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racalaiacalacaialaialaiaialaialaiacalaiacalacalalaiaiacalalalacalakaiaiaialaia
lalaiaialaialacaia ocaiaialaiacacaia
Rechenbuch
für Knabenbiirgerschnlen.
Bearbeitet von
Heinrich Halbgebauer
und Robert Neumann.
Einteilige Ausgabe.
Vierte,
nach dein Lehrplane vom
16. Juli 1907, Zahl 2368,
umgearbeitete Auflage.
Verlag von F. Tempsky.
la ra ia ca ca Wien la ia ra ca 1909. ia ca ca ia ca ea
cacalacacacacacacalacacaiacaiacacacacaiacacalalacacalacacacacaca
0'
Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, Vorbehalten.
1-jllUsgIlll
(S, L-
Druck von Gebrüder Stiepel in Reicheilberc;.
Inhalt
Erster Teil.
Skite
I. G a n z c Z a h l e n u n d D e z i -
m a l z a h l e n. 6
1. Veranschaulichung derselben im
metrischen Längenmaße; Ver¬
wandlungsübungen . 5
2. Das Flächenmaß; Verwand¬
lungsübungen . 8
3. Das Körpermaß, das Hohlmaß
und die Gewichte; Verwand-
lungsubungen. 9
4. Das Wertmaß .11
5. Zeit-, Winkel- und Zähl maße . 12
6. Römische Zisfern.14
I!. Die Grundrechnungsarten
m i t n n b e n a n n t e n u n d b e -
nannten ganzen und De¬
zi mal za hi en .14
1. Addieren.14
2. Subtrahieren.19
3. Multiplizieren.24
4. Dividieren.36
5. Wiederhollingsaufgaben (Probe-
rechnen).47
III. Rechnen mit gemeine n
Brüchen.48
1. Entstehung, Arten und Größe
der Brüche.48
2. Teilbarkeit der Zahlen .... .11
3. Größtes gemeinschaftliches Maß 54
4. Kleinstes gemeinschaftliches Viel¬
fache .55
5. Verwandlung gemeiner Brüche
in Dezimalbrüche.57
6. Die vier Grundrechnungsarfen
mit gemeinen Brüchen .... 59
IV. Schlußrechnungen ... 70
V. Einfache Prozent- und
Zinsrechnungen.73
VI. Wi e d e r h o l n n gs a n fgab en 77
Zweiter Teil.
2. Anwendung der Prozentrech¬
nung .118
n) Tara und Gutgewicht ... 118
6) Warenskonto und Kajsaskonto 120
I. Durchschnittsrechnung . 81
II. Regeldetri (Dreisatz) .... 82
1. Einfache Regeldetri.82
I. Auflösung durch Schlüsse
(Schlußrechnung).83
II. Verhältnisse.87
6. Proportionen .91
v. Auslösung der Regeldetriauf-
gaben durch die Proportion . 9g
2. Zusammengesetzte Verhältnisse
und Proportionen.98
3 Zusammengesetzte Regeldetri . 99
L. Auflösung durch die Schlu߬
rechnung oder den Bruchsatz . 100
II Auslösung durch die Propor¬
tion .."100
III. Quadrieren und A uszie¬
he n d e r Quadratwurzel.
I. Quadrieren.102
2 Ausziehen der Quadratwurzel l05
IV. Die Prozentrechnung und
ihre Anwendungen . . . . 109
1. Allgemeine Prozentrechnung . 109
o) Sensarie.121
ei) Provision.122
e) Gewinn und Verlust ... 126
V. Z i n s - und D i s k o n t r ech -
nung.127
1. Zinsrechnung.127
2. Diskontrechnung.139
VI. Teil ungs- und Durch¬
schnittsrechnungen . . . 142
1. Einfache Teilungsrechnung . . 142
2. Zusammengesetzte Teilungsrech¬
nung .145
3. Mischungsrechnung.146
VII. V c r m i s ch t e W i e d e r h v l u n g s-
aufgaben.149
VIII. Gewerbli ch e Rechnungen . 154
IX. Landwirtschaftliche Rech¬
nungen .159
Dritter Teil.
I. Maße und Gewichte . . 164
->) Maße und Gewichte der öster¬
reichisch-ungarischen Monarchie . 164
I>) Die wichtigsten ausländischen
Maße und Gewichte.164
o) Umrechnung der Maße und Ge¬
wichte .165
II. Kettenrechnung.167
III. Kubieren und Ausziehen
der Kubikwurzel.169
1*
4
1. Kubieren.169
2. Ausziehen der Kubikwurzel . . .178
IV. PraktischeBerechnungen ans
dem Versicherungswesen
(Assekuranz) .'.177
sh Die Feuerversicherung .... 178
ich Die Glasversicherung .... 179
o) Die Hagelversicherung .... 179
cl) Die Viehversicherung .... 179
s) Die Transportversicherung . . 180
I) Einbruchdiebstahl-Versicherung. 180
g) Die Lebensversicherung . . . 180
p) Arbeiter-Unfallversicherung . . 181
i) Arbeiter-Krankenversicherung . 188
V. Zinse szinsr sch nung. . . . 185
1. Berechnung des Wertes eines
Geldbetrages nach einer bestimmten
Zeit.185
2. Berechnung des Wertes eines
Geldbetrages vor einer bestimmten
Zeit.193
VI. Berechnung der Münzen 197
1. Münzwesen.197
2. Münzrechnung (Ausländische
Rechnungsmünzen) .2M
a) Berechnungen über Feinheit,
Korn und Schrot.202
d) Berechnung des Münzpari . 208
' o) Berechnung der Münzen nach
dem Kurse.204
VII. Berechnung der Wechsel
und Wertpapiere . . . . 206
1. Wechselkunde.207
2. Wechselrechnung.210
s) Wechseldiskont.210
b) Wechselreduktion.212
3. Effektenrechnung .214
VIII. Gewerbliche Rechnungen 2l7
IX. Rechnen mit entgegen-
gesetztenZahleu . . . . 219
X. G l e ichu n g e n des I. Gra¬
des mit einer Unbe¬
kannten.231
1. Auflösung einfacher Ziffer¬
gleichungen .282
2. Anwendung der Gleichungen auf
diese Lösung von Aufgaben. . . 235
ite
XI. Verschiedenartige
Wiederholungsaufgaben . 242
XII. Der Grundsteuerkataster
und das Grundbuch. . . . 246
XIII. Gewerbliche Buchfüh¬
rung . 249
1. Wesentliche Bücher der gewerb¬
lichen Buchführung.250
Die Inventur . /.250
Das Kassabuch.251
Das Journal.253
Das Hauptbuch.254
2. Neben- und Hilfsbücher der ge¬
werblichen Buchführung . - . 255
Das Bries-Kopierbuch .... 255
Das Fakturenbnch ..255
Das Waren- oder Lagerbuch . . 255
Das Versallsbuch.256
Das Bestellungsbuch.256
3. Praktische Darstellung der ge¬
werblichen Buchführung . . . 256
Einmonatlicher Geschäftsgang
einer Möbeltischlerei.256
Geschäftsfälle.256
Inventur.259
Kassabuch.260
Verfallsbuch .261
Journal. 262
Hauptbuch.264
Inventur.268
L. Einmonatliches Geschäft
eines Buchbinders .... 268
4. Buchführung für kleinere Ge¬
werbe .270
sh Aus den: Tagebuche eines
Tapezierers.271
l>) Aus dem Kundenbuchs eines
Tapezierers.271
o) Aus dem Kundenbuchs eines
Viktualienhändlers .... 271
b. Beispiele aus der Buchführung
eines Landwirtes.272
sh Inventar eines Bauerngutes . 272
6) Nachweis über den Rohertrag
eines Bauerngutes.272
o) Nachweis über den Verkauf der
Erzeugnisse.273
ct) Rechnungsabschluß.273
Kursblatt der Wiener Börse
Anhang.
. 274 ! Formulare über Quittung und Wechsel 277
Erster Teil.
I. Ganze Zahlen und Dezimalzahlen.
1. Veranschaulichung derselben im metrischen Längenmaße.
Fig- t-
!-!--i-!-i--1
.1 ckm — 10 om — 100 mm_
Anschauen und Vergleichen der Maßteile am Dezimeter- und
Metermaße.
10 mm — 1 em.1 mm — 0'1 e»?,
10 em " 1 ").
1 m ist der 10 millionste Teil eines Erdmeridianquadranten.
T H Z E E z h t
1 m 1 c/m 1 o-» 1 mm — 1 1 1 1 --?m, — 1'1 1 1 »r.
10 m — 1 (Dekameter)*) . Im — 0'1 Lm^
10 cZ/em — 1 (Hektometer)*) . 1 <7/rm — 0'1 Z»-r,
10 ^m — 1 /m (Kilometer) . 1 Z/,m — 0'1 Lm,
10 — 1 /LM (Myriameter). 1 Zn-r — 0'1
Bestimmte Mengen gleichartiger Einheiten nennt man Zahlen,
z. B. 1 m, 0 or Tuch, 6 Li, 37 /e// Mehl.
Läßt man den Namen der Maßeinheiten (m, Li, Zc^) weg, so heißen
die Zahlen unbenannte oder reine Zahlen; z. B. 1, 5, 6, 37.
Je 10 Einheiten werden als 1 neue Einheit angenommen;
10, griechisch (äolra), ist die allgemein gebräuchliche Grundzahl und die
nach ihr gegliederte Zahlenreihe heißt Zehnersystem oder dekadisches
Zahlensystem. Die Bildung 'der Zahlen erfolgt nach der dekadischen
Regel: 10 Einheiten einer Stufe (Ordnung) bilden 1 Einheit der nächst
höheren Stufe (Ordnung).
ZtT H Z E
In der Zahl. 2 2 2 2 2 bedeutet die erste Stelle rechts
Einer, nach links die zweite Stelle Zehner, die dritte Hunderter,
die vierte Tausender usw. (Reihe der ganzen Zahlen). Schreitet
man in einer solchen Zahl ....2 2 2 2 2 von links nach rechts, so
ist jedes nächstfolgende Glied (Stelle) der zehnte Teil des vorhergehenden.
Setzt man die Reihe nach diesem Gesetz über die Einer hinaus fort,
*) Die Längenmaße „Dekameter" und „Hektometer" werden in Österreich-Ungarn
nicht gebraucht.
6
indem nmn den -zehnten Teil der Einer als neue Stelle (Zehntel, z)
rechts ansetzt, van den Zehnteln wieder den 10. Teil (Hundertstel, h)
als zweite, van diesen den 10. Teil (Tausendstel, t) als dritte Stelle
nimmt usw., so erhält man die Reihe der Dezimalen (Zehnteilchen),
z. B 22222'222. Die Ganzen der Dezimalzahl werden von den
Dezimalen durch den Dezimalpunkt getrennt; eine Zahl mit Dezimalen
heißt eine Dezimalzahl; z. B.
Im Zehnersystem werden alle Zahlen mitiels der Zahlwörter eins, zwei,
...zehn, handelt, tausend, Millian, Billion... gesprochen und mittelst der Zahlzeichen
(Ziffern) 1, 2, .... 9, 0 geschrieben. Jede Ziffer dieser Zahlen hat zweierlei
Wert: 1. den Zifferuw ert, d. i. die Auzahl der Einheiten überhaupt uud 2. den.
Stellenwert, der die Art (Ordnung, Stufe, Rang) der Einheiten bestimmt.
Numerieren, d. h. Schreiben und Lesen von Zahlen:
1. Teile folgende Zahlen in Gruppen und sprich sie aus: 8961 m,
2407 k, 508 231 L, 8 079056 m?, 246 089 040 an?!
2. Welchen Stellenwert hat a) in einer ganzen Zahl die 1., 4., 7.,
10., ... Ziffer, b) in einem Dezimalbruche die 1., 3., 6., 5.,... Ziffer?
3. Gib in den folgenden Zahlen den verschiedenen Stellenwert der
Ziffer 5 an: 525057, — 1505515 — 56 250'5157 — 350'256.505!
4. Drücke dekadische Einheiten in Einheiten niederer Ordnung aus:
37'486 m sind 37 m, 4 ckm, 8 am und 6 m,«, oder 37 m, 48 am,
6 oder 37 m, 486 mm, oder: 37'486 — 37 Ganze, 4 Zehntel,
8 Hundertstel, 6 Tausendstel, oder 37 Ganze, 486 Tausendstel.
5. Wieviel m?, ckm? und am? sind 7'306572 m?, 0'0.526 >»??
6. Schreibe mit Ziffern folgende durch Worte ausgedrückte Zahlen:
fünftausendsiebzig, zweihundertsechstausendachtzig, fünfundzwanzig
Millionen, siebenhunderttausendunddreiundneunzig, zwei Milliarden!
7. Schreibe folgende Dezimalzahlen an: 8 Ganze 4 Zehntel 5 Hun¬
dertstel 9 Tausendstel; 0 Ganze 75 Millionstel; 18 Ganze 7005 Hutt-
derttausendstel; 205 Ganze 29 Tausendstel....!
8. * Schreibe als Zahlen: w) 5 Zt 3 T 6 H 2 Z 9 E; b) 45 T 2 H
58 E; o) 9 Ht 127 E; ä) 9 M 162 T; s) 16 E 5 z 3 h 2 t;
k) 0 E 7 z 16 zt; 8/ 1 T 8 E 3 h 5 m! Lies diese Zahlen!
7
9. Zerlege folgende Zahlen von der Einerstelle in Klassen s) zu 1 Ziffer
6) zu 2 Ziffern, «) zu 3 Ziffern und gib den Stellenwert jeder
Klasse an: 1352«, — 98 69«; 413, - 16'234, - 0'141321
10. Zerlege folgende Zahlen: a) in E und H, b) in E und T, o) in
E und Zt: 1384, 12365, 472160, 6 503070, 116598!
Venvcmdlungsübungen.
rl. Höhere Einheiten in niedrigere verwandeln heißt Auf lösen
oder Resoluteren. Z. B. 1264 m — 126 400 am., 1 /em 264 m -
1264 m, 1'264/-m — 1/cm 264»».
1. Verwandle:
in m, in 4rrr, in o»/, in mm: 1 4/mr, 5 /rm, 23 4/cm, 7 /cm, 18 /cm, 3 /rm-,
6> iir die niedrigeren Einheiten: 8, 70, 204, 5600 m, — 35 Lm, —
3, 100/rm;
o) in 4 m, in am, in rrrm: 15 m, 0'8 m, 1'75 m, 0'175 »r, 33'333 m!
2. Zerlege folgende einnamige Zahlen nach allen darin enthaltenen
Maßeinheiten in nrehrnaniige: 1'762 m, 18'42 m, 9'86 4rrr,
7'8 am, 7'65 /cm, 5'6042 /rrrr, 0'568rrr, 0'987 ,rrm, 0'987 Lrrr, 5'047 rrr !
3. Bringe folgende niehrnainige Zahlen auf die niedrigste Be¬
nennung : 12 rrr 6 4 m, 5 m 80 am, 9 4rrr 5 mm, 1 m 2 4m 6 arrr 8 mm,
2 4/cm 3 rrr 8 4rrr, 4 /cm 8 /»rr 2 rrr, 4 /c»» 82 m, 1 /rrrr 2 /crrr 7 4/cm,
1 /rm 5, /c?-» 3 /rm 6 rrr, 12 /rrrr 8 /cm 4 rrr!
4. Wieviel rrr, «im, am und Er sind: 1'275 m, 28'0065 m, 0'804»«?
5. Verwandle in rrrrrr: 1 m 4 4,rr 3 am 5 mm (normale Spurweite der
Eisenbahnen), 5 m 4 am, 5 m 8 rrrm; — 7 Zmr 8 rrr 6 4m, 1 /rm 5 /c»«
146 m, 1 /rrrr, .5 /cm 8 rrr 9 mm!
6. Verwandle in mm (am): 1, 4, j, Mm!
L. Einheiten einer niedrigeren Benennung in Einheiten einer höheren
Benennung verwandeln heißt Zurückführen oder Reduzieren.
Z. B. 1264 mm — 126 arrr 4 mrn — 1 m 2 4m 6 am 4 mm — 1'264 m.
1. Verwandle a) in am, in 4m, in m: 1, 7, 10, 75, 100, 815, 1000,
6008 mm ; b> in 4/cm, in /rm, in /cm, in /rrrr : 1, 5, 10, 80, 100,
315, 1000, 9700 m; o) in 4m (m): 8, 68, 100, 526, 1000,1245 am!
2. Zerlege folgende einnamige Zahlen nach allen darin enthaltenen
Maßeinheiten in mehrnamige: a) 1234 mm, 1234 em, 12344m,
123604 mm, b> 572 m, 572 4/cm, 615 /rm, 24060 m (am), 126 875 rrr,
1000000 m!
3. Bringe folgende mehrnamige Zahlen auf die höchste Benennung:
») Im, 6 4m 5 am, 4 »r 76 a,-/, 9 4?» 2 mm, 32 m 5 4/rr 8 mm;
b> 5 4/cm 3 m 9 4rrr, 8 /rm 2 rrr 8 am, 1 /cm 2 /rrrr 4 m, 1 /crrr 2 4/cm
4 m, 2 Lrrr 18 m, 2 /rm 4 /cm 8 m, 18 /rrrr 536 m!
4. Drücke in Einheiten höherer Benennung oder durch mehrnamige
Zahlen auö: 2000 4m, 625 am, 5400 mm, 2516 m 175/cm!
5. Miß mit dem Dezimeter- und Meterstabe die Länge, Breite und
Höhe (Dicke) von Gegenständen im Schulzimmer, schreibe diese Er-
" gebnisse auf und a) resolviere, b) reduziere sie!
8
2. Das Flächenmaß.
Veranschaulichung der Zahlen im Flächenmaße.
100 mm? — 1 am? 1 mm? " 0'01 am?,
100 am? — 1 cim? 1 am? — 0'01 cim?,
100 ckm? — 1 m? 1 c^M? — 0'01 m?.
Die Einheit des Flächenmaßes ist das Quadratmeter snr,?).
Die Einheit des Bodenftächenmaßes ist das 0«).
Verwandlungsübungen:
1. Wieviel a/m? (am?, m?»?) sind: 1 ?>r?, 2 m?, 10 m?, 25 m?, 99 m??
*) Iisktoar — dsktLi.
9
2. Wieviel sind: a) 5», 12", 75/«", Z /.'»?, 2 /»»?; — 4 «km?,
2-1 ?»«^, 8 c»??, 9»«»?, 18 a«««?, 46»««»^, 40"«»^, 50 ?»?; 6) 7/«a,
15 ", o) Z /«« 8 " 36 m?, ä) 1 /«a 5 " 8 »r ?
3. Verwandle in «»?, ?«««^ und «-»«^:
a) 15'6614 »?, d) 0'8904 m", o) 7'405 »?, '»r^, 1,»»? 25 />:»r^, 1 L»r 956 »?, 2 /e»? 1235 »?!
9. Schreibe als mehrnamige Zahlen: Z. B. 4 06 »? — 4 »? 6
a) 5'75 «?, 1'0825 »?, 12'0907 »?, 8'1706 ?»?, 9'0716 ?»?,
7'08 »r^, 2'64»?, 1'250846 »?; b) 2 35", 18'05", 9'99/«",
19'09/««, 2'1546/««, 3'0508 /«", 3'80/«", 15'60"!
10. Unser Schulgarten hat 6 " 85 »? Inhalt; ivieviel ist dies einnamig
in »r^, ", ?»??
3. Das Körpermast das Hohlmaß und die Gewichte.
1 M»^I000?»?(T) 100"»? (H) 10?«r'(Z) t ?»?(E)
1 »,? (E) 0'1,,?(zs O'Olm'(h) O'OOlm^t).
10
Veranschaulichung der Zahlen im Körpermaße!
Anschauen und Vergleichen der Körpermaße: m», «km», ^», mm»!
l i?li)»-//,' — l o,v? . 1 mm?" 0'001 am?,
lOllOav?» 1 Hm» (k) . 1 am» — 0'001 Hm»,
1000 Hm? — I vr» (10 Hk) .. 1 «km? — 0'001 -??»(0'01 Hk).
Die Einheit des Körpermaßes ist das Kubikmeter (--«?).
1000m» ---1 HH"»*) ....Im» 0'001 HH'M»,
1000^'" » — 1 .... 1 0'001
I 000 Hm» — l Hv<» .... 1 Hm? — 0'001 Hm»,
1000 H?tt» — 1 ,um» .... 1 Hm? — 0'001 ^i m», 225 m»! 1, 2, ... 9 Hm», 12 Hm», 45 Hm»!
2. Wieviel am» (mm») sind: 3 Hm» 52 am», 1 m? 126 Hm», 1 m»
65> Hm», 1 m? 9 H)"» 72 am», 76 Hm» 8 am»?
3. Wieviel m? sind: a) 1000 Hm», 700l) Hm», 8600 Hm», 546 Hm»,
7.5 Hm», 8 Hm»; — b) 1000000 am», 8 em», 12 am», 2678 em*?
4. Stelle fvlgende Rauminhalte mit der höchsten, niedersten Benennung
dar: a) 1 m» l Hm», 2 m.» 4 Hm» 872 am», 2 m? 15 Hm» 8 am»,
6 mm», 2 Hm» 50 am» 76 mm»; 6) 15 Hm» 69mm», 3 m? 65 Hm»
9 am» 427 mm»!
5. Wieviel Hm», am», mm» sind: 0'436125 m», 1'073004286 m?,
8'732015 Hm», 0'008009 Hm», 8'732 am», 999'408 m»?
Die Einheit des Hohlmaßes ist das Liter (k) — 1 ek-rr».
1k 10 Hk.1 Hk 0'1 k
1 H/ 10 ok.1 ak --- 0'1 Hk
1 ak — 10 vH.1 mk — 0'1 ak
1 H/H*) -- 10 k.1 k 0'1 H/H*)
1 /H --- io H/H — 100 k.1k ---0'01 /H.
In Österreich werden auch H, k und Hk geeicht und angewendet.
Verwandlungsübungen:
1. «) Wieviel k sind 1,2, ... 9, 10, 1.5 Hk (ak)? H) Wieviel k, Hk, ak sind 1,
2, ... 10, 50, 200, 4000 /H? a) Wieviel Hk sind 1000,8730, 675,48,6 k?
2. Verwandle in k, in /H: 1 Hk 9 k, 2 Hk 65 k, 20 Hk .5 k, 64 Hk 95 k!
3. Verwandle in kund Hk: 1'28/H, 16'08Hk,0'765Hk,2'048Hk,30'45Hk!
4. Verwandle in Hk, k und Hk: s.) 23'456 Hk, 5) 4'007 Hk, o) 2'4875 Hkl
*) HLm», km? und E werden in Österreich als Maß nicht benützt.
11
5. Reduziere und resolviere: 250 /, 6875 /, 8 /, 27 /, 63 LZ 58 /!
6. Wieviel LZ sind ») 1, 2, .. . 10, 20, 75 b) Z, m"?
7. Wieviel Z sind ») ö, 1, tz. io, b) ß, Z, A, L/?
Gewichte.
Die Einheit des Gewichtes ist das Kilogramm (kA, (r/LA,//) sind 1, 2, . . . 10 A, 4, 15 / ?'
2. Reduziere aufL//: 3000 A, 250 A, 48 A; 380 r/LA, 608 '775 //; es enthält 6'098A feines
Gold und 0'677 A Kupfer.
*) Ist im österr. Maßsysteme nicht vorgeschrieben.
12
Ein 10 Li-Stück wiegt 3'388 es enthält 3'049 - feines
Gold und 0'339- Kupfer.
S ilb e r mü n z e n:
Das Fünfkronenstück (Durchmesser 36 mm). Ein 5 Li-Stück wiegt
24-, enthält 21'6- Feinsilber und 2'4- Kupfer.
Die Krone (Ir) (Durchmesser 23 mm). 1 Krone wiegt 5-; sie
enthält 4'175- Feinsilber und 0'825 - Kupfer.
Nickelmünzen:
Das 20 Ii-Stück (Durchmesser — 21 mm, Gewicht 4 -),
„ 10 „ (Durchmesser — 19 mm, Gewicht 3 -).
Die österr.-ung. Nickelmünzen bestehen aus reinem Nickelmetall.
Bronzemüuzen:
Das 2 ü-Stück (Durchmesser — 19 mm, Gew. 3z -), 3 Stück — 10
„ 1 „ (Durchmesser — 17 m»^, „ 1Z-), 3 „ — 5-.
1 /e- Bronze besteht aus 95 <7L- Kupfer, aus 4 Ä- Zinn und 1 rtt- Zink.
i>) Papicrgctd.
Banknoten zu 10, 20, 50, 100 und 1000 Kronen.
Handelsmünzen (älterer Währungen):
1. Österreichische Dukaten, etwa 11 L 40 Ir wert; 2. der Levantiner-Taler
mit dem Bildnisse der Kaiserin Maria Theresia und der Jahreszalil 1780, etwa 3 42 Ir
wert. Alle Handelsmünzen haben einen veränderlichen Wert (Kurs).
V e rw a n d l u n g sü b u n g e n:
1. Wieviel ü sind: 2, 30, 45, 546, 850.. 1 Li-, 101!-, 20 Li-Stücke?
2. Wieviel Li sind 300 ü, 900 ü, 960 ü, 875 L, 268 L, 1 L, 8 ü,
12 ü, 77 ü, 1000 ü, 7500 ü, 12680 ü, 400 ü, 2825 ü, 702 ü?
3. Verwandle in L, iu ü: 3 Li 18 ü, 3 I! 8 ü, 51 Li 60 ü, 1736 L 58 ü?
4. Wieviel 1 ü-, 2 ü-, 10 ü-, 20 ü-, 1 1!-, 10 Li-Stücke sind 200 ü,
368 ü, 60 Li, 125 Li, 8'56 Li, 12'08 Li?
5. Wieviel Heller sind «,) 12 L, 58 Li, 17 Li, 6 Li 6 L, 2 Li 16 ü,
26 L 48 ü; ch 7'45 L, 15'92 L, 4'08 Li, 1'26 L, 45'90 Li?
6. Wieviel Kronen undHeller sind: a) 735'981!, 19'031!, 0'6881!,
28'36 Li, L) 144'765 L, 10'09 Li, 0'70 L, 8'04 L?
7. Reduziere: 926 iü, 1957 iü, 60800 ü, 75808 ü, 103 L, 2000 ü!
8. Verwandle in eine Dezimalzahl der höchsten Benennung: 12 1! 24 ü,
8 Li 9 L, 75 L 8 ü, 106 L 80 ü, 2546 L 65 ü, 1 L 60 ü!
9. n) Wieviel 1! und ü (ü) sind 5'461!, 2'81!, 8 ? Li, 15; Li, 25-Li,
160/„ Li ? Wieviel ü sind 1, Li?
8. Zeit-, Winkel- und Zählmaße.
a) Ein Jahr hat 12 Monate, 1 Monat wird in der Zins¬
rechnung gewöhnlich zu 30 Tagen, somit das Jahr zu 360 Tagen
angenommen. Nach dem Kalender hat der Februar 28 oder 29 Tage,
April, Juni, September, November haben je 30, und die übrigen
Monate haben je 31 Tage, so daß auf ein gemeines Jahr 365, auf
13
ein Schaltjahr 366 Tage kommen. Eine Woche hat 7 Tage, 1 Tag
24 S tu n d e n, 1 Stunde 60 Minute n und 1 Minute 60 S e ku n d e n.
Das Sonnenjahr zu 365 oder 366 Tagen wird auch 52 Wochen
gleichgesetzt; 1 Arbeitswoche hat 6 Tage.
1. Wieviel Stunden Mim, Sekunden) sind 2, 3,7,15,60,100,365 Tage ?
2. Wieviel Minuten sind 2, g, z, 4, g, .... ; g .... 7-; 7^ . - - i«',
-L .... ii; - ri; Zi; Stunden?
3. Wieviel Sekunden sind i, 5 ß, 7^. 2'7, 7, 77) Stunden (Minuten)?
4. Wieviel Minuten lind Sekunden sind 4'4, 8'1, 2'75, 5'5 Minuten?
8. Wieviel Tage sind 6, 12, 18, 48, 72, 100, 1000 Stunden?
6. Wieviel Monate sind 30, 65, 75, 120, 165, 195 Tage?
7. Wieviel Jahre sind 12, 18, 30, 40, 66, 123, 150 Monate?
8. Wieviel Tage und Stunden sind 3^ Tage, Il> Tage, 67 Tage?
9. Wieviel Jahre und Monate sind 7s;, 8x, 6ss, 17^ Jahre?
10. Wieviel Tage, Std.und Min. sind 1'5, 2'25, 3'75, 5'2, 12'4 Tage?
11. Wieviel Tage, Std., Min. sind 1, 2, 4, 10, 15, 50, 70, 100 Jahre?
b) Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 Grade ein¬
geteilt. Jedem Bogengrade entspricht am Mittelpunkte des Kreises ein
Winkel, der gleichfalls ein Grad genannt wird. Ein Grad (°) hat
60 Minuten, 1 Minute 0) 60 Sekunden (").
12. Wieviel Grade sind 180, 120, 60, 45, 30, 15, 90 Bogenminuten?
13. Wieviel Minuten sind 60, 180, 300, 12, 48, 90, 120 Bogensekunden?
14. Wieviel Min. (Sek.) sind 1, 3, 10, 45, 90, 120, 180 Bogengrade?
15. Wieviel Min. (Sek.) sind .(, 7, 7, 1-, 1, ß, 7^, A, D Bogengrade?
16. * Wieviel Grade und Minuten sind a)3'6, 14'5, 28'9 Bogengrade?
d) 30;, 44§, 63/» Bogengrade?
d) Ein Schock hat 60, eine Mandel 15, ein Dutzend 12 Stück,
1 Gros hat 12 Dutzend 144 Stück.
17*
18. *
19. *
20. *
21. *
22 *
Wieviel Stück sind a) 2 Dutzend, 2 Gros, 3 Gros 3 Dutzend;
6) 1 Gros 1 Dutzend 6 Stück; 0) 2 Schock 1 Mandel?
Wieviel Stück sind ») !, Z, .s, 3H, Iß, 2ß Dutzend; d) 1, sj,
L, L' M' K' U. L. 'S Gros?
Wieviel Stück sind a)o Dutzend und 7 St.; 6)3Mandeln und 9St.?
Wieviel Dutzend sind 24, 36, 42, 60, 63, 75, 100 Stück?
Wieviel Schock sind 15, 30, 45, 120, 210, 315, 420 Stück?
Wieviel Stück sind -0 s, .^, Dutzend, b) z, z, Z, iz Schock?
ä) Ein Ballen Papier hat 10 Ries, 1 Ries 10 Buch, 1 Buch
10 L a g e n, 1 Lage 10 B o g e n; oder 1 Ballen ---10 Ries---100 Buch
--- 1000 Lagen --- 10000 Bogen.
23. * Wieviel Lagen sind a) 30, 59, 86, 130 Bogen Papier; 6) 4, ß,
7 Ries Papier?
24. * Wieviel Bogen sind a) 2, 5, 12, 45 Lagen, 6) 4, 10, 15, 75 Buch,
0) 8, 50, 96 Ries, ) 486 L -st 97 Li -st 576 Li st- 7 Li --- 583 L.
275 /-N st- 55 377 L -st 77 L -st 78 L ---- 125 -s- 25 -st 36 ---
o) 124 m -st 218 m — 324 /,/ -st 18 /// — 334-n st- 8 /// — 342 /».
843 m?» st- 246 -0 246 »?-» -s- ....
114 Z- 114 -st 114 st- ...
9. Schnell- oder Taktrechnen:
7 und 11 ist 18, u. 11 ist 29, u. 11 .... bis 172;
12 u. 12 -- 24, u. 12 --- 36, u. 12 .... bis 240;
8 st- 13 --- 21, -st 13 --- 34, st- 13 ... . bis 203;
Übe solche Reihen mit den Zahlen 14 bis 19, 25), 75!
10. T a k t r e ch n e n : L) 4 -st < -st 3 st- 8 -st 1 -st 9 st- 5 -st 2 -st 8 ?
b) 50 -st 20 st- 60 -st 10 st- 90 -st 70 st- 80 -st 30 -st 40 -?
o) 15 -st 14 st- 26 st- 3 i -st 48 -st 33 -st 62 -st 59 — ?
11. Ergänze zu a) 100 (L) und L) 1000 (Li).
H 25, 75, 45, 64, 12, 93 (L)...; b) 125, 175, 376, 793, 968 (Li) ... !
Übe die Ergänzung zweistelliger Zahlen zu 100 bis zur Schlagfertigkeit 1
12. Ergänze zwei- und dreistellige Zahlen zu 1000, 36, 75, 125, 857 . . .!
13. Zähle zu 14 75 L dazu: 0 60 L, 0 64 X, 1 20 L, 10'16 Li ...!
14. Reihen:
-0 956 -st 9 .... ä) 18000 st- 7000 ... A> 2400 -st 3500...
b) 1070 st- 80 .... s) 1000 -st 45 ... L) 66000 -st 28000...
o) 3500 600 .... h 1220 -st 410 ... i) 1500 -st 2460...
15. Zähle zusammen: a) 0'5, 0'7, 0'9, 0'4; b> I'2, 4'5, 3'1; <9 2'3,
0'7, 4'8; ä) 0'23 -st 0'18 -st 0'44; e) 2'5, 4'08, 10'75!
16. In den 5 Klassen unserer Knabenbürgerschule befinden sich 42, 44,
50, 45, 38 Schüler; wieoiele zusammen?
17. Wieviel kosten alle für deine Klasse vorgeschriebenen H Schulbücher,
b) Schreibhefte, v) Zeichenrequisiten?
18. In einem Haushalte verbrauchte man in 1 Jahre für 146 L
(255'60 Ls) Kohlen und für 105 L (31'80 Li) Holz; wie teuer kam
die Feuerung?
19. Franz braucht in einem Jahre für Nahrungsmittel 940 Li und für
seine sonstigen Bedürfnisse 690 Li; wieviel im ganzen?
16
20. Ein Beamter hat 3360 Li (2400 Li) Gehalt rind 650 Li (575 Li)
Wohmingsgeld; wie groß ist sein Einkommen?
21. Ein sparsamer Arbeiter erspart im 1. Jahre 102 Li, im 2. Jahre
um 40 Li, im 3. Jahre um 75 Li mehr; wieviel hat er nach
3 Jahren erspart?
22. Karl gibt in die Heimsparkasse: 45 b, 80 b, 36 b und 39 L; wieviel Li
hat er gespart?
23. Für unsere Ferienkolonie haben Wohltäter gespendet: 10 Li, 5 Li,
3 Li, 15 Li, 25 Li und 37 Li; wieviel Kronen zusammen?
24. Wien hat eine östliche Länge von 16° 23' von Greenwich (Stern¬
warte von London), Greenwich eine östliche Länge von 17° 39' von
Ferro; welche östliche Länge, auf Ferro bezogen, hat Wien?
25. Der Fuß des 140 m hohen Stephansturmes liegt 160 m über dem
Meeresspiegel. Wie hoch liegt die Turmspitze über dem Meeresspiegel?
26. Karl der Große kam 768 zur Regierung und regierte 46 Jahre.
Wann starb er?
27. Unser Kaiser Franz Josef I. ist im Jahre 1830 geboren und über¬
nahm die Regierung im Jahre 1848; s) wie alt war er damals,
6) wie alt ist er heute, o) wie lange regiert er?
(Wie alt ist heute jeder von euch?)
28. Wieviel Tage hat sh das 1., 2., 3., 4. Vierteljahr, das Sommer¬
und Winterhalbjahr, 6) die Zeit vom 23. Mai bis 31. August?
t>) Zisfcrrechnen.
1. Für die Armen unseres Schulortes wurden 315 Li, 691 Li und
582 Li gespendet; wieviel Li zusammen?
28'74 Li ein; wieviel Li zusammen?
9. 224'57 -s- 295'086 -s- 17'8 -st 9'76 (m).
17
10. 4'3125 -st 2'13567 -st 7'M84 -st 51'383 st- 11'1567 (ck^).
11. 35'148 st- 13'856 -j- 25'377 -st 33'209 st- 28'185 (K-).
12. 0'3784 4- 0'4785 -4 16 4- 0'2545 -4 24 -4 1'475 (/E).
13. 0'5 -4 0'25 4- 0'125 4- 0'0625 -4 0'03125 (/m).
14. 5'0863 4^ 2'897 4- 10'1306 4- 4'77235 -st 8'25 („?).
15. Welche Zahl ist um 127'75 größer als 293'125, 150'08, 46'075?
16. Addiere folgende Zahlen:
a) 35'246 b) 13'79593 o) 8'74612 ä) 0'513 678 s) 277'33
a)18/5rl/9r7 b> 12 k« 75 ?
37 „ 49 „ 8 „
b) 15 LA
— b " 15 MA 6A
4» 46 - 8 LA 92 ck/eA
- 29 „ 55 „ 56 „
3. s) 325 Li 72 ü
- 59 „ 58 „
4. L) 63° 29' 45"
16° 12'30"
b) 950 M 45 Pf o) 1260 Lr 66 Ots
- 236 17 .. - 479^ 38 „
1? 9 Gros 8 Dutzend 3 Stück
2 „ i> „ 7 „
5. Karl ist 12 Jahre 7 Monate 12 Tage alt, seine Schwester ist
3 Jahre 9 Monate 8 Tage jünger; wie alt ist die Schwester?
6. Ein Schreibwarenhändler hat einen Vorrat von 22 Gros Federn
und verkauft davon in: Laufe von 4 Wochen 4 Gros 8 Dutzend,
6 Gros 7 Dutzend, 2 Gros 9 Dutzend und 7 Gros 5 Dutzend;
wieviel Federn bleiben ihm noch übrig?
7. Innsbruck hat 9° 3' 41", Wien 14° 2' 36", Ofen 16° 42' 47",
Lemberg 21° 42' 40" östliche Länge von Paris; wieviel Grade liegt
Lemberg östlicher als jede der drei anderen Städte?
8. In Wien tritt der Mittag 55 Minuten 11 Sekrinden früher ein
als in Paris; wieviel Uhr ist es in Paris, wenn die Uhr in Wien
4 Stunden 37 Minuten 45 Sekunden zeigt?
9. Die größte Tageslänge beträgt bei uns 16 Stunden 15 Minuten,
die kürzeste 8 Stunden 8 Minuten, s) Wieviel beträgt der Unter¬
schied zwischen diesen Tageslängen? b) Wie lange dauert die
kürzeste Nacht?
3. Multiplizieren (Vervielfachen).
l. Um 1 Li erhält man 75 om Leinwand; wieviel om derselben Lein¬
wand bekommt man um 9 Li?
Was bedeuten die Ausdrücke: sh Multiplizieren, ü) Mul¬
tiplikand, o) Multiplikator, ck) Faktoren, s) Produkt?
Welches ist das Zeichen der Multiplikation? Wie macht
man bei der Multiplikation die Probe?
2v
Kopfrechnen.
2. Wiederhole und übe bis zur Schlagfertigkeit:
a) Das kleine Einmaleins;
b) I mal bis 10 mal 11 (12); 1 mal bis 8 mal 15; 1 mal bis
6 mal 16; 1 mal bis 5 mal 18!
Bis zum Auswendigkönnen!
o) Die geraden und ungeraden Vielfachen der Zweier-, Dreierreihe,
.... bis Neuner-, Zehnerreihe von 1—20!
ch Rechne durch Zerlegung: z. B. 14 X 9 — 90 -Z 36 126;
14 X 7, 16 X 9, 17 X 4, 19 X 6 .... !
3. Vervielfachen: a) reiner Zehner, z. B. 2, 3 . . 10 mal 20,
30..90, 100 (b, L, <7LA, mm, ?.); bis zum Zehnfachen auf- und
abwärts, dann außer der Reihe;
b) zweiziffriger Zahlen, z. B. 2,10 mal 25, 75.. (ü, L, LA);
o) zweiziffriger Zahlen mit reinen Zehnern, z.B. 20, 30
.... 90, 100 mal 12, 13 .... 19, 20, 25, 48, 65, 75, 92 ....
(b, L, m?);
ä) zweiziffriger Zahlen mit zweiziffrigen Zahlen, z. B.
12, 13 .... 18, 25 mal 12, 18, 25, 68, 75, 88 .... (Stück); übe
insbesondere 11 X 11, 12 X 12,13 X 13, .... 19 X 19, 20 X 20!
5) reiner Hunderter und dreiziffriger Zahlen, z. B. 2, 3,
.. 10 mal 200, 300, .. 900 auf- und abwärts, dann außer der
Reihe; - 120, 240, 350, .. - 111, 116, 125, 275, 612, ...
(K, T, ä's);
l) in Reihen reiner Tausender: 1000, 2000 ... 9000 bis zum
Zehnfachen auf- und abwärts, dann außer der Reihe.
4. Übe in Reihen und reduziere: a) 10 mal, b) 100 mal, o) 1000 mal
1 mm, 1 em, .... 1 m, 1 c/Lm, 1 Lm .... 1 /rm!
5. Wieviel mm? (cm?, a) find: 1, 5, 8, 12, 20, 25, 45, 76, 90 en?
(m?, La)?
6. Nimm 10, 100, 1000 mal a) 5, 16, 20, 25, 36, 76 .. (b, c/LA, y,
a, m?);
6) 45 mm, 1 X 8 b, 2 L 50 b, 3 L 16 b, 8 4 12 c/n?, 15 n?,
75 MA;
o) 0'1, 0'4, 1'2, 3'8,0'05,0'34,1'06,0'008,24'6 (L, n?, Lm)!
7. Rechne: 2, 3, 5, .... lOmal a) 0'1, 1'4 0'9, 1'3, 6'6.. .
6) 0'01, 0'05, 0'86.. o) 25, 2'5, 0'25, 0'025, 7'5, 0'75;
ä) 10, 30, 50 .. 90, 100 mal 45 b, 25 ü, 85 ü, 78 »?, 94 em,
16 e/m ü
8. Taktrechnen: a) 40 X 5 Z- 30 X 12 -s- 70 X 15 — 600 X
X 2 - 450 --
b) 300 X 8 -Z 800 X 40 — 700 X 30 Z- 8000 X 9
9. Rechenvorteile: a) 190 X 6 — 1200 — 60 — 1140.
Löse ebenso: 290 X 8, 480 X 9, 870 X 7; 197 X 3;
26
k) 370 X 9 --- 3700 - 370 -- 3330.
Z. B.: 480 X 9, 650 X 9, 370 X 9; 370 X 19, 240 X 39,
140 X 69, 800 X 99.
Bilde eine Regel für die Multiplikation mit 9 und mit 99!
o) 18 X 15 --- 18 X 5 X 3 — 90 X 3 270.
Z. B.: Ä X 24, 35 X"l8, 45 X 14, 170 X 24, 250 X 16,
440 X 36, 500 X 64!
ä) Löse vorteilhaft: 390 X 7, 680 X 9, 56 X 90, 820 X 28,
497 X 5, 68 X 290,140 X 19, 320 X 17!
Schlußrechnungen, a) Schluß von der Einheit auf die Mehrheit.
1. Wieviel kosten 13 LZ Gerste, wenn 1 LZ 9 X kostet?
13 LZ sind 13 mal 1 LZ; daher kosten 13 LZ auch 13 mal 9 L, das sind 117 X.
2. Ein Dutzend Perlmutterknöpfe kostet 60 ü; wieviel kosten 30 (10
6, 12, 15) Dutzend?
^3. Wieviel kosten 7 LZ (3, 8, 10, 12/<0 Wein, wenn 1Z 0'9 T kostet?
4. Ein Schnittwarenhändler bezieht 20 Dutzend Taschentücher ä 5 T
60 ü und verkauft die Ware um 148 1^; wieviel beträgt sein
Gewinn?
5. Bei einer Dezimalwage braucht man nur den 10. Teil des wirk¬
lichen Gewichtes aufzulegen. Wie schwer sind also die gewogenen
Gegenstände, wenn die Gewichte betrugen: 25 A, 46 A, 20 rZLy,
68 0'175 LA, 0'08 LA, 0'625 LA, 4'835 LA?
6. Ein Glaser erhält 420 Lampenzylinder u 0'12 K!; wieviel hat er
dafür zu bezahlen?
7. Ein Weber webt täglich 2'8 wieviel weben 3 Weber in einer
Woche?
8. In der Rotenturmstraße zu Wien kostet 1 n? Baugrund 240
wie teuer ist in dieser Straße ») 1 a, b) ein Bauplatz von 3'8 a,
v) von 4'6 K Größe?
9. 1 a Gartengrund kostet 58'5 I?!. Wieviel kosten 1 (3, 5, 10) La?
10. * Wieviel kosten 6, 12, 20, 50 Lesebücher zu 90 ü (1'40 l^)?
11. Miß die Länge deines Schrittes und zähle die Schritte beim Gange
vom Hause zur Schule; wie weit ist deine Wohnung von der
Schule entfernt?
12. Ein Fachlehrer macht mit 32 Bürgerschülern eine Ferienreise und
löst für sich und die Schüler Fahrkarten der 4. Zone zum er¬
mäßigten Preise von 1'70^; wieviel wird für die Karten bezahlt?
13. Wieviel Wochen bist du heute alt, das Jahr zu 52 Wochen ge¬
rechnet?
14. Jemand zahlt monatlich 58 Kostgeld. Wieviel beträgt dies »)
viertel-, b) halb- und o) ganzjährig?
*) Versuchet bei allen Aufgaben die Lösung im Kopfe; bestimmet aus den
abgerundeten Zahlen der Angabe das beiläufige Ergebnis im Kopfe!
27
15. In einer Familie beträgt die wöchentliche Ausgabe für Brot 3 X
40ü; wieviel beträgt sie in 3, 4, 6, 8 Wochen?
16. 1 Flasche Wein kostet 2'5 X; wieviel kosten 20, 50, 100, 200
Flaschen?
17. 1 Z Essig kostet 28 ü; wieviel kostet 1 Faß mit 30 (56, 80) Z?
18. Jemand kauft in einem Laden 2 Paar Strümpfe zu je 1'85 X
und 2 Paar warme Handschuhe zu 90 ü; wieviel erhält er noch
auf 10 X heraus?
19. 6l raucht täglich 3 Zigarren, wovon 100 Stück 7X kosten; a) wie¬
viel gibt er wöchentlich, (monatlich), jährlich für Zigarren aus?
b) Wieviel beträgt diese unnötige Ausgabe in 2, 5, 10 Jahren?
20. Ein Geselle nimmt sich vor, statt 3 Zigarren täglich nur 1 Zigarre
zu rauchen, und erspart somit 20 ü; wieviel erspart er u) in einer
Woche, b) 1 Monat, o) in 1, 2, 4, 5 Jahren?
Das Zigaretten- und Zigarrenrauchen ist für die Jugend sehr schädlich und
sollte bis zum 18. Lebensjahre gänzlich vermieden werden. Aber auch Erwachsene
können es entbehren. Wer es sich nicht angewöhnt, vermißt es nicht und erspart
viel Geld dabei.
21. Wie groß ist der Wochenlohn für 8 Arbeiter, wenn 1 Arbeiter per
Tag 2'8 X erhält?
22. Wieviel Lohn erhalten 36 Maurer, die 14 Tage gearbeitet haben,
wenn 1 Maurer einen Taglohn von 6 X 50 ü erhält?
23. Ein Rad hat 58 M Umfang. Welchen Weg legt es bei 40 Um¬
drehungen zurück?
24. Ein Körper, der sich gleichförmig bewegt, legt in 1 Sek. 500 m zurück;
wieviel in 18 Sek.?
25. Ein Eilzug legt in der Minute 1 Lm-125 nr zurück; wie weit
kommt er in 10, 20, 60 Minuten?
6) Schluß von einer Mehrheit auf ein Vielfaches derselben.
1. 8 LA gestoßenen Pfeffer kosten 13 X; wieviel kosten 24 LA?
24 /-A sind 3 mal 8 LA, sie kosten also 3 mal 13 X --- 39 X.
2. 9 LZ Wein kosten 267 X; wieviel kosten 36 LZ?
3. 7 ZcA Öl kosten 5 X; wieviel kosten 42 LA?
4. 11 ÄZ-N Tee kosten 56 b; wieviel kosten 77 cZLA?
5. 4 L§ Salami kosten 16 X: wieviel kosten 36 LA?
6. 8 cZLA Tabak kosten 1'20 X; wieviel kosten 72 ckLA?
7. 15 Z Bier kosten 7 X; wieviel kosten 60 Z?
8. Für 6 X kauft man 10 Dutzend Bleistifte; wieviel für 30 X?
9. 8 m Kleiderstoff kosten 23 X; wieviel kosten 72 M?
10. Wenn von einem Stoffe 5 wr 17 X kosten, wieviel kosten 25 nr
desselben Stoffes?
2»
11. Aus 9 /»^, da
1 österreichische Quadratmeile — 57'546 42 L?X ist? (2 Dezimalen.)
8*
36
4. Dividieren (Teilen oder Enthaltensein).
L) 8 /m Ackerland werden um 4576 K gekauft; wie hoch kommt 1 /m?
d) Ein Getreidehändler kaust uni 1232 K Hafer, das -7 zu ZK;
wieviel 7?7 bekommt er für jene Summe?
Was bedeuten die Ausdrücke: s.) Dividieren, ist Dividend,
o) Divisor, ä) Quotient, ) Zifferrechnen.
1. Suche den 4. Teil von 170924 Li!
Teile mit Beachtung des Stellenwertes!
2. Suche den 8. Teil von 752 L, 1528 ü, 17184 L, 35056 L,
9136 /r/, 13 768 mft 40700 /c§!
3. Wie oft sind 6 m- enthalten in: 7812,19422, 873695 m°? (Probe!)
4. 57 933 rZm^: 9 — 50975 m:5m— 69804:4 —
195708 c, : 6 --- 630791 a : 7 a --- 734098:8 ---
832414 Li : 3 — 1809704 Li : 8 Li — 2641079 : 9 —
( Probe!)
H E H Z E Z
5. 342 0 uc : 10 — 342 -n, 84 2 /c« ; 20 — 42 1 /c«.
30
4731 L.
Zt H H E H
7. 98 648 L : 418 — 236 L (Probe!)
1o04 Die Teilprodukte aus dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des
2508 Quotienten werden gewöhnlich sogleich während des Multiplizierens von
0 den betreffenden Teildividenden subtrahiert und bloß die Reste angeschrieben.
Man spricht: 418 in 986 (4 in 9) ist 2 mal enthalten; 2 mal 8 16 und 0 16, 1;
2 mal 1 2 und 1 3, und g 8; 2 nral 4 8 und 1 9. Zum Reste 150 kommt 4
herab; 418 in 1504 (4 in 15) ist 3 mal enthalten; 3 mal 8 24 und 0 24, 2; 3 mal
1 3 und 2 5, und 8 10, 1; 3 mal 4 12, und 1 13, und 2 15; usf.
8. Teile mit Vorausbestimmung des Stellenwertes der 1. Ziffer im
Quotienten: u) 684 A : 12; 4399 ? : 83; 7840 /: 20; b) 15766 Li: 49;
96054 c/m : 75; 795064 : 86!
9. Miß mit Vorausbestimmung des Stellenwertes der höchsten geltenden
Ziffer im Quotienten: u) 32768 « : 128«; 69712 /r« : 624/r«;
723150 c/»? : 1800 c/»?; b) 34463 Bog. : 370 Bog.; 25238 Std.
: 500 Std.; 861704 L : 3510 L; o) 854935:725, 732681:984,
120593 : 197; 16050 : 380; 287564 : 2900; 1432826 : 3824.
10. Ein Bote legt in 10 Stunden 3 9 560 M Weges zurück;
wieviel /cm in 1 Stunde?
E E E
In 1 Stunde.. .39'56 L»r : 10 — 3'956 Lm —
- 3 /c»r 956 »r — 4 /c»?.
I I. Ein Kaufmann verdient wöchentlich 100 L; in wieviel Wochen hat
er 2456'5 14 verdient?
2456 5 sind der Verdienst für sovielmal 1 Woche, als inan 100 Iv von 2456'51<
wegnehmen kann, d. h. so oft 100 L in 2456-5 L enthalten sind; daher
2456'5 L : 100 L 2456-5 : 100 --- 24'665 ---- 25;
in 25 mal 1 Woche — 25 Woche n.
12. Dividiere durch 10, 100, 1000, 10000 mit Beachtung des Stellen¬
wertes als Teilen (als Messen):
u) 23'7, 7'5, 6'25, 168'9, 205'16; b) 0'5, 0'25, 1'175, 18'4,
560'8;
40
o) 785'34 : 10, 23'7 : 100, 1'235 : 100;
ä) 1235 : 100, 2357 : 1000, 70845 : 10000!
Eine Dezimalzahl wird durch eine ganze Zahl dividiert, in¬
dem man sie wie eine ganze Zahl dividiert und im Quotienten
den Dezimalpunkt setzt, bevor man die Zehntel des Dividends
in Rechnung zieht.
NL. Was erhält man im Quotienten, wenn man Einer,
Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender und Millionen durch
Einer dividiert?
Was erhält man im Quotienten, wenn mau Zehntel, Hundertstel,
Tausendstel, Zehntausendstel und Millionstel durch Einer dividiert?
13. a) 135'873 : 9
2'7835 : 5
9'1415 : 16
d) 195'935 : 26
0'73 : 25
121'78 : 400
o) 530'84 : 235
94'214 : 630
2573'86 : 375
14.* Wie oft ist enthalten 0'1 in 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10?
Durch 01 dividieren heißt atso mit 10 multiplizieren.
15. * Wie oft sind enthalten: 0'2 in 1, 2, 5, 6, 7,12 Ganzen?
16. * Wie oft ist 0'01 in 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10 enthalten?
Durch 0'01 dividieren heißt also mit 100 multiplizieren.
17. * Wie oft sind 0'06 in 3, 6, 9, 12, 30 enthalten?
18. * Wie oft ist 0'001 in 1, 2, 3, 10, 100, 1000 enthalten?
Was heißt demnach durch 0'001 dividieren?
19. Bestimme den Quotienten: a) 343 : 7, d) 3430 : 70, o) 343000 : 700!
20. Multipliziere Dividend und Divisor in der Division 343 : 7 s.) mit
5, d) mit 6, o) mit 8 und suche den Quotienten!
Der Quotient bleibt unverändert, wenn man 1. Dividend
und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder 2. beide durch
dieselbe Zahl dividiert.
Bon diesem 1. Satze macht man passenden Gebrauch beim Dividieren von
Dezimalzahlen, wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist.
Hat man z. B. 5'696 : 0'32, so kann man sofort durch Multiplikation
des Dividends und Divisors mit 100 den Divisor in eine ganze Zahl ver¬
wandeln; dann hat man
5'696 : 0'32 --- 569'6 : 32 --- 17'8.
21. Bestimme darnach folgende Quotienten und mache dann die Probe
durch die Multiplikation: a) 1'28 : 0'4, 0'56 : 0'09, 56'96 :
0'32, 3'182 : 0'043; 6) 2'482 : 7'3, 221'4 : 0'041, 743'4 :
1'26, 3'0099 : 0'381; o) 12'345 : 0'047, 48'45 : 0'089, 8 : 122,
346'25 : 64'8!
22. ») 1792'325 : 25, 0'9537 : 29, 1739 : 4'8; b) 38'9008 : 5'23,
1784 : 29'57, 83'087 : 5'37; c) 123'5 : 384, 9'1342 : 208'3,
0'8975 : 0'076.
23. Dividiere durch 4'18 die Zahlen: 340 753,9864'8,58'1248,0'09 658!
41
24. Bestimme an folgenden Divisionen im voraus den Stellenwert der
1. Ziffer des Quotienten, dann dividiere aus:
-st 17'64 : 8'4, 17'64 : 0'84, 15'75 : 28'35, 2'9904 : 3'56;
ist 44'075 /em : 10'25, 1846'84 L : 463'9 L, 33'25 m: 16'5 m;
o) 864'52 : 95'7 (3 Dez.), 6892 : 854 (2 Dez.), 0'125 : 0'175
(4 Dez.)!
25. a) 5'486 : 0'27 (3. Dez.), 1896 : 0'35 (2. Dez.), 14'7 : 15
(4. Dez.);
d)' 25'892 : 0'0875 (3. Dez.), 145'98 : 0'146 (2. Dez.) 56'84 :16'4
(2. Dez.);
stst 78'06 : 405, 0'387 : 25, 0'8793 : 12'6, 805 : 0'75!
26. -st 1000 : 3'4506, 581'4 : 27'98, 348 : 2'9156; 6) 15'3678 : 0'912,
0'0494 : 2'578, 0'8756 : 4'322; o) 5701'7926 : 3935, 3781
: 287'453, 0'2368 : 72369; ä> 137'84:7'91, 395'62 : 42'79,
0'81074 : 0'00915!
Rechenvorteile bei der Division.
(Line Zahl durch 10, 100, 1000 dividieren.
82^0^0- 32000: 1^00 45^000:1^000
1894 :10 9,27'56:100 927'56 : 1000
Der Divisor läßt sich in zwei Faktoren zerlegen, durch
welche man bequem dividieren kann. Z. B.
466320 : 48 bl 330579 : 45
: 6 : 5
77720 66115'3
: 8 - : 9
9715 7346 2
Der Divisor ist 25. Z. V.:
34625 X 4
-0 34625 : 25 - — 1385'00
i>) 153723 : 25 6148'92.
Der Divisor ist 125. Z. B.:
-st 579625 : 125 .4637'000
d) 21579 : 125 — 172'632.
Berechne mit Anwendung der Borteile:
1. -st 49 320: 72, 784 345:35, 100 800:28, 281518:81; ist 85 608:24,
136'955 : 49, 252536 : 6'3, 509936 : 56; o) 1636765 : 45,
1466'667 : 27, 462'416 : 1'6, 47273394 : 54!
2. -st 13 725:25, 930 450:25, 861582:25, 811475:25: ist 379 420:25,
92'7518 : 25, 7823'76 : 25, 349'824 : 25; o) 78835 : 25,
17'725 : 25, 378'75 : 2'5, 29'204 : 2'5!
3. -st 598125 : 125, 524625 : 125, 317890: 25, ist 379'8125: 125,
80'74425 : 12'5, 7'91275 : 125!
42
4. Nennet den 10., 100., 1000. Teil aller Zahlen der Aufgaben
1 und 2!
Angewandte Aufgaben.
1. Eine Familie zahlt jährlich 195 Li Miete; wieviel beträgt der
wöchentliche Zins?
Bei kleinem Einkommen zahle man die-Miete kluger Weise wöchentlich!
2. Ein Familienvater verdient täglich 3'90 L. Er gibt im Jahre
aus: für die Wohnung 155 Li, für Beheizung und Beleuchtung
64'50 Li, für Kleidung 130 Li, für Beiträge zur Krankenversicherung
22 Li. Wieviel darf die Frau a) wöchentlich, b) täglich für die
Nahrung verbrauchen, wenn das Jahr zu 300 Arbeitstagen ange¬
nommen wird?
Wenn du nicht in Schulden kommen willst, so teile das Einkommen ver¬
nünftig ein!
3. Ein Beamter hat einen Jahresgehalt von 3280 Li. Wieviel entfällt
davon H auf 1 Monat, 6) auf 1 Woche, v) auf einen Tag?
(Bis auf L ausrechnen!)
4. 3'4 »r Stoff zu einem Herrenanzuge kosten 36'04 Li; wieviel kosten
von demselben Stoffe die zu einem Knabenanzuge nötigen 2'5 nr?
5. Wenn aus 1 - Kornmehl 108 Brotlaibe gebacken werden und 1 -
Kornmehl 25'92 Li kostet, wieviel kostet das Mehl für 1 Laib?
6. Eine Gasflamme verbraucht in 210 Stunden 35 Gas; 1
Gas kostet 32 ü. u) Wieviel Gas braucht eine Gasflamme in
einer Stunde, 6) wieviel kostet die Flamme für eine Stunde
Brennzeit?
7. Ein Waggon mit 105 - böhmische Braunkohlen kostet an der
Grube 67'5 Li, die Fracht bis Wien beträgt 95'86 Li, die Abfuhr
22'5 Li. Wie hoch stellt sich 1 s?
8. Wieviel Li Weizen kann man für 442'5)2 Li kaufen, wenn das
Li 19'24 Li kostet?
9. 5800 /V Mehl kosten 1972 Li- wieviel kostet 1 ist/?
10. 5'135 - Petroleum kosten 221'49 Li; wie hoch kommt 1 s?
11. Ein Kaufmann nahm für 495'985 /-U Kaffee, den er mit 1198'5 Li
bezahlte, 1397'75 Li ein; a) wie teuer kaufte er 1 LA, b) wie teuer
verkaufte er 1 Ls, o) wieviel gewann er bei diesem Geschäfte?
12. Eiil Fleischhauer verkauft das L^/ Rindfleisch für 1'80 Li; wieviel
LA Fleisch hat er an einem Tage verkauft, wenn er 334'8 Li ein¬
genommen hat?
13. Ein Wirt hat folgende Partien neuen Wein gekauft: 14 Li L 45'8 Li,
9 Li ä 46'6 Li und 18 Li L 48'75 Li. g.) Wie hoch kam der
ganze Wein'? b) 1 Li im Durchschnitt?
43
14. Wie hoch stellen sich die festen Ausgaben eines Geschäftes für den
Tag, wenn die Vierteljahrsmiete 260 Li beträgt, wenn 175 X im
Jahre an Steuern zu entrichten sind, wenn die Beleuchtung im
Monate auf 26'8 Li kommt und in einer Woche 4'5 L. für die
Reinigung bezahlt werden?
15. Ein Landwirt erntete in 5 Jahren zusammen 465 - Weizen
L 24'80 L, 276 - Korn a 19'60 L, 645 - Kartoffeln L 4'65 L
und 175 K/ Wein ä 48'5 Li. a) Wieviel ist die Gesamtfechsung
der 5 Jahre wert? b) Wie groß ist ihr jährlicher Durchschnitt?
16. Ein Landwirt liefert vom 1. Jänner bis einschließlich 15. Mai
täglich 115 / Milch in die Genossenschaftsmolkerei und erhält dafür
2484 Li ausbezahlt. Wie hoch wird ihm 1 § Milch berechnet?
17. Ein Radfahrer legt die Strecke Wien—St. Pölten von 61 km in
3 Stunden zurück; wieviel km und m kommen durchschnittlich auf
1 Stunde, 1 Minute, 1 Sekunde?
18. Der Schnellzug von Wien nach Brünn legt die 143'439 km lange
Strecke in 152 Minuten zurück; welchen Weg legt dieser Zug durch¬
schnittlich in 1 Stunde, in 1 Minute, in 1 Sekunde zurück?
19. Wieviel km beträgt die Länge eines Grades des Äquators, wenn
der Äquator 40070 km mißt?
20. Ein Eisenstück wiegt 16'20 k§; welchen Rauminhalt nimmt es ein?
(1 cim^ wiegt 7'8 kA.)
21. Dividiere:
14 m 9 c/m 4 enr : 6 — oder 14'94 m: 6 — 2'49 m
2 m 4 ->-
56
1
Die Ziffer 5 des Quotienten wird auf gewöhnliche Weise
entwickelt. Statt an den Rest 5'42 eine Null anzufügen, streichen
wir die Divisorziffer 4 ab, weil für ihr Teilprodukt kein Platz
vorhanden ist. Beim gewöhnlichen Dividieren hätte das Teilprodukt
7 X 4 — 28 Tausendstel, abgerundet 3 Hundertstel zum Weg¬
nehmen ergeben. Die 3 Hundertstel werden daher als „Korrektur"
dem Teilprodukte beigezählt.
Mail spricht bei der Entwicklung der Ziffer 7:
7 mal 4 ist 28, 3 zur Korrektur;
7 „ 9 „ 63-st 3 ist 66 und 6 ist 72, bleibt 7;
7 „ 6 „ 42-1-7 „ 49 5 „ 54;
bei Entwicklung der Ziffer 8:
8 mal 9 ist 72, 7 zur Korrektur,
8 „ 6 „ 48 -st 7 — 55 und 1 ist 56.
Z
2. 505'77:19'1 35 — 26'432
123 07
8 26
61
4
0
3. Berechne mit Anwendung dieses Vorteiles:
H 768'9:6'312 (auf h), b) 0'385: 2'57 (auf t),
e) 2'039:0'1479 (auf t), ä) 0'0693:0'598 (auf zt)!
4. Die Fläche eines Rechteckes beträgt 40'7678 und die Höhe
genau gemessen 3'4659 m; wie groß ist die Länge?
Wir wollen die Länge des Rechteckes nur auf am genau
ausrechnen.
Wir haben also 40'7678:3'4659 auf 2 Dezimalstellen zu
entwickeln. Die höchste Ziffer des Quotienten bedeutet Zehner.
40'76;78:3'465>9 - 1.'..
Darnach bezeichnen wir uns durch Punkte die noch verlangten
2 Dezimalstellen, so daß also im Quotienten im ganzen 4 geltende
Ziffern erscheinen werden. Da die Ziffern des Quotienten jedesmal
45
aus der höchsten Stelle des Dividends bestimmt werden, braucht
man hier im Dividend ebenfalls nur 4 Ziffern. Dann darf aber
das erste Teilprodukt ebenfalls 4 Ziffern nicht überschreiten; des¬
halb darf man vom Divisor, aus dem ja das Teilprodukt entsteht,
ebenfalls höchstens 4 Ziffern zur Rechnung benützen, so zwar, daß
vom Dividend die rechts vom Strich stehenden Ziffern 7 und 8
und vom Divisor die 9 nicht in Betracht kommen.
40-76 78:3- 4 6 5 9 — 11'76
6 10
2 63
21
1
Führen wir einmal diese Division auf gewöhnliche Art aus,
40'76
610
264
78 :3-4659 11'76
88
290
21 6770
8816
so sehen wir, daß auch 11'76
als Quotieut erscheint, daß also
unsere verkürzte Rechnung ebenso
richtig ist, obwohl wir das An¬
schreiben der rechts vom Strich
stehenden Ziffern und das Rech¬
nen mit denselben erspart haben.
Ist die erste Ziffer des Divisors in der ersten Ziffer des
Dividends nicht enthalten, so muß inan selbstverständlich im
Dividend eine Ziffer mehr nehmen, als man ihrer im Quotienten
erhält, d. h. gegebenenfalls auch Nullen anhängen, wie z. B. in
folgender Aufgabe: Dez.
25'68»., -.0'04^86,7 ----- 527 4135
1'3450
37160
3091
171
25
1
Der Quotient hat 3 Stellen in den Ganzen und 3 Dezimal¬
stellen, also zusammen 6 Stellen; im Dividend braucht man
diesmal 7 Stellen, muß also 3 Nullen anhängen. Wenn man im
Dividend keine Ziffer mehr zum Heruntersetzen hat, schneidet mau
die 1. Ziffer im Divisor (hier die 7) ab und verfährt wie oben.
Daraus ergibt sich für die abgekürzte Division folgende
Regel:
1. Man suche die erste Ziffer des Quotienten und bestimme
ihren Stellenwert. Da der Quotient eine bestimmte Anzahl Dezimaler!
enthalten soll, so ist aus dem Stellenwerte der ersten Ziffer auch
zu erkennen, wieviele Ziffern des verlangten Quotienten im ganzen
zu entwickeln find.
46
2. Man behalte im Divisor von der Linken angefangen so
viele Ziffern, als ihrer für den Quotienten zu entwickeln sind; diese
Ziffern bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht so viel
Ziffern als man behalten soll, so tritt die abgekürzte Division erst
später im Verlaufe der Rechnung ein.
3. Man behalte im Dividend nur so viele Ziffern von der höchsten
angefangen, als ihrer im Quotienten zu entwickeln sind, oder um eine
mehr, wenn die höchste Ziffer des Divisors in der höchsten Ziffer des
Dividends nicht enthalten ist; jene beibehaltenen Ziffern sind der ab¬
gekürzte Dividend.
4. Man dividiere nach der gewöhnlichen Divisionsweise so lange
fort, bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herabgesetzt wurde;
hierauf lasse man bei jeder folgenden Division die niederste noch vor¬
handene Ziffer des Divisors weg; die jedesmal gefundene Ziffer des
Quotienten multipliziere man dann zuerst mit der im Divisor weg¬
gelassenen Ziffer und zähle die aus diesem Produkte sich ergebende
Korrektur zu dem ersten eigentlichen Produkte dazu.
5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich iin Divisor keine Ziffer
mehr vorfindet.
Die verkürzte Division kann auch bei jeder Divisionsaufgabe
mit ganzen Zahlen airgewendet werden.
5. Berechne abgekürzt:
a) 56'874 L: 69'245 (auf ü), b) 803'6 L : 87'652 (ans 10,
894 : 36'208 (auf.'A:10'876 (auf Mch; 9'86 /m : 0'148 079 (auf »?)!
6. 86 : 0'004 68 (auf E), 24 867'3 : 946'31 (auf t), '
263'2 : 0'427 (auf h), 44'1937 : 0-8536 (auf t),
0'6938: 4-715 (auf zt), 0'4789 : 8'21 (auf ht-!
Mache die Probe über die vorstehenden Aufgaben, indem du
a) gewöhnlich dividierst, b) indem du den gewonnenen Quotienten
mit dem Divisor verkürzt multiplizierst!
7. 0'8912 : 2'59, (0'9275 : 0'31, 309'27 : 0'0987 (auf 2 Dezi¬
malen), 372'934 : 18'7, 39'644 : 417, 106'2793 : 5736 (auf 4
Dezimalen). 748 : 9'13457, 1 : 3'14159 (auf 5 Dezimalen),
4651037 : 6315 (auf h).
8. Wieviel Schüler haben in einem Schulzimmer voir 208'46353 »?-'
Inhalt Platz, wenn auf jeden 4'15 Raum kommen soll?
(Auf Ganze.)
9. 24'25 M Kleiderstoff kosten 85'75 T; wieviel kostet 1 m? (2 Dezi¬
malen.)
10. Wieviel Zehnkronenstücke werden aus 1 Münzgold gewonnen,
wenn ein Zehnkronenstück ein Rohgewicht von 3'3875 A besitzt.
(Ganze.)
47
11. Wenn der Dukaten auf 11'36 Li steht, wieviel erhält man für
5479'75 X. -st Abgekürzt auf Ganze, b) vollständig Ganze; wie
groß ist der Rest in L und ll?
12. 1 -/m" Fichtenholz wiegt 0'609 st-/; welchen Rauminhalt hat ein
87'975 LA schwerer Fichtenstamm? (Auf
13. Wieviel Wr. Zentner ä 56'006 stg gehen auf 1 / (auf Pfundes.
14. 1 m — 1'286077 Wr. Ellen; wieviel m hat die Wr. Elle?
15. 1 österr. Meile hat 7'585 Lm, 1 Schritt 0'75859 m; wieviel
Schritte gehen auf 1 österr. Meile? (Auf Ganze.)
16. Der Durchmesser des Mondes ist 3478'857 Lm, der der Erde
12754'7943 L»r lang; wievielen Monddurchmesfern ist der Erd¬
durchmesser gleich?
17. Die 1713'1274 geogr. Meileu lange Erdachse ist das 0'996657-fache
des Äquatordurchmessers; wie lang ist dieser in Lm, (1 geogr.
Meile — 7'4204 stm) ? (4 Dez.)
5. Wiederholungsaufgaben (Proberechnen).
1. 4 ist 2986'75 Li schuldig und zahlt in zehn aufeinanderfolgen¬
den Jahren folgende Beträge ab: 134'25 Li, 297'75 Li, 386'50 X,
276'80 Li, 465'40 Li, 107'35 L, 256'85 Li, 376'80 Li, 157'43 L
und 248'50 Li. Wieviel hat er iroch zu zahlen?
2. Von einem Kapitale bezieht man jährlich 286'75 Li Zinsen; wieviel
in 3'25 Jahren?
3. Ein Kaufmann hat 78 nr Tuch für 464'88 Li gekauft und sie zn
7'12 Li per m verkauft; wieviel hat er dabei gewonnen?
4. Ein Kaufmann beginnt ein Geschäft mit 7856 Li barem Gelde und
einem Warenlager im Werte von 24978 Li. Nach Ablauf eines
Jahres hat er 6780'32 Li bares Geld, ein Warenlager im Werte
von 36497'58 Li, Forderungen von 5480'50 Li und Schulden von
8857'60 Li. Um wieviel ist sein Vermögen in diesem Jahre
gestiegen?
5. Ein Kaufmann kaufte 235'5 L-/ Kaffee für 465'2 Li und verkaufte
sie weiter mit einein Gewinn von 94'2 Li ; wie tener hat er 1 st-/
rst gekauft, b) verkauft?
6. Auf einem Getreidemarkte verkaufte man 48 L7 Weizen zu 12'4 L,
35 zu 12'6 Li und 17 /r/ zu 13'2 Li; wie teuer wurde im
Durchschnitte 1 L7 verkauft?
7. Jemand verkaufte 28'25 77 Weizen, das L/ um 18'50 Li, von dem
Erlöse bezahlte er eine Schuld im Betrage von 236'2 Li und kaufte
um den Rest 16'75 Li Korn. Wie teuer war 1 -7 Karn?
8. Wenn 254 L/ Wein für 13081 L. verkauft werden, gewinnt man
9'50 Li per Lst wieviel hat 1 beim Einkäufe gekostet?
48
9. In einer Kiste, die 24'85 /// wiegt, werden 48 Pakete L 4 75 />A
verpackt. Wie schwer ist die gefüllte Kiste?
lO. In einer Fabrik waren 60 Arbeiter durch 15 Tage und 35 Arbeiter
durch 18 Tage beschäftigt; während dieser Zeit erhielten alle zu¬
sammen 4690 l< Lohn. Wieviel erhielt ein Arbeiter per Tag?
Rechnen mit gemeinen Brüchen.
1. Entstehung, Arten und Größe der Brüche.
(A n s ch a n u n g s m i t t el: In gleiche Teile geteilte Flächen, Strecken,
die Kreisscheibe (Fig. 4s, der teilbare Meterstnb... s
Ng. 4.
Wird 1 Ganzes (1 Apfel, 1 Scheibe (Fig. 4), l Strecke, l X, 1 «/,
1 LA, 1 ^ ... in 2, 3, 4 ... 20 ... gleiche Teile geteilt, so heißt ein
solcher Teil l Halbes, 1 Drittel, 1 Viertel ..., 1 Zwanzigstel ..., ge¬
schrieben st st ^... ^ ... Faßt man einige solcher gleichen Teile eines
Ganzen zusammen, so erhält man z. V. ß, ; -1 H ...
Eine Zahl, die einen oder mehrere gleiche Teile eines Ganzen be¬
zeichnet, heißt ein Bruch oder eine gebrochene Zahl.
Der Bruch s bedeutet I mal s von 1 Ganzen, der Bruch E be-
_ deutet 3 mal 1 von 1 Ganzen.
Was bedeutet st st st st st st 1?
Der Bruch E besteht aus 2 Faktoren „drei" und „ein Viertel".
Der Faktor 1 heißt die Brucheinheit, der Faktor 3 gibt die Anzahl
der Brucheinheiten an und heißt der Zähler des Bruches.
Bruch: 3... Zähler,
4... Nenner. _
In den Brüchen st st st ^,... nennen die Zahlen 2, 4, 6,
12, ... die Art der Brucheinheiten (Halbe, Viertel, Sechstel, Zwölftel, .. .s
und heißen deshalb Nenner des Bruches. Bei dem Anschreiben eines
Bruches wird der Bruchstrich vorteilhaft zuerst und wagrecht geschrieben.
4»
Alle Brüche in dieser Schreibung: s, ß, ... heißen gemeine
Brüche. Brüche mit dem Nenner Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...
in der Schreibung: 0'1, 0'7, 0'03, 0'13, 0'125, ... heißen Dezimal¬
brüche; ihr Nenner wird durch die Stelle (Rangordnung) der niedrigsten
Ziffer bezeichnet.
1. Wieviel Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel, Sechstel, Zehntel,... haben
1, 2, 3, 5, 8, 12, 20, 25,... Ganze?
2 Nliam'al lRnnro sink LLL812I5M1M1Z»3LL 2
L. ^vrevrei franze smo z, g, g, 12, ^z, gg, ^gg, izg, zgg,... s
3.
ILO
36» . NX 4 1» 18 2» 2» IM.
360 ' 2- 2 ' 2 , 2 , 2 - 2 '
' 12 2t 36 M 12».
6 ' 6 , 6 - 6 ' 6 '
Wieviel Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel, Sechstel, Zehntel a) hat
1 Ganzes; b) haben 2, 3, 5, 8, 12, 20, 25,... Ganze?
4. Wieviel Ganze sind a) ß, ß, °«, ^L, '
6 S 15 3.6 M IM. NX 8 12 2» M 48 M.
3' 3» 3 - 3 - 3 - 3 ' 4, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , . . . .
h ", ", ", R 8) 48, 72, 96, 60, 108, 144 Zwölftel?
5. Wieviel Ganze und Fünftel enthalten: 6, 9, 11, 14, 17, 23, 46, 53,
108,. . . Fünftel?
Merke: Brüche, die kleiner als 1 Ganzes sind ( 1), heißen unechte Brüche:
2 33545S612
2- 2- 3- 3' 4, 4, 4, 6- 8 - ' ' '
4 X z L 41 X; 5 m -s- Z m -- 5 L M.
Addiert man Bruchteile zu einer ganzen Zahl, so schreibt man
beide ohne jedes Zeichen nebeneinander; so entstandene Zahlen
heißen gemischte Zahlen.
Verwandelt man 4Z T in halbe Kronen, so erhält man Z L
-st z 1^ ß 1^; 5^ M -u.
6. Schreibe folgende Brüche als ganze oder gemischte Zahlen:
k) E, Z, ß, 2, V-, k; b) iß, T U, A T .. Dtzd. (Jahre);
°) T T A U G' -. Mandeln; ä> W, K N m m .. Gros;
b) üb' M, U, W, U, W, - - Schock (Grad, Minuten, Sekunden)!
7. Schreibe folgende ganze und gemischte Zahlen als gemeine Brüche:
a) U, 4z, 6^, 3/g, 7, 15 (-, ^), Schock, Dutzend; b) 2^, 1^
5E, 3, 6, 10 (^) Jahre; °) U, >3ß, Iß, 2^, 4^, (7nst) Tage; ä) U,
2ß, 3j, Iß, 6z, 12 (-st) Stunden, Minuten, Sekunden; o) 1^, 2^,
5i, 3Z, 5, 8 (^) Gros; h 1i n, 2ß /, 5^-
8. Schreibe je 3 Brüche von stZ, i«, ir- Z4, i», M, i
' 2' 4» 8' 16- ' ' ' "t 3' 6- 12' 24- ' ' S- Iv' 2V- 4« - - "t 7- '4-
28' W-... e) Iv' Ivv' IW». IWW - " ! Welche Brucheinhelten in
jeder Reihe sind größer, welche kleiner; welche sind die größten, welche
die kleinsten?
2. Welche größere Brucheinheit bilden:
2. 2 3. 2 4. 3. .2.
' 4' 6- 6' 8- 8' !>' 12' 12- 12'
3- Wieviel 4^, 4^, 24- 36- 48- 72- ' ' - kann rnan zu
einer Brucheinheit zusammenfassen? Gib sie an! Z. B.
3 _ 1 -4. _ .8 _ ^42 _ 7.
24 8' 24 6- 24 3' 24 2'
4. Welche Brucheinheiten sind: a) 2 mal so groß als -st st st ^st,
14- 20- 2T- Ito- I2V > 3 mal so groß alo 7^, 24, b'ö- fftz,
80- 00- Uso- 360- o) 4mal so groß als z, 4^, 2^, 24- 60- 120' 3) 5mal
tn ni-liL 7,1s t- -1- -I- -1 1-4^ 1-4- -4- -4— -4--?
w U44-V 4g, -47,, 2g, 2ö- 30- 40- SO- 60' 100' 200- 1000 '
5. Welche Brucheinheiten sind a) 2, 3, 5, 6, .10, 15 mal so groß als gst,
stö, zst; d) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10,12, 15, 20, 24mal so groß als ^?
6. Drücke in größten Brucheinheiten aus: -0 st st st st st st st ß;
Ul -2- 4- -8_. .2 L, 1 6, _8_ L. 10. 3, -6 L. 12 L 10.
"7 10- 10- 10- 10' 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- ^7 45- 1g- 1g, 1g, 1g, 4g,
Nl .4, _8_ 10 12,g ga 4! _ 1 _ 1 — 2
7 16- 16- 16- 16- 16- 16' t)- 'O. z, iz g 5'
Bei der Umwandlung, z. B. — st werden die Bruch-
einheiten (2'4) 6 mal so groß (^), dafür ist von der gegebenen An¬
zahl der Brucheinheiten (18) nur der 6. Teil für solche größere
Brucheinheiten zu nehmen.
Wenn man einen Bruch (D in kleineren Zahlen ausdrückt,
(st, so sagt man: „der Bruch wurde gekürzt".
In den Rechenergebnissen lasse keine ungekürzten Brüche stehen!
51
7. Kürze D! Wieviel kann inan zn einer größeren Brucheinheit
zusammenfassen? A bilden 4, also M
8. Kürze folgende Brüche: s.) 24, «s-
1» 16 21 32 72 SS L4 48 ^75. L«_ 12« 425 s«v . X -2_4,
12' 24' 35' 4Ö- M' 56- 64' 72- 160- 1»0- 2»«- 40«- 1»»«' 4 1«»' 1««'
5 6 1« 12 15 2« 25 5« SV ,
1«0- 1««- 1««- 1»«- 1«»' 1»«' 1««- 1««' 1»«'
2. Teilbarkeit der Zahlen.
Um leicht zu beurteilen, ob ein größerer Bruch z. B. M über¬
haupt kürzbar ist, muß man wissen, unter welchen Bedingungen die
Zahlen des Zählers und des Nenners durch andere Zahlen teilbar sind.
Wenn eine Zahl, durch eine andere dividiert, eine ganze Zahl
zum Quotienten gibt, so ist die erste Zahl durch die zweite teilbar;
z. B. 16 ist durch 4 teilbar, 16 ist durch 5 nicht teilbar.
Ist eine Zahl durch eine andere teilbar, so heißt die erstere Zahl
ein Vielfaches von der zweiten und diese ist ein Maß von jener.
Es gibt Zahlen, die durch keine andere Zahl teilbar sind als
durch 1 und durch sich selbst; z. B. 1, 3, 13, 37. Solche Zahlen heißen
einfache oder Primzahlen, zum Unterschiede von den zusammen¬
gesetzten Zahlen, die außer durch 1 und durch sich selbst auch noch
durch andere Zahlen teilbar sind: z. B. 18, 24, 40.
1. Übe die Teilbarkeit der Zahlen aus Grund des Eins in Eins!
Z. B. wodurch sind teilbar: 8, 9,10,12, 15, 36, 60, 100, 120 ...?
2. Nenne Maße der Zahlen: 10, 24, 55, 60, 75, 90, 100, 150 ...!
3. Teilbarkeit durch 2 und 5 (10 — 5X2): Welche der Zahlen
18, 20, 25, 36, 43, 55, 68, 75, ... sind durch 2, welche durch 5
teilbar? Beim Teilen durch 2 oder 5 braucht man nur auf die Einer
zu achten, weil die Zehner ohnehin durch 2 und 5 teilbar sind.
Durch 2 sind alle Zahlen teilbar, die an der Einerstelle 0,
2, 4, 6 oder 8 haben; solche Zahlen heißen gerade Zahlen.
Durch 5 sind alle Zahlen teilbar, die an der Einerstelle 5
oder 0 haben.
Zahlen, die an der Stelle der Einer 1, 3, 5, 7 oder 9 haben
und daher nicht durch 2 teilbar sind, heißen ungerade Zahlen.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie an ihrer Einerstelle
eine 0 hat; sie ist auch durch 2 und 5 teilbar.
4. Welche der Zahlen 16, 20, 35, 44, 58, 60, 72, 90, 95, 100, 310,
694, 1050, 2165, ... sind durch 2 oder 5, durch 2 und 5, also
durch 10 (— 2X5) teilbar?
5. Nenne ch die geraden, b) die ungeraden Zahlen von 1 bis 100!
6. Teilbarkeit durch 4 und 25 (100 — 25X4):
Beim Teilen durch 4 oder 25 braucht man nur auf die Einer
und Zehner achten, weil die Hunderter ohnehin durch 4 und 25 teilbar
sind; z. B. 132 100 32 > : 4? 18075 — 18 000 -st 75 ! : 25?
4*
52
Eine Zahl ist durch 4 oder 25 teilbar, wenn die aus ihren
Einern und Zehnern gebildete Zahl dadurch teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn ihre niedrigsten
2 Ziffern Nullen sind.
7. Welche von den Zahlen: 152, 372, 574, 1380, 2324, 98760,
293456 und 135731 sind durch 4 teilbar? Welche von den Zahlen:
50, 75, 92, 100, 125, 184, 475, 1600, 1810,24700 sind durch 25,
durch 100 teilbar?
8. Welche Ziffern können die durch 25 teilbaren Zahlen an den
niedrigsten 2 Stellen haben?
9. Welche von folgenden Jahreszahlen bezeichnen Schaltjahre: 1876,
1840, 1870, 1866, 1756, 1896, 1900, 1904, 1908, 1909, 1910?
10. Teilbarkeit durch 8 und 125 (1000 --- 125X8):
8912 --- 8000 -st 912 ! : 8? 16875 — 16000 st- 875 ! : 125?
Ähnlich wie in 6. findet man: Eine Zahl ist durch 8 oder 125
teilbar, wenn die aus ihren niedrigsten drei Stellen (H -st Z st- E)
gebildete Zahl dadurch teilbar ist.
Welche Zahlen find dnrch 1000 teilbar?
11. Untersuche darnach auf die Teilbarkeit durch 8, 125, 1000 :4008,
250, 5448, 750, 6216, 7000, 7125, 8250, 78024, 90375,567920,
1234500!
Teilbarkeit durch 3 und 9:
12. Untersuche, ob folgende Zahlen durch 3 teilbar sind: 84, 132,356,
713, 1263, 5215, 8136, 24372!
1 Zehner geteilt durch 3 gibt 3 und den Rest 1; 2 Zehner-
geteilt durch 3 gibt 2 mal 3 und den Rest 2, usw.
1 Hunderter geteilt durch 3 gibt 33 und den Rest 1; 2 Hunderter-
geteilt durch 3 gibt 2 mal 33 und den Rest 2 usw.
Es läßt sich also jede Menge von Zehnern, Hundertern,
Tausendern usw. durch 3 so teilen, daß der Rest immer so viel
Einer enthält, als Zehner, Hunderter, Tausender usw. geteilt
worden sind.
Werden z. B. in der Zahl 4572 die 4 Tausender durch 3
geteilt, so bleiben 4 Einer übrig (4000 — 4.3.333 -st 4); werden
die 5 Hunderter durch 3 geteilt, so bleiben 5 Einer übrig
(500 — 5.3.33 st-5); und werden die 7 Zehner durch 3 geteilt,
so bleiben 7 Einer übrig (70 — 7.3.3 -st 7); 4 Einer und 5 Einer
und 7 Einer und 2 Einer sind 18 Einer. Da diese durch 3 teilbar
sind, so ist es die ganze Zahl.
18 ist die Ziffersumme der Zahl 4572.
Durch 3 sind alle Zahlen teilbar, deren Ziffersumme durch
3 teilbar ist.
13. Welche von den Zahlen 318, 12'7, 5234, 137'25, 321891, 283'514,
4909231, 1378920 sind durch 3 teilbar, welche nicht?
53
14. Untersuche bei jeder der folgenden Zahlen, ob die Ziffersumme
durch 9 teilbar ist oder nicht, und in welchem Falle auch die
Zahl selbst durch 9 teilbar ist: 324, 612, 138, 5040, 7199,
13849, 273411!
324 — 3.99 -st 3 -s- 2.9 -st 2 st- 4 — 3.99 st- 2.9 st-
st- 3 st- 2-st 4 --- 3.99 -st 2.9 st- 9. (Teilbar.)
Ziffersumme
612 — 6.99 4" 1-9 -st 6 -st 1 -st 2 — 6.99 -st 1.9 -st .1
«Teilbar.)
138 — 1.99 -st 3.9 -st 1 -43-48 — 1.99 -43.9 -s- 12.
(Nicht teilbar.)
Durch 9 sind jene Zahlen teilbar, deren Zisfersumme durch
9 teilbar ist.
15. Welche von den Zahlen 108, 3'27,5436, 13578,23'456,5363'64,
2937330 sind durch 9 teilbar?
6 besteht aus den Faktoren 2 und 3; daher sind durch 6 alle
geraden Zahlen teilbar, di? durch 3 teilbar sind; z. B. 78, 9'6,
204, 2 076, 14814.
16. Welche der nachstehenden Zahlen sind durch 6 teilbar: 72,81,405,
504, 872, 906, 1014, 5334?
17. s) Welche von den Zahlen 35, 750, 380, 574, 3100, 21348000 sind
durch 5, 10, 100, 1000 teilbar? b) Welche von den Zahlen 5143,
375, 1234, 8109, 2700, 617310, 34560, 192432 sind durch 2,
welche durch 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 teilbar?
18. Durch welche Zahlen ist 2520, 112, 5040, 18480, 38124 teilbar?
19. Untersuche, welche von den Zahlen 1—100, 100—200 teilbar sind
und wodurch!
Hat eine Zahl außer Eins und sich selbst noch andere
Maße, so heißt sie eine zusammengesetzte Zahl; z. B. 15 besteht
aus 5 Dreiern und ist durch 3 und 5 teilbar. Zusammengesetzte
Zahlen lassen sich in Faktoren zerlegen: 15^5X3, 210 —
— 2 X 3 X 5 X 7
Von jeder Zahl ist Eins und die Zahl selbst eiir Maß. Eine
Zahl, die nur durch Eins und durch sich selbst teilbar ist, heißt
eine einfache Zahl oder absolute Primzahl.
20. Suche die absoluten Primzahlen zwischen 1 und 100 aus!
21. Führe folgende Divisionen in den kleinsten Zahlen aus: 120:48,
12'5:6'5, 8'25:7'5, 24800:1080, 25920:840, 3464'4:105'84!
22. Durch welche Zahlen sind Zähler und Nenner der folgenden Brüche
M-, T L M;, Uz, U' ZW teilbar? Kürze sie dadurch ab!
23. Kürze weiter folgende Brüche so weit als möglich:
L. 29 45 69 66 -,48 -> 75 L 96 . 72 75 175 124 648 96» 495 ,
/ 16- 15- 36- 56- 72- '99- ^36- ^199- ^129 - "7 124- 189- 399- 336- 999- 1125- 1945 '
54
3. Größtes gemeinschaftliches Maß.
1. Kürze den Bruch W fortgesetzt durch 2, 3 und 5 ab!
LI» 10S 35 7
L7V 135 45 — S'
Durch welche Zahlen sind 210 und 270 teilbar? Durchweiche
Zahl hätte man kürzen müssen, um sofort zu erhalten? (Durch 30.)
30 ist demnach die größte Zahl, durch die Zähler und Nenner
des gegebenen Bruches teilbar sind; sie ist deshalb das größte
gemeinschaftliche Maß der Zahlen 210 und 270.
Das Kürzen eines Bruches gelingt durch einmalige Division des Zählers
und Nenners, wenn man zur Kürzungszahl das größte gemeinschaftliche Maß
zwischen Zähler und Nenner nimmt.
2. Erweitere nach und nach wieder auf Ml
Aus welchen Faktoren besteht a) 210, b) 270? 210 — 7 X 5 X 3 X 2,
270 — 9 X 5 X 3 X 2.
Die Primfaktoren 5, 3 und 2 sind beiden Zahlen gemein¬
schaftlich; ihr Produkt (30) ist das größte gemeinschaftliche Maß
der Zahlen 210 und 270.
Das größte gemeinschaftliche Maß zweier oder mehrerer
Zahlen ist das Produkt aller Primfaktoren, die in den gegebenen
Zahlen gemeinschaftlich vorkommen.
Das größte gemeinschaftliche Maß gegebener Zahlen ist die
größte Zahl, durch die jene Zahlen teilbar sind (die in jenen
Zahlen ohne Rest enthalten ist).
3. Zerlege die Zahl 630 in ihre Primfaktoren!
4. Zerlege ebenso in Primfaktoren: u) 240, 270, 300, 420, b) 360, 356,
540, 936, a) 1000, 1050, 1536, 1440, 6) 3075, 5250, 12832!
5. Suche das größte gemeinschaftliche Maß von: a) 6 und 8; 6 und 12;
8 und 12; 8,10,12; b) 3, 6, 9,18; 10,5,20; 15 und 36; 24 und 60;
a) 42 und 63; 18, 24, 36; 400 und 600; 400 und 800; ä) 400,
600, 800; 360, 450, 900; 160, 240, 320!
6. Suche das größte gemeinschaftliche Maß zwischen 72 und 126
mittels Zerlegung in Primfaktoren!
72 2 126 2
36 2 63 3
18 2 21 3 Das größte gemeinschaftliche Maß ist 2 X 3 X 3 — 18.
9 3 7i7
55
7. Suche ebenso das größte gemeinschaftliche Maß der Zahlen:
ch 120 und 500; b) 540 und 756; e) 900 und 1025; ä) 300,
360 und 840; <0 740, 925 und 2035; k) 104, 525 und 712;
§) 312, 468 und 624!,
8. Suche das gr. g. M. zwischen 294 und 935! 294 — 2.3.7.7,
935 — 5.11.17.
Zwei Zahlen, die außer 1 kein gemeinschaftliches Maß
haben, heißen Primzahlen zu ein an der oder auch bezügliche,
relative Primzahlen zum Unterschiede von den ersterwähnten,
die auch absolute Primzahlen genannt werden.
Wenn man die Zahlen, deren gr. g. M. man suchen soll,
nicht bequem in Primfaktoren zerlegen kann, gebraucht man zum
Aufsuchen des gr. g. M. ein anderes Verfahren, das man die
Kettendivision nennt.
9. Kürze mit Hilfe des gr. g. M. folgende Brüche:
54 72 84 . 1.x 1S2 22« 24«. g-, 1512 1524 8Z25 1
-0 g«, 98, 12«, 240- 275- 288 > " 1V44- 2«40- «450 '
i 30X 12 18.40.45 4.7L^ 48 X 125 X 2310,
60X28' 24.48.50' 10.63.15' 60 X 75 X 210 '
4. Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches.
Wieviel sind E M -s- m, L, m st- m -st M, z
sf Schock — § Schock?
Solche Brüche mit gleichen Nennern kann man leicht addieren
oder subtrahieren.
Wie groß ist die Summe von ; -s- §?
An den geteilten Kreisscheiben (Strecken) sieht man, daß Z ist,
Ist- 8 " § st" Z 8- desgleichen ß -st § -st 8 — ß-
t st- ä i L > K L; z-? L - z L; ö m -st z m.
Hier müssen die zu addierenden oder zu subtrahierenden Brüche
erst gleiche Nenner bekommen, ehe man die Rechnung ausführen
kann. Man nennt diesen Nenner den gemeinschaftlichen Nenner.
Der gemeinschaftliche Nenner muß durch die gegebenen Nenner teilbar
sein. Eine Zahl, die durch mehrere gegebene Zahlen teilbar ist, heißt
ein gemeinschaftliches Vielfaches derselben.
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache mehrerer gegebener
Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle jene Zahlen teilbar ist.
-Jedes Produkt ist ein gemeinschaftliches Vielfaches seiner Faktoren.
Suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von:
1. * a) 3 und 5; d) 2 und 10; e) 6 und 20; ä) 8 und 12; 6)2,5
und 7; k) 3, 9 und 18; g) 3, 5 und 10; ü) 6, 8 und 12; i) 10,
12 und 15!
2. Suche das kl. g. V. zu den Zahlen 72 und 126!
56
Die Primfaktoren von 72 sind 2.2.2.3.3 und von 126 die
Zahlen 2.3.3.7. Soll nun das zu suchende kl g. V. durch 72
und 126 teilbar sein, so muß es alle Faktoren der beiden Zahlen
enthalten; es muß also bestehen aus 2.2.2.3.3.7 — 504, wobei
die ersten 5 Zahlen die Primfaktoren der Zahl 72, die letzten 4 die
Primfaktoren der Zahl 126 sind.
3. Suche auf diese Weise das kl. g. V. zu folgenden Zahlen: a) 36,
56, 84; b) 343, 98, 56; o) 18, 28, 63, 90; ä) 555, 592, 666!
4. Bestimme das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen 2, 3,
4, 5, 8, 10, 12, 15, 28, 36!
Die Faktorenzerlegung läßt sich in folgender übersichtlicher
Form durchführen:
2, 3, 4, s, 8, 10, 12, 15, 28, 36
4, 5, 15, 14, 18 2
2, 15, 7, 9 2
2, 5, 7, 3!.3
Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches — 2.5.7.3.2.2.3 — 2520.
5. Suche ebenso das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen:
a) 3, 5, 8 und 11; i>) 2, 3, 5 und 20; o) 12, 16, 18 und 24;
ä) 10, 12, 16, 18 und 25; o) 5, 8, 9, 15, 20, 36 und 60!
6. a) 3, 5, 9, 14, 18, 21 und 30; b) 3, 5, 6, 18, 20, 21 und 25;
o) 2,3,5,8,11,15,21 und 36; 6) 5,6,7,8,9,10,11,18,33,35 und 60!
Der kleinste gemeinschaftliche Nenner mehrerer Brüche
ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen
Nenner.
7.
8.
Bringe hiernach die Brüche ß, und A auf den kleinsten, gemein¬
schaftlichen Nenner:
6, 10, 15
3, 5, 15 > 2'
kleinster gem. Nenner 15 X 2 — 30
30
Brüche mit einem gemeinschaftlichen Nenner heißen gleich¬
namige Brüche.
Bringe folgende Bruche auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner!
nil 1.1 1 1-1 1.1 1 1>1 2 L,.
2- 4' 8- 3- K' 3- !>- 2- 3' 6' 2, 5- 1»'
Nil 4 _S_. 2 5 11 L. -I_
3- «- 12' 3- «- 18- 12- 24- 2«- 3«- 6» ' Iv- 100'
Der größte Nenner ist hier zugleich das kl. g. V. der gegebenen Nenner.
„Xi 1.1 1.1 1-1 1 1-1 2.1 4. NX 2 3 2 3.25.1 23.
4'^4'^5' 2- 3- 4' 2- 5' 3- 5' > 3- 4' 5- 8' 7-8- 2- 3-5'
3- L- 5' 8- 5-8-
Die gegebenen Nenner sind zueinander relative Primzahlen; ihr
Produkt ist das kl. g. V. derselben;
„X 3 -S,.L _7_. 7 11. 1 5 _3_. §x 4 L. L-.5 3 ^.8 L.
8- 12' v- 15- 8- 25' 2- 8' 10' 5- 10- 15' 5- 8- 12' S- 18- 24'
Das kl. g. V. ist kleiner als das Produkt der Nenner.
57
9. Mache gleichnamig . a) z, 32, ^g, > 6) 21- 39,12- 52 - 0) z, Z, i», is, z-18 >
1 5 8 3 2 7.^37,5,^411817. i»,17^231L 3829 .3.1
4- 7' 21- 8- 3- IS - 4- 8' 1«' 25- S- IS- g- 2» ' 30' 52- 25- 24- 75, 35- 35'
10. Welcher von den Brüchen ö, Z, ß, K ist der größte, welcher
der kleinste?
11. Ordne folgende Brüche nach ihrer Größe nnd zwar von dem
kleinsten angefangen: ß, ß, U U,
5. Verwandlung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche.
1.* 8,) Wieviel sind z, i- L- Ä- R b) Wieviel Tage sind Z
s- ß- IZ Monate? o) Wieviel Heller sind E- ?, ii»- Zi-
H, L? ä) Wieviel mnr sind Z §, <7»r? o) Wieviel m
sind L, ß, 1, z, z, z, z, Lm? h Wieviel A sind z, E, ß. ß. zz L§?
8) Wieviel / sind ß, /ri?
E »r ist das 3 fache von ; or. m ist der 4. Teil von 3 »r.
4 ,/r — 25 am — 0'25 »r.
ZM-^1^X3^0'25X3-- 0'75 E 3 »r: 4 0'75 „t.
Jeder gemeine Bruch läßt sich in Form einer Division an¬
schreiben, wobei der Zähler als Dividend, der Nenner als Divisor
erscheint.
Durch Ausführung der Division erhält man den gemeinen
Bruch als Dezimalbruch.
2?' Verwandle folgende gemeine Brüche in Dezimalbrüche:
1.1 L.I 3 5 7.1 4. L_ 18 1.-,^ _7,._t_ -9. 24. 58 1
2 ' 4- 4 - 8- 8- 8- 8 - S- 5 > 28- 28- 28' 25- 25 ' 58- 58- 58 ' 12S- 125- 12S '
Z. B.: ch z 7 : 8 0'875 b) U 29 : 20 1'45
e) E — 5:6 — 0'833 ... — 0'83 6) m — 1 »r: 3 — 0'333... m —
50 10 — 3 «!»r 3 om 3 m??r
20 10
20 . 10
2 1
Die bei H und b) erhaltene Dezimalzahl heißt eine endliche,
die bei e) und ä) erhaltene eine unendliche. Statt 0'8333... «2
schreibt man 0'83 und nennt die sich wiederholende Ziffer (Zahlen¬
gruppe) die Periode.
Merke auswendig:
58
3. Verwandle folgende gemeine Brüche in Dezimalzahlen:
L L tt. yLK s LL 4üi7 nc>LI. M Z L 5 .7, ^23 37 ,
^4' s- 20- ^28' 8- 16' 1^125-z, g, y, II' o 2zo !
4. Wieviel beträgt der Unterschied zwischen 0'85716 und den Näherungs¬
brüchen a) b)
5. Wie groß ist der Unterschied zwischen und 3'1416? (4 Dezimalen.)
Im praktischen Leben spielen die sogenannten abgerundeten
Zahlen eine bedeutende Rolle, z. B. bei Flächenräumen und Ein¬
wohnerzahlen in der Erdkunde.
Die Abrundung (Kürzung) der Dezimalzahlen geschieht, indem
man die letzte Dezimalstelle, wenn sie 1,2,3 oder 4 beträgt, einfach weg¬
läßt ; ist diese niedrigste Stelle aber eine höhere Ziffer 5, 6,7, 8, 9, so läßt
man sie weg, erhöht aber die nächst höhere Stelle um 1 Einheit. Z. B.:
4'873 gibt gekürzt 4'87
0'278 „ „ 0'28
9'0969 „ „ 9'097 oder 9'1.
Diese Abrundung und Kürzung pflegt man meistens bei großen,
d. h. vierstelligen oder bei unvollständigen Dezimalzahlen vorzunehmen.
6. Kürze folgende Dezimalzahlen a) auf 4, b) auf 3, a) auf 2 Dezimalen
ab: 5'27635, 7'85172, 14'38489, 0'12987, 3'84234! Z. B.
5'27635 — 5'2764 -- 5'276 — 5'28.
Verwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine Brüche.
1. Verwandle 0'2, 0'6, 0'8, 0'25, 0'75 in gemeine Brüche! 0'2 —
2 1. sl-N — .6. 3,. — 4. . — _2S_ 1.
10 - 5' u o . 1« 5' O v 10 8' 11-2,1 1,0 - 4,
" 1'1 - 100 4'
2. Verwandle ebenso in gemeine Brüche: ch 0'4, 1'8, 0'15, 12'25,
7'35, 3'08, 0'125; b) 0'025, 36'16, 0'245, 6'0675, 4'75, 9'5,
1'625; e) 0'3, 0'5, 8'6, 9'25, 3'75, 0'60, 4'675!
3. Verwandle folgende Ausdrücke in gemeine Brüche und Dezimal¬
brüche der höheren Benennung: «) 3, 6, 9, 2, 4, 1, 11 Monate,
- 6, 12, 18, 10, 15 Stunden, - 5, 10, 30, 15, 45, 50 Minute::,
- 1, 2, 5, 10, 30, 48 Sekunden, - 1, 2, 4, 6, 7, 15, 21 Tage;
b) in Dutzend 1, 3, 4, 6, 8 Stück, — in Schock 1, 5, 10, 20, 30,
45 Stück, — in Mandeln 1, 3, 5, 10, 12 Stück, — in Gros
1, 2, 3, 6, 8, 10 Dutzend, - in Gros 1, 2, 4,10, 16, 48, 96 Stück;
0) 1, 2, 8, Bogen Papier, — 1, 3, 7 Lagen, — 1, 5, 9 Buch, —
1, 4, 8, 1(4 15 Ries, ä) 2, 4, 5, 10,' 15, 20, 25, 50, 75 ü;
o) 5 MM; 8 cm; 4 cim, 1 m, 3 M, 125 m; k) 5, 10, 15, 20, 50 M'A,
- 7, 18, 100, 500 - 6, 8 m.7, - 1, 5, 12, 50
L) 1, 2, 5, 10, 15, 64, 80 4 - 1, 3, 7 Ä, - 1, 2, 9 ei, - 1, 4, 8 mi;
b) 40 m?, 6 cim?, 18 em?, 50 a, 1 mm?, 1 Äm?, 2 em?, 5 m?,
30 m?, 8«; i) leim?, 1mm?, 2 em?, 8 mm?, 15 em?, 305 eim?!
59
6. Die vier Grundrechnungsarten mit gemeinen Brüchen.
Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl.
1. Vergleiche an der Fig. 4 die folgenden Brüche:
Ein Bruch wird multipliziert, indem man den
Zähler multipliziert.
2. Multipliziere: -0 Die Brucheinheiten z, 1, i, 1, L, ß,
L, mit 1, 2,.... 10, mit 12, 15 60; b) mit 2: ß, L
ß, mit 3: z, L, ß, L,; mit 5: ß, z, 7 S; mit 7: E, ü), z, ii;
°) Z X 2, E X 5, ß X 4, ß X 7, z X 9, X 15, X 25!
zx2 1; zX3-^(zx3)x2-^Zx2^2
Ein Bruch, mit seinem Nenner multipliziert, gibt als
ganze Zahl den Zä hler. _
3. Übe fleißig: -0 i X 4, Z X 4, ß X 5, ß X 6, ß X 8, z X 9;
b) X 10, X 10, X 15, D X 20, X 25, X 100!
4. Vergleiche A W,
äX2^^_ ü)X2-^z ^X2-.^ äX2^Z
^X4 — 1 M X 5 — X 4 — ? X 5 —
Wird der Nenner auf den 2., 3., 4., .... Teil gebracht, so
wird der Bruch 2, 3, 4,... .mal so groß.
il 4 — - —
20 5 20:4'
Ein Bruch wird multipliziert, indem man den Nenner dividiert.
5. Multipliziere: s) 1, 1, Z, . mit 2; 7, ß, . ^st 3; 1, 7,
iF, W - - mit 4; z, §, i^, M, .. mit 5. b) ßX 4, 7x3,
äX5, UX6 zZ X5, U X 10, ä X 25, X 25;
e) 7x15 - l2!
Ein Bruch wird multipliziert, indem man den Zähler
multipliziert oder den Nenner dividiert.
Übung:
6. ch ßX 15, 7 X 64, 7 X 72, X 39, E X 40; b) ßx 56, tz X 36,
A'X 100, 4 X 100, 77 X100, °) Z X10, 7 x 6, X16, D X 44,
lov X 125.
7. 8EX 6 48 ch- 47 -- 527; oder 8LX6-^X6^VX3-
105 _ 1-y 1
2 —
8. u) 57 X 4, 7ß X 9, 7ßX H,9EX8,8ßX9. b)14ßX7, 15ZX9,
30Z X 12, 361 x 15. 0) 50^ X 60, 64^ X 75, 108^ x 125,
2468 U X 5246.
9. Wieviel kosten: a) 3, 5, 8, 12 0 ?, X d) 2, 4, 7, 15, 24 wr L 1^ L?
M
10. Ein 5 Kilo-Paket Zucker kostet 4ö L; wieviel kosten 15, 25, 30, 45 Ly?
11. 1 LA Kaffee kostet 4z L; wieviel kosten 20, 700, 5000 L§?
12. Wenn 1 Weizen 18/g L kostet, wieviel kosten 8 L??
13. Zu einem Herrenhemd sind 2 E »r Leinwand nötig; wieviel erfordern
1, 2, 9, z Dutzend Hemden? (Das Ergebnis auch in nr und om!)
14. Auf einer Wagschale liegen LO Hellerftücke, auf der andern 6 Silberkronen
und 5 Zwanzighellerstücke; wohin wird sich die Wagschale neigen?
15. Ein Garten, welcher 55 m lang und 38 m breit ist, soll eingezäunt werden;
wieviel kostet der Zaun, wenn das laufende M Zaun 7^ L kostet?
16. Ein Pferd braucht täglich A L/ Hafer; wieviel brauchen 15 Pferde
in 52 Tagen?
17. Ein Landmann zahlt für die Feuerversicherung seiner Gebäude 45Z K;
wieviel hat er nach 12 Jahren gezahlt?
18. Wie weit kommt ein Eisenbahnzug in 7 Std. 45 Min., wenn er in
1 Stunde 47z L>-r durchfährt?
19. Welchen Weg legt ein Fußgänger in 7 St. 30 Min. zurück, wenn
er in 1 St. durchschnittlich 4^ Lm weit kommt?
20. In einem Quadrate beträgt eine Seite 32^ m; wie groß ist der
Umfang?
21. Ein freifallender Körper legt in der 1. Sekunde 4^ M zurück, in
der 2. Sekunde 3 mal, in der 3. Sekunde 5 mal, in der 4. Sekunde
7 mal so viel; a) wie groß find die Fallräume für die 2., 3., 4.
Sekunde; b) wie groß ist der Fallraum für alle 4 Sekunden?
22. Eine Uhr geht täglich 2^ Minute vor; um wieviel in der Woche?
Division eines Bruches durch eine ganze Zahl.
1. Vergleiche die Brüche: El r, rl Z, 17 -- i A A'- Der wie¬
vielte Teil von E ist E? Wie oft ist E in ; enthalten?
2. a) Teile: 3 / Essig kosten Iv; wieviel kostet 1 /? 1 / Essig
kostet den 3. Teil von A U;
77 . s — L- 17 _ 0 ' Z 77
1« n. - o 1, io
b) Miß: : 3 9 : 30 ---
9 : 3
s« iu 10 '
3 in 9 — 3, 3 in ----- /g ; oder 3 — A As in A — 30 in 9 — —
Ein Bruch wird dividiert, indem man den Zähler dividiert.
3. Berechne : rst die Hälfte (ö) von Z, §, §, Z, ; b) ein Drittel
von E. z, z L, T 0) i von L zZ, U, A!
4. Teile a) durch 5 : ß, U, U, ; b) durch 6: K A A
102 . 64.0 M.11 6 6 . -ic, KS . IS 126 . -10 >
166 ' 72 ' o, Sy > 44, ^gg . 46, 7g . 4<1, jgg . 40.
10'
O
LZ
S«'
5. Für 2 K erhält man z L,A Salami; wieviel für 1 H?
Schluß: Für 1 Li erhält man die Hälfte von z LA, d. i. z Ly;
LA : 2 LA -- 2X2
6. Teile ch durch 2 : z, z, z, 4, M, 4 - - - l ch durch 3 : z, ß,
r, A, ß, ... ; e) durch 4 : E, Z, - - -; 4) durch 5 : ö, 1, §, ß,
7 1 . s _ 1 . 4.0 —- 4
'S » i§ 8X3' ' 15 6X3
Der dritte Teil von Z ist 4; von § ist 4 mal 4^4-
Die Anzahl (4) der Brucheinheiten ist durch 3 nicht teilbar,
daher wird jede Brucheinheit durch 3 geteilt.
.4 _ 4_uL_^L_^4- -t-VL _
5 - 5 5 5 5' 15 15 15 15 15 - 15-
8. Miß ß : 3 -- z : 4 : 15 -- 4.
Ein Bruch wird dividiert, indem man den Nenner multipliziert.
9. Dividiere (teilend und messend): a) z, ß, z, t, sh z, 4, - - - durch
2, 3, 4, 6, 12, 18; b) Z:2, ß:3,ß:7, 4:8, ß: 11; o) ß:12,ß:18,
ß-4, z:9, ^:15; ä) ß: 5, : 24, D: 25, : 50, U:10!
Ein Bruch wird dividiert, indem man entweder den Zähler
dividiert oder den Nenner multipliziert.
1
10. Rechne vorteilhaft: 4: 20 15^11 2 3 2 5 ^-4 ,1. 1 /3 1 5xz
7 2, z, 4- 5, 8- 10- 20- 25 4- >4- 8- 10- 10- ii- -
12. a) S m X m X 1 >»; 6) ß L Xk ? L X 3 - 11 L;
(lx2^z, Ex2^z, zxz^Z:5^^.)
„X 15^4 3 >^4 3 . L. / 15 9 XM , 27 - 83
2 '
— 3 i 3 17/ 7 0/ 5
13. Rechne vorteilhaft: ») z X 5, 4 X z, s X 5, 1 X z, '7' X Z:
NX 7 3 1.2 5 15 L 15^12 58 4 <-
12 XX 8- 20 8- 1« XX iss, io XX 25- 100 XX 25 '
14 r,3 3 _ 23 3 _ 6S - !> !»
14. >14 ?x .-, — 4 XX 5 20 025-
4
6z X H üs 171 (BruchsatzI)
1
15.
16.
Multipliziere: a) 8§ X ss, 6i X 5, iE X Z, 12s X ß,
6) iz x iß, 2L x 5i, 12^5 x i0L, z X 9Z, E X 3z!
Wende die Zerfällung an:
115 X 536 X 5;
8 2 X z 5; —
357Z z ,, 3216
M z ab 134
446' 3082
1 XX
^15
6-z
6
1
4
3.
8 1
17. Rechne ebenso: a) 99 X '4, 80X 7ß, 1'35Xss, 360 X fo, 175 XL;
b) 864 X E. 31'65 X 5/z, 8z X E, 4z X 2^;
°) 16z X 10z, 24z X 9z, 601 X IE, 25z X 5ß;
6) ß, ß, /z von 68/ss; E- ß- Ä von 5E!
18. 1/cA Kaffee kostet 4t I<; wieviel kosten 15z Ly?
19. Ein /r^ Weizen wiegt 76 wieviel wiegen 17^-/^ Weizen?
20. 1/r) denaturierter Spiritus (Brennspiritus) kostet 44 L; wieviel
kostet ein Faß mit 3z (U, E) /^? Wieviel kosten z, L r?
64
21. Wenn 1 m Tuch 10z L kostet, wieviel kosten 6^»r?
22. Wieviel H kosten 3^/cA Mehl, wenn der 36 (38) X kostet?
23. Welchen Wert hat ein Baumstamm mit 3ß »??, wenn das »?
Holz mit 13Z H berechnet wird?
24. Ein Ziegel ist 3 ckm lang, 1s cknr breit und E ckur hoch; welches
Gewicht hat ein solcher Ziegel, wenn Ick»? 1;s wiegt?
Division durch einen Bruch.
1. Vorbereitung: Wie findet man den Preis von 1 wenn der
Preis von 3, 10, 15 bekannt ist?
a) Teilen: 2s »r Tuch kosten 30 iL; wieviel kostet 1 »r?
30 L : k 12 L.
Beachte: Die Division durch L gleicht einer Multiplikation mit ?!
b) Messen: Wi e oft sind 2Z vm i n 30 v»r enthalten?
30 6»?,: 2s o»r — 30:2 — 30 X 2
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit um-
-gekehrtem Bruche multipliziert.
2. Was erhält man bei der Division einer Zahl (12, 15, 20, 36)
durch z, z, z, z, z, ^? _
Durch s, z, z, usw. dividieren heißt demnach mit 2, 3,
4, usw. multiplizieren ._
3. Wie oft ist enthalten: a) s in 1, 5, 12, ß, 4Z; b) -s in 1, 3, 15,
Z, 2i; o) z in 1, 2, 6, 24, ß, 8ß; ä) z, z, z, in 1, 2, 5, 9,16, 20?
4. Teile, miß: 4L-L 17cr:Z, 45ck/cA:ß, 93b:ß; 12 L:ß L, 18m:ß»r,
24 Std.: ß Std., 25 k: Z k, 36 »? : mZ 16 : 4z, 12 : 6z, 25 : 4ß,
6'2 :G 30'15:18ß!
-r 7 . 8_ _ 3g_ Hl. _ 12.^_ _ 9?
"'8'5 8-^8 24 -^24' 5'12 «0' «0 4^- . <1 ^g-
Beackte- 1 - 2 Z LS. ! 7 . 5 63 . M M
8 . g 8'0 — 24, ^8'9 72 ' 72 7.46'
Ist der Divisor keine ganze Zahl, sondern ein gemeiner Bruck (auch Dezimal»
bruch), so ist es auch vorteilhaft, ihn in eine ganze Zahl zu verwandeln; was
muß dabei mit dem Dividend und Divisor geschehen, damit der Wert des Quotienten
unverändert bleibe?
6 Teile und ruib' nl 4 (4 4 t,i« 4 4 i 1. i. _t_ 1. 4, w, 4.44 L
O' uuu uup. a-- 2 tz, g, 4- . 2' 3' 4- 6' 5' 16' 8' 12' 20' 24 r -»8'5- 8' 4-
2 L.7. ^> 5.4 4.5 3 . 5.5. 3.2,
3' 16' 9' ^7 5'7» s ' k, 5 - 10' 8'6' 4'3^
Zusammenfassung.
Für sämtliche Fälle, die bei der Multiplikation und Division
der Brüche vorkommen, genügt folgende Regel:
Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliziert,
indem manZähler mit Zähler undNenner mitNenner
multipliziert.
65
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert,
indem man ihn mit dem Nenner des Divisors multi¬
pliziert und dann das erhaltene Produkt durch den
Zähler des Divisors dividiert.
8
— 3.
2
3
Multiplikation.
IX« 2.
2
0)8X4— ^4 1X4
b) ^4 X 1g — 4 Xg 4 X
,15X2.— 7t
4X1 2'
2
15
— 86'
---6.
3
ÄX4
^X2^Xs
Division.
a) 6. 2 0 : 2 6 X 1 3. 12? . 3 . b^MXi^2
^7 7t 7^2 7 0) .0 7-4 7 X ^7'
-> s 1-t 1 c!t -1- - L — — I — 11
o)5:S^^xZ^^ —7g ^'0 °
3
t e>3 .yl _ ^X2- ^,3^.1
6) 04 - ^2 4 X '2 2'
y
7. Für 13z L»r Entfernnng zahlt man 16; X Fracht; wieviel für 1 L»r?
4
1 'M - Ws ic - iz L
1
8. Berechne: s.) 8Z X: 3;, 15^ a : 4z, 20Z L« : Iz /ra, 3A c/»r^ : 8z c/m';
d) 15^ m :; m, 12^ X : ft X, ft Gros : 1Z Gros, 3ft Jahre: ß Jahre;
0) 75'75 X : 1 X, G, i, ß, ft, ft, ftz, X); ä) 44'8 Lm : E /cm
E, 1Z, 6;, 12z, lOft L,^); s) 4 L/:0'5 /r/, 2Z c/m^:0'8 c/mb,
5^ m : 3'75 »r, 6; <7: 0'125 5 4 25 - 24
^7 0 ü »0 - 30'
Sind die Brüche, die man subtrahieren soll, nicht gleich¬
namig, so müssen sie auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner
gebracht werden.
67
5.
6.
7.
!
1 Z 3
2' 3- 4'
; d)
s) i8z -
i» -
2
3
ii-z-
. . i —
10 15 5 1»
3
4
Gib an, um wieviel jede nachfolgende Bruchzahl größer oder kleiner
ist als die vorhergehende: a) z, z
4 5 8 7 8 !».^134L_1117Ll-r--_S.
5' 8- 7- 8' 9- 19' 2' 7' 9- 12' 15' 29' 25' 39' 49
Reihen: a) 13 — z — ; — 1
i i i i 7
6 9 3 6 9
ä- ä) 12-z
1 1 1 1 L t 1
3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'
' — " _9_>
!!N, >
Lil
— 2 4 8
o) io-z-
Z12
4 — 3 —
s j ' L ,
f ? ß ,s
L-z j6)
5 3
tt 4
I 3
2V 10 >
1
— 4
3
1.0
e) 14s - 5z
331 - 14ß
58ß - 291
8G - 60ß.
12z
18ß
^12
66^ — -22-
^04 ioo
8. 86^ L — 37; L — ? Gemeinschaftliche Brucheinheit —
4g --- A ... 86KL — 86^*) ic ... zum Minuend D
z — 37Z L -- 37U L ... „ Subtrahend 1
addiert.
86^L —37ZL —48zzL--48 L 55 b.
9. s.) 73Z -rr — 58; rn, 85; / — 67^ /, 57 Lrrr — 33A L-,r, 64z Dtzd. —
551 Dtzd.; b) 2s / - 1'3 /, 27'75 Mr - 18s /rm, 115^ L - 27'08 L,
214'56 L - 118s L.
10. ch 67zz - 17, d) 108^ - 59, e) 415D -199, ä)H7 - 33U ch>123 -
48^, 0 83ö - 15l, g) z - 0'3, ll) 37'75 - iH, i) 14'6 -^9^.
11. ch lOOtz - 15T b).125D-31ß, °)f M88 - 128D,
4)251^ -948, e) 7558- 283U, Y 1234^ - 807Z.
12. Um wieviel verändert sich der Bruch 8- wenn man ch zum
Zähler und zum Nenner 8 addiert; b) wenn man vom Zähler
und vom Nenner 5 subtrahiert?
13. Um wieviel ist der Unterschied 37^- — 11s größer als der Unter¬
schied 28^ - 19^?
14*. Jemand nimmt 125; bi ein. und gibt 83; Laus; wieviel bleibt
ihm noch übrig?
15. Von einer Schuld von 200 L werden nach und nach 30 L, 25 ö L,
41s L, 18^ L abgezahlt; wie groß ist noch der Schuldrest?
16. Ein Ballen Baumwolle wog 104; L§, die Hülle für sich wog
8 s L^; wie hoch kommt 1/«, Baumwolle, wenn die ganze Sendung
537'66 L kostete?
17. 1/ Wein wiegt wieviel wiegt ein Faß, das 204/ Wein
enthält, wenn das leere Faß 33z LA wiegt?
s*
68
18. Der Jnnenraum eines Kastens ist 1 »r lang, 4 z Äm. breit und
1; m hoch; um wieviel ci?»r^ ist derselbe kleiner als 1
19. Die Dauer eines Jahres beträgt 365; Tage. Wie lang ist das
Winterhalbjahr, wenn auf das Sommerhalbjahr 1864 Tage
kommen?
Addition der Brüche.
1.* ch Z LA -stzLA " LA 1; LA. b) z -st ß -st 's ------ z -------- 1 z.
3 Achtel und 7 Achtel sind 10 Achtel; 1 Fünftel und 2 Fünftel
und 3 Fünftel sind 6 Fünftel.
Brüche mit gleichen Nennern werden addiert, wenn man
ihre Zähler addiert und den Nenner Leibehält.
2? a) § Li -st Z Li D Li -stDLi — ULi ID Li -- 1 Li 55 i.
b) 4 Li -st z Li, z /UM -st 4 8; Dutzend -st 9z Dutzend;
o) 14 i st- 2-z i, iz Li -st iz Li, 7z LA -st I2ß LA.
Sind die Nenner der Brüche nicht gleich, so müssen die
Brüche gleichnamig gemacht, d. h. auf den kleinsten gemeinschaft¬
lichen Nenner gebracht werden.
3. * a) z-sti, i-st^; d) ßst-4, L-stz; <-) z-str, z-i-z.
4. *ch2z^z, 25i-stM>; b) 95496z, 100 st-284; 0)6^4274,
13z-st58E, 26ß st-1'4, 0'6-st 18st
6. -st 4 iß, IT 4,D, ZT st- U st- ; Gemeinschaft!. Bruch-
-1>) § -st ; st- -st § st- ß st- st -st E- einheit — 30.
7.st) 294 -st 45 -st 164; st 45z -st 127ß -st 4;
°) 8-st 3ß -st 7E-st 0'3; ä) iz st-5ß 13^-st 8ß-st 19ß.
8. 128 E st- 245 ß -st 208z -st 199 z -st 206 4.
9. 0) 0'7-st 2'31-st 814-st 15'36; b) 12^-st 16'5 st- 10ß-st 8'25.
10. 0) (3Z -st 5K - 5ß, (12ß - 3^) st- 25^;
b) (i8ß 4 12z) - (ioz -st 3ß),F -stßst- Z) - E -st O;
11. a) E Xß) XE - N, (7zX6i) -st (5z: iz); T/ st
d) (3z X 4ß) - (8z : 3D (7Z X 34) : (5z : 2z).
12. Von einer Summe erhält ^4 A, L z und 0 den Rest. Der Anteil
des L beträgt 31 ö 14; wieviel erhält wieviel 6?
13. Jemand kauft 12 ä A Zucker L 74: 14 und verkauft den Zucker mit
einem Gewinn von 122 z 14; wie teuer wurde 1 - verkauft?
14. Ein Kaufmann erhält 3" St. Leinwand mit 36 z, 39 ß und 45 E m;
wie hoch stellt sich die Rechnung, wenn 1 /-r 85 ü kostet?
15. Zwei Stück Leinwand haben zusammen 73; nr; ein Stück hat um
3;»r mehr als das andere und kostet deshalb um 4 14 mehr;
wieviel m hat jedes Stück und wieviel kostet jedes?
16. Ein Schneider braucht zu einem Winterrocke 2? Tuch L 19 14
50 ü und für 18 14 Zugehör; wieviel verdient er durch seine Arbeit
an dem Rocke, wenn er denselben für 97 14 verkauft?
17. Jemand kauft 45 Z m Tuch, das m zu 5; 14; wie teuer muß er
1 M verkaufen, um im ganzen 25^g 14 zu gewinnen?
18. Ein Landmann verkauft 17 Weizen und 15 Gerste zusammen
für 542^ 14; wieviel erhält er für 1 Weizen, wenn 1 Gerste
zu 13 § L gerechnet wird?
19. Ein Bienenzüchter hat 8 Bienenstöcke, von den ihm einer durchschnittlich
12Z L
3L _. - - 12'78 „ / >
3^A von 426 X — 14'20 X.
9. Wieviel ist: a) iA von 1, 8, 15, 10 i, 65 z, 100'8, 125'68 X;
b) iS von 1, 5, 26, 45z, 75Z, 204'64, 518'7 X; 0) 3^ von
1, 6, 28E, 96z, 165ß, 18'7, 56'48^; ä) 5^A von 1, 4, 48, 66'4,
72'08, 22z, 150Z e) 4^A von 1, 3, 14, 56z, 78 E, 35'6,
90'25-; k) 3'8A von 1, 2, 18z, 20'8, 36^, 50'75, 184z »r?
(Auch mit Bruchsatz und Zerfällung!)
10. Berechne 1A (5A, 4A, 4^A, 6A, 12L, 15A, 25A, 3iA, 3'8A)
von 500 X (50, 25, 75, 1, 6, 10, 8, 40, 68, 12'5, 3'8, 1'2 X)!
11. Vermehre 26 X, 138 X, 1 X, 70 b, 2'6 X, 7'5 X um 1A (2A,
5zB, 10A, 30A, 4E^)!
12. Vermindere folgende Grundwerte um 3A (1A, 5A, 8zA, 20A,
4 LA): 18 X (1, 3'6, 20'76, 60, 125, 640 X)!
13. Von 48 Schülern einer Klasse erhalten 25A (50A) die Schulsachen
unentgeltlich; wieviel Schüler sind dies?
14. In einer Klasse sind 10A (25 A) der Schüler kurzsichtig, die
übrigen 36 Schüler normalsichtig; wieviel Schüler zählt die Klasse?
15. Wenn jemand, der früher 350 X Wohnzins zahlte, um 8A ge¬
steigert wurde, wieviel muß er jetzt zahlen?
16. Rindfleisch verliert beim Sieden 15 A seines Gewichtes; welches
Gewicht hat ein Stück, das roh (ohne Knochen) 24 st- wiegt, nach
dem Sieden?
17. Kartoffeln enthalten 75 A Wasser; wieviel L- Wasser enthalten
8 st- (50, 75, 100 st-, iz -, iH 5z 0 Kartoffeln?
18. * 0 verkauft von seinen 600 Schafen 1A (50 A, 33 zA, 66 AA,
75A); wieviel Schafe behält er noch?
19. " X veredelte im Frühjahre 40 Obstbäumchen, wovon im Laufe des
Sommers HA (10A, 25A, 20A, 50A) vertrockneten; wieviel
Bäumchen gingen ein?
20. Eine Partie Bauholz kostet im Einkauf 84 «; wie hoch kommt sie,
wenn noch für Fracht und andere Spesen 10 B auszulegen sind?
21. Der Einkaufspreis einer Ware beträgt 64 « st) 40 «, b) 76 «,
o) 1'56 «, ä) 80 b, ch 9 60 «, k) 142'8 «s, der Gewinn 20 A
st) 10^, b) 5^, o) 2^, ä) 20^, e) 33z k) 25 Lj; ») wie
groß ist der Gewinn; /-) wie groß ist der Verkaufspreis?
Setze statt „Gewinn" „Verlust" und berechne diesen!
b) Einfache Zinsrechnungen.
1. leiht dem L auf 1 Jahr 600 «. L bezahlt dafür nach 1 Jahre
an von jeder Krone 4 Heller Zinsen (Zinsheller); wieviel Zinsen
erhält «? (Denke an den „Zinsgroschen" in der Bibel!)
Für 1 « . 4 Ii Zinsen,
„ 600 „ . 600 mal 4b — 24 « Zinsen;
oder:
für 1 „ . 0'04 « Zinsen,
„ 600 „ . 0'04«X 600 -- 24« Zinsen.
Die ausgeliehenen 600« nennt man das Kapital; L ist der
Schuldner des ^4, dieser ist der Gläubiger des L; für die Über¬
lassung der 600 « zahlt L in 1 Jahre (jährlich) von jeder Krone
4 Heller als Vergütung; man sagt: „das Kapital von 600 « ist
zu 4H ausgeliehen"; die 24« als 1-jährige Vergütung für die 600 «
heißen die Zinsen (Interessen). Die Zinsen werden auf 1 Jahr festgesetzt.
Zur Sicher st ellung gibt der Schuldner dem Gläubiger ent¬
weder einen Schuldschein, oder er verpfändet ihm bewegliche
oder unbewegliche Gegenstände.
2. Wieviel Heller Zinsen erhält man jährlich von 1 « Kapital, wenn
man von 100 « Kapital 5, 6, 7 « Zins erhält?
3. 100 « Kapital geben 4 « (6 «) Zinsen; wieviel Zinsen geben
2000 « (1500 «) Kapital?
4. Ein Kapital ist zu 5L angelegt, d. h. 1 « Kapital gibt jährlich
5 b Zinsen; wieviel Zinsen erhält man von 25 « Kapital?
5. Wieviel Zinsen geben a) 6 «, b) 1^4 «, e) 40 «, ä) 55 «, e) 84 «,
k) 10«, Z) 5«, zu 4L?
v. Wieviel Zinsen geben 250 « Kapital zu 4L, zu 5L, zu 6L?
Beginne stets: 1L ist der Summe!
1L von250 « ist 2'5 «,
3L „ „ „ sind 2'5« X 3 --7'5«.
7. Wie groß sind die jährlichen Zinsen a) von 500« zu 4L ? b) von
406 « zu 5L ? o) von 340 « zu 6L ? ä) von 834 « zu 3L?
8. Berechne die jährlichen Zinsen zu: ch 4L von 100, 200,500,700,
1000, 1200, 1700, 2000 «; b) 3L von 360, 850, 856,1500,1570,
1846 «; o) 5L von 1, 5, 2, 9, 10, 18, 36, 47, 65, 93 « ; ä) 3zL
76
von 100, 400, 1000, 1300, 1570, 2400 L; e) 4^ von 100, 80.6,
14, 560, 987, 1200, 5000, 10000, 50000 L; k) 4 A von 100000,
300 000,250 000,876 400,1000 000,2 000 000,3 640 000,1200000 L !
9. Du leihst 300 X zu 4Z A aus; wieviel Zinsen erhältst du jährlich?
4^ von 300 X! "
4,z^ sind 1 3 50 X. Wieviel Zinsen erhältst du halbjährlich?
10. Wieviel jährliche Zinsen geben a) 25, 56, 65, 160, 235, 426, 805 X
zu 4^? b) 60. 84. 128. 320. 548. 705. 980 X zu 5^?
11. Wie groß sind die jährlichen Zinsen von a) 800 X (850, 642, 970,
32'5, 426'25 X) zu 3^ (4^, 4^, 5'2H, 4'8^)? b) von 60 X
(52 X, 8 X, 80 b, 92 b, 18'5 X, 36'75 X) zu 3ßL, (4öL, 4'6L,
3'8^, 5^^, 5'75^)?
12. Berechne die jährlichen Zinsen von: a) 300 X zu 4^, 560 X zu
3.^, 672 X zu 3ßL, 1500 X zu 3^L, 2878 X zu4z^, 5984 X
4ZL; b) 7 X zu 4;^, 25 X zu 3§S, 66 X zu 3ZB, 8'5 X zu
42L, 26'64 X zu 4ZL, 72'08 X zu 5^1
13. Wieviel Zins bekommt man von 500 X Kapital zu 4A in 3 Jahren?
500 X zu 4A in 3 Jahren.
1A. 5 X Zins in 1 Jahre.
4A.20 „ „ „1 „
4S.60 „ „ „3 Jahren.
14. Wieviel Zinsen bringen in 1, iz, 1^ Jahren: a) 200 X zu 4L,
b) 480 X zu 5A, o) 1460 X zu -3-L, ä) 5878 X zu 6L,
e) 6240'64 X zu 5^?
15. Wieviel Zinsen geben in 1, 2, 2 z, 2; Jahren: ch 290 X zu 4A,
b) 1400 X zu 4iL, o) 2840 X zu 5^, ä) 1300 X zu 4A,
s) 2250 X zu 4L, H 5426 X zu 5 L, §) 6874 X zu 3L, b) 2540'60X
zu 4ö^, i) 936'70 X zu 3ZB, 512 X 75 b zu 4zB, Y 806 X
50 b "zu 5'2
16. Wieviel Zinsen bringen 800 X (640 X, 526 X, 48 X, 516'4 X,
216'25 X, 25 X 35 b, 5 X 80 b, 2'08 X, 822 X 90 K, 1564 X)
zu 4B in 2 Jahren (3, iz, 2Z Jahren)?
17. Ein Kapital trägt in 1 Jahre 375'24 X Zinsen; wieviel in
2 Monaten (in 6, 4, 3, 1, 7 Monaten)?
18. 300 X, 650 X, 218 X, 1 X, 6 X, 15 X, 26 X 40 b, 76 X 6 b,
56 b, 90 b, 855 X 40 b, 960 X 50 b ; wieviel Zinsen bringt jedes
Kapital ch zu 5A in 1 Jahre; b) zu 5S in Z Jahre; e) zu4H in
2 Monaten (in 3, 4, 8, 9, 6 Monaten)?
77
19. Berechne die Zinsen a) von 780 Li zu 6A in 1 Jahre 4 Monaten;
b) von 2560 L zu 5A in 2 Jahren 6 Monaten; A Zucker ä 84 L und gewinnt dabei 3 Li 84 b;
wieviel hat er beim Einkäufe dafür ausgegeben?
11. * 1 A Kaffee kostet im Einkäufe 480 Li; wieviel wird daran gewounei:,
wenn man den Kaffee mit 12^ Gewinn verkauft?
12. Von 488 LA Feigen, die um 228 Li 16 ü eingekauft wurden, ist
die Hälfte zu 55 ü, z zu 58 ü das LA verkauft wordeu; wie teuer
muß 1 LA des Restes verkauft werden, wenn im ganzen 50 Li
gewonnen werden sollen?
13. erhält ein Faß Baumöl im Gewichte von 256 LA, das Faß allein
wiegt 31 LA; er bezahlt 1 LA Öl mit 1'52 X und außerdem an Spesen
45 Li; wieviel gewinnt er, wenn er das LA um 1'92 L verkauft?
14. * Ein Weinhändler kauft das Li Wein um 54 L 48 ü und will
9 Li 52 ü daran gewinnen; wie teuer wird er das i verkaufen?
15. Jemand kauft ein Dutzend Hemden für 74§ Li; wie hoch kommt
ein Hemd?
16. 7 r» Seidenstoff kosten gerade so viel wie 11 »r Wollstoff; wieviel
kosten 36 m Wollstoff, wenn 40 m Seidenstoff 88 Li kosten?
17. Ein Tuchhändler kauft ein Stück Tuch für 136 Li und verkauft
davon ä 4l L, 101 »r ü 5 Li und vom Reste das»r ä5^L;
wieviel m hatte das Stück, wenn 26 Li 15 ü gewonnen werden?
18. * Löse folgende Aufgabe auf verschiedene Weise: 1 m Kattun kostet
48 L, wieviel kosten 50 m?
1. 50 mal 48 k: 2. 50 mal 4 Zehner -5 50 mal 8 k;
8. 50mal Ki -j- 50mal 8 k; 4. 50mal Li — 50mal 2 ii:
1 48
5. 50 m L 1 Ii -- Li, 50 M a 48 Ii Li 24 L.
78
19. * Berechne ebenso: a) 20 /-N Reis a 75 b, b) 52 --r Band a 95 b,
o) 25 Wein L 96 b, cl) 42 ??r Kleiderstoff 4 2 14 42 b, o) 40 /
Essig L 24 b, k) 21 L/ Korn L 9 14 90 b.
20. * a) 14 m Kammgarnstoff L 9 14 38 b. 6) 26 m Grosgrain b 514 90 b.
21. Jemand hat 280 m Kleiderstoff und verkauft von der einen Hälfte
je 7 um 12 bi und von der zweiten Hälfte je 2 m um 3 14;
wieviel nimmt er für die ganze Ware ein und wieviel gewinnt er,
wenn 1 m im Einkäufe 1'4 14 gekostet hat?
22. Ein Buchbinder erhält 150 Pappendeckel zu dem Preise von 22 § L
per 100 LF, die Fracht kostet 314; wie hoch kommt ihn ein zu stehen?
23. Eine Schüssel, die 1'287 wiegt, enthält 0'902 L- feines Silber;
wieviel ist dabei Zusatz?
24. Eine Summe von 5904 Li soll unter vier Personen so geteilt werden,
daß 4 1 8 0 4 und v den Rest erhält; wieviel kommt auf jede
Person?
25. Von dem bei einem Geschäfte erzielten Gewinne entfällt auf 4 1,
auf 8 bb und auf 0 der Rest; wenn nun auf 8 252 14 entfallen,
wie groß ist der ganze Gewinn, wieviel erhält 4, wieviel 0?
26. * Wie groß ist der jährliche Zins a) von 15, 75, 92, 156, 207,
880 14 zu 4^ ? b) von 60, 105, 264, 535, 618, 972 14 zu 5A ?
e) von 20, 85, 125, 340, 782, 836 L zu 6^?
27. Wieviel betragen die einjährigen Zinsen zu 6 A von 975 14, 1225 14,
2870 L, 5995 L, 8445 L, 12760 14 ?
28. Eine Straße von 10 Lm 156'8 m Länge wurde zu beiden Seiten
mit Bäumen besetzt, die 20 Schritte L 48 am voneinander standen;
wieviel Bäume waren erforderlich?
29. Ein Acker ist 124 m lang und 20 m breit; wieviel Weizen ist zur
Aussaat notwendig, wenn man auf 1 3'1 rechnet?
30. Ein ms Bauholz kostet 75'68 14; wieviel kosten 33'135 m^?
31. * Ein Arbeiter hat in 2fj Monaten 361§14 verdient; wieviel in 1 Monat?
32. Eine Arbeit kann von 4 allein in 6 Tagen, von 8 allein in 8 Tagen
vollendet werden; in wieviel Tagen wird die Arbeit vollendet, wenn
sich beide Arbeiter gemeinschaftlich daran beteiligen?
33. Von drei Maurern macht der erste in 3 Stunden 158 ckm^, der
zweite in 4 Stunden 205 aim^, der dritte in 6 Stunden 281 ;
a) wieviel fertigen alle zusammen in einer Stunde, b) in wie¬
viel Tagen werden sie eine Mauer von 1708 Herstellen, wenn
sie täglich 10 Stunden arbeiten?
34. Der Umfang eines Wagenrades beträgt 2 m 7 Um 5 am; wieviel Um¬
läufe muß das Rad machen, um einen Weg von 6 Lm zurückzulegen?
35. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden und zwar
durch die erste in 4, durch die zweite in 5 Stunden; in welcher Zeit wird
der Behälter gefüllt, wenn beide Röhren gleichzeitig geöffnet sind?
79
36. Eine Wasserpumpe kann das in einer Grube enthaltene Wasser in 15
Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschaffen; welcher Teil des Wassers
wird von beiden Maschinen zusammen in einem Tage herausgepumpt?
37. Wie schwer ist ein Granitwürfel, dessen Kante 4'5 beträgt?
(Dichte — 2'6.)
38. Wasser ist ungefähr 770 mal so dicht als die Luft; wieviel wiegt
daher 1 Luft?
39. Wieviel wiegt das Wasser, das in einem Gefäße von 165
Länge, 85 om Breite und 70 ) 15) Lm und 32 Lm; o) 32 m? und 36 »?;
äs 8 ein?, 15 ein? und 26 ein?; e) 2'5) am, 3'6 an?, und 5 en??.;
t) 12 mn?., 20 mm, 38 mm und 46 mm!
3. a) 112 L, 280 L lind 356 T; b) 26 b, 10 b, 45 b nnd 13 b; e) 14eiLA,
8 eii.-A und 45 eiLe/; ä) l^ Stunden, 2f Stunden und 3 Stundeu;
e) 10° 0, 15° 6, 13° 0; k) 14° k, 17° H, 18° k und 13° k!
4. * Alan mischt 1 LA Kaffee a 3 L 48 b mit 1 LN Zucker kosten 9 X 30 b-, wieviel kosten 3 st- ?
3 sind der 5. Teil von 15 3 L- kosten also den 5. Teil von 6 X
30 b, das ist 1 L 86 k.
2. 1 - Pfeffer kostet 167'5 X; wie hoch kommen 20, 4, 10, 2, 50 st- ?
3. 42 / einer Ware kosten 72 X; wieviel kosten 7, 6, 2 ??
4. Ein Waggon von 105 - Kohlen kostet 369'6 X; wieviel kosten 5 -,
(10, 25-)?
5. 24 »r eines Stoffes kosten 164 X; wieviel kosten 6 m?
6. 24 »r Wollstoff kosten 52 X; wieviel kosten 30 m?
7. Eine Familie gibt für die Kost monatlich 144 X aus; wieviel kommt
durchschnittlich ans 1 Woche (2 Wochen, 1 Tag)?
8. 200 X Kapital geben 10 X Zins; wieviel Zins geben IM, 50, 40,
20 X Kapital?
9. Ein Kapital trägt in einem Jahre 375 X 24 b Zins; wieviel in 6,
4, 3, 2 Monaten?
10. gewinnt bei einem Geschäfte mit 4500 X Einlage 540 Xwelcher
Gewinn kommt auf 1500 X Einlage?
11. Die Steuer für ein Haus beträgt jährlich 584 X; wieviel ist an
Steuer für 6 Monate (4, 3, 2 Monate) zu entrichten?
12. 20 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; wieviel Tage brauchen
dazu 5 Arbeiter?
5 Arbeiter sind s von 20 Arbeitern. 5 Arbeiter brauchen daher 4 mal so
viel Zeit als 20 Arbeiter, also 4 mal 6 Tage — 24 Tage.
13. 24 Arbeiter brauchen zu einer Arbeit 15 Tage; wieviel Arbeiter sind
nötig, damit die Arbeit in 5 Tagen vollendet werde?
14. Wenn eine Geldsumme unter 48 Personen geteilt wird, kommen
auf jede 3 X; wieviel erhält eine Person, wenn dieselbe Summe
unter 16 Personen geteilt wird?
83
o) Schluß von der Mehrheit über die Einheit auf eine
andere Mehrheit.
1. 9 M Tuch kosten 54 Li; wieviel kosten 7m?
9 »r kosten 54 X,
1 kostet von 54 X — 6 X,
7 kosten 7mal 6 X 42 X.
2. 8 LA Reis kosten 4 Li 80 ü; wieviel kosten 9, 3, 5, II L//?
3. 100 LA Öl kosten 172 Li-, wieviel kosten 67, 7, 13, 49 LA?
4. 6 Z Bier kosten 1 Li 50 ü; wieviel kosten 17 Z Z?
5. 7 Wein kosten 434 Li; wieviel kosten 20 LZ?
6. 8 m Seidenband kosten 88 Li; wieviel kosten 11, 3, 9, 25 m?
7. Aus 6 Zn? Garn verfertigt man 36 m Leinwand; wieviel aus 25 LA?
8. 35 ??r Laufteppich kosten 63 Li; wieviel kosten 48 »??
85 M kosten 63 iXi,
, «... 63 9 „
1 M kostet X.,
35 o
48 M kosten 9 >< 4^ K -- "E L 86 L 40 X.
o 5
9. Wenn 850 Li in einem Jahre OI^Li Zinsen geben, wieviel Zinsen
geben in derselben Zeit 2825 Li Kapital?
10. Wenn 780 Li in einem Jahre 424) Li Zinsen bringen, wie groß muß
das Kapital sein, damit man in derselben Zeit 99 Li Zinsen erhalte?
11. Bei 21 LA einer Ware gewinnt man 8 Li; wieviel LA muß man ver¬
kaufen, um 30 Li zu gewinnen?
12. Ein Acker von 2 La. 56 « ist mit Weizen bebaut; wie groß wird das
Erträgnis sein, wenn man von 25 « einen Ertrag von 4 LZ rechnet?
13. Ein Landwirt zahlt für 24 La 624 Li Pachtzins, wieviel muß er
für 29 La zahlen?
14. 16 Arbeiter verdienen täglich 48 Li; wieviel verdienen 9 Arbeiter?
15. Ein Manuskript gibt 128 Seiten zu 45 Zeilen; wieviel Seiten
sind es, wenn auf die Seite nur 38 Zeilen kommen?
16. Ein Fußgeher legt in 6 Stunden 15'2 La? Weges zurück; welchen
Weg in 9 Stunden?
17. Aus einer Röhre fließen in 18 Minuten 432 Z Wasser; wieviel in
35 Minuten?
18. Der Schall legt in 3 Sekunden 1 La?, zurück; wie weit von uns hat
ein Blitz eingeschlagen, wenn zwischen Blitz und Donner 10 (7, 14)
Sekunden verstreichen?
19. Welches Gewicht haben 100 Bündel Draht, wenn 3 Bündel Draht
10 LA wiegen?
20. 18 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 7 Tagen; wieviel Tage brauchen
7 Arbeiter zur Vollendung dieser Arbeit?
18 Arbeiter brauchen 7 Tage,
1 „ braucht 18 mal 7 Tage — 126 Tage,
7 „ brauchen von 126 Tagen — 18 Tage.
86
21. Zu einem Rocke braucht man 3'2 m Tuch, wenn dieses 120 am breit
ist; wieviel Tuch wird man brauchen, wenn es nur 96 am breit ist?
22. Will ein Landmann seine Wiese in 2 Tagen abmähen, so muß er
täglich 9 Stunden dazu verwenden; wie lange muß er täglich mähen,
um die Arbeit in 3 Tagen zu vollenden?
ä) Schluß von einer Mehrheit auf eine andere mittels
eines gemeinschaftlichen Teiles.
1. 20 LA Lack kosten 32 Li; wieviel kosten 15 /-A?
20 LA kosten 32 L,
3 LA „ von 32 L — 8 k,
43 Ly „ 3mal 8 L 24 k.
2. 24 Milch kosten 314 § Li; wieviel kosten 16 L/?
3. 16 § Essig kosten 6 Li 40 ü; wieviel kosten 28 /?
4. Wenn 36 LA Brennöl mit 28 L bezahlt werden, wieviel LA erhält
man für 42 Li?
5. Zu 56 m Tuch sind 21 LA Wolle erforderlich; wieviel zu 32 m?
6. Wenn 1000 Stück Ziegel 42 L kosten, wie hoch kommen 800 Stück?
7. Ein Kapital von 1350 Li trägt in einer bestimmten Zeit 225 Li Zinsen;
wieviel trägt in derselben Zeit ein Kapital von 750 Li?
8. Ein Kapital trägt in einem Jahre 4620 Li Zinsen; wieviel in
8 Monaten?
9. gibt zu einem gemeinschaftlichen Geschäfte 8400 Li, L 6000 L;
wenn nun als Gewinnanteil 773 Z Li bekommt, wieviel erhält L?
10. Das vordere Rad an einem Wagen macht 80 Umdrehungen, während
das Hintere 64 macht; wieviel macht das vordere, wenn das Hintere
1320 Umdrehungen macht?
11. Ein Mann, dessen Schrittlänge 75 am beträgt, geht über eine Brücke
mit 100 Schritten; wie lang ist der Schritt eines Knaben, der mit
150 Schritten über diese Brücke kommt?
12. Ein Bad soll eine Temperatur von 26" L haben; wieviel Grade
wird ein in dasselbe eingetauchtes Celsius-Thermometer zeigen müssen?
(80" L — 100° 0.)
13. Wenn 10 Arbeiter eine Wiese in 6 Tagen mähen, wie lange brauchen
dazu 15 Arbeiter?
10 Arbeiter brauchen 6 Tage,
5 „ „2 mal 6 Tage — 12 Tage,
15 „ „ ^von 12 Tagen — 4 Tage.
14. Ein Meister übernimmt eure Bestellung, von der er schätzt, daß seine
8 Gesellen dieselbe in 16 Tagen vollenden können; wieviel Gesellen
muß er noch aufnehmen, wenn die Arbeit schon in 10 Tagen aus¬
geführt sein soll?
15. Ein Graben wird zur Hälfte von 8 Arbeitern in 15 Tagen aus¬
gehoben; wieviel Arbeiter muß man aufnehmen, damit die andere
Hälfte in 10 Tagen fertig werde?
87
16. Mit dem Abschreiben eines Manuskriptes wird ein Schreiber in 12
Tagen fertig, wenn er täglich 8 Stunden schreibt; wieviel Tage
brancht er, wenn er täglich nur 6 Stunden schreibt?
17. Wenn jemand täglich 42 Lm zurücklegt, so erreicht er sein Ziel in
10 Tagen; wieviel Tage braucht er, wenn er täglich nur 28 /cm
zurücklegt?
18. Wenn 600 Mann einen Vorrat auf 10 Monate haben, wie lange
werden 400 Mann damit anskommen?
19. Von einem 80 em breiten Stoffe braucht eiue Schneiderin zu einem
Kleide 6 m; wieviel von einem 120 cm breiten Stoffe?
u. Verhältnisse.
Vergleichung gleichartiger Groszen.
1. a) Um wieviel find 12 L größer als 3 L?
d) Wievielmal so groß als 3 L sind 12 L?
2. Vergleiche ebenso: 10 m und 2 m; 14 m? und 7 m?; 3 m^ und
45 m^; 10 » - bt i . L L - ii i . s L. Li
4 - o I- . 4-2 4, u.) 4^ . . 44-,, 2 - 4- e ' ^3' 2 ' 3'4'
14. Bestimme das Vorderglied eines Verhältnisses, dessen Hinterglied
3 L (8 Lm, 5z b'r, z, 20, 25s) und'dessen Exponent 3 (10, -z, Iß, 7z) ist!
15. Suche das Hinterglied eines Verhältnisses, dessen Vorderglied 10 H
(22«, 8s^, Z, z, IG und dessen Exponent 5 (2, z, ß, 1s, 2ß) ist!
16. Berechne das unbekannte Glied: a)V:9—-4; b)V:15 — f,;
o) V : 2s - 5ß; ä) 45 : H — 3; «) 60 : H l!; k) Z :H — Z!
17. Stelle folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen dar: a) z : 4, 3s : 5,
7 : 6s; b)'z : s, 23ß : Iß; o) 3'4 : 5, 3 : 1'73, 17 86 : 9 025!
18. Wie verhalten sich zwei Brüche von gleichen Nennern?
19. Drucke folgende Verhältnisse durch die kleinsten Zahlen aus:
H 6:2, 10:18, 12:16, 32:24; b) 56:72, 21:49, 96:144,
120:48!
90
Ist in einem Verhältnisse das Vorderglied kleiner als das
Hinterglied, so heißt das Verhältnis ein steigendes; ist das
Vorderglied größer als das Hinterglied, so nennt man das
Verhältnis ein fallendes.
Suchet unter den vorstehenden Verhältnissen
a) die steigenden, b) die fallenden auf!
20. Folgende Verhältnisse sollen auf die einfachste Form gebracht, d. i.
in ganzen Zahlen dargestellt und dann, wenn es angeht, abgekürzt
werden: a) 4:6ß, 5z: 7Z, 3ß:8Z; d) 12^:8^, 11Z:2^, 1^;
o) ^:3Z, 12'5:6'5, 8'25:7'5. '
1. Gib Verhältnisse zwischen Maßeinheiten au, z. B.: a) 1 m : 1
1 LA: 1 A, 1 Li: 1L, 1 La: 1 a, 1 Li: 1 ck/ und umgekehrt; b) 1 österr.
Meile: 1 Am, 1 Wiener Zentner : 1 A, 1 L/ : 1 Eimer usw!
2. Eine Linie ist 12 m lang, eine andere 5 m; wie verhalten sich die
Längen zueinander?
3. Miß die Länge und Breite des Tisches, die Höhe und Breite der
Tafel, der Tür und der Fenster usf. und gib das Verhältnis ihrer
Ausdehnungen an!
4. Wenn 1 Le/ Kaffee 3'6 Li, 1 LA Zucker 78 L, 1 LA Mehl 38 L,
1 LA Salz 26 L, 1 LA Rindfleisch 1'8 Li kostet, wie verhalten sich
die Preise je zweier vvn diesen Lebensmitteln?
5. 1 A Kaffee kostet 320 Li, 1 A Zucker 80 Li; wie verhält sich der
Preis des Kaffees zum Preise des Zuckers?
6. Wie verhält sich dem Werte nach ein Gulden zu einer Krone,
ein Kreuzer zu einem Heller?
7. Ein Zweihellerstück wiegt 3^ A, ein Einhellerstück I^A; in welchem
Verhältnisse stehen die Gewichte dieser beiden Münzsorten?
8. Ein kaiserlicher Dukaten gilt 11'28 Li, ein Achtguldenstück 18'8 Li;
wie verhalten sich die Werte dieser Goldmünzen zueinander?
9. 1 LA Gold ist 2790 Li, 1 LA Silber 180 Li wert; wie verhält sich der
Wert des Goldes zu dem des Silbers?
10. Ein Kapital von 725 Li bringt 29 Li Zinsen; wie verhält sich das
Kapital zu den Zinsen?
11. Ein Vater ist 36, sein Sohn 9 Jahre alt. Wie verhält sich das
Alker des Vaters zu dem des Sohnes? Welches Altersverhältnis
bestand vor 6 Jahren?
12. Ein Arbeiter verdient in 4 Tagen ebensoviel als ein anderer in 6
Tagen; wie verhält sich der Taglohn des ersten zu dem des zweiten?
13. Ein Zimmer ist 7§ m lang und 6; m breit; wie verhält sich die
Länge zu der Breite?
14. Eine Straße steigt bei 1 Lm Länge um 50 m; wie verhält sich die
Steigung zur Länge?
91
15. Ein Kreis, dessen Durchmesser 1 ist, hat 3s m Umsang; welches Ver¬
hältnis findet zwischen dem Durchmesser und dem Umfange eines
Kreises statt?
16. Der Umfang eines Vorderrades verhält sich zu dem des Hinterrades
wie 4:5; wie groß ist der Umfang eines Vorderrades, wenn der
des Hinterrades 2 m 3 beträgt?
17. Von zwei Nädern macht das eine 300 Umdrehungen in 2s Minuten,
das andere braucht zu ebensoviel Umdrehungen nnr 1? Minuten; wie
verhält sich die Geschwindigkeit des ersten Rades zu der des zweiten?
18. Die Geschwindigkeit eines Fußgängers verhält sich zu der eines
Radfahrers wie 1:4; wie weit kommt der Fußgänger während der
Radfahrer 3 Lm zurücklegt? (Wie lange braucht der Radfahrer zu
einem Wege, den der Fußgänger in 25 Minuten zurücklegt?)
0. Proportionen.
1. Stellet aus den Angaben: 8 kosten 13 L., 24 kosten 39 L,
a) das Verhältnis der Warenmengen, b) das Verhältnis der Preise
fest und bestimmet die Exponenten dieser Verhältnisse!
8 /sA kosten . . . 13 T,
24 /eA „ ... 39 L;
" 8 : 24 — s 13 : 39 — s.
Die Verhältnisse sind einander gleich, man kann daher schreiben
8 : 24 --- 13 : 39.
Eine solche Gegenüberstellung zweier gleicher Verhält¬
nisse heißt eine Proportion; sie wird gelesen: 8 verhält sich zu 24
wie 13 zu 39. 8 heißt das 1., 24 das 2., 13 das 3., 39 das 4. Glied
der Proportion; das 1. und 4. Glied nennt man die äußeren,
das 2. und 3. nennt man diö inneren Glieder.
Aus der Vergleichung der Glieder der beiden Verhältnisse ersieht
man: 24 — 3 mal 8,
39 --- 3 mal 13.
Man kann daher schreiben: 8:3X8 — 13:3X13. Die
inneren Glieder enthalten genau dieselben Faktoren wie die
äußeren Glieder. Daraus folgt: In jeder Proportion ist das
Produkt der äußeren Glieder gleich dem Produkte der
inneren Glieder; ferner:
Da man jedes Verhältnis als Bruch auffassen kann, so läßt sich
auch jede Proportion durch Gleichstellung der zwei Brüche ausdrücken,
als welche die beiden gleichen Verhältnisse erscheinen.
4 8
4 : 5 8 :10 kann man auch so darstellen:
Aus dieser einfachen Betrachtung ergibt sich: Wenn der erste Bruch
ein echter ist, muß auch der zweite echt sein; ist der erste unecht, so
muß auch der zweite unecht sein.
92
Auf die Proportionen angewandt, lautet dieser Satz: Ist das
erste Verhältnis steigend, so muß auch das zweite
steigend sein; ist das erste sallend, so muß auch das
zweite Verhältnis fallend fein.
2. Bilde Proportionen, indem du zu den nachstehenden Verhältnissen je
ein neues findest: 3 : 4 — , 10 : 6 — , 8:5—, 12 : 8 — ,
16:24-, 20:12—, 15:25—, 48:8—, 42:28-! '
3. Weise an der Proportion 18 : 6 — 12 : 4 die Richtigkeit folgender
Sätze nach: 1. Werden in einer Proportion: a) die äußeren Glieder
miteinander vertauscht, b) die inneren Glieder miteinander vertauscht,
o) die äußeren Glieder mit den inneren vertauscht, so erhält mau
wieder eine richtige Proportion.
2. Eine Proportion hört nicht auf, richtig zu sein, wenn man ein
inneres und ein äußeres Glied aj mit derselben Zahl multipliziert,
d) durch dieselbe Zahl dividiert.
Durch Multiplikation eines inneren und eines äußeren Gliedes
mit einer und derselben Zahl kann man jede Proportion, in der
Brüche vorkommen, in ganzen Zahlen darstellen; mit Hilfe
der Division kann jede Proportion, in der ein inneres und äußeres Glied
ein gemeinschaftliches Maß haben, durch dieses abgekürzt werden.
Stelle folgende Proportionen in ganzen Zahlen dar:
4- »)ß:ß--ß:ßr d) 16ß : 2--13 : Iß; o) § : 4 --- L : ß; ä) : 11ß -
5.0-5:2'4 — 0'625:3; 5ß:4l-3ß:3; zß:ß-1:ß; 18:2'25 —
- 28:3'5!
Kürze folgende Proportionen ab:
6. a) 9 : 27 - 5 :15; b) 21: 24 - 14 :16; o) 27 : 36 - 6 : 8;
<0 7:8 — 56:64!
7. aj «H : Ä — 2 : E ; b) H : G — 7 : <4; o) 25f>-: 3'75 — 5'6 : 0'825:
4) 4-: 54 - 5z: 5ß; o) 331: 7s- —19'25: 4^; k) 85'5 :56 s — 23ß : 15Z!
8. Bilde aus der eingangs erwähnten Regeldetri-Aufgabe eine Pro¬
portion !
8 13 L Anmerkung: x stellt uns eine
24 LA xL noch unbekannte
8: 24 — 13: x Zahl vor.
24 X 13
8 Xx — 24 X 13 x " ^0 L-
Da die Glieder einer Proportion vertauschbar sind, kann man auch
schreiben: 3
x : 13 — 24 : 8
8 . x — 13 24
X —
13.24
8
— 39L
Beim praktischen Rechnen pflegt man die Proportionen so anzu¬
setzen, daß das unbekannte Glied x als erstes Glied zu stehen kommt.
93
Drücke obige Proportion zuerst in den kleinsten ganzen Zahlen
aus und bestimme dann die Unbekannte!
Eine weitere Vertauschung der Glieder ergibt noch folgende Pro¬
portionen : 13 : x --- 8 : 24 24 : 8 — x : 13
1 : 3 und 3 :1
V13 - 39 L. ^^3.13 — 39 L.
Aus diesen Beispielen folgt:
1. Jedes äußere Glied einer Proportion ist gleich dem
Produkte der beiden inneren Glieder, dividiert durch
das andere äußere Glied.
2. Jedes innere Glied einer Proportion ist gleich dem
Produkte der äußeren Glieder, dividiert durch das
andere innere Glied.
Mit Hilfe dieser zwei Sätze kann man aus einer Proportion, in der
drei Glieder bekannt sind, das unbekannte Glied finden, d. h. die
Proportion auflösen.
Drücke folgende Proportionen zuerst in den kleinsten ganzen Zahlen
aus und bestimme dann die Unbekannte!
9? a) x: 4 — 8:16. b) 3 : x --- 5 : 30. o)24:12 — 7:x.
r 36 Li kosten (36 Li in den Zähler), so kostet 1 ,» den 6.
Teil von 36Li (6 in den Nenner); 12?» kosten 12 mal so viel als I m (12 in
den Zähler); kürze und rechne aus!
2. Ein sich gleichförmig bewegender Körper legt in 14 Minuten 245 m
zurück; wieviel in einer Stunde?
3. Wenn ein Rad in 48 Minuten 264 Umdrehungen macht, n) wieviel
Umdrehungen macht es in 36 Minuten? b) In wieviel Minuten
dreht es sich 814 mal um?
4. Die Erdachse ist 12715 /cm lang, der Durchmesser am Äquator beträgt
12760 /cm; wie lang müßte bei einem Globus, der diese Abweichung
genau darstellen sollte, die Erdachse genommen werden, wenn man
als Durchmesser des Äquators 429 mm uimmt?
5.* 16 Maurer können eine Mauer in 20 Tagen aufführen; in wieviel
Tagen würde dieselbe Mauer von 10 Arbeitern anfgeführt werden?
Mit Hilfe der Proportion:
16 Maurer 20 Tage 4. x: 20 — 16 :10
V 10 „ x „ x — 32 Tage.
Schließe: Wenn 16 Maurer zur Arbeit 20 Tage brauchen, so werden 10
Maurer zu derselben Arbeit mehr als 20 Tage brauchen. Je weniger Arbeiter,
desto mehr Zeit: Diese beiden Arten von Zahlen sind umgekehrt proportioniert,
daher sind die beiden Verhältnisse in umgekehrter Ordnung genommen einander
gleich; x : 20 -- 16 :10. (Siehe die Pfeile!)
Durch die Schlußrechnung: Wenn 16 Maurer zu einer Arbeit 20 Tage
brauchen, so braucht ein Maurer dazu 16 mal so viel Zeit, also 320 Tage; 10
Maurer brauchen nur den 10. Teil von der Zeit, die ein Maurer braucht, also
nur den 10. Teil von 320 Tagen, d. i. 32 Tage.
95
6. * Um eine Wiese abzumähen, braucht man 18 Mäher durch 4 Tage;
in mieviel Tagen werden 12 Mäher damit fertig werden?
7. * 45 Arbeiter brauchen für eine Arbeit 24 Tage; wieviel Arbeiter
muß man aufnehmen, damit die Arbeit in 15 Tagen vollendet werde?
8. * Wenn 16 Maurer täglich 12 Stunden arbeiten, so wird eine Mauer
in 15 Tagen fertig; in welcher Zeit wird die Mauer fertig, wenn
jene Maurer täglich nur 10 Stunden arbeiten?
9. * Um eine Mauer, die 20 m lang ist, aufzufllhren, sind 35 Arbeiter
erforderlich; wieviel Arbeiter braucht man, damit eine ebenso hohe
und dicke Mauer, die 28 m laug ist, in der nämlichen Zeit voll¬
endet werde?
10. Aus einer bestimmten Garnmenge können 34 m Leinwand von 75 om
Breite hergestellt werden; wieviel m Leinwand erhält man bei einer
Breite von 102 am?
11. Zu einem Dache braucht man 6936 Stück Ziegel, wenn jeder Dach¬
ziegel 120 a-m? deckt; wieviel Stück sind erforderlich, wenn jeder
Ziegel nur 90 am? deckt?
12. Wenn jemand täglich 7 U verbraucht, reicht er mit seinem Geld¬
vorräte 18 Tage aus; wie lange reicht er damit aus, wenn er täglich
nur 6 braucht?
13. Wenn in einer Haushaltung monatlich 2Z Raummeter Holz ver¬
braucht werden, so genügt der vorhandene Vorrat für 4 Monate;
wieviel Raummeter dürfen monatlich verbraucht werden, damit man
mit demselben Vorräte 4Z Monate ausreiche?
14. Zur Beheizung eines Zimmers braucht man jährlich 15 Raummeter
Brennholz, wenn dessen Scheitlänge 80 am beträgt; ivieviel, wenn
das Holz nur 64 em lang ist?
15. Jemand braucht für seinen Unterhalt im Durchschnitte alle 10 Tage
34; wie lange wird er mit 706 Li 20 ll auskommen?
16. Aus einer bestimmten Menge Garn kann der Weber 84 m Leinwand
weben, die 75 em breit ist; wieviel Meter 80 em breiter Leinwand
kann er daraus erzeugen?
17. Jemand braucht zu einem Kleide 2Z m Tuch, wenn dieses 1; m breit
ist; im Tuchladen findet sich aber nur Tuch von IZ m Breite; wie¬
viel m sind davon zu dem Kleide erforderlich?
18. Die Gasbeleuchtung in einer Fabrik kostet monatlich 72 H, wenn
die Gasflammen täglich durch 9 Stunden brennen; wie lange könnten
diese Flammen brennen, wenn die monatliche Ausgabe nur 60 K
betragen soll?
19. Wenn 3 LA Mehl 5 LA Teig und dieser 4 LA Brot gibt, a) wieviel
Mehl braucht der Bäcker, um 100 LA Teig zu machen; b) wieviel,
um 100 LA Brot zu erhalten?
96
20. Zur Tapezierung eines Zimmers braucht man 28 Rollen Tapeten
von 45 öm Breite; wieviel Rollen von gleicher Länge sind dazu
erforderlich, wenn die Tapeten nur 42 c-m breit sind?
21. Zn einem Sofaüberzuge braucht inan 6 m 3 ck-n Stoff, wenn dieser
80 nm breit ist; wieviel Stoff braucht man, wenn er 105 am breit ist?
22. Ein Schmied erhält für 1785 17 Stabeisen, das /,A zu 21 b gerechnet;
wieviel hat er für dieselbe Menge zu bezahlen, wenn der Preis
pro LA auf 23 ü steigt?
23. Ein Gärtner verkauft 112 Stück Pflänzchen, und zwar je 7 Stück
für 40 ü; wie groß ist der Erlös?
24. Ein Garten ist 40 »r lang und 28 m breit; es soll nun ein zweiter
Garten um 16 m länger werden, aber dieselbe Fläche einschließen;
wie groß wird seine Breite sein müssen?
28. Zu einer Garteneinfassung braucht man 500 Stück Latten, wenn sie
9 am voneinander gesetzt werden; man hat aber nur 450 solche
Lattenstücke; wie weit müssen sie voneinander gesetzt werden, damit
man ausreiche?
26. Eine Straße soll urit Bäumen bepflanzt werden. Setzt man sie 4^ m
weit auseinander, so sind 3648 Stück nötig; wieviel Stück sind er¬
forderlich, wenn sie 34 m auseinander gesetzt werden?
27. Ein Acker von 6Z /m gibt einen Ertrag von 68^ L/ Weizen ; a,) wie¬
viel Weizen trügt eine Ackerfläche von 3^ Ln; b) ans wieviel Ln er¬
hält man 34^ LZ Weizen?
28. * 6 Taglöhner graben ein Feld in 4s, Tagen um; wieviel Taglöhner
müssen gedungen werden, damit jene Arbeit in 3 Tagen zustande
komme?
29. Wenn 30 Personen ein Werk in 4f^ Monaten vollenden, wieviel
Zeit brauchen dazu 9 Personen?
30. 15 Arbeiter heben in einer bestimmten Zeit 36 Erde aus; wieviel
Arbeiter sind erforderlich, um in derselben Zeit 144 -m' auszuheben?
31. Mit 3 Wagen könnte die Schneeabfnhr aus einer Straße in 2 Wochen
besorgt werden; wieviel Wagen sind notwendig, wenn dieselbe in
4 Tagen geschehen sein soll?
32. * 20 Schnitter mähen eine Wiese in 5 Tagen ab; es kommen nun
noch 5 Schnitter dazu; in wieviel Tagen wird dann die Wiese ab¬
gemäht sein?
33. Mit dem Van einer Eisenbahn können 3000 Arbeiter in 9 Monaten
"" fertig werden; wieviel Arbeiter wird man noch anfnehmen müssen,
damit der Ban in 6 Monaten fertig werde?
34. Wieviel Schritte von ss m Länge braucht eiu Kiud, um dieselbe
Strecke zurückzulegen, zu der eiu erwachsener Mensch 2400 Schritte
von Z M Länge benötigt?
97
M. Um a» einen Ort in 15 Tagen zu gelangen, muß man täglich 38z L»r
zurücklegen; in mieviel Tagen wird man dahin kommen, wenn man
täglich nur 30§ /cm macht?
36. 1 Messing enthält 70 /.'s Kupfer und 30 Zink; wieviel Kupfer
und Zink enthalten 35'5 /cy Messing?
37. 100 Buchenholz entwickeln beim Verbrennen ebensoviel Wärme
wie 240 - Steinkohle; wenn man nun in einer Haushaltung jähr¬
lich 32 Buchenholz verbraucht und dieses durch Steinkohlen ersetzen
will, wieviel c/ der letzteren sind erforderlich?
38. Eine gleichmäßig ansteigende Straße steigt auf 20'75/cmum 49'8m;
wie groß ist die Steigung auf 2^ Lm?
39. Ein senkrechter Stab, der 1'5 m lang ist, wirft einen 2' 4m langen
Schatten; wie hoch ist ein Turm, der zu derselben Zeit einen 44 m
langen Schatten wirft?
40. Von zwei Rädern, welche ineinander greifen, hat das eine 48, das
andere 32 Zähne; wie oft wird sich das zweite Rad umdrehen, wenn
sich das erste 38 mal umdreht?
41. Vor: zwei Rädern soll das eine 200 Umdrehungen machen, während
sich das andere 80 mal umdreht; wieviel Zähne muß man dem
zweiten Rade geben, wenn das erste 26 Zähne hat?
42. Ein Gefäß, das H cim hoch ist, hält 63 /; wie hoch muß ein Gefäß
von gleicher Weise sein, wenn es 49 / halten soll?
: 43. 28 Maurer können eine Maner in 24 Tagen aufführen; in wieviel
Tagen wird die Mauer fertig, wenn nach 6 Tagen noch 8 Maurer
ausgenommen werden?
Anleitung: Wenn nach 6 Tagen eine Änderung in der
Arbeiterzahl Platz greift, haben also 28 Maurer bereits 6 Tage
gearbeitet und müßten noch 24 — 6 — 18 Tage arbeiten, um die
Mauer zu vollenden. Weil darnach statt 28 Maurer ihrer 8 mehr,
also 36 sind, ergibt sich der Ansatz:
28 Maurer müßten noch 18 Tage arbeiten
36 „ werden „ x „
x: 18 ^-28: 36
x--14
Antwort: 28 Maurer arbeiten 6 Tage, 36 Maurer 14 Tage;
die ganze Mauer wird demnach in 20 Tagen fertig.
44. Ein Maurermeister forderte zu einem Baue 15000 Ziegel, je 2'6 c/m^
groß; nachdem er 9600 solche Ziegel erhalten hat, können ihm nur
Ziegel von 2'7 geliefert werden; mieviel solche Ziegel muß
man ihm noch geben?
45. Ein Kanal kann von 24 Mann in 10 Wochen hergestellt werden;
nachdem durch 4 Wochen 30 Mann daran gearbeitet haben, entläßt
man 10 Mann; in wieviel Wochen wird dann der noch übrige Teil
des Kanals fertiggebracht werden?
M o ü n ik' H a l b g e b a u er, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. 7
98
46. Ein Holzhändler hatte für eine Fabrik 4250 Raummeter Holz von
80 am Scheitlänge zu liefern, wovon er bereits 2750 Raummeter
abgeführt hat; für den Rest verlangt man Holz von 64 am Länge;
wieviel muß davon geliefert werden?
2. Zusammengesetzte Verhältnisse und Proportionen.
1. Jemand geht 10 Tage und legt täglich 42 /em zurück, ein anderer
geht 14 Tage, macht aber täglich nur 35 ?em; wie verhalten sich die
von beiden zurückgelegten Wege?
Verhältnis der Zeiten 10 : 14
„ „ Gesch windigke iten . . . 42: 35
Verhältnis der Wege 10.42:14.35
oder 420:490
oder 6 : 7
Multipliziert man in mehreren Verhältnissen alleVvrderglieder
und ebenso alle Hinterglieder miteinander, so heißt das Ver¬
hältnis dieser Produkte ein zusammengesetztes Verhältnis, im Gegen¬
sätze zu den gegebenen Verhältnissen, die einfache genannt werden. Z. B.:
4 : 3 Exponent s Der Exponent eines zusammengesetzten Ver-
5:6 „ ß hältnisses ist gleich dem Produkte aus den Ex-
9:7 „ i ponenten der gegebenen einfachen Verhältnisse;
4.5.9:3.6.7 denn
4 5 9-8 6 7 — 1-^-9 — 4
4.0.U . o.o. i — o — 3 r r-
Durch Kürzung erhält man das zusammengesetzte Verhältnis 10:7.
Zusammengesetzte Verhältnisse kommen in der Anwendung vor, wenn man
Größen miteinander vergleichen will, die einzeln von zwei oder mehreren anderen
Größen abhängen. Z. V. Die Preise zweier Stoffe von gleicher Güte verhalten
sich einmal wie die Längen, das andermal wie die Breiten, d. h. also wie
die Flächeninhalte derselben. Die Gewichte zweier prismatischen Steine
derselben Art hängen nicht nur von dem Verhältnisse der Längen, sondern auch
von dem Verhältnisse der Breiten und auch von dem Verhältnisse der Dicken,
d. h. also von dein Verhältnisse der Rauminhalte ab.
2. Bilde aus den Proportionen: x : — 2Z : 3s,
X: 4Z 3s : 8s
die zusammengesetzte Proportion und bestimme aus ihr x!
xx /1! 2s. 3s: 3s. 8s.
Durch Kürzung fällt im 1. und 2. Gliede x aus und es ist:
. 9 S 1K . 1» 35
x - 2 2'5 ' 3-4'
x : ß — 8 : A
x -. 9 --- 8 : 55.
x D 1A
Wenn man in zwei oder mehreren Proportionen die ersten, die
zweiten, dritten und vierten Glieder miteinander multipliziert, so
99
bilden die Produkte wieder eine Proportion und zwar eine zu¬
sammengesetzte Proportion.
Übung. Bilde das zusammengesetzte Verhältnis:
3. a) aus 6 :5 und 10 : 9; b) aus 3^ : 2 und 8: H; o) aus z : 4 und 5 : x.
4. a) aus 2Z: z, 1:4^ und §: §; b) 1: 2, 2 : 3, 3 : 4.
3. Aus 21: 18, 12 :13ß, 8Z : 15.Z und 10^ : 7!
6. Von 2 Fensterscheiben ist die eine 7 ckm breit und 8 ckm hoch, die
andere 8,4m breit und 14ck»r hoch; wie verhalten sich die Flächen¬
inhalte der beiden Scheiben?
7. Von zwei Gärten ist der eine 63 M lang und 30 m breit, der andere
56 m lang und 36 M breit; in welchem Verhältnisse stehen die
Flächeninhalte derselben?
8. Von zwei Arbeitern arbeitet durch 15 Tage täglich 9Z Stunden,
8 durch 18 Tage täglich 8Z Stunden; wie verhalten sich ihre Lohn¬
beträge, wenn der Lohn sür 1 Stunde beiderseits derselbe ist?
9. In welchem Verhältnisse stehen die Arbeitskräste zweier Arbeiter, von
denen in 4 Tagen, 12 Stunden täglich arbeitend, und 8 in 5
Tagen, 8 Stunden täglich arbeitend, dasselbe Werk zustande bringt?
10. Eine gleiche Arbeit vollenden 9 Arbeiter in 12 Tagen und 8 Arbeiter
in 15 Tagen; wie verhalten sich bei gleicher Arbeitskraft die täglichen
Arbeitsstunden?
11. 4. brennt 9 Lampen 42 Tage lang täglich 5 Stunden, 8 brennt 14
Lampen 30 Tage lang täglich 6 Stunden; wie verhalten sich die
verbrauchten Ölmengen zueinander?
12. Von 2 Dampfmaschinen ist die eine imstande 12 Tonnen 15 »r hoch,
die andere in derselben Zeit 9 Tonnen 18 m hoch zu schaffe«; in
welchem Verhältnisse stehen die Leistungskräfte der beiden Maschinen?
Bilde aus folgende« Proportiouen zusammengesetzte Proportioneu!
a) 5:8^15:24, 6)16:32-^4:8,
16: 6--24: 9; 18:16^-9:8;
<-) 5 : 9 --- 4ß : 8, ä) iz : 4z : 2z,
H : H ----4:15; H : h --- 4ß:
14. Löse folgende Proportionen auf: "
g.) x: x — 3ö: 4, 6) x:5 —4 :3,.
/ : ! - 2s : 3; 5: 2---30: 12;
v) : 14 --- 3 : 7, 4) x : / 20 :12,
125: 100; 12 : 10,
2: 5 — 24:15!
3. Zusammengesetzte Regeldetri.
Läßt sich eine Aufgabe auf zwei oder mehrere einfache Regeldetri-
Aufgaben zurückführen, so heißt sie eine Aufgabe der zusammen¬
gesetzten Regeldetri. Die Aufgaben der zusammengesetzten Regeldetri
7»
100
werden sowie die der einfachen entweder durch die Schlußrechnung,
durch den Bruchsatz oder mit Hilfe der Proportionen aufgelöst.
Auflösung durch die Schlußrechnung oder den Bruchsatz.
1. * 4 Arbeiter, die täglich 12 Stunden arbeiten, bringen eine Arbeit in
7Z Tagen zustande; wieviel Tage brauchen dazu 6 Arbeiter, die täglich
10 Stunden arbeiten?
s.) 4 Arbeiter bei 12 Stunden täglicher Arbeit 7 z Tage
4 „ „1 Stunde „ „ 12 mal 7z - 90 Tage
1 „1 „ „ „ 4 mal SO -- 360 „
6 „ „1 „ „ „ zvon 360 — 60 „
6 „ „ 10 Stunden „ „ ^von 60 — 6 „
Auch bei der zusammengesetzten Regeldetri kann man die Schlu߬
rechnung durch den bereits Seite 94 erwähnten Bruchsatz kürzer
gestalten.
b) 4 Arbeiter 12 Stunden 7z Tage 7z Tage X 12 X 4
6 „ 10 „ x 6X10 " " 0 Tage.
Schließe: wie unter la., setze die Vielfachen zu 7z Tagen als Faktoren in
den Zähler und die Teile als Faktoren in den Nenner: kürze und rechne aus!
Schließe stets auf die Einheit und kürze im Bruchsatz!
2. Zum Ausstopfen einer Matratze von 1 m Breite und 1'9 m Länge
braucht man 19 7c// Seegras; wieviel für eine Matratze von 0'9 m
Breite und 1'8 m Länge?
3. 64 m Leinwand von 96 am Breite kosten 96 L; wieviel sind 56 m
einer 84 em breiten Leinwand von gleicher Güte wert?
4/' Zur Bedieluug eines Zimmers braucht man 24 Bretter von 4 o/
Lange nnd 25 em Breite; wieviel Bretter braucht mau, wenn sie
5 m Länge und 30 em Breite haben?
5. Für ein Zimmer, das 8 m lang und 6 m breit ist, kostet das Par¬
kettieren des Bodens 180 Li; wieviel betragen die Kosten des Parkettie¬
rens für ein Zimmer, das 10 m lang und 7 m breit ist?
6. Ein Acker, der 144 m lang und 42 m breit ist, liefert 378 7/7
Weizen; wieviel liefert ein gleich ergiebiger Acker von 204 m Länge
und 48 m Breite?
7. 6 Gänge einer Mühle mahlen in 12 Stunden 57 ^7 Korn; wieviel
mahlen 8 solcher Gänge in 15 Stunden?
n. Auflösung mit Hilfe der Proportion.
Jede zusammengesetzte Regeldetri kann in mehrere einfache zerlegt
iverden. Z. B.:
1. 3 Maurer führen in 14 Tagen 50 m^ Mauerwerk auf; in wieviel
Tagen werden 7 Maurer 125 m^ Mauerwerk aufführen?
Man hat folgende zwei Ansätze der einfachen Regeldetri:
1. Zur Herstellung von 50 m^ Mauerwerk brauchen
3 Maurer 14 Tage : 14 — 3 : 7
v 7 Maurer v Tage . X — 6 Tage.
101
2. 7 Maurer brauchen zur Herstellung
4 von 50 6 Tage 4 x : 6 — 125 : 50
„ 125 n? x Tage > x — 15 Tage.
Kürzer kann die Aufgabe mit Hilfe einer einzigen zusammen¬
gesetzten Proportion gelöst werden. Stellt man nämlich die früher
erhaltenen zwei Proportionen zusammen, behält jedoch statt der gefun¬
denen Zahl 6 den Buchstaben 7, so hat man
^:14— 3: 7,
x : 7 — 125 : 50, daher durch Multiplikation
7 . x 14.7 — 3.125 : 7.50
und wenn man das 1. Verhältnis durch 7 abkürzt,
x: 14 — 3.125: 7.50
oder x: 14 — 3 : 7
- 125:50,
wenn man die zu multiplizierenden Zahlen untereinander setzt.
Das Verhältnis x: 14 ist demnach gleich dem zusammengesetzten
Verhältnisse aus 3 : 7 und 125 : 50.
Bei der zusammengesetzten Regeldetri setzt man daher das
Verhältnis von x und der damit gleichnamigen Zahl gleich dem
zusammengesetzten Verhältnisse aus den einfachen Verhältnissen
der zugehörigen Zahlen jeder andern Art, in derselben oder in umge¬
kehrter Ordnung genommen, je nachdem sie diese Art mit der Art von
x gerade oder verkehrt proportioniert ist.
2. 24 Holzhauer fällen in einem Walde in 5 Wochen 1450 Holz;
wieviel Holz fällen 30 Holzhauer in 6 Wochen?
a) Mit Hilfe der Proportion:
24 Holzhauer in 5 Wochen 1480 x: 1450 — 30 : 24
30 „ „ 6 „ x —6:5
x — 2175
b) Nach der Schlußrechnung:
24 Holzhauer in 5 Wochen 1450
1 5 ^50
1 „ „ a „
1450 30X6 ,
" 24^<^5--2175,».
3. 8 Pferde brauchen in 15 Tagen 2 Hafer; wieviel /// braucht
1 Pferd in 7 Tagen?
4. Für 200 Schafe braucht man in 14 Tagen 1120 Heu; wieviel
Heu braucht man in 30 Tagen für 250 Schafe?
102
5. Ein bestimmter Mehlvorrat reicht für 240 Mann durch 25 Tage ans,
wenn man für jeden täglich 1?/.A Mehl rechnet; wie lange werden
224 Mann auskommen, wenn man für jeden 1; täglich annimmt?
6. 10 Arbeiter können 150 m von einem Stoffe in 8 Tagen verfertigen; in
wieviel Tagen können 12 Arbeiter 180 m von diesem Stoffe verfertigen?
7. 1.5 Arbeiter verrichten eine Arbeit in 10 Tagen, wenn sie täglich
12 Stunden arbeiten; wieviel Arbeiter wird man aufnehmen müssen,
damit sie die nämliche Arbeit in 6 Tagen vollenden, wenn sie täglich
nur 10 Stunden arbeiten?
8. Eine Mühle mit 4 Gängen mahlt in 6 Tagen ä 16 Stunden 240
Getreide; in wieviel Tagen mahlen 3 Gänge 187'5^7 Getreide,
wenn täglich 20 Stunden gemahlen wird?
9. Um einen Garten von 76 m Länge und 36 m Breite zu umzäunen,
braucht man 2160 Latten; wieviel Latten sind erforderlich, wenn der
Garten 70 m lang und 38 m breit ist?
10. Zur Pflasterung eines Hofes sind 675 Steine von 32 cm Länge nnd
25 mn Breite erforderlich; wieviel Steine sind notwendig, wenn sie
nur 3 lang und 24 am breit sind?
11. Um 35 Laternen 108 Stunden lang brennen zu lassen, braucht man
252/cA Öl; wieviel Öl ist erforderlich, wenn 50 solche Laternen 240
Stunden lang brennen sollen?
12. Den 5. Teil eines Grabens haben 22 Arbeiter in 12 Tagen gemacht;
wenn nach dieser Zeit 6 Arbeiter entlassen werden, in wieviel Tagen
werden die übrigen das Fehlende zustande bringen?
13. Ein Vorrat von Lebensrnitteln reicht für 90 Personen, wenn jede
täglich 1; LA erhält, 24 Tage aus. Nach 8 Tagen gehen aber 10
Personen ab und dann erhält von den übrigbleibenden jede täglich
1Z/cA; wie lange wird der Rest des Vorrates noch reichen?
III. Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel.
1. Quadrieren.
1. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrates, dessen Seite
4'5 ä!m beträgt?
Um die Fläche zu finden, muß man die Maßzahl der Länge mit
der Maßzahl der Breite, d. h. die Maßzahl der einen Seite mit sich selbst
multiplizieren. Wir erhalten 4'5 X 4' 5 — 20'25.
Die Fläche dieses Quadrates beträgt also 20'25
Weil man durch Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, wenn
diese die Länge einer Quadratseite vorstellt, die Fläche des Quadrates
findet, so nennt man eine derartige Multiplikation quadrieren.
Eine Zahl quadrieren oder aufs Quadrat erheben heißt, sie
zweimal als Faktor setzen, also mit sich selbst multiplizieren. Das
Quadrat einer Zahl heißt auch die zweite Potenz derselben und
103
wird dadurch bezeichnet, daß mau der Zahl rechts oben die Ziffer 2 in
kleiner Schrift beisetzt; z. B. 5", zu lesen: 5 zur zweiten (Potenz) oder
5 aufs Quadrat erhoben. Die Zahl, die aufs Quadrat erhoben wird,
heißt die Wurzel.
Einziffrige Wurzel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
Quadrate: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
137" — 137 X 137 — 18769, 2'73"— 2'73 X 2'73 — 7'4529.
Um später Mittel zu finden, wie sich umgekehrt aus einer gegebenen Quadrat¬
zahl die Wurzel derselben berechnen laßt, wollen wir hier noch ein anderes Ver¬
fahren für das Quadrieren einer Zahl entwickeln.
Es sei eine z w e i z iffri g e Z a h l, z. B. 38 zum Quadrat zu erheben.
Zerlegt man die Zahl in Zehner und Einer und multipliziert dann
30-1-8 mit 30 st- 8, indem man jedes Glied des Multiplikands zuerst
mit 30, dann mit 8 multipliziert und die Teilprodukte addiert, so erhält
man, wenn die Multiplikationen nur angezeigt werden,
38" — (30 ^8).(30-st8)
30.30 st- 30.8
-st30.8stst8.8
38" — (30 st- 8? - 30" fi- 2.30.8 st- 8" — 1444.
Das Quadrat einer in zwei Glieder
zerlegten Zahl besteht aus dem Qua¬
dratedesersten Gliedes, dem doppel¬
ten Produkte aus dem ersten Glieds
mit dem zweiten und dem Quadrate
des zweiten Gliedes.
Dieses Gesetz kann man recht deutlich durch
nebenstehende Zeichnung veranschaulichen.
Wenn in dem Quadrate, dessen Seite 30 MM
mißt, jede Seite 8 mm länger wird, so wachsen
2 Rechtecke und ein kleines Quadrat zu. Die beiden
Rechtecke sind gleich und ihre Flächen betragen
2 mal (30 X 8) M»?, während die Fläche des kleinsten
Quadrates 8 MM" beträgt.
Fig- 7.
30 MM
8 MM
k — 38 M??r" X 38 —
— 38" -nm" — 1444
2. Berechnet die Fläche eines Quadrates, wenn seine Seite 15 am,
3'4 em, 4'2 rim, 7'1 ckm, 0'36 nr, 25 M, 9'6 M, 4'6 beträgt!
Um eine dreiziffrige Zahl, z. B. 248 zu quadrieren, zerlegt
man sie ebenfalls in 2 Teile 240 -st 8; man hat dann
248" — (240 -st 8)" — 240" st- 2.240.8 -st 8";
nun ist
240" - (200 -st 40)" --- 200" -st 2.200.40 st- 40",
daher, wenn oben statt 240" dieser Wert gesetzt wird,
248" — 200" -st 2.200.40 st- 40" -st 2.240.8 st- 8",
und, wenn man die Bestandteile wirklich berechnet,
248" — 61504.
104
2'
2.2.4
42
2.24.8
8"
Die Nullen können hier auch
weggelassen werden, sobald nur
jeder folgende Bestandteil (seinem
Stellenwerte entsprechend) um eine
200' . . . .40000
2.200.40. . . . 16000
40' .... 1600
2.240. 8. . . . 3840
8' - - 64
61504
Nebenan ist die Aufgabe durch
eine Zeichnung veranschaulicht. Die
Strecke ab enthält 200, die Strecke bo
40 und die Strecke 8 Maßeinheiten.
Ebenso erhält man
4273' — 18258529
4000' . . .16000000
2.4000.2000 . . . 1600000
200' . . . 40000
2.4200.70 . . . 588000
70' ... 4900
2.4270.3 . . . 25620
3' ... 9
18258529.
Stelle weiter rechts hinausgerückt
dieses Beispiel so darstellen:
248'^61504 6)
wird. Ohne Nullen würde sich
20'48'
. . . 4 2' ... 4
. . . 16 2.20.4 ... 160
. . . 16 4' ... 16
. . . 384 2.204.8 ... 3264
. . . 64 8' ... 64
— 61504.
4194304.
Hieraus ergibt sich für die Bildung des Quadrates einer mehr-
ziffrigen Zahl folgendes Gesetz:
1. Die höchste Ziffer der Wurzel gibt ihr eigenes Quadrat.
2. Jede folgende Ziffer gibt zwei Bestandteile: die doppelte ihr
vorangehende Zahl, multipliziert mit dieser Ziffer, und ihr eigenes
Quadrat.
3. Diese Bestandteile werden so untereinander geschrieben, daß
jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint; dann addiert
inan, so wie sie stehen. Teilsätze, die nur durch eine Ziffer bezeichnet
sind, werden mit dem vorhergehenden Teilprodukte vereinigt.
3. * Wie groß ist die Fläche eines Quadrates, dessen Seite a) I om, b) 1 ckm,
o) 1 m, 10 m, 50 m, 12 M, 15 IN, ä) 20 /cm, 6) 30 /UM lang ist?
4. * Wie groß ist die Fläche dreier Quadrate, wenn das erste 3, das
zweite 4 und das dritte 5 m lang ist?
105
5. * Wie groß ist der Jlächeneinhalt eines Quadrates, dessen Umfang
48, 60, 52 am (24, 36, 44, 80 ckm, 64, 100, 400, 500 m) beträgt?
6. * Ein quadratischer Bauplatz ist 80 m (90, 100, 120, 300 m) lang;
wie groß ist seine Fläche?
7. Erhebet die Zahlen 27, 35, 68, 75, 97, 134, 201, 504, 680, 700,
714, 839, 910, 999, 1896 und 4273 zur zweiten Potenz!
8. Quadriere: z, z, f«, U, 2ß, E)!
Ein Bruch wird aufs Quadrat erhoben, wenn man Zähler und
Nenner quadriert.
9. Quadriere: 0'8, 0'07, 0'005, 0'012, 5'8, 1'25, 0'25, 5'07,
0'098, 150'2, 90'06!
10. a) 5488"; b) 79'03"; e) 0'8205'; ä) 1327"; e) 9'195'; h 446'49";
8) 150600"!
Vergleichet die Zahl der Ziffern der gegebenen Wurzel mit der
der gefundenen Quadratzahl!
11. Wie groß ist die Fläche eines Quadrates, das a) 5 m 6<7m, b) 2'97 e/m,
o) 0'857 m, ä) 15'6 am, 178 mm, 1 m 8 am Seitenlänge hat?
12. Welchen Flächeninhalt hat ein Quadrat, dessen Umfang a) 44'8 cim,
b) 7'5 m, o) 18'26 am, U) 3 m 4 ckm 5 a--r 6 mm beträgt?
13. Ein quadratischer Pappendeckel hat eine Seitenlünge von 0'9 m
(0'7, 0'6, 0'3 m); wie groß ist der Flächeninhalt?
14. Ein Würfel von 12'5 em m, 1s <7m) Seitenlänge soll mit Glanz¬
papier überzogen werden; wieviel Papier ist dazu erforderlich?
15. Wie teuer kommt der Anstrich eines quadratischen Fußbodens von
6 m 75 am Seitenlänge, wenn für 15 m" 1 /iU Lackfarbe nötig ist,
wovon 1 ZiA 1 Li 36 b kostet?
16. Eine österreichische Meile hat 7'58 /mr; wieviel /im" enthält demnach
eine österreichische Quadratmeile?
2. Ausziehen der Quadratwurzel.
1. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Fläche 25 m" beträgt?
Um diese Frage zu beantworten, muß man eine Zahl suchen, hier 5,
die, zum Quadrat erhoben, die Zahl 25 gibt. Das Verfahren,
mittels dessen man diese Zahl findet, nennt man Ausziehen der
Quadratwurzel.
Aus einer Zahl die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine
Zahl suchen, die, mit sich selbst multipliziert, die gegebene Zahl zum
Produkte gibt. Die Quadratwurzel aus einer Zahl wird durch das
vorgesetzte Wurzelzeichen ß angezeigt, das eigentlich ein r bedeutet
als Anfangsbuchstabe des lateinischen Wortes roäix — Wurzel.
Z. B. aus 64 die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine Zahl suchen, die.
mit sich selbst multipliziert, 64 gibt; diese Zahl ist 8, denn 8 X 8 — 64.
Man schreibt H64 — 8 und liest: die Quadratwurzel aus 64 ist 8.
*) Auch in De'zinrcilzahlen zu berechnen und die Ergebnisse zu vergleichen.
106
Die einziffrigen Quadratwurzeln sind: >1 1, /4 — 2, /9 — 3,
/16 4, j/25 — 5, /36 --- 6, > 49 — 7, >'64 — 8, M — 9.
Ist die Fläche eines
Quadrates so ist dessen Seite denn
1 m?.. /j 1.ixi — 1;
8—1 »r;
/—36 a,»?, ....« — /36 — i> ... 6 X 6 — 36;
s — 6 am;
ß . /Z ß - - - -ßXß — ß.
2. Wie groß ist /100, /4/'0000,
/1000000? Warum?
3. Gib die nächsten Zahlen an, zwischen deren Quadraten die Zahlen
2, 3, 5, 7, 14, 24, 35, 80, 95^... liegen!
Z. B. 68 liegt zwischen den Quadraten von 8 und 9, denn 64
< 68 < 81.
Das Verfahren beim Ausziehen der Quadratwurzel ist
die Umkehrung der früher dargestellteu Erhebung zum Quadrate.
So wie beim Quadrieren die aus den Wurzelziffern gebildeten Be¬
standteile des Quadrates in diesem zusammengesetzt wurden, ebenso
müssen sie beim Ausziehen der Quadratwurzel wieder auseinander¬
genommen werden.
Es sei z. B. 467 zum Quadrate zu erheben und dann aus deni
gefundenen Quadrate die Quadratwurzel zu ziehen.
Wir stellen, um die Vergleichung zu erleichtern, das Quadrieren
und das Ausziehen der Quadratwurzel nebeneinander.
Quadrate hervorbringt, einzeln zu bilden und ihre Summe zu sub¬
trahieren, kann man die neugesundene Wurzelziffer sogleich zu dem
Doppelten der früheren Wurzelziffern, d. i. zu dem bezüglichen
Divisor dazusetzen und sodann das Produkt aus der dadurch ge¬
bildeten Zahl und der neuen Wurzelziffer subtrahieren. Hiernach
würde sich die Rechnung so stellen:
107
Das Produkt aus dem jedesmaligen
Divisor, nachdem man ihm die neue Wurzel¬
ziffer angehängt hat, und aus dieser neuen
Ziffer kann auch sogleich während des Multi¬
plizierens von dem Dividenden subtrahiert
werden. Die Rechnung gestaltet sich dann so:
/2MM---467
58,0 : 86
648,9 : 927
Beim Ausziehen der Quadratwurzel verfährt man
daher nach folgenden Regeln:
1. Man teile die gegebene Zahl von der Rechten gegen die Linke
in Abteilungen von 2 Ziffern; die höchste Abteilung kann auch nur
eine Ziffer enthalten. Sodann sucht man die größte Zahl, deren
Quadrat in der ersten Abteilung links enthalten ist, schreibt sie als
erste Ziffer der Wurzel an nnd subtrahiert ihr Quadrat von der ersten
Abteilung.
2. Zn dem Reste, der auch Null sein kann, seht man die nächst¬
folgende Abteilung hinzu. Wird diese Zahl, mit Hiuweglassung der
niedrigsten Stelle, durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel
dividiert, so gibt der Quotient die zweite Ziffer der Wurzel, die mau
nicht nur zu der Wurzel, sondern auch zu dem Divisor schreibt.
3. Der so ergänzte Divisor wird dann mit der neugefundenen
Ziffer der Wurzel multipliziert und das Produkt von dein Dividende
mit Zuziehung der früher meggelafsenen Ziffer sogleich während des
Multiplizierens subtrahiert.
4. Zu dem Reste setzt man wieder die nächste Abteilung herab
und wiederholt dasselbe Verfahren wie früher, bis man alle Abtei¬
lungen in Rechnung gezogen hat.
4. Berechne folgende Quadratwurzeln:
a) /144, /169, /196, /225, /256, /361, /784, /841:
b) /924 6 — 96*), /1444, /1024-, /2116, /3025 , /2601;
o) /4096, /7225, /6241, /4225, /9216, /8464;
ll) /lstst7 6^ 124, /54756, /14641, /44756, /51984;
5.3 : 22 e) /2st70!49 --- 507, /139876, /20793'!,
9 7,6: 244 704.9:1007
/654481, /404496, /491401, /189225, /974169;
0 /3006756, /4141225, /1971216, /3644281!
Merke: Wenn unter dem Wurzelzeichen ein vollständiges Quadrat steht, läßt
sich nach Bestimmung der ersten Wurzelziffer die zweite Wurzelziffer nach der
Einerstelle der Quadratzahl erraten!
/21P0P9 — 467
16
58.0 : 86
516—
648.9 : 927
64.^9
108
5. a) s'3252-1209. d) >50083929. o) ,'20820! >69. <1, /1M025.
e) /5943844. k) j 27973521. g) >'53993104. L) /11669056.
i) /81126049.
In dem Quadrate eines Dezimalbruches müssen die Dezimalen immer in
gerader Anzahl Vorkommen.
6. /lf52'27s56 — 12'34 Bei Dezimalbrüchen geschieht die Einteilung der
r, Ganzen vom Tezimalpunkte gegen die Linke, die
^2 7 Einteilung der Dezimalen vom Tezimalpunkte gegen
9M 6 ' 24l'4 Reckte; es wi d dann in der Wurzel der Dezimal-
' ' punkt gesetzt, bevor man die erste Abteilung von
Dezimalen in Rechnung zieht.
7. a) /0'2401. b) /59P9. e) /179'56.' ä) /^475L e) /229P196.
h /0'05476. ss) /G5565H tz) /6325'0209^ i) /6449'053636.
Bleibt beim Wurzelausziehen am Ende ein Rest,
so ist die vorgelegte Zahl kein vollständiges Quadrat,
die Wurzel läßt sich nicht genau bestimmen. (Man
sagt, die Zahl ist irrational.) Die Wurzel kann
jedoch näherungsweise mit jeder beliebigen Ge¬
nauigkeit bestimmt weiden, indem man dem jedes¬
maligen Reste eine Abteilung von zwei Nullen anhängt,
übrigens aber wie vorhin verfährt.
9. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist 3481 e7mst wie groß ist eine
Seite des Quadrates?
8. /7'38 --- 2'716...
33,8 : 47
90,0: 541
35900:5426
3344
10. Bestimme die Seite eines Quadrates, dessen Flächeninhalt a) 72'25 ckmst
6) 26'9361 m^, o) 80 28 <7,?? 16 em? ist!
11. Wieviel m und em lang ist eine quadratische Tischplatte von 2
Fläche?
12. Der Flächeninhalt eines quadratischen Zimmers ist 26'9361 m?; wie
lang ist dieses Zimmer?
13. Ein Steinmetz soll quadratische Pflastersteine von 0'64 (0'25,
0'09, 0'04 m^) Fläche Herstellen; wie lang wird eine Seite?
14. Ein Förster will eine Baumschule in Form eines Quadrates von
74 n Flächeninhalt anlegen; wieviel m lang wird eine Seite?
15. Wieviel Grenzsteine sind für einen quadratischen Wald von 5 7m 47 cr
56 m4 Flächeninhalt notwendig, wenn die Entfernung zweier Steine
36 m betragen soll?
16. Ein rechteckiges Feld von 400 m Länge und 169 m Breite wurde
gegen ein quadratisches Feld vou gleicher Güte und gleichem Ausmaße
umgetauscht; welche Seitenlänge hat dieses?
17. Die Oberfläche eines Würfels, d. i. der Flächeninhalt der 6 Begreuzuugs-
flächeu, ist 1536 <7m4; wie hoch ist der Würfel?
109
I V. Die Prozentrechnung und ihre Anwendungen.
1. Allgemeine Prozentrechnung.
1. * Wieviel ist von 1 Li, 1 fl., 1 LI, 1 „r, 1 /eA, 1 », 1 /r«, 1 - 2« '
Bei der Prozentrechnung kommen 3 Zahlen vor: der Prozent¬
satz, d. i. der ans 100 entfallende Anteil, die Hauptsumme, van der
die Prozente gerechnet werden, und der auf die Hauptsumme ent¬
fallende Ertrag. Sind von diesen 3 Zahlen 2 gegeben, so kann
aus ihnen die dritte bestimmt werden.
2B, 3A, 4f^ .... einer Zahl sind stZ, sM. . - dieser Zahl
I. Wie groß ist der Ertrag (Zins) von 864 L zu 4^ ?
a) Nach der Schlußrechnung:
1A ist der 100. Teil von 864 Li ------ 8'64 Li
4^ sind 4mal so viel
6) Nach der Regeldetri:
x Li Ertrag von 864 Li
4 L „ ' „ 101» L
---- 8'64 LiX 4 --- 34'56 L.
x : 4 ---- 864 :100
864X4 .....
IM
34'56 Li.
o) Nach
dem Bruchsntz. (Vereinfachte Schlußrechnnng.)
x -
8,64 X 4
1,M
34'56 L.
Sprich 1"/-- ist
von 864 L, d. i. -7ss! 4«/« sind 4 mal so viel, d. s.
8^64 X 4
tzoo
— 84'26
Der Ertrag ist gleich dem hundertsten Teile der Haupt¬
film me, multipliziert mit dem Prozentsätze.
Berechne in allen praktischen Aufgaben zuerst l !
4.* Berechne von den folgenden Zahlen zuerst 1^ und daraus dann
2-^, 3L, 4^, 5^!, 10-^, 20^, 25^ von a) 100, 200,
500 mch 900, 1000, 1200, 3600 Li; b) 350, 526, 640, 872, 956,
720, 331 ckm»; o) 1, 2, 8, 10, 12, 20, 25, 38, 54, 71, 99 -!
110
5. Rechne: 3^ von 8 X, 4A von 6 m^, 5A von 18 ül, 6^ von
36 /m, 2A von 700 /r/, 10 B von 3000 20 von 5700/, 25^
von 1780/cm!
6.
7.
Wieviel hat 1 Ganzes, 2, 7, 10, 25,50, 75.... Ganze?
Wieviel A sind z, st 1, stss, sv' 7s> iW- 2vv ^
(-i-Az-50^.)
8. Der wievielte Teil eines Ganzen sind 1^, 2^, 4^, 5^, 10 A,
12^, 15^, 25^, 33z^, 50-6, 66ß-6, 75-6, 100L?
9. Das Wievielfache des Ganzen sind 200-6, 300 L, 500-6, 150-6,
125B? 200^ 1 X2.
10. Wieviel ist ^-6, ;-6, ^-6, i^-6 von 1 Ganzen (2, 8, 10,
16, 67, 100,' 350, 125, 375, 500, 800, 934)?
— Z von iZg
11. a) Z-6 von 1, 3, 9, 17, 36, 82, 140, 236.... ü/; 6) von 1,
2, 10, 28, 41, 75, 112, 830,... e) 3s-6 von 1, 8, 16, 22,
35, 92,114, 358... /; ä) 4^ von 10,17, 25, 7, 2,150, 824 ... a!
12. 3; -6 von 724 X (Durch Zerfällung!)
1-6 7'24 X
3-6 21'72 X
L-6 3'62 X
1-6.1'81 X
27'15 X.
Wieviel betragen: a) 3^-6 von 752 /; b) 4'1-6 von 64 m; o) 5Z-6
von 840»; 6) 6s -6 von 7952/cm?
14. Wieviel betragen 2-6 von 3425 X, 41-6 von 6800 X, 5-6 (51-6
5^) von 3460 X, 6815 X, 4043 X,' 1225 X 69 b, 850 X 60 b,
2008 X 74 b?
15. Wieviel Zins geben 6330 X zn n) t-6, k) 41-6, o) 51-6, cl) 6^-6?
16. Berechne: a) 5A von 976 X, b) 41-6 von 2680 X, o) 13^ von
2090 /cc/, <1) 2§-6 von 835 m!
17. Vermehre a) 282 X nm 21-6, b) 508 X nm 5-6, o) 1250 X um 12-6,
6) 2085 X um 91-6 !
Urn Prozentangaben in kleinen Brüchen zu vermeiden, gibt man für
manche Größen den von 1000 entfallenden Betrag an, den man Promille (°/„y)
nennt; z. B. heißt, von 1000 Einheiten ist ; Einheit zu berechnen.
Beim Promille wird der tausendste Teil der Hauptsumme
mit dem Promille multipliziert.
18. Wieviel betragt P l"/»», 3) Ist,» von 7280 X (2500, 5640, 9810,
10000, 30600 X)?
19. Jemand hat ein jährliches Einkommen von 1645 X; wieviel beträgt
davon die Einkommensteuer ä 7 A?
20. Einem Hausherrn verzinst sich sein um 28300 X gekauftes Haus
zu 5-6; wieviel X Mietzins nimmt er vierteljährlich ein?
111
21. Für die Übernahme und Ablieferung der Mietzinse erhält der Haus¬
besorger eme Vergütung von Ijft^ ; wieviel verdient er dabei jährlich,
wenn er von den Wohnparteien jedes Vierteljahr 850 Li einhebt?
22. Ein Gutsherr verpachtet einen Acker im Werte von 838 Li gegen einen
jährlichen Pachtzins von 3L. Wie hoch beläuft sich der Pachtschilling?
23. Der c/ Petroleum wurde früher mit 50 Li bezahlt; wieviel kostet
er jetzt, wenn er um 4A im Preise gestiegen ist?
24. Eine Frau kaufte ilf L- Kaffee für 5 L 52b; später fiel der Kaffee
von derfelben Sorte im Preise um 5A; wieviel muß nun die Frau
für 2 LA bezahlen?
25. Ein Getreidehändler kauft Korn um 3800 Li ein und verkauft es
mit 12 A Gewinn (Verlust); wie groß ist der Verkaufspreis?
1A Gewinn (Verlust)----E des Einkaufspreises; der
Einkaufspreis ist stets die Hauptsumme oder 100 L.
26. Einkaufspreis 60 Li, 85 Li, 1'8 Li, 80 L, 27'50 H, Gewinn (Verlust)
8^!, 10^, 3^, 40 L, 50 A; berechne den Gewinn (Verlust) und
den Verkaufspreis!
27. Wenn das m Tuch im Einkäufe 4 Li 20 b kostet, wie hoch muß es
im Verkaufspreise gesetzt werden, wenn man 15 gewinnen will?
28. Der Selbstkostenpreis eines Mantels beträgt 18 Li. Für welche
Summe erhältst du den Mantel, wenn der Geschäftsmann beim
Verkauf a) 15^, b) 18 A, o) 30^ gewinnen will?
29. kaufte ein Pferd für 1080 Li und konnte es sofort mit 12 Z (20)-li
Gewinn verkaufen. Wieviel wird ihm geboten?
30. Bei Abnahme einer größeren Warenmenge erhält ein Käufer 5^
Nachlaß; wieviel LA hat er zu bezahlen, wenn er 1400 LA nimmt?
31. Beim Einkäufe einer Ware, die !)48 Li kostet, hat man 3^ Spesen
(Nebenauslagen); wieviel betragen die Spesen?
32. Ll. erhält bei einem Konkurse 40 (75) L seiner Forderung, die 6000 L
beträgt. Wieviel bekommt er ausgezahlt? Wieviel verliert er?
33. Beim Zerlassen des rohen Talges gehen 20^ verloren; wieviel kosten
25 zerlassener Talg, wenn der y roher Talg 45 Li kostet?
34* Ein Fabrikant mußte bei einer Warensendung, weil sie beschädigt
ankam, 5 nachlassen. Wieviel beträgt der Verlust, wenn die
Sendnng 360 Li betrug?
35. * Ein Schuhmacher kauft um 125 Li Leder. Weil er gleich bezahlt,
läßt ihm der Lederhändler 1A nach, a) Wieviel beträgt der Nachlaß?
b) Wieviel hat er zu zahlen?
36. Die Tischlerarbeiten bei einem größeren Bau find auf 6748 Li
veranschlagt. Tischler will diese 5'5^, Tischler L 8A unter
dem Voranschläge übernehmen, a) Zu welchem Preise will jeder
die Arbeit übernehmen? b) Wieviel beträgt der Unterschied zwischen
beiden Angeboten?
112
37. Frischer Weizen verliert durch Eintrocknen 1s (1st-)A seines Gewichtes.
Ll. drischt 35 L7 Weizen ä 80 LA, läßt denselben drei Monate lagern
und wiegt ihn dann ein zum Verlause. Wieviel LA wird der Weizen
wiegen?
38. Kartoffeln enthalten 75 Wasser. Wieviel L,A Wasser enthalten
80 (84) LA Kartoffeln?
39. Wieviel Alkohol rind wieviel Wasser sind in 3 L7 Spiritus von
80 (75) A enthalten?
40. Die atmosphärische Lust enthält 21A Sauerstoff und 79 L Stickstoff;
wieviel von jedem Gase ist in 220 Lust enthalten?
41. Wieviel Sauerstoff und Stickstoff enthält die Lust eines Zimmers,
das 8'4 m lang, 4'5 m breit und 3'8 m hoch ist?
42. Ein Arbeiter hat einen Wochenlohn von 18'50 L; durch Strebsamkeit
rückt er in eine höhere Lohnklasse vor und erhält 20 A Aufbesserung;
wieviel Lohn bezieht er jetzt?
„Den Geschickten hält man wert; den Ungeschickten niemand begehrt!"
43. Eine Warensendung wurde an der Grenze mit 250 L verzollt; welchen
Wert hatte sie, wenn 4^ Zoll gerechnet wurden?
44. Ein Gewerbetreibender zahlt jährlich 285 L Staatssteuer, 24 B
Landesumlage; wieviel beträgt seine gesamte Steuerleistung?
„Ohne Steuern können Staat und Gemeinde nicht bestehen."
45. Eili Hausherr nimmt im Jahre 1342 L Zins ein, wovon er 34 B
Hauszinssteuer zahlt; wieviel beträgt diese?
46. In den Städten werden die Kommunalsteucrn (Gemeindesteuern)
nach der Höhe der Staatssteuer erhoben, k zahlt 180 L Staatssteuer;
wieviel Kommunalsteuern hat er außerdem zu zahlen, wenn dieselben
200 (250)^ der Staatssteuern betragen?
47. Eine Gemeinde mit einer jährlichen Steuerleistuug von 4960 K
erhält vom Landesausschusse die Bewilligung zur Eiuhebuug von
35^ Schulumlage; wieviel beträgt diese Umlage?
48. Die Stadt Landskrou zahlte im Jahre 1905:
als direkte Grundsteuer 10.204'94 L,
als Erwerbsteuer 17.593'32 Li,
als Personaleinkommensteuer. . . . 11.074'80 L,
als Gebüudeklassensteuer 4.059'96 L,
als Hausziusstener 11.127'59 L,
als Rentensteuer 714'38 L.
a) Wie groß war die Steuerleistuug?
b) Wieviel betrug die Gemeindeumlage zu 30 und die
Schulumlage zu 20^ ?
49. Im Jahre 1901 betrug in Österreich die Biersteuer 76,640.000 L,
die Zuckersteuer 102,834.000 L). Auf Böhmen entfallen 45 L des
113
gebrauten Bieres und 66 M des Zuckererzeugnisses; wieviel betrug
die Stenerabgabe Böhmens sür diese Erzeugnisse?
50. Eine Stadt zahlte 1885 10.000 Einwohner. Wie groß war die
Einwohnerzahl 5 Jahre später, wenn dieselben um 1 (3 k)A zu¬
genommen hatte?
II. Von welcher Hanptsumme geben 4A 38 Ui als Ertrag?
4^ ^38 Ui,
1^ ——9'5lL; daher die Hauptsummc selbst
100 L, d. i. --- 9'5 Ui x 100 950 L;
oder x : 100 -- 38 : 4, daher x ^8 X 100 x;.
Die Hauptsnmme ist also gleich dem lOOfachen Ertrage
dividiert durch den Prozentsatz.
_ Verwechsle den Ertrag niemals mit der Hauptsumme! _
1. Welche Hauptsumme gibt a) zu 5 A 56 Ui, b) zu 4Z A 37'25 Ui, e) zu 5^ Ai
108'2 Ui, ä) zu 5^ B 93'87 U, s) zu 6 A 85 b, t) zu 3^ Ai 90 b als Ertrag?
2. Von welcher Hauptsumme sind der Ertrag zu a) 3A 96 Obstbäume,
b) 7A 1435 Nadelbäume, o) 2^ 874 Fische, ck) 15^ 1170 Menschen,
e) i^ 8z i) 2z^ i2-, 8) 6L i6oz/^?
3. Ein Haus wird unter der Bedingung verkauft, daß 1650 Ui als 15 A
des Kaufpreises bar zu erlegen sind; wieviel kostet das Haus?
4. Ein Gastwirt verpachtet sein Geschäft und die dazu gehörige Wirt¬
schaft gegen einen 6Z^-igen Pachtzins; der Pächter zahlt 208 Ui
vierteljährlich. Auf wieviel Ui schützt der Gastwirt sein Anwesen?
5. Ein Arbeiter bezieht monatlich 64 U 35 1 Unfallrente; welchem
Kapitale entspricht die Rente bei einem Zinsfüße von 4z^ ?
6. Ein Garten bringt jährlich einen Reinertrag von 85 Ui 5 b; welchen
Wert hat der Garten, wenn der Reinertrag mit 5^ kapitalisiert wird ?
7. Welchen Ankaufspreis hatte eine Mähmaschine, die mit 270 Ui 65 b
verkauft wurde, wenn für Abnutzung 3zAi berechnet worden sind?
8. Bei einer Ware betragen 3A Spesen 69 Ui 12 b; wie groß ist der
Einkaufspreis?
9. Beim Verkaufe einer Ware betragen 15 A Gewinn 36 Ui; wie teuer
war die Ware a) im Einkäufe, b) im Verkaufe?
10. Ein Wirt gewinnt an 1 Wein 8 Ui 75b oder 28^ ; welches war
a) der Einkaufspreis, b) der Verkaufspreis?
11. Eine Ware verlor durch Austrocknen 3z A an Gewicht, und zwar
betrug der Gewichtsverlust 24'31 /cA; wie groß war das ursprüngliche
Gewicht der Ware?
12. Wie groß ist die Bevölkerung eines Ortes, wenn 12 B derselben
342 betragen?
M oö n i k - H a l b g e b a u er, Rechenbuch s. Knaben-Bürgerich. Einteilige Ausgabe. 8
114
III. Wieviel A muß man von 3460 L nehmen, um 173 L zu
erhalten? 1A von 3460 L — 34'60 Ix;
173 L sind soviele Prozente, als 34'60 L. in 173 k enthalten
sind; kurz 1A 34'60 Li,
x^173L:34'60L--5, x-^5^;
oder 3460 L.173 L
100 L x L
x : 173 — 100 : 3460, daher
173 X 100^ . ,
x 3460 51^, d. u 5/».
Der Prozentsatz ist gleich dem lOOfachen Ertrage
dividiert durch die Hauptsumme.
1. Wieviel sind: -0 40 ü von 8 L; d) 35 L von 1050 L; o) 308 L
von 5600 Li; 6) 116'64 Li von 1728 Li; e) 60 ü von 10 Li; i) 24 L
von 800 Li; 8) 36z Li von 7300 L; b) 120'8 L von 2543 L 16 ü?
2. Wieviel A sind: a) 20 Äpfel von 500 Äpfeln; 6) 12 Zitronen von
150 Zitronen; o) 8 Birnen von 80 Birnen; ä) 6 Rosenstöcke von
120 Rosenstöcken; s) 500 Fichten von 10.000 Fichten; k) 144 Forellen
von 1200 Forellen; Z) 3 Schüler von 50 Schülern; ü) 1104 Ein¬
wohner von 36800 Einwohnern?
Der Prozentsatz wird gesucht:
3. Vorübung: Wieviel Hundertstel sind: a) z, z, j, 4, z, I, /Z, Zg, Zg, ZZ, /Z?
b) Z, z, §' ß, z, ä, L zz, L. ä, ä? li/- 0'01 einer Zahl "ist' 1 ;
wieviel einer Zahl sind: o) iß«, ißZ, iß«, li«,
6) Wieviel L sind die Anzahl der Ärucheinheiten aus a) und 6)?
4. Wieviel A der Schulkinder fehlen, wenn a) von 40 Kindern 4 Kinder,
b) von 45 Kindern 3 Kinder, o) von 38 Kindern 2 Kinder fehlen?
5. Aus 3/cA Mehl erhält man 4L5°/o 355'3 K 95°/« 355'3 lv
100"/« x X 5»/« x Ixi
x : 355'3 —'4 00 195 x : 355 3H : 95
x — 35530 : 95 -- 374
x-- 1776'5: 95 -- 18'7
Steuer — 374 k
Nachlaß 18'7 li.
Merke: In der vorstehenden Aufgabe ist nicht die Haupt¬
summe, sondern die um den Ertrag verminderte Hauptsumme
gegeben, die in diesem Falle aus 95A besteht.
1. Ein Gläubiger verlor 42 A seiner Forderung und erhielt nur 1450 17;
wie hoch belief sich seine Forderung?
2. Ein Kaufmann erhält für Erbsen, die er mit 2A Verlust verkauft,
294 Li; wie groß ist der Verlust und der Einkaufspreis?
Einkaufspreis. . . 100°/»
— Verlust ... 2"/«
Verkaufspreis*)^ . . 400°/« — 2°/« -- 98°/» -- 294 L Verkaufspreis,
Oder:
98°/o. 294 X
S°/o.x „
x: 294 2 : 98
x -- 588 : 98 --- 6
Verlust -- 6 li.
1«/a -- 3 L,
2°/» — 6 L Verlust,
100°/« — 300 L Einkaufspreis.
980/o. 294 L
lOvo/o.x „
x : 294"--- U>0 : 98
x 294M : 98 -- 800
Einkaufspreis — 300 IO
*) Der Verkaufspreis ist der um den Verlust verminderte Ein¬
kaufspreis.
118
3. Der Weizen ist um 15 B im Preise gefallen und kostet jetzt 14 L 28 b
das a) um wieviel ist er jetzt billiger, b) wie teuer war er frühere
4. Der Verkaufspreis einer Ware beträgt nach Abzug von 18 A Spesen
2308 Li; wie groß find die Spesen?
5. Eine Verkaufsrechnung beträgt nach Abzug von 84'6 L Spesen
1795'4 L; wieviel A find Spesen?
6. Für eine mit 3L Verlust verkaufte Ware werden 1067 L gelöst;
wie groß ist a) der Verlust, b) der Einkaufspreis?
7. Der Verlust ä 4^ bei dem Verkaufe einer Ware beträgt 26 L.
um wieviel wurde die Ware verkauft?
8. Beim Verkaufe einer Ware für 1166'04 L verliert man 63'96 Lst
wieviel A beträgt der Verlust?
9. Zum Baue eines Hauses braucht man 36900 Ziegel; wieviel Stück
müssen bestellt werden, wenn man 7;A aus Bruch rechnet?
10. Zur Pflasterung eines Bahnsteiges sind 2340 Schamotteplatten er¬
forderlich ; wieviel muß man kaufen, wenn von je 100 durchschnittlich
5 Platten zerbrechen?
11. Ein Landmann erntete in einem Jahre 134 Li Korn, um 7Z A weniger als
im vorausgegangenen Jahre; wieviel betrug der Ausfall der Ernte?
12. Jemand zahlte für eine Steuer bei 4A Nachlaß 208 L 58 b; wie
groß war die Steuer?
2. Anwendung der Prozentrechnung
bei Waren- und anderen Geschäften des bürgerlichen Lebens.
u) Tara und Gutgewicht.
Das Gewicht einer Ware samt dem Behältnisse heißt Brutto¬
gewicht (82). Das Gewicht des Behältnisses heißt Tara und das
Gewicht der Ware selbst Nettogewicht (172). Subtrahiert man vom
Bruttogewicht die Tara, so gibt der Rest das Nettogewicht.
Die Tara kann auf dreierlei Art angegeben werden: 1. als reelle
oder reine Tara, wie sie sich durch Abwägen des Behältnisses ergibt;
2. als Durchschnitts-Tara, wenn angegeben wird, wieviel Gewichts¬
einheiten bei jedem Frachtstücke (Faß, Kiste, Sack) in Abzug zu bringen
sind; 3. nach Prozenten, z. B. die Tara ist 8A, heißt: von je 100 LA
Brutto rechnet man 8 LA als Tara, oder 100 LA Brutto geben 92 LA Netto.
Bruchteile der Prozententara unter Z LA werden bei nicht sehr kost¬
baren Waren weggelassen, LA oder mehr als § LA dagegen sür 1 ganzes
angenommen.
Außer der Tara wird dem Käufer bei gewissen Waren auch noch
wegen des Eintrocknens, Verdunstens, Verstaubens oder Verwägens beim
Kleinverkaufe ein Gewichtsabzug gewährt, welcher Gutgewicht heißt
und nach Prozenten berechnet wird.
Kommen Tara und Gutgewicht vor, so wird zuerst die Tara vom
Bruttogewicht subtrahiert und dann das Gutgewicht vom Nettogewicht
119
berechnet. Das nach Abzug beider bleibende Gewicht, das man auch
Netto-Nettogewicht oder reines Netto nennt, ist dasjenige, das
der Käufer der Ware zu bezahlen hat.
1.* Eine Ware wiegt Brutto 745 LA; wie groß ist das Nettogewicht,
wenn die Tara 88 /-A beträgt?
2. * 24 Säcke Rio-Kaffee wiegen 3844 LA Brutto, die Tara beträgt 5 /st/
per Sack; wie groß ist das Nettogewicht?
3. * Wieviel beträgt die Tara von 4500 Lp Brutto a2st,5st,8st,10st?
4. 6 Fässer Pottasche wiegen Brutto 1526 LA, die Tara ist 10 st ; wie¬
viel beträgt das Nettogewicht?
5. Eine Ware wiegt Brutto 2792 LA; wie groß ist das Netto bei a) 3st,
b) 5Zst, o) 12 st Tara?
6. Bei 7951 Netto ist a) Ist, ist l^st, o) 2 Dl Gutgewicht zu be¬
rechnen; wieviel LA sind zu bezahlen?
7. Berechne das Nettogewicht: a) von 2450 LA Brutto bei 7 st Tara;
Ist von 984 LA Brutto, 20 st Tara; o) von 1705 LA Brutto, 9 st Tara!
8. 12 Säcke einer Ware wiegen Brutto 792 LA, die Tara beträgt 3st,
das Gutgewicht l^st; wieviel LA sind zu bezahlen?
792 LAg, 3 st Brutto LA 792
23'76 LA Tara . . . 3st Tara ab LA ^4
768 L iz Netto LA 768
384 l^st Gutg. ab LA 12
11'52 Ly Gutg. Netto-Netto LA 756
9. Wieviel kosten 5 Ballen Kaffee, Brutto 773 LA, Tara 2st, zu 386 T
per A Netto?
10. Ein Kaufmann erhält aus Hamburg 4 Fässer Kaffee:
Nr. 1 Brutto Pfund 654, Tara Pfund 64,
„ 2 „ „ 626, „ „ 61,
„ 3 „ „ 550, „ „ 44,
4 540 53.
Wie groß ist der Betrag a 95'25 U per 100 Pfund Netto?
11. Eine Partie Flachs, gewogen 3175 LA Brutto, Tara 2st, wird zu
193'5 L per A Netto gezahlt; wie groß ist der Betrag?
12. Ein Kaufmann erhält einen Ballen Gewürznelken im Gewichte von
75 LA Brutto; wieviel muß er dafür zahlen, wenn die Tara zu 6 st
und 1 LA Netto zu 4 L 70 b gerechnet wird?
13. Bestimme den Wert von 4 Kisten Feigen im Gewichte von 511 LA Brutto,
wenn die Tara zu 13 st und das LA Netto zu 75 b gerechnet wird!
14. Wieviel kosten 4 Fässer Öl, die einzeln 225, 228, 231, 232 LA Brutto
wiegen, wenn die Tara 148 LA beträgt und 1 A Netto mit 98'28 L
bezahlt wird?
15. 5 Kisten türkische Pflaumen wiegen 120, 122, 123,125,128 LA, die
Tara beträgt 7st, die Spesen 3'68 L per Kiste; wieviel kostet die
Ware, wenn ILA Netto mit 76 b bezahlt wird?
120
16. Wieviel betrügt der Zoll von Brutto 348 /.A Mandeln, wenn die Tara
zu 13 A und der Zoll zu 12 Li per 100 /-A Netto gerechnet wird?
17. Von einer Ware, bei der die Tara 15 A betrug, wurden 1989
Netto berechnet; wie groß war das Bruttogewicht?
18. Nach Abzug der Tara ä 13^ wog eine Warensendung noch 261^/;
wieviel betrug die Tara?
19. 9A Tara betragen 157'5/.r/; wie groß ist a) das Bruttogewicht,
b) das Nettogewicht?
20. Wieviel betrügt die Tara, wenn man a) von 1625 LA Brutto
1565 Le/ Netto; b) von 2160 /cA Brutto 1836 Netto; o) von 948 /n/
Brutto 900'6 /.A Netto rechnet?
6) Warenskonto und Kassaskonto.
Der Warenskonto oder Rabatt ist ein Preisabzug, welchen
der Verkäufer dem Kleinhändler gewährt, damit dieser beim Detailver-
kaufe einen entsprechenden Gewinn erzielen und doch den Preis in gleicher
Höhe wie der Großhändler festsetzen kann. Von dieser Art ist z. B. der
Buchhändlerrabatt. Der Rabatt wird nach Prozenten des betreffenden
Geldbetrages angegeben.
Ein Preisabzug anderer Art ist der Kassaskonto oder Diskont,
der dem Käufer gewährt wird, wenn er den Wertbetrag einer Ware,
dessen Zahlung nach der Preisnotierung erst nach einer bestimmten Zeit
zu leisten wäre, bei der Übernahme der Ware sogleich bar oder kontant
bezahlt. Der Kassaskonto wird nach Prozenten von Hundert berechnet
Und der Prozentsatz gewöhnlich schon für die Zeit, um welche die kon¬
tante Bezahlung vor der bedungenen Verfallszeit erfolgt, seltener für ein
Jahr (per anno) oder für einen Monat (per M686) angegeben.
Kommen Rabatt und Kassaskonto vor, so wird zunächst der Rabatt
berechnet und abgezogen und erst von dem erhaltenen Reste noch der
Kassaskonto in Abzug gebracht.
1. * Wieviel beträgt der Rabatt ä 2 L von 800 Li, 450 Li, 2880 L, 3750 Li?
2. Wieviel betrügt der Rabatt ä 33-1^ bei einer Bücherrechnunq von
a) 1518'24 Li, b) 917Z N?
3. Eine Verlagsbuchhandlung hat Bücher im Werte von 2518 Li ver¬
sendet; wieviel hat sie dafür bei 20 A Rabatt zu fordern?
4. Wie hoch beläuft sich der Kassaskonto ä2;B bei einer Rechnung von
a) 2577 Li, b) 3538 L, o) 939'85 L, ä) 1714'17 L?
5. Wie groß ist bei einem Warenbetrage von 5192 Li a) der Kassa¬
skonto a 2A, 6) die kontante Zahlung?
Warenbetrag Li 5192
Kassaskonto 2A „ 103'84
kontante Zahlung Li 5088'16
6. Berechne den diskontierten Wert: ») für 2350 Li Rechnungsbetrag
bei 2L Skonto; b) für 1084 Li Rechnungsbetrag bei 2ZA Skonto;
o) für 978 Li Rechnungsbetrag bei 3A Skonto!
121
7. Jemand kauft 348 /c// Kaffee a 270 Li per 100 L// gegen 4^ Rabatt
und 2^ Diskont per Kassa; wieviel hat er kontant zu zahlen?
8. Eine Ware wird auf 4 Mouate Zeit um 865'12 Li verkauft; wie
hoch beläuft sich die kontante Zahlung, wenn der Kassaskonto zu 6^
psr anno gerechnet wird? (Für 4 Monate beträgt der Skonto 2^.)
9. Es werden 7 Fässer Wein ä 10 LZ zu 5-8 Li per LZ auf 2 Monate Zeit
gekauft; wieviel muß mau kontant zahlen, wenn 6; Jahresdiskont
gerechnet wird?
10. Eine Partie Zimt kostet 1370'20 Li auf 5 Monate Zeit, der Diskont
beträgt per wsss; wieviel wird man kontant zahlen?
11. Jemand kauft in Triest 5 Fässer einer Ware, gewogen Brutto 5219 /«/
mit 10 L Tara; wieviel wird er kontant dafür bezahlen, wenn man
100 Z-A Netto zu 28 Li mit 2A Diskont rechnet?
8^ . . . LA 5219
10L . . . 522^
. . . LA'4697 L 28 b
X 7
32879
X4
Warenpreis .... Li 1315'16
2A Diskont .... 26'30
Kontante Zahlung Li 1288'86
12. Wieviel kosten 12 Fässer gelbes Wachs, Brutto 6767 LA, Tara 13^»,
wenn 100 LA Netto zu 390'96 Li mit 2ZB Skonto gerechnet werden?
13. Wieviel beträgt die Barzahlung für 548 LA Brutto Petroleum, Tara
24 A zu 43^ Li per 100 LA Netto mit 3^ Diskont?
14. Für einen Warenbetrag von 3188 Li, zahlbar nach 4 Monaten, erhält
man kontant 3116'27 Li; zu wieviel wurde der Diskont gerechnet?
15. Wieviel A beträgt der Diskont, wenn a) statt 250 Li nur 235 Li,
L) statt 1360 Li" nur 1202 Li, s) statt 798 Li nur 754'11 Li,
cl) statt 2525 Li nur 2408'85 Li bezahlt werden?
16. Für eine Ware, die nach 3 Monaten zahlbar ist, zahlt jemand nach
Abzug von 7^o Kassaskonta psi anno bar 957'95 Li; wie groß ist
der Rechnungsbetrag?
o) Sensarie.
Amtlich bestellte Personen, die an der „Börse" den Ein- und Ver¬
kauf von Waren und Staatspapieren vermitteln, heißen Mäkler oder
Sensale. Die Vergütung für ihre Mühe heißt Sensarie; sie wird
nach Prozenten oder Promille von dem ursprünglichen, nicht diskontierten
Wertbetrage berechnet und bei manchen Geschäften zu gleichen Teilen
vom Käufer und Verkäufer entrichtet.
Spesen jeder Art bewirken beim Einkäufe eine Vergrößerung der
Einkaufssumme, beim Verkaufe dagegen eine Verminderung der Verkaufs-
122
summe; sie müssen also zu dem Einkaufsbetrage addiert, vom Verkaufs-
betrage subtrahiert werden. Dies gilt auch von der Sensarie.
1. * Wieviel beträgt die Sensarie a, ZB bei einem Warenbetrage von
-0 5200 14, st) 2360 14, o) 3804 L?
2. * Wie groß ist die Sensarie a bei einem Wechselgeschäfte von
a) 8620 L, st) 4053^, v) 769 14?
3. * Wieviel beträgt die Sensarie a von a) 3420 Franken, b) 2510
Rubel, o) 4050 N?
4. * Wieviel betrügt die Sensarie ü l"/^ von verkauften Staatspapieren
im Betrage von 35850 14?
6. Eine Partie Kakao im Betrage von 6394'76 14 wird durch einen
Sensal für Ix A Sensarie besorgt; wieviel beträgt die ganze Sensarie?
6. Eine Partie von 985 iA Opium wird zu 35'3 L per /e- gekauft; wieviel
kostet den Käufer das Opium, wenn er dem Sensal Z B Sensarie gibt?
7. Wie hoch stellt sich a) eine Einkaufssumme, st) eine Verkaufssumme
von 982 14 70 st, wenn im ersten Falle der Käufer, im zweiten der
Verkäufer Sensarie zu zahlen hat?
8. * Wie hoch beläuft sich die Einkaufssumme von Staatspapieren, wenn
der Käufer l"/,» derselben, d. i. 11'28 14 an Sensarie zu zahlen hat?
9. Bei einem Warenbetrage von 6458'514 zahlt der Käufer ZB Sen¬
sarie und ebenso der Verkäufer; wieviel nimmt der Sensal an Sensarie
ein, wieviel erhält der Verkäufer und wieviel muß der Käufer zahlen?
10. Der Verkaufswert einer Ware beträgt nach Abzug von Z A Sensarie
5537'4214; um wieviel 14 wurde die Ware verkauft?
11. ^4 läßt durch einen Sensal Waren kaufen und zahlt dafür samt z A
Sensarie 78714 82 st; wie teuer kaufte der Sensal die Waren?
12. Nach Abzug von Sensarie erhält man für verkaufte Staats¬
papiere 6208 14 80 st; wie hoch beläuft sich die Sensarie?
ä) Provision.
Wenn jemand die Ausführung eines Geschäftes einem andern auf¬
trägt, so heißt die Person, die den Auftrag erteilt, Kommittent (Auf¬
traggeber), die Person aber, die das Geschäft zu vollziehen beauftragt
wird, der Kommissionär oder Agent (Auftragnehmer). Die Ver¬
gütung, die der Kommissionär für seine Mühe erhält, wird Provision
genannt und in Prozenten bestimmt.
Die Provision wird beim Einkäufe von dem um die dabei vor¬
kommenden Spesen vermehrten diskontierten Wertbetrage berechnet und
dann zu diesem addiert; beim Verkaufe wird sie unmittelbar von dem
diskontierten Werte berechnet und subtrahiert.
Die Rechnung, die der Kommissionär seinem Auftraggeber über
den vollzogenen Einkauf oder Verkauf einer Ware erteilt, heißt bezüglich
Faktura oder Verkaufsrechnung.
1.* Wie groß ist die Provision von 5400 Li s.) zu 1 A , st) IZ A, o) zu 2 A ?
128
2. Wieviel beträgt die Provision ä 1A und wie groß ist der Rein¬
ertrag eines verkauften Wechsels von 1785'12 L?
3. Wieviel beträgt die Provision von 8037'3611 a) zu zA, b) zu ZA,
o) zu 1;A, 6) zu 2s, A?
4. Der Käufer zahlt für eine Ware nebst dem Warenpreise von 912 H
noch I^A Provision; wieviel beträgt seine Auslage?
5. Es werden Staatspapiere um 11848'72 L verkauft; wie groß ist
der Reinertrag bei Provision?
6. Eine Ware kommt beim Einkäufe mit Einrechnung von 2A Pro¬
vision auf 1551'0211; wieviel betrügt die Provision?
7. Jemand bezahlte für eine gekaufte Ware samt 2ZA Provision 1016 H
80 b; wie hoch war der Einkaufspreis der Ware ohne Provision?
8. Für eine verkaufte Ware erhält man nach Abzug von 2A Provision
3724 II; a) wieviel betrügt die Provision, b) um wieviel wurde
die Ware verkauft?
9. Von einer Partie Seide hatte der Käufer nebst dem Einkaufspreise
von 984211 noch eine Provision von 147'6311 zu zahlen; zu wie¬
viel A wurde die Provision berechnet?
10. Die Provision für die Besorgung eines Geschäftes beträgt 43 II 40 b;
auf welchen Betrag beläuft sich das Geschäft, wenn die Provision
zu 1;A gerechnet wird?
11. Ein Kommissionär rechnet die Provision anstatt zu I^A irrig zu 2A
und findet so 86 H-, wie muß die Provision richtig gestellt werden?
12. Ein Agent besorgt den Einkauf von 1245 ftp Kaffee zu 276 T per 9, die
Spesen betragen 6'70 Li, Provision 2 A ; wie groß wird der Belauf sein?
13. Für einen Triester Kaufmann werden von seinem Kommissionär in
Wien Staatsschuldverschreibungen um 675011 gekauft, Provision ZA;
wieviel hat der Triester zu zahlen?
14. Für einen Prager Kommittenten werden um 2813'78 H Waren
verkauft, die Spesen betragen 68'37 L, die Provision 2A; wie groß
ist der Reinertrag?
15. Für ein Pester Handelshaus werden um 7351'4714 Waren gekauft, Spesen
113'35 Li, Provision 1ZA; wie hoch wird sich die Rechnung belaufen?
16. Wieviel ist für eine Ware zu zahlen, die ohne Nebenauslagen 1536 II
kostet, wenn noch 2 A Provision, an Fracht 38'4811 und an anderen
Spesen 5'52 H dazu gerechnet werden?
17. Wieviel kosten 1348 ftp Brutto einer Ware, die Tara zu 9 A, wenn der p
Netto mit 83'48 Li bezahlt und die Provision zu IßA berechnet wird?
18. Der Triester Kaufmann G. Nao kauft für den Wiener Kaufmann
Franz Klein 3 Kisten sizilianische Weinbeeren Nr. 12 bis 14, gewogen
Brutto 768 ftp, Tara 13 A, a 6211 per 100 ftp Netto; auf welchen
Betrag lautet die Faktura, wenn die Spesen für Kisten, Verpacken
usw. 31'16 Li betragen, und ZA Sensarie und 2A Provision ge¬
rechnet wird?
124
Triest, den 5. Mai 190!'.
Faktura
für Herrn Franz Klein in Wien von G. Nao.
Ziel 3 Monate oder der kontant Diskont.
Sende für Ihre werte Rechnung und Gefahr Per Eisenbahn: R Ii
6. dl. 3 Kisten sizilianische Weinbeeren Nr. 12—1-t
L». . 768 L,A
N-,, 13«„.100 L-
M. 668 LA n 0-62 X . 414 16
Spesen:
Kisten, Verpacken usw .X 31-16 .
;«/« Sensarie von 41416 K „ 2 07 . 33 23
447 39
Provision 2"/» von L 447-40 8 95
G. Nao. 456 34
19. Der Prager Kaufmann W. Bauer erhält von W. Freiberg L Sohn
aus Hamburg 5 Ballen Java-Kaffee, Brutto 330 Tara 3 /.7/ per
Ballen, zu 92 ?k per ZrA Netto gegen kontante Zahlung mit 2A
Diskont, Verpacken und andere Spesen in Hamburg 4'28 Al, Pro¬
vision 2A. Der Fakturabetrag wird zu 122'50 T (118'03 L) per
100 Al gedeckt, wobei für Wechselspesen in Rechnung kommen.
Wie hoch stellt sich der Einkaufspreis für 1 L- in Prag, wenn an
Fracht 6'24 X, für kleine Spesen in Prag 2'66 und an Zoll
80 Ri per 100 Netto gezahlt werden?
Wenn ein Kaufmann unter Rücksichtnahme auf alle beim Ein- und Ver¬
kaufe einer Ware vorkommenden Kosten berechnet, wie teuer in inländischer
Geldwährung die Maß- oder Gewichtseinheit seiner Ware zu stehen kommt, so
sagt man, der Kaufmann macht eine Kalkulation.
Man könnte also mit Bezug auf die vorstehende Aufgabe auch fragen:
Wie hoch kalkuliert sich 1 LA Kaffee?
Hamburg, den 26. April 1909.
2°/° Provision von N 572-29
A. Freiberg L Sohn.
2°/„ Skonto ab
kontant
Verpackung und andere Spesen
Einkaufsrechnung.
für Herrn W. Bauer in Prag.
Kauften auf Ihre Order und sandten ans Ihre Rechnung
Gefahr per Eisenbahn:
5 Ballen Javakaffee.
1'"°' 82;.LA 330
ll'Lr 3 Lg- per Ballen... LA 15
L7Sr LA 315 a 92 ?k. per z LA
125
Kalkulation:
Fakturenbetrag 883'74 N a 138'80 Li
per 100 N. 715 08
Wechselspesen z"/».2'38
Fracht von Hamburg. „ 6'24
Kleine Spesen in Prag. „ 2'66 11 28
Zoll 80 L per 100 L? . . . j 252 —
Gesamtausgabe . . . 978 36
X 978'36:315 --- Li 3'l l für 1
W. Bauer.
20. In Marseille bezieht man französischen Safran u 76 Ikr per ^LA;
der Diskont beträgt 2A, Spesen daselbst 1Z^ des diskontierten
Wertes, Provision 2A. Wie hoch stellt sich das LA Safran in Wien,
wenn die Fracht von Marseille bis Wien ZB des diskontierten
Wertes, der Zoll 279'6 14 per 100 LA und 100 Franken — 93 14
gerechnet werden?
21. Ein Wiener Kaufmann erhält aus Triest 12 Säcke Mailänder Reis
2110 LA Brutto, 15 LA Tara, zu 49 14 per - Netto, Spesen in Triest
10'50 14, Provision 2A, Fracht 5- Li per A, Spesen in Wien 14'94 14.
Wie hoch kalkulieren sich 100 LA Netto in Wien?
22. Franz Groß in Breslau verkauft im Auftrage seines Prager Kommit¬
tenten G. Freytag 218 deutsche Zentner Weizen ä, 22'40 U per
200 Pfund; Fracht und Zoll betragen 2'30 N per Zentner, Maßgeld,
Trinkgeld usw. 10'80 ^1, Sensarie ZB; auf welchen Reinertrag lautet
die Verkaufsrechnung, wenn die Provision zu 2s gerechnet wird?
Breslau, den 12. Juni 1909.
Verkaufsrechnung
für Herrn G. Freytag in Prag
Diesen Betrag schreibe ich Ihnen bis ans weitere Order gut.
Franz Groß.
23. Ein Kaufmann in Wien verkauft für einen Triester Kaufmann 6 Fässer
Tafelöl, Brutto 3285 LA, Tara 16 A, zu 150 14 per A Netto; Spesen
4214 70 b, Sensarie Provision Is A. Stelle die Verkaufs¬
rechnung zusammen!
126
24. Ein Agent verkauft für eine Fabrik
38 Stück Weißgarnleinen s- 38 L,
42 „ Halbleinen L 32 L 40 ü und
50 „ Gradl ä 35 Li.
Die Verkaufsspesen betragen 107 L 12 ü, die Provision 1z ;
wieviel hat der Agent für die Ware an die Fabrik abzuführen?
25. In Triest kosten 100 LA Kakao 264 Li; Diskont daselbst 2 A, Spesen
1ZA, Provision 2A, Fracht bis Laibach ILi 4ü, Spesen in Laibach
1 Li 50 ü per 100 LA. Wie hoch stellt sich 1 LA Kakao in Laibach?
o) Gewinn und Verlust.
Bei der Gewinn- und Verlustrechnung kommen drei Zahlen vor:
die Ausgabe beim Einkäufe (Einkaufssumme), die Einnahme
beim Verkaufe (Verkaufssumme) und der Gewinn oder Verlust.
Dieser wird von den Kaufleuten gewöhnlich nach Prozenten bestimmt;
es heißt z. B. 6A gewinnen, statt 100 Li, die man beim Einkäufe
ausgelegt hat, beim Verkaufe 106 L einnehmen; 6 A verlieren aber heißt, für
100 Li Ausgabe beim Einkäufe nur 94 Li Einnahme beim Verkaufe haben.
1. Beim Verkaufe einer Ware, die für 1955 Li eingekauft wurde, gewinnt
man 15 A; wieviel beträgt der Gewinn?
2. Wie groß ist der 15 A betragende Gewinn bei einer für 1955 Li
verkauften Ware?
3. Eine Ware wurde für 1955 Li mit 15 A Verlust verkauft; wie groß
ist der Verlust?
4. * Welcher Teil des Einkaufspreises wird gewonnen bei einem Gewinn
von 25^, 20B, 10L, 5B, 12^, 6^, 33z A?
5. Wie groß ist der Gewinn a) zu 12 A für 360 L Einkaufswert; d) zu
8A für 1365 Li Einkaufswert; o) zu 14 A für 2062 Li Einkaufswert?
6. Jemand kauft 350 A Weizen ä 24 Li 80 ü und gewinnt beim Verkaufe
15 A; wieviel beträgt der Gewinn?
7. * Wie teuer wird eine Ware, die im Einkäufe 780 Li kostet, verkauft,
wenn man a) 10 B gewinnt, b) 10 B verliert?
8. Berechne den Verkaufspreis einer Ware, wenn a) der Einkaufspreis
696 Li, der Gewinn 9 L, b) der Einkaufspreis 1710 Li, der Gewinn 18
o) der Einkaufspreis 2045 Li, der Gewinn 20 A beträgt!
9. Wenn man den Zentner Flachs um 130 Li einkauft und 10 A gewinnen
will, wie teuer wird man das LA verkaufen?
10. * Wie teuer muß das LA einer Ware verkauft werden, wenn man
15 />A derselben für 7 Li 50 b eingekauft hat und 12 B gewinnen will?
11. Einem Tuchhändler kommen 4 Stück Tuch ä 30 »r beim Einkäufe
auf 1024 Li; wie teuer wird er das »r verkaufen, wenn er dabei 15 L
gewinnen will?
12. An einem Zentner Kaffee gewinnt man 48 Li oder 15 B; wie groß
ist a) der Einkaufspreis, b) der Verkaufspreis?
127
13. Beim Verkaufe einer Ware beträgt a) der Gewinn 46 Li oder 12ZA,
b) der Verlust 39'78 L oder 4jA, o) der Gewinn 187 Li oder 15 A,
ä) der Verlust 82 Li oder 4A ; wie groß ist bei a) und b) die Einkaufs¬
summe, bei o) und ä) die Verkaufssumme?
14. 350 Weinbeeren kosten 151 L 12 b, Fracht und Zoll betragen 68 Li
88 b; wie teuer muß man davon 1 LA verkaufen, um 15 A zu gewinnen?
15. Wird das LA Petroleum zu 58 b verkauft, so gewinnt man dabei 16 B ;
wieviel LA müssen verkauft werden, wenn man 100 Li gewinnen will?
16. * Wenn das -n Tuch für 9 Li verkauft wird, gewinnt man 12ZA ;
wieviel kostet das m im Einkäufe?
17. Berechne den Einkaufswert einer Ware, die a) mit 12 A Gewinn
für 952 L, 6) mit 9^ Gewinn für 2628 Li, o) mit 16ZA Gewinn
für 1379 Li 36 b verkauft wird!
18. Wie teuer muß man eine Ware einkaufen, wenn sie für 93 Li
mit einem Gewinne von 24A verkauft werden soll?
19. Um aufzuräumen, verkauft man eine Partie Waren mit 4A Verlust
für 700 Li; wie teuer war die Ware im Einkäufe?
20. Wenn der bei einem Verkaufe erzielte Gewinn von 8A 188 Li
beträgt, wie groß ist die Einkaufssumme?
21. Ein Haus wurde 6A unter dem Einkaufspreise verkauft; wie hoch
war dieser, wenn der Verlust 2940 L beträgt?
22. Jemand muß eine Ware mit 12 A Verlust für 825 Li verkaufen;
um wieviel hat er sie eingekauft?
23. Für eine Ware, die im Einkäufe 140 L kostet, löst man beim Ver¬
kaufe 161 Li; wieviel A beträgt der Gewinn?
24. * Wieviel werden gewonnen, wenn der Gewinn g, /0, xZ ch des
Einkaufspreises, b) des Verkaufspreises beträgt?
25. * Wenn h L/ Bier 12 Li kostet und der Wirt das / zu 32 b verkauft,
wieviel B gewinnt er?
26. Wieviel A werden gewonnen a) bei 272 Li Einkaufspreis und 340 Li
Verkaufspreis; b) bei 275 L Einkaufspreis und 308 L. Verkaufspreis;
0) bei 1224 Li Einkaufspreis und 1444 Li 32 b Verkaufspreis?
V. Zins- und Diskontrechnung.
1. Zinsrechnung.
Derjenige, welcher einem andern Geld leiht, wird Gläubiger, der¬
jenige, welcher von einem andern Geld ausleiht, wird Schuldner ge¬
nannt. Die dargeliehene Summe nennt man Kapital. Das Geld,
das für die Benützung des Kapitals entrichtet wird, heißt Zins oder
Interesse und wird nach Prozenten bestimmt. 1 Prozent (A) heißt
eines Betrages (pro vent — für Hundert). So ist beispielsweise 1 L
l A von 1 L. Der für je 100 Geldeinheiten nach einem Jahre zu be¬
zahlende Zins heißt Zinsfuß. Ein Kapital ist zu5B angelegt, heißt:
128
von je 100 L Kapital erhält man in einem Jahre 5 L, oder von 1 k
erhält man 5 ü Zins (Zinsheller).
Bei der Zinsrechnung kommen vier Größen (Zahlen) vor: das
Kapital, die Zeit, der Zinsfuß und die Zinsen. Bezüglich der Zeit
wird gewöhnlich jeder Monat zu 30 Tagen und daher das Jahr zu
360 Tagen angenommen.
Die Auflösung der Aufgaben über die Zinsrechnung geschieht nach
der Schlußrechnung oder nach der zusammengesetzten Proportion.
Berechne stets zuerst 1 !
a) Der lA-ige 1-jährige Zins ist des Kapitals;
b) „ 1 -ige 1 - monatliche Zins ist des Kapitals;
e) „ 1^-ige 1-tägige Zins ist des Kapitals.
Daraus wird durch Schluß gefunden:
a) der mehrprozentige mehrjährige Zins;
b) „ „ mehrmonatliche Zins;
o) „ „ mehrtägige Zins.
Berechnung der Zinsen.
Ein Kapital von 5380 Li ist zu 5L angelegt; wie groß ist der
Zins in 3 Jahren?
Durch die Schlußrechnung: a) 5380 Li Kap. geben
zu 1B in 1 I. 53'8 Li Zins, Kurz:
„ 5^ „ 1 „ 53'8X5LZins, Zins--53 8LX5X3--8O7X
„ 5^ „ 3 „ 53-8X5X3L -- 807L Zins.
b) Hier könnte man auch so schließen:
5A von 1 Li Kap. in 1 I. 5 L Zins
5^ „ 5380 L ,, „ 1 „ 5Ü X5380
5^ „ 5380 L „ „ 3 „ 5üX 5380X3
x . - 80700 b 807 L Zins.
Daraus ist die Regel zu entnehmen: M a n b e r e ch n e t d i e Z i n s en,
indemman die Zinsheller mit dem Kapital und den Jahren
multipliziert.
o) nach der Proportion:
100 Li Kap. in 1 I. 1 5 L Zins x : 5 — 5380 : 100
5380 „ „ „ 3 „ x „ „ -^-3 : 1
5>:-!80 X 5 X 8
- 100 -
— 807 L Zins.
Daraus folgt:
Die Zinsen sind gleich dem 100. Teile des Produktes
aus dem Kapital, dem Zinsfuß und der Zeit in Jahren.
1.* Den wievielten Teil des Kapitals betragen die jährlichen Zinsen
s) zu 5A, b) zu 4^, o) 3A, ä) 4ZA, e) 4;^, i) 3x^?
129
2? Wieviel ist der 1-6 -ige 1-jährige Zins von a) 100, 300, 700, 1000,
2000, 5000, 9000 X, d) 10000, 40000, 80000, 100000, 61X1000,
1000000 X; o) 10, 30, 90, 1, 2, 5, 8, 13, 26, 57, 88 X; ä) 112,
235, 644, 792, 1240, 8756 X?
3. * Wieviel ist der 3^-iqe (4^4ge, 5^-ige, 6^-ige) 1-jährige Zins
von a) 100, 500, 1400, 3600, 5210, '860, 9624 X; 6) 10000,
30000, 20500, 54000, 100000, 640000 X; c) 10, 1, 8,15, 36, 58,
92, 164, 372, 879 X?
4. * Wieviel Zinsen geben jährlich a) 6 X, 50 14, 250 14, 875 14,
1220 X L 4-6; i>) 4 X, 14 14, 320 X 1060 X, 4160 X L 5^;
o) 30 X, 85 L, 240 14, 725 14, 1350 X L 6^?
5. Wie groß ist der jährliche Zins von 300 14 zu 3;-6?
von 300 X
_ 1-6.314
3-6 9 14
1'5 14
s-6.0'75 X
3L> 11'25 14.
6. * Wieviel Zinsen geben jährlich 2 14 (8, 10,14, 32, 48, 75 14) Kapital
a) zu 4s-6, 6) zu 5ö-6, «) zu 6-6, ä) zu 5^-6, o) zu 3'4L?
7. * Berechne die jährlichen Zinsen von: 200 14 zu 4^-6, 900 14 zu 4^,
120L zu 3z L, 380 14 zu 3Z-6, 1200 14 zu 4^-6, 1700 X zu 4^,
5 X zu 4; -6, 14 X zu 3Z -6, 25 X zu 3ß -6, 80 X zu 5; -6, 8 X zu
4'4^, 72 X zu 3'8-6! '
8. Wieviel Zinsen geben 500 X zu 4A in 2 Jahren?
1B in 1 1 5 X
4B in 1 1 20 X
4A in 2 1 40 X.
9. Wieviel Zinsen tragen 500 X zu 4-6 in 2Z Jahren?
1 in 1 I 5 X
4^ in 2 I. . . . . 40 X
4^in z I . . . . . 10 X
4 -6 in 2z I. . . . . . 50 X.
10. * Wieviel Zinsen geben 400 X <300, 800, 560, 240 X) a 6-6
in 2 Jahren? d) 750 X (200, 400, 680, 910 X) a 4^ in 2z
Jahren?
11. Wieviel Zins geben 5720 X Kapital zu 4A in 4 Jahren?
12. Wieviel Zins geben zu 6A in 2^ Jahren
a) 3080 X, d) 75'85 X, o) 815 X, ä) 7642 X, s) 516 X 72 K
Kapital?
Mo ani r-H a l b g eb au e r, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. g
130
Wieviel Zinsen bringen 528 Li zu 4sA in 14 Jahren?
13.
33 66L
Wieviel Zinsen tragen:
14.
2z
4 I. 3 Mon.
2
9
Berechne die Zinsen von 2416 Li 80 3 a 4^L in
15.
16.
Wieviel Zins tragen ah 4105 L a5ßL in 3 Jahren; b) 14932'4 L
17.
18.
Wieviel Zins bringen 3450 L zu 41^ in 2 Jahren 8 Monaten?
a 6s in 6 Monaten; o) 884 L a 7-^ in 2 Jahren 11 Monaten?
a) 2, 3) Iß, o) 2z, ä) 1s, s) Iß Jahren!
Wieviel Zins geben 948 Li in 2s Jahren zu 4^ (5^, 6s D-', 4s L,
34'50 14
138-00 L.4°/„
U-5N ,4.49°
149-50 14 für 1 Jahr
149-50 14 „ 1 „
49-833 14 „ 4 Monate — s Jahr
49-833 14 „ 4
398'666 14 - 398 li 67 li für 2 Jahre 8 Monate.
Dieser Vorgang heißt welsche Praktik.
Am kürzesten und einfachsten werden die Zinsen für Jahre,
Monate und Tage nach der Zerfällungsmethode berechnet, und zwar:
1. DieZinsenfüreinJahr berechnet man nach der Prozent¬
rechnung, indem man den hundertsten Teil des Kapitals mit dem
Zinsfuß multipliziert.
2. Um die Zinsen für mehrere Jahre zu finden, braucht
man nur die einjährigen Zinsen mit der Anzahl der Jahre zu
multiplizieren.
3. Die Monate werden als Teile des Jahres und die Tage
als Teile des Monates betrachtet, die auf diese Teile entfallenden
Zinsbeträge durch Division bestimmt und zuletzt zu den Zinsen für
Jahre addiert.
19. Berechne a) die -s - jährlichen Zinsen von 1400 L zu 3sA; 3) die
monatlichen Zinsen von 2600 L zu 3ZA; °) die täglichen Zinsen
von 21900 L zu 3 s ! (Das Zinsjahr — 360 Tage.)
131
20. Wieviel Zins geben s,) 1426 L s. 4A in 6 Monaten; 6) 1810 L
s. 5^-6 in 4 Monaten; o) 2306 Li L 6A in 5 Monaten?
21. Wieviel Zins geben a) 4800 Li zu 6^ in IJahr 5 Monaten 20 Tagen;
6) 5792 Li zu 5Z-6 in 2 Jahren 9 Monaten 25 Tagen?
22. Wieviel Zinsen geben sh 6310 Li zu 6-6 in 2 Jahren 8 Monaten
7 Tagen; 6) 1080 Li zu 4; -6 in 1 Jahre 7 Monateir 18 Tagen;
o) 1537 Li zu 5^ in 9 Monaten 20 Tagen?
23. 2518Z Li stehen durch 2 Jahre 5 Monate zu 5; B aus; wieviel muß
an Kapital und Zins zurückgezahlt werden?
24. Ein Kapital von 5600 Li ist zu 4-6 durch 2 Jahre 11 Monate und
7 Tage angelegt; wieviel Zins trägt es?
25. Jemand nimmt 2560 Li auf 6 Monate zu 5^ aus; wieviel wird
er nach Verlauf dieser Zeit zu zahlen haben?
26. * Jemand nimmt 3000 Li zu 4Z A auf und leiht dieselbe Summe zu
6ZA weg; wieviel gewinnt er dabei in 3 Jahren?
27. Zu welcher Summe wachsen 2500 Li mit den Zinsen zu 4ZA in
sh 1, 6) 3, v) 1z, ä) 2^ Jahren an?
28. Zu welcher Summe wachsen 1560 Li in 1z Jahren an, wenn der
jährliche Zins zu 5-6 gerechnet wird?
29. Zu 6-6 wirft ein Kapital 108'42 Li Zinsen ab; wieviel in derselben
Zeit zu 4A?
30. Ein Anwesen ist mit 2537 Li zu 4-6, mit 1580 Li zu 4.s-6 und mit
1435 Li zu5Z-6 belastet; wieviel hat der Besitzer vierteljährlich an
Interessen zu zahlen?
31. Auf einem Hause lastet eine Hypothek von 2560 Li zu 5A; wieviel
hat der Besitzer des Hauses jährlich an Interessen zu bezahlen?
32. Ein Bauer leiht sich zum Viehkaufe 1300 L zu 4^-6 auf 1 Jahr
aus; wieviel hat er nach Ablauf dieser Zeit im ganzen zurückzu-
zahlen?
33. Ein Geschäftsmann hat ein Betriebskapital von 14000 Li; wie
groß ist jährlich der Reingewinn, wenn sich das Kapital mit 15 A
verzinst?
34. Für eine Schuld von 1636 Li wurden durch 6 Jahre keine Zinsen
gezahlt; um wieviel hat sich die Schuld vergrößert, wenn die Zinsen
zu 5^B gerechnet werden?
35. Ein Kapital von 6530 Li ist zu 3z angelegt; um wieviel Zinsei:
erhält der Gläubiger monatlich (täglich) mehr, wenn er den Zinsfuß
auf 4z A erhöht?
36. Auf einem Gute lastet eine Schuld von 8500 Li; nach 2 Jahren
zahlt der Besitzer die Schuld und die 5Z-6 Zinsen. Wieviel muß
er zahlen?
37. Jemand hat folgende Kapitalien angelegt: bei 2500 Li zu 4ZA,
bei L 3850 Li zu 5A, bei 0 4580 Li zu6A; wieviel Zins bringen
ihm jährlich alle drei Kapitalien?
g*
132
38. Wieviel betragen die vierteljährlichen Zinsen, die ein Rentner einnimmt,
wenn er 36000 Li zu 3xA, 42000 Li zu3Z^ und den Rest seines
190000 Li großen Vermögens zu 4A ausgeliehen hat? Wieviel
nimmt er monatlich (täglich) an Zinsen ein?
Zinsenberechmmg für Tage.
Sollen die Zinsen für eine Anzahl von Tagen berechnet werden,
so schließt man im Bruchsatze auf die Zinsen für 1 Tag,
wobei das Jahr zu 360 Tagen gerechnet wird.
Sind z. B. die Zinsen von 1357 Li zu 6A für 239 Tage zu
berechnen, so erhält man die
Zinsen----- Li, gekürzt
13'57.239
60
— 54'05 L.
1. Wieviel Zins bringen 3844 Li
a) zu 3B in 125 Tagen; L) zu 5A in 56 Tagen;
o) „ 4^ „ 88 „ ; ä) „ 8^ „ 124 „ ?
2. Wieviel betragen die Zinsen a) von 2075 Li ä 3A in 48 Tagen;
b) von 3816 Li ä 4^ in 145 Tagen; o) 1580 Li L 9B in 85 Tagen?
3. Wieviel Zinsen bringen:
zu5A: 360 Li in 14 Tagen, zu 4^: 552 Li in 9 Tagen,
486 L „ 24 „ 815 L „ 21 „
2600 L „ 15 „ 5275 Li „ 7 „
zu 4Z B 817 Li in 16 Tagen,
288 L „ 28 ,',
3512 L „ 1 Mon. 4 Tg.?
4. Wieviel Zins geben 1560 Li Kapital zu 6 vom 3. April bis 12. August?
Vom 3. April bis 3. August sind 4 Monate — 120 Tage.
„ 3. August „ 12. „ „ 9 „ .
129 Tage.
5. Berechne die Zinsen: a) von 1730 Li zu 4^A vom 12. Juni bis
23. Oktober; L) von 1920 Li zu 6 A vom 7. Mai bis 30. August;
o) von 2628 Li zu 8^ vom 22. März bis 18. November!
6. Ein Kaufmann hat am 1. Mai für Waren 646'8 Li zu zahlen; er
zahlt am 12. Mai (also 11 Tage später). Wieviel Zinsen muß er
vergüten, wenn 5A, 6B, 4^, 4B, 3^L gerechnet werden?
7. Ein Steuerrückstand von 286 Li 40 L wird am 10. Februar bezahlt;
wieviel betragen die Verzugszinsen a 5A vom 1. Jänner an?
8. Eine am 1. Mai fällige Schuld von 362 Li wird am 15. Juni mit
4A Verzugszinsen gezahlt; wieviel beträgt die Zahlung?
Von der Sparkasse. Was ist die Sparkasse? Das Sparkassen¬
buch. Einlage (Kapital). Gewinn (Zinsen). Zinsen für 100 Li in 1 Jahr
133
(Prozent). Zinsfuß. Interessen. Die Sparkassen zahlen gewöhnlich 3
bis 4A; es kommen vor HA, 3ZA, HA, 3ZA, 3xA u. a. Was
heißt das? Bruchzahlen der Li werden in ü verwandelt.
9. Eine Sparkassa verzinst mit HA; wieviel betragen die jährlichen
Zinsen sür 96 Li?
1A von 96 L in 1 Jahre . . . . 96 ü Zinsen;
HA „ 96 L „ 1 „ .... 96 L
24 X 15
360 3'6 Li.
Wieviel L Zinsen können am 1. Juli und am 1. Jänner bei
der Sparkassa behoben werden?
Mit Ende Juni und Ende Dezember jeden Jahres wird die
Berechnung und Vorschreibung der Zinsen für sämtliche Einleger
(Interessenten) vorgenommen. Die am Schlüsse eines jeden halben
Jahres berechneten Zinsen können von Ende Juli, beziehungsweise von
Ende Jänner ab behoben werden. Die nicht erhobenen Zinsen werden
nach ihrer Fälligkeit dem Kapitale zugeschlagen und verzinst.
Kapitalsrückzahlungen bis zur Höhe von 200 Li finden aus
Verlangen sofort ohne Kündigung statt.
Dagegen unterliegen Beträge von 200 Li bis 1000 Li einer
8-tägigen, Beträge von 1000 Li auswärts einer monatlichen Kündigung.
10. Eine Sparkasse verzinst mit H A ; wieviel Zinsen zahlt sie für 93 Li,
48 Li, 15 L in 1 Jahre, z Jahre, 2 Jahren, 1Z Jahren?
11. Eine Sparkasse verzinst das eingelegte Geld zu 3'6 A, HA, 4A,
HA, HA; wieviel Zinsen bringen:
5 L in 1 Jahre 120 Li in 9 Mon. 20 Li in Z Jahre
15 Li „ 1 „ 318 Li „ 4 „ 25 Li „ ß Jahren
28 Li „ 5 Mon. 200 Li „ 1 Tag 12 Li „ 60 Tagen
90 L „ 10 „ 800 L „ 20 Tag. 80 Li „ 45 „
25 Li „ 3 „ 1540 L „ 12 „ 156 Li „ 2z Mon.?
12. Ein Kind hat 72 L in der Postsparkassa, die zu 3 A verzinst; wieviel
wird an Zinsen in 1 Jahre dazugeschrieben?
13. Ein Knabe hat am 1. Jänner 36 Li 40 ü in der Postsparkassa;
am 31. März legt er noch 7 Li 50 ü dazu; wieviel betragen Kapital
samt Interessen am 1. Jänner des nächsten Jahres?
14. Jemand legt in die Sparkasse 580 Li am 1. Jänner, 650 Li am
15. Juni, 870 L am 25. Oktober; wieviel hat er am Ende des
Jahres bei 4A Verzinsung zu fordern?
Berechnung des Kapitals.
Ist z. B. die Größe eines Kapitals zu finden, das in 2 Jahren
zu 4A 188 L Zins trägt, so schließt man:
134
4 A 188 L in 2 Jahren,
4^.47 L „ 2
1^ 23'50 L in I Jahre,
100 L 2350 L — Kapital,
oder nach dem Bruchsatze ausgeführt: x ZZgg L
d. h. das Kapital ist g l eich den 100-sachen Zinsen dividiert
durch das Produkt aus dem Zinsfüße und der Zeit
in Jahren.
1. * Wie groß ist das Kapital, wenn die jährlichen Zinsen zu 5 A 20 X,
60 L, 42 Li, 72 L, 25 L, 128 L, 100 L betragen?
2. * Von welchem Kapital betragen die jährlichen Zinsen a) 80 Li zu
4^; d) 108 Li zu 4Z^; o) 69 Li zu 5^; ä) 102 Li zu 6A?
3. * Welches Kapital bringt a) zu 4A, 6) zu 5^, o) zu 8^ jährlich
2 Li Zins?
4. Jemand bezieht jährlich 330 Li als 6-^ igen Zins; wie groß ist
das Kapital?
3. Ein Unternehmen wirft in 1 Jahre einen Reingewinn von 1856 Li 80 ü
ab, wodurch sich das Betriebskapital mit verzinst; wie groß
ist dasselbe?
6. * Welches Kapital bringt an Zinsen in 2 Jahren a) zu 4A 44 Li;
b) zu 5A 136 Li; o) zu 6 L 81 Li?
7. Jemand bezieht in 2 Jahren 1116 Li als Zinsen; wie groß ist das
Kapital bei 6^.
8. Welches Kapital gibt zu 5A in 2 Jahren 586 Li Zinsen?
9. Welches Kapital gibt a) zu 4ZA in 1 Jahre 1674 Li Zins; d) zu
6Z B in 1^ Jahren 390 Li Zins; e) zu 3§^i in 1 Jahre 3 Monaten
110'25 Li Zins?
10. Von welchem Kapitale erhält man a) zu 4A in 2; Jahren 427 Li
Zinsen; b) zu 6^ in 1^ Jahren 2238'6 Li Zinsen?
11. Jemand lebt von den Zinsen seines zu 4A ausgeliehenen Vermögens;
wie groß ist dieses, wenn er jährlich 2920 Li braucht?
12. Ein Haus liefert in 1 Jahre 3621 Li Reinertrag; wie groß ist
dessen Wert, wenn es sich zu 4;L verzinst?
13. Welches Kapital muß man zu 5 B anlegen, um monatlich 57 Li Zins
zu erhalten?
14. Ein Kapitalist behebt halbjährlich 1864 Li Zinsen; welches Kapital
besitzt er, wenn er 4'2A Zinsen erhält?
15. Auf einem Hause lastet eine Hypothek, für die zu 5A in jedem
Vierteljahre 200 L Zinsen zu entrichten sind; wie hoch ist das Haus
belastet?
16. Eine Familie bezahlt vierteljährlich 200 Li Zins; welches Kapital
muß zu 4A angelegt sein, um diese Ausgabe zu decken?
17. Welches Kapital muß ein Landwirt in der Sparkasse anlegen oder
ausleihen, damit er bei einem Zinsfüße von 4L vierteljährlich ein
Ausgedinge von 250 14 bezahlen kann?
18. Jemand leiht zu5^L ein Kapital von 3700 Li aus, wovon er selbst
einen Teil zu 4 A ausgenommen hat; wie groß ist der ihm gehörende
Teil des Kapitales, wenn er einen jährlichen Zinsenüberschuß van
154 Z Li erzielt?
19. Für ein Kapital, das durch 3 Jahre zu 5Z A ausgestanden ist, erhält
man an Kapital und Zinsen 10718 Li; wie groß war das Kapital?
S^/o für ein Jahr geben lö^/o für 3 Jahre; 200 L betragen daher samt den
Zinsen nach 3 Jahren 233 L und inan hat
200 L Kapital 233 Ki Kapital mit Zinsen x: 200 — 10718 : 233
x Ix „ 10718 L „ „ „ also x - 9200 L.
Leitet man aus dem Jahreszinsfuße (5^°/») einen solchen Zinsfuß (16z"/<>) ab,
welcher der Zeit entspricht, für welche die Zinsen gerechnet werden, so heißt dieser
letztere der reduzierte Zinsfuß.
20. Ein Kapital ist mit den einjährigen Zinsen zu 5L aus 6111 Li
angewachsen; wie groß ist das Kapital?
21. Welches Kapital muß man zu 4ZA anlegen, damit es samt den
Zinsen nach 3 Jahren auf 10696 Li anwachse?
22. Jemand zahlt für ein durch 6 Jahre benutztes Kapital samt den
5ZL Zinsen 452'2 Li zurück; wie groß war das Kapital?
23. Ein zu 4^ angelegtes Kapital war in 2 Jahren auf 2532'6 Li
angewachsen; wie groß war es ursprünglich?
24. Ein Kapital beträgt samt den 10-monatlichen Zinsen s>6^ 294014;
wie groß ist das Kapital allein?
23. Welchen Betrag hat ein Schuldner an Kapital und Zinsen zurück¬
zuzahlen, wenn die Zinsen allein für 2Jahre zu6L 190Li ausmachen?
Berechnung der Zeit.
Ist z. B. die Anzahl der Jahre zu suchen, in der ein Kapital von
3800 14 zu 6^o 684 Li Zinsen gibt, so kann man schließen:
sh Kapital 3800 Li
1A 38 Li für 1 Jahr
6A 228 L „1 „
684 Li: 228 Li 3
b) Nach dem Bruchsatze ausgeführt:
Zins für 1 Jahr —
x — 3 Jahre.
3800X6
100
684X100 . ,
vUlhre,
Wir finden die Zahl der Jahre, wenn mir den gesamten Zins durch den
einjährigen Zins dividieren.
. 3800X6
100
136
d. h. die Zeit in Jahren ist gleich den lOOfachen Zinsen, dividiert
durch das Produkt aus dem Kapital und dem Zinsfüße.
1. * In welcher Zeit bringen 100 L zua)3A 12 Li; b) 3ZA 10'50L;
e) 4A 10 L; ä) HA 7z L; o) 4zA 13'65 Li Zinsen?
2. * In wieviel Jahren geben 225 L Kapital a 4A 45 L Zinsen?
3* In welcher Zeit bringen a) 675 L zu 4A 81 L Zins? b) 1640 Li
zu 5A 164 L Zins? o) 450 L zu 6A 67z L Zins?
4. * In welcher Zeit bringen 1600 Li zu 5Z,A 220 L Zinsen?
5. In welcher Zeit geben 4700 Li zu 4ZA 423 L Zins?
6. erhielt für 2300 L zu 4Z A 234'60 L Zinsen, in welcher Zeit
kamen die Zinsen ein?
7. Wie lange muß ein Kapital von 13040 Li zu 5A ausstchcn, um
320 Li Zinsen zu geben?
8. In welcher Zeit geben 3541 Li Kapital zu 4A 352 L Zinsen?
9. In welcher Zeit erhält man a) von 4715 Li Kapital zu 4 A 377'2 L
Zins? b) von 1560 Li Kapital zu 4^A 222'30 L Zins? o) von
4050 L Kapital zu 6A 467 L Zins?
10. In welcher Zeit geben a) 5460 L Kapital zu 5 ZA 450'45 L Zinsen?
b) 10488 L Kapital zu 5^A 1835'4 L Zinsen? o) 6580 L
Kapital zu 4;A 1205 Li 20 b Zinsen?
11. Von den Zinsen eines zu 4 ZA ausgeliehenen Stiftungskapitales
von 5600 Li ist eine Baukostensumme von 378 Li zu tilgen; wie
lange müssen die Zinsen für diesen Zweck verwendet werden?
12. Wann wurde ein Kapital von 10500 Li ausgelichcn, wenn es bei 5^A
Verzinsung bis zum 31. Dezember 413 Li 13 b Zinsen trug?
13. Eine Hausfrau gab ihre Ersparnisse in die Postsparkassa, welche die
Einlagen mit 3A verzinst. Sie legte 75 Li gleich und 50 Li später
ein und behob an Kapital und Zinsen nach 7z Monaten 126 Li 80 L;
um wieviel Monate später sind die 50 Li eingelegt wordcn?
14. Ein Kapital von 3232 Li blieb so lange ausgeliehen, bis es samt
Zinsen 3929 L betrug: wie lauge dauerte die Verzinsung, wenn
5^A berechnet wurden?
15. Wie lange muß ein Kapital von 5600 Li zu 5z A ausstehen, damit es
mit Emrechnung der Zinsen aus 6370 Li anwachse?
16. In einer Sparkassa liegen 4250 Li zu 3^A an und sind samt Zinsen
auf 4316'4 L angewachsen; während welcher Zeit ist dies geschehen?
17. Jemand entlehnte aus der Sparkassa ein Kapital von 3500 Li und
zahlte am 15. September an Kapital und 6Aigen Zinsen 3588'25L
zurück; an welchem Tage des Jahres hat er das Kapital entlehnt?
18. Ein Händler kauft eine Nähmaschine für 40 L, läßt sie reparieren,
bezahlt dafür 20 Li und verkauft dieselbe nach einiger Zeit für
73 Li 50 L; wie lange hatte er sie am Lager, wenn sich seine Aus¬
lagen mit 30 A verzinst haben?
137
19. Wie lange muß ein Kapital angelegt bleiben, damit die Zinsen
a) zu4A, A)zu5A, o) zu 6A ebensoviel betragen wie das Kapital?
20. Wie lange müssen 2520 Ai angelegt sein, damit die Zinsen zu 5A
den 3., 2., 6. Teil des Kapitales betragen?
21. In welcher Zeit geben 100 Ai soviel Zins wie a) 200, 500, 1000 A
in 1 Jahre; A) wie 50, 25, 75 Ai in 1 Jahre?
22. An: 1. Mai wurden 3100 Ai zu 4A ausgeliehen; als die Rück¬
erstattung erfolgte, betrug das Kapital mit den Zinsen 3112§Ai;
wann ist das Kapital zurückgezahlt worden?
23. 1150 Ai sind mit den 5Aigen Zinsen auf 1380 A angewachsen;
wie lange war das Kapital angelegt?
Berechnung des Zinsfußes.
Es sei z. V. zu bestimmen, zu wieviel A man 3460Ai Kapital anlegen
müsse, damit es in 3Jahren 519 Ai Zins abwerfe. Um zu berechnen, wieviel
Prozente berechnet wurden, untersucht man, wie oft der einprozentige
Jahreszins i n dem mehrprozentigen Jahreszinse enth alten ist.
s) 1A für 1 Jahr.34'6 Ai
9 A
Einjähriger Zinsertrag —— — 173 Ai
173 Ai: 34'6 Li — 5, x — 5A.
3460 X 3
l>) 1"/^-iger Zins für die gegebene Zeit — — A-
Wir finden den Zinsfuß (die Prozentzahl), wenn wir den gesamten Zins
durch den einprozentigen Zins für die gegebene Zeit dividieren:
519 :
3460 X 3
100
519X100 ,
-- -- — .6
3460X3
d. h. der Zinsfuß ist gleich den 100-fachen Zinsen, dividiert
durch das Produkt aus dem Kapital und der Anzahl
der Jahre.
1. * 800 Ai Kapital bringen in 1 Jahre 64 Ai Zinsen; zu wieviel A ist
das Kapital ausgeliehen?
2. Wieviel Prozent betragen die Zinsen von ausgeliehenen Geldern, wenn
man in 1 Jahr von 200 Ai — 10 Ai, non 300 Ai — 12 A, von 500 Ai —
15 Ai, von 600 A — 27 Ai, voll 800 Ai — 64 Ai, von 900 Ai — 311- Ai,
von 357 Ai — 21 Ai 42 ü, von 1000 Ai — 37'5 Ai, von 2100 Ai — 94'5 Ai,
von 5560 Ai — 222'4 Ai, von 25 Ai — 1 Li, von 50 Ai — 1'50 A, von
1 Ai — 4 ü, von 8 Ai — 36 A, von 15 Ai — 56; b, von 75 Ai — 3 Ai,
von 80 Ai — 4 A, von 96 Ai — 4'08 Ai Zinsen erhält?
3. Jemand erhält von 300 Ai, 400 Ai, 500 A, 600 Ai, 800 Ai jährlich
24 Ai Zinsen; wieviel Zinsen nimmt er von 100 Ai (d. h. zu wieviel
A sind diese Geldbeträge zinstragend angelegt)?
4. Zu wieviel Prozent sind 300 Ai, 400 Ai, 600 Ai, 750 Ai, 625 Li, 900 Ai
1000 A ausgeliehen, wenn sie jährlich 30 A Zinsen bringen?
188
5. Eine Sparkassa gibt jährlich für 1 Li a) 3 ü, b) 3j> ü, o) 4 L, ä) 4Z ü,
e) 5 L Zinsen; zu wieviel A verzinst sie?
6. Wieviel von Hundert nimmt derjenige Zinsen, der sich für das Leihen
von a) 50 Li, b) 30 Li, o) 20 L für 1 Monat a) 20 L, L) 12ö L,
o) 25 L Zinsen geben läßt?
7. * a) 250 Li Kapital bringen jährlich 15 Li Zins,
b) 550 L „ ,/ „ 22 L „
o) 360 Li 10^L » i
zu wieviel A stehen diese Kapitalien aus?
8. * Ein Wucherer lieh einem Landmanne 90 Li und forderte als Zinsen
jedes Vierteljahr 4ZL; wieviel A nahm er?
9. Jemand leiht 16000 Li aus; wieviel A muß er verlangen, um davon
ein jährliches Einkommen von 900 Li zu genießen?
10. Jemand kauft für 164 Li ein Staatspapier, das ihm jährlich 8'4 Li
Zinsen trägt; zu wieviel A verzinst sich das Kapital?
11. Jemand hat an 1280 Li, an L 980 Li geliehen und erhält von
beiden zusammen jährlich 104'15 Li Zinsen; zu wieviel A hat L
das Geld erhalten, wenn 4öA bezahlen muß?
12. Zu welchem Zinsfuß tragen a) 3075 Li Kapital in 9 Monaten 92 L. 25 ü
Zinsen? b) 10816 L Kapital in 2Z Jahren 1214 Li 80 L Zinsen?
13. 15 681 Li bringen in 1 Jahre 3 Monaten 882 Li Zinsen; zu wieviel A
geschieht die Verzinsung?
14. Zu wieviel A erhält man von 6408 L in 1 Jahr 9 Monaten ebenso¬
viel Interessen, wie von 5607 Li zu 4ZA in 1 Jahr 4 Monaten?
15. Zu wieviel A gibt ein Kapital 60 Li Zinsen, wenn es zu 4^ 48,
40, 72 Li Zinsen trägt?
16. Zu wieviel A sind 400 Li, 500 Li, 750 Li, 800 Li ausgeliehen, wenn
sie vierteljährlich 6j Li Zinsen tragen?
17. Für eine Einlage von 7548 Li bezahlt eine Sparkassa vierteljährlich
66 Li 5L; zu wieviel L verzinst die Sparkassa die Einlagen?
18. Für eine Einlage von 7258 L bezahlt eine Sparkassa monatlich
21 L 17 L Zinsen; zu wieviel verzinst die Sparkassa die Einlage?
19. Für ein Darlehen von 10 Li werden wöchentlich 2 ü Interessen
bezahlt; zu wieviel verzinst sich das Kapital?
20. L kauft ein Haus für 21250 Li; die jährlichen Unkosten (Steuern,
Ausbesserungen u. a.) betragen durchschnittlich 350 Li; zu wieviel A
verzinst sich das Kapital, wenn er a) vierteljährlich 300 Li Miete,
L) halbjährlich 770 Li Miete erhält?
21. Zu wieviel muß man 9192 Li anlegen, damit sie vom 1. Mai
bis 12. Oktober 168 Li 52 ü Zins bringen?
22. * Zu wieviel A muß ein Kapital ausstehen, damit die Zinsen ah in 20,
b) in 25, e) in 332 Jahren dem Kapitale gleich sind?
23. Ein Kapital wurde um 975 Li vermindert und trug dann monatlich
3j L Zinsen weniger als früher; zu wieviel B war das Kapital angelegt ?
139
24. Für 80 L zahlt jemand nach einem Jahre samt Zinsen 85 Li zurück;
wie groß war der Zinsfuß?
25. Zu wieviel B müssen 375 Li ausgeliehen werden, damit sie mit
den Zinsen in Iss Jahren zu 405 L anwachsen?
Aus dem Vorhergehenden ergeben sich solgende Formeln für
die Zinsrechnung: Wir bezeichnen Kapital mit Li, Prozent mit A,
Zinsen mit 2, Zeit in Jahren mit 4, Zeit in Monaten mit Al, Zeit in
Tagen mit 1.
Rechnet aus jeder Gruppe der voranstehenden Aufgaben einige Bei¬
spiele nach diesen Formeln!
2. Diskontrechnung.
a) Berechnung des Barwertes.
Jemand erbt 1000 Li, die erst nach 1 Jahre auszubezahlen sind.
Er tritt den Erbanspruch gegen eine Zinsenvergütung von 4 A an eine
Wechselstube (Bankhaus) ab; wieviel erhält er bar ausbezahlt?
Der Geldwechsler ivird offenbar eine so große Summe ausbezahlen,
die samt 4 A Zinsen nach 1 Jahre auf 1000 Li anwächst. Die 1000 Li
bestehen demnach aus 100 (d- i- die Barsumme) und aus 4A
d. s. die Zinsen) zusammen also aus 104 A ; daraus ist
1 ^ 1000: 104 ^'9'6154 Li
640
160
560
400
B a rsuin m e (Barwert) — 100 — 961'54 Li,
4 A Zinsenabzug — 9'61^54 LiX 4 — 38' 46 Li.
(Warum wurde die Division auf 4 Dezimalstellen ausgeführt?)
Antwort: Der Barwert der Erbschaft beträgt 961 Li 54 b.
Merket: Der Zinsenabzug, der bei Berechnung der Barzahlung
für eine später fällige Summe gemacht wird, heißt Diskont.
140
Probe: Barwert
Zinsen für 1 Jahr
1L — 9'6154 Li
4^^38'46 Li
Endsumme (Endwert)
Li 961'54
. L 38'46
Li 1000 —
Bei der Diskontrechnung hat man zu beachten, daß der
Barwert aus 100 A, der Endwert aber aus dem Barwerte (100 A)
vermehrt um den Diskont (Zinsen des Barwertes) besteht.
1. Nach 1 Jahre soll jemand 4690 Li bezahlen; er bezahlt sogleich mit
5A Diskont; wieviel beträgt a) der Diskont, b) die Barzahlung?
2. Wieviel beträgt der Diskont und wieviel die Barzahlung für eine
nach Jahresfrist füllige Summe:
a) von 2088 Li zu 4 A l 6) von 1672 Li zu 4§ B ;
°) „ 2933 Li „ 4b B; ä) „ 2520 Li „ 5> ?
3. Ein Schuldbetrag von 2550 Li, der nach 7-( Monaten zahlbar ist,
wird gegen 5 A jährlichen Diskont bar bezahlt; wie groß ist
a) der Abzug, b) die Barzahlung?
4. soll an L nach 5 Jahren 1245 14 bezahlen; wieviel hätte er bei
5; A Diskont nach 2 Jahren zu zahlen?
5. Jemand leiht 3700 Li zu 6 A aus, zieht aber die jährlichen Zinsen
sogleich ab; um wieviel ist dabei der Schuldner, der die Zinsen erst
nach Ablauf des Jahres zu zahlen hätte, im Nachteil?
6. Jemand erbt 4850 Li, die aber erst nach 5 Jahren ausgezahlt werden
sollen; man will ihm auf seinen Wunsch gegen 6Z A Diskont das Geld
gleich auszahlen. Wieviel beträgt die Erbschaft in barer Summe?
7. Für eine nach 2^ Jahren fällige Schuld erhielt jemand bar
4960 Li; wie groß war die Schuld, wenn 5 A Diskont für das Jahr
gerechnet werden?
1°/o^ 49-60 ic für 1 Jahr
S°/„ - 248-— u „ 1_
5"/, 496' — L für 2 Jahre
5 °/„ 12,U „ j Jah r
5 °/o 620'— U für 2z Jahre
Barzahlung 4960 I<
Zins für 2 z Jahre 620 U
Schuldkapital 8580 L.
8. Wie groß waren nach Jahresfrist zahlbare Schuldsummen, wenn für
die eine bei 4Z A Diskont 1254 Li, für die andere bei 5^ Diskont
1688 Li bar bezahlt wurden?
9. Ein nach 7 Monaten fälliges Kapital wird bei 6 Diskont mit 3560 Li
bar ausgezahlt; wie groß ist das Kapital?
10. Eine nach 1g Jahren fällige Schuld wird bei 6^ jährlichem Diskont
bar bezahlt; wie groß ist a) die Barzahlung, d) die Schuldsumme,
wenn der Diskont 404 Li beträgt?
11. Jemand ist nach einer gewissen Zeit 5355 Li schuldig; er bezahlt bei
6 A jährlichem Diskont bar 5250 Li; nach welcher Zeit hätte er¬
zählen müssen?
141
1 --- 52-50 L für 1 Jahr 5355 L
S°/, ^315-—L „ 1 „ — 5250 ic
105 L
105 L : 315 L 0'3 - z x z Jahr.
12. Statt der später zahlbaren Summe von 370414 werden bar 3424 14
gezahlt; nach welcher Zeit war die Summe fällig, wenn der Diskont
mit 5^ A jährlich gerechnet wurde?
13. Jemand, der nach einer gewissen Zeit 426014 schuldig ist, bezahlt
bar- mit 5 A Diskont; nach wievielen Jahren hätte er zahlen sollen,
wenn der Diskont 71014 beträgt?
14. Auf welche Zeit wurde diskontiert, wenn statt 11466 T bei 4^ A Diskont
936014 bar bezahlt wurden?
15. Ein Kapital von 8556'4514 wird bei 5A Diskont mit 814914
bar bezahlt; nach welcher Zeit war das Kapital fällig?
16. Eine Schuld wird mit 1088 L bar bezahlt; der 5^-ige Diskont
beträgt 122'414. a) Wie groß war die Schuld? d) Nach welcher
Zeit war sie unverzinslich zahlbar?
17. Von einer nach 1.^ Jahren fälligen Schuldsumme von 654 14 werden
bei barer Bezahlung 5414 nachgelassen; wieviel A beträgt der jährliche
Diskont? (Wie groß ist die Barzahlung?)
1 °/o-. 6-— L in 1 Jahr 54 L : S X --- 6
„ 3-k „ z ,
v'- Iv
18. Jemand bezahlte für ein Kapital, das nach 4 Jahren zahlbar war,
320014 bar; der Diskont betrug 576 14; wieviel B jährlich find
gerechnet worden?
19. -4 bietet für ein Haus entweder 2523014 bar oder 2635514 nach
9 Monaten zahlbar; wenn nun der Verkäufer das Geld zu 5 A
ausleihen kann, welches Anbot ist für ihn vorteilhafter?
20. Für ein Landhaus bietet ein Käufer 22000 14 bar, ein zweiter
2300014, zahlbar nach 1 Jahr; welches Anbot ist günstiger und
um wieviel? (4 A Diskont). (Vgl. den Barwert des zweiten Anbotes
mit dem ersten Anbote!)
21. Auf einen Grundbesitz bietet 600014 bar und 400014 nach 2 Jahren,
L 400014 bar und 600014 nach 1 Jahre; welches Anbot ist vorteilhafter?
(6 A Diskont.)
d) Der kaufmännische Diskont.
Die Großhändler gewähren den Kaufleuten beim Bezüge von
Waren die Begünstigung, den Kaufpreis einige Zeit später bezahlen zu
dürfen. Wenn jedoch der Kaufmann die Ware sogleich bezahlt, dann
gewährt der Großhändler einen nach Prozenten bestimmten Abzug, den
kaufmännischen Diskont (Skonto). Dieser wird nach Art der
gewöhnlichen Zinsrechnung bestimmt, wobei der Preis der Ware mit
100 B in Rechnung gezogen wird; z. B.:
142
22. Wieviel sind 850 L, die nach 2 Monaten bezahlt werden sollen, bei
6A k. Diskont setzt wert?
1A für 1 Jahr 8'50 Li
6 „1 „ — 8'50 Li X 6
8 50 L 6
6 „ 2 Monaten - -- — 8'50 Li
n
Warenpreis. 850 Li
Diskon t . 8 Li 50 ü
Barzahlung. 841 Li 50 b.
23. Welchen gegenwärtigen Wert haben
a) 790 Li, zahlbar nach 4 Monaten, bei 4^ Diskont; >
^)1178L.2Z „ „ 4L „ ; (k. D.)
o) 1048 Li, „ „ 3z „ „ 5z^ „ ?'
24. Welches Kapital wächst bei Verzinsung in drei Jahren zu
1780 Li an? (k. D.)
25. Ein Geldbetrag von 5532 Li ist am 31. Mai fällig; wieviel erhält
man dafür am 25. April bei 4A Diskont? (k. D.)
VI. Teilungs- und Durchschnittsrechnungen.
1. Einfache Teilungsrechnung.
Die Teilung einer Zahl in gleiche Teile ist eine Division; es
kommen aber auch Teilungen in ungleiche Teile nach bestimmten
Bedingungen vor. Z. B.:
4 und L kaufen ein Los, wozu 4 30 L, O 20 17 gibt. Das Los
bringt einen Gewinn von 400 L. Wieviel erhält jeder davon?
4. und L werden den Gewinn im Verhältnisse ihrer Einlagen teilen, also
im Verhältnisse von 30:20 oder 3:2, das heißt 4. erhält 3 Teile, U 2 Teile.
Um diese Teilung vorzunehmen, muß man zunächst den Gewinn
in 3 -s- 2 — 5 Teile zerlegen. 1 des Gewinnes beträgt 80 Li. 4 erhält
3 solcher Anteile — 240 Li, L 2 Anteile — 160 Li.
Probe: 240 Li 160 L — 400 Li
Schriftliche Ausführung:
4 30 Li 3 3mal 80 L 240 Li
U 20 L 2_2mal 80 L — 160 Li_
5 Teile Probe 400 Li 400 Li: 5 — 80 Li
Die Rechnung, durch die eine Zahl nach einem bestimmten Ver¬
hältnisse in mehrere Teile geteilt wird, heißt Teilungs- oder Gesell¬
schaftsrechnung.
Für die rasche Ausführung ergeben sich folgende Regeln:
1. Man bringt die Verhältniszahlen auf die einfachste Form.
2. Man dividiere die zu teilende Zahl durch die Summe der
Verhältniszahlen (Teile) und bestimme so einen Teil. 3. Man multipliziere
den gefundenen Wert eines Teiles mit jeder Verhältniszahl.
148
1. * ft und O teilen IW X so, daß ft so oft 6 L als U 8 14 bekommt;
wieviel erhält jeder?
2. * 120 14 sollen unter 3 Personen so geteilt werden, daß ft so oft
3 Li und U so ost 4 Li erhält als 0 5 14; wieviel erhält jede
Person?
3. * Teile nach dem Verhältnisse 3 : ft die Werte: »> 24, ist 02, v) 66,
ch 128, ch 30 ß L-/I
4. * Teile IftO L nach den Verhältnissen 2 : 3, 1:4, 1 : ft; ebenso
1950 N (Lr) . . . nach 2 : 3, 3 : 7, 1 : 9, 7 : 8.
3.* Zu einem gemeinschaftlichen Geschäftsfonde gibt ft 1, 0 und 6
den Rest; sie gewinnen zusammen 840 14; wieviel erhält jeder?
6. 45 Holz werden um 202 s, X versteigert; davon nimmt ft 12 »r^,
L 15 0 den Rest. Wieviel mnß jeder zahlen?
7. 2 Arbeiter erhalten für eine Arbeit 20 Li; wieviel erhält jeder,
wenn der erste 3 Tage und der zweite 5 Tage gearbeitet hat?
8. 3 Personen treten zu einem Handlungsgeschäfte zusammen, und zwar
gibt ft. 1800 14, U 2700 Li, 0 4500 14 zu dem gemeinschaftlichen
Fonde her; wenn nun bei dem Geschäfte 157014 gewonnen werden,
welchen Anteil an dem Gewinne wird jeder haben?
Hier ist der Gewinn den Einlagen 1800, 2700, 4500 oder, wenn man
durch 900 abkürzt, den Zahlen 2, 3, 5 proportional zu teilen.
Die Anteile vom Gewinne verhalten sich wie
18:27:45 — d. h. ft erhält 2 solche Teile wie L 3 und 0 5 solche
— 2: 3: 5 Teile erhält; aus dem ganzen Gewinne von 1570 R werden
io a-m» 10 gleiche Teile gemacht.
Man hat also:
18LW 2 157K X2 — 3141^ gewinnt
L 27M ,3 157 lil X 3 -- 471L „ N
0 4SW 5 157Iil X5 ^785I< „ 0
1570 X : 10 — 157 l< 1570 I< ganzer Gewinn.
9. 3 Personen legen zu einem Unternehmen 12500 Li zusammen und
zwar ft. 4300 Li, U 3800 L, 0 den Rest; wenn sie nun dabei 3000 Li
gewinnen, wieviel gebührt davon einem jeden?
10. Jemand ist an ft- 1000 L, an L 1400 L , an 0 800 L, an v 600 L
schuldig; er hat aber nur 3420 Li Vermögen. Wieviel erhalten die
Gläubiger nach dem Verhältnis ihrer Forderung?
11. Ein Kaufmann erhält drei verschiedene Waren, die einzeln 385 L,
560 L und 625 14 kosten; wenn nun die Wertspesen für alle drei
Waren 70 Li 65 ü betragen, wieviel entfällt davon auf jede Ware?
12. Drei Kaufleute unternehmen ein Geschäft mit einem Stammkapitale
von 8190 Li; nach Verhältnis der Einlagen gewinnt dabei ft. 36014,
L 40514, und 0 495 Li. Welches war die Einlage eines jeden?
13. * Ein Geschäft, zu dem ft. 800 Li und L 1000 14 beisteuerte, trug
in 1 Jahre 450 Li Reingewinn; wie ist dieser zu verteilen?
144
14. Ein Haus ist bei zwei Gesellschaften gegen Feuerschaden mit 16 400 L
und 16000 L versichert; wieviel hat jede Gesellschaft von der Scha¬
densumme in der Höhe von 10368 L zu tragen?
15. Zum Ankäufe eines Loses der Armenlotterie geben 4 Personen der
der Reihe nach 10, 20, 30 und 40 L; das Los wurde mit einem
Treffer von 1000 L gezogen; wie wurde die Summe geteilt?
16. 4 Landwirte haben in eine landwirtschaftliche Genossenschaft 450 Li,
580 Li, 625 Li und 375 Li eingezahlt und erhalten zusammen
einen Gewinnanteil von 121 Li 80 L; wieviel gebührt jedem?
Zu wieviel A verzinst sich jede Einlage?
17. Es sollen 504 Li in drei den Zahlen st st proportionale Teile
geteilt werden.
tin ganzen Zahlen dargestellt:
3 :4: 5; jedes Glied ist jetzt 12mal so groß.
l^Teile -- 50414.
1 Teil -- 4214.
Hier bringt man die Berhältnisbrüche auf einen gemeinschaftlichen Nenner
und behält die neuen Zähler als Verhältnisznhlen bei; denn zwischen Brüchen,
die gleiche Nenner haben, findet dasselbe Verhältnis statt wie zwischen ihren
Zählern.
12
3 42 14 X 3 -- 12614
z i4 42 14 X 4 -- 16814
S 4214 X 5 -- 21014
504 14:12--42 14 50414
18. 4 Knaben sollen 120 Äpfel untereinander so verteilen, daß st L st
Off und I) den Rest von der Anzahl der Äpfel erhält; wieviel
Äpfel erhält jeder der vier Knaben?
19. An einem Schiffe hat ^st L st und 0^ Anteil; wenn nun dieses
1854 L Fracht verdient, wieviel gebührt davon einem jeden?
20. In 100 Teilen der atmosphärischen Luft sind 79 Teile Stickstoff und
21 Teile Sauerstoff; wieviel mst und von jedem dieser Grund¬
stoffe enthält die Luft eines Schulzimmers von 246 Rauminhalt?
21. Zu weißem Glase nimmt man 24 Teile Kiessand, 5 Teile Pottasche
und 1 Teil Kreide; wieviel braucht man von jedem dieser Bestandteile
zu einer Masse von 105 L^?
24 Teile Kiessand
5 „ Pottasche
1 Teil Kreide
30 Teile — 105 LA Glas
1 Teil — 3'5
22. Zu feinem roten Siegellack braucht mau 4 Teile Terpentin, 1 Teil
Kreide, 6 Teile Zinnober und 6 Teile Schellack; wieviel von jedem
dieser Bestandteile muß man zu 51 Siegellack nehmen?
145
28. Im Sprengpulver verhalten sich die Massen von Salpeter, Kohle
und Schwefel wie die Zahlen 1, ff,; wieviel von diesen Stoffen
ist zu 903 /.A Sprengpulver nötig?
24. Das Messing besteht aus 70 Teilen Kupfer und 30 Teilen Zink; wieviel
/r- von jedem dieser Bestandteile sind zu 37'5 /e- Messing nötig?
25. Zur Bereitung eines guten Baumwachses nimmt man auf Z /c-
weißes Harz, 74 - Weingeist und 10- Leinöl; wieviel von diesen
Bestandteilen braucht man zu 292 ckL- Vaumwachs?
26. Zeichne ein Rechteck, dessen Umfang 2 ckm beträgt und dessen Seiten
sich wie 2 : 3 verhalten!
27. Zeichne ein Dreieck, dessen Umfang 18 om beträgt, während sich die
Seiten wie 5:4:3 verhalten!
2. Zusammengesetzte Teilungsrechnung.
Manchmal ist die Gewinnverteilung bei einem gesellschaftlichen Unter¬
nehmen nicht allein von der Größe der Einlage, sondern auch von deren
Dauer abhängig. Dann hat man es mit der zusammengesetzten
Teilungsrechnung zu tun.
1. 3 Kaufleute find miteinander in Gesellschaft getreten und haben
zusammen 1150 Ui gewonnen. Wenn nun 2000 Ui durch 8 Monate,
L 4000 Ui durch 6 Monate und 0 8000 Ui durch 5 Monate in dem
Gesellschaftsfonds liegen ließ, wieviel
von ihnen erhalten?
L 2000 X durch 8 Monate — 1WM
S 4000 L „ 6 „ 24MS
0 8000 L „ 5 „ -- ^OMS
1150 L :
von dem Gewinne wird jeder
2 115LX2- 230 L
8 115 L X 3 -- 346 L
5 115 L X 5 575 L
10 -- 115 L 1150 L
Erklärung. widmet dem Geschäfte 2000 L durch 8 Monate. Er
wird von 2000 L in 8 Monaten ebensoviel Zinsen bekommen, als von 8mal
2000 L zu demselben Zinsfüße in einem Monate. Ähnlich ist es bei R und 6.
Wir können also sagen:
2000 L geben in 8 Monaten gerade so viel Zinsen wie 2000 L X 8 in 1 Monate
8 4000 L „ „6 „ „ „ „ „ „ 4000 L X 6 „ 1 „
0 8000L „ „5 „ „ „ „ „ „ 8000LXS „ l .,
Da jetzt bezüglich der Zeit, die überall 1 Monat beträgt, Gleichheit herrscht,
so sind die Gewinstanteile bloß von den Einlagen 2000 L . 8 usw. abhängig.
Wir haben also die zusammengesetzte Teilungsrechnung aus eine einfache gebracht,
die wir auf die bekannte
2000 . 8 -- 16000
4000 . S -- 24000
8000 . 5 ---- 40000
Art auflöseu.
16 2
24 3
40 5
erhalt 115 L X 2 — 230 L
v „ 115 XX 3 - 845 L
0 „ 115LX6-- 575 L
1150 L: 10 -- 115 L
1150 L
Bei der zusammengesetzten Teiluirgsrechnung muß
man im allgemeinen die auf denselben Teil sich beziehenden
Berhültniszahlen miteinander multiplizieren und die Produkte als
M a a n i k - H nl b n e baue r. Kirchenbuch s. Ünabcn-Bnrgetsch. Einteilige Ausgabe. 1g
146
Verhältniszahlen einer einfachen Teilregel betrachten, nach der dann
die weitere Rechnung erfolgt.
2. 3 Personen handeln auf gemeinschaftlichen Gewinn. legt ein
3000 Li auf 1 Jahr, L 2400 Li auf 6 Monate, 0 2000 Li auf
8 Monate; sie gewinnen 962 Li 80 lr; wieviel erhält jeder davon?
3. 3 Kapitalien waren zu demselben Zinsfuß nusgeliehen, und zwar
4000 lv durch 6 Mouate, 3600 L durch 3 Monate und 2800 L
durch 9 Mouate; wieviel Zins trug jedes der 3 Kapitalien, wenn
alle zusammen 252 Li Zins brachten?
4. Zu einem Geschäfte, das ein Grundkapital von 18000 L forderte,
gab Z auf 10 Monate, L sf auf 8 Monate, 0 den Rest auf 6 Mouate;
der Rechnungsabschluß zeigte einen Gewinn von 1258 X; wie mußte
dieser verteilt werden?
5. beginnt am Anfang des Jahres ein Handelsgeschäft mit einem
Fonde von 8000 Li; nach 3 Monaten tritt L mit 4000 L. und noch
2 Monate später 0 mit 5000 L dazu; beim Jahresschlüsse ergibt
sich ein Gewinn von 1250 Li; wieviel erhält jeder davon?
6. 3 Mühlen haben 254'8^ Roggen gemahlen, und zwar die Mühle
mit 5 Mahlgängen durch 16 Stunden, L mit 4 Mahlgängen durch
18 Stunden und 0 mit 2 Mahlgängen durch 15 Stunden; wieviel
Ä hat jede der 3 Mühlen gemahlen?
7. Es sollen in möglichst kurzer Zeit 196^^ Roggen auf 4 Mühlen
gemahlen werden, von denen ä. in 4 Stunden 15 /r/, 6 in 3 Stunden
16 kch 0 in 5 Stunden 14 /r/, I) irr 2 Stunden 9 7^7 mahlt, wieviel ///
sind jeder dieser Mühlen zuznteilen, damit sie gleichzeitig fertig werden?
Hier ist zunächst zu bestimmen, wieviel /?/ jede Mühle in 1 Stunde mahlt.
8. Jemand mischt 16 Spiritus von 80 Grad und 4 i von 70 Grad;
welchen Gehalt hat die Mischung?
Spiritus von 80 Grad enthält unter 100 Rnumteileu 80 Teile Weingeist (Alkohol)
und 20 Teile Wasser.
9. Zu 6 LZ Spiritus L 62 Grad gießt man ! j LZ Wasser (u 0 Grads zu;
auf wieviel Grad wird dadurch der Spiritus verdünnt?
10. Auf einem Wochenmarkte werden 42 LZ Gerste L 8'70 Li, 37 LZa 9'2 Li,
25 LZ ä 8'28 Li und 36 LZ a 8'72 Li verkauft; wie groß ist der
Mittelpreis für das LZ?
l l.* Ein LZ Wein ä 60 b für das Z war gemischt aus 60 Z ä 65 ü und
einer geringeren Sorte; welchen Wert hatte 1 Z der zweiten Sorte?
3. Mischungsrechnnng.
Ein Weiuhändler will Wein zu 40 Li das LZ haben, er hat aber
nur Wein zu 32 Li und zu 60 Li; in welchem Verhältnisse muß er
diese beiden Sorten mischen, damit 1 LZ der Mischung gerade den Preis
von 40 Li erhalte?
l47
Würde der Händler zu gleichen Teilen mischen, so würde er an
jeden: /?/ der besseren Sorte 20 kl verlieren, dagegen an jedem /// der
schlechteren Sorte nur 8 K gewinnen. Dabei käme er zu Schaden.
Soll er keinen Nachteil haben, so muß sich Gewinn und Verlust aus¬
gleichen.
Beim Zugießen der besseren Sorte steigert sich der Verlust bei jedem///
um 20 kl und beträgt nacheinander 20 14, 40 kl, 60 kl, 80 X, 100 kl. . .
Beim Zugießen der schlechteren Sorte steigert sich der Gewinn bei jedem /?/
um 8 kl rind betrügt nacheinander 8 Kl, 16 14, 24 14, 32 kl, 40 14, 48 14,
36 14, 64 kl, 72 kl, 80 kl, 88 14 . . .
Suchet nun, bei wieviel /// einerseits und anderseits der Verlust
dem Gewinne gleichkommt!
Antwort: Bei 4 /r/ der besseren Sorte beträgt der Verlust 8014,
bei 10 7r/ der schlechteren Sorte beträgt der Gewinn ebenfalls 80 kl.
Der Händler wird daher den guten Wein mit dem schlechten im
Verhältnisse 4 : 10 oder (weil sich das Verhältnis kürzen läßt) im
Verhältnisse 2 : 5 mischen.
Schriftliche Darstellung:
40 Kl
20 kl Verlust X 4
kl Gewinn X 10
80 Kl Verlust
4^4
10 ///
80 14 Gewinn
40 kl Verlust
2H
5
40 kl Gewinn
Um in der Folge die Zahl des gleichen Gewinnes und Verlustes
(hier 80 kl) sofort zu finden, beachte man, daß sie dem Produkte der
Preisunterschiede gleich ist. Daraus ist auch ersichtlich, daß das
Verhältnis der Mischungszahlen (4 ///: 10 /?/) die Umkehrung des Ver¬
hältnisses der Preisunterschiede (20 kl : 8 kl) darstellt. — Für die rasche
Ausführung der Mischungsrechnuugen ergibt sich folgendes Verfahren:
1. Man schreibe die Werte der zu mischenden Stoffe untereinander
und links davon in die Mitte den gewünschten Wert der Mischung.
2. Man bestimme die Preisunterschiede und vertausche ihre Plätze
neben den Wertangaben.
3. Alan kürze das durch die gefundenen Zahlen gegebene Verhältnis ab.
Die vorhin gelöste Aufgabe läßt sich demnach kurz so darstellen:
60 8 ! 2
40
32 ! 20 5
Machet die Probe mittels der Durchschnittsrechnung!
2 L/ ä 60 kl --- 120 kl
und 5> /?/ ä 32 kl — 160 k
7 /r/ — 280 k
I /// der Mischling 280 kl : 7 — 40 k.
148
1. * Ein Kaufmann hat zwei Sorten Reis, das /c- zu 56 ü und zu 70 ü;
er will aus beiden eine dritte Sorte mischen, von der das LA 64 6 kosten
soll; in welchem Verhältnisse muß er die beiden Sorten mischen?
2. * In welchem Verhältnisse mischt man aus Mehl zu 18 ü und 30 6
für das LA eine Sorte zu 25 ü?
3. * Wieviel Z Wein a 72 ü und wieviel a 1 l4 12 ü muß man mischen,
um 100 Z a 88 ü zu erhalten?
4. Ein Weinwirt will zweierlei Weine, wovon der erste 32 14, der zweite
56 Li das LZ kostet, so mischen, daß er 24 LZ ä 46 14 erhält; wieviel
von jeder Gattung wird er zu der Mischung nehmen müssen?
Diese Aufgabe enthält zwei Teile; der erste Teil bildet eine Mischungsrechnung
(Alligationsrechuung), nämlich: in welchen: Verhältnisse muß man zweierlei
Weine zu Z2 X und 56 X mischen, um einen Wein zu 46 X zu erhalten?
32 10 5 Man muß also die Weine zu 32 X und 56 X in dem
46 Verhältnisse 5 : 7 mischen.
56 14 7
Der zweite Teil der Aufgabe ist eine Teilungsrechnung, die so lautet:
Um einen Wein zu 46 X zu erhalten, muß man die Weine zu 32 X und 56 X in
dem Verhältnisse 5 : 7 miteinander mischen; wieviel von jeder dieser Gattungen wird
man nehmen müssen, um 24 LZ L 46 X zu erhalten?
5 2 LZ X 5 --- 10 LZ zu 32 X
7 2 LZ X 7 -- 14 LZ zu 56 X
24 : 12 --- 2
Um sich von der Richtigkeit des Resultates zu überzeugen, wendet man die Durch¬
schnittsrechnung an; mau kehrt nämlich die Aufgabe um und sagt: Wenn man 10 LZ
Wein zu 32 X und 14 LZ Wein zu 56 X mischt, wieviel wird 1 LZ von der Mischung kosten?
Man hat 10 LZ L 32 X --- 320 X
14 LZ
24 LZ der Mischung 1104 X,
also 1 LZ der Mischung 1104 X : 24 --- 46 X.
5. Ein Getreidehändler hat zweierlei Weizen; von der besseren Sorte
kostet das LZ 13 14 20 ü, von der schlechteren 12 kl 40 Ir; er will
nun 42 LZ so mischen, daß er jedes LZ um 12 74 72 ü verkaufen kann;
wieviel muß er von jeder Sorte nehmen?
<1. Ein Getreidehändler hat Roggen zu 1014 40 d und 1014 per LZ; wieviel
muß er von jeder Sorte nehmen, um 72 LZ u 10 14 10 ü zu erhalten?
7. Zwei Sorten Mehl, das Z.A a 18 d und a 26 ü, will man so mischen,
daß das L- 20 ü wert sei; wieviel von jeder Sorte muß man zu
4^A der Mischung nehmen?
8. 100 m Zeug von 2 Sorten wurden für 39 14 gekauft, wieviel
jeder Sorte waren es, wem: das der ersten Sorte 45 ü und das
der zweiten 30 ü kostet?
9. 2 Gattungen Kaffee, zu 3'36 14 und 2'96 14 das LA a 3'20 14 erhält; wieviel von
jeder Gattung muß dazu genommen werden?
149
10. Jemand mischt 2 Sorten Reis, das LA zu 56 L und zu 80 ü, so, daß
1 LA der Mischung 64 b wert wird; wieviel Lp von der besseren Sorte
nimmt er, wenn von der geringeren Sorte 25 LA genommen werden?
11. 350 / Wein ä 48 ü sind aus 2 Gattungen Wein a 36 ü und
a 56 ü gemischt; wieviel / jeder Gattung enthält die Mischung?
12. Wieviel / Wein ä 32 ü muß mail zu 27 / ä 48 ü zumischen, damit
1 / der Mischung 44 ü kostet?
13. Mische Wasser von 10" 0 und von 100° 0, um Wasser vou 30° 0
zu erhalten; welches ist das Mischungsverhältnis?
14. Aus Wasser von 12° 0 und von 67° 0 soll ein Bad von 37° 0
bereitet werden; a) in welchem Verhältnisse ist zu mischen; b) wie¬
viel kalten Wassers braucht man zu 150 warmen und o) wieviel i
warmen zu E kalten Wassers?
15. Jemand will Spiritus zu 90° und zu 56° zusammengießen, um
714 / zu 70° zu erhalten; wieviel i muß er von jeder Sorte nehmen?
16. Ein Essighändler will 144 i Essig ä 20 b, weil dieser zu scharf ist,
mit Wasser verdünnen; wieviel / Wasser mich er dazu nehmen,
damit 1 / der Mischung 18 ü wert sei?
VIL. Vermischte Wiederholungsausgaben.
1. * Wieviel kosten 9, 15, 20, 31 a a) 80 ü, d) 52 ü, o) 2 Li 48 b,
äj 3 Li 96 L?
2. * Für 36 Le/ bezahlt man 23 Li 4 b; wie teuer sind demnach 18,
12, 9, 6, 4, 3, 2 LA?
3. 36 LA kosten 42 Li; wieviel kosten 12 LA?
4. * 30 m kosten 162 Li; wieviel kosten 65 m?
5. * 100 Lp kosten 72 Li; wieviel kosten 26 LA?
6. * 1 L7 kostet 72 Li; wieviel kosten 49 /?
7. * Ein Weinhändler kauft das L7 Wein um 47 Li 44 b und will
8 Li 56 L daran gewinnen; wie teuer muß er das verkaufen?
8. * Der Kaffee stieg um 5^ im Preise; wenn nun früher das Lp
360 ü kostete, wieviel wird es jetzt kosten?
9. Ein Tuchhändler kauft Tuch, jt 4Z m für 23§ L; er verkauft es
wieder, das m ä 6 Li; wieviel m waren es, wenn er beim Verkaufe
267 Li gewonnen hat?
10. * Von einer Ware, die 320 L// wog, wurde ein Teil verkauft und es
blieben noch 50 LA mehr übrig, als verkauft wurden; wieviel ///
wurden verkauft?
11. Ein Kaufmann verkauft 1 />A Kaffee zu 3 L 22 ü und gewinnt
dabei 15 A; wieviel L,A muß er verkaufen, um daran 203 Li 70 ü
zu gewinnen?
12. Ein Kaufmann blieb die Zahlung einer Ware durch 3 Monate
schuldig und mußte dann samt den Verzugszinsen zu 6^ 1065 L
75 b zahlen; wieviel betrugen die Verzugszinsen?
150
13. Im Durchschnitt wiegt I Z/-! Weizen 76 7//, 1 7/ Roggen 72 7// und
t 77 Gerste 64 7//. Wenn nun nach dem Marktpreise 100 7// Weizen
17 Li 60 6, 100 7// Roggen 14 14 40 6 und 100 7// Gerste 14 Li
80 L kosten, wie hoch kommt dann 1 7/ von jeder dieser Getreide¬
arten ?
14. * Ein Hausmann hat 2 Sorten Spiritus, zu 60^ und zu 80L; iu
ivelchem Verhältnisse muß er die beiden Sorten mischen, um eine
Mittelgattuug von 75-^ zu erhalten?
15. Jemand hat 60 7// einer Ware ä 1 Li 20 L und 80 7// a 1 Li 10 6;
er setzte noch 100 7// einer dritten Sorte dazu rind nun kostet 1 7//
der Mischung 1 Li-, wieviel kostet das 7// der letzten Sorte?
16. Ein Tuchhäudler kauft ein Stück Tuch, das 36 m enthält, für
1.53 Li; er verkauft davon 8ö m 4 5>Z Li, 6 m ä 5,'s, L und 9/ ///,
ä 5) X. Wie teuer muß er ein m des Restes verkaufe):, nm au
dem ganzen Stücke 31 Li 90 L zu gewinnen?
17. Zu 15 7// einer Ware a 72 6 sollen soviel 7// einer Sorte 4 90 ü
zugesetzt werden, daß 1/«/ für 80 L verkauft werden kann; wieviel
/st/ der besseren Sorte sind zuzusetzen?
18. * Von einer Ware wurden ß und verkauft; der Rest betrug 28 7//;
wieviel 7// waren anfangs vorrätig?
19. Ein Kaufmann hat 3 Sorten Kaffee, das 7// zu 4 Li, zu 3 Li 50 6
und zu 3 Li 40 L; er will eine Mischung Herstellen, daß er 1 7//
für 3 L 70 L verkaufen kann, und nimmt zu dem Zwecke 10 7// der
ersten und 6 7// der zweiten Sorte; wieviel 7//der dritten Sorte muß
er hinznmischen?
20. Was ist billiger: 147H m Kleiderstoff um 236 Li oder 115> nr 5 om
um 230 L 10 L?
21. 256 7// Datteln werden nur 440 Li 32 6 gekauft und das 7// wird
um 1 Li 5>7 L verkauft; wieviel B beträgt der Gewinn oder Verlust?
22. Von 1120 m Kattun, die um 549 L gekauft wurden, werden / um
58 ü, s; um 62 6 und der Rest zu je 56 ü das -m verkauft; wie¬
viel wurden gewonnen?
23. Zu einem Geschäfte gibt 12000 Li und nach 4 Monaten uvch
8000 Li, L gibt 20000 Li, zieht aber nach Jahre 5000 L zurück;
wieviel erhält jeder vom Gewinne, der 2319'9 Li beträgt?
24. Die Preise zweier Waren verhalten sich wie 5ß:3;f; wenn nun 1.7//
der ersten Ware 84 ü kostet, wieviel 7// der zweiten Ware bekommt
mau um 28 Li 28 L?
25. Wieviel nimmt ein Bienenzüchter für 10^ 7// Honig ein, wenn 1 7//
mit 1'8 Li bezahlt wird?
26. Wieviel bezahlt ein Schuhmacher für 408 7// Sohlenleder, wenn 50 7//
mit 152'4 Li berechnet werden?
27. Für 5)^ 7// Schafwolle nimmt ein Bauer 36 L ein; wie hoch wurde
I 7:// bezahlt?
151
28. Für 7200 Mann reicht ein gewisser Vorrat 15 Monate lang; wie
lange wird er nusreichen, wenn der Mannschaft entlassen wird?
29. Ein Vorrat von Lebensmitteln reicht für 300 Personen, wenn fede
täglich 1s. kA erhält, 50 Tage; nach 14 Tagen kommen noch 150
Personen hinzu; wieviel /// kann jede täglich erhalten, wenn der
Rest des Vorrates noch 40 Tage ausreichen soll?
30. Jemand hat ein jährliches Einkommen von 2250 14 und gibt für
die Wohnung 360 14 aus; wieviel des Einkommens beträgt
diese Auslage?
31. * hat doppelt so viel Geld als 11, er tritt an 11 40 14 ab rind
dann haben beide gleich viel; wieviel hatte jeder?
32. * 3 Personen sollen 700 Li so teilen, daß L 36 14 mehr erhält als
0 und 4. 28 14 mehr als L; wieviel erhält jeder?
33. 4 und H teilen 527 14 so untereinander, daß sich ihre Anteile wie
verhalten; wieviel erhält jeder?
34. 4 Personen sollen 4873'5 14 so teilen, daß 4 so oft 3 14 als 11
4 14, 0 so oft 4 14 und 11 so oft 5 14 als 11 3 14 bekommt; wie¬
viel 14 erhält jeder?
35. Bei Auflösung eines Geschäftes, zu dem 3200 14 eingezahlt worden
waren, erhält 4 1080 14, 11 1240 14, 0 1680 14, Wieviel hatte
jeder eingelegt und wieviel wurden gewonnen?
36. 6 Personen kaufen ein Grundstück von 1860 cr; 4 gibt dazu 108,
6 243, 0 288, 1) 189, L 300 und § 360 14; wieviel a erhält jeder
auf seinen Anteil?
37. Von 357 14 Kapital bekommt jemand 21 14 42 ü jährliche Interessen;
wieviel von 100 14 Kapital?
38. Wieviel Zinsen erhält man
a) von 3087 14 in 8 Monaten 19 Tagen zu 6A?
b) von 11.080 14 in 23 Tagen zu 5s A?
39. Wieviel Zinsen geben: L) 4007 14 zu 4s vom 1. Juli bis 23.
November? b> 6050 14 zu 7-L vom 20. April bis 15. Juli?
40. In welcher Zeit geben: a) 1816 Li Kapital zu 4 s A 172 14 52 b
Ziusen? b) 5160 14 Kapital zu 5A, 322'5 14 Zinsen?
44. Zu wieviel L tragen: a) 3075 14 Kapital in 9 Monaten 92 14
25 ü Zinsen? b) 10818 14 Kapital in 2! Jahren 1189 14 98 1»
Zinsen?
42. Mit 1520 14 Kapital gewinnt man 76 14; wieviel sind dies?
43. * Welches Kapital bringt an Zinsen: a) in 3 Jahren zu 5 34' 14 ?
b) in 2s Jahren zu 6^ 6 14 75 ü?
44. Ein Kapital, dessen eine Hälfte zu5A, die andere zu 4.,^ angelegt
ist, trägt jährlich 228 14 Zinsen; wie groß ist das Kapital?
45. Ein Schuldner verwendet 15^ feiner Jahreseinahme von 2920 L
zur Abzahlung einer Schuld von 1460 14; nach wieviel Jahren wird
die Schuld getilgt sein?
152
46. Jemand hat 2 Kapitalien von 2300 Li nnd 2400 L, das erste ist zu
4L ausgeliehen; wieviel A muß er von dem zweiten verlangen, wenn
er von beiden zusammen jährlich 200 Li Zinsen einnehmen will?
47. Ein Kapital von 5260 Li trug, als der Zinsfuß auf 5ös^ erhöht
wurde, 39'45iL mehr an jährlichen Zinsen; zu wieviel B mar es
früher angelegt?
48. * Wenn man eine Ware für 360 Li verkauft, so verliert man 10 A ;
wie teuer muß inan sie verkaufen, um 5A zu gewinnen?
49. Beim Verkaufe eurer Ware zu 460 Li gewiuut man 16ZB; wieviel
A gewinnt man, wenn die Ware um 427'8 Li verkauft wird?
50. 4. hat doppelt so viel Geld als L, er gewinnt von L 40 L und
hat dann 3 mal so viel als dieser; wieviel hatte jeder?
51. Ein Kaufmann zahlte für 1 rohen Kaffee 3 Li; wie terier wird
er 1 /-V gebrannten Kaffee verkaufen, wenn er 20^ gewinnen will
nnd der Kaffee beim Brennen 16 A seines Gewichtes verliert?
52. Als ein Kaufmann in Konkurs geriet, hatte von ihm 4 1600 L,
L 1350 L, 0 1200 Li und v 750 Li zu fordern; das Vermögen
des Kaufmannes betrug jedoch nur 3332 Li; a) wieviel Li erhält
jeder Gläubiger? b) wieviel A van seiner Forderung?
53. Bei 4^A jährlichem Diskont werden von einer nach 6ß Monaten
zahlbaren Schuldsumme 95 Li abgezogen; wie groß ist die Schuld¬
summe?
54. 4. leiht dem L 1800 ik und dem 0 3000 Li, 11 zahlt um A
höhere Zinsen als 0. Zu wieviel A ist jedes Kapital ausgeliehen,
wenn 4. von beiden zusammen jährlich 225 Li Zinsen erhält?
55. Zwei Kapitalien, die zusammen 3600 Li betragen, bringen jährlich
168 Li Zinsen; wie groß ist jedes Kapital, da das eine zu 5^,
das andere zu 4^ ausgeliehen ist?
56. Von zwei Kapitalien, deren Unterschied 3000 Li beträgt, ist das
erste zu 4^, das zweite zu 5ZA angelegt. Wie groß ist jedes,
wenn beide gleich viel Zins tragen?
57. Von 2400 Li zahlt jemand außer den Zinsen zu4Z^ jährlich 600 Li
zurück; wie groß sind die einzelnen Jahreszahlungen?
58. Drei zu demselben Zinsfüße ausgeliehene Kapitalien tragen zusammen
1204 L Zinsen; das erste Kapital von 12000 Li mar durch 6 Mo¬
nate, das zweite von 11200 Li durch 9 Monate und das dritte von
9680 Li durch 1 Jahr ausständig; wieviel Zins trug jedes der drei
Kapitalien?
59. Ein Sparkassebuch enthält folgende Posten:
Einlagen: Rückzahlungen:
5. Februar 90 Li 18. März 24 Li
22. April 40 Li 2. Juni 16 Li
Schließe das Sparkassebuch am 30. Juni ab, wenn die Sparkasse
die Kapitalien mit 4^ verzinst und wenn die Verzinsung an dem
153
nächsten 1. oder 16. Monatstage nach der Einzahlung des Betrages
beginnt!
60. 3 Personen teilen einen Geschüftsgeminn von 436 Li so, daß sich
der Anteil eines jeden vorangehenden Teilhabers zu dem Anteile
des nachfolgenden wie 5 : 7 verhält; wieviel erhält jeder und wie
groß war da die Einlage eines jeden, wenn der Gewinn 8A betrug?
61. * Ein Wein a 96 b für das mar gemischt aus 80^ L104b und
einer geringeren Sorte; welchen Wert hatte 1 i der zweiten Sorte?
62. Ein Wirt gewinnt an einem /rl Wein 8 L 75 b oder 28 A ; welches
ist die Verkaufssumme?
63. * 15 Ä Wein enthalten 5^ Wasser; aus wieviel Wein und wieviel
Wasser besteht die Mischung?
64. Aus einer Partie Garn sollten 20 Stück Zeug, jedes 40'8»» laug,
gefertigt werden. Als bereits 11 Stück fertig sind, wird angeordnet,
daß aus dem Reste noch 12 Stück hergestellt werden sollen; wie
lang wird nun jedes dieser Stücke werden?
65. In einer Fabrik belaufen sich die jährlichen Kosten für 250 Gas¬
flammen, die einzeln in jeder Stunde 160 Gas verzehren und
1440 Stunden brennen, auf 16000 Li; wie hoch kommt hiernach die
Gasbeleuchtung in einer andern Fabrik, in der 220 Flammen brennen,
jede stündlich 144 Gas verzehrt und die Beleuchtungszeit 1750
Stunden beträgt?
66. Zu einem Baue braucht man 36900 Stück Ziegel; wieviel Stück
muß man bestellen, wenn 7^B auf Bruch zu rechnen sind?
67. Ein Gut wirft jährlich im Durchschnitte einen Reinertrag von
4096 L ab; wie groß ist der 4^-ige Kapitalswert des Gutes?
68. 1 Pflasterung kommt auf 6^ L; wie hoch kommt die Pflasterung
eines Hofes mit 6(H ?
69. Ein Händler verkauft seines Kornes mit 8^! Gewinn für 1194 L,
den Rest mit 10 B Verlust für 492 L; s.) wie teuer hat er einge¬
kauft, b) wieviel beträgt der Gesamtgewinn, o) wieviel Getreide
besaß er, wenn der im Einkäufe 12 L kostete?
70. Meister, Geselle und Lehrjunge verdienen in 1 Woche zusammen
68 L 40 b, der Meister doppelt so viel als der Geselle und noch
3L 20 b, der Geselle doppelt soviel als der Lehrjunge und noch
3 L 20 b; wieviel verdiente jeder täglich?
71. Jemand nimmt eilten Bedienten auf und verspricht ihm 307 L
20 b Jahreslohn; nach 4 Monaten entläßt er den Diener, nachdem
er ihm schon 47 L 60 b gegeben hat; wieviel hat der Diener noch
zu bekommen?
72. Bei einem Brückenbau waren 3 Gemeinden beschäftigt; aus der
Gemeinde 4. arbeiteten 22 Mann durch 10 Tage 9 Stunden täglich,
aus der Gemeinde L 18 Mann durch 9 Tage 10 Stunden täglich,
154
NUS der Gemeinde 0 15 Mann durch 5 Tage 12 Stunden täglich;
wenn nun dafür ein Lohn von 800 Li verabfolgt wird, wieviel
wird jede einzelne Gemeinde bekommen?
73. Ein Baumeister beschäftigt 45) Maurer uud 45 Haudlauger und
zahlt täglich allen zusammen 266 Li 40 ll Lohn; wenn nun ein
Maurer so oft 10 Li erhält als ein Handlanger 5 Li, wieviel beträgt
der tägliche Lohn eines Maurers und wieviel der eines Handlangers?
74. 10 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 18 Tagen; wann wird die
Arbeit fertig, wenn nach 4 Tagen 6 Arbeiter abgehen und nach
weiteren 11 Tagen wieder 4 Arbeiter zurückkehren?
75. * Zur Deckung der Landesbedürfnisse werden auf jede Steuerkrone
24 ll umgelegt; wieviel beträgt diese Umlage?
76. Paris hat 2° 20", Berlin 13° 23" 47"', Wien 16° 23", Petersburg
30° 20" östlicher Länge von Greenwich; wie groß ist der Längen¬
unterschied je zweier dieser Städte?
77. So viel Grade ein Ort auf unserer Erde weiter gegen Osten liegt
als ein anderer, so oftmal 4 Zeitminuten früher ist daselbst Mittag.
Bestimme aus den Angaben der voranstehenden Aufgabe, wieviel
eine Uhr in Paris, Berlin, Petersburg zeigt, wenn es in Wien
Mittag ist!
78. Welchen Druck erleidet der Boden eines bis auf 0'75m Höhe mit
Wasser gefüllten prismatischen Gefäßes von 1'4 m Länge und
1'22 m Breite?
79. Welchem Drucke ist ein Taucher, dessen Oberfläche 1'3 m beträgt,
in einer Tiefe von 25 m ausgesetzt?
80. Wie groß ist der Bodendruck eines zylindrischen Gefäßes von 5'7 -7m
Durchmesser, wenn es bis zu einer Höhe von 8'8 -7m mit Wasser
gefüllt ist?
81. Ein Rechteck ist 65 m lang und 34 m breit; wie groß ist die Seite
des flächengleichen Quadrates?
82. Ein Dreieck hat 4 <7m zur Grundlinie und 4'5 <7m zur Höhe; wie
groß ist die Seite des flächengleichen Quadrates?
VIII. Gewerbliche Rechnungen.
1. Der Reingewinn eines Geschäftes betrug iu einem Jahre 5000 L;
davon wurden verwendet: auf Miete 800 Li, für die Haushaltung
monatlich 145 Li, für die Feuerung 250 Li, für Kleidung 550 Li,
sirr Verschiedenes 700 Li; der Rest wurde als Ersparnis hinterlegt.
Wieviel A des Reinertrages ist jeder dieser Posten?
2. Ein Gewerbsmann erhält Rohstoffe im Betrage von 520 Li, zahlbar
nach 6 Monaten; er trägt aber am Verfallstage nur 200 L. ab und
zahlt den Rest 4 Monate später samt 5A Verzugszinsen; wieviel
beträgt diese letzte Zahlung?
155
A. Ein Gewerbsmann hat im Laufe eines Jahres folgende Betriebs¬
auslagen: für Miete, Beheizung und Beleuchtung 800 L; für
Abnützung der Werkzeuge im Werte van 960 Li 5^ ; für Arbeits¬
löhne 1000 Li; für Steuer und Versicherung 152 Li. Wieviel A
muß der Preiszuschlag für Betriebsauslagen beim Verkaufe der
Waren sein, wenn in einem Jahre Waren im Materialwerte van
10000 Li umgesetzt werden?
4. Ein Gewerbsmann arbeitet mit einem Betriebskapital von 10000 Li;
die jährlichen Betriebsauslngen betragen 1400 L, der Material¬
verbrauch in einem Jahre ist 6000 L. Wieviel A muß er als
Preiszuschlag zum Materialwerte seiner Erzeugnisse hinzurechnen,
wenn er jahlich 1200 Li verdienen will?
5. Ein Müller kauft 65 L/ Weizen a 13 L, das L/ im Gewichte van
76 L-; er mahlt daraus 80^ Mehl im Werte von 24 Li für den
Zentner und erhält außerdem 15 L Kleie, wovon er den Zentner zu
6 Li 80 L verkauft; wieviel gewinnt er?
6. Ein Bäcker bäckt aus l '-»
in Zwischenräumen von 100 nr; wieviel erhält er dafür, wenn er
einen Stein zu 20 14 36 b, für die Beschreibung der Steine mit
fortlaufenden Zahlen 37 14 20 b und für Beförderung und Auf¬
stellung 76 14 rechnet?
88. Ein Schmied braucht zum Hufbeschlage eines Pferdes 4 Hufeifen,
3ö /.-A schwer a 36 ll für das /cq, 32 Nägel zu 16 b das Dutzend
und für 32 ll Kohlen; wie hoch kommt das Beschlagen, wenn für
die Arbeit 1 14 30 b gerechnet werden?
89. Ein Schmied hat 6 Radschuhe zu liefern; für jedes Stück braucht
er 7 L-A Radschuheifen a 60 ll, wovon durch das Schmieden /n/
verloren gehen; wieviel verdient er, wenn er für 80 b Kohlen ver¬
braucht, für Abnützung der Werkzeuge 55 ll und für ein />A eines
fertigen Radschuhes 80 ll rechnet?
46. Zu einen: Dutzend Gießkannen braucht der Spengler 60 Tafeln
Blech s, 28 b, 2Z Lq Draht a 80 b, 1 Lr/ Zinn für 3 14 28 ll, 4 /u/
Zugeifen ä 40 ll, für 36 ll Salzsäure und Lötfett und für 1 14 44 ll
Kohlen; für die Abnützung der Werkzeuge rechnet er 80 ll, für
6 Tage Arbeit ä 2 14 80 b und für Geschäftsauslagen 10 Wie
hoch kommt der Erzeugungspreis für 1 Stück?
159
41. 2 gelöschter Kalk und 3 Sand geben 4 Mörtel; wieviel
Kalk und wieviel Saud ist für ein Gebäude in Anschlag zu bringen,
das 208 Mauerwerk enthalten soll, wenn man ans 5 »?? Mauer¬
werk 1 w? Mörtel rechnet?
42. Ein Dach svll mit Zinkplatten gedeckt werden, deren jede 1'5
Fläche einnimmt, von der jedoch bei der Eindeckung für Verschnitt,
und Falze in Abrechnung zn bringen ist. Das m? Rohmaterial
kostet 5'6 Li; zu jeder Platte braucht der Dachdecker für 36 b Löt¬
zinn, für 14 b Kohle, für 12 ü Nägel und für 18 b Haftblech.
Wie hoch kommt l »K des fertigen Zinkdaches, weirn dafür an
Arbeitslohn 1'6 Li gerechnet wird?
IX. Landwirtschaftliche Rechnungen.*)
1. In 1000 /n/ Weizenkörnern sind enthalten: 20-LA Stickstoff, 7/o L.A
Phosphorsäure und 5- L// Kali; wieviel LA werden von diesen
Pflanzennährstoffen mit 20'5 A Phosphorsäure und Kali müssen jährlich der Wiese zur Er¬
zeugung des Mehrertrages zugeführt werden, wenn 100 Wiesen¬
heu 60 LA Phosphorsäure und 170 LA Kali enthalten?
12. Mit wieviel Thomasmehl und wieviel Kainit ist diese Wiese jährlich
zu düngen, wenn das Thomasmehl 16A Phosphorsäure und der
Kainit 12 B Kali enthält?
13. Welchen Reingewinn ergibt diese Düngung, wenn 1 LA Thomasmehl-
Phosphatsäure 35 b und 1 LA Kali 30 b kostet und wenn der A
Heu nach Abzug der Erntekosten einen Geldwert von 4 L hat?
14. Welchen Wert hat die aus dem Mehrertrage an Heu erzeugte Milch,
wenn 100 L// im Mittel 50 Lr/Milch liefern nnd 1/.A Milch 11b kostet?
Es ist bekannt, daß der größte Teil der im Futter enthaltenen Nährstoffe im
Dünger wieder zum Vorscheine und also dem Boden zugute kommt. Nur ein ver¬
hältnismäßig kleiner Prozentsatz wird in Milch und tierische Substanzen verwandelt.
Milchvieh scheidet vom Futtcrstickstoffc 80^ aus, von der Phosphorsäure 70tztz und
vom Kali 95tzs>
15. Ein Landwirt kauft 100 LA Chili-Salpeter zum Preise von 29 L;
um welchen Betrag ist er geschädigt, wenn statt der garantierten
15 A nur 14'1A Stickstoff im Chili-Salpeter vorhanden sind?
16. Gemahlenes rohes Knochenmehl enthält 4.^ Stickstoff und 21^
Phosphorsäure, a) Wie viel Stickstoff und Phosphorsäure ist in
287'5 LA Knochenmehl enthalten; b) Mit wieviel Knochenmehl muß
gedüngt werden, wenn dem Boden 80 L- Phosphorsäure zugeführt
werden sollen; 0) Wieviel Stickstoff wird dem Boden mit dieser
Düngung gegeben?
17. Bei der Breitsaat braucht man pro La 185 LA Roggen; bei der
Drillsaat genügen 149'85 L7« mehr wert, wenn uran den Mehrertrag
als 5A Zinsen annimmt?
23. Wie hoch kommt I 7c§ Kornbrot zn stehen, wenn 1 7/7 Korn im
Gewichte von 70 7^ 12 iki 90 ll kostet, wenn 100 Korn 80 irr/
Mehl geben, aus 2 7c^ Mehl 3 7c§ Brot gebacken und für die Feuerung
zu dem Preise 10 A dazugerechnet werden?
24. Ein Acker von 28 « 35 m? soll mit Kernobstbäumen in einer gegen¬
seitigen Entfernung von 9 m nach allen Seiten besetzt werden,
a) Wieviel Obstbänme sind erforderlich? b) Wie hoch kommt die
ganze Arbeit, wenn ein Baum 1s Li, das Ausgraben eines Baum¬
loches 35 b, das Setzen für 1 Stück 40 L rind 1 Pfahl 45 ll kostet?
25. Zu 1 - gedörrten Zwetschken sind 4s ) unseres
Klassenschrankes in e) unseres Kreidekästchens in
2. Wie groß ist der Rauminhalt eines hohlen Würfels, dessen innere
Seite 3 lang ist?
Auf der Grundfläche dieses Hohlwürfels kann man 3mal 3 ckn? ---
9 aufstellen; im Würfel lassen sich ferner 3 mal 9 Ä»? über¬
einander schichten, daher enthält der Würfel 3 . 3.3 — 27
Kürzer: Rauminhalt — (3.3.3) . z?
Weil man auf diese Weise den Rauminhalt eines Würfels oder
Kubus berechnen kann, so nennt man dieses Verfahren auch Kubieren.
Eine Zahl kubieren oder auf den Kubus erheben
heißt, die Zahl dreimal als Faktor setzen. Der Kubus einer Zahl
heißt auch die dritte Potenz derselben und wird dadurch be-
170
zeichnet, daß man der Zahl rechts oben die Ziffer 3 beisetzt; z. B.
5^, zn lesen: 5 zur dritten (Potenz) oder 5 auf den Kubus erhoben.
319» -- 319.319.319 -- 32461759,
1-28» — 1 28.1'28.1'28 — 2'097152.
Zahl: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Kubus: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
3. Welchen Inhalt hat ein Würfel von 2, 3, ... 10 em, 12 an, 20 «m,
30 vm, 1'5 m Seitenkante?
4. Berechne den Flächeninhalt eines quadratischen Pappendeckels von
24 cm (39 am, 156 mm) Seitenlange!
Im Nachstehenden soll noch ein zweites Verfahren, eine Zahl
zum Kubus zu erheben, abgeleitet werden.
Ist z. B. die zweiziffrige Zahl 28 -- 20 -ff 8 zum Kubus
zu erheben, so wird man ihr Quadrat 20.20 -ff 2.20.8 -ff 8.8 noch
mit 20-ff 8 multiplizieren; man erhält:
(20.20- ff 2.20 .8-ff 8.8). (20 Z- 8)
20.20.20 -ff 2.20.20.8 ^ff 20.8.8
-ff 20.20.8-ff 2.20.8.8-P 8.8.8
28» --- (20 H)» 20» -ff 3.20' . 8-ff 3.20.8' -ff 8».
Der Kubus einer zweigliedrigen Zahl besteht demnach aus
dem Kubus des ersten Gliedes*), aus dem dreifachen Quadrate
des ersten Gliedes multipliziert mit dem zweiten Gliede, aus dem
dreifachen ersten Gliede multipliziert mit dem Quadrate des zweiten
Gliedes und aus dem Kubus des zweiten Gliedes.
Zur Veranschaulichung dient ein Würfel (Fig. 9) von 28 Kantenlänge, dcr
ourch 3 zueinander senkrechte Schnitte in 2 kleinere Würfel (L — 20^ und Ic —
8°), in 3 Prismen ((?, -f- I>, -ff 3 X 20' X N und in 3 Prismen l(8, -s-
8, -s- 8,) 3 X 20 X 8'^ geteilt ist.
Suche diese Körper am Modelle und an der Figur heraus; zeichne die beiden
kleineren Würfel, die 3 prismatischen Platten und die 3 prismatischen Säulen ins
Übungsheft!
28»^? Kürzer: 28» -- ?
*) Unter Gliedern einer Zahl verstehen wir die dekadischen Bestand¬
teile derselben.
171
1. Kubieret nach dieser Regel die Zahlen 25, 52, 16, 12, 35, 69, 87!
2. Suchet den Kubus von 18, 49, 91, 27, 50, 75, 83, 90!
3. Eine dreizifferige Zahl, z. B. 248 — 240 st- 8 ist auf den Kubus
zu erheben!
Man hat zunächst
248" — (240 -st 8)" — 240" -st 3.240".8 st- 3.240.8" st- 8";
aber
240" — (200-st 40)" — 200" st- 3.200".40 st-3.200.40"-st 40",
daher, wenn oben statt 240" dieser Wert gesetzt wird,
248" — 200" -st 3.200".40 st- 3.200.40" -st 40"
^3.240". 8 st- 3.240. 8"-st 8"; somit
248" — 45252992.
172
-r) vollständig ; b) abgekürzt mit Weglassung der Nullen und Verschiebung
der Teilprodukte nach rechts, wie beim Quadrieren! Beachte beim Anschreiben
den Stellenwert der Ziffern!
Für den Kubus einer mehrziffrigen Zahl gilt folgendes
Bildungsgesetz:
1. Die erste Ziffer links gibt ihren eigenen Kubus.
2. Jede folgende Wurzelziffer gibt drei Bestandteile: n) das
dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliziert mit
dieser Ziffer, b) die dreifache vorangehende Zahl multipliziert mit
dem Quadrate dieser Ziffer, endlich o) ihren eigenen Kubus.
3. Diese Bestandteile werden so untereinander geschrieben,
daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann,
so wie sie stehen, addiert.
Wieviel Teile des Kubus bildet jede Ziffer, die an der höchsten
Stelle ausgenommen? Wieviel ziffrig sind die Kuben der Zahl 1 — 9?
Wieviel Ziffern muß der Kubus einer Zahl wenigstens haben?
Wieviel ziffrig kann er höchstens sein? Nenne Zahlen, deren Kubus
4, 5, 6 Ziffern hat!
4. Berechne: e) 112», 125», 274», 248», 936»; b) 324», 471», 800»,
506», 702»; o) 150», 700», 649», 608», 999»!
5. Bilde die Kubuffe von
I»' Io- iv> i»»' iö»' - io»; löö»' -
6. Wieviel ist 0'1», 0'2» ... 0'9»; 0'01» ... 0'09»; 0'001» ...
0'009»?
7. 3'5» --
u) Vollständig mit Beibehaltung der Stellenwerte:
3» ...27 .
3.3».0'5 ... 13'5.
3.3 .0'5»... 2'25.
0'5» ... 0'125
Sprich:
(Z E)» -- 27 E an;
3.(3 E)».5 z — 135 z, 13'5 an;
3.3 E.(5 z)» 225 h, 2'25 an;
(5 z)» — 125 t, 0'125 an (3 Dez.).
3'5» 42'875
b) Kubiere 3'5 wie eine ganze Zahl und bestimme im Kubus
die Anzahl der Dezimalen.
Da z» — t, h» m, t» — tm ... gibt, so hat der Kubus
jedes Dezimalbruches 3mal soviel Dezimalstellen als
der Bruch selbst.
8. 0'801» --
8» ....512....
3.80».1.... 19200.
3.80.1».... 240.
1» .... 1
Jede Null in der Zahl
gibt 3 Bestandteile — 0 im
KubuS!
0'801» -- 0'513922401
173
9. Wieviel Dezimalstellen hat der Kubus von 5'4, 0'8, 6'27,
0'892, 0'1, 0'4, 58'07? (Auch aus dem Produkte dreier gleicher
Faktoren abzuleiten.)
Den Kubus unvollständiger Zahlen entwickelt man
mittelst abgekürzter Multiplikation.
10. a) 37'6» b) 8'14» o) 25'9» ä) 7'19» e) 1'234» k) 5887».
11. a) 0'0425» b) 7902» o) 61'013» ä) 5'081» o) 8307» k) 4095».
12. ch 1'2», b) 0'25», e) 60'8», ä) 0'907», e) 50'08», k) 65'014».
13. ch 15'64» (4 Dez.), b) 0'9107» (3 Dez.), o) 1'3457...» (3 Dez.)
1 s
14 (Zs 1 L i — 1 — —
^.2- 2 2 2 - t 2 - 8 "" '
2»
15. (§)» — Wie wird ein Bruch kubiert?
16. O-, Ob, G", (Ob, (iz)», (5ß)», (12K».
17. Kubiere 12^, 7x, 8^; dann verwandle die gegebenen gemischten
Zahlen in Dezimalzahlen und kubiere diese; darnach vergleiche die
Ergebnisse in beiden Fällen, nachdem du die 3. Potenzen der ge¬
gebenen gemischten Zahlen auch in Dezimalzahlen verwandelt hast!
18. Wieviel am» faßt ein Würfel von 1'2 ^m (35 am, 7 akm 4 cm, Im
2 ckm 3 am) Seitenlänge?
19. Wie groß ist der Rauminhalt eines Würfels, wenn dessen Seite
8'4 ckm (1'5 m, Ix m, 2m 7 äm) mißt?
20. Wieviel l Wasser faßt ein würfelförmiges Gefäß, das 2'5 400, V72O, § 1025?
Kubikwurzeln wie §^8, ^27, §^343, §^-A-..., bei denen die ge¬
gebene Zahl eine Kubikzahl ist, lassen sich genau angeben und sind
rational, alle anderen sind irrational und können nur näherungs¬
weise bestimmt werden.
Das Verfahren, nach dem aus einer Zahl die Kubikwurzel
ausgezogen wird, läßt sich aus dem Gesetze ableiten, nach dem
die Bestandteile der Kubikwurzel in dem Kubus zusammengestellt
erscheinen.
Erhebt man z. B. 537 zum Kubus und ist dann aus dem ge¬
fundenen Kubus die Kubikwurzel zu ziehen, so hat man
175
TE ZE
1. a) ^592 704 -- 84
512
anzu wenden:
1. Man teilt die Zahl von den Einern angefangen in Abteilungen von je 3 Ziffern;
die Abteilnng der höchsten Stellen kann auch bloß eine oder zwei Ziffern enthalten.
Sodann sucht mau die größte Zahl, deren Kubus in der ersten Abteilung zur Linken
enthalten ist, schreibt sie als erste Ziffer in die Wurzel und zieht ihren Kubus von der
ersten Abteilung ab.
2. Die folgenden Ziffern der Kubikwurzel werden durch die Division gesunden.
Man setzt nämlich zu dem jedesmaligen Reste, der auch 0 sein kann, die nächstfolgende
Abteilung herab rind betrachtet die dadurch entstehende Zahl mit Ausschluß der zwei letzten
Ziffern rechts als Dividend, das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Teiles der
Wnrzel aber als Divisor. Der Quotient wird als eine neue Ziffer in die Wurzel geschrieben.
3. Man bildet die Bestandteile, welche dis neue Ziffer im Kubus hcrvorbringt,
nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliziert mit dieser Ziffer,
die dreifache vorangehende Zahl multipliziert mit dem Quadrate dieser Ziffer und ihren
Kubus, schreibt den ersten Bestandteil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine
Stelle weiter nach rechts darunter und subtrahiert die Summe der so gesetzten drei
Bestandteile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern.
4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt am Ende ein Rest, so ist die Kubik¬
wurzel nicht vollständig; sie kann aber mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezimalen
bestimmt werden, indem man nämlich jedem Reste eine Abteilung von drei Nullen an¬
hängt und übrigens wie vorhin verfährt.
Kommen in der gegebenen Zahl auch Dezimalen vor, so werden diese vom
Dezimalpnnkte angefangcn gegen die Rechte hin in Abteilungen eingeteilt; hat die letzte
Dezimalabteiluug rechts weniger als drei Ziffern, so werden die fehlenden durch Nullen
ersetzt. In der Wurzel setzt mau den Dezimalpunkt, bevor man die erste Dezimalabtcilnng
in Rechnung zieht.
Et E z
5) §/5' 832 — 1'8
1
48.32 : 3
24
192
512
0
80 7.04 : 192
76 8
3 84
64
0
176
Probe: Der Kubus der gefundenen Wurzel muß den Radi¬
kand geben.
1261 12..
— "634: 132 3 (Abgek. 48.
Division) 64
rungsweise bestimmen.
So wie beim Ausziehen der Quadratwurzel, kann auch beim
Ausziehen der Kubikwurzel, wenn sehr viele Ziffern zu bestimmen
sind, ein abgekürztes Verfahren angewendet werden. Nachdem
man nämlich um eine Ziffer mehr als die Hälfte der
Wurzelziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren gefunden hat,
entwickelt man die folgenden Ziffern mittels der abgekürzten
Division, in der man den Rest als Dividend und das dreifache
Quadrat der bereits gefundenen Wurzel nach Weglassung der letzten
Ziffer als Divisor annimmt.
Berechne teils nach dem gewöhnlichen, teils nach dem ab¬
gekürzten Verfahren bis ans 4 Dezimalen:
18. ^2, ^4, ^100, ^1^5, ^0'15!
Entwickle in 5 Dezimalen:
14. H §/7958. k) §/8'539. o) §/0'8035. 4) §/472'724!
15. H §/10. b) §/123456. o) §/25'47382. ä)^ §/0'09586!
177
16.
17.
18.
19.
20.
4 '
°)
S
3
'?/5^
3
7.7"
3
6 '
f/ 343
^13824'
. s/54872.
f 571787.
.3/125
O) v§43-
oder:
3.2
4.2
5 : ^175 oder:
3,27 __ ^27 z
Vk4 - §/64 - -
a) - ^0'25.
^0'75
3 ^2 s
175
1 343
b/ ,
1^ (siehe Nr. 18 und 19).
21. Der Rauminhalt eines Würfels beträgt:
a) 5'832 m^, b) 91'125 e) 7 cim^ 56 om^, cl) 226 om^
576 ,-rm^; wie lang ist eine Seite (Kante)?
22. Ein Würfel hat eine Kante von 2'7 Äm (8'5 am, 1 ckm 8 mm);
a) berechne den Rauminhalt dieses Würfels; b) berechne die Seite
eines Würfels, der dem Inhalte nach achtmal so groß ist als jener!
23. Ein Prisma ist 18 ckm hoch, 2mal so breit und 4mal so lang;
wieviel ckm mißt die Kante eines Würfels, der diesem Prisma an
Inhalt gleichkommt?
24. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 4 m" 23 cim" 36 om"; wie
groß ist sein Rauminhalt?
25. Die Grundfläche eines Würfels hat 6241 om"; wie groß ist sein
Kubikinhalt?
26. Ein kubischer Wasserbehälter soll 640 H/ fassen: wie lang ist eine
Seite zu machen?
27. Aus Zinkblech ist ein Hohlwürfel zu verfertigen, der ch 5 6, b) 2 Hs,
o) 2 s (Tonnen) Wasser faßt; wie lang muß in jedem Falle die
Innenkante sein? a) Auf mm, b) und e) auf om genau.
28. * Ein Steinmetz soll kubische Pflastersteine von 0'216 (0'064,0'008) m^
Rauminhalt Herstellen: wie lang wird eine Seite?
29. Es soll ein Würfel aus Eisen (s — 7-5 ^) im Gewichte von
1; /cA hergestellt werden; wie lang ist die Kante dieses Würfels
zu machen?
IV. Praktische Berechnungen aus dem Versicherungswesen
(Assekuranz).
Anstalten oder Gesellschaften, die gegen eine bestimmte Gebühr
den Schadenersatz für Unfälle und Verluste übernehmen, die durch den
natürlichen Lauf der Dinge oder durch außerordentliche Naturereignisse
herbeigeführt werden, nennt man Versicherungs- oder Assekuranz-
Gesellschaften. Die Gebühr, die für die Übernahme der Schaden-
Moänik-Halbgebauer, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. 1Z
178
Vergütung bezahlt wird, heißt Prämie und wird nach Prozenten (von
Hundert) oder Promille (von Tausend) von der versicherten Summe
berechnet. Die über den Versicherungsbetrag ausgestellte Urkunde heißt
Polizze; die Kosten für ihre Ausstellung werden meistens geradezu
angegeben und von dem Versicherten getragen.
Es gibt: I. die Schadenversicherung, u. zw. die Feuer-,
Hagel-, Vieh-, Transport-, Haftpflicht-, Glas-, Einbruchdiebstahl-, Hypo¬
theken-, Dampfkesselversicherungen u. a.; II. die Lebensversiche¬
rung u. zw. die Lebensversicherung auf den Todes-, Erlebens-, Jn-
validitätsfall, die Kriegs-, Aussteuer-, Witwen-, Waisen-, Kinder-,
Leibrentenversicherungen u. a.; III. die Unfall- und Krankenver¬
sicherung.
a) Die Feuerversicherung.
1. ^ Jemand versichert seine Möbel auf 3600 X; wieviel hat er an
Prämie zu 1°/„g zu zahlen?
2. * Bei einer Feuer-Assekuranz-Gesellschaft wird ein auf 35600 U
geschätztes Haus zu °/»o versichert; wieviel beträgt die Assekuranz¬
prämie?
3. * Wie hoch ist ein Gebäude versichert, wenn man bei I, °/„o Prämie
jährlich 15 L 50 ü zahlen muß?
4. Ein Gewerbsmann hat für die Versicherung seiner Werkstätte und
seiner Vorräte im Werte von 4800 L gegen Feuerschaden I^stoo
zu bezahlen; wieviel beträgt die Versicherungsgebühr?
5. Eine Gemeinde versichert ihr Schulgebäude mit 50000 H gegen
I'4stgg und die Einrichtung mit 2500 L gegen 0'9 °/o» jährliche
Prämie. Sie bezahlt die Versicherungsgebühr für 5 Jahre im
vorhinein, wodurch sie die Versicherungsgebühr für ein 6. Jahr
gewinnt. Für öffentliche Gebäude gewährt die Versicherungsanstalt
außerdem einen Prämiennachlaß von 20 A, doch find für die Aus¬
stellung der Polizze und die nötigen Stempel noch 8 L 50 b zu
entrichten. Welchen^Betrag hat die Gemeinde bar zu zahlen?
6. Ein Hausbesitzer hat sein Haus im Werte von 32000 I< mit 1;°/o«
Prämie bei einer wechselseitigen Versicherungs-Gesellschaft gegen
Feuersgefahr versichert. Wenn er in einem günstigen Jahre einen
Nachlaß von 8 H erhielt, wieviel des versicherten Betrages
betrug seine wirkliche Einzahlung?
Bei den wechselseitigen Versicherungs-Gesellschaften müssen die Teilnehmer
insgesamt die aufzubringende Summe tragen. Wenn wenig Schäden zu ver¬
güten sind, erhalten die Teilnehmer einen Nachlaß, bei einer großen Anzahl von
Schadenvergütungen dagegen müssen sie einen Betrag nachzahlen.
7. Eiu ebenerdiges, massives, mit Schiefer gedecktes Wohnhaus hat
laut Kostenvoranschlag und Planskizze einen Bauwert von 12000 L
und wird gegen Feuerschaden versichert. Der Prämiensatz beträgt
15 b für 100 L für 1 Jahr mit einem 25 L Nachlaß wegen
179
Versicherung des vollen Bauwertes, 10 L Nachlaß, weil es über
20 m freisteht und 15 A Rabatt wegen 7-jähriger Versicherungsdauer;
wieviel beträgt die Netto-Prämie? Wieviel beträgt die Polizzen-
Prämie für das 1. Jahr, wenn zur Netto-Prämie noch der gesetzliche
2 B Feuerwehrbeitrag (von der Netto-Prämie) und die Zuschläge
von 2'50L für Stempel, 1L für Einschreibgebühr und 20 b für
das Versicherungsbüchei zuzuzählen sind?
Wie hoch beläuft sich die Polizzenprämie für die weiteren
6 Jahre aus der Nettoprämie, dem 2 L Feuerwehrbeitrag und
der Gebühr von 20 b?
8. Ein Beamter hat seine Möbel, Kleider, Wäsche und Bücher aus
7500 L gegen Brandschaden versichert und zahlt 0'9 °/o, Prämie
für 1 Jahr mit 20 A Rabatt für 10-jährigen Abschluß der Ver¬
sicherung nebst 2A gesetzlichem Feuerwehrbeitrag, ferner für Stempel
und Gebühren 3 L; wieviel hat er a) im ersten, b) in jedem folgenden
Jahre an die Versicherungsgesellschaft zu zahlen?
b) Die Glasversicherung.
9. Ein Kaufmann versichert die Auslagefenster seines Geschäftes im
Werte von 680 L mit 1'2 A Prämie; wieviel hat er jährlich dafür
zu bezahlen?
10. Ein Gastwirt versichert seine Spiegelscheiben im Werte von 850 L
mit 1'3 A und die Dachverglasung im Werte von 2500 X mit
0'8 L; wieviel hat er jährlich zu entrichten?
e) Die Hagelversicherung.
11. Ein Landmann versichert seine Feldfrüchte im Werte von 1350 L
gegen Hagelschlag; wieviel beträgt die Prämie zu 1§H?
12. Ein Bauer muß für die Versicherung seiner Früchte gegen Hagel¬
schlag 1;?^ Prämie, und zwar 20 L 80 b bezahlen; wie hoch
beläuft sich die versicherte Summe?
13. Im Jahre 1890 hatten 7 Hagelversicherungs-Gesellschaften in
Österreich 13570000 H an Prämiengeldern eingenommen und
12488000 1-1 an Schäden ersetzt; a) welcher Betrag wurde bei
einer Prämie von 2'3 A versichert; b) wieviel L der Versiche¬
rungsgebühr wurden an die Versicherten vergütet?
ä) Die Viehversicherung.
14. Ein Pferd, das mit 850 1( versichert ist, verendet ohne Verschulden
des Besitzers. Wieviel erhält der Besitzer, wenn in diesem Falle
80 A der Versicherungssumme ausgezahlt werden?
15. Eine wechselseitige Viehversicherungs-Gesellschaft hatte in einem
Jahre einen Ausfall (ein Defizit) von 5913 k 90 b, wofür sie den
Teilnehmern einen Zuschlag von 15 B der vertragsmäßigen Prämie
12*
180
zuschrieb; wieviel betrugen demnach die Prämiengelder in diesem
Jahre?
e) Die Transportversicherung.
16. Eine Ware im Werte von 15280 14 wird gegen Seeschaden zu
IßH versichert; wie hoch beläuft sich die Prämie?
17. Eine Partie Waren im Werte von 4500 14 wird per Eisenbahn
versendet und zu H versichert; wie groß ist die Prämie? Wie hoch
kommt die Versicherung, wenn für die Polizze 2 14 zu zahlen sind?
18. In Triest wird eine Ware für die Fahrt von Smyrna nach Triest
mit 16360 14 versichert; wie groß sind die Assekuranzkosten, wenn
die Prämie IZH beträgt und für die Polizze 4 14 bezahlt werden?
k) Einbruchdiebstahl-Versicherung.
19. Jemand versichert auf 5 Jahre gegen Einbruchdiebstahl und zahlt
für die Versicherung der Möbel, Bilder, Kunstgegenstände, Wäsche,
Bücher usw. auf 4260 14 eine Prämie von 1°/zo, für die Ver¬
sicherung des auf 2400 14 lautenden Sparkassebuches 5°/,„, die
Gebühr beträgt 2 14. Wieviel ist bei 7ZH Rabatt im ersteu,
wieviel in den folgenden Jahren zu bezahlen?
20. Für eine auf 36500 14 für 10 Jahre abgeschlossene Versicherung
der Wertgegenstände einer Kirche gegen Einbruchdiebstahl zahlt
das Patronat bei einem 12H-igen Rabatt für das erste Jahrsamt
8 14 Gebühr für die Polizze 69'32 14. Wieviel pro wills beträgt
die Prämie?
21. Ein Goldschmied versichert sein Warenlager im Werte von 120000 14
gegen Einbruchdiebstahl auf 5 Jahre. Der hiedurch erzielte lOH-ige
Rabatt von der jährlichen Prämie beträgt 33 14; wieviel "/»o Prämie
zahlt der Juwelier für 1 Jahr?
§) Die Lebensversicherung.
22. Jemand versichert bei einer Lebensversicherungs-Anstalt 8000 14 auf
den Todesfall und zahlt an jährlicher Prämie 352 14; wieviel H
sind dies?
Die Höhe der Prämie richtet sich nicht nur nach der Größe der
versicherten Summe, sondern auch nach dem Alter des Versicherten.
Wer z. B. im Alter von 25 Jahren sich für den Todesfall mit
1000 14 versichert, zahlt eine jährliche Prämie von 17'40 14; ver¬
sichert er sich dagegen im Alter von 35 Jahren, so wird er für
dieselbe Summe eine jährliche Prämie von 24'25 14 zu zahlen haben.
23. Für eine auf den Todesfall abgeschlossene Versicherung hat man bei
3'2H jährlich 192 14 Prämie zu zahlen; auf welchen Betrag lautet
die Polizze?
24. Ein Beamter im Alter von 25 Jahren erwirbt eine Versicherungs¬
polizze auf 6000 14 gegen Zahlung einer monatlichen Prämie von
!81
14 L 30 k unter der Bedingung, daß der versicherte Betrag nach
Vollendung des 55. Lebensjahres an ihn selbst, oder im Falle seines
früheren Ablebens an seine Hinterbliebenen ausbezahlt werden soll,
a) Wieviel ist an Prämie entrichtet worden, wenn er das 55.
Lebensjahr erreicht hat? b) Wieviel hätte der Beamte an die
Gesellschaft an Prämien eingezahlt, wenn er im Alter von 43
Jahren gestorben wäre?
25. Ein Familienvater versichert sich auf den Todesfall und zahlt 191'80 L
Prämie bei einem Prämiensatze von 2'8A. Auf welchen Betrag ist
die Versicherung abgeschlossen worden?
d) Arbeiter-Unfallversicherung.
Das Gesetz über die Unfallversicherung der Arbeiter vom 28. De¬
zember 1887 bestimmt im 8 1: „Alle in Fabriken und Hüttenwerken,
in Bergwerken, auf Werften, Stapeln und Brüchen, sowie in den zu
diesen Betrieben gehörigen Anlagen beschäftigten Arbeiter und Betriebs¬
beamten sind gegen die Folgen der beim Betriebe sich ergebenden Unfälle
nach Maßgabe der Bestimmungen dieses Gesetzes zu versichern."
„Im Falle einer Körperverletzung soll der Schadenersatz in einer
dem Verletzten vom Beginne der 5. Woche, nach Eintritt des Unfalles
angefangen, für die Dauer der Erwerbsunfähigkeit zu gewährenden Rente
bestehen".
Bei gänzlicher Erwerbsunfähigkeit erhält der Arbeiter eine Jahres¬
rente von 60 A des Jahreslohnes; bei teilweiser Erwerbsunfähigkeit
erhält er einen Bruchteil dieser Jahresrente, der jedoch 50 B des Jahres¬
arbeitsverdienstes nicht überschreiten darf.
Im Falle des Ablebens gebührt den Hinterbliebenen des Versicherten
zur Deckung der Begräbniskosten ein Beitrag von höchstens 50 L, der
Witwe bis zu ihrem Tode oder ihrer Wiederverheiratung eine
Jahresrente von 20 L, einem Hinterbliebenen Kinde bis zum
zurückgelegten 15. Lebensjahre 15 L des Jahreslohnes; ist jedoch die
Zahl der Waisen drei oder größer ass drei, so erhalten sie samt der
Mutter 50B vom Jahreslvhne des verstorbenen Vaters.
Die Höhe der für die Unfallversicherung zu zahlenden Prämie
richtet sich nach der Gefahrenklasse und nach dem Jahreslohne.
Der Jahreslohn beträgt das Dreihundertfache des durch¬
schnittlichen Taglohnes. 90 L der Prämie zahlt der Arbeitgeber,
10B der Arbeiter.
Behufs Feststellung des seitens der Arbeitgeber und der Arbeiter
an die Arbeiter-Unfallversicherungs-Anstalt zu leistenden Beiträge sind
alle möglichen Betriebe und Gewerbe durch das Gesetz in 12 sogenannte
Gefahrenklassen mit Angabe des Gefahrenprozentsatzes
eingereiht.
182
Hier folgt eine tabellarische Zusammenstellung von einigen nach
Gefahrenklassen geordneten Gewerben (Verordnung v. 20. Juli 1894):
Zur Erklärung der Tabelle sei bemerkt, daß in derselben Zeit, in welcher
z.B. bei der Dachdeckerei von 100 Arbeitern 58 bis 64 verunglücken, bei der Kartonnage¬
erzeugung nur 8 bis 10 Arbeitern ein Unfall zustößt. Daher richtet sich auch die
Veitragsleistung nach dem Gefahrenprozentsatze.
1. Wie groß ist der Jahreslohn eines Arbeiters, wenn er täglich im
Durchschnitte u) 3 U 60 b, b) 4 Iv 20 b, <-) Zl U, ä) 3? L, s) 4'2 L,
k) 4 U 35K verdient? (Beachte hiebei, daß das Arbeitsjahr zu 300
Arbeitstagen anzurechnen ist!)
2. Wie hoch beziffert sich der Jahresverdienst einer Arbeiterin, wenn
sie einen durchschnittlichen Taglohn von u) 1Iv 70 k, K) 1;
o) 2L 20K, ä) 2j L, e) 2'4 X hat?
3. Wie hoch beläuft sich die Jahresrente eines verunglückten Arbeiters
bei gänzlicher Erwerbsunfähigkeit, wenn sein Jahresverdienst u) 840 lv,
k) 870 6 L, c) 1044 ä) 768 1(, s) 860 1(, k) 987 X, g) 1308 L
betrug?
4. Wie hoch ist der Versicherungsbeitrag einer Flachsspinnerei a) im
günstigsten, K) im ungünstigsten Falle, wenn der Jahreslohn 9640 H
beträgt? (Gefahrenklasse 111. Niedrigster Prozentsatz 0'62, höchster
0'74.)
5. Welchen Beitrag erhält die Unfallversicherungs-Anstalt durchschnitt¬
lich von einem Bauschlossereibetriebe, wenn jährlich 7720 U. Löhne
gezahlt werden? (Für 100 L ausgezahlten Arbeitslohnes sind
1'12 L an die Arbeiter-Unfallversicherungs-Anstalt abzuführen.)
6. Ein Steinbruchbesitzer zahlt an 8 Arbeiter durch 300 Arbeitstage
durchschnittlich jedem 2 U. 60 K täglich; wieviel muß an die Ver¬
sicherungskasse abgeliefert werden, wenn man den höchsten Prozent¬
satz dieser Gefahrenklasse annimmt?
183
7. Welchen Betrag müßte unter ganz gleichen Verhältnissen (wie in
der vorhergehenden Aufgabe) eine Zündhölzchenfabrik der Ver¬
sickerungs-Anstalt beisteuern?
8? Ein Handschuhmacher muß seine vier Arbeiter jährlich mit 14 X
40 b versichern; wieviel muß jeder Arbeiter hiezu beisteuern?
Wieviel der Geschäftsinhaber?
9. Ein Dachdecker zahlt seinen drei Gehilfen zusammen 72 X Wochen¬
lohn. Wie groß ist bei Anrechnung des höchsten Prozentsatzes der
Versicherungsbeitrag? Wieviel hat der Arbeitgeber zu leisten? Wie¬
viel kann er jedem Gehilfen für die Unfallversicherungs-Anstalt
von dem Lohne abrechnen?
10. Ein Tuchfabrikant zahlte bei 280 Arbeitstagen an 42 Arbeiter
28.224 X und an 7 Arbeiterinnen 3057'6 X Jahreslohn; er
verpflichtet sich, die Gebühr von 0'57A Prämie an die Unfall¬
versicherung allein zu entrichten. Welchen Betrag hatte der Fabrikant
halbjährig in die Unfallversicherung abzuführen?
11. Einem Arbeiter, der infolge eines Unfalles teilweise erwerbsunfähig
geworden war, wurde von dem gesetzlichen Zeitpunkte an der Bezug
von 40B seines Jahresverdienstes durch 9 Monate bewilligt; wie
groß war sein jährlicher Verdienst, wenn er im ganzen 163'8 X
erhielt?
12. Ein junger Arbeiter, der mit seinem 2'80 X betragenden Taglohne
auch seine bejahrten Eltern ernährte, verlor im Dienste das Leben,
weshalb seinen Eltern eine Rente von 20 A des Jahreslohnes des
Verstorbenen zugesprochen wurde; wieviel Kronen sind dies?
13. Ein Arbeiter mit 3'40 X Taglohn verlor infolge eines Unfalls das
Leben; seine Frau erhielt eine Rente von 20 L des Jahreslohnes
(300 Arbeitstage) ihres Mannes und für jedes ihrer 3 Kinder
(bis zum vollendeten 15. Lebensjahre) einen Erziehungsbeitrag von
10A des Jahreslohnes ihres Mannes; wieviel bezieht sie a) jähr¬
lich und b) täglich für sich und ihre Kinder zusammen?
Anmerkung: Bei den privaten „V e r s i ch e r n n g s g e s e l l s ch a fte n" kann
sich jedermann gegen Unfälle in seinem Berufe, auf der Reise re. versichern lassen.
i) Arbeiter-Krankenversicherung.
Nach dem Gesetze vom 30. März 1888 sind alle nach dem
Unfallversicherungsgesetze versicherten Arbeiter und Betriebsbeamten
durch den Beitritt zu einer Krankenkasse auch für den Krankheits¬
fall versicherungspflichtig.
Nicht versicherungspflichtig sind Dienstmädchen, land- und forstwirtschaftliche
Arbeiter; doch gibt es in vielen Städten auch Dienstbotenkrankenkasfen.
Jeder Verpflichtete ist auch ohne Anmeldung Mitglied der Krankenkasse, der
Arbeitgeber haftet für die Anmeldung, hat ini Unterlassungsfälle nachzuzahlen und
wird von der k. k. Vezirkshauptmannschaft außerdem mit einer Ordnungsstrafe (5,
lv, 50 L) belegt.
184
Als Grundlage für die Versicherung kann höchstens ein Taglohn
von 4 X angenommen werden. Die Geldmittel der Krankenkasse
werden aus den Beiträgen der Mitglieder gedeckt. Diese Beiträge
dürfen nicht über 3A des bei der Berechnung der Krankengelder zu¬
grunde gelegten Taglohnes betragen. Von diesen 3L fallen z- der
Prämie den Arbeitern, der Prämie den Arbeitgebern
zur Last. Überdies hat der Versicherte eine einmalige Eintritts-
gebühr zu leisten. Diese ist gleich dem 6-fachen wöchentlichen
Prämienbeitrage für Versicherungspflichtige; für freiwillige Mit¬
glieder der Bezirks-Krankenkasse ist sie gleich dem 8-fachen wöchent¬
lichen Prämienbeitrage. (Der Arbeitgeber hat das Krankengeld der
Arbeiter in Empfang zu nehmen und mit den eigenen Beiträgen an die Kranken¬
kasse wöchentlich oder monatlich abzuführen.)
Die Krankenunterstützung besteht, wenn die Krankheit mehr
als 3 Tage dauert und der Kranke erwerbsunfähig wird: 1. in der
unentgeltlichen ärztlichen Behandlung, Verabfolgung von Medi¬
kamenten und Fahrt ins Krankenhaus; 2. in einem täglichen
Krankengelde in der Höhe von 60K (höchstens 75 S) des üblichen
Taglohnes vom Tage der Erkrankung an und auf deren Dauer. Der
Anspruch hierauf beginnt mit dem 4. Tage der Krankheit und
dauert bei langer Krankheit durch mindestens 20 Wochen. 3. Im
Falle des Ablebens eines Versicherten erhalten seine Hinterbliebenen
einen Beitrag zu den Begräbniskosten im 20-fachen Betrage
von dessen Taglvhn.
Spitalskosten werden vom Krankengelde bestritten: ein etwaiger Überschuß
wird an den Genesenen oder dessen Erben ausbezahlt.
1. Welchen Betrag muß ein Arbeiter im ungünstigsten Falle wöchentlich
dem Arbeitgeber für die Krankenkasse übergeben, wenn er u) 2 X 60 b,
b) 2 X 40 b, o) 2 X 80 b, ä) 3 X 20 b, e) 3 X 60 b, k) 4 X 40 K
Taglohn hat?
2. Welchen Jahresbeitrag hat eine Fabrik der Krankenkasse samt den
Beiträgen der Arbeiter zu leisten, wenn sie 220 Arbeiter beschäftigt,
von denen die Hälfte 2 X 00 b, die andere Hälfte 3 X 60 k
Taglohn bezieht, und wenn die Beitragsquote mit 2zA bemessen
ist? (1 Jahr — 300 Arbeitstage.)
3. Wieviel muß ein Fabrikant samt den Beiträgen der Arbeiter in einein
halben Jahre an die Krankenkasse abführen, wenn er 840 Arbeiter
hat, von denen Z 4Z X, 3^ X und z 2Z X Taglohn erhält?
4. Welchen Betrag kann ein erkrankter Arbeiter bei einem Taglohne
von 3 X als Aushilfe mindestens erhoffen, wenn seine Krankheit
18 Wochen 4 Tage dauert?
5. Wieviel bekommt im günstigsten Falle ein kranker Arbeiter, der eine
tägliche Entlohnung von 4 X 40 b bezog, wenn er 24 Tage
krank ist?
185
6. Wie hoch beläuft sich der mindeste Bcerdigungskostenbeitrag bei
einem versicherten Arbeiter, der 2 X 70 ll Taglohn hatte?
7. Welche Summe hat die Krankenkasse zu leisten, wenn ein mit
3 X 30 b täglich entlohnter Arbeiter nach 12 wöchentlicher Krankheit
mit dem Tode abging?
8. Welchen Krankenbeitrag hat ein Fabriksunternehmen jährlich zu
leisten, welches 136 X Taglohn bezahlt? (2 ZA)
9. Beträgt der Taglohn eines bei der Krankenkasse Versicherten
ch 2'7 X, b) 3'10 X, o) 3z X, ä) 2'8 X, s) 4 X 60 b, welche
Beträge zu 3A sind in 1 Monat mit 25 Arbeitstagen an die
Krankenkasse abzuführen? Wieviel entfällt aus den Arbeitgeber,
wieviel auf den Arbeiter?
10. Bei einem Krankengelde von 60L erhielt ein Vorarbeiter während
seiner achtundzwanzigtägigen Krankheit 42 X 36 b von der
Krankenkassa ausbezahlt; wieviel Taglohn hatte er versichert?
11. Für einen Schneidergesellen liefert der Arbeitgeber bei einer Prämie
von 2ZL wöchentlich 53 K an die Krankenkasse ab; welchen Wochen¬
lohn bezog der Schneidergeselle?
12. Ein Landwirt hatte seinen Knecht auf Grund eines Monatlohnes
von 25 X bei der Krankenkasse versichert und zählte den Betrag
von 2;A selbst. Der Knecht wurde nach 1 Monat krank und
starb nach 8 Wochen langem Krankenlager.
a) Wieviel mußte monatlich an die Krankenkasse gezahlt werden?
b) Wieviel Krankengeld hat der Knecht bei 65 A im ganzen bezogen?
o) Wie hoch war der Beitrag der Kassa zu den Begräbniskosten?
V. Zinseszinsrechnung.
Bei der Verzinsung von Kapitalien geschieht es häufig, daß die
Zinsen am Ende einer jeden Zeitperiode (gewöhnlich am Ende eines
jeden ganzen oder halben Jahres) zum Kapitale geschlagen und mit
diesem zugleich wieder verzinst werden; man sagt in diesem Falle: das
Kapital ist auf Zinseszinsen angelegt.
Der Zins vom Zinse heißt Zinseszins. Das um die Zinseszinsen ver¬
mehrte Kapital heißt dessen künftiger Wert oder das Endkapital; das An¬
fangskapital wird auch gegenwärtiger Wert oder der Var wert genannt.
Werden die Zinsen nach Ablauf jedes Jahres zuni Kapitale geschlagen, so ist diese
Art der Verzinsung eine ganzjährige Kapitalisierung. Wie erfolgt die
halbjährige Kapitalisierung?
Die Zinseszinsrechnung gebrauchen alle Spar- und Vorschußkassen, Versiche¬
rungsanstalten und Banken.
1. Berechnung des Wertes, den ein Geldbetrag nach einer
bestimmten Zeit haben wird.
Um den Betrag, zu dem ein Kapital mittels Zinseszinsen in einer
bestimmten Zeit anwächst, zu berechnen, könnte man den Zins für
186
jede einzelne Verzinsungsperiode suchen und jedesmal zu dem Anfangs¬
kapital jener Periode addieren.
Z. B.: Zu welchem Betrage werden 5000 L in 3 Jahren an¬
wachsen, wenn man die 4H Zinsen am Ende eines jeden Jahres zum
Kapitale schlägt und mit diesem verzinst?
Anlagekapital Ix 5000
Zins des 1. Jahres „ 200
Kapital am Ende des 1. Jahres „ 5200
Zins des 2. Jahres „ 208
Kapital am Ende des 2. Jahres „ 5408
Zins des 3. Jahres „ 216'32
Kapital am Ende des 3. Jahres L 5624'32.
Durch die einfachen Zinsen wäre das Anfangskapital in 3 Jahren
nur auf Ix 5600 angewachsen.
Ein kürzeres Verfahren, den Endwert eines auf Zinseszins ange¬
legten Kapitals zu berechnen, läßt sich aus der Kettenrechnung herleiten.
Es soll zunächst bestimmt werden, zu welchem Werte eine
Kapitalseinheit (1 Krone) mittels Zinseszinsen L 4A in 3 Jahren
anwächst. Da 100 Ix, am Anfänge des Jahres angelegt, mit den
Zinsen L 4L bis Ende desselben Jahres auf 104 Ix anwachsen, also
1 Ix Anfangskapital am Ende des Jahres 1'04 Ix wert ist, so
hat man folgende Kettenrechnung:
x L Wert am Ende des 3. Jahres ! 1 L Anfangskapital
1 1'04 L am Ende des 1. Jahres
I 1'04 2.
1 1' 04 „ „ „ _ „ 3. „
_ ' x — 1'04 X 1'04 X 1'04 --- tt 04)''.
Der Endwert einer auf Zinseszins angelegten Kapitals¬
einheit für eine bestimmte Zeit wird gefunden, indem man
die Summe aus 1 und des Zinsfußes zur sovielten
Potenz erhebt, wie Zeitperioden vorhanden sind und
der gefundenen Zahl die Benennung der Kapitals¬
einheit gibt.
Welchen Endwert hat 1 Ix nach 12 Jahren, wenn die 2L, 3A,
4^, 5^-igen Zinsen ganzjährig zum Kapitale geschlagen werden?
Drücke es wieder in Potenzen aus!
Welchen Endwert hat 1 X (In L und b; abrunden!)
ch bei 4A Zinseszins nach 7, 8, 15, 20 Jahren;
b) „ 5A „ „ „ 5, 9, 20, 30
ch , 3L 14, 18, 24, 30 „
ck) nach 12 Jahren bei 3A, 5A, 4A Zinseszins;
22 „ „ 3^, 4A, 5L „ „ ?
187
Zu welchem Endkapitale wächst 1 L in 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15,
20, 30 Jahren an, wenn die 4A (5Astigen Zinsen am Ende eines
jeden Jahres zum Kapitale geschlagen werden? (Siehe Tabelle!)
Nach wieviel Jahren verdoppelt (verdreifacht) sich 1 L Kapital
bei 5A, 4A, 3A, 2A Zinseszins? (Tabelle!)
Ein Anfangskapital von 5000 14 wird bei der angegebenen Ver¬
zinsungsweise in 3 Jahren auf 5000 mal (1'04st 14 anwachsen; sein
Endwert beträgt also, da (1'04)° — 1'124864 ist,
1'124864 14 X 5000 — 5624 '32 14.
Um den Endwert irgend eines auf Zinseszins angelegten
Kapitals für eine bestimmte Zeit zu erhalten, multipliziert
man den Endwert einer Kapitalseinheit für diese Zeit
mit der Kapitalssumme.
Zu welcher Summe wachsen 100 14, 1000 14 bei 4A Zinseszins
nach 5, 8, 10, 14, 20, 24, 30 Jahren an?
Werden die Zinsen nicht ganzjährig, sondern am
Ende eines jeden halben Jahres zum Kapitale gezählt,
so nimmt man doppelt so viele Zeitperioden, als Jahre
gegeben sind, somit für das obige Beispiel 6 Halbjahre,
dagegen für eine Zeitperiode nur die Hälfte des Zins¬
fußes, also für das frühere Beispiel 2A. Da hiernach 100 X
nach einem halben Jahre 102 14 wert sind, 114 also auf 1'0214 an-
x --- (1-02)° — 1'126162 14.
5000 14 Kapital geben dann mittels Zinseszinsen zu 4A bei halb¬
jähriger Kapitalisierung nach 3 Jahren
1'126162 14 X5000 — 5630'81 14.
Die folgende Tabelle enthält die bereits ausgerechneten Endwerte,
zu denen eine Kapitalseinheit mittels Zinseszinsen zu 2, 2§, 3, 4, 4Z,
5A in 1, 2, 3, ... 30 Zeitperioden anwächst.
Man nennt diese in der Tabelle enthaltenen Zahlen die Auf¬
zinsungsfaktoren.
Die Rechnung, die in dem Vorangehenden für Kapitalien,
welche auf Zinseszinsen angelegt werden, abgeleitet wurde, kann
auch auf andere Größen, die in einem beständigen Verhältnisse
anwachsen, z. B.: auf die Zunahme der Bevölkerung eines Landes,
des Holzstandes einer Waldung u. dgl., angewendet werden.
188
Endwert
einer auf Zinseszins angelegten Kapitalseinheit
nach 1, 2, 3, ... 30 Zeitperioden.
Die durch die Zinseszinsrechnung gefundenen Endwerte von Einlagen stimmen
nur annähernd mit den Summen überein, welche die Sparkassen ausweisen, weil
diese die Zinsen nicht für mehrere Zeitperioden auf einmal, sondern nach jeder
Zeitperiode sofort berechnen, wobei Bruchteile der Kapitalseinheit nicht verzinst werden.
Auch verzinsen Sparkassen die Einlagen gewöhnlich erst vom 16. des laufenden oder
vom 1. des nächsten Monates an.
189
1. Auf welchen Betrag wächst bei halbjähriger Kapitalisierung 1 II
zu 5^ (4A) im Laufe von 1, 1Z, 2, 2Z, 3, 10 Jahren an?
2. Ein Kapital von 5000 L ist zu 5^ Zinseszins angelegt; wie hoch
wird es bei ganzjähriger Kapitalisierung in 6 Jahren anwachsen?
H ist nach 6 Jahren bei 5A Zinseszins 1'340096 L wert;
man hat daher
1'340096 L X 5000
6700'480 L --- 6700 L 48 b.
3. Wie groß ist der Unterschied zwischen den einfachen und den
Zinseszinsen von 4000 X in 5 Jahren zu 4H?
4. In einer Sparkasse sind 5000 II zu 4L Zinseszinsen durch 15 Jahre
angelegt; wie groß ist das Endkapital st bei ganzjähriger, b) bei
Z jähriger Kapitalisierung?
3. Auf welchen Endwert wachsen folgende Kapitalien an:
ch 11000 II zu 3^ Zinseszinsen in 22 Jahren >
ist 1372'6 „ „ 5A „ „ 28 „ sbei ganzjähriger,
o) 6802'5 „ „ 4A , 15 „ I
ä) 3570 Fr „ 5^ „ „ 8 „ 1 bei halbjähriger
s) 10156 M „ 4A „ 13 Z „ /Kapitalisierung?
6. Wieviel betragen mit Zinseszinsen st 2390 II L2ZA nach 16 ZeiU
perioden? b) 7500 L L 3L nach 21 Zeitperioden? st 4365 X
a 5L nach 25 Zeitperioden?
7. Jemand legt 3560 L zu 4A unter der Bedingung an, daß die
Zinsen halbjährig zum Kapitale geschlagen werden; wie hoch wird
das Kapital in 10 Jahren anwachsen?
Hier muß der Endwert für 20 Zeitperioden (halbe Jahre) zu
2B genommen werden; man erhält daher
1'485947 X X 3560 -- 5289'97 L.
8. Ein Kapital von 280011 ist zu 4^ Zinseszins angelegt; wie hoch
wird es st bei ganzjähriger, ist bei halbjähriger Kapitalisierung in
8 Jahren anwachsen?
9. Wenn dem 8 3845 II schuldig ist und 5 Jahre lang keine
Zinsen bezahlt, 8 aber die Zinsen jedes Jahr zum Kapitale rechnet,
wieviel beträgt nach dieser Zeit die ganze Schuld bei 5L?
10. Infolge eines Erbschaftsstreites blieb ein Kapital von 28500 II
5Z Jahre zu 4^ in einer Sparkasse, welche halbjährig kapitalisierte;
auf welche Höhe wuchs die Erbschaft indessen an?
11. Für ein neugeborenes Kind werden 1200 Iv auf Zinseszins zu 5^
bei ganzjähriger Kapitalisierung angelegt; welches Kapital kann es
nach erreichter Großjährigkeit beheben?
12. Ein Vater legt für seinen Sohn 1000 II in die Sparkasse ein, die
mit 4^L verzinst und halbjährig kapitalisiert. Welches Kapital
kann der Sohn nach 20 Jahren beheben?
190
13. Bei der städtischen Kaiser Franz Josef-Jubiläums-Lebens- und
Renten-Versicherungsanstalt in Wien kann für ein Kind im ersten
Lebensjahre durch einmalige Zahlung von 367 I( 91 ll ein Kapital
von 1000 L versichert werden, das dem Kinde bei Vollendung
seines 24. Lebensjahres ausbezahlt wird; welchen Wert gäbe das
eingezahlte Kapital von 367 I( 91 b zu 4ö A Zinseszins nach
24 Jahren bei ganzjähriger Kapitalisierung?
14. Ein Geschäftsmann tritt einer Vorschußkasfe mit einer Einlage von
1200 L bei; auf welchen Betrag wächst diese Einlage zu 4^L
Zinseszins in 8 Jahren bei ganzjähriger Kapitalisierung an?
13. Die Verwaltung einer Kirche legte für einen Neubau eine
Summe von 18480 K zu 4^ an. Zu welchem Betrage ist die
Summe in 15 Jahren bei halbjähriger Kapitalisierung angewachsen?
16. Jemand ist verpflichtet, 3000 1( nach 1 Jahre, 2000 X nach
2 Jahren, 1000 K nach 3 Jahren nnd 4000 K nach 4 Jahren zu be¬
zahlen; wieviel werden alle diese Beträge nach 4 Jahren bei 5A
Zinseszins wert sein, wenn die Kapitalisierung ganzjährig geschieht?
3000 L nach 1 Jahre zahlbar, find nach 4 Jahren 3472'875 I( wert,
2000., „ 2 Jahren „ „ „ 4 „ 2205'000,, „
1000 „ „ 3 ... 4 „ 1050'000 „ „
4000., . 4 . 4 „ 4000' 000 „ „
ganzer Betrag nach 4 Jahren 10727'875 lv
-- 10727 L 88 ü.
17. Die Seelenzahl einer Stadt betrug vor 8 Jahren 25360; wie groß
ist sie gegenwärtig, wenn die Zunahme der Bevölkerung jährlich
im Durchschnitte 2A betrug?
18. Die Bevölkerung Wiens vermehrt sich jährlich annähernd um2A,
im Jahre 1890 war die Bevölkerungszahl Wiens 1364548; wie
groß hätte sie mit Schluß des Jahres 1900 beiläufig sein sollen?
Wie groß wird sie beiläufig im Jahre 1910 (1920) sein?
19. Der Bestand eines Waldes ist gegenwärtig 90000 wie groß wird
derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3A nach 10 Jahren sein?
20. Jemand legt durch 6 Jahre a) zu Anfang, b) zu Ende eines jeden
derselben 325 L auf Zins von Zins an; wie hoch wird das Kapital
bei ganzjähriger Kapitalisierung zu 4A in jener Zeit anwachsen?
a) Da die erste Summe durch 6, die zweite durch 5,
die sechste durch 1 Jahr anliegt, so hat man
1. Summe liegt 6 Jahre 1'265319 K X 325
2 ' 5 „ 1'216653 „ X 325
3 4 „ 1'169859 „ X 325
4. „ „ 3 „ 1'124864 „ X 325
5. „ „ 2 „ 1'081600 „ X 325
6. „ „ 1 „ 1 '040000 „ X 325
Gesamtbetrag nach 6 Jahren 6'898295 K X 325 —
--2241'946 L —22411(95 ü.
191
d) Die erste Summe liegt 5 Jahre, die 6. Summe 0 Jahre
an, daher:
1. Summe 1'216653 lv . 325
2. „ 1'169859 „ . 325
3. „ 1'124864 „ . 325
4. 1'081600 „ . 325
5. „ 1'040000 „ . 325
6 1'000000 „ . 325
Gesamtbetrag nach 6 Jahren 6'632976 X X 325 -- 2153'72 X.
Methode Fr. Schischlik.
Der Endwert (Verzinsungsfaktor) des 6. Jahres (4L) für
1 Krone ist 1'265319. Er besteht aus dem Anfangskapitale von 1X
und den 0'265319 X Zinseszinsen. Letzterer Betrag ist entstanden,
indem am Ende jedes Jahres 4 b auf Zinseszinsen angelegt
wurden. Auf die fragliche Endsumme wird geschloffen:
4 b Teilzahlungen geben in 6 Jahren die Endsumme 0'265319 X,
1 „ „ gibt „ 6 „ „ „ 0'0663297 „
IX „ „ „ 6 „ „ „ 6'63297 „
325 „ „ geben „ 6
6'63297 X X 325 2155'72 X.
Werden die Teilzahlungen per 325 X am Anfänge jedes
Jahres geleistet, so ist der Betrag von 2155'72 X gleich der End¬
summe zur Zeit der letzten Zahlung, also am Anfänge des 6. Jahres.
Soll die eigentliche Endsumme für das Ende des 6. Jahres
berechnet werden, fo muß für diesen Fall die gefundene Zahl
2155'72 X um die einmaligen einfachen Zinsen vermehrt werden,
was durch Multiplikation mit 1'04 bewirkt wird.
2155 ' 72 L X 1'04 2241 X 95 b.
21. Wenn jährlich in eine Versicherungsbank am Ende des Jahres 200 X
eingezahlt werden, welches Kapital kann nach 8 Jahren bei ganz¬
jähriger Kapitalisierung und bei 5A Zinseszins dafür behoben
werden?
22. Ein Arbeiter legt zu Anfang jedes halben Jahres 50 X in eine
Sparkasse, welche halbjährig 2A Zinsen zum Kapitale schlägt;
wieviel hat die Sparkasse nach Ablauf von 6 Jahren an ihn aus¬
zuzahlen ?
23. Welchen Betrag muß man am Ende eines jeden Jahres bei 2L
Zinseszinsen anlegen, um nach 20 Jahren, also bei der letzten Ein¬
zahlung die Endsumme von 1000 X zu erreichen?
(Ganzjährige Kapitalisierung.)
Der Verzinsungsfaktor des 20. Jahres (2A) ist 1'485947;
danach gehört:
192
1000 X: 24'2973X^ 41'16.
Antwort: 41'16 X.
Anmerkung. Soll die Teilzahlung am Anfänge jedes
Jahres erlegt werden, so vermindert sich für diesen Fall der Betrag
von 41'16X um seine einmaligen einfachen Zinsen und beträgt:
41'16 X: 1'02X^40'35.
Antwort: 40'35 X
24. Ein Arbeiter will sich bei einer Sparkasse, welche die auf das Jahr
entfallenden 4A Zinsen halbjährig kapitalisiert, die Auszahlung
von 800 X nach Ablauf von 10 Jahren sichern. Wie groß sind die
während dieses Zeitraumes am Ende eines jeden Halbjahres zahl¬
baren Raten?
25. Wieviel betragen 3000 X zu 4A Zinseszins bei ganzjähriger
Kapitalisierung nach 40 Jahren?
(1'04)" — (1'04)". (1'04)".
Setzen wir dafür die in der Tabelle enthaltenen Werte, so
ergibt sich 1'04" — 3'243398 X 1'480244
4420841
3243398
1297359
259471
649
130
13
4'801020 X.
Der Endwert von 3000 X beträgt daher:
4'801020 X X 3000 — 14403'06 X.
26. Ein Arbeiter legt 11 mal hintereinander jedesmal am 31. Dezember
50 X in die k. k. Postsparkasse. Welches Guthaben besitzt er an
dem nach der 11. Einlage folgenden Tage, wenn die Postsparkasse
die Einlagen mit 3A verzinst und die Zinsen ganzjährig kapitalisiert?
Anmerkung. Die Statuten der einzelnen Sparkassen und der Postsparkasse
sind verschieden, aber keine rechnet mit Hilfe der Aufzinsungsfaktoren. Die Er¬
gebnisse der mit Hilfe der Aufzinsungsfaktoren gelösten Beispiele stimnien daher
mit senen von den einzelnen Sparkassen und der Postsparkasse berechneten nur
annähernd überein.
Die Einlagen, welche bei der k. k. Postsparkasse eingezahlt
werden, müssen entweder eine Krone betragen oder Vielsache einer
Krone sein. In einem Postsparkasse-Büchel können nur bis 2000 X
193
angelegt werden. Ist dieser Betrag erreicht, so wird der Besitzer
äusgefordert, entweder seine Einlage zu vermindern oder die Post¬
sparkasse-Verwaltung zum Ankäufe von Staatspapieren zu ermäch¬
tigen. Alle Ein- und Rückzahlungen sind bei der k. k. Postsparkasse
gebühren- und portofrei. Für den besorgten Ein- und Verkauf
von Staatspapieren berechnet die Postsparkasse 2°/^ Provision.
Die Verzinsung beginnt mit 1. und 16. des Monatstages,
der auf die Einlage folgt und endigt mit dem 15. oder letzten
Monatstage, der dem Eintreffen der Kündigung vorangeht.
Die Postsparkasse weist am Schlüsse des Jahres die ange-
laufenen Zinsen an, die der Einleger beheben oder wieder zum
Kapitale schlagen kann. Bei der Zinsberechnung wendet die Post¬
sparkasse die Formel an: Kapital X Halbmona te.
'800
27. Wieviel Zins erhält inan in der Postsparkasse von 480 14 in
7Z Monaten? Nach dieser Zeit werden die Zinsen am 31. Dezember
zum Kapitale geschlagen. Nachdem von diesem Zeitpunkte an
8 Jahre verflossen sind, wird das Guthaben anfangs Jänner
behoben. Wieviel erhält mau?
2. Berechnung des Wertes, den ein Geldbetrag vor einer
bestimmten Zeit hatte.
Die Aufgabe, den Wert eines Geldbetrages vor einer gewissen Zeit,
oder was dasselbe ist, den gegenwärtigen oder Barwert eines nach
einer bestimmten Zeit zahlbaren Kapitals mit Rücksicht auf Zinseszinsen
zu bestimmen, ist die Umkehrung der unter 1. behandelten Aufgabe.
Ist zunächst der gegenwärtige Wert einer z. B. nach 3 Jahren
fälligen Kapitalseinheit, den Zins von Zins zu 4A gerechnet, zu be¬
stimmen, so hat man folgenden Ansatz:
1 L gegenw. Wert —(l'O-lst 14 nach 3 Jährens x: 1 — 1: (1'04st,
x X „ „ 1 . X „ „ „ j daher x -----
Der Barwert, den eine .Kapitalseinheit, die nach einer
bestimmten Zeit fällig ist, mit Rücksicht auf Zinseszinsen hat,
wird gefunden, indem man 1 durch den Aufzinsungsfaktor für diese
Zeit dividiert. Der gefundenen Zahl wird die Benennung der Kapitals¬
einheit gegeben.
Da (1'04)s — 1 124864 ist, so ist der Barwert einer nach
3 Jahren fälligen Kapitalseinheit bei 4A Zinseszins.
1: 1'124864 --- 0-888 996.
Der Barwert eines nach 3 Jahren fälligen Kapitals von 2000 X
bei 4B Zinseszins ist dann 2000mal 0'888996 14, also 1777'99 14.
Um daher den Varwert irgend eines nach einer be¬
stimmten Zeit fälligen Kapitals mit Rücksicht auf Zinseszinsen
Moönik-Halbgebauer, Rechenbuch f. Knaben-Biirgersch. Einteilige Ausgabe. i Z
194
zu erhalten, multipliziert man den Varwert einer nach dieser Zeit
fälligen Kapitalseinheit mit der Zahl der Kapitalseinheiten.
Findet die Kapitalisierung halbjährig statt, so nimmt man doppelt
so viele Zeitperioden, als Jahre gegeben sind, dagegen für eine Periode
nur den halben Zinsfuß, also für das frühere Beispiel 6 Zeitperioden
und 2S. Bei halbjähriger Verzinsung ist demnach der Varmert einer
nach 3 Jahren fälligen Kapitalseinheit
1: 1-126162 — 0'887 971 X,
daher eines nach 3 Jahren fälligen Kapitals von 2000 X
0'887 971 X X 2000 -- 1775'94 X.
In der folgenden Tabelle erscheinen die Barwerte einer nach
1, 2, 3.. .30 Zeitperioden fälligen Kapitalseinheit bei 2, 2^, 3, 4, 4^,
5L Zinseszins bereits ausgerechnet.
Im Gegensatz zu den frühern werden die Zahlenwerte dieser
zweiten Tabelle Abzinsungsfaktoren genannt.
Barwert
einer nach 1, 2, 3,... 30 Zeitperioden fälligen Kapitalseinheit mit
Rücksicht auf Zinseszinsen.
Zeit¬
peri¬
oden
2^
1
2
3
4
0'980392
0'961169
0'942322
0'923845
5 0'905731
6
7
8
9
10
0'887971
0'870560
0'853490
0'836755
0'820348
11
12
13
14
15
0'804263
0'788493
0'773033
0'757875
0'743015
16
17
18
19
20
0'728446
0'714163
0'700159
0'686431
0'672971
4^
!
!0'956938
2ZL
0'975610
0'951814
0'928599
0'905951
0'883854
0'862297
0'841265
0'820747
0'800728
0'781198
0'762145
0'743556
0'725420
0'707727
0'690466
0'673625
0'657195
0'641166
0'625528
0'610271
3L
0'970874
0'942596
0'915142
0'888487
0'862609
0'837484
0'813092
0'789409
0'766417
0'744094
0'722421
0'701380
0'680951
0'661118
0'641862
0'623167
0'605016
0'587395
0'570286
0'553676
4^
0'961538
0'924556
0'888996
0'854804
0'821927
0'790315
0'759918
0'730690
0'702587
0'675564
0'649581
0'624597
0'600574
0'577475
0'555265
0'533908
0'513373
0'493628
0'474642
0'456387
0'915730
0'876297
0'838561
0'802451
0'767896
0'734829
0'703185
0'672904
k0'643928
0'616199
. 0'589664
!0'564272
!0'539973
0'516720
0'494469
j 0'473176
0'452800
0'433302
0'414643
5A
0'952381
0'907029
0'863838
0'822702
,0'783526
0'746215
0'710681
0'676839
0'644609
0'613913
0'584679
0'556837
0'530321
0'505068
0'481017
0'458112
0'436297
0'415521
0'395734
0'376889
195
2^
2z^
3^ 4L
Zeit-
peri¬
oden
21
22 >
23
24
25
0'659776
0'646839
0'634156
0'621721
0'609531
26
27
28
29
30
0'597579
0'585862
0'574375
0'563112
0'552071
0'595386
0'580865
0'566697
0'552875
0'539391
0'526235
0'513400
0'500878
0'488661
0'476743
0'537549
0'521893
0'506692
0'491934
0'477606
0'463 695
0'450189
0'437077
0'424346
0'411987
0'438834
0'421955
0'405726
0'390121
0'375117
0'360689
0'346817
0'333477
0'320651
0'308319
4^ A
0'396787
0'379701
0'363350
0'347704
0'332731
0'318403
0'304691
0'291571
0'279015
0'267000
5A
0'358942
0'341850
0'325571
0'310068
0'295303
0'281241
0'267848
0'255094
0'242946
0'231377
1. Wieviel sind 4000 k, nach 5 Jahren zahlbar, bei ganzjähriger
Kapitalisation zu 4A Zinseszins, gegenwärtig, d. i. um 5 Jahre
früher wert?
Für 5 Zeitperioden und 4A hat 1 14 den gegenwärtigen Wert
von 0'821927 14; daher 4000 14
0'821927 14 X 4000 — 3287'708 14 --- 3287 14 71 b.
2. Wie groß ist der Barwert
-st von 3000 14 a 3L Zz. nach 6 Jahren zahlbar,
b) „ 1970 „ „ 4A „ „ 12.
e) von 11330 a 14 5L Zz. nach 20 Jahren zahlbar,
6) „ 33870 „ „ 4^ „ „ 22 „ „ ,
s) „ 8450^-,, 3L „ „ 18 „ „ ?
3. Welchen gegenwärtigen Wert haben bei Berechnung von Zinseszinsen
a) 5540 14 ü 4H zahlbar nach 15 Zeitperioden,
b) 3059 „ „5^ „ „ 30
o) 8480 „ „ 2z„ 28
4. Jemand hat 4850 14, welche nach 6 Jahren fällig sind, zu fordern;
wieviel wird er für seine Forderung jetzt erhalten, wenn 4L
Zinseszinsen gerechnet werden?"
5. Welches Kapital muß man zu 4 H Zins von Zins anlegen, damit es bei
halbjähriger Verzinsung in 12 Jahren auf 520014 anwachse? 114 hatte
vor 24 Zeitperioden bei 2 A den Wert von 0'621721 14; man hat
daher 0'621721 14X5200 — 3232'949 14 -- 3232 14 95 b.
6. Welches Kapital wird zu 5A Zinseszins bei halbjähriger Kapitali¬
sierung in 9 Jahren auf 5000 14 anwachsen?
7. Welchen Wert hatten 536014 vor 12 Jahren, 5L Zinseszins und
a) ganzjährige, b) halbjährige Kapitalisation vorausgesetzt?
8. Ein Kapital hat sich bei 4A Zinseszins in 16 Jahren auf 36400 14
vergrößert; wieviel betrug das ursprüngliche Kapital?
18*
196
9. Jemand will nach 15 Jahren 8000 L erhalten; a) wieviel muß er zu
diesem Zwecke gegenwärtig bei 4A Zinseszins und ganzjähriger
Verzinsung anlegen; b) wieviel bei halbjähriger Kapitalisation?
10. Welches Kapital muß ein Vater für sein einjähriges Kind in eine
Sparkasse einlegen, die mit 3Z^ verzinst und ganzjährig die Zinsen
kapitalisiert, damit sein Kind nach Vollendung des 20. Lebensjahres
6000 I< ausbezahlt erhält?
11. Die Waisenkasse, die mit 4A verzinst und ganzjährig kapitalisiert,
zahlt an eine Waise bei Erreichung des 24. Lebensjahres 8650'78 L
aus; welches Kapital ist für die Waise bei Vollendung des
10. Lebensjahres in die Kasse eingelegt worden?
12. Ein Wucherer kauft eine Forderung von 9350 lv, die erst nach
3^ Jahren fällig ist; wieviel gibt er dafür, wenn er 10 L Zinses¬
zinsen bei halbjähriger Kapitalisierung berechnet?
13. Es soll ein Krankenhaus für 120000 X erbaut werden. Wie groß
ist gegenwärtig der Baufond, wenn er noch 12 Jahre bei 4A Zinses¬
zinsen und ganzjähriger (halbjähriger) Kapitalisierung angelegt sein
muß, um die erforderliche Summe zu ergeben?
14. Eine Stadt hat gegenwärtig 18350 Einwohner; wie groß war die
Bevölkerung vor 12 Jahren bei einer jährlichen Zunahme von 2 ^ ?
15. Jemand hat die Obliegenheit, durch 4 Jahre am Schlüsse eines
jeden Jahres 500 Iv zu bezahlen; wieviel muß er bei 4K Zinses¬
zins und ganzjähriger Kapitalisierung sogleich zahlen, um sich
dieser ganzen Verpflichtung zu entledigen?
Die ersten 500 k sind hier um 1 Jahr früher, die zweiten
um 2, die dritten um 3, die vierten um 4 Jahre früher zu ent¬
richten; man hat also
0'961538X500
0'924556X500
0'888996X500
0'854804 X 500
3'629894 X 500 —1814'95 bi.
Nach Fr. Schischliks Methode:
Dieser Wert läßt sich aus dem Abzinsungsfaktor des 4. Jahres
schnell finden. Ist 0'854804 der Abzinsungsfaktor des 4. Jahres
(4A) und werden am Anfang des ersten Jahres 0'854804 Iv -f-
-s- 0'145196 L, also zusammen 1 Li eingelegt, so erzielt man
hiedurch 1 L Endkapital und eine nachschüssige Teilzahlung
(Rente) per 4 b. Die Zahl 0'145196 stellt sonach den Barwert
von 4 Teilzahlungen L 4 ü vor, woraus dann der Barwert der
Rente per 500 Li leicht zu finden ist.
197
Eine Rente per 4 b hat den Barwert non 0'145196
„ „ „ 1 b „ „ „ „ 0'036299 L,
„ „ „ 1 „ „ 3 6299 L,
„ „ „ 500 L „ „ „ „ 36299X500 —
— 1814'95 X.
16. Jemand will durch 5 Jahre eine jährliche Summe (Jahres¬
rente) von 1000 L beziehen; wieviel Kapital muß er zu diesem
Ende anlegen, wenn die Zinsen 5L betragen und ganzjährig zum
Kapitale geschlagen werden?
17. Jemand will durch 4 Jahre nach Ablauf jedes Jahres 850
beziehen; welchen Betrag muß er dafür sogleich erlegen, wenn man
5L ganzjährige Zinsen rechnet?
18. Eine durch 11 Jahre nachschußweise zahlbare jährliche Rente von
400 H wird sogleich bar gegen ganzjährige 5L Zinseszinsen
abgelöst; wieviel beträgt die Ablösung?
19. Welchen Barwert hat eine durch 8 Jahre am Ende eines jeden
Jahres mit 250 I( zu leistende Rente bei 4^ Zinseszins?
20. Welches Kapital gewährt zu 4^ Zinseszins auf 8 Jahre eine
nachschußweise zahlbare jährliche Rente von 620 14?
21. Jemand übernimmt ein Haus mit der Verpflichtung, dem bisherigen
Besitzer 15 Jahre hintereinander eine nachschußweise Rente von
1200 H auszuzahlen; wie hoch wurde das Haus veranschlagt,
wenn 5L Zinseszinsen gerechnet werden?
IV. Berechnung der Münzen.
1. Münzwesen.
(Anschauungsmittel: Die österreichischen und gebräuchlichsten
ausländischen Münzen und Münzen-Reliefkarten.)
Das allgemeine Mittel zur Wertbestimmung und zum Eintausch
der verschiedenen Gegenstände heißt Geld. Ein aus Metall geprägtes
Geldstück heißt Münze. An jeder Münze ist zu unterscheiden:
1. Das Gepräge, das sind die Inschriften und die Abbildungen,
welche die Münze in erhabener Arbeit trägt. (Vorder- oder Aversseite,
Rück- oder Reversseite.) 2. Das Metall, aus dem die Münze geprägt
ist. Zu niederen Scheidemünzen verwendet man in Österreich Bronze
und Nickel, zu höheren Silber. Wertvollere Münzen werden aus
Gold geprägt; Gold und Silber werden wegen ihrer Weichheit
gewöhnlich mit Kupfer legiert. Legiertes Gold heißt Rauh-, Rohgold,
legiertes Silber Rauh-, Rohsilber. 3. Das Gewicht. Das ganze
Gewicht einer legierten Metallmasse heißt ihr Rauhgewicht (Roh¬
gewicht), das Gewicht des in der Legierung enthaltenen Edelmetalles
ihr F e i n g ewicht. Das Rauhgewicht einer Münze pflegt man Schrot,
ihr Feingewicht Korn zu nennen.
198
Als Münzgewicht dient in Österreich-Ungarn das Kilogramm
(das Handelsgewicht) mit seinen Unterteilungen.
4. Die Feinheit, d. i. das Verhältnis des Feingewichtes
(Kornes) zum Rohgewichte (Schrote) einer legierten Metallmasse.
Man drückt die Feinheit durch einen Bruch aus, dessen Zähler das Korn und
dessen Nenner das Schrot ist.
In den meisten Staaten geschieht diese Angabe sowie in Österreich-
Ungarn in Tausend teilen; z. B. der Feingehalt der österr. Zehn¬
kronenstücke ist AA, heißt: in 1000 Gramm Münzgold (Legierung) sind
900 Gramm Feingold (Edelmetall) und 100 Gramm Kupfer enthalten.
Für Gold- und Silbcrwaren gelten in Österreich folgende Feinheitsgrade:
Gold Nr. 1 . . . 0'920 Silber Nr. 1 . . . 0'950
„ „ 2 . . . 0'840 „ „ 2 . . . 0'900
„ „ 8 . . . 0'750 „ „ 3 . . . 0'800
„ „ 4 . . . 0'580 „ „ 4 . . . 0'750
Die Feinheit wird durch amtlich eingepreßte Zeichen (Punzen) beglaubigt.
Das Geld, nach welchem in einem Staate gerechnet wird, heißt
Rechnungsmünze dieses Staates.
Unter Wä h ru n g (V a luta) versteht man diejenige Geldart, die ge¬
setzlich oder tatsächlich als allgemeines Zahlungsmittel gilt. Je nachdem
diese Geldart aus einein der beiden Edelmetalle Gold oder Silber her¬
gestellt ist, nennt man die Währung eineGold-oder Silberwährung.
Jeder Staat prägt neben dem eigentlichen Währungs- oder Kurant-
gelde auch minderwertiges Geld, Scheidemünze genannt. Die
Scheidemünzen haben nicht den Wert, auf den sie lauten, brauchen daher
nur in beschränkten Beträgen in Zahlung genommen werden. Sie sind
nur zum Ausgleiche der kleinen Verrechnungen im täglichen Verkehre be¬
stimmt; zu ihrer Herstellung verwendet man Silber, Nickel oder Bronze.
Unsere Monarchie hat die Goldwährung, deren Rechnungseinheit
die Goldkrone, d. i. der zehnte Teil eines Zehnkronenstückes, ist.
Die Krone (14) wird in 100 Heller (b) eingeteilt.
s) Die Landesgoldmünzen werden im Mischungsverhältnisse
von 900 Tausendteilen Gold und 100 Tausendteilen Kupfer ausgeprägt.
Auf 1 LA Münzgold gehen 2952 Kronen, demnach enthalten 3280
Kronen 1 LA Feingold.
Von Landesgoldmünzen werden ausgeprägt: Zwanzigkronen¬
stücke und Zehnkronenstücke.
Aus 1 LA Feingold werden 164 Stücke zu 20 14, beziehungs¬
weise 328 Stücke zu 10 14 geprägt.
Das Zwanzigkronenstück hat sonach ein Rohgewicht von 6'775A
und ein Feingewicht von 6'098A, das Zehnkronenstück ein Rohgewicht
von 3'3875 A und ein Feingewicht von 3'049 .A.
199
b) Außer den Landesgoldmünzen werden folgende Scheide¬
münzen der Kronenwährung ausgeprägt:
1. Silbermünzen: Einkronenstücke und Fünfkronenstllcke.
2. Nickelmünzen: H Zwanzighellerstücke, b) Zehnhellerstücke.
3. Vronzemünzen: H Zweihellerstücke, b) Einhellerstücke.
Die Einkronenstücke werden im Mischungsverhältnisse von 835
Tausendteilen Silber und 165 Tausendteilen Kupfer ausgeprägt.
Aus 1 LA Münzsilber werden 200 Einkronenstücke ausgeprägt.
Es haben demnach die Einkronenstücke ein Gewicht von 5 A.
Die Fünfkronenstücke enthalten 21'6 A Feinsilber und 2'4 A
Kupfer; sie haben eine Feinheit von 0'900.
o) Die Silbergulden aus der Zeit der Silberwährung bleiben bis
auf weiteres im Umlaufe. (1 fl. 2 L)
Hinsichtlich des Privatverkehres ist niemand verpflichtet, Einkronenstücke im
Betrage von mehr als 50 L, Nickelmünzen im Betrage von mehr als 10 L und
Bronzemünzen im Betrage von mehr als 1 L in Zahlung anzunehmen.
Das Zwanzigkronenstück hat 21 mm, das Zehnkronenstück 19 MM, das Fünf-
kronenstück 86 MM, das Einkronenstück 23 MM. das Zwanzighellerstück 21 MM, das
Zehnhellerstück 19 MM, das Zweihellerstück 19 MM und das Einhellerstück 17 MM
D urch m e s s e r. Das Zwanzigkronenstück w i e g t 6'775 A, das Zehnkronenstück 3'387 §,
das Fünfkronenstück 24 A, das Einkronenstück 5 A, das Zwanzighellerstück 4 A, das
Zehnhellerstück 3 A, das Zweihellerstück 3 y und das Einhellerstück 1Z g.
ä) Handelsmünzen sind solche Münzen, welche weniger für
den Verkehr im Inlands als vielmehr im Interesse des Handels mit
dem Auslande geprägt werden; sie haben einen veränderlichen Wert,
Kurs, welcher sich nach den Bedürfnissen des Handels richtet. Als
Handelsmünzen sind im Verkehr in Gold: Kaiserliche Dukaten
(290'5 Stück aus 1 LA Feingold, 0'986 fein); in S ilb e r: die sogenannten
MariaTheresientaler mit dem Bildnis der Kaiserin Maria Theresia
und der Jahreszahl 1780 (42'75 Stück aus 1 LA Feinsilber, 0'833 fein).
Letztgenannte Silbermünze geht im Handel nach dem Orient.
Außerdem hat man in Österreich-Ungarn folgende Papiergeld¬
werte: Banknoten zn 10, 20, 50, 100 und 1000 U.
Die gesetzlichen Bestimmungen Uber Gewicht, Feinheit, Ein-
te ilunq und Ausprägung der Münzen nennt man Münzfuß.
Man unterscheidet einen dreifachen Wert der Münzen: 1. den
inneren oder Metallwert, 2. den gesetzlichen oder Nominal¬
wert, d. i. der vom Staate für den Umlauf bestimmte Wert und
3. den nach der größeren oder geringeren Nachfrage veränderten Handels-
oder Kurswert der Handelsmünzen und des fremden Geldes.
Wird in einem Staate der Wert sämtlicher Münzen nach einer
Silbermünze bestimmt, so sagt man, der Staat habe die Silber¬
währung, z. B. Rußland; liegt dagegen dem Geldsystem eine Gold¬
münze zugrunde, so daß die Silbermünzen nur Scheidemünzen sind,
200
so sagt man, der Staat habe die Goldwährung, z. B. Österreich,
Deutschland, England. In Österreich liegt der Goldwährung
die Goldkrone zugrunde. Ist endlich in einem Staate, wie z. B.
in Frankreich, das Wertverhältnis zwischen Gold- und Silbermünzen
gesetzlich bestimmt, so daß es jedem sreisteht, in welchem Metall er
zahlen will, so sagt man, der Staat habe die Doppelwährung.
Gewisse Münzsorten, besonders die Goldmünzen, genießen entweder
wegen ihres größeren inneren Gehaltes oder wegen ihrer größeren Beliebt¬
heit ein Aufgeld über ihren gesetzlichen oder Rechnungswert. Dieses
Aufgeld heißt Agio und wird in Prozenten von Hundert der besseren
Münzsorte berechnet.
2. Die Münzrechnung.
Die wichtigsten ausländischen Rechnungsmünzen:
1. Das Deutsche Reich rechnet in Goldwährung nach Mark
(N) a 100 Pfennige (Lk, A).
1 Ly Feingold — 2790 Mark. Da aus 1 Feingold bei uns 3280 X
geprägt werden, so sind 2790 Mark — 3280 X oder
1 N --- 1'1756 X, 1X^0'8506 N.
2. England: Die englische Goldwährung hat zur Grundlage
das Pfund Livre-Sterling, als Münze Sovereign (spr. Söverin) genannt.
46D Sovereigns wiegen 1 Troy-Pfund — 373'24 zu bezahlen, wovon auf Käufer und Verkäufer
je die Hälfte entfällt.
1. Berechne den Kaufpreis (Verkaufpreis) folgender Münzgattungen:
ch 175 Stück kais. Randdukaten,
b) 128 20-Mark-Stücke,
o) 34 10-Mark-Stücke,
ä) 45 20-Frank-Stücke,
6) 27 10-Frank-Stücke,
k) 150 engl. Sovereigns,
Z) 463 Deutsche Reichsbanknoten,
ü) 1280 Lire in Banknoten!
2. Jemand kauft zu den vorstehenden Kursen ch 135 Stück Münz-
Dukaten, b) 45 Sovereigns; wieviel Kronen hat er dafür zu zahlen?
3. Wieviel Kronen erhält man zu den obigen Kursen für verkaufte a) 120
Zwanzigfrankstücke, b) 135 Zwanzigmarkstücke, o) 86 Papier-Rubel?
4. Ein Kommissionär kauft 75 Zwanzigfrankstücke im Kurse zu 19'8211
und rechnet Provision; auf welchen Betrag lautet die Rechnung?
5. Für 53 Zwanzigfrankstücke zahlt jemand eine Banknote von 1000 II
und erhält 17'8 11 zurück; zu welchem Kurse wurde gekauft?
6. Für 440 Stück Dukaten werden mit Einrechnung von Z°/«g Sensarie
4930II 46 b gezahlt; zu welchem Kurse wurden die Dukaten gerechnet?
7. Wieviel Kronen sind s.) für 120 Franken, b) für 365 Mark zu
obigem Kurse zu zahlen?
8. Zu welchem Kurse werden 42 Zwanzigfrankstücke gekauft, wenn sie
mit 829'92 II bezahlt werden?
9. Wieviel deutsche Reichsmark bekommt man für 2852 II 90 ü?
10. Man wechselt a) 643'5 LI, b) 537 bü, o) 67^ L in österreichische
Kronen um; wieviel erhält man insgesamt?
11. Jemand läßt 800 Pfund Sterling kaufen und zahlt dafür samt
^°/g, Sensarie 19409 II 70 ü; zu welchem Kurse ist gekauft worden?
12. Jemand ist in Frankfurt 8000 Mark schuldig; er kauft sie mit
2°/,o Sensarie; wieviel hat er zu zahlen?
13. Ein Sensal kauft im Auftrage 640 Sovereigns und 180 russische
Fünfrubel-Stücke (zum Kurse 12'65); wieviel hat er bei
Sensarie zu fordern?
14. Wieviel Münz-Dukaten kann man nach dem Kurse unseres Kurs¬
blattes für 1000 Kronen kaufen?
15. L läßt durch einen Sensalen 1500 Achtgulden-Goldstücke verkaufen;
wie groß ist die Einnahme zum Kurse 19'12 bei Sensarie?
16. Wenn kaiserliche Dukaten im Kurse von 11'31 auf 11'43 steigen,
wieviel L beträgt die Kurssteigerung?
206
17. Wieviel A beträgt das Goldagio, wenn das 8 fl.-Goldstück auf 19'16
steht? (Ein 8 fl.-Goldstück 19'16 L Papier 19'045 L Gold.)
18. Ein Schmuck aus Gold Nr. III wiegt 75 A. Wieviel kostet er,
wenn die Fasson 40 A des Metallwertes beträgt?
19. Ein Schmuck aus Gold Nr. II wiegt 3'5 ciLy; welchen Goldwert
hat derselbe, wenn 1 feines Gold mit 3280 14 gerechnet wird?
20. Wie schwer ist eine Kette aus Gold Nr. III, wenn der Gold¬
wert derselben 147 14 33 b beträgt? (Das/cA Feingold zu 328014
mit 0'18L Abzug.)
VII. Berechnung der Wechsel und Wertpapiere.
Schuldschein und Quittung.
Geschäftsfall: Max Richter in Wien kauft von Franz Haas da¬
selbst um 2000 14 Hüte und verpflichtet sich, die Hutlieferung nach
2 Monaten bar zu bezahlen.
Im Vertrauensfalle begnügt sich der Verkäufer mit dem einfachen mündlichen
oder brieflichen Zahlungsversprechen; sicherer ist es, vom Käufer eine schriftliche
Urkunde, Schuldschein genannt, zu verlangen; sie lautet:
Stempel
Schuldschein
über Krone n zweitausend d. i. 2000 14,
die ich Unterzeichneter
dem Herrn Franz Haas, Huterzeuger in Wien, für die mir heute
gelieferten 250 Hüte schuldig bin. Ich verpflichte mich hiemit, die
ganze Summe von heute ab nach 2 Monaten bar zu be¬
zahlen und, falls ich diesen Zahlungstermin nicht einhalten sollte,
von da ab Verzugszinsen zu fünf Prozent zu entrichten.
Wien, am 4. Jänner 1909.
Max Richter,
Huthändler, wohnhaft
in Wien.
Mit welchem Stempel (nach Skala II) ist dieser Schuldschein zu
versehen? (Die Stempelskalen find in jedem Kalender zu finden.) —
Falls Max Richter am 4. März 1909 diese Schuld bezahlt, bestätigt
ihm Franz Haas den Empfang durch Ausstellung einer Quittung
(Stempel nach Skala II) unter Ausfolgung des Schuldscheines.
Stempel
7 L 50 b
Quittung
über Kronen zweitausend d. i. 2000 14, die ich von Herrn Max Richter,
Huthändler in Wien, für die ihm am 4. Jänner 1908 gelieferten
Hüte heute bar erhalten habe.
Wien, am 4. März 1909. Franz Haas,
Huterzeuger.
207
Im Falle jedoch Max Richter nach Ablauf der Zahlungsfrist trotz
wiederholter Aufforderung seine Schuld nicht bezahlt, muß Franz Haas
als Gläubiger gegen Max Richter beim zuständigen Bezirksgerichte die
Klage überreichen.
Dieser Weg ist kostspielig und oft langwierig; deshalb gebraucht man
in der Geschäftswelt eine besondere Art von Schuldurkunden, Wechsel
genannt, die gesetzlich eine schnelle und sichere Rechtsoerfolgung gewähren.
1. Wechselkunde.
Für diesen Geschäftsfall lautet der Wechsel:
Angenommen, Franz Haas ist dem Baumeister Karl Sitte
2000 L schuldig und er will die Bezahlung durch seinen Schuldner
Max Richter veranlassen; die Aufforderung dazu kann in folgendem
Wechsel lauten:
ll/rui, am. 7. ./ä-r-ron 7999. /'s»" 2999 Kno-re-r.
Dnsr ri/rn/r >ra/r/oar Ko AM/o-r Kose»
a». Ko O/r/en ckss Konna Ko
L'n»rn?6 NM
rn llrr/rrt an/7 o/o/io-r 7/r-r «n/' TTstl/EUNA
(«K 77e-7Ki.
An. //onnno M-rae
lllro-r.
d)
Eine Urkunde, in der sich der Aussteller unter wechselrechtlicher
Haftung verpflichtet, eine bestimmte Geldsumme an eine gewisse Person
zu einer bestimmten Zeit entweder selbst zu zahlen oder durch eine
dritte Person zahlen zu lassen, wird Wechsel genannt. Die
wesentlichenMerkmale einesWechsels sind: 1. Ort und Datum
der Ausstellung, 2. die Wechselsumme in Ziffern und Buchstaben, 3. die
Zeit der Zahlung (der Verfallstag), 4. der Name des Wechselschuldners,
5. das Wort „Wechsel" im Texte, 6. der Name des Wechselgläubigers
lind 7. die Unterschrift des Ausstellers (des Trassanten).
Rücksichtlich des Zahlers unterscheidet man 1. eigene Wechsel
und 2. fremde (gezogene oder trassierte) Wechsel.
20»
Bei fremden Wechseln ist der Aussteller verpflichtet, auf Ver¬
langen des Übernehmers mehrere gleichlautende Exemplare des Wechsels
auszufolgen, die darin als Urima, Sekunda, lertia bezeichnet werden.
Von diesen wird zuerst die llrima versendet, und wenn diese verloren
ginge, die Sekunda usf. Diese Vervielfältigung findet nicht statt bei
eigenen Wechseln, die darum auch Sola-Wechsel (Einzelwechsel) heißen.
Eigene Wechsel heißen jene, in denen sich der Aussteller ver¬
pflichtet, die Wechselsumme selbst zu zahlen.
Der Schuldner ist dann nach „Wechselstrenge", d. i. nach den strengen
Bestimmungen des Wechselrechtes, verpflichtet, nach zwei Monaten dem
Inhaber dieses Wechsels die darin genannte Summe zu zahlen. Wird
die Wechselsumme nicht rechtzeitig gezahlt, dann tritt eine sehr schnelle
Rechtshilfe durch ein eigenes Gericht, das Handelsgericht ein, so daß
der Wechselinhaber schon nach wenigen Wochen die ganze Schuldsumme
erhält. Bei Nichteinhaltung der in einem gewöhnlichen Schuldscheine
ausgesprochenen Verpflichtung dagegen dauert es bis zur Zahlung des
Schuldbetrages viele Monate, weil zunächst die Kündigung des Schuld¬
betrages erfolgen muß (in der Regel 3 Monate), worauf erst die Klage
beim Bezirksgerichte überreicht werden kann.
In einem eigenen Wechsel sind wenigstens zwei Personen genannt:
1. der Aussteller, der sich zur Zahlung der Wechselsumme verpflichtet
(hier Richter); 2. der Remittent oder der erste Inhaber des Wechsels,
dem sich der Aussteller die Zahlung zu leisten verpflichtet (hier Haas).
Gezogene oder trassierte Wechsel sind solche Wechsel, in
denen sich der Aussteller verpflichtet, die Wechselsumme durch eine
-ritte Person zahlen zu lassen. Z. B.: E. Fischer in Wien erhält
von H. Wittgen in Reichenberg Waren im Betrage von 1200 L,
zahlbar nach drei Monaten. In Wien wohnt aber der Kaufmann
I. Moser, der selbst wieder ein Schuldner des Fischer ist. Statt daß
Fischer die Summe selber an seinen Reichenberger Gläubiger zahlt,
verpflichtet er den Moser zu dieser Zahlung durch folgenden Wechsel:
Diesen Wechsel präsentiert Fischer oder Wittgen dem Moser
zur Annahme. Moser erklärt sich durch seine Unterschrift auf dem
Wechsel zur Zahlung bereit, d. h. er akzeptiert den Wechsel mit den
Worten „Angenommen oder akzeptiert: Josef Moser."
kKratt, M» IS. 2969. 1299 HonM.
D/oi Mvrrrrt« -i-rro/t Herrt« Ke AöAen cksse/r
//. K / ckr'ö vo-r
Zurita
r'-r l llr'e »,.
209
Bei einem fremden Wechsel kommen im allgemeinen vier Bezeich¬
nungen für die in Rede stehenden drei Personen vor: 1. der Aus¬
steller oder Trassant (hier Fischer); 2. der Bezogene oder Trassat,
der, wenn er sich zur Zahlung verpflichtet hat, Akzeptant heißt (hier
Moser); 3. der eigentliche Wechselgläubiger, auch Remittent
oder Präsentant genannt (hier Wittgen).
Von den Abarten des gezogenen Wechsels sind in der Geschäfts¬
welt die Wechsel auf eigene Order, in welcher der Gläubiger selbst
der Aussteller ist, sehr beliebt.
Der erste (Seite 207) angeführte Wechsel könnte demgemäß auch
so lauten:
Mrerr, «m -7. -Mr-re-' FU-- MM /Oo-re-r.
Sre-s» Zrerrls -m/r/s/r ä7e ASAS-r -Uess-r
DM-»«- «ir ck'e O-cks-' sir-r -rrer-re
er^e-re ck'e Krr--r-rre vo-r L- r-tte-r.
//e-'-'-r M«sv Lro/rte»' ?r-6--. Lrr««.
^-rAS-roM--rs-r:
Ein Kaufmann nennt jene Wechsel, die er zu zahlen hat, Tratten,
jene aber, die ihm bezahlt werden müssen, Rimessen.
Die im Wechsel bestimmte Zeit zur Zahlung der Wechselsumme,
d. i. die Verfallszeit, kann auf verschiedene Arten festgesetzt werden:
n) Auf einen bestimmten Tag, z. B.: 8. Mai d. I., meäio
Mai d. I. (unter msäio versteht man immer den 15. des Monats),
ultimo Mai d. I. (31. Mai), ultimo Juni (30. Juni).
b) Auf eine bestimmte Zeit nach dem Tage der Aus¬
stellung, z. B. 2 Monate a dato, d. i. 2 Monate nach heute.
o) Nach Sicht, z. B. 8 Tage nach Sicht, d. h. 8 Tage, nachdem
der Wechsel zur Akzeptation präsentiert worden ist. (Bei Sichtwechseln
muß das Datum der Akzeptation beigesetzt werden.)
ä) Auf einen bestimmten Jahrmarkt (Markt- oder Meßwechsel).
Damit der Wechsel als kaufmännisches Zahlungsmittel
in ausgedehntestem Umfange verwendet werden könne, ist der Remittent
berechtigt, den Wechsel samt den ihm daraus zustehenden Rechten einem
andern abzutreten. Das Übertragen der Rechte des Wechselinhabers
an einen andern heißt indossieren oder girieren;*) es geschieht
durch eine schriftliche Erklärung auf der Rückseite des Wechsels,
Indossament oder Giro genannt, wie aus folgendem Beispiel er¬
sichtlich ist:
*) Im Volksmunde nennt man das Gutstehen oder Bürgen für einen andern
auch girieren.
Moonik-Halbgebauer, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. j
210
Rückseite des Wechsels.
Am Verfallstage wird der Wechsel von dem Eigentümer (Remittenten)
dem Akzeptanten zur Zahlung präsentiert. Zahlt der Schuldner,
so erhält er den Wechsel mit dem Vermerk „saldiert" oder „paar aegnit"
zurück und kann ihn vernichten.
Wenn ein Wechsel nicht zur rechten Zeit bezahlt wird, so muß
dies durch den Richter oder einen Notar bescheinigt werden. Diese
Bescheinigung heißt Wechselprotest. Wurde der Wechsel protestiert,
so muß der Besitzer und jeder, der den Wechsel hatte, dies seinem Nor¬
manne (d. i. dem, von dem er den Wechsel bekommen hat) binnen
2 Tagen mittels Einschreibbrief melden.
Erst nach Aufnahme des Protestes ist ein Regreß möglich. Unter
Regreß versteht man den Rückgriff auf frühere Besitzer und den Aus¬
steller des Wechsels. Solange der Wechsel nicht bezahlt ist, haften alle
früheren Besitzer mit dem Akzeptanten und dem Aussteller für die
Bezahlung. Sie alle sind regreßpflichtig und es steht im Willen des
Regreßberechtigten, sich an den Vordermann zu halten oder ob er alle
zugleich angreifen will. Wechselprozesse sind äußerst streng und schleunig.
Die Hinausschiebung des Zahlungstages eines Wechsels heißt
Prolongation des Wechsels; sie wird dem Akzeptanten gewöhnlich
nur vom Aussteller eines nicht girierten Wechsels gewährt, da ein
anderer Wechselinhaber dadurch sein Regreßrecht verlieren würde.
2. Wechselrechnung.
s) Wechseldiskont.
Wechsel, die auf die Valuta des eigenen Handelsplatzes lauten und
daselbst zahlbar sind, heißen Platzwechsel. Wenn ein Platzwechsel
vor dem Verfallstage verkauft wird, so muß sich der Verkäufer wegen
der früheren Bezahlung einen Abzug gefallen lassen, der von der Zeit
abhängt, die der Wechsel noch zu laufen hat und von der Höhe des
ausbedungenen Prozentsatzes. Dieser Abzug heißt Diskont. Einen
Wechsel vor der Verfallszeit gegen Abzug des Diskontes verkaufen,
heißt denselben diskontieren.
Der Wechseldiskont wird in Prozenten für ein Jahr angegeben
und von der Höhe der Wechselsumme nach der Prozentrechnung von
Hundert bestimmt, da die Laufzeit der Wechsel sehr gering ist. Man
berechnet daher den Wechseldiskont für die Zeit vom Kauftage bis
211
zum Verfallstag wie die Zinsen auf Tage, rechnet jedoch bei Ausmitt¬
lung der Tage jeden Monat zu so viel Tagen, als er nach dem Kalender
hat; doch wird das Jahr östers auch zu 360 Tagen angenommen.
Für Beträge unter 50 b wird kein Diskont gerechnet; für Beträge
aber von 50 ll bis zu einer Krone wird der Diskont für eine Krone
gezahlt. Z. B.: Für 265 L 28 ll werden 2651^, für 265 L 57 b aber
266 L angenommen.
1. Ein Platzwechsel von 350 L, fällig am 20. Juni, wird am 23. April
mit 4ZA Diskont verkauft; wieviel beträgt a) der Diskont, b) der
diskontierte Wert?
Diskontierungstag 23. April
Verfallstag 20. Juni
im April 7 Tage
„ Mai 31 „
„ Juni^20 „
zusammen 58 Diskonttage.
350L geben zu 4z Lin 58 Tagen--- ' ' L-2'54LZinsen;
360
Wechselsumme. 350'— L
ab 4ZL Diskont für 58 Tage. 2'54 „
Diskontierter Wert 347'46 It
Im praktischen Leben berechnet man den Diskont nach der bekannten Regel:
o- r Zinsheller X "/» X Tage
Zinsen für Tage --- --- -- -
Allgemein : Die Zinsen für eine bestimmte Anzahl von Tagen sind
gleich dem Produkte aus den Zinshcllern, dem Zinsfuß und der Zahl der
Tage, dividiert durch 360.
2. Ein Wechsel von 1565 1L, der nach 24 Tagen zahlbar ist, wird zu
4z L diskontiert; wie groß ist a) der Diskont, b) der diskon¬
tierte Wert?
3. Berechne den Diskont und den diskontierten Wert für folgende
Wechsel:
5. Man- kauft am 4. Jänner einen Wechsel pr. 300 L, fällig moäio
Feber, mit 4zL Diskont; wieviel ist dafür zu zahlen?
6. Ein Wechsel über 2844 Mark, zahlbar 14 Tage nach Sicht, akzeptiert
am 25. September, wird am 1. Oktober mit 4L Diskont verkauft;
wieviel nimmt man dafür ein?
7. Welchen Wert hat am 22. Mai bei 4zL Diskont ein Wechsel von
655 K, zahlbar ultimo Juni?
14*
212
8. Ein am 12. Juli 3 Monate a äuto ausgestellter Wechsel pr.
2517'88 L wird am 26. August mit4;L diskontiert; wieviel be-
trägt der diskontierte Wert?
9. Am 25. Juni werden folgende Wechsel zu 4JL diskontiert:
5470 L auf F. Lang, pr. 20. Juli,
3088 „ „ K. Fritsche, vom 31. Mai, 2 Monate a äato,
970 „ „ G. Roth, 31 Tage nach Sicht, akzeptiert 12. Juni;
wie groß ist der diskontierte Wert dieser Wechsel?
10. Für einen am 2. April gekauften, ultimo Mai fälligen Wechsel beträgt
der Diskont zu 6L 24'19 LJ wie groß war die Wechselsumme?
b) Wechselreduktion.
Wechsel, die auf fremde Handelsplätze und gewöhnlich auch auf
eine fremde Währung lauten, heißen ausländische Wechsel oder
Devisen. Beim Ein- oder Verkaufe von Devisen muß nach einem
gegebenen Wechselkurse der Betrag des fremden Geldes (die Wechsel¬
valuta) in die eigene Währung, oder umgekehrt umgerechnet werden.
Diese Rechnung nennt man die Wechselreduktion.
Der Wechselkurs bezieht sich immer auf zwei Geldwährungen,
die des eigenen und die des fremdem Handelsplatzes; es wird nämlich
angegeben, daß für eine unveränderliche oder feste Summe der
fremden Valuta eine veränderliche, bald größere, bald geringere
Summe der eigenen Valuta geleistet wird. An den österreichischen
Börsen bilden immer 100 (für London 10) Einheiten des fremden
Geldes die feste Valuta. Der notierte Kurs gibt an, wieviel Kronen
dafür gezahlt oder empfangen werden. Wer in einer Bank 100 Franken
kauft, zahlt (für die „Ware") 96'05 L; wer aber 100 Franken in Wien
einwechselt, bekommt dafür (an „Geld") 95'92 L.
Auszug aus dem Kursblatt der Wiener Börse vom 6. Dezember 1907.
In den Kursblättern der verschiedenen Börsen werden die Wechsel¬
kurse entweder „u vistuJ d. i. für solche Wechsel notiert, welche sofort
nach der Vorweisung fällig sind; oder „für kurze Sicht", d. i. für
Wechsel mit 8 bis 10 Tagen Laufzeit; oder „für lange Sicht", das ist
für Wechsel mit einer Laufzeit von 2—3 Monaten. In dem Wiener
Kursblatts gelten alle Kurse für a vistu-Wechsel.
213
In den nachfolgenden Aufgaben beschränken wir uns auf Devisen,
deren Verfallszeit mit derjenigen, für welche der Kurs gilt, übereinstimmt.
1. Jemand kaufte zu den vorstehenden Kursen:
ch einen Wechsel auf Amsterdam pr. 2548 fl. holländisch,
b) „ „ ,, Zürich pr. 3050 Franken;
wieviel hatte er dafür zu zahlen?
2. Jemand verkaufte zu vorstehenden Kursen: u) einen Wechsel auf
Berlin pr. 4512 Mark, b) einen Wechsel auf London pr. 278 Pfund
Sterling; wieviel nahm er dafür ein?
3. Ein Wiener hat in Amsterdam eine Zahlung von 2360 fl. hol¬
ländisch zu leisten. Er will diese durch Übersendung eines Wechsels
begleichen, den er zum Kurse 206'40 Iv einkauft; wieviel muß er
für diesen Wechsel bezahlen?
4. Ein Wiener hat in Berlin 2915 Mark zu fordern und will diese
Forderung mittels eines Wechsels, den er auf seinen Schuldner
ausstellt und u 117'80 Iv für 100 Mark verkauft, an sich bringen;
wieviel nimmt er für diesen Wechsel ein?
5. Wenn in Berlin je 100 Li mit 84'5 Mark notiert sind, auf wie¬
viel Kronen müßte in Wien die Notierung für je 100 Mark lauten,
damit die beiden Notierungen gleichwertig feien?
6. Ein Wiener schuldet in London 161 12 8b ; er will diese Schuld
durch eine Rimesse berichtigen, die er L 249'70 (10 Pf. Sterling
— 249'70 L) einkauft; wieviel muß er dafür bezahlen?
7. Ein Pariser Kaufmann ist einem Prager 6044 L schuldig. Der
Prager trassiert zu 99'10; auf wieviel Franken ist die Tratte
auszustellen?
8. Wieviel kostet ein Wechsel auf Mailand per 5329 Lire zum Kurse
88'60 L für 100 Lire, wenn Z"/«» Sensarie gerechnet wird?
9. Berlin remittiert nach Wien 2772 L; wieviel zahlt es bei 1°/,o
Sensarie zum Kurse 85 (100 L — 85 Mark) für die Rimesse?
10. Mailand hat nach Wien 2450 Lire zu zahlen; Wien trassiert auf
Mailand. Wieviel erhält es für, die Tratte (Crtg. Z°/»o)?
11. Wien trassiert für eine Forderung von 7520 Li auf Paris zum
Kurse 95'32; wieviel lv erhält es (Crtg. Z"/»»)?
12. Für die Forderung von 7520 Li läßt sich Wien von Paris remit¬
tieren; wieviel I< erhält es zum Kurse Paris—Wien 104'80 (Crtg.
L»/
2 /00/ '
(Welche Einkassierungsart ist für Wien vorteilhafter?)
13. Für eine Schuld von 4807 fl. holl, nach Amsterdam läßt Wien auf
sich trassieren; wieviel L hat Wien zu zahlen, wenn der Kurs
Amsterdam-Wien 50'48 ist (Crtg. ^ü?
14. Wieviel hat Wien für 4807 fl. holl. Schuld nach Amsterdam zu
remittieren, wenn Wien auf Amsterdam 198'15 notiert E°/o° Crtg)?
(Welche Zahlungsart ist für Wien vorteilhafter?)
214
3. Effektenrechnung.
Wenn ein Staat genötigt ist, ein Anlehen aufzunehmen, so teilt
er, damit sich daran auch kleinere Kapitalisten beteiligen können, die
ganze Anlehenssumme in viele kleinere Beträge und stellt darüber den
Gläubigern Schuldverschreibungen aus, die Staatspapiere, auch
Staatsobligationen oder öffentliche Fondspapiere heißen.
Der Kapitalsbetrag, auf den ein Staatspapier lautet, heißt Nominal¬
wert (Nennwert). Die Staatspapiere find entweder verzinsliche
Obligationen, für die in bestimmten Zeiträumen (Terminen) die
Zinsen nach einem bestimmten Zinsfüße, und zwar gewöhnlich gegen
gedruckte Zinsanweisungen, Coupons*), ausgezahlt werden, oder Lose,
deren Erträgnis in bestimmten Gewinsten besteht, die in festgesetzten
Ziehungen entfallen. Einige Lose gewähren außer der Möglichkeit, einen
großen Gewinn zu machen, auch regelmäßige Zinsen.
Für großartige Unternehmungen, die sehr hohe Kapitalien erfor¬
dern, z. B. Eisenbahnbauten, Kreditkasfen, Berg- und Hüttenwerke,
bilden sich Gesellschaften, die das erforderliche Kapital, in kleinere gleiche
Teile geteilt, von vielen Geldbesitzern aufnehmen. Die Urkunde, die
dem Geldgeber für jede einzelne Geldeinlage ausgestellt wird, nennt man
Aktie und die Gesellschaft selbst Aktiengesellschaft. Das Erträgnis
der Aktien heißt Dividende. Außer den Aktien werden von den
Aktiengesellschaften häufig auch verzinsliche Schuldverschreibungen hinaus¬
gegeben, die zwar zu keinem Anteile am Gewinne berechtigen, dagegen
hinsichtlich der Verzinsung ein Vorrecht (Priorität) vor den Aktien
genießen. Sie heißen Prioritäts-Obligationen oder Prioritäten.
Schuldscheine, die von Banken und Kreditvereinen ausgestellt
werden und durch die dem Inhaber für seine Forderung die darin aus¬
gedrückte Hypotheken-Sicherheit geboten wird, heißen Pfandbriefe.
Die öffentlichen Fondspapiere, die Aktien, Prioritäten und Pfand¬
briefe werden mit dem gemeinschaftlichen Namen Effekten bezeichnet.
Die Effekten haben einen veränderlichen Wert, welcher Kurs
heißt und entweder für je 100 Einheiten des Nominalwertes
oder per Stück angegeben wird. An den österreichischen Börsen
werden die Kurse in Kronen, und zwar bei sämtlichen Aktien sowie
bei Privatlosen per Stück, dagegen bei allen Staatspapieren, Grund-
Ein Coupon hat ungefähr nachstehende Form.
215
entlastungs-Obligationen, Pfandbriefen und den meisten Prioritäts-
Obligationen für 100 Kronen des Nominalwertes notiert.
Beim Kaufe zinstragender Effekten müssen dem Verkäufer nebst
dem Kapitalwerte auch die noch nicht behobenen Zinsen vom letzten
Zinstermine bis zum Tage des Kaufes vergütet werden.
Bei der Berechnung des Einkaufs- oder Verkaufswertes
der Effekten verfährt man auf folgende Art:
1. Man bestimmt den Kurswert der Effekten, d. i. den Wert
derselben mit Rücksicht auf den Kurs.
2. Bei verzinslichen Staatspapieren berechnet man die Zinsen
vom letzten Zinstermine bis zum Kauftage und addiert sie zu dem
früher gefundenen Kurswerte. Der Monat wird dabei zu 30 Tagen
angenommen und der Kauftag nicht mitgezählt.
Die Zinsen der Effekten werden immer vom Nominalwerte
berechnet.
Bezüglich der in Silber und in Gold verzinslichen Effekten be¬
steht an den österreichischen Börsen die Übung, daß die laufenden Zinsen
ohne Zuschlag berechnet werden.
1. Folgende Lose sind ohne Zinserträgnis, a) Wieviel muß man für
sie beim Einkäufe zahlen? b) Wieviel erhält man dafür beim
Verkaufe zum nachstehenden Kurse?
2. Jemand verkaufte am 27. Juli 8 Stück Aktien der österr.-ungar.
Bank (Zinsen 5L seit 1. Juli, Nennwert 1400 Li), Kurs per Stück:
Geld 1682'—, Ware 1685; wieviel nahm er dafür ein?
8 Stück Aktien der österr-ungar. Bank .... 13456 Li — b
Zinsen von 8 Stück ä 1400 Li — 11.200 Li vom
1. Juli bis 27. Juli, d. i. für 26 Ta ge . . 40 „ 44 „
Einnahme: 13496 I^i 44 k
3. Am 27. Juli kaufte jemand 5000 Li österr. Goldrente (Zinsen 4A
seit 1. April) Kurs per 100 Li Nominalwert: Geld 122'20, Ware
122'40; wieviel muß er dafür zahlen?
Nominalwert 5000 Li,
Kurswert für 5000 Li österr. Goldrente L 122'40 6120 Li — b
4A Zinsen vom 1. April bis 27. Juli, d. i.
116 Tage von 5000 Li 64 „ 44 „
Zahlung: 6184 L 44 b
216
4. Am 6. August wurden verkauft:
a) 8 Stück Lose vom Jahre 1860, Nominalwert per Stück 1000 L,
Zinsen 4L seit 1. Mai, Kurs per 100 L: Geld 150'50, Ware 154'50;
d) 12000 L Papierrente, Zinsen seit 1. Mai (5A, davon 16 A
Einkommensteuer ab, daher 4'2^), Kurs per 100 L: Geld 98'95,
Ware 99'15;
o) 2400 L ungar. Goldrente, 4^ Zinsen seit 1. Juli, Kurs per
100 L: Geld 98'20, Ware 98'35.
Wie groß war die Einnahme für sämtliche Effekten?
5. Am 15. Oktober kauft jemand
a) 6 Stück Aktien der österr. Kreditanstalt, Nennwert 320 L, 5A
Zinsen feit 1. Juli, Kurs: Geld 699'75, Ware 700'75,
b) 3 Stück Aktien der österr. Nord-Westbahn L 400 l^, 5A Zinsen
seit 1. Juli, Kurs per Stück: Geld 496'50, Ware 498'50.
Wieviel ist für diese Effekten bei ö°/c>o Sensarie zu zahlen?
6. Am 11. August verkauft man
a) 10 Stück 4L-ige österreichische Kronenrente a 200 X, Zinsen seit
1. Mai, Kurs: Geld 97'90, Ware 98'10,
b) 8000 L 4ZA-ige Pfandbriefe der österreichischen Bodenkredit¬
anstalt, Zinsen seit 1. April, Kurs: 98'75, Ware 99'15.
Wie groß ist der Reinertrag bei ö"/«» Sensarie?
7. Am 28. August werden 2800 lL Silberrente gekauft, Kurs: Geld
98'10, Ware 98'45, Zinsen 4ZL seit 1. Juli; wieviel ist dafür
zu zahlen?
8. Wieviel muß man am 14. August für 3000 L ungarische Kronen¬
rente zahlen? (Zinsen zu 4L seit 1. Juni, Kurs: Geld 96'40,
Ware 96'50.)
9. Jemand verkauft am 13. Oktober 2000 tv Anleihe der Stadt Wien;
wieviel erhält er dafür? (Kurs: Geld 107'45, Ware 108'45; die
Zahlung von 4L Zinsen erfolgt am 1. Januar und 1. Juli.)
10. Zu wieviel Prozent verzinst sich das Geld, für welches man folgende
Effekten kauft:
a) 4'2 L Notenrente zum Kurse 99'35, b) 4A ungarische Kronen¬
rente zum Kurse 94'85, o) 4A Anleihe der Stadt Teplitz zum
Kurse 94'25, 6) 5 A Prioritäts-Obligationen der böhmischen
Nordbahn zum Kurse 108'5?
11. Welche Verzinsung ergeben folgende Wertpapiere:
ch 4^-ige österreichische Kronenrente zum Kurse 96'86,
b) 4^-ige Pfandbriefe der österreichisch-ungarischen Bank zum
Kurse 98'25,
e) 5^-ige Aktien der Staatseisenbahn-Gesellschaft a 672,
ä) 4^-ige Pfandbriefe der österreichischen allgemeinen Boden-
Kreditanstalt zum Kurse 95'60?
217
12. Wenn 4'2S-ige Obligationen auf 96'40 stehen, zu wieviel B ver¬
zinst sich ein in diesem Wertpapier angelegtes Kapital?
96'40 L Kapital bringen jährlich 4'2 L Zinsen usw.
13. Kauf: u) 6. Dezember, fl. 4000 österr. Währ. Mairente u 96'80,
Crtg. ^"/oo,
b) 12. November, L 12000 österreichische Kronenrente L 97'05,
Crtg. z°/o». Kursblatt S. 274.
14. Verkauf: a) 18. Februar, 12 Stück u 200 fl. Silber Obligationen
der Prager Eisenindustrie-Gesellschaft u 2387'—, Zins 5L vom
1. Juli, Crtg. 4°/o».
b) 28. März, L 7000 Jnvestitionsrente ü 91'65, Zins 3ZL vom
1. Feber und 1. August, Crtg. Z"/»,.
15. Wieviel erhält man am 24. Februar für 12 Stück Donauregulierungs¬
lose L 275'— pro Stück? (Nominalwert 100 fl. österreichischer
Währung, Zinsenberechnungstermin 1. Jänner, Zinsfuß 5A.)
16. Wieviel kosten am 16. September 8 Stück Aktien der österreichisch¬
ungarischen Bank ä. 1774? (Nominalwert 1400 L, 5 B Zinsen
ab 1. Juli.)
17. Am 21. März werden 60 Stück Prämieuanlehen der Stadt Wien
(Wiener Kommunallose) ä 490 gekauft. Wieviel hat man mit Sen-
sarie zu zahlen? (Der Kurs gilt pro Stück, die Sensarie 14 b
pro Stück.)
VIII. Gewerbliche Rechnungen.*)
1. Jemand versäumt täglich Arbeitsstunde; ch wieviel Tage zu
10 Arbeitsstunden beträgt dies in 5 Jahren u 300 Arbeitstage;
b) wieviel hätte er in dieser Zeit verdienen können, wenn die
Arbeitsstunde zu 70 b veranschlagt wird?
2. Ein Gewerbsmann erhält Rohstoffe im Betrage von 520 1v, zahl¬
bar nach 6 Monaten; er trägt aber am Verfallstage nur 200 Ll
ab und zahlt den Rest 4 Monate später samt den 5S Verzugs¬
zinsen; wieviel beträgt diese letztere Zahlung?
3. Berechne den Verkaufspreis für ein gewerbliches Erzeugnis, dessen
Materialwert 240 L beträgt, wenn der Arbeitslohn für 20 Tage
L 2'80 L berechnet und der Preiszuschlag für Regie und Kapital¬
zinsen mit 15^, der Gewinn mit 10 veranschlagt wird?
4. Ein Messerschmied verfertigt für sein Lager 1 Dutzend Scheren.
Hiezu braucht er: 1-Z LZ- Stahl L 1 L 40 b ; Draht um 20 b; Schmirgel
um 24 1t; Kohlen um 1X 20 b- Wie groß sind die Erzeugungs¬
kosten, wie groß der Verkaufspreis, wenn er an Arbeitslohn per
Stück 1 1L, für Regieauslagen und Zinsen 10 A und für den
Gewinn 15 A rechnet?
*) Für Knaben-Vürgerschulen mit gewerblicher Richtung.
218
Kalkulation:
IZLy- Stahl L I lv 40 li . 2 lii 10 b
Draht — ,, 20 ,,
Schmirgel — „ 24 „
Kohlen 1 „ 20 „
Lohn 12 mal 1 1< 12 „ — „
15 L74 i>
Hiezu 10^ Zuschlag für Regie und Zinsen 1 „ 57 „
Erzeugungspreis '.17 1v 31 ü
Hiezu 15 H Gewinn 2 „ 60 , ,
Verkaufspreis von 1 Dutzend Scheren 19 L 91 b
Preis eines Stückes. 1 „ 66 „
5. Ein Bäcker benötigt zu 2500 Stück Kaisersemmeln 100 LA Auszug¬
mehl im Betrage von 46 L, Milch sür 5'60 1^, Hefe für 2'40 L,
Salz für 30 b und Holz für 2 L; wie groß sind a) die Erzeu¬
gungskosten, wenn für Regie und Kapitalszinsen 24 A einzubringen
find, und b) wie hoch stellt sich der Verkaufspreis für 100 Stück
Semmeln, wenn der Bäcker 10 L gewinnen will und der Verlust
für nicht verkauftes Gebäck mit 20 L und die Verkanfsprovision
mit 15 A gerechnet werden? Machet bei dieser und den folgenden
ähnlichen Aufgaben die Kalkulation nach dem Muster von Nr. 4.
6. Wenn 3 LA Mehl 5 LA Teig, diese 4 LA Brot geben, a) wieviel Mehl
braucht der Bäcker, um 100 LA Teig zu machen; b) wieviel, um
100 LA Brot zu erhalten?
7. Ein Seifensieder braucht zu einem Zentner Talglichter 97 LA Talg
a 92 b, 3^ LA Docht L 1 L 44 b und für 1 L 80 b Holz. Wie
hoch kommt ihn 1 LA Talglichter, wenn er 6 L Arbeitslohn und
von den Ausgaben 8A Zinsen rechnet?
8. Die Schuhmacher einer Stadt haben wegen der höheren Lederpreise
die Preise ihrer Erzeugnisse um 15L gesteigert; wenn nun früher
ein Paar Stiefel 14'8 L kostete, welchen Preis wird es jetzt haben?
9. Ein Buchbinder bezieht von einem Kaufmanns 4 Ries Papier L 11 lv
und 50 LA Pappendeckel L 36 b; er liefert ihm dafür 200 Schreib¬
hefte ä 12 b; wieviel hat er noch zu zahlen?
10. Ein Tischler braucht zur Ausführung eines Flügelfensters von
2'2 Höhe und 1 m Breite, in welches 6 Scheiben eingesetzt werden
sollen, Eichenholz um 5'4 L, für die Fensterbank Tannenholz für
1'6 X, Beschläge für 6'4 lv, 2^ Arbeitstage a 3'2 L; wie hoch
kommt das Flügelfenster, wenn noch 10A Geschäftskosten dazu
gerechnet werden?
11. Berechne nach folgenden Angaben den Preis eines Kegelspieles: auf
einen Kegel gehen 0'004 Rotbuchenholz ä 24 L; die Bearbeitung
eines Kegels kostet 36 b; für jede der beiden Pockholzkugeln kostet
219
das Holz 4 14 30 k, der Arbeitslohn samt Schleifmaterial beträgt
2 14 10 b und das Polieren kostet 70 b per Stück.
12. Ein Tapezierer hat für ein Bett von 1'9 m Länge und 1 m
Breite eine Federmatratze zu liefern. Er verwendet dazu 32 Stahl¬
federn, von denen das Dutzend 5 LA wiegt und der Zentner 4014
kostet, 18 LA Seegras a 18 b, 2^ m Drillich a 2 14, LZ- Federschnur
für 90 b, 1 M Federleinen L 114 20 b, 18 m Gurten ä 16 b, ein
Holzgestell für 5 14 und sonstiges Zugehör für 96 b. Die Arbeit
vollendet ein Gehilfe in einem Tage und erhält dafür 4 14. Wie
hoch beläuft sich der Selbstkostenpreis der Matratze?
13. Ein Kasfatisch, der 2'3 m lang und 1'2 m breit ist, soll eine
Steinplatte erhalten, die 1 ckm Holzrand stehen läßt; wieviel kostet
die Platte, wenn das Quadratmeter mit 17^ L bezahlt wird?
14. Um 10 nst Mauerwerk für das erste Stockwerk in Kalk ohne Verputz
aufzuführen, find erforderlich: 10 Maurertage L 3 L, 26 Handlanger¬
tage L 114 84 b, 3240 Ziegel a 30 14 per 1000 Stück, 1 m« Kalk
13 14, 1§ m^ Sand L 4 14 40 b und ein Aufseherlohn 4 14 80 b;
wie hoch belaufen sich die Gesamtkoften für 1 m" Mauerwerk?
IX. Rechnen mit entgegengesetzten Zahlen.
Von den allgemeinen Zahlen.
Die Zahlen, mit denen bisher gerechnet wurde, z. B. 7, 18 14,
E/ich 1Z m, 2'5 Ly .... drückten eine genau bestimmte Menge von
Einheiten aus; sie werden besondere Zahlen genannt und durch
Ziffern bezeichnet.
Die Zahl 5 bedeutet nie mehr und nie weniger als
1-st1-st1-P1-st1^5 (Einheiten).
Bezeichnen die Buchstaben a, b, e, ä . . . . die Seiten und u den
Umfang eines Dreieckes, eines Viereckes und ist im Dreieck
a — 9 6-», b — 6 om, 6 — 5 om, so ist dessen Umfang in Ziffern....
o — 9 om -st 6 om -st 5 om — 20 'öm; in Buchstaben .... n — a -st
-st b -st o.
In einem Vierecke sei: a ---- 70 mm, b — 45 mm, e — 50 mm,
ä 62 mm; wie groß ist fein Umfang (in Ziffern, in Buchstaben)?
Wie lang find die S tr e cke n: 8 a-st b -st o-st ä, s^^a-st a-st ä,
für a — 2 Lm, b — 3^ Lm, o — 1'75L-?r, ä — 5Lm?
Jstfede Seite eines Dreieckes oder eines Quadrates s —12om,
so ist
im Dreieck n — 12 onr -st 12 am -st 12 am — 12 o»r X 3 — 36 o/-r
U— 8 -st 8 -st 8 — 8 X 3 — 3.8
220
120 L und 120 L 240 L.
5 »r und 3 m — 8 ?».
Derartige Zahlen, die sich
- 120 L,
10 Schr. vorw. u. 10 Schr. rückw.
0 Schr.
120 L Verm. u. 120 L Schulden —
— 0 lv.
5 stromauf u. 3 m stromab — 2 m
stromauf.
beim Addieren entweder ganz oder
teilweise aufheben, heißen entgegengesetzte (oder relative) Zahlen.
Um beim Rechnen mit entgegengesetzten Zahlen zu richtigen Er¬
gebnissen zu gelangen, muß man außer dem wirklichen (absoluten)
Werte dieser Zahlen (Quantität) noch ihre besondere Beschaffenheit
(Qualität) wohl beachten.
Man nennt nun solche Zahlen, die dem gewünschten Erfolge
günstig sind (Vorwärtsschreiten, Vermögen, Vorwärtsfahren) positive
Zahlen und bezeichnet sie mit dem Vorzeichen -st (plus). Zahlen von
entgegengesetzter Beschaffenheit heißen dann negative Zahlen und
erhalten das Vorzeichen — (winas).
So schreibt man z. B.
10 Schr. vorwärts .. -st 10 Schr., 10 Schr. rückwärts ... — 10 Schr.,
120 H Vermögen... -st 120 X, 120 X Schulden
5 m in der Fahrrichtung .. -s- 5 M. 3 -n gegen die Fahrrichtung — 3 nr.
im Quadrate u — 12 om X 4 — 48
n— 8 X4^4.s
u
8 — - .
4
Ein Schüler hat w (— 6) Hefte, jedes kostet v 10) b; so kosten alle
zusammen (in Ziffern) 10 b X6 ^--60b, (in Buchstaben) w mal v b ---IL n k.
Der Ausdruck 4s bedeutet den Umfang, s? dm Inhalt eines
Quadrates, mag dessen Seite s wie groß immer sein. Solche durch
Buchstaben ausgedrückte (unbestimmte) Zahlen heißen allgemeine Zahlen;
sie können jeden beliebigen Wert annehmen. So kann z. B. a als
Zahlzeichen jede willkürliche Menge von Einheiten ausdrücken, also
1, 0'4, ; Ist 1i nst oder jede andere Zahl bedeuten. Nur ist zu
merken, daß jeder Buchstabe den Wert, den man ihm am
Anfänge einer Rechnung beigelegt hat, durch die ganze
Rechnung beibehalten muß!
Entgegengesetzte Zahlen.
1. Wenn jemand 10 Schritte vorwärts geht und hierauf wieder
10 Schritte rückwärts, so ist er um nichts von seinem Ausgangspunkte
entfernt, trotzdem er eigentlich 20 Schritte gemacht hat.
Wer 120L Vermögen und 120 L Schulden hat, besitzt eigentlich nichts.
Ein Schiff, das auf ruhigem Wasser in jeder Sekunde 5 m zurück¬
legt, wird bei der Bergfahrt von der Strömung eines Flusses in jeder
Sekunde 3 -n zurückgetrieben; es legt daher nur 2 m per Sekunde in
der gewünschten Fahrrichtung zurück.
10 Schr. u. 10 Schr. — 20 Schr.
221
Wenn man entgegengesetzte Zahlen bildlich durch Strecken auf
einer Zahlenlinie darstellen will, so muß die Zählung der Abschnitte
für eine negative Zahl in entgegengesetzter Richtung von der für positive
Zahlen angenommen werden. Man pflegt die Richtung nach rechts
als st-, die Richtung nach links als — anzunehmen, obzwar dies auch
umgekehrt geschehen könnte.
1 2 3 .... —> -j- Richtung
N >—1-- 1-1- 1 -1—
— Richtung — .. 3 2 1
Die Anfangspunkte (L., der Zählung auf dieser unbegrenzten
Linie können je nach der gestellten Aufgabe bei jedem Teilpunkte an¬
genommen werden, da nur die Richtung des Zählens in Betracht kommt.
Um das erste Beispiel auf der Zahlenlinie nachzurechnen, hätte man
zuerst 10 Teile von dem beliebig gewählten Anfangspunkte (^.) nach
rechts und hierauf sogleich wieder 10 Teile nach links zu zählen.
Wie würde sich die Zählung bei den beiden anderen Aufgaben
gestalten?
2. Bezeichnet man auf der Zahlenlinie nicht die Teile selbst,
sondern die T e ilu n g s p u n k te mit Zahlen, so heißen diese Ordnungs¬
zahlen im Gegensätze zu den Grundzahlen, welche die gezählten
Einheiten selbst bezeichnen.
Der gewählte Anfangspunkt wird mit Null bezeichnet.
Die positiven Zahlen zählt man auch auf dieser Zahlenlinie
gewöhnlich nach rechts, die negativen nach links.
Ein bekanntes Beispiel hiefür gibt die Thermometerskala. — Die
Zahlenlinie mit Ordnungszahlen stellt sich folgendermaßen dar:
-5 -4 -3 -2 -1 0 st-1 -st2 -st3 -si4 st-5 st-
-I—!- -!— I- —!- -I—I—! —
Man kann die Zählung der entgegengesetzten Zahlen auch auf
dieser Zahlenlinie vornehmen. Dabei hat man den Vorteil, daß die
Ordnungszahl am Ende der Zählung sogleich das Ergebnis derselben
auch dann angibt, wenn dieses eine negative Zahl ist.
Führet die bisher gelösten Aufgaben auch mit Hilfe dieser Zahlen¬
linie aus!
3. Auch allgemeine Zahlen können als st- oder — bezeichnet sein;
st- a, — a, (st- n), (— n). Werden allgemeine Zahlen mehrfach gedacht,
su schreibt man sie in Verbindung mit besonderen Zahlen. So ist z. B.
2a — 2mal L — a st- a, 3x — 3malx — X st- X st- X.
Die besondere Zahl, die der allgemeinen als Faktor vorangesetzt
ist, heißt der Koeffizient derselben.
Das Teilen allgemeiner Zahlen läßt sich nur in Bruchform dar-
stcllen, z. B. Z von a — ; von x —
222
4. Soll man zur Zahl -s- 5 die Zahl — 3 addieren, so schließt
man, nm eine Verwechslung des Rechnungszeichens mit den Vorzeichen
der entgegengesetzten Zahlen zu vermeiden, die entgegengesetzten Zahlen
mit ihren Vorzeichen in Klammern ein (->-5) -j- (—3).
Die Klammer kann jedoch dort wegbleiben, wo keine Zweideutig¬
keit entstehen kann, z. B. -P 5 -Z (— 3).
Die eingangs gelösten Aufgaben lassen sich demnach so darstellen:
-s- 10 -P (— 10) 0 b -tz- (— b) 0
120 Z- (- 120) ---0 o -s- (- e) 0
-s- 5 -s- (— 3) — -s- 2
Z- 5 X- 7X - 2
ä -Z (- s) -s- k
-X X— Ä — — k.
Zeiget a) die Rechnungszeichen, b) die Vorzeichen.
5. Aus den vorstehenden Aufgaben ist auch zu ersehen, daß die
Addition einer negativen Zahl einer Subtraktion gleichkommt.
(Beim gewöhnlichen Subtrahieren zählt man in der natürlichen
Zahlenreihe zurück, was dasselbe ist, wie wenn man in negativer
Richtung weiter zählen würde.)
-s- 5 Z- (— 3) — 5 — 3—-)-2 -s-a-f- (— b) — L — d — -f-L
5 ^ (- 7) X - X - 2 XX-äXa-X-o
Wie das letzte Beispiel zeigt, kann ryit Hilfe der entgegengesetzten
Zahlen auch eine Subtraktion ausgeführt werden, wenn der Subtrahend
größer ist als der Minuend.
5 - 7 XX) X- 7X - 2
20 - 35 20) -4 (- 35) - - 15.
Addieren entgegengesetzter Zahlen.
a) 4 L Vermögen, vermehrt um 3 L Vermögen, sind 7 L Vermögen.
Hat ein Kaufmann heute 6 L Verlust und morgen 3 L Verlust,
so beträgt sein Gesamtverlust 9 L.
b) 5 Schritte vorwärts und 7 Schritte rückwärts geben als
Resultat 2 Schritte rückwärts.
5 L Schulden und 8 L Vermögen entsprechen einem Vermögen
von 3 Iv. „
Schriftliche Darstellung:
a) (Z- 4) und (Z- 3) (Z- 7) oder -tz- 4 -Z (-4 3) 4^ 7
(- 6) und (- 3) — (- 9) oder - 6 X- 3X — 9
b) (4- 5) und (- 7) — (- 2) oder -4 5 X- 7X - 2
(- 5) und O 8) O 3) oder - 5 XXX X
Daraus folgt: Gleichbezeichnete relative Zahlen vermehren beim
Addieren gegenseitig ihren Zahlenwert, ungleich bezeichnete vermindern
ihn gegenseitig. Das Plus-Zeichen kann bei der ersten Zahl der
Rechnung und bei der ersten Zahl rechts vom Gleichheitszeich en...w ea-
gelassen werden.
223
Addieret:
ch^7-4 (^- 3) -
4- 12 4- (^ 8) -
4- 20 44 (4- 10) -
b) - 12 -4 (- 8) -
- 8 -4 (- 3) -
- 15 -j- (- 6) -
o) -4 8 -4 (-4 2) -4 (-4 5) —
- 6 4- (- 4) -4 (- 3) -
- 3 -i- (- 7) -> (- 8) > (- 1)
Ausführung mit Hinweglassung
der Rechnungszeichen:
7 -4 3 — 10
12-48 —
20 > 10 —
- 12 - 8 — - 20
-8-3 —
- 15 - 6
8 4-2 -45 —
-6-4-3 —
-3-7-8-1—
Regel: Gleichbezeichnete Zahlen werden addiert, in¬
dem man die Zahlenwerte addiert und derSumme das ge¬
meinsame Zeichen vorsetzt.
Addieret: Ausführung mit Weglassung der
Rechnungszeichen:
Regel: Ungleichbezeichnete Zahlen werden demnach
addiert, indem man den kleineren Wert von dem größeren
wegzählt und der Differenz das Vorzeichen des größeren
Zahlenwertes gibt.
Werden 2 oder mehrere relative Zahlen (wie in den vorstehenden
Ausführungen) ohne Rechnungszeichen nebeneinander geschrieben, so bilden
sie einen mehrgliedrigen Zahlenausdruck.
7 3, 12 — 8, (— 9 -ch 6) sind zweigliedrige Zahlenausdrücke,
84-2-45, 7 — 6-44 „ dreigliedrige „
(—6-44 — 74-3) ist ein viergliedriger Zahlenausdruck.
Mehrgliedrige Zahlenausdrücke werden häufig in Klammern ein¬
geschlossen.
Werden mehrgliedrige Zahlenausdrücke durch Addition vereinfacht,
so nennt man dieses Verfahren Reduzieren.
12 4- 7 — 19 20 -4 12 4- 3 —
28 - 45 — 17 - 8 -4 9 ---
9 — a -4 7 16 — L. 20 — 8 -4 4- 7
10 4-a-4-x-48-6-- 16-a-x-45-44-2a^
Sollen mehrgliedrige Ausdrücke addiert werden, so
reduziert man sie und verrichtet dann die Addition. Z. B.
(15 - 4) -4 (17 - 20) — 11 4- (- 3) — 8.
224
Man kann dabei auch die Glieder der Summanden zuerst mit
unveränderten Zeichen nebeneinander setzen und dann erst reduzieren.
Dieses muß insbesondere dann geschehen, wenn unter den Gliedern der
Summanden eine allgemeine Zahl vorkommt. Z. B.
(15 - 4) -st (17 - 20) — 15 - 4 st- 17 - 20 --- 8;
(3 - 12) (20 - x) --- 3 - 12 st- 20 - x -- 11 - x;
(7 - n) (18 - 3) --- 7 - ast- 18 - 3 — 22 - a;
(13 - 6) -st (9 st- -r) — 13 - 6 st- 9 -ffa -- 16 i.
Hieraus folgt auch: Steht vor einer Klammer das Zeichen
st-, so bleiben bei Weglassung der Klammern die Zeichen
innerhalb derselben unverändert.
9. ch st- 15 -st (- 8) st- (st- 5) - b) 31 -st (-st 57) st- (- 38) -
10. st - 217 -st (- 196) -st (-st 790) b) (39 -st 47) st- (39 - 47) --
11. st- 22'9 st- (st- 31'7) st- (- 50'1) st- (- 19) --
12. - 702'13 > (^ 819'92) st- (- 563'09) st- (- 85'58) —
13. a) X st- X st- X — b) 2x st-3x —
14. ch 7x st- 4x st- x — b) 2a -ff 3-i st- 5-i —
15. (25'3 - 30'6) -st (42'8 - 27'5) --
16. s 2 Z st- (st- 6 As st- s— 1; -st (— As —
17. a) 80' -st (- 5e') -st (— 4eA b) - 9s' st- (- 4s') -st (- sA --
18. 6ä st- (- 8Y -st (— 144) -st (-st 14ä) ^st (st- 7k) st- (- 5ä) --
3lJ /2x 5bx
ls. -1- 4- -z ) -
20. Der römische Kaiser Augustus wurde im Jahre 63 v. Chr. geboren
und erreichte ein Alter von 77 Jahren; wann starb er?
21. Jemand hat 6570 L Vermögen und 3692 L Schulden; wieviel
beträgt sein Reinvermögen?
22. Jemand geht 65 Schritte vorwärts, hierauf 37 Schritte rückwärts,
dann wieder 48 Schritte vorwärts; wieviel Schritte ist er von dem
Orte entfernt, von dem er ausging?
23. Ein Dampfschiff wird durch die Einwirkung des Stromes allein
jede Minute 65 nr abwärts getrieben, durch die Kraft des Dampfes
allein legt es jede Minute 412 »r zurück; wieviel legt es in der
Minute H stromabwärts, b) stromaufwärts zurück?
225
Subtrahieren entgegengesetzter Zahlen.
1. Wer von 8 X Vermögen 3 L ausgibt, behält 5 L Vermögen.
Schriftlich: (-st 8) - (si-3) st-5; Probe st-5 st-(^ 3) --
— -P 8.
Man hätte dasselbe Ergebnis auch durch folgende Addition
erhalten:
(-st 8) -st (— 3) — -st 5.
2. Ein Händler behielte, falls er seine Forderungen und seine Schulden
ausgliche, noch 8 1< Vermögen.
Wie ändert sich dieses, wenn ihm ein Freund 3 L Schulden
abnimmt? Antwort: Das Vermögen stellt sich auf 11 L.
Schriftlich: -P 8 - (- 3) 11.
Die Richtigkeit des Ergebnisses kann auch hier durch die Probe
erwiesen werden: -st 11 -st (— 3) — -st 8.
Man hätte den Sachverhalt auch so darstellen können:
Statt dem Händler 3 lL Schulden abzunehmen, kann man
ihm auch 3 L geben, damit er sie selbst zum Schuldenzahlen ver¬
wende. Beim Ausgleich seiner Forderungen und Schulden würden
ihm wie anfangs 8 tL und noch diese 3 L, zusammen also eben¬
falls 11 lL Vermögen übrig bleiben.
st- 8 -st (st- 3) — -st 11.
Löset diese Aufgabe, indem ihr annehmet, der Händler habe
anfangs 108 L Vermögen und 100 L Schulden gehabt! (st- 108) -st
st- (- 07)
3. Wenn jemandem, der bei Ausgleich seiner Forderungen und seiner
Verpflichtungen 8 L Schulden hat, noch 3 L seines Vermögens
weggenommen werden, so wird er seinen Gläubigern nunmehr
11 14 schuldig bleiben müssen.
Schriftlich: - 8 - (-st3) ---- 11. Probe: - 11 st-(st-3) -- - 8.
Da die Abnahme des Vermögens einer Vermehrung der
Schulden gleichgestellt werden kann, so hätte die Rechnung auch
als Addition ausgeführt werden können: — 8 -st (— 3) — — 11.
Löset diese Aufgabe unter der Annahme, der Händler besitze
anfangs 100 14 Vermögen und 108 14 Schulden! (st- 97) st-
st-(- 108)
4. Jemandem, der 8 14 Schulden hat, nimmt ein Freund 3 X Schulden
ab. Wieviel 14 Schulden hat er noch?
-8-(-3)-^-5. Probe:-5-st (-3) -8.
Der Freund hätte ihm ebensogut 3 14 geben können, damit
er seine Schulden damit selber zahle. 8 14 Schulden und 3 14
Vermögen würden dann ebenfalls 5 L Schulden ergeben.
— 8 -st (st- 3) — — 5.
Zusammenstellung der 4 Subtraktionsfälle:
(st- 8) — (st- 3) — st-8-st(— 3) — st-8 — 3 — -st 5
Moönik-Halbgebauer, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. 1 tz
226
(-§- 8) — (— 8) — 4 8 4 (4 3) — 4 8 4 3 — 4 1l
(- 8) - (4 3) - 8 4 (- 3) -- - 8 - 3 -- - 11
(- 8) - (- 3) - - 8 4 (4 3) -- - 8 4 3 --- - 5.
Entgegengesetzte Zahlen werden subtrahiert,
indem man den Subtrahend mit entgegengesetztem
Vorzeichen zum Minuend addiert?)
Sollen mehrgliedrige Zahlenausdrücke subtrahiert
werden, so reduziert man sie und verrichtet sodann die Subtraktion
oder man addiert zu dem Minuend die mit entgegengesetzten Zeichen
genommenen Glieder des Subtrahends und führt dann die Reduktion
aus. Das zweite Verfahren findet immer statt, wenn unter den
gegebenen Gliedern eine allgemeine Zahl vorkommt. Z. B.
(16 - 8 -f- 7) - (15-21**) --- 15 - (- 6) --- 15 4 6 --- 21
oder 16 — 8 4 7 — 15 4 21 21.
12 - (5 - x) — 12 - 5 -4 x 7 4 x.
15 - (7 - ch 15 - 7 4 L ---- 8 4- a.
Daraus folgt auch: Steht vor einer Klammer das
Zeichen —, so müssen bei Weglassung der Klammern
die Zeichen innerhalb derselben in die entgegen¬
gesetzten verändert werden.
1. a) 4 8 - (4 3) --- b) 4 8 - (- 3) -
o) - 13 - ( 4 15) -- ä) - 13 - (- 15) --
2. a) 4 5 - (- 12) — b) - 15 - (4 8) ---
4 4 23 - (- 32) -- ä) 4 15 - (- 3)
3. a) 4 210 - (4 98) --- b) - 317 - (- 509)
e) 4 5786 - (4 2214) -- ä) 4 1324 - (4 945) --
4. ch 4 19'35 - (4 10'65) — b) 4 9'053 - (- 27'64) --
0) 4 35ß - (4 24z) --- ä) 71ß) - (4 80K -
5. a) 30 - (15 - 18) --- b) - 12 - (20 - 4) —
6. ch - 378 - (- 249) - (4 518) —
b) 4 7552 - (- 5864) 4 (- 9046) —
7. -0 (87 - 38) - (38 - 87) --
b) 4 987 4 l- 368 - (- 245)s ---
8. (7 - 21) - (9 - 7) - (19 - 5) - (28 - 38) —
9. (3'25 4 7'3 - 12'8)-(6'5 - 13'2 4 2'75) ----
*) Die Subtraktion relativer Zahlen kann man sich auch durch folgende Dar¬
stellung veranschaulichen: Z. B. (4 8) — (— 3) d. h. ich soll — 3 von 4 8 abzishen.
Man schreibt 48 — 4843 — 3. Zieht man nun von diesem Ausdruck
— 3 ab, d. h. löscht man — 3 weg, so bleibt 4 8 4 3 — 11, was wirklich das
Ergebnis der Rechnung (4 8) — (— 3) ist.
Oder (— 8) — (— 3) — ? — 8 — — 8 4 3 — 3, lösche — 3 weg, so bleibt
— 8 st- 3 — — 5 als Ergebnis der vorstehenden Rechnung.
Übet diese Darstellung auch an anderen Subtraktionsaufgaben!
**) Beachtet den Unterschied zwischen Rechnungszeichen und Vorzeichen; im
Subtrahend ist 16 positiv.
227
10. - 37'68 - s4 24'02 - (4- 10'08)) —
11. -
12. a) 5L — (Zx) — b)6x —(—2x)— 6)—4^ — (x) —
13. ch 87 — (5^ — 3/) — 3) — 10a — (6k^ — 4a) —
14. a) (83 -j- 3 a — 5 e) — (— L 4 33 4 <4 —
3) (4x — 2) — (3x — 2) —
18. kr) (a — 3 4 4 4 (3 — a — o) — (— o. — 3 -j- o) —
3) (x' 4 4) - (x- - 7") -
16. d) 0-9 E-D
17. An einem Wintertage zeigte das Thermometer um 7 Uhr morgens
— 8°, um 2 Uhr nachmittags 4 3°; um wieviel Grade war es
um 2 Uhr wärmer als um 7 Uhr?
Multiplizieren entgegengesetzter Zahlen.
(4 5) X (4 3) - (4 5) 4 (4 5) 4 (4 5) - 4 15
(- 5) X (4 3) -- (- 5) 4 (- 5) 4 (- 5) - - 15.
Bei der Multiplikation setzt man den Multiplikand so oft als
Summand, als der Multiplikator anzeigt; obige 2 Beispiele sind demnach
sofort klar.
Ist aber der Multiplikator eine negative Zahl, so kann man die
gewöhnliche Erklärung der Multiplikation nicht anwenden, denn eine
Zahl — 3mal als Summand setzen, hätte keinen Sinn. Um zur Be¬
deutung der Multiplikation mit einem negativen Multiplikator zu ge¬
langen, wollen wir die Änderungen betrachten, die das Produkt erfährt,
wenn der Multiplikator fortgesetzt um 1 vermindert wird.
Z. B. (4 5) . (4 3) - 4 15
(4 5) . (4 2) - 4 10
(4 5) . (4 D -- 4 5
(-45). 0-0
Wir sehen, daß beim Abnehm.en des Multiplikators um 1 das Pro¬
dukt immer um den Multiplikand, also hier um 5 abnimmt; daher auch
(4- 5) . (- 1) -- - 5
(4 5) . 2) - - 10
(4 5) . 3) - - 15 usw.
Haben wir einen negativen Multiplikand, so ist nach diesem Vor-
(- 5). 2) - 4 '10
(- 5). 3) - 4 15
Daraus ersehen mir, daß bei
der Verminderung des Multipli¬
kators um 1 das Produkt immer
um — 5, d. h. um den Multipli¬
kand abnimmt, was einer Zu¬
nahme um (4 5) gleichkommt.
16*
228
Fassen wir aus diesen Reihen die ersten und die letzten Glei¬
chungen zusammen, so können wir schreiben:
(-st5) . (-st 3) -st 15; (-5) . (^3) - - 15;
(st-5). (- 3) - - 15; (-5) . (-3) — -st 15 und daraus
die Regel entnehmen: Zwei gleich bezeichn eteFaktoren geben
ein positives, zwei ungleich bezeichnete Faktoren ein nega¬
tives Produkt.
Wer 5 Schritte vorwärts 3mal macht, kommt IS Schritte vorwärts. Jemandem
8 X Gewinn 3mal hinwegnehmen (ihn darum verkürzen), ist so viel, als ihm einen
Verlust von IS X zuziehen. Wer S Schritte rückwärts 3mal macht, legt IS Schritte
rückwärts zurück. Jemandem 5 X Verlust 3mal hinwegnehmen (ersparen), ist so
viel, als ihm einen Gewinn von 15 X zumitteln.
-st 3 . st- 4. -st 5 -st 60, — 3. — 4. — 5 — — 60,
st-3.-4.-5----st60, - 2 . - 8 . - 1 - 16.
Sind bei drei oder mehreren Faktoren alle Zeichen positiv, so ist
auch das Produkt positiv; sind aber einige Zeichen negativ, so hängt
das Zeichen des Produktes von der Anzahl der negativen Zeichen ab.
Sind letztere in gerader Zahl vorhanden, so ist das Produkt positiv,
sind sie in ungerader Anzahl da, so ist das Produkt negativ.
Ist der Multiplikand mehrgliedrig und der Multipli¬
kator eingliedrig, so reduziert man entweder den Multiplikand
und verrichtet dann die Multiplikation, oder man multipliziert jedes
Glied des Multiplikands mit dem Multiplikator und reduziert dann
die Produkte. Z. B.
(16 9 — 12) . 5 --r 13 . 5 65, oder
(16 -st 9 - 12). 5 — 16 . 5 -st 9.5-12.5--
-- 80-st 45 - 60 -- 65.
Das zweite Verfahren muß immer angewendet werden, wenn
unter den Gliedern des Multiplikands eine allgemeine Zahl vor¬
kommt. Z. B.
(x — 8) . 4 4 x - 32.
(u 5) . 5 -- 5 u -st 25.
(8 - b). 6 48 - 6 t>.
2 u X 2 — 4 a, 3 x X 5 — 15 x.
(6 x - 3) . 3 — 18 x - 9
(10 -st 2 x) . 6 --- 60 12 x.
(4 — 5 x) . 2 --- 8 - 10 x.
(— x - 3) . 8 — — 8 x - 24.
Sind Multip likand un d Multiplikator mehrgliedrig,
so reduziert man sie und verrichtet dann die Multiplikation, oder man
multipliziert jedes Glied des Multiplikands mit jedem Gliede des
Multiplikators und reduziert dann die Produkte. Z. B.:
229
(30 -4 5) . (20 -I- 4) — 35.24 -- 840, oder
30->5
_M-4 4
30.20 -4 5.20. 600 ^100 !
4- 30.4 4^ 5.4 4- 120 -4-20
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
8.)-4 9.-45. b)^-9.-5. o) 4-9.-1.
a) - 15 . 3. b) - 15 . - 3. o) - 15 . - 1.
8) — 118 . -4 63. b) -4 407 . — 41. o) -4 8 . — 1.
8) - 52'28 . - 7'49. b) - 1328 . 44 299. o) - x . - 1.
i^) -4 ß — ß - — 1-
o)-3E--45i. 6)-^124.-7z.
8) - 19 . - 27 . 4- 31. b) > 83 - 25 . -P 49.
8) 4- 83 . - 11. - 70 4- 72 . - 91.
d) — 72'8. - 125. - 991. - 4'17.
8) 4- 2'34 . - 3'45 . - 14.4 . -4 12'5.
k) — 35 . — 63 . -4 14 . — 84 . — 49.
o) (237 - 182) . 8. b) (48 - 17) . (23 - 41).
s- 345 -4 (^ 209)j . s- 596 - (- 374)1
8) (9 — x) . 5 ; b) (x 4- 3) . 8;
o) (10 4- 2 x) . 4; ä) (8 - 3 x) . 7.
8) (3 - 2 5) > 7 -(4 -4 3 /) . 3;
b) (2 4- 3) . 3 4- (3 - 2) . 5.
8) (x -f- 2 3 ch . 10. b) (2 x - 4) . (8 - 3).
8) (8 4- d — o) (8 — b); b) (8 — b 4- o) (b — e);
/ x x / x > / x / x
°) ^2^3/ ^2^3^ ^2"^"2z'
Karl steigt auf einer Leiter 34 Sprossen aufwärts, hinter ihn:
steigt Franz auf derselben Leiter 3mal je 10 Sprossen aufwärts
und je 6 Sprossen abwärts; wieviel Sprossen sind nun beide
voneinander entfernt?
16. Von zwei Körpern, die sich gleichzeitig vom demselben Punkte aus
8) in derselben Richtung, b) in entgegengesetzten Richtungen be¬
wegen, legt der eine in einer Minute 783 m, der andere 828 m
zurück; wie weit werden beide nach 15 Minuten voneinander ent¬
fernt sein?
Dividieren entgegengesetzter Zahlen.
Ist -4 12 durch -4 3 zu dividieren, so ist der Quotient 4; dieser
nmß positiv sein, weil nur eine positive Zahl -4 4, mit einer positiven
-4 3 multipliziert, ein positives Produkt -4 12 geben kann; also
-4 12 : 4- 3 -P 4.
Es sei ferner -4 12 durch — 3 zu dividieren. Hier soll der
Quotient, mit — 3 multipliziert, -j- 12 geben, welcher Forderung
nur — 4 entspricht; folglich
4- )2 : - 3 --- - 4.
230
Ebenso erhält man
- 12 : 3 — - 4.
- 12 : - 3 -Z 4.
Der Quotient muß so beschaffen sein, daß er, mit dem Divisor
multipliziert, den Dividend gibt.
Zwei entgegengesetzte Zahlen werden demnach durch
einander dividiert, indem man den Quotienten ihrer
Zahlenwerte positiv oder negativ nimmt, je nachdem der
Dividend und Divisor gleiche oder verschiedene Vor¬
zeichen haben.
Ist der Dividend oder der Divisor oder sind beide mehr¬
gliedrig, so reduziert man sie und verrichtet dann die Division. Z. B.:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
(78 - 14): 8---64: 8^-8;
39 : (12 - 25) 39 : - 13 -- - 3;
(185 -s- 193): (36 - 15) --- 378 : 21 -- 18.
b)^72:-9;
ä) - 144 : - 6.
b) - 3840 : - 30;
ä) -s- 1041'6 : - 48.
ä)-2z:2l;
a)-j-72:ff- 9;
e) — 144 : -Z 6.
a)-Z2185:-5;
o) - 73'242: ff- 13.
a) -ff § : — 6;
o) — 10 : ff- 3^;
ch ff- 5 070 736 : - 752; b) — 56035 : -^ 52;
e) (128 - 84) : 11. 4) 4'5 : (1'2 - 2'7).
a) — 56035 . ff- 4923 : - 34461;
b) (503 - 112): (43 - 28 ff- 2).
sff- 74708 - (- 14816)s: s- 278 (- 422)s.
a)
a)
ch
ch
a)
ch
d)
(32 - 7 . 4 - 8): 4; b) (32 - 7). (4 - 8): 4.
s32 - (7.4 - 8)s: 4; b) 32 - s(7.4 - 8): 4s.
(32 - 7 . (4 - 8)s: 4; b) 32 - 7 . s(4 - 8) : 4s.
4a ,. 18 x . 36 )' .. 108 x
2^ ff o) -
(15a -s- 6a) : (4a ff- 3a) b) (42x - 7x) : (12x - 5x)
(- 12x-8x):(-7^-3i) ---
15a-s-6a 24 x — 8x
-3" 4 - '
13. Das Thermometer zeigte an einem Tage morgens — 9° R., mittags
ff- 2" R., abends — 5" R.; wie groß war die mittlere Tages¬
temperatur?
.. . 2a , b ,, x , v , 2
14. a) ff- ; b) -j- ; o) 2 — -
15. Multipliziere der Reihe nach mit 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12! In welchen Fällen ist das Produkt eine ganze Zahl?
231
16. a) - 15 b) . 12 — .
._ . /x — 1 x — 2X , ./x —1 — 2x
17. -0 < 3 ) -'' ' V 2 3 ) - 6 -.
rr -j- 1>
^3"
Produkt nur ganze Zahlen enthalte?
18. Womit muß Z-
multipliziert werden, damit das
Substitution.
Berechne folgende Ausdrücke durch Einsetzen (Substituieren, Er¬
setzen) besonderer Zahlenwerte für die Hauptgrößen:
1. ch Z- 5b) Z- (7a Z- b) (3a - 2b), a — 10, b --- 4.
2. (3x - 7) - (5x > 27) > (12x -s- 207), x - 1, 7 - 2.
3. -s- v^, m' — u^, m — 12, -r — 11.
4. (3o Z- 5) (4o -s- 9), o — 8; (8k 10) (9k - 3), k 3.
5. 90ä': 15ä, ä 1; 75 k^ : 5K, k 10.
6. 2 , X -- 560 X, 4 --- E Jahre, -^4L.
7. X —
8. X
2 — 2 X 18 b, N 6 Mon., B — 3'8^.
5 g go x -- 4z
9. m
a -4 b
2
a — 7 ovr, b — 4'5 e»r, b — 5'6 onr.
a -P H
i 2
10. k . b, X -- (§ -s- b) 2,
k--2b,
§ — 4 ur, b — 4'6 m.
11. u 2i7r, k — i^7r, — 3^, r — 1 (5, 3z, 2 om).
12. 0 — 6 s', V — 8^, s — 1 (8, 5, 3 6»r).
13. 0 -- 21' -4 4s. b, V --- s'b,'4 — 12 em, b 2 ckm.
X. Gleichungen des I. Grades mit einer Unbekannten.
Von welcher Zahl gibt das 5-fache und das 7-fache addiert 156?
a) Mündliche Lösung:
Das 5-fache und 7-fache gibt das 12-fache; das 12-fache der ge¬
suchten Zahl beträgt 156. Die (einfache) Zahl selbst muß daher der
12 te Teil von 156, d. i. 13 sein. Probe: 5.13 Z- 7 . 13 — 65-4
4- 91 -- 156.
b) Schriftliche Lösung:
Man bezeichnet die vorläufig noch unbekannte Zahl mit x,
das 5-fache derselben also mit 5x, das 7-fache mit 7x. Wird das
232
5-fache und das 7-fache addiert, so erhält man 156. Man kann
also schreiben:
5x-s-7x 156.
Eine solche Gleichstellung zweier Zahlenausdrücke
heißt eine Gleichung.
Die Ausdrücke zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens heißen
Teile der Gleichung. (Wieviele Glieder hat der linke, wieviele der
rechte Teil der Gleichung?) Die Zahl x pflegt man kurz die Unbe¬
kannte zu nennen.
Die Unbekannten werden mit den letzten Buchstaben des Alpha¬
betes bezeichnet.
Reduzieren wir den linken Teil der aufgestellten Gleichung, so
erhalten wir:
12 x — 156 und daraus:
x — 13. Drücket dies in Worten aus!
Das Aufsuchen (Berechnen) desWertes der Unbekann¬
ten heißt das Auflösen der Gleichung.
Da die Bedingungen einer Aufgabe sehr mannigfach sein können,
gibt es auch mannigfache Formen der Gleichungen, die sich aus ihnen
bilden lassen.
Eine Gleichung, in der der 2. Teil nur eine Umformung des
1. Teiles darstellt, wie wir sie sehr häufig beim Rechnen ausführen,
heißt eine identische Gleichung, z. B. (x — 2) . 3 — 3x — 6.
Aus einer solchen Gleichung läßt sich für x kein bestimmter Wert
finden; man kann vielmehr jeden beliebigen Wert für x einsetzen, ohne
daß die Gleichung ihre Richtigkeit einbüßt.
Setzet in der letzten Gleichung ch x — 5, b) x — 10, ch x —
— 25 usw.!
Eine Gleichung wie die aus der 1. Aufgabe gebildete, heißt eine
B e st i m m u n g s g l e ichung. Darin läßt sich für x nur ein bestimmter
Zifferwert (hier 13) einsetzen. — Machet Proben!
Eine solche Gleichung heißt auch Ziffergleichung, weil sich
der Wert für x ziffermäßig feststellen läßt (also nicht etwa bloß durch
eine allgemeine Zahl wie z. B. x — ch.
1. Auflösung einfacher Zisfergleichungen.
Haben wir die Gleichung:
3x — 15, so ergibt sich sofort:
x 5;
x wurde alfo gefunden, indem wir beide Teile der Gleichung durch 3
dividiert haben.
Ist — 3, so finden wir den Wert des ganzen x, von dem wir
das Viertel kennen, indem wir mit 4 multiplizieren; also x — 12.
233
Ist x -st 7 — 10, so ergibt die einfachste Erwägung, daß die
Zahl, die um 7 vermehrt, 10 geben soll, nur 3, d. h. 10 — 7 sein
kann; also x — 10 — 7. Wir mußten hier auf beiden Seiten 7 sub¬
trahieren.
Ist endlich x — 8 — 3, so ist leicht einzusehen, daß jene Zahl,
die um 8 vermindert 3 geben soll, nur 11, d. h. 3-st 8 sein kann;
also x — 3 -st 8. Wir mußten demnach hier zu beiden Teilen der
Gleichung 8 addieren.
a) 3x — 15. b) — 3,
X — — 5. X L 3 X 4 -- 12.
o) X 7 — 10. 4) X — 8 3.
x ---- 10 - 7 3. x — 3 -P 8 11.
Das Auflösen einer Gleichung beruht demnach auf folgenden
Grundsätzen:
1. Gleiches durch Gleiches dividiert gibt Gleiches.
2. Gleiches mit Gleichem multipliziert gibt Gleiches.
3. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches.
4. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches.
Mit Hilfe des ersten Grundsatzes kann man jede Gleichung, deren
beide Teile einen gemeinschaftlichen Faktor haben, abkürzen. Z. B.:
Aus 8x — 40 folgt x — 5.
Mit Hilfe des zweiten Satzes kann man jede Gleichung von den
Brüchen befreien, indem man beide Teile der Gleichung mit einem
gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner multipliziert. Z. B.:
Aus - 11 folgt 4x — 15x - 66.
Nach den letzten zwei Grundsätzen kann man jedes Glied des
einen Teiles mit dem entgegengesetzten Zeichen in den andern Teil
übertragen. Hat man z. B. x -st 3 — 7, so ist x — 7 — 3; durch
diese Versetzung ist nichts anderes geschehen, als daß von beiden Teilen
der Gleichung -st 3 subtrahiert wurde.
Die hier angeführten Umformungen kann man in den einen all¬
gemeinen Satz zufammenfaffen.
Eine Zahl, die durch eine Operation mit dem einen
Teile der Gleichung verbunden ist, wird dadurch in den
andern Teil gebracht, daß man sie mit diesem durch die
entgegengesetzte Operation verbindet.
1. 4x-st 5 — 17
Auflös. 4x — 17 - 5 Probe 4 X 3 -st 5 --- 17
4x - 12 12 -st 5 -- 17
x — 3 17 — 17
234
2.
3.
7.
8.
9.
10.
o)
L)
6)
17 - 37 --- - 1.
20 - 2x 40 - 0;
9x- 12 — 7x4-18.
5x — 60 — 324 - 19.
350 - 7x 19x - 144.
d) 9>2x 19;
ä)
d)
ch
d)
b)
b) 4 - 5 - 5.
ä)
^ 3 2 6.
^^'4
Alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, werden in den
ersten Teil der Gleichung gebracht und reduziert; alle übrigen Glieder
dagegen werden in den Zweiten Teil übertragen und ebenfalls reduziert.
Man befreit die Unbekannte von ihrem Koeffizienten (Faktor),
wenn dieser von 1 verschieden ist, indem man beide Teile der Gleichung
durch ihn dividiert, und erhält den gesuchten Wert für die Unbekannte.
Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen,
setzt (substituiert) man den gefundenen Wert für die Unbekannte
in der gegebenen Gleichung ein und reduziert dann die Ausdrücke
in beiden Teilen. Erhält man beiderseits dieselbe Zahl, so ist die
Auslösung richtig; im entgegengesetzten Falle wäre sie unrichtig.
3x-4 — 20;
27-5x -- 12;
29 — 6x - 13;
7x4-8 - 5x4-18;
a) 39 — 42 — 9^ — 26;
a) 18 7 — 432 - 7 — 92;
a) 97 4- 42 — 27 - 100 — II7 — 22;
b) 9x - 7 - 7x 4- 9 — 7x - 9 - 9x -4 7.
4.
5.
6.
^.-24
175 35 5.
- 2x - 36.
5
Auflös. x 10 x - 180
X — 10x — — 180
-9x ^--180*)
x 20
20
Probe — 2 . 20 - 36
4 40 - 36
4-4
Wenn die Gleichung Brüche enthält, so werden diese weg¬
geschafft, indem man beide Teile der Gleichung entweder nachein¬
ander mit jedem Nenner oder sogleich mit dem kleinsten gemein¬
schaftlichen Vielfachen aller Nenner multipliziert.
a) ^-2-1.
°) 13 4- - 11.
o
. 2x x
27 — _j_ 1 — 4.
25 7
11. 6(2x-5) — 5x-^12. Probe 6(2.6-5) — 5.6-412
Auflös. 12 x-30 — 5 x -4 12 6.7 — 30 4-12
I2x-5x —12 -4 30 42 - 42
7x^42
x — 6
1 Hier denke man sich beide Teile der Gleichung mit — 1 multipliziert.
235
Kommen in der Gleichung zusammengesetzte, durch Klammern
verbundene Ausdrücke vor, so werden die durch die Klammern an-
gezeigten Operationen wirklich ausgeführt.
12. ch 5(3^x)-st16 --- 61; b) 7(^st-2) -- 3^-st50.
13. ch 9x -st 15 -1- 3(2x - 4) 8; b) 5(4x - 15) — 9(2x - 7).
14. a) 15 (x -st 3) — 2(187 - 16x); b) 3(7 - 8x)-st 7(4x - 3) 1.
15. a) 9 (8- -st 1) - 4 --- 4 (9? -st 5) 3.
b) 2 (2x - 19) st- 3 (x - 3) --- 2 (x - 1).
16. 8 (2^ - 5) - 5 (3^ - 4) — 2 (3^ - 2) - 7 st - 6).
> 11 — 3x .. 40 — 5x
17. ch --st5x^19. b)-—
- Ki-- - z
->r> 2x — 5 . X — 7 5x — 3
2^4" 6 '
2. Anwendung der Gleichungen auf die Lösung von Aufgaben.
1. Addiert man zu 67 das 5 fache einer Zahl, so erhält man 122.
Welche Zahl ist es?
Schlußrechnen. Zu 67 muß man 6 5 addieren, um 1 2 2 zu erhalten; da auch
das 5 fache der gesuchten Zahl, zu 67 addiert, 122 geben soll, so ist das 5 fache
der gesuchten Zahl gleich 65, somit die Zahl selbst von 6 5, also 11.
Algebraisch. Heißt x die gesuchte Zahl, so ist 5 x ihr 5 faches, daher
nach der Bedingung der Aufgabe
67-1-5x^122.
Wird diese Gleichung aufgelöst, so -erhält man x — 11.
Probe: 67st-5 . 11 --- 67st-55 --- 122.
2. Von welcher Zahl ist das 9 fache um 13 größer als 140?
3. Von welcher Zahl muß man das 12 fache um das 7 fache ver¬
mindern, um 30 zu bekommen?
4. Von welcher Zahl ist das 3 fache um 66 kleiner als das 9 fache?
5. Es ist einerlei, ob man eine Zahl 3mal nimmt, oder ob man sie
um 3 vermehrt. Welche Zahl ist es?
6. Von welcher Zahl ist ihr Drittel um 24 kleiner als die Zahl
selbst?
Schlußrechnen. Der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrem Drittel
ist Z der Zahl. Ist nun dieser Unterschied, d. i. H der gesuchten Zahl, gleich
24, so ist H derselben 1 2, daher die Zahl selbst 8 mal 12 — 36.
52 -st 9 X.
9 — v
-
236
Algebraisch. Ist x die unbekannte Zahl, so ist ihr Drittel Da
X
aber um 24 kleiner sein soll als x, so muß man, um zwischen beiden eine
Gleichung zu erhalten, zu noch 24 addieren; man hat also
-I- 24 ---- x.
Durch Auflösung dieser Gleichung erhält man x — 36.
7. Von welcher Zahl ist ihr Viertel um 13 größer als ihr Zwölftel?
8. Wenn man zu einer Zahl ihre Hälfte, ihr Drittel und Viertel
addiert, so erhält man 100 zur Summe. Welche Zahl ist es?
9. Ich denke mir eine Zahl. Multipliziere ich sie mit 8, addiere zu
dem Produkte 2, dividiere die Summe durch 3 und subtrahiere
von dem Quotienten 10, so erhalte ich das Doppelte der Zahl.
Welche Zahl habe ich mir gedacht?
Wenn man die unbekannte Zahl . . . . .
mit 8 multipliziert
zum Produkte 2 addiert
diese Summe durch 3 dividiert
und von dem Quotienten 10 subtrahiert . .
so ist diese Differenz gleich der doppelten Zahl
8 x -s- 2
also ö—10 n 2x,
aus welcher Gleichung man x — 1 4 erhält.
10. Wenn ich eine gewisse Zahl mit 7 multipliziere, vom Produkte
6 subtrahiere, den Rest durch 13 dividiere und vom Quotienten
wieder 6 subtrahiere, so erhalte ich 0. Welche Zahl ist es?
11. Welche Zahl muß man zu dem Zähler und dem Nenner des Bruches
D addieren, daß man einen Bruch erhält, der mit dem Bruche Z
gleichen Wert hat?
12. Welche Zahl muß man von dem Zähler und dem Nenner des
Bruches subtrahieren, damit man einen Bruch erhält, der mit
dem Bruche § gleichen Wert hat?
13. Man verminderte eine gewisse Zahl um die Hälfte und noch 15,
den Rest wieder um das Drittel desselben und 10 und behielt
so nur noch 30 übrig. Wie groß war die Zahl?
Vermindert man die Unbekannte . . . x um die Hälfte -st 1 5 .... x — 2
— 15 — 2 — 16, diesen Rest um das Drittel -st 10.... 2 — 15— — 5
— 10 — — 20, so ist der letzte Rest gleich 30; also
— 20 30,
3
2 x;
x
8 x
8 x -st 2
8 x-st2
3
8 x-st2
- ' - — 10
woraus x — 150 folgt.
237
14. Addiert man zu einer Zahl ihre Hälfte und 6, zu der Summe wieder
die Hälfte derselben und 6, so erhält man 69. Wie heißt die Zahl?
15. Ein Lehrer gab auf die Frage, wieviel Schüler er habe, folgende
Antwort: „Die Hälfte meiner Schüler beträgt 16 mehr als der
6. und 9. Teil derselben." Wieviel Schüler hatte er?
16. In einer Bürgerschule waren zu Anfang des Schuljahres 108 Schüler.
Die Schülerzahl der 2. Klasse war um 6 größer als die Hälfte der
Schülerzahl der ersten, die der dritten um 2 kleiner als Z der¬
jenigen der ersten Klasse; wieviel Schüler hatte jede Klasse?
17. Ein Schüler erzählte: „Heute fehlte von unserer Klasse zu Be¬
ginn des Unterrichtes das Achtel der Schüler, 2 Schüler kamen
zuspät, dann fehlte nur das Zwölftel der Schüler". Wieviel Schüler
besuchten diese Klasse?
18. Ein Knabe wurde gefragt, wieviel Nüsse er habe. Er antwortete:
„Hätte ich noch einmal soviel und die Hälfte und das Drittel
meiner Nüsse, so könnte ich dir 8 geben und es blieben mir noch
60." Wieviel Nüsse hatte der Knabe?
19? 4. kauft Rock und Hut, zusammen für 40 Li, der Rock ist 4 mal
so teuer wie der Hut; wieviel kostet der Rock, wieviel der Hut?
20. hat 45014, L 238 Li; wieviel muß ^4 dem L abgeben, damit
beide gleich viel haben?
21. Von den jährlichen Einkünften verwendet jemand die Hälfte aus
Kost und Miete, das Achtel auf Kleidung und Wäsche, das Fünftel
auf Nebenauslagen und erspart noch 525 L. Wie groß ist sein
jährliches Einkommen?
22. Eine Summe soll unter drei Personen so verteilt werden, daß
6 Li mehr als x, L 86 Li weniger als und 0 10 14 weniger
als H der Summe erhält. Wie groß ist die Summe und wieviel er¬
hält jeder?
23? Hätte ich 3 mal soviel Geld als ich habe und noch 8 Li dazu, so
hätte ich gerade 50 L. Sage, wieviel Geld ich habe!
24. Eine 1000 Li-Note wird gegemFünfkronen-, Zehnkronen- und Ein¬
kronenstücke, von jeder Sorte gleichviel Stück, gewechselt; wieviel
Stück von jeder Sorte sind zu geben?
25. 4. gab von seinem Ersparnis § für Bücher, für Kleidung, für
die Armen aus; da blieb ihm 1 Li mehr als A- des Ersparten.
Wie groß war dieses?
26*. 36 Li (21600 Li) werden unter drei Personen geteilt, so daß
L doppelt soviel wie 4. weniger 5 Li (1800 14), und 0 3mal so¬
viel wie 4 weniger 7 Li (3600 14) erhält; wieviel kommt auf ^4,
L und 0? — x 14, L (2 x — 5 Li).
27. Welches Kapital gibt zu 4ö A samt Zinsen in 1 Jahr 3824'7 Li?
28. Welches Kapital gibt zu 4^ L ausgeliehen in 5 Monaten 15 Tagen
264 Li 8 b Zinsen?
238
29. Von einer Schuld werden zu 4^ A nach jedem Vierteljahre 36 Ix
75 b Interessen bezahlt; wie hoch beläuft sich die Schuld?
30. In welcher Zeit bringt ein Kapital von 670 L zu 4 L 80'4 L
Interessen?
31. Ein Kaufmann hat eine Summe von 865 L nicht zur rechten
Zeit bezahlen können und muß nun 17 L 30 b Verzugszinsen
bezahlen, die zu 6A berechnet werden; um welche Zeit hat er
später bezahlt?
32. Ein Wucherer lieh 2500 X aus und verlangte nach 1Z Jahren
2875 L zurück; wieviel A berechnete er?
33. Wieviel Z Wein L 72 b muß man mit 30 Z ä 96 b mischen,
damit das § der Mischung 80 b wert sei?
Der Wert der Mischungen muß der Summe der Werte der Bestandteile
gleich sein.
Ist x die Anzahl Z Wein a 72 l>, so ist in Hellern ausgedrückt
der Wert von x Z L 72 Ii. 72 x
„ „ „ 30 Z L 96 b. 2880
„ „ beider Bestandteile zusammen . . 72 x -p 2880
und der Wert der Mischung (x -s- 80) 80 — 80 x s- 2400;
daher 72 x -tz 2880 -- 80 x -j- 2400,
woraus x — 60 folgt.
34. Bei einem Verkaufe löst man 1820 L und gewinnt dabei A der
Einkaufssumme; wie groß ist diese?
Der Gewinn ist gleich der Verkaufssumme vermindert uni die Ein¬
kaufssumme.
35. Ein Kaufmann kaufte ein Stück Tuch, das m zu 7^ LI hierauf
verkaufte er es, das »r zu 9 L, und gewann dabei 54 L. Wieviel
>-r enthielt das Stück?
36. Ein Getreidehändler hat eine bestimmte Menge Weizen. Verkauft
er das KZ zu 20 H, so gewinnt er 384 L; verkauft er es aber zu
18 K, so verliert er 96 L. Wieviel Hi hat er und wieviel kostet das Hi?
37. Ein Kaufmann stellt aus zwei Kaffeesorten, wovon das LA 4 Ix
und 3 Ix 60 b kostet, ein Gemenge von 25 LA Kaffee her, das
icA zu 3 L 80 b; wieviel muß er von jeder Sorte dazu nehmen?
38. * In einem Korbe sind 2 mal so viel Äpfel wie Birnen. Der
Händler verkauft davon 50 Äpfel und 50 Birnen und hat nun
3mal so viel Äpfel wie Birnen; wieviel Äpfel und Birnen waren
anfangs im Korbe?
39. Als man ein Buch druckte, setzte inan 36 Zeilen auf die Seite
und 40 Buchstaben in die Zeile; hätte man auf die Seite 4 Zeilen
mehr und in die Zeile 5 Buchstaben mehr gesetzt, so würde man
2 Bogen erspart haben. Wieviel Bogen beträgt die Stärke des
Buches?
239
40. Ein Schafhirt antwortet auf die Frage, wieviel Schafe er habe:
Hätte ich 24 Schafe mehr als ich habe, fo wäre es gerade so viel
Uber 100, als es jetzt unter 100 sind." Wieviel Schafe hat er?
41. * Ein Hirte, der Schafe und Gänse weidet, sagt: „Meine Herde hat
36 Köpfe und 100 Füße." Wieviel Schafe und wieviel Gänse
hütet er?
42. Ein Diener soll jährlich 180 L und ein Kleid erhalten; nach 3 Monaten
wird der Diener entlassen und erhält als Lohn das Kleid. Wie
teuer wurde ihm dies angerechnet?
Schlußrechnen. Erhält der Diener für 3 Monate oder Jahr das Kleid
als Lohn, so muß er für die übrigen z Jahre noch 180 X, also für j Jahr
60 I! erhalten. Da er nun für diesen Zeitraum das Kleid bekommt, so hat
dieses einen Wert von 60 X.
Algebraisch. Der Wert des Kleides sei x X; der Lohn für ein Jahr
beträgt also: (x-p 180) X, daher der Lohn für 3 Monate -- nun
für diese Zeit das Kleid, also x X im Werte, als Lohn gerechnet wurde, so ist
x -s- 180
x 4 " '
folglich x --- 60.
43. Eine Gutsverwaltung zahlte zur Erntezeit an 20 Arbeiter und
Arbeiterinnen einen Wochenlohn von 150 L aus; wieviel Männer
und Frauen waren beschäftigt, wenn 1 Mann täglich 1'5 lr, eine
Frau 1 L täglich erhält?
44. Zu einer Arbeit bieten sich 2 Personen an; würde die verlangte
Arbeit in 10, L in 15 Tagen liefern. In wieviel Tagen würde
die Arbeit durch -4 und L zusammen geleistet werden?
45. Ein Reisender wird gefragt, wieviel Lm er zurückgelegt hat. Er
gibt zur Antwort: „Wenn ich 48 Lm mehr zurückgelegt hätte, so
würde ich 3mal so weit gekommen sein als jetzt." Wieviel L-n hat
er zurückgelegt?
46. Einem Boten, der vor 2 Tagen'von einem Orte abging und täglich
49 Lm zurücklegt, wird von demselben Orte aus ein zweiter Bote
nachgeschickt, der täglich 77 Lm macht. In wieviel Tagen wird der
zweite Bote den ersten einholen?
Schlußr e ch n en. Der erste Bote hat in 2 Tagen 2 mal 48 — 98 L-» zurück¬
gelegt, ehe der zweite abging; da nun dieser täglich 77 Lm, also um 28
mehr macht als der erste, so wird die Entfernung beider täglich um 28 Lm kleiner,
98
also nach — — 3H Reisetagen des zweiten gleich 0 sein, d. h. der zweite Bote
wird den ersten in 3^ Tagen einholen.
Algebraisch. Ist x die Zahl der Tage, nach denen der zweite Bote
den ersten einholt, so reist bis zum Zusammentreffen der erste Bote 2 -p x, der
zweite x Tage; daher wird von dem ersten Voten die Strecke 49 (2 P x) —
240
— 98 -st 49 x, von dem zweiten die Strecke 77 x zurückgelegt. Da nun die
beiden Strecken gleich sein müssen, so hat man
98 -st 49 x --- 77 x,
daher x — 3^ Tage.
47. Um 7 Uhr vormittags fährt von Wien auf der Westbahn ein
Personenzug, um 9 Uhr vormittags ein Schnellzug ab. Wann
wird der Schnellzug den Personenzug einholen, wenn der erstere
in jeder Stunde 42, der letztere 26 /mr zurücklegt?
48. Um eine gewisse Strecke zurückzulegen, braucht ein Eisenbahnzug
4^ Stunden; er würde jedoch nur Stunden gebraucht haben,
wenn er in jeder Stunde 9§Lm mehr zurückgelegt hätte. Wieviel
Lm hat der Zug stündlich zurückgelegt und wie lang war die Strecke?
Es sei x die Zahl der L-w, die der Zug in 1 Stunde zu durchlaufen hat,
9 x
dann ist die zurückgelegte Strecke x.4j — - Lm; dieselbe Strecke ist aber
auch (x -st 9 H). 3 -st ?? Lnr. Man hat daher
9x — 10 x , 98
2 :: 3'
folglich x — 28. Der Zug hat also stündlich 28 L»r zurückgelegt und die Länge
9 x
der Strecke ist — 126 Lr».
49. Von geht ein Bote, der täglich 56 /mr zurücklegt, nach dem
324 L»r entfernten Orte L; zu gleicher Zeit geht ein zweiter Bote,
der täglich 52 L»r zurücklegt, von L nach Wann und in welcher
Entfernung von werden beide Zusammentreffen?
Die Summe der von beiden zur Zeit des Zusammentreffens zurück-
gelegten Strecken ist gleich der Entfernung der zwei Orte.
50. Von B aus fährt in der Richtung gegen 0 ein Postzug, der in
jeder Stunde 24 /mr zurücklegt; zu gleicher Zeit fährt von aus,
welcher Ort 36 /mr hinter L liegt, in derselben Richtung ein Schnellzug,
der den Postzug in 3 Stunden erreicht. Wieviel /mr legt der Schnellzug
in einer Stunde zurück?
51. Einem Boten, der von aus vor 6 Tagen abging und täglich
48 /mr zurücklegt, wird von L aus, welchen Ort er berührte, ein
zweiter Bote nachgesendet, der täglich 75 Lnr zurücklegt. In wie¬
viel Tagen wird dieser den ersten Boten einholen, wenn lZ 99 /mr
von entfernt ist?
Die Differenz der von beiden Boten zurückgelegten Strecken ist gleich der
Entfernung der zwei Orte.
52. * Aus zwei 45 /mr (58Z voneinander entfernten Orten reisen
zwei Freunde gleichzeitig einander entgegen; der eine macht stünd¬
lich 5 Lrrr (täglich 4A /rm), der andere stündlich 4 Lm (täglich 5x /mr) ;
wann und wo treffen sie zusammen?
53. Wie gestaltet sich die vorige Aufgabe, wenn ä. 2 Stunden vor B
aufbricht?
241
54. Ein Bote legt stündlich 4 Lm zurück. Nach 1 Stunde wird ihm
ein zweiter nachgeschickt, der per Stunde 4'6 Lm zurücklegt; wann
holt er den ersten ein?
55. Ein Personenzug geht um 7 Uhr morgens ab und legt stündlich
30 Lm zurück; wann wird ihn ein Schnellzug einholen, der um
10 Uhr abgelassen wird und stündlich 50 Lm zurücklegt?
56. Jemand wird gefragt, wie alt er sei. Er sagt: „Nach 4 Jahren
werde ich 3mal so alt sein, als ich vor zwanzig Jahren war."
Wie alt ist er?
Setzt man die Anzahl seiner Jahre — x, so ist
sein Alter nach 4 Jahren — x -tz 4,
sein Alter vor 20 Jahren. — x —20.
Da nun nach der Bedingung der Aufgabe die erste Zahl x -p 4 3 mal so groß
sein soll als die zweite x — 20, so muß man, um eine Gleichung zu erhalten,
die zweite Zahl mit 3 multiplizieren; man hat daher
x -f- 4 3 (x — 20),
woraus x — 32 folgt.
57. Von zwei Brüdern ist der eine 17, der andere 5 Jahre alt; nach
wieviel Jahren wird der ältere doppelt so alt sein als der jüngere?
58. Ein Vater ist 38, sein Sohn 10 Jahre alt; vor wieviel Jahren
war der Vater gerade 8 mal so alt wie der Sohn?
59. Ein Vater ist jetzt 40 Jahre, sein Sohn 12 Jahre alt; nach wieviel
Jahren wird der Vater H 2 mal, b) 3 mal so alt sein wie der Sohn?
Vor wieviel Jahren war in Aufgabe 59 der Vater a) 5 mal,
b) 8 mal so alt wie der Sohn?
60. Ein rechteckiger Acker von 236,??. Länge und 142'5 m Breite soll
gegen einen gleich großen von 198 m Länge umgetaufcht werden;
welche Breite muß dieser haben?
61. Ein Rechteck ist 55 m lang, 22 m breit, ein anderes 58 m lang,
29 m breit; um welche gleiche Strecke muß man die Seiten des
ersten verlängern und die des zweiten verkürzen, damit beide
Rechtecke gleich groß werden?
62. Zeichne ein Rechteck, dessen Umfang 36 am beträgt und dessen
Länge um 4 a»? größer als die Breite!
63. Die Länge eines Rechteckes ist 52 am, die Breite 38 am; wie groß
ist die Höhe eines flächengleichen Dreieckes von 60 am Grundlinie?
64. Ein Trapez von 18 m^ 6 ckm^ Fläche ist 5 m 24 am hoch, die eine
Grundlinie sc — 4 m 38 am; wie groß ist die andere?
65. Zeichne ein Dreieck, dessen Grundlinie 12 am beträgt, während
die beiden anderen Seiten den 3. und 4. Teil des Umfanges
ausmachen!
66. Zeichne einen Kreis von 30 (24, 36,18) am Umfang! u — 2 . r . n.
M o a n i k - H a I b g e b a u er, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. 1g
242
67. Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 3, durch eine zweite
in 4 Stunden gefüllt werden. In wieviel Stunden wird der Be¬
hälter voll, wenn beide Röhren zugleich geöffnet sind?
Man setze die erforderliche Zahl der Stunden — x und den Inhalt des
Z 4 is
Behälters — oder — 1 (Behälter). Die I. Röhre allein
füllt in 1 Stunde Behälter oder kurz - , daher in x Stunden ; die 2.
Röhre allein füllt in 1 Stunde in x Stunden des Behälters. Beide
Röhren zusammen füllen also in x Stunden -f — 1, woraus sich für
x die Zahl 1s ergibt.
68. Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 4^, durch eine zweite
in 5 Z Stunden gestillt, durch eine dritte dagegen in 13 Z Stunden
entleert werden. In wieviel Stunden wird der leere Behälter
angefüllt, wenn alle drei Röhren zugleich geöffnet sind?
69. Um 12 Uhr stehen der Minuten- und der Stundenzeiger einer Uhr
übereinander; wann werden sich die zwei Zeiger wieder decken?
Die nächste Deckung erfolgt jedenfalls erst nach 1 Uhr. Bezeichnen wir
die Raumteile nach der Ziffer 1, wo die Deckung erfolgt, mit x, so ist der
Weg des großen Minutenzeigers eine volle Umdrehung, also 60, und 8 und x
Teile, d. i. 65 ff- x; der Weg des kleinen (Stunden-) Zeigers ist 5 ff- x. Da
aber der Minutenzeiger eine 12 mal so große Geschwindigkeit hat, so ist
65 ff- x — 12 (5 ff- x), woraus x — ,ff erfolgt. D. h. die Zeiger decken sich,
da die Raumteils der Uhr den Minuten entsprechen, 5 ffff Minuten nach 1 Uhr.
70. Um 6 Uhr befinden sich die beiden Zeiger einer Uhr in entgegen¬
gesetzter Richtung. Wann wird der Minutenzeiger den Stunden¬
zeiger zum erstenmale nach 6 Uhr einholen?
XI. Verschiedenartige Wiederholungsaufgaben.
1. Jemand gibt täglich 20 ll für Branntwein aus. a) Wieviel beträgt
dies jährlich; b) wieviel Kilogramm Rindfleisch L 1'2 X, o) wie¬
viel Liter Milch L 16 ü oder ä) wieviel Eier zu 5 ü das Stück
hätte er für den während eines Jahres verschwendeten Betrag
kaufen können?
2. Ein Mann ist durch Unglücksfälle in Schulden geraten. Um sie
zu tilgen, geht er nicht mehr ins Wirtshaus und erspart dadurch
wöchentlich 2 L 30 ll. Nach 2Z Jahren hat er seine ganze Schuld
abgetragen; wie groß war diese?
3. In Deutschland befanden sich unter 32800 männlichen Zuchthaus¬
bewohnern 6400 Gewohnheitstrinker; wieviel Prozent der Ge¬
fangenen haben ihre Strafe dem Alkohol zu verdanken?
4. Jemand hat nach 6 Monaten 8000 L zu bezahlen; er zahlt
4800 L bar; wann hat er den Rest zu bezahlen?
243
5. Welches Kapital muß ein Vater für seinen 4-jährigen Sohn in
eine Sparkassa einlegen, wenn dieser nach 20 Jahren bei 4A
Zinseszins und ganzjähriger Verzinsung 4000 X erhalten soll?
6. Für einen am 21. Juli fälligen Wechsel wurden bei 4H Diskont
am 15. Juni 463 X 14 d bar gezahlt; wie groß war der Wechsel¬
betrag?
7. Wieviel Kronen erhält man für einen Wechsel
ch von 2518 Mark auf Hamburg zum Kurse 119'6,
b) „ 4012 Franken ans Paris „ „ 99'6?
8. Ein Kommissionär verkaufte für ein Brünner Haus 86 Stück Tuch
a 144 X mit 2 Skonto; er rechnet 42 X 40 ü für Spesen, 2 Ver-
kaussprovision. Wie groß ist der Reinertrag der Verkaussrechnung?
9. Wieviel Zinsen bringen a) 1355 X zu 6A vom 1. Juli bis
27. Oktober? b) 3060X zu 4ZA vom 28. März bis 14. Mai?
10. Ein Wiener hat in London eine Schuld von 354^ Pfund Sterling
zu bezahlen. Er beauftragt damit einen Berliner Kaufmann, der
für 1 Pfund Sterling 20Z Mark und für 100 X 84^ Mark
rechnet und eine Provision von verlangt; wieviel X zahlt
der Wiener für die Schuld?
11. Ein Wechsel auf 2045 X, ausgestellt am 14. Mürz, 2 Monate
ä äato, wird am 10. April mit 4ZA diskontiert; wieviel erhält
man dafür, wenn noch zA Provision zu zahlen ist?
12. Wieviel erhält man für die am 11. September verkauften 4000 X
Dux-Bodenbacher Eisenbahn-Prioritäten, Kurs für IM X Nom.
Geld 95'70, Ware 96'50, Zinsen 4A seit 1. Juli, Sensarie -^"/o»?
13. In zwei Zimmern befinden sich 32 Personen; gehen aus dem
ersten Zimmer so viele in das zweite, als schon dort sind, so sind
in beiden gleich viele. Wieviel Personen waren in jedem Zimmer?
14. Jemand hat nach 4 Jahren 10500 X zu fordern; wieviel erhält
er jetzt für seine Forderung, die Zinseszinsen zu 5A gerechnet?
13. Welchen Varwert haben folgende Wechsel:
H 2506 X, fällig 24. Februar, diskontiert 5. Jänner zu 5A,
b) 1880 „ „ 8. April, ' „ 13. März „ 4Z<
o) 3055 „ „ 30. Juni, „ 28. April „ 4^ ?
16. Ein Knabe trägt alle Vierteljahre, d. i. vor 1. Jänner, 1. April
usw., eine Postsparkarte auf die Post; wieviel Heller Zinseu be¬
kommt er am Ende des Jahres? (Die Postsparkasse verzinst
Einlagen von mindestens 1 X mit 3L.)
17. Ein fleißiger Schüler bekommt zu Weihnachten ein Postsparkafsa-
büchel, auf 20 X lautend, zum Geschenke und legt vor dem 1. Jänner
10 ersparte Kronen dazu; wie hoch beläuft sich sein Guthaben
am 1. Jänner des nächsten Jahres?
18. in Wien ist in Frankfurt 2365 Mark schuldig und kann, um
die Schuld zu berichtigen, entweder nach Frankfurt ä 122'50 X
244
per 100 Mark remittieren oder von Frankfurt 82 Mark per 100 X
auf sich trassieren lassen; welche Art der Zahlung wird für den
Wiener vorteilhafter sein?
19. Zwei Kapitalien betragen zusammen 4550 X und tragen jährlich
255 X Zinsen; wie groß ist jedes Kapital, wenn das eine zu
5A, das andere zu 6A angelegt ist?
20. Ein Kaufmann verkauft das Kilogramm einer Ware mit IX 68b
und gewinnt dadurch 5 b an jeder Krone des Einkaufspreises;
wie teuer hat er das Kilogramm eingekauft?
21. Bei einem Konkurse ergab die Bilanz 50496 X Aktiva und
81100 L Passiva; wenn nun die Konkurskosten 8 A des Aktivstandes
betrugen, wieviel A ihrer Forderung erhielten die Gläubiger?
22. Am 22. Februar werden 5000 L Pfandbriefe der Bodenkredit-
Anstalt zum Kurse: Geld 98'50, Ware 99'50 gekauft (Zinsen
L 4A seit 1. November); wieviel muß man dafür zahlen, wenn
die Sensarie ZA beträgt?
23. Zu wieviel A verzinst sich ein in gemeinschaftlicher Papierrente
angelegtes Kapital (Zinsen 4Z A) bei einem Kurse von 92?
24. Für die Versendung von 1056 LA Kaffee und 894 LA Zucker werden
90 L Fracht gezahlt: wieviel kommt auf jeden dieser Artikel?
25. Der Einkaufspreis einer Ware beträgt 680 H, durch die Neben¬
auslagen für Zoll, Fracht u. dgl. steigt er auf 782 L; wieviel
Prozent des Einkaufspreises betragen die Nebenauslagen?
26. Eine Ware wird mit 7A Verlust für 228 X 78 b verkauft;
wieviel verliert man im ganzen?
27. Wenn 100 LA einer Ware für 85 X eingekaust und noch 2A
Provision gezahlt werden, wie teuer muß man das Kilogramm
verkaufen, um 12 A zu gewinnen?
28. Von zwei Sorten einer Ware, von der das Le/ 64, bezw. 92 b
kostet, sollen 3'5 g- L 80 X gemischt werden; wieviel muß man
von jeder Sorte nehmen?
29. Ein Getreidehändler in Breslau bezieht Weizen aus Wien, wo
er den Meterzentner mit 19'50 X bezahlt; für Fracht und Zoll
gibt er 25 A des Preises aus und verkauft dann den Weizen
zu 23'10 Mark per 100 LA; wieviel A gewinnt er, wenn 100 Mark
— 120 L gerechnet werden?
30. Wieviel kosten 4 Säcke einer Ware Brutto 358 LA, Tara 4 A zu
27 L per 100 LA Netto, wenn der Eingangszoll 15 A des Netto¬
preises und die übrigen Spesen 16 X 28 b betragen?
31. Ein Leinwandhändler kauft zwei Sorten Leinwand ein, von der
ersten Sorte 126 m L 75 b, von der zweiten 228 m L 50 b; er
löst dafür im Verkaufe zusammen 245 L 64 b. Wenn er nun
dabei an der ersten Sorte 20 A des Einkaufspreises gewinnt,
wieviel Prozent hat er an der zweiten Sorte gewonnen?
245
32. An einem Zentner Kaffee gewinnt man 24 14 oder 15 A; wie
groß ist die Verkaufssnmme?
33. Ein Kaufmann verkauft 40 LA Kaffee und Zucker für 60 14 80 b;
1 Ly Kaffee kostet 3 14 20 b, 1 LA Zucker 80 b; wieviele /st/ Kaffee
irud wieviele LA Zucker hat er verkauft?
34. Ein Sensal unterhandelt eine Partie Waren im Betrage von
1516'90 14, die Spesen betragen 9'0414, die Sensarie beträgt ZA ;
wie groß ist der Belaui?
35. Ein Kaufmann kauft 3250 LA Kaffee im Preise von 252 14 per
A und bezahlt für Fracht und andere Spesen 156'90 14; wenn
er nun den Kaffee durch einen Sensalen mit Z A Sensarie zu 320 14
per A verkauft, wieviel gewinnt er a) im ganzen, b) in Prozenten?
36. 1000 LA Weizen kosten in Berlin 232 Mark; wie hoch in 14 stellt
sich hiernach der Preis von 1 L/ Weizen im Gewichte von 78 LA,
wenn 100 Mark — 122 14 gerechnet werden?
37. Jemand erhält 445 m Tuch und bezahlt an Fracht und andern
Spesen 46'8 14; wenn er nun beim Verkaufe 20 A, und zwar
620 14 gewinnt, wie teuer war 1 nr im Einkäufe?
38. Ein Wiener bezieht aus Lyon 350 »r Seidenstoffe ä 4'75 Franken
mit 2 B Skonto, an Zoll hat er 22 B des Wertes, an Fracht
und anderen Spesen 55'10 14 zu zahlen; wie teuer in Kronen
muß er 1 m verkaufen, um 20 L zu gewinnen, wenn 100 Franken
— 97 14 gerechnet werden?
39. Eine goldene Kette wiegt A LA und ist 0'840 fein; a) wieviel
Feingold enthält sie, b) wieviel beträgt ihr Goldwert a 3280 14
per Kilogramm Feingold?
40. 10 / warme Süßmilch geben durchschnittlich nach etwa 30 Stunden
1 / Obers und 9 / abgerahmte Milch; wieviel ist 1 § Süßmilch
wert, wenn 1 / Obers 72 b, 1 / abgerahmte Milch 16 b kostet?
41. Ein Ochs wiegt lebend 587 LA, eine Kuh 483 Ly; wieviel Kilogramm
Blut hat jedes dieser Tiere, wenu im Durchschnitte auf je 23 LA
Lebendgewicht 1 LA Blut kommt?
42. Das Pflügen eines Ackers von 1 L« erfordert 3^ Arbeitstage eines
Zweigespanns, eines Mannes und eines Weibes; was kostet demnach
das Pflügen von 3Z La, wenn ein Arbeitstag des Zweigespanns
auf 4 14 80 b, der des Mannes auf 2 14 40 b, der des Weibes auf
1 14 80b zu stehen kommt?
43. Wenn 100 / Milch 9 LA Käse und Z LA Butter geben, 1 LA Käse
mit 1'914 und ILA Butter mit 2'8514 verkauft wird, wie hoch
bewertet sich 1 / Milch?
44. Zu 1 A gedörrten Pflaumen sind 4'5 y grüne Pflaumen nötig,
deren Dörrkosten 11'60 14 betragen. Wie hoch bewertet sich 1y
grüner Pflaumen, wenn 1 gedörrter Pflaumen um 46^14 ver
kauft wird?
246
45. Ein Bienenzüchter hat 12 Bienenstöcke; er erhält von jedem jährlich
LA Honig zu 2'114 und 72-7/--A Wachs, das LA zu 6 X, lind
im ganzen 6 junge Stöcke, von denen jeder durchschnittlich 17^14
wert ist. Wie hoch beläuft sich der Jahresertrag?
46. Ein Landwirt läßt sein Saatkorn besonders reinigen und benötigt
dazu 3Z Arbeitstage zu 1 14 90 ü; Landwirt L tut das nicht.
Wenn nun ä. unter sonst gleichen Verhältnissen 280 Lr/ Korn mehr
erntet als L und 1 A 15 14 wert ist, wieviel hat gewonnen?
47. Ein Handwerker, der täglich 2 14 verdient, zieht sich durch Um
Mäßigkeit eine 4-wöchentliche Krankheit zu. Wieviel hat er Ver¬
lust, wenn er überdies dem Arzte 25 14 und für Arznei 8 14 50 ü
bezahlen muß?
48. Einer Arbeiterin wird der Wochenlohn von 14 14 48 ü auf 16 14
80 ü erhöht; wieviel Prozent beträgt die Lohnerhöhung?
49. Zu einem Straßenbaue entsendet das Dorf 30 Mann durch
18 Tage, das Dorf L 24 Mann durch 15 Tage und 0 25 Mann
durch 15 Tage; wieviel erhält jedes Dorf von der dafür geleisteten
Entschädigung von 2550 14?
50? Für 5 Monate beträgt der Zins eines Kapitals 33 14; wieviel
für 1 Jahr?
51. * 45 LA kosten 27 14; wieviel kosten 15, 5, 20 LA?
52. * 20 m kosten 36 14; wieviel kosten 35 m?
XU. Der Grundsteuerkataster und das Grundbuch.
Um das Eigentum der Grundbesitzer zu sichern, Grenzstreitigkeiten
zu ordnen, Verwandlung und Teilung der Grundstücke durchzuführen
und die Steuern nach dem Ertrage bemessen zu können, wurde schon
unter Maria Theresia und Josef II. mit der Vermessung von Grund
und Boden Österreich-Ungarns begonnen und der Grundsteuer¬
kataster angelegt; seine wesentlichen Bestandteile sind unter anderen
die Katastralmappe und die Grundbesitzbögen; er dient der
Behörde zur Steuerbemessung.
Bei der Katasteraufnahme wurden die Grenzen des Grundbesitzes sehr genau
bestimmt, der Flächeninhalt berechnet und der Reinertrag einer jeden Parzelle durch
eine der Land- und Forstwirtschaft kundige, von der Bezirksvertretung oder den
Gemeindevorständen gewählte Vezirksschätzungskommission abgeschägt und entsprechend
diesem Reinerträge jede einzelne Parzelle in eine Bonitätsklasse (Bonität — Boden-
güte) der betreffenden Kulturgattung eingereiht.
Bei jedem Bürgermeisteramte oder Vorsteheramte einer Katastral¬
gemeinde (d. i. einer Gemeinde mit über 50 Joch — 28^ Gebiet)
erliegt ein im Maßstabe 1:2880, für große Städte 1:1440*) aus-
gefllhrter genauer Situationsplan des gesamten Grundbesitzes, sowie der
Baulichkeiten und Verkehrswege innerhalb der Gemeindegrenzen; dieser
*) (I Zoll — 40 Klafter — 240 Fuß — 2880 Zoll nach dem alten Maße.)
247
heißt die Katastralmappe (Gemeindemappe, Lagerplan, Gemeinde¬
karte). In ihrem Maßstabe 1:2880 bedeutet 1 em — 2880 em — 28'8 m;
auf ihr sieht man jedes Grundstück in Parzellen geteilt, die mit fort¬
laufenden Nummern bezeichnet sind. In dem hiezu gehörigen Parzellen¬
protokolle sind neben der Größe der einzelnen steuerpflichtigen und
steuerfreien Parzellen auch deren Besitzer nach Name und Wohnort,
die Kulturgattung und die Bonitätsklasse angegeben.
Jeder Grundbesitzer erhält u) einen Grundbesitz bogen mit
Angabe der Kulturgattung, der Bonität (Bodengüte), des Flächeninhaltes
und des Reinertrages seines Grundbesitzes, b) ein Steu erbliche!,
nach dem22'7B des Reinertrages als Grundsteuer an das k. k. Steuer¬
amt zu entrichten sind.
Für jede Katastralgemeinde besteht ein Grundbuch, das beim
k. k. Grundbuchsamte (im k. k. Bezirksgericht) aufliegt und genauen Auf¬
schluß über die unbeweglichen Güter der Grundbesitzer sowie über verbuchte
Lasten der Grundstücke und Baulichkeiten gibt. Das Grundbuch hat für
jeden Besitz eine Grundbuchseinlage, in der die Parzellen nach der
Katastralnummer, der Name des Eigentümers und die auf dem Besitz
etwa ruhenden Lasten sowie alle Veränderungen darüber verzeichnet werden.
Die Grundbuchsmappe stimmt mit der Katastralmappe
überein.
Eigentümer einer Liegenschaft ist nur derjenige, dem der Besitz inr
Grundbuche zugeschrieben ist. Man versäume nie, Erwerbungen oder
Veränderungen des Grundbesitzes, sowie Rechte (Pfandrecht, Servitut*)
darüber im Grundbuche rechtzeitig eintragen oder löschen zu lassen.
Wer einen Grundbesitz oder ein Haus kaufen will,
versäume nie, vorher das Grundbuch einzusehen!
Das Grundbuch ist öffentlich und erteilt unentgeltlich Auskunft.
Aufgaben.
1. In der nachstehenden Skizze aus der Katastralmappe der Stadt
Niemes (Fig. 10) bezeichnen die Ziffern 1—9 die Parzellen-Kata-
stralzahlen, die übrigen Ziffern geben die Naturmaße der Liegen-
b) Berechne die Fläche jeder Parzelle der ganzen Liegenschaft!
*) z. B. Das Recht, einen über fremden Grund gehenden Fahrweg zu benützen.
248
o) Verwandle die natürlichen Flächen dieser Liegenschaft in österr.
Joche (I Joch — 1600 Qnadratklafter — 57'546 «)!
2. Ein rechteckiger Acker ist P 215 lang und 96'7 nr breit;
b) 138'6 m lang und 63'4 m breit; wie lang und wie breit ist
er auf dem Plane?
3. Ein Bauer verkauft von der Parzelle Nr. 14, die 127^ m lang
und 64 m breit ist, ein Quadrat von 48 m Seitenlange an seinen
Nachbar. Auf sein Ansuchen wird das Grundstück geteilt (par¬
zelliert), er behält die Parzelle Nr. ", während die Parzelle Nr. "
dem Nachbar im Grundbuche zugeschrieben wird.
a) Welchen Flächeninhalt hat jede dieser Parzellen?
b) Zeichne den Plan der Parzelle Nr. 14 im Maßstabe 1: 1000!
o) Zeichne die Teilung in deinem Plane ein!
ä) Der Reinertrag von 34'80 17 des geteilten Grundstückes wird
im Grundsteuerkataster nach dem Verhältnisse der Flächen auf¬
geteilt und danach die 22'7 A-ige Grundsteuer bemessen; wieviel
hat nun der Bauer sür die Parzelle Nr. " und wieviel der
Nachbar für die Parzelle Nr. " an Grundsteuer zu bezahlen?
4. Wie hoch wurde von der Schätzungskommission der Reinertrag für 1L»
Wiese festgesetzt, wenn er für 3^ La a) 145 Li, b) 161'40 X beträgt?
5. Der Reinertrag der Parzelle Nr. 28, die 128 m lang und 54 m
breit ist, wurde im Grundsteuerkataster mit 32 17 verzeichnet;
wieviel Grundsteuer ist für Parzelle Nr. 28 zu bezahlen, wenn
22'7 A vom Reinerträge gerechnet werden?
6. Ein Bauer hat einen rechteckigen Acker, Parzelle Nr. 32, von 54 »r
Breite und 92 »r Länge; längs der ganzen Breite dieser Parzelle baut
er ein Haus samt Nebengebäuden mit 54 »r Länge und 20 »r Breite.
a) Wie groß ist der verbaute Grund und wie groß ist der Rest
seines Ackers?
b) Zeichne den Plan der Parzelle Nr. 32 im Maßstabe 1: 1000
und verzeichne darin den verbauten Grund!
o) Im Grundsteuerkataster und im Grundbuche wird der Bau ver¬
zeichnet. Wie hoch wird der Reinertrag des restlichen Ackers
und die 22'7B-ige Grundsteuer davon bemessen, da für den
verbauten Grund keine Grundsteuer zu bezahlen ist und der
Reinertrag der Parzelle Nr. 32 mit 25 17 verzeichnet wurde?
ä) Das reine Zinserträgnis des erbauten Hauses wird vom Besitzer
mit 684 17 einbekannt; wieviel hat er nach Ablauf der steuer¬
freien Jahre an 26^-iger G ebäu beste u er jährlich zu entrichten?
s) Wieviel hat er jährlich für das Haus im ganzen an Abgaben
zu entrichten, wenn er außerdem noch 28 H der Gebäudesteuer
an Landesumlagen und 25L an Gemeindeumlagen zu
zahlen hat?
7. Auf einem Anwesen sind im Grundbuche folgende Schulden vor¬
gemerkt :
249
1. Samost 6800 lL zu 4ZB; 2. Satzpost 4200 L zu 4;A; 3. Satz¬
post 5700 L zu 5B;
a) wieviel Zinsen hat der Schuldner jährlich (halbjährlich) zu
entrichten?
b) wenn dieses Anwesen um 24500 bi verkauft wird; wieviel erhält
davon der Verkäufer?
o) wieviel hätte der Gläubiger der 3. Satzpost verloren, wenn das
Haus für 15860 X verkauft würde?
8. Der Reinertrag eines Ackers ist rr) 190 L, b) 486 X, o) 854 K,
die Landesumlage beträgt 42 L, die Bezirksumlage 36 A, die Ge¬
meindeumlage 25 Grundsteuernachlaß 15 berechne die Ge¬
samtsteuer! (Grundsteuer 22'7L; berechne die Umlagen vom Betrage
der Grundsteuer!)
XIII. Gewerbliche Buchführung.
Kaufleute und Gewerbetreibende müssen, um den Gang ihres
Geschäftes, den Stand ihrer Forderungen und Schulden, sowie die Lage
ihres ganzen Vermögens zu jeder Zeit vollständig überblicken zu können,
alles, was auf das Geschäftsvermögen und die damit vorgehenden
Veränderungen Bezug hat, in dazu bestimmte Bücher einschreiben.
Die Art und Weise, die Aufzeichnungen zweckmäßig vorzunehmen,
wird Buchhaltung oder Buchführung genannt.
In Beziehung auf die Führung der Geschäftsbücher enthält das
Handelsgesetz folgende Bestimmungen: Die Bücher müssen gebunden
und jedes von ihnen muß Blatt für Blatt mit fortlaufenden Zahlen
versehen sein. An Stellen, die der Regel nach zu beschreiben sind, dürfen
keine leeren Zwischenräume gelassen werden. Der ursprüngliche Inhalt
einer Eintragung darf nicht durch Durchstreichen oder auf andere Weise
unleserlich gemacht, es darf nichts radiert, noch dürfen solche Verän¬
derungen vorgenommen werden, bei deren Beschaffenheit es ungewiß ist,
ob sie bei der ursprünglichen Eintragung oder erst später gemacht worden
sind. Ordnungsmäßig geführte Handlungsbücher liefern bei Streitig¬
keiten über Handelssachen bei Kaufleuten in der Regel einen unvoll¬
ständigen Beweis, der durch den Eid oder durch andere Beweismittel
ergänzt werden kann.
Auch sind die Bücher eines jeden Geschäftsmannes mit dem gesetz¬
lichen Stempel zu versehen.
Man unterscheidet das Aktiv-, das Passiv- und das reine
Vermögen. Unter dem Aktiv-Vermögen eines Geschäftsmannes
versteht man alles, was er an Geld oder andern Gegenständen, die
Geldeswert haben, besitzt oder von andern zu fordern hat. Das Aktiv¬
vermögen besteht also in Geld, Effekten, in Waren, in einzukassierenden
Wechseln, in Forderungen (Aktivforderungen), Mobilien (Möbeln, Haus¬
geräten, Werkzeugen u. dgl.) und Immobilien (Gebäuden, Grund-
250
stücken u. dgl.). Unter dem Passiv-Vermögen eines Geschäftsmannes
versteht man die Zahlungsverpflichtungen, die er gegen andere zu
erfüllen hat. Dahin gehören die Wechsel- und Buchschulden. Sub¬
trahiert man von dem Aktivvermögen das Passivvermögen, so zeigt der
Rest das reine Vermögen an.
Jedes Vorkommnis, das in den Bestandteilen des Geschäfts¬
vermögens eine Veränderung hervorbringt, heißt ein Geschäftsfall.
Man unterscheidet: 1. Bargeschäfte (Kassageschäfte), bei denen der
Gegenwert für die erhaltene Sache sogleich in barem Gelds (per Kassa)
geleistet wird; 2. Tauschgeschäfte, bei denen der Gegenwert auch
sofort, jedoch nicht in barem Gelbe, sondern in andern Wertgegenständen,
z. B. Wechseln, gegeben wird; 3. Kreditgeschäfte (Geschäfte aus
Zeit), bei denen der Käufer den Gegenwert nicht sofort, sondern erst
zu einer späteren Zeit leistet.
Derjenige, der von uns etwas empfängt, ohne sogleich einen
Gegenwert zu leisten, wird dafür unser Schuldner (Debitor); der¬
jenige, der uns etwas gibt, ohne sogleich einen Gegenwert zu empfangen,
wird dafür unser Gläubiger (Lrsäitor). Der Schuldner wird in
der Buchhaltung durch „Soll" oder „Debst", der Gläubiger durch
„Haben" oder „Lrsäit" bezeichnet.
Bei Wechselzahlungen gilt folgendes: Jeder, der einen eigenen
oder fremden Wechsel von uns statt Geld empfängt, wird unser
Schuldner für die Wcchselsumme; jeder, der einen eigenen oder fremden
Wechsel an uns statt Geld übergibt, wird unser Gläubiger für den
Wechselbetrag. Jeder, der einen Wechsel akzeptiert, wird Gläubiger
des Trassanten.
Zur Darstellung der Vermögensveränderungen dienen verschiedene
Bücher, von denen einige wesentliche sind, andere nur zur Erleich¬
terung der Übersicht geführt werden.
Für dis Buchführung gibt es keine eigenen Regeln, sondern jeder kann seine
Bücher nach Belieben führen; dies muß aber so geschehen, daß jeder der Buchführung
Kundige sich darin zurecht finden kann. Die in diesem Buche folgenden Darstellungen
haben sich als zweckmäßig bewährt, sind aber durchaus nicht bindend.
1. Wesentliche Bücher der gewerblichen Buchführung.
Die Inventur.
Die Verzeichnung und Wertangabe sämtlicher Bestandteile des
Aktiv- und Passivvermögens, wie dieselben zu einer bestimmten Zeit
durch Zählen, Abwägen oder Messen vorgefunden werden, heißt die
Inventur; die Bestandteile selbst bilden das Inventar.
In der Inventur werden zuerst die Aktiva, hierauf die Passiva
angeführt und dann die letzteren von den ersteren subtrahiert, wodurch
sich das reine Vermögen ergibt. Wenn man am Schlüsse eines Rechnungs¬
zeitraumes wieder inventiert und das reine Vermögen der anfänglichen
Inventur mit dem reinen Vermögen der Schlußinventur vergleicht
251
(Bilanz), so gibt die Differenz zwischen beiden den während dieser
Periode erzielten Gewinn oder Verlust an, je nachdem das schließliche
Vermögen größer oder kleiner ist als das anfängliche.
Bei der Aufnahme des Inventars und der Bilanz sind sämtliche
Vermögensstücke und Forderungen nach dem Werte anzusetzeu, der
ihnen zur Zeit der Aufnahme beizulegen ist. Zweifelhafte Forderungen
sind nach ihrem wahrscheinlichen Werte anzusetzen, uneinbringliche
Forderungen find abzuschreiben. Die Inventur und die Bilanz sind
von dem Geschäftsmanns zu unterzeichnen; sie können in ein dazu
bestimmtes Buch eingeschrieben oder jedesmal besonders ausgestellt
werden. Im letzteren Falle sind sie zu sammeln und in zusammen¬
hängender Reihenfolge geordnet aufzubewahren.
Die nähere Einrichtung der Inventur ist aus den praktischen
Beispielen Seite 259 und 268 zu ersehen.
Aufgabe:
Stelle die Bilanz am Schlüsse eines Geschäftsjahres nach folgenden
Angaben auf:
Wohnhaus Nr. 9 mit Einrichtung. 14 34476 —
Bares Geld . „ 1610'86
Geschäftseinrichtung laut Ausweis .. 2474' —
Warenvorrat laut Ausweis . .. „ 16712' —
Rimessen:
M. Elsner in Döbling per 10. Februar. „ 1250 —
G. Lerch in Baden per 1. März. 497' —
Tratten:
Order F. Koch hier per 10. Februar . 1600 —
„ S. Groß in St. Pölten per 15. Februar „ 1155'30
Buchforderungen und Vuchschulden:
F. Koch, hier.Haben „ 624'70
E. Paulh in Linz. „ „ 800' —
I. Müller in Krems. Soll „ 1056' —
O. Klein, hier. „ „ 810'56
Das Kassaüuch.
In das Kassabuch werden alle Bargeschäfte eingetragen.
Das Kassabuch wird gewöhnlich so liiert, d. h. es erhalten je
zwei gegenüberstehende Blattseiten eine und dieselbe Seitenzahl, und
diese zwei Blattseiten bilden zusammen ein Fvlium. Auf die linke
Seite, welche die Überschrift „Einnahme" (Soll) erhält, werden die
eingegangencn Geldbeträge, auf die rechte Seite, die mit „Ausgabe"
(Haben) überschrieben wird, die ausgegebenen Geldbeträge eingetragen.
Wenn eine Blattseite vollgeschrieben ist, so werden die Summen
der Einnahmen und der Ausgaben gebildet und auf die entsprechenden
Seiten des nächsten Foliums übertragen oder transportiert.
252
Am Ende eines jeden Monates wird das Kassabuch abgeschlossen,
indem man die Einnahmen und die Ausgaben addiert und die Summe
der letzteren von der Summe der ersteren subtrahiert. Der Unterschied,
der Saldo heißt und der bei ordentlicher Führung des Buches mit
dem wirklichen Kassabefunde übereinstimmen muß, wird als Kassabestand
in die Kolonne Ausgabe eingetragen, wodurch sich auf beiden Seiten
gleiche Summen ergeben. Der Saldo wird dann in der Rechnung des
nächsten Monates als Einnahme vorgetragen.
Ein Beispiel des foliierten Kassabuches folgt auf Seite 260.
In kleineren Geschäften wird das Kassabuch wegen Raumersparnis
paginiert geführt, d. h. es wird jede Seite mit einer fortlaufenden
Zahl versehen; dann erhält dieselbe zwei mit „Einnahme" und „Aus¬
gabe" überschriebene Geldkolonnen, in welche die Bargeschäfte nach der
Reihenfolge eingetragen werden. Der Abschluß eines paginierten Kassa¬
buches geschieht in gleicher Weise wie der eines foliierten.
Umstehend folgt das Muster eines paginierten Kassabuches:
Einnahme Ausgabe
1.
28.
81.
31.
31.
1.
1.
3.
4.
8.
8.
10.
20.
21.
26.
Kassabuch. Jänner 1909.
Februar 1900.
Kassastand.
Aufgabe:
Verbuche folgende Geschäftsfälle im u) foliiert, b) paginiert ge¬
führten Kassabuche!
1. März. Der Kassabestand, der sich nach Abschluß der Kassa¬
rechnung vom Monat Februar ergibt, beträgt 376'90 X.
2. März. Ich verkaufe gegen bare Zahlung:
6 Stück Tllrbeschläge L 8'40 X,
12 „ Fensterbeschläge a 8 X.
Bares Geld laut Inventur.
Für die Haushaltung.
„ Barzahlung von M. Sachse, hier.
„ verkaufte Waren.
„ Inkasso der Rimesse auf C. Schmidt.
„ Fracht und Spesen auf Sendung des M. Wolf
„ Einlösung der Tratte Order A. Geist.
„ Barzahlung von T. Hahn, hier.
„ meine Barzahlung an E. Moos.
„ verkaufte Rimesse auf G. Roth L 2652'80.
ab Diskont 5"/o bis 15. Februar „ 7'36 .
„ Zahlung an das Hilfspersonale.
„ Einlösung der Tratte Order E. Lenk.
„ Erwerbsteuer.
Saldo (Kassabestand) für Februar.
253
Körösi mit 252'80 Iv.
25. März. Bezahle die Tratte Order M. Schreiner per 160 L.
27. März. Liefere gegen bare Bezahlung: 4 Stück Sparherden 301^.
30. März. Zahle den Gesellenlohn mit 28 Iv.
Am 31. März wird das Kassabuch abgeschlossen.
Das Journal.
Das Journal oder Tagebuch hat die Bestimmung, die Ver¬
zeichnung derjenigen Geschäftsfälle, die eine Schuld oder Forderung
begründen, sowie Tauschgeschäfte in der Reihenfolge ihres Vor¬
kommens aufzunehmen. Zu den ersteren gehören alleKreditgeschäfte
und jene Kassaposten, bei denen wir einen Barbetrag empfangen
oder gezahlt haben, ohne daß der Gegenwert geleistet wurde, z. B.
n conto- oder Saldozahlungen.*)
Das Journal wird paginiert.
Bei Schuld- und Forderungsposten setzt man in die erste
Zeile den Namen des Geschäftsfreundes und fügt hierauf das Wort
,,Soll" bei, wenn er unser Schuldner, dagegen das Wort „Haben",
wenn er unser Gläubiger geworden ist. Dann folgt die nähere Angabe
des Geschäftes und des Geldbetrages, der in die Geldkvlonne gesetzt wird.
(Bei Tauschgeschäften kann sogleich die Erzählung des Geschäftsfalles
ohne die Wörtchen „Soll" oder „Haben" erfolgen; der Geldbetrag kommt
ebenfalls in die Geldkolonne zu stehen.)
Eines Abschlusses bedarf das Journal nicht.
Die nähere Einrichtung zeigt das Muster auf Seite 262 und 263.
Aufgaben.
Verbuche im Journal folgende Geschäftsfälle!
a) 1. August. Leinwandhändler W. Polzer erhält von W. Wolf
in Schönberg Leinenwaren, die laut Faktura 1765'56 H kosten.
2. August. Polzer verkauft an M. Sachse hier auf Zeit.
6 Stück Halbleinen n 30 Iv 50 b,
8 „ Gradl n 34 Iv,
6 Dutzend Leinentüchel n 8'40 L.
4. August. Polzer erhält von H. Lumbe hier eine Rimesse auf
S. Lorber per 600 Iv, zahlbar am 20. September.
*) In manchen Geschäften wird das Journal auch so geführt, daß in dasselbe
a l le Geschäftsvorfälle, wie sie sich der Reihenfolge nach ereignen, eingetragen werden.
234
4. August. Polzer erhält von S. Hirsch in Freiwaldnu Leinen¬
waren im Fakturabetrags von 1561 X und zugleich eine Tratte von
1200 X, Order H. Singer per 20. August, die er akzeptiert.
5. August. Polzer verkauft an G. Kaas verschiedene Leinen¬
waren im Betrage von 436 X gegen dessen Akzept per 20. August.
6. August. Polzer erhält von A. Frisch in Vöslau eine Bar¬
zahlung von 560 X und sendet an ihn:
5 Stück Halbleinenkreas » 64 X,
6 ,, Damasttischtücher »9'60 X,
6 Dutzend Damastservietten » 14'40 X.
b) 1. Mai. Kaufmann E. Haas verkauft an I. Bernstein in
Baden auf Zeit 455 Kaffee a 3'08 X und 130 Mandeln ä 2'20 X.
2. Mai. Haas erhält von F. Tropeani in Triest eine Sendung
Waren im Fakturabeträge von 3052'80 X.
2. Mai. Haas kauft von M. Stern 1258 /cA Zucker »76 ll und
übergibt ihm dafür einen eigenen Wechsel per 23. Mai.
4. Mai. Haas akzeptiert die Tratte des F. Tropeani in Triest
über den Fakturabetrag von 3052 X 80 b, Order I. Link per 30. Juni.
5. Mai. Haas empfängt von I. Kloß in Krems 760 X und
sendet an ihn 324 Zucker ä 72 b, 217 Tafelöl » IX 80 b und
156 Lg Weinbeeren » 96 ll.
6. Mai. Haas verkauft an G. Krones gegen dessen Akzept per
27. Mai 214 Kaffee ä 3'08 X.
Das Hauptbuch.
Das Hauptbuch dient zur Darstellung des Rechnungsverhältnisfes
mit unfern Geschäftsfreunden; es soll ersichtlich machen, was uns jede
Person, mit der wir in Geschäftsverbindung stehen, schuldig ist und
was sie von uns zu fordern hat. Im Hauptbuchs wird jedem Geschäfts¬
freunde ein Konto eröffnet, das zwei gegenüberstehende, mit derselben
Foliozahl versehene Blattseiten einnimmt und den Namen und Wohnort
des Geschäftsfreundes als Überschrift enthält. Auf die linke, mit „Soll"
überschriebene Seite trägt man jene Posten ein, für die der Geschäfts¬
freund unser Schuldner wird, auf die rechte, mit „Haben" überschriebene
Seite dagegen die Posten, für die er unser Gläubiger wird.
Das Hauptbuch wird aus dem Journal gebildet und enthält dieselben
Poften wie das Journal; nur erscheinen diese im Journal nach der
Zeitfolge, im Hauptbuchs nach dem Namen der Geschäftsfreunde geordnet.
Nach erfolgter Übertragung eines Postens aus dem Journal in das
Hauptbuch wird in die betreffende Bezugskolonne des Journals das Folium
des Hauptbuches, auf das die Übertragung stattgefunden hat, eingesetzt.
Um das Hauptbuch am Ende eines bestimmten Zeitraumes ab-
zu s chließ e n, addiert man in jedem Konto die Beträge im Soll und jene
im Haben und subtrahiert die kleinere Summe von der größeren. Der
Unterschied heißt Saldo und wird auf diejenige Seite, wo man die
258
kleinere Summe erhielt, eingestellt. Dann sind die Summen auf
beiden Seiten gleich.
Zuletzt wird der Saldo, damit der Stand der Rechnung wieder
hergestellt werde, auf der entgegengesetzten Seite für die weitere Rechnung
vorgetragen.
Die nähere Einrichtung des Hauptbuches ersieht man aus dem
praktischen Beispiele Seite 264 bis 267.
Aufgaben.
Übertrage in das Hauptbuch die auf Seite 253 und 254 znr Bildung
des Journals angeführten Geschäftsfälle!
2. Neben- und Hilfsbücher der gewerblichen Buchführung.
Die Hilfs- und Nebenbücher dienen zu ausführlicheren Vor¬
merkungen und Verrechnungen über einzelne Vermögensbestandteile,
die in den wesentlichen Büchern nur kurz berührt werden. Ihre Zahl
hängt von der Art rind dem Umfange des Geschäftsbetriebes ab.
Das Brief-Kopier-Buch.
In dasselbe werden die Briefe, die wir an unsere Geschäftsfreunde
schreiben, rein kopiert.
Das Fakturenbuch.
In das Eingangs-Fakturenbuch, das übrigens nur in
größeren Geschäften vorkommt, werden die Fakturen, die man von
auswärtigen Geschäftsfreunden empfängt, wörtlich eingetragen; zugleich
setzt man darunter die Fracht und andere Spesen. Meistens wird einer
solchen Faktura sogleich auch die Preisberechnung beigefügt.
In das Ausgangs-Fakturenbuch werden die Rechnungen
eingetragen, die man über verkaufte Waren den Kunden erteilt.
Das Waren- oder Lagerbuch.
Das Waren- oder Lagerbuch, auch Waren-S kontra
genannt, macht nicht nur unfern jedesmaligen Warenvorrat ersichtlich,
sondern weist auch insbesondere aus, wann, was und wie tener wir gekauft
oder verkauft, von wem wir gekauft oder an wen wir verkauft haben und
zeigt endlich den Gewinn oder Verlust bei jedem Warenartikel an.
Jedem Warenartikel oder auch nur jeder Gattung von Waren
wird ein besonderes Konto auf einem Folium errichtet, dessen linke
Seite die Überschrift „Soll" oder „Eingang", dessen rechte „Haben"
oder „Ausgang" und dessen Mitte die Bezeichnung der Waren ent¬
hält. Jeder Empfang dieser Ware wird auf die linke, jedes Weggeben
auf die rechte Seite eingetragen. Der Abschluß des Warenbuches
geschieht auf ähnliche Weise wie im Hauptbuche.
Dieselbe Einrichtung wie das Warenbuch des Kaufmannes hat
bei größeren Gewerben das Lagerbuch; dieses soll eine Übersicht über
die auf dem Lager befindlichen, beziehungsweise davon verkauften
fertigen Waren gewähren.
256
In ausgedehnten Geschäften hält man auch ein eigenes Mate¬
rialienbuch, in das auf der Eingangsseite die gekauften, auf der
Ausgangsseite die in die Werkstätte verabfolgten Materialien einzu¬
tragen sind.
Das Verfallsbuch.
Das Verfallsbuch soll dem Geschäftsmanns zu jeder Zeit die
Übersicht gewähren, was für Wechsel und wann er zu zahlen, sür
welche Wechsel und wann er Zahlung zu empfangen hat.
Die Einrichtung des Verfallsbuches kann sehr verschieden sein.
Ein Beispiel hierüber findet man auf Seite 261. Für kleinere Geschäfte
kann es nach dem folgenden Muster geführt werden:
Derfallsbuch. Jänner 1909.
In der Rubrik Anmerkung ist aufzuschreiben, wann der Wechsel
einkassiert oder bezahlt, wann und an wen er weiter gegeben wurde usw.
Das Bestellungsbuch.
Das Bestellungsbuch enthält den Namen des Bestellers, den
bestellten Gegenstand mit Angabe der Größe und Form, die Lieferzeit
und den etwa vereinbarten (akkordierten) Preis, endlich die Anmerkung
für die stattgefundene Ablieferung.
3. Praktische Darstellung der gewerblichen Buchführung.
Einmonatlicher Geschäftsgang einer Möbeltischlerei.
Bücher: Inventur, Kassabuch, Journal, Hauptbuch, Wechsel¬
verfallsbuch.
Geschäftsfälle.
1. Juli 1909. ^llois Ikoil, Möbeltischler in Wien, nimmt am
30. Juni die Inventur vor und findet bei derselben folgenden Ver¬
mögensstand :
Bares Geld X 2100.
Einrichtung der Werkstätte laut Ausweis 1900.
Vorrat an Materialien laut Spezifikation 1^ 3370.
Vorrat an fertigen Möbeln laut Lager-Ausweis X 9720.
Rimesse: L 1560 auf L Hess per 9. Juli.
Buchforderungen von ll. in Wr.-Neustadt H 277,
„ I-aokner hier. lv 720.
Tratten: L 496 Order Habn per 12. Juli,
L 966'50 ,, 0. IHötllwk per 16. August.
Buchschulden: an IV. (-all hier L 1130.
257
Über diese Vermögensbestandteile wird die Inventur aus¬
gestellt. Zur weiteren Buchung der Inventur trägt man den Bestand
an barem Gelds in das Kassabuch und zwar als Einnahme ein.
Die Rimessen und Tratten merkt man im Verfallsbuche vor. Die
Buchforderungen und Buchschulden werden in das Journal und
später auf die Konti der betreffenden Geschäftsfreunde im Hauptbuchs,
bezüglich als Soll und Haben, eingetragen.
2. Juli. Für die Bestreitung der Haushaltung werden 240 X
hergegeben.
Die Barausgabe gehört in das Kassabuch.
Kaufe von 6alh hier, gegen Zahlung auf Zeit 18 Blöcke Maha¬
goniholz für 1530 X.
Der Kauf auf Zeit, als ein Kreditgeschäft, wird zunächst als
Habenposten in das Journal und sodann in das Hauptbuch auf die
Habenseite des Kontos für (lall eingetragen.
3. Juli. Verkaufe an 0. Von^ol gegen bar einen Schreibtisch
für 130 X und einen Speisetisch für 90 X.
Die Geldeinnahme trägt man in das Kassabuch ein.
4. Juli. Sende an 4. Nal^ in Wr.-Neustadt ein Kanapee mit
2 Fauteuils und 6 Sesseln im Preise von 560 X; für die Zufuhr auf
den Bahnhof zahle ich 4'40 II.
Mit dem Betrage per 564'40 X wird Llal^ im Journal und dann
im Hauptbuchs belastet. Die Geldausgabe 4'40 X gehört ins Kassabuch.
5. Juli. Kaufe von X. Ilvbsr gegen bare Bezahlung für
870'60 X Nußbaumholz.
Die Geldausgabe trägt man ins Kassabuch ein.
6. Juli. Zahle als Erwerbsteuer 100 X. Die Gehilfen erhalten
148 X Wochenlohn.
Die baren Geldausgaben werden in das Kassabuch eingetragen.
8. Juli. Kaufe von 8. VoZI hier, Bretter für 500 X gegen
mein Akzept per 29. Juli.
Die Eintragung erfolgt nur im Journal; 8. VoA hat kein Konto
im Hauptbuchs; das Akzept wird im Wechselverfallsbuche unterm
29. Juli notiert.
9. Juli. Kassiere die Rimesse auf X. Hsss mit 1560 X ein.
Die Geldeinnahme gehört in das Kassabuch; die Einkassierung
der Rimesse wird im Verfallsbilche vorgemerkt.
10. Juli. Ein Lohndiener bringt einen Fremden, der 2 Bett¬
stätten, 2 Tische lind 6 Sessel für 216 X kauft; der Lohndiener erhält
2 X Trinkgeld.
Die Geldeinnahme mit 214 X gehört in das Kassabuch.
11. Juli. Xaoknsr leistet eine Barzahlung von 400 X.
Kassabuch (Einnahme). Im Journal und im Hauptbuche werden
dem Xaoknsi' 400 X gutgeschrieben.
Maenik-Halbgebauer, Rechenbuch f. Knaben-Bürgersch. Einteilige Ausgabe. ) 7
258
12. Juli. Löse die heute fällige Tratte per 496 X Order X. Hallu ein.
Kassabuch (Ausgabe). Vormerkung im Verfallsbuche.
13. Juli. Zahle an die Gehilfen den Wochenlohn mit 148 X.
14. Juli. Verkaufe an den Möbelhändler X SolluIIsr, hier,
2 Schreibtische a 100 X, 4 runde Tische a 46 X, 10 Bettstätten ä 46 X,
8 Chiffonniers ä 50 X, 4 Kleiderkästen ä 84 X, 3 Waschkästen L 40 X und
3 Garnituren ä 340 X und erhalte von ihm eine Barzahlung von 1700 X.
Die Barzahlung gehört als Einnahme in das Kassabuch; Sellnller im
Journal und im Hauptbuchs mit 2720 X belasten und 1700X gutschreiben.
15. Juli. Erhalte von I§vW Aal/ in Wiener-Neustadt 12 Körbe
Leim im Betrage von 1020 X und zahle für Fracht X 4'76.
Die Ausgabe für Fracht gehört in das Kassabuch, Aal/ im
Journal und im Hauptbuchs 1020 X gutschreiben.
16. Juli. Wird eine Tratte des A. dali, hier, 856'80 X' Order
0. Kellvai^ per 24. Juli präsentiert, die ich akzeptiere.
Der Trassant V. 6all wird im Journal und im Hauptbuche mit
der Wechselsumme belastet und das Akzept im Verfallsbuche vorgemerkt.
18. Juli. Stelle dem Rr. Rolall, hier, die von ihm bestellte
Ladeneinrichtung samt 2 eichenen Ladentüren im Preise von 1660 X zu.
?olak wird im Journal und im Hauptbuche mit 1660 X belastet.
19. Juli. Leiste an VV. dalst hier, eine Barzahlung von 1360 X.
Kassabuch (Ausgabe). Im Journal und im Hauptbuchs wird
Oall mit dem Betrage von 1360 X belastet.
20. Juli. Zahle den Gehilfen 148 X Wochenlohn.
23. Juli. Kaufe von O. VVaZnsr, hier, Glastafeln und Spiegel¬
glas für 750 X, die ich bar bezahle.
Wie unter 5. Juli.
24. Juli. Löse die heute fällige Tratte, Order 0. Lollvars per
856'80 X ein.
Wie unter 12. Juli.
25. Juli. Verkaufe dem Möbelhändler X Lellullsr, hier, 2 Gar¬
nituren L 380 X und 6 Kleiderkästen L 90 X gegen sein Akzept
2 Monate rr äato.
Die Eintragung erfolgt im Journal und Hauptbuche; das Akzept
wird im Verfallsbuche unter 25. September vorgemerkt.
26. Juli. X. Rolrck, hier, kauft eine Garnitur für 450 X und
übergibt zwei Rimessen:
700 X auf X Reiner per 4. August und
850 X auf 0. Lellnsiäer per 27. August.
RoXIc wird im Journal und im Hauptbuchs mit dem Preise
der Garnitur belastet, der Betrag der Rimessen wird ihm gutgeschrieben.
Die Rimessen verzeichnet man im Verfallsbuche.
27. Juli. Verkaufe an den Schnittwarenhändler 1- 8ellmi6t auf Ab¬
rechnung eine Mahagoni-Garnitur für 770 X und einen Divan für 130 X.
259
8obwiät wird mit dem Betrage im Journal und im Haupt¬
buchs belastet.
27. Juli. Zahle den Gehilfen 148 X Wochenlohn.
29. Juli. Löse meine Tratte, Order 8. VoZI per 500 X ein.
Wie unter 12. Juli.
30. Juli. Verkaufe die an: 25. September fällige Rimesse auf
0. 8obuIIsr per 1300 X mit 5A Diskont.
Der empfangene Wechselbetrag — nach Abzug vou 5A Diskont
— also 1289'70 X, wird als Einnahme in das Kassabuch eingetragen,
der Verkauf im Verfallsbuche vorgemerkt.
31. Juli. Sendet 4. 8ebmlät die Rechnung über gelieferte Woll-
nnd andere Stoffe ein; Betrag 508 bi.
Dem Kebmiät werden im Journal und im Hauptbuche 508 X
gutgeschrieben.
Am Ende des Monates Juli wird der Abschluß der Bücher und
die Inventur vorgenommen. Bei der Inventur zeigt sich die Kassa¬
barschaft übereinstimmend mit dem Saldo des Kassabuches. Bei der
Wertbestimmung der Gerätschaften in der Werkstätte zieht man
wegen der Abnützung ab. Über die vorrätigen Materialien
sowie über die im Magazin befindlichen Möbel fertigt man Ausweise
an und es zeigt der erstere Ausweis einen Vorrat im Werte von
3420 X, der letztere von 8160 X. Die Rimessen und Tratten ergeben
sich aus dem Verfallsbuche, die Forderungen und die Schulden
aus dem Abschlüsse des Hauptbuches.
Inventur, ausgenommen am 30. Juni 1909.
17*
260
Kass a-
Einnahme.
Juli
1.
1.
3.
August 1909.
Kassabestand vom vorigen Monate
9.
10.
11.
14.
30.
Bares Geld laut Inventur .
Für an 0. IVsnMl verkaufte Möbel:
1 Schreibtisch L 130' —
1 Speisetisch „ 90' —
„ Inkasso der Rimesse auf L. Hsss...
„ an einen Fremden verkaufte Möbel . .
„ Barzahlung von Haobusr hier . ..
„ Barzahlung von V. Lobuüsr hier . . .
,, verkauftes Akzept des 4. Kobuüsr per
25. September H 1300' —
ab 5^ Diskont 10'39
Buch.
1909.
1
Ausgabe.
Verfalls-
Buch.
198
262
Journal.
Juli 1909.
263
Juli 1909.
264
Haupt-
i
8oll 4. Nal/ in
2
8oll 0ar:1) Aus dem Kundenbuche eines Tapezierers.
i?rsn2 Luaker hier.
<;) Aus dem Kundenbuche eines Viktualienhändlers.
Linil Raster hier.
272
Auch Beamte und Beamtinnen sollen über ihre Einnahmen und
Ausgaben Buch führen. Diese Art der Buchführung kann in einem
Notizbüchlein ungefähr nach folgendem Muster vorgenommen werden.
Einnahmen. Januar 1909. Ausgaben.
5. Beispiele aus der Buchführung eines Landwirtes.*)
ch Stelle das Inventar eines Bauerngutes vom 1. Januar 1909
nach folgenden Angaben zusammen:
1. Bares Geld Ri 171'-.
2. An liegenden Gründen: 12 /ra 84 a Ackerland,
4 Ha 75 a Wiesen, 1 „ 55 „ Hutweiden,
5 „ 30 „ Waldungen, — „ 18 „ Bau-Area;
zusammen .... Ha ... a, die samt den Wohn- und Wirtschaftsgebäuden
auf R 17000 geschätzt siud.
3. Hausgeräte im Werte von R 696.
4. Landwirtschaftliche Geräte im Werte von R 900.
5. Nutzvieh im Werte von Ri 3084.
6. Vorräte an landw. Erzeugnissen im Werte von R 1328.
7. Ausstehende Forderungen R 1910.
8. Ein Schuldkapital von R 3690.
9. Laufende Schulden L 561.
b) Nachweis über den Rohertrag eines Bauerngutes im Jahre 1908.
I. Ertrag aus dem Ackerland. .
*) Für Knaben-Biirgerschulen mit landwirtschaftlicher Richtung.
273
II. Ertrag aus dem Wiescnland. - - '
Heu, 420 - -1 X 7 80
III. Ertrag aus den Waldungen.
Brennholz, 57 ü X 8'40
IV. Ertrag aus dem Stalle.
1. Milch, 9000 t -1 24 I>
2. Kälber, 4 Stück a X 64
3. Dünger, 840 - a X 40 .
Summe
o) Stelle den Nachweis über den Verkauf der folgenden, nach der
Deckung des Wirtschaftsbedarfes übriggebliebenen Erzeugnisse im
Jahre 1908 zusammen:
1. Aus dem Ertrage des Ackerlandes:
46 /?/ Weizen u X 13'60, 40 /// Gerste a X 9'40,
46 „ Roggen a X 11'80, 56 „ Kartoffeln ä X 6'20.
2. Aus dem Ertrage des Wiesenlandes:
84 § Heu a X 7'80.
3. Aus dem Ertrage der Waldungen:
20 Brennholz L X 8'40.
4. Aus dem Ertrage des Stalles:
125 LA Butter ü X 2'60, 4 Kälber a X 64.
4) Rechnungsabschluß des Bauerngutes für das Jahr 1908.
I. Einnahmen.
1. Erlös aus dem Ertrage des Ackerlandes
2. „ „ „ „ des Wieseulandes
3. „ „ „ „ der Waldungen
4. „ „ „ „ des Stalles
5. Für zurückgezahlte Forderungen ..
6. Verschiedene kleinere Einnahmen
Summe der Einnahmen...
II. Ausgaben.
t. Aufwand auf Verbesserung, der Grundstücke
2. Auf landwirtschaftliche Geräte.,^
3. Für Dienstboten und Taglöhner
4. Auf Steuern und Zuschläge
5. Für Hauswirtschaft
6. Für berichtigte Schulden
7. Verschiedene kleinere Ausgaben
Summe der Ausgaben...
Die Einnahmen sind größer als die Ausgaben um ...
Werden hievon die 5°/« Zinsen des anfänglichen Jnven-
tarkapitals per 20838 X niit
abgezogen, so ergibt sich als Jahresgeivinn von der
Wirtschaft
M o oui t-H a lb g e b a u e r, Reche.ibuch f. Lrnnben-Bi'ugersch. Einteilige "Ausgabe.
18
274
A n h a n g.
Kursblatt der Wiener Börse uom 6. Dezember 1907.
(Ilmrechnuugssätze für Zinsen: 1 fl. ö. W. oder Silber — 2 l<: 1 fl. K.-M. — 2 I< 10 d:
1 Goldgulden - 2'40 XI 1 Mark -- 1'18 X: 1 Frank oder 1 Lira --- 96 li;
1 Liv. Sterl. -- 24 X.)
.4. Allgemeine Staatsschuld.
Geld 4 Ware
Einheitliche Rente (Mai-November) 96'öS
„ „ (Jänner-Juli) 96'50
„ „ in Noten (Feber-August) 4'2"/» 98'40
„ „ in Silber (April-Oktober) 4'2"/» 98'40
Lose v. I. 1860 zu 500 fl. ö. W. (Mai-November). . 4"L 147'50
„ „ „ 1860 „ IM fl. . .. ( „ „ ). . 4->/a 252'SO
„ „ „ 1864 „ IM fl. ., „ u. 50 fl. uuverz. . . 252'50
li. Österreichische Staatsschuld.
Österr. Goldrente (April-Oktober) 4»/« 114'25
Österr. Kronenrente (März-September) 4«/« 96'85
Österr. Jnvestitionsrente (Feber-August) 3j°/<> 86'85
Eisenbahn-Staatsschuldvcrschreibungen.
Albrechtbahn, in Silber (Jänner-Juli) 4»,9 96'97
Elisabethbahn, in Gold (Jänner-Juli) 4«/» —' —
Franz-Josefsbahn, in Silber (Jänner-Juli) Sj"/« 119'20
96'75
96'70
98'60
98'60
151'50
256'50
256'50
114'45
97'05
87 05
97 —
120'20
Zu Staatsschuldverschreibungen abgestempelte Eisenbahn-
Aktien.
Elisabethbahn, Linz—Budweis 200 fl. (Jänner-Juli)
Ss°/«, per Stück
Elisabethbahn, Salzburg—Tirol 200 fl. (Jänner-Juli)
5" i
„ Kronenrente (Juni-Dezember) 4°/»
„ Grundentlastungs-Obligationen (Mai-Novbr.) 4"/»
». Andere öffentliche Anlehen.
Bosnisches Landes-Anlehen (Feber-August) 4"/«
Donau-Reg.-Anl. v. I. 1878 (Jänner-Juli) 5"/« !
Oberösterr. Landes-Anleheu (N!ai-November) 4"/<>
460' —
422' —
463' —
424 —
96'40
96' —
96'65
99'25
93'20
93 25
91' —
98'50
98'30
97'40
97' —
97'65
100'25
93'40
94'25
92 —
99'50
99'30
275
*) 2°/« Rentensteiler.
18*
276
k Stempel.
Kis 40 K —.14 k
über 40— 80 „ —L6 „
„ 80— 120 ,. —.38
120- 200 „ -.64,,
„ 200- 400 „ 1.26X
.. 400- 600 1.88.,
., 600- 800 „ 2.50 „
„ 800-1600,, 5.-,,
U8f., für.je 800 L rnebr
ir 2.50.
a/s
e^a//ea .
, c7ezr
/SS
^mn.: Oie ersre 2ej1e d68 l'exteg MUL über den unteren leil d68 8tempel8 ^vbn: die 8ebrjft2ü^6 dürfen aber niobt in da8 vor^edrnokte ^ort
..Heller" bineinraKen.
277
Ltsnipsi :
bis 150 L -.10 Ib
über 150 „ 300 „ —.20,,^
„ 3M „ 800 „ —.40
„ 6M „ SM„—.M,,^
„ 900 „ 12M „ —.80 „
,1 1200 „ ISl» „ I.-K
„ 1500 „ 18M „ 1.20 „
1800 „ 2100 „ 1.40 „
2100 „ 2400 „ 1.60,.
„ 24M „ 2700 „ 1.80 „
„ 2700 „ 30M2.— ,.
„ 3000 „ 6000 „ 4. - ,,
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