i i “lavric-prostornina” — 2010/6/14 — 8:00 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 16 (1988/1989) Številka 1 Strani 4–7, I Boris Lavrǐc: PROSTORNINA PARABOLOIDA Ključne besede: matematika, geometrija, prostornina paraboloida. Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Lavric.pdf c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. /"" -'-1"" -'1/"'" 1CI" I"", PROSTORNINA PARABOLOIDA 4 3 Slika 1 2 . Beseda parabola dandanes ni več tako tuja ušesu kot nekoč. Če ne drugače, je marsikomu sedla v besedn i zaklad za radi svojih tehn i- čnih modelov - zrcala v avtomo- bilskih žarometih ponekod imenujejo po domače kar parabole; parabo- l ična antena pa je najbrž najmo- dernejši tak p rimer. Lahko bi še nadaljevali znaštevanjem r a raje pobrskajmo nekoliko po matema- tičnem slovarju in poglejmo, kaj nam bo ta povedaloparaboli. Krivulja je to. Vsa leži veni ravnini , zato reče­ mo, da je ravninska. Kako bi jo opisa- li? Med mnog im i možnostmi se odlo- čimo za funkcijsko predstavitev. Rav - nino, na kateri parabola leži, opremi- mo spravokotnim koordinatnim si- stemom , kot smo že vajeni. Če koordinatni osi postavimo dovolj spretno, postane parabola graf kvadratne funkcije f : IR -7 IR , ki je podan s predpisom f( x)=ax 2 , xEIR, kjerjea>O Spomn imo se še, da graf funkcije f sestavljajo točke (x , f(x)). Torej našo para- bolo določa množica [(x, ax 2 ) , x E IR ] ,ki jo brez težav skiciramo - na sliki 1 so načrtan i kosi t reh parabol (za a = 1/2 , a = 1 in a = 2). Opazimo, da je krivu lja somerna glede na ordinatno os in da poteka skozi koo rdinatno izhodi- šče . Čimvečji koeficient a vzamemo, bolj je koni časta, čeprav prave konice ni- ma nikjer. Vrn imo se na začetek in že lahko odkr ijemo zvezo med tam navedenimi primeri in pojmom parabo le, k i smo ga pravkar opisal i. Če zavrtimo pa rabolo (krivuljo) okrog njene osi simetr ije, opiše ploskev , k i je prisotna tako p ri z rca lu kot pri an teni. Tej ploskvi rečemo rot aci jsk i paraboloid (rotacija - vrtenje) . Ima naslednjo zanimivo t er uporabno last nost : na njegovi osi obstaja tak a 4 r-----=-----o....} $1 -I---1h-v ~--'------IJ točka, da se vsi žarki, ki gredo skoznjo, odbijejo od paraboloida vzporedno z osjo. Tej točki rečemo gor išče . Zaradi omenjene lastnosti so nekatera zrcala in antene parabolo idne obl ike . Nam tudi narava kdaj postreže s paraboloidom? Marsikateri pojav se da opisati s pomočjo parabole. Zadržimo se le pri enem - predstavljen in fizikalno utemeljen je v prispevku na strani 17 . V posodo ujete nestisljivo tekočino zavrtimo okrog navpične osi. Pri stalni (kotni) hitrosti vrtenja se njena gladina ustali in ima obliko rotacijskega paraboloida. Denimo, da je posoda valjaste oblike (lonec) napolnjena do višine hi, pri vrtenju pa se je tokočina dvignila ob robu do višine h 2 in je ni nič izteklo iz lonca. Kolikšna je tedaj globina tekočine na sredini posode? Prostornina teko- čine se pri vrtenju ni spremenila, zato na vprašanje ne bo težko odgovoriti, če bomo le našli obrazec za izračun prostornine (prisekanega) rotacijskega parabo- loida. Torej se lotimo te naloge. Rotacijski paraboloid, ki ga dobimo z vrtenjem grafa funkcije ((x) = ax2 (a > O) okrog navpične ordinatne osi, zaprimo na višini h z vodoravnim kro- žnim pokrovom polmera r. Izračunali bomo prostornino V nastale posode. V ta namen jo vložimo v valj z višino h in s skupno (zgornjo) osnovno ploskvijo. Valj vzporedno z njo razrežimo na enake rezine debeline d. Njegovo prostorni- no označimo z U. Vsako rezino razdelimo na dele (zgornjo in spodnjo na dva, ostale pa na tri) takole: notranji del rezine naj bo največja okrogla plošča, ki je še vsebovana v paraboloidu; zunanji del naj bo največji (robati) obroč, ki leži zunaj paraboloida; vmesni del je obroč , ki ostane. 5 Pokažimo, da ima notranji del rezine s spodnjo osnovno ploskvijo na višini v enako prostornino kot zunanji obroč rezine z zgornjo osnovno ploskvijo na višini h - v. Poglejmo na sliko 2. Prvi del - krožna plošča ima polmer osnovne ploskve rl' Potem velja v = ari 2, njegova prostornina pa meri rrdv /a. Drugi del - robati obroč - ima notranji polmer r2' Tedaj je h - v = ar22 in zaradi zveze h = ar2 še v = a(r2 - r22). Prostornina obroča je enaka tt dr2 - rr dr22 = rr dv /a, torej sovpada s prostornino krožne plošče. Združimo vse notranje dele rezin. Njihova skupna prostornina A je po prejšnjem enaka prostornini stopničastega telesa, ki ga sestavljajo vsi zunanji obroči. Poleg tega je manjša od iskane prostornine V, skupaj s prostornino B vseh vmesnih obročev pa presega V. Vmesne obroče spustimo na ravnino in dobimo krožno ploščo spoimerom r, debelino d in prostornino B = rr r2 d . Torej veljata zvezi A < V O dovolj majhno, je tudi prostornina B majhna, kot le želimo. Zato velja U = 2 V. Prisekani paraboloid torej zavzema pol pro- stornine očrtanega valja . Zdaj smo že dovolj pripravljeni, da odgovorimo na vprašanje o globini te- kočine v vrteči se posodi. Najprej poglejmo, kdaj sega vrtinec le na sredini do dna posode, ki naj ima polmer r. Prostornina tekočine je tedaj enaka polovici prostornine valja z višino h 2 in polmerom r osnovne ploskve, zato v tem pri- meru velja h2 = 2 hi' Če velja h 2 ,;;;; 2h l dobimo iskano globino z enakim razmislekom kot prej. Globina meri Zh , - h 2 • Brž ko velja h2 > 2h l , teko či­ ne na sredini posode ni. Na postavljeno vprašanje smo s tem že odgovo rili, po- nuja pa se novo. Kolikšen del dna posode ni pokrit s tekočino? Zanimal nas bo sevedapri- mer h2 > 2h l • Krog na dnu posode, ki ni pokrit s tekočino, naj ima polmer U. Rotacijski paraboloid, katerega del tvori površje tekočine, naj sega v globino v pod dno posode, dobimo pa ga z vrtenjem grafa funkcije y = ex" , Poglejmo na sliko in pred nami sta enakosti v = au2,h2 + V= ar 2 , ki nam dasta zvezo v(r2-u2) = h 2u 2 (1) Mirujoča tekočina ima enako prostornino kot vrteča. Slednjo dobimo tako, da valju z višino h 2 in polmerom r osnovne ploskve odvzamem o ustrezni prise- 6 I ------- ---, ---------- I I I I I J. h 1 \,.... ""t·" :, \ " , , , ! " :v : ' ..... !;~ 1L ~ ~ r Slika 3 kani rotacijski paraboloid (ki je razlika dveh odsekov paraboloida] . Torej velja enakost 1Tr 2 h 1 =1Tr 2 h2 - [ (1T /2) r2 (h2 + v) - (1T12) u2 v] Poenostavimo jo in upoštevajmo zvezo (1). Brez težav najdemo relacijo u2 = (1 - 2h1/h2)r 2 , ki nam pove, da 1 -2h11h2 dna posode ni pokrito s tekočino. Naloge smo rešili, pet novih pa prepuščamo bralcu v veselje. 1. V ravnini z običajnim koordinatnim sistemom naj bo p premica, dana z enakostjo y = -1. Pokaži, da je množica točk (na tej ravnini), ki so enako oddaljene od premice p in od točke (O, 1). parabola. Na tej osnovi poskusi formulirati geometrijsko definicijo parabole. 2. Določi množico vseh točk v prostoru, ki so enako oddaljene od dane ravni- ne in točke, ki ne leži na njej. 3. Od prisekanega rotacijskega paraboloida s prostornino 20 crn ' odrežemo na polovici višine (pravokotno na os) manjši paraboloid . Kolikšno prostornino ima? 4. Mirujoča voda v valj astem loncu (z navpično os]o) je globoka 5 cm. Zavrti- mo lonec okrog osi tako, da doseže voda vrhnji rob posode. Kako visoka je po- soda, če je pri tem točno polovica dna pokrita z vodo? 5. V navpično postavljen kozarec paraboloidne oblike, ki drži 2 dl, nalijemo 1 dl vina. Do kam seže gladina na sredi kozarca, če kozarec miruje. Kaj pa, če ga zavrtimo tako, da vino doseže rob kozarca? Pa na zdravje! Boris Lavrič 7