O NEKI ZVEZI MED RIEMANNOVO FUNKCIJO ZETA IN PRASTEVILI ALEKSANDER SIMONIC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 40A30, 11M26 V članku pokažemo, kako lahko vrsto f (p-s) izrazimo z Riemannovo funkcijo zeta, če je f holomorfna funkcija in vsota teče po vseh praStevilih. V nadaljevanju se ukvarjamo z analitičnimi lastnostmi takih funkcij. ON SOME RELATION BETWEEN THE RIEMANN ZETA FUNCTION AND PRIMES In the article we demonstrate how to express the series f (p-s) in terms of Riemann zeta function, where f is a holomorphic function and summation goes through primes. Next we study analytic properties of such functions. Uvod Riemannova funkcija zeta je definirana kot funkcijska vrsta Z M = £ ns M n= 1 kompleksne spremenljivke s. Kot funkcijo realnega parametra jo je obravnaval Ze Leonhard Euler (1707-1783). Njemu tudi pripisujemo odkritje neskončnega produkta za funkcijo Z (s) Z (s) = n r-p=s. (2) p kjer smo s p oznacili elemente iz mnoZice prastevil. Kot funkcijo kompleksne spremenljivke pa jo je obravnaval sele Georg F. B. Riemann (1826-1866) v clanku Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, objavljenem leta 1859. Ce oznacimo s = a + it, potem je za a > 1 vrsta (1) absolutno konvergentna; prav tako velja enakost (2). V clanku je Riemann s posebnimi prijemi kompleksne analize in lastnostmi funkcije gama funkcijo (1) analiticno razsiril na C\ {1}. Kot posledico razsiritve je dobil znamenito funkcijsko enacbo Z (1- s) = 2(2n)-T(s)cos( y) Z (s). (3) 201 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 Aleksander Simonic Od takrat so odkrili se precej dokazov enačbe (3). Nekaj od teh jih bo bralec nasel v [7, §2]. Z Eulerjevim produktom (2) slutimo, da je funkcija Z povezana s praSte-vili. In res, na njem sloni pra,številski izrek lim n(x)logx = x^^ x kjer n(x) označuje stevilo prastevil, ki ne presegajo x. Ob studiju funkcije zeta in prastevilskega izreka pogosto naletimo na zvezo = log Z (s), (4) npns p n=1 ki se pojavlja v dokazu Jacquesa S. Hadamarda (1865-1963) in Charlesa J. G. N. de la Valiee Poussina (1866-1962), da razSirjena funkcija Z (s) nima nicel na premici a = 1 [7, str. 46] in je eden od ključnih elementov dokaza praStevilskega izreka. VpraSanje, kje lezijo ničle funkcije Z (s), je v tej teoriji zelo pomembno. Naj bo N (T) Stevilo ničel funkcije Z (s) na območju {z € C: 0 < K(z) < 1, 0 < 9(z) < T}, N(ao,T) Stevilo nicel na obmocju {z € C: K(z) > ao, 0 < 9(z) < T} in No (T) Stevilo nicel na {z € C: K(z) = 1/2, 0 < 9(z) < T}. Iz enakoSti (2) Sledi N(1,T) = 0 za vSak T > 0. Preko funkcijSke enacbe (3) opazimo, da so tocke s = —2k za vSak k € N edine nicle v polravnini a < 0. Te nicle imenujemo trivialne ničle. Vse preostale netrivialne ničle lezijo v pasu 0 < a < 1. Slovita in Se ne reSena Riemannova domneva spraSuje, ali vse netrivialne nicle funkcije zeta lezijo na premici a = 1/2, kar je z zgornjimi oznakami ekvivalentno trditvi N (T) = No (T) za vsak T > 0. Takim niclam pravimo kritične. Že Riemann je napovedal naslednjo asimptoticno formulo1 [7, izrek 9.4] N (T ) = 2n log2ne + O(logT), katere dokaz je leta 1905 podal Hans C. F. von Mangoldt (1854-1925). AngleSki matematik Godfrey H. Hardy (1877-1947) je v prid Riemannovi domnevi leta 1914 dokazal, da je kriticnih nicel neskoncno mnogo. Sedem let kasneje je v sodelovanju z Johnom E. Littlewoodom (1885-1977) dokazal, da obstajata konstanti A, T0 > 0, tako da velja No (T) > AT (5) 1Oznaka f (x) = O(g(x)) za realni funkciji f, g, definirani na neki domeni D C R, pomeni, da obstaja konstanta C > 0, da velja |f(x)| < Cg(x) za vse x £ D. 202 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili za vse T >T0 [7, izrek 10.7]. Harald A. Bohr (1887-1951) in Edmund G. H. Landau (1877-1938) sta leta 1914 dokazala [7, izrek 9.15(A)] N (a, T) = O(T) (6) za vsak fiksen a > 1/2. To je izboljSana Riemann-von Mangoldtova formula za primer tistih morebitnih ničel, ki lezijo desno od kritičnih. Preko (4) se da izpeljati ¿=~1rlogZ (Sn)' (7) p n=l kjer se vrsta na levi imenuje prastevilska funkcija zeta, ^(n) pa je Mobiu-sova funkcija, imenovana po nemskem matematiku Augustu F. Mobiusu (1790-1868). V članku bomo posplosili zvezo (4) oz. (7) na primer sumacije f (p-sn)/n oz. f (p-s), kjer je f (z) holomorfna funkcija v okolici 0, za katero velja f (0) = 0. V nadaljevanju bomo z uporabo podobnih ocen kakor (5) in (6) raziskali analiticne lastnosti funkcije Z^flP-s). Prva posplositev Naj bo f (z) holomorfna funkcija na domeni Q C C, ki vsebuje tocko 0, in naj velja f (0) = 0. Vemo, da se funkcijo lahko zapise v obliki potencne vrste f(z) = anzn (8) n=l s konvergencnim radijem R(f). Lema 1. Naj bo f (z) oblike (8) s konvergencnim radijem R(f). Potem za |z| < min{1,R(f)} velja (X -a„log(l- )= ^. (9) T T n n= 1 n= 1 Dokaz. Spomnimo se znane potencne vrste - log(1 - z)= —, (10) n n=1 201-212 203 ( Aleksander Simonic ki konvergira za |z| < 1. Radi bi pokazali, da velja ro ro ro zmn ro ro zmn ro f (z™) -a„log(1 - zn) = a™-= a™-= - m m n n= 1 n=l m=1 m=1 n=l n=l za |z| < min{1, R(f)}. Prvi in tretji enacaj sledita iz definicije dvakratnih vrst in definicije funkcije f (z), torej je treba dokazati veljavnost drugega enačaja. Izberimo poljuben |z0| < min{1, R(f)}. Cauchyjev izrek o dvakratnih vrstah [6, str. 143] nam zagotavlja, da je dovolj preveriti konvergenco druge vrste v zo, pri kateri zamenjamo clene z absolutnimi vrednostmi oo oo i i mn oo |an|^— = -|an| log(1-|zo|n). (11) m n=1 m=1 n=1 Naj bo N € N tak, daje |zo|N < 1/2. Ker za |z| < 1/2 velja ocena | log(1 + z)|< 2|z|, (12) sledi ro ro |an|| log(1-|zo|n)| < 2|an||zo|n. n=N n=N Majoranta konvergira, saj je |zo | < R(f). S tem konvergira tudi dvakratna vrsta (11). Enakost (9) je s tem dokazana. ■ Neposredno iz (1) za a > 1 sledi |Z (s) - 1|< Z (a) - 1. To pomeni, da slika polravnine a > 2 funkcije Z (s) lezi v enotskem disku s srediscem v 1. To dejstvo zagotavlja obstoj holomorfne funkcije log Z (s) na obmocju a > 2. Iz (2) za a > 1 sledi log Z(s) = - log(1 - p-s). (13) p Fiksirajmo ao >1. Z uporabo ocene (12) dobimo | log(1 — p-s)| < 2p-CT0 p p za vse a > ao. Weierstrassov M-kriterij nam pove, da vrsta v (13) konvergira enakomerno na kompaktih na obmocju a > 1, zato je na tem obmocju holomorfna funkcija. Torej je funkcija log Z (s), definirana s (13), holomorfna na polravnini a > 1. Opazimo lahko, da nam kombinacija enacb (10) in (13) da enakost (4). Naslednjo trditev imamo lahko za posplositev te enakosti, saj jo dobimo s postavitvijo f(z) = z. 204 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili Trditev 2. Naj bo f (z) oblike (8) in s = a + it. Potem na polravnini a > X(f), kjer je x(f).= /V 1, R(f) >1/2 X(f\-log2R(f), R(f) <1/2, velja enakost ^-i = an log Z (sn). (14) -i n -i p n=l n=l Ce obstaja tak Ne N, da je an = 0 za vsak n < N, potem zgornja enakost velja na polravnini a > N-1x(f). Funkcija, ki jo določa dvakratna vrsta, je na tem območju holomorfna. Dokaz. Fiksirajmo ao > x(f)• Potem je |p-s| < 2-x(f) < min{1, R(f)} za vse a > a0 in vsa praStevila p. Zato lahko uporabimo lemo 1 za z = p-s in dobimo f (P-sn) , 1 - an log - n 1 — p-sn p n=1 p n=1 Iz enakosti (13) dobimo ^ 1 ^ an log --— = an log Z (sn). 1 — p sn n=1 p n=1 Ce pokaZemo, da zgornja dvakratna vrsta, pri kateri zamenjamo clene z absolutnimi vrednostmi, konvergira za vsak a > a0 in je majoranta odvisna le od a0, bo sledila enakost (14) in holomorfnost funkcije, ki jo določa ta dvakratna vrsta. Ker je |an|| log(1 - p-sn)| < 2|an| p-an < 2|an|(Z(aon) - 1), p p dobimo oceno |an|| log(1 - p-sn)|< 4|an|2" -)-aon 41 an |2 n=1 p n=1 kjer smo upostevali Z(a0n) — 1 < 21-CT°n• Majoranta konvergira in je odvisna le od a0. Ce obstaja tak N e N, da je an = 0 za vsak n < N, potem sestevamo v (14) sele od n = N naprej. Zgoraj dokazano bo veljalo za tiste s, pri katerih je Na > x(f). ■ oo oo 201-212 205 Aleksander Simonic Druga posplositev Oglejmo si naslednji problem. V dokazu leme 1 smo dokazali absolutno konvergenco dvakratne vrste ro ro ,J"n an-. (15) m n= 1 m= 1 Sestevali smo po vrsticah in stolpcih, vendar lahko zaradi absolutne konvergence v kateremkoli vrstnem redu. Poskusimo sesteti vrsto (15) tako, da ponovno dobimo potencno vrsto ro f(¿n) 111 ^^ = aiz+- (ai + 2a2) z2+- (ai + 3as) z3+- (ai + 2a2 + 4a4) z4+- ■ n 2 3 4 n=1 Opazimo, da lahko vrsto strnemo f(zn) ro d = Anzn, kjer je An = -ad. . „ „ ^n n , n n=1 n=1 d|n Ta vrsta pomeni novo funkcijo, recimo ji F (z). Po trditvi 2 vemo, da na polravnini a > %(/) velja F (p s) = anlogZ (sn) p n=1 in funkcija, ki jo določa vrsta po prastevilih, je na tem območju holomorfna. V tem primeru imamo koeficiente an dane, racunamo pa koeficiente An nove vrste, ki pomeni funkcijo F (z). Vendar bi se radi problema lotili z druge strani. Denimo, da imamo funkcijo F (z) ze zapisano v potencni vrsti. Bi znali dolociti koeficiente an? Odgovor se skriva v t. i. Mobiusovi inverzni formuli. Mobiusova funkcija ^(n) je za vsak n € N definirana z 1, n = 1 k, n = pr 0, n je deljiv s kvadratom kaksnega prastevila. Mn) = s Z—1)k, n = produkt k razlicnih prastevil Mobiusova funkcija je primer aritmetične funkcije, to so funkcije, definirane na mnozici naravnih stevil. Osnovna lastnost funkcije ^(n) je podana v naslednji lemi: ro ro 206 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili Lema 3. Za vsako naravno število n velja '«H?::;;. din v Dokaz. Za n = ; je po definiciji '(;) = ;. Naj bo n > ;. Po osnovnem izreku aritmetike lahko piSemo n = rip|n pUp(n). K zgornji vsoti prispevajo samo tisti delitelji Stevila n, ki imajo v praStevilskem razcepu potence ;. Torej sestavljajo mnoZico deliteljev kombinacije brez ponavljanja mnoZice (pi, p2,... ,Pk} := (p: p|n}. Potem imamo '(d) =; + (-;r (m) = (; - ;)k = 0. - d|n m=1 ^ / Izrek 4 (Mobiusova inverzna formula). Naj bosta f (n) ing(n) poljubni aritmetišni funkciji. Potem velja g(n) = f(d) ^^ f(n) = g(d)- d| n d| n Dokaz. Pisemo lahko "(=)»>= 'O f(«)■ d|n d|n q|d Za q = n je d = n, zato je v vsoti le en clen '(;)f (n) = f (n). Naj bo sedaj q < n. Imamo d = lq, kjer l deli n/q. Potem je koeficient pred f (q) enak ' (f)- kar je enako 0 po lemi 3. Nasprotno smer dokazemo podobno, zato dokaz prepuscamo bralcu. ■ Sedaj smo pripravljeni na naslednji izrek, ki posplosuje zvezo (7). Izrek 5. Naj bo f (z) oblike (8), s = a + it in x(f) iz trditve 2. Potem na polravnini a > x(f) velja enakost N-1x(f). Funkcija, ki jo dološa vrsta po praštevilih, je na tem obmošju holomorfna. 201-212 207 Aleksander Simonic Dokaz. Naj bo g(n) := An in h(d) := (d/n)ad. Iz zveze v izreku 5 med an in An in Mobiusove inverzne formule dobimo an = Zato preostane dokazati, da za vrsto F (z) := An zn velja x(F) < x(/). Ker je |An||z|n< "M|z|n = K ||z i ^ imra n d 1 '1 n ||z | < | ||z | — | an | n m n=1 n=1 d|n n=1 m=1 vrsta za F (z) konvergira za |z| < min{1, R(/)}. Torej je R(F) > min{1, R(/)} in s tem x(f) < x(/). ■ Z uporabo izreka 5 na funkciji /(z) = z dobimo izraz (7). Podobne izraze dobimo tudi z uporabo drugih aritmetičnih funkcij. \ — 1 _ v^^ ,n n= Primer 1. Ker je z(1 — z) 1 = J^U zn, po izreku 5 sledi og Z (sn) 1 ^ — 1 P n=1 d|n za a > 1. Izraz na desni strani lahko poenostavimo. Eulerjeva funkcija <^(n) pri vsakem naravnem stevilu n presteje tista stevila k € {1,..., n — 1}, za katera sta k in n tuji si stevili. Več v [1, str. 28]. Izkoristili bomo dejstvo, da je <^(d) = n. d|n Po izreku 4 sledi ^(n) n d|n ♦ Posledica 6. Naj bo /(z) holomorfna funkcija v okolici točke 0, s = a + it in x(/) iz trditve 2. Dodatno naj velja če: / nima ničel, /(0) = 1 in /M = ~ b zn N = bnz . /(z) n=0 Potem na polravnini a > x(/) velja , • • , bd-1 (n - ^ n P n=1 d|n /(p-s)= (Z(sn)), kjer je An = ^ (d) . 208 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili Dokaz. Ker je f (z) holomorfna funkcija brez nicel na enostavno povezani domeni fi 3 0, obstaja holomorfna funkcija g(z), za katero velja g'(z) = f(z)/f (z) na fi. Ker je exp(g(z)) ' = (g'(z)f(z) - f/(z))exp(g(z)) = 0 f (z) f (z)2 za vsak z € fi, sledi f (z) = C ■ exp(g(z)) za neko konstanto C. Po predpostavki posledice imamo g '(z) = bn zn. To pomeni < , Z X bn-1 . g(z) = —z n=1 n Ker je g(0) = 0, po predpostavki posledice sledi C = f (0) = 1. Uporabimo izrek 5 na funkciji g(z) in dobimo < g(p-s)= An log Z(sn) (16) za s € fi, kjer je An = ^dnJbd-i/n)^ (n/d). Na obeh straneh enacbe (16) eksponiramo in upostevamo expg(p-s) = f (p-s). ■ Pogoju f (0) = 1 se ne moremo izogniti, saj bi bil v nasprotnem primeru produkt po prastevilih divergenten. Potrebni pogoj za konvergenco neskončnega produkta un je limn^^ un = 1. Z uporabo posledice 6 na funkciji f (z) = (1 — z)-i dobimo An = n Kd) 1 n>1, d|n V kjer smo si za izracun vsote pomagali z lemo 3. Dobili smo Eulerjev produkt (2). Primer 2. Posledico 6 bomo uporabili na produktu 1 1 - P(P - 1) Število CArtin ~ 0,3739558, ki pomeni vrednost zgornjega produkta, imenujemo Artinovo .število. Izrazili ga bomo s produktom funkcije zeta. Ob p n= 1 p 201-212 209 Aleksander Simonic upoštevanju oznak iz posledice 6 imamo f (z) = (1 — z — z2)(1 — z) 1 in s tem f(z)_ i i i an+i+«n+1 - i — ^-zn, f (z) 1 — z ai — z a2 — z n=0 (ai02)n+1 kjer sta a1 in a2 rešitvi kvadratne enacbe z2 + z — 1 = 0. Torej (a1 a2)n = (—1)n in aï + aî = ( —1)n ( " 11 = ("1)"L„, kjer smo z Ln označili n-to Lucasovo število2 (François E. A. Lucas (18421891)). Dognali smo bn — 1 — Ln+1 in An = - (1 — Ld)^fJJ. n \dr d|n Ker je f (z) holomorfna funkcija na C \ {1}, je R(f ) = 1 in s tem x(f ) = 1. Funkcija f (z) je na a > 1 brez ničel, velja se f (0) = 1 in a1 =0. Zato lahko uporabimo posledico 6 za a = 1 ter tako dobimo ^ L CVtin = (Z (n))E d|nLd K 5 ). n n d ) n=2 Za vsako praštevilo p ^ {2, 5} je ulomek 1/p periodičen in dolžina periode deli število p — 1. Obstajajo praštevilap, za katera je dolžina periode ulomka 1/p enaka p — 1. Tak ulomek je npr. 1/7 = 0,142857. Emil Artin (18981962) je postavil domnevo, daje gostota takih praštevil ravno število CArtin. ♦ Problem analitičnega nadaljevanja Naj bo f (z) oblike (8), s = a + it in x(f) iz trditve 2. Po izreku 5 imamo /(s):= f (p" *) = An log Z (ns), (17) p n=1 2Lucasova števila so definirana rekurzivno s predpisom Ln+2 = Ln + Ln+1 in začetnima pogojema L1 = 1 ter L2 = 3. Več v [3, str. 426]. 210 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili kjer so koeficienti An določeni s funkcijo f. Vrsta po prastevilih konvergira na polravnini a > x(f) in f je tam holomorfna funkcija. Po drugi strani pa desna vrsta konvergira na polravnini a > 0, razen na neki podmnozici SC|a>0:3neN. Z(ns) = 0 V ns = 1}. Zato lahko f analiticno razsirimo na a > 0 z izoliranimi singularnostmi v S. Namen tega razdelka je odgovoriti na vprasanje: ali bi lahko f analiticno nadaljevali preko premice a = 0? V nadaljevanju bomo potrebovali naslednja izreka, ki podajata boljse ocene kakor (5) in (6). Izrek 7 ([4, §2.1.2]). Naj bo e > 0 in H > T2+£. Obstajata konstanti A(e),To(e) > 0, daje No(T + H) - No(T) > A(e)H za vse T > To(e). Izrek 8 ([5, str. 128]). Za a e [1/2,1] in T >2 velja N(a, T) = O (r4a(1-a) log13 T) . Iz izreka 8 lahko sklepamo, da za poljuben a e (1/2,1] velja N (a, T) = o(T), kar pomeni T-1N(a, T) = 0. Kombinacija zgornjih izrekov nam da Lema 9. Za vsak e > 0 obstaja T0(e), da vsaj ena premica skozi izhodišče vsebuje vsaj eno ničlo funkcije Z (s) v pravokotniku R(e, T) := {z e C: 0 < ft(z) <1, (1 - e)T < 9(z) < (1 + e)T} in nobene ničle zunaj R(e, T) za vse T > T0(e). 3 Dokaz. Po izreku 7 za H > T4 obstajata konstanti A, T0 > 0, da je N0(T + H) - N0(T) > AH za vsak T > T0. Naj bo T1(e) > 0 taka konstanta, da 3 bo 2eT > ((1 - e)T)4 za vse T > T1(e). Potem N)((1 + e)T) - N)((1 -e)T) > 2AeT za vse T > max{T0, T1(e)}. Ker pa po izreku 8 za poljuben a e (1/2,1] velja N (a, 2(1 + e)T) = o(T), obstaja premica z zahtevanimi lastnostmi. Recimo, daje mnozica {n e N: An = 0} koncna. Potem ima desna vrsta v izrazu (17) koncno mnogo clenov. Mnozica singularnosti S je neskoncna, vendar nima stekalisc na C. Zato se v tem primeru da f analiticno razsiriti preko premice a = 0 na cel C, razen na neki mnozici izoliranih singularnosti. Zato se bomo osredotocili na primer, ko je mnozica {n e N: An = 0} neskoncna. Švedski matematik Germund Dahlquist (1925-2005), znan predvsem po delu na področju numericne analize, je podal odgovor na uvodno vprasanje. 201-212 211 Aleksander Simonic Izrek 10 ([2]). Če je množica {n € N : An = 0} neskončna, se funkcije /(s) ne da analitično nadaljevati preko premice a = 0. Analitično jedro dokaza izreka 10 je lema 9. Preostali del dokaza je elementaren, toda bolj tehnične narave, zato ga bomo izpustili. Vseeno pa bomo nakazali, kje se skriva originalna Dahlquistova ideja v dokazu. Za trenutek privzemimo veljavnost Riemannove domneve. Naj bosta e, T > 0 poljubni fiksni stevili in T0(e) konstanta iz leme 9. Naj bo N tako naravno stevilo, da je NT > T0(e) in AN = 0. Takih ¡števil N je neskončno. Potem obstaja ničla p = i + it funkcije Z, za katero velja (1 — e)NT < t < (1 + e)NT. Sledi p/N € R(e,T) in p/N € S. Dobili smo neskončno zaporedje singularnosti s stekalisčem na premici a = 0. Ker je bil e poljuben, imamo lahko za stekalisče vrednost T, ki pa je prav tako poljubna. Ugotovili smo, da je premiča a = 0 naravni rob funkčije /. To je leta 1900 opazil nizozemski matematik Jan C. Kluyver (1860-1932) pri prastevilski funkčiji zeta (7). Brez privzetka o veljavnosti Riemannove domneve se lahko zgodi, da obstajata ničli pi, p2 in naravni stevili N^N2, tako da je pi/Ni = p2/N2. Ce dodatno velja se ANl st(pi) + AN2 st(p2) = 0 in sta to edini ničli na pre-miči skozi izhodisče, potem pi/Ni ni singularnost funkčije /. Kluyverjeva opazka je Landaua in njegovega učenča Arnolda Walfisza (1892-1962) vzpodbudila, da sta leta 1919 brez privzetka o veljavnosti Riemannove domneve dokazala, da ima funkčija (7) naravni rob a = 0. Da bi se izognila zgornjemu problemu, sta uporabila posebne lastnosti koefičientov ^(n)/n (braleč lahko reprodučiran dokaz najde v [7, §9.5]). Prav zaradi tega njunega dokaza ne moremo posplositi na poljubne koefičiente An. Dahlquist je ta problem resil z lemo [2, lema 3.2]. LITERATURA [1] J. Bracic, Uvod v analitično teorijo števil, DMFA - založništvo, Ljubljana, 2003. [2] G. Dahlquist, On the analytic continuation of Eulerian products, Ark. Mat. 36 (1952), 533-554. [3] J. Grasselli, Enciklopedija števil, DMFA - založništvo, Ljubljana, 2008. [4] A. A. Karatsuba, Complex analysis in number theory, Boca Raton, CRC Press, 1995. [5] A. A. Karatsuba, S. M. Voronin, The Riemann zeta-function, De Gruyter Expositions in Mathematics 5, Walter de Gruyter, Berlin, 1992. [6] K. Knopp, Theory and application of infinite series, Dover publications, New York, 1990. [7] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1986. 212 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 6