rrru; z '. NIŽE MERSTVO. Po hrvaškem Vekoslav-a Koroskenji-a, profesorja na kr. gosp.-gozdn. učilišči v Križevcih, predelal prof. IVAN TUŠEK. Z 106 v tekst natisnjenimi podobami. V MMMMI. Tisk Egerjev. — Založil deželni odbor kranjski. 1872. : ^ Po hrvaškem Vekoslav-a Koroskenji-a, profesorja na kr. gosp.-gozdu, učilišči v Križevcih, predelal prof. IVAN TUŠEK. Z 106 v tekst natisnjenimi podobami. ? urnim Tisk Egerjev. — Založil deželni odbor kranjski. 1872. ’ 03oo/|/i:zm ista vednost, ki uči, kako da se merijo prostorne reči, ? V namreč: črte, ravnine in zadnjič tudi zemlja sama, se ' imenuje praktično merstvo (praktische Geometrie oder Geodmsie). Praktično merstvo se razdeluje na više merstvo in na niže merstvo. Više merstvo se razdeluje na dva dela: 1. Na tisto znanost, ki uči, kako da se pred oči postavljajo v pomanjšani meri na papirji podobe celili dežel, držav in tudi še večili delov zemeljskega površja. Ta znanost se imenuje kartografija, t. j. narejanje zemljo- vidov. 2. Na tisto znanost, ki ne uči samo tega, kako da se pred oči postavljajo podobe posameznih držav, ampak ki tudi to uči, kako da se natanko izmerijo posamezne države, dežele, okraji. Ta znanost se imenuje zemljemčrstvo. Niže merstvo se tudi deli na dva dela: 1. Na p o 1 j e m e r s t v o, ki tudi kakor zemlj emerstvo uči meriti posamezne — ali mnogo manjše dele zemelj¬ skega površja, kakoršni so n. pr. občine (srenje), grunti, njive, travniki, gozdi, vinogradi, pota, itd. Pri merenji takih majhnih delov zemeljskega površja se ni treba nič ozirati na to, da je zemlja okrogla, ker s tem narejena pogreška je tako neizrečeno majhna, da se more reči, da je ni. IV 2. Na višinomerstvo, ki uči, kako se najde to, za koliko da leži kako dano mesto bolj visoko, kakor kako drugo dano mesto na zemlji. Višinomerstvo se razdeluje na merenje višav v čžem pomenu in na nivelovanje (rezanje). Tukaj bomo razlagali le niže merstvo, ker ono zadovoljava popolnoma vsem potrebam gozdnarskim in gospodarskim. Prvi de 1. Poljemerstvo. IPoljemerstvo uči, kako se pred oči postavljate v pomanjšani meri podoba in velikost zemljišč, kako se izračuna velikost teh delov naše zemlje, kako se pod tirjanimi pogodbami dele ta zemljišča na manjše kosove in kako se meje prestavljajo. Narejanje podob zemljiščnih na papir se imenuje na črtan j e ali mapo vanj e, popolnoma izdelani osnutek načrtanih zemljišč pa čr tež ali t lovi d (inappa, situatio). Crtež se dela na papir, tedaj na ravnino; tla so pa redko kdaj, skorej nikoli, popolnoma ravna, zatorej se dobi pri mapovanji vselej le vodoravni načrt (horizontalna projekcija) AB tal ACDB (pod. 1), tedaj manjša površina, kakor jo pa ima v resnici zemljišče. Saj je vodoravna črta 8 AB, ki naj nam pred¬ stavlja papir, vsakako manj¬ ša od krive črte ACDB, ki naj nam tla predstavlja. To naše ravnanje je pa po¬ polnoma izpričano. Pomis¬ limo samo, da rasti vse rastline naravnost k višku, ne napošev, da tedaj na nagnjenih tleh, na strminah, ne izraste nič več in nič manj rastlin, kakor na vodoravnih tleh, na ravnini. Na bregeh ACDB ni prostora za nič več smrek, kakor na ravnini AB. Mapovanje se razdeluje po tem, kakemu namenu da naj zado¬ voljiva, na sledeče razdelke: 6 a) Gospodarstveno mapovanje. Na gospodarstvenih črtežih mora biti o posameznih zemljiščih natanko zaznamovano, kake so podobe, kolika so, in tudi to, kako so obdelana, ali so gozd, paš¬ nik, travnik ali njiva, da se iz tega zamorejo spoznati meje in vred¬ nost kmetije, da se s tem zavdrova lastnina vsacega posameznega gospodarja, da se prepiri zavolj mej d poravnajo, da se zamore delitev in menjdva zemljišč vstanoviti in davek pravično porazdeliti. Pri takem mapovanji je tedaj neogibno potrebno, da se najdejo in zazna- movajo popolnoma natanko meje in velikost celega zemljišča in njegovih posameznih kosov, da se natanko zazndmova o posameznih kosovih, kako so obdelani, in tudi red po katastru. b) Gozdnarsko mapovanje. Na-gozdnarskih črtežih mora biti prav natanko zaznamovano, koliki in kaki so gozdi in njihovi deli, da se na tej podlagi zamore upeljati umno gospodarstvo z gozdom. Na njih morajo tedaj prav natanko biti izdelane meje glede gozdnega drevja, da se dobro vidi, kje je jelovi gozd, kje bukovi, kje hrastovi, kje kostanjevi, kje mešani gozd, kje grmovje, itd. c) Vodostavstveno mapovanje. Tu se tirja, da se na¬ črta reka ali potok s svojim porečjem vred, ktero se mora saj 20 do 30 sežnjev od vode proč izdelati na drobno; za tem se mora natanko zaznamovati padec, korito, curek, slapovi, največa in najmanja višina vode, in povodnji izvrženo zemljišče. — Namen takim črtežem je uravnavanje potokov, postavljanje mlinov, itd. d) Vojniški črteži (tlovidi) za porabo pri vojskovanji. e) Mapovanje vasi in mest. Tukaj bo govora le o gospodarstvenim in o gozdnarskim ma¬ povanji. Kar se tiče nauka samega, se dd on razdeliti na tri dele. I. O mapovanji zemljišč. II. O izračunanji in o deljenji mapovanih zemljišč in o pre¬ stavljanji mejd. III. O izdelavanji črtežev (tlovidov). 7 I. O mapovanji zemljišč. Kakor je bilo že rečeno, se pravi to: narediti vodoravni (ob- zorni) načrt tdl v pomanjšani meri. Meriti se pravi preiskovati, kolikokrat se znana velikost, mera, nahaja v neki še neznani velikosti. Za dolgost je skorej v vsaki državi druga mera. Pri nas se meri z dunajskim sežnjem in z njegovimi deli. En dunajsk seženj (klaftra) ima 6 čevljev, ali 72 palcev, ali 864 črt, kar se tako-le napiše: l n = 6' = 72" — 864"'. En čevelj ima 12 palcev, ali 144 Črt, namreč: 1' = 12" = 144'". En palec ima 12 črt, t. j. 1 " = 12 "'. Ta razdelitev sežnja se imenuje dvanajstinska mera. V merstvu se mnogokrat deli seženj na 10 enakih delov (na 10 čevljev), čevelj spet na 10 enakih delov (na 10 palcev), tako da je: 1 ° = 10 ' = 100 ". Ta razdelitev se imenuje deset inska mera. Povsod na zemlji sploh znana mera dolgosti je meter, ki je prav iz natore (prirode) vzeta, ker iznaša 10 milijontih delov pol- dnevnikovega kvadranta naše zemlje, kakor to astronomija (zvezdo- slovje) uči. Meter ima 38 dunajskih palcev. Plohe ali površine se merijo s kvadratom (štirjak), t. j. s štirivoglato ravnino, ktere vsaka stran je en dunajsk seženj dolga. Taka štirivoglata ravnina se imenuje kvadratni seženj in se zaznamova z 1Q°. On ima 36 kvadratnih čevljev (1Q° = 36Q'), en kvadraten čevelj ima 144 kvadratnih palcev (1Q' = 144Q"). V Avstriji se 1600Q U velika ploha imenuje en oral (joh). Ena milja je 4000 sežnjev dolga, ena kvadratna milja ima toraj 4000krat 4000 r= 16 miljonov kvadratnih sežnjev ali 10,000 oralov. Stopinja (grad) se imenuje 360ti del kroga. Tako razdeljen si moremo misliti vsak krog, naj je velik ali majhen. Naša zemlja ima v obsegu 5400 milj, tedaj je ena zemljepisna stopinja = 15 milj dolga. Ker je vsak kčt toliki del cele ravnine, ležeče okrog njegovega vrha, koliki del celega kroga je tisti krožni lok (Bogen), ki leži med 8 krakoma (rimama) tega kita, zato se koti merijo s krožnimi sto¬ pinjami, n. pr. kot m v pod. 2. je četrti del cele ravnine, ležeče okrog pike o; da je tudi lok AB četrti del celega kroga, to spre¬ vidi vsak lahko. Zato se reče: kot m je 3 j° — 90 stopinj velik. Stopinja se deli na 60 minut, minuta na 60 sekund, kar se ta- ko-le napiše: 1" = 60'; 1' = 60", Mera s koraki. Če se človek le nekoliko vadi, nauči se lahko, da stori 5 korakov na 2 sežnja, tedaj 25 korakov na 10 sežnjev, t. j. na lanec (verigo, ketino). Merstveni lanec je nam¬ reč 10 sežnjev dolg. Se ve, da merenje s koraki ni nikdar prav natanko, ali vendar je mnogokrat koristno, kedar se ne tirja po¬ sebna natančnost. Mera z očesi. To je tista zmožnost, da se le s pazljivim gledanjem in prečenji vanje m presodi daljava stvari tako natanko, kakor to treba za kakov poseben namen. Preden se oko na to nauči, treba mnogo je vaditi, t. j. treba posamezne daljave najpoprej na pogled ceniti, potem pa res izmeriti, da se tako prepričamo, koliko nas je oko zmotilo glede daljave. Črtarska ali risarska mera. Pri črtanji se poslužujemo pomanjšanega merila. Kako je to narejeno, to moramo tu vzeti, da je dovolj znano. Najbolj se rabijo des e tinska poprečna merila (Transversal-Decimal-Skala). Navadno se pomanjša v merstvu merilo tako, da se stavi en palec na papirji enak 10 sežnjem na polji, ali pa 1 palec na papirji enak 20 sežnjem na polji, ali pa tudi en palec na papirji enak 40 sežnjem na polji. Po poslednjem razmera dela črteže avstrijski kataster. Vsako poprečno merilo mora biti tako narejeno, da se saj še pol sežnja zarnore s šestilom (cirkeljnom) iz njega odvzeti. Pod. 2. B 9 O merskih orodjih in pripravah. Vsa orodja, s kterim mereč dela, morajo biti namenu primerna, in tako dobro delana, da je z njihovo pomočjo storjeno delo, kolikor mogoče, popolno in natanko. Vse priprave morajo biti dovolj trdne, trpežne in lahke, ne podvržene preveč premenbam vremena; ker samo s takimi pripravami more mereč svoje delo vselej gotovo in brez prevelikega tratenja časa narediti. poa. 3. Znamenja, s kterimi se zaznamovajo točke in navpične črte na polju in v gozdu, so sledeča: 1. Merski drog. On je, kakor kaže podoba 3., dva do treh sežnjev dolg, in nosi v vrhu deske, navzkriž postavljene, na ktere se napiše ali število ali pa črka. Tak drog se vtakne v štirivoglasto cev, kijenavpikv tla zakopana, tako da je mogoče, drog izdreti, in da se more mereč z mersko mizo ali s kterim dragim orodjem postaviti na to mesto. Ti drogovi služijo za zaznamovanje najimenitnejših mest pri mapovanji z mersko mizo. Na nje se oslanja vse delo. Mnogokrat se izberč tudi na pripravnih krajih in na ktera se potem spet priveže tak drog, noseč snop v apno namočene slame. Drog se priveže k deblu saj l'/ 2 sežnja na dolgo, da se ne maja na vetra. Ni potrebno opomniti, da se na tako zazna¬ movano mesto ne more mereč postaviti s svojo mizo, ampak da so le za prigled (za kontrolo.) 2. Mersko bandero (zastava). Ono je pribito na 6' do 9' dolgo ranto. Ranta je čevelj do čevlja vsaksebi premenjema namdzana z belo in z rdečo farbo, ker se te dve farbi na polji proti solncu in od solnca gledajčč najbolje in najložej zapazite, tako da se s takimi ršntami tudi, če ne nosijo banderjev, dajo meriti manje daljave. Rante so spodaj z železno špico oko¬ vane. Bandero je iz ravno tistih razlogov tudi rdeče-belo, 30"—36" dolgo in 24" do 30" široko 3. Merski količki. Tak količek je na¬ vadno iztesan iz skodle (šintelj) tako, kakor kaže 2 10 Pod. 5. podoba 5. Ti količki se zabijejo v tla na tistih mestih, kjer meje med posameznimi kosovi zemljišča spreme¬ niš svojo mer, in na vse zavčje mejd. Navadno se jih po 50 nabere na eno vrvco. m Ravna črta v naturi (prirodi) je glede svoje mčri (Richtung) znana, če ste znani dve njeni točki (piki). Če se n. pr. točka A in točka B (pod. 6.) z dvema banderjema zaznamovate, je s tem vsa mer črte xy znana. jy če hočemo določiti več tčček (pik) te črte, se postavi me¬ reč zad enega banderja B , pa gleda z desnim očesom na ! a desni strani banderja B proti desni strani banderja A, tako namreč, da ranta banderja B popolnoma pokriva ranto banderja A. Zdaj stopi poslani pomočnik C s svojim banderjem po priliki na tisto mesto, kjer hoče 0 6 q mereč določiti točko v AB, n. pr. v o ; mereč pa maha ali z roko, ali pa, če je daljava prevelika, z ruto ali s kakšnim banderjem pomočniku C tako dolgo ali na desno ali na levo, dokler mu ranta ne pride ravno v mer AB, g t. j. dokler ranta pri C ne pokriva natanko tudi po dol- goma rante v A, tako namreč, da se od nje kar nič ne vidi mimo rante pri C. — Da se to doseže, morajo rante navpično postavljene biti, in pomočnik mora svojo ranto le med dvema prstoma visečo s stegnjeno roko držati. x Na ta način se more določiti kolikor hočemo mnogo tčček, ležečih v kosu od A do B in tudi takih, ki leže zunaj kosa AB ali od A do y , ali pa od B do x, edino pod to pogodbo, da se od A do B mora viditi, t. j. da so tla med A in B prazna. To delo se imenuje vmerivauje (einvisiren). Ravne črte na polji se merijo ali neposredno ali posredno. Neposredno takrat, kader v črti ni nikoršnih zaprek; posredno pa, če stoje na črti kake zapreke, kakor n. pr. poslopja, rib¬ niki, močvirja, žita, ali če se ne more priti do ene ali do nobene tistih dveh tčček (pik), kterih daljavo eno od druge hočemo meriti. 1. Neposredno merenje ravnih črt na polji, a) Z lancem (s ketino). Merski lanec je vselej 10 sežnjev dolg. On je sostavljen iz 120 jeklenih dratov, kterih ima vsak na vsakem koncu rinčico (klep), v ktero je vklepdn sledeči drat s svojo rinčico. Tedaj pride na vsak Pod. n seženj 12 dratov. Vsak drat je tedaj 6 palcev dolg. Od sežnja do sežnja je rinčica (klep) veča in me- singasta; v sredi vsacega sežnja je pa večji železni ali jekleni klep, da se bolje razloči. V sredi lanca, tedaj pri petem sežnji se more za- volj boljega razločka privezati ru- deč trak. Pri vsacem lancu mo¬ rate biti tudi dve, 3 čevlje dolgi in spodej z železno špico okovani palici E (pod 7.), na kteri se na¬ takneta prvi in zadnji lančev klep. Razun teh dveh palic mora biti pri vsakem lancu pri rokah še 10 že¬ leznih klincev, vsak z rinčico, s ktero so nabrani na železni rčč, kedar se lanec ne rabi (kakor kaže pod. 7. pri K). Pri merenji z lancem morata biti vselej dva pomočnika in to sprednji in zadnji. Meri se pa z lancem tako-le: Če hočemo črto AB (pod. 7.), ki je zaznamovana z banderoma v A in v B, izmeriti z lancem, od A začenši, postavi se zadnji po¬ močnik v M s palico in s tistim praznim ročem, na kteri je bil la¬ nec nabran; sprednji pomočnik pa gre s svojo palico proti B , in zadnji pomočnik pri A ga zdaj v- meriva v črto AB, tako, kakor je že bilo povedano. Sprednji po¬ močnik napne zdaj lanec natanko in močno, ter zabode prvi klinec v C. — S tem je tedaj prvih deset sežujev izmerjenih. — Zdaj vleče sprednji pomočnik lanec tako dolgo naprej, dokler ne pride zadnji na njegovo poprejšnje mesto C, spred- 12 nji pa do D. Zdaj umeriva zadnji sprednjega spet na bandero B; sprednji zabode svoj drugi klinec v D, zadnji pa izdere klinec v C in ga nabere na svoj prazen rčč. — S tem je drugih deset sežnjev izmerjenih. — To ravnanje se ponavlja tako dolgo, dokler ima spred¬ nji še kaj klincev, dokler ni vseh 10 zabil, t. j. dokler ni 100 sež¬ njev izmerjenih. Zdaj ima zadnji vseh deset klincev, sprednji pa prazen r6č; zato se zdaj menjata z roči, in merita spet dalje, kakor sta poprej. Pri merenji tedaj ni treba sezuje ali lance šteti, ampak gleda se samo, koliko klincev ima zadnji pomočnik. Koliko jih ima, toliko lancev je izmerjenih. Zato se govori v merstvu: „Ta črta je 6 lancev dolga,“ t. j. 60 sežnjev; ali pa: „ta črta je 8 lancev in 6 sežnjev dolga 11 , t. j. 86 sežnjev. Da se ne meri krivo, se mora prav pazljivo ravnati. Na ravnih tleh bo pogreška naj manja, ali vendar vselej saj tisoči del cele dal¬ jave velika. Reče se: Varnost merjenja z lancemje io ~. Na neravnih in razritih tleh se mora lanec dobro napeti, da kar nič ne visi, ampak da je ves vodoraven. b) S seženjskimi palicami. Te palice so navadno po dva sežnja dolge, in v nje so zarezani čevlji, palci in polpalci. Z njimi se meri tako-le: Najpoprej se napne konopec (vrv, štrik) nad tisto črto, ktere dolgost hočemo izmeriti; po tem se pokladajo na ko¬ nopec po vrsti Pod. 8. 5 ■ , sezenjske palice in se njih šte¬ vilo sošteje. S takimi palicami se meri bolj na¬ tanko kakor z lancem. Se vč da se tako za- more meriti le na vodoravnih tleh; v bregu se pa morajo palice s pomočjo svin¬ čnice (kalamere, plajbe) vodoravno pokladati, kakor to kaže pod. 8. Zato treba še ene palice (1), ki se mora navpik v zemljo zasajati. c) Z merskim konopcem ali z vrvjč. Ta vrv je 20 u do 25° dolga in na sežnje, Čevlje in palce razdeljena. Natančnost ni ve- 1M,'ker so vrvi preveč podvržene zračnim premembam (v vlagi se skrajbj, hli za merenje višin, kakor stolpov, hiš, itd. so prav pripravne. 13 d) Shodomerom. Hodomer je ura, ki zaznamuje storjene korake (stopinje). e) S korakom, kakor je bilo že razloženo. Z zvokom (zvek, Schall). Znano je, da zvčk prehodi v eni sekundi 1050 čevljev. To je namreč tako: Če izstrelim v ta hip puško, bo slišal pok čez eno sekundo tisti, ki stoji od mene proč 1050 čevljev daleč. Čas, ki preteče med bliskom in med gromom, ki se za njim sliši, pomnožen s 1050 daje daljdvo hudournega oblaka, iz kterega je blisek švignil, od mene opazovalca. Kavno tako dobimo pri topovih (kanonih) d&ljo topa od našega stališča v čevljih, če šte¬ jemo sekunde, ki pretekč med plamenom in med grmenjem, in če je pomnožimo s 1050. — Plajba (svinčnica, kalamer). Ona je lesen jednako- krak trikot, ima v svojem vrhu pribito vrvco, nosečo svinčeno krogljo. V ta trikot je od vrha do sredine pčdnice (osnovice, basis) v dolben ozek žleb, v kteri žleb pade vrvca s krogljo, če se trikot postavi na vodoravno podlogo. Navadno je na loku de (pod. 9.) tudi brati nekoliko stopinj, da se more izmeriti kot priklonbe, ki ga ima pod¬ loga proti obzorji (horizontu); kot abc je namreč enak kotu m, ker stoje kraki teh dveh kotov medsebojno navpik eden na drugem. Libela (vodna vaga). Ta priprava se oslanja na fizikalno postavo (zakon), da hoče izmed dveh tekočin, v kakovi prostor zaprtih, vedno tista, ki je laglja, naj više mesto zavzeti. Če zapremo tedaj vodo in navadni zrak v kakovo cev, bo zrak vselej na najvišem me¬ stu zato, ker je mnogo laglji od vode. Če tedaj napolnimo le neko¬ liko malo zakrivljeno stekleno cev z vodo toliko, da ostane še malo Pod. 9. — y 14 prostora za zrak in jo potem tako dobro zamašimo, da ne more voda iz nje teči, bomo videli potem zrak v podobi mehurja vselej na tistem mestu cevi, ki je naj viši, naj cev obračamo in vrtimo, kakor hoče¬ mo. V podobi 10. je to leva stran. Če hočemo, da bo podloga M vodoravna, jo moramo na levi strani tako dolgo zniževati, dokler ne pride mehur ravno v sredino s cevi. Steklena cev pride v mesin- Pod. 10. gasto lučico ab; CC so jej podpore. Vporaba tega orodja je že o- menjena. — Če je zračni mehur ravno v sredi cevi, se reče: mehur sedi. Če je mehur zavolj premikanja podloge M odskočil iz sredine, mora priti spet nazaj v sredino, če se libela postavi spet na vodoravno podlago; sicer ni libela za nič. Dobrota libele je odvisna od čutlji- vosti mehurja, in ta spet od gladko brušene cevi od znotrej. Z i r a 1 o (d i o p t e r). On je sostavljen iz dobro in natanko delanega mesingastega (mednega) ravnala ab (pod. 11.), in iz dveh nastavkov ac in bd, kterih se vsak dk ■~ T?\ 71' ri Kako se kot razpolovi s pomočjo busole, razvidno je samo od sebe iz povedanih lastnosti igle magnetnice. 3. Pravi kot obtakniti. Ako se ima v piki C ravne črte AB (pod. 19.) obtakniti pravi kot, naredi se CD = 6° in CE = 6°, in iz D in iz E se za¬ črtana s celim lancem loka mn in po v zemljo, ter se tam, kjer se ta dva loka križata, t. j. v F, postavi bandero. Črta CF dela zdaj s črto AB dva prava kota, namreč kot ACF — kotu BCF — 90°, ker stoji CF nav¬ pično na AB, kakor to uči te¬ oretično merstvo. Ravno ta naloga se dd tudi rešiti (pod. 20.) tako-le: Od A do B nameri se 3°; zdaj se de¬ ne začetek lanca v bandero v A, deveti lančevi seženj pa v bandero B, po tem se prime lanec pri četvrtem sežnji, ter se tako napne, da je AC = 4°, in BC = 5°. Zdaj stoji AC navpično na AD, kar se tako-le napiše: AC J_ AD. Pjthagorovi po- uček namreč uči, da je v pra¬ vokotnem trikotu AB. AB + AC. AC = BC. BC, in res je 3. 3 + 4. 4 ~ 5. 5 = 25. Kot BAC je tedaj pravi kot, ki ima 90° stopinj. Lahko je zdaj, da se ravno ta naloga reši s po¬ močjo pravokotnega križa, ali pa s pomočjo kotomerne busole. , 4. Obtakniti kot od 60°. To ni treba druzega, kakor z lancem zarezati v zemljo enakostrani trikot, ker je znana ta last¬ nost enakostranega trikota, da je vsak njegovi kot 60 stopinj velik. 5. Obtakniti kot od 45°. Kaj poprej se obtakne pravi kot, pa se za tem 011 razpolovi, (naloga 2.) 6. Ravno tako lahko je kterikoli kot na polji načrkati. 7. K znani črti AB preko zunaj nje ležeče pike C potegniti vzporednico (paralelle). a) Če se do te pike C zamore priti. (Pod. 21.) — V 23 tem slučaji se išče s pravokotnim križem najpoprej v črti AB tista pika D, v kterej reže iz C na AB navpično spuščena črta črto AB. Pod. 21. Ta se pa dobi ta- ko-le: Pravokotni križ se postavi v črti AB B tako, da meri ena nje¬ gova rama (krak) v mdr AB, ter se tako dolgo sem ter tje premika, dokler ne zadene druga E njegova rama ob piko C. Če se to dogodi takrat, ko je stojdlo križa zasajeno v D, je D petišče (podnožje, Fusspunkt) te navpič¬ nice. Tukaj se postavi bandero. Zdaj se gre s križem v C, in se križ tako naravna, da kaže ena njegova rama proti D; na desno in na levo poslana dva pomočnika E in F se pa vmerivata, da prideta oba v mer druge križeve rame. Ko se je to dogodilo, je črta EF vzporedna s črto AB. Dokaz temu nas uči teoretično merstvo. b) Ako se do pike C ne more priti. Tudi tu se s po¬ močjo pravokotnega križa ustanovi navpičnica DE na AB , v piki D po volji izbrani. Pod. 22. ,, , J Potem se pre¬ nese križ proti E, pa se išče pika, v kteri reže iz C na DE spuščena navpičnica to DE. Naj bo ta pika F; zdaj je CF vzpored¬ na z AB, in naloga je re¬ šena. 8. Navpičnice postavljati. Ta naloga se more rešiti s pomočjo lanca, ali pa še bolj pripravno s pomočjo pravokotnega križa. S pomočjo lanca se reši ta naloga ravno tako, kakor se obtakne pravi kot, ker tam, kjer je pravi kot, stoje črti navpično ena na drugi. 24 .8 Tukaj tedaj ni nič, da bi se dodalo, ampak obračamo pazljivost le na nalogo 2. in B. S pomočjo pravokotnega križa se pa reši ta naloga tako-le: Če se v piki C (pod. 23.) ravne črte AB ima nanjo postaviti navpičnica, zasadi se v to pi- T>nd 9.R A ko C stojalo pra¬ vokotnega križa, pa se potlej križ tako n&nj položi, da pride ena ra¬ ma križeva v mer AB, tako namreč, da klinčka na tej križevi rami po¬ krivata bandero v A in v B. Zdaj se pošlje pomočnik D na polje s kolčem, ter se s pomočjo tistih dveh klinčkov na drugi rami umeriva njegov kolec ali bandero D v mer drugega kraka pravokotnega križa. Ko se je to dogodilo, stoji CD navpično na AB, in naloga je rešena, 9. Navpičnice spuščati. Če imamo črto AB in zunaj nje ležečo piko C, in če je naloga ta, da se spusti od te pike nav¬ pična črta na AB (pod. 24.), vrti se ta naloga samo okoli tega, da najdemo tisto piko, v kterej ta navpičnica reže črto AB, t. j. da najdemo petišče (pod- x nožje) te navpičnice. — V ta namču se postavi križ v črti AB tj e, kjer sodimo, da mora biti petišče navpičnice; naj bo ta s prostimi očmi izbrana pika D. Tukaj se vidi, da glednik xy ne zadene ob piko C; zato je treba križ tako dolgo premikati na črti AB na levo stran, do¬ kler glednik xy ne zadene ravno v bandero C, ter je potlej F (mesto, kjer je križevo stojalo v tla zasajeno) tista pika, v kteri reže iz C spuščena navpičnica črto AB, in naloga je rešena. — Posredno merenje ravnih črt. To se dela takrat, kadar so, kakor je že bilo rečeno, v črti kakovi zadržki, ali pa, kadar se T -.B 25 ne more priti do ene, ali pa do obeh pik, tako da se z lancem ne more meriti. 10. Naj bo v sredi med A in med B močvirje, grmovje, itd. (pod. 25.). Tukaj se izbere po volji tretja pika C, iz ktere se zamore Pod. 25. proti A in proti B meriti. Črte AC in BC se merijo; potem se po¬ daljša AC prek C do x, BC pa prek C do y. Zdaj se od C do E nameri dolgost AC, .in ravno tako od C do D dolgost BC, tako da je AC = CE, in BC = CD. Če se zdaj z lancem meri DE, je s tem dobljena dolgost črta AB, ker je trikot ABC skladen (con- gruent) s trikotom CDE (kakor uči teoretično merstvo), tedaj DE = AB. Naloga je tedaj rešena. 11. Naloga 10. se dd rešiti tudi na sledeči način: Izmeri se BC, ter se kterikoli del od BC, B postavim: tretjina, namesti od C do D. Potem se izmeri tudi AC, pa se ravno toliki del (tu¬ kaj tretjina) namesti od C do E. Zdaj je DE ravno toliki del od AB, koliki del je CD od BC, in CE od AC, namreč tu¬ kaj tretjina, kakor to uči teo¬ retično merstvo. Črta BC se ima namreč proti črti CD ravno tako, kakor črta AC proti CE, in ka¬ kor črta AB proti DE. 12. Naloga 10. se d& na¬ dalje rešiti tudi na sledeči način: V A in v B se naredi pravi kot, in navpičnice AC in BD se nare¬ dite enako dolgi, postavim: 40°, tako da je AC ~ BD. Zdaj je 4 Pod. 26. I I I | •j D C • Pod. 30. 26 jasno, da je tudi CD — AB. Treba tedaj le CD meriti, ker je AC vzporedna z D D in CD vzporedna z AB; vzporednice med vzpored¬ nicami so pa enake. Pod. 29. ki del je Pod - 28 - 18. Še eno rešitbo 10. na¬ loge imamo: V A se naredi pravi kot (pod. 28.) Če se zdaj črti AC in j EC merite, imamo po Pytha- gorovem poiičku AB' 1 = BC 2 — JU\ tedaj AB = \ r BC' 2 --AČ\ iz ktere enačbe se AB lahko iz¬ računa, ker smo AC in BC izme¬ rili. 14. Ako se do ene pike ne more priti (pod. 29.). Naj- poprej se izberete piki C in D. Zdaj se meri CA, in se prenese kterikoli del od nje, postavim dve tretjini od A do E; potem se me¬ ri CD, in se tudi toliki del (tukaj dve tretjini) prenese od D do F. B — Zdaj se ustanovi pika G s tem, da stopi en pomočnik k C in da se umeriva na B, drugi pomočnik pa gre k E in se umeriva prek F; — kratko rečeno, dela se o tem, da se najde križanje črte EG s črto BC. Ko je pika G najdena, je EG ravno toliki del od AB, koli- od AC, ali DF od DC (v našem primeru tedaj dve tretjini). Razloge da¬ je teoretično merstvo. — Meri se tedaj EG, pa se vzame v našem primeru za eno tret¬ jino veča, in naloga je rešena. 15. Naloga 14. se more rešiti tudi tako-le: V B (pod. 30.) se naredi pravi kot; ravno tako v 27 povoljni piki D črte BC. Zdaj se določi ali ustanovi pika E od C in od D umerjajoč. Zdaj so si trikoti ABC in CDE podobni, tedaj AB-.ED — BC-.CD, iz česa se dobi: AH — ED ( ^ ) BC . Kakor se vidi, treba samo črte ED, BC, DC meriti, prve dve med sabo po¬ množiti in s tretjo razdeliti, da so dobi AB. 16. Ake se do nobene izmed danih dveh pik ne more priti, pa se vender saj v sredi med njima gibati more. Za- Pod. 31. D sadi se kol v C, od koder se vidi v A in v B. Zdaj se zasadi kol v D , od koder se vidi v A, v B in v C. Potem se ustanovi s po¬ stavljenimi koli še pika E v AC in pika F v BC. Črte ED, CD in FD se zdaj merijo, in na vsako izmed njih se nameri od D njeni kterikoli del, postavim, njena četvrtina. Naj bo D G četvrtina od CD, ID četvrtina od ED, DII četvrtina od D F. Zdaj se išče z vkupnim umerjanjem iz G preko II, in iz D na B križališče črte BI) in GK, namreč pika K. Ravno tako tudi na drugo stran pika L. Če se zdaj meri črta LK, je ona ravno toliki del od AB, koliki del je DG od CD, v našem primeru tedaj četvrtina. Dokaz uči teoretično mčrstvo. 17. Naloga 16. se d& tudi takole rešiti: Ustanovi se kjekoli 28 p« 4 - s*. v črti AB pika C; tukaj se po¬ stavi navpičnica na AB; v tej nav¬ pičnici CD se iz¬ bere po volji pika F, pa se zatakne črta, preko te pi¬ ke F vzporedno proti AB idoča; zdaj se iz pike D, ki smo jo po volji v CD dalje od F izbrali, umerja proti B in tudi iz F ' da se najde križališče črte BD s črto EG; ravno tako tudi na drugo stran, da se najde križališče te vzporednice EG s črto AD. Zdaj je trikot ABD podoben trikotu DEG. V podobnih trikotih so pa podnice razmerne z višinami, tedaj: AB-.EG ~ CD: D F, tedaj AB = EG-CD DF To se pravi: Treba samo meriti navpičnico CD, vzporednico EG, in kos DF navpičnice, ter prvi dve med sabo pomnožiti in s tretjo razdeliti, da se dobi iskana AB. Naloga je tedaj rešena. Pod. 33. I 29 18. Tretja rešitba 14. naloge: V B (pod. 33.) se nastavi pravi kot, pa se meri BC, Kterikoli del, postavim četvrti del se od BC prenese dalje v tej črti od C do D. VB nastavi se pravi kot na BD. Zdaj se umerja iz C proti A in proti črti Bx, da se najde pika E, v kteri križa AE črto Bx. Zdaj je DE ravno toliki del od AB, koliki del je BC od BC, (v našem primeri četvrti), kakor uči teo¬ retično merstvo. O mapovanji manjših zemljišč. Če se ima mapovati manje kako zemljišče, kakor: polje, trav¬ nik, vinograd, vrt, pašnik, grmovje, itd. se more to dogotoviti s prav majhnimi pripomočki in to z lancem edinim. pod M 1. Če treba n. pr. trivoglasto polje mapo¬ vati, merijo se z lancem vse njegove tri strani, in dogotovljena je že stvar. Kakor namreč teoretično merstvo uči, zamoremo iz teh treh strani doma se¬ staviti podobo tega polja in izračunati njegovo po¬ vršino; in sicer tako-le: Potegne se po volji ravna črta ax (pod. 34.), pa se nanjo prenese na polju izmerjena dolgost AB v pomanjšanem merilu, n. pr. do b. Zdaj se vzame od pomanj¬ šanega merila dolgost AC v šestilo; šestilo se postavi v a , ter se na¬ črta lok. Potem se vzame po pomanjšanem merilu BC v šestilo; eden krak šestila se postavi v h, z drugim njegovim krakom se pa pre¬ križa prejšnji lok v piki c. Kakor uči teoretično merstvo, je zdaj trikot ah c podoben trikotu ABC, t. j.: on je podoba trikota ABC. Če smo bili vzeli pomanjšano merilo 1" enako 40°, kakor se to jemlje pri katastru, imamo: AC:ac = AB:ab = BC:bc = 2880" :1". Površina trikota se izračuna iz njegovih treh strani po formuli: P==y i }T(lB+BČ+AC)(-AB+BC+AC)(AB-BC-\-AC)(ABA-BC-AC) Če se išče le površina trivoglastega polja, je dovolj, da se meri le črta AB kakor podnica (osnovnica) trikotova, ter da se s pomočjo 30 pravokotnega križa spusti iz C navpičnica na AB, in da se ta višina CD (pod. 34.) tudi meri. Kakor uči teoretično merstvo, treba zdaj ie podnico AB pomnožiti z višino CZ), in dobljeni pomnožek razdeliti z dva, da se dobi površina trikotova. Ali največkrat to ni mogoče, ker so tla ali zaraščena, ali po¬ sejana, tako da se višina ne d4 meriti z lancem po sredi polj d. Mo¬ goče je tudi, da je vinograd ali grmovje v sredi, da se tedaj še ne vidi ne od AB do C, kamo-li, da bi mogli meriti višino. V takih primerljejih se računa površina trikotova po gornji formuli za P. 2. Če se mora mčriti večoglasto polje ABCDEFG (pod. 35.), se merijo vse poprečnice, potegnjene od enega ogla A do drugih og- Pod. 35. kotnika, namreč črte AB, BC, CD, ED, EF, FG in GA. Zdaj se zamore podoba tega polja s pomočjo pomanjšanega merila načrtati na papir, ravno tako kakor trikot, ker je vsak mnogokotnik (poligon) sostavljen iz samih trikotov, kakor se vidi v podobi 35. Pod. 36. 3. Drugi način je ta, da se meri ena stran, n. pr. AB, ker je najdaljša, kakor podnica, in tudi vse pred¬ nice, (pod. 36.), ki gredč od A in od B proti drugim oglom, 31 namreč: Črte AE, AD, AC, in BIJ, BE, BF. S tem je tudi mogoče, da se načrtajo doma vsi koti A, B, C, D , E, F , in potegnejo s po¬ močjo pomanjšanega merila vse strani tega višekotnika, s čem se do¬ bi pomanjšana podoba tega večoglastega polja. Čeravno je to za¬ mudno delo, se mu vendar mernik ne more vselej izogniti, ker nema vselej pri roki kako kotomerno pripravo, kakoršna je n. pr. kotomer- na busčla. 4. Če imamo kotomerno busčlo pri sebi, se izbere najdalja in najbolj pripravna stran za podnico, ter se ona edina meri (pod. 37.). Potem se postavi busčla v piko A, in se merijo vsi koti 1., 2., 3., 4. Pod. 37. Zdaj se postavi busčla na B, in se tudi tam inč rij o vsi koti a, b, c, d. Doma se načrta po pomanjšanem merilu najpoprej podnica AB, po¬ tem pa po vrsti vsi z busolo merjeni koti. Podaljšane skupej spa¬ dajoče prečnice, kakor postavim AD in BD, dadč v križališčih (pre- križjih) po redu vse kote, kterih vrhovi se le med sabo zvežejo z ravnimi črtami, da se dobi na papirji podoba mnogokotuega polja. 5. Drugi način je ta-le: Izbere se za podnico spet najdaljša in najpriložuije ležeča stran AB (pod. 38.), t. j. taka, od ktere se vse druge pike lahko morejo Pod. 38. 32 videti. Iz pike A se merijo vse črte, ki drže od nje proti vrhom drugih kotov, namreč: AF, AE, AD , AC in AB; iz pike B se pa merijo vsi koti 1 , 2, 3, 4, iz česar se tudi dil sostaviti na papirji ta mnogokotnik v pomanjšani meri. -— No, ali ta peslednja rešitev tirja, da se iz pike B vse druge pike A, C , D, E m F vidijo, in da se v polji more meriti z Jancem, kar pa ni vselej mogoče, kakor je bilo že povedano. — Predzadnja rešitev (pod. 37.) pa tirja, da se od A in od B vidijo vse druge pike C ., D , E, F, kar tudi ni vselej mogoče. 6. Če to ni mogoče, vodi k cilju edini obodni način. Ta obstoji v tem, da se z lancem merijo po redu (pod. 39.) vse strani Pod. 39. AB , BC, CD , DE, . . . ., z husčlo pa po redu vsi koti A, B, C, D, E, . V ta namen se postavlja busčla po redu na pike A, B, C, D, E, .Mereč mora, ko pride domu, sostaviti podobo. Naj- poprej prenese na po volji izbrano črto dolgost AB po pomanjšanem merilu od a do b. V piki b načrta kot, kterega je na polji pri B izmeril, ter dobi s tem krak (ramo) bx, na ta krak prenese on po po¬ manjšanem merilu črto BC od b do c. V c načrta kot C, ter dobi krak cy; na ta prenese spet črto CD po pomanjšanem merilu od c do d; v d načrta spet kot, ki ga je izmeril na polji pri D , potem spet stran, kot, stran, kot, itd., dokler se podoba ne zapre v začetni piki a. — Delati se mora to prav pazljivo, ker se sicer lahko dogodi, 33 da se podoba ne zapira. — Če je mogoče, da se ena ali več kon¬ trolnih črt, kakoršna je AG, vstanovi z busolo in z lancem, je to prav koristno pri sostavljanji podobe. 7. Drugi način mapovanja je z nareznicami (abscisse) in z rod¬ nicami (ordinate), podobno, kakor se išče v merstvu površina mno- gokotnikova. To je prav zamudni način, in se priporoča le pri prav zakrivljenih mejah, kakor pri ribnikih in pri po¬ tokih. Najpoprej se določi lega in dolgost nareznic (abscis) AB, BC, CD, DE, EF, . . . .; potem se n&nje spuščajo od me¬ jil navpičnice (ordinate) tam, kjer je po¬ trebno, ter se merijo z lancem. Če se doma načrtajo po pomanjšanem merilu napoprej podnice (nareznice, abscise) AB, BC, . . ., potem pa navpičnice (rednice), in konci vseli navpičnic med sabo zve¬ žejo s črto, se dobi podoba ribnika ali potoka. 5 34 Opomba: Obodni način se z busolo zamore tudi tako izpeljati, da se busola postavlja le na vsako drugo piko A, C, E, . . . O merski mizi. Najpopolnije je mapovanje z mersko mizo, ker pri vseh dozdaj znanih načinih mapovanja mora mereč še le doma sostaviti podobo polja; z mizo se pa dobi koj na polji cela podoba, kar je iz mnogih razlogov vredno, da se želi. Merska miza obstoji iz dobro pooblane deske, ktera se d& okrog svojega središča okoli na okoli vrteti s pomočjo srednjega vij li¬ ka (šrauf) in treh stavnih vijakov. To vrtenje se imenuje veče vrtenje v razloček od manj ega vrtenja, ki se godi s pomočjo drobnomernega vijaka (Mikrometerschraube), ki ni nič druzega, ka¬ kor vijak brez konca. Razim tega se dii ta deska tudi pomak¬ niti v dve druga na drugo navpični meri, za kar služi tako imeno¬ vani pomak (Verschiebung auf zwei auf einander senkrechte Rich- tungen). — Ta pomak je narejen iz križa, ki se dd ravno pod desko na-njo na dve letvici naviti (našraufati). — Cela priprava stoji na trinožnem stojalu, skterim je ona s po¬ močjo srednjega vijaka združena v središči. — Če se hoče delati, se mora deska odzgorej olepiti s popirjem. Vzame se od dveh jajc beljak, pa se tepe s šibicami tako dolgo, da postane snegu podoben; s tem se namaže vsa ena plat papirja, ter se na desko prilepi. Vsako drugačno prilepljenje, n. pr. z gumo samo na krajih, ne veljd, ker se pri najmanji vlagi ali vročini papir zbunči. ■— Vsaka merska miza ima dve deski. Nadalje spada še k vsaki mizi: 1. Libela, da se zamore z njeno pomočjo naravnati miza vo¬ doravno. 2. Ziralo (diopter), kakoršno je bilo popisano. Na ravnilo (linir) je odzdolej podolgoma z gumo prilepljena razcepljena slama, da se ravnilo preveč ne drgne ob papir. 3. Lanec z 10 klinci. 4. Vstavljačice. 5. Lesena tablica, 12" dolga in 8" široka, za načrt pri obti- kanji. 6. Kalamer (svinčnica, plajba), s ktero se pika (točka) na polji postavi pod primerno piko na deski, in narobe (pod. 41. d.) 7. Dva roga. Pod. 41. 35 8. Suknena ali usnjata prevleka za 9. Dnevnik, lopatasto prirezan svinč¬ nik, šestilo (cirkelj), gumilastika. 10. Platneni senčnik (Sonneuschirm). 11. Busola (igla magnetnica) in 12. Seženjska palica. Prva naloga merčeva je, da zna mizo na polji dobro postaviti (orientirati). — Če se ima tedaj miza postaviti v točki (piki) A na polji (pod. 42.) in ako je črta ah, ki je na mizi potegnjena, primerna črti AB na polji; če je tedaj pika a primčrna piki A, in pika h piki B, se ravnd tako-le: Pod. 42. Miza m no p se postavi s svojim trinožnim stojalom nad piko A lia polji tako, da pride pika a ravno nad A in da meri črta ah naravnost proti B. Ali leži a ravno nad A, to nam kaže kalamer (plajba, svinčnica); ta kalamerica se položi z ramo a‘ V (pod. 41.) na mizo tako, da pride pika a' na piko a; če se zdaj tista pri c' z nitjo privezana svinčena kro- gljica d dotika ravno pike A na tleh, leži, se ve da, pika a ravno nad piko A. Če se kroglja d ne dotika pike A, se mora miza tako dolgo sem ter tje pomikati, dokler se to dogodi. To rav¬ nanje se imenuje centriranje. Če s primikanjem mize ni mogoče centri¬ ranje doseči, se mora stojalo premakniti. — Da se pa črta ah spravi v mer AB, se mora srednji vijak odpustiti, in z vrtenjem deske naravnati ah v mer proti B, kolikor mogoče, natanko. Ali mogoče je, da seje s tem podrlo centriranje; zato je treba zdaj s pomočjo kalamerice in pomaka spet 36 centrirati. Kader je to v redu, morajo se stojdlove noge dobro v tla zasaditi, in deska z libelo vodoravno naravnati. V ta namen se po¬ loži libela na desko ravno nad dva stavna vijaka, ter se ta dva vi¬ jaka tako dolgo vrtita, in to, obadva notri, ali pa obadva ven, dokler se mehurček ne vsede v sredo cevi. Potem se položi libela na tretji stavni vijak (navpično na poprejšno lego), in ta se vrti, dokler ne pride v cevi mehurček v sredo. To ravnanje se ponavlja tako dolgo, dokler mehurček ne ostaja v sredi v obeh legah libele. Paziti je na to, da mora pri tem ravnanji srednji vijak biti nekoliko odpuščen, in da se sme še le, ko je vse to vravnano, popolnoma trdno priviti. S tem trdnim privijanjem se vselej vodoravnost deske nekoliko po¬ dere, kar se mora z libelo popraviti ravno tako, kakor poprej. — Zdaj ne ostaja druzega nič, kakor da se glednik ab prav natanko spravi v mer AB. — V ta namen se položi diopter (ziralo) z robom podolgoma glednika ab, in gleda se skoz očnico na predmetnico proti B, ter se deska z drobnomernim vij&kom tako dolgo vrti proti B, dokler žima v predmetnici popolnoma ne pokriva banderja v B. S tem je, kar je očevidno, glednik ab spravljen ravno nad dotično črto AB na polji, in naloga je rešena. Če je miza s tem ravnanjem do¬ bro postavljena na polju, se reče, da je orientirana, in sicer, da je orientirana po črti AB. — Da se vidi, kako da služi merska miza pri mapovanji zemljišč, hočemo tukaj eno nalogo rešiti. Naj se ima n. pr. sedmokotnik ABCDEFG (pod. 43.) z mer¬ sko mizo mapovati. Naj poprej se mora vsako zemljišče, tedaj tudi to, obiti, ter narediti mali načrt zemljišča na tablico, ki jo sabo no¬ simo, in to tako natanko, kolikor je mogoče s prosto roko in s pro¬ stimi očmi. V tistih mestih, kjer se meja krivi, tukaj tedaj v pikah B, C, D, E, F m G zabijejo se s kijcem v zemljo zgorej omenjeni količki, zaznamovani s tekočimi števili 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, kar se tudi koj zaznamova na načrtu. Zdaj se postavi miza na, po volji izbrano, tako mesto, n. pr. v A, da se vidijo vse točke B,C, D .... Po tem se miza orientira na zgorej popisani način. S pomočjo ka- lamerice se pika A v polji, kjer stoji količek 1., prenese na papir, ter se tam zabode vstavljačica v papir in se z svinčnikom obkroži, kakor se to v podobi 43. vidi. Zdaj se nastavi na to piko diopter (ziralo), ter se vlečejo od nje s svinčnikom gledniki redoma proti vsem količkom 2., 3., 4., 5 ., 6., 7. — Da se temu zadovolji, ostane vstavljačica navpično zabo¬ dena v piki 1. na papirji, da se ziralo laglje zamore okrog nje vrteti, pomočnik pa obhaja z banderjem redoma vse pike 2., 3., 4., 5., 6., 37 7., postavi bandero na vsak količek, in ga tam drži, dokler mereč ne potegne dotični glednik. S tem ravnanjem smo si dobili na pa¬ pirji, prilepljenim na desko, glednike (črte) lb, le, ld, le, lf, lg, ktere smo potegnili s svinčnikom. — Nadalje se zdaj tako-le ravnd: Črta AB na polji se meri zdaj z lancem, ter se najdena njena dolgost v o C3 tako pomanjšani meri, da bo imela cela podoba prostora dovolj na deski, prenese na črto lb do 2, in to s šestilom. Očevidno je zdaj, da je pika 2. na papirji primčrna piki B ali količku 2. na polji. Kavno tako se dela s črtami AC, AD, AE, AF, AG, t. j. merijo se z lancem, in vsaktere dolgost se prenese na dotični glednik po tisti pomanjšani meri, ktere smo se poprijeli bili pri AB; s tem se dobe na papirji pike 3., 4., 5., 6., 7., ki so redoma primerne pikam 38 C, D, E, F, G na polji. Če se zdaj na papirji zveže z ravno črto 2. s 3., 3. s 4., 4. s o., 3. s 6., 6. s 7., je jasno, da je podoba L, 2., 3 ., 4., 5.,6.,7. na papirji podobna podobi ABCDEFG na polji, in nalo¬ ga je rešena; dobili smo namreč mapo tega sedmokotnika. — To opravilo se imenuje: glednike vleči in meriti, ker se vsak potegnjeni glednik z lancem meri, kakor se dovolj jasno vidi iz po¬ pisanega ravnanja. Drugo imenitno opravilo z mizo je: glednike vleči in je križati. Ako je (pod. 44.) miza mn in na njej črta cib , ki je primerna črti AB na polji, more se lahko dobiti na papir pika, ki je primerna kakšni po volji izbrani piki C na polji, in to tako-le: Miza se po¬ stavi najpoprej v A in se orientira na B, ter se po¬ tegne glednik proti C; ta naj je ax. Zdaj se pre¬ ti nese miza v B, ter se tam postavi in na A nazaj ori¬ entira; zdaj se poprej potegnjeni glednik ax križa z glednikom hy, ki se z gledanjem od b proti C dobi. S tem dobljeno prekrižje c je tista pika, ki je primerna piki C v polji, ker je trikot ABC na polji podoben trikotu abc na papirji, kar je lahko prevideti in dokazati. Kakor smo si dobili piko C na papir, tako si moremo tudi sto dru¬ gih pik priskrbeti, če vlečemo le sto glednikov iz A, in jih stokrat križamo iz B. Tukaj tedaj odpade sitno merenje. Tretji imenitni opravek z mersko mizo je: glednik po¬ tegniti in ga od strani križati. Piko C si moramo dobiti na papir tudi tako-le (pod. 45.): Miza se postavi v piko A na polji, ter se orientira na B in potegne glednik proti C. Na¬ mesto da se prenese miza zdaj v B, in od tam potegnjeni gled- Pod. 45. 39 nik križa, kakor v poprejšni nalogi, prenose se mizakoj v C in med potjo se presodi dolgost črte AC, ter se ta dolgost v pomanjšani meri prenese, na glednik ax do d. — Ta pika c' pa gotovo ni pri¬ merna piki C v polji, ker smo jo le po priliki po razsodbi tje po¬ stavili. S to krivo piko d centrira se zdaj miza v C na polji, ter se orientira na CA, t. j. tako vravnd, da pride glednik da ravno nad črto CA na polji ležati. Kar se tiče orientiranja, je miza že orien¬ tirana zdaj, ker je vsakako da vzporedna z CA, in ah vzporedna z AB na polji. Naloga se tedaj vrti le okrog tega, da se najde prava pika c, ki je popolnoma primerna piki C v polji. No, to ni težko. Vstavljačica se dene v b, ziralo nži-njo, ter se ziralo tako dolgo okrog nje vrti, dokler se nam skoz očnico na predmetnico gledajočim po¬ polnoma ne pokrije bandero v B z žimo v predmetnici. Zdaj se po¬ tegne dotični glednik mn, in prekrižje tega glednika s poprej poteg¬ njenim glednikom ax je prava pika c. Zdaj se zabode vstavljačica v c in dela se dalje. To ravnanje pri iskanji pike C ima to za se, da ni treba mize prenašati v B in tam postavljati, ampak da se more koj v C postaviti. Če leže zdaj med A, B, in C razna polja, pota, travniki, grmovje, itd., se more zdaj vse to od C mapovati; treba samo iz A potegnjene vse glednike tukaj v C križati. Pod. 46. i c ‘a Četrti imenitni opravek z mersko mizo je: križati od zadej. Ako imamo tri pike A, B, C v polji, more¬ mo postaviti mizo na kterokoli četvrto piko, izbrano po naši volji, in to ali 1) s prostim križanjem, ali pa 2) s križa¬ njem od strani; ali vsako tako 40 ravnanje tirja, da se miza dvakrat postavi. Sledeča naloga pa uči, kako se zamore miza koj postaviti na dotieno točko (piko) brez okolišanja — samo to, da morajo tukaj biti 3 pike namesto 2. — Postavimo si mizo tje v polje, kjer je potrebno, n. pr. v M (pod. 46) pa jo ori¬ entiramo s prostimi očmi, zabodemo vstavljačico redoma v a, b, c, ter potegnemo dotične glednike, ki se bodo na vsaki način križali, v «, /3, 7 . — S tem se dobi napčen trikot «/?/, kteri se mora zdaj iz¬ trebiti, t. j. uničiti. V ta namen je sledeče presojevanje: Če stoji miza v trikotu ABC, leži prava pika m v napČnem trikotu af!y. Če stoji miza zunaj trikota ABC, leži prava pika m tudi zunaj uapč- nega trikota «/fy, in to: 1) Prava pika m in napčni trikot, oba le¬ žita na ravno tisti strani srednjega glednika c/3, kadar stoji miza zu¬ naj okroga, očrtanega okrog trikota ABC, eni njegovi strani nasproti. 2) V vsakem drugem slučaji pa ležita prava pika m in napčni tri¬ kot na nasprotnih straneh srednjega glednika c/3. Temu presojevanji primerno se miza s pomočjo pomaka malo premakne, ter se to pre- sojevanje spet ponavlja tako dolgo, dokler se ne iztrebi napčni trikot, t. j. dokler se vsi trije gledniki ne križajo v eni in tisti piki. Kader je to, je miza orientirana. Ta naloga se tudi imenuje Po¬ tke noto v problem. Nektere naloge, rešene z mersko mizo. 1 . Če se ima z mersko mizo izmeriti dolgost črte ATI, do ktere se ne more priti, se izbere priložna poduica CD, in se meri z lancem. Zdaj se po- Pod - 47 - stavi miza na C s A B piko c, ter se po¬ tegnejo gledniki CD, CB, CA. Na glednik CD se koj nanese dolgost CD po pomanjšanem merilu, s čem se dobi pika d. Zdaj se postavi miza v D D s piko d in se orientira na C. Vsi iz c potegnjeni gled- 41 niki se bodo zdaj križali z gledniki d A, dB in dC, potegnjenimi iz d, s čem se dobite piki a in b. Črta ab je pa primerna črti AB. Če se tedaj vzame ab v šestilo in pomeri na pomanjšano merilo, se dobi dolgost črte AB. 2. Eavno ta naloga se da tudi rešiti iz enega samega stališča: Izbere se spet (pod. 48.) podnica CD, ktera se meri in prenese po pomanjšanem merilu na glednik do d; po tem se potegnejo gledniki CA, CB, C F, in se merite črti CF in CE (F je po volji izbrana pika v BD, — E je prekrižje črt AD in CB)\ dobljeni dolgosti od C F in CE se prenesete po pomanjšanem me¬ rilu na dotična gledni- ka do / in do e. Zdaj se f zveže z d, in črta df podaljša do njenega prekrižja b s črto cb; pika e se tudi zveže z d, in črta ed podaljša do njenega prekrižja a z glednikom ca. S tem dobljeni dve piki a in D b ste primerni pikama A in B na polji. Če se tedaj a zveže z b, predstavlja črta ab črto AB na polji. Ako vza¬ memo ab zdaj v šestilo in jo pomerimo na pomanjšano merilo, vi¬ dimo koj, kako dolga da je črta AB. Pod. 48. Pod. 49. k 3. Znano je, ka¬ ko daleč ste dve piki A in B na polji nara¬ zen ena od druge. Naj se na tej podlogi ma- povanje začne, t. j. miza orientira. Naj ste n. pr. A in B (pod. 49.) dve na p polju 1C3 1 ' narazen sto¬ ječi piki. Merska miza se postavi na po volji izbrano mesto C, in po¬ tegnejo se gledniki CA, CB in CD, namerjen na 6 42 po volji izbrano piko D. Daljava CD se presodi s prostimi očmi in se prenese po pomanjšanem merilu od c do d. Zdaj se prenese miza v D in potegnejo se od tod gledniki proti C, A in B. Ti gledniki se križajo s prejšnjimi, s čem se dobe piki a' in b ' in črta a‘b‘. Črta a‘b‘ je vzporedna s črto AH, miza je tedaj orientirana. Če se zdaj s šestilom vzame 100° od pomanjšanega merila, in prenese na a‘b‘ od b‘ do a, tako da je l'a — 100°, in če se potem potegne ax vzporedno z a‘c in mn vzporedno z ab‘, in tudi no vzporedno z cb‘, je mn primerna črti AB, in pika s je primerna piki C na polji. Naloga je tedaj rešena. 4. Ena ravna črta na polji in ena črta na deski ste znani, naj se merska miza v namen daljnega mapovanja nastavi na ktero tretjo piko. Ta naloga se mora razdeliti na tri dele. Pod. 50. A. ___ B a) Ako se more miza nastaviti v ktero končno piko dane črte (pod. 50.). V tem slučaji, če je C tretja pika, kjer se ima miza Pod. 51. 43 postaviti, se postavi miza najpoprej v A, potegne se glednik na C, ter se prenese miza na C, in glednik od B se od strani križa. Ta na¬ loga ni nič druzega, kakor znano križanje od strani. b) Ako se more merska miza postaviti le v sredi dane črte (pod. 51.). V tem primerljeji se postavi miza v povoljno izbrano piko C ležečo v ravni črti AB, pa se potem potegne iz C glednik na D; zdaj se prenese miza v D, se orientira na CD, vstavljačica se zabode v b, ter se potegne glednik bB; potem se postavi vstav¬ ljačica v a, pa križa ta glednik. Zdaj je prekrižje d tista pika, na kteri stoji miza. Ta pika se s kalamerico najde na tleh, zaznamova s količkom in naloga je rešena. Ni potrebno opomniti, da je že ab vzporedna z AB, da je miza tedaj orientirana. Co hočemo določiti (vstanoviti) piko C, se gleda od pike d na C v polji, pa se na ab s svinčnikom zaznamova prekrižje c. c) Ako se merska miza le zunaj dane črte AB zamore posta¬ viti (pod. 52.). Merska miza se postavi v po volji izbrano piko C in Pod. 52. potegnejo se gledniki na D, B, A. — Miza se zdaj prenese na D, ter se ti gledniki križajo. S tem se dobi črta a'b‘, ktera ima, se ve da, vse drugo lego, kakor prava, na papirji potegnjena črta ab, kije primerna črti AB na polji. Ker je miza tako, kakor zdaj stoji, ori¬ entirana, (saj je a‘b‘ vzporedna z AB), je nam naloga zdaj edina ta, da spravimo črto ab v lego a‘b‘. To se tako-le stori: Pika a‘ se s kalamerico prenese na tla. V meri a‘b‘, naj manj 50 do 80 sežnjev daleč od mize proč se postavi bandero x. S tem je mer a‘x usta¬ novljena (fiiirana). — Zdaj se deska premakne s tem, da se vsi vi- jdki odjenjajo; pika a se s kalamerico spravi ravno nad piko a' na tleh; ziralo se položi na ab, ter se z drobnomernim vijakom deska 44 tako dolgo vrti, dokler nam, gledečim skoz očnico zirdlovo na pred- metnico, žima v predmetnici popolnoma ne pokriva banderja x. Ko se je to dogodilo, se je spravila črta ob v mer a‘x, ktero mer je po¬ prej črta a'b' imela. Naloga je tedaj rešena. Pa se dobi prava pika d, križa se od strani do b in a, da se dobi pika C potegne se gled- nik od d, itd. Opomniti je to, da se pri vseh teh 5. nalogah nobena črta ne meri. O mapovanji manjih zemljišč z mersko mizo. Če je treba manja v zvezi ležeča zemljišča ali manja polja ma- povati, je prvo potrebno delo to, da se celo polje obhodi, ali reko- gnoscira, da se najdejo pripravna stališča za mersko mizo in pri- ložna podnica ali osnovica, t. j. črta, na ktero se vse mapovanje osnuje, ker pri vsacem mapovanji mora se najmanje saj ena črta meriti. Kar se tiče stališč, morajo ona imeti to lastnost, da se od njih kolikor mogoče mnogo vidi tistega polja, ki ga hočemo mapovati; to pa zato, da ni treba mize tolikokrati prenašati. — Kar se pa tiče podnice, se morajo kolikor mogoče ravna, vodo¬ ravna, ne grbasta tla izbrati, da se more podnica natanko meriti, ker od tega je odvisna popolnost vsega dela. Če treba n. pr. polje v podobi 53. mapovati, se mora tedaj najpoprej obhoditi in iztakniti. — Pod. 53. 45 Iztika se tako, da se na vsako mesto, kjer se meje krive, na pota, na steze, na meje, kraj potokov, kraj hiš, itd., povsod, kjer se mercu potrebno zdi, zabijejo v tla količki s tekočimi števili, in da se tega načrt naredi na deščico. Potem se izbere podnica n. pr. AB. Ta podnica se mora z vso pazljivostjo in natančnostjo saj dvakrat meriti in srednja vrednost dobljenih dolgosti vzeti. Potem se postavi miza na A. Merilo se vzame tako, da bo mogla vsa podoba stati na papirji. Zdaj se začnč gledniki vleči. Pomočnik (figurant) vzame rog in obhodi vse pike, od 1. začenši, in zatrobi pri vsaki piki; mereč mu pa odgovori z drugim rogom, kadar je enkrat potegnil dotični glednik in število mu pripisal. Dobro je zavolj kontrole, da se pri peticah in pri deseticah dii dvakrat in trikrat zatrobiti in od- trobiti. Če se ktera pika po naključji zavolj kakega grma ali zavolj kake druge ovire ne bi videla, jo je treba zapisati v dnevnik, ter jo pozneje od kakove druge pike z lancem umeriti (einmessen). Po¬ tem se prenese miza v J? in se orientira na A ter se križajo vsi gledniki od 1., kolikor je že potegnjenih. V ta namen mora pomoč¬ nik vse pike še enkrat z banderjem obiti in zatrobiti; mereč križa od A potegnjene glednike, ter napiše, kadar je z vstavljačico prekrižje pre¬ bodel, dotično število, in zveže koj z svinčnikom alitušom tista števila, kte- re se morajo zvezati vsled pred njim ležečega načrta, ki si ga je poprej pri obhajanji naredil. Tukaj se mora 1. s 2., 2. s 3., 3. s 4., 4. s 5., 5. s 1., itd. zvezati; nikakor pa ne 1. s 4., ker ondot ne gre ni- kakoršna meja. — Prekrižja glednikov morajo biti vedno blizo nav¬ pično, nikdar ne preveč nagnjena, ker se sicer z malo pogreško pri vlečenji glednikov preveč zavleče prava točka, kakor se to vidi iz podobe 54. — Taka pogreška v vlečenji glednikov se lahko dogodi, če se bandero dobro ne vidi, ali če pomočnik bandero krivo drži, ali če solnce nagaja s svojim bliščem. Tako krivo prekrižje se mora izpustiti, v dnevnik zapisati in od kterega druzega stališča križati. 46 Če ena podnica ni dosti, se izmeri druga BC koj zraven, ter se spet iz B vlečejo daljni gledniki, iz C pa ti gledniki križajo, itd., itd. se ravna s temi, kakor s prvimi. Če je potrebno, da pride miza tudi v D stati, se more tretja podnica CD meriti, ali se pa more dobiti pika D s križanjem od straui. V ta namen se potegne glednik od C na bandero D; miza se prenese v D; med potjo se ceni dolgost črte CD; stol se postavi na D in se orientira na C; vstavljačica se postavi v b, in križa se glednik CD (to vse, kakor je bilo že popi¬ sano). Kontrolirati se more od A. — Če je potrebno, da se pre¬ nese miza v E, se more dobiti pika E iz pike A s križanjem od zadej, če se vlečejo gledniki od A, B, C. — Opomnim, da bo tu¬ kaj prava pika ležala zunaj napčnega trikota, in sicer na nasprotni strani srednjega glednika, ker leži pika E še v krogu, ki si ga mi¬ slimo načrtanega tako, da gre skoz pike A, B, C. — To ravnanje tirja, da se vse zemljišče pregleda od treh ali štirih mest (stališč). More se dogoditi, da deloma to ni mogoče. Kar je največkrat pri gozdnarskem mapovanji. V takih primerljejih vodi spet le obodni način k cilji. Postavimo, da je mnogokotnik ABCDE (pod. 55.) Pod. 55. kakšna šuma, da se ne vidi skoz. Merska miza se postavi v A, meri se AB potegne se glednik ab, ter se nanj prenese po pomanjšanem merilu dolgost AB. Zdaj se prenese miza v B, postavi se z b nad B, orientira na A, in potegne se glednik na C. Zdaj se meri BC Pod 47 in njena dolgost po pomanjšanem merilu prenese na bc. Za tem se prenese miza na C, postavi se c nad C, orientira spet na B, potegne glednik CD, ta črta CD se meri, itd., okoli na okoli se postavlja miza na vsa mesta, kjer se meja krivi, dokler se ne pride spet nazaj na piko A, pri kterej smo bili delo začeli. To ravnanje je nasproti dru¬ gemu mapovanji z mersko mizo, kjer se od enega stališča do 100 glednikov zamore potegniti, neizre¬ čeno dolgočasno, ali ono edino vodi do cilj in konca. Posebna na¬ tančnost in pazljivost ste potrebni pri tem ravnanji, sicer se podoba ne vjema. Če imamo busolo pri rokah, je dobro, da jo pri vsacem nastavljanji mize poprašanro, ali se vjema, ali ne. Ako bi se opa¬ zilo, da se je miza prekrenila (ver- schvvenken), raje naj se miza z bu¬ solo orientira, kakor pa po po¬ slednjem gledniku. Podoba abcde je podobna gozdu ABCDE. Pota in predeli notri v gozdu se pa zdaj mapirajo kar z busolo. — Če se mora potok (pod. 56.) ali kaka cesta mapirati, se iztak¬ ne potok in vse, kar k njemu spa¬ da, in kar je potrebno, da pride na mapo; podnice se merijo in miza se postavlja redom od sta¬ lišča na stališče, ter se vlečejo gledniki in se križajo. Tukaj so podnice AB, BC, CD, DE, EF, FG, GR, in stališča so A, B, C, D, E, F, G, H. 48 O mapovanji večih zemlja, občin, komasi¬ ranih gospoščin z mersko mizo. To je že opravek izurjenih mercev, zato bomo tukaj samo na kratko povedali, kako da se to dela. — Najpoprej se meri podnica (osnovica). Ni pa dovolj, da se ona meri le z lancem, ampak z let¬ vami, in to po tri do štirikrat. Potem se izberd stališča za mersko mizo na takih krajih, kjer se kolikor mogoče mnogo zemljišč vidi, kar je potrebno zavolj vlečenja in križanja glednikov. — Ta stališča se zaznamovajo z znanimi merskimi drogovi. Zdaj se merijo s kotomer- no pripravo, theodolit imenovano, ki velja 800 do 1000 goldinarjev, vsi koti, ktere delajo drogovi pred sabo. Doma se potem računa na trigonometrijski (trikotomerni) način o vseh drogeh, kako daleč stoji eden od druzega. Tako je tedaj ves kroj preprečen z mrežo, kakor kaže podoba 57. — Ta mreža se sostavlja zdaj natanko na Pod. 57. papirji, in sicer tako, da pridejo na papir vsake deske saj po 3 ali po 4 taki deli, najmanje po dva. Vsaka deska dobi njej namenjen pravokotnik 20" širok in 25° dolg. Merilo je navadno tako, kakor pri katastru, namreč 1" = 40°. 49 Širokost polja, ki pride na eno desko, je tedaj 800°, dolgost pa 1000°; površina pravokotnika je 1000X800 = 80000CO 0 = 500 oralov. Več kakor toliko se ne sme na eno desko mapirati. Na eni deski ima tedaj prostora 500 oralov. Če je tedaj občina 3Q milje velika, treba za mapiranje 60 desk, ker je 1Q milja = 10000 oralov. Kadar je mčrec z enim oddelkom (desko, papirjem, pravokot¬ nikom, section) gotov, mora delilno črto (Sectionsliniej, t. j. eno pravokotnikovo stran na polji natakniti. V ta namen se mora on na njo z mersko mizo postaviti, ter s sledečo desko spet tam delo za¬ četi. Virovitiea kneza Lippe-Schanmburga ima . . . 160 milj. Valpovo in Miholjav, bratje Prandau.16 „ Kutjevo, šolsko zakladno dobro.4y a „ Daruvar, Pakrac, Stražeman, gf. Jankoviča.16 „ Pleternica in Velika (Svetičevi potomci).14 „ Brestovec (Pestetič), Našice (Pejačevič) . . . itd., itd. Pri katastru se ravno tako dela, samo da imajo trovrstne mreže: 1. Trigonometrijsko mrežo, od ktere morajo na lQ m - saj tri pike (točke) priti. 2. Grafično mrežo, pri kteri na vsako desko morajo saj po tri pike (točke) priti. 3. Grafično povoljno mrežo, ali posamezna stališča mize. Prva mreža se naredi s tbeodolitom in s trigonometrijskim ra¬ čunom. Druga mreža z mizo. To je opravek tako imenovanih triangulatorjev. —- Tretjo mrežo si mereč (geometer) vsak sam naredi pri mapovanji. II. Kako se mapovana zemljišča izračunijo, dele in jim predrugačijo meje. 1. Raznostrani trikot ABC (pod. 58.) naj se spre¬ meni v enakokraki trikot. Podnica (osnovica) AB se razpolovi v piki D; v D postavi se na AB navpičnica Dx; iz C potegne se vzporednica Cy proti AB; pika E, v kteri se križate Dx in Cy, se zveže z A in z B, in na- 7 50 ' Pod. 58. 2. Raznostrani trikot ABC (pod. 59.) naj meni v enako velik pravokotni trikot. loga je rešena. Trikot ABC in trikot ABE imata nam¬ reč ravno tisto podnico in ravno tisto visokost. Taki trikoti so pa enako veliki, kakor to uči teoretično mčr- stvo. To merstvo pa tudi uči, da je trikot ABE ena¬ kokrak. se s p r e- Pod. 59. B V končni piki A osno- vice AB postavi se navpič¬ nica Ax; preko trikotovega vrha C potegne se vzpored¬ nica Dy proti AB; prekrižje črt ^4a; in Dy se zveže s pi¬ ko B, in naloga je rešena. Trikot ABD je pravokoten in je enak tudi trikotu ABC, ker ima ravno tisto osnovico in ravno tisto visokost kakor on. 3. Trikot ABC naj se spremeni v kot, kteri ima dani kot a (pod. 60.). Pod. 60. enako velik tri- V končni piki A osnovice načrta se dani kot a; njegov krak AD se podaljša, dokler se ne križa z vzporednico, potegnjeno iz C proti AB; s tem dobljena pika D se zveže tudi z B, in naloga je rešena, ker ima trikot ABD toliko visokost, koliko ABC. Trikoti pa, kteri imajo enako osnovico (podnico) in enako visokost, so enako veliki. 4. Dani trikot ABC naj se spremeni v drugi enako velik trikot, ki ima za osnovico črto a. (pod. 61.). 51 Pod. 61. Naredi se A D = a; D se zveže z vrhom C s črto CD; iz B potegne se vzporednica BE proti CD-, pika E se zveže z D, in tri¬ kot ADE je tirjani trikot. Od trikota ABC odvzeti trikot BCE je namreč enak dodanemu trikotu BDE, ker imata oba ravno tisto o- snovico BE in ravno tisto visokost. 5. Trikot ABC spremeniti v drugi, njemu enaki trikot ADE, ki je drugačne visokosti v (pod. 62.). Pod. 62. V piki A se postavi navpičnica na AB; ta navpičnica Ax na¬ redi se, enaka dani visokosti v; iz x se potegne k AB vzporednica xy; trikotova stranica AC se podaljša, dokler ne prereže črte xy v piki D; pika D se zveže s piko B; iz C se potegne proti BD vz¬ porednica CE; pika E se zveže s D, in ADE je iskani trikot. — Trikota CEB in CED imata oba ravno tisto osnovico (podnico) CE; njihova vrha B in D ležita oba v črti BD, ki je vzporedna proti CE. Taki trikoti so pa enako veliki, kakor uči teoretično merstvo. Če tedaj od trikota ABC odrežem trikot CEB , ter mu namesto tega dodam trikot CED, dobim s tem trikot ADE, ki je enak trikotu ABC. 52 6. Trikot ABC (pod. 63.) naj se spremeni v enako velik pravokotnik. Prek trikotovega vrha ^ C se potegne proti osno- vici AB vzporednica ED • v končnih pikah A in B osnovice se postavite na- F njo navpičnici AE in BD ■ te dve se podaljšate, dokler ne prerežete črte ED v pikah E in D; zdaj se na- 8 redi AG enaka GE, t. j.: AE se razpolovi v piki G; ravno tako tudi BD v piki F; piki G in F se zvežete z ravno črto GF, in s tem dobljeni pravokotnik ABFG je enak trikotu ABC, ker ima toliko osnovico in za polovico manj o visokost, kakor trikot ABC. Teoretično merstvo namreč uči, da sta trikot in pravokotnik enako velika, če sta oba enako dolga in če je pravokotnik za pol niži od trikota. 7. Naj se vzporednik (paralelogram) ABCD (pod. 64.) spremeni v enako velik pravokotnik. V končnih pikah A in B osnovice (podnice) AB postavite se na njo navpičnici AF in BE; stra¬ nica CD se podaljša, dokler ne prereže navpičnice AF v piki F. Tako dobljeni pravokotnik ABEFje enak vzporedniku ABCD, ker 8. Naj se vzporednik ABCD (pod. 65.) spremeni v drugi enako velik vzporednik, kteri ima v sebi dani kot a. Pod. 64. F de C Pod. 63. Pod. 65. Kot FAB se naredi enak danemu kotu a; nje¬ gov krak (rama) AF se podaljša, dokler ne pre¬ reže stranice CD v piki F; proti AF se potegne iz B vzporednica BE; stranica CD se podaljša, 53 dokler ne prereže črte BE v piki E. S tem dobljeni vzporednik ABEF je enak vzporedniku ABCD, ker imata oba ravno tisto os- nčvico AB in oba ravno tisto visokost. 9. Naj se trapeč ABCD (pod. 66.) spremeni v enako velik trikot. (Trapeč se imenuje tisti četirokot, kterega dve Pod, 66. stranici ste med seboj vzporedni, drugi dve pa niste. Daljša vzpo¬ rednica se imenuje njegova doljna podnica [osnovica], krajša pa se imenuje njegova gornja podnica). Doljna podnica AB se mu podaljša; ta podaljšek BF se na¬ redi tako dolg, kakor gornja podnica CD; pika F se zveže s piko D, in s tem dobljeni trikot ADF je enak trapecu ABCD. Ta tri¬ kot ADF smo namreč dobili s tem iz trapeča, da smo mu odvzeli trikot DCE in namesto tega dodali mu trikot BEF. Ta dva tri- Pod 67 kota DCE in BEF sta si pa ena- ka (in še celo sokladna), kakor uči teoretično merstvo; tedaj mora tudi / s tem iz trapeča ABCD narejeni / trikot ADF tolik biti, kolik je tra- / '> C pec. / / 10. Naj se pravokotnik / ABCD spremeni v enako velik kvadrat (štirjak), podoba 67. Pravokotniku se v ta namen podaljša stranica CD, ter se CE naredi enaka njegovi stranici AD; CE se v piki O razpolovi, ter se iz O s polomerom EO načrta polu- krog EFC, kteri mora tedaj iti ravno skoz E in skoz C. Stranica AD se zdaj podaljša do F, in po¬ tegne se ravna Črta CF. C F je 54 zdaj stranica tistega kvadrata, ki je tolike velikosti, kolike je pravo¬ kotnik ABCB, kakor to nči teoretično merstvo. Če se zdaj načrta na CF kvadrat CFGH, je tedaj naloga rešena. 11. Naj se spremeni mnogokotnik, ki ima koli¬ ko r k o 1 i stranic, v mnogokotnik ki ima eno stranico manj, n. pr. petokotnik ABCBE (pod. 68.) v četirokotnik. Ta naloga se reši tako-le: Pika A se zveže s piko B z ravno črto AB; proti A 71 se po¬ tegne iz E vzporednica EF; AB se podaljša, dokler ne prereže črte EF v piki F; ta pika F se zveže s piko D. S tem smo dobili tri¬ kot ABF, ki je enak trikotu ABE, ker imata oba ravno tisto osnovico AJD, in ker njihova vrba E in F ležita v črti, ki je vzporedna proti o- snovici AJD. Če tedaj od¬ vzamemo od danega petokot- nika trikot ABE, in mu na¬ mesto tega dodamo trikot G ABF; mora s tem dobljeni četirokotnik BCBF ravno tolik biti, kolik je dani petokotnik ABCBE. Pod. 68. O Če delamo na ta način dalje, moremo dobljeni mnogokotnik spet spremeniti v mnogokotnik z eno stranico manj, in tako dalje, dokler ne dobimo trikota, ki je enak danemu mnogokotniku. V našem primeru se poprej dobljeni četirokotnik BCBF spre¬ meni v trikot FBG, če delamo na desni strani tako, kakor smo po¬ prej na levi, da dobimo namreč trikot BBG, ki je enak trikotu BCB. Trikot se pa lahko spremeni cer tako-le : Pod. 69. D enako velik vzporednik, in si- Naj bo v podobi 69. FBG tisti trikot, v kteri smo bili spremenili gori dani petokotnik ABCBE. Osnovica FG se razpo¬ lovi v H; preko vrha B po¬ tegne se proti podnici FG vzporednica BK; iz pike H se potegne proti FB vzpo¬ rednica RK. S tem dobljeni 55 vzporednik FHKD je enak trikotu FGD, ker ima za pol manjo podnico in toliko visokost, koliko trikot (dokaz daje teoretično mer- stvo). Ta vzporednik FHKD se zdaj lahko spremeni v enako velik pravokotnik po nalogi 7. Mogli smo tudi trikot FGD spremeniti kar na ravnost v enako velik pravokotnik po nalogi 6. Tako dobljeni pravokotnik se lahko spremeni v enako velik kvadrat po nalogi 10. — Iz tega se tedaj vidi, da se vsak mnogokotnik zamore spremeniti v enako velik kvadrat. — To se tudi res dela pri računanji mapo- vanih zemljišč. Površina kvadratova se namreč najložej najde. Treba je samo eno njegovo stranico meriti in njeno dolgost, povedano v palcih, čevljih ali sežnjih, samo seboj pomnožiti, da dobimo kvadra- tovo površino v kvadratnih palcih, čevljih ali sežnjih. 12. Prelomljena meja naj se prenaredi v ravno mejo (pod. 70.). Pod. 70. Pod. 71. Naj sta M in N dva zemljišča, ki imata prelomljeno mejo ABCDEFGHK. Da se spremeni ta meja v ravno, si mislimo mejo ABCDEFGHK kakor stranice mnogokotnika, kteremu je treba po vrsti iztrebljivati kote A, D, C, D, . . . po nalogi 11. Očevidno je, da se mora konačno dohiti kakova ravna črta xy, ki leži tako, da pridržita oba polja vsak svojo poprejšno površino. 13. Kriva meja naj se prenaredi v ravno mejo. Če se ima meja ABCD (pod. 71.) med poljema M in N tako predrugačiti, da postane ravna, se mora nova meja tako najti, da ne izgubi ne polje M, ne polje N nič na svoji povr¬ šini. V ta namen se zveže A z D s črto AD. Ta črta AD ne more hiti iskana meja, ker bi 56 s tem polje N izgubile svoj kos ABCD, ki bi pripadel polju M. Zaznamovajmo ta kos ABCD kratko s K. Prva naloga je tedaj ta, da izračunamo, koliki je ta kos K. Njegova površina se najde po pravilih teoretičnega merstva. Ko enkrat znamo, kolik je polju N odvzeti kos K, moramo gledati, da dodamo polju N trikot, toliki, kolik je K. Kecimo, da je kos K, 6 kvadratnih sežnjev velik. Te¬ daj moramo na mesto K dodati polju trikot, 6Q° velik. Površina trikotova se dobi, če se polovica njegove podnice pomnoži z njegovo visokostjo. Tukaj nam je pa znana površina trikotova, namreč 6n°, in njegova podnica AD, ktera izmerjena naj je n. pr. 4 sežnje dolga. Iz znane površine in iz znane podnice se pa dobi visokost trikotova, če se njegova dvakratna površina razdeli s podnico. Tedaj je triko¬ tova visokost (enaka dvakratni površini, razdeljeni s podnico) = 2 -£- 6 — 3“. Visokost iskanega trikota je tedaj v našem primeru 3 sežnje velika. Ako se zdaj v kterikoli, po volji izbrani piki E črte AD postavi na to črto navpičnica EF, ter ta navpičnica enaka naredi dobljeni trikotovi visokosti (v našem primeru enaka 3°), in iz F po¬ tegne proti AD vzporednica FG, ter pika G zveže s piko D, je tri¬ kot ADG tisti trikot, ki je tolik, kolik je kos K. Naloga je tedaj rešena; saj smo namesto odvzetega kosa K dodali polju N trikot ADG, in meja DG med poljema M in N je ravna črta. Če je meja tako kriva, ka¬ kor črta BCDEA v pod. 72., se potegne tudi najpoprej črta AB. S to črto smo polju M odvzeli kos AED, dodali mu pa kos BCD. Zdaj se spet mora po pravilih teoretičnega merstva najti velikost obeh kosov BCD in AED. Recimo, da je kos AED veči od kosa BCD. Prvi naj meri n. pr. 24D 0 , drugi pa 4n fl - Razloček je tedaj 2C0 0 . Polju M smo tedaj s črto AB od¬ vzeli 20D°. Moramo mu tedaj k črti AB dodati trikot, 2CU° ve¬ lik, da bo meja med tema poljema ravna črta. AB se zdaj meri, in naj se n. pr. najde, da je 12° dolga. Če vzamemo to črto AB za podnico trikota, nam treba le izračuniti njegovo visokost, da ga mo¬ remo načrtati. Visokost trikotova je pa, kakor je znano, enaka dva¬ kratni površini, razdeljeni s podnico, tedaj: 2 X 20 10 Pod. 72. B H visokost 12 = ir = 3 '/* 0 • 57 Zdaj se postavi v kterikoli piki F črte AB nd-njo navpičnica FG, ter se naredi ta navpičnica tako dolga, kolika je najdena triko- tova visokost (v našem primeru 3 in eno tretjino sežnja). Iz končne pike G te navpičnice se potegne k AB vzporednica GH; pika H se zveže s piko A, in trikot ABH ima toliko velikost, kolik je razloček med kosovoma AED in BCB (v našem primeru 20[j] n ). Ali je nova meja med poljema M in N. Naloga je tedaj rešena. 14. Meja AB dveh zemljišč M in N naj se prenese v C (pod. 73.). Najpoprej se prenese meja iz B v D tako-le: I) se zveže z A s črto AB ; proti AB se potegne iz B vzpo¬ rednica BE; B se zveže z E. Črta BE je nova meja med zem¬ ljišči M in N, ker je trikot ABB, ki smo ga zemljišču M vzeli, enak trikotu ABE, ki smo ga mu namesto onega dali. Oba trikota ABB in AEB imata namreč tisto podnico AB in tisto visokost, ker njihova vrha B in E ležita v črti BE, vzporedni proti podnici AB. Taki trikoti so pa enaki, kakor uči teoretično merstvo. Zdaj se C zveže z E, iz B se pa potegne proti CE vzporedni¬ ca BF, ter se C zveže z F. Črta CF je nova meja med zemljišči M in N, in sicer taka, da nobeno zemljišče ni nič izgu¬ bilo od svoje velikosti. Trikot CEB namreč, ki smo ga zdaj vzeli od M, je enak trikotu CEF, ki smo ga mu namesto tega dodali. Razlog je tisti, kakor zgorej. 15. Naj se trikot ABC (pod. 74.) spremeni v enako velik trikot, ki ima svoj vrh v B. Pod. 74. D Pika B se zveže z A; iz C se potegne CB in proti AB vzporednica CE; AB se podaljša do E; E se zveže z B, in črta BE je ena nova stra¬ nica iskanega trikota. Po¬ tem se zveže B z B; iz C se potegne proti BB vzporednica CF; pika F 8 58 se zveže z B, in črta BF je druga stranica iskanega trikota, ki je tedaj BEF. Kazlog je znan od poprej. 16. Naj se trikot ABC (pod. 75.) razdeli na dva ena¬ ka dela. Pod. 75. Podnica trikotova AB se raz¬ polovi v piki B, in B se zveže z vr¬ hom C. Zdaj sta trikota ACB in BCB enako velika, ker imata oba enaki podnici in ravno tisto visokost. 17. Naj se trikot ABC (pod. 76.) od dane pike B, ležeče deli na dva enako velika dela. Najpoprej se podnica AB razpolovi v piki E\ črta CE deli zdaj trikot ABC na dva enako velika dela ACE in CBE vsled 16. Pod. 76. C Zdaj se zveže dana pika B z vrhom C, in iz E se proti CB po¬ tegne vzporednica EF; pika F se zveže z B, in črta BF je iskana meja med polovicama trikota ABC-, ACFB je namreč enak trikotu BBF, ker je trikot BOE, ki smo ga trikotu ACE vzeli, enak tri¬ kotu COF, ki smo ga mu dali, kakor to uči teoretično merstvo. — Trikot CBE in trikot CBF sta namreč enaka, ker imata oba ravno tisto podnico CB in ker njihova vrha E in F ležita v črti, vzporedni s podnico CB. Če tedaj od obeh teh dveh trikotov odvzamemo tri¬ kot COB, morajo ostanki BOE in COF enaki biti. Naloga je tedaj prav rešena. 18. Naj se trikot ABC (pod. 77.) razdeli na dva ena¬ ka dela iz pike O, ležeče notri v trikotu. V piki B se razpolovi črta AB, in B se zveže z vrhom C, tako da je tedaj trikot ACB enak trikotu CBB. B se zveže zdaj s piko O, pika O pa z trikotovim vrhom C. Iz C se potegne k OB vzporedna črta CE; E se zveže z O s črto OE, in naloga je rešena. Četirokot ACOE je namreč enak četirokotu COEB, kar se lahko dokaže: 59 Trikota CDE in COE imata rav¬ no tisto podnico (osnovico) ČE, in njihova vrha D in O ležita oba v črti, ki je vzpo¬ redna k podnici (JE. Taki trikoti so pa enaki. Če tedaj od trikota CDE odvzame¬ mo trikot CDE, in namesto tega mu dodamo trikot COE, je s tem dobljeni četirokot COEB enak trikotu BCD-, ta je pa polovica od ABC, tedaj je tudi COEB polovica trikota ABC, kterega druga po¬ lovica je tedaj ACOE. 19. Naj se trikot ABC (pod. 78.) razdeli na tri ena¬ ko velike dele tako, da gredč črte delilke iz trikotovih voglov A, B in C. Trikotova podni- ca se razdeli na tri e- nake dele, tako da je A D = DE = EB. Piki D in E se zvežete z vrhom C. S tem do¬ bljeni trikoti ACD, CDE in CBE so ena¬ ko veliki, ker imajo e- nako dolge podnice in Pod. 78. C d enako visokost. Če potegnemo iz D k AC vzporedno črto DE, in iz E k BC vzporedno črto EG, in če prekrižje O teh dveh črt zve¬ žemo z A, v. B in z C, je naloga rešena. Trikoti ACO, BCO in ABO so namreč enako veliki, kar se lahko dokaže na sledeči način: Trikot ACD in trikot ACO imata oba ravno tisto podnico AC, njihova vrha Z) in O pa ležita v črti DF, ki je vzporedna s podni¬ co AC. Ta dva trikota ACD in ACO sta tedaj enako velika. Iz ravno tistega razloga sta tudi trikota BOE in BCO enako velika. ACD je tretjina trikota ABC, tedaj je tudi ACO tretjina trikota ABC ; BCE je tudi tretjina trikota ABC, tedaj je tudi BCO nje¬ gova tretjina. Ostanek AOB mora tedaj enak biti tretji tretjini CDE. Trikoti ACO, BCO in AOB so tedaj res enako veliki. 20. Naj se trikot ABC (pod. 79.) na tri enako velike dele razdeli iz pike O, ležeče v trikotovi stranici AB. Podnica AB se razdeli na tri enake dele v D in v E. Ti dve 60 piki se zvežete z vrhom C s črtama CD in CE. S tem dobljeni trikoti ACD, CD E in CEB so tedaj vsi enako ve¬ liki, vsak tedaj tretjina trikota ABC. Zdaj se dana pika O zveže z vrhom C, in iz D se potegne k CO vzporedna črta DF. S tem smo dobili dva e- nako velika trikota DEC in DFO. Če tedaj od trikota ACD, ki je tretjina trikota ABC, odvzamemo trikot DFC, in mu namesto tega dodamo trikot DFO, mora s tem dobljeni trikot AFO enak biti trikotu ACD, tedaj tudi tretjina od ABC biti. Če se ravno tako iz E potegne k CO vzporednica GE in pika G zveže z dano piko O, je tudi iz ravno tistega razloga druga tretji¬ na danega trikota ABC, namreč trikot CEB, enak trikotu BGO. Ostanek CFOG mora tedaj enak biti tretji tretjini CDE. Tedaj so res AFO, BGO in CFGO enako velike ravnine. 21. Vzporednik ABCD (pod. 80.) naj se razdeli n. pr. na štiri enake dele. Pod. 19. Pod. 80. / 2 E Pod. ! Podnica mu se raz¬ deli na štiri enake dele v E, F, G. Iz teh de- lišč se vlečejo z Al) vz¬ poredne črte, kakor to po¬ doba kaže, in naloga je rešena. Vsi štirje, s tem dobljeni vzporedniki imajo enake podnice in enake visokosti; so te¬ daj enaki med seboj. 22. Naj se trapeč ABCD (pod. 81.) razdeli n. pr. na tri enako velike dele. Ako se razdeli dolnja podnica AB na tri enake dele, in gornja podnica CD tudi na tri enake dele, ter vlečete ravni črti EG in FH, so kosovi 1, 2, 3 ena¬ ko veliki. To se lahko dokaže, če se po¬ daljšate stranici AD in CB do prekrižja B a , in ako se a zveže z G in s H, itd. 61 23. Naj se trapeč ABCD (pod. 82.) iz enega svojega kota, n. pr. iz D, razdeli na dva enako velika dela. Pod . 82 Ako potegnemo iz C črto n r CE vzporedno k AD in piko E zvežemo z D, je trikot ADE polovica vzporednika ACDE. Če razpolovimo črto BE v F, in črto CF potegnemo, je trikot CEF polovica trikota BGE. Trikota ADE in CEF, skupej vzeta, sta tedaj polovica trapeča ABCD. Trikot CEF je pa tolik, kolik je trikot DEF, ker imata oba ravno tisto podnico EF in ker jima vrha C in D ležita v črti CD, ki je vzporedna s podnico EF. Če tedaj trikotu ADE dodamo trikot DEF, je s tem dobljeni trikot ADF tudi polovica trapeča ABCD; DE je tedaj iskana meja, in naloga je rešena. 24. Naj se trapeč ABCD (pod. 83.) iz pike E, po volji izbrane, razdeli na dva enako velika dela. Pod 83 Ako se razpolovite dolnja in gornja podnica, tako da je AG enaka črti BG, in DE enaka črti CF, in ako se potegne črta GF, je četirokot ADFG enak četiro- kotu BCFG. Treba je tedaj le mejo FG prenesti v piko E- V B ta namen se zveže pika E z F; k EF se potegne iz G vzporednica GR\ pika H se zveže z dano piko E, in EH je iskana meja. Trikot EFG je namreč enak trikotu EFH iz znanega razloga; če se tedaj trapecevi polovici ADFG odvzame trikot EFG, in na¬ mesto njega ji doda trikot EFH, je s tem dobljeni četirokot AEHD tudi polovica trapeča ABCD. Naloga je tedaj dobro rešena. 25. Naj se od trikota ABC (pod. 84.) odvzame kos, ki se ima proti celem trikotu, kakor se ima število m proti n\ n. pr. ka¬ kor 2 proti 5. Podnica AB se razdeli v D v pri¬ meri m : n , da namreč stoji razmera AD: AB — m:n\ tedaj v našem slu- Pod. 84. 62 AD : AB = 2 : 5. Če se zdaj potegne črta CD, se ima tudi trikot A CD proti trikotu ABC, kakor se imate med seboj števili m in n. V našem slučaji stoji tedaj razmera: A ACD : A ABC =2:5. Dokaz uči teoretično merstvo. 26. Naj se od trikota ABC od vzame kos, ki ima površino p, in to n. pr. od njegove stranice BC računajoč. Pod. 85. Ta kos p hočemo v po¬ dobi trikota odvzeti. Od tega iskanega trikota nam je tedaj znana površina in podnica BC; tedaj treba izracuniti njegovo visokost. Visokost trikotova se pa najde, če se njegova dva¬ kratna površina razdeli z nje¬ govo podnico. S tem dobljena visokost se prenese na črto BD, postavljeno v piki B navpično na BC; iz D se potegne vzpo¬ rednica k BC; s tem dobljena pika E se zveže s trikotovim vrhom C, in trikot BCE je iskani trikot visokosti BD in podnice BC. Naloga je tedaj rešena. Da bo stvar jasneja, računajmo posebni slučaj: N. pr. Od trikota ABC naj se odvzame 38 % kvadratnih sežnjev velik kos. črta BC se meri, in najde se, n. pr. da je 14 sežnjev dolga. Zdaj je visokost iskanega trikota enaka 2 X 38% 14 ~ 38% _ 5% sežnja. Na BC postavljena navpičnica se naredi 5% u dolga do D, iz D se vleče vzporednica DE k BC; E se zveže s C, in trikot BCE je 38 % kvadratnih sežnjev velik trikot. 27. Naj se kakoršnikoli mnogokotnik (pod. 86.) razdeli na dele, ki se imajo med sabo, kakor dana šte- vila V podobi 86. načrtano polje naj se, postavim, ima razdeliti med tri gospodarje tako, da prvi gospodar dobi tretjino, drugi četvr- tino, tretji pa, kar ostane. 63 Kosovi teh treh gospodarjev se morajo tedaj med sabo imeti, kakor števila 3 : 4 '' 12’ ah kakor stevila 12 : 12 : 12’ ali kakor števila 4:3:5, tedaj sploh kakor m:n:p. Pod. so. Števila 4,