“372-Marusic-OPojmu” — 2010/3/23 — 8:53 — page 1 — #1 List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 6 (1978/1979) Številka 4 Strani 206–208 Nadja Marušič: O POJMU DIMENZIJE Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/372-Marusic.pdf c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. o POJ MU DI ME NZI JE Pojem d i me nz i j e ne predstavlja nobenih ne j as nosti tako dol go , dokler imamo v mislih prep roste geomet r ijske elemente kot toč ­ ke, prem ice, tri kotni ke, poliedre . Posamezna točka a l i k o n č n a množica t očk ima dimenz ijo O, da l ji ca je enodimenz ional na, tri kotnik a li kroge l na plos kev je di menz i j e 2, množica točk , ki napolnjuje notranjost koc ke, i ma dimenzijo 3 . Toda, čim hočemo pojem dimenzije razširiti na bolj splošne mng žice točk, potrebujemo natančnejšo defin icijo di menz ije . Prav lahko na jdemo primer za tako množ i co . Ka kš no dimenz i jo lahko pri pi š emo množic i Q na r e a l n i os i, ki vsebuje točke z ra c i ona l n i mi koord inatami? Zdaj še ne moremo odg ovorit i na to vprašan je . Poin c a r e j e prv i posk usi l n a t an čne je defini r a ti poj em di menzi- je . Og leda l i si bomo samo i de j o , ker mo ramo za podro bno obdel~ vo poznati pojme i z t opol ogi j e. Poincare je dimenz ijo tako le definiral: Premi ca i ma dimenzijo zato, ker mo ramo premic i odv zeti eno t o čko, ki ima d imenz ijo O, da lahko l o č i m o dve poljubni točki na premic i . Ravnina i ma dimenzijo 2, ke r j i mor am o odv zeti zaprto kr ivu lj o, ki ima dimenzijo 1 , da l ahko l o č i m o dve po lj ubn i točki na rav- ni ni . Ti dve defini cij i nam dasta slu tit i induk tivn i znača j dimenzig nalnosti . Prostor je n- d i me nz i ona l e n , če mu moramo odvzeti poq pros tor d imenz ije (n-1), da l ah ko l o č i m o dve pol j ubni točki t~ ga pros tora i n če z odvzemom podp ros to ra manjše d imenzi je tega ne moremo stor it i . Induk ti vno de f i ni c i j o d imen zije naj demo tud i v Evkl i d ovi h El e- me nt ih . Enodi me nz i ona l e n je t is t i objekt, ki ima ro b sestav - lj e n iz t o čk, dv odim en zi onal en obje kt i ma r ob s est avl j e n i z kr ivu lj , tr odi menz i onal en pa i z pl os ke v. 2 0 6 V zadnjem č as u se je teorija d imenzije zelo razmahnila. Preden definiramo dimenzijo , si oglejmo lastnost vsake končne množice toč k . Poljubna končna mno žica točk T i ma lastnost , da lahko v sako to čko t e mn oži c e z a pr emo v po ljubno maj he n d e l prostora , k i ne v s ebuje n ob e n e d ruge točke množi c e T . Iz te lastnosti sledi definicija množice dimenzije O. Po dogo- voru ima prazna množic a dimen zijo -1. DEFINICIJA : Mno žica točk S ima dimenzi j o O, če ni prazna in če vsako točko te množi c e lahko spr av i mo v pol j u b no ma j hn o o k o li - co , kate re r ob s e k a mn oži c o S v množici dimen zije - 1 (to po me - n i , d a r ob oko l i c e ne vs ebu je nobene t očk e mno žice S) . Tore j ima množica ulomkov na realni osi di menzijo O, s a j lah ko vsa ki ra ci onalni t o čki a kons t r u i r amo poljubno majhen interv al ( o kol i co), ki vsebuje a in ima iracionalni kraji šči ( r ob) . Rob okol i ce t orej ne vsebu j e el ementov množice Q. Taka okoli ca j e na pri me r [a - 17 . 10- n , a + ll .l0 - n J ' kj e r je n pol jub no n~ r avno š t e v i lo (s l i ka 1) . Dosle j smo definirali samo dimenziji -1 in O. Definicija mno ži ce d ime nz i je 1 i zhaja iz nji ju. DEFINICIJ A: Mno ž ica točk S ima dimenzij o 1 , če n ima d imenz ije - 1 a li O i n če vsa ko točko mno ž i c e S l a h k o spravimo v poljubno ma jhno okolico , k a te re r ob seka mn o ž i c o S v mn o ž i c i dimenzije O. Vz em imo t o čk o P na premi ci p . Ro b vsa ke ga i nt e rval a , ki vs ebu- je toč ko P , s es t av l j ata d ve t oč k i (mn ožic a di me nz i j e O) ( s l ik a 2 ) . o Sl . 1 a x 20 7 Nadalje lahko definiramo d imenzije 2, 3, 4, ... in splošno: DEFINICIJA : Množica S ima dimenzijo n , če nima kake manjše di - menzije in če je vsaka njena točka v sebovana v taki poljubno majhni okolici , da njen r ob seka množico S v mno žici dimenzije (n -]) • Tako je ravnina dimenzije 2, saj lahko vsako točko vzamemo na primer za središče kroga poljubno majhnega polmera. Kr ožni c a (rob) se ka ravnino v množici dimenzije 1 (slika 3). V običajnem prostoru nima nobena množica dimenzije večje od 3. Vsako točko prostora lahko namreč vzamemo za središče poljubno majhne krogle in površina kr ogl e (rob) ima dimenzijo 2 (sli ka 4). Pod pojmom prostora pa ne razumemo samo običajnega prosto- ra. Z razširitvijo pojma prostora lahko pridemo do dimenzije, večje od 3 . o Prostor, ki ni dimenzije n za nobeno naravno število n , prav i- mo, da je nes končno dimenzionalen. WHAT IS MATHEMATICS by Richard Courant and Herbert Robbins Oxford University Press 1960 208 Nadja Maru šič