16 Didakta 195 Uvod Evropska skupnost je že leta 2006 v Uradnem listu Evropske unije zapisa- la osem ključnih kompetenc za vseži- vljenjsko učenje. »Ključne kompetence so tiste, ki jih vsi ljudje potrebujejo za osebno izpolnitev in razvoj, dejavno drža- vljanstvo, socialno vključenost in za- poslitev.« (Vir 1) Med ključne kompetence je uvrstila tudi kompetenco učenje učenja. »"Učenje učenja" je sposobnost učiti se in vztrajati pri učenju, organizirati lastno učenje, vključno z učinkovitim upravljanjem s časom in informaci- jami; individualno in v skupinah. Ta kompetenca vključuje zavest o la- stnem učnem procesu in potrebah, prepoznavanje pri- ložnosti, ki so na voljo, in sposobnost premagovanja ovir za uspešno učenje. Pomeni pridobi- vanje, obdelavo in sprejemanje nove- ga znanja in spre- tnosti ter iskanje in uporabo nasve- tov. Z učenjem učenja učenci nad- grajujejo svoje predhodne izkušnje z učenjem in življenjske izkušnje v različnih okoliščinah: doma, v službi, pri izobraževanju in usposabljanju. Motivacija in zaupanje vase sta za kompetenco posameznika odločilni.« (Vir 1) Na naši šoli Učenci ali dijaki, ki se ne znajo učiti matematike, lahko, ne glede na oce- ne, ki jih imajo, v neki točki pridejo do težav. Velikokrat pride do težav na prehodu v prvi letnik srednje šole, lahko pa se težave pojavijo šele v drugem letniku ali kasneje. Dijaki in starši včasih problema ne znajo rešiti, zato dijak nima več dovolj vo- lje do dela in ocene se ne izboljša- jo. Z željo pomagati dijakom, da do takih težav ne bi prihajalo, na naši gimnaziji za dijake prvih letnikov, v okviru obveznih izbirnih vsebin, že tradicionalno organiziramo Učenje učenja. Učenje učenja izvede vsak profesor za svoj predmet sam že v mesecu septembru. V nadaljevanju bom predstavila dve uri Učenja uče- nja, ki sem ju realizirala letos. Učenje učenja Dijaki so se razdelili v skupine po šti- ri. Pouk je potekal dve uri strnjeno. Na začetku sem jim razložila pomen učenja učenja in jim povedala, kaj od njih pričakujem. 1. del: Razdelila sem liste s formula- mi. Na listu je bilo veliko formul, ki jih dijaki še niso po- znali. Dijaki so jih morali pregledati najprej sami, nato smo jih pregleda- li še skupaj. Pogovorili smo se o for- mulah, ki so jih že poznali, nato smo pregledali še nove formule, razloži- la sem jim, kdaj jih uporabljamo in kako. Opozorila sem jih, da morajo biti pri uporabi formul pozorni na navodila. Pri prvi in drugi točki gre za izračunavanje (razširjanje izrazov, poenostavljanje izrazov), medtem ko tretja točka govori o razstavljanju. Ponovili smo, kaj je dvočlenik, tričle- nik in štiričlenik, nato smo podrob- no pregledali tretjo točko formul: izpostavljanje (so že poznali), raz- stavljanje dvočlenikov, tričlenikov in štiričlenikov. Posebej smo se ustavili pri splošni formuli za razliko in vsoto n-tih potenc, saj niso poznali zapisa formule, v kateri nastopajo tri pike. Razložila sem jim, kaj to pomeni in kako se formula uporablja. Ves čas sem jih opozarjala na podobnosti v formulah in v čem se formule razli- kujejo. 2. del: Razdelila sem jim prvi učni list s petimi nalogami. Najprej je mo- ral vsak dijak sam rešiti naloge, ki jih je znal, nato so si morali pomagati znotraj skupine. "Učenje učenja" je sposobnost učiti se in vztrajati pri učenju, organizirati lastno učenje, vključno z učinkovitim upravljanjem s časom in informacijami. UČENJE MATEMATIKE V 10-IH KORAKIH Natalija Zver, profesorica matematike, Gimnazija Litija KAKO DIJAKE NAUČITI UČITI SE MATEMATIKE, KAKO VPRAŠATI IN SPREJETI POMOČ TER KAKO SOŠOLCU RA- ZLOŽITI SNOV IN PRI TEM URITI STROKOVNO IZRAŽANJE 2 –– RAČUNANJE Z ALGEBRSKIMI IZRAZI 1. RAZŠIRJANJE IZRAZOV (izračunavanje potenc dvočlenikov ali veččlenikov) (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝒃𝒃𝒄𝒄 (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟑𝟑 (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟑𝟑 2. POENOSTAVLJANJE IZRAZOV (izračunavanje vrednosti izraza) 3. RAZSTAVLJANJE (faktorizacija, zapis izraza kot produkt več faktorjev) 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒄𝒄 = 𝒂𝒂(𝒃𝒃 + 𝒄𝒄)  Razstavljanje dvočlenika: 𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟐𝟐 = (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃) 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝒃𝒃𝟑𝟑 = (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝒃𝒃𝟑𝟑 = (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) Splošna formula za razliko in vsoto n-tih potenc: 𝒂𝒂𝒏𝒏 − 𝒃𝒃𝒏𝒏 = (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏) velja za vsak naravni eksponent 𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝒃𝒃𝒎𝒎 = (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝒎𝒎−𝟏𝟏 − 𝒂𝒂𝒎𝒎−𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒎𝒎−𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 − ⋯− 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒎𝒎−𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒎𝒎−𝟏𝟏) velja le za lihe eksponente m=2n+1  Razstavljanje tričlenika: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 = (𝒙𝒙 + 𝒂𝒂)(𝒙𝒙 + 𝒃𝒃) 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐕𝐕𝐕𝐕𝐥𝐥𝐕𝐕  Razstavljanje štiričlenika: - združimo po dva in dva člena - združimo tri člene in eden ostane posebej 3 2. del: Razdelila sem jim prvi učni list s petimi nalogami. Najprej je moral vsak dijak sam rešiti naloge, ki jih je znal, nato so si morali pomagati znotraj skupine. Pregledali smo rešitve in na vsakem primeru opozorili na navodila, ki pomagajo poiskati, katera točka formul je primerna. Ponovili smo, kako poiskati ustrezno formulo (preveriti, ali imamo dvočlenik, tričlenik, štiričlenik) in kako slediti poteku formule. 3. del: Z dijakinjo (z njo sem bila dogovorjena že prej) sva zaigrali prizor,v katerem sva prikazali, do kakšnih težav prihaja, ko dijak dijaka prosi za pomoč. Dijak, ki prosi za pomoč, se namreč velikokrat ustavi pri nebistvenih stvareh, kot zakaj je formula takšna (kljub temu, da mu je bila razložena), namesto da bi se jo naučil uporabljati, prav tako velikokrat vztraja pri nepomembnih podrobnostih. Dijak, ki razlaga, včasih nastopi do svojega sošolca superiorno, kar seveda dijaka, ki je prosil za pomoč, zmoti. Dijak zaradi takšnega odnosa razlage ne posluša več in naslednjič sošolca tudi ne prosi več za razlago. Da bi se izognili tem težavam, smo se pogovorili, kako je treba sošolca prositi za pomoč, kako jo sprejeti ter kako prijazno in potrpežljivo snov razložiti. Dijakom sem pojasnila in zagotovila, da pri nudenju pomoči pridobita oba dijaka; prvi tako, da snov razume, in drugi tako, da snov utrjuje, obenem pa še vadi pravilno matematično izražanje. POGOVOR: Dijakinja A: Prosim, razloži mi, kako se rešuje naloga: Izračunaj (𝒂𝒂 + 𝟐𝟐)𝟑𝟑 = Dijakinja B: Prav. Poglej. Katera točka na listu s formulami je primerna, če je navodilo izračunaj? 1. UČNI LIST 1. Izračunaj: (𝑥𝑥 − 4)2 = ________________________________________________________________ 2. Razstavi: 𝑎𝑎2 − 32 = _________________________________________________________________ 3. Izračunaj: (𝑎𝑎 + 2)3 = _________________________________________________________________ 4. Razstavi: 𝑎𝑎3 + 23 = __________________________________________________________________ 5. Razstavi: 𝑚𝑚3 − 43 = _________________________________________________________________ Didakta 195 17 Pregledali smo rešitve in na vsakem primeru opozorili na navodila, ki po- magajo poiskati, katera točka formul je primerna. Ponovili smo, kako poi- skati ustrezno formulo (preveriti, ali imamo dvočlenik, tričlenik, štiričle- nik) in kako slediti poteku formule. 3. del: Z dijakinjo (z njo sem bila dogovorjena že prej) sva zaigrali prizor,v katerem sva prikazali, do kakšnih težav prihaja, ko dijak dija- ka prosi za pomoč. Dijak, ki prosi za pomoč, se namreč velikokrat ustavi pri nebistvenih stvareh, kot zakaj je formula takšna (kljub temu, da mu je bila razložena), namesto da bi se jo naučil uporabljati, prav tako veli- kokrat vztraja pri nepomembnih po- drobnostih. Dijak, ki razlaga, včasih nastopi do svojega sošolca superior- no, kar seveda dijaka, ki je prosil za pomoč, zmoti. Dijak zaradi takšnega odnosa razlage ne posluša več in na- slednjič sošolca tudi ne prosi več za razlago. Da bi se izognili tem teža- vam, smo se pogovorili, kako je tre- ba sošolca prositi za pomoč, kako jo sprejeti ter kako prijazno in potrpe- žljivo snov razložiti. Dijakom sem po- jasnila in zagotovila, da pri nudenju pomoči pridobita oba dijaka; prvi tako, da snov razume, in drugi tako, da snov utrjuje, obenem pa še vadi pravilno matematično izražanje. POGOVOR: Dijakinja A: Prosim, razloži mi, kako se rešuje naloga: Izračunaj (a + 2)3 = Dijakinja B: Prav. Poglej. Katera toč- ka na listu s formulami je primerna, če je navodilo izračunaj? Dijakinja A: Prva in druga točka. Dijakinja B: Dobro. Katera formula je podobna tvojemu primeru? Dijakinja A: Tale: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Dijakinja B: Super. Pravilno. Kaj je v tvojem primeru a in kaj b? Dijakinja A: Torej a je a in b je 2. Dijakinja B: Točno. Obkroži si a in ob- kroži si 2, da ju boš takoj videla. Zdaj pa uporabi formulo. Dijakinja A: Ampak zakaj je v formuli a3? Dijakinja B: Ne ukvarjaj se zdaj s tem. To je formula. Poskusi rešiti nalogo. Dijakinja A: Ampak zakaj je tam 3a2b? Dijakinja B: Saj sem ti rekla. Formu- la je taka. Ne ukvarjaj se zdaj s tem! Poskusi rešiti nalogo. No, kaj pravi formula? Najprej napiši prvi na tri. Dijakinja A: Torej misliš (a2)3 najprej. Dijakinja B: Pa ne, kako tega ne veš!? Dijakinja A (Sošolke več ne posluša in gleda okrog.) Dijakinja B: Kaj pa je? Zakaj me ne poslušaš? Dijakinja A: Obnašaš se, kot da ti vse veš, jaz pa nič. Tudi jaz marsikaj vem, ampak te naloge pa ne znam rešiti. Prosim, bodi bolj prijazna. Dijakinja B: Oprosti. Zdaj bom bolj prijazna. Poglej, kaj si obkrožila, da je tvoj prvi člen. Dijakinja A: Obkrožila sem a. Dijakinja B: Torej, to je tvoj prvi člen, ki ga moraš kubirati. Dijakinja A: Misliš torej, da dobim a3? Dijakinja B: Točno tako. Zdaj pa na- daljuj. Trikrat prvi na kvadrat krat drugi. Dijakinja A: Torej pride 3a22 . Dijakinja B: Tako, ja. Naprej. Dijakinja A: 3a22 + 23 . Dijakinja B: Super. Samo poračunaj še vse. Dijakinja A: (a + 2)3 =a3 + 6a2 + 12a + 8. Dijakinja B: Uspelo ti je! Čestitam! Dijakinja A: Super! Hvala ti! Hvala lepa za pomoč. 4. del: Razdelila sem drugi učni list z novimi petimi nalogami. Najprej je moral reševati naloge vsak sam, nato pa razložiti sošolcu, če ga je prosil. Tudi sama sem pomagala kateremu od dijakov, če je bil v skupini več kot en dijak, ki je potreboval pomoč. Nato smo vse naloge na tabli skupaj rešili in razložili. 5. del: Razdelila sem še tretji list s pe- timi nalogami, ki smo se jih lotili na enak način. 6. del: Razdelila sem še četrti list, na katerem sta bila razstavljena šti- ričlenika s postopkom vred ter dva nerazstavljena štiričlenika. Na listih s formulami je v navodilih za razsta- vljanje štiričlenika pisalo: združimo po dva in dva člena (prva možnost). Nikjer ni bilo nobene formule. To je situacija, ki jo dijaki večkrat doživijo. V šolskem zvezku imajo namreč reše- ne naloge, sami pa ne vedo, kako si pomagati, da bi domačo nalogo reši- li po enakem postopku. Dijaki so mo- rali najprej sami preštudirati rešena primera, nato pa razstaviti še ostala štiričlenika. Na koncu smo skupaj razstavili vse štiričlenike še na tablo. 7. del: Sledilo je še nekaj napotkov za učenje doma. Dijakom sem naročila, da morajo doma najprej rešiti naloge iz šolskega zvezka še enkrat (ali več- krat), pri tem morajo razumeti, zakaj imamo nekje plus in nekje minus. O svojih napakah morajo razmisliti, da ne bi prihajalo vedno do enakih napak. Prepoznati morajo svoje naj- pogostejše napake in pri pisni nalo- gi za seboj preveriti prav tiste dele 5 5. del: Razdelila sem še tretji list s petimi nalogami, ki smo se jih lotili na enak način. 2. UČNI LIST 6. Izračunaj: (𝑏𝑏 + 5)2 = _________________________________________________________________ 7. Razstavi: 𝑎𝑎4 − 34 = ___________________________________________________________________ 8. Razstavi: 25 + 𝑏𝑏5 = ____________________________________________________________________ 9. Izračunaj: (3𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)2 = ________________________________________________________________ 10. Izračunaj: (5𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥)2 = ________________________________________________________________ 3. UČNI LIST 11. Izračunaj: (𝑎𝑎 + 2 + 3)2 = ______________________________________________________________ 12. Izračunaj: (2 − 𝑎𝑎)3 = ___________________________________________________________________ 13. Izračunaj: (3𝑥𝑥 − 2)(9 − 𝑥𝑥) = ____________________________________________________________ 14. Izpostavi: 2𝜋𝜋𝑟𝑟2 + 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 = _________________________________________________________________ 15. Razstavi: 𝑎𝑎2 − 62 = _______________________________________________________________________ 5 5. del: Razdelila sem še tretji list s petimi nalogami, ki smo se jih lotili na enak način. 2. UČNI LIST 6. Izračunaj: (𝑏𝑏 + 5)2 = _________________________________________________________________ 7. Razstavi: 𝑎𝑎4 − 34 = ___________________________________________________________________ 8. Razstavi: 25 + 𝑏𝑏5 = ____________________________________________________________________ 9. Izračunaj: (3𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)2 = ________________________________________________________________ 10. Izračunaj: (5𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥)2 = ________________________________________________________________ 3. UČNI LIST 11. Izračunaj: (𝑎𝑎 + 2 + 3)2 = ______________________________________________________________ 12. Izračunaj: (2 − 𝑎𝑎)3 = ___________________________________________________________________ 13. Izračunaj: (3𝑥𝑥 − 2)(9 − 𝑥𝑥) = ____________________________________________________________ 14. Izpostavi: 2𝜋𝜋𝑟𝑟2 + 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋𝜋 = _________________________________________________________________ 15. Razstavi: 𝑎𝑎2 − 62 = _______________________________________________________________________ 6 6. del: Razdelila sem še četrti list, na katerem sta bila razstavljena štiričlenika s postopkom vred ter dva nerazstavljena štiričlenika. Na listih s formulami je v navodilih za razstavljanje štiričlenika pisalo: združimo po dva in dva člena (prva možnost). Nikjer ni bilo nobene formule. To je situacija, ki jo dijaki večkrat doživijo. V šolske zvezku imajo namreč rešene naloge, sami pa ne vedo, kako si pomagati, da bi domačo nalogo rešili po enakem postopku. Dijaki so morali najprej sami preštudirati rešena primera, nato pa razstaviti še ostala štiričlenika. Na koncu smo skupaj razstavili vse štiričlenike še na tablo. 7. del: Sledilo je še nekaj napotkov za učenje doma. Dijakom sem naročila, da morajo doma najprej rešiti naloge iz šolskega zvezka še enkrat (ali večkrat), pri tem morajo razumeti, zakaj imamo nekje plus in nekje minus. O svojih napakah morajo razmisliti, da ne bi prihajalo vedno do enakih napak. Prepoznati morajo svoje najpogostejše napake in pri pisni nalogi za seboj preveriti prav tiste dele računov, pri katerih se največkrat zmotijo. Če bo imel kdo še vedno težave, sem svetovala, naj vzame deset listov papirja in si prepiše po vrsti po eno nalogo (iz šolskega zvezka) na vsak list, ko zmanjka listov, naslednjo nalogo napiše na prvi list in tako naprej. Tako bo dobil deset pisnih nalog. 4. UČNI LIST Rešena primera razstavljanja štiričlenika: 1. primer: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑎𝑎) + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 𝑎𝑎)=(𝑎𝑎 + 𝑎𝑎)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 2. primer: 𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥2 − 25𝑦𝑦 + 50 = 𝑥𝑥2(𝑦𝑦 − 2) − 25(𝑦𝑦 − 2) = (𝑦𝑦 − 2)(𝑥𝑥2 − 25) Razstavi: 1. primer: 5𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 15𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 = =_____________________________________________________________ 2. primer: 21𝑎𝑎𝑥𝑥 + 35𝑎𝑎𝑦𝑦 − 20𝑦𝑦 − 12𝑥𝑥 = =_____________________________________________________________ 18 Didakta 195 računov, pri katerih se največkrat zmotijo. Če bo imel kdo še vedno te- žave, sem svetovala, naj vzame deset listov papirja in si prepiše po vrsti po eno nalogo (iz šolskega zvezka) na vsak list, ko zmanjka listov, naslednjo nalogo napiše na prvi list in tako naprej. Tako bo dobil deset pisnih nalog. Vsak dan naj reši po eno ta- kšno pisno nalogo in takoj bo videl, ali zmore prepoznavati tipe nalog in preskakovati iz ene snovi na drugo. 8. del: Dijakom sem razložila, kako naj se lotijo učenja formul. Opozorila sem jih, naj se jih ne učijo kar na pamet. Pri učenju formul je potrebno razmi- šljati, kaj se dogaja v formuli, kje so podobnosti med formulami in kje raz- like. Pomagajo si lahko tudi tako, da si namesto neznank narišejo srčke, ro- žice ali kaj druga, kar se jim zdi lepo. 9. del: Dijakom sem še enkrat razlo- žila, da namen teh dveh ur »učenja učenja« ni bil, da bi znali vse in znali uporabljati vse formule na listu, am- pak da bi se naučili, kako se lotiti na- log, slediti navodilom, prepoznavati primerne formule in jim pri reševa- nju nalog slediti. 10. del: Dijakom sem razdelila vpra- šalnike in jih prosila, naj jih rešijo. Vprašalniki so vsebovali vprašanja o tem, kaj jim je bilo všeč in kaj ne, ali jim je bil všeč način dela in koliko ko- ristnih nasvetov za učenje so dobili. Zaključek Z izvedbo učnih ur učenja učenja sem bila zelo zadovoljna. V dveh učnih urah sem imela možnost opazovati dijake, kako so se trudili s formula- mi, ki jih pred začetkom ure še niso poznali. Reševali so naloge, spraševa- li sošolce, nekateri tudi mene, kako in kaj je potrebno narediti. Tudi ne- kateri dijaki, ki jim je bil tak način učenja težak, so ob primerni spodbu- di začeli opazovati naloge in formule ter se trudili nalo- ge rešiti. Pri meni so preverjali, ali so se naloge pra- vilno lotili in drug drugemu razlagali, kaj je potrebno narediti. Lahko bi rekla, da so neka- teri med reševanjem uživali, kar bi marsikateri med njimi težje prizna- li. Ob koncu dveh ur je bilo videti, da so bili nekateri precej utrujeni. To je bilo za pričakovati, saj sta bili uri zelo intenzivni. Še posebej sta jim delali težave formuli za vsoto in razliko n-tih potenc in razstavljanje štiričlenikov. Kljub temu jih je precej vztrajalo in spraševalo tako dolgo, da so naloge rešili. Tudi njihovo zado- voljstvo je bilo ob tem neprimerno večje. Pokazalo se je, da večina ne zna preštudirati rešenih nalog in si tako pomagati pri reševanju nalog. Zanimivo jih je bilo opazovati, kako previdno so se lotili 13. naloge, ki so jo v osnovni šoli znali rešiti brez pro- blema, zdaj pa niso bili več prepriča- ni, kako se naloga reši. Iz odgovorov na vprašanja iz vprašal- nika je bilo jasno, da je bil način izva- janja ur večini dijakov všeč, nekateri so celo napisali, da jim je bilo všeč prav to, da so sami reševali naloge s pomočjo formul in da so si med seboj pomagali. Večina dijakov je odgovo- rila, da je dobila kar precej koristnih nasvetov za učenje matematike. Par dijakov pa je napi- salo, da jim ni bilo všeč, da bodo te formule morali znati na pamet. Literatura Vir 1: Priporočilo Evropskega parla- menta in Sveta z dne 18. decembra 2006 o ključnih kompetencah za vse- življenjsko učenje (2006/962/ES). Do- stopno na http://eur-lex.europa.eu/legal-content/ SL/TXT/?uri=CELEX%3A32006H0962. Pokazalo se je, da večina ne zna preštudirati rešenih nalog in si tako pomagati pri reševanju nalog.