MATEMATIKA
Naloga
-i' -i' -i'
Marko Razpet
Otrok se igra s štirimi koščki kartona, ki imajo vsi obliko enakokrakega trapeza z notranjim kotom 45° ob daljši osnovnici. Ve, da imajo vsi trapezi enako ploščino, ki se izraža v kvadratnih centimetrih z naravnim številom, ki ne presega 30, in da se vse dolžine osnovnic izražajo v centimetrih, prav tako z naravnimi števili. Trapezi imajo raz-licne višine.
v
a
SLIKA 1.
števili a + c in a - c lihi, kar bi nasprotovalo enacbi (a + c)(a - c) = 4P, saj bi bila njena leva stran liho, desna pa sodo število.
Torej morata biti števili a in c hkrati sodi ali pa hkrati lihi. To seveda pomeni, da sta a + c in a - c sodi števili, in zato lahko zapišemo enacbo
a - c a + c
2
2
= P,
pri cemer sta m = (a - c)/2 in n = (a + c)/2 naravni števili, ki sta v relacijah m < n in mn = P .S seštevanjem in odštevanjem pa takoj dobimo: a = n + m in c = n - m.
To pomeni, da moramo poiskati tako naravno število P (P < 30), ki ga je mogoče razstaviti na dva faktorja m in n (m < n) na štiri načine. Po zapovr-stnem pregledu najdemo število P = 24, za katero je 24 = 1 ■ 24 = 2 ■ 12 = 3 ■ 8 = 4 ■ 6. Rešitev naloge je dana v preglednici:
Pomagajte otroku izracunati osnovnici in višino vsakega trapeza posebej.
Rešitev
Privzamemo lahko, da za osnovnici a in c vsakega trapeza velja relacija a > c, pri čemer sta a in c naravni števili. Višina trapeza je ocitno v = (a - c)/2, srednjica pa 5 = (a + c)/2, zato je njegova plošcina P = sv = (a + c)(a - c)/4, ki je naravno število. Ta plošcina je za vse štiri trapeze enaka.
Hitro spoznamo, da sta števili a in c lahko hkrati sodi ali pa hkrati lihi. V nasprotnem primeru bi bili
m
3
4
n
24
12
8 6
a
25
14
11 10
23
10
5 2
v
2
3
4
TABELA 1.
Poišcite naslednje naravno število P, ki ga je mo-goce prav tako kot 24 razstaviti na štiri nacine na dva faktorja. Ponovite nalogo za najdeni P.
_XXX
c
c
1
1
2
PRESEK 43 (2015/2016) 6
11