ERK'2020, Portorož, 132-135 132
Vodenje rotacijskega invertiranega nihala 
Aljaž Blažič, Gorazd Karer 
Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani  
E-pošta: aljaz96@gmail.com, gorazd.karer@fe.uni-lj.si  
 
 
Control of a rotary inverted pendulum  
Abstract. The rotary inverted pendulum represents a 
compact platform of a nonlinear mechanical system with 
fast dynamics. The system is found in many laboratories, 
as it represents an impressive platform for the 
demonstration and development of control of distinctly 
nonlinear systems. 
 The paper includes theoretical modelling, simulation 
of the dynamic system and development of a closed-loop 
control system for the rotary inverted pendulum. On a 
linearized model of the system, a linear quadratic 
regulator was designed in order to stabilize the system in 
the upper unstable equilibrium position. The states of the 
process were estimated with an extended Kalman filter. 
A swing-up regulator was implemented, which brought 
the pendulum from the lower equilibrium position close 
to the upper unstable position. These approaches were 
implemented and verified in simulation and then tested 
on the pilot plant [1]. 
 
1 Uvod 
Rotacijsko invertirano nihalo predstavlja kompaktno 
platformo nelinearnega mehanskega sistema s hitro 
dinamiko. Sistem najdemo v številnih laboratorijih, saj 
predstavlja impresivno platformo za demonstracijo in 
razvoj vodenja izrazito nelinearnih sistemov. 
 Prispevek obsega teoretično modeliranje, simulacijo 
dinamičnega sistema in razvoj sistema zaprtozančnega 
vodenja rotacijskega invertiranega nihala. Na 
lineariziranem modelu sistema je bil načrtan optimalni 
regulator stanj z namenom stabilizacije sistema v zgornji 
ravnovesni legi. Stanja procesa smo ocenjevali z 
razširjenim Kalmanovim filtrom. Implementiran je bil 
regulator za dvig nihala, ki je nihalo pripeljal iz spodnje 
ravnovesne lege v bližino zgornje nestabilne ravnovesne 
lege. Omenjene pristope smo načrtali in preverili 
simulacijsko, nato pa smo jih preizkusili na pilotni 
napravi [1]. 
 
2 Opis naprave 
Nihalo Furuta nihalo je bilo prvič razvito leta 1992 na 
Tokijskem inštitutu za tehnologijo. Naprava je 
sestavljena iz ročice, ki rotira v horizontalni ravnini 
okrog navpične osi. Na rotirajočo ročico je pritrjeno 
nihalo, ki prosto niha okrog vzdolžne osi ročice (slika 1). 
Enosmerni motor je mehansko povezan z  ročico, na 
katero deluje z navorom 𝜏 . Ročica ima dolžino 𝐿 1
 in maso 
𝑚 1
, nihalo pa dolžino 𝐿 2
 ter maso 𝑚 2
. Dolžini 𝑙 1
 in 𝑙 2
 sta 
razdalji od osi vrtenja do težišča. Vztrajnostna momenta 
okoli težišča ročice in nihala sta  𝐽 1
 in 𝐽 2
. Koeficienta 
dušenja sta predstavljena z 𝑏 1
 in 𝑏 2
, kjer je 𝑏 1
 dušenje v 
ležajih motorja, 𝑏 2
 pa dušenje ležajev, ki povezujejo 
ročico in nihalo. Na rotacijsko invertirano nihalo lahko 
gledamo kot na sistem z enim vhodom in dvema 
izhodoma. Vhod 𝑢 predstavlja napetost, s katero 
vzbujamo enosmerni motor. Izhoda 𝜗 1
 in 𝜗 2
 predstavljata 
zasuk ročice in kot nihala. 
 
Slika 1: Shematski prikaz rotacijskega invertiranega nihala [2] 
3 Nelinearni matematični model 
Za razvoj nelinearnega modela smo uporabili teoretično 
modeliranje. Celoten postopek izpeljave s pomočjo 
Lagrangove enačbe je prikazan v [2]. Ravnotežni enačbi 
iz članka smo modificirali, da se ujemata s koordinatnim 
sistemom modela na (sliki 1). Enačbi (1) in (2) 
prikazujeta ravnotežni enačbi nelinearnega modela: 
 
𝛼 𝜗 ̈ 1
+ 𝛽 𝜗 ̇ 1
𝜗 ̇ 2
− 𝛾 𝜗 ̈ 2
+ 𝛿 𝜗 ̇ 2
2
+ 𝑏 1
𝜗 ̇ 1
= 𝜏 , (1) 
𝛾 𝜗 ̈ 1
− [𝐽 2
+ 𝑚 2
𝑙 2
2
]𝜗 ̈ 2
+
1
2
𝛽 𝜗 ̇ 1
2
 
−𝑔 𝑚 2
𝑙 2
sin(𝜗 2
) − 𝑏 2
𝜗 ̇ 2
= 0, (2) 
kjer so: 
 𝛼 = 𝐽 1
+ 𝑚 1
𝑙 1
2
+ 𝑚 1
𝐿 1
2
+ [𝐽 2
+ 𝑚 2
𝑙 2
2
]sin
2
(𝜗 2
), 
 𝛽 = [𝐽 2
+ 𝑚 2
𝑙 2
2
]sin(2𝜗 2
), 
 𝛾 = 𝑚 2
𝐿 1
𝑙 2
cos(𝜗 2
), 
 𝛿 = 𝑚 2
𝐿 1
𝑙 2
sin(𝜗 2
). 
  
Za opisani nelinearni model veljajo naslednje 
predpostavke [2], [3]: 
 Gred motorja in ročica sta togo spojeni. 
 Ročica in nihalo sta povsem toga. 

133
 
 Uporabili smo le koeficiente viskoznega trenja. 
Zanemarili smo dušenje, ki nastane zaradi 
zračnega upora, statičnega in Coulombovega 
trenja. 
 Vztrajnostni moment smo upoštevali le glede na 
glavno os gibanja. 
 Vztrajnostni moment motorja je zanemarljiv. 
 Določili smo matematični model, ki povezuje 
vzbujalno napetost motorja 𝑢 in navor 𝜏 . Upoštevali smo 
predpostavko, da je dinamika zaradi induktivnosti dovolj 
hitra, da jo lahko zanemarimo. Iz Kirchoffovega zakona 
izrazimo povezavo med napetostjo 𝑢 in tokom 𝑖 na 
motorju oblike: 
 
𝑅 𝑚 𝑖 + 𝐾 𝑚 𝜗 ̇ 1
= 𝑢 , (3) 
 
pri čimer 𝑅 𝑚 predstavlja električno upornost motorja, 𝐾 𝑚 
pa inducirano protinapetostno konstanto. Enačba (4) 
prikazuje linearno odvisnost med električnim tokom 𝑖 na 
motorju in navorom motorja 𝜏 : 
 
𝜏 = 𝐾 𝑡 𝑖 , (4) 
 
pri čimer 𝐾 𝑡 predstavlja navorno konstanto motorja [3].  
 Enačbi (3) in (4) vstavimo v ravnotežno enačbo (1). 
V ravnotežni enačbi vpeljemo nekaj dodatnih 
spremenljivk, katere nimajo direktnega fizikalnega 
pomena, a naredijo zapis kompaktnejši: 
 
𝛼 𝜗 ̈ 1
+ 𝛽 𝜗 ̇ 1
𝜗 ̇ 2
− 𝛾 𝜗 ̈ 2
+ 𝛿 𝜗 ̇ 2
2
+ 𝑏 ̂
1
𝜗 ̇ 1
= 𝐾 𝑢 𝑢 , (5) 
𝛾 𝜗 ̈ 1
− 𝐽 ̂
2
𝜗 ̈ 2
+
1
2
𝛽 𝜗 ̇ 1
2
− 𝑔 𝑚 2
𝑙 2
sin(𝜗 2
) − 𝑏 2
𝜗 ̇ 2
= 0, (6) 
kjer so: 
𝛼 = 𝐽 1
+ 𝑚 1
𝑙 1
2
+ 𝑚 1
𝐿 1
2
+ 𝐽 ̂
2
sin
2
(𝜗 2
) , 
𝛽 = 𝐽 ̂
2
sin(2𝜗 2
) , 
𝛾 = 𝑚 2
𝐿 1
𝑙 2
cos(𝜗 2
) , 
𝛿 = 𝑚 2
𝐿 1
𝑙 2
sin(𝜗 2
), 
𝐽 ̂
2
= 𝐽 2
+ 𝑚 2
𝑙 2
2
, 
𝑏 ̂
1
= 𝑏 1
+ 𝐾 𝑡 𝐾 𝑚 𝑅 𝑚 −1
, 
𝐾 𝑢 = 𝐾 𝑡 𝑅 𝑚 −1
. 
 
 Nelinearni matematični model (5-6) pretvorimo v 
zapis v prostoru stanj: 
 
𝑥 ̇ 𝑧 = 𝑓 𝑧 (𝑥 𝑧 ,𝑢 𝑧 ), 
𝑦 𝑧 = 𝐶 𝑥 𝑧 , (7) 
 
pri čimer 𝑥 𝑧 (𝑡 ) = [
𝜗 1
𝜗 2
𝜗 ̇ 1
𝜗 ̇ 2
]
𝑇 predstavlja 
vektor stanj sistema, 𝑢 𝑧 (𝑡 ) vzbujanje sistema, 𝑦 𝑧 (𝑡 ) 
vektor izhoda sistema, 𝐶 izhodno matriko, 𝑓 𝑧 (𝑥 𝑧 ,𝑢 𝑧 ) pa 
vektorsko nelinearno preslikavo, ki jo lahko izrazimo: 
 
𝑓 𝑧 (𝑥 𝑧 ,𝑢 𝑧 ) =
1
Δ
[
 
 
 
 
Δ𝜗 ̇ 1
Δ𝜗 ̇ 2
𝑏 2
𝛾 𝜗 ̇ 2
+ 𝐽 ̂
2
𝜇 + 𝛾𝜂
𝑏 2
𝛼 𝜗 ̇ 2
+ 𝛾𝜇 + 𝛼 𝜂 ]
 
 
 
 
+
1
Δ
[
0
0
−𝐽 ̂
2
𝐾 𝑢 −𝛾 𝐾 𝑢 ] 𝑢 𝑧 , (8) 
kjer so: 
Δ = 𝛾 2
− 𝐽 ̂
2
𝛼 ,  
𝜇 = 𝑏 ̂
1
𝜗 ̇ 1
+ 𝛽 𝜗 ̇ 1
𝜗 ̇ 2
+ 𝛿 𝜗 ̇ 2
2
,  
𝜂 = [𝑔 𝑚 2
𝑙 2
− 𝐽 ̂
2
cos(𝜗 2
) 𝜗 ̇ 1
2
]sin(𝜗 2
).  
 
Izhod sistema predstavljata prvi dve stanji, zato lahko 
izhodno matriko zapišemo kot 𝐶 = [𝐼 2×2
 0
2×2
].  
 
3.1 Določitev parametrov nelinearnega 
matematičnega modela 
Najprej smo določili parametre elementov sistema, ki jih 
je bilo mogoče enostavno izmeriti. Rezultati meritev so 
prikazani v tabeli 1 [3]. 
Tabela 1. Izmerjeni parametri modela 
Oznaka Vrednost 
𝐿 1
 95 mm 
𝐿 2
 72 mm 
𝑚 2
 3,30 g 
𝑙 2
 52,5 mm 
 
 Ostale parametre smo ocenili z izvajanjem 
eksperimentov na sistemu. Uporabili smo optimizacijo z 
metodo Nelder-Mead, kjer smo iskanji minimum izbrane 
kriterijske funkcije. Določanje parametrov modela smo 
razdelili na dva dela. V prvem delu smo fiksirali ročico. 
S tem smo zmanjšali kompleksnost modela in lažje 
določili en del parametrov modela. V drugem delu smo 
izvajali eksperimente na celotnem modelu in tako 
določili še vse preostale parametre. 
 
4 Linearni matematični model 
Linearizacijo nelinearnega matematičnega modela smo 
izvedli s pomočjo aproksimacije s Taylorjevo vrsto v 
okolici zgornje ravnovesne lege 𝑥 0
= [0,𝜋 ,0,0]
𝑇 
in 𝑢 0
= 0. Definicija spremenljivk v delovni točki 
(𝑥 0
,𝑢 0
): 𝑥̃
𝑧 = 𝑥 𝑧 − 𝑥 0
, 𝑢̃
𝑧 = 𝑢 𝑧 − 𝑢 0
 in 𝑦̃
𝑧 = 𝑦 𝑧 − 𝐶 𝑥 0
. 
 Linearni matematični model v delovni točki opišemo 
z naslednjima enačbama: 
 
𝑥̃
̇ 𝑧 = 𝐴 𝑧 𝑥̃
𝑧 + 𝐵 𝑧 𝑢̃
𝑧 ,       
𝑦̃
𝑧 = 𝐶 𝑥̃
𝑧 ,              (9) 
 
kjer sta 𝐴 𝑧 in 𝐵 𝑧 definirani kot Jacobijevi matriki: 
 
      𝐴 𝑧 =
𝜕 𝑓 𝑧 (𝑥 𝑧 ,𝑢 𝑧 )
𝜕 𝑥 𝑧 |
(𝑥 0
,𝑢 0
)
  in  𝐵 𝑧 =
𝜕 𝑓 𝑧 (𝑥 𝑧 ,𝑢 𝑧 )
𝜕 𝑢 𝑧 |
(𝑥 0
,𝑢 0
)
.  (10)  
 
 Zapis zveznega linearnega sistema v prostoru 
stanj (9) pretvorimo v diskretnega z metodo stopnične 
invariance [4]. Za čas vzorčenja 𝑡 𝑠 smo vzeli 5 𝑚𝑠 , ki je 
tudi uporabljen na pilotni napravi. Enačbi (11) 
prikazujeta zapis diskretnega linearnega sistema v 
prostoru stanj: 
 
𝑥 𝑘 = 𝐴 𝑑 𝑥 𝑘 −1
+ 𝐵 𝑑 𝑢 𝑘 −1
, 
𝑦 𝑘 = 𝐶 𝑥 𝑘 ,                (11) 

134
kjer ocenimo matriki 𝐴 𝑑 in 𝐵 𝑑 z naslednjima enačbama:  
          𝐴 𝑑 = ̇ ∑
𝑡 𝑠 𝑖 𝑖 !
𝐴 𝑧 𝑖 𝑛 𝑖 =0
  in  𝐵 𝑑 = ̇ [∑
𝑇 𝑠 𝑖 +1
(𝑖 +1)!
𝑛 𝑖 =0
𝐴 𝑧 𝑖 ]𝐵 𝑧 .  (12)  
V praksi se izkaže, da dobimo zadovoljive rezultate že pri 
majhnih vrednostih 𝑛 . 
 
5 Regulator za dvig nihala 
V poglavju predstavimo metodo, s katero pripeljemo 
nihalo iz spodnje ravnovesne lege v okolico zgornje. 
Regulator za dvig nihala temelji na potenciranju pozicije 
nihala. Sistem močneje vzbujamo, ko smo blizu spodnje 
ravnovesne lege in vse manj, ko se bližamo zgornji 
ravnovesni legi. Regulacijski zakon predstavimo z 
enačbo:  
 
𝑢 𝑠𝑢
= 𝑘 𝑣 |𝑥̃
𝑧 (2)|
𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑥̃
𝑧 (4) cos(𝑥̃
𝑧 (2))), (13) 
 
pri čimer 𝑘 𝑣 in 𝑛 predstavljata konstanti s katerima 
vplivamo na dinamiko nihanja sistema [5]. Funkcija 𝑠𝑖𝑔𝑛 
vrne predznak podanega argumenta. Spremenljivka 
𝑥̃
𝑧 (2) predstavlja odklon nihala od zgornje ravnovesne 
lege, medtem ko 𝑥̃
𝑧 (4) predstavlja kotno hitrost nihala. 
Konstanti smo določili s poizkušanjem na pilotni napravi 
in znašata 𝑘 𝑣 = −0.03 in 𝑛 = 3. 
 
6 Optimalni regulator stanj 
Optimalni regulator stanj načrtamo z minimizacijo 
kriterijske funkcije: 
𝐽 = ∫(𝑥̃
𝑧 𝑇 𝑄 𝑥̃
𝑧 + 𝑟 𝑢̃
𝑧 2
)
∞
0
𝑑𝑡 , (14) 
pri čimer 𝑄 predstavlja pozitivno semidefinitno in 
simetrično matriko, 𝑟 pa pozitiven skalar [6], [7]. 
Optimalni regulator stanj smo implementirali s pomočjo 
Matlabove funkcije lqr. Za vhode funkcija sprejme 
matriki 𝐴 𝑧 in 𝐵 𝑧 ter matriko 𝑄 in skalar 𝑟 . Kot izhod nam 
funkcija poda vektor 𝑘 . Regulirno veličino izračunamo z 
enačbo: 
 
𝑢̃
𝑧 = −𝑘 𝑇 𝑥̃
𝑧 . (15) 
 
Enačbo (15) modificiramo, da zagotovimo sledenje 
referenčnemu signalu zasuka ročice. 
 
𝑢̃
𝑧 = 𝑘 𝑇 (𝑟 ̃− 𝑥̃
𝑧 ) (16) 
 
pri čimer je referenčni signal 𝑟 ̃= [𝑟 𝜗 1
0 0 0]
𝑇 . S 
prvo komponento spremenljivke 𝑟 ̃ spreminjamo 
referenco položaja ročice.  
 Optimalni regulator stanj deluje dobro le v okolici 
delovne točke, okoli katere smo ga načrtali. Enačba (17) 
prikazuje preklapljane med optimalnim regulatorjem 
stanj in regulatorjem za dvig nihala: 
 
𝑢 𝑧 = {
𝑢̃
𝑧 , |𝑥̃
𝑧 (2)| <
𝜋 6
𝑢 𝑠𝑢
, 𝑠𝑖𝑐𝑒𝑟 (17) 
 
 Pomanjkljivost optimalnega regulatorja stanj je v 
tem, da morajo biti vsa stanja sistema merljiva. 
Dostopnost vseh stanj pa je mnogokrat omejena zaradi 
raznih tehnoloških in ekonomskih omejitev. Problemu 
merljivosti stanj se je mogoče izogniti z njihovim 
ocenjevanjem iz ostalih merljivih spremenljivk. 
 
7 Ocenjevanje stanj procesa 
V poglavju predstavimo pristop k ocenjevanju stanj 
procesa. Problem nedostopnosti stanj rešimo z uporabo 
metode razširjenega Kalmanovega filtra.  
 
7.1 Razširjeni Kalmanov filter 
Razširjeni Kalmanov filter (v nadaljevanju EKF) je 
nelinearna izpeljanka Kalmanovega filtra, ki linearizira 
model v okolici trenutne ocene. Uporaba EKF omogoča 
združevanje podatkov tako, da je rezultat zanesljivejši od 
vsake posamezne meritve s senzorja, saj upošteva 
lastnosti nelinearnega modela ter šuma na vhodu kot tudi 
izhodu procesa. Algoritem ERK poteka v dveh korakih. 
Najprej določimo predikcijsko oceno (a priori) 
naslednjega stanja. Ocena je odvisna od prejšnjega stanja 
kot tudi od vhoda v sistem. Natančnost rezultata je 
odvisna od natančnosti matematičnega modela sistema. 
V drugem delu pa izvedemo korekcijsko oceno (a 
posteriori) trenutnega stanja. Ocena je odvisna od 
predikcijske ocene stanja in trenutne meritve [8]. 
 Za vhodni in izhodni šum mora veljati, da njuni 
kovariančni matriki znašata: 
 
𝑄 𝑘 = 𝐸 [𝑤 𝑘 𝑤 𝑘 𝑇 ] 
𝑅 𝑘 = 𝐸 [𝑣 𝑘 𝑣 𝑘 𝑇 ] (18) 
 
pri čimer predstavlja 𝐸 operator matematičnega upanja, 
𝑤 𝑘 vrednost vhodnega šuma in 𝑣 𝑘 vektor izhodnega 
šuma. S poskušanjem smo nastavili kovariančne matrike 
šuma na diagonalne matrike konstantnih vrednosti. 
 Enačbi (19) opisujeta predikcijski korak [9]: 
 
𝑥̂
𝑘 |𝑘 −1
= ̇ 𝑥̂
𝑘 −1|𝑘 −1
+ 𝑡 𝑠 𝑓 𝑧 (𝑥̂
𝑘 −1|𝑘 −1
,𝑢 𝑘 −1
) 
𝑃 𝑘 |𝑘 −1
= 𝐴 𝑑 ∗
𝑃 𝑘 −1|𝑘 −1
𝐴 𝑑 ∗
𝑇 + 𝐵 𝑑 ∗
𝑄 𝑘 −1
𝐵 𝑑 ∗
𝑇 (19) 
 
pri čimer 𝑥̂ predstavlja oceno stanj, 𝑃 pa oceno 
kovariance. Z indeksiranjem 𝑘 |𝑘 − 1 povemo, da gre za 
oceno spremenljivke v trenutku 𝑘 iz podatkov v trenutku 
𝑘 − 1. Matriki 𝐴 𝑑 ∗
 in 𝐵 𝑑 ∗
 določimo z enačbama (12). 
Uporabljene matrike 𝐴 𝑧 in 𝐵 𝑧 določimo z enačbama (10), 
le da namesto delovne točke (𝑥 0
,𝑢 0
) uporabimo oceno 
stanja  (𝑥̂
𝑘 −1|𝑘 −1
,𝑢 𝑘 −1
). 
 Enačbe (20) opisujejo korekcijski korak [9]: 
 
𝐾 𝑘 = 𝑃 𝑘 |𝑘 −1
𝐶 𝑇 (𝐶 𝑃 𝑘 |𝑘 −1
𝐶 𝑇 + 𝑅 𝑘 )
−1
 
𝑥̂
𝑘 |𝑘 = 𝑥̂
𝑘 |𝑘 −1
+ 𝐾 𝑘 (𝑦 𝑘 − 𝐶 𝑥̂
𝑘 |𝑘 −1
) (20) 
𝑃 𝑘 |𝑘 = 𝑃 𝑘 |𝑘 −1
− 𝐾 𝑘 𝐶 𝑃 𝑘 |𝑘 −1
 
 
Pred začetkom algoritma EKF je potrebno določiti 
začetno oceno stanja 𝑥̂
0
 in začetno oceno kovarinace 𝑃 0
. 
Ob zagonu se nihalo nahaja v spodnji ravnovesni legi, 

135
 
zato začetno stanje 𝑥̂
0
 nastavimo na nič. Začetno 
vrednost kovariance 𝑃 0
 pa nastavimo na dovolj veliko 
vrednost.  
 
8 Preizkus na pilotni napravi 
Model, regulator in EKF smo najprej implementirali v 
simulaciji in preizkusili njihovo delovanje. Ko smo bili 
zadovoljni z obnašanjem sistema, smo delovanje 
preizkusili še na pilotni napravi. Pojavile so se težave, saj 
model ni popolnoma odražal vseh lastnosti realne 
naprave. Pri majhnih vzbujalnih napetostih je lepenje in 
trenje v jermenskem prenosu preveliko, da bi se motor 
zavrtel. Neželeno nelinearnost smo poskušali odpraviti z 
zamikom napetosti, kot je predlagano v [1]. S 
poizkušanjem smo določili matriko 𝑄 in skalar 𝑟 , tako da 
je optimalnemu regulatorju stanj uspelo sistem 
stabilizirati v zgornji ravnovesni legi ter hkrati slediti 
referenci ročice. 
 Z EKF ocenjujemo tudi vrednosti, ki jih merimo s 
senzorji zasuka. Izkazalo se je, da dobimo boljše 
rezultate, ko upoštevamo meritve direktno iz senzorjev. 
Tako s EKF ocenjujemo le hitrosti ročice in nihala, ki 
nista direktno merljivi na napravi. Razlog za nenatančno 
napoved EKF je v slabi kakovosti modela.  
 Slika 2 prikazuje primer eksperimenta, kjer 
primerjamo odzive sistema v simulaciji in na napravi. 
Nihalo se najprej nahaja v spodnji ravnovesni legi. Z 
regulatorjem za dvig nihala sistem pripeljemo v okolico 
zgornje ravnovesne lege. V simulaciji potrebuje nihalo en 
nihaj, medtem ko na napravi potrebuje dva nihaja, da se 
približa zgornji ravnovesni legi. To nakazuje na 
odstopanje med modelom in napravo.  Ko se približamo 
zgornji ravnovesni legi, se zgodi preklop na optimalni 
regulator stanj, ki sistem stabilizira v zgornji ravnovesni 
legi, hkrati pa še sledi referenci ročice. Na napravi 
opazimo, da se ročici ne uspe ustaliti ob referenci.  
Nihanje okrog nje je najverjetneje posledica zračnosti 
prenosnega mehanizma.   
9 Zaključek 
Za inverzno rotacijsko nihalo je značilno, da izkazuje 
izrazite nelinearne lastnosti. Nelinearnost je otežila 
določitev parametrov modela, kar je zmanjšalo tudi 
kakovost vodenja. Problem nelinearnosti bi lahko 
zmanjšali z nadgradnjo strukture modela, kjer bi 
upoštevali še statično in Coulombovo trenje. Na pilotni 
napravi nam je uspelo nihalo dvigniti v okolico zgornje 
ravnovesne lege in ga tam tudi stabilizirati. V 
nadaljevanju bi se lahko posvetili izboljšavi modela in 
poskušali odpraviti nihanje ročice okoli reference.   
 
Literatura 
[1] M. Bošnak, „Majhno invertirano nihalo“, Zbornik 
25. mednarodne Elektrotehniške in računalniške 
konference ERK, str. 143–146, 2016. 
[2] B. Cazzolato in Z. Prime, „On the dynamics of the 
Furuta pendulum“, Journal of Control Science and 
Engineering, 2011. 
[3] M. Pernuš in M. Peterka, „Modeliranje rotacijskega 
nihala“, Zbornik 10. konference Avtomatizacija v 
industriji in gospodarstvu, 2017. 
[4] S. Blažič, „Digitalno vodenje, Prosojnice 
predavanj“, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za 
elektrotehniko, 2018. 
[5] P. Seman, B. Rohal Ilkiv, M. Juhas, in M. Salaj, 
„Swinging up the Furuta pendulum and its 
stabilization via model predictive control“, Journal 
of Electrical Engineering, vol.64,str.152–158, 2013. 
[6] E. Guechi, S. Bouzoualegh, Z. Youcef in S. Blažič, 
„MPC control and LQ optimal control of a two-link 
robot arm: A comparative study“, Machines, vol. 6, 
str. 1–14, avg. 2018. 
[7] R. Mohammadi Asl, A. Mahdoudi, E. Pourabdollah 
in G. Klančar, „Combined PID and LQR controller 
using optimized fuzzy rules“, Soft Comput, vol. 23, 
str. 5143–5155, jul. 2019. 
[8] R. Juhant, „Sistemi za navigacijo v okoljih s 
senzorskimi in zunanjimi omejitvami“, Univerza v 
Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, 2015. 
[9] G. Klančar, „Autonomous mobile systems: 
Nondeterministic events in mobile systems, 
Prosojnice predavanj“, Univerza v Ljubljani, 
Fakulteta za elektrotehniko, 2019. 
 
 
Slika 2: Odziv sistema v simulaciji in na pilotni napravi. Prikaz spreminjanja kota nihala in odmika ročice.