i
i
“444-Hafner-naslov” — 2010/5/26 — 13:45 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 4
Stran 237
Izidor Hafner:
KAJ MANJKA LEIBNIZOVEM DOKAZU?
Ključne besede: matematika, rekreacijska matematika, logično skle-
panje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/444-Hafner-Leibniz.pdf
c© 1980 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
KAJ MANJ KA VLE IBNIZOVEM* DO KAZU?
Na sl ed nj i ods t av e k je vze t iz dela Fr e ge**, Die Grundlagen der
Ar ith me ti k, 1884:
Dr ugi f il ozofi i n matema tik i pa so trdi l i , da so nume rične f or
mule deja ns ko dok azljiv e. Ta ko Le i bni z pr avi:
"Ni ne posre d na res nica, da je 2 i n 2 enako 4 ; ob pogoju, da 4
označ u je 3 in 1 . To l a hko dokaž emo t a kol e :
Defi ni c i j e: ( 1 ) 2 je 1 i n
( 2 ) 3 je 2 i n
( 3 ) 4 je 3 i n
Aks iom: če ne kaj zamen jamo z e na ki m, enakost ostane .
Do ka z : 2 + 2 2 + 1 + 1 (po def 1) = 3 + 1 (po def 2 )
4 (po def. 3 ) .
2 + 2 4 (po aksio mu ). "
Tal e dokaz se zdi na pr vi pog led ses ta v l jen l e i z zgornj ih de -
f inicij i n aksioma . Aksiom pa se da spreme niti v def i nicijo,
kar Le i bn i z pokaže v drugem odde lku. Toda č e bo lje pog ledamo,
najdemo luknjo v dokazu, ki j e nasta la za r ad i opustitve o klep ~
jev . če bi hotel i bit i strog i, moramo pis a t i :
2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 4
Kar j e zgoraj i z pu š č e n o, j e
2 + (1 + 1) = ( 2 + 1) +
to pa je pose be n pr i mer zako na
a + (b + c) (a+b)+c
Tega asoc iativnega zakona pa Leib niz ne navaja .
I z i d or Hafne r
* G.W. Le i bn i z ( 1646- 1716), nemški fi l ozof in matematik
** G. Fr ege ( 1848- 1925) , nemški l ogi k
237