Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 131-155 MATEMATIČNA METODA IN FILOZOFSKA RESNICA* IAN MUELLER I. Platonova Akademija in znanosti Nekje med začetkom osemdesetih in sredino šestdesetih let četrtega stoletja pr. n. š. j e Platon ustanovil šolo, k i je pozneje postala znana kot Akademija.1 Naši podatki o zgodnji Akademiji so zelo pičli. Vemo, d a j e bil Platon vodja (sholarh) Akademije vse do smrti in da ga je na tem položaju nasledil njegov nečak Spevzip. Vemo, da so prihajali na Akademijo mladeniči z vseh koncev grškega sveta in d a j e najslavnejši med njimi, Aristotel, ostal tam približno dvajset let. Kaže pa, da - vsaj v Platonovem času - za udeležbo v Akademiji ni bila potrebna šolnina.2 Tako ni videti verjetno, d a j e imela kakršnokoli urad- no »poklicno osebje« ali da so »študenti« vpisali vrsto predavanj, ki bi jih us- posabljala za doseganje določenega položaja v življenju. Akademija je bila po vsej verjetnosti bolj skupnost intelektualcev, ki so se sami preživljali in ki so se zbirali okoli Platona ter se ukvarjali z različnimi vprašanji; ta so segala od metafizičnih abstrakcij do bolj konkretnih političnih in etičnih problemov. V 7. knjigi Države Sokrat opisuje načrt višje izobrazbe, ki naj bi usposobil najbolj obetavne mladeniče utopičnega mesta-države za idealne voditelje. Po- * Copyright © 1992 Cambridge University Press. Tiskano z dovoljenjem avtorja in založbe. Pre- vedeno po: lan Mueller, »Mathematical method and philosophical truth«, v: The Cam- bridge Companion to Plato, ur. Richard Kraut, Cambridge University Press, Cambridge 1992, str. 170-199. Zahvaljujem se Richardu Krautu za pripombe k zgodnejši verziji te razprave. 1 Uporabno razpravo o Platonovi Akademiji najdemo v 2. poglavju knjige Johna Patric- ka Lyncha, Aristotle's School (Berkeley, 1972). Dokazovanje večine trditev o Platonu in Akademiji j e zelo zapleteno. Jasno skušam nakazati, kdaj je tisto, kar pravim, splošno sprejeto, kdaj pa j e bolj sporno. 2 Glej Diogen Laertski, Življenja in misli znamenitih filozofov, IV. 2; Olimpiodor, Komentar k Alkibiadu večjemu, 140. 16-17 (F. Creutzer, Olympiodorus: In Platonis Alcibiadem Comentarii [Frankfurt, 1821]); ter Olimpiodor, Anonimni uvod v Platonovo filozofijo, 5. 24-27 (L. G. Westerink, Anonymous Prolegomena to the Philosophy of Plato [Amsterdam, 1962]). 1 3 1 I A N M U E L I . E R gosto domnevajo (kar je seveda povsem naravno), d a j e ta učni načrt tesno povezan s Platonovimi načrti za Akademijo; včasih celo predpostavljajo, da gre v temelju pravzaprav prav za te načrte.3 Pomembno j e uvideti, d a j e treba to predpostavko vzeti s precejšnjim pridržkom. Prvič, Atene v četrtem stoletju niso niti približek Platonove utopije; Platon ni mogel pričakovati, da bodo vstopajoči v Akademijo tako zavzeti, kot naj bi bili utopični državljani. Drugič, urnik poučevanj a v Državi je videti popolnoma neizvedljiv v privatno organizi- rani ustanovi svobodnega mesta: deset let matematike - se pravi aritmetike, geometrije, stereometrije, matematične astronomije in nauka o harmoniji;4 pet let dialektike; petnajst let praktičnih izkušenj; nato pa, za nekaj izbranih petdesetletnikov, vzpon k Dobremu, ki so mu izmenično sledila obdobja vla- danja in filozofiranja. Ne vemo, ali je Akademija sploh imela kakšne potrebe po učnem načrtu, vendar pa se mi zdi zelo verjetno, da bi se že takoj na začet- ku izjalovila, če bi Platon oznanil novim članom, da bodo začeli z najpomem- bnejšim študijem šele čez trideset let. Verjetno moramo domnevati, d a j e bilo akademsko »izobraževanje« pre- cej bolj zgoščeno, da so torej matematika, dialektika in razpravljanje o Do- brem potekali sočasno. Toda kako j e potekal pouk? Spet mislim, da kaže pri tem poudariti neformalnost. Skupine ljudi so se zbrale, da bi razpravljale o zadevah splošnega interesa. V teh razpravah so bili očitno prisotni tudi vodje, učitelji. Vemo, d a j e imel Platon vsaj enkrat javno predavanje o Dobrem, več namigov pri Aristotelu pa nas napeljuje k mišljenju, d a j e Platon v tej razpravi poudaril nekatere ideje, ki j ih v dialogih ni izrazil."' Verjetno so bila kakšna predavanja tudi pri pouku matematike, vendar pa lahko upravičeno sklepa- mo, da so bile običajne tudi oblike sokratske razprave. Kar se tiče predmetov znanstvene razprave, se je treba zavedati, da so po naših dokazih v Akademiji poučevali več disciplin, kot pa j ih je omenjenih v Državi. Najsplošnejši dokaz so že interesi različnih ljudi, ki so bili tesno pove- 3 Dva vplivna primera tega sta Paul Shorey, What Plato said (Chicago, 1933), str. 30, ter F. M. Cornford, »Mathematics and Dialectic in the RepublicVl- VII«, Mind41 (1932), str. 173-174 (ponatis v Studies in Plato's Metaphysics, ur. R. E. Allen [London, 1965], str. 77- 78). O kritiki tega glej Harold Cherniss, The Riddle of the Early Academy (Berkeley, 1945), str. 66-82. 4 Sokrat imenuje te predmete mathemata, kar j e splošni naziv za stvari, ki se j ih j e treba naučiti. Zaradi vpliva Države so začeli besedo uporabljati posebno za te predmete, in tako je mathemata postal strokovni izraz, ki ga ponavadi prevajajo kot »matematika«. Tudi sam bom uporabljal ta prevod, vendar j e pomembno uvideti, da vsebuje za Platona in druge antične pisce »matematika« tako predmete, k i j ih povezujemo s fiziko, kot tudi nekatere, kij ih povezujemo s čisto matematiko. 5 Za uvod v to zelo zapleteno vprašanje glej Konrad Geiser, »Plato's Enigmatic Lecture On the Good«, Phronesis25 (1980), str. 5-37. 1 3 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA zani z Akademijo.0 Vendar pa imamo na voljo tudi bolj dragocena pričevanja. Eno izvira iz pogovora neimenovanih sogovornikov v fragmentu komedije Platonovega sodobnika Epikrata (Theodorus Kock, ur., Comicorum Atticorum Fragmenta, 3 zv. [Leipzig, 1880-88], 2. zv, str. 287-288): Kaj pa Platon, Spevzip in Menedem?7 S katerimi zadevami se ukvaijajo zdaj? Katero misel, kateri dokaz (logos) preučujejo? Če karkoli veš o teh rečeh, mi prosim to preudarno povej. Odkrito lahko govorim o teh stvareh. Na panatenajah sem videl gručo mladeničev v gimnaziju Akademije8 in jih slišal govoriti neizrekljivo čud- ne reči. Govorili so o razlikah v zvezi z naravo, o življenju živali, o naravi dreves in o rodovih zelenjave. Med drugim so preučevali, katerega rodu je buča. Kako so ga določili in kateri je rod rastline? Pojasni mi to, če veš. No, najprej so vsi molče stali, se sklanjali predse in precej časa premiš- ljevali. Nenadoma, medtem ko so mladeniči še vedno stali sklonjene glave in razmišljali, jo je nekdo proglasil za okroglo zelenjavo, drugi za travo, tretji za drevo. Sicilski zdravnik, kije slišal te stvari,je prdnil proti tem bedakom. To je moralo študente zelo razkačiti. Verjetno so kaj zavpili zaradi po- smehovanja tega moža. Kajti ne spodobi se početi takih reči med raz- pravo. Niso se vznemirjali. Platon je bil tam in ukazal j imje, zelo blago in brez razburjenja, naj še enkrat poskusijo od začetka in razločijo rod buče. In tako so nadaljevali s tem. Zanesljivost komične predstavitveje vedno podložna skepticizmu učenja- kov, ki imajo teorije za nezdružljive s predstavitvijo. Ta prikaz Platona, kako nadzira biološko klasifikacijo, se ne ujema prav dobro z izobrazbenim načr- tom Države. Toda kot sem že dejal, to je idealni načrt za idealno državo. Prav tako j e prilagojen posebnemu filozofskemu namenu, namreč pokazati, kako določeni študiji usmerjajo dušo z zaznavnega sveta k inteligibilnemu svetu. (Prim. zlasti 521 C-D.) Ta filozofski namen zelo zaznamuje Sokratov opis 0 Glej G. C. Field, Plato and his Contemporaries, 3. izd. (London, 1967), str.40-45. 7 Platonov učenec Menedem je bil po Spevzipovi smrti leta 339 skorajda izvoljen za sholarha Akademije. Glej François Lasserre, De Léodamas de Thasos à Philippe d'Oponte, 2. zv.: La scuola di Platone (Neapelj, 1987), str. 93-96, s komentarjem. "Tukaj j e Akademijajavni prostor na obrobju Aten, po katerem je Platonova Akademi- j a dobila ime. Platon j e učil na javnem prostoru in blizu njega uredil rezidenco. Dve uporabi izraza »Akademija« včasih vnašata nekaj zmede v naše vire. 1 3 3 I A N MUEI.I .F .R poteka višje izobrazbe; čeprav bi bilo zmotno sprevračati njegove besede do te mere, da bi celo zanikali, da j ih Platon sploh resno misli, ne smemo pred- postavljat; da j e to, kar pravi, že povsem izčrpalo Platonovo stališče o znanosti ali d a j e varno pred retoričnim pretiravanjem. Drug dokaz, o katerem bi rad govoril, nas vodi neposredno na področje matematike. To je poročilo o Platonovem delovanju, ki ga najdemo v Filode- movi zgodovini platonske šole, napisani v prvem stoletju pr. n. š.'J Na žalost se je ohranila v papirusnem zvitku v bornem stanju in zahteva dopolnjevanje, katerega stopnja zanesljivostije različno visoka. V svojem prevodu nakazujem nekatera glavna vprašljiva mesta.10 V tem času je prišlo do velikega napredka v matematiki, ko je Platon deloval kot glavni vodja (architehtonountos) in natančno določil proble- me, matematiki pa so jih resno raziskovali. Na ta način so metrologija (metrologia) in vprašanja v zvezi z <...>" prvič dosegli visoko raven, ko so E[ks]12 in njegovi nasledniki preobrazili staromodno delo (a[rch]ai- smon) pota.13 Tudi geometrija je zelo napredovala; kajti razvi- li so analizo in [lemo] v zvezi z diorismoi, pa tudi na splošno je geometri- ja doživela velik razvoj. Pa tudi te in mehanike nikakor niso zanemarjali. Marsikaj bi se dalo reči o tem odlomku, toda za zdaj želim obravnavati le zadeve, ki so povezane s Platonom. Izraz metrologia se ne pojavlja nikjer drugje 9 Tako imenovani Academicorum Philosophorum Index Herculanensis. Filodem navaja iz- vlečke iz zgodnejših avtorjev, toda vprašanje o tem, katerega avtoija navaja v našem od- lomku, j e sporno. O razpravi v zvezi s tem glej Konrad Gaiser, Philodemus: Academica (Sup- plementum Platonicum I) (Stuttgart-Bad Cannstatt, 1988), str. 76-77, 88-91, čigar re- konstrukciji (str. 152-153) sem v marsičem sledil. 10 Črke v lomljenih oklepajih (< >) ustrezajo vrzelim v papirusu, črke v oglatih oklepa- jih ([ ]) pa črkam, ki j ih ni mogoče zanesljivo razbrati. Te nadrobnosti sem navajal le v primerih, ko je bilo to pomembno za mojo temo. 11 Vrzel tukaj j e dolga približno za sedem črk, sledijo pa j i čitljive črke 2MOYZ. Dom- nevno gre za: definicije, števila, razmerja, diorismoi, oltarje, astronomijo, atome. Gaiser omenja kot drugi možnosti ritme in odseke. 12 Evdoks, ki je bil nemara največji matematik in astronom četrtega stoletja, j e verjetno prav tako prebil nekaj časa v Akademiji, čepravje preživel precej časa tudi drugod in vodil šolo v Knidu. Gradivo, ki se nanaša nanj, na jdemo v delu Françoisa Lasserra, Die fragmente des Eudoxos von Knidos (Texte und Kommentare IV) (Berlin, 1966). Kratek povzetek nje- govih dosežkov podaja Charles C. Gillispie, ur., Dictionary of Scientific Biography (New York, 1970-80). Ta slovarje na splošno zanesljiv vir podatkov o znanstvenih dosežkih večine grških matematikov, ki so omenjeni v tej razpravi in v drugih delih o grški znanosti. 13 Ce j e rekonstrukcija pravilna, gre za Hipokrata s Hiosa, najzgodnejšo osebo (pozno 5. stoletje), kiji lahko zanesljivo pripišemo posebna matematična znanja. Kot pravi Pro- klos (Komentar k prvi knjigi Evklidovih Elementov, 66. 7-8) , j e bil Hipokrat prvi, za katerega vemo, d a j e napisal Elemente (več kot stoletje pred Evklidom). 1 3 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA v ohranjeni grški literaturi. Še najbolje ga lahko prevedemo kot »teorijo mer- jenja«, toda ni jasno, kaj bi lahko bila takšna teorija.14 Evdoksovo najbolj zna- no delo v čisti matematiki se ukvarja s teorijo razmerij ter merjenjem površin in prostornin s posrednimi postopki (Evklid, Elementi, 5. in 12. knjiga); zanj j e posebej značilna logična tankovestnost njegovih metod. Če bralci Države niso presenečeni ob omembi, d a j e geometrija pod Platonovim vodstvom napre- dovala, pa j ih utegne osupniti omenjanje optike (domnevno) in mehanike (nesporno). Nekateri bi se morda radi zatekli k lastnim domnevam in skušali tako upravičiti to omembo, toda kot sem že nakazal, j e veliko bolj razumno, če sprejmemo kot dejstvo, da Platonova Akademija še zdaleč ni bila tako »pla- tonska« kakor institucija višje izobrazbe v Državi. Filodemov odlomek govori o Platonovem vodenju matematike, o tem, kako je razgrinjal probleme, ki so j ih matematiki nato vneto in z velikim uspe- hom raziskovali. V zvezi s tem vidikom Platonove dejavnosti obstajata dve do- bro znani anekdoti. Prva se tiče tako imenovane podvojitve kocke, torej kon- strukcije kocke z dvakrat večjo prostornino, ko t j o ima dana kocka.15 Kot pra- vijo stare zgodbe, so pri Platonu zanimanje za to vprašanje spodbudili Delci, ki so se obrnili nanj, naj j im pomaga ugoditi bogu Apolonu, ki jim je bil zau- kazal, naj dvakrat povečajo obseg oltarja. V skladu z drugo zgodbo je Platon očital Evdoksu, Arhitasu in Menehmu, da so problem podvojitve zvedli na mehanično konstrukcijo in tako uničili dobrost geometrije, saj so jo »obrnili nazaj k čutno zaznavnim stvarem, namesto da bi j o povzdignili navzgor, da bi doumela večne in netelesne podobe« (Plutarh, Quaestiones Convivales [»Po- govor ob mizi«], 718 E—F). To j e pravi »platonizem«, povsem v skladu z Drža- vo. Zal j e rešitev problema podvojitve, ki jo pripisujejo Platonu, še bolj meha- nična kot tiste, kij ih je menda kritiziral, saj vključuje konstrukcijo instrumen- ta. Seveda se lahko odločimo, da te rešitve ne bomo pripisali Platonu, toda to je težje pojasniti kot pa zgodbo o njegovem grajanju drugih rešitev. Drug primer Platonovega razgrinjanja vprašanj se tiče nepravilnega gi- banja planetov v primerjavi s soncem in luno.16 Sonce in luna po vsem sodeč 14 Kot Gaiser se tudi sam nagibam k misli, da ima nekaj opraviti z obravnavo splošnih mer in njihovo odsotnostjo (tj. inkomenzurabilnostjo). Lahko pa bi bil povezan tudi z določanjem površin in prostornin. 15 S tem vprašanjem so se verjetno ukvarjali že v času pred Platonom, saj je bil Hipokrat s Hiosa menda prvi, ki j e ugotovil, da je vprašanje konstrukcije kocke, ki ima dvojno prostornino kocke z dolžino roba l, rešljivo tako, da najdemo tak x in y, da bo l: x:: x: y:: y : 2 L Z a podrobnejše poznavanje grškega obravnavanja teh vprašanj glej Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, TM. 1 (Oxford, 1921), str. 244-270. Heath podaja domnevno Platonovo rešitev na str. 255-258. Drug matematični dosežek, ki so ga v starih časih pripi- sovali Platonu, j e bil postopek za izračunavanje kvadratnih števil, enakih vsoti dveh kva- dratnih števil; glej ibid.., str. 79-82. Opis, ki ga tu podajam, j e poenostavljen. Grki so imeli sonce in luno za planeta, kajti 1 3 5 I A N M U E L L E R vsak dan prepotujeta enakomerno pot čez nebo z vzhoda proti zahodu in vsak mesec ali leto enakomerno pot z zahoda proti vzhodu. Planeti prepotujejo vsak dan isto enakomerno pot z vzhoda proti zahodu, toda na njihovi poti z zahoda na vzhod se pojavljajo osupljivi odkloni, vključno z obdobji navidez- nega gibanja z vzhoda na zahod. V svojem komentarju k Aristotelovemu delu O nebu Simplikij (četrto stoletje našega štetja) pojasnjuje vprašanje »reševa- nja« teh nepravilnih gibanj oziroma podajanja njihovih razlag: Da bi ta mnogotera gibanja rešili v posamičnih primerih, predpostavlja- jo nekateri obstoj ekscentrov [krožnih orbit, ki imajo druga središča kot Zemlja] in epiciklov [krožnic, ki imajo središča na obodu krožečih sfer], drugi pa postavljajo hipotezo o tako imenovanih nasprotno delujočih homocentrih.17 V resničnem prikazu se planeti ne ustavljajo ali gredo nazaj, niti ne povečujejo ali zmanjšujejo hitrosti, četudi se zdi, da se gibljejo na tak način, nitijih hipoteze ne dopuščajo kot takih, pač pa so nebesna gibanja pokazana kot preprosta in krožna in enakomerna in urejena z očitnostjo svoje lastne bitnosti. Ker pa ni mogoče, da bi zmož- nost, kije omejena na pojavnosti (phantasia), točno doumela, kako so planeti razpostavljeni, in ker posledice, izpeljane iz takšne zmožnosti, niso resnica, je bilo rečeno, naj bi poskusili odkriti hipoteze, po katerih je mogoče navidezna gibanja planetov razrešiti z enakomernimi, ureje- nimi in krožnimi gibanji. In kot poroča Evdem [Aristotelov družabnik] v drugi knjigi svoje Zgodovine astronomije - kot tudi Sozigen [drugo sto- letje našega štetja], ki se opira na Evdema - , je bil, kot pravijo, Evdoks iz Knida pivi Grk, ki seje ukvarjal s takšnimi hipotezami; kot pravi Sozi- gen, je problem postavil Platon tistim, ki so se ukvaijali s temi zadevami: s postavljanjem hipotez o enakomernih in urejenih gibanjih, s katerimi je mogoče razrešiti navidezna gibanja planetov. (Simplikij, Komentar k Aristotelovemu »O nebu«, 488.7-24) Astronomijaje vključena v učni načrt Države, toda kot bomo videli, Sokra- tov opis tega predmeta na prvi pogled ni združljiv s Platonovim domnevnim interesom za »reševanje fenomenov«. Zopet je tu očitno naspro^e med znans- v nasprotju z zvezdami stalnicami sta se očitno pomikala z zahoda proti vzhodu. Med mnogimi viri, iz katerih se lahko poučimo o stari grški astronomiji, naj omenim delo D. R. Dicksa Early Greek Astronomy to Aristotle (Ithaca, N.Y., 1970). 17 Simplikij se tukaj sklicuje na teorije, kakršne j e razvijal Evdoks. Vključujejo pogled, da so sonce, luna in planeti pritrjeni na sfere, ki krožijo okoli Zemlje kot središča. Da bi razložil nepravilna gibanja, je Evdoks predpostavil dodatne sfere, ki krožijo v drugi smeri in delujejo nasprotno od gibanja prvotne sfere nebesnega telesa. 1 3 6 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA tveno prakso in Platonovim poskusom v Državi, da bi vključil znanost v izobra- ževanje vladarjev idealne države. Toda na tem mestu bi rad poudaril predvsem očitno dejstvo, d a j e Platon imel nekakšno vlogo splošnega matematičnega voditelja, k i je postavljal vpra- šanja pred matematike svojega časa, včasih z osupljivimi rezultati. Ni nam tre- ba domnevati, d a j e delo, povezano s Platonovo pobudo, v celoti potekalo v Akademiji, in v primeru Evdoksa upravičeno predpostavljamo, da ni. Prav tako ni treba misliti, d a j e Platona vloga vodje odvračala od tega, da uporabi svoje lastne darove pri reševanju znanstvenih problemov. Vendar pa ni pre- pričljivega dokaza, d a j e imel Platon kaj prida uspeha na tem področju, in mnogi matematični in znanstveni odlomki v njegovem pisanju so obloženi z nepredirno nejasnostjo. Najbolje j e torej, če vidimo v Platonu vir izziva in navdiha za matematike, ne pa matematika, ki bi bil resnično pomemben.18 II. Matematična metoda: analiza, sinteza, diorismoi in leme Poleg navajanja različnih vej matematike omenja Filodemov odlomek tudi »analizo in lemo v zvezi z diorismoi«. Pojma analiza in diorismos se v grških razpravah pojavljata na nekoliko nejasen način,19 četudi osnovne zamisli niso težke. Moj pristop bo malce poenostavljen. Analizo si lahko zamislimo kot proces, v katerem iščemo dokaz za trditev P tako, da iščemo propozicije, iz katerih sledi P, propozicije, iz katerih sledijo te propozicije in tako naprej, vse dokler ne dosežemo propozicij, ki so že potrjene; pri sintezi preprosto zabele- žimo dokaz, ki g a j e odkrila analiza, se pravi, gremo skozi korake analize po vzvratni poti. V najsplošnejšem primeru se osredotočimo na eno samo potrje- no propozicijo Q ki (združena s propozicijami Qp ... Qn, tako odvzetimi kot dodanimi) implicira P, se pravi, j e zadosten pogoj za resničnost P, lahko se zgodi, da tudi P implicira Qin v tem primeru bo tudi Qnujni pogoj za resnič- nost P. Diorismos ponavadi razlagajo kot določitev nujnih in zadostnih pogojev za rešitev problema ali za resničnost propozicije. Standardni primer ponuja 22. propozicija prve knjige Evklidovih Elementov. 18 O tem glej temeljno razpravo Harolda Chernissa, »Plato as Mathematician«, Review of Metaphysics 4 (1951), str. 395-426, ponatisnjeno v njegovih Selected Papers, ur. Leonardo Taran (Leiden, 1977). 10 Glavni vir zbeganosti (in protislovnosti) izhaja iz opisov analize, v katerih j e ta pred- stavljena kot dejavnost, ki ima opravka bolj z deduciranjem sklepov kot pa z iskanjem predpostavk. V zvezi z razpravo o tem glej Norman Gulley, »Greek Geometrical Analysis«, Phronesis 3 (1958), str. 1-14. 1 3 7 I A N M U E L L E R 1. 22 Iz treh premic, ki so enake trem danim premicam, konstruirati trikotnik; nujno paje, da sta dve, vzeti skupaj na kakršenkoli način, večji od preostale. Tukaj drugi stavek, diorismos, potrjuje nujni in zadostni pogoj, d a j e trikotnik mogoče konstruirati iz treh danih premic. Toda Evklid ga formulira kot nujni pogoj in pokaže (z izvedbo konstrukcije), d a j e zadosten.20 Da j e pogoj nujen, je dokazal že v propoziciji 1. 20: 1. 20 V kateremkoli trikotniku sta dve stranici, vzeti skupaj na kakršen- koli način, večji od preostale. V svojem Komentarju k prui knjigi Evklidovih Elementov Proklos pojasnjuje, kaj je lema: Izraz lema ponavadi označuje katerokoli premiso, ki j o privzamemo pri potrjevanju nečesa drugega, kakor kadar ljudje pravijo, da so dobili do- kaz iz toliko in toliko lem. Toda v geometriji je lema premisa na pose- ben način, saj potrebuje verifikacijo (pistis). Kadarkoli v konstrukciji ali dokazu privzamemo nekaj, kar ni bilo pokazano, temveč potrebuje izra- čun (logos), imenujemo to podmeno lema, saj se nam zdi vredna razi- skovanja, četudije v sebi dvomljiva; razlikujemo jo od postulata in aksio- ma, ker je dokazljiva, medtem ko ona dva privzemamo brez dokaza, da bi verificirali druge stvari. Najboljši način, kako najti lemo, je razmišlja- nje (dianoia).... Vseeno pa se metode prenašajo. Najboljšaje, da to, kar iščemo, z analizo zvedemo na dogovorjeno načelo, kar je metoda, ki jo je baje Platon prenesel Leodamantu; izhajajoč iz nje naj bi Leodamant odkril toliko stvari v geometriji. (Komentar k Evklidu, 211.1-23) Proklos omenja Leodamanta21 v prikazu zgodovine matematike pred Ev- klidom, zlasti zgodovine geometrije: Platon je dosegel velik napredek geometrije in preostale matematike zaradi resnosti, s katero ju je obravnaval, kar je razvidno iz pogostnosti matematičnih razmislekov (logoi) v njegovih spisih22 in iz tega, kako je v privržencih filozofije povsod zbujal občudovanje za matematiko. V tem času so živeli tudi Leodamant s Tasosa, Arhitas iz Tarenta in Teajtet iz 2(1 Gotovo so situacije, ko seje treba zadovoljiti z zadostnimi, toda ne nujnimi pogoji, ali pa vedeti, da so nekateri pogoji nujni, vendar ni mogoče dokazati, da so zadostni, toda Grki se pri razpravah o diorismoi ne dotikajo tega vprašanja. 21 Leodamant je tudi naslovljenec Platonovega Enajstega pisma, katerega vsebina se tiče politike. Sicer ne vemo o njem ničesar, razen tega, kar nam pravi Proklos. 22 Dokaj dober seznam matematičnih odlomkov iz Platonovih del, skupaj z razpravo, najdemo v: Attilio Frajese, Platone e la matematica net mondo antico (Rim, 1963). 1 3 8 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA Aten. ... Neoklid in njegov učenec Leon sta bila mlajša kot Leodamant in sta dodala nova odkritja k tistim njunih predhodnikov, tako d a j e Leon sestavil Elemente, ki so po svojem obsegu in uporabnosti rezultatov prekašali vse dotlej, poleg tega pa je odkril diorismoi, [ki nakazujejo], kdaj je problem mogoče rešiti in kdaj nemogoče. (Komentar k Evklidu, 66.8-67.1 )23 Četudi j e Filodemov izraz »lema v zvezi z diorismoi« komajda razviden, se mi zdi povsem verjetno, da nima nič bolj specifičnega pomena kot izraz »ana- liza« in da Filodemov odlomek pripisuje Platonovemu času zanimanje za iska- nje lem in diorismoi, se pravi zadostnih (in morda nujnih) propozicij za dokaz drugih teoremov, ter pogojev, pod katerimi je mogoče problem rešiti (ali teorem dokazati). Nedvomno imamo kljub raznolikosti terminov opraviti z eno samo osrednjo metodologijo. Iskanje premis (analiza), ki so potrebne za potrditev propozicije ali rešitev konstrukcijskega problema, lahko vodi nazaj k potrjenim propozicijam ali konstrukcijam (uspešna analiza), ah v potrebi po dokazu k lemi, ali k omejitvi propozicije ali konstrukcije na pogoje, pod katerimi sta lahko dokazani ali izvršeni (diorismos). Platonu samemu pripisu- jejo, d a j e to metodologijo prenesel drugim.24 Ne bom se dlje ukvarjal s tem vidikom Platonove dejavnosti, ampak bom prešel na nekatere ključne odlom- ke, ki kažejo vpliv teh matematičnih metod in pojmov na Platonovo lastno metodološko mišljenje. III. Raziskava iz hipoteze v M e n o n u Platon besed »lema«, »diorismos«, »analiza« ali »sinteza« ne uporablja v njihovem tehničnem pomenu, toda v Menonu kot proceduralni precedens priklicuje matematični način razgrinjanja pogojev, pod katerimi je mogoče rešiti neki problem. Menon prosi Sokrata, naj mu pove, ali j e mogoče vrlino učiti, in Sokrat ga prosi, naj bo sposoben obravnavati vprašanje »iz hipoteze«. Kar mislim s tem »iz hipoteze«, je podobno načinu, kako geometri po- 23 Celoten ta odlomek (ki se nadaljuje do 68.6 in ga lahko beremo v angleškem prevo- du Glenna R. Morrowa v: Proclos: A Commentary on the First Book of Euclid's Elements [Prince- ton, 1970]) j e temeljni dokument za interpretacijo Platonovega odnosa do matematike njegovega časa. Jasna implikacija tega odlomka (ki navsezadnje veijetno izvira od Evde- ma) j e ta, d a j e vsa matematična dejavnost v četrtem stoletju potekala pod Platonovim vplivom in verjetno na Akademiji. Toda Platon sam je opisan le v navedenem odlomku, kjer j e omenjen kot entuziast, ki zna navdihniti druge. 24 Gotovo j e tudi naloga »razreševanja navideznih gibanj planetov« zahteva po analizi navideznih gibanj in njihovem zvajanju na enakomerna krožna gibanja. 1 3 9 I A N M U E L L E R gosto pretresajo kako vprašanje, kijim ga kdo postavi, na primer o dolo- čeni površini, alijo je mogoče vrisati v določen krog kot trikotnik. Nek- do bi lahko rekel: »Ne vem še, ali j e takšna, toda mislim, da imam neko za to stvar uporabno hipotezo, kakor je naslednja: če je ta površina tak- šna, da se postavljena k dani daljici kroga zmanjša za takšno površino, v kolikršni je bila postavljena, potem mislim, da odtod sledi en rezultat, drug pa, po drugi strani, če se to ne more zgoditi. S tem, ko postavljam hipotezo, vam torej želim povedati rezultat, ki se tiče vrisovanja te povr- šine v krog, namreč ali je možno ali ne.« (Menon, 86 E-87 B)25 Sokrat tu po vsem sodeč opisuje situacijo, v kateri geometer obravnava problem, ki bi ga Evklid izrazil kot: Problem. Vrisati trikotnik dane površine v dani krog. Sokratov geometer »rešuje« ta problem s postavljanjem pogoja, da mora po- vršina ustrezati. Evklid bi dodal ta pogoj k svoji postavitvi problema kot diori- smos: Diorismos. Tako je nujno, da se površina trikotnika, »postavljena k dani daljici kroga zmanjša za takšno površino, v kolikršnije bila postavljena«. Da bi bil ta diorismos učinkovit, moramo seveda poznati (ali privzeti) teorem v naslednjem smislu: Teorem. Če je površina trikotnika, vrisanega v krog, »postavljena k dani daljici kroga, se zmanjša za takšno površino, v kolikršnije bila postavlje- na«. Sokratova predstavitev geometrijskega problema ne pojasnjuje, ali j e zanj hi- poteza, od katere je odvisen problem, diorismos ali pa teorem. Dejansko j e seveda odvisen od obeh: da bi rešili problem, moramo vsiliti pogoj, ki ga po- daja diorismos, in se opreti na teorem. Ko se Sokrat vrne k predmetu vrline, pravi: Tako torej v zvezi z vrlino, ker ne vemo niti, kaj je, niti, kakšna stvar je, postavimo hipotezo in poglejmo, al i jo je mogoče učiti ali ne: kakšna stvar med tistimi, ki so povezane z dušo, bi bila vrlina, da bi jo bilo mo- 25 Moj prevod Menona se z zelo rahlimi popravki ravna po R. W. Sharplesu, Plato, Meno (Warminster, 1985) [Slovenski prevodi grških citatov so usklajeni z izvirnikom, upošteva- joč avtorjevo razumevanje in poudarke. - Op. prev.]. Sharpies na kratko razpravlja o nejasnostih matematičnega primera na str. 158-161. Sam bom pisal, kot d a j e pomen primera razviden, primer torej preprosto podajam, ne da bi ga razlagal. Interpretacijo celotnega odlomka dolgujem Ernstu Heitschu, »Piatons hypothetisches Verfahren im Menon«, Hermes 105 (1977), str. 257-268. 1 4 0 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA goče učiti ali ne učiti? Prvič, če je nekaj različnega od vednosti ali po- dobnega vednosti, ali jo je mogoče učiti ali ne? ... Oziroma, ali je vsaj to jasno vsakomur, da človeka ni mogoče učiti ničesar drugega kot vedno- sti? Toda če je vrlina nekakšna vednost, potem je jasno, da jo je mogoče učiti. Torej smo s tem hitro končali: če je takšna, jo je mogoče učiti, če je drugačna, pa ne. (Menon, 87 B-C) Pri tej aplikaciji hipotetične metode Sokrat ne opisuje diorismos, ampak izvaja to, kar sem imenoval analiza, se pravi, zvede vprašanje ugotavljanja, alije vrli- no mogoče učiti, na trditev, d a j e vrlina vednost, če in samo če jo je mogoče učiti, ali vsaj: Hipoteza-teorem. Če je vrlina vednost, tedaj jo je mogoče učiti. Toda v skladu s potrebo po diorismos v geometrijskem primeru je hipoteza- teorem uporabna samo, če lahko postavimo: Hipoteza-lema. Vrlina je vednost. Med poznavalci vlada nesoglasje o tem, katero od teh dveh hipotez ima Sokrat za hipotezo, na katero j e zvedel vprašanje učljivosti. Najbolj izrecna besedila (89 C-D) kažejo na hipotezo-teorem, in to bi tudi pričakovali z vidi- ka modela geometrijske analize. Seveda p a j e hipoteza-lema tudi podmena, in treba jo je potrditi, da bi pokazali (ob uporabi hipoteze-teorema), d a j e vrlino mogoče učiti. Sokrat j o v nadaljevanju potrjuje z uporabo nadaljnje hipoteze, d a j e vrlina dobra (87 C-89 A; Sokrat se sklicuje na »vrlinaje dobra« kot hipotezo v 87 D). Ni jasno, a l i je ta nova hipoteza pojmovana kot »teo- rem« ali kot »lema«, k i j o j e še vedno potrebno upravičiti. Sokrat govori o njej kot o obdrževanju (menein, 89 D) in jo ohranja do konca Menona, kakor tudi hipotezo-teorem. Menon vsebuje priredbo metode analize do te mere, da zve- de učljivost vrline na dve hipotezi-teorema. Vendar pa nikakor ne gre za po- polno ujemanje z uspešno matematično analizo, kajti dialog se konča s Sokra- tovim spodbijanjem tako hipoteze-leme kot učljivosti vrline (89 C in dalje). Odsotnost popolnega ujemanja je po mojem mnenju odsev praktične razlike med matematiko in filozofijo. Če se ozremo na matematiko, si ne mo- remo kzy, da ne bi bili prevzeti nad njenim uspehom, nad navidez dokonč- nim načinom, kako rešuje odprta vprašanja in razrešuje spore. Ta pogled na matematiko se izraža v nagnjenju Grkov, da vidijo v geometrijski analizi uspe- šno analizo, bolj metodo najdevanja kot pa metodo iskanja. Prav tako nam 1 4 1 I A N M U E L L E R lahko razloži, zakaj ni v Menonu nobenega poskusa, da bi povezali naknadno ovržbo trditve, da j e vrlina vednost, z matematikovim raziskovanjem iz hipote- ze. Toda v filozofiji »analiza« in odkritje lem veliko manj verjetno privedeta do dokončnega odgovora na vprašanje; kajti tako kot v Menonu je lema pogo- sto spoznana za vprašljivo. Ce je razmeroma jasno, d a j e v Menonu filozofska hipoteza »teorem«, pa se bo pojasnilo, da Platon uporablja besedo »hipote- za« za leme, ki so mišljene kot poskusne in podvržene raziskovanju. Zares, lahko bi rekli, da vključuje Platonov razvoj hipotetične metode poskus, kako združiti običajno gladko delovanje matematike z neizprosnos^o sokratskega preučevanja naukov. Odsotnost popolnega ujemanja med matematično metodo in n jeno pri- redbo pri Platonu morda ne bi zastavljala resnih ovir interpretaciji, če bi bil Platon sam jasen glede teh neskladnosti. Toda Menonje dober primer Plato- nove težnje, da zanemari razlike. Ta težnja in ohlapnost ujemanja sta navedli nekatere razlagalce k opuščanju povezave med platonsko metodologijo in matematiko. Toda zgodovinski dokazi povezave so premočni, da bi lahko ta pristop zaživel. Naša naloga bo, vzpostaviti kar najbolj tesno povezavo, ne da bi zgubili spred oči nepopolnost ujemanja. Te naloge nam niti malo ne olaj- šuje Platonova splošna nepripravljenost, da bi uporabljal natančen besednjak. Kjer uporablja Platon eno samo besedo »hipoteza«, se nam zdi priporočljivo razlikovati med teoremi, lemami in diorismoi. V nadaljevanju tega poglavja bom opozoril še na druge primere vprašljivega besednjaka in ohlapnosti uje- manja. S tem ne nameravam omalovaževati Platonovih dosežkov, temveč zgolj izboljšati naše razumevanje Platonove priredbe matematične metode. IV. Metoda hipoteze v Fa jdonu V Fajdonu, začenši s 95 E 7,20 podaja Sokrat splošni opis filozofske metode, ki je videti utemeljena na matematični analizi in sintezi, vendar ju v pomem- bnih pogledih daleč presega. V naslednjem odlomku Sokrat opisuje - kot uvod v dokaz o nesmrtnosti duše - metodo, ki j o j e izdelal za določitev »razlage (aitia) vsake stvari, zakaj nastane, zakaj neha biti, zakaj je« (96 A 9-10): Vsakokrat postavljam za hipotezo stavek (logos), ki ga presodim kot naj- močnejšega, in kar se mi zdi, da se z njim sklada (symphonein), postavim Na tem mestu se ne spuščam v podrobno obravnavo vprašanj, k i j ih odpira ta odlo- mek. Za izčrpno razpravo glej opombe k Plato, Phaedo, prevod z opombami David Gallop (Oxford, 1975). 1 4 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA kot resnično, pa če gre za vzroke ali karkoli drugega, kar pa se ne, kot neresnično. (Fajdon, 100 A 3-7) Sokratovo priporočilo bi morali tu razumeti kot postavljeno v odnos do predmeta raziskave. Predlaga, naj bi za vsak predmet raziskave vzeli kot hipo- tezo ustrezno prepričanje, v katero imamo največ zaupanja, dodali nadaljnje ustrezne zamisli, ki se (v nekem smislu) skladajo s hipotezo, in zavrnili ustrez- ne zamisli, ki se ne skladajo z njo.27 Kar ima v mislih, ponazori ob primeru vprašanja nesmrtnosti (ali razlage vsake stvari) s postavljanjem hipoteze, da j e vsaka ideja nekaj (očitno privzemanje tega, da ideje obstajajo), in dodaja- njem prepričanja, da vsaka stvar je ali nastane (to, kar je) z udeležbo na pri- merni ideji. Primer (pa tudi poznejši primer v 105 B-C) nakazuje, da j e meto- da, za katero se zavzema, odgovoriti na dana vprašanja z oblikovanjem konsi- stentne teorije, k i jo bo z dodajanjem združljivih prepričanj mogoče aplicirati na predmet razprave. V poznejših antičnih logičnih spisih lahko beseda »sklad- nost«, ki jo uporablja Sokrat, pomeni zgolj logično konsistentnost. Tukiy vklju- čuje pojem logične konsistentnosti, vendar je predvidoma močnejša; mnoge razlage bivanja in nastajanja so konsistentne z obstojem idej, toda razlaga z udeležbo j e — v nekem primerno jasnem, toda ne zlahka razložljivem smislu - prikladna za tistega, ki verjame v ideje. V 101 C Sokrat pravi, da bi morala ob soočenju z drugimi razlagami na- stajanja oseba, ki sledi njegovi metodi, prepustiti te razlage drugim in se »držati varnosti hipoteze«. Pred tem se je Sokrat skliceval le na izvorno podmeno kot hipotezo, toda to, na kar se sklicuje zdaj, mora vključevati dodatno razlago biva- nja in nastajanja. Menim, da ima v mislih celotno teorijo, k i je bila zgrajena z zraščanjem usklajenih podmen.28 Sokrat se zdaj loti statusa »hipoteze«: Če bi ti kdo posegel po sami hipotezi, se poslovi od njega in mu ne odgovarjaj, dokler ne pregledaš iz nje izhajajočih stvari (ta hormethenta), ali se medsebojno skladajo ali si nasprotujejo. Če pa bo treba dati račun o njej sami, ga boš dal enako, torej boš postavil drugo hipotezo, ki se bo zdela izmed višjih najboljša, dokler ne boš prišel do zadovoljive. (Fajdon, 101 D 3-E 1) 27 Vzporednica med Sokratovim metodološkim predlogom in Platonovim izzivom as- t ronomom nam daje misliti: da bi rešil fenomene, je astronom prisiljen postaviti hipote- zo o enakomernih krožnih gibanjih in prečiščevati njihov opis, dokler ne označujejo fe- nomenov. 28 Izraz, ki ga uporablja Sokrat, bi lahko bolj dobesedno prevedli »ta [del?] hipoteze, ki j e varen«, in se tako lahko nanaša na razlago s pomočjo udeležbe kot varnim dodatkom k izvorni hipotezi o idejah. Glej Paul Plass, »Sokrates' Method of Hypothesis in the Phae- do«, Phronesis 5 (I960); str. 111—112. 1 4 3 I A N M U E L L E R Dovolj zlahka vidimo, kako j e mogoče metodo analize povezati z zadnjim stavkom. Ker smo prisiljeni utemeljiti podmeno, ki smo jo postavili, najdemo podmeno, kijo bo utemeljila, in če se zahteve po utemeljevanju znova zastavi- jo, nadaljujemo na enak način, dokler ne najdemo podmene, ki ne potrebuje utemeljitve. Sokrat ne nakazuje, katere pogoje bi morala hipoteza izpolnjeva- ti, da bi bila »zadostna«, toda očitno bi matematika sama ponudila primere uspešne analize, v katerih j e bila zadostnost dosežena, oz i romaje vsaj veljalo prepričanje, da j e bila dosežena. Vendar p a j e celo na tej točkijasno, da Plato- nov filozofski interes širi prepad med njegovo hipotetično metodo in geome- trijsko analizo. Kajti četudi ideal dokončno zadovoljive utemeljitve ostaja v igri, pa zgodnejše hipoteze, naj so še tako močne ali dobre, niso potrjeni »teo- remi«, ampak provizorične leme, ki so podvržene preskusu in morebiti še vedno potrebujejo utemeljitev. Poleg tega postane v uspešni analizi hipoteza-teorem izhodiščna točka, s katere je propozicija, k i j o preučujemo, deducirana v sintezi. Videli pa smo že, da v svojem prvotnem opisu Sokrat pojmuje izvorno hipotezo kot osnovo za sprejetje dodatnih zamisli, kijih presoja kot skladne z njo, in za zavračanje tistih, k i j ih presoja kot neskladne. Sokratova edina ponazoritev zavračanja prepričanj je zavračanje razlag, da sta bivanje in nastajanje nekaj drugega kot udeležba na ustrezni ideji (100 C - 101 D), se pravi zavračanje prepričanj, ki so očitno nezdružljiva s prepričanji, ki so že sprejeta kot usklajena z izvorno hipotezo. V drugem odlomku govori Sokrat o preverjanju, ali so stvari, ki pridejo po hipotezi, medsebojno usklajene.2 ' 'Videti je , da ima v mislih tisto vrsto preverjanja človeških pogledov, s katero se ukvarja v drugih dialogih, kot na primer v Evtifronu. Ta postopek se v matematiki ne zdi pomemben, in težko je videti, kako se lahko prilega v metodo, k i j o vpeljuje Sokrat. Morda lahko tisto, kar ima v mislih, razumemo v luči njegovega primera. Problem, s katerim se Sokrat sooča, je razlaga stvari v našem svetu, zakaj nastanejo, pro- padejo in so. Da bi prišel do takšne razlage, Sokrat trdi, da obstajajo ideje, in dodela očitno skladno podmeno, da stvari nastanejo in so, kar so, z udeležbo na idejah. (Ni nam rečeno, kako bi Sokrat uporabil svojo teorijo za razlago tega, kako stvari propadejo.) Da bi v celoti raziskali ustreznost te teorije, bi morali preučiti »iz nje izhajajoče stvari«, ne le posledice, ampak tudi druge 29 V 101 E Sokrat vztraja, da o hipotezi ne bi smeli dvomiti, dokler nismo preverili ujemanja iz nje izhajajočih stvari. Njegova ločitev vprašanja možnosti utemeljevanja hipo- tetične teorije s sklicevanjem na višjo in preverjanja notranje trdnosti teorije j e metodo- loško nedvomno smiselna, toda v praksi j e videti zelo neverjetno, da bi lahko ljudi odvr- nili od vpraševanja o nauku o idejah in udeležbi, dokler ne bi bil nauk v celoti preizkušen glede svoje skladnosti. Poleg tega pa (vsaj s sodobnega zornega kota), če s e j e hipoteza izkazala za skladno in ponujala razumen prikaz nastajanja, propadanja in bivanja vsake stvari, bi se nam utegnilo zdeti vprašanje zadostnosti razmeroma nepomembno . 1 4 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA podmene, ki so očitno v skladu z njo, na primer o značaju in razmerju idej, naravi nastajanja in tako naprej. Naposled bo to preučevanje vključevalo preiz- kuse konsistentnosti, toda preizkusi se bodo nanašali na bogat niz očitno sklad- nih prepričanj o svetu. Ne glede na očitno skladnost tega bogatega niza se nam iz tega ali onega razloga še vedno lahko zdi nezadosten - lahko denimo dvomimo, da ideje obstajajo. Naloga branilca idej je poiskati »višjo« hipotezo, ki bo skladna z razvitim nizom. Sokrat ne pove ničesar o tem, kaj naj bi ta višja hipoteza bila, toda ta in drugi odlomki v Fajdonu (npr. 107 B) dajejo slutiti vsaj to, da zahteve po hipotezi, ki bi bila višja od hipoteze o idejah, nima za neustrezno. V analizi pomeni lotevanje problema iskanje med propozicijami, dokler ne najdemo hipoteze-teorema, iz katere lahko deduciramo rešitev problema (sinteza). V metodi iz Fajdona vključuje lotevanje problema postavljanje hipo- teze, ki j o presodimo kot najmočnejšo med tistimi, ki so nam na razpolago, in - prek dodajanja skladnih idej - izgrajevanje teorije, ki je ustrezna za rešitev problema. Točka, kjer se hipotezi-teoremu še najbolj približamo, je zadovolji- va hipoteza. Dedukciji pa se še najtesneje približamo s skladnim širjenjem hipoteze. Z našega stališča je med dedukcijo in skladnim širjenjem, med po- sledico teorije in verjetnim dodajanjem teoriji, precejšnja razlika. Menim, da Platon tej razliki ni pripisoval temeljnega pomena. S tem ne mislim, da bi bil Platon voljan spregledati nadomestitev matematičnih dokazov z verjetnimi razmisleki. Mislim le, d a j e bil zaradi filozofskih razlogov volj an uvrstiti skupaj dedukcijo in manj formalne metode resne argumentacije. Model matematič- ne metode ostaja, vendar je bil v svoji filozofski priredbi razširjen. To širjenje pojma sinteze, ki bo vključevala skladno razdelavo, bo pomembno v nasled- njem pogla-\ju. V. Matematika in dialektika v 6. in 7. knjigi Države Matematika pride v Državi v ospredje v slavni prispodobi o daljici na kon- cu 6. knjige. Na tem mestu bom zanemaril obilico interpretativnih vprašanj, ki so povezana s tem odlomkom, in se posvetil le nekaterim, ki me zdaj zani- majo.30 Delitve daljice očitno vključujejo vse stvari, čutno zaznavni svet, k i j e sestavljen iz predmetov in njihovih podob in mu vlada sonce, in inteligibilni svet, ki mu vlada ideja Dobrega. Sokrat se ne izjasni o razmerju med tema dvema svetovoma. Daljica in primerjava med soncem in Dobrim nakazujeta ostro delitev, toda prispodoba votline in matematični učni načrt kažeta na 30 Bralec si lahko pogleda 10. in 11. poglavje v: Julia Annas, An Introduction to Plato's Republic (Oxford, 1981). 1 4 5 I A N M U E L L E R dokajšnjo kontinuiteto, ki je bila po vsej verjetnosti pomembna poteza Plato- novega splošnega pogleda. Sokrat deli inteligibilni svet s pomočjo sklicevanja na dve miselni stanji (pathemata), ki bi ju danes lahko imenovali spoznavna načina.31 Enega od njiju (noesis)32 identificira z uporabo dialektike, drugega (dianoia) pa ponazori s sklicevanjem na matematiko, »geometrijo in njej se- strske veščine« (511 B 1-2). Vprašljivo je , ali slednja ponazoritev izčrpa vsebi- no ustreznega odseka ali pa obstajajo tudi nematematični primeri dianoia. Za moje namene zadošča dejstvo, da ta odsek vključuje matematiko, ki popolno- ma obvladuje Sokratovo razpravljanje. Sokrat poudari dve nasprotji med dianoia in noesis: 1. Dianoia je prisiljena preučevati svoje predmete z napredovanjem od hipoteze proti sklepu, noesis pa preučuje svoje predmete z napredova- njem od hipoteze proti nehipotetičnemu začetku (načelu). 2. Dianoia uporablja čutno zaznavne stvari kot podobe, noesis pa ne upo- rablja nobenih podob in sistematično napreduje skozi ideje. Skoraj nedvomno ima Sokrat tu v mislih dve potezi matematike, ki j u povezujemo posebno z geometrijo: uporabo diagramov pri dokazovanju in izpeljevanje sklepov iz začetnih podmen (sinteza). Prvo, kar je treba omeniti pri Sokratovi razlagi matematične uporabe diagrama, je, da po njegovem mne- nju matematiki, četudi izdelujejo svoje dokaze (logoi) o podobah, ne mislijo (dianoein) nanje, ampak na one stvari, ki so jim podobne; dokaze izdelujejo zaradi (heneka) četverokotnika samega in diagonale same [tj. idej četverokotnika in diagonale], ne pa zaradi tega, ki so ga narisali...33 Stvari, kijih oblikujejo in rišejo, ... uporabljajo le kot podo- be, ko iščejo, da bi videli one stvari, kijih ni mogoče videti drugače kot z dianoia. {Država, 510 D 6-511 A l ) Moderni filozof matematike bi lahko rekel, da geometri - četudi uporab- ljajo pri svojem dokazovanju narisane like - ne razpravljajo o likih (kajti liki zadoščajo njihovim hipotezam le približno), ampak o nečem drugem (kar hipotezam natančno zadošča). Sokrat namesto tega pravi, da geometri raz- 31 Z izrazom »spoznavni način« bolj nakazujem kot pa razlagam, o čem Sokrat govori. Kot primer različnih načinov spoznanja bi lahko vzeli razliko med vednostjo in veijet jem ali med osebo, ki je bila priča dogodku, in tisto, k i j e le slišala o n jem ali sklepala, da s e j e verjetno zgodil. 32 Sokratova izraza za ta dva spoznavna načina nam nista kaj prida v pomoč pri razume- vanju distinkcije, na katero meri. Raje j u puščam neprevedena in se tako izognem vnaša- nju zavajajočih konotacij. 33 Tukaj in drugod sem spremenil sokratsko retorično vprašanje v trditev. 1 4 6 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA pravljajo o vidnih likih, toda to počenjajo zavoljo razumevanja oziroma da bi razumeli nekaj drugega, namreč (inteligibilne, ne pa zaznavne) matematič- ne oblike/ideje. Težko je z gotovostjo vedeti, kako daleč lahko tukaj vztraja- mo pri Sokratovem besednjaku (»razpravljati o«, »misliti o«, »razpravljati za- voljo«) , toda nedvomno je videti, kot d a j e zanj matematika bolj poskus, kako razumeti inteligibilni svet z razmišljanjem o čutno zaznavnih stvareh, kot pa poskus (kot bi utegnili predpostavljati), kako razmišljati o inteligibilnem sve- tu z uporabo čutno zaznavnih stvari. Pomembnost tega nasprotja nam lahko postane bolj jasna spričo dejstva, da Sokrat dvakrat govori o matematikih, češ da so prisiljeni (anagkazomai) uporabljati hipoteze, nikoli pa ne govori, da so prisiljeni uporabljati podobe. Poleg tega bi to, kar pravi v 510 B, lahko pomenilo, da uporaba podob prisili dušo k hipotetičnemu poizvedovanju. Tako lahko Sokrat misli, da je matema- tik prisiljen uporabljati hipoteze, ker v poskusu, da bi razumel inteligibilne stvari, razmišlja o čutno zaznavnih stvareh. V drugem odlomku govori Sokrat podobno o geometrih, češ da so prisiljeni uporabljati jezik delovanja, četudi j e tajezik zavajajoč glede na inteligibilne predmete, zavoljo katerih se ukvar- ja jo z geometrijo: Govorijo zelo smešno in prisilno (anagkaios); kajti o kvadriranju, pola- ganju, dodajanju in vsem takem govorijo tako, kot da delujejo in da tvorijo trditve zaradi delovanja; vsa mathema pa obstaja zaradi prizadeva- nja za spoznanjem. [Država, 527 A 6-B 1) Splošna slika j e tedaj ta, d a j e matematik v položaju, ko skuša dojeti inte- ligibilni, statični svet idej, toda to skuša storiti z razpravljanjem o vidnih stva- reh. Ta način razpravljanja sili matematika k temu, da govori o delovanju na stvari in da izhaja iz hipotez. Verjetno je dovolj jasno, zakaj razprava o diagramih potrebuje govoije- nje o dejavnostih in operacijah, ni pa takoj jasno, zakaj uporaba diagramov potrebuje tvorjenje hipotez. To si lahko nekoliko pojasnimo, če pogledamo, kaj nam ima Sokrat povedati o hipotezah matematikov, ki po njem postavljajo hipoteze o lihem in sodem in likih in treh vrstah kotov [o- stri, pravi, topi] in drugih takšnih stvareh v skladu z vsako posamezno znanostjo (methodos)', hipoteze o teh stvareh postavljajo kot znane, ne da bi se jim o njih zdelo vredno dati račun in sebi in drugim, kot da so jasne vsem; izhajajoč iz tega nadaljujejo skozi ostalo in končajo v skladu s tem, zaradi česar so se lotili raziskave. (Država, 510 C 3-D 3) Tukaj naletimo na osupljivo vzporednico s Sokratovim postavljanjem hi- 1 4 7 I A N M U E I . I . E R potez v Fajdonu. Tam razprava pokaže, d a j e Sokratova začetna hipoteza dokaj razdelana hipoteza o idejah, vendar pa izrazi hipotezo preprosto kot »da lepo samo po sebije nekaj, in je dobro, i n j e veliko, in j e preostalo.« Podobno tam, kjer mislimo, da postavlja matematik dokaj izdelane podmene o vzporedni- cah, enakosti in pomenu določenih izrazov, Sokrat v Državi omenja le »liho in sodo in like in tri vrste kotov in druge takšne stvari v skladu z vsako posamez- no znanostjo«. Ne vemo dovolj o načinu, kako so prikazovali matematiko v zgodnjem četrtem stoletju, da bi presodili točnost Sokratove označbe, vendar pa lahko vidimo, da si ne beli glave s podrobnostmi. Nič od povedanega ne vključuje tega, da matematik izpeljuje posledice iz predpostavljenih propozi- cij, v nasprotju z dokazovanjem na temelju kakšne v ozadju predpostavljene vednosti o različnih pojmih.34 Morda j e ravno slednja vrsta vednosti tista, ki mora biti po Sokratovem mnenju predpostavljena, če kdo »razpravlja o« li- kih. Položaj postane bolj nejasen, ko se obrnemo k dialektiki. Sokrat pravi, da matematik raziskuje iz hipotez in napreduje h končni točki, bolj kot pa k izhodišču, medtem ko dialektik napreduje iz hipoteze k »nehipotetičnemu izhodišču« in napreduje »s pomočjo idej in skozi ideje«, ne da bi uporabljal podobe. Nasprotje usmeritveje predvidoma v povezavi z naspro^em med ana- lizo in sintezo, toda gibanje navzgor je tukaj pripisano fdozofu in se razlikuje od matematičnega postopka bolj kot zgolj po svoji smeri. Sokrat v nadaljeva- nju pripiše metodo navzdol tudi dialektiku: [Dialaktični dokaz] ne napravi hipotez za izhodišča (archai), ampakjih ima v resnici za hipoteze [dob. podlage],35 kot na primer oporišča in vire zagona (hormai), da bi prišel do tistega nehipotetičnega, k izhodiš- ču vsega; ko se polasti tega in ima zopet stvari, ki so za tem, se spusti dol k koncu, pri čemer ne uporablja sploh nič čutno zaznavnega, ampak le ideje skozi ideje v ideje, in konča v idejah. (Država, 511 B 5-C 2) Razlike med tem odlomkom in metodološkim opisom v Fajdonu nemara niso tako pomembne, kot jih včasih prikazujejo. Nekatere med njimi, zlasti vztrajanje pri uporabi podob, po vsem sodeč izvirajo iz dejstva, da se Sokrat v Državi posebej ukvarja z matematiko, medtem ko gre v Fajdonu bolj za splošni metodološki poudarek, četudi utemeljen na matematični metodi. V Državi ni 34 Za nadaljno razpravo o matematičnih hipotezah, ki j ih omenja Sokrat, in o matema- tičnih principih v zgodnji grški matematiki in filozofiji glej moj prispevek »On the Notion of a Mathematical Starting Point in Plato, Aristotle, and Euclid«, v: Science and Philosophy in Classical Greece, ur. Alan Bowen (London in New York, 1991), str. 59-97. 35 Sokrat se tu opira na etimologijo grške besede hypothesis. 1 4 8 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA nobene jasne razlike med gibanjem dialektike navzgor in navzdol, razen nje- gove smeri. Naravno je torej, če domnevamo, d a j e dialektična metoda navz- dol enaka kot matematična metoda navzdol, in če priličimo prvo temu, kar vemo o slednji, d a j e namreč dedukcija iz propozicij (sinteza). Prav tako je tudi naravno, če predpostavljamo, d a j e metoda navzgor dedukcija iz propo- zicij ali nekaj njej primerno podobnega. Toda v Fajdonuje »metoda« navzgor preprosto stvar tvorjenja »višjih« hipotez, metoda navzdol pa po vsem sodeč vključuje tvorjenje dodatnih hipotez, ki so usklajene z dano. Ne vidim pamet- nega razloga za mnenje, d a j e Platon v Držav? bolj restriktiven. Kajti Sokratovi primeri hipotez matematikov v Državi se ujemajo z njegovim sprejemanjem idej kot vzorčno hipotezo v Fajdonu. Najbolj osupljiva razlika med tema dve- ma odlomkoma je morda nasproye med Sokratovim priklicevanjem nehipo- tetičnega načela vseh stvari v Državi in njegovim malce ohlapnim skliceva- njem na nekaj zadostnega v Fajdonu. Toda zadnje mestoje dovolj ohlapno, da povzame vase to, kar je rečeno v Državi™ Videli smo, da se v Fajdonu in Menonu prikaz hipotetičnega razmišljanja poveže z zamislimi ovržbe, ki igra po vsem sodeč manjšo vlogo v matematiki kot v filozofiji. V prispodobi daljice v Državije nesmiselno, da bi bila bodisi za matematika bodisi za dialektika hipoteza kdajkoli nezadovoljiva. Matematiki dosledno končujejo s hipotezami, dialektiki pa se od svojih hipotez pomikajo navzgor in spet nazaj navzdol, verjetno k istim »hipotezam«. Pozneje, v 7. knjigi, Sokrat nakazuje, da dialektika resda vsebuje ovržbo dokazov, vendar d^ye jasno vedeti, da bodo uspešni dialektiki sposobni braniti svoje stališče proti vsem poskusom ovržbe (534 B-D). Toda tik pred tem odlomkom opiše Sokrat dialektika kot nekoga, ki »odpravlja ali uničuje (anairein) hipoteze« (533 C 8), o matematiki pa govori rahlo podcenjujoče: Geometrija in z njo povezane veščine kot v sanjah zasledujejo nekaj od bivajočega; budne pa tega ne morejo videti, dokler uporabljajo hipote- ze in jih imajo za negibne, ne da bi mogle dati račun o njih. Kajti kadar ne poznamo izhodiščne točke, konec in tisto vmes pa sta spletena iz tega, česar ne poznamo - kateri pripomoček bi iz takšne složnosti nare- dil vednost? (Država, 533 B-C) Nekateri poznejši platoniki so se sklicevali na ta odlomek, da bi omalova- ževali matematiko,37 in sodobni poznavalci so razpravljali o tem, kaj bi lahko 3l' Za razpravo o tem, d a j e nehipotetično načelo v Državi primer nečesa zadovoljivega v smislu Fajdona, glej Harold Cherniss, »Some War-Time Publications concerning Plato. I«, American Journal of Philology 68 (1947); str. 141 (ponatisnjeno v njegovih Selected Pa- pers) . 37 Glej Proklos, Komentar k Evklidu, 29. 14-24. 1 4 9 I A N M U E I A E R imel Sokrat v mislih z uničevanjem matematičnih hipotez. Mislim, da se ne motim, če rečem, da obstaja zdaj soglasje o tem, d a j e edino uničenje, ki ga ima Sokrat v mislih, uničenje hipotetičnega značaja matematičnih hipotez z njihovo podreditvijo nehipotetični izhodiščni točki. Prav tako tam, kjer zani- ka, d a j e navadna matematika vednost, ne misli, d a j e napačna, temveč le, da ji primanjkuje potrebnega temelja, da bi veljala kot nekaj spoznanega. Koli- kor matematika oskrbuje dialektiko s svojimi hipotezami, začenja dialektika z resnicami, kijih bo preverila, ne pa spodbijala. Prispodoba daljice torej poudarja naslednje poteze matematike: 1. Razmišljanje o čutno zaznavnih predmetih in likih, zavoljo oziroma z na- menom razumevanja inteligibilnih. 2. Postavljanje hipotez, ki so prikazane kot podmena o določenih predmetih (lihem in sodem, likih, vrstah kotov), toda dejansko vsebujejo podmene o naravi teh predmetov in načinih, kako j e mogoče upravljati z njimi. 3. Razvijanje teh hipotez navzdol, vključno z dedukcijo, toda ne nujno omeje- no nanjo. Platon vidi v prvi od teh lastnosti vzrok za drugo in verjetno tudi tre^o: ker matematiki razmišljajo o čutno zaznavnih stvareh, morajo izdelovati hipo- teze in se pomikati navzdol od njih, ker morajo govoriti o delovanju na čutno zaznavne stvari. Smiselna je predpostavka, d a j e Platonov opis matematike, češ d a j e ta odvisna od hipotez, k i j ih ne skuša matematik nikoli utemeljiti, točen opis matematike njegovega časa. Toda zakaj Platon misli, d a j e smer navzdol nujna lastnost matematike? Navsezadnje opravljajo matematiki anali- ze na propozicijah, ki so pod ravnijo njihovih končnih hipotez. Zakaj ne bi mogli poskušati storiti enako na teh hipotezah? Odgovor utegne biti tu preprosto stvar definicije: za Platona bi takšno gibanje navzgor odvedlo nekoga zunaj območja matematike. Toda morda je v tem še kaj več. Za Platona bi bilo utemeljevanje matematičnih hipotez v odgo- voru na vprašanja, kotso »kajje lik?« ali »kajje kot?«. Ponujanje zadovoljivega odgovora na tovrstna vprašanje pa zahteva od nekoga, da se pomakne od raz- pravljanja o čutno zaznavnih stvareh k razpravljanju o idejah. Očitno lahko ista oseba preklopi z matematičnega razvijanja hipotez k postavljanju platon- sko/sokratskih vprašanj o hipotezah, toda ta sprememba je sprememba od razpravljanja o čutnih zaznavnostih k razpravljanju o inteligibilnostih, se pra- vi, sprememba od matematike k dialektiki. Sokrat izreče nekaj podobnega v 523 A in dalje, ko opisuje matematični učni načrt. Tu Sokrata ne zanimajo več vidiki gibanja matematike navzdol, temveč njena moč, da obrne pozor- nost duše navzgor od čutno zaznavnih stvari k inteligibilnim. Da bi dokazal, kako ima aritmetika, če se pravilno ukvarjamo z njo, to moč, razlikuje med vidiki stvari, ki so videti za čute protislovni, in tistimi, ki niso. Tako na primer 1 5 0 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA dejstvo, da zagleda prst, navadnega človeka ne napelje ali prisili (anagkazein)38 k temu, da vpraša, kaj je prst, toda če vidi, da j e en prst daljši kot drugi, pač pa manjši od tre^ega, ga to napelje ali primora k temu, da vpraša, kaj je velikost, da torej postavi vprašanje o idejah. Glavkon ponudi izjavo, da spada enotnost v drugo kategorijo, ker vidimo isto stvar sočasno kot eno in neskončno mno- go.39 Sokrat dodaja, da isto velja za vsa števila. Sokratov način govorjenja o opuščanju čutnih zaznavnosti v dialektičnem dokazu so prevzeli novoplatoniki in se sklicevali na skrivnostno »nediskurziv- no« misel, ki - med drugimi rečmi - krši Aristotelov izrek (O duši, T 7, 431 a 16-17), da »duša nikoli ne misli (noein) brez podobe [phantasma)«,40 Zdi se mi, da nič v Državi ne upravičuje tega novoplatonističnega branja, četudi ne moremo izključiti možnosti, d a j e imel Platon v mislih nekaj podobnega. Ven- dar pa se sam nagibam k mišljenju, da Sokrat, kadar opisuje dialektiko kot omejeno na ideje, ne govori o tem, kaj se dogaja v zavesti dialektika na delu, temveč preprosto razvija nasprotje med dialektiki in matematiki. Matematiki razmišljajo o čutnih zaznavnostih zavoljo inteligibilnosti; uporabljajo pa čut- ne zaznavnosti. Dialektiki razmišljajo o inteligibilnostih zavoljo inteligibilno- sti; najsi se v njihovih mislih pojavljajo podobe ali ne, najsi se nanašajo na čutno zaznavne stvari ali ne, pa o čutno zaznavnih stvareh ne razmišljajo in jih ne uporabljajo. Od 7. knjige Države naprej postane jasno, d a j e nehipotetično prvo poče- lo vseh stvari ideja Dobrega (532 A in dalje). Prav tako postane ustrezno jasno (534 B—D), d a j e njen nehipotetični značaj odvisen od dejstva, da se lahko ljudje, ki j o docela dojamejo, branijo, kadar se skuša kdo »polastiti« njihove hipoteze. Se pravi, če naj bi bilo načelo nehipotetično, ne potrebuje nobene višje hipoteze, ki bi ga upravičila, in se je torej sposobno samo postaviti po robu napadu dokazovanja. Zdi se mi, d a j e pojmovanje prvega počela vseh stvari nemogoče smiselno konstruirati z vidika strogo deduktivnega modela poti navzdol. Dobro postane takšna hipoteza le z dodajanjem drugih hipotez, ki so v skladu z njo. S stališča moderne logika so dodatne hipoteze dodatne 38 Sokrat omenja, da matematika prisili nekoga, da se pomakne navzgor v inteligibilni svet, že v prispodobi o daljici, 511 C 7. 39 Videti je , da Platon tu jemlje kot samoumeven Zenonov dokaz, d a j e mogoče razsež- no stvar razdeliti na neskončno mnogo delov, in svoje lastno prepričanje (prim. Parnienid 127 D-130 A), da se Zenonovi dokazi nanašajo bolj na vidne kotna inteligibilne stvari. To prepričanje nemara potr juje verjetje, da so razsežne vse in zgolj vidne stvari, toda trditev, da dejansko vidimo stvari kot ene in mnoge (bolj kot dokazovanje, da so razsežne stvari ene in m n o g e ) , j e treba po vsem sodeč bolj utemeljiti, kot pa to stori Sokrat. 40 Za razpravo o nediskurzivni misli glej A. C. Lloyd, »Non-Discursive Thought - An Enigma of Greek Philosophy«, Proceedings of the Aristotelian Society 70 (1969-70), str. 261- 274. 1 5 1 I A N M U E L L E R hipoteze, toda za Platona je hipoteza dobrega pogoj, ki omejuje te nadaljnje hipoteze in je tako višja od njih. Ne verjamem, d a j e mogoče iz Platonovega stališča tukaj potegniti dokončno zadovoljiv logični smisel,41 toda če ga upo- števamo, je to predpogoj za razumevanje implikacije v Državi, da so matema- tične hipoteze podrejene ideji Dobrega. Platon ne nakazuje, d a j e mogoče matematične hipoteze deducirati iz podmen o Dobrem,42 pač pa »le«, da se bodo skladno prilegale v docela razvito teorijo, zasidrano v Dobrem. Za Plato- na je dobro, d a j e vsota sodih števil soda in da se planeti gibljejo enakomerno v krožnih orbitah. Slednje od teh prepričanj lahko skušamo razložiti s sklice- vanjem na teleološko pojmovanje sveta, prvo pa s sklicevanjem na lepoto in dobroto matematične resnice. Toda malo verjetno je, da bi Platon ti dve last- nosti jasno razlikoval; kolikor vemo, je zanj najbolje, da se soda števila sešteva- jo v sodo število, in res je, d a j e svetovni sistem lepa stvar. Omenil sem že, da Sokrata, ko razgrne svoj matematični učni načrt, sko- rajda izključno zanima moč matematike, da odvrne dušo od čutno zaznavne- ga k inteligibilnemu. Po njegovem dokazu, da ima aritmetika to moč, doda še drugi razmislek, ki naj bi pokazal, da se aritmetik resnično ukvarja z inteligi- bilnim: Slutiš namreč, da bi se mogočni v teh stvareh, če bi kdo eno v razpravi (logos) delil, smejali in tega ne bi sprejeli; toda če bi ga ti razcepil, bi ga oni pomnožili, izogibajoč se temu, da se ne bi eno pokazalo kot ne-eno, ampak kot mnogo delov.4-1... Glavkon, kaj torej misliš, če bi jih kdo vpra- šal: »Čudaki, o kakšnih številih se pogovaijate, pri katerih je eno, kakor sodite, vsako v vsem povsem enako drugemu, ne da bi se vsaj malo razliko- valo, in ne vsebuje v sebi nobenega dela?« Kaj misliš, da bi odgovorili? To, da govorijo o stvareh, ki so lahko edino mišljene (dianoethenai), z njimi pa ni mogoče postopati na noben drug način. (Država, 525 D 8-526 A 7) Tukaj Sokrat nakazuje, da aritmetike način, kako govorijo, zavezuje k in- 41 Zdi se, d a j e nekaj smiselnega v zamisli, d a j e hipoteza o idejah »višja kot« hipoteza, da so stvari to, kar so, z udeležbo na idejah. Toda če je slednje resnično nadaljnja hipote- za, ki ni vsebovana v prvi, potem težko uvidimo, kako j e lahko mišljeno, da prva izključi vse alternative drugi v kakršnemkoli strogo logičnem smislu besede »izključiti«. 42 Nasprotno primerjaj npr. stališče F. M. Cornforda v: »Mathematics and Dialectic«, zlasti str. 178-181, 187-190 (Studies in Plato's Metaphysics, ur. Alien, str. 82-85, 91-95). 43 Ni jasno kaj, če sploh kaj, ima Sokrat v mislih s tem poskusom, da bi razdelil eno, ali z dejanskim deljenjem in množenjem enega. Enega od poskusov povezave Sokratovih besed z grško matematično prakso najdemo pri B. L. van der Waerdenu, Science Awake- ning (New York, 1963), str. 115-116. Za drugačno in bolj verodostojno branje glej M. F. Burnyeat, »Platonism and Mathematics: A Prelude to Discussion«, v: Mathematics and Me- taphysics in Aristotle, ur. Andreas Graeser (Bern in Stuttgart, 1987), str. 226. 1 5 2 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA teligibilnemu svetu. Ne potegne razlike — ki j o je vpeljal v prispodobi o daljici - med tem, o čemer razmišljajo aritmetiki in tem, zavoljo česa razmišlja sam. Zares, izrecno pravi, da aritmetik razpravlja o inteligibilnih enotah, raje kot da bi rekel (kot mislim, da bi moral zavoljo doslednosti), da aritmetik raz- pravlja o čutnih zaznavnostih zavoljo inteligibilnosti. Razlog za to neskladje je v tem, da hoče Platon uporabiti način, kako aritmetiki govorijo, kot indikaci- jo, da se njihovo zanimanje nanaša na inteligibilno. V njegovi obravnavi geo- metrije, ki sledi takoj za tem, in v poznejši obravnavi astronomije in nauka o harmoniji hoče poudariti, d a j e matematična praksa zavajajoča. Geometri, pravi, govorijo, kot da bi kaj počeli, toda njihova vednost se ne tiče spreminja- jočih se stvari, ampak tega, kar vedno je. Sokrat ne dokazuje tega sklepa;44 omenja ga Glavkon, ki g a j e , kot lahko predpostavljamo, k temu napeljala Sokratova obravnava matematike v prispodobi o daljici. Toda celo Glavkon ni videti povsem pripravljen na Sokratovo razpravo o astronomiji,45 razpravo, ki j o j e treba tolmačiti v luči posebne vloge pritegovanja navzgor, ki jo Sokrat pripisuje matematiki. Geometri razmišljajo o čutno zaznavnih likih zavoljo inteligibilnih stvari, zavoljo kvadrata samega, diagonale same in tako naprej. V astronomiji zavze- ma prostor čutno zaznavnih likov tisto, kar opazujemo na nebu. Kar ustreza matematičnim idejam, so - po eni od Platonovih bolj nejasnih izjav - »resnič- ne stvari, ki se z resnično hitrostjo in resnično počasnostjo v resničnem številu in povsem resničnih likih medsebojnem premikajo in premikajo to, kar vse- bujejo« (529 D 1-5). Sokrat nadalje pravi, da ne bi smeli pričakovati, da bomo našli resnico o razmerjih na vidnem nebesnem svodu, ali misliti, da bo čas poti nebesnih teles okoli sonca vseskozi ostal nespremenjen; kot čutno zaz- navni predmet torej nebo ne more popolnoma utelešati znanstvenih zako- nov. Sokratov sklep se glasi: Pristopajoč k problemom se bomo ukvarjali z astronomijo, kot se ukvar- 44 Poznejši filozofi, vključno z antičnimi, dokazujejo, da čutne zaznavnosti ne zadovo- ljujejo pogojev, kijih postavljajo geometri, tj., da črte brez širine ne morejo biti zaznavne. Takšni dokazi so voda na Platonov mlin, toda tudi če se jih je zavedal, j ih nikoli izrecno ne priklicuje. O poskusu, pripisati kakšne take dokaze Državi, glej Burnyeat, »Platonism and Mathematics«, str. 221-225. 45 Na tem mestu se ne oziram na Sokratove opazke o stereometriji. V njegovih trditvah o zaostalosti stereometrije so videli odraz Platonovega pojmovanja stanja matematike v četrtem stoletju. Težko s e j e upreti domnevi, d a j e imel Sokratov poziv k upravljanju stereometričnih študij kakšno zvezo z Platonovo vlogo v Akademiji. Prav tako se ne bom ukvarjal s Sokratovo obravnavo nauka o harmoniji, ki se mi zdi povsem v skladu z njegovim opisom astronomije. Za razpravo o astronomiji in harmoniji glej moj članek »Ascending to Problems: Astronomy and Harmonics in Republic Vil«, v: Science and the Sciences in Plato, ur. John P. Anton (Albany, 1980), str. 103-121. Prispevka Mourelatosa in Vlastosa v istem zvezku sta dragocena obravnava istega gradiva, le da se osredotočata na astronomijo. 1 5 3 I A N M U E L L E R jamo tudi z geometrijo, tisto na nebu pa bomo pustili na miru, če hoče- mo, deležni resnične astronomije, tisto v duši po naravi misleče narediti iz neuporabnega uporabno. (Država, 530 B 6 - C 1 ) Sokratova obravnava astronomije j e spravila Platonove občudovalce v do- bršno mero zadrege. Pomagati so si hoteli na različne načine, toda nič ni moglo izbrisati dejstva, da se »resnična« astronomija ne tiče vidnega neba nič bolj kot se aritmetika in geometrija tičeta čutno zaznavnih predmetov. V naši navadi je, da razlikujemo med uporabnimi in čistimi znanostmi. Tudi če kdo od nas ne sprejema Platonovega stališča o čistih znanostih, pa bo večina vsaj priznala veljavnost zamisli, da se aritmetika in geometrija, na primer, ukvarja- ta z nezaznavnimi resničnostmi. Toda predstava, da naj bi se resnična astro- nomija ukvarjala s takšnimi resničnostmi, j e videti nenavadna. Ali lahko reče- mo karkoli, kar bi omililo to zagato? Prvič, upravičeno smo lahko gotovi, da Platon sam ni zanemarjal pome- na, ki ga ima takšna ali drugačna razlaga navideznih gibanj nebesnih teles. Kajti če lahko verjamemo Simplikiju, j e zadal astronomom nalogo, naj razlo- žijo ta navidezna gibanja s pomočjo hipoteze o enakomernem krožnem giba- nju. Platon sam zariše zasnutke take razlage v Timaju (36 B-D), pomen razu- mevanja gibanja planetov pa znova potrdi v Zakonih (822 A).41' Simplikij ome- nja to nalogo kot problem, pa tudi v Filodemovem odlomku j e Platon opisan kot nekdo, ki zastavlja probleme. Potemtakem j e videti verjetno, da ima So- krat v Državi pri govorjenju o astronomiji v mislih poskus, kako rešiti pomem- bna vprašanja z njihovim zvajanjem na bolje razumljene stvari. Toda medtem ko lahko v geometriji Platon navaja (resnične) hipoteze, o katerih si geome- ter ne zastavlja vprašanj, v astronomiji ni česa podobnega. Drugače rečeno, v geometriji se uspešne redukcije ali analize problemov preselijo v hipoteze- teoreme, v astronomiji pa takih teoremov ni; naloga analize je , da se preseli k hipotezam-lemam - v primeru Platonovih problemov s področja astronomije so to enakomerna krožna gibanja. Platon ne zastavlja vprašanja o statusu teh lem, kadar so postavljene kot hipoteze, toda mislim, da lahko upravičeno re- čemo, da so v dialektičnem gibanju navzdol vzpostavljene kot »teoremi«, ki so v skladu z idejo Dobrega. Preostaja vprašanje, kako Platon razume razmerje med astronomskimi pojavi in hipotezami resničnega astronoma. Ce se držimo Države, potem se te hipoteze ne morejo nanašati na pojave nič bolj, ko t j e tisto, kar ugotavlja geo- meter, resnica o čutno zaznavnih stvareh. In ko Sokrat pravi, da bi morali v resnični astronomiji pustiti stvari na nebu pri miru, j e morda naravno, če 4,1 Glej Gregory Vlastos, Plato's Universe (Seattle, 1975), str. 49-61, z dragocenimi dodatki. 1 5 4 M A T E M A T I Č N A M E T O D A IN FILOZOFSKA RESNICA vidimo v njegovih besedah namig, da bi se lahko astronomija razvila, ne da bi kdorkoli sploh kdaj pogledal v nebo. Toda takšen pogled je tako neverjeten, da ga le neradi pripišemo komurkoli. Bolje je, če se opremo na Sokratovo primerjavo med astronomijo in geometrijo. Geometri razmišlj^o o čutno zaz- navnih stvareh zavoljo inteligibilnosti; to pomeni, da njihove resnice, tako kot resnice aritmetikov, niso resnice o čutno zaznavnih stvareh. Toda geome- tri se zavedajo tega dejstva, zatojim ni treba govoriti, naj pustijo čutno zaznav- ne stvari pri miru, namreč v tem smislu, da se posvetijo inteligibilnim. Seveda nam ni treba predpostavljati, d a j e Platon priganjal geometre, naj pri svojem razmišljanju prenehajo uporabljati diagrame.47 Po analogiji lahko rečemo, da Platon priganja astronome, naj nehajo misliti, da so njihov predmet čutne zaznavnosti, vendar pa j ih ne priganja, naj nehajo uporabljati astronomske pojave kot astronomske pojave. Astronomi se lahko ukvarjajo s pojavi, raz- glabljajo o njih, toda to morajo početi zavoljo oziroma z namenom razumeva- nja inteligibilnega sveta, ki vsebuje »resnične stvari, ki se z resnično hitrostjo in resnično počasnos^o v resničnem številu in povsem resničnih likih medse- bojnem premikajo in premikajo to, kar vsebujejo« To stališče se nam zdi težko sprejemljivo, kajti za nas govori astronomija o pojavih in ne o inteligibilnem svetu. Toda Sokrat v Državi misli, da se znans- tveno spoznanje tiče večnih nespremenljivih resnic, nebo ali karkoli čutno zaznavnega pa zanj ni nekaj, kar bi bilo nespremenljivo na način, ki bi dopuš- čal takšno spoznanje. Toda to ne pomeni, da astronomska resnica ničesar ne prispeva k našemu razumevanju čutno zaznavnega sveta, kot tudi dejstvo, da aritmetika in geometrija govorita o inteligibilnem svetu, ne pomeni, da niče- sar ne prispevata k našemu razumevanju čutno zaznavnega sveta.4S Ključnoje to, d a j e za Platona takšno razumevanje odvisno od razumevanja drugega, idealnega sveta, ki mu vlada Dobro. Prevedla Seta Knop in Franci Zore 47 Tukaj se lotevam zelo težavnega vprašanja. V odlomku o daljici opisuje Sokrat mate- matika kot nekoga, ki uporablja like in hipoteze. Dialektik uničuje hipotetični značaj teh hipotez, toda ni razloga, da ne bi matematik iz njih še vedno izpeljeval sklepov. Kaj pa uporaba likov? Ali lahko dialektik na kakršenkoli način omogoči geometrijo, v kateri pri dokazovanju ne bi več uporabljali likov? Vidimo lahko, kako bi utegnil kdo iz Sokratovih besed sklepati na takšno možnost. Toda on tega ne pravi in običajni načini, ki skušajo osmisliti to možnost, so anahronistični. (Izjemen primer takšnega anahronizma najdemo pri A. E. Taylorju, Plato the Man and his Works, 5. izd. [London, 1948], str. 289-295.) Zelo dvomim, d a j e imel Platon pred očmi to možnost, nisem pa si na jasnem glede tega, v čem j e videl Platon povezavo med uporabo diagramov in razumevanjem resnice o inteligibil- nem svetu. Njegovemu pomanjkanju izrecnosti ob tem vprašanju ustreza njegovo po- manjkanje izrecnosti ob razmerju med astronomskimi pojavi in astronomskim spozna- njem. 48 O pomenu uporabne matematike glej Fileb, 55 D in dalje. 1 5 5