UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Janko Bračič ALGEBRE Z LOČLJIVIM SPEKTROM IN BANACHOVI MODULI NAD NJIMI Disertacija Ljubljana, 2001 Zahvaljujem se mentorju profesorju Milanu Hladniku za vsestransko pomoˇc pri nastajanju te disertacije. Meliti, Ajdi in Veroniki Kazalo Povzetek 5 Abstract 7 Poglavje1. Priprave 1 1.1. Uvod 1 1.2. Pregled vsebineinvpraˇsanj 8 1.3. Lokalna spektralna teorija 10 1.4. Definicija modulovinosnovne lastnosti 13 1.5. Banachovi moduli 17 Poglavje2. Krepko harmoniˇcne algebre 22 2.1. Beurling-Arvesonov spekter 22 2.2. Algebrezloˇcljivim spektrom 26 2.3. Spektralniinkospektralni podmoduli 31 2.4. Karakterizacija algeber z loˇcljivim spektrom 36 2.5. Najveˇcja podalgebrazloˇcljivim spektrom 40 Poglavje3. Krepko harmoniˇcni operatorji 44 3.1. Definicija krepko harmoniˇcnih operatorjev 44 3.2. Lastnosti krepko harmoniˇcnih operatorjev 47 3.3. Krepko harmoniˇcni elementarni operatorji 51 Poglavje4. Upodobitve modulov 56 4.1. Prapodmoduli 56 4.2. Kocikliˇcniinmaksimalni podmoduli 59 4.3. Upodobitve modulov 62 4.4. Nerazcepne upodobitve modulov 68 4.5. Hull-kernel topologija 71 4.6. Naravna preslikava 74 Poglavje5. Enostavni multiplikatorji 77 5.1. Toˇckasti multiplikatorji 77 5.2. Enostavni multiplikatorji na Banachovih modulih 85 5.3. Spektralne lastnosti enostavnih multiplikatorjev 90 3 KAZALO 4 Poglavje 6. Banachovi moduli z loˇcljivim spektrom 94 6.1. Algebrezdelno loˇcljivim spektrom 94 6.2. Arvesonov spekter upodobitve modula 96 6.3. Banachovi modulizloˇcljivim spektrom 100 Literatura 104 Seznam oznakinstvarno kazalo 107 Seznam oznak 107 Stvarno kazalo 111 Povzetek Komutativna Banachova algebra z enoto 21 je algebra z ločljivim spektrom, če za poljubna različna karakterja ip in ip na njej obstajata takšna elementa a in b v 21, da velja a& = 0 in cp(a) /0 / VK^)- Algebre z ločljivim spektrom so regularne v smislu Silova, vendar niso nujno polenostavne. Ce je 21 takšna komutativna Banachova algebra z enoto, da za neko podmnožico elementov 2lo v 21 velja (i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2lo ločijo točke v spektru algebre 21 in (ii) vsak element iz 2lo inducira na 21 operator množenja z dekompozi-cijsko lastnostjo (5), potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. Obratno: če je 21 algebra z ločljivim spektrom, potem vsak element iz 21 na vsakem levem Banachovem 2l-modulu inducira super-dekomponibilen operator množenja. Algebre z ločljivim spektrom imajo lepe lastnosti v smislu lokalne spektralne teorije in to se odraža tudi na krepko harmoničnih operatorjih, tj. operatorjih, ki so vsebovani v kakšni algebri operatorjev z ločljivim spektrom. Vsak omejen linearen operator z dovolj bogatim funkcijskim računom je krepko harmoničen in vsak krepko harmoničen operator je dekomponi-bilen. n-terica komutirajočih omejenih linearnih operatorjev na Banachovem prostoru je krepko harmonična, če so vsi operatorji iz n-terice vsebovani v isti algebri z ločljivim spektrom. Vsaka krepko harmonična n-terica je dekomponibilna. Če je E elementaren operator, katerega koeficienti sestavljajo dve krepko harmonični n-terici, potem je E krepko harmoničen operator in njegovi lokalni spektri se na naraven način izražajo z lokalnimi spektri obeh n-teric koeficientov. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kakšen mora biti levi Banachov 2l-modul X, da vsak element iz 21 inducira na X dekomponi-bilen operator? Da lahko odgovorimo na to vprašanje, izdelamo za module teorijo upodobitev, ki razširja teorijo upodobitev algeber. Vpeljano je veliko pojmov, ki na naraven način razširjajo pojme iz teorije algeber na module. Tako, na primer, definiramo tudi module z ločljivim spektrom in odgovor na prej postavljeno vprašanje se glasi: če je X takšen levi Banachov 2l-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter, potem vsak element iz 21 inducira na X dekomponibilen operator množenja. Teorija upodobitev modulov nam omogoča, da vpeljemo razred enostavnih multiplikatorjev na danem Banachovem modulu. Na primer, vsak multiplikator na polenostavni Banachovi algebri je enostaven. Za omenjeni POVZETEK 6 razred multiplikatorjev pokaˇzemo, da imajo podobne lastnosti kot multi-ˇ plikatorji na algebrah. Ce modul na katerem delamo, zadoˇsˇca nekaterim dodatnim pogojem, potem je mnoˇzica vseh enostavnih multiplikatorjev na njem polenostavna komutativna Banachova algebra z enoto. S pomoˇcjo tega lahko izpeljemo trditve, ki so analogne znanim rezultatom o multiplikatorjih na polenostavnih Banachovih algebrah. 2000 Mathematics Subject Classification. 46H15, 46H25, 47B40, 47B47, 47B48. Ključne besede. Algebra z ločljivim spektrom, Arvesonov spekter, dekomponibilen operator množenja, komutativna Banachova algebra, krepko harmoničen operator, modul z ločljivim spektrom, multiplikator, točkasti multiplikator, upodobitev modula. Abstract A unital commutative Banach algebra 21 is spectrally separable if for every pair of distinct characters tp and ip on it there exist a and b in 21 such that ab = 0 and ip(a) = 0 = ^(fe). Every spectrally separable algebra is regular in the sense of Shilov, however they are not necessarily semisimple. If a unital commutative Banach algebra 21 contains a subset 2lo such that (i) the Gelfand transforms of elements in 2lo separate points of the spectrum of 21 and (ii) each element in 2lo induces a multiplication operator on 21 with the decomposition property (5), then 21 is spectrally separable. On the other hand, if 21 is spectrally separable, then any element in 21 induces a super-decomposable multiplication operator on every left Banach 2l-module. Spectrally separable algebras have nice properties in the sense of the local spectral theory and this reflects also on strongly harmonic operators, i.e. operators which are included in some spectrally separable algebra of operators. Every bounded linear operator whose functional calculus is rich enough is strongly harmonic and, on the other hand, every strongly harmonic operator is decomposable. An n-tuple of commuting bounded linear operators on a Banach space is strongly harmonic if there exists a spectrally separable algebra of operators which contains this n-tuple. Every strongly harmonic n-tuple is decomposable. Let E be an elementary operator whose coefficients form two strongly harmonic n-tuples. Then E is a strongly harmonic operator and its local spectra can be computed from the local spectra of the n-tuples of the coefficients in a natural way. Let 21 be a unital commutative Banach algebra. Under what conditions on a left Banach 21-module X is it true that each element in 21 induces a decomposable multiplication operator on X? In order to give an answer to this question we introduce representation theory for modules and this theory is a natural extension of the representation theory of algebras. There are many notions from the theory of algebras which are extended in a natural way to modules. For instance, we introduce a notion of spectrally separable module and answer the above question in the following way. If X is a left Banach 2l-module such that its dual module X* is spectrally separable, then each element in 21 induces a decomposable multiplication operator on X. By the help of the theory of module representations we define simple multipliers on a given Banach module. For example, all multipliers on a semisimple commutative Banach algebra are simple. We show that simple ABSTRACT 8 multipliers have similar properties as multipliers on algebras. Under some additional conditions on a module we can prove that simple multipliers on this module form a semisimple unital commutative Banach algebra. Then the assertions which are similar to the known results about multipliers on algebras can be proven. 2000 Mathematics Subject Classification. 46H15, 46H25, 47B40, 47B47, 47B48. Key words and phrases. Arveson spectrum, commutative Banach algebra, decomposable multiplication operator, multiplier, point multiplier, representation of module, spectrally separable algebra, spectrally separable module, strongly harmonic operator. Priprave V prvem razdelku tega poglavja se bomo seznanili z znanimi rezultati, ki pomenijo nekakˇsno os, okoli katere se bodo vrtela vsa naˇsa nadaljna razmiˇsljanja. V tem razdelku bomo tudi vpeljali najnujnejˇse pojme in oznake — veˇcino terminologije in notacije bomo uvedli v zadnjih razdelkih poglavja. Drugi razdelek je namenjen pregledu vsebine in postavitvi problemov. 1.1. Uvod Kot je dobro znano, se teorija avtomatične zveznosti ukvarja z vprašanji, kdaj iz algebraičnih pogojev sledi zveznost dane linearne preslikave, ki je definirana med dvema linearnima algebrskima strukturama, opremljenima s topologijo. V tem delu se bomo ukvarjali s podobnim fenomenom, le da nas bodo pri linearnih preslikavah namesto zveznosti zanimale tiste lastnosti, ki spadajo v lokalno spektralno teorijo. Naslednji izrek nam bo služil kot ilustracija, hkrati pa bomo ob njem vpeljali pojme, ki jih bomo potrebovali kasneje. Izrek 1.1.1 ([60], izrek 1.2). Naj bo 21 polenostavna komutativna kompleksna Banachova algebra (z ali brez enote). Za vsak a G 21 so ekvivalentne naslednje trditve: (a) Gelfandova transformiranka a je hull-kernel zvezna na S (21). (b) Operator mnoˇzenja Ta : x i—> ax, x G 21, je super-dekomponibilen. (c) Ta je dekomponibilen. (d) Ta ima ˇsibko 2-SDP. S S(21) smo označili množico karakterjev na 21, tj. množico neničelnih multiplikativnih linearnih funkcionalov. V primeru Banachovih algeber so multiplikativni linearni funkcionali vedno zvezni. Velja celo, da njihova norma ne presega 1. Torej je S(2l) podmnožica zaprte enotske krogle v 21*, topološkem dualu algebre 21. Če ima 21 enoto, je \\tp\\ = 1 za vsak ip G S(21). i 1.1. UVOD 2 Komutativna Banachova algebra je polenostavna, če obstaja dovolj karakterjev na njej v smislu, da je [I ker p) = {0}. Y>eL(2l) Kot podmnožica zaprte enotske krogle v 21* je S(21) na naraven način opremljena z relativno šibko * topologijo. Tej topologiji bomo v nadaljevanju rekli Gelfandova topologija, množici S(21) pa nosilni prostor algebre 21, ko bo opremljena s to topologijo. Gelfandova transformiranka elementa a G 21 je funkcija a : S(2l) —> C, ki je definirana z a(
) := (p(a) pri vseh
G L(21). Predpis T : a i—> a je Gelfandova transformacija na 21. Ta preslikava je injektivna natanko tedaj, ko je algebra 21 polenostavna. Gelfandova topologija na S(2l) je najšibkejša topologija, v kateri so Gelfandove transformiranke vseh elementov iz 21 zvezne. Označimo s Co (S (21)) algebro vseh zveznih kompleksnih funkcij na nosilnem prostoru algebre 21, ki imajo ničlo v neskončnosti. Potem je torej 21 := T(21) podalgebra (ne nujno zaprta) v Co(S(2l)). Ce ima algebra 21 enoto, je nosilni prostor kompakten topološki prostor in tedaj je 21 podalgebra v C(E(2l)). Ovoj podmnožice U C 21 je množica h%(JJ) := {(p G S(2l); U C ker
}. Jedro neprazne podmnožice E C S(21) je zaprt ideal
k%(E) := J J ker p),
jedro prazne množice pa je cela algebra 21. Predpis, ki poljubni množici E C L(21) priredi množico h^k^(E) := h%{k%{E)), je operator zaprtja. Se pravi, da lahko na S(2l) vpeljemo topologijo, v kateri so zaprte natanko tiste množice, ki so ovoji. Tej topologiji pravimo hull-kernel topologija in E(2l), opremljena s to topologijo, je strukturni prostor algebre 21.
V splošnem je hull-kernel topologija šibkejša od Gelfandove topologije, če sta topologiji enaki, pravimo, da je 21 regularna algebra (to je ena od ekvivalentnih definicij regularnosti, glejte izrek 7.1.2 v [50]).
Več o Banachovih algebrah bo bralec našel v [14], [50], [61] in [63]. Poglejmo zdaj še pojme iz lokalne spektralne teorije.
Naj bo X kompleksen Banachov prostor in B(X) algebra omejenih linearnih operatorjev na X. Operator T G B(X) je dekomponibilen natanko tedaj, ko za poljubno odprto pokritje {U, V} kompleksne ravnine C obstajata takšna podprostora ^ in Z v Lat (T), tj. v mreži zaprtih T-invariantnih podprostorov, da velja X = ^ + Z in poljuben karakter iz E. Potem je /x := (p(a) število v F. Ker je a(Ta\Z) C C \ F, obstaja za vsak z G Z takšen ž G Z, da je z = (a — fi)ž. Od tod sledi ip(z) = ( (a) — fi) (ž) = 0. To pomeni, da je = 0 na Z. Ker je bil poljuben iz E, velja Z C k%{E). Potem pa je ip G h%ik%i(E) C h%i(Z), oziroma ^ = 0 na Z. Upoštevajmo, da je y + Z = 21, pa imamo ip = 0, kar je nemogoče. D
Opomba 1.1.2. Iz predhodnega dokaza sledi, da za super-dekomponibi-len operator množenja Ta na polenostavni komutativni Banachovi algebri 21 lahko za operator R, ki nastopa v definiciji super-dekomponibilnosti, vedno izberemo operator množenja z nekim elementom r iz 21 (oziroma iz 21 © C, če 21 nima enote).
Naj bo 21 poljubna komutativna Banachova algebra. Označimo Dec2i(2l) := {a G 21; Ta : 21 —> 21 je dekomponibilen}.
Izrek 1.1.3 ([60], izrek 1.5). Naj bo 21 polenostavna komutativna Banachova algebra. Potem je Dec%{%l) zaprta podalgebra v 21. Za vsak a G Dec2[(2l) velja:
(i) Če je I zaprt ideal v 21, potem je zožitev operatorja Ta na I super-dekomponibilen operator.
(ii) Če je 53 poljubna Banachova algebra (ne nujno polenostavna ali komutativna), ki vsebuje 21 kot podalgebro, potem je razširitev Ta : 53 —> 53 operatorjaTa, kije dana zTax = ax, a; G 53, super-dekomponibilen operator.
Dokaz. Po izreku 1.1.1 so v Dec^(^i) natanko tisti elementi iz 21, katerih Gelfandove transformiranke so hull-kernel zvezne. Od tod očitno sledi, da je Dec2i(2l) podalgebra v 21. Pokažimo, daje zaprta. Naj bo {flnj^Li poljubno Cauchyjevo zaporedje v Dec<%(%L), ki konvergira k a G 21. Pokazati moramo,
1.1. UVOD 6
da je Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna. Naj bo U C C odprta množica. Predpostavimo, dajea_1([7) neprazna. Vzemimo poljuben 0 poljubno pozitivno število manjše od polovice te razdalje. Z D(A, e) označimo odprti disk v C, katerega središče je v A, njegov polmer pa je e. Pri vsakem indeksu n je a~1(D(A, e)) hull-kernel odprta podmnožica v L(21). Naj bo hq takšen indeks, da iz n > hq sledi \\a — an\\ < e. Pokažimo, da tedaj pri vsakem n > uq velja a~1(D(A,e)) C a~l(U). Res! Če je ip G a~1(D(A, e)), potem je
\&(ip) — A| < \a(ip) — an(ip)\ + \an(ip) — A| < \\a — an\\ + e < 2e,
od koder sledi a(tp) G U in nato ip G a~l(U). Iz
IA — an( 21 super-dekomponibi-len.
(d) Za vsak a G 21 je Ta : 21 —> 21 dekomponibilen.
(e) Obstaja tak sistem generatorjev 2l0 algebre 21, da ima vsaA; Ta : 21 —> 21, a G 2l0, šibko 2-SDP.
Dokaz. Ker v primeru regularnih algeber hull-kernel topologija in Gelfandova topologija na S(2l) sovpadata, je jasno, da iz (a) sledi (b). Implikacija (b)=>(c) sledi iz izreka 1.1.1, implikaciji (c)=>(d) in (d)=>(e) pa sta trivialni. Predpostavimo torej, da velja (e). Po izreku 1.1.1 je za vsak a G 2l0 Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna. Potem pa je hull-kernel zvezna tudi Gelfandova transformiranka b poljubnega elementa b iz algebre, ki jo v 21 generira 2l0- To pomeni, da Dec<%(%L) vsebuje množico, ki je gosta v 21. Zaradi zaprtosti Dec^(^i) je Dec%{%l) = 21 od koder, spet po izreku 1.1.1, sledi, da so vse Gelfandove transformiranke elementov iz 21 hull-kernel zvezne. To pa je mogoče le, če hull-kernel topologija in Gelfandova topologija sovpadata na S(2l), kar je isto kot zahteva, da je 21 regularna. D
Ge v izreku, ki ga je dokazal Frunza, polenostavnost izpustimo, dobimo karakterizacijo algeber z ločljivim spektrom. To je poseben razred regularnih algeber, ki jih je študiral Baskakov (glejte [13]).
Izrek 1.1.5 (Baskakov). Unitalna komutativna Banachova algebra 21 je algebra z ločljivim spektrom natanko tedaj, ko obstaja takšna podmnožica 2l0 v 21, da velja:
(i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2l0 ločijo točke v spektru algebre 21 in
(ii) za vsak a G 2l0 je operator množenja Ta : 21 —> 21 dekomponibilen.
Dokaz izpustimo, saj bomo v naslednjem poglavju, ko se bomo podrobneje seznanili z algebrami z ločljivim spektrom, dokazali njegovo razširjeno verzijo.
Albrecht [5] je pokazal, da v vsaki polenostavni komutativni Banachovi algebri z enoto 21 obstaja največja regularna podalgebra, ki jo bomo v nadaljevanju označili z Reg (21).
Izrek 1.1.6 ([60], izrek 2.5). Naj bo 21 polenostavna komutativna Banachova algebra (z ali brez enote). Potem obstaja v 21 največja regularna zaprta podalgebra Reg (21), za katero velja Reg (21) C Dec$i($l).
Dokaz. Označimo z 2l0 unijo vseh regularnih zaprtih podalgeber 9Jt v 21. Ce ima 21 enoto 1, potem je 1 G 2l0. Ko pa 21 nima enote, se lahko zgodi, da je 2l0 = {0} in torej tudi Reg (21) = {0}. V nadaljevanju bomo
1.2. PREGLED VSEBINE IN VPRAŠANJ 8
predpostavili, da 2lo ni prazna. Pokazali bomo, da je zaprta podalgebra 53, ki jo v 21 generira 2lo, regularna. Po izreku 1.1.4 je dovolj videti, da je za vsak a G 2lo operator množenja Ta dekomponibilen na 53. Za vsak a G 2to obstaja takšna zaprta regularna podalgebra 9Jt v 21, da je a G 9Jt. Po izreku 1.1.4 je Ta dekomponibilen na 9Jt, toda potem je dekomponibilen tudi na 53 in 21, po trditvi (ii) izreka 1.1.3. To dokazuje, da je 53 regularna in da je 2lo Q Dec<%(%l). Ker pa je Dec<%(%L) zaprta podalgebra v 21, velja 53 C Dec2i(2l). Glede na konstrukcijo je jasno, da je 53 največja regularna zaprta podalgebra v 21. D
Izrek 1.1.6 velja tudi, če ne predpostavimo polenostavnosti (glejte izrek 2.8 v [60]). Pripomnimo še, da je v primeru polenostavnih algeber še vedno odprt problem, ali je inkluzija Reg (21) C Dec%(%l) kdaj prava (glejte [53] in tam navedeno literaturo).
1.2. Pregled vsebine in vprašanj
V tem razdelku bomo na hitro pregledali vsebino in formulirali vprašanja, s katerimi se bomo ukvarjali. Izhodišče so rezultati v prvem razdelku tega poglavja.
Začnimo z drugim poglavjem. V njem bomo izdelali teorijo algeber z ločljivim spektrom, motivacija za to pa so naslednja vprašanja, ki izhajajo iz izrekov 1.1.3, 1.1.4 in 1.1.5.
Naj bo X levi Banachov modul nad komutativno Banachovo algebro 21. Z Dec%{X) označimo množico vseh tistih elementov iz 21, ki inducirajo na X dekomponibilen operator množenja.
Vprašanje 1.2.1. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kaj mora veljati za 21, da bo pri vsakem levem Banachovem %-modulu X veljalo Decs%(X) =21?
Odgovor na zastavljeno vprašanje dajeta izreka 2.4.1 in 2.4.3: enakost Dec%(X) = 21 bo veljala za vse leve Banachove 2l-module natanko tedaj, ko je 21 algebra z ločljivim spektrom. Se več, če je 21 algebra z ločljivim spektrom, inducirajo vsi elementi iz 21 na vsakem levem Banachovem 21-modulu super-dekomponibilne operatorje (izrek 2.4.2).
Vprašanje 1.2.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Kaj lahko povemo o preseku
rixDec2i(X), ki je vzet po vseh levih Banachovih %-modulih?
1.2. PREGLED VSEBINE IN VPRAŠANJ 9
V razdelku 2.5 bomo pokazali, da v vsaki komutativni Banachovi algebri 21 z enoto obstaja najveˇcja podalgebra z loˇcljivim spektrom, Sep (21). Zaradi izreka 2.4.1 velja
S ep (21) C rixDec2i(X).
Podalgebra Sep (21) se obnaˇsa podobno kot Reg(%l), vendar vpraˇsanje, ali ti dve podalgebri sovpadata, ostaja odprto.
Iz karakterizacije algeber z loˇcljivim spektrom sledi njihova tesna povezanost z lokalno spektralno teorijo operatorjev. V tretjem poglavju bomo ˇstudirali krepko harmonične operatorje. Operator T na Banachovem prostoru X je krepko harmoniˇcen, ˇce obstaja takˇsna algebra z loˇcljivim spektrom 21 C B(X), ki vsebuje T in identiˇcni operator /.
Naj bosta X in y Banachova prostora in 21 C B()$) ter 53 C B(X) algebri z loˇcljivima spektroma. Potem je B(X, y) — prostor vseh omejenih lineranih preslikav iz X v ^ — Banachov 2l-53-bimodul. Naj bo E elementaren operator na B(X,)$), s koeficienti iz 21, oziroma iz 53.
Vpraˇsanje 1.2.3. Ali je E krepko harmoničen operator?
Izrek 3.3.1 nam zagotavlja, da je za posebne vrste elementarnih operatorjev odgovor pritrdilen. V sploˇsnem pa dobimo pritrdilen odgovor pri dodatnih predpostavkah, glejte izrek 3.3.3.
Vpraˇsanje 1.2.4. Kako so lokalni spektri elementarnega operatorja E odvisni od lokalnih spektrov njegovih koeficientov?
Odgovor na vpraˇsanje daje izrek 3.3.11.
Ce je 21 polenostavna komutativna Banachova algebra, potem je element a G 21 v Dec2i(2l) natanko tedaj, ko je Gelfandova transformiranka a hull-kernel zvezna (izrek 1.1.1). Laursen in Neumann ([56], [53]) sta ta rezultat razˇsirila. Pokazala sta, da velja za nekatere multiplikatorje. Multiplikator iz (levega) Banachovega 2l-modula X v (levi) Banachov 2l-modul y je omejena linearna preslikava T : X —> y, za katero velja T(a ¦ x) = a ¦ Tx (a G 21, x G X). V posebnem je multiplikator na 21 omejen linearen operator T : 21 —> 21, za katerega velja T(ab) = a(Tb) (a, b G 21).
Vpraˇsanje 1.2.5. Ali je mogoče omenjeni rezultat dokazati za kakšen razred multiplikatorjev na Banachovih modulih?
Da bi vpraˇsanje 1.2.5 bilo smiselno, je potrebno izdelati za module podobna orodja, kot so na voljo pri algebrah.
Vpraˇsanje 1.2.6. Kako vpeljati v teorijo Banachovih modulov pojme, ki bodo analogije naslednjih pojmov iz teorije algeber: upodobitev algebre, karakter, Arvesonov spekter, praideal, primitiven ideal, radikal, ...?
1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 10
S tem vprašanjem se ukvarjamo v četrtem poglavju. V petem poglavju pa obravnavamo vprašanje 1.2.5. Za enostavne multiplikatorje na modulih pokažemo, da imajo podobne lastnosti, kot jih imajo multiplikatorji na ko-mutativnih algebrah (slednji so poseben primer enostavnih multiplikator-jev).
V zadnjem, šestem, poglavju obravnavamo naslednje vprašanje.
Vprašanje 1.2.7. Naj bo A komutativna Banachova algebra z enoto. Kakšen mora biti levi Banachov A-modul X, da velja Dec<^(%) = A ?
Za razliko od vprašanja 1.2.1 iščemo zdaj pogoje za modul, ne za algebro. Da bi lahko odgovorili na zastavljeno vprašanje, razširimo pojem Arvesonovega spektra do upodobitev modulov. Nato vpeljemo module z ločljivim spektrom in pokažemo, da velja Dec<^(%) = A za vsak levi Banachov A-modul X, katerega dualni modul X* ima ločljiv spekter (glejte posledico 6.3.7).
1.3. Lokalna spektralna teorija
Ta razdelek je namenjen izključno vpeljavi pojmov iz lokalne spektralne teorije. Naši standardni referenci sta [21] in [53], na nekaterih mestih pa se bomo sklicali kar na originalne članke.
Osrednji pojem lokalne spektralne teorije — dekomponibilnost — smo že srečali. Dogovorimo se za naslednje oznake. Ce je X kompleksen Banachov prostor, naj bo §(X) mreža vseh zaprtih podprostorov v X. S cl (Q) pa označimo družino vseh zaprtih podmnožic v topološkem prostoru Q.
Definicija 1.3.1. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in Q topoloski prostor. Preslikava
E : cl (Q) —> §(X)
je spektralna kapaciteta tipa (Q, X), če zanjo velja: (i) E(0) = {0} in E(Q) = X. (ii) Za poljubno družino {Fi}i^i zaprtih podmnožic v Q je
E(f]-Pi) = l) E(.Fj).
i& iel
(iii) Če je {G1,... , Gm} odprto pokritje topološkega prostora Q, potem
je
X = E(G1) + ... + E(GTO).
Pojem spektralne kapacitete je vpeljal Apostol leta 1968, naša definicija pa je posplošena verzija, ki jo je dal Frunza v [35] (definicija 3.1). Apostol je vpeljal pojem spektralne kapacitete kot pomoč pri študiju dekomponibilnosti operatorjev.
1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 11
Definicija 1.3.2. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in T G B(X). Za T pravimo, da ima spektralno kapaciteto, če obstaja takšna spektralna kapaciteta E tipa (C,X), za katero velja
(a) E slika iz cl (C) v Lat (T) in
(b) a(T\E(F)) C F za vsak F G cl (C).
Da sta pojem spektralne kapacitete in dekomponibilnosti tesno povezana, kaže naslednji izrek.
Izrek 1.3.3. Omejen linearen operator T na kompleksnem Banachovem prostoru X je dekomponibilen natanko tedaj, ko ima spektralno kapaciteto. Se več, spektralna kapaciteta dekomponibilnega operatorja je enolično določena.
Za dokaz glejte, recimo, [53], izrek 1.2.23. Da bi lahko povedali, kako je določena spektralna kapaciteta iz izreka, potrebujemo naslednje pojme.
Naj bo T poljuben omejen linearen operator na kompleksnem Banachovem prostoru X. Točka z G C je v lokalni resolventni množici Pt(x) operatorja T pri vektorju x G I, če obstajata takšna odprta okolica U točke z in takšna analitična funkcija / : U —> X, da velja
(T — A)/(A) = x za vse A G U.
Lokalni spekter o~t{x) operatorja T pri a; G X je potem definiran z
ctt(x) := C \ prix).
Zdaj lahko definiramo lokalne spektralne podprostore operatorja T G B(X). Za poljubno množico S C C je pripadajoči lokalen spektralni pod-prostor dan z
Xt(S) := {x G X; ctt(x) C S}.
Lokalni spektralni podprostori so invariantni za delovanje operatorja T, vendar v splošnem niso zaprti — niti za zaprto množico S ne. Za X^(0) velja, recimo, da je zaprt natanko tedaj, ko je enak trivialnemu prostoru, slednje pa je ekvivalentno dejstvu, da ima operator T SVEP.
Definicija 1.3.4. Operator T G B(X) ima SVEP (single-valued extension property), če za vsako odprto množico U C C velja, da je edina analitična rešitev f : U —> C enačbe (T — A)/(A) = 0 (A G U) funkcija, ki je povsod enaka 0.
Ce je T G B(X) dekomponibilen operator, je pri vsaki množici F G cl (C) lokalen spektralni podprostor Xt(F) zaprt. Izkaže se, daje spektralna kapaciteta operatorja T dana z lokalnimi spektralnimi podprostori:
E(F) = Xt(F) (F G cl (C)).
1.3. LOKALNA SPEKTRALNA TEORIJA 12
Motiviran z izrekom 1.3.3 je Frunza vpeljal pojem dekomponibilne n-terice operatorjev ([35], definicija 3.2).
Definicija 1.3.5. Komutirajoča n-terica omejenih linearnih operatorjev T = (Ti, ... , Tn) na Banachovem prostoru X je dekomponibilna, če obstaja takšna spektralna kapaciteta E tipa (Cra,X), da velja:
(a) TfcE(F) C E(F) za vse F G cl (Cn) in 1 < k < n.
(b) Pri vsaki zaprti podmnožici F C Cn je Taylorjev spekter n-terice T na E(F) vsebovan v F, tj.
a(T, E(F)) C F (F G cl (C*7-)).
Definicije Taylorjevega spektra tu ne bomo navajali, bralec jo bo našel v [65].
Definicija 1.3.6. Naj bo X kompleksen Banachov prostor in T = (T\, ... , Tn) komutirajoča n-terica omejenih linearnih operatorjev na X.
Analitična resolventna množica n-terice T pri x G X je množica p(T, x) vseh z G Cn, za katere velja, da obstaja takšna odprta okolica V točke z in n analitičnih funkcij /i,... , fn na V, ki slikajo v X, da velja
x = ((i — Ti)fi(() + ... + (Lra — Tn)fn(Q (( s F).
Analitičen lokalni spekter n-terice T pri x G X je definiran z
o~(T,x) := Cn \ p(T,x).
Izrek 1.3.7. Dekomponibilna n-terica T komutirajočih omejenih linearnih operatorjev na kompleksnem Banachovem prostoru X ima enolično določeno spektralno kapaciteto, ki je dana z
E(F) = {x G X; cr(T,x) C F} (F G cl(Cn)).
Dokaz izreka 1.3.7 je v [1], izrek 2.6. Kar se tiče n-teric operatorjev, smo končali, pripomnimo le, da je spektralni dekompoziciji n-teric operatorjev delno posvečena tudi monografija [31].
Na koncu tega razdelka vpeljimo še dva pojma, ki sta že dolgo prisotna v lokalni spektralni teoriji operatorjev, katerih pomen pa se je pokazal šele pred kratkim, [6].
Definicija 1.3.8. Operator T G B(X) ima Bishopovo lastnost (/3), ko velja: če je U odprta podmnožica v C in fn : U —> X zaporedje analitičnih funkcij, za katero velja, da (T — X)fn(X) konvergira enakomerno k 0 na vsaki kompaktni podmnožici množice U, potem konvergira zaporedje fn(X) enakomerno k 0 na vsaki kompaktni podmnožici v U.
1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 13
Operator T ima dekompozicijsko lastnost (5), če ima pri poljubnem odprtem pokritju {U1, U2} kompleksne ravnine vsak igl razcep x = 11,1+11,2, pri čemer za vektorja v,k, k = 1,2, velja
v,k = (T — A)/fc(A) (A G C \ Uk)
in sta fk, k = 1,2, analitični funkciji iz C \ V k v X.
Operator T G B(X) je dekomponibilen natanko tedaj, ko ima obe lastnosti, ((3) in (5) (glejte [6] in [53]). V [6] sta Albrecht in Eschmeier pokazala, da sta lastnosti dualna ena drugi: operator T ima Bishopovo lastnost ((3) natanko tedaj, ko ima adjungirani operator T* dekompozicijsko lastnost (5). Ekvivalenca velja tudi, če T in T* med sabo zamenjamo. Za podrobnosti glejte tudi [53]. Izkaže se tudi, da je ((3) natanko tista lastnost, ki določa operatorje, ki so zožitve dekomponibilnih operatorjev na zaprte invariantne podprostore. Lastnost (5) pa določa natanko vse operatorje, ki jih dekom-ponibilni operatorji inducirajo na kvocientnih prostorih (glejte [53]).
1.4. Definicija modulov in osnovne lastnosti
Namen tega razdelka je vpeljava nekaterih pojmov, s katerimi bomo delali v nadaljevanju — predvsem imamo v mislih pojem modula in z njim povezane pojme. Navedli bomo nekatere osnovne odnose med definiranimi objekti in nekatere trditve bomo tudi dokazali. Ker pa bo v veliki meri šlo za preproste ugotovitve, bomo marsikateri dokaz izpustili. Večina obravnavane snovi je povzeta iz standardnih referenc, recimo [14] in [61]. Čeprav bi lahko pojem modula zastavili zelo na široko, se bomo omejili na situacijo, ko je modul kompleksen vektorski prostor, na njem pa delujejo preko modulskega množenja elementi kompleksne algebre. V tem razdelku ni predpostavljeno, da bi katera od algeber ali kateri od vektorskih prostorov bil opremljen s topologijo.
Definicija 1.4.1. Vektorski prostor X je levi 21-modul, če obstaja takšna preslikava
(1.4.1) 21 x X —> X, (a, x) 1—> a • x,
da zanjo velja
(LM1): pri vsakem a G 21 je La : x 1—> a • x linearna preslikava na X; (LM2): pri vsakem x G X je P(x) : a 1—> a • x linearna preslikava iz 21 v
X; (LM3): za vse a1, 0,2 G 21 in x G X je a1 ¦ (0,2 ¦ x) = (0102) • %¦
Če je X levi %-modul, je preslikava (1.4.1) levo modulsko množenje.
1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 14
Podobno definiramo desni %l-modul X. Tu mora obstajati preslikava (1.4.2) 21 x X —> X, (a, a;) i—> x ¦ a,
za katero velja
(RM1): pri vsakem a G 21 je i?a : x *-^ x ¦ a linearna preslikava na X;
(RM2): pri vsakem a; G X je A (a;) : a i—> x ¦ a linearna preslikava iz 21 v X;
(RM3): za vse a1, 02 G 21 in x G X je (x ¦ a1) ¦ 0,2 = x ¦ (0,10,2)-Preslikava (1.4.2) z lasnostmi (RM1), (RM2) in (RM3) je desno modulsko množenje.
Prostor X je %l-?8-bimodul, če je levi 2l-modul ter desni 53-modul in sta modulski množenji usklajeni z enakostjo
(BM): a ¦ (x ¦ b) = (a ¦ x) ¦ b, (a G 21, b G 53, x G X).
Zaradi (BM) lahko pišemo kar a-x-b namesto (a-x) ¦ 6, oziroma a-(x-b).
Pripomnimo, daje vsak levi 2l-modul 2l-C-bimodul, vsak desni 53-modul pa je C-53-bimodul. Ce je X 2l-5S-bimodul in je 21 = 53, bomo rekli, da je X 2l-bimodul.
Zgled 1.4.2. Algebra 21 je 2l-bimodul, če sta levo in desno modulsko množenje definirana z množenjem v algebri. Bolj splošno: glede na običajno množenje v 21 je vsak levi ideal v 21 levi 2l-modul, vsak desni ideal je desni 2l-modul in dvostranski ideal je 2l-bimodul.
Zgled 1.4.3. Naj bosta X in ^ vektorska prostora. Z L(X) in L(^) označimo algebri vseh linearnih preslikav na X, oz. na y, z L(X,y) pa prostor vseh linearnih preslikav iz X v y. Ker je komponiranje preslikav asociativno, se ni težko prepričati, daje L(X,y) L(y)-L(X)-bimodul.
Definicija 1.4.4. Naj bo X levi^i-modul. Podprostor^ C X je podmodul, če je invarianten za modulsko množenje, tj. če iz y G ^ sledi a-y G ^ za vse a G 21.
Podobno definiramo podmodule v desnih modulih in bimodulih.
Trivialen podprostor 0 := {0} in cel modul sta vedno podmodula. Očitno je presek podmodulov spet podmodul. Velja torej naslednja trditev.
Trditev 1.4.5. Vsaka podmnožica M v levem %-modulu X je vsebovana v nekem najmanjšem podmodulu, ki ga bomo označili z (M).
Zlahka preverimo, da je
(M) = {a1 ¦ x1 + ... + an ¦ xn; a^ G 21, i^el, n G N}.
1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 15
Naj bo 21 algebra. Oznaˇcimo z 21^ algebro, ki jo dobimo iz algebre 21 tako, da mnoˇzimo v obratnem vrstnem redu. Produkt elementov a in b je torej v 2lop definiran z a o b = ba, pri ˇcemer je na desni strani produkt iz 21.
Trditev 1.4.6. Ce je X levi %-modul, potem je X za preslikavo (a, x) i—> x -k a := a ¦ x desni %lop-modul.
Podobno je X levi %op-modul ˇce je desni %l-modul. Vsak 21-53-bimodul X je 53op-%op-bimodul.
Trditev 1.4.7. Naj bosta 21 in 53 algebri in naj bo X 21-53-bimodul, potem je X tudi levi 21 <8> 53pp -modul.
Iz trditev 1.4.6 in 1.4.7 sledi, da ne izgubimo veliko, ˇce se pri obravnavi modulov omejimo na leve module. To bomo v nadaljevanju tudi storili.
Dual vektorskega prostora X, tj. prostor vseh linearnih funkcionalov na X, bomo oznaˇcili z X'. ˇ e je X levi (desni) modul nad algebro 21, potem lahko na X' na naraven naˇcin vpeljemo strukturo desnega (levega) 2l-modula. Tako je, na primer, produkt L • a elementa a iz 21 in funkcionala L iz duala levega 2l-modula X definiran z (L • a, x) = (L, a ¦ x), x G X. Zlahka preverimo, da je definicija dobra in da je preslikava (a, L) i—> L • a desno modulsko mnoˇzenje na X'. Podobno definiramo levo modulsko mnoˇzenje na X', ko je X desni 2l-modul. Ce je X 2l-53-bimodul, je X' 53-2l-bimodul. Prostor X' bomo v nadaljevanju imenovali dualni modul, ˇce bo modulsko mnoˇzenje na njem definirano tako, kot smo pravkar opisali.
Ce je kateri od vektorskih prostorov X in y modul nad algebro 21, potem lahko prostor L(X, y) na naraven naˇcin opremimo s strukturo 2l-modula. Velja naslednja trditev.
Trditev 1.4.8. Naj bo 21 algebra in X ter )$ vektorska prostora. (i) Ce je X levi %-modul, potem je L(X, y) desni %l-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z
(T ¦ a)x = T (a ¦ x) (T G L(X, y), a G 21, x G X).
(ii) Ce je X desni %-modul, potem je L(X,y) levi %-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z
(a ¦ T)x = T(x -a) (T G L(X, y), a G 21, a; G X).
(iii) Ce je ^ levi %-modul, potem je L(X,y) levi %-modul: modulsko mnoˇzenje je definirano z
(a ¦ T)x = a ¦ Tx (T G L(X, y), a G 21, a; G X).
1.4. DEFINICIJA MODULOV IN OSNOVNE LASTNOSTI 16
(iv) Ceje^ desni %-modul, potem je L(X,y) desni %l-modul: modulsko množenje je definirano z
(T ¦ a)x = Tx -a (T G L(X, y), a G 21, a; G X).
Ce je vektorski prostor X levi 2l-modul, vektorski prostor y pa je levi 53-modul, potem iz
[6 • (T • a)] o; = b ¦ [(T ¦ a)x] = b ¦ T (a ¦ x)
= (b ¦ T)(a ¦ x) = [(b ¦ T) ¦ a]x,
(T G L(X, y), a G 21, b G 53, a; G X)
sledi, daje L(X, y) 53-2l-bimodul. Na podoben način vidimo, daje L(X, y) 2l-53-bimodul, če je X desni 2l-modul, y pa desni 53-modul.
Naj bo 21 algebra in X ter y leva 2l-modula. Preslikava T G L(X,y) je homomorfizem modulov, če velja
T(a • x) = a ¦ Tx (a G 21, iel).
Ni težko videti, da je množica vseh modulskih homomorflzmov iz X v ^ linearen podprostor v L(X,y), oziroma podalgebra v L(X), če je X = y. Označimo ta podprostor, oziroma podalgebro, z Lf&(X,)$), oziroma z Lgi(X). Homomorflzme desnih modulov in bimodulov definiramo podobno. Podobne so tudi oznake: L(X,y)B z& prostor vseh modulskih homomorflzmov iz desnega 53-modula X v desni 53-modul y, L(X)b za algebro vseh modulskih homomorflzmov iz desnega 53-modula vase, L^(X,^)b, oziroma L^(X)b, pa sta prostor, oziroma algebra, modulskih homomorflzmov, ko sta X in ^ 2l-5S-bimodula. V nadaljevanju bomo na kratko vsakemu modulskemu homomorfizmu rekli multiplikator.
Zgled 1.4.9. Naj bo X levi 2l-modul. Potem je
P(a;) G Ls%(%l, X) (x G X).
Definicija 1.4.10. Naj bo X levi %l-modul. Anihilator množice M C 1 je
ann%{Ai) = {a G 21; a ¦ x = 0 za vse x G M}.
Očitno je ann%{Ai) = f]x^MkerV{x).
Trditev 1.4.11. Naj bo X levi %l-modul in M C X poljubna podmnožica. Potem je ann%{Ai) levi ideal v 21. Ce je M levi podmodul, potem je ann%{Ai) dvostranski ideal v 21.
Definicija 1.4.12. Levi %l-modulX je zvest, čejeann%{X) trivialen ideal v 21.
1.5. BANACHOVI MODULI 17
Zgled 1.4.13. Naj bo X levi 2l-modul in 3 dvostranski ideal v 21. Potem je tudi 53 = 21/ 3 algebra. Če je 3 C ann$i(%), potem lahko za vsak ss lin vsak [a] = a+3 G 53 definiramo [a] -a; = a-x. Brez težav se lahko prepričamo, da je s tem množenjem X levi 53-modul. Ko je 3 = ann<^(X), je X zvest levi 53-modul.
Zgled 1.4.14. Naj bo zdaj y podmodul v levem 2l-modulu X. Za poljubna
a G 21 in [x] = x + ^ G X/y lahko definiramo a ¦ [x] = [a ¦ x] = a ¦ x + y. Izkaže se, da je za to množenje X/y levi 2l-modul.
Naj bo X levi modul nad algebro 21, ki ima enoto 1. V nadaljevanju bomo vedno privzeli, da velja 1 • x = x, i6l, torej da je X unitalen modul.
Če je 21 algebra brez enote, naj bo 2li := 21 x C (= 21 © C) njena standardna unitizacija. Se pravi, da sta linearni operaciji v 2li definirani po komponentah, množenje pa je dano z
(a, a)(b, (3) = (ab + ab + (3a, a(3), (o,, a), (b, /?)g21i.
Element (0,1) je enota v 211. Glede na množenje
(a, a) ¦ x = a ¦ x + ax, (a, a) G 211, iel,
je vsak levi 2l-modul X tudi levi 2li-modul.
Naj bo ii neprazna podmnožica v algebri 21 in M neprazna podmnožica v levem 2l-podmodulu X. V nadaljevanju bomo z ii • M označili množico
n
{ > etfc • Xk] ctfc G ii, Xk G M}. fc=i
Če je ii singleton {a} bomo uporabili oznako a-M. Podobno bomo v primeru, ko je M singleton {x} pisali ii • x. Ko je 21 algebra z enoto, je 21 • M = (M), najmanši podmodul v X, ki vsebuje množico M C X.
Če je 3 levi ideal v algebri 21, potem je 3 ¦ X podmodul v levem 2l-modulu X. Rekli bomo, daje 3-X koideal, ki pripada 3. Lahko se zgodi, da isti koideal pripada več idealom.
1.5. Banachovi moduli
V tem razdelku bomo obravnavali module, ki imajo tudi topološko strukturo, natančneje: zanimali nas bodo Banachovi moduli. Tako kot v prejšnjem bomo tudi v tem razdelku izpustili večino dokazov, saj jih je mogoče najti v [14] in [61].
Definicija 1.5.1. Naj bo 21 normirana kompleksna algebra in naj bo X normiran vektorski prostor nad C Potem je X normiran levi 2l-modul, če je levi %-modul, ki zadošča še pogoju
1.5. BANACHOVI MODULI 18
(NLM): obstaja takšna pozitivna konstanta K, da za vse a G 21 in vse x G X velja
(1.5.1) \\a ¦ x\\ < -f^||a|| H^ll-
Če je normiran levi %l-modul X Banachov prostor, potem govorimo o Banachovem levem 2l-modulu.
Podobno definiramo normirane in Banachove desne 2l-module ter normirane in Banachove bimodule.
Iz (1.5.1) sledi, da so preslikave La in P(x) iz 1.4.1 (oziroma Ra in A(x), če imamo desne module) zvezne.
Če je X normiran levi modul nad normirano algebro 21, potem je modul-sko strukturo mogoče razširiti na napolnitev prostora X. Prav tako je vsak Banachov levi 2l-modul tudi modul nad napolnitvijo algebre 21. To je razlog, da se bomo v nadaljevanju omejili na Banachove module nad Banachovimi algebrami. Ko bomo v nadaljevanju govorili o Banachovem modulu bo vedno privzeto, da je algebra, nad katero je zgrajen, Banachova.
Zgledi Banachovih modulov so zaprti ideali v Banachovi algebri 21: levi (desni) zaprt ideal 3 je levi (desni) 2l-modul, dvostranski ideal je 2l-bimodul.
Če je X Banachov levi 2l-modul, linearna množica M C X pa je invari-antna za delovanje algebre 21, potem je M zaprt podmodul v X. Namreč, pri vsakem a G 21 je zožitev operatorja množenja La na M omejen operator, ki ga torej lahko zvezno razširimo na M.
Trditev 1.5.2. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi %l-modul Če je ^ zaprt podmodul v X, potem je tudi kvocientni prostor X/y Banachov levi %l-modul.
Definicija 1.5.3. Banachov levi %l-modul X je izometričen, če velja
\\a ¦ x\\ < ||a||||^||
za vse a G 21 in vse iel
Trditev 1.5.4. Če je X Banachov levi %-modul, potem obstaja na X takšna norma \\ ¦ \\', ki je ekvivalentna prvotni normi, da je X glede na to normo izometričen Banachov %l-modul.
Dokaz. Naj bo 2li = 21 © C. Ker je 21 Banachova algebra, je tudi 2li Banachova algebra: norma je definirana z \\a © a|| = ||a|| + |a|. V zgledu 1.4.14 smo videli, da je X modul nad 2li in da je 1 • x = x za vse a; G X, pri
1.5. BANACHOVI MODULI 19
čemer je 1 (= 0 © 1) enota iz 211. Ker je
|| (a © a) ¦ x\\ = \\a ¦ x + ax\\ <||a-a;|| + |a:|||a;||
< (i^||a|| + |a|)||a;|| < i^(||a|| + |a|)||a;|| = l^||a © a||||a;||,
je X Banachov levi 2li-modul.
Pri danem ieX naj bo H^H' := sup{||a-a;||; a G 2li, ||a|| < 1}. Ni težko videti, da je || • ||' norma na X. Zaradi ||1|| = 1 je ||a;|| < sup{||a • x\\; a G 2ti; IMI < 1} = \\XW ¦ Prav tako je
H^H' = sup{||a • x\\; a G 2li, ||a|| < 1} < sup{X||a||||a;||; a G 2li, ||a|| < 1} = X||a;||.
Torej je norma || • ||' res ekvivalentna prvotni normi.
Pokažimo še, da je glede na novo normo X izometričen 2l-modul. Naj bosta a G 21 \ {0} ini s X poljubna. Potem je
\\a ¦ x\\' = sup{||6 • (a • x)\\; b G 211, ||6|| < 1}
n n ni7 a n 7 o, lun -n
= a sup{\\b ¦ j—t ' x\\'i " ^ -^l) " — 1) ||a||
< ||a|| sup{||c ¦ x\\; c G 2li, ||c|| < 1} = llallll^H'.
D
Če ne bo drugače rečeno, bomo v nadaljevanju za Banachov modul vedno privzeli, da je izometričen.
Presek zaprtih podmodulov v levem Banachovem modulu je spet zaprt podmodul, zato je vsaka podmnožica M vsebovana v najmanjšem zaprtem podmodulu, ki ga bomo označili z [M]. Očitno je [M] = (M)-
V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj zgledov Banachovih modulov.
Zgled 1.5.5. Naj bo 21 poljubna Banachova algebra. Označimo s S(2l) množico vseh kaeakterjev (tj. neničelnih multiplikativnih linearnih funkci-onalov) na 21 in naj bo Eo(2l) = S(2l) U {0}. Spomnimo se, da je S(2l) podmnožica zaprte enotske krogle v 21*. Naj bo ^ G So(21) poljuben. Iz enodimenzionalnega prostora C lahko napravimo Banachov levi 2l-modul tako, da modulsko množenje definiramo z
a ¦ z = (f)(a)z, (a G 21, z G C).
Pogoju (LM1) je očitno zadoščeno. Zaradi linearnosti , da je (b) 7^ 0. Ker je tudi (p(a) 7^ 0, mora veljati ab 7^ 0, kar nam da 6 ^ ann%{a). Zdaj, ko je enakost ann%{a) = k%{uo{a)) dokazana, je jasno, da je Beurlingov spekter elementa a enak hull-kernel zaprtju množice u(a). V primeru regularne algebre hull-kernel topologija in Gelfandova topologija sovpadata, zato je tedaj Beurlingov spekter elementa a enak nosilcu njegove Gelfandove transformiranke. D
Zgled 2.1.3. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Njen dual 21* je seveda dualni Banachov 2l-modul, tj. produkt med poljubnima a G 21 in L G 21* je definiran z {a-L,x) = (L, ax), x G 21. Vsak multiplikativen linearen funkcional na 21 je v 21*. Trdimo, da je Sp%{p) = { } za vse G L(21). Najprej pokažimo, da je ann%{p) = ker . Res! Ce je a G ann^(ip), potem pri vsakem x G 21 velja 0 = (a • p){x) = p(ax). Naj bo x = 1, pa dobimo a G ker p). Obrat: če je p(a) = 0, potem pri poljubnem x G 21 velja 0 = p(a)p(x) = p(ax) = (a ¦ )(x), kar nam da a G ann%{p). Ker je ker p = k%{p) in je vsak singleton hull-kernel zaprta množica, velja
Sp%{p) = h%{ann%{p)) = h%{k%{p)) = {p}. V naslednji trditvi so naštete osnovne lastnosti Beurlingovega spektra.
Trditev 2.1.4. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in naj bo X Banachov levi %l-modul.
(i) Za vsako podmnožico 11 C X je Beurlingov spekter Sp%(11) hull-kernel zaprta podmnožica v L(21). Ce ima 21 enoto, je torej Sp%(11) kompaktna množica.
(ii) Ce ima 21 enoto, potem je Beurlingov spekter Sp%(11) neprazne množice 11 C X prazen natanko tedaj, ko je 11 = {0}.
(iii) Za poljubna a G 21 in x G X veljajo inkluzije
h%{k%{uo{a) n Sp%{x))) C Sp%{a ¦ x) C Sp%{a) n Sp%{x).
2.1. BEURLING-ARVESONOV SPEKTER 25
(iv) Sf)$i(%) = Sp%(X*).
(v) Za poljuben končen nabor x\,... , xn G X je
Sp%{x\ +... + xn) c yJl=iSp%{xk)-
Dokaz. Točka (i) sledi iz definicije Beurlingovega spektra. Tudi (ii) je več ali manj očitna: spekter Sp%{\L) je prazen natanko tedaj, ko anihilator ann%(\l) ni vsebovan v nobenem maksimalnem idealu. Slednje pa se v komutativni algebri z enoto lahko zgodi natanko tedaj, ko je ann%{\L) = 21, kar je ekvivalentno enakosti II = {0}.
(iii) Naj bo 53 taA; homomorfizem algeber, ki enoto preslika v enoto, daje slika $(21) gosta v 53, potem je tudi 53 algebra z ločljivim spektrom.
Dokaz. Ce izenačimo S(2l/X) s podmnožico h%{I) v S(2l) ([50], izrek 7.3.1), spektra S(2lx53) in S(2l®53) pa izenačimo z množicama {(ip, 0); tL> G S(2l)} U {(O,^); ^ S S(53)}, oziroma S(2l) x S(53) (prvo zlahka preverimo, drugo pa je [14], §43 trditev 19), potem (i) in (ii) sledita iz same definicije algeber z ločljivim spektom.
(iii) Adjungirana preslikava $' : 21' —> 53' preslika vsak karakter na 53 v karakter na 21, o tem se ni težko prepričati. Ker je slika homomorfizma $ gosta v 53, sta $V in &ip različna karakterja na 21, če sta ip in ip različna karakterja na 53. Ker je 21 algebra z ločljivim spektrom, obstajata takšna a in b v 21, da velja ab = 0 in a(&'ip) 7^ 0 in b(&ip) 7^ 0. Zdaj zlahka preverimo, da za $(a) in $(&) iz 53 velja $(a)$(6) = 0 in ($(a))"vV) 7^ 0 ter
($(6)XXVO 7^ 0- o
Posledica 2.2.7. -/Vaj 6osta 21 in 53 poljubni algebri z ločljivima spektroma. Ce je || • ||a takšna križna norma na algebraičnem tenzorskem produktu 21 (g) 53, da je napolnitev 21 ®« 53 čepa produkta glede na normo \\ ¦ \\a Banachova algebra, potem je 21 ®« 53 algebra z ločljivim spektrom.
Dokaz. Preslikava $, ki tenzorju ^ieifli ® ^ ^ 2l®53 priredi ta tenzor v 21 (8>a 53, je homomorfizem algeber, njegova slika je gosta in enoto preslika v enoto. Uporabimo točki (ii) in (iii) trditve 2.2.6. D
Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Če za vsako podmnožico F c S(2l), ki je zaprta v Gelfandovi topologiji, in vsak ip G S(2l) \ F obstaja takšen element a G 21, da je a(ip) 7^ 0 in Sp%(a) n F = 0, potem je 21 algebra z ločljivim spektrom. Namreč, naj bosta ip in ip poljubna različna karakterja iz L(21). Ker je množica S(2l), opremljena z Gelfan-dovo topologijo, kompakten Hausdorffov topološki prostor, obstajata takšni odprti okolici U in V, prva točke ip in druga točke ip, da sta U in V disjunktni. Po predpostavki obstajata takšna a in b v 21, da velja a(ip) 7^ 0, b(ip) 7^ 0, Sp%{a) H Uc = 0 in Sp%(b) n Uc = 0. Se pravi, da je Sp%(a) n Sp%(b) = 0, od koder, po trditvi 2.1.4, sledi a& = 0. Naslednja lema trdi, da velja tudi obrat.
Lema 2.2.8. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom. Potem za poljubno zaprto podmnožico F C S(21) in vsak ip G S(21) \ F obstaja takšen element a G 21, da velja a( )b^(tp) t^ 0, saj ima 21 ločljiv spekter. Po trditvi 2.1.4 od tod sledi, da je Sp%{a^) n u(b^) = 0. Družina {u(b^); tp G F} je odprto pokritje F. Zaradi kompaktnosti F obstajajo takšni tp\,... , ipn v F, da je F C w(6^,1) U ... L)u(b^n) =: C/. Označimo a' := a^,1 ... a^n. Beurlingov spekter Sp%{a') je vsebovan v Sp^a^) n ... n Sp<^(a^n), kar pomeni, da je Sp%{a') C\U = $. Število a'(ip) = a^,1 ((/?).. -a^n (tp) je od nič različno, torej za a = a'((p>)~la! velja a( ) = 1 in Sp%{a) n U = 0. D
Pravkar dokazana lema nam omogoča, da poiščemo ovoje spektralnih in kospektralnih idealov v algebri z ločljivim spektrom.
Trditev 2.2.9. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in naj bo F C. L(21) neprazna množica. Potem je
«2i(2l(F)) = Fc in /&2i(21f) = F.
Če je F zaprta množica, je 21(F) zaprt ideal v 21.
Dokaz. Poglejmo ideal 21(F). Če je v Fc, potem očitno za vsak a G 21(F) velja a( ) = 0. Torej je Fc c h%{%l{F)) in zaradi zaprtosti ovoja je tudi Fc c h%(%l(F)). Če je Fc = S(2l), je dokaz končan. Vzemimo torej, da to ni res: obstaja (p ^ Fc. Po lemi 2.2.8 obstaja takšen a G 21, da je a((p) t^ 0 in Sp%(a) n Fc = 0. Od tod sledi Sp%(a) C Fc C F, kar pomeni, da je a G 21(F). Zaradi a( ) ^ 0 mora veljati L h%{%l{F)).
Enakost /&2i(21f) = F se dokaže podobno.
Naj bo F zaprta množica in {cra}^1 poljubno zaporedje iz 21(F), ki konvergira k c G 21. Če je G Fc, potem po lemi 2.2.8 obstaja takšen d G 21, da je d(ip>) = 1 in Sp%{d) C Fc. Velja torej Sp%{d) n Sp$i(cn) = 0 za vse n G N, kar nam da dcra = 0, n G N. Zaradi zveznosti množenja od tod sledi de = 0. Uporabimo trditev 2.1.4, pa imamo u(d) n Sp%{c) = 0, oziroma tL> ^ Sp$i(c), kar smo hoteli videti. D
Zdaj lahko dokažemo izboljšano verzijo leme 2.2.8.
Trditev 2.2.10. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto.
Če za vsako podmnožico F C S (21), ki je zaprta v Celfandovi topologiji, in vsak G S(2l)\F obstaja takšen a G 21, daje a( ) ^ 0 in Sp%.(a)r\F = 0, potem je 21 algebra z ločljivim spektrom.
Obrat: če je 21 algebra z ločljivim spektrom, potem za poljubni disjunktni zaprti množici E C S(21) in F C S(21) obstaja takšen a G 21, da je a(r) = 1 za vse t G E in Sp%{a) n F = 0.
2.2. ALGEBRE Z LOČLJIVIM SPEKTROM 30
Dokaz. Prvi del trditve smo dokazali v komentarju pred lemo 2.2.8. Poglejmo obrat. Najprej pripomnimo, da je vsaka zaprta podmnožica v X(2l) kompaktna, saj ima 21 enoto. Naj bosta U in V disjunktni odprti množici, prva okolica množice E in druga okolica množice F. Potem je F C V C Uc in E n Uc = 0. Algebra A je regularna in po trditvi 2.2.9 (iii) velja h%{%luc) = Uc. Uporabimo lahko izrek 7.3.2 iz [50], ki pravi, da obstaja v 2l[/c takšen a, da je a(r) = 1 za vse r G E. Jasno je, da velja a(r) = 0 za vse t G Uc. Pokažimo, da je Sp%{a) n F = 0. Naj bo b poljuben iz %lmc\. Potem je Sp%{b) n Uc = 0, oziroma Sp%{b) C U C Uc. Se pravi, da je 2t(c/c) ^ 2l(Uc). Ker pa je 2l(Uc) zaprt ideal, vsebuje tudi %uc- Beurlingov spekter elementa a, ki je v 2lj/c, je torej podmnožica v Uc. Od tod sledi Sp%{a) n F = 0. D
Naslednji izrek je eno najpomembnejših orodij v celotni teoriji algeber z ločljivim spektrom. Povzet je po [12], kjer pa ni dokaza.
Izrek 2.2.11 (Razčlenitev enote). Naj bo 21 algebra z loˇcljivim spektrom. Za vsako odprto pokritje U = {Ui,... ,Un} spektra S(2l) obstajajo takˇsni elementi a\,... ,an v 21, za katere velja a\ + ... + an = 1 in Sp^(ak) Q Uk pri vseh k = 1,... ,n.
Dokaz. Vsak ep g S(2l) je v neki množici Ui iz pokritja U. Ker je S(2l) Hausdorffov topološki prostor, lahko pri danem ip najdemo takšno odprto okolico W(p točke (p, da je W^ C W^ C U%. Tudi družina {W^; G S(21)} je odprto pokritje T,(A). Ker je prostor S(21) kompakten, lahko najdemo takšne \,... , m v S(2l), da je S(2l) = M/rY,1 U ... U WLpm. Naj bo LJj unija tistih množic W^., ki so vsebovane v Ui. Pri vsakem indeksu i je torej Ei kompaktna podmnožica v Ui in očitno velja LiU...U En = S (21). Po trditvi 2.2.10 obstajajo takšni a G 21, i = 1,... ,n, da je Ci(r) = 1 za vse r G -Ej in Sp%{ci) n Uf = 0. Označimo b\ = c\, 62 = (1 — Ci)c2, ¦ ¦ ¦ , 6ra = (1 — ci)(l — C2)... (1 — cn-\)cn. Potem je Sp%{bi) C Sp%{ci) C C/j. Z indukcijo zlahka dokažemo, da je 61 + ... + bk = 1 — (1 — c\)... (1 — Ck). Se pravi, da velja b\ + .. . + bn = 1 — (1 — c\)... (1 — cra). Ker je vsak tL> G S(2l) v nekem i?j, velja ipUl — ci) ¦ ¦ ¦ (1 — cra)) = 0 za vse (/? G E(2l). To pomeni, daje c := (1 — ci)... (1 — Cn) v (Gelfandovem) radikalu algebre 21. Potem pa 1 — c ni v nobenem maksimalnem idealu in je torej obrnljiv v 21 (glejte, recimo, korolar 1.1.2 v [50]). Postavimo ai = bi(l — c)-1 pri vseh i = 1,... ,n, pa imamo a\ + ... + an = 1 in Sp%{di) C Ui. D
Posledica 2.2.12. Komutativna Banachova algebra z enoto je algebra z loˇcljivim spektrom natanko tedaj, ko v njej velja razˇclenitev enote v smislu izreka 2.2.11.
2.3. SPEKTRALNI IN KOSPEKTRALNI PODMODULI 31
Dokaz. Da ima vsaka algebra z ločljivim spektrom razčlenitev enote, trdi sam izrek 2.2.11. Da velja obrat, vidimo tako, da za poljubni različni točki ip in ip iz X(2l) poiščemo disjunktni odprti okolici U in V, potem pa za odprto pokritje {U, V, X(2l) \ {ip,ip}} uporabimo izrek razčlenitev enote. Obstajajo torej elementi a, b in c v 21, za katere velja
a + 6 + c = 1 in Sp%{a) C C/, Sp%{b) C 1/, Sp%{c) C L(21) \ { G u(a) n S'p<%(L,)- To pomeni, da spekter Sp%{a ¦ L) ni prazna množica, oziroma z drugimi besedami, r? = a • L je netrivialen funkcional. Iz Sp%{rj) Q Sp%{a) n Sp%{^) in Sp%{a) n F = 0 sledi Sp%{rj) n F = 0. Ker je funkcional L v podmodulu X^, je v njem tudi funkcional r?.
Naj bos G 1 poljuben vektor. Zaradi Sp%{rj) n F = 0 obstaja takšen 6 G 21, da je Sp%{b) C Fc in Sp2[(l — 6) C Sp%{rj)c. Zdaj imamo
(?y, a;) = (?y, 6 • x + (1 — b) ¦ x) = (rj, b ¦ x),
saj po lemi 2.3.3 iz Sp%{l — b) n Sp%{rj) = 0 sledi (rj, (1 — b) ¦ x) = 0. Iz Sp%{b¦ x) C Sp%{b) in Sp%{b) n F = 0 izhaja b-x G Xf, zato je (?y, 6• a;) = 0. Ugotovili smo, da je (?y, a;) = 0 pri vseh a; G X. Protislovje, saj je rj ^ 0.
Enakost Xf = X*(F)j_ sledi iz pravkar dokazane enakosti X^ = X*(F).
(ii) Naj bo L G X^ takšen funkcional, za katerega velja Sp^(^) nF = 0. Ce je x G X(F), je Sp%{x) C F, kar pomeni, da je Sp%{x) n Sp%{^) = 0. Po lemi 2.3.3 od tod sledi {L,x) = 0. Ugotovili smo torej, da velja {L G X*; Sp<%(L) n F = 0} C X(F)-1-, kar nam da inkluzijo X*F C X(F)-1-.
Predpostavimo, da je podmodul XL. šibko-* zaprt v X*. Potem je X*F = ((Xp)±) . Dovolj je torej pokazati, da velja inkluzija (X^)j_ C (X(F) )j_ = X(F), saj iz nje sledi željena inkluzija X(F) C ((XL.)j_) = XF.
Vzemimo, da vektor a; G X ni v X(F). To pomeni, da v Sp%{x) obstaja takšen ep, ki ni v F. Naj bo a G 21 takšen element, za katerega velja a( ) 7^ 0, funkcional p> ni v S^pVt). D
Posledica 2.3.6. -/Vaj bo 21 algebra z ločljivim spektrom, X Banachov levi %l-modul in )$ C X podmodul. Če je p> G Sp2i(y) in je C/ poljubna odprta okolica te točke, potem obstaja takšen neničelni vektor x G y, da je Sp%{x) C C/.
Dokaz. Ker je Spsi^) = Urey'S'pa^), obstaja v y takšen y, da je Sp%{y) H C/ 7^ 0. Naj bo ^ S Sp%{y) n C/. Po lemi 2.2.8 lahko najdemo takšen a G 21, da je a(V0 = 1 in Sp%{a) C C/. Zaradi ^ S w(a) n Sp%{y) je s = o • |/ od 0 različen vektor iz podmodula y, za katerega velja Sp%{x) C Sp%{a) c(/. D
Ker inkluzija v drugi točki izreka 2.3.4 ni vedno enakost, je težko povedati, kaj je Beurlingov spekter spektralnega podmodula. Beurlingov spekter kospektralnega podmodula pa znamo določiti.
Izrek 2.3.7. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in X Banachov levi %l-modul. Za poljubno zaprto množico F C S(21) je
(i) Sp$i(Xf) = Sp%(X) \ F
in
(ii) Sp%(X) n F° C Sp<&(X(F)) C Sp<&(X) D F. Če je množica F enaka zaprtju svoje notranjosti, potem velja
Sp<%(X(F)) = Sp<%(X) n F.
Dokaz. (i) Naj bo (p & Sp<%(X) \ F poljubna točka in U njena odprta okolica. (Če je Sp<%(X) \ F prazna množica, potem inkluzija Sp<%(X) \ F C Sp$i(Xf) očitno velja.) Naj bo V = U \ F. Tudi to je odprta okolica p>. Se pravi, da obstaja neničelni vektor a; G X, da je Sp%{x) C V C U (posledica 2.3.6). Od tod sledi, da je a; G Xf- Ugotovili smo, da so v vsaki odprti okolici U točke p> točke iz Sp<%(Xf) (saj je Sp<%(Xf) = LlXLxFSps%(x)). Spekter Sp$i(Xf) je zaprta množica, zato je ) = 1 in je Sp%{a) n Sp%{X) \ F = 0, od koder sledi Sp%{a) C F L) Sp%{X)c. Naj bo a; G X takšen vektor, da je Sp%{x) n F = 0. Potem je
Sp%{x) n[Fu Sp%{X)c] = [Sp%{x) n F] u [Sp%{x) n Sp%{X)c] = 0,
kar nam da Sp%{x) n Sp%{a) = 0. Torej je a ¦ x = 0. Tako smo pokazali, da je a G ann%{X(F\)- Toda potem je a tudi v ann%{Xp)- Ker je p>(a) 7^ 0, karakter p> ni v Sp<%(Xf)-
2.3. SPEKTRALNI IN KOSPEKTRALNI PODMODULI 35
(ii) Ker je X(F) = X(Sp$i(X) n F), nič ne izgubimo, če predpostavimo, da je F C Sp%(X). Uporabimo trditev 2.3.5, pa je jasno, da velja inkluzija
Sp$i(X(F)) C F = Sp$i(X) n F.
Zaradi predpostavke F C Sp<&(X), je tudi F° C Sp<&(X). Naj bo tL> G -F° in U poljubna odprta okolica p. Potem je tudi V := U n F° odprta okolica p. Po posledici 2.3.6 obstaja takšen neničelni vektor x, da je Sp%{x) C 1/. Vektor x je torej v X(_F°). Ker je x od nič različen je v njegovem spektru vsaj ena točka. To pomeni, da je v vsaki odprti okolici točke p vsaj ena točka iz unije L)xex(F°) Spm(x) ¦ Od tod sledi, da je p v zaprtju te unije, tj. p G \Jx^x(F°)Sp%{x). Ker je bil p poljuben karakter iz F° in ker je ^xLX(F°)Sp%{x) zaprta množica, imamo
b° C {JXLX(F0)bP%l{x)-
Upoštevajmo, da je
^xeX(F°)bp%l{X) C UXLX(F)bp%l{X) = bp<%(X(r)),
pa smo dokazali tudi inkluzijo
F° C Sp$i(X(F)).
Zdaj, ko vemo, da velja
F° C SP2[(X(i?)) C F,
je jasno, da imamo povsod enačaje, če je F° = F. D
Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom, X Banachov levi 21-modul, fl topološki prostor in / : E(2l) —> Q poljubna zvezna preslikava. Definirajmo preslikavo E/, ki slika iz družine zaprtih podmnožic v Q v družino zaprtih podprostorov v X, tj. iz cl (O,) v S(X), s predpisom
E/(F) := X(/~ (F)) (F G cl(Q)).
Trditev 2.3.8. Preslikava E/ je spektralna kapaciteta tipa (Q,X).
Dokaz. Očitno velja Ej(0) = 0 in Ej(E(2l)) = X. Naj bo {_Fj}jej poljubna družina množic v cl(Q). Potem je {/_1(-Pi)}iei družina zaprtih podmnožic v E(2l). Brez težav lahko preverimo, da je
X(/~ (rijei-Fj)) = X(P\iLif~ (F{)) = P\iLiX(f~ (F{)),
zato velja E^n^i-Fj) = D^iE f(Fi).
Vzemimo poljubno odprto pokritje {G\,... , Gn} prostora Q. Potem je {Uk '¦ f~1(Gk)', k = 1,... ,n} odprto pokritje prostora E(2l). Po izreku o razčlenitvi enote obstajajo v 21 takšni a\,... , an, za katere velja a\ + ... + an = 1 in Sp%{dk) Q Uk Pri vseh k = 1,... ,n. Poljuben x G X lahko
2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 36
zapišemo kot x = a\ ¦ x + ... + an ¦ x, od koder sledi, da je a; G jC(U\) +... + X(Un), saj velja Sp%{dk ¦ x) C Sp%{dk) Q Uk pri vseh k = 1,... ,n. Ker je
X(t/fc) ^ X(Uk) ^ ^(/~ (Gfc)) = Ej(Gfc),
smo dokazali, da je X C E/(Gi) + ... + Ef(Gn). Obratna inkluzija je seveda trivialna. D
2.4. Karakterizacija algeber z ločljivim spektrom
V tem razdelku bomo karakterizirali algebre z ločljivim spektrom s pomočjo lokalne spektralne teorije. Baskakov ( glejte izrek 2 v [12] oz. [13]) je pokazal, da je komutativna Banachova algebra z enoto 21 algebra z ločljivim spektrom natanko tedaj, ko obstaja v 21 takšna podmnožica 2lo, da velja:
(i) Gelfandove transformiranke elementov iz 2lo ločijo točke v S(21) in
(ii) za vsak a G 2lo je operator množenja La : b i—> ab, ki slika iz 21 vase, dekomponibilen.
Mi bomo ta izrek dokazali po svoje. Se več, naši rezultati bodo močnejši, saj bomo pri šibkejših pogojih dokazali več. Začnimo z naslednjim izrekom, ki posplošuje rezultat Baskakova v eno smer.
Izrek 2.4.1. Naj bo 21 algebra z ločljivim spektrom in naj bo X Banachov levi %l-modul. Potem je za vsak a G 21 operator množenja Ta : X —> X, x i—> a ¦ x, dekomponibilen in njegova spektralna kapaciteta je dana z
Ea(F) '¦= X(a~ (F)), F G cl(C).
Dokaz. Naj bo a G 21. Ker je Gelfandova transformiranka a zvezna funkcija iz S(2l) v C, je praslika a-1^) zaprte množice FCC zaprta. Po trditvi 2.3.1 je X(a_1(F)) zaprt podmodul v X. Se pravi, daje Ea preslikava, ki slika iz cl (C) v Lat (Ta).
Trditev 2.3.8 nam zagotavlja, daje Ea spektralna kapaciteta tipa (C, X). Pokazati moramo, daje spektralna kapaciteta za Ta. Ker Ea slika v Lat (Ta), je pogoju (a) iz definicije 1.3.2 zadoščeno. Edino, kar še moramo videti je, da velja a(Ta\Ea(F)) C F za vsako zaprto podmnožico F v C.
Naj bo F zaprta podmnožica v C. Označimo J- = a-1 (F). Za poljubno točko A v Fc obstaja takšna odprta okolica U množice F, da A ^ U. Naj bo IA := a~l(U). Potem seveda velja IA C a~l(U). Označimo še H := Uc in Ti = a~l(H). To sta zaprti množici in očitno velja J- P\ Ti = 0. Ker je 7ic = a~l(Hc) in Hc = U, imamo 7ic C a~l(U). Za spekter kvocientne algebre 21/21 (Ti) po izreku 7.3.1 v [50] velja, da je homeomorfen ovoju h%(%l(J-L)). Potrditvi 2.2.9 pa je h%($i(7i)) =7ic. Se pravi, daje E(2l/2l(?i)) C a~l(U). Poglejmo element a — A + 2l(?i) iz 2l/2l(?i). Za vsak ip G E(2l/2l(?i)) je (p(a — A + 21 (?i)) = a( ) ^ A. Torej število 0 ni v spektru a {a — A + 2l(?i)), kar pomeni, da ima a — A + 2l(?i) inverz v 2l/2l(?i).
2.4. KARAKTERIZACIJA ALGEBER Z LOČLJIVIM SPEKTROM 37
Obstaja torej takšen b G 21, da velja (b + %l(Tt))(a — A + 2l(?i)) = 1 + 2l(7Y). Vzemimo tak d iz 2l(7i), da je b(a — A) = 1 +d. Pri vsakem a; G X(J-) potem velja
Tb\x(f)(Ta\x(T) — ^)x = b(a — X) ¦ X = x -\- d ¦ X. Iz Sp%{d ¦ x) C Sp%{d) n Sp%{x) C ?i n J7 = 0 sledi, da je d • a; = 0. Se pravi, da je
^>lx(F)C^a|x(F) ~~ ^^ = ^ za vse ^ S X(J-"). Torej jeTa|x(^-)—Aobrnljiv. S temjeinkluzija in ip različna karakterja iz L(©). Ce bi veljala enakost (p(a) = ip(a) za vse a G T>, potem bi se in ip ujemala tudi na S, kar pa ni res. To pomeni, da Gelfandove transformiranke elementov iz T> ločijo točke v L(©).
Pri danem a G T> poglejmo operator množenja La : S —> S. Ker je a v T>, obstaja takšna algebra La v družini J-, da je a G G S(2l)}
za vse a G 21 (za podrobnosti glejte [61], §2.2, ter [50]). Se pravi, da je spektralni polmer norma na 21 natanko tedaj, ko je algebra polenostavna. Ce je II C 21 poljubna podmnožica v komutativni Banachovi algebri 21, bomo najmanjšo množico, ki vsebuje II in ki je zaprta v topologiji, ki jo določa polnorma r, imenovali spektralno zaprtje II v 21.
Za podalgebro 53 v algebri z enoto 21 bomo rekli, da je za inverze zaprta, če velja naslednje: kakor hitro je a G 53 takšen, da je v 21 obrnljiv, je tudi njegov inverz a-1 v 53.
Trditev 2.5.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto.
(i) Podalgebra Sep (21) je za inverze zaprta.
(ii) Ce je 53 poljubna zaprta podalgebra v 21, ki vsebuje enoto iz 21 in ima loˇcljiv spekter, potem je tudi njeno spektralno zaprtje v 21 algebra z loˇcljivim spektrom. Od tod sledi, da je Sep (21) spektralno zaprta podalgebra v 21.
Dokaz. (i) Pa vzemimo, da podalgebra Sep (21) ni za inverze zaprta. To pomeni, da v Sep (21) obstaja takšen a, ki je v 21 obrnljiv, njegov inverz a-1 pa ni v S ep (21). Naj bo 6 zaprta podalgebra v 21, ki jo generira množica Sep (21) U {a-1}. Jasno, Gelfandove transformiranke elementov iz Sep(21) U {a-1} ločijo točke v L(©). Ker je 6 modul nad Sep (21), so vsi operatorji množenja L^ : S —> S, b G Sep (21), dekomponibilni (izrek 2.4.1). V posebnem je dekomponibilen tudi operator La : S —> S. Operator La
2.5. NAJVEČJA PODALGEBRA Z LOČLJIVIM SPEKTROM 42
je obrnljiv, njegov inverz je operator La-i. Ker je inverz obrnljivega dekom-ponibilnega operatorja dekomponibilen (glejte [21], trditev 2.1.12), je La-i dekomponibilen. Zdaj lahko uporabimo izrek 2.4.3, ki nam pove, daje S algebra z ločljivim spektrom. Toda to je v nasprotju z dejstvom, da je Sep (21) največja podalgebra z ločljivim spektrom.
(ii) Naj bo 53 zaprta podalgebra v 21, ki vsebuje enoto 1 iz 21 in ki ima ločljiv spekter. Spektralno zaprtje 53 v 21 označimo s (L. Jasno je, da je L zaprta podalgebra v 21 in da je 53 C L. V nadaljevanju bomo sledili idejam iz dokaza trditve 4.3.7 iz [53].
Naj bo (p & L( G L( i}iei Q F, za katerega bi veljalo R( i) —> R(tp) v Gelfandovi topologiji prostora L(53), kar pa je ekvivalentno ipi(b) —> (b) za vse 6 G 53. Naj bosta c G L ter e > 0 poljubna. Ker je L spektralno zaprtje 53, lahko najdemo takšen b G 53, da je r(b — c) < e. Poleg tega pa obstaja takšen indeks j G I, da velja \ipi(b) — ip(b)\ < e za vse i G I, za katere velja i > j. Potem pa lahko ocenimo
|tL>i(c) — L F. Protislovje. Ce sta torej (p in ip različna karakterja iz L( in ip različna funkcionala iz E(Q3n-|_i), potem sta tudi zožitvi cL>|53ra in tp\^8n različni. Namreč, če bi cL>|53ra in tp\^8n bila enaka, potem bi se ip in ip ujemala na množici generatorjev 53ra U {T^~ ; A G A} algebre Q3n-|_i in torej na celi algebri. S tem smo dokazali, da preslikava ip i—> ¦ C le zožitev Gelfandove transformiranke S : E(53ra) -^Cna podmnožico E(Q3n-|_i). Ker Gelfandove transformiranke elementov iz 53ra ločijo točke v E(53ra), jih ločijo tudi v podmnožici E(Q3n-|_i). Algebra Q3n+i je levi Banachov 53ra-modul. Torej je po izreku 2.4.2 vsak o-perator množenja Ls '¦ 2$n+i —*¦ 53n+i> S G 53ra, super-dekomponibilen (saj je 53ra algebra z ločljivim spektrom). Uporabimo izrek 2.4.3, pa vidimo, da je 53ra-|-i algebra z ločljivim spektrom.
Unija U^153ra je podalgebra v B(X). Naj bo 53 njeno zaprtje. Potem je 53 komutativna Banachova algebra z enoto. Gelfandove transformiranke
3.2. LASTNOSTI KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 49
elementov iz U^15Sra ločijo točke v X(53). Ce je S v U^15Sra, obstaja takšen indeks no, da je S G 53rao. Ker je 53 levi Banachov 53rao-modul, je operator množenja Ls '¦ 53 —> 53 super-dekomponibilen. Torej je tudi 53 algebra z ločljivim spektrom.
Zdaj bomo pokazali, da je 53 polna podalgebra v B(X). Naj bo S G 53 obrnljiv v B(X). Potem obstaja takšno Cauchyjevo zaporedje {Sk}^i C U^153ra, da linifc^oo US — Sk\\ = 0. Ker je S obrnljiv v B(X) in je grupa G vseh obrnljivih elementov v B(X) odprta, obstaja takšen indeks ko, da so vsi operatorji Sk, k > ko, obrnljivi v B(X). Glede na konstrukcijo so vsi operatorji S^ , k > ko, v U^153ra. Upoštevajmo, da je preslikava C i—> C-1 homeomorflzem iz grupe G vase, pa lahko sklepamo, da je operator S-1 v 53, saj zaporedje {S^ }kLk ^- U^Li53ra konvergira k njemu. D
Posledica 3.2.4. (i) Če je T G B(X) obrnljiv krepko harmoničen operator, potem je tudi njegov inverzT~l krepko harmoničen.
(ii) Če je T G B(X) krepko harmoničen, f pa je analitična funkcija na neki odprti okolici cr(T), potem je tudi f(T) krepko harmoničen.
Dokaz. Trditev (i) je neposredna posledica izreka 3.2.3.
Naj bo T krepko harmoničen in naj bo 21 za inverze zaprta podalgebra v B(X), za katero pa še velja, da ima ločljiv spekter in da je T v njej. Če je U odprta okolica cr(T) in je / : U —> C analitična funkcija, potem je f(T) = tt^ f^ f(z)(z — T)~1dz, pri čemer ie T C U\ a (T) ustrezna krivulja, ki obkroža cr(T). Iz definicije operatorja f(T) sledi (glejte [61], §3.3), daje /(T) limita takšnega zaporedja operatorjev {T^kLi <- ^(^0> kjer je vsak operator Tk končna vsota oblike ^ • otjizj — T)-1, ctj G C in Zj G T. Ker je vsak operator (zj —T)-1 v 21, lahko sklepamo, daje tudi zaporedje {Tk}kL\ v 21 in da torej velja f(T) G 21. D
Naj bosta X in y kompleksna Banachova prostora in naj bosta T\ ter T2 omejena linearna operatorja, prvi na X in drugi na y. Zlahka preverimo, da je z S\{x,y) := (T\x,T2y) definiran omejen linearne operator na X x y. Prav tako ni težko preveriti, da je z S2(Sfc xk ® Vk) '¦= Sfc ^i^fc ® T^yk dan omejen linearne operator na X®y.
Trditev 3.2.5. Če sta T\ G B(X) in T2 G B()$) krepko harmonična, sta tudi S\ G B(X x y) in S2 G B(X L(C, C) = C, za katere velja
(5.1.1) L(a • x) = (p(a)L(x) pri vseh a G 21 in x G X.
Pogoj (4.4.1) iz definicije 4.4.1 je avtomatično izpolnjen, ker smo zahtevali, da je L netrivialna preslikava. Namreč, če za neničelno število a velja L(x)a = 0 pri vseh iel, potem je L(x) = 0 pri vseh ss 1 in torej L = 0. Napravimo levi 2l-modul Cp (glejte zgled 1.5.5). Potem nam (5.1.1) pove, da iščemo multiplikatorje, ki slikajo iz X v Cp, ali krajše, zanima nas prostor L$i(%,C,p) C X'.
V nadaljevanju algebra 21 ne bo imela nujno enote, k množici netrivialnih multiplikativnih linearnih funkcionalov bomo zato dodali še funkcional 0. Unijo S(2l) U {0} bomo označili s Eq(21).
77
5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 78
Definicija 5.1.1. Naj bo X levi modul nad algebro 21. Linearen funkcional L G X' je točkasti multiplikator pri (a) (L, x) = 0, kar pomeni, daje J3 podmodul. Obratno. Naj bo ker L podmodul v X. Ker je L netrivialen, obstaja v X takšen vektor e, da je (L, e) = 1. Definirajmo preslikavo C s predpisom multiplikativen: za poljubna a, b G 21 velja
ip(ab) = (L, ab ¦ e) = (L, a • ( . D
Obstaja torej korespondenca med netrivialnimi točkastimi multiplika-torji in hiper-maksimalnimi podmoduli.
Iz same definicije hiper-maksimalnih podmodulov sledita inkluziji
Asi(X) C H2i(X) in As2i(X) C Sgi(X).
Hiper-maksimalni podmoduli so torej tudi primitivni.
Pri danem A(2l) je zvezna.
(ii) Če je J- zaprta podmnožica v A^(X), je v%{J-) zaprta v relativni topologiji množice v%(A%{X)). Podobno za odprto množico IA C A%(X) velja, da je v%(U) odprta v relativni topologiji množice i/s%(As%(X)). Se pravi, daje naravna preslikava odprta in zaprta, če je surjektivna.
(iii) Ce je X A-polenostaven, potem je naravna preslikava v% : A<%(X) —> A(21) surjektivna natanko tedaj, ko je ann%(X) = Rad(21).
Dokaz. (i) je neposredna posledica trditve 4.6.2 (i). (ii) Naj bo J- zaprta podmnožica v A%{X). Potem je
v%{3~) = h$i(,(,kx(J-) : X)) n zA2[(Ag[(X)).
Namreč, ker je J- = h^{k%{J-)), iz p G h%((k%(J-) : X)) n v%(A%{X)) sledi, da je Av neprazna množica in da za vsak J3 iz te množice velja (kx(J-) : X) C (J3: X), oziroma J3 G h^(k%(J-)) = J-. To nam da p G v%{T). Obrat je
5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 80
trivialen. Zdaj je jasno, da je v%{J-) zaprta v relativni hull-kernel topologiji množice v%(A%(X)). Primer odprte množice obravnavamo tako kot smo to storili v dokazu trditve 4.6.2 (ii).
(iii) Ravnamo podobno kot v dokazu trditve 4.6.3. Upoštevati moramo prejšnjo točko te trditve. D
Vrnimo se k točkastim multiplikatorjem.
Zgled 5.1.7. Naj bosta m in n naravni števili. Označimo z X prostor Mmxn(C) vseh kompleksnih m x n matrik in z 21 algebro Dm(C) vseh diagonalnih kompleksnih m x m matrik. Očitno je 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X je Banachov levi 2l-modul pri običajnem množenju matrik. Definirajmo preslikave k '¦ 21 —> C, k = 1,... , m, s predpisi k '¦ [aij\ l—*¦ akk- Brez težav se lahko prepričamo, daje S(2l) = {ipi,... , m}-Pri vsakem paru indeksov p in q, pri čemer jel xpq. Enostavno preverjanje nam pokaže, da je funkcional L G X* točkasti multiplikator pri k S S(21) natanko tedaj, ko ga lahko zapišemo kot linearno kombinacijo funkcionalov Lfci,... , L&„.
Definicija 5.1.8. Naj bo 21 algebra in X levi %l-modul. Neničelni vektor x G X je karakterističen za 21, če v So(21) obstaja takšen , da pri vseh a G 21 velja a ¦ x = (a)x. Multiplikativnemu linearnemu funkcionalu , ki zadošča tej relaciji, pravimo karakterističen multiplikativen funkcional.
Pri danem G So(21) označimo s Ch^(X) množico, ki vsebuje vektor 0 ter vse karakteristične vektorje v X, ki pripadajo . Ni težko videti, da je Chp(X) podmodul v X. V primeru, ko je X Banachov modul (in je torej 21 Banachova algebra, kar pomeni, da so multiplikativni linearni funkcionali omejeni, tj. zvezni), je Ch^(X) zaprt podmodul v X. Se več, če je X* dualen Banachov 2l-modul, je Ch,p(X*) šibko-* zaprt podmodul v X*.
Naj bo Ch%{X) linearna lupina unije U^j^s^C/i^X). Ce je X Banachov modul naj bo Ch%(X) zaprtje Ch%(X) v X in Ch^(X*) šibko-* zaprtje Ch%{X*) v X*. Jasno, Ch%{X) je podmodul v X. Očitno je tudi, da sta pod-modula Ch%(X) in Ch^(X*) zaprta po normi oz. v šibki-* topologiji, ko je X Banachov modul.
Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje, ki smo si ga zastavili na začetku razdelka, ko smo spraševali o nerazcepnih upodobitvah levega 2l-modula X, ki pripadajo G S(21).
Pri vsakem a; G X naj bo $(a;) preslikava iz Ch^(X') v Cp, ki je definirana s $(a;)L = (L,x). Očitno je vsaka od preslikav $>(x), x G X, linearna. Torej je $ preslikava iz X v L(Ch^(X'),C^). Tudi zanjo ni težko videti, da
5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 81
je linearna. Za poljubna a G 21 ter iel velja
$(a • x)L = {L,a • x) = p(a)(S,, x) = p{a)^{x)^
pri vseh L G Ch,p(X'), kar pomeni, da je $ upodobitev modula X na paru
(C/i^X'^C).
Izrek 5.1.9. Upodobitev $ je maksimalna nerazcepna.
Dokaz. Hitro vidimo, daje $ nerazcepna: za tL> vemo, daje nerazcepna upodobitev algebre 21, pogoju (4.4.1) iz definicije 4.4.1 pa je tudi zadoščeno, saj za L G Ch,p(X') iz 0 = $(a;)L = {L,x) pri vseh iel sledi L = 0.
Po trditvi 4.4.8 ima upodobitev $ maksimalno nerazcepno razširitev 0 : X —> L(y,C). Obstaja torej takšna injektivna linearna preslikava
C/ : Chp(X') —> y,
da pri vseh iel velja
(5.1.2) $(a;) = @(x)U.
Spomnimo se, da smo v razdelku 4.3 pri danem y G ^ s Oy označili linearno preslikavo a; i—> 0(a?)y, iel Brez težav lahko preverimo, da je preslikava V, ki slika iz y v Ch^(X'), linearna, če je definirana z Vy := Oy pri vseh y G y.
Iz (5.1.2) sledi veljavnost enakosti $(a;)V = @(x)UV pri vseh a; G X. Ker pri vsakem a; G X in vsakem y G ^ velja $(a;)Vy = (Vy,x) = @(x)y, imamo 0(a;)C/Vy = &{x)Vy = @(x)y pri vseh a; G X in vseh y G y. Zaradi nerazcepnosti 0 je torej C/Vy = y pri vseh y G y, kar pomeni, da je C/V identični operator na y.
Poglejmo zdaj še produkt VC/. Pri poljubnem L G Ch^(X') je
$(a;)VC/L = (VC/L,a;) = 0(a?)C/L = $(a;)L
pri vseh a; G X. Ker je $ nerazcepna, je torej VC/L = L za vse L G Ch^(X'), kar pomeni, da je VC/ identični operator na Ch^(X'). Ugotovili smo, da sta upodobitvi $ in 0 ekvivalentni, kar seveda pomeni, da je $ maksimalna nerazcepna. D
Naj bo 21 Banachova algebra z enoto in X Banachov levi 2l-modul. Pri vsakem p G S(2l) naj bo M,p := ker (p in naj bo Mq = 21. Z Xv označimo zaprtje linearne množice M^ • X v X. Očitno je X^ zaprt podmodul v X. Ce gledamo na X kot na levi Banachov .M^-modul, je Xv bistveni podmodul v smislu [25] §15.
Predpostavimo, daje Z takšen zaprt podprostor v X, da velja Xv CZC X za nek p G So (21). Vsak a G 21 lahko zapišemo kot a = p(a) + ao, kjer je ao G Mp. Se pravi, da za vsak z G Z in vsak a G 21 velja a-z = es0(a) :PeAA(X)
Trditev 5.1.11. Naj bo 21 Banachova algebra in X levi Banachov 21-modul. Potem je
(5.1.3) Chtp(X*) = B%i(X,Ctp) = Xv za vse p G S(2l) in
(5.1.4) Ch^i(X*) = Rad^(X) .
Dokaz. Enakosti v (5.1.3) zlahka preverimo, zato poglejmo (5.1.4). Ker je Rad^(X) vsebovan v vsakem Xv, p G S(2l), je X~h C Rad^(X) . Zaradi (5.1.3) je Ch^(X*) šibko-* zaprtje linearne lupine unije U{X~;; p G L(21)}. Ker je Rad^(X)-L šibko-* zaprt podmodul v X*, je torej Ch^(X*) vsebovan v njem.
Predpostavimo zdaj, da L G X* ni v Ch^(X*). Ce bi jedro ker L = {L}-L vsebovalo Ch^(X*)±, potem bi imeli L G ({CI-l)"1" — (Ch^(X*)±)-L = Ch^i(X*), kar pa ne velja. Torej obstaja v Ch^{X*)± takšen x, daje (L, x) ^ 0. Iz X~h C Ch^(X*) pri vseh p G S(2l) sledi, da je a; G Xv pri vseh p G S(2l), kar pomeni, da je a; G Rad^(X). Torej L ni v Rad^(X)-L. D
Definicija 5.1.12. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi 21-modul. Približna enota v 21 za X je takˇsno posploˇseno zaporedje {ei}iei C 21, za katerega velja
ei ¦ x —> x pri vseh iel
Ce na samo algebro 21 gledamo kot na levi Banachov 2l-modul, potem je posplošeno zaporedje {ei}iei leva približna enota v 21, če je pogoj iz definicije izpolnjen za vse x G 21.
5.1. TOČKASTI MULTIPLIKATORJI 83
Posledica 5.1.13. Naj bo 21 Banachova algebra in X Banachov levi 21-modul. Če je G So(21) takšen, da v M^ obstaja približna enota za X (na X gledamo kot na levi Banachov Aiv-modul), potem je Ch,p(X*) = {0}.
V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj zgledov točkastih multiplikatorjev.
Zgled 5.1.14. Na Banachovo algebro 21 z enoto poglejmo kot na levi 21-modul. Linearen funkcional L G 21* je v (7/^(21*) za nek G S(2l) natanko tedaj, ko je L = a , pri čemer je «eC. Daje a G (7/^(21*) ni težko videti. Obrat pa sledi iz dejstva, da za vsak L iz (7/^(21*) velja (L, a) = tL>(a)(L, 1) pri vseh a G 21.
Naj bo 3 zaprt levi ideal v 21 s kodimenzijo 1. Ni težko videti, da obstaja takšen G S(2l), da je 3 = ker ep = M^ (torej je 3 dvostranski ideal v 21). Označimo z 32 zaprtje množice 3-3. Se pravi, da je 3V = M,p ¦ 3 = 32. Po trditvi 5.1.11 so točkasti multiplikatorji na 3, ki pripadajo , natanko vsi tisti lunkcionali iz duala J , ki so v Jz . Kot je dobro znano je prostor jz lahko trivialen (recimo pri pogojih posledice 5.1.13), končnodimenzionalen ali neskončnodimenzionalen.
Vzemimo ip G S(2l) \ { } (če obstaja). Potem je 3^ = Ai^p ¦ 3 dvostranski ideal v 21, ki je vsebovan v M^ n 3. Ker je ip v C h ^(3*) = 3i, je kodimenzija ideala 3^ v 3 vsaj 1. Od te kodimenzije je odvisno, ali obstajajo na 3 poleg aip, a G C, še kakšni drugi točkasti multiplikatorji, ki pripadajo ip. Recimo, če ima Ai^p levo približno enoto {&%}%&, potem za vsak x G Ai^p C\3 velja x = liniji a ¦ x. Ker je vsak produkt e% ¦ x v Ai^p ¦ (Ai^p n 3), velja Ai.^ ¦ {M.^, P\3) = Ai.^ n 3. Od tod potem sledi
3^ C M.rtp p\3 = Ai.^ ¦ {M.^, n 3) C 7W^, -3 = 3^,,
oziroma 3^ = Ai^p n 3. Se pravi, da je v tem primeru Ch^(3*) enodimenzionalni podprostor v 3*, ki ga napenja ip.
Zgled 5.1.15. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra in 3 tak gost ideal v 21, na katerem je definirana norma ||-||', glede na katero je 3 Banachova algebra in za katero velja, da je ||a;|| < H^H' pri vseh x G 3, pri čemer je || • || norma iz 21. Ni težko videti, da je potem 3 Banachov levi 2l-modul.
Ce ima 21 približno enoto, potem je po posledici 5.1.13 Cho(3) = {0}.
Zožitev multiplikativnega linearnega funkcionala G S(21) na 3 je od 0 različen multiplikativen linearen funkcional na 3. Pokazati se da, da je V l—*¦ Y>b bijektivna preslikava iz S (21) na X(3). Jasno je, da je \j v Ch,p(3*) za vsak G S(2l). Naj bo zdaj L poljuben od 0 različen točkasti multiplikator iz 0x^(3*). Ker je 3 gost v 21, obstaja takšen e G 3, daje \j.
Zgled 5.1.16. Naj bo G lokalno kompaktna Abelova grupa. V zgledu 1.5.8 smo videli, daje pri vsakem številu 1 < p < oo prostor LP(G) Banachov levi L1(G)-modul, če je modulsko množenje definirano s konvolucijo. Kaj so točkast multiplikatorji na Ll(G) pri danem ip G S(L1(G)), lahko ugotovimo na podoben način kot v zgledu 5.1.14. Vzemimo, da je 1 < p < oo in naj bo q takšno realno število, za katerega velja - + - = 1. Kot je dobro znano lahko izenačimo dual prostora LP(G) in prostor Lq(G).
Ker je Ll(G) *LP(G) = LP(G), glejte zgled 16.6 v [25], ni točkastih mul-tiplikatorjev na LP(G), ki bi pripadali trivialnemu multiplikativnem funk-cionalu.
Predpostavimo, daje grupa G kompaktna. V tem primeru je LP(G) gost ideal v Ll(G). Kot smo videli v zgledu 5.1.15, je pri vsakem funkcionalu gledamo kot na funkcijo iz Lq(G). Ce je torej funkcija / v radikalu, je
0 = e)-1L zvezen linearen funkcional na LP(G), za katerega bi veljalo r]\ec(G) = (/?lec(G)- Toda to je nemogoče, saj funkcionala C in T : A^m ~^ C- Brez težav lahko preverimo, da je T le
zožitev T, zato bomo odslej za obe funkciji uporabili isto oznako T.
Izenačimo množico karakterjev na Mgi(X), tj. E(Mgi(X)), z množico hiper-maksimalnih idealov v Mgi(X), tj. z množico A(Mgi(X)). Če je T G Mgi(X), naj bo T : E(Mg((X)) —> C Gelfandova transformiranka elementa T, tj. funkcija, ki je definirana z T ((p) := ) = 0 za vse A G U in vse J3 G Ag((X).
Fiksirajmo poljuben !Po G Ag[(X). Iz (5.3.1) sledi, daje f(\y\7o) = 0 za vse A G U\{T(7q)}. Ker pa je f(\y\7o) zvezna glede na A, imamo f(XyX7o) = 0 na celi množici U, oziroma ekvivalentno: /(A) G 7q za vse X &U. Podmodul !Po je bil poljuben iz Agi(X), zato je /(A) v Rad^(X) pri vseh A G U. Od tod sledi /(A) = 0 za vse X L U, saj je X A-polenostaven. D
V dokazu naslednjega izreka, ki razširja del trditve 3 iz [55] in del trditve 1 iz [30] na module, bomo potebovali naravno preslikavo, ki slika iz A^A(x)(X) v A(Mgi(X)). Tako kot na koncu razdelka 5.2 jo bomo označili
z Vm-
Izrek 5.3.2. Naj bo A Banachova algebra z enoto in naj bo X levi Bana-chov A-modul. Ce ima T G M%.(X) lastnost (5) ali ˇsibko 2 — SDP, potem je T : E(Mgi(X)) —> C zvezna funkcija na %(AMA/x)(l)) glede na relativno hull-kernel topologijo.
Dokaz. Vzemimo, da T ni zvezna na z/M(A^A(x)(X)) glede na relativno hull-kernel topologijo. Potem tudi T ni zvezna na AMA(-x)(X). Se pravi, da obstaja takšna zaprta podmnožica F v C, da U := {J3 G AMA(-x)(X); T(y) G F} ni hull-kernel zaprta v A^A(x)(X). Izberimo Tq G H-x(K-x(3)) \ F in označimo Ao = T(7q) L F. Naj bosta V\ in V2 takšni odprti okolici Ao, oziroma množice F, da velja V\ n V 2 = 0- Označimo Uk = (Vk)c, k = 1,2. Potem je {U\, U2} odprto pokritje ravnine C.
Obravnavajmo najprej primer, ko ima T lastnost (5). Dani iel lahko zapišemo kot x = u\ +11,2, pri čemer je Uk = (T — X)fk(X) za vse A G C \ Uk in neko analitično funkcijo /& : C \ Uk -*¦ X, k = 1,2. Točka Ao je v C \ f/i, zato je u\ = (T — Ao)/i(Ao). Naj bo ipo = vmC^o) L E(Mgi(X)) in vzemimo poljuben točkasti multiplikator L iz Jq-. Potem velja
(L, «1) = (L, (T — Ao)/i(Ao)) = 7o(?1 — ^o)(C) /1(^0)) = 0,
kar pomeni, da je u\ G CPo-
Naj bo zdaj J3 poljubna točka iz U. Ker je /x := T(?) G F, imamo 11,2 = (T — /x)/2(/x). Element T — fi je v fcMA(X)({z/M(J,)})) zato je «2 G ^mA(X)({z/m(J')}) • X. Velja torej
U2 e P| (fcMA(X)({^/M(J3)}) • X) =( P| fcMA(x)({^M(J3)})) • X
= kMA(X)(uM(3^)) • X.
5.3. SPEKTRALNE LASTNOSTI ENOSTAVNIH MULTIPLIKATORJEV 92
Ker je Tq v Hx{Kx{$)), potrditvi 4.6.1 (iii) pa je ^mAx^^m^)) = {Kx{^) : X), mora biti 11,2 G ^awx^^mCSO) ' -^ — ^o- Se pravi, da je x = u\ +11,2 G CPo za vse iel, kar je pa seveda protislovje.
Predpostavimo zdaj, da ima T šibko 2—SDP. Potem obstajata takšna T-invariantna podprostora y in Z, da je = za^J3). Ce je a G ann%{y) = (ann@(y) : X), je torej a G (J3 : X) = ker ip. To pomeni, da je ip G Sp%(y) in zato J3 G u^ (Sp$i(y)). Se obrat. Naj bo J3 G u^ (Sp&(y)) in ip G Sp^{y) takšen, da je zaji(J') = L>(X*,2l*)
preslikava, ki vektorju iel priredi P* (a;) — preslikavo iz X* v 21*, za katero pri vseh L G X* in vseh a G 21 velja (P*(x)L, a) = {L,a-x). Upodobitev P* je
6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 100
očitno normirana in krepko zvezna (norma preslikave x i—> P*(a;)L je manjša ali enaka ||L||). Prav tako ni težko preveriti, daje upodobitev P* modularna. Ce je L G X* v skupnem jedru upodobitve P*, potem pri vseh x G X velja 0 = (P*(x)L, 1) = {Š,x), od koder sledi L = 0. Se pravi, da upodobitev P* zadošča vsem pogojem, ki smo jih imeli v tem razdelku, kar pomeni, da vse trditve iz tega razdelka zanjo veljajo.
Poglejmo še podobno definirano upodobitev dualnega modula X*. To upodobitev bomo označili z P*. Pri danem L G X* je P*(L) zvezna preslikava iz X** v 21*, za katero pri vseh F G X** in vseh a G 21 velja (PL(L)F, a) = (F, a ¦ L). Jasno, za P* velja vse tisto, kar velja za P*. Nas bodo zanimali predvsem lokalni Arvesonovi spektri upodobitve P* pri elementih iz X, pri čemer je X na kanoničen način vložen v X**. Za vsak iel velja
(Pl(L)x, a) = (x, a ¦ L) = (L, a ¦ x) = (P*(x)L, a)
pri vseh a G 21 in vseh L G X*. Se pravi, da je PL(L)a; = P*(a;)L pri vseh a; G X in vseh L G X*. Od sledi, da je annp*(x) = kerP*(x) in torej Spp*(x) = h%*(kerP*(x)).
6.3. Banachovi moduli z ločljivim spektrom
V tem razdelku bomo ves čas imeli opravka s komutativno Banachovo algebro 21, ki bo imela enoto. Zanima nas, za katere leve Banachove 2l-module X velja, da je vsak operator množenja Ta : X —> X, a G 21, dekomponibilen, oziroma, povedano na drug način, za katere module je Dec%{X) = 21. Dva delna odgovora sta na dlani. Prvič, če je prostor X končne dimenzije. Drugič, če 21 deluje na X zelo enostavno: v So (21) obstaja takšen ep, daje a-x = (p(a)x za vse a G 21 in vse a; G X. Prav tako je jasno, da je Dec%{X) = 21, če je 21 algebra z ločljivim spektrom (glejte izrek 2.4.2), vendar v tem razdelku ne želimo postavljati pogojev na algebro — 21 naj bo splošna komutativna Banachova algebra z enoto.
Naj bo X levi Banachov 21-modul. Ker je 2l-komutativna, lahko tudi na dualni modul X* gledamo kot na levi 21-modul. Tako kot na koncu razdelka 6.2 naj bo tudi tu P*, : X* —> B^(X**, 21*) upodobitev modula X*, ki je dana z
(P*({)F, a) = {F, a ¦ L) (L G X*, F G X**, a G 21).
Z v^ označimo naravno preslikavo iz A^(X*) v E(2t).
Spomnimo se (razdelek 2.3), da je pri vsaki podmnožici S C E(2t) kospektralni ideal 21S definiran kot zaprtje množice
21(S) = {a G 21; Sp%{a) n S = 0}.
Trditev 6.3.1. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X Banachov levi %l-modul. Naj bo E := v^(A^(X*)). Potem je 2lE C ann$i(%).
6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 101
Dokaz. Za vsak a G 21(e) P° definiciji velja Sp%{a) n E = 0. Torej je množica {v^)~l(Sp%(a)) prazna. Uporabimo trditvi 6.2.4 in 6.2.2 (ii), pa imamo a G ann%{X). Ker je anihilator zaprt ideal, je 2lg Q ann%{X). D
Neposredna posledica pravkar dokazane trditve je naslednji izrek.
Izrek 6.3.2. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov %l-modul. Ce je množica v^{A%(X*)) ločljiv del spektra, potem je za vsak a G 21 operator množenja, ki ga na X inducira a, super-dekomponibilen.
Dokaz. Označimo E = v^(A<%(X*)). Po predpostavki je E ločljiv del spektra, zato je 21/21 g algebra z ločljivim spektrom. Ker je 21 g C ann$i(X), je X na naraven način levi Banachov 2l/2le-modul: produkt poljubnega a + 2lg G 2l/2le z a; G X je definiran z (a + 2le) • x := a • x. Očitno je pri vsakem a G 21 operator množenja z a na X enak operatorju množenja z a + 2lg na X. Algebra 2l/2le ima ločljiv spekter, zato so množenja z njenimi elementi superdekomponibilni operatorji na X, glejte izrek 2.4.2. D
Izrek 6.3.2 velja za module, katerih dual zadošča pogoju, da je naravna slika njegovega hiperspektra ločljiv del spektra. Takšnim modulom bomo dali posebno ime.
Definicija 6.3.3. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto. Banachov levi %l-modul X je modul z ločljivim spektrom, če je naravna slika njegovega hiperspektra ločljiv del spektra S(21).
Definicija modula z ločljivim spektrom ni modulska varianta definicije algebre z ločljivim spektrom, vendar obstaja med njima določena analogija.
Trditev 6.3.4. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov %l-modul z ločljivim spektrom. Če sta Ti in T2 takšna hiper-maksimalna podmodula v X, daje zAa(J'i) 7^ ^(J^)) potem obstajata takšna a G 21 in x G X, da je a ¦ x = 0, a L (!Pi : X) in x L JV
Dokaz. Ker sta ip\ := v^Ti) in tp2 := ^(J^) različna karakterja iz E := z/2i(A2i(X)) C /i2i(2le), obstajata po posledici 6.1.5 v 21 takšna a\ in a,2, da je a\a,2 G 2lg ter tpk{ak) 7^ 0, k = 1,2. Se pravi, da a^ L (7^ '¦ X), k = 1,2. Zaradi 0,2 ^ (T2 '¦ X) obstaja v X takšen y, da 0,2 ¦ y ^ ?2-Označimo a = a\ in x = 0,2 ¦ y, pa smo iskana elementa našli, saj zaradi aia,2 G 2lg C ann%{X) velja a ¦ x = 0. D
V izreku 6.3.2 smo ugotovili, da vsak element iz komutativne Bana-chove algebre z enoto 21 inducira na levem Banachovem 2l-modulu X super-dekomponibilen operator množenja, če ima dualni modul X* ločljiv spekter.
6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 102
Iz dokaza tega izreka sledi, da je pri vsakem a G 21 spektralna kapaciteta pripadajočega operatorja množenja Ta dana z
—------— —i
E-a(F) '¦= X((a + 2lg) (F)), FgcI(C),
—------— —i
pri čemer je X((a + 2lg) (F)) spektralni podmodul v X, ki pripada množici
—------— —i
(a + 2lg) (i*1) C L(2l/2le). V nadaljevanju bomo spektralno kapaciteto Ea
izrazili še nekoliko drugače.
Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X levi Banachov
2l-modul. Pri poljubni podmnožici S C L(21) definirajmo
X *(<§) := {a; G X; Sppj(a;) C (z^)- (S)}.
Iz trditev 6.2.2 in 6.2.4 sledi, da je X *(S) podmodul v X, rekli mu bomo Pl-spektralni podmodul pri S. Očitno velja X *(S) = X * (S C\ v%(A%(X*))).
Trditev 6.3.5. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takšen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter. Označimo E := v^(A^(X*)) in 53 := 2l/2le. Potem za vsako množico S C S(21) velja X5S(Sn L(53)) = XP*(S).
V trditvi smo z X (S n S(53)) označili spektralni podmodul pri S n L(53) C L(53) v 53-modulu X, tj.
X (S n L(53)) = {x G X; Sp Ls definiran zvezen homomorfizem iz 21 v B()$) in $(/) je identični operator na y. Zaprtje podalgebre $(21) v B()$) je algebra z ločljivim spektrom (trditev 2.2.6 (iii)), zato je $(T) = Lt krepko harmoničen operator. D
Posledica 3.2.2. Naj bo T krepko harmoničen operator na Banachovem prostoru X in naj bo 21 C B(X) algebra z ločljivim spektrom, ki vsebuje T.
(i) Zožitev operatorja T na hiperinvarianten podprostor je krepko harmoničen operator.
(ii) Adjungirani operator T* na X* je krepko harmoničen.
(iii) Če je 53 C B(X) takšna zaprta podalgebra, da je 21 C 53, recimo, če je 53 enaka B(X) ali komutantu {T}c operatorja T, potem je operator množenja, ki ga na 53 inducira T, krepko harmoničen.
Dokaz. (i) Naj bo y hiperinvarianten podprostor za T. Potem je y invarianten za vsak operator S G 21. Za množenje S-y := S\yy S G 21, y G y) je ^ levi Banachov 2l-modul. Zdaj uporabimo izrek 3.2.1.
(ii) Ker je algebra 21 komutativna, je dual X* levi Banachov 2l-modul za množenje S ¦ L := S*L (S G 21, L G X*). Trditev sledi po izreku 3.2.1.
(iii) Očitno je 53 levi Banachov 2l-modul, zato lahko uporabimo izrek 3.2.1. D
3.2. LASTNOSTI KREPKO HARMONIČNIH OPERATORJEV 48
Ce je T G B(X) krepko harmoničen operator, potem algebra z ločljivim spektrom 21 C B(X), ki vsebuje T (in identični operator), ni nujno enolično določena. Na primer, naj bosta S in T komutirajoča operatorja, ki imata oba popolnoma nepovezana spektra. Potem imata algebri, ki ju generirata T in identični operator ter S in identični operator, ločljiva spektra, kot smo videli v zgledu 3.1.4. Toda tudi algebra, ki jo generirajo S, T in identični operator, je algebra z ločljivim spektrom. Ni težko najti primera, ko sta algebri, ki ju generirata S in /, oziroma T in /, pravi podalgebri v algebri, ki jo generirajo S, T in L
Naslednji izrek nam zagotavlja, da je vsak krepko harmoničen operator vsebovan v neki algebri z ločljivim spektrom, ki je za inverze zaprta.
Izrek 3.2.3. Naj bo 21 C B(X) algebra z ločljivim spektrom in naj bo I G 21. Potem obstaja takšna algebra z ločljivim spektrom 53 G B(X), daje 53 za inverze zaprta v B(X) in 21 C 53.
Dokaz. Najprej bomo pri vsakem naravnem številu n poiskali takšno algebro 53ra C B(X) z ločljivim spektrom, da bo veljalo 21 C 53ra C Q3n-|_i. Pri n = 1 naj bo 53i := 21. Predpostavimo zdaj, da že imamo končno zaporedje algeber 21 = 53i C ... C 53ra z ločljivimi spektri. Ce je {T\; A G A} C 53ra množica vseh tistih operatorjev, ki so obrnljivi v B(X), vendar ne v 53ra, naj bo 53ra-|-i zaprta podalgebra v B(X), ki jo generirata algebra 53ra in družina {T^~ : A G A} (če je indeksna množica A prazna, naj bo Bn+i = 53ra). Očitno je Bn+i komutativna podalgebra v B(X), saj je 53ra U {T^~ : A G A} komutativna množica generatorjev.
Naj bo p v X(53ra-|-i). Potem cL>|53ra, zožitev ip na 53ra, ne more biti trivialen funkcional, saj 53ra vsebuje identični operator. Se pravi, da je cL>|53ra G S(53ra). Ce sta B()$, Z) je
S p (O) := h^(kerQ) = {J3 G Ag((X); {ker® : X) C (J3 : X)}.
Že prej smo ugotovili, da je jedro upodobitve 0 enako anihilatorju v X prostora y. Se pravi, da je S p (O) = h%(ann e(^)) ¦ V zadnji enakosti lahko prostor ^ zamenjamo z manjšo množico J\f C y in dobimo lokalen Arvesonov spekter upodobitve 0 na množici A/":
Spe(M) := h-x(ann®(N)) = {J3 G Ag((X); (ann&(N) : X) C (J3 : X)}. V posebnem primeru, ko je A/" singleton {y}, je
Spe(y) := h%(anne(y)) = {J3 G A^X); (ann&(y) : X) C (J3 : X)} lokalni Arvesonov spekter upodobitve 0 pri y G y.
Trditev 6.2.2. Lokalni Arvesonovi spektri upodobitve 0 imajo naslednje lastnosti.
(i) Za poljubno neprazno podmnožico J\f C y je Sp@(J\f) hull-kernel zaprta podmnožica v A%(X).
(ii) Če je M C y neprazna podmnožica vsebovana v f]x^xker @(x), potem je Sp@ (J\f) prazna množica. Obratno, če je X takšen modul, da je naravna preslikava v% : Ag((X) —> S(21) surjektivna, potem iz Sp&(N) = 0 s/edi A/" C (~}XLxker @(x).
6.2. ARVESONOV SPEKTER UPODOBITVE MODULA 98
(iii) Za vsako neprazno podmnožico M C y je Sp&(N) = Sp&(lin (M)).
(iv) Če je A/i C A/2 Q )$, je Sfj@(J\f\) C Spj@(J\f2).
(v) Za poljuben končen nabor vektorjev y\, ¦ ¦ ¦ ,yn iz^ velja
Sp@(y\ + ... + yn) C Sp@(yi) U ... U Sp@(yn).
Dokaz. Točka (i) sledi neposredno iz definicije.
(ii) Če je N neprazna podmnožica v f]x^xker @(x), potem je očitno ann@(J\f) = X in torej (ann @(J\f) : X) = 21. Od tod seveda sledi Sp@(J\f) = 0. Dokažimo še obrat. Naj bo v% surjektivna in naj bo J\f takšna neprazna podmnožica v y, za katero velja Sp@(J\f) = 0. To pomeni, da kvocient (ann®(N) : X) ni vsebovan v nobenem idealu (J3: X), J3 G Ag[(X), oziroma, povedano drugače, h%((ann®(N) : X)) n v%(L±.%(%)) = 0. Ker je v% surjektivna, mora veljati h%((ann@(M) : X)) = 0, od koder sledi (ann@(J\f) : X) = 21. Zaradi 21 • X = X, je cel modul X vsebovan v ann@(M), oziroma ¦A/" C (~}XLxker @(x).
Točka (iii) sledi iz trditve 6.2.1, točka (iv) pa iz dejstva, da je anihila-tor manjše množice večji od anihilatorja večje množice. Točko (v) dobimo, če upoštevamo, da je ann@(y\) n ... n ann@(yn) C ann@(y\ + ... + yn), uporabimo izrek 4.5.3 (viii) ter točko (iv) te trditve. D
Naj bo (0,9) zvezna upodobitev levega Banachovega 2l-modula na paru Banachovih prostorov (^,Z). Na Z lahko preko upodobitve 9 gledamo kot na levi Banachov 2l-modul. Predpostavimo, da je tudi y levi Banachov 2l-modul. Rekli bomo, da je upodobitev 0 levo %l-modularna, oz. krajše modularna, če je @(x) G Bf&()$, Z) za vse iel
Naj bo 0 : X —> B^(^,Z) modularna upodobitev modula X in U := C\XLxker @(x) njeno skupno jedro. Jasno, Kje zaprt podmodul v y in W := y/1X je levi Banachov 2l-modul. S predpisom Q(x)(y + U) := @(x)y je pri vsakem iel dobro definirana zvezna preslikava iz W v Z. Brez težav lahko preverimo, da je 0 normirana krepko zvezna modularna upodobitev modula X na paru (W, Z). Jasno, skupno jedro upodobitve 0 je trivialno.
Trditev 6.2.3. Za vsak ye^ velja. (i) ann @ (y) = ann g (y) in Sp@ (y) = Sp g (y).
(ii) Če je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je (ann@(y) : X) = ann%(y).
(iii) če je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je Sp&(y) = u^ (Sp%i(y)). (iv) Spe(y) = u^ (Sp^(y + U)).
Dokaz. (i) Enakost ann@(y) = ann^(y) očitno velja, zato velja tudi Spe (y) = Sp g (y).
(ii) Po definiciji je element a G 21 v (ann@(y) : X) natanko tedaj, ko velja a-X C ann@(y). Zadnja inkluzija je ekvivalentna pogoju @(a-x)y = 0
6.2. ARVESONOV SPEKTER UPODOBITVE MODULA 99
pri vseh a; G X, ta pogoj pa lahko zapišemo kot @(x)(a-y) = 0 za vse i6l, saj je 0 modularna upodobitev. Toda, ker je skupno jedro upodobitve 0 trivialno, je zadnji pogoj isto kot a ¦ y = 0, oziroma a G ann%{y).
(iii) Po prejšnji točki je (ann@(y) : X) = ann%{y). Vzemimo, da je J3 G Sp@(y). Označimo (a) = 0 za vse a G ann%{x)} = Sp%{x) n L(53).
Naj bo S C L(21) poljubna množica. Potem je
XB(S n L(53)) = {x G X; Sp?g(x) C S n L(53)}
= {x G X; Sp2[(a;) n L(53) C S n L(53)}.
Ker je {v^)~l{Sp^(x) n L(53)) = {v^j)~l{Sp^(x)) in {v^)~l(S n L(53)) = (z/|[)_1(S), je
X5S(S n L(53)) = {x G X; (^li)-1^^^)) C (z^)-1^)} = {x G X; Spp*(a;) C (z^)- (5*)},
pri čemer zadnja enakost velja zaradi trditve 6.2.3 (iii). D
Posledica 6.3.6. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takšen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* ločljiv spekter. Če je S C L(21) zaprta množica, je X *(S) zaprt podmodul v X.
6.3. BANACHOVI MODULI Z LOČLJIVIM SPEKTROM 103
Dokaz. Uporabimo oznake iz prejšnje trditve. Ker je 53 algebra z ločljivim spektrom, S n X(53) pa zaprta množica, je spektralni podmodul X5S(S n X(53)) zaprt po trditvi 2.3.1. D
Zdaj lahko tudi povemo, kako se izražajo spektralne kapacitete operatorjev množenja.
Posledica 6.3.7. Naj bo 21 komutativna Banachova algebra z enoto in X takˇsen levi Banachov %-modul, da ima njegov dualni modul X* loˇcljiv spekter. Potem vsak element a G 21 inducira na X superdekomponibilen operator Ta, katerega spektralna kapaciteta je dana z Ea(F) = Xp*(a_1(F)), F G cl (C).
Dokaz. Daje Ta superdekomponibilen, že vemo. Ker je (a + 2le) (F) = a-1 (F) n X(53), pri vsaki množici F G cl (C), velja
fft —---------— —1 ~V -. P* 1
Ea(F)X ((a + 2lg) (F)) = X (a (F) n X(53)) = X *(a~ (F)).
D
Literatura
[1] E. Albrecht, Generalized spectral operators, In Functional analysis: surveys and recent results , North-Holland Mathematics Studies, No. 27 (ed. K.-D. Bierstedt and B. Fuchssteiner), North-Holland, Amsterdam, (1977), 259-277. [2] E. Albrecht, On decomposable operators, Integral Equat. Operator Theory, 2 (1979),
1-10. [3] E. Albrecht, On joint spectra, Studia Math., LXIV (1979), 263-271. [4] E. Albrecht, Spectral decompositions for systems of commuting operators, Proc. Roy.
Irish Acad., A 81 (1981), 81-98. [5] E. Albrecht, Decomposable systems of operators in harmonic analysis, In Toeplitz centennial, Operator Theory: Advances and Applications, No. 4 (ed. I. Gohberg) Birkh¨auser, Basel (1982), 19-35. [6] E. Albrecht and J. Eschmeier, Analytic functional models and local spectral theory,
Proc. Lond. Math. Soc. , III. Ser. 75, No.2 (1997), 323-348. [7] E. Albrecht and F.-H. Vasilescu, On spectral capacities, Rev. Roum. Math. Pures et
Appl., XIX, No.6 (1974), 701-705. [8] C. Apostol, Roots of decomposable operator-valued analytic functions, Rev. Roum.
Math. Pures et Appl., XIII, No.4 (1968), 433-438. [9] C. Apostol, Remarks on the perturbation and a topology for operators, J. Funct. Anal., 2 (1968), 395-409. [10] C. Apostol, Decomposable multiplication operators, Rev. Roum. Math. Pures et
Appl., XVII, No.3 (1972), 323-333. [11] W. Arveson, On Groups of Automorphisms of Operator Algebras, J. Funct. Analysis,
15 (1974), 217-243. [12] A. G. Baskakov, Spektralna sinteza in Banachovi moduli nad komutativnimi Bana-chovimi algebrami, Mat. zametki, t. 34, no.4 (1983), 573-585 (v ruˇsˇcini). [13] A. G. Baskakov, Spectral synthesis in Banach modules over commutative Banach
algebras, Math. Notes 34, (1983), 776-782. (prevod iz Mat. Zametki.) [14] F. F. Bonsall and J. Duncan, Complete Normed Algebras, Springer-Verlag, 1973. [15] J. Braˇciˇc, A characterisation of multipliers with spectral subspaces, RMZ-Materials
and geoenvironment, 46 (1999), 5-12. [16] J. Braˇciˇc, Unital strongly harmonic commutative Banach algebras, Studia Math.,
sprejeto v objavo. [17] J. Braˇciˇc, Strongly harmonic operators, Acta Sci. Math. (Szeged), sprejeto v objavo. [18] J. Braˇciˇc, Simple multipliers on Banach modules, preprint. [19] J. Braˇciˇc, Local multipliers, preprint.
[20] J. Braˇciˇc, Representations and derivations of modules, preprint.
[21] I. Colojoarˇa and C. Foia¸s, Theory of Generalized Spectral Operators, Gordon and Breach, New York, 1968.
104
LITERATURA
105
[22] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
[23] Y. Domar, Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras, Acta
Math., 96 (1956), 1-66. [24] Y. Domar and L.-°A. Lindahl, Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 25 (1975), 1-32. [25] R. S. Doran and J. Wichmann, Approximate Identities and Factorization in Banach
Modules, Springer, Berlin, 1979. [26] J. Eschmeier, Operator decomposability and weakly continuous representations of
locally compact abelian groups, J. Operator Theory, 7 (1982), 201-208. [27] J. Eschmeier, On two notions of the local spectrum for several commuting operators,
Michigan Math. J., 30 (1983), 245-248. [28] J. Eschmeier, Are commuting systems of decomposable operators decomposable? Operator theory, 12 (1984), 213-219. [29] J. Eschmeier, Spectral decompositions and decomposable multipliers, Manuscripta
Math., 51 (1985), 201-224. [30] J. Eschmeier, K. B. Laursen and M. M. Neumann, Multipliers with natural local
spectra on commutative Banach algebra, J. Funct. Anal., 138 (1996), 273-294. [31] J. Eschmeier and M. Putinar, Spectral decomposition and analytic sheaves, London
Math. Soc. Monographs 10, Clarendon Press, Oxford, 1996. [32] U. Fixman, Problems in spectral operators, Pacific J. Math., 9 (1959), 1029-1051. [33] C. Foia¸s, Spectral capacities and decomposable operators, Rev. Roum. Math. Pures
et Appl., XIII, No.10 (1968), 1539-1545. [34] S¸t. Frunzˇa, A characterization of regular Banach algebras, Rev. Roum. Math. Pures
Appl. XVIII (1973), 1057-1059. [35] S¸t. Frunzˇa, The Taylor Spectrum and Spectral Decompositions, J. Functional Analysis, 19 (1975), 390-421. [36] S¸t. Frunzˇa, Spectral decomposition and duality, Illinois J. Math., 20 (1976), 314-321. [37] O. Hatori, On the greatest regular closed subalgebras and the Apostol algebras of
Lp-multipliers whose Furier transforms are continuous and vanish at infinity, Tokyo
J. Math., 20 (1997), 453-462. [38] O. Hatori, Measures with natural spectra on locally compact abelian groups, Proc.
Amer. Math. Soc., 126 (1998), 2351-2353. [39] O. Hatori, Subalgebras of commutative Banach algebras and Fourier multipliers with
natural spectra, Contemporary Mathematics, 232 (1999), 171-187. [40] O. Hatori in K. Izuchi, Apostol algebras and decomposition in Douglas algebras,
Michigan Math. J., 44 (1997), 435-449. [41] E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, I, Springer-Verlag, 1963. [42] M. Hladnik, Spectrality of elementary operators, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 49
(1990), 327-346. [43] J. Inoue and S.-E. Takahasi, A remark on the largest regular subalgebra of a Banach
algebra, Proc. Amer. Math. Soc., 116 (1992), 961-962. [44] S. Kaijser, On Banach Modules I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 90 (1981), 423-444. [45] S. Kaijser, On Banach Modules II. Pseudodeterminants and traces, Math. Proc.
Camb. Phil. Soc., 121 (1997), 325-341. [46] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, New
York, 1968. [47] S. H. Kim, On the strongly harmonic algebras, Rev. Roum. Math. Pures et Appl.,
XXIII (1978), 1553-1575.
LITERATURA
106
[48] K. Koh, On a representation of a strongly harmonic ring by sheaves, Pacific J. Math., 41 (1972), 459-468.
[49] R. Larsen, An Introduction to the Theory of Multipliers, Springer-Verlag, Berlin, 1971.
[50] R. Larsen, Banach Algebras, Marcel Dekker, Inc. , New York, 1973.
[51] K. B. Laursen, Multipliers and local spectral theory, Functional analysis and operator theory, Banach center publications, 30 (1994), 223-236.
[52] K. B. Laursen, V. G. Miller and M. M. Neumann, Local spectral properties of commutators, Proc. Edinburgh Math. Soc., 38 (1995), 313-329.
[53] K. B. Laursen and M. M. Neumann, An Introduction to Local Spectral Theory, London Math. Soc. Monographs 20, Clarendon Press, Oxford, 2000.
[54] K. B. Laursen and M. M. Neumann, Decomposable operators and automatic continuity, J. Operator Theory, 15 (1986), 33-51.
[55] K. B. Laursen and M. M. Neumann, Local spectral properties of multipliers on Banach algebras, Arch. Math., 58 (1992), 368-375.
[56] K. B. Laursen in M. M. Neumann, Decomposable multipliers and applications to harmonic analysis, Studia Math., 101 (1992), 193-214.
[57] C.-P. Lu, Spectra of modules, Comm. Algebra, 23 (1995), 3741-3752.
[58] C.-P. Lu, The Zariski topology on the prime spectrum of a module, Houston J. Math., 25 (1999), 417-432.
[59] M. M. Neumann, Banach algebras, decomposable convolution operators, and a spectral mapping property, in: Proceedings of the Conference of Function Spaces at Southern Illinois University at Edwardsville, Marcel Dekker, New York 1991, 307-323.
[60] M. M. Neumann, Commutative Banach Algebras and Decomposable Operators, Monatsh. Math., 113 (1992), 227-243.
[61] T. W. Palmer, Banach Algebras and the General Theory of ?-Algebras, Volume 1: Algebras and Banach Algebras, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 49, Cambridge University Press, 1994.
[62] C. J. Read, Quasinilpotent operators and the invariant subspace problem, J. London Math. Soc, (2) 56 (1997), 595-606.
[63] C. E. Rickart, General Theory of Banach Algebras, D. van Nostrand Company, Inc., 1960.
[64] R. C. Smith, Local spectral theory for invertible composition operators on Hp, Integr. Equat. Oper. Th., 25 (1996), 329-335.
[65] J. L. Taylor, Joint Spectrum for Several Commuting Operators, J. Functional Analysis, 6 (1970), 172-191.
[66] S. Teleman, Analyse harmonique dans les algebres regulieres, Rev. Roum. Math. Pures et Appl., XIII, No.5 (1968), 691-750.
[67] S. Teleman, Theory of harmonic algebras with applications to von Neumann algebras and cohomology of locally compact spaces (de Rham’s theorem), Lectures on the applications of sheaves to ring theory, 99-315, Lecture Notes in Mathematics, 248, Springer, Berlin, 1971.
Seznam oznak in stvarno kazalo
Seznam oznak
Število ob oznaki označuje stran, kjer je oznaka vpeljana.
a, 2 Gelfandova transformiranka elementa a
Ai, 17 standardna unitizacija algebre A
A (D), 39 disk algebra
annA, 16 anihilator v algebri A
ann e, 96 anihilator glede na upodobitev 0
A0p> 15 algebra A z obrnjenim množenjem
B(X), 2 algebra omejenih linearnih operatorjev na Banachovem prostoru X
B(X,y), 9 prostor omejenih linearnih preslikav iz Banachovega
prostora X v Banachov prostor y BA(X), 21 omejeni multiplikatorji na levem Banachovem A-modulu X
SA(X,y), 21 omejeni multiplikatorji iz levega Banachovega
A-modula X v levi Banachov A-modul y B(X)b, 21 omejeni multiplikatorji na desnem Banachovem B-modulu X
S(X,y)B, 21 omejeni multiplikatorji iz desnega Banachovega
B-modula X v desni Banachov B-modul y SA(X)B, 21 omejeni multiplikatorji na Banachovem A-B-bimodulu X
SA(X,y)B, 21 omejeni multiplikatorji iz Banachovega
A-B-bimodula X v Banachov A-B-bimodul y C(E(A)), 2 Banachova algebra vseh omejenih kompleksnih zveznih funcij na S(A)
Co(S(A)), 2 Banachova algebra tistih kompleksnih zveznih funcij na S(A),
ki imajo ničlo v neskončnosti Cv, 20 enodimenzionalen Banachov modul, ki ga določa karakter ip
C7iA(X), 80 prostor karakterističnih vektorjev v A-modulu X
C7iA(X), 80 zaprtje prostora C7iA(X) v Banachovem A-modulu X
C/i|A(X*), 80 šibko * zaprtje prostora C7iA(X*)
v dualnem Banachovem A-modulu X* Chtp(X), 80 prostor karakterističnih vektorjev v A-modulu X,
ki pripadajo karakterju ip d (fi), 10 družina vseh zaprtih podmnožic v topološkem prostoru fi
D, 32 množica vseh kompleksnih števil z absolutno vrednostjo manj kot 1
107
SEZNAM OZNAK
108
DeeA (A), 5 Apostolova algebra
DecA(X), 8 množica tistih elementov v A, ki na levem Banachovem A-modulu X
inducirajo dekomponibilne operatorje množenja AA (X), 78 množica hiper-maksimalnih podmodulov v A-modulu X
AA (X), 78 množica zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov v Banachovem
A-modulu X A^(X), 78 množica hiper-maksimalnih podmodulov v A-modulu X,
ki pripadajo karakterju ip A^(X), 78 množica zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov v Banachovem
A-modulu X, ki pripadajo karakterju ip Ss,t, 51 posplošeno odvajanje, ki ga določata operatorja S in T
E, 10 spektralna kapaciteta
Es,t, 51 elementarni operator, ki ga določata n-terici S in T
G(X), 59 množica cikličnih vektorjev v A-modulu X
T, 2 Gelfandova transformacija
/iA (U), 2 ovoj (glede na algebro A) množice U
^x(y)> ^2 ovoj podmodula y v množici podmodulov fi
Hx , 89 ovoj v prostoru zaprtih hiper-maksimalnih podmodulov,
ko je X modul nad algebro enostavnih multiplikatorjev fcA(E), 2 jedro množice E C E(A) v algebri A
kx(S), 72 jedro množice S C PA(X) v modulu X
Kx, 89 jedro v modulu X, ko je modul nad algebro enostavnih
multiplikatorjev HA (X), 62 množica maksimalnih podmodulov
HA (X), 62 množica zaprtih maksimalnih podmodulov
La, 13 operator množenja z leve, ki ga a G A inducira na A
A(x), 14 preslikava iz algebre A v desni A-modul X,
ki jo inducira element x G X Lat (T), 2 mreža zaprtih invariantnih podprostorov za operator T
L(X), 14 algebra linearnih operatorjev na vektorskem prostoru X
L(X,y), 14 prostor linearnih preslikav iz vektorskega prostora X v vektorski
prostor y LA(X), 16 algebra multiplikatorjev na levem A-modulu X
LA(X)b, 16 algebra multiplikatorjev na A-B-bimodulu X
L(X)B, 16 algebra multiplikatorjev na desnem B-modulu X
LA(X,y), 16 prostor multiplikatorjev iz levega A-modula X
v levi A-modul y LA(X,y)B, 16 prostor multiplikatorjev iz A-B-bimodula X
v A-B-bimodul y L(X,y)B, 16 prostor multiplikatorjev iz desnega B-modula X
v desni B-modul y L00[G), 20 Banachov prostor omejenih funkcij na Abelovi grupi G
LP(G), 20 Banachov prostor funkcij na Abelovi grupi G,
katerih p-ta potenca absolutne vrednosti je integrabilna Ls, 51 elementarni operator množenja z leve z operatorjem S
SEZNAM OZNAK
109
(M), 14 najmanjši podmodul, ki vsebuje množico M
M (A), 86 (klasični) multiplikatorji na algebri A
MA(X), 86 enostavni multiplikatorji na A-modulu X
Mv, 81 jedro karakterja ip
M (G), 40 algebra omejenih regularnih Borelovih mer na Abelovi grupi G
Ms,t, 51 elementaren operator dolžine 1, ki ga določata operatorja S in T
!AA, 74 naravna preslikava, ki slika v množico idealov algebre A
vm, 91 naravna preslikava, ki slika v množico idealov
algebre enostavnih multiplikatorjev
uj(a), 24 množica karakterjev, ki ne uničijo elementa a
uj (y), 74 množica prapodmodulov v množici fi, katerih kvocient ne
vsebuje kvocienta podmodula y
IlA(X), 69 množica primitivnih podmodulov v A-modulu X
IlA(X), 69 množica zaprtih primitivnih podmodulov v Banachovem A-modulu X
Ra, 14 operator množenja z desne, ki ga a G A inducira na A
r(a), 41 spektralni polmer
Rad (A), 79 Gelfandov radikal algebre A
RadA (X), 82 hiperradikal A-modula X
RadA (X), 72 fi-radikal
Radp(A), 76 P-radikal
PA (X), 59 množica prapodmodulov v A-modulu X
PA(X), 59 množica zaprtih prapodmodulov v Banachovem A-modulu X
Reg (A), 7 največja regularna podalgebra v Banachovi algebri A
P(A), 56 množica praidealov v algebri A
Pt{x), 11 lokalna resolventna množica operatorja T pri vektorju x
p(T,x), 12 analitična resolventna množica n-terice T pri vektorju x
P(x), 13 preslikava iz algebre A v levi A-modul X,
ki jo inducira element x G X
Rt, 51 elementarni operator množenja z desne z operatorjem T
Sep (A), 40 največja podalgebra z ločljivim spektrom v algberi A
E(A), 1 množica karakterjev na algebri A
Eo(A), 19 množica karakterjev na algebri A in funkcional 0
(Tt(x), 11 lokalni spekter operatorja T pri vektorju x