ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 3 Strani 138-140
Andrej Likar: SPUST PO KLANCU
Ključne besede: fizika, mehanika, kinematika, trenje, zracni upor. Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1335-Likar.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
SPUST PO KLANCU
Oče in sin sta se peljala s kolesi. Sin je predlagal naslednji poskus: "Peljiva se po klancu navzdol, kolikor naju samo nese, in opazujva, kdo bo hitrejši. Hitrejši od naju ima boljše kolo z manj trenja." Izkazalo se je, da je bil hitrejši oče, "Vidiš," je dejal sin, "tvoje kolo je boljše, verjetno zato, ker je starejše in zato bolje utečeno." Očetu sklep ni bil všeč. "Zamenjajva kolesi," je predlagal. Dirko sta ponovila na naslednjem klancu in spet je bil hitrejši oče. "Ce ne bi bilo trenja, bi bila oba enako hitra, kljub temu da je očetova masa večja od moje," je sklepal sin. "Tako je učil že Galileo Galilei. Ge je trenje sorazmerno z maso, kar smo slišali v šoli. bi ob euakib koeficientih trenja morala biti spet enako hitra." "Pozabil si na zračni upor. Pri vožnji sva bila oba sklonjena naprej, da je bil upor čim manjši. Sila trenja je neodvisna od hitrosti, zračni upor pa s hitrostjo močno narašča. Na trenje lahko v najinem primeru kar pozabiš, saj je zanemarljivo v primeri z zračnim uporom. Zmagal sem preprosto zato, ker imam večjo maso."
Oglejmo si, kako masa kolesarja vpliva na njegovo hitrost. Razmere pri poskusu bomo močno poenostavili. Privzeli boino klanec z enakim nagibom a in določili le končno hitrost kolesarja, ko je sila teže vzdolž klanca enaka uporu. Zapletenim razmeram ob pospeševanju se bomo tako izognili. Silo upora Fu izračunamo iz enačbe
Fu = ^ Scupv2 ,
kjer je S čelni presek kolesarja, cu pa koeficient, ki odraža vrtinčenje zraka za telesom in je odvisen predvsem od njegove oblike. Privzeli bomo, da imata oče in sin enaka koeficienta, saj je njuna oblika zelo podobna. Z p smo označili gostoto zraka, z v pa hitrost telesa v zraku. Kolesarja žene po klancu navzdol dinamična komponenta teže F&, to je komponenta, ki je vzporedna s klancem in jo izračunamo iz Fd = = mg sin Ot. Ko se hitrost kolesarjev ne spreminja več, sta sili Fd in Fu v ravnovesju (glej sliko 1). Takrat velja Far = F.u ali
1 t ^	Slika. 1, Spust po klancu. Ko se hitrost ne
TTig sin O —— Spc.uV .	spreminja več, je sila upora /-'., enaka kom-
ponenti sile teže vzdolž klanca F^.
Iz te enačbe dobimo hitrost
/ 25771 sin a V Pcus
Označimo z v„ očetovo hitrost, z vs pa sinovo. Razmerje njunih hitrosti je potem
Vg _ m0/S0
v* V ms/Ss
Spet smo količine, ki se nanašajo na očeta, označili z indeksom o, sinove pa z s. Razmerje količnikov m/S lahko izrazimo le z maso m, če privza-memo, daje oče po obliki le povečan sin. Razmerje njunih višin naj bo r. Privzamemo, da so v istem razmerju tudi njuni glavi, roke, noge, obseg pasu, širina ramen... Razmerje njunih mas je potem enako r3, razmerje čelnih presekov pa r2, (Tako je pri vseh podobnih telesih. Pomislimo na dve kocki iz iste snovi, katerih robova sta v razmerju r, r = ^. Njuni
prostornini, in s tem masi, sta v razmerju ^ — ^ —	= r3, ploščini
kvadratov pa v razmerju r2.) Privzamemo torej
m0 m„
= r
=r2 — (m'° )2'3 S.	TO*
Razmerje hitrosti ^ je potem
_ /mQ j 1/6
vs ms
Vidimo, da imajo telesa z večjo maso res večjo končno hitrost. Razmerje hitrosti je enako šestemu korenu iz razmerja mas, kar je za razmerja mas blizu 1 približno linearna odvisnost. Prikladno jo zapišemo kot
v o ^ A m vs	6m. '
kjer smo z A m označili razliko mas i m = ra0 — ms. Odvisnost razberemo z grafa lia sliki 2. Oglejmo si tale primer: Denimo, da je masa m0 = 110 kg in ms ~ — 65 kg. Masi koles (po 15 kg) smo všteli. Razmerje hitrosti je pri teh podatkih
? =	1,092.
vs 65 kg
Če vozi sin s hitrostjo 40 km/h, je očetova hitrost 43,7 km/h, kar brez težav opazimo.
Ob tem razmišljanju se spomnimo zgodbe o poskusih, ki naj bi jih izvajal Galileo Galilei na poševnem stolpu v Pisi, Zvemo, da je s stolpa metal različno težke krogle in opazil, da padejo vse
hkrati spuščene krogle istočasno na tla. Ce bi bile vse krogle iz enake snovi, na primer iz železa, bi zaradi zračnega upora večje, in zato tudi težje krogle, prehitele manjše. Se večje razlike v hitrosti pa bi imele krogle iz različnih snovi. Enako veliki krogli, ena iz lesa, druga iz svinca, bi imeli zelo različni hitrosti. V tem primeru bi bilo razmerje hitrosti enako kvadratnemu korenu iz razmerja mas. Se večje razmerje pa bi dobili, če bi bila lesena krogla manjša od svinčene. Bolje bi se poskus posrečil z leseno kroglo in z od nje večjo, votlo svinčeno kroglo. Takih krogel pa Galileo zanesljivo ni imel. Zelo verjetno je, da Galilei teh poskusov ni naredil. Do zakona, da padajo vsa telesa v brezzračnem prostoru z enakim pospeškom, se je dokopal z logičnim sklepanjem. Razmišljal je takole. "Denimo, da ima Aristotel prav; telo z večjo maso pada hitreje od telesa z manjšo. Mislimo si sedaj novo telo, zgrajeno iz teh dveh, ki ju povezuje lahka vrvica. Ker ima telo še večjo maso, bi moralo padati hitreje kot posamezno telo zase. To pa je protislovno, saj lažje telo pri padanju gotovo zavira telo z večjo maso. Vsa telesa torej padajo z enakim pospeškom, ne glede na svojo maso." Ta sklep so pozneje potrdila natančna opazovanja padanja v brezzračnem prostoru.
Slika 2. Odvisnost razmerja hitrosti dveh teles y — S® od razmerja mas x — podaja
funkcija y = X1/6. Prikazana je odvisnost za razmerje x med 0 in 1, saj lahko vedno izberemo masi m0 in ms tako, da je njuno razmerje manjše od 1.
Andrej Likar