       
P 47 (2019/2020) 320
Nekaj srednješolskih
astrofizikalnih nalog
D F  A G̌
Med srednješolskimi mentorji je veliko zanima-
nje za težje astrofizikalne naloge, predvsem koz-
mološke, s katerimi bi zadostili radovednosti dija-
kov in dijakinj. S to mislijo objavljamo nekaj nalog
5. tekmovanja treh dežel, ki smo ga v letu 2019 v
okviru DMFA Slovenije organizirali v Avberju in
Braniku.
Naloga
Zvezdana si je zamislila čisto svoj kozmološki mo-
del. Predpostavila je, da je vesolje neskončno staro,
neskončno veliko, in ima v vseh delih in dobah v pov-
prečju enako gostoto. Kolegi so jo opozorili, da se
vesolje širi, zato je morala svoj model popraviti. Šir-
jenje vesolja namreč pomeni, da se njegova gostota
s časom manjša, zato je Zvezdana predpostavila, da
snov v vesolju ves čas nastaja. Predpostavi, da se
vesolje širi s konstantno hitrostjo, ki jo opiše Hub-
blova konstanta H = 70 km/s/Mpc, da je njegova
gostota konstantna in znaša maso 1 atoma vodika
na kubični meter. Koliko atomov vodika mora na-
stati v kubičnem Mpc prostora na leto, da bo gostota
vesolja kljub njegovemu širjenju ostala konstantna?
Rešitev
Podatki:
H = 70 km/s/Mpc
ρV = 1mH/m3
t = 1 leto
Najprej izrazimo gostoto vesolja v časih t1 in t2:
ρ(t1) =
M1
4
3πR
3
ρ(t2) =
M2
4
3π(R + R ·H · t)3
= M24
3πR
3(1+H · t)3
.
Zaradi širjenja vesolja se njegova prostornina poveča
za faktor (1+Ht)3. Ker model zahteva, da je gostota
vesolja konstantna, se mora njegova masa povečati
za enak faktor. Iščemo število novonastalih atomov
vodika v prostornini Mpc3 (dodatno nastala masa),
zato:
∆M = M2 −M1
= ρV
4
3
πR3(1+Ht)3 − ρV
4
3
πR3
= ρV
4
3
πR3((1+Ht)3 − 1)
= ρV (1Mpc)3((1+Ht)3 − 1)
= mH
m3
((1Mpc+ 70km/s · 1yr)3 − 1Mpc3)
= mH
m3
(3,08 · 1022m+ 2,2 · 1012 m)3−
− 3,08 · 1022m
= mH
m3
6,261 · 1057m3
= 6,261 · 1057mH
       
P 47 (2019/2020) 3 21
Naloga
Na sliki 1 je spekter, ki ga posnamemo, ko z radij-
skim teleskopom gledamo vzdolž galaktične ravnine
pri galaktični dolžini l = 320◦.
Izračunaj, kje v Galaksiji (na kateri razdalji od sre-
dišča Galaksije) se nahajajo oblaki nevtralnega vo-
dika, ki jih vidimo kot vrhove označene z A, B
in C.
Oceni velikost oblaka B.
Mirovna frekvenca, ki jo izseva atom vodika, je
1,42040 GHz. Predpostavi, da je rotacijska krivu-
lja na razdaljah, kjer se nahajajo oblaki, ravna in da
znaša vrot = 218 km/s in razdalja Sonca od središča
Galaksije je 8 kpc. Vse ocene iz grafa naj bodo jasno
navedene.
SLIKA 1.
Svetlobni tok v HI črti za oblake v Galaksiji v odvisnosti od
frekvence
Rešitev
Najprej ocenimo, na kateri frekvenci so oblaki A, B
in C
A: ν = 1,41998 GHz; z = 0,000295779;
vrel = 88,733 km/s
B: ν = 1,42030 GHz; z = 0,000070408;
vrel = 21,12 km/s
Bmin: ν = 1,42025 GHz; vrel = 31,68 km/s
Bmax: ν = 1,42035 GHz; vrel = 10,56 km/s
C: ν = 1,42065 GHz; z = −0,000175976;
vrel = −52,79 km/s
Pri tem smo upoštevali, da je
z = v
c
= λ− λ0
λ0
= 1/ν − 1/ν0
1/ν0
.
Uporabimo formulo
vrel = (ω(r)−ω(r⊙))r⊙sinθ
=
(
v(r)
r
− v(r⊙)
r⊙
)
r⊙sinθ.
Če uporabimo v(r) = v(r⊙) = 218 km/s in
r⊙ = 8,5 kpc ter θ = 320◦, dobimo:
A: r = 23,1 kpc
B: r = 10,0 kpc
C: r = 6,17 kpc
Bmin: r = 10,9 kpc
Bmax: r = 9,19 kpc
Ocenjena velikost oblaka je 1,71 kpc v premeru
oziroma približno 0,855 kpc v polmeru.
Naloga
Spiralna galaksija, ki je vidna s strani, ima razmerje
med veliko in malo polosjo 1,74. Poznamo izmer-
jeno rotacijsko hitrost galaksije, 300 km/s, in vemo,
da je njena navidezna magnituda v H filtru 18,0. Pri
izračunih upoštevaj, da je absolutna magnituda Son-
ca v H filtru MH,⊙ = 3,48.
Kolikšna je inklinacija galaksije? Kolikšna je ma-
ksimalna rotacijska hitrost?
Kolikšna je absolutna magnituda galaksije (v H fil-
tru)? Upoštevaj Tully-Fisherjevo relacijo (za H fil-
ter) v zapisu
logL[L⊙] = 3,44 · logvrot,max[km/s] + 0,83,
kjer je izsev podan v Sončevih izsevih in hitrost v
km/s.
Iz spektra galaksije razberemo rdeči premik, ki je
z = 0,15. Kolikšna je izmerjena Hubblova kon-
stanta?
Rešitev
Podatki:
vrot = 300 km/s
MH,⊙ = 3,48
       
P 47 (2019/2020) 322
Ker poznamo razmerje med veliko in malo polosjo
izračunamo, da je i = arccos(1/1,74) = 54,9◦.
Maksimalna rotacijska hitrost je enaka vmax,rot =
vrot/ sin i = 366,5 km/s.
Absolutna magnituda galaksije je
MH −MH,⊙ = −2,5 · log(L/L⊙)
= −2,5 · (3,44 log(vmax,rot)+ 0,83)
= −24,12
MH = −24,12+ 3,48 = −20,64.
Oddaljenost galaksije izračunamo iz mH −MH =
−5+ 5 logd in dobimo, da je (18+ 20,64+ 5)/5 =
logd in torej d = 108,73Mpc = 534,5 Mpc. Ker po-
znamo rdeči premik lahko izračunamo Hubblovo
konstanto, H0 = c · z/d = 83,19 km/s Mpc−1.
Naloga
Opazujemo zvezdo, ki ima temperaturo T = 5000 K
in radij R = 0,9R⊙ in se nahaja v kroglasti kopici na
razdalji 8 kpc. Opazujemo jo s teleskopom, katerega
premer zrcala meri D = 2 m in CCD kamero s filtrom
B (λB = 440 nm, ∆λ = 100 nm). Koliko fotonov na
sekundo ujamemo?
Gostota svetlobnega toka z zvezde v ozkem pasu
valovnih dolžin (pri izbranem filtru) naj bo
jλB ,⋆ =
2πhc2
λ5B
1
e
hc
kTλB − 1
∆λ.
Rešitev
Gostota svetlobnega toka, na detektorju:
jλ =
L
π(D/2)2
= dE
dt
4
πD2
= hνdN
dt
4
πD2
.
Gostota svetlobnega toka, ki ga prejmemo z zvezde:
jλ = jλ,⋆
R2⋆
d2
jλ = jλB ,⋆
R2⋆
d2
= 2πhc
2
λ5B
1
e
hν
kT − 1
∆λR
2
⋆
d2
hν
dN
dt
4
πD2
= 2πhc
2
λ5B
1
e
hν
kT − 1
∆λR
2
⋆
d2
dN
dt
= πD
2
4hν
2πhc2
λ5B
1
e
hν
kT − 1
∆λR
2
⋆
d2
= 149.
×××
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh osem števil.
1 8 3
7 8
1
2 3 1 7
1 4 2
7 2 6
2 4 8
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
×××