K-NUMERICNI ZAKLAD MATRIKE
MIRKO DOBO VIŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A50, 01A55
Za vsako n x n matriko A in vsak k e N, 1 < k < n, je fc-numerični zaklad definiran kot Afc(A) = {A e C : PAP = AP za neki ortogonalni projektor P ranga k}. V članku je pregled nekaterih novejsih rezultatov o k-numeričnem zakladu matrike. Dokazana je njegova konveksnost in dodan kratek program za risanje Afc(A).
HIGHER RANK NUMERICAL RANGE
For any n x n complex matrix A and any ^ € N, ^ < ^ < n, let Afc (A) = £ C : PAP = AP, P2 = P, P * = P, rank P = ^. An overview of some new results about rank k numerical range is given in the article. Its convexity is proved, and a short program in MATLAB is given for computation of A k (A).
S Cn bomo označevali vektorski prostor kompleksnih n-terk nad obsegom kompleksnih stevil. Skalarni produkt vektorjev x in y iz Cn bomo označili z (x,y), normo vektorja x pa z ^x^. Mnozico kompleksnih matrik velikosti n X n bomo označevali z Mn. Osnovne pojme linearne algebre, ki jih bomo uporabljali, lahko bralec najde v [7].
Definicija 1. Numericni zaklad matrike A je podmnozica kompleksnih stevil, definirana z
W(A) = {(Ax,x);x € Cn, ^x^ = 1}.	(1)
Osnovne lastnosti tega numeričnega zaklada lahko bralec najde dokazane v [4, 5, 1] in se marsikje drugod. Tu jih samo na kratko navedimo. Numerični zaklad matrike je vedno zaprta, konveksna in neprazna mnoziča v kompleksni ravnini. Vedno vsebuje vse lastne vrednosti matrike in numerični zaklad normalne matrike je konveksna ogrinjača njenih lastnih vrednosti. Pomembna je tudi klasifikačija sebiadjungiranih operatorjev s pomočjo numeričnega zaklada. Ce je namreč numerični zaklad operatorja na realni osi, je operator sebiadjungiran. Zgornje lastnosti se da posplositi tudi na operatorje na Hilbertovem prostoru in na elemente operatorskih algeber.
V zadnjih letih so se matematiki ponovno začeli zanimati za k-numerični zaklad matrik. Njegove lastnosti namreč potrebujemo pri studiju moznosti odprave napak pri kvantnih operačijah (kanalih). Oglejmo si, kaj je moti-vačija za studij k-numeričnega zaklada.
Pri kvantnem računanju so osnovni elementi informacije kubiti. Te lahko reprezentiramo kot Q = vv*, kjer je v enotski vektor v C2. Ce Q zapisemo kot matriko, je
Q = 1 Q 2
x,y,z G R, x2 + y2 + z2 = 1
1 + z x + iy x — iy 1 - z
Stanje k kubitov pa predstavimo kot tenzorski produkt k takih 2 x 2 matrik
Qi Qk.
Informacijo prenesemo po kvantnem kanalu tako, da jo najprej zakodiramo kot stanje n (n > k) kubitov. Potem jo posljemo skozi kvantni kanal, kjer se lahko doda nezazelen sum. Na koncu jo dekodiramo in iz stanja n kubitov s sumom dobimo stanje k kubitov. Ce imamo kaksne informacije o vzorcu napak kvantnega kanala, lahko konstruiramo operator za korekcijo kvantnih napak. Tu se ne bomo spuscali v podrobnosti procesa. Povejmo le se to, da je kvantni kanal/operacija kot preslikava na stanju n kubitov linearna preslikava
$ : M2n ^ M2n ,
ki jo lahko zapisemo v obliki
r	r
$(X	Tj	= I2n,
j=i j=i
za neke operatorje Tj,j = 1, 2,... ,r [2]. Izkaze se, da kadar obstaja pod-prostor V C M2n dimenzije 2k in kvantna operacija ^ : ^ M2n, za katero velja
^($(X)) = X, za vse X G PvM2nPv,
lahko napake kvantnega kanala $ odpravimo [6]. S Pv smo oznacili ortogo-nalni projektor iz C2" na V.
Brez dokaza povejmo, da je to ekvivalentno obstoju podprostora V in nekih stevil A^j, i, j = 1, 2,..., r, da je
PvT*TjPv = AijPv, Aij G C i,j = 1,2,...,r.	(2)
Za vsak i in j nas torej zanima obstoj kompleksnih stevil, za katera velja (2).
Zapisimo definicijo:
Definicija 2. Naj bo A matrika velikosti n x n in k > 1 naravno stevilo. Mnozico
Ak(A) = {A G C : PAP = AP za neki ortogonalni projektor P ranga k}
(3)
imenujemo k-numericni zaklad matrike A.
Pri k = 1 dobimo običajni numericni zaklad matrike, Ai(A) = W(A), katerega nekaj lastnosti lahko bralec spozna v clanku [4]. Osnovne lastnosti obeh numeričnih zakladov so podobne. Dokazi so trivialni.
•	Za poljubni stevili a in ß je Ak(aA + ßl) = aAk(A) + ß.
•	Za poljubno unitarno matriko U je Ak(U*AU) = Ak(A).
•	Ce je B r x r matrika, ki pripada zozitvi operatorja, podanega z matriko A, in r > k, je A^(B) C A^(A).
Lahko pa se zgodi, da je Ak(A) za večje k prazna mnozica. Ce ta mnozica ni prazna, je konveksna. Ta lastnost je bila dokazana razmeroma pozno [11]. Nekaj teh numericnih zakladov bomo kasneje tudi narisali.
Preden se lotimo dokaza konveksnosti k-numericnega zaklada matrike, dokazimo ekvivalentno definicijo.
Trditev 1. Naj bo A matrika velikosti n x n in k naravno .število. Potem je A € Ak(A) natanko tedaj, ko obstaja k-razsezen podprostor S C Cn, za katerega velja
(A - AI)S ± S.	(4)
Dokaz. Naj bo A € Ak(A). Potem je za neki projektor P ranga k
PAP = AP.
Potem pa za vsak x € ImP = S velja
((A - AI)x, x) = ((A - AI)Px, Px) = ((PAP - AP)x, x) = 0.
Tudi obratno je ocitno. Naj bo S k-dimenzionalen podprostor, za katerega velja (4). Ce za P vzamemo ortogonalni projektor na S, je za vse x € Cn vektor PAPx - APx v S. Zato je (PAPx - APx, PAPx - APx) = 0. Sledi PAPx = APx za vse x. Torej A € A^(A).	■
Pri dokazu konveksnosti obicajnega numericnega zaklada problem prevedemo na konveksnost numericnega zaklada 2 x 2 matrike, ki je elipsa (ali degenerirana elipsa). Tu problem prevedemo na konveksnost numericnega zaklada 2k x 2k matrike. To je naredil H. W. Woerdeman leta 2007 [11]. Pri tem si je pomagal z rezultati M. D. Choia [3] iz istega leta.
Trditev 2. Mnozica Ak(A) je konveksna, ce je konveksna za vse 2k x 2k matrike.
Dokaz. Naj bosta A in ß različna elementa Ak(A). Potem po trditvi 1 obstajata k-dimenzionalna podprostora L in M, za katera velja:
(A - AI)L ± L in (A - ßI)M ± M.	(5)
V preseku L n M je lahko samo vektor 0, saj za x € L n M velja
{Ax,x) = A(x,x) in (Ax,x) = ß(x,x),
kar pomeni x = 0. Vsota podprostorov L in M, označimo jo z L + M = S, je tako 2k-razsezen podprostor. Označimo ortogonalni projektor na S s PS. Zozitev T preslikave PSA na podprostor S lahko sedaj obravnavamo kot preslikavo 2k-razseznega prostora S vase. Numerični zaklad taksne preslikave pa je po predpostavki konveksna mnozica. Torej za vsak v = tA+(1-t)ß, t € [0,1], obstaja projektor PR ranga k na podprostor R, za katerega velja
PrTPr = VPr.
Ker je R podprostor prostora S, je Q = PRPS ortogonalni projektor ranga k. Velja tudi
QAQ = PrPs APr Ps = PrT Torej je v € Ak(A).
^PrPs = vPrPs = vQ.
Lema 3. Naj bosta matriki T in S kongruentni. Potem je 0 € Ak(T) natanko tedaj, ko je 0 € Ak(S).
Dokaz. Ce je 0 € Ak(T), potem obstaja k-dimenzionalen podprostor L, da je
TL ± L.	(6)
Naj bo (ui, U2,..., } ortonormirana baza prostora L in A matrika, ki ima za stolpce vektorje te baze. Zaradi (6) je
Tuj ± L,j = 1,2,...,k.	(7)
Zato je
A*TA = 0.
Ker je S kongruentna matriki T, obstaja nesingularna matrika X, da je S = XTX*. Ce je B = (X*)-1A, je
B*SB = 0.
Matrika B ima rang k. Naj bo C matrika, ki stolpce matrike B preslika v ortonormirane, in pisimo BC = E. Dobimo
E *SE = C * B*SBC = C *0C = 0,
kar pomeni, da je 0 € Ak(S).	■
fc-numerični zaklad matrike Trditev 4. Množica Ak(T) je konveksna za vsako matriko T.
Dokaz. Trditev 2 nam pove, da je dovolj, da trditev pokažemo za 2k x 2k matrike. Ker je k-numerični zaklad Ak (T) zaprta mnozica, je za dokaz konveksnosti dovolj pokazati, da je razpolovisCe vsake daljice s krajisCema v Ak (T) spet v mnozici Ak (T).
Naj bosta A in ß elementa mnozice Ak (T). Z afino preslikavo lahko A in ß premaknemo v -1 in 1. Sedaj moramo dokazati, da je 0 € Ak(T). Trditev 1 pove, da obstajata taka k-razsezna podprostora S+ in S-, da je
(T - /)S+ ± S+, (T + I)S- ± S-.
Prostora se sekata trivialno. Definirajmo preslikavo V : C2k ^ C2k, ki je identiteta na S+, ortogonalni komplement S+: pa naj izometricno preslika na S- . Potem je
(V*TV - I)S+ ± S+ in (V*TV + I)S| ± S|. Glede na razcep C2k = S+ © Si je blocni zapis matrike
S = V *TV =
I X Y -I
Pokazati moramo le se, da je 0 € Ak(S).
Tudi iz dejstva, da obstaja matrika B velikosti 2k x k, ranga k, za katero velja B*SB = 0, lahko sklepamo, da je 0 € A(S). Ravnamo kot v dokazu trditve 3. Gotovo obstaja taka obrnljiva matrika C (velikosti k x k), da so stolpci matrike A = BC ortonormirani vektorji. Potem pa je A*SA = C*B*SBC = C*0C = 0. Zaradi tega so stolpci matrike A baza prostora L, za katerega je S L ± S. Trditev 1 pove, da je 0 € Ak (S). Iscemo torej matriko Z, da bo
I Z*
I X"		I
Y -I		Z
= 0. (8)
Ko matrike v (8) zmnozimo, dobimo enacbo
I + XZ + Z*Y - Z*Z = 0.	(9)
Pri dokazu eksistence resitve enacbe (9) si pomagamo z algebrajsko Ricca-tijevo enacbo, ki je v splosnem videti takole:
A + HB * + BH - H RH = 0,	(10)
kjer so A = A*, B in R > 0 linearni operatorji, ki delujejo na Cn. Enačba (10) se pojavi pri obravnavi optimalnega vodenja linearnih sistemov, zato je Ze zelo podrobno raziskana. Veliko lahko o tej enačbi zvemo v knjigi [10]. Tam je tudi dokaz, da ima Ričcatijeva enačba
11
*
I + B ^ nn + ^B ^ I - H RH = 0	(11)
V ^ \ 2 J
sebiadjungirano resitev za poljuben operator R > 0. Pokazimo, da od tod sledi eksistenca resitve enačbe (9). Najprej predpostavimo, da sta X in Y v enačbi (9) taksni matriki, da je matrika X — Y* obrnljiva. Označimo njen inverz z J = (X — Y *)-1. Ce vzamemo v enačbi (11) za B = XJ in R = J * J in je H sebiadjungirana resitev enačbe (11), kratek račun pokaze, da je
Z = J H
resitev enačbe (9). Kadar pa X — Y* ni obrnljiva matrika, najprej resujemo enačbe
1
I ^ X nZ + Z*Y — Z*Z = 0, m € N.	(12)
m
/
Sedaj so razlike (X + mm I) — Y * obrnljive matrike, razen za kvečjemu končno mnogo m-jev. Pripadajoče resitve Zm lahko omejimo neodvisno od m. Iz (12) dobimo očeno
yZ„y2 = yZmz^W < 1 + (^xy + 1/m + ^Yy)yZ„y,
ki pove, da je zaporedje matrik {Zm} omejeno. Prostor je končno razsezen in zaradi kompaktnosti ima zaporedje {Zm} vsaj eno konvergentno podza-poredje. Limita katerega koli od teh podzaporedij je resitev enačbe (9). ■
Opomba 1. Pri n = 1 je (11) enačba v C
1 + (b — 1/2)h + h(6 — 1/2) — rh2 = 0.
Ce pisemo c = (b + b) — 1, je c € R in enačba se spremeni v kvadratno enačbo
1 + ch — rh2 = 0, r > 0.
Diskriminanta te enačbe je pozitivna za vse r > 0 in vse c € R in enačba ima realno resitev h = h. Za n > 1 do resitve ne moremo priti na tako enostaven način.
Kasneje je bilo dokazano [8], daje vsak k-numerični zaklad presek polrav-nin in zato avtomatično konveksna mnoziča. Rezultat je naslednji:
A5
Slika 1
Izrek 5. Naj bo An x n matrika in označimo z Ai(t) > A2(t) > ■ ■ ■ > An (t) lastne vrednosti matrike e^*A + e-itA*, urejene po velikosti. Potem je
Afc(A) = iß e C : e^'ß + < A^(t), t € [0,2n)}. (13)
V istem članku je tudi dokaz, da je k-numericni zaklad normalne matrike presek konveksnih ogrinjac mnozic, ki vsebujejo po n-k+1 lastnih vrednosti matrike (stetih z njihovimi večkratnostmi). Ce ima normalna matrika N lastne vrednosti A1,..., An, je
Ak (N) =
n
ČonviAJl ,---,AJn-fc + 1 }
Očitno je pri večjem k mnozica Ak (N) lahko prazna.
Narisimo te numericne zaklade normalne matrike N velikosti 5 x 5, ki ima razlicne lastne vrednosti A1, A2, A3, A4, A5. Ker je matrika normalna, je A1(N) = W(N) petkotnik z oglisci v lastnih vrednostih. Po zgornji formuli je A2(N) presek stirikotnikov, ki jih dobimo, ko izpuscamo po eno od lastnih vrednosti (oglisc). Pri k = 3 je A3 (N) ze prazna mnozica: ko izpustimo dve oglisci, dobimo trikotnike, in presek vseh teh trikotnikov je prazna mnozica.
S formulo (13) si lahko pomagamo pri skiciranju k-numericnega zaklada. Premico v kompleksni ravnini lahko zapisemo kot
az + až = 26, b e R.
(14)
Ko vstavimo za z = x + in za a = a1 + ia2, se zgornja formula spremeni v enacbo premice v realni ravnini
a1x + a2y = b.
Zato je mnoziča vseh ß = x + iy, ki zadosčajo neenačbi
e^'ß + e-itß < Afc(t),
polravnina
x čos t - y sin t < Ak(t).
Ce torej zelimo narisati k-numerični zaklad, je treba za 0 < t < 2n določiti po velikosti k-to največjo lastno vrednost matrike e^'A + e-itA*. Numerični zaklad je potem presek polravnin.
S programom Matlab to naredimo rečimo z naslednjo funkčijo:
function [rerange, imrange] = nrange(A, P, k, a, b, c, d);}
% A matrika katere k numericni zaklad bi želeli narisati
% P želeno Stevilo premic
% risi na pravokotniku [a,b]x[c,d]
[m, n] = size(A);
if m ~= n
error('ni kvadratna matrika');
end
for t=0:P
T=(cos(t*2*pi/P)+i*sin(t*2*pi/P))*A;
ReT=.5*(T+T');
ure = sort((eig(ReT)));
lk = ure(n-k+1) ;
[x y]= meshgrid(a:0.2:b, c:0.2:d);
contour(x,y,2*(x.*cos(t*2*pi/P) - y.*sin(t*2*pi/P)),[lk lk]) axis equal hold on
end
Najprej podamo matriko A in pokličemo funkčijo nrange. Na sliki 2 sta Ai(A) in A2(A) matrike
A=
0.2	1	i	1	0
-1	0.2	1	0	0
-1	0	0.2	1	0
0	0	0.5	0.2	1
1	0	0	2	-1 + i
na [-1.4,1] X [-1,1],P = 100.
Na konču povejmo, da je Liju, Poonu in Szeju uspelo dokazati [9], da je pri danem n k-numerični zaklad Ak(A) neprazen za poljubno matriko, če
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
je n > 3k — 2. Pri n < 3k — 2 pa ze lahko najdemo n x n matriko, katere k-numeri cni zaklad je prazna mno zica.
Za operator A, delujoc na neskoncno razseznem Hilbertovem prostoru H, k-numericni zaklad definiramo takole:
Ak(A) = {y G C : X*AX = 7/k, X : Ck ^ H, X*X = Ik}.
V clanku [9] je dokazano, da je v primeru, ko je H neskoncno razsezen, Ak(A) = 0 za vsa naravna stevila k.
LITERATURA
[1]	F. Bonsall in J. Duncan, Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and Elements of Normed Algebras, Cambridge University Press, Cambridge, 1971.
[2]	M. Choi, Completely Positive Linear Maps on Complex Matrices, Linear Algebra Appl. 10 (1975), 285-290.
[3]	M. Choi, M. Giesinger, J. A. Holbrook in D. W. Kribs, Geometry of higher-rank numerical ranges, Linear and Multilinear Algebra 56 (2008), 53-64.
[4]	M. Dobovisek, Ponceletove krivulje, Obzornik mat. fiz. 60 (2013), 4-14.
[5]	K. E. Gustafson in D. K. M. Rao, Numerical Range, Springer, New York, 1997.
[6]	E. Knill in R. Laflamme, Theory of quantum error-correcting codes, Physical Review A 55 (1997), 900-911.
[7]	F. KriZaniC, Linearna algebra in linearna analiza,, DrZavna zaloZba Slovenije, Ljubljana, 1993.
[8]	C. K. Li, N. S. Sze, Canonical forms, higher rank numerical ranges, totally isotropic subspaces, and matrix equations, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 3013-3023.
[9]	C. K. Li, Y. T. Poon in N. S. Sze, Condition for the higher rank numerical range to be non-empty, Linear and Multilinear Algebra 57 (2009), 365-368.
[10]	P. Lancaster in L. Rodman, Algebraic Riccati equations, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1995.
[11]	H. Woerderman, The higher rank numerical range is convex, Linear and Multilinear Algbra 56 (2008), 65-67.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ http://www.obzornik.si/