Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Valentin Ažbe Energijske funkcije elektroenergetskih sistemov z napravami za krmiljenje pretokov moči DOKTORSKA DISERTACIJA Ljubljana, 2005 Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Valentin Ažbe Energijske funkcije elektroenergetskih sistemov z napravami za krmiljenje pretokov moči DOKTORSKA DISERTACIJA Mentor: prof. dr. Rafael Mihalič, univ. dipl. inž. el. Ljubljana, 2005 Tončki, Klari in Davidu … Zahvala Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Rafaelu Mihaliču za vsestransko pomoč pri podiplomskem študiju in podporo pri nastajanju tega dela. Zahvaljujem se vsem sedanjim in nekdanjim sodelavcem za prijetno in spodbudno delovno ozračje. Zahvaljujem se tudi Ministrstvu za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo, ki mi je finančno omogočilo podiplomski študij. Zahvaljujem se svoji družini – Tončki, Klari in Davidu – za razumevanje in podporo pri podiplomskem študiju. Izjava Podpisani Valentin Ažbe, rojen 18. 9. 1971 v Kranju, izjavljam, da sem doktorsko disertacijo z naslovom Energijske funkcije elektroenergetskih sistemov z napravami za krmiljenje pretokov moči v celoti izdelal samostojno pod vodstvom mentorja prof. dr. Rafaela Mihaliča, univ. dipl. inž. el. Izkazano pomoč drugih sodelavcev sem v celoti navedel v zahvali. Valentin Ažbe Ljubljana, 2005 Izvirni prispevki k doktorski disertaciji Doktorska disertacija obravnava tematiko razvoja energijskih funkcij elektroenergetskega sistema (EES) z upoštevanjem kompleksnih naprav FACTS druge generacije in podaja izvirne prispevke znanosti na področju elektroenergetike: • Razvoj energijske funkcije za poljubno število univerzalnih prečnih transformatorjev (UPFC) v EES; Definiran je injekcijski model naprave UPFC, na podlagi katerega je izpeljana energijska funkcija za to napravo. Ugotovljena energijska funkcija je izpeljana kot prvi integral injiciranih moči naprave UPFC v omrežje in velja za model omrežja z ohranjeno strukturo. Posledično se jo lahko doda k obstoječi energijski funkciji EES z ohranjeno strukturo SPEF (angl. structure-preserving energy function), ki velja za sistem brez naprav FACTS in je bila izpeljana kot prvi integral nihajnih enačb EES. • razvoj energijske funkcije za poljubno število medlinijskih regulatorjev pretokov moči (IPFC) poljubne strukture v EES; Medlinijski regulator pretokov moči (IPFC) je naprava FACTS z več serijskimi napetostnimi viri, ki lahko med seboj izmenjujejo delovno moč. Na podlagi razvitega injekcijskega modela IPFC je bila določena energijska funkcija te naprave za različne regulacijske strategije, ki jo lahko dodamo obstoječi SPEF za EES brez naprav FACTS. • razvoj energijske funkcije za poljubno število posplošenih univerzalnih prečnih transformatorjev (GUPFC) poljubne strukture v EES; Posplošen univerzalni prečni transformator vsebuje podobno kot naprava IPFC več serijskih napetostnih virov, poleg tega pa vsaj en paralelni tokovni vir. Energijska funkcija za napravo GUPFC je izpeljana iz injekcijskega modela te naprave, ki je enak vsoti posameznih naprav UPFC s skupno paralelno vejo. Energijska funkcija velja za model EES z ohranjeno strukturo. • razvoj energijskih funkcij za poljubno število naprav FACTS s hranilniki energije v EES; Energijske funkcije so izpeljane za univerzalni prečni transformator s hranilnikom energije (UPFC-ESS), statični kompenzator s hranilnikom energije (STATCOM-ESS) in statični serijski sinhronski kompenzator s hranilnikom energije (SSSC-ESS). Po izdelavi injekcijskih modelov teh naprav je podobno kot za naprave UPFC, IPFC in GUPFC določena energijska funkcija za model ESS z ohranjeno strukturo sistema za različne regulacijske strategije. • izpeljava metode upoštevanja odsekoma zveznih regulacijskih parametrov naprav FACTS pri določanju CCT z direktno metodo; Metoda razširja veljavnost energijskih funkcij, ki so bile razvite za regulacijske strategije s konstantnimi regulacijskimi parametri. Možnost uporabe energijskih funkcij razširi na odsekoma konstantne regulacijske parametre, s katerimi lahko aproksimiramo poljubno regulacijsko strategijo. Metoda je namenjena za ugotavljanje stabilnost EES s pomočjo direktne metode po načinu PEBS (angl. potential-energy boundary surface). • postopek za določanje regulacijske strategije naprav FACTS z več regulacijskimi parametri za dušenje sistema na podlagi ekstremnega gradienta energijske funkcije. Postopek določa regulacijsko strategijo naprav FACTS, ki daje najbolj negativno vrednost gradienta energijske funkcije, s čimer je po teoriji Ljapunova dušenje sistema največje. Pri tem upoštevamo energijsko funkcijo celotnega EES in parametre celotnega EES. Regulacijska strategija je s tem globalno optimalna. I Povzetek Naprave za krmiljenje pretokov moči v elektroenergetskem sistemu, ki jih označujemo tudi kot naprave FACTS, imajo glede na naraščajočo porabo, uvedbo trga električne energije in s tem povezano težnjo po vse večjih pretokih električne energije vedno večjo vlogo. Ker jih odlikuje velika hitrost odziva, lahko poleg povečanja zmogljivosti in regulacije pretokov delovnih in jalovih moči v EES s svojim vplivom bistveno spremenijo tudi dinamiko EES in s tem njegovo tranzientno stabilnost. Pri ugotavljanju dinamike EES, ki je matematično zahteven izračun z diferencialnimi enačbami, si lahko pomagamo z direktnimi metodami, pri katerih se uporabljajo energijske funkcije. V času, ko so razvijali direktne metode in ustrezne energijske funkcije, še niso poznali naprav FACTS, zato z njimi ne moremo dobro ocenjevati tranzientne stabilnosti EES, ki vsebujejo tovrstne naprave. S pojavom naprav FACTS so njihov vpliv na energijske funkcije za enostavnejše naprave FACTS že ugotovili, ostaja pa še nerešeno področje kombiniranih naprav FACTS, tj. naprav z več kot enim regulacijskim parametrom. Doktorska disertacija dopolnjuje to področje in določa vpliv kombiniranih tovrstnih naprav na energijske funkcije EES v obliki dodatnih členov k že znanim energijskim funkcijam EES. Te dodatne člene v energijskih funkcijah EES označujemo kot energijske funkcije posameznih naprav FACTS. Energijske funkcije so se v preteklosti izkazale za uporabne ne le za ugotavljanje tranzientne stabilnosti, temveč tudi za izdelavo regulacijskih strategij naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti. Zato smo za kombinirane naprave FACTS v okviru doktorske disertacije izdelali regulacijsko strategijo, ki temelji na energijski funkciji EES. Doktorska disertacija vsebuje energijske funkcije za napravi UPFC, IPFC in GUPFC ter za naprave s hranilnikom energije BESS-STATCOM, BESS-SSSC in BESS-UPFC. Energijske funkcije naprav FACTS smo določili za EES z ohranjeno strukturo sistema, kar omogoča upoštevanje poljubnega števila naprav v EES hkrati, poleg tega pa v primerjavi z reduciranim EES omogoča podrobnejše obravnavanje bremen in generatorjev. Pri določanju energijskih funkcij smo v prvem koraku sledili že znanim postopkom oblikovanja prvega integrala nihajnih enačb EES, drugi korak, ki je eden od prispevkov k znanosti te doktorske disertacije, pa je analitično reševanje tega integrala, ki je za vsako napravo FACTS drugačen in ga načeloma lahko določimo le s pomočjo intuicije. Energijske funkcije namreč ni mogoče določiti drugače kot intuitivno, saj – kot je znano iz literature – ni determinističnega postopka za določitev funkcij Ljapunova, med katere spadajo energijske funkcije EES. II Energijske funkcije naprav FACTS so odvisne od načina obratovanja posamezne naprave FACTS, tj. od regulacijske strategije naprave. Poleg tega za poljubno regulacijsko strategijo energijska funkcija ne obstaja vedno, temveč jo lahko določimo le za nekatere – po navadi konstantne – regulacijske parametre. Doktorska disertacija določa energijske funkcije naprav FACTS pri konstantnih regulacijskih parametrih. Pri napravah FACTS s hranilnikom energije smo energijsko funkcijo kot algebrajsko funkcijo lahko določili le, če je injicirana delovna moč naprave konstantna. Pri drugačni regulaciji delovne moči ostaja energijska funkcija delno v obliki integralskega zapisa. Možnost uporabe konstantnih regulacijskih parametrov smo razširi na odsekoma konstantne regulacijske parametre. S to razširitvijo postanejo energijske funkcije uporabne v direktnih metodah ugotavljanja tranzientne stabilnosti in za razvoj regulacijskih strategij naprav FACTS. Tu določena regulacijska strategija temelji na numeričnem odvajanju energijske funkcije in daje rezultate v obliki stopničastih oz. odsekoma konstantnih regulacijskih parametrov naprav FACTS. Ugotovili smo tesno povezanost energijske funkcije z jalovo energijo, ki jo naprava injicira v omrežje. Poleg tega smo ugotovili, da pri napravah FACTS s hranilnikom energije lahko njihovo injicirano delovno moč obravnavamo enako kot druga delovna bremena. Energijske funkcije EES s kombiniranimi napravami FACTS smo preverili in uporabili v direktnih metodah za ugotavljanje tranzientne stabilnosti, s katerimi smo določali kritične čase odstranitve motnje v testnem sistemu generator – toga mreža in v devetvozliščnem sistemu IEEE s tremi generatorji. Pravilnost energijskih funkcij smo preverili na testnem sistemu generator – toga mreža, pri katerem direktne metode zaradi ene same možne trajektorije sistema ob pravilnosti energijskih funkcij dajejo enake kritične čase odstranitve motnje, kot jih ugotovimo s ponavljanjem digitalne simulacije. V devetvozliščnem sistemu IEEE trajektorija sistema ni več enoumno določena, kljub temu pa se rezultati direktne in simulacijske metode dovolj dobro ujemajo, da ugotavljanje kritičnih časov odstranitve motnje po direktni metodi z energijskimi funkcijami lahko ocenimo kot uporabno. Predstavljena regulacijska strategija temelji na numeričnem iskanju najbolj negativnega odvoda energijske funkcije EES in v kratkih časovnih intervalih reda 10 ms daje optimalne konstantne regulacijske parametre. Regulacijska strategija velja za poljubno napravo FACTS in smo jo uspešno uporabili za izboljšanje stabilnosti EES v prvem nihaju ter za dušenje nadaljnjega nihanja. Regulacijsko strategijo smo uporabili pri napravah UPFC in IPFC, ki sta s stališča regulacije najbolj kompleksni. Za izboljšanje stabilnosti prvega nihaja se III regulacijski parametri ne spreminjajo bistveno – amplituda serijsko injicirane napetosti ostaja tako kot paralelni jalovi tok konstantna, medtem ko se kot serijsko injicirane napetosti spreminja počasi in glede na testne primere s konstantno vrednostjo v območju +/– 20o okrog optimalne vrednosti skoraj enako vpliva na stabilnost prvega nihaja. Pri dušenju nihanj rezultati regulacijske strategije kažejo veliko podobnost z iz literature poznanimi bang-bang strategijami, ki se pri serijskih napravah FACTS z regulabilnim kotom injicirane napetosti, kot sta npr. UPFC ali IPFC, kaže v hitrih spremembah tega kota za približno 180o. Na koncu podajamo energijske funkcije naprav FACTS v EES z ohranjeno strukturo omrežja za vse do zdaj znane naprave FACTS skupaj s kratkim opisom naprave in njene regulacijske strategije. Povzamemo lahko, da so tu določene energijske funkcije ustrezne in jih lahko praktično uporabimo pri direktnih metodah za ugotavljanje tranzientne stabilnosti in v regulacijskih strategijah naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti EES. IV V Abstract Flexible AC transmission systems (FACTS) devices might play an important role in increasing the amount of energy transported over the lines in deregulated electricity markets. Because FACTS devices can quickly change their parameters, they can also be used for oscillatory- and transient-stability enhancement, system reliability and controllability over the power flow for system operators. The transient-stability assessment of the electric-power system (EPS), which is a mathematically difficult task that includes the solving of a system of differential-algebraic equations, can be simplified by the use of direct methods that include energy functions. At the time when direct methods and proper energy functions for the EPS were developed, FACTS devices did not exist. Consequently, it was not possible to effectively apply direct methods for a transient-stability assessment in an EPS that incorporates FACTS devices. As FACTS devices became available, the energy functions of simple FACTS devices were established, but the field of multi-controllable FACTS devices, i.e., FACTS devices with more than one controllable parameter, is still unsolved. This doctoral thesis completes this field with the definition of the energy functions for multi-controllable FACTS devices in the form of additional terms to the existing energy function for an EPS. Energy functions proved to be useful not only in transient-stability assessment, but also in the control strategy of FACTS devices for transient-stability improvement. Consequently, for multi-controllable FACTS devices we developed a control strategy based on the energy function. This doctoral thesis contains the energy functions for UPFC, GUPFC, IPFC and for the FACTS devices with the battery-energy storage system BESS-STATCOM, BESS-SSSC and BESS-UPFC. We developed the energy functions for these FACTS devices in the structure-preserving framework, which allows more realistic representations of the power-system components, especially generators and load behaviors. Additionally, different kinds of FACTS devices can be considered in the structure-preserving frame at different points of the network simultaneously. In the construction of the energy functions in the first step we follow the well-known procedure of building the first integral of the EPS' swing equations. The second step that represents one of the contributions of this thesis is to solve the obtained integral analytically. This second step is unique for each of the FACTS devices, and can be found only intuitively, i.e., there is no deterministic procedure that exists to obtain the energy function and consequently the energy function has always to be found intuitively. VI The energy function for FACTS devices depends on the control strategy. Furthermore, the energy function cannot be found for any control strategy, but can be developed only for some simple—usually constant—controllable parameters. This thesis determines the energy functions for FACTS devices with constant controllable parameters. For FACTS devices with a battery energy-storage system the energy function can be analytically determined only if the injected active power is constant. For any other control strategy of these devices the energy function stays partially in the form of an integral. We generalized the application of constant controllable parameters to the sectional-constant parameters. Using this generalization, the energy functions become useful in direct methods for a transient-stability assessment and for the development of the control strategy of FACTS devices. The control strategy developed in this thesis is based on the numerical derivation of the energy function and gives the results in the form of sectional-constant controllable parameters. We established a strong correlation between the energy functions and the reactive power injected by the FACTS devices to the EPS. Additionally, we established that using the FACTS devices with the battery-energy storage system, their active power injections can be treated like any other active load. We verified the constructed energy functions for FACTS devices using direct methods for transient-stability assessment in the single-machine infinite-bus test system. As the trajectory of this system is uniformly given, the critical clearing times (CCTs) obtained using the direct method should be exactly the same as the CCTs established using the repetition of the time-domain simulations. The constructed energy functions were then used for transient-stability assessment in an IEEE nine-bus three-machine test system. Because the trajectory of this system is not uniformly given, the resulting CCTs obtained using the direct method do not necessarily equal the CCTs established by the simulation. Nevertheless, the resulting CCTs do not differ much, and consequently we can treat the direct methods for transient-stability assessment as useful. The presented control strategy is based on numerical searching of the highest negative value of the derivative of the EPS' energy function. In short time intervals (10 ms) it gives optimal, constant controllable parameters. The control strategy is valid for any of the FACTS devices and was successfully used for transient-stability improvement of the first swing and for damping of further power swings in the EPS. The use of the control strategy is presented for the case of a UPFC and an IPFC, which are from the controlling point of view the most complex. For the period of the first swing angles' propagation the control parameters do not VII change much: the amplitude of the series injected voltage and the parallel injected current remain constant, while the angle of the series injected voltage changes slowly and in the range of +/– 20o it has an almost equal effect on the transient stability of the first swing. In the damping of power swings the results of the control strategy show a similarity with the well-known bang-bang control strategies. This similarity is, in the case of the series FACTS devices with the controllable angle of series injected voltage, e.g., a UPFC or an IPFC, reflected in quick changes of this angle of about 180o. At the end we gathered the energy functions for all known FACTS devices in the structure-preserving framework together with a short description of each FACTS device and its control strategy. We can conclude that the energy functions developed in this thesis are suitable and can be successfully used in direct methods for transient-stability assessment and in the control strategies of FACTS devices for transient-stability improvement. VIII Kazalo IX Kazalo Povzetek ...................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... V Kazalo ...................................................................................................................................... IX Seznam uporabljenih simbolov in okrajšav ...................................................................... XIII Uvod ..................................................................................................... 1 1 Energijske funkcije EES ............................................................. 5 1.1 Tranzientna stabilnost ................................................................................................. 5 1.2 Teorem Ljapunova o stabilnosti ................................................................................. 5 1.3 Funkcija Ljapunova EES ............................................................................................ 9 1.3.1 Modeliranje EES ................................................................................................ 9 1.3.2 Izpeljava funkcije Ljapunova za EES ............................................................... 13 1.4 Uporaba energijske funkcije Ljapunova v direktni metodi ugotavljanja stabilnosti EES ........................................................................................................................... 17 2 Energijske funkcije naprav FACTS ......................................... 21 2.1 Univerzalni prečni transformator – UPFC ............................................................... 21 2.1.1 Prenosne karakteristike naprave UPFC ............................................................ 21 2.1.2 Energijska funkcija naprave UPFC .................................................................. 24 2.2 Medlinijski regulator pretokov moči – IPFC ............................................................ 29 2.2.1 Splošno o IPFC ................................................................................................. 29 2.2.2 Prenosne karakteristike posamezne veje IPFC ................................................. 30 2.2.3 Združitev posameznih vej IPFC ....................................................................... 32 2.2.4 Energijska funkcija IPFC ................................................................................. 34 2.3 Posplošen UPFC ....................................................................................................... 41 2.3.1 Prenosne karakteristike posplošenega UPFC-ja ............................................... 41 2.3.2 Energijska funkcija naprave GUPFC ............................................................... 42 2.4 STATCOM z baterijskim hranilnikom energije – BESS-STATCOM .................... 43 2.4.1 Prenosne karakteristike naprave BESS-STATCOM ........................................ 43 2.4.2 Energijska funkcija naprave BESS-STATCOM .............................................. 44 2.5 SSSC z baterijskim hranilnikom energije – BESS-SSSC ........................................ 47 X Kazalo 2.5.1 Prenosne karakteristike BESS-SSSC ............................................................... 47 2.5.2 Energijska funkcija BESS-SSSC ..................................................................... 48 2.6 UPFC z baterijskim hranilnikom energije – BESS-UPFC ...................................... 53 2.6.1 Prenosne karakteristike BESS-UPFC .............................................................. 53 2.6.2 Energijska funkcija BESS-UPFC ..................................................................... 55 3 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah ................................................... 57 3.1 Uvod ......................................................................................................................... 57 3.2 Simulacijska metoda ................................................................................................ 59 3.3 Direktna metoda ....................................................................................................... 61 3.4 Upoštevanje odsekoma konstantnih parametrov ..................................................... 63 3.5 Longitudinalni testni primer .................................................................................... 65 3.5.1 Naprava UPFC ................................................................................................. 66 3.5.2 Naprava IPFC ................................................................................................... 67 3.5.3 BESS-STATCOM ............................................................................................ 71 3.5.4 BESS-SSSC ..................................................................................................... 73 3.5.5 BESS-UPFC ..................................................................................................... 75 3.6 Devetvozliščni sistem IEEE ..................................................................................... 78 3.6.1 Naprava UPFC ................................................................................................. 80 3.6.2 Naprava IPFC ................................................................................................... 85 3.6.3 Naprava BESS-STATCOM ............................................................................. 88 3.6.4 Naprava BESS-SSSC ....................................................................................... 90 3.6.5 Naprava BESS-UPFC ...................................................................................... 95 4 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti .................................................................................... 99 4.1 Regulacijske strategije naprav FACTS .................................................................... 99 4.1.1 Povzetek do zdaj znanih regulacijskih strategij naprav FACTS ...................... 99 4.1.2 Nova regulacijska strategija naprav FACTS .................................................. 100 4.2 Izboljšanje stabilnosti prvega nihaja ...................................................................... 105 4.2.1 Regulacija naprave UPFC .............................................................................. 105 4.2.2 Regulacija naprave IPFC ............................................................................... 111 4.3 Dušenje nihanj ....................................................................................................... 115 4.3.1 Naprava UPFC ............................................................................................... 115 Kazalo XI 4.3.2 Naprava IPFC ................................................................................................. 123 4.4 Sklepne ugotovitve uporabe nove regulacijske strategije ...................................... 125 5 Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS ....................... 127 5.1 Uvod ....................................................................................................................... 127 5.2 Energijske funkcije naprav FACTS ........................................................................ 127 5.2.1 SVC ................................................................................................................ 127 5.2.2 CSC ................................................................................................................. 127 5.2.3 PST-PAR ........................................................................................................ 128 5.2.4 PST-QBT ........................................................................................................ 128 5.2.5 STATCOM ..................................................................................................... 129 5.2.6 BESS-STATCOM .......................................................................................... 129 5.2.7 SSSC ............................................................................................................... 129 5.2.8 BESS-SSSC .................................................................................................... 130 5.2.9 UPFC .............................................................................................................. 131 5.2.10 BESS-UPFC ................................................................................................... 131 5.2.11 GUPFC ........................................................................................................... 132 5.2.12 IPFC ................................................................................................................ 132 5.3 Povzetek ................................................................................................................. 133 6 Sklep .......................................................................................... 137 7 Izvirni prispevki doktorske disertacije .................................. 139 8 Literatura ................................................................................. 141 9 Priloge ....................................................................................... 145 9.1 Longitudinalni testni sistem SMIB ......................................................................... 145 9.1.1 Primer datoteke z napravo UPFC za določevanje CCT-jev po simulacijski metodi ............................................................................................................. 145 9.1.2 Primer datoteke z napravo UPFC za določevanje CCT-jev po direktni metodi ........................................................................................................................ 147 9.2 Devetvozliščni IEEE testni sistem s tremi generatorji ........................................... 152 9.2.1 Primer datoteke z dvema napravama UPFC na zbiralki 4 in 8 za določevanje CCT-jev po direktni metodi ............................................................................ 152 XII Kazalo 9.2.2 Primer datoteke z dvema napravama UPFC na zbiralki 4 in 8 za določevanje optimalnega kota za prvi nihaj ....................................................................... 157 XIII Seznam uporabljenih simbolov in okrajšav 1. Zapis simbolov – črtica pod simbolom označuje fazor ali kompleksno veličino ( U ); – krepko označen simbol označuje matriko ali vektor ( U ); – spremenljivke so zapisane v kurzivni pisavi ( I ). 2. Zapis uporabljenih okrajšav BESS BESS-SSSC BESS-STATCOM BESS-UPFC CCT COI CSC EES EPS FACTS HVDC IPFC PAR PEBS PST QBT baterijski hranilnik energije (battery energy storage system) SSSC z baterijskim hranilnikom energije STATCOM z baterijskim hranilnikom energije UPFC z baterijskim hranilnikom energije kritični čas odstranitve motnje (critical clearing time) center vztrajnostnih mas (center of inertia) regulabilna serijska kompenzacija (controlled series compensation) elektroenergetski sistem electric-power system naprave za krmiljenje pretokov moči v omrežju (flexible AC transmission system) enosmerni visokonapetostni prenos (high voltage DC transmission) medlinijski regulator pretokov moči (interline power flow controller) prečni transformator z enakima amplitudama vhodne in izhodne napetosti (phase angle regulator) meja potencialne energije, ki določa področje privlačenja stabilne ravnovesne točke (potential energy boundary surface) prečni transformator (phase-shifting transformer) prečni transformator s pravim kotom med fazorjema vhodne in injicirane napetosti (quadrature boosting transformer) XIV SMIB generator – toga mreža (single-machine infinite-bus) SPEF energijska funkcija za EES z ohranitvijo strukturo (structure- preserving energy function) SSSC statični sinhronski serijski kompenzator (static synchronous series compensation) STATCOM statični kompenzator (static compensator) SVC statični var kompenzator (static var compensator) UPFC univerzalni prečni transformator (unified power-flow controller) 3. Seznam pogosto uporabljenih simbolov B susceptanca D koeficient dušenja generatorja E fazor inducirane tranzientne napetosti za tranzientno reaktanco I fazor toka M vztrajnostna konstanta generatorja; P delovna moč Pm mehanska moč na osi generatorja PT serijsko injicirana delovna moč Q jalova moč U fazor napetosti UT amplituda serijsko injicirane napetosti V energijska funkcija Vcr kritična vrednost energijske funkcije Vk kinetični del energijske funkcije Vp potencialni del energijske funkcije X reaktanca Xd' tranzientna reaktanca generatorja ß kot med fazorjem napetosti priključne sponke in fazorjem toka naprave BESS- STATCOM XV 8 kot rotorja 4 vektor rotorskih kotov in kotov fazorjev vozliščnih napetosti omrežja; pT kot serijsko injicirane napetosti 6 kot fazorja vozliščne napetosti ca kotna hitrost generatorja XVI Uvod 1 Uvod Močnostna elektronika je s svojim razvojem in nižanjem cen vse bolj prisotna v elementih elektroenergetskih sistemov (EES). Njeni elementi se v funkciji hitro preklopljivih stikal uporabljajo večinoma kot pretvorniki med izmeničnim sistemom in vmesnim enosmernim sistemom. Vmesni enosmerni sistem je lahko kondenzator v sami napravi kot npr. pri nekaterih napravah FACTS (angl. flexible AC transmission systems), lahko pa tudi večji enosmerni sistem z enosmernim prenosnim vodom kot npr. podvodni kabel za povezavo otokov ali priključitev vetrnih elektrarn na morju ali enosmerni visokonapetostni prenos HVDC (angl. high voltage DC transmission) za prenos električne energije na velike razdalje. Poleg tega se v enosmerni sistem lahko vključijo hranilniki energije, ki lahko zagotavljajo neprekinjeno napajanje in izboljšujejo stabilnost EES. Kot posledica naraščajoče porabe in uvedbe trga električne energije se pojavlja težnja po vse večjih pretokih električne energije. To lahko pomeni potrebo po gradnji novih prenosnih zmogljivosti, kar je lahko glede na vse večje omejitve pri umestitvi elementov EES v prostor vse težje izvedljiva naloga. Alternativa gradnji novih daljnovodov je povečanje zmogljivosti elektroenergetskega omrežja z boljšo izrabo obstoječih elementov, za kar pa potrebujemo možnost dinamične regulacije pretokov moči po omrežju. To omogoča koncept naprav FACTS. Pri tem EES pogosteje obratuje blizu svojih naravnih meja prenosa, to pa nas privede med drugim do vprašanja stabilnosti EES. Ker naprave FACTS odlikuje velika hitrost odziva, lahko poleg povečanja zmogljivosti in regulacije pretokov delovnih in jalovih moči v omrežju vplivajo tudi na izboljšanje tranzientne stabilnosti. Sestavni del analize tranzientne stabilnosti je izračun kritičnega časa eliminacije motnje (angl. critical clearing time – CCT). CCT pomeni najdaljši čas trajanja motnje, po kateri vsi generatorji še ohranijo sinhronizem. Zaradi nelinearnosti sistema in velikega dinamičnega odstopanja od stacionarnega stanja ni mogoče uporabiti postopka linearizacije elementov EES, zato se tranzientna stabilnost najpogosteje ugotavlja z digitalno simulacijo EES. S tem se ugotovi stabilnost za vnaprej izbran čas odstranitve motnje, kar je lahko dolgotrajen proces, saj je potrebno ugibanje oz. poskušanje. V praksi se poleg tega postopka uporabljajo tudi direktne metode, katerih prednost je poleg velike hitrosti – potrebna je samo ena simulacija – tudi možnost izračuna raznih stabilnostnih indeksov, ki v splošnem izražajo oddaljenost obratovalne točke sistema od nestabilnosti. 2 Uvod Direktne metode temeljijo na energijskih funkcijah določenega EES. Natančnost izračuna CCT je v prvi vrsti odvisna od natančnosti energijske funkcije oziroma od stopnje poenostavitve sistema, ki se izvede v fazi določevanja energijske funkcije. V grobem delimo energijske funkcije na tiste, ki ohranijo strukturo EES, in tiste, ki zahtevajo njegovo redukcijo. Razvoj energijskih funkcij je doživel svoj vrhunec sredi osemdesetih let prejšnjega stoletja in se nadaljuje še danes. Z vključitvijo novih kombiniranih naprav FACTS v EES je treba energijske funkcije nadgraditi tako, da vsebujejo tudi vplive teh naprav FACTS na tranzientno stabilnost EES. V nasprotnem primeru so lahko rezultati izračunov s pomočjo direktnih metod daleč od realnosti. Doktorska disertacija obravnava področje uporabe direktnih metod v EES s kombiniranimi napravami FACTS in daje rešitve v obliki dodatnih členov k energijskim funkcijam splošnega EES z ohranitvijo strukture omrežja. Ti dodatni členi opisujejo delovanje naprav FACTS glede na izbrano regulacijsko strategijo. Pri tem z izrazom kombinirane naprave FACTS označujemo tiste naprave FACTS, ki imajo več kot en regulacijski parameter. V literaturi so že ugotovljeni prispevki nekaterih naprav FACTS v energijskih funkcijah EES, kot sledi v nadaljevanju. V energijskih funkcijah z ohranitvijo strukture sistema (angl. structure preserving energy function – SPEF) so v [1], [2] in [3] podani prispevki za statični var kompenzator (angl. static var compensator – SVC), v [3] za regulabilno serijsko kompenzacijo (angl. controllable series compensation – CSC), v [4] za statični kompenzator (angl. static compensator – STATCOM), statični sinhronski serijski kompenzator (angl. static synchronous series compensator – SSSC) ter prečna transformatorja tipa PAR (angl. phase angle regulator) in QBT (angl. quadratuer boosting transformer). V energijskih funkcijah reduciranega sistema SMIB (angl. single-machine infinite-bus) je poleg naštetih naprav v [3] podan prispevek za univerzalni prečni transformator (angl. unified power flow controller – UPFC). Vprašanje vključitve kombiniranih naprav – tj. naprav, ki imajo več kot en regulacijski parameter – v sistemu z ohranjeno strukturo še ni rešeno. Odgovor na to vprašanje daje ta doktorska disertacija. Vsebina doktorske naloge definira prispevke kombiniranih naprav FACTS v energijskih funkcijah z ohranitvijo strukture sistema (SPEF) za naslednje naprave: • univerzalni prečni transformator – UPFC (angl. unified power flow controller), Uvod 3 • medlinijski regulator pretokov moči – IPFC (angl. interline power flow controller), • posplošeni univerzalni prečni transformator – GUPFC (angl. generalized UPFC), • naprave z baterijskim hranilnikom energije BESS (angl. battery energy storage system): BESS-STATCOM, BESS-SSSC in BESS-UPFC. Nove energijske funkcije bodo tipa SPEF, zato bo možna povezava z drugimi SPEF, npr. takimi, ki omogočajo obravnavanje natančno modeliranih generatorjev. Ker bo zagotovljena univerzalnost novih SPEF, jih bo mogoče uporabiti v katerem koli EES s poljubnim številom naprav FACTS. Na novo definirane energijske funkcije smo poleg uporabe v direktnih metodah za ugotavljanje tranzientne stabilnosti uporabili tudi za izdelavo regulacijskih strategij kombiniranih naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnost EES. Izboljšanje tranzientne stabilnosti pomeni povečanje CCT za stabilnost prvega nihaja in povečanje dušenja nadaljnjih nihanj. Regulacijsko strategijo smo prikazali na napravah UPFC in IPFC. Poleg tega doktorska naloga povzema tudi že ugotovljene prispevke v energijskih funkcijah za naprave FACTS iz različne literature in tako pomeni sklenjeno enoto večine naprav FACTS v energijskih funkcijah EES. Potek dela V prvem poglavju smo predstavili teorijo direktne metode Ljapunova in njeno uporabo v EES. V tem poglavju smo izpeljali energijsko funkcijo EES z ohranjeno strukturo sistema brez naprav FACTS in predstavili njeno uporabo v direktni metodi za ugotavljanje tranzientne stabilnosti. V drugem poglavju smo opisali karakteristike naprav UPFC, IPFC, BESS-STATCOM, BESS-SSSC in BESS-UPFC, njihove injekcijske modele in določili energijske funkcije teh naprav. V tretjem poglavju smo opisali postopek ugotavljanja kritičnega časa odstranitve motnje po simulacijski in direktni metodi. Tu smo določili postopek upoštevanja odsekoma konstantnih 4 Uvod parametrov naprav FACTS v direktni metodi. To poglavje vsebuje numerične primere ugotavljanja kritičnih časov odstranitve motnje po simulacijski in direktni metodi pri različnih vrednostih regulacijskih parametrov naprav FACTS v testnih sistemih generator – toga mreža in v devetvozliščnem sistemu IEEE s tremi generatorji. V četrtem poglavju smo definirali regulacijsko strategijo naprav FACTS, ki temelji na energijski funkciji EES s temi napravami. V tem poglavju smo prikazali izboljšanje stabilnosti prvega nihaja in dušenja nadaljnjih nihanjih z napravami UPFC in IPFC v testnih sistemih generator – toga mreža in v devetvozliščnem sistemu IEEE. V petem poglavju smo v razpredelnici na enem mestu prikazali energijske funkcije naprav FACTS v EES z ohranjeno strukturo omrežja za vse do zdaj poznane naprave FACTS skupaj s kratkim opisom naprave in njene regulacijske strategije. V šestem poglavju, tj. v sklepu, smo povzeli bistvene ugotovitve doktorske disertacije. V zadnjih treh poglavjih smo podali izvirne prispevke doktorske disertacije, uporabljeno literaturo in priloge, ki vsebujejo značilne primere datotek iz programskega okolja Mathematica. Energijske funkcije EES 5 1 Energijske funkcije EES 1.1 Tranzientna stabilnost Izraz tranzientna ali prehodna stabilnost se nanaša na stabilnost kotov rotorjev ob velikih motnjah v EES kot npr. kratki stik na vodu. Odziv sistema je velika sprememba kotov rotorjev posameznih generatorjev, ki so nelinearno odvisni od električne moči generatorjev. Tranzientna stabilnost je odvisna od velikosti motnje in izhodiščnega stanja EES. Nestabilnost ima po navadi obliko neperiodične odcepitve generatorja zaradi premajhnega sinhronizacijskega navora in se kaže kot nestabilnost prvega nihaja (angl. first swing instability). Poleg tega se v velikih EES lahko tranzientna nestabilnost pojavi ne le kot nestabilnost prvega nihaja, temveč tudi kot posledica hkratnega pojava nihanja med posameznimi območji EES (angl. interarea mode oscillations) in nihanja posameznega generatorja (angl. local plant mode oscillations) [5]. Časovni okvir proučevanja tranzientne stabilnosti je po navadi med 3 in 5 sekundami, ki se pri zelo velikih sistemih in nihanjih med posameznimi območji lahko podaljša na 10 do 20 sekund. V literaturi se pojavlja tudi izraz dinamična stabilnost (angl. dyinamic stability), ki se nanaša na stabilnost kotov rotorjev. Vendar izraz dinamična stabilnost avtorji uporabljajo za različne pojave. V severnoameriški literaturi so ga avtorji največkrat uporabljali za prehodne pojave pri majhnih motnjah (angl. small-disturbance stability ali small-signal stability) ob prisotnosti avtomatske regulacije vzbujanja generatorjev kot razloček k statični stabilnosti (angl. steady-state stability) brez regulacije generatorjev. V evropski literaturi so avtorji izraz dinamična stabilnost največkrat uporabljali za tranzientno stabilnost. Zaradi zmede, ki je večkrat nastala zaradi uporabe izraza dinamična stabilnost, avtorji v [5] odsvetujejo njegovo uporabo. 1.2 Teorem Ljapunova o stabilnosti Sistem, kakršen je EES, lahko po [6] v splošnem zapišemo kot niz nelinearnih diferencialnih enačb: 6 Energijske funkcije EES x = /(x) (1.1) kjer je x vektor spremenljivk stanja, x njegov odvod in/odvedljiva funkcija spremenljivk stanja x. Spremenljivke stanja v EES so fazorji napetosti v vozliščih EES ter koti rotorjev in hitrost oddaljevanja rotorjev od sinhrone osi. Enačbo (1.1) za EES zapišemo kot sistem enačb (1.5) in (1.6). Regulacija posameznih elementov EES v (1.1) ni posebej omenjena, ker je vsaka regulacija u vnaprej določena funkcija spremenljivk stanja x, tj. u(x), in zapis f(x,u(x)) ni potreben. Splošno definicijo stabilnosti podajamo v nadaljevanju. Definicija: Ravnovesna točka x ^ sistema (1.1), za katero velja /(x ^) = 0 je: • stabilna, če za vsak s > 0 obstaja tak 5 = S(s,t0) > 0, da: \\x(t0 )\\ |x()| < s, V t > t0 > 0 (1.2) Slika 1.1 prikazuje trajektorijo sistema x(t) v okolici stabilne ravnovesne točke v prostoru spremenljivk stanja x g R2, tj. v dvodimenzionalnem prostoru realnih spremenljivk. Če je začetna točka trajektorije znotraj kroga s polmerom 5, potem trajektorija sistema x(t) ves čas t > t0 leži znotraj cilindra s polmerom s. s Slika 1.1: Definicija stabilnosti sistema • nestabilna, če ni stabilna; • asimptotično stabilna, če je stabilna in se poleg tega trajektorija sistema x(t) vrne v ravnovesno točko, ko gre t —» oo. Energijske funkcije EES 7 Klasični način ugotavljanja stabilnosti je računanje trajektorije sistema x(t) z numeričnim reševanjem diferencialnih enačb (1.1) korak po koraku. Na ta način za vnaprej določen čas odstranitve motnje tcl ugotovimo potek trajektorije ter glede na potek kotov in hitrosti generatorjev določimo, ali sistem ohrani stabilnost ali ne. S ponavljanjem računanja trajektorije pri različnih časih odstranitve motnje tcl ugotovimo kritični čas odstranitve motnje tcr (angl. Critical Clearing Time - CCT ). Ta način ugotavljanja CCT-jev v nadaljevanju označujemo kot simulacijska metoda. A. M. Ljapunov je že leta 1892 pokazal, da stabilnost sistema, zapisanega kot (1.1), lahko ugotovimo brez reševanja diferencialnih enačb. Metoda temelji na konstrukciji skalarne funkcije V(x), definirane v prostoru spremenljivk stanja sistema. Metoda je postala znana kot direktna metoda ugotavljanja stabilnosti sistemov. Glavni problem direktne metode je najti primerno skalarno funkcijo V(x). Teorem Ljapunova o stabilnosti: Ravnovesna točka x ^ sistema (1.1), za katero velja f(x ^) = 0, je: • stabilna, če obstaja zvezno odvedljiva pozitivno definitna funkcija V(x), tako da je njen odvod po času manjši ali enak nič (V(x) < 0) in ima stabilno ravnovesno točko v isti točki, kot jo ima sistem po odstranitvi motnje; • asimptotično stabilna, če je stabilna in je poleg tega V(x) < 0 . Skalarna funkcija V(x), ki zadostuje zgoraj navedenim pogojem za stabilnost ali asimptotično stabilnost, imenujemo funkcijo Ljapunova. Teorem Ljapunova ne govori o tem, kdaj je ravnovesna točka x ^ nestabilna, kajti pogoj za stabilnost po tem teoremu je zadosten, ne pa tudi potreben. Če funkcija V(x), ki je kandidat za funkcijo Ljapunova (angl. Lyapunov function candidate), ne zadosti pogojem teorema Ljapunova, ne pomeni, da ravnovesna točka x ^ ni stabilna ali asimptotično stabilna. Pomeni le, da s funkcijo V(x) ne moremo ugotoviti stabilnosti ali asimptotične stabilnosti. Ko je ravnovesna točka x ^ asimptotično stabilna, nas pogosto zanima, koliko proč od te točke x ^ je lahko trajektorija x(t), da bo še konvergirala proti x ^, ko gre t proti qo. To nas vodi k definiciji območja privlačenja (angl. region of attraction). Naj bo (t;x0) rešitev (1.1), ki ima izhodišče x0 v času t = 0. Potem je območje privlačenja definirano kot množica vseh x0, za 8 Energijske funkcije EES katere velja lim^ (;x0) = 0. Analitično najti točno območje privlačenja je težko ali celo nemogoče. Lahko pa s pomočjo funkcije Ljapunova ocenimo območje privlačnosti, tj. poiščemo neko območje ali podmnožico, ki jo območje privlačnosti kot množica prej določenih x0 vsebuje. Če funkcija Ljapunova V(x) zadosti pogojem za asimptotično stabilnost in če obstaja območje Qc = {V(x) < c}, ki je omejeno, potem vsaka trajektorija z začetkom v Qc ostane v območju Qc, ko gre t -> oo. Tako območje Qc pomeni oceno območja privlačnosti. Ta ocena območja privlačnosti je lahko precej konservativna, kar pomeni, da je ocenjeno območje privlačnosti lahko precej manjše od dejanskega območja privlačenja. Največjo vrednost skalarne funkcije F(x), pri kateri je območje Qc še omejeno, označimo kot kritično vrednost Vcr. Direktna metoda ugotavljanja stabilnosti sistema temelji na iskanju kritičnega časa tcr, ko vrednost skalarne funkcije F(x), računane po trajektoriji sistema x(t), doseže kritično vrednost Vcr. Sistem (1.1) ima lahko več funkcij Ljapunova F(x), ki dajejo različno oceno območja privlačenja. Dobra funkcija Ljapunova je tista, ki daje največjo oceno območja stabilnosti in je s tem najbližje dejanskemu območju privlačnosti. Običajno imajo dobre funkcije Ljapunova fizikalni pomen [7] in opisujejo npr. energijo sistema. Energijske funkcije EES 9 1.3 Funkcija Ljapunova EES Uporaba teorije Ljapunova v EES je doživela svoj razcvet v zadnjih treh desetletjih prejšnjega stoletja. Različni avtorji so raziskovali možnosti njene uporabe za ugotavljanje tranzientne stabilnosti EES in za regulacijo posameznih elementov v EES. Ključni elementi raziskovanja uporabe teorije Ljapunova so bili osredotočeni na iskanje ustreznih funkcij Ljapunova, na določevanje čimbolj točnih oz. realističnih območji stabilnosti – področij privlačenja in na upoštevanje čim bolj natančnih modelov omrežja. V tej doktorski disertaciji določene energijske funkcije kombiniranih naprav FACTS temeljijo na energijski funkciji EES z ohranjeno strukturo omrežja, ki je določena kot prvi integral nihajnih enačb in je bila predstavljena v [8]. Povzetek izpeljave te energijske funkcije podajamo v nadaljevanju. 1.3.1 Modeliranje EES Za potrebe tranzientne stabilnosti smo sistem modelirali z upoštevanjem teh predpostavk: 1. Mehanska moč generatorjev je konstantna. 2. Dušenje sistema zanemarimo. 3. Sinhronski generatorji so predstavljeni klasično, tj. kot konstantna napetost za tranzientno reaktanco. 4. Mehanski kot rotorja generatorja je enak kotu napetosti za tranzientno reaktanco. 5. Bremena so predstavljena kot konstantne moči ali kot konstantne impedance. Predpostavko 2 v določenih primerih lahko izboljšamo tako, da predpostavimo dušenje sistema, ki je linearno odvisno od hitrosti oddaljevanja rotorja generatorja od sinhronske osi. Koeficient dušenja sistema D pri tem obsega različna dušenja, mehanska in električna. V nadaljevanju hitrost oddaljevanja rotorja generatorja od sinhronske osi poenostavljeno označujemo kot hitrost rotorja, ki je pravzaprav razlika kotne hitrosti vrtenja rotorja glede na kotno hitrost vrtenja sinhronske osi. Predpostavka 5 glede bremen je upoštevana zaradi pripravnosti. Obnašanje bremen je na splošno dinamično, saj po navadi ni povsem natančno znano in se giblje nekje med 10 Energijske funkcije EES konstantno impedanco in konstantno močjo. Način upoštevanja bremen lahko občutno vpliva na rezultate analize stabilnosti. Shemo EES z m generatorji in n bremenskimi vozlišči prikazuje slika 1.2. Konstantne amplitude napetosti E1, E2, …, E m so izračunane na podlagi stacionarnih razmer v omrežju pred pojavom motnje na podlagi pretokov moči. EES na sliki 1.2 je popolnoma opisan s temi spremenljivkami [8]: • m rotorskih kotov &,&, …, 5m • m rotorskih hitrosti au a2, …, com ; pri tem velja: uoi = 6i • m konstantnih amplitud napetosti E1, E2, …, Em • n amplitud napetosti bremenskih vozlišč Um+1, Um+2, …, Um+n • n kotov napetosti bremenskih vozlišč 0m+1, 6m+2, …, 6m+n Pm+1 + j Q m+1 m+1 Slika 1.2: Shema EES z m generatorji in n bremenskimi vozlišči Zaradi lažjega nadaljnjega opisovanja EES poenotimo označevanje kotov s simbolom ? in označevanje vseh napetosti, generatorskih in drugih, s simbolom U. Skupni vektor kotov ? zapišemo kot: Energijske funkcije EES 11 d> = U =5,,...,d> =5 ,d> „ = 6 ,...,d> =6 f t |_V1 1 Vm flirml1 m+1 r m+n m+n J (1.3) Koti ^1 do 4m so koti m rotorjev <5i do 4m in koti (pm+1 do #m+n koti napetosti n bremenskih vozlišč 6m +1 do 6m+n. Podobno zapišemo skupni vektor napetosti U kot: U = \U = E,...,Um=Em,Um+,...,UmT |_ 1 1 1 +n] (1.4) Napetosti U 1 do Um so inducirane napetosti m generatorjev E 1 do Em in napetosti Um+1 do Um+n napetosti n bremenskih vozlišč Um+1 do Um+n. Zaradi lažjega zapisovanja razlike med posameznimi koti uporabimo zapis $ij = $ - $. Model EES na sliki 1.2 z ohranjeno strukturo sistema zapišemo s temi diferencialnimi in algebrajskimi enačbami: k = ®i ; i = 1 … m (1.5) Mi i=P m i-ZBijUiUjsin(4) ; j=1 i = 1 … m (1.6) Pi (Ui) = -LBijUiUj sin(^) j=1 i = m+1 … m+n (1.7) j=1 i = m+1 … m+n (1.8) Pri tem je: • M vztrajnostna konstanta generatorja; • P m i mehanska moč, ki se prenaša na os generatorja in jo upoštevamo kot konstantno v obdobju tranzientnega pojava; • Bij susceptanca med vozliščema i in j. Pri tem velja, da je Bii vsota vseh susceptanc med vozliščem i in sosednjimi vozlišči: Bii = LBi ii ij j=1 j*i • Pi(Ui) delovna moč bremena, ki je odvisna od napetosti priključnega vozlišča Ui • Qi(Ui) jalova moč bremena, ki je odvisna od napetosti priključnega vozlišča Ui 12 Energijske funkcije EES Diferencialne enačbe, ki jih konstruiramo na podlagi (1.5) in (1.6), so nihajne enačbe sistema (angl. swing equations), na katere se nanaša teorija Ljapunova in smo jih v splošnem zapisali kot (1.1). Vendar samo nihajne enačbe sistema ne zadostujejo, ker sta napetosti Ui in Uj odvisni od pretokov moči v omrežju, kar se matematično kaže v tem, da na podlagi (1.5) in (1.6) dobimo 2m enačb, spremenljivk pa je 2(m+n). Zato za popoln opis EES potrebujemo še 2n enačb pretokov moči, ki jih konstruiramo na podlagi (1.7) in (1.8). Pri tem naj omenimo, da z (1.7) in (1.8) zajamemo vsa vozlišča EES razen generatorskih, torej tudi tista, ki nimajo priključenih bremen in so vmesna vozlišča prenosnega sistema, ki definirajo njegovo strukturo. Za lažje razumevanje naj še poudarimo, da se indeksi i v (1.5) in (1.6) nanašajo na generatorska vozlišča, medtem ko se v (1.7) in (1.8) nanašajo na vsa druga vozlišča EES. S tem vsote v (1.6) in (1.7) ne moremo enačiti. Tu naj prikažemo transformacijo nihajnih enačb na fiktivno točko centra vztrajnostnih mas EES (angl. Center Of Inertia – COI). Transformacija je potrebna pri iskanju in uporabi funkcije Ljapunova, medtem ko pri numeričnem reševanju spremeni obliko zapisa trajektorije in s tem nazorneje prikaže stabilnost ali stopnjo dušenja posameznih generatorjev. Transformacijo definirajo te enačbe [8]: Mt=YjMi (1.9) i=1 1 m T i=1 ^COI=ZMA (1.10) 1 m M T i=1 ®COI=—ZM^i (112) T i=1 1 m ®COI=-----ZM^ (113) M T i=1 Kote rotorjev in kote napetosti vozlišč označimo s COI kot: Li = Li -^COI ; i = 1 ... m $=$-čCOI=^ i i COI (1.14) 6i=6i-8COI ; i = m + 1 ... m + n m Energijske funkcije EES 13 Odvode kotov oz. hitrosti rotorjev s COI označimo kot: 4>i=i-š< i i COI ©,-=©,¦-©COI ; fy - @i ~ sCOI ; i = 1 ... zzz z = m + 1 ... m + n (1.15) Moč centra vztrajnostnih mas definiramo kot: PCOIr=MT^r (1.16) S COI izražene enačbe EES (1.5) do (1.8) zapišemo kot: $ = ®,- M j=1 1V1T Z = 1 … zw i = 1 … m (1.17) (1.18) i? (L/,.) = -L #y¦L/,-L/,- sin(4) ; ;=1 Q(^) = ZWf/;cos(4) ; ;=1 1.3.2 Izpeljava funkcije Ljapunova za EES z = zzz+1 … zzz+zz z = zzz+1 … zzz+zz (1.19) (1.20) Osnovni pogoj za uporabo direktne metode Ljapunova je konstrukcija primerne funkcije Ljapunova, ki predstavlja EES z nizom algebrajskih enačb. V preteklosti so uspeli skonstruirati več različnih funkcij Ljapunova, vendar se je kot edina uporabna izkazala funkcija, ki predstavlja sistem kot vsoto kinetične in potencialne energije po odpravi motnje [9]. Tako je funkcija Ljapunova hkrati energijska funkcija EES, ki jo dobimo z integriranjem nelinearnih diferencialnih enačb sistema. Izpeljavo funkcije Ljapunova EES, predstavljenega v prejšnjem poglavju, povzemamo po [8] in [10]. Funkcijo Ljapunova dobimo kot prvi integral enačb EES (1.17) do (1.20), ki jih preoblikujemo po naslednjem postopku. Najprej (1.20) delimo z napetostjo U, in množimo z odvodom napetosti Ut in seštejemo po vseh 14 Energijske funkcije EES vozliščih. Pri tem upoštevamo, da je Ut v generatorskih vozliščih enak 0, ker smo generatorje definirali kot konstantne napetosti za tranzientno reaktanco. m+n /~\ (T T ) m+n m+n m+n Y, ^^¦ul = Y, BnUp, + L YiBAuj cos(4) (1.21) i=m+1 ^ j i=m+1 i=m+1 j=1 V zadnjem delu izraza (1.21) se par (iJ) vedno pojavlja dvakrat, zato ga lahko z drugačno določitvijo indeksov / ni j v vsoti izrazimo tako, da se pojavi samo enkrat: m+n /~\ (T J ) m+n m+n-1 m+n L wVi u. = L BnUiU1 +Yj HBv fa17; + u,Uj) cos(4) (1.22) i=m+1 ^ j i=m+1 i=m+1 j=i+1 Nadalje izraz (1.18) pomnožimo z &t = }t, seštejemo po m generatorskih vozliščih in glede na [8] upoštevamo, da je JTi> m COI — 0 : i=1 m mm m+n i=1 z=1 i=1 j=1 Podobno izraz (1.19) pomnožimo z ,. in seštejemo po vseh n omrežnih vozliščih: m+n m+n L W^-XZW^H (1.24) i=m+1 i=m+1 j=1 Izraza (1.23) in (1.24) seštejemo in podobno kot v izrazu (1.22) vsoto zapišemo tako, da se par (iJ) pojavi samo enkrat: m m+n . m . m+n-1 m+n / . . \ i=1 i=m+1 i=1 i=1 ]=i+1 Izraza (1.25) in (1.22) seštejemo: Energijske funkcije EES 15 m m+n . m+n /~\ (T J ) YMpA + Z m)t+ Z ^jtu, z=1 i=m+1 i=m+1 ^ j m+n-1 m+n L, mJt + l, 2. v i ;sin14r|^ h (126) 2=1 j 2=1 j=i+1 m+n m+n-1 m+n Z W, - Z Z Bv (Upj+Ufijcos(f) i=m+1 i=m+1 j=i+1 0 Izraz (1.26) je seštevek preoblikovanih enačb EES (1.17) do (1.20). Prvi integral izraza (1.26) po času je funkcija Ljapunova EES, ki jo želimo poiskati. Integrale posameznih členov (1.26) poskušamo določiti analitično. Za člene, ki ne vsebujejo delovnih ali jalovih bremeni3, ali Qt, integral določimo brez težav. Člena, ki vsebujeta delovna ali jalova bremena P, ali Qt, pa obravnavamo glede na definicijo posameznega bremena. Ob upoštevanju, da so M, Pmi in Btj konstante in da je izraz L/,.L/, cos(^.), odvajan per-partes, po času enak U1U] cos (4) + U1U] cos (4) + U1U] sin (^) • 4, lahko integral izraza (1.26) zapišemo kot: 1rn m m+n-1 m+n m+n -ZM^ 2 -Z«+ z SW^KZ122 2 i=1 i=1 i=1 j=i+1 i=m+1 m+n m+n /~\ (T J ) +jZ^(^)-^+jZ^^^+i: (1.27) i=m+1 i=m+1 ^ j = 0 Zadnja dva člena (1.27) obravnavamo glede na 5. predpostavko iz poglavja 1.3.1, kjer smo predpostavili bremena kot konstantne moči ali kot konstantne impedance. Tako je člen izraza (1.27), ki vsebuje delovna bremena P, analitično rešljiv le, če je delovna moč P, konstantna, medtem ko je člen, ki vsebuje jalova bremena Q, analitično rešljiv, če je jalova moč Q, konstantna ali kvadratno sorazmerna napetosti, tj. predstavljena kot konstantna impedanca. Ob predpostavki, da je P, konstantna in Q =Bbreme-U12 , pri čemer je 5breme konstantna susceptanca bremena, lahko izraz (1.27) zapišemo kot: 1rn m m+n-1 m+n m+n -ZM^-Z«+ Z XWc4) - 122 2 i=1 i=1 i=1 j=i+1 i=m+1 m+n 1 m+n + L P, ¦ 4> + ~ Z ^breme^2 + K (1 28) i=m+1 2 i=m+1 = 0 16 Energijske funkcije EES Izraz (1.28) je funkcija Ljapunova EES in jo v lahko zapišemo kot: v(&,b\j) = Vk(&) + Vp(,U ) v najnižji sedelni točki na meji stabilnosti. Slabost te 18 Energijske funkcije EES metode je, da po navadi daje preveč pesimistične rezultate, poleg tega pa je treba poiskati vrednosti funkcije V (ra,,u) v vseh sedelnih točkah EES. b) Druga možnost določitve kritične vrednosti Vcr je, da jo določimo kot vrednost funkcije V (ra,(j),u) v sedelni točki, ki je najbližja trajektoriji sistema med motnjo. To je zahteven računski postopek, lahko pa uporabimo digitalno simulacijo, kar nas privede do hibridnih metod ugotavljanja stabilnosti, pri katerih se kombinirajo direktne metode in digitalna simulacija. c) Pri naših izračunih bomo uporabili metodo, ki kritično vrednost Vcr določi kot vrednost V (ra,(j),u) v točki, v kateri kroglica prečka mejo stabilnosti, če motnje ne odpravimo. Ta metoda je v literaturi predstavljena kot metoda PEBS (angl. potential energy boundary surface) in daje dobre rezultate, če se trajektorija kritično odstranjene motnje dobro prilega trajektoriji sistema z motnjo. Prednost te metode je v enostavnosti izračuna vrednosti Vcr. Slika 1.3: Kroglica na površini potencialne energije Stabilnost EES se s pomočjo direktne metode in energijske funkcije Ljapunova ugotavlja po teh korakih: Energijske funkcije EES 19 a) Izračun stacionarne ravnovesne točke EES, tj. izračun vseh napetosti (1.4) in kotov (1.3). b) Določitev energijske funkcije Ljapunova V (ra, |,u) . c) Izračun kritične vrednosti Vcr. Po metodi PEBS to vrednost določimo z numeričnim integriranjem nihajnih enačb (1.17) do (1.20) okvarjenega sistema (sistema z motnjo), dokler potencialna energija Vp (1.31), ki se računa za sistem brez motnje, ne doseže maksimalne vrednosti Vpmax. Ta vrednost je obenem tudi kritična vrednost Vcr. d) Iskanje kritičnega časa odstranitve motnje tcr, ki pomeni čas, ko je vrednost energijske funkcije V (ra,,u) = Vcr na trajektoriji okvarjenega sistema. Trajektorijo okvarjenega sistema smo določili že v koraku c) pri iskanju kritične vrednosti Vcr. Ker s pomočjo direktne metode stabilnost EES ugotavljamo analitično, lahko s to metodo tudi ocenimo oddaljenost trenutnega stanja sistema od meje stabilnega območja. 20 Energijske funkcije EES Energijske funkcije naprav FACTS 21 2 Energijske funkcije naprav FACTS 2.1 Univerzalni prečni transformator – UPFC 2.1.1 Prenosne karakteristike naprave UPFC Za lažje razumevanje delovanja na kratko opišimo osnovne lastnosti naprave UPFC, ki so pomembne za nadaljnje izpeljave. Za sistem brez upoštevanja izgub UPFC lahko opišemo kot serijsko vezan napetostni vir z reaktanco XTRS in paralelno priključenim tokovnim virom. Shemo in model naprave, nameščene med zbiralki i in j, ter diagram fazorjev napetosti in tokov prikazuje slika 2.1 (a-c). Tok IT je v fazi z Ui in predstavlja izmenjavo delovne moči med serijsko in paralelno vejo naprave UPFC. Iq predstavlja jalovi tok paralelne veje in je v večjem delu operacijskega območja neodvisen od velikosti napetosti Ui. Regulabilni parametri so UT, pT in Iq, medtem ko je IT odvisen od injicirane delovne moči v serijski veji. UT predstavlja velikost injicirane napetosti UT, medtem ko pT predstavlja kot injicirane napetosti UT glede na napetost zbiralke Ui. Injekcijski model serijske veje naprave UPFC je predstavljen v [13]. Je enak splošnemu injekcijskemu modelu statičnega sinhronskega serijskega kompenzatorja (angl. Static Synchronous Series Compensator - SSSC). Dodamo še jalovi tok paralelne veje in po nekaj matematičnih operacijah dobimo izraze za injekcijski model naprave UPFC. Psi UU X sin(^>T) + Ui -IT (2.1) TRS P j =------------sin 10.j + cpT) X TRS (2.2) Qsi= Ui U T cos(^T)+Ui-Iq X TRS (2.3) Qs -----------cos X {eijJ+(pT) TRS (2.4) kjer je 9i}= 0i – zglede na sliko 2.1. _ 22 Energijske funkcije naprav FACTS k lq + LT paralelni pretvornik serijski pretvornik U dc a) i l___< T i l___ j | X TRS /. ¦qyt y-T b) c) Uil3. Pij + jQij jxT Psi + jQsi ujI3 pp +JQfi si si Psj+ jQsj d) Slika 2.1: a) shema UPFC b) model UPFC c) diagram fazorjev napetosti d) injekcijski model UPFC Energijske funkcije naprav FACTS 23 V nadaljevanju zamenjamo izraz za delovno moč paralelne veje z delovno močjo serijske veje. Ta delovna moč je enaka realnemu delu skalarnega produkta fazorjev serijske injicirane napetosti UT in konjugirane vrednosti toka serijske veje Ij. t/../T=Re[t/T-/*] (2.5) Tok Ij lahko označimo kot: V j trs y (2.6) Velikost in kot napetosti Ui’ lahko označimo kot: •cos(^T)) +(f/T-sin(^T)) (2.7) arg (L/'. ) = 0t+ arctan UT -sin(^»T) Ui + UT ¦ sin {cpT ) (2.8) Po nekaj algebrajskih operacijah lahko delovno moč paralelne veje zapišemo kot: L/•/ UjUT X sin K + ^T) UU iT TRS X sin M TRS (2.9) Na podlagi (2.9) lahko zapišemo delovno moč injekcijskega modela naprave UPFC kot: Psl=^sin(0i]+(pT) = -Ps] y (2.10) Enačbe (2.5) do (2.10) prikazujejo analitično metodo potrjevanja enakosti delovnih moči injekcijskega modela naprave UPFC (Psi = –Psj). Naj tu omenimo večkrat napačno predstavljen model naprave UPFC, ki ga v svojih raziskavah uporabljajo različni avtorji, kot npr. v [13], [14], [15]. V teh modelih je amplituda injicirane I 24 Energijske funkcije naprav FACTS serijske napetosti UT definirana kot linearno odvisna od amplitude napetosti priključne sponke U,. UT=r-U, (2.11) Enačba (2.10) velja za naprave, pri katerih je serijska veja pasivni element, kot npr. pri CSC in pri klasičnih prečnih transformatorjih, in je serijsko injicirana napetost sorazmerna napetosti U,. Posledično je pri teh napravah regulacijski parameter lahko r. Pri obravnavi naprave UPFC taka formulacija ni primerna, ker serijsko injicirano napetost proizvaja napetostni pretvornik in velikost serijsko injicirane napetosti v večini delovnega območja naprave UPFC ni odvisna od napetosti priključnih sponk U,. 2.1.2 Energijska funkcija naprave UPFC Za konstrukcijo energijske funkcije sledimo postopku iz [8], ki opisuje konstruiranje energijske funkcije za elektroenergetski sitem brez naprav FACTS. Injicirane delovne moči naprave UPFC PS1 in PS] pomnožimo s časovnim odvodom posameznih kotov napetosti Št in 0j in jih seštejemo: P.0..=^Tsin(0..+q>L)-0.. (2.12) Podobno enačbi (2.3) in (2.4) delimo z Ui in Uj ter množimo s časovnim odvodom U, in U}: Osljj.=^T cos (^T ) + L/./q (2.13) U i -^ TRS =^Uj=-----^Tcos (6^+^T ) (2.14) U j ^TRS Enačbe (2.12) do (2.14) seštejemo: Energijske funkcije naprav FACTS 25 U X TRS Uj ¦ sin (eij +(Pt)- ®ij + Ui ¦ cos ((pT ) -Uj-cos(0ij+cpT)] + UrIq (2.15) Enačba (2.15) je končni rezultat postopka, ki smo ga povzeli po [8]. Naslednji korak je bistveni del iskanja energijske funkcije naprav FACTS, tj. analitično iskanje integrala zgornjega zapisa (2.15). Za ta korak postopek ni znan in integral lahko določimo le s pomočjo intuicije. Poleg tega ni nujno, da analitična rešitev integrala sploh obstaja in jo je mogoče dobiti samo za nekatere regulacijske strategije regulabilnih parametrov UT, Iq in ^. V preteklosti je že bilo ugotovljeno ([13], [16]), da mora UPFC za največje izboljšanje tranzientne stabilnosti injicirati največji možni UT in Iq. Ob predpostavki, da sta UT in Iq konstantna - nastavljena na maksimum - in da je poleg tega konstanten tudi ^, lahko (2.15) z nekaj intuicije zapišemo kot: d dt U X T(Ui • cos(q>T)-Uj cos(<9y + cpT)) + Ui ¦ Iq TRS (2.16) Zdaj lahko enostavno dobimo energijsko funkcijo Ljapunova v obliki VUPFC = f (Ui , Uj) kot integral (2.16), ki opisuje potencialno energijo naprave UPFC: Vupfc = U TiU i ¦ cos (pT )-Uj¦ cos (eij + ) + Vp (4>,v) + VUPFC (4>,V,UT,(pT, Iq ) + K (2.23) Ker je energijska funkcija izpeljana za sistem z ohranjeno strukturo, lahko za poljubno število naprav UPFC v EES energijsko funkcijo definiramo kot: V (^ ,v) = Vk(Gi) + Vp (^v) + g4VUPFC (^V,UTi(pTi, I q i ) + K (2.24) i=1 kjer je g število naprav UPFC v sistemu in parametri UTi , pT i in Iq regulabilni parametri posamezne naprave UPFC. 28 Energijske funkcije naprav FACTS Energijske funkcije naprav FACTS 29 2.2 Medlinijski regulator pretokov moči – IPFC 2.2.1 Splošno o IPFC Medlinijski regulator pretokov moči oz. IPFC (angl. interline power flow controller) je ena novejših naprav FACTS. Sestavljen je iz več serijskih vej, ki so vključene v različne vode EES. IPFC ima lahko tudi eno ali več paralelnih vej. Ob upoštevanju paralelne veje postane model naprave IPFC enak modelu posameznih naprav UPFC, pri čemer je vsaka serijska veja naprave IPFC predstavljena kot samostojen UPFC, paralelna veja IPFC pa je predstavljena kot vsota vseh paralelnih vej naprav UPFC. Tako lahko energijsko funkcijo naprave IPFC s paralelno vejo predstavimo enako kot vsoto energijskih funkcij posameznih naprav UPFC. Naprava IPFC s paralelno vejo je v literaturi označena kot posplošen UPFC oz. GUPFC (angl. generalized UPFC) [17], [18]. Energijsko funkcijo posplošene naprave UPFC prikazujemo v poglavju 2.3. V nadaljevanju obravnavamo IPFC kot napravo s samimi serijskimi vejami. Te veje so sestavljene iz transformatorja in napetostnega pretvornika. Primarne strani transformatorjev so povezane v posamezne vode EES, sekundarne strani pa prek napetostnega pretvornika in enosmernega vodila na skupni kondenzator. Vsota vseh injiciranih delovnih moči posameznih vej je enaka 0. Slika 2.2 shematsko prikazuje IPFC z n vejami. Ui l_i 0 veja 1 napetostni pretvornik 1 enosmerno vodilo veja 2 napetostni pretvornik 2 vod 1 vod 2 vod/7 U dc veja n n ^ ujS 0. j1 ^ Uj2^ • • « u jni5 napetostni pretvornik n Slika 2.2: Shema IPFC z n vejami 30 Energijske funkcije naprav FACTS Podrobnejši opis naprave IPFC najdemo v [19] in [20]. 2.2.2 Prenosne karakteristike posamezne veje IPFC Za sistem brez upoštevanja izgub posamezno vejo IPFC lahko zapišemo kot serijsko vezan napetostni vir z reaktanco XTRS. Model naprave, nameščene med zbiralki i in j, ter diagram fazorjev napetosti prikazuje slika 2.3 (a-b). ut[0i UTI°,+(Pt u\\9\ UjI^i i W I V ^---0-f Ui\_L e Pij + jQi ij 'j a) b) jr ujI3 TRS Psi + jQsi pji+ jQji P.y + Mv c) Slika 2.3: a) model IPFC b) diagram fazorjev napetosti c) injekcijski model IPFC Regulabilna parametra posamezne veje sta UT in kot ?T. Pri tem je UT velikost injicirane napetosti UT, medtem ko je ?T kot injicirane napetosti UT glede na napetost zbiralke Ui. Energijske funkcije naprav FACTS 31 Posamezna veja IPFC je enaka serijski veji UPFC. Injekcijski model lahko določimo na podlagi injekcijskega modela UPFC brez paralelne veje. UU Psi=iTsinM (2.25) Psj =----jU— sin (eii + (pT ) (2.26) XTRS UrU Qsi=i Tcos(<3T) (2.27) X TRS XTRS Qsj =----j— cos (0ij + (pT) (2.28) kjer je 6i]= 6i – 6> glede na sliko 2.3. Injicirano delovno moč posamezne veje označimo s PT in jo izračunamo kot realni del skalarnega produkta injicirane napetosti UT in toka skozi vejo I: Ui-sin (0i ) -Uj-sin(0j) + UT-sin (0i+(pT ) LIJ Re|I| =---------------------------------------------- (2.29) XTRS Uir cos (6>) - Uj ¦ cos (ej )+UT- cos (ei + cpT ) 1I I =------------------------------------------------------------------------ L —J Im|I| =---------------------------------------------------- (2.30) XTRS PT=Re[UT-I*\ (2.31) Po nekaj algebrajskih preračunih moč PT, ki teče iz posamezne veje IPFC, zapišemo kot: Pt = ErU T sin ^ j-----jU T sin (#y + (pT ) (2.32) X TRS X TRS 32 Energijske funkcije naprav FACTS Enačbe (2.29) do (2.32) prikazujejo analitično metodo določanja moči PT, ki je enaka vsoti moči Psi in Psi glede na sliko 2.3. 2.2.3 Združitev posameznih vej IPFC Združitev posameznih vej lahko poenostavljeno prikažemo z združitvijo dveh vej. Model naprave IPFC z dvema vejama in injekcijski model prikazuje slika 2.4. Ut \0i uT1O&PT1 ujI3 6. & x, TRS1 /. UT20i+VT2 uk\_h 0, & x, TRS2 L a) Uil^i JJL ujI3 TRS1 p,„ +JQ,,, t P PSJ+ jQSJ T1 P T2 J-*- ukl3 TRS2 P si2 +JQSi2 Psk+ jQsk b) / Slika 2.4: a) model IPFC z dvema vejama b) injekcijski model IPFC z dvema vejama Energijske funkcije naprav FACTS 33 Po enosmernem vodilu se med prvo in drugo vejo naprave pretaka delovna moči PT1 = -PT2. Za napravo IPFC z n vejami velja, da je vsota vseh moči, ki se pretakajo med serijskimi vejami, enaka nič: n P T i = 0 (2.33) i=1 Posamezne delovne in jalove injicirane moči so: Psi 1= UUHsin (<3T1 ) (2.34) Psi2= UUHsin (<3T2 ) (2.35) XTRS2 Psj =-----j U 1 sin (0V + (pT1 ) (2.36) UkU X Psk =-----k U sin (°ik + T1, UT2 in pT2 . Ker je vsota vseh injiciranih delovnih moči v serijskih vejah enaka nič, vsi regulacijski parametri niso prosti. Vsaj en regulacijski parameter mora biti odvisen od preostalih treh, da zadostimo pogoju (2.33). Zaradi preprostejšega reguliranja naprave smo izbrali parameter ^2 kot parameter, ki naj bo odvisen od preostalih regulacijskih parametrov. 2.2.4 Energijska funkcija IPFC Za izpeljavo energijske funkcije IPFC uporabimo model IPFC z dvema serijskima vejama in jo na koncu razširimo za IPFC s poljubnim številom serijskih vej. Injicirane delovne moči Psu, Ps,2, PSJ in Psk glede na sliko 2.4 pomnožimo s časovnim odvodom posameznih kotov napetosti Št, Š] in Šk in jih seštejemo. Ker je vsota injiciranih moči v serijskih vejah enaka nič, mora biti vsota vseh moči na začetku vodov nasprotno enaka vsoti vseh moči na koncu vodov: Psl1+Psl2=-PS]-Psk (2.42) Tako velja: ( P s1 +P^-e, -1 sin [6tj +T2)- 6lk ^-TRS1 ^TRS2 Energijske funkcije naprav FACTS 35 kjer je6>y=6>–#y in 6ik = 6i- Podobno enačbe (2.38) do (2.41) delimo z Ui , Uj in Uk in množimo s časovnim odvodom Ui U j in Uk: Q 1 Q 2 Ui = i T1 cos (^T1 ) + -ž-U cos ((pT2 ) (2.47) Ui XTRS1 XTRS2 Uj=----- j T1cos (0ij +(pT1 ) (2.48) skUk =-----kT2cos (Gik+(pT2 ) (2.49) U k XTRS2 Enačbe (2.46) do (2.49) seštejemo in dobimo naslednji izraz: X^•sin(^+^T1).^+^^.sin(^+^T2).4 TRS1 X TRS2 + U i'UT1 cos(q>T1)+ U/i'UT2 cos((pT2) (2.50) XTRS1 XTRS2 -^X¦cos(eij+. X cos X T1 + ^L^T2 cos((Z,T2) ^-^2 X j T1 TRS2 u-u X sin((pT2)-(pT2 TRS2 cos (0tj +(pT1)+ ' sin (#y + cpT1) • pT1 ^TRS1 ^TRS1 f/-f/ T2 X cos(0lk+(pT2) u-u T2 TRS2 X sin(0lk+(pT2)-(pT TRS2 <* (2.53) Energijske funkcije naprav FACTS 37 Izraz (2.53) vsebuje pod integralom člene, ki so odvisni od časovnega odvoda posameznih regulacijskih parametrov, in lahko predstavlja splošno energijsko funkcijo IPFC za poljubno regulacijsko strategijo. Integral v (2.53) lahko analitično rešimo le pri znani regulacijski strategiji naprave IPFC. Za nadaljnji razvoj energijske funkcije predpostavimo, da so regulabilni parametri med trajanjem prvega nihaja odsekoma konstantni. Predpostavka temelji na dejstvu, da z odsekoma konstantnimi vrednostmi lahko aproksimiramo poljubno regulacijsko strategijo ali pa po korakih sledimo numerično določenim optimalnim vrednostim regulabilnih parametrov, kot je to prikazano v poglavju 4. Tako so časovni odvodi regulabilnih parametrov UT1, UT2 in T2, lahko (2.53) zapišemo kot: VIPFC — Qinj i T1 sin (^T1 ) ------ U T1 sin(3j+(Z,T1) .^ (2.56) XTRS1 TRS1 J X T2 sin{) + Vp (4>,v) + gjVIPFC (4>,V,UTi,Tl) + K (2.60) i=1 kjer je g število naprav IPFC v sistemu. Pri tem izraz V IPFC predstavlja posplošeno energijsko funkcijo (2.53) ali energijsko funkcijo (2.54) oz (2.58) naprave IPFC. 40 Energijske funkcije naprav FACTS Energijske funkcije naprav FACTS 41 2.3 Posplošen UPFC 2.3.1 Prenosne karakteristike posplošenega UPFC-ja Kot smo omenili v poglavju 2.2, posplošen UPFC oz. GUPFC (angl. generalized UPFC) enačimo z medlinijskim regulatorjem pretokov moči, ki ima poleg serijskih vej vsaj eno paralelno vejo. Shemo naprave GUPFC z n-serijskimi in eno paralelno vejo prikazuje slika 2.5. ui 13 e veja 1 veja 2 serijski pretvornik 1 serijski pretvornik 2 vod 1 vod 2 vod n ^=^dc enosmerno vodilo veja n ^ ^o 0, ¦1 ^i5 ;2 "¦H Ujnl3" Serijski pretvornik n Slika 2.5: Shema naprave GUPFC Napravo GUPFC z n serijskimi vejami in eno paralelno vejo lahko predstavimo z n samostojnih naprav UPFC. Pri tem je posamezna serijska veja naprave GUPFC enaka serijski veji posamezne naprave UPFC, paralelna veja naprave GUPFC pa je enaka vsoti paralelnih vej vseh posameznih naprav UPFC. Na ta način velja za posamezno vejo naprave UPFC enak model, diagram fazorjev in injekcijaki model kot za posamezno napravo UPFC, kakor je opisano v poglavju 2.1 in prikazano na sliki 2.1. Vsoto vseh injiciranih delovnih moči v serijskih vejah naprave GUPFC zagotavlja paralelna veja, ki poleg delovnega toka, ki ni regulabilen in je odvisen od serijskih vej naprave GUPFC, lahko injicira tudi jalovi tok Iq. 42 Energijske funkcije naprav FACTS 2.3.2 Energijska funkcija naprave GUPFC Ker smo GUPFC predstavili kot vsoto posameznih naprav UPFC s skupno paralelno vejo, energijsko funkcijo naprave GUPFC določimo kot vsoto energiskih funkcij posameznih naprav UPFC. Energijska funkcija w-te veje naprave GUPFC zapišemo na podlagi energijske funkcije naprave UPFC (2.17) kot: ^gupfc. =-^{Urcos ( glede na sliko 2.8. 2.5.2 Energijska funkcija BESS-SSSC Za konstrukcijo energijske funkcije sledimo postopku iz [8], ki opisuje konstruiranje energijske funkcije za elektroenergetski sitem brez naprav FACTS. Injicirane delovne moči BESS-SSSC PS1 in PS] pomnožimo s časovnim odvodom posameznih kotov napetosti 0, in 0} in jih seštejemo: P J. = ^T sin ((pT ) • 0i (2.83) ^TRS ^^-^sinK+ftK (284) V1TRS Energijske funkcije naprav FACTS 49 Podobno enačbi (2.81) in (2.82) delimo z Ui in Uj in množimo s časovnim odvodom Ut in U ¦: ^L/;. =-J-Tcos (pT ) (2.85) "i ^TRS ^Uj=-----T cos (#y + T [ o] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 133 133 0.05 0 126 126 0.1 0 118 118 0.1 60 136 136 0.1 120 149 149 0.1 150 150 150 0.1 180 146 147 0.2 120 161 161 0.2 140 164 164 0.2 150 164 165 0.2 178 159 159 0.2 180 158 159 0.3 140 175 176 0.3 150 176 177 0.3 160 175 176 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 75 Za energijsko funkcijo (2.93), ki upošteva konstanta regulacijska parametra ?T in PT, so ugotovljeni kritični časi odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi prikazani v tabeli 3.9. Negativni predznak injicirane delovne moči PT pomeni, da delovna moč teče iz EES v napravo BESS-SSSC. Tabela 3.9 vsebuje največje možne vrednosti za moč PT glede na posamezno velikost napetosti UT, ki smo jih ugotovili s poskušanjem. Pri želenih prevelikih injiciranih močeh PT izračunani koti injicirane napetosti UT ustrezajo največji možni injicirani moči, ki pa je manjša od želene PT. Rezultati simulacijske in direktne metode so enaki, kar potrjuje ustreznost nove energijske funkcije (2.93). TABELA 3.9: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-SSSSC S KONSTANTNIMA UT IN PT Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] PT [pu] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 133 133 0.1 0.0 144 144 0.1 0.05 139 139 0.1 -0.05 148 148 0.1 -0.09 149 149 0.2 0 153 153 0.2 -0.22 163 163 0.3 0 161 161 0.3 -0.32 174 174 3.5.5 BESS-UPFC BUS1 BUS2 BUS22 150 MW 15 MVAr 400 km BUS3 Toga mreža Slika 3.9: Longitudinalni testni sistem z napravo BESS-UPFC 76 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah Napravo BESS-UPFC smo vstavili v testni sistem, kot prikazuje slika 3.9. Izvedli smo dva numerična primera; prvi se nanaša na energijsko funkcijo naprave BESS- UPFC (2.103), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT, ?T, Iq in IT2, drugi primer pa se nanaša na energijsko funkcijo (2.104), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT, ?T, Iq in PT. Predpostavili smo, da so regulabilni parametri pred in med motnjo v obeh primerih nastavljeni na vrednost 0. V trenutku odstranitve motnje smo regulacijske parametre nastavili na vrednosti, kot so prikazane v tabeli 3.10 oz. 3.11. Tabela 3.10 prikazuje ugotovljene kritične čase odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije (2.103), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT, ?T, Iq in IT2. Rezultati simulacijske in direktne metode so enaki, kar potrjuje ustreznost nove energijske funkcije (2.103). TABELA 3.10: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-UPFC S KONSTANTNIMI UT, ?T, Iq IN IT2 Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] (f>T [ o] Iq [pu] IT2 [pu] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 0 0 133 133 0.1 85 0.2 0 162 162 0.1 85 0.2 0.1 157 157 0.1 85 0.2 -0.1 166 166 0.1 55 0.2 -0.2 161 161 0.1 85 0.2 -0.2 168 168 0.1 95 0.2 -0.2 170 170 0.1 105 0.2 -0.2 171 171 0.1 115 0.2 -0.2 170 170 0.1 125 0.2 -0.2 169 169 Za energijsko funkcijo (2.104), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT, ?T, Iq in PT, so ugotovljeni kritični časi odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi prikazani v tabeli 3.11. Negativni predznak injicirane delovne moči PT pomeni, da delovna moč teče iz EES v napravo BESS-UPFC. Tabela 3.11 vsebuje največje možne vrednosti za moč PT glede na posamezno velikost napetosti UT, ki smo jih Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 77 ugotovili s poskušanjem. Pri želenih prevelikih injiciranih močeh PT izračunani koti injicirane napetosti UT ustrezajo največji možni injicirani moči, ki pa je manjša od želene moči PT. Rezultati simulacijske in direktne metode so enaki, kar potrjuje ustreznost nove energijske funkcije (2.104). TABELA 3.11: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-UPFC S KONSTANTNIMI UT, ?T, Iq IN PT Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] (f>T [ o] Iq [pu] PT [pu] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 0 0 133 133 0.1 85 0.2 0.1 153 153 0.1 85 0.2 0.05 158 158 0.1 85 0.2 0 162 162 0.1 85 0.2 -0.05 165 165 0.1 95 0.2 -0.1 168 168 0.1 105 0.2 -0.1 169 169 0.1 115 0.2 -0.1 168 168 78 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 3.6 Devetvozliščni sistem IEEE Energijske funkcije smo v prejšnjem podpoglavju preverili na longitudinalnem sistemu, kjer je možna ena sama trajektorija sistema. Če sistem vsebuje več kot dva generatorja, trajektorija sistema ni več enoumno določena in direktna metoda ne daje nujno enakih rezultatov kot simulacijska metoda. Zato ta model ni primeren za potrjevanje ustreznosti energijske funkcije. Kljub temu pa je primeren za prikaz možnosti uporabe SPEF za več naprav FACTS hkrati v sistemu z več generatorji. Testni devetvozliščni sistem s tremi generatorji je prikazan na sliki 3.10. Prvič je bil prikazan v [22] in je v literaturi uveljavljen za analizo dinamike. Slika 3.10 prikazuje impedance omrežja v per-unit sistemu, preračunane na bazno moč 100 MW. Omska upornost vodov ni upoštevana, kar je prvi pogoj za veljavnost energijskih funkcij Ljapunova. Gen 2 Oy X=0.0625 2 7 B=0.0745 8 B=0.1045 9 HH Qgn o X=0.0586 <2> f Breme C T 5 6 r Breme A Breme B' X=0.085 X=0.092 4 1 V_y Gen 1 Slika 3.10: Impedančna shema devetvozliščnega sistema IEEE Podatki o generatorjih, bremenih in izhodiščnih vrednostih za numerične izračune prikazuje tabela 3.12. X=0. f6f X=0.f7 B=0.753 B=0.179 B =0.088 B=0.079 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 79 TABELA 3.12: PODATKI O GENERATORJIH, BREMENIH IN ZAČETNIH VREDNOSTIH Generator 1 2 3 Nazivna moč [MVA] 247.5 192 128 xd’ [pu] 0.0608 0.1198 0.1813 Vztrajnostni koeficient 0.1254 0.0339 0.016 Bremena A B C Moč [MVA] 125+j50 90+j30 100+j35 Začetne vrednosti 1 2 3 Napetost na zbiralkah [pu] 1.040Z0.0o 1.025Z9.3o 1.025Z-10.9o Bremena smo modelirali kot konstantne admitance glede na moč pri nazivni napetosti. Glede na začetne vrednosti napetosti na zbiralkah 1, 2 in 3 smo izračunali pretoke moči v omrežju in glede na to smo določili mehanske moči generatorjev tako, da smo jih izenačili z delovnimi močmi, ki tečejo iz posameznih generatorskih vozlišč. Generatorje smo enako kot v longitudinalnih primerih predstavili klasično, tj. kot napetosti konstantne amplitude za tranzientno reaktanco. Motnjo pomeni tripolni kratki stik blizu zbiralke 7, ki je odstranjen brez spremembe topologije sistema. Naprave FACTS s hranilnikom energije smo locirali blizu generatorja 2, ki med trajanjem kratkega stika najbolj pospeši. Pri tej lokaciji posamezna naprava najbolj vpliva na izboljšanje tranzientne stabilnosti. Ker ena sama serijska naprava FACTS (tj. BESS-SSSC ali UPFC) v sistemu požene krožno moč, smo za ti dve napravi izvedli numerične primere tudi na ta način, da smo v sistem vključili po dve napravi FACTS. Za določanje kritičnega časa odstranitve motnje smo enako kot v longitudinalnem sistemu uporabili metodo PEBS [10], po kateri se kritični čas odstranitve motnje določi kot trenutek, ko je vsota kinetične in potencialne energije sistema po odstranitvi motnje enaka maksimumu potencialne energije po odstranitvi motnje na trajektoriji sistema z motnjo. Ker trajektorija sistema z motnjo za devetvozliščni sistem IEEE s tremi generatorji ni enoumno določena, se 80 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah kritični čas odstranitve motnje, določen po zgoraj opisani direktni metodi PEBS, ne ujema popolnoma z rezultatom simulacijske metode. Za tripolni kratki stik smo najprej izračunali kritični čas odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku, potem pa po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije. Vpliv bremen na energijsko funkcijo pri uporabi direktne metode smo določili numerično, kot je to opisano v [8]. 3.6.1 Naprava UPFC Napravo UPFC smo vstavili v testni sistem, kot prikazuje slika 3.11. Predpostavili smo, da se UPFC vključi v sistem šele po odpravi motnje. Po odpravi motnje smo regulacijske parametre UPFC nastavili na vrednosti, kot so prikazane v tabeli 3.13. Gen 2 7 >\j UPFC |—(^ |~2~| r 5 Breme A 8 t Breme C <^ 9 Gen 3 -<5> 3 6 Breme B 4 1 Gen 1 Slika 3.11: Devetvozliščni sistem IEEE z enim UPFC Za tripolni kratki stik smo izračunali kritični čas odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije. Rezultati za različne največje vrednosti UT in Iq in za različne kote ?T so predstavljeni v tabeli 3.13. Kot je razvidno iz te tabele, so rezultati digitalne simulacije in direktne metode dokaj enaki, za izbrane parametre se CCT razlikujejo največ za 2 ms. Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 81 TABELA 3.13: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z ENIM UPFC Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] 2 v 5 UPFC 1 Breme A Breme C 1 9 Gen 3 ^ Gen 1 3 6 Breme B 4 Slika 3.13: Devetvozliščni sistem IEEE z dvema UPFC na zbiralkah 5 in 8 Za tripolni kratki stik smo izračunali kritični čas odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije. Rezultati za različne največje vrednosti UT in Iq ter za različne kote ?T so predstavljeni v tabeli 3.15. Iz te tabele je razvidno, da v zazankanem sistemu, kakršen je devetvozliščni sistem IEEE, z dvema UPFC lahko izboljšamo tranzientno stabilnost. Naslednji numerični primer upošteva vključitev dveh naprav UPFC na lokaciji, ki je bolj oddaljena od mesta kratkega stika, tj. en UPFC pri zbiralki 4 in drug pri zbiralki 8, na način, kot prikazuje slika 3.14. Predpostavili smo, da se oba UPFC vključita v sistem šele po odpravi motnje. Po odpravi motnje smo regulacijske parametre naprave UPFC nastavili na vrednosti, kot so prikazane v tabeli 3.16. 84 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah TABELA 3.15: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z DVEMA UPFC NA ZBIRALKAH 5 IN 8 Simulacijska metoda Direktna metoda Ut1 [pu] Ut2 [pu] T2 [ o] Iq1 [pu] Iq2 [pu] CCT [ms] CCT [ms] brez UPFC 246 245 0.0 0.0 ~ ~ 0.0 0.0 240 239 0.1 0.0 -55 ~ 0.1 0.0 244 246 0.0 0.1 ~ 15 0.0 0.1 252 251 0.1 0.1 -55 20 0.1 0.1 254 258 0.2 0.2 -115 10 0.1 0.1 260 262 0.3 0.3 -130 30 0.1 0.1 263 266 Gen 2 r\> 7 H 2 V 5~| T 8 UPFC 1 Breme A Breme C 0 1 9 Gen 3 Oj 3 6 Breme B 4 ^ Gen 1 Slika 3.14: Devetvozliščni sistem IEEE z dvema UPFC na zbiralkah 4 in 8 Za tripolni kratki stik smo izračunali kritični čas odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku ter po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije. Rezultati za različne največje vrednosti UT in Iq ter za različne kote ?T so predstavljeni v tabeli 3.16. S Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 85 primerjavo z rezultati iz tabele 3.15 lahko ugotovimo, da lokacija naprav v bližini kratkega stika ni pogoj za učinkovito izboljšanje tranzientne stabilnosti. TABELA 3.16: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z DVEMA UPFC NA ZBIRALKAH 4 IN 8 Simulacijska metoda Direktna metoda Ut1 [pu] UT2 [pu] T2 [ o] Iq1 [pu] Iq2 [pu] CCT [ms] CCT [ms] brez UPFC 246 245 0.0 0.0 ~ ~ 0.0 0.0 242 242 0.0 0.0 ~ ~ 0.1 0.1 245 245 0.1 0.0 -55 ~ 0.1 0.0 246 248 0.0 0.1 ~ 15 0.0 0.1 246 245 0.1 0.1 -55 20 0.1 0.1 251 252 0.15 0.15 300 20 0.1 0.1 254 254 0.2 0.2 280 20 0.1 0.1 257 257 0.25 0.25 275 25 0.1 0.1 261 259 3.6.2 Naprava IPFC Napravo IPFC smo vstavili v testni sistem na zbiralko 4 tako, da sta serijski veji vključeni v vod 4-5 in 4-6, kot prikazuje slika 3.15. Predpostavili smo, da se IPFC vključi v sistem šele po odpravi motnje. Izvedli smo dva numerična primera; prvi se nanaša na energijsko funkcijo naprave IPFC (2.54), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT1, UT2 in ?T1, drugi primer pa se nanaša na energijsko funkcijo (2.58), ki upošteva konstante regulacijske parametre UT1, UT2 in PT. Predpostavili smo, da so regulabilni parametri pred in med motnjo v obeh primerih nastavljeni na vrednost 0. V trenutku odstranitve motnje smo regulacijske parametre nastavili na vrednosti, kot so prikazane v tabeli 3.17 oz. 3.18. 86 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah Gen 2 Oj VA. m 7 8 9 Gen 3 - 2 v 5 I Breme A Breme C « IPFC -x. 3 6 Breme B 4 1 ^ Gen 1 Slika 3.17: Devetvozliščni sistem IEEE z napravo BESS-SSSC Za tripolni kratki stik smo izračunali kritični čas odstranitve motnje s pomočjo simulacijske metode korak po koraku in po direktni metodi s pomočjo nove energijske funkcije (2.90) s konstantnima regulacijskima parametroma UT in ?T ter (2.93) s konstantnima UT in PT. Za energijsko funkcijo (2.90) so rezultati za različne največje vrednosti UT in ?T predstavljeni v tabeli 3.21. Kot je razvidno iz te tabele, so rezultati digitalne simulacije in direktne metode pri nižjih vrednostih UT dokaj enaki, pri višjih UT pa se CCT razlikujejo do 9 ms. Razlog za take razlike lahko pripisujemo razliki med dejansko trajektorijo sistema po odpravi motnje in med trajektorijo okvarjenega sistema, ki jo upošteva metoda PEBS v okviru direktne metode. 92 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah TABELA 3.21: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-SSSC S KONSTANTNIMA UT IN ?T Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] 2] V [~5~| 9 -G5> Breme C Gen 3 e 3 Breme A I 6 Breme B 4 1 fš^) Gen 1 Slika 3.18: Devetvozliščni sistem IEEE z dvema napravama BESS-SSSC TABELA 3.23: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z DVAMA NAPRAVAMA BESS-SSSC S KONSTANTNIMA UT IN ?T Simulacijska metoda Direktna metoda UT1 [pu] UT2 [pu] T2 [ o] CCT [ms] CCT [ms] 0.0 0 ~ ~ 242 244 0.1 0.1 90 -90 244 246 0.1 0.1 0 0 247 247 0.1 0.1 30 -30 247 248 0.2 0.2 0 0 251 250 0.2 0.2 20 -50 251 251 0.3 0.3 0 0 254 253 0.3 0.3 45 -45 255 255 Za energijsko funkcijo (2.93) so rezultati za različne največje vrednosti UT in PT predstavljeni v tabeli 3.24. Moč PT je moč, ki teče iz naprave BESS-SSSC v EES, torej pri negativnem predznaku teče iz EES v napravo BESS-SSSC. Kot je razvidno iz tabele 3.24, se rezultati digitalne simulacije in direktne metode razlikujejo največ za 4 ms. Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 95 TABELA 3.24: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z DVEMA NAPRAVAMA BESS-SSSC S KONSTANTNIMA UT IN PT Simulacijska metoda Direktna metoda Ut1 [pu] UT2 [pu] PT1 [pu] PT2 [pu] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 0 0 242 244 0.1 0.1 0 0 246 246 0.1 0.1 0.07 -0.07 245 245 0.1 0.1 -0.07 +0.07 246 247 0.1 0.1 -0.07 -0.07 247 249 0.2 0.2 0 0 249 249 0.2 0.2 0.1 -0.1 248 247 0.2 0.2 -0.17 +0.17 249 249 0.2 0.2 -0.17 -0.15 251 254 0.25 0.25 0 0 250 250 0.25 0.25 0.1 -0.1 249 248 0.25 0.25 -0.2 +0.2 250 251 0.25 0.25 -0.2 -0.15 252 256 3.6.5 Naprava BESS-UPFC Energijski funkciji (2.103) in (2.104) za napravo BESS-UPFC smo uporabili za določitev CCT za devetvozliščni testni sistem IEEE za lokacijo naprave na zbiralki 2 v vodu 2-7, kot prikazuje slika 3.19. Za energijsko funkcijo (2.103), ki velja pri konstantnem injiciranem paralelnem toku IT2, smo primerjavo CCT, ki smo jih dobili po direktni in simulacijski metodi, predstavili v tabeli 3.25. Rezultati se glede na uporabljeno metodo razlikujejo največ za korak integracije, tj. 1 ms. 96 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah Gen 2 0 7 BESS-UPFC |~2~| v 5 Breme A 8 9 Gen 3 Breme C 0_, 3 6 Breme B 4 1 ^ Gen 1 Slika 3.19: Devetvozliščni sistem IEEE z napravo BESS-UPFC TABELA 3.25: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-UPFC S KONSTANTNIM PARAMETROM IT2 Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] PT [ 0] Iq [pu] IT2 [pu] CCT [ms] CCT [ms] 0 0 0 0 235 234 0.1 -60 0 0.1 239 240 0.1 -60 0 -0.1 246 247 0.1 -20 0 0.1 244 244 0.1 -20 0 -0.1 250 250 0.1 45 0 0.1 239 239 0.1 45 0 -0.1 245 244 0.2 -10 0 -0.2 263 263 0.3 0 0 -0.3 272 273 0.3 -50 0.2 -0.2 275 275 0.3 -30 0.2 -0.2 276 276 0.3 0 0.2 -0.2 272 273 0.3 -30 0.3 -0.3 278 279 0.3 -30 0.4 -0.4 281 282 Dokaz ustreznosti izpeljanih energijskih funkcij in njihova uporaba v direktnih metodah 97 Za energijsko funkcijo (2.104), ki velja pri konstantni injicirani moči PT, smo primerjavo CCT, ki smo jih dobili po direktni in simulacijski metodi, predstavili v tabeli 3.26. Rezultati se glede na uporabljeno metodo razlikujejo največ za 2 ms. TABELA 3.26: KRITIČNI ČASI ODSTRANITVE MOTNJE ZA SISTEM Z NAPRAVO BESS-UPFC S KONSTANTNIM PARAMETROM PT Simulacijska metoda Direktna metoda UT [pu] T) določimo vrednost energijske funkcije V na začetku in koncu intervala At ter njeno razliko shranimo v tabelo, v katero shranjujemo to razliko pri različnih kotih ^ znotraj intervala At. To tabelo pozneje uporabimo za določitev optimalnega kota q^. 4. Kot pT povečamo za vrednost A<3T in ponovimo korak 3 pri novi vrednosti kota (fT. Zanko ponavljamo, dokler kot ^ ne preseže vrednosti ^max. Vrednost kota <2>Tmax v prvem intervalu At glede na točko 2 znaša 360o, v naslednjih intervalih At pa znaša okrog 20o več kot optimalni kot ^ iz prejšnjega intervala At. 5. Pri določitvi optimalnega kota ^ za trenutni interval At uporabimo tabelo iz koraka 3. Ta tabela vsebuje spremembe vrednosti energijske funkcije v intervalu At pri različnih kotih pT. Kot q>T, pri katerem je ta sprememba največja, je po tej regulacijski strategiji Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 103 optimalni kot (fT. Tako smo numerično poiskali največjo vrednost odvoda energijske funkcije V. 6. Simulacijo iz koraka 3 za isti interval At ponovimo pri optimalnem kotu pT. Koti rotorjev 5 na koncu intervala At se shranijo in uporabijo za začetne pogoje v naslednjem intervalu At in za končni izpis rezultatov. 7. Čas t povečamo za vrednost At in ponovimo korake 2 do 6 pri novih vrednostih kotov rotorjev 8, ki ustrezajo novemu intervalu At. Zanko ponavljamo, dokler čas t ne preseže vrednosti tkoncni. Vrednost tkoncni pri regulaciji naprav FACTS med trajanjem prvega nihaja znaša okrog 1 s, pri regulaciji naprav FACTS za nadaljnja nihanja pa okrog 10 s. 8. Izpis rezultatov obsega potek kotov in hitrosti rotorjev ter potek optimalnega kota (fT. Iz poteka kotov rotorjev 5 lahko razberemo, ali EES pri izbranem času odstranitve motnje ohrani stabilnost ali ne. Ker je energijska funkcija EES odvisna od parametrov celotnega omrežja, bi jih bilo pri fizični izvedbi tu predstavljene regulacijske strategije treba meriti in podatke sproti prenašati do regulirane naprave FACTS. Naprave za daljinsko merjenje parametrov omrežja obstajajo kot enote za merjenje fazorjev (angl. phasor measurement unit). Pri tem se ne moremo izogniti časovnim zaostankom. Meritve temeljijo na sistemu GPS (angl. global positioning system) in pri razdalji prenosa do 2000 km ti zaostanki naj ne bi bili večji od 30 ms, kar je zanemarljivo glede na frekvenco nihanj moči v EES, ki je reda velikosti 1 Hz [38]-[40]. Regulacijsko strategijo smo uporabili za izboljšanje stabilnosti sistema v prvem nihaju ter za dušenje nadaljnjega nihanja. Pri rotorskih kotih blizu meje stabilnega območja moramo paziti, da z napravo FACTS ne postavimo obratovalne točke sistema zunaj stabilnega območja. Regulacijsko strategijo smo uporabili pri napravah UPFC in IPFC, ki sta s stališča regulacije najkompleksnejši. 104 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 105 4.2 Izboljšanje stabilnosti prvega nihaja 4.2.1 Regulacija naprave UPFC Najprej smo v prejšnjem podpoglavju predstavljeno regulacijsko strategijo uporabili za izboljšanje stabilnosti prvega nihaja z napravo UPFC v sistemu SMIB. UPFC je v sistem vključen med zbiralki BUS2 in BUS22, kot je prikazano na sliki 4.2. BUS1 BUS2 BUS22 © P 200 km GEN i 1 -\ FACTS)— 150 MW 15 MVAr 400 km BUS3 Toga mreža Slika 4.2: Longitudinalni testni sistem generator – toga mreža z napravo UPFC Regulacijska strategija numerično določi optimalni kot ?T injicirane serijske napetosti, medtem ko sta velikost napetosti UT in paralelni tok Iq konstantna. Časovni odsek ?tconst, v okviru katerega iščemo optimalni konstantni kot ?T, znaša 5 ms, kot ?T pa iščemo v korakih po 1o. S ponavljanjem digitalne simulacije omrežja smo ugotovili kritični čas odstranitve motnje tcr, ki pri UT = 0.1 in Iq = 0 znaša 144 ms. Potek kota in hitrosti rotorja po odstranitvi motnje ter optimalni kot ?T naprave UPFC prikazuje slika 4.3. Kot je razvidno iz poteka kota ?T, se ta med trajanjem prvega nihaja spreminja zelo malo. Enak kritični čas odstranitve motnje tcr dobimo pri konstantnem kotu ?T = 85o, kakor je prikazano v tabeli 3.2. Kljub temu pa je treba poudariti, da je optimalni kot ?T ugotovljen v eni sami simulaciji in ne s poskušanjem, kot je to narejeno za konstante kote ?T v poglavju 3.5.1. 106 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti kot_rotorja @rad D _^—— ——^_^ 2.2 X- ^^^ 100 /im 300 400 500 600 1.8 / 1.6 / 1.4 1 ? / / t@ms D hitrost_rotorja A——E t@ms D fi_t @st D 90 88 84 100 200 300 400 500 600 t@ms D Slika 4.3: Potek kota in hitrosti rotorja ter kota ?T naprave UPFC v sistemu SMIB Naslednji primer uporabe regulacijske strategije se nanaša na napravo UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE, ki je priključena med zbiralki 2 in 7 glede na sliko 4.4. Podobno kot v sistemu SMIB regulacijska strategija numerično določi optimalni kot ?T injicirane serijske napetosti, medtem ko sta velikost napetosti UT in paralelni tok Iq konstantna. Časovni odsek ?tconst, v okviru katerega iščemo optimalni konstantni kot ?T, znaša 10 ms, kot ?T pa iščemo v korakih po 5o. Nadaljnje zmanjšanje časovnega odseka ?tconst ali zmanjšanje koraka kota ?T ne vpliva na izračun kritičnega časa odstranitve motnje tcr, podaljšuje pa čas izvedbe simulacije, ki za obravnavani sistem znaša približno 30 sekund. S 100 200 300 400 bOO 600 86 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 107 ponavljanjem digitalne simulacije omrežja smo ugotovili kritični čas odstranitve motnje tcr, ki pri UT = 0.1 in Iq = 0 znaša 249 ms. Potek optimalnega kota ?T naprave UPFC ter kotov in hitrosti rotorjev po odstranitvi motnje prikazujeta sliki 4.5 in 4.6. Gen 2 7 8 9 ( n^j )— upfc I—CO j— I—COy- 2 t, 5 Breme A Breme C 1 Gen 3 >\> 3 T 6 Breme B 4 1 ( ^ ) Gen 1 Slika 4.4: Devetvozliščni sistem IEEE z eno napravo UPFC fi_t @st D -20 -40 -60 -80 -100 20 30 50 60 tA s-E 20 10 40 Slika 4.5: Potek optimalnega kot ?T naprave UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE. 108 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti kot rotorja 1 @rad D -0.45 -0.5 -0.55 -0.6 -0.65 -¦30-. 50 hitrost rotorja 1@rad esD 0.5 t[s] -0.5 -1 -1.5 -2 30 40 50 60 t[s-] kot rotorja 2 @rad D 2.2 1.8 1.6 1.4 10/ 20 30 40 50 60 t[s] hitrost rotorja 2@rad esD 10 20 30 40 -50. t [-s-1 L 100 J kot rotorja 3 @rad D 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 hitrost rotorja 3[rad /s] 2 \ 1.5 \ 1 \^ 0.5 ^-^_ 10 20 30 40 50\ 60 t[s-] 10 20 30 40 50 60 t[s] Slika 4.6: Potek kotov in hitrosti rotorjev devetvozliščnega sistema IEEE z eno napravo UPFC V 0.5 s po odstranitvi motnje smo blokirali kot ?T, sicer bi se ta po regulacijski strategiji zaradi spremembe smeri gibanja rotorjev spremenil tako, da bi se trajektorija sistema znašla zunaj stabilnega območja obratovanja. Čeprav se kot ?T med trajanjem prvega nihaja spremeni za več kot 90o, se kritični čas odstranitve motnje v primerjavi s konstantno vrednostjo ?T = –10o po tabeli 3.13 poveča le za 1 ms. Seveda je spet treba poudariti, da je optimalni kot ?T ugotovljen v eni sami simulaciji in ne s poskušanjem, kot je to narejeno za konstante kote ?T v poglavju 3.6.1. Naslednji primer uporabe regulacijske strategije se nanaša na dve napravi UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE, ki sta priključeni na zbiralki 4 in 8 na način, kot prikazuje slika 4.7. 10 20 40 60 60 -2 -0.5 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 109 Gen 2 7 8 2 4 5 UPFC 1 T Breme A Breme C Gen 3 >\j 3 T 6 Breme B 4 1 r^ ) Gen 1 Slika 4.7: Devetvozliščni sistem IEEE z dvema napravama UPFC na zbiralkah 4 in 8 Regulacijska strategija numerično določi optimalna kota ?T1 in ?T2, medtem ko so velikosti napetosti UT1 in UT2 ter paralelna toka Iq1 in Iq2 konstantni. Časovni odsek ?tconst, v okviru katerega iščemo optimalna konstantna kota ?T1 in ?T2, znaša 10 ms, posamezna kota pa iščemo v korakih po 5o. S ponavljanjem digitalne simulacije omrežja smo ugotovili kritični čas odstranitve motnje tcr, ki pri UT1 = UT2 = 0.2 in Iq1 = Iq2 = 0.1 znaša 259 ms. Potek kotov in hitrosti rotorjev po odstranitvi motnje ter optimalna kota ?T1 in ?T2 prikazujeta sliki 4.8 in 4.9. 110 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti kot_rotorja1 @rad D -0.45 -0.5 -0.55 -0.6 -0.65 -0.7 -0.75 hitrost_rotorj al A —— E ............... -^-T^, t A -^- E 10 20 3Q_—-tO 50 60 10° 10 20 30 40 50 60 tA~-E -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 kot_rotorja2 @rad D hitrost_rotorj a2 A —— E ^^_- —----- 2.2 /"" l/ 20 30 40 50 60 1.8 1.6 / / / 1.4 tAT^-E 10 20 30 40 50 60 10° kot_rotorja3 @rad D 1.4 ----- ——^^ ^/ ^^ 1.2 / / 0.8 10/ / / 20 30 40 50 60 hitrost_rotorj a3 A —— E A 100 E —----'----'---X---'----- t A -^ E 10 20 30 40 \50 60 10° Slika 4.8: Potek kotov in hitrosti rotorjev devetvozliščnega sistema IEEE z dvema napravama UPFC fi_t 1 @ st D -60 \ fi_t 2 @st D 10 \ 20 30 40 50 60 tA-^-E -100 -120 -140 ......................... tA^E 10 20 30 40 50 60 iuu Slika 4.9: Potek optimalnega kot ?T1 in ?T2 dveh naprav UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE. V 0.5 s po odstranitvi motnje smo blokirali kot ?T, sicer bi se ta po regulacijski strategiji zaradi spremembe smeri gibanja rotorjev spremenil tako, da bi se trajektorija sistema znašla zunaj stabilnega območja obratovanja. Kritični čas odstranitve motnje se v primerjavi s konstantnima vrednostma ?T1 = 280o, ?T2 = 20o po tabeli 3.16 poveča le za 2 ms. Ponovno je -1 -10 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 111 treba poudariti, da je optimalni kot ?T ugotovljen v eni sami simulaciji in ne s poskušanjem, kot je to narejeno za konstanta kota ?T1 in ?T2 v poglavju 3.6.1. 4.2.2 Regulacija naprave IPFC Podobno kot pri napravi UPFC smo po regulacijski strategiji krmilili napravo IPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE. IPFC je lociran na zbiralki 4 tako, kot je prikazano na sliki 4.10. Gen 2 7 >\j 2 L 5 T Breme A 8 Breme C 2 t- IPFC i 4_| 9 Gen 3 1 r\> 3 T 6 Breme B 4 ( ^ ) Gen 1 Slika 4.10: Devetvozliščni sistem IEEE z napravo IPFC Regulacijska strategija numerično določi optimalni kot ?T1, velikosti napetosti UT1 in UT2 sta konstantni, kot ?T2 pa je odvisen od delovne moči Pt, ki teče med vejama naprave IPFC. Časovni odsek ?tconst, v okviru katerega iščemo optimalni konstantni kot ?T1, znaša 10 ms, kot pa iščemo v korakih po 2o. S ponavljanjem digitalne simulacije omrežja smo ugotovili kritični čas odstranitve motnje tcr, ki pri UT1 = 0.1 in UT2 = 0.2 znaša 249 ms. Potek kotov in hitrosti 112 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti rotorjev po odstranitvi motnje, optimalni kot ?T1 in odvisni kot ?T2 ter injicirane delovne in jalove moči v posameznih vejah naprave IPFC prikazujejo slike 4.11, 4.12 in 4.13. kot_rot _1 [rad ] -0.45 -0.5 -0.55 -0.6 -0.65 hitrost_rot _1@rad esD 0.5 ^_^___5©- 10 20 ^#^_40 ___5©^ 60 t[roV] -0.5 -1 -1.5 -2 10 20 _^3fc^ 40 50 60 ^ t[T^-] kot_rot _ 2 @rad D /^^ ' ~~~~^ \^ 10 / 20 30 40 5tN - 60 1.8 / N^ 1.6 / / 1.4 / hitrost_rot _2@rad esD t[T0^-] 6 \ 4 \ 2 ^\ 10 20 30 ¦^46^. ^50 60 -2 ~~~ \ t[T^-] kot_rot _ 3 @rad D 1.4 1.2 0.8 0.6 hitrost_rot _3@rad esD 2!S 30 40 50 60 t[T^-] 2 1.5 1 0.5 ........................\. . t [ -4- 1 10 20 30 40 50 \60 10° Slika 4.11: Potek kotov in hitrosti rotorjev devetvozliščnega sistema IEEE z napravo IPFC Kritični čas odstranitve motnje se v primerjavi s konstantnima vrednostma ?T1 = 280o, ?T2 20o po tabeli 3.17 poveča le za 2 ms. fi_t 1@st D -25 -50 -75 -100 -125 -150 x10 V0 30 40 50 60 fi_t 2 [ st ] t r _J_ 1 10 20 X^O TO------—59-^_ 60 ^ t[T^-] -20 -40 -60 -80 10 -0.5 Slika 4.12: Potek optimalnega kot ?T1 in odvisnega kota ?T2 naprave IPFC. Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 113 Pt 1 @PUD s—~~ ~^-^ 0.2 / / 0.1 / \ 10 2/0 30 40 50 60 -0.1 J Qt 1 0.05 -0.05 -0.1 tAT0VE -0.15 -0.2 -0.25 @pu D 10 20 30 40/^"~50 60 tAT^-E Pt_2 @puD Qt_2 @puD -0.275 10 28 30 40 50 60 tA~-E -0.3 s -0.325 -0.35 -0.375 w \5Q^ tAT^-E Slika 4.13: Potek injicirane delovne in jalove moči v posameznih vejah naprave IPFC Pozitivna vrednost injicirane delovne moči pomeni injiciranje moči v vejo. S slike 4.13 je razvidno, da se injicirane delovne in jalove moči v obdobju prvega nihaja precej spreminjajo. V času do 200 ms po odpravi motnje teče delovna moč iz veje 1 v vejo 2, po tom času pa teče moč iz veje 2 v vejo 1. 0.1 -0.1 -0.2 10 30 40 oO -0.425 114 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 115 4.3 Dušenje nihanj Regulacijsko strategijo, predstavljeno v poglavju 4.1, enako kot za izboljšanje stabilnosti prvega nihaja uporabimo tudi za dušenje nadaljnjih nihanj rotorskih kotov in s tem pretokov moči v EES. Nihajne enačbe sistema nadgradimo z dušenjem generatorja. Dušenje sistema smo hoteli doseči s čim manjšo injicirano serijsko napetostjo naprave UPFC oz. IPFC, ki smo jo po nekaj nihajih eksponencialno zmanjševali proti vrednosti 0. Topologija sistema po motnji, ki jo predstavlja tripolni kratki stik, ostane enaka topologiji pred motnjo, zato je stabilna ravnovesna točka sistema po odpravi motnje enaka stabilni ravnovesni točki sistema pred motnjo. Posledično se rotorski koti iznihajo na enako vrednost, kot jo imajo pred kratkim stikom. Rezultati so predstavljeni v naslednjih podpoglavjih. 4.3.1 Naprava UPFC Najprej smo napravo UPFC uporabili za dušenje nihanj v sistemu SMIB. UPFC je umeščen v sistem enako kot pri izboljševanju stabilnosti prvega nihaja, kot prikazuje slika 4.2. Motnjo v sistemu pomeni tripolni kratki stik na enem od vodov v bližini zbiralke 2 in traja 100 ms. Paralelni jalovi tok Iq smo nastavili na vrednost 0. Za sistem SMIB smo izvedli več simulacij dušenja nihanja. Potek kota in hitrosti rotorja ter potek amplitude in kota injicirane napetosti pri različnih vrednostih amplitude serijsko injicirane napetosti UT prikazujejo slike 4.14 do 4.18. kot_rotorja @rad D 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 hitrost_rotorja 100 200 300 400 500 600 700 t A -^- E @rad esD A tAT^E 100 )2tj0 \3t)0 |4C(0 \5CfO [600 \7*0 10° J Slika 4.14: Potek kota in hitrosti rotorja pri UT = 0 116 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti kot_rotorja @rad D 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 M /V ut @ 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 pu D 100 200 300 400 500 600 700 t A -^ E 100 200 300 400 500 600 700 t A -^ E fi_t @st D hitrost_rotorja @rad esD 4 2 \ 1((I0 l2fl)0 \ 3JD0 \J<00 500 600 700 t A -j^- E 250 200 150 100 50 .................................. tA^E 100 200 300 400 500 600 700 iuu Slika 4.15: Potek kota in hitrosti rotorja ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.025 kot_rotorja @rad D 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 U_t 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 @pu D .................................. tA~E 100 200 300 400 500 600 700 iuu 100 200 300 400 500 600 700 t A -^- E hitrost_rotorja @rad esD A { 1$0 S 2p0 ^00 400 500 600 700 10° fi_t 250 200 150 100 50 @st D 100 200 300 400 500 600 700 tAT^E -2 Slika 4.16: Potek kota in hitrosti rotorja ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.05 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 117 kot_rotorja @radD 1.5 A 1.25 1 o.75 j \ r^~ 0.5 \/ 0.25 U_t 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 @pu D .................................. tA~E 100 200 300 400 500 600 700 iuu 100 200 300 400 500 600 700 f-A ToV E hitrost_rotorja @rad esD 4 3 2 1 180 200 300 400 500 600 700 1A ToV E fi_t 250 200 150 100 50 @st D 100 200 300 400 500 600 700 t A -S— E Slika 4.17: Potek kota in hitrosti rotorja ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.1 \ kot_rotorja @radD 1.5 1.25 1 0.75 ¦ 0.5 0.25 U_t 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 @pu D 100 200 300 400 500 600 700 t A -S— E 100 200 300 400 500 600 700 t A T^- E hitrost_rotorja @rad esD 100 200 300 400 500 600 700 1A ToV E fi_t @st D 250 200 150 100 50 100 200 300 400 500 600 700 t A -S— E -1 -50 Slika 4.18: Potek kota in hitrosti rotorja ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.25 118 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti Naslednji primer uporabe opisane regulacijske strategije je regulacija naprave UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE. UPFC je v sistem vključen tako, kot je prikazano na sliki 4.4. Motnjo v sistemu pomeni tripolni kratki stik na enem od vodov v bližini zbiralke 7 in traja 100 ms. Potek kotov generatorjev brez dušenja z napravo UPFC (UPFC je vključen v omrežje, serijska injicirana napetost UT in paralelni jalovi tok Iq sta enaka 0) prikazuje slika 4.19. kot_rotorja _l[rad t [ -— 1 |1|D0 I SOtJ ) 3"** '* ,h""" "* 1fln -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 kot_rotorja _2[rad] 0.6 ¦ I 0.4 ¦ 0.2 WOO IGOO^ 300 400 500 600 700 iuu kot_rotorja _3[rad] 0.3 0.2 0.1 U II II 1/ If W If W \l t\~] CIO 1/200U 300 400 500^600 700 iUU -0.1 Slika 4.19: Potek kotov rotorjev pri velikosti injicirane serijske napetosti UT = 0 Simulacijo smo izvedli za UT = 0.05. Paralelni jalovi tok Iq smo nastavili na vrednost 0. Rezultate digitalne simulacije prikazuje slika 4.20. Pri večjih vrednostih UT dušenja ne izboljšamo – izboljša se dušenje generatorjev 1 in 2, medtem ko se dušenje generatorja 3 poslabša. Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 119 kot_rotorja _1 @rad -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 1)00 200 300 400 500 600 700 V------- tAT^-E u_t 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 @pu D 100 200 300 400 500 600 700 tAT^-E kot_rotorja _2 @rad D 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 fi_t @st D 50 25 A j-^___________________ -25 -50 A S E ~15 _^------......................... t ~ \ 100 200 300 400 500 600 700 10° -100 ¦ [j lOt) I 200 WO "400 500 600 700 fcAwE kot_rotorja _3 @rad D 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 00 200 300 400 500 600 700 tAT^-E Slika 4.20: Potek kotov rotorjev ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.05 Z enakim testnim sistemom kot v prejšnjem primeru smo na enak način poleg iskanja optimalnega kota ?T izvedli iskanje optimalne amplitude serijsko injicirane napetosti UT. Po pričakovanju glede na [21] je amplituda napetosti med trajanjem prvega nihaja in pri dušenju nadaljnjih nihanj vedno konstantna, tj. maksimalna glede na nazivno moč naprave. Rezultat digitalne simulacije je enak kot v primeru brez iskanja optimalne amplitude napetosti UT in je prikazan na sliki 4.20. Če bi ta primer posplošili in bi regulacijo serijske veje naprave UPFC primerjali z regulacijsko strategijo naprave SSSC, razvite s pomočjo vodilne funkcije Ljapunova v [4] kot bang-bang strategija, bi lahko ugotovili, da je regulacija serijske veje naprave UPFC zelo podobna bang-bang strategiji, le da fazorja napetosti UT ne spreminjamo z amplitudo UT, temveč s kotom ?T. V naslednji simulaciji smo poleg kota injicirane serijske napetosti po na novo razviti regulacijski strategiji optimirali tudi vrednost paralelnega jalovega toka Iq. Potek kotov 120 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti rotorjev ter potek velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.05 prikazuje slika 4.21. kot_rotorja _1 @rad |00 200 300 400 500 600 700 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 tAT^-E Ut 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 @pu D ............................^~-- tA-^E 100 200 300 400 500 600 700 10° kot_rotorja _2 @rad D 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 fi_t @st D 100 200 300 400 500 600 700 tA-^-E -25 -50 -75 -100 :.oo tAT^-E kot_rotorja _3 @rad D 0.3 (1 0.25 0.2 1 ', 0.15 1 / A 0.1 ' < V „_- 0.05 \l[ 1 0.05 U-00 200 300 400 500 600 700 tAT^-E Slika 4.21: Potek kotov rotorjev ter velikosti in kota serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT = 0.05 in optimalnem toku Iq Iz poteka kotov rotorjev je razvidno izboljšanje dušenja glede na prejšnji primer brez optimiranja toka Iq, vendar je izboljšanje relativno majhno. Paralelni jalovi tok naprave UPFC ima podoben vpliv na sistem kot naprava STATCOM. Energijska funkcija naprave STATCOM je enaka drugemu delu energijske funkcije naprave UPFC (2.17), ki predstavlja vpliv toka Iq. Regulacijska strategija naprave STATCOM, ki je v [4] izpeljana na podlagi vodilne funkcije Ljapunova, je predstavljena kot bang-bang strategija glede na odvod napetosti zbiralke, na katero je priključen STATCOM. Po bang-bang strategiji na podlagi vodilne funkcije Ljapunova [4] se tok Iq naprave STATCOM spreminja po tej enačbi: 2001350 ^00 500 600 700 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 121 Iqmin max U<0 (4.2) kjer je Ui napetost priključne zbiralke naprave STATCOM. Po tukaj predstavljeni regulacijski strategiji smo pričakovali podoben potek toka Iq glede na odvod napetosti na zbiralki 2 po sliki 4.4. Potek toka Iq in amplitude napetosti U2 na priključni zbiralki naprave UPFC prikazuje slika 4.22. I_q @pu D tAT^-E U2 1.06 @pu D /u 100 200 300 400 500 600 700 tA~-E Slika 4.22: Potek toka Iq in napetosti U2 na priključni zbiralki naprave UPFC S slike 4.22 lahko razberemo delno ujemanje poteka toka Iq glede na odvod napetosti U2. Tu je treba poudariti, da se na novo razvita regulacijska strategija razlikuje od strategije z uporabo vodilne funkcije Ljapunova, kot je opisano v poglavju 4.1. I q 0.04 0.02 100 200 300 400 500 600 700 -0.02 -0.04 1.04 1.02 0.98 0.96 0.94 122 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti Naslednji simulacijski primer se nanaša na regulacijo dveh naprav UPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE, ki sta v sistem vključeni na zbiralkah 4 in 8 glede na sliko 4.7. Motnjo v sistemu ponovno pomeni tripolni kratki stik na enem od vodov v bližini zbiralke 7 in traja 100 ms. Paralelni jalovi tok Iq1 in Iq2 smo nastavili na vrednost 0. Simulacijo smo izvedli za UT1 = UT2 = 0.05 p.u. Rezultate digitalne simulacije prikazuje slika 4.23. kot_rotorja _1 @rad TOO 200 300 400 500 600 700 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 U_t_l 0.05 tAroVE °'04 0.03 0.02 0.01 @pu D 100 200 300 400 500 600 700 tAT^-E kot_rotorja _2 @rad D 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 TOO 200 300 400 500 600 700 tAT^-E fi_t1 @st D 250 200 150 100 50 /1 A 100 200 300 400 500 600 700 tAT^-E kot_rotorja _3 @rad D 0.3 0.2 0.1 l\ lo^ 200 300 400 500 600 700 U_t_2 0.05 0.04 0.03 0.02 MtoVE 0.01 @pu D 100 200 300 400 500 600 700 tAT^-E fi_t2 @st D 80 60 40 20 -20 -40 Vf 20J ux A A J" 300 400 500 600 TOO tA~-E in 10° -o.l -0.1 Slika 4.23: Potek kotov rotorjev ter velikosti in kotov serijsko injicirane napetosti UT pri največji možni vrednosti UT1 = UT2 = 0.05 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 123 Rezultati dušenja so zelo podobni kot v prejšnjem primeru z eno samo napravo UPFC. Glede medsebojnega vpliva posamezne naprave UPFC smo z dodatnimi digitalnimi simulacijami ugotovili, da druga na drugo bistveno ne vplivata; enak potek kota ?T1 kot na sliki 4.23 dobimo tudi pri konstantnem kotu ?T2 in enak potek kota ?T2 pri konstantnem kotu ?T1. Podobno so ugotovili tudi avtorji v [14]. 4.3.2 Naprava IPFC Podobno kot za napravo UPFC smo regulacijsko strategijo, predstavljeno v poglavju 4.1, uporabili za regulacijo naprave IPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE. IPFC je v testni sistem vključen enako kot pri dušenju prvega nihaja, to je v bližini generatorja 3, kot to predstavlja slika 4.10. Z na novo razvito regulacijsko strategijo smo regulirali kot injicirane napetosti v veji 1 glede na sliko 4.10. Motnjo v sistemu pomeni tripolni kratki stik na enem od vodov v bližini zbiralke 7 in traja 50 ms. Simulacijo smo izvedli za UT1 = 0.04 p.u. in UT2 = 0.08 p.u. Rezultate digitalne simulacije prikazuje slika 4.24. Pri regulaciji naprave IPFC moramo omeniti, da soodvisnost posameznih vej zahteva dodatno obravnavo. Kot proste parametre smo v poglavju 2.2.3 določili UT1, UT2 in ?T1. Ker pa je delovna moč PT, ki se pretaka med vejama naprave IPFC, odvisna od toka posamezne veje, parametri UT1, UT2 in ?T1 niso povsem prosti. Če predpostavimo konstantna parametra UT1 in UT2, potem moramo območje regulacije ?T1 glede na stanje omrežja sproti določiti tako, da veja 1 ne proizvaja ali porablja večje moči, kot jo veja 2 lahko porabi oz. proizvede. Problem je še posebej aktualen pri nihanju sistema, ko tok veje 2 niha med pozitivno in negativno vrednostjo, kajti čim bolj se tok približuje vrednosti 0, tem manjše je regulacijsko območje kota ?T1, pri vrednosti toka 0 pa je možen en sam kot ?T1 (ob predpostavki da veja injicira samo induktivno ali samo kapacitivno moč). Pri tem nastane tudi problem pravilne izbire začetne vrednosti numeričnega reševanja pretoka moči, da dobimo pravega od dveh možnih kotov ?T2 glede na želeno injicirano induktivno ali kapacitivno moč veje 2. 124 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti kot_rotorja _l@raD! Ut_l 0.04 @pu D -0.04 fj -0.06 J) W -0.08 [ 200 400 600 800 -0.12 u tAToVE °'01 200 400 600 tAT|-E kot_rotorja _2 @ raD! 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 200 400 600 800 tAT^-E fi t 1 st D 350 300 ) 250 \ 200 150 100 A M 50 / 200 400 600 800 tAT|-E kot rotorja 3 0.175 /1 0.15 0.125 ,'"! 0.075 (V^ 0.05 1 y 0.025 V 400 600 Ut_2 @puD 0.08 — tA^E °-04 800 10° 200 400 fcAwE fl t 1 ~320~ st D 300 fl \ 280 260 K ^ 240 400 600 800 tA~-E 0.03 0.02 300 0.06 0.02 600 300 200 Slika 4.24: Potek kotov rotorjev ter velikosti in kotov serijsko injicirane napetosti UT1 in UT2 naprave IPFC v devetvozliščnem sistemu IEEE Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti 125 4.4 Sklepne ugotovitve uporabe nove regulacijske strategije Rezultati dušenja prvega nihaja kažejo, da naprave FACTS lahko ob primerni regulacijski strategiji izboljšajo tranzientno stabilnost sistema. Pri iskanju optimalne regulacije smo se osredotočili predvsem na regulacijo kota serijsko injicirane napetosti naprave UPFC. Kot smo pričakovali glede na [4] in [21], sta velikosti serijsko injicirane napetosti in paralelnega jalovega toka naprave UPFC med trajanjem prvega nihaja optimalni, ko sta nastavljeni na največjo možno vrednost. To smo potrdili z rezultati testnih simulacij, predstavljenih v tem poglavju. Glede na te rezultate lahko ugotovimo, da se kot injicirane serijske napetosti med trajanjem prvega nihaja ne spreminja hitro in da je razlika pri izboljšanju tranzientne stabilnosti v primerjavi z določenim konstantnim kotom skoraj zanemarljiva. Vendar moramo pri tem poudariti, da optimalni kot po tu predstavljeni strategiji iščemo sproti glede na izmerjene parametre omrežja, medtem ko za določitev omenjenega konstantnega kota regulacijske strategije, ki bi temeljila na meritvah parametrov omrežja, ne poznamo in ga v tej doktorski disertaciji določamo s ponavljanjem simulacij. Rezultati regulacijske strategije dušenja nihanj kažejo precejšnjo podobnost z bang-bang strategijo naprav FACTS, opisano v [4], s to razliko, da skočno spremembo regulabilnih parametrov serijske veje naprave UPFC predstavimo s spremembo kota in ne s spremembo amplitude, kot je to prikazano v [4] za napravo SSSC. Iz rezultatov dušenja nihanja sistema lahko ugotovimo, da je dušenje z napravami FACTS zelo učinkovito. V sistemu SMIB lahko z dovolj veliko injicirano serijsko napetostjo naprave UPFC nihanje zadušimo v prvem nihaju. Drugače pa je v sistemu z več generatorji. V devetvozliščnem sistemu IEEE s tremi generatorji dušenje z napravami FACTS kljub temu lahko ocenimo kot zelo učinkovito, vendar z večanjem moči naprave FACTS ne moremo doseči iznihanja generatorjev v prvem nihaju. Vsak generator ima svojo frekvenco nihanja, z energijsko funkcijo pa dušimo skupno nihanje. Pri tem je dušenje manjših generatorjev (tj. v našem devetvozliščnem testnem sistemu IEEE generator 3) slabše. 126 Regulacija naprav FACTS za izboljšanje tranzientne stabilnosti Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS 127 5 Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS 5.1 Uvod V tem poglavju so na enem mestu zbrane energijske funkcije vseh naprav FACTS za EES z ohranjeno strukturo omrežja. Poleg energijskih funkcij naprav, ki so vključene v to doktorsko disertacijo, podajamo tudi že znane energijske funkcije drugih naprav FACTS, določenih v različni literaturi. Za zapis energijskih funkcij smo uporabili poenotene oznake. Serijske naprave FACTS so vključene med zbiralki i in j z napetostma Ui in Uj ter kotoma ft in ft. Pri tem velja ft, = ft - ft. Impedanco transformatorja serijskih naprav smo označili z XTRS, amplitudo serijsko injicirane napetosti z UT in kot serijsko injicirane napetosti s ^. Pri serijskih napravah FACTS, ki so definirane kot napetostni vir, smo tisti del energijske funkcije, ki ga prispeva sama impedanca XTRS serijskega transformatorja, v zapisu energijske funkcije naprave izpustili in to impedanco v celotni energijski funkciji EES upoštevali kot del omrežja. 5.2 Energijske funkcije naprav FACTS 5.2.1 SVC Energijska funkcija naprave SVC je povzeta po [1], kjer je SVC modeliran kot paralelna spremenljiva susceptanca BSVC in je med trajanjem prehodnega pojava konstantna, tj. maksimalna. Energijska funkcija je enaka polovici injicirane jalove moči naprave SVC. V=-B-U 2 (5.1) 5.2.2 CSC Energijska funkcija naprave CSC je povzeta po [33], kjer je CSC modeliran kot spremenljiva serijska susceptanca BCSC, izpeljana iz kapacitivnosti kondenzatorja in je med trajanjem 128 Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS prehodnega pojava konstantna, tj. maksimalna. Energijska funkcija je enaka polovici injicirane jalove moči naprave CSC. V CSC = -BCSC-( Ui 2+U2-2UiUjcos (i + (pT ) (5.10) TRS TRS Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS 131 5.2.9 UPFC Energijska funkcija naprave UPFC je določena v tej doktorski disertaciji. UPFC je modeliran kot serijsko vezan napetostni vir spremenljive amplitude UT in spremenljivega kota pT glede na kot i in paralelno priključenim tokovnim virom Iq. Za definiranje energijske funkcije smo upoštevali vse tri regulabilne parametre UT, (fh in Iq kot konstantne. Paralelni tokovni vir Iq lahko obravnavamo ločeno kot samostojno napravo STATCOM. Energijska funkcija je enaka celotni injicirani jalovi moči naprave UPFC. V UPFC=XU T(Ui-cos(^T)-Uj-cos(^.+^T)) + UirIq (5.11) 5.2.10 BESS-UPFC Energijska funkcija naprave UPFC s hranilnikom energije je določena v tej doktorski disertaciji. Serijska veja naprave BESS-UPFC je modelirana enako kot serijska veja UPFC, paralelna veja pa kot BESS-STATCOM. Glede na regulacijo paralelnega delovnega toka Ip, ki je razlika med delovno močjo serijske in paralelne veje, smo definirali dve energijski funkciji. Za definiranje energijske funkcije smo pri izpeljavi obeh energijskih funkcij upoštevali prve tri regulabilne parametre UT, (?t in Iq kot konstantne. Pri prvi izpeljavi smo poleg konstantnih parametrov UT, (?t in Iq upoštevali konstanten delovni tok Ip. Energijska funkcija je enaka vsoti celotne injicirane jalove moči naprave UPFC in integralu paralelne delovne moči po kotu fa. VBESS-UPFC 1 = VUPFC + IT2 " j Ui ' di (5.12) Pri drugi izpeljavi smo poleg konstantnih parametrov UT, (fh in Iq upoštevali konstantno delovno moč paralelne veje PT, ki je razlika med delovno močjo serijske in paralelne veje. Energijska funkcija je enaka vsoti celotne injicirane jalove moči naprave UPFC ter produktu paralelne delovne moči in kota fa. 132 Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS VBESS-UPFC 2 = VUPFC + PT ' ft (5 13) 5.2.11 GUPFC Energijska funkcija naprave GUPFC je določena v tej doktorski disertaciji. GUPFC z n serijskimi vejami in eno paralelno vejo smo predstavili z n samostojnih naprav UPFC. Pri tem je posamezna serijska veja naprave GUPFC enaka serijski veji posamezne naprave UPFC, paralelna veja naprave GUPFC pa je enaka vsoti paralelnih vej vseh posameznih naprav UPFC. Za definiranje energijske funkcije smo upoštevali vse regulabilne parametre, tj. amplitude in kote serijsko injicirane napetosti posamezne veje UT in ^ ter paralelni tok Iq, konstantne. Energijska funkcija naprave UPFC z n serijskimi vejami je enaka celotni injicirani jalovi moči naprave. VGUPFC 2-1 w=1 UTw XTRSw (Ui ¦ cos (i. Vsota injiciranih delovnih moči posameznih serijskih vej je enaka 0. Glede na regulacijo regulabilnih parametrov smo definirali dve energijski funkciji. Pri definiranju prve energijske funkcije smo upoštevali konstantne amplitude napetosti UT v vseh vejah in konstantne kote ^ v vseh razen v prvi veji naprave IPFC. Kot ^ v prvi veji je odvisen od delovne moči v preostalih vejah. Energijska funkcija je enaka seštevku vsote injiciranih jalovih moči posameznih vej in integrala injicirane delovne moči po kotu pT prve veje naprave IPFC. Povzetek energijskih funkcij naprav FACTS 133 n (U iU T UUT VIPFC 1 = Z X^ cos (^Tv ) - cos (3-v + ^Tv ) v=1 V TRSv X TRSv + T1 \ \_Ui ¦ sin (pT1)-Uk• sin (^ + <3T1 )]d<3T (5.15) Pri definiranju druge energijske funkcije smo upoštevali konstantne amplitude napetosti UT in konstantne injicirane delovne moči PT v vseh vejah naprave IPFC. Energijska funkcija je enaka seštevku vsote injiciranih jalovih moči posameznih vej ter vsote produktov delovne moči PT in kota ^ posameznih vej naprave IPFC. n VIPFC 2 — 21 v= iU Tv cos((pTv)-V TRSv X cos(^i. TRSv -v+^Tv) v=1 PTv Eo in <5o *) tkarak = 0.001; tpre = 0.1; Ut = 0.1; gama = 85 /180* tt; Iq = 0.0; tks = 0.145; tpo = 0.6; stdpre = tpre / tkorak; stdks = tks / tkorak ; stdpo = tpo / tkorak ; m = 6.6/ (2*tt*60) ; Sb =1500; Ub = 500; Sb = Ub2 / Sb; Yb = 2b-1 ; xd = 0.27; Bxri = Im[l/ (ixd)] ; B12 = Im[l/ (i 32.7557/Zb)] ; B23 = Im[l/ (i 63.5786/Zb)] ; Bil = Im[l/(-1101.1 i/Sb)] ; B22 = Im[l/(-542.24i/Zb)] ; tdVA = 265; Uks = 3.75; Bxopfc = Im[l/ (i Ub2 /l$7A* (Uks /100) /Zb) 1 ; PL =-150. / Sb; (* P breme *) dO = 30 /180* 7t; % * 180 / tt; Y3 = 1; ©3 = 0; VLo = 1; 6lo = dO; (* LF vozlišča 2 *) LE1 = EindRoot[{- B12 VloV2 Sin[e2 - elo] - Bxupfc V2 VmidSin[e2 - emid] - PL== 0, - (Bil + B12 + Bxupfc) V2 2 + B12 VLo^ Cos [62 - elo] + Bxupfc^ MnidCos[e2 - emid] - QL== 0, -BxupfcVmidV2 Sin[emid-e2] - B23 VmidV3 Sin[emid-e3] ==0, - (Bxupfc + B22 + B23) Mnid2 + Bxupfc %iid V2 Cos [emid- e2] + B23^ftnidY3Cos[emid- e3] == 0] , {V2, 1.}, {Mnid, 1} , {e2, 0.47}, {emid, 0.34}] ; V22 = V2 /. Part[LEl, 1] ; %iidd = ^ftnid / . Part [ LF1, 2] ; 622 =62 /. Part[LEl, 3] ; emidd = emid / . Part [ LF1, 4] ; (* Vozlišče 1 proti 2 *) (* netomac kaze enako *) "P2=" (- B12 VLo V22 Sin [elo- e22]) * 1500; Pm = P = % /1500 ; (- ((Bil + B12) VLo2 - (B12 VLo V22 Cos [elo - e22])) * 1500) ; Q = %/1500; (* LF vozlišča 1 in 2 *) (* vzamem moči iz prejšnjega LF *) Ug = Cos [dO] + i * Sin [dO] ; 10 = (P-Qi) / (1 (Cos[dO] -iSin[d0])) ; EE = l(Cos[d0] +iSin[d0]) +xdi*I0; "E=" El = Abs [ EE] ; "50=" 50 = Arg[EE] ; %*180/tt; (* vse OK *) (* LF vozlišča 1, 2, MLd *) 146 Priloge LF2 = FindRoot[{ - Bxd ElVLSin[el-<50] - B12VL V2 Sin[el - e2] == 0, - (Bxd + B12 + Bll) VL2 + Bxd El VLCos[el- <50] + B12 VL V2 Cos[e2 - el] == 0, - B12 VLV2 Sin[e2-el] - Bxupfc V2 VmidSin[e2 -emid] - PL== 0, - (B12 + Bxupfc + Bll) V2 2 + B12 VL V2Cos[e2 -el] + Bxupfc V2 VmidCos[e2 - emid] - QL == 0, == u 3] - Bxupfc Vmid V2Sin[emid-e2] - B23 VmidV3 Sin[emid-e3] == 0, - (Bxupfc+ B23 + B22) Vmid2 + Bxupfc Vmid V2 Cos [emid- e2] + B23 Vmid V3 Cos [emid-e3] == 0 }, {VL, 1.} , {V2, 1.}, {Vmid, 1.}, {el, 0.47}, {e2, 0.35}, {emid, 0.35}] ; WL = W2 = eel = ee2 = Wmid = eemid = {} ; <5l = {60} ; = 0, solution = NDSolve[ {delta ' ' [t] *m- Pm == 0, delta [0] == Last[dl] , delta ' [0] == Last[ul] } , delta, {t, 0, tkorak}] ; <5<5l = (delta /. Last [solution]) [tkorak] ; uul = (delta' /. Last [solution]) [tkorak] ; AppendTo[<5l, <5<5l] ; i^ppendTo[wl, Eo in <5o *) tkorak = 0.001; Ut = 0.1; Iq = 0.0; gama = 85 / 180 * tt ; tks =0.3; tpo = 0.8; stdks = tks / tkorak; stdpo = tpo / tkorak; m =6.6/ (2*tt*60) ; Sb =1500; Ub = 500; 2b = Ub2 / Sb; Yb = 2b-1; xd = 0.27; Bxd = Im[l/ (ixd)] ; B12 = Im[l/ (i 32.7557/Sb)] ; B23 = Im[l/ (i 63.5786/Zb)] ; Bil = Im[l/ (-1101.1 i/ Sb)] ; B22 = Im[l/ (-542.241/ Sb)] ; MWft = 265; Uks = 3.75; Bxsssc = Im[l/ (i Ub2/MWA* (Uks /100) /Sb) 1 ; PL =-150. / Sb; (* P breme *) dO = 30 / 180 * 7t ; %*180/tt; V3 = 1; ©3 =0; Vlo = 1; ©lo = dO; 1 .2 1 .1 0 .9 0 .8 148 Priloge (* LF vozlišča 2 *) LF1 = FindBoot[{ - B12 Vlo V2 Sin[e2 - elo] - Bxsssc V2 Vmid Sin [62 - emid] - PL== 0, - (Bll + B12 + Bxsssc) V2 2 + B12 Vlo V2 Cos [62 - elo] + Bxsssc V2 VmidCos [62 - emid] - QL == 0, - Bxsssc VmidV2 Sin [emid- 62] - B23 VmidV3 Sin [emid- S3] == 0, - (Bxsssc + B22 + B23) Vmid2 + Bxsssc VmidV2 Cos [emid- e2] + B23 VmidV3 Cos [emid- e3] == 0} , {V2, 1.}, {Vmid, 1}, {62, 0.47}, {emid, 0.34}] V22 = V2 /. Part[LFl, 1] ; Vmidd = Vmid / . Part[ LF1, 2] ; 622 =62 /. Part[LFl, 3] ; 6midd = emid/. Part[LFl, 4] ; (* Vozlišče 1 proti 2 *) (* netamac kaze enako *) "P2=" (- B12 Vlo V22 Sin[6lo-622] )* 1500 Pm = P = % /1500; "Q2=" (- ((Bil + B12) Vlo2 - (B12 Vlo V22 Cos [elo- 622])) * 1500) Q = % / 1500; (* LF vozlišča 1 in 2 *) (* vzamem moči iz prejšnjega LF *) Ug = Cos[dO] + ±*Sin[dO] ; 10 = (P-Q±) / (1 (Cos[dO] - iSin[dO])) ; EE = 1 (Cos [dO] + i Sin [dO]) + xd±*I0; "E=" El=Lbs[EE] "50=" 50 = Arg[EE] ; % * 180 / -k (* vse GK *) (* LF vozlišča 1, 2, Mid *) LF2 = FindRoot[{ - Bxd El VI Sin[el - 50] - B12 VI V2Sin[6l - 62] == 0, - (Bxd+ B12 + Bil) VI2 + Bxd El VlCos[el - 50] + B12 VI V2Cos[62 - el] == 0, - B12 VI V2 Sin[e2 - 61] - Bxsssc V2 VmidSin[62 - emid] - PL == 0, - (B12 + Bxsssc + Bil) V2 2 + B12 VI V2 Cos [62 - el] + Bxsssc V2 VmidCos [62 - emid] - QL == 0, - BxssscVmidV2Sin[6mid-e2] - B23 Vmid V3 Sin [emid- 63] == 0, - (Bxsssc + B23+ B22) Vmid2 + Bxsssc Vmid V2 Cos [emid-62] + B23 Vmid V3 Cos [emid- 63] == 0 }, {VI, 1.}, {V2, 1.}, {Vmid, 1.}, {61, 0.47}, {62, 0.35}, {emid, 0.35}] Wl = W2 = eel = 662 = Witid = eemid = { } ; 51={50}; wl = {0} ; YL2 = (PL- QL*±) / V222 ; YL2r = Ite[YL2] ; YL2i = Im[YL2] ; Wl = W2 = eel = 662 = { } ; LF3 = FindRoot[{ - Bxd El VI Sin [el - 50] - B12 VI V2Sin[6l - 62] == 0, - (Bxd+ B12 + Bil) VI2 + Bxd El VlCos[el - 50] + B12 VI V2Cos[62 - el] == 0, - B12 VI V2 Sin[e2 - 61] - Bxsssc V2 VmidSin[e2 - emid] - YL2rV22 == 0, - (B12 + Bxsssc + Bil) V2 2 + B12 VI V2 Cos [62-61] + Bxsssc V2 VmidCos [62 - emid] + YL2i V22 == 0, - BxssscVmidV2Sin[6mid-e2] - B23 Vmid V3 Sin [emid- 63] == 0, - (Bxsssc + B23+ B22) Vmid2 + Bxsssc Vmid V2 Cos [emid-62] + B23 Vmid V3 Cos [emid- 63] == 0 }, {VI, 1.}, {V2, 1.}, {Vmid, 1.}, {61, 0.47}, {62, 0.35}, {emid, 0.35}] Vil = VI /. Part[LF3, 1] ; Wl = {VL1}; V22 = V2 / . Part[LF3, 2] ; W2 = {V22}; Vmidd = Vmid / . Part[ LF3, 3] ; VWnid= {Vmidd}; 611 = el /. Part[LF3, 4] ; eel ={ell}; 622 = 62 / . Part [ LF3, 5] ; 662 = {622} ; emidd = emid / . Part [ LF3, 6] ; eemid = {emidd} ; Priloge 149 (* Eanl1 *) (* izračun napetosti med KS *) num = stdks; LF4 = EindRoot[{ - Bxsssc V2 VmidSin[e2 - emid] - YL2rV22 == 0, - (B12 + Bxsssc + Bil) V2 2 + Bxsssc V2 VmidCos[e2-emLd] + YL21V22 == 0, - BxssscVmidV2Sin[emid-e2] - B23 Vmid V3 Sin [emid-e3] == 0, - (Bxsssc+ B23 + B22) Vmid2 + BxssscVmidV2Cos[emid-e2] + B23 VmLd V3Gos [emid-e3] == 0 }, {V2, 1.}, {Vmid, 1.}, {e2, 0.35}, {emid, 0.35}] ; V2ks = V2 /. Eart[LF4, 1] ; Vmidks = Vmid /. Eart [ LF4, 2] ; e2ks = e2 /. Eart[LF4, 3] ; emidks = emid /. Part [ LF4, 4] ; (* izračun trajektorije *) Ptiile[ (num = num - 1) >= 0, solution = N)Solve[{delta'' [t] *m- Em == 0, delta[0] == Last[(5l] , delta' [0] == Last[ul]}, delta, {t, 0, tkorak}] ; 661 = (delta /. Last [solution]) [tkorak] ; wwl = (dpi ta' /. Last [solution]) [tkorak] ; 3ppendTo[(5l, 661] ; 2ppendTo[tol, mil] ; ^pendnb[Wl, 10"12] ; ^pendOtofeel, 10"12] ; appendTo[W2, V2ks] ; žppendTo [ee2, e2ks] ; 2ppendTo[V\finid, Vmidks] ; AppendTo [eemid, emidks] ; ]; IistPlot[<5l] LLStPlot [tal] (* Eost Fault *) (* Energijske funkcije*) II = x / Wll = W22 = Vtfridd = {1} ; eell = {0.47} ; ee22 = {0.35} ; eemidd = {0.23} ; While[n< Length[Wl] , 50 = Eart [51, n] ; LF5 = E±ndRoot[{ - Bxd ElVLSin[el-(50] - B12 VIV2 Sin [el - e2] == 0, - (Bxd+ B12 + Bil) VL2 + Bxd El VlCos[el- 60] + B12 VI V2Cos[e2-el] == 0, - B12 VI V2Sin[e2-el] - Bxsssc V2 VmidSin[e2-emid] - YL2rV22 - (VmidUt Bxsssc Sin [e2-emid + gama]) == 0, - (B12 + Bxsssc + Bil) V22 + B12 VI V2Cos[e2-el] + Bxsssc V2 Vmid Cos [e2 - emid] + YL2i V22 - (V2 Ut Bxsssc Cos [gama]) - V2Iq== 0, - Bxsssc Vmid V2 Sin [emid-e2] - B23 Vmid V3 Sin [emid-e3] - (-VmidUt Bxsssc Sin [e2-emid + gama]) ==0, - (Bxsssc + B23+B22) Vmid2 + Bxsssc Vmid V2 Cos [emid-e2] + B23 Vmid V3 Cos [emid-e3] - (-VmidUt Bxsssc Cos [e2 -emid + gama]) == 0 }, {VL, Last[Wll]}, {V2, Last[W22]}, {Vmid, Last[V\JnLdd]}, {el, Last[eell]}, {e2, Last[ee22]}, {emid, Last[eemidd]}] ; Vil = VL /. Eart[LF5, 1] ; ^pendnto[Wll, Vil] ; V22 = V2 /. Eart[LF5, 2] ; 3ppendTo[W22, V22] ; Vmidd = Vmid /. Eart[LF5, 3] ; LppendTo[V\JnLdd, Vmidd] ; ell =el /. Eart[LF5, 4] ; LppendTo[eell, ell] ; e22 =e2 /. Eart[LF5, 5] ; ^ppendTo[ee22, e22] ; emLdd = errd.d /. Eart[LF5, 6] ; AppendTo [eemidd, emidd] ; n = n + 1; ] 150 Priloge (* Fault *) (* izračun napetosti med KS *) num = stdks ,* LF4 = FindRoot[{ - Bksssc V2 ^finidSin[e2 - emid] - YL2rV22 ==0, - (B12 + Bxsssc+ Bil) V22 + Bxsssc V2 ^ftnidCos[e2 - emid] + YL2iV22 == 0, - Bxsssc ¦tfnidV2Sin[emid-e2] - B23 ^ftnidV3 Sin [emid-e3] == 0, - (Bxsssc+ B23 + B22) VtaLč2 + Bxsssc ^finidY2 Cos [emid- 62] + B23 ^ftnidV3Cos [emid- 63] == 0 }, {V2, 1.}, {^ftnid, 1.}, {e2, 0.35} , {emid, 0.35}] ; V2ks = V2 /. Eart[LF4, 1] ; ^finidks = VtaLč i . Eart[LF4, 2] ; e2ks =e2 /. Part[LF4, 3] ; emidks = emid /. Part[LF4, 4] ; (* izračun trajektorije *) While[(num = num - 1) >=0, solution = NDSolve[{delta1 ' [t] *m - Pm == 0, delta[0] == Last[61] , delta' [0] == Last[wl] } , delta, {t, 0, tkorak}] ; ¦561 = (delta / . Last [solution]) [tkorak] ; wwl = (delta1 /. Last [solution]) [tkorak] ; 2ppend!Ito[6l, 661] ; 2ppend!Ito[wl, wwl] ; SppendTto [Wl, 10"12] ; SppendTto [eel, 10-12] ; SppendOto [W2, V2ks] ; SppendTo [ee2, e2ks]; ftppendTo [Wnid, ^ftnidks] ; ftppendTo [eemid, emidks] ; ]- ListPlot[6l] ListPlot[wl] (* Post Fault *) (*Energijske funkcije*) n = 1 / Wll = W22 = Wnidd = {1} ; eell={0.47}; 6622 ={0.35}; eemidd = {0.23} ; While[ns Length[WL] , ¦50 = Part [61, n] ; LE5 = FindRoot[{ - Bxd ElVlSin[el-50] - B12 VI V2Sin[6l-e2] == 0, - (Bxd + B12+ Bil) VI2 + Bxd ElVlCos[el - 50] + B12 VIV2Cos[62 - el] ==0, - B12 VI V2Sin[e2 - el] - Bksssc V2 VmidSin[e2 -emid] - YL2rV22 - (VmidUt BxssscSin[e2 -emid+ gama]) == 0, - (B12 + Bksssc + Bil) V2 2 + B12 VIV2 Cos[e2 - el] + Bksssc V2 VmidCos[e2 - emid] + YL2i V22 - (V2 Ut Bxsssc Cos [gama]) - V2 Iq == 0, - Bksssc VmidV2Sin[emid-e2] - B23 VmidV3 Sin [emid - e3] - (-VmidUt Bksssc Sin[e2 -emid+ gama]) ==0, - (BKSSSC+ B23+ B22) Vmid2 + Bksssc VmidV2 Cos [emid- e2] + B23 VmidV3Cos [emid-e3] - (-VmidUt Bxsssc Cos [b2 - emid+ gama]) == 0 }, {VI, Last[Wll]}, {V2, Last[W22]}, {Vmid, Last[Wnidd]}, {el, Last[eell]}, {e2, Last[ee22]}, {emid, Last [eemidd]} ] ; Vil = VI /. Part[LF5, 1] ; 2^pendTo[Wll, Vil] ; V22 = V2 /. Part[LE5, 2] ; J^pendTo[W22, V22] ; Vmidd = Vmid / . Part [LE5, 3] ; AppendTo[Vttnidd, Vmidd] ; ell =el /. Part[LF5, 4] ; 2^pendTo[eell, ell] ; e22 =e2 /. Part[LF5, 5] ; 2^pendTo[ee22, e22] ; emidd = emid /. Part [ LF5, 6]; AppendTo [eemidd, emidd] ; n = n + 1 ,* ] W11 = nrop[Wll, 1] ; W22 = Drop[W22, 1] ; VWnidd = Drop [VWnidd, 1] ; eell = Drop [eell, 1] ; ee22 = Drop [ee22, 1]; eemidd = Drop [eemidd, 1]; Vk = 0.5 * m * wl2 ; Vpil =-Pm*51; Vpl2 = 0.5*YL2iW222; Vpl3 =-0.5* ((BKd+ B11+ B12) * W112 + (B12 + B11+ Bksssc) * W222 + (Bksssc + B22 + B23) * Wnidd2 + (B23+ B22) * V32) ; Vpl4 = (BKd*El*Wll*Cos[51-eell] + B12* W11*W22* Cos [eell-ee22] + Bksssc* W22 *Wnidd* Cos [eemidd -ee22] + B23 * Wnidd* V3 * Cos [eemidd- e3]); Vpupfc = - Ut Bksssc (W22 Cos [gama] - VttniddCos [ee22 - eemidd+ gama]) - W22 Iq; Pkrozna = - Ut Bksssc (W22 Sin[gama] + WniddSin[ee22 - eemidd+ gama]) ; num = Length[Vpll] ; Priloge 151 (* Lfoc bremen numericno *) Vpl5tenip = 0 ,* Vpl5 = {} ; n = 1 / While[n < Length [Vpil] , Vpl5temp = Vpl5temp + (- YL2r* Part[W22, n]2J * (Part[ee22, n+ 1] - Part[ee22, n]) ; Appendnto[Vpl5, Vpl5temp] ; n = n+ 1 AppendTo [Vpl5, Vpl5temp] ; "Vp" Vp = Vpil + Vpl2 + Vpl3 + Vpl4 + Vpl5 + Vpupfc; ListPlot[ Vp] "Vk" ListPlot [Vk] "Vk+Vp" V = Vk + Vp ,* ListPlot[V] "P krožna" ListPlot [ Pkrozna] Ver = Max[Vp] n = 1 / While[ (V[ [n] ] - Ver < 0) , n = n+ 1] ; "ter" ter = (n - 1) * tkorak {V2-»1.02615,Vmid-»1.04418,e2-»0.376797,emid-»0.244926} 0.960758 <50= 42.3939 {Vl-»1.,V2-»1.02615,Vmid-»1.04418,01-»0.523599,02-»O.376797,0mid-»O.244926} {Vl-»1.,V2-»1.02615,Vmid-»1.04418,01-»0.523599,02-»O.376797,0mid-»O.244926} 50 .100 150 200 250 300 Vp -2. 4 Vk 1 .4 1 .2 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 100 150 200 250 300 Vk+Vp 2 .5 1 .5 -2.1 -2.2 -2.3 50 152 Priloge -0.5 ¦0.75 -1 ¦1.25 -1.5 ¦1.75 50 100 150 200 250 300 ] .2 -1.97842 ter 0.144 i o o 150 200 250 300 9.2 Devetvozliščni IEEE testni sistem s tremi generatorji 9.2.1 Primer datoteke z dvema napravama UPFC na zbiralki 4 in 8 za določevanje CCT-jev po direktni metodi bME; L eZbME; Off@General::spellD Off@General::spelllD Sb = 100; Ub= 230; Zb = Ub2 /Sb; MHA= 100; Uks = 3.75; Xxts =3m[(iUb2/MHA* (Uks/100) / Zb) Bxts =3m[l/ (iUb2/MVA* (Uks/100) Bxtsl= Bxts; Bxts2 = Bxts; (*vod ostnae notri*) tkorak = 0.001; tks = 0.38; Utl = 0.10; Ut2 = 0.10; betal = 300 /180 * 7r; beta2 = 20 / 180 * 7r; deltabeta = 20 /180 * n; Iql = 0.1; Iq2 =0.1; bpo = 0.8; stdks = tks / tkorak; stdpo = tpo / tkorak; mL = 2364 / (60 7rl00) ; m? = 640/ (60 7rl00) ; m3 = 301 / (60 7rl00) ; Sb = 100; EL5 =-125/ Sb; QL5 =-50/ Sb; EL6 =-90/ Sb; QL6 =-30/ Sb; Et8 =-100/ Sb; QL8 =-35/ Sb; Ulo = 1.040; elo= 0; U2o = 1.025; e2o= 9.3/180. n; U3o = 1.025; e3o= 4.7/180. n; (* podatki *) xdl = 0.0608; xd2 =0.1198; xd3 = 0.1813; xtrl = 0.0576; xtr2 =0.0625; xtr3 = 0.0586; Bxdl =En[l/ (ixdl)] Bxd2 =En[l/ (ixd2)] Bxd3 =En[l/ (ixd3)] Btrl = En[l / (i xtrl) ] ; Btr2 =En[l/ (ixtr2)] ; Btr3 =En[l/ (ixtr3)] ; Z .Zb P krozna 50 ] .8 ] .6 J .4 Priloge 153 B45 = 3M[1/ (0.01 +i 0.085) ] ; B45y = 3M[i 0.088] ; B46 = 3M[1/ (0.017 +i 0.092) ] ; B46y = 3M[i 0.079] ; B75 = 3M[1/ (0.032 +i 0.161) ] ; B75y = 3M[i 0.153]; B78 = 3M[1/ (0.0085 +i 0.072) ] ; B78y = 3M[i 0.0745]; B96 = 3M[1/ (0.039 +i 0.170)] ; B96y = 3M[i 0.179]; B98 = 3M[1/ (0.0119 +i 0.1008)] ; B98y = 3M[i 0.1045]; (* susceptanoe vozli?č *) Bil = Bxdl + Btrl; B22 = Bxd2 + Btr2; B33 = Bxd3 + Btr3; B44 = Btrl + B45 + B45y + B46 + B46y; B44pf = Btrl + B45 + B45y; B44upfc2 = B44pf + Bxts2; B55 = B45 + B45y + B75 + B75y; B66 = B46 + B46y+ B96 + B96y; B77 = Btr2 + B78 + B78y + B75 + B75y; B88 = B78 + B78y + B98 + B98y; B88pf = B98 + B98y; B88upfcl = B88pf + Bxtsl; B99 = Btr3 + B96 + B96y + B98 + B98y; BFF = B78 + B78y; BKK = B46 + B46y; BF = BFF+ Bxtsl; BK= BKK+ Bxts2; (* susceptanoe vodov *) Blv4 = Btrl; B2v7 = Btr2; B3v9 = Btr3; B4v5 = B45; B4v6 = B46; B5v7 = B75; B6v9 = B96; B7v8 = B78; B8v9 = B98; LF = FindRoot[{-Blv4UloV4Sin[e4-elo] - B4v5 V4 V5Sin[e4-e5] - B4v6 V4 V6Sin[e4-e6] == 0, - B44 V42 + Blv4 UloV4Cos[e4- elo] + B4v5 V4 V5Cos[e4 - 65] + B4v6 V4V6Cos[e4 - 66] == 0, -B4v5 V4 V5 Sill[e5 - 64] - B5v7 V5 V7 Sill[e5- 67] - 115 == 0, -B55V52 + B4v5V4V5Cos[65-e4] + B5v7 V5 V7 Cos[e5 - 67] - ==0, -B4v6 V4 V6 Sin[e6 - 64] - B6v9 V6 V9 Sin[e6 - 69] - EL6 == 0, -B66V62 + B4v6 V4V6Cos[66-e4] + B6v9 V6 V9 Cos[e6 - 69] - QL6 == 0, -B2v7 U2o V7 Sin[e7 - 62o] - B5v7 V5 V7 Sin[e7 - 65] - B7v8 V7 V8 Sin[e7 - 68] == 0, - B77V72 + B2v7 U2oV7 Cos [67 - e2o] + B5v7 V5V7Cos[e7- 65] + B7v8 V7V8Cos[e7 - 68] == 0, -B7v8 V7 V8 Sin[e8 - 67] - B8v9V8 V9 Sin[e8 - 69] - ]»L8 == 0, -B88V82 + B7v8V7V8Cos[e8-e7] + B8v9 V8 V9 Cos[e8 - 69] == 0, -B3v9 U3o V9 Sin[e9 - 63o] - B6v9 V6 V9 Sin[e9 - 66] - B8v9 V8 V9 Sin[e9 - 68] == 0, -B99V92 + B3v9U3oV9Cos[69-e3o] + B6v9 V6 V9 Cos[e9 - 66] + B8v9 V8 V9 Cos[e9 - 68] == 0}, {V4, 1.}, {V5, 1.}, {V6, 1.}, {V7, 1.}, {V8, 1.}, {V9, 1.}, {64, 0}, {65, 0}, {66, 0}, {67, 0}, {68, 0} , {69, 0}] V44 = V4 /. Eart[LF, 1]; W4= {V44}; V55 = V5 /. Eart[LF, 2]; W5 = {V55}; V66 = V6 /. Eart[IF, 3]; W6 = {V66}; V77 = V7 /. Eart[IF, 4]; W7 = {V77}; V88= V8/. Eart[LF, 5]; W8 = {V88}; V99 = V9/. Eart[LF, 6]; W9 = {V99}; 644= 64/. Eart[IF, 7]; ee4 = {644}; 655 =65 /. Eart[LF, 8] ; ee5 = {655}; 666 = 66 /. Eart[LF, 9]; ee6 = {666}; 677 = 67 /. Part [IF, 10]; ee7 = {677}; 688 = 68 /. Part [IF, 11]; ee8 = {688}; 699 =69 /. Eart[LF, 12] ; 669 = {699}; EMI = Blv4UloV44Sin[e44-elo]; ftnl= -BtrlUlo (Ulo- V44 Cos[e44 - elo]); EM2 = B2v7U2oV77Sin[677-e2o] ; ftn2 = -Btr2U2o (U2o- V77 Cos[e77 - e2o]) ; Etti3 = B3v9U3oV99Sin[699-63o] ; ftn3= -Btr3U3o (U3o- V99 Cos[e99 - e3o]) ; ill = (EMI- Oid.*i) /Ulo; i22 = (EM2 - Qx&* i) / (U2o (Cos[e2o] - i Sin[e2o])); i33 = (EM3- Qii3*i) / (U3o (Cos[e3o] - i Sin[e3o])); ell = Ulo+ xdl*i *ill; El= Absfell]; 61 = Argfell]; <5lo= {<5l}; e22 = U2o (Cos[e2o] + i Sin[e2o]) +xd2i *i22; E2 = Abs[e22]; 62 = Arg[e22]; <52o= {62}; e33 = U3o (Cos[e3o] + i Sin[e3o]) +xd3i *i33; E3= Abs[e33]; .53 = Arg[e33]; <53o= {<53}; wl=w2=w3= {0}; YE5 = ( EL5 - QL5 * i) / V552 ; YL5r = Re[YL5] ; YE5i =-3M[ YE5] ; YL6 = (EL6 - QL6*i) / V662 ; YL6r = Re[YL6] ; YL6i =-3M[ YL6] ; YL8 = (EL8 - QL8*i) / V882 ; YL8r = Re[YL8] ; YL8i =-3M[ YL8] ; 154 Priloge IiF = FindRoot[{-Blv4 VI V4Sin[el-e4] - Bxdl VI El Sin[el - First [61o] ] == 0, -Bll VI2 + Blv4 VI V4 Cos [el - 64] + BxdlVl El Cos [el- First [61o] ] == 0, -B2v7 V2V7Sin[e2-e7] - Bxd2 V2 E2Sin[e2- First [62o] ] == 0, -B22 V22 + B2v7 V2 V7 Cos[e2 - e7] + Bxd2 V2 E2 Cos [e2 - First [62o] ] == 0, -B3v9V3V9Sin[e3-e9] - Bxd3 V3 E3Sin[63 - First [63o]] == 0, -B33V32 + B3v9 V3 V9 Cos [e3 - e9] + Bxd3 V3 E3 Cos [e3 - First [63o] ] == 0, - Blv4 VIV4 Sin[e4 - el] - B4v5 V4 V5 Sin[e4 - e5] - B4v6 V4 V6 Sin[e4 - e6] == 0, - B44 V4 2 + Blv4 VI V4 Cos [e4 - el] + B4v5 V4 V5 Cos [e4 - e5] + B4v6 V4 V6 Cos [e4 - e6] == 0, -B4v5V4V5Sin[e5-e4] - B5v7 V5 V7 Sin[e5 - e7] - YL5r * V52 == 0, -B55V52 + B4v5 V4 V5Cos[e5 - e4] + B5v7 V5 V7 Cos[e5 - e7] - YL5i * V52 ==0, -B4v6V4V6Sin[e6-e4] - B6v9 V6 V9Sin[e6 - e9] - YL6r * V62 == 0, -B66 V62 + B4v6 V4 V6Cos[e6 - e4] + B6v9 V6 V9 Cos [e6 - e9] - YL6i * V62 ==0, - B2v7 V2 V7 Sin[e7 - e2] - B5v7 V5 V7 Sin[e7 - e5] - B7v8 V7 V8 Sin[e7 - e8] == 0, - B77 V7 2 + B2v7 V2 V7 Cos [e7 - e2] + B5v7 V5 V7 Cos [e7 - e5] + B7v8 V7 V8 Cos [e7 - e8] == 0, - B7v8 V7 V8 Sin[e8 - e7] - B8v9 V8 V9Sin[e8 - e9] - YL8r * V82 == 0, -B88 V8 2 + B7v8 V7 V8Cos[e8 - e7] + B8v9 V8 V9Cos[e8 - e9] - YL8i * V82 == 0, - B3v9 V3 V9 Sin[e9 - e3] - B6v9 V6 V9 Sin[e9 - e6] - B8v9 V8 V9 Sin[e9 - e8] == 0, -B99V92 + B3v9 V3 V9Cos[69 - e3] + B6v9 V6 V9Cos[e9 - e6] + B8v9 V8 V9Cos [e9 - e8] ==0}, {VI, 1.}, {V2, 1.}, {V3, 1.}, {V4, 1.}, {V5, l.}, {V6, l.}, {V7, l.}, {V8, 1.}, {V9, l.}, {el, .1}, {e2, .1}, {e3, .1}, {e4, .1}, {e5, .1}, {e6, .1}, {e7, .1}, {e8, 0.17}, {e9, 0.17}] Vll = VI /. Part [If, 1] ; Wl = {Vll} ; V22 = V2 /. Part [If, 2] ; W2 = {V22} ; V33 = V3 /. Part [If, 3] ; W3 = {V33} ; V44 = V4 /. Part[LF, 4] ; W4 = {V44} ; V55 = V5/. Part[LF, 5] ; W5 = {V55} ; V66 = V6 / . Part [If, 6] ; W6 = {V66} ; V77 = V7 / . Part [If, 7] ; W7 = {V77} ; V88 = V8 /. Part[LF, 8] ; W8 = {V88} ; V99 = V9 /. Part[If, 9] ; TO = {V99} ; ell = el /. Part[If, 10] ; eel = {ell} ; e22 = e2 /. Part[LF, 11] ; ee2 = {e22}; e33 = e3/. Part [If, 12]; ee3 = {e33}; e44 = e4 /. Part [If, 13] ; ee4 = {e44}; e55 = e5/. Part [If, 14] ;ee5 = {e55}; e66 = 66 /. Part[If, 15] ; ee6 = {e66}; e77 = e7 /. Part [If, 16]; ee7 = {e77}; e88 = e8 /. Part [If, 17] ; ee8 = {e88}; e99 = e9 /. Part [If, 18] ; ee9 = {e99}; (* 3 PKS *) While [ (stdks = stdks - 1) > 0, If 3 = FindRoot[{-Blv4 VI V4 Sin[el - e4] - Bxdl VI El Sin[el - Last[61o] ] == 0, -Bll VI2 + Blv4 VIV4 Cos [el - e4] + Bxdl VI El Cos [el - Last[61o]] == 0, -B3v9V3V9Sin[e3-e9] - Bxd3 V3 E3 Sin[e3 - Last[63o] ] == 0, -B33V32 + B3v9 V3 V9 Cos [e3 - e9] + Bxd3 V3 E3Cos [e3 - Last[63o]] == 0, -Blv4 VI V4Sin[e4 -el] - B4v5 V4 V5Sin[e4 - e5] - B4v6 V4 V6 Sin[e4 - e6] == 0, -B44 V42 + Blv4 VI V4 Cos [e4 -el] + B4v5 V4 V5 Cos [e4 - e5] + B4v6 V4 V6 Cos [e4 - e6] == 0, -B4v5 V4 V5Sin[e5 - e4] - YLSr * V52 == 0, -B55V52 + B4v5V4 V5Cos[e5-e4] - YL5i * V52 == 0, - B4v6 V4 V6 Sin[e6 - e4] - B6v9 V6 V9 Sin[e6 - e9] - YL6r * V62 ==0, - B66 V6 2 + B4v6 V4 V6 Cos [66 - 64] + B6v9 V6 V9 Cos [66 - 69] - YL6i * V62 == 0, - B8v9 V8 V9 Sin[68 - 69] - YL8r * V82 == 0, -B88 V82 + B8v9 V8 V9 Cos [68 - 69] - YL8i * V82 == 0, - B3v9 V3 V9 Sin[69 - 63] - B6v9 V6 V9 Sin[69 - 66] - B8v9 V8 V9Sin[69 - 68] == 0, -B99V92 + B3v9 V3 V9 Cos [69 - 63] + B6v9 V6 V9 Cos [69 - 66] + B8v9 V8 V9 Cos [69 - 68] == 0}, {VI, Last[Wl]}, {V3, Last[W3]}, {V4, Last[W4]}, {V5, Last[W5]}, {V6, Last[W6]}, {V8, Last[W8]}, {V9, Last[W9]}, {el, Last[eel]}, {63, Last[ee3]}, {64, Last[ee4]}, {65, Last[ee5]}, {66, Last[ee6]}, {68, Last[ee8]}, {69, Last [669]}] ; Vll = VI /. Part[If3, 1] ; 2SppendTo[Wl, Vll] ; V33 = V3 /. Part[LF3, 2] ; 2>LpendTo[W3, V33] ; V44 = V4 /. Part[If3, 3] ; 2^pendTo[W4, V44] ; V55 = V5 /. Part[LF3, 4] ; 2>LpendTo[W5, V55] ; V66 = V6 /. Part[If3, 5] ; 2SppendTo[W6, V66] ; V88 = V8 /. Part[If3, 6] ; 2^pendTo[W8, V88] ; V99 = V9 /. Part[LF3, 7] ; 2>LpendTo[W9, V99] ; ell =61 /. Part[If3, 8] ; 2Sppend3ta[eel, ell] ; 633 = 63 /. Part[If3, 9] ; JSppendTo [663, 633] ; 644 =64 /. Part[If3, 10] ; 2LpendTo [664, 644] ; 655 =65 /. Part[LF3, 11] ; AppendTo [665, 655] ; 666 =66 /. Part[If3, 12] ; J^pendTo [666, 666] ; 688 =68 /. Part[If3, 13] ; J^jpendTo [668, 688] ; 699 =69 /. Part[LF3, 14] ; J^jpendTo [669, 699] ; solution = NDSolve[{<5(51' ' [t] * ltd. - Pml + El Last[Wl] /xdl* Sin [661 [t] - Last [eel]] == 0, 662' ' [t] * m2 - Pm2 == 0, 663' ' [t] *m3- Bii3+ E3Last[W3] /xd3* Sin[553[t] - Last [663]] == 0, 551 [0] == Last[51o] , 551' [0] == Last[ul] , 552 [0] == Last[52o] , 652' [0] == Last[u2] , 663[0] == Last[63o] , 663' [0] == Last[u3]} , {661, 662, 663} , {t, 0, tkorak}] ; V22 = Bxd2 / B22 E2; J^>pend3to[W2, V22] ; 622 =62; J^>pendTo[ee2, 622] ; V77 = 0; J!KpendTo[W7, V77] ; ippendTo [667, 677] ; 61 = (661 /. Last [solution]) [tkorak] ; 62 = (662 /. Last [solution]) [tkorak] ; 63 = (663 /. Last [solution]) [tkorak] ; all = (661' /. Last [solution]) [tkorak] ; u22 = (662' /. Last [solution]) [tkorak] ; u33 = (663' /. Last [solution]) [tkorak] ; i^pendTo[61o, 61] ; 2{)pendTo[ , 62] ; 2>EpendTo[63o, 63] ; ippendTo [wl, wll] ; ippendTo [w2, w22] ; ippendTo [w3, w33] ;] ; (* izračun post fault trajektorije *) (* prvi If *) Tcr360 ={}; UU1 = UU2 = UU3 = UU4 = UU5 = UU6 = UU7 = UU8 = UU9 = UUF = UUK = {} ; Thetal = Theta2 = Theta3 = Theta4 = Theta5 = Theta6 = Theta7 = Theta8 = Theta9 = ThetaK = ThetaF = {} ; Priloge 155 LF4 = FindRoot[{-Blv4 VI V4Sin[el -64] - Bxdl VI ElSin[el- First [<51o] ] == 0, -Bll VI2 + Blv4 VI V4Cos[el - 64] + Bxdl VI El Cos [el- First [Slo] ] == 0, -B2v7V2V7Sin[62-67] - Bxd2 V2 E2 Sin[62 - First[52o]] == 0, -B22V22 + B2v7 V2 V7 Cos[e2 - 67] + Bxd2 V2 E2Cos[62 - First[52o]] ==0, -B3v9V3V9Sin[63-69] - Bxd3 V3 E3Sin[63 - First[53o]] == 0, -B33V32 + B3v9 V3 V9Cos[63 - 69] + Bxd3 V3 E3Cos[63 - First[53o]] ==0, -Blv4 VlV4Sin[64-6l] - B4v5 V4 V5Sin[64-65] - Bxts2 V4 VKSin[64 - 6K] - Bxts2 VKUt2 Sin[64 - 6K+ beta2] == 0, - B44lL>fc2 V4 2 - Bxts2 V4 Ut2 Cos [ beta2 ] - V4 Iq2 + Blv4 VI V4Cos[64 - 61] + B4v5 V4 V5Cos[64 - 65] + Bxts2 V4 VKCos[64 - 6K] == 0, -B4v5 V4 V5Sin[65-64] - B5v7 V7 V5Sin[65-67] - YL5r * V52 == 0, -B55 V52 + B4v5 V4 V5Cos[65 -64] + B5v7 V5 V7Cos[65 - 67] - YL5i * V52 == 0, -B4v6VKV6Sin[6K-66] - Bxts2 VKV4 Sin[6K-64] + Bxts2 VKUt2 Sin[64 - 6K+ beta2] == 0, -BKVK2 + B4v6VKV5Cos[6K-e6] + Bxts2 VKUt2Cos[64 - 6K+beta2] + Bxts2 V4 VKCos[6K-64] == 0, - B4v6 VKV6Sin[66 - 6K] - B6v9 V6 V9Sin[66 -69] - YILr * V62 == 0, -B66 V62 + B4v6 VKV6Cos[66 - 6K] + B6v9 V6 V9Cos[66 - 69] - YL6i * V62 == 0, -B7v8 VFV7Sin[6F-67] - Bxts2 VF V8 Sin[6F- 68] + Bxtsl VFUtlSin[68 -6F+ betal] == 0, -BFVF2 + B7v8 VFV7Cos[6F-67] + Bxtsl VFUtl Cos [68 -6F+ betal] + Bxts2 V8 VFCos[6F-68] == 0, -B2v7 V2 V7Sin[67-62] - B5v7 V5 V7 Sin[67-65] - B7v8 V7 VFSin[67 - 6F] == 0, -B77 V72 + B2v7 V2 V7Cos[67-62] + B5v7 V5 V7 Cos [67 - 65] + B7v8 V7 VFCos[67 - 6F] == 0, - Bxtsl VFV8Sin[ 68-6F] - Bxtsl VFUtl Sin [68 - 6F+ betal] - B8v9 V8 V9Sin[68 - 69] - YL8r * V82 == 0, - B88upfcl V82 - Bxtsl V8 Utl Cos [betal] - V8 Iql+ Bxtsl V8 VFCos[68 - 6F] + B8v9 V8 V9Cos[68 - 69] - lLL8i * V82 == 0, -B3v9V3V9Sin[69-63] - B6v9 V5 V9Sin[69-66] - B8v9 V8 V9Sin[69 - 68] == 0, -B99V92 + B3v9V3V9Cos[69-63] + B6v9 V5 V9Cos[69 - 66] + B8v9 V8 V9Cos[69 - 68] ==0}, {VI, 1.}, {V2,l.}, {V3,l.}, {V4,l.l}, {V5, 1.} , {VK, 1.1}, {V6, 1.}, {V7, 1.}, {VF, 0.9}, {V8, 1.}, {V9, 1.} , {61, .3} , {62, 1.} , {63, 1.}, {64, .4}, {65, .5}, {6K, .6} , {66, .5} , {67, 1.}, {6F, 1.}, {68, 1.}, {69, 1.}] ; Vll = VI /. Eart[LF4, 1] ; V22 = V2 /. Eart[LF4, 2] ; V33 = V3 /. Part[LF4, 3] ; V44 = V4/. Eart[LF4, 4] ; V55 = V5 /. Eart[LF4, 5] ; VKK = VK/. Eart[LF4, 6] ; V66 = V6 / . Eart[LF4, 7] ; V77 = V7 /. Part[LF4, 8] ; VFF = VF/. Part[LF4, 9] ; V88 = V8 /. Eart[LF4, 10] ; V99 = V9 /. Eart[LF4, 11] ; 611= 61/. Part[LF4, 12] ; 622 =62 /. Eart[LF4, 13] ; 633= 63/. Part[LF4, 14] ; 644 =64 /. Eart[LF4, 15] ; 655 =65 /. Part[LF4, 16] ; 6KK=6K/. Eart[LF4, 17] ; 666 =66 /. Eart[LF4, 18] ; 677 = 67/. Eart[LF4, 19] ; 6FF = 6F / . Eart[LF4, 20] ; 688 =68 /. Eart[LF4, 21] ; 699 = 69/. Eart[LF4, 22] ; 2>EpendTo[UUl, Vll] ; J^pendlo [ UU2, V22] ; 2LpendTo[UU3, V33] ; J^pendlo[UU4, V44] ; 2LpendTo[UU5, V55] ; UUK= {VKK}; 2^j>endTo[UU6, V66] ; J^pendlo [ UU7, V77] ; UUF = {VFF} ; J^pendlo [ UU8, V88] ; 2LpendTo[UU9, V99] ; J^pem±Ito[Thetal, ell] ; 2^g>endTo[Theta2, 622] ; 2LfpendTo[Theta3, 633] ; 2LfpendTo[Tneta4, 644] ; 2LL>endTo[Tneta5, 655] ; ThetaK = {6KK}; ArpendTo[Theta6, 666] ; ArpendTo[Theta7, 677] ; IhetaF = {6FF}; 2Lpencflto[Theta8, 688] ; 2Lpencflto[Theta9, 699] ; (* nadaljni IiF *) n = tks / tkorak; mi = 1,* While[rm s Length[Wl] , IL[MDd[nn, 100] ==0, Erint[im]] ; LF5 = FindRoot[{-Blv4VlV4Sin[el-e4] - Bxdl VI ElSin[el - Part[51o, im] ] == 0, -Bll VI2 + Blv4VlV4Cos[6l-64] + Bxdl VI El Cos [ 61 - Eart[51o, im] ] == 0, -B2v7 V2 V7 Sin[62 - 67] - Bxd2 V2 E2 Sin[62 - Eart[52o, im] ] ==0, -B22V22 + B2v7V2V7Cos[62-67] + Bxd2 V2 E2 Cos[62 - Eart[52o, im] ] == 0, -B3v9 V3 V9Sin[63 - 69] - Bxd3 V3 E3Sin[63 - Eart[53o, im] ] ==0, -B33V32 + B3v9V3V9Cos[63-69] + Bxd3 V3 E3 Cos [ 63 - Eart[53o, im] ] == 0, -Blv4 VlV4Sin[64-6l] - B4v5 V4 V5Sin[64 - 65] - Bxts2 V4 VKSin[64 - 6K] - Bxts2 VKUt2 Sin[64 - 6K+ beta2] == 0, -B44upfc2V42 - Bxts2V4Ut2Cos[beta2] - V4 IenendTo[UU2, V22] ; agpencBto[UU3, V33] ; J^j>endTo[UU4, V44] ; ippendlto[UU5, V55] ; 2LpenendTo[UU6, V66] ; Is^penOSo[UU7, V77] ; J^j>endTo[UUF, VFF] ; ippendlto[UU8, V88] ; J^j>endTo[UU9, V99] ; 2{)pendXo[Tnetal, ell] ; J{pendTo[Tneta2, 622] ; i^pendTo[Theta3, 633] ; J{s>endTo[Theta4, 644] ; J^j>endTo[Theta5, 655] ; 2{)pendXo[TnetaK, 6KK] ; J{pendTo[Tneta6, 666] ; J^pendTo[Theta7, 677] ; J{s>endTo[ThetaF, 6FF] ; i^s>endTo[Theta8, 688] ; J^pendTo[Tneta9, 699] ; nn= nn+ 1;] ; UU1 = nrop[UUl, 1] ; UU2 = Drop[UU2, 1] ; UU3 = Drop[UU3, 1] ; UU4 = Drop[UU4, 1] ; UU5 =Elrop[UU5, 1] ; UUK= Elrop[UUK, 1] ; UU6 = nrop[UU6, 1] ; UU7 = Drop[UU7, 1] ; UUF = Drop[UUF, 1] ; UU8 = Drop[UU8, 1] ; UU9 = Drop[UU9, 1] ; Thetal = nrop[Thetal, 1] ; Theta2 = Drop[Tneta2, 1] ; Theta3 = nrop[Theta3, 1] ; Theta4 = Drop[Tneta4, 1] ; Tneta5 = nrop[Theta5, 1] ; ThetaK = nrop[ThetaK, 1] ; Iheta6 = nrop[Theta6, 1] ; Theta7 = nrop[Theta7, 1] ; IhetaF = Drop[TnetaF, 1] ; ThetaB = nrop[Theta8, 1] ; Iheta9 = nrop[Theta9, 1] ; 156 Priloge (* OQA *) Mt = ml + m2 + m3; wcoi = (ml wl + m2 w2 + m3 w3) / Mt; ecoi = (ml61o+ m2<52o + m3<53o) /Mt; Thetael = Thetal - ecoi; Thetae2 = Theta2 - ecoi; Thetae3 = Theta3 - ecoi; Thetae4 = Theta4 - ecoi; Thetae5 = ThetaS - ecoi; Thetae6 = Theta6 - ecoi; Thetae7 = Theta7 - ecoi; ThetaeF = ThetaF - ecoi; ThetaeK = ThetaK - ecoi; Thetae8 = ThetaB - ecoi; Thetae9 = Theta9 - ecoi; 0,0,1 =ul-ucoi; 0,0,2 =u2-ucoi; uu3 =u3-ucoi; ddl = 51o-ecoi; dd2 = 52o - ecoi; dd3 = 53o - ecoi; (* LYAPUNOV 1 *) Vk =0.5 (ml*uul2+ m2*uu22 + m3* uu32) ; Vpll =- (Pml * ddl + Pm2 * dd2 + Pm3 * dd3) ; Vpl2 =-0.5 (YL5iUU52+ YL6i UU62 + YL8i UU82) ; Vpl3 =-0.5 (B11UU12+ B22UU22+ B33 UU32 + B44upfc2 UU42 + B55 UU52 + B66 UU62 + B77 UU72 + BF UUF2 + BK UUK2 + B88upfcl UU82 + B99 UU92 J ; Vpl4 =- (xdl-1 UU1 El Cos [Thetael - ddl] + xd2_1 UU2 E2 Cos [Thetae2 -dd2] + xd3_1 UU3 E3 Cos [Thetae3 - dd3]) + ( Blv4 UU1 UU4 Cos [Thetael - Thetae4] + B2v7 UU2 UU7 Cos [Thetae2 - Thetae7] + B3v9 UU3 UU9 Cos [Thetae3 - Thetae9] + B4v5 UU4 UU5 Cos [Thetae4 - Thetae5] + Bxtsl UU4 UUKCos [Thetae4 - ThetaeK] + B5v7 UU5 UU7 Cos [Thetae5 - Thetae7] + B6v9 UU6 UU9 Cos [Thetae6 - Thetae9] + B7v8 UU7 UUF Cos [Thetae7 - ThetaeF] + B8v9 UU8 UU9 Cos [Thetae8 - Thetae9] + B4v6 UUK UU6 Cos [ThetaeK - Thetae6] + Bxtsl UUF UU8 Cos [ThetaeF - Thetae8]) ; VpUEFC = (Bxtsl (UtlUU8Cos[betal] - Utl UUF Cos [Thetae8 - ThetaeF + betal]) + Bxts2 (Ut2 UU4 Cos [beta2] - Ut2 UUKCos [Thetae4 - ThetaeK+ beta2])) + UU8 iql + UU4 lap; (* P integrirano *) Length [Vpll] - 1; Vpl5tenp = 0; Vpl5 = {} ; n = 0 / While [ (num = num - 1) >= 0, Vpl5temp = Vpl5temp + (- YL5r Part[UU5, n+ 1]2J * (Part[Thetae5, n+ 2] - Part [Thetae5, n+ 1]) + (-YL6r Part[UU6, n+ l]2) * (Part[Thetae6, n+2] - Part[Thetae6, n+ 1]) + (-YL8r Part[UU8, n+ l]2) * (Part[Thetae8, n+2] - Part [Thetae8, n+ 1]) ; ^pendTo[Vpl5, Vpl5temp] ; n = n + 1; ]-• Arjpendnto[Vpl5, Vpl5temp] ; Vp = Vpll + Vpl2 + Vpl3 + Vpl4 + Vpl5 - VpUPFC; Vp = Vp - Part[Vp, 1] ,* (*ListPlot[-VpUPFC+ Part[VpUPFC,1] , PlotRange-*{0,0.6} ,AxesLabel-*{"t [ms] ","Vp"}]*) V = Vp + Vk ,* Vcr = Max[Vp] ; n = 1 / While[ (V[ [n] ] - Vcr < 0) , n = n+ 1] ; tcr = (n - 1) * tkorak; Print[tcr]; Append!Fo[Tcr360, tcr] ; ListPlot[Vp, AxesLabel -* {"t [ms] ", "Vp"}] ; Null {V4D1.03186,V5D1.01058,V6D1.0211 A,V7D1.02207,V8D1.01784,V9D1.03076,040-0.0379696,050-0.0713503,060-0.0651912,0700.0661864,0800.0126394,0900.0357603} {VI ->1.04, V2 -> 1.025, V3 -> 1.025, V4 -»1.03186, V5 -»1.01058, V6 -»1.02774, V7 -»1.02207, V8 -»1.01784, V9 -»1.03076, ©1 -»1.47014 xlO"17, ©2 -»0.162316, ©3^0.0820305, ©4 ^-0.0379696, ©5^-0.0713503, ©6^-0.0651912, ©7^ 0.0661864, ©8^ 0.0126394, ©9^0.0357603} 100 200 300 FindRoot::lstol : The line search decreased the step size to within tolerance specified by AccuracyGoal and PrecisionGoa 1 but was unable to find a sufficient decrease in the merit function. You may need more than MachinePrecision digits of working precision to meet these tolerances. More... 0.251 Vp 3 E I .5 2 L .5 1 ) .5 50 100 150 200 250 300 350 t @ms Priloge 157 9.2.2 Primer datoteke z dvema napravama UPFC na zbiralki 4 in 8 za določevanje optimalnega kota za prvi nihaj ; ME; Off@General:: spellD Off@General::spelllD start = Date[]; Sb = 100; Ub = 230; Sb = Ub2 / Sb; IxMA = 100; Uks = 3.75; Xxts = nta[(iUb2/fcMA* (Uks/100) /Sb)] EKts = ^[1/(11^/1^* (Uks/100) /Sb EKtsl = EKts; EKts2 = EKts; (*vod ostnae notri*) tkorak= 0.001; tkorakEKE = 0.001; tks = 0.259; Utl = 0.20; Ut2 = 0.20; Iql = 0.1; TqP = 0.1; stdks = tks / tkorakERE; stdpo = tpo / tkorak; nLL = 2364 / (60 7rl00) ; m2= 640/ (60 7rl00) ; m3 = 301/ (60 7rl00) ; Sb = 100; FTP =-125 / Sb; QL5 =- 50 / Sb; Ulo = 1.040; elo= 0; U2o= 1.025; e2o= 9.3/180* 7r; U3o= 1.025; e3o= 4.7/180* 7r; (* podatki *) xdl = 0.0608; xd2 = 0.1198; xd3 = 0.1813; xtrl = 0.0576; xtr2 = 0.0625; xtr3 = 0.0586; EKdl = nin[l/(ixdl)]; EKd2 = 31ri[l/(ixd2)]; EKd3 = 31ri[l/(ixd3)]; Btrl = nin[l / (i xtrl) ]; Btr2 = nin[l / (i xtr2) ]; Btr3 = 31ri[l/(ixtr3)]; B45 = Bn[l/ (0.01 + i 0.085) ] ; B45y= 3ta[i 0.088] ; B46 = 31n[l/ (0.017+ i 0.092) ] ; B46y= 3ta[i 0.079] ; B75 = 31n[l/ (0.032+ i 0.161) ] ; B75y =nin[i 0.153]; B78 = 31n[l/ (0.0085+ i 0.072) ] ; B78y =nin[i 0.0745]; B96 = niri[l/ (0.039+ i 0.170)] ; B96y =nin[i 0.179]; B98 = nin[l/(0.0119+i 0.1008)] ; B98y =nin[i 0.1045]; (* susceptanoe vozli?č *) Bil = EKdl + Btrl; B22 = Bxd2 + Btr2; B33 = Bxd3+ Btr3; B44 = Btrl + B45 + B45y + B46 + B46y; B44pf = Btrl + B45 + B45y; B44ipfc2 = B44pf + Bxts2; B55 = B45 + B45y+ B75 + B75y; B66 = B46 + B46y+ B96 + B96y; B77 = Btr2 + B78 + B78y + B75 + B75y; B88 = B78 + B78y+ B98 + B98y; B88pf = B98 + B98y; B88Lpfcl = B88pf + EKtsl; B99 = Btr3 + B96 + B96y + B98 + B98y; BFF = B78 + B78y; BKK = B46 + B46y, BF = BFF + EKtsl, BK= BKK+ EKts2 158 Priloge (* susceptance vodov *) Blv4 = Btrl; B2v7 = Btr2; B3v9 = Btr3; B4v5 = B45; B4v6 = B46; B5v7 = B75; B6v9 = B96; B7v8 = B78; B8v9 = B98; LF = FindRoot[{- Blv4 UloV4 Sin[64 - elo] - B4v5 V4 V5Sin[e4 -65] - B4v6 V4 V6Sin[e4 -66] == 0, -B44V42 + Blv4 Ulo V4 Cos [64 - elo] + B4v5 V4 V5 Cos [64 - 65] + B4v6 V4 V6 Cos [64 - 66] == 0, -B4v5V4V5Sin[65-64] - B5v7 V5 V7 Sin[65 - 67] - PL5 == 0, -B55V52 + B4v5 V4 V5Cos[65 - 64] + B5v7 V5 V7 Cos[65 - 67] - QL5 == 0, -B4v6V4V6Sin[66-64] - B6v9 V6 V9Sin[66 - 69] - PL6 == 0, -B66V62 + B4v6 V4 V6Cos[66 - 64] + B6v9 V6 V9 Cos [66 - 69] - QL6 == 0, -B2v7 U2oV7Sin[67-62o] - B5v7 V5 V7 Sin[67 -65] - B7v8 V7 V8 Sin[67 - 68] == 0, -B77 V72 + B2v7 U2oV7Cos[67 - 62o] + B5v7 V5 V7 Cos [67 -65] + B7v8 V7 V8 Cos [67 - 68] == 0, - B7v8 V7 V8 Sin[68 - 67] - B8v9 V8 V9Sin[68 - 69] - EL8 == 0, -B88 V8 2 + B7v8 V7 V8 Cos [68 - 67] + B8v9 V8 V9Cos[68 - 69] - QL8 == 0, -B3v9U3oV9Sin[69-63o] - B6v9 V6 V9 Sin[69 - 66] - B8v9 V8 V9 Sin[69 - 68] == 0, - B99 V92 + B3v9 U3o V9Cos[69 - 63o] + B6v9 V6 V9Cos[69 - 66] + B8v9 V8 V9Cos[69 - 68] == 0) , {V4, 1. } , {V5, 1. } , {V6, 1. } , {V7, 1.} , {V8, 1.} , {V9, 1.} , {64, 0} , {65, 0} , {66, 0} , {67, 0} , {68, 0} , {69, 0}] V44 = V4 /. Eart[LF, 1] ; W4 = {V44} ; V55 = V5 /. Eart[IiF, 2] ; W5 = {V55} ; V66 = V6 /. Part[IiF, 3] ; W6 = {V66} ; V77 = V7 /. Part[IiF, 4] ; W7 = {V77} ; V88 = V8 /. Part [If, 5] ; W8 = {V88} ; V99 = V9 /. Part [If, 6] ; W9 = {V99} ; 644 =64/. Part [If, 7] ; 664 = {644}; 655 =65 /. Part [If, 8] ; 665= {655} ; 666 =66 /. Part [If, 9] ; 666= {666} ; 677 = 67 /. Part [If, 10] ; 667= {677} ; 688 = 68 /. Part [If, 11] ; 668 = {688} ; 699 = 69 /. Part[LF, 12] ; 669 = {699} ; Pml = Blv4UloV44Sin[e44-elo] ; 9nl = -Btrl Ulo (Ulo- V44 Cos[644 - elo]) ; Pm2 = B2v7U2oV77Sin[677-62o] ; 9ll2 = -Btr2U2o (U2o- V77 Cos [677 - 62o]) ; Pm3 = B3v9U3oV99Sin[699-63o] ; 9ll3 = -Btr3U3o (U3o- V99 Cos[699 - 63o]) ; ill = (Pml - ftnl * i) / Ulo; i22 = (Pm2 - Qnn2 * i) / (U2o (Cos [62o] - i Sin [62o])) ; i33 = (Pm3 - Qx3 * i) / (U3o (Cos [63o] - i Sin [63o])) ; ell = Ulo + xdl * i * ill; El = Abs [ell] ; 61 = Arg[ell] ; 61o = {61} ; e22 = U2o (Cos[62o] +i Sin[e2o]) + xd2A*i22; E2 = Sbs[e22] ; 62 = Arg[e22] ; 62o = {62} ; e33 = U3o (Cos [63o] + i Sin[e3o]) + xd3 i * i33; E3 = Sbs [e33] ; 63 = Arg[e33] ; 63o = {63} ; wl = m2 = m3 = {0}; YL5 = (PL5-QL5*i) /V552 ; YL5r = Be[YL5] ; YL5i =-Im[YL5] ; YL6 = (PL6-QL6*i) /V662 ; YL6r = Be[YL6] ; YL6i =-Im[YL6] ; YL8 = (PL8 -QL8*i) /V882; YL8r = Be[YL8] ; YL8i = -Im[YL8] ; If = FindBoot[{-Blv4VlV4Sin[el-e4] - Bxdl VI El Sin[el - 61] == 0, -B11V12 + Blv4 VI V4 Cos [el - 64] + Bxdl VI El Cos [el - 61] ==0, -B2v7 V2V7Sin[62-67] - Bxd2 V2 E2Sin[62-62] == 0, -B22 V22 + B2v7 V2 V7 Cos [62 - 67] + Bxd2 V2 E2 Cos [62 - 62] == 0, -B3v9V3V9Sin[63-69] - Bxd3 V3 E3Sin[63 - 63] == 0, -B33V32 + B3v9 V3 V9 Cos [63 - 69] + Bxd3 V3 E3Cos[63 - 63] == 0, - Blv4 VIV4 Sin[64 - 61] - B4v5 V4 V5 Sin[64 - 65] - B4v6 V4 V6 Sin[64 - 66] == 0, -B44V42 + Blv4 VIV4 Cos [64 - 61] + B4v5 V4 V5 Cos [64 - 65] + B4v6 V4 V6 Cos [64 - 66] == 0, -B4v5V4V5Sin[65-64] - B5v7 V5 V7 Sin[65 - 67] - YL5r * V52 == 0, -B55 V52 + B4v5 V4 V5Cos[65 - 64] + B5v7 V5 V7 Cos [65 - 67] - YL5i * V52 == 0, -B4v6V4V6Sin[66-64] - B6v9 V6 V9Sin[66 - 69] - YL6r * V62 == 0, -B66 V62 + B4v6 V4 V6Cos[66 - 64] + B6v9 V6 V9 Cos [66 - 69] - YL6i * V62 == 0, -B2v7 V2 V7Sin[67-62] - B5v7 V5 V7 Sin[67 - 65] - B7v8 V7 V8 Sin[67 -68] == 0, - B77 V7 2 + B2v7 V2 V7 Cos [67 - 62] + B5v7 V5 V7 Cos [67 - 65] + B7v8 V7 V8 Cos [67 - 68] == 0, - B7v8 V7 V8 Sin[68 - 67] - B8v9 V8 V9Sin[68 - 69] - YL8r * V82 == 0, -B88 V8 2 + B7v8 V7 V8Cos[68 - 67] + B8v9 V8 V9Cos[68 - 69] - YL8i * V82 == 0, -B3v9 V3V9Sin[69-63] - B6v9 V6 V9Sin[69 - 66] - B8v9 V8 V9Sin[69 - 68] == 0, -B99V92 + B3v9 V3 V9 Cos [69 - 63] + B6v9 V6 V9Cos [69 - 66] + B8v9 V8 V9Cos[69 - 68] == 0}, {VI, 1.}, {V2, 1.}, {V3, 1.}, {V4, 1.} , {V5, 1.}, {V6, 1.}, {V7, 1.}, {V8, 1.}, {V9, 1.} , {61, .1} , {62, .1} , {63, .1} , {64, .1} , {65, .1} , {66, .1} , {67, .1}, {68, 0.17}, {69, 0.17}] Vll = VI /. Part[If, 1] ; Wl = {Vll} ; V22 = V2 /. Part[If, 2] ; W2 = {V22} ; V33 = V3 /. Part[If, 3] ; W3 = {V33} ; V44 = V4 /. Part[If, 4] ; W4 = {V44} ; V55 = V5/. Part[If, 5] ; W5 = {V55} ; V66 = V6 / . Part[If, 6] ; W6 = {V66} ; V77 = V7 /. Part[If, 7] ; W7 = {V77} ; V88 = V8 /. Part[If, 8] ; W8 = {V88} ; V99= V9/. Part [If, 9] ; W9 = {V99} ; 611= el/. Part[LF, 10] ; eel = {ell}; 622 =62/. Part [If, 11] ; 662 = {622} ; 633 =63 /. Part [If, 12] ; 663= {633} ; 644 = 64 / . Part [If, 13] ; 664 = {644} ; 655 = 65 / . Part [If, 14] ; 665= {655} ; 666 =66 /. Part[If, 15] ; 666 = {666} ; 677 = 67 / . Part [If, 16] ; 667 = {677} ; 688 = 68 /. Part [If, 17] ; 668 = {688} ; 699 = 69 / . Part [If, 18] ; 669 = {699} ; (* 3 PKS *) While [ (stdks = stdks - 1) > 0, If3 = FindEoot[{- Blv4 VIV4 Sin [el- 64] - Bxdl VI El Sin [el - Last[61o] ] == 0, - Bll VI2 + Blv4 VI V4 Cos [61 - 64] + Bxdl VI El Cos [el - Last[61o] ] == 0, -B3v9 V3 V9 Sin[63 - 69] - Bxd3 V3 E3 Sin[63 - Last[63o] ] == 0, -B33V32 + B3v9 V3 V9 Cos [63 - 69] + Bxd3 V3 E3Cos[63 - Last[63o] ] == 0, -Blv4 VI V4Sin[64 -61] - B4v5 V4 V5 Sin[64 -65] - B4v6 V4 V6 Sin[64 - 66] == 0, - B44 V42 + Blv4 VI V4 Cos [64 -61] + B4v5 V4 V5 Cos [64 -65] + B4v6 V4 V6 Cos [64 - 66] == 0, -B4v5 V4 V5Sin[e5 -64] - YL5r * V52 == 0, -B55V5^ + B4v5V4 V5 Cos [65-64] - YL5i * V5^ == 0, - B4v6 V4 V6 Sin[66 - 64] - B6v9 V6 V9 Sin[66 - 69] - YL6r * V6^ ==0, - B66 V6 2 + B4v6 V4 V6 Cos [66 - 64] + B6v9 V6 V9 Cos [66 - 69] - YL6i * V62 == 0, - B8v9 V8 V9 Sin[68 - 69] - YL8r * V82 == 0, -B88 V82 + B8v9 V8 V9 Cos [68 - 69] - YL8i * V82 == 0, - B3v9 V3 V9 Sin[69 - 63] - B6v9 V6 V9 Sin[69 - 66] - B8v9 V8 V9 Sin[69 - 68] == 0, - B99 V9 2 + B3v9 V3 V9 Cos [69 - 63] + B6v9 V6 V9 Cos [69 - 66] + B8v9 V8 V9 Cos [69 - 68] == 0} , {VI, Last[Wl]}, {V3, Last[W3]}, {V4, Last[W4]}, {V5, Last[W5]}, {V6, Last[W6]}, {V8, Last[W8]}, {V9, Last[W9]}, {el, Last[eel]}, {63, Last[ee3]}, {64, Last[ee4]}, {65, Last[ee5]}, {66, Last[ee6]}, {68, Last[ee8]}, {69, Last [669]}] ; Priloge 159 Vil = VI /. Pazt[LF3, 1]; Appendlo [ Wl, Vil]; V33 = V3 /. Pazt[LF3, 2]; Appendlo [ W3, V33] ; V44 = V4 /. Pazt[LF3, 3]; AppendTb[ W4, V44]; V55 = V5 /. Pazt[LF3, 4]; AppendTb [ W5, V55]; V66 = V6 /. Pazt[LF3, 5]; Append0to[W6, V66] ; V88 =V8 /. Pazt[LF3, 6]; AppendOto [ W8, V88]; V99 = V9 /. Pazt[LF3, 7]; AppendOto [ W9, V99] ; ell =el /. Pazt[LF3, 8]; Appendlo[eel, ell]; e33 =e3 /. Pazt[LF3, 9]; AppendTo[ee3, e33] ; 644 =64 /. Pazt[LF3, 10] ; AppendTo[ee4, 644]; 655 =65 /. Pazt[LF3, 11] ; AppendTo[ee5, 655] ; 666 = 66 /. Pazt[LF3, 12] ; AppendTo[666, 666] ; 688 =68 /. Pazt[LF3, 13] ; AppendTo[ee8, 688]; 699 =69 /. Pazt[LF3, 14] ; AppendTo[ee9, 699] ; solution = NDSolve[{661' ' [t] *ml- EW1+ ElLast[Wl] /xdl* sin [661 [t] - Last [eel] ] == 0, 662' ' [t] *m2 - Pm2 == 0, 663' ' [t] *m3- Pm3 + E3Iast[W3] /xd3* Sin[663[t] - Last[663]] == 0, 661 [0] == Last[61o] , 661' [0] == Last[wl] , 662 [0] == Last[62o] , 662' [0] == Last[w2] , 663 [0] == Last[63o] , 663' [0] == Last[w3]}, {661, 662, 663}, {t, 0, tkozakPRE} ] ; 61 = (661 / . Last [solution]) [tkozakPRE] ; 62 = (662 / . Last [solution]) [tkozakERE] ; 63 = (663 / . Last [solution]) [tkozakERE] ; wll = (661' /. Last [solution]) [tkozakERE] ; w22 = (662' /. Last[solution])[tkozakERE]; w33 = (663' /. Last [solution]) [tkozakERE] ; AppendTo[61o, 61] ; AppendTo[62o, 62] ; AppendTo[63o, 63] ; Append0to[wl, wll] ; Append0to[w2, w22] ; Append0to[w3, w33] ; ; (* začetek iskanja opt *) 61EOST = {61}; 62FOST= {62} ; 63FOST = {63} ; wlFOST = {wll} ; w2FOST = {w22} ; w3FOST = {w33} ; 61EOS0teoi = 62FOSTcoi = 63FOSTcoi = wlEOSOtooi = w2EOS0teoi = w3POSTcoi = { } ; Vila = 0.93; V22a= 0.79; V33a =0.89; V44a= 0.83; V55a = 0.75; V66a= 0.9; V77a = 0.76; V88a= 0.78; V99a =0.85; VFFa= 0.81; VKKa = 0.99; ella = 0.29; 622a = 1.43; 633a = 1.03; 644a= 0.45; 655a = 0.58; 666a= 0.53; 677a = 1.1; 688a = 1.1; 699a = 0.94; 6FFa= 0.92; 6KKa = 0.42; tkoncni = 0; deltat = 0.01; tpo = 0.6; betaloptlst = beta2optlst = {}; betalopt =-50/ 180* Pi; beta2opt =-20/ 180* Pi; beta2 = beta2opt; While [tkoncni < tpo, Pzint[tkoncni]; zazlikaVt360360 ={}; deltabeta = 5 /180 * Pi; zbetal = betalopt - 2 * deltabeta; kbetal = betalopt + 1 * deltabeta; zbeta2 = beta2opt - 1 * deltabeta; kbeta2 = beta2opt + 2 * deltabeta; betal = zbetal; While [betal razlikavt360 = {}; beta2 = zbeta2; While[beta2 ^ U3eta2, LF4 = FindBoot[{-Blv4VlV4Sin[el-e4] - Bxdlvl Elsin[el- Iast[51EOST] ] == 0, -Bil VI2 + Blv4VlV4Cos[el-e4] + BxdlVlElCos[el-Last[51POST]] == 0, -B2v7V2V7Sin[62-67] - Bxd2 V2 E2 Sin[62 - Iast[52EOST] ] ==0, -B22V22 + B2u7 V2 V7Cos[62 - 67] + Bxd2 V2 E2Cos[62 - Last[52POST] ] == 0, -B3v9 V3 V9 Sin[63-69] - Bxd3 V3 E3Sin[63 - Iast[53EOST] ] ==0, -B33V32 + B3u9 V3 V9 Cos[63 - 69] + Bxd3 V3 E3Cos[63 - Last[53POST] ] == 0, - Blv4 VIV4 Sin[64 - 61] - B4vS V4 V5 Sin[64 - 65] - Bxts2 V4 VKSin[64 - 6K] - Bxts2 VKUt2 Sin[64 - 6K+ beta2] == 0, - BHupfc2 V4 2 - Bxts2 V4Ut2Cos[beta2] - V4 I1.03186, V5 ->1.01058, V6 ->1.02774, V7 ->1.02207, V8 ->1.01784, V9 ->1.03076, 64 -^-0.0379696, 65^ -0.0713503, 66^-0.0651912, 67^0.0661864, 68^ 0.0126394, 69^0.0357603) 62 -> 0.162316, 63 ^0.0820305, 64 ^-0.0379696, 65^ -0.0713503, 66 ->-0.0651912, 67^0.0661864, 68^ 0.0126394, 69^0.0357603} fit l[pu] = [r^] 10 \ 20 30 40 50 60 -100 -120 Graphics ¦ fit2@puD L 100 J Graphics ¦ kO-0. r 4O5 -0 .5 -0.55 -0 .6 -0.65 -0 .7 -0.75 rja@1puD 10 20 30 40 50 60 \---} 1 100 J VI -> 1.04, V2 -> 1.025, V3 -> 1.025, V4 -»1.03186, V5-»1.01058, V6-»1.02774, V7 -»1.02207, V8 -»1.01784, V9 -»1.03076, ©1-»1.47014 xlO"1 ' -60 -140 -10 Graphics 164 Priloge kot_rot orj aLpu] ID 20 30 40 50 60 t[-^] Graphics ¦ kot rotorja fipu] 1.4 - 10/20 30 40 50 60 tf--l L 100 J Graphics ¦ st r otor ja|>u] ^__— 10 20 30—-" 4"0 50 60 -0.5 -1 / -1.5 / -2 / -2.5 tf---l L 100 J Graphics ¦ hitrost_rotorja[2pu] \ \ 10 20 30 40 50 60 tf---l L 100 J Graphics ¦ hitrost_rotorja[3pu] 10 20 30 40 \50 60 t[-^-] 2. 2 1. H 1. 6 1. 4 1. 2 0. H -1 Graphics