α Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 005-014 Priprava bodočih učiteljev matematike na povezovanje znanj pri pouku matematike Samo Repolusk, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru Σ Povzetek Povezovanje znanj pri pouku matematike je lahko dragocena sestavina pouka matematike, ki pomaga osmišljati nekatere matematične vsebine, prispeva k poglobitvi konceptualnih znanj, spodbuja k bolj celostnemu pogledu na vsebine in dejav- nosti pri pouku matematike ter ustvarja pogoje za razvoj pro- cesnih znanj. Odnos do povezovanja znanj pri učiteljih je v do- ločeni meri odvisen že od izhodiščnega razumevanja pomena le-teh ter osebnih stališč in izkušenj s tovrstnimi aktivnostmi, zato je pomembno, da se z njimi seznanijo že študenti, bodo- či učitelji matematike. V prispevku poleg teoretičnih izhodišč povezovanja znanj predstavimo tudi nekatere načine priprave študentov na povezovanje znanj pri pouku matematike, ki jih izvajamo na Oddelku za matematiko in računalništvo na Fa- kulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. Ključne besede: pouk matematike, povezovanje znanj, med- predmetne povezave, projektni dnevi Σ Abstract Integrating knowledge within mathematics can be a valuable component of mathematical instruction that helps making sen- se of some mathematical content, contributs to a deepening of conceptual knowledge, encourages a more integrated (holistic) view of the content and activities in mathematics and creates Preparation of future mathematics teachers for integration of knowledge at mathematical lessons Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 097-102 Matematika v družboslovnih vedah 098 conditions for the development of some specific skills (eg. inte- grating knowledge, finding resources, generalising). Teachers' attitudes towards integration of knowledge depend on their ba- sic understanding of the practice of integration, as well as their personal views and experiences with such activities, hence it is important to present the paradigm to students, future mathe- matics teachers. The paper presents some possible ways of pre- paring students for interdisciplinary approach to mathematics instruction at the Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor. Key words: mathematics instruction, integration of knowledge, interdisciplinary links, project days a Uv od Povezovanje znanj pri pouku matematike je eden izmed načinov celostnega (holističnega) pristopa k učenju in poučevanju. Zmožnost povezovanja matematičnih znanj znotraj matematike kot tudi različnih znanj med posameznimi disciplinami je sicer eden od splošnih ciljev pouka matematike in šolskega kurikula nasploh (prim. Žakelj et al., 2007), vendar je razvijanje te zmožnosti zahtevna naloga, saj zahteva tako od učitelja kot tudi od učencev široko in poglobljeno pozna- vanje obravnavanih konceptov, ob tem pa v prvi vrsti tudi poznavanje orodij in jezika, s katerim lahko pojave opisujemo. Prav zaradi tega moramo imeti na primarni in sekundar- ni stopnji izobraževanja realna pričakovanja o možnostih povezovanja znanj. Tako kot je za uspešno uporabo strategij in hevristik pri reševanju problemov najprej potrebno po- znavanje dovolj širokega nabora temeljnih pojmov, konceptov in postopkov (prim. Ma- gajna, 2003), tako je za uspešno (razumljivo, učinkovito) povezovanje znanj potrebno naj- prej zelo dobro ali celo odlično poznavanje temeljnih pojmov, pojavov in orodij vsake discipline. Tega dejstva se lahko posebej za- vemo ob v današnjem času hitro napredujo- čih znanosti (medicina, farmacija, genetika, teoretična fizika, ekologija, nanotehnologije, tehnologije učinkovite izrabe novih energet- skih virov itd.), kjer ključne preboje v razu- mevanju pojavov in novih odkritjih omogoča šele tesno sodelovanje med strokovnjaki raz- ličnih znanstvenih področij, mnogi razisko- valci pa celo sami izkazujejo odličnost na več področjih hkrati. V luči zavedanja zahtevnosti udejanjanja paradigme povezovanj znanj lahko trdimo, da se povezovanje znanj v šoli lahko najprej učinkovito uresničuje predvsem znotraj po- sameznih predmetnih področij, med soro- dnimi ali različnimi predmeti pa predvsem na intuitivni ravni zavedanja medsebojne povezanosti orodij in pojavov, šele kasneje (z dovolj dobrim obvladovanjem kompleksnih orodij in jezika posameznih disciplin) pa tudi na ravni uporabe različnih znanj in kre- ativnega oblikovanja novih spoznanj. Kljub temu pa nas zahtevnost razvijanja zmožnosti povezovanja znanj ne sme odvrniti od iskanj in delovanja v tej smeri, saj je konec koncev to eden izmed načinov nekonvencionalnega in ustvarjalnega učenja, ki je lahko v tradici- onalnem šolskem okolju tudi zanemarjeno. Priprava bodočih učiteljev matematike na povezovanje znanj pri pouku matematike 099 b Nekatera teoretična izhodiš- ča povezovanja znanj Odnos do povezovanja znanj je odvisen že od izhodiščnega razumevanja pomena le-teh ter osebnih stališč in izkušenj s tovrstnimi aktiv- nostmi, zato je smiselno, da z njimi seznani- mo že študente, bodoče učitelje matematike. Kakšno dodano vrednost k pouku matemati- ke lahko prispeva povezovanje znanj? Poglej- mo nekatere vidike, kjer se lahko povezova- nje znanj izkaže kot smiselno. • Osmišljanje matematičnih vsebin: Uči- telji se pri pouku pogosto srečamo z vpra- šanji »Kje bomo pa to rabili v življenju?« ali pa »Kje je to uporabno?«. Nanje lahko odreagiramo na različne načine: lahko jih preslišimo, lahko jih razberemo kot znak nespoštovanja in provokacije, lahko pa v njih uzremo iskrico bolj ali manj resno iz- ražene mladostniške radovednosti, ki nas vabi k premisleku o smislu tega, kar poč- nemo. Katero pot bomo izbrali, je seveda odvisno od nas samih, a z načinom reagi- ranja si pri učencih oblikujemo strokov- no in moralno podobo. V tem kontekstu je lahko povezovanje znanj z namenom osmišljanja obravnavanih vsebin odlična priložnost za potešitev mladostniške ra- dovednosti in oblikovanje ustvarjalnega in spoštljivega vzdušja v razredu. • Poglobitev konceptualnih znanj: Moč, lepota in globina nekaterih matematič- nih konceptov včasih še posebej zasije v luči predstavitve uporabe teh konceptov na drugih predmetnih področjih (npr. pogled na fizikalne enačbe skozi oči ma- tematičnih funkcij, uporaba vektorjev, odvoda, integrala, itd.), hkrati pa takšno povezovanje znanj omogoča prepozna- vanje in posplošeno razumevanje neka- terih lastnosti matematičnih objektov (npr. osvoboditev od fiksacije uporabe standardnih črkovnih oznak za spremen- ljivke v predpisih). Zgodovinsko gledano so se mnogi matematični objekti razvili z abstrahiranjem lastnosti in zvez na kon- kretnih objektih in procesih v naravi, v današnji šoli pa smo ta uvid v naravno nastajanje novega znanja izgubili, saj ab- straktnih konceptov ne znamo prepozna- vati v konkretnem dogajanju okrog nas. Prav z umestitvijo matematičnih koncep- tov v njihovo izvorno okolje lahko poglo- bimo nekatera konceptualna znanja. • Razvijanje procesnih znanj: Poleg usva- janja matematičnih vsebin pri pouku ma- tematike razvijamo tudi procesna znanja, med katerimi so mnoga prenosljiva na ostala področja človekovega delovanja in so običajno trajnejša. Povezovanje znanj nam lahko pomaga razvijati nekatera pro- cesna znanja, kot so zbiranje, urejanje, povezovanje, analiziranje, prikazovanje in kritično preverjanje podatkov in re- zultatov, iskanje in uporaba virov, uteme- ljevanje, posploševanje, napovedovanje, učinkovita uporaba simbolnega jezika, modeliranje, logično sklepanje itd. • Celostni (holistični) pogled na vsebine in dejavnosti pri pouku: Parcialni pristo- pi k stvarnosti (izraziteje od 19. stoletja z oblikovanjem ločenih znanstvenih disci- plin) so človeštvu po eni strani omogo- čili silovit znanstveni razvoj in tehnični napredek, po drugi strani pa niso uspeli rešiti nekaterih temeljnih bivanjskih iz- zivov človeštva ali so celo ustvarili nove (izčrpavanje naravnih virov, lokalno in globalno uničevanje naravnega okolja, vzpodbujanje potrošništva ob nenehnem izumljanju novih izdelkov, uničujoče Matematika v družboslovnih vedah 0100 vojaške tehnologije, tehnični odpadki, prekomerno naraščanje prebivalstva, zlo- rabe v genetiki …). Ko na prehodu v 3. tisočletje izraziteje čutimo tudi negativne posledice ekonomskega in znanstvenega napredka zaradi omejenega parcialnega gledanja na stvarnost in odsotnosti etič- ne komponente nosilcev razvoja, se pred ljudi in znanost postavlja izziv popravne- ga izpita. Reševanje ekološke problema- tike, izraba novih virov energije in skrb za kakovost bivanja zahtevajo vse večje povezovanje različnih znanosti, saj vse bolj spoznavamo, da le celostni pogled na stvarnost omogoča iskanje odgovorov na današnje izzive. Zavedanje, da je stvarnost ena, različni pa so pristopi k njej in vidiki njene obravnave (kar počnemo z delitvijo znanosti na znanstvene discipline), nam omogoča celosten pogled na razvoj novih spoznanj (npr. povezovanje biologije, ke- mije in etike v medicini, ali fizike, tehni- ke, matematike, geografije in biologije pri razvoju »zelenih tehnologij« izrabe na- ravnih virov) in hkrati zmanjša možnost, da spregledamo kakšno ključno razvojno komponento (tehnološki odpadki, etična vprašanja …). Povezovanje znanj v šoli je zato naraven korak v smeri razmišljanja, ki ga bo moralo človeštvo ponotranjiti, če bo želelo živeti kakovostno in pravično, oziroma sploh preživeti. V nadaljevanju bomo predstavili nekatere načine priprave študentov na povezovanje znanj pri pouku matematik, ki jih izvajamo na Oddelku za matematiko in računalništvo na Fakulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. γ Primeri priprave študentov na povezovanje znanj Pri oblikovanju načinov priprave študentov na povezovanje znanj na naši fakulteti sem izhajal iz izkušenj lastne pedagoške prakse (pristopi, preizkušeni v razredu), ki sem jih v letih dela na fakulteti nadgrajeval z novimi teoretičnimi spoznanji in zgledi dobrih praks ostalih učiteljev in njihovih izobraževalcev. Nekaj možnosti je na kratko predstavljenih v nadaljevanju: • Predstavitev teoretičnih osnov: Če želi- mo, da študenti povezovanje znanj sprej- mejo za naravno in smiselno, jim je treba predstaviti širši kontekst izgradnje znanja. Ta kontekst se oblikuje postopno preko predstavitev teorij učenja, kompetenc učiteljev matematike, kompetenc, ki jih razvijamo v šolskem prostoru in posebej matematične kompetence, taksonomije matematičnih znanj (npr. prirejena Ga- gnejeva taksonomija, ki jo uporabljamo pri pouku matematike), kot tudi obravna- ve umestitve znanja v današnji družbi. • Izdelava pisne priprave učne enote: V uvodu vsake učne ure (motivacija, mobi- lizacija znanja) od študentov zahtevamo pripravljenost na vprašanje učencev »Kje pa je to uporabno?«. Ob tem naj najprej poudarimo, da nikakor nismo zagovorni- ki opravičevanja obravnave vsebin zaradi njihove »uporabne vrednosti«, še posebej zato, ker matematika ni zgolj ali predvsem aplikativna znanost, ampak tudi ume- tnost – umetnost človeškega uma. Tako kot se Leonardu da Vinciju ni bilo treba nikomur opravičevati, zakaj je porabil dragoceni čas za ustvarjanje Zadnje ve- čerje, ali pa se Enniu Morriconeju ni treba opravičevati za porabljeni čas skladanja Priprava bodočih učiteljev matematike na povezovanje znanj pri pouku matematike 0101 nepozabne Gabriel's Oboe, tako tudi ma- tematikom ni treba vedno opravičevati aktivnosti, s katerimi matematika bogati človeški um. Kljub temu pa sodi k najbolj notranji potrebi človeškega uma, da želi- mo poznati pomen stvari. Če učenec želi odgovor, lahko to spoštujemo in morda celo ugotovimo, da je vprašanje zanimivo tudi za nas. Načinov, kako poiskati odgo- vor na takšno vprašanje, je veliko: poleg osebnih izkušenj v času šolanja in študija imamo danes skoraj neomejen vir infor- macij v knjigah in na svetovnem spletu, seveda pa tudi pomoč drugih učiteljev. Pri odgovorih na takšno vprašanje pride zmožnost povezovanja znanj posebej do izraza. Študente tudi vzpodbujamo, da se pri reševanju nalog ne izogibajo pri- merom, ki se navezujejo na druga pred- metna področja. Kjer takšnih primerov v matematičnih knjigah ni, lahko za pomoč zaprosijo tudi kolege učitelje drugih pred- metov. • Nasveti za odprto učenje in iskanje pri- merov povezovanja znanj v času študija: Čas študija je lahko dobra priložnost, da študent po pridobljenih temeljih na pri- marni in sekundarni stopnji izobraževa- nja ta znanja nadgradi s primeri uporabe, ki jih sreča v času študija. Študente tako vzpodbujamo, da so pri predmetih, kot so fizika, numerične metode, matematič- no modeliranje ipd., posebej pozorni na zglede uporabe matematičnih konceptov, študenti dvopredmetnih smeri pa imajo poleg tega še možnost povezovanja znanj pri specifičnih predmetih druge stroke. • Učenje problemskih znanj: Strategije in hevristike reševanja problemov so pose- ben primer problemskih znanj pri pouku matematike, ki sodijo med procesna zna- nja. Razvijanje takšnih procesnih znanj je eden od načinov povezovanja znanj zno- traj matematike. Študentom na zgledih osnovnošolske in srednješolske matema- tike predstavimo zglede uporabe strate- gij in hevristik reševanja matematičnih problemov (prim. Posamentier in Krulik, 1998). • Zgledi povezovanja znanj ob konkretnih matematičnih vsebinah: Za študente je smiselno primere povezovanj znanj med matematiko in ostalimi predmeti prikaza- ti tudi ob konkretnih matematičnih vse- binah. Tako s študenti skupaj predelamo nekatere vsebine, kjer lahko dobro prika- žemo povezovanje znanj: obrestni račun (ekonomija), transformacije grafov funk- cij (fizika, primeri matur oz. zunanjih preverjanj iz drugih držav z aplikativnimi zgledi), krivulje II. reda (fizika, astrono- mija), matematično modeliranje (različne discipline), vektorji (fizika), obdelava po- datkov (računalništvo), ustni del poklicne mature pri matematiki (povezava mate- matike in strokovnega predmeta). • Projektna naloga ali portfolio: Projektna naloga ali portfolio sta celoletni obvezno- sti študentov, ob kateri v miru premisli- jo specifične vsebine, s katerimi se bodo srečevali v neposredni učni praksi. Ta del študijskih obveznosti je najbolj avtenti- čen način učenja povezovanja znanj. V primeru izbire portfolia študenti izdelajo podrobne priprave učnih ur iz naslednjih sklopov: priprava tem za raziskovalne naloge pri matematiki, učenje z uporabo matematičnih računalniških programov ali e-gradiv, priprava ur z medpredmetni- mi povezavami (naravoslovni predmeti, tehnika, geografija …), preiskovanje/reše- vanje matematičnih problemov, izdelava Matematika v družboslovnih vedah 0102 letnega načrta (koncepta) razrednih ur in podrobna priprava ene tematske ure. V vseh navedenih primerih morajo po- vezovati znanja tako znotraj matematike kot med različnimi predmeti. V primeru izbire projektne naloge pa študenti pri- pravijo podrobne priprave (do izvedbe natančno) za tri projektne dneve na temo medpredmetnih povezav. Vsak dan pro- jektnega tedna predvidoma obsega 6 ur, vključijo pa lahko tudi terenske vaje in strokovno ekskurzijo. V vsakem primeru učenci izdelajo podrobne učne priprave, delovne liste z rešitvami, opis potrebnih materialov in morebitnih stroškov (ma- teriali, prevoz, vstopnine). Projektna na- loga za medpredmetni projektni teden nastaja praviloma v timu (dva oz. največ trije študenti), kar omogoča pridobivanje izkušenj s timskim načrtovanjem. V vseh primerih dobijo študenti natančna navo- dila za delo, pri čemer se seznanijo tudi s citiranjem virov, pravili za pisanje mate- matičnih besedil, kot tudi z vsem ostalim, kar sodi k projektnemu delu. Zadnji dve študijski leti smo izdelavo pro- jektnih nalog na temo medpredmetnih po- vezav vključili tudi v projekt Naravoslovne kompetence, katerega nosilka je Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerze v Ma- riboru, pri čemer študenti v projektu sode- lujejo prostovoljno, nastala gradiva pa ustre- zajo tudi zahtevam projektnih smernic (npr. vključevanje in opis naravoslovnih kompe- tenc, ki jih ob tem razvijamo ter natančnih navodil za učence in učitelje). Naša skromna želja je, da bi najboljša med temi gradivi lah- ko kdaj postala dostopna tudi učiteljem v obliki publikacije. δ Sklep Naštete možnosti lahko predstavljajo prve korake bodočih učiteljev v zavestno povezo- vanje znanj pri pouku matematike. Učitelj, ki ponotranji zavest o smiselnosti povezovanja znanj in pridobi tudi konkretne pozitivne izkušnje takšnega povezovanja, bo to tudi veliko suvereneje vpeljeval v učno prakso, pri čemer mu iskanje povezav ne bo predsta- vljalo bremena, ampak intelektualni izziv v vseživljenjski strokovni rasti. Proces je sicer dolgotrajen in za kakšnega učitelja tudi na- poren, a po lastni izkušnji odzivov učencev v razredu in osebnega zadovoljstvo ob novih odkritjih odtehta vložen trud. In če nam na ta način uspe matematiko pri nekaterih učencih približati kot lepo in intelektualno izzivalno, smo naredili korak v dobri smeri. ε Viri in literatura 1. Magajna, Z. (2003). 'Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku matematike'. Matematika v šoli, 10, str. 129-138. 2. Posamentier, A. S., Krulik, S. (1998). Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions: A Resource for the Mathematics Te- acher. Thousand Oaks: Corwin Press. 3. Žakelj, A., Bon-Klajnšček, M., Jerman, M., Kmetič, S., Repolusk, S., Ruter, A. (2007). Učni načrt, gimnazijski program – Matematika. Ljubljana: ZRSŠ. Priprava bodočih učiteljev matematike na povezovanje znanj pri pouku matematike