      P 48 (2020/2021) 3 5 Kitajske naloge M J Zaradi geografske izoliranosti, večtisočletne sa- mosvoje kulture in številčne populacije se je kitaj- ska matematika zelo dolgo razvijala skoraj popol- noma neodvisno od drugih civilizacij. Prve zametke matematike najdemo že v mitih, ki izvirajo iz predzgodovinskega obdobja. Najbolj zna- na je legenda o cesarju Yuju, ki se je ohranila tudi preko tradicije feng shuija. Cesar je z darovi želel pomiriti boga reke Lou, ki je pogosto povzročala ka- tastrofalne poplave. Po eni izmed inačic zgodbe ni pomagalo prav nobeno darovanje, dokler ni iz reke prilezla želva. Na oklepu je imela zapisano naslednjo nenavadno tabelo s števili od 1 do 9: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Cesar je opazil, da je vsota vsake vrstice in vsota vsakega stolpca v tabeli enaka 15. Potem, ko je reki ponudil 15 darov, se je reka umirila. To je verjetno prva omemba magičnih kvadratov. Zanimivo je, da je to edini magični kvadrat velikosti 3 ˆ 3. Večji del našega védenja o kitajski matematiki iz- vira iz približno desetih knjig, ki povzemajo doteda- nje znanje matematike. Najstarejša je bila napisana približno 180 let pred našim štetjem. Verjetno naj- pomembnejša med njimi je knjiga z naslovom Devet poglavij matematične umetnosti. Knjigo so skozi sto- letja spreminjali in dopolnjevali. Njena zadnja ver- zija je iz leta 200 našega štetja, vsebuje pa odkritja iz približno 1200-letne preteklosti. Za razliko od današnjega razumevanja matema- tike, ki izvira iz starogrške tradicije in ga je prvi dokončno izoblikoval Evklid v svojih Elementih pri- bližno 300 let pred našim štetjem, je bila kitajska matematika predstavljena kot zbirka konkretnih pro- blemov. Številski podatki v problemih so skrbno iz- brani, tako da rešitve problemov delujejo tudi z dru- gačnimi podatki in se v bistvu obnašajo kot današnje spremenljivke. Tako lahko s pomočjo analogije na- loge posplošimo in dobimo nekaj takšnega, kot so naši izreki. Kako različna od naše je bila starokitajska kultura, pokaže tudi njihov sistem izobraževanja. Cesarska akademija je med nižjimi sloji izbrala 30 študentov, med katerimi jih je 15 študiralo abstraktno, 15 pa uporabno matematiko. Po sedmih letih študija so na zelo strogih izpitih za državne uradnike morali re- šiti nekaj nalog iz obravnavanih knjig. Študentje ab- straktne matematike so morali dodatno še pravilno dopolniti vsaj šest od desetih naključnih stavkov iz knjige Devet poglavij matematične umetnosti. Za ilustracijo tedanjega poznavanja matematike si poglejmo nekatere izmed značilnih nalog. Polnjenje ribnika V šestem poglavju je zapisana še danes zelo popu- larna naloga s polnjenjem ribnika. Ribnik napaja pet kanalov. Prvi kanal napolni rib- nik v tretjini dneva, drugi v enem dnevu, tretji v dveh dneh in pol, četrti v treh dneh in peti v petih dneh. Hkrati odpremo vse kanale. Kdaj bo poln ribnik? Naj bo x število dni, potrebnih za napolnitev rib- nika. Potem je 3x ` x ` 2 5 x ` 1 3 x ` 1 5 x “ 1. Tako je x “ 15 74 , kar je približno 4 ure, 51 minut in 54 sekund. Kovanci V sedmem poglavju so naloge, ki so povezane z reše- vanjem sistemov linearnih enačb. Na prvem kupu je devet zlatih, na drugem pa enajst srebrnih kovancev. Oba kupa tehtata enako. Iz vsakega kupa vzamemo po en kovanec in ga damo na drugi kup. Kup, ki je v glavnem sestavljen iz zlatih kovancev, sedaj tehta 13 utežnih enot manj kot kup, ki vsebuje večino srebrnih kovancev. Poišči teži zlatega in srebrnega kovanca.       P 48 (2020/2021) 36 Če z s označimo težo srebrnega in z z težo zlatega kovanca, dobimo sistem enačb 9z “ 11s 8z ` s ` 13 “ 10s ` z. Sistem ima enolično določeni rešitvi s “ 29 14 , z “ 35 3 4 . Kvadratno mesto V zadnjem, devetem poglavju, so naloge, ki so pove- zane z znanjem o pravokotnih trikotnikih. Med bolj zanimivimi je naslednja: Mesto je obdano s kvadratnim obzidjem. Na vsaki stranici zidu so na sredini vrata. Dvajset korakov pred severnimi vrati je drevo. Če mesto zapustimo pri južnih vratih, naredimo 14 korakov proti jugu in nato 1775 korakov proti zahodu, prvič zagledamo drevo. Kako veliko je mesto? P O J S D V x 2x 1775 14 20 SLIKA 1. Kvadratno mesto Skicirajmo mesto in uporabljajmo oznake s slike 1. Naj bo 2x njegova širina. Ker sta trikotnika POD in VSD podobna, je 20 x “ 34 ` 2x 1775 . Razmerje je ekvivalentno kvadratni enačbi x2 ` 17x ´ 17750 “ 0 z rešitvama x “ ´17 ˘ 267 2 . Za širino mesta moramo vzeti pozitivno rešitev 2x “ 250 korakov. Oddaljeni otok Liu Hui je leta 263 med komentarji knjige zapisal naslednjo nalogo o merjenju oddaljenega otoka: Palici velikosti pet pujev sta postavljeni 1000 pujev narazen (en pu ustreza približno dvema metroma). Če se postavimo med palici 123 pujev za prvo palico, ki je bližje otoku, sta vrh prve palice in vrh otoka po- ravnana. Če pa se postavimo 127 pujev za drugo palico, sta poravnana vrh otoka in vrh druge palice. Kolikšna je višina otoka in koliko je otok oddaljen od prve palice? Naloga bo bolj jasna, če dodamo, da z obale vi- dimo visok klif nad morjem, ki je hkrati najvišja toč- ka otoka. Povedati je treba tudi, da je obala sicer po- ložna in da vrhova obeh palic ter vrh otoka vidimo s točk na tleh. Situacija je ilustrirana in skicirana na sliki 2. Naj bo v višina klifa in d oddaljenost prve palice od otoka. Trikotnika BP1Q1 in BOV sta si podobna, zato je 5 v “ 123 123 ` d . Prav tako sta si podobna tudi trikotnika AP2Q2 in AOV , zato je 5 v “ 127 d` 1000 ` 127 . Od tod dobimo sistem enačb 615 ` 5d “ 123v 5635 ` 5d “ 127v z rešitvama v “ 1255 in d “ 30750. Otok je visok 1255 pujev in je 30750 pujev oddaljen od prve palice.       P 48 (2020/2021) 3 7 AP2BP1O 127123d Q2Q1 V 55 v SLIKA 2. Merjenje otoka z obale Košara z jajci Sun Zi je v petem stoletju med komentarji knjige za- pisal naslednjo nalogo: Če iz košare jemljemo po tri jajca, v košari osta- neta dve jajci. Če jemljemo po pet jajc, ostanejo tri. Če pa jih jemljemo po sedem, ostaneta dve. Koliko jajc je v košari? Naj bo x število jajc v košari. Besedilo pravi, da je ostanek pri deljenju x s 3 enak 2, ostanek pri delje- nju x s 5 enak 3 in ostanek pri deljenju x s 7 enak 2. Danes to krajše zapišemo kot sistem kongruenc: x ” 2 pmod 3q x ” 3 pmod 5q x ” 2 pmod 7q Izkaže se, da je takšen sistem zagotovo rešljiv, če so moduli paroma tuji. Danes ta rezultat imenujemo Kitajski izrek o ostankih. Kitajci so vedeli, da morajo v tem primeru rešitev iskati v obliki x “ 3 ¨ 5 ¨ a` 3 ¨ 7 ¨ b ` 5 ¨ 7 ¨ c. Zaradi tujosti modulov bi se dalo pokazati, da je prav vsaka rešitev te oblike. Vsak od seštevancev je pre- meteno nastavljen tako, da preostala dva data osta- nek 0 po drugih dveh modulih. To pomeni, da mora hkrati veljati: 15a ” 2 pmod 7q 21b ” 3 pmod 5q 35c ” 2 pmod 3q Ker je 15a “ 2 ¨ 7a ` a, 21b “ 4 ¨ 5b ` b in 35c “ 11 ¨ 3c ` 2c, dobimo a “ 7a1 ` 2, b “ 5b1 ` 3, 2c “ 3c1 ` 2. Če preverimo vse možne ostanke pri deljenju s tri, vidimo, da mora biti c oblike c “ 3c2 ` 1. Ko rešitve vstavimo v nastavek za x, dobimo x “ 3 ¨ 5 ¨ 7pa1 ` b1 ` c2q ` 128 “ 105n` 128. Najmanjšo smiselno naravno rešitev dobimo v pri- meru n “ ´1. Takrat je x “ 23. Naslednja je že 128. Vse ostale rešitve dobimo s prištevanjem večkratni- kov števila 105. Perutnina Yang Hui je v trinajstem stoletju pazljivo predelal De- vet poglavij matematične umetnosti in med komen- tarji zapisal zanimivo nalogo, ki je povezana z reše- vanjem linearnih diofantskih enačb: Petelin stane pet čienov, kokoš tri čiene in trije pi- ščanci en čien. 100 glav perutnine kupimo za 100 čienov. Koliko petelinov, koliko kokoši in koliko piščan- cev smo kupili? Naj bo x število petelinov, y število kokoši in z število piščancev, ki smo jih kupili. Potem je 5x ` 3y ` 13z “ 100 , x `y ` z “ 100 .       P 48 (2020/2021) 38 Če odpravimo spremenljivko z, dobimo enačbo 7x ` 4y “ 100. To je enačba premice v ravnini, na kateri leži ne- skončno točk s koordinatama px,yq. Za rešitev na- loge bodo zanimive le točke, ki imajo za koordinate nenegativna cela števila. Kitajci so, enako kot Grki in Indijci, že znali reševati t. i. diofantske enačbe. Naj- prej je treba v celih številih rešiti diofantsko enačbo 7x ` 4y “ Dp7,4q, kjerDp7,4q “ 1 pomeni največji skupni delitelj števil 7 in 4. Zelo lahko je uganiti eno od celih rešitev, re- cimo x0 “ ´1 in y0 “ 2. Indijski matematik Brahma- gupta je v sedmem stoletju pokazal, da so vse ostale celoštevilske rešitve enačbe 7x ` 4y “ 1 oblike x “ x0 ` 4k “ 4k´ 1 , y “ y0 ´ 7k “ 2 ´ 7k . Poskušajte opaziti idejo, da sta rešitvi nastavljeni tako, da se dodana 4k in 7k odštejeta. Iskani reši- tvi originalne enačbe 7x ` 4y “ 100 pa sta 100 krat večji: x “ 100x0 ` 4k “ 4k´ 100 , y “ 100y0 ´ 7k “ 200 ´ 7k . Da bosta rešitvi smiselni, mora seveda veljati x ě 0 in y ě 0. To pomeni, da mora biti 25 ď k ď 28. Za smiselne k dobimo kar štiri ustrezne rešitve: 28 12 4 84 27 8 11 81 26 4 18 78 25 0 25 75 k x y z Prva rešitev odpade, če vemo, da smo kupili vsaj enega petelina. Naloge Če nam je uspelo z nalogami navdušiti katerega od bralcev, se lahko loti še naslednjih kitajskih nalog. 1. Hitri tekač preteče 100 korakov v enakem času kot počasni 60 korakov. Hitri tekač da počasne- mu 100 korakov prednosti, nato starta tudi on. Čez koliko korakov bo ujel počasnega? 2. Kubični kun žada tehta sedem liangov, kubični kun peska pa šest liangov. V kocki s stranico tri kune je mešanica žada in peska, ki tehta 11 jinov. Kolikšni sta teži žada in peska v kocki? (1 jin=16 liangov) 3. Okroglo mesto z neznanim premerom ima na vsa- ki od strani neba vrata. Oseba A starta pri zaho- dnih vratih in naredi 480 pujev proti jugu. Oseba B pa starta pri vzhodnih vratih. Ko naredi 16 pu- jev proti vzhodu, zagleda osebo A. Poišči premer mesta. 4. Če neznano število kroglic postavimo v sedem enako dolgih vrst, nam ostane ena; če jih posta- vimo v osem vrst, ostaneta dve; če jih postavimo v devet vrst, ostaneta tri. Koliko je vseh kroglic? 5. V isto kletko damo fazane in zajce. Naštejemo 35 glav in 94 nog. Koliko fazanov in koliko zajcev je v kletki? ˆ ˆ ˆ Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za- četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 5 7 8 11 11 15 8 11 ˆ ˆ ˆ