i
i
“1097-Domajnko-0” — 2010/7/13 — 12:23 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 5
Strani 290–292
Vilko Domajnko:
PETKOTNI TANGRAMSKI LIKI
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1097-Domajnko.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PETKOTNI TANGRAMSKI LIKI
~ te m . kako močna je vez med tan gra mo m in komb inatorike, smo se
seznanili že v prejšnji številki revije . Tokrat bomo poskusili tovrstno znanje
še razširiti . Spet se bomo spoprijeli z enim izmed lažjih kombinatoričnih
problemov v tangramu in sicer z vprašanjem :
Koliko je vseh petkotnih tangramskih likov?
Nanj je prvi odgovoril ameriški matematik Ronald C. Read , njegov
odgovor pa je objavil znani Ma rtin Ga rdner leta 1974 v reviji Scientific Ame-
rican . Oglejmo si Readovo idejo preštevanja vseh petkotnih tangramskih likov .
Te bomo poslej zaradi krajšega imenovali kar petali-ji.
Recimo. da imamo pred seboj neki petalf. Opazujrno njegove notranje
kote . Vsak izmed njih je večkratnik kota 45° . Obiščimo v katerikoli smeri
urinega kazalca za povrstjo vse kote petalija in sproti zapisujmo te večkratnike .
Na tak način bomo dobili zaporedje petih naravnih števil. s katerimi je po-
množen kot 45°.
Vzemimo za primer petali, ki ga vidimo na sliki 1 prvega v prvi vrsti
- torej povsem zgoraj levo . Temu liku pripada zaporedje 72111. Seveda
mu pripada tudi katerakoli izmed cikličnih permutacij tega zaporedja (21117,
11172,11721, 17211). Z zapisovanjem večkratnikov lahko začnemo namreč
v poljubno izbranem oglišču tega petalija. Prav tako je zaporedje 72111
enakovredno zaporedju v obrnjeni smeri 11127 in še vsem njegovim cikličnim
pe rmutacijam 11271, 12711. 27111 in 71112. Vsa ta zaporedja namreč
ustrezajo istemu petaliju, od prvotnih se ločijo le po smeri štetja oglišč .
Zlahka se da videti, da se bodo v prirejenih zaporedjih kater egakoli
petalija pojavljala kvečjemu števila 1. 2 , 3. 5. 6 ali pa 7. 5tevilo 4 pri tem
izpade . ker pač 180° (=4 . 45°) ni koto vpetalfju .
Vemo že , da je vsota vseh notranjih kotov poljubno izbranega petkotnika
enaka 540° . In. ker je 540 = 12 ·45, mora biti vsota vseh petih števil petalIju
pripadajočega zaporedj a enaka 12.
Sedaj lahko že zapišemo vsa mož na zaporedja, ki so določena spet a llji.
291
Slika 1.
"Samo" dvaj set jih je: 7211162211 53112 52122
71211 63111 51312 33213
62112 61311 '51321 33231
62121 53211 52311 33222
61221 53121 51222 32322
Iska nje vseh peta ljjev j e s to ta belo že precej olaj šano . Ven dar pa -
bodimo pozorn i]. Še zm eraj namreč ne vemo ni česa r o tem , ko liko raz lič ni h
292
petalijev določa posamezno zaporedje iz te tabele .
Poskusimo zatorej razr ešit i ta pro blem za zaporedje 62211. Slika 2 nam
prikazuje zelo približno skice morebitnega petalija, ki bi ga to zaporedje lahko
določa lo.
Slika 2.
5tevila x, y in z naj predstavljajo dolžine stranic petalija, kot na sliki 2.
Ker je ta petali sestavljen iz šestnajstih bazičnih trikotnikov (glej članek
v prejšnji številki revije), je nje§ova ploš čina seveda enaka 8. Ploščina skici-
ranega petalija s slike 2 pa je T + yz . Le sestavimo obe trditvi v enačbo in
jo uredimo, dobimo
x2 + 2yz = 16 .
Iz članka v prejšnji številki Preseka že vemo, da so stranice skiciranega petalija
ali vse cela števila ali pa vse celi večkratniki števila ../2.
Edina cela rešitev, ki bi utegnila predstavljati 61l22-petali, je trojka x =
= 2, y = 6 in z = 1. ' Toda že kratek preizkus s sestavljanjem ploščic bi
pokazal, da se po njenem receptu ne da sestaviti petalija .
Rešitvi x =2, y =2, z = 3 in x = 2, y = 3 , z = 2 ne prideta v poštev ,
ker je x - z ::::; O. Edina racionaina rešitev zgornje enačbe, ki da petal], je :
x = 2../2, y = 2../2, z = ../2. Peta", ki ustreza tej rešitvi, najdemo na sliki 1
v prvi vrsti na tretjem mestu .
Podobno bi poiskali tudi preostale petalIje z obravnavanjem preostalih
devetnajstih enačb, ki jih določajo peta/ijevska zaporedja .
Po taki poti je Read ugotovil, da je vseh petalfjev osemnajst. Objavljeni
so na sliki 1 - s tem da je eden izmed njih izpuščen. Zato, da bi ga bralec
sam poiskal. V pomoč mu prišepnimo, da ga lahko najd e s pomočjo zadnjega
izmed dvajsetih objavljenih zaporedij .
Vilko Domajnko