“372-Marusic-OPojmu” — 2010/3/23 — 8:53 — page 1 — #1
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 6 (1978/1979)
Številka 4
Strani 206–208
Nadja Marušič:
O POJMU DIMENZIJE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/372-Marusic.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o POJ MU DI ME NZI JE
Pojem d i me nz i j e ne predstavlja nobenih ne j as nosti tako dol go ,
dokler imamo v mislih prep roste geomet r ijske elemente kot toč ­
ke, prem ice, tri kotni ke, poliedre . Posamezna točka a l i k o n č n a
množica t očk ima dimenz ijo O, da l ji ca je enodimenz ional na, tri
kotnik a li kroge l na plos kev je di menz i j e 2, množica točk , ki
napolnjuje notranjost koc ke, i ma dimenzijo 3 .
Toda, čim hočemo pojem dimenzije razširiti na bolj splošne mng
žice točk, potrebujemo natančnejšo defin icijo di menz ije .
Prav lahko na jdemo primer za tako množ i co . Ka kš no dimenz i jo
lahko pri pi š emo množic i Q na r e a l n i os i, ki vsebuje točke z ra
c i ona l n i mi koord inatami? Zdaj še ne moremo odg ovorit i na to
vprašan je .
Poin c a r e j e prv i posk usi l n a t an čne je defini r a ti poj em di menzi-
je . Og leda l i si bomo samo i de j o , ker mo ramo za podro bno obdel~
vo poznati pojme i z t opol ogi j e.
Poincare je dimenz ijo tako le definiral:
Premi ca i ma dimenzijo zato, ker mo ramo premic i odv zeti eno
t o čko, ki ima d imenz ijo O, da lahko l o č i m o dve poljubni točki
na premic i .
Ravnina i ma dimenzijo 2, ke r j i mor am o odv zeti zaprto kr ivu lj o,
ki ima dimenzijo 1 , da l ahko l o č i m o dve po lj ubn i točki na rav-
ni ni .
Ti dve defini cij i nam dasta slu tit i induk tivn i znača j dimenzig
nalnosti . Prostor je n- d i me nz i ona l e n , če mu moramo odvzeti poq
pros tor d imenz ije (n-1), da l ah ko l o č i m o dve pol j ubni točki t~
ga pros tora i n če z odvzemom podp ros to ra manjše d imenzi je tega
ne moremo stor it i .
Induk ti vno de f i ni c i j o d imen zije naj demo tud i v Evkl i d ovi h El e-
me nt ih . Enodi me nz i ona l e n je t is t i objekt, ki ima ro b sestav -
lj e n iz t o čk, dv odim en zi onal en obje kt i ma r ob s est avl j e n i z
kr ivu lj , tr odi menz i onal en pa i z pl os ke v.
2 0 6
V zadnjem č as u se je teorija d imenzije zelo razmahnila. Preden
definiramo dimenzijo , si oglejmo lastnost vsake končne množice
toč k .
Poljubna končna mno žica točk T i ma lastnost , da lahko v sako to
čko t e mn oži c e z a pr emo v po ljubno maj he n d e l prostora , k i ne
v s ebuje n ob e n e d ruge točke množi c e T .
Iz te lastnosti sledi definicija množice dimenzije O. Po dogo-
voru ima prazna množic a dimen zijo -1.
DEFINICIJA : Mno žica točk S ima dimenzi j o O, če ni prazna in če
vsako točko te množi c e lahko spr av i mo v pol j u b no ma j hn o o k o li -
co , kate re r ob s e k a mn oži c o S v množici dimen zije - 1 (to po me -
n i , d a r ob oko l i c e ne vs ebu je nobene t očk e mno žice S) .
Tore j ima množica ulomkov na realni osi di menzijo O, s a j lah ko
vsa ki ra ci onalni t o čki a kons t r u i r amo poljubno majhen interv al
( o kol i co), ki vsebuje a in ima iracionalni kraji šči ( r ob) . Rob
okol i ce t orej ne vsebu j e el ementov množice Q. Taka okoli ca j e
na pri me r [a - 17 . 10- n , a + ll .l0 - n J ' kj e r je n pol jub no n~
r avno š t e v i lo (s l i ka 1) .
Dosle j smo definirali samo dimenziji -1 in O. Definicija mno ži
ce d ime nz i je 1 i zhaja iz nji ju.
DEFINICIJ A: Mno ž ica točk S ima dimenzij o 1 , če n ima d imenz ije
- 1 a li O i n če vsa ko točko mno ž i c e S l a h k o spravimo v poljubno
ma jhno okolico , k a te re r ob seka mn o ž i c o S v mn o ž i c i dimenzije
O.
Vz em imo t o čk o P na premi ci p . Ro b vsa ke ga i nt e rval a , ki vs ebu-
je toč ko P , s es t av l j ata d ve t oč k i (mn ožic a di me nz i j e O) ( s l ik a
2 ) .
o
Sl . 1
a x
20 7
Nadalje lahko definiramo d imenzije 2, 3, 4, ... in splošno:
DEFINICIJA : Množica S ima dimenzijo n , če nima kake manjše di -
menzije in če je vsaka njena točka v sebovana v taki poljubno
majhni okolici , da njen r ob seka množico S v mno žici dimenzije
(n -]) •
Tako je ravnina dimenzije 2, saj lahko vsako točko vzamemo na
primer za središče kroga poljubno majhnega polmera. Kr ožni c a
(rob) se ka ravnino v množici dimenzije 1 (slika 3).
V običajnem prostoru nima nobena množica dimenzije večje od 3.
Vsako točko prostora lahko namreč vzamemo za središče poljubno
majhne krogle in površina kr ogl e (rob) ima dimenzijo 2 (sli ka
4). Pod pojmom prostora pa ne razumemo samo običajnega prosto-
ra. Z razširitvijo pojma prostora lahko pridemo do dimenzije,
večje od 3 .
o
Prostor, ki ni dimenzije n za nobeno naravno število n , prav i-
mo, da je nes končno dimenzionalen.
WHAT IS MATHEMATICS
by
Richard Courant and Herbert Robbins
Oxford University Press 1960
208
Nadja Maru šič