9 770351 665944 4 M A T E M A T IK A +F IZ IK A +A S T R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ T V O # ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 9 4 4 PR E S E K L E T N I K 4 9 ( 2 0 2 1 / 2 0 2 2 ) Š T E V I L K A 4   ̌   ̌ ̌                          P                     Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 49, šolsko leto 2021/2022, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Bašić (računalništvo) Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Naročnina za šolsko leto 2021/2022 je za posamezne naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2022 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 2149 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu.         ̌           b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b     ̌         P 49 (2021/2022) 42 Natančno določanje interakcije genov Človeška DNA vsebuje osupljivo količino informa- cije v približno 20.000 genih, ki kodirajo beljako- vine, in še približno enaki količini genov z drugimi funkcijami. S padanjem stroškov analize DNA je po- stalo možno preiskovanje celotnega človeškega ge- noma za različice genov, ki so povezane z lastnos- tmi, kot je telesna višina ali nagnjenost k različnim boleznim. Včasih ima posamezni gen neposreden vpliv na lastnost, pogosteje pa je učinek različice enega gena odvisen od prisotnosti različic drugih ge- nov. Ta fenomen se imenuje epistaza. Obravnava medsebojnih interakcij posameznih genov zahteva ogromne baze podatkov o DNA sto- tisočev posameznikov. V matematičnem smislu to pomeni časovno intenzivne izračune z velikanskimi matrikami. Statistiki in računalniški znanstveniki zato razvijajo raznovrstne metode za njihovo učin- kovito analizo. Namesto testiranja vseh možnih pa- rov različic genov za epistazo bi lahko npr. izbrali različico posameznega gena in proučili združeni uči- nek vseh ostalih genov nanjo. Tak pristop ne bi samo skrajšal računskega časa, ampak tudi omogočil raz- iskovalcem lažje razločevanje dejanskih učinkov ge- na od naključnih pojavov. Prav tako pomembna kot ustrezno statistično orodje pa je tudi dovolj bogata baza podatkov, ki mora odsevati vso raznovrstnost človeštva. Nedavne raziskave na podlagi genomov oseb iz različnih etničnih skupin so tako, denimo, razkrile primere epistaze, ki jih predhodne raziskave genetskega ma- teriala posameznikov evropskega porekla niso za- znale. Več informacij v članku Detecting epistasis with the marginal epistasis test in genetic mapping studies of quantitative traits, L. Crawford, P. Zeng, S. Mukher- jee, X. Zhou, PLOS Genetics 13(7), e1006869. Izvirno besedilo: Pinpointing How Genes Interact, Mathematical moments from the AMS. Prevod in priredba: Boštjan Kuzman. ××× S  : Lečasti oblak (Altocumulus lenticularis) ima značilno obliko leče. Obǐcajno nastane na zavetrni strani vzpetine in ne potuje z vetrom. Večplastni lečasti oblak na naslovnici je bil opažen nad Kamniškimi alpami. Foto: Tina Ogrinc ̌  2 Natančno določanje interakcije genov  4 Nostalgija (Andrej Guštin)  5–8 Geometrijski magični kvadrati (Nada Razpet) 29–30 Geogebrin kotiček – Kotaljenje kolesa in število π (Boštjan Kuzman)  8–11 Kapljice dežja (Andrej Likar) 28 Naravoslovna fotografija – Termoelektrarna (Aleš Mohorič in Barbara Rovšek)  20–23 Sončni koledar (Anže Jaklič) ̌̌ 24–27 Tehnike predobdelave besedil v procesiranju naravnega jezika (Mladen Borovič in Jani Dugonik)  15 Matematika združuje – vabilo k sodelovanju na likovnem natečaju (Boštjan Kuzman) 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokalič) 18–19 Posadke pri projektu Apollo (Aleš Berkopec) 30 Rešitev nagradne križanke Presek 49/3 (Marko Bokalič) 31 Bilo je nekoč v reviji Presek – Pisma bralcev  12–14 Priprave na mednarodno mladinsko naravoslovno olimpijado 2021 (Barbara Rovšek in Domen Vaupotič) priloga 12. tekmovanje v znanju astronomije za Dominkova priznanja – državno tekmovanje      P 49 (2021/2022) 4 3 Kazalo      P 49 (2021/2022) 44 Nostalgija A G̌,    Vsakič, ko se peljem proti Primorski in zagle- dam Nanos, se spomnim tistega starega Preseka, v katerem je razlaga o »paraboličnem« pobočju tega hriba. Zgodbo o obliki pobočij je ponovno obudila prejšnja številka Preseka, a zame je ta tema vsako- kratno sprožilo za razmislek o pomenu in prilju- bljenosti znanosti. Presek je začel izhajati v času, ko sem ravno pri- lezel iz plenic. Tako me spremlja že vse življenje, zato me bo ta trenutek morda zanesla romantična nostalgija. Za takratne nadobudne osnovnošolce, ki nas je zanimala fizika in sorodne zadeve, je ta revija predstavljala najpomembnejši vir tistega znanja, ki je presegalo šolske okvire. Zgodilo se je, da sem si vezane številke Preseka izposodil v knjižnici in jih po dolgih mesecih zamude s težkim srcem vrnil. V tistih časih so bile knjižničarke potrpežljive s takimi zamudniki in so nas samo okregale, zato je žepnina ostala nedotaknjena. V 80-ih letih preteklega stoletja smo mladi astronomi poleg Preseka nestrpno čakali še na nove številke revij Čovjek i svemir ter Galak- sija. Ali je sploh potrebno poudariti, da takrat še ni SLIKA 1. Vinograd mojega soseda ima nove kovinske žice. Ko je kot med Soncem, žicami in opazovalcem pravi, se na ži- cah pojavijo mavrice. Zakaj? Foto: Andrej Guštin ××× bilo interneta in so bile zato tiskane izdaje edini na- čin, da si prišel do dodatnih znanstvenih vsebin? No, ne smem zamolčati poljudnoznanstvenih filmov, kot je bila izjema serija Carla Sagana Kozmos, ki so na nam burili domišljijo in odpirali neverjetna vpraša- nja o vesolju. To je bilo to. Danes so drugačni časi. Z enimi ali dvema kli- koma lahko dostopamo do poljubnih formatov vse- bin, ki na različne načine razlagajo vse o vsem. Če nas zanima, zakaj kamen pada – klik. Če želimo zve- deti, kako nastane mavrica – klik. Če . . . Brez ve- čjih omejitev lahko na spletu spremljamo pogovore z znanstveniki, raziskovalci, strokovnjaki, komunika- torji znanosti, celo nobelovci, jim postavljamo vpra- šanja, razpravljamo z njimi in tudi s sorodnimi du- šami na drugem koncu sveta. Na različnih portalih lahko zastavljamo težka znanstvena vprašanja in do- bivamo odgovore, sicer pa brskamo po Wikipediji. Kakšna je torej v tem drugačnem svetu vloga ti- skanega Preseka, ki se bliža abrahamu? Čemu lahko služi in komu je sploh še namenjen? Ne bom še od- govoril na ta vprašanja, sicer mi bo zmanjkalo za na- slednji uvodnik, lahko pa sami razmislite o tem. Gotovo pa Presek ne potrebuje nikakršnih izgovo- rov za svoj obstoj.       P 49 (2021/2022) 4 5 Geometrijski magični kvadrati N R Magični kvadrat reda n je kvadrat, razdeljen na n×n enakih celic, pri čemer je n naravno število. V vsaki celici je eno od naravnih števil 1,2,3, . . . n2 razporejenih tako, da so vsote števil po vrsticah, stolpcih in diagonalah enake. To vsoto števil pogo- sto imenujejo magično število M . Kako izračunamo magično število? Vsota vseh števil v magičnem kvadratu je vsota vseh naravnih števil od 1 do n2, torej 1+ 2+ 3+ . . .+n2 = n2(n2 + 1) 2 . Ker je n vrstic, je vsota števil po vrsticah M = n2(n2 + 1) 2n = n3 +n 2 . Magične kvadrate poznajo ljudje že zelo dolgo. Iz- virali naj bi iz Kitajske. Kdaj so se prvič pojavili, ne vemo. Nekateri pravijo, da naj bi jih Kitajci poznali že od leta 650 pred našim štetjem, nekateri zapisi naj bi omenjali leto 80 našega štetja, zanesljivi viri pa prihajajo iz leta 570. Največkrat omenjeni star magični kvadrat je Lo šu. Po legendi naj bi ga opa- zili na oklepu želve, ki je ob poplavah lezla iz reke Lo. Del vzorca, ki naj bi bil na hrbtu želve, je ma- gični kvadrat, prikazan na sliki 1. Poleg smo narisali še ustrezni številski in geometrijski magični kvadrat. Merska števila daljic so ravno števila, ki so zapisana v posameznih celicah. Dolžino enotske daljice pa si lahko izberemo. Tokrat se posvetimo geometrijskim magičnim kvadratom. Več o njih najdete v [1]. Navedli bomo le najpreprostejšo definicijo magičnega kvadrata. Ge- ometrijski magični kvadrat reda n je kvadrat, ki je razdeljen na n×n celic, pri čemer je n naravno šte- vilo. V celicah geometrijskega magičnega kvadrata (v nadaljevanju GMK) so namesto številk črte, geo- metrijski liki ali telesa razporejeni tako, da iz njih po vrsticah, stolpcih in diagonalah sestavimo nove črte, like ali telesa. SLIKA 1. Magǐcni kvadrat Lo šu, njegova številska in geometrijska razlǐcica Dogovorimo se še za poimenovanja. Osnovni liki so liki; te sestavljamo v nove like, ki polnijo celice GMK. Tem sestavljenim likom v celicah bomo rekli elementi celic. Elemente celic po vrsticah, stolpcih in diagonalah sestavljamo v nove like; to so vsote ele- mentov. Pri vseh sestavljanjih velja, da lahko osnov- ne like ali elemente po celicah zavrtimo, morajo pa se stikati brez vrzeli in se ne smejo prekrivati. Pri manj strogih zahtevah morajo imeti vsote ele- mentov enake dolžine, ploščine oz. prostornine, lah- ko pa se razlikujejo po obliki. Vsote elementov pri nekem GMK so lahko npr. poljubni večkotniki, ki imajo enake ploščine (vsota elementov prve vrstice je trikotnik, druge vrstice štirikotnik . . . ). Prav tako se lahko v celicah kakšen element tudi ponovi. Pri strožjih zahtevah pa morajo biti vsote elementov med seboj skladni liki, elementi v posameznih ce- licah pa morajo biti različni. Tak GMK ima v tem primeru n2 različnih elementov. V nadaljevanju bomo pri sestavljanju GMK upo- števali strožja merila. Magični kvadrat reda 3 Kako sestaviti GMK? Pomagamo si s t. i. Lucasovo tabelo (ustvaril jo je francoski matematik François Édouard Anatole Lucas (1842–1891)). Kot je razvi- dno iz slike 2, moramo najti tri osnovne like a, b, c, se dogovoriti, kako jih bomo seštevali in odšte-       P 49 (2021/2022) 46 vali, narisati ustrezne vsote in razlike teh likov (ele- mente) in jih razporediti po celicah. Vsota likov a+b pomeni, da sestavimo (staknemo) lika a in b. Raz- lika likov a − b pa pomeni, da liku a odrežemo lik b. Kako lika staknemo ali odrežemo, pa je treba pre- misliti. Čisto poljubno ne gre, saj moramo elemente po vrsticah, stolpcih in diagonalah sestaviti tako, da med njimi ne bo vrzeli in da bodo vsote elementov skladni liki ali telesa. Primer. Lika a in c sta pravokotnika, ki imata enako dolgi daljši stranici, lik b pa je polovica kroga. Vsota a + c pomeni, da moramo sestaviti lika a in c tako, da se stikata po daljši stranici. Razlika c−a pomeni, da moramo od lika c odrezati lik a. Lik b pa bomo likoma a in c dodajali ali odvzemali na sredini daljše stranice. Če upoštevamo pravila zapisana v tabeli na sliki 2, dobimo narisani GMK na desni strani. Če po- iščemo vsote elementov GMK na sliki 2 po vrsticah, stolpcih ali diagonalah, dobimo pravokotnik, to je lik 3c. Opazimo še, da v posameznih celicah nimamo osnovnih likov a, b in c, ampak le njihove vsota ali razlike. Če pravokotnik a ne bi imel ene enako dolge stra- nice kot pravokotnik c, bi se morali dogovoriti, kako ju staknemo, recimo tako, da se sredini daljših stra- nic ujemata. Odrežite en konec pravokotnika a, tako da bo njegova daljša stranica krajša od daljše stra- nice pravokotnika c in sestavite nov magični kvadrat. Kateri lik je zdaj vsota elementov po vrsticah, stolp- cih ali diagonalah? Naredimo še primer za geometrijski magični kva- drat reda 4 na dva načina. Prvega tako, da v celicah ne bo osnovnih likov, drugega pa tako, da bodo v celicah nekateri osnovni liki. Magični kvadrat reda 4 brez osnovnih likov Pomagamo si z latinskim kvadratom. Latinski kva- drat je kvadrat, razdeljen na n×n enakih celic, v ka- terih je n različnih elementov, navadno črk (latinskih črk, od tod tudi ime). Črke so po celicah razporejene tako, da se v vsaki vrstici oz. v vsakem stolpcu vsaka črka pojavi le enkrat (tabela 1 levo). Ime za tak kva- drat je uvedel Leonhard Euler (1707–1789). Latinski kvadrat ni magični kvadrat. Zdaj latinski kvadrat, ki ima štiri različne elemente A, B, C , D, preuredimo tako, da dobimo magični kva- drat reda 4, ki ustreza strožjim zahtevam in ima po celicah različne elemente (tabela 1 desno). Osnovni liki so A, B, C , D, a in b. Po tabeli 1 desno sestavljeni GMK je na sliki 3. Magični kvadrat reda 4 z osnovnimi elementi po celicah Sestavimo še magični kvadrat iz istih elementov kot v prejšnjem primeru, le da bodo v celicah tudi osnov- ni elementi A, B, C in D. Zopet si pomagamo z latin- skim magičnim kvadratom. c − b c + a+ b c − a c − a+ b c c + a− b c + a c − a− b c + b SLIKA 2. Lucasova tabela za konstrukcijo magǐcnega kvadrata 3 × 3. Vsote po vrsticah, stolpcih in diagonalah (magǐcno število) so 3c. Poleg so narisani osnovni liki a, b in c in vsota elementov, to je lik 3c in ustrezni GMK.       P 49 (2021/2022) 4 7 B A D C D C B A C D A B A B C D B + b A− b D + a C − a D − a C + a B − b A+ b C − b D + b A− a B + a A+ a B − a C + b D − b TABELA 1. Latinski 4 × 4 kvadrat. Ima samo štiri razlǐcne elemente. Po- leg je dopolnjena tabela za izdelavo geometrijskega magǐcnega kvadrata z razlǐcnimi elementi po celicah. SLIKA 3. Magǐcni kvadrat s samimi razlǐcnimi liki po celicah. Da je slika preglednejša, smo osnovne like A, B, C in D obarvali in z enako barvo označili tudi elemente v celicah, ki so nastali tako, da smo tem štirimi osnovnim likom prišteli ali odšteli osnovna lika a in b. Sestavimo ta magični kvadrat. Tudi tu smo osnov- ne like obarvali, tako da je v celicah vidno, iz kate- rega osnovnega lika je nastal narisani element celice (slika 4). Kateri lik je vsota elementov po vrsticah, stolpcih oz. diagonalah? Kolikšna je njegova ploščina? So vsote elementov po vrsticah, stolpcih in diagonalah skladni liki? Za lažje preverjanje smo elemente v ce- licah narisali na kvadratni mreži. B A− b D + b C D − a− b C + a B − b A+ a+ b C + b D A B − b A+ a B − a+ b C + a− b D − a TABELA 2. Iz latinskega magǐcnega kvadrata smo naredili tabelo za kon- strukcijo še enega geometrijskega magǐcnega kvadrata. SLIKA 4. Magǐcni kvadrat z nekaterimi osnovnimi liki A, B, C in D po celicah Magični kvadrat reda 3 iz delov šestkotnika Pravilni šestkotnik smo razdelili na devet mnogokot- nikov (slika 5). Iz narisanih delov sestavimo GMK reda 3. Ali lahko sestavite tak GMK da ustreza strožjim zahtevam? Kateri lik je vsota elementov po vrsticah, stolpcih oz. diagonalah? Kako naprej? Ali lahko iz predlaganih osnovnih likov sestavimo posamezne elemente v celicah kako drugače, pa bo- do še vedno ustrezali strožjim zahtevam za sestavo MGK? Spremenimo polkrog iz primera na sliki 2 v enakokraki (enakostranični) trikotnik in sestavimo GMK. Ali lahko trikotnik prištejemo ali odštejemo kako drugače, kot smo to naredili s polkrogom (ne po sredini stranice)?       P 49 (2021/2022) 48 SLIKA 5. Iz delov pravilnega šestkotnika izdelajte GMK 3× 3. Ernest Bergholt je 1910 objavil »formulo« za tvor- jenje GMK reda 4, ki ima v celicah tudi nekaj osnov- nih likov. Določite osnovne like in sestavite GMK po tabeli 3. B + b D − a− c A− b + c C + a C − b + d A D B + b − d D + a− d B C A− a+ d A− a C + a+ c B + b − c D − b TABELA 3. Bergholtova shema za GMK reda 4 Več primerov geometrijskih magičnih kvadratov tudi višjih redov najdete tudi na spletni strani www. geomagicsquares.com. Literatura [1] Lee C. F. Sallows Geometric Magic Squares, A Challenging New Twist Using Colored Shapes Instead of Numbers, Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2013. ××× Kapljice dežja A L Kapljice dežja ilustratorji najpogosteje rišejo po- dolgovate s konico na vrhu, podobno, kot je pred- stavljeno na sliki 1, torej v obliki solze. Tudi sicer prevladuje mnenje, da imajo kapljice ribjo obliko, saj deluje na tako oblikovano kapljico precej manj- ši zračni upor kot na kroglico. Kapljice, ki visijo na vejah, tik preden padejo, so res podolgovate, ven- dar ne zaradi upora zraka. SLIKA 1. Kapljica dežja, kot si jo najpogosteje zamišljajo ilustratorji slikanic. Manjše dežne kapljice imajo obliko kroglice, večje pa so nekoliko sploščene, kot kaže slika 2. Splošče- nost je opazna pri kapljicah s polmerom nad 3 mm. Torej niti sledu o kakšni podolgovati obliki s konico na vrhu! Ko sem tole razlagal prijatelju Bogdanu, se s kroglasto obliko kapljic ni mogel sprijazniti. Morda je tako blizu tal, mi je ugovarjal, a gori blizu obla- kov je oblika lahko drugačna. Tam pa verjetno ni nihče podrobneje opazoval kapljic. Prav mogoče je, da so solznate oblike. Le kako mu pokazati, da se moti? Spomnil sem se mavrice, ki jo tvori svetloba, odbita od notranjih sten kapljic visoko nad tlemi. O mavrici je Bogdan sicer nekaj vedel, a ne prav po- drobno. Torej sem začel z razlago in jo podkrepil z računalniškim programom, kjer se računi loma in odboja bliskovito opravijo. Seveda je pisanje pro- grama malo manj bliskovito, a sem ga napisal in pre- veril že prej. Kdor pa želi kaj več vedeti o tem raču- nanju na roko, naj si pogleda članek v eni prejšnjih številk Preseka [1].       P 49 (2021/2022) 4 9 SLIKA 2. Prava oblika dežnih kapljic Na sliki 3 sta prikazani mavrici, kot ju lahko vi- dimo. Primarna je dobro vidna, sekundarna pa je šibkejša in je ne vidimo vedno. Pri sekundarni je vr- stni red barv zamenjan glede na primarno, na vrhu je vijolična, spodaj pa rdeča, poleg tega pa je skoraj dvakrat širša. Pod primarno mavrico je nebo osve- tljeno, prav tako nad sekundarno, med njima pa je temno področje, kjer vidimo le nebo. Kot med sonč- nimi žarki in lomljeno svetlobo, ki tvori primarno mavrico, je 42°, pri sekundarni pa je ta kot 51°. Najprej si oglejmo, kako nastane primarna ma- vrica. Na sliki 4 so prikazane poti šopa vzporednih enobarvnih žarkov, ki se sipljejo skozi kapljico. Pri- kazan je le šop, ki je za nastanek mavrice pomem- ben; to so žarki blizu zgornjega dela kapljice. Pri- vzamemo kroglaste kapljice, pozneje bomo to spre- menili. Žarki so prikazani dovolj na redko, da jim lahko sledimo posamezno. Vidimo, da se kot med dvakrat lomljenim in enkrat odbitim žarkom in vpa- dnim spreminja z oddaljenostjo vpadnega žarka od središčnega. Z večanjem oddaljenosti se kot najprej povečuje, potem pa se začne spet zmanjševati. Pri določeni oddaljenosti se kot skoraj ne spreminja. Če gledamo sipano svetlobo, bomo v tej smeri zaznali zelo svetel rob (glej sliko 5). Pri drugačni barvi vpa- dne svetlobe je ta rob pri nekoliko drugačnem kotu. Kot narašča od rdeče barve do vijolične, zato se ro- bovi ne prekrivajo in tako vidimo mavrico. Pod njo SLIKA 3. Mavrici na povsem temnem nebu SLIKA 4. Nastanek primarne mavrice vidimo sipano svetlobo vseh barv, kar vidimo kot enakomerno belo svetlobo. Tudi pri sekundarni mavrici vidimo tak rob, le da se tu žarki odbijejo dvakrat, preden se drugič lomijo in zapustijo kapljico (glej sliko 6). Račun kota med vpadnimi žarki, gledano proti Soncu, in kotom sve- tlega roba je tu okrog 51°. Spet je malo različen za različne barve in tudi tu vidimo mavrico, ki je sicer šibkejša zaradi enega odboja več in prav zato tudi širša. Na sliki 7 in 8 je mavrica lepo vidna, saj smo raču- nali odboj pri šestih različnih spektralnih barvah in s       P 49 (2021/2022) 410 SLIKA 5. Mavrica, kot bi jo videli v enobarvni svetlobi s Sonca. SLIKA 6. Nastanek sekundarne mavrice stotinami žarkov. Pri padajočih kapljicah seveda ne vidimo vseh barv naenkrat. Najvišje kapljice zable- stijo najprej v rdeč barvi, nato, ko padejo nekoliko niže, v rumeni, potem pa izmenjaje do vijolične. Pri nadaljnjem padanju vidimo le šibko sipano belo sve- tlobo. Ker je v dežju mnogo kapljic na različnih vi- šinah, vidi mavrico tudi fotografski aparat s kratkim časom osvetlitve. Bogdana nisem povsem prepričal, da morajo biti kapljice res kroglaste. »Res«, je ugovarjal, »morda se opazovanja povsem ujemajo z računi, a je lahko tako SLIKA 7. Primarna mavrica, dobljena z razlǐcnimi lomnimi kolǐcniki za ustrezne barve in stotinami žarkov. tudi pri kaki drugi obliki kapljic.« Torej sem ponovil račune za podolgovato, solzasto obliko kapljice. Iz- bral sem obliko na sliki 1, kjer je kot na vrhu enak 60°, in poskušal najti pogoje za primarno mavrico. V prejšnjem primeru je zaradi simetrične kapljice za- doščal en pramen žarkov, tu pa sem moral smer vpa- dnega šopa spreminjati. Na sliki 9 je pri precej nagnjenem snopu videti ši- bak svetal rob, a pri kotu 62°, kar je povsem drugače kot pri okrogli kapljici. Pri malo manj nagnjenem snopu na sliki 10 je sipana svetloba že zelo blizu roba, pri vodoravnem vpadu pa roba ne vidimo več. Primarna mavrica bi se torej pojavila le, ko bi bilo Sonce dovolj visoko na nebu in to pod povsem dru- gačnim kotom kot pri okroglih kapljicah. To je Bog- dana le prepričalo, da so kapljice okrogle tudi blizu oblakov. Za konec si oglejmo še mavrico na zelo velikih kapljicah, ki so vidno sploščene. Na sliki 11 zasle- dimo potek žarkov pri taki kapljici s premerom kake 3 mm. Svetal rob se sicer tvori, a pri kotu 17°. Za opaženi kot 42° morajo biti kapljice okrogle, odsto- panje od krogelne oblike kaj hitro spremeni ta kot. Pri ≈ 5 % odstopanju od krogelne oblike se kot spre- meni za ≈ 5°. Mavrica se torej tvori le na kapljicah s premerom, manjšim od ≈ 1 mm.       P 49 (2021/2022) 4 11 SLIKA 8. Sekundarna mavrica, dobljena tako kot na sliki 7. SLIKA 9. Potek žarkov pri kapljici solzaste oblike pri večjem kotu vpa- dnega snopa SLIKA 10. Potek žarkov pri kapljici solzaste oblike pri manjšem kotu vpa- dnega snopa SLIKA 11. Potek žarkov pri veliki kapljici s premerom okrog 3 mm. Pri takih kapljicah bi videli mavrico pod kotom okrog 17°. Da je sploščenost kapljice dobro vidna, smo dorisali še okroglo ka- pljico z enakim, največjim premerom. Literatura [1] M. Vencelj, Mavrica, Presek 38 (2010/2011) 1, 1. ×××      P 49 (2021/2022) 412 Priprave na mednarodno mladinsko naravoslovno olimpijado 2021 B R̌  D V̌ Opomba. Članek je bil napisan konec poletja 2021, ko se niso zgodile niti še naslednje priprave niti sa- ma olimpijada. O vseh nadaljnjih dogodkih in iz- plenu bomo poročali v naslednji številki Preseka. Konec leta 2021 bo na daljavo potekala 19. Med- narodna mladinska naravoslovna olimpijada (IJSO, International Junior Science Olympiad). Letos olim- pijado organizirajo Združeni arabski emirati. Slo- venija se je bo udeležila šele drugič. Prvič smo sodelovali pred dvema letoma, ko je olimpijado go- stil Katar. Ekipa, ki jo je tedaj sestavljalo šest čla- nov, se je iz Dohe vrnila z dvema bronastima me- daljama. Tudi če bodo letos slovenski učenci (in morda dijaki) spet osvajali medalje, ne bomo rekli, da se z olimpijade »vračajo« z medaljami – ker na žalost ne bodo zares odšli iz Slovenije. V Al Ain ne bodo potovali oni, ampak le ena sama vodja ekipe (od treh; dva bosta doma poskrbela za izvedbo tek- movanja). Kaj nam ostane drugega, kot da upamo, da se bodo časi, ko smo brez strahu in polni priča- kovanj potovali po svetu s celotnimi ekipami, vr- nili. SLIKA 1. Udeleženci prvih priprav za IJSO 2021, ki so na pripravah sode- lovali v živo (foto: Jan Šuntajs) Ne glede na to, da pri olimpijadi na daljavo manjka najpomembnejši del dogajanja, to pa je druženje mladine in spoznavanje vrstnikov s celega sveta, ki jim je skupno ter jih povezuje zanimanje za nara- voslovje, smo se odločili, da na olimpijadi vsekakor sodelujemo. Sodelujemo z mislijo na prihodnost, da ne zgubimo stika z organizacijo IJSO in pokažemo, da smo zanesljivi udeleženci prihodnjih olimpijad. Pred dvema letoma smo odločitev za prvo sodelo- vanje sprejeli malce na vrat na nos in v pomanjkanju časa izbrali ekipo le med zmagovalci dveh tekmovanj v znanju fizike in kemije. Letos smo se izbirnega postopka lotili pravočasno in bolj premišljeno. Že pred prvim sodelovanjem na IJSO smo sprejeli odlo- čitev, da bomo ekipo za IJSO sestavili iz učencev, ki v času olimpijade še vedno obiskujejo osnovno šolo. Ta sklep smo letos prekršili. Če ga ne bi, bi bili le- tošnji devetošolci za možnost sodelovanja na IJSO      P 49 (2021/2022) 4 13 SLIKA 2. Udeleženci prvih priprav za IJSO 2021, ki so na pripravah sode- lovali preko videokonference. prikrajšani, ker je lani olimpijada odpadla. Na prve priprave za IJSO, ki so potekale med 17. in 23. ju- nijem 2021, smo zato povabili 52 učencev 8. in 9. razreda, ki so na letošnjih državnih tekmovanjih v znanju fizike in kemije dosegli najboljši uspeh. Ude- ležbo na pripravah je potrdilo 44 učencev, zares pa se jih je priprav udeležilo 40. Osmošolci so se zaradi priprav odpovedali zadnjemu tednu pouka in vsem zabavnim ter spro- ščujočim dejavnostim v tistem tednu. Devetošolci pa so s poukom zaključili že prej in so na pripravah preživeli prvi teden svojih počitnic. In kako so potekale priprave? Dobra polovica ude- ležencev se jih je udeležila v živo, slaba polovica pa je predavanja spremljala preko videokonference. Ur- nik je bil natrpan in intenziven: v petih dnevih se je zvrstilo 30 ur predavanj, vsak dan po šest ur: deset ur kemije, osem ur biologije, dve uri matematike in deset ur fizike. Predavalnice sta nam prijazno od- stopili v uporabo dve fakulteti Univerze v Ljubljani: Pedagoška in Biotehniška (Oddelek za biologijo). Pa ne le predavalnice, tudi svoje zaposlene: priprave smo izvedli Ana Pšeničnik in Jure Mravlje z Biotehni- ške fakultete, Jurij Bajc in Barbara Rovšek s Pedago- ške fakultete, pa še Rok Venturini in Mimoza Nase- ska, mlada raziskovalca z IJS, ter Domen Vaupotič in David Titovšek, oba diplomirana biokemika; Domen je trenutno študent na magistrskem programu Biofi- zika na Fakulteti za matematiko in fiziko, David pa magistrski študent na Fakulteti za kemijo in kemij- sko tehnologijo. SLIKA 3. Predavatelji na prvih pripravah za IJSO 2021 (foto: Jan Šuntajs) Kot se pogosto tolažimo, ko se zgodi kaj slabega: nobena (no, skoraj nobena) reč ni le slaba in vedno lahko najdemo (če to iščemo) tudi njene dobre plati. Epidemija ter splošno zaprtje šol in fakultet sta nas prisilila, da smo začeli medmrežje uporabljati na no- ve načine, da smo se privadili in prilagodili spletne- mu prenašanju predavanj in da so začetniške napake daleč za nami. Udeležencem priprav, ki bivajo da- leč od Ljubljane, se ni bilo treba niti vsak dan voziti v Ljubljano niti iskati možnosti za prenočevanje pri tetah in stricih, ki živijo bližje prestolnici. Seveda je bolje, če poslušaš predavanja v živo, dobro slišiš in vidiš predavatelja, kako krili z rokami med pri- zadevanjem, da bi razložil abstraktne naravoslovne pojme in zakonitosti, ter krace, ki jih piše po tabli, kot če na zaslonu računalnika spremljaš prenos pre- davanja, ki je daleč od full HD izkušnje. Tudi za predavatelja velja podobno: ko ima pred seboj živo občinstvo, lahko zazna njihove zbegane in vprašu- joče poglede ter lažje prilagodi ritem svojega preda- vanja razmeram v učilnici. Če občinstva nima pred seboj, temveč lahko vidi le njihove majcene sličice, se bistveno težje prilagaja. A kot smo zapisali; za- deve niso črno-bele, in ko na tehtnico postavimo vse prednosti in slabosti spletnih prenosov predavanj, je prednosti še vedno precej več kot slabosti. Dodatno je k pozitivni celotni izkušnji (za vse, ki so predava- nja spremljali preko spleta) prispevala tudi živa ude- ležba polovice udeležencev. (Za njih pa niso bila za- nemarljiva niti dobra kosila, ki so jih dobili na obeh fakultetah.)      P 49 (2021/2022) 414 SLIKA 4. Ena od petih nalog s fizikalnega testa SLIKA 5. Zadnja od šestih nalog s kemijskega testa In po pripravah? V ponedeljek 28. junija je 38 učencev pisalo prvi izbirni test. Začel se je ob 10. uri in je trajal tri ure; vsaki naravoslovni vedi smo namenili eno uro. Snov, ki so jo testi zajemali, je ce- lotna snov 8. razreda in dodatne vsebine, ki smo jih obravnavali na pripravah. Ena od petih fizikalnih na- log je na sliki 4, ena od šestih kemijskih pa na sliki 5. Ju znaš rešiti? Izmed 38 udeležencev priprav smo izbrali ducat najboljših, ki smo jih konec avgusta povabili na na- slednje priprave v Plemljevo vilo na Bledu. Sestava ožjega izbora teh, ki so napredovali v drugi krog, je taka: osem je devetošolcev in štirje so osmošolci; de- vet je fantov in tri so dekleta; osem jih je na prvih pripravah sodelovalo v živo in štiri na daljavo, šest jih je z različnih gorenjskih šol, pet iz Ljubljane z okolico in eden s Ptuja. Se javimo zopet v naslednji številki Preseka, ko bomo poročali, kaj se je godilo na Bledu, objavili re- šitve zgornjih nalog (in morda še katero od nalog iz testa) ter povedali, kako bo potekal izbirni postopek v prihodnosti. Sodelovanje Slovenije na IJSO je skupen projekt Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije (DMFA) ter Zveze za tehnično kulturo Slovenije (ZOTKS). ×××           P 49 (2021/2022) 4 15 Matematika združuje V                            ̌    B̌ K Letošnji Mednarodni dan matematike 14. marec 2022 bo potekal pod skupnim sloganom Matema- tika združuje. Tudi letos se bomo pri DMFA Slo- venije pridružili mednarodnemu praznovanju z iz- vedbo likovnega natečaja, na katerem bomo tokrat iskali najlepšo in najbolj domiselno matematično tablo, kot jo bodo popisali in porisali učenci in učenke v osnovnih in srednjih šolah. Naloga. Ob mednarodnem dnevu matematike šol- sko tablo v vaši učilnici popišite in porišite z vse- bino v duhu slogana Matematika združuje. Pri tem lahko uporabite vso svojo domišljijo in likovne spre- tnosti – matematika ne združuje le števil, geometrije in logike, ampak tudi ljudi različnih starosti, jezikov, verstev in drugih prepričanj, različna znanstvena in umetniška področja ter različne šolske predmete, različne poklice, različne pisave, in podobno. Nate- čaj je namenjen skupinam učencev in učenk v nasle- dnjih kategorijah: OŠ1 (1.–3. razred): razredni izdelek. OŠ2 (4.–6. razred): razredni izdelek. OŠ3 (7.–9. razred): razredni izdelek ali izdelek skupine vsaj petih učencev istega razreda. SŠ (vsi letniki): razredni izdelek ali izdelek sku- pine vsaj treh učencev iste šole. Pri razrednem izdelku naj sodeluje celoten razred, mlajšim lahko pomagajo učitelji. Posamezna šola lahko na natečaj prijavi največ tri izdelke. Oddaja izdelkov. Vašo tablo fotografirajte v pri- merni kakovosti (ustrezno osvetljeno in obrezano). Fotografijo skupaj s podatki o avtorjih boste oddali v elektronski obliki najkasneje do 21. marca 2022. Obrazec za oddajo bo objavljen na spletni strani www.dmfa.si od 14. do 21. marca. Strokovna komisija pri DMFA Slovenije bo med od- danimi izdelki izbrala nekaj najzanimivejših in jih nagradila s poliedrskimi kompleti in drugimi simbo- ličnimi darili, ki jih bomo predvidoma podelili na pri- reditvi Bistroumi 2022 junija v Ljubljani. Kontaktni naslov za morebitna dodatna vprašanja je matematicnidan@gmail.com. Toplo vabljeni k sodelovanju! SLIKA. ×××           P 49 (2021/2022) 416 Nagradna križanka ×××      Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2022, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knji- žno nagrado.           P 49 (2021/2022) 4 17           P 49 (2021/2022) 418 Posadke pri projektu Apollo A̌ B V okviru projekta Apollo je proti Luni poletelo enajst posadk, od Apolla 7 (oktober 1968) do Apolla 17 (december 1972). V vsaki so bili trije astronavti, glede na dneve v tednu pa so bili rojeni tako, kot kaže tabela 1. Opazimo lahko, da je bilo med enajstimi posad- kami natanko sedem takih, pri katerih sta vsaj dva astronavta rojena na isti dan v tednu. Zanima nas, ali je takšna razporeditev razmeroma pogosta ali pa gre za redko naključje. Kolikšna je torej verjetnost, da posadka treh naključno izbranih astronavtov vklju- čuje najmanj dva, ki sta rojena na isti dan v tednu? Kolikšna je verjetnost, da je med enajstimi posad- kami vsaj sedem takih? Privzemimo, da je verjetnost rojstva astronavta za vsak dan v tednu enaka, torej 1/7. Načrt naj bo tak: najprej izračunamo število vseh možnosti, torej da je vsak od trojice rojen na katerikoli dan v tednu, potem pa število tistih, pri katerih sta vsaj dva rojena na isti dan v tednu. Od tod dobimo klasično oceno za verjetnost p, da se dogodek zgodi pri eni posadki. Rezultat za sedem takih posadk je produkt sedmih p in štirih q = 1−p, te pa lahko premešamo na ( 11 7 ) = ( 11 4 ) načinov. Ker je vsak od treh članov posadke lahko rojen na katerikoli dan v tednu, je vseh možnosti 7·7·7. Da so vsi rojeni na isti dan, na kateregakoli od sedmih dni, je možnosti 7 · 1 · 1 (za prvega sedem, za preostala dva ena), da so vsi rojeni na različne dneve, pa 7·6·5 (za prvega je sedem možnosti, za drugega ena manj, za tretjega še ena manj). Če sta dva rojena na isti dan, sta to lahko prvi in drugi, drugi in tretji ali prvi in tretji; za ta par je za enega sedem možnosti, za drugega ena možnost. Za tistega, ki ni rojen na isti dan, je možnosti šest, za preostala dva sedem, oz. 6 · 7 · 1 ali 7 · 6 · 1 ali 7 · 1 · 6 (tisti, ki se razlikuje, je lahko na prvem, drugem ali tretjem mestu). Apollo poveljnik 1. član 2. član dan v tednu n 7 Schirra Eisele Cunningham pon pon sre 2 8 Borman Lovell Anders sre ned tor 1 9 McDivitt Scott Schweickart pon pon pet 2 10 Stafford Young Cernan sre sre sre 3 11 Armstrong Collins Aldrin tor pet pon 1 12 Conrad Gordon Bean pon sob tor 1 13 Lovell Swigert Haise ned ned tor 2 14 Shepard Roosa Mitchell ned sre sre 2 15 Scott Worden Irwin pon ned pon 2 16 Young Mattingly Duke sre tor čet 1 17 Cernan Evans Schmitt sre pet sre 2 TABELA 1.           P 49 (2021/2022) 4 19 Preverimo, da je vsota vseh možnosti 73 7 · 1 · 1+ 3 · (7 · 6 · 1)+ 7 · 6 · 5 = 7 · (1+ 3 · 6+ 6 · 5) = 7 · 49 = 73, in poglejmo, koliko je tistih, pri katerih sta dva ali so trije rojeni na isti dan v tednu. Za dva je možnosti 3 · 7 · 6, za vse tri 7 in skupno 7 · 19. Verjetnost, da v eni trojici najdemo dva ali tri rojene na isti dan v tednu, je po klasični definiciji število ugodnih mo- žnosti, deljeno z vsemi, p = 7 · 19 7 · 7 · 7 = 19 49 , (1) kar je tudi odgovor na prvo vprašanje. Ker za vsako posadko velja 1, je verjetnost, da je med enajstimi posadkami sedem takih, štiri pa ne, enaka p7q4. A vrstni red nam pri tem ni pomemben, zato je rezultat seštevek vseh kombinacij sedmih p in štirih q, ki jih je ( 11 7 ) = ( 11 4 ) , ali skupno P7 = ( 11 7 ) p7q4 = ( 11 7 ) · ( 19 49 )7 · ( 30 49 )4 . = 0,0611. Ker nas je zanimalo, kolikšna je verjetnost, da je vsaj sedem takih, moramo prišteti še verjetnosti, da jih je osem, devet, deset ali enajst. Teh je P8 = ( 11 8 ) p8q3 = ( 11 8 ) · ( 19 49 )8 · ( 30 49 )3 . = 0,0193 P9 = ( 11 9 ) p9q2 = ( 11 9 ) · ( 19 49 )9 · ( 30 49 )2 . = 0,0041 P10 = ( 11 10 ) p10q1 = ( 11 10 ) · ( 19 49 )10 · ( 30 49 )1 . = 5,17 · 10−4 P11 = ( 11 11 ) p11q0 = ( 11 11 ) · ( 19 49 )11 · ( 30 49 )0 . = 2,98 · 10−5, vsota vseh od P7 do P11 pa iskana verjetnost, da bi vsaj sedem posadk imelo najmanj dva člana rojena na isti dan v tednu P7..11 = 11 ∑ k=7 Pk . = 0.0851 . = 8,51 %. Članek Posadke pri projektu Apollo smo si izpo- sodili iz knjige Uporaba matematike z rešenimi primeri iz naravoslovja avtorja Aleša Berkopca, ki je izšla jeseni 2021. Avtor, ki je po izobrazbi fizik, v knjigi obravnava številne zanimive pri- mere iz naravoslovja na način, ob katerem lahko srednješolke in srednješolci razširijo in utrdijo svoje matematično znanje. ××× www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si         P 49 (2021/2022) 420 Sončni koledar A̌ J̌ Imamo več različnih merilnih priprav za merje- nje časa, najbolj uporabljena med njimi pa sta ura in koledar. Pri določanju časa so si predvsem vča- sih, v nekaterih primerih pa še danes, pomagali s Soncem. Sončne ure zelo pogosto najdemo na cer- kvenih zvonikih in tudi na stenah drugih zgradb. Dokaj enostavno in natančno lahko sončno uro na- redimo tudi sami. Poznamo sončne ure z različ- nimi nagibi številčnice in postavitvami gnomona, palice, ki meče senco na številčnico. Sončni kole- dar pa ni tako pogost, čeprav je zelo zanimiv in poučen objekt, njegova izdelava pa odličen šolski projekt. Sončeva analema in sončni koledar Sončni koledar deluje podobno kot sončna ura, le da senca gnomona kaže na datum, pri čemer je »številč- nica« v obliki osmice, ki je preslikava Sončeve ana- leme. Analema je sklenjena krivulja v obliki osmice, ki bi jo videli na nebu, če bi vsak sončen dan ob isti uri posneli položaj Sonca. Ob 12.00 po zimskem času je analema v naših krajih pokončna, dopoldne je na na- gnjena proti levi, popoldne pa proti desni. Kot je pri- kazano na sliki 1, sta višina analeme na nebu in njena usmerjenost odvisni od zemljepisne širine kraja. Na severnem in južnem tečaju je analema popolnoma pokončna, vidna je le njena zgornja oz. spodnja po- lovica. Celotno analemo vidimo med obema tečajni- koma, nad in pod tečajnikoma pa ne, saj za del leta nastopi polarna noč in takrat Sonca ni na nebu. Če jo opazujemo ob poldnevu na poldnevniku, bo še ve- dno pokončna, bližje ekvatorju se pojavlja višje nad obzorjem. Na ekvatorju je neposredno nad opazova- liščem. SLIKA 1. Analema za severni pol (1), severni poldnevnik (2), ekvator (3), južni poldnevnik (4) in južni pol (5) za vse ure v dnevu, oranžno podnevi in modro ponoči. Analema nastane zaradi: nagnjenosti osi Zemlje, kroženja Zemlje okoli Sonca po elipsi, ker je Sonce v gorišču Zemljine eliptične tirnice. Če bi Zemlja okoli Sonca krožila po krožnici in bi njena vrtilna os ne bila nagnjena glede na ekliptiko, bi se Sonce skozi vse leto vedno pojavilo na isti točki neba ob istem času dneva in se med letom na nebu analema ne bi izrisala. Navpična razpotegnjenost analeme nastane zaradi nagnjenosti Zemljine osi, vo- doravna pa zaradi gibanja Zemlje okrog Sonca po         P 49 (2021/2022) 4 21 elipsi. Za različno veliki zanki osmice (poletna zanka je manjša) oz. za različno velike razmake med za- porednimi dnevi pozimi in poleti pa je odgovorna ekscentričnost Sonca. Zemlja se giblje hitreje, ka- dar je bližje Soncu, in počasneje, kadar je dlje od Sonca. Vzhodno-zahodna komponenta analeme (vo- doravna komponenta oz. debelina osmice) prikazuje časovno enačbo ali razliko med Sončevim in lokal- nim srednjim časom. To si lahko razlagamo kot son- čno uro, ki prehiteva ali zaostaja v primerjavi z uro, ki teče enakomerno. Prikazuje torej, koliko zahodno ali vzhodno je Sonce v primerjavi s povprečnim po- ložajem. Bolj kot je Sonce zahodno v primerjavi s povprečnim položajem, bolj sončna ura prehiteva v primerjavi z uro. Čeprav se izraz analema običajno nanaša na Ze- mljino Sončevo analemo, lahko opazujemo analemo na katerikoli drugih nebesnih telesih. Na različnih planetih je analema različnih oblik in različnih veli- kosti, saj so nagibi njihovih vrtilnih osi na tirnice in ekscentričnosti orbit različni. Sončni koledar dobimo, če nebesno analemo pre- slikamo prek točke na podlago. Glede na lego pod- lage ločimo navpične (stena), vodoravne (tla) in ek- vatorialne (nagnjen tako, da je podlaga vzporedna z nebesnim ekvatorjem) sončne koledarje. Namestitev podlage sončnega koledarja zahteva poznavanje lo- kalne zemljepisne širine, natančne navpične smeri in smeri proti pravemu severu. Lasten sončni koledar Najenostavneje lahko sončni koledar pripravimo z opazovanjem. Izberemo ali postavimo objekt, ki me- če senco vse leto. Višji kot je ta objekt, bolj natančen in večji bo sončni koledar. Nato pa vsak dan v letu ob isti uri zabeležimo položaj vrha sence, ki jo objekt meče. Pri tem pa moramo paziti, da upoštevamo le zimski čas. Po enem letu bo ob rednih meritvah vi- den oris osmice, za vse točke pa je potrebno več let opazovanja, saj so vmes oblačni dnevi in vedno tudi nimamo časa zarisati lego sence. Če pa je iskanje prave površine in objekta za senco prezahtevno, lahko naredimo tudi merilno napravo. Najenostavneje je, če na ploščo pritrdimo palico, vse skupaj položimo na vodoravno podlago in usmerimo daljšo os proti pravemu severu. Meritve izvajamo vsak dan ob istem (zimskem) času. SLIKA 2. Domači sončni koledar, z gnomonom v smeri proti jugu Za pripravo domačega sončnega koledarja z me- ritvami v praksi potrebujemo več let, saj kar nekaj dni oblaki prekrivajo Sonce in sence tako ni mogoče odčitati ali pa enostavno nismo ob napravi v času meritve. Preslikavo analeme na podlago pa lahko določimo tudi računsko. Teoretične osnove tega izračuna je v Preseku pred leti že opisal Marijan Prosen [4]. Izra- čun azimuta in dolžine sence za vsak dan v letu ob poldne lahko relativno enostavno pripravimo s pro- gramskim jezikom Python. Kako natančen je lahko domači sončni koledar? Doma lahko naredimo na dan natančen sončni ko- ledar, vendar za to potrebujemo zelo visok gnomon ter točne in natančne meritve. Če želimo opazova- nja primerjati z izračunom, moramo biti pozorni, da uporabimo pravi in ne magnetni sever. Upoštevati je potrebno tudi, da se datumi vsako leto malo za- maknejo in se na prestopno leto znova poravnajo z izhodiščno meritvijo. V našem poskusu smo na- redili grafično in številsko primerjavo doma nareje- nega sončnega koledarja ter izračuna pripravljenega v nadaljevanju opisano Python kodo. Pri številski primerjavi smo tako za razdaljo kot tudi za azimut izračunali absolutno in relativno napako po znanih formulah.         P 49 (2021/2022) 422 Povprečna relativna napaka pri naših primerjavah je bila pri razdalji 1,7 % in pri azimutu sence 1,2 %. Številki sta sicer majhni, ampak taka natančnost ni dovolj, če hočemo imeti na dan natančen sončni ko- ledar v katerem koli času leta. Razlike med izračunom in meritvijo so vidne na sliki 3, kjer rdeče pike predstavljajo meritve, črne pa izračune. Na konkretnem primeru je dobro vidno, da je meritev 2.11. zelo natančna, 3.11. pa manj, saj se pozna vsaka minuta prehitre ali prepozne meritve. Vsekakor je izdelava sončnega koledarja lep šol- ski ali domači projekt, pri katerem se lahko veliko naučimo. Lahko je tudi odlično učilo za prikaz na- videznega gibanja Sonca med letom , nanj pa lahko navežemo tudi razlago lastnosti Zemljine tirnice. Moj sončni koledar Idejo za izdelavo lastnega sončnega koledarja sem dobil na strehi Nemškega tehniškega muzeja v Mün- chnu, ki sem ga obiskal maja 2019. V muzeju je sicer razstavljenih nešteto izjemno zanimivih stvari, ven- dar pa je bil prav sončni koledar tisti, ki me je najbolj prevzel. Izdelavo sončnega koledarja sem strnil v razisko- valno nalogo, ki sem jo pod mentorstvom Darje Oven (OŠ Danile Kumar, Ljubljana) napisal v šolskem letu 2020/2021, ko sem obiskoval 8. razred. Izdelave sončnega koledarja sem se lotil na dva načina. Sončni koledar sem najprej poizkušal izde- lati s pomočjo poskusa, tako da sem opazoval spre- minjanje sence palice vsak dan ob istem času. Iz osnovnih materialov sem naredil merilno napravo in nato vsak dan ob dvanajstih po srednjeevropskem zimskem času oz. ob trinajstih po srednjeevropskem poletnem času izvedel meritev konca sence palice. V drugem delu sem s kodo, napisano v programskem jeziku Python, meritve potrdil ter jih hkrati izračunal tudi za tiste dni, ko meritev zaradi oblačnosti ali pa zato, ker me ni bilo doma, ni bila možna. V Pythonu sem prilagajal dve že obstoječi kodi za izračun ana- leme. Rezultati prve kode so preveč odstopali od mojih meritev in ugotovil sem, da so v uporabljeni knjižnici napake. Tako sem se lotil še druge kode, ki je bila kompleksnejša in je imela še program za izris analeme na nebu. Po nekaj prilagoditvah se je rezultat druge kode presenetljivo dobro ujemal z de- janskimi meritvami. Dobljeni rezultat sem narisal na ploščo in tako sem naredil sončni koledar. V raziskovalni nalogi sem izpolnil svoj osnovni cilj: izdelal sem natančen sončni koledar. Med delom sem si tudi popolnoma razjasnil, kako sončni kole- dar deluje. Del analeme za približno polovico leta sem s poznavanjem realne računske analeme lahko razbral iz opazovanja smeri in dolžine sence na vsak sončen dan ob lokalnem poldnevu, za vse ostale dneve pa sem sončni koledar izračunal s po- močjo kode v programskem jeziku Python. Z izra- čunom sem potrdil tudi že izvedene meritve z upo- števanjem magnetne deklinacije. Ko sem primerjal številske rezultate meritev, sem ugotovil, da so meri- tve presenetljivo natančne v primerjavi z izračunom. Poleg tega sem se med raziskavo veliko naučil tudi o programiranju v Pythonu. SLIKA 3. Grafična primerjava meritev domačega sončnega koledarja in izračuna, pripravljenega s Python kodo (krogci).         P 49 (2021/2022) 4 23 Če bi se izdelave naprave lotil še enkrat, menim, da bi jo izdelal veliko bolje in lažje, kot sem jo sedaj. Izbral bi daljšo ploščo in drugače bi izdelal stojišče za gnomon oz. palico, ki kaže senco, da bi lahko eno- stavneje meril azimut in razdaljo od izhodišča. Za dosego tega pa bi moral spremeniti še vrh gnomona, da bi na podlago metal svetlega »zajčka«. Računanje analeme Poleg osnovnih Python knjižnic je potrebno upora- biti še astronomsko knjižnico ephem. Spodaj pred- stavljena koda je prilagojena po www.wraithx.net/ science/analemma/. V celoti je koda zapisana v pri- logi zaključnega poročila raziskave [1]. V osnovni kodi so najpomembnejši deli: Nebesno telo, ki ga opazujemo (Sonce): astro_str = "Sun" astro_body = ephem.Sun(). Lokacija (geografsko dolžino in širino) opazova- nja: observer = ephem.Observer() observer.name = "Ljubljana" observer.lon = ’14.507694’ observer.lat = ’46.087039’. Čas meritve se v kodi določa skozi skoraj celotno kodo in se spreminja glede na ukaz v grafičnem programu za izris, za lažje beleženje datumov ob rezultatih pa na začetek kode postavimo spremen- ljivko e: e=datetime.datetime(2020,1,1,12,00,00). Azimut Sonca program izračuna takoj, ko dolo- čimo nebesno telo, ki ga opazujemo, in kraj opazovanja. Predstavlja ga spremenljivka astro_body.az. Vpadni kot sončnega žarka je torej kot med pod- lago in sončnim žarkom, ki je v knjižnici ephem definiran kot vpadni kot astro_body.alt. Za izris točk na analemi pa so pomembne vrstice spodaj, saj določajo x in y koordinate vseh točk analeme za vsak dan: x = deg_per_rad * float(astro_body.az) y = deg_per_rad * float(astro_body.alt) return (x,y). Za izdelavo sončnega koledarja potrebujemo tudi razdaljo točke od izhodišča, ki jo izračunamo za naslednjimi vrsticami, ki so umeščene pred zgoraj omenjeni del: degreeHMS = astro_body.alt degreeSplit = str(degreeHMS).split(’:’) degreeDec = (float(degreeSplit[0]) + float(degreeSplit[1])/60.0 + float(degreeSplit[2])/3600.0) tanAlfraRad = math.tan(degreeDec * math.pi / 180.0) lenB = 1 / tanAlfraRad Najprej določimo spremenljivko degreeHMS, ki jo pretvorimo v desetiški sistem tako, da jo po dvo- pičjih razdelimo v seznam, nato vsak del posebej delimo in vse skupaj seštejemo. Nato rezultat z uporabo funkcije tangens in višine gnomona spre- menimo v razdaljo. Za konec pa izračun zapišemo še v vrstico za re- zultate in po tem prištejemo še en dan k spremen- ljivki e: print ("alt", astro_body.alt, "az", astro_body.az, "datetime", e, distance", lenB) e += datetime.timedelta(days=1). Literatura [1] A. Jaklič, Sončni koledar, Raziskovalna naloga. Osnovna šola Danile Kumar, 2021. [2] M. Prosen, Teorija sence: od Sonca do osvetljene ravne palice, kratka razprava, e-knjižica, samoza- ložba, 2018. [3] Wraithx Analema, dostopno na www.wraithx. net/science/analemma/, ogled 30. 8. 2021. [4] M. Prosen, Osmica, Presek, 27 2000, 4 206–207. ××× www.obzornik.si www.dmfa.si   ̌      ̌    P 49 (2021/2022) 424 Tehnike predobdelave besedil v procesiranju naravnega jezika M B̌, J D Procesiranje naravnega jezika je v zadnjih ne- kaj letih postalo zelo prepoznavno področje raču- nalništva. Naravni jezik je jezik, ki ga ljudje upo- rabljamo za komunikacijo. Pojavilo se je veliko novih metod za obdelavo naravnega jezika v raz- ličnih oblikah, kot so, recimo, besedila in zvočni posnetki. Te metode so prav tako postale del na- šega vsakdana s pomočjo pametnih storitev, ki jih dnevno uporabljamo. Danes lahko z govornimi ukazi izvajamo opravila na mobilnih napravah, s pametnimi iskalniki lahko na podlagi našega vho- dnega besedila najdemo ustrezne vsebine, prav ta- ko pa lahko brez večjih težav strojno prevajamo besedila v skoraj vse jezike. Na spletu obstaja kar nekaj prosto dostopnih spletnih prevajalnikov, kot so Google Translate [2], Microsoft Bing [3], Amebis Presis [1] in PONS [5]. V tem prispevku se bomo osredotočili na sisteme, ki naravni jezik procesirajo v obliki besedila. Pri tem bomo podrobneje predstavili tehnike predobdelave besedil, ki navadno nastopijo kot prvi korak v ta- kšnih sistemih. Predobdelava besedil je ključnega pomena za vse nadaljnje korake sistemov procesi- ranja besedil, saj neposredno vpliva na kakovost re- zultatov. Vhodno besedilo je potrebno najprej ustrezno preoblikovati v obliko, ki je primerna za nadaljnjo obdelavo. V ta namen uporabljamo cevovod predob- delave besedil (angl. text preprocessing pipeline), ki ga sestavlja kombinacija različnih tehnik predobde- lave. V nadaljevanju si poglejmo zasnovo takšnega cevovoda in nekaj najpogostejših tehnik predobde- lave, ki se uporabljajo v praksi. Cevovod predobdelave besedil Predobdelava besedil je postopek, kjer v določenem zaporedju nad vhodnim besedilom izvajamo različ- ne tehnike predobdelave besedil. Gre za transforma- cije vhodnega besedila, kjer po vsaki izvedeni teh- Tokenizacija Preiševanje Lematizacija in krnenje Cevovod predobdelave besedila Vhodno besedilo Rezultat predobdelave SLIKA 1. Primer cevovoda predobdelave besedil.   ̌      ̌    P 49 (2021/2022) 4 25 niki predobdelave besedil kot rezultat dobimo obde- lano besedilo, ki je bolj primerno za nadaljnje po- stopke procesiranja besedil. Predobdelavo besedil si najlažje predstavljamo kot cevovod, kjer imamo na začetku neobdelano vhodno besedilo, na koncu pa dobimo obdelano izhodno besedilo. Slika 1 prika- zuje strukturo takšnega cevovoda z zaporedjem ne- kaj napogostejših tehnik predobdelave besedil. Tehnike, ki se v cevovodu predobdelave besedil najpogosteje uporabljajo, zajemajo (v tem vrstnem redu) tokenizacijo, prečiščevanje ter lematizacijo in krnjenje besedila. Vsaka izmed omenjenih tehnik predobdelave je samostojna enota znotraj cevovoda, ki nad besedilom na vhodu izvede ustrezno trans- formacijo in vrne izhodno obdelano besedilo. Zapo- redje tehnik predobdelave se lahko v cevovodu tudi spremeni. To je največkrat pogojeno z jezikom, ki ga obdelujemo. V tem prispevku se bomo omejili na slovenski jezik. Tokenizacija Prvi korak predobdelave besedil je tokenizacija. To je proces delitve celotnega vhodnega besedila na manjše dele – žetone (angl. token). Ponavadi govo- rimo o delitvi na besede, poznamo pa tudi druge de- litve, kot sta npr. delitvi na besedne zveze in bese- dne n-grame. Pri delitvi na besedne zveze kot žeton uporabimo več besed. Delitev na besedne n-grame je podobna delitvi na besedne zveze, le da s številom n določimo, koliko besed ostane v besedni zvezi. Si- cer n-grame uporabljamo tudi na nivoju besed, kjer ohranimo n črk v besedi. Slika 2 prikazuje razlike med različnimi delitvami na stavku Danes je lep dan. Sam postopek delitve poteka na podlagi vnaprej določenih pravil za delitev. Za delitev na besede, ki je najpogosteje uporabljen način delitve, pravi- loma uporabimo pravilo deljenja s pomočjo znakov za presledke. Pri tem odstranimo tudi ponavljajoče zaporedne presledke, tabulatorje in ločila. Rezultat tokenizacije je seznam besed, ki se pojavijo v vho- dnem besedilu. Prečiščevanje Naslednji korak predobdelave besedil je prečiščeva- nje. Besede iz seznama, pridobljenega s tokeniza- cijo, dodatno spreminjamo in odstranjujemo iz se- znama. Najprej vse črke v besedah iz seznama pre- tvorimo v male črke. Takoj zatem ponavadi odstra- nimo tudi besede, ki so krajše oz. daljše od dolo- čenega števila znakov. Primer takšnega odstranje- vanja je, recimo, odstranjevanje vseh besed krajših od treh znakov in daljših od petnajst znakov. Na- zadnje zelo pogosto odstranimo najpogosteje upo- rabljene besede našega izbranega jezika. Gre za t. i. blokirane besede (angl. stopwords), med katere spa- dajo vezniki, zaimki, prislovi, nekatere pridevniške besede in vse ostale besede, ki se v izbranem jeziku najpogosteje pojavijo. Z odstranjevanjem blokiranih besed odstranimo šum v besedilu, saj želimo ohra- niti le tiste besede, ki vhodnemu besedilu dajejo naj- več vsebine. Rezultat je torej seznam prečiščenih be- sed, ki vsebujejo vsebino vhodnega besedila. Lematizacija in krnjenje V zadnjem koraku cevovoda predobdelave besedil nad seznamom prečiščenih besed izvedemo posto- pek lematizacije ali postopek krnjenja. Lematizacija Danes je lep dan Tip delitve Rezultat delitve na besede danes, je, lep, dan na besedne zveze danes je, danes je lep, danes je lep dan, je lep, je lep dan, lep dan na n-grame (n = 2) da, an, ne, es, s_, _j, je, e_, _l, le, ep, p_, _d, da, an na besedne n-grame (n = 2) danes je, je lep, lep dan SLIKA 2. Primer razlǐcnih delitev pri tokeniza- ciji na stavku Danes je lep dan. Pod- črtaj pri delitvi na n-grame je upora- bljen kot znak za presledek.   ̌      ̌    P 49 (2021/2022) 426 Korak 1 Korak 2 Korak 3 Korak 4 Popili so bili ravnokar popoldansko kavo prazne steklenice so bile še na mizi pogrnjeni z nedeljskim prtom → popili bili ravnokar popoldansko kavo prazne steklenice bile mizi pogrnjeni nedeljskim prtom → popili ravnokar popoldansko kavo prazne steklenice mizi pogrnjeni nedeljskim prtom → popiti ravnokar popoldanski kava prazen steklenica miza pogrnjen nedeljski prt SLIKA 3. Potek delovanja cevovoda predobdelave besedil in krnjenje sta podobna postopka, vendar je med njima zelo pomembna razlika. Lematizacija besedo preoblikuje v njeno osnovno obliko, krnjenje pa be- sedi zgolj odreže končnico. Tako z lematizacijo do- bimo lemo, s krnjenjem pa krn besede. Dober pri- mer razlike je beseda boljši. S krnjenjem bomo be- sedo pretvorili v besedo bolj, z lematizacijo pa v njeno osnovno obliko – dober. To je zelo pomembno pri morfološko bogatih jezikih, kot je slovenščina, zato pri takšnih jezikih v tem koraku pogosteje upo- rabljamo lematizacija. Slovenščina je oblikoslovno (morfološko) izjemno bogat jezik, saj se veliko bese- dnih vrst pregiba (samostalniške in pridevniške be- sede, glagoli, zaimki, števniki). Tako s sklanjanjem, spreganjem in stopnjevanjem besede dobivajo raz- lične končnice (morfeme). Krnjenje tako bolj upo- rabljamo za manj morfološko bogate jezike, kot je npr. angleški jezik. Z lematizacijo torej vse besede iz seznama prečiščenih besed pretvorimo v njihove osnovne oblike. Izhod cevovoda je spremenjen se- znam besed in predstavlja rezultat celotne predob- delave vhodnega besedila. Primer Poglejmo si delovanje cevovoda predobdelave bese- dil na primeru (slika 3) dela besedila Cankarjevega romana Tujci: Popili so bili ravnokar popoldansko kavo: prazne steklenice so bile še na mizi, pogr- njeni z nedeljskim prtom. Najprej izvedemo tokenizacijo, kjer bomo vhodno besedilo razdelili na besede, izhod pa bo seznam be- sed. Pri tem bomo odstranili tudi ločila (korak 1). Nato sledi prečiščevanje, kjer bomo vse velike črke pretvorili v male črke, iz seznama pa bomo odstra- nilo vse besede krajše od treh znakov, vse besede daljše od petnajst znakov (korak 2) in vse blokirane besede (korak 3). Seznami blokiranih besed za naj- pogostejše jezike najdemo v prosto dostopni Python knjižnici NLTK [4]. Nekatere besede, ki spadajo v seznam blokiranih besed za slovenščino, so: ali, am- pak, bodisi, in, kajti, namreč, ne, niti, oziroma, pa.   ̌      ̌    P 49 (2021/2022) 4 27 Na spletu so še prosto dostopni seznami blokiranih besed za slovenščino na Wikiversity [8] in repozito- riju GitHub [7]. Na koncu izvedemo še lematizacijo, kjer vse besede iz seznama pretvorimo v osnovno obliko (korak 4). Rezultat koraka 4 je tudi izhod cevovoda. Kot je razvidno iz podanega primera, je izhodno besedilo krajše, hkrati pa ohranja vsebino originalnega besedila. S predobdelavo besedila smo uspeli izluščiti najpomembnejše besede oz. značilke, s katerimi lahko začnemo nadaljnje procesiranje. V tem prispevku predstavljen cevovod predobde- lave besedil je le eden izmed možnih načinov pred- obdelave besedil, saj lahko v cevovodu spreminjamo tehnike predobdelave besedil in njihovo zaporedje izvajanja. Postopek predobdelave je velikokrat po- gojen s postopkom nadaljnjega procesiranja besedil. Nekateri izmed teh postopkov zahtevajo točno dolo- čeno obliko besedila na vhodu, za kar seveda poskr- bimo že pri predobdelavi. Obstaja še nekaj tehnik predobdelave besedil, ki jih v tem prispevku nismo opisali, saj jih ponavadi uporabljamo v primeru spe- cifičnega procesiranja besedil. Med te tehnike pred- obdelave besedil spadata, recimo, normalizacija be- sedila in preverjanje črkovanja. Pri normalizaciji be- sedila se določene besede razširijo v bolj pomenljivo obliko. Dober primer normalizacije so kratice, ki jih razširimo v obliko pred krajšavo (npr. STA v Slo- venska tiskovna agencija). Pri preverjanju črkovanja vsako besedo preverimo za napake v črkovanju in jo nato ustrezno popravimo. Čeprav je večina orodij za predobdelavo besedil v osnovi razvitih za angleški jezik, je podpora zelo do- bra tudi za slovenski jezik. Na voljo je kar nekaj pro- stodostopnih orodij: za programski jezik Python je dobra izbira knjižnic Gensim [10], NLTK [4] in Clas- sla [9], s katerimi lahko le v nekaj vrsticah kode sami sprogramiramo cevovod predobdelave besedil. Pri- mer takšne implementacije v programskem jeziku Python je na voljo na javno dostopnem repozitoriju GitHub [6]. Kljub temu, da podpora za slovenski je- zik v teh orodjih še ni optimalna, se iz leta v leto stanje izboljšuje, saj se vztrajno veča število ljudi, ki se v Sloveniji ukvarjajo s področjem procesiranja naravnega jezika. www.dmfa-zaloznistvo.si Literatura [1] Amebis Presis, dostopno na presis.amebis.si/ prevajanje/, ogled 17. 1. 2022. [2] Google Translate, dostopno na translate. google.com, ogled 17. 1. 2022. [3] Microsoft Bing, dostopno na www.bing.com/ translator, ogled 17. 1. 2022. [4] NLTK – Natural Language Toolkit, dostopno na www.nltk.org/, ogled 17. 1. 2022. [5] PONS, dostopno na sl.pons.com/prevod- besedisca, ogled 17. 1. 2022. [6] Procesiranje naravnega jezika – GitHub, dostopno na github.com/procesiranje- naravnega-jezika, ogled 18. 1. 2022. [7] Seznam blokiranih besed za slovenščino – GitHub, dostopno na github.com/stopwords-iso/ stopwords-sl, ogled 17. 1. 2022. [8] Seznam blokiranih besed za slovenščino – Wi- kiversity, dostopno na sl.wikiversity.org/ wiki/Seznam_slovenskih_praznih_besed_ za_izdelavo_besednega_oblaka, ogled 17. 1. 2022. [9] N. Ljubešić in K. Dobrovoljc, What does Neu- ral Bring? Analysing Improvements in Morpho- syntactic Annotation and Lemmatisation of Slove- nian, Croatian and Serbian, Proceedings of the 7th Workshop on Balto-Slavic Natural Language Processing, Florence, Italy, 2019, Association for Computational Linguistics, 29–34. [10] R. Řehůřek in P. Sojka, Software Framework for Topic Modelling with Large Corpora, Proceedings of the LREC 2010 Workshop on New Challenges for NLP Frameworks, Valletta, Malta, 2010, ELRA, 45–50. ××× www.presek.si                                  P 49 (2021/2022) 428 Termoelektrarna A̌ M̌  B R̌ Na fotografiji je oblak nad Termoelektrarno To- plarno Ljubljana. Fotografijo smo posneli zelo hla- dnega in jasnega zimskega večera. Termoelektrar- na proizvaja električno energijo. Toploto, ki pri tem ostaja, termoelektrarna upora- blja za ogrevanje mesta in elektrarna je hkrati tudi toplarna. Pozimi potrebujemo za ogrevanje veliko toplote, zato elektrarna deluje s povečano močjo. V termoelektrarni kurijo rjavi premog in lesno bio- maso, načrtujejo pa prehod na zemeljski plin. Pre- mog in les sta umazani fosilni gorivi in pri gorenju sproščata tudi ogljikov monoksid, žveplove okside, dušikove okside in prah [1]. Zgorevanja fosilnih go- riv je podrobneje opisano v [2]. Večji del izpusta skozi dimnik predstavljata plina ogljikov dioksid in vodna para. Vodna para v stiku s hladnim zrakom kondenzira; še posebej rada na delcih prahu, ki so pri roki - skupaj z njo so v izpuhih iz dimnika. Po- zimi pri temperaturi pod lediščem pri 0 °C nastajajo v izpuhih ledeni kristalčki in zato je oblak iz dimnika bel. Zakaj je (skoraj vsak) oblak drobnih delcev bel, lahko preberete v [3]. Oblak na fotografiji nam je padel v oči zaradi izrazitega kontrasta z nočnim ne- bom. Kljub večerni temi ga jasno vidimo, saj ga osve- tljujejo mestne luči. Belega oblaka ponoči ne vidimo dobro, če ni osvetljen, podnevi pa pride manj do iz- raza, ker je tudi nebo svetlo. Še ena podrobnost zbode oči: na fotografiji sta vi- dna dva oblačna stebra. Desni očitno izvira iz di- mnika. Kaj pa levi? Oglejte si zračne fotografije ter- moelektrarne na spletu! Literatura [1] m.energetika.si/airquality/emissions/ level/2/tab/1/page/1, ogled 25. 1. 2022. [2] J. Rakovec, Gorenje lesa, Presek 49 (2021/2022) 2. [3] A. Mohorič, Beli oblaki, Presek 43 (2015/2016) 6. SLIKA 1. ××× G   G          ̌   G  G         ̌   P 49 (2021/2022) 4 29 Kotaljenje kolesa in število π B̌ K 14. marec, Mednarodni dan matematike, ki ga je na pobudo Mednarodne matematične unije (IMU) razglasila organizacija UNESCO, že kar nekaj let popestrijo z zabavnimi matematičnimi dejavnost- mi tudi v nekaterih slovenskih šolah. Neuradni dan števila π zato obeležujemo tudi v tokratnem GeoGebrinem kotičku, z vizualizacijo števila π s pomočjo dolžine loka na kolesu, ki se zakotali po ravni podlagi. Morda ste zelo podobno animacijo že videli kje na internetu? Sama ideja res ni več izvirna, toda izdelava animacije je lahko nadvse zabavna tako za dijake in dijakinje kot tudi za nji- hove profesorice in profesorje. Osnovna ideja animacije je naslednja: narisali bo- mo barvno kolo s polmerom 1, ki se kotali po ravni podlagi v odvisnosti od časa t. Ob kotaljenju naj kolo na podlagi pušča barvno sled, katere dolžina bo ob enem zasuku kolesa natanko 2π . Z nekaj do- SLIKA 1. Kolo s polmerom 1 pri kotaljenju pusti sled dolžine 2π . datnimi podrobnostmi in animacijo bo število π na zaslonu kar oživelo. Konstrukcijo dobimo z nasle- dnjimi koraki. V kot risalne površine postavimo drsnik t, ki naj zavzame vrednosti od 0 do 5 z majhnimi koraki 0,01. Površina kotaljenja naj bo os x, torej premica y = 0, ki jo vnesemo z enačbo v algebrskem oknu in obarvamo z izbrano barvo, denimo zeleno. S spremembo nastavitev koordinatne mreže na osi x izberemo enoto π namesto 1, os y in mrežo pa odstranimo. Po premici y = 0 bomo kotalili kolo z radijem 1, torej naj bo središče kolesa točka S=(t,1), kolo pa narišemo z ukazom Krožnica(S,1). Zdaj razmislimo o gibanju izbrane točke A na obo- du kolesa. Taka točka kroži enakomerno okrog središča, ki se giblje po premici. Če ima točka A v času t = 0 koordinati (0,0), ima pri pomiku sredi- šča S za t v desno koordinate (t − sin t,1− cos t) (slika 2). Morda ste opazili, da smo zapisali para- metrično enačbo kolesnice oz. cikloide. Pravilnost dosedanje konstrukcije lahko preverimo s pomi- kanjem drsnika levo in desno. SLIKA 2. Točka A na obodu kolesa ima po času t koordinati (t − sin(t),1 − cos(t)), saj je pomik središča enak dolžini ustre- znega krožnega loka oziroma kotu t v radianih.           P 49 (2021/2022) 430 Na kolesu označimo še točko B, kjer se kolo do- tika podlage, torej B=(t,0). Sled, ki jo pušča kolo, naj predstavlja Daljica((0,0),B). Obarvamo jo rdeče in odebelimo. Zdaj na kolesu narišemo še krožni lok med B in A z ukazom KrožniLok(S,B,A) in ga prav tako obarvamo rdeče. Kotaljenje preizkusimo s pomikanjem drsnika in opazimo še nekaj pomanjkljivosti. Ko je t = 0, je rdeči krožni lok izrojen, na sliki pa želimo videti rdečo krožnico. To lahko popra- vimo tako, da narišemo še eno krožnico z ukazom Krožnica((0,1),1), jo ustrezno obarvamo in v nastavitvah objekta pod menijem Dodatno nasta- vimo pogoj prikaza t = 0. Ko je t > 2π , na kolesu ne želimo več rdeče obarvanega loka, zato ustrezno nastavimo po- goj prikaza t < 2π . Prav tako želimo, da se rdeča daljica na podlagi daljša le do časa t = 2π . To lahko popravimo s pogojnikom: ukaz Daljica((0,0),B) zamenjamo z If(t>2*pi, Daljica((0,0),(2*pi,0)),Daljica((0,0),B) Morda bi si želeli našemu kolesu dorisati še radi- alne špice, da bo bolj podobno kolesarskemu kolesu? Potem potrebujemo še nekaj dodatnih korakov. Na risalno površino najprej dodamo drsnik n za število špic, ki naj bo celo število med 6 in 20. Z ukazom tocke=Zaporedje(S+(sin(t+2*pi/ k),cos(t+2*pi/k)),k,0,n-1) narišemo zapo- redje točk, ki predstavljajo krajišča špic. Z ukazom precke=Zaporedje(Daljica( Element(tocke,k),S),k,1,n) vsako krajišče povežemo s središčem kolesa. Če smo pravilno sledili vsem korakom, je pred nami kolo, podobno tistemu na sliki 1. Lahko ga preizku- site tudi na spletnem naslovu www.geogebra.org/ m/zjjsykmj. Najbolj ustvarjalni navdušenci pa bodo z delom nadaljevali in morda na risalni površini do- risali še drugo kolo in nekaj daljic za ogrodje običaj- nega kolesa, ali pa celo kolesarja, ki dviga in spušča kolena ob pritiskanju na pedala. Z nekaj matematič- nega znanja je možnosti neskončno. ××× ̌  ̌  49/3 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz tretje številke Preseka letnika 49 je Cisoida. Med pra- vilnimi rešitvami smo iz- žrebali naslednje reše- valce: Andrej Oder iz Ljubljane, Vlasta Pospeh Fischer iz Celja in Marko Žerdin iz Maribora, ki bodo nagrade prejeli po pošti. ××× B          ̌        P               ̌ P 49 (2021/2022) 4 31 Pisma bralcev ̌        1 ,       9 , 1 9 8 1 / 8 2 V času, ko mladi doma niso imeli računalnikov in interneta, kaj šele so- cialnih omrežij, je revija Presek skr- bela za izmenjavo idej preko pisem bralcev. Pisma je urejal in nanje ob- časno tudi odgovarjal takratni ure- dnik prof. Peter Petek. Iz spodnje objave lahko sklepamo, da so dijaki in dijakinje že tedaj pesnili »spomin- čice« za lažje pomnjenje decimalk števila pi, revijo Presek pa so fantje in mladi moški prebirali celo med (ta- krat obveznim) služenjem vojaškega roka. ××× Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Lju- bljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je pri- znanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega časa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poučne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrečenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlično prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poučna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.