Ti

f

JL 'ti 5 G o o


,

'Tv

/%


Slir ' PitiCci  GmnbergenL X ' •'V

Wf /  Silefij. . ■ \ ^|B e

r/lfelGONOMETRI^ \1

/ Siur.  X

j  'D e dimennone "Triantjulov  '

Libri,  Q/i.\Qyf., . \

Problematvm varicr/T

nempe

Geoclzeticovum,
Altimetricorum,
C>eodmphicorum,
Gnomorucorum, ef
Aftronormcorum:

l r Ded ej\0 , j

1|_ 7 'mciosoM.TRir. svbivncti,  j

|E\ AD, VSVM EIKT DEMONS V / A

. TIUNDVM. /  JSI

jSumbhb. d imjient.  |
Domtnci. Cusfocljs |
cdalcogva^hi.
M.DC..  1

/■s-

S Ljubijaxr

5v»-


t Of 4  433C^~ ; '

ILLV STRISSI-

MO PRINCIPI A C

DOMINO, DOMINO FRI¬
DE R I C O IV. COMITI  P A L A T I-
no Ad Rhenvm, S. Rom. Imperii
Archidapifero & Ele&ori, Duci Bava¬
rce, &c. Domino fuoCle-
mentifllmo.

Llvstri ssime Princeps Elečtor,
Domine Clementiflime, Nifinotael-
(et lil.™* Celfitudini Tua: tota vira
me a,- proIixemcexcu{arem, quodego
homoTheologus, quafioblitusvoca-
tionis mea? }  &: Mathefinexcola, &ejusgenerisfcri-
ptainiucemedam. Neccnim dubico, qvin mulci
fi n t ho c ftudiu m m eum cal u m n i aturi, nifi p aratani
mihi apudlll. m  Celficudinem Tuam defenfionem
efieficianc. Eccerce,fiegorepus, quodmeditationi
rerum divinaru debeo, in dinumerationem aftro-
rumconferrem,culpaminimevacarem. Nuncau-
tem,quandononalijs horishaecago, quamquibus
horis alij ociacur: nec in alium finem,qvam ut Ill. m *
T uie Celficudini,de his rebus crebrb fcifcicanci,pro-

A z  preSc

E P is T O L A

pte&dextrerefponderepoffim : quis eftqui vellu-
fusmeos ingenuos aliorudefidi£poftponat,vel vo-
luntatemIll. m *Celfitudinis Tux  commodis infer-
viedireprehendat? AbrahamoPatriarch^laudida-
tur aIofepho,quod&: ipfe mathematicas artes calln-
erit,&:aliosinijfdeminftituent. EtinencomijsDa-
nielis hocno eft poftremum, quod inftručtus fueric
omni fapientia Chald^orum:qua: fapientia preči-
pueinmatheficonfiftebat. Neq;minusTheologis,
qvamalijs quibufcunquehominibus operaDei id-
circo funt propofita, utijs contemplandis fapientia
Deiadmirari, potetiam metuere, &c  bonitatem ma-
gnifacere difcant. Omnes autem ifti affe&us fine
dubiotantofuntferventiores,quantointelligentia
operumdivinorumeftinhominepiomajor. Intue-
tur idiota quifpiam Solem: miratur claritatem lu-
cis: poteflatem caloris: velocitatem curfus: certitu-
dineitineris: nefciusinterim, quaefitforma &ma-
gnitudo Soliš, & quam loginquum iter,quod quo-
tidiepermeat. Sieidemdicas,&exAftronomiade-
monftres: Solem effe globum, globo terreno centi-
es fexagies fexies maj orem j & circulum curfus ipfius
quotidianicontinere plus qvamqvadragies cente-
namilliamilliarium Germanicorum :non amplius

admi-

NVNCVPAT O R I A.
rabitur-, fed plane obftupefcet ad tanta natura?
miraculaj & exclamabit cum Davide: IehovaDeus
nofter, quam admirabileeft nomentuum, inuni-
verlaterra! Et,quidefthomo, qvodtu, tanrarum
rerum conditorSc eftedor, es memorejus? Adde*
quod femper ita iudicatum eft,poft arcanam opera -
tionem Spiritus Dei, nihil eflequod hominemma-
fvetioremreddat, qvamcoeleftisillius philofophia?
cultu ra. Manfvetudo autem,bone Deu s,qvantum,.
Sc  quamrarumeft Thcologorum ornamentum! Et
qvam optandum eftethocfeculo, omnesTheolo-
gos eflemathematicos, hoc eft, homines tradabiles
Sc  manfvetos. Qvanquam, neqvis meoexemplo
abufus plus nimio his fpeculationibus tribuat; & in-
terim ofRciumfuum negligat:apertefateor,utpri-
vata Sc  modica harum rerum exercitatio nemini no-
cet: ita puhlicam &; aftiduam earum tradationem
nonpoffenonaliquidincommodiaftcrreijs, qui&:
corporis Sdngenij vires alijs laboribus exantlandis
integras confervare debent. Quod cum hoc femc-
ftri deprehendiftem : & ipfe mihi propoiiii, nihil
amplius in hoc genere fcribere; Sc  alijs mei ordinis
hominibus,utidemhbiproponant,autorfum. Ve¬
re enim Ludovicus Vivcs.-ingenium, inquit, vivi-

A 3 dius cft„

E P I S T O L A

diuseftjnonnimisdefatigatum. EtlevereChriftus;
Mortui,inquitjfepeliantmortuosfuos } tiiautevade
&annunciaregnum Dci. Hocigiturdeincepsaga-
mus. Quqvero hucufq; fcripfi, quia non tantum
Tibi, IllufhilTime Princeps Elecror, fed & ali js mul-
tis ufui efle pofliint; curinvidiose premam ?  Id enim
abfq; jačtantiame dicere poiTe confido, dočhinam
Triangulorum in hunc ufq; diem a nemine tam
. perfpicue explicatam, &ufiim ejus in tot artibus
tam familiariter monftratumefle. Praš fcr tim dele^
čžtabit^radciOjOmnesrečle judicantes 5 quod in pro-
blematibus de motu Soliš & Luna: videbunt,mo-
tus cceleftes omnes^nam casterorumeadem eft ra-
tioj abfq; omni tam Alphonlinarum quam Prute-
nicaramtabularumope, perfolum CanoncmTri-
angulorum, &percommunem Arithmeticam, ea-
dem facilitate, certitudinc autem & jucundita-
te,quam per tabulas, muko majore 3 fupputari pode.
Quaex re etiam Celhtudinem Tuam, maxima(uo
tempore voluptatem captura ede 3 minime dubito.
Podquamenim ArithmeticamCelfitudoTuatota
perdidicit; &in Geometria etiam fundamen ta non
C on te m n e n d a j eci t: ni hil i m p e d ir e p o teri t 3 q u o m i-
nus etiam iftam fcientiam fuperltruatj quanomen

N V N C V V A T O R 1 A.
plusquam regium fibi ad omnem poftcritatem eflct
comparatura. Quorariores enim funt Principes,qui
h^cintelliganc:tanro major laus eft, fiinteiliganr.
Etfcitlll.^TuaCelfitudo, Ill. m  fuum avunculum,
VViIhelmum,p.m.Hafiia: Lantgravium, etfialijs
quoq; rebus geftis clarus elfet, non aliunde tamen
maj us,qua ex Aftronomi? ftudio nomen fibi acqui-
fivifie. De Alphonfo vero Lufitania: Rege vulgo no-
tumeft, cjusmemoriajam pridem fuifle fepulcam,
nifiTabula: cceleftiu motuu ipfius cura & lumpti-
buseditafinliteratorummanibus vcrlarentur. Hos
igitur laudatiflimos reges&Principesimirari, lau-
dem vereregiam elTe,, Ill. ma  Cellitudo Tua putec.
Quamadremfiquidego conferrepotero: nonpa-
tiar,velfidem,quaIll. m;c Tu£Celfitudinifiimobftri-
čtus,velinduftriam, unquaminmedefiderari. Etfi
enim puhlice liasc tračtare deinccps, utfupra dixi,
nolo; Ill. mae  tamen Celfitudini Tu^ }  fi qnid etiam
porrbderebusiftisexmelcire cupiat, deefie neque
debeo neq; volo. Pr<£ferti|ri poftquam totannos,tot
beneficij s unacum tota Familia mea abIll. ma Celfi-
tudine Tua luni affečhis. Pro quibus beneficijs,
quia eorummagnitudiniofficiola mea neutiquam
refpondentjDeum oro,vt divitijs gratig fii£ ca com-

E P I S T O L A NVN C F P.
pcnfare, CelfitudinemTuairgunacum lau-
datiffimaipfius coniuge, &prolc numerofa, omni
benedi&ionetamcorporali quam fpirituali perpc-
mo profequi dignetur. Cujus mcianimi & voti h^c
nuncupatio teftis efto. PerfcriptumHagcnbachij,
in comitatu aulas Cclfitudinis Trne , anno
N. C.i 5 j> 9. dic 13. Augufti.

Ul** C.T.

humilimustš

addičtifsimusfervus

B, ‘Titijcus .

BARTHOLO

msei Pitifci Grunbergenfis

TRIGONOMETRIJ
Liber Primvs.

De generibus fr affectionibus Triangulorum.

I. Trigonometriaeft dočtrina de dimenfione Trian¬
gulorum.

II. Triangulum eft figura tribus lateribus tresangu-
los comprehendens: Vtfuntfigura A B C.&D E F.

Schema

I

J F

III. Lateraduo quxlibetfunt crura anguliafecom-
prehenfij tertium,bafis. Vtlatera AB.fr A C.funt crura:
anguli B A C: Ut m B C. eft emsdem angnli bafis.

IV. Latus unumquodapdicitur fubtendereangulum
fibi oppofitum. Vt latus A B. fubtcndit angulum ACB.

Latus A C. fibtendit angulum ABC. Latus B C.fubtendit
angulum B A C.

V. Lateramaioramaioresangulos fubtendunt. Sub-
intellige:Et minora minores, & xqualia sequales.

Ver it as Vheorematis perfe mamfefta eft. Bemo-nfratur tame
apudEuclidemad iS.& / p. p. /. & apudRegiomontanum ad
42. & 43-prop. j. Luculenter etiam confrmabitur infra p er

B quartum

2 Trigonometrije

quar.tumaxioma libri tertij, &per tert'mm cpmrti.

VL Anguliraenfuraeft Circuli ex angulari punčlo
dcfcriptiarcus, inter crura fatis prolongata interce-
ptus: Ft,in Triangulo. AB C, mguliB A  C menfira ef ar cm
QP. ud.BD*

Schemtt

IL

VII. Circulus in Trigonometria omnis diuiditur in-
partes fmegradus 360.  Scgradus finguli rurfum in 6ov
fcrupuia fiue minuta prima, Sc ununiprimum in toti-
dem fecunda Sc c. Qua; partes tanto funt maiores,
quantb circulus eflmaior. Arcus autem, qui eodenr
partium numero conftant, in cireulis cequaiibus-
«quales, in cireulis inxqualibus fimiles dicuntur:

Ft, ar cm BD &G H.funt £qmles : ttremuero BD& OP. funt
fimiles. Sicut enim B D. uerbigratia,, ef 4. o. partium in cir~
culo magna E BD. It a 0  P. ef 4.0. partium in circulo parno.
L 0 P. & a.

VHI.rgitur

Liber Primvs.


VIIL Igitur Circuli diOi quadrans eft arcus 90. par-
ti um,

IX. Arcus quadrante minoris com plemen tu m eft
quod ipfi ad 90. partes deeft. Vt\ ar c m BD. 40.-pa.rtmm,
complemcntnm ejl ar cm B E. j o. p Ar ti um: &uicifim,

X. Arcus quadrante maioris exceffusfupra quadran-
tem eft.,quodipfifupra 90. partes adeft. Vt,arcus GEB.
j 4.0.partium, excejjusfupra quadrantem ejl arcus E B. so.
partium.

XI. Semicirculus eft arcus 1S0. partium.

XII. Arcusfemicirculo minoris complementum cft,
quod ipfl ad 1S0. partes do.cVt.Vt, arcus GEB. 14.0. parti¬
um,complementum ejl, ar c us BD.4 o. partium.

XIII. Anguli per crucem oppofiti funt aequales<
Vt,anguli B A D. & G A H. funt xquales. Simihter etiam an¬
guli G AB.&HA D .funt <aqnales. idemfit in Spharicls. Ve-
ritas theorematis per fe patet .Ttemonfratur tamen apud En-
clidem de lineis reci isfefi mutuo fecantibus ad is-p . 1.

XI V Angulus eft retftus uelobliquus.

XV Angulus rečdus eft,cuius menfura eft quadrans.
rt, E, A D.

XVI. Angulus obliquus eft obtufus uel acutus.

XVII. Angulus obtufus eft, cuius menfura eft arcus
quadrantemaior. Vt,BAG.

XVIII. Angulus acutus eft, cuius menfura eft arcus
quadranteminor. Vt,B A D.

X IX- Angulorum complemcntadicuntur,utarcuiu
XX. Anguli quilibet fuper eadem linea utrinq; pro-
tenfaconcurrentesfimulfumti funt xquales duobus

B ij rečlis«

Scbema

IL

Schema

i  Tiugonometul«

reclis. Vt, anguli B A D, E AB & E A G. concurrentes ad
■p unči um A,fuper linea G D, funt <equales duobm rechs G AE
& E A D. perfiruciuram.

XXI. Itaq;,fi obliqui duo fuper eadem linea utrinq;
protenfaconcurrant, alter eft alteriusadduos rectos
complem entum JI, anguli G A B. complementum adduos
reci o s cft angulm B A D. &hicillim uicifim.

XXII. Triangulum primd efllaterum quorundam
aequaiium uel omnium insequaliurn.

X XIII. Si Triangulum fit laterum quorundam jequa-
lium,perpendicularis a concurfu laterum 2equalium,
bifecat balin & angulum bafi oppofitum .• Etcontra.

Vi, In Triangulo latern £cttia-
lium AB&B C. perpedicula-
ris B D. bifecat bafi n A C. &
angulil bafi oppofitum ABC.
Bifecat bafm A C. cjuiafinon
bifecaret, fid caderet extra
meditipuniiti D. uerbigratia,

'inE.noneffetperpendicnlaris : puippenon breuifimainter
punchim B. & relitam A C. Bifecat etiam angulum bafi oppo-
fitiim AB C. & ems menfuram A F C. cpuia angulifimt ut la  -
ter a,p er s. hitim.

XXIV. Triangulum laterum quorundamaequalium
ef!requicrurum uelasquilaterum.

XXV. Triangulum aequicrurum eff,quod duo tantum
habet latcra xqualia.

XXVI. Triangulum asquicrurum eflad balin aequi-
angulum, & contra: p er  /. h mm.

XXVII. Trian-

Liber Prim v s. s

XXVII. Triangulum xquilaterum (per excellentum
ita dt citim  J eft, quod omnia latera habet inuicem
•xqualia.

XXVIII. Triangulum cequilaterum ell: xquiangu-
lum,& contra: per j. huim.

XXIX. Triangulum deindeeft re&angulum uel obli-
quangulurn.

XXX. Triangulum re&angulum eft, quod ucl unurn
habet reftum.

XXXI. InTriangulis re&angulis fubtendensrečhun r
fpeciatim hypotenufa dicitur: includentia uero re- *
£him,perpendiculum & bafts: pro libitu. Vt in trian- Crj - ma
guliš ABC & D E F, latera A B dt D E. fant hjpotenufa: i rlmtlm
tB C&E F.perc/endiciila: AC&D F. bafes: uel contra. AC

dt D F. perpendicuLi :B C d)’’ E F. bafes.

XXXII. Triangulumobliquangulumeft, quodom-
ji es angulos habet obliquos.

XXXIII. Triangulum obliquangulum, eftuelobtu-
fangulum uel acutangulum.

XXXI  V. Triangulum obtufangulum eft, quoduel
unum habet obtufum.

XXXV. Triangulum acutangulum eft, quod omnes
angulos habet acutos.

XXX VI. Triangulum denique eftplanum,uelfphxri-
cum: planum.in piano: fphxricum,in globo.

XXXVII. Trianguli plani fub Trigonometriam ca-
; d e n tis la t er a Tun 11 an t u m 1  i n esc r e cte.

. De Ime is reciis ad Trigonometriam reci e intclligendam
pranojje oportet ca epu&Jecjutintur theoremata:

B iij XXXVIII. Si

g  Triconometrii

XXXVIII. Silinearcčlain rettas parallelas incidat,
angulos fimiles fimiliterq, aut alternatim fitos facit
sequales: & contra.Vtfi rečia A B. incidat in parallelas CD.

Schema

IK

& E F. angulosfmilesfmilit er <p,ftos B HD & BGF,  item
alternatimfitos CHG & H G F, & c. facit aauales. Et contra:
Si rečia A B. in rc etos CD & E F. incidcns,pradičlos angu-
losfimilesfimiliteraut alternatimfitos,hoc eft, acutos ac;.-
tis, & obtufos obtuftsfacit <equales, reci a CD & E F.funtpa-
rallela. Eft 2p. primi Euclidis. Lucern habetnaturalem.
Na,f AB. rečia eft,rečia CD & E F.spualiter inter fedifiare
no pojfunt,mft ad rečlam A B. aqualtbtts angulis inclincntur.
Hinc,fipluresre£txin eandem rečlam fint perpendi-
culares,funt inuicem parallehe. Vt rečia CD & E F. funt
in vicemparallela, cpuia funt in eandem rečlam D F. perpen-
diculares.

XXXIX. Si pluresre£lxpluribus rečlis paraileiisin-
terfecenturfinterfegmentafunt proportionalia. Verbi
gratia, Si dua recite AB&AC.  interfecenturparaileiis D G.

EH.&

Liber Primvs. 7

EH. & BI: dico interfegmenta AE & A F.JinriUterfe E B.
dr EC. effeinterfefeproportionalia/oce/l, Si A E./A terca
par s reci a AB. etiam A F.fere tertiam par tem reti a AC, dre.
Ratio e/t: quia reci a E H. de toto Jbatio D G IB. abfcmdit

Schema

V.

p ar tem tertiam.Ergo etiam defmgidis line isper totum ijlttd
/p at mm duel is.

Hinc parallelae parallelis terminata; fant aeqitdles> Sc
contra : utparaileU A F & G H. terminataparaUelis A G &
F H. funt Apiales. Cum enim tota AC.& GI. fmt aipuales:
etiam p ar te s tertias A F dr G H. aquales e/e nece/fe e/t.

XL. Si duxrečtein fe mutuo ducantur, efficitur indc
quadrangulum recianguium : Vt/i dua reti a AB dr AD.
infe mutuo ducantur, effcit ur A £

inde cpuadrangulum A B CD.

Cupdfi er go A B.fit (puincpue pe-
dum, AD.fex totum cpitadrangu-
lum ABCD: er it triginta pe-
dum cpuadratornm, ut apparet
ex lineis in diagramrnate pun-
Batis.

.r



Schema:

vi.

X LI. Re&ara-

''8  Trigonometrije

XLI. Re&angulae tota una 6c fegmentis alterius,
fimulfumta,funtasqualia re&angulo ex utraqV tota.
Vt-,reclangula ex tota, A D. 6. &  / , f B

fegmentis AG. 3.&GB. 2.nem-
pe rectangula AGFD. 18. &

Schema FGBC.12.fmul fumta funt  j
VIL ttaualia. reciangulo A B CD. 30. d  W
ftcto ex utrite}, tota A D. d. &

A B.  /.


XLII. Siquatuor re£te fint proportionales ( hocef,
fjehabeant, utprima adfecundam, it a tertia ad quartam)
rečtangulum mediarum sequatur redangulo extre-
rnaru m. Vtf fint tpuatuorproportionales A B. duorum : E F.
trium: F G. fex :BC. nouempedam: Reciangulum mediarum

Schema

VIII.

A-
■e -
F-

•z-

S

A

t-

1

or¬

is

£

IS- V

c

EF.&

Liber Primv  s. P

FF&FG.  nempcreciangulumFF G H. ajuaturrečlangu-
lo extremanm A B &B C. nempe reliangulo A'B C D. Nam
utbisnouemfuntoclodech-n :itaterfexfuntoclodecim.

I. Siquatuorrečtasfinthinc proportlonales, datis tri-
bus,datqr quarta. Re&angulual eniinmediarum di-
uifura per extremarum alteram,relinqnit alteram: Vt,

fi dicatur.

2 -j '—- 6 -— p

ReHangulum faSltim ex 3. & O.nempe 18. dimfimperex-
tremam pr imam, 2. relinquit cxtremam uit imam, p.&c.
At p, haceft ratio, carin regulaproportionum, quam barbare
uocant Regulam D etri : dno poferiores termini inter fefe
multipliceritnr, &producimn diuidatur perprimum: quia
uidelicet pr o duel um multiplicationisfecundi & iertij termi¬
ni, eft etiam produllum multiplicationis primi & epuarti:
diuifum itaq r perprimum, relinquit epu.artum. Nam diuifio &
mnltiplicatio mutuo fefe produnt. Nihil auteminteref ad
praxin,utrum terminorum mediorumficundo uel tertio loco
po n as. Sine enim di c as:  .

Vt 2. ad 3. it a ad - &c. sine

Vt 2. ad 6. it a 3. ad - fc.

Ftfi alia in priore,alia in pofteriorecollocatione termini primi
adficundum, & iertij adquartum eft proportio: quaftum
tamen ex utraq ?  collocatione reperies pr orf s idem: quiape-
rinde eflfue tria perfex,fiuefexper tria miiltiplices: &c.

Hi ne e dani

II. ReCranguIaaequalialatera habent reciproce pro-
portionalia. (hocefi, In reclangulišaquahbus, habentfefe,

C ut lat us

Schema

JX.

io Trigonometrij

ut latus minus recianguli primi ad latus minusJecun d', it*
lat us maitis rečianguhfcctmdi ad Ut us maiuspr mi)  & cort-
tra: Verbi gr ati *, in reclangulis acjualibus ABCD.  &
E F G H. habentfeje:

Vt, A 3 ad E F it a F G ad BC, &c.

6

A -

i-

T -

B-


&

3 -


Schem.t

VUL

■M-

Caufa cjl mamfejla ex antecedentibuf.

XLIII. Si tres rečfx fint proportionales (hocefl, Jife
habeant, ut pr ima adfecundam, it a fecunda ad tertiam )
<quadratum medije,xquatur oblongo extremaranU
£)uia enim rnedia bispomturjioc moda:

rt a  —^°

ad c  —^-- °

it a c  — - °

ad E — S. -- r.

Eerinck

LiberFiumvs. ti

Terinde efl,ticfi ejjent ejuatmr proportionales. ide o quicquid
de quatuor proportionalibus dičtum fuit,detribus quog s pro-
portionalibus eji intelligendum.

'XLIV. Sire&a bife&a continuetur,oblongum con«
tinuatse&continuationis eft xquale quadrato rcQ:x
ex bifegmento Sc continuatione compoIitx: minus
quadrato bifegmenti. 6. p 2 .Eudid.
liji o reci a A K. bife el a
in G. & continuAtA in B.
continuAtioni K B. fla-
ttutur ttcjuidis B C. At ep
indejiAt oblongum AB
CD. Ad rech.m porro
GB. compofitam ex bi¬
fegmento G K. & conti¬
nuatione KB. defcribA-
tur quadratum G B E F.

(J ex eo quadrato per
reci as K L & G H. ab-
fcindatnr quadratum
bifegmenti IL F H, ut
relinpuAtur gnomon

Schema

X.

AB CD. ejfe &quale

epudrato GB E F. minus quadrato IL F H. Jiue,quodidem
eJl,dtco oblongum ABCD. efe&quale gnomoni Al N O. Spa-
cut enim Al. & N. funt communia.SpAcium uerognomonis 0.
f uereEiangulum ICEL. ejl muale re&angulo GHDA.
Vtriimcfo enim ficlum eji ex continuatione & bifegmento.

C ij Ergo

n Tri g on o met rite

Ergofi  reci  a . bife  el  a  contimetur ,& c . quod  demonfrandum
er  cit .

Atcp  h  ne  de  Uneis  rectis , temtpam  de  lateribus  triangulortim
planorum , huc  inferenda  duximus . Nune  adipja  trianglih
■plana  reuertemur .

XLV. In triangulo piano parallela bafi*crurafecat
proportionaliten

i> c

B C 1

Vt , in  triangulo  piano  ABC . Ji  K  L . parallela  bafiB  C . abjcin -
dat  de  crure  A  C . p  ar  tem  tertiam : etiam  de  er  ure  A  B.p  ar  tem
tertiam  abfcindet,per  3  p . huius : adebtp  emnt :

X L V L Si plura triangula plana comparentur:
Triangvia JE  q_v iangvlaHaeent L a t e r a
Circa /Ec^vales Angvlos Proportiona^
L1 a  : & contra 4.p. 6. Euclid.

Ho c theorema pr&cipuum ejl tothrs 'Trigonometrij fundet-
mentum. Tgitur pr n enter is canclis dihgenter & explicctur
& attendatur.

DECLAEA -

Liber. pr.imvs/

15

D E C L AR ATI Q. Sint er go dno trianglih plana, ABC.
dr A D E. aquiangula,fic ut anguli adB dr D. Item ad A&A.
Item ad C & E. fibi mutuofint &quales : Dico lateraeorum

DEMONSTRATIO.  Quia enim anguli B A C.&DAE.
funt &quales,ex thefi: ideoJlAB. ad AD. app lice tur, A C.
nece[Jario cadetin A E, dr ex tila app licatione tale Schema
exiftet. In qtto
fchemate, quia
lat er a A B &

A C. coincidunt >

Jr praterea an¬
guli ad B dr D.
item^adcdrE.
funt aquales-, ex
thefi: ideo Lite
ra reliqua B C dr TE. necefiario eruntparallela,per sS.huius.
Atqui in Triangulo piano reci a parallela bafi crura fecat gro-
portionaliter, p erproxime pračedčntem. Er go in Triangulo
AD E. reci a B C. cumfit parallela ha J  D E. crura A D. dr

C iij A E. fecat

Schema

XI.

Schema

XII.

14. Trigonometrij;

A E.Jecal proportionaliter ■: adeoq.

Vt, KB. ad  A D, ita K C. ad A E.
Torro.pcrpundum B. dne At ur recla BF. paraltela bafi A E.

Siue, quod idem ejl:

Vt, A B, ad A D, itn B C, ad DE.

Nam EE&BC. <aquanturp er confeclaritim j p. buius. Irjt-
tereacumjint:

Nam qiia uni tertio conueniunt, etiam inter fefe conueniunt,
Igitur iam in uniuerjum erunt:

proportionalium intermediorumfecundo ud tertio loco co/Io-
ces; Erunt etiamgermutatim:

Liber Primvs.  ij

I. Vt, AB, ad BC, ita A D, ud DE.

J L Vt, AB, ad AC, it a A D, ad A E.

III. Vt, A C, ad BC, it a A E, ad DE.

Attfc adeb Triangula -plana aquiangula, qualia hi cfunt ABC,
& A D E. lat er a habent circa aquales angulosproportionalia:
quod demonftrandum er at.

Illvstratio per numeros. Sitigitur AB. quinq :i pe-
dum: A D, decem : D E, fex. Ouaritur B C. quot p e dum f
^z.Trium. Nam

AD DE AB.

Vt 10 - ad - č. - ita -/.

(adj. B C.

Sit K C. quatuor pedum; B C, trium:DE,fex: Cuaritur
A£, quotpedum ?  5» Oclo. Nam,

BC CA DE

Vt---i - ad - 4 - ita - 6

2 * (ads. A E.

XLVII. Siplura Triangula planacomponantur, &
reftis parallelis interfecentur : interfegraenta funt
proportionalia: hocejl,fi(tterbi gratia) Triangula duo

E A F. &

Trigonometrij

16

EAF. & F
A G. cornpo-
natur & rečlis

Schema f ArA ^ el ^ F C-
rrr E, & E F G.

Air. r

tnterjecentur:
interfegmen-
tafunt:

Vt, B C, ud E F, it u CD ud F G:

Vel:

Vt, B C, ad CD. rtu E F ad F G: &c.

Ver 3 g. hums: uelperproximepracedentem. Nutn F'riangn-
U ABC. & A E F. funt Acpuiangula-, p er 3 S. h m us, pr op ter
BC&E F.parallelas. Tgitur,

Vt, A C ad A F, itst BC ad EF:

Terproximepracedentem. Atcpuipereandem :

Vt, A C ad A F, ita CD ad F G:

Gup uero conneniunt uni tertio,etiam interfefe conueniunt :
Er go funt etiam

Vt, BC ad E F, ita CD ad FG,&c.
XLVTII. SiTrianguli plani quodcunq;, latus conti-
nuetur 3 angulus exterior pcr continuationem illam
fa£lus,efl:a:qualisangulis duobus interioribus oppo-
iitis : VtfiT)rianguli plani ABC. latus A C continuetur in
D. angulus B CD. exterior,eYit sequaUs duobus interioribus
op p oftis B h. C. & ABC. Si enim expunčto C. fufiitetur re¬
či a CE.parallela rečhz A B. angulus exteriorB CD. eritcom-
poftus ex angulis E CD. &EC B. Atogui anguli E CD, &

ECE.

Liber Primvs.

t?

E C B. funt &qua-
lesdkobtis interi-

oribus oppofitis  / > ,

BAC. & ABC. j  \ / Schema.

(nempe angulus l \ / XV.

E CD. angulo BA
C: & angulus B C
E angulo ABC.)
p er 3 S. huius : pr op ter parallelas A B & C E. Er go etiam an¬
gulus B CD. ef<xqualisduobusinterionbusoppoftisB AC&

ABC. quod demonfirandum er at.

XLIX. InTriangulo piano tres angulifunt duobus
reclis xquales : Vt inTriangulopiano A B C, dicotres angu- .
los A B C, B A C, & A C B. ejfe aquales duobus reclis. Anguli Vide
enim quilibet fuper e adem reci a adidempuncium concurren- SchemA
tes, funt aquales duobus reclis, p er 2 o. huius. Atqui anguli XV
tres A B C. B C A. & B A C. aqui pollent angulis tribus fuper
eadern reci a A D : adidempunclurn  C. concurrentibus. An~
gulus enim BO, A efl communis: anguli uerb E CD & E CB.
angulis B A C & A B C funt aquales, p er proximepr&ceden-
tem. Er go anguli tres ABC, B CA &B A C. funt aquales
duobus reclis. gpuod demonfrandum er at.  Hinc:

I. InTriangulo piano nonpotefleflfe nifiunus redlus
uelobtufus.

II. Etunoeiificntere&ouelobtufo, caeteri duo ne-
celTarib funt acuti.

III. Et, duorum quorumcunq; tertius eftadduosrč-
ftos complementum.

I V. Hincdeniq;:Siduo Trianglih binis angulis finfc

D xqui«

J8 TRtGONOHETRli

Schemat

XVE

*qu!anguIa,prorfus funt aequianguia.

L. InTriangulo piano reOangulo, latera includentia
jrcčtum aeque pofTun t pemlt.primi Ettchd*

E

DECLARATIO. In Triangulopiano ABC reclangulo
adB. dico lat er a A B &B C. includentia recitira ABC. aque
poffe hypoteniife A C. hocejl, quadrata Ut er um A B dr B C.
nempequadrata A L MB.&B E B C.JhnulJumta,eJJe aqua~
lia quadrato hypotennfa,A C. nempe quadrato  A CKI.

DE MO NSTRATIO. Sienim ex reclo B. defcendat per-
pendicularisBFG. exquadrato ACKI. fiunt oblongaduo
A EGI & FCKG* qu&fimt ogrnita? hoc qmdem quadrato

BEDC:illnd

Liber Primvs. 19

BED C. Mud antem quadmto A L Mii. Er go & puadratum
A C K L ex duobus illis oblongis compofitum efi' aquale duobus
gua.dra.tis AL MB&BEGD.  jguod antem duo obiongA
AFG  I&  F  C KG. duobus qna.dra.tts A L MB  efi B E D G.
ftntaqualia,id dc fingidis m fpecie : ac primum quidem deob~
longo AFG I. Ji cprobatur:

Sit res reciaJint prcportionales, quadratum medu <tquatur
cblengo cxtremarum,per 4.3. huius.

A tquitres.redia, A  /, A B, efi A F, funt proportionales-, hoc
eji, ha bent (efi, ut A Iad A B,ita A B ad A F.

Er go quadratum ex A B, aquatur oblongo ex A I. ■& A F.
Mmorprobatur. Triangnla enim A BCefi B A F. funt aqui-
angula,propter communem ad A efi redlos ad B. dr F. p er 4,
c. 43- huius. Er go p er 4 6. huius , Vt A C. (cm &qualis efi Al.)
ad  A B. it a A B. ad A F.

Simili prorfis modo probatitr, oblongum F C KG. ejfi <equale
qnadrato BED G. Triangnla enim ABC&B  C F,funt &qui~
angula,propter communem ad C. efi redi o s adB efi F. p er 4. c.
43. huius. Er go p er 4 d. huius, VtACadB  C it a B Gad F C.
adeorj, per 43. h ni m, q tt a dr at um ex B C. efi aqmle oblongo ex
. KCfiueKC&FG

In triangtdo igitarpiano reciangulo lat era includentia rediti
stquepojfunt hjpotenufik. gfiuod demonfirandum er at.

Confečlarium:

IgiturinTriangulo piano re&angulo, d-atislateribus
quibuscunq; duobus, daturtertium, Vtfidentur duo
lat er a includentia redi um AB&BC.  part mm 3, efi 4. iun-
čiis e or um quadratis p. efi 16. in unamjiimmam  2/. efi radice
ittde extradia,reperietur hypotentifa A C. partiumj.

D ij Contra.

20 Trigonometrije

Contraji detur hppotenuja partium quinq :  & alterum inclu-
dentium redlum, partium tritim, Jubtradlo qtia.dra.lo trium
partiumde qua.dra.to quinpppartium: bocejl,Jhbtracfo qua-
drato p. de quadrato 2 f. gr exrejidtto 16. extračla radice
quadrata, reperietur alterum includentium rechirn, partiu, 4.

Scholia de extra£lioneradicis quadratae.

1. Stpojl extraclam radicem quadratam ex aliquo numero
Jračliones alipu.efuperfuerint,radicem duplicatam dr injuper
umtate auctam Jr a clionih us illis Jubnotabts: hocmodo:

IT. Radix,quahuittsmodifiačliones adiunclac hahet, nuntj
ejl exa£le uera. Nam radix exacte uera infe ipfam duela, nu~
merum unde extracla eft,ad ajfem reddere debet. Atquijira¬
dicem 3 L in feipfam ducds,hoc ejl, Ji 3 T p er 3 ~ multiplices,
no n procreabis in de numerum 12. unde radix 3 Teji extračia,
fedtantum  // Quadere uideRamum inelementis Geo-
metricis, element o o dlan o libri XII.  Et Lazantm Schonerum
infcholijs dr trači at ib m a d Arithmeticam Rami adiunclis.

LI.  InTriangulo piano reGanguIo,Iateraincludentia
re£iumadhypotenufam plerumq; funt irrationalia,
hoc efl,numero exa£lodatxmenfiirx cuiuscunq; in-
cxplicabilia. Caufapatetex Scholio fecundo proximepra-
cedentis.

LIL  InTriangulo piano rettangulo, acutorum alter
efl alterius eomplementum. P er 49. huius. Facilime
etiamprobatur hocmodo -.InTriangulo piano A B C, rečlan-
gulo ad C. angultts ABC. acutorum alter, ejl aqualis angulo

BAEper

21

B A E. per 38.
propter parallelas E A
(jr B C. Atqui angulus
E A Befl complementii
anguliBAC per firu-
cltiram. Er go etiam an-
gulus A B C. ejlcomple -
mentum anguli BAC.

Liber Primvs.

httius:

LIH. SiTrSanguIum planumcirculo fit infcriptum'
anguli ad circumferentias oppofitas funt fubduoli •
Vt,(i in circulo ABC. cir-  *

cumferentia B C fit 120.
graduum. Angulus BAC.
circumferentia B C.oppo-
fit im  er it o 0. graduum.

Ratio eft:

Jpuj.a circumferentia to-
taAB Cefij 6 0. gr aduti,
per 7. huim. Anguli uero
tres trianguliABCCir-
culo infiripti fimt 180.
graduum per 49. httius.

Ergo ut circumferentia  3»

qtt£tfe efitertia p ar s de 3 (Bo: it a artgulus cpuilihet circumfe¬
rentia illi oppofitas efi tertia par s de 180.

D iij

Euiclentim

Schema

XVIL

SchemA

XVIIL

« Tri G ONO METRIKE

Euidentius ita demonJlratur,v. g. de angulo A E C. Exan~
grdo diet o A B C dne at urp er totum Circuitplanum Diameter
BED.  Excentrouero E.
ad circumferentiam AB
• t  CD. ducantur duo radij

E A & E C. Dico angulos
partiales ABD. & DBC.

Schema effefubduplos ad angulos
XVIII. paHiales A ED & DEC.

Namanguli AB E &BA
Encpuantur per j. huius.

Angulus nero A ED
aaualis e(l angulis A B E.

&BAE.  ftmui fumtdj
per 4- S. huim. Er goan¬
gulus A E D. ad angulum ABD.  e(l dupltts. Smithe/,  A n guli
EB C dvE C B.funt agualesper  /. buhti.Et h is ut ris p (imul e ji
etcpualis angutmDEC. per 4S.b11hts.Ergo etiam angulns DEC
ad angulum DBC.eJl duplus.Duia igittir partes anguli AEC
adpartes anguli ABCfunt dupla: ide o etiamtotus A EC ad
totum ABC. ejl duplus: acpromde angultts AB C. a dan gulit
AEC & per confecjuens etiam ad ar ciim A D C. taneguam ad
tnenfhram anguli AEC.  ejlfubduplm. idemiudiciumefi'de
enter is. Si er go Triangulum planum Circulo fit inferiptum,
anguli ad circumferentias oppojitas Jimt Jhbdupli : quod de-
rnonftrandum er at.  H i n c

I. Siiatus Trianguli plani circulo inferipti fit diame¬
ter, angulus illi oppofitus eft re&us: boe ejl, p o. gr aduti:
rpuippe oppojitusfemicirculo, opni ejl 1S o. graduum.

II Si

Liber prim vs. 23

U* Si pl ura Triangula piana eidemcirculi fegmcnto
ad eandem baiin inicribantur, funtin faftigijs a;qui-
angula. Vt Triangu-  ^

la duo ABD & A C
T>. infcripta eidem
Circulifegmento A B >  v Schema

CD .ad eandem bafin j t  \ XIX.

A D. funt in fafiigtfs
B & C aquiangula. ^'

Vtrifo enim angulo,
nempe, tam angulo
A C D. quam angulo
ABD,  opponitur ea-
dcm circumferentia
AD.

LIV. Si duo Triangula plana eidem circuli fegmenfo
ad eandem bafin infcripta, fuperne connečlantur: ftc
utindeexiftat figura quadrilatera, diagonijs iffterfe-
čla: Reflangulum diagoniorum cft tequale reclangu-
iis oppofttorumlaterumfimulfiimtis. Ptolomaus,Co~

pernicus.

D E C L AR AT 10. Sint duo triangula ABD & A C D.
eidem circulifegmento A B C D.fuper eandem bafin AD. in¬
fcripta, & fuperneperrettam B  C. totmexa: ut exifiat inde
figura cfuadnlatera A B CD. Dico reSlangulum diagoniorum
AC&B  D. aquale effe rectangulis oppofitorum lat er um A B
C D. Item B  C & A D.fimulfiimtts.

D E Al 0 A S TRATI  0. Si enim adptinclurn B confiituas

angulum

24 Trigonometrije

mgulu  A B E. <xqua-
lem angulo D B G. &
ita diagonium A  G.
per reciam BE.feces
m dtias partes ad
Schemti -puncium E. manife-
XX. Jlumfet: rectangula

BD & EC. ItemBD ^

& A E. ejfe &qualia
r e elan guliš B C &

A D. Item CD &

AB. Nam,Jt quatuor
retia fint proportio-
nales, rešangulum mediarum nquatur reclangulo extre~
maramp er 42. huius.

Atqui quatuor reci a BD,D A,B C&C E.funt prop ort iona-
les. Nam, quia Triangula AB D Jr B C E.funt &quiangula
pr op ter aquales B C A & B D A. p er c. 2. pracedentis, Item
pr op ter aquales ABD&EB  C. (qui funt &quales pr op ter
eundem E B D. additum adaquales AB E & DBG.)  &de-
nifapropter <zquales B EC & B A D.per c.4.4.9. huius.ideo la~
ter a eorumfunt, Vt, BDadD  A, it a B Cad C E. Similiter
quatuor rechs. B D, D C, B A, (J A E,funtpreportionales.
Nam, quia Triangula B D  C & B A E. funt <aquiangulaprop-
teraquales BDC& BAE.perc. ž.pracedentis : Itempropter
<zqualesD B C & AB E. exthef: dl denip, p rop ter aquales
BCD&B EA.p  er c. 4. p. 49. huim.ide o lat era eorumfnt t
Vt B D. ad D J. it a B A ad A E.

Er go rcclangulum redar um D A&B C. aauatur retlmguls

reclarum

Libe r Primvs.

ar

reči ar tim B D dr C E: Sirnilitern. rečfangulum re&arum D C
dr B A. d^mtar rečiungulo reti ar im BD&AE.  El contra,
P.ečiangula B D. dr C E, Item BD&AE.  aopuatur rečtangu-
lis D A & B C, item D C & B A.

Atqui,rečiangiila B D & C E: Item B D dr A E funt r c član-
g dum B D <& A C. g er 41. h ume.

Er go Rečtangulum diagomorum B D &  A C. e ji apuale re¬
či angu Us lat er um binorum oppofitorum DA dr B C: Item
D C & B A.fimulfumtis: quod demonftrandum er at.

Hačiemts de 'Triangulisplanis feo/uitur de fpharicis.

L V. Trianguli fphserici laterafunt arcus circulorum
maximorum figillatim quadrantibus minores.

L VI. Circuius fphter# maximus eft, qui totamfphse-
raminduo hemifphacria dividit: adeoq; apolisfuis
undiq; per quadrantem circuli itidem maximi diftar.
L V11. Si maximus fphseras circuius per raaximi polos
tranfeat,re£Ie eum fecat 3  &: contra.

Sit m.ixim us Jphara
circuius A E C, eiuscp
poli B & D. per mio s
polos B & D. tranfe-
at ali us circuius mx -
xir/ms BED.  Dico ,
cpUod. mauimus B ED.
maximiim A EC. re¬
čic fecet ad, E dr F.

Polo enim E uel F. de-
fcrib a tur circuius iti-
demaximus AB CD.

B

Schemu

XXI.

E rnamfeflum

2  6

Trigonometrij

manifefum efl huim ar cm A B. B C. C D. D A. far e menfuras
angidorum adE & F. per 6. hitim. Atqui ar cu-s AB, BC, CD,
DA,fnt qftadra»tes,perproximepracedentem. Er go angu-
U adE & F. ftntrečli, per ij.  huim. Cuod demonflran-
dum er ut.

L VIII.  Menfuraangulifphaerici, fiincirculo maxi*
mo accipiatur. eftarcus Circuli maximi exangulari
punclo ddcripti, inter crura quadrante tenus conti-
nuata intercep tus: per./.&s<f. huim. Vt, angtdifphanci
B A C. menfkra non
efi ar cm B C. fed ar cm
E F. inter crura A B
(jr A C. pnadrantete-
Schema tim, nempe m gad E
XXII. & F' continmta in¬
terceptm. £>uia non
ar cm B C, fed arcm.

E F. e Ji ex angulari
puncio A defcriptm.
per s d. huim. Er go
arcm B C. anguli BAC

O

menfura ejfe non po-
teft. per j. huim.

LIX. Si anguli fphxrici crura contiriuata concur-
rant/cmicirculos efficiunt:, & comprehendunt angu-
lum angulo prcedi&o & oppofito a;qualem r Ft, Anguli
bac crura  a b dr a c. continuata in  d. efficiunt femhirculos
A B D dr A c D, & comprehendunt angtdum  B D c. angulo

bac . atpua-

Liber Primvs»

17

B A c. aqualem: quia idem ar cm  c H ut nimfo illum angulum
metitur,per proxime pr&cedentem.

LX. Triangulum fphazricum quodlibetexquouisan-
gulari punQo habet oppcfitum fibi Triangulum ali-
ud, cuius bafis efleadem, &angulus bafioppofitus:
reliqu#partes, fant partiura prioris Trianguli com-
plementa. Vt, Triangulum  e a  c. cx pinci o angulari a  ha¬
bet oppoftumfibi 'Triangulum  b D c. cuim eadem ejl bafis  b c.
(J angulu-s bafi oppoftm  b D c. perproxime antecedentem.
Lat er a uero  b d &  c v>. funt lat er um  A B dr A c. complemen-
ta ad femicirculumper eandem.Angnh denifo  D B c dr D c B.
ngulorum  a b c dr
■. huim.

LXI. Trianguli fphairici laterain angulos, 8ccontra,
permutaripoffunt: complemcntis ad femicirculum
pro latere & angulo maximo hincindefumtis.*S/>7n-
angulum fpharicum A B C. obtufangulum ad B. Anguli A.
menfirafit D E. Anguli B. acuti (qui complementum efl B.
ob tuf, & in dat o Triangulo maximi) menfurafit F G. Anguli
C. menfura fit HI. Areni D E. aquatur K L: quia KD & LE.
funt quadrantes & commune eorum complementum efl L D.

E ij Areni

b  c a. ad duos redtos complementa

Schema

XXIV.

z S Trigonometrij

Areni F G. <equatur L M: quia L G & F M. funt quadrantes
& commune eorum
complemcntum ejl
LF. Areni HI. aq.na¬
tur KM. cudsa. KI
& M H. funt qua-
drantes, & commu-
ne eorum eompleme-
tjimeft K H. Ergo F
angulis Triangali
ABC. <eqnantur la~
terecTnanguli KLAI
pro angulo maximo
ABC. eius comple-
mento F B G. ajjumto.

Panrat ionedemon [Iraripotef,T'iangidi ABC. latera ejfe
aqualia angulis Trianguli K L M. Latus enim  A C. aquatur
ur eni DI. menjura anguli OKI.  complementiobtufi M K L.
Lat us A B. aquatur areui O P. menfttra anguli Al L K. Lat us
de ni ep B C. <£ quat ur areui F H. menfura anguli L Al K. Sunt
enim quadrantes AD & CI. A P & O B,B F & C Hi Et com~
munixbinoriimco?nplementa CD, A O, C F. Trianguli igi-
iurfph&rici latera 'm angulos,&c. permutari poffunt, quod
demonfrandum er at.

LXII. Triangulum fphcericumre&angulum autunu
habetreOum,autplures uno.

LXIII. Vnumreftum, vel cumcluobus acutis, Vt,
B A C. ueleum duobus obtuliSjVtBD C. ueleum ob-
tufo Sc acutOj Vt C D E:

Kngulos

Liber Primvs.

29

)

Schema.

XXIII.

Jngtilos enim adA&D.  nune fingimm ejfe reči o s.

LXI V. Triangulum fphasriciun refhmgulum cum
duobusacutishabetexangulo re&o oppofitum fibi
Triangulum re&angulumcum duobus obtufis : &
contra: VtuidereefiinTrUnguUsrelUngulisv,  a c.  d^BDC.
LX V. Trianguli fphaerici reftanguli cum duobus
acutis latera fingula funt quadrantibusminora, Vtin
ABC.

LX VI. Trianguli fpharrici re&anguli cum duobus-
obtufis latera duo funt quadrantibus maiora :tertium
quadrantc minus. Vtin  BDC.

LX VIL Triangulofphacrico rečtangulo cumacuto
& obtufo opponiturexacuto Triangulum re&angu-
ium cum duobus acutis. Vt Triangulo .reBangulo  c d e.
cum Aciito  ECD.d" obtufo c  E d. opponitur Tndngulum re-
Bangulum  e D F. cum duobus acutis ad e  fr  f.

LXVIII. Trianguli fphatrici plures re&os habentis,
latera reflos fubtendentiafunt quadrantes. Gaufaefl:
auia v. g. in Tmngulo  a g  ir, fi circuli maximi  a g &  a h.
fecent m.iximum  g h. ungulisad G &  h rectis,  a ejl pol us mu-
ximi  g n.per  /7. huius.  a g. uefo &  a h funt qfudrantes.

X iij p er s I.

30 Tri c dnom etri.«

p er s S. haitis. Quod (i er go angulm ad  A. etiamfit redim, etia
g  H. eft cpuadrans,per s 8 . dri s- buim.
y;^ e  L XIX. Triangulum (bhsencum plurcs reclos habens,

SchemA  habet tres uel duos rečtos; adeocp de lateribus, tres
XXIII.  uelduos quadrantes. Vtfiangulum ad a ponos rečlum,
Triangulum fplhtricum  a g H. babcbit tres reclos angulos ad
a,  g &  h. & idcirco etiam tria latera,  a g, G H, a h. qua-
drantes. Sin eundem ad Aponas acutum,Triangulumfpbari-
cum  a h G. babebit duos reclos, ad G dr M, dr idcirco etiam
duo latera  a g dr a  h. quadrantes.

L XX- SiTriangulifphiEri.ci duos re&os habentis ter-
tiusangulus fitacutus, tertium latus eftquadrantc
minus : fm obtufus.maius. VtinTriangulofpharico  hgi.

SchemA

XXIII.

acutangulo ad  g. tertium lat m  h i. eft quadrante minus. In
Triangulofpharico ag\.  obtufangido ad  g. tertium latus A I.
eft quadrante maius.

L XXI. Triangulumfphaericum obliquangulumaut
conftatexpuris acutisuel obtufis: autexhisutrisq;
mixtis.

LXXII. Triangulofphaerico pureacutangulo oppo-
niturTriangulum fphsericum cum duobus obtufis 6c
.. uno

Liber Prim vsr. 31

n n o acuto: & contra .Vt,fi anguh ad k &  d fingantar acu¬
ti,Triangtdo  abc. pure acutangulo oppomtur Triangulum
B D c. cum duobus obtujis ad  b &  c. & uno acuto ad  d.

LXXIII. Triangulofphsericopure obtufangulo op-
ponitur Triangulum fphcericum cum duobus acutis
& uno obtufo : 6c contra. Vt,fianguliad a &t> fingantar
cbttifi, Triangtdopure obtufangulo  b D c. oppomtur Triangu-
lum  a B c. cum duobus acutis ad  b &  c. dr uno obtufo ad  a.
LXXIIII. Trianguli fphaerici cuiuscunqi, tresangu-
li funt duobus reflis maiores.

De Triangidisfpharicis plures uno rečtos uelobtuJos,Jiuefolos
fiue mixtos,habentibns: res p erfe efi manifejla.

D e Triangidis Jpbaricčs duonmueltrium-acutorum, itade-
monjlraripoteft.

InTriangido Jpharico duorum acutorum A B C. reclangulo
ad C. acutangulo ad A &B. menjura acuti BAC.eJl ar cm  E F.
menjtira uero acuti A B CuelD B E. nonejl arcttsDEJed H L
per s S. h um. At pni
ar c us E F dr D E pua-
drantem complent.

Er go ar cm E F dr H L
comuniiim prndran-
te funt maiores. Et
per confepuens etiam
anguh his arcubmre-
Jpondentes, nempe ,
anguli B A C dr ABC.
coniunctim pnadran-
te, hocejl, anguh re¬
di ofant

Schema,

XXII.

52 Tricon o"M etri*

Ih funt maiores. A C E. uerb eft rečlus,ex thefi. Ergo in Tri-
angulo fpharico duorum acutorum A CB. tres funt a n guli
duobus reci is maiores.

In Triangulo Spharico mere acutangulo K L M. menfura acu-
tiadL. ejl ar ch-s N O. menfura acutiad K. ejl arcus VX. men¬
fura 'dcuti ad M. ejl arcus <fR. Atqui hi tres arcus, N O, VX,
& JfR, (imiil jiimti duobus quadrantibus funt maiores .
Duorum enim ar-
cuum ffR.  &VX.
complementa P V.

& P fmul
Schema fimta funt mino-
XXV. ra quam arcus
N O. p er flručlu-
ram. Ergo arcus
HO. menfura ter-
tijanguli eflma-
ior quam comple-
rnenta rcltguorn
duorum angulorum fmul fumta. Et per confeqtiens ctiam
angulustertius eft maior,quampro reliqnorum duorum com¬
ple mentis. Adcofoeliam in Triangulisfpharicis mere acutan-
gulis tres-funt duobus reclis maiores. Subtiliorem demonfra-
t ione m uide apud Regiomon. 49 -p- 3.

EARTHOLO-

n

BARTHOLO-

ni sei Pitifci Grunbergenfis

TRIGONOMETRIJ
Liber Secvnd v s.

De neceffarijs addimenjionem Triangulorum tabulis
Sinuum, Tangent mm &'fečantium.

I. Triangula ficfunt. DimefioTrianguloruefligno-

toruminTriangulisfiuelaterumfiue angulorum, ex
notis tnhusfiue lateribus fiueangulis., fiue puris fiuc
mixtis, in uentio. Dicitur etiamfolutio Triangulorum ; it e
caladusTriangtdorum.  .*

(Suni in Triangulis frater angulos lat era, etiam are*. Šedittarunt
dimenjeo necj, Triangulorum efl fr oprta. Nam (£ altarum cjuarumcunifo
fgurarum areat. mettmur.Neop,primi Trianguliiinejl : Jed rt quadrangut
lu ad Triangula dertiiatur. Ideo huc noripercmct.)

II. Dimenfio Triangulorum perficitur per aureani
Arithmeticxregulam: quxdocet de quatuor numeris
inter fefe proportionalibus, datis tribus quibuscunq;,
reperire quartum.

III. Ergo ad dimenfionem Triangulorum & propor-
tiones omnium Trianguli partium inter fefe certas,
& easdem numero explicatas eiTe oportet.

IV. Proportiones omnium; Trianguli partium inter

fefe certx efle n on pofltuit: nifi 5 quicquid eft in Trian-
gulis curuilineum: (ut funt in uniuerfis.,menfurxan-
gulorum,6c in fphxricis etiam latera ) ad lineas re&as
redu ca t ur. Nam c.ur u T, n c qj ad curuum neq; ad redkim
., , ‘ F'  inuenta

34

Trigonometrij

inuenta eft hucufqj proportio: nGqjfbrtaffis imienie-*
turunquam.

V. Curuxlinexadre£VasrediTCtmturper dcfinitione
quantitatis, quamhabeant redbead ckculum appli-
cata^refpečfu radij.

VI. ReČbe ad circulum applicatx funt fin us, tum re-
&i tum uerfi: linex itern tangentes & fecantes.

VII. Sinus rečfuseft femiffis fubtenfe dupli arcus.
Vtfimm rccfus arcu-s B CuetB Gefil reci'a B E,fiemifiiffiubten~
fikduplictrcmB C u elB G. hocefilfiemifiisrečlaBED, qu£ar-
ctirn B CD uel B G Dfiubtendit. Sicfinm redim a. rc m B Fuel
B H. efil reci a  BK. quippefemifiis reči a B KI. qu& duplurn ar-
mm B F ud B H, nempe areum B F luelB H ifihbtendit*

H

■ Confiečlarht.

I- Sinus ergo re&us arcus quadrantc minoris & ma-

4  ioris

Schemu

XXFI.

Liber Secvndv^. sj.

ioris usq; a d femicirculum efl idem. T r t, ftnus reclusar -
tns B  C č?EG. efteadem reci a. B E quippefemifis reci a  BED f
■qux tam arcnm BGD quam arcum B C D.Jubtendit.

2.  Acproinde finus rečtus complementi quandocuqs
dicitur: intelligitur tantum finus rečtus complemen-
tiarcus quadranteminoris. Vt,ftnusredimcomplementi
B Cnempe ar cm  B E eft reci a B K.

3. Sinus re&us omnis eft in diametrum ex altero arcus
termine dufitam perpendicularis. gitiia eniminTrian-
gulo A B D. lat eram upualium AB & A D. femidiameter
A C, a concurfu lat enim apualium duela , bifecat bafin B D,,
ad E. per dejinitionem finus recli: ideo eft in eamperpendicu¬
laris : & hac vicifim m illam,per 2 3. p. 1.

4. Sinus rečtus complementi eft asquaiis fegmento
diametri fiue radij interfinumrečtum arcus &.centru
in tercepti. Vt, ftnus rectus complementi B F. nempe recla
B K.eftnqualisrecln E A. per c. 3p.p, 1.

Vlil. Sinusuerfus eft fegmentum diametri interfi-
nura re£tum & cireumferentiam 'mtcvccptum.Vt,finus
uerfus arcus B Ceftfegmentum diametri E C. ftnus uerfus ar~
cus B G eft fegmentum diametri G E.

Er gofinus uerfus alius eft maior,alius minor.

Sinus uerfus maior, eft finus uerfus arcus quadrante maiork :
ut GE.

Sinus uerfus minor eft ftnus uerfus arcus quadrante minor is:
ut E C.  *•

IX. Tangens eft re£ta a fecante per alterum arcus ter-
ininum dučtain extremitatem diametri ad alterum
arcus terminum perpendicularis. Vt arcus BC tangens eft
teHaLC.  F ij X. Secans

36  Trigonometrije

X. Secansreflrečhiper alterum arcus terminum usq 7 ;
ad fummitatem tangentis duela. Ftarcus B Cfecans efi
reci & AL.

XI. Dcfinitio quantitatiSj quam habentredias ad cir-
culumapplicatx.,refpeti:uradij, efi: conftručlio tabu-
larumfinuum, Tangentium, <kSccantium. liheticus
tab it las Mas uocat Canonem dočtrina Tnangulormn. Etfinus
quidem rediosuocatperpendicula & bafes pr imaferiei. Sinus,
uero uerfos omittit. Tangentes demq, & Secantes uocat, Mat
cf iti dem perpendicula ant bafes, h as ltero hypotennfas,fecund.t
& ter tis. feriei.

XTI. Tabube finuum rečforum fimpliciterfuntne-
cedaricE: cxterx non item. Namfine tabulisfinuum re i
čl or ti Triangitlum nullumjolm potefl :per ipfasautem omma
folui poffunt. Ititfe c at er a fabula non nifi compendiorum gra-
tiafunt imtenta.-

XIII. Tabulae finuum redlorum,Tangentium item St
Secantium, non ulterius extenduntur, quam ufq;ad
q uadran tem. Nam ar čutim quadrante maiorumfmiis rečli
iidem funt, etui minorttm:p er  7. huius. Tingentes uero &' Se~
cantes arenam qnadrante maiorum efifie nulU poffunt. p er p.
& 10. huius.

XIV. Tabufefinuum uerforum. usq; ad femicircu-
lum extendi poffunt. Nam alius eflfinusuerfusarcusqua-
dranieminoris,alius efifinus uerfus arcus quadrante maioris:
p er očlaucfin huius.

XV. Tabulas Sinuum Tangentium & Secantium uul-
go conflruunturad fingulafcrupula prima. Rheticus
confiruxitaddecadesfcrupulorumfecundoruni. .

1‘ XVI. Ad

I; I B F. R' S E C V1\ D V sr 57

‘XVI. Adconftrudlionem tabularum Sihuura, Tan-
'gentium& Secantium,ante omnia radius certarum
partium eflaflumendus.

XVII. Quarumcunq;partium radius affumatur, Si¬
nus, Tangentes & Secantesadeumfere omnesfunt
irrationales,hoc efl, numero partium integrarum uel
eciam fra&ionum prxciseueraruminexpltcabilcs.per
ji. p. i. Itaq; tabulae Sinuum,Tangentium & Secanti-
iim exa£Ice dari nullo modo poffiinuTalcs autem dari
& poilunt&debent, inquibus nullus numerus abfit
aueroper integram earum partium quarum radius
eft afTumtus. Vtfi radiusfitajfiumtuspartium centiesmille,
ut in no (Iris tabulis \ nullus earum tabularum numerus debet
abeffie a uero per imam particularum centies millefimarum.
XVIII. Hancaccurationemut ajETequaris,uelfračti-
ones infupputandis tabulis non negligas: uel radium
multoquampro tabularum hypothefi maiorem ad
conftručKonem tabularum aflumas oportet.

XIX. Atquifractionesfimulcum integris ad calcu-
lum adhibere ualde ttediofum efl. Ergo radius ad con-
flrudlionem tabularum tantus aflumatur, quantusfi.
aflumatur, error in tot a finiftra numeris, quot in ta¬
bulis collocatos uolumus,inefle nullus pofllt: nume-
ri uero adextrauerfus fmiflram erronei poftfupputa-
tfonem finitam abfcindantur. Sic Regiomontanus, cum
uellet fitpputare tabulas *Sinuum ad part e s radij 6a o o o o o.
afjhmfit radium particularum 60000000000 : &finitafiip-
p ut at ione defingulisfinih us it a repertis a de utr afimijlrorjiim
abfcidit not as cguatuor. Sic Rheticmcum uellet tabulasfinuum

F lij fappu-

§3 Trigonometrije

JiiPpntare id'part e s radij  / o oooooooo o\ajJkmfit radium par-
tuularum iooooooooooooooo: &f.nitifupputatione de
fmgulis [inibus afmijira dextrorfum abfcidit not as cpiting,.
Nos qma non tabulasjiipputare,Jed tantum e ar umfupputan-
darum rationem iuuentuti ojlendere uolumus, exempli caufct

tantumajfumemusradiumparticularum iooooo,quo citius
baru rerumftudiofi exempla nojlra omnia ad calculum reuoca -
rc,&ita ueritatempraceptorum nojlrorum experiripojfmt.

XX. AlTumto radio partium quarumcunq; principio
finus re&os omniumarcuum quadrante minorum
iifdern in partibus inquires: tum exfinibus illis rectis,
finus uerfos,Tangentes item & Secantes deduces.

XXI. Sinus rečti quoad conftručtionem tabularum,
funt primarij uel fecundarij, Sinus primarij dicuntur
a quibus reliqui deducuntur.

XXII. Sinus primarij comodiffime flatuutur tres nepc
femiiIeslateruQuadranguli, Sexanguli & Decanguli
circulo infcriptoru,hoceft,finus graduum 45.30.6c is,
XXIII. Latus Qua-
dranguli circulo in-
fcripti £eque potefl:
duobusradijs. Vt, la¬
tus AB fiquepolefl duo-

Schema rac (j s  AC& CB.per

XXVII. f0  p' I%  At radiusunus
partium 10 00 o o. potejl
cpiadratu 10000000000
Ergo radj duo pojjimt
' quadratU20000000000
(puadratum ergo lat er is
^  A B eft

LiberSecvndvs, 3.9

ABefi 20000000000. Huius autem radix efi ij.T~f. 2 i.C 7
einsfemtfiis 70710. Ergofinusgraduum 45. efi7071 o.

XXIV. Latus Sexat!guli circulo infcripti eft xquale
radio. Sit enim Ut us Sexangtdi circulo infcripti B C. J>uia
igitur B C. ar c us efi fexa-
finta partium, exthefi:
ide o etiam angnlus B A C.
efi fexaginta partiump er
fextamprimi. Acproin-
de mgtdi AB C & A C B.
fimtd'fumtifunt 120 .par¬
tium p er 4 P • primi. At-
qui angidi ABC & ACB.
funt j>quales p er  j. primi.

JA um Litem A B (jr A C.
ipfis op poji ta. funt <eqna-
lia: qužppeduo radij. Ergo unusepuifip eortim angulorum efi
č o.partium. A tqui tot part tam er at etiam angnlus B AC.
Ergo tri'angtdmn ABC. efi <eqnaliu.m angtdorum. Igitur &
acfualium lat er mn per j .p. 1. A tatu lat er a AB & AC. funt ra-
dj\perflruciuram. Igitur etiam lat us B C. efi radius. Latus
itap Sexanguli circulo infcripti efi sequale radio : quodde-
monfirandumerat. fjuodfi ergo Radius fine latus Sexan7u.l1
ponaturpartium 100000. Sinus gradmm 3 o.fiuefemiradius
er it pr serife partittm s o o o 0.

XXV. Latus Decanguli circulo infcripti cilmaius
fegmentum radij proportionaliterfefti. Htcigiturpri-
mum ofiendendum efi, quidfit raditrn uel datam quamcuntr !
reclam pr oporttonalit erficare: demde demenfirandum eft,

qtiod

40' Trigonometrije  f

cjtiod lat us Decangulifit maiusfegmentum Radijproportib*

nalit erfečli.

• Deprimo.

Datam quamcunq; redam proportionaliter fecare*
cft ita eam fecare, utfehabeant, ficut tota adfegmen-
tum maiusdta fegmentu maius adfegmentum minus.
Sečlio illa perji c it ur in hunc m o dum. Ex dat a reci a A Bji at

cpuadratum A B CD. & ex angu- K _ <*

\ lo illius epuadrati B p er relitam B E

reci a A D reči te dat a A B tecpualis
bifecettir in E. Tumbifecanti EB
Scbcnn ft (ltHatur  tucptialisE F, ut appareat
XXIX  dijjerentia bifegmenti E A&bi- A
fecantis E B fiue E F,<piu dijferen-
tiaejlAF. Denup ex dijjerentia
bifegmenti (j bifecantis, nempe
ex reči a A F.fiat cpuadratum A F
GH.&GHporroproducatur ab
H in I. utfiat oblongum D F G L
Dico rečlam datam A B. propor- °
tionaliter fiečlam effe m H. fine cjtiod ulem efi: dico dijferen-
tiam bifegmenti E A & bifecantis E B uel F. F. nempe rectam
A F cui tecpualis A H, effefegmcntum maius reči a A B propor-
tionaliterječite,hoc efi: effe, ut AB ad AH. ita AH ad H B.
Rečlangula enimncpualia habent lat er a reciprocc proport io¬
na lia.per 2. confi. 42. p. 1. At pni cpuadraturn AF G H&ob¬
longum H B CIfunt rečlangula etcpualia. Si enim ab <ecpuali-
btts aufierantur tecpualia: epu e r efi ant funt tecpualia. Atpui ob¬
longum D F G L dčpuadratuA B C D.funt m terfefie epualia.

Nam

Liber Secvndvs. 4*

Nam uni tertio,nempe quadrato E F fiue E E. minut quadra
to E A funt &qualia. Oblongum enimi) F G I.ejl aquale qm~
drato E F minut quadrato E A.per 44. p. 1. JJuadratumue -
ro A B CD. ejlaopuale quadrato E F fiue EB minut quadrato
-E A.per s o. p. i„

Er goJi ah oblongo D FGI, & quadrato A B CD. aqualibus,
auferas £quale oblongum A H ID. reclangula auarejlabunt ,
nempe quadratum A F G Hfr oblongum FIBCI erunt re¬
clangula aqualia :adeoip habebunt laterareciproceproportio-
nAlia. Ac proinde erunt,ut HI (cui <aqmld A B')ad A H,it a
A Hud HB. Jlgod demonjlrandim er at.

Confeclarium.

Si reci a  proportionaliterfecta mAiore fuifegmento continue-
tur,reclafic continuataimpfo continuationd punclopropor-
t'tonaliter fcčta. ent .' Nam oblongum ex eontinuata fr contf
huatione faclum,ejl £quale quadrato data,hoc ejl, oblongum
FGID ejl aquale quadrato AB CD. ut modo demonjlratufuit.
Er go, ut D F ad D C, it a D C ad D ijiue A F. frc..

De Secundo.

Sitergonune incirculo ABCD, maius fegmentum
radij proportionaliter fecH,fubtenfa A B. Dico quod
decimam circuli fiue quintam femicirculi AB CD.
partem fubtendat.

Continuetur A B toto radio B F ut reci a A F ex radio fr ma-
iorefegmento rad J compofita proportionaliter feceturin B:
p er confeclarium demonftrationd pr o x ime pracedentd.
Etporroab Fin E ducat ur rcclci FE. conftituens c um reci d
A F fr A E. Tnangulum A FE. AbEuerbinB. ducat ur

G radiut

42 Trigonometrij!

radius E B conjlituens
cum recli-s A B d/ A E
Tnangulum AB E.Hac
dno Triangula, Trian-
gulum inqnamA B E ,

& Tnangutum A F E.
crura habent inter
Schema J e J} proportionalia. Na
XXX. nt tota A F ad mairn
Jimmfegmentu BF uel A
A E,Jic totaAEad ma¬
im fuum fegmentum
AB. Er goJimt aquian-
gula,per 46. p. r. Ac
promde angulm A FE.
ejl acpualis angulo B E A. Atqui anguli B FE & FEB. aquxn-
turper s.p. 1. pr op ter aqualia lat er a ipfis oppojlta B E S“ BF.
Er go & anguli FE B dr B E A a quant ur. Atcpui etiam anguli
F AE dr F E A acjuantur p er' 2 6. p. 1. Nam cum Triangli-
lum B E A'Jit aquicrurum, etiam Triangulum A FE. aquicru-
rum ejfe necejje ejl. Aliogui Triangulaaquiangula non ejfent.
Er go angulm F AE ejl duplin anguli A F E. Adeog anguli
duo A F F, dr F AE. Jlmulfumti Jimt aquales t rib us angidis
eiujmodi, cpuales anguli jimt anguli duo F E B & B E A. At-
cjiii porro angulus F ED extcrior ejl aojualis duo hm in teriori-
brn oopofitis/nempe angulls AF E & F A E.per 4.8.p. t. Er go
angulus F E D. continet tre s tale s angulo s, qualesJimt anguli
duo F E B & B E A. Etp er conJequens, angulm B E Afmepo¬
tim eius menfuraB A ejl tpuinta p ar sfemicirculi ABCT>.

Latus

Liber. Secvndvs. 4-3

‘ Latin ita.% Decmgiih circulo infcripti ejl fegmentum ntaiuf
radjproportionalitcrfečli : cgiod demonjlr,'andttm er ut.
Porro,ex diagrammate fe&ionis proportionalis appa
ret.-quomodo fegmentum maius radij proportionali
ter fedh fit inueftigandum. r.

Sitenim radius proportionaliter
fechts  a B femiradius  as. Reči a ex
femiradio  ae^” maiorefegmento
A F compofitafit  e f uel e b. Ma-
nifeftum eft Ji defimmajuadra-
torum radij  ab^* femiradj  a e
nempe de auad.rato  eb extrahas
radie e quadratam niifue EF,čr E
inde aufer.es femiradium  e a,  re-
manere fegmentum maius rad j
proportionahter fe£H A  F. lam,
eguadratum radij 100000, ejl a

ioooooooooo. cjuadratumfemiradj 50000, ejl  25000
00000. Summa h or um duorum juadrutoru, id ef

Schemst

xxix ,:

tum  E b eji :  12500000000. Radix  eb uel^vef:  111803.
Semiradius  e a fubtrahsndus  <?/? 5 o o o o. Er go lat m Decan-
guli a  F ef  61803. Hums autem femifk ef  30901. Ergofi -
mugraduum XVIII. ef partium  30901.

XXVI.  Atq; hxc  detribus finibusprimarijs. Sinus
fecundarij, (ho c eft,Sinus reliqui omnes) ex primarijs
illis dcducuntur per inueftigationem finuumcom-
piementorum: arcuum item diraidiorum & duploru:
Siriuumdeniq;fummse veldifferentiae duorum arcu¬
um ina:qualium coniunftim quadrante minorum:

G ij eo or?

Schema

XXXI.

44 - Trigonometrije

eo ordine,quem xnox oftcndemus.

D at ofnu reči o cuimcunvp ar cm: Sinum comple -
menti rep er ir e.

XXVII. Sinus complemenri reperitur per 50. p. i..

Namfnm ar cm &fnm comple- p _

menti apne pojfmt radio , ut
fnm  e d dr  a D ( cm apualčs ejl  ^

E B p> er 7. c. j. h mm.) apuepof
funt radio  a b. Subtracio igitur
pmdrato  b d, de puadrato  a b re-
Dnpuitur puadratum  a d. Cuius
radix  a d uelii  b effnm comple-
mentiFB.. Exemplum.

Kadim  A B. 100000.

Sinus BD. joooo. XXXgr.
G)uad.ratumAB..ioooooooooo.
fhiadratum  bd. 2 s 00000000. fibtrahcndum defpuadrato  ab»

, Refduum Ouadratum  a d, /j 00000000.

Huius radix 86602. effinus  a D «<?/eb. ar c us  f b. ex. graduu..
D at ofnu reci o &uerfo cuiufiunaremfnum arem
dimidijreperire.

XX VIILSinus arcus dimidij G
re&iffime reperitur per eande
Schema  ^ 0  _ p _ L  Nam fnm reči us  bd
XXXII. frngrfus  D  c (pui reperiturfibtra¬
či o v fnu complementi  a d d.e radio
A c) apue pojfmtfibtcnfzfui ar¬
cus  b c. per s o. p. 1. cuiusfnbtenfz
dimidiu  e c efl fnus arcus dimidij f
FC.per7.hmus. -j' ~  Exeit)plu

45

Liber Secvndvs.

Exemplum.

ED. Sinus S66o2.. ArcusB C, 6o.gr.

E J us tpuadratum. 7500000000..

D C. Sinusuerfius s op o o. arcus B C. 60. gr.

Eius opua.dra.fum 2 50000 00 oo.\

Siimma horum duorum auadratorum 10000000000.

Ende extracla radiclsB C -—-— 100000.

Semijfis EC. -- 50000.

Eftfmus dimidij arcus F C. 3 0. graduum.

Bat o Sinu rečto arcus,um cumfmu complementi,finum
arcus dupli rep er ir e.

XXIX. Sinus arcus dupli facilime reperitur per 4 6 .
p.r. Nam ut Radam  a b ad finum recium arcus  B nempe
adfinum v,cuel xoC.it afmus com-

plementiA  e adfinum ciueluG. Schema

quifinus  h G. dupli c at us, nempe XXXIII.

finus  F c. eflfinus arcus dupli  fd.
ideoautem  g h eft dimidiusfi¬
nus  F g. opuia in Erigono  F D g re-
čta H E. parallela baft  g d bifie-
cat crus  F d. perftrlicitiram. Er-
go etiam bifecat crus  F g. per ^

45.p. r. Exemplum.

Vt, AB. po.gr.  ad B  C. 35.gr. it a A E. 55. gr.

100000 57357  Si p 15.

ad EI. fiue H G 469 S4. cuius duplum F G. 939 6 S. eft
finus arcus F D 70. gr.

XXX. Sinusfumniaeueldifferentia;duorum arcuum
m#qualiumconiun&imquadrante minorum facili-

G iij me repe-

4.6 TE-IGONO.METR.IiE

mercperitur per 54. p. j. hoceft per figtiram quadrila-
teram circulo infcriptam. In qua infcriptionc etfimero
funtfubicnJk,nonfinus: tamen, quiafinus funtfimiffesfitb-
tenfarum  ■■ eadem autem eflproportio totius ad totum,qua di~
mldij ad. dimidium: ideoftfubtenfis dat d numerosfemiflium
fubtenfarumfiuefinuum attribuas, etiamfiibtenf inuentn
, finus erunt. Hoc efl,ut exemplo perfficuo rem perfle mn nihtl

obfcuram illuflremus:

Sifubtenfam  A D habe-
05  pr o finu  a v. y fiibten-
ft a. c erit finus  a  F dr
Schema fbtenfa  c d erit 'finus
XXXIV'  c G ue b  F E - Nam ut  a d ^
ad A v. it a  a c ad a  f dt
it a cd  ad  c g. adeocp:

Ht  A D efl  A E flc  A C efl
A F. & flc CD efl  C G.

per 4 d.p.  /.

fifiicd fi fubtenfa ac habeatur pr o femiffefubtenf  a f ctiam
ar cm a  c. habebiturpr o arcu  a e. adeocptotm circulus  abcd.
ficundum hanc hjpcthefin non erit nifi'partium 1S0.

D at isfinibus duorum arcuum inaaualium conhmclim qua~
dr ant e mino rum, una cumfinibus cornplementorumfl-
numfumma duorum illorum arcuum inuenire.

Sint er go dati duo areus inapuales  a B 20. grad.

B c. / s-grad. eorumcj s  complementa  a d 7 0. grad.

CD. 7f.gr. Ethorumomniumfinus.

A B. 34202.

.*

4  7

Schema

XXXK

gu&raturautemfmus a c \Jumm a  duorumarcuum ab&bc,

3S.gr.

Trimum multiplicentur alternatimfmus arcus uniusperfmu
complementi ulterms nempe  a b per  c d &  b  c per  a d. Tum
productn componantur. Deni^fummaper radium  b d diui-
datur,hoc eJl,nota quina ?  k dextris abfcmdanltir. Nota. reli-
qu.t eruntfinusjhmma dat or um duorum Arcuum  ab &  BC>
nempe fmus Arcus  a c. qtiiefitus,hoc modo:

Produclum primum 3303 639384.
Troductumfecundum 243201168p.

A  G. 3 S-gr.

Datls Sinibus duorum arcuum inAcpualium, Coniunciim qua-

drante

Liber Secvndvs,
ab. 34202  V a d. 93 pa9.

BC. 258S1. f\  CD. 96392.

P na cum radio  b D. 1000 00.

'48  Trigonometrije

dranteminorum, una cumfinibus complementorum, Sirnim
dijferentia duorum illorum.arcuum inuenire.

Sint rurfiim dati duo arcus in&cjmles : ndem qui ante: una
cum finibus & Juis &
complementoru. Dua-
ratur autemjinus diffe-
rentia duorum illorum
Schema arcuumnempefinusar-
XXXVI• cus A. C. s■ graduum. ji
Sinus dati funt ut ant e.

AB. 34202.  w - A D. p 33 6p
B C. 25SS1.  A CD. 36532.

. Multiplicatio etiam fnuum dat onimft alternatim ut ant e.
Fr o dudi a uero non componuntur, ut ant e: fed'produčfu minus
a maiorejubtrahitur : & de ref duo nota cpuinepreficindun-
tur :hocmodo.

Productum maius. 3 3 03633384.

Froducium minus. 2432011  6 8 p.

Refiduum.. 871647835.

Sinus\

AC.s.gr.

Padem igitur opera Sirnim Jumrna uel dijferentia duorum
arcunm macpualinm rep er ir e licet: ibiper additionem produ-
Borumfiicp erfubtraffionem.

D atisfinibus duorum arcuum inacpualium coniunBim cptia-

drante

L I E E R S E C V N D V S. 49

dra.nte minormn, una cumfimbus complementorum : finunt
complementifiumma dičiorum dtiorum arcuum reperire.

Sint dati dno, arcus in-
£quales, qui ant e, K  e.

20. &B  c. is- graduu
urn cum Jud & com¬
plementorum finibus.

Smtcp,finus Uit.

Schema

XXXVII

AB. fiue  DE. 34202. I  A D. Jlue B E. p 3 9 6 p.

EC. - 2 S s SI. J  CD -* p 6 S p 2.

Gguaratur autem  e c. finus complementifiumma datorum
duorum arcuum  ab^bc. hoc ejl, finus complementi arcus
A c. 3S.gr. nempefinus arcus  e c. S S- gr.
Primummultiplicentur mutuo,tumfinus arcuum datorum,
tumfinus complementorum nempe  a b fiue  D E p er  bc C^ad
fiiue B EperCD.

Tim pr o duel um minus aufieratur de maiore: & de refidm
pr&ficindantur nota, (puimp r  Nota reliefna eruntfinus CE.cfua-
fitus hoc modo.

ProdnBum complementoru  ad fiue  be & CD. p oj/S 643648.
Produttum Sinuum  A B fiue v e&kc.  S 8 sr Srp  62.

Diffierentia.

81 p 14

Sinus E c

‘ * s-gr¬
li

n<) 86.

Datu

5 O  T R r GON OMETRI &

Datisfinibus duorum arenam in<squalium, conitirMim qua»
dr ant e minorum, una cum finibus complementorum,
Jinum complementi dijjerentia diciontm duorum
arcuum repenre.

Sint dati duo ar. cm in-
tx.qua.le s, qui pridem,
una cum Jud & com-
plementorumJjnibus.:

Schema boe modo*

xxxnii'

AB.fine DE. 3 4 2 o 2.  | A D fiue B E- 9 3 9 6 <y.

B C.  -— 2 s S S i.  | CD __ p 6 s o 2.

cpaprattir auteE C,fmtte coplementi differetia areuu AB&BG-
qiu differentiaeft AC.  /. gradu h.  Vnelefinm CE. erit S s. gr a.
Primum, multiplicentm mutuo tum finm. arcuum d,atorum■■
AB&B  C. tumfinm complementorum B E & CD. ut ant e.
Deindeproducta-componantur: & de fiumma nota qump ?  J'
dextris reficindantur. Notx relipiht eruntfinm complementi-
dijferentia datornm duorum arcuum Jo c modo.

Produclum complementorum A D & CD. p 076653648.
Produclum Sinuum AB&B  C*. 883181 o 62.

Siimmu  —— *— --——- p 3 613\ps 61 o.

p p 61 s
Sinut E C
8s.gr.

Saden®

Liber. Se c vn d v s.


Eadem igittir operifinum complementifiumma uel difieren-
tu dtiorum arctmm maqualium reperireUcet: ibiperfiubtra -
čiionem : bicper additionem.

Caufa diuerfitatis calculi in imentione finim timfiumm& uel
dfiercntia,tum complement or umfiimma uel difierentia , ex
adiuučhšdiagrammatiscums4.p. t.collatisfatisfunt mani-

fefl*.

XXXI. Atq;hacc'fuerantquafi inftrumenta: auibus
Ilnus fecundarij omnes e primarijs ded licu n tur. Nune
ordinera dcdučHonis c o m m o d u m -olt e n d em us.
Princip ib igit urc datis duobm finibus primarijs pofiericri-
bus,nempe efinibus 30.& iS.graduum eruefinus campleme-
torum 72. dr 6o. graduump er žj.hmm. Eruntppfinus.  ,
Arcutim Complement o rum.

30.gr. s.oooo. 60.gr. 86602.

18.gr. 30901. 7i.gt. psi o s.

Demde cx h is opuatuor finih u-s trna cum radio dat is  : eruantur
finus tumjumma ac difierentia arcutim 18. dr 30. nempe fi¬
nus arcuum 48. & 12. tum complement orum pradicla fitrn-
ma uel difierentia, nempe arcuum 42. 7 S.pcr po.huius.
Eruntgfimts

Arcuum Complementorum.

48.gr. 74314. 42.gr. 66913 .

i2.gr. 20791. 78.gr. 79814.

Tertio,ex finu arern 12. gr. inepuiranturfinus arcuum conti-
nue dimidioru.Nempe arcuum 6.3. ib., gr. &c. unaamfini-
bns complementorum:p er 28. & 27. huius. Et m hac inqmfi-
tioneprocedatur eo ufi^dum nulla amplius appareat dififieren-
na proportianuinter arcus minores &'finus arcuhus illis.r.e-
fiondentes. Eruntcpfinus H j Arcuum

52 Trigonometrij

Arcuum min o rum
č. o —-— 104 s 2.

3 • o - 3233.

j. 30 - 2617.

o. 4 s - 1303.

Complementorum.

84 0 ,. - PP4S2.

87 - pp862..

88 \ - pppts.

8p\ - P P PP.I-

cjuario cpuia iuxtafnm arcuum 1. gr. 3 0. Jer up. dr 0. gr. 43.
fcr. differentiaproportionis inter arem &fmm areubm re-
jpondentes

numeriseimradjintegris^prorfus euanefeit. Nam ut ar cm
4S .efi dimtdium arcus A 30.it ajinm 13 o8.efi dimidium fi-
nm2617. ideo&finuarcus4/'. nempe exfnu 13 o 8.omnium
reliquorum arcuum dodrante gradus minorumfnm colligere
licetper auream(cpuam uocant) regulam hoc modo:

Primitm.

Vt 4s- fcr. adfin. 1308. itai.fcr. adfin. zp.

:fecundumauidem hjpothefmradijioooooi&in

Hufundamentis it a iaBis: deinde per regulasfupra traditat>
de inuentionefinnam complementorum , arcuum item duplo -
rum & dimidiorum: fumrna denicf ?  uel dijferentix duorum
arcuum macpuahum-, coniimciim <puadrante minorum, facile
,, fnm

Liber Secvndvs. 51

finus reliqui omnes inueniuntur, & itatabuU Jinuum reclo~
rum abfoluuntur.

XXXII. Tabulas Sinuumuerforum ha&enus nemo
condidit. Nulloautem negociocondi pofifent. Sinus
enim complementifubtra&us de Radio, relinquit
num uerfnm arcus quadranteminoris. Sinus uero ex-
ceflus additus ad Radium, componit finum uerfum
arcus quadrante maioris^er 8. huius.

Verbigratia.

Si quaraturfinus tier-
fus arcus qua.dra.nt e
minoris E C. 30. gr.

Subtractmfinus com-
plementi 60.gr. A E.

866o2. de radio A C. a
jooooo. relinquet fi-
nnm uerfum quxfitu
EC. i33<)S. hoc mo -
do:

Schentn

XXFL

jooooo. A C.
■ 86602. A E.

Ar cm dat us. 30.gr.)

Complementum. 6  o igr. -

133p8.EC.

Sin quaratur Sinus uerjus arcus quadrxnte maioris GFB. 1 s 0.
gr. Additusfnus excejjus 60.gr. A E. 86602. ad Radium
A C. 100000. componitfinum uerfum quA.fi tum E G. 186602.
boe modo:

H iij

Arcus

54 Trigonometrije

Arcmdatm. iso.gr,

gUiadrans — -po.  gr. -- 100000. GA.

Excejfim. 6o.gr. 8660 2. A E.

186602. GE.

■XXXIII. Tabulse Tangenti u.m & Secantium exta
bulis Sinuum re- g

Člorum ita dedu-
cuntur.

I. Vt finm cornple-
menti adfinum arcm:

Sohe mA ita Kadim adTangen-
XXVI- tem arom.

JI. Vt finm comple-
menti ad Radium: ita
Kadim ad Secantem
trem.

Nam p er 4 6. p. 1.

J. Vt A E ad E B. ita A C ad C L.

II. Vt A E ad AB ita A C ad AL.

Exempligratia pur ant ur Tangens & Secans
arom B C. 3 o-gr.

Sinus 30. gr. efi 30000. B E.

Sinm compl. 60.gr.ejl 86602. A E.

Dioo igitur.

I. Vt AE. 86602. ad BE, soooo. ita AC.100000.
• adCL. 67 / 33 -

L TEŽ k StCVflfiVS. #

Er go Em gen s arcus j o. gr. eft 57733-
11. Vt AE S6602. dd.AB.iaoaoo. ita, AC. looooo,-
adAL. 115470.

Er go Secans ar cm 5 o. gr. eft 1154.70.

XXXI V.  Difpofitiotabularumfinuum, tangentiurii'
& fccantium, fiue Canonis Triangulorum, alijsalia
placet. Nobis comm odi dima vifa edeaquam uideš.
In qua primo & podremo paginae cuiuscunq; loco'
funt arcus quadrantis,pergradus 6t minutafiue fcru¬
pula prima in marginefinifiro defcendentesin mar-
ginc dextro afcendentes.Locis intermedijs funt Anus*
tangentes &fecantes, arcubus illis refpondent-es: at-
que adeo fimiliter m fin idr a quaque co lunina defcen¬
dentes: in dextra afcendentesv
XXXV. Vdis tabularum iilaru-m fiue GanoilisTrian-
gulorumliic ed: ut unius euitiseunqj arcus propofiti
uel etiarn complementi finimi, tangentem aut fccan-
tem inde prompte excerpere,& i ta in ca-lculoTriangu-
lorum fine remora progredi podiš.

XXX VI. Cxterura,meminifle teoportet: nos Cano-
nem Triangulorum non ul term s cxtendide: quam ad
fcrupula prima. Quod fi igitur fcrupula etiam fccun-
daad calculum adfiiber-e libeat: ita finus tangentes
aut fccantes eorum arcuum,quibus fcrupula fecunda.
adiumfiafuntreperies. Situerbr grada qua;rendusfi-
nus arcus 35* 10". Frimumetabulis accipio finum

arcus-35* 11'-— 57619. Dcindc ex ijsdem tabulis acci¬
pio finum 35 ^ 12 .— 57 <? 43 - Et differentiam horum
duor um finuum noto: qux difFerentia ed24. Ac de¬
ni que

j 6  Trigonometrije

niqucitaconcludo. 60. fcrupulafecunda ( qu&.conti-
nentur uno fcrupuloprimo, quo dijlcmtinter fefe arcus jsl-
11’.& 3 S°.i 2 )  danthoc I0C024. partes tales, qualium
partiumradius efhooo oo.quoteiufinodi partes dant
XO. fcrupula fecunda?” $2. 4. Calculus integer tališ e ji.

P

J J - —24- - id.

24.0

6o(*-

Quatuorigitur partibus ad partes $7619. additis, exi-
ftit finus. 35 ,l / i*i , o / . partium 57623.

Sitcontra qu3erendus arcus refpondens finui 57623.
Sinum illum in tabulis non reperio.Colligo igitur dif-
ferentiaminterduos finus., quorumalter fit proximc
minor,alterproximemaior : nempeinter finus <>7619.
& 57643. qu3edifferentiae.fi 24. Item colligo differen«
tiaminterfinum propofitum 57623. &proximemino-
rem 57619: quae differentia eft 4. Quibus omnibus ritd
peračlis > deniq;itaconcludo. 24. partes danttfo.fcru-
pula fecunda: quot fcrupula fecunda dabunt quatuor
partes?” §2. 10. Calculus integer tališ e Ji.

p P

24- --- do - 4 .

4

Ergo ad arcum 35“ n'. quem praebet finus finu propofi-
toproximeininor 57 < 3 i 9 -a<iditis dece fcrupulisfecun-
dis:exiftit inde arcus 3/*• n'. id.  copetens finui propo-
fito. 57623. BARTHO-

BARTHOLO-

mxi  Pitifci Grunb.ergenfis
TRIGONOMETRIJ

L I B E R X ,E R TI V S..

De dimenfione Triangulorum f lanenim.

Ha&enusde principijs Trigonometrij, 6c.de fabuli«
Sin uum,Tangen ti ura 6c Secan ti um,adTrigonometri-
amexercendam neceflarijs, Nune feq.ui.tur ipfa illa
Trigonometria,fiuediraenno Trianguloru, tampia-
norum quam Sphtericorum.In quautraq; explicanda:
quianonaliter quam perregulam proportionum ab-
foluitur: ut fupra didtum fuit: principib quidem axio-
mataquxdam trademus, ex quibus intelligatur, qux
proportiones quibus Triangulis Triangulorum ue
partibusinfint:: qux axiomata idcirco Axiomata
Pp-oportionvm appellare libet : Deinde uero
oftendemus, quomodo axiomataiilaad ufumappli-
cari debeant,fiue, quomodo beneficio paucorumil-
lorum axioraatum quodlibet quxfitum, in quouis
Trianguiopropofito exquibusuis tribusdatis, quam
citiffirne reperiri poffit.

Axiomata proportionum inTriangulis planis exiften-
tium prxcipua, 6c,ad omnem eorum folutionem ab-
unde fufficientiafuntfex.

A X10 M A TRT M V M.

In Triangulisplanis reciangulis:
Vthypotenufaad perpendiculum:itaRadiusadfjnu
1  I anguii

Trigonometrij

anguli pcrpendiculo oppofiti. &; contra.

D EC LA R AT 10 . In
Tviangulopiano AB C. re-
Schema Ttangula ad.■ C. in quo hy~

XLV. potenufa ejl A B. perpen-
diculum E C. Bafis A C.

Rodim imdrinatime con

o

ceptm AD. Sinus anguli
perpcndnculo. oppofiti D F.
dr angulus ad F. redi us i'
per 3. c. p. 2. Dko-effe ;■

Vt AB ad B C. it a A D ad D F. ucL

Vt A D ad D F. ita' AB ad B C,

Et contra.

Vt F D ad DA. it a C E ad B A.-
■DE MO N STR AT 10 . Tnangn la enim AB C & AD F.
funt aoguiangula :per 4. c. 4 p. p.  /. ob reci o sad C & F. per
the/in :& communernad A, per flrucluram: ael aquales ad
E & D per 3 S. p. 1. Ergolaterahabent circaacpuales angu-
tdsproportionalia:per46.p. 1. Etper confiquens, ef ut AB
adB C. ita A D ad D F, &c.

1 L L VSTR AT 10  per n u mer o s. Pr im tim igiturfnt da-
ta pr 2 ter reči um: hypofemJa A B. j.p e dum: & perpendicit -
lum B C. 3.pedum. Cigaratur autem angulus g erpendicnlo
oppvftus B A C. Dico :■

13  VtAtf.  /. adB C. 3.ita AD.iooooo.ad D F. R o o o o.
AtcguifinuiD F 6 0 0 o o', in tabuUsfmuum ref>ond,et ar c us 3 Si
gr. s3- min. Ergo angulus B AC. eft 3 6. gr. 33. min.

Deinde:fmt dat a praterrccium : bypotenufa A B. 3. pedum

dr angu Im

Liber Te rt iv s. 59

ggangulusperpendictdo oppofitm B A C. 3 6. gr. 53. m. cuitts
angnliJinUse tabulis depromtmfitD F. 60000. Oupratur
sutemperpendiculum B C. quotpedum ? Trium. Nam

Vt AD 100000. ad D F 60000. ita AB.j. ad BC. 3.
Denitfe : fint dat d pr £ ter reclum: acutus B A C. 36.gr. s3. m.
eiwq g finttsre£iu$D F. 60000. partiam, & perpendicidum
B C. triumpedum. Q upr at ur autem hjpotenufa A B. quotpe¬
dum ? guintfe. Nam

Vt D F 60000. ad AD 100000. itd B C. 3. ddAB.  /.

AX10 MA SECVNDVM.

In Triangulis planit rečlangulis:

Vt bafisad perpendiculum, itaradiusad tangentem
anguli perpendiculo oppofiti. Etcontra.

D EC L AR AT 10. In

Triangulo piano  a b  c. re¬
ci angtdo ad c. fint hjpote-
nufaperpendicuhim & ba-
Jis y Ht ant e: Radiu* imagi-
natione c one ep Im A E Tan¬
gens - anguli BAC itidem
imaginatione concepta  d e. 6
& angulus  a e d. reci m p er
p. p. 2. Dico ejfie.

Vt  A c ad  cb. ita  a E ad v.D.uel.

Vt  a E ad  ed . itd  a c ad  cb . Etcontra.

Vt  de ad  e A. itd  e c a d  c a.

D E M 0 N S TR AT 10. Triangiila enim abc&  ade fiunt'
aqmangutapr op ter commimem ad  a & recios ad  c & E. p er
4. c. 49. p. 1. Er go h abent latern circa <equales angulospro-

I ij pcrticnaliii

6  o Trigonometrij

portionalia. p er 46. p.  /. &c.

ILLVSTRAT 10  pcrnumeros. Primum er go Jint dat a
pr&ter rectum: bafis  a c 4 . p c dum & perpendiculum  B c. tri-
umpedum : puaratur autem angulrn  b a  c. quot graduum?
iy. 36.gr. 33. m. Nam

Vt-KC-s. ad 3.-ita K El  / o o o o o ..ad  ED-;-/ j000. tan-

* gentem anguli b a c. 3 d.gr. s3- m..

Tteindefmt datapraterreclum: bojiš  a c. 4. pedum & an-
gulus  B A c. 3 6 . gr. s 3 ■ rn- hoc ejl: per tabulas tangentium ,
tangensv>E 73000. jguaraturautempcrpendiculum 'BC,quot
pedum l  jy. trium. Nam

VtA E. 100000, adED.  73000. it a A C. 4. ad C B. 3.
Denupfint dat a praterrectum: acutus B A C. 3d.gr. 33. m.
adeocp tangens D E. 73000.partium : : &perpendiculum B C.
triumpedum.Oguratur autem bafis A C,/juotpedum? 4.

Nam-

Vt us. 73000. ad  E A 100000. ita  B C. 3 . *d  CA.

A X 10  MA TE R TIVM.

In Tnangulis planis reitangulis:

Vtbafis adhypotenufam,itaRadius ad fecantem
anguli perpendiculo oppofitL
D E CL A R AT 10 . Repe-
tito fchemate fecundi axi-
Schema omatisJint c at er a ut ante-
XLVL Secans anguli perpendicu.
lo oppofiti, nempe anguli
B a  c Jit recla  ad. Dico ejfe:

G

Vt CA

Liber Ter ti v s.  tfi

Vt  ca ad  a b. ita  e a ad  A D. #<r/:

E A ad  a d. ita  ca as? ab.

Etcontra:

Vt  da ad  a E. ita  ba ad a c.

D EM ON S TRAT 10 . Triangula enim  ABC dr A D E.
funt aquiangula, ut ant e.

Ergo etiamhabens lateracirca aquales angulospropor-
tionalia,ut ant e.

J L L V STR ATI O  p er n u m er o s. Primum ergofmt data>
pr at er reci ura bafs  a c. 4. pedum,  A b 4. pedum, quarattir
autem angulus  b  A c. perpendiculo  b c- oppoftus. Dico:

Vt CA. ad AB. ita E A  ad A D'.

4 s 100000 12400o'.cuifecanti re-

JpondetarcusEE 3 6°,. s 3 - menfuraangult  b  A c quafti.

Sint deinde dat a pr at er reci um anguliu  b a c . 36°. s 3 . eius -
qtiefecans  a d. 124000. & perpendiculum dato anguloop-
pofitum  b c: 3 . p. qtiaratur autem  a b. hppotenufa quotpe¬
dum ? Dico :■

'Vt  E a. 100000. ad  ad. 124000. ita  ca. 4 . ad  ab. /.
Sint denifc dat a pr at er reti um hppotenufa  a b. /. pedum, &
fecans anguli  b a  c. nempe  a D. 124000. partium, quaratur
autem bafs  a c. qttot pedum ? Dico  :

Vt  da. 124000. ad  a E. 1 00000. ita  ba. /. ad  a c. *.■

AXIO  MA' gVARTVM.

In Trianguliš plan is uniuerfs:
Laterafinibusangulorum oppofitorum dire&e funt
proportionalia.

I iij  DECLARA-

Severna

XL.ni,

6i  Trigonometrij

D E C L JR AT 10 . In Triangulo piano
rettangulo  a b c, d ic o ejje:

Vt latus  A B a dfintim anguli  a  c B. it a

[at us  b c adfinum anguli  b a c. & it a
[atus  a cadfinum anguli  a b  c.

Similitercp in Triangulo
Schema piano cblupuangtdo  d E F.

XLVIII. Dicoejft:

Vtlatus V.V). adfinuman-
guli  e F d. it a lat m  f e ad
finum anguli  f d e. & it a lat us  F D adfinum anguli  F E D.

Vel transpofitis termin is mtermedijs.

Vt  a b ad  b  c. it a  b  c a ad  c a b. Et,

Vt  de ad  E F. it a  E F D ad  FDE ,&c.

Ex cguatranfpofitione melius apparet: cur Regiomontanus
hanc proportionem direclam app e lldr it: cpuia nimirum in e a
funt direete: ut lat m ad lat m: it a angulm ad angulum: mn
autem reciproce : ut latus ad angulum: it a angulm ad lat m .
DEMO  N S TR A Tl O. f

Te  Triangulis rectangulis  \

res eft plana. Nam finrn
Schema anguli k c  b fiue  a f d efl
XL v. tadius  a d . finus uero an¬
guli  B A c fine  d a f eft re-
cla  D F .fmm deniep anguli
abc fiueper jS.p.  /. a D F
eft redi a  a f per 4. c. 7. p. 2. ^

Atqui:  .

Vt  A B ad  A D. it a  B G ad D  F. & ita  A C ad  A F
per 41.p.  /. Ergo

Liber Te rti vs.

63

rt

BAC.

Er go etiam  ;

A B ad  A C B. it a  B C ad

&ita  A C ad  ABC. &c.

Tn Triangulis ohliquangulis nihiletiaprorfus eji difficultatis.
F rimam enimfi cen- r

tro F Radio F E de-
fribašeireulmn EL.  E,-

perpendiculum E K.
er itfinus anguliEFD
pery.p. 2 . Demdeji
radio FE. aqualem ' 3>i
Jlatu.ts rad mm D G. & inde defcnbas circulum GT.perpen
diculum G H.firme er it anguli E D F.

Atqui utD Ead D G. (cuiaqualis E F) ita E Kad G H. p er
4  6 . p. i. Er go ut latue D E adlatus E F., it afinus anguli EFD
adfinum anguli F D E.

Jgmdfipro acuto F D E affumatur obtufus FIE.  &lateri TE
JIatuat ur acjiiale lat us E D : quia anguli El D dr E EI. funt
aqualesper s-p-1- Sinus anteni anguli E IT), ejl etiam finus
anguli EI F. p er i. c. 7. p. 2: ideo fmilit er erunt:

rt IE ad E F ( h o c eft, ut DE ad D G.) it a E FI ad
F TE. boe eft, it a E IG ad GH.

Jnumuerfumigittir  : lat er a finih us oppoftorum angulorum
funt diretle prcportionalia: cpuod demonfrandum er at.

TL L FSTR AT 10  per numeros.

Sit latus  A B. /. B C. 3. p e dum. Angu-
lus  ACB lat eri  AB. oppoftusft rechis :
cuiusJinuseftiooooo. Gupriiur:qmn-
tusftangulus  BAC. epu lat eri  B C efi A
oppoftus . Dico:

B

Schema
XLIX,

Scbemet

XLVII.

6  4

Trigonometrij

Vt  AB /. ad  ACB. iooooo. ita  B C. 3.ad B AC. 60000.

Er go angulus  B A C. efi 36.gr. jj. min.

NOTA. In ufu huius axiomatis: Si dentur duo late*
ra,una cum angulo,minori darorum laterum oppoft-
to: & quseratur angulus, maiori datorum laterum op-
pofitus: quiais angulus tam acutus quam,obtufus effe
poteft : 6dlnus utriuslibet eft idem pen. c. 7. p.2.
Ideo ne in calculo erres: qualis fit is angulus quem
quaeris 3  acutus an obtufus, anteomnia conftitutum
habeas oportet. Verbigratia. Si in Tnangulo EIFdentur
'Uter a E I& E F. una
Schema cum angulo EFI.cgua-
XLIX. rut ur ant on angulus
E J F. Si p erfolos na¬
mer o s ifia dat a fint:

Triangulum autem
ipfitm appicium non
fit: quia eadem dat a etiam in Triangulo D E F. inefie pojfunt:
propterea cguodlatus E D pote/l rjje spualc lat eri EI. angulo
E F I.& lat er e E F ijsdemrnanentibtss: ide o ne pr o obtufio
El F. inuenijje teputes acutum EDE.  ant e o?nnia confiitu-
tumhabeas oportet, cpualisfit angulus lat eri EF oppofitus,
quem epu ar is: acutus nimirum an obtufus ?

AXIOMA  pdVI NT V M.

In Triangulisp lanis umuerfis:

Vtfumma duornm laterum ad differentiam eorun-
dem; ita tangens dimidij fummse duommangulorum
oppofitorum, adtangentem diiTerentise infra ueifu-
pra dimidium.

DECLARATIO

Liber Tertivs. ~~

65 )

D EC L AR ATI O. In Tri -
angulo piano oblitpuangulo
ABC. dico tangent em dimi-
dijfumms. duorum angulorii ^
ad  AdB. ejfead tangent em
differentia angtdi ^fupra, & anguli  A . infra dimidium:
Vt eflfumrna duorum lat er urn  B C d' 1 ’ A C. oppoftorum ad
dijferentiam eorundem.

D E MO N STR AT 10. Defcript o enim quadrante  ABC
fatuantur anguli  D A E d E A C, anguliš  A B C d" B A C.
aquales. Acproindefit fimma duorum illorum angulorum,
mgulm  D A C. Dimidium illms fumrnaft  D A F uel  F A C.
Differentia anguli  D A E. fupra dimidium  D A F uel angu¬
li  E A C. infra dimidiumV  A C .ftangulus  F A E. Sulotenfa
fimma duorum angulorii
ftrecla  D C. Sinus angu¬
li maioris  D A E ft reci a
D G. Sinus anguli minorit
E A Cft rečlaC  H. Tan¬
gens dimidij fumrna duo¬
rum angulorumftY  M uel
E K. Tangens differentia
infra uel fupra dimidium

ft  FE. lam Triangula ff _

G D P d C P H .funt acfMangula per4. c. 4. p.p. 1.

Pr op ter aopiales  D P G d C P H.per/j.p.  /. & reli e sad G
d H. p er j. c.  7. p. 2 . Er go in boefecundofchemate :

Vt  PD ad  G D. it a  PC ad

Schema
L .

Sicut inprimo ,

C H. p er 4<t.p.T.

K

Vt  AC

66  Trigonometrij

Vt  A C ad  A B C. ita  B C ad  B A C. mioma prafens.

Latern igitur D P & P C. prorjm eandem habeftt rat tonem
infecundofchemate: quam lat er a  A C&B C in primojche -
mate. Jpuare reclam D C. pr ofumma dat onim duorum late-
rum A C&B C. partes uero D P & P C. pr o ipfrsduobuslate-
rib m AC&B C. affumere licet. £Iuo pojit o, N P efr differen-
'ti a  duorum Uterum.Latera autem ibi A C & BC. hi c D P &
P C. d at a  funt. Data igitur efl etUm dijferentU eoru Ut enim
N P. & eius dijferentU dimidium OP. Porro, qu:a TrUnguU
compofta AKL F EM. & ADN OP C.fant undip ?  aquian-
guU: propter parallelas T>C& K M. ide o & Ut er a  & Ut er it
fegmeta habentproportion.iUa.per 4 6. &47. p-.i.Acp roinde:
Vt D Cfumma duorum Ut enim: ad N P dijferentiam
earundem,

It a  KM dupla tangens dimidijfumma duorum mgutorum,
ad L E. dupUm tmgentem dijferentia infra ueljitpra
dimidium. Vel.

Vt O C. dimidiumjumma duorum Ut enim ad G P dimidium
dijferentU eorundem.

Ita. F Mtangens dimidj fitmma duorummgulorum op p o-
ftorum ad FE tangent cm dijferentU infra uelfripra
dimidium. Vel :

JLetentis prioribus quidem drnbus proportionis termin is in te*
grd:pofrerioribusuerodimidiatis: compendiofroris
caloidi gratia:

Vt D C. fimma duorum Ut er um adN P. dijferentiam eorun¬
dem: itu F M. tangens dimidij'duorum angulorum oppofrto-
rum ad FE. tangentem dijferentU infra uel fupra dimidium.
Ham ut totum adtotum  ; it a p ar sad p ar tem, Ergouttota

K  M . a  d

LiberTeb-Tivs.  f 67

K M ad to tam L E. it a dimidia F M. ad dimidiam FE.

ILLVSTRATIO  pcr nu- 8

m ero s. Sitjam lat m  A C. /.

BC. 3. fumma lat er n m 8. dif-
ferentia eornndem a.angulns
A C B. 30.gr. Fr go fiimma^
angulorum ad  A CF  B. er it 14 o. gr.per 49 .p.  /. euiftsjumm/t
dimidium  7 o. gr. cuins tangens 2823 9 r. fruaratur aulem

angulns ad  A uel B. quantmfit. Dico:

yt fumma laterum. ad differentiam corundem, it a

S  ...

Tangens dimidijfumma angulorum
oppofitorum.

282391.

odi 03898. tangentem aren* 4 6°. /. dijferentia anguli
A. infra & anguli ?>.fiupra dimidium.

Er go crunt:

70.  * . 70 0 .. o' \

46. 8 46. S

Angulus ad  A n 6 . 8 . Angulus adB. 23.32'.

Aihilautem intereffiue angulus ad  B fit acutmfine obtnfus.
Itern: mhilinterefi fiuefumma duornm angulorum cjiiadran- .
tem excedxtfiuenon excedat. Vt uidere poteris :fi adiftius~
modi cafusfingulos,frngitla diagrammata tibidelmcans.

A X10 M A SE XTVM.

In Triangulis planis uninerfis:
t latus maximum ad fummam reliquorum laterum:
itadifferentiareliquorum laterum, adfegmentumla-
terismaximi: quo demtojn relicli dimidium per-
pendiculmn cadit. k  ij DECLA -

61 -  Trigonometrij

D E C LAR ATIO.

Sit Edangulum ob-
liquangidum  ABC
elU6 E tetus mini¬
mum, K  C. maxi-

,W

mum  B C .Radio la-
Peris minimi  A C.

Schema centro  A dcfcnba-
LII. tur circulm  CBEF 3
fecans reliqua dno
Ut era in p unči is E
CrF. Et lat m  A B .porro pr o ducat ur in  D. Eritcp  B D flimma
lateru  AB &  AC. nam  AC &  AD aquant urperjlruEiuram.
BE nero erit dijferentia lateru  A B &  AC. Nam  AE & AC,
rurfes aquanturperflructuram. Nico.,

Primnm ejfe,ut  C B adB  D. it a  E B ad  BF.
Deinde,perpendiculum.A  G. bije c ar e reclam  F C*

DEMOAT-
SER ATIO.

Nam, quod
Schema ad  frhnum
LI1L Attmet ' Re - t

clangult a-
qudia hab et
latera reci-
procepropor -
tionalia per

2 . C. 42. p. I.

Atqui obloit-

'' ga,fačix

Liber Te rti v s. " 69

gafaEia ex  B D &  B E. It cm e x  B C &  B F funt reciangula
<equalia. Er go habent 'uit er a reciproceproportionalia : adeofe
trt  B CadB D  rta  B E ad  B F.

Minorprobatur. Nam qua unifmt aqualia, etiaminterfefe
fmtaquaUa. Atquioblongaex  B C & B  F. ItemexBD&
B E. funt aquaha um quadrato recita,  B K. tangent is anguli
B A K. Er go etiam interfefefunt aqualia.

Minor rurfum pr o bat ur. J cpremam qiddem de oblongo  B D
(A B E. quodft tzauaie quadrato  B K.fcgrob at ur :

Si recia bifecta continuetur, oblongum continuata fr conti-
nuationis efl aquale quadrato reci a ex bifegmento & conti-
nuationecompofita: minutcjttadrato bifegmentiper'4-4. p. 1.
Atqui  E Dr/? recia bife Eta in  A. &' continuat a ab  E in  B.

Er go oblongum continuat a  DB & continuationis  E B. cf
aquale quadrato  A B. minus quadr ato  E A. cui aquatur  AK.
p er confruEtionem.

Atqui quadratum  A B. minus quadrato  A K ef quadratum
B K .perjo.p.  /.

Er go oblongum B D ,B E aquatur cquadrato B K.

Deinde uero, de o blongo BC,B F quo dfit aquale quadrato BK.
fc pr ob at ur:.

Oblongum B C, B F e f aquale cjuadrato B G. minus auadra-
to F G. permodo cit atam n-4--p • se¬
jam addead oblongum C B, BF cquadratum F G. & inf sp er
cquadratum A G. •

idf faElumf ierit, oblongum B G,B F. una cum quadratis FG
fr A G. er it aquale qkadrato AB. Namper additionem qud-
dr ati F G. completur quadratumB G. cuiquadrato BG.fi
iungatur quadratum K  G. conficiturguadratum  A B..

:J  K iij Atcjui

jo  Trigonometrij

Atqui m a. dr At a  F G &  A G. fant quudrutum  A F, per so-,

p. i. citi aquutur  A K perflructurum.

Ergo oblongum  C B &  B F unu cttm quadruto  A K ejl uquule
quudruto  A B. Acproinde[me auudruto  A K ef uquule qus-
druto  AB minut quudruto  AK. hoc eft,quudruto  B K. per so.
p. i. Guterum:qitodfecundo loco p rop ofaimus :de perpendiculo
A  G. bifecunte recium  F C. idficprobutur. Jfaju Triungulum
F A C eft uquulium Ut er um  F A &  A C. perfiruciuram. Er¬
go perpendiculum  A G bifecut bafrn  F G. per 23.p. 1.

Igitur inTriungulo obliquungulo: ut latu* maximum ad,Jum-
num relicpuormn luterum: it a differentia reliquorum laterum
ttdfegmentum Ut er is muximi : quo demto in relicli dirnidiii
perpendiculum čudit, gfaod demonftrundum er ut.

IL L V STR ATI O  per numeros. Sint ergo datu triulute-
mAE.j«. p e dum.  BC. 21. p.  A C. 13. p. quurutur uutem
fegmentum  B F. quo demto de  B C. innotefunt  G C fa  GB,
huje s Triungulorum rečlungulo rum  A G C &  A G B. Dico :

Vtlutus muximwm ud fummum reliquorum laterum.
BC. 21.  ABe^AČ. 3j.

itu differentiu reliquorum luterum.

bkT.

adB F. ir. quo demto de B C. 21. relinqnitur F C. 10.
cuius dimidium efi  /. Ergo G C. efl s- G E. iti.

Vfus prseccdentium axiomatum,

Siue

Manudu&io, qua oftenditur, quomodo beneficio
paucorum illorum axiomatura quodlibet quas-
fi,tum,in quouis Triangulo piano ex quibusuis

tribus

71

Liber Tertivs.

tribusdatis quamfacilimereperiripofiit;
unico cafu excepto : de quo
mox dicetur.

InTriangulo piano dantur:

1. Vel tres anguli cum f nullo

latcre [veluno.

2. Vel unus angulus,cum duobus lateribus,

3. Velnullus angulus.,fed latera tria tantuin.
Nota. Nonpoteft dici: duos angulos dari: quia duo anguli

dan non poJJunt,quinfirnul tertius detur p er 4 p .p.i.

I. Si dentur tres anguli cum latere nullo: latus nullum
indeinueftigaripotefl. Tres enim anguli Inanguh unius
tribus anguliš Tnanguli alt er ms <zquales ejjepojjimt: etiamji
latera omnino

fmt in&cpuali*.

Vt tres anguli
Triangulorum
ABCC^DBE

Junt aquales:
propter bafes
KC& ~D  E- pa-
rallelaspersS.
p. 1. & tam e n
latera Tri an¬
guli  abc. mul-  -d
to / imt maiora,quam latera Trianguli  d B E. Hic igitur cafks :
isque folus: a Trigonometria excipitur. Ali o quin ex quibus-
Kiš tribus dat is cpuodlibet puartum inuenire Ucet .

2, Si

Schetm

LIF.

l%  Tri gonomet r! x.

7. Si denturtres anguli cimi latere uno: reliqua duo
latera nullo negocio reperiuntur per axioma quartu.

. 3. Sidetur unus angulus, cumduobus lateribus: uel .

quod idein eft: Si dcntnr duo latera cum uno angulo:
is angulus uel eftadatis duobus lateribus compre-
* henfus,uel uni eorum oppofitus.

Si datus angulus fit a datis duobus lateribus com-
prehenfus.-in redlangulis quidem anguli reliqui urn*
ca operatione reperiuntur per axioma fecundum hoc
niodo: Vcrbi gratia. Vt a  c. bajis ad  g

c B. perpendiculu : it a  a c radiu 4  ad  c B.

Schcma tangentem anguli  c a B. quonoto , not m
LV- etiam eft  A B c .per 52. p.  /.

Etdeindehypotenufa, per axioma^-r-

tertium uel quartum hoc modo.

Vt K  c. rad. ad  a b .fecantem anguli  b a c. it a  A c. bajis
ad  a B hjpotenufam. per 3.
t . - -■ Vel.

Vt  B a c. ad  b c. it a  a c B. ad  a b. per 4.
Inobliquangulisautem,primum reliquiduo anguli
inueniunturperaxioma quintuin : de-inde reliquum
latus per axioma rextum.

® Si datus angulus fit unidatorum laterum oppofi¬
tus, reliquaduo qusefitafacilime reperiuntur peraxi-
4 jma quartum.

Verbigratia. In Triangulo  a p. c,Jiue
Schcma. ‘idJit reclangulum Jiue obhepuangu-
LVI.  ' lam, dico:

j. Vt  a b Wac b. it a a  e. ad  ab c. — -f-—K c

. Not is ant e  acb &  a b » } notus etiaejl '  B A C per

75

Liber Terti vs.

Bac .per 4'p.p.i.V.rgo porrb
II Vt  a  c b ad  a b. ita  bac id  b c.

Quod frttiara perpendiculuin fcirecupis, inhoc
utroque gcnere obliquangulorum, ubinempedan-
turueltres angulicum latereuno, uel angulus unus
cumlateribusduobus, id repcries per axioma quar-
turahocmodo:

Schemu
LXXIX.

Vt  A C B ud  A B. iti  BAC. id  B C. •

4. Sidenturfolatnalatera:quodfitin obliquangulis
tan tura: principio fegmenta lateris maximi, in quoru
fegmentorum concurfumperpendiculum ab angulo
maximo demiffuin cadit,inquirenda funt.

Verbigratia. Seg¬
menta B G & G  C.

Deinde ijs inue-
tis quia haben-
tur duo Trian-
gula redangula
notorum lateru
duorum. .& an-
guliunius,angu-
li reliqui facili-
ine reperiuntur

peraxioma quartum : ut di&umfuitincafuproxime
praccedentc. L BARTHO-

BARTHOLO-

Schemu
L VIL

mxi  PitifciGrunbergenfis

TRIGONOMETRIJE

LlBEP,QVARTVS i
De dimenfione Triangulorum Sph&ricorum.
Axiomataproportionum in Triangulis Spb^ricis exi-
ftentiiim praecipua;,'& ad omnem eorum folutionem
abundefufRcientiafunt quatuor.

A XIO MA P RIM V M.

InTrimgulls Sph&ricis rečfangulis pluribus^acutum ad
bctfes eundem habentibus:

Sinus hypotenufarum & perpendiculorum omnes

n

L IB E R QVA RTVS.  75

fiintinterfefeproportionales.

D E C L AR AT 10 . Sit hemifiharium propofitu KMFAD.
&fintineo: horizon K At F A: polushorizontis D. circuli
perpolum horizont is D. tranfeimtcs K D F. (jr R D C. fiecan-
teshorizontemangulis adKRF  & C.reEtisper i' 7 - p-z.  cir-
etilus horizonti obiiquus M F A.fecans uertkalem K D F.an-
gUlisadE. recHs: pmppepni per emspolos M dr Atrmjeat:
p er r 7. p.i.ac uicijsim ab cofiechts in duos puadrantes M E &
E A per s t -p- z. In ifio hemijph&rio, dr in ifia circulorum
cmfiitutionefint inter ahadno Triangnla Spharkarečlan-
gulei AB C&A E F, drfintin illis,hypotenufit A E dr AB,
perpendicula E F CT B C. h a fes A F & A C. dr acutus ad bafies
A F & A Cidem E A F ud B A C. Denigjfimts hypotemifa.ru
AE&AB  fini reda IE radius dr GB. Sinus uero perpendi-
etdorum E F&B C. fint re cist E N dr B O. omnia per  7. p. 2..
Vic o iam, Sinus illos hjpotenufiarum dr perpendiculorum,
netnpefinus IE, G B, E N dr BO omnes efife interfefie propor -
tionales: a de o p, dat is pmbuscimg. tribus, elicifoffe opuartum.
Clarius: dačo ejfe

Vt IE ad EN. it a GB ad BO. dr uicijsim

Vt GB ad BO. it a IE ad E N. dr contra.

Vt NE ad EL it a OB ad B G.

Vel transpcfitis Termmisintcrmedjs per 42. p. 1.

Vt IE ad G B. it a EN ad B 0 . dr uicijsim

Vt GB ad IE. it a BO ad ENt dr toni ra.

Vt NE ad OB. it a El ad B G.

J) E M 0 NSTR  AT10. Si enim finus G B dr B O.conncthu
reci a G 0 utfiat mde Triangulam G B 0 . manifeftum eft Tri -
angula GB O&IEN.fare  aeguiangida. Frimum enim,qiua

L J reSia.

76  Trigonometrij

recite E N & B O. p er pendiculariter cadunt infibiectumpla-
num MF C. per thefm,drper 3. c. 7.p. 2. ideo cum omnibus
line d in eo piano duet is cmflituunt angulosrecios; adeoq ?  an~
guli E NI & B O G.funt recli. Deinde quia redi e IE & GB
funt inuicemp arallelap er 38. p. 1. cpuippe id eandem reclam
IA normales per 3. c. 7.p. 2. totum autem pUnum ME A
ubu^eodem angulo adplanum MF A e(l inclinatum: ideo
eti um p amile L in eo duela IE & GB y adparallelas IN & GO
in piano ME Afibifubieetas eodem angulo funt inclinata:
ateg adeo anguli E IN&BG O funt aqua.les.Et per confecpuens
in Erianguliš IE N & GB O iam duoJunt anguli duo bus aqua-
les.Ergo etiamfertiustertio eflaqtiulis\per 49.p.  /. aeproin-
de Triangula IE N dr GB O funt aquiangula. fhiodfifunt
aquiangula,etiam lat era habent circa aqualesangutos propor-
tionaliaper4-6. p.  /. adeo ^ funt : VtIEadEN. itaGBad
B O, &c. cpuoddem onftrandum er at.

ILLVSTRATIO  pernumeros.

Sint ergo darahypotenulae A E.90. gr. &AB. 42.gr.
una cum perpendiculo E F. 48. gr. 25. m. Qu$ratur au-
tem perpendiculum B C.

f A E. po.gr.  ] ( IE. 100000.

Arcuum  < AB, 42.gr. ^ Sinus \ GB. 66p 13.

datorum { E F.4 8. gr. 23. m.  J funt [e  N. 747 p p .
Dico igitur :

Vt IE.  / 00 o o o. adEN. 747 p p. ita GB 66313. ad BO. so oso.

Atquifmui s o oso. in tabulis refpondet ar c us 30. gr. 2. m.
Ergo perpendiculum B C. eft 30 .gr. 2. m.

Sint uiciffim dat« utrasque hypotenufe una cum fuis
iinibusj ut ante. Sed experpendiculis fitiam datu per**

pendiculum

Liber Qvartvs. 77

pendiculuB C. 30. gr. 2. m. unacu finufuoBO.50050..
OjaaeraturautemperpendiculumEF. Dico:
yt GB. 66(113. ad BO. foo so. it a  IE. 100000. adEN. 7479(1.
Atcpiiifinui 74799. in tabulisrejpondet arcus 48.gr. 29. m.
Er go arom E F eji 48. gr. 2 s. m.

Sint contra,data utraq3 perpendicula E F 8t B c una cu
hypotenufamaioreAE. Quacratur autem hypotenufa
minorAB. Dico.

Vt EN. 7479 9■ Ad IE. 100000. it a  BO. 90090. Ad GB. 66913.
Atcpuifimd 66913. in tabulis rejpondct arcus42. gr.

Er go hjpotenufa A B efi 42.gr.

A X10 M A SECFNDFM.

Jn T'riangulis Spharicis Reclangtdis p lunbits.Acutum ad
bajes eundem habentibnr.

Sinus ba-
liu & tan-
getesper-
pendicu-
loru om-
nes funt
inter fcfe
proporti-
onalcs.

D E C LA¬
RA no.

In priore
diagrama-
te:&inijs-
dem Trt-
agulis  a E F

L  J "tj &ABC.

Schemat

LFIL

7S T R IG O N ojlE  TRll’

d"  a  E c. ojuibus'fmm hafiu ae& a z. funt  i F dr  h c. Tan¬
gentesueroperpendiculorum  e fc. funt i.e&vc. Vko :
fnus illos bafurn dr tangent e s p er p endiculo rum nempefrnu
l  F &  H c. d? tangentes L  F &  p c.omnes effeinter fefeprapor-
tionales: adeofe dat d cguibuscunfe tribus , eliti p o [Je cgtiarttim.
tdarius ~ D ico effe

' Vt IF ad F L. it a H C ad C?. druitijTtm
Vt H C ad C P. it a IF ad F L. dr c ant ra.

* ■ Vt F L ad F/, itn PC ad C H.

Veltranspoftti termintiintermedijs,per 42.p. 2.

Vt IF ad H C. ita F L a d C P. dvuicifim ..

Vt HC ad IF. ita C P ad F L. dr'c o ntra.

Vi L F ad PC. ita FI ad C H.
VEMONSTRATIO.  Vnel d enim rediti IL ddHP.com-
plettifeTriangulti IL F & H P C. Triagulailla IL F&I-JP Cl
erunt aguiangula: Ergo & lateribmprop ortiouaha. p er 4.0.
p. 1. Trianglih ant,cm ILF & HPC erunt aqttiangtilk pr op ter
rectos.ad F fr C. dr aguales ad I dr H. ac proinde el lam a d, L
& P,.per 49. p. 1. Anguli p on o ad F & C. nempe anguli IF L
fg H C P. funt redti : eguia tangent e s arcuum perpendicularm
E F &B C.nempe reci a LE & P C. funt in to tuni p lanu m tir¬
adi MF A perpendiculares.per thefn &per S.p. 2.Ergo eti-
am in linčaš IF dr PIC. in illo piano dudi as. Anguli denia ?  ad
Idr Hnempe anguli LIP & PPIC. funt aguales: qtiia redila IL
fp H P. p er idemplannm duela, funt & inter fefi & ad planu
tir culi inclinationd KV Fp ar ali e la. A E qualibus igitur an gn¬
iti funt ad fubiedtas parali e las IF fr H C. inchn ata. £)ucz
dua, IF dr H C. propterea parallelafirnt :quia utr a g, funt ad
rčetam IA normdes.per 3. c. 7. p. 2. Redia antem IL& H P.

funt

3 LIBEK QV .4  K TVS.- 7 <p ■

JunfparalleU: quiafunt extremitates duortmfTnangtdortatt
}L F & H PC. qti£ totisfuisplams'funt muice far a  tlela: qtiip-
pe fliper bafes IF & H Cparallela-s perpendictilariter (pr o«
pt er tangent es CD &FL.perpendiciflares .) erecla. Retin de-
nifcIL & H P funt p er idem plamtmfemicirculi MB A du¬
ela : qmafecans quidern IL,cum feeetcirctdn ME A adp im¬
et urn E. nonnifi' p er plamim Hlini circuli incedere p otefi.
Sir/nhicrcf fecans I P, cum fccet eimdem circulum Al E A ud
punci um B. nonnifiperplanu eimdem Hlim circuli incedere
pcrtefl. £Modplanu>nquiaplanum efi,ideofi extendereturfe-
cundum lineam reci tv,n IP. in tangentem P Cad punclum P.
ineumberet: adeo%puntdum P effet m piano circuli ME Afit-
tis extenfo\eonflitiitiren. Atqui in eodem piano etiampunclii
FI efl confiitutum. Er po reci a P FI eft linearni er dno punti a
eimdem plani mterietla: acproindep er idemflanum daitla.
0u<£ omnia demonfiranda erunt.

IL L V ST II AT IO pernumeros. Sint ergo dat« ba-
fes A F. 90. gr, A C. 30. gr. 5:. m..unacum perpendicu--
lo E F 48.24 Qu«ratur au t e m p crp e nd i c u 1 um B C.

f A F' po.gr. d. f f 10.0000. JE.

Rafium  J ^ Sinus y

[AC.so.gr. 52.  ( funt L 11304. H C.

Ferpendiciili E F. 48.23. Tangens cjl 1126p p. L F.

Dico i pit ur:

ViIF. 10 o o 0-0. adLF. 1126pp.ita H C. 31304. ad P C.
tang. 3781 p.

AtquiTangentis78ip.mtabidis refondet ar cm 30. gr. 2.
m. Ergo perpendiculum B C. c fi 30.gr. 2. m.

Siri t uiciflim dat« utr«q; bafes, una cum fuis fini b us,

- utante

80 Trigonometrije

utante. Sedexperpendiculis fitiam datum perpendi-
culum B C. 30. gr.z'. unacum tangente fua C P. 57819-
Qu^ratur autem perpendiculum E F. Dico

VtHC. 51304. ad C P. 57815. itaIF.100000.adF L.
tang. 112655.

Atqui tangenti 112655.intabulisrejpondetarcm48.gr. 25 .
m. Er go perpendiculum E F. ejl 48.gr. 25. m.

Sint contra data utraq; perpendicula E F & B C. &  eo-
rum tangentesLF&PC. unacumbafi maiore AF&
eiusfinulA. Quxratur autem bafis minor A C fiuc
potiuseiusfinusPIC. Dico:

Vt L F tang. 112655. ad FI. rad. 100000. itaP C. tang.
55815. adHC. j 13 04.fmum ar cm 30%. 52. Jgitur ar cmfi¬
ne bafis A C. eft 30.gr. 52. m.

APPENDIX.  Ex h is duobm axiomatibm, & eorum de-
clarationibm ac demonfrationibm intelliget ingeniofm le-
člor: cur a finibus bafmm ad[inm perpendiculorum, & con¬
tra, argument ari non liceat: cum tamen afmibm hjpotenu-
Jarum ad fmmperpendiculorum, & contra,argumentari lice¬
at : quia nimirumfmm bafmm & perpendiculorum in eadem
Triangula rctdilinea non concurrunt. gguod etiam dociifimos
ahocpui mathematicos interdum non ammaduertife uideas.

AXIO MA TERFIVM.

In Triangulis Spharicis uniuerfs:

Sinus laterum,finibus oppofitorum angulorum funt
dire&e proportionales.

D EC L AR ATI O. Primum eflo Triangulum fph aricum

AB C. r e elan-

Liber O^vartvs*  *i

abc. rcttangulum
ad  c. Deinde conti-
n natis lateribus  a b

&KC.  C^CB. Uitfe

ad quadrantes : ut
fant  ae,afi^cd.

& dimifis ex polo
quadrantis KV.nem-
pe expunci o  d. ulij s
da ob us auadrajiti- \  /'

bus  d  F cf D H. atcfe  \
itn conftitutis t rib us  p

Triangulis nouis: reclangulis quidem  BDE & obliqua-^

gulo uero  b d G. Dico.

InTrianguloJph&rico reclangulo abc. effe:

Vt  a c b ud a  b, itn  abc ud  a c &ita  b ac ad  BC.
Vel tranfp ofitis terminis intermedijs,per 42. p.  /.

Vt  a c b ad  abc. it a KV, ad k c. &.

Vt k c v, ad  bac. it a  ab ad h c. &c.

S milit er ep in TrianguloJpharico obltquangulo  b  D c dico effe:

VtBDGadvG.  it a  b  c D adv,  D> dl itn  dbg^dg. &c.

D E M O NSTR ATI O. Nam, quod at t met ad Rečlangulu
a b c . in e o  a c b &  a e. Itemp BKC&BB.&ex  alt er a p ar te
A B c C'" o p. hocefl, angnli & menfura illorum angulortim
( Nam ut E Fe!l menfura anguli E A F. flOP  menfura ana
guli A B C.ica N D. fiueilli xqualis A E ud O B eft menfura
anguli A CBper 57,  p. t,) funt eiusdem quantitatis.

Ergo perinde e(l:fme dicam.

Vt kcb ad kb. ita  b  A c ad b  c. fiue.

Vt kb ad a  b. ita  e F ad  bc.

Schenta
L VIII.

M Atqui

«2

Trigonometrij®

Atpui hoc ualet : per primurn axiomajpharicorum. Ergo
etiam Ul ud.

Jtem perinde eftfiue dicam.

Vt  a c b ad  a b, ita  a b c ad A  c. fine
Vt  ob ad  a b. ita  op 'ad  a c.

Atcjiii hoc nalet.:p er pr imam axiomafpharicorum.

Ergo etiam illud.

<pu& uero conueniunt um tertio,

At pnip er dem onfirata:

Vt  A c b ad  a b. it a  abc ad  a c. &ita e  b A c ad B C.
Ergo etiam

Vt abc  ad a c. ita  b a c ad B C.

Deinde, quod attmet ad ohlipuangulum B D G. ffua p er de~
monjlrationem Retlangulorumfunt:

Vt D B ad DE B. ita DE ad D B E. Et
Vt D G ad D E G. ita DE. ad D G E.

Vel p er i. c. y.p. 2. ad D G B.
ideo p er terminorum pr oportionalium permutationem
etiam er it:

Vt D G ad D B. ita DBE uel D B G ad D G B,&c.
Slmditerp.: Si a punti o B in S arcusperpendicularis demitta-
tur. Jfuia tum erunt:

Vt BD ad BSD.  ita B S ad B D S. Et
Vt B G ad B S G. ita B S ad B G S.

Siue p er 1. cip.p. 2. ad B G D.
ideo etiam er it:

Vt BG ad BD, ita BD S fine BDG ad D GB y &c.
Namfifmt

Vt 4. ad 12. ita 1. ad 3. Et
Vt 2 . ad 12. ita 1. ad V,

etiam interfe conueniunt.

Erit

Liber Qvartvs. *3

Er it etiam

Vt 2. ad 4. ita 3. ad 6.  '

ILLVSTRAT10  pernumeros. In Triangulo igitur
fphterico reftangulo ABC:  primum fint data ACB,
AB & ABC.-in eadem quantitare, in qua pridem.
Quxratur autem latus A C. angulo dato A BC oppofi-
tum. Dico:

Ft A CB. po.gr. ad A B. 42. gr . ita. ABC. so.gr. 4. m.
100000. 66313. y66y2.

Ad A C. 30. s2. m.

S1303 •

Vel vice uerfa: Sintdata,AB Sc ACB & AC. Qucera-
tur autem ABC. Dico:

Vt AB. 42. gr. ad ACB. po.  gr. ita A C. 30.gr.  /i. m.
66313 100000 31304.

ad ABC. y6 6y2. Sinum arcui uelanguli  / o. gr. 4. m.
Deinde fint data :ACBStABScBAC. Quasratur
autem B C. Dico

Vt  A C B. go.gr. ad  A B. 42. gr. ita  B A C. 48. yr. 2s- m.
1 o o o 00. 66313. 74793.

ad  B C. so o s o. finum arcus 30. gr. 2. m.

Veluiceuerfa:SintdataABd r ACB& BC.

Qu3eratur autem B A C. Dico:

Vt  A B 4 2.gr.  ad  AC B. 30.  gr. ita  BC. 30. gr. 2. m.
66313. 100000 sooso.

a d B A C. 74333. Sinum 48. gr. 21. m.

Dcnique,fintdata BAC, St B C St ABC. Quxratur
autem A C. Dico

M ij

VtBAC.

84 Trigonometrij

Vt BAC.4-S.g r. z s. m. adBC. j o. gr. 2. m. itn ABC.so.gr. 4. m.
74799  S 00s o. 76672.

ad  A C.S13 o 30.gr.  s2. m.

Vel uice uerfa: fint data B C & B A C 6c A C. Qmeratur
autem ABC. Dico

VtBC30.gr. 2. m.adBAC. 48°,. 2s'• itaAC.30. sr. 32. m.
soojo 74799 • S1303-

(žiABC. 76672.finimi so -gr. 4. m.

SimiliterinTriangulofphaerico obliquanguloB D G.
Primum fmt data D B G. D G & B D G. Quteratur au¬
tem B G. Dico

Vt B) B G. s o». 4  • ad D G. 40°. s S . itn B D G. 2S 0 *. 14 -
76672. 71830. 47306-

ad B G. 443si. finum 26 ♦. 20.

Deinde fint data B G.BDG & DG. Qmeratur autem
DBG. Dico

Vt B G. 26°. 20.  ad BOG. 28°. 14. itn D G. 4u.  //■
443 S 1 - 47306. 71830. ■

nd.DBG.766 72.Jinumso 0 ,. 4.

Deniqqfint data D G, D B G St D B. Quaeratur autem
D GB. Dico.

Vt D G. 4S°. s S \ ad D B G, so. 4 . itn DB. S9°■ S S r .

71830. 76672. 86373.

ad D GB. 32331. Sinurnnnguliobtuji 112.gr. 3s. m,

NOTA. Inufuhuiusaxiomatis eadem ambiguitas
acciderepoteil,quam in ufu quarti axiomatis planom

accidere

Liber. Qvartvs. tf

accidere pofte fupra dixi-
mus: ubi apparet cx Sche-
mate confunili ABCD.

Ideo ne in tali cafu decipi-^
ariS;, acutum pro obtufo,
aut contra, colligendo,
attendas oportet.

A X10 M A OVARTFM.

In T'riangulisJph&ricis uniuerfis:

Si dno lat er a figillatim quadrantibus minora, primum ipfa
interfefe,deinde latu* minus cnm complemento maioris com-
ponrn-, EtJinui ar cm compofitipojlerioris jinttm complemen-
ti arcus compofitiprior isJubtrahas,uelfinum excejjus addas:

EH:

Schem.%

LIX.

VtRadius admedietatem rečteperillam fiue fubtra-
čfionem fiue additionem fačfic: ita finus uerfus angu-
lia diClis duobus lateribus comprehenfi ad rettam,
quafubtra&ade fina arcus compofiti pofterioris.re-
linquitur finus complementi tertij lateris: uel., dc qua
fubtra&us finus arcus compofiti pofterioris relinquit
finum excefius tertij lateris.

D E CLARATIO. Ho c axioma nanos habet cafm,

Prirnim enim,dno latera,angulum datum aut cjuafitumin-
cludentia,fimtilfumta,uel funt cpuadranti &qualia uel in&-
qnalia : & hac,minora uelmaiora. Deinde angulus datus aut
cpufitus, uel efi redim, uel obliquus: atrp is actitm uel obtufus.
JD e n i lat us tertm,ang(do dičlo oppofitum uel efi auadrante
minus uel maim. Tribm autemfchematibm omnes ifios cajits,
fatisperjj>icue,ut op mor, explicabimm.

M Oj In cpuorum

ss

Trigonometrij

In quorumfingulls Triangulorum obliquangulum exemgli
gratia grogojitumefi  A B C. in quo uel datajunt duo Ut er a
AB &B C.unacumanguloadB. & quafitum latustertium
K C. uel dat afunt omnia tria. Ut er a, & quxjitm angulm late-
ri tertio  A C. oggofitm. Porro,duorum laterum KB &  B C.
datum udquxfitum angulum (quifemgerftatuitur adl& ) in-
dudentiumfatm mirim efl  A B, Ut us maius  B C. Laterimi-

fiori ABeJl aqualis ar cm G N. g erflrucluram. Lat eri maiori
B C. abfcindantur de circulo D AB ar cm aquales B F & B D.
gergarallelum, golo B. exganJione circini B C. in fugerfcie
globi defcrigtum\cmmgaralleli diameter eJlD C F. circum-
fcrentia ingrimo tantumfchemate not at a D X F. g unči ofuo
X. in globo concurrens cum g unči o C. circuli maximi B C. Et

in illo

Liber Qvartv$.

t

S7

Scherm

LXI.

in illo ipfiparallelo D XFnotetur menfiura anguli adB. arcns
D X. p er 6.p. i. eimq,finm reclmKC.per 7. p. 2. &finus uerfm,
per S.p. 2. Lateri denicp tertio A C. itidem abficindantur de
circulo D AB ar cm <zquxles A K& AM. perparallelu IC CM.
polo A. expanfione circini A C. in fuperficieglobi defcriptum.
H is itaprafiruciis,pnmum cornponanturduo lat er a  A B d 1 ”
B C. uelB F. datum uelquafitum angulum  ABC includen-
tia: & fit ar cm compofitm prior  A F. in primofchemate qua-
dranti KQ&qualis: in fecundo minor : in tertio maior. Ac
notetur in fecundo ueltertio fchemate finm complementi uel
excefim V F. Deinde lat m minus  A B. boe efi,perfiruiluram
G N componatur cum complemento lat er d maior is G D: &fit
ar cm compofitm poji er'tor D N: eim^ finmreclm D P. De

quofimu

8$ Trigonometrije

a

ScbemA

LXII.

epuofinu D Pfiihtrahatur inficundo fichemate finmcomple-
menti V F uel P R. In tertio uerofehematead etmdem finum
DP, addatur finm excejjm V F uelP R,ut innoteficat reci a,
D R. cjU£ junci a cum reci a D F p er redam R F. confiituat
T riangulum planum redangulum D RF. per enim raedium
ducAtur reli a T E bifecAns redam D F in E. per firuduram :
adcocfue etiam redam D R.per 4 s. p.  /. & confiituens Tri-
angulnmD TE. ACjutAngulum Triangulo D RF. per 3S.p. 1.
QuoTrianguloDTE confiituto :Dico quodfit:

Vt Radim E D. ad medietatem red ee D R. nempeadredam
D T. it a  fmm uerjits Angtili ABC nem p e red a D C. ad redčim
D L. qud demtA de 'finu ar cm compcfiti pofierioris D r. relin-
cpiiturreda L P.fiueper 3 9.p. 1. K O.finm redm ar cm ICII.

fine CS.

89

Liber Qvartvs.

fine C S. complementi tertijUt er is A C. Ete ontr a:

Vt me diet as recla D T. adradium D E. it a reci a D L poftfuh-
traclumfintim complementi tertij la ter is definu D P relicpua*
adfinum uerfum D C. &c.

D E AtO N SER AT I O. Triangula enim TDE& LDC.
funt atpuiangula :per'Jlručliiram & per 3 S.p. 1. Er go lat er A
habent circa aqualesangulosproportionaha.per ^.p.p.i.  Nec
o bflat, quod reči a D C & D E. funt in minorespartes diftri-
buta,quam reci a D L&DT.  pr op ter radium DE minorem
radio H N cum quo radio H G, in partes aqualesdi-
uife funt r e cist D L&DT.  Nam in cpuantascunfc partes imii
uel alt er um lat us in Triangulo piano diuidatur : modo latus
homopeneum cum bomogeneo, hoc efl, hjpotenufa cum hypo~
tenufa,perpendiculum cumperpendiculo, & bafis cum bafi in
e as dem partes diuidatur: nihil interejl. Ferbi gratiajn Tri-
anguliš ABC&DBE.  nihilinterefl,(iuedicam,

Vt AB. 10. ad D B  /. it a B C. 3. ad
B E. it. Siue:

Vt A B. s. ad D B. at. it a B C. 3. ad
BE. it.

CONSECTARI  v.M.  Exhac declaratione &demon-
ftratione patet: Si anguius datus ad B fitrečlus: eiusq;
finus uerfus EJB^radius: in eo cafu nulla uel diuifione
uel multiplicatione opus efte: fed per folam additio-
nem & fubtradfionem finum complementi tertij late-
ris reperiri pofle. Qriod compendium calculi Trigo-
nometrici quouis auro efipreciofius. Etetiamnum

N compen-

Schema

LXIII.

5?o Trigonometrij

compendiofius fieri potcfi;: fnn fecundo fchemateii-
misVFnon fubtrahaturdefinu DP:fed e contrario
addaturadfinumDP. recla D V'.  aequalis finui V F. r
Tum enim medietas refta: ^ P fiatim erit finusTP. -r
quxfitus. Et,fiin tertiofchematefinus VFnon adda-
tur ad finum D P. fed ex altera parte tantundem,nem-
pere&aD V. ab eoauferatur. Nam & tum medietas
rečbe V P, fiatim erit finus TP. quaefitus.

J L L VSTRATIO P ER NVMEROS.  Primum genus
exemplorum: ubidatisduobus lateribus coniun&im
quadrantiaequalibus, unacum angulo ab ipfiscom-
prehenfo,quxriturlatus tertium: autcontra :dato eti-
am latere tertio, quxrkur angulus ipfi oppofitus,
fecundum fcherna N", i.

Sch emu

LX.

A

.1 Siangului

•ji

L IS ER: Q_VART VS.

L Si angulm datmfit reči m  : eimcpjtnm uerjm D E.

A B. 3S°'- 40. idem. 3 /♦. 40'*

B C. 54- 20. compl. 3j. 40. '

A F. po. 0. D N. 71 . 2 o. D P. 0 4740  •

DTuelTR - 4737 o.Sinus arcus

2S 0 ,. id.enim compl. 61. gr. 44. m. ejl ar c m A C. cjiiafitm.

II . Si angulm d At mfit acutus: eimjjlnus uerjm B C.
AB. 3 *°- 40'■ idem 3S°- 4 o'.

BC. s4- 20. compl. 3S- 4 °•

~~AF. 90. ~o~. D N. 71. 20. DP. 04740.

D T- 47370 •

ABC. so. 0. Rad. DE. 100000.

Compl. 40. o. - CE. 64277.

D C. 3S721.

VtED. 100000. adDT. 4737 0. itaD C.37721. adDL. '
1602i. cjuo fubtračlo de D P. 0474 o. reUnqiutur L P.

77 Si 0 .jinrn ur cus si. gr. 6. m.cuius complementum3 S.

gr. s 4- m. ejl ar cm A C. epuajitm. p

III. Si angulm dat mj,It obtufm: cimcpfmm uerjm DjC
AB. 3S°- 40'. Idem 3s- 40.

B C. S4■ 20. Compl. 3s. 40.

A F. 00. o. D N. 71. 20. DP. 04740.

D T. 47370.

ABC. 112*1. 37 •

0 0. o. DE. 1000 o o.

22. 3J. Eb. 38403.

Db. 13S403.

N j VfDE.


92 Trigonometrij

VtBE.100000.adBF.47370.ita Bb. 138403. adBa.

6 6361. quo fakt raci o de D P. 9474 o.. relinquitur a P.
28179. Jinus ar cm 16°. 22' .cuim camplementum 73°.

3 8'. efi ar cm A C. tpiufitm.

IV. Sidatumfit latm tertium, quod hicjemper ejl quadran~
te minm, Verbigratia , Si datum fit latm A C. cju&ratur
autem angulmA B C.

AB. 3J°. 40'. idem 33. 40.

B C. 34. 20. Compl. 33. 40.

A F. 90. o. D N. 71. 2 o. D P. 94740'

A C. 38. 34-

31. 6 .  ■-

B E 47332.

L P. 77819.

DL. 16921.

VtBF. 47332. adBE. 1 ooooo.ita B L. i692i.adB C.
33721. quoJubtračlo deB E. 10 o o 00. relinquitur 64279.
Jinm ar c m 40.gr. c uim complem entum 30.gr. ejl
angulm A B C. quafitm.

Secundumgenusexemplorum : ubidatis duobusla-
teribus coniun&im quadrante minoribus, una cum
angulo abipfis comprehenfo^uasritur latus tertium:
aut contra,dato etramlatere tertio, qu 3 eritur angulus
ipd oppofitus: fecundum fchemaNt. 2.

I. Si angulm datmfit rettm: eimcpfinm uerfmD E.
AB. 28%. ij.  idem 28°. i{.

B C. 40. 30. Compl. 49. 30.

A F. 68. 43. BN. 77. 43. B P. 97723.
F£L^2i. 17. FF. uelPR.nelBr.36244.

Pr. 133 967.

TP. 61983.

Sinm

Liber  Qv artvs. 93

Sinus urcus 40%. 3. cuius complementum 47. gr'S7'l Jt .eji
arcus A Ccjuoefitus.

r

B C. SP*- f8. Compl.30. 2.

AF.86. 18. D N. 56.  2 2. D P. 83260.

3. 42.  —--- FF. 64.33.

DR. 76807
DT. 38403.

AR C. so. 4. 10000 o.

3p. s6 .— 64190.

Schemx

LXI.

D C. 3 s 81 o ,

N lij

rt d e.

5 V  . . T R. IG O N O M E T B. I M

VIDE. iboooo.ad DT. 384.03.ita D C. 33810. adD L.
13732. quofubtraclo del)p. 83260. relincptiturL P.

6p s o S.jimis m' cm 44°. 2'. enim complementum
43. gr. 48. m. ejl ar cm A C. auafitm.

III. Si angulm dat mfit ob t ujm : eimcpfmm uerfm Db.
AB.26. 20. idem 26. 20.

B C. 43 . 38. Compl. 44. 2.

A F. 72. 18. D N. 70. 22. DP. p 4186.

F JE 17 . 42* " ---■ VF. 30403.

D R. 63783. '~\

ABC. 112.33. ■ DT. 31891.

po. o. D E. 100000.

22.33. E b. 38403.

Db. 138403.

VtD F,. iooooo.adDT. 318p /. itaDb. 138403.adD a.
44138. quo fubtraclo de D P. 941S6. relmogutur a P.

3 o 048.finm ar cm 2 6°,. 20'. cuim complementum
3 9. gr. 38. m. ejl ar c m A C. puafitm.

IV. Si datujit lat m tertium: quod etiam in hoegenere cxem~
plorumfemper efi egiadrante rninm: Ver bigrat ia. Si datum
fit latm A C. piuratur autem angulm ABC.

AB. 26. 20. idem 26. 20.

B C. 39. 38. Compl. 30. 2.

A F. 86. 18. D N. 36. 22. DP. 83260.

6633 .

3. 42.-

AC. 48. S8.
44. 2,-

-VF.

DR. 76807
DT. 38403.
,LP.  69308.

DL. 13732.

Vt DT.

Liber Qvartvs. 9 ",

Vt T)T. 3 S'403. ud D E. 100000. itn D L. 13732. adDC. 3 spo¬
jinam uerjum: cjuo fubtra.il o de D E. 100000. rehnqiu-
tur C E. 6 s-i 9 o .(inm reclits anguli CB E. 33°. ji .
cuius complementumso. gr. 4.m. ejl
angultts ABC. cgu&fittte.

Tertiumgenusexemplorum:ubi datis duobus late-
ribus coniunčHm quadrante maioribus, una cum an-
gulo ab ipfis comprehenfo, quaeritur latus tertium:
uel contra; dato etiam latere tertio, quaeritur angulus
ipfl oppofitus, fecundum fchema NL 3.

I. Si Angulus dat usfit rc cim y  eim^finm nerfite D E.

A

96

Trigonometrij

AB. 40. 6. idem 40. G.

B C. 72. 12. Compl. 17. 48.

A F. 112. 18? D N. s 7- S 4- DP. 84712.

F . 22.18. FF. ud P R.uelBr. 37346.

rP. 4G7GG.

T P. 23383.

Šimu ar cm 13°. 31'. enim complementum A C. 7G.gr.

2p. m. eft Ut m tertium qu&jitum.

II. Si angulus dat us(it actitus: eimcjtiefrmu uerfiu D C.

A B. 4J. s8. idem. 43. j8.

B C. sp. s S. Compl. 30. 2.

_ A F 10 s- S G-  D N. 76. o. DP. P7030,

((FF. IS- SG.  —--—- FF. 274S2.

DR. 1243.82.

AB C. 28. 14. D E. 10 00 o o. DT. 62241.

Gi. 4G. C E. 88103.

D C. 118p 7.

Ft DE. 100000. adDF. G2241. ita D C.nSp7. ad D L.
74 01. quo fiibtrado de D P. P703 o. relinquitur LP. 8p G2p.
Jintts arciu 3 p°.  j /. cuitu complementum 26°. 20'.
e ji Ut tu A C. cgu&Jitum.

III. Si angulus dat tu Jit obtufiu: eituepfmtu uerjiu D b.
AB. 43. S S. idem 43. s 8.

B C. sp. 38. Compl 30. 2.

AF.10s.16. D N. 76. 0. D P. 37030.

cpF. 13. 16. - - FF. 27432.

ABC. 112. 33. DR. i24jJI.

Exc. 22. 33. Db 138403. DT. G2241.

Ft D E.

Liber Qvartvs. 97

rt DE. roooo o adDT. 62241. it a  Db. 13 S4 03. adDa.86143.
qU0 fubtracio de D P. ■97030. relincguitur aP. loSSj.fmus
arom 6%. z/. izmik  complementum S3.gr. 43. m. efi
A C lat m tertium qmjitum.

IV. Si angulm dat m dat m fit ob tu Jus, eiustfefinus uerfius D h.

AB. 4s. s idem. 45. s S.

B C. sp. S S. Compl.30. 2.

A F. 10 s. z6. D JV. 76. o. DP. 97030.

fifF. ij. J 6.  _ - — FF. 27432..

D R. 12 4483 .

ABC. 170 . DT. 62241,.

9 °-

Exc. 80. Dh. 198481.

VtD E.100000. adDT62241. itA Eh. 198481.
ad D g. 123336.de quofiubtraclmfi-
nusDP. 97030. relinquit

P g. 26306. finim ar cm 13. gr. 22. qui addi-
tm ad quadrantem 9 o. gr. conjiituit A C lat m
ter turni quafitum. 103. gr. 2 2..m.

NOTA. Siquartusnumerusin hoc cafu idem repe-
riatur cum finu DP. quomodo reperiretur ex firm uer-
fu D1: i n d i c i oe fi, t erti Li m latu s e'fTeq u a d r a n t e m: quia
nullurn habet finuin complementi uel exceiTus. Nam,
fiDP. fubtrahas a DP. rellatnihil.

V- Si lat m tertium datumfit quadrante minus : eimfe
complementifmm L P.

O

A B. 4 s.

$>S

Trigonometiua

AB. 4 S • s8. idem 43. s8.

BC. 39. 38. Compl.30. 2.

~A F. 103. 36. D N. 76  ~D P. pzojo.'^^

£VF. 13. 36.  ■--- - V F. 27452 ,

, D R. 124482.  |

A C. 26. 20. DT. 62241. J

79 . sS. - —L P. Sp 62 o'  V

D L. 7491.

VtD  T. 62241. ad D E. 100000. it a  D L. 7401. ad D C.11S97 .
qHofiibtrAČio de DE.  / 00000. reJlatCE. SSjop.Jinus
An guli CBE.  61.46. cuius complementu 2 S. 14,
ejl Angulus A B C. qu£fitm.

VI. Si Id trn tertium datumfit qmdrAnte maitts:
excejfus(inm P g.

AB. 47.78. idem 47. 78.

B C. 79. 78. Compl.30. 2,

A F. 107. 76. D N. 76. o. DP. 97030'.

£Up. 13. 36.  —-— VF. 27432.

A C. 107°. 22. DR.1244S2.

Exc. 13. 22. P g. 26306. D T. 62241«

D P. 97030.

Dg. 123336.

VtD T. 62241. adD E. 100000. it a D g. 123336. ud D h.
198481. finum uerfum An guli ABC.  cjit&Jiti

17° • gr-

rsvs

Liber  QvARfvs. 99

•VSVS PR.ECEDENTIVM AXIOMATVM,

Siue

■McmudiiSHo, qtia oftcnditur, quomodo beneficio Moram qm-
tuor axiomatum, aua. bačtenus explicataJnnt,cjUodlibet
cpufitum in opioms Tnmgulo Sph&rico,c[u&m
facilime reperiri pojfit..

Principih memento, Triangulum fphxricum aliud
ePc.reQangalum,aliudobliquanguli.Mn. Et reEhmgu-
guloru aliud habere tre s, a Im d duos, aliud unicuresM.

Si igitur Triangulum fpha;ricu rečdangulum habeat
tres redlos: datis trib us illis re&is,etiam Iatera ipforuin
datafunt: &contra,per6S. p. i.

Si Triangulum fpharricumre&angulum habeat du-
os redlos : datis duobus illis rečlis data funt etiam
duo Iatera,du-obus illis reclis oppoflta: nempe duo
quadrantes, per6S. p. i. Quod fi praeterca etiam detur
latus tertiunguel angulus tertius.-dato horum alter-
utro,etiam alterum datum erit: cum latus tertium an-
gulo tertio quadrantetenus oppolltum, nihil aliudflt
quam anguliillius menfura,per 58. p. 1
In his igitur duobus caftbus nullaTrigonometria eft
opus. Atfi Triangulum fphxncum reclangulum
tantumunieum habeat reCtum, eteteros duos obli-
quos,ineo cafu Trigonometria fepe requiritur.

Cum autem triplef fit huiusmodi Triangulum fphx-
ricutn re&angulum. Vel enim anguli reliqui duo am-
bo funt acuti, uel ambo obtufi, uel alter obtufus, alter
acutus,per 63. p. 1: Axiomatanoflra, non nifi eorum
foiutionemoRendunt: quxduos habentpraeterredlu

O ij acutos:

10 o

Trigonometrij

acutos: acproinde latera fingula quadrantibusmi-
nora. per 65. p. 1.

Quodfi igitur foluendum tibi detnr Triangulutn
fphaericumre&angulu cum duobus obtufis: aut cum
uno obtufo & altero acuto: aut cumlateribus duobus
figillatim quadrante maioribus : pro eo Triangulo
foluas Trianguliim minus ipfi oppofitum. Vt.

Sidetur tibifoLuendum Triangulum B D C. reclangtdum ad
D. & obtufmgulumadE&C.pro eofoluasT'riangulu A B C,

Scbema,

XXIII*

Triangulo B D C. exangulo D, oppofitum. Cuibuscun^ enim
fribus in Triangulo B  D C dat is: etiam tria inTriangnlo ABC
dat a erunt: cum anguli ad A & D fint aquales p er sp-p- r.
latera uero AB& A C. laterum B D dr CD. obtufi deniq ; ad
B&C. acutorum ad B & C. complementa, pertio. & 21. p. 1.

Similiterfi deturtibi foluendumTriangulum C E D.
redlangulum ad D. obtufangulum ad E. & acutangu-
lum ad C. pro eo foluas Triangulum E D F Triangulo
E C D. ex angulo C. oppofitum 1 .

Si uero foluendum tibi detur Triangululphtericum
redangulum, cum duobus acutis: aut cum laterihus
omnibus figillatim quadrante minoribus :in illo ni h i 1

quaer£

Liber Q_v a rt v s. ioi

quazri poterit: quod non beneficio paucifilmorum
noftrorumaxiomatum : extribus quibuscunq; datis
unica uel multiplicatione uel diuifione: au t interdum
edam fine omni tammuldpiicadonequam diuifione,
per folam additionem & fubtrračKonem reperias: mo¬
do hocobferues : utfiinipfo Trianguio propofito
idoneaadfoludonem proportio interdata 6z  quasfita
non appareat, mox fingula eius laterausq; ad qua-
drantes continues: & to tam figuram quadrante clau-
das.Idenitn fi feceris, in complemends datorum &
quasfitorum laterum & arcuum certifllme reperies
proportionem aliquamtuoinfiituto inferuientem.

Verbigratid. Si in Trianguio AB C  s

ex datis lat er e A B.& angulis B A C
&ACB.  cjti&ratur lat m  A C. qma
nulla in bis datis & cjtistfitis pr op or- ^
tio apparet, cuius mentio facla fetin
axiomatibus proportionum : ide o lat er afingula mq ;  ad qua-
drantes continues, &totamfiguram quadrante D F claudas
hocmodo.-

Jgm continuatione facla in
Tnangulis B D E & CD F. ap-
pareftalis proportio: de quali
attumfuit axiomate fecundo.

Ter iftud igitur axiomafic
concludes:

Vtfinns bafs D E ad tangen-- a
tem perpendičuli E B. it afinm
quadrantis D F,fiueradins ad

tangentem

TS

Y


Schemd

LXIK

Schema,

LXK

302 Trigonometrij

tangentem F C. enim complementum eft areni A C. aua/itui.
Si mi liter, Siin Triangulo ABC daliji n t
emnes angitli: quaratur autem perpendi-
Schema cu ^ um  B C. quia in h is dat is (J cfumfitis nul-
LXFI  ^ App dret pr op ortio : fecimdum nojlra^
qmdem axiomata: ide o Triangulum ABC
continucs hoc modo:

Ghip facio erit m Triangulo
VEB, Vt DBEad  D E. it a
Schcma ® EBad  D B.peraxiomaterti-

lxvii  um ’ °t uo  ^ noto ’ notum e fi

etiam eius complementum B  C

V

Quodfiprima continuatio nonfuffecerit: etiam fe-
cundam adhibeas licet.- utfa 61 :um uideš in hoc exem-»
plo : ubi ad quasrendan\

ex d a ti s tribus angulis hy-
potenufam prima conti¬
nuatio non fuffecit. Se^
cunda igitur aflciuimus:
Schema  [ loc e q- . continuauimus
LXVIII.  etiam Triangulum BDE.
ut pridem continuauera-
mus Triangulum ABC.
quo fačfcgapparuitefle. g
VtHI. tang. adlB. rad. it a
D E. tang. ad E B.fmum,per

C

.4


H..1--.. I

*

'E?

axiom$

Liber  Q_v/Rtvs. 103

dscionu fecnndtim,ctiim B E aren* complementum cjr hypo-
tenufa A B. cju&fitd,.

DE OBLIGVANGVLIS.

Atq;, hac de rečiangtdis. De obliquangulis ab initio
idem feremonendus es,quod de re&angulis: nempe,
fi foluendum tibi deturTriangulum ob!iquangulum,
laterum figillatim quadrantibus maiorum :proeo fot-
uasTriangulumipfioppofitum.- quod, later u m fi tfi¬
gillatim quadrantibus minorum. Quam oppofitione
didicifti lib. 1. prop. 60. Nam axiomata proportionfi
noftra: etfi quodammodo geiieraliaefie poflint: prte-
cipue tamenaccomodata fant ad ea Triangula, quo-
rum latcrafingula,uelcerte du-o prmcipalia ( qučeni-
mirum angulum datum aut quafitumincludunt.)
figillatim fint quadrantibus minora.

H o r 11 migi t ur qu te d a m absq;redu£fione ad rečlangu-
la folui poflimt: q uče d aru absq, reduefione ad reefan-
gulafoiui n on pofiunt.

Absq;, reduefione ad rečfiingulafolui pofiunt: qute
tertiouelquartoproportionu axiomati conueniunt.
Tertioproportionum axiomati conueniunt, inquL
busuelexdatisduobuslateribuseum angulo trni eo¬
rum oppofito : angulus alteri eorum oppofitus: uel
contra ex datis duobus angulis, cum latere uni eorum
oppofito, latus alteri eorum oppofitum inquiritur.
Vtinifiis:

In sjtubus ejl: ut GIH ad G H, it a H GI ad HI. Et
HtKLadKML, it a K M dd K L M.

SchemA

LXIX.

104

Trigonometrij

Quarto proportionum axiomati conueniunt, qux*
damperfe.,quxdam per accidens.

Quartoproportionum axioma.ti pcrfe conueniunt:
in quibus uel.exdatis duobusjateribusfigillatim qua-
dranteminoribusunacu angulo ab ipfis comprehen-
fo, latustertium:uelcontraex datis omnibus tribus
lateribusangulusquispiama duobus lateribus figil-
schema  latim quadranteminoribus, comprehenfus, inquiri-
LXX.  tur. Vtiniftis:

In quorumpofterioribus duobus: quxlatus g h &kl
habentquadrantemaius : Si tališ inftituatur inquifi-

3

€

tio qualem fequentes notx indicant.


p

Schemu

LXXI.

Quiaficduolateraangulum datum uel quaefitumin-
cludentia non funt utraq; figillatim quadrantibus mi-
nora: utaxioma quartum requirit: Pro Triangulo
G HI uel KI, M. foluas Triangulum H N O uel L P
in quo utrouis,duo lateraangulum datum uel qutefi-
tum includentia, iuxtapraeceptumquarti axiomatis,
figillatim funtquadrantibus minora.
QuodfilatusGHuel KLfit quadrans : non necefle
eftut foluas Triangulum obliquangulum G HI uel
KLM. Sedfoluere poteris re£tangulum,quod tali obli-
quangulofemper adiacet: utex fequentibus tribus
fchematibus apparet.

P Inquibus

105

i MCONOMETRi®

H

j

Schemz

LXXIL

In quibus fi latus minus G I uel K M continues usquc
adquadrantem GR-uelKS. InTriangulis GHR&
KLSanguliadH&R. itemadL &S. erunt redi., per
68. p. i. & latus HR udLS  eritmenfuraanguli adG
ud K per 58. p.i. adeoq; exifletinde redangulum JHR
uel M L S. trium datorum : quo redangulo foluto,
etiam obliquangulum illi adiacens : ( quippequod
complementaredanguli contineat) folutum crit.

Hisobferuatis:quartumaxioma flifficiet: neq; opus
erit,utad fingulos obliquangulorum cafus lingula
axiomatafabricemus: quodalioquifieri poterat.

Sed & illud hoc loco tenendum efl: Si data quidem
obliquangu!i prcpofitiad quartum axioma congru-
ant: Quidltum uero non kem: Vt in iftis :
InquoriTmprimoquteriturangulus adB uelC: in al-
terojangulus ad G. ud H. principio latus B C ud G H.
quserendumefieperaxiomaquartum: Deinde exillo
inuento^anguli quicunqi reliqui per tertium.

107

Liber  Q_vartvs»

B

S Šema

lxxiii ;

Atq‘,lijecdeillis obliquangulis: quas quarto propor-
tionum axiomati per fe conueniunt.

Quartopropordonum axiomati peraccidens con¬
ueniunt: inquibus uelex datistribus angulis Jatus
aliquod, uel exdatis duobus angulis cum latereipfis
interiacente tertius angulus inquirituf 3  ut in iftis:

propterea ,r.

dico pet accideš 7 1  A

conuenire quar- / \ / \

to axiomati:quia er ? < Sčhem*

non aliter ipfi^ ^^ / J. LXXIK

conueniunt:qua “ <r "—°

quatenus laterain angulos & contra, anguli in iatera
permutantur: quod qua condicione ficri poffit:6frcn.-
dimus lib. i. prop. 6 1 . quam propofitionem qui peni-
tus intellexer'it,Šc animo probe infixcrit ) nihii hic pra>
terea defiderabit. In tyronum tamen gratiam: qui
praecipua pncccptiorium momenta non femperob«
ieruant:idhicrepeto& inculco: inhac permutatio-
neangulorum & laterum,pro latere maximo & angu- •
loipfioppofitofempercomplementa ad femidrcufu
effefumenda; propter caufas addičlan* prop. 6i.  libri
I. oftenfas. Exempltgratia. Sun Triangulo D E F. angulos

P ij in Lit erx

. jo3 Trigonometrij

„ in Ut era dr contra
permntaueris, Trian -
Sthema g U i ttm . ' ln( l e tcL l e ex i-
IXXK p t>  q UX [ e e ji GHL
' Vnele apparet ad cal-
cttlum a/fumendum
ejfe nonJinum uerfmn Ut er is D E, fed complementi adfemi-
c ir culum: quod complementum re/pondet obtujo H IG.
Caeterum,quod de illis obliquanguIis monuimus:
quaeperfequarto axiomati conueniunt: nempe, fi
Dataquideaxiomatiquarto conueniant, Qux iitum
uero non item; id etiam hic locum habet.

Ver bi gr at id. Sim obliquangulo AB C. ex
dat is angulis ad A dr B,und cum Ut er e AB.

Schema inquirendum/it Ut us A Cuel B C. princi-
LXXVI. p 10  optt&ras oportetangulum ACB.per axi-
oma quartum: dr tum denifc Ut us A Cuel A
B Cper axioma tertium.

Reliant illaobliquangula;quae neq;,tertio neq; quar-
toproportionum axiomati conueniunt. Inquibus
nempe uel ex datis duobus lateribus & angulouni
eorum pppofito,angulus neutri eorum oppofitus aut
latusanguloignoto oppofitum: uel contra, ex datis
duobus angulis, & latere uni eorum oppofito, latus
neutri eorum oppofitum, autangulus lateriignoto
oppofitusinquiritur. Haecfoluinon poffunt, nifiad
reOangulareducantur. Adre&angula autem redu-
cuntur,per dimifilonem perpendiculi. Quod perpen-
diculum uel extra uel intra Triangulum cadit. Extra

Triangulum

Liber Qvartvs.

Triangulum cadit: fi dimittatur ab angulo acuto.
IntraTriangulum cadit, fi dimittatur ab angulo ob-
tufo. Vtcunq; autemcadat: fernper angulo noto op-
ponitur: & per axioma tertium reperitur,hoc modo.

j. Vt ADB. ad AB. ita DAB ad  D B.

2 . Vt G H F. ad G F. ita. HGF ad H F.

3 . Vt IMF. ad IK. ita MIK ad MK.

4 . Vt PJj)0. adPO. ita OP Jgjid O
f . Vt RVS. ad RS. ita V RS ad V S.

6. Ut WZX. adVVX. ita Z VVXadZX. P iij Imen -

u

Schema

LXXVII.

Trigonometrij

Inuentis autem perpcndiculis BD> FH, KM,&c in
omnibus iflis obliquangu!is habentur bina rečtangu-
1 a tri um Datorum: Ver 'oj gr ati a.  *Intrimo genere A BD &
D CB :infccundoiE F H (jr G F H : & ita dane ep s.  Quoru
rečbmgulorumbencficio., quicquidin obliquanguiis
adiunttis requiritur, facilimc reperitur: prasfertim, li
latera fingula usquead quadrantes continuentur:
hocmodo.

Quacontinuatione fa&a : Si o s

ex datis A B, B C,B A C. qu3era

Sinexijsdem datis quasram angulum ABC.dico:
peraxiomafecundum.

I. *VtD HadHE. itaAFad F E,cjuofubtradio de EH reji at

F H.

II. Vt D H adH E. ita C Gad G E. cuim comflementum
ejl G H. cpuo fubtracio deFH.reJiat F G. menjura anguli
ABC. auajiti.

Schema  A C. dicopcraxiomaprimum.
E XXVIIII- Vt H D ad D E. ita F A. ad A E „

G

Catera ufm tedoeebit.

II*

BARTHOLO-

masi Pitifci Grunbergenfis

TRIGONOMETRIJ
Liber Qvintvs.

De compendijs quibtesdam Canon is Tnangulortim
& cmdendi & njiirpandi.

Superioribus quatuor fibris neceffaria Trigonome^
triaspraecepta perfecuti futnus. Quintohoc & poftre-
mo libro compendia ouasdam tradcmus, Canonis
Triangulormn tam condendi, tum ufarpandi: non
neceflariaiilaquidemi fcd quas tamen magnum & ju-
čundum in Trigonometria ufum habeant.

COMPENDIFAl CANONIS condendiprimum.

XXXV. Differentiafinuumarcuumduoruma Sexa~
gintagradibus hincindepariter diftantium, efl asqua-
lis finui dillantiae. Finch. & Lunj} er g.

D E C L A R A 'TI O. Sint duo  B c
ar c m C N & P N. a do. gradi-
bmMN, hocefi,a pando AT.
hinc inde paritev dijhtntes.

Sintci }  finus iilornm arctt-
um , reda CIC & P L, in ve¬
dam AN perpendiculares per
D c. 7- httius: ac proinde inuice
paralleUper 3 S. p. 1. F orr o, in
Te dam C K ducat ur normalis PT, parallcla reda K L per 3 S.
p. i.Hac,red* P L de reda CIC ahjcmdet a^ualcm TK, per

39-p.r.

m

Trigonometrije

3p. p. i.& rclinquet dijferentiamfnuum CK & P L, rc-
čl um T C. Sinus denitfe diftantia alteriusutrius a 6o. gradibus
ftrečla C D uel D P. Dico: rečlam TC. rečta CD uelD P
effe aqualem.

T> E MO NSTR  AT 10 . fguia enim in Triangulo CGPper-
pendicularis G D bifecat bafn C P, per j. huius & per thefin:
ideo lat era. GC&G  P funt <equalia, per 23.p. 1. & anguli
CGD &DG P itidem funt aquales,per eandem: & anguli de-
ni J G C P & G P CfimiUlerfunt aqualcs per 2 6. p. 1.

Atqui angulus C G T>efl 30. partitm: quippe aqualis angulo
P AM.per38.p.  /.

Pr go angulusCG P ejl 6 o.partium: quippe adangulu C G D.
duplus.

f)uia u er o angulus CG P ef 6 o.partiufdeo relicpui dno G C P
CA G'P C. fmulfumti funt 12o.partium,per 4p.p.  1.

Atqui reliqui illi duo demonjlratifunt aquales. Er go fingnli
eorumfunt 6o.partium.

Totidem autem partium er at etiam angulus CG P. Er go Tri-
angulum C G P eft aquiangulum.

fhiia uero Triangulum C G P ejl aquiangulum, ideo etiam ejl
aquilaterum ,per 2 S. p. 1.

figi a porro Triangulum CG P ejl aquilaterum, ideoperpen-
dicularis P T bifecat bafn C G, per 23.p. 1. lam, lat er a C P
(J C G funt aqualia.

Er go etiam eorum bifegmenta CT & CDfunt a qualia. fhte d
demonftrandum er at.

CONSECTARiVM.  Datis iglturfinibus fexaginta
quorumcunq;graduum, finus reliquorum triginta
graduum per folam uel addidonem uel fubtra&io-
nera reperire licet- /Z. L v s TR A-

LlE E R O^VINTVS. Irt

J L L FSTRATIO  per n u m e ro s. Sint ar cm CN. 70. P N. so.
CM nel PM10. gradim. Nam totidegradibm ar cm  70. &so.
graduum ab aren 6o. graduiihme indediflant. Sinttfe primd
datifinm 70.& 10. gradili/. Jguaraturautefinm s o. gradili/-.

Definu 70. gr.C K. ---- P3p6p.

Subtrahe[mufa 10.gr. CDuelCT. - 17364.

Et relinquetur (inus s o. gr. T K uel P L. 766 o s.

Sint deinde datifinm70. & / o.gradmim.

Ouaratur antemfin.m  / o. graduum.

Definu 70.gr. CK. ---— P 3  P 6p.

Subtrahefmum jo.gr. T K. uel P L.  ---. 76603.

Et relmqueturfmm 10.gr. TCnelCD. 17364.

Sint denifo datifmm so. & /o. graduum.

Adfmum so.gr. P LuelTK. -- 76603.

Adde finu 10. gr. D P uel T C. __ 13364.

Etfietfinm70.gr.  CA'.—- '_ Z pspSp.

COMPENDi  V M C A NO  N IS  condendifiecundum.
XXXVI. Differentia tangentium duorum arcuum,
quadrantemfimul adimplentium eft duplaadtan-
gentem differentia arcuum. Adrian. Rom.
DECLARATtO.

Sint dno ar cm-, qua~ /
drantem fimul ai-  3
implentes, CD &

BD, corumfo Tan-
gentesCG & B P.

Etarciti CD fiatu-
atur rtqmlis ar cm
B S. unde apparebit
differentia dat or um

Schema

XL.

Jifi, arenam

rtj.  Trigonometrije

ur čutim C D ttel B S & B D ar cm S D. Tangenti it em C Gfia~.
tuatur aquxlis Tangens B T. unde apparrebit dijferentia dat a*
rum Tangentium C G uelBT & B P reci a TP. Arcui denug
SD.fi atuantur &quales ar cm B L. fr BO.quorumarcuum
Tangentesfint B K fr B M. Dico, rectam Tfifdifferentiam  T
. nempe dat ar um duamm Tmgentium CG& B P effc duplam
adrectam B K, Tangentem djfferentiadatorum duonim ar¬
enam. Tel cjuod idem efi: dica,reclam- T P effe amalern reci at
MK.

D E MO N STKAT 10. Si enim ah <equalibus auferas £qna-
Ua, qti£ ref!ant funt aqualia.

Atqui reci e. KP&MTfunt aqnales.

Er goJi ab utracp auferm rečlam IGT,qua rejlabunt reci a
TP  & MICaqualeserunf.

Affumptioprobatur. Nam qu<& eidem Jimt atquaha : etiam  .
inter ffe funt apualia.

Atqui reci n IC P & MTeidem reci a IGAfunt aquales.

Er go etiam interfefe funt aqua!es.

Ajfumptio rurjumprobatur. Acprimum: qpod recla K P[it
aqaalis reci a IC Afcprob at ur.

Guia in Triangulo AKP anguli KAP & K PAfunt aquales.
Ergo etiam lat er a ipfs oppofta^nempe lat era IC A fr K Pfunt
aqualiaper s-p- r.

<£110  d antem anguli IGA P fr K P'A interfefint aqualesin *

- , depalet,quia eidem angulo IS A C funt aquales.

Nam angulm K P A efi &quxli$ anguio D A CpergS.p.r. An-
gulm uero K A P efi £qnald eidem angulo 1 3 A C,per fr liciti¬
ram. Ar cm enim B L pojit m efixqualis areni S D differentia,
arenam D C fr B D. Angulm igitur B A L. uel B A K efi dif-\

ferentiit' k

Liber  Qrr-NTvs. tif

ferentia hiter angulos F? A P & D A C. Cnm ig/tur angttlt
KAP&KPA  eidem angtt lo DACfant £quales:etiam inter
fefe xqualcseffeneceffe efl.

Deinde, qtiodreUa MTfat agualisreihe K A fineg erfant-
Utiram reci a MA fic probatur.

cguia in Tdangiilo A M T. anguli AtT A & M AT fant x-
qnales,ergo etiam latera ipfas oppofata, n-empe latera MT~&
M A fant aqttaha,per s-p- i~

fauod autem anguli MTA & M AT fmt xquales y indepatet.
fauia angulus MTA efa apualis angulo T A C. g er 3 S. p. r.
An gubaš autemT A C e(l xqualte angulo TA AT p er far kB ti¬
ra m. Arcits enim C S & SO p ofitifant xquales.

Differentia igitur tangcntium duorum ar čutim qu.adra.ntem
famuladimplentium, ef dupla ad tangentern differentia ar-
cuum. Quod demonfarandum er at.
CONSECTARIVM.Datis igiturtagentibusduo-
rumarcuum, quadrantem funuladimpLentium, da-
tur ctiam tangens differentix duorum illorum arcuu.
6t contra. Data tangentedifferentiahuimmcdi,duorum ar-
euum, una cnm tangente anus alterimutrms, datur ctiam
tangens arctte alt er ms.

JL L VST R AT 10  per n urn er os . Smt dat at tangent e s ar¬
enam 36. &C4 -/• gr. Et q tur a tur tangens differentia iliorum
gr cuum: qtix differentia eft 18.gr. Calculus tališ er it«

/4 .gr.  Tangens. 133638. E P.

'36.gr.  Tangens. 72610.. ET.

Dtffercntia.

ii(Bs.

64-383.  -- T P. uel M K.

32492. B K. Tangens ar cm

B L«  / 8. graduum«

Contra,Sit dat a tangens differentia iS.gr. unacum tangen *

iL H t£

tič  Trtconometru

te Arctis 3 č. gr. rpuaratur autem tangens ar c us S4-.gr. CaU

iuhis tališ er it.

t8.gr. Tangens  — 32402. BK.

E ms duplum  — S 4.3  S/. MK. uel T P.

3d.gr. Tangens — 72634. BT.

Summa —137638. B P. tangens arcus S4%

■ Vel,Sit datatangens differetia 18%. una cum tangente arcus
j 4°. jguaratur autem tangens arcus 16°. Calculus talit er it.  .
j8. gr. Tangens - 324p 2. B K.

Eiu-s duplam. 64.P84. MK.ttelTP.

S4-gr. Tangens— 137638. B P.

Differentia 726 /4. B T. tangens arcus 3 ff.gr .

C O M P E N DIV M C ANO N IS condendi tertinm.
Secans arcus eftajqualis tangenti eiusdem arcus &
dimidij complcmenti Finck&Lansb.

T> E C L ARA TI O.Sit.
datus arcus D E.
fecans A G. complemen -
tam arcus
D B.firnifdis

Schema plemetijit CD.cuiaq
XLI. Id ftatuatur E E Jic,
tangens arcus dati
G E. tangens uero dimi¬
dij complementi
J)ico re Siam
p o ji tam nempe reclam
G H. r e Sl a  A G. ejje acjualem.

DE MO N STR ATI O. In Tnangulo enim A G H. angtdi
AHG&GA  IIfunt sujuales.Ergo etiamlatera ipfis oppojita

AG&

Liber  Q_viNTvs. ' 217

AG&GHfmtaqualiaper3.p,z. Anguli autemAHG&
G A H. funt aquales. Guiafunt stqualium angulorum C A G
&E A H, complementa.Nam angulus quidem G AHefi com-
plementum anguli CA G. m quadrante CAH.  perthefin:
Angulus nero AHG.eJl complementum anguli E A H in Tri-
angulo E A H. p er s 2. p. z. £)upd demonftrandum er at.
CONSECTARIVM.  Datis igitur tangentibus arcus
& dimidij complementi datur eiusdem arcus fecans.
Et contra.Dato fecante arcus,ima cum eiusdem arcus
tangente,datur tangens dimidij complementi, ibiper
additionem: hic per fubtra&ionem.

ILLVSTRATIO  per numeros. Sit dat a tangens arcus
23°. 3 d. &dimidij complementi33°. zf. (pupratur autem
fecans arcus 2 3°. 3 o'. Calculus tališ er it.

Arcus 23 0 ,. 30. Tang. 4348:. GE.

Compl. 64  30.

SemifIs 33. z3.Tang. 6s363. EH.

Arcus 23%. 30'. Sec. 103044. G H. uelAG.

Contra. Sit dat afecans 23 0 ,. 3 d. una cu tangete eiusde arcus.
(poprat ur ant e tangens dimidijcoplemeti. Calculus tališ erit.
Arcus 23 0 ,. 30' f Sec. 103044. AG.

Compl. 66.30.  [ Tang. 4.348z. GE.

Tnmid.33. zy. Tang. 63363. EH.

C 0  M P E ND 1 VM C ANO N IS condendi (gnarium.
Secans arcus,cum tangente eiusdem, eft 3 equalis tan¬
genti arcus ex arcu dato & danidio complemento
compofiti.

DEC L AR ATI O* Sit arcus D E fecans A G. tangens E G.
Dimidium complementtim arcus D Efit arcus CD. & arcus
inde compofitusCE. & eiusdem arcus tangens E F. Dico
*’ • cŽL Tangen-

J-lS  TRICONOMETRtS

Tangentem F. F. effc &qualem fecanti
A G & Tangenti GE.fmulfumtisfoc
■eft, Dico reci'am A G reci ve F G ejfe
&cgualem.

D E MO N STR AT 10 . Tn Triangn-
lo enim A F G anguli A F G & F A G.
funt atpuales.Ergo etiam Ut er a angulčs
tlUs oppofta, nempe latera A G & F G.
funt acpaaliaper s-p-  /•

Anguli autem A F G & F AG. funtin-
terfe Acjuaies.Jpuia, eidem tertio,nem¬
pe angulo B A Ffunt aquales: angulus
•cpaidem CA Gpcrfrači uram: angulus
uero A F G. p er 3 S. p. 1.

Secans igitur ar cm, dre. Guod demonfrmdum er at.
CONSECTARIVM. Dato igitur fecante cuius-
cunq;,unacum tangente eiusdem, datur tangens ex
arcudatoSt dimidio complemento compofiti. Et
eontra:data tangentearcus unacum tangente arcus,
cxarcu dato & dimidio complemento compofitis^da,-
tur arcus primi fecans. Ibiper additionem : hic per
fubtračHonerrf.

ILLVSTRATIO  per nu  meros. Sit data fecans arcut
5 o* gr. una sum tangente eimdem. £) upr a tur autern tangens
arem 70.gr. exarcu dato so. & dimidio complemento 20. co~
pofti. Calculm tališ er it.

Arcm so.gr. f Secans 1SSS72. A G.

Compl. 40.gr .  [ Tangens 11$ 17$. GE.

Vimid.2 o. gr.

Arcus comp.70.gr. Tang. 274747. E F.

Sint

Liber  QviS T *rvs. ' ft?

i 1 /«? centra dat a  tangent e s so. & 70.gr.hoc eft, are usfimpli-
Gis,-& ar cm cumdimidio complemento compoftti. ppupratur,
mtemftecans arenefimplicis. Calculus tališ er it.

Arcus compoftti 70.gr. Tang. 27474.7.E F.

Arcns fimplicis so.gr. Tang. 11717s ■ E G.  s,

Arcusfimplicis so.gr. Secans isSS 7 2 - A G.

C O M P ENDIVM CANONIS  ufttrpandi primum.
yt  finus ad radiom: ita radius ad fecantem comple-
menti.

D E C L AR AT IO. Efto anus
propofttusBC. eiusep complemen-
t um C F. finus rechss a rcus B C.
ftt rečla G C. uel AD.per 7.hnius.

Secans compiementi C F ftt rečla,

A E. pen o. p. eiusdem. Dico
guodfit  :

VtD A ftnus arcus B C. ad A C
radiitm : ita F A radius ad A E
fecantem compiementi C F.

J) E M 0  NR TR A TI O.- Triangula enim ACD & AEF.
funt <equiangula: propterparallelas Ct) & E F. p er 3 S. p.  /.
Er go habent lat er a crr ca eundem acutum A.proportionalia:

Schema

XLIIL-

p er.7. d. p. 1.

CONSECTARIVM.  Quotiescunq; igiturin regula
proportioniun primplpco eft-finus, fccundouel ter-
.tio radius : hoc eft qqotiescunqj datur proportio fi~
nus adradium: pro ea proportione,proportionem ra¬
dij ad fecantcm complementi aftilmere, 6oita diuifip-
oem eititarclicct..

ILLVSTR^-

tift Tri gonom e te. iJe

ILLVSTRATIO  p er numeros. Sit datum extmplum
huiusmodi. 20°. 4!

Vtfin. 34311. itd 100000. itU475Č. (fiuefitfr,tu
fiue tangens,JlueJecans,Jiue aluis (puicunap numerm)ad
epuartum epuafitum.

In huiusmodi exemplo:fi uulgari uia procedendam Jit: mul-
tiplicatio quidem, perfoUm additionem c^uintj. cpphrarum
perficietur: at diuifio oper osefiet p er numerum 34 311. prim»
reguU aurc<o locopofitum, boe modo.

4-33600000

_ 3 43**  (13861. Opiat'tens.

132400

343 **

102033 _

20337°

3431 *

274488
210820
343 1*

20.7.8.6.6

40740
343 II-
Kejiduum. 13220.

Hanc igitur opero(km diuiftonem ut euites : collara radium
primo loco : & feemtem complementi arens2o 0 .. 4!. nempe
fecantem 241449.fuhjhtuein locum radij: & caleuhts mul-
to breuior tališ er it.

Vt,343**.

Liber  Qjvintvs.

Vt 34311. ad _ 100000. ita 47S<f*

100000 . 4 ^ 2 p 1443.

_ flStf

17486P 4
1437243
204.0143
11637 36
13861 \31444.

£ 7 uotiens  |

A ut,JI radi tufitpojit iž 4 tertioloco, transpone, & eotloca ntt~
meroshocmodo:

Vt 34?n- ad 47S6. ita 10 o o 00■

100000. 231443.

D cin de multiplica numerum tertium p er Jecundum  : & de
pr o duel o abfcinde not as tpuinfa : ut ant e.

COMPENT 3 IVM CANONIS
ufurpandifecundum.

Vt tangens ad radium: ita radius ad tangentem com-
plementi.

DECLARATIO&DE-
MONSTRATIO. Nam
utBCadCA.  ita AD  ad
D E. per 38. & 4 6.pp. 1.

CONSECTAR I VM.

Quotiescunq; igitur in
regula proportionu da-
tur primo loco tangens,
fecundo ueltertio radius,

Scherna

XLIV.

R hoccft;

lit  TrICOKOMETRIJE

hocefl: cjuoti£scunq; datur proportio tangenti s a d
radium : pro ea proportione, proportionen: radij ad
tangcntemaccipereA ita dmifionein euitare-icet.

ILLFSTRATJO  per numeros. Sitdatum exemglui#
huiuemodi. 21. gr. 30. m .

Vttang. 3939 i.ad 1o oaoo.it etquicwq s nit*
merus 3562. ad auartum.

Ca Icidne uulgaris tališ er it.

336200000

39391 (p042. gueticnt«  v

, 3343 r 9. _

168t00
39391 .

\ . 137.3 .6.4. _

103360

39391.

7.8.7.8.2

26S78. Refiduum.

At, campendio adhibtto,calctilus tališ er it«
n rang. 39391. ad 10000 0. it a 3362«

300000 „ 233863.

_3Sd2. _

S 07730
2323190
1269323

j 6 iS 9 S _

9042\67130,

J 1 KIS.

1

I

Canon Triangulqrum
Siue

TAB VLAESI-

NVVM TANGENTIVM

ET SECANTIVM

Ad partes radij rcoooo. &:adfcrupulaprimft
QuadrantiSo

R 2

TABVL^IE

59

5 «

57

5<Š

55

54

51
5 1
5 _<_
5o
+9
48

47

+6

t!

44

4-5

i!

4-1

4o

39

38

37

3f

35

34

33

32

3 1
30-

$P

TAB VL/E


R 3

TABVL&

£fc±att

/

t $$

TABVL&

59

5»

57

56

55

11

55

5 '-

5»

4-8

47

4-6

4J

44

43

4i

4 «

40

39

38

37

3f

35

34

33_

3i

3«

3°

i  $7

S

59

5 &

57

J6-

55 .

II

51

52
5_>

5°

49

48

+7

46

45

44

4j

42

4'

40

39

38

37

i£

35

34

33

32

3 1

30


!l$c>

S 2

TABVL&

• es

S 3

i

TABVL/E

$4

TABVL/E

IX«

59

58

57

56

55

54

5 $

52

5 »

5 o
4-9
+8

4-7

4.6

+5

44

4 ?

i!

4»

40

39
1 38

135

3 *

3 *

3»

83 T

li fežagtas* -ngj.-.-!  -■-  „--  ;:.-y r —caiarifrrrvir*#

tabvl/E ***

TABVL/E

5 ?

53
57

5 ^

55

54
53

52

11

5 °

49

48

4-7

46

45

44

43

42

4 '

40

39

38

37

36

35

34

33

32

, 3 »

30

TA-BVL/E ' :

v  3

77

TAB VL/E

7 $

TAB V L JE

X

" TABVL£

59

58

57

56

55

54

53

5J

5 _*_

5 «>

4.9

+8

4-7

4^

44
43
42

4»

4.0

39

38

37

i!

35

34

ii

31

3 *

75

TA B VL/E

r s7

j

rs

x

3

TABVL^

72

TAB VLjE

i

59

58

57

5 <*

55

H

53

52

5 *

5 °

4-9

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

3f

35

34

33

3-2

3 »

3?_

jp :

3 »

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

4 ?

5 °

5 ^

52

53

54

55
5 ^

E

5  8

59

60

TABVL&

r <?

f 6 /

i‘7P

=š=>«c4a«awT d*5e5iB5»sn*- ^rf£X*

TABVL*

6 $


• j LC-

i lč>$

TABVL.E

Z z

TAB VL/E

$5

z j

04

iy(f

26

1

2

J

4 -

j

7

8
_9
to

1 1

1 2

»3

‘4

_|5

16

»7

18

20
2«

2  2  ’

23

24

25  j

26 j

27

78  j

29

tabvle

\ 6 $


TA-BVLiE

59

5»

57

5*

55

11
53
5 2

11

?0

4-9

i!

4-7

46

45

44

43

t!

4«

40

39

3 «

37

3f.

35

34

33

32

3 »

30


Aa z

n.

TAB VL/E

59

55
57

56
55
H
53

52

5»

5°

+9

+8

4-7
46
45
44
43
42

4*

40

39

38

37

3f

35

34

33

32

3*

30

ČJ

TAB VL&

6S

Ja j

TAB v L.£

' ; 5P

57

58

57
5<>
55
54
53
52
5_>

5°

47

+8

+7

4<5

45

44

43

42

4*

40

39

38

37

3f

35

34

33

32

3>

joj

58

TABVL&

59 I

5» :

57

5*

5?

54

53

52

•5»

5o

4-P

+8

4-7

46

45

44

43

42

4«

4o

39

3«

37

3 £

.35

34

33

32

3»

30

57

***  TABVL#

TABVLviE

C c

ipj

2 9  '
28
27
2d

2 5

24

23

22

2t

20

<9

»8

«7

id

<5

14.

»3

12

11
10
_9
8
7
d

T

4

_3

2

1

o

55

54

— |1 V T n n 1 11 •—  . . . .

sar

TABVL/E

5 £

Cf 4

52

TABVL£

V d

zor

2 9
28
27  '
26

H

23

22

2t

20

<9

»8

«7

»6 !

»4
'3
1 2

11
10

8

7

d

5

4

_3

2

(

01

s 7

Dd 2

50

TAB VLE

Dd 3

TAB

TABVLvE

Ee

i?

z8

27
26

25
2 +
23
2  2

28
20
»9

l 8

«7

16'

14.

‘3

«2

11
10

l

JP

i 8

i 7
6

5

4

_3

2

1

o

147

ii* '^'magrlL,—*

TA BVL-fc_.__


Bartholomsei Pitifci

PROBLEMA-

TVM VARIORVM:

Neme

Geodseticorum/
Altimetricorum,
Geographicorum,
Gnomonicorum,&
Aftronomicorum:

LIBRI DECEM.

Trigonometriae fubjunčH, ad ufum eius
demonftrandum.

AVGVSTdE VINDELICORVM
typis Michaelis Mangeri.

Et

ImpcnfisDominici Cudodis Calcographi.
cId.  Ia. Id.

Ff Bardi o-

m a

Bartholomsei Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATV M G E*

ODITICORVM
Liber unus.

PR.LFATIO,

S Ocrates huncprincipalom Geometrih (cuius p ar s efi Tri-
] gonomeina) finem ejfeJlatuebat : ut agrumplanum me ti¬
ri dmiderea,p oftis. Tanti Philofophi judicium fecuti,ijliu*
generis problematibus rneritoprimum locum attribnimus.
C sit er um, cum narisefmt rationes agri plani dimetiendi,mihi
e afemper uifa ejl expeditifima, qua fit itelper cpuadrangula,
uelper triangula re Elangula. Nam Ji dno lat er a includentia,
reci um, int er fe multiplices, produElum multiplicationis to-
tum, er it ar e a cpuadranguli-, dimidium, trianguli; a talibits la-
teribnsconftituti. Vtfiduolatera includentia reci um A E C.

cempedarum , Jr B C.  j.

int er fe multiplices, pro-

„ , duclum multiplicationis
Scherna 1

totum,nempeao.entare-  .
LXXX. j j. , ^ ^

a quaaranguli ABC D.

Produclum uero multi¬
plicationis dimidiu nem-  .

j  o

A B C. ut ud ex admnclo diagrammate liquct. Ad huiusmodi

igitur

i

Liber. V n  vs. zif-

ivit ur Trianglih plana reclangula quomodo agcr qmlibet y
qui-'formam exaBsOjuadrangulam reBangulam non habeat y
fine errore reducigofiit,dnobnsproblematibiu ofiendemite.

PROBLEMA PRIMVM.

Agrum plan um mult angulum, cuius dat a fint latera
un d c um diagonijs:Jed anguli non item : in Triangula
reciannda dijfertire.

Schema

lxxxi.

Sit propofitus ager planus multangulus ABCDE.
Et fint data eius latera omnia: ima cum diagonijs A C
6t C E. quterantur autem perpendicula B EC G & DH.
una cumfegmentis diagoniorum A F & F C. Itcrn A G
& G E, & deniq; C H & H E. Etfmt, A B. 7- pedum, BC>
9. C D. 10 .  D E. 4 .  E A. /7. A C. 13 .  C E. //.

Dico gr o folutione Trianguli oblfiuanguli ABC.

I. V t A C . adAB&iBC.ita  differentia inter AB & B C.
13  1(5. 2.

ad^rf- quo demto de A C. 13. relinquiturio T f. cti-
ius dimidium5^. eftAF. quo fubtra&o de A C. 13.
" Ffi ij  relinquitur

ZI.S  pROBLEMATVM GEODiTlCORVM.

relinquitur F C. 7Jnr. per ax. 6 . planorum.

II. Vt AB. ad AFB. ita A F.

7. IOOOOO. Jx?.
ad finum anguli A B F.

75274- — 48 *. 50'.

cuius compl. eft B A F.  41.10. pcr 4. pl.

Vel:

Vt A F. a d A B.  ita A F. radius.

J2? 7  IOOOOO.

ad A B. fecantem anguli B A F.

132847. — 41°. io'.

cuius compl. eft ABF. 48. 50.per 3. pl.

III. Vt AFB. ad AB. ita B A F. 41°. io'.

IOOOOO. 7. 65825.

ad B F. 4T5o?5o- per 4 - pl.

Smilit er % pr ofolutione Tnanguli o blictumguli A C E.

Dico :

I. Vt A E. ad AC &cCE . ita differentia inter AC & C E.

17. 24. 2.

ad2j£. quo demto de A E. 17. relinquitur 147?. cu¬
ius dimidium 7 j|. eflGE. quofubtra£to de E A17«
relinquitur G A. 977. per 6. pl.

II.  Vt C E.  ad CGE ita GE.

II. IOOOOO 774.

ad Ii num anguli G C E.

64439- 40". 7 .

cuius compl. efl C E G. 49®. 53'. per 4. pl.

Vel:

VtGE.

Liber Vnvs. sip

Vt G E. ad EC.  ita GE: radius .

7 j\  II 100000.

ad E C. fecantem C E G.

155207 — 49" 53 '.

cuiuscompl. eftGCE.40®. 7■  per 3 -pl»

III. Vt E C. radius ad C G. finu 49,. $3'. ita E C. hjpotc^
100000 ^67473.  ii (nufa

adCG. perpendiculura
P^. peri.pl.

Denifo, pr o folutione T'nanguli oblitpuanguli CD E. Dico:

l.  VtCE. adCD & DE. ita differentiainterCD&DE.

11 14. 6 .

ad 7 tt- quo fubtra&o de C E. 11. relinquitur 3 xf- cu-
ius dimidium ill- eflH E. quo fubtra&o de C E. 11.
relinquitur C H. 92?. per 6. pl.

1 L Vt ED. a d E H D.  it a H E.

4 IOOOOO lli-.

ad finum anguli H D E. 24°.  52 '.

42046.

cuius compl. eftHED. 65": S r .  per4. pl.

Vel.

Vt HE. ad ED.  i ta H E. radiu s.
i^~. ~~4  ' 100000.

ad E D fecantem H E D.

237857- 6A 8'.

cuius compl. efl: HDE. 24°. 52'. per 3. pl.

m.  VtDHE  a d DE. ita H E D. 65° 8 ; .

100000 4 90729. finus

v  adHD. 3 T f|^. pcd.per4. pl.

Ff ii; Problema

220.  Problematvm Geod^ticorvm
PROBLEMA  S E C V N D V M.

Agrum p lan urn midtangulum: cums dat aJint Ut er a iš
anguliextenores: diagonij non item: in Tnangulare-
Bangula difpertire.

Saepefit, utager planus redtis itineribus pertranfiri
non podit: propter arbores aut paludeš interiedla s :

c

Ineo cafulineaeangulares fiuc diagonij. &indedeni-
queperpendiculaac bafcsTriangulorurn rcddangulo-
rumreperiuntur hoc modo. Sit exempli gratia ager
planus multangulus A B C D E: qui pridem : Et fir.t in
eodatalatera AB. 7. ped. B C. 9. CD.10. DE. 4. E A.
17. una cum anguliš ABC. 108®. d.  B C D. 148°. id.  CDE.
p 3°. 3 d.  D E A . //j® 1■  E A B. 81%. 29'. ( £hii anguli , ut
hoc obit er dicam, rečiijšime capiuntur per infirumentum or-
biculare, dioptramobili dr compaffo fxo injlructum, & in
partes360. dmifum)  Qua:rantur autem perpendicula-6c
bafes Triangulorum re&anguiorum in eo agro con-;
tentorum.

Fr»

222

Liber Vnvs.

Pr o foltitione Trianglih oblioftiangult A B C.
Primum colligo & fummam&diiterentiam laterum
A B & B C. Itemq; fummam & dimidium fummx an^
gulorum ad A & C. hoc modo.

BC. 9- ABC. ioS«.2'

AB. 7. j Compl. 71.58.

Tumma 16. ! Dimid. 3 5-  59 -
Differentia 2. i
Deindedico:

I. Vt A B & B C. ad differentiampta tangens 35" 5 9.

16. 2. 72610.

ad tangentem 9076. arcus 5®. ji'. quo addito ad 35"
59'. efficitur angulus B A C. 41®. 10'. fubtracdo uero
e o dem de 35®. 5 9.  relinquitur angulus B C A.30®.
48'. pei-5. pl-

II. Vt AFB. ad AB. ita BAF. 41L10''.

100000 7 65825.

adB R 4 tII 1?§- ped. perg. pl.

III. Vt AFB. ad AB. ita ABF. 48*50'.

IOOOOO 7 75280.

ad AF. 5 T M* 4 s-  ped. perq. pl,

IV. Vt BF C. a d BC. it a FBC. 59° n .

IOOOOO 9 '  85896.

ad F C. 7 tU% šš-  P c d. per 4. pl.

Tem de pr ofolutione Trianglih obliepuanguh A C E.
Primum (ubtrahoB A C. 41®. 10. abE AB. 81?. 29'. &re-
linquiturC AG.40®. 19'. cuiuscompl. dl ACG. 49®.
4.1'.  deinde compono A F. $ T §*§  £§•• & F C. 7 T £|§§’f. un-
dg exidit A C. Deniq; dico:

I.Vt

£22

PROBLEMATVM GeODIRICORVM

I. Vt A G C.  ad A C. ita A C G. 49°,.  4A

IOOOOO 13. 76  248.

ad A G. 9 T fo'*lo- P e d. per4- pl.

II. Vt A G C.  ad A C. ita C A G. 40%. 19.

IOOOOO. 13 64701.

adCG. ped.

Poftea fubtraho A G. 9  f£. ab A E. /7. ut reftet GE. 7j|.

PoJIremv } adJolutionem Trianguli oblio[uanguli CD E
.ac c eden s :

Primura colligofummam & differentiam duorum Ia-
terutn C D &DE. 14.&6.  Item,fummam & dimidium
jfummte duorum angulorum ad C & E. qux fumma eft
S6 9 ,.  24'. adeoq; dimidium illiusfummx4j". 12.  quip*
pe cum angulus datus C D E fit 93". 3 6'.  Deinde dico.

I. Vt 14  ad 6.  itatan g. 43°. 12'.

Vel, ut "7 3 93906.

adtang. 40243.  anguli^/t. j/. quo addito ad 43 ®
12.  efficitur angulus C E D. 63°. 74.  cuius comple-
mentum eftangulusHDE. 24°. 32.  quo ilibtračlo
de angulo C D E. 93°-3^-  relinquitur H D C. 68°,.
44.  cuius compl. eft H C D. 21%. it',  per /. pl.

II. Vt C H D. a d CD. ita H C D. 2 A. 1 6'.

100000. 10. 36271.

adHD. per4.pl.

III. Vt C H D. a d CD. ita C D H.

IOOOOO. 10  93191.

adCH. 9 toq% 6 o-  P er 7* pl-

IV. V«

Liber Vnvs.

22 }

IV. Vt DHE. a d D E.  it a H D E.  2+°. s2'*

100000 4 42060.

ad H E. /, £-§-§#§. p er-/, pl.

app e n d  ix.

Antequam htinc librum concludam: paucis te moneo, le51 or*
quisquis es:jigeodcjiam exercere iielis,ut etiam atg f  etiam ti .
bi cime 02 it uulgari Ulo errore circumforaneorum geodataru  .*
qui quos agros ijsdem pafsibus o bambulauerint, cos siguales
ejje cenfcnt.jjuo cenjura,quamfit iniqua,uel cx ho c exemplo
dijces:

Schemt

LXXXII

Sint duo itgri AB CD. & ETG.  utricphabentes in circuittt
decempedasfedecim.Etfit ager AB CD. quadratus, E F G.
triangularis. D ico aream agri E E G. malto ejje minorem,
quamfit ar e a Agri A B C D.Nam ar e a quidem agri AB CD.
ji lat er a AB & A D. inJeje mutiib ducasjnuenietur ejjefex~
decim decempedarum. At ar e a agri A F G.Ji perpendiculum
E H. 4. ducas inbajin alterutram EH uel H G. 3. non nji
duodecim decempedarum ejje deprehendetur. Magna jitur
iniuria ajficieturji quis e o dem preči o agrtim E F G, epu o agrtc
A B CD uel emerit,uel conduxerit. jkuatuor enim decempe-
dis totisin ta parno agro defraudabitur. jjuanta igiturjram
futttra ejjet in Agro magno ? F IN IS.

Gg BARTHOLO-

22 +  P R O B L F. M A T V M AlTIMETRICORVM

Bartholomaei Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATVM AL

TIMETRICORVM

*

Liber unus.

P R £ F A T I O.

~^Roblematx altimetrica uocahulo minus'quidem latino y
Jedtamen ufitato,uocamus ca, qux funt de dimenfione dfian-
ti& dr altitudims atq s  hjpotenufit quarurncung, rentni Juh
ajfechim noftrumeadentmm. 9 im  dimenfio per ttana in-
Jirumentaficri potefi. N ob is uifimn e(l ofiendere, quom o dofiat
per Jfiuadrantcm ufitatum.JJuprfum autem profit , fiacile in-
telligent ij, qm ex uo c at ione dtuina debent. C&teris exponere
nonejl ofificrj, nec inJUtuti nofin.

PROBLEMA PRIMVM.

Data clifilantia y altitudinem inttenire.

Sit data diftantia turris G B. nemperečlaEG uel A C.
200 .  pedum. Libeat autem fcire, quanta fit altitudo
pirmarum ciusdem turriSjnempe puncti B. fupra ocu-
lum menforis C uel A.

Obferuatis per quadrantemangulis AKM&MKL
quorumiileeft aequalis angulo ABC. per 38. p../. &
hic angulo B A C. propterea, quod ut angulus B A C.
eft complementum anguli A BC. per 52. p. /. ita angu¬
lus MK L. eft complementu angiili AKM. per.?. p.

iEqualium

-Liber Vkti zžf

/Lqualium autem angulorum AKM & ABC. com-
plementa M K L & B A C. insequalia efle non pofTunt,
per naturam. His,inquam,inhunc modum obferua-
tis: &repertisangulis ABC^. gr. 20.  m. BAC.^’
40' ’. Dico:

V t A B C (jo.  gr. 20.  m. ad A C. difh ita B A C. 2 g  ♦. 4 o .
86S92. 200.  ped. 494<)s.

ad B C. //if |-f. id fere 114.  ped. per quar-

tum planorum.

Vel compendiofms per fecundum.

Vt AC. radiusadBC . tangentem ang uli BAC. 29°.4o\
iooo 00 S59Č2

G Z j  ita

Z2<S  pRO BLEMATVM ALTIMETRIC ORVM
(itadiftantia AC.

200.  ped.

ad alt. BC. //j T t!o-id eft fere 114.  ped.

NOTA. Si metin lihe.it altitudmem globi jghjton dandx
ent dijlantia A C.fed AI. quix punci um punci o C. non
ejlperpendiculare.

PROBLEMA SECVNDVM.

Data difiantia 3 hypotenufam inuenire ..

Schemx

LXKXIII

RurfumfitdatadiflantiaAC. 200. pedum, quaeratu£
autem hypotenufa AB. quotpedum ?

Obferuatis Sz  repertis per Quadrantem angulis, ut an-
te,Dico; VtABC.

Liber Vnvs. 227

VtABC. 60.gr.20.1n. adAC. diftantiam: ita ACB.
86892. ' 200. ped. ( 90 -  gr.

adABhypot. 230 ped. 100000.

per quartum planorum.

Vel compcndtofim per tertium.

Vt A C. Radiusad AB. fecantem anguliBAC.29. gr.
100000 1150S5. (4Q.ita AC-diflantia.

adAB.hypotenufam23O r 0. ped. 200.ped.

PROBLEMA TERTIVM.

Data aliqua part e dijlantia }  reliquam dijlantiam ime -
mre.

Schemti

LXXXIII.

Gg iij

Sit

22 $  Probiematvm Altimetricorvm.

Sitdata pars aliqua difiantits A C. uefbi grada; E E
uel A D. 90. pedum.- quaeratur autem reliqua pars di-
ilanti£C>per quam tranfire jam ncn iiccat, propterpa-
ludes autfofiasinteriedlas. Afpedla eadem altitudine
B. exutroqj term in o datas difiantiae, nempee punclo
E & F, & obferuatis in prima quidem fiatione, anguio
A K M. fiue per 38. p. 1. A B C. 60. gr. 20. m. in fecunda
uerbjanguio D O N. fiue per 3S. p. 1. DB G. 44. gr.
Primum fubtraho tangentem anguli DBG.ncmpe
redi a m D C. 96568. a tangente anguli A B C. nempe a
redta A C. 175556- Vtrefiet A D. 78988. Deinde dico :
Vt AD. difFerentiaTangentium ad D C. .tangente nii-
789 8 ŠT" 96568.

norem.-ita AD. diffi ftationu m.

90. pedT

adAC. difiantiam fiationis proximx
no. ped. per 47- p-1.

Quam difiantiam D C. no. ped.
fi addas ad difiantiam A D uel E F. 90. ped. colligitur
inde diilantia totaAC. uelEFI. 200. ped.

PROBLEMA QVARTVM.

Data aliaua p ar te dijlantia. hjpotenuiam inuenire.

Retentis prioris obferuationis terminis Aangulis:
primum fubtraho angulum BDC, fiue per priusde-
monfirataNOP. 46. a duobusredlis 180. utreftetob-
tufus ADB. 134- gr- per 20. p. 1. uel quod idem eft,addo
angulumDBC.44.gr. ad angulum BCD.90.utre-

fultet

Liber Vnvs. 229

fultetinde angulusADB. 134. gr.per4S. p. 1. Deinde
addoanguium ADB. 134- gr. ad angulum BAC. 29.
gr. 40. m. utexfumma duorum illorum angulorum
153. gr. 40. m. innotefcat angulus tertius A B D. 16.  gr.
20. m. Denique Dico:

Yt abd. 16 ". 20 '.  ad ad. parte diftantiae.ita adb T f  §. eop.
28122 90. ped. 71933*

ad A B. hypot. 230.*fyLr- ped.

Vel,Ji mdis hypotenufa.m DB.per4.pt.

VVABD. ad AD. it a DAB. 29° 40'.

28122. 9O. 4949  5 .

ad D B. ijS^fit- ped. peii 4 - pl*

■2JO

ProblematvmAltimetricorvm
PROBLEMA QVINTVM.

Data altitudine difiantiam: uel,data ahcjuafarte alti -
Uidmis 3 rdiqua/m altitudmem, aut hjpotenufam, inde
colhgere.

Inuerte praecedens fchema,fic ut B C /it diftantia A C.
altitudo : inftrumento ad cafum perpendiculi conue-
nienter applicato: &z  calculus erit idem.

A P P E N DIX.

Non er ut mili pr op ofitmn quicquam de jpuadrat oGeometri-
eodicere. Sed qma in mentem uenit, multosfore, qui etiam
ifiam theoriam dejiderent: 'En tihi eam paucis.

Liber vnvs. sjr

Latera Quadrati S K & K L. quorum illud umbra re¬
da, hoc umbrauerfauulgodicitur, nihil aliud funt,
quam tangentes arcuumfemiquadranteminorum.
Itaquefidicas:

VtAL.fcalatota adLR. partessequales umbraj
uerfas: ita A C diftantia ad C B altitudinem.
Perinde elt,ac fi dixeris:

Vt A L radi us ad L R tangentem,ita A C. diftan-
tia ad B C. altitudinem.

Ideo autem fufficiunt tangentes arcuum femiqua-
dranteminorum,quiaeademeft proportio tangentis
adradium, quaeradij ad tangentem complementi:
per compendium ufurpandi canonis fecundum. Vn-
de hasc duo fequuntur.

i. Si dicendum fit
VtDPadP V.
eodem effedu dici pofle :

VtTOadOD.

nec deliderari in tali cafu tangentem P V.

2. Si omnino defideretur tangens P V uel O X,
facile hanc uel illam reperiri pofle. Nam
VtTO  ad OD. ita DP  adPV. &

Vt WP. (cuixqualisefiRL.)adPD. itaDOadOX.
Tune autem defideratur interdum tangens P V-  uel
OX. quando dimenfio fit per duas fiationes. In eo
enim cafu,fi forte dicendum fit:

Vt VW  ad WP. ita AD ad D C. uel:

Vt TX ad TO. ita A D ad D C. prolibitu.

H h Tangen-

2 j2  Problematvm Altimetric o rym

TangentemPV. uelOX.notam efleoportet: utinde
differentia tangentium prim* & fecundaefiationi«
elici poffit, fiue illx  tangcntes fint ipforum anguloru
uifionis:ut wP. ( hoceid, RL) & FV. fiuecomple-
mentorun^VtOT&OA. Nam id perindeefi. Quia

I. Triangula compofita DXT O & BADC. funta;-

quiangulapenS. p. i. Ergo :

VtXT. adTO. ita AD adD C. pa-46. &47. pp. 1.

II. Triangula compofita D VwP & DBZC. funtae-

quiangulaper3S. p. 1. Ergo
VtV wadwP. itaBZadZC. pergč. &4. pp. I.
VtautemBZadZC. itaADad^C. pei-45. p. 1. quia
nemperečtaDZ. eftparaliela bafiABin Trian.
guloABC.

Ergo deniq;:

VtVw ad wP. ita A D ad AC.

Namquas conueniunt uni tertio,etiaminterfecon^
ueniunt.

F I N I S,

^artholo^

"33

L IB E S, V KV S.

Bartholomaei Pitifci

Grunbergenfis

- PROBLEMATVM

GEOGR APHICORVM
Liber unus.*

PRiFATIO.

At D Geographiam pertinet docirina dejupputandis diftan-
tijs locontm: ex dat a ipforum longitudine & latitudine. Ejl
antem longitado locinihilaliud, cpuam dijlantia meridiani
p er illum locarn tranfeuntis,a meridiana prim o, quijlat uit lit¬
in infulisfar tun at is: & numeratur illa dijlantia in a agitator e:
ab occafu p er meridiem uerfm ortum. Latituao loči, nihil ejl
aliud eguam diftantia Uerticis loci,ab agitator e uerfm meridi¬
em aut feptentrionem: & numeratur in meridiano per loči
gropoftti uerticem tranfeunte: acfemper conuenit cum eleua-
tionepoli,Jkpra horiz,ontem illim loti. Catemm,fupputan-
tur eguidem dijlantLz locorum etiam per penult. primi Euclid,
fine per s o. p. pr mu noflri. h e. per Trianglih plana: atquia
fhperfcies tetra no n ejl plana,Jed rotunda : reciimfupputan-
turper Tnangula Spharica. Incguibm notandum : fmguliš
gradihm circulorum man im o rum, c ir c a globum term dueto-
rum refpondere muiiaridgermanica is. Guoduelindepatet:
qma.fi is. milliaribuspropmsad Septentrionem accedas, po¬
lamfeptentrionalem unogradu alt ms quam ant'e,fupra h ori¬
se, ontetn eleuatumejfe deprehendes.

H h ' ij

PROBLEMA

234  Problematvm Geographicorvm
PROBLEMA PRIM V  M.

Datis duobu-s loctsfilet Latitudme dijferentibus 3  eorum
diftantiam muenire.

CasvsPrimvs.

Si utriusc^ loči latitudojit uerjus eundempolum: ut ejl
locorumF& G.

* B

*  Regvla, Subtrahe
latitudinemmino-
Schcma  rem E F a maiore
LXXXV  E G. DifFerentiam
F G. qux poft fub-
traftionem refta- A
bit> conuerte in
milliaria: & nego-
cium confe&um
erit.

EXEMPLVM. BafikaRauracorum & Friburgum
Brifgoiae, longitudinem habent candemnempe27.gr,
45. m. St fita funt uerfus eundem polum: nempe fep:*
tentrionalem.Sed latitudine differunt.Et Bafileje qui-
demlatitudoefl^zL 30'. uelutEF. Friburgi uerolati-
tudo eft 48°. 13'. uelut E G.

Primumigiturab E G. 48?. 13'.

Subtraho E F. 47. 40.

Etreftat F G. o. gr. 33. m.

Deinde

LlBERVNVS. SJf

Deindedico:

j. gr. dat 15. milliaria 3 quiddant 3  3 -m.

60. m. _O_

1 65

33

495

6  o (ft.  8|. milliaria.
Casvs Secvndvs.

Si alt er im loči htitudofit feptentriomlis; nit er im meridio -
ndi-s: ut efi locorum H& G.

REGVLA. Adde latitudinem utranq;: & fummam
in milliaria conuertehocmodo.

EX E M P L V M. Bellogradum in Europa (<Stfd?tfct)
IDctffcnbutrg ) & Caput bonae fpei in Africa, habent
eandemlongitudinem,nempe48. gr. 30.m. Sedlati-
tudinem, illud quidem feptentrionalem, tanquam
E G. 44I30'. Hocuero meridionalem tanquam EH.
35 - 30.

Additisigitur E G. 44. 30.

& EH. 35- 30.

Dico 1. gr. dat 15. milliaria: quot milliaria dant 80. gr.
1200.

PROBLEMA SECVNDVM.

D at is duobus locisfola longitudine differentibus 3  eorum
diftantiam inuemre .

CasvsPrimvs.

Si ut er a, locm Cit m Cit fub teauatore , Vt A & E.

Hh iif REGVLA

23^  PROBLEMATVmGeoGRAPHICOR.VM
RE GVL'A. Sub-
tra&a longitudine
minore a maiore,
differentiam con-
uerte in milliaria.,

& habebis diftanti^
a m q'u telita m.

Scbema  E X E M PL V.M. In-
lxxxvi. frda S. Thomac in
Africa, fub /Equa-
tore litajongitudi-
nem habet 32. gr.

20 . m. InfulaSumatra propc Indias orientaltSjfub co-
dem ,*quatore Iita,longitudinem habet 131.

Igituraisi. gradibus.

Subtraho — 32. gr. 20. m.

Etrcflat difFcrentia98. gr. 40. m. Tum dico:,

1. gr. dat15.milliaria.-quiddant98.gr. 40. m.
f(.  1480. milliaria.

Tantaeftdiflantiainteriftasduas infulas : llutriusq;
infulae medium & quafi cen trum fp teles.

Casvs Secvndvs.

Si utercfc locu-sfitusfit extra vleatidlorem.
REGVLA. Hic foluendum efl Triangulum xqui-
crurumFBG.in quo crura sequalia FB & B G.funt
complementa latitudinum aequalium A F & E G. An-
gulus F B G. efl difFerentia longitudinis. Qui angulus
fiue fit re&us fine obliquus,Triangulum F B G. fadli-
mcfoluitur, fi dimifso a Bini ptrptndiculo BI. in
0  duo Tri-

Liber V n rs. '2s?

dao Triangnla F RI & IB G. diflocetur. Quia enim
dno illa Triangnlaerunt 3eqnalia :per 23. p. 1. ideo in-
uento arcu I G. in Triangulo IB G. etiam arcus F L in
TrianguloFBI. inuentus erit.

nico igitur per axioma tertium.

Vt BI G. reftus ad B G. coinplementum latitudinis:
ita IB G dimidia difFerentia longitudinis.,
ad I G. dimidiam diftantiam.

Vel.

Continuato perpendiculo B I, in K. ut lit quadrans
BK. quia Triangulum IH K. angulos adI&/Chabet
reGos:adI. per thefin,adK. per 57. p-1. ac proin.de la-
teraIH&KHfuntquadrantes:per< 58 . p. 1. Et deniq;
arcus G H & E H arcuum IG & K E complemen ta per
p.p.i. Ideo in Triangulo G E H. reGangulo adE. per
57. p. 1. inquiro coinplementum terti) lateris G H.
nempearcum GL per axiomaquartum.

E X E M P L VM. Noriberga & Amberga propemodu
eandem Iatitudinem habent, nempe Noriberga49.
gr. 22. m. Amberga49.gr. 24. m. Hoceft, uterq;locus
liabetIatitudinem circiter 49. gr. 23. m. Longitudine
autemdifferunt.Namlongitudo Noriberga: eft 31. gr.
45. rn.AmbergX32.gr. 30. m. Differentia longitudinis
eft o. gr. 45. m.

Sit ergo Noriberga F. Amberga G. ac proinde A F. uei
E G. 49123'. FB ucl GB. 40.37- FBG. ftue A E. o. gr.
45. m. K E. o. gr. 22-t. m. E H. 89. gr. 3 7 \-  min,

F er axioma tertium cdcultss tališ erit.

. VtBIG,

zjS  Problematvm Geographicorvm
V tBIG« 90 «. a dB G. 40♦.  3 7'.  italB G, o" 22
IOOOOO <55099 " <554,

654

260196

325495
390594_

At p er axioma tpuartum calculus tališ er it.

GE. 49. 23. idem, 49. 23.

E H. 89. 37 k  C ompl. o. 22I .

139 - Qt  49 - 45t-S inus 75333

Exc. 49- oi. Sinus- -75480

§53

425.

Sinus arcus GI o. gr. 14' 40". cuius duplum efl ar-
cus F G. o. gr. 29'. 20".  cui arcui refpondent milli-
aria 7}. Nam ut 5 o. min. ad 15. milliaria, ita 29L.
min. ad 7}. mili.

Ergo Noriberga & Amberga inuicem diflant 7X.njilIi-
aribus. Vulgo oCto milliaria intcgra numerant.

PROBLEMA TE RTI MM.

T>atts duobus locts ‘eš longitudine & Utitudine diffe-
rentibm >corum diftantiam inuenire.

Casvs Prim v s.

Si  alt er locusfitrnfitfub apuatore, alt er extra Aetpuatorem,
utAGuelAFuelVC.

REGVLA

Liber. Vnvs.

REGVLA P RI¬
MA. Si differentia
logitudinis fit qua-
drantisequalis : ut
eftlocorum A & G.
diftantia A G eft^
quadrans. A enim
eftpoluscirculima-
ximi B G D. per 5 6 .
p. 1. Ergo omnes ar-
cusinde ad BGD.
dudi funt quadran-
tes, per eandem.

EXEMPLVM. Infula Sumatra longitudinem habct
131* gr. latitudinem nuilam.

Buda, metropolis Hungarite, longitudinem habet 41.
gr. lat. 47. gr.

Differentia I0ngitudiniseft90.gr. fubtradis enim41.
de 131. remanentpo.

Ergo diftantinterfefe^o. gradibus, hoceft, milliari-
bus'germanicis 1350.Nam uti. -- ad 15. — ita 90. ad 1350.
REGVLA SECVNDA.  Si differentia longitudi-
nisfitquadranteminor: uteft locorum A&F. Sol-
uendum eft Triangulum A E F. per axioma quartum:
uel illi adiacens F B G. per primum aut tertium.
EXEMPL  VM. Infula S. Thoma: longitudinem ha¬
bet 32". 20': latitudinem nuilam : tanquam fiadAfit
ftta. AmfterodamuminHollandialongitudinem ha¬
bet 26. gr. 30. m. latitudinem52. gr. 40. m. tanquam F.

II Differntia

* 4 P  P K O BIE M A T W G E O GRA-PHIC ORVIT

Diflferentialongitudinis A. BF. uelper58.p.i. A E. eft.
j. gr. 50. m.

Didan tia qua:fira ed A F.

Calcuhisp er axi'oma cjiiartum tališ ent,

A E. 5. 50'. Idem 5. 5o'.

E F. 52. 40. Compl. 37. 20.

52250

120662

60331.

Sinus arcusFG. 35>- 4 ^-  cuius complementimr
eft A F. 54.19.

Ter axiomxprimum calcuhis tališ erit . •

YtBE. 90.gr. ad E H. s t. 10. ita B F. 37.20. adF G.

100000

994S2

60645

60645

497410

397928
59 68 9.2
596S92

6 0 330 85890.

Sinus arcus

F G. 35. gr. 41. m. cuius compl. eft A F. 54. gr. 19. mi.

cuirefpondentmilliaria germanica8/4|-.Naim
Yn. gr. ad 15. mili. ita 54. gr. 19. m.

15

X"B. ep juartafars exlj.pcu* :
Jf-ej}qu*rt/tfars e Ce.

270

54 l|

ad 814!. milliaria.

Pejr

Liber Vnvs. *4t

Tentxiomn tertium cdcului efiulem, quiper.ixioma primti.
Nam prgportio:  \

Vt B G F ud B F. it a  GEFadGF.

Prorjhs eosdem numeros gigmt, qttos pr op ortio :

Vt B E ad EH. it a  BF ad F G.
nifi quod duo termini intermedij Jimt transpofttk qa<t
transpofitio in calculo nihilmutat.per 4.2. p. 1.
REGVLA  TE  RTI  A. Si difFerentia longitudinis
Iitquadrantemaior:ut eft locorumF&C. Soluendu
uenitTriangulum F C E redlangulum adE. fedTrian-
gulum illudlateraFG &EC. habetquadrantibus ma-
iora. Ergo pro eo foluas Triangulum A E F Triangulo
FE C. adiacens,6c negocium confedfum erit. Nam per
folutione Trianguli AEF. reperies arcum F G. quo ad-
dito ad quadrante GC. conflabitur arcus FC.quasfitus.
EXEMPLVM.  Heidelbergas longitudo eft30.gr.
45/m. latitudo49®. 35 / -tanquam quaefita flt adF. Su-
matraclong1tudoeft131.gr. iatitudo nulla, tanquam
quae iam fita fit ad C.

DifFerentia longitudinis eft 100". 15'. E C. eiusque
complemetatum A E. 79. gr. 45. m.

Cdcttlia per axioma cjuartum tdis er it,

E F. 49. 3 5-- 49 - 35-

A E. 79-  45--—10, 15.

i- 9 - 20. ' 59. jo.——.86456'

£xc* 39 - 20. —---- --63383

23073

H 5 3(5

Sinus arcus F G. 6.  gr. 3 7k-  in. quo addi to ad F C.
90. efficitur arcus 96.  gr. 375. m. cui arcui refpon-
dentmilliariagernianicai449y|. li i) Casvs

» 4 *  Problematvm Geocraphicorvm
Casvs Secvndvs.

Si utertfc locus fitmfit extra Aequatorem :Ft F H tlel F G.
uet F Iuel I K, dre.

R.EGVLA P RIM A.Si ut er g? locnifitusfituerfks eundem polti;
femper dat ur Triangulum congruens ad ax torna quartum,fi.
ucangulttsad B fit reci mftue obliquus. Vtfi loca datafint F,
G. dat tirfoluendum Triangulum FBG.  cum acuto ad B. Si lo¬
ca dat afintF, H. dat ur
foluendum Triangulit
FBH.cumrečlo adH. S l

Si loca dat a fmt F, I.  \

dat urfoluendum Tri- f /**  / \

Scherna angulum
S S. obtufoad

F XE MPLVAi- _

MFM, congruens ad.
forma TrianguliFBG.
acutanguliadB.

Grunberga prima pa-
tria mea longitudine
habet jS.gr. 10. m. latitudinem j2.gr. 2. m.

Heidelberga,alterapatria mea longitudinem habet jo.gr.
4$. m.Latitudincm 4p.gr. jj. m.

Sit er go F. Heidelberga,G. Grunberga.

Differentia longitudinis B G. efl  7. 2j. difantia qu<eJTta F G.
Complementumlatitudinisminoris A F. 4p. gr. j?. m. e ji

FB. 40. gr. 2j. m.

Čomplementum latitudinismaioris L G&bgr. 2. m. eJlB G.

J 7 .gr. s S. m.

Calculm igitur tališ erit.

Liber Vnvs,

BG. ?7. 58-37. 58.

FB. 40. 2 5. — '—A- 9 -  35-

H 3

78. 23. 87. 33.--

II. 37.--——

99909 'V 1

— 2013 6  t / F"

79771  ^ K

39$8<5. 1 > J

83  7 . C

Vtiooooo.ad 39885. ita 837.

837

279202

I19658

319088

ad— 333 ^4582.
quodetraGo j

<^99909. relinquitur 99576. finus arcus GH. 84.
gr.44. m.cuius compl. eftj. gr. i< 5 . m. arcus FG.
cjusficus.Cui arcui F G. 5. gr. i< 5 . m. refpondenfmil-

liariagermanica 79.

EXEWPLVM SEC 7 NDVM,congrucns ad for¬
mam Trianguli F B H. rečianguli ad B.
Spiradongitudo eft28. gr. 45. m.latitudo49. gr. 20. m.
Daroacanaeciuitatis Paropanifi, regionis AfiaCjlongi-
tudo cfl: 118. gr. 45. m. Iatitudo 34. gr. 45. m.

DifFercntia longitudinis 90. gr.

DiftantiaquaefitaFH.

Complementumlatitudinisminoris A F. 34. gr. 45. m.
eftFB.55. 15. m.

Complcmcntum longitudinis maioris EH.49. gr.20.
m. cft H B. 40. gr. 40. m.

Ii iij

Calculus

'*44  Problemam  Geographicor  v^i

Calculus igitur tališ erit.

HB. 40®. 40'.-40* 40'.

F B. 55. 15 -— - 34 - 45 -

95 - 55 - 75 - 25.-96778

j. 55. —--— — 10308.

86470

43235- Sinus

arcus 25. gr. 38. m.cuius compl. eR arcus FH. 64. gr.
22. m. cui refpondent milliariagermanica 965^.

E X E M P L V M T E R TIV M, congrucns ad forma
Trianguii FBI. obtufanguli ad I.

Heidelberg« longitudo eR 30. gr. 45. m. lat. 49.35.
Carticardamn«,in India,ubi S. Thomas ApoRolus fe-
pultuseffedicitur, longitudo eR 136.gr. 50. m. latitu-
d012.gr. 40. m.

DifFerentialongitudiniseRio6. gr. 5. m. tanquaman-
gulusFB I. obtufus.

DiRantiaquaefitaeR El.

Complementum latitudinis minoris A F. 12°.  40. m.
eflFB. 77 ". 2 o'.

Complementumlatitudinismaioris IL. 4 9.  gr. 35-m.
eRlB. 40.gr. 25. m.

Calculus igitur tališ erit.

IB. 40. 25.——40. 25.

FB. 77 . 20 .-- ti. ao.

ir 8. 4S‘ 62.  5.- S g 167

27'  -- 4 6s6l

i 3 S 7 zS '

67864.

FBI. is6.

Liber V n v s . ^4/

FBI. 136. so.  | looooo

4 <?-S 0 . 72937

17 2 937-  Sinus uerfus:

67S64.  Med ietas re£tx,

6 9174$

1037622

13S3496

J2I os s 9

1037622

11736 i\96s68

S 9167  |

28/94, Sinus arcus 16.  gr. 22.  m.ftui
additusad quadrantem 90. gr. conftituit arcu
qu£efitura J0L/06. gr.22. m.  Cui arcui refpon-
dentmilliaria gcrinanica isps{.

REG VL A S E C V N D A. SiakerlocusfitUsfituer-
fus polum feptentrionalem: alter,uerfus polum meri-
dionalem: utG &K. Item H &K, Iteml&K. femper
datur Triangulum eiusmodi, cuius alterum latus cir-
caangulumdatumfit quadrantemaius:utBK. Ergo
pro illolatere BK. fumendum eft eiuscomplementu
adfemicirculuB F. hoc eft, proTriangulo G B K. fol¬
uendum eft Triangulum G BF. proTriangulo H B K.
foluendum eft Triangulum H BF.ProTriangulo IB K.
foluendum eft Triangulum IB F. Omniaperaxioma
EXEMPLVM V NI G V M. (quartum.

Heidelberga;longitudo eft 30. gr. 45.n1. latitudo Sep.-*
tentrionalis49.gr.35.nl.

Iauremaioris, nfpeclespunClumeiusmediUjlongitu^
do eft 141. gr. 40.  m. latitudo 10.  gr. ^ Diffe-

24<S  Problematvm Geog.raphicor.vm
Differentialongitudinis cftuo.  gr.//.m. tauqua an-
gulus G B K. obtufus: cuius compl. eft 60.  gr. j. m.an-
gulus F B G. acutus. Diftantia quaefita G K.
Complementum latitudinis SeptentrionalisLG. 49.
gr. 3 S-  m. eft B G. 40.  gr. 2s-  m.

Complementum latitudinis meridionalis KC./<?.gr.
eftKD. cuirefpondetBF. So.gr. Nam ut K D eft com¬
plementum arcusKB. infemicirculo DKB. itaBFeft
complementum arcus K B in femicirculo K B F.

Igitur in Triangulo F B G. calcuius tališ erit.

B G. 40. 2s . - 40. 2s.

BF. 80.  o . jo.  o.

120 2S so. 2s  - 77 01 b

30 2 s -—— ..— S062S

VBG.tfp. S \jooooo 127638

20. S S  1  3 S 7 °I-  63819

Sinus uerfus 64299. 64299

S 74371
S 76 - 37 1
127638
ISS276
382914
41034 \97881'

77 »10  j

3S97<>'  Sinus arcus 21.
gr. 5. m. qui additus ad quadrantcm 90. gr. con-
ftituit areum G K. quxfitum m.  gr. /. m. cui ar-
cui refpondent mil liaria germanica. 1666^.

F I N I S.

%

£artholo*

... Liber V.vvs. 247

BartHolomaei Piti(ci
Grunbergenfis

PROBLEM AT VM

G N O M O NIC O R V M
Liber unus.

PRLFATIO.

I N Gnomonicis pr&ft&nt Solana, : & in h is Scioterica com-
rnunia: in ojuibusfiylm ejl axis.: linea uero h or ar idfunt cir-
culorum borariorum,peruicefimas quartaspartes Aequato-
ris,et utrum^mundipolam incedentium, fecliones commti.
ne s cum piano dat o. El h« quidem abaxe facile deducuntur.
At axem collocare--, boe opmjoic labor ef: prafertim in planit
meridiano obliquis: in quibm omnibus tam meridiana plani,
epuam eleuatio polifupra planum ,
meridianamplani, & in nonnullt.
ratnr. De h is igitur,fcitu p er opnam utilibus&iucundis, tria
boe locoproblemata proponemtts : & in gr utirimftudiofk iu-
uentutis addemus quartum, de linea h or arf in cpiouis piano
ducendis.

PROBLEMA PRIM V M.

atfe adeo eleuatis axis[upr a
etiam meridiana loči igno-

DatopUnofS ad meridianam & a d ue r tičale m p rim st¬
rt urn o h h q u o fe d adhorizpntem reblo, hocefplato piano
Jimphciter dsclmato, meridianam plani & elemtionem
poliftipra planum inuenire. d

Kk Meridianam

2 - i-S  Problematvm Gnomonicorvm

Aferidianam-plani uoco communem fectionem meridiani
■pr oprijetim piano dat o. Nam imumpuoda, planuw,ut hon-
z>ontem,ita meridianum habet proprium, epui efl circulus
p er polos mundi (jr plani duSlus, atep idcirco tam piano opnam
Aeopuatorinormalis. Inopuo circulo numeratur elenatio poli
[upra plan um: epu#, nibil a Hud e JI, epuam ar c m meridiani pro-
prjinter horizontomplani,boe ejl, inter circulum maximu,
atiplan um acpuidijlat, &polum proxmum interceptus.

Si c ergo meri-
clianuslociAB
cd. Horizon
A E C. uerti^

Schema  calis primari-
ixxxix. us BED. pan-
Ctuin orienta- A
le E. planurn
uerticaleBKD
horizonti re-
člum adF. ata
uerticali pri-
mario decli-
natnm angu-
loEB F. fmearcuEF.cuius complementum eflangu-
lusFBC. liuearctisFC.Etfint poli mundi G&I. po-
lus plani H, adeoq; meridianus plani GFII. piano re-
ČlusadK. centrummundiL. communis fediio meri¬
diani ločicumpiano dato atqj adeo meridianaloci
B L D. communis fečlio meridiani propri) cum piano
dato atq; adeo meridiana plani KLM. Quamantur

autern

LiBERVnVS. S'40

autemi. eleuatio poli G. fupra faciem plani feptentri-
onalem fiue fupra pun&umK. hoceft, arcus G K,
cuiexoppofitorefpondet arcus MI. eleuatio poli an-
tardici I fupra faciem plani raeridionalem,nempefu^
prapun&umM. 2. diftantia meridian« plani K L M. a
meridiana loči B L D. hoc eft>angulus B L K uelMLD.
angulus,quem metitur arcus B K ud M D.

Faclis quadrantibus KN&FN. quiain Triangulb
G C N. datafant duo laterarecium includentia: nem-
pe G C. eleuatio poli, &CN. declinatio plani. (Nam
CN&EErequanturj perftruduram.) Idco primum
foluoTriangulumG C N. per ax. 4. Deinde reperto
arcu G K in Triangulo B G K. aico :

Vt C F. tang. ad F B. rad. ita G K. tang. ad K B. On.
per ax. 2.

Vel.

VtRadiusadtangentem complementi CF. itaGK.
tang. adKB. finum ; percompendium 2.

EXEMPLVM. Sit planum meridionale (hoceft,
meridieiobuerfum) fed declinatum dextrum, (hoc
eft,uerfusoricntem) 30.gr. Etfit eleuatio poli49.gr.
35. m. Qu3crantur autem & diflantia meridian* plani
a meridiana loči, & eleuatio poli fupra planum:
fiue quodidemeft,eleuatio axis, fupra meridianam
plani.

I. Primum foluoTriangulum GON per axioma
quartum,hoc modo:

Kk ij

C N. 30.

2 S 0  P B.OBLEMATVM G N O MO NI C O R V M.

CN. 30. o.-30. o.

G C. 49. 35 .. -40. 25.

79 - 35 - 7 O. 2/.- 942IS

10.  2/. -- -l8o8Q

1122 ()S-
S614-/.  Sinus

arcus G K. 34- gr. 9^-m-  qua:efl: eleuatio poli
arčfici fupra faciem plani feptentrionalem,cui ex op-
pofito aequatur arcus MI. eleuatio poli antardicifu-
pra faciem plani meridionalem.

II. Deinde in Triangulo B K G. dico: per ax. 2.

VtCF. tag. 60.  gr. ad F B. rad. ita G K. tag. 34- gr. p{-  m.

IOOOOO 57735  67850.

ad 39173. finum arcus B K. uel D M. dilta ntiae meri¬
diana; plani a meridiana loči,23. gr.4. m.

Er go in tali piano, Ji
horizon loči Jit A C.
meridiana loči L D.
defcripto horizonte
plani ABCD.  (in
Schema ^raxi fujficit qua- J
drans AD.)  & na¬
merit is a D in M.23.
gradihm, 4 . minut is,

& ah M. in L 3  4. gr.

9-j. m. meridiana
plani ( cjuam uulgo
uocantJuhJljlarem) erit L.M. Eleuatio poli antarclici Ml
(quaf Um arcus M Ieffkt meridianm proprim fupra punčltt

M. per-

V' •/

Liber Vnvš. . ‘2 si

M.perpendiculariter erečlus.) adeofc axis LI. extollendus
jupra mendianamplani L M. angulo ML I.

PROBLEMA SECVNDVM.

Datopiano & admeridianum ad horizpntem obli-
quoi Jed ad uerticalem prim ar mm reEio : hoc e JI, dato
pianoJimphciter inclinato : (quaha planafunt, qua ab
ortuuerfus occafum,aut contra,ab occajuuerjkt ort um
mchnantur) meridianamplani, tšeleuationempolifu-
praplanum inuenire.

Sit meridianus loči IV B C D. Horizon A E C. uerticališ
primarius BED.
pundum occiden-
tale^fed ab oriente
fpedatum E. pla¬
num orienti obucr-
fum,AFC. fedapu-
douerticali B. uer-
fus pundum occi-
dentale E. inclina-
tum arcu B F. an-
guliš ad F. rediš.

Et fint poli mundi
G & I. polus plani
H. adeoque meridi¬
anus plani G HI. &
per cofequens, eleuatio poli ardicifupra planum ar-
čus K G. & diftantia meridiana plani L K. a meridiana

K k iij. loči

Schema

XCI.

'&SČ  Problematvm Gnomonicorvm
loči L C. arcus K C. Qui duo arcus quterantur. T
ContinuatislateribusFB & KG. 6c facfis quadrantb*
bus F N & K N. quia in Triangulo BNG. nota funt duo
lateraincludentia reclum adB.nempeBN. comple-
rncntum inclinationis & B G. complementum eleua-
tionispoli.Primumfoluo Triangulum BNG. perax.
4, D,einde,reperto per ax. 4. arcu G K. Dico per ax. 2.
VtBF. tang. adFC. rad. ita G K. tarig. adKC. finuin.
Vel per compendium. 2.

Vtrad.adtang. complementi BF. ita GIC tang. ad
K C.

EXEMPL V M. Sit plan um oriciitaleinclinatum 30.
gr. adeoquearcus BF. fitso. gr.BN. 60.gr. Eieuatio
poli G C. 49. gr. 35. m. complementum eleuationis
poli GB. 40. gr. 25. m. Quaeranturautem arcus G K. Sc
KC. fiueanguli GLK&  KLC. hoccfl,utuuigolo-
quuntur:quxrantur,diflantia flyli GL. a fubflylari
K L. čthuius ameridianaloci CL.

Primum foluo Triangulum BNG.  per ax.

4. hocmodo.

BG. 40. 25.-49. 35-

B N. 60. o. - — so. o.

IOO. 25. 79 - 35 - ~- 98  3  52

10. 25_ISOSO.

80272.

40136.

finus arcus G K. diBantix ftyli a fub Aylari J 23. gr.

40. m.

Deindc

Liber V n v s. *S 3

Dcindc in Triangulo G K C. dico: pcr ax. 2. uel
per compend. 2.

Vt B F. tang. 30. gr .'adFC. ita G K. tang. 2 3° 40 '.
per ax. 2.57735- 100000 43827.

percop. 2.100000 173205.

ad 75910. finum arcus K C. diflantiae fubftylaris fi-
ue meridiana; plani a meridiana loči 49. gr. 23. m.

Jn tali igitur pianoJi
horizontali}, eademcp
meridiana locifitAC.
uerticalis B  D. nume-
ratis in quadrante
horizontis plani B C.
gradibus 4  9». 2 J. a
C in K. meridiana,
plani Jiue fubjljlaris
er it L K. & inde a K
in G. numeratis 23.
gr. 40. m. eleuatio
poli borealis Jiipra
plamm er it G K. adeoa, axis crit L G. extollendus Jiipra me-
ridinanttmplani angulo K L G.

PROBLEMA TERTIVM.

T> ato piano & ad meridian um,ad  horizpntem, ad
uerticalemprimarnim ohliquo, hocejl, dat o piano inch-
nato declmato, meridianum tam loči quam plani, &
deuationem poli Jiipra planuminuenire.

Schema

XGIL

Sit m e-

Schemci

XCIII.

2  S 4  P R O B L E M A T V M G N 0 M O N I C O R V M

Sitmeridianus loči
ABC D. Horizon
A EC. u
primarius BED.
punctumOrientaie
E. uertiealis decli-
natus BKD. &fub
eo planum inclina-
tura NKI. angulis
ad K. 'rediš. Poli
mundi G&I. polus
plani H. Meridia-

nus plani G HI. angulus declinationis E B F.
clinationis BK.

Ante omnia autem quteratur arcus K N. diftantia me¬
ridiana loči N L. d uerticali plani KL. per ax. 2 . Deinde
arcus B N. peraxioma3. uelz}.. pofth^cangulus B NK.
perax.3- liocefftutunouerbodicam,foluaturTrian-
gulumBKN. Quofoluto, arcus B N uel repertus eft
tcqualis complemento eleuationispoli BG. uelmi-*

nor,uelmaior.

Casvs Prim v s.

Siarcus BN. repertus fuerit aequalis complemento
eleuationis poli B G. indicio eft, planum fub meridian
no obliqueufq 3  ad polum inclinatum efle. Inquoca-
fu meridiana loči,&plani,itemq 3  axis,in eandem iine-
amGLconcurrunt: ft planum in ipfo circulomaxi-
moKN. eonfifterefirigatur. At 11 planum non in ipfo
circulo maximo K N. fedin aliquo ipfius parallelo

conftftere

Liber Vnvs. 25$

confiflere fingatur,&axis a piano nonnihil abduca-
tur^utnecdTariofit, fifciotericum abfoluere libeat)
meridianasloci&plani funt duše lineae interfefeparal-
lelte:&feiungantur mutuo fecundum differentiara
longitudinis loči & plani: quae differentia eft penes
angulum H G C. qui ell: complementum anguli BNK.
nuperinuenti:quiaangulusKGHefl:redus per 57. p.r.
quippecummeridianus plani per polos plani ince-
dat.Tres autemadG. uel N. concurrentesfunta:qua-
les duobus rediš per 20. p. 1.

EXEMPLVM. Sit planum meridionale deciinatu
dextrura 29. gr. 59. m. inclinatum uerfus polum ardi-
cum23. gr. 3. m. Eleuatio poli49. gr. 35- m. Qujerantur
autemineo meridiana loči & plani, atque eleuatio
poli fiueaxis fupra planum. Calculus tališ erit;

I, Vt BF. rad. ad F C. 60. gr. 1. m. itaBK. 23?. 3'

100000. Tang. 173360. 39152!

ad 67874. tangentem arcus KNLdiftantiae meridia¬
na loči a uerticali plani 34. gr. 10. m. per ax. 2.

II. B K. 23- 3.--——23. 3.

K N. 34- io- -- 55 - 50.

57 . B- 78.53.-—-98123.

32. 47. —-—- — 54146:

152269.

76134.

S :  nus arcus N C. 49. gr. 35. m. cuius compl. dl arcus
B H. 40. gr. 25. m. per ax. 4.

L 1  HI. Vt

ejč'  Problem a , tv  m :  Gnomonicorvm
III. V£ BN.40.gr. 52- m . a d bkn.  90. gr. ita bic. 23 »-
perax. 3- 64834. 100 o o o.  39122.

per cop. r. 1000 00. 1*4239.

ad603SS. Imuni anguii BNK.37.gr. 9. 111. cuius
compl. eftangulusHNC. fiue H G C. 52. gr. 51. m.
difFercntialongitudinis plani a longitudine loči,
ime diftantiameridianorum lori & plani, perax. 3 -
& compendium r.

Sit er go hori&on loči L C. uerticalis plani K L. Horiz,on plani »
eircidus K N C. In ojiio numerentur a K uerfus C. 3  4 . gr. 10. m.
&per terminum namerationis N, traijciatur reci a LNF.qu<e
cjfet meridiana &plani dr loči, fi c entr um Scioterici L usl
F. pr o c entr o mundi & reli a L N F pr o axe haberetur. At,
quia inperfeciione Scioterici axis I G. cum centro mundi E.
non in redi a L N F relincjuitur,fedfupraeamfulcrispr o lihi-
tu,Jed tamen aquealtis El & O G. extollitur : atoptte ade»
planu ab axe
mundi non-
nihil obda¬
rit ur : ideo li¬
ne a, L N F.

Schema jam non Ji-
XCIF. mul ejl me¬
ridiana loči > k
fedtantu me
ridiana pla¬
ni : Jiue,ut
mlgo locj na¬
tur, fubjly-

Liber Vnvs. '£/?

hrti. Meridianam autem locific inuenies. Ad normam meri¬
diana plani, dučld communi [eclione Aequxtorti c um plana
(nulgo line&rn contingentim uocant.j F H c en trum mundi E F
ab axe I Greponatur in meridianam plani L N F. Deinde cen -
tro E. confifientein line a L N E. de [ribat ur circulm Aequa -
torls F K. & in eo tier[ti orientera (quia honz,on plani e ji ho-
rizjjonteloci orientalior,adeo^ citita a [ole irradiatur meridi-
anaplani quam loči) numeretnr dijjerentia longitudinis loči
& plani S2.gr. si. m. & p er termintm numerationis K. du -
caiur rečla,tanquam radius qutipiam Aequatoris E K H. qu<e
ubi attigent communem feČtionem Aequatoris cum piano,
nempe reci ara F H. pcr idpunclum agatur normalitcr meri¬
diana loči C H.

Casvs Secvndvs.

Siuero arcusBNrc-
pertus fuerit minor
complemento ek-
uationis poli, indi-
cio eft, planum ci-
trapoium arfticum ^
confiftere, adeoque
fupra tale planum
non polutn arfticu
G-Ted polum antar-
Gicum I. extolli
debere, angulo tan-
to,quantus eft IL M.
cuius menfuraeft arcusIM. cuiex oppoflto a:quatur
arcus G O. Quem una cuarcu N O. porro ilc inilenies.

L1 ij IV. Vt

Šchcmn

XCK

f/<f P R. O B L E M A TV M; G N O M 6 N I C O F. V M

IV. VtNO G. reftus ad NG. differentiam interBN",
&B G. itaO N G. angulus antea repertus^ adOG.
perax. 3*

Y. Vt tangens O N G. ad rad. ita tangens O G. ad finu
O N. p er ax. 2.

EXEMPL V M. Sitplanum meridionaledcclinatum
dextrum34- gr. 30. ra. inclinatum uerfus polura arfli-
eum16.gr. 10 m. Eteleuatiopolirurfumfit49.gr. 35.
m. Quasrantur autem meridiana loči & plani, unacu
eleuatione poli fupraplanuin. Calculus tališ erit;

I. VtB f.  rad. adFp. copl. decl. 55" 3 o'. itaBK.incl.ičlio'

100000 Tang. 145501 Sin. 27843.

ad405ii. tangentem K N. 22. gr. 3}. m. diftantiani
meridiana loči a uerticali plani per ax. 2.

178033

89016. Sinus

arcus N C. 62. gr. 53I. cnius compl. ellB N. 27. gr. 6 i.
m. quo fubtra&ode BG. complemento eleuatio-
nis poli 40. gr. 25. m. relinquitur arcus N G. 13. gr.
I8f. m. per ax. 4.

III. Vt B N. 27°.  61 . adBKN. rad. ita B K. 16?. io^
455<^3  ,, iooooo  27843.

IOOOOO 219476 1

adčnoS.fmum anguliBNKuel ONG. 37. gr.4®.
m.perax. 3. Scpercomp. 1.

IV. Vt

’ Liber Vnvs.. ffst.

J V. V tNOG. re&us. a d ng. 13. gr. i8f. m. ita gno. 37® 40'.

100000 23024 5 no 8 .

ad 14059. finum arcus OG. diftantiae axis GL. a me¬
ridiana piani O L. '8. gr. 5i. m. per ax. 3.

V. Vt ta ngens gno.  37° 4 0". ad rad, ita ta ng. go. 8 ?. 5'f
77195  100000 14212.

200000 129540 ad18410.il« 9

num arcus no. diilantixmeridianas plani ol a meri¬
diana loči NL. 30 gr. 35.1. m. per ax. 2. &percomp. 2.
Calculo abfoluto du-
cantur 1. horizon loti
A C.2. uerticalisplani
B Ghj.Horiz.on p la ni
A B C 4. In cums
quadrante A (ne-
pejuxta polam antar-
cticiim, qui filus fa-
pra tale, planum ex-
Jlat (primum nume¬
retur diflantia meri¬
diana loti a uer tičali
plani22.gr. 3. m. &
per ter minam numerationis P. dacatar meridiana plani LP.
Deinde aptmcio P numeretur dijlantia meridiana plani a
meridiana loti,  / o. gr. 3 61. m. & per terminum numeratio¬
nis Al. ducat ur meridiana plani L M. Denitp a punci o M. m
qnamciinq,partem numeretur eleuatio poli propria Jiuedi-
fiantia axisameridiamplani S. gr.  /}. m. & per terminum

Ll iij numera-

Schema

XCVL

Schema

xcvil

iff.p  PROEIEMATVM Gn.OMON tCORVM
numerationisM. ducat ur meridiana planiL MTtenup, a pan¬
di'o jM.  m cgudcuntfepartem nameret ur eleaatio poli pr opna
fmedijlantia axisa meridiana, plani  8.gr. sj- tn. &per ter -
mirnim namerationis i. agataraxis L4. extollenduf fiipra
meridianamplani L M. angulo Ad LI.

Casvs Te rti v s.

Si deniop arcus BN.repertus fueritmaiorcomplemen-
todeuationispoliBG.indicio eft, planum ultra po«#
lumarcticum incli-
natuin effe: adeoqj
polum arfticufupra
tale planum extol-
li debere, angulo ta-
to, cjuantus eft an-
guIusGLO. quem/t
metitur arcus GO.
quem arcum una
cum arcu O N por-
roitareperies, utin
cafu prascedente.

EXEA 1  PL VM. Sit planum meridionaiedeclinatum
dextrum 35- gr- 54- m. inclinatum uerfus poiumardi-
cum.75. gr* 43- m. Etfitrurfum eleuatio poli 49. gr. 35.
ra. Quxrantnr autemmeridiana loči & plani, una cu
eleuationepoli fupra planum. Calculus tališ erit.

I. Vt  B F. rad, a d F C. 54°- J-  ita BK. 75-- 43' .
100000. tang. 138144. Sinus 96909.
ad 133S74. tangentem arcus K.  N. diftanti« meri¬
dian« loči a uerticali plani/3, gr. i4X,m.perax.2.

II. K N.

Liber Vnvš. iSt

II. K N. 53?. 14 ž--ji». uh

B K- 75 - 43 -— - 24. 17 •

128. j 7 g. < 57 . 3 l 4 - 924.04..

38 . 575 :-----— -< 52875 -

29529.

/ I4764.

Sinus arcus N C. 8. gr. 29I. m. cuius complemcntu
eftBM.81.gr. 303.m. Vndefifubtrahas BG. 40.gr.

, 25. m. reftabit arcus G N. 41. gr. 5^. m. perax. 4.

III. Vt B N. 81 . gr. 304. ad BKN. 90". i taBK. 7 °.. 47 .

98903. IOOOOO. 96909.

IOOOOO. I o 1108.

ad 97982. frnurn anguli B M K. ftue O N G. 78. gr. 16.
m. per ax. 3- & per comp. /.

IV. Vt NOG-redtus adNC. ^/. gr. sb  m . itaoNG. 78“ 16.

J00000.  65726. 97982,

ad 64399. fmum arcus O G. diftantiam axis a meri¬
diana plani 40. gr. 5 j.  m. per ax. 3.

V. Vt tang. gno.  78 . gr . //. ad rad, ita tang. 00.40° s'j .

■ 4.814.70. IOOOOff. 84182.

100000. 20760.

ad 17483.  linum arcus O N. diftantice meridi-
anae plani a meridiana loči 10.  gr. 4.  m.perax. £e
comp. 2.

Calculo abfiluto : fithorizon loči A C. uerticalis plani K17.
hon&onplani A K CD. in qac primtm mjrteretur apunčlo

uerticaU

2 č 2  ProblematvmGnomonicorvm

ut rtieali IC . uerfm C.diftantia meridian* lori  a  uerticali plani
S 3°.  /45. & p er ter-  K

minum nurneraiionis
N. ducat ur meridiana
lori L N. Deinde a
meridiana lori nepe a

Scham P mc7 ° N ’ n retr ? nU ~
v ~ T „ Tr  meretnr diliantiame-
aLVIII.  ... , .

ndiana plam 10.gr.

4. m. & per termi-

nuffi numerationis 0

ducatur meridiana

plani L O. Aquade-

' biceps nurncretur ele-  u)

uatiopolipropnafiue diftantia axis, a meridiana plani 4.0.

gr. sk- m. & per terminum numerationicG. ducatur axisLG.

extollend:Us fiipra meridianam plani L O. angulo G L O.

PROBLEMA QYARTVM.

Lineas horarias in cpuouispiano ducerc.

Axis eft piano aduerfus uel parallclus.

Si axis fit piano aduerfus lineas horariae omnes ad ra-
dičemaxisfiue ad centrum Scioterici concurrunt.
Cumenim plana circulorumhorariorumcmnia ad
axemconcurrant:etiamfe£Hones illorum planornm,
a piano Scioterici fadlas 3 adaxem concurrere necefie
eft.

Axis autem piano aduerflts, eft eid,em redim uelcbUpum.
Si axisfit piano redim,ut eft in piano ad Aequatore paral/elo,

lineas

,, Liber Vnv*. **-3

line a  h orarU omnes aqualibus inuicent anguliš ad radicem
axis concurrunt.

Defcriptoigi-
tur in tali pia¬
no circulo
xquatoris, 6c
eodem in 24.
partes diui-
£0,  ac diuifi-
onibusadce-
trum Sciote-
ricidu&is., li-
nex horarix
du£lx erunt:
utfadlum ui¬
deš in adiun-
cda figura.

Si axis{itplan o oblicpuus : ut efi in opuouis pla.no ad Aetpuato-
rem oblitpuo: Unca h orana plerap, inaqualihm ad axem an~
guld concurrunt.Reperiuntur autemfacilime hoc modo:

A punclo quolibetaxis tanquama centromundiuer-
bigratia,inmeridionali declinato dextr030.gr. apu-
GoaxisE. ducatur reda normalis tanquam radius
quispiam AequatorisEF. quxre£taubi in meridiana
plani inciderit(fiueeafiteadem cum meridiana loči
fiue non) ibi permeridianam plani traijciatur aliare-
&a normalis F Q ; _qux erit communis fedtio xquato-
riscum plano.Deinderadius /£quatoris FE. repona-
tur in meridianam plani,ut fit F G. Atq; exG. tanqua

Mm ex cen-

Schema

XCIX.

26 *  ProeiemaTvm Gnomonic O R vm

čx centro mundi difcribaturcirculus dEquatoris qtfa-
tuslibetFK. Acrurfus ducatur aliusradius ALquato~-
ris e centro G.ad interfc&ionem linex xquatoris cum
meridiana loči frue cum linea horas duodecimts. Qui
radius ubi fecuerit circulumd£quatoris (hic autem fe-
cat in punfro K. )inde initio fafto femicirculusdEqua-
toris,communi fe&ioni dEquatoris & plani oppofi-
tus diuidatur in partes xquales 12. ac per fingulas diui-
fiones e centro G. ducantur redtae deletiles, quales
funtGPjG O^&c. qux ubi communem fečlionem
quatoris & plani attigerint, ibilinex horarix diuifio-

nibus

Liber. Vnvs. z6s

nibusillisrefpondentes necefiarid tranfibunt. Etfic
fingularum horariarum ducendarum duo pun&aha-
bebuntur, unumincentroScioterici L. ubi omnes
concurrunt: alterum in comuni fečHone ^Equatoris
& planijfiue in linea F Qj^per quam omnes tranfeunt.
Per qu3s duo punčda fi ducantur rečtaeL Q^L P, &c. li-
nex horariae du&as erunt.

4| Si axisfit piano para!lelus,ut ejl in plan o cgnouis ad Aeaua -
torem reci o: (ogualia plana nobisfunt e uerticalibm orienttl¬
ita & occidentaliaex inclinatis e a cpua, ut g, adpolum incli-
nantur: linea horaria nusquam in piano concurrunt: tpuia
totus earum concurjus ejl ad axem: qm taleplanttm nusoguam
attingit) fed funt innicemparalleU: quia omnes funt adaxe

Schema

CI.

266  ProblematvmGngmonicorvm

pa.rallela: fr op ter axem plan o parafielum.

Reperiunturautem eodemfere modo, quo UU qux ad axem
concurrunt: nempe lineci Aepuatoris per circulnm Acaue.to-
ris injitas h or as dmifa.Tantum hocintereji, quod ibi perduo
punci d o blipue: hicper ttnicum punctum recie ducuntur.
EXEMPLVMprimumefluerticale orientale, in quo
diuifio circuli ;Equatoris incipit ab horaria fexta :qux
eademintaliplanoutetiamin piano occidentali ed
meridiana plani. Nam meridiana loči inhuiusmodi
plananonincidit : quippe cum huiusmodi planaa
meridiano loči non fecentur 3 fed fint ipfi parallela.

Liber Vnvs. 267 .

EXEMPLVM alterum efto meridionale declina-
tum dextrum 29. gr. 59. m. fub uerticali fuo rede incli-
natum 23. gr. 3. m. at fub meridiano obliquc inclina-
tum 40. gr. 25. m. hoc eft,usque ad polum. In quo di-
uifiocirculi yEquatoris prorfus ut in obIiquiiIylari-
busincipitapundoK. Caetera fiuntutin planis Ori-
entalibus & occidentalibus.

F I N I S.

M m iij

Bartholo-

zGS  Problem at vm Astr.onomicor.vm

Bartholomad Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATVM

A S T R O N O MIC O R V M
LIBRI SEX.

P R JE  F A T I O.

A-StronomU partes ('meo quidem iudicio ) funt dna: una de
motujlellarum omniurn communi  . alt er a de motu tam jixa-
rum,quam erraticarum pr oprto. Motus jlellarum omniurn
communis rurfiurn e ji duplex: anus reuolutionis, alt er trcpida-
tionis. Motus reuolutionis fiellarum omniurn communis , e ji
motus circularis perje el us & nqualis, circa axem mundi &
fiuperpolismundi, nonin nonauel decima aliqua Sph&ra, jed
infolo Det m(fhfixis : ab or tu m occajumtendens, CZperiodo
fiha defimens tempus,quod G raci q. d. nochdittr-

numjatim diem cimlem uocant. Motus trepidationis ftella-
rum omniurn communis ejl motus circularis imperficclus cj
inaqualis,circa axem coluri Soljlitiorum : quo totu c&lorum
machina,tanquam axi z-odiaci ajfixa, modo ad axem mundi
ac cedit propius,modo ab eorecedit longius, (j it a obliquita-
tem Zodiaci & Aequatoris,modo maioremfiacit,modo mino -
rem: hinc inde a medio digrediens perferupula prim a duode-
cim, & adidemextrennm rediensannis Aegjptijs 3434.

Motus

PRAEFAT10. 2C9

Motm longitudinis tamfixurum,quam erraticarumpropri-
m omnis, eft motm circularisperfečim, drquoad apparentiam
tnAqualis : ab occafu in ort um ; fxarum drfelis, cir c a. axem
Zodiaci : reliquarum erraticarum circu propnos quosdam
axes & inter fefe dr ah axe zoodiaci diuerfos :unde ipfispr At er
motumlongitudinis, etiammotus Utitudinisinejjedicitur*
D e motu igitur reuolutionis(lellarum omnium communi , er it
problematum noflrorum liberprimus. De motu trepidationis
itidem fiellarum omnium communi, liber fecundm.. De
motufixarumproprio,liber tertius. Demotufolis
pr opno, liber quartm. De motu luna proprio
liber quintm. De calculo Eclipjium Soliš
& Lun a  liber fextm & po-
Jlremus.

Bartholomxi

■270

Bartholomaei Pitifci

Grunbergenfis

PROBLEMATVM

ASTRONOMICORVM
LIBER PRIM VS.

De motu reuolutionis ftellarum omnium
communi,

Siue

De motu cxli  diurno.

PROBLEMA PRIM VM.
zAltitndmem Soliš fupra horizontom cpuouis momento
deprehendere. 'Ttol. lih. 2. c. s.Cop. lih. 2. c 6 .

Altitudo Soliš fupra horizontem rcčtiffime capitur
per Quadrantem. Atcolligi tame etiam poteft ex um-
bris>fiuere£lis:fiui
uerfis : hocmodo

Schcms  eognomon perpe
CUI  diculariter erečlu:

Sit planum hori
zontaleCED. &ir

B

E F,extremitate fua
F centrum mundi
referens, &in par-
tes acquales quot-
libetj uerbi gratia,

D

m partes

Liber Primvs. S71

in p^rtes sequales 10 o. diuifus. Etfttobferuata umbra"
.olisEG. fparfaa fummitate corporis Solaris 1.
(Nam umbra EH. fparfa a centro Soliš L. tota cerni ne-
quit;propterea quodparsilliusumbrse G H. afupre^
mogibbo Soliš I. perpetuo illuminatur) Sit inquam
obferuata umbra rečta fupremi gibbi folaris E G. 7/.
partium.QuaeraturautemangulusE GF. tequalis an-
guloaltitudinisAF 1 . Dico:

Vt EG. umbra re&aad E F. gnomoneita EG radi us.

' 95. 100. 100000

adEF. 1052*53. tangcntemanguli E G F. fiue AFI.
cuiusmenfuracftarcusAI.46.gr. 28. m. unde fub-
traftusfemidiameter Soliš LI. 15. m. relinquit alti-
tudinem centri Soliš AL. 46. gr. 13- m.

Vel

Sitplanum uertica-
le C E D. & in eo
gnomon normali-
terfixus E F. extre-
mitate fua attin-
gens centrum mun-^
di F. &c  in partes
sequales 100. diui¬
fus. Etfit obferuata
umbra uerfa Soliš
E G. 103}. partium,
oftendens altitudi-
nem imi gibbi Soliš 1. ( Nam umbra centri E H. rurfus
tota cerni nequit: quiapars HG. ab imo gibbo Soliš

Nn I. illumi-

Schemx

CIK

Schemu

CV.

272  ProblemaTvm Astronomicoram

illuminatur) Quxratur autem angulus al tiradi nb
EFG. fiuelFA. Dico:

Vt F E.gnom on ad E G. umbram uerfam: ita F E. rad-
IOO 103 tih’  100000.

adEG. 103432.tangentem anguli EFG. ud IFA.
hoceft,arcus IA.-5t5.gr. 58. m. cui (laddas femidia-
metrumSolisIL. 15. ra. effieitur aititudo centri So¬
liš 46. gr. 13. m.

PB.OBLEMA SECVNDVM.

Ex alt it udine S o lis Jn meridie utrimque folfhtij capta ,
difiantiam tropicorummaximam declinationem So-
lis 3 <zc (imuleleuationem poli colhgere . P tol. lih. 1. c. 2.

lih. 2. c.  5. Copern. lih. 1. c. 2.

Altitudinem mi-
norem, uerbi gra-
tia BI., fubduca
maioreB M. quod
reftat IM. efl di-
ftantiatropicoru.- «

IK 6c MF. cuius
diftantix dimidi-
uml Auel AMeft
maxiraa declina-
tio Soliš : quaad-
ditaadBI. uclfub-
tračla de BM oflenditur B A.eleuatio /Equatoris AEC.
fupra horizontem BED.cui eleuationi tEquatoris
B A. exoppofitordpondetdeprdIio iEquatoris D C.

- cuius

LtfeEfe. pRtMVŠ. 2J1

cuiuscomplementum DF. eleuatio poIiF. fupra
horizontis punGumD.

EXEMPLVM. Sitobferuata Heidelberg« altitudo
SolisinbrumaBI.i 5 .gr, 57-m, Arin Solftitio aeltiuo
B M. 5 j.gr. 52 -m.

Erunt
B M. 53 . 53*

BI. i 5 . 57.

Diftantiatropicorum IM. 45. 55.
Masimadeclinatio. IA. 23. 28.

Eleuatio dEquatoris. B A. 40. 25.

Eleuatio poli. D F. 49. 35.

PROBLEMA TERTIViM.
Datamaxima de cim at tone Soliš, Jingulamm Jigniferi
part mm declmationes 'umerim. SP to L liri t. c. 13. C op.
lih. 2. c. 3.

Sit colurus folfliti-
orum,idemq:,Meri-
dianus A B C D.
iEquatorBED. Sig-
nifer AEC. polus
iEquatoris F. meri-
dianus quispiams
F G FI. abfcindens
defignifero arcum
E.G. 6c notans puii-
Gum G. cuius qu«-
ratur declinatiocH.

Nn ij

Sint

274  PROBLEMATVM A ST R O NO M I C O R VM.

Sintautem data,arcus Signiferi E G. 3D.'gr. unacum
ipfius complemento G A. 6 o. gr. Item declinatio ma-
ximaAEB.uelAB.23.gr. 28.m. unacum ipfius com¬
plemento A F. 66.  gr. 32. m. QuiaigiturcirculiF AB.&

F G H. perpolum /Equatoris F. & fignifer A E C. per
polum coluri A B C D. tranfeunt: ideo anguli ad A,B 3
&F. funt reGiper 57 . p. 1 . Quiauero anguli ad A,B, Sz
F. funtreGEideo uelfoluoTriangulumFEG. per axi- H
oma primum aut tertium;& dico:
perax. 1. V t E A. ad BA. 23" 2%'.  ita E G. 30. gr.
per ax. 3. G H E. HEG.

100000. 39822. /0000. '

adGH.19911-n. gr. 29. m. uelquod multo efl

compendiofiuSjfoluo Triangulum A F G. per axio-
ma quartum.hoc modo:

Exc. 3 6.  3,2.----59529

39821

H I99IO.

Sinus arcus/ G. 11. gr. 29. m.
dKS. Hocmodo,nempcperaxiomaquartum,omnes&declinatieries Soliš & la-
tttudmesreltciuorumpUnetarumabstfeomnt uelmultipltcatione ud diutfiont
perJo lam additionem &fubtracitonem rcperirepotes.

PROBLEMA QVARTVM.

Data maxma dechnatione Soliš fingulamm Signiferi
■partium afienfonesreolas inuenire. Ptol+ hb. 1. c. 14.
Cop.lib. 2. c.3.

Afcenilo

Liber Primvs. *7/

Afccnfio rečLa ali- p

cuius partis Signi-
feri dicitur arcus
fiLquatoris, qui cu
illa parte in Sphasra
reda finiul afcen-
dit. Vt partis Signi- S
feri G E afcenfio
re&a eftHE. quia
punclumFLeodem
momento cumpu-
čfo G.attingit hori-
zontemre&umFGFI. Notumcnim efie Sphasričis
quemuis circulum per polosmundi dufhim efiehori-
zonteminaliquaregionefubSplm-a refta (hoc eft,
fub /Equatore) fita.

Sintigitur data, qutepridem: nempe arcus Signiferi
E G. 30. gr. una cum ipfius complemento G A. 6 o. gr.
EtmaximadeclinatioSolisAB.23.gr. 28. m. una cum
ipfius complemento A F. 66 .  gr. 12.  m. Et deniq; an-
guli ad A, B & H. rečLi. Quaeratur autem afcenfio re-
ftaFIE. Dico:inTrianguloBFH.

Vt A F. 6 6 .  gr. 32. m. a d A G. 6 o. gr. ita FB.90.gr.
per ax. 2. Sinus 91792. tang. 17320/. ioopoo.
percomp. 1. —100000. 109016.

fecanscomplementi AF. ad 188822. tangentem ar¬
cus B H. 62. gr. 6. m. cuius complementum efi H E.
27. gr. 54. m. afcenfio refla qu 3 efita ;  per ax. 2. <k per
compend. 1.

Schemx

CVI.

N11 iij

PR OBLE-

X 7 $  Problem at v m Astronomic or vm
PROBLEMA QVINTVM.

Datis declinatione &> afcenfione reci a, und cum eleuati -
one poli,fingularum Sigmfen parfum afcenflones obli-
qua-'inuemre. Ptol. lib, 2. c. 7. Cop. lib 2. c.  3 .

Afcenfio obliqua alicuius partis Sigmferi dicitur ar¬
cus A^uatoris^uicUmilla partein Sphaera obliqua
fimul afcendit: ut afcenfio obliqua partis Signiferi
H L efl arcus /Equatoris H E. quia arcus ille H E. fimul
afcendit fupra horizontemobliquumBED in fphse-
ra obliqua: in qua eleuatio poli efl D K.

Casvs Pr  m v s.

Si Sol f t infigno aliopno boreo, qualia fignajimt  Y V 3X «5

Q np-

Sit meridianus AB
CD. /EquatorAEC.

SigniferFLI. Hori-
zonobliquus BED.
eleuatio poli D K.

Arcus aliquis Signi- B
Schema.  feriHL. eiusque de-
CVII.  clinatio L M. & afce-
fio reci a H M. afcen¬
fio obliqua H E. dif-
ferentia afcenfiona-
lisEM. EtinTrian-
gulo E L M. fint data prater rečlum ad M. compl. ele-
uationis poliLEM. fiueDC. 4.0. gr. 25. m. 6t declina-
tio L M. 11. gr. 29. m. & deniq; afcenfio re&a H M. 27.

gr. 54-m.

Liber Primvs. 277

gr. 54. m. Quaerat:ur autem EM. differcntia afccnfio-
nalis:qti3edcmta de afcenfione re&a HM relinquat
afcenfionem obliquam H E. Dico:

Vt D C. 40.gr. 25.111. ad C E. rad. ita L M. n®. 25/.
T. 85157. 100000. • T. 20315.

rooooo 117430.

ad 23855. finum arcus M E. 13- gr. 48. m. quo detra-
do de afcenfione reda HM. 27.gr. 54. m. relinquE
tur afcenfio obliqua H E. 14. gr. 6.  m.

C a s v s S e e v n d  v s.

SiSolfitmfigno dicjuo ttuftrAli, c^ualiafigmzfunt  iCS, Ttl> ^

X

Signifero exiften
te F HI, cacteriSj ul
ante: Sitdatapor-
tio Signiferi HI
nempe finis libras.
ucl i princi p ium
Scbrpij 30.gr.eius-
quedeclinatioLM.
ni 29'.  Sc afcenfic
reda HM. 27. gr.

54. ni. unacumde-
clinatione maxi-
ma. L H M. 23°. 28'. Dico:

Vt B A. 40. gr. 2 5. m. ad A E. rad.  i,taLM. 11.29.
por ax. 2 . X. 85157.  iooooo__ T. 20315.

percop.2.100000 117430.

ad 23855.

Schem*
CVIII.

27  S  Pr. ob le mat vm Astronomi c o rvm
ad23855-finu.1narcusEM.13. gr. 48. m. quo addito
ad afcenfionemrečtam HM. 27. gr. 54. m. efficitur
, afcenfio 0bliquaHE.41.gr. 42. m.
CONSECTARIVM. Differentise crgo afcenfio-
nales in utroq;Jemicirculo Signiferi funt etedem: fed
infcmicirculo boreali funt ab afcenfionibus reftis
auferendas:infcmicirculo reliquo funt ad afcenlio?
nes redas addendae.

PROBLEMA SEXTVM.

Data declmationeSoliš } und cum eleuationepoh^fingu-
larum Jigniferi partmm arcum jemidiurnum 3  hoc eji,
quantitatem dieireperire. Copern. lih. 2. c.  7.

DifFeretia diei in-
ssqualis abtequali
nihil aliud eib,qua
difFerentia afcen-
fionis rečteab ob-
Schema  liqua: utCopernk
1  CK  cusmonetlib.2. c.

' p.Etresipfadocet.

Si enim principi)
tauriG.data'decli-
natioGH. 11.gr.29.
m. unacum com-
plemeto eleuationis poli GEH. 40. gr. 25. m. & angulo
refto adH.Qu»eeratur aute arcus/Equatoris EH. qui ad-
ditusadquadrantemAE. ollendat quantitatem ar-
cus femidiurni A H. uelin paralleloSolisMG. Ratio*
tinatio prorfus eadem erit,quae in problemate antcce-
dente:nempe, '■ » VtCD.

Liber Primvs. 279

Vt CD. 40?. 25'. ad C E. rad. ita GH. 11!. 29 '.

T. S5157. 100000.  T. 20315.

100000. T. comp.//7430,
ad23854 fmum arcus E G. /3" 48'. cui arcui refpon-
dent,Hora o. minuta41. Ergo,quando Sol cfiin prin-
cipiotauri, diesefi; horarutn 13.  6c 22. minutorum.
Nam bis4/. m. funt/. hora, 22. m. quae addita ad 12.
horas efficiunt//. H. &22. m.

CONSEC TARIVM.  Hinccuiuscunqueregionis,
fidatafiteleuatio poli, una cum declinatione maxi-
ma:dabiturctiamdiesmaximus. Etcontra: fidatus
fitdiesmaximus, una cum declinatione maxima, da-
bitur etiam eleuatio poli.

PROBLEMA SEPT IM V M.

D ata declinatione Soliš 3 una cum eleuatione poli^fingu-
larumfigmferipartiumjatituchnem ortiuam inuemre.
P tol. Ib. 2. c. 2. Cop. lib. 2. c . 7.

Latitudo ortiua di-
citur arcus horizon-
tis inter dEquatorem
& orientem aliqueni
figniferi gradumin-
terceptus,utEL. In- B
uenitur autem hoc
modo.

Schemu

CFIL

Oo VtLEM.

z$a  Proelematvh Astronomicorvm
Vt L K M. 40®. //. ad L M. //*. 29'. ita EML. rad.

perax. 3. -64834:

1990 S.

ioo-ooo.

percop. /. 100000.  /54239.

Secans compl. G E H. adsozotf. Imuni arcus
E G./7" 53'.

PROBLEMA OCTAVVM.

Datisloco iri declmatione Solisund cum eleuationepo-
It^altitudinem eimfipra horizont cm ad auamids kora
muenire.

Casvs P rim v s.

Si Solfit in Acquatore,hoc ejl>vnprincibio librauelnrietn v

Sit hora fecunda a
meridie; & Sol ad
H. conftitutus: a-
, deoq; Irt angulus .

A G H. Ime arcus B
Schema  AH. 30. gr. arcus
CIX.  A G. £equaliseieua- 1
tionipoli FK. 49.
gr. 35- m. Et angu¬
lus ad A. redus pcr
57. p. 1.  Soluo Tri-
a ngu ! um A G H. p er
ax.4.hocmodo:

AH. 3 ot

Liber Primvs.

s St

II 22  9  s
s  ^/ 47 .

Sinus arcusHL. altitudinis O- fupra horizontali
Hv 9'-

Casvs Secvndvs.

Ifit in dicpiofign o boreo.

Sit rurfus hora fe-

cunda a meridie,
adeoque lit angu-
lusGFH.30.gr. II-
uearcus A M. Sol
autem litin//. gr.

Tauri, neinpe ad t
punftum H. cuius
punčti declinatio
HM. cft i 6 \. 21.  &
quxratur eius alti-
tudo H L. Soluen-
dnmuenit-Triangulumobliquangulum FGH. cuius
lateraduo notafunt,FG. complementum eleuationis
poli 40" 25'. & F K. complementum declinationis So¬
liš 73.39. ufta cutn angulo G F H. 30- gr. Itaigiturpro-
cedo per axioma guartum.

Schemtt

CX.

Oo ij

F G. 40,

gS2  PROBLEMATVM A S T R O M O M 1  C O R V At

F G. 40. 25.-40. 25.

F H. 73. 39 -/ 6 . 21.

114.  4. $6.  46-83644

24. 4-—40780.

G F H. 30®. o.-iooooo 124424

60.  o.-—86602 72212.

2339  8 .~"

V^tvi?^7i7i7£7. ad/^/^.ita/ji^A

ad 9674. quo detraGo de S3644. relinquitur 73970.
. finus arcus H L. altitudinis foiaris 47*. 42'.

C a sv s Te rt  iv s.

Si S oljit inJigno diquo aujlrdi.

Sitetiamin hocca-
fudata horafecun- ■
da a meridie, hoc
eft, angulus G F H.

Schema  etiam m  hoc cafu
CXI.  3 °- gr- Sol autem
in punGo H. fit f
conilitutusadprin-
cipium Scorpi): cu-
iusdeclinatio HiM.
cft a 0 .. 29.  Arcus
igiturFH. efl qua-
drante maior. Ergo
pro Triangulo G F H. nune foluo Triangulum N H O.
peraxioma4. hoc modo.

N 0 .40.

LiberPrimvs. ' 2 ij

Vtiooooo. ad63535. itaiS66o2.
ad 118559, de quo fifubtrahas 78693. reflabit 39866.
finus exceffus tertij lateriSj nempefinus altitudinis
folarisHL. 23". 30'.

PROBLEMA  N ON  V M.

"Data, altitudme Soliš latitudinem eiusa meridianofuj>-
futare.

Latitudo Soliš a meridiano eft arcus horizontis inter
meridianum &uerdcalem,qui perfolemtranfitjinter-
ceptus,utinpra2cedentibus tribusSchematibus arcus
I L. Qui arcus facilime reperitur per axioma 3-hoc
modo.

In primo cafu prsecedentis problematis.

Vt gh.  copl. altitudinis 55L51'. ad GFH.30. gr. i tara. 9  o?

Sin. 82757. Sin. 50000. 100000.

Cop. 1. iooooo. ' 120S35.

Sec.cop. fh.  ad 60417. finu anguliHGE uellGLjhoc,
eRjarcusIL.37.gr. 10. m. ,

Infecundo cafu:

Oo iij

VtGH.

I

sSj .  Problematvm Astronomi c or v m.

Vt G H. 42»  18. ad GFH. 30. gr. ita FH. 73-39'.
<57301. 50000. 95955.

a'd 71^88. finumanguliFGH. uel IG L. hoceft, ar-
cusIL. 45.28.

In tertio cafu:

Vt G H- 66 .  30. ad GFH. 30-  gr. ita F H. 78.3t.

9 l 7 o(>. sooco.  9799 b.

ad 53430. finum anguli F G H. uel IG L. hoc eft, ar*
cusIL.32" is'.

PROBLEMA DE CIM VM.

Et Soliš & ommmn omnino fiellarum declinationesob-
Jeruare.

Per Quadrantem obferuaaltitudinem Belite in circu-
lomeridiano. Quaealtitudofifuerit raaioraltitudine
Aequatoris,hancabilla fubtrahe: finminor/accon-
trarium:&habebis declinationem ftelloe qu 3 efitam.
Exempli grada. Si
Soliš altitudo in cir-
culo meridiano per
Schema.  Quadrantem obfer-
CVII.  uatafitBF.35-gr.12.nl.

fubtraftis B F. 35 - gr- b
12.de altitudine /E-
quatoris B A. 40- 25'.
remanet declinatio
Soliš F A. 5. gr. 13. ra.

PROBLEM

Liber Primvs. '2S5
PROBLEMA VHDECIMVM.

Ex objemata declmatione Soliš locum eim in Schptica
rep er ir e,

SitobleruatadecIinatioSolisFA. 5. gr. 13. ni. Qua:ra-
tur autem iocus eius in Ecliptica,hoc eft,quasratur ar^
cusFH.quiaigiturinTrianguloFAH.praeter rečtum Scf]emA
ad A. notus eftobliquus ad H. nempe declinatio ma- C ^ IL
xima23. gr. 28. m. &infuper etiam latus F A. declina¬
tio nuper obferuata,dico per ax. 3.

Vt A H F. 23" 2s', a d A F. 5. gr.  13. m. ft aFAH. 90. gr.

jpS2I. 90512. 100000.

cop.l .100000.  251120.

sec.compl.AHF.ad2283I-finunlarcusFH.I3.gr.

12.  m. quo arcu detradlo de figno pifcium 30.gr. ap-
paret Solem efie in 16.  gr. 48. m. pifcium..

Videtur autem Sol 24. horarum fpacio unum fere gra-
dum pertranfire. Veniuntitaqueprohoraria portio*
nefcrup. 2^.1  V T ndead quamlibet aliamhoram con-
flitutamfacile coniedlabiturlocuseius,inquitCoper-
nicus lib. 2. c. /4- .

PROBLEMA  D V O D E CIM  V M.

Afcenjiones reči a*fixamrnmuemre.

Afcenfionem rectam primx alicuius fiellae fixae ficiri-
uenies. Inmeridieobferuadečlinationem Soliš,&in-
decollige afcenfionem eius redlam per problemata
pracedentia. Deinde horologium quoddam automa-
ton indubitata fldei exa£be compone ad motumSolis.

Porro obferua,quothoris a meridie ftella fixa, cuius'

- 1  ■ • afcenfionem

■ 2 $ 6  ProblematvmAstronomicorvm
afcenfionem redaminquiris, ad meridian um perue-
;nerit.Deniqjhorasillasingradus & fcrupula T.qua-
toris conuerfas adde ad afcenfionem redam Soliš, &
habebis afcenfionem redam ftellae fixae quaefitam.
Exempli grada. Primum in meridiefit obferuataaf-
cenfio reda Soliš ad K. confiituti, IL. So. gr. Deinde
horis noucm a meridie elapfis fit obferuatus tranfitus
ftellae alicuius fixae
M.permeridianum
BAM. Atquihoris
noue afcenderunt
IA .ijj.  gr. 22I.  m.
fingulis enim horis g

Schema  afcendunt/j. gr.2-f.

CXII.  hi- Additis ergo IA.

135. 22-j. ad IL. 80.
gr. manifefium fit,
afcenfionem reda
ftellae fixx M. h. e.
arcum /£quatoris
AL. a principio ArietisL. eITe225.gr. 22J.
^flnuentaautem afcenfioneredaunius alicuius ftel-
laefixae,reliquarumfixarumomnium afcenfiones re-
das inde colliges r hoc modo:

Sitprius inuentaafcenfioreda ftellae fixa: M.nempe
arcus AL.Nuncautemquaeratur afcenfioreda ftellae
fixxN.hoceft,arcusOL- obferuatis declinationibus
AM& O H. perproblema 9. & notata difiantiaMN.
uelperQuadrantemuelper Sextantein. Quia in Tri-

Liber P rim v s. . i<P/

angtlloMFN, notafuntomnia tria latera : n.empc
MF. StNF. complementadeclinationum & MN. di-
flantiafiellarum.-inde per ax. 4. inuefiigabis angulu
MFN. cuiusmenfuraeft arcus A O. quo detra&ode
afcenfionereQaftellxM. nempedearcu AL. rema^
nebit arcus O L. afcenfio refta flellae N.

PROBLEMA DE CIMVM TERTIVM.
Datadechnatione&ajcenfione reci d ahcumsflelUft  •
ems longitudinem ab acpuinoUio uerno 3  latitudi-

nem ab Ec lip tičafupputare.

Sit meridianu?

ABC. /Equator
A E C. Ecliptica
BED.polus diqua-
toris F. polus E-
člipticas G. Sc lit
ftellx H. data de-
clinatio H K. St
afcenfio reda K E.
quxratur autem
longitudo El. &
latitudo IH. Pri-
mum in Triangu-
loKEL. quiaprxterrcftumad K. notuseftangulus
maximx declinationis Soliš K E L, St infuper afcenfio
refla ftelke K E. Dico.

1. VtEA.rad. adAB. tang. maximxdeclinationis 3 ita
E K. finus afccnfionis rcčlx,ad tangcntem arcus

Pp K L. finus

Schemt

CXIIT.

■ sSf .  ProblemaTvm Astronomicoram
K L. quo detradodedeclmationeftellx KH.relin-
quitur arcus L H. per ax. 2.

II. VtKL. adKEL.itaKE. adKLE. perax. 3- cui«-
quatur IL H. per 13. p, i.

/ III. VtKEL. adKL. itaLKE. adLE. perax. 3.

IV.  Vt H I L. ad H L. ita IL H. ad 1 M. latitudinem ftel-
lx per ax. 3 .

V. Vt tangensi L H. ad rad. ita tangens IH. adfinuin
IL. perax.2. quoIL. additoad LE. efficitararcosIE.
. quo detrado de circulo toto relinquitur arcus

EDBL.Longitudoftellaeab diquinodio uernoE.

PROBLEMA DECIMVM QVARTVM.
Data declmatione  eV 1  latitudme jiella longitudinem
eiusmuenire. Cop. 1.3. c. 2.

Exempli grada/SitSpicteuirginis obferuata altitudo
in meridiano27. gr.fere. Qualem obferuauit Coper-
nicus Frueburgi
Prufli«, Anno 152?.
ubi eleuatfo poli
Schema  eft^L ij/.Declina-
CXIV.  tio igitur auftrina

ftellaifuits. gr. 40. C  j
m. per problema
9. Et lit latitudo W
ftellx auftrina da-
ta 2. gr. o. m. Quar-
raturautem longi-
tudo. Defcripto circulo meridiano per j£quatoris
r v &Edipd-

LIB E R P & I MV S. *Sj)

&EclipticxpoIosincedente ABC D. fitfečfio com-
munisTquatoriscum meridiano, adcoq; dimetiens
d£quatoris A E C. fečfio communis Eclipticxcum
meridiano fiue dimetiens Eclipticx BED. poliEclip-
ticxF & G. principium Cancri D. capricorni B. Decli-
natioauftrinaSpicxfitCNuel AM. per cuius decli-
nadonis terminos N & M.  ducatur dimetiens paralleli
Aiquatoris per Špicam tranfeuntis N O M. Latitudo
auftrina Spicxfit DL. uelBH. per cuius latitudinis
terminos L & H. ducatur dimetiens paralleli Eclipti-
cx per Špicam tranfeuntis L O H. qux dimetiens, ubi
fecueritdimetientemdi,quatoris, nempead pundum
O. ibi eritlocus Spicx, acproinde finus re&uslongi-
tudinis Spicx a quippe uerfusCapricornum,in pa-
rallelo fuo eritreOa I O. quam quxrimus.

In Triangulis autem xquiangulis E B R & K H Qjdan-
tur. i. Sinus arcus AB maximx declinationis Soliš
23- gr. 28. m. nempe finus R B. 39835-
2. Sinus arcus AH. 25^.2«^. compofiti ex maximade«
clinatione Soliš A B. 23“. 28T. & ex latitudineSpicx au¬
ftrina B H. 2. gr. nempe finus R H. 43012.
j. Sinus declinationis aufirinae AM. 8. gr. 40. m. nem¬
pe finus O P. 15069.

4: Sinus latitudinis auftrinxB H. 2. gr. nempe finus
El. 3489. &finuscomplementiIL.uelIH. 99939.

Dico igitur per 46. p. 1.

I- Vt RB. 39835. ad BE. 100000. ita QH. 43012»
comp. 1.100000 2S1035.

ad H K. 107975.

pp ij h:\trb:

zqo  Problemattm Astronomicorvm
II. Vt RB. 3983/. a d BE. iooooo.  ita PO. 15069.
Comp.i. iooooo. 251036.

ad O K. 37828.

SubtradaauteredaOK. 37828. dereda HK- 107975 .
rcflat reda O H. 70147. quarurfus fubtrada de reda
IH.99939-reBatreda;o. 29792. quanota porrodico:
III- V e IH. 999 '9-  elt iooooo. radiusdta 10. 29792.
iooooo 100061.

eft 29810. finus diftantiseSpicasaprincipiolibr«. 17.
gr. 20'. 40". Cui fi addas femicirculum 1S0. gr. habebis
longitudinem Spicxab Aequinodio uerno 197. gr*
20.40". ad tempus obferuationis Copernici.

PROBLEMA DECIMVM QVINTVM.
Data longitudmetš latitudmeftella,eim declmationem
itd afcenfionem rcctam^Jimulfiue medium cali rep er ir e.
C oper n. lih. 2. cap. 4.

Sitcirculus per po- ' <-

ccdcns

* Liber Primvs. * 2^1

cedens FHP. adeoquedeclinatioftellxHN. afcenfio
reda E N. Circulus quispiam perpolosSigniferičc
centrumftellxincedens GHT. adeoq,latitudo ftellae
H K. longitudoEK.medium cceli, (hoceft, gradus
Eciiptic«, cumquoftella H. meridianum attingit)
EM. Etfintdata.

B A. maximadeclinatio Soliš 23“.28'.

EK. longitudoftellxH.nempeoculi ab aequinO-
diouerno. 53®. 58. adan.NC. 1588
H K. latitudo eiusdem ftellx perpetua>uerfus
auftrums". 10'.

Quxrantur autem
HN. declinatio
EN. afcenfio reda Sc
EM. mediumcxli,eiusdemJflcllas.

Inquifitio.

In Triangulo PT H. tria nota fu nt.

1. latus P T. xquale lateri A B. 23". 28'

2. latus T H. complementu latltudinis ftellae 84®.

3. angulus HTP. complementum anguli KTB.
qui angulus eft complementum longitudinis ftel-
1 x 25 . gr. 2. m. Vnde angulus H T P. eft 153?-58'.

Et nota duo latera notum angulum includunt.
Inquiro igitur latus tertium P H. perax.4- hocmodo.
PT. 23® 2s'.—23® 28'.

TH. 84. jo. - s. 10.

los. 18 28, 38.——47920

IS. 18.-- -n 399 -

79319

39559-med. reda:.

Pp iij jHTP.Y35T*

Sp S  PROBLEMA TV M ASTRO N O M t'C O R VM.

HTP. 153. 58.

90. —TOOOOCT .

63- 58 .-89854

1S9S54. Sinus ucrfus.

■ Vtiooooo. ad39659. ita/S9S54.
ad 75294- unde detradus finus 47920. relinquit
27374. finum redurn exceflus tertij lateris, nempc
declinationis flellx hn.  /j" s 3  • cui fi addas quadra-
tem PN. fimui innotefcit totu tertiu latus PH. 10j°,.
53*- eiusquecompl. ad femircirculum,hoceft:, com-
plernentum declinationis flellac H F. 74" 7.

Quibus omnibus notis^porro dico per ax. 3*

74 - 7 - 26. 2.

Vt PH. 10S.  53-  a d PTH.///.  58. ite TH S4?. 50'.

q6i8o.  43%Sp.- p 9594-

ad 45446. finum anguli HPT. euius menfura efi
arcus N A. 27" 2.  euius compl. E N. 62", 58®-efi afi-
cenfio reda fiellae qu3efita. At Raijmarus feribit, eius-
dem ftelke afcenfionem redam Caflellis eodem anno
obferuatam & inuentamefle 6f,.io.  Quaeobferuatio,
fi rede a Raiimaro annotataeft, longitudo 8ciatitudo
oculi tauri tam aptid Ptolomeum quam apud Coper-
nieum efl mendofa.

Denique pro inueniendo medio caeli E M.
dico perax. 2.

VtFA. 90*. a dAN. 27 °. 2. itaF B. 66.32. comp l. A B.
/ooooo.  tan g.sro2<f.  Sin 191729.

ad46805.tangentemarcus MB.25?. 5'. euiuscom-
plementumEM. eftmediumcajliftella: H. quaefitum
64^.55'. FINIS. Barthoio-

Liber Secvndvs.

Bartholomad Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATVM

ASTRONOMICORVM
LIBER SECVNDVS,

V e motu trepidationis itidemficllarum omnium
communi ,

Siue

*De diuerfitate obhquitatu Signiferi.

PROTHEORIA

Sitcoluras foIiHtr-
orum ABCD. &
in eo poli Aequa-
toris F. & G. poli
Signiferi FI &c  L
Signiferipfe bkdl.
jEquator AKCL. y{

Axisfigniferi hej.
axis /Equatoris F
E G. Deindeinco-
luro folftitiorum
aflumatur arcus
M H tantns,
quantaeft difFcrentia inter maximam obliquitatem
Signiferi F M. & inter miniraam F Q*per hunc arcum

MHQ. axis

Schemš

cxn.

2<>4  PROBLEMATVM A STRONOMIC ORVM

M H (^aiis Signiferi &cumeo tota coelorum machi-
na hinc iride mouetur abM.perH. inQA<: rurfus aq per
H in M. idq; motu admodum intequali: nempe circa
maxiraam & minimam Signiferi obliquitatem tardif-
flmo, circa mediamuelociffimomtmultorumfeculo-
rum obferuationes oflendunt. lammotus intequalis,
nifi mediante aliquo motu tequali ad calculum reuo-
cari non potelf. Polo igitur medite obliquitatis Signi-
feri>H,interuallo dimidiae differentias HO^uel HM.
defcribatur in fuperficie globi epicyclus M N O P. Et
in eo anomalia fiue diuerfitas obliquitatis Signiferi
sequalitermoueriintelligatur abM. inN, 6 cc. quo fa-
Oo,manifeflumeif ; ,motu$fiQ:itio aequaliper circum-
ferentiam epicycli MN O P. refponderemotum ueru
per diametrumM H (^admodum ina£qualem: & qur~
dem omnino talem,qualcm obferuationes requirunt:
nempe circaM StOjtardiffirnum, circa H. uelocifil-
mum. Sintenimtequales arcusMN, O P, P y, & V
nempe finguli 5 . graduum. Manifdlumdlportio-
nes diametriMH Qdllis arcubus refpondentes nem¬
pe redas uel quafi reflas M T, S H, El Z, & X (jadrno?
dum eflein 3 equales. MT. enim, X Qiuntllnus uerfl:
SHuero & H Z. funt finus redi, eorundemarcuuni.
lam finusuerfus 5 . graduum non eft nifi 38 i. finus ue-
rore£luseft87i5- Atqui 38 i. in/ 7 /j. plusquam uicies
continetur. Ergo motus circa extremitatesM & Q^
(hoceif, circa maximam & minimam obiiquitatem
Signiferi) plusquam uigecuplo tardior dl motu circa
H. Quod ante omnia oftendendum erat.

PROBLEMA

t  '  Liber Secvndvs. '■*»

PROBLEMA PR1MVM.
t Aeqmlem motumanomaha obhqmtatis Signifsri ad
quodim datum tempus coihgere.

Adomnera xqualem m o tu m colligendum, etiam
tempus datum xqualefit oportet. Inxquales autem.
funt anni Iuliam:quippealij dierum 365. ali) dierum
166.  Inxquales etiam funt menfes luliani •. quippeali)
dierum 30. ali j dierum 31. ali) dieru28. uehs*. Inxqua*
resdeniqueruntetiamdiesciuiles:propter duas cau-
fas. Primum,quia motus Soliš in Signifero eft inxqua-
lis. Deinde,quia etiam cumxqualibus arcubus Signi-
feri,inxqualesarcus diquatoris afcendunt. Diesaute
ciuilis eft reuolutio tori us Aequatoris, 6c infuper par-
! ticulx tantx,quanta cUm eo arcu Signiferi, quemin-
terimSolproprio& contrario motu emenfus eft, af-
cendit. Sedinxqualitasquidem dierum ciuiliumnifi
iti motu lunx,nihilhabet momenti: necnifi abfolu-
tocalculo motus Soliš intelligi potefl. Ergo eiuscor-
reftio fub finem problematum de motu Soliš differa-
tur.Inxqualitas autem annorum Iulianorutn corrigf-
tunreduclione eorumad annos Aegyptios, qui per-
petuo funtxquales, quippe.finguli dierum 365- Cxte-
rum, anni iuliani ad annos fttgyptios reducuntur, f)
per 4. diuidantur. Sic enim quarti cuiusque anni dies
intercalaris feparatur: & in unoquoque anno n,on nir
fi 365- dies relinquuntur. Menfium autem Iulianorum
inxqualitaseuitatur,. dumpro menfibus datis, dies
illorum menfium ad caiculum affumuntur. Exempli

Proelematvm Astronomi c o rvm

caufa, fit qaaerendus a!iquis motus tequafis ad horam
fecundam ppmeridianam diei 30. Iunij.anni aNO.
1600.

Prim um annos Iulianos completos 1599. reduco ad
annos Aegyptioshoc modo:

%%  3- —- anni tr es,poft bifextilem reliqui.

;

444 (399- dics intercalares.

365.(7. anuusdEgyptius,adi599. addedus.
34. — diesrcfidui.

Deinde numero dies Menfium
1600* & funt,dies Ianuarij — 31.

Februarij—29
Marti)

dati anni currentis

_ - 3 j unnus Iultanus 1C09. efl

A ru-ilie- -50 cumannu 4 \ss>*

Tiprms- 3  ^ fuerittertiu-ipofl btj]exttlem-td:

Mai)-3| quetd.es, <juta Annw N C.fuit

ltmif,diescompjetiž$>

Diesantearefidui 34-
Sumraa dicrum. 215.

Dcniquehorisduabuspomeridianis addo horasi^. a
media nofte elapfas,ut fiant horse 14. idque propterea,
quia Copernicus acram Chrifti orditur, non a meridie
calendarumlanuari): fedamedia nodte Calendašla)*
nuarias antecedente: idque refpc&u meridiani Cra-
couienfis, cuius longitudo fecundum Copcrnicum
efl 45. graduum.

His.itafaQis,tempuscalculo Aftronomico aptumefi

annorum

- Liber  SEcVttttVs. - Ht

f. annorum/Egypdorum.i<Joo.

Dierum——-—-— 2ij.

Ethorarum- 14 -

Quos annos & dies compendiofioris calculi.caufare*
digoinSexagenasannorum & dierum : horas uerčf
conuerto infcrupula fiue infexagefrmas partes dieru:
hocmodo.

44

^ ( 26 . Sexagenaeannorum,5c40. anni.

6

%  3

(3- Scxagenas dierum,&35.dies.

24. horsedanttfo. fcrupula dierum, quotfcrUpuIa
dierum dant 14. horae?

fc .  35. Nam
Vt 24.  ad 60 .  ita 14.

2. 5  7 .

1 ad 35.

^fPractertemporis corre&ioneminomni motuaequa-
li colligendo hazc duo prscfcire oportet:
Primum,quanto tempore abfoluatur ille motus,
Altcrum,conftituto certo aliquo temporis principio,
quousquetunc&unde progreflus fueritille motus,
V erbi gratia:quousque & unde progreflus fueri t mo¬
tus anomalia; obliquitatis Signiferi, tempore natiuis*
tatis Ghrifti.

Q^q ij A d pri*

Proble sht v m A st r o no $ i c o r v m

Adprimam qjia?ftianem hocloco refpondet Coper^
nicus,motumanomalix obliquitatis Signiferi (ipfe
uocat motilna anomalix fi nap lici s dEquino£Horum)
abfolui annis.'Egyptijs 3434- Idqueprobabiliter collis:
git ex obferuationibus antiquis ac nouis, lib. 3. cap. 6.
Motus igitur.annuus eft— -d. n".  24A 9"".  fere
Motusdiurnus — d.  1". 2". 2". Nam

I. Vt 3434- anni ad 360. gr. ita 1. annus ad o. gr. d.

/i ^  ,/// Jttr r  ^

17 . 24. . 9 . rcre.

II. Vt 365- dies ad d. 17".  24V 9"".  ita 1. dies ad

o', i". 2". 2"".

Quiauero motus unius anni eft d. 17".  24 .'9".  idco
motus Sexagintaannorum fiue unius Sexagemxan-
norum eft 6 17. 24". 9 w .Nam ut anni per 60. crefcunt:
j ta motus.

Eodcmq; modo: quia unius diei motus eft 1". 2!". 2!'".
ideofcxagintadierum fine unius fexagenx dierum
motus eft i\ 2'.d".  Quod obferuare operx precium eft:
quia calculurjaprxbet admodum facilemijs: qui pra¬
vicam Italicam norunt : quam Studiofus mathema-
tumignorare nemo debet. Difcereautem poteritqui
uolet,ex ArithmeticaGermanica. Petri Appinai: uel
ex alijs id genus libellis: qui uulgo proftan t, & in om-
njurnfere mercatorum manibus uerfantur.

Ad fecundam quxftionem refpondet, &rurfus ex ob*
feruationibus antiquis atque nouis probabiliter col-
ligitCopernicus, motuni anomalij obliquitatis Sig¬
niferi ab M. uerfus N. hoceft, a maxima obliquitate
uerfus minimam tcmpore natiuitatis Chrifti, progref-

fum eft e

Libe  R PklMVS. 29 J.

(umeffegradibustf. minutis45- . •:

Quibusitapofitis: xqualem motum anomaliae obli*
quitatis Signiferi ita colligOjUt fequitur. ]

Sex*. annorum Sexag‘*. anni

Sex*. dierum Sex^. dies fcr.

I-1'. 2". 2!". -3. 35 - 35 .

7. II. 10.

Motus dierum- 3 '

Motus annorum — 2. 4 7°.  44 .
Radix--o. 6.  45 .

7 11, 10,

—J! r ju  „ im  , j mr

42.53 . 21 .10  .

, Surama-2. 54* 32'.46".53"'.21"".io".V

. Ho c c A

174. gr. 32'. fete.

Nam duas fexagcnae graduum funt 12 o. gr. quibus fi
addas 54. gr. efficiuntur 174. gr. &c.

PROBLEMA SECVNDVM.

Profthaphzrefes obliquitati 3 .Signiferifupptit are.
Profthaphaerefes obliquitatis Signiferi funt portiones
diametri M H fXinaequalcs ;> arcubus anomaliae m n op.
aequaIibusrefpondentGS.:-&4(leofic dicuntur, quia
modo addendae funt adobliquitatem Signiferi medi-
am^modo ab eadem auferendx: proutcitra uel ultra
mediani obliquitatem Signiferi H. confiftunt.

(^q ii) Suppu-

„ Problematvm Aštronomicorvm

Supputanturautemadminiculo finuuiTgfiprius con-
' ftetquantitas diametri MHC^jiempe difFcrcntia in-
termaximam & minimam obliquitatem Signiferjj
quam difterentiam Copernicus dicit &probat efle24.
fcr. primorum lib. 3. cap. /p.Tempore enim Ptolemaji,
cummotus eflfet tardifllmus, &'fcrc imperceptibilis,
eratobliquitas Signiferi 23?. 52'. fere. Nuncquanao
motusiterum efttardiffimus, &c  fcrc imperceptibilis,
obliquitas Signiferiper obferuationes deprehenditur
non multo maior quam 23®. 28'. Vnde liquet iftos duos
efTefummaetarditatislimites. SubtračHs autem FQ^
23®.28'. dcFAl. 23®. 52'.  relinquunturQM. 24. fcrupula
prima. Quibus datis,quia ad datum tempusmotus
anomalij M V. 174°.  exceftit quadrantem M P. ar-
cu P V". 84®. 33'. c.uius arcus finus H X. cft 99547. ideo
dico:

VtQli./ooooo.  adHX.99547.itaQH.//.

__ 12  adHX. ii.  5 6*.  qui*

ippopf  busfubtračlis demc-
99S47  dia ob!iquitate Sig-

11

94564.  niferiFH. 23" 4o'.rc-
5 o. ftat obliquitas quas-

3(^7384.0.  fitaFX. 23?. 28'. 4.

1

FINIS.

Bartholo-

Liber Tertivs. s 9S

]  ■ Barthblpniaei Pitifci

PROBLEMATVM

A S T R O N O MIC O R V M
LIBER TERTIVS,

De motufixnrum pr oprlo
Siuc

D e motupraceffionis Aequmootiorum.

PROTHEORIA.

^,quino£Iia ad p rima Arietis flellam fixa effe ueteres
crediderunt. At inde dimoueri Sc quotannis nonnihil
ahticiparetempusdocuit. Vndeuerifimile eft fixas
fecundum fignorum ordincm ab occafu in ortum cir-
'caaxemSigniferi in morem planetarum circumagi;
Quia uero perinde efi, fiue prima Bella Arietis una cit
totaflellarum fixarum fpha;ra a pun&o requino<Bif
uerni antrorfum: (h. e. fecundum fignorum ordine)
Hue punctum cequino<Tij uerni a prima Bella
Arietis retrorfum ( h. e. contra fignorum ordinem)
inoueatur: Copernicus autem omnes motus a prima
Bella Arietis deducit: etiamnos punOum aequinoclij
uerni a prima Bella Arietis tanquam fixaSc immobili
retroperSigniferummoueri nune fingemus. Qua
'fi£Iioneaflumta J fitSignifer ABCE). prima Bella Arie-
tis, St quondam punclum.ce^uino.&ij uerni A. atquc
Z:  '  s tune

Grunbergenfis

Scbema.

cxrii.

\.02  P R O B L E M-A T V M A S T R O N B M I C O R V M.

tuncpun&unlfolftitijjeftiui fine princjpium Cancri
B. Abilldptmrčto A. fiuea prima Bella arictis ibi fixa,
punčtum xq'ui- B

nočtij uerni fub-
indemžgismagis-
que refrocedit: Sc
quidem motu iiv
, xqual_i. Qui mo-

D

ad calculum rc-

gatur mo tu s qui~ K
dam prjeceflionis
J£quinočHorum
mcdius St aequa-
lis,ab A. in E. deindepolo E. infuperficicglobi, ad
Signiferum A B C D. afcribatur epicyclus HIK L, dia-
mctro tanta,quanta eftmaximadifferentiainter fičti-
tiumajqualem,St apparentem injequalem prseceflio-
nis d±,quino£Horum motum.In cuius epicycli circum-
ferentia HI K. motus anomalije circumcurrat : pro-
fthaphjerefes aute,amotu?equali Einprimo femicir-
CuloHLM. auferend« : in pofleriore femicirculo
M N H. adeundemmotum «qualemaddendjein dia-
mctroNEL.adlimentur:qtfuprain obliquitate Sig-
piferi fačtum fuit. Hisita pofitisiam tria quaeruntur.
I, quantus fitmotusa:qualis praeceffionisjequino£lio r
rum,iiuequantum proceflerit punčlum E. apunčlo
A. unoquoque tempore. z.  quantus fitmotus aioualis

anomalij

Liber Tertivs.

JOJ

anomalijepracc01onis^quinofl'iorum >  fme quantu
procefleritpunčfumEL uerfusl. unoquoq; tempore,
3. qua;proflhaphaerefisindiametroepicycli NEL. re-
fpondeat motui -anomalije per cirčumferentiam epu*
cycli HI K.

PROBLEMA PRIM V M.

Aeqmlem motum pracejsioms Ae^mnoclior um adquod~
u is datum ternam colhgere.

Supradiximus, adquemuis motum tequa.lem pro
tempore dato colligendum duo prsefciri oportefe.

1. quanto tempore abfoluatur ille motus: atque adeo,
quantus fit motus annuus ac diurnus.

2. quousque 6t unde progrefius fuerit ille motus certo
quodam tempore, uerbi grada, tempore Natiuitatis
Chrifli.

Deprimo,hic refpondet Copernicus, jequalem motu
pra2cefiionis/Equinočfiorumabfolui annis &gyptijs
25816. idq; per diuerforum temporum obferuationcs
probat, lib. 3- cap. 6.

Vnde liquet,motum annuum efle. 50". \i m . .

diurnum: o. i".  15 w .

Nanijtit 25816. anniad36o. gr. ita 1. annus
ad o. gr. o'. 50". i2 w . Et

Vt 365. dies ad 50". i2 w . ita /. dies
ad o '.  8 W . i 5 w .

Defecundo^refpondetCopernicus, acqualem motum
praceflionis /EqumoO:iorum tempore natiuitatis
Chrifli progrefifum efle ab A. uerfus E. 5". 32'.

Rr Hinc

304  P r  o e L ematvm Astronomi c o ram

Hinc pro.temporc dato coliigitur motus ve qu ali s pran
ceffionis /Equino£Horum hocmodo:

Sex. an. Sex. anni

Scx. d.

/-

24. 45.

4. 7. 30.

41. 14.

4- 7 . 30 .

4- r . 7f.

30 . 30 .

5- S-

o'. 29". 38'". 33 ,w - 45 w/ . Motus dierurrt

22.7/. 42. /9. 20. -
5-32.

““ ~~h /. n tu /m iutt

• 27 ;.//.// • Si  .53 - 45 •

Motus annorum
Radix.

S umni a.

PROBLEMA  S E C V N D V M.
*Aequalem motam aiiomalue brzcejjionis iAequirioUio~*
rum aclqu ocluis d atu m tempm intelhgere:
iEqualis motus anomalia: prteccflionis d£quinociio-
rumdupluseftad tequalcm motum anomalia: obli-.
quitatis Signiferi,ut oftendit Copernicus lib. 3 . c. 6.
Ergo fi aequalem motum anomalia: obliquitatisSigni-
ferijfuprairmcntunij duplices, habebis aequalem tno-

tum ano-

L'iber Tertivs. ‘ ‘ • 30}

■Mm an6maliJeprxceffionis xquinofHorum, ad ten>
ptis datum :.hpc modo: :  •

17-A- 33 ■  Anora. obl. Signiferi.

34<). 6.  Anom. prsecci.' /Eq. ;

Initiumautcm fumit motus anomalix prxceflionis
.Tquino£Horu,altoeamedij motus, nempeapundio
ti, & tendit in partem medic motui contrariam, nem>
pc ucrilis 1  & K.

Quo polito,ad temp us datumanomalia praeceffionis
xquinodliorumprogreffaeritabELperL, M&N, us-*
qucadP. dcrellabitdetoto circulotantum arcus P H.

PROBLEMA TE RT I ¥ M.
Vojlhaph&rtfespr&cefjionis Aequinociiorum jupputare.
Hicante omnia fciendum efl, quanta fit maxima
profthaphaerefis, Ime quanta fit maxima differentia
filter xqualem & apparentcm motum pracceffioriis
Ai.quino&iorum, hoc eft, quanta lit lemidimetkns
cpicycli HIK. per quem circumit anomalia: mo tu sv
Coperhicns dicit, & ex obferuationibus probat, ellc,
leptuagintafcrupulorum primorum, lib- 3. c.'7.
Quopofito< 3 c concelTo^relipute difterentia; fiue pro-
fthaphxrcfes ad quemuis datum anomalije motum
xqualem prorfus eodem modo,quo profthaphxrefes
obliquitatis Signiferi coiliguntur.

EXEMPLlgratia. Ad datum anomalije motrim
q.ua!em 349t 6 '.  cuius motus complementum ad intc-
grum circulu eft P H. iA.  54. profthaphxrefis ita colli-
gitur:

Rr ij

VtEN.

PROBLEMATVM ASTRONOMICORVM
V t EN. r adius ad E O. finumredumio°.54'. ita EN.
100000 18909. 70. fcr. prima.

70

13

23630

60

; 14I17800.

<. ad E O. > 13'. 14*

lam E O. confiftit ultra mediumfiue acqualem mo-
tumpraeceffionisd^uino&iorum, nempe ultralinč¬
am R E. Ergo profthaphaerefis eftad mediummo-
tum A E. addenda^hocmodo:

A E. 2 7 ». si- 12'.  Mediusmotus.

E O. o. 13. 14. — Profthaphasrefis.

28®. 4. 26. YerapraecefliOiEq.

PROBLEMA QVARTVM.

Motum ftxamm fiue pracejjionem AecpunotUorum ex
obferuAtiombus deprehendere.

Fithocper problema 14. libri primi. Exemplum uide
apud Copernicum lib. 3- c. 2.

FIN IS.

Bartholo-

Liber  Q_v'artvs. - *'

Bartholomad Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATVM

ASTRONOMICORVM
LIBER QVARTVS.

De motu Soliš pr opno.

PR OTHEORI A.

3°7

SoJproprio motu fub Ecliptica fertur ab occafuin
ortum,& annuo fpacio fcmel circumuoluitur. Sed di-
utius immoraturin fignis boreis, q.uam in auflrinis.
Quod argumento efl, centrum reuolutionis eius efle
acentromundidiuerfum. Sed &apogeum Soliš fe-
cundum ordinem fignorum quotannis nonnihil pro-
greditur. Quodindicio efl,etiam centrum eccentrici
Soliš eodem modo circaterramcircumire. Nam cen¬
trum eccentrici & apogeum Temper & necefTario funt
in eademlinea: undemoto apogeo, etiam centrum.
eccentrici mouetur,& contra. Venim, nec apogei
motus eflaequalis: fedaliquando tardior, aliquando
uelocior. Vnde colligere promt u m efl, etiam centru
eccentrici Soliš ferriin eccentrico, uelcerteincon-
centrepicyclo. Quxopinio etiam inde confirmatur,
quiaeccentricitas folis inaequaliteriam diudecreuit:
quomodo omnino decrefceret, fi centrum eccentrici
inepicyclo quodam ad terram modo propius aduol-

Rr iij ueretur,

Schema

cxmi ; 4

o

&eretur,modo longius ab ea retrocederct. Sit ergo
Ecliptica A B C D. defcripta ex centro mundi E. & fint
ineaquatuorcardinesfuisfignisnotatiY, 35, iCs, 2> .
Primaautem Bella ArietisfitadF. Vnde hoc noBro
temporepuadlti seqvunocti) uernire£roccfieritusque
ad Y.utpraecefliotEquinodtiommritF Y.Apogeum
uero medium hoc noBro tempore procefierit ab F. in
'G. fimiliterque centrum cccentrici medium 1. ab H,
inl. centrumautem eccentrici uerum pofitresinte^
reuolutiones interim contrario motuperuenerit

aK.per

emattm Astronomi c orvm

Liber Ovartvs.' ' jv $\-

aK. per M in L. quo L. centro defcribatur eccentricus =
Soliš N O P, & per duo centra E&L.ducatur rečla.
BLED. qua d uči a erit apogeum Soliš uerum in Bdif-
fercnsabapogeo medio G. angulo BEG. qui angu-
tus,quia-cifra lineam apogei medi) GIE. fubfiftit,ideo
eftamotu apogei medij auferendus. Si autemultra
linčam medi j motus GI E. corififtere ( ut futurum eft,
quando centrum cccentriei decurret m femicirculo
epicycli pofteriore) elFetad c tl n d etn- rnedium motum
addendus. Angulus igitur-B EG. uelLEI. eftproftha-
phasrefis centri eccentrici. Eccentricitas autem eft
LE. nuncfereminima : quae tempore Ptolomsei erat
ferč maxima,quaft M E. Porro,Sol ab apogeo N. uer-
fus pcrigeum R. progreflus fitmotu scquaii usque ad
O. hoceffdiftetab apogeo fuo,angulo N L O. fpečte-
turautem ex centro mundi E. manifeftum efl angulu
apparentiteNEO. angulo medij motus NLO.longe
efie minorem. Nam in Triangulo L E O. angulus ex-
teriorNL O. folus tantus eft,quanti funt ambointeri-
oresoppofiti LEO&EOL fimul fumti.-per48.p .\,
Etpereandem,angulus EOL. fubtračlus ab angulo
N L O. relinquit angulu N E O. Angulus igitur EOL.
eftprofthaph3srefis Soliš ad O. confiftentisj eodem.qi
inodo anguli L P E, L QE, L R E, L S E, L T E, L V E.'
ftint profthaphcerefes Soliš ad P. ucl Qjael R, &c. con¬
fiftentis. Qme profthaphterefes in priore femicirculo,.
nempeab apogeo ad perigeum femper funt a media
iiue atquali motu Soliš auferendx: in pofteriore femi-
circulomempe aperigeomd apogeum femper funt

adden-

310  Problematvm Astronomicorvm.
addendae; - Nam in priore femicirculo nempe in
femicirculoNPR.angulusapparentiaz angulo medij
motus Temper eft minor, ut angulus N E O. eft minor
angulo N L O. angulus N E P. eft minor angulo NLP.
angulus N E CEeft minor angulo N L CXJn pofteriore
uero femicirculo,nempe in femicirculo RT N. angu¬
lus apparentiaz angulo medij motus femper eft maior:
ut angulus R E S. eft maior angulo RL S. angulus rft.
eft maior angulo R L T. angulus REV. eft maior an¬
gulo R L V. Maximae autem profthaphazrefes utrinqi
funtinmediaapparentia interapogeum & perigeu,
nempe ad P. &T. minimae,circa apogeum & perigeui
nulkeinipfoapogeouel perigeo. Et motus quidcm
circa apogeumapparettardiflimus : circa perigeum
uelociffimus: eandem ob caufam: quia nempe angu¬
lus apparentiaz hinc indeabapogeo femper eft iufto
minor,athincindeaperigeo femper eft iufto maior.
Hincmorale illud: Sol quando eft altiflimus, len tifli-
mo & quaft modeftiftimo gradu incedit: ita homines
decet. Hactheoriapr2emijfta,iamfacileerit fequentia
problemata intelligere.

PROBLEMA PRIMVM.

Aequalemfiue medmm motum Soliš d prim afiella Arie-
tis adquodcunq; dai&tempus inuenire. C oper. L 3. c. 14.

iEqualis motus Soliš in eccentrico Z V N. a prima ftel-
laArietisZ. (nam anguli FEB. &ZLN. funtijdem) ui-
ciftim ad eandem abfoluitur fecundum Copernicum
diebus 365. ferupulis 15'. 24". io w .

Hinc

• . Liber Qvartvs. -- - 3 ir .

Hincpatct motus Soliš annuus: 5'. 59?. 44'.; 49". 7'".  4"".

ac diurnus o. o. 59'. 8. -11.22.
Nam, 1U365.diesis\ 24". io w . ad 360. gr. ita 365. dics.
ad. 359 * gr* . 44*49  * 7  . 4  •

Siue quod idem efl.

ad 5. 59 44- 49 • 7 * 4  • Et
Vt i 6 <>.  dics ads'. 59®. 44'. 49". 7".  4 /w . ita 1. dies
ad o. Sex. o. gr. 59'. 8 7 . n'". 22 w> .
Notisautemmotibus uniusanni ac diei, notictiam
funt motus 60. annorum uel dicrum: nempe
Motus fexagenx annorum 5'. 59". 44°. 49'. 7". 4".
Motusfexagenxdicrum. o. o. 59". s' n". 22".
Haccperioduseft motus Solaris. Locus autem illius
motus,fiue progrefifio Soliš aZ. uerfusN. temporc
N C. fuit4°. 32'. 30".

Quibus duobusita pofitis,ad tempus fupra datum
medius motus Soliš percompendium pra&ica: Itali-
cas colligitur hoc modo:

Sex. an. Sex. anni.

2

312  PROBLEMA TV MAsTRONO.MICORV M

3. 32- 28. jo. 30. 27. jo. Motus dierum.

j. ij. 9. 48. 26.  Motus annorum.

4.  32. 30. Radije.

i\ 20?. s'. 38". j6"'.27 w/ .jo /w/ . Motus
cEOjUalis Soliš a prima ftella Arietis: quem Copcr-
nicus uocatmotum Soliš aequalem fimplicem:
cui fi addideris praeceflionem A q u i n o bh o ru m
£equalem, 27° ji', n". 40'". 47"". habebis motum
Soliš seqqalem compofitum, adtempus fupra
datum:

i\ 47° 59'- 50".

37

14'" jo w ".

PROBLEMA SECVNDVM.

Aequalem motum apogei, Jiue centri eccentnci Solu ad

ere. C op. lib. 3. c. 22 .

Annuus motus apogei Soliš fecundum

Copernicum eil--24". io w . 14'".

Motusdiurnus—— —o". 4". o"".

Locus autern medij motus apogei Soliš, a prima ftella
Arietis tempore N C. fuit 61°. is'. 46".  ij w . 24 /,;/ .
Hincadtempus fupra datum medius motus apogei
fiue centri eccentrici Soliš colligitur hoc modo.

Sex. anni. Sex. anni.

I-24'. 20". 14'".- -2 6.  40.

8. 6.  44. 40. 20. 20.

2. I. 41. IO. 5 20.

O.- 16.  13 . 29. 20. I

10. gr. 48'. J 9 ". 33 w . 20"'.

Sex. d.

Liber  Qv\a.rtvs. sr }

Sex. d. Sex.dics.fcr.

12. 30. 30.

2.  20 . 5 - 5 -

2 . 20 .

14.!' 22".  2 o"".  Motusdierum.

10*. 48'. 5 9"* W' 20"".  Motus an n o runi;
61.  18. 45. 15. 24. Radix.

72 0 .. s',  o. n. 4. Surama. Mediuš
motus apogei Soliš ad tempus fupra datum.
PROBLEMA TERTIVM.

Aequalem motim anomalia apogei Soliš adquodcunqi
datum tempus mdagare.

diqualis motus anomalij apogei eft ^qualis motus
centri eccentrici Soiis in epicyclo K M L. tendens a K.
uerfus M.

Statuitantem Copernicusmotum illumper omnia
conuenirecum aequali motu anomalise obliquitatis
Signiferi. Iam,a:qualis motus anomalia: obliquitatis
Signiferi ad tempus fupra datum erat 174. gr.

Ergo etiamacqualis motus centri eccentrici ad tem¬
pus fupra datum eft, 174. gr. 3 3'. Atque adeo adillud
tempus centrum eccentrici Soliš progrdfum eritiii
epicyclo fuo aKperM. usqueadL.

PROBLEMA QVARTVM.

Jiroflhapharejes apogei,flue projlhaphsrejes centri eccen-
tria Solišfupputare.

S s ij Pfoflhaphap-

J 14  Problematvm Astronomic o r vm

ProAhaphjerefis apogei fiue centri cccetrici Soliš hic,
uerbigratia,eft angulus L EL ad qucm inueniendum
pr«ter datumangulumLIE.(qui angulus efl anoma¬
lije K L. fiueanguli KI L. 174“ 33. complementum ad
femicirculum5®. 27 '-)  duo requiruntur. 1. notitia me¬
di« eccentricitatis E 1.2. notitia differenti« in ter mc-
diam & maximam cccentricitatem 1  K. fiue I L.
Statuitautem Copernicus maximam eccentricitatem
SolisEK. eITe417.mini.mam EI. 323. taliuni partium,
qualium qu«excentro eccentriciefiet 10000. Hinc
latcraE I & I L. colliguntur hoc modo;

E K. 427 .

EX. 32J.

XK. 49 .

IXuelIL 47 .

EL 370 .

Qua colle&ionc fa&a, quia iam in Triangulo El L.
(ria nota funt nempe angulus LIE. Sc duo laterain-
čludentia angulum notumL I. & EI. Item fumma an-
gulorum duorum ignotorum, hoc eft, complementu
anguli dati ad duos reftos^par anguloLIK. dato 774 .
33 .  eiusque dimidium 8 7. i< 5 ~. Et denique fumma la-
ferum datorum.^/7. Scdifferentiaeorundem323- Dico
per axioma quintum planorum.

Vt fumma laterum datorum. ad difE eorundem.
417- 323'•

ita tangens 87?. 1 6 \.

210 10  it.

ndiff 27 \. 0 T.

■ ' Liber Qjv artvs: ///

7  ad 162740j.  tangente anguli 86". 29.  qui detraftus
de angulo 87.16^. relinquit angulum minimum LEI.
uei B E G. 47'. 30". quem angulum fx auferas ab angu¬
lo medij motusapogei F E G. 72.gr. s'. relinquitur ue-
rusmotusapogeiSoliš, adtempusfupradatum FEB.
71" 20'. 30".

KB. Hocmode nempcpcrftlum AXtom*tjuintum TriangulorumpUnorum^
b<t &reluju.r omnes tam Soliš qukm cttterorumfUnctArumfreJihafhurtfcsferl
Kitim txfundamentu tpfisfupputart^uam ex SttbulU froflhaphurifeon srtquiri
pojjunt. Fndehcjuet,eHm qut m Trigonometriaprobe sserfetusJit> nuUis profil 'ia-
fh.trefion tabuUs mdtgere. Ltquet ttem.per huictsmodi calcultsmfludiofos ajlrt-
nimtA Itberart «b inquifitianep Ar tis proportionalis: qus snqutfitto qnkmfitmo-
btfta.noru/tt ij, qni etus periculstmfeccrunt.

PROBLEMA QVINTVM.

Eccentricitatem eccentrici Soliš inuenire.
Eccentricitas eccentrici Soliš ad fupra datum tempus
critreftaEL.

Notiautem funt in Triangulo El L. per problema
prsecedens omnes anguli, & infuper etiam duo latera
El. &IL. Dicoigiturperquartumplanorum. .

Vt IEL. o. gr. 47 . i d'.  adIL. i ta El L. 5° 2 7.

Sin. 13S1. 47.  Sin .^4^7.

adEL. 3237  fff.

Ergo eccentricitas Soliš ad datum fupra tempus erit
323ttwt-  refpe&u radij 10000.  uel quod perinde eil
3232.  relpeftu radi j 100 o o o,

PROBLEMA ŠEXTVM.

Trojih aphtcrejes eccentrici Sold fipputare.
Proflhaphaerefes ‘eccentrici Soliš ( Copernicus uocat
profthaphterefes orbis) utinprotheoria diximus,funt

■'S s iij cxempli

-$r<f  Problematvm Astronomicorvm

exempii gratia anguli L O E, L P E,&c. Quos angulos,
ut reperias,duo requiruntur.

/. notitia diftantix Soliš ab apogco.

2. notitia eccentricitatis.

Diftantia Soliš ab apogeo repcritur fubtra&ione ueri
motusapogei a medio motu Soliš : uelhuius ab ilio:
proutquisqucillorum motuum eflmaioruel minoiv
Verbi gratia.

Ad datum fupra tempus erant

Medius motus Soliš. SoL §'. quafiZO.

Verus motus apogci. 7/. 20.  quafiZN.

Ergo diftantia Soliš ab apogeo N. hoc efi, arcus
N O. fiue angulus N L O. erit 8. 48.

Eccentricitas autem EL. per problema antecedens
repertaefl: 323.  partium,qualium L O. eft/oooo.
HinciaminTriangulpL EO. tria nota funt:

/. LatusLO . 10090.

2.  LatusEL. 323-  corumquc

Summa 10323J
& differentia 9 6'77.

3. anguli EL O. complementum NLO: hoceft,
lunama duorum angulorumE&O.S.gr. ^/.eius-
que fummte dimidium 4%.. 24".

Dico igitur per axidma quintum planorum:

Vt fumma laterum E L ŠcLO. ad difFerentiam.

10323.

ita Tangens^". 24.
7672.

9  & 77 '

adj29 r ‘

Liber Qvartv$. ji ?

ad 7ipr.  tangentemanguli^® 7'. qui demtus dedi-
midiafummaangulorumad E&O. ^.gr.^/. relin-
quitangulum minimum fiueprofthaphasrefin quaefl-
tamLOE.-o.gr. /7'.. qux profthaphaerefis ablata de
medio motu Soliš 80. gr. s'. relinquit uerum motum
©aprimaflella Arietis77- gr. jv'. Cuifi addas ueram
pr.oceflIonemaequino&iorum, habebis uerum motu
Soliš ab scquinodio uerno, ad tempus fupra datum,
liocmodo:

Mediusmotus©. So. S.

Prof! h a ph se. o. 17.

Verus motus a pri.ma jp. si.

Praeceflio ££quino£tiorum. 28. 4.

Verus locus ©. ab seq. uerno 107. 55. h. e. 17°-4'.  Cancri.
Ergoad tempus fupra datum,nempe Ann 01600.  die
30. luni) antiqui: hora fecunda pomeridiana, uerus
locus O ab sequino£Ho uerno erit/7. gr. //. Cancri.
Anautem calculus ifle eselo refpondeat, obferuare
poteris, per 12.  problema libri primi problematum
Aftronomicorum.

PROBLEMA SEPTIMVM.

Tempiss aquinoSiij  ( J.milit er mgrejpm Soliš in quod~
cunquepunElum Sigmfen) obferuare.
Duobuscirca2equino£Humdiebus, obferua altitudi^
nem Soliš mcridianam,6cexeacolligelocum folis in
Zodiaco perproblemata//. &/.?. Iib. t.

Tum tempus inter duasifliusmodi obferuationes.im
ferie&umpartire proportionaliter, lic ut maiori di-

ftantiae a

j/<? Pr oble m at vm Astronoj^icorvm

ftantiaea pun&o acquinodialilongius tempus conue-
niat:minori breuius: Sc habebis uerum xquino£lij
tempus.

EXEMPL VM. knnoispp.  obfcruauitquidam alti-
tudinem Soliš meridianamr/. Sc 12.  diebus Marti): Sc
indeper problemata modo citata collegit locum di-
ftantix Soliš a pun&o,Equino< 3 :iali .■ ad diem n.  Mar-
tij. o.  gr. 7.  ad diem 12.  Martij. o.  gr. //. lam horx inter
iflasduas obferuationes interiečte erant^. Motus
autemiflis^. horjs conueniens eratinfumma,//?. m.
Dicoigitur.

S p.  m. dant 24.  horis : quot horas dant f /7. m*

7 (s 2.  m.

' -rSS

sp (2. H.//.

11S

SO

60

$000
SP {so.

2 p S-
SO.

Ergo ingreffus Soliš in Arietem fui tu.  Martij 2.  H. //.
P.M. Sed hocexemplumcftfi£lum: Scfcrupulafccun-
danegleda. Inferijsautem obferuationibus /Equi-
noftiorum, quia funt maximi momenti, etiamferu*
pulafecunda,tertia 5 cquarta uidenturadhibenda.

PROBLEMA

r Liber  Qjvartvs. 3 i >

PROBLEMA OCTAVVM.

Apogel locum^&eccentncitatis quantitatem objeruare.
Hoc problema nobilifTunuexplicabo per duo exem-
plaitidemnobiliffima : quorum unum efl Ptolemad,
alterum Coperriici: utrumque tres obferuationes fo-
Jares pradupponit.

EXEMPLVM  P RIM  V M. Ptolemaeus inuenit ab
sequinodliouernoadfolflitium£lapfos effedies 9 4 r-
afolftitio ad aequino£tium autumnale dies 92A. per
problema autem primunijdiebus 944. competitac-
qualis motus Soliš g

93- gr. 9.  fere. Die-
bus92i. — 91*.//'. fe
re.Sit ergo circulus
Soliš annuus abcd.

Sccentrum eius E.

Alquino£lium uer-1
num A. autumnale c
C. folffitiumB.bru-
maD. Per primum
igitur interflitium
temporis, datus efl
motus Soliš ab A. **  K

inB. fiuearcus AB. 93.gr. 9. fere minutorum:perfe-
curidum interflitium tempons datus efl motus Soliš a
B in C. fiue arcus B C. 91. gr. 11.  Connexis ergo punčiis
sequino£Halibus C 6c A. perrečlam C F A. &folffitia-
libus perrečtam B FD. quaered:azrefere£feinterfecent:
inpunčtoF. quiacircumferentia AB C. eflfemicircu-
i , Tt lojnaior,

ScbemA

CXIX.

S 2 t )„  Problematvm AstroNoMicorvm

lomaior,quippecompoflta exarcubus AB. 93.gr.9'.
&BC. 91. gr. n'.  qui duo arcus iimul fumti faciunt 184.
gr. 20'.  & quia etiam maior eft A B. quam B C. ideo
necefleeftcentrumcirculi ABCD. interBF & F A. li-
neas., & apogeum inter aequinočHuin uernum A St
tropcn adliuamB. contineri.Nam centrom eccentrici-
& apogeum Temper funt in eadem linea. Ducatur iam
percentrum E.refht IEG.rečbe A. F C. parallela.
Quo faclo ; conilituctur parallelograminum reflangu-
luLEMF. cuius dimetiens F E. produdainN. often-
detlocum apogei Soliš ad N. Sceccentricitatem EF.
Quas duo hoc ioco quaerantur. Quia igitnr circumfc-
rentiaABC. nota eft: quippe 184*20'.notumetiam
eft eiu.s dimidium AH uel HC. 92. gr. 10'. & AG. ex-
ceflus arcus A H. fupra quadrantem 2’. 10'. ciusque ft-
nus reftus E M. 3780. rdpečTu radij 100 000.  (Coperni-
cus fumit tantu 37S. refpeclu radij/0 ooo.)\tč  BH. excei-
fus arcus AB. 93. gr. 9'. fupra arcuin AFI. 92. 10.  nem-
pe59'. eiusquefinusrecl:usFM. 1716-
Quiauero in Triangulo piano F E M. nota funt duo-
lateraincludentiarečlumFM. &EM. facile deinceps
& latus reliquum če anguli reliqui innotefcent

Nam

I. Vt F M. 1716.  ad EM.J7S0.  ita FM- 100000*
ad 2 2027.  tangentem anguli EFM. < 7 /. gr. j/,
cuius anguli complementum eftangulus B F N. x-
qualis angulo HEN-.?^. gr. 2/.  per 2.  axiomapIa-
norum: quo angulo tune apogeum Soliš N. appa-
mitanteSolftitiumteftiuumB,

II. Vt

Liber  Qvartv«. jir

IL Vt E F M. 6s.  gr. //. ad E M.  ita EME.

Sin. 4 iosč* 3780. 10 o 000.

adFE. 4/j/> qiiže tuncfuit eccentricitas Soliš per
a x. 4. planorum.

EXEMPL^M SECVNDVM.  Copernicas anno
N. C. /5//. obferuauk htec tria punti a /. /Equinodium
autumnak..?. mediumScorpij-i. aequinodium uernu:
& inuenic ab scquinodio autumnali usqucadmedi-
«mfcorpi) dies 4/. fcr. 16.  Item inuenit ab sequinodio
autumnali usqucad xquinodium iternum dies//.?.
fcr. 5/t-. Per problema autem primum diebus 44. fcru-
pulis 16.  competit sequalis motus 44®. 37 .  fere. Diebus
■378.  fcrupulis j/f. competit tequalis motus 176.  gr. //.
-Quibusitafefe habentibus repetatur circulus Soliš
annuus ABCD. & 1

ilt rurfus aequino-
dium uernum A.
autumnaleB. Me-
dium autem fcor-
pij fit C.Et coniun- s
gantur punda A.

&B. item C. &D.
rediš AB & CD.
fecantibus fefe
mutuo in centro
inundi F. & circu-
ferentiae A G C.
fubtendatur reda A C. Quoniam igitur dataeftcir-
cumferentia B C. 44*. 3 7',  Item B G A. 176.. gr. 19'. Item

Tt ij perfub-

SchemA

crar.

- j22  Problematvm Astronomicorvm.

per fubtra&ibnem arcus B C. 44.3 7 . ab arcu BGA. 176.
19. arcus C G A. 131.42. Item angulus B AC. ad circum-
ferentiain B C. fubduplus 22*. 18^- per 53. p. 1. Trig.dte
angulus apparcntismotus BF C- 45. gr. (quippe tota
libra 30. & dimidium fcorpij 15.) & eius complemen-
tumadduosredosCFA.i35-gr. Et duorumCFA 6c
F A C. complementumadduos reftosFCA. 22.41^.
atquei!li exoppolito refpondens cirčufnferentia du¬
pla D A. 45. gr. 22 .  qux compofita cura circumferen-
tia AC. 131.42. efficitD A C. 177". 5- Et quoniam.exhis
datis liquet utrumq3fegmentucirculi, A C B. &CAD.
effe femicirculo minus,ideo manifeflum eil, centrum
in reliquoBL D. fegmento contineri. Sitergo centru
illudE. per quodagatur dimetiens LEFG. utfitapo-
geu L., perigeum G. Atque a centro E in reGam C D.,
ducatur perpendicularis E K. Quibus ita praeftru&is
lisec dno; quasruntur..

angulus apparentis diftantiae apogei Soliš ab se-
quino£tio uerno: nempe angulus A F L.

2.. Eccentricitas Soliš F E.

lani datorum circumferentiarum etiam fubtenfseda-
tsefunt:: quippe dimidiarum circumferentiarum li¬
ri us dupli per 7. p. 2. Trig. Nempe AC. partium 1S2494..
CQ. i99934..quaramfemidiameterponituriooooo.
Primutn igitur inTriangulo CK A-quia omnes angu-
li dati funt,una cum latere A C. inquiro inde latus C F«,
per quartum planorum hoc modo:

Vt C FA. 45. ad CA. ita C AF. 22° isf.

70710 .. 182494. 37959.

adCR

Liber. Q_Vartvs. " 323

adCF. 97967. ’

DeindeCF. 97967.  fubtrahoadimidia CD.nempea
rečdaCK.99967. čcreflatFK.aooo.
Pofteacircumferentiis GAD. 177.5- complementum
adfemicirculuma®. 55'. colloco ex parte dimidia adD.
ex parte altera ad C. ut fit D H. r. 27Quo  facdo E K.
eritfinusarcus DH. 2545. Etficin Triangulo EFK.
nota erunt prater rečfum ad K. latera duo- includen-
tiareddumFK. &EK. Exillis igitur porro inquiro
angulum EFK. flue L F D. per axioma fecundum pla-
norum,hoc modo.

YtFK. 2000. ad EK. 2545. ita radiusFK. 100000.
adEK. 127250. tangentem anguli EFK. flue LFD,

. 51*. 50'. quo addito ad angulum D F A. 45. gtad.
(nam angulus D F A. sequatur angulo B PC.) effici-
tur angul us L F A. 96.  gr. quo angulo, tempore

Copernici apogeum Soliš,quoad apparentiam di-
ftabatabsequino&io uerno. Vnde fubtračtus qua-
drans 90. gr.relinquit diflantiam apogei Soliš a fol-
flitio aefliuo 6.  gr. jc/. adeoqueoflenditlocum apo¬
gei Soliš in 6 °.  50'. Cancri. Copernicus fuo calculo
inuenit tantum 6ft  hoc efl 6.  gr. 40. m.
Denique,quiain TrianguloEFK. praeter duo latera
F K. 6cEK. iametiamomnes anguli noti funt, nempe
EFK. 51. gr. 50'. Sc eius complementum F EK. 38". io'.
St re&us ad K. pro inuenienda eccentricitate E F. dico
per axioma 4. Triangulorum planorum.

Vt F E K. 38.  to . ad F K . ita F K F.

6179s-  2000. 400000.

adEF. 323^- Tt iij, "Ergo

fH  Problem at  v m  A s r  r. o n o m i c o r v m

Ergoeccentricitas Solištempore Copernicifuit 3236.
Copernicusreiedaultimanotatf. retinet tantum 323*
PROBLEMA NONVM.

Dierum ciuilmm m<zquditatem corrigere. C oj), hb. 3.
c. 26.

Dies ciuiles (quos Copernicus uocatdiesnaturales,)'
inasquales efife,ad primunj problema libri fecundi di-
ximus. Corrigitur autemiflaina:quaiitashocmodo:
Primuirgfint in promtu medius motus Soliš compo-
fitus,hoc dl, medius motus ©ab aequinodio nerno
medio : & afcenfio reda ueri loči Soliš ab sequinodio
uerno apparente: tum ad tempus datum,tmn ad radi-
cem tem p oris dati.

Deinde,medium motum minoremfubducamaiore:
jfimiliterque afcenfionem redam minorem ab afcen-
fione reda maiore.

Quo fado, fi differentias mediorum motuum & afcen-
fionum redarum fuerint aequales, tempus quoqueefl
tequale.

Sin autem: exceffus quidem differentite afcenfionum
redarum efl ad tempus datum addendus: exceffus ue-
ro mediorum motuum efl ab eodem tempore dato
auferendus.

Caufa dl in promtu. Quia differentiasillaemedioru
motuum & afcenfionum redarum nihilaliud funt
quamoflen.fi o, utrum medius an uerusmotusSoliš
terminumdati temporis ( fimotus uterqueina:qua-
tore,ab Y uerfus So. cenfeatur.) prsetercurrerit.Quod
fi ergo uerus motus,fine afcenfio eiusredapraetercur-

rerit:

Liber Qvartvs. 32  s-,

rerit: tempori dato exceflus necefTario eft addendus:
&contra.

Exempluin.

TemporeN.C. medius motus O. abarq. m.fuit 27& 0 ,. 2..

Verus locus © ab xq.  uero. 279. 17.
eiusqueafcenfio R. 280. 6.
Tempore fupra dato medius motus O ab aeq. m, erit

107 • 59 -

Veruslocus©abseq. uero/07. ss-
eiusquealcenfio reda.— 109.  25.
Calculus tališ erit.

Medius motus N. C. 278 ". 2.  |ar. ueri motus.280®. 6 r .
Medius motus nofter 107.  59. | ar. ueri motus. 10$..  25.

differentia. 170. 3.  "differentia/70. 41.

———~ — 170 • 3 -
ExcefTus difFerentissafcenfionumR. o. 3S.
Hic exceflus eft addendus ad horas duas fupra datas.
Conueniunt autem fingulis gradibus ^Equatoris4«
fcrupula prima unius horx. Nam

Vtis.  gr. ad 60.  fcr. hor. ita 1%.
a d 4. fcr. h or.

Erg0 3S'. primis conueniunt/. 32".  fcrupulahoraria.
Nam

Vt’ /. gr. ad 4. ita o®. 38.

2.  24^. 30.

8  6 .

ad2 7 . 12".  2.

Ergo tcmpus fupra datum,čtperhoc problema corrc*
dum fiue «quatum; eft

Annus

&<f  PrOBLE.MATV\M Astronomicorvm

Annus 1600.  dies 30. Iuni),horaP.M. 2 0 ,. 2. 32"
Quantum igitur Sol proprio motu interim cmenfus
cft,dum/. 32" unius horxafcenderunt, tantum ipfiuš
motugper problema fextum reperto eft addendum.
Conficit autem Sol llngulis horis duo fcrupula prima,
&28.feretertia. Nam

Vt24.horxadmotumdiurnum.59 / . s", n"'. 22"', ital.
6  /4. 47. 2.  50.

3 7.23. i/. 25.

1  Ad- -2'.27.  50, 28.

Ergo hora nulla,fcrupulis 2. 32". conficit / 12"".

Nam

Vt/. hor. ad 2". 2 s"', o"",  ita o. h. 2. 32'.  .

4 5< 5 . 30

1.14 2,

4 -

ad . 14  . I

Nihil autem in motu Soliš habent momenti 6 W .

Ergo ifla additio hi c tuto negligj potefl.

PROBLEMA DECIMVM.
Vatadifferentiameridianorum , dijferentiam h oranim
in tel/iger c, ^ contra.

R E G V L A. Si locus lit orientalior, adde differenti-
am longitudinisjintempus conuerfam, adhorasda-
tas: fi Jfit occidentalior, fubtrahe.

Orientalior autem eltlociis, cuius Iongitudo eftma-
ior: če contra.

EXEMPLVM.

Liber  Q_vartvs. 327

EXEMPL VM.Longitudo meridianiCracouienfis,
ad quem noftrum quoq; exemplum exfententiaCo-
pernicihadtenus fupputauimus,eft 45. gr- 3 o- minu«
torum.

Ationgitudo meridiani Heidelbergenfis eft tantum
30. gr. 45'.

Ergo Heidelberga cft occidentalior.

45 ®. 3 o'.

DifFerentia aute m 30. 45.

longitudiniseft— 14.g. 45'.
QujbusgradibusSc fcrapulisrefpondentH. o. fcr.
Nam

V^ti. gr. ad 4'. ita 14. gr. 45^

J3  '

_ 3 _

ad 59 -

Ergo quxCracouice eft hora ufualis.?. P.M. ea Heidel¬
berg x  eft hora 1°. 1".  P M.

Nam ft de 2. h. o',
fubtrahas o. h. 59'-
Relinquunturi. h. 1.

Sicex diuerfis mcridianis, diuerfas apparentiarum
coeleftium horas: Sccontra, ex diuerfis apparentiaru
coeleftium horis diuerfos diuerforum locorum meri-
dianosindagare poteris. Afq; hocfundamentum eft
obferuandarum longitudinumpraecipuorum in terra
locorum. Sinempc obferuetur, quota hora eadcm
Eclipfis autalius quispiam infignis motus apparuerit
inhoeuelilloloco.

V v PROBLEc

V# Problematvm Astronomicorvm..

PR O BL E A 1 A V N D E CIMV M.

•jjiftantiam Solu a cintro tene fupputare.
Diftantia Soliš acentro terrre maxima E N. pcr Eclip-
Ees rcperta eft lem i di am e tr oru m terrae 1179.

Hiric reliju* diftantia: Soiis a ccntro terrsc ita fuppu-
tantur..

Si Soffitin perigeo, adeoq; diftantia eius a ccntro ter-
raeminimaER. Quia E R. eft talium partium 9677.
dualium E N. efl 10323- pcr problema fextu. Ideo dico :

VtEN-

Schema  *
CZVIIL

: v- -Lise $ 29 '
VtEN.10325. adTemidi. 1179- ita E R. 9S77.

adTemid. iio/. ( I 3 . im ‘ i

3 iSoincquein apogeo neque in perigeo fit: Verbi
gratia^Ti ad O. conTiflat:

Primum coliigo, ut Temper in promtu habeam Temi-
diametros radij eccentrici L O. hoc modo :

VtEH. 10323. adTemid. 1179. itaLN. uel LO. 10000.
ad. Tem id. 1142. id 1 .

Dcinde,pro inuenienda diflantia Solis acentroterras
E O. dico per axioma tertium:

Vt L E O. 8. sik-  ad L O. Temid. ita EL O. st. 48*.

>, smus 14S24. 1142. {>111.15298.

ad 117S5. Temid. terrae.

PROBLEMA DVODECIMVM.
Tardttdšces Solišfupputare.

Hic duo requiruntur. /. diflantia Soliš a uertice, in cir-
eulo,qui per poloshorizpntis. 2.  diflantia Soliš a cen-
tro terrx,in linča redla a ccntro terrae ad Solem duela.
Diflantia Soliš a uertice,Ti non fit in ipTo horizonte,re-
peritur per problema o elan um libri primi. Et erit ad
tempus iupra datum 29E jT.

Diflantia Soliš a centro terrje rep eri tur per problema
proximd prxcedens, Et erit ad tempus modo diefum
11785. iemidiametrbrum terrx. m

His.dupbus datis, parallaxis Sojis, facile Tupputatur.
m a x im aq u i d e m ;q uxc i r c a h o riz o n t e m contingitjper
axioma. /. planorum, hoc modo:

■ . 'V V' ij . VtGET

Schema

CXX1.

330  P R. O 5  L E M A T V M AsTHONOHICORVSi

VtC1D.lT7Si.Cc-
mid. tcrrae adDA.

:r.  femid terras. ita
GD.radius 10000.

ad DA. 85. fi-
numanguli dga.

/ J J

2.5 <5  •

Caeterse ucro per
axioma quintu >
hocmodo:

Latus D F. ii7S*£.  femidiamctri tcrras.

L atus A D. — .i.fe midiametcr tcrrx.

Summa njok-
Diflferentia. //772.

Angulus ADF. 29*. 51'.

Compl. ad2. reftos. is o.  9.

Dimidium--— 75" 4. 30".  Tangens 37316$.

Ergo:

Vt ii7o\.  ad//772- ita 17516S.
ad3 74332.  tangentemanguli 75-gr- 1- i'■  qui fubla-
tus deangulo 7 St  gr. 4'. 30". relinquit parallaxin So¬
liš A F D. o. gr. 1.27'.

PROBLEMA D E CIM V M TERTIVM.
Šhiomocloparallaxis Soliš, longitudmem uellatitudme
einsmutet ojlendere. Cop. lib. 4. cap. 26.

Si uer-

L IP. ER Q v ARTTJ. '331

Si uerticaiis per Sole tranfiensfitipfeSignifer, tora
parallaxis in longitudinemtranfit: eamque minuit in
quadrante Signi-
feri occidentali,
auget in quadra-
te orientali. Sit
enimMeridianus,
idemque colurus
folfiitiorum AB
CD. Horizontis
femicirculus oc-
cidentalis A E D.

/Equator C E. Sig¬
nifer idemqi cir-
culus. uerticaiis
B E. polus /Equa-
torisF. polus Signiferi A. Locus Soliš ad G. parallaxis
G H. Longitudo Soliš E G.

Manifeftumeftlongitudinem Soliš E G. per paralla-
xin G H. quoad uifura minui arcu G H. Nunquam au-
tem hoc contingere poteft, nifi eleuatio poli parfit
maximx declinationi Soliš, 6 c folfiitium polopro-
jfinium in medio coeli exiftat.

Si uerticaiis per Solem tranfiens fit Signifero red us,
tota parallaxis in latitudinem tranfit: atque adeo lati-
tudinem aliquam auftrinam Soli conciliat.

Sit enim Meridianus ABCD. Horizontis femieircu-
lus occidentalis BED. /Equator A E C. Signifer P Qft.

V v iij polus

B

Schema,

CXXIL

CXXJII.

Problema  tv m As t  r< ono m i c o r v m
polus /Lquato~
ris R polus Signi. .
feriG.polus Ho-
rizontis T. Sol ad
Stkem*  L - parallaxis Soliš
L M. uerticalis
per folcm tranfi-
ens TLS. Signi-
iero reclus ad L.

Quiaigitur uerti¬
calis TL S. eftSig-
nifero reclus,
ideo per polos
cius tranfit: per

i”. p. i. Trig. Quiaautem uerticalis TL S. per polos
Signiferitranfit, ideoeftunuse circulislatitudinum;
per principia fphserica: ac proinde tota parallaxis LAT
eft auafi latitudo Soliš auftrina.

iji Si uerticalis per Soiem tranfiens fit Signiferc oblit
quus;parallaxis Solišpartim longitudinem eius mu-
tat, partim latituclinem aliquam auftrinamipftcon-
ciliat.

Sirit enimcxtera utante, feduerticalis TLS.perAo*
lem tranfiens iam fitSignifero obliquus. F t fit paral la¬
ti s L M. : ac per locuin Soliš uifum M. tranfeat circuius
latitudinisGMN. atlgulisad N. reftis, per principia
fphxrica. Mariifeftum eft, longitudinem Soliš QL.
hoc modo diminui arcu N L.- & Solem uideri in lati tu-
dmeauftrinaLM.

Liber. Qva rtvs. ssj

^ A rt autem an-

compofita. c um

arcu horario dato O A. conflituitarcum Q_A.cuiuš
complementumadfemicirculuru eftarcusQC. Quo
noto, quiainTriangulo QC R. pnetereaetiamangu-
lusmaximac de c li n a ti o ms C Q_R. notus e(l,& angulus
ad C. rteftus :ideo dsco: ‘ i

I. Vt Radiusad tangentem\ CQR.;ita finus QC. ad
tangentem arcus CR. cui ex oppofito a:quatur arcus
P A. quo demto de arcu A T. (qui arcus par efteleua-
tioni poliDF.)relinquiturarcus TP. per ax.2. fphaer.

II. Notis in Triangulo QC R. lateribus QTL& C R. in-
cludentibus re&uirfQC R. inquiroIatus tertium QR.
pcr axioma quartum. Idque componocumlongit.u-
dine Soliš dataQL. Vnde innotefdt complementum
ad femicirculum L P.

III. In eodemTriangulo QCR. dico:

VtqR.linus ad QjC R. radiufitaC^C. finus ad c.

f '  ■' f  finutn

guius fečlionis
uerticalis:&figni-
fen,nempe angu-
lus TL P. fitrc-
Ousanobliquus J

Schema,

CXXIF*

idi.tacognoftes. d

Nota cit aut c (le
poteftperantece-
dentia problem a-
ta afcenfio reda
Soliš QO. quse

5 Liubliam

334  Problematvm Astronomicorvm

finum per ax. 3 - cui angulo Q R C. ex oppofito x<\ua.-
tur angulus L PT, per 59. p. 1.

IV. VtLT. adLPT. itaTP. ad TL P. perax. 3. fph.

EXEMPLVM. Adtempusfupra datum longitudo
Soliš QL. erit ioj. s d 34.".  declinatioLO. 22. gr. //«
44 .  afeenfio re<fia Q_0.109L 2 6'.  40" angulus horari-
usLFT. fiue arcus O A. refpe&u Meridiani Heidel-
bergenfis/j. gr. //. Qua: duo fimul fumtaefficiuntar-
cumQA--f^fgr. 4/. 40".  cuius complemcntumad
femicirculumQC. e-il s s-  gr. itf.20".  Angulus autem
* xpax,imj» declinationis C QR. eft 23. gr. 28'.

Dicoigitur:

1 . VtRadius ad tag. cqr. 2^..  28'. ita fin us cq : S 5 °- i8 / .2o' f .

100 o 00.

43412.

82224.

ad 3 Sčpf -  tan-
gcntem arcus c r.

eft, AP.de eleua-

tione poli AT. D

B

49  •  gr- 3S ■  relin-
quitur arcus 1  P.
29-&-S 6 '- 22 .

II. C R. <

Liber Qvartvs. 33 S

II. CR. lp°.. S S. 3S f, .—^ipX 3/.

QG. S S- /8.  - 34 - 4r- 4°-

74. fč. $ 3 . 34. 20. iS. %i247‘

is. J. 2. -———-— 2SP<J7'  _

107214.

S 3  < 707 .

Sinus arcus 32.  gr. 2/.  cuius complemcntura
/7. gr. 3/.  eft arcus QJL. Qui arcus compofitus cum
longitudine^olisOL. cfficit arcum R L. 163°. 31 .
34.  cuius compl. ad femicirculum eft arcus LP.
14.  gr. 2$?. 26".  per ax. 4.  fphae.

III. V t Qjl. 57. gr. 3/.  a d CQjl.rad. i taQC .

84^17. 100000. 8222\.

adQJlC. flueLPT. 77402.  finumanguli7<f.gr.
34.40".  perax.i.

IV.  VtLT .2 p 9 ., sr',  a d LPT. 7 <f.. S 4 .3.0" .  itaPT .2p°. S6"22".

47773 - 774 62 - 47708.

. ad <77666.  finumanguliTLP. 77. gr. 3 6 r .  per'
ax. 3.

Ergo angulus T L P. fe&ionis oerticalis cum Signifero
in hoc exemplo non eft re&us.-ac proinae parallaxis
L M. partim longitudinem, partim latitudinem Soliš
mutat. Longitudinem minuit arcua N L. latitudinem
auftrinam Soli concihat, arcum N M. qui duo arcus
porro facile reperiuntur,hoc modo.
InTrianguloNLM.

I. VtLNM. rečhisa dLM. parallaxin /. 27 "itaNL\f. 77 ?. 36 *.
100000. Sin. 42. 97666.

ad 4 r,

5 P R O B L E M X T V M A S T R O O r M I C O R V M.

ad4?. finum arcus N M. 1V24". quaz erit uifa latitu-i
do Soliš auflrina ad tempus lupra datum.

JL VtTag. n L M. 77°.  36'. ad radiu.

45,4826. IOOOOO..

ita tangens M N. /. 24".

~ , 4 ‘-

«' a d 9. finum arcus N L. 18". qui
arcus fubtracfus auera longitudi-
ne Soliš 107. 5 6 '.  34". relinquit uifa
longitudineSoliš 107". 5 6 '.  p ax. 2.

PROBLEMA DECIMVM
' Qvartvm.

Data ttera diametro Soliš ^urid cum
drjlantia Soliš d centra terr<z appa-
rentem diametnim Solišper mt-
nteros inuenire.

Verafemidjameter Soliš.fecun-
dum Copernicum efifemidiame-
trorum terrae 5". 27.  fere.

Schema  Difiantiaautem Soliš a cetroter-
CXXF.  rxad tempus nuperconftitutum
erit 117.82-femidiametrorum terrae
per probl. 12. Dico i-gitur:

Vt k d.  11782. ad dc. 5" 2 7  .

70710. fcr. 327- lcr.

' i ta K D. radtus tooooo.
adDG. 462. tangentem anguli
Bxg.  is'. 55 v -Ergo apparens diame-
ter'Soliš tum erit 31'. 50". F1 n  1 s.

L-ifiXR.<>vrttTvs*\.

Bartholomaei Pitifci
Gruriergenfis
PROBLEMATVM

AS T RO NO MIC OR VM
LIBER OVINtLs.

De motu Lmceproprio.

protheoria;

Sol unicum habet motum nempe longitudinis.
Semper enim uerfaturfub Ecliptica. Reliqui planeta;
duplicemhabentmotum,unum longitudinis,alteru
latitudinis. Namutuia^oiisad B2quatorem eftobii-
qua:,itauix reliquorum planetarum ad uiam ^olis
funtbbliq ; ux. IgiturLunx& longitudinis &latitudi~
nis motus feorfim cll explicandus. Motus longirudi-
nisLunxdl:ab occaftiinortum, ut omnis omnium
lic 11 aru m motus proprius. Etfi autem per Te proculdu T
bio eft xqua}is: nobis tamen apparet inxqualis. Gau ?
faminxquajitatis ali j aliam excogitarunt. Coperni-
cusaffingitinotui longitudinis Lunxduosepicyclos,
Iuxta cuius rentcntiam,fit circulus mundo concentri-
cus.at Eclipticx prolatitudineLunx obliquus gghk.
centriral a us & fjmul centru m terrxD. Dime n en s
PED K. epicyclus primusAB. fecundus E F. Etcen*
trum quidem epicyc!i primi C. moueatur iccundum
ordinem fignorum a G. in H. fic ut tempore nienftruo
1  vSžhFI X‘k  ij totuni-

, $iS  Problematvm Astronomicorvm
totum circulutn
CHKCi. obeat.

Centru uerb epi-
cycli fecundi A.
in circumfcrcntia
epicyc!i primi
moueatur ‘motu
contrario ab A.
in G. paulo cele-
rius quam centru
Schemu  e pj C y C li primi.

^ Luna deniqueip-
fa, moueatur in
circumferentiae-
picycli fecundi
abE. in L. motu
admotum circu-
li C H. duplo: fic,
ut quando linea
FED.eft cumlo^
coi'olismedio(hocen > inconiun£Honibus & oppo*
fitionibus Jolis Sc Lunx. )Luna flt centro C. proxima,
hocefbinE. conftituta:in quadraturis autem remo-
tifiima.hocefVinF. conflituta. Hisita pofitis, motus
longitudinisLuntedeclarari, Stratioapparentis circa
inotura illum inxqualitatis reddi poterit. Motus lati-
tudmisLunsenihilaliud eft, quam motus nodorum
Eclipticae &circuli obliqui Lunx: quosnodos uulgo
Hocantcaput&caudam Draconis. Mouentur autem

illinodi

Liber  Qjintvs, - 3 }?

illi nodicontra fignorum ordinem,prorfus, utnodi
Eclipticae & iEquatoris. itaquehic nulla noua tljepria
eftopus.

PROBLEMA PRIM VM.
qualem motum longitudinis Luna a So¬
le {hocefi >mot um punch Cm H,&c .) ad quoduis da¬
tum temp us colhgere. C op. lih.  4 . c.  4 .

Motus longitudinis Lunx ?  ut &reliquorum 5. plane-
tarum 3 primumdeducitur a Jole. Deinde collatione
fa&acum motu^olis, facile eius locus uel a prima
Bella Arietis,uel ab xquino&io uerno reperitur.
Eftautem periodus curfus Lun« a Jole dierum 29.
ferupulorum 31*50.7 . 52 * 57 .

Vnde cončicitur

M otu s eius anuus i". 14. 9® 37'. 22".  36'" 2 s"".

Motus diurnus —\ - 12.  ir. 2 6.  41. 31.

Motus horarius--- 30.  28. 35. 44.

Et fu it tempore N. C. motus Lunse a Sole 3'. 29?. 58'.

Ex quibusitafumtis, xqualem motumLunxad tem-
pusfupra datum coliigo hocmodo.

Mediumfiuea

'šla  Problentatvm Astronomi  c o rvm

II. Sex. d. Sex. d. fcr. '•

-  IIv 26 .  41". il"'. --3. 55. 35'. 6 "^zd*.

3 6.  34. 20. 4. 33 . 30. 3 oT ■>

6 .  5. 43. 20. 45. 30. f. 5.

/. o. 5 7 . 13 .  27. 35 - Kota 6 ". 20 ".  fcrupula
6 .  j. 43- 20. 45. dierumfunt2'. 32'Mcni-
.. /. o. 57. 11.  27. pula horariapcr corre-
/. 13 .  S. 40. £Honeinaequalitatisdi*

_ 4-  3 - 48. e ru ciuiliu li. 4. probl.9.

/. 48. S. 36.32. 45. Motus dicru. (rcperta.
o. 36. 4 z. si- 6 .  o. Motus annoru.

3. 29. 58- Radix.  4

5'. 54®. 49'. 27". 3S"'-45"". Surama. Motus aequa~

lis Lunas a Solc^ad tempus fupra datum.

PROBLEMA SECVNDVM.

oAeaualeffi motum Anomalij lunam,fine aqualem mv-
tum epicycliprmi,nempepunlsU oAinG.ZŠc. adquod~
uis datum tempus inuenire. Cop. L 4. c. 4

/Equalis motus anomalije Lunaris fiue Epicycli
primi annuus cft ip '.  28®. 43'- 9". 7 "'. is ""-

diurnus—-—-—-— 13 • 3 -' 53 - 5 7 - 1-
horarius --——-—32. 39- 44- 52.

Et ful£ renjpore N. C. 3'- 27. gr. 7 •

Hincpro tempere dato motus aequalis anomalisslu¬
naris colligitur hoc modo :

I. Sc£

' L  - I-B  £ R  QVINTVS .

-I Scx. an.

/.»-/ . 19 .28.43  9- 7.1  5 .- -?<f. 40.

26. 29. 34.. 23. 2. 23. O.

C. 37. 23. 3s. 4S. 36 - *S.

26. 29. 3 4. 23. 2. 2S.

26. 29. 34. 23. 2. 2S.

341

20. ,20.
/. 20.

1.

II. Sex. d.

j.  so. 43. 13. 20.

\ o ' n m
J. - 13 ■ 3 .■ S3 ■ S7 ■ I .

39. 11. 41. fi.  3.

6. 31. s S. s S. 30. 30 .
/. /. 19. 29. 4S. S.

6.31. s <S- s30.
1. s- 19- 29. 4S
I., iS , 23. 2^.
č. 31. s S.

\ ~o / "

4- S 0: 37  • 0  •

42". 9"".  Motus dierum.
i. so. .43.13. 20. o.  Motus annorura.
3. 27.  i  7.  Radix.

4 . 14.. 27'. 14 . 2". 9 11 '' .  Motus sequalis a?
nomaliaelunaris adtempusfupra datum.
PROBLEMA  TE  RT  IV  M.
tAequa,lem motum epicyclifeamdi nempepuntti E. uer-
-s fesL.reperire.

yEquaIis motus epicyclifecundi,ut inProtheoriadixi~
‘jiius,eftadaequalemmotum Lunte duplus. Atqui-ae'-
oualis-motus Luna: adtempus fupra datum crat.

£ H t 49- 27" 3S W  45'"• ' - - ^ • - - - • ^

Ergo

■342  PR0BLEMATVM'AsTR0’NCMI C O RVM
Ergo*qualis motus epicyclifecundi, ab EinL.ad
tempus fupra datum,abieflis integris circulis,eft,,

\ O d' H  /// tuf

J. 49 .. 38. 55  • 17  •30 .
ldefh
349". 38 '. 55".

PROBLEMA QV ARTVM.
Trojlhapbzrejes epicjchfecundi fuj^utare. Cop. bb.  4 .
c. 11.

Scbema

CXXVII

Profthaphaerefis
cpicycli fecundi,
cxempli grada,
eftangulus ACI.
uelACO.adque
jnueniendu pr*-
ter*qualem mo-
tumpun&i E,un-
deihnotefcit an-
gulusE AI.
fus utin
duorequirantur.

f.  Notitia medi* eccentricitatisLun*,fiuc notitia ra¬
dij epicycli primi C A.

3.  Notitia differenti* inter mediam & roaximamec-
centricitatemLun*, fmenotitia radij epicycli fe¬
cundi A F- uel A E. uel AI.

S ta tu it

r- Liber Qvintvs.  i4i

Statuit autem Copernicus maximara ecccntricitatem
Lunae,fiuere&amCF. efTepartiumi 434 * qualium DC.
(it ioooo. Minimam uero eccentricitatem fiue redfam
C E. efTepartium carundem 860. Eftergo mediaec-
čentricitasC A. partiuniio97. difFerentia inter maxi-
mam & mediani eccentricitatem A F. uel A E. uel AI.
partiuni 237 .

Qnibusitahoc loco fumtis (demonftrationes enim
Copernici huc tranfcribere nimis proiixum foret)
inTriangulo C Al. notafuntduo latera CA. &A.I.
includentiaangulumnotumC Al. Soluo igitur Tri-
angulum C A L per axiama 5. planorum hoc modo.
GA. 1097.

Al. 237.

Surama 1334-
DifFerentia B60.

Motus E L F 1 .349®. 3 9 -  per probl. 3«
Copl.iE. ueliAE. 10. 21.
SumaanguloriiA&c. 169. 39.
Dimidiumfummae 84. 49. -so".

Y t Fuma laterum CA. St Al. addiflferentia m eorunde.

J334- | 860.

ita tangens 84?. 49'- 30"

1104152.

, ad711822. tangentem anguli 82. gr. 49'. 30’'. relin-
quitur angulus quaefitus A C 1 .2. gr. 49'. /9". qui an-
gulus,quiaconfiftitcitramedium motum epicycli
primifiue pundfi A. idcirco eftab eodem medio
motuauferendus: Sthic, Stin toto femicirculopo-
fferiorc F i E. At in femicirculo priore E L F. effet ad
medium motum addendus.

Atquimediusmotusepicycliprimifupra inuentus

Yy- N G A. erat

i 44  Problematvm Astronomi c o rvm

N G A. erat --254.. 17 •  14".

Ergo II inde au feras ECI, fiue O A. 2 >. 4 9. 19.

Relinquitur uerus mocus

cpicycli primi N G O. 2ji. 38. fere.

Eiusop complementu adintcgru circulum on. igs?.22'.
Ethuiuscomplementum adfemicirculu op.  71. iS,

PROBLEMA QVINTVM.
TLccsntricitatem Lima fiue cpuantitatem radij epicjcli
primi addatum temp us muentre.

Ecccntricitasl.u
nasad datum fu-
pm tempus erit
reci a C i.

lam, in Triangu-
lo CAi, perpro-
Schema  blema prccedens
CXXFII noti funt omnes
angulij & pra2te-
rea latera duo ca.

& Al. Igiturinde
coliigo latus ter-^
tium : p er q nar¬
tu m axioma Tri-
angulorum pla-
noru hoc modo.

Vt A CI. 2. gr. 49'. 19". ad AI. ita CAI. io'. 21".
4923. 237. 17966.

ad C1.8 65.  fere.

PROBLE-

Liber Qvintv$. i 4 f

PROBLEMA SEXTVM.
Trofthaphzrefes ej?icyclt primi[fupputare.

Profthaphacrelis
cpicyc!i primi,
vcrbi gratia, eft
angulus C DI.qui
angulus &c  ipfe
reperitur per axi-
oma quintum,
hocmodo.

SchemA

CXXVII

2. LatusCI. 8 6  5. per problema j.
corumquefumma 10865.

Et differcntia9i35.

3 - angulus D CI. 71. gr.iS'. ferep probL 4.
Etreliquorum duorumfumma ios. 22.
ciusquefummaedimidium 54. iu
Dicoigitur:

Vtf uma C D. & C I. ad differentiamuta tangens 54". n'.
10863, 9*35° 138368.

Yy  i) ad 11(3304.

$4$  PROBLEMATVM A STRON6MICORVM

ad 116304.  tangentemanguli 49.^3.21^.  quofu-
blato de angulo /4. gr. 11".  relinqaitur angulus cdi.
4. gr. 49^.  qui angulus,quoniam ultra linearn me¬
dij motusLunxCD. confiftit, ideoeftad medium
illumLunae motum addendus: utfemperinlemi-
circulo pofteriore PLN. Auferendus autem effet,
in fernicircuto priore N G P. quia tune citra lineam
medi) motusLunteCD. conlifteret.

Medius motus Lunae. 344-  gr. 49. 27".  per probl./.

Profthapharefis addenda. 4 . 4 9. 30. _

Summa 359- 3$~ S7-  Verus motus

Lunasamedialoco Solis,ad teinpus
fupra datum.

Cuifiadjeceris medium motum Soliš ab sequinočKo
uerno 107 . gr. 34'-  & de fumma integrum circulu,
nempe 360%.  abieceris,habebis uerum iocumLunae ab
tEquinodio uerno 107.  gr. 3/- 3

PROBLEMA SEPTIMVM.

Motum la.titud.mis Lun st ad quodcunque dat um tem-
pusinuenire. Cop. hb. 4. cap. 4*

Motus ladtudinis Lunx reuera nihil aliud eft, quam
motus nodorum Ecliptic« & circuli obliqui Lunas,
contra ordinem fignorum: prorlus, ut motus praecefi
iionis /Equino£Horum.Sed Copernicus pro motu no¬
dorum contra ordinem Signorum,ad calculumaftu-
mitdiftandamLunae a boreo limite maximaeladtudi-
nisfecundum ordinem fignorum & ifiam diftantiam
vocat motu ladtudinis Lunas. Ouaedifianda^uia ni-

hil

I.IDER QVIN'TYS. 'T ,?47

iail aliudeft,quamarcusex motu nodorum 5 c medio
motu longitudinis Lunae copofuus, ideo iili perinde
utinedio motuilongitudinis Lunaz, profthaphserefis
longitudinisLunae,fiueprofthaphaerefis epicyxli pri¬
mi Lunas ell uel addenda,uel demenda.

Caeterum,motus nodorum contra ordinem fignorum
annuuseit, 19.  gr. 5'. ^/"'.^/"Motusautemlongitu-
dinisLunteannuusefhz^.gr. jz',-?/, i6 m .
Hinccomponiturmotus latitudinis Lunaeannuus

/.28' 42'. 4/. I 7"' %  2 /w -&indee-
liciturmotus diurnuso. 13. 13.  4/. 39. 29.

& motus horarius 33. 4. 24. 8.

Radixautemillius motus tempore Natiuitatis Chrifli
'fuit/. 9. gr. 45'.

Ad tempusigiturfupra datum motus medius latitu¬
dinis Lunae colligitur hoc modo, & tališ inuenitur, ut
fequitur.

Sex. Scx. D.

}.f.s  PrOBLEMATVM  AšTRONOMtCORVM
iEqualis mctus latitudinis Lunas,fiue,mcdia dillantia
Luna;,a limite boreo maxim* latitudinis, fecundum
ordinem figriorum. Cui inotui fi addideris proflha-
phatrdm iongitudinis Lunx4. gr. 4.9'.  30". habebis ue-
ram didantiamLun« a boreo limite maximse latitudi¬
nis,ad tempus fupra datum S 6.  gr. 45'. 14 .  Exqua di-
ftantia liquet, Luna adhuceffe in latitudine borea: Sc
diftare acaudaDraconis,gradibus3. fcrupulis //. /4".

Fithxc fupputatio prerfus,utfupputatio declinatio-
num .Teliš compendioLffime per axioma quartum,
liocmodo:

Compl. maximxlatitud. 85. o.— 85. o.

Motus latitudinis 86. 4 S.  -- 3 - 15.

Sinus arcus o, gr. 1 7'■  qui arcus cft ipfa latitudo
Lunx,ad tempus fupra di&um.

Quod fi quis axiomate quarto uti nolit,utatur
primo uel tertio ho c modo.

VtE A. quadrans ad A B. maximam latitudinem Lu-
nx s-  gr.itaEG.diftantia acauda Draconis fxue com-

plemen-

PROBLEMA OCTAVVM.

17 1.4S *  88. £5.-
Exc. 81.4s. ~

— P 9 P S J.

Liber QviN
plementum motus
latitudinis, adGH.
latitudinem,perax.
i. uel

YtGHE.adGE.ita
G H E. adGH.&c.
per ax. 3.

PROBLEMA
NONV  M.
r Di(lantiam L unx
a centro terrafup-
p ut are. Cop.hb. 4.
cap . 17..

Biftantia Lunica
centro terrae me¬
dla d c. fecundu
Copernicum efl
femidiametroru
terne 6 o. fcr. IS.

Hinc cxterx di-
flantix Lunic a
centro terne, ita
fupputanrur.

Si Luna fit in ii-
nta medij motus
Soliš fine circa
pimčjuC.fiue cir¬
ca punOnmK. 6c
prknura, fi confi-
Ratadp. Dico:

ViDC,

TVS.

34?

Schema

CVI.

SchemA

cxxvm.

'iS-0  PrOBLITMATVM A ST R OM‘ O M I C O R VM
VtD c.ioooo.  adDC. 6oaS r .  femid-itacF./ii^. p pro.V.
adCF. 8. a.femid. terrae: quibusadditisadDC.
(Jo. 18. efficiturDF. < 58 .20''.

Deinde,(I confiflat ad E. Dico:

-' ' Vtt)C./i’tf^<7.adDC.(J' ( 7.//.remid.itacE. < f<f^.ppro.^ r
• •> . is

3.

ad CE. s- ii»  fcmid. terrx, quibus additis ad D C.
< 5 o.//.efficiturDE. 6^.29'. femid. terrae.

Forro, fi confiflat ad E.

Ablata rečta E C. quae eft xqualis re£tx C E. 5. //.fe¬
mid. derečiaDC. 60.  is'. relinquit re&am D E. 55. 7-
femid. DeniqueficonfiflafcadF.
Ablatare£iaCF.quxeflxqualisreQx C F. 8. gr. A fe¬
mid. de rečfa
D C. < 5 o?. //. re-
linquit reftam
D F. 52°. /(f.femi.

Si  uero Luna no
Schema  fj*- j n  linea me-
cxxvil  Jij mo tu s Soliš,
diftantia eius a
centro terrx ita
fupputatur.

EXEMPLIgra
tia : ad tempus
fupra datum, in
Triangulo CD I.
angulusicD.71"

5/. 55".perprobl-

*. C D L

Liber Qvintvs. ///

4. C D 1 .4?. 4</- 30". per proble. 6 .

Sirnima utriusque anguli 76 .  gr. 27 '-  25". Et illius fu ni¬
maš coinplementum adduos re&os CID. 103. gr.32^
35". Sedcuiusidcmefl:finus,quiconiplementifui 7 < 5 t
2/.25".per7.p.2.

Dicoigitur:

Vt cid. 76 °. 27 . 25". ad CD. femi. terrae.ita ic d.zi* * 3 7 '.  5 s"«

Srn. 97219 . 6 0 .  i8.  Sin. 94905.

i 5 -

3 *

adID.58?. 51'. femia.tcrrae:quaetum crit diftantia
Lunae a centro terrae.

PROBLEMA DECIMVM.

*Tarallaxes Lunafapputare.

,  Hic prorfus, ut in parallaxibus Soliš fupputandis*
duopraecognofcendafunt:

1. diftantia Lunx a uertice:

2. diftantia Lunx a centro teme.

Diftantia Lunae a uertice, fi non fit in ipfo horizonte,
fic reperitur.

Primum recolligo longitudinem Lunx: qux tempore
fupradatoerit107.gr. 35.31. Etlatitudinem : quxtum
erito. gr. 17'.

Deindeexhis inquiro declinationem 5 c afcenfionem
reflamLunae,per probl.i 5 .lib. 1. Scinuenio declinati*
onem Lunae 22. gr. 34'. 37". & afcenfionem redtam 109 °,.
9  ■  Ss". Poftea afcefionem reQam,io9. gr. 9 '.  55". nempe
inadiunidoSchematcarciimC^O. compono curaar-

Zz cuCO^

jr/2  Probismatvm Astronomicorvh

cu C CEjnoto cx
problcmate 13. li¬
bri prarcedcnris ^

55.gr. is'. 20". Er
fit arcus C 0 .154.
gr. 2S'. 15". cuius D
^c h emu co  m  p 1 cm e n 1 5  a d
CXXIX.  femicirculum eft
arcus O A. 15. gr.

31'. 45" Quj arcus
eft menfura ai>
guli TFH. Quo
noto, quia etiam latcraipfum includentiaFT. (com-
plementumeleuationispoli)&FH. (complementuiru
declinationis Lunx) nota funt, inquiro complcmen-
turn alti.tudinis Lunsefiue diftantiam Lunx a ucrticc
TH. per ax. 4. hocinodo :

FT. 40. 25. —-—40. 25.

F H. 67. 2 $'.  2 3". — 22. 34 - 37 -

107. 50.23. 62.  59. 3 7 --89094.

Exc. 17. 50. 23.—-- — 30 633.

, , ■ 119727 -

TFH .ij*. 31. 4s". 100000. sp 863.

74 - 2S.  //. 96340.

3 0Si.

ytiooooo.  ad / p 863.  ita 3671.  a d 2/83.  quo dctračio
de^<7/r^.relinquitur<f4^oj?.finusaltitudinisLunx
H S. < 5 o. gr. 21.13".  cuius compl. T H. 29. gr. 38 / . 47"-
til  diftantiaLunx a ucrticc.

Diflantia

i;  , Liber Qv in tv s.  jtjy>

■DiflantiaLunae a centro terrse ad tempus fupra datum
eri ti'/®, //. femidiametrorum ter r se : per problema
p nečeden s.

His duobusitapraicognitis parallaxes Luna: nonali-
ter quam paraliaxes Soliš fupputantur, nempe maxi-
ma quidem parallaxis per axioma /. hoc modo.

V t c d. //. //.feni. t errsc. adnA.i. fem. itaGD.rad. 100000
////. fcr. 6o.fcr.

ad D A. 1699.  finum anguli A G D. jS/ 2/'.
Cseterxuerbperaxioma quintum,hoc modo:

AD./.femid. EDF. 29®. 38'. 47*.

DF. fS./*. femid. AStE .190.21. 13.

Surama 59.//.femid. Dimi d. 75- 10.  3 4 .

Diffe. 57.//. femid. Tangens.-/778 61.

Ergo:

Vt/.>;.//. femid. a d/7®. //.femid. itatang. 379 S

3/9/. Icr. 34.71.

363234.  tangen tem anguli 74. gr. 41 •  4/'. quo
detraclo de angulog/. gr. 10.36".  relinquitur angu-
lusAFD. o. gr. 28'. 53". parallaxis Lunas ad tempu*
fupra datum.

PPvPBLEMA VNDECIMVM.

Šhiomoclo parallaxis Lun£ longitudmem
eimmutetjojlendere.Cop. 1.4. c. 26.

^fSi uerticalisper Lunam tranfiens fitipfe Signifer,
tota paraMaxis ut Soliš,ita etiam Luna:,in longitudine
tranfit: eamque miriuit in quadrante occidcntali, au-
get in quadrante orientali.

Zz: ij fSi

3S4  PROBLEMATVM A S T R O N 6 M I C O R V M

Si uerticalis per Lunam tranfiens fit Signifero rc-
ftus,tota parailaxisinlatitudinem tranfit, & latitudi-
nem quidemauflrinam facitmaiorem, boream uero
minorem.

Si uerticalis per Lunam tranfiens fit Signifero obli-
quus> parallaxisLunx partim longitudinem, partim
latitudinem eius mutat. Caufapatet exi]s, qux depa*-
rallaxibus Soliš diximus.

An autem uerticalis perLunam tranfiens fit Signi-
fero rečlus uel obliquus,facile fciri poteft. Nam per ij<
probl. proecedentiSj&perio. problema huiusiam no¬
ta funt:

j.  OmnialateraTrianguli TFH.&prxterea
angulusTFH.

2.  TotumTriangulum Q_C R.'

/. In.Triangulo T L P. latus T P. & anguius LP T.

cm

Schems

t

B

Dico igitur i:n Triangulo TFH.

IVi

Liber  Qvintvs. sss

I. VtTH.29" jS '.4. 7". ad TFH.15" 3 l'. 4 5 /; - itaF H. 67°. 2 s' .2/

494.65. 26772. 92336.

ad49 9 75.fimimanguliFTH. quiidem eftfinus
anguliLTP.29.gr. 59'.

II. InTriangulo LTP. inquiro angulum TL P. per

axioma quartum>hocmodo:

LTP. 29°. 59'.-29®. 5 9'

T PL- 76. 54. 40 ".- - u. 5 -  20"

106. 53'. 40".—43. 4. 20. ——-68292.

Exc. 28. 58.-—--- —— 290 60.

97352.

TP. 29°. 56'..22". 48676.

Compl. 150. 3- 38. 100000.

Exc. 60. 3. 38. 8 6 65 /.

Sinus uerfus 186655. Vel enim angtdus L P T. uel
nn ^tlus TL P. ejl maximus. Alioqui Triangulum L V P.
baberet tres dno h us reclšs minores, quod ejl impoftibile,
per 47. p. t. Siangulsts V L P. ejl maximus pr o Ut er e TP.
maximo ejl ajfumendum ipjltts complementum adfemicircu-
lurnppcr 6 i.p. 1. Siangulus LPT. ejl maximus pr o angulo
L PT.eJl ajjurnendum ews compl. adfemicircultim, per ean~
dem. Jpuofaffo,habetur Triangulum uniuslateršsquadran-
temaiorls. Pro qiiofi folaas Trimgulum illi adiacens, quod
habeat utramg, latus qmdrante minus , pro lat ere TP.qua-
dranteminore dabitur tihi angulus quadrante maior. JJua
derenideTrig.pag. 105.

Ergo:

Vt 100000. ad4S676.ita 186655.
r  Z z. iij ad 9 0856.

Schemu

CXXIX.

$5$  PROELEitATVM A5TF.ONOMICOR.VM

ad 90856, unde fubtra&us finus 6^292. rclinquit
22564. fin.ijmarcus13.gr., z. i6''.  qui cft excefTus ter-
iateris fupra quadranrcm: cuius exccflus comt
plementum ad quadrantem 76. gr. 57'. 34 / - eftmen-
furaangulil LP. quxfiti. Vndcliquet, uerticaiem
TL. in hocexehiploSigniferoPL. non efierečhim.
Quja igitur uerticalis TL. Signifcro PL. non eft rečlusf
ideo paraliaxis Luna; partim longitudincm, par ti ra
latitudincm cras mutat. LongitudinemLunxminuit
arcu IN- latitudinem ex borca FIN. facitauftrinam IK-
QujduoarcusIN. &IK. porrorcpcriunturhoc modo;
J- VtHLN. 76° 5 7.  34."'. ad H N. latitud. 1 7' .  itaHNL. ,
97420. . 494. iooooo.

ad 507. iinum

n. Vt 1.1  K. rad. ad L K n. 26". itaILK. 76?.5/. 34 -
— - - ..‘ — .■    —* , -

IOOOOO. 3i2. 97420.

ad 323.nnum arcus IK. 11.6".  qu« erit iatitudo

Lunae uifa audrma^tcrapore fupra dato. per ax. 3.

"" “ 1!f Vf

Liber Qvintts. //7

■ IH- Vf KI. I. 76 °-  5/. 34!'.  a d rad. itaKI. //. 6 *.
Tang. 431752. ~ 100000. tang.323.

ad 74. finum arcus IL. 2'. 33"
perax. 2.

IV, VtHLN« 7 * 5 °. 57. 34" adrad .

Tang. ^31752- 100000.

' - it a H N. 15', čV
Tang. 507.

ad //7. finum arcu s L N. 4'. 2 // .
pcr ax. 2. Qni arcus LN. 4.2".  co~
pofltus cu arcuI L. 2. 33"- efficit
arcu IN. 6'. i{'.  qui arcus detra-
čtusabarcu QN. hoceffauera
IongitudmeLun®/^. 3/. 3 *"•
relinquit Jongitudinem Lun®
uifam 107°,. 2 s', s a".  qu® ablata
a! ongi tudi n c S olis u i fa 107**56!*
j6".  relinquituifa diMtiaLunas
a d temp us fupra datum 27'. 20".

Problema Dvodecimvm.

Data uera diametro Lun<z 3  una
e um diflantia acentroterra^ap-
garentem eius diametruminue-
nire.

Vera ftmidiameterLun® fecu-
dunx Copernicum eft femidia-
metroruteme 0.fcr. 17. p".  Di-
ftantia Lun® a centro terrce ad

Schem/t

CXXK

lempus

Schemti

CXXF.

3 S-C t  Probleaiatvm Astronomicorvm

tempus fupradatum,erit58. femid-jcrneSc//. fcrupu-
lorum,perprobl. 9. Hinc apparens femidiametcr Lu¬
nje itafupputatur.

Vt ki.  58?. //.. fem.adLo. 17.9" S.

211S60. 1029  .fcr 2.

itaKL. 100000.
adLO. 485. tangentem angu-
li abc. 16'.4.2 ". qui eft apparens
femidiameter Lunae. Cuius du¬
plu 33.24.  eft apparens diame-
terLunaead tempus fupra datu.

Problema decimvm tertivm.

Apparentem dmmetrum umbra
auamSolfpargit a, terrajn Luna
tranjitu> rep er ir e.

Eclipfes noftri feculi oftendunt
femidiametrumLunaeLO. efTe
ad femidiametrum umbrae M R.
ut//č\ad 403.  ut refert Coper-
nicus lib. 4. c. /9. Hinc femidia¬
meter umbrx,quaLuna tranfit,
nemperectaMR. itareperitur.

V tis  o.  ad 403.  ita L O. 16'.  42".
per probl. 12.  Sin. 4S5.

ad MR. 1303-  fin um arcus uel
ang'uli44 / . so".

PINI s.

Bartholo-

LlBKR  *yEXTVS. 3Sfi

Bartholomad Pitifci
Grunbergenfis

PROBLEMATVM

ASTRONOMICORVM
LIBER S E X T V S.

De calculo Gclipftum.

PR&FATIO.

Eclipfis dicitur obfcuratio Soliš uel Lunar. Obfcura-
tio Soliš efl interceptio lurainis Soliš, fa&a a Luna in-
tcr Solem Sc uifum noltrum diametraliter interpofita.
Obfcuratio Lunar efl defe&us luminis Lunar, quem
defecluraLuna patitur, quando terra inter ipfam Sc
^olem diametraliter interponitur, Stfic Luna in um-
bramterraeincurrit. OmnisigiturEclipfisSoliš, fitin
coniunflione : Lun«,in oppofitione Soliš ScLnnae.
Sed non in ornni coniunfrione uel oppofitione Aolis
St Lun« lit Eclipfis: quia Sol Sc Luna non femper dia¬
metraliter opponun tur aut coniunguntur,propter la-
titudinem Lunar: fiue proptereuagationem Lunacab
Ecliptica. Ad Eclipfes itaquefupputandas,Scconiun-
Ctionesuel oppofitiones luminariumindagare, Sela-
titudinem Lun« circaidtempus inuefiigareoportet.
Atque harcomnia fecundum ucritatem inEclipfibus
Lunaribus: fecundum uifum in folaribus:quia Sol per
fe non obfcuratur, fed uifustantum nofier impeditur,
* AAa quo

00  P R O E L E M AT V M A STKrONOMI C O RVM
quo ininaslumcn Soliš uideat. Luna autem per ic ob-
fcuratur. Hxc caufa efi,cur in Eclipfibus Soliš paralla-
xeon tam^olis quam Lunaetara accurataratio habe-
dafit: in Eclipfibus Lunaenulla. Dehis igitur& qux
prxterea ad calculum Eclipfium pertinenc, pan cula
quxdam problemata quafi coronidis uice caeterisad^
iungemus.

PROBLEMA PRIM v m.

Ternam meduz comunUionu uei oppofitionis Soliš
Lun z rep er tre. Cop. Lih. 4. c. 28.  <

Ad tempus propi ! nquum, quodtxia faOis coniun-
dfionibus & oppofitionibus Soliš 6 c Lunxfacilecon-
ijcies,inueftigamotumLunxaSole xqualcm. Qiiifi?
integrum circulum compieuit,erit coniunOio media:
fifemicirculum tantum, critoppofitio media. Si ncqji
circulum neque fenii circul um exa£ie compleuit :: ie.d»
uelmaior eft uel minor: tantuin temporis temp orli
fumto addes uclfiibtrahcs-, auantum difiantix Luncs;
aSole competit. Exempligratia. Anno 1600.  rnenfe
Iunio continuata nouilunia & plenil unia oftendunD
fore nouilunium,hoc c il, co ni u n čli o nem Soliš & Lu-
nx tricefima dielunij poft meridieimErgo ad tempus
propinquum, Verpi gratia, ad horatn iecundam P.iVL
inquiro motum Lunx aAole xquakm & in učni o
5 N . 54- 49- -■

Huic motu.i xqua!i defuntad integrum circulum
5°. 10'. 33"

Conficiet autemLuna hunc curfus fui dcfeclumhons
to.-fcr. 1'. 8 ".' Nam-

Liber Sextv$.

KammotusLunxhorariuseft v

30'. 28". _ j;

Vtautcmso'. 28" adunam horam : ita 5. gr. 10-33".
ad 10. hofas, fcr. 1 i.  32". l ; •

Ergo tcmporifupradato, fiaddideroio. horas icr. ir.
32". ConiunSioSoliš &Lunxmediaerit, Anno 1600.
tricefinia lani), hora ufu-ali 12. fcr. u. 32". P.M. fub Me¬
ri diano CracouienfL v

PROBLEMA SECVNDVM.

Temp as uera coniunchonu uetoppo/itionis Solu La -

n£ repcrire.Cop. hb. 4. c. 29.

P*i m u m. ad tem p us medi« coniun&ionis uel oppolL
tionis Soliš 6dLu-

nx,quxrc eorum
prollhaphacrefes:
& erunt in exem-
plo noftro.

. ProlUiaphxrcfis
Soliš ablatiua,
cjuall anguiu
ID C. o. gr. 17. T.
Proflhaphaerefis
Lunx .

4 , gr. 54- Ji"-

phxrdes,
diuerfi generis,
mutub junge:.fi
ftnt eiusdem ge-

Schemtt

CXXX.

AAa Ij . n eri s*

' 33 *  Problematvm Astronomicorvm
neris, minoredmaiorefubtrahe, ut appareatueradi-
flantiaLunaaaSole. Vtpn noilro exemplo, prollha-
phaerefesfuntdiuerfi generisrnempe alteraablatiua ?
altera additiua. Iungo igitur:

1CD. o. gr. //. A
C D E. 4. gr. s4 • j a

> K

5. gr. ji. S2 .

Eteuaditangulus IDE. fiue4rcus /.gr.//'./A quo
angulo uei arcu inmedia coniunčrione Luna diflabit
a Aole,«?* praetergrdfa erit Solem.

Tertib, ex diftantia Lunae a Sole, probabiliter collige,
quot horis uera coniun&io mediam antecedat uelfe-
quaturhoc modo:

1.  gradus curfus ( . d O. dat horas ferme duas : quot
horas dabunt 5. gr. 11.42".  f?. 10.  Hor. fcr. 23. 4./".
Quarto,has horas 10. fcr. 23. 44 // . ( quia uera coniun-
člio mediam praeceflit: quod ex proflhaphaerdibu6
apparet.)fubtraheatempore media: couiun&ionis.,
hoc modo. :

i2.  H. 11. 32".

10.  H. 23 . 44.

1.  H. 47. 48".

Et cuadet tempus ahimatum ueras coniunOionisSolis
&Lunae, /. Yi.47.4S".  P.M.

Quinto, ad tempus adtimatum uera: coniun&ionis
Soliš &Lunaequaere uera loca Soliš &Lunae.- utappa-
reat, an illa loca coincidant, an uero adhucluminare
alterum ab altero diftet. Vtin noflro exemplo,ad tem¬
pus aeflimatum ueraeconiunclionisuerus locus Soliš

ab aequi-

Liber Sextvs. 3 <fš

ab 3equinočlio uerno erit iof>.  50'. 4". VerusLocus Lu-
nae ab eodem xqmno£ho uerno erit 107" 2 9'.  19". lam
locus Lunxfubtra&us a ioco Solišrelinquit differen-
tiamid'. 45". Diftabit igitur tum adhuc Luna a Sole
fcrupulis 26 '.' 45 ".

8extb,uerumlocum Lunse collige etiam ad tempus
problemateprimo affumtum: & differentiam tempo-
ris atque motuum nota hoc modo.

Verusmotus C •

Hora 2. fcr. o', o".-■—107“. 35 ^ 3i*.

Hora 1. fcr. 47. 48.—--107. 29. 19.

Difrerentiatemporu 12'. 12.  Diflfl motuu o. 6 . n".
Septimo,ex hac utraque differentia, quanto tcmpore
Lunajrefiduaiftafcrupula26 / . 45". conficere., &ad So¬
lem peruenire pollit,collige hoc modo.

Vt 6'. n", fcr. graduu ad 12. n",  fc r. h or. 1 ta 2 6'. 45". fcr.gr.
372".. 732". 1605".

ad52.38'f fcrupnlahoraria. '■
0&aub,haecfcrupulahoraria/2 , .;?8' / . adde ad tempus
xftimatumuer 3 econiunfl:ioniSj&habebis abfolutum
tempus uera: coniundionis: hoc modo:

Tempusadhmatum uersecf Hor. /. fcr. 47'. 48".

Defedus — -——-— Hor.  o. fcr. 52. 38.

Tempus uerxd Cracouiae.-Hor. 2. fcr. 40.26.P.M.

_ 59 - o.

Idem tcmpus.,H e idelbergte — __Hor. 1. Icr. 41. 2<J.p.m.

PROBLEMA TERTIVM.

AAa iij Tempus

04  P R. O B L E M A T T M A S T R ONOM I C O g. VM
Tempus uifi cmmnciianis Soliš tž> Luna repcrire. Cojr.
lib. 4. c.  31.

Pri m um, inquire uifam Lunx a SoJe dillantiam, tum
ad tempus uerss coniun&ionis, tum ad horam prtcce-
dentern in quadrante Signiferi orientali, uel ad hord
lcquentem, in quadrante Signiferi occidentali, per
problema n. libri < 5 ,

Deinde diftantiam minorem fhbduc a maiore, uel H
alte ra diflantia citra,altera ultra Solem confiftat, mu-
tub junge, &habebisuifibilem Lunx motum aSole,
Competentem illi horx,iri quatum fit motus.

Tertio fic ratiocinare:

V t uCibilis Lunsemotus horadus ad 1. horam;
itauifibilisLuntcdillantia d Sole, tempore uertscon««

iun,čiioniš,adhor.--Ter.——

Quarto has horas uel htec ferupula horaria addc ad.
tempus uerx coniunblionis, in quadrante Signiferi
occidentali.- uel ab eodem tempore aufer,in quadran-
te Signiferi orientali, & habebis tempus uife coniun-
člionis.

EXEMPLVM. Temporeuerte conjun&ionis Soliš
&Lunx,Anno i 5 oo. die 30. Junij, hora r. fcr. 4.1'. 26".
EM. refpečlu Meridiani Heidelbergenfis uifa Lunaea
Sole diflantiaerit circiter s'- 20".  (nam calculum iflum:
accurate profequi, propter alia negocia non licuit.j
citraSolem.Hor. 2. fcr.41'. 26".  PM. uife Luna: a Sole
diftantia erit circiter 24. is", ultra Solem.., Summa
wfriusq;diltantixeft29u 31".

lam

Lisir.  Sixt ! vs. 3<fs

lam

Vt29 i .  3S". fcr. graduu adi. horam. it a s - 2.0".  fcr. gr.
I778 ,; . 36O0". 320".

ad io'. 48*. fcrupula horaria: qux addita ad
icmpuš uerae coniunftionis, Heidelberg# effick
unttempus uillbilis coniun&ionis /. horam
//./4" P. M.

PROBLEMA QVARTVM.

Viftm latitudinem Lun<s d Sole adtempus uijk conitm »

, tdioms muemre.

Primum, qusere uerum motu m latitudinis Lun#ad
tempusuife coniun&ionis pcr problema 7. lib. 3.
Et eri t in noftro excmplo circiter 87.gr. 5 d.  24".
Deinde,exuero motu latitudinis inquire ueram lati-:
tudinem Lirnas per probl. 8 . lib. 5. & erit in noftro
exemplo circiter//. //".

Tertio,nd idem tempu s inquire parallaxes Soliš & Lu¬
na;, per problema 12.  lib. 4. Se 10.  lib. jr. Et erit in no-
ftro cxemxlo parallaxis Soliš circiter 1.32 '.  Luna;, cir-

f n

citer 33.27.

Quarto,perproblema 13.  lib. 4. & per//-. lib./. inqui-
re,quidde parallaxi Soliš uel Luna;, in latitudinem:
tranfeat. Etinuenies in noflrocxemplo de parallaxi
Soliš trarrllre in latitudinem circiter fcrupula 1.23".■
De pa®allaxiLunae,circiter fcrupula /4'. 20
Quinto de paraliaxi latitudinis Lun«fubtrahe inuen-
tamantea latitudinem Luna;boream/2'. is'.  refta-
l)it.uifalatkudoLunxauRrina > ab Ecliptica 22.3..

1  Scxtbj.

$66  P R O B L E MA TVM AsTROftOMICORVM

Scxtb,auifa latitudine Luna auftrina, ab Ecliptica,
fubtrahe uifamlatitudinem ^olis, quaitidemeft au¬
ftrina/. 2 s".  Screftabit uifalatitudo Luna: a Sole
zo'.  40".

PROBLEMA QVINTVM.
Coniunffiiones Soliš & Luna eclipticas ab alijs difcerne -
re.Cop. lih.  4. cap. 30.

In Coniunčfione.

Si uifalatitudo Luna a ^oleminor fueritdimidio ap-
parentium diametrorum ^olis Sc Luna, Aol fubibit
Eclipfin: fimaior, nonfubibit .VtAnnoN. C. 1600.
tricefimadieIunij,Hor. /.fcr. //. iv/.p.M/refpefluMe-
ridiani Heidelbergenfis) ipfo momento uifa coniun-
čiionis Jolis ScLuna
apparens femidiameter Aolis erit. //. s/ r .
apparens femidiameter Luna erit. id.  4 2.

Jumma harum duarum femidiametrorum erit 32.
37 .  At uifalatitudo Luna a^ole eritnon nifi 20. 40^.
Ergo Jol tum fubibit Eclipfin.

In Oppofitione.

.SlueralatitudoLunaminorfuerit dimidio apparen-
tium diametrorum Luna St umbra, Luna fubibit E^
clipfin. dimaior, nonfubibit. Vt: Anno 1601.  die
2p.  Nouembris,hora7. Cer. 3/. \d’.  fecundum Meridi-
anum Regij montis in Borufiia,ad quemMeridianum
fupputatafunttabulaPrutenica : fub tempus appa¬
rens ueraoppofitionis Soliš & Luna,apparens femi¬
diameter Luna erit 1/. 4.9".  apparens femidiameter

umbra

d/

Liber Sextvs. 367 I

iimbrae^/. *<f". Muha /* č'. 37"•  At latitudo Lunae  ue-
ra-uerfus Septentrionctn erit nonnifi  32'. 12". Ergo Lu¬
na tum fubibit eclipfin.

Maioris perfpicuitatis caufares etiam oculis fubijcia-
tur.

Sit ergo circulus Soliš
uel umbrae abc. Sum-
ma femidiametrorum
Soliš ScLunas,uel um-
brac 6c Lunae DL. &
fit latitudo Lunae, pri-
mum DH. deinde DE.
manifeftum efi,fi lati¬
tudo Lunae fit D H.
nullam forc Eclipfin.

Circulienim lic. &bc.
nusquain concurrut.

At fi latitudo Luna:
fit DE. fiet Eclipfis.

Circuli enim F G. 6c
BC. concurrunt.

PROBLEMA S E X T V M.

Jguantafuturafit Eclipfis,przdicere. C op. lib. 4. c. st.

LatitudinemLunacfubtrahea fuma femidiametro¬
rum Soliš & Lunae, fi fit Eclipfis Solaris, uel umbrx
& Lunae,fi fit Eclipfis Lunaris: quod refiat, conuertc
in digitos eclipticos (fic uocantur duodecimae partcs
diametri Miliš uel Lunae) hoc modo.

In Eclipfi Malari preecedentc.-

Bb  b Mimma

jo's  ProblematvmAstronomicorvm

Sumniafemidiametrorum O & C . DL. 32.
LatitudoLunxDE. 2

DifferentiaBM.

biameter JoUsEM". 3 r. 50.

V1 31. so".  ad 12. dig. ita n'. S7".  a d digitos 4. fcr. 30'. 10 \
In EclipfiLunari prtecedente:

JuminafemidiametromLunx&: umbrxDL. 66 '. 37".

Latittrdo Luna:D E. -<?--- - 32. 12.

Differentia 34. 25.

DiameterLunsMF. -———--35. 38.

Vt iS'  38". adn. digitos: ita 34. 25". ad digitos 11. fcr.
/ //

35 . 2 7 .

PROBLEMA SEPTIMVM.

JŽhtandtu dur a tur ajit eclipJts 3 oJlendere. Cop. hb. 4«
cap.32.

Schem/t

CXXXIL

Jit E*

Liska  JEXTV-S. T s (Sr,.

iitEcliptica A D C. femidiameter umbrxDB. femidi¬
ameter Luna: B L. aggregatuDL. uiaLunacFE G. lati-
tudo Luna: D E. angulus ad E. quafi redus, propter
obliquitatem uiarum^olis & Lunse in tam breuifpa-
cio infenlibilem. Dimidium tempus Eclipfeos FE.
lam in Triangulop E F. duolat.eranota funt, DE. la-
titudo Luna: & DF. Aimma femidiametrorum uiribras
&Lunx. Dabiturigitur latus tertium FE. pcr ax. 4.
planorum, hoc modo.

I, Vt F D., adFED. itaDE. adDFE. quo n.otono-
tusetiameflFDE.

II. VtFED. adFD. itaFDE. ad FE. quod diuifum
perhorariummotumLunxuerum,ineclipfiluna-
rijUelper horariummotum Lunse uifum, in eclipfi
.Folari exhibet dimidium tempus eclipfeos,&c.

Eodem modo mora Luna; in umbra terrx,fi forte con^
tigerit,exTrianguio D E H. fupputabitur,in quo Triv
angulolatus DE. efllatitudo Lunx :latus DH.eE
drffercntiainter femidiametrum Lunse Se umbrse.
Exemplum reale.

InEclipllSoIari,cuiušmentio'nuperfadaeftjktitudo
LunaeuifaDE.erit- 20'. 40". kumina femidiametroru
JolisScLunseFD. 32'.

Dicoigitur.

i. Vt F D. 3 2 :  37".’ adFED. radi ita DE. 20'. 40*.
948. iooooo. 6ol~

ad 63396. finumanguli D F E. 39’ 20'. 34". cuius
compl. eE angulus F D E. 50*. 39'. 24".

B b  b i!

II. Vt

37 °  Probl. Astr. Lib. VI.

II V tFED. rad. a dFD. 32'. 37". ita F D E. 50" 39'- 24".
IOOOOO. 948. 77335 -

ad 733- finum arcus F E. (nam reuera F E G. eft
arcus etfihiccuruitas eius fit infenfibilis, pre-
pter exiguitatem) 2$. 12".

Ul- Vt uifibilismotus C • horarius29'. 38". ad 1. horam.

i 77 S"i

ita 25'. 12".

151 2".

adHor. o. Ter. 51*. f.  Cuius temporis duplum cfl
j. H. fcr. 42. 2".  Tanto igitur tempore durabit fae-
pediffa eelipfis Solaris.

Quod fietiam initium & finem eclipfeos fcire cupis:
dimidia duratiosF. 1". fubtrafia a tempore maxjmje
obferuationis, initium 3 addita uero adid tempus., finč
eclipfeos oftendet: hocmodo.

Tempus maximte obfcurationis Heidel. Hor. 1. fcr.

52.  //. P. M.

Dimidia duratio //. /.

Initium Eclipfeos Hor./.fcr. /'. 13

Finis Eclipfeos Hor. 2. 43*. is",

FINIS PROBLEM AT V M ASTRONO-

MicoRVM.- .

K^iVG VSTAE VIN D E L IC OR V M,
typis Michaelu Mangeri ,
Sumptibm Dominki Guftodis Chalchogrttbhi .

M. D C. "

v?.

g Ljubka J

'  # -y

tfl' f  /

//»/• . * .-'•>»  • '3<L- ^0  — (>

•p. ^ £ ■ ?“ — ^''2- • -“f-o

hnj- f° fo.

t


-.77.

1 .1 7^-Hf

11

/ • >■

iiV U-s -Crffti"« /* 2 tf'\
C4-' CfevAv r  U '■ «

/v 4 .f ,.-.y-v^

*?(*/**

—