m Aritmetika in algebra za srednje in višje gimnazijske razrede. Spisal BI. Matek, o, kr. gimnazijski profesor v Mariboru. 1. del. Cena mehko vezani knjigi K 2*20. 1909 . Založila „Katoliška Bukvarna“ v Ljubljani. Natisnila * Katoliška Tiskarna*. t «J l Aritmetika in algebra za srednje in višje gimnazijske razrede. Spisal BI. Matek, c. kr. gimnazijski profesor v Mariboru. Cena mehko vezani knjigi K 2‘20. 1909 . Založila „Katoliška Bukvama 11 v Ljubljani. Natisnila »Katoliška Tiskarna”. 'boovbl-hZ) Vsebina Stran Uvod, § 1. Pojasnila. 1 I, Osnovni računski načini s celimi števili. A. Računska načina prve stopnje. § 2. Seštevanje.4 g 3. Odštevanje. 7 § 4. Algebrajska števila . 11 § 5. Seštevanje algebrajskih števil 13 § 6, Odštevanj e algebrajskih števil 16 § 7. Seštevanje in odštevanje enačb in neenačb ... 17 B. Računska načina druge stopnje. § 8. Množenje.21 § 9. Deljenje ...... 29 § 10. Množenje in deljenje enačb in neenačb.35 C. Lastnosti celih števil. §11. Številni sestavi .... 38 § 12. Občna pojasnila in znamenja o deljivosti . . .42 § 13. Razstavljanje sestavljenih števil in številnih izrazov v prafaktorje .... 45 § 14. Največja skupna mera . . 48 § 15. Najmanjši skupni mnogo¬ kratnik .51 Stran II. Računanje z ulomlje- nimi števili. A. Navadni ulomki. § 16. Občna pojasnila in pretvar¬ janje navadnih ulomkov . 54 § 17. Seštevanje in odštevanje na¬ vadnih ulomkov ... 57 § 18. Množenje in deljenje navad¬ nih ulomkov .... 58 B. Decimalni ulomki. § 19. Občna pojasnila in računa¬ nje z decimalnimi ulomki . 63 § 20. Pretvarjanje navadnih ulom¬ kov v decimalne in deci¬ malnih v navadne ... 67 C. Računanje z nepopolnimi števili. § 21. Občna pojasnila o nepopol¬ nih številih.69 § 22. Seštevanje in odštevanje ne¬ popolnih števil .... 72 § 23. Množenje nepopolnih števil 73 § 24. Deljenje nepppolnih števil . 76 III. Razmerja in sorazmerja. § 25. Razmerja ..79 § 26. Sorazmerje.80 § 27. Sorazmerne količine in upo¬ rabne naloge .... 86 IV. Enačbe prve stopnje. § 28. Občna pojasnila in ureje¬ vanje enačb .... § 29. Razreševanje enačb prve stopnje .... § 30. Določanje točkine lege in načrtavanja linearne funk¬ cije . § 31. Uporaba enačb prve stopnje 105 Vadbe in naloge. K § 1 „ § 2 „ § 3 „ § 4 „ § 5 „ § 6 „ § 7 ,, § 8 » § 9 Uvod § 1. Pojasnila. Stvari vsakdanjega življenja in tudi našega mišljenja so ali iste vrste ali raznih vrst. Stvari iste vrste moreš zameniti drugo za drugo ali popolnoma ali vsaj deloma; stvari raznih vrst pa se ne dado tako zamenjavati. Ako imamo množino stvari iste vrste, pravimo vsaki stvari enota; izraz za vse stvari te množine se zove število. S številom določamo, koliko istovrstnih stvari imamo v mislih. Enote sestavljajo število. Kadar pridenemo enoti enoto, z dobljenim številom spojimo enoto in to ponavljamo, tedaj štejemo. Vrsti števil, ki jo dobimo pri štetju, pravimo naravna šte¬ vilna vrsta. V govoru izražamo števila naravne številne vrste s posebnimi imeni (s števni ki) in v pismu jih predočujemo s posebnimi znaki (s številkami). Ako se pri štetju ne oziramo na to, katere vrste je enota, dobimo neimenovana števila; če pa pri štetju povemo tudi vrsto enote, dobimo imenovana števila. Naravno številno vrsto predočimo s sliko, ako na- črtamo na poluomejeni premici ali na polutraku AB od ,0123456789 D J± iiii!ii!!! y. JJ krajišča A enake daljice drugo poleg druge. Vsaka taka daljica predstavlja enoto; dve daljici skupaj predočujeta število „dve“, tri daljice skupaj dado število „tri“ i. t. d. Števila, ki izražajo določeno množino enot, se ime- nujejo posebna števila; pišejo se z arabskimi števil¬ kami 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Števila, ki izražajo ne¬ določeno množino enot, se imenujejo občna števila; pišejo se navadno z latinskimi črkami. Črka je znak vsa¬ kršne množine enot; če se ista črka ponavlja v enem Istovrstne in raznovrstne stvari = gleich- artige und ungleichartige Dinge. Enota = dieEin- heit. Število = die Zahl. Šteti. Naravna številna vrsta = die natiirliche Zahlenreihe. Števnik = das Zahlwort. Šte¬ vilka = dieZiffer. Imenovana in ne¬ imenovana šte¬ vila = benannte und unbenannte Zahlen. Predočevanje naravne številne vrste s sliko. Posebno število = besondere Zahl. Občno šte¬ vilo = allgemeine Zahl. Matek Aritmetika. 1 £•> T ‘ 2 Računati. Znesek = das Resultat. Aritmetika = die Arithmetik. Posebna in občna aritmetika = be- sondere und all- gemeine Arith¬ metik. Algebra = die Algebra. Številni izraz = der Zahlenaus- druck. Oklepaj = die Klammer. Zameniti = sub- stituieren. Enaki številni izrazi. Enačba = die Gleichung. Enač- bena dela = Teile der Gleichung. Neenaki številni izrazi. Neenačba = die Ungleichung. Enačaj = das Gleichheits- zeichen. Neenačaj = das Ungleichheits- zeichen. Količina = die Grobe. in istem računu, pomeni vsakikrat istotoliko enot, kolikor jih je pomenila prvikrat. Različne črke zaznamujejo raz¬ lična števila. Glavni razloček med posebnim in občnim šte¬ vilom je ta, da posebno število zavzema določeno, občno število pa nedoločeno mesto v naravni številni vrsti. Kadar spajamo števila med seboj po določenih pra¬ vilih, tedaj računamo. Število, ki ga najdemo pri računanju, se zove znesek ali rezultat. Nauk o številih in njih medsebojnih zvezah je arit¬ metika. Če se aritmetika peča les posebnimi števili, se zove posebna aritmetika; če pa se aritmetika peča z občnimi števili, se imenuje občna aritmetika. Občna aritmetika se zove tudi algebra. Vsakemu znaku, ki ga rabimo za število, pravimo številni izraz. Ako spojimo dva ali več enostavnih številnih izrazov v celoto, stvorimo sestavljene šte¬ vilne izraze. Kadar spajamo sestavljene številne izraze med seboj, devamo jih v oklepaje. Oklepaji so raznovrstni: okrogli (), oglati [J in zaviti {}. Kadar je treba okleniti oklepaj, rabimo raznovrstne oklepaje. Ako postavimo v številne izraze namesto občnih števil posebna števila ter izvršimo s temi števili nakazane ra¬ čunske načine, pravimo, da zameni m o. Ako pomenita številna izraza a in b isto število, pravimo, da sta izraza enaka, v znakih a = b. Dva izenačena številna izraza tvorita enačbo ter se zoveta enačbena dela. Vsako enačbo utegnemo čitati ali od leve proti desni ali pa obratno od desne proti levi. Ako ima izraz a več enot nego izraz b , pravimo, da je a večji ko b , v znakih a^> b. Če pa ima a manj enot nego b , je a manjši ko b, v znakih a < b. Znak = se imenuje enačaj ; znak > ali <[ se pa zove neenačaj. V votlino neenačaja pišemo večji izraz, pred vrh neenačaja pa manjšega. Vsaka stvar, ki je sestavljena iz enakih delov ali iz delov iste vrste ali se da vsaj tako misliti, se imenuje količina. Bistvena lastnost vsake količine je, da jo mo¬ remo povečati in zmanjšati. 3 Števila smemo smatrati za količine; zakaj vsako število ima lastnosti, ki se pripisavajo količinam. Razen številnih količin imamo še prostorske količine (telesa, ploskve, črte), fizikalne količine i. t. d. Nauk o številnih količinah je aritmetika, nauk o prostorskih količinah geometrija, nauk o številnih in prostorskih količinah sploh pa matematika. Aritmetika in geome¬ trija sta dela matematike. Podlaga vseh matematičnih izrekov so osnovne resnice, to so resnice, ki so same po sebi razumljive. Matematične osnovne resnice so te-le: 1. Enake količine smeš povsod za meniti med seboj. 2. Ako izpremeniš enake količine na isti način, najdeš enake količine. 3. Vsaka celota je tolika, kolikršni so vsi deli te celote skupaj; torej je vsaka celota večja ko del te celote. Na podlagi matematičnih osnovnih resnic in s po¬ močjo določenih pojasnil uči algebra pravila, po katerih se mora računati (računske zakone), izvaja last¬ nosti številnih izrazov in kaže na nalogah, kako se uporabljajo računski zakoni in lastnosti številnih iz¬ razov. Primerjaj uvod v geometriji! Matematika = die Mathematik. Osnovna resnica = der Grundsatz oder das Axiom. Matematične osnovne resnice. Kaj uči algebra. Računski zakon = das Rechen- gesetz. 1 * 4 Seštevati = ad- dieren. Seštevanec = der Summand. Vsota = die Summe. Kako izvršiš se¬ števanje dveh števil. Nakazano seštevanje. Na¬ kazana in izraču¬ nana vsota. Kako izvršiš se¬ števanje treh ali več števil. I. Osnovni računski načini s celimi števili. A. Računska načina prve stoprge. § 2. Seštevanje. Dve ali več določenih števil sešteti se pravi, po¬ iskati novo število, ki ima toliko enot, kolikor jih imajo določena števila skupaj. Števila, ki se seštevajo, se ime¬ nujejo seštevanci ali sumandi; število pa, katerega iščeš, se zove vsota. Znak seštevanja je stoječi križ -j-, ki se čita „več“ ali „plus“; stavi se med sumande. Števili a in b sešteješ, ako poiščeš v naravni številni vrsti prvi sumand a ter šteješ za toliko enot dalje (na¬ prej), kolikor jih ima drugi sumand b. Število a -)- b, do katerega prideš na ta način, je vsota, kojo iščeš. Številni izraz a -j- b ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba številu a prišteti število b (nakazano seštevanje); isti izraz pomeni tudi vsoto števil a in b (nakazana vsota). Razen nakazane vsote imamo še izračunano vsoto (navadno pri posebnih številih), t. j. vsota, v kateri so enote sumandov spojene v celoto; v izračunani vsoti ne poznaš več sumandov. N. pr. 17 je izračunana vsota števil 8 in 9, oziroma 10 in 7, 12 in 5 i. t. d. Ako je treba računati z nakazano vsoto, jo oklenemo; oklepaj rabimo tudi, če hočemo vsoto dveh števil zaznamovati kakor do¬ ločeno število. Tri ali več števil sešteješ, ako prišteješ vsoti prvih dveh sumandov tretji sumand, dobljeni vsoti četrti sumand i. t. d. Številni izraz (t —|— b —j— c — j — d ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba vsoti števil a in b prišteti število c in tej vsoti prišteti število d; ■ 5 isti izraz pomeni tudi vsoto števil a, b , c in d. Kar smo poprej omenili glede na rabo in pomen oklepaja, velja tudi tukaj. Kdaj torej pišemo (a -f- b -f- c -f- d)? Sumandi so deli vsote; torej morajo sumandi in vsota biti ali neimenovana števila ali pa števila istega imena, oziroma iste vrste. Ako so vsi sumandi enaki, se da vsota prav kratko zaznamovati. N. pr. vsoto d “j— d -j— Ct ~|— Oj -j - Cl zaznamujemo krajše s 5a, t.j. enaki sumand a zapišemo samo enkrat, pred njega pa postavimo število 5, ki pove, kolikokrat se mora sešteti število a. Istotako zaznamu¬ jemo tudi vsoto a -j- a -j- a -j- ... (m krat) krajše z ma. V izrazih 5 a in ma imenujemo a glavno količino, 5 (oziroma m) pa koeficient. Koeficient 1 se ne piše ; torej pomeni a toliko kakor 1 a. Glavna količina v številnem izrazu se mora toliko¬ krat sešteti, kakor pove koeficient, ki stoji pred glavno količino. Številni izrazi, ki imajo enake glavne količine, se imenujejo istoimenski; številni izrazi z različnimi glavnimi količinami so pa raznoimenski. Tako sta n. pr. izraza 6« in 8« istoimenska, izraza 3 a in 4 5 pa raznoimenska. V izrazu ma -)- na se mora glavna količina a sešteti m krat in n krat, t.j. skupaj (m A- n) krat, v znakih ma -f- na — (m -j- n) a. Istoimenske izraze torej sešteješ, ako sešteješ njih koeficiente in pridržiš skupno glavno količino. Raznoimenske izraze sešteješ, ako na¬ kažeš seštevanje. N. pr. 4 — |— 5 & —|— 6 c. Kdaj je vsota imenovano, kdaj neimenovano število. Glavna količina =. die Hauptgrofie. Koeficient = der Koeffizient. Istoimenski in raznoimenski številni izrazi = gdeichnamige und ungleichnamige Zahlenausdrucke. Kako seštevaš istoimenske, kako raznoimen¬ ske izraze. 6 Zakon o zame¬ njavi sumandov = das Kommuta- tionsgesetz der Addition. Zakona o združe¬ vanju sumandov = die Assozia- tionsgesetze der Addition. Razreševanje oklepajev. V vsaki izmed vsot a —{— & in b ~\~ a se nahaja toliko enot kakor v sumandih a in b skupaj ; torej je a -L b == 6 -f- a. Če imamo tri ali več sumandov, velja isto. Zato smemo reči: Isti sumandi dado v vsakem redu isto vsoto. V vsaki izmed vsot (a -j— &) -j— c, (a — (— c) — (— 6 , a -p (b -j- c) je toliko enot, kolikor jih imajo števila a, b m c skupaj. Torej je (a -j- b) -)- c = (a -j— c) —j— 6 . == a -)- (b -j- e), « —j— (6 —j— c) = (a -}-&)-)- c. Vsoti prišteješ število, ako ga prišteješ samo enemu sumandu. N. pr. (2 a -|- 3 b) -j- 4 a = 6 « —j— 3 &, (2 a + 36) -f 55 = 2«+ 86 . Številu prišteješ vsoto, ako mu prišteješ njene sumande drugega za drugim. N. pr. 6 a —(7 a —f— 8 6 ) = 13 a -)- 8 &, 96 -f (10a + 116) = 206 -j- 10a. Zadnji dve pravili sta prav pogostoma spojeni v enem in istem računu. N. pr. (4— f- 76 —J— 2c) — (— (5a —f— 35 —|— c) = 9a + 106 + 3c. Povej, kako se je izvršilo navedeno seštevanje! Ako se v računu nahaja oklepaj v oklepaju, izvršiš najprej seštevanje, ki ga nakazuje notranji oklepaj, in potem zaporedoma seštevanja, ki jih nakazujejo naslednji oklepaji. Tako izgine iz računa oklepaj za oklepajem. N. pr. [(5 a + 4 6 ) 4 - (2 a -f 6 )] + [(3 a -f 6 6 ) -f (o + 76)] = = [la -f 56] + .[4 a -f 136} = llo + 18 6 . 7 § 3. Odštevanje. Naloge kakor b -j- ? = a ali ? -|-b = a se rešujejo po drugem računskem načinu, ki se zove odšte¬ vanje. Kaj poznamo in česa iščemo v navedenih nalogah ? Odštevati se pravi iz vsote dveh števil (a) in iz enega sumanda ( b ) poiskati drugega. Določena vsota se imenuje zmanjševanec ali minuend, določeni su- mand se zove odštevanec ali subtrahend in su- mandu, ki ga iščeš, se pravi razlika (ostanek, diferenea). Znak odštevanja je vodoravna črta —, ki se čita „manj“ ali „minus“; stavi se med minuend in subtrahend. Pred znakom odštevanja stoji minuend, za znakom odštevanja pa subtrahend. Od števila a odšteješ število b na dva načina. Z ozirom na prvo zgoraj navedeno nalogo je treba od šte¬ vila b za toliko enot dalje šteti v naravni številni vrsti, da prideš do števila a\ število, ki pove, za koliko enot si moral šteti naprej, je razlika. Razlika določa torej raz¬ daljo v naravni številni vrsti od subtrahenda b do mi- nuenda a. — Z ozirom na drugo zgoraj navedeno nalogo najdeš razliko, ako šteješ v naravni številni vrsti od šte¬ vila a za b enot nazaj. Število, do katerega prideš na ta način, je razlika. Da moraš v prvem in drugem slučaju dobiti isti rezultat, je zaradi zakona o zamenjavi su- mandov jasno. Številni izraz a — b ima dvojen pomen. Ta izraz pomeni, da je treba od šte¬ vila a odšteti število b (nakazano odštevanje); isti izraz pomeni tudi razliko števil ainb (nakazana raz¬ lika). Razen nakazane razlike imamo še izračunano razliko (navadno pri posebnih številih); v izračunani razliki ne poznaš niti minuenda niti subtrahenda. N. pr. 5 je izračunana razlika števil 9 in 4, oziroma 12 in 7 i. t. d. Ako je treba računati z nakazano razliko, jo oklenemo; oklepaj služi tudi, če hočemo nakazano razliko dveh števil zaznamovati kakor določeno število. Odštevati = sub- trahieren. Zmanj¬ ševanec = der Minuend. Odšte¬ vanec = der Subtrahend. Raz¬ lika = die Diffe- renz. Kako izvršiš od¬ števanje. Nakazano odšte¬ vanje. Nakazana in izračunana razlika. 8 Razlikina last¬ nost. Kdaj se število ne izpremeni. Kako odštevaš istoimenske, kako razno- imenske izraze. Računski zakoni. Števila pri odštevanju so ali neimenovana števila ali pa števila istega imena, oziroma iste vrste. Zakaj ? Ako sešteješ razliko in subtrahend, dobiš minuend za vsoto, v znakih (a — b) -(- b = a. Število se ne izpremeni, ako mu prišteješ in odšteješ (oziroma odšteješ in prišteješ) eno in isto število, v znakih a = (cz —j— 6) — b = (a — b) 4- b. Zakaj jasno je, da se število a ne more izpremeniti, ako šteješ v naravni številni vrsti od števila a za, b enot na¬ prej in potem za istotoliko enot nazaj, ali ako šteješ od števila a za b enot nazaj in potem za istotoliko enot naprej. V izrazu m a — na se mora glavna količina a sešteti m krat in potem od te vsote odvzeti n krat; torej ostane glavna količina še (m — n) krat kakor sumand, v znakih m a — na = (m — n) a. Istoimenske izraze odštevaš, ako odšteješ njih koeficiente in pridržiš skupno glavno količino. O resničnosti tega pravila se tudi prepričaš, ako prišteješ razliki subtrahend. Raznoimenske izraze odštevaš, ako na¬ kažeš odštevanje. N. pr. m a — nb. Od vsote odšteješ število, ako ga odšteješ od enega sumanda, v znakih (a -|- b) — c = (a — c) -)- b — a -)- (b — c). . . . I. Zakaj jasno je, da zmanjšaš vsoto a -j- b za c enot, ako zmanjšaš sumand a ali pa sumand b za c enot. N. pr. (5a + 86) — 3a = 2a + 8b, (5 cz —j— 8 ž>) — 5 b = 5 a-\-3b. 9 V enačbi pod I. se nahaja tudi pravilo: Za rezultat je vseeno, v katerem redu izvršiš seštevanje in odštevanje določenih števil, v znakih (a -J- 6) — c = (a — c) -j- 6. Razlika a — b pomeni razdaljo v naravni številni vrsti od subtrahenda b do minuenda a. Primerjaj sliko ! 0 12 3 .... b, b + 1 ... . a, a +1 . . . liliI II I Če se minuend a poveča, oziroma zmanjša za nekoliko enot, se mora tudi razdalja od b do a povečati, oziroma zmanjšati za istotoliko enot. Če se subtrahend b poveča, oziroma zmanjša za nekoliko enot, se razdalja med & in a zmanjša, oziroma poveča za istotoliko enot. če se mi¬ nuend a in subtrahend b obenem povečata ali zmanjšata za istotoliko enot, mora razdalja med & in a ostati ista. Torej smemo reči: Razliki prišteješ število, ako ga prišteješ minuendu ali pa odšteješ od subtrahenda, v znakih (a — b) -f- c — (a -|- c) — b — a — (b — c) . . .II. Zakaj razliko a — b povečaš za c enot, ako povečaš minuend a za c enot ali pa zmanjšaš subtrahend b za c enot. N. pr. (12a — 156) -j- 4a = 16a —156, (12a — 156)-(-'66 = 12a — 96. Od razlike odšteješ število, ako ga od¬ šteješ od minuenda ali pa prišteješ subtra- hendu, v znakih (a — 6) — c = (a — c) — b = a — (6 —)— c) . . . III. Zakaj razliko a — 6 zmanjšaš za c enot, ako zmanjšaš minuend a za c enot ali pa povečaš subtrahend b za, c enot. N. pr. (23a — 176) — 14 a = 9a —176, (23 a — 176) — 8 6 = 23 a — 256. 10 Razlika dveh števil se ne izpreraeni, ako prišteješ, oziroma odšteješ od minuenda in subtrahenda eno in isto število, v znakih a — b = (a -\- m) — (b j m), a — b = (a — m) — ( b — m). Zakaj razlika a — b ostane neizpremenjena, če povečaš ali zmanjšaš minuend a in subtrahend b obenem za m enot. V enačbah pod II. in III. se nahajata tudi pravili : Za rezultat je vseeno, v katerem redu iz¬ vršiš odštevanje določenih števil, v znakih (a — b ) — c = (a — c) — b. Od števila odšteješ dve ali več števil, ako odšteješ od minuenda vsoto vseh subtrahen- dov, v znakih (a — b) — c = a — (& — (— c). Ako obrnemo enačbe pod I., II. in III., t. j. ako za- menimo prvi in drugi enačbeni del med seboj, najdemo pravila: a -[- (b — c) = ( a -(- b ) — c, j a — (b — c) = (a — b) -f- c, . t. j. a — (6 —j— c) = ( a — b) — c. ] Številu prišteješ razliko, ako mu prišteješ minuend in odšteješ subtrahend. N. pr. 4x -j- (9.r — 5 y) = 13x — 5 y. Številu odšteješ razliko, ako mu odšteješ minuend in prišteješ subtrahend. N. pr. 9 x — (4 sc — 3 y) = 5 sr -j- 3 y. Številu odšteješ vsoto, ako mu odšteješ zaporedoma sum and za sumandom. N. pr. 7sc — (4sr -f- 5 y) = 3 sc — bi/. 11 § 4. Algebrajska števila. Razlika a — b pomeni neko število v naravni šte¬ vilni vrsti, dokler je minuend a večji od subtralienda b. Ko pa postane minuend a enak ali manjši od subtra- henda b, ne moremo razlike a — b določiti s pomočjo naravne številne vrste ; kajti ta vrsta se začne s številom 1. Zaraditega je treba naravno številno vrsto podaljšati in obenem prvotni pomen števila primerno razširiti in sicer tako, da ostanejo računski zakoni veljavni tudi za ta slučaj. Ako je minuend enak subtrahendu, nima razlika a — a nobene enote, v znakih a — a = 0. Taki razliki pravimo ničla. Ničla pomeni torej, da ni¬ mamo nobene takšne enote, ki bi bila podlaga računu. Iz tega pomena izvajamo, da se mora ničla nahajati v na¬ ravni številni vrsti pred številom 1, in da se število ne izpremeni, ako mu prišteješ, oziroma odšteješ ničlo. Ako je subtrahend b za c enot večji od minuenda a (torej b — a- j-c), najdeš vrednost razlike a — b po že znanih računskih zakonih tako-le: a — b = a — (a -j- c) = (a — a) — c = 0 — c = — c. Takšno razliko kakor 0 — c ali krajše — c imenujemo negativno število. Negativno število je torej razlika z minuendom 0, ali pa število, ki ima pred seboj znak odštevanja. Ta znak se zove predznak števila in se čita „minus“. Negativno število je manjše od ničle. Ako damo številu c zaporedoma vrednosti 1, 2, 3, 4 i. t. d., najdemo vrsto negativnih števil — 1, — 2,-3, — 4, — 5 i. t. d., ki tvorijo podaljšek naravne številne vrste. Števila naravne številne vrste nimajo nobenega pred¬ znaka, dokler se ne oziramo na podaljšek te vrste. Takim številom pravimo absolutna števila. Če pa se oziramo na negativna števila, dobivajo števila naravne številne Razlikin pomen. Ničla = die Nuli. Pomen ničle in njene lastnosti. Negativno število = die negative Zahl. Pomen negativnega števila. Absolutno šte¬ vilo = die abso- lute Zahl. Pozi¬ tivno število = die positive Zahl. 12 Relativno ali al- gebrajsko število = die relative oder algebraische Zahl. Podaljšana šte¬ vilna vrsta = die erweiterte Zahlenreilie. Premikanje v po¬ daljšani številni vrsti. vrste predznak -)- (čitaj: plus) in se imenujejo potem pozitivna števila. Pozitivna in negativna števila imajo skupno ime relativna ali algebrajska števila. Enota absolutnih števil je 1 in se imenuje prvotna ali absolutna enota; enota pozitivnih števil je —j— 1 in se zove pozitivna enota; enota negativnih števil je — 1 in se imenuje negativna enota. Absolutna števila so sestavljena iz ene ali več absolutnih enot, pozitivna iz ene ali več po¬ zitivnih enot, negativna pa iz ene ali več negativnih enot. Ali je različna pozitivna enota od absolutne? Ako spojimo naravno številno vrsto s podaljškom te vrste, stvorimo neomejeno številno vrsto, ki jo hočemo imenovati podaljšano številno vrsto. To številno vrsto predočujemo na neomejeni premi črti ali na traku, na katerem načrtamo od določene točke enake daljice na vsako stran. Dotična točka predočuje ničlo, vsaka daljica pa enoto; daljice na desno od ničle predstavljajo pozitivne enote, daljice na levo od ničle pa negativne enote. Ena, premikanje v pozitivno smer ->. — 5 —4 — 3 — 2 —1 0 +1 +2 +3 +4 +5 ^_iJ)ijI11ij!_^ + - premikanje v negativno smer dve, tri ali več daljic na desno skupaj predočuje pozi¬ tivna števila: -j— 1, —|— 2, —)— 3 i. t. d.; ena, dve, tri ali več daljic na levo skupaj predstavlja negativna števila: — 1, — 2, — 3 i. t. d. Primerjaj sliko! V podaljšani številni vrsti ločimo premikanje v pozitivno in negativno smer. Če se premikamo od kakega števila v pozitivno smer, pridevamo dotičnemu šte¬ vilu zaporedoma enoto za enoto ali z dotičnim številom spajamo zaporedoma pozitivne enote. Za kolikor enot se pomaknemo na desno, toliko enot prištejemo dotičnemu številu, ali toliko pozitivnih enot spojimo z dotičnim šte¬ vilom. Ako se pa premikamo od kakega števila v nega¬ tivno smer, jemljemo od dotičnega števila zaporedoma enoto za enoto ali z dotičnim številom spajamo zaporedoma ne¬ gativne enote. Za kolikor enot se pomaknemo na levo, 13 toliko enot odštejemo od dotičnega števila, ali toliko ne¬ gativnih enot spojimo z dotičnim številom. Primerjaj sliko! Pri premikanju v pozitivno smer postajajo števila vedno večja, pri premikanju v negativno smer pa vedno manjša. Torej je 0 > — 1 > — 2 > — 3 i. t. d. Pri vsakem algebrajskem številu je treba ločiti pred¬ znak in množino enot (absolutno vrednost). Pred¬ znak pove, kakšne so enote; absolutna vrednost pa, koliko enot je v številu. N. pr. v številu — a je a negativnih enot. Števili —|— m = 0 -| -m in — m = 0 — m sta v po¬ daljšani številni vrsti enako oddaljeni od ničle v nasprotno smer. Taki dve števili se imenujeta nasprotni števili. Po dve nasprotni števili imata isto absolutno vrednost, pa različna predznaka. Iz — m = 0 — m izvajamo po pojmu o razliki (— m) -f- m = 0 , ali tudi (— m) -j- (-j- m) = 0 , t. j. Vsota dveh nasprotnih števil je = 0, ali: dve nasprotni števili se uničujeta pri seštevanju. Algebrajska števila navadno oklepamo, kadar je treba z njimi računati. Ko izvršimo nakazane računske načine, odpadejo oklepaji. § 5. Seštevanje algebrajskih števil. Vsota algebrajskih števil izraža toliko pozitivnih in negativnih enot, kolikor jih je v sumandih skupaj. Alge¬ brajska števila sešteješ, ako spojiš enote vseh sumandov s pomočjo podaljšane številne vrste v celoto. Algebrajski števili -j- a in -f- b sta sestavljeni le iz pozitivnih enot; v vsoti teh števil mora biti a b pozi¬ tivnih enot, v znakih (+«) + (+ h ) ==+(« + b ) .I- Algebrajski števili — a in — b sta sestavljeni le iz negativnih enot; v vsoti teh števil mora biti a -f- b nega¬ tivnih enot, v znakih (— «) + (—&) = —(« + b ) Predznak = das Vorzeichen. Absolutna vred¬ nost = der ab- solute Wert. Nasprotna šte¬ vila = entgegen- gesetzte Zahlen.. Lastnost na¬ sprotnih števil. Kako seštevaš algebrajska šte¬ vila. II. 14 Algebrajski števili -j- a in — b sta sestavljeni iz na¬ sprotnih (pozitivnih in negativnih) enot. Ako je absolutna vrednost a večja od b, se b pozitivnih in b negativnih enot uničuje;- torej ostane za vsoto toliko pozitivnih enot, za kolikor je absolutna vrednost a večja od b , t. j . « — b po¬ zitivnih enot, v znakih (H - a ) H - (— b) = -|- (a ~ b), a b. . . . III. Algebrajski števili — a in -j- b sta sestavljeni iz nasprotnih enot. Ako je absolutna vrednost a večja od b , se b negativnih in b pozitivnih enot uničuje; torej ostane za vsoto « — b negativnih enot, v znakih (— a) -|- (-{- b) = — (a — b). a > h . . . IV. Ako primerjamo v prvem in drugem, oziroma v. tretjem in četrtem slučaju sumande in vsoto glede na predznake in absolutne vrednosti, najdemo za porabno računanje te-le pravili: Dvoje algebrajskih števil z istim pred¬ znakom sešteješ, ako sešteješ njuni absolutni vrednosti in pridržiš skupni predznak. Dvoje algebrajskih števil z različnim pred¬ znakom sešteješ, ako odšteješ njuni absolutni vrednosti in pridržiš predznak večje absolutne vrednosti. Ako je treba sešteti tri, štiri ali več algebrajskih števil, prišteješ vsoti prvih dveh števil tretje število, tej vsoti četrto število i. t. d. Včasih ravnaš pripravneje, ako sešteješ pozitivne in negativne sumande zase ter spojiš dobljeni vsoti v novo celoto. N. pr. (— 14«) + (+15«) + (—■ 17«) 4| ( -16«) + (+19«) = = (— 47«) -j- (+ 34 «) = — 13 a. Ako so sumandi raznoimenski, zapišeš jih drugega poleg drugega z njihovimi predznaki vred; pri tem odpadejo oklepaji in znaki seštevanja. Da 15 zaznamuje dobljeni številni izraz vse pozitivne in nega¬ tivne sumandske enote, je jasno. N. pr. ( I 2 a) -j- ( — 3 6) -\- (— 5 c) -j- (-|- 4 d) = = 2 a — 3b — 5 c -|- 4 rf. V vsoti algebrajskih števil se sme predznak -)- pri prvem členu in za enačajem izpuščati; predznak — se ne sme nikdar izpustiti. Vsaka vsota algebrajskih števil, kakor n. pr. (-)- a) -j- ( b) -j- (-)- c) -|- ( d) =■ a b -j- c d se imenuje algebrajska vsota ali mnogočlenik, posamezni sumandi se zovejo členi. Algebrajska vsota dveh členov se zove dvočlenik ali binom, vsota treh členov pa tročlenik ali trinom. Izrazom, ki imajo samo en člen, pravimo enočl eniki ali m o no mi. V algebrajski vsoti ali mnogočleniku el — b —j— c —— d smemo znake -j- in — smatrati ali za predznake dotičnih členov ali pa tudi za računske znake. Kajti spajanje po¬ zitivnih, oziroma negativnih enot z določenim številom se ujema popolnoma s prištevanjem, oziroma z odštevanjem absolutnih enot od dotičnega števila. Po istih pravilih, po katerih seštejemo dvoje alge¬ brajskih števil, spojimo (skrčimo) v celoto tudi istoimenske izraze v mnogočlenikih. Ako je treba številu, oziroma mnogočleniku prišteti mnogočlenik, moramo z dotičnim številom, oziroma s prvim mnogočlenikom spojiti vse pozitivne in negativne enote, ki se nahajajo v drugem mnogočleniku. To pa storimo, ako prištejemo (pripišemo) številu, oziroma prvemu mnogočle¬ niku zaporedoma posamezne člene drugega mnogočlenika. Torej je 4 a — 3 6-)- (— 2 a — 5 6 —j— c) = = 4 a — 36 — 2a — 5& —{— c =2 a — 86 -f- c. Mnogočlenik e sešteješ, ako zapišeš nji¬ hove člene drugega poleg drugega z neizpre- Alg' eb raj ska vsota = die alge- braische S tunine. Mnogočlenik == das Polynom. Člen = das Glied. Dvočlenik = das Binom. Tročlenik = das Trinom. Enočlenik = das Monom. S krče vanj e v mnogočlenikih. Kako seštevaš mnogočlenike. 16 Kako odštevaš algeb rajska števila. Kako odštevaš mnogočlenike. menjenimi predznaki in skrčiš istoimenske iz¬ raze. Da smeš oboje naenkrat storiti, se razume samo po sebi. N. pr. (5a — 7b — 9c) -|- (3 a — 4&-)-6c) = 8a~llb — 3c. § 6. Odštevanje algebrajskih števil. Algebrajska števila odštevati se pravi, iz vsote dveh algebrajskih števil in iz enega sumanda poiskati drugega. Tudi pri algebrajskih številih je vsota iz razlike in sub- trahenda enaka minuendu. Iz te lastnosti izvajamo za od¬ števanje algebrajskih števil pravilo: Algebrajsko število odšteješ od algebraj- skega števila, ako prišteješ (pripišeš) nespre¬ menjenemu minuendu subtraliend z nasprotnim predznakom; kajti v vsoti iz razlike in subtrahenda se nahaja minuend in dvoje nasprotnih števil, ki se uničujeta. Torej je: (+ a ) — (+ b) = (-f- a) + (A-- b), (“h «) — (— b) = (-|- a) -f- (-|- b), (-«)-(+*) = (-«) + (- 6 ), (- «) - (~ b) = (- «) + (+ b). Prištej v navedenih primerih razliki subtraliend. Kakšno vsoto najdeš? Od števila, oziroma od mnogočlenika odšteješ mnogo- členik, ako odšteješ od minuenda toliko pozitivnih in ne¬ gativnih enot, kolikor se jih nahaja v posameznih sub- trahendovih členih, t. j. ako odšteješ od minuenda zapo¬ redoma vsak subtrahendov člen. Z ozirom na zgoraj na¬ vedeno pravilo smemo torej reči: Mnogočlenike odštevaš, ako pripišeš nes¬ premenjenemu minuendu subtrahendov e člene z nasprotnimi predznaki in skrčiš istoimenske izraze. Da smeš oboje naenkrat storiti, se razume samo po sebi. N. pr. (6a — Ib -\~ 9c) — [(2 a — 5 b — 8c) — (— a -j- 3b — 4c)] = = (6 a — 7 & -f- 9 c) — [3 a — 8 b — 4 c] = 3a-|-7;-j-13c. § 7. Seštevanje in odštevanje enačb in neenačb. Ako izenačimo dva številna izraza, ki imata enaki vrednosti, stvorimo enačbo. N. pr. 3x — 8 = 2x-\-h. Izenačena izraza se imenujeta enačbena dela (enač- beni strani). Vsak teh delov utegne biti sestavljen iz členov, ki so spojeni med seboj z znakom seštevanja ali odštevanja. Povej enačbeni strani, enačbene člene in kako so členi združeni med seboj v zgoraj navedeni enačbi! Važne so tiste enačbe, v katerih se nahajajo znane in neznane količine. Znane količine (znanke) zaznamu¬ jemo s posebnimi števili, včasih tudi z začetnimi črkami abecede; neznane količine (neznanke) pa značimo s konč¬ nimi črkami x, y, z, u, v. Tisto število, oziroma tisti številni izraz, ki ustreza enačbi (tvori enačbena dela enaka), se imenuje enačbeni koren. Enačbi določiti koren, se pravi enačbo raz¬ rešiti. Določeno enačbo razrešimo, ako jo pretvorimo tako, da stoji v enem enačbenem delu neznanka sama s koefi¬ cientom —(— 1, v drugem delu pa stoje znana števila. Raz¬ rešena enačba ima torej obliko x — a, kjer pomeni a znano število, oziroma znani številni izraz. Ako izrazimo v znakih, da imata dva številna izraza neenaki vrednosti, stvorimo neenačb o. Tudi v neenačbi ločimo neenačbena dela (neenačbeni strani) in neenačbene člene. Enačbe in neenačbe seštevamo in odštevamo po na¬ slednjih pravilih: a) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) enakim številnim izrazom enake izraze, najdeš enake zneske, v znakih , } sešteto a ) odšteto c = d J _ c = d j _ ® “p c ■ b —J— f/, ci — c = b — d. Navedeni izrek sledi iz matematičnih osnovnih resnic. Enačba = die Gleichung. Enač¬ bena dela= Teile der Gleichung. Enačbeni členi = Glieder der Glei- chung. Neznanka = die Unbekannte. Znanka. Enačbeni koren = die Wurzel der Gleichung. Raz¬ rešiti = auflosen. Oblika razrešene enačb e. Neenačba = die Ungleichung. Seštevanje in od¬ števanje enačb in neenačb. Matek, Aritmetika. S; r. 18 h) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) ne¬ enakim številnim izrazom enake izraze, naj¬ deš v istem zmislu neenake zneske, v znakih a > b c = d sešteto a > b c = d odšteto ct —j— c b —|— d , a c b d. Dokaz. Ako je število a za / enot večje od števila b, je a —/ = b ali pa a a — b -j-/ c = d Iz | sešteto sledi in iz sledi + c =(5 + <*)+/, a — b -)-/ 1 c = d J odšteto a — c =(b— d) -f/; torej je po osnovnih resnicah ct —j— c b —j— in a — c b — d. c) Ako prišteješ (oziroma odšteješ) enakim številnim izrazom neenake izraze, najdeš v istem (oziroma nasprotnem) zmislu neenake zneske, v znakih a — b c )> d sešteto a = b c )> d odšteto ct -j— c b — j— d , Dokaz. Iz a a = b 1 c = d \-f J — c < b sešteto d. sledi in iz sledi a c — (b d) -j-/, = b , ) — d f ' odšteto torej je po osnovnih resnicah in po pojasnilih o odšte¬ vanju absolutnih števil a -j- c )> b -f- d in a — c M c > d J sešteto a -f c > b -f- d, a b c <( d odšteto a — c ]> b — d. Dokaz. sledi in iz Iz a c i+f d + g sešteto a e — (& —j— c/) —|— (/ -f- g), = d b + f } 9 odšteto sledi a — c = (b — d) -j- (/ -j- g ); torej je po osnovnih resnicah a -j- c > b -)- d in a — c b — d. Naloge. 1. Razreši enačbo 3x — 8 = 2x-\-b. Razreševanje 1 enačb. Navedeno enačbo razrešiš, ako odpraviš iz prvega enačbenega dela znani člen 8 in iz drugega dela člen 2x. Prvo dosežeš, ako prišteješ enačbenima deloma število 8, drugo pa, ako odšteješ od enačbenih delov številni izraz 2x. Primerjaj naslednjo razrešitev. Razrešitev: Preizkus: 3x — 8 = 2ic-|-5 I. del = 39 — 8 = 31, 3x = 2x -j- 13 II. del = 26 —|— 5 = 31. x = 13. Iz navedenih pojasnil izvajamo za porabno računanje to-le pravilo: Vsak člen odpraviš iz enega enačbenega dela, ako ga prestaviš v drugi del z nasprotnim predznakom. Prestavljanje čle¬ nov = das Trans- ponieren der Glieder. 2 * 20 Preizkus = die Probe. Pretvarjanje ne- enačb. Preizkus napraviš, ako zameniš v določeni enačbi neznanko z najdenim korenom ter izračunaš vrednosti prvega in drugega dela. Če se ujemata te vrednosti, si prav razrešil enačbo. 2. Razreši enačbo 8 —— (4 —j— 5x) - • (5 — 6x) -j- (— 4 -j- 2x). Ako izvršiš nakazana računska načina, najdeš 4 — 5x = 1 — 4x. Če prestaviš potem člen 5x v drugi enačbeni del in člen 1 v prvi del ter skrčiš izraze kolikor mogoče, dobiš 3 = x. Preizkus: I. del = 8 — (4 + 15) = — 11, II. del = (5 — 18) + (— 4 + 6) = — 11. 3. Določi mejo za x v neenačbi 5 a — 3 • j 2..c 3x — 1 -)- 4 a. V navedeni neenačbi moraš iz prvega dela odpraviti člen 2x, iz drugega dela pa člena 1 in 4a. Prvo dosežeš, ako odšteješ od obeh neenačbenih delov številni izraz 2x, drugo pa, ako prišteješ (oziroma odšteješ) obema deloma število 1 (oziroma izraz 4 a). Razrešitev je ta-le: 5 a — 3 —j— 2 x 3 x — 1 —|— 4 a 5 ti — 3 x — 1 —[— 4 ti 5 a — 2 > a; —|— 4 a a — 2 )> x. Iz navedenega sledi, da se tudi v neenačbah odpravi vsak člen iz enega dela, ako se postavi v drugi del z na¬ sprotnim predznakom. 4. Določi meji za x v neenačbi 3x-j-6a — 8 b c — d pomnoženo ac f> bd, Dokaz. Iz a — b c = d pomnoženo sledi ac — bd df in torej je po osnovnih resnicah a b c — d J deljeno a ^ b 7 ^ d‘ “c = h d 1 ^ } deljen Q - = ~ j~ L. c d ' d ’ ac bd in — -j- ^ c ^ d c) Ako množiš enake številne izraze z ne¬ enakimi izrazi, najdeš v istem zmislu neenake izraze, v znakih: iz a = b in c )> d sledi ac f> bd. Dokaz je popolnoma sličen dokazu pod b). d) Ako množiš večji številni izraz z večjim izrazom, najdeš večji izraz, v znakih: iz « > i» in c > d sledi ac > bd. Dokaz. Iz sledi a c = & +/ = d +9 j pomnoženo ac = bd- j- (df —j— bcj -f fg); torej je po osnovnih resnicah ac f> bd. e) Ako deliš enake številne izraze z ne¬ enakimi izrazi, naj deš v nasprotnem zmislu neenake izraze, v znakih: iz a — b in c > d sledi a , b 7 ^ d' Dokaz. Če bi bil kvocijent " * in bi ta kvocijent pomnožili z neenačbo c f> d, bi dobili • c f> • d ali krajše a f> b, kar nasprotuje pogoju a — b. Torej mora biti " < c d 37 J) Ako deliš večji številni izraz z manjšim izrazom, najdeš večji izraz, v znakih: iz a + b in c <( d sledi — + \. ' c ^ d Dokaz je popolnoma sličen prejšnjemu. Naloge. 1. Razreši enačbo: (2x + 1) (® — 3) — (3« — 4) (2x + 5) = 74 — (2ar — 3) 2 * . Navedeno enačbo razrešiš, ako izvršiš najprej na¬ kazane računske načine v vsakem enačbenem delu, potem prestaviš člene z neznanko v en del, znane člene pa v drugi del, in končno deliš oba enačbena dela z neznan- kinim koeficientom. Razrešitev: (2x 2 — 5x — 3) — (6* 2 -f 7x — 20) = 74 — (4:r 2 — 12x + 9) — 4x 2 — 12x' -f 17 = 65 — 4x 2 -f 12x — 24 x = 48 x = — 2. Preizkus: I. del = (— 3) (— 5) — (— 10) • 1 = 15 + 10 = 25, II. del = 74 — (— 7) 2 = 74 — 49 = 25. 2. Razreši enačbo: (12.r 4 — 7x s — 38 x 2 -7x-j- 10) : (3x 2 — 4x — 5) = = (2x — 3) (2x —|— 3) —(— 4. Navedeno enačbo razrešiš, ako postopaš istotako kakor pri prejšnji enačbi. Razrešitev: 4x 2 -f 3.r — 2 = 4.r 2 —9 + 4 3x = — 3 x — — 1. Preizkus: I. del = (12 + 7 — 38 + 7 + 10): (3 + 4 — 5) *= = (— 2 ): 2 == — 1 , II. del = (— 5) • 1 + 4 = — 5 + 4 = — Razreševanje oklepajev pri enačbah. l. 38 3. Določi tista cela števila, ki ustrezajo neenacbi 5x —|— 9 << lir — 21 < 5x — 3. Nalogo razrešiš, ako odpraviš iz zunanjih neenačbenih delov člen 5x, iz srednjega neenačbenega dela pa člen 21, in potem deliš vse tri neenačbene dele z neznankinim koeficientom. Razrešitev: 5 x -j- 9 <^llr — 21 5 x — 3 9 < 6x — 21 < — 3 30 < 6x < 18 5 < x < 3. Z ozirom na pogoj naloge je torej x = 4. Na katere izreke se opirajo razrešitve navedenih enačb in neenačb? C. Lastnosti eelih števil. 11. Številni sestavi. Številni sestav = das Zahlen- system. Desetiški številni sestav = das dekadische Zahlensystem. Dekadične enote = die dekadi- schen Einheiten. Vsakemu številu se da pridejati enota in z dobljenim številom zopet spojiti enota. Tako postopajoč najdemo neizrečeno veliko števil, ki se imenujejo cela števila. Če hočemo ta števila izraziti v govoru in predočiti pismeno, je treba za vsako število posebnega imena in znaka. Pa teh imen in znakov ne sme biti preveč, da si jih moremo zapomniti in da ne postane njih raba pretežavna. Zato so pregledno razvrstili števila po skupinah in so izumili jako enostavna pravila, po katerih je mogoče s primeroma pičlo množico besed in znakov izraziti v govoru in pred¬ očiti pismeno vsa potrebna cela števila natanko in določno. Ta pregledna razvrstitev števil se imenuje številni se¬ stav ali sistem. Vsi omikani narodi rabijo desetiški ali dekadični številni sestav. Število 10 urejuje ta sestav. V desetiškem številnem sestavu ne štejemo nepre¬ stano naprej, temveč prenehamo s štetjem večkrat. Rav¬ namo tako-le. Ko naštejemo deset prvotnih enot 39 (enic ali dekadičnih enot brez reda), pretrgamo štetje ter začnemo šteti od kraja in štejemo zopet do deset, če ponavljamo na ta način štetje, nastajajo sku¬ pine po deset prvotnih enot. Tem skupinam pravimo dekadične enote prvega reda ali krajše desetice (10 ■ 10 1 ). Ko naštejemo s prvotnimi enotami deset skupin po deset enot, t. j. deset desetic, pretrgamo zopet štetje ter združimo te skupine (desetice) v novo in večjo celoto, katero imenujemo dekadično enoto drugega reda ali stotico (100 = 10 2 ). Potem začnemo šteti zopet od kraja, in ko naštejemo deset skupin drugega reda, t. j. deset stotič, spojimo te nove skupine v večjo celoto, ki jo imenujemo dekadično enoto tretjega reda ali tisočico (1000 = 10 3 ). Če nadaljujemo štetje na ta način, nastajajo vedno nove in večje skupine, katere imenujemo dekadične enote četrtega, petega, šestega . . . reda ali desettisočice, s t o t i s o - čice, milijonice i. t. d. (10000 = 10 4 , 100.000 = 10 5 , 1 , 000.000 = 10 6 , . . .). Iz navedenega spoznamo: deset enic tvori desetico, deset desetic tvori stotico, deset stotič tvori tisočico i. t. d. Deset dekadičnih enot določenega reda tvori torej dekadično e n o t o na s 1 e dn j ega vi š- jega reda. Vsako celo število desetiškega sestava je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima enic, desetic, stotič i. t. d. Pri pismenem predočevanju celih števil so se deka- dičnim enotam odločila posebna mesta, ki se štejejo od desne proti levi. Na prvo mesto pišemo enice, na drugo desetice, na tretje stotice i. t. d. Znano ali določeno mno¬ žino enot kateregakoli reda zaznamujemo z arabskimi šte¬ vilkami : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in z znakom 0, ki pomeni, da na tistem mestu, kjer stoji ničla, ni nobene enote; neznano ali nedoločeno množino enot kateregakoli reda pa zaznamujemo s črkami. Vsaka številka naznanja torej na drugem mestu toliko desetic, na tretjem toliko stotič, na četrtem toliko tisočic i. t. d., kolikor na prvem enic. Pri vsaki številki določenega reda moramo ločiti dvojno vrednost in sicer številčno vrednost, Zakon o tvoritvi dekadičnih enot. Kdaj je dekadično število določeno. Pismeno pred- očevanje deka¬ dičnih števil. Načelo o mestni vrednosti številk. Številčna vred¬ nost = der Ziffermvert. 40 Mestna vrednost = der Stellen- wert. Oblika dekadič- nega števila. Podloga števil¬ nega sestava = die Basis des Zahlensystems. Enote številnega sestava v ob Če. ki naznanja množino enot, in mestno vrednost, ki pove red enot. Prva vrednost je odvisna od podobe dotične številke in je zaradi tega neizpremenljiva; druga vred¬ nost pa je odvisna od mesta, na katero se zapiše šte¬ vilka, in je zato izpremenljiva. Dekadično število JV, ki je sestavljeno iz a enic, h desetic, c stotič, d tisočic i. t. d., predočimo pismeno tako-le : N = a -f b . 10 + c • 10 2 -f d • 10 3 + . . ., ali pa obratno : N = ... -f d ■ 10 3 + c • 10 2 + b • 10 + a. Vsako posebno dekadicno število se da smatrati za mnogočlenik, ki je urejen po padajočih potencah pod¬ loge 10. N. pr. 7452 = 7 • 10 3 + 4 • 10 2 + 5 • 10 + 2. Število 10 se imenuje podloga desetiškega števil¬ nega sestava. Če uredimo števila naravne številne vrste po kaki drugi podlogi, n. pr. po podlogi 8 (oziroma po pod¬ logi p), stvorimo številni sestav s podlogo 8 (ozi¬ roma s podlogo p). Pri tem postopamo tako-le. Ko na¬ štejemo 8 (p) prvotnih enot, pretrgamo štetje ter začnemo od kraja šteti in štejemo zopet do 8 (p). Če na ta način ponavljamo štetje, nastajajo skupine po 8 (p) prvotnih enot. Tem skupinam pravimo enote prvega reda (8 1 , oziroma p 1 ). Ko naštejemo s prvotnimi enotami 8 (p) skupin po 8 (p) enot, pretrgamo zopet štetje ter združimo te skupine (enote prvega reda) v novo in večjo celoto, katero imenujemo enoto drugega reda (8 2 , oziroma p 2 ). Potem začnemo šteti zopet od kraja, in ko naštejemo 8 (p) skupin drugega reda, spojimo te skupine v večjo celoto, ki jo imenujemo enoto tretjega reda (8 3 , oziroma p s ). Če nadaljujemo na ta način štetje, na¬ stajajo vedno nove in večje skupine, ki jih imenujemo enote četrtega, petega, šestega ... reda (8 4 , 8 5 , 8 6 ..., oziroma p 4 , p 5 , p 6 .. .). 41 Vsako celo število številnega sestava s podlogo 8 O) je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima prvotnih enot (enot brez reda), koliko enot prvega, dru¬ gega, tretjega, .. . reda. Pri pismenem predočevanju celih števil številnega sestava s podlogo 8 (p) se odločijo prvotnim in višjim enotam istotako posebna mesta kakor v desetiškem šte¬ vilnem sestavu. Tudi množina enot kateregakoli reda se zaznamuje na isti način. Koliko in katere številke rabimo torej v številnem sestavu s podlogo 8? Število N številnega sestava s podlogo 8 (p) pred- očimo tako-le: N.= a -(- b • 8 -|- c • 8 2 -j- d • 8 8 -j- . . ., oziroma A' = a -j- b • p -(- c • p' 2 -)- d • p s -j- . . ., kjer pomenijo a prvotne enote, b enote prvega reda, c enote drugega reda i. t. d. Vsako posebno število številnega sestava s podlogo 8 se da smatrati za mnogočlenik, urejen po padajočih po¬ tencah podloge 8. N. pr. 6572 [8] :== 6 • 8* + 5 • 8 2 + 7 • 8 + 2. Vsakemu posebnemu številu, ki ni desetiškega šte¬ vilnega sestava, se mora pripisati podloga dotičnega se¬ stava. Poglej zgoraj navedeni primer! Pravila, po katerih se izvršujejo osnovni računski načini dekadičnih števil, so znana in se opirajo na ra¬ čunske zakone, ki veljajo o mnogočlenskih izrazih. Popol¬ noma slično je tudi računanje s števili, ki niso desetiškega sestava. Naloge. 1. Pretvori število 50432 [8] v desetiški šte¬ vilni sestav! Po zgoraj navedenih pojasnilih je 50432 [8] = 5 • 8 4 + 4 • 8 2 + 3 • 8 + 2 = = 20480 -j- 256 —j— 24 —2 = 20762. Pismeno predoče- vanje celih števil v kakem števil¬ nem sestavu. Oblika celega števila v kakem številnem sestavu. Računanje s celimi števili. 42 Deljiv = teilbar. Mera = das Mafi. Mnogokratnik = das Vielfache. Praštevilo = die Primzahl. Sestavljeno šte¬ vilo =— die zu- sammengesetzte Zahl. Skupna mera = das gemeinsame Mafi. Nekatera občna znamenja o de- ljivosti števil. 2. Pretvori dekadično število 8734 v šte¬ vilni sestav s podlogo 8! Nalogo razrešiš, ako izračunaš vrednosti višjih enot številnega sestava [8] ter izmeriš s temi vrednostmi do¬ ločeno dekadično število. Torej je 8734 = 21036 [8]. Ako je treba n. pr. določeno število številnega se¬ stava [6] pretvoriti v številni sestav [9], pretvoriš dotično število najprej v desetiški številni sestav in to vrednost potem v številni sestav [9]. § 12. Občna pojasnila in znamenja o deljivosti. Ako delimo celo število A s celim številom m ter najdemo celo število a kot kvocijent, pravimo, da je šte¬ vilo A deljivo s številom m, v znakih A = am. Šte¬ vilo A imenujemo mnogokratnik števila m, število m pa mero števila A. Vsako celo število, ki je deljivo le z 1 in s samim seboj, se imenuje enostavno število ali praštevilo; vsako celo število pa, ki ni le deljivo samo z 1 in samim seboj, temveč še z drugimi števili, se zove sestavljeno število. Ako sta celi števili A in B deljivi z istim številom m, pravimo, da je m skupna mera števil A in B. Skupna mera dveh števil je tudi mera vsote, oziroma razlike teh števil. Dokaz. Iz pogojnih enačb A = am in B = bm naj¬ demo : A -j- B = (a -j- b ) m , A — B — (a — b) m, t. j. vsota A -j- B , oziroma razlika A — -B je mnogokratnik števila m. 43 A k o ima določeno število kako mero, ima tudi vsak mnogokratnik dotičnega števila isto m ero. Dokaz. Iz pogojne enačbe A = a/m najdemo Ax = axm , t. j. Ax je mnogokratnik števila m. Vsaka skupna mera dividenda in divizorja je tudi mera delitvenega ostanka. Vsaka skupna mera divizorja in delitve¬ nega ostanka je tudi mera dividendova. Dokaz. Iz pogoja A : 11 = k ^ sledi, da je produkt iz kvocijenta k in divizorja B za delitveni ostanek r manjši od dividenda A, t. j. v znakih A — Bk = r ali pa A = Bk -f- r. S pomočjo teh enačb sklepamo: ako imata A in D skupno mero, imata po zgoraj navedenih pravilih tudi Bk in r isto mero; če pa imata B in r skupno mero, imata po istih pravilih tudi Bk in A isto mero. Dekadično število N = a -f- b ■ 10 + c. 10 2 + d . 10 3 -f e • 10* + ... . JV je deljivo z n, ako je — celo število. 1. Če je n — 2 (oziroma 5), najdemo: ~ = -J + b ■ o + c • 50 -f d ■ 500 + . . " t. j. y = ! + 6.2 + c20 + tf.200+... Dekadično število je deljivo z 2 (5), če so njegove enice deljive z 2 (5). 2. Če je n = 4 (oziroma 25), najdemo: N T jV 25 ° -f c • 25 -f d • 250 + .. a — I - b • 10 | . r 7 . n , o ; --j- C . 4 + d . 40 + .. t. j. Nekatera po¬ sebna znamenja o deljivosti deka- dičnih števil. 44 Dekadično število je deljivo s 4 (25), če so njegove enice in desetice kakor število deljive s 4 (25). 3. Če je n = 8 (oziroma 125), najdemo: A IT N 125 a + b • 10 + c • 10 2 8 ' a + b • 10 + c • 10 2 125 125 + .. + d.8 + .. t. j. Dekadično število je deljivo z 8 (125), če so njegove enice, desetice in stoti ce kakor število deljive z 8 (125). 4. Če je n = 3 (oziroma 9), je treba dekadično šte¬ vilo N tako-le pretvoriti: N = a + 9 b + b + 99 c + c + 999 <7 + d + . . . Potem najdemo: ~ = a + h + c + d +_. + 37> + 33c + 333(7+.. ) č> ^ It* f + n C + d - + b + lic + 111(7 +.. ’ J ' 9 9 ) Dekadično število je deljivo s 3 (9), ako je njegova številčna vsota (vsota vseli številk dotič- nega števila) deljiva s 3 (9). 5. Če je n — 11, je treba dekadično število X tako-le pretvoriti: N = a + 115 — 7> + 99 c + c + 1001(7 — d + 9999e + + c + ... = a — b c — d + e ... + 11 b + .99 c + 1001 d + + 9999 e +... Potem najdemo: X_ = (a + c + e + . +-- (+ + d + _ + + b _|_ 9c + + 91 (7 + 909e + .. t. j. Dekadično število je deljivo z 11, ako je razlika številčnih vsot lihih in sodih mest 45 deljiva z 11. N. pr. Pri številu 405691 je številčna vsota lihih mest 7 in številčna vsota sodih mest 18; razlika teh dveh vsot znaša 11 in je deljiva z 11, torej je tudi nave¬ deno število deljivo z 11. Z 2 deljiva števila se imenujejo soda števila, z 2 nedeljiva števila pa se zovejo liha števila. Soda števila zaznamujemo z 2 n, liha pa z 2 n -J- 1 ali tudi z 2 n — 1, kjer pomeni n neko število naravne številne vrste. § 13. Razstavljanje sestavljenih števil in številnih izrazov v prafaktorje. Vsako sestavljeno število se da le na en način razstaviti v prafaktorje. Dokaz. Ker je sestavljeno število A deljivo ne le z 1 in s samim seboj, temveč tudi še z drugimi števili, moremo ga razstaviti na dva faktorja Mn c (A = bc ), izmed katerih je včasih le eden, včasih sta oba, včasih pa ni nobeden praštevilo. Ako ravnamo z vsakim izmed faktorjev b in c, ki ni praštevilo, istotako kakor s sestavljenim številom A , in ako to ponavljamo, najdemo končno praštevila, katera med seboj pomnožena dado sestavljeno število A kot pro¬ dukt (prafaktorji sestavljenega števila). — Sestavljeno število A pa se da le na en način razstaviti na prafaktorje. Kajti če bi število A bilo sestavljeno iz prafaktorjev a, b, c, d in tudi iz prafaktorjev a, /2, y, d, ki so različni od prejšnjih, bi morala produkta abcd in aj3yd biti enaka in zato tudi oba deljiva z istim številom. Prvi produkt je n. pr. deljiv z a , drugi pa ne more biti deljiv z «, ker so vsi njegovi faktorji različni od a. Isto velja tudi o vsakem drugem faktorju. Število A se torej ne da razstaviti na dva različna načina v prafaktorje. Če deliš določeno število (n. pr. 509) zapore¬ doma s praštevili 2, 3, 5, 7, 11, 13, .. . in sicer tako daleč, da postane kvocijent manjši od divizorja, in če se nobena teh delitev ne konča z ostankom 0, je dotično število praštevilo. Dokaz. Mislimo si dekadično število N, ki je večje od praštevila a, pa manjše ko kvadrat tega praštevila. Sodo število = gerade Zalil. Liho število = ungerade Zahl. Prafaktorji se¬ stavljenega šte¬ vila. Kako določiš praštevila. 46 Če ni število N deljivo z nobenim praštevilom od 2 do a , utegne biti deljivo s števili, ki so večja od a. Tako naj¬ demo N = cd, kjer je vsak izmed faktorjev c in d večji od a , v znakih c^> a in d > a. Potem mora očividno produkt cd = N biti večji od a 2 , kar pa je zaradi zgoraj navedenega pogoja nemogoče. Število N mora torej biti praštevilo. Naloge. Kako razstaviš dekadično število na prafaktorje. 1. Dekadično število (n. pr. staviš na prafaktorje, ako pre ločiš, katero izmed praštevil 2, 3, 5, 7, 11, 13 i. t. d. in kolikokrat se nahaja v dotičnem dekadičnem številu. V ta namen deliš dekadično šte¬ vilo z najmanjšim praštevilom (izvzemši 1), s katerim je deljivo; dobljeni kvocijent deliš zopet z najmanjšim praštevilom, s katerim je deljiv, in tako postopaš dalje, dokler ne prideš do kvocijenta 1. Divi- zorji vseh teh delitev so prafaktorji do- tičnega števila. Poglej navedeni primer! 360360) r a z • Kako razstaviš enočlenike na prafaktorje. 2. Pri enočlenskih številnih izrazih pred- očuje vsaka črka prafaktor; zato je treba raz¬ staviti le koeficient na prafaktorje. N. pr. 24 a-mx 3 = 2 3 • 3 • a 2 mx 3 . Kako razstaviš innogočlenike na prafaktorje. 3. Vsak mnogočlenski izraz, katerega členi imajo skupno mero, se da razstaviti na dva faktorja, izmed katerih je eden skupna mera, drugi pa mnogočlenik, katerega najdeš, ako deliš prvotni mnogočlenski izraz s skupno mero. Vsakega izmed dobljenih faktorjev razstaviš zopet na nove faktorje, če je mogoče. N. pr. 12 ax 2 — 24 bx 2 — 36 .r 2 = 12x 2 (a — 2b — 3) =. = 2 2 • 3 • x 2 • (a — 2b — 3). 47 Včasih razstaviš najprej po dva in dva člena na faktorje in potem šele ves mnogočlenik. N. pr. 2ax — 6 lx — 3 ay -j- 9 bij = 2 x(a — 3 b) — 3 y(a — 3 b) — = (a — 36) (2x — 3 y). 4. Ako ima številni izraz obliko a 2 —6 2 , sta faktorja vsota in razlika obeh podlog. N. pr. t = (a 2 + y 2 ) (a 2 — y 2 ) = (a 2 + y 2 ) (a + ij) (a — y). 5. Ako ima številni izraz obliko a 2 + 2«6-|-6 2 , sta faktorja enaka. N. pr. Am l -j- V2mx -j- 9a: 2 = (2m + 3F) 2 = (2i» + 3*)(2» + 3®). - b 2 -f 6fe 4 — 9^8 = — (b 9 - — 6 bz* -j- 9 z 8 ) = = — (b — 3z 4 ) (6 — 3z 4 ). 6. Trinom z obliko x 2 + bxy + ct/ 2 se da raz¬ staviti na dva faktorja, ako moreš izraziti koeficient b srednjega člena kakor vsoto (ozi¬ roma razliko) dveh števil, katerih produkt Je = c. Iz koeficienta b napraviš vsoto (razliko) dveh števil, če je zadnji člen pozitiven (negativen). Faktorja najdeš po pravilu pod 3. N. pr. x% — 5 xy -J- 6 y 2 = x 2 — 3 xy — 2xy -j- Gy 2 = = x(x — 3 y) — 2 y(x — 3 y) = (x — 3 y)(x — 2 y). « 2 — Ga — 7 = a 2 — 7a-j- a — 7 = a (a — 7) -j- (a — 7) = = (a 7) (a -j- 1). 7. Izrazi kakor n. pr. « 3 -j- b s , a 5 -)- b 5 , oziroma x 3 — y s , x 5 — y h so deljivi z a -\- b, oziroma x — y. Poišči kvocijente ter si jih zapomni! Vsota (razlika) dveh potenc z enakima li¬ hima eksponentoma je deljiva z vsoto (raz¬ liko) podlog. 48 Katera števila so deljiva s 6, 12, 15. Naj večja skupna mera = das grofite gemein- same Mafi. Kako najdeš naj- večjo skupno mero na prvi način. 8. Izrazi kakor n. pr. a 4 — 5 4 , a 6 — 5 ® so deljivi z a '-j- b in a — b. Poišči kvocijente ter si jih zapomni! Razlika dveh potenc z enakima sodima eksponentoma je deljiva z vsoto in razliko podlog. 9. Ako se prafaktorji sestavljenih števil 6, 12, 15 i. t. d. nahajajo v določenem številu, mora dotično število biti deljivo s 6, oziroma z 12, 15 i. t. d. S 6 so torej deljiva tista števila, ki so deljiva z 2 in 3. Z 12 so deljiva tista števila, ki so deljiva s 4 in 3. S 15 so deljiva tista števila, ki so deljiva s 3 i n 5. § 14. Največja skupna mera. Naj večja skupna mera dveh ali več števil je tisto največje število, katero se nahaja brez ostanka v vseh določenih številih. Tako je n. pr. 15 največja skupna mera števil 30, 45, 75, v znakih M (30, 45, 75) = 15, in a — b največja skupna mera številnih izrazov a 2 — b 2 , a s — b 3 , a 2 — 2ab -f- b' 2 , v znakih M (a 2 — b% « 3 — b 3 , a 2 —2 ab + b 2 ) = a — b. Jasno je, da se morajo v največji skupni meri dveh ali več števil nahajati le tisti prafaktorji, ki so vsem določenim številom skupni. Ako torej razstaviš dolo¬ čena števila, oziroma številne izraze na pra¬ faktorje ter poiščeš in pomnožiš vse skupne prafaktorje (vsak skupni prafaktor se vzame v najnižji potenci, v kateri se nahaja v kakem številu), najdeš 49 največjo skupno mero dotičnih števil, oziroma številnih izrazov. N. pr. 1. M (168 a 2 6 3 m, 180 a 3 b 5 m 2 , 324 ačbhn 3 ) = ? 168 a 2 b 3 m = 2 3 • 3 • 7 • a% 3 m, 180 a 3 b°m 2 = 2 2 • 3 2 • 5 • a 3 b 5 m 2 , 324 ofibhn 3 — 2 2 • 3 4 • a 5 & 4 m 3 ; torej je 4/ = 2 2 - 3* a 2 5%* = 12« 2 & 3 m. 2. 3/ (x 2 -f- 5x — 24, x 2 -f- 9x -{-8, x 3 -(- 512) = ? x 2 -(- 5x — 24 = x 2 -(- 8x — 3x — 24 = (x-j- 8)(x — 3), x 2 -j- 9x -|- 8 = x 2 —[— 8x —j— x —j— 8 = (x -\- 8)(x -)- 1), x 3 + 512 = (x —j— 8) (x 2 — 8 x —|— 64); torej je M = x -)- 8. Na ta način se določuje največja skupna mera pri manjših številih in številnih izrazih. Včasih se da to iz¬ vršiti kar na pamet. Na drugi način najdeš največjo skupno mero dveh števil (številnih izrazov), ako deliš večje število (večji številni izraz) z manjšim, potem divizor z dobljenim delitvenim ostankom in to ponavljaš tako dolgo, da se ena izmed na¬ slednjih delitev konča z ostankom 0 (verižna de¬ litev). Divizor zadnje delitve je največja skupna mera določenih števil (številnih izrazov). To je v znakih: A:B = B : = £ 2 + ^, 1 i r \ • r 2 = ^8 ~j~ 7T ) ' 2 r 2 • r 3 = ^4 • Dokaz. Ker je vsak delitveni ostanek manjši od di- vizorja in postane v naslednji delitvi divizor, manjšajo se divizorji naslednjih delitev in ena izmed njih se mora torej končati z ostankom 0. Divizor r 3 zadnje delitve je potem mera zadnjega dividenda r 2 . Po izreku, da je vsaka skupna Matek, Aritmetika. 4 g. Kako najdeš naj¬ večjo skupno mero na drugi način. Verižna delitev == die Ketten- division. 50 mera divizorja in delitvenega ostanka tudi dividendova mera, je v zgoraj navedenih delitvah zadnji divizor r 3 za¬ poredoma mera dividendov r 1 . B in A. Divizor r 3 je torej skupna mera števil B in A. — Če bi pa števili A in B imeli večjo skupno mero nego r 3 , recimo r, bi moralo šte¬ vilo r po izreku, da je vsaka skupna mera dividenda in divizorja tudi mera delitvenega ostanka, v zgoraj na¬ vedenih delitvah biti zaporedoma mera delitvenih ostankov r u r 2 in r 3 . Zadnji slučaj pa je nemogoč, ker je po pogoju r r s . Iz navedenega je torej jasno, da je zadnji di¬ vizor r 3 največja skupna mera števil A in B. Lastnost skupne Skupna mera dveh števil se ne izpremeni, ako pomnožiš (deliš) eno izmed določenih števil s faktorjem, ki ni mera drugega števila. Dokaz. Ker se nahajajo v skupni meri števil A in B le skupni faktorji, je jasno, da se skupna mera ne more izpremeniti, če prideneš (oziroma odvzameš) n. pr. šte¬ vilu A faktor, ki ni mera števila B. Največjo skupno mero treh ali več števil A, B, C ... najdeš s pomočjo verižne delitve, ako poiščeš najprej naj¬ večjo skupno mero M 1 števil A in B, potem največjo skupno mero i¥ 2 najdene mere M 1 in tretjega števila C i. t. d. Medsebojna pra- Števila, ki nimajo razen 1 nobene skupne mere, se Primzahien. imenujejo medsebojna ali relativna prastevila. Tako so n. pr. števila 4, 9, 25, oziroma številni izrazi x y, x 2 -|- «/ 2 , x 2 — if- medsebojna praštevila. Naloge. 1. M (2502, 1807) = ? 0 M = 139. 51 2. M (10* 2 — 34 xy -f 12 >/-, 2x 2 — 3 xy — 9 f) = ? (10x 2 — 34 xy -f 12 f) !«(2x 2 — 3 xy — 9 y 2 ) = 5 — \ ( .)xy ■ ~u,f- = — 19 y (x — 3(/),* (- ^ ' X, J 9 y 2 ) : (x 3 f/) = 2 x -)- 3 i/, 3x«/ — 9y 2 0 M = x — 3 y. 3. M (3x 4 — 8x 3 -|- 11 x 2 — 8x -}- 3, 2x 3 — 9x 2 -|- 9x — 7) = ? Da bode mogoče, prvi številni izraz deliti z dragim, se pomnoži prvi izraz s faktorjem 2 (oziroma s faktorjem 4 = 2 2 , ker se namreč prvi divizorjev člen nahaja v dveh dividendovih členih). To se sme storiti, ker je 2 (oziroma 4) relativno praštevilo z ozirom na divizor. (12x 4 — 32x 3 -|-44x 2 — 32x-|-12) : (2x 3 — 9x 2 + 9x — 7) = 22x 3 —10x 2 -f 10x4-12 = 6x-f 11 89x 2 — 89x-j-89 = 89 (x 2 — x-f 1), (2x 2 — 9x 2 -j- 9x — 7) : (x 2 — x -j- 1) = 2x — 7, — 7x 2 -(-7x — 7 0 M '= x 2 —x + l. § 15. Najmanjši skupni mnogokratnik. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil je tisto najmanjše število, v katerem se nahajajo vsa določena števila brez ostanka. Tako so n. pr. 120, 240, 360 i. t. d. skupni mnogokratniki števil 8, 12 in 15; naj¬ manjši izmed vseh teh mnogokratnikov pa je 120, v znakih mn (8, 12, 15) = 120. V najmanjšem skupnem mnogokratniku dveh ali več števil se mora nahajati vsak prafaktor določenih števil in sicer tolikokrat, kolikorkrat se nahaja v tistem izmed določenih števil, v katerem je največkrat. Z ozirom na to lastnost najdeš določenim številom najmanjši * Iz tega delitvenega ostanka se sme za dalj nji račun izpustiti faktor — 19 y, ker ta faktor ni mera divizorja. Najmanjši skupni mnogokratnik = das kleinste ge- meinsame Viel- fache. Kako najdeš naj¬ manjši skupni mnogokratnik na prvi način. 4 * 52 Kako najdeš naj¬ manjši skupni mnogokratnik na drugi način. skupni mnogokratnik, ako razstaviš vsa dolo¬ čena števila zaporedoma na prafaktorje ter zbereš in pomnožiš vse različne prafaktorje, vsakega v največji potenci, v kateri se nahaja v kakem izmed določenih števil. N. pr. 1. mn (15« 2 &, 18 ab 2 x, 20 abx 3 , 24 x 2 «/, 30 xy 2 ) = ? mn = 3-5-2-3 - 2-2 - a 2 b 2 x 3 y 2 = 360 a 2 b 2 x 3 y 2 . Pri navedeni nalogi razstaviš najprej vse koeficiente zaporedoma na prafaktorje in potem vzameš od prvega koeficienta vse prafaktorje, od vsakega naslednjega pa le tiste, ki jih še nisi vzel v poštev. Primerjaj izvršitev! 2. mn (x 2 — y 2 , x 2 — xy — 2 y 2 , x 2 -j- 2 xy — 3 y 2 ) = ? x 2 — y 2 = (•<' j y) 0' — //), x 2 — xy — 2 y 2 = x 2 — 2 xy -f- xy — 2 y 2 = = (*— ! '2y)(* + y), x 2 -f- 2 xy — 3 y 2 — x 2 -{- 3 xy — xy — 3 y 2 == = (* + 3 !/)( x — y)\ mn == (x -ij)(x //) (x — 2 y) (x -f 3 y) = = x 4 -j- x 3 y — 7 x 2 y 2 ■— xy 3 -j- 6 ?/ 4 . Na ta način se išče najmanjši skupni mnogokratnik pri manjših številih in številnih izrazih, ki se dado lahko razstaviti na prafaktorje. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh šte¬ vilnih izrazov najdeš, ako deliš enega izmed teh izrazov z naj večjo skupno mero ter pomno¬ žiš dobljeni kvocijent z drugim izrazom. Dokaz. Mislimo si dve števili A in B, ki imata naj¬ večjo skupno mero M , torej A = aM in B = bM- števili a in b nimata potem nobenega skupnega faktorja. Jasno je, da se v najmanjšem skupnem mnogokratniku števil A in B morajo nahajati faktorji a , b in M. Naj¬ manjši skupni mnogokratnik števil A in B je torej = abAL 53 Ako postavimo v ta izraz vrednosti za a in J, najdemo za najmanjši skupni mnogokratnik izraz A B mn = M ' M ' M ' ali krajše mn — AB AT a l M B B M • A. Najmanjši skupni mnogokratnik treh ali več šte¬ vilnih izrazov najdeš, ako poiščeš najprej najmanjši skupni mnogokratnik prvega in drugega številnega izraza, potem najmanjši skupni mnogokratnik najdenega mnogokratnika in tretjega številnega izraza i. t. d. Naloge. 1. mn (1781, 2329) = ? (10 a? 2 — 9 xy — 9 y 2 ) (3 a? —)— 2 y) 30 x 8 — 27 x % y — 27 xif- 20 x 2 y — 18,n/ 2 — 18 i/ 30 x 3 — lxhj — 45 xy 2 —18?/ 3 = mn. 54 Pomen nakaza¬ nega kvocijenta. Deljiva enota. Ulomek = der Bruch, Števec = der Zahler. Imenovalec == der Nenner. Pravi ulomek = der echte Bruch. Nepravi ulomek = der unechte Bruch. II. Računanje z ulomljenimi števili. A. Navadni ulomki. § 16. Občna pojasnila in pretvarjanje navadnih ulomkov. Kvocijent ~ se da določiti s številom naravne, ozi¬ roma podaljšane številne vrste le tedaj, kadar je divi¬ dend a mnogokratnik divizorja b. Če pa dividend a ni mnogokratnik divizorja b, moreš kvocijent ~ samo omejiti z dvema zaporednima celima številoma. Tako je n. pr. 4 < f < 5 in - 2 > - ~ > - 3. Da bode kvocijent imel v vsakem slučaju določen pomen, je treba številni pojem primerno razširiti. To se zgodi s pomočjo deljive enote. Številni izraz j se da namreč po že znanih računskih zakonih tako-le pretvoriti: a 1 • a 1 T = nr=b- a - Kvocijent " h pomeni torej tisto število, ki ga najdemo, ako razdelimo enoto na b enakih delov ter vzamemo enega teh delov «krat. Števila, ki nastajajo na ta način, se imenujejo ulom¬ lj ena števila ali ulomki; i je ulomljena enota. V ulomku ~ se zove a števec, b pa imenovalec. Ime¬ novalec pravi, na koliko enakih delov je treba razdeliti enoto ; števec naznanja, koliko enakih enotnih delov se vzame v poštev. Imenovalec torej imenuje enotni del, števec pa šteje enotne dele. Ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, se imenuje pravi ulomek; ulomek pa, katerega števec je večji od imenovalca, se zove nepravi ulomek. Vrednost pravega ulomka je manjša od enote, vrednost nepravega ulomka pa večja od enote. Vsota iz celega šte- 55 vila in pravega ulomka je mešano število, n. pr. 5 -j- | ali krajše 5f. Ulomljena števila predočiš na sliki, ako razdeliš da¬ ljico, ki predstavlja enoto, na toliko enakih delov, kakor kaže imenovalec, ter načrtaš take dele na traku od tiste točke, ki predočuje ničlo, na vsako stran. Pridejana slika kaže vrsto ulomljenih števil z imenovalcem 3. _ 8 7) 5 "Tl _ 3 _ 2 _ i n n TT i IT) Ti u i "3 1 2 Tl "Tl "Tl +h Prvotna cela števila imajo v tej številni vrsti obliko: 1, -f, |, . . ., t. j. obliko nepravih ulomkov. Čim večji je ulomkov imenovalec, tem manjša je razdalja med dvema zaporednima ulomkoma. Z ulomki se vrsta celih števil razširi, ker nova števila stopijo med dve zaporedni celi števili. Ako pomnožiš števec ulomka | z m, vzameš mkrat toliko enotnih delov v poštev ; ulomek postane torej mkrat večji. Če pomnožiš imenovalec ulomka ” z m, napraviš iz enote »(krat toliko enakih delov; ker so ti deli mkrat manjši, je torej jasno, da je ulomkova vrednost postala »ikrat manjša. Ako pa pomnožiš števec in imenovalec ulomka ~ z »», so enotni deli sicer »?krat manjši, pa zato jih vzameš m krat toliko v poštev; ulomkova vrednost se torej ne more izpremeniti, v znakih a cim b bm' Ce obrneš to enačbo, spoznaš, da ulomkova vrednost ostane neizpremenjena, ako deliš števec in imenovalec z enim in istim številom. Iz navedenega izvajamo: Ulomkova vrednost se ne izpremeni, ako pomnožiš, oziroma deliš števec in imenovalec z enim in istim številom, v znakih a am a: m b bm b : m' Mešano število = die gemischte- Zahl. Predočevanje ulomljenih števil. Oblične izpre- inembe ulomkov = Formverande- rung-en der Briiche. 56 Razširjanje ulom¬ kov = das Er- weitern d er Briiche. Okraj sanj e ulom¬ kov = das Abkiir- zen d er Briiche. Primerjanje ulomkov. Ulomek razširiš, ako pomnožiš števec in imeno¬ valec z enim in istim številom. S pomočjo razširjanja moreš pretvoriti vsako celo število na ulomek z določenim imenovalcem in vsak ulomek na drugega, katerega ime¬ novalec je mnogokratnik prvega imenovalca. Ulomek okrajšaš, ako deliš števec in imenovalec z enim in istim številom (s skupno mero). S pomočjo okraj- sanja moreš vsak ulomek izraziti v najpriprostejši obliki, t. j. tako, da sta števec in imenovalec medsebojni pra- števili. Ako hočeš ulomke primerjati med seboj po njihovi kolikosti, jih je treba pretvoriti (razširiti) na ulomke s skupnim imenovalcem (skupni mnogokratnik določenih imenovalcev). Iz kolikosti števcev spoznaš potem, kateri ulomek je večji, kateri pa manjši. Naloge. Števec razširjenega ulomka najdeš, ako pomnožiš števec prvotnega ulomka s številom, ki pove, kolikokrat se nahaja prvotni imenovalec v skupnem imenovalcu. 57 2. Okrajšaj sledeče ulomke: 555 2363 600 ’ 2919 ’ 15 5B5 37 600 40 ’ x 2 -\- x — 30 ( x 2 -|- 15 a? -f- 54 139 2363 ^ 17 29ir " ~w > x 3 -j~ x — 30 _ (x -j- 6) (x — 5) x — 5 x 3 -)- IB* -j- 54 (x -j- 6) (x -f- 9) x -j- 9 3. Kolika je vrednost ulomka X 2 —■ x — 12 x 2 -\- x — 20 za x = 4? Ker dobi navedeni ulomek za x = 4 nedoločeno obliko je treba ulomek najprej okrajšati. Potem je: x 3 — x — 12 (x — 4) (x -)- 3) x -j- 3 7 x 3 -(- x — 20 (x — 4) (x -J- 5) a? -f- 5 9 § 17. Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov. Po pojasnilih prejšnjega paragrafa smeš z ulomki ena¬ kih imenovalcev ravnati kakor s števili ene in iste ulom- ljene enote, katero določa skupni imenovalec. Iz tega sledi: Ulomke enakih imenovalcev seštevaš (ozi¬ roma odštevaš), ako sešteješ (odšteješ) njih števce, skupni imenovalec pa pridržiš kakor imenovalec, V znakih « b_ = a± b m — m m Ako imajo ulomki različne imenovalce, pretvoriš jih na ulomke s skupnim imenoval¬ cem in potem sešteješ, oziroma odšteješ. Naloge. x — 1 sc -j— 5 , x -j- 7 x 2 -)- bx -)~ 6 x 2 — x — 12 x 2 —2 x — 8 X * 1 — 5x -j- 4 x 2 -)- lx -|- 10 x 3 -j- x 2 — 14* — 24 x 3 x 2 — 14* — 24 x 2 -\- 10* -|- 2.1 _ * 2 —2*-)-15 1 x 3 -j- * 2 — 14* — 24 x 3 -)- * 2 — 14* — 24 Kako seštevaš in odštevaš ulomke. 58 Kako množiš ulomek s celim številom. 3. 3x 9 _ 10 j - 2 — 3 3x + 2 1 3x — 2 274 — 184 — 12*+ 8 304 — 204 — 9a? —|— 6 + 34 9 j' 2 — 4 2 4 -J- 6 x 44 94 — 4 -3*4-6 94 — 4 9 x 2 — 4 Pri dragi nalogi se izvrši najprej seštevanje, oziroma odštevanje dvočlenskih izrazov in obenem se uredijo členi po glavni količini. — Pri tretji nalogi pa je treba številni izraz 3* — 2, ki ima obliko celega števila, pretvoriti na ulomek z imenovalcem 9 j 2 — 4. Števec tega ulomka najdeš, ako pomnožiš številni izraz 3x — 2 s skupnim imenovalcem. § 18. Množenje in deljenje navadnih ulomkov. Ulomek množiš s celim številom, ako po¬ množiš števec s celim številom, ali pa deliš imenovalec s celim številom, v znakih a am a b b b : m Dokaz. Po prvotnem pojasnilu o množenju je a J m a . a , , am T + T+ w krat = ali če deliš števec in imenovalec navedenega rezultata z m , najdeš a J am b : m' Na drugi način izvršiš množenje, kadar je imenovalec deljiv s celim številom. Ker pride pri množenju na prvi način multiplikator kakor faktor v števec, smeš celo število in imenovalec deliti s skupno mero, prej ko izvršiš množenje. 59 Ulomek deliš s celim številom, ako deliš števec s celim številom, ali pa pomnožiš ime¬ novalec s celim številom, v znakih a a : m a b ' b bm ' Dokaz. Kvocijent, pomnožen z divizorjem, mora dati v vsakem slučaju dividend za produkt. V prvem slučaju je a : m (a : m) - m a ~r ' m = I = Tj in v drugem a a a bm bm: m b ' Na prvi način izvršiš deljenje, kadar je števec deljiv s celim številom. Če imata števec in celo število skupno mero, smeš oba deliti s to skupno mero; kajti kvocijent se ne izpre- meni, ako deliš dividend in divizor z enim in istim številom. Ulomek množiš z ulomkom, ako pomnožiš števec s števcem in imenovalec z imenovalcem ter postaviš prvi produkt kakor števec, dru¬ gega pa kakor imenovalec. Dokaz. nalogo Po občnem pojasnilu o množenju izvršiš a c J * H ’ ako deliš multiplikand ~ z imenovalcem d in znesek po¬ množiš s števcem c, ali ako izvršiš omenjena računska načina v obratnem redu. Po prejšnjih pravilih najdeš potem a c ac T "d = M' Ker pride pri množenju ulomkov števec kakor faktor v števec in imenovalec kakor faktor v imenovalec, smeš pred množenjem en števec in en imenovalec deliti s skupno mero. Kako deliš ulo¬ mek s celim šte¬ vilom. Kako množiš ulomek z ulom¬ kom. 60 Kako množiš celo število z ulom¬ kom. Obratni ulomek = der reziproke (umgekehrte) Bruch. Lastnost dveh obratnih števil. Kako deliš ulo¬ mek z ulomkom. Kako deliš celo število z ulom¬ kom. Kakor množiš ulomek z ulomkom, množiš tudi celo število z ulomkom; kajti vsako celo število si smeš misliti kakor ulomek z imenovalcem 1. Ako zameniš števec in imenovalec določenega ulomka med seboj, najdeš nov ulomek, ki se imenuje obratni ulomek z ozirom na prvega. Tako je n. pr. vsak izmed ulomkov j in — obratni ulomek z ozirom na drugega; števili a in — sta tudi obratni števili. a Produkt dveh obratnih števil je enak enoti; kajti a - b ab b a ab 1 in a • — a Ulomek deliš z ulomkom, ako pomnožiš dividend z obratnim divizorjem, v znakih a c a d b ' d b c' Ulomek tudi deliš z ulomkom, ako deliš števec s števcem in imenovalec z imenovalcem ter postaviš prvi kvocijent kakor števec, dru¬ gega pa kakor imenovalec, v znakih a _ c a : c b * d b : d ' Dokaz. Kvocijent, pomnožen z divizorjem, mora dati v vsakem slučaju dividend za produkt. V prvem slučaju je in v drugem a d c a b c d b a : c c (a : c) • c a b : d d (b : d) • d b Na drugi način izvršiš deljenje, kadar sta deljiva števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Kakor deliš ulomek z ulomkom na prvi način, deliš tudi celo število z ulomkom, v znakih b c a : — = a • -=- • c b 61 Ulomkova vrednost je = O, ako je števec Kdaj je ulomkova . , x . . . vrednost = 0. = O, ali pa imenovalec neizrečeno velik. Dokaz. Po pojasnilu o ulomku in po računskem zakonu o množenju z 0 je ® 0 = 0. — Ako razdelimo enoto na mnogo enakih delov in vsakega teh delov razdelimo zopet na mnogo enakih delov ter ponavljamo tako deljenje zelo velikokrat, se manjšajo posamezni deli in bližajo po svojih vrednostih ničli. Ko postane število enotnih delov neizrečeno veliko, so ti deli enaki ničli in zato je a 1 A n oo oo Ulomkova vrednost je neizrečeno velika, Kda jP v . v . v , ., , . . ulomkova vred- ce je števec neizrečeno velik, ali pa nneno- nost _ ^ valeč = 0. Dokaz. Če seštejemo ulomljeno enoto ~ neizrečeno velikokrat, je očividno, da mora ulomkova vrednost postati neizrečeno velika, v znakih y • oo = ~ = oo. — Jasno O O je, da morata obratni vrednosti dveh enakih številnih iz¬ razov biti enaki. Če vzamemo pri številnih izrazih v enačbi 0 = “ obratni vrednosti, najdemo -g = ^ = oo; torej je tudi ^ = 00 . Naloge. . x 2 — 7» -j- 12 x 2 — x — 20 ' x 2 -\- 2 x — 8 ' Ufi — 2 j: — d — (x — 3) (x — 4) (x -j- 4) (x — 5) _ x 2 — 9x -f- 20 (x — 2) (x —j— 4) (x + l)(x — 3) x 2 — x — 2 Da moreš številne izraze okrajšati kolikor mogoče, je treba jih razstaviti na prafaktorje. 9 /a~\~b a—b 4-ab \ / 2b 2 \ ’ \a — b a b a 2 b 2 ) \ ^ a 2 — b 2 ) / 4 ab 4 ab \ a 2 -|- b 2 ~ ~~ u 2 - b 2 ) ' W^b 2 ~ 8 ab s a 2 -f b 2 _ 8 db* a± — b A a 2 — b 2 a 4 — 2 a 2 b 2 -j- ž> 4 ' 62 V multiplikandu in multiplikatorju izvršiš najprej nakazano odštevanje, oziroma seštevanje. Pri pretvarjanju številnih izrazov na skupni imenovalec je včasih priprav- neje, da pretvoriš dotične izraze le zaporedoma (po dva in dva) na skupni imenovalec. Primerjaj navedeno na¬ logo ! — Slične naloge pri deljenju izvršiš istotako. Navedeno delitev izvršiš po pravilih za mnogočlenske izraze. — Pri množenju podobnih številnih izrazov po¬ stopaš slično. = + y 2 ) + ( x * — ?/ 4 ) . x2 + v 2 2 xy (x 2 — y 2 ) — (a; 4 — y*) ' x 2 — 2 xy -j- y 2 _ (x 2 -|- y 2 ) (x -j- ij -|- x 2 — y 2 ) x 2 — 2 xy -)- y 2 17 ac , 23 4/,2 'H 'q , 2 b .3 1 5 5 a = 3 ~~ 5 «. 2 ^ « 1 n de 3c 2 ' 2 «6 , ac , 23 bc 4 4/> 2 5 0 (a? 2 «/ 2 ) (2 — a; 2 — y 2 ) x y -\-x 2 T i +g — y -(* 2 -ž/ 2 ) « — 2 / 63 V navedeni nalogi se nahajajo v glavnem števcu in glavnem imenovalcu zopet ulomki. Taki ulomki se ime¬ nujejo dvojni ulomki. Dvojne ulomke odpraviš, ako pomnožiš glavni števec in glavni imenovalec z najmanjšim skupnim mnogokratnikom tistih imenovalcev, ki se naha¬ jajo v glavnem števcu in imenovalcu. 5. V enačbi 5 X — 4 2 x — 3 _ 7.r — 1 9 x — 6 2x— 2 x —1 3x — 3 4x— 4 odpraviš ulomke, ako pomnožiš vsak enačbeni člen z naj¬ manjšim skupnim imenovalcem. Nadaljno razreševanje iz¬ vršiš po že znanih pravilih. Razrešitev: 5 x — 4 2,r — 3 7 a? —I— 1 9 x — 6 . x 0 25^2 - TFfT = 37^3 “ X l2(l — J) 30x — 24 — 24® + 36 = 28x + 4 — 27 x -f 18 6 .r —j— 12 = x -)- 22 5x = 10 x — 2. Preizkus: I. del = y = 3 — 1 = 2, 15 19 II. del = y — =4 = 5 — 3 = 2. Ako se nahajajo v enačbi ulomki in oklepaji, raz¬ rešiš navadno najprej oklepaje in potem odpraviš ulomke. B. Decimalni ulomki. § 19. Občna pojasnila in računanje z decimalnimi ulomki. Ako razdelimo enoto na 10, oziroma na 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 .. . enakih delov, stvorimo ulom- Ijene enote: desetino (^j), stotino (jk = k^tiso- čino (mo = 10O’ desettisočino = k), sto - Dvojni ulomek = der Doppelbruch. Odpravljanje ulomkov v enačbah. Desetinka = die Dezimale. Desetina = das Zehntel. Stotina = das Hundertel. Tisočina = das Tausendtel. Desettisočina = das Zehn- tausendtel. 64 Stotisočina = das Hundert- tausendtel. Milijonina = das Milliontel. Desetinski ulo¬ mek = der De- zimalbrucli. Navadni ulomek = der gemeine Bruch. Tvorjenje dese¬ tink. Dekadične enote nižjih redov = die niederen de- kadischen Ein- heiten. Dekadične enote višjih redov = die hoheren de- kadischen Ein- heiten. Celote = die Ganzen. Pismeno pred- očevanje desetin- skih ulomkov. tisočino ( 100000 1Q5 ), milijonino ( 10000()0 ki se imenujejo desetinke ali decimalke. 10 e ) Ako vza¬ memo te ulomljene enote večkrat (n. pr. a krat) v poštev, dobimo ulomljena števila io 3 ’ 10 41 10 5 ’ 10 6 ' * ' 5 terim je imenovalec 10 ali pa kaka potenca od 10. Taka ulomljena števila se zovejo desetinski ali decimalni ulomki; vsak drugi ulomek pa je navaden ulomek. Desetinski ulomki so pravi, oziroma nepravi, če je njih vrednost manjša, oziroma večja od enote. Desetinke tvorimo tudi tako-le. Ako razdelimo enoto na 10 enakih delov, stvorimo desetino; ako razdelimo desetino na deset enakih delov, stvorimo stotino; ako razdelimo stotino na 10 enakih delov, stvorimo tisočino i.t.d. Vsaka naslednja desetinka je torej deseti del prejšnje desetinke. Ako primerjamo tvorjenje desetink tvorjenju deka- dičnih enot (desetic, stotič, tisočic i. t. d.), spoznamo, da je podlaga vsaki izmed teh tvoritev isti zakon; kajti enica je deseti del desetice, desetica deseti del stotice, stotica deseti del tisočice i. t. d. Vsaka dekadična enota je torej deseti del sledeče višje dekadične enote. Iz navedenega sledi, da se desetinke dado smatrati za naravni podaljšek dekadičnega številnega sestava. Po tem pravimo desetinkam tudi dekadične enote nižjih redov, deseticam, stoticam, tisočicam i. t. d. pa deka¬ dične enote višjih redov; enice so prvotne enote. Enice in dekadične enote višjih redov se zovejo s skupnim imenom celote. Desetinske ulomke pišemo ali v obliki navadnih ulomkov, n. pr. , kjer pove potenčni eksponent m šte¬ vilo desetink, ali pa v obliki celih števil. V zadnjem slučaju predočimo množino desetinskih enot z arabskimi številkami in z ničlo, red teh enot pa na ta način, da zapišemo dotično številko na določeno mesto, in sicer desetine na prvo mesto za enicami, stotine na drugo, tisočine na tretje, desettisočine na četrto, stotisočine na peto, milijonine na 65 šesto mesto i. t. d. Celote loči od desetink pika (d e s e - tinska ali decimalna pika), ki jo postavimo za eni- cami na desni strani zgoraj. Če manjka celot, zapišemo na njih mesto ničlo. Kakor pri celotah ločimo tudi pri desetinkah dvojno vrednost in sicer številčno vrednost, ki določa množino desetinskih enot, in mestno vrednost, ki pove red dese- tinskih enot. Katera teh vrednosti je izpremenljiva in zakaj ? Vsako število, v katerem se nahajajo desetinke, se imenuje desetinsko ali decimalno število. Jasno je, da se vrednost desetinskega, oziroma celega števila ne izpremeni, ako mu pripišeš na desni eno ali več ničel kakor decimalke. N. pr. 8 • 7 = 8 • 7000, 34 = 34 • 00. Z decimalnimi števili računaš vobče istotako kakor s celimi števili. Seštevati (odštevati) začneš pri desetinkah najnižjega reda, in ko si seštel (odštel) zaporedoma dese¬ tinke vseh redov, postaviš v vsoti (razliki) desetinsko piko ter sešteješ (odšteješ) celote. Po pravilih, ki veljajo o ulomkih sploh, najdeš a b ab + . To 7 " ’ To 77 = io m + n ’ ' J ‘ Desetinska števila množiš istotako kakor cela števila; med množenjem se ne oziraš na desetinsko piko; v končnem produktu odšteješ (odbiješ) toliko decimalk, kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj. Ako pomakneš v desetinskem številu desetinsko piko za eno, dve, tri ali več mest proti desni, se vrednost vsake številke poveča 10 krat, oziroma 100 krat, 1000 krat i. t. d. če pa pomakneš v desetinskem številu desetinsko piko za eno, dve, tri ali več mest proti levi, se vrednost vsake šte¬ vilke zmanjša 10 krat, oziroma 100 krat, 1000 krat i. t. d. Iz navedenega sledi: Desetinsko število množiš (deliš) z deka- dičnimi enotami višjih redov (10, 100, 1000 i. t. d.), ako pomakneš desetinsko piko za toliko mest Matek, Aritmetika. 5 g. Desetinska pika = der Dezimal- punkt. Številčna in mestna vrednost desetinskih enot. Desetinsko šte¬ vilo = die De- zimalzahl. Seštevanje in od¬ števanje desetin¬ skih števil. Množenje dese¬ tinskih števil. Množenje in de- lj enj e desetinskih števil z dekadič- nimi enotami viš¬ jih in nižjih redov. 66 proti desni (levi), kolikor ničel se nahaja v dotični dekadični enoti. Če manjka kje kake številke, jo nadomestiš z ničlo. Po pravilih, ki veljajo o ulomkih sploh, najdeš: 1 _ a a ' To™ = To^’ i t.j. a: w^ = a - 1Qm - Število (celo ali desetinsko) množiš (deliš) z deka- dičnimi enotami nižjih redov (0'1, O’01, O - 001 i. t. d.) isto- tako, kakor deliš (množiš) število z dekadičnimi enotami višjih redov, ali: Število množiš (deliš) z dekadičnimi eno¬ tami nižjih redov, ako pomakneš desetinsko piko za toliko mest proti levi (desni), kolikor ničel se nahaja pred veljavno številko v dotični dekadični enoti. Deljenje desetin- skih števil. Po pravilih, ki veljajo o ulomkih sploh, najdeš: a ' b alb 10™ ' 10" — TO™^" a ' b a • 10" t' J- in 10™ : TO" = “l0™ : h ' Desetinska števila deliš istotako kakor cela števila; med deljenjem se ne brigaš za desetinsko piko; v kvoci- jentu postaviš desetinsko piko po tem-le pravilu: Mestna vrednost prve kvoci- jentove številke. Mestna vrednost prve kvocijentove šte¬ vilke se ujema z mestno vrednostjo tistega dividendovega dela (tiste dividendove številke), v katerem (kateri) se nahajajo divizorjeve ce¬ lote. Ce pa nima divizor celot, pomakneš v mislih de¬ setinsko piko v dividendu in divizorju obenem za toliko mest proti desni, da dobi divizor celote, in potem postopaš po zgoraj navedenem pravilu. 67 § 20. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne in deci¬ malnih v navadne. Če hočeš navaden ulomek " , katerega števec in ime¬ novalec sta medsebojni praštevili, pretvoriti v decimalnega, moraš ulomek razširiti tako, da postane iz imenovalca kaka potenca od 10, v znakih a _ a ■ 10 m _ a • 10 m : b b ~ b ■ 10 m 1 0“ ’ ' J ' Števec decimalnega ulomka najdeš, ako pripišeš števcu navadnega ulomka toliko ničel, kolikor jih je treba, in potem deliš ta produkt z imenovalcem navadnega ulomka. Imenovalec decimalnega ulomka je tolika potenca od 10, kolikor ničel si moral pripisati števcu navadnega ulomka. — Če pa pišeš decimalni ulomek v obliki celega števila, pretvoriš navadni ulomek v decimalnega, ako deliš števec z imenovalcem ter izračunaš kvocijent v obliki desetin- skega števila. V to svrho je treba števcu pripisati v mislih toliko ničel kakor decimalke, kolikor se jih potrebuje. Prej ko vzameš prvo decimalko (ki je v tem slučaju ničla) v račun, postaviš v kvocijentu desetinsko piko. Če manjka celot, zapišeš na njih mesto ničlo. Navadni ulomek j se da v decimalnega popolnoma natanko pretvoriti le tedaj, kadar je številni izraz a • 10 m deljiv z b. Ker sta a in b medsebojni praštevili, se morajo vsi prafaktorji števila b nahajati v dekadični enoti 10 m , ki je sestavljena samo iz prafaktorjev 2 in 5. Če je torej imenovalec b navadnega ulomka sestavljen le iz prafak¬ torjev 2 in 5, najdeš iz navadnega ulomka j končen decimalni ulomek. če pa sestavljajo imenovalec b prafaktorji, ki so različni od 2 in 5, ali pa prafaktorji 2 in 5 in vrh tega še tudi drugi prafaktorji, se zgoraj navedena delitev ne more nikdar končati z ostankom 0. Po nekoliko delitvah (vsaj po b delitvah) se morajo ostanki ponavljati in istotako tudi številke v kvocijentu (brezkončen decimalni Kako pretvoriš navaden ulomek v decimalnega. Končen deci¬ malni ulomek — endlicher Dezimalbruch. Brezkončen deci¬ malni ulomek = unendlicher Dezimalbruch. 68 Povraten deci¬ malni ulomek = periodischer Dezimalbruch. Po vračaj = die Periode. Cisto in nečisto povraten deci¬ malni ulomek = rein und gemischt periodischer Dezimalbruchl Kako pretvoriš končen decimalni ulomek v navad¬ nega. Kako pretvoriš čisto povraten decimalni ulomek v navadnega. ulomek). V takih slučajih pretrgaš delitev, ko si določil dovolj decimalk. Izračunani decimalni ulomek je le pri¬ bližno enak navadnemu ulomku. Decimalni ulomek, v katerem se ponavlja ena ali več številk, se imenuje povraten ali periodičen deci¬ malni ulomek; vrsta ponavljajočih se številk se zove p o vrač a j ali perioda. Periodo zapišemo navadno le enkrat ter zaznamujemo nje prvo in zadnjo številko tako, da nad vsako postavimo piko. Tisti decimalni ulomek, v katerem se ponavljajo vse desetinke, se imenuje čisto periodičen decimalni ulomek; decimalni ulomek pa, v katerem se ponavljajo le nekatere desetinke, se zove nečisto periodičen 59 • • decimalni ulomek. Tako je n. pr. — T = 0 - 531 čisto 19 • - iA1 periodičen, ^ = O - 063 pa nečisto periodičen decimalni ulomek. Občna oblika čisto periodičnega decimalnega ulomka je b 10 3n kjer pomeni b periodo in n število desetink, ki se nahajajo v periodi. Občna oblika nečisto periodičnega decimalnega ulomka je a K)'" 10 " 10 " + lQm + 3n kjer pomeni a pred periodo stoječe desetinke, m število teh desetink, b periodo in n število desetink v periodi Končen decimalni ulomek pretvoriš v navadnega, ako ga zapišeš v obliki navadnega ulomka in potem okrajšaš, če je mogoče. N. pr. 0-632 632 _ 79 1000 — 125’ Čisto periodičen decimalni ulomek pretvoriš v navad¬ nega, ako ga pomnožiš s tako dekadično enoto, da pomakneš 69 desetinsko piko za vso periodo proti desni, in od tega pomnoženega ulomka odšteješ prvotnega. N. pr. x = 0-375 = 0-375375375... 1 1000 x = _375-375375375... J odsteto 999* = 375 375 125 * ~ 999 — 333 ' Iz navedenega izvajamo pravilo: Čisto periodičen decimalni ulomek pre¬ tvoriš v navadnega, ako vzameš periodo za števec, za imenovalec pa toliko 9, kolikor šte¬ vilk ima perioda. Nečisto periodičen decimalni ulomek pretvoriš v na¬ vadnega, ako ga pomnožiš s tako dekadično enoto, da postane čisto periodičen, in potem postopaš kakor poprej. N. pr. x = 0•1236 100* = 12-36 = 12! x = 12 ^ : 100 56 99 12 136 1100 11 34 275 ' C. Računanje z nepopolnimi števili. § 21. Občna pojasnila o nepopolnih številih. Dekadično število se imenuje popolno, če so znane vse njegove številke. Dekadično število se zove nepo¬ polno, če so od določenega mesta naprej neznane vse naslednje številke ali pa se izpustile iz kateregakoli razloga. Nepopolno število, ki je določeno najmanj do desetink, zaznamujemo na ta način, da mu pridenemo na desni dve piki; nepopolno število pa, pri katerem niso določena vsa celotna mesta, zaznamujemo tako, da mu pripišemo toliko zmanjšanih ničel, kolikor je celotnih mest nedoločenih. N. pr. Cesta do A do B je približno 8564 m dolga, v znakih 8564..m; trgovec C kupi približno 27'6 stotov blaga, v Kako pretvoriš nečisto povraten decimalni ulomek v navadneg-a. Popolno število = die vollstan- dig-e Zalil. Nepopolno šte¬ vilo = die unvoll- standige Zahl. Kako zaznamu¬ jemo nepopolna števila. 72 § 22. Seštevanje in odštevanje nepopolnih števil. Kako določiš vsoto nepopolnih števil tako na¬ tanko, kakor je mogoče. Popravek = die Korrektur. Kako določiš vsoto popolnih ali nepopolnih števil tako na¬ tanko, kakor se zahteva. Pri nalogi a) so vsi sumandi približno določeni na tri decimalke (na tisočine). Pogrešek v vsakem sumandu znaša pol tisočine ali manj; v vsoti bode pogrešek znašal 6krat pol tisočine = 3 tisočine ali manj, t. j. manj ko polovica ene stotine (kajti 5 tisočin da šele polovico ene stotine). Iz tega se vidi, da ne moreš končne vsote pri¬ bližno določiti na tisočine, ampak le na stotine. Vsota vseh sumandovih tisočin (zadnjih decimalk) se porabi za popravek, t. j. število, katerega je treba prišteti su- mandovim stotinam (naslednjim decimalkam). Ker je 32 ti¬ sočin bliže 3 ko 4 stotinam, znaša popravek 3. Potem izvršiš seštevanje kakor pri popolnih številih. — Kar se tiče popravka sploh, si je treba zapomniti, da se jemlje 1 za popravek, ako leži vsota iz zadnjih decimalk med 5 in 15; od 15 do 25 se jemlje 2 za popravek; od 25 do 35 je popravek 3, i. t. d.; od 1 do 5 ni nobenega po¬ pravka. Pri nalogi b) je treba najprej nekatere sumande okrajšati tako, da imajo vsi enako veliko decimalk. Pri tem se moraš ravnati po tistem sumandu, ki je nepopolno število in ima najmanj decimalk. Od odbitih številk 8, 7 in 9 (t. j. od njih vsote) moraš vzeti popravek, katerega prišteješ naslednjim decimalkam. Potem izvršiš seštevanje kakor pri nalogi a). Pri nalogah a) in b) se je določila vsota tako na¬ tanko, kakor je bilo mogoče. Ce hočeš vsoto naloge c) določiti tako natanko, kakor se zahteva, n. pr. na desetine, okrajšaš vsak su- mand na desetine, vzameš od odbitih številk (t. j. od njih 73 vsote) popravek ter sešteješ okrajšane sumande. Kar se tiče popravka v tem slučaju, ga je treba vzeti dvakrat, t. j. najprej sešteješ tisočine, od dobljene vsote vzameš popravek, ga prišteješ stotinam, in ko sešteješ stotine, vzameš zopet popravek ter ga prišteješ desetinam; kajti drugače se pripeti prav lahko, da ne izračunaš vsote do¬ volj natanko. d) 7-428-• e) 4’32 f) 9'65 . . g) 8’356.. 5-83 1-457.. 3-14,7 6-89.. ”7-598.. 2-863.. 6'50.. 1'47.. Pri nalogah d) in e) se odšteva kakor pri popolnih številih. Pri nalogah f) in g) se mora okrajšati število s premnogimi decimalkami tako, da imata minuend in sub- trahend istotoliko decimalk. Od odbitih številk se vzame popravek za tisto število, ki se je okrajšalo. Potem se izvrši odštevanje kakor pri popolnih številih. § 23. Množenje nepopolnih števil. a) 74-392.. X 8 b) 3-874..X 65'9 595-14.. 23244 1937 348 255-3.. c) 950-837.. X 24-678. . 222102 12339 197 7 _ 1 _ 23465.. če pomnožiš v nalogi a) 2 tisočini z 8, dobiš pro¬ dukt 16 tisočin; v tem produktu znaša pogrešek 8 krat pol tisočine = 4 tisočine ali manj. Od tega produkta vzameš popravek, ki ga prišteješ pomnoženim stotinam. Vse drugo napraviš kakor pri popolnih številih. Kako določiš razliko nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor je mogoče. Kako določiš produkt nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor je mogoče. 74 Okrajšana mno¬ žitev = die abge- kiirzte Multipli- kation. Glavni razloček med navadno in okrajšano mno¬ žitvijo. Pri nalogi b) je multiplikand nepopolno, multiplikator pa popolno število. Množitev da tri delske produkte. Prvi delski produkt izračunaš, ako pomnožiš multiplikand s 6, ne oziraje se na decimalno piko. Pri tem delskem pro¬ duktu ne vzameš nobenega popravka; pogrešek, ki se nahaja v njem, se bode končno popravil pri seštevanju delskih produktov. Da ni treba drugega delskega produkta pomakniti za eno mesto proti desni kakor pri navadnem množenju, okrajšaš multiplikand za eno številko; potem pomnožiš odbito številko 4 s 5, vzameš od tega produkta popravek ter ga prišteješ produktu iz številke 5 in okraj¬ šanega multiplikanda. Tretji delski produkt najdeš, ako okrajšaš multiplikand zopet za eno številko in računaš kakor pri drugem delskem produktu. Pri seštevanju del- skih produktov vzameš od vsote zadnjih številk popravek. Mestno vrednost končnega produkta določiš s pomočjo prvega delskega produkta. Pri prvem delskem produktu se pomnoži multiplikand z desetico (t. j. z 10). Ker se v tem slučaju decimalna pika premakne za eno mesto proti desni, ostaneta v multiplikandu še dve decimalki, in toliko decimalk se nahaja v vsakem delskem produktu. Končni produkt mora imeti eno decimalko manj. Zakaj? Pri nalogi c) sta oba faktorja nepopolni števili. Za multiplikand izbereš tisti faktor, ki je nepopolnejši (ki ima manj veljavnih številk) ; kajti če bi napravil obratno, bi se nahajal pogrešek v vseh številkah zadnjega del¬ skega produkta. Delske produkte izračunaš zaporedoma ravno tako kakor pri nalogi b). Za multiplikatorjevo ničlo moraš v multiplikandu tudi odbiti številko; kajti ničla da tudi svoj delski produkt, samo da se ta produkt ne zapiše, ker je = 0. Ko odbiješ multiplikandu zadnjo številko, izračunaš od nje popravek ter ga zapišeš kakor delski produkt. Mestno vrednost končnega produkta do¬ ločiš na isti način kakor pri nalogi b). Množitev, ki se izvršuje na ta način kakor v na¬ vedenih nalogah, se imenuje okrajšana množitev. Glavni razloček med navadno in okrajšano množitvijo je ta, da se pri navadni množitvi pomnoži celi multiplikand z vsako multiplikatorjevo številko in se delski produkti pomaknejo zaporedoma vsak za eno mesto proti desni, pri okrajšani množitvi pa se pri izračunanju drugega in vsakega naslednjega delskega produkta multiplikand okrajša za eno številko in se delski produkti zapišejo drug pod drugega tako, da stoje njih zadnje številke druga pod drugo. Na okrajšani način moraš množiti, ako je vsaj eden izmed faktorjev nepopolno število. Za multiplikand izbereš vselej nepopolnejši faktor. Produkti nalog a), b) in c) so se določili tako na¬ tanko, kakor je bilo mogoče. Ako je pa pri okrajšani množitvi mnogo delskili produktov, se včasih pripeti, da zadnja številka končnega produkta ni dovolj natanko določena. Temu se izogneš, ako vzameš pri računanju tretjega in vsakega naslednjega delskega produkta po¬ pravek od zadnjih dveh odbitih številk. N. pr. Pri tretjem delskem produktu naloge b) bi za ta slučaj računal po¬ pravek tako-le: 9 krat 4 je 36, popravek 4; 9krat 7 je 63 in 4 da 67, popravek 7. Na okrajšani način množiš tudi, ako je treba pro¬ dukt dveh (popolnih ali nepopolnih) števil določiti tako natanko, kakor se zahteva. N. pr. d) 14'583.. X 0'6945 (na 2 decimalki). e) 9'4164 X 5'827 (na 1 decimalko). f) 681357 X 29435 (na stotisoče). Pri nalogi d) mora imeti končni produkt 2 deci¬ malki, vsak delski produkt pa 3 decimalke. Če pomnožiš multiplikand s 6 (s prvo veljavno multiplikatorjevo šte¬ vilko), dobiš 4 decimalke, torej eno več, ko jih potrebuješ. Multiplikand smeš zato okrajšati za eno številko pred množenjem. Množitev izvršiš na okrajšani način. Pri nalogi e) mora imeti prvi delski produkt 2 deci¬ malki. Če pa pomnožiš multiplikand s 5, dobiš 4 decimalke, torej 2 več, ko jih potrebuješ. Multiplikand smeš zato okrajšati za dve številki pred množenjem. Pri nalogi f) mora končni produkt imeti vrednost stotisočic, prvi delski produkt pa vrednost desettisočic. Kako določiš produkt dveh po¬ polnih ali nepo¬ polnih števil tako natanko, kakor se zahteva. 76 Kako določiš kvocijent nepo¬ polnih števil tako natanko, kakor je mogoče. Ta pogoj se ravno ujema z nalogo. Prvi delski produkt izračunaš torej na navadni način, naslednje pa na okraj¬ šani način. — Ako bi hotel pri nalogi f) produkt določiti na milijone, smel bi okrajšati multiplikand za toliko šte¬ vilk, kolikor jih ima prvi delski produkt preveč (t. j. 1). Če bi pa hotel produkt naloge f) določiti na tisoče, moral bi za prvim delskim produktom izračunati na navadni način še toliko delskih produktov, kolikor številk ima prvi delski produkt premalo (t. j. 2). § 24. Deljenje nepopolnih števil. a) 7-68 00 : 8-364.. = 0-9182. . 1524 688 19 2 h) 485-7. . : 31'6 = 15'37.. 1697 117 22 0 c) 6-142(3..: 263-5.. = 0-02331.. 872 81 2 (- 1 ) V nalogi a) je dividend popolno, divizor pa nepopolno število. Da se ni treba brigati med računanjem za deci¬ malno piko, določiš najprej mestno vrednost prve kvoci- jentove številke. V ta namen poiščeš tisti dividendov del, v katerem se nahajajo divizorjeve celote, in mestna vred¬ nost tega dividendovega delaje tudi mestna vrednost prve kvocijentove številke. V naši nalogi pomeni prva kvoci- jentova številka desetine; kajti 8 se nahaja v 76 in 76 so desetine. Potem prirediš divizorju prvi delski dividend. V našem slučaju je treba dividendu pripisati dve ničli (ali si misliti pripisani). Včasih pa se mora dividendu kaka številka odbiti (če jih ima preveč) in od odbite številke vzeti popravek. Ko si iz prvega delskega dividenda določil prvo kvocijentovo številko, pomnožiš divizor s to številko ter odšteješ produkt od prvega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je drugi delski dividend. (Zakaj ne smeš 77 pripisati temu ostanku ničle?) Da je moči nadaljevati delitev, okrajšaš divizor za eno številko ter določiš iz drugega delskega dividenda drugo kvocijentovo številko. Potem izračunaš popravek od odbite divizorjeve številke, pomnožiš okrajšani divizor z drugo kvocijentovo številko, temu produktu prišteješ popravek ter odšteješ ta poprav¬ ljeni produkt od drugega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je tretji delski dividend. Sledeče kvocijentove številke izračunaš istotako, kakor si izračunal drugo. Delitev se konča, ko je treba odbiti zadnjo (veljavno) divi- zorjevo številko. Pri zadnji kvocijentovi številki moraš gle¬ dati na to, da jo določiš približno. To spoznaš iz zadnjega ostanka; ako je ta ostanek manjši, ko polovica zadnjega divizorja, si določil zadnjo kvocijentovo številko približno. V nalogi b) je dividend nepopolno, divizor pa je po¬ polno število. Mestna vrednost prve kvocijentove številke so desetice; kajti 31 se nahaja v 48 in 48 so desetice. Prvo in drugo kvocijentovo številko izračunaš na navadni način, tretjo in četrto številko pa tako, kakor smo raču¬ nali pri nalogi a). V nalogi c) sta dividend in divizor nepopolni števili. Mestna vrednost prve veljavne kvocijentove številke so stotine; kajti 263 se nahaja v 614 in 614 so stotine. Potem prirediš dividend in divizor drugega drugemu tako, da se divizor ravno nahaja v dividendu, ter izračunaš kvocijent istotako kakor pri nalogi a). Vsako deljenje, ki se izvršuje tako kakor pri nave¬ denih nalogah, se imenuje okrajšano deljenje. Glavni razloček med navadnim in okrajšanim deljenjem je ta, da ostane divizor pri navadnem deljenju neizpremenjen in da se ostankom pripisujejo zaporedoma dividendove številke ali ničle, pri okrajšanem deljenju pa se divizor pri izra- čunanju vsake naslednje kvocijentove številke okrajša za eno številko in ostanki so zaporedoma drug za drugim delski dividendi. Na okrajšani način se mora prej ali slej deliti, ako je eno izmed določenih števil nepopolno. Pri¬ merjaj nalogi a) in l )! Kvocijenti nalog a), b) in c) so se določili tako natanko, kakor je bilo mogoče. Okrajšana delitev = die abgekiirzte Division. Glavni razloček med navadno in okrajšano de¬ litvijo. 78 Kako določiš kvocijent popol¬ nih ali nepopol¬ nih števil tako natanko, kakor se zahteva. Na okrajšani način se tudi deli, ako je treba kvocijent dveh (popolnih ali nepopolnih) števil določiti tako natanko, kakor se zahteva. N. pr. d) 74 - 69432.. : 8'576.. (na 2 decimalki). e) 9 - 5867 : O - 75465 (na 1 decimalko). f) 16'67384: 4'327 (na 5 decimalk). V nalogi d) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost enic. Kvocijent bo imel po vsem tri veljavne številke in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Določeni divizor smeš zato okrajšati za eno številko; potem prirediš okrajšanemu divizorju prvi delski dividend ter izvršiš delitev na okrajšani način. V nalogi e) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost desetic. Primerjaj § 19.! Kvocijent bo imel po vsem tri veljavne številke in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Določeni divizor smeš zato okrajšati za dve številki in potem ravnaš kakor v prejšnji nalogi. V nalogi f) ima prva kvocijentova številka mestno vrednost enic. Kvocijent bo imel šest veljavnih številk in najmanj toliko jih mora imeti divizor. Ker pa ima v našem slučaju divizor dve številki premalo, moraš izračunati za prvo kvocijentovo številko še toliko številk na navadni način, kolikor jih ima divizor premalo. Ker se pri okrajšani delitvi nahaja pogrešek v zadnji številki vsakega delskega dividenda, se pripeti včasih (posebno, če je zadnji delski dividend enoštevilčen), da zadnja kvocijentova številka ni določena dovolj zanesljivo. Temu se izogneš, ako vzameš v okrajšani divizor eno številko več, ko jih potrebuješ, in vsakokratni popravek izračunaš od zadnjih dveh odbitih številk; pri nalogah pa, katerih ne začneš reševati na okrajšani način takoj, ampak šele pozneje, izračunaš na navadni način eno številko več, ko jih je treba. 79 III. Razmerja in sorazmerja. § 25. Razmerja. Ako preiskavam o, kolikokrat se v številu A nahaja število B, pravimo, da merimo število A s številom B , ali da iščemo r a z m e r j e med številoma A in B, v znakih A: B ali ~ (čitaj : A proti B). Izraz A :B ali 4 se imenuje razmerje števil A in B Jt> ter pomeni, da se število B nahaja nekolikokrat v številu A; A zovemo prednji, -B pa zadnji člen. Številu, ki pove, kolikokrat se nahaja zadnji v prednjem členu, pravimo razni er ski količnik. Vsako delitev v zmislu merjenja smemo smatrati za razmerje dotičnih dveh števil. Ako zamenimo v razmerju A : B člena med seboj, najdemo razmerje B : A, ki se imenuje obratno raz¬ merje števil A in B. Vrednost razmerja sodimo po njegovem količniku; čim večji je količnik, tem večja je vrednost razmerja. Ako imajo razmerja enake količnike, se imenujejo enaka. Razmerje med dvema neimenovanima številoma zo¬ vemo številno, razmerje med dvema istovrstnima koli¬ činama pa količinsko razmerje. Kar se tiče tvor¬ jenja in vrednosti količinskih razmerij, primerjaj § 21. v geometriji. Ako izpustimo v prednjem in zadnjem členu dolo¬ čenega količinskega razmerja ime, najdemo številno raz¬ merje, ki je enako količinskemu. Iz pojma o razmerju sledi: Razmerje ne izpremeni svoje vrednosti, ako pomnožiš ali deliš prednji in zadnji člen z enim in istim številom, v znakih A : B — mA : mB = — : —. n n S pomočjo te lastnosti se da: 1. vsako razmerje, čigar člena sta ulomka, izraziti s celima številoma; Razmerje = das Verlialtnis. Prednji člen = das Vorderglied. Zadnji člen = das Hinterglied. Količnik = der Quotient. Obratno razmerje = umgekehrtes oder reziprokes Verlialtnis. Številno raz¬ merje = Zahlen- verhaltnis. Količinsko raz¬ merje = Grofien- verhaltnis. Oblične izpre- membe razmerja = Formverande- rungen des Ver- haltnisses. 80 Zaporedno raz¬ merje = fort- laufendes Ver- haltnis. Oblična izpre- m en ib a zapored¬ nega razmerja. Istoležni členi = korrespondie- rende oderhomo- loge Glieder. Sestavljeno raz¬ merje = zusam- mengesetztes Verhaltnis. Sorazmerje = die Proportion. Zunanja in no¬ tranja člena = aufiere und innere Glieder. Prednja in zadnja člena sorazmerja = Vorder- und Hinterglieder der Proportion. Četrta geome¬ trijska sorazmer- nica = die vierte geometrische Proportionale. Istoležni členi. 2. vsako razmerje, čigar člena imata skupno mero, iz¬ raziti z najmanjšima številoma (okrajšati). Razmerje treh ali več števil najdeš, ako določiš, kolikokrat se njih skupna mera (če ni druge skupne mere, se smatra številna enota za skupno mero) nahaja v vsakem izmed dotičnih števil. Taka razmerja hočemo imenovati zaporedna razmerja; njih oblika je A:B:C:D i. t. d. Oblična izprememba, ki velja o vsakem enostavnem razmerju, velja tudi o zaporednem razmerju ; torej je A : B : C = mA : mB : mC = n n n Členi, ki zavzemajo isto mesto v razmerjih, se zovejo istoležni členi. Tako so n. pr. prednji členi dveh ali več razmerij istoležni. Ako pomnožiš istoležne člene dveh ali več enostavnih razmerij med seboj, najdeš sestavljeno razmerje. Tako so n. pr. a : b | c : d enostavna razmerja, e: f 1 ace: bdf pa je sestavljeno razmerje. § 26. Sorazmerje. Ako izenačimo dvoje enakih razmerij, stvorimo so¬ razmerje. N. pr. Iz razmerij a: b = k in c : d — k iz¬ vajamo a :b = c: d (čitaj : števili a in b sta si kakor števili c in d , ali krajše: a proti 6, kakor c proti d). Sorazmerje je sestavljeno iz dveh enakih razmerij. Sorazmerje tvoreča števila se imenujejo členi soraz¬ merja in sicer od leve proti desni prvi, drugi, tretji in četrti člen. Prvi in četrti člen se zoveta zunanja, drugi in tretji člen pa notranja člena; prvi in tretji člen sta prednja, drugi in četrti člen pa zadnja člena soraz¬ merja; četrtemu členu pravimo četrta geometrijska sorazmernica prvih treh členov. Členi, ki zavzemajo isto mesto v dveh ali več sorazmerjih, so istoležni členi. 81 Vsako sorazmerje, v katerem sta notranja člena enaka, se imenuje stalno sorazmerje, n. pr. a: b = b:c. No¬ tranji člen stalnega sorazmerja se zove srednja geometrij¬ ska sorazmernica zunanjih členov*, četrti člen pa tretja geometrijska sorazmernica prvega in notranjega člena. Vsako sorazmerje, katerega členi so neimenovana števila, se imenuje številno sorazmerje; sorazmerju pa, ki je sestavljeno iz dveh količinskih razmerij, se pravi količinsko sorazmerje. V količinskem sorazmerju sta člena vsakega razmerja istoimenska; člena prvega razmerja pa utegneta imeti različno ime od členov drugega razmerja. Ako izpustimo pri vseh členih količinskega soraz¬ merja imena, stvorimo številno sorazmerje. Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh znanih členov izračunati neznani člen. Razreševanje številnih sorazmerij se opira na lastnost: V vsakem številnem sorazmerju je produkt zunanjih členov enak produktu notranjih členov. Dokaz. Iz enačbe a : b — c: d izvajamo (a : b) bd = (c : d) bd , t.j. a( l = bc. Iz dveh enakih produktov stvoriš sorazmerje, ako vzameš faktorja enega produkta za zunanja in faktorja drugega produkta za notranja člena, v znakih: iz ad = bc najdeš a : b == c : d. Zunanji člen številnega sorazmerja najdeš, ako deliš produkt notranjih členov z znanim zunanjim členom. Notranji člen številnega sorazmerja naj deš, ako deliš produkt zunanjih členov z znanim notranjim členom. Zakaj iz sorazmerja a : b = c: d sledi enačba ad = bc in iz te enačbe najdeš: bc 1 bc , ad ad * Srednja geometrijska sorazmernica dveh števil se imenuje tudi geometrična sredina dotičnih dveh števil. Izraz - „ b se zove aritmetična sredina števil a in b. 6 g. Stalno soraz¬ merje = stetige Proportion. Srednja geome¬ trijska sorazmer¬ nica = mittlere geometrische Proportionale. Številno soraz¬ merje = Zahlen- proportion. Količinsko soraz¬ merje = Grofien- proportion. Razrešiti = auf- losen. Lastnost števil¬ nega sorazmerja. Razreševanje številnega in ko¬ ličinskega soraz¬ merja. Matek, Aritmetika. 84 Ako deliš istoležne člene dveh sorazmerij, najdeš novo (sestavljeno) sorazmerje, v znakih a : b = c : d j «!: b x = c, : d t | a # b c ' d a x ’ b ± Cj d 1 ' Zakaj ako deliš enake izraze z enakimi izrazi, najdeš enake kvocijente. Naloge, 1. Izrazi naslednji sorazmerji: a) 11 {m -|- n): x = 102 ( m 2 — n 2 ): 93 (m — n), b) lf: 21 = *: 3-| z najmanjšimi celimi števili! Izvršitev: a) 17 (m -J- n): x = 102 ( m 2 — n 2 ): 93 ( m — n) 1: * = 6 {m — n ): 93 {m — n) 1: * = 2 : 31. b) f: | = *: H 1: 24 = * : 32 9 : 120 = * : 32 9 : 15 = * : 4 3:5 = x : 4. v 2. Določi iz podatkov: a) a:b — 3:5 in a: c = 2:3 vrednostrazmerja b: c; b) a:b = 4:5, c: d = 3:5 in c: = 6:5 vrednost razmerja a :d! V navedenih nalogah je treba najprej določena raz¬ merja tako urediti, da se prvo razmerje začne s členom, ki je prednji člen zahtevanega razmerja, vsako naslednje razmerje začne s členom, ki se ujema z zadnjim členom prejšnjega razmerja, in zadnje razmerje konča s členom, ki je zadnji člen v zahtevanem razmerju. Potem se pomno¬ žijo istoležni členi urejenih sorazmerij. 85 Izvršitev: a) b : a = 5 : 3 | „ „ pomnoženo a : c = 2:3 I b : c = 10 : 9. b) a : b = 4 : 5 j l. c _ 5.0 pomnoženo c:d = 3:5 I a : d = 2:5. 3. Poišči iz podatkov: a) a: b = 3:5, a: c = 2:3, a: d = 4:5; b) a: c = 8 : 3, b : c = 7 : 6, b : d = 14 :15 zaporedno sorazmerje! V nalogi a) se ujemajo prvi členi določenih razmerij. Takšno nalogo razrešiš, ako pretvoriš določena sorazmerja tako, da se ujemajo tudi njih tretji členi (najmanjši skupni mnogokratnik teh členov). — V nalogi b) poiščeš najprej iz določenih razmerij takšna razmerja, ki se ujemajo v prednjih členih, potem pa postopaš kakor pri nalogi pod a). Izvršitev: a) a:b = 3:5 = 12:20, a: c == 2:3 = 12:18, a :d = 4:5 = 12 :15; torej je a : b : c: d = 12 : 20 : 18 : 15. !j> a:c 8-3 l pomnoženo c: b = 6:71 a : b = 16:7, a:c = 8:31 c :b = 6:7 pomnoženo b : d = 14 : 15 I a : d = 32 : 15, a : b = 16 : 7 = 32 :14, a : c = 8 : 3 = 32 :12, a: d = 32:15 = 32:15; torej je a :b : c : d = 32 : 14 :12 :15. 86 Odvisne količine. Premo soraz¬ merne količine = gerade oder direkt proportio- nale Grofien. Sorazmernostni faktor ali modul = der Proportio- nalitatsfaktor oder Modulus. Funkcija = die Funktion. 4. Razdeli število 1141 na štiri dele, ki so si kakor 15 : 40 : 48 : 60! Deli števila 1141 so x, y, z, u. Po pogojih naloge je x —|- y -(- z -j- u = 1141 in x : y : z : u — 15 : 40 : 48 :60. Iz zaporednega sorazmerja najdeš 15 + 40 + 48 in iz te enačbe je 5. Enačbo (x + 6): (11 — x) = (x + 69): (67 — x) razrešiš, ako izenačiš produkta zunanjih in notranjih členov. Potem najdeš x = 3. § 27. Sorazmerne količine in uporabne naloge. Dve količini sta odvisni druga od druge, ako vsaka izprememba ene količine povzroči izpremembo druge koli¬ čine. N. pr. Določena množina blaga ima določeno ceno; dvakrat (trikrat) toliko istega blaga velja dvakrat (trikrat) toliko denarja. Ali: določeno število delavcev izvrši neko delo v določenem času; dvakrat toliko (enako pridnih) delavcev izvrši isto delo v polovici prvotnega časa. Ako sta količini A in B tako odvisni druga od druge, da se količina A tolikokrat poveča (zmanjša), kolikorkrat se količina B poveča (zmanjša), pravimo, da sta količini A in B premo sorazmerni. Iz tega pojasnila sledi, da mora ostati kvocijent številnih vrednosti izpreminjajočih se količin A in B vedno isti, v znakih ~ = m ali A = mB , kjer pomeni m neizpremenljivo število, ki se zove soraz¬ mernostni modul ali faktor. Količini A pravimo funkcija količine B. 87 Iz enačb A t = mB t in A 2 = mB 2 najdeš sorazmerje Ai : A 2 = B t : B 2 , t. j. A k o sta dve količini premo sorazmerni, je razmerje med dvema številoma prve količine enako razmerju med pripadajočima številoma druge količine. Ako pa sta količini A in B tako odvisni druga od druge, da se poveča (zmanjša) količina A tolikokrat, koli- korkrat se zmanjša (poveča) količina B, pravimo, da sta količini A in B obratno sorazmerni. Iz tega pojasnila sledi, da mora ostati produkt iz številnih vrednosti izpre- minjajočili se količin A in B vedno isti, v znakih A • B = m ali A = m ■ ^ . Količini A pravimo funkcija količine B. Iz enačb A 1 = m • -J- in A 2 = m • ~ najdeš so¬ razmerje A\ : A 2 = -g- : -g- = B 2 :B u t. j. Ako sta dve količini obratno sorazmerni, je razmerje med dvema številoma prve količine enako obratnemu razmerju med pripadajočima številoma druge količine. Količina A utegne biti odvisna tudi od dveh, treh ali več drugih količin B, C , D i. t. d., s katerimi je posamič premo, oziroma obratno sorazmerna. Da je n. pr. količina A s količinama B in C premo, s količino B pa obratno sorazmerna, izrazimo v znakih A = m • B • C • '■-=. Količina A je funkcija količin B, C in D. Iz enačb A t = m • B 1 • C ± • -g- in A 2 = m • B 2 ■ C 2 • j- najdeš sorazmerje A t : A 2 = B1C1 . B i ' B 2 BiC t B 2 : B 2 C 2 B u katero se da predočiti tudi na ta-le način: C\ : C 2 ( pomnoženo. B 2 : Bi j Kako stvorimo sorazmerje iz premo sorazmer¬ nih količin. Obratno soraz¬ merne količine = umgekehrt oder invers proportio- nale Groben. Kako stvorimo sorazmerje iz obratno soraz¬ mernih količin. 88 Tvorjenje sestav¬ ljenega soraz¬ merja iz premo in obratno soraz¬ mernih količin. Naloge o premo in obratno soraz¬ mernih količinah. Ako je torej določena količna odvisna od več drugih količin, s katerimi je posamič premo, oziroma obratno sorazmerna, je razmerje med dvema številoma prve količine enako sestav¬ ljenemu razmerju iz pripadajočih števil ostalih količin. Posamezni deli tega sestavljenega razmerja se tvorijo po prejšnjih pravilih. Razen navedenih odvisnosti se nahajajo med količi¬ nami še različne druge odvisnosti, na katere se tukaj ne bomo ozirali. Naloge, v katerih se nahajajo premo ali obratno sorazmerne količine, so sestavljene iz dveh stavkov, iz pogojnega in vprašalnega stavka, ali se vsaj dado razsta¬ viti na taka dva stavka. V pogojnem stavku so določene vse količine, v vprašalnem stavku pa je ena količina nedo¬ ločena. Naloge te vrste rešujemo ali s pomočjo sorazmerij ali pa na sklepovni način. V zadnjem slučaju sklepamo vobče iz določene množine na enoto in iz enote na kako drugo določeno množino iste količine. Razrešitev si neko¬ liko olajšamo, ako napravimo načrt, t. j. kratek podatek dotične naloge v obliki pogojnega in vprašalnega stavka. Primerjaj naslednje naloge! Naloge. 1. Rokopis ima 162 strani, vsaka po 50 vrst; koliko strani bi imel rokopis, ako bi bilo na vsaki strani po 45 vrst? 162 strani.50 vrst x „ .45 „ a) 162 strani X 50 45 180 strani. b) er : 162 = 50 : 45 x = 180. a) Če razrešiš nalogo na sklepovni način, sklepaš tako-le. Po pogojnem stavku ima rokopis 162 strani; če bi na vsaki strani bila samo 1 vrsta (t. j. 50 krat manj 89 vrst kakor v pogojnem stavku), bi moral rokopis imeti 50krat toliko strani kakor v pogojnem stavku. Po vpra¬ šalnem stavku pa je na vsaki strani 45 vrst (t. j. 45 krat toliko kakor v prejšnjem slučaju), zato bo moral rokopis imeti 45. del prejšnjih strani. Med sklepom nakažeš vsako množenje, oziroma deljenje. Ker ima nakazani rezultat obliko ulomlj enega števila, smeš po en faktor v števcu in imenovalcu deliti s skupno mero; b) Če hočeš nalogo razrešiti s pomočjo sorazmerja, je treba najprej določiti, kako sta količini odvisni druga od druge. Čim več vrst se nahaja na vsaki strani roko¬ pisa, tem manj strani ima rokopis; količini sta torej obratno sorazmerni. Po zgoraj navedenem pravilu stvoidš sorazmerje, katerega je treba razrešiti. 2. Voznik pelje 14 stotov blaga za 10 - 8K 7 km daleč; kako daleč bo peljal 17| stota za 16|- K? a) x 14 stotov 1 71 A « T v 10-8 K 164 „ 7 km x „ 7 km X 14 X 161 _ 7 X 14 X 81 X 2 _ 10-8 X 171 l) x: 7 = 14: 17| 164 : 10-8 10-8 X 35 X 5 } 8'4 km. 8'4. a) Sklepaš zaporedoma najprej na enoto pri vsaki količini pogojnega stavka in potem na tiste množine, ki se nahajajo v vprašalnem stavku. Voznik pelje blago 7 km daleč, 1 stot blaga bi peljal 14krat tako daleč; za 1 K bi peljal blago le 1(P8. del prejšnje daljave. 17^ stota blaga bo peljal 17|. del prejšnje daljave; za 16| K bo peljal blago 16|krat tako daleč kakor poprej. — V nakazanem rezul¬ tatu se nahajajo dvojni ulomki. Te ulomke odpraviš, ako prestaviš vsak imenovalec, ki se nahaja v glavnem števcu, kakor faktor v glavni imenovalec, vsak imenovalec pa, ki se nahaja v glavnem imenovalcu, kakor faktor v glavni števec ; kajti ulomek se ne izpremeni, ako pomnožiš njegov števec in imenovalec z enim in istim številom. 90 b) Čim več je blaga, tem manjšo daljavo se pelje blago za isti denar; prva in tretja količina sta torej obratno sorazmerni. Čim več se plača voznine, tem dalje se pelje isto blago; druga in tretja količina sta premo sorazmerni. Sestavljeno sorazmerje stvoriš po zgoraj na¬ vedenih pravilih. 3. Koliko časa moraš 1863 K kapitala po 5% izposoditi, da dobiš toliko obresti, kakor jih da 3450 K po 4|% v 9 mesecih? 3450 K kapitala . . . 4^% ... v 9 mesecih 1863 „ „ ... 5% ... v x „ * : 9 = 3450 : 1863 1 _ 4’ : 5 J x = 15. Čim manjši je kapital, tem več časa mora ležati, da nese iste obresti. Čim manjši so procenti, tem več časa mora ležati kapital, da nese iste obresti. 4. Koliko obresti da kapital k naložen po p % a) v l letih, b) v m mesecih, c) v d dnevih? a) 100 K kapitala ... v 1 letu k „ „ ...vi letih p kron obresti kpl . ” = m' Ll Obresti za leta izračunaš, ako pomnožiš kapital s procenti in leti ter deliš produkt s 100. b) 100 K kapitala ... v 12 mesecih ... p kron obresti m kpm . . ° = 1200 ’ t-J ’ Obresti za mesece izračunaš, ako pomno¬ žiš kapital s procenti in meseci ter deliš pro¬ dukt s 1200. 91 c) 100 K kapitala ... v 360 dneh ... p kron obresti Z „ „ ... ^ d „ ... n ,, „ kpd + . ° = 36000’ J ' Obresti za dneve izračunaš, ako pomnožiš kapital s procenti in dnevi ter deliš produkt s 36000. 5. A, B in C so popravljali okrajno cesto in sicer je pošiljal A po 4 delavce 6 dni, B po 3 delavce 9 dni in C po 4 delavce 8 dni; zato delo dobijo skupaj 207 - 5 K plačila. Koliko dobi vsak? Zaslužek se mora med A, B in C razdeliti po raz¬ merju delavcev in po razmerju časa; torej je x : (/: s = 4 : 3 : 4 1 _ 6:9:81 x : y : z = 24:27:32. Po pravilih, ki veljajo o zaporednem sorazmerju, najdeš x = 60, y — 67 - 5, z = 80. IV. Enačbe prve stopnje. § 28. Občna pojasnila in urejevanje enačb. Enačba je izenačena dvojica številnih iz¬ razov, ki sta enake vrednosti. Izenačena izraza se imenujeta enačbena dela (enačbeni strani). Vsak teh delov utegne biti sestavljen iz členov, ki so spojeni med seboj z znakom -|- ali —. Enačba, v kateri izenačimo številni izraz s samim seboj ali s kako pretvorbo tega izraza, se imenuje isto- stna ali identična enačba. N. pr. a -j- b = a -)- b , ali (x — 5)2 — x 2 — 10 j 5 —j— 25. Ako postavimo v identični enačbi namesto občnega števila katerokoli posebno število, Enačba. Enačbena dela. Enačbeni členi. Istostna enačba = identische Gleichung. 92 Določilna enačba = Bestimmungs- gleichung. Enačb eni koren. Enačbo razrešiti. Znanke in ne¬ znanke v določil- nih enačbah. Razvrstitev enačb po številu neznank. Osnovne resnice o pretvarjanju enačb. Enačbo urediti = eine Gleichung ordnen. imata enačbena dela vsakokrat enaki vrednosti. Identični enačbi ustreza (zadostuje) torej vsako posebno število. Enačba, kateri ne ustreza vsako, ampak le določena števila, se zove določilna enačba. Tako n. pr. zadostuje enačbi 4sc —7 = 19 število 3 in nobeno drugo; enačbi x- — 4 = 0 pa zadostujeta števili -j- 2 in — 2. V nasled¬ njem se hočemo pečati le z določilnimi enačbami. Tisto število (oziroma številni izraz), ki ustreza dolo- čilni enačbi, se imenuje enačbeni koren. Enačbi določiti koren, se pravi enačbo razrešiti. V določilnih enačbah ločimo znane in neznane koli¬ čine. Znane količine (znanke) zaznamujemo s posebnimi števili ali pa s prvimi črkami abecede, neznane količine (neznanke) pa z zadnjimi črkami x , i/, z, u, v. Ako se nahaja v enačbi več občnih števil, smatramo včasih zdaj to, zdaj drugo občno število za neznanko. To se zgodi posebno pri obrazcih, t. j. pri enačbah, s katerimi izražamo izreke in pravila, po katerih se določuje n. pr. likom obseg in ploščina, telesom površje in prostornina i. t. d. Po številu neznank, ki se nahajajo v enačbi, ločimo enačbe z eno, dvema, tremi . . . neznankami. Iz matematičnih osnovnih resnic sledi: a) Ako prišteješ, oziroma odst e ješ enakim številnim izrazom enaka števila, najdeš enake izraze. b) Ako množiš, oziroma deliš enake številne izraze z enakimi števili, najdeš enake izraze. S pomočjo teh izrekov se da vsaki enačbi izpremeniti oblika. Važne so tiste izpremembe, po katerih postane oblika enostavna. Na take pretvoritve se hočemo tukaj ozirati. Enačbo urediti se pravi, enačbi dati kolikor mo¬ goče enostavno obliko. Iz zgoraj navedenega in iz razre¬ šenih nalog v §§ 7., 10. in 18. izvajamo za urejevanje enačb sledeča pravila: 1. Izvrši računske načine, katere nakazu¬ jejo oklepaji! 93 2. Odpravi ulomke, t. j. pomnoži vse enačbene člene z najmanjšim skupnim imenovalcem dotičnih ulomkov! 3. Prestavi vse člene desnega enačbenega dela v levi del ter skrči in uredi člene v tem delu po padajočih potencah z ozirom na ne¬ znanko! Ako prestaviš člen iz enega enačbenega dela v drugega, mu moraš izpremeniti predznak. Dva člena v različnih enačbenih delih se uničujeta, ako se ujemata v predznakih in številnih vrednostih. 4. Deli vse enačbene člene s koeficientom neznanke v najvišji potenci! Vobče smemo reči, da smeš vse enačbene člene deliti z njih skupno mero, če se v tej skupni meri ne nahaja neznanka sama. Urejene enačbe z eno neznanko imajo torej takšne-le oblike: x —j— (i = 0; —j— OjX —b — Oj x ^ —j— ax ^ —j— bx “j - c — Oj i. t. d. Če ima enačba dve ali več neznank, smatramo jo za urejeno, če ima obliko kakor n. pr. ax -|~ by = c, ax 2 -)- by 2 -j- cxy dx -|- cy = /, i. t. d., kjer pomenijo a, b, c . . . cela števila. Enačbe, ki se dado pretvoriti na eno izmed zgoraj navedenih oblik, se imenujejo algebrajske; vse druge enačbe pa so transcendentne. Največji potenčni eksponent, katerega ima neznanka urejene enačbe, ali če je več neznank, največja vsota potenčnih eksponentov, katere imajo neznanke urejene enačbe v enem in istem členu, določa stopnjo dotične enačbe. Enačbe kakor n. pr. *-)-« = 0, ax-\-by = c, ax by cz = d i. t. d. so enačbe prve stopnje. § 29. Razreševanje enačb prve stopnje. I. Urejena enačba prve stopnje z eno neznanko ima obliko x -j- a = 0. Iz tega sledi x = — a. Ker pomeni izraz —a neko določeno število, ima torej enačba prve stopnje z eno neznanko samo en koren. Algebrajske in transcendentne enačbe = alge- braische und transzendente Gleichungen. Stopnja določilne enačbe = der Grad der Bestim- mungsgleichung. Kako se razre¬ šujejo enačbe prve stopnje z eno neznanko. 94 Preizkus. Iztrebiti = eli- minieren. Iz nalog in pojasnil v §§ 7., 10. in 18. posnamemo za razreševanje enačb prve stopnje z eno neznanko ta-le pravila: 1. Izvrši računske načine, katere naka¬ zujejo oklepaji! 2. Odpravi ulomke! 3. Prestavi člene z neznanko v en e n a č - beni del in znana števila v drugi del ter skrči istoimenske izraze kolikor mogoče! 4. Deli oba enačbena dela s koeficientom neznanke! Preizkus napraviš, ako zameniš v določeni enačbi neznanko z najdenim korenom ter izračunaš vrednosti prvega in drugega dela. Če se ujemata te vrednosti, si prav razrešil enačbo. II. Urejena enačba prve stopnje z dvema neznankama ima obliko ax -\- hj = c. Ako poiščeš iz te enačbe vrednost za x , oziroma za y, najdeš c — bil . c — ax x = -- in y = -.-, a J b ’ t- j. vsaki posebni številni vrednosti za y (oziroma za x) pripada določena vrednost za x (oziroma za y). Enačba prve stopnje z dvema neznankama ima torej brez števila razrešitev. Ako imamo dve enačbi prve stopnje z dvema ne¬ znankama, ima sicer vsaka enačba za-se brez števila raz¬ rešitev, obe enačbi skupaj pa le eno razrešitev; zakaj iz določenih enačb se da ena neznanka iztrebiti, t. j. iz določenih enačb se da izvesti nova enačba, ki ima le eno neznanko. Ako razrešiš to novo enačbo, najdeš koren ene neznanke. Drugi neznanki določiš koren, ako zameniš v eni izmed določenih enačb dotično neznanko z najdenim korenom ter razrešiš to enačbo. Iz določenih enačb utegneš eno neznanko iztrebiti na štiri načine. 95 a) Primerjalni način. Razreši obe enačbi z ozi¬ rom na eno in isto neznanko ter izenači dobljeni vred¬ nosti ! N. pr. 2 * + 5 ij = 26 3 * — 2 ij = 1 26 — 5 y 26 — o ij _ 1 —j— 2 // 2" = 3 78 — 15« = 2 + 4« — 19;« = — 76 tj = 4. 1 + 8 = 3. b) Zamenjalni način. Določi eni neznanki vred¬ nost iz ene enačbe ter postavi to vrednost v drugo enačbo namesto dotične neznanke! N. pr. x + 2 ij = 8 6(8 — 2 j) — 5* */ = 14 6x — by = 14 48 — 17« = 14 x = 8 — 2 y, — 1 7y — — 34 y = 2. x = 8 — 4 = 4. c) Način enakih koeficientov. Napravi eni in isti neznanki enaka koeficienta (najmanjši skupni mnogo¬ kratnik prvotnih koeficientov) v obeh enačbah ter seštej pretvorjeni enačbi, oziroma odštej eno od druge! Koefi¬ cienta napraviš enaka, ako pomnožiš vsako enačbo s primernim faktorjem. Pretvorjeni enačbi sešteješ, ako sta enaka koeficienta različno zaznamovana, drugače pa od- šteješ enačbo od enačbe. N. pr. 7* + 6 j = 27 ] X 3 '13* + 9;« = 48 X 2 21* + 18y = 81 26* + 18 tj = 96 — 5* = — 15 * = 3. 21 + 6 y = 27 6 : « = 6 y = l. d) Način nedoločenih koeficientov. Pomnoži eno enačbo z nedoločenim številom m ter jo prištej drugi Primerjalni način = die Kompara- tionsmethode. Zamenjalni način = die Substitu- tionsmethode. Način enakih koeficientov = Methode der glei- chen Koeffizien- ten. Način nedoločenih koeficientov = 96 Methode der un- bestimmten Koeffizienten. enačbi! Ako izbereš v novi enačbi vrednost za m tako, da postane koeficient neznanke y enak ničli, dobiš enačbo, iz katere določiš koren za a;; če pa izbereš vrednost za m tako, da postane koeficient neznanke * enak ničli, dobiš enačbo, iz katere določiš koren za y. N. pr. Iz enačb 3 x -j- 4 y = 24 5x — 3 y = 11 najdeš na navedeni način (3 m -i- 5) x - — (4 m — 3 ) y = 24 m -j- 11. Ako je 4 m — 3 0, torej m 3 4 ’ najdeš (3-| + 5)x = 24-1 + 11 y x = 29 x = 4. Če je pa 3 m + 5 = 0, torej m = — |, najdeš (-T-3 )y - -40 + 11 y = 3. Kateri izmed navedenih načinov je pri določeni nalogi najprimernejši, spoznaš iz koeficientov, katera imata ne¬ znanki v urejenih enačbah. Drugi in tretji način se rabita največkrat. Včasih moraš obratni vrednosti neznank ali kaki drugi številni zvezi smatrati za neznanki. Tako n. pr. je treba v enačbah 2 x 13 in — x 4 številna izraza — = z in — 1 . = u smatrati za neznanki. x ,j — l Vrednosti teh izrazov najdeš tako-le: 97 4 x 15 x 6 y-i 6 = 26 = 12 19 x 1 X 4 4- = 38 2 . 3 y-i 3 >J- 1 1 sešteto - 13 = 9 = 3. •-« 1 1 ali pa: 4 z -\- 6u — 26 152 — 6 u = 12 19^; = 38 2 = 2 . 4 4 . 3 u = 13 3 u = 9 u = 3. = 3 določiš x = \ in y Iz vrednosti — = 2 in . x y — l Ako razrešiš enačbi ax-\-by = c in a x x -4- b x y najdeš korena H- 'a? b-iC —bo-, . x ■ —-4 in y ab-. a,b ac j — a x c ab 1 — a x b' Vrednosti za x in y sta določeni števili, ako je imenovalec ab 1 — a x b različen od ničle. Če je pa ab 1 — a x b = 0, torej «i = najdeš, če postaviš vrednost za a x v drugo zgoraj navedeno enačbo ah t , —x -f b x y = c x ali ax -)- by = --- . bc Ako je ~ — c, je druga navedena enačba identična s prvo ^1 (se da izvesti iz prve) in enačbena korena dobita v tem slučaju nedoločeno obliko - ; če je pa izraz ~ različen od c, si nasprotujeta navedeni enačbi, ker je namreč cix -\-by = c in ax -\- by = . Iz navedenega izvajamo: Dve enačbi prve stopnje z dvema neznan¬ kama imata eno razrešitev (eno skupno dvojico 7 g. Kdaj imata dve enačbi prve stop¬ nje z dvema ne¬ znankama samo eno razrešitev. Matek, Aritmetika. 98 Kako se razrešu¬ jejo enačbe prve stopnje s tremi neznankami. korenov), če nista odvisni druga od druge ali če si nista nasprotni. III. Urejena enačba prve stopnje s tremi neznankami ima obliko ax -j- by -j - cz = d. Vsaka taka enačba ima brez števila razrešitev; zakaj dvema neznankama smeš izbrati katerakoli korena, tretji neznanki pa izračunaš koren iz določene enačbe. Tudi dve enačbi s tremi neznankami imata brez števila razrešitev, ker smeš eni neznanki izbrati katerikoli koren. Naloga postane popolnoma določena, ako imaš tri enačbe s tremi neznankami. V tem slučaju najdeš vsaki neznanki le en koren, če niso enačbe odvisne, oziroma nasprotne druga drugi. Tri enačbe s tremi neznankami razrešiš tako-le. Ako iztrebiš iz določenih enačb eno neznanko, dobiš dve novi enačbi z dvema neznankama, katerima najdeš skupno korensko dvojico po prejšnjih pravilih. Ako zameniš potem v eni izmed prvotnih enačb dotični neznanki z najdenima korenoma, dobiš enačbo, iz katere izračunaš koren tretje neznanke. Kar se tiče iztrebljevanja ene neznanke iz treh enačb, služijo nam isti načini, po katerih smo se ravnali pri razreševanju enačb z dvema neznankama. Primerjaj razrešene naloge ! Ako je treba razrešiti štiri ali več enačb s štirimi ali več neznankami, postopaš slično. Naloge. a) 2x-\-3z = 26 3x — 4 j — 6 5 y — 62; = 18 26 — 3 ? * = — 2 ~ _ 6 + 4 ,/ 6 + 4 ,/ 26 — 3 ^ 3 “ 2 12+-8y = 78 — 9z 8y + 9z = 66 16y + 18a = 132 15 y — 18 2 = 54 31y = 186 y — 6. 30 — %z = 18 2 = 2. 2x + 6 = 26 x = 10. 99 - 361 // + 209 z = — 95 — 319 y' + 209 0 = — 11 c) 2x-\- 3// — 4j =5 6* — ly -j- 82 = 9 10* + 11 y + 12.3 = 13 X 6 X 3 X 2 12* + 18// + 242 = 30 ] 18*— 21 2 / + 240 = 27 Ji 20*+ 22// + 242 = 26 J — 6 * + 39 ij = 31 - 2x — 43 // = lj X 3 — 38 + 112 = — 5 11 2 = 33 2 = 3 . * = 5 — 10 + 6 = 1. — 6* = 3 — 1 + 42 = 5 42 = 6 3 z — T’ — 6 * + 39 // • • 3 — 6* — 129// = 3 168// = 0 y = 0 . § 30. Določanje točkine lege in načrtavanje linearne funkcije. I. V vsaki premici z določeno točko O ločimo z ozirom na to točko dvojno smer: 1. smer od točke O na desno (oziroma navzgor) imenujemo pozitivno smer ter jo zaznamujemo z znakom +, 2. smer od točke O na levo (oziroma navzdol) pa zovemo negativno smer in jo zaznamujemo z znakom —. 7 * Določanje toč¬ kine lege v pre¬ mici. 100 Odsečnica in os odsečnic. Zaznamovanje odsečnic. Določanje točkine lege v ravnini. Pravokotno so- redje = da s rechtvvinklige Koordinaten- system. Os odsečnic ali odsečnična os = die Abszissen- achse. Os rednic ali rednična os = die Ordinaten- achse. Sorednični osi = die Koordinaten- achsen. Sorednici = die Koordinaten. Lego točk M u M, ... v premici X 1 X (slika I.) z ozi¬ rom na točko O določimo popolnoma natanko, ako po¬ vemo, kakšno lego imajo daljice OM t , OM 2 ... z ozirom na točko O in kolika so Slika I. Xr M, 0 ■ njih merska števila. Da- -—* M. v ljice OM u O Mo ... se ime- L nujejo odsečnice ali abscise točk M ± , J/ 2 . . , premica Xj X se zove os odsečnic ali abscis in točka O je njih izhodišče ali začetek. Abscise točk J/ l5 M 2 . .. zaznamujemo z x t , x 2 ■ ■ . ; v vsakem teh znamenj se nahaja znak o legi in mersko število dotične daljice. Tako n. pr. izrazimo z absciso x t dolgost daljice OM ± in da je ta daljica pozitivna; z absciso x 2 izrazimo dolgost daljice Oil/ 2 in da je ta daljica nega¬ tivna. Razdalja točk M t in .V 2 je torej = % — x 2 ali pa : — X-2 prva razdalja je pozitivna, druga negativna. Če pa točke M 1 , iV 2 , M 3 ... ne leže v eni in isti premici, toda v eni in isti ravnini, izberemo si v ravnini teh točk za podlago dve sekajoči se premici X t X in F X F, ki stojita pravokotno druga na drugi in tvorita skupaj pravokotno soredje (slikali.). Premica X t X se zove os odsečnic ali abscis (odsečnična ali abscisna o s), premica Y x F pa os red¬ nic ali ordinat (rednična ali ordinatna os); obe pre¬ mici skupaj se imenujeta so¬ rednični ali koordinatni osi. Abscisna os je v smeri od O proti X (na desno) po¬ zitivna, v smeri od O proti X 1 (na levo) pa negativna. Ordi¬ natna os je v smeri od O proti F (navzgor) pozitivna, v smeri od O proti F, (na¬ vzdol) pa negativna. Ako načrtamo od točke J/, (slika II.) vzporednico z ordinatno osjo do abscisne osi, dobimo daljici M 1 P 1 in OPj, ki določujeta lego točke M 1 in se zoveta sorednici Slika II. X,- -X 101 ali koordinati točke M v Daljica OP x = x t je odseč- nica ali abscisa, daljica P t M x = y t pa red ni c a ali ordinata točke M t . Da sta x x in y x koordinati točke M u zapišemo v znakih tako-le M x (x x , y x ). Na isti način naj¬ demo in zaznamujemo tudi koordinate točk il/ 2 , M 3 .. ., v znakih M, (x 2 , y 2 ), M 3 (x 3 , y 3 ) ... Presečišče O koordinatnih osi se imenuje koordi¬ natno izhodišče ali koordinatni začetek. Točkini koordinati sta pozitivni, kadar ležita v smeri pozitivnih delov koordinatnih osi (abscisa na desni od ko¬ ordinatnega začetka, ordinata pa nad abscisno osjo), sicer pa sta negativni. Tako ima n. pr. točka M x pozitivno ab¬ sciso (xj) in pozitivno ordinato (y x ) ; točka M 2 ima nega¬ tivno absciso (x 2 ) in pozitivno ordinato ( y 2 ); točka M 3 ima negativno absciso (x 8 ) in negativno ordinato (y 3 ) i. t. d. Koordinate znanih ali določenih točk zaznamujemo navadno na ta način, kakor smo zaznamovali koordinate točk M u il/ 2 , M 3 ...; koordinate neznanih ali nedoločenih točk M pa zaznamujemo z x in y, v znakih M (,r, */). Določenima koordinatama x x in y x poiščeš pripadajočo točko M u ako izbereš daljico za enoto dolgostne mere, načrtaš s pomočjo te enote na abscisni osi absciso x x ter postaviš v krajišču te abscise pravokotnico, ki odgovarja po legi in merskem številu ordinati y x . Istotako najdeš tudi točke M 2 (x 2 , y.>), M 3 (x 3 , y 3 ) . .. Vsako točko določujeta popolnoma natanko njeni ko¬ ordinati; določenima koordinatama pripada samo ena točka. II. Količine, ki obdržijo med računanjem ali kakem preiskavanjem vedno iste vrednosti, se imenujejo nepre- menljive ali stalne količine (stalnice); količine pa, ki izpreininjajo svoje vrednosti, se zovejo premenljive količine (premenijivke). Stalnice in premenljivke se zaznamujejo kakor znanke in neznanke v enačbah. Medse¬ bojno zvezo med stalnicami in premenljivkami izražajo enačbe. Premenljivke so neodvisne in odvisne. Neodvisna je premenljivka, če smemo za njo postaviti vsakršno vred¬ nost, ki se strinja z bistvom premenljivke; odvisna pa je premenljivka, ako določa njeno vrednost kaka druga Odsečnica = die Abszisse. Rednica = die Ordinate. Koordinatno iz¬ hodišče ali koor¬ dinatni začetek = der Koordina- tenursprung- oder Koordinaten- anfang. Predznak koor¬ dinat. Kako poiščeš do¬ ločenima koordi¬ natama pripada¬ jočo točko. Stalnica = die Konstante. Premenljivka = die Variable. Neodvisna in odvisna premen¬ ljivka. 102 Funkcija = die Funktion. Linearna funkcija = lineare Funk¬ tion. Razvita in neraz¬ vita funkcija = explizite und implizite Funk¬ tion. Funkcijska črta = die Funktions- linie. Načrta vanj e raz¬ vite linearne ' funkcije. premenljivka. Tako n. pr. pripada v enačbi y = 2x — 3 vsaki posebni vrednosti premenljivke x popolnoma določena vred¬ nost premenljivke y ; x je torej neodvisna, ij pa odvisna premenljivka. Vsaka odvisna premenljivka se zove tudi funkcija, t. j. v navedenem primeru vrednost izraza 2 x — 3, katerega smo zaznamovali z y. Funkcija se ime¬ nuje linearna ali prve stopnje, če se nahaja premen¬ ljivka le v prvi potenci. Tako je n. pr. številni izraz ax 4- b ali y = ax -\- b cela linearna funkcija premenljivke x. Da je ij funkcija premenljivke x, zapišemo kratko takole: y = f(x) ali y = q> (x) ali y — F {x) i. t. d. Včasih nima linearna funkcija take razvite oblike kakor y = ax -\- b, ampak se nahaja kakor neznanka v enačbi, iz katere je treba funkcijsko vrednost šele določiti. Tako smemo n. pr. v enačbi 2x-\- 3y — 5 = 0 neznanko y smatrati za x-ovo funkcijo. Take funkcije se zovejo ne¬ razvite funkcije. Vsaka enačba prve stopnje s premenljivkama x in // ima po prejšnjem paragrafu neizrečeno veliko razrešitev; kajti za vsako posebno vrednost neodvisne premenljivke x se da iz enačbe določiti vrednost za odvisno premenljivko y. Dve taki vrednosti za x in y, ki pripadata druga drugi, tvorita dvojico enačbenih korenov. Če si mislimo vsako dvojico enačbenih korenov kakor točkini koordinati z ozirom na določeno soredje, smemo reči, da predočuje vsaka razrešitev dotične enačbe določeno točko. Čim manje se razlikujejo zaporedne vrednosti, ki jih izberemo za x, tem manjša je tudi razlika pripadajočih funkcijskih vred¬ nosti in tem bliže ležijo točke, ki predočujejo te razrešitve, če preide ena razrešitev nepretrgoma v drugo, najdemo v sliki nepretrgano vrsto točk, ki tvorijo črto (funkcijsko črto). Funkcijska črta je zelo važna, ker s pomočjo te črte najlaže spoznamo in pregledamo funkcijske izpremembe. a) Linearno funkcijo ij = 2x — 3 predočimo s sliko, ako izberemo za premenljivko x nekatere vrednosti, n. pr. * = ... — 1, 1, 2, 3 ..., potem izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti y = ... — 5, — 1, 1, 3 ..., 103 nadalje poiščemo navedenim razrešitvam ustrezajoče točke in sicer tako, kakor smo poprej razložili, in končno nari¬ šemo skoz te točke funkcijsko črto (slika III.). Čim več točk se določi, tem laže in natančneje se da narisati funkcijska črta. Če postavimo v funkcijo ij — 2x — 3 za premenljivko x =■ — oo, najdemo funkcijsko vrednost y = — oo ; ako se pre- menljivka veča in bliža ničli (n. pr. a; = — 20, — 15,— 8. ..), se veča tudi funkcija (y = — 43, — 33, — 19...); ko je pre- menljivka x = 0, je funkcijska vrednost = — 3 (to število je drugi člen določene funkcije); ko dobi premenljivka x vrednost, ki je določena po korenu enačbe 2x — 3 = 0 (torej x = |), dobi funkcija vrednost = 0; ako se vrednosti premenljivke večajo od f naprej (n. pr. x — 5, 9, 11. . .), ostane funk¬ cija pozitivna in dobiva vedno večje in večje vrednosti [y = 7, 15, 19. ..); ko je x = -\- oo, je tudi y = -|- oo. Ker smemo po navedenem za premenljivko x postaviti vsako vrednost od —oo do -j-o° in ker ležijo pripadajoče funkcijske vrednosti med istima mejama, raste torej funk¬ cija 2x —3 od — oo do oo , če raste premenljivka x od - OO do -j- oo ; ta funkcija dobi vrednost = 0 samo v slučaju, ki je določen po korenu enačbe 2x — 3 = 0. Predznak funkcijskih vrednosti se izpremeni, ko postane funkcija = 0. Vse te funkcijske izpremembe vidimo in spo¬ znamo iz slike, če si natančneje ogledamo funkcijsko črto. Funkcija y = 2x — 3 raste enakomerno. Od točke .1/, do M.) (slika III.) raste premenljivka za 2 enoti, funk¬ cija pa za 4 enote; razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke je = 4 = 2 (t. j. funkcijski prirastek na enotnem prirastku premenljivke). Od točke il/ 2 do J/ 3 , oziroma od točke do d/ 4 raste premenljivka po enoti, funkcija pa po 2 enoti; razmerje med funkcijskim Slika III. X Izpremembe linearne funkcije. Kako raste linearna funkcija. 104 Načrta vanj e ne¬ razvite linearne funkcije. Izpremembe linearne funkcije. Kako pojema linearna funkcija. prirastkom in prirastkom premenljivke je = 2. Če si iz¬ beremo ponavljajoč druge točke v funkcijski črti, vsako¬ krat najdemo, daje razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke = 2. (To število se nahaja v funkciji kot koeficient premenljivke.) Iz navedenega smemo torej sklepati, da se funkcijska črta enakomerno vzdiguje in da mora biti zaraditega prema črta. b) Pri linearni funkciji 3y-\-2x = 5 ali v razviti obliki y = —-| as-(--§■ so razmere obratne od prejšnjih. Funkcijsko črto najdemo, ako poiščemo n. pr. razrešitvam: x = ... — 5, — 2, 4, 10 .. . //=... 5, 3, — 1, — 5 . . . Slika IV. pripadajoče točke in narišemo skoz te točke črto (slika IV.). Če postavimo v funkciji y = —-|as-j--|za premen- Ijivko x = — oo, najdemo funkcijsko vrednost y = -)-oo;- ako se premenljivka veča in bliža ničli (n. pr. ar = — 20, —17, — 11 . . .), se manjša funkcija (y — 15, 13, 9.. .); ko je premenljivka a? = 0, je funkcija = -§■ (ta vrednost je drugi člen določene funkcije); ko dobi premenljivka vrednost, ki je dolo¬ čena po korenu enačbe — jK+4 = 0 (torej x = |) dobi funkcija vrednost = 0; ako se vrednosti premenljivke večajo od naprej (as = 16, 22, 31. . .), ostane funkcija negativna in dobiva vedno manjše in manjše vrednosti (y = — 9, —13, —19...); ko je as — -j-oo, je y = —oo. Navedena funkcija se torej manjša od -j- OO do — oo, če se veča premenljivka x od — oo do -j-co, in izpremeni svoj predznak v slučaju, ko postane njena vrednost = 0. Funkcija y = —-|- f pojema enakomerno. Od točke M t do M» (slika IV.) raste premenljivka za 3 enote, 105 funkcija pa se zmanjša za 2 enoti (t. j. negativni prirastek 2 enot); razmerje med funkcijskim prirastkom in pri¬ rastkom premenljivke je = = — 4- M točke M 2 do M 3 , oziroma od točke M 3 do ii/ 4 raste premenljivka po 6 enot, funkcijski zmanjšek pa znaša po 4 enote (t. j. negativni prirastek 4 enot); razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom premenljivke je = ^ = — §• Če si izberemo ponavljajoč druge točke v funkcijski črti, vsakokrat najdemo, da je razmerje med funkcijskim pri¬ rastkom in prirastkom premenljivke = —■§. (To število se nahaja v funkciji kot koeficient premenljivke.) Iz nave¬ denega smemo torej sklepati, da pada funkcijska črta enakomerno in da mora biti zaraditega prema črta. Iz linearne funkcije v razviti obliki (y = ax -\- b) spoznamo trojno: 1. da funkcija raste (pojema), če je koeficient premenljivke pozitiven (negativen); 2 da je razmerje med funkcijskim prirastkom in prirastkom pre¬ menljivke enako koeficientu premenljivke; 3. da je funk¬ cijska vrednost enaka drugemu funkcijskemu členu, če je premenljivka x — 0. Dve enačbi prve stopnje z dvema neznankama imata samo eno skupno razrešitev; zakaj enačbama pripadajoči funkcijski črti (če nista vzporedni) imata samo eno skupno točko. Kako se skupna razrešitev najde s pomočjo računa, izvedeli smo v prejšnjem paragrafu; tukaj hočemo še ome¬ niti, da moremo skupno razrešitev tudi najti s pomočjo slike. Ako poiščemo enačbama ustrezajoči funkcijski črti in narišemo skupni točki teh črt koordinati ter ju izme¬ rimo kolikor mogoče natanko, najdemo (približno) skupno razrešitev obeh določenih enačb. Zakaj je ta razrešitev navadno le približna? § 31. Uporaba enačb prve stopnje. Marsikatere naloge iz aritmetike, geometrije in vsak¬ danjega življenja se dado razrešiti s pomočjo določilnili enačb. V to svrho izbereš občno število, n. pr. x, y ali z, kakor znamenje za tisto število, katerega iščeš, ter napraviš s tem številom vse tiste izpremembe, ki se zahtevajo v Lastnosti linearne funkcije. Kako se razre¬ šujejo enačbe prve stopnje s pomočjo funkcij¬ skih črt. Kako se tvorijo enačbe. 106 Razmere med števili = Beziehimgen zwischen Zahlen. nalogi. Na ta način najdeš dva številna izraza, ki sta po pogoju naloge enaka. Ako izenačiš ta izraza, stvoriš enačbo, katero je treba razrešiti. Preizkus napraviš, ako preiščeš, ali ustreza najdeni koren vsem pogojem naloge. Včasih se mora najdeni koren (posebno če je izražen z občnimi števili ali pa negativen) tudi raztolmačiti, t. j. določiti se mora, ali imajo negativni, oziroma ulomijeni koreni v do- tičnem slučaju kakšen pomen, ali so brez pomena, in pod katerimi pogoji sploh je naloga mogoča. Kako je treba pri stvarjanju enačbe ravnati v posameznih slučajih, spo¬ znaš iz naslednjih razrešenih nalog. Naloge. 1. Pri katerem številu je polovica, tretjina in četrtina skupaj za toliko večja od 163, za kolikor je dotično število, povečano za 1, manjše od 163? Razrešitev. Število, katerega iščeš, je x ; polovica, tretjina in četrtina tega števila skupaj znaša 4 -f-1 -j- 4 ; za kolikor je ta vsota večja od 163, pove izraz ^ -f- -g- -f- -j— 4 — 163; za kolikor je število x, povečano za 1, manjše od 163, pove izraz 163 —(x -f- 1). Zadnja številna izraza sta po pogoju naloge enaka; zato je | + | + |- 163 = 163 — (x -j- 1). Iz te enačbe najdeš x = 156. Napravi preizkus! 2. Če povečaš določeno število za 7, najdeš mnogokratnik števila 4; če pa zmanjšaš 74 za dotično število, najdeš istotolik mnogokratnik števila 5. Katero je to število? Razrešitev. Število, katerega iščeš, je x ; številna iz¬ raza x -[- 7 in 74 — x sta po pogoju naloge istotolika mnogokratnika števil 4 in 5, v znakih x -|- 7 = 4ra in 74 — x = 5 n. Ako deliš navedeni enačbi drugo z drugo, iztrebiš n in potem najdeš x = 29. 107 3. Določi dve števili z lastnostima: če deliš prvo število z drugim, najdeš kvocijent 2 in delitveni ostanek 7; če pa deliš vsoto obeh števil z njuno razliko, najdeš kvocijent 2 in delit¬ veni ostanek 5. Razrešitev. Števili, kateri iščeš, sta x in y. Delitveni ostanek je treba deliti z divizorjeni. Po pogoju naloge je torej x y 7 . — in y * + n * — y Iz teh enačb najdeš x = 31 in y = 12. 4. Izrazi ulomek ulomkov! ha 13 a' 2 -j- ha -)- 6 kakor vsoto dveh Razrešitev. Ako razstaviš imenovalec a 2 -)- 5 a -f- 6 določenega ulomka na faktorja, najdeš imenovalca novih ulomkov; števca teh ulomkov sta x in y. Torej je 5 a -|- 13 _ x . y 78 m M N I-1-1—— >- Telo B, hitrost: 2^ m, čas: x sekund. Telo A dohiti telo B v točki N čez % sekund; telo A preteče pot LN, t. j. a"krat po 4 m; telo B preteče pot MN, t. j. xkrat po 2 j- m. Razlika teh poti je po pogoju na¬ loge = 78 m ; torej je 4x— 2^x = 78. Iz te enačbe najdeš x = 52. b) Telo A, hitrost: 4 m, čas: y sekund. L -—► P M I . I -. - --I 78 m < - Telo B, hitrost: 2\ m, čas: y sekund. Telesi se srečata v točki P čez y sekund ; telo A pre¬ teče pot LP = 4 y metrov, telo B pa pot M P =2 \y metrov. Po nalognem pogoju je £y2^y = 78; iz te enačbe najdeš y — 12. 117 29. Ob šesti uri gre od kraja A proti kraju B brzovlak, ki porabi za to daljavo 3^ ure; ob sedmi uri gre od kraja B proti A poštni vlak, ki potrebuje za to pot ure. Kdaj se srečata vlaka? Razrešitev. Brzovlak, hitrost: ~ , čas : (a? —|— 1) uro. d 2 Poštni vlak, hitrost: —, čas: x ur. Vlaka se srečata v točki C. Brzovlak preteče pot AC = (x 1), poštni vlak pa pot BC = • x. Po nalognem pogoju je ~r(% —(— 1) -j— = AB ; iz te enačbe ■V najdeš x = l - 5. Vlaka se srečata ob osmi uri trideseti minuti. 30. Sel ima prehoditi razdaljo od kraja A do kraja B ; ob dvanajsti uri sta si pota, ka¬ terega je že prehodil in katerega še ima pre¬ hoditi, kakor 2:3; ko še prehodi 8 km, sta si pota, katerega je že prehodil in katerega še ima prehoditi, kakor 6:5. Kako daleč je od A do B? Razrešitev. Ob dvanajsti uri je sel v točki C ; pot AC je že prehodil, pot BC še ima prehoditi. Po pogoju naloge je AC: CB = 2:3. Nekoliko časa pozneje je po pogoju naloge prehodil pot (AC -j- 8) km, pot (CB — 8) km pa še ima prehoditi; torej je (AC -j- 8) : (CB — 8) = 6 : 5. Iz navedenih sorazmerij najdeš AC = 22 km in CB = 33 km-, pot AB je potem AC -j- CB = 55 km. 31. Kurir prehodi razdaljo od A do B v do¬ ločenem času; če bi napravil vsako minuto po 3 korake več, bi prehodil dotično razdaljo 8 minut prej; če bi pa napravil vsako minuto po 12 korakov manj, bi prišel v kraj B za 36 minut 118 pozneje, nego bi moral priti. Koliko korakov napravi kurir vsako minuto in kako daleč je od A do B? (3 koraki = 2 metra.) Razrešitev. Kurir napravi vsako minuto po x korakov in prehodi pot od A do B v ij minutah; pot AB je torej == xy korakov. Če bi kurir napravil vsako minuto po x -j- 3 (oziroma po x — 12) korakov, bi prehodil isto pot v y — 8 (oziroma v y —j— 36) minutah ; torej je AB = = {x -j- 3) (y — 8), oziroma (x — 12 )(y 36) korakov. Iz navedenih izrazov stvoriš enačbi, iz katerih najdeš x = 132 in y = 360. Pot AB = 47520 korakov = 31680 metrov. 32. Kdaj pokrijeta kazalca na uri med šesto in sedmo uro drug drugega? Kdaj tvorita med šesto in sedmo uro pravi kot? Razrešitev. Kazalo na uri je razdeljeno na 60 enakih delov, ki se imenujejo minutne črte. Hitrejši kazalec pre¬ teče v 1 uri vseh 60 minutnih črt, v 1 minuti torej 1 mi¬ nutno črto ; počasnejši kazalec preteče v 1 uri 5 minutnih 5 1 črt, v 1 minuti torej ^ ^ minutne črte. a) Ob šesti uri kaže hitrejši kazalec na število 12, počasnejši pa na število 6. Čez x minut pokrijeta kazalca drug drugega; med tem preteče hitrejši kazalec a;krat po 1 minutno črto, počasnejši pa a: krat po ~ minutne črte. Razlika teh potov znaša toliko minutnih črt, kolikor jih je od števila 12 do števila 6 na urnem kazalu, t. j. 30 minutnih črt. Torej je x — ~ = 30; iz te enačbe 8 ^ g najdeš x = 32jj. Kazalca pokrijeta drug drugega 32^j mi¬ nute po šesti uri. b) Kazalca tvorita ij minut po šesti uri pravi kot. Pravi kot obsega 15 minutnih črt na kazalu. Ako prišteješ poti od števila 12 do števila 6 (t. j. 30 minutnim črtam) pot počasnejšega kazalca v y minutah ter odšteješ od te vsote pot hitrejšega kazalca v tj minutah, mora razlika znašati 15 minutnih črt, v znakih ^30 -j- -j |)—y = 15. Razliko 15 minutnih črt tudi najdeš, ako odšteješ od poti 119 hitrejšega kazalca v y minutah pot od števila 12 do števila 6 in pot počasnejšega kazalca v y minutah, v znakih y — (30 —I— = 15. Iz navedenih enačb najdeš 4 X 1 y = 16jj in y = 49^. Kazalca tvorita med šesto in sedmo uro torej dvakrat pravi kot, prvokrat 16^ minute in drugokrat 49^- minute po šesti uri. 33. Dve točki se pomičeta po krožnici, ki meri 840 m, v isto smer in se snideta vsakih 35 sekund; če se pa točki pomičeta v nasprotno smer, se srečata vsakih 12 sekund. Kako hitro se pomičeta točki? Razrešitev. Točka A preteče vsako sekundo x, točka B pa y metrov. V prvem slučaju dohiti točka A točko B ; točka A mora torej preteči vso krožnico in še toliko, kolikor preteče točka B\ razlika teh poti je = dolgosti krožnice, v znakih 35* — 35 y = 840. V drugem slučaju se srečata točki, ko pretečeta skupaj pot 840 m , v znakih 12* —(— 12 y — 840. Iz teh enačb najdeš * = 47 in y — 23. 34. Zunanji kot na osnovnici enakokrakega trikotnika in zunanji kot na vrhu sta si kakor 29:32; kolik je notranji kot na osnovnici? Razrešitev. Zunanji kot na osnovnici je sokot notra¬ njega kota /9 na osnovnici, zunanji kot na vrhu pa je dvakrat tolik kakor notranji kot na osnovnici. Po nalog- nem pogoju je torej (180° — /9): 2/9 = 29:32; iz tega sorazmerja najdeš /9 = 64°. 35. Obsrediščna kota dveh enakih krogovih iz¬ sekov, katerima znašata polumera 20 cm in 16 cm, se razlikujeta za 27°; kolik je manjši teh kotov? Razrešitev. Če sta dva izseka različnih krogov plo- ščinsko enaka, sta loka (oziroma pripadajoča obsrediščna kota) obratno sorazmerna s polumeroma; kajti iz pogoja \ = 1 ~y~ sledi l : l t = r x \r. Pri navedeni nalogi je manjši izmed obsrediščnih kotov a in leži v krogu z večjim polumerom. Ker sta si Geometrijske naloge. 120 izsekova ploščina in krožnina kakor pripadajoča obsre- diščna kota, veljajo obrazci p : r 2 n = (a -}- 27°) : 360° in p : E 2 ji = a: 360°. Ako izenačiš vrednosti za p, najdeš a = 48°. 36. Izmed dveh pravilnih mnogokotnikov ima prvi dvakrat toliko stranic kakor drugi in notranji kot prvega mnogokotnika je za 10° večji nego notranji kot drugega mnogokot¬ nika. Koliko stranic ima drugi mnogokotnik? Razrešitev. Notranji kot pravilnega mnogokotnika je določen po obrazcu — kjer pomeni n število stranic in E pravi kot. Pri navedeni nalogi ima prvi mnogokotnik 2 n, drugi pa n stranic, n = 18. 37. Višina pravokotnega trikotnika je za 2 - 7 dm večja ko manjši hipotenuzni odsek in za 3 - 2 dm manjša ko večji hipotenuzni odsek; kolika je hipotenuza? Razrešitev. Hipotenuza je x, njen manjši odsek je //, njen večji odsek pa x — y. Po pogoju naloge je v — 2’7 = y in w —|— 3*2 = x — y, kjer pomeni v hipotenuzi pripadajočo višino. S pomočjo geometrijskega izreka v 2 = y (x — y ) najdeš v = 17‘28 in x = 35'06. 38. Dva pravokotna trikotnika imata enaki hipotenuzi; ena kateta prvega trikotnika je za 4 m manjša, druga pa za 8 m večja, nego sta kateti drugega trikotnika. Koliki sta kateti prvega trikotnika, kije za 34 m 2 večji od drugega? Razrešitev. Kateti prvega trikotnika sta x in i/, dru¬ gega pa x -j- 4 in y — 8. Po pogoju naloge sta kva¬ drata nad katetama prvega trikotnika skupaj enaka vsoti kvadratov nad katetama drugega trikotnika, v znakih x 2 -(- i/ 2 = (x 4) 2 -(-(// — 8) 2 ; glede na trikotnikovi ploščini je ' 2 - — 34 = -- 8 - . Iz navedenih enačb ] 2 najdeš x = 9^ in y = 9“-. V. Računski načini tretje stopnje. A. Vzmnoževanje. § 32. Pojasnila o vzmnoževanju. Ako postavimo določeno število a m krat kot faktor, pravimo, davzmnožujemo ali potenc ujemo število a s številom m, v znakih a m = a • a • a ... (m krat) = A. Število a, ki se mora večkrat postaviti kot faktor, se ime¬ nuje osnovno število ali podloga; število m, ki pove, kolikokrat je treba podlogo postaviti kot faktor, se zove potenčni eksponent; število A, katerega najdemo pri vzmnoževanju, je vzmnož ali potenca. Vzmnoži ali potence so torej produkti enakih faktorjev. Potence po¬ sebnih števil izračunaš, ako pomnožiš podlogo ponavljajoč s samim seboj. Z ozirom na zgoraj navedeno pojasnilo o vzmnože¬ vanju smemo reči, da podloga (a) utegne biti ali celo ali ulomljeno, absolutno ali algebrajsko število, potenčni eks¬ ponent (m) pa mora biti absolutno celo število, ki je večje od 1. Po pojasnilu o vzmnoževanju in jz ozirom na pravila pri množenju najdemo: / a) 1“ == 1 • 1 • 1... = 1. Vsaka potenca od 1 je 1. b) o* = 0-0 - 0... = 0. Vsaka potenca od Oje 0. c) (+ a) m = (+«)•(+»)•(+«)•.. = + a m . Vsaka potenca pozitivne podloge je po¬ zitivna. d) (— a) 2m = (— a ) • (— a) • (— a)... = -f- a 2m . Soda potenca negativne podloge je pozi¬ tivna. Matek, Aritmetika. 9 g. Vzmnožiti, vzmnož e vati = —- potenzieren. Osnovno število = die Grundzahl. Podloga = die Basis. Potenčni ekspo¬ nent = der Po- tenzexponent. Vzmnož — die Potenz. Kakšnost pod¬ loge in potenč- nega eksponenta. Potence s pod¬ logo 1 in 0 in potence algebraj- skih števil. 122 Seštevanje in od¬ števanje potenc. Kako množiš po¬ tence z enakimi podlogami. Kako vzmnožiš z vsoto. Kako deliš po¬ tence z enakimi podlogami. e) (— a ) 2 “ — 1 = (— a ) • (— a) • (— a)... = — a 2m ~ K Liha potenca negativne podloge je ne¬ gativna. § 33. Računski zakoni o potencah. I. Istoimenske potence (potence, ki imajo enake pod¬ loge in enake eksponente) seštevaš in odštevaš po istih pravilih, po katerih se istoimenski izrazi sploh seštevajo in odštevajo. N. pr. a m -j- 7 a m = 8a m ; ax m — bx m = {a — b)x’“. II. Po pojasnilu o vzmnoževanju je: a m • a n = a • a • a ... (m krat) • a • a • a . . . (n krat), t. j. podlogo a je treba (m -j- n) krat postaviti kot faktor; torej je a m . a n _ a >» + « Potence iste podloge množiš, ako pridržiš skupno podlogo ter sešteješ potenčne ekspo¬ nente. N. pr. (2 a — bY x ~ iy - (2a — č) 5 *'- 3 * = (2 a — b) x + 2! '. Ako čitaš enačbo a m ■ a n = a m + n v obratnem redu, najdeš: Število vzmnožiš z vsoto, ako ga vzmnožiš z vsakim sumandom ter pomnožiš dobljene po¬ tence. N. pr. 2*+ 3 = 2 3 • 2 X = 8 • 2 X . III. Po pojasnilu o potencah je: a m a ■ a • a ... (m krat) a n a • a • a... (m krat) ‘ Ako je m^> n, se dasta dividend in divizor navedenega kvocijenta ?ikrat zaporedoma dehti s številom a; potem stoji število a še (m —n) krat kakor faktor. Torej je = a m ~ n . 123 Potence iste podloge deliš, ako skupno podlogo vzmnožiš z diferenco iz dividendovega in divizorjevega eksponenta. N. pr. () 3 -f 3(a * 1 + &) 2 c + 3(a + 5)c 2 +c 8 = + 3a 2 &-f 3až 2 4-& 3 -f 3 (g + fr) 2 c -f 3(g -f 5)c 2 -f c 3 . Istotako postopaš tudi pri kubovanju mnogočlenika u ~ 1 ~ b -j- c -j- d ali kateregakoli drugega mnogočlenika, v znakih (a -f b + c + d) s = (a + b + cf + 3 (g + b + cfd + _j_ 3 ^ _|_ i _f_ c )^2 4 - # _ a 3 -j _3« 2 5 -f 3«ž> 2 4-5 3 + —{— 3(a —|— &) 2 c —)— 3 (g —(— b) c 2 c 3 —j— -j— 3(ee —j— 6 —j— c) 2 d -j- 3 (a -j- b -)- c) d 2 -j- d 3 . Iz navedenega posnamemo za kubovanje mnogočlen- skih izrazov to-le pravilo: 1. Od prvega člena dobiš kub. 2. Od drugega in vsakega naslednjega člena dobiš tri sestavine in sicer: a) trojni kvadrat predstoječe alge- brajske vsote, pomnožen z dotičnim členom; b) trojno predstoječo algebrajsko vsoto, pomnoženo s kvadratom dotičnega člena; c) kub dotičnega člena. 3. Navedene sestavine sešteješ algebrajsko. Ker je vsako dekadično število vsota iz določene množine dekadičnih enot, ga kubuješ po pravilu za mnogo- členske izraze. Primerjaj kvadrovanje dekadičnih števil! Pravilo za kubovanje dekadičnih števil izražamo na¬ vadno tako-le: 1. Od prve številke dobiš kub. 2. Od druge in vsake naslednje številke dobiš tri sestavine, in sicer: a) trojni kvadrat predstoječega števila, pomnožen z dotično številko; b) trojno predstoječe število, pomnoženo s kvadratom dotične številke; c) kub dotične številke. 3. Navedene sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo, vsako naslednjo pomakneš za eno mesto proti desni ter jih sešteješ. Kako kubuješ mnogočlenik. Kako kubuješ dekadično število. 130 Ako se nahaja v dekadičnem številu kaka ničla, jo preskočiš med kubovanjem, naslednjo sestavino pa po¬ makneš za štiri mesta proti desni. 201230056 Desetinsko število kubuješ istotako kakor celo število. Med kubovanjem se ne brigaš za de¬ setinsko piko; v kubu pa od- šteješ trikrat toliko desetink, kolikor jih je v podlogi. Nepopolno število kubuješ, ako ga postaviš trikrat kakor faktor ter izvršiš množenje na okrajšani način. § 35. Vzmnoževanje enačb in neenačb. Razreševanje eks¬ ponentnih enačb. Enako visoke 1. Ako vzmnožiš enaka števila z enakimi potence enakih in neenakih S tevili, dobiš enake vzmnoži. podlog. Dokaz. Iz a = b a = b a = b pomnoženo sledi a* b m . Ako vzmnožiš vse člene določenega sorazmerja z istim številom, dobiš zopet sorazmerje; zakaj iz a:b = c: d najdeš (a : b)"‘ = (c : d) m in a m : b m ----- c m : d m . 2. Enako visoke potence neenakih abso¬ lutnih števil so neenake in sicer je tista večja, ki ima večjo podlogo. Dokaz. Iz a > b a > b a > b pomnoženo sledi a m ]> b m . 131 3. Vsaka pozitivna (cela) potenca pravega ulomka je zopet pravi ulomek, ki je tem manjši, čim večji je potenčni eksponent. Dokaz. Ako pomeni a vrednost pravega ulomka, je 1 > a in 1 > a 1 . 1 > o 1 . . , , 1 pomnoženo, „ _ 9 1 pomnoženo, l. t. d.; Oj - O J - 0“ ) a )> a * 2 a 2 )> a 3 torej je 1 > a > a 2 > a s ... Iz navedenega sledi, da se zaporedne potence pravega ulomka manjšajo in bližajo vrednosti = 0, če se potenčni eksponent veča in bliža vrednosti = oo. 4. Vsaka pozitivna (cela) potenca nepra¬ vega ulomka je zopet nepravi ulomek, ki je tem večji, čim večji je potenčni eksponent. Dokaz. Ako pomeni a vrednost nepravega ulomka, je 1 < a in 1 < a 1 „ 1 < a \ v ... _ 1 pomnoženo, 1 pomnoženo, l. t. d.; a a 2 a 2 a 8 torej je 1 < a <( a 2 < « 3 . • • Iz navedenega sledi, da se zaporedne potence nepravega ulomka večajo in bližajo vrednosti = oo, če se veča potenčni eksponent in bliža vrednosti — oo. 5 Enake potence z enakimi podlogami imajo enake eksponente; zakaj iz a x = ay sledi x = y. Ta izrek uporabljamo pri razreševanju eksponent¬ nih enačb, to so enačbe, v katerih se neznanka nahaja v eksponentu. a) Dvočlensko eksponentno enačbo 2 3x + 2 = 32 razrešiš, ako izraziš oba enačbena dela kakor potenci iste pod¬ loge in potem izenačiš potenčna eks¬ ponenta. Razrešitev: 2 3 *+2 = 32 23*+2 _ 2 « 3x 2 = 5 x •= 1 Potence pravega ulomka. Potence nepra¬ vega ulomka. Eksponentna enačba = Expo- nentialgleichung. Razreševanje dvočlenskih in mnogočlenskih eksponentnih enačb. 132 b) Pri razreševanju eksponentne enačbe 6'2b x ~ 1 — = 0 - 4*-~ 7 postopaš istotako kakor pri prejšnji enačbi. Primerjaj navedeno razrešitev! Razrešitev: 6-25*- 1 = 0-4*- 7 (t) — \5/ ^5^2(*-l) _ - 7 _ ^-* + 7 2x ■— 2 — — * -j- 7 x — 3 c) Mnogočlensko eksponentno enačbo 7 X + 1 — 2 X - 1 — = 5 • 7® -|- 3 • 2*+ 3 razrešiš, ako izvršiš nakazana vzmno- ževanja, potem prestaviš in skrčiš istoimenske izraze, na¬ dalje pa ravnaš kakor pri prejšnjih enačbah. Primerjaj navedeno razrešitev! Razrešitev: r jx -f-1 _ 2 x — i 7 . 7 *— — 2 7 • 7 X — 5 • 7* 2 • 7 X 7 x 2 x ar X = 5 • 7* -j- 3 • 2* + 3 = 5 • 7* -f 3 • 2 8 - 2 X = 24- 2 x + f 49 4 = 2 Mnogočlensko eksponentno enačbo tudi razrešiš, ako prestaviš člene tako, da se nahajajo v vsakem enačbenem delu le potence iste podloge, potem razstaviš dotične izraze na faktorje in skrčiš kolikor mogoče, nadalje pa postopaš kakor pri dvočlenskih eksponentnih enačbah. Primerjaj navedeno razrešitev! 133 Razrešitev: g2*— 3 _j_ 3 to+l __ 920;— 2 _|_ 3 3 ^c — 1 g 2 * — 3 _ g 2x — 2 _ 33^ — 1 _.33^ + 1 ^"(A - s) = 3 *'(l~ 3 ) H-4>) = »"(-!) 92* _ 729 3^ — IT 3* = 3 5 x = 5 B. Korergenje. § 36. Pojasnila o korenjenjn. Ako razstavimo določeno število A na m enakih fak¬ torjev ter določimo enega izmed teh faktorjev (a), pra¬ vimo, da korenimo število A s številom m, v znakih jAA = a (čitaj: m ti koren iz A je = a). Število A, ki se mora razstaviti na enake faktorje, se imenuje radi- kand ali korenovec; število m, ki pove, na koliko enakih faktorjev je treba razstaviti radikand, se zove korenski eksponent; številu a pa, katerega iščemo, pravimo koren. Korensko znamenje ([/") je nastalo iz začetne črke latinske besede „radix“. Drugi koren se zove tudi kva¬ dratni koren, tretji pa kubični koren. Korenski eksponent se piše nad korensko znamenje. Korenski eks¬ ponent 2 se izjemoma ne piše; torej pomeni f toliko kakor \f. Izraza enačbe /A = a se razlikujeta v tem, da pred- očuje izraz a izračunani, izraz \f A pa nakazani koren. Nakazane korene imenujemo tudi korenske izraze. Ako vzmnožimo izračunani ali nakazani koren s Koreniti == radi- zieren. Korenovec = der Radikand. Korenski ekspo¬ nent == der Wurzelexponent. Koren = die Wurzel. Korensko zna¬ menj e. Bistvena lastnost vsakega korena ali korenskega izraza. 134 Prvi koren in korena iz 1 in 0. Koreni algebraj¬ skih števil. Kakšnost radi- kanda in koren¬ skega ekspo¬ nenta. Kakšnost abso¬ lutne korenove vrednosti. korenskim eksponentom m, moramo po pojas¬ nilu o korenjenju dobiti radikand za rezultat, v znakih /».—w a m — A ali ( \fA) = -4. Ako korenimo potenco A m s številom m , je koren po zgoraj navedenem pojasnilu enak podlogi A, v znakih m . - \ A m A. /m , -\ m . . m r - Iz enačb ^ / A J = A in yA m = A izvajamo: Število se ne izpremeni, ako ga v kateremkoli redu vzmnožiš in koreniš z enim in istim številom. S pomočjo navedenih pojasnil najdemo: 1. Prvi koren iz vsakega števila je enak dotičnemu številu, v znakih /A — A; zakaj A 1 = A. 2. Vsak koren iz enote je enaki, v znakih M . - \ 1 = 1; zakaj l m = 1. 3. Vsak koren iz ničle je enak 0, v znakih m ,— ['O = 0; zakaj O” 1 = 0. 4. Sodi koren iz pozitivnega radikanda utegne biti pozitiven ali negativen, v znakih [/ -j- A = + a; zakaj (+ a) 2m = -j- A. 5. Lihi koren iz pozitivnega radikanda • • 2 m — 1 ,—j je pozitiven, v znakih — —\-\-A = -j-a; zakaj (4- a) 3 "'- 1 = + A. 6. Lihi koren iz negativnega radikanda je ne- . 2 m —1 / - gativen, v znakih- j—A = — a\ zakaj (— a) 2m — 1 = — A. Z ozirom na navedena pojasnila smemo reči, da utegne radikand A biti ali celo ali ulomljeno, absolutno ali alge- brajsko število, korenski eksponent m pa mora biti ab¬ solutno celo število. Kakšna je absolutna vrednost korena a , bomo spoznali iz naslednjega. Mislimo si, da je radikand A neko absolutno celo število. Ako vzmnožimo števila naravne številne vrste z m ter primerjamo radikand A s to potenčno vrsto, namreč z 1 , 2 m . 3 “, 4 m , .... (a -)- 1 )"*, (a 2) m , ..., sta dva slučaja mogoča: 135 1. Radikand A se nahaja v tej potentni vrsti, n. pr. m - A = a m \ potem je \ A = celemu številu a. 2. Radikand A leži med dvema zaporednima poten¬ cama navedene potentne vrste, n. pr. med a m in ( V 6 V 27 = V V 125 • 27 = V T c) a 5 7 « • |/" «7 « B = ]/ | /a 20 • a • • a 5 .= 24 , 7.21 = =■ = a VII. Korenski izraz a nima po prvotnem pojas¬ nilu o korenjenju nobenega pravega pomena; zakaj radi- kand a na minus n enakih faktorjev razstaviti, je brez zmisla. Pomen tega korenskega izraza določimo s pomočjo 141 m ,— mp , pravila, ki je izraženo v enačbi / A = ~\ A?, če smatramo namreč to pravilo o pretvarjanju korenskih izrazov ve¬ ljavno za vsak korenski izraz. Potem najdemo z ozirom na pomen potence z negativnim eksponentom (— n ) ■(—!)/■- l/a - 1 \ a Določeno število koreniš z številom, a k p koreniš obratno dikanda z dotičnim pozitivnim znakih „ * ._ -ft - /i- ' a. negativnim vrednost ra- številom, v Korenski izraz z negativ tom je enak obratni vrednosti renskega izraza s pozitivnim v znakih -< — n r — 1 ~V a = \ a nim eksponen- dotičnega ko- eksponentom, S pomočjo pravila o pretvarjanju korenskih izrazov se da tudi določiti pomen potenc in korenov z ulomlje- 7)1 /- nimi eksponenti. Zakaj iz korenskega izraza |/ a n naj¬ demo po omenjenem pravilu: m torej je y a = a m . Iz navedenega izvajamo pravili: Določeno število vzmnožiš z ulomkom, ako ga vzmnožiš s števcem in znesek koreniš z imenovalcem, v znakih a m — \ a n . Določeno število koreniš z ulomkom, ako ga vzmnožiš z obratnim ulomkom, v znakih Kako koreniš z negativnim celim številom* Kako vzmnožiš, kako koreniš z ulomkom. 142 Kako računaš s potencami ulom- Ijenih eksponen¬ tov. Kako računaš s koreni ulomlje- nih eksponentov. Kvadratni koren mnogočlenskega izraza. Da veljajo za potence z ulomljenimi eksponenti isti računski zakoni kakor za potence s celimi eksponenti, uvidimo iz naslednjega: m r — — n , -s /- ns r - ns r - ms , -:- 1. a n • a s = ]fa m ’\/a r = ~| /a ms a nr = -\ja‘" s + nr = ms -f- nr m r = a ns = a” m m m 2. a n -b n = ^a m • yb m = / a'“ • b'“ =. y(ab) m — (ab ) n ; m r — — n r s , ns r - ns , 3. a” : a s = /a m : ja r = ~ \/a ms : /a nr = ms — nr m r S korenskimi izrazi, ki imajo ulomljene eksponente, se računa po istih pravilih kakor s potencami, ki imajo ulomljene eksponente; zakaj Če je v potenčnem izrazu eksponent negativno ulom- Ijeno število, je treba negativni predznak spojiti s števcem. N. pr. * m — m — a — \f a- § 38. Kvadratni in kubični koren. I. Iz pojasnil in pravil § 34. sledi, da najdeš ureje¬ nemu mnogočleniku kvadratni koren na ta-le način : 1. V prvem členu urejenega radikanda se nahaja kvadrat prvega korenovega člena. Prvi korenov člen najdeš torej, ako poiščeš prvemu radikandovemu členu kvadratni koren. Kvadrat prvega korenovega člena odšteješ od ra¬ dikanda. 143 2. V prvih členih radikandovega ostanka se nahajata sestavini, ki ju dobiš pri kvadrovanju od drugega kore¬ novega člena, in sicer v prvetn členu tega ostanka je dvojni produkt iz prvega in drugega korenovega člena. Drugi korenov člen najdeš torej, ako deliš prvi člen radikandovega ostanka z dvojnim že znanim korenom. Potem izračunaš kvadratovi sestavini drugega korenovega člena (ali vsako sestavino posebej ali pa obe sestavini skupaj) ter ju od- šteješ od radikandovega ostanka. 3. Naslednje korenove člene izračunaš na isti način, kakor si našel drugi člen. N. pr. j/" 9x i — 24* 3 — 14* 2 -|- 40* -j- 25 — 3* 2 — 4* — 5 _ 9* 4 — 24* 8 —14* 2 : (6* 2 — 4*)-(—4*) — 24m 3 —(— 16* 2 + _ ~ __ — 30a? 2 —(— 40* -j- 25 : (6* 2 —8* — 5)-(—5) —30* 2 -f 40*-f25 0 ~ Ali krajše: j/~9* 4 — 24* 3 — T4* 2 -f- 40* -j- 25 •— 24* 8 — 14* 2 — 30* 2 + 40* + 25 0 Iz § 34. sledi nadalje, da najdeš dekadičnemu številu kvadratni koren tako-le: vila - 1. Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke, vsak oddelek po dve številki; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi le eno številko. 2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš število, katerega kvadrat se nahaja v prvem oddelku. Kvadrat prve korenove številke odšteješ od prvega oddelka in ostanek spojiš z drugim oddelkom. 3. Ako odbiješ popolnemu drugemu oddelku zadnjo številko ter deliš to, kar ostane, z dvojnim že znanim = 3* 2 — 4* — 5 : 6* 2 — 4* : 6* 2 — 8* — 5 144 Kvadratni koren ulomkov. Kvadratni koren nepopolnega kvadrata. korenom, dobiš drugo korenovo številko. Potem izračunaš kvadratovi sestavini druge korenove številke ter ju od- šteješ od popolnega drugega oddelka. Ostanek spojiš s tretjim oddelkom. 4. Naslednje korenove številke izračunaš istotako, kakor si našel drugo številko. 5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek = 0, ako je radikand popoln kvadrat. Desetinsko število koreniš z 2 na isti način kakor celo število. Zapomniti si je treba samo to, da razdeliš desetinsko število na oddelke od desetinske pike in sicer celote na levo, desetinke pa na desno, in da postaviš v korenu desetinsko piko, prej ko vzameš prvi oddelek de¬ setink v račun. N. pr. j/9[40-64j89 = 30-67 40 :6 4064 : 606 42889 : 6127 0 Navadnemu ulomku poiščeš kvadratni koren, ako koreniš števec in imenovalec z 2. Ako je radikand mešano število, ga pretvoriš na ne¬ pravi ulomek in potem postopaš kakor pri ulomku. Ako radikand ni popoln kvadrat, ne moreš kvadrat¬ nega korena določiti popolnoma natanko, temveč le pri¬ bližno na toliko decimalk, kolikor jih potrebuješ. Primerjaj §36.1 V to svrho pripišeš radikandu toliko ničel kakor decimalke (ali si jih misliš pripisane)*, kolikor jih je treba, ter računaš z njimi kakor z veljavnimi številkami. Istotako postopaš tudi pri desetinskih številih, ki niso popolni kvadrati. Pri periodičnih decimalnih ulomkih po¬ rabiš namesto ničel tiste številke, ki se ponavljajo. Navadnemu ulomku, katerega števec in imenovalec nista popolna kvadrata, določiš kvadratni koren, ako raz¬ širiš dotični ulomek tako, da postane imenovalec popoln * Pri računanju ravnaš navadno tako, da pripišeš vsakemu na¬ slednjemu ostanku po dve ničli. 145 kvadrat, in potem koreniš števec in imenovalec z 2, ali pa ako pretvoriš dotični navadni ulomek v desetinskega in koreniš zadnji ulomek z 2. Ako računaš kvadratni koren števila, ki ni popoln kvadrat, na več decimalk, postaja račun vedno bolj težaven in dolgočasen. Takšen račun smeš okrajšati tako-le. Ko si določil na navadni način n veljavnih številk kvadratnega korena, deliš zadnji ostanek z dvojnim že znanim korenom na okrajšani način (pri tem odbiješ takoj divizorju zadnjo številko) in najdeš na ta način še (n — 1) zanesljivo šte¬ vilko kvadratnega korena. Dokaz. Recimo, da je A radikand, a že izračunani in x še neznani del kvadratnega korena, torej j~A = a-\-x. Iz te enačbe najdemo A = a 2 -j- 2ax -f- £ 2 , torej 2 ax = — A — a 2 — x 2 in x = Ako vzamemo za x vrednost, ki jo izraža kvocijent napravimo pogrešek, katerega absolutna vrednost je = Ker se s tem, da premaknemo v radikandu A desetinsko piko za 2, oziroma za 4, 6 ... mest, izpremeni samo mestna, ne pa številčna vrednost korenovih številk, si smemo zaradi lažjega do¬ kaza misliti, da ima korenov del a mestno vrednost enic. Potem je 1 in tudi % 2 < 1. če se znani korenov del a piše z n številkami, je «5 10” —1 . Iz sledi x 2 < 1 2 a g: 2-KP- 1 ^ 1 1 2a 2 10»-i deljeno t. j. absolutna vrednost pogreška ~ znaša manj ko od (n — 1). decimalke (čitaj: n manj prve decimalke). Iz kvocijenta kjer pomeni A — a 2 zadnji ostanek in 2 a dvojni že znani koren, se da torej (w — 1) decimalka določiti s po¬ močjo okrajšane delitve. Ako je treba n. pr. številu 125 določiti kvadratni koren na 5 decimalk, izračunati moraš povsem 7 kore- 146 novih številk, torej 4 na navadni način, 3 pa s pomočjo okrajšane delitve. Primerjaj izvršeno nalogo! |/T|25 = 1P18034.. 25 :21 400 :221 17900 : 2228 76 : 2236 9 0 Kvadratni koren nepopolnega števila. Ako je treba n. pr. nepopolnemu številu 3'1416.. določiti kvadratni koren tako natanko kakor mogoče, moreš na navadni način najti le 3 korenove številke; s pomočjo okrajšane delitve določiš še potem 2 korenovi številki. Rubičm koren II. Iz pojasnil in pravil § 34. sledi, da najdeš ureje- izraza. nemu mnogoclemku kubični koren na ta-le način: 1. Prvi korenov člen najdeš, ako poiščeš prvemu radikandovemu členu kubični koren. Kub prvega koreno- vega člena odšteješ od radikanda. 2. Drugi korenov člen najdeš, ako deliš prvi člen radikandovega ostanka s trojnim kvadratom že znanega korena. Potem izračunaš kubove sestavine drugega kore- novega člena ter jih odšteješ od radikandovega ostanka. 3. Naslednje korenove člene najdeš na isti način, kakor si našel drugi korenov člen. N. pr. j/ x e — 6x B —j— 3ai 4 —]— 28a? 3 — 9x 2 — 54x — 27 = x 2 — 2x — 3 x 6 — 6x 5 -)- 3x i -\- 28* :3x i — 6x 5 -\-12x i — 8a; 8 4 ~ ~_+’ — 9x i -j-36x 3 — 9x 2 —^54*—27 :3x i — 12x s -\-12x 2 — 9x i -\-36x 3 —36x 2 _j_ — _|_ 27 x 2 — 54x — 27 _ - + + 0 147 Dekadičnemu številu poiščeš kubični koren tako-ie: 1. Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke, vsak oddelek po tri številke; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi manj številk. 2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš število, katerega kub se nahaja v prvem oddelku. Kub prve kore- nove številke odšteješ od prvega oddelka in ostanek spojiš z drugim oddelkom. 3. Ako odbiješ popolnemu drugemu oddelku zadnji dve številki ter deliš to, kar ostane, s trojnim kvadratom že znanega korena, dobiš drugo korenovo številko. Potem izračunaš kubove sestavine druge korenove številke ter jih odšteješ od popolnega drugega oddelka. Ostanek spojiš s tretjim oddelkom. 4. Naslednje korenove številke izračunaš istotako, kakor si našel drugo številko. 5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek = 0, ako je radikand popoln kub. Desetinsko število koreniš s 3 na isti način kakor celo število. Zapomniti si je treba samo to, da razdeliš desetinsko število na oddelke od desetinske pike in sicer celote na levo, desetinke pa na desno, in da postaviš v korenu desetinsko piko, prej ko vzameš prvi oddelek de¬ setink v račun. N. pr. j/^9531589 14 953 96 1 488 J 4 865589 4 7628 | 10206 729 1 0 Ako radikand ni popoln kub, moreš tretji koren do¬ ločiti le približno. V to svrho pripišeš radikandu toliko ničel kakor decimalke (ali si jih misliš pripisane), kolikor jih potrebuješ, ter računaš z njimi kakor z veljavnimi = 4-29 : 48 ” : 5292 Kubični koren dekadičnega šte¬ vila. Kubični koren nepopolnega kuba. 148 Pretvarjanje ulomka z iracio¬ nalnim imeno¬ valcem. številkami. Ker postaja takšen račun vedno bolj teJaven in dolgočasen, smeš ga okrajšati tako-le. Ko si določil na navadni način n veljavnih številk kubičnega korena, deliš zadnji ostanek s trojnim kvadratom že znanega ko¬ rena na okrajšani način in najdeš tako postopajoč še (n — 1) zanesljivo številko kubičnega korena. Primerjaj, kar se je zgoraj omenilo pri kvadratnem korenu. § 39. Pretvarjanje korenskih izrazov. Včasih se dado korenski izrazi pretvoriti na obliko, ki je enostavnejša in za uporabno računanje pripravnejša od prvotne. Na take pretvoritve se hočemo tukaj ozirati. I. Ulomek, katerega imenovalec je iracijonalen monom ali binom, se da pretvoriti na ulomek, kateremu je ime¬ novalec racijonalen. Tu sem spadajoči primeri imajo eno izmed oblik: m j —— 5 /- f- 5 2n-j-ly — ( 1 1 \ a n \ a + x b - \ a +- \b kjer pomeni s ulomkov števec. s a) Pri ulomku m" stvoriš imenovalec racijonalen, i/ a " r m , -— ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom \ a m ~ n . Potem je: s _ s |/ u m ~~ n _ s \f a m ~ n _ s )a m ~ n \ a n \ a" • | /a m ~ n \ a m a § b) Pri ulomku -=-7= stvoriš imenovalec racijo- fa ± \f b nalen, ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom \[a + \H). Potem je s _ ^6) _ s(/ a + ^ b) \[a + \fb (\fa + \^b){[ r a + \fb) a—b 149 Istotako postopaš tudi pri naslednjih primerih: g _ s(a \[b) _ s(a^f^b) a + |/ 5 (a +/&)(° +/&~) a 2 — b s _ s(Ya + p b) _ sC\f a + |//)(//f~ \f b ) V a it \f b |f a — f b a — b Če je imenovalec trinoin, se vzameta dva člena skupaj za število in potem se postopa kakor pri binomu. N. pr. g _ s (/ 2-\-/3 — / 6 ) ^2-|-/3 —f 6 ~ (^2 + |/3) 2 -(|/6) 2 ‘ = g(/2 + /3 — /6) _ g(/2 + |A3 — /6)(2|Č6 4-l) 2/6 — 1 ~~ 23 - «( 7/2 + 5/3 — /6 — 12 ) 23 Včasih sta slučaja pod a) in b) združena. N. pr. g _ s|//a -|-(/"i> g|/~/a/-/"fr(/a~—/ b) |/Va + |č& \fa-\-\fb a—b _ g j/"(a — ?>)(/«”■— J -fb) a — b g c) Pri ulomku ^-5—3-:— stvoriš imenovalec -(/ a +-|/ & racijonalen, ako pomnožiš števec in imenovalec z izrazom, ki ga najdeš pri delitvi (a + b ): ^ \ a + / b f. N. pr. g s(Ya 2 -f- /ofe -j- /P) ^ a — f/T (^a — )/4)) (|/a 2 —|— / »6 —)— /P) gCj/o 2 + + /P) a — b 150 Pretvarjanje vsote (razlike) dveh korenskih izrazov v en ko¬ renski izraz. II. Iracijonalnemu izrazu j/a+/&+|/a — /b daš novo obliko, ako kvadruješ navedeni izraz in doblje¬ nemu znesku poiščeš kvadratni koren. i a + /žT + i a — /IT = /T7T + /& + — /i) == = \f 2 a + 2 k « 2 — b . Tako pretvarjanje je primerno, kadar je a 2 —■ b po¬ poln kvadrat. Pretvarjanje ira- III. Iracijonalni izraz \f a + y b pretvoriš v slučaju, cijonalnega ko- * - renskega izraza da je a 2 — b popoln kvadrat, na enostavnejšo obliko na enostavnejšo v r r - ~f= obliko. tako-le. Ce ravnaš z izrazoma ya~\-]/b-\-y a — \ b in |i a ~\- \f b — j/ 'a — ]fb tako kakor pod II., dobiš (/"« -j— |/" 6 —|[a — \fb = |/"2« —j— 2 — b, (At + 6 — j/a— [b=\/~2a —2/a 2 — b\ in ako sešteješ, oziroma odšteješ te enačbi, najdeš j/AT/A = / 2a + 2 A* 2 — b + j2a — 2 \j a 2 — b Tako n. pr. sledi iz enačb in + 6/2 -f- ill — 6/2 =■ y22 + 2p l21 - 72 = |/ 86 = 6 /ll+V2- }/ 11 — 6(/2 = i 22 — 2/121 — 72 ==/8 = 2/2 [/11 + 6/2 = 3 + /2. § 40. Korenjenje enačb in neenačb. Razreševanje iracio¬ nalnih in eksponentnih enačb. Enako visoki ko¬ reni enakih in neenakih radi- kandov. 1. Ako koreniš enaka števila z enakimi števili, dobiš enake korene; zakaj ako razstaviš enaka števila na istotoliko enakih delov, morajo vsi ti deli biti enaki med seboj, v znakih m j — m r— i a = \ 6, če je a = b. 151 Ako koreniš vse člene določenega sorazmerja z istim številom, dobiš zopet sorazmerje; zakaj iz soraz- merja a: b = c: d najdeš y a:b = \ c: d in y a: y o = = V7: Vd. Srednja geometrijska sorazmernica med dvema šte¬ viloma je enaka kvadratnemu korenu iz produkta dotičnih dveh števil; zakaj iz stalnega sorazmerja a: b = b:c sledi b 2 — ac in l = | fač. 2. Ako koreniš neenaka števila (a ]> b) z enakimi števili, so koreni tem večji, čim večja . n , - n r — je radikandova vrednost, v znakih |/ 6 ; zakaj jasno je, da so faktorji, na katere razstaviš radikand, tem večji, čim večji je radikand. 3. Ako koreniš nepravi (pravi) ulomek z neenakimi števili, je koren tem manjši (večji), čim večji je korenski eksponent. Dokaz, a) Ako je radikand večji od enote (a 1), so faktorji, na katere razstaviš radikand, očividno tem n r — 2 n , - manjši, čim več jih napraviš, v znakih \ a ]> \ a. b) Iz sledi 4. Enačba, v kateri se nahaja neznanka v radikandu, se zove iracij onalna. Tako enačbo razrešiš, ako ji od¬ praviš korene in potem postopaš kakor pri racijonalnih enačbah. V to svrho prestaviš člene tako, da stoji koren¬ ski izraz z neznanko sam v enem enačbenem delu; potem vzmnožiš oba enačbena dela s korenskim eksponentom. Ako se nahaja v enačbi več korenskih izrazov z neznanko, se ponavlja navedeno pretvarjanje. Primerjaj naslednje razrešene enačbe! Razno visoki ko¬ reni enega in istega ulomka. Iracijonalna enačba = irratio- nale Gleichung. Razreševanje iracij onalnih enačb. 152 a) /2» -j- 3 = 5 b) / x -\-13 — /» + 6 = 1 2» + 3 = 25 /x +13 = 1 + |/++6 £c —|—13 = 1 —)— a? —|— 6 —|— 2 |/^£c —j— 6> 6 = 2/» + 6 3 = /» + 6 9 = x -j- 6 x = 3. 3|/aT+ 5 — 2[/y — 3 = 5 5 —j— 5 —(— 31/ y — 3 = 21 razrešiš, ako določiš najprej vrednosti korenskih izrazov (smatraš ta izraza kakor neznanki) in potem še-le vred¬ nosti neznank. c) Enačbi 9/» + 5 — 6 Yy — 3 = 15 9 — 2 \Jy — 3 = 5 10/» + 5 + 6/y — 3 = 42 — 2fy — 3 = -4 19/» + 5 = 57 /» + 5 = 3 x + 5 = 9 [y~~ 3 = 2 y — 3 = 4 y = 7. Razreševanje eksponentnih enačb. 5. Pri razreševanju eksponentnih enačb uporabljaš računske zakone o potencah in korenih in se ravnaš po pojasnilih § 35. N. pr. a ) — ^ 2*~ 5 2*+s _„ . 3x-{-15 2*+ 5 = 2 x ~ 5 x — 5 _ 9 _U 3» + 15 x -|- 5 ‘ ^ — 5 153 b) a x ~ x • \f a x + l • | fa x ~ 3 = 1 x -j-1 x — 3 x — 3. c ) |/ 2 9 G 8*-f /2 IB 32^ — 3 3 2* — 4 13 _2 3,! ~ 2 _ 3 2* - 3 3 2* — 4 (1 —2- 2 ) = 32* — s (l — 3- 1 ) 2 3 2 3x ~i . — — 32* — 3, ^ 4 C) (:) n 5^ 2 ' § 41. Umišljena ali imaginarna in skupna ali kompleksna števila. 2 n r - I. Sodi koren iz negativnega števila (v znakih |/ — A ) se ne da določiti s pomočjo algebrajskih celih, ulomljenih in iracijonalnih števil; zakaj ni najti števila, katero vzmno- ženo s korenskim eksponentom 2 n bi dalo rezultat = — A. Zato moramo sode korene iz negativnih števil smatrati za neko novo vrsto števil. Ta števila se zovejo umišljena ali imaginarna števila, ker nimajo stvarne podlage; cela, ulomljena in iracijonalna števila pa se imenujejo stvarna ali realna števila. V naslednjem se hočemo Umišljeno število = imaginare Zahl. Stvarno število = reelle Zahl. Matek, Aritmetika. Pojasnilo imagi¬ narnega števila in imaginarne enote. Kako se računa z imaginarnimi števili. Navadna oblika imaginarnega števila pri raču¬ nanju. le na obliki (/ — A in |/ — 1 imaginarnih števil ozirati. Številni izraz \—1 se imenuje imaginarna enota in se zaznamuje navadno s črko Z. Občno pojasnilo o korenih je: Vsak koren (j/^4), vzmnožen s korenskim eksponentom, da radikand za re¬ zultat, v znakih (\fA) n — A. To pojasnilo velja tudi pri imaginarnih številih; torej je (/— A) 2 = ~ A in (/— l) 2 = — 1, t. j. Imaginarno število je tisto, katerega kva¬ drat je enak negativnemu realnemu številu. Imaginarna enota je tista, katere kvadrat je enak negativni realni enoti. Ker imajo računski zakoni o korenih zgoraj nave¬ deno pojasnilo za podlago, zato veljajo vsi ti zakoni tudi pri imaginarnih številih. Vsako imaginarno število se da smatrati za produkt iz realnega števila in imaginarne enote; zakaj po račun¬ skih zakonih najdemo \[ — A = YA -(— 1) = ]fA • |/ — 1 = «/, ker je a = f A in Z = \f — 1. Kadar je treba računati z imaginarnimi števili, se ta števila najprej pretvorijo na obliko ai in potem se z njimi računa kakor z realnimi števili; številni znak Z se smatra kakor občno število ali kakor faktor, pri katerem si je treba zapomniti, da je Z 2 =s — 1, Z 3 — Z 2 -Z = —Z, Z 4 = = / 2 . /2 _ j_ t jj. pr. a) 3|/"^64 —. 7 |/—9 -f f - 12 j — 2 \f— 2{ = = 24/ — 21/ -|- -JZ — 3/ = J/. b) (2|/— 27 -f | f— 75 — 5j^8)-2/^"6 = = (6*^3+ 5*^3 — 10/|/2) -2/^6 = = (11*^3— 10/|/2)-2/l / '6 = — 66/2 +40(/1k 155 c) (26 [— 20 + 39 i— 35 — 65/^45) : 131/'^5 = = (52i^5 ■-f 39*(A35 — 195«/5): 13«y5 = = (39«Y 35 — 143«/5) : 13«|/5 = 3[/ 7 — 11. d) (— 5(' 28):(— 3 (A—7)) = (— 10^):(—3«|/7) = = (— 10«|/Yj:(- 3«y~7) = (— 10*/7) :3/7 = — “i. II. Vsota iz realnega in imaginarnega števila se ime- Sku P»° stevil « = komplexe nuje skupno ali kompleksno število, v znakih zahi. a -J- bi, kjer pomeni a realni, bi pa imaginarni del kom¬ pleksnega števila a -)- bi. Številni izraz a -j- bi je obča oblika vsakega mogo¬ čega števila; zakaj ta izraz predstavlja za b = 0 vsa mogoča realna števila, za a = 0 vsa čist o imaginarna števila, za a = 0 in b = 0 ničlo (začetek štetja) in za slučaj, da sta a in & različna od ničle, vsa kompleksna števila. Realnim in imaginarnim številom je ničla skupna. Kompleksni števili a -\- bi in a — bi, ki se razlikujeta spojeno kom- , ...... ii • . , . pleksni števili = le v predznaku imaginarnega dela, se imenujeta spojeno koncert kom- kompleksni. P lexe ZahIen - Dve kompleksni števili a -\- bi in c -j- di sta enaki, ako sta njuna realna ( a in c) in imaginarna dela (bi in di) med seboj enaka. Iz zgoraj navedenih pojasnil sledi, da se s kompleks- Kako računa . s kompleksnimi nimi števili računa istotako kakor z realnimi števili; s števili, številnim znakom i se ravna kakor z realnim faktorjem in namesto « 2 se postavi — 1. Račun s kompleksnimi števili je izvršen, če ima rezultat obliko kompleksnega števila. Primerjaj naslednje izvršene račune! a) (a -)- bi) —|— (c —(— di) = (a —{— c) —j— (fe —{— d)i. b) (a -j- bi) — (c —j— di) = ( a — c) -)- (b — d)i. c) (a -j- bi) (c -|- di) = (ac — bd) -J- (bc -(- ad)i. a -j- bi (a -)- bi) (c — di) (ac -j- bd) -f- (bc — ad)i ' c -f di rf 2 ~~ c 2 -\- d* ~ 11 * 156 Kako predočuje- mo s sliko ima¬ ginarna in kom¬ pleksna števila. Računski rezultati kompleksnih števil so navadno kompleksna števila. Vsota in produkt dveh spojeno kom¬ pleksnih števil sta realni števili. N. pr. (a -)- bi) -(- (a — bi) = 2 a. (' a -)- bi) (a — bi) = a 2 — b-i 2 = a 2 -(- b' 2 . Imaginarna števila in njih zvezo z realnimi števili predočujemo v sliki tako-le. Iz enačbe i 2 = — 1 sledi so¬ razmerje (-)- 1) : i = *: (—1), t. j. imaginarna enota je srednja geometrijska sorazmernica med pozitivno in ne¬ gativno (realno) enoto. Če predstavlja O A po¬ zitivno, OB negativno enoto in ako narišemo nad daljico BA polu- krog in OC _L BA, je O A : OC = OC: OB, torej OC = i. Ako na- črtamo daljico OC več¬ krat na premici YY L v smer OY in 0Y U dobimo v smeri OY pozitivna imaginarna števila —|— -j- 2 i, -j- -j-3*, . .., v smeri OY 1 pa negativna imagi¬ narna števila — i, — — 2i, —3»,... Vrsta imaginarnih števil stoji torej pra¬ vokotno z ozirom na vrsto realnih števil. Kompleksno število a -\- bi predočimo v sliki, ako predočimo realni del a = 0D t in imaginarni del bi = D-^E^. Točke sekajočih se premic XX 1 in YY t predstavljajo ne¬ pretrgani vrsti oziroma realnih in imaginarnih števil in določujejo ravnino, v kateri predstavlja n. pr. točka E t kompleksno število a -j- bi. Kakor točka E ± predočuje tudi vsaka druga točka te ravnine neko kompleksno število, n. pr. točka E 2 predstavlja kompleksno število — a -f- bi,. točka E 3 kompleksno število — a — bi in točka i ?4 kom¬ pleksno število a — bi. Vadbe in naloge. k § i. Ako je a neko število naravne številne vrste, kako se glasi naslednje število? Kako se glasi število, ki je za 2, 3, 5, b enot večje od a? K § 2. 1. Kakšen pomen imajo izrazi x -j- y -j- z, (x -j - y) -\- z, 2. Izračunaj na pamet po računskih zakonih: a) 37 + 52; b) 86 + 79; c) 217 -j- 47 + 58. 3. Izračunaj na najkrajši način: «1 73 + 49 + 7; b) 73 + 49 + 1; c) 237 + 992 + 8; d) 96 + 65 + 4 + 35; e) 9994 + 893 + 7 + 6; f) 115 + 286 + 97 + 3 + 14 + 85. 4. Pojasni s pomočjo računskih zakonov seštevanje mnogo- imenskih števil! N. pr. a) 8° 17' + 90° 28'; b) 27° 31' 45"+ 54° 28' 36". 5. 2« + 7« + 13a + 8&. 6. 3« + 4b + 5« + 86 + 9« + 106. i . « —|— 2 b —j— 3 c -j— 4 d +■ 6 b -j— 8 c —j— 5 « -j- 7 b —j— c. 8. (2« + 3b + 4c) + 3«. 9. [(7 m + 8n) + 3>w] + 5 n. 10. 9?» + (8 m + 4«)- 11. 6 n + (4 m + 5» + 2p). 12. 3«+ [76 + (5a + 6)]. 13. (7« + 8fc) + (9a + 6&) + (2a + 4ž>). 14. {15a + [5a + (Ib + «)]} + 2 b. 15. [3x + 4y + 2z\ + [) —(— (— 3a + 56). 11. (3* + 2 y) — (6* — 8y) — (— 2* -f- bij) + (— 4* -f- 3 y). 12. 2a — [14—(3 —7a)] + [9—(—2 + 8a)]. 13. 45 — [18 — (m — 2)] — [15 — (5 — 4 m)]. 14. (8a; — 6 y) -j- (2* — 4 y) — [(4* -f- 3y) — (8* — 5 y) — — (—* ~b 2 J/)]. 15. (5 a — 7 6) — [(3 a — 6) — (— 2 a 3 6)] — [(7a — 2 6) — — (3 a —|— 6)]. 16. 2 m — 3 n — (2 m — [—2 m -f- 3» — (2 m -)- 2 n) — — (— 2?» -j- 3 w)]}. 17. 6* — 7 ij — {— 6* -f- 7 y — [(6* — ly) — (— 6* -f 7 y) — 6*)]}. 18. 832* — {417?/ —j— [469* — (315 y — 178*) + (— 305 * -f 408 y) j}. 19. Izračunaj a) A (B — C — D); b) A — (B — C — D) ; c) A — (5 — C) — D; d) .1 -f B — (C — P) za: R = 7* — 8i/-)-92, 6' = —12*-j-13 y — llz, B = 6ic —]— 5 y— 62, IJ = 2 x — 3 y — 4 2, K § 7. Razreši naslednje enačbe: 1. * —|— 5 . 12. 2. * —j— Oj 0. 3. * 5 O Oj. 4. 36 — * = 10. o. 6 a — * = 4 a. 6. « — 6 — * = 0. 7. 4 —[— 3as = 6 —|— 2as. 8. 6* — 9 = 9 —[— 5tc. 9. 4 — 7* = 10 — 8*. 10. 9 a — 7* = 4 a — 6*. 11. 30 — (* + 4) = 10. 12. (* — 4) — 30 = 10. 13. 9 — (5 — 2*) = 3*4-1. 14. (5* —10) — 2* = 2* — 3. 15. 20 — (5 — y) — 6// -(20 f-4//). 16. (5 — *) — (4 — *) = (2* — 6) — (8 -j- *). 17. 20 -f [23 — (11 y)\ = 46. 18. 4 a — [(3 a — 2*) — (4 a— *)] = (5 a — 6*) — (7 a — 8*). 19. Pretvori naslednje neenačbe na naj preprostejšo obliko: a) 3*—7 > 2* + 1; b) 6 * -|- 8 < 7* -f~ 5 ; c) 2 * — 3« -j - 5 <4 3* — 4a — 2 ; d) 4 a — 5* — 6 5a — 6 * — 4. v 20. Katera cela števila zadostujejo naslednjim pogojem: a) 2x -j— 3 3x —J— 5 <4 6 —)— 2x; b) 5x — 6 <4 6x — 3 <4 5x — 3; cJ4x<^5x-|-8<^4x-)-3; d) x — 2 < 2 x — 1 < x -f-1- K § 8. 1. 9 x 2 • 8 a s • 3 a i . 2. 5 a 2 • 6 b • 7 ah. 3. 9 x 2 • 6 y • 3 xy 2 . 4. 5 xif • 4 ax 2 • 2 ay. 5. (+ 3) • (+ 7). 6. (— 5) • (+ 9). 7. (-j- 1) • (— 6). 8. (— 4) • (— 13). 9. (— 15ax 2 ) (— 4ax». 10. (— 4 x 2 «/ 3 ) • 13 ax 4 y 2 . 11. 2 m 2 (— 3 am 2 ) (— 4 at) (-{- ate 2 ). 12. (— a 3 x 4 ) (+ 4 at 3 */ 2 ) (— 5 b 2 x 2 f) (— 6 a 2 tx 3 f/ 4 ). 13. Izračunaj vrednosti izrazov: a) (a — 2t) (a -j- b) (a — 4 b) (a -(- 3t), ako je a = t; p) (31o — 21t) (17a — 28 b) (12a — 166), ako je a = 5 in t = 7. 14. (a 2 —2at-|-t 2 )7a 3 t. 15. 5a 4 (9a 3 — 7a 2 — 3d -f- 5). 16. (5 d 2 — 3 ab + t 2 ) • (— 3 ah). 17. (— 2xy 2 ) (3x 2 — hxy -j- ly 2 ). 18. [(2 m — 3 n) m 2 -|- (4 m — 5 n) n 2 \ Imn 2 . 19. [x 2 y 3 (5x — 7 y 4 ) -|- 2 xy 2 (— 3x 2 y -)- 5 xy h ) ] 9 x 3 y. 20. [2 ab (— 4a -f- 51) — 3ab (a — 76)] • (— 6a 2 t). 21. [3 xy 2 (— x 2 - 2 xy — 5// 2 ) — x 2 y (4x 2 — 5 xy — y-)\ (— 2 xy 3 ). 22. (bx — 2y)(3x — 2y). 23. (2x 2 — 5 y) (7x 2 + y). 24. (3x + 5x 2 + 6x 3 ) (5 — 2x). 25. (— 2a 2 -f 3at — 4t 2 )(— 5a 4~ 76). 26. (6x —7«/4-8)(6x4-10y —8). 27. (5 x 2 — x 4~ 4) (2 x 2 —■ 5 x — 3). 28. (5 d 4- 36)(7a4-56)(3a + 46). 29. (x 4- 1) (x 4~2 ) (x — 3) (x — 4). 30. (3x4-5) (2x — 3) (x — 1) — (x — 1) (x 4- 2) (x — 3). 31. (2 y 4 - 1) (3y 4- 5) (y 4-1) 4- (y - 1) (v ~ 2) (- V + 3). 32. (3 d 4 — 2 a 3 b -j- 5 a 2 b 2 — ab 3 -j- 4t 4 ) (9 a 2 — 6a -j~ 5). 33. (d 4 4 - 3 a 3 t — 4 a 2 t 2 ) (a 3 t — 2 a 2 b 2 -f 2 ab 3 ). 34. (7a 4- 8 n) 2 4- (4 a — 5 ») 2 — (8 a — 9 n) 2 . 35. (9x — ly) 2 -j- (11 y — 6x) 2 — (14x— 9 y) 2 . VI 36. (3 a -\- 2b) 3 — (2 a — 3 5) 3 -f~ (® — 4 b) 3 . 37. (4x + 5?/) 8 + (2a; — 7 y) 3 — (3x — 8y) 3 . 38. (5 a — 1) (5 a + 1) (25 a 2 -f- 1). 39. (3a-f 46)(3a — 4 6) (9 a 2 + 16 6 2 ). 40. (xy -j- z) (xy — z) (x i y i -j- 0 4 ) ( x 2 y 2 -|- z 2 ). 41. ( x 6 — xhj -)- xhy 2 — x 3 y 3 -j- £C 2 2/ 4 — xy° -\- y 6 ) (x -j- y). 42. ( x 4 -j- x 3 y -j- x 2 y 2 -j- xy 3 -f- y i ) (x — y). 43. (x 5 — x 4 y -f- x 3 y 2 — x 2 y 3 -j- xy i — y 5 ) (x -(- y). 44. (x 3 -f x 2 y -j- xif -f y 3 ) {x — y). 45. ( x m + 3 — 2x m + 2 y -)- 3x m + 1 y 2 — 4 x m y 3 ) ( x 2 -f- xy -j- y 2 ). 46. ( ha 4 x m — la 3 bx m ~ 1 y n -j- 9 a 2 b 2 x m ~ 2 y ' 2n — 11 ab 3 x m ~ 3 y 3n -} -J- 13 b l x m ~*y in ) • (3 a 2 x 3 -)- 2 abx i y n -j- b 2 x°y 2n ). 47. [x 2 + (a + b) x -f (a 2 + b 2 )] [x 2 — (a — b) x + ( a 2 — 6 2 )]. 48. 6x {x — x [3 x — (x — l) 2 ] — x (x —{— 1) (x — 1)} — x. 49. (a im -f 3 a 3m b n -{- 5 a im b 2n + 7 a m b Sn -f 9 b in )(a m — b n ). 50. Zameni A — 5x •— 3 y, B = 2x — 1 in C = 1 — 2 y v naslednjih izrazih ter izračunaj njih vrednosti: a) 2AB — 3AC— BC; b) (A 2 — 2BC) (B — C)\ c) AB — C 2 ; d) (A 2 — B 2 ) C — (B 2 -f- C 2 ) A. K 1. 35 abc : 7 ac. 3. 48 a 3 x 6 : 6 a 2 x 3 . 5. 63 abx?y i : 7 ax 3 y i . 7. 80a m + 3 b n + 2 x 2 :16a 3 b 2 x. 9. 45rt m + 5 x n + 6 : 3a 3 x°. § 9. 2. 81 mn : 27 n. 4. 72x 2 y s :8xy 2 . 6. 144 a h b 3 m : 16 a 3 b. 8. 27 a i b 2 x m + 5 y 2n : 9 abx i y n . 10. 20a m b n xP :5a m — 1 b n ~ 2 xP~ 3 . 11. (—24 xy):( —8 y). 12. (—27 a 5 6 s c 4 ): 9 ci 3 b 2 c. 13. 18«%%/ 3 : (—2 a 2 x 2 y). 14. (—91a 2m 5 3n ):(—13a m + 2 & 2 " -2 ). 15. (5 a 3 b 2 : ab 2 ) • 6 a 3 b 2 . 16. (21 a 2 x h : 3 ax 4 ) • (— 6 a 2 b 3 x). 17. [(— 18 x 2 y 3 z) : 2 xy\ • (— 8 x 2 y 2 z 3 ). 18. (25a 2 & 8 x : 5 ab) : b 2 x. 19. [21 m 3 n 2 : (— 7 m -)| : (— 3 mn). 20. (45 a 6 b 4 x 3 : 15a 2 b 3 x) ■ (15 a 3 b 2 : 3a 2 b). 21. [(— 48 x 3 y i z°) : 6 xy 2 z 3 \ • [18 xhj i z 3 : (— 3 xy 2 z 3 )]. VII 22. [27 a‘b i x m + n + i : (— 3«%")] : (— 3 a 3 ¥x 3 ). 23. (2^a m + 2 b n x m + 4 y n + 3 :&a m x i y s ) : 3 b n y n . 24. [75 a m + b b n + 6 xP + 4 : (— 5 a 4 5 3 x)] : (— 3 ab 2 x 3 ). 25. {[85a 5 6 7 c 9 : (— 17a 3 fc 2 c)] : (— 5a5 2 c 3 )}: (— b 2 c 3 ). 2 32 . ^ x '“ y ° z *: 33. 18a 3 c 4 #: 34 . 128 a'/ j 1 : 16 ^- . 34 . 128 a ?¥\ 35. 2 m (m -f- 1) : 40. & + [(& 2 +c 2 ) :£±||] :(« + &). 41. [128a 7 ž> 4 : (16a 3 č> 2 : 4a 2 6)] — [(128 a 7 5 4 : 16a 3 & 2 ) : 4 a 3 b]. 42. {(x 2 — if): [(x -y ):( x -f y)}} — {\x 2 — tf): (x — y )\: (* +«/)}. ,, 7(a 2 _ 6 2 ) + 8(«-|-&) 2 -9(« + ž>) 40 ‘ a + b 90 a(x 2 — y 2 ) —J— 15 & (j? — y ) 2 — 45 (a; — «/) !5(* — y) 47. (128 a 8 b 3 -f- 224 a 7 & 4 — 288 a e b B + 96 a 6 & 6 ) : (— 8 a 4 & 2 ). 48. (125 te 3 */ 4 + 250 xhf — 325 x 3 y s — 400 xhf -f 625 x 1 if) : : (— 25 x 3 y i ). 49. (3j; 4 + bx 3 + x 2 — 10® — 14) : (3x 2 -f bx -f 7). 50. (2 — lx -f 16 j; 2 — 25 -f 24x 4 — 16a; 6 ) : (2 — 3x -f 4x 2 ). 51. (9ic 2 — 16v/ 2 ): (3x + 4 tj). 52. (81w% 2 — 64y 2 ): (9 m 2 x— 8 y). 53. (27* 3 — 343y 3 ): (3x — ly). 54. (16a 8 — 81J 4 ) : (2a 2 — 36). 55. ( a 3 — & 8 ) : (a — b). 56. (a 5 -|- b 5 ) : (a -)- b). 57. (a 4 — & 4 ) : (a — b). 58. (a 6 — b «) : (a -f b). 59. (5a 5 -f- 2a 4 b — 7a 3 & 2 — a 2 ž> 3 -f- 2«i 4 — b 5 ): (5a 2 — 3«6 —)— & 2 ). ,, 15« 2 &-f 25«& 2 * 6 ‘ 5 ob 24 a h b l x 3 — 16 a 3 b 2 x 2 8 a 2 bV VIII 60. (27 — 51* — 125z 2 — 2x 3 + 30* 4 ) : (— 3 + 8x -f 6x 2 ). 61. (1 —15* -f 72x 2 — 54x 3 — 405x 4 — 243x 5 ): (— 1 + 6* + 9x 2 ). 62. (4 ?ra 6 ra 4 — 3m B w 6 — 16 ?« 4 ra 8 —- 27 m 3 n w — 18 m 2 ra 12 ): : (mV — 2 m 2 n 4 — 3 mn 6 ). 63. (113 a 2 6 2 — 136 a% -f 35 a 4 + 12 b 4 — 64 ab 3 ): (5 a 3 -f 11 ab 2 — -(- 18 a 2 b — 6 b s ). 64. (— 4 x 4 -f- 9 x 5 -{- 9 x 6 -f-18 x — 14 — 27 x s — 21 x 2 ): : (5x 3 — 10 x -(- x 2 — 14 -j- 3x 4 ). 65. (9 m 10 -j- 2«¥ — 12m% 6 — 7m 2 « 8 — 4 ra 10 ) : (3 m 6 — 2?ra 4 « 2 -j- -j- ?ra 2 ra 4 —4 ra 6 ). 66. (36 x 2 — 25 y 4 -j- 10 y 2 z 3 — z 6 ): (6x — 5 y 2 z 3 ). 67. (2 x 5 + 6 x 4 — 41 x 3 + 47 x 2 — 21 x + 22): (x 2 + 5 x — 11). 68. (a 9 — 24a 6 x 3 -f- 192a 3 x 6 — 512x 9 ): (ra 3 — 6a 2 x -j- 12 ax 2 — 8x 3 ). 69. (— 48 a 6 x 7 — 87 « 9 x 3 -j- 12 a n x -j- 147 « 7 x 5 ) : (2 a 5 x — 3 a 4 x 2 — — 5 a 3 x 3 -f- 4 a 2 x 4 ). 70. x 3m -\-x 2m y n — x m y 3n — y 4n ): (x 2m - i/ 3 ”). 71. (xhy 3m — x n + 1 y 2m ~ 2 - j- x 2n + 2 f/ m + 1 — x 3n y 3 ): {xhj m — x n y 2 ). 72. (?ra 4 — 2 m 2 n 2 -j- n 4 ): ( m 2 -J- 2 mn -)- ra 2 ). 73. (49 a 6 -f 6 a 4 — 51 a 2 — 25): (7 « 3 — 6 a 2 + 3 a — 5). 74. [(120 — 326 a + 329 a 2 — 146 a 3 -f 24 a 4 ): (4 — 3 a)]: : (6 — 7 a —(— 2 a 2 ). 75. (12x 4 — 17x 3 + 16x 2 — 7x + 2): [(— 9x 3 -f 12x 2 — 7x -j- 2): : (— 3x -f- 2)]. K § 10. 1. (2 — x) (3 — *) = (4 -f *) (3 — *). 2. (2 + x) (2* + 1) + (2 — *) (2* — 1) = 0. 3. (3* — 6)(7x— 13) = (3x —2)(7x —19). 4. (x -f 2) (x + 3) — 4 = (x —j— 4) (5 -f *) — 10. 5. (5 — 6x) (2 — 3x) = 3 [(4 — 5x) — 6x (1 — x)]. 6. [3 (y - 2) - 5] 5 - 4 (2 y - 6) = y - 19. 7. 5 (?/ —(— 10) — 4 [160 — 3 (3«/ — 2) —(— 2«/] = 2 - y. 8. 3[4(3-y)-y]-70 = 6[3 + (2y - 7)] - 7 (y + 5) + 3. 9. 3x — {6x — 3 [3x — (4x — 5)]} = 3. 10. 2x — 2{x — 2[x — 2(x — 2)]} = 0. IX 11. (iy + 8)2 + (y + 3)2 = (y + 12)2 + {iJ _ 5)2 . 12. (13* + 3)2 — (5* + K )) 2 = (12x _ 3 ) 2 , 13. a 2 (* — b ) — b 2 (* — a) = a 2 (a — *) — b 2 (b — *). 14. * (* — 2«) — (b — *) 2 == 3&2 — 4 a 2 , 15. (* — a ) 2 _ (x — b) 2 + 3 (a — Z >) 2 = 0. 16. 7 0/ — ah) = (a + b) 2 + 3 (y + b 2 ) + a (3a — b). 17. (3* — 4) 8 — (2* — 3 ) 3 = 19* 3 — 8*(9* — 10) 3. 18. 2(* + l) 3 +7(* —4) 2 +2(25x — 1) = = (* + 2) (* -j- 5) (* + 6 ) -j- * 3 . 19. (16*2— 9): (4* + 3) = 3*+ 4. 20. (9y 2 - 12y + 4): (3 y - 2) = 5y - 8 . 21. (8y s - 27) : (2 y - 3) = (2y - 6 ) (2y + 1) - 1. 22. ( 6 y* — 5 >/ + 4«/2 + lly — 4) : ( 2 y / 2 - 3y + 4) = = 3y2_5y + 13. 23. (* 4 — 8* 2 + 16) : (* 2 + 4* + 4) = (* + 2) (* — 2). 24. ( 8 * 4 — 22 * 3 + 19* 2 — 2* — 24) : (4 * 2 — 5* — 6 ) = = 2 (* — 3) (* + 4) — 2. 25. Katera cela števila ustrezajo naslednjim neenačbam: a) 3*+ 29 < 6 *+ 5 <3*+ 23; b) 8 * — 5 < 12* + 15 < 8 * + 3; c) 6 — 9* < 21 — 6 * < 15 — 9*; d) 5* + 12 > 9* — 12 > 5* — 4. K § 11. 1. Pretvori števila a) 35624 [7], h) 32045 [ 6 ], c) 72085 ]9] v dekadična števila! 2. Pretvori dekadična števila a) 9958, b) 14195, c) 68520 v številni sestav [ 6 ], oziroma [9]! 3. Pretvori: a) 460213 [7] v številni sestav [4]; b) 510423[6] „ „ „ [B]; c) 627534(8] „ „ „ [9]! X K § 12. 1. Določi, s katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 in 125 so deljiva sledeča števila: a) 312, 6225, 17280, 71016, 948656; b) 720, 6472, 76450, 484572, 567000; c) 534, 8625, 10692, 734520, 350496. 2 . Določi praštevila naravne številne vrste od 1 do 100! K § 13. 1. Določi, ali so naslednja števila praštevila: 763, 829, 1003, 1739! 2. Razstavi na prafaktorje : 2268, 3075, 5376, 3828, ^2a 3 b 2 , 60 ax 2 z i ! Razstavi na prafaktorje: 3. 18aZ>—15ac. 4 . 9* 2 — 24xy. 5 . 2a 4 — 4a 3 -j- 6a 2 . 6 . 5 x 3 z 2 — 15 x 2 z 3 + 25 xz i . 7 . * 2 -(- 2* 2 — x — 2. 8 . a 3 -j- 2 a 2 b — ab — 2 b 3 . 9 . x 3 — 5 * 2 -j- 9 x — 45. 10 . 2 a 2 x — 6 abx — a -(- 3 b. 11. 10 ax — 15 bx ■— 20 cx — \2ay -)- 18 bij -j- 24 cy. 12 . 4x 2 — 1. 13 . 9 a 2 — 16 b 2 . 14 . 6 * 2 — 54 a 2 . 15 . 75 a 3 b 3 — 3 ab. 16 . 27 a 3 b — 48 ab 3 . 17 . (b + c) 2 — a 2 . 18 . a 2 — (b — c) 2 . 19 . 9a 2 — (2a — 3b) 2 . 20 . 9ž> 2 — 125 -j- 4. 21. 9a; 2 —|— 6a? —f- 1. 22 . 16a 2 — 48ab + 36b 2 . 23 . 2a i — 4a 3 + 2a 2 . 24 . 5x 3 -\- 10x 2 -f 5*. 25 . 4 a 3 b — 24 a 2 b 2 + 36 ab 3 . 26 . b 2 -f 4 ab + 3 a 2 . 27 . * 2 +19* + 70. 28 . * 2 — 7*+ 12. 29 .. a 2 — 9ab + 20b 2 . 30 . 5 b 2 —6 ab-\-a 2 . 31 . 7* 2 + 8 xy-\-y 2 . 32 . x 2 +4* —5. 33 . a 2 + 5a& — 24& 2 . 34 . x 2 — 2x — 15. 35 . b 2 —4 bc — 5c 2 . 36 . 3* 2 + 3* — 36. 37 . 4 a 2 + 36 ab + 80 b 2 . 38 . 2* 2 — 12* — 32. 39 . 5* 2 — 15 xy + 10 + 40 . * 3 + 1 . 41 . * 3 — 1 . 42 . * 4 — 1 . 43 . * 5 + y°. 44 . * 5 — y b . 45 . * 6 — y 6 . 46 . 1 — 8* 3 . 47 . 1 + 27 a 3 . 48 . 8 + 27 * 3 . 49 . * 6 + y 6 . XI K § 14. Razstavi naslednje številne izraze na prafaktorje ter poišči njih največjo skupno mero: 7. 2«x-|-4te, 6a 2 b -|- 12 ab 2 , a 2 —4 b 2 . 8. 4 a 2 -f- 4 ab, 5 ab -j- 5 b 2 , 8 a 2 b -(- 8 ab 2 . 9. a 2 -j-3 a — 10, a 2 -j- 8 a -(- 15. 10. a 2 — 10 ah + 16 b 2 , a 2 -\-2ab — 806 2 . 11. x 2 — 2 xy — 8 y 2 , x 2 -j- 2 xy — 3 xy 2 — 6 y 3 . 12. 8 x 5 y 2 — 8 x 3 y i , 4 x l y 2 — 8 x 3 y 3 -(- 4 x 2 y i . 13. 12 x 3 y 2 — 12x 2 i / 3 , 18 x i y 2 — 18 x 2 y i , 24 x 3 y — 48 x 2 y 2 -j- 24 xy 3 . Poišči največjo skupno mero naslednjih številnih izrazov s pomočjo verižne delitve: 14. 20295, 13735. 15. 14539, 25728. 16. 15548, 18590. 17. 24955, 338625. 18. 1701, 6426, 10521. 19. 78375, 65835, 13432. 20. 2x 4 —9x 3 -f-17x —48, x 4 — 3x 3 -f lx — 15. 21. m 2 -j- 6 m -j- 8, m 3 — 3 m 2 — 4 m -f- 12. 22. 4m 3 — 16 m 2 -f 23 m — 20, 6m 2 — Im — 20. 23. 6x 3 -f- 16x 2 — 22x -j- 40, 9x 3 — 27x 2 -f 35x — 25. 24. 3 x 4 — 8x 3 -j- llx 2 —- 8a: -J— 3, 2x 3 —9z 2 + 9.r — 7. 25. 6a 3 — a 2 —- 22a -j- 15, 21a 4 +25a 3 —27a 2 -}-21« — 20. 26. 12« 3 — 2 a 2 b — 5 ab 2 — b 3 , 9a 3 + 5a& 2 + 2b 3 . 27. 5 x 3 — 18 x 2 y -)- 11 xy 2 — 6 y 3 , 7 x 2 — 23 xy -f- 6 y 2 . 28. 2a 2 — 2, 5a 3 — 4a — 1, 6a 4 — 5a 2 — 1. 29. a 2 -j- 2«5 —3 b 2 , a 2 + 6ab — Tb 2 , « 2 — 5a& + 46 2 . 30. x 2 -j- 3 xy 2 y 2 , x 2 -j- xy — 2 y 2 , 2 x 2 -j- 7 xy -j- 6 y 2 . 1. 840, 576. 3. 561, 1155, 13864. 5. 15a 3 &, 54a 2 te. 2. 336, 432, 528. 4. 693, 819, 9450. 6. 12 acx, 16 ate 2 , 20 a 2 x 2 . XII K § 15. Razstavi naslednje številne izraze na prafaktorje ter jim poišči najmanjši skupni mnogokratnik: 9. 12 b 2 , 15 a 2 , 24 ab 2 , 10& 3 , 18 ab. 10. 8x 2 , 54£«/, 64 xy 2 , 80 4 / 2 , 81 x 2 y. 11. 5x -f 10, 20 x 2 — 80, 6a; 2 + 24x'-f 24. 12. a 2 — b 2 , a 2 -|- 2 -|- 5 2 , a 2 — 2 ab -)- d 2 . 13. 3 x 3 y — 3 xh/, 2 x 2 y 2 -|- 2 xy 2 , 4 x 4 — 8x 3 -|- 4 x 2 . 14. 6x 2 — 3x, 24x 4 — 6x 2 , 12x 5 6 — 12x 4 + 3x 3 . Poišči naslednjim številnim izrazom najmanjši skupni mnogokratnik s pomočjo največje skupne mere: 15. 874, 943. 16. 6987, 8083. 17. 816, 765, 697. 18. 259, 3219, 7548, 19. a 3 — 49 a — 120, a 2 -f lOa -f 25. 20. 6x 3 — 13 x 2 — 45 x — 25, x 3 -j- 2x 2 — 20x — 25. 21. a 3 — a 2 b — 5 ab 2 — 3 b 3 , a 3 — 3 a% — ab* -j- 3 b 3 . 22. 5 a 4 + la 3 b — ab 3 + b\ a 3 + a 2 b — ah 2 — b 3 . 23. 4 « 5 -j- 11 a 4 -j- 8 a 3 — 2 a 2 — 4 a — 1, 3a 4 +8a 3 +8a 2 + 4a + l. 24. X 3 - 4/ 3 , X 2 —|— xy —j— 4/ 2 , X 4 -(- X 2 4/ 2 -j- 4/ 4 . 25. 2x 2 -j- x — 3, 10x 2 -|- 19x -j- 6, 4x 2 —j— 12x —(— 9. 26. 8x 2 — 6 x 4 / — 54/ 2 , 8x 2 —14 xy -|- 54/ 2 , 4x 2 -j-7x*/ — 15// 2 . 1. 120, 168, 182. 3. 315, 441, 567, 378. 5. 2, 14, 21, 49, 90, 91. 7. 26, 35, 42, 52, 56, 60. 2. 105, 144. 270. 4. 720, 864, 1008, 1296. 6. 4, 5, 6, 10, 25, 28. 8. 16, 24, 32, 36, 40, 72. K 16. Uredi sledeče ulomke po njih kolikosti: 1 . 5 5 ^ | 13 19 29 6 ’ 8 ’ 12 ’ 20 ’ 24 ’ '36 • 2 . 4 11 ^ 37 23 49 IT’ 15 ’ 16’ 40’ 48’ 60 • 3 ^ 8^ 17 6 13 T ’ 15 ’ 21’ 30’ 35’ 42 * 3. XIII Pretvori sledeče ulomke na najmanjši skupni imenovalec: a 5 a 3bc 4ac 5 cd 7 aed h ’ 3 b 2 m 1 4 m 2 ’ 5 mx 1 12 bhn 2 " 1 18Jj»a:" r «6 2 3 «6 11 rt 2 7a 2 5 13 te 6a: 3 ’ 10^ 2 ’ 15a%’ 20xy' 24 i/ 3 ‘ a; a: 2 a; 3 _ a; -)- y x — y xy x — 1 ’ x 3 — 3a: -J- 2 5 x — 2 ' 'a; 2 — xy' xy ij 2 ' x 2 — 2 - c 2 -f- 2 ab 33. 35. a 2 — b 2 c 2 -j- 2 ac ' x 3 — 5x 2 -j- 8a; — 4 x 3 — 7 aa 2 —j— 15a: — 9" Izračunaj: ■ta: -j- 4 0 —r-— za X = 2 . 30. 32. 34. a; 2 — 4 36. 2a: 2 — 3aa; -|- a 2 za x = a. nm x 2 — 3a: — 10 g 3 /. „ i i r« za X - x 2 -4- 10 a: -4- 16 XIV 38. x 2 — 5 a; 2 -j- 3 a; -f- 9 x s — x 2 — 21 x -)- 45 qa x i -\-2x 3 — 18a; 2 —6a; —(— 45 6V ‘ x i +3x s - 21 ar 2 — 9ar+ 54 za a; = 3. 40. ar 4 + x s — a: 2 — 4ar — 12 a: 4 — 2ar 2 — 8 za x 2 . K § 17. .. 3 « + 4 7a -)- 5 8 — 7 a 5 — 3 a 3 — la 1. g 4 6 8 12 • - a -\- b a — b a — b a -j- 6 ' 7. a — a 2 -f ž» 2 a -\- b ' 9. a 2 -\-b 2 — a 4 — 2b* a 2 — 6 2 ‘ 6 r + y_ ^ — U x — y x -j- y ' 8. x -)- y — x 2 -(- y 2 x + y ' 10. x 2 — ij 2 x 4 — 2x 2 y 2 — y 4 ar 2 + y 2 -j-j 2ar + 3 — 16 « 4“ 1' nn « 2 - 2« -3 «>444-3 - U - a 2J r 2a-3 ' « 2 -4« + 3 • XVI 21 . (l + 22. (- 23. ( 9 — x ■ bx ■ ,)•(! x -j- 2 a; 2 —j— —j— 6 )• 24. ( 25. ( 26. (o 27 - (y + £) » (t + t) *<- fe- 32. [ — (l - 33. ( 3a2 5a m x* i). *'-! ;/ )• «6 — 2 a — 6 2 b\ 3 a i )(• «6 « — 6 rt -j- 6 . « 2 -j- 2ab -f- b 2 a-\-b , 2 \ 1 \U • v T 'J _ 25 ■ y ) “ thu i 1 + X^j)] « 2 — 2ab -f- b 2 '\2b 3 \1 1 K---) /V25 2 n/ 46 2 5 « 2 » 3P' 2y — l' + §f+fS)- 24 *y 3x 2 ' 35. ( a? 2y' 36. «• (ŽS » (I - 2.r 2 _ 3F“ 2 rt; “ X “ 3 a ~ 4X 2 rtrt; “X " 3 ,r 3 47 4 a; 4 ’ 5r )(* 2 !- + ž / 2 )- 2 / 39. : 15 «6 2 . bi xhj i z t 19 a; 2 ;/ 40. 2 xy x -f • // : (* —;/). 41. 16 m« 2 ’ 8 mn 42. 21 5rt; 2 f/ 3 > 14rt 2 i/% 43. (.«x 25rt 2 c2 3 ’ 455 2 c 2 j;’ 44 - (° ~ Xi) 1 ( a + 4 )* 45. 47. 49. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. ( 2 x + 2y ):(2* + 3y). 46. (l 2 ab a 2 — 2ab-\-b 2 . XVII ):(« 2 + & 2 ). ( a + & _^+|!) :(a + 6) . 48. ^-^ = (1 + 1). ( 4 * 2 -i) : ( 2;r + ”)- 5( >- 6 a 2 -f 5 ab — 6 b 2 2a -j- 36 : (3 o — 2 6). a + 26/ :)• (‘ (Š + 1 + 6 ) : (; + *)■ (»> + l + | + i):(«.+ I). (l - <**- .«■ (* + 3); (l — 6 8a 3 6 27 c :(?:4W). 58. (« 2 J2) ; « 2 + 2 až> -f- 6 2 . / g ' ‘ a — b 4 b 8 ). )■ Matek, Aritmetika. / XVIII 68 - 0> x2J rl x y + b~\) : (ii x /xy x* 7 x 3 43 x l x 5 XT — ¥ 1 12 y 60? ~ 20? / x 2x 2 | 3 a; 3 4j- 4 \ : \2y 8? "I 4? ~ 5?/‘ ?■ 4 a ,6 \ 5 y 4 / 70 . 71 . _ 3 ? 3 4 72 . a 2 +6 a + & 2 a 2 & 2 6 — a ab m 73 . 3 m am a — m 2 a am a — m + 4 a' 75 . 3 a? —}— 3 y 5x6 y _ 4 y X X x - IJ X -\-i / 4x -j- 4 x ' 2 y x_ _ y_ y x 76 . a + h a — b a — b a -j- b — 1 + 1 a -j- & a — b 77 . a 2 — ab -)- b 2 a — b a — b a -J- J a b 2 ' a - a a — b a — 2 b ^fi — ^TJb ; 1 2a -j- 36 | 36 3a -j- 46 a + 1T Razreši sledeče enačbe: 80 . 81 . £- + X I X , X ' 3 " 1- 5 “^T x \ 2x 9 = *-n o<> x i x -f- 5 10+ i R 5 5 a; -j- 4 18 a; — I 5a; 23 66 - 24 = 2. XIX 83. 84. 85. 86 . 87. 88 . 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 98. 99. 100 . 101 . 102 . x — 5 4 — x I x — 2 r „ , 3 — x “6-4 I 2 = 50 + -^' s-tO-e) = t( 2 ~;M 4 ) n (x — 4 * — 6 ' \ 6 3 a; — 8 16 3 ) [ 3x — 16 + i(*+tM(t + 10 ) = 4 ' (3® — 7) — 22 = | [J (8® — 63) — (2® + 3)]. 8 + 2 ( ? X 4 4 5 x - 20 11 3 -»[ a: — 30 a; — 40 7 = 5. 6 a; -f- 2 a; — 2 _7_3_ a; — 1 a; — 3 x -4- 1 a:— 4 a: 2 — 4 10 x — 2 x — 1 x — 2 ' 2a: -j- 3 x - 3 a; 2 — 5a: -f- 6' 3a; — 6 5 6x 2 -\-2x 18 x 2 — 2 42 a: 2 —14 a;* 3a: -j- 1 2x — 5 _ 5x — 3 1 — 7x ]2a: — 8 9ai— 6 6a: — 4 18a; — 12* 5a: — 2 3a; — 1 2x — 11 x 2 — x — 2 5 j/ — 3« a; 2 — 2 a; a; 2 — 5 a; -f- 6 ' 4 o y — ■»» | — « m -j- n ' m — n a — b , 6 — c V — « 1 y — h y — a 2 •' _ /Tf _ y + m , . 97. ^—f = ^ w w y — o 2 «_ 2 / + J y- 6 — y ' a — y 2 ah 2 = b — - b 2 a -f- b b 2 - « — *(“ + ^) = (» — *)(« — 1?) 1 — # 14- x \ \ — x — a. 1 4- a 1 i4-2^4-< 0. II* ^1 s XX 103. X 105. 35 + \ x -|- 2 ¥ = 3 - X - 1 3 x i — 2 | „ n, ^^ + 6a: 3® , „ 101. - = — + 4. x o X -)- 1 2x 106. 107. 2x + 1 3 = 3x — 1 *~T 108. i x a + a + a -f- b K § 19. 1. 628 • 34 — (75 • 894 -f 91- 34 + 87 ■ 256 + 156 ■ 7). 2. a) 65-382 • 74*9; b) 0-1964 • 0-273 ; c) 168 -0-795; d) 3-9268-478. 3. a) 26-21429 : 283; b) 376-094 : 51'64; c) 32145678 : 378 • 23; d) 2 • 621429 : 0 • 09263. 4. a) 17-64-8^-; b) 3-985-64; c;20’13:7f; d) 418-59:164; ej 512f: 13-67; f) 604^ : 11-33. 5. Razreši naslednje enačbe: 3 - 07 x a) V 16 8-4 X X 0 08 3x A AAHOK -^— = -g- 0*00925; 5-4 _i JL ' nr. c) (x- 3x o-l ) 2 5x 3x(x 0-94 x + 27; 2 - 1 ) = 8 - 8 — (2 ic + 6 • 8 ) ( a ; — 0 • 6 ). K § 20. Pretvori naslednje navadne ulomke v decimalne: 15 37 67 117 16’ 50’ 80’ 125* 0 29 26 _ 8 _ 1000 33’ 41’ lil’ 909 ' 3. 13 37^ 92 3121 Ti’ 135’ 205’ ”404 1 1. Or 4 I Or 4 XXI Pretvori naslednje decimalne ulomke v navadne: 4. 0-072, 0-9518, 7-750, 17-525. 5. 0-06, 26-752, 8-567, 0-4378. 6. 0-73, 15 • 35i, 0-79324, 0-01926. 7. Izračunaj: a) 6-4.5-27, 243-0-6, 0-8-048; b) 1-037:245, 2-4:145, 1'06:0-426. K § 21. Uredi naslednja števila po njih popolnosti: 8 - 3 .., 17-456 .., 842.., 174-56.., 82-4.., 0-75.., 0-73.., 10-7823.., 875'6.., 0-0092 ..! K § 22. 1. Določi naslednje vsote tako natanko, kakor je mogoče: a) 3-58..+6f +13*+ 231 + 4*. b) 4f + 71| + 6-4835.. + 18* + 31* c) 9f + 4| +16f + 20*+ 47-264..-. 2. Določi naslednje vsote na dve decimalki: a) 1* + 8 "538.. + 34* + 3 - 65 + 12*. b) 7| +5f+ 94 + 111 + 15*. c) 0-956 + 28*+ 45*+ 50H +4*. 3. Določi razliko po dveh vsot v nalogah 1. in 2.! K § 23. 1. Izračunaj naslednje produkte tako natanko, kakor je mogoče: a) 5-693.. X 8-24, b) 974-623.. X&84, c) 7-645 X 9'783 .., d) 695 X 78'642 .., e) 76-54.. X 93-257.., f) 48-536.. X 8-724., (j) 3-546.. X 4-297.. X 6*825 . , h) 15-2346.. X 15-2346.. X 15-2346.. XXII 2. Izračunaj naslednje produkte tako natanko, kakor se zahteva: a) 7‘4619 X 3'258 (na 2 decimalki). b) 18-5789 X 52-483 (na celote). c) 82-5134.. X 37-089. . (na 1 decimalko). d) 1521-34 X 265-87 (na desetice). e) 73264 X 8956 (na tisoče). f) 603-3284.. X 0'9576 (na 3 decimalke). g) 860-72 X 7965-34 (na 2 decimalki). K § 24. 1. Določi naslednje kvocijente tako natanko, kakor je mogoče: a) 8-345. .: 35-4, c) 203-04 : 624-57 .., e) 534-52..: 39-58 g) 85-97. .: 146-38, i) 0-038406..: 62-87 . b) 53-2498..: 0-9564, d) 348-72: 694-83 . ., f) 4-8193..: 765-8 .., h) 901-854 : 97-8 . ., k) 73-92..: 85-74.. 2. Določi naslednje kvocijente tako natanko, kakor se zahteva: a) 63-58321..: 8-6759 .. (na 2 decimalki). b) 8-56437:0-64352 (na 2 decimalki), c) 9-74625:6-428 (na 5 decimalk). d) 76-43:8-93572 (na 5 decimalk). e) 5638 : 3845 (na 4 decimalke). f) 2346382 : 683 • 945 (na desetice). g) 860376 : 43 • 685 (na stotice). 0 6-456 X 0-8157.. . 0- 6318. ■ X Q'§ 6 ‘ 7-63.. • 8-53 X 2-637..- K a. 3-08 X 1-4273 31-85 (na 3 decimalke). 3 S6 54 7 X 70-89 ( na 4 decimalke )- 6. XXIII 7. 1 cbn s živega srebra telita 13'5959..%; koliko prostor¬ nino zavzema 1 kg živega srebra? 8. 1° zemeljskega ravnika meri 111 -3066.. km = 15 zem¬ ljepisnih milj; 1° na 45. vzporedniku pa meri 0'7071 krat toliko. Koliko znaša razdalja dveh krajev a) na ravniku, b) na 45. vzpo¬ redniku, če je razdalja njiju zemljepisnih dolžin 28° 45' 36"? 9. Pomorščaki imenujejo dolgost 1' zemeljskega poludnev- nika morsko miljo. Če meri 1° poludnevnikova 111*1111. .km, koliko morskih milj znaša zemljepisna milja po 7420m? Izrazi naslednja razmerja z najmanjšimi celimi števili: K 25. 1. 3780 :4105. 2. 10 (a 2 -f- ob ): 15 (a 2 — b 2 ). 3. (a 2 -j- 4 a — 27): (a 2 -j- 5 a •— 14). 4. (x s — 1): (x s — 2 x 2 -)- 2 x — 1). 15. 1-25 : 3-75 : 5. t. lo-f: 6 t 9 ^ 5 11.24 J-Ti K • f|T ’• • fT' e. r-H- 8. 151: 4f. 10. 0-75 : 0-625. 12. 4:6-6. 14. 81:9|:7 t V 16. 0-i8: 0-27:0-3i8. 17. 7° 31' 12": 7° 53' 8". 18. 43 dni 6 ur 53 minut : 29 dni 19 ur 11 minut. K § 26. 1. Določi iz naslednjih podatkov prava sorazmerja : a) 5 |: 7 | = 3 -^ : 5 ^; c) (a -(- b) :(a — b ) = (a 2 -j- 2 ab -f- b 2 ): (a- b -); d) (a s + V) : ( a 2 + b 2 ) = (a 2 — b a ): (a — b). XXIV 2. Razreši naslednja sorazmerja: a) 3f:12f = x:20; b) 3*: 5* = 7£: x; c) x : 0• 35 = 2-38:1-25; d) 4-583:0-83 = g) (6 a — 5 b): x = .d a 2 — 6 2 a 2 4- 6 2 = (»+!) = (l (12 a 2 — 4a6 — 5ž> 2 ) : (8 a 2 — 2a& — 3 b 2 ) ; 26 \ .a 2 — 2aZ> — 6 8 a ■ b/ — X 1 a 2 — b 2 • 3. Poišči številom: a) 17—, 8-|, 9; b) četrto geometrijsko sorazmernico! 4. Poišči številoma: a) 2j in 1^; b) in tretjo geometrijsko sorazmernico! a 2 — b 2 , 3 ab, a -j- b _ a 4- b a 3 — 3 a 2 b -j- 3 ab 2 — 6 3 5. Poišči številoma: a) 2(1 in b) "— j in srednjo geometrijsko sorazmernico! 6. Pretvori naslednje produkte v sorazmerja: a) ab = mn ; b) x 2 = ab; c) a 2 — b 2 = mx; d) a 2 -j- 5 ab -|- 6 b 2 = (2 a -}- b) x; e) a 3 — b 3 = (a -j- b) %. 7. Izrazi naslednja sorazmerja z najmanjšimi celimi števili: XXV 9. Razdeli število 60 (270) na tri (štiri) dele, ki so si kakor 3 : 4 : 5 (6 : 7 : 8 : 9)! 10. Razdeli število 3710 v razmerju : 41 a) 11. Poišči neznanke iz naslednjih podatkov: x : y — 2:5 b) x : z — 5:6 y :z = 2:3 y:u = 2:3 y:u — 5:9 z :u == 4:3 x -\- y -\- z -\- u = 705; x y z u = 555 . (Poišči najprej zaporedno sorazmerje!) 12. Razdeli število 9150 na tri dele x, y , z tako, da so si x:y — 5:3 in z:y = 3:4! 13. Razreši naslednje enačbe: a) 13 : (13 — 2 /) = 39:30; b) (25 — y) : 3 = f: 11; c) (a — x):(x — b) — a :b; dJ (1 —j— a?): (1 — x ) = (1 -f- a 2 ): 2 a; e) {x — 200): (* -f 100) = (* — 72): (x + 394); f) (7x — 3): (14® — 3) = (5« + 3): (10x + 9); g) 1: (* -f f) = (* — 2a): (a + *)(* — 2); y . a -f- b # « — 1 _ a — 6 # a -j- 1 • a -j- 1 ' x ■— l a — 1 * a? —f— 1 K § 27. 1. 17^m sukna velja 131 K 25 h; koliko velja 9fm istega blaga? 2. J. pride od kraja M do kraja N v 8? ure, če prehodi vsako uro po 4500 m; koliko časa potrebuje B, ki prehodi vsako uro po 3600 m, za isto pot? 3. Posadka 7500 mož ima živeža za 48 tednov; čez koliko časa se sme posadka povečati za 500 mož, da se bo shajalo z ostalim živežem od te dobe še 255 dni? 4. 10 delavcev napravi prekop v 15 dneh; sprva dela samo 6 delavcev; čez 5 dni se najmeta še 2 delavca in 3 dni pozneje se najmejo še 4 delavci. V koliko dneh se dovrši delo? XXVI 5. Iz 16 kg preje se napravi 70 m platna, ki je po 78 cm široko; koliko metrov po 116 cm širokega platna se napravi iz 36 kg preje? 6. Stavbišče, ki je 15 \m dolgo in 1široko, velja 3797’5 K; koliko velja drugo stavbišče, ki je 27 m dolgo in 18^m široko? 7. 36 zidarjev dozida stavbo v 90 dneh, če delajo po 10 ur na dan; koliko zidarjev se mora čez 40 dni še najeti, da se ostalo delo izvrši v 30 dneh, če delajo vsi delavci na dan po 12 ur? 8. V katerem času da določena glavnica po 5^% naložena iste obresti kakor po 4-f% naložena v 45 dneh? 9. Po koliko procentov moraš naložiti kapital, da dobiš v 5 letih 1533 K obresti, ako da isti kapital po 5% v 4 letih 876 K obresti? 10. Koliko obresti da 5240 K glavnice naložene po 4^-% a) v 3 letih 5 mesecih, b) v 2 mesecih 18 dneh? 11. Kateri kapital da po 5|% naložen v 7 mesecih 2201 K obresti? 12. Po koliko procentov moraš 2424 K naložiti, da dobiš v 225 dneh 136 - 35K obresti? 13. V katerem času da 5844 K glavnice po 4£% naložene 7444 K obresti? 14. A si izposodi 780 K; koliko mu je plačati s 41% ob¬ restmi vred čez 2 leti 3 mesece? 15. Koliko kapitala moraš naložiti po 4|%, da dobiš čez 2 leti 3 mesece z obrestmi vred 704‘8 K nazaj? Prvotni kapital -j- obresti tega kapitala = končni kapital z obrestmi vred. 16. Po koliko procentov moraš naložiti glavnico 4530 K na 2 £ leta, da dobiš za 165'82 K manj obresti ko od 3450 K glav¬ nice naložene po 3£% v 5^-leta? 17. A kupi železniško delnico 400 K imenovane vrednosti, ki nese 5% obresti, za 344 K; po koliko procentov je naložil svoj denar? Delnica nese obresti od njene imenovane vrednosti. XXVII 18. Trgovec prodaja kilogram nekega blaga z 20% do¬ bičkom po 1'44 K; kolika je kupna cena? Po čem bi moral kilogram prodajati, da bi imel 27|% dobička? 100 K kupne cene da 120 K prodajalne cene, če se pro¬ daja blago z 20% dobičkom. 19. Ako se prodaja meter sukna po 4 K 86 h, znaša dobiček 8%; koliko procentov znaša dobiček ali izguba, če se prodaja meter po 4 K 32 h? 20. A ima dolg 524'4 K plačati čez 3 mesece; koliko znaša gotovo plačilo, če se mu dovoli 5% letnega diskonta? Gotovo plačilo -(- diskont = dolg. — Diskont se računa pravilno od gotovega plačila kakor obresti. Pri trgovskih dolgih, posebno pri menicah, se računa diskont (sicer nepravilno) od dolga. 21. Nekdo plača za dolg 7258'05 K, ki bi ga moral porav¬ nati čez 2 leti 9 mesecev, 6350 K gotovo; po koliko procentov se je računal diskont? 22. Menica na 1720 K, ki se je 15. novembra izdala za 2 meseca, se proda 10. decembra s 5£% diskontom; koliko se plača za menico? Dan, katerega se menica proda, se ne jemlje v poštev pri izračunanju diskonta, sicer pa se štejejo dnevi po koledarju. 23. Menica na 800 K, ki doteče 2. avgusta, se proda 29. junija za 796'11 K; po koliko procentov se je računal diskont! 24. Razdeli 1004'5 K med štiri osebe tako, da dobi A toli¬ kokrat po 3 K kakor B po 4 K, C tolikokrat po 9 K kakor B po 10 K in D tolikokrat po 25 K kakor C po 24 K; koliko dobi vsaka oseba? 25. K skupni kupčiji, pri kateri je 400 K izgube, da A 400 K na 5 mesecev, B 1000 K na 2 meseca, C 600 K na 4 me¬ sece in D 1200 K na 3 mesece. Koliko izgubi vsak? 26. Kosmata teža nekega blaga znaša 540 kg, tara 6£%, 17% čiste teže se kupi za 3'1 K; kako drago se mora prodati vse blago, da se zasluži 18%? XXVIII K S 28. 1. 3x = Uredi naslednje enačbe: 4 3 -J- x + 8 . () X 2 5 3 3 -j- a? = 0. , a + x _ a — x 2a - 3x 4 « + 3x' x - 3' 5. (3 a; — 4) (2x — 1) — (4 x — 3) (x -)4 5) = 2 x 2 -{- 5 x — 4. 6 . (10x i — llas 3 —)— 14a? 2 — 7x — 6):(5x 2 — 3x — 2) — = 2x 2 -\- x — 3. 7. (34l)’ + fif-6)‘= (!*)■• & a 4- x | a — x 8. - 1 -1- r— = (IX • 9. 11 . 12. 13. a — x 1 a -j- x , 1 2— i/ 1 2 -|- y _2 2/ ■ n + 5 / 2 — 4]} — 20 l = S’ 11. 921-6 : (lOO — = 916-8 : (lOO — ^). 12. ( 3 ^ —~)0-8a; —(^ 6 —0-5» = 6-05. 13. 14. 15. 16. 17. 6 — 3,y _ 5 — 7y 5 3 2 y + 3 3 + 2 v 2 4y — 6 3 ( 3 - 22 /) 5 3y + 1 5j/ 1 4i/ — 10 I 6 j/ — 15 9 y — 0-1 , 5 j/ - 2 13y - 3 _ 5y -)- 2 . 6 8 7j/ + 4 _ .2 10!/ — 25 ’ 3 " 20//+ 6 I 2/+ 0-3 y — 3 , m — 4 2 y + 7+1 ~ 7+7 0 - 82 / + 7 9y+ 2-7 == 0 . 0-97. 18. (a — y)(a -\-l) — (a-\- y)(a — b) = a (3 b — «/). 19. a 2 (2/ — b) — b 2 (y — a) = «(*/ + «)—& O + 6). on «(?/ — a) , b(y - b) y V ’ « + 25 ~l 2o-. + 5’ o-| a b ( a — b) c _ bc 1 a 2 b 2 by (ct — f— b) y ec -j- b 00 ( '( 3 Ž/ - 2 a) , h (3 y — 2 5) ‘ a + 35 ' 3a + 5 90 V ~ « 1 // ~ h -<1 y ~ g — b y + a y -j- b ' 1 / + a + 5 " Razreši naslednje enačbe po primerjalnem načinu: 24. 3x — 2y = 5 25. 5a;-j-4t/ = 2 2*+ 3«/ = 12. 3a: + 5 y = — 26. 2x + 5// = 31 lx — 2y = 11. XXX Razreši naslednje enačbe po zamenjalnem načinu: 27. 4as -f 5 y — 23 28. 3x — 10 tj = 12 3x — tj = 3. 0'4 x-\-y = 3. 29. x : y — 11 :19 2x — 3y = 10. Razreši naslednje enačbe po načinu enakih koeficientov: 30. 4 ec —j— 9 = 51 31. 3x h y — 93 8x — 13y = 9. 4a; j 7// - 128. 32. 8a; + 9 y = 77 1 x — 12 y = — 32. Razreši naslednje enačbe po načinu nedoločenih koeficientov: 33. 8 x — 5 ij — 25 34. 3x — 4// -- 4 3 a; —j— 7 v/ = 36. 4x + 3i/ = 72. 35. 3x — 15 j/ = — 2 4x — 9 y = — 1. Razreši naslednje enačbe: Uredi sledeče enačbe ter jih razreši po načinu, ki je nalogi najprimernejši: 42. « — y = j(bx — 6ij) x — V 48 = 5 (6 x — 7 tj). XXXI 43. (3 x -|- 2 //): (2 x -|- 3 y) = 8:7 7 x — 8y = 24. .. 5 x 44. x * + f) ) = y — 5 45. (x — 5 y -)- 1): (3 x — 7 y -f- 3) = 7:9 (2 x — y — 6): (7 x -f- 9 y -|- 6) 46. x — 6 _ x v — y + 5 (x + 12): tj = X : (y — 8). 47. = 1:5. 2 x + 3.j/ x-\-2y 4 a; -(- y + 1 = 25 + 2 (* — */) + % 20 48. 1 H- v — = 3 ( - 1 -2) 49. 2x 4 - ? 1 ~ 5) x — H \yx / 1 1 — ?/ 5 + X — 3y I (x + 2/) —4 j/ - _ 2 y A (3 _ L_) = 1 r J_ 2(4x- 15y) _ 4x + 1 4x \ a; — yt v — 50. x - = 6 5 x — 4 ii 6 y - čt^- ----- X V — x 9 // — B3 14 11 y — 19 1 -f 6 y 3(2/ — 1) ; + 3 y 51. x + 17 «y + 5 18 5x + 13 3a; —j— 5«/ 4 x -)- 15«/ -j- 7 17 — 3 x —j— 12 y — 43 5x 11 0. 52. Sy-3x-b 7x — 3 j/+ 28 — 6 “ 3 £±I:(fcJ + 4*) = 4:21. ro 2 x -f~ 2/ | 7y + 6 x+ 11 _ 19 5x — 17 9 A 18 ~ 2 6 3 2 / 2 _ 5 x -f- 3 1/ -(- 2 2 7 54. (14x + 3): (7y - i) = (4x + 3): (2y -f i) (8® + 5):(6y + l) = (4x_+l):3y. 55. 7x+ 8 ^~5^ + 3 ) = 45 + 5 (u : -^) ( 3 -TR?) : ( 3 » + ^ = 1 = (6* — 1). XXXII 56. * — (a -j- b) y = b 2 — a 2 57. (i b — a) x -f- aby — b 2 . 58. 59. 2x — b 2 y — a a b 2x — a | 2 y -\-b P I P" _ 4 «6 a — b a -)- b a 2 — b 3 2ab 2 • a 2 — 6 2 2(44 • 2 a -(- b ab 4a; —(— 3 y = 55. XXXIII 69. 4x — 3 y -|- 2 z — -u = 19 bx-\- 4y — 30 — 2 u — 39 6 * -j- 2 y — 52! — 3 u = 26 3x — 5?/ -j - 6 2 — 4 u = 12. 70. 2x-\- 3y 4 ?/ — |— 5 2 = 31 62 -f 7 u = 32 8 u -f 9x = 61. 22 71. 3x : 4y = 6 : 5 4x : 62 = 4:3 3 x : 811 = 3:1 7x — 6 y -\- 8 z — 10« = 40. 72. — 4 a? —j— 2 j/ —(— 3 = 5 — 3 x — 2 2 -f- 4 u = 4 y — 5s -j- 2 m == 3 3x — 4y -j- 2 = 2 . K § 30. 1. Načrtaj to5ke 1/, (3, 0), M, (5, 2), M, (0, 4), J/, (— 6,-2), ^4 (—4, 7), J / 6 (7, —4) ter določi razdaljo njih vzmetov a) v abscisni, b) v ordinatni osi. 2. Načrtaj naslednje linearne funkcije : 1. Pri katerem številu je tretji del za 7 manjši ko četrti in peti del skupaj ? 2. Katero število smeš z 10 (11) pomnožiti, da najdeš isti rezultat, kakor če prišteješ dotičnemu številu 10 ( 11 )? 3. Katero število je za toliko manjše ko 160, za kolikor je njegov 3kratnik večji od 160? 4. Katero število moraš za 2, 8 , 18 povečati, da tvorijo zneski stalno sorazmerje? a) y — — 4x -j~ 5, c) 2x . — 3 y = 1 , e) 4 x 4 - by = 0, b) y = 6 x — 8 , d) 5 y — 7x = 13, K § 31. Matek, Aritmetika. III XXXIV 5. Za koliko moraš povečati število 339 in zmanjšati šte¬ vilo 355, da sta si zneska kakor 21 : 22? 6. Katerega števila kvadrat je za 120 večji od kvadrata za 10 zmanjšanega števila? 7. Ako prišteješ določenemu številu 4, najdeš mnogo¬ kratnik števila 100; ako pa odšteješ dotično število od 801, najdeš istotolik mnogokratnik števila 15. Katero je to število? 8. Razdeli 60 na dva dela tako, da najdeš kvocijent 2 in delitveni ostanek 3, če deliš večji del z manjšim! 9. Katero število moraš števcu ulomka prišteti in od imenovalca odšteti, da najdeš obratni ulomek? 10. Poišči dve števili, ki imata te-le lastnosti: ako povečaš prvo številko za 3 in zmanjšaš drugo za 3, znaša njun kvocijent 3; če pa povečaš vsako izmed števil za 2, je njun kvocijent 2. 11. Kvocijent dveh števil znaša 5 in delitveni ostanek 5; ako povečaš prvo število za 9 in drugo za 1, je njun kvocijent 6. Kateri sta števili? 12. Ako prišteješ številoma 5 in 8 določeni števili, najdeš vsoti, ki sta si kakor 2:3; če pa odšteješ isti dve števili od 5 in 8, najdeš razliki, ki sta v razmerju 1 :2. Kateri sta do- tični števili? 13. Vsota dveh števil je za toliko večja od 150, za kolikor je polovica razlike istih dveh števil manjša od 150; če deliš večje teh števil z manjšim, najdeš kvocijent 4 in delitveni ostanek 2. Kateri sta števili? 14. Ako prišteješ števcu in imenovalcu določenega ulomka 7, najdeš ulomek + ; če pa odšteješ od števca in imenovalca istega ulomka 2, najdeš ulomek Kolik je dotični ulomek? 15. Produkt dveh števil znaša 25425 in postane za 565 večji, če povečaš en faktor za 5. Katera sta faktorja? 16. Učenec množi dve števili in najde zmnožek, ki je za 454 premajhen; ta znesek bi bil prav, če bi zmanjšal prvo število za 5 in drugo za 1. Pri drugem množenju najde učenec znesek, ki je za 750 prevelik; ta znesek bi pa bil prav, ako bi povečal prvi faktor za 1 in drugega za 3. Kateri števili je množil učenec? XXXV a _5 17 . Izrazi ulomek ——— .7 kakor razliko dveh ulomkov! n 2 — 5« -j- O 18. Razdeli 67 na tri dele tako, da sta si prvi in drugi del kakor 3 : 4 in da je tretji del za 3 manjši od drugega! 19. Določi tri števila z naslednjimi lastnostmi: ako deliš vsoto prvega in drugega števila s tretjim številom, najdeš kvocijent 3 in delitveni ostanek 3; ako deliš vsoto prvega in tretjega števila z drugim številom, najdeš kvocijent 2 in delit¬ veni ostanek 1; če pa deliš vsoto drugega in tretjega števila s prvim številom, najdeš kvocijent 1 in delitveni ostanek 1. 20. Izrazi naslednje ulomke kakor vsoto dveh ali več ulomkov, katerih imenovalci so faktorji določenega ulomka! . 39 —)—« _ ' /) 15 -f- 88 a -j- 124 a- (2 -f 3«) (5 — 4«) ’ ^ (1+ 2aj(I + 3«)(1 -j- 4 a) ’ 7v 7 -J- 2a — 14 a 2 1 ' 1 — a — 20 a 2 21. Ako odbiješ četveroštevilčnemu številu začetno šte¬ vilko 5 ter pripišeš ostalemu številu na desni ničlo, najdeš za 4 večje število; katero je to število? 22. Ako odbiješ peteroštevilčnemu številu začetno števiko 1 ter jo pripišeš ostalemu številu na desni, najdeš število, kije za 2384 manjše od 3 kratnika prvotnega števila; katero je to število? 23. Katero šesteroštevilčno število se podvoji, ako mu od¬ biješ začetni številki 28 ter ju pripišeš ostalemu številu na desni? 24. Številčna vsota dvoštevilčnega števila je 6; ako zameniš številki med seboj, najdeš število, ki je za 6 večje od trikrat¬ nika prvotnega števila. Katero je to število? 25. Dve dvoštevilčni števili se pišeta z istima številkama. Če postaviš prvo teh števil pred drugo ter deliš to novo število z drugim številom, najdeš kvocijent 64 in delitveni ostanek 38; če pa postaviš drugo število pred prvo ter deliš to novo število s prvim številom, najdeš kvocijent 158 in delitveni ostanek 21. Kateri sta števili? c) 26. Dve števili, ki se pišeta z istima številkama, sta si kakor 13 : 31; njiju vsota znaša 88. Kateri sta števili? m* XXXVI 27. Troštevilčnemu številu je številčna vsota 17; prva številka na levi je četrti del naslednjega dvoštevilčnega števila, prva številka na desni pa je deveti del pred njo stoječega dvo¬ številčnega števila. Katero je to število? 28. Ako zameniš pri trošteviičnem številu, katerega šte¬ vilčna vsota znaša 11, stotice z enicami, najdeš število, ki je za 29 manjše od dvojnega prvotnega števila; če pa zameniš desetice z enicami, najdeš za 36 večje število od prvotnega. Katero je to število? 29. Izmed treh bratov je prvi 22, drugi 15 in tretji 12 let star; čez koliko let bo prvi brat toliko star kakor njegova mlajša brata skupaj? 30. Oče je star 83 let, sin 55 let in hči 39 let. a) Pred kolikimi leti je bil oče 3 krat toliko star kakor sin? b) Čez koliko let bo oče 2 krat toliko star kakor hči? 31. Sin pravi: pred Spleta je bil moj oče 5^krat toliko star kakor jaz in čez 5|leta bo oče 2f krat toliko star kakor jaz; koliko sem star jaz in koliko moj oče? 32. V dveh sosednjih sobah je skupaj 44 oseb; če gre iz druge sobe v prvo sobo toliko oseb, kolikor jih je v prvi sobi, je v vsaki sobi enako veliko oseb. Koliko osebje bilo v vsaki sobi? 33. V družbi je 3 krat toliko gospodov kakor gospa; ko so 4 gospodje odšli s svojimi gospemi, je bilo v družbi 4 krat toliko gospodov kakor gospa. Koliko gospodov in gospa je bilo v družbi? 34. Pri nekem zborovanju je glasovalo 8 oseb več ko tretjina izmed navzočih za predlog, 4 osebe manj ko četrtina pa proti predlogu; če 26 oseb ni glasovalo, koliko osebje bilo pri zborovanju? 35. Neka družba naroči skupen obed v gostilni. Če bi bili vsi udje prišli k obedu, bi plačal vsak tolikokrat po 10 b, kakor je imela družba udov; ker pa 5 udov ni prišlo k obedu, je moral vsak izmed navzočih razen prejšnjega deleža še 60 h plačati po vrhu. Koliko udov je imela družba? XXXVII 36. Neki igralec napravi dve igri; v prvi igri izgubi polovico svojega premoženja in {K, v drugi igri izgubi polovico ostanka in ^ K. Če mu ostane še 5 K, koliko denarja je imel sprva? 37. Vrtnar zasluži vsak dan, kadar dela, brano in lf K; za vsak dan pa, kadar ne dela, mora plačati gospodarju f K za lirano. Čez 30 dni znaša vrtnarjev zaslužek 36 K; koliko dni je delal vrtnar? 38. Dva soda držiia skupaj 351 / vina; ako vzameš iz prvega soda šesti del, iz drugega pa tretji del, ostane v obeh sodih enako veliko vina. Koliko drži vsak sod? 39. V nekem razredu sedi v vsaki klopi po 6 učencev, v zadnji klopi pa le 1 učenec; če bi pa sedelo v vsaki klopi po 5 učencev, bi morala 2 učenca stati. Koliko klopi in koliko učencev je v razredu? 40. V tovarni dela 62 delavcev, mojstrov in pomagačev; vsak mojster zasluži na dan 4 I\, vsak pomagač pa le polovico toliko; če bi vsakemu mojstru znižal dnino za 0 - 8 K in vsa¬ kemu pomagaču povečal dnino za istotoliko, bi postal dnevni zaslužek vseh delavcev za 25'6 K večji. Koliko mojstrov in koliko pomagačev je v tovarni? 41. V vsakem izmed dveh sodov je nekoliko vina; iz prvega soda ga preliješ v drugega toliko, kolikor ga je v tem sodu; potem ga preliješ iz drugega soda v prvega toliko, ko¬ likor ga je ostalo v tem sodu; končno ga preliješ iz prvega soda v drugega toliko, kolikor ga je še ostalo v tem sodu. Če je sedaj v vsakem sodu 72 l vina, koliko ga je bilo sprva? 42. Ako denem iz levega žepa v desnega 10 h, je v tem žepu 3 krat toliko denarja kakor v levem; če pa denem iz desnega žepa v levega 10 h, je v tem žepu 7 krat toliko denarja kakor v desnem. Koliko denarja je bilo sprva v vsakem žepu? 43. Trije igralci napravijo tri igre. V prvi igri izgubi A in mora B -u in C -u toliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju; v drugi igri izgubi B in mora A -u in C-u toliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju; v tretji igri izgubi C in mora A-u in -B-u toliko plačati, kolikor ima vsak izmed njiju. Če ima po tretji igri vsak igralec 32 K, koliko je imel sprva? XXXVIII 44. A pravi B- u: če mi daš 700 h, imam 2 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi; B pravi C-u: če mi daš 1400 h, imam 3 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi; C pravi X - u : če mi daš 420 h, imam 5 krat toliko denarja, kakor ga ostane tebi. Koliko denarja je imel vsak? 45. A kupi 4 m modrega, 6 m črnega in 11 m sivega sukna za 175 K. Če bi bil meter modrega sukna za \K cenejši in meter sivega sukna za dražji, bi bile cene modrega, črnega in sivega sukna v razmerju 7:6:5. Koliko velja 1 m sukna vsake vrste? 46. Trgovec proda blago s 3 % izgubo za 356 K 96 h; kolika je kupna cena? 47. A proda stot blaga za 55 K 20 h in ima 15% dobička; po čem je kupil stot? 48. Ce proda trgovec kilogram blaga po 1 K 35 b, ima 8% dobička; koliko procentov dobička ali izgube ima, če proda kilogram po 1 K 16 h? 49. A plača čez 1 leto 5 mesecev za izposojeni kapital in 4^% obresti 6382 K 50 h; kolik je bil kapital? 50 . Pri katerem kapitalu, ki je po 5% naložen, se zmanj¬ šajo letne obresti za 125 K, če ga naložiš po 4f%? 51 . V katerem času dasta glavnici 4400 K po 5% in 5500 K po 4|% naloženi skupaj 1870 K obresti? 52. A ima svojega premoženja po 4%% naloženega v državnih papirjih, f po 4% na posestvih, ostanek po 3^% v hranilnici ter dobi skupaj 7060 K letnih obresti; koliko premo¬ ženja ima A? 53 . 60 delavcev, katerim se je dnina zvišala za 15%. zasluži skupaj na dan 124 K 20 h; koliko je zaslužil vsak delavec na dan prej, ko se je zvišala dnina? 54. A posodi B -u določeni kapital po 4f% na 9 mesecev in C-u drugi kapital po 5-}% na 8 mesecev ter dobi od obeh skupaj 297 K obresti; če bi zamenil kapitala med seboj, bi postale letne obresti za -f K manjše. Koliko je posodil vsakemu? XXXIX 55. Dva kapitala, izmed katerih je prvi za 400 Iv večji od drugega, dasta enake letne obresti, ker je naložen prvi kapital po £% nižje; če bi zamenil pri teh kapitalib odstotke, bi bile letne obresti prvega kapitala za 30 Iv večje nego drugega. Kolika sta kapitala in po koliko procentov sta naložena? 56. A si prihrani nekega leta { in v naslednjem letu \ svojih v obeh letih enako velikih dohodkov in ima koncem drugega leta 2100 K prihranjenega denarja; koliki so bili letni dohodki, če je prihranek prvega leta naložil po 5%? 57. Trgovec proda 65 m sukna z 12% dobičkom in 35 m istega sukna, ki je bilo nekoliko poškodovano, s 6% izgubo ter ima pri vsem tem suknu 34 K 20 h dobička. Po čem je kupil meter sukna? 58. Oče zapusti svojima otrokoma, sinu in hčerki, svoje premoženje ter določi, da ima sin od svoje dedščine izplačati staremu služabniku 8%, hčerka pa od svoje dedščine stari služabnici 5%. Če je služabnik dobil 700 K manj ko trikrat toliko kakor služabnica in sin 17500 K več nego hčerka, koliko je podedoval vsak otrok? 59. Trgovec kupi kos sukna, meter po 5 K 20 h, in ima pri prodaji vsega sukna 40 K dobička; če bi pa bil prodal meter po 40 h ceneje, bi imel le 20 K dobička. Koliko metrov je meril kos in po čem je prodal meter? 60. Za dolg 2880 (1560) K, ki bi se moral plačati čez 4 leta (8 mesecev) brezobrestno, se plača takoj 2400 (1508) K; po koliko odstotkov se je računal diskont? 61. A mora plačati 15000 K čez 2 leti; plača pa 3000 Iv takoj in ostanek v 4 enakih obrokih, ki so enako daleč narazen. Kdaj se mora plačati prvi obrok? 62. Nekdo mora plačati 450 K čez 4 mesece, 560 K čez 5 mesecev in ostanek čez 8 mesecev; kolik je ostanek, če bi moral ves dolg poravnati čez 5| meseca? 63. A mora plačati 1200 K čez 4 mesece in 1500 K čez 7 mesecev; plača pa čez 5 mesecev toliko, da sme ostanek obdržati 9 mesecev. Kolika sta zadnja obroka? XL 64. Nekdo proda državne papirje, ki jih je prevzel po njih imenovani vrednosti, z 2|% izgubo za 2437‘5 K; kolika je imenovana vrednost teh papirjev? 65. Menica se za 21 (54) dni prej, ko doteče, proda z 9| (9)% diskontom za 900 (5327’1) K; na koliko se glasi menica? 66. A ima 1. julija plačati dve menici, izmed katerih je druga za 600 K večja od prve. Dne 1. junija plača za obe menici skupaj 7935 K. Na kateri vrednosti se glasita menici, če se diskont računa pri prvi menici po 3|°/o in pri drugi po 4%? 67. Razdeli 452 K med A, B in C tako, da dobi A toliko¬ krat po 1 K kakor B po 70 h, in C tolikokrat po 80 h kakor B po 1 K. Koliko dobi vsak? 68. Razdeli določeno vsoto denarja tako, da dobi A ^ do- tične vsote manj 2 K, B | dotične vsote in še 8 K po vrlim C pa ostanek, ki je za 1 K večji od A-evega deleža. Kolika je dotična vsota in koliko dobi vsaka oseba? 69. Razdeli določeno vsoto tako, da dobi A 1000 K in •§- ostanka, B ^ novega ostanka in še 500 K, C pa ostalih 2500 K. Koliko pride na vsako osebo? 70. Koliko litrov vina po 96 h in po 1 K 28 b moraš zme¬ šati, da dobiš 160 l vina po 1 K 8 h? 71. Koliko litrov 80% špirita moraš priliti 25 l vode, da postane špirit 60 %? 72. Koliko vode mora trgovec priliti 15'5 hi kisa po 20 K, da bode hektoliter veljal 16 K? 73. Koliko kilogramov srebra po 0'72 in po 0 - 6 čistine moraš zliti, da dobiš 4 \ kg srebra po 0 - 65 čistine? 74. Koliko bakra moraš pridejati 500 ^ srebra po 0'93 čistine, da ima zlitina 0‘75 čistine? 75. Ako zliješ 24 kg srebra s čistino 0'8 in 12 kg srebra druge vrste, najdeš srebro s čistino 0 - 75; koliko čistino ima srebro druge vrste? XLI 76. Ako zliješ 6 \kg srebra z 19 \kg srebra druge vrste, najdeš srebro, ki ima 0-8125 5istine; če pa zliješ 6f% srebra prve vrste in 2 \kg srebra druge vrste, ima zlitina 0-6875 čistine; kolika je čistina vsake vrste? 77. Srebrar zlije dvojno srebro, ki ima 0‘9 in 0’75 čistine, z 10 kg bakra ter napravi srebro, ki ima 0‘6 čistine. Koliko srebra vsake vrste mora vzeti, da bode zlitina tehtala 40 %? 78. A ima tri srebrne palčice po 0-9, 0 - 8 in 0-72 čistine, ki tehtajo skupaj 2000gr; ako zlije prvo in drugo palčico, dobi čistino 0-84; če pa zlije drugo in tretjo palčico, dobi čistino 0-75. Koliko tehta vsaka palčica? 79. Specifična teža dveh snovi je 11’4 in 0 - 24; koliko gramov vsake snovi moraš spojiti, da dobiš 1 kg sestavljene snovi, ki je tako težka kakor voda? 80. Koliko kilogramov snovi s specifično težo 0-45 moraš spojiti z 10% snovi, kateri je specifična teža 3f, da ima se¬ stavljena snov specifično težo = 1? 81. Koliko zlata in srebra je bilo v kroni kralja Hierona sirakuškega, če je krona tehtala na zraku 20 funtov, pod vodo pa 18f funta? 82. Koliko kubičnih metrov smrekovega lesa, ki ima spe¬ cifično težo 0*65, moraš zvezati z granitno kocko, ki ima 2‘85 specifične teže in 10 m 3 prostornine, da plavata spojeni telesi popolnoma v vodi? 83. Zlatar ima tri kovinske palice. Prva palica je sestav¬ ljena iz 4 dkg zlata, 8 dkg srebra in 1 2dkg bakra; druga iz 8 d kg zlata, 10 dkg srebra in 2dkg bakra; tretja iz 10 dkg zlata, 6 dkg srebra in 14 dkg bakra. Koliko vsake palice moraš vzeti, da napraviš zlitino, ki ima 10 dkg zlata, 10 dkg srebra in 11 dkg bakra? 84. A mora iz dveh zlitin, izmed katerih je prva sestav¬ ljena iz 27 delov bakra, 15 delov kositra in 8 delov svinca, druga pa iz 11 delov bakra, 9 delov kositra in 5 delov svinca, napraviti novo zlitino, ki ima 250 % bakra in 188 kg kositra. Koliko svinca ima nova zlitina in koliko kilogramov moraš vzeti od prve in druge zlitine? XLII 85. Vodnjak, ki drži 9117 m 3 vode, se da napolniti po treh ceveh; po prvi cevi priteče v 3 urah 144 m 3 vode, po drugi v 4 urah 231 m 3 in po tretji v 5 urah toliko, kolikor po drugi cevi v 4 urah. V katerem času napolnijo vse tri cevi skupaj vodnjak? 86. Vodnjak napolni cev A sama v 3 urah in cev B sama v 4^ urah; v katerem času napolnita obe cevi skupaj vodnjak? 87. Vodnjak napolni cev A sama v 4 urah in cev B sama v 8 urah; cev C pa izprazni polni vodnjak v 6 urah. V katerem času se napolni vodnjak, ako odpreš vse tri cevi obenem? 88. Cevi A. in B skupaj napolnita vodnjak v 24 minutah; vodnjak se tudi napolni, ako teče voda po cevi A 20 in po cevi B 27 minut. V katerem času napolni vodnjak vsaka cev sama? 89. Ako priteče v vsakih 3 minutah 20 l vode v vodnjak, manjka po določenem času še 40/!, da ni vodnjak poln; če pa priteče v vsakih 5 minutah 52 l, je v istem času 72 l vode več priteklo, nego drži vodnjak. Koliko drži vodnjak? 90. Vodnjak napolnita cevi A in B v 70 minutah, cevi A in C v 84 minutah, cevi B in C v 140 minutah. V katerem času napolnijo vse tri cevi skupaj vodnjak? 91. A in B dovršita delo v 20 dneh; čez 9 dni zboli A in B dovrši ostalo delo v 24f dneva. Koliko časa bi potreboval vsak sam za isto delo? 92. 2 drvarja posekata določeni kos gozda v 8|- dneva. Prvi drvar dela 2 dni, drugi pa 4 dni; tako sta dovršila svo¬ jega dela. V katerem času bi izvršil vse delo vsak drvar sam? 93. 8 zidarjev napravi zid v 6 dneh, 9 drugih zidarjev pa v 4 dneh; če najmeš 6 zidarjev prve vrste in 3 zidarje druge vrste, v koliko dneh dovršijo ti delavci isto delo? 94. Ako povečaš posadko neke trdnjave za 2000 mož, pora¬ bijo živež 15 dni prej; če pa zmanjšaš posadko za 3000 mož, shajajo z živežem 24 dni dalje. Kolika je posadka in koliko časa shaja z živežem? XL1II Posadka ima x mož in shaja z živežem y dni. Če bi bil samo 1 mož za posadko, bi shajal z živežem a; krat y dni; (x -|- 2000) mož shaja z istim živežem (x -)- 2000) ti del od xy dni in to je po pogoju naloge = y — 15, i. t. d. 95. Dve telesi, ki sta 847 m narazen, se pomičeta drugo proti drugemu in pretečeta vsako minuto oziroma po 4 m in 7 m\ čez koliko minut znaša razdalja med telesoma 110 m? 90. Telo A se porniče po neki premici in preteče vsako sekundo 4*6'm; 40 sekund pozneje se začne pomikati od iste točke v isto smer telo B, ki preteče vsako sekundo 4‘8 m. Kdaj se snideta telesi? 97. Od kraja A gre sel, ki prehodi vsako uro po 6 km, proti kraju 73; f ure pozneje gre od kraja A kurir, ki prehodi vsako uro 11 km, proti kraju B. a) Kdaj doteče kurir sela? b) Čez koliko časa prehiti kurir sela za toliko pota, za kolikor je bil sprva za njim? 98. Postaji A in B sta 153 km narazen. Od postaje A gre proti B vlak, ki preteče vsako sekundo po 8 m\ 14 ure pozneje gre od postaje B proti A drugi vlak, ki preteče vsako sekundo po 10 m. Kdaj in kje se srečata vlaka? 99. Od točk A in B, ki sta 42 m narazen, se pomičeta telesi M in TV v isto smer; telo il/ preteče vsako sekundo po 4 m, telo TV pa po 2*8 m. Kdaj in v kateri razdalji od B se snideta telesi, če se začne pomikati telo M 15 sekund pozneje ko telo .A 7 ? 100. Razdalja krajev A in B znaša 135 km. Od kraja A gre ob 6. uri zjutraj tovorni vlak proti 73; ob 7. uri zjutraj gre od kraja B proti A brzovlak, ki prevozi vsako uro 45 km. Ko je prevozil brzovlak f razdalje od B do A, se srečata vlaka. Koliko prevozi tovorni vlak v 1 uri? Ob koliki uri se srečata vlaka? Kdaj pride brzovlak v kraj A in tovorni vlak v kraj B? 101 . A in B potujeta od kraja M do kraja N. A prehodi v 5 urah 66 km, 73 pa v 3 urah 22 km. Ko je B prehodil že XLIV 16 ±fon, se poda A na pot in pride 2-§- ure prej do kraja N ko pa B. Koliko časa je rabil A za pot in kako daleč je od M do JV? 102. Kdaj se pokrijeta urna kazalca med četrto in peto uro? 103. Koliko časa preteče med tem, da se urna kazalca pokrijeta dvakrat zaporedoma? 101. Dve telesi se pomičeta po krožnici od iste točke v nasprotno smer in pretečeta vsako sekundo loka po 3° 12' 30 " in po 1° 17' 30"; kdaj se srečata telesi? (Krožnica, katero telesi pretečeta, meri 360°.) 105. Na dveh istosrediščnih krogih se pomičeta telesi A in B v isto smer; telo A preteče svoj krog v 27• 322.. dneh, telo B pa svojega v 365 - 24.. dneh. Čez koliko časa sta telesi istodobno dvakrat zaporedoma na istem polumeru? Kolik pot (koliki del od 360°) preteče telo A, oziroma telo B v 1 dnevu? Koliko pot v x dnevih? Razlika teh poti (lokov) je = 360°. 106. Dve telesi sta 420 m narazen; ako se telesi pomičeta drugo proti drugemu, se srečata čez 70 sekund; če se pa telesi pomičeta drugo za drugim, se snideta čez 5 minut 50 sekund. Kako hitro se pomičeta telesi? 107. Od krajev A in R, ki sta 66 km narazen, gresta sela drug drugemu nasproti. Ako gre sel iz kraja A za 5 ur poprej, sreča sela iz kraja B čez 7 ur ; če pa gre sel iz kraja B za 2 uri poprej, sreča sela iz kraja A čez 8 ur. Koliko kilometrov prehodi vsak sel v 1 uri? 108. Na okroglem drsališču, ki meri 380 m, dohiti boljši drsalec slabejšega vsakih 76 sekund, če drsata drug za drugim; če pa drsata drug proti drugemu, se srečata vsakih 20 sekund. Koliko pot preteče vsak drsalec v 1 sekundi? 109. Dve točki se pomikata po krožnici, ki meri 180 m, v isto (nasprotno) smer s hitrostima po 18 m in 12 m ; koliko časa preteče, da se točki snideta dvakrat zaporedoma? 110. Dve telesi se pomikata po krogovem obodu, ki ima 80 m v premeru, v nasprotno smer in se srečata vsakih 16 sekund; če se pa telesi pomikata v isto smer, se snideta vsakih 64 sekund. Kako hitro se pomikata telesi? XLV 111. Dve telesi sta 80 m narazen. Ako se telesi pomikata drugo proti drugemu, sta čez 8 minut še 4 m narazen; če se pa telesi pomikata drugo za drugim, sta čez 50 minut 40 sekund še tudi 4 m narazen. Koliko pot preteče vsako telo v 1 minuti? 112. Od krajev A in B gresta sela drug drugemu nasproti. Sel iz kraja A se poda 3 dni pozneje na pot in prehodi na dan 8 hm več ko sel iz kraja B. Ko se srečata sela, sta si pota, katera sta prehodila, kakor 5:6 in njuni hitrosti sta si kakor 4 : 3. Koliko kilometrov prehodi vsak sel na dan in kako daleč je od A do B ? 113. Kolesar se pelje ob 8. uri od kraja A do kraja B , ki je 15 km oddaljen, in nazaj do kraja A. Pešec gre ob 8. uri 20. minuti od B proti A. Kolesar sreča pešca ob 9. uri in ga potem dohiti ob 9. uri 48. minuti. Koliko prehodi pešec in koliko prevozi kolesar v 1 minuti? 114. Kolesarja A in B se odpeljeta od dveh krajev, ki sta 2 hm narazen, istodobno v isto smer in se snideta čez 50 minut; če se pa B odpelje 5 minut prej ko A, dohiti ko¬ lesar A kolesarja B čez 75 minut. Koliko prevozi vsak kolesar v 1 minuti? 115. Popotniku je prehoditi pot od kraja A do kraja B v določenem času. Ko je že hodil polovico dotičnega časa, spozna, da bi prišel v kraj B za, 2 uri prepozno; zato se podviza, pre¬ hodi vsako uro po 2 hm več ko do sedaj in pride v pravem času v kraj B. Če bi bil takoj od začetka prehodil vsako uro po 3 hm več, bi bil prišel v kraj B za 2 uri prezgodaj. Kako daleč je od A do B in koliko je popotnik sprva prehodil vsako uro? 116. Izračunaj trikotnikove kote, če je kot /2 za 17° 25' večji od kota a in kot y za 2° 47' večji od kota /3! 117. V enakokrakem trikotniku je kot na vrhu 3 krat tolik kakor vsak kot na osnovnici; koliki so notranji koti? 118. Vsota dveh trikotnikovih kotov, ki sta v razmerju 2:3, znaša 31 krat toliko kakor tretji kot; koliki so trikot¬ nikovi koti? XLVI 119. Ako povečaš trikotnikov kot a za 1° in kot /9 za 11°, so si trikotnikovi koti kakor 3:8:4; koliki so koti? 120. V paralelogramu je deveti del enega kota za 12° manjši ko sedmi del priležnega kota ; koliki so paralelogramovi koti ? 121. Zunanja kota na kipotenuzi pravokotnega trikotnika sta si kakor 13:17; koliki so notranji koti? 122. Koliko stranic ima mnogokotnik, katerega koti me¬ rijo 2880°? 123. V katerem pravilnem mnogokotniku je razlika med notranjim in zunanjim kotom 150°? 124. Ena kateta pravokotnega trikotnika je za 4’4 dm večja ko njen vzmet na liipotenuzo ; vzmet druge katete na liipotenuzo znaša 16'9 dm. Kolika je hipotenuza? 125. Vsota obeh katet pravokotnega trikotnika znaša 223 m; če povečaš krajšo kateto za 60 m in zmanjšaš večjo za 90 m, postane ploščina za 1950 m 2 večja. Koliki sta kateti? 126. Ako povečaš eno kateto pravokotnega trikotnika za 8 cm in drugo za 2 cm, se poveča kipotenuzni kvadrat za 144 cm 2 in ploščina trikotnikova za 24 cm 2 ; kolike so trikot¬ nikove stranice? 127. Vsota iz osnovnice in višine nekega trikotnika znaša 40 cm; če povečaš osnovnico za 6 cm in zmanjšaš višino za istotoliko, se ploščina poveča za 42 cm 2 . Kolika je osnovnica in kolika višina? 128. Trikotnikova osnovnica in višina sta si kakor 6:5; ako povečaš vsako teh daljic za 9 cm, se ploščina poveča za 189 cm 2 . Izračunaj osnovnico in višino prvotnega trikotnika! 129. Ako zmanjšaš stranico določenega kvadrata za 0 - 5m, se ploščina zmanjša za 31 m 2 ; kolika je stranica? 130. Pravokotnikovi stranici sta v razmerju 3:5; ako zmanjšaš manjšo stranico za 1 m in povečaš večjo stranico za istotoliko, se ploščina zmanjša za 7 m 2 . Koliki sta stranici? 131. Romb se poveča za 324 m 2 , če povečaš vsako pre- kotnico za 6 cm; če pa povečaš eno prekotnico za 6 cm, drugo pa za 4 cm, se rombova ploščina poveča za 54 cm 2 . Koliki sta prekotnici? XLVII 132. Na ravnini stojita dva stolpa GO m narazen in sta oziroma 50 m in 40 m visoka; med tema stolpoma leži vodnjak, ki je enako oddaljen od obeli stolpnih vrhov. Kako daleč je od vodnjaka do vsakega stolpa? 133. Na sredi okroglega ribnika, katerega premer znaša 10 m, raste trstika, ki sega 1 m nad vodo; če nagneš trstiko, sega ravno do brega. Kako globok je ribnik? & - XLVII 132. Na ravnini stojita dva stolpa 60 m narazen in sta oziroma 50 m in 40 m visoka; med tema stolpoma leži vodnjak, ki je enako oddaljen od obeh stolpnih vrhov. Kako daleč je od vodnjaka do vsakega stolpa? 133. Na sredi okroglega ribnika, katerega premer znaša 10 m, raste trstika, ki sega 1 m nad vodo; če nagneš trstiko, sega ravno do brega. Kako globok je ribnik? K § 32. 1. (— af -j- (— af — (- af- (— af. 2. 4(— bf — 3(— bf + 2(— bf — 3(— bf. 3. 5 • (— l) 8 -j- 4 • (— l) 4 —f— 3 - (— l) 3 —(— 2 - (— l) 2 . 4. (- 2)5 + (- 2) 4 + (- 2)8 + (- 2)8. 5. ( 3) 6 ( 3) 4 -J- ( 3)8-(-3)8. 6. 3 • (— 2) 4 — 4 • (— 3)8 + 5 • (— 2)3 — 3 • (— 3) 3 . 7. (— 3)8 • (— 2)3 — (— 3)3 • (— 2)8 + (— 2) 4 • (- 3)8 — — (— 3) 3 •(— S) 8 . 8. Zameni a = — 2 v izrazu: 2a 5 — 3a 4 + 4a 3 — 5a 2 -f 6a — 7. 9. Zameni b = — lv izrazu: (J — 1,5 _ (t + !)4 + 10. Zameni x = — 5 in ?/ = 4 v izrazih: a) 2(x — y 2 ) -f- 3 (y — x 2 ) x 2 — y 2 5 / \ 2(x — y) 2 - 3(x yf K § 33. 1. Skrči naslednje izraze: a) 12a 5 — 136 6 -)- 14a B — 15 & 6 —(— 24ž> 6 ; b) ja 2 " — 0-75a M — \a 2n — 0-645a” + ~^a 2n — 0‘395a"; c) 3a 2 — (5& 2 — [— 5a 2 — (7a 2 — 3 b 2 )\}. a m ■ a n = a m+n . 2. a ix ~- 5y + 3z - a 2xJ ^ iy ~ 50 • a 2y + 40 ~ Sx . 3. (_ ž,)2* + 3y. (_ iyx-2y . J)y-4* 2 in ~ 3 - 2 8_3re -2 ,I + 1 .2 9— 2n . iv g. Matek, Aritmetika. XLVIII 5. (_ 3)5»-7. (_ 3)9-4». (_ 3)4-». (_ 3). 6. a 4 &(— x) 3 -a n b n - 2 (— x) n • a n - 2 b'° (— x) 5n . 7. (m -J- 2n) 3x ~~ 2yJr3 • (m -f- 2 m) 5 > —4 *+ 2 . (m -j- 2«)*+ y— k 8. 4(2a 2 — 3 &) B • 3 (2 a 2 •— 3b) 3x — i -2(2a 2 — 3&) 1 + 2a: -(2a 2 —-3S)* -2 . 9. (# 8 -f- 2x 2 ^/ -)- 2xy 3 -J- y 3 ) • ( x 3 — 2x 2 y -j- 2a?«/ 2 — «/ 8 ). 10. ( ci 3x + 5 -[- a 2 * + 3 -j- a a: + 1 ) • (a 2 * - 3 — a x ~ x — a). 11. (a x — 6a x ~ 2 — 8 a x ~ 3 — 9a x ~*) • (2 a x + 3 — — 3a*+ 2 -j- 4a a: + 1 —- 5 a x ). nQ TTl — 4 ij 2 n ~j— 1 2 «3/ ^ H2^^4w — 5 5 ^8 3 w 12 ' 6a 2 + 3m 9 a 2 ”*" 3 ha 7 ~ m 13. (fa 2x ~v— \a 2y — |a 5 2'- 2 ^).fa 3a: - 2 ^. n. ar«- 4 - tž/ 3 4 \3 / \3 / C —■ d c 2 — d 2 / ‘ V« 2 -f- i 2 ' ' V**-- J* l) 3 - 44 . a) 5 -(-*)»+(—*)*-(- 45. (-li) 4 -(-3|) 3 +(21) 2 . 2 bx — 3«y 46. + ,)■+(!_ 2bx IV* L 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. / xy \ 2 /3 xy\ B /2aft\ 4 \5ab) \4a&/ '3 xy) + l / a — 6 \" + l / 1 \"~1 V« — b) V« -)- b) Vas 6/ [(- 4|)8:(21)b] + [(- 3f) 2 : (— H) 2 ]. / a 3 — b'y _ /a ‘ -f- a b + i 2 \ 2 'a; 2 — y i r 'V x ~\~ y ' ( a — 6\ m . /rt 2 — 6 2 \ w . ( x — y\ n x -j- y) Va: 2 — y 2 / ‘ Vrt -)- b) / 2a 2 + 3ab -(- 6 2 \3. r/2a-j-J<\ 3 . / a + b \3~1 V 3rt -|- b J L\3rt — 6/ * V3(i -)- b / J' (^)1 - [(<■ - IT : («+ 2 * +Dl (a 3 — 3a 2 + 3a — 1)": (a 2 — 2a -f 1)«*. + ti; y 4 )” • (f* 2 — iy 2 ) n - [(32- — 1): (2* — 1)] — [(8" — 1): (2- — 1)]. Koliko vrednost ima: a) kvocijent ^ +2x2 ^ 4a; + 8 za x = - r , rt 10 — b 10 , ^ » — 4_ m za a = 6; c) „ 58. 59. 60. 61. 16 a 2 —8os6 4-6 2 . . 32a 2 — 2Ž4 Za & = 4 «- (a m ) n = a mn = (a n ) m . (— 2« 3 ) 4 + (— 2 a 4 ) 3 — (— 3 a 6 ) 2 — (— 5 a 4 ) 3 . 7 (a 12 ) 3 — 8(— a 4 ) 9 -f 5(— « 6 ) 6 — 10 (— a 2 ) 18 . [(a 2 ) 3 ] 5 • (a 5 ) 6 • (a 6 ) 3 : [(a 3 ) 4 ] 2 . (— a 2)2n-l . (_ a 2»-l)2 . (_ a 2n-iy . (_ «7-3^ « 2 - [©’]"• ®[@) 7 +*[(¥)■?•[(?)"]• ( 4 63. 64. 66 . 67. 68 . '4 y 4 a n ~ 1 b i c 3 ~~ x \ 2 /2 a n ~~ 2 bc 2 ~~ x \ 3 9 x 2 y o<5 T : ( 3 x 2 y 2 )‘ (w)MS)MsD‘- & i( 4 «>-+< 54 >i k 4 «)*- [(3a) ?/ -j- (66)*] [(3a)* — (56)*']. [(3a 2 — hab — 26 2 ) 10:c ] 3 *': [(a — 26) 5 *] 6y . a«+- a« - i&) m - a« 2 + LI a o_ “ «-*!£=G)* 69. Določi vrednost naslednjih izrazov: a) 6~ 2 ; b) 4“ 3 ; cj 0-4- 1 ; e) 9-3- 2 ; f) g) (s^)' 2 ; ^ ( 2) B • ( 5)~ 2 • ( 3)° • (— 6)—h 70. Odpravi v naslednjih izrazih negativne eksponente d) 0-125— 3 ; v GT* a) 2 ~ 1 a 2 x~ 3 y i \ V 3a 2 m~ 3 y ~~ 1 2 b 2 n~~ 2 x~ v c ) a~ l x~ ‘r 71. Pretvori naslednje izraze na obliko celih števil: . 5a. n 2aa;- 2 _ 12 a~ 4 b a b ’ } b~ l y ’ C 25 x~ 3 y 2 ' 72. Skrči naslednje izraze kolikor mogoče: a ) + —|«“ 5 —|«- 3 ; V 9 a~ 3 b 2 + 13 a 4 ž>~ 4 -f =%- — 12a\ . 3*—” . 2 y m hx~~ n c ) 4.y-m I -&• 12 y~ m ' 73. Določi naslednje produkte: a) (—5a- 6 ž> 8 )-(—a 4 6~ 3 ); b) (— h\a~ 3 b 2 ) • (— 8a 3 &- 5 ); c) (— 6 a~ 3 b~ 2 ) • (— 4a 2 &-i) • (— 2a 2 & — 2 ); d ) ( I «- 5 + f «" 4 - I «- 3 + i «- 2 + »- 1 ) ■ (- 20 « 3 ); e; (8a- 4 —5a- 2 —3)-(4a“ 4 —2a- 2 + l). 74. Določi naslednje kvocijente: a) «— 20 : a~ 12 : a~ 3 ; 6^ (x ■ — y) n ‘(y — a;) -3 ; c) (16»— 3 — 12a~ 2 — 24«— 1 -j- 6): 6«— 4 ; d) (a -7 — a~ 3 -)- 16a): (a 4 —)— 3a~ 2 -(- 4); e) (9* 2 +2 + a;- 2 ):(3x — 2 + z- 1 ). 75. Določi naslednjim izrazom rezultate: a) (- / 4 a _ 2 fe 3 \— 2 . / >-> (— «— / : ( a —2J 3 \ — 3 c- 1 «*- 4 / ’ [3(4 o 8 6) 8 ] - 1 ^ [(3— 1 «fe 8 )— 2 ] s ’ Lil f) 3[(a -2 ) -6 ] 3 + 4[(0-i]-“- 6[(«-4) 3 ]- 3 + 5K«- 1 )" 2 ] 18 ; g) (— -0— 3 • (a _4 6 _5 )“ 5 • (a -4 & 5 ) -5 : 9a~ 3 b~ i ; h) ({a -2 ) -3 - (f a 11 )— 2 - «'“ 13 : (.— a- 4 ) B -(2a%)- 3 . K § 34. 1. (5 a 2 — 4® 2 ) 2 — (5a 2 -|- 4® 2 ) 2 . 2. (5a; 3 —|— 6«/ 3 ) 2 —(o® 3 — 6«/ 3 ) 2 . 3. (2a + 5Ž> 2 ) 2 — (3o — 76 2 ) 2 + (4o — 96 2 ) 2 . . /3o , 26\8 , /3a 36\2 4 - (46 + 3 J +W--J- W_ 1 M* 8x/ V y • 2x / 6 . a) (4 —j— 2 « — a 2 ) 2 ; b) (3 ® 2 — 4®t/— 2y 2 ) 2 . 7. (8® 2 — 5®«/ -)- 6 y 2 ) 2 — (7® 2 — 9xy — 4*/ 2 ) 2 . 8. o; (a 2 — | + |) ; b) ( 4a; ~ T + fe) • 9. (a 2 — | + -J) — (« 2 + | — - 3 -) • m (3® 2 2x 5 2 /\ 2 1 /2a; 2 , x 4 2 ) 3 — (6 a 2 b — 9ab 2 ) 3 . d«+ f&) 3 +(!«-!¥• -f (faJ- 1 — |a- 2 & 2 )3_ /6a 2 x 3 5 b B y 2 \s /3a 2 x 3 č> 3 ?/ 2 \ 3 \ 5 % 2 3 ax 2 / \ 5 by 2 ' 3 ax v 4a 3 « 2 , 5&«/ 3 \ 3 / 5a 3 ® 2 7% 3 V — Vf lih (5 a; 2 — 6 a:) 3 . \3b~ 2 y ~ 8 ' 2a~ x x~~ 2 ) \(jb~~ 2 y~ 3 a) (a 2 + 2a — 3) 3 ; b) (4x 2 —5z (4a 2 — 5a -j- 6) 8 — (3a 2 — 8a — 5) 3 . 37. a) ’) h > ( 4 » 2a; 8 3« 4a —1 a;~'V - 6 ) 3 . 9a: 4 \ 3 ' 8a s ' * 38. (5 x 3 y~ 2 — 4a; 1 y 2 -)- 3a;~ 5 y 6 ) 3 d) 495 3 . K § 35. Razreši naslednje eksponentne enačbe: 1. a x + 1 • a 3x ~ 4 = a 7 - - n . 2. a 2x + 3 - a 3 * -4 — a B : a 6-4 -. 3 . ft 2 *- 1 :(j I + 3 = a ix ~ 5 . ( a *-*)*- 1 = ( a 5 -*) 4 -*. 7. 2-* = 32. 9. (— 2)» = 64. 11. 100 2 - = o-oooi. j*+ 5 . 4 . (a 1-5 ) 3 = (a* -4 ) 2 . 6. (—2)-"= —32. 8. (— 2)* = 16. 10 . 10 - = 0 - 01 . 12. 4• 2- + 1 = 8 — LIV 13. 8* • 4 3x = 16* + 5 . 15. 0-5 10 *- 9 = 2 3 ~~ 13x . 17. (1|)7 = o-75"- 3 . 19. 2 x + 3 -f 2 X = 144. 14. 8 2 * + ! = 0-125 4 - 3a 16 . (f) 2 * = f. lx 18. 8 x = gg- 20. 3 X = 270 — 3 x ~ 2 . 21. 2 3x ~ 2 — 2 3x —3 — 2 3x ~ 4 = 4. 22. 2 x 1 —J2 x 3 = 3 x - 3 + 3 X - 4 . 23. 8 X = 7 x -! + 7 X . 24. 7 X +8-7*- 1 = 735. 25 5 2x + 4 — 2■ 5 2x + 3 = 15 x + 2 . 26. 4 X + 3 — 13 • 4 X + 1 = 2 3x i — 2 3x 3 . 27. 9 • 5 X -j- 8 • 5 X + ! = 1225. 28. 7 • 3 X + ! — 5 X + 2 == 3 X + 4 — 5 X + 3 . 29. 4 x + 3 + 2 X + 2 = 36-2 X . 30. 3 2x + 4-3 2x - 2 — 4-3 2x -‘ = 27. 31. a x - a,v = a 5 a x : a v = 1 :a. 33. a ix -v. a’J~ x = a a x + y. a 8x-2 y _ 1 35. 17* = 17* + * >289 2 x +y = 128 . 32. 4 2 *“ 3 .2 3ž,_2 = 1024 3 x 2 • S *- 3 = |. 34. 3 3x -*y : 3»- x ~ l = 1 22x-3.2 3 - 3 V == 0-5. 36. 4 4*-3. 2 2S'-10 = 64 9 2 *- 4 :32,-2 _ K § 36. 1. Razstavi: a) število 64 (a; 6 ) na 2, 3, 6 enakih faktorjev; b) število 81 (?/ 4 ) na 2 in 4 enake faktorje; c) število a 36 na 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 enakih faktorjev! 2. Določi kvadratne korene naslednjim številom : 4, —|— 9, + 16, 25, 36, 49, + 64, -f 81, -f 100 ! 3. Koreni s 3 naslednja števila: 8, — 27, —|— 64, 125, -f- 216, — 343, — 512, + 729, 1000! 4. Kakšno število je: 1^2, \^3, f/5, f^7? 5. Ali moreš določiti kvadratni koren številom: — 4, — 9, — 16? LV 6. Kolika je vrednost naslednjih izrazov : a) j/6, j/a, j i, /1, |/0, |/ 0; b) f/a • f/a; c) |/6 •[/&•(/&; d) f/r ■ f/r • (/* • //r ? K §37. m — m ,—- m ,— a/x±by x = (a±b)y x. 1. a \ b — 2b \ a — 2a \b -j- 8b / a — 5b / a -j- 6a \fb. 2. 6 f/a — 2 b — 8 f/a — 2 b — 5 /a — 2b -j- 7 f/a — 2 b. 3. 8 m fa- 12/T- (7 Yb- Z m fa) - ('j/a - m fb). 4. 8/2 — [7 j/2~— (3/2 — 2/2) — (5/2 — 3 /'2)J. mr— mp , - / a = ~y a p . 5. Pretvori naslednje korenske izraze tako, da dobijo enake korenske eksponente: a) /x, //c 2 , /x 3 ; b) j/« 2 , |/P, f/a/) 2 ; c) j/a, | fa 2 b s , f/a 6 /, 7 ; d) f/a 4 /, 5 , f/a B /, 7 , 3 j/a 6 /, 6 . 6. Pretvori naslednje korenske izraze na enostavnejšo obliko: 4 r — 6 A ——— 18 — mn - 15 f —- 4 r—— a) f/r 2 . /Z/ 15 , /« 12 , - /x m '', /a 5 , f/36; ~Ya m , axJ ^— f/ m a + b , — -f/a 6 * + 9y , |/32; c) /25, /8, j/27, j/81, j/64, '/125- 7. a) f/9.49'- 64; d) f/32 a 5 /, 5 ; ni , - ni — ni ,— / ab = J a y b b) f/64-125; e) (/"j/16 3 - 81 3 ; e) f/27 a 8 /, 3 ; f) V / 64 • 27 2 ; g) (/”f/8 m - 27“. LVI 8. a) /+ ; h) }/Wb ; c) /75 ; d) /32; e; /80; /J /«W; g) /si ; AJ /48; ?J /54; / 4 c 4 — /250« 4 & 4 e 4 ; m) 2 /a 3 + a 3 * — 5/8 + 8* + « /27 + 27* — /64 + 64*. 10. Izvrši naslednje množitve : a) /8 • /2; b) /18 • /6 • /8; c) /6« • /8 J • /3o6; «J /l6 • /6 • /9 ; oj /l0« 3 & • /20« 4 6 6 • /50 «& 4 ; +g+l; ./21 a 5 ži 5 j/24«c s ,/ , ./ h ) V kc^r • K ! »J /« + *•/«—■*}• /3 +/5- /3 -/ 5; ČJ |/a 2_ & 2 Y^|; wj j/« 3 + /+3T+ • j/« 3 — /»«— 6 6 ; LVII a i / ^ y >,+ ; , +r +i . 11. (2 /8*— 7 /18 — /50 + 4 /72) • /2. 12. (5/8”— 2/18 + 3/50 — 3/72 — 5 /200) • 3 /Z 13. (5 /Z— 3 /2)(3 /++ 2 /3) — (4 — 2 /6)(2 + 3 /6). 147 (8/6 — 2/12 — /8) (2/6 — /3-/2). 15. (3/10 — 5 /3 + /15) (3/2 — /3 + /l5). 16. ^a; + 3/ + /2a:y • |/aT-+/ — /2cct/ — + 2a: 2 + /a — 2» 2 - /V« + 2a; 2 — [a — 2a; 2 . 17. (/6 — /3) 2 + (5 — 2 /6) 2 — (3/2 — 2 /3) 2 . 18. (/4 +/Ti —/4-/n) 2 + (1/7— /if+ 1/7+ /13)! 19. (/a + & — /a + /&) (/a + & + /a —- /6). 20. Izvrši naslednje množitve: f) (2 /a + 3 j Ya?b + 4^a5 2 ) • fab ; g) + 3 8 /<+/6 + 4 a |+ 3 )- j + 2 - 6 /«; /i) (4/5 — 2 /3 ) (3/5 + 8/3); i) (3/7 + 4 4 /3) (2 /7 — 2 4 /3 ) ; h) (]f ab + 3 /as*/) (5 /a& + 4 ]fxy) ; (2 — /3 + 3 /5) (2 + /3 — 3 /5). a) /2 • f/3 • ; c) /«& • /a& 2 • /a 3 & ; d) a xx • /& 2 • /a 6 J 4 ; LVIII 21. Izvrši naslednje množitve: a) 2- /3; b) 3 • y 2; ftf ‘J (« + »)•/|f|; c ;2-K|; d) 5-/0-2 r. # 2 ’ v ax . y 9) V' * 5 m) (6 — 3/2)-/s —/ŠT; 0 ; (l + |^2). J/7 + 51/2; V ) (|/3 — l). ^l + /3. '1 ^ “I - ^ l/"# — 1 7) 1 . I 3 / + Ž/) a . 2 a; -{- 27 ^ 21 — 27’ n) (2/2 + /6) ■ /7 — 41 / 3 ; 125 ’ / a>/^ , +* ,+s ' 8a 3 b 3 27 c 3 ’ 6 2 1000 2 • 25. Izvrši naslednje delitve: aj 15/81 a 4 & 5 : 5 /3 až> 2 ; cj /a 3;c + 2 ; \[ a 2x + 2 ; e) /a 2 — a 2 b 2 : /l P ; ^ ” [~x 1 — ”«/ 2 ” ~ 3 n F a b) (10/12 : 2/18) : 4/lj; /) /a 3 — č> 3 : /a — 6 ; n r x m + n r/x\ m ' f) J/ ym— n • |/ ’ 2w — 3 Z,w — 4 LIX k) (p30 — p6 + p3) : p3 ; l) (6 J/54 — 6 *p2 -f 12 J/250 — 15 j/"l28) : 3 'j/2 ; m) (pa 2 — j /ab — 2 J/4 2 ) : (Ja — 2 J/&) ; n) (J/4 2 — J/p) : (J/a: -f J fy). 26. Izvrši naslednje delitve: d) {\f a? • po 3 ■ J/« 4 ) : (p a 5 • p a 1 ); f) (14 a J/o 3 — 10a 3 J/a) : 2 pa 8 ; g) (4 pa 6 — 6 prt 7 -)- 8 pa 3 ) : 2 J/a 7 ; h) (25 J"« 4 — 9 J/ a'' 1 ) : (5 J" a 2 — 3 J/as 3 ); i) (2 1 J / 4 43 — 2 pa 2 & 3 — J/« 15 6 2 -f- pa 9 ) : (pž> —• pa); /c) (6p88*p9 — 9J/288 — 6 J/l8) : (3 p2 + 2 J/3). 27. Izvrši naslednje delitve : a) x : pr; b) a : p a; c) 16: p2; d) 3: p3 ; e) (a + a;): pa 2 — a; 2 ; f) {x+y):\f\ g) (x - P h) 1: ^ 2a , J 3 ^ +t . ; j) (a — b) : (pa + p& ; fc) (x — y) : (pa: — pt/); l) (x — y): (\[x + Vy ); m) (3 — 5 J/25): (J4T— p5); m) (a; + 4 pa:*/ + 3 y) : (paj-f- pf/); P) (® H - “P l) : (/® “l - ^® 4“ !)• LX ("/«) = y*. 28. a) (V‘/Z7 PP)‘; b) , ffi/ , c; ( 5 /a 2 &) 2 • ( \ r ab 9 -y ; d) (2 V2 ) 5 -f- (2 l^) 2 ; ’) f) t)‘; h) d^P3/.(KSW) s ;; 6<-7š.( 71 )“-“.'. 29. /9* + '/P + 30. (F2l0) 3 - (^210) 2 + ( 17 /280) 9 . ( n /280)“ 2 . si.«; ([/ 4 / 3 ^ + /^) ! ; a — ‘[/a 2 — b c; (/2 + 3 /2 + 4 ^2) 2 ; d) (/a-j- \fab — ^6 2 ) 2 ; e) (|/2 - ^2)*; f) (3/3 — 2/2) 3 ; g) (a — 3 Ya? —(— 4^ a) 3 . 32. a) a 30 \ d) ia^b^- . a w b li . 9) V “St-* i/t —(— M a" = a m . ^ Va^b 33 ; e) '/a« 6 2 «; h) \Ta 4 V a b x la 20 ) f 6^+9y . /) (/VV 5 s 30 ; 4 ^4#—8y^l2aj-—4 c 4+16y k) -(/a Ma, + ,OT ; l) j/«« + 21; 2 m m) a 4 ”**; x / «*+* m f n ) |/ j«-i c »-i5 |/ ^2 m-j-1 ^ 3m -J- 2 — nfo2-2n p 4 wi — 3 > |/ «3 — 3« ' LXI 33. m FTP- mn r . "fmr- |/ \ a= |/ a = Z |/a. a) \b) l/ j/ 64; c) [/ ~S; d!) |/ 1' a^b 7 • [Z'|^«6 1:L ; e) 3[/" /a — 4^^ -)- 5 (/" (/«; f) j/"a|/"2a; g) \/~m\ r 3m\ |/^3(/^3; i) j/aj/"a 2 ; *; 3[/^3|/3^f; Z) 2 j/" *) »; /lF?; o; p/iooo + 2/21A2*; —^- 3 j -— m j -— ^ p) y a[^a? -[-3 y a 2 y~a; r) \ a\/~a? • ( ^a • \f a s ); r y 2 r 9 r a y db V a ~\ «; 1/ -i- • / |/ * + 2/ * — y — ?/ • ^ + v Vx — y T-n 1 fŠ' 34. Izračunaj vrednosti naslednjih korenskih izrazov: a) ~Y 27; b) "^16; c) ; d) V0-25; «; ~~y~a- n y~a\ f) ■ a; g) — « ,- m , - h) ~~J/ a : (/ a ; 9 1 /«: /"«; 9 -3J6 c -8 x~°y a — n/ n/-— — a n == y a m ; |/ a — a m . 35. Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov: a) 8*; b) 25^; cJ27 - ^; $ 49 0 ' 5 ; e) 64 1-5 ; j 9 (- 0 - 125 )"*; 9 F 49 ; iy\fž-, k) —y 2. LXII 36. Izvrši naslednje račune: ' a) <$:<$] b) 5^ • 5^ • 5^ -j- 9 _ " 3 ~ • 9^ • 9; c) 15«f*:3a*; d) 6cfi • 5 : lbaA^ ; e) (a 3 ) 4 -)- (a 4 ) 3 ; ir~ h - "V T -I/-8- 13 f) |/ 7 -t- V 512 ; g) h) 0» ž/ T ) 6 - 37. a) (* 4 y r )(* 2 — i/ 6 ); 6) (2a— 35 6 ) (5a 4 -j- 66®). 38. (a~ib'i— 2a~^P)(c^ — tifH). 39. (30a; — 33.r•> — 15J -f 25* 3 -f 9*^) : (3*^ — 5®*). 40. (* T — 81 «/ 10 ) : (* ¥ — 3 y Y ). K § 38. 1. Poišči naslednjim mnogočlenikom kvadratni koren: a) c ) d) e ) f) 9) h) *) k) l) m) n) o) 28 33 a 49 2 y + i2i ^ b) xhj 2 le - x hiz , x 2 z 2 1S- + -26* 4 a 4 — 12 a 8 + 25 a 2 — 24 a + 16 . 121* 6 — 198 * 5 - j - 235 * 4 — 236* 8 -f 139* 2 — 70 * + 25 . 9* 12 — 12* 10 + 34 * 8 — 26* 6 -f 29 * 4 — 10* 2 + 1 . 0 ‘ 16* 4 — 2 ’ 4 * 8 — 0 ‘ 16 * 2 «/ + 9* 2 + P 2 * i / + 0 ‘ 04 i / 2 . a 4 — a s b -f- -f|a 2 & 2 — ^ab 3 -)- -|& 4 . 5|-* 2 — 7 xy — 15 \%z -)- 2\y 2 -j- 9 \yz lO^s: 2 . ix 2 9y* 9a; 6 16«/® 4 xz 3 if x 5 ” 2 y- -|- 5z 2 ■ 27 «/«z 5 , 81 yV 26 ir 4 . T I 25 * 2,t " 4 a 2 &~ 6 9 r 60* 2 + 25 . a x % 1 4x 4 53* 3 j 2x 2 %0x 6«/ 3 3«/ 2 y 2 -f-106* 2 ” — 84* 2re + 2 + 49* 2,i + 4 . 12a&-5^_ 255~ 4 — 24a“ 1 &- 3 + 16a“ 2 &- 2 . 4m — 1_4: w | * 2 i d~ ~ 2m [ grn -ljy- 3m j ^ - a * — Aafab — 2ab -j- 12&^a6 -J- 95 2 . j>) /a 4 —4 -)- 4 3 fa 2 -)- 2 V« 2 —4j^a-j-l. r) a 8 — 4 a 2 &r -f 4 ah * — 6 $ -f 12 ah + 9 6* LXIII 2. Koreni naslednja dekadična števila z 2: a) 5041, b) 49284, c) 163216, d) 820836. e) 53993104, f) 1406‘25, g) 532'2249, h) 0-97535376, i) 0-00178929, k) 0-06091024. 3. \f f 29986576 ,/~76T7ir * 20484676' 4. /Š62673936. 5. ^1475789056. 7. \f 103lg. 8. ]f 485380“. 9. Izračunaj naslednjim številom kvadratni koren na 6 veljavnih številk: a) 2-63, b) 6-584, c) 1735, d) |, e) 18 f) 4^, g) 2, h) 3, i) 5. 10. Določi naslednje korene na 5 veljavnih številk: a) |X"2 —(— |/2, b) /2—|/3, c) /9 + 4^5; 11. Določi naslednjim številom kvadratne korene tako natanko kakor mogoče: a) 0-1907.., b) 335-779.., c) 1-84235.. 12. Poišči naslednjim mnogočlenikom tretji koren: \ X' a) - b) 8 27 64 a -j- 6 x 2 «/ 4 — _ 45 0 ,25 32 a 125 + Tfi^ 2 ^ 216^ c) 8a 6 — 12a 6 + 18a 4 — 13a 3 + 9a 2 — 3o-f 1. d) 343 — 735a; + 819x 2 — 545x 3 + 234x 4 — 60x B + 8x 6 . e) 64x 6 — 144ax B -|- 204a 2 * 4 — 171a s x 3 -)- -j- 102a 4 x 2 — 36 a 5 x -j- 8 a 6 . • d 64 ' 8 ' 16 ‘ 4 a a 2 a 3 ) ?7£« _ 27*5 , 45** , 10* 3 _ 15*_ 2 _ 6* _ 8 a 6 2« 5 'I - 4 a 4 ' a 3 2 a 2 a h) 8x 3 — 36x 2 -j- 66x — 63 -j- 33x~~* — 9x~ 2 -j- 3 . 5 11 v x ^ 27 81 729* a -e»»+i2 — 6a~ 7w + 3 -j- 12«- 8,w “ 6 — 8«- 9M - 15 . Z) 8a—60(^a 2 &-|-150|/až> 2 — 1256. m) x 8 — 3x^ -(- d>x~š — 7 -|- 6x~" 3 ’ — 3 x~t-|- x~ 2 . Matek, Aritmetika. V CD |l> LXIV 13. Koreni naslednja dekadična števila s 3; a) 9261, b) 12167, c) 50653, e) 614125, f) 4492125, h) 14-348907, i) 0-087528384, d) 357911, g) 347428927, k) 78-402752. 14. j/V 20661046784. 16. Y 704969 I6016I3- 17. Y 21 ■ 119 126 ' 15. \[ 1126162419264. 18. Y 5207 19 27' 19. Izračunaj naslednjim številom kubični koren na štiri veljavne številke: a) 2, h) 3, c) 2136, d) M90275, e) J, f) S, 9) 8j, h) 15i. 20. Določi naslednjim številom kubične korene tako natanko kakor mogoče: a) 13-279.., b) 2-618379.., c) K § 39. 1. Izrazi naslednje ulomke z racijonalnim imenovalcem: 4 1 5 \[ob /8 x a) / 2 ’ 2 / 3 ’ Y°Žb' 3a 2 3x/5a \[2 — 1 2 [/5 — |/l0, LXV 2. Odpravi v naslednjih ulomkih iracijonalni imenovalec: a) 1 /2 /5 — 1 /3 + /2 5/5 — 2/3 , /2 —l’ 2-/2* 3/5 + 5’ / 3 -/ 2 ’ /5-/3 ^ 2a + 3/& a — /«ž> /*«/ 1 — fl — a 2 . 3a—2/& /a& — 6 x]fyy^x l + /l — a 2 a + £> +/a 2 + & 2 /*+«/—/x — y a+ž>-—/a 2 +6 2 /++«/+/*•—y d) e ) ^2/3+ /2 +/~2/3 —/2 . \[ 2/3+/2 — /" 2/3 — /2 -7^=’ -7=J2 =, ,/ b+vf J/3 —/2 |/ /5 + /3 ’ ' 5-/5’ K a /6 5-/5 (/"a + /a 2 — S 2 ■ + /6 . / 2 + /2 /10_ _ ' 2 + /3 ’ (/5-/2/’ J/ # 2 + /x 4 — y i [ Z # 2 — /* 4 — 1/ 4 i 2 3. Odpravi korene v imenovalcih naslednjih izrazov: oj l+j/3 /2 + /3 — /5 ^ 4-/6 . 2 + /3 + /5 ’ /2 + /3 + /5’ 3 + /2 — /6 ’ 1 — /2 + /3 3/6— 5/2 + 2/3 ' 1 + /2 —/3’ 5 — 2 /2 + 3 /3 ’ 60/2 + 12/3 V LXVI 4. Pretvori naslednje binome v samo en korenski izraz: a) |^3 + |/5 + /3 — |/ 5 , /6 + /ll — /e — /Tl: b) /8+|/39— /s —/39, + /28 + /*8 — /"28 ; /"5 + 2/6 + /5 — 2 /e, /ll + 6/2 + /ll — 6 / 2 ; d) |/2 + ^ ^7 + / 2 -*/ 7 , /*P±/^ ej (/"a —j— |/^2 a — 1 + /a — /2 a — 1, [/ *+ ^ + [/ ® — — ‘J; /> 1 r * —(— 6 —f— 2 j/a& + (/"«-(- 6 — 2fab, \f 2 a2 ]f a? — b 2 ± \[2a — 2/a 2 — P. 5. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: a) /2 +/ 3 , /3 — 2/2, /"l 2 — 8 / 2 , /7 + 2/IO; s; /11 + 2/30, /18 + 8/2, /7/2+ 4/6, /2/5+ /15. C ; /4« —2/4« 2 —95 2 , j/2a + 3& + /24«i&, /8 a 2 — & 2 -|- 4 a /4 a 2 — P. (I) j /* 2 — 2 y /Z 2 ”— «/ 2 , /2 ® 2 -(- */ 2 -/ 2 a: /r 2 -(- y 2 , a 2 -]- 5 acc — 2 a /a* -j- 4ic 2 . LXV1I K § 40. Razreši naslednje iracijonalne enačbe: 1. 5 —/31 — 2x = 0. 2. 19 - 4/ 2.c /3 = 7. 3 - 3 « / H = fI = 4 *■ i / 41 - a 5. Y 20 —3/5a+I = 2. 6. 2\/x — 3 = 3j/a — 27. 7. 2^25 -f /a = ^200 + 6/5a: — 29. 8. \[x — 0-9375 = 0-5 9. /^+1 — = /a—T. |/ £C —(— 1 10. /a—~3 4- /a-/17 = , 60 — . 11 /a+ 17 11. /27++1 — r 3 J' — 3 = 1S ' . /27a + l 12. /8^7 — 2 ~~ 2 = |/2* + B . /2a + 3 13. (/a — 5) (/a — 4) = (/a — 3) (/a — 2). 14. (/a -j- l): (/a -)- 4) = (|/a + 3): (/a -(- 8). 15. (7 — 2/a) : (10 + /a) = (9 — 4 '/®): 2 /a. 16. /a 2 -j-3a-|-7 = 1-)- /a 2 -j- a+- 4. 17. /2a^3 = 8 — /2a + 13. 18. /a^4-)-/a^l — /4a -/5 = 0. 19. /l6a + 9 — /a^T— /9a /- 10 = 0. 20. /4a++ = 2/2+4 5 — /2®— 10. 21. 2 /a/- 6 + /a-/33 = 3 /a + 13. 22. |/*2a ■— 3 -/ /5® + 14 -/ /2® — 3 — /5® -/14 = 8. 23. /a — a -/ fb — a = /a -/ 6 — 2a. 24. /aa -/ b = /a® — 6 -/ /2 5. 25. /a — 36 — /a —■ 3 a = /a — 6. 26. /« — / — a = r a — . /a — x LXVIII 27. x — 2a — /x 2 — b 2 = (x — a)( 1 — V V ] [ x 2 _fe 2 / 28. 2 fx -j- 3 ]fy = 13 29. 2|/«+"5 — 3|/y^2 = 3 7f/^— 4/y = 2. 3|/* + 5 — 4}/'^^2 = 5. 30. |/x—— x 3 fx — y — 2\f2y 8 . x = — 1. 31. 8/2a;—3y— 3x -\-ly — —10 I]f2x—Šy + 5 |/"3aj —(— ly = 37. 5 , 4 32. 34. |/x — 2~^~ ]fy 2 15 _8 fx — 2 \fy -j- 2 11 , 1 = 2 = 1 . 33. -^= -jL = 6 J_4_ |/x |fy 1 . = + 3|/® + 5 T 4|/'y + 4 ~ _5_13 /* + 5 3^y+4 Razreši naslednje eksponentne enačbe: 35. |/|+1 = 1 + |/ ■jV 2 |/^£c —|— 2 / = [/"3ap —(— 4y —J— 5. 36. |/a 3 * * + 1 = |/a a: + >. 37. « 2;c :|/a 3 38. a 1 - * • ^a*”+i. \fa^ = i. = a x ~ 1 • |/"c Sx — 4 39. ~\[ a , 2 ®: a 3 = a 2 . 40. ]fa i ~* x :'\fa 5 ~* x = a. 41. 4096*»0'5 = 4*+i. _ 5a? -f-1 42. |/(|) 3 *= (|) 9 . (|) 7 . 43. O• 25 23 = • 0-125«*. #-j- 2 44. 64 8a!_5 = ^0-5-— ^2* + 24 . 3_g _ j fm iv ~ x ----- j fm 2i . s I *> LXIX 50. ? ’ V a • 2 '/ a = 1 : / a 51. a x : a 3 = ]f (a y • a 2 ) 2 VP = -/F • & 13 • /F. (a" • a) 2 = (a» : a 2 ) 8 . K § 41. 1. Skrči naslednje številne izraze: a) \[—± -f /— 9 -f /- 16 - 2/- 36 -f /-100 - 5/^49, b) 2/^2 + 3/— 8 — /=4l8 — 4/—50 -f 5/—72 — — 2/~98, ^ 3/-64 — 7/~25 + /—12j — 2/—2| + /“ff, /> 3 /~4| + 2 /-74 - 5 /=4| - 6 /^ + | /-'54 + 4 6 «/— 63oP -/ 3/—1 T2a 3 F -f 2 a& / — 343 a& — — 5 /— 28 a 3 b, f) 3 a 3 ]f~ 12ab’° + 2 a 2 b 2 /— 27 — 5 /— 48 a 7 b 6 — — 4 a 2 /; /— 75a 3 6 3 . 2. / — 2 • /— 40 • / — 5 • / — 3 • /^~4. 3. (2/~27 + /=^75 — 5 /=“ 8 ) • 2 /=~ 6 . 4. (— 3/^5 4- 4 /—8 - 3/- 7 4- 5/— 9) • (— 4/—'3). 5. (2/=^3 4- 5)(— 2/^li — /=^5). 6 . (3/~3 4 - 5/— 5)(5/=^5 4 - 3 /=l). 7. (6|4=“7 — 3/—9)( 6 /="7 4- 3/=“9). 8 . (5|/^2 4- 6/^3 ) 2 + (2 /—8 — 5/—3) 2 . 9. (5|/-!2 4- 4 /—3j 2 — (2 /— 6 — 3 /—~4) 2 . 10. (5/^2 4 - 2/=T3 ) 3 4- (2f —3 — 3/—2) 3 . 11. |/=^15: f/3. 12. |/6 :f/=^5. 13. 4 /—15 :4 /— 5. 14. 4 /—48 :4 /— 43 . 15. (12/^6 — 3/=^3 + 15/^9 — 21 /~15): 3/=43. LXX 16. (26 /— 20 + 39/— 35 — 65/— 45): 13 /— 5. 17. - i 2 /qp+181^-f - 18. (1 - /—4) + (3 — /=~25) — (2 — /—49). 19. (/^6 + i/5 -— 7) + (2 /=^24 — /=^75 + ll). 20. (3 + 2»)(3 — 2») + (8 + /=^3)(8 — /=^3). 21. (5 — 2/—^)(5 + 2/=^3) — (4 + /^2)(4 — |Z=2). 22. (2/3 — /—5) (4/3- /-4/l4 + 8/^15). 23. (6/=T3 + 2/=^2 — 4/5)(6/^3 + 2/=^2 + 4/5). 24. (x + 1 +V=3) (x +1 — /— 3) — (» — /-2) (x + /="2). 25. (3/—~4 — 2/—12 + /6 — 9) : (— 3/^2). 26. (12 —2/^3 + /6):(4 —2/=^2— Z 1 ^). 27. ( 1 y " 3 ) 3 . 28. (—f + f/—~3) 3 . »■ c- ± /r+(^)' «(‘4r+W)“ 31. Izrazi naslednje ulomke z racijonalnim imenovalcem : a) «) h) 2 i' V 2 x 2 3/— 2x ’ c) 10 /=^25 ’ 28 [/ — 12 3/=^7 ’ _10 2 — /—8 ’ /; /— 3 4 ~ / : /= O cj) /— 27 3 — /— 2 ’ 7/2 /5 -/... 2 ’ 9) k) /-3 4/—~3 — 2/^5 4 /=^ 2 ’ / 2 -|- /— 8 /3 — /-2' LXXI 32. Pretvori naslednje binome v en korenski izraz: a) |/V-f |/ — 16 + / 3 — (/—16, b) \f 2 /—^5 + |/2 — /—-~ 5 , c) (/"— 3 -)- 4i + \f — 3 — 4?', d) \[ 7 + (/—15 + [/'7 — i/—15. 33. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: «/ /11 — etn, b) 1 3 4/, c) j/e + sZ— io, d; /—16 + 30?;, e) (/"— 2 + 4(/— 6, J) /9 — 2* |/3, - a)y+ * = |/0 + i = }(/2 ±_ y— 2). -NN Matek, Aritmetika. VI g . 7 " «> I . V