 2l-spektralna funkcija za T. Označimo z 53 zaprtje množice {U(/); / G 21} C B(X). Potem je 53 komutativna Banachova algebra z enoto / in, po izreku 3.2.1 v [21], je spekter algebre 53 homeomorfen u{T). Gelfandova transformiranka elementa U(/), / G 21, je kar zožitev /|CTm. Očitno funkcije /|CTm, / G 21, ločijo točke v u{T) = S(53). Trditev 3.1.6. Naj bo 21 za inverze zaprta dopustna algebra in naj bo T %-skalaren operator na Banachovem prostoru X. Potem je T krepko harmoniˇcen. Preden se lotimo dokaza, vpeljimo dva nova pojma. Zaprt podprostor ^ v Banachovem prostoru X je spektralno maksimalen podprostor operatorja S G B(X), če je invarianten za S in če za vsak drug zaprt podprostor Z C X, ki je invarianten za S in za katerega velja a(S\Z) C a(S\)$), velja Z C y (glejte [21], definicija 1.3.1). Zaprta podalgebra L C B(X) je normalna glede na S G (L, če za poljubna dva spektralna maksimalna podprostora y in Z operatorja S, za katera velja o-(S\y)r\a(S\Z) = 0, obstaja takšen operator Q v (L, da Q in S komutirata in je Q\Z = 0 ter (I — Q)\)$ =0 (glejte [10], definicija 2.7). Dokaz. Po izreku 2.4.3 je dovolj videti, da ima za vsako funkcijo / G 21 pripadajoči operator množenja ^u(/) : 53 ^ 53 lastnost (5). Pokazali bomo več: vsak tak operator je super-dekomponibilen. Izberimo / G 21 in označimo S := U(/). Ker je S dekomponibilen (izrek 3.2.4 v [21]), je dovolj videti, zaradi izreka 3.2 v [54], da je 53 normalna glede na S. Naj bosta ^ in Z poljubna spektralna maksimalna podprostora za S in naj velja o-(S\y)r\a(S\Z) = 0. Potem lahko a( Ls definiran zvezen homomorfizem iz 21 v B()$) in $(/) je identični operator na y. Zaprtje podalgebre $(21) v B()$) je algebra z ločljivim spektrom (trditev 2.2.6 (iii)), zato je $(T) = Lt krepko harmoničen operator. D Posledica 3.2.2. Naj bo T krepko harmoničen operator na Banachovem prostoru X in naj bo 21 C B(X) algebra z ločljivim spektrom, ki vsebuje T. (i) Zožitev operatorja T na hiperinvarianten podprostor je krepko harmoničen operator. (ii) Adjungirani operator T* na X* je krepko harmoničen. (iii) Če je 53 C B(X) takšna zaprta podalgebra, da je 21 C 53, recimo, če je 53 enaka B(X) ali komutantu {T}c operatorja T, potem je operator množenja, ki ga na 53 inducira T, krepko harmoničen. Dokaz. (i) Naj bo y hiperinvarianten podprostor za T. Potem je y invarianten za vsak operator S G 21. Za množenje S-y := S\yy S G 21, y G y) je ^ levi Banachov 2l-modul. Zdaj uporabimo izrek 3.2.1. (ii) Ker je algebra 21 komutativna, je dual X* levi Banachov 2l-modul za množenje S ¦ L := S*L (S G 21, L G X*). Trditev sledi po izreku 3.2.1. (iii) Očitno je 53 levi Banachov 2l-modul, zato lahko uporabimo izrek 3.2.1. D 3.2. LASTNOSTI KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 48 Ce je T G B(X) krepko harmoničen operator, potem algebra z ločljivim spektrom 21 C B(X), ki vsebuje T (in identični operator), ni nujno enolično določena. Na primer, naj bosta S in T komutirajoča operatorja, ki imata oba popolnoma nepovezana spektra. Potem imata algebri, ki ju generirata T in identični operator ter S in identični operator, ločljiva spektra, kot smo videli v zgledu 3.1.4. Toda tudi algebra, ki jo generirajo S, T in identični operator, je algebra z ločljivim spektrom. Ni težko najti primera, ko sta algebri, ki ju generirata S in /, oziroma T in /, pravi podalgebri v algebri, ki jo generirajo S, T in L Naslednji izrek nam zagotavlja, da je vsak krepko harmoničen operator vsebovan v neki algebri z ločljivim spektrom, ki je za inverze zaprta. Izrek 3.2.3. Naj bo 21 C B(X) algebra z ločljivim spektrom in naj bo I G 21. Potem obstaja takšna algebra z ločljivim spektrom 53 G B(X), daje 53 za inverze zaprta v B(X) in 21 C 53. Dokaz. Najprej bomo pri vsakem naravnem številu n poiskali takšno algebro 53ra C B(X) z ločljivim spektrom, da bo veljalo 21 C 53ra C Q3n-|_i. Pri n = 1 naj bo 53i := 21. Predpostavimo zdaj, da že imamo končno zaporedje algeber 21 = 53i C ... C 53ra z ločljivimi spektri. Ce je {T\; A G A} C 53ra množica vseh tistih operatorjev, ki so obrnljivi v B(X), vendar ne v 53ra, naj bo 53ra-|-i zaprta podalgebra v B(X), ki jo generirata algebra 53ra in družina {T^~ : A G A} (če je indeksna množica A prazna, naj bo Bn+i = 53ra). Očitno je Bn+i komutativna podalgebra v B(X), saj je 53ra U {T^~ : A G A} komutativna množica generatorjev. Naj bo p v X(53ra-|-i). Potem cL>|53ra, zožitev ip na 53ra, ne more biti trivialen funkcional, saj 53ra vsebuje identični operator. Se pravi, da je cL>|53ra G S(53ra). Ce sta

in ip različna funkcionala iz E(Q3n-|_i), potem sta tudi zožitvi cL>|53ra in tp\^8n različni. Namreč, če bi cL>|53ra in tp\^8n bila enaka, potem bi se ip in ip ujemala na množici generatorjev 53ra U {T^~ ; A G A} algebre Q3n-|_i in torej na celi algebri. S tem smo dokazali, da preslikava ip i—> ¦ C le zožitev Gelfandove transformiranke S : E(53ra) -^Cna podmnožico E(Q3n-|_i). Ker Gelfandove transformiranke elementov iz 53ra ločijo točke v E(53ra), jih ločijo tudi v podmnožici E(Q3n-|_i). Algebra Q3n+i je levi Banachov 53ra-modul. Torej je po izreku 2.4.2 vsak o-perator množenja Ls '¦ 2$n+i —*¦ 53n+i> S G 53ra, super-dekomponibilen (saj je 53ra algebra z ločljivim spektrom). Uporabimo izrek 2.4.3, pa vidimo, da je 53ra-|-i algebra z ločljivim spektrom. Unija U^153ra je podalgebra v B(X). Naj bo 53 njeno zaprtje. Potem je 53 komutativna Banachova algebra z enoto. Gelfandove transformiranke 3.2. LASTNOSTI KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 49 elementov iz U^15Sra ločijo točke v X(53). Ce je S v U^15Sra, obstaja takšen indeks no, da je S G 53rao. Ker je 53 levi Banachov 53rao-modul, je operator množenja Ls '¦ 53 —> 53 super-dekomponibilen. Torej je tudi 53 algebra z ločljivim spektrom. Zdaj bomo pokazali, da je 53 polna podalgebra v B(X). Naj bo S G 53 obrnljiv v B(X). Potem obstaja takšno Cauchyjevo zaporedje {Sk}^i C U^153ra, da linifc^oo US — Sk\\ = 0. Ker je S obrnljiv v B(X) in je grupa G vseh obrnljivih elementov v B(X) odprta, obstaja takšen indeks ko, da so vsi operatorji Sk, k > ko, obrnljivi v B(X). Glede na konstrukcijo so vsi operatorji S^ , k > ko, v U^153ra. Upoštevajmo, da je preslikava C i—> C-1 homeomorflzem iz grupe G vase, pa lahko sklepamo, da je operator S-1 v 53, saj zaporedje {S^ }kLk ^- U^Li53ra konvergira k njemu. D Posledica 3.2.4. (i) Če je T G B(X) obrnljiv krepko harmoničen operator, potem je tudi njegov inverzT~l krepko harmoničen. (ii) Če je T G B(X) krepko harmoničen, f pa je analitična funkcija na neki odprti okolici cr(T), potem je tudi f(T) krepko harmoničen. Dokaz. Trditev (i) je neposredna posledica izreka 3.2.3. Naj bo T krepko harmoničen in naj bo 21 za inverze zaprta podalgebra v B(X), za katero pa še velja, da ima ločljiv spekter in da je T v njej. Če je U odprta okolica cr(T) in je / : U —> C analitična funkcija, potem je f(T) = tt^ f^ f(z)(z — T)~1dz, pri čemer ie T C U\ a (T) ustrezna krivulja, ki obkroža cr(T). Iz definicije operatorja f(T) sledi (glejte [61], §3.3), daje /(T) limita takšnega zaporedja operatorjev {T^kLi <- ^(^0> kjer je vsak operator Tk končna vsota oblike ^ • otjizj — T)-1, ctj G C in Zj G T. Ker je vsak operator (zj —T)-1 v 21, lahko sklepamo, daje tudi zaporedje {Tk}kL\ v 21 in da torej velja f(T) G 21. D Naj bosta X in y kompleksna Banachova prostora in naj bosta T\ ter T2 omejena linearna operatorja, prvi na X in drugi na y. Zlahka preverimo, da je z S\{x,y) := (T\x,T2y) definiran omejen linearne operator na X x y. Prav tako ni težko preveriti, da je z S2(Sfc xk ® Vk) '¦= Sfc ^i^fc ® T^yk dan omejen linearne operator na X®y. Trditev 3.2.5. Če sta T\ G B(X) in T2 G B()$) krepko harmonična, sta tudi S\ G B(X x y) in S2 G B(X)$) krepko harmonična. Dokaz. Ker sta T\ in T2 krepko harmonična, obstajata takšni algebri 211 C B(X) in 2I2 C B()$), ki imata ločljiva spektra in velja T\ G 2li ter T2 G 2I2. Po trditvi 2.2.6 (ii) je tudi 211 x 2I2 C B(X x y) algebra z ločljivim spektrom. Očitno je operator Si = {T\,T2) v 2li x 2I2, kar pomeni, da je krepko harmoničen. 3.2. LASTNOSTI KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 50 Po 16. trditvi razdelka §42 v [14] obstaja takšna injektivna linearna preslikava $ : 2li®2l2 -*¦ B(X)$), da je 5*2 = 3>(Ti <8> T2). Zdaj uporabimo trditev 2.2.6 (iii), ki pravi, daje zaprtje algebre $(2li®2l2) v B(X)$) algebra z ločljivim spektrom. D Že nekaj časa je odprt problem, ali sta vsota in produkt dveh komu-tirajočih dekomponibilnih operatorjev na kompleksnem Banachovem prostoru dekomponibilna operatorja (glejte [53], 6.1.4). V nasledni trditvi bomo videli, da ima podobno vprašanje za krepko harmonične operatorje pozitiven odgovor, če operatorja zadoščata še nekemu dodatnemu pogoju. Trditev 3.2.6. Naj bosta T\ in T2 komutirajoča krepko harmonična operatorja na kompleksnem Banachovem prostoru X. Če obstajata takšni algebri 211 C B(X) in 2I2 C B(X), ki imata ločljiva spektra in je T\ G 211, T2 G 2I2 ter je 211 vsebovana v komutantu algbere 2I2, potem sta T1+T2 in T1T2 krepko harmonična operatorja. Dokaz. Naj bo 21 C B(X) zaprta podalgebra, ki jo generirara unija 211 U 2I2. Ker je 21 Banachov levi modul tako nad 211 kot nad 2I2 in sta to algebri z ločljivima spektroma, nam izrek 2.4.3 zagotavlja, da je 21 algebra z ločljivim spektrom. Ker sta operatorja T\ + T2 in T1T2 v 21, sta krepko harmonična. D Zadnji rezultat v tem razdelku je povezan s problemom invariantnih podprostorov. Trditev 3.2.7. Naj bo 21 C B(X) algebra z ločljivim spektrom. Če sta v spektru S(2l) vsaj dve različni točki, potem obstaja v X pravi netrivialen zaprt podprostor^, ki je invarianten za vse operatorje iz komutanta algebre 21. Dokaz. Naj bosta ip in ip različni točki v L(21). Potem obstajata takšna operatorja S in T v 21, da je ST = 0 in (p(S)ip(T) 7^ 0. Od tod sledi, da S in T nista trivialna. Zlahka vidimo, da velja {0} 7^ imS C ker T 7^ X in {0} 7^ imT C ker S 7^ X. Jasno je, da so podprostori ker S, ker T, imS, in imT invariantni za vse operatorje v komutantu algebre 21. D Pogoj, da morata biti v spektru algebre vsaj dve različni točki, je v prejšnji trditvi potreben. Namreč, znano je (glejte [62]), da obstaja Banachov prostor X in kvazinilpotenten operator Q G B(X), ki nima netrivial-nih pravih invariantnih podprostorov. Jasno, takšen operator Q skupaj z identičnim operatorjem generira algebro z ločljivim spektrom (zgled 3.1.4). 3.3. KREPKO HARMONIČNI ELEMENTARNI OPERATORJI 51 Posledica 3.2.8. Naj ima operator T G B(X) v svojem spektru vsaj dve točki. Če je T krepko harmoničen, potem ima netrivialen pravi invarianten podprostor. Se več, če T skupaj z identičnim operatorjem generira algebro z ločljivim spektrom, na primer, če je spekter cr(T) popolnoma nepovezana množica, potem ima T netrivialen pravi hiperinvarianten podprostor. 3.3. Krepko harmonični elementarni operatorji Naj bosta X in y kompleksna Banachova prostora. Elementaren operator Es,t na B(X,y), ki ga določata n-terici operatrojev S = (Si,... ,Sn) C B()$) in T = (Ti,... ,Tn) C B(X), je preslikava, ki jo določa naslednji predpis: Es,tA := SiATi + ... + SnATn, A G B(X, y). Rekli bomo, da so Si,... ,Sn, Ti,... ,Tn koeficienti elementarnega operatorja Es,t- Označimo z Ls operator levega množenja z S G B()$) na B(X, y) in, podobno, naj bo Rt operator desnega množenja s T G B(X) na B(X,)$). Seveda, Ls in Rt sta elementarna operatorja. Očitno lahko prej definiran elementaren operator Es,t zapišemo kot Es,t = LSlRtx + • • • + LSnRTn- V [53] je naslednje vprašanje formulirano kot odprt problem (glejte [53], 6.1.7). Kakšni so splošni pogoji, ki jim morata zadoščati n-terici komuti-rajočih dekomponibilnih operatorjev S C B()$) in T C B(X), da je elementaren operator Es,t dekomponibilen na B(X,)$)? Nekaj delnih odgovorov na to vprašanje obstaja, še posebej v primeru ko je obravnavani elementaren operator levo množenje, desno množenje ali posplošeno odvajanje (operator oblike 5s,t = Ls — Rt, kjer sta S G B()$) in T G B(X) dana operatorja), glejte §3.6 v [53] in tam navedeno literaturo. Če v zgornjem vprašanju dekomponibilnost zamenjamo s spektralnostjo v smislu Dunforda, se da povedati precej več. Na primer, M. Hladnik [42] je popolnoma karak-teriziral spektralnost operatorja Es,t v primeru, ko sta 5 in T dve n-terici komutirajočih normalnih operatorjev na Hilbertovem prostoru. V tem razdelku se bomo lotili prej omenjenega vprašanja s stališča krepko harmoničnih operatorjev. Po posledici 3.2.2 je operator Ls krepko harmoničen, če je S G B()$) krepko harmoničen. Naslednji izrek nam zagotavlja, da podobne trditve veljajo tudi za operator desnega množenja Rt, operator dvostranskega množenja Ms,t '¦= L s Rt in posplošeno odvajanje 5s,t '¦= L s — Rt- Izrek 3.3.1. Naj bosta X in ^ kompleksna Banachova prostora in S G B()$) ter T G B(X) krepko harmonična operatorja. Potem so Ls, Rt, Ms\t in 5s,t krepko harmonični operatorji na B(X,)$). 3.3. KREPKO HARMONIČNI ELEMENTARNI OPERATORJI 52 Dokaz. Naj bosta 21 C B()$) in 53 C B(X) takšni algebri z ločljivima spektroma, da velja S G 21 in T G 53. Ker je B(X,)$) levi Banachov 21-modul glede na običajno množenje in je tudi levi Banachov 53-modul, če je množenje definirano s P ¦ X = XP, P G 53, X G B(X,)$), (algbera 53 je komutativna, zato je to množenje dobro definirano), sledi po izreku 3.2.1, da sta Ls in Rp krepko harmonična. Označimo s $ homomorfizem Q i—> Lq, ki slika iz 21 v B(B(X,)$)). Podobno naj bo \I> homomorfizem P i—> Rp, ki slika iz 53 v B(B(X,)$)). Potem sta 21 := $(21) in 53 := ^(B) algebri z ločljivima spektroma (trditev 2.2.6). Ker je &(Q)^>(P) = LqRp = RpL-q = \J>(P)$(Q) pri vseh Q G 21 in P G 53, vsebuje komutant algebre 21 algebro 53. Torej lahko uporabimo trditev 3.2.6, od koder sledi, da sta Ms,t m Ss,t krepko harmonična. D Da bi dobili podoben rezultat za splošnejši elementaren operator Es\t, kjer sta S = (Si,... ,Sn) C B()$) in T = (Ti,... ,Tn) C B(X) n-terici komutirajočih operatorjev, potrebujemo dodatne pogoje. Definicija 3.3.2. n-terica T = (Ti,... ,Tn) C B(X) komutirajočih operatorjev je krepko harmonična, če obstaja takšna algebra z ločljivim spektrom 21 C B(X), da je T C 21. Ce je T = (Ti,... ,Tn) C B(X) takšna n-terica komutirajočih operatorjev, da pri vsakem i = 1,... ,n obstaja algebra z ločljivim spektrom 2lj C B(X), za katero velja, da je T S 2lj in za poljubni par indeksov 1 ¦ Cn preslikava, ki jo določa n-terica Gelfandovih transformirank (a\,... ,an). Ce je La = (Lai,... ,Lan) n-terica operatorjev množenja na X, ki pripada a, bomo njen Taylorjev spekter označili kar s a (a, X) namesto s a(La,X). Definirajmo Aa(2l, X) := a~ (a(a, X)) in naj bo A(2l, X) = naAa(2l, X), pri čemer je presek vzet po vseh večtericah elementov iz 21. Taylor je dokazal, lema 3.2 v [65], da velja (3.3.1) a (a, X) = a(A(2l, X)). 3.3. KREPKO HARMONIČNI ELEMENTARNI OPERATORJI 54 Lema 3.3.8. Naj bo 21 algebra z loˇcljivim spektrom in X levi Banachov %l-modul. Za poljubno n-terico a = (a\,... , an) elementov v % in poljubno zaprto mnoˇzico F C Cn je (T(a, X(a~ (F))) C F. Dokaz. Naj bosta a poljubna n-terica elementov iz 21 in F poljubna zaprta podmnožica v Cn. Označimo J- =gT (F). Očitno je J- zaprta pod-množica v X(2l), kar pomeni, daje spektralni podmodul X(J-) zaprt (trditev 2.3.1). Vzemimo poljuben element b iz 21 in naj bo a(Lb\X(J-)) spekter operatorja množenja L^ G B(X) zoženega na spekralni podmodul X(J-). Znano je, da Taylorjev spekter a((b),X(J-)) in spekter a(Lb\X(F)), sovpadata (bralec lahko s pomočjo [65] to tudi sam preveri). Ker lahko na Lb\X(J-) gledamo kot na operator množenja, ki ga b inducira na X(J-), sovpada lokalni spekter operatorja Lb\X{J-) pri x G X(J-) z b{Sp%{x)) (trditev 2.4.7). Beurlingov spekter vsakega vektorja x G X(J-) je vsebovan v J-. Se pravi, da velja \_j <^L(,|X(^-') I'*'/ — \_j "y^P^iy^)) — "\J~ )¦ Po izreku 2.4.1 je operator Lb\X{J-) dekomponibilen. Potem pa velja o{Lb\X{F)) = (J aLb\x{r){x) (glejte, recimo, trditev 3.2 v [35]). Dokazali smo, daje cr((b), X(J-)) C b(J-), od koder sledi (3.3.2) A(2l, X(J-)) C A(m(21, X(J-)) = b~ (a((b),X(J-))) C b~ (b(J-)). Ker je algebra 21 regularna, obstaja za vsak ip G E(2l)\ J-, takšen bv G 21, da je bv = 0 na J- in b^(ip) = 1. Zaradi tega in (3.3.2) velja A(21, X(J-)) C J7. Zdaj uporabimo še (3.3.1) in dokaz je končan. D Izrek 3.3.9. Krepko harmoniˇcna n-terica T linearnih operatorjev na Ba-nachovem prostoru X je dekomponibilna; njena spektralna kapaciteta je E(F) = X(T_ (F)), F G cl (C ). Dokaz. Da je E spektralna kapaciteta, ni težko preveriti. Prav tako ni težav s pogojem (a) iz definicije 3.3.5. Da je zadoščeno pogoju (b) iz iste definicije, pa je dokazano v prejšnji lemi. D Posledica 3.3.10. Naj bo T krepko harmoniˇcna n-terica operatorjev na Banachovem prostoru X. Podalgebra 21 C B(X) naj bo algebra z loˇcljivim spektrom in naj vsebuje T. Potem je ^Gj x) = H(Sp%i(x)) 3.3. KREPKO HARMONIČNI ELEMENTARNI OPERATORJI 55 pri vseh iel Dokaz. Po izreku 3.3.9 in opombi 3.3.7, je (3.3.3) X(T_ (F)) = \x G X; a(T,x) C F}, F e d (C ). Naprej poteka dokaz podobno kot dokaz trditve 2.4.7. Ce postavimo F = °~(T,x) v (3.3.3), dobimo T_(Sp%(x)) C C funkcija, ki je definirana z z *—>¦ zizn^i + ... + znZ2n, z G C2n, potem je Es,t '¦= /CM)- Torej je Gelfandova transformiranka Es,t oblike Es,t = f ° M- Vzemimo poljuben A G B(X,)$). Potem je po posledici 3.3.10 a(M, A) = M(SpAA)). Od tod sledi f(cr(M, A)) = f(M(S'P(s-(A))) = Es,t(Spc(A)) = (Jest(A), pri čemer zadnja enakost velja zaradi trditve 2.4.7. Dokazali smo naslednji izrek. Izrek 3.3.11. Naj bosta X in ^ Banachova prostora in naj bosta S = (Si,... , Sn) in T= (Ti,... , Tn) krepko harmoniˇcni n-terici operatrojev — prva na )$ in druga na X. Oznaˇcimo z M 2n-terico (Ls\, • • • , Lsn, Rti > ... , Rt„) in naj bo f(z) = LiLn+i + ¦ ¦ ¦ + znZ2n- Potem je lokalni spekter elementarnega operatorja Es,t = Ls\Rti + ¦ ¦ ¦ + Ls„Rt„ pri A G B(X,)$) dan z (test(A) = f(a(M, A)). Upodobitve modulov Za vsako matematiˇcno teorijo je zelo pomembno, da primerja sploˇsne abstraktne strukture, ki se pojavijo znotraj nje, z ustreznimi konkretnimi primeri, ki jih v sploˇsnem boljˇse razumemo. Teorija upodobitev je sis-tematiˇcen pristop k temu problemu. Zelo dober zgled je Gelfandova teorija za komutativne Banachove algebre, ki pravi, da je vsaka komutativna Bana-chova algebra podeljena z Gelfandovim radikalom izomorfna neki podalgebri v algebri zveznih funkcij z niˇclo v neskonˇcnosti na nekem Hausdorffovem prostoru. Samo polenostavne komutativne Banachove algebre lahko zvesto predstavimo kot algebre funkcij. Pri tistih, ki niso polenostavne, moramo izloˇciti patoloˇski del, da to lahko storimo. Situacija je podobna tudi v drugih primerih, recimo v teoriji upodobitev Banachovih algeber z involucijo. V tem poglavju bomo do neke mere vpeljali in raziskali teorijo upodobitev (levih) modulov nad kompleksno algebro. Sledili bomo idejam iz sploˇsne teorije upodobitev algeber. Vpeljali bomo pojme kot so prapodmodul, maksimalen podmodul, primitiven podmodul in ustrezne radikale modula. Jasno, ker je modul tesno povezan z algebro, ki deluje na njem, so tudi upodobitve modula tesno povezane z upodobitvami algebre. Teorija, ki jo bomo razvili, razˇsirja teorijo upodobitev algeber v smislu, da obe teoriji sovpadata, ko na samo algebro gledamo kot na levi modul preko leve regularne upodobitve. 4.1. Prapodmoduli Spomnimo se, da je pravi dvostranski ideal I v algebri A praideal, ˇce iz I1I2 ? I sledi I1 ? I ali I2 ? I za poljubna dvostranska ideala I1 in I2 v A ([14], [61], [63]). Mnoˇzico vseh praidealov v algebri A bomo oznaˇcili z P(A). V tem razdelku bomo vpeljali pojem prapodmodula (glejte tudi [57, 58] in tam navedeno literaturo) in pokazali, da lahko razvijemo teorijo, ki je podobna tisti iz algeber. Preden zaˇcnemo, povejmo, da algebre in moduli v tem razdelku niso nujno Banachovi — ˇce so, bomo to posebej povedali. 56 4.1. PRAPODMODULI 57 Definicija 4.1.1. Naj bo 21 algebra in X levi %l-modul. Kvocient pod-modula y C X v 21 je množica (^ : X) := {a G 21; a • X C y}. Očitno je kvocient (^ : X) podmodula y enak anihilatorju kvocientnega levega 2l-modula X/y. Se pravi, da velja prva točka naslednje trditve. Trditev 4.1.2. Naj bo 21 algebra in X levi %l-modul. (i) Za vsak podmodul )$ v X je kvocient (^ : X) dvostranski ideal v 21, ki vsebuje ann%{X). (ii) (0 : X) = ann$i(%), (X : X) = 21 in za poljubno družino {^ijiei podmodulov v X je (Pli^i^i : ^0 = ^iei$i '¦ ^0- (mj FsaA; levi ideal 3 C 21 je vsebovan v kvocientu svojega koideala. (iv) Za vsak podmodul )$ v X je (^ : X) največji levi ideal v 21, katerega pripadajoči koideal je vsebovan v )$. (v) Če je 3 levi ideal v 21, je pripadajoči koideal 3 ¦ X najmanjši podmodul v X, katerega kvocient vsebuje 3. (vi) Za poljubna podmodula )$ in Z iz )$ C Z sledi (^ : X) C (Z : X). Če je X Banachov modul (in je torej 21 Banachova algebra), potem veljajo še naslednje trditve. (vii) Kvocient zaprtega podmodula je zaprt ideal. (viii) Pri poljubnem podmodulu y v X ve/ja (^ : X) C (y : X). Dokaz. Točki (ii) in (iii) očitno veljata. Če je 3 C 21 takšen levi ideal, da je 3 ¦ X C y, je 3 C (y : X), zato velja (iv). Naj bo y C X poljuben podmodul, katerega kvocient vsebuje 3. Potem je 3 ¦ X C y. Ker je po (iii) 3 C p • X : 1), velja točka (v). Veljavnost (vi) zlahka preverimo. Da bi dokazali (vii), predpostavimo, da je y zaprt podmodul in da je {o,n}^=i zaporedje v (^ : X), ki konvergira k a G 21. Potem za vsak iel velja, da je {an ¦ x}^=l zaporedje v y, ki konvergira k a ¦ x. Ker je y zaprt, je a ¦ x v y. Torej je a G (^ : X). Veljavnost točke (viii) sledi iz (vi) in (vii). D Iz točk (iii) in (iv) v zgornji trditvi sledi, da lahko koideal y C X zapišemo kot ^ = (^ : X) • X. Inkluzija v točki (viii) trditve 4.1.2 je včasih prava. Zgled 4.1.3. Naj bo X poljuben neskončnodimenzionalen kompleksen Banachov prostor. Potem je X seveda levi Banachov C-modul. Ce je y gosta hiperravnina v X, tj. gosta linearna podmnožica s kodimenzijo 1, potem je očitno (^ : X) = (^ : X) = {0} C C in (^ : X) = (X : X) = C. Definicija 4.1.4. Naj bo 21 algebra in X levi %l-modul. Pravi podmodul J3 C X je prapodmodul, če za poljuben dvostranski ideal 3 C 21 in poljuben podmodul ycXizJ-ycJ3 sledi 3 C (J3: X) ali^ C J\ 4.1. PRAPODMODULI 58 Trditev 4.1.5. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Potem je kvocient vsakega prapodmodula v X praideal v 21. Dokaz. Naj bo J3 prapodmodul v X. Kvocient (J3 : X) je pravi ideal v 21, saj enota ni v tem idealu, ker je J3 pravi podmodul. Uporabili bomo izrek 4.1.10 iz [61], ki pravi, daje pravi dvostranski ideal 5 v 21 praideal natanko tedaj, ko za poljubna u, v G 21 iz inkluzije -u2lt> C 3 sledi u G 3 ali v G 3- Naj bosta a in b takšna iz 21, da je a2l6 C (J3 : X). Ce je b ¦ x G J3 za vse a; G X, potem je b G (J3 : X). Privzemimo torej, da obstaja takšen s v 1, da y := 6 • x ni v J3. Potem x seveda ni v J3 in b ni v (J3 : X). Iz a2l6 C (J3 : X) sledi, da je (a2l) • y = (a2l6) • x C J3. Upoštevajmo, da je J3 podmodul, pa od tod sledi (2la2l) • y C J3 in potem še (2la2l) • (21 • y) C J3. Za dvostranski ideal 3 := 2la2l in podmodul ^ := 2l-y torej velja 3-^ C J3. Ker je J3 prapodmodul, je U C (J3 : X) ali y C J3. Druga možnost odpade, ker y ni v J3. Se pravi, da je a G 2la2l C (J3 : X). D Naslednji izrek je modulska varianta v zgornjem dokazu uporabljenega izreka 4.1.10 iz [61]. Izrek 4.1.6. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Za pravi podmodul y v X so ekvivalentne naslednje trditve. (a) y je prapodmodul. (b) Za poljubna a G 21 in x G X iz (a2l) • x C J3 sledi a G (J3 : X) ali a; G J3. (c) Za vsak levi (desni) ideal 3 C 21 in vsak podmodul ycXiz3-ycJ' sledi 3 C (f : 1) ali^ C J3. Dokaz. (a)—> (b). Naj bosta a G 21 in x G X poljubna takšna elementa, za katera velja a ¦ 21 • x C J3. Ker je J3 podmodul, je tudi (2la2l) • (21 • x) C J3. Se pravi, da za dvostranski ideal 3 := 2la2l in podmodul y := 21 • a; velja U • y C J3, od koder sledi 3 C (J3 : X) ali y C J3. Ce velja prva inkluzija, je a G (J3 : X), če velja druga, je a; G J3. (b)—> (c). Naj za levi (desni) ideal 3 C 21 in podmodul y C X velja 3 ¦ ^ C f. Predpostavimo, da y (f_ J3. Izberimo y G ^ \ J3. Za vsak a G 3 je a • 21 • y C 3 • ^ C J3. Ker y ^ J3, velja pa (b), je a G (J3 : X). (c)—> (a) Očitno, saj je vsak dvostranski ideal tudi levi ideal. D Posledica 4.1.7. Ce je 21 komutativna algebra z enoto in X levi %-modul, potem je pravi podmodul J3 C X prapodmodul natanko tedaj, ko za poljubna a G 21 in a; G X iz a ¦ x G J3 sledi a G (J3: X) ali x & J3. Dokaz. Ce sta a G 21 in x G X takšna, daje a-x G J3, potem je a2l-a; C J3, saj je J3 podmodul, 21 pa je komutativna algebra. Ker je J3 prapodmodul, je po prejšnjem izreku a G (J3 : X) ali x G J3. 4.2. KOCIKLICNI IN MAKSIMALNI PODMODULI 59 Obrat. Naj bosta a G 21 in x G X takšna, da je a2l ¦ x C J3. Ker ima 21 enoto in je X unitalen, je a ¦ x G J3. Po predpostavki je a G (J3 : X) ali a; G J3. Spet uporabimo prejšnji izrek. D Naj bo X levi modul nad algebro 21. Množico vseh prapodmodulov v X bomo označili z V%(X). V primeru Banachovih modulov nas bodo zanimali zaprti prapodmoduli, množico teh bomo označili z P%{%)¦ 4.2. Kociklični in maksimalni podmoduli Algebra 21 deluje ciklično na netrivialnem levem 2l-modulu X, če obstaja takšen vektor e G X, imenovan cikličen vektor, da je podmodul (e) := 21 • e enak celemu modulu X. V tem primeru bomo rekli, da je X cikličen modul. Zgled cikličnega levega modula je vsaka algebra z enoto: vsak obrnljiv element je cikličen vektor. Levi Banachov 2l-modul X je topološko cikličen, če ima topološko cikličen vektor, tj. takšen vektor e G X, da je podmodul (e) gost v X. V nadaljevanju naj bo X levi cikličen 2l-modul in e cikličen vektor v njem. Če je X Banachov 21-modul (in je torej 21 Banachova algebra), naj bo ||e|| = 1. Spomnimo se, da smo z P(e) označili preslikavo a i—> a ¦ e, ki slika iz 21 v X. Ker je e cikličen, je P(e) linearna surjekcija. Ce je X Banachov 21-modul, je ||P(e)|| < 1, ker je ||e|| = 1. Označimo z X jedro ker P(e). To je levi ideal v 21, zaprt, ko je X Banachov modul. Z p(e) : a + 2"1—> a ¦ e je dobro definirana linearna preslikava iz kvocient-nega prostora 21 /I v X. Naj bo q kvocientna preslikava iz 21 v 21/Z. Potem je p(e) o q = P(e), od koder sledi, da je p(e) bijekcija. Ker je v primeru, ko je X Banachov modul ||p(e)(a + 2T)|| = \\a ¦ e|| = ||(a — m) • e|| < \\a — m\\ za vse m G I, je ||p(e) || < 1. Torej je tudi p(e)_1 omejena linearna preslikava. Označimo z G(X) podmnožico vseh tistih vektorjev a; G X, za katere obstaja tak a G 21, da je a ¦ x = e. Definicija množice G(X) je neodvisna od izbire cikličnega vektorja. Namreč, vzemimo, da je tudi / G X cikličen vektor. Ker je e cikličen, obstaja tak b G 21, da je b ¦ e = /. Se pravi, da je ba- x = b ¦ e = /. Pripomnimo še, da množica G(X) ni prazna, saj je cikličen vektor e je v njej. Glede na prej povedano so v G(X) vsi ciklični vektorji. Velja tudi obrat, če je a; G G(X), potem je x cikličen. Namreč, naj bo a G 21 takšen, da je a ¦ x = e. Poljuben y G X lahko zapišemo kot y = b ¦ e, kjer je b nek element iz 21. Se pravi, da je y = ba ¦ x, kar pomeni, da je x cikličen. V G(X) so torej natanko vsi ciklični vektorji. Razširimo definicijo množice G(X) in jo imejmo za prazno, če X nima cikličnega vektorja. 4.2. KOCIKLICNI IN MAKSIMALNI PODMODULI 60 Naslednja trditev je ena od tistih, ki kažejo na podobnost med cikličnostjo v modulih in obrnljivostjo v algebrah. Trditev 4.2.1. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in X netrivialen cikličen Banachov levi %l-modul. Ce je e G Q(X) in za x G X velja ||e — x\\ < ||p(e)_1||_1, potem je tudi x G Q{X). Se pravi, daje Q{%) odprta podmnožica vX. Dokaz. Naj veljajo pogoji trditve. Potem je ||/9(e) (e —a;)|| < ||p(e)~ ||||e —a;|| < 1. Če je a G 21 takšen, da je p(e)~l(x) = a +1, je p(e)_1(e — x) = 1 — a +1. Torej je ||1 — a +X|| < 1, kar pomeni, da obstaja takšno število e > 0, da velja ||1 — a + X|| + e < 1. Potem pa obstaja takšen m G I, pri katerem je || 1 — a + m|| < || 1 — a + X|| -\- e < 1. Po izreku 1.4.1 iz [50] je a — m obrnljiv v 21. Iz (a — m) • e = a • e = x sledi (a — m)-1 • x = e, kar pomeni, da je L G Q{X). D Posledica 4.2.2. iVaj 6o 21 Banachova algebra z enoto in X netrivialen cikličen Banachov levi %l-modul. Ce je ^ pravi podmodul v X, potem je tudi njegovo zaprtje ^ pravi podmodul v X. Dokaz. Ker je ^ pravi podmodul v X, sta množici ^ in G(X) disjunktni. Se pravi, da je ^ podmnožica zaprte množice X \ G(X). Potem pa je tudi ^ podmnožica v X \ Q{X) ^ X. D Očitno vektor 0 ni nikoli cikličen, če je modul netrivialen. Ce za netrivialen levi 2l-modul X velja Q{X) = X \ {0}, bomo rekli, da je enostaven. Jasno, to se zgodi natanko tedaj, ko X ne premore nobenega pravega netri-vialnega podmodula. Definicija 4.2.3. (i) Podmodul^ v levem %-modulu X je kocikličen, če algebra 21 deluje ciklično na kvocientnem %-modulu X/y. Vektor e G X je kocikličen za ^, če je e + ^ cikličen za X/y. (ii) Pravi podmodul M v levem %-modulu X je maksimalen, če ni vsebovan v nobenem večjem pravem podmodulu. Namen naslednje trditve je pokazati podobnost med kocikličnimi pod-moduli in modularnimi ideali — glejte izrek 2.4.6 v [61] — vendar je potrebno opozoriti tudi na bistveno razliko: po točki (iii) naslednje trditve je vsak maksimalen podmodul kocikličen, toda, kot je dobro znano, obstajajo algebre in maksimalni ideali v njih, ki niso modularni. Trditev 4.2.4. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. (i) Če je ^ pravi netrivialen kocikličen podmodul v X, potem ne vsebuje nobenega kocikličnega vektorja. 4.2. KOCIKLICNI IN MAKSIMALNI PODMODULI 61 (ii) Ce podmodul Z C X vsebuje kocikliˇcen podmodul )$ C X, potem je tudi Z kocikliˇcen. (iii) Ce jeM C 1 maksimalen podmodul, je X/M enostaven %-modul, od koder sledi, da je M kocikliˇcen. (iv) Ce vektor x G X ni v maksimalnem podmodulu M, potem je 21 • x + M = X. (v) Vsak pravi kocikliˇcen podmodul je vsebovan v maksimalnem podmodulu. (vi) Ce je 21 Banachova algebra, ki deluje na Banachovem levem 21-modulu X cikliˇcno, potem je vsak maksimalen podmodul v X zaprt. Dokaz. Točka (i) očitno velja. (ii) Predpostavimo lahko, da je Z pravi podmodul v X. Naj bo e kocikličen za y. Pokažimo, da je e + Z cikličen vektor za X/Z. Za poljuben a; G X obstaja takšen a G 21, daje a-(e+y) = x+^. Torej je a-e — x G ^ C Z. Od tod sledi a • (e + Z) = x + Z. (iii) Naj bo M maksimalen podmodul v X in naj bo Z netrivialen podmodul v X/M. Množica Ji := {x G X; a; + M G Z} je podmodul v X in očitno je M C X. Ker je Z netrivialen, obstaja v N takšen xo, da je xo + M neničelni vektor v Z. To pomeni, da xq L M. Zaradi maksimalnosti M od tod sledi N = X, oziroma Z = X/M. Zdaj je očitno, da so vsi neničelni vektorji v X/M ciklični, kar pomeni, da je M kocikličen. (iv) Množica 21 • x + M je podmodul v X, ki vsebuje M. Ker je M maksimalen podmodul in x L M, mora biti 21 • x + M = X. (v) Naj bo^ C 1 pravi kocikličen podmodul in e G X kocikličen vektor za y. Z J- označimo družino vseh tistih podmodulov v X, ki vsebujejo y in ne vsebujejo e. Glede na inkluzijo je J- delno urejena. Unija poljubne linearno urejene poddružine v J- je zgornja meja te poddružine. Potem pa po Zornovi lemi v J- obstaja maksimalen element. (vi) To je neposredna posledica maksimalnosti in posledice 4.2.2. D Očitno je levi 21-modul X cikličen natanko tedaj, ko je trivialen podmodul 0 kocikličen. Slednje pa velja, po točki (ii) predhodne trditve, natanko tedaj, ko so vsi podmoduli v X kociklični. Trditev 4.2.5. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Vsak maksimalen podmodul v X je prapodmodul. Dokaz. Naj bo M maksimalen podmodul v X. Po definiciji je maksimalen podmodul pravi podmodul. Naj bosta a G 21 in x G X poljubna elementa, za katera velja a2l • x G M. Predpostavimo, da o ^ (M : X) in x L M. Zaradi prve predpostavke obstaja v X takšen y, da a ¦ y ni v M. Iz druge pa sledi, daje x+JA neničelni vektor v X/M. Po točki (iii) trditve 4.2.4 4.3. UPODOBITVE MODULOV 62 je x + JA cikličen v X/M. Se pravi, da za nek b G 21 velja 6- (a; + M) = y + M, od koder sledi a ¦ y + M = ab ¦ (x + M) C a2l • (a; + M) = M. Toda to je v protislovju z dejstvom, da a ¦ y ni v M. D Iz prejšnje trditve in trditve 4.1.5 izhaja, da je kvocient maksimalnega podmodula praideal. Naslednji zgled pa kaže, da kvocient maksimalnega podmodula ni nujno maksimalen ideal. Zgled 4.2.6. Naj bo % neskončnodimenzionalen separabilen Hilbertov prostor. Prostor X:= MxH napravimo za levi B{%) modul z množenjem A ¦ (x, y) = (Ax, Ay). Podprostor M := % x {0} je maksimalen podmodul v X. Namreč, predpostavimo, da obstaja v X takšen podmodul y, ki vsebuje M. Ce je (x,y) G y, je tudi (0, y) G y. Predpostavimo, da je y ^ 0. Potem je {0} x % = B{%) ¦ (0, y) C ^. Se pravi, da je ^ = X. Ni težko videti, da je (M : X) trivialen ideal v B(%), kar seveda pomeni, da ni maksimalen, saj je vsebovan v idealu kompaktnih operatorjev. Množico vseh maksimalnih podmodulov v danem levem 2l-modulu X bomo označili s Ss[(X). V primeru Banachovih modulov nas bodo zanimali le zaprti maksimalni podmoduli, množico teh bomo označili s Ss[(X). Po trditvi 4.2.5 imamo naslednji inkluziji Ss[(X) C Pg[(X) in Ss[(X) C V%{%). Če je X cikličen levi Banachov 2l-modul, je Sg[(X) = Sg[(X) po trditvi 4.2.4 (vi). 4.3. Upodobitve modulov Začeli bomo z definicijo upodobitve modula. Ker se bomo v nadaljevanju večkrat zgledovali pri upodobitvah algeber, povejmo, da je teorija slednjih dobro obdelana v [61]. Definicija 4.3.1. Naj bo X levi modul nad algebro 21 in naj bosta )$ ter Z vektorska prostora. (i) Linearna preslikava 0 : X —> L()$,Z) je upodobitev modula X na paru (y, Z), ˇce obstaja takˇsna upodobitev 9 algebre 21 na prostoru Z, da velja (4.3.1) 0(a • x) = 9(a)@(x) za vse a G 21, iel (ii) Antiupodobitev modula X na paru (y, Z) je linearna preslikava H : X —> L(y,Z), za katero velja (4.3.2) H(a • x) = H(x)r)(a) pri vseh a G 21, i6l, pri ˇcemer je rj antiupodobitev algebre 21 na prostoru )$. 4.3. UPODOBITVE MODULOV 63 Ce je 0 upodobitev modula X na paru (^,Z), potem v splošnem pripadajoča upodobitev 9 algebre 21 na Z ni enolično določena. Na primer, če je 0 trivialna, tj. @(x) = 0 za vse i?l, potem vsaka upodobitev 9 algebre 21 na Z zadošča (4.3.1) (skupaj s 0). Trditev 4.3.2. Naj bo X levi %l-modul. Ce je 0 takšna upodobitev modula X na paru (y, Z), da je lin I J im Q(x) = Z, potem obstaja natanko ena upodobitev 9 algebre 21 na Z, da velja (4.3.1). Za antiupodobitev H modula X na paru (^,Z) obstaja natanko ena an-tiupodobitev rj algebre 21 na^, ki zadošča (4.3.2), če je f| keril(x) = {0}. ikGX Dokaz trditve je zelo enostaven, zato ga bomo izpustili. Odslej bomo vedno privzeli, da sta pogoja iz trditve 4-3-2 izpolnjena. S tem nismo izgubili na splošnosti. Če je lin Umex im ®(%) pravi podprostor v Z, lahko brez škode prostor Z nadomestimo s prostorom lin [jxe^im@(x), saj se na tistem delu prostora Z, ki ni v lin [jxe^im@(x), nič ne dogaja. Podobno lahko prostor y zamenjamo s prostorom y/H^exkerH(x), če je Hicex ker H(x) netrivialen podprostor v y. Ker upodobitev modula in pripadajoča upodobitev algebre delujeta v paru, bomo včasih kar paru teh dveh preslikav rekli upodobitev modula. Tako je, na primer, (@,9) upodobitev levega 2l-modula X na paru (^,Z) natanko tedaj, ko velja (4.3.1). Podobno je par (H, rj) antiupodobitev natanko tedaj, ko velja (4.3.2). Na prostor L()$,Z) lahko gledamo kot na levi L(Z)-modul: modulsko množenje je komponiranje preslikav. V tem smislu je torej upodobitev modula X modulski homomorflzem iz X v levi L(Z)-modul L()$,Z). Ce na L(y,Z) pogledamo kot na desni L(y)-modul, je antiupodobitev modulski antihomomorflzem iz X v desni L(y)-modul L(ty, Z). Za dano upodobitev 0 (antiupodobitev H) modula X bomo rekli, da je trivialna, če je @(x) = 0 (oziroma H(x) = 0) za vse a; ? X. Nadalje bomo rekli, da je 0 ciklična upodobitev modula X na paru (y, Z), če obstaja v y takšen vektor y — cikličen vektor — da je {@(x)y; x ? X} = Z. Ciklična antiupodobitev je definirana na enak način. Trditev 4.3.3. Naj bo X levi modul nad algebro 21. (i) Jedro vsake upodobitve ali antiupodobitve modula X je podmodul v X. (ii) Ce je (0,9) upodobitev modula X na paru (^, Z,) potem je za vsak vektor y ? ^ množica {@(x)y; i?l} 9-invarianten podprostor v Z. 4.3. UPODOBITVE MODULOV 64 (iii) Ce je (0,9) upodobitev modula X na paru (y, Z), potem je ker 9 C (ker® : X). Podobna inkluzija velja za antiupodobitev (H, r?) modula X. Dokaz. (i) Jasno. (ii) Naj bo y vektor iz y. Množica M = {0(a;)y; j G 1} je očitno linearen podprostor v Z. Zaradi 9(a)[@(x)y] = 0(a ¦ x)y, je ta podprostor #-invarianten. (iii) Ce je a G ker 9, potem za vsak iel velja 0(a -a;) = 0, kar pomeni, da je a ¦ X C fcer 0, oziroma a G (fcer 0 : X). Enak razmislek velja v primeru antiupodobitev. D V primeru Banachovih modulov nas bodo zanimale predvsem upodobitve na parih Banachovih prostorov. Definicija 4.3.4. Naj bo X levi Banachov %l-modul. Upodobitev 0 modula X na paru Banachovih prostorov (^, Z) je (i) normirana, ˇce je @(x) G B(y, Z) za vse iel; (ii) topološko ciklična, ˇce obstaja v ^ topološko cikličen vektor y, tj. vektor za katerega velja, da je mnoˇzica 0(X)y = {@(x)y; igl} gosta v Z; (iii) zvezna, ˇce je normirana in je kot preslikava iz X v B(y, Z) zvezna; (iv) krepko zvezna, ˇce je preslikava @y : x i—> @(x)y, ki slika iz X v Z, zvezna za vsak y G ^. Ce je X levi Banachov 2l-modul in (0,9) upodobitev X na paru Banachovih prostorov (ty,Z), ni nujno, da je 9 normirana upodobitev algebre 21 na Z, toda mi bomo odslej to privzeli. Se več, običajno bomo predpostavili, da norma upodobitve 9 ne presega 1, tako da bomo lahko na Z gledali kot na levi Banachov 2l-modul. Podoben privzetek bo veljal tudi za antiupodobitve. Naslednja trditev je modulska varianta trditve 4.2.2 iz [61], tudi dokaz je zelo podoben. Trditev 4.3.5. Normirana krepko zvezna upodobitev 0 levega Banacho-vega %l-modula X na paru Banachovih prostorov (y, Z) je zvezna. Dokaz. Zaradi krepke zveznosti je vsaka od preslikav @y, y G ^, zvezna. Ker je 0 tudi normirana, velja ||0y(a;)|| = ||0(a;)y|| < ||0(a;)|| za vse iel in vse j/ G y, ||y|| 0, da je ||0y|| < M za vse y S y, ||y|| < 1. Od tod sledi ||0(a;)|| = sup{||0(a;)y||; y G y, ||y|| < 1} < M||a;||, kar pomeni, da je 0 zvezna. D Zgled 4.3.6. Naj bo X levi 2l-modul. Spomnimo se, da smo v razdelku 4.1 pri vsakem a; G X z P(a;) označili linearno preslikavo a i—> a ¦ x, ki slika 4.3. UPODOBITVE MODULOV 65 iz algebre 21 v modul X. Ni težko videti, da je preslikava P : x i—> P(a;), ki slika iz X v L(21, X), linearna. Označimo z p desno regularno upodobitev algebre 21. Zlahka se prepričamo, da pri poljubnih a G 21 in x G X velja P(a • x) = P(x)p(a), kar pomeni, da je P antiupodobitev levega 2l-modula X na paru (21, X). Tej antiupodobitvi bomo v nadaljevanju rekli regularna desna upodobitev levega modula X. Levi modul nima regularne leve upodobitve. Desni modul ima regularno levo upodobitev, nima pa regularne desne upodobitve. Bimoduli imajo obe regularni upodobitvi. Ce je X levi 2l-modul in (@,9) njegova upodobitev na paru (^,Z), je s Q' : x i—> @(x)', kjer je @(x)' adjungirana preslikava, definirana linearna preslikava iz X v L(Z',^'). Označimo s 9' na podoben način dobljeno preslikavo iz 21 v L(Z') Ni težko videti, da je 9' antiupodobitev algebre 21 na Z'. Ker pri poljubnih a G 21 in x G X velja 0(a • x)' = @(x)'9(a)1', je (@',9') antiupodobitev modula X na paru (2/,^'). Bralec se bo brez dvoma strinjal, da bi v primeru, ko bi namesto upodobitve (0,9) imeli antiupodobitev (H, rj) modula X na paru (y, Z), dobili upodobitev (H', r/) modula X na paru (Z',^'). Imamo torej naslednjo trditev. Trditev 4.3.7. Ce je (0,9) upodobitev ((H, rj) antiupodobitev) modula X na paru (^, Z), potem je (O', 9') antiupodobitev ((H', r/) upodobitev ) modula X na paru (2/,^'). Zgled 4.3.8. Naj bo P desna regularna upodobitev levega 2l-modula X. Potem je P' preslikava iz X v L(X',2l'), in zanjo velja (P'(x)^, a) = (L, a ¦ x) (a G 21, L G X') pri vseh iel Naj bo O upodobitev levega Banachovega 2l-modula X na paru Bana-chovih modulov (^,Z). Če je O normirana, lahko pri vsakem a; G X govorimo o adjungirani preslikavi @(x)*, ki slika iz topološkega duala prostora Z v topološki dual prostora y, torej iz Z* v y*. Označimo s O* preslikavo x i—> @(x)*, pa imamo normirano antiupodobitev modula X na paru (Z*, y*). Podobno dobimo v primeru, ko začnemo z normirano antiupodobitvijo H, normirano upodobitev H*. Trditev 4.3.9. Naj bo O normirana upodobitev levega Banachovega 21-modula X na paru Banachovih prostorov (y,Z). Ce je O krepko zvezna, je tudi O* krepko zvezna. Dokaz. Ker je O krepko zvezna, je vsaka od preslikav @y : X —> Z, x i—> @(x)y, pri čemer je y G y, zvezna. Podobno kot v dokazu trditve 4.3.5 4.3. UPODOBITVE MODULOV 66 lahko tudi zdaj zaradi normiranosti upodobitve 0 sklepamo, da obstaja takšna konstanta M > 0, da je \\®y\\ < M za vse y G y, \\y\\ < 1. Pri poljubnem (eZ* označimo s 0J preslikavo, ki vektorju igl priredi funkcional @(x)( G y*. Ker je 11®?^)!! = ll®(a;)CII = sup{|(®(a;)*C)y)l) v s y, ||y|| < i} = = sup{|((", 0y(a;))|; y G y, ||y|| < 1} < M||L||||a;||, velja ||0J|| < M||L||, kar pomeni, daje 0* krepko zvezna. D Iz trditev 4.3.5 in 4.3.9 sledi naslednja posledica. Posledica 4.3.10. Naj bo 0 normirana upodobitev levega Banachovega %l-modula X na paru Banachovih prostorov (^,Z). Ce je 0 krepko zvezna, sta 0 in 0* zvezni. Se naprej naj bo X levi 21-modul. Naj bo 0 : X —> L(y, Z) upodobitev modula X na paru (y, Z) in # : 21 —> L (Z) pripadajoča upodobitev algebre 21. Predpostavimo, da je podprostor W C Z invarianten za 9. Definirajmo upodobitvi 9yj : 21 —> L(W) in 9W : 21 —> Z/W s predpisoma 9yj(a) '¦= $(a)|w> a G 21, in 9 (a)(z + W) := 9{a)z + W, z G Z, a G 21. Naj bo II := {y G ^; @(x)y G W za vse iel}= f| 0(a;)_1(W). Očitno je II največji linearen podprostor v y, za katerega velja 0(a;)U C W pri vseh iel Podobna inkluzija velja za vsak podprostor V v II. Se pravi, daje pri vsakem podprostoru V C 11 s predpisom ©(v,,w)(a;) := ®(a;)|v dobro definirana linearna preslikava iz X v L(V,W). Za poljubna a G 21 in x G X velja 0(v,w)(a ' x) = ^w(a)©(v,w)(a;)) kar pomeni, da je 0(y,w) upodobitev modula X na paru (V,W). Upodobitev 0(v,w) Je restrikcija upodobitve 0 na par (V,W). (Uporabili smo besedo restrikcija in ne zožitev, to pa zato, ker bomo s slednjo poimenovali neko drugo preslikavo). Definirajmo še redukcijo upodobitve 0 na par (V, W). To je preslikava q(v,w; . (x), a G 21, x G X. Poglejmo poseben primer, ko je podprostor W enak kar celemu prostoru Z. Tedaj je seveda prostor II enak celemu prostoru y. Če sta V\ in V 2 poljubna podprostora v y in je V o njuna vsota, imamo upodobitve 0(yfc,z) : X —> L(Vk, Z), katerih pripadajoča upodobitev algebre 21 na Z je 9. Vsak vektor f G Vo lahko zapišemo kot vsoto v = v 1 +1>2, pri čemer je t>i G V\ in t>2 GV2. Upoštevajmo, kako je definirana restrikcija upodobitve, pa imamo ®(v0,z)(x)v = ®{yltz)(x)vi + G(v2,z)0*0^2, P" vseh x eX. 4.3. UPODOBITVE MODULOV 67 Se pravi, da je dano upodobitev mogoče sestaviti iz njenih restrikcij. To lahko izkoristimo, ko v danem konkretnem primeru iščemo upodobitve modula: poiščemo restrikcije iskane upodobitve, recimo na enodimenzionalne podprostore, potem pa iz njih zgradimo iskano upodobitev. Naj bo 0 normirana upodobitev levega Banachovega 2l-modula X na paru Banachovih prostorov (y, Z). Ce je W zaprt #-invarianten podprostor v Z, potem je tudi U = r\x^xQ(x)~1(W) zaprt podprostor v y. Za vsak zaprt podprostor V v U velja, da sta restrikcija Q(v,w) m redukcija 0(v>w) normirani upodobitvi modula X. Očitno je pri vsakem y G V preslikava ®(v,w),2/> ki vektorju igl priredi vektor @tv,w)(x)y S W, enaka preslikavi 0,,. Prav tako ie pri vsakem v + V G Vt/V preslikava 0 ,',7 : X —> Z/W, ki /"vC^iW) r\(VVJ)/ . i ie definirana z 0 .17 (x) = 0 ' J(x)(y + V), enaka kompoziciii kvocientne preslikave iz y v y/V in preslikave @y. Sklepamo torej lahko, da sta 0(y,w) in @(v>w) krepko zvezni, če je 0 krepko zvezna. Velja še več: vse tri upodobitve so zvezne, saj smo na začetku privzeli, da je 0 normirana. Zapišimo to kot trditev. Trditev 4.3.11. Naj bo 0 normirana upodobitev levega Banachovega %l-modula X na paru Banachovih prostorov (^,Z) in naj bo W zaprt 9-invarianten podprostor v Z, pri čemer je 9 takšna upodobitev algebre 21 na Z, ki pripada 0. Če je 0 krepko zvezna, potem so za poljuben zaprt podprostor V v na,ex0(a;)_1(W) upodobitve 0, 0(y,w) in 0(v>w) zvezne. Povejmo še, kdaj sta dve upodobitvi ekvivalentni. Definicija 4.3.12. Naj bo X levi %l-modul in 0 ter T upodobitvi modula X : prva na paru (ty,Z) in druga na paru (11,17). Upodobitvi 0 in T sta ekvivalentni, če obstajata takšni linearni bijekciji U : ^ —> II in V : Z —> V, da velja (4.3.3) T(x)U = V@(x) za vse iel V primeru, ko je X Banachov prostor in sta (^,Z) ter (11, V) dva para Banachovih prostorov, sta upodobitvi 0 in T topološko ekvivalentni, če obstajata takšni zvezni linearni bijekciji U : ^ ^ 11 in V : Z ^ V, da velja (4.3.3). Opomba 4.3.13. Definicija 4.3.12 je precej splošnejša od analogne definicije ekvivalentnosti dveh upodobitev dane algebre. To izhaja iz dejstva, da imamo mi v splošnem na razpolago modulsko strukturo le na eni strani (levi), medtem ko pri upodobitvah algeber upoštevamo tako levo kot desno modulsko strukturo, ki jo ima algebra kot bimodul nad sama sabo. Zgled 4.3.14. Naj bo X levi 2l-modul in (@,9) upodobitev modula X na paru ()$,Z). Pri vsakem neničelnem številu A G C je tudi par (XQ,9) 4.4. NERAZCEPNE UPODOBITVE MODULOV 68 upodobitev modula X na paru (^,Z). Ni težko videti, da sta upodobitvi 0 in A0 ekvivalentni, vlogo linearnih bijekcij U in V iz definicije igrata identična operatorja na y, oziroma Z. 4.4. Nerazcepne upodobitve modulov Netrivialna upodobitev 9 algebre 21 na prostoru X je nerazcepna, če sta trivialni podprostor 0 in cel prostor X edina #-invariantna podprostora v X. V primeru, ko je X Banachov prostor, je 9 topološko nerazcepna, če sta 0 in X edina zaprta #-invariantna podprostora v X. Definicija 4.4.1. Netrivialna upodobitev (@,9) levega %l-modula X na paru (^, Z) je nerazcepna, če velja (i) upodobitev 9 algebre 21 na prostoru Z je nerazcepna in (ii) skupno jedro upodobitve 0 je trivialno, tj. (4.4.1) f| ker @{x) = {y G ^; @{x)y = 0, za vse iel} = {0}. Če je X Banachov prostor in 0 njegova upodobitev na paru Banachovih prostorov (^, Z), potem je 0 topološko nerazcepna, če je 9 topološko nerazcepna in velja (4.4.1). Trditev 4.4.2. Naj bo X levi modul nad algebro 21 in (@,9) nerazcepna upodobitev X na (y, Z). (i) Vsak neničelni vektor iz ^ je cikličen za 0. Če je X Banachov modul in je 0 topološko nerazcepna upodobitev X na paru Banachovih prostorov (y, Z), je vsak neničelni vektor iz ^ topološko cikličen za 0. (ii) ker 9 = (ker@ : X). (iii) Jedro upodobitve 0 je prapodmodul v X. Dokaz. (i) Naj bo y neničelni vektor iz y. Množica M = {@(x)y; x G X} je očitno linearen podprostor v Z. Zaradi 9(a)@(x)y = 0(a • x)y, je ta podprostor #-invarianten. Ker je upodobitev 9 nerazcepna, je M bodisi trivialen podprostor bodisi ves Z. Prva možnost odpade, saj je y ^ 0 in torej ne more biti v skupnem jedru vseh @(x), iel Dokaz v Banachovem primeru je podoben, le da namesto prostora M gledamo njegovo zaprtje. (ii) Inkluzijo ker 9 C (ker@ : X) smo dokazali v trditvi 4.3.3. Naj bo torej a G (ker@ : X). Potem za vsak igl velja 0 = @(a-x) = 9(a)@(x). Ce je y neničelni vektor iz y, zaradi nerazcepnosti 0 velja {@(x)y; x G X} = Z. Se pravi, da je 9(a)Z = {0}, od koder sledi a G ker 9. (iii) Naj bosta a G 21 in x G X takšna, da je a2l • x C ker 0. Predpostavimo, da x $l ker 0. Potem obstaja v y takšen y, da je @(x)y ^ 0. Množica N = {0(6 • x)y; b G 21} je očitno #-invarianten podprostor v Z. Zaradi nerazcepnosti je bodisi N = Z bodisi N = {0}. Če velja prvo, iz 4.4. NERAZCEPNE UPODOBITVE MODULOV 69 enakosti @(ab-x) = 0, ki velja pri vseh b G 21, sledi 9(a)Z = {0}, kar nam da a G ker 9 = (ker O : X). Pokažimo, da N = {0} ne more veljati. Namreč, če bi, potem je 9(b)@(x)y = 0 za vse b G 21. Toda potem je zaradi @(x)y 7^ 0 množica {z G Z; #(&)z = 0, V6 G 21} netrivialen #-invarianten podprostor, torej ves Z. Od tod sledi 0 = 0, kar pa ni res. D Definicija 4.4.3. Podmodul J3 v levem %-modulu X je primitiven, če je jedro kakšne nerazcepne upodobitve modula X. Množico vseh primitivnih podmodulov v X bomo označili s IL^(X). V primeru, ko je X Banachov levi 2l-modul, je IIs^X) množica vseh zaprtih primitivnih podmodulov. Opomba 4.4.4. Iz točke (ii) trditve 4.4.2 sledi, da je kvocient primitivnega podmodula primitiven ideal v 21, tj. iz J3 G IIs^X) sledi (J3 : X) G n(2l). Pripomnimo še, da je po točki (iii) iste trditve IL^X) C Ps^X). Zdaj bomo pokazali, da so vsi maksimalni podmoduli primitivni (da so prapodmoduli, že vemo - trditev 4.2.5). Trditev 4.4.5. Vsak maksimalen podmodul v levem %-modulu X je primitiven. Dokaz. Ker je M pravi podmodul v X, je X/M enostaven levi 2l-modul. Naj bo 9 : 21 —> L(X/M) upodobitev algebre 21, dana z 9(a)(x + M) = a-x+M, kjer je x+JA poljuben iz X/M. Jasno, ker je X/M enostaven modul, je 9 nerazcepna. Definirajmo 0 : X —> L(2l/(M : X), X/M) tako, da je pri vsakem iel preslikava @(x) dana z Q(x)(a + (M : X)) = a ¦ x + M. Zlahka se prepričamo, da je definicija dobra. Ker je 0(a • x) = 9(a)@(x) pri vseh a G 21 in vseh a; G X, je 0 upodobitev modula X na paru (2l/(M : X), X/M). Če je a + (M : X) v jedru vsake od preslikav @(x), a; G X, potem iz definicije sledi, da je a ¦ X C M, kar pomeni, da je a G (M : X). To nam skupaj z nerazcepnostjo 9 da nerazcepnost 0. Pokažimo še, da je M = ker 0. Inkluzija M C ker 0 je očitna, saj je M podmodul v X. Obratna inkluzija pa sledi iz dejstva, da mora za a; G ker 0 pri vseh a + (M : X) G 21/(M : X) — in torej tudi pri 1 + (M : X) — veljati @(x)(a + (M : X)) = M. D Posledica 4.4.6. Naj bo X levi %l-modul. Potem je ^2i(X) C Il2i(X) C Pg[(X). Če je X Banachov levi %-modul, je ^2i(X) C Il2i(X) C Pg[(X). 4.4. NERAZCEPNE UPODOBITVE MODULOV 70 Naj bo X levi 21-modul in (@,9) njegova upodobitev na paru (^,Z). V prejšnjem razdelku smo videli, da lahko pri danem #-invariantnem pod-prostoru W C Z in V C n^x©^)-1 (W) napravimo upodobitev 0(v,w) modula X na paru (V, W), tj. restrikcijo upodobitve 0 na par (V, W). Predpostavimo, da je 0 nerazcepna. Potem sta trivialen podprostor in ves prostor edina #-invariantna podprostora v Z. Ce je W = {0}, je, zaradi (4.4.1), tudi na,ex0(a;)_1(W) = {0}, od koder sledi V = {0}. Naj bo zdaj W = Z in V poljuben netrivialen podprostor v y. Ker ima restrikcija 0(v,z) za Pri~ padajočo upodobitev algebre 21, kar upodobitev 9, je očitno, da je 0(y,z) nerazcepna upodobitev modula X. Očitno je situacija podobna, ko imamo Banachov modul in topološko nerazcepno upodobitev. Se pravi, netrivialne restrikcije (topološko) nerazcepne upodobitve so (topološko) nerazcepne. Kaj pa obratno? Ali lahko (topološko) nerazcepno upodobitev razširimo do večje (topološko) nerazcepne upodobitve? Definicija 4.4.7. (i) Naj bo X levi %l-modul in 0 nerazcepna upodobitev modula X na paru prostorov (^, Z). Upodobitev T modula X na paru prostorov (II, Z) je nerazcepna razširitev upodobitve 0, če je T nerazcepna in če obstaja takšna linearna injekcija U : y —> U, da velja @(x) = T(x)U pri vseh iel Ce je 0 takšna nerazcepna upodobitev modula X, da je ekvivalentna vsaki svoji nerazcepni razširitvi, potem je 0 maksimalna nerazcepna upodobitev. (U) Naj bo X levi Banachov %l-modul in 0 topološko nerazcepna upodobitev modula X na paru Banachovih prostorov (y, Z). Upodobitev T modula X na paru Banachovih prostorov (II, Z) je topološko nerazcepna razširitev upodobitve 0, če je T topološko nerazcepna in če obstaja takšna linearna izometrija U : ^ —> II, da velja @(x) = T(x)U pri vseh iel Če je 0 takšna topološko nerazcepna upodobitev modula X, da je topološko ekvivalentna vsaki svoji topološko nerazcepni razširitvi, potem je 0 maksimalna topološko nerazcepna upodobitev. Naslednji izrek nam zagotavlja, da je dovolj poznati maksimalne nerazcepne upodobitve danega levega modula. Izrek 4.4.8. Vsaka nerazcepna upodobitev levega modula ima maksimalno nerazcepno razširitev. Maksimalna nerazcepna razširitev dane nerazcepne upodobitve je do ekvivalence natančno enolično določena. Dokaz. Naj bo 0 nerazcepna upodobitev levega 21-modula X na paru prostorov (y, Z). Označimo s T družino vseh nerazcepnih razširitev upodobitve 0. Vsak T G T naj upodablja modul X na paru (Ut, Wy), podprostor Vt C 11t pa naj bo takšen, da obstajata takšni bijektivni linearni preslikavi Vt '¦ ^ —>¦ Vt in Wt '¦ Z —> Wr, za kateri velja Wt@(x) = TtvT,wT)(x)^T pri vseh a; L X. Naj bo T množica kvocientov, ki jo dobimo, ko v T izenačimo 4.5. HULL-KERNEL TOPOLOGIJA 71 med sabo ekvivalentne upodobitve. Za T G T naj bo [T] ustrezni ekvi-valenčni razred v T. V T vpeljimo relacijo delne urejenosti na naslednji način. Za [Ti] in [T2] iz T velja [Ti] < [T2] natanko tedaj, ko obstaja injektivna linearna preslikava U : U^ —> Ut2- Da je definicija dobra, tj. neodvisna od izbire predstavnika ekvivalenčnega razreda in da gre res za relacijo delne urejenosti, se ni težko prepričati. Če je C linearno urejena poddružina v T, naj bo {T^; i G I} družina predstavnikov ekvivalenčnih razredov iz C — iz vsakega razreda natanko eden. Torej je C = {[Tj]; i G I}. Privzamemo lahko, daje I linearno urejena množica in da iz i < j, i, j G I, sledi [Ti] < [Tj]. Ker v primeru i < j obstaja injektivna linearna preslikava Uji : Uj —> 11 j, lahko privzamemo, da je Uj C llj. Naj bo U unija vseh prostorov Uj, i G I. Na II vpeljemo strukturo vektorskega prostora: če sta u in v iz II in a kompleksno število, lahko najdemo takšen indeks io v I, da sta au in v v vsakem od prostorov Uj, Iq < i, kar pomeni, daje tudi vsota au + v v vsakem od teh prostorov in torej v U. Pri vsakem indeksu i G I naj bo Ui vložitev prostora llj v prostor U. Zdaj bomo definirali preslikavo T : X —> L(1I, Z). Vzemimo a; G X in ga fiksirajmo. Naj bo u G U poljuben in i tak indeks, da je u G 11», potem je s T(x)u := Ti(x)u dobro definirana linearna preslikava T(x) iz U v Z. Ni težko videti, da je tudi T dobro definirana linearna preslikava. Ker je T(a ¦ x) = 9(a)T(x), je T upodobitev X na paru (U, Z). Ce je u G U takšen, da je T(x)u = 0 za vse iel, velja pri nekem indeksu i, da je Ti(x)u = 0 za vse iel Zaradi nerazcepnosti Tj pa je u = 0. Se pravi, da je T nerazcepna razširitev upodobitve 0. To pomeni, da je [T] G T. Glede na konstrukcijo je jasno, da je [T] zgornja meja za C Zornova lema nam zagotavlja obstoj maksimalnega elementa v T. Iz tega, kar smo že dokazali, očitno sledi, da sta poljubni dve maksimalni nerazcepni razširitvi upodobitve T med sabo ekvivalentni. Torej velja tudi zadnji del izreka. D 4.5. Hull-kernel topologija V prejšnjih razdelkih smo definirali nekatere razrede podmodulov v danem levem A-modulu X, pri čemer je A algebra z enoto. Spomnimo se, da smo z Pg[(X) označili družino vseh prapodmodulov v X, s Ilg^X) družino vseh primitivnih podmodulov in s E,^(X) vse maksimalne podmodule. V primeru Banachovih modulov smo definirali še družine zaprtih prapodmodulov, primitivnih podmodulov in maksimalnih podmodulov ter ustrezne družine po vrsti označili z Ps^X), IIs^X) in Sg[(X). Vemo že, da veljajo inkluzije ^21(^0 q ri2i(X) c Pg[(x) 4.5. HULL-KERNEL TOPOLOGIJA 72 in ^2i(30 C Il2i(X) C Pg[(X). V nadaljevanju naj bo Q poljubna neprazna podmnožica v Pg((X) — oziroma v Pg[(X), če imamo Banachov modul. Seveda, najbolj zanimivi so primeri, ko je Q ena od prej naštetih družin. Definicija 4.5.1. Q-radikal levega modula X nad algebro A je podmodul Radjft(X) := n^nJ3 v X. Modul X je Q-polenostaven, če je njegov Q-radikal trivialen in je Q-radikalski, če je enak svojemu Q -radikalu. V nadaljevanju bomo na Q definirali hull-kernel topologijo (nekateri jo imenujejo topologija Zariskega ali Jacobsonova topologija). Ideja, kako definirati to topologijo, je iz [58], vendar je naš pristop bolj podoben tistemu v teoriji (Banachovih) algeber (glejte [61], §7.1). Definicija 4.5.2. Naj bo A algebra z enoto in X levi A-modul. Jedro neprazne podmnožice S C Q je kx(S) := n^^J'. Jedro prazne množice je ves X. Ovoj podmodula ^ C X je množica /&x(y) := {J3 S ^2; (^ : X) C (J3 : X)}. V naslednjem izreku so zbrane osnovne lastnosti jeder in ovojev. Podobnost z analognim izrekom iz teorijo algeber je zelo velika, vendar je potrebno opozoriti na nekatere ključne razlike. Ena izmed njih je, na primer, inkluzija v točki (vi), ki je lahko prava — pri algebrah velja tam vedno enačaj. Izrek 4.5.3. Naj bo A algebra z enoto in X levi A-modul. Potem velja: (i) kx(Q) = Radjft(X) ter hx(0) = Q in hx(X) = 0. (ii) Če za podmnožici S\ in S2 v Q velja S\ C^, potem je kx{S\) 5 kx(S2). (iii) Za vsako množico S C Q velja, da je vsebovana v hx(kx(S)). (iv) Če je podmodul ^ C X vsebovan v podmodulu Z C X, potem je hxW)^hx(Z). (v) Za vsak podmodul y C X velja hSyffl) = hx(kx(hx(^))). (vi) Za vsako množico S C Q velja kx(hx(kx(S))) C kx(S). (vii) Za poljubno družino podmodulov {^ijiei v X je \\hxtyi) = hxC/^Qdi '¦ 3Q ' ^0- iei iei (viii) Za poljubna podmodula )$ in Z v X je ^x(^) U ^x(^) = ^x(y ^ L)• 4.5. HULL-KERNEL TOPOLOGIJA 73 Dokaz. (i) Ker je (0 : X) = ann%(X) in je anihilator modula X vsebovan v kvocientu vsakega podmodula (glejte prvi dve točki trditve 4.1.2), je hy-(0) = Q. Nobeden od kvocientov (J3 : X), J3 G Q, ne vsebuje (X : X) = A, saj so (J3: X) po trditvi 4.1.5 praideali v A. Torej je hy-(X) = 0. Veljavnost točk (ii), (iii) in (iv) zlahka preverimo. (v) Če je J3 G /&x(y)> Je ^x(^x(^)) — ^- Torej je tudi (fcx(^x(^)) • ^) — (J3: X), kar nam da J3 G hy-(kx(hy-$))). Vzemimo, da fo G O ni v ^x(^)> tj- (^ : X) $L (J\) : X). Naj bo a G (^ : X) takšen element, ki ni v (J\) : X). Pri vsakem J3 G hjr(ty) iz a G (^ : X) C (J3 : X) sledi a • X C J3. Se pravi, da je a ¦ X C fcx(^x(^))' oziroma a G (&x(^x(^)) : "^)- Torej (k%(h^j-{^)) : X) $L (J\) : X), kar pomeni !Po ^ /ix(^x(^x(^)))- (vi) sledi iz (ii) in (iii). (vii) Naj bo {^ijiei poljubna družina podmodulov v X. Če je IP G rijei/i^C^i)) potem je (^j : X) C (J3 : X) za vse i G I. Od tod sledi, da je C^i : X) • X C (J3 : X) • X za vse i G I. Ker je (J3 : X) • X C J3, je yj(^i : X) • X C (J3 : X) • X C J3. Po trditvi 4.1.2 (vi) je potem (\_]()$i '¦ X) • X : X) C (J3 : X), kar pomeni, da je J3 G ^(SieiC^* • ^) ' -^)- Vzemimo zdaj, da je J3 G ^x(Siei(^» : X) • X). Potem je C^i : X) C ((^j : X) • X : X) C (TJ^i : X) • X : X) C (J3 : X). Prva inkluzija velja po trditvi 4.1.2 (iii), druga velja zaradi (vi) iste trditve, zadnja pa velja po predpostavki. Torej je J3 G hj^i^i) za vsak i G I. (viii) Če je J3 G hjr(ty) U h%(Z), je (^ : X) C (J3 : X) ali (Z : X) C (J3: X). Ker pa je (^ n Z : X) C (^ : X) in (^ n Z : X) C (Z : X) (po trditvi 4.1.2 (vi)), je v vsakem primeru (^ n Z : X) C (J3 : X) in torej J3 G /^(^ ^ ^)- Da bi videli veljavnost obrata, se najprej prepričajmo, da je produkt n (^ : X)(Z : X) = \S_\akbk'-, o-k S (^ : X), bk G (Z : X)} fc=i vsebovan v (^ n Z : X). Naj bo a; G X poljuben. Potem je pri vsakem Y^k=i akbk G (^ : X)(Z : X) vektor Y^k=i akbk • x v preseku ^ n Z. Po eni strani so namreč vektorji rik ¦ (bk ¦ x) v ^, ker so rik v (^ : X), k = 1,... , n. Po drugi strani pa so bk ¦ x v Z, ker so bk v (Z : X) pri vseh k = 1,... , n. Ker je Z modul, so tudi rik ¦ (bk ¦ x) v Z, k = 1,... , n. 4.6. NARAVNA PRESLIKAVA 74 Naj bo J3 G /&x(y ^ L)• Potem je (^ : X)(Z : X) C (y n Z : X) C (J : X). Po trditvi 4.1.5 je (J3 : X) praideal in zato je (^ : X) C (J3 : X) ali (Z : X) C (J3: X). V vsakem primeru torej J3 G hyffl) U h%(Z). D Iz prve in zadnjih dveh točk pravkar dokazanega izreka sledi, da je družina {hy-$); ^ je podmodul v X} zaprta za poljubne preseke in končne unije ter vsebuje prazno množico in celo množico Q. Od tod sledi, da je družina {u (y) := Q\ /ix(y); ^ Je podmodul v X} topologija na Q. To topologijo bomo v nadaljevanju imenovali hull-kernel topologija. Posledica 4.5.4. Če je S C Q poljubna množica, potem je njeno zaprtje v hull-kernel topologiji množica hj-(kx(S)). Dokaz. Po točki (iii) prejšnjega izreka je S vsebovana v h%(kx(S)). Recimo, da je y takšen podmodul v X, da je S C h^(^). Potem je k%(S) 5 kx(hy-$)) in nato h%(kx(S)) C h^(kx{hj^(ty))), po točkah (ii) in (iv) izreka 4.5.3. Po istem izreku, točka (v), je hj-(kx(hj-(^))) = hy-$). Se pravi, daje nx(kx(S)) C /ix(y), kar pomeni, daje h%(kx(S)) najmanjša zaprta množica v hull-kernel topologiji, ki vsebuje S. D Zlahka se prepričamo, da je v primeru Qi C Q2 Q Pa(^)> hull-kernel topologija na Qi enaka relativni hull-kernel topologiji, ki jo ima Qi kot podmnožica v Q2- 4.6. Naravna preslikava Naj bo 21 algebra z enoto. Ce je y podmodul v levem 2l-modulu X, potem je njegov kvocient (^ : X) dvostranski ideal v 21 (glejte trditev 4.1.2 (i)). Naravna preslikava je predpis i/s%, ki podmodulu y C X priredi njegov kvocient (^ : X). Običajno nas bo v množici vseh podmodulov zanimala le določena podmnožica, recimo prapodmoduli, primitivni podmoduli itd., tedaj bomo zožitvi preslikave v% na to izbrano podmnožico rekli naravna preslikava in jo prav tako označili z za^. Naravna preslikava ni nujno injektivna, saj je v X lahko veliko prapod-modulov, ki imajo isti kvocient. Prav tako naravna preslikava v splošnem ni surjektivna. Trditev 4.6.1. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. 4.6. NARAVNA PRESLIKAVA 75 (i) Naravna preslikava preslika prapodmodule v praideale, primitivne pod-module v primitivne ideale. Slika maksimalnega podmodula ni nujno maksimalen ideal. Če je X Banachov modul, slika v% zaprte podmodule v zaprte ideale. (ii) Za poljuben dvostranski ideal I v 21 velja hf%(X) n zAa(Psi(3Q) = zAjidJ3 G P2i(X); I C (J3 : X)}). (iii) Za poljubno podmnožico S C Pg[(X) velja k%(u%{S)) = (kx(S) : X). Dokaz. (i) Daje kvocient prapodmodula praideal, smo dokazali v trditvi 4.1.5. V opombi 4.4.4 smo omenili, daje kvocient primitivnega podmodula primitiven ideal. Da kvocient maksimalnega podmodula ni nujno maksimalen ideal, smo videli v zgledu 4.2.6. Zadnji del te točke je trditev 4.1.2 (vii). (ii) Očitno. (iii) Za poljuben J3 G S je (J3 : X) G v^(S), kar pomeni, daje k%(u%{S)) C (J3 : X). Torej velja k%(u%{S)) ¦ X C J3 za vsak J3 G S. Se pravi, da je k%{v%{S)) ¦ X C n^sJ3 = kx(S), kar pa je le drug zapis za k%(u%{S)) C (kx(S) : X). Veljavnost obratne inkluzije se vidi še enostavneje: ker je (kx(S) : X) C (J3: X) za vsak J3 G S, je tudi (kx(S) : X) C Dy^sC? : X) = k%{v%{S)). D Naslednja trditev kaže, da je naravna preslikava uglašena s topološkima strukturama, ki jo imata Psi(X) in P(21), ko ju opremimo s hull-kernel topologijama. Trditev 4.6.2. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Množici Psi(X) in P(21) opremimo s hull-kernel topologijama. (i) Naravna preslikava v% : Pg((X) —> P(21) je zvezna. (ii) Če je J- zaprta podmnožica v Pgi(X), je v%{J-) zaprta v relativni topologiji množice za^Ps^X)). Podobno za odprto množico U C P^(X) velja, da je v%(U) odprta v relativni topologiji množice v%(V%{X)). Se pravi, da je naravna preslikava odprta in zaprta, če je surjektivna. Dokaz. (i) Pokazali bomo, da je J- := u^ (F) zaprta podmnožica v Psi(X), če je F zaprta podmnožica v P(21). Ker vedno velja J- C h^(kx{3~)), je potrebno preveriti le veljavnost obratne inkluzije. Če je J3 G hj^(kx{3~)), zaradi v%{J-) Q F velja k%{F) C k%{v%{J-)) = {kx{3~) : X) C (J3 : X), pri čemer enačaj v sredini velja zaradi točke (iii) v trditvi 4.6.1. Se pravi, da je praideal (J3 : X) v h^ik^F)) = F, od koder sledi J3 G J7. 4.6. NARAVNA PRESLIKAVA 76 (ii) Naj bo J7 C Ps^X) zaprta. Postavimo v točko (ii) trditve 4.6.1 za X ideal {k%{J-) : X), pa imamo hs^{{k%{J-) : X)) n ZAa(Pa(30) = ^({J3 S Ps[(X); (k%(J-) : X) C (J3 : X)} = vs&{h-x(kx(J-))) = vyjyj-). Se pravi, da je ^(-T7) zaprta v relativni topologiji. Naj bo zdaj U C Pg[(X) odprta. Potem je J7 := Pg((X) \ W zaprta in torej velja, daje v%{J-) zaprta v relativni topologiji množice v%(V%{X)). Če pokažemo, da je v%(U) = v%(P%(X)) \ v^(J-), bo trditev dokazana. Dovolj je videti, da sta v%(U) in v%{J-) disjunktni, saj je v%(P%(X)) ravno njuna unija. Toda to bo hitro sledilo iz naslednje lastnosti, ki jo imajo vse zaprte in odprte podmnožice v V<&(X). Namreč, če je J7 zaprta in za prapodmodul J3 velja, da je v J-, potem za vse prapodmodule v X, ki imajo isti kvocient kot J3, velja, da so v J-, saj je J- = hj^(k%(J-)). Podobno velja za odprte množice. Od tod sledi, da sta v%{J-) in v%(U) disjunktni podmnožici v v%(V%{X)). D Trditev 4.6.3. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Ce je T C P(21) takšna hull-kernel zavrta množica, da velja ru,- -l/^T = 0, potem je T C zAa(Pa(X)) natanko tedaj, ko je ann%{X) = k%{T). Dokaz. Najprej uporabimo enakost iz točke (iii) trditve 4.6.1 za množico S = u^ (T), pa imamo ann%(X) = (0 : X) = {k%{v^ (T)) : X) = k%{y%{y^ (T))). Če je T C i/2[(Pg[(X)), potem je seveda T = v%{y^ (T)) in torej velja ann%{X) = ks%(T). Obratno. Naj bo ann%{X) = k$i(T). Ker je v% zvezna in zaprta preslikava, je v%{y^ (r)) zaprta podmnožica v T. Velja torej prva od naslednjih enakosti z/2i(z/s^ (T)) = h%(k%{y%{y^ (T)))) = h%(ann%(X)) = h%(k%(Y)) = T. D Posledica 4.6.4. Naj bo 21 algebra z enoto in X levi %l-modul. Če je X V-polenostaven, potem je naravna preslikava v% : Pg[(X) —> P(2l) surjektivna natanko tedaj, ko je ann%(X) = RadF"(21). Enostavni multiplikatorji V tem poglavju nas bo zanimalo, ali lahko za kakšen poseben razred multiplikatorjev na levem Banachovem modulu pokažemo, da imajo njegovi elementi podobne lastnosti kot multiplikatorji na komutativni Banachovi algebri. Vpeljali in študirali bomo enostavne multiplikatorje, pri tem pa nam bodo v veliko pomoč točkasti multiplikatorji — slednje lahko imamo za analog karakterjev v teoriji modulov. 5.1. Točkasti multiplikatorji Naj bo 21 algebra z enoto in X levi 2l-modul. Karakter p na 21 — če seveda obstaja — je nerazcepna upodobitev algebre 21 na enodimenzionalnem prostoru C. V tem razdelku želimo poiskati tiste nerazcepne upodobitve modula X, katerih pripadajoča upodobitev algebre 21 je p. Iščemo torej takšne prostore y in linearne preslikave $ : X —> L(^,C), za katere velja $(a • x) = L(C, C) = C, za katere velja (5.1.1) L(a • x) = (p(a)L(x) pri vseh a G 21 in x G X. Pogoj (4.4.1) iz definicije 4.4.1 je avtomatično izpolnjen, ker smo zahtevali, da je L netrivialna preslikava. Namreč, če za neničelno število a velja L(x)a = 0 pri vseh iel, potem je L(x) = 0 pri vseh ss 1 in torej L = 0. Napravimo levi 2l-modul Cp (glejte zgled 1.5.5). Potem nam (5.1.1) pove, da iščemo multiplikatorje, ki slikajo iz X v Cp, ali krajše, zanima nas prostor L$i(%,C,p) C X'. V nadaljevanju algebra 21 ne bo imela nujno enote, k množici netrivialnih multiplikativnih linearnih funkcionalov bomo zato dodali še funkcional 0. Unijo S(2l) U {0} bomo označili s Eq(21). 77 5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 78 Definicija 5.1.1. Naj bo X levi modul nad algebro 21. Linearen funkcional L G X' je točkasti multiplikator pri

(a) (L, x) = 0, kar pomeni, daje J3 podmodul. Obratno. Naj bo ker L podmodul v X. Ker je L netrivialen, obstaja v X takšen vektor e, da je (L, e) = 1. Definirajmo preslikavo

C s predpisom multiplikativen: za poljubna a, b G 21 velja ip(ab) = (L, ab ¦ e) = (L, a • (. D Obstaja torej korespondenca med netrivialnimi točkastimi multiplika-torji in hiper-maksimalnimi podmoduli. Iz same definicije hiper-maksimalnih podmodulov sledita inkluziji Asi(X) C H2i(X) in As2i(X) C Sgi(X). Hiper-maksimalni podmoduli so torej tudi primitivni. Pri danem

A(2l) je zvezna. (ii) Če je J- zaprta podmnožica v A^(X), je v%{J-) zaprta v relativni topologiji množice v%(A%{X)). Podobno za odprto množico IA C A%(X) velja, da je v%(U) odprta v relativni topologiji množice i/s%(As%(X)). Se pravi, daje naravna preslikava odprta in zaprta, če je surjektivna. (iii) Ce je X A-polenostaven, potem je naravna preslikava v% : A<%(X) —> A(21) surjektivna natanko tedaj, ko je ann%(X) = Rad(21). Dokaz. (i) je neposredna posledica trditve 4.6.2 (i). (ii) Naj bo J- zaprta podmnožica v A%{X). Potem je v%{3~) = h$i(,(,kx(J-) : X)) n zA2[(Ag[(X)). Namreč, ker je J- = h^{k%{J-)), iz p G h%((k%(J-) : X)) n v%(A%{X)) sledi, da je Av neprazna množica in da za vsak J3 iz te množice velja (kx(J-) : X) C (J3: X), oziroma J3 G h^(k%(J-)) = J-. To nam da p G v%{T). Obrat je 5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 80 trivialen. Zdaj je jasno, da je v%{J-) zaprta v relativni hull-kernel topologiji množice v%(A%(X)). Primer odprte množice obravnavamo tako kot smo to storili v dokazu trditve 4.6.2 (ii). (iii) Ravnamo podobno kot v dokazu trditve 4.6.3. Upoštevati moramo prejšnjo točko te trditve. D Vrnimo se k točkastim multiplikatorjem. Zgled 5.1.7. Naj bosta m in n naravni števili. Označimo z X prostor Mmxn(C) vseh kompleksnih m x n matrik in z 21 algebro Dm(C) vseh diagonalnih kompleksnih m x m matrik. Očitno je 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X je Banachov levi 2l-modul pri običajnem množenju matrik. Definirajmo preslikave

k '¦ 21 —> C, k = 1,... , m, s predpisi

k '¦ [aij\ l—*¦ akk- Brez težav se lahko prepričamo, daje S(2l) = {ipi,... ,

m}-Pri vsakem paru indeksov p in q, pri čemer jel xpq. Enostavno preverjanje nam pokaže, da je funkcional L G X* točkasti multiplikator pri

k S S(21) natanko tedaj, ko ga lahko zapišemo kot linearno kombinacijo funkcionalov Lfci,... , L&„. Definicija 5.1.8. Naj bo 21 algebra in X levi %l-modul. Neničelni vektor x G X je karakterističen za 21, če v So(21) obstaja takšen

, da pri vseh a G 21 velja a ¦ x =

(a)x. Multiplikativnemu linearnemu funkcionalu

, ki zadošča tej relaciji, pravimo karakterističen multiplikativen funkcional. Pri danem

G So(21) označimo s Ch^(X) množico, ki vsebuje vektor 0 ter vse karakteristične vektorje v X, ki pripadajo

. Ni težko videti, da je Chp(X) podmodul v X. V primeru, ko je X Banachov modul (in je torej 21 Banachova algebra, kar pomeni, da so multiplikativni linearni funkcionali omejeni, tj. zvezni), je Ch^(X) zaprt podmodul v X. Se več, če je X* dualen Banachov 2l-modul, je Ch,p(X*) šibko-* zaprt podmodul v X*. Naj bo Ch%{X) linearna lupina unije U^j^s^C/i^X). Ce je X Banachov modul naj bo Ch%(X) zaprtje Ch%(X) v X in Ch^(X*) šibko-* zaprtje Ch%{X*) v X*. Jasno, Ch%{X) je podmodul v X. Očitno je tudi, da sta pod-modula Ch%(X) in Ch^(X*) zaprta po normi oz. v šibki-* topologiji, ko je X Banachov modul. Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje, ki smo si ga zastavili na začetku razdelka, ko smo spraševali o nerazcepnih upodobitvah levega 2l-modula X, ki pripadajo

G S(21). Pri vsakem a; G X naj bo $(a;) preslikava iz Ch^(X') v Cp, ki je definirana s $(a;)L = (L,x). Očitno je vsaka od preslikav $>(x), x G X, linearna. Torej je $ preslikava iz X v L(Ch^(X'),C^). Tudi zanjo ni težko videti, da 5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 81 je linearna. Za poljubna a G 21 ter iel velja $(a • x)L = {L,a • x) = p(a)(S,, x) = p{a)^{x)^ pri vseh L G Ch,p(X'), kar pomeni, da je $ upodobitev modula X na paru (C/i^X'^C). Izrek 5.1.9. Upodobitev $ je maksimalna nerazcepna. Dokaz. Hitro vidimo, daje $ nerazcepna: za tL> vemo, daje nerazcepna upodobitev algebre 21, pogoju (4.4.1) iz definicije 4.4.1 pa je tudi zadoščeno, saj za L G Ch,p(X') iz 0 = $(a;)L = {L,x) pri vseh iel sledi L = 0. Po trditvi 4.4.8 ima upodobitev $ maksimalno nerazcepno razširitev 0 : X —> L(y,C). Obstaja torej takšna injektivna linearna preslikava C/ : Chp(X') —> y, da pri vseh iel velja (5.1.2) $(a;) = @(x)U. Spomnimo se, da smo v razdelku 4.3 pri danem y G ^ s Oy označili linearno preslikavo a; i—> 0(a?)y, iel Brez težav lahko preverimo, da je preslikava V, ki slika iz y v Ch^(X'), linearna, če je definirana z Vy := Oy pri vseh y G y. Iz (5.1.2) sledi veljavnost enakosti $(a;)V = @(x)UV pri vseh a; G X. Ker pri vsakem a; G X in vsakem y G ^ velja $(a;)Vy = (Vy,x) = @(x)y, imamo 0(a;)C/Vy = &{x)Vy = @(x)y pri vseh a; G X in vseh y G y. Zaradi nerazcepnosti 0 je torej C/Vy = y pri vseh y G y, kar pomeni, da je C/V identični operator na y. Poglejmo zdaj še produkt VC/. Pri poljubnem L G Ch^(X') je $(a;)VC/L = (VC/L,a;) = 0(a?)C/L = $(a;)L pri vseh a; G X. Ker je $ nerazcepna, je torej VC/L = L za vse L G Ch^(X'), kar pomeni, da je VC/ identični operator na Ch^(X'). Ugotovili smo, da sta upodobitvi $ in 0 ekvivalentni, kar seveda pomeni, da je $ maksimalna nerazcepna. D Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in X Banachov levi 2l-modul. Pri vsakem p G S(2l) naj bo M,p := ker (p in naj bo Mq = 21. Z Xv označimo zaprtje linearne množice M^ • X v X. Očitno je X^ zaprt podmodul v X. Ce gledamo na X kot na levi Banachov .M^-modul, je Xv bistveni podmodul v smislu [25] §15. Predpostavimo, daje Z takšen zaprt podprostor v X, da velja Xv CZC X za nek p G So (21). Vsak a G 21 lahko zapišemo kot a = p(a) + ao, kjer je ao G Mp. Se pravi, da za vsak z G Z in vsak a G 21 velja a-z = es0(a) :PeAA(X) Trditev 5.1.11. Naj bo 21 Banachova algebra in X levi Banachov 21-modul. Potem je (5.1.3) Chtp(X*) = B%i(X,Ctp) = Xv za vse p G S(2l) in (5.1.4) Ch^i(X*) = Rad^(X) . Dokaz. Enakosti v (5.1.3) zlahka preverimo, zato poglejmo (5.1.4). Ker je Rad^(X) vsebovan v vsakem Xv, p G S(2l), je X~h C Rad^(X) . Zaradi (5.1.3) je Ch^(X*) šibko-* zaprtje linearne lupine unije U{X~;; p G L(21)}. Ker je Rad^(X)-L šibko-* zaprt podmodul v X*, je torej Ch^(X*) vsebovan v njem. Predpostavimo zdaj, da L G X* ni v Ch^(X*). Ce bi jedro ker L = {L}-L vsebovalo Ch^(X*)±, potem bi imeli L G ({CI-l)"1" — (Ch^(X*)±)-L = Ch^i(X*), kar pa ne velja. Torej obstaja v Ch^{X*)± takšen x, daje (L, x) ^ 0. Iz X~h C Ch^(X*) pri vseh p G S(2l) sledi, da je a; G Xv pri vseh p G S(2l), kar pomeni, da je a; G Rad^(X). Torej L ni v Rad^(X)-L. D Definicija 5.1.12. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi 21-modul. Približna enota v 21 za X je takˇsno posploˇseno zaporedje {ei}iei C 21, za katerega velja ei ¦ x —> x pri vseh iel Ce na samo algebro 21 gledamo kot na levi Banachov 2l-modul, potem je posplošeno zaporedje {ei}iei leva približna enota v 21, če je pogoj iz definicije izpolnjen za vse x G 21. 5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 83 Posledica 5.1.13. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi 21-modul. Če je

G So(21) takšen, da v M^ obstaja približna enota za X (na X gledamo kot na levi Banachov Aiv-modul), potem je Ch,p(X*) = {0}. V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj zgledov točkastih multiplikatorjev. Zgled 5.1.14. Na Banachovo algebro 21 z enoto poglejmo kot na levi 21-modul. Linearen funkcional L G 21* je v (7/^(21*) za nek

G S(2l) natanko tedaj, ko je L = a

, pri čemer je «eC. Daje a

G (7/^(21*) ni težko videti. Obrat pa sledi iz dejstva, da za vsak L iz (7/^(21*) velja (L, a) = tL>(a)(L, 1) pri vseh a G 21. Naj bo 3 zaprt levi ideal v 21 s kodimenzijo 1. Ni težko videti, da obstaja takšen

G S(2l), da je 3 = ker ep = M^ (torej je 3 dvostranski ideal v 21). Označimo z 32 zaprtje množice 3-3. Se pravi, da je 3V = M,p ¦ 3 = 32. Po trditvi 5.1.11 so točkasti multiplikatorji na 3, ki pripadajo

, natanko vsi tisti lunkcionali iz duala J , ki so v Jz . Kot je dobro znano je prostor jz lahko trivialen (recimo pri pogojih posledice 5.1.13), končnodimenzionalen ali neskončnodimenzionalen. Vzemimo ip G S(2l) \ {

} (če obstaja). Potem je 3^ = Ai^p ¦ 3 dvostranski ideal v 21, ki je vsebovan v M^ n 3. Ker je ip v C h ^(3*) = 3i, je kodimenzija ideala 3^ v 3 vsaj 1. Od te kodimenzije je odvisno, ali obstajajo na 3 poleg aip, a G C, še kakšni drugi točkasti multiplikatorji, ki pripadajo ip. Recimo, če ima Ai^p levo približno enoto {&%}%&, potem za vsak x G Ai^p C\3 velja x = liniji a ¦ x. Ker je vsak produkt e% ¦ x v Ai^p ¦ (Ai^p n 3), velja Ai.^ ¦ {M.^, P\3) = Ai.^ n 3. Od tod potem sledi 3^ C M.rtp p\3 = Ai.^ ¦ {M.^, n 3) C 7W^, -3 = 3^,, oziroma 3^ = Ai^p n 3. Se pravi, da je v tem primeru Ch^(3*) enodimenzionalni podprostor v 3*, ki ga napenja ip. Zgled 5.1.15. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in 3 tak gost ideal v 21, na katerem je definirana norma ||-||', glede na katero je 3 Banachova algebra in za katero velja, da je ||a;|| < H^H' pri vseh x G 3, pri čemer je || • || norma iz 21. Ni težko videti, da je potem 3 Banachov levi 2l-modul. Ce ima 21 približno enoto, potem je po posledici 5.1.13 Cho(3) = {0}. Zožitev multiplikativnega linearnega funkcionala

G S(21) na 3 je od 0 različen multiplikativen linearen funkcional na 3. Pokazati se da, da je V l—*¦ Y>b bijektivna preslikava iz S (21) na X(3). Jasno je, da je

\j v Ch,p(3*) za vsak

G S(2l). Naj bo zdaj L poljuben od 0 različen točkasti multiplikator iz 0x^(3*). Ker je 3 gost v 21, obstaja takšen e G 3, daje \j. Zgled 5.1.16. Naj bo G lokalno kompaktna Abelova grupa. V zgledu 1.5.8 smo videli, daje pri vsakem številu 1 < p < oo prostor LP(G) Banachov levi L1(G)-modul, če je modulsko množenje definirano s konvolucijo. Kaj so točkast multiplikatorji na Ll(G) pri danem ip G S(L1(G)), lahko ugotovimo na podoben način kot v zgledu 5.1.14. Vzemimo, da je 1 < p < oo in naj bo q takšno realno število, za katerega velja - + - = 1. Kot je dobro znano lahko izenačimo dual prostora LP(G) in prostor Lq(G). Ker je Ll(G) *LP(G) = LP(G), glejte zgled 16.6 v [25], ni točkastih mul-tiplikatorjev na LP(G), ki bi pripadali trivialnemu multiplikativnem funk-cionalu. Predpostavimo, daje grupa G kompaktna. V tem primeru je LP(G) gost ideal v Ll(G). Kot smo videli v zgledu 5.1.15, je pri vsakem funkcionalu

gledamo kot na funkcijo iz Lq(G). Ce je torej funkcija / v radikalu, je 0 = (/) = (e)-1L zvezen linearen funkcional na LP(G), za katerega bi veljalo r]\ec(G) = (/?lec(G)- Toda to je nemogoče, saj funkcionala |ec(G) ni mogoče zvezno razširiti na ves LP(G). Ugotovili smo, da sov primeru, ko G ni kompaktna, vsi moduli Chv(Lq(G)), ip G S(L1(G)), trivialni. 5.2. ENOSTAVNI MULTIPLIKATORJI NA BANACHOVIH MODULIH 85 5.2. Enostavni multiplikatorji na Banachovih modulih V tem razdelku bomo obravnavali poseben razred multiplikatorjev na danem levem Banachovem modulu. Pokazali bomo, da imajo multiplikatorji iz obravnavanega razreda podobne lastnosti kot multiplikatorji na komuta-tivnih Banachovih algebrah. Naj bo 21 Banachova algebra in naj bosta X ter Z leva Banachova 21-modula. Če je T iz B<%(X, Z), potem velja (T*(L • a), x) = (L, a ¦ Tx) = ((T*L) • a, x) za vse a G 21, x G X in L G Z*. Se pravi, da je T* G B(Z*, X*)%.. To dokazuje prvi del naslednje trditve, ki je modulska varianta izreka 1.2.4 iz [49]. Trditev 5.2.1. Naj bo 21 Banachova algebra in naj bosta X ter Z leva Banachova %l-modula. Če je T G B<%(X,Z), potem je T* G B(Z*,X*)<% in pri vseh p G S(2l) velja T*(Z^) C Xi. Po drugi strani, če je T takšen omejen linearen operator izX v Z, za katerega velja T*(Z~;) C X~h pri vseh p G S (21), potem je za poljubna a G 21 in x G X element T (a ¦ x) — a ¦ Tx v A-radikalu modula Z. V posebnem primeru, ko je Z A-polenostaven, je torej T G Bs%(X, Z). Dokaz. Vzemimo p G S(2l) in ( G Z~h. Zaradi (5.1.3) je (T*() ¦ a = T*(( ¦ a) = p(a)T*( za vse a G 21, zato je T*( G Xjz po trditvi 5.1.11. Naj bo zdaj T takšna omejena linearna preslikava iz X v Z, za katero velja T*(Z*) C X~h pri vseh p G L(21). Označimo z W linearno lupino unije U{Z~;; p G L(21)}. V dokazu trditve 5.1.11 smo videli, daje šibko-* zaprtje množice W enako Rad^(Z)-L. Naj bosta a G 21 in x G X poljubna. Potem za L = ^/c=i Cfc iz W, pri čemer so L& v X~h pri nekih y?fc G S(2l), A; = 1,... ,n, velja (L, T(a • a;) — a • Ta;) = > ((L&, T(a • a;)) — (L&, a • Ta;)) fc=i = / ((C^*Lfc) • a,a;) — (T*(^ • a),a;)) fc=i = N (pk(a)(T*S,k, x) — Pk(o){T*S,kix)) = 0. fc=i Od tod sledi T(a ¦ x) — a ¦ Tx G Rad^(Z) za vse a G 21 in x G X. D Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in naj bo X levi Banachov 21-modul. Kot smo videli v prejšnji trditvi, je za vsak p G S(2l) in vsak T G Tj2i(X) prostor X^ invarianten za T*. Se pravi, da T* preslika vsak točkasti multiplikator L G Xi v točkasti multiplikator T*L G Xi. Očitno je 5.2. ENOSTAVNI MULTIPLIKATORJI NA BANACHOVIH MODULIH 86 T*L = 0 natanko tedaj, ko je ivnT C ker S,. Ce pa je T*L različen od 0, je jedro ker (T*L) v AV(X). Ni težko videti, da T preslika ker (T*L) v ker S,. V nadaljevanju nas bodo zanimali tisti multiplikatorji iz I?2i(X), ki ohranjajo vse zaprte hiper-maksimalne podmodule. Definicija 5.2.2. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in X levi Bana-chov %l-modul. Operator T G B(X) je enostaven multiplikator na X, če je multiplikator, za katerega velja TJ3 C J3 pri vseh J3 G Agi(X). Množico vseh enostavnih multiplikatorjev na X bomo označili z Mgi(X), torej Ms[(X) = {T G i?2[(X); TJ3 C J3 za vse J3 G Agi(X)}. Naslednji zgled nam kaže, da je vsak multiplikator na polenostavni ko-mutativni Banachovi algebri enostaven. V nadaljevanju bomo videli (trditev 5.2.4), da imajo enostavni multiplikatorji precej lastnosti, ki so značilne za multiplikatorje na algebrah. Zgled 5.2.3. Naj bo 21 polenostavna komutativna Banachova algebra. Spomnimo se, da je preslikava T : 21 —> 21 multiplikator na 21, če je x(Ty) = (Tx)y za vse x, y G 21. Množica vseh multiplikatorjev na 21, je M(2l). Kot vemo je to krepko zaprta podalgebra v 13(21), ki vsebuje identični operator (izreka 1.1.1 in 1.1.2 v [49]). Poglejmo na 21 kot na levi Banachov 2l1-modul. Množica A^ (21) je enaka množici maksimalnih modularnih idealov v 21. Ker je po izreku 1.2.4 iz [49] linearna preslikava T : 21 —> 21 v M(2l) natanko tedaj, ko je TAi C Ai za vse maksimalne modularne ideale v 21, je torej M (21) = Mgi1(2l). Naslednja trditev je modulska varianta nekaterih trditev iz izrekov 1.1.1 in 1.1.2 v [49]. Trditev 5.2.4. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in naj bo X Banachov levi %l-modul. Množica Mg[(X) je podalgebra v Bs%(X), zaprta v krepki operatorski topologiji. Za a iz centra algebre 21 velja, da je pripadajoči operator množenja La : x i—> a -x, x G X, v M^(X), kar pomeni, daje identični operator vedno v M%(X). Dokaz. Da je M%(X) podalgebra v B%.(X), ni težko videti. Prav tako je jasno, da so operatorji množenja La, kjer je a iz centra 21, multiplikatorji na X, ki ohranjajo podmodule. Pokažimo, da je M%(X) zaprta v krepki operatorski topologiji. Naj bo {Ti}iLi poljubno posplošeno zaporedje v M^(X), ki konvergira k T G B(X) v krepki operatorski topologiji. Pri vsakem a; G X torej velja 5.2. ENOSTAVNI MULTIPLIKATORJI NA BANACHOVIH MODULIH 87 limiti \\TiX — Tx\\ = 0. Naj bosta a G 21 in x G X poljubna. Potem je \\T(a ¦ x) — a ¦ Tx\\ < \\T(a ¦ x) — Tj(a • x)\\ + \\a ¦ TiX — a ¦ Tx\\ —> 0, kar pomeni, daje T multiplikator. Ker pri vsakem J3 G Asa(X) iz a; G J3 sledi TiX G y, je tudi Ta; G J3, saj je J3 zaprt podmodul. D Ker imajo enostavni multiplikatorji v splošnem lepše lastnosti kot splošni multiplikatorji iz Bs%(X), je seveda zanimivo vprašanje, kdaj velja enakost Mg[(X) = i?2[(X). V zgledu 5.2.3 smo videli, da ta enakost velja, če na polenostavno komutativno Banachovo algebro 21 gledamo kot na levi Bana-chov 2li-modul. Trditev 5.2.5. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in naj bo X Bana-chov levi %l-modul. Enakost M%(X) = B%(X) velja, če je izpolnjen kateri od naslednjih pogojev. (i) Pri vsakem (p G S (21) je množica AY,(X) bodisi prazna bodisi singleton. (ii) Algebra 21 deluje na X topološko ciklično. Dokaz. Trditev očitno velja, če je izpolnjen pogoj (i). Predpostavimo, da velja (ii). Naj bo e G X topološko cikličen vektor. Izberimo T G B%(X) in J3 G AY,(X), ip G E(2l). Naj bo L G X~; takšen, da je J3 = ker S,. Ker e ne more biti v J3, je c := |(L, e)| pozitivno število. Za poljubna e > 0 in x G J3 obstaja takšen aL G 21 da je \\x — aL ¦ e|| < e. Torej je |tL>(ae)| = c-1|(L, x — aL ¦ e)\ < ec_1||CII- Zdaj lahko naredimo naslednjo oceno \(S,,Tx)\ < |(L,T(x — ae ¦ e))| + |(L,T(ae • e))| — IICIIII^IIII^- ae • e|| + |tL>(ae)||(L,Te)| ....... 1 < L K ( U H— \s> -* e/ )• C Ker je bil e poljuben, je (L, Tx) = 0, kar pomeni, da je TJ3 C J3. D Iz definicije enostavnihih multiplikatorjev ter zveze med zaprtimi hiper-maksimalnimi podmoduli in zveznimi točkastimi multiplikatorji sledi, da za vsak T G Mg[(X) pri vsakem L G Xi, tL> G S(2l), obstaja takšno število Ag G C, da je T*L = X^. Ce sta r? in L poljubna neničelna točkasta multiplikatorja iz Xi, potem je Aq,j+/3^(q;^ + f3rf) = T*(aL + f3rj) = cxX^ + /3A^r? za vse a, /3 G C. Torej število Ag ni odvisno od L ampak od (p. Imamo torej takšno število \v, da je T*L = A^ za vse L G Xi. Prostor S(2l) vseh karakterjev na 21 izenačimo s prostorom hiper-maksimalnih idealov, A(21). 5.2. ENOSTAVNI MULTIPLIKATORJI NA BANACHOVIH MODULIH 88 Na As2i(X) lahko s predpisom T(P) := \vcy\ definiramo kompleksno funkcijo T. Ni težko videti, da za poljuben neničelni L iz LP in poljuben a; G X, za katerega je {L,x) 7^ 0, velja T(P) = (Lt,x)~1{Lt,Tx). Pripomnimo, da je funkcija T konstantna na vsaki od množic AY,(X), ip G X(2l), in da je La(y) = y(o), LP S AY,(X), za vsak a iz centra algebre 21. Pri vsakem igl označimo z :r(P) element a; + P v kvocientnem modulu x/p. Trditev 5.2.6. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in naj bo X Bana-chov levi %l-modul. Ceje T G M%{%), potem za poljubna a; G X in J3 G Asa(X) velja (Ta;) (P) = T (P)Lt(P). Dokaz. Naj bo ip G S(2l) in LP G A^(X). Izberimo L G X^ in e G X tako, da bo P = fcerL in (L, e) = 1. Poljuben a; G X lahko zapišemo kot x = (L, a;)e + xq, pri čemer je a?o G P. Ker je P invarianten za T, velja (L,Ta; — T(P)a;) = (L, (L,a;)Te + Ta?o — T(P)(L,a;)e — T(P)a?o) = (L,a;)(L,Te) — (L,a;)T(P) = 0. Od tod sledi (Ta;)""(P) = Ta; + P = T(P)a; + P = T(P)ar(P). D Za vsak T G M%{X) definirajmo IITII oo :— sup{|T(P)|; LP G Ag[(X)}. Trditev 5.2.7. Naj bo 21 Banachova algebra z enoto, X Banachov levi %l-modul in naj bo T G Mgi(X). Potem je ||T||oo < ||T||. Dokaz. Naj bo LP G Ag((X). Potem je 0 < Ky := sup{||S"(P)||; ||a;|| = 1} < 1. Torej velja ||T(P)ar(P)|| = ||(Ta;)1[P)|| < i^y||Ta;|| < i^y||T||||a;|| za vse x G X. Ce se omejimo le na take a; G X, ki imajo normo 1, dobimo |T(P)| < infjii'yllTllll^P)!!- ; ||a;|| = 1} = Xg>||T||(sup{||a;(P)||; ||a;|| = 1})~ = ||T||. Se pravi, daje res HTH^ < ||T||. D Ce je T G i?2[(X) bijektiven operator, potem je T-1 v B(X). Se več, T-1 je v !?2i(X), saj velja T~ (a • x) — a ¦ T~ x = T~ (T(T~ (a • x)) — T (a ¦ T~ x)) = T~ (a • x) — T~ (a • x) = 0, za vse a G 21 in x G X. 5.2. ENOSTAVNI MULTIPLIKATORJI NA BANACHOVIH MODULIH 89 Trditev 5.2.8. Naj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X Bana-chov levi A-modul. Ce je T G M%{%) bijektiven, potem je tudiT~l G M%{%). V tem primeru velja T_1(J') = T(J')_1 za vse J3 G Ag[(X). Dokaz. Naj bo T g M%(%) bijektiven. Vemo že, da je T-1 v B%(%). Vzemimo poljuben J3 G Asi(X) in naj bo L G X* takšen, da je J3 = ker S,. Izberimo še takšen e G X, da bo (L, e) = 1. Potem za vse y G J3 velja, da je T~ly = (Lt,T~1y)e-\-xo, kjer je xq g J3. Od tod sledi y = {Lt,T~1y)Te-\-Txo. Ker sta y in Txq oba v J3, vektor Te pa ne more biti v J3 (če bi Te bil v J3, bi slika multiplikatorja T bila vsebovana v J3), mora veljati (Č,,T~1y) = 0, kar je ekvivalentno T~ly G J3. Iz e(P) = (T^TeJ^J3) = T_1(J,)T(J,)e(J') sledi, da je T-1 = T-1, saj je e(P) 7^ 0. D Če je X levi Banachov A-modul, potem lahko nanj na naraven način vpeljemo strukturo levega Banachovega M2i(X)-modula: za poljubna T G Ms[(X) in x G X je T • a; := Ta;. Se pravi, da je X* desni Banachov Mgi(X)-modul. Ni težko videti, da za T G Mg[(X) in L G J3-1", J3 G As^X), velja L • T = T(P)L. Vsak podmodul J3 iz Ag((X) je po definiciji invarianten za vsak enostaven multiplikator. Se pravi, da je vsak podmodul iz Ag((X) tudi v A^A(x)(X). Naslednji zgled nam kaže, da je inkluzija Ag[(X) C AMA(-x)(X) lahko prava. Zgled 5.2.9. Naj bo X Banachov prostor dimenzije več kot 1 in naj bo A = B(X). Z običajnim delovanjem algebre A na X postane slednji levi Banachov A-modul. Hitro vidimo, da so v M%(X) skalami večkratniki enote. Torej so v AMA(-x)(X) vse zaprte hiperravnine (podprostori s kodimenzijo 1), medtem ko je Ag((X) prazna množica (saj v X ni hiperravnine, ki bi bila invariantna za vse operatorje. Ker bomo v nadaljevanju na Banachov levi A-modul X gledali tudi kot na levi Banachov Mgi(X)-modul, se dogovorimo, da bomo ovoje podmnožic v X in jedra podmnožic v A^A(x)(X) označevali s H% in K%, ko bo X obravnavan kot Mgi(X)-modul. Trditev 5.2.10. Naj bo A Banachova algebra z enoto. Banachov levi A-modul X obravnavajmo tudi kot levi Banachov M<%(%)-modul. Potem je Asi(X) C A^A(x)(X) in hull-kernel topologija na Ag((X) je relativna hull-kernel topologija, ki jo ima Ag((X) kot podmnoˇzica v A^A(x)(X), tj. S = H%(Kx(S)) n Asji(X) za vsako hull-kernel zaprto podmnoˇzico S v Ag[(X). Ce je A komutativna, potem je Ag((X) = A^A(x)(X) in obe hull-kernel topologiji sovpadata. Dokaz. Očitno je S C H^(K%(S)) n Ag[(X). Po drugi strani, če je J3 G H^(Kx(S))r\A^iCX), potem je (Kx(S) : X) C (J3: X). Toda K%(S) = k%(S) in zato je J3 G h^(k%(S)) = S. 5.3. SPEKTRALNE LASTNOSTI ENOSTAVNIH MULTIPLIKATORJEV 90 Naj bo A komutativna. Potem je vsak operator množenja Ta na X, a G A, enostaven multiplikator. Se pravi, če je J3 v A^A(x)(X), je tudi v Aa(X). D Posledica 5.2.11. ./Vaj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X Ba-nachov levi A-modul. Ceje X A-polenostaven, potem je M%(X) polenostavna komutativna Banachova algebra z enoto. Dokaz. Naj bosta S in T iz Mgi(X). Izberimo poljuben vektor x iz X. Ker je X A-polenostaven, veljajo pri vseh J3 G A%{%) enakosti (STx)"X J3) = S,(J,)T(J,)5r(J') = (TS'a;)'^?). To dokazuje komutativnost. Da je Mgi(X) Banachova algebra z enoto, že vemo. Radikal Rad^ /^(Ms^X)) je enak Gelfandovemu radikalu algebre Mgi(X). Namreč, Mg[(X) je komutativna in, po zgledu 5.1.5, so v natanko maksimalni ideali M^,

C in T : A^m ~^ C- Brez težav lahko preverimo, da je T le zožitev T, zato bomo odslej za obe funkciji uporabili isto oznako T. Izenačimo množico karakterjev na Mgi(X), tj. E(Mgi(X)), z množico hiper-maksimalnih idealov v Mgi(X), tj. z množico A(Mgi(X)). Če je T G Mgi(X), naj bo T : E(Mg((X)) —> C Gelfandova transformiranka elementa T, tj. funkcija, ki je definirana z T ((p) := ) = 0 za vse A G U in vse J3 G Ag((X). Fiksirajmo poljuben !Po G Ag[(X). Iz (5.3.1) sledi, daje f(\y\7o) = 0 za vse A G U\{T(7q)}. Ker pa je f(\y\7o) zvezna glede na A, imamo f(XyX7o) = 0 na celi množici U, oziroma ekvivalentno: /(A) G 7q za vse X &U. Podmodul !Po je bil poljuben iz Agi(X), zato je /(A) v Rad^(X) pri vseh A G U. Od tod sledi /(A) = 0 za vse X L U, saj je X A-polenostaven. D V dokazu naslednjega izreka, ki razširja del trditve 3 iz [55] in del trditve 1 iz [30] na module, bomo potebovali naravno preslikavo, ki slika iz A^A(x)(X) v A(Mgi(X)). Tako kot na koncu razdelka 5.2 jo bomo označili z Vm- Izrek 5.3.2. Naj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X levi Bana-chov A-modul. Ce ima T G M%.(X) lastnost (5) ali ˇsibko 2 — SDP, potem je T : E(Mgi(X)) —> C zvezna funkcija na %(AMA/x)(l)) glede na relativno hull-kernel topologijo. Dokaz. Vzemimo, da T ni zvezna na z/M(A^A(x)(X)) glede na relativno hull-kernel topologijo. Potem tudi T ni zvezna na AMA(-x)(X). Se pravi, da obstaja takšna zaprta podmnožica F v C, da U := {J3 G AMA(-x)(X); T(y) G F} ni hull-kernel zaprta v A^A(x)(X). Izberimo Tq G H-x(K-x(3)) \ F in označimo Ao = T(7q) L F. Naj bosta V\ in V2 takšni odprti okolici Ao, oziroma množice F, da velja V\ n V 2 = 0- Označimo Uk = (Vk)c, k = 1,2. Potem je {U\, U2} odprto pokritje ravnine C. Obravnavajmo najprej primer, ko ima T lastnost (5). Dani iel lahko zapišemo kot x = u\ +11,2, pri čemer je Uk = (T — X)fk(X) za vse A G C \ Uk in neko analitično funkcijo /& : C \ Uk -*¦ X, k = 1,2. Točka Ao je v C \ f/i, zato je u\ = (T — Ao)/i(Ao). Naj bo ipo = vmC^o) L E(Mgi(X)) in vzemimo poljuben točkasti multiplikator L iz Jq-. Potem velja (L, «1) = (L, (T — Ao)/i(Ao)) = 0. D Naj bo A Banachova algebra in X Banachov levi A-modul. Za vsak J3 G As2i(X) je kvocient X/33 enodimenzionalen Banachov levi A-modul. Označimo z X podmnožico vseh tistih x = (x + 7)^A (xi v kartezi-jskem produktu IlypA (X) ^/^j za katere velja ||a;|| = sup{||a;y + !P||; J3 G A2[(X)} < 00, pri čemer so norme v supremumu običajne kvocientne norme. Ni težko videti, da je X Banachov prostor, oziroma celo Banachov levi A-modul za množenje dano z a ¦ x = (a ¦ xy + 7)^^ (x)' a ^ A> — ^ —• Pri vsakem a; G X in vsakem J3 G Ag((X) označimo z a?(CP) odsek a; + J3 v X/J3. Se pravi, da lahko na x gledamo kot na element v X. Jasno je, da je 115? 11 < 11 a; 11 za vse a; G X in da je preslikava T : x 1—> x injektivna natanko tedaj, ko je X A-polenostaven. Definicija 5.3.3. Naj bo A Banachova algebra z enoto in X Banachov levi A-modul. Enostaven multiplikator T na X ima naraven spekter, če je (T (T) = T(Agi(X)). Naslednji izrek razširja na module preostanek trditev 3 iz [55] in 1 iz [30]. Izrek 5.3.4. Naj bo A Banachova algebra z enoto in X A-polenostaven Banachov levi A-modul. Ce ima T G Ms%(X) lastnost (5) ali šibko 2 — SDP, potem ima naraven spekter. Dokaz. Ni težko videti, da je S : (xy + 7)^^ (x) l—*¦ (TCP)%3> + ^):PeA (X) omeJen linearen operator na X in da velja TT = ST. Ker je X A-polenostaven, ima T po trditvi 5.3.1 SVEP. Zaradi A-polenostavnosti je T injektivna. Če ima T lastnost (5), lahko uporabimo lemo 1 iz [55], ki trdi, da je cr(T) C a(S). Po lemi 1 iz [26] velja enak zaključek, če ima T šibko 2-SDP. Po drugi strani pa je skoraj očitno, daje cr(S) C T(Agi(X)) C cr(T). Namreč, če A ni v T(Agi(X)), potem je S\ : (x + J3)^^ fx) l—*¦ ((T(y) — \)~1xy + J3)^^A (x) omejen linearen operator na X, za katerega 5.3. SPEKTRALNE LASTNOSTI ENOSTAVNIH MULTIPLIKATORJEV 93 velja S\(S — X) = (S — X)S\ = I. To dokazuje prvo inkluzijo. Druga inkluzija sledi iz dejstva, da (T —A)-1 ne more obstajati, če je A v T(Asi(X)) (trditev 5.2.8). D Naslednji izrek je razširitev dobro znanega rezultata M. M. Neumanna ([59], [60]). Izrek 5.3.5. Naj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X A-poleno-staven levi Banachov A-modul. Ce je T tak enostaven multiplikator na X, da je T : E(Mgi(X)) —> C hull-kernel zvezna, potem je T super-dekomponibilen. Dokaz. Ker je X A-polenostaven Banachov levi A-modul, je — po posledici 5.2.11 — M<%(X) polenostavna komutativna Banachova algebra z enoto. Se pravi, daje po izreku 1.2 iz [60] operator množenja Lt '¦ M<%(X) —> Ms2i(X) super-dekomponibilen. Ker pa je M%{X) zaprta podalgebra v B(X), lahko uporabimo izrek 3.2 iz [54], ki pravi, da je potem tudi T super-dekomponibilen. D Naslednja posledica le združuje izreka 5.3.2 in 5.3.5. Pripomnimo, da je naravna preslikava vm '¦ ^MA(X)(^) "~*¦ A(Msa(X)) surjektivna, če je X A-polenostaven. Namreč, po posledici 5.2.11 je algebra M%{X) polenostavna. Ker je aim^A(x)(X) = {0}, pa po trditvi 5.1.6 (iii) velja, da je v% surjektivna. Posledica 5.3.6. Naj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X A-polenostaven Banachov levi A-modul. ZaT G M%(X) so ekvivalentne naslednje trditve: (a) T je super-dekomponibilen; (b) T ima lastnost (5); (c) T ima šibko 2 — S DP; (d) T : E(Mgi(X)) —> C je hull-kernel zvezna. Banachovi moduli z ločljivim spektrom Iz rezultatov drugega poglavja izhaja, da so med vsemi komutativni-mi Banachovimi algebrami z enoto natanko algebre z ločljivim spektrom tiste, za katere velja, da vsak njihov element na vsakem levem Banachovem modulu inducira dekomponibilen operator množenja. V tem poglavju bomo vprašanje obrnili. Naj bo dana komutativna Banachova algebra z enoto. Kakšen mora biti levi Banachov modul nad to algebro, da bodo vsi elementi iz algebre inducirali dekomponibilne operatorje množenja na tem modulu? 6.1. Algebre z delno ločljivim spektrom Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Pri vsaki podmnožici S C S(21) smo z 21 s označili pripadajoči kospektralni ideal, tj. zaprtje ideala 21(5) := {a S 21; Sp%{a) n S = 0}. Definicija 6.1.1. Neprazna podmnožica S C L(21) je ločljiv del spektra, če je 2l/2l,s algebra z ločljivim spektrom. Jasno, če je 21 algebra z ločljivim spektrom, potem je ves S(2l) ločljiv del spektra, saj je SlwgQ = {0} in zato Sl/Slwgi) = 21- Očitno ovoj ideala 21^ vsebuje vse točke iz S, še več, ker je ovoj vedno hull-kernel zaprta množica, je hull-kernel zaprtje množice S vsebovano v ovoju /&2i(2l,s)- Trditev 6.1.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in S C S(21) ločljiv del spektra. Potem relativna Gelfandova in relativna hull-kernel topologija na S sovpadata. Se več, topologiji se ujemata na ovoju Dokaz. Spekter X(2l/2l,s) in ovoj h%{%ls) sta homeomorfna, ko ima prvi prostor hull-kernel topologijo, drugi pa relativno hull-kernel topologijo (glejte [61], izrek 7.1.7), in ko ima prvi Gelfandovo topologijo, drugi pa relativno Gelfandovo topologijo (glejte [50], izrek 7.3.1). Ce je S ločljivi del spektra, je algebra 2l/2l,s regularna (saj ima celo ločljiv spekter), kar pomeni, da Gelfandova in hull-kernel topologija na njenem spektru sovpadata. Od tod 94 6.1. ALGEBRE Z DELNO LOČLJIVIM SPEKTROM 95 pa sledi, da se tudi relativna Gelfandova in relativna hull-kernel topologija na /&2i(2l,s) ujemata. D Naslednja trditev je lokalna verzija razčlenitve enote (glejte izrek 2.2.11). Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in S C L(21) ločljiv del spektra. Označimo z 53 kvocientno algebro 2l/2ls. Trditev 6.1.3. Za vsako odprto pokritje U = {Ui,... , Um} spektra X(2l) obstajajo takšni a\,... , am iz 21 in b G 2ls, da velja a\ + ... + am = 1 + b in Spr&(flk + 2ls) ^ f^fc H /ia(2ts) Pr* vse/i A; = 1,... , m. Dokaz. Ker se ralativna Gelfandova in relativna hull-kernel topologija na /%(2ls) (= X(53) ) ujemata, je vseeno, v kateri topologiji je U odprto pokritje L(21). Pri vsakem indeksu k = 1,... ,m naj bo Vk '¦= Uk H L(53). Očitno je V = {Vi,... , K«} odprto pokritje spektra L(53). Ker je 53 algebra z ločljivim spektrom, lahko uporabimo izrek o razčlenitvi enote (izrek 2.2.11). Se pravi, da obstajajo v 53 takšni elementi ai + 2ls,... , am + 2ls, da je ai + 21^ + ... + am + 21^ = 1 + 2ls in pri vsakem k = 1,... , m velja Sp^a^ + 2ls) C V^. Povedano drugače: obstaja takšen b G 2ls, da je ai + ... + aTO = 1 + b in Sp?&{ak + 21s) f= C/fc n L(53), k = 1,... ,m. D Posledica 6.1.4. ./Vaj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in 0 t^ S C S(21) ločljiv del spektra. Za poljubni disjunktni zaprti podmnožici Fi in F2 v L(21) obstaja takšen a G 21, da je a(r) = 1 za vse t g Fi n/ia(2ls) in Spfs(a + 2ls) n F2 = 0- Dokaz. Ker je L(21) kompakten Hausdorffov prostor, podmnožici Fi in F2 pa sta disjunktni in zaprti, obstajata takšni disjunktni odprti podmnožici Ui in U2 v L(21), da je i*\ C f/i in F2 C [72- Naj bo C/3 := L(21) \ (_Fi U F2). Družina {C/i, C/2, C/3} je odprto pokritje L(21), zato obstajajo po prejšnji trditvi takšni ai, 0,2 in 03 v 21 ter b G 21s, da je ai + 0,2 + 03 = 1 + b in Sprg(ak + %ls) Q t^fcnL(Q3), k = 1,2,3. Naj bo a := ai. Zaradi disjunktnosti množic Ui in C/2 velja Sp^a + 2ls) n F2 = 0- Ce je r G Fi n /i2i(2ls), Je r(6) = 0, prav tako pa je tudi T(flk) = 0, k = 2,3, saj r ni v nobenem od spektrov Sp?&{ak + 2ls), A; = 2,3. Se pravi, da iz ai + 02 + 03 = 1 + b sledi t{o) = 1. D Naslednja posledica nam kaže, da je ločljive dele spektra mogoče definirati na podoben način kot algebre z ločljivim spektrom. Posledica 6.1.5. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Ne-prazna podmnožica S C S(21) je ločljiv del spektra natanko takrat, ko za 6.2. ARVESONOV SPEKTER UPODOBITVE MODULA 96 poljubna različna funkcionala ip\ in ip2 iz /&2i(2ls) obstajata takšna a\ in 0,2 v 21, da je a\d2 G 2ls in (fki&k) 7^ 0, k = 1,2. Dokaz. Naj bo S C L(21) ločljiv del spektra. Označimo 53 = 2l/2ls. Potem je L(53) = /%(2ls). Naj bosta ip\ in tL>2 različna funkcionala iz h%{%ls)- Ker je L(21) Hausdorffov topološki prostor, obstajata takšni dis-junktni odprti podmnožici (v Gelfandovi topologiji) U\ in U2 v L(21), da je ifk G C/fc, k = 1,2. Naj bo C/3 := L(21) \ {^1,^2}- Jasno, {C/i, C/2, C/3} je odprto pokritje L(21). Po trditvi 6.1.3 obstajajo takšni ai,a2 in 03 v 21 ter takšen b v 21s, da je (6.1.1) a\ + (12 + 03 = 1 + b in Sp?&{ak + 21s) f= C/fc n L(53), k = 1,2,3. Zaradi SPB(aia2 + 2ls) C Sp^ai + 21s) n Spss(a2 + 21s) C [/j n C/2 H ^(®) = 0> je a\a,2 G 2ls. Ker ip\ ni v B()$, Z) je S p (O) := h^(kerQ) = {J3 G Ag((X); {ker® : X) C (J3 : X)}. Že prej smo ugotovili, da je jedro upodobitve 0 enako anihilatorju v X prostora y. Se pravi, da je S p (O) = h%(ann e(^)) ¦ V zadnji enakosti lahko prostor ^ zamenjamo z manjšo množico J\f C y in dobimo lokalen Arvesonov spekter upodobitve 0 na množici A/": Spe(M) := h-x(ann®(N)) = {J3 G Ag((X); (ann&(N) : X) C (J3 : X)}. V posebnem primeru, ko je A/" singleton {y}, je Spe(y) := h%(anne(y)) = {J3 G A^X); (ann&(y) : X) C (J3 : X)} lokalni Arvesonov spekter upodobitve 0 pri y G y. Trditev 6.2.2. Lokalni Arvesonovi spektri upodobitve 0 imajo naslednje lastnosti. (i) Za poljubno neprazno podmnožico J\f C y je Sp@(J\f) hull-kernel zaprta podmnožica v A%(X). (ii) Če je M C y neprazna podmnožica vsebovana v f]x^xker @(x), potem je Sp@ (J\f) prazna množica. Obratno, če je X takšen modul, da je naravna preslikava v% : Ag((X) —> S(21) surjektivna, potem iz Sp&(N) = 0 s/edi A/" C (~}XLxker @(x). 6.2. ARVESONOV SPEKTER UPODOBITVE MODULA 98 (iii) Za vsako neprazno podmnožico M C y je Sp&(N) = Sp&(lin (M)). (iv) Če je A/i C A/2 Q )$, je Sfj@(J\f\) C Spj@(J\f2). (v) Za poljuben končen nabor vektorjev y\, ¦ ¦ ¦ ,yn iz^ velja Sp@(y\ + ... + yn) C Sp@(yi) U ... U Sp@(yn). Dokaz. Točka (i) sledi neposredno iz definicije. (ii) Če je N neprazna podmnožica v f]x^xker @(x), potem je očitno ann@(J\f) = X in torej (ann @(J\f) : X) = 21. Od tod seveda sledi Sp@(J\f) = 0. Dokažimo še obrat. Naj bo v% surjektivna in naj bo J\f takšna neprazna podmnožica v y, za katero velja Sp@(J\f) = 0. To pomeni, da kvocient (ann®(N) : X) ni vsebovan v nobenem idealu (J3: X), J3 G Ag[(X), oziroma, povedano drugače, h%((ann®(N) : X)) n v%(L±.%(%)) = 0. Ker je v% surjektivna, mora veljati h%((ann@(M) : X)) = 0, od koder sledi (ann@(J\f) : X) = 21. Zaradi 21 • X = X, je cel modul X vsebovan v ann@(M), oziroma ¦A/" C (~}XLxker @(x). Točka (iii) sledi iz trditve 6.2.1, točka (iv) pa iz dejstva, da je anihila-tor manjše množice večji od anihilatorja večje množice. Točko (v) dobimo, če upoštevamo, da je ann@(y\) n ... n ann@(yn) C ann@(y\ + ... + yn), uporabimo izrek 4.5.3 (viii) ter točko (iv) te trditve. D Naj bo (0,9) zvezna upodobitev levega Banachovega 2l-modula na paru Banachovih prostorov (^,Z). Na Z lahko preko upodobitve 9 gledamo kot na levi Banachov 2l-modul. Predpostavimo, da je tudi y levi Banachov 2l-modul. Rekli bomo, da je upodobitev 0 levo %l-modularna, oz. krajše modularna, če je @(x) G Bf&()$, Z) za vse iel Naj bo 0 : X —> B^(^,Z) modularna upodobitev modula X in U := C\XLxker @(x) njeno skupno jedro. Jasno, Kje zaprt podmodul v y in W := y/1X je levi Banachov 2l-modul. S predpisom Q(x)(y + U) := @(x)y je pri vsakem iel dobro definirana zvezna preslikava iz W v Z. Brez težav lahko preverimo, da je 0 normirana krepko zvezna modularna upodobitev modula X na paru (W, Z). Jasno, skupno jedro upodobitve 0 je trivialno. Trditev 6.2.3. Za vsak ye^ velja. (i) ann @ (y) = ann g (y) in Sp@ (y) = Sp g (y). (ii) Če je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je (ann@(y) : X) = ann%(y). (iii) če je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je Sp&(y) = u^ (Sp%i(y)). (iv) Spe(y) = u^ (Sp^(y + U)). Dokaz. (i) Enakost ann@(y) = ann^(y) očitno velja, zato velja tudi Spe (y) = Sp g (y). (ii) Po definiciji je element a G 21 v (ann@(y) : X) natanko tedaj, ko velja a-X C ann@(y). Zadnja inkluzija je ekvivalentna pogoju @(a-x)y = 0 6.2. ARVESONOV SPEKTER UPODOBITVE MODULA 99 pri vseh a; G X, ta pogoj pa lahko zapišemo kot @(x)(a-y) = 0 za vse i6l, saj je 0 modularna upodobitev. Toda, ker je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je zadnji pogoj isto kot a ¦ y = 0, oziroma a G ann%{y). (iii) Po prejšnji točki je (ann@(y) : X) = ann%{y). Vzemimo, da je J3 G Sp@(y). Označimo

= za^J3). Ce je a G ann%{y) = (ann@(y) : X), je torej a G (J3 : X) = ker ip. To pomeni, da je ip G Sp%(y) in zato J3 G u^ (Sp$i(y)). Se obrat. Naj bo J3 G u^ (Sp&(y)) in ip G Sp^{y) takšen, da je zaji(J') = = za^J3). Če je 6 G (ann@(a ¦ y) : X) = ann%{a ¦ y), potem iz 0 = b-(a-y) = ab-y sledi ab G ann%{y) = (ann@(y) : X). Ker je J3 G Spj@(y), je torej a& G (J3 : X) = ker p). Zaradi

L>(X*,2l*) preslikava, ki vektorju iel priredi P* (a;) — preslikavo iz X* v 21*, za katero pri vseh L G X* in vseh a G 21 velja (P*(x)L, a) = {L,a-x). Upodobitev P* je 6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 100 očitno normirana in krepko zvezna (norma preslikave x i—> P*(a;)L je manjša ali enaka ||L||). Prav tako ni težko preveriti, daje upodobitev P* modularna. Ce je L G X* v skupnem jedru upodobitve P*, potem pri vseh x G X velja 0 = (P*(x)L, 1) = {Š,x), od koder sledi L = 0. Se pravi, da upodobitev P* zadošča vsem pogojem, ki smo jih imeli v tem razdelku, kar pomeni, da vse trditve iz tega razdelka zanjo veljajo. Poglejmo še podobno definirano upodobitev dualnega modula X*. To upodobitev bomo označili z P*. Pri danem L G X* je P*(L) zvezna preslikava iz X** v 21*, za katero pri vseh F G X** in vseh a G 21 velja (PL(L)F, a) = (F, a ¦ L). Jasno, za P* velja vse tisto, kar velja za P*. Nas bodo zanimali predvsem lokalni Arvesonovi spektri upodobitve P* pri elementih iz X, pri čemer je X na kanoničen način vložen v X**. Za vsak iel velja (Pl(L)x, a) = (x, a ¦ L) = (L, a ¦ x) = (P*(x)L, a) pri vseh a G 21 in vseh L G X*. Se pravi, da je PL(L)a; = P*(a;)L pri vseh a; G X in vseh L G X*. Od sledi, da je annp*(x) = kerP*(x) in torej Spp*(x) = h%*(kerP*(x)). 6.3. Banachovi moduli z ločljivim spektrom V tem razdelku bomo ves čas imeli opravka s komutativno Banachovo algebro 21, ki bo imela enoto. Zanima nas, za katere leve Banachove 2l-module X velja, da je vsak operator množenja Ta : X —> X, a G 21, dekomponibilen, oziroma, povedano na drug način, za katere module je Dec%{X) = 21. Dva delna odgovora sta na dlani. Prvič, če je prostor X končne dimenzije. Drugič, če 21 deluje na X zelo enostavno: v So (21) obstaja takšen ep, daje a-x = (p(a)x za vse a G 21 in vse a; G X. Prav tako je jasno, da je Dec%{X) = 21, če je 21 algebra z ločljivim spektrom (glejte izrek 2.4.2), vendar v tem razdelku ne želimo postavljati pogojev na algebro — 21 naj bo splošna komutativna Banachova algebra z enoto. Naj bo X levi Banachov 21-modul. Ker je 2l-komutativna, lahko tudi na dualni modul X* gledamo kot na levi 21-modul. Tako kot na koncu razdelka 6.2 naj bo tudi tu P*, : X* —> B^(X**, 21*) upodobitev modula X*, ki je dana z (P*({)F, a) = {F, a ¦ L) (L G X*, F G X**, a G 21). Z v^ označimo naravno preslikavo iz A^(X*) v E(2t). Spomnimo se (razdelek 2.3), da je pri vsaki podmnožici S C E(2t) kospektralni ideal 21S definiran kot zaprtje množice 21(S) = {a G 21; Sp%{a) n S = 0}. Trditev 6.3.1. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X Banachov levi %l-modul. Naj bo E := v^(A^(X*)). Potem je 2lE C ann$i(%). 6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 101 Dokaz. Za vsak a G 21(e) P° definiciji velja Sp%{a) n E = 0. Torej je množica {v^)~l(Sp%(a)) prazna. Uporabimo trditvi 6.2.4 in 6.2.2 (ii), pa imamo a G ann%{X). Ker je anihilator zaprt ideal, je 2lg Q ann%{X). D Neposredna posledica pravkar dokazane trditve je naslednji izrek. Izrek 6.3.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov %l-modul. Ce je množica v^{A%(X*)) ločljiv del spektra, potem je za vsak a G 21 operator množenja, ki ga na X inducira a, super-dekomponibilen. Dokaz. Označimo E = v^(A<%(X*)). Po predpostavki je E ločljiv del spektra, zato je 21/21 g algebra z ločljivim spektrom. Ker je 21 g C ann$i(X), je X na naraven način levi Banachov 2l/2le-modul: produkt poljubnega a + 2lg G 2l/2le z a; G X je definiran z (a + 2le) • x := a • x. Očitno je pri vsakem a G 21 operator množenja z a na X enak operatorju množenja z a + 2lg na X. Algebra 2l/2le ima ločljiv spekter, zato so množenja z njenimi elementi superdekomponibilni operatorji na X, glejte izrek 2.4.2. D Izrek 6.3.2 velja za module, katerih dual zadošča pogoju, da je naravna slika njegovega hiperspektra ločljiv del spektra. Takšnim modulom bomo dali posebno ime. Definicija 6.3.3. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Banachov levi %l-modul X je modul z ločljivim spektrom, če je naravna slika njegovega hiperspektra ločljiv del spektra S(21). Definicija modula z ločljivim spektrom ni modulska varianta definicije algebre z ločljivim spektrom, vendar obstaja med njima določena analogija. Trditev 6.3.4. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov %l-modul z ločljivim spektrom. Če sta Ti in T2 takšna hiper-maksimalna podmodula v X, daje zAa(J'i) 7^ ^(J^)) potem obstajata takšna a G 21 in x G X, da je a ¦ x = 0, a L (!Pi : X) in x L JV Dokaz. Ker sta ip\ := v^Ti) in tp2 := ^(J^) različna karakterja iz E := z/2i(A2i(X)) C /i2i(2le), obstajata po posledici 6.1.5 v 21 takšna a\ in a,2, da je a\a,2 G 2lg ter tpk{ak) 7^ 0, k = 1,2. Se pravi, da a^ L (7^ '¦ X), k = 1,2. Zaradi 0,2 ^ (T2 '¦ X) obstaja v X takšen y, da 0,2 ¦ y ^ ?2-Označimo a = a\ in x = 0,2 ¦ y, pa smo iskana elementa našli, saj zaradi aia,2 G 2lg C ann%{X) velja a ¦ x = 0. D V izreku 6.3.2 smo ugotovili, da vsak element iz komutativne Bana-chove algebre z enoto 21 inducira na levem Banachovem 2l-modulu X super-dekomponibilen operator množenja, če ima dualni modul X* ločljiv spekter. 6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 102 Iz dokaza tega izreka sledi, da je pri vsakem a G 21 spektralna kapaciteta pripadajočega operatorja množenja Ta dana z —------— —i E-a(F) '¦= X((a + 2lg) (F)), FgcI(C), —------— —i pri čemer je X((a + 2lg) (F)) spektralni podmodul v X, ki pripada množici —------— —i (a + 2lg) (i*1) C L(2l/2le). V nadaljevanju bomo spektralno kapaciteto Ea izrazili še nekoliko drugače. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov 2l-modul. Pri poljubni podmnožici S C L(21) definirajmo X *(<§) := {a; G X; Sppj(a;) C (z^)- (S)}. Iz trditev 6.2.2 in 6.2.4 sledi, da je X *(S) podmodul v X, rekli mu bomo Pl-spektralni podmodul pri S. Očitno velja X *(S) = X * (S C\ v%(A%(X*))). Trditev 6.3.5. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takšen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter. Označimo E := v^(A^(X*)) in 53 := 2l/2le. Potem za vsako množico S C S(21) velja X5S(Sn L(53)) = XP*(S). V trditvi smo z X (S n S(53)) označili spektralni podmodul pri S n L(53) C L(53) v 53-modulu X, tj. X (S n L(53)) = {x G X; Sp(a) = 0 za vse a G ann%{x)} = Sp%{x) n L(53). Naj bo S C L(21) poljubna množica. Potem je XB(S n L(53)) = {x G X; Sp?g(x) C S n L(53)} = {x G X; Sp2[(a;) n L(53) C S n L(53)}. Ker je {v^)~l{Sp^(x) n L(53)) = {v^j)~l{Sp^(x)) in {v^)~l(S n L(53)) = (z/|[)_1(S), je X5S(S n L(53)) = {x G X; (^li)-1^^^)) C (z^)-1^)} = {x G X; Spp*(a;) C (z^)- (5*)}, pri čemer zadnja enakost velja zaradi trditve 6.2.3 (iii). D Posledica 6.3.6. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takšen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter. Če je S C L(21) zaprta množica, je X *(S) zaprt podmodul v X. 6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 103 Dokaz. Uporabimo oznake iz prejšnje trditve. Ker je 53 algebra z ločljivim spektrom, S n X(53) pa zaprta množica, je spektralni podmodul X5S(S n X(53)) zaprt po trditvi 2.3.1. D Zdaj lahko tudi povemo, kako se izražajo spektralne kapacitete operatorjev množenja. Posledica 6.3.7. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takˇsen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* loˇcljiv spekter. Potem vsak element a G 21 inducira na X superdekomponibilen operator Ta, katerega spektralna kapaciteta je dana z Ea(F) = Xp*(a_1(F)), F G cl (C). Dokaz. Daje Ta superdekomponibilen, že vemo. Ker je (a + 2le) (F) = a-1 (F) n X(53), pri vsaki množici F G cl (C), velja fft —---------— —1 ~V -. P* 1 Ea(F)X ((a + 2lg) (F)) = X (a (F) n X(53)) = X *(a~ (F)). D Literatura [1] E. Albrecht, Generalized spectral operators, In Functional analysis: surveys and recent results , North-Holland Mathematics Studies, No. 27 (ed. K.-D. Bierstedt and B. Fuchssteiner), North-Holland, Amsterdam, (1977), 259-277. [2] E. Albrecht, On decomposable operators, Integral Equat. Operator Theory, 2 (1979), 1-10. [3] E. Albrecht, On joint spectra, Studia Math., LXIV (1979), 263-271. [4] E. Albrecht, Spectral decompositions for systems of commuting operators, Proc. Roy. Irish Acad., A 81 (1981), 81-98. [5] E. Albrecht, Decomposable systems of operators in harmonic analysis, In Toeplitz centennial, Operator Theory: Advances and Applications, No. 4 (ed. I. Gohberg) Birkh¨auser, Basel (1982), 19-35. [6] E. Albrecht and J. Eschmeier, Analytic functional models and local spectral theory, Proc. Lond. Math. Soc. , III. Ser. 75, No.2 (1997), 323-348. [7] E. Albrecht and F.-H. Vasilescu, On spectral capacities, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XIX, No.6 (1974), 701-705. [8] C. Apostol, Roots of decomposable operator-valued analytic functions, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XIII, No.4 (1968), 433-438. [9] C. Apostol, Remarks on the perturbation and a topology for operators, J. Funct. Anal., 2 (1968), 395-409. [10] C. Apostol, Decomposable multiplication operators, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XVII, No.3 (1972), 323-333. [11] W. Arveson, On Groups of Automorphisms of Operator Algebras, J. Funct. Analysis, 15 (1974), 217-243. [12] A. G. Baskakov, Spektralna sinteza in Banachovi moduli nad komutativnimi Bana-chovimi algebrami, Mat. zametki, t. 34, no.4 (1983), 573-585 (v ruˇsˇcini). [13] A. G. Baskakov, Spectral synthesis in Banach modules over commutative Banach algebras, Math. Notes 34, (1983), 776-782. (prevod iz Mat. Zametki.) [14] F. F. Bonsall and J. Duncan, Complete Normed Algebras, Springer-Verlag, 1973. [15] J. Braˇciˇc, A characterisation of multipliers with spectral subspaces, RMZ-Materials and geoenvironment, 46 (1999), 5-12. [16] J. Braˇciˇc, Unital strongly harmonic commutative Banach algebras, Studia Math., sprejeto v objavo. [17] J. Braˇciˇc, Strongly harmonic operators, Acta Sci. Math. (Szeged), sprejeto v objavo. [18] J. Braˇciˇc, Simple multipliers on Banach modules, preprint. [19] J. Braˇciˇc, Local multipliers, preprint. [20] J. Braˇciˇc, Representations and derivations of modules, preprint. [21] I. Colojoarˇa and C. Foia¸s, Theory of Generalized Spectral Operators, Gordon and Breach, New York, 1968. 104 LITERATURA 105 [22] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985. [23] Y. Domar, Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras, Acta Math., 96 (1956), 1-66. [24] Y. Domar and L.-°A. Lindahl, Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 25 (1975), 1-32. [25] R. S. Doran and J. Wichmann, Approximate Identities and Factorization in Banach Modules, Springer, Berlin, 1979. [26] J. Eschmeier, Operator decomposability and weakly continuous representations of locally compact abelian groups, J. Operator Theory, 7 (1982), 201-208. [27] J. Eschmeier, On two notions of the local spectrum for several commuting operators, Michigan Math. J., 30 (1983), 245-248. [28] J. Eschmeier, Are commuting systems of decomposable operators decomposable? Operator theory, 12 (1984), 213-219. [29] J. Eschmeier, Spectral decompositions and decomposable multipliers, Manuscripta Math., 51 (1985), 201-224. [30] J. Eschmeier, K. B. Laursen and M. M. Neumann, Multipliers with natural local spectra on commutative Banach algebra, J. Funct. Anal., 138 (1996), 273-294. [31] J. Eschmeier and M. Putinar, Spectral decomposition and analytic sheaves, London Math. Soc. Monographs 10, Clarendon Press, Oxford, 1996. [32] U. Fixman, Problems in spectral operators, Pacific J. Math., 9 (1959), 1029-1051. [33] C. Foia¸s, Spectral capacities and decomposable operators, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XIII, No.10 (1968), 1539-1545. [34] S¸t. Frunzˇa, A characterization of regular Banach algebras, Rev. Roum. Math. Pures Appl. XVIII (1973), 1057-1059. [35] S¸t. Frunzˇa, The Taylor Spectrum and Spectral Decompositions, J. Functional Analysis, 19 (1975), 390-421. [36] S¸t. Frunzˇa, Spectral decomposition and duality, Illinois J. Math., 20 (1976), 314-321. [37] O. Hatori, On the greatest regular closed subalgebras and the Apostol algebras of Lp-multipliers whose Furier transforms are continuous and vanish at infinity, Tokyo J. Math., 20 (1997), 453-462. [38] O. Hatori, Measures with natural spectra on locally compact abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 126 (1998), 2351-2353. [39] O. Hatori, Subalgebras of commutative Banach algebras and Fourier multipliers with natural spectra, Contemporary Mathematics, 232 (1999), 171-187. [40] O. Hatori in K. Izuchi, Apostol algebras and decomposition in Douglas algebras, Michigan Math. J., 44 (1997), 435-449. [41] E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, I, Springer-Verlag, 1963. [42] M. Hladnik, Spectrality of elementary operators, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 49 (1990), 327-346. [43] J. Inoue and S.-E. Takahasi, A remark on the largest regular subalgebra of a Banach algebra, Proc. Amer. Math. Soc., 116 (1992), 961-962. [44] S. Kaijser, On Banach Modules I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 90 (1981), 423-444. [45] S. Kaijser, On Banach Modules II. Pseudodeterminants and traces, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 121 (1997), 325-341. [46] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1968. [47] S. H. Kim, On the strongly harmonic algebras, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XXIII (1978), 1553-1575. LITERATURA 106 [48] K. Koh, On a representation of a strongly harmonic ring by sheaves, Pacific J. Math., 41 (1972), 459-468. [49] R. Larsen, An Introduction to the Theory of Multipliers, Springer-Verlag, Berlin, 1971. [50] R. Larsen, Banach Algebras, Marcel Dekker, Inc. , New York, 1973. [51] K. B. Laursen, Multipliers and local spectral theory, Functional analysis and operator theory, Banach center publications, 30 (1994), 223-236. [52] K. B. Laursen, V. G. Miller and M. M. Neumann, Local spectral properties of commutators, Proc. Edinburgh Math. Soc., 38 (1995), 313-329. [53] K. B. Laursen and M. M. Neumann, An Introduction to Local Spectral Theory, London Math. Soc. Monographs 20, Clarendon Press, Oxford, 2000. [54] K. B. Laursen and M. M. Neumann, Decomposable operators and automatic continuity, J. Operator Theory, 15 (1986), 33-51. [55] K. B. Laursen and M. M. Neumann, Local spectral properties of multipliers on Banach algebras, Arch. Math., 58 (1992), 368-375. [56] K. B. Laursen in M. M. Neumann, Decomposable multipliers and applications to harmonic analysis, Studia Math., 101 (1992), 193-214. [57] C.-P. Lu, Spectra of modules, Comm. Algebra, 23 (1995), 3741-3752. [58] C.-P. Lu, The Zariski topology on the prime spectrum of a module, Houston J. Math., 25 (1999), 417-432. [59] M. M. Neumann, Banach algebras, decomposable convolution operators, and a spectral mapping property, in: Proceedings of the Conference of Function Spaces at Southern Illinois University at Edwardsville, Marcel Dekker, New York 1991, 307-323. [60] M. M. Neumann, Commutative Banach Algebras and Decomposable Operators, Monatsh. Math., 113 (1992), 227-243. [61] T. W. Palmer, Banach Algebras and the General Theory of ?-Algebras, Volume 1: Algebras and Banach Algebras, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 49, Cambridge University Press, 1994. [62] C. J. Read, Quasinilpotent operators and the invariant subspace problem, J. London Math. Soc, (2) 56 (1997), 595-606. [63] C. E. Rickart, General Theory of Banach Algebras, D. van Nostrand Company, Inc., 1960. [64] R. C. Smith, Local spectral theory for invertible composition operators on Hp, Integr. Equat. Oper. Th., 25 (1996), 329-335. [65] J. L. Taylor, Joint Spectrum for Several Commuting Operators, J. Functional Analysis, 6 (1970), 172-191. [66] S. Teleman, Analyse harmonique dans les algebres regulieres, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XIII, No.5 (1968), 691-750. [67] S. Teleman, Theory of harmonic algebras with applications to von Neumann algebras and cohomology of locally compact spaces (de Rham’s theorem), Lectures on the applications of sheaves to ring theory, 99-315, Lecture Notes in Mathematics, 248, Springer, Berlin, 1971. Seznam oznak in stvarno kazalo Seznam oznak Število ob oznaki označuje stran, kjer je oznaka vpeljana. a, 2 Gelfandova transformiranka elementa a Ai, 17 standardna unitizacija algebre A A (D), 39 disk algebra annA, 16 anihilator v algebri A ann e, 96 anihilator glede na upodobitev 0 A0p> 15 algebra A z obrnjenim množenjem B(X), 2 algebra omejenih linearnih operatorjev na Banachovem prostoru X B(X,y), 9 prostor omejenih linearnih preslikav iz Banachovega prostora X v Banachov prostor y BA(X), 21 omejeni multiplikatorji na levem Banachovem A-modulu X SA(X,y), 21 omejeni multiplikatorji iz levega Banachovega A-modula X v levi Banachov A-modul y B(X)b, 21 omejeni multiplikatorji na desnem Banachovem B-modulu X S(X,y)B, 21 omejeni multiplikatorji iz desnega Banachovega B-modula X v desni Banachov B-modul y SA(X)B, 21 omejeni multiplikatorji na Banachovem A-B-bimodulu X SA(X,y)B, 21 omejeni multiplikatorji iz Banachovega A-B-bimodula X v Banachov A-B-bimodul y C(E(A)), 2 Banachova algebra vseh omejenih kompleksnih zveznih funcij na S(A) Co(S(A)), 2 Banachova algebra tistih kompleksnih zveznih funcij na S(A), ki imajo ničlo v neskončnosti Cv, 20 enodimenzionalen Banachov modul, ki ga določa karakter ip C7iA(X), 80 prostor karakterističnih vektorjev v A-modulu X C7iA(X), 80 zaprtje prostora C7iA(X) v Banachovem A-modulu X C/i|A(X*), 80 šibko * zaprtje prostora C7iA(X*) v dualnem Banachovem A-modulu X* Chtp(X), 80 prostor karakterističnih vektorjev v A-modulu X, ki pripadajo karakterju ip d (fi), 10 družina vseh zaprtih podmnožic v topološkem prostoru fi D, 32 množica vseh kompleksnih števil z absolutno vrednostjo manj kot 1 107 SEZNAM OZNAK 108 DeeA (A), 5 Apostolova algebra DecA(X), 8 množica tistih elementov v A, ki na levem Banachovem A-modulu X inducirajo dekomponibilne operatorje množenja AA (X), 78 množica hiper-maksimalnih podmodulov v A-modulu X AA (X), 78 množica zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov v Banachovem A-modulu X A^(X), 78 množica hiper-maksimalnih podmodulov v A-modulu X, ki pripadajo karakterju ip A^(X), 78 množica zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov v Banachovem A-modulu X, ki pripadajo karakterju ip Ss,t, 51 posplošeno odvajanje, ki ga določata operatorja S in T E, 10 spektralna kapaciteta Es,t, 51 elementarni operator, ki ga določata n-terici S in T G(X), 59 množica cikličnih vektorjev v A-modulu X T, 2 Gelfandova transformacija /iA (U), 2 ovoj (glede na algebro A) množice U ^x(y)> ^2 ovoj podmodula y v množici podmodulov fi Hx , 89 ovoj v prostoru zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov, ko je X modul nad algebro enostavnih multiplikatorjev fcA(E), 2 jedro množice E C E(A) v algebri A kx(S), 72 jedro množice S C PA(X) v modulu X Kx, 89 jedro v modulu X, ko je modul nad algebro enostavnih multiplikatorjev HA (X), 62 množica maksimalnih podmodulov HA (X), 62 množica zaprtih maksimalnih podmodulov La, 13 operator množenja z leve, ki ga a G A inducira na A A(x), 14 preslikava iz algebre A v desni A-modul X, ki jo inducira element x G X Lat (T), 2 mreža zaprtih invariantnih podprostorov za operator T L(X), 14 algebra linearnih operatorjev na vektorskem prostoru X L(X,y), 14 prostor linearnih preslikav iz vektorskega prostora X v vektorski prostor y LA(X), 16 algebra multiplikatorjev na levem A-modulu X LA(X)b, 16 algebra multiplikatorjev na A-B-bimodulu X L(X)B, 16 algebra multiplikatorjev na desnem B-modulu X LA(X,y), 16 prostor multiplikatorjev iz levega A-modula X v levi A-modul y LA(X,y)B, 16 prostor multiplikatorjev iz A-B-bimodula X v A-B-bimodul y L(X,y)B, 16 prostor multiplikatorjev iz desnega B-modula X v desni B-modul y L00[G), 20 Banachov prostor omejenih funkcij na Abelovi grupi G LP(G), 20 Banachov prostor funkcij na Abelovi grupi G, katerih p-ta potenca absolutne vrednosti je integrabilna Ls, 51 elementarni operator množenja z leve z operatorjem S SEZNAM OZNAK 109 (M), 14 najmanjši podmodul, ki vsebuje množico M M (A), 86 (klasični) multiplikatorji na algebri A MA(X), 86 enostavni multiplikatorji na A-modulu X Mv, 81 jedro karakterja ip M (G), 40 algebra omejenih regularnih Borelovih mer na Abelovi grupi G Ms,t, 51 elementaren operator dolžine 1, ki ga določata operatorja S in T !AA, 74 naravna preslikava, ki slika v množico idealov algebre A vm, 91 naravna preslikava, ki slika v množico idealov algebre enostavnih multiplikatorjev uj(a), 24 množica karakterjev, ki ne uničijo elementa a uj (y), 74 množica prapodmodulov v množici fi, katerih kvocient ne vsebuje kvocienta podmodula y IlA(X), 69 množica primitivnih podmodulov v A-modulu X IlA(X), 69 množica zaprtih primitivnih podmodulov v Banachovem A-modulu X Ra, 14 operator množenja z desne, ki ga a G A inducira na A r(a), 41 spektralni polmer Rad (A), 79 Gelfandov radikal algebre A RadA (X), 82 hiperradikal A-modula X RadA (X), 72 fi-radikal Radp(A), 76 P-radikal PA (X), 59 množica prapodmodulov v A-modulu X PA(X), 59 množica zaprtih prapodmodulov v Banachovem A-modulu X Reg (A), 7 največja regularna podalgebra v Banachovi algebri A P(A), 56 množica praidealov v algebri A Pt{x), 11 lokalna resolventna množica operatorja T pri vektorju x p(T,x), 12 analitična resolventna množica n-terice T pri vektorju x P(x), 13 preslikava iz algebre A v levi A-modul X, ki jo inducira element x G X Rt, 51 elementarni operator množenja z desne z operatorjem T Sep (A), 40 največja podalgebra z ločljivim spektrom v algberi A E(A), 1 množica karakterjev na algebri A Eo(A), 19 množica karakterjev na algebri A in funkcional 0 (Tt(x), 11 lokalni spekter operatorja T pri vektorju x 66 restrikcija upodobitve 0 0^ ' ',66 redukcija upodobitve 0 T, 88 funkcija, ki jo enostaven multiplikator T določa na hiperspektru Wi, 32 podprostor vektorjev, ki jih uničijo vsi funkcionali iz W X(F), 25 spektralni podmodul pri F X (S), 102 spektralni podmodul pri S v levem Banachovem 25-modulu X X(jr), 25 množica vektorjev, ki imajo z F disjunkten Beurlingov spekter X_p, 25 kospektralni podmodul X^, 81 zaprtje koideala J\AV ¦ X X *(S), 102 P l -spektralni podmodul pri S Xt(S), 11 lokalni spektralni podprostor operatorja T pri množici S y ,31 prostor vseh funkcionalov, ki uničijo vse vektorje iz y (y : X), 57 kvocient podmodula y STVARNO KAZALO Stvarno kazalo A algebra Apostolova, 6, 42 dopustna, 45 krepko harmoniˇcna, 26 polenostavna, 2 regularna, 2, 6 z loˇcljivim spektrom, 7, 22, 26, 31, 44, 94, 100 za inverze zaprta, 41, 45, 48 analitiˇcna resolventna mnoˇzica, 12, 53 anihilator, 16, 57 anihilator v X, 96 antiupodobitev cikliˇcna, 63 modula, 62 B bimodul, 14 Bishopovo lastnost (ß), 12 D dekompozicijska lastnost (?), 13, 37, 91 disk algebra, 39 E ekvivalentni upodobitvi, 67 F funkcija A-spektralna, 45 G Gelfandova transformacija, 2 transformiranka, 1, 2 H hiperradikal, 82 hiperravnina, 57 hiperspekter, 78, 101 homomorfizem modulov, 16 I ideal kospektralni, 26, 29, 94, 100 primitiven, 9 spektralni, 26, 29 izrek o razˇclenitvi enote, 30, 31, 95 STVARNO KAZALO 112 J jedro množice, 2, 72 skupno, 98 upodobitve, 63, 68, 97 K karakter, 1, 9, 77 karakterističen multiplikativen funkcional, 80 koideal, 17, 57 kvocient podmodula, 57 L ločljiv del spektra, 94, 101 lokalna resolventna množica, 11 lokalni spektralni podprostor, 11 lokalno kompaktna Abelova grupa, 84 M modul, 13 fi-polenostaven, 72 fi-radikalski, 72 A-polenostaven, 79, 85, 90, 93 Banachov, 17 cikličen, 59 desni, 14 dualni, 10, 15, 21 izometričen, 18 levi, 13 normiran, 17 unitalen, 17 z ločljivim spektrom, 10, 101 zvest, 16 modulsko množenje, 13, 15 multiplikator, 9, 16, 21, 86 enostaven, 10, 86, 93 točkasti, 78 N n-terica operatorjev dekomponibilna, 12, 51 krepko harmonična, 52 naravna preslikava, 74, 79, 91, 99 nerazcepna razširitev upodobitve, 70 0-dimenzionalen topološki prostor, 27 nosilec, 24 nosilni prostor, 2 STVARNO KAZALO 113 O operator A-skalaren, 45 dekomponibilen, 2, 11, 100 elementaren, 9, 51 krepko harmoniˇcen, 9, 44, 51 regularen A-skalaren, 46 s ˇsibko 2-SDP, 3, 91 super-dekomponibilen, 3, 37, 93, 101 ovoj podmnoˇzice, 2 podmodula, 72 P podalgebra najveˇcja regularna, 40 najveˇcja z loˇcljivim spektrom, 40 normalna glede na operator, 46 spektralno zaprta, 41 podmodul, 14 P??-spektralni, 102 bistveni, 81 hiper-maksimalen, 78, 101 kocikliˇcen, 60 kospektralni, 26, 31 maksimalen, 60, 69 najmanjˇsi, 14 primitiven, 69 spektralni, 26, 31, 102 popolnoma nepovezan topoloˇski prostor, 45 praideal, 9, 56 prapodmodul, 56 pribliˇzna enota, 82 R radikal, 9 ?-, 72 ?-, 82, 85 redukcija upodobitve, 66 restrikcija upodobitve, 66 S spekter analitiˇcen lokalni, 12, 53 Arvesonov, 9, 10, 23, 96, 97 Beurlingov, 23, 33 lokalen, 9, 11 lokalen Arvesonov, 23, 97 naraven, 92 STVARNO KAZALO Taylorjev, 12, 53 spektralna kapaciteta, 10, 36, 53, 102 tipa (Cn, X), 12 tipa (?, X), 10, 35 spektralni polmer, 41 spektralno maksimalen podprostor, 46 spektralno zaprtje, 41 standardna unitizacija, 17 strukturni prostor, 2 SVEP, 11, 90 T topoloˇsko ekvivalentni upodobitvi, 67 topoloˇsko nerazcepna razˇsiritev, 70 topologija Gelfandova, 2, 94 hull-kernel, 2, 72, 89, 91, 94 Jacobsonova, 72 Zariskega, 72 U upodobitev algebre, 9 cikliˇcna, 63 krepko zvezna, 64, 96 levo A-modularna, 98 maksimalna nerazcepna, 70, 77, 81 maksimalna topoloˇsko nerazcepna, 70 modula, 10, 62 modularna, 98 nerazcepna, 68, 77 normirana, 64 regularna desna, 65 regularna leva, 65 topoloˇsko cikliˇcna, 64 topoloˇsko nerazcepna, 68 trivialna, 63 zvezna, 64, 97 V vektor cikliˇcen, 59, 63, 68 karakteristiˇcen, 80 kocikliˇcen, 60 topoloˇsko cikliˇcen, 59, 64 Izjavljam, da je disertacija rezultat mojega lastnega raziskovalnega dela. Janko Bračič