i i “Strnad-gladina” — 2010/6/14 — 8:20 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 16 (1988/1989) Številka 1 Strani 17–20 Janez Strnad: GLADINA VODE V VRTEČI SE POSODI Ključne besede: fizika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Strnad.pdf c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. GLADINA VODE V VRTEČi SE POSODI Da je gladina mirujoče vode vodoravna , ni težko pojasniti . Opazujmo majhen del vode z maso m ob gladini. Zemlja deluje nanj s težo mg navpično navzdol; pri tem je g t ežni pospešek. Opazovani del vode miruje: nanj deluje sila okoln ih delov vode, ki uravnovesi težo (slika 1). Sila okolnih delov vode je torej mg navpično navzgor. Oko ini deli vode lahko na opazovani del izvajajo le silo, pravokotno na gladino. Zaradi sile, ki ne bi bila pravokotna na gladino in zato ne bi obremenjevala vode na stisk , bi voda začela teči. Drugače je, če se posoda z vodo giblje enakomerno pospešeno s pospe- škom a proti levi . Po tem, ko se lega gladine glede na posodo s časom več ne spreminja, opazujmo del vode z maso m ob gladini. Zdaj se sile na opazovani del ne uravnovesijo, saj se gib lje ta del, enako kot vsa voda v posodi, s pospe- škom a proti levi. Poleg teže navpično navzdol in enako velike sile okolnih de- lov vode navpično navzgor, delujejo na opazovani delokolni deli vode s silo ma proti levi. Od I . Newtona pred tristo leti n am reč vemo , da dobimo silo, ko pomnožimo maso s pospeškom. Pravzaprav smo to upošteva li že, ko smo navedli težo . Silo okolnih delov vode na opazovani del sestavljata dva prispev- ka (slika 2): mg navp ično navzgor in ma proti levi. Gladina vode je pravoko- mg ~!Ef I I +mg Slika 1. Del vode ob gladini v mirujoči vo- di. Opazovan i del vode vzamemo za sistem in narišemo zunanje sile: teža mg deluje navpično navzdo l I črtkano) in sila okolnih delov vode navpično navzgor (sklenjeno) jo uravnovesi. Gladina je pravokotna na silo okolnih delov vode . Slika 2. Del vode ob gladini v posodi, ki se giblje s konst ant nim pospeškom a prot i levi . Risba je nar isana tako kot prejšnja. Vsota obeh prispevkov k sili okolnih de- lov vode pa je narisana z votlo puščico. t7 tna na njuno vsoto in se dviga proti desni. Njen nagib l{J je določen z razmerjem obeh prispevkov takole: tg l{J = ma lmg = alg Nazadnje se zanimajmo za vodo v posodi, ki se enakomerno vrti s kotno hitrostjo w . Če traja en vrtljaj. k i mu ustreza poln i kot 2 rr, čas to, je kotna hitrost w = 2 rr/t o. Zopet opazujmo del vode z maso m ob gladini. Del ena- komerno kroži. Enakomerno kroženje je pospešeno gibanje . Pospešek - tako imenovani centripetain i pospešek - z velikostjo w 2 r kaže proti osi. Ta pospe- šek se spreminja z razdaljo r od osi. Na opazovani del vode deluje teža mg navpično navzdol in okoini deli vode z enako veliko silo navpično navzgor in s silo mw2r proti osi. Gladina je - kot v obeh prejšnjih primerih - pravokotna na silo okolnih delov vode , ki jo sestavljata prispevek mg navpično navzgor in prispevek mw2 r proti osi. Nagib gladine je določen takole : tg l{J = mw2 r lmg = w 2rlg Računanja še ni konec, ker se nagib spreminja z razdaljo od osi. Zaradi te- ga je gladina ukrivljena. Njena oblika je rotacijsko simetrična. Dovo lj je, če do- ločimo krivuljo, ki jo dobimo kot presek gladine z ravnino skozi os. Kr ivulja y(r) podaja višino dela vode nad najn ižjo točko ob osi: vlO) = O. V razdalji rIod osi je višina y(rl) in v malo večj i razdalji r 2 je višina y(r2)' Tangens na- giba določa kvocient (yh) - y(rdl /h - rd (slika 3). Katero razdaljo naj vstavim o namesto r v desno stran enačbe? Pomagajmo si s srednjo razdaljo (r2 + rl )/2. Tako dobimo: • y Slika 3. Del vode ob gladini v posod i , ki se enakomerno vrt i. Risba je narisan a tako kot prejšnja. Desna risba kaže, kako izračunamo tangens nagiba gladine. 18 y(r2) - y(rtl = (.,)2 (r2 - rd(r2 + rrl/2g = (.,)2 r 22 /2g - (.,)2 rl 2 /2g Uvidimo, da gre za parabolo y(r) = (.,)2 r 2 /2g in ima gladina obliko rotacijskega paraboloida. Slika zgoraj: Stopetdesetletnico fizika Er- nesta Macha (1838-1916) je avstrijska pošta počastila z izdajo posebne znamke (k prispevku na strani 21.) Slika levo: Gladina vrteče se vode ima obliko rotacijskega paraboloida. Trditev drži samo približno, ker je težko doseči, da se čaša enakomerno vrti, motnje pa povzročajo valove. (Foto Marjan Smerke) 19 Spornanje bkoriltiaia. Plosko veliko posodo z %vim srebrom vrtija okoli navphe osi in uporabijo nastale parabolidno zrcalo v astronornskem daljnogle- du, Od drugih rnoZnosti za uporabo omenimo bolj vsakdanjo. NaupiEno cevko z vodo lehh uuporab.ljarno kot merilnik t a kotno hitrost ali frekvenco hitro se vrteeih teles. Frekvenco, to je hv i l o vrtljajev v sekundi, dobimo kot obratno vrednost Easa enega vrtljaja. VrteEa se voda nad vodoravno rsvnino pri y - 0 9 Stika 4. Mirujob uoda (osenbena, gladi- na je narimna Crtkano) v cavkl z d i j e m R fn vrteEa se voda @ladine je nartcans sklenleno). Ce je radii ceuke R - 2 cm In rs oevka enkrat revrtl v 0,Z 8, meri h - = Icm. Del cwke nad gladino mimjde We more btti dovolj vlsok. i ima prostornino raaf f4 /4g = a ~ ' y ( ~ 1 / 2 , tie se os navpiEne cevke z radjjem R pokriva z vrtilno osjo. Zvezo najde bralec preprosto izpetjano na str. 5-6. f a pmstarnina se ujarma s prostornino valja M a h , ki ga je zavzemala vada v cevki, dokler je mirovala tsllka 41. lz mere h = y(R)/2 Izhaja, da ]e leiala gladlna mIrujoEe vode na sredl med dnom In roborn vode v vraEl se cevki. Po znifanju gladine lahko tedaj doloCimo kotno hstrost. It h = 0 2 ~ ' / 4 g sledita kotna hiwoa w= 2 t h g ) ' / ' / ~ In frekvenoa l/to = ( h g ) ' / " r ~ . Jdnez Strnad