Pfi. /v/. Sonderabdruck aus der Monatsschrift «Die Erdbebenwarte», Jahrg. VII, 1908. Uber die Bestimmung dynamischer Elastizitatskonstanten. Von M. P. Rudzki. Im sechsten Jahrgang dieser Zeitschrift (S. 65 bis 73) habe ich die Bestimmung statischer Elastizitatskonstanten besprochen. In diesem Aufsatze werde ich mich den dynamischen Elastizitatskonstanten zuwenden. Um diese letzten zu bestimmen, mufi man naturlich dynamische Methoden verwenden, man kann namlich dynamische Elastizitatskonstanten aus Schwingungszeiten schwingender Štabe ermitteln. Anweisungen zu den Experimenten mit schwingenden Štaben werde ich nicht geben, dieselben konnen in speziellen Lehrbiichern und Auf- satzen* gefunden werden. Nur ganz allgemein will ich bemerken, dafi diese Experimente nicht leicht sind. Schon die Bestimmung der Schwingungs- zeit, welche gewohnlich indirekt aus der Lange eines mitschwingenden Fadens berechnet wird, bietet manche Schwierigkeit. Aufier den Schwierigkeiten technischer Natur begegnet man auch theoretischen Schwierigkeiten. Man darf nicht vergessen, dafi eine voll- standige Theorie der Schwingungen elastischer Štabe endlicher Dicke und Breite eigentlich nicht existiert. Man mufi sich mit vereinfachten Differential- gleichungen begntigen, die nur die wichtigsten Faktoren beriicksichtigen. Es existieren zwar Differentialgleichungen, in denen gewisse sekundare Faktoren beriicksichtigt werden, sie flofien aber kein besonderes Vertrauen ein. Bei einer eingehenden Diskussion findet man Widerspriiche, auch ist es leicht zu erkennen, dafi unter den Grofien derselben Ordnung einige beriicksichtigt, andere tiber Bord geworfen werden. So z. B. wird in der Theorie der Biegungsschwingungen nur die Korrektion wegen der so- genannten rotatorischen Tragheit eingefiihrt, wahrend doch andere Faktoren existieren, deren Wirkung mit der Wirkung der genannten Tragheit ganz vergleichbar ist. Infolgedessen habe ich mich entschlossen, nur die einfachsten Differentialgleichungen zu gebrauchen, was um so mehr gestattet erschien, als die Korrektionen einen merklichen Einflufi nur auf Perioden hoherer * Speziell mit Gesteinstaben hat Kusakabe Versuche angestellt. Man vergl. dariiber seinen Aufsatz unter dem Titel: Kinetic measurements of the Modulus of Elasticity. Journal of the College of Sc. Tokyo. Bd. XX, Art. 10, S. 1—29. — Man vergl. ferner: W. Voigt, Bestimmung der Konstanten der Elastizitat.Abhandlungen der kgl. Gesell- schaft der Wissenschaften zu Gdttingen. Bd. XXXVIII (1892). ; 0 loohezit 3 M x = G — £ den Modul, q die Dichte und _ fx i dx dy D.B y J dx dy 12 den Quadrat des Schwingungsradius bezeichnet. Dabei, wie man leicht er- raten kann, bezeichnet D die Dicke, B die Breite des Stabes. Die Bedingungen am festgeklemmten Ende* z — 0 sind: u = 0 du = 0 Am freien Ende, wo d 2 u dz 2 = 0 dz z = L d*u M x d % u IV Das Glied dz dt 2 q dz 3 b » dhi y dz*dt* . V in der Differentialgleichung III kann** vernaclilassigt werden, wenn D und B gegeniiber L klein sind, denn es hat wenig Einflufi auf die Periode des Grundtones sowie der nachsten Obertone. Die genannte Vereinfachung ist um so mehr gestattet, als die Gleichung III ohnehin nicht genau ist, es fehlen in derselben kleine Glieder von derselben Grofienordnung wie d^u y dz* dt % Somit werden wir weiter die vereinfachte Gleichung « 2 . dhi dz* 0 III bis dhi ~dt*~ wo der Kiirze halber h 2 a* — M x — gesetzt wurde, betrachten. Dabei mtissen wir bemerken, dafi statt der Bedingungen V jetzt am freien Ende z = L die Bedingungen v zur Geltung kommen. V bis * Natiirlich darf z vom Orte der Klemmung gerechnet werden. ** Eine Diskussion der vollstandigen Gleichung III und ihrer Integrale befindet sich bei Searle. Phil. Magazine, VI. Ser. Bd. 14, Nr. 79. Juli 1907, p. 35 — 60. 5 3.) Man schneidet ein Prisma so aus, dafi seine Langsachse den VVinkel 0 mit der Symmetrieachse bildet. Wahrend es bei den Experimenten 1 und 2 ganz gleichgultig war, wie die zwei anderen Dimensionen orientiert waren, hangt jetzt die Gestalt der Differentialgleichung von der Orientation der Dicke und Breite ab. Vernachlassigt man aber die kleinen Glieder, so verfallt man wieder auf die Gleichung: cfiu Hi* , dHi 'dž*' XIII nur hat a 2 wieder eine andere Bedeutung, es ist namlich A — C0S * c ® + sin 2 0 . cos 2 0 ( q LM 1 Q- Setzt man z. B. 0 45» dann kommt v 4q r±+±+i L M. ' M*' A G {E — C) A ^) + XIV XV 'r -2 - g {E-C)-ES J - • Wie man a 3 aus der Schwingungsperiode bestimmt, was die Symbole k y i und q bedeuten, das braucht nicht mehr wiederholt zu werden. Wir sehen somit, daI3 die Versuche mit Biegungsschwingungen drei Funktionen der elastischen Konstanten zu bestimmen gestatten, namlich: M x , M 2 und 1 A~ G (E —C) — ES Da fiinf Konstanten zu bestimmen sind, brauchen wir noch zwei Gleichungen. Um dieselben zu erhalten, mufi man zu Versuchen mit Torsionsschwingungen greifen. Torsionsschwingungen. 1 .) Versetzt man einen Štab, dessen Langsachse mit der Symmetrieachse des Gesteins zusammenfallt, in Torsionsschwingungen um die Langsachse, so kann man A bestimmen. Bezeichnet man namlich den Torsionsvvinkel mit t, dann lautet die Differentialgleichung, welche diese Schwingungen beschreibt, dH , dH = . XVI wobei b 2 nur die Konstante A enthalt. Am einfachsten gestaltet sich die Beziehung zwischen b und A, wenn man, was auch aus anderen Griinden vorteilhaft ist, einen kreisrunden Zylinder verwendet, denn es wird dann b* = -.XVII und die Konstante A bestimmt sich aus der Periode T mit Hilfe der Gleichung 4^2 6 2.) Nehme man jetzt wieder einen kreisrunden Zylinder, dessen Langs- achse aber normal zur Symmetrieachse des Gesteins steht. Die Differential- Die Gleichungen XVIII und XX liefern A und C. Sobald diese Kon¬ stanten bekannt sind, kann man aus IX, XII und XV die iibrigen drei Konstanten E, G und E x berechnen. Sind namlich M ly M, und sagen wir 1 1 , 1 _lI _ £ i M. . = -+ 1 D ~ M 1 ' M, ' A G (E— C) — E^ ' ' ' ' direkt aus Versuchen bekannt und setzt man noch der Kurze halber XXI E , G (E — C) — ES -K- l_u_L — M 1 ^ M t 1 D so erhalt man nach leichten Rechnungen: 4] h ~ Mt + C{KW X M % — 4) CKM x M l El — ~~ M t 4- cl&MM — 4) M 1 (M x — 4 C) U ~ M t + C(K*M x M t - 4) XXII XXIII Dilatationale (extensionale) Schwingungen lassen wir aufier Betrachtung, da sie nichts anderes als die Biegungsschwingungen liefern. Bemerkung. Die Schwingungsperiode ist iiberall als volle Periode verstanden, .also die Zeit eines vollen Hin- und Herganges. NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA 00000516932 Buchdruckerei Ig. v. Kleinmayr & Fed. Bamberg, Laibach